(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
測定データから定常波成分を抽出する測定データの定常波成分抽出システムであって，
測定データの入力を受ける入力部と，
前記入力部から入力された測定データを処理する処理部と，
前記処理部が抽出した定常波成分を出力する出力部とを備え，
前記測定データは，所定の空間間隔又は時間間隔で測定したｎ個のデータであり，ｎ次元のベクトルｘで表され，
前記処理部は，ｎ次元の固有空間行列Ｓｉ（ｉは１以上ｎ以下の整数）を算出する行列算出ステップと，
前記固有空間行列Ｓｉとベクトルｘとの積を算出して，前記測定データからｉ番目に定常波波長が長い定常波成分Ｓｉｘを抽出する抽出ステップとを実行し，
前記行列算出ステップにおいて，前記固有空間行列Ｓｉの（ｉ，ｋ）成分Ｓｉ，（ｊ，ｋ）は，次式で算出され，
Ｓｉ，（ｊ，ｋ）＝（２／（ｎ＋１））×ｓｉｎ（ｉπｊ／（ｎ＋１））×ｓｉｎ（ｉπｋ／（ｎ＋１））
前記ｉ番目に定常波波長が長い前記定常波成分の定常波波長Λｉは，Λｉ＝２ｐ（ｎ＋１）／ｉであることを特徴とする測定データの定常波成分抽出システム。
【請求項２】
請求項１に記載の測定データの定常波成分抽出システムを用いて前記ｎ個の測定データをｎ個の定常波成分の和に分解する測定データの定常波分解方法であって，
前記測定データを表すベクトルｘは，ｉ番目に定常波波長が長い前記定常波成分Ｓｉｘのｉ＝１からｉ＝ｎまでの和であることを特徴とする測定データの定常波分解方法。
【請求項３】
鉄道の軌道での所定間隔の複数測点における設計正矢及び測定正矢から移動量を算出する移動量算出システムであって，
設計正矢及び測定正矢の入力を受ける入力部と，
前記入力部から入力された設計正矢及び測定正矢を処理する処理部と，
前記処理部が算出した移動量を出力する出力部とを備え，
前記設計正矢は，前記複数測点において定められた正矢値であり，ｎ次元のベクトルｄで表され，
前記測定正矢は，前記複数測点で測定される正矢値であり，ｎ次元のベクトルｍで表され，
前記移動量は，前記測定正矢を設計正矢に修正するための修正値であり，ｎ次元のベクトルｇで表され，
前記処理部は，ｎ次元の交差法行列Ｔ−１を算出する交差法行列算出ステップと，
ｇ＝Ｔ−１（ｄ−ｍ）によって移動量を算出する移動量算出ステップとを実行し，
前記交差法行列算出ステップにおいて，前記交差法行列Ｔ−１の（ｉ，ｊ）成分Ｔ−１（ｉ，ｊ）は，
１≦ｉ≦ｊ≦ｎのとき，Ｔ−１（ｉ，ｊ）＝２／（ｎ＋１）×ｉ（ｎ−ｊ＋１）で算出され，
１≦ｊ＜ｉ≦ｎのとき，Ｔ−１（ｉ，ｊ）＝２／（ｎ＋１）×ｊ（ｎ−ｉ＋１）で算出されることを特徴とする移動量算出システム。
【請求項４】
鉄道の軌道での所定間隔の複数測点における設計正矢及び測定正矢から移動量の定常波成分を抽出する移動量の定常波成分抽出システムであって，
設計正矢及び測定正矢の入力を受ける入力部と，
前記入力部から入力された設計正矢及び測定正矢を処理する処理部と，
前記処理部が抽出した移動量の定常波成分を出力する出力部とを備え，
前記設計正矢は，前記複数測点において定められた正矢値であり，ｎ次元のベクトルｄで表され，
前記測定正矢は，前記複数測点で測定される正矢値であり，ｎ次元のベクトルｍで表され，
前記移動量は，前記測定正矢を設計正矢に修正するための修正値であり，ｎ次元のベクトルｇで表され，
前記処理部は，ｎ次元の固有空間行列Ｓｉ（ｉは１以上ｎ以下の整数）とその固有値λｉを算出する行列及び固有値算出ステップと，
前記固有空間行列Ｓｉとその固有値λｉと正矢差（ｄ−ｍ）との積λｉＳｉ（ｄ−ｍ）を算出して，ｉ番目に定常波波長が長い定常波成分λｉＳｉｍを抽出する抽出ステップとを実行し，
前記行列及び固有値算出ステップにおいて，前記固有空間行列Ｓｉの（ｊ，ｋ）成分Ｓｉ，（ｊ，ｋ）は，次式で算出され，
Ｓｉ，（ｊ，ｋ）＝（２／（ｎ＋１））×ｓｉｎ（ｉπｊ／（ｎ＋１））×ｓｉｎ（ｉπｋ／（ｎ＋１））
前記固有値λｉは，次式で算出され，
λｉ＝１／（１−ｃｏｓ（ｉπ／（ｎ＋１）））
前記ｉ番目に定常波波長が長い前記定常波成分の定常波波長Λｉは，Λｉ＝２ｐ（ｎ＋１）／ｉであることを特徴とする移動量の定常波成分抽出システム。
【請求項５】
請求項４に記載の移動量の定常波成分抽出システムを用いて前記ｎ個の移動量をｎ個の定常波成分の和に分解する移動量の定常波分解方法であって，
前記移動量は，ｉ番目に定常波波長が長い前記定常波成分λｉＳｉ（ｄ−ｍ）のｉ＝１からｉ＝ｎまでの和であることを特徴とする移動量の定常波分解方法。
【請求項６】
請求項５に記載の移動量の定常波分解方法を用いて前記移動量に含まれる誤差を低減する移動量の誤差低減方法であって，
定常波成分の和に分解された前記移動量から，１番目からｒ番目までに定常波波長が長い前記定常波成分（１≦ｒ＜ｎ）を除去することを特徴とする移動量の誤差低減方法。
【請求項７】
前記ｒは，１乃至５の整数から選択されることを特徴とする請求項６に記載の移動量の誤差低減方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は，交差法を応用した測定正矢等の測定データの処理方法及びその方法を実行するシステム，特に，測定データの定常波成分抽出方法，測定データの定常波成分抽出システム，測定データの定常波分解方法，移動量算出方法，移動量算出システム，移動量の定常波成分抽出方法，移動量の定常波成分抽出システム，移動量の定常波分解方法，及び移動量の誤差低減方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
鉄道における軌道には，軌道狂いが発生する。軌道狂いは，列車の繰り返し荷重によって軌道に生じる残留変位である。軌道の多くは，軌道狂いの発生を許容範囲内に保守管理することを前提としており，検査，判定，修繕を繰り返し，品質管理水準の維持と向上が図られている。軌道狂いには，絶対値と相対値の２種類がある。軌道狂いの絶対値は，計器などにより直接測定される。軌道狂いの相対値は，弦を用い，その始端点，中点，終端点間で測定される。本願明細書では，以降，特に断らない限り，「軌道狂い」とは，弦を用いた相対値を表す。軌道狂いのうち，軌道形状の上下方向の狂いを「高低狂い」，左右方向の狂いを「通り狂い」という。軌道狂いの測定では，軌道の長手方向の距離として，距離軸を軌道に沿って設定した測線距離が用いられる。図２６に示されるように，測線距離軸上に一定の長さＬ［ｍ］の弦が張られ，弦中点におけるレールと弦との離れ（最短距離）が，弦長Ｌの１／２だけ重複させながら，連続で測線距離方向に測定される。この測定方法は，正矢法と呼ばれる。弦中点におけるレールと弦との離れを「正矢」といい，上下方向の離れを「高低正矢」，左右方向の離れを「通り正矢」という。測定された正矢値（以下，「測定正矢」，記号ｍを使用）は，設計線形から定まる所定の正矢値（以下，「設計正矢」，記号ｄを使用）と比較される。設計正矢ｄ［ｍｍ］と測定正矢ｍ［ｍｍ］との差が管理目標値を超えた箇所が抽出され，修繕計画が立案される。
【０００３】
直線では，設計正矢ｄ［ｍｍ］の値は，弦長Ｌ［ｍ］に関わらず，高低正矢，通り正矢とも基本的に０［ｍｍ］である。
【０００４】
平面曲線や縦曲線においては，設計正矢ｄ［ｍｍ］の値は，設計曲線半径（以下，Ｒ［ｍ］）と，使用する弦長Ｌ［ｍ］から，近似式（数式１）により計算される。なお，縦曲線は，軌道における上下勾配の変更点前後に用いられる。
【０００５】
【数１】
0006307211.tif 000002
【０００６】
特に鉄道で用いられる平面曲線には，直線（Ｒ＝∞）と円曲線（Ｒ≧１６０［ｍ］：一定値）までの間を徐々に曲線半径Ｒを変化させる，緩和曲線（Transition Curve）とよばれる線形が設定されている。緩和曲線は，当該曲線を走行する車両に発生する遠心力の急変を防ぐために設けられる。この緩和曲線の長さ（Transition Curve Length，以下，ＴＣＬ［ｍ］）は，当該曲線を通過する列車速度Ｖ［ｋｍ／ｈ］と曲線での遠心力を軽減するために設定されている左右レールの傾斜量（以下，「カント」，記号Ｃを使用［ｍｍ］）に関連づけられて決定される。
【０００７】
平面曲線内の各点ｉにおける通りの設計正矢値ｄｉは，緩和曲線部において徐々に変化し，円曲線内で一定値となり，図２７に示すような台形形状を描く。これを「台形正矢図」と呼ぶ場合がある。この図は，当該曲線内を自動車で走行する場合の各地点におけるハンドル角度を表した図と等価となる。正矢図の変化や凹凸は，鉄道における乗り心地に大きな影響を与える重要な要素である。数学的に見れば，設計正矢値ｄｉは，設計線形の２階差分値，すなわち曲率の値に相当する。
【０００８】
平面曲線の実際の形状が台形状の正矢図になることからも明らかなように，正矢法により出力される正矢値及び正矢波形は，実際の軌道の線形形状（以下，「実形状」）とは異なる。
【０００９】
例えば，図２８に示されるように，１０ｍ弦正矢法により得られる正矢波形（下側の波形）は，実形状（上側の波形）とは異なったものが出力される。特に，正矢波形で二重の丸印で示した箇所において，実形状では軌道が狂っていないにもかかわらず，正矢波形では狂いがあると判断される「擬似狂い」と呼ばれる出力が生じている。
【００１０】
実形状を波長Λ［ｍ］の正弦波の正弦波とした場合，この正弦波におけるＬｍ弦正矢の検出倍率ｈΛは，三角関数の加法定理を用いて，次式のように導出される。
【００１１】
【数２】
0006307211.tif 000003
【００１２】
図２９は，数式２を図示したグラフである。この図に示されるように，１０ｍ弦正矢法により，実形状に含まれている様々な波長Λが，１０ｍ弦固有の検出倍率ｈΛで増幅又は減衰されて出力されるので，正矢波形が実形状と異なったものとなる。
【００１３】
検出倍率ｈΛは，実形状が有する波長Λ［ｍ］に対して，０〜２の間で変動する。Λ＝１０［ｍ］波長成分の振幅は，１０ｍ弦正矢の場合，実際より２倍に増幅される。検出倍率ｈΛは，Λ＞１０［ｍ］の場合，波長Λが長くなるほど低下し，Λ＝３０［ｍ］で１／２となり，Λ＝１００［ｍ］では１／２０を下回り，その波長成分は殆ど検出されなくなる。また，０＜Λ＜１０［ｍ］の場合，検出が不能（ｈΛ＝０）となる波長Λが，弦長Ｌの１／（２×ｋ）倍（ｋ＝１，２，３…）に存在する。
【００１４】
しかし，波長Λ＝５［ｍ］，２．５［ｍ］，１．２５［ｍ］の帯域の軌道狂いは，レールとマクラギで構成される軌道構造の剛性を考えれば，発生は極めて稀であり，軌道狂いとしての管理対象とはされていない。
【００１５】
このように，１０ｍ弦正矢法を用いて軌道実形状を測定すると，実形状に存在するΛ＝１０［ｍ］〜２０［ｍ］の波長成分が実際よりも増幅され，それ以上の波長帯域では，実際よりも減衰された誇張が行われることになる。
【００１６】
この誇張は，在来線の速度域では，鉄道車両の振動特性と人間の感覚特性を合わせた補正と似ていることが，佐藤吉彦博士の研究によって明らかにされている（佐藤吉彦著「乗り心地の立場から見た軌道高低狂いの整備限度」鉄道技術研究報告第５４９号  １９６６年８月）。その研究によれば，１０ｍ弦正矢（高低）の検出特性と，６０〜１２０ｋｍ／ｈの速度での列車上下動揺の波長別応答倍率は，よく一致している。すなわち，１０ｍ弦正矢法は，当該速度域で走行する列車の揺れの原因となる軌道狂いを効果的に抽出できる。
【００１７】
高速領域（在来線１２０ｋｍ／ｈ超，新幹線２５０ｋｍ／ｈ超）では，弦長をＬ＝２０ｍ，４０ｍと長くした正矢法を用いることにより，列車の揺れの原因となる長い波長の軌道狂い（以下，「長波長軌道狂い」）を効果的に抽出できることが知られている（高井秀之，内田雅夫著「在来線１６０ｋｍ／ｈ化に対応した軌道管理手法」日本鉄道施設協会誌１９９１年１０月  Ｐ２０〜２５）（高井秀之，須永陽一，竹下邦夫著「新幹線の高速化に対応した軌道管理手法」鉄道総研報告Ｖｏｌ.９， Ｎｏ−１，  Ｐ１３〜１８  １９９５年）。なお，本願の明細書において「新幹線」とは，全国新幹線整備法第二条で定義されている新幹線鉄道を意味する。
【００１８】
弦長２０ｍ，４０ｍの正矢値は，物理的な測定弦長を伸ばすことなく，弦長１０ｍによる測定値から公知の「倍長弦公式」によって算出される。１０ｍ弦正矢法によるｐ＝５［ｍ］間隔の測定値をｍｉとすれば，２０ｍ弦正矢値ｍ２０ｉは，ｍ２０ｉ＝ｍｉ−１＋２ｍｉ＋ｍｉ＋１と算出される。
【００１９】
正矢法を用いた検査工程及び判定工程で抽出された箇所は，それに続く修繕工程において，実際に軌道を動かして，補修が行われる。以下，これを「保線作業」と記述する。保線作業では，正矢値を目標とする設計正矢値ｄｉとするために，「どこを・どれだけ・どの方向に動かすか」の情報（以下，「移動量」，記号ｇを使用［ｍｍ］）を知ることが必要となる。
【００２０】
移動量の決定方法の一つとして，交差法がある。交差法は，半弦長ずつ交差させた測定正矢データを，幾何学的図解法により，各地点の移動量に変換する計算法である。交差法による移動量は，実軌道で多くの施工実績がある。
【００２１】
交差法の幾何学的計算原理を図３０を参照して説明する。
【００２２】
点ｉ−１，ｉ，ｉ＋１での測定正矢を，それぞれｍｉ−１，ｍｉ，ｍｉ＋１とする。
【００２３】
点の移動に伴い変化する正矢を’付の記号で示す。
【００２４】
点ｉを＋ｇｉ動かした場合，点ｉの正矢ｍｉは，図３０より，次式で算出される。
【００２５】
ｍ’ｉ＝ｍｉ＋ｇｉ
【００２６】
点ｉ−１，ｉ＋１での測定正矢ｍｉ−１，ｍｉ＋１は，各弦の端部，点ｉが＋ｇｉ動く影響により，中点連結定理から，次の２式（数式３，数式４）のように正矢量が変化する。
【００２７】
【数３】
0006307211.tif 000004
【００２８】
【数４】
0006307211.tif 000005
【００２９】
このとき，点ｉの両隣接，点ｉ−１，点ｉ＋１は動かないとされる。
【００３０】
なお，この原理には，倍長弦公式と同様の角度近似が行われているが，交差法に用いる弦長Ｌ＝１０［ｍ］と鉄道曲線に用いる平面曲線半径Ｒ≧１６０［ｍ］で考えれば，近似の影響は，無視できる数値である。
【００３１】
次に，従来の移動量の計算法の一つとして，累積法について説明する。累積法は，各地点の測定正矢をｍｉ，設計正矢をｄｉとし，地点ｉにおける正矢差を，ｆｉ＝（ｄｉ−ｍｉ）で定義すれば，第ｊ番目（ｊ≧２）の地点の移動量ｇｊは，１つ前の正矢測定地点（ｊ−１）までの正矢差ｆｉを用いて以下の式により与えられることを利用した解法である。
【００３２】
【数５】
0006307211.tif 000006
【００３３】
累積法は，正矢差ｆｉが測点ｉの増加と共に掛け合わされて累積されていくので，この名が付けられている。
【００３４】
実際には，例えば，表計算ソフトを用い，計算表に既知の測定正矢ｍｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）を入力し，設計正矢ｄｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）を任意に与えることによって，移動量ｇｉ（ｉ＝２，…，ｎ＋１）が対象区間で算出される。但し，最後の正矢測定箇所である測点ｎと，その時の弦の終端点となる点ｎ＋１においては，軌道の連続性の確保のため，両地点の移動量は０となる。
【００３５】
【数６】
0006307211.tif 000007
【００３６】
この式の成立には，設計正矢ｄｉの設定において，次の２式（数式７，数式８）を満たせばよいことが知られている。
【００３７】
【数７】
0006307211.tif 000008
【００３８】
【数８】
0006307211.tif 000009
【００３９】
しかし，緩和曲線長などの線形条件や，各点での移動制限などを満足させた上で，上記の２式の条件を満たす設計正矢ｄｉを設定するには相当の熟練を必要とするので，累積法は，使い難い計算法である。
【００４０】
移動量の別の計算法に，平均法がある。平均法は，設計正矢ｄｉに幅を持たせ，前述した幾何学的計算原理を用いて，部分的かつ視覚的に解いていく方法である。平均法では，台形正矢図に現れる凹凸（隣接正矢差＝曲率差）を滑らかにするように地点ｉを移動させる。この方法は，測定正矢の凹凸を平均的に揃えていくことから，「平均法」の名が付けられている。
【００４１】
平均法の計算原理は，累積法と同様である。すなわち，点ｉの正矢値ｍｉは，その点ｉを＋ｇｉ動かした場合，ｍ’ｉ＝ｍｉ＋ｇｉとなり，前後の点ｉ−１及び点ｉ＋１の正矢値ｍ’ｉ−１，ｍ’ｉ＋１は，数式３及び数式４に従い変化する。このとき，点ｉ−１，ｉ＋１は動かない。このような正矢変化の過程を視覚的に認識し，計算を進めるために，曲線整正計算機が開発されている（例えば，特許文献１参照）。
【００４２】
この試行計算を繰り返し，緩和曲線長・形状（視覚的に確認できる），各点での移動制限，測点１及びｎの連続条件（この２点は，物理的に動かせない構造である）を確認しながら移動量を決定する。
【００４３】
平均法は，設計正矢値に一定の幅を持たせた演算を行うので，移動量の計算結果に個人差が発生する。一方で，平均法では，累積法で必須となる数式７，数式８の条件を全く意識する必要がないという利点がある。このため，保線現場で用いられている交差法は，専ら平均法である。
【００４４】
このように，交差法における累積法及び平均法は，それぞれ長所・短所がある。さらに，交差法には，共通の課題があり，計算される移動量に，正矢測定時に生じる不可避な測定誤差が，僅かであっても，演算の過程で幾重にも積み重なる重畳現象が生じ，理論的には使用が不適切とされている。その論拠を以下に述べる。
【００４５】
交差法による第ｎ測点の移動量ｇｎは，設計正矢ｄｉを累積法・平均法のいずれで決定しても，数式５によって，次式で与えられる。
【００４６】
【数９】
0006307211.tif 000010
【００４７】
ここで，ｍｉに含まれる測定誤差をｍｅとし，平均＝０，標準偏差＝σの白色ノイズであると仮定すれば，計算された移動量ｇｎに含まれる誤差影響成分ｇｅｎは，次式で与えられる。
【００４８】
【数１０】
0006307211.tif 000011
【００４９】
【数１１】
0006307211.tif 000012
【００５０】
分散の加法定理を用いれば，誤差影響成分ｇｅｎの分散Ｖａｒ［ｇｅｎ］は，次式で与えられる。
【００５１】
【数１２】
0006307211.tif 000013
【００５２】
影響は，測定誤差ｍｅの分散（＝σ２）に対し，測点数ｎの増加に伴い急激に増大する。このため，交差法によって計算される移動量ｇｎは，軌道整備の実用に供するものに理論的になり得ないといわれてきた。
【００５３】
加えて，幾何原理の前提となる「ある点ｉを移動させた場合，前後の点ｉ−１，点ｉ＋１は動かない」についても，通常使用する１０ｍの弦長と数十ｍｍ程度の移動量であれば，軌きょう剛性などから直感的な違和感こそないものの，理論的には何ら明確なものではない。
【００５４】
交差法は，過去より多くの施工実績がある計算手法であるものの，その成果に対する理論的な分析は殆どなされておらず，統計学的に導き出される測定誤差の重畳問題より，その使用は不適切とされ，実務成果と理論評価に大きな技術的矛盾を有したまま今日に至っていた。
【００５５】
交差法以外の移動量算定方法に復元法がある。復元法は，デジタル信号処理技術を応用し，交差法と同様に，軌道狂い検査で得られる正矢データを用いて軌道実形状を演算する手法であり，１９８７年に鉄道総合技術研究所の吉村彰芳博士により発表された（非特許文献１参照）。
【００５６】
復元法では，１０ｍ弦正矢データをフーリエ変換によって波長分解を行い，各波長に対応した１０ｍ弦の検出倍率の逆数を掛け合わせた後に再合成し，軌道の実形状を得る。
【００５７】
復元法は，次のような特徴を有する。
【００５８】
波長分解された軌道狂いのうち，管理・修繕の対象とする波長帯域のみに絞った軌道の実形状計算が個人差なく一意に行える。
【００５９】
この際に生じる位相差の影響を回避するために開発された，１０ｍ弦正矢法の検出特性と選択波長帯域の逆特性を合成したＦＩＲ（Finite Impulse Response）フィルターにより，演算対象区間前後の軌道の連続性が確保される。
【００６０】
交差法での最大の課題である正矢測定誤差の重畳が殆ど生じない。
【００６１】
ＦＩＲフィルターの一例を図３１に示す。このＦＩＲフィルターによる復元波長は，１００［ｍ］までである。図３１において，横軸は，データ中心からの距離［ｍ］，縦軸は，増幅倍率である。
【００６２】
復元法では，ＦＩＲフィルターの特性から，０．２５〜１［ｍ］間隔でのデジタルデータ，および対象区間前後に復元する軌道狂いの最長波長に応じて，３５０〜５００［ｍ］程度の追加測定が必要となる。このような大量の測定データが必要であるので，復元法の使用には，軌道検測車データの使用が前提となる。軌道検測車データを用いた復元法は，専用システムを導入した鉄道事業者において，２０００年頃より移動量算定手法として導入されている。
【００６３】
このような復元法が実用化される以前から，交差法は，理論的には適用不適とされるものの，現場での経験・実績がある交差法曲線整正の改良が各方面でなされ，交差法で算出された移動量を保線作業に用いることで，長波長軌道狂いを効果的に抑制し，実効をあげている。
【００６４】
例えば，交差法に基づき，設計正矢及び測定正矢から逆行列を用いて修正量を算出する修正量算出システムが知られている（特許文献２参照）。しかしながら，この修正量算出システムでは，従来からある逆行列算出手法（掃き出し法，Gauss-jordan法等）によって逆行列を算出する必要があり，測点数ｎの増加に伴い，逆行列の算出が著しく難しくなる。
【００６５】
また，この修正量算出システムでは，誤差を低減するために，修正量を算出した後にフィルタによって所定波長以上の波長成分を除去する。このような誤差の低減は，実用上は有効であるが，交差法において理論上不可能と考えられてきた測定誤差の重畳影響回避について理論的に解明されずに行われていた。
【００６６】
また，従来，交差法を鉄道における曲線整正以外に応用することは，全く検討されていなかった。
【先行技術文献】
【特許文献】
【００６７】
【特許文献１】実開昭５５−１２６３０６号公報
【特許文献２】特開２０１４−１０９０８８号公報
【非特許文献】
【００６８】
【非特許文献１】吉村彰芳著  「軌道狂い原波形の復元に関する理論的基礎の検討とその応用」鉄道技術研究所報告Ｎｏ１３３６  １９８７年
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【００６９】
本発明は，上記問題を解決するものであり，交差法を応用して測定正矢等の測定データを簡単な計算によって処理することを可能にすることを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００７７】
本発明の測定データの定常波成分抽出システムは，測定データから定常波成分を抽出するシステムであって，測定データの入力を受ける入力部と，前記入力部から入力された測定データを処理する処理部と，前記処理部が抽出した定常波成分を出力する出力部とを備え，前記測定データは，所定の空間間隔又は時間間隔で測定したｎ個のデータであり，ｎ次元のベクトルｘで表され，前記処理部は，ｎ次元の固有空間行列Ｓｉ（ｉは１以上ｎ以下の整数）を算出する行列算出ステップと，前記固有空間行列Ｓｉとベクトルｘとの積を算出して，前記測定データからｉ番目に定常波波長が長い定常波成分Ｓｉｘを抽出する抽出ステップとを実行し，前記行列算出ステップにおいて，前記固有空間行列Ｓｉの（ｉ，ｋ）成分Ｓｉ，（ｊ，ｋ）は，次式で算出され，Ｓｉ，（ｊ，ｋ）＝（２／（ｎ＋１））×ｓｉｎ（ｉπｊ／（ｎ＋１））×ｓｉｎ（ｉπｋ／（ｎ＋１）），前記ｉ番目に定常波波長が長い前記定常波成分の定常波波長Λｉは，Λｉ＝２ｐ（ｎ＋１）／ｉであることを特徴とすることを特徴とする。本発明の測定データの定常波分解方法は，前記の測定データの定常波成分抽出システムを用いて前記ｎ個の測定データをｎ個の定常波成分の和に分解する方法であって，前記測定データを表すベクトルｘは，ｉ番目に定常波波長が長い前記定常波成分Ｓｉｘのｉ＝１からｉ＝ｎまでの和であることを特徴とする。
【００７８】
本発明の移動量算出システムは，鉄道の軌道での所定間隔の複数測点における設計正矢及び測定正矢から移動量を算出するシステムであって，設計正矢及び測定正矢の入力を受ける入力部と，前記入力部から入力された設計正矢及び測定正矢を処理する処理部と，前記処理部が算出した移動量を出力する出力部とを備え，前記設計正矢は，前記複数測点において定められた正矢値であり，ｎ次元のベクトルｄで表され，前記測定正矢は，前記複数測点で測定される正矢値であり，ｎ次元のベクトルｍで表され，前記移動量は，前記測定正矢を設計正矢に修正するための修正値であり，ｎ次元のベクトルｇで表され，前記処理部は，ｎ次元の交差法行列Ｔ−１を算出する交差法行列算出ステップと，ｇ＝Ｔ−１（ｄ−ｍ）によって移動量を算出する移動量算出ステップとを実行し，前記交差法行列算出ステップにおいて，前記交差法行列Ｔ−１の（ｉ，ｊ）成分Ｔ−１（ｉ，ｊ）は，１≦ｉ≦ｊ≦ｎのとき，Ｔ−１（ｉ，ｊ）＝２／（ｎ＋１）×ｉ（ｎ−ｊ＋１）で算出され，１≦ｊ＜ｉ≦ｎのとき，Ｔ−１（ｉ，ｊ）＝２／（ｎ＋１）×ｊ（ｎ−ｉ＋１）で算出されることを特徴とする。
【００７９】
本発明の移動量の定常波成分抽出システムは，鉄道の軌道での所定間隔の複数測点における設計正矢及び測定正矢から移動量の定常波成分を抽出するシステムであって，設計正矢及び測定正矢の入力を受ける入力部と，前記入力部から入力された設計正矢及び測定正矢を処理する処理部と，前記処理部が抽出した移動量の定常波成分を出力する出力部とを備え，前記設計正矢は，前記複数測点において定められた正矢値であり，ｎ次元のベクトルｄで表され，前記測定正矢は，前記複数測点で測定される正矢値を成分とするｎ次元のベクトルｍで表され，前記移動量は，前記測定正矢を設計正矢に修正するための修正値であり，ｎ次元のベクトルｇで表され，前記処理部は，ｎ次元の固有空間行列Ｓｉ（ｉは１以上ｎ以下の整数）とその固有値λｉを算出する行列及び固有値算出ステップと，前記固有空間行列Ｓｉとその固有値λｉと正矢差（ｄ−ｍ）との積λｉＳｉ（ｄ−ｍ）を算出して，ｉ番目に定常波波長が長い定常波成分λｉＳｉｍを抽出する抽出ステップとを実行し，前記行列及び固有値算出ステップにおいて，前記固有空間行列Ｓｉの（ｊ，ｋ）成分Ｓｉ，（ｊ，ｋ）は，次式で算出され，Ｓｉ，（ｊ，ｋ）＝（２／（ｎ＋１））×ｓｉｎ（ｉπｊ／（ｎ＋１））×ｓｉｎ（ｉπｋ／（ｎ＋１）），前記固有値λｉは，次式で算出され，λｉ＝１／（１−ｃｏｓ（ｉπ／（ｎ＋１））），前記ｉ番目に定常波波長が長い前記定常波成分の定常波波長Λｉは，Λｉ＝２ｐ（ｎ＋１）／ｉであることを特徴とする。本発明の移動量の定常波分解方法は，前記の移動量の定常波成分抽出システムを用いて前記ｎ個の移動量をｎ個の定常波成分の和に分解する方法であって，前記移動量は，ｉ番目に定常波波長が長い前記定常波成分λｉＳｉ（ｄ−ｍ）のｉ＝１からｉ＝ｎまでの和であることを特徴とする。本発明の移動量の誤差低減方法は，前記の移動量の定常波分解方法を用いて前記移動量に含まれる誤差を低減する方法であって，定常波成分の和に分解された前記移動量から，１番目からｒ番目までに定常波波長が長い前記定常波成分（１≦ｒ＜ｎ）を除去することを特徴とする。この移動量の誤差低減方法において，前記ｒは，１乃至５の整数から選択されることが好ましい。
【発明の効果】
【００８０】
本発明の方法及びシステムによれば，行列を用いて測定正矢等の測定データを簡単な計算によって処理し，定常波成分の抽出や移動量の算出等をすることができる。
【図面の簡単な説明】
【００８１】
【図１】用語・変数の定義を説明する図。
【図２】（ａ）は曲線内での部分直交座標を説明する図，（ｂ）は（ａ）の部分拡大図。
【図３】（ａ）は曲線内での両端部における部分直交座標を説明する図，（ｂ）は（ａ）の部分拡大図。
【図４】（ａ）（ｂ）は座標変換問題としての交差法の原理を説明する図。
【図５】（ａ）は次元数が偶数の交差法行列，（ｂ）は次元数が奇数の交差法行列。
【図６】（ａ）は正矢測定を説明する図，（ｂ）は定常波固有ベクトルを説明する図。
【図７】軌道狂い成分相当に対する演算精度を比較した図。
【図８】曲線基本成分相当に対する演算精度を比較した図。
【図９】曲線半径５００ｍの曲線における１０ｍ弦通り狂いに対する演算精度を比較した図。
【図１０】（ａ）は行列スペクトル分解の例を示す図，（ｂ）は同一データの離散フーリエ変換の例を示す図。
【図１１】バンドパスフィルターの帯域が緩和曲線長よりも長い場合の曲線における線形分離を例示する図。
【図１２】バンドパスフィルターの帯域が緩和曲線長よりも短い場合の曲線における線形分離を例示する図。。
【図１３】行列スペクトル分解を用いた場合の曲線における線形分離を例示する図。
【図１４】（ａ）は直流の入力値及びそれを行列スペクトル分解を用いて分解及び再合成した値を例示する図，（ｂ）はその直流を分解した定常波を例示する図。
【図１５】マルチプルタイタンパ（ＭＴＴ）の弦配置を示す側面図。
【図１６】ＭＴＴ矢変換行列。
【図１７】次元数ｎに対する条件数κの変化を示すグラフ。
【図１８】誤差波ｇｅ最大値の統計的予測を示すグラフ。
【図１９】（ａ）は白色ノイズスペクトルを有する入力測定誤差を示す図，（ｂ）はその誤差波の各定常波成分を示す図。
【図２０】（ａ）は白色ノイズスペクトルを有する別の入力測定誤差を示す図，（ｂ）はその誤差波の各定常波成分を示す図。
【図２１】ランク除去による誤差影響の残留率を示すグラフ。
【図２２】誤差波最大値の増加と残留率の減少を示すグラフ。
【図２３】交差法演算値の使用判定における要検討の例であって，（ａ）は正矢量，（ｂ）は移動量を示す図。
【図２４】交差法演算値の使用判定における使用可の例であって，（ａ）は正矢量，（ｂ）は移動量を示す図。
【図２５】本発明の一実施形態に係る測定データの定常波成分抽出システムのブロック構成図。
【図２６】１０ｍ弦正矢法による軌道狂いの測定を示す図。
【図２７】平面曲線の実形状と正矢の関係を示す図。
【図２８】軌道実形状と正矢図における擬似狂いを例示する図。
【図２９】１０ｍ弦正矢法における検出倍率の特性図。
【図３０】交差法の幾何学的計算原理を示す図。
【図３１】ＦＩＲフィルタ（復元波長１００ｍまで）の一例を示す図。
【発明を実施するための形態】
【００８２】
本願発明の発明者は，交差法の理論的再定義を行い，本願発明に至った。本願発明の構成を説明する前に，その交差法の理論的再定義について説明する。
【００８３】
（用語・変数の定義等）
理論的再定義に先立ち，図１を参照し，既出のものも含め，用語の定義を行う。記号は，文脈に即してスカラ，ベクトル，行列のいずれかを示す。
【００８４】
「軌道」は，線路構造物のうちレールの部分を示す。
【００８５】
「点」は，軌道上の一場所を示す用語として使用する。
【００８６】
「弦」は，軌道上の異なる２点（レール頭頂面同士，又はレール頭頂面から１４ｍｍ下がった位置同士）を始端・終端とする弦を示す。これは，その２点間の最短距離を意味する。
【００８７】
「矢」は，弦の任意の場所における垂線と軌道上の交点までの距離を示す。任意の場所を弦の中点とする場合を特に「正矢」と呼ぶ。
【００８８】
「測点」は，正矢測定をおこなう軌道上の点を示す用語として使用する。
【００８９】
ｎ：正矢測定点の総数を示す。測点数ともいう。行列，ベクトルの次元数に相当する。
【００９０】
ｉ，ｊ，ｋ：原則として測点番号を示す記号で使用する。特に断りなければ，１≦ｉ，ｊ，ｋ≦ｎ。
【００９１】
Ｌ：弦長［ｍ］。特に断りなければ，Ｌ＝１０［ｍ］。
【００９２】
ｐ：測定間隔［ｍ］。正矢法では，ｐ＝１／２×Ｌ［ｍ］。
【００９３】
測定正矢ｍｉ：測点ｉで観測された正矢値を表わす。ｎ次元ベクトル（ｎ次元の列ベクトル）としてｍと記す。
【００９４】
設計正矢ｄｉ：測点ｉにおける設計線形等より定まる正矢値を表わす。ｎ次元ベクトルとしてｄと記す。
【００９５】
移動量ｇｉ：測点ｉにおいて，測定正矢ｍｉを設計正矢ｄｉに修正するのに必要となる修正値を表わす。ｎ次元ベクトルとしてｇと記す。
【００９６】
実形状ｙｉ：弦に垂直かつ測点ｉを通るｙ（ｉ）軸と，弦に平行な任意のｘ（ｉ）軸（必ずしも測点ｉを通る必要はない）を一つ定義する。この直交座標内における点ｉのｙ（ｉ）軸座標値を表わす。ｎ次元ベクトルとしてｙと記す。
【００９７】
Λ：波長［ｍ］を示す。
【００９８】
λ：行列の固有値を示す。
【００９９】
その他の記号，数列，ベクトル，行列は，都度定義する。
【０１００】
（鉄道曲線における座標定義と漸化式）
鉄道で用いる様々の曲線形状を関数として扱う場合，その関数を一つの直交座標系で表すのが煩雑となるので，曲線に沿って距離軸を設定し，点ｉにおける一次もしくは二次の微係数（または差分）を同点でのｘ（ｉ）軸，同垂線をｙ（ｉ）軸とする部分直交座標で表わされる。正矢法は，実形状の二階差分量であるので，測点ｉを通る正矢測定弦と平行な座標軸をｘ（ｉ）軸として用いることができる。
【０１０１】
図２（ａ）（ｂ）において，第ｉ番目の部分直交座標内での実形状各測点のｙ（ｉ）軸座標をｙｉ−１，ｙｉ，ｙｉ＋１とすれば，次式（数式１３）より，ｍｉと未知の実形状ｙｉの関係を表す漸化式（数式１４）が成立する。
【０１０２】
【数１３】
0006307211.tif 000014
【０１０３】
【数１４】
0006307211.tif 000015
【０１０４】
また，図３（ａ）（ｂ）に示されるように，曲線整正を行う対象区間の両端部，測点１および測点ｎにおける部分直交座標では，両外方の軌道線形と接続方向を変えずにスムーズな連続を確保する必要がある。この場合，両測点における一次差分を，部分直交座標のｘ（１）軸，ｘ（ｎ）軸としてとして考えることが出来るため，次の数式１５より，数式１６と数式１７が成立する。
【０１０５】
【数１５】
0006307211.tif 000016
【０１０６】
【数１６】
0006307211.tif 000017
【０１０７】
【数１７】
0006307211.tif 000018
【０１０８】
数式１４，数式１６，数式１７を用いることにより，全ての測点における正矢測定値（既知）と実形状（未知）の関係を定義することができる。
【０１０９】
（正矢変換行列Ｔ）
次に，ベクトル一次変換としての交差法定義について説明する。数式１４，数式１６，数式１７を用いて，行列Ｔを次のように定義する。以降，行列Ｔを「正矢変換行列」と呼ぶ。
【０１１０】
【数１８】
0006307211.tif 000019
【０１１１】
正矢変換行列Ｔは，正方行列であり，その対角成分は１，対角成分に隣接する成分は１／２，それ以外の成分は０である。
【０１１２】
正矢変換行列Ｔを用いれば，既知である測定正矢ベクトルｍと未知の実形状をあらわすベクトルｙとの関係は，一次変換として数式１９のように書ける。
【０１１３】
【数１９】
0006307211.tif 000020
【０１１４】
設計正矢ベクトルｄが与えられたとき，設計正矢ベクトルｄと未知の実形状をあらわすベクトルｙｄとの関係を説明する。ここで，“ある部分直交座標系ｘ（ｉ）−ｙ（ｉ）において設計正矢ｄｉを観測する”とは，幾何交差法の原理である “点ｉが動く”として考えるのではなく，図４（ａ）（ｂ）に示されるように，「弦と平行で弦からｍｉの距離にあるｘ（ｉ）軸を（図４（ａ）），弦と平行で弦からｄｉの距離にあるｘｄ（ｉ）軸に平行移動させた部分直交座標系ｘｄ（ｉ）−ｙ（ｉ）から未知の形状を観測すればどのように見えるか（図４（ｂ））」という座標変換問題に発想転換する。これにより，測定弦長と移動量の大小関係，あるいは軌きょう剛性などより“隣接点が動く，動かない”といった感覚的議論から脱し，ベクトルｄとベクトルｙｄとの関係を，弦長Ｌ［ｍ］に関わらず正矢法全体に一般化することができる。
【０１１５】
この場合も，ベクトルｄとベクトルｙｄの相互の関係は，数式１９と同様に，次の数式２０で与えられる。
【０１１６】
【数２０】
0006307211.tif 000021
【０１１７】
ここで，ベクトルｙとは，ｙがｘ（ｉ）−ｙ（ｉ）座標系から見た実形状のｙ（ｉ）座標の集合を意味する。ベクトルｙｄとは，ｙｄがｘｄ（ｉ）−ｙ（ｉ）座標系から見た実形状のｙ（ｉ）座標の集合を意味する。
【０１１８】
数式２０と数式１９から数式２１が導かれる。
【０１１９】
【数２１】
0006307211.tif 000022
【０１２０】
ここで新たなベクトルｇを，数式２２で定義すれば，ｇは，設計正矢ｄと測定正矢 ｍに基づいて行われる座標変換，各部分直交座標内で観測される未知の実形状間のｙ（ｉ）軸方向の差になり，これが求めるべき移動量ベクトルである。
【数２２】
0006307211.tif 000023
【０１２１】
（交差法行列Ｔ−１）
正矢変換行列Ｔは，正方行列であり，その行列式が０ではないので（ｄｅｔ（Ｔ）≠０），逆行列Ｔ−１が存在する。逆行列Ｔ−１の例を図５（ａ）（ｂ）に示す。図５（ａ）に示す逆行列Ｔ−１は，偶数行列であり，次元数ｎが偶数である（例として，ｎ＝６）。図５（ｂ）に示す逆行列Ｔ−１は，奇数行列であり，次元数ｎが奇数である（例として，ｎ＝７）。本願発明の発明者は，ｎ次元の逆行列Ｔ−１が以下に示す３つの特徴を有することを発見した。これらの特徴は，今まで知られていなかった（例えば，特許文献２参照）。
【０１２２】
第１の特徴として，逆行列Ｔ−１は，２軸の対称軸をもつ非負の実対称行列となる。
【０１２３】
第２の特徴として，全ての成分は，（ｎ＋１）／２倍すれば自然数となる。
【０１２４】
第３の特徴として，次元数ｎのみで全成分が簡易に計算できる。
【０１２５】
即ち，逆行列Ｔ−１は，逆行列算出手法（掃き出し法，Gauss-jordan法等）によらずにの成分を確定することができる。図５（ａ）（ｂ）においてハッチングを付した成分を算出すると，他の成分は逆行列Ｔ−１の対称性（上記の第２の特徴）により確定する。逆行列Ｔ−１の成分を式で示せば次式のようになる。この数式２３で示す逆行列成分の規則性の証明は，後述する。
【０１２６】
【数２３】
0006307211.tif 000024
【０１２７】
以降，逆行列Ｔ−１を「交差法行列」と呼ぶ。交差法行列Ｔ−１を用いれば，移動量ベクトルｇは，次式で求めることができる。
【０１２８】
【数２４】
0006307211.tif 000025
【０１２９】
数式２４により，交差法は，既知の測定正矢ベクトルｍ及び設計正矢ベクトルｄと未知の移動量ベクトルｇとの間の一次変換として再定義される。また，数式１８及び数式２３より，正矢変換行列Ｔ，及び交差法行列Ｔ−１は，ともに二軸実対称行列であり，対称行列が持つ様々な数学的利点が活用できる。
【０１３０】
（固有値問題としての交差法本質の解析）
次式のように，行列Ａの一次変換すなわち座標変換作用に対し，方向を変えずに長さのみが変化するベクトルｘ及びそのスカラ倍率λを，それぞれ行列Ａの固有ベクトル，固有値といい，行列Ａの次元数ｎ個だけ存在することが知られている。
【０１３１】
Ａｘ＝λｘ
【０１３２】
交差法行列Ｔ−１による一次変換である数式２４の結果を実務と照らし合わせて考えれば，測定される正矢も，計算により求められる移動量も，常に測定をおこなう弦（＝部分直交座標ｘ（ｉ）軸）に対して直交方向である。これは行列Ｔ−１の作用により向きを変えていない固有状態にあるといえる（１８０度方向が変わるものはマイナス・スカラ倍されたと解釈する）。したがって，交差法の作用を行列Ｔ−１の固有値問題として捉え，固有ベクトル・固有値を求め，これを考察することで交差法の本質を解析することができる。なお正矢変換行列Ｔ及び交差法行列Ｔ−１は，実対称行列であるため，固有値・固有ベクトルは，全て実数で求めることが出来る。
【０１３３】
固有値・固有ベクトルの導出について説明する。行列Ｔのｉ番目の固有値をλＴｉ，固有ベクトルをｘＴｉとし，逆行列Ｔ−１のｉ番目の固有値をλｉ，固有ベクトルをｘｉとすると，次式の関係がある。したがって，行列Ｔと逆行列Ｔ−１の一方の固有値・固有ベクトルを導出すれば，他方の固有値・固有ベクトルが簡単に導出される。逆行列Ｔ−１固有値・固有ベクトルの導出では，成分に０が多い疎行列であるＴの固有方程式を解く方が効率的である。
【０１３４】
【数２５】
0006307211.tif 000026
【０１３５】
固有方程式は，以下のように導出される。ここに，Ｅは，単位行列を示す。
【０１３６】
【数２６】
0006307211.tif 000027
【０１３７】
数式２６においてベクトルｘが０ベクトル以外の解を持つためには（Ｔ−λｎＥ）に逆行列が存在してはならず，固有方程式は以下の式となる。
【０１３８】
【数２７】
0006307211.tif 000028
【０１３９】
この固有方程式を解くことにより，固有値・固有ベクトルが導出される。
【０１４０】
交差法行列Ｔ−１の固有値λｉは，次式のように導出される。
【０１４１】
【数２８】
0006307211.tif 000029
【０１４２】
正矢変換行列Ｔの固有値λＴｉは，次式のように導出される。
【０１４３】
【数２９】
0006307211.tif 000030
【０１４４】
正規固有ベクトルｕｉの成分ｕｉｊは，次式のように導出される。
【０１４５】
【数３０】
0006307211.tif 000031
【０１４６】
固有値及び固有ベクトルの成分は，いずれも次元数ｎのみを変数とした三角関数を有し，正確に求めることが出来る（数式２８〜数式３０）。
【０１４７】
特に，正規化された第ｉ番目の固有ベクトルｕｉの成分（数式３０）は，弦長ｎ＋１の両端固定弦の第ｉ固有振動モード（以下，「第ｉ定常波」）の式と一致する。
【０１４８】
固有空間行列とスペクトル分解の導出について説明する。
【０１４９】
正規固有ベクトルｕｉと同転置ベクトルｔｕｉを用いれば，Ｓｉ＝ｕｉｔｕｉより，数式３１の固有空間行列Ｓｉが導出される。
【０１５０】
【数３１】
0006307211.tif 000032
【０１５１】
Ｓｉは射影子行列と呼ばれる特殊な行列であり，この行列による一次変換は，任意ベクトルのｕｉ成分（この場合は第ｉ定常波成分）を抽出するという特性を持つ。
【０１５２】
以上の固有値λｉ，λＴｉと固有空間行列Ｓｉを用いることで，Ｔ−１およびＴは，固有値と固有空間行列Ｓｉの線形式，数式３２，数式３３として表すことができる。この線形式を以下，「行列スペクトル分解」と表記する。
【０１５３】
交差法行列Ｔ−１の行列スペクトル分解は，次式のように表される。
【０１５４】
【数３２】
0006307211.tif 000033
【０１５５】
正矢変換行列Ｔの行列スペクトル分解は，次式のように表される。
【０１５６】
【数３３】
0006307211.tif 000034
【０１５７】
（交差法理論解析の工学的意味と応用）
次に，前述した各種の理論解析より導かれた値，及び式の工学的な意味とメリット，その応用について述べる。
【０１５８】
（固有値と正矢法検出倍率）
測点数ｎ，間隔ｐ［ｍ］で観測された軌道狂いを数式３２，数式３３により行列スペクトル分解した第１項，行列Ｓ１により抽出される最長の波長をΛ１［ｍ］とすれば，図６（ａ）（ｂ）に示されるように，Λ１［ｍ］は，弦長（ｎ＋１）ｐ［ｍ］の第１定常波の波長であることから，次式が導かれる。
【０１５９】
【数３４】
0006307211.tif 000035
【０１６０】
以下同様に，行列Ｓｉで分解されるｉ番目に長い定常波波長Λｉ［ｍ］（１≦ｉ≦ｎ）は，次式で求められる。
【０１６１】
【数３５】
0006307211.tif 000036
【０１６２】
一方で，波長Λｉ［ｍ］の正弦波におけるＬｍ弦正矢の検出倍率ｈΛｉは，数式２で与えられる。数式２に弦長Ｌ＝２ｐと数式３５を代入すれば，ＬとΛｉが消去され，次式が得られる。
【０１６３】
【数３６】
0006307211.tif 000037
【０１６４】
数式３６の右辺は，数式２９の右辺と等しい。したがって，固有値と検出倍率の関係が次式のように得られる。
【０１６５】
【数３７】
0006307211.tif 000038
【０１６６】
すなわち，交差法行列Ｔ−１の第ｉ番目の固有値λｉは，波長Λｉ［ｍ］における弦長Ｌ（＝２ｐ）［ｍ］正矢の検出倍率ｈΛｉの逆数（以下，「復元倍率」という）に一致する。
【０１６７】
正矢変換行列Ｔの第ｉ番目の固有値λＴｉは，波長Λｉ［ｍ］における弦長Ｌ（＝２ｐ）［ｍ］正矢の検出倍率ｈΛｉに一致する。
【０１６８】
（交差法行列Ｔ−１及び正矢変換行列Ｔの作用，その工学的意味）
数式３２のスペクトル分解に数式３７を代入すると次式が得られる。
【０１６９】
【数３８】
0006307211.tif 000039
【０１７０】
数式３８によれば，交差法行列Ｔ−１の作用とは，任意ベクトルに含まれるΛｉ［ｍ］の定常波成分の固有空間行列Ｓｉによる抽出と，同波長におけるＬｍ弦正矢の復元倍率（１／ｈΛｉ）による増幅の和と解釈できる。これは，前述した復元法の考え方と似ており，フーリエ変換によらない点が復元法と相違する。
【０１７１】
一方，数式３３のスペクトル分解に数式３７を代入すると次式が得られる。
【０１７２】
【数３９】
0006307211.tif 000040
【０１７３】
この数式によれば，Ｌｍ弦の正矢変換行列Ｔの作用は，任意ベクトルに含まれるΛｉ［ｍ］の定常波成分の固有空間行列Ｓｉによる抽出と，Ｌｍ弦正矢の検出倍率（ｈΛｉ）による増幅の和と解釈できる。したがって，過去より，図２９及び数式２で述べられてきた単一正弦波中での正矢の検出倍率ｈΛｉとは，正矢変換行列Ｔの持つ分解と増幅の二つの作用のうち，固有値λＴｉによる増幅作用を表現したものであるといえる。
【０１７４】
ここでＴ−１及びＴが共通して持つ固有空間行列Ｓｉによる定常波分解作用とは以下のように説明することができる。
【０１７５】
【数４０】
0006307211.tif 000041
【０１７６】
【数４１】
0006307211.tif 000042
【０１７７】
Ｓｉを用いることで，任意のｎ次元ベクトルａは，自分自身をｎ個の定常波に分解することができる（行列スペクトル分解）。定常波に分解する対象のベクトルａは，任意のｎ次元ベクトルであるので，測定正矢ｍ，設計正矢ｄ，移動量ｇ，実形状ｙ等に限定されず，例えば，所定の時間間隔又は空間間隔で測定（サンプリング）されたｎ個の物理量であってもよい。したがって，行列スペクトル分解は，曲線整正以外の広い分野で利用することができる。
【０１７８】
本願の発明者が発見したこの行列スペクトル分解（数式４１）は，正弦波に分解する機能を有するという点で，従来から知られている離散フーリエ変換（ＤＦＴ：discrete Fourier transform）と似ているが，それとは異なる変換である。
【０１７９】
ＤＦＴと行列スペクトル分解を，間隔ｐで測定されたｎ個の離散値を変換する場合について比較する。ＤＦＴでは，ｎ個の離散値はｎ−１個の正弦波に分解される。行列スペクトル分解では，ｎ個の離散値はｎ個の正弦波に分解される（定常波振動モード）。
【０１８０】
ＤＦＴでは，最長の波長はΛ１＝ｐ（ｎ−１）［ｍ］である。行列スペクトル分解では，最長の波長はΛ１＝２ｐ（ｎ＋１）［ｍ］である。
【０１８１】
ＤＦＴでは，最短の波長はΛｎ−１＝２ｐ［ｍ］である。行列スペクトル分解では，最短の波長はΛｎ＝２ｐ（ｎ＋１）／ｎ［ｍ］である。
【０１８２】
ＤＦＴでは，一般的に直流成分（一定値）を有する。行列スペクトル分解では，直流成分は必ず０である。
【０１８３】
ＤＦＴでは，各波長の正弦波は一般的に位相差を有する。行列スペクトル分解では，各波長の正弦波の位相差は必ず０である。
【０１８４】
このように，行列スペクトル分解では，全てが定常波に分解される（すなわち，実数のみで計算される），直流成分が無いなどの様々な特徴を有する特殊な正弦波分解法である。
【０１８５】
本願発明の発明者が，交差法を理論的に再定義し，行列スペクトル分解を発見したことにより，鉄道の線路保守で古くから用いられてきた正矢法，および交差法には，あらゆる測定値を２×（測定延長ｐ（ｎ−１）［ｍ］＋自らの弦長２ｐ［ｍ］）＝２ｐ（ｎ＋１）［ｍ］を基本波長とするｎ個の定常波に分解する機能が内在していることが明らかになった。ＤＦＴを用いる復元法に対する交差法の本質的な相違は，行列スペクトル分解による波長分解機能の違いにある。
【０１８６】
（Ｔ−１を用いた一次変換の工学的なメリット）
交差法行列Ｔ−１，固有空間行列Ｓｉを用いた一次変換の軌道工学的メリット及び意味を説明する。逆行列Ｔ−１の成分確定に至るまでにどれだけ計算機のメモリーを消費するかの指標である計算量は，行列Ｔの次元数ｎが決まれば１回の計算で成分が確定することから（数式２３），オーダーＯ（ｎ３）からＯ（ｎ２）以上に大幅に向上する。
【０１８７】
一般に，逆行列の計算には多くの除算が必要となるため，多元連立一次方程式を逆変換である数式２４から直接解くことは丸め誤差の影響より推奨されない。一方でＴ−１の成分は数式２３により，Ｔ−１をスペクトル分解した定常波抽出作用を持つＳｉの成分は，数式３１により，ともに次元数ｎのみを変数とした少数の除算で計算できるため，計算機のメモリー消費量の節約だけでなく，演算時の丸め誤差影響が最小限に抑えられ，計算精度が向上する。
【０１８８】
この効果を軌道で観測される正矢値を模した２種類の入力値（データ数ｎ＝３１）を用いて検証した。図７及び図８に示すように，いずれも既知の入力値を与え，Ｓｉを用いた行列スペクトル分解後に再度合成した値（グラフの凡例では「分解＆再合成値」と表記する）との差を用いて演算精度の向上効果を数値化した。なお，図７及び図８では，識別性を上げるため入出力反転表示としている。第１の条件では，数式３１により求めたＳｉを用いた。第２の条件では，従来の逆行列算出法（Gauss-Jordan 法）及び固有ベクトル算出法（ＱＲ法）を用いた。
【０１８９】
入力値を軌道狂い成分相当とした場合，行列スペクトル分解後に再度合成した値と入力値との差は，数式３１により求めたＳｉを用いると，最大１．６×１０−１４となり，従来の算出法と用いると，最大１．０×１０−３となった（図７参照）。
【０１９０】
入力値を曲線半径Ｒ＝２５０［ｍ］，緩和曲線長ＴＣＬ５０［ｍ］の曲線基本成分相当とした場合，行列スペクトル分解後に再度合成した値と入力値との差は，数式３１により求めたＳｉを用いると，最大９．２×１０−１４となり，従来の算出法と用いると，最大６．３×１０−３となった（図８参照）。
【０１９１】
双方の演算とも実用上問題ない精度ではあるものの，その違いは１０−１０以上に達するので，行列スペクトル分解を用いると，少ない除算で成分が確定することによる明らかな演算精度向上効果が認められる。
【０１９２】
数式３２によれば，交差法行列Ｔ−１を用いて出力される移動量ｇは，行列スペクトル分解によるｎ個の定常波の重ね合わせとなる。定常波は，弦の端で波の振幅が０である。したがって，交差法演算では，測点数ｎ，入力正矢（差）値に関わらず，測点１における弦の始点（点０）及び測点ｎにおける弦の終端（点ｎ＋１）の２点において移動量が０になる。これは，どのような区間でサンプリングを行っても，交差法で計算された移動量は，「前後の軌道との連続が必ず保証される」ことを意味し，保線の実務において大変有用な特性である。
【０１９３】
交差法行列Ｔ−１を用いた行列スペクトル分解と，ＤＦＴの一種であるＦＦＴ（Fast-Fourier-Transfer）を用いた波長分解とを，同一データを用いて比較した。図９に示すように，データは，ｎ＝３２のＲ＝５００［ｍ］曲線における１０ｍ弦通り狂いを模したものを用いた。既知の入力値と，分解＋再合成後の数値との差を用いて，両者の演算精度を比較した。演算の精度において，両者に明確な差は認められなかった。
【０１９４】
両者の分解に用いられる正弦波の違いを図１０（ａ）（ｂ）に示す。双方の正弦波分解基底は全く異なる。加えて，測点１における弦の始端（点０）及び測点ｎにおける弦の終端（点ｎ＋１）における移動量は，行列スペクトル分解では０になるが（図１０（ａ）），ＦＦＴでは０になることが保証されない（図１０（ｂ））。
【０１９５】
実場面では，この違いがサンプリング延長の差となって顕在化する．すなわちＦＦＴを使用した場合，評価対象となる区間の外方に，軌道の連続を確保するための相応延長の追加サンプリングと，図３１に示したような平滑化のためのフィルター演算処理が必要となる。これに対して，行列スペクトル分解では，分解に用いられる正弦波が全て定常波であるため，位相差を解消するための追加サンプリングは不要である。
【０１９６】
さらに，行列スペクトル分解では，図２（ａ）で示される対象区間両端部での一次差分を用いた部分直交座標の前提，すなわち，測点１及び測点ｎでの移動量が生じないこと（ｇ１＝ｇｎ＝０）を成立させることで，前後の軌道との連続だけでなく，方向を変えずに連続を保つ移動量決定が可能になる。そのための必要条件は，数式７と数式８を同時に成立させる設計正矢ｄｉを設定することであることは，古くから伝承されてきたが，この理論的な根拠については，本願発明の発明者が行列スペクトル分解で解明するまでは，解明されたとは言えなかった。
【０１９７】
交差法行列Ｔ−１の１行目とｎ行目の係数に着目すれば，同行列の対称性，および行列成分が自然数にできることより，先の２つの必要条件（数式７と数式８）を簡潔明瞭に理論的に証明することができる。証明の詳細は後述する。
【０１９８】
上記の必要条件（数式７と数式８）を満たすｄｉの具体的設計法として，従来から，バンドパスフィルターを用いた線形分離法（測定した正矢量から軌道狂いを分離する方法）がある。このようなバンドパスフィルターを用いた線形分離法は，帯域が緩和曲線長よりも長い場合，図１１に示すように，緩和曲線の設計正矢を見かけ上，延伸するような形状へと変化させてしまう。すなわち，軌道狂いは分離できるが，緩和曲線長（ＴＣＬ）を保持できない。
【０１９９】
バンドパスフィルターを用いた線形分離法は，緩和曲線長（ＴＣＬ）に配慮し，帯域を逆に短くした場合，図１２に示すように，既存の軌道狂いに基準線がつられ，曲線部の軌道狂いの分離が不完全となる。
【０２００】
フィルターを用いた鉄道曲線における線形分離では，しばしばこのようなトレードオフの関係に陥りやすい。
【０２０１】
これに対し，図１３に示すように，古典交差法の伝承式（数式７と数式８）を基礎とした線形分離法（行列スペクトル分解）を用いることで，緩和曲線長（ＴＣＬ）及び存在する軌道狂いの影響を受けず，かつ前後の軌道と方向を変えないスムーズな接続を確保した上での曲線基本線形の分離をおこなうことができる。
【０２０２】
この効果は特に緩和曲線部における保守投入後の左右方向の乗り心地の差として現れる。カントは，特に緩和曲線部において厳密に管理されているため，設計正矢を安易にフィルター等で求めた場合，カントと正矢，相互の変化にズレを生じ，同区間を１波とする水準狂いを発生させていることと等価となる。水準狂いの発生は，特に軌間の狭小な在来線においては車両左右振動への影響が顕著となる。行列スペクトル分解を用いると，正矢とカントの変化を一致させることができる。正矢とカントの変化を一致させることは，超過遠心力をはじめ様々な力が乗客に作用する曲線での乗り心地管理上，重要な技術的要件である。
【０２０３】
（交差法行列Ｔ−１を用いた演算のその他のメリット）
保線作業においては，設計正矢ｄから理想的に計算された移動量計画ｇをそのまま使用できるケースは殆どなく，現場の各種の移動制約条件などから，移動の絶対値，移動方向など何らかの制限が加えられる。この制限を加えた修正移動量ｇ’で施工した場合，どのような正矢の仕上がりになるのか（以下，「仕上がり正矢」記号ｄ’を使用）を知り，その状況によっては制約条件を緩和するための措置（例えば，ホーム笠石を削る，架線の位置を調整する）を講じる必要がある。
【０２０４】
移動量計画（理想）ｇに与えられた制約条件を最適化した修正移動量ｇ’が得られた時，仕上がり正矢ｄ’（未知）は，ｇ’＝Ｔ−１（ｄ’−ｍ）より，次式で求められ，算出されたｄ’の大きさ・形状により，笠石を削るなどの，保線作業の品質向上を目的とした各種追加対策の要否を検討することができる。
【０２０５】
【数４２】
0006307211.tif 000043
【０２０６】
前記の計算および考え方は，高低狂いの整備に応用することにより，一層メリットを発揮できる。高低狂いを対象とした保線作業を行う場合，特殊な場合を除いては，レールを所望の高さまで持ち上げ，（以下，「こう上作業」と表記）まくら木の下に生じた空隙にバラスト（砂利）を詰めて（以下，「つき固め」と表記）列車の車輪走行面を平滑に整えていく。
【０２０７】
ＭＴＴ（マルチプルタイタンパ）によるレベリング作業も同様であり，レールとまくら木を持ち上げ，つき固めることで初めて軌道狂いが整正される。ゆえに，事前に作業区間全体の軌道実形状に対する情報を持たないＭＴＴ相対基準レベリング作業では，確実にこう上量をＭＴＴに感知させるために，区間全域にわたりＭＴＴ弦の先端部を１０ｍ弦高低軌道狂いの標準偏差の２倍〜３倍程度，現行より高い位置にセットした状態で連続的に作業がおこなわれる。その結果，ＭＴＴ弦長で感知できるΛ≦３０［ｍ］程度までの軌道狂いの修正だけでなく，作業区間全体が上方向へシフトされるという課題が生じる。
【０２０８】
そこで交差法行列Ｔ−１を用いて作業区間内の高低方向実形状を効率的に把握し，これに（−）方向移動＝０と各地点の許容こう上量を与えた最適化演算を併用することにより，ＭＴＴ相対基準レベリング作業で発生する不必要なこう上量を抑制することが出来る。
【０２０９】
具体的には，数式４２を用いた逆算により，区間内の高い箇所を現状以上にこう上させないｇ’，平均ラインより低い所のみをこう上させるｇ’，現在の落ち込みの逆位相の設計こう上を行うｇ’などを採用した場合，どのような高低仕上がり正矢ｄ’になるかを把握し，こう上計画案の良否を検討できる。
【０２１０】
（長弦長への変換）
次に，弦長変換について説明する。任意の１０ｍ弦正矢値が与えられた時，これを他の弦長の正矢，もしくは矢への換算が必要となる場面は多い。このような状況において交差法行列Ｔ−１を用いた演算は有用である。
【０２１１】
弦長変換が必要となる場面の１つ目は，１０ｍ弦正矢値の２０ｍ又は４０ｍ弦など長波長弦正矢への変換である。従来から，幾何学的に導出された倍弦長公式が知られている。これを交差法行列Ｔ−１を用いて導出する。
【０２１２】
変換元の１０ｍ弦の任意のｎ次元ベクトルをｍ１０とし，実形状ｙは，移動量ｇの逆符号であるので，次式で求められる。
【０２１３】
【数４３】
0006307211.tif 000044
【０２１４】
２０ｍ弦変換行列Ｔ２０は，実形状ｙが５［ｍ］の成分間隔で与えられることから，以下のように定義される。
【０２１５】
【数４４】
0006307211.tif 000045
【０２１６】
２０ｍ弦正矢法で実形状ｙを測定した時の測定正矢をｍ２０とすれば，ｍ２０は，次式で求められる。
【０２１７】
【数４５】
0006307211.tif 000046
【０２１８】
ここで，Ｃ２０＝Ｔ２０Ｔ−１と定義し，計算すれば，次式が得られる。
【０２１９】
【数４６】
0006307211.tif 000047
【０２２０】
Ｃ２０の第２行目から第ｎ−１行目に，幾何学的に導かれる従来の倍弦長公式で用いる係数と一致する行列成分（１，２，１）が出現する。すなわち，交差法行列Ｔ−１を用いることによっても倍長弦公式を導出することができる。
【０２２１】
（直流の定常波分解）
次に，直流の分解について説明する。離散フーリエ変換では，直流（一定値）を正弦波に分解することはできない。これに対して，行列スペクトル分解では，固有空間行列Ｓｉを用いることで，任意のｎ次元ベクトルをｎ個の定常波に分解することができるので（数式４１），直流（ｎ個の一定値）をｎ個の定常波に分解することができる。
【０２２２】
図１４（ａ）（ｂ）は，直流の定常波分解を，データの数がｎ＝３１個の場合について示す。図１４（ａ）の上側のデータは，変換対象の直流入力値である。そのデータを固有空間行列Ｓｉを用いて分解すると，図１４（ｂ）に示すような，ｎ＝３１個の定常波が得られる。その定常波を再合成すると，図１４（ａ）の下側のデータが得られる。その再合成されたデータの入力値（すなわち正解）との差は，最大７．９６×１０−１２であり，実質的に０である。なお，図１４（ａ）において，再合成した値は，見やすいように，符号を反転している。
【０２２３】
（ＭＴＴに用いるＹ修正への変換）
直流入力値に対しても定常波分解を行えるＴ−１の特性を利用することで，曲線全域の曲がり具合を含んだ実形状ｙが，測定正矢ｍ１０を用いて，数式４３で得られる。図１５に示すように，ＭＴＴによる正矢の測定では，弦が１０［ｍ］とは限らず，測定位置が弦中央とは限らない。例えば，図１５において，ａ＝８．７５［ｍ］，ｂ＝３．７５［ｍ］，データサンプリング間隔Ｐ＝１．２５［ｍ］である。数式４３にＭＴＴの弦配置から作成されるＭＴＴ矢変換行列（図１６）を用いれば，任意の１０ｍ弦正矢で与えられる線形へのＭＴＴのＹ修正ベクトルｈｙが数式４７により計算できる。
【０２２４】
【数４７】
0006307211.tif 000048
【０２２５】
ここに，ｙａｄｊは，数式４８で表される。Ｆｓｐｌは，３次元スプライン行列である。
【０２２６】
【数４８】
0006307211.tif 000049
【０２２７】
なお，数式４３より得られる５［ｍ］間隔の実形状ｙは，レールやまくら木といった軌道構造の剛性を考慮し，スプライン関数（桜井明，吉村和美，高山文雄著「パソコンによるスプライン関数−データ解析／ＣＧ／微分方程式」Ｐ１〜６０東京電気大学出版社  １９８８年１１月  参照）を用いて，５［ｍ］間を補間した実形状ｙａｄｊに変換を行いＴｍｔｔの成分間隔と一致させて用いている。
【０２２８】
この変換は，移動制限や不動点などで，計画正矢が一定範囲内での変動を許容するような場合のＭＴＴライニング作業の精度向上に大変有効である。不動箇所の１０ｍ弦設計正矢に応じた，ＭＴＴ弦でのＹ修正値が得られることから，従来のマニュアル操作（勘）に頼っていた不動点近傍でのライニング作業の自動化・標準化が可能となる。
【０２２９】
（交差法の理論化と工学的メリットのまとめ）
以上のように交差法は，同法をベクトルの一次変換，数式２４で理論的に再定義することにより，第１に，対象区間以外のデータが不要であり（最少サンプリング），第２に，軌道の連続性が保障されるという，２つの利点を持つ簡易かつ高精度の定常波分解機能が内在していることが理論的に明らかになった。本願発明の発明者が発見した行列スペクトル分解を用いた交差法は，最少サンプリングでの曲線基本線形の分離，最少サンプリングでの修繕対象波長の選択，任意の弦長・弦配置での測定値への変換など様々な応用を，個人差なく行うことができる，多くの工学的メリットを持つ移動量演算手法であるといえる。
【０２３０】
（測定誤差の挙動）
ここまでの説明は，交差法の演算としての基本機能であり，測定正矢ベクトルｍの誤差を考慮していない。しかし，実際の測定正矢ベクトルｍには，必ず測定誤差が含まれる。この測定誤差の影響が，交差法の理論上最大の課題であった。
【０２３１】
測定ベクトルｍの中に含まれる真値のベクトルをｍｒ，測定誤差成分のベクトルをｍｅとすれば，ｍ＝ｍｒ＋ｍｅであり，交差法行列Ｔ−１による誤差の挙動は，数式２４の変形から，以下のように表される。
【０２３２】
【数４９】
0006307211.tif 000050
【０２３３】
ここで，ｇｒ＝Ｔ−１（ｄ−ｍｒ）は，移動量ｇの真値成分であり，ｇｅ＝−Ｔ−１（ｍｅ）は，移動量ｇの誤差成分である。但し，測定正矢真値ｍｒは，知り得ることが出来ないため，誤差の挙動は，次の数式５０を用いておこなっていく。ここで，測定誤差成分ｍｅは，平均＝０［ｍｍ］，標準偏差σ［ｍｍ］のガウス分布に従う白色ノイズスペクトルを有すると仮定する。
【０２３４】
【数５０】
0006307211.tif 000051
【０２３５】
以下，ｇｅを「誤差波」と表記する。
【０２３６】
交差法行列Ｔ−１は，対称行列であるので，その測定誤差の影響は，条件数κによって評価される（幸谷智紀著「ソフトウエアとしての数値計算」ｐ９１〜１０２  ２００６年２月  http://na-inet.jp/nasoft/chap08.pdf  参照）。条件数κは，最大固有値λ１と最小固有値λｎの比である（次式）。
【０２３７】
【数５１】
0006307211.tif 000052
【０２３８】
数式３７より，交差法行列Ｔ−１の固有値λｉは，波長Λｉ＝２ｐ（ｎ＋１）／ｉ定常波の復元倍率（１／ｈΛｉ）を意味するので（次元数ｎ，測定間隔ｐ［ｍ］），条件数κを計算する固有値（最大固有値λ１と最小固有値λｎ）は，次のようになる。
【０２３９】
λ１：第１定常波  Λ１＝２ｐ（ｎ＋１）／１の復元倍率
【０２４０】
λｎ：第ｎ定常波  Λｎ＝２ｐ（ｎ＋１）／ｎの復元倍率
【０２４１】
このため，次元数ｎの増大とともに，数式５１で定義される条件数κは急増することになる。条件数κの計算結果を図１７に示す。次元数ｎの増大とともに，条件数κは指数関数的に増大する。このような条件数の急増を示す行列は，悪条件とよばれる，測定誤差の影響が非常に大きく生ずる行列である。交差法行列Ｔ−１は，その典型的なタイプの行列であるといえる。
【０２４２】
次に，誤差波ｇｅの統計的な最大値推定行う。これは数式５０を用いたｍｅからｇｅへの一次変換による繰り返し数値実験を，以下の条件で行ったものである。
【０２４３】
入力ベクトルｍｅ：平均＝０［ｍｍ］，標準偏差σ＝０．３［ｍｍ］の白色ノイズベクトル。この値は，現行の軌道検測車による検測精度に基づいている。
【０２４４】
次元数ｎ：１０〜２５５。この値は，通常の曲線整備延長の４５［ｍ］〜１２７０［ｍ］に対応する。
【０２４５】
試行回数は，１５０００回／各次元。
【０２４６】
目的とする実験データは，//ｇｅ//（最大ノルム）を１５０００回出現させ，その平均と標準偏差を各次元別に求める。
【０２４７】
上記の条件での数値実験より得られた//ｇｅ//最大ノルムの平均と標準偏差より推定される誤差波ｇｅ最大値と，その出現確率（以下，「危険率％」と記す）を図１８に示す。
【０２４８】
入力ベクトルｍｅが，検測誤差σ＝０．３［ｍｍ］程度と仮定しても，ｎ＝２５５では，交差法行列Ｔ−１による変換後には，約７００［ｍｍ］の最大値を持つ誤差波ｇｅが１％の危険率で発生する。誤差波がｇｅ≒０［ｍｍ］となって欲しいところであるが，この数値実験で再現された本事象が，過去より言われてきた交差法演算による測定誤差の重畳問題である。
【０２４９】
このような誤差重畳は，交差法行列Ｔ−１の特異値分解（以下，「ＳＶＤ］：Singular Value Decomposition）の手法を利用することにより，合理的な制御（低減）が行えることを説明する。先ず，ＳＶＤを利用し，誤差波の影響に一定の規則性があることを説明する。
【０２５０】
交差法行列Ｔ−１は，実対称行列であるので，特異値並びに特異ベクトルは固有値，固有ベクトルと一致し，そのまま計算に用いることができる（山本有作著「特異値分析とその応用」神戸大学大学院工学研究科ホームページ  名古屋大学講義資料  ２００９年５月  参照）。
【０２５１】
交差法行列Ｔ−１は，任意の入力ベクトルを定常波に分解する機能を有している（数式３２）。そのため，白色ノイズスペクトルｍｅに対して計算される誤差波ｇｅも次式のように，定常波に分解される。
【０２５２】
【数５２】
0006307211.tif 000053
【０２５３】
図１９（ａ）（ｂ）及び図２０（ａ）（ｂ）に示す通り，白色ノイズベクトルｍｅ（図１９（ａ）及び図２０（ａ））が，交差法行列Ｔ−１によってｎ個の定常波の重ね合わせ（図１９（ｂ）及び図２０（ｂ））として出力される。
【０２５４】
誤差波ｇｅを構成する各定常波の振幅は，固有値λｉの大きさに依存した波長ごとの偏りを持って出現する（数式５２）。その偏り度合は，交差法行列Ｔ−１の固有値を用いたＳＶＤ近似法（芦野隆一，萬代武史，守本  晃著「特異値分解とウエーブレットを使った画像処理」数理解析研究所講究録１５２９巻ｐ２８  ２００７．２６−４１  参照）により，以下のように数値化することができる。
【０２５５】
すなわち，全ての定常波成分を含む数式３２を用いて計算した誤差波ベクトル（−ｇｅ）（数式５２の符号反転）のノルム//ｇｅ//に対する，第１定常波から第ｒ定常波までを除去した場合の（これを，ランクｒまでの除去という）Ｔｒ−１＝λｒ＋１Ｓｒ＋１＋…＋λｎＳｎを用いて計算した誤差波ベクトル，−ｇｅｒ＝Ｔｒ−１ｍｅのノルム//ｇｅｒ//の比は，固有値を用いて，次式で計算される。
【０２５６】
【数５３】
0006307211.tif 000054
【０２５７】
この比は，相対誤差と呼ばれる指標である。ノルムは，ベクトルの大きさを示す指標であるので，相対誤差とは，（第１〜第ｒ定常波成分を除去した誤差波の最大値）／（全定常波成分を有する誤差波の最大値）を表す。ランク除去を行った場合に，元の誤差波の影響がどれだけ残っているのかを示す指標として用いることができる。したがって，以下，相対誤差を「残留率」として表記する。
【０２５８】
数式５３を用いて，ｎ＝５５５からｎ＝１１までの６種類の次元について，第１定常波から第５定常波までを除去した各残留率（数式５３）の計算をし，図２１に示す。
【０２５９】
計算結果によれば，残留率は，次元数ｎとは無関係に，除去する定常波のランク数に応じた同一値となる。
【０２６０】
また，次元数ｎとは無関係に，各定常波の第１定常波に対する振幅比率（λｉ／λ１）も一定となり，具体的には，表１の第５列に示した各数値となる。
【０２６１】
【表１】
0006307211.tif 000055
【０２６２】
交差法行列Ｔ−１は，僅かな誤差を重畳させるという，悪条件の典型的な行列である。しかし，表１からわかるように，交差法行列Ｔ−１において，誤差の重畳は発散として生じるのではなく，誤差影響は，常に長波長側５つの定常波（ランク５まで）に約９５％，特に第１定常波（基本振動）に７２％が集中するという，強い偏りを持って発生する性質があることを本願発明の発明者は明らかにすることができた。
【０２６３】
次に，前述した誤差影響を低減するために行う長波長の定常波の除去の軌道管理上の意味について説明する。各定常波の波長は数式３５により与えられるため，例えば，長波長側５定常波成分を取り除くとは，数式３５において，ｉ＝１〜５とする成分を除去することである。但し，定常波の波長は，次元数ｎによって変化するので（数式３５），これを計算した結果を表２に示す。
【０２６４】
【表２】
0006307211.tif 000056
【０２６５】
一例として，ｎ＝１００，ｐ＝５［ｍ］，除去ランク５（ｉ＝１〜５とする成分を除去）とした場合，最長波長は，ｉ＝６のものであるので，Λ６＝２×５×１０１／６≒１６８．３［ｍ］となる。この最長波長Λ６を超える波長成分（ｉ≦５）は，真値・誤差ともに除去される。
【０２６６】
ところで，現在の鉄道車両の固有振動数は一般的に１〜２［Ｈｚ］付近にあることが知られている。このため，例えば，走行速度が３００［ｋｍ／ｈ］の場合，列車に共振を生じさせる軌道狂いの波長Λ［ｍ］は，４１．７〜８３．３［ｍ］となる。軌道管理の対象とする波長の上限（以下，これを「Λｄｍ」と表記する）をΛｄｍ＝１００［ｍ］とすれば，長波長側５定常波成分を取り除いても，軌道管理の対象とする波長成分を除去しない。
【０２６７】
このように，長波長側５定常波成分を除去する行為には，測定誤差の影響低減だけでなく，列車の振動への影響が少ない波長成分をカットするという点において，軌道管理上の意味を持つ。また，これらの波長成分を除去しても，それぞれが定常波であることより，計算される移動量の前後の軌道との連続性は，引き続き保障されるという工学上のメリットを享受することができる。
【０２６８】
上述の測定誤差の低減では，発生する誤差影響のうち何％が除去できるかという相対的な評価を説明した（表１及び表２）。実際の場面では，「計算された最大移動量ｘ［ｍｍ］のうち，何ｍｍ程度，誤差波の影響が残るのか」という絶対値を知ることも必要である。以降，このような絶対誤差について説明する。
【０２６９】
測定延長を延ばす，すなわち，測点数ｎを大きくすることにより，Λｄｍに該当する除去ランクｒは大きくなるので（表２），誤差影響の残留率（％）を低減することができる。各パラメータの関係は，数式３５の変形から，次の不等式で与えられる。
【０２７０】
【数５４】
0006307211.tif 000057
【０２７１】
一例として，Λｄｍ＝１００［ｍ］を管理目標波長（軌道管理の対象とする波長の上限）とし，測定延長を，測点数ｎ＝２５５（測定間隔ｐ＝５［ｍ］，延長１２７０［ｍ］）と伸ばした場合，除去するランクｒは，数式５４より，ｒ≦２５．６，すなわち，ｒ＝１からｒ＝２５までと計算される。この場合の残留率（％）は，数式５３より，約０．４４％となり，十分小さくできる。
【０２７２】
一方で，交差法行列Ｔ−１によって計算される誤差波ベクトルｇｅ（数式５２）のノルム//ｇｅ//の最大値は，１５０００回の数値実験のとおり（図１８），次元数ｎの増加に伴い，図２２のように増大する。
【０２７３】
このため，測定延長（＝次元数ｎ）を延ばし，軌道管理の対象とする波長の上限Λｄｍに該当するランクｒ（数式５４）を大きくとり，残留率（＝相対誤差）を減少させても数式５３より計算される//ｇｅｒ//は，ほぼ一定値となる。以下，この//ｇｅｒ//を，「Λｄｍにおけるｇｅ絶対値」と表現する。
【０２７４】
検測精度σ＝０．３［ｍｍ］，危険率１％とした，Λｄｍにおけるｇｅ絶対値（//ｇｅｒ//）の計算結果を表３に示す。
【０２７５】
【表３】
0006307211.tif 000058
【０２７６】
Λｄｍ＝１００［ｍ］とした場合，検測精度が同一ならば，測点数ｎに関わらず３［ｍｍ］のｇｅ絶対値の出現を１％の危険率で見込まなければならないことが読み取れる。なお，最上段の値は，測点数ｎ毎の//ｇｅ//最大値を示す。
【０２７７】
次に，検測精度を変化させ，//ｇｅ//最大値を先と同様に１５０００回の数値実験から求め，Λｄｍから定まる残留率と掛け合わせる数式５３により，表４が得られる。
【０２７８】
【表４】
0006307211.tif 000059
【０２７９】
交差法の演算による誤差影響は，用いたデータの検測精度と管理対象とする波長の上限Λｄｍによって統計的に推定することが可能となる。また，この数値は，交差法による移動量計算を行った場合の出力結果におけるＳ／Ｎ分離境界を示す値として用いることも出来る。
【０２８０】
上述したことをまとめると，交差法使用時に発生する誤差波ｇｅの挙動は，以下のとおりである。
【０２８１】
測定誤差の影響は，測点数ｎに関わらず，常に長波長側の５つの定常波に全体の９５％が，特に第１定常波に７２％が集中発生する。
【０２８２】
出現する 誤差波ｇｅの絶対値（ｍｍ）は，軌道管理上要求される長波長側管理波長Λｄｍ［ｍ］と測定系の検測精度σ（ｍｍ）により統計的に推定できる。
【０２８３】
誤差波ｇｅも定常波の重ね合わせとして出現するため，不要な波長の除去を行っても，出力される移動量の前後軌道との連続性は保障される。
【０２８４】
このような誤差波ｇｅの挙動の特徴を利用すれば，交差法で計算された移動量が誤差の影響なく使用できるか否かは，出力された移動量の大きさ（∝現状軌道狂いの悪さ度合い）と表４に示したＳ/Ｎ分離の境界となる誤差波ｇｅ絶対値を用いて判定することができる。具体的な検討事例を図２３（ａ）（ｂ）及び図２４（ａ）（ｂ）を参照して示す。
【０２８５】
図２３（ａ）（ｂ）に示される事例では，出力された移動量は，Λｄｍ＝１００［ｍ］における誤差波ｇｅ以下となり，誤差波と事象値との区分は困難であり，施工計画としては“要検討”となる。
【０２８６】
一方，図２４（ａ）（ｂ）に示される事例では，出力された移動量は，Λｄｍ＝１００［ｍ］における誤差波ｇｅを大きく上回っており，計画を採用しても少なくとも誤差波ｇｅ振幅ラインまでは改善が期待できるため，“使用可”と判断される。
【０２８７】
但し，実際の保守投入を行うか否かの判断は，誤差波の影響を受けるか否かよりも，現状の軌道状態から一定以上の改善が期待できるか否かで判断される。そのために，表４の数値に“改善の期待値”を乗じて求めた値を図２３（ｂ）及び図２４（ｂ）のグラフ中に示したものが「保守投入の判定線」（以下，「判定線」）である。ここでは，この値として２倍を採用している。これは，保守投入によって，理論的には誤差波の影響を考慮しても現状の半分までの改善が期待できることを意味している。
【０２８８】
また，事前に現行軌道のパワースペクトル（Power Spectrum Density，以下，ＰＳＤ（Ｒ）と表記する．）が既知の場合は，表４の数値と安全率から算定される判定線のパワースペクトル（以下，これをＰＳＤ（ｅ）と表記する）を計算し，これと直接比較をおこなうことにより，ＰＳＤ（Ｒ）＞ＰＳＤ（ｅ）の使用可能な波長領域を判定することができる。
【０２８９】
（交差法の理論的再定義のまとめ）
これまで述べたとおり，本願発明の発明者は，交差法を，正矢差ベクトル（ｄ−ｍ）と移動量ベクトルｇとの２つのベクトル間の一次変換（数式２４）における固有値問題（数式２７）と捉え，再評価を行った。その結果，交差法には，以下の機能及び特性があるこことを明らかになった。
【０２９０】
（１）交差法を表わす実対称行列Ｔ−１及び正矢法を表わす実対称行列Ｔには，簡易かつ高精度な定常波分解機能と正矢の復元倍率，および検出倍率と一致する固有値による増幅機能が内在している（数式３８，数式３９）。
【０２９１】
（２）測定誤差により出現する誤差波ｇｅは，測定数ｎの増加と伴に大きさが急増するものの（図１８），ｎ個の定常波の重ね合わせとして行列Ｔ−１の固有値と関連付けられた偏りを持って出現する（数式５２）。
【０２９２】
（３）出現する誤差波ｇｅ（定常波）は，測定延長に関わらず，常に長波長側の５定常波に誤差影響全体の９５％が，特に第１定常波には７２％が集中する（表１）。
【０２９３】
（４）出現する誤差波の大きさ（絶対値）は，正矢測定時の検測精度と管理対象とする軌道狂い波長の２つをパラメータとして統計的に推定できる（表４）。
【０２９４】
（５）修繕対象とする区間の軌道状態と（４）で推定される誤差波絶対値との比較により，交差法使用の可否が理論的に判断できる。
【０２９５】
上記の機能及び特性を活用することにより，修繕対象区間のみの正矢測定データを使用し，下記の効果が得られる。
【０２９６】
軌道狂いと線形の分離がシンプルに行える。
【０２９７】
軌道狂いの波長選別が行える。
【０２９８】
移動量計算結果に個人差を生じない
【０２９９】
不動点や移動制限などへ柔軟に対応できる。
【０３００】
ＭＴＴ（マルチプルタイタンパ）補正用のＹ修正値などへの変換が行える。
【０３０１】
上述したように，本願発明の発明者は，交差法を理論的に再定義し，新たな知見を得た。そして，発明者は，その新たな知見に基づき，本願発明に至った。
【０３０２】
（第１の実施形態）
本発明の第１の実施形態に係る測定データの定常波成分抽出システム及び測定データの定常波成分抽出方法を図２５を参照して説明する。定常波成分抽出システム１は，測定データから定常波成分を抽出するものであり，図２５に示されるように，入力部２と，処理部３と，出力部４とを備える。入力部２は，測定データの入力を受ける。処理部３は，入力部２から入力された測定データを処理する。出力部４は，処理部３が抽出した定常波成分を出力する。
【０３０３】
定常波成分抽出システム１は，ハードウェアとしてのコンピュータと，そのコンピュータで実行されるソフトウェアとを有し，本発明の定常波成分抽出方法を実行する。本実施形態では，コンピュータとしてノート型パーソナルコンピュータ（ノートＰＣ）を用いている。入力部２は，コンピュータの入力装置であり，例えば，キーボード及びマウスである。処理部３は，コンピュータの処理装置であり，コンピュータプログラムを実行するＣＰＵと，コンピュータプログラムやデータを記憶するメモリ等とを有する。本実施形態では，出力部４としてノートＰＣのディスプレイ及びプリンタを用いている。定常波成分抽出システム１を構成するコンピュータは，ノートＰＣに限定されず，例えば，マルチプルタイタンパ（ＭＴＴ）に搭載されたコンピュータであってもよい。
【０３０４】
入力部２に入力される測定データは，所定の空間間隔又は時間間隔（測定間隔）で測定（サンプリング）したデータである。測定対象の量は，定量的に測定可能であればよく，鉄道の軌道における正矢値に限定されず，例えば，電気回路における電圧や電流等の物理量であってもよい。測定データの個数をｎ個とすると，測定データは，ｎ次元のベクトルで表される。そのｎ次元のベクトルをｘとする。
【０３０５】
処理部３は，行列算出ステップと，抽出ステップとを実行する。その行列算出ステップにおいて，ｎ次元の固有空間行列Ｓｉ（ｉは１以上ｎ以下の整数）を算出する。その固有空間行列Ｓｉの（ｉ，ｋ）成分Ｓｉ，（ｊ，ｋ）は，次式で算出される。この数式は，既に説明した数式３１である。
【０３０６】
Ｓｉ，（ｊ，ｋ）＝（２／（ｎ＋１））×ｓｉｎ（ｉπｊ／（ｎ＋１））×ｓｉｎ（ｉπｋ／（ｎ＋１））
【０３０７】
抽出ステップにおいて，処理部３は，固有空間行列Ｓｉとベクトルｘとの積を算出して，測定データからｉ番目に長い定常波成分Ｓｉｘを抽出する。そのｉ番目に長い定常波成分の波長Λｉは，Λｉ＝２ｐ（ｎ＋１）／ｉである。この数式は，既に説明した数式３５である。
【０３０８】
第１の実施形態に係る測定データの定常波成分抽出システム及び測定データの定常波成分抽出方法によれば，ｎ個の測定データから１番目に長い定常波成分からｎ番目に長い定常波成分までのｎ個の定常波成分を抽出することができる。抽出される定常波成分は，定常波であるので，位相差が無いという離散フーリエ変換と比べて有利な特徴を有する。抽出対象の測定データは，鉄道における曲線整正のためのデータに限られない。
【０３０９】
（第２の実施形態）
本願発明の第２の実施形態に係る測定データの定常波分解方法について説明する。この定常波分解方法では，第１の実施形態の定常波成分抽出システム１の出力を用いて，ｎ個の測定データをｎ個の定常波成分の和に分解する。この定常波分解方法において，測定データｘは，ｉ番目に長い定常波成分Ｓｉｘのｉ＝１からｉ＝ｎまでの和である。この和は，既に説明した数式４１である。ｉ番目に長い定常波成分Ｓｉｘは，定常波成分抽出システム１の出力であり，すなわち，本発明の測定データの定常波成分抽出方法で得られる。
【０３１０】
第２の実施形態に係る測定データの定常波分解方法によれば，離散フーリエ変換を用いずに，測定データのスペクトル分解をすることができる。スペクトル分解された成分は，直流成分（一定値の成分）が０であるという離散フーリエ変換と比べて有利な特徴を有する。
【０３１１】
（第３の実施形態）
本発明の第３の実施形態に係る移動量算出システム及び移動量算出方法を図２５を流用して説明する。この移動量算出システムは，鉄道の軌道での所定間隔の複数測点における設計正矢及び測定正矢から移動量を算出するものである。移動量算出システムは，第１の実施形態と同様のハードウェアを有し，ソフトウェアが相違する。第１の実施形態と同等の箇所には同じ符号を付している。以下の説明において，第１の実施形態と同等の箇所の詳細な説明は省略する。図２５に示されるように，移動量算出システムは，入力部２と，処理部３と，出力部４とを備える。入力部２は，設計正矢及び測定正矢の入力を受ける。処理部３は，入力部２から入力された設計正矢及び測定正矢を処理する。出力部４は，処理部３が算出した移動量を出力する。
【０３１２】
移動量算出システムは，ハードウェアとしてのコンピュータと，そのコンピュータで実行されるソフトウェアとを有し，本発明の移動量算出方法を実行する。
【０３１３】
設計正矢は，各測点において定められた正矢値であり，ｎ次元のベクトルｄで表される。測定正矢は，各測点で測定される正矢値であり，ｎ次元のベクトルｍで表される。移動量は，前記測定正矢を設計正矢に修正するための修正値であり，ｎ次元のベクトルｇで表される。
【０３１４】
処理部３は，交差法行列算出ステップと，移動量算出ステップとを実行する。処理部３は，交差法行列算出ステップにおいて，ｎ次元の交差法行列Ｔ−１を算出する。この交差法行列算出ステップにおいて，交差法行列Ｔ−１の（ｉ，ｊ）成分Ｔ−１（ｉ，ｊ）は，１≦ｉ≦ｊ≦ｎのとき，Ｔ−１（ｉ，ｊ）＝２／（ｎ＋１）×ｉ（ｎ−ｊ＋１）で算出され，１≦ｊ＜ｉ≦ｎのとき，Ｔ−１（ｉ，ｊ）＝２／（ｎ＋１）×ｊ（ｎ−ｉ＋１）で算出される。この数式は，既に説明した数式２３である。
【０３１５】
処理部３は，移動量算出ステップにおいて，ｇ＝Ｔ−１（ｄ−ｍ）によって移動量を算出する。この数式は，既に説明した数式２４である。
【０３１６】
ここで，数式２３で示す逆行列成分の規則性の証明を説明する。
【０３１７】
定義１：Ｔｎをｎ×ｎの下記の階差行列とする。また，|Ｔｎ|でＴｎの行列式を表すことにする。
【０３１８】
【数５５】
0006307211.tif 000060
【０３１９】
補助定理２：|Ｔｎ|に対して以下が成立する。
【０３２０】
【数５６】
0006307211.tif 000061
【０３２１】
補助定理２の証明：Ｔｎ＋１の行列式の値と，Ｔｎ＋１の左端の列に注目すれば，掃き出し法により以下のように計算できる。
【０３２２】
【数５７】
0006307211.tif 000062
【０３２３】
【数５８】
0006307211.tif 000063
【０３２４】
また，明らかに以下が成立する。
【０３２５】
【数５９】
0006307211.tif 000064
【０３２６】
【数６０】
0006307211.tif 000065
【０３２７】
漸化式の一般項は，次式のように求められる。（証明終）
【０３２８】
【数６１】
0006307211.tif 000066
【０３２９】
定理３：Ｔｎの逆行列をＴｎ−１＝（ａｉｊ）と書くことにする。このとき，以下が成立する。
【０３３０】
（１）１≦ｉ≦ｊ≦ｎのとき
【０３３１】
【数６２】
0006307211.tif 000067
【０３３２】
（２）１≦ｊ＜ｉ≦ｎのとき
【０３３３】
【数６３】
0006307211.tif 000068
【０３３４】
定理３の証明：ここで上記（１）の場合だけを求める。（２）の場合は，（１）の場合と全く同様に証明できる。
【０３３５】
Ｔｎの逆行列を求めるために，余因子を計算する必要がある。１≦ｉ＜ｊ≦ｎと仮定する。このとき，Ｔｎのｉ，ｊ余因子Δｉｊを考えると，これは，以下の行列の行列式と同じ形となる。この行列は，ｉ行目とｊ行目を除去した（ｎ−１）×（ｎ−１）行列である。
【０３３６】
【数６４】
0006307211.tif 000069
【０３３７】
上の実線部分は，除去されたｉ行目であり，右の実線は，ｊ列目である。ｉ行目より左側，また，ｊ行目より左側は，形が元のままである。したがって，Ｔｉ−ｊは，（ｎ−ｉ）×（ｎ−ｉ）の階差行列である。同様に，Ｔｎ−ｊは，（ｎ−ｊ）×（ｎ−ｊ）の階差行列である。その真ん中部分にあたるＸｊ−ｉは，上に一つ詰めているが，左には詰めていない。つまり，Ｘｊ−ｉは，（ｊ−ｉ）×（ｊ−ｉ）の三角行列である。
【０３３８】
【数６５】
0006307211.tif 000070
【０３３９】
つまり，Ｘｊ−ｉは，Ｔｊ−ｉが一行だけ上にずれた形をしている。これは，ｉ行目を除去したことによる当然の結果である。なお，三角行列の行列式は，対角成分の掛け算となる。
【０３４０】
逆行列Ｔｎ−１＝（ａｉｊ）とすると，その成分ａｉｊは，次式のように求められる。（証明終）
【０３４１】
【数６６】
0006307211.tif 000071
【０３４２】
結論４：Ｔｎ−１は，二軸対称行列となる。すなわち，以下が成立する。
【０３４３】
ａｉｊ＝ａｊｉ
【０３４４】
ａｉ，ｎ−ｊ＋１＝ａｊ，ｎ−ｉ＋１
【０３４５】
Ｔｎ−１は，２つの対称軸を持つ点対称行列となり，全体の成分を（ｎ＋１）／２倍することで，次の規則性を持つ。
【０３４６】
（１）１≦ｉ≦ｊ≦ｎのとき，ａｉｊ＝ｉ（ｎ−ｊ＋１）
【０３４７】
（２）１≦ｊ＜ｉ≦ｎのとき，ａｉｊ＝ｊ（ｎ−ｉ＋１）  （系証明終）
【０３４８】
第３の実施形態に係る移動量算出システム及び移動量算出方法によれば，掃き出し法等の従来の逆行列算出手法を用いずに逆行列を算出するので，測点数が増加しても，算出が容易である。
【０３４９】
（第４の実施形態）
本発明の第４の実施形態に係る移動量の定常波成分抽出システム及び移動量の定常波成分抽出方法を図２５を流用して説明する。この定常波成分抽出システムは，鉄道の軌道での所定間隔の複数測点における設計正矢及び測定正矢から移動量の定常波成分を抽出するものである。定常波成分抽出システムは，第１の実施形態と同様のハードウェアを有し，ソフトウェアが相違する。第１の実施形態と同等の箇所には同じ符号を付している。以下の説明において，第１の実施形態と同等の箇所の詳細な説明は省略する。図２５に示されるように，移動量の定常波成分抽出システムは，入力部２と，処理部３と，出力部４とを備える。入力部２は，設計正矢及び測定正矢の入力を受ける。処理部３は，入力部２から入力された設計正矢及び測定正矢を処理する。出力部４は，処理部３が抽出した移動量の定常波成分を出力する。
【０３５０】
移動量の定常波成分抽出システムは，ハードウェアとしてのコンピュータと，そのコンピュータで実行されるソフトウェアとを有し，本発明の移動量の定常波成分抽出方法を実行する。
【０３５１】
設計正矢は，各測点において定められた正矢値であり，ｎ次元のベクトルｄで表される。測定正矢は，各測点で測定される正矢値であり，ｎ次元のベクトルｍで表される。移動量は，前記測定正矢を設計正矢に修正するための修正値であり，ｎ次元のベクトルｇで表される。
【０３５２】
処理部３は，行列及び固有値算出ステップと，抽出ステップとを実行する。処理部３は，行列及び固有値算出ステップにおいて，ｎ次元の固有空間行列Ｓｉ（ｉは１以上ｎ以下の整数）とその固有値λｉを算出する。この行列及び固有値算出ステップにおいて，固有空間行列Ｓｉの（ｊ，ｋ）成分Ｓｉ，（ｊ，ｋ）は，次式で算出される。この数式は，既に説明した数式３１である。
【０３５３】
Ｓｉ，（ｊ，ｋ）＝（２／（ｎ＋１））×ｓｉｎ（ｉπｊ／（ｎ＋１））×ｓｉｎ（ｉπｋ／（ｎ＋１））
【０３５４】
行列及び固有値算出ステップにおいて，固有値λｉは，次式で算出される。この数式は，既に説明した数式２９である。
【０３５５】
λｉ＝１／（１−ｃｏｓ（ｉπ／（ｎ＋１）））
【０３５６】
抽出ステップにおいて，処理部３は，固有空間行列Ｓｉとその固有値λｉと正矢差（ｄ−ｍ）との積λｉＳｉ（ｄ−ｍ）を算出して，ｉ番目に長い定常波成分λｉＳｉｍを抽出する。この数式は，既に説明した数式２４に数式３２を代入して得られ数式の第ｉ項であるる。
【０３５７】
ｉ番目に長い前記定常波成分の波長Λｉは，Λｉ＝２ｐ（ｎ＋１）／ｉである。この数式は，既に説明した数式３５である。
【０３５８】
第４の実施形態に係る移動量の定常波成分抽出システム及び移動量の定常波成分抽出方法によれば，１番目に長い定常波成分からｎ番目に長い定常波成分までの移動量の定常波成分を抽出することができる。抽出される定常波成分は，定常波であるので，位相差が無いという離散フーリエ変換と比べて有利な特徴を有する。
【０３５９】
（第５の実施形態）
本願発明の第５の実施形態に係る移動量の定常波分解方法について説明する。この移動量の定常波分解方法では，第４の実施形態の移動量の定常波成分抽出システムの出力を用いて，ｎ個の移動量をｎ個の定常波成分の和に分解する。この移動量の定常波分解方法において，移動量ｇは，ｉ番目に長い定常波成分λｉＳｉ（ｄ−ｍ）のｉ＝１からｉ＝ｎまでの和である。この和は，既に説明した既に説明した数式２４に数式３２を代入して得られる。ｉ番目に長い定常波成分λｉＳｉ（ｄ−ｍ）は，移動量の定常波成分抽出システムの出力であり，すなわち，本発明の移動量の定常波成分抽出方法で得られる。
【０３６０】
第５の実施形態に係る移動量の定常波分解方法によれば，離散フーリエ変換を用いずに，移動量のスペクトル分解をすることができる。スペクトル分解された成分は，直流成分（一定値の成分）が０であるという離散フーリエ変換と比べて有利な特徴を有する。
【０３６１】
（第６の実施形態）
本願発明の第６の実施形態に係る移動量の誤差低減方法について説明する。この移動量の誤差低減方法では，第５の実施形態の移動量の定常波分解方法を用いて，移動量に含まれる誤差を低減する。この移動量の誤差低減方法において，定常波成分の和に分解された移動量から，１番目からｒ番目までに長い定常波成分（１≦ｒ＜ｎ）を除去する。
【０３６２】
この移動量の誤差低減方法によって，移動量に含まれる誤差低減されることは，既に説明した数式５３及び図２１に表されている。
【０３６３】
この移動量の誤差低減方法において，１番目からｒ番目までに長い前記定常波成分（１≦ｒ＜ｎ）が除去され，そのｒは，例えば，１乃至５の整数から選択される。
【０３６４】
表１に示されるように，ｒ＝１のとき，すなわち，最も長い定常波成分（第１定常波）のみ除去した場合，誤差の除去率は，７２．２％と高い値となる。ｒを大きくすると，御座の除去率はさらに高くなる。ｒ＝２のとき，すなわち，１番目から２番目までに長い定常波成分を除去した場合，誤差の除去率は，８６．２％となる。ｒ＝３のとき，すなわち，１番目から３番目までに長い定常波成分を除去した場合，誤差の除去率は，９１．４％となる。ｒ＝４のとき，すなわち，１番目から４番目までに長い定常波成分を除去した場合，誤差の除去率は，９３．９％となる。ｒ＝６のとき，すなわち，１番目から６番目までに長い定常波成分を除去した場合，誤差の除去率は，９５．４％となる。
【０３６５】
第６の実施形態に係る移動量の誤差低減方法によれば，フィルタを用いずに移動量の誤差を低減することができるので，フィルタによる緩和曲線の正矢形状の変化が生じない。
【０３６６】
なお，本発明は，上記の実施形態の構成に限られず，発明の要旨を変更しない範囲で種々の変形が可能である。例えば，第３乃至第６の実施形態において，鉄道は，在来線であっても高速鉄道であってもよい。 
【符号の説明】
【０３６７】
１  定常波成分抽出システム（移動量算出システム，移動量の定常波成分抽出システム）
２  入力部
３  処理部
４  出力部
ｄ  設計正矢
ｇ  移動量
ｍ  測定正矢
ｎ  次元数（測定データの個数）
Ｓｉ  固有空間行列
λ  行列の固有値
Λ  波長
ｘ  測定データ
【図１】
0006307211.tif 000072
【図２】
0006307211.tif 000073
【図３】
0006307211.tif 000074
【図４】
0006307211.tif 000075
【図５】
0006307211.tif 000076
【図６】
0006307211.tif 000077
【図７】
0006307211.tif 000078
【図８】
0006307211.tif 000079
【図９】
0006307211.tif 000080
【図１０】
0006307211.tif 000081
【図１１】
0006307211.tif 000082
【図１２】
0006307211.tif 000083
【図１３】
0006307211.tif 000084
【図１４】
0006307211.tif 000085
【図１５】
0006307211.tif 000086
【図１６】
0006307211.tif 000087
【図１７】
0006307211.tif 000088
【図１８】
0006307211.tif 000089
【図１９】
0006307211.tif 000090
【図２０】
0006307211.tif 000091
【図２１】
0006307211.tif 000092
【図２２】
0006307211.tif 000093
【図２３】
0006307211.tif 000094
【図２４】
0006307211.tif 000095
【図２５】
0006307211.tif 000096
【図２６】
0006307211.tif 000097
【図２７】
0006307211.tif 000098
【図２８】
0006307211.tif 000099
【図２９】
0006307211.tif 000100
【図３０】
0006307211.tif 000101
【図３１】
0006307211.tif 000102