(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
デジタル目標画像内のモデル画像の幾何学的オブジェクトを写像する方法において、
前記モデル画像内の前記幾何学的オブジェクトの複数個のアンカーポイント部分を選択する過程と、
目標アンカーポイントを得るように前記目標画像内に前記アンカーポイントを手動で指示する過程と、
前記アンカーポイント及び対応する目標アンカーポイント間の一致に基づいて線形幾何学的変換マトリックスを計算する過程と、
変換、計測、回転、シヤーリング及び投射から選ばれた基本的な幾何学的操作に関連したマトリックス中の前記線形幾何学的変換マトリックスを分析する過程と、
選ばれた又は小さな要素と関連したマトリックスをアイデンティティーマトリックスに平均化することによって、選ばれた又は小さな要素と関連した少なくとも１つの基本的な幾何学的操作をキャンセルする過程と、
基本的な操作のマトリックスの結果的な順序を変換マトリックスに再構成する過程と、
前記目標画像内の対応する指示された位置に前記モデル幾何学的オブジェクトを指示するように、結果的な変換マトリックスに相当する幾何学的変換をモデル幾何学的オブジェクトに適用する過程と、
を具備することを特徴とする方法。
【請求項２】
前記モデルが、アンカーオブジェクトを有するモデル画像として表示されることを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項３】
アンカーオブジェクトが複数の点であることを特徴とする請求項１又は２に記載の方法。
【請求項４】
アンカーオブジェクトが複数の線であることを特徴とする請求項１乃至３のいずれか１項に記載の方法。
【請求項５】
前記幾何学的オブジェクトが前記モデル画像内に描かれることを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項６】
前記幾何学的オブジェクトが前記アンカーオブジェクトに対してエンコードされることを特徴とする請求項５に記載の方法。
【請求項７】
前記アンカーオブジェクト及び／又は前記幾何学的オブジェクトが解剖構造的実体を表すことを特徴とする請求項１乃至５のいずれか１項に記載の方法。
【請求項８】
前記目標画像が医学的画像であることを特徴とする請求項１乃至６のいずれか１項に記載の方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は幾何学的オブジェクト（geometric objects）をデジタルの医学的画像（digital medical image）内に写像（map）するコンピュータに支援された方法（computer-assisted method）に関する。
【背景技術】
【０００２】
放射線医学の慣行（radiological practice）では、放射線写真撮影者（radiographer）はこれらの特定の画像範囲に彼の注意の焦点を合わせるために特定の解剖的構造（anatomic structures）を放射線写真（radiograph）上に配置することが必要となることが多い。該画像範囲の位置は該放射線写真の検査種類と疑われる病気とに依ることが典型的で、従ってこれらの配置は特定の検査及び診断向け（examination and diagnosis-specific）である。
【０００３】
例えば、タナーホワイトハウスの方法（Tanner-Whitehouse method）に依る骨年齢評価（bone age assessment）では、２０の骨（bony）の関心のある領域（regions of interest）｛アールオーアイ（ROI）｝が手の放射線写真上に配置され、アトラス（atlas）内に描かれた１セットの基準段階（reference stage）に対し段階決め（staged）される必要がある。特許文献１にはこれらの骨格のサイトの段階決めとスコア付け（scoring）を自動化する方法が開示されている。与えられたアールオーアイをその基準セットに近い近傍に同時に提示することにより、これらのサイトの付随アールオーアイ（associated ROI）が１セットの基準の映像及び線図に対して抽出され、比較される。これらの関心のある領域の各々用の配置過程は該画像内の手自体の位置に関係なく行われねばならない。位置的変動を招来する典型的露出誤差は、該放射線画像が記録される光励起燐光スクリーン（photo-stimulable phosphor screen）の様な放射線検出器を運ぶカセットのカセット境界線に対して回転された仕方で手の軸線が置かれることで起こる。更に、指の不規則な拡がりはこれらのアールオーアイの位置の２次の回転変動を付加する。従って、医学的画像内のアールオーアイの配置及び抽出過程を向上する必要がある。
【０００４】
タナーホワイトハウスのスコア付け方法の更に進んだ配置決定タスクは解剖的な骨の特徴が解剖構造関連の幾何学的オブジェクトと比較されることである。例えば、舟状骨（scaphoid）のスコア付けで、段階Ｇ及びＨは該舟状骨の月状骨境界（lunate border）の方向が有頭骨（capitate）の中線と比較されることで特徴付けられる。従って、放射線写真家は、この特徴を検証し、該舟状骨に正しい段階を割り当てるために、連続して注意深く、該有頭骨の中線を該画像内に写像せねばならない。従って、連続した注意深い配置換えの必要を避けるようこの診断線を現実の画像内に写像するニーヅが存在する。
【０００５】
オブジェクトが画像内に配置される必要がある第２の診断活動は幾何学的測定の分野である。明らかに、フイルムベースの測定では、該画像内に幾何学的オブジェクト又は実体（entity）を描くことには何等助けは提供されない。特許文献２では、測定のオブジェクト及び実体を、双方向にリンクした外部グラフイックモデルと内部情報モデルから成るコンピュータ化測定スキームにグループ分けすることによりデジタル的に取得した医学的画像の測定を自動化する方法が開示されている。特許文献２の測定セッションでは、測定スキームは該コンピュータから検索され、賦活される。測定は次に該賦活された測定スキームのガイダンスに従って表示される画像上で行われる。
【０００６】
放射線医学画像のデジタル画像表現が表示される。測定点又は範囲のセットを有する測定テンプレートが該デジタル画像に隣接して表示される。該測定点又はオブジェクトは、該テンプレートの点又はオブジェクトと対応する表示画像内の点の位置を手動で示すことにより該表示画像上に写像され、最終写像点の座標が記憶され、該表示画像上の測定用に使われる。該説明された方法は手動で行われる。
【０００７】
この計算機化された方法では、多数の幾何学的オブジェクトが該デジタル画像内に写像されねばならず、それに他の測定オブジェクト及び最終測定実体（間隔及び角度の様な）が基づくことになる。該基本の幾何学的オブジェクトはキーとなるユーザー点であるのが典型的であり、測定がそれに基づくことになる他の幾何学的オブジェクトを規定する。例えば、各々が線と、そして解剖的構造体間のうねり（angulation）を表す、最終の該線の対の間の角度と、を規定する２対のキー点が計算される。これらのキーとなるユーザー点は画像内でそれらの対応する解剖構造のランドマーク位置上に写像されねばならない。これらのキーとなるユーザー点の最終位置を実現するために、それらの位置は少ないアンカー点に基づいて計算され、該アンカー点は又解剖構造と関連して規定され、容易に見分けられる解剖構造のランドマークと一致するのが典型的である。
【０００８】
デジタル画像で測定を行う時の更に進んだ配置タスクは測定点の様な幾何学的オブジェクトを置くための画像範囲の選択と該画像の適当な解像度とに関係する。縮小された尺度のみが表示される大きな画像用には、放射線写真家は、該キーとなるユーザー点のより良い位置的精度を求めて最大解像度を使うよう、該キーとなるユーザー点を元の画像内に位置付けるのを好むのが通常である。従って、各シーケンシャルのキーとなるユーザー点の周りの範囲はその元の解像度で表示されねばならず、それは該ユーザーが拡大されるべき画像範囲を最初に選択することを要求する。従来技術の方法ではこれは望まれるキーとなるユーザー点の近傍内の画像内での追加のマウスクリックにより行われるのが典型的であり、その時、該画像は、最大解像度で表示されるか、又は望まれるキーとなるユーザー点の周りの領域が見られるまで最大改造度で該画像を表示する第２画像ウインドウ内でパン（panning）することにより表示される。しかしながら、この操作の仕方の欠点は、複雑な測定スキーム用の場合が典型的である、キーとなるユーザー点の数が多い時、多数のマウス操作が必要となり、従って、この方法はゆっくりしており、疲労と誤りを伴い勝ちであることである。
【０００９】
放射線医学的操作で幾何学的配置を要する第３の範囲は解析用フアンタム（analyzing phantom）による品質保証及び品質管理のそれである。例えば、マンモグラフシステム（mammographic system）の品質管理では、幾何学的構造体の特定の空間的配置を有するフアンタムが使われる。デイスク及びバーの様なこれらの構造体は画像コントラストを決定し、それを知覚しきい値と比較するため役立つ。幾何学的精度は、該画像内の該構造体の空間的配置を測定し、それらをそれらのモデルの相手方と比較することによりチェックされる。画像形成されたフアンタムの解析を自動化するために、該幾何学的構造体を座標基準システムに対し参照するＣＡＤモデルが使われてもよい。この基準システムは少数の既知の位置の制御点（control points）により確立されてもよい。これらの制御点は該フアンタムの部分であるので、それらは解析オブジェクトと同時に画像形成される。該画像内にそれらの位置を配置することにより、モデルと現実の画像の間の対応は確立され得る。該幾何学的変換を確立し該モデル構造体の写像を行った後、結局詳述される様に、全ての参照されたオブジェクトの初期の位置は戻って該画像内で容易に見出され、次の品質パラメーターが計算される。
従来技術
今までに下記の文書が公知である。
【特許文献１】欧州特許出願公開第ＥＰＡ１２９３９２５Ａ１号明細書、Ｒａｄｉｏｇｒａｐｈｉｃ  ｓｃｏｒｉｎｇ  ｍｅｔｈｏｄ
【特許文献２】欧州特許出願公開第ＥＰＡ１３４９０９８Ａ１号明細書、Ｍｅｔｈｏｄ  ｏｆ  ｐｅｒｆｏｒｍｉｎｇ  ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ  ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ  ｏｎ  ｄｉｇｉｔａｌ  ｒａｄｉｏｇｒａｐｈｉｃａｌ  ｉｍａｇｅｓ  ｕｓｉｎｇ  ｇｒａｐｈｉｃａｌ  ｔｅｍｐｌａｔｅｓ
【非特許文献１】Ｃｈｅｎ  Ｃ．Ｃ．  ｅｔ  ａｌ．”Ｓｅｍｉ−ａｕｔｏｍａｔｉｃ  ｔｏｏｌ  ｆｏｒ  ａｌｉｇｎｉｎｇ  ａ  ｐａｒａｍｅｔｒｉｚｅｄ  ｃａｄ  ｍｏｄｅｌ  ｔｏ  ｓｔｅｒｅｏ  ｉｍａｇｅ  ｐａｉｒｓ”ＩＥＩＣＥ  Ｔｒａｎｓｆ．  Ｉｎｆ．  ａｎｄ  Ｓｙｓｔ．Ｖｏｌ．Ｅ８２−Ｄ、  ｎｏ．１２、Ｄｅｃ．１９９９
【非特許文献２】Ｔｈｅ  Ｍａｔｈｗｏｒｋｓ：”Ｉｍａｇｅ  Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ  Ｔｏｏｌｂｏｘ−ｆｏｒ  ｕｓｅ  ｗｉｔｈ  Ｍａｔｌａｂ、Ｕｓｅｒ’ｓ  ｇｕｉｄｅ、ｖｅｒｓｉｏｎ  ３、Ｊｕｎｅ  ２００１”
【非特許文献３】Ｓｍｙｔｈ  Ｐ．Ｐ．、Ｔａｙｌｏｒ  Ｃ．Ｊ．ａｎｄ  Ａｄａｍｓ  Ｊ．Ｅ．：”Ｖｅｒｔｅｂｒａｌ  ｓｈａｐｅ：ａｕｔｏｍａｔｉｃ  ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ  ｗｉｔｈ  ａｃｔｉｖｅ  ｓｈａｐｅ  ｍｏｄｅｌｓ”
【非特許文献４】Ｊｏｈｎｓｏｎ  Ｈ．Ｊ．  ｅｔ  ａｌ．”Ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ  ｌａｎｄｍａｒｋ  ａｎｄ  ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ−ｂａｓｅｄ  ｉｍａｇｅ  ｒｅｇｉｓｔｒａｔｉｏｎ”、ＩＥＥＥ  ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ  ｏｎ  ｍｅｄｉｃａｌ  ｉｍａｇｉｎｇ、ＩＥＥＥ  Ｉｎｃ．  Ｎｅｗ  Ｙｏｒｋ，ＵＳ、Ｖｏｌ．２１，ｎｏ．５，５  Ｍａｙ  ２００２
【発明の開示】
【００１０】
従来技術の欠点を克服するために、本発明は請求項で表明する方法を提供する。
【００１１】
本発明はモデルベースの幾何学的写像方法（model-based geometric mapping method）を開示する。特に、画像内に写像される必要のある幾何学的オブジェクトは１セットのモデルアンカー幾何学的オブジェクト（model anchor geometric objects）に対しエンコードされるが、該オブジェクトは好ましい実施例ではキーユーザー点である。該ユーザーはその数が非常に少ないのが典型的な該画像内のモデルアンカーオブジェクトを手動で写像する。次に幾何学的写像変換が、該モデルアンカーオブジェクトとユーザー写像されたモデルアンカーオブジェクト間で確立される。次に、該画像内に写像される必要があり該写像モデルアンカーオブジェクトにより規定される座標システム内に指定される全幾何学的オブジェクトが、計算された幾何学的変換を該オブジェクトの規定用パラメーターに適用することにより、目標画像内に自動的に位置付けられる。最後に全ての写像されたオブジェクトはそれらの規定用パラメーターの値により該目標画像内に描かれる。
モデルアンカーオブジェクトの特性（Characteristics of model anchor objects）
モデルアンカーオブジェクトの特性を列挙すると下記の様である。
・どんなオブジェクトも、該幾何学的オブジェクトがそれに対し規定されるモデルアンカーオブジェクトとして使われてもよいが、該モデルアンカーオブジェクトは典型的に位置づけが容易であり、従って、それらの規定する自由度数は小さい。該自由度（degrees of freedom）｛デーオーエフ（d.o.f.）｝の数は、オブジェクトの全部分を配置するために指定されねばならない独立位置変数の数である。適格（eligible）のアンカーオブジェクトは例えばアンカー点｛２デーオーエフ（ｘ及びｙ方向変位）｝、アンカー線｛４（２点）−２（各点が該線上にあらねばならない）＝２デーオーエフ｝、そしてアンカー円｛６−３＝３デーオーエフ（中心点座標及び半径）｝である。
・モデルアンカーオブジェクトの更に進んだ特性は、それらの数は典型的に少ないが、幾何学的オブジェクトの精確な位置付けをさせるには充分であることである。それらがトポロジカルに関連すると考えられる時は、幾何学的変換を誘導するのに必要なよりも多いアンカーオブジェクトが選択されてもよい。その場合、例えば、最小２乗規範（least-square criterion）を最小化することにより幾何学的変換に適合する過剰決定された解（over-determined solution）が得られる。
・モデルアンカーオブジェクトが表す画像位置の種類は天然か又は人工的か何れかのランドマーク実体（landmark entities）であり得る。天然のアンカーオブジェクトは典型的な放射線医学で良く証明された診断的位置、又は該画像内の基準線である。人工的なランドマーク実体は放射線写真撮影されるオブジェクト又は補てつ物形状の様な人工的オブジェクトの中に導入された特定的に設計されたマーカーを含む。
アンカーオブジェクトの例（Example of anchor objects）
全脚の脚検査（full-leg leg examination）の放射線写真画像内の好適なアンカー点オブジェクトの例は、例えば、より大転子（greater trochanter）の先端、膝関節の中点、足根関節（ankle joint）の中点である。
【００１２】
骨盤（pelvis）の放射線写真画像の適当なアンカー点オブジェクトの例は例えば下記の様である。
【００１３】
・腸骨稜頂点（iliac crest top）をつなぐ水平線。腸骨稜は円形の矢状断面形（circular sagittal cross section shape）を有するので、その放射線写真位置は骨盤のチルト（tilt）による影響が少ない。
【００１４】
・閉鎖孔（obturator foramina）に対し接する最頂部の、最低部の、水平線（topmost, bottommost horizontals）
・閉鎖孔に対し接する最左部の、最右部の、垂直線（leftmost, rightmost verticals）
・恥骨（pubis）の両下方枝（both inferior rami）をつなぐ線
・腸骨鼠径線（ilioischial line）｛コーラーの線（Kohler's line）｝。解剖的に上部腸骨鼠径線（superior ilioischial line）はシシアチックノッチ（siciatic notch）｛寛骨臼床（acetabular  floor）の後方にある｝の広い皮質表面により形成され、下部腸骨鼠径線（inferior ilioischial line）は前部座骨の皮質表面により形成される（解剖的にこの線は寛骨臼床に対応しない）。
【００１５】
・左右のチアドロップ（teardrop）をつなぐ線。真の該寛骨臼床は放射線写真のチアドロップに対応する。該チアドロップ線は該閉鎖孔の僅か上で、寛骨臼の下内側部分（inferomedial portion）内にある。その横、内側リップはそれぞれ外、内壁に対応する。該内壁は比較的一定で放射線写真的に検出しやすく（a relatively constant rediographic finding）、時には真の寛骨臼床を一貫して表さないかも知れない該腸骨鼠径線（コーラーの線）とは異なり、小程度の回転により可成り歪まされることは無い｛ストレートＡＰ放射線写真（straight AP radiographs）では、腸骨鼠径線は該寛骨臼床の上に乗っている（overlie）が、或る量の回転を伴うと、この関係は充たされないかも知れない｝。
【００１６】
これらの線は各々は現実には３Ｄ線であり、それは２次元画像では線として投射される。該線が３つの次元で交差する程度に、１セットの（交差する）アンカー点としての表現は１セットのアンカー線の代わりに使われてもよい。
モデル及び目標画像内の座標フレーム（Coordinate frames in model and target image）（図１）
下記説明では、多数の座標システムが使われる。
【００１７】
該モデルとそれぞれの目標の画像座標システムが（ｕ，ｖ）とそれぞれの（ｘ、ｙ）として規定されるとし、該ｘ軸は頂部から底部へ走り（すなわち、該走る座標の様な行を有する）、該ｙ軸は左から右へ走るとする（該走る座標の様な列を有する）。ｕ及びｖ軸とそれぞれのｘ及びｙ軸は右手座標システムを形成し、正の角度は該ｕ（とそれぞれのｘ）軸から出発して反時計方向に該ｖ（とそれぞれのｙ）軸の方へ向かっている。
【００１８】
モデル（とそれぞれの目標）画像内の該アンカーオブジェクトは局所的第２座標システム（ｕ’、ｖ’）とそれぞれの（ｘ’、ｙ’）を規定し、該オブジェクトは該座標システム内に相対的にエンコードされる。例えば、１セットのアンカー点が該モデル用に使われる時、該セットの第１点から該セットの第２点の方への方向性線分（directional line segment）は該ｘ’軸を規定する。直角のｙ’軸は、両軸が一緒に右手座標システムを形成する様な方向を正として指し示す。
【００１９】
その構成部分の配置を説明するために、第３の座標フレーム（ｕ”、ｖ”）とそれぞれの（ｘ”、ｙ”）が該モデルとそれぞれの目標の画像内の幾何学的オブジェクトに更に取り付けられている。例えば、元の画像内の画素の位置を説明する画像座標システムと同様な方法で、該アールオーアイ内部の該画素の位置を説明するためにアールオーアイに座標システムが付加されてもよい。該アールオーアイの座標システムの規定するパラメーターは、（ｕ’、ｖ’）とそれぞれの（ｘ’、ｙ’）との座標システム内のその原点の位置と、該正のｕ’とそれぞれのｘ’軸に対するその正のｕ”とそれぞれのｘ”軸の角度と、である。正のｖ”とそれぞれのｙ”軸の方向は次いでｕ”及びｖ”とそれぞれのｘ”及びｙ”軸が一緒に右手座標システムを形成するよう確立される。
【実施例１】
【００２０】
本発明の背景で考慮される幾何学的写像（geometric mappings）は、線形写像関数か又は双一次写像、多項式写像そして薄板スプライン写像の様な非線形写像か、何れかに分類され得る。これらの写像が、モデルアンカーオブジェクトと画像写像されたアンカーオブジェクトとの間の対応によるそれらの計算と一緒に詳述される。特別で重要な場合が示される。線形写像の分解が、完全に確立された変換マトリックスを使う相対的写像、そして完全変換マトリックスの分解により得られる１つ以上の成分を省略することにより削減された変換を使う絶対的写像、で使われるため誘導される。次にモデルアンカー座標システム内の幾何学的オブジェクトのエンコーデイングが説明される。最後に、該計算された変換又は削減された変換を特定の幾何学的オブジェクトに適用した結果が誘導される。
１．幾何学的写像変換（Geometric mapping transforms）
１．１  線形写像関数（Linear mapping functions）
空間的２Ｄ写像のこのクラス（class）は一般的線形同次３×３変換マトリックス（transformation matrix）Ｔの項で表され得て、普通ホモグラフイー（homography）と称される。この変換は２Ｄでのスケーリング（scaling）、剪断（shearing）、回転、反射、並進そして透視（perspective）を取り扱う。同次座標での４×４変換マトリックスは同様に空間的３Ｄ写像のクラスを表す。一般性を失うことなく、第３の次元は微分（derivations）で無視され、その２Ｄオブジェクト写像のみが結局考慮される（それは画像ｘｙとモデルｕｖ座標システム間の写像）。
【００２１】
座標システムは典型的に右手型で、そこではｘ軸が頂部から底部へ走っており（列内部で走っており）、ｙ軸は左から右へ走り（行内部で走り）、ｘｙは右手座標システムを形成する。
【００２２】
【数１】
0004624173.tif 000002
【００２３】
ここで該同次座標（homogeneous coordinates）はｗ＝１を有するよう正規化された。該ｕｖ座標はモデル位置を示し、ｘｙ座標は画像位置を示す。該同次の表記は並進が付加的ベクトル加算（additional vector addition）を要する代わりにマトリックス掛け算としてモデル化され、従ってそれは専用ハードウエアで回転及びスケーリング（scaling）と同時にエンコードされ、計算されてもよい、利点を有する。
【００２４】
該３×３変換マトリックスはそれを４つの別々のセクションに分けることにより最も良く理解される。該２×２サブマトリックス
【００２５】
【数２】
0004624173.tif 000003
【００２６】
はスケーリング、剪断そして回転用の線形変換を指定する。２×１サブマトリックス
【００２７】
【数３】
0004624173.tif 000004
【００２８】
は並進を指定し、１×２サブマトリックス[ａ31，ａ32]は透視変換を作る。要素[ａ33]は全体のスケーリングの責任を負っている。
【００２９】
３Ｄ内の線形写像関数は４×４同次マトリックス掛け算により下記の様に表される。
【００３０】
【数４】
0004624173.tif 000005
【００３１】
同様な仕方で、３×４サブマトリックス
【００３２】
【数５】
0004624173.tif 000006
【００３３】
はアフイン成分（回転、並進、剪断）を表し、その１×３サブマトリックス（ａ41、ａ42、ａ43）は射影性（projectivities）を表し、そして該係数ａ44は３Ｄでの同次写像用の全体のスケーリングの責任を負っている。
【００３４】
該マトリックスＴは該（ｕ，ｖ）座標システム内のモデル源入力画像を該（ｘ、ｙ）座標システム内の目標出力画像に変換する前方写像関数（forward mapping function）ＸとＹを指定する。同様な変換は該目標画像を該入力画像に写像する逆写像関数ＵとＶにも適用される。
線形写像の特殊な場合（Special cases of linear mappings）
ユークリッド及びユークリッド類似の写像と類似の反射（Euclidean and Euclidean similarity mapping and similarity reflection）
ユークリッド写像は、等方性スケーリング（isotropic scaling）の場合に、４つの自由度を提供し、区切られた線分を区切られた線分（異なる長さと配向を有する）に写像することが出来る。これらの写像も、それらがスケーリング係数までは該被変換オブジェクトの形状を同じに残す点で剛体変換（rigid body transtransformation）と称される。剛体変換はｕ軸を基準にして反時計方向で原点の周りの角度θの回転、原点を基準にした並進（Ｔu、Ｔv）そして座標ｕとｖに適用されるスケール係数Ｓu，Ｓvから成り、下記の様である。
【００３５】
【数６】
0004624173.tif 000007
【００３６】
１つでない項ａ33を有するスケーリングＴはこの写像の該５つの変数を４つに減じ得る。
【００３７】
係数Ｓによる等方性スケーリングを考慮して、組み合わされたユークリッド写像は下記の様に書かれ得る。
【００３８】
【数７】
0004624173.tif 000008
【００３９】
ユークリッド類似の反射写像はこのマトリックスを反射マトリックスと連結する（concatenating）ことにより得られる。例えば、該ｕ軸とそれぞれのｖ軸の周りの反射は下記マトリックスで表される。
【００４０】
【数８】
0004624173.tif 000009
【００４１】
３次元では、剛体変換は下記の様に６自由度で特徴付けられる（３つの並進成分と該画像軸の各々の周りの３つの回転）。
【００４２】
【数９】
0004624173.tif 000010
【００４３】
第１のマトリックスはｗ軸の周りの反時計方向の回転を表し、第２及び３は同様にそれぞれｕ及びｖ軸周りの回転を表す。回転角度はいわゆるオイラーの角度（Euler angles）である。第４のマトリックスは３次元の並進を表す。
アフイン写像(Affine mapping)
アフイン変換の一般的表現は下記の様である。
【００４４】
【数１０】
0004624173.tif 000011
【００４５】
ｗ＝ｗ’＝１を選択することにより同次座標ｗ’による割り算は避けられる。該アフイン写像は源平面（ｕ，ｖ）から目標平面（ｘ、ｙ）上への正射影（orthographic projection）又は平行平面射影（parallel plane projection）に対応する。
【００４６】
２Ｄでのアフイン写像は６自由度を提供し、３角形｛３つの共線的でない（non-collinear）点｝を３角形に写像出来る。入力長方形は出力で平行４辺形に写像され得る。アフイン写像は該スケーリングマトリックス内にゼロでない非対角線項を適用することで生じる。ａ11＝ａ22＝１でそしてａ21＝０の場合を考える。１つのａ12≠０にすることにより、ｘはｕ及びｖに線形に依存するようにされる一方ｙはｖと同一に留まる。この演算は、該ｕ及びｖ軸に平行な辺を有する長方形を、該ｕ座標軸に沿って該（ｘ、ｙ）座標システム内の平行４辺形に剪断することに帰着する。元々該ｖ軸に平行であった辺の対は今度は該ｙ軸を基準にして斜めになる。同様な非ゼロ係数ａ21≠０は該ｖ座標軸に平行な剪断に帰着する。アフイン写像の一般形は従って又下記の様な分解された形で書かれてもよい。
【００４７】
【数１１】
0004624173.tif 000012
【００４８】
アフイン写像の逆写像（inverse）はそれ自身でアフインであり、逆関数ＴA-1＝ａｄｊ（ＴA）／ｄｅｔ（ＴA）から計算される。
【００４９】
３つの次元で、各新座標は全ての３つの線形組み合わせであり、該剪断演算は幾何学的にはキューブ又は直方体（rectangular volume）の直角平行６面体（parallelepiped）への変換に帰着する。
射影写像（Projective mapping）
射影写像は視認（viewing）、射影（projection）、又は検出器（detector）平面上への透視射影（perspective projection）を通して得られるオブジェクト変換を説明出来る。一般に係数[ａ31，ａ32]は非ゼロであり、従って射影写像は８自由度を提供する。
【００５０】
【数１２】
0004624173.tif 000013
【００５１】
ここでｘ＝ｘ’／ｗ’そしてｙ＝ｙ’／ｗ’である。
【００５２】
射影写像は線を全ての配向に於いて保存する。すなわち、線は線に写像される（lines map into lines）（同じ配向ではないが）。アフイン写像と対照的に、射影写像は８自由度を提供し、平面の四辺形（planar quadrilateral）を平面の四辺形に写像出来る。
【００５３】
透視変換(perspective transformation)は、平行線を、それらが射影平面に平行な時だけ、保存する。そうでない線は消失点（vanishing point）に収斂する。
【００５４】
射影写像の前方写像関数（forward mapping function）は同次座標ｗ’により割り算することにより下記の様に得られる。
【００５５】
Ｘ（ｕ，ｖ）＝ｘ＝ｘ’／ｗ’＝（ａ11ｕ＋ａ12ｖ＋ａ13）／（ａ31ｕ＋ａ32ｖ＋ａ33）
Ｙ（ｕ，ｖ）＝ｙ＝ｙ’／ｗ’＝（ａ21ｕ＋ａ22ｖ＋ａ23）／（ａ31ｕ＋ａ32ｖ＋ａ33）
射影写像の逆写像はそれ自身で射影性（projective）であり、逆関数Ｔp-1＝ａｄｊ（Ｔp）／ｄｅｔ（Ｔp）である。
【００５６】
射影写像は、測定が写像された画像内で計量的に行われ得るように画像を校正するため使用されてもよい。その点は患者の或る深さでの、ことによると該ｘ及びｙ軸の周りに回転された、或る平面に於けるランドマーク（landmarks）であってもよい。又該写像は２つの異なる時刻に取られた２つの画像の２つの平面を計量的対応に持って来るために使われてもよく、すなわち、該写像された平面内の間隔がユークリッド的方法で計算され、何らの更に進んだ変換無しに比較される。
線形写像関数の計算（Computation of the linear mapping function）
ユークリッド系の場合（Euclidean case）
マトリックスＴEは４つの未知数のみを保持し、下記の様に書かれる。
【００５７】
【数１３】
0004624173.tif 000014
【００５８】
その係数はモデル画像と目標画像内の２点間の対応を確立することにより決定され得る。ｋ＝０，１で、（ｕk、ｖk）とそれぞれの（ｘk、ｙk）とがモデル画像とそれぞれ目標画像との２点｛例えば、線分の端点（endpoints）｝であるとする。対応する点の各対は方程式Ｘ（ｕ，ｖ）とそれぞれのＹ（ｕ，ｖ）を書き直すことにより該未知係数の２つの方程式を下記の様に発生する。
ｋ＝０，１について
ａｕk＋ｂｖk＋ｃ＝ｘk
−ｂｕk＋ａｖk＋ｆ＝ｙk
マトリックス表記で下記の様に書かれる。
【００５９】
【数１４】
0004624173.tif 000015
【００６０】
この方程式のシステムは従来技術で公知の線形システム解法（linear system solvers）により解かれる。今、該係数は、並進、スケーリングそして回転の構成成分を決定するために連結された要素の幾何学的演算の項で書かれたＴEの係数に下記の様に等値されてもよい。
Ｔu＝ｃ
Ｔv＝ｆ
Ｓ＝（ａ2＋ｂ2）1/2
θ＝ａｒｃｃｏｓ（ａ／Ｓ）
３次元では、剛体変換は６自由度を有し、それを確立するために少なくとも２つの点対応を要する。
アフイン系の場合（Affine case）
マトリックスＴAは、該モデル画像と目標画像内の少なくとも３つの非共線上の点間の
対応を確立することにより決定され得る６つの未知数（６自由度）のみを保持する。ｋ＝０，１、２の場合について（ｕk、ｖk）とそれぞれの（ｘk、ｙk）が、モデル画像とそれぞれの目標画像での３点（例えば、３角形のコーナー点）であるとする。対応する点の各対は方程式Ｘ（ｕ，ｖ）とそれぞれのＹ（ｕ，ｖ）を書き直すことにより該未知係数の２つの方程式を下記の様に発生する。
ｋ＝０．．２について
ａｕk＋ｂｖk＋ｃ＝ｘk
ｄｕk＋ｅｖk＋ｆ＝ｙk
マトリックス表記で下記の様に書き直される。
【００６１】
【数１５】
0004624173.tif 000016
【００６２】
この方程式のシステムは従来技術で公知の線形システム解法により解かれる。
【００６３】
３Ｄでは、同次座標でのアフイン変換は１２自由度を有し、従ってそれは少なくとも４つの非共面上の点（non-coplanar point）の対応を要する（又は４つの交叉する平面）。従って、３Ｄでのこれらの変換は４面体を４面体へ写像することが出来る。該１２の係数を決定するために同様な方程式のシステムが確立される。
【００６４】
今、アフイン写像の係数は、並進、スケーリング、回転そして剪断の構成成分を決定するために、連結された要素の幾何学的演算の項で書かれたＴAの係数と等値される。それは直ちに下記の様になる。
Ｔu＝ｃ
Ｔv＝ｆ
スケールＳ、反時計方向での回転θそして剪断Ｓu、Ｓvの決定は、最初に個別マトリックスを連結しそして次いで該連結されたマトリックスの要素の各々をそれぞれａ，ｂ，ｄ，ｅと等値することにより、係数ａ，ｂ，ｄ，ｅから引き出せる。該連結されたマトリックスは下記の様である。
【００６５】
【数１６】
0004624173.tif 000017
【００６６】
該回転が該剪断に先行する時、もう１つのマトリックスが生じる。後者のこの分解（decomposition）は逆シーケンス（reverse sequence）に対応する要素マトリックス（elementary matrices）を決定するため使われ得る。該分解の利点は選択性成分（selective components）がそれらを１のマトリックス（unity matrix）により置き換えることにより取り消され得ることである。例えば、２×２の上部左のマトリックスの変換マトリックスの行列式が１でない時、或いは等価的に、特異値分解（singular value decomposition）Ｕ・Ｓ・Ｖ’でのマトリックスＳがゼロでない非対角要素（non-zero off-diagonal elements）を有する時、該変換は剛体でなく、その幾何学的特性は該剪断成分を取り消すことにより達成され得る。同様に、アールオーアイの写像の応用で明らかである様に、該回転成分の取り消しは又、例えば、アールオーアイの写像された境界を変換された画像内の画像境界に平行に留まらせるために、有用である。次に回転が続く剪断の前方シーケンス（forward sequence）による分解は下記の様に誘導される。
【００６７】
Ｓｃｏｓθ＝Ａ及びＳｓｉｎθ＝Ｂと規定される変数Ａ，Ｂを導入することにより該表記は簡単化され、下記の方程式の非線形システムを生じる。
ａ＝Ａ＋ｓuｓvＡ−ｓvＢ
ｂ＝ｓuＡ−Ｂ
ｄ＝Ｂ＋ｓuｓvＢ＋ｓvＡ
ｅ＝ｅuＢ＋Ａ
解は、係数ｓu、ｓv、ＢをＡと既知係数ａ，ｂ，ｄ，ｅの関数として書き直し、この関数の根を求めて解き、そしてＡの全ての値用のｓu、ｓv、Ｂの値を直進的に導くことにより、見出される。
【００６８】
幾つかの代数的操作を用いて、係数ｓu、ｓv、Ｂは下記の様に書き直される。
ｓu＝（１／Ａ）｛ｂ＋（ｂｄ−Ａｅ）／ｂ｝＋ｅ／ｂ
ｓv＝ａ／ｂ−Ａ／ｂ
Ｂ＝（ｂｄ−ａｅ）／ｂ＋Ａ（ｅ／ｂ）
ここでａｅ−ｂｄ＝ｄｅｔ（ＴA）＝Ｄであることに注意されたい。Ａの２次方程式は次いで下記の様になる。
（ｂ2＋ｅ2）Ａ2−２ＤｅＡ＋Ｄ（Ｄ−ｂ2）＝０
この方程式は判別式が正である場合のみ実根を有し、それは下記条件を導く。
【００６９】
Ｄ＞０そして（ｂ2＋ｅ2）＞Ｄ
その２つの根は２次方程式の根を求める標準式により容易に計算される。Ａの各値について、上記で与えられたＡのそれらの関数から係数ｓu、ｓv、Ｂが得られる。
【００７０】
該方程式は未知数としてｓuを用いて等しく書き直され、２次方程式の解へ導き、それは下記２つの根を有する。
【００７１】
ｓu＝±｛（ｂ2＋ｅ2）／Ｄ−１｝1/2
実数値を持つ係数ｓｕ用には同じ条件（ｂ2＋ｅ2）＞Ｄが必要となる。
【００７２】
明らかに、元のマトリックスは２つの方法で因数分解され得る。該変換ＴAが連続する剪断のシーケンスとして実行される時計算を減じるために、剪断ｓu、ｓvの１つ用にゼロの係数を有する解が選択されてもよい。該２つの分解（decompositions）の１つの選択は、回転及び剪断の全個別要素の合計が１のマトリックスからどれだけ異なるかを計算することによりオブジェクト化（objectified）され得るが、それはこのマトリックスが恒等変換（identity transform）を表し、並進を別にして、何等モデル形状の変化を意味しないからである。これは、分解物の各個別要素からアイデンティティーマトリックス（identity matrix）を引き算し（すなわち、ＴRが例えば回転部分としてＴR−Ｉを計算する）、個別要素の偏差のメザー（individual component's deviation measure）を生じるようこの差マトリックスの全要素の絶対値を加算し、分解の全要素の１のメザー（unity measures）からの全偏差を最後に加算しそして１のメザーからの最小の全体の偏差（least overall deviation）を有する分解を選択することにより、達成される。この新規戦略は更に、最終の組み合わせ変換の写像精度を犠牲にせずに、要素変換のより簡単な連鎖を達成するために、丁度規定されたアイデンティティマトリックスからの偏差の向き（sense）で、小さな要素を除去し、それらをアイデンティティマトリックスで置換することにより、補足され得る。
【００７３】
３Ｄでは、アフイニテイ（affinity）は１２自由度を有し、従ってその解は４つの共面上にない点の最小から、又は等価的に４つの共面上にない（すなわち４面体を形成する）平面により、それらの平面の２つを使って、導かれ得る。
射影の場合（Projective case）
該マトリックスＴはａ33＝１になるよう正規化され得るので、画像データから射影写像を推論するには８つの係数が決定される必要がある。これらの係数はモデル画像と目標画像内の４点間の対応を確立することにより決定され得る。ｋ＝０．．．３の場合に（ｕk、ｖk）とそれぞれの（ｘk、ｙk）が該モデル画像とそれぞれの目標画像内の４点（例えば、４角形のコーナー点）であるとする。対応する点の各対は、方程式Ｘ（ｕ，ｖ）とそれぞれのＹ（ｕ，ｖ）を書き直すことにより未知係数ａijの２つの方程式を下記の様に発生する。
ｋ＝０．．．３として
ａ11ｕk＋ａ12ｖk＋ａ13−ａ31ｕkｘk−ａ32ｖkｘk＝ｘk
ａ21ｕk＋ａ22ｖk＋ａ23−ａ31ｕkｙk−ａ32ｖkｙk＝ｙk
マトリックス表記で下記の様に書かれると
【００７４】
【数１７】
0004624173.tif 000018
【００７５】
これは形式Ａｘ＝ｂの線形システムであり、それは従来技術の既知の線形システム解法（linear system solvers）で解かれる。これらの技術は、例えば、該マトリックスＡを逆変換（inverting）することに依るので、解はｘ＝Ａ-1ｂとして見出される。これは一般的平面状の４辺形から４辺形の写像問題（quadrilateral-to-quadrilateral mapping problem）への解を生じる。４辺形から（単位）正方形写像及び（単位）正方形から４辺形写像の特別な場合に計算速度向上が可能である。４辺形から４辺形の写像の一般的場合も、これらの特別な場合をカスケードに連結することにより速度向上が出来る。
【００７６】
射影空間では点と線は相互に２重であるので、２Ｄでの４本の共線上にない線は代わりにホモグラフイー（homography）を決定出来る。同様に、３Ｄでは、ホモグラフイーは１５自由度を有し（全体的スケーリングは一般性を失うことなく１に設定され得る）、従って最小５点又は代わりに５平面により完全に決定される。
【００７７】
射影変換はｕ又はｖ軸にのみ沿った要素的剪断に因数分解され得ない。代わりに、純粋な射影要素とアフイン要素への分解が考えられる。純粋な射影要素はモデル内では元々平行であるが画像内では該線用の消失点へ収斂する収斂線を変換することが出来る。アフイン要素は大局的整合と該軸に沿う歪みの減少とを担う（accounts for）。この分解は下記の様に達成される。
【００７８】
ＴPが純粋射影変換であり、ＴAがアフイン変換である場合の、Ｔ＝ＴAＴPと規定する。該射影要素は下記と規定する。
【００７９】
【数１８】
0004624173.tif 000019
【００８０】
従って、該アフイン要素は下記の様に得られる。
【００８１】
【数１９】
0004624173.tif 000020
【００８２】
このアフインマトリックスは前に指定した様に、更に剛体変換（スケール、回転そして並進）と、要素的剪断変換と、に分解されてもよい。アフイン因数分解に於ける様に、小さい要素は、写像されたオブジェクトの位置的精度を犠牲にすることなく無視され得る。
【００８３】
線形写像の前記詳細説明は結局、完全なアールオーアイの又は画像範囲の速い写像（fast mapping）の応用を説明するために必要である。
過剰決定された場合の線形写像関数の計算（Computation of the linear mapping functions in the over-determined case）
モデルが幾何学的変換を指定するために必要なより多くのアンカー点を含む時、ｍ＞ｎであり、すなわち、線形システムＡｘ＝ｂで未知数より多い方程式がある。例えば、ユークリッド類似の変換を推論するために２より多いモデル点が選択される。この問題は過剰決定（over-determined）と呼ばれ、一般にどんなｘも精確にはＡｘ＝ｂを充たさない。ｍ＜ｎである不足決定問題は余り頻繁には起こらないが、それが余りに多くの自由度を残すので一般には望まれない。従来技術での３つの標準的方法が最小二乗問題を解くため使われ、それらの全てはマトリックス因数分解、すなわち、正規方程式（normal equation）、ＱＲ分解（QR decomposition）そして特異値分解（singular value decomposition）｛エスブイデー（SVD）｝、に基づいている。
１．２  非線形写像関数（Non-linear mapping functions）
１．２．１  双１次写像（Bilinear mapping）
双１次写像は各々用の１つの変数（座標変数ｕとｖ）の２つのアフイン関数のテンソル積である。幾何学的には（図２）、それは単位モデル正方形ＡＢＣＤ内部の任意の点が２つの線形補間(linear interpolations)を行うことにより得られることを意味する。１つは、それぞれＡＤ及びＢＣ上のエッジ産出点ＰとＱを分けるために同じ座標値ｕを使って１対の並置されたエッジＡＤ及びＢＣ上で補間することにより得られる。もう１つはもう１つの座標値ｖを使って線ＰＱ上で望ましい点を補間することにより得られる。
【００８４】
該テンソル積は下記の様に書かれる。
【００８５】
【数２０】
0004624173.tif 000021
【００８６】
ここで
【００８７】
【数２１】
0004624173.tif 000022
【００８８】
は下記の形を取る。
【００８９】
【数２２】
0004624173.tif 000023
【００９０】
各座標変換
【００９１】
【数２３】
0004624173.tif 000024
【００９２】
が双１次関数（bilinear function）である技術は双１次変換（bilinear transformation）と呼ばれ、該４点写像用に双１次変換を使う技術は双１次補間（bilinear interpolation）と呼ばれる。
双１次写像の計算（Computation of the bilinear mapping）
点写像の代数的決定（Algebraic determination of a point mapping）
その８つのパラメーターａ．．．ｄ、ａ’．．．ｄ’はＴB（０，０）＝Ａ（ｘ0，ｙ0）、ＴB（０，１）＝Ｂ（ｘ1，ｙ1）、ＴB（１，１）＝Ｃ（ｘ2，ｙ2）、ＴB（０，０）＝Ｄ（ｘ3，ｙ3）間の対応を指定するか又は等価的に下記により決定されるが、
【００９３】
【数２４】
0004624173.tif 000025
【００９４】
それは未知数ａ．．．ｈの８つの方程式のシステムか、又は等価的にそれぞれ未知数ａ．．．ｈとｅ．．．ｈの４つの方程式の２つのシステムに導く。
【００９５】
又該座標値（ｕ，ｖ）は直角でないモデル４角形内の点オブジェクトの位置を説明する。この点は、結局概説される方法に従って、直角でない目標４角形内のその対応位置に写像される。該変換は元の４角形内の点の中間的双１次座標を生じる中間的単位正方形間を通る。入力４角形のコーナーの直交座標をＵ，Ｖで、原点からスタートして時計方向に順序付けられた中間的単位直角座標と、出力４角形直交コーナー座標と、をＩ，ＪとＸ、Ｙで、下記の様に示す。
Ｕ＝[ｕ0  ｕ1  ｕ2  ｕ3]’
Ｖ＝[ｕ0  ｕ1  ｕ2  ｕ3]’
Ｉ＝[ｉ0  ｉ1  ｉ2  ｉ3]’＝[０  ０  １  １]’
Ｊ＝[ｊ0  ｊ1  ｊ2  ｊ3]’＝[０  １  １  ０]’
Ｘ＝[ｘ0  ｘ1  ｘ2  ｘ3]’
Ｙ＝[ｙ0  ｙ1  ｙ2  ｙ3]’
（ｕ，ｖ）が入力（モデル）点の直交画像座標（Cartesian image coordinates）を示し、（ｉ，ｊ）が該中間の単位直角座標システム内のこれ又該直交座標である該入力４角形を基準にした入力点の双１次座標を示し、そして（ｘ、ｙ）が今該出力４角形を基準として写像された入力点の出力直交座標を示すとする。該単位直角コーナー点を目標４角形の角頂（vertices）に写像する前方変換マトリックス（forward transform matrix）は下記により示される。
【００９６】
【数２５】
0004624173.tif 000026
【００９７】
その時該写像は下記４つの過程で決定される（図２）。
【００９８】
１．単位正方形から入力４角形への前方双１次変換を計算する。該係数ａ．．．ｄとｅ．．．ｈは下記により得られる。
【００９９】
[ａ  ｂ  ｃ  ｄ]＝Ａ-1Ｕ
[ｅ  ｆ  ｇ  ｈ]＝Ａ-1Ｖ
２．入力４角形を基準とした入力点の双１次座標の計算を可能にする、該入力４角形から該中間単位正方形への逆変換を決定する。これはｊの値についての下記２次方程式を解くことにより行われる。
【０１００】
ｃ2ｊ2＋ｃ1ｊ＋ｃ0＝０
ここで
ｃ2＝−ｅｃ＋ｇａ
ｃ1＝ａ（ｈ−ｖ）＋ｅ（ｕ−ｄ）−ｆｃ＋ｇｂ
ｃ0＝ｂ（ｈ−ｖ）＋ｆ（ｕ−ｄ）
この方程式はｃ2＝０の時唯１つの根を有する。他の場合は下記の様に２つの根が得られる。
【０１０１】
ｊ＝｛−ｃ1±（ｃ12−４ｃ0ｃ2）1/2｝／（２ｃ2）
各根用に下記によりｉの値を決める。
【０１０２】
ｉ＝（ｕ−ｃｊ−ｄ）／（ａｊ＋ｂ）
１つの根は解の点（ｉ，ｊ）、例えば、入力（モデル）点（ｕ，ｖ）が入力（モデル）４角形内部にある時に該単位正方形内部にある点、を生ずるよう保持される。判別式ｃ12−４ｃ0ｃ2＜０の時は該解は存在しない。この領域はｕ，ｖ平面の放物線ｃ12−４ｃ0ｃ2＝０により境界を付けられている。
【０１０３】
該放物線は全ての変換された線ｕ＝ｕ0、ｕ0は定数（垂直線）、のエンボルトリ（envoltory）である。これらの線は折り畳まれており（fold over）、２つの解の存在を特徴付ける。
【０１０４】
該逆の解の同様な誘導は、ｉを該２次方程式の根として決定することにより出発出来る。解が存在しない（判別式がゼロより小さい）領域は同じ放物線により陰に境界付けられ、そしてこれ又接線として２つの解が存在し、変換された線ｖ＝ｖ0、ｖ0は一定、（水平な線）を表す。
【０１０５】
３．該単位正方形から該出力４角形へ前向き双１次変換を計算する。この写像の係数ａ．．．ｄとｅ．．．ｈは下記により得られる。
【０１０６】
[ａ’  ｂ’  ｃ’  ｄ’]＝Ａ-1Ｘ
[ｅ’  ｆ’  ｇ’  ｈ’]＝Ａ-1Ｙ
４．該入力点（ｕ，ｖ）の該双１次座標（ｉ、ｊ）は今や下記前方変換を適用することにより該出力４角形に関するそれらの直交位置（ｘ、ｙ）へ写像される。
【０１０７】
【数２６】
0004624173.tif 000027
【０１０８】
代わりに、目標画像内の該写像された点の位置は図２の幾何学的構造をエミュレート（emulating）することにより得られるが、そこでは該双１次座標ｉは点Ｘ1とＸ2を生ずるためにｘ軸に組み合わされた１対の並置された４角形境界を割り、該双１次座標ｊは点Ｙ1とＹ2を生ずるためにｙ軸に組み合わされた１対の並置された４角形境界を割る。写像される点は線Ｘ1，Ｘ2と線Ｙ1，Ｙ2の間の交点として次に見出される。
【０１０９】
入力４角形を基準にした点集合は、前記手順の変換を該集合の各点に適用することにより、出力４角形内のそれらの組み合わせ点集合に写像される。それらの規定に従う点に依存する他のオブジェクトは同様に写像されてもよい。（ｕ，ｖ）面の水平と垂直の線は線に変換されるが、しかしながら、該（ｕ、ｖ）面の他の線は２次（second degree）曲線（放物線）に変換される。入力単位正方形又は入力４角形のエッジの一様な部分分割部（subdivision）は出力４辺形のエッジの一様な部分分割部上に写像される。
点写像の幾何学的決定（Geometric determination of a point mapping）
第１要素は、入力４角形内の点の位置を中間的単位正方形（その直交座標が該点の該双１次座標に等しい）内の点に転置（transposing）することにある。この点は、逆（inverse）が存在しないｕ，ｖ面内の領域を区切る放物線に、各線が接する、一定双１次座標（constant bilinear coordinate）ｉとｊの２線の交点として見出される。該放物線は、入力モデル座標システムの変数ｕ，ｖの方程式である方程式ｃ12−４ｃ0ｃ2＜０により与えられ、該係数は該モデル４辺形のコーナー点の座標のみ依存する。各双１次座標用に２つの解がある｛合計では該（ｉ，ｊ）座標用に４つの解｝ので、該入力点が該モデル４角形内部にある時、０と１の間にｉ，ｊ座標を有する解が選択されねばならない。
【０１１０】
第２要素は、目標４角形内の単位正方形の双１次座標（ｉ，ｊ）を有する任意の点の位置の決定にある。この転置は２つの線形補間により見出され得る。図２で図解される様に、最初に、該ｉ座標が該エッジＡ’Ｄ’とＢ’Ｃ’上で補間され、それぞれ点Ｘ1，Ｘ2を得る。次に、該ｊ座標が該線Ｘ1Ｘ2上で補間され、点Ｐ’を得る。代わりに、該Ｊ座標が該線Ａ’Ｂ’とＤ’Ｃ’上で補間され、それぞれ点Ｙ1，Ｙ2を得てもよい。線Ｘ1Ｘ2とＹ1Ｙ2の交叉も点Ｐ’を生じる。
【０１１１】
該双１次写像の利点は、該４つのコーナー点が１つの平面上にある必要がなく、従ってそれらは、患者の異なる、共面上にない深さにある解剖的ランドマークを表してもよい。対照的に、４辺形対４辺形射影写像は該４角形のコーナー点が全て同じ物理的平面内にあると仮定する。
１．２．２  多項式写像（Polynomial mapping）
多項式写像は下記形式の多項式関数により規定される。
【０１１２】
【数２７】
0004624173.tif 000028
【０１１３】
該ｕ，ｖ変数は歪化されないモデル（undistorted model）の座標であり、ｘ、ｙは目標画像の座標である。Ｎは多項式次数、該ａij，ｂijは該変換を特徴付ける写像係数（mapping coefficients）である。Ｎ＝１の時、該写像は前に説明した双１次変換に帰し、該変換用に下記により４つのアンカー点対応が確立される必要がある。
【０１１４】
ｘ＝ａ00＋ａ10ｕ＋ａ01ｖ＋ａ11ｕｖ
ｙ＝ｂ00＋ｂ10ｕ＋ｂ01ｖ＋ｂ11ｕｖ
一般に、必要なアンカー点の最小数はＮ次の多項式写像用には（Ｎ＋１）2である。より多いアンカー点が利用可能である時は、例えば、一般逆行列解（pseudo-inverse solution）が真の写像関数を最も良く近似する係数を返す。
【０１１５】
次数がｕとｖの座標の累乗の最大の和（maximum sum of powers）である場合に、次数Ｎの多項式写像用の代わりの表現は下記の様である。
【０１１６】
【数２８】
0004624173.tif 000029
【０１１７】
Ｎ＝１の時、該写像は前に説明したアフイン変換に帰し、該変換用に３つのアンカー点の対応が下記により確立される必要がある。
【０１１８】
ｘ＝ａ00＋ａ10ｕ＋ａ01ｖ
ｙ＝ｂ00＋ｂ10ｕ＋ｂ01ｖ
アンカーオブジェクトが全体の画像範囲をカバーする時、上記で与えられた多項式変換は全体画像上で動作する低次数大域写像関数（low-order global mapping functions）である。この種の非線形写像は線形写像より多いアンカー点を使うので、画像形成された構造体に対する写像されたオブジェクトの対応は前に概説した線形写像用より良い。
【０１１９】
計算された写像係数が与えられると、点オブジェクトは点に写像されるが、しかしながら、一般に目標画像の浮動点位置（floating-point in the target image）に写像される。線オブジェクトは一般に多項式形状に写像される。従って、該目標画像の線オブジェクトの直線の形状を保持するために、線は、写像関数Ｘ（ｕ，ｖ）、Ｙ（ｕ，ｖ）により写像された点に基づいて規定されてもよく、線オブジェクトは次に該写像された点に基づき目標画像内に描き直されねばならない。
１．２．３．薄板スプライン写像（Thin plate spline mapping）
アンカー点の数が変換を計算するに要するより多い時、過剰決定されたシステムの方程式が生じる。その解の係数は、写像されたアンカー点が目標画像内のそれらの対応するアンカー点と精確には一致しないが、それらを例えば最小２乗の意味で（in the least squares sense）適合するであろう。
【０１２０】
目標アンカー点の精確な補間は、しかしながら、下記の様に、線形アフイン写像関数に修正非線形項を付加することにより達成され得る。
【０１２１】
【数２９】
0004624173.tif 000030
【０１２２】
第１項は前にＮアンカー点対応から導入され計算された、写像の必要なアフイン部分を表し、最後の項は、ｒj2＝（ｕ−ｕj）2＋（ｖ−ｖj）2とした場合の、半径方向ベースの関数（radial basis function）Ｕ（ｒ）＝ｒ2ｌｏｇｒ2を表す。該Ｎアンカー点（ｕj，ｖj）は制御点（control points）と呼ばれ、画像上で任意の仕方（非長方形の）で置かれてもよい。
２．アンカーオブジェクトモデル内の幾何学的オブジェクトの表現と配置（Expression and location of geometrical objects in the anchor object model）
該モデルアンカーオブジェクトは、幾何学的オブジェクトがその中で参照される、座標システムを規定するために使われる。原理的に、どんなモデルオブジェクトもこの目的に役立つが、典型的に写像するのが容易なオブジェクトが使われるであろう。本発明の背景では、アンカー点集合又はアンカー線集合が好適なオブジェクトである。
ユークリッド座標と線分に基づくユークリッドオブジェクト写像（Euclidean coordinates and Euclidean object mapping based on a line segment）
少なくとも２点を有する点集合の２点ａとｂが、局所的モデル座標システムを付与するために選ばれる。ｘ軸は両点を接続する線と一致するよう選ばれてもよい。向き（sense）は第１点から第２点に向かうよう選ばれ、該線分の長さａｂは１（unity）であるよう正規化される。ｙ軸の方向は該ｘ軸に直角に選ばれ、該ｙ軸の向きは該ｘ軸と右手座標システムが形成されるようになっている（正のｘ軸から正のｙ軸への回転が反時計方向にある）。この方法で、正規直交座標システムが形成され、それはユークリッドオブジェクト写像での使用に好適である。
重心座標と３角形に基づくアフインオブジェクト写像（Barycentric coordinates and affine object mapping based on a triangle）
２点Ｐ1及びＰ2のアフイン組み合わせは、α1＋α2＝１の条件で、Ｐ＝α1Ｐ1＋α2Ｐ2と規定される。この点Ｐは、もし０≦ｔ≦１ならばＰ1とＰ2をつなぐ線分上のどこかにある。等価的な形、Ｐ＝（１−ｔ）Ｐ1＋ｔＰ2＝Ｐ1＋ｔ（Ｐ2−Ｐ1）はα2＝ｔとしたアフイン変換である。もし何れかのαiが０より小さいか又は１より大きいなら、該点は該線分の外部にあるだろう。α1か又はα2か何れかがゼロであるなら、その点はそれぞれＰ2か又はＰ1か何れかと一致するであろう｛図３（ａ）｝。同様に、平面内の新しい点Ｐが、α1＋α2＋α3＝１の条件でＰ＝α1Ｐ1＋α2Ｐ2＋α3Ｐ3として規定される３つの点Ｐ1，Ｐ2，Ｐ3の組み合わせにより規定され得る。このアフイン組み合わせは３角形ΔＰ1Ｐ2Ｐ3内の点をＰ＝Ｐ1＋α2（Ｐ2−Ｐ1）＋α3（Ｐ3−Ｐ1）として規定する。何れかのαiがゼロより小さいか又は１より大きいならば、該点は該３角形の外側にあるであろう。もし何れかのαiがゼロであるなら、該点は該３角形の境界上にあるであろう｛図３（ｂ）｝。
【０１２３】
アフイン平面（ｎ＝２）内の点の位置を説明するアフインｎ−空間用座標フレーム或いは簡潔にフレームは今、原点Ｏと、２つの１次的に（linearly）独立したベクトルと、を選ぶことにより形成される。２つの次元では、このフレームは
【０１２４】
【数３０】
0004624173.tif 000031
【０１２５】
と示される
【０１２６】
【数３１】
0004624173.tif 000032
【０１２７】
どんな点ＰもＰ＝ｐ1ｖ1→＋ｐ2ｖ2→＋Ｏとして一意的に（uniquely）に書かれ得る。もしＰ0＝Ｏ，Ｐ1＝Ｏ＋ｖ1→、Ｐ2＝Ｏ＋ｖ2→により点Ｐ0，Ｐ1，Ｐ2を規定し、ｐ0がｐ0＝１−（ｐ1＋ｐ2）であると規定するなら、Ｐは等価的にＰ＝ｐ0Ｐ0＋ｐ1Ｐ1＋ｐ2Ｐ2と書かれ、そこではｐ0＋ｐ1＋ｐ2＝１である。この形で、値（ｐ0，ｐ1，ｐ2）は該点（Ｐ0，Ｐ1，Ｐ2）に対しＰの重心座標（barycentric coordinates）と呼ばれ、３角形ΔＰ0Ｐ1Ｐ2を形成する３つの点に基づくアフイン座標フレーム内のオブジェクトを説明するため使われる。該ベクトル（ｖ1→、ｖ2→）は明らかに３角形ΔＰ0Ｐ1Ｐ2のそれぞれ辺Ｐ1−Ｐ0＝ｖ1→及びＰ2−Ｐ0＝ｖ2→を表す。
【０１２８】
２つの３点により形成される２つのフレーム
【０１２９】
【数３２】
0004624173.tif 000033
【０１３０】
は相互に関係付けられることが出来て
【０１３１】
【数３３】
0004624173.tif 000034
【０１３２】
すなわち１つのフレームの点オブジェクトの座標は、該第１フレームのベクトルと原点とを該第２フレームの基底ベクトルと原点との項で表すことにより、もう１つのフレーム内の写像された点の座標に変換され得て、それは後者が該ベクトル空間用の基底を形成するからである。かくして座標の変化がマトリックス掛け算を介して達成される。該マトリックスの行は新（第２）フレームＦに対する旧（第１）フレームＦのベクトルの座標から成り、次の様に示される。
【０１３３】
【数３４】
0004624173.tif 000035
【０１３４】
そして該積の最初の２項
【０１３５】
【数３５】
0004624173.tif 000036
【０１３６】
は該フレーム（ｖ1’→、ｖ2’→、Ｏ’）内の該新座標を表す。
【０１３７】
該第１フレームのベクトルの何れについても、該第２フレーム内でのそれらの座標と、従って該マトリックスＥ内のそれらの組み合わされた行は該第１フレームのベクトルを該第２フレームの各基底ベクトル上に射影することにより計算される。
【０１３８】
【数３６】
0004624173.tif 000037
【０１３９】
が目標フレーム（ｖ1’→、ｖ2’→、Ｏ’）内の一般的ベクトルを表すとする（以下
【０１４０】
【数３７】
0004624173.tif 000038
【０１４１】
をｔ→で示す）。もし我々が下記の様に規定すると
【０１４２】
【数３８】
0004624173.tif 000039
【０１４３】
ｐ’1、ｐ’2は（ｖ1’→、ｖ2’→、Ｏ’）内のｔ→の座標を表す。ｔ→＝ｖ1→とすることにより、量ｐ’1，ｐ’2はｅ11，ｅ12を表し、同様にｔ→＝ｖ2→とすることにより、量ｐ’1，ｐ’2はｅ21，ｅ22を表す。ｔ→＝Ｏ’−Ｏとすることにより、ｅ31とｅ32は計算される。
【０１４４】
３次元では
【０１４５】
【数３９】
0004624173.tif 000040
【０１４６】
フレーム（ｖ1→、ｖ2→、ｖ3→、Ｏ）をフレーム（ｖ1’→、ｖ2’→、ｖ3’→、Ｏ’）と関係付けるマトリックスＥは４×４マトリックスであり、下記行列式を規定し、
【０１４７】
【数４０】
0004624173.tif 000041
【０１４８】
そして（ｖ1’→、ｖ2’→、ｖ3’→、Ｏ’）内のｔ→の座標を表すｐ’1＝Ｄ1／Ｄ、ｐ’2＝Ｄ2／Ｄ、ｐ’3＝Ｄ3／Ｄを計算することによりクレーマーの規則（Cramer's rule）を使って計算される。ｔ→＝ｖ1→、ｔ→＝ｖ2→、ｔ→＝ｖ3→、ｔ→＝Ｏ’−Ｏとすることにより、Ｅの４つの行が計算される。
【０１４９】
明らかに、該第１フレームはモデル画像内のアンカー点により形成される座標システムを表し、該第２フレームは現実の画像内に写像されたアンカー点により形成される座標システムを表し、そして該変換はモデル座標フレーム内の規定されたオブジェクトが現実の画像内のそれらの対応するオブジェクトに写像される方法を説明している。
【０１５０】
このアフイン写像方法はベクトルを含むようにも拡張され得る。
【０１５１】
【数４１】
0004624173.tif 000042
【０１５２】
が第１アフインフレーム内のベクトルであり（以下
【０１５３】
【数４２】
0004624173.tif 000043
【０１５４】
をｖ→で示す）、そしてＰとＱがｖ→＝Ｐ−Ｑである様な何等かの２点であるとする。我々はアフイン変換により該第２フレーム内に写像されたベクトルがＦ（ｖ→）＝Ｆ（Ｐ−Ｑ）＝Ｆ（Ｐ）−Ｆ（Ｑ）により与えられるベクトルであると規定する。
【０１５５】
線は点とベクトルの組み合わせ、Ｌ＝Ｐ＋αｖ→として規定され得て、線オブジェクトの写像はＦ（Ｌ）＝Ｆ（Ｐ）＋αＦ（ｖ→）により決定される。
射影座標と４角形に基づくオブジェクト写像（Projective coordinates and object mappings based on a quadrangle）
点が３角形に基づきアフインフレーム内の重心座標で一意的に表されると同様に、点は４角形に基づき射影フレームにより規定された座標内で一意的に表される。モデル画像内の射影フレームを基準にする点を目標画像の射影フレーム内のその対応する点へ写像する幾何学的及び代数学的手順が結局概説される。
幾何学的手順（Geometric procedure）
アフイン又は双１次座標写像での距離の比の保存及び３つに於ける規則（preservation of ratio of distances and the rule of three in affine or bilinear coordinate mappings）と同様に、射影写像は４つの共線上の点の間の距離の交叉比（cross ratio）を保存する。該手順は更に、平行線の交叉点が射影変換下でその線方向用の消失点（vanishing point）へ写像される事実に依存する。
【０１５６】
射影平面内の４つの共線上の点ｐ1，ｐ2，ｐ3，ｐ4（該アフイン平面内のそれらの相手方の点Ｐ1，Ｐ2，Ｐ3，Ｐ4を伴う）の交叉比Ｃｒ（ｐ1，ｐ2；ｐ3，ｐ4）は下記で与えられ
【０１５７】
【数４３】
0004624173.tif 000044
【０１５８】
そこではΔijはアフイン座標（ｘi、ｙi）とそれぞれの（ｘj、ｙj）を有する点ＰiとＰjの間のユークリッド距離である。該ユークリッド距離Δijは射影点ｐiとｐjの同次座標（Ｘi，Ｙi，Ｗi）と（Ｘj、Ｙj、Ｗj）から下記の様に計算される。
【０１５９】
Δij＝[｛（Ｘi／Ｗi）−（Ｘj／Ｗj）｝2＋｛（Ｙi／Ｗi）｝−（Ｙj／Ｗj）｝2]1/2
もし該点の１つが無限大にあれば、Ｃｒ（ｐ1，ｐ2；ｐ3，ｐ4）内の項が取り消され、該交叉比は残り３点の比に減じられる。
【０１６０】
図４を参照すると、単位正方形基準フレーム内の射影ｊの座標はモデル４角形のアフイン共線上の点Ｕ1，Ｐ、Ｕ2、ＶＰ1から下記の様に計算される。
【０１６１】
ｊ＝１−１／｛Ｃｒ（Ｕ1、Ｐ；Ｕ2、ＶＰ1）｝
該単位正方形基準フレーム内の該射影ｉ座標は同様な方法でアフイン共線上の点Ｖ2，Ｖ1，Ｐ、ＶＰ2から計算される。
【０１６２】
写像される点Ｐ’は今、線Ｘ1ＶＰ’1（又は等価的にＸ1Ｘ2）と線Ｙ2ＶＰ’2（又は等価的にＹ1Ｙ2）の交点として得られる。
【０１６３】
点Ｖ2の写像である点Ｙ2（そして同様にＹ1）は、目標画像内の最終形状（resultant configuration）Ｃｒ（Ｄ’、Ｙ2；Ｃ’、ＶＰ’1）の交叉比がモデル内の交叉比Ｃｒ（Ｕ1、Ｐ；Ｕ2、ＶＰ1）と等しくなるように、点Ｄ’からＣ’までの距離で線Ｄ’Ｃ’上にそれを描くことにより作られ、該交叉比は射影座標ｊに基づく交叉比１／（１−ｊ）と等価である。点Ｘ1とＸ2は同様に該射影座標ｉに基づく交叉比を使って作られる。
代数学的手順（Algebraic procedure）
モデル４角形を基準にしたモデル点の射影写像を決定する代数学的手順は、前に概説した４つの４角形コーナー点の対応から確立された射影変換Ｔに基づいている。目標画像内の写像された入力点の位置の同次座標はＰの射影座標にＴを掛け算することにより直接得られる。Ｐ’の画像座標は次に該同次座標により割り算することにより得られ、下記の様である。
【０１６４】
ｘ＝（ａ11ｕ＋ａ12ｖ＋ａ13）／（ａ31ｕ＋ａ32ｖ＋ａ33）
ｙ＝（ａ21ｕ＋ａ22ｖ＋ａ23）／（ａ31ｕ＋ａ32ｖ＋ａ33）
３．幾何学的オブジェクトの写像（Mapping of geometrical objects）
３．１  幾何学的オブジェクトの規定するパラメーターへの写像関数の適用（Application of the mapping function to the geometrical objects' defining parameters）
今、局所的座標システム内で規定されたオブジェクトが計算された変換を使って出力画像内に写像される。該写像結果は結局幾つかの要素的でしばしば使われる、幾何学的オブジェクトについて説明される。線形の射影写像は、該写像されたオブジェクトの形状に関するその不変特性（invariance property）のために、特に関心が持たれる。
点写像（Point mapping）
点は、それらが解剖位置を説明するために直接的な仕方で、或いは線や円の様なより高い次元のオブジェクトを指定するために間接的な仕方で、使われ得るので基本的な幾何学的オブジェクトである。前に概説した様にモデル及び目標画像内のアンカーオブジェクト間の対応を確立することにより指定された変換Ｔが与えられると、モデル点ｕ＝（ｕ，ｖ）は該変換を適用する、すなわちｘ＝Ｔｕにより該目標画像内の点ｘ＝（ｘ、ｙ）に写像される。
線写像（Line mapping）
線はユークリッド（類似）変換、アフイン変換そして射影変換下で線の儘である。しかしながら、双１次変換下では、線はもしそれらが画像座標軸と平行である場合のみ直線であるが、それ以外の場合はそれらは２次の曲線（放物線）に変換される。
長方形、多角形そして関心のある領域（アールオーアイ）の写像とアールオーアイ抽出｛Rectangle, Polygons and Region of Interest（ROI）mapping and ROI extracting｝
多角形はピース状の直線境界の集合から成り、従ってそれはユークリッド（及びユークリッド類似）変換、アフインそして射影変換下で多角形の儘である。長方形は、それが画像内の関心のある領域を表すので、特に関心がある。長方形（Rectangles）はユークリッド類似変換下でのみ長方形（rectangular）の儘となる。アフイン変換は、平行性（parallelism）を保存するので、長方形を平行４辺形に変形させる。射影変換は長方形を一般的に長方形に変形させる。続いて、長方形の目標形状を保存する方法が、ユークリッド、アフイン又は射影写像下で長方形を写像するように工夫される。
【０１６５】
長方形のアールオーアイは、図１に描いた最初の２つのモデルアンカー点により規定される座標システム（ｕ’、ｖ’）とそれぞれの（ｘ’、ｙ’）内でエンコードされる。２種類のエンコーデイングが区別され、本発明の背景では相対的又は絶対的と称される。
【０１６６】
相対的エンコーデイングは長方形のアールオーアイのベース（base）を規定する２点が該アールオーアイの高さと一緒に該アールオーアイを決定するよう指定されることを示すため導入された用語である。該（ｕ，ｖ）モデル座標システム内の画像境界と平行なアールオーアイは一般に該（ｘ、ｙ）目標座標システム内の該画像境界に平行でないアールオーアイに写像される。従って、回転要素により、該最終の写像されるアールオーアイの境界は元のモデルアールオーアイ境界に平行には留まらない。
【０１６７】
この種の相対的写像は例えば骨年齢スコア付け（bone age scoring）用に有利でり、その場合、最終抽出されたアールオーアイの骨の軸線が該アールオーアイの画像境界に平行になるように、長方形アールオーアイの抽出時に、指の回転が考慮されねばならない。
【０１６８】
絶対的エンコーデイングは、長方形のアールオーアイの原点（origin）を規定する１つのベース点のみが、該アールオーアイの幅及び高さと一緒に、該アールオーアイを決定するため指定されることを示すため導入された用語である。回転要素はこの種のアールオーアイ写像では無視される。該（ｕ，ｖ）モデル座標システム内の画像境界と平行なアールオーアイは該（ｘ、ｙ）目標座標システム内の該画像境界にも平行なアールオーアイに写像される。従って、回転要素を無視することにより、該最終の写像されたアールオーアイの境界は元のモデルアールオーアイ境界に常に平行に留まる。
【０１６９】
この種の絶対的写像は、例えば、測定点を置く時により良い位置精度を考慮するために、全脚検査で充分な解像度でのアールオーアイ抽出用に有利である。これらのアールオーアイは、大腿部及び頸骨部シャフトに沿う領域、そして大腿部ネック範囲と、膝関節範囲と、そして足根関節範囲の領域、を含むのが典型的である。現実の骨の軸線角度に拘わらず、ユーザーは目標画像境界に平行にあるアールオーアイを抽出するよう願うのが典型的である。従って、変換マトリックスから示唆される回転は無視されねばならない。これは該変換マトリックスを該モデル内の該アールオーアイの原点に適用し、そして更に該モデルアールオーアイの角度を固定して残すことにより該アールオーアイの原点を写像することによってのみ達成され得る。該長方形の描画は次いで２つの方法の１つで完成する。該写像する長方形の幅と高さは分解された変換マトリックスのスケール係数から決定され、該長方形は該モデル長方形への平行性が保持されるよう描かれる。代替えは、それに該変換を適用することにより対角線的に並置されたアールオーアイのコーナー点を写像し、そして更に対応するモデル及び目標アールオーアイの辺の等しい角度（すなわち平行性）を尊重しながら、該アールオーアイの描画を完了することである。
【０１７０】
多角形オブジェクトも、相対的にか又は絶対的にか何れかで、同様な適合する方法で写像される。相対的写像はベース線を写像し、その辺の残りを作り、そして更に該辺の長さにスケール係数を適用し、該多角形の辺間角度（inter-side angles）を尊重することにより達成される。絶対的写像は該多角形の原点（origin point）を写像し、該辺の長さにスケール係数を適用するが該辺を対応するモデル多角形の辺と平行に残して該多角形を描き直すことにより達成される。
【０１７１】
モデル画像内の長方形又は多角形のアールオーアイのエンコーデイングは下記の様に進む（図１）。該長方形又は多角形のアールオーアイのベース点の（ｕ’、ｖ’）座標のｕ’要素はアンカー点ａ1とａ2により形成されるアンカー線に対する速度（speed）を計算することにより決定される。線ａ1ａ2に対する点の速度は、該ｕ’軸に沿う該（ｕ’，ｖ’）座標システムの原点からの相対的に射影された距離に等しい。該（ｕ’，ｖ’）座標の原点はアンカー点ａ1に一致する。ａ1と一致する射影された点は速度０を有する（この様な点は該ｖ’軸上にある）。ａ2と一致する射影された点は速度１を有する。ａ1とａ2の間で射影する何等かの点は０と１の間の速度を有し、ａ1の前に射影する何等かの点は０より小さい速度を有し、ａ2の後の射影する何等かの点は１より大きい速度を有する。ａ1とａ2の間の長さはかくして１（unity）に標準化（normed）される。この長さは又ｖ’座標を標準化する。ｖ’軸は該ｕ’軸に直角に作られ、それが右手座標システムを形成するよう正の向きを有する。該点のｖ’座標は該点を該ｖ’軸上に射影し、該原点までの該射影された距離をａ1とａ2の間の長さで割ることにより決定される。
【０１７２】
該相対的エンコーデイングでは、該長方形領域の両ベース点が、該長方形の高さと共に、この方法でエンコードされる。該絶対的エンコーデイングでは、唯１つのベース点が、該長方形の幅及び高さと共に、エンコードされる。
【０１７３】
少ない数のアンカー点対応からは、該幾何学的変換が計算され、該モデル長方形のベース点（複数を含む）に適用される。
【０１７４】
該相対的な場合では、幅と高さに適用されるスケール係数は、モデル長方形のベース点間の距離に対する写像された長方形のベース点間の距離の比から決定されてもよい。
【０１７５】
該絶対的な場合では、幅と高さに適用されるスケール係数は、第１に、前に誘導した様に、アフイン又は射影写像マトリックスをスケーリング、並進、回転、剪断及び透視の要素に分解し、第２に該スケーリングマトリックスから該スケール係数を取ることにより決定される。この絶対的写像はスケーリング、並進、剪断（該アフイン写像用に）そして透視（該射影写像用に）要素のみを連結することにより、該幾何学的変換内の回転要素を無視する。
【０１７６】
該絶対的角度アールオーアイ写像及びアールオーアイ抽出は、該アールオーアイを抽出する空間的補間が行及び列に沿って分離可能な方法で動作するように、該アールオーアイが該目標画像座標軸ｘ及びｙと整合されて留まる明らかな利点を有する。
円及び楕円写像（Circle and ellipse mapping）
円はユークリッド（ユークリッド類似）変換下では円の儘である。該円の中心は前に説明した様に点として写像され、該半径は前に決定された様にスケール係数Ｓでスケール合わせ（scaled）される。
【０１７７】
射影又はアフイン変換下では、円は円錐又は別の種類の円錐に射影され、その楕円、双曲線そして放物線のオブジェクトと、パラメーターと、は続いて説明される様に変換係数から決定され得る。
【０１７８】
該モデル内の円の一般的方程式は下記で与えられる。
【０１７９】
（ｕ−ｕ0）2＋（ｖ−ｖ0）2＝ｒ2
（ｕ，ｖ）モデル点を（ｘ、ｙ）目標点に写像する射影変換Ｔを下記の様に書くが、
【０１８０】
【数４４】
0004624173.tif 000045
【０１８１】
ここで係数ｉは、該変換がスケール係数までのみ決定するので、１に正規化されてもよい。（ｕ，ｖ）を（ｘ、ｙ）に関係付ける方程式はその時逆変換Ｔ-1を適用することにより与えられ、それは下記を生ずる。
【０１８２】
【数４５】
0004624173.tif 000046
【０１８３】
ｇ＝ｈ＝０である純粋なアフインの場合については、該（ｕ，ｖ）と（ｘ、ｙ）の関係は下記の様に簡単化される。
【０１８４】
【数４６】
0004624173.tif 000047
【０１８５】
この射影とそれぞれのアフインの方程式を該円の方程式に導入することは該目標画像内に写像されたオブジェクトの２次方程式を生じ、それは下記の２つの次元の円錐曲線（a conic）の一般的方程式である。
【０１８６】
Ａｘ2＋２Ｂｘｙ＋Ｃｙ2＋２Ｄｘ＋２Ｅｙ＋Ｆ＝０
或いはマトリックス形式で下記となり
【０１８７】
【数４７】
0004624173.tif 000048
【０１８８】
但し、Ｑは下記の様であり、
【０１８９】
【数４８】
0004624173.tif 000049
【０１９０】
かつ、ここでは、係数Ａ．．．Ｆは対応により確立される変換マトリックスＴの元の係数ａ．．．ｈの関数である。
【０１９１】
該円錐曲線はｄｅｔ（Ｑ）＜０そしてＡＣ−Ｂ2＞０の時実の楕円オブジェクトである。該楕円の長軸はｘ軸と下記で与えられる角度αを作る。
ｔａｎ（２α）＝２Ｂ／（Ａ−Ｃ）
円オブジェクトと同じ方法で、楕円オブジェクトがユークリッド、アフイン又は射影写像下で円錐曲線オブジェクトに写像される。
ベジエ及びスプラインオブジェクト写像（Bezier and Spline object mapping）
これらのオブジェクトは第１にそれらの制御点を変換し、第２に該オブジェクトの新しい制御点により該曲線（又は３Ｄ内の表面）を再生（rgenerating）することにより該画像内に写像される。ベジエ及びスプライン曲線はアフイン写像下では不変の儘であり、そして有理ベジエ及び有理スプライン曲線は射影写像下では不変の儘であり、すなわち、変換された曲線は変換された制御点に基づくのみで曲線を再生することにより得られる。続いて各曲線の規定がその写像される形と共に与えられる。
ベジエ曲線（Bezier curve）
特定的に、ｎ次のベジエ曲線が０≦ｕ≦１の場合について下記で規定される。
【０１９２】
【数４９】
0004624173.tif 000050
【０１９３】
基底混合関数（basis blending function）は下記で与えられるｎ次のベルンスタイン多項式（Bernstein polynomials）である。
【０１９４】
Ｂi,n（ｕ）＝[ｎ！／｛ｉ！（ｎ−ｉ）！｝]ｕi（１−ｕ）n-i
この式の幾何学的係数｛Ｐi｝は平面曲線、Ｐi＝（ｘi，ｙi）用、空間曲線Ｐi＝（ｘi，ｙi，ｚi）用の制御点と呼ばれる。元の集合｛Ｐi｝に幾何学的写像を適用することにより得られる該写像されて制御点を集合｛Ｐi’｝により示すことにより、写像されたｎ次のベジエ曲線Ｃ’（ｕ）は写像された制御点に基づいて発生され、すなわち、０≦ｕ≦１の場合について下記の様である。
【０１９５】
【数５０】
0004624173.tif 000051
【０１９６】
有理ベジエ曲線（Rational Bezier curve）
ｎ次の有理ベジエ曲線は０≦ｕ≦１の場合について下記の様に規定される。
【０１９７】
【数５１】
0004624173.tif 000052
【０１９８】
ここで
【０１９９】
【数５２】
0004624173.tif 000053
【０２００】
はこの曲線形式用の有理基底関数を表す。
【０２０１】
多項式ベジエ曲線の写像と同様に、写像された有理ベジエ曲線は制御点の幾何学的変換を通して得られ、すなわち０≦ｕ≦１の場合について下記の様である。
【０２０２】
【数５３】
0004624173.tif 000054
【０２０３】
有理曲線を使うことについての下にあるアイデアはｎ次元空間内の有理曲線が、同次座標を導入することにより（ｎ＋１）次元空間での多項式非有理ベジエ曲線として表されることであり、他の座標Ｘ（ｕ）、Ｙ（ｕ）（２Ｄ曲線用）又はＸ（ｕ）、Ｙ（ｕ）、Ｚ（ｕ）（３Ｄ曲線用）がそれにより割られる該同次座標Ｗ（ｕ）は下記である。
【０２０４】
【数５４】
0004624173.tif 000055
【０２０５】
この同次座標による割り算の演算は、原点（origin）に中心を有する超平面（hyper-plane）Ｗ＝１上への透視写像に幾何学的対応する。Ｘ線画像形成では、該原点は物理的には点Ｘ線源（X-ray point source）を表し、該超平面Ｗ＝１は検出器平面（detector plane）を表す。この操作は、円、楕円、双曲線、円柱、円錐、球の様な幾つかの重要曲線は多項式により表され得ず、多項式の比である有理関数を使って表され得る点で有利である。
【０２０６】
放射線写真の及び医学的な画像形成の背景では、この操作は患者の３Ｄ空間曲線の検出器又は画像形成面上への射影用の解析的表現を導くため使われる。もう１つの例はＣＴ画像からのデジタル放射線写真再生（digital radiograph reconstruction）｛デーアールアール（DRR）｝の分野にあり、そこでは、ことによると３Ｄデータ点に適合される、該ＣＴ画像内の曲線状オブジェクトの形状が有理ベジエ曲線、そして該３Ｄ曲線を同次化（homogenizing）することにより得られる該デーデーアール内のその射影として表され得る。該射影を直接適用するためには、該曲線状のオブジェクトは、該Ｘ線源から該検出器面の方へ正に配向され、該面に直角であるｚ軸を有する座標システムで表されねばならない。３Ｄ空間で該曲線に沿い該原点に対する深さ又は高さを表す、関数ｚ（ｕ）は今同次座標Ｗ（ｕ）として作用し、該空間曲線の該検出器面上への射影を得るために分母として使用される。３Ｄ空間内の該オブジェクトの関数ｘ（ｕ）、ｙ（ｕ）は同次座標Ｘ（ｕ）、Ｙ（ｕ）を表す。該検出器面上の該２Ｄ画像内の該射影された３Ｄ曲線の位置（ｘ’（ｕ）、ｙ’（ｕ））はその時下記の様に得られる。
【０２０７】
ｘ’（ｕ）＝Ｘ（ｕ）／Ｗ（ｕ）、ｙ’（ｕ）＝Ｙ（ｕ）／Ｗ（ｕ）
従って、有理ベジエ曲線による３Ｄオブジェクト形状の利用と表現は画像形成過程に物理的基盤（physical ground）を有する。オブジェクトが該中央射影方向に整合されたｚ軸を有する座標システムで表されない時は、上記で概説したユークリッド変換により表される剛体オブジェクト変換がｘ（ｕ）、ｙ（ｕ）、ｚ（ｕ）の制御点に最初に適用されねばならない（等価的に４×４マトリックスが同次座標で表された４次元制御点に適用されてもよい）。
スプライン曲線（Spline curve）
１つの多項式セグメントのみにより表されるベジエ曲線は高度に幾何学的な詳細を有するオブジェクト形状を表すのには不適当であり、形状の変化は全制御点に影響するので、オブジェクト形状の局所的制御とそれでもなお効率的な表現とを可能にするスプライン曲線が導入された。
【０２０８】
第ｐ次のＢスプライン曲線はａ≦ｕ≦ｂの場合下記で規定され、
【０２０９】
【数５５】
0004624173.tif 000056
【０２１０】
ここで該｛Ｐi｝は合体して制御多角形を形成する制御点を表し、該｛Ｎi,p（ｕ）｝は非減少実数（non-decreasing real numbers）の非周期的で非一様節点ベクトル（non-periodic and non-uniform knot vector）（ｍ＋１節点）上で規定され、下記の様に重複度（multiplicity）ｐ＋１のａ及びｂを有するｐ次基底スプライン（Ｂスプライン）基底関数｛p-th degree basis spline（B-spline）basis functions｝である。
【０２１１】
Ｕ＝｛ｕ0，．．．ｕm｝＝｛ａ，．．．ａ、ｕp+1、．．．ｕm-p-1、ｂ、．．．ｂ｝
内部節点を有しないスプライン曲線はベジエ曲線である。この様なスプライン曲線は０及び１の重複度ｐ＋１を有する形式Ｕ＝｛０，．．．、０，１，．．．１｝の節点ベクトルを有し、ｐ次のベルンスタイン多項式（Bernstein polynomial）を生ずる。
【０２１２】
ベジエ曲線の写像と同様に、写像されるスプライン曲線は、該制御点｛Ｐi｝を写像し、該写像された制御点｛Ｐi’｝に基づき目標画像内に該スプライン曲線を再生することにより下記の様に得られる。
【０２１３】
【数５６】
0004624173.tif 000057
【０２１４】
有理スプライン曲線（Rational spline curve）
ｐ次有理スプライン曲線はａ≦ｕ≦ｂの場合に下記の様に規定されるが、
【０２１５】
【数５７】
0004624173.tif 000058
【０２１６】
ここでは下記を用いている。
【０２１７】
【数５８】
0004624173.tif 000059
【０２１８】
再び、該｛Ｐi｝は合同して制御多角形（control polygon）を形成する制御点（control points）を表し、そして｛ｗi｝はその重み（weights）である。該節点ベクトルが非周期的で、非一様（non-uniform）である時、すなわちａ及びｂの重複度をｐ＋１として下記である時、
Ｕ＝｛ｕ0、．．．ｕm｝＝｛ａ，．．．ａ，ｕp+1，．．．ｕm-p-1，ｂ，．．．ｂ｝
これらの曲線は従来技術でＮＵＲＢＳ曲線｛非一様有理基本スプライン（Non-Uniform Rational Basic Splines）｝として公知である。内部節点（interior knot）を有しないＮＵＲＢＳ曲線は有理ベジエ曲線（rational Bezier curve）である。一般に、ＮＵＲＢＳ曲線は特殊な場合として非有理Ｂスプラインと非有理及び有理ベジエ曲線を含む。
【０２１９】
有理ベジエ曲線に於ける様に、Ｃ（ｕ）の全ての変換（transformation）と直交射影（orthographic projections）は該演算を３次元制御点｛Ｐi｝に適用することにより得られる。この特性はアフィン不変（affine invariance）と呼ばれる。透視変換が曲線に適用されると、新しい重み｛ｗi｝がＮＵＲＢＳ表現の数学的形式（formalism）内で計算されねばならず、その特性は透視変換下で不変（invariance under perspective transformations）と呼ばれる。
【０２２０】
ベジエ及びスプラインオブジェクトは医学的画像の診断範囲の外形（outlines）を表すのに特に有用であり、そのインスタンス化されたモデル（instantiated model）は、現実のセグメント化（actual segmentation）を得るための変形アルゴリズム（deformation algorithm）を適用する前に現実の画像に写像される必要がある。
【０２２１】
この写像操作は下記の様な応用で必要である。
・変形可能な輪郭モデルに基づいた筋骨格画像上での骨のセグメント化
・胸郭画像上での肺野外形（lung field outlines）の決定
・マンモグラフイック画像上での胸皮膚線（breast skin line）の決定
複合型幾何学的オブジェクト写像（Compound geometric object mapping）
複合型幾何学的オブジェクトは線分、円弧及び多項式形状（polynomial shape）の様な要素的オブジェクト（elementary objects）から成るオブジェクトである。該複合型オブジェクトの写像は翻ってその構成オブジェクトの各々を写像することにより達成される。医学的画像形成の分野での複合型幾何学的オブジェクトの例は、整形外科学で関節交換を計画する過程で使われる補てつ物（prostheses）及びインプラントの外形、又は外傷学的手術の計画で使われるスクリュープレート（screw plate）及びケージ（cage）の外形である。
３．２  エンジン及びユーザーインターフエース（Engine and User Interface）｛図５及び図６（ａ）｝
幾何学的写像方法を実施するシステムは２部分から成る。
・該エンジンは、アンカー点の写像と、幾何学的変換の内部計算と、該モデル及び目標座標システムに対する該幾何学的オブジェクトの表現及びエンコーデイングと、該オブジェクトの規定するパラメーターへの該幾何学的変換の適用とそして該目標画像内の該オブジェクトのグラフイカルな外形の再生と、の連鎖化に責任を負う内部部分を称する。アンカー点写像の連鎖化は、測定点の写像用の特許文献２で開示された種類の依存グラフ（dependency graph）に基づいてもよい。アンカーオブジェクト及び依存する幾何学的オブジェクトはクラスでインスタンス化された内部オブジェクトとして表され、その設計及び実施はオブジェクト指向システム（object-oriented systems）の原理に執着するものである。
【０２２２】
結局開示される応用に依り、該エンジンは更に追加的タスクの責任を負う。例えば、アールオーアイ写像及び抽出の場合、これらのタスクは画像再サンプリング及び補間、画像メモリー管理、及びデータベース操作（database operations）を含む。
・ユーザーインターフエースは該システムの外部部分を構成し、２つのウインドウから成るのが典型的である。第１ウインドウはモデルオブジェクトをそれらのアンカー点との幾何学的関係に於いて示す。第２ウインドウは普通該モデルオブジェクトが写像されるウインドウを表し、このウインドウは典型的に画像を含む。ユーザーインターフエースは、例えば、マウスカーソルを用いて、該写像された幾何学的オブジェクトがそれらの新しいポーズで描き直される（repainted）該目標画像内の該アンカーオブジェクトの位置を操作する手段を含む。
【０２２３】
特定の実施例では、該モデルオブジェクトを示す第１ウインドウは省略されてもよく、モデルアンカーオブジェクトのリストにより表されてもよい。これらのモデルアンカーオブジェクトは、該目標画像内にそれらを写像する前に該リストから連続的に選択される。
【０２２４】
該システムは基本的に２つのモードで動作する。
・対話型モード（interactive mode）では、ユーザーはモデルオブジェクトを、例えば、それら上をクリックすることによりシーケンシャルに選択する。ここでこのモデルオブジェクトのコピーが該カーソルに付着されてもよく、ユーザーはこのモデルオブジェクトを現実の画像に写像するよう促される。
【０２２５】
点のアンカー点については、ユーザーは意図された解剖的位置上の各点をドラグし、該モデル画像に適合するようドロップする。該システムは、幾何学的変換を計算するために充分な数の点に到達するとユーザーに注意する。必要なより余りに少数の点が入力されると、該システムは該変換が未だ決まらない（underdetermined）注意を発行する。
【０２２６】
アンカー線オブジェクトが２点で規定されてもよく、モデル線の選択の後、その規定する点の各々は個別アンカー点用と同じ仕方で位置付けられる。これらの点は、該線の位置及び配向が調整される必要がある時は該画像内でハンドルとして役立つ。
【０２２７】
幾何学的変換を計算するために必要な数のアンカー点又はアンカー線に到達すると、該システムは該モデルオブジェクト座標システムと該画像オブジェクト座標システムの間の写像を計算する。最後に、該幾何学的変換をそれらの規定するパラメーターに適用することにより該モデルオブジェクトは該モデル画像から現実の画像内に写像される。
【０２２８】
該現実の画像内の該アンカー点の幾つかを再調整することは、幾何学的変換の再計算を引き起こし、従って該オブジェクトの規定するパラメーターに新しい変換を適用することにより、該幾何学的オブジェクトの位置を更新する。
・自動型モードでは、該システムは、該画像内のそれらを写像するようユーザーに示唆するように、依存グラフ内のそれらに課される連鎖化により、該モデルアンカーオブジェクトの各々をハイライト（highlights）し、次にモデルアンカーオブジェクトにより規定された該座標システム内で規定されるオブジェクトの各々を写像する。このモードの位置付けは、更に、次の点の初期位置が、前の点に基づいて決定され、例えば、過剰決定されたユークリッド写像内の第３の点の初期位置は最初の２つに基づいて計算され（それは決定される仕方でユークリッド写像を規定する）、そして第４の点の位置が前の３つの写像された位置に基づいて決定され、以下同様に行われる点で、向上する。
【０２２９】
対話型及び自動型の両モードは間違った対応が確立され得ないと言う利点を有する。例えば、モデル４角形ＡＢＣＤが目標４角形Ａ’Ｂ’Ｃ’Ｄ’上に写像されねばならない時、各構成オブジェクトを写像する指令はユーザーか又は該システムか何れかにより課される。該オブジェクトをラベル付けすることにより、何時でも、該モデルのどのオブジェクトが写像されるかが知られる。動作のこのモードは従って写像されるべきオブジェクトの順列（permutations）に対し不変である。
３．３  オブジェクト写像方法の応用（Application of the object mapping methods）
放射線医学的スコア付け（Radiological scoring）（図５）
本発明はコンピュータ支援された放射線医学的スコア付けで特に有用である。好ましい実施例では、１セットの画像アールオーアイが抽出され、各アールオーアイは基準画像のセットに対し並置される、一方同時に、最も良くマッチする基準段階を見出すようそれらを通してスクロールする。特許文献１で開示されたこの原理は、例えば、固定数の予め規定された骨格のサイトが基準画像のセットに対して段階付け（staged）される必要がある、骨年齢スコア付け（bone age scoring）に応用されてもよい。タナーとホワイトハウスの方法で全ての骨格のアールユーエスと手根骨のアールオーアイを参照し配置するのに有用な、アンカー点オブジェクトは、例えば、第３指及び第５指の遠位の指節骨（phalanx）の遠位の先端と近位の指節骨−手根骨関節（phalanx-metacarpal joint）の中点（４点）、拇指の遠位の指節骨の遠位の先端と手根骨の近位の中点（２点）、第２及び第４手根骨の近位の中点（２点）そして尺骨（ulna）及び撓骨（radius）の遠位の中点、の合計８アンカー点である。図５（ａ）に描かれた、これらの点は、上記で概説したユークリッド類似写像の方法を使ってモデルテンプレートから該画像内にアールオーアイを写像するため対で使われる。各対は該モデル画像のアールオーアイを目標画像内に写像するため使われる変換マトリックスを確立する。次に、それがスコア付けする基準映像及び基準項目と共に近い近傍に最後に置かれる前に、双１次又はバイキュービックスプライン補間（bilinear or bi-cubic spline interpolation）の様な再サンプリング（re-sampling）又は補間過程により該画像から各アールオーアイが抽出される。アールオーアイ画像の略図が該アールユーエス骨について図５（ｂ）で、手根骨について図５（ｃ）で示される。
【０２３０】
スコア付けされる画像からアールオーアイを抽出したり、それらを基準映像に並置して提示する代わりに、アンカー点に基づく空間的写像操作を使う第２実施例は、骨格領域に近い近傍で該基準映像を該画像内に写像することに帰着する（例えば、特定領域のアールオーアイに触れる仕方で）。マウスのスクロールホイール（scroll wheel）又はキーパッドのアップ又はダウンキーを使って、該基準映像はスクロールされ、ユーザーは、基準映像と骨格領域の間の最大の類似性に対応するその基準段階を選択する。この操作の仕方は完全な入力画像がユーザーに視認可能の儘である利点を有する。
【０２３１】
該アールオーアイ及び基準映像写像は更に、類似性が相関に基づく画素式比較により測定される位置合わせ（registration）に基づく第３の実施例では有利である。この実施例では、該基準映像は、対応する骨格サイト上にオーバーレイするように空間的に一致する仕方で該画像内に写像される。該骨格領域が参照されるアンカー点はスコア付けされるべき骨格領域上に基準映像をスーパーインポーズ（superimpose）するよう使われる。線形及び非線形画像位置合わせ操作は、該骨格サイトに対しその最も対応した位置を見出すよう該アールオーアイに適用され、該位置あわせの類似性の程度が記録される。この位置合わせ操作は基準映像の各々用に繰り返され、類似度が最も高い段階が選択される。
放射線医学画像の品質管理（Radiological image quality control）
本発明はフアンタムを解析することにより品質管理及び品質保証の分野で更に特に有用である。フアンタムは、システムを測定するための固定のトポロジー的レイアウトと、エスエヌアール（SNR）、エムテーエフ（MTF）、デーキューイー（DQE）、コントラスト及び幾何学的解像度の様な画像品質パラメーターと、を有する解析用オブジェクトの空間的配置から成るのが典型的である。これらのパラメーターを計算するため行われる画像データ解析は特定の画像形成されたフアンタム位置上で動作する。例えば、背景に対する円形デイスクのコントラストを決定するために、該デイスク範囲（すなわち該デイスク境界内に完全に含まれる或る領域）と該デイスクを取り巻く背景と、がサンプルされねばならない。これらのサンプルの空間的位置は、解析オブジェクトモデル内で規定され（該フアンタムのＣＡＤモデルに基づいて）、それは該目標画像内に写像される（該フアンタムの画像）。該フアンタムは少ない数の容易に見分けられ、アンカー点として役立ち配置可能（locatable）なマーカー点を有し、それを全ての解析用オブジェクトが基準としている。これらのアンカー点の画像はユーザーにより配置され、それらのモデルアンカー点との対応に持ち込まれる。写像変換が計算され、該フアンタムの画像内の全ての解析する点の位置が次に計算される。解析する点の位置での明暗度（intensity）は品質測度（quality measure）を計算するため最後に使われる。例えば、該画像内の局所的コントラストを評価するために、デイスク内部の写像された円形領域と、前記デイスクの周りの写像された環状同心領域と、の明暗度の差が計算される。
放射線医学的画像測定（Radiological image measurement）（図６）
本発明は又、特許文献２に開示された様な放射線医学的測定応用でのキー測定点を予め位置付ける負担を軽減するために有用である。この応用での複数の測定点がそれらの対応する解剖構造位置上の画像に写像されねばならない。この特許では３つの配置モード、すなわち、手動配置、アールオーアイを拡大された配置そして変形可能な輪郭のセグメント化（deformable contour segmentation）に基づく自動配置、が開示されている。
【０２３２】
第１の配置モードの過程は、測定点をカーソルに取り付け、それを、該確立された幾何学的変換を該測定テンプレートの各モデル測定点に適用することにより得られる位置上の目標画像に予備写像（pre-mapping）する、ことにより向上させられる。アンカー点は該幾何学的変換を確立するために使われるが、しかしながら、又測定点自身は、該点の位置が該測定テンプレートを実行する過程で利用可能になる時、急いで該変換を精細化し、現実化又は計算するため使われてもよい。
【０２３３】
第２の設置モードは、最初に測定点を含む該アールオーアイをより高い又は充分な解像度まで自動ズームアップすることにより、そして第２に該測定点をそれらの真の解剖構造的位置に近い近傍の初期位置の方へ予備写像することにより、本発明でスピードアップされている。該自動ズームする過程は、別のポップアップされるウインドウ内にか、又は現在の画像ウインドウを完全に充たす様な仕方でか、どちらかで該画像の特定部分を拡大する。該予備写像する過程は、特定の測定点をその付随するアールオーアイ内のその初期位置へ写像し、ユーザーは、該点を前記拡大されたアールオーアイ内のその最終位置へドラグすることにより該写像タスクを達成する。元の画像内の点の座標は、該ズームされたアールオーアイの座標システムを該元の画像のそれとリンクする逆の幾何学的変換を適用することにより最終的に計算される。アールオーアイ選択と測定点写像との両者は上記で概説したアンカー点対応と、幾何学的変換の計算及び応用と、の方法に基づいている。
【０２３４】
第３の配置モードは該測定点の配置に関して何等ユーザー介入を要しない。代わりに、測定点及びオブジェクトの位置は、インスタンス化（instantiated）され次いで変形（deformed）されたモデル輪郭上のそれらの付随位置と局所的な幾何学的及び測光的特徴（photometric features）を使って間接的に指定される。該インスタンス化されたモデル輪郭の初期のポーズ（回転、並進及びスケール）はアンカーオブジェクトの小さな集合に基づき、該アンカーオブジェクトの該目標アンカーオブジェクトとの対応が該写像変換を確立する。
【０２３５】
特に、３Ｄ画像内の特定のスライスに組み合わされ、テンプレートウインドウ内にスタックとして表示される複数の個別測定テンプレートとして規定される、特許文献２の３Ｄ測定テンプレートを使う時、測定点は該現実の３Ｄ画像内の対応するスライスのそれらの対応する位置上に置かれねばならない。ＭＲ又はＣＴの様な現代の様式（modality）の高解像度３Ｄ画像は典型的に１０００スライスを有する。該測定セッションを実行中、その上に該測定点が位置付けられねばならない正しいスライスが見出されるまで、該スライスのスタックを通しスクロールすることは労力の要るタスクであることは明らかである。モデル及び現実の３Ｄ画像内で少ない数のランドマークアンカー点の対応により確立される幾何学的変換を使うことにより、通しスクロールすべきスライスの数は、該測定点に特有な範囲内までに低く狭められ得て、それにより探索時間を減じる。該変換は３つの次元であるので、点を写像する時初期スライスが予備選択されるのみならず、それはスライス内に予め位置付けられる。目標スライスを選択した後、該点は更に、それをその組み合わされた解剖位置上へドラグすることにより該スライス内に位置付けられる。全測定点の３Ｄ座標は次いで距離及び角度の様な３Ｄ計量実体（3D metric entities）を計算するため使われる。
整形外科的及び外傷学的インプラントテンプレーテイング（Orthopedic and traumatologic implant templating）
点、線、円及びスプラインの様な原子的幾何学的オブジェクトを写像する代わりに、該写像変換を該構成する要素的オブジェクトの各々に適用することにより、単に、少数のアンカー点に基づくだけで、この様な要素的オブジェクトから成るオブジェクトが、概してモデル画像ウインドウから目標画像内へ写像される。この様な構成されるオブジェクトは、２Ｄ又は３ＤのＣＡＤモデルとして補てつ物製造者から、又は従来の２Ｄのアセテートテンプレート（acetate template）のベクトル化され走査された輪郭から、直接得られるインプラント又は補てつ物外形（implant or prosthesis outline）であるのが典型的である。この写像は該補てつ物の選択と配置、すなわち普通テンプレーテイング（templating）として公知の過程、を可成りスピードアップする。手動のフイルムテンプレーテイング（manual film templating）の非自動化コンピュータ等価物（non-automated computer equivalent）としてフイルム上又はコンピュータデイスプレー上で行われる時、それは該補てつ物外形の解剖的画像データとの適合を得るよう、体系的でない仕方で連続的並進及び回転の様な、オブジェクトの広い操作を要する。本発明は、特定の画像形成された患者の解剖構造と良く一致する初期位置を提供することにより位置付け過程で役立つよう特に適合されており、その精度は、アンカー点又はオブジェクトの位置的精度に依存し、そしてその精度で、該テンプレートは該アンカーオブジェクトの座標システム内で規定されるのである。
【０２３６】
又より遠いオブジェクトの配置を自動化（automate）するため使われてもよいテンプレートオブジェクトの位置的依存性がある。全股関節部置換（total hip replacement）では、計画はインプラントの典型的に３つの部品、すなわち、大腿茎（femoral stem）、大腿頭（femoral head）及び寛骨臼杯（acetabular cup）、の選択と配置を含む。大腿茎が最初にＸ線写真画像内に置かれた時、該茎上に機械的に適合する大腿頭を置くことは、該頭の軸線が大腿テンプレート部品の大腿頸部軸線と一致するようアンカーオブジェクトとして該大腿茎を使って、自動配置されてもよい。同様に、寛骨臼杯は、大腿頭をアンカー点として使う写像により自動配置され、並進部品は大腿頭中心の位置から従い、そしてそれは該杯に適当な回転を適用した儘である。該寛骨臼杯が最初に置かれる時、その中心と配向は該大腿頭の再位置付け及び再配向を決定するため役立ち、それは今度は該大腿茎の予備位置付けと予備配向を決定する。
【０２３７】
補てつ物テンプレーテイングに関連するもう１つの応用は外傷学の分野であり、そこでは外科的手順の計画はスクリューケージ（screw cage）のグラフイックモデルの該画像上への配置を要する。又ここでは、この設置は、該グラフィックモデルがアンカー点又はアンカーオブジェクトの前の設置にリンクされるか又はそれに依存させられる時は、スピードアップし、より精密になる。先祖オブジェクト（ancestor object）の位置が既知の時は何時も、それらはアンカーオブジェクトとして使われ、それに対し、該依存するオブジェクトが参照され、上記で説明した写像方法により予備位置付けされる。
放射線医学画像セグメント化（Biological image segmentation）
本発明は場画像セグメント化（field image segmentation）に於いても有用である。医学的画像については、この基本的画像処理操作は、例えば、面積測定的（planimetric）、周辺長さ（perimeter）、面積又は容積測定（area or volumetric measurement）を行うために、解剖構造及び器官の輪郭を描くことを狙うものである。この目的で、セグメント化されるべきオブジェクト（複数を含む）の外形を初期化するグラフイックモデルが使われる。これらの輪郭は次いで、当該技術でスネーク（snake）セグメント化として公知の手法（approach）である、画像内部的｛例えば、勾配（gradient）｝及び輪郭内部的｛例えば局部曲率（local curvature）｝な力を印加することにより変形（deformed）される。しかしながら、重要な問題は該モデル輪郭の予備位置付け（pre-positioning）を含む。該輪郭（複数を含む）を少数のアンカーオブジェクト（例えば、解剖的ランドマーク点）の座標システム内に規定することにより、該目標画像内の該輪郭の初期位置は、該輪郭の規定するパラメーターに確立された幾何学的変換を適用することにより計算され得る。例えば、多角形の外形は該多角形の頂点に該変換を適用することにより、写像され、スプラインの外形は該スプラインの制御点に該変換を適用することにより写像され得る。どちらの例でも、該目標画像内の初期輪郭外形が規定するパラメーターに基づいて発生される。セグメント化の応用の例は次に与えられる。
【０２３８】
マンモグラフイー（mammography）の分野では、コンピュータ支援診断アルゴリズムは、ブレストマス（breast mass）領域上の画像のみで動作せねばならず、従って皮膚線（skin line）のセグメント化が必要である。初期のモデルの輪郭の写像は該ブレストの外形を記述する特性点（characteristic points）に基づく。特に、モデル外形を初期ブレスト皮膚外形の方へアフイン式ワープする（warping）ことで下記アンカー点、すなわち、（ａ）ＣＣ｛クラニオカウダル（cranio-caudal）｝マンモグラフイー図で、乳頭、胸壁に近いブレスト画像の左及び右の点（nipple, left and right point of the breast image near the chest wall）、（ｂ）ＭＬＯ｛中外側斜方の（medio-lateral oblique）｝図で、該胸壁（chest wall）の胸筋（pectoral muscle）の基部、該ブレスト画像の頂部での胸筋の最外位置、該乳頭及び該胸壁に近いブレスト画像の底部、が使われる。該写像された初期輪郭は更に、それがそのマンモグラム内の現実のブレストマスから直接露光領域への境界と一致するまで、例えばスネーク手法により変形される。
【０２３９】
同様な領域輪郭描きは、肺野の範囲が決定される必要がある胸郭画像のコンピュータ支援診断で必要である。肺野外形の写像はここでは胸郭画像内の特性点に基づいてもよい。特に、モデル外形を初期肺野外形の方へのアフイン写像又は射影写像では下記のアンカー点、すなわち、左及び右肋骨横隔膜陥凹（costophrenic sulcus）｛肋骨横隔膜角（costophrenic angle）とも呼ばれ、各角は肋骨（rib）の内面と横隔膜（diaphragm）のドームとの間で形成される｝、心臓の影（heart shadow）と横隔膜のドームとの左及び右の交線、そして左及び右の下部の鎖骨（clavicle）−”第３肋骨”交点、が使われる。
【図面の簡単な説明】
【０２４０】
【図１】本発明の背景で使われる座標システム：（ａ）モデル座標と（ｂ）目標座標システム：画像座標システムｕ，ｖとそれぞれのｘ、ｙ、そしてアンカー点及び写像されたアンカー点座標システムｕ’、ｖ’とそれぞれのｘ’、ｙ’、そしてアールオーアイ及び写像されたアールオーアイ座標システムｕ”、ｖ”とそれぞれのｘ”、ｙ”。
【図２】４角形ＡＢＣＤ内で参照された点Ｐの４角形Ａ’Ｂ’Ｃ’Ｄ’内で参照されて点Ｐ’への双一次写像。
【図３】重心座標系：（ａ）２点のアフイン組み合わせ、（ｂ）３点のアフイン組み合わせ。
【図４】４角形ＡＢＣＤ内で参照された点Ｐの４角形Ａ’Ｂ’Ｃ’Ｄ’内で参照された点Ｐ’への投影写像。
【図５ａ】相対エンコーデイングによりエンコードされた手の検査の関心のある領域。モデルテンプレートから目標画像の方へ写像されたアールオーアイは該画像内の現実の骨の軸線と整合される。対で取られたアンカー点｛図５（ａ）｝は指節骨と中手骨のアールオーアイを決定し｛図５（ｂ）｝、４つのアンカー点｛図５（ａ）｝はこの例で手根骨のアールオーアイを決定する｛図５（ｃ）｝。
【図５ｂ】相対エンコーデイングによりエンコードされた手の検査の関心のある領域。モデルテンプレートから目標画像の方へ写像されたアールオーアイは該画像内の現実の骨の軸線と整合される。対で取られたアンカー点｛図５（ａ）｝は指節骨と中手骨のアールオーアイを決定し｛図５（ｂ）｝、４つのアンカー点｛図５（ａ）｝はこの例で手根骨のアールオーアイを決定する｛図５（ｃ）｝。
【図５ｃ】相対エンコーデイングによりエンコードされた手の検査の関心のある領域。モデルテンプレートから目標画像の方へ写像されたアールオーアイは該画像内の現実の骨の軸線と整合される。対で取られたアンカー点｛図５（ａ）｝は指節骨と中手骨のアールオーアイを決定し｛図５（ｂ）｝、４つのアンカー点｛図５（ａ）｝はこの例で手根骨のアールオーアイを決定する｛図５（ｃ）｝。
【図６】絶対的エンコーデイングによりエンコードされた全脚検査での関心のある領域。モデルテンプレートから目標画像へ写像された該アールオーアイは画像境界と整合された儘留まる。そのアンカー点は大転子の頂点、膝関節の中心そして足根関節の中心である（該テンプレート枠内の黒い円）。大転子と膝中心は大腿骨ネック及び大腿骨シャフトのみならずこの例の膝関節アールオーアイも決定するため役立つ。膝の中心と足根の中心は頸骨シャフトのみならずこの例の膝関節及び足根関節のアールオーアイを決定するため役立つ。
【図７】アンカーオブジェクトにより画像内の幾何学的オブジェクトを写像する総合システム展望。
【符号の説明】
【０２４１】
Ａ  モデルの点
Ａ’  目標の点
ａ１，ａ２，ａ３  モデルの座標値
Ｂ  モデルの点
Ｂ’  目標の点
ｂ１．ｂ２．ｂ３  目標の座標値
Ｃ  モデルの点
Ｃ’  目標の点
Ｄ  モデルの点
Ｄ’  目標の点
ｉ  単位直角座標の座標軸又は双１次座標の座標軸
ｊ  単位直角座標の座標軸又は双１次座標の座標軸
ｏ、ｏ’、ｏ”  座標の原点
Ｐ、Ｐ1，Ｐ2，Ｐ3、Ｐ’  点
ＲＯＩ  関心のある領域
ｔ  比率
Ｕ1，Ｕ2  モデルの座標
ｕ、ｕ’、ｕ”、  モデルの座標システムの座標軸
Ｖ1，Ｖ2  モデルの座標
ｖ、ｖ’、ｖ”  モデルの座標システムの座標軸
Ｘ1，Ｘ2  目標の座標
ｘ、ｘ’、ｘ”  目標の座標システムの座標軸
Ｙ1，Ｙ2  目標の座標
ｙ、ｙ’、ｙ”  目標の座標システムの座標軸
α1，α2，α3  比率
【図１】
0004624173.tif 000060
【図２】
0004624173.tif 000061
【図３】
0004624173.tif 000062
【図４】
0004624173.tif 000063
【図５ａ】
0004624173.tif 000064
【図５ｂ】
0004624173.tif 000065
【図５ｃ】
0004624173.tif 000066
【図６】
0004624173.tif 000067
【図７】
0004624173.tif 000068