(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
物理的形状を生成する方法であって、
次式を用いて、コンピュータグラフィック、コンピュータ支援設計、物理的波形生成用のコンピュータアプリケーションでコンピュータをプログラミングすること、
【数１】
0004753474.tif 000031
但し、上式においてｒは角φにおける半径値である、
前記パラメータａ、ｂ、ｎ１、ｎ２、ｎ３、ｍ１およびｍ２の値を選択すること、但し、ｎ１、ｎ２、ｎ３の少なくとも１つ、およびｍ１およびｍ２の少なくとも１つは変数である、
前記式に代入された前記選択された値に基づいて前記コンピュータによってパターンを生成すること、および
前記生成されたパターンを物理的形状に変換すること、
を含む方法。
【請求項２】
物理的形状を生成する方法であって、
次式を用いて、コンピュータをプログラミングすること、
【数２】
0004753474.tif 000032
但し、上式においてｒは角φにおける半径値である、
前記パラメータａ、ｂ、ｎ１、ｎ２、ｎ３、ｍ１およびｍ２の値を選択すること、
但し、ｎ１、ｎ２、ｎ３の少なくとも１つ、およびｍ１およびｍ２の少なくとも１つは変数である、
前記数式に代入された前記選択された値に基づいて前記コンピュータによってパターンを生成すること、および
前記生成されたパターンを、製品の製造をコントロールすることによって、物理的形状に変換すること、
を含む方法。
【請求項３】
前記変換は、前記パターンを示すイメージを生成すること、ＸＹ座標で形状を生成すること、音を生成すること、あるいは前記式の幾何学的表現に基づくものである、請求項１又は２に記載の方法。
【請求項４】
前記パターン生成は、波形を生成することを含む、請求項１又は２に記載の方法。
【請求項５】
前記物理的形状は、二次元または三次元表現を含む、請求項1又は２に記載の方法。
【請求項６】
前記二次元または三次元表現は、対象物上に形成されあるいは表示され、前記対象物は好ましくはシート又はコンピュータモニタであり、前記シートは好ましくは紙片である、請求項５に記載の方法。
【請求項７】
前記二次元または三次元表現は、対象物の二次元または三次元形状を含む、請求項６に記載の方法。
【請求項８】
前記変換は、対象物のステレオリソグラフィーの実行、または対象物の迅速プロトタイピングの実行を含む、請求項２に記載の方法。
【請求項９】
更に、前記生成された形状を変更することを含み、前記変更は、請求項１に記載の式に基づく複数の形状の重ね合わせのプロセス、請求項１に記載の式に基づく複数の形状の反復プロセス、または前記パターンを膨張させることを含む、請求項1または２に記載の方法。
【請求項１０】
前記膨張は、ｎ１、ｎ２またはｎ３の少なくとも1つを階段的に増加させることを含む、請求項９に記載の方法。
【請求項１１】
前記膨張は、前記パターンを連続的に視覚的に認識し得るように行うものである、請求項１０に記載の方法。
【請求項１２】
前記変更は、少なくとも1つの他のパラメータを変更しながらｎ２＝ｎ３を維持することを含む、請求項９に記載の方法。
【請求項１３】
更に、実質的に真っ直ぐな辺を備えた多角形を作成するようなパラメータ値を提供することを含み、好ましくは前記パラメータ値のうちの少なくとも幾つかを変更することにより少なくとも三角形、四角形および五角形の間で前記多角形を変更することを更に含む、請求項９に記載の方法。
【請求項１４】
前記パラメータｎ１、ｎ２、ｎ３、ｍ１およびｍ２は変数であり、前記ａおよびｂの値は非可変定数であり、好ましくは、ｍ１とｍ２の値は同一であり、ともに選択され、前記選択のステップは、前記プログラミングするステップの間前記パラメータの少なくとも幾つかの値を確立することを含む、請求項１又は２に記載の方法。
【請求項１５】
前記選択は、前記コンピュータを介してまたは前記コンピュータによって実行される、請求項１または２に記載の方法。
【請求項１６】
更に、前記数式が線形演算子として機能するように前記コンピュータをプログラムすることを含み、例えば前記線形演算子を関数上で処理することを含む、請求項１又は２に記載の方法。
【請求項１７】
更に、前記数式がメトリックスを幾何学的スペース内に導入するように前記コンピュータをプログラミングすることを含み、例えば前記メトリックスを用いて第２形状内のポイントに第１形状内のポイントをマッピングし、前記第２形状内に前記ポイントの物理的形状を作成することを含み、前記物理的形状は好ましくは地理的マップあるいは地球である、請求項１又は２に記載の方法。
【請求項１８】
更に、1つの資料を提供することを含み、
前記変形のステップは、前記資料の表面上あるいはその内部に請求項１に記載の式に基づく複数の形状を形成することによって、あるいは請求項１に記載の式に基づく形状構成を備えた前記資料の少なくとも一部分を形成することによって、請求項１に記載の式に基づく複数の形状に基づく形状を含めるように前記資料を適用することを含む、請求項１又は２に記載の方法。
【請求項１９】
更に、
前記数式に基づいて第１パターンを作成すること、
前記数式に基づいて第２パターンを作成すること、前記第１および第２パターンは、少なくとも１つのパラメータａ、ｂ、ｎ１、ｎ２、ｎ３、ｍ１あるいはｍ２の相違に基づいて異なるものである、および
前記第１および第２パターンの物理的形状を見えるように表示することを含む、請求項１又は２に記載の方法。
【請求項２０】
前記表示は、前記第１および第２パターンが互いに接近して視覚的に表示されることを含み、例えば前記パターンは、少なくとも一つのシート上に表示される、請求項１９に記載の方法。
【請求項２１】
前記第1および第２パターンは時間的に連続して示される、請求項１９に記載の方法。
【請求項２２】
前記1および第２パターンは、例えばモニタやプロジェクタで、時間的に連続して視覚的に表示される、請求項２１に記載の方法。
【請求項２３】
前記パラメータのうちの少なくとも幾つかを徐々に増大させることにより作成された複数の追加パターンが、時間的に連続して表示され、徐々に段階的な視覚的変換を生成する、請求項２１に記載の方法。
【請求項２４】
前記第１および第２パターンの前記物理的形状は、時間的に連続して聴覚的に提供される波形を含み、例えば、少なくとも前記パラメータのうちのいくつかを徐々に増加することにより作成された複数の追加形状が、時間的に連続して聴覚的に提供され、徐々に段階的な視覚的変換を生成する、請求項１９に記載の方法。
【請求項２５】
１又は複数の前記パラメータａ、ｂ、ｎ１、ｎ２、ｎ３、ｍ１あるいはｍ２の値を前記コンピュータのメモリに保存し、複数の特定の形状に対応したデータを保存するように特定の形状に基づいて特定の方程式を作成することを含む、請求項１又は２に記載の方法。
【請求項２６】
コンピュータで物理的パターンを分析する方法であって、
前記プログラミングは、
次式で前記コンピュータをプログラミングすること、
【数３】
0004753474.tif 000033
但し、上式においてｒは角φにおける半径値である、
前記コンピュータにデジタル形式のパターンをインプットすること、
前記コンピュータ内の前記デジタルパターンを分析して前記式および前記パラメータａ、ｂ、ｎ１、ｎ２、ｎ３、ｍ１およびｍ２の値に基づいて、前記パターンのための一般化された式を決定すること、
前記パターンを分析する前記ステップに基づいて前記アウトプットを提供することを含む。
【請求項２７】
前記物理的パターンは、物理的対象物または波である、請求項２６に記載の方法。
【請求項２８】
前記物理的パターンは、イメージである、請求項２６に記載の方法。
【請求項２９】
前記波は、電磁波または音波である、請求項２７に記載の方法。
【請求項３０】
コンピュータ読み取り可能な記録媒体であって、
ａ）前記記録媒体は、コンピュータグラフィック、コンピュータ支援設計、物理的波形の生成用のコンピュータアプリケーションを表現した、コンピュータ読み取り可能なプログラムコードを格納したものであり、
ｂ）前記コンピュータ読み取り可能なプログラムコードは、以下の式を含み、
【数４】
0004753474.tif 000034
但し、上式においてｒは角φにおける半径値である、
例えば前記コンピュータ読み取り可能なプログラムコードは、コンピュータが、少なくとも１つの前記パラメータｎ１、ｎ２、ｎ３の値および少なくとも１つの前記パラメータｍ１およびｍ２の値を選択し、かつ製品の製造をコントロールすることによって前記生成したパターンを物理的形状に変換することによって、パターンを生成することができるように構成されている。
【請求項３１】
コンピュータ読み取り可能な記録媒体であって、
ａ）前記記録媒体は、コンピュータ読み取り可能なプログラムコードを格納したものであり、
ｂ）前記コンピュータ読み取り可能なプログラムコードは、以下の式を含み、
【数５】
0004753474.tif 000035
但し、上式においてｒは角φにおける半径値である、
例えば前記コンピュータ読み取り可能なプログラムコードは、コンピュータが、少なくとも１つの前記パラメータｎ１、ｎ２、ｎ３の値および少なくとも１つの前記パラメータｍ１およびｍ２の値を選択し、かつ製品の製造をコントロールすることによって前記生成したパターンを物理的形状に変換することによって、パターンを生成することができるようになされている。
【請求項３２】
コンピュータグラフィックイメージング用のコンピュータフラフィックディスプレイシステムであって、
プロセッサと、
メモリと、
前記コンピュータグラフィックイメージを表示するモニタとを有し、
前記コンピュータグラフィックディスプレイシステムは、下記の式でプログラムされており、
【数６】
0004753474.tif 000036
但し、パラメータａ、ｂ、ｎｉは、有限実数であり、ｎ１≠0、ｂ≠0であり、
前記コンピュータグラフィックディスプレイシステムは、前記メモリに保存され前記式に代入された前記パラメータａ、ｂ、ｎ１、ｎ２、ｎ３、ｍ１およびｍ２の一連の値に基づいて形状を生成するように構成されており、
前記モニターは、各種角度位置φに基づくｒの値に対応して前記モニター上に表示された前記形状の曲座標で前記プロセッサによって生成されたコンピュータグラフィックイメージとして前記形状の少なくとも１つの物理的描写を表示するものであり、前記パラメータａ、ｂ、ｎ１、ｎ２、ｎ３、ｍ１およびｍ２の値は１と等しくなく、ｎ２≠ｎ３であり、
前記コンピュータフラフィックイメージが最小限のコンピュータメモリ保存容量でユーザに見えるように前記モニター上に表示されるものとなされている。
【請求項３３】
更に、前記モニターは、ユーザのインプットまたはコンピュータ生成パラメータ値に基づいて、前記パラメータの少なくとも幾つかを変更することによって、前記コンピュータグラフィックイメージのコンピュータグラフィックイメージ変更を表示する、請求項３２に記載のシステム。
【請求項３４】
前記モニターに、前記コンピュータグラフィックイメージおよび前記コンピュータグラフィックイメージの変更を時間的に連続して表示することを含む、請求項３３に記載のシステム。
【請求項３５】
マウスまたはユーザが操作するディスプレイポインター装置を使って前記モニター上に表示された前記コンピュータグラフィックイメージを変更することを含む、請求項３２に記載のシステム。
【請求項３６】
スーパーポジションまたは反復操作で前記モニター上に表示された前記コンピュータグラフィックイメージを変更することを含む、請求項３２に記載のシステム。
【請求項３７】
前記システムは、生成された前記形状を変更するように構成されている、請求項３２に記載のシステム。
【請求項３８】
前記変更は、請求項３２に記載の式に基づく複数の形状を重ね合わせるプロセスを含む、請求項３７に記載のシステム。
【請求項３９】
前記変更は、請求項３２に記載の式に基づく複数の形状を反復するプロセスを含む、請求項３７に記載のシステム。
【請求項４０】
前記変更は、前記形状を膨張させることを含む、請求項３７に記載のシステム。
【請求項４１】
前記膨張は、ｎ１、ｎ２、ｎ３の少なくとも１つを段階的に増加させることを含む、請求項４０記載のシステム。
【請求項４２】
前記膨張は、前記形状が視覚的に認識できるように変形するようになされる、請求項４１に記載のシステム。
【請求項４３】
前記変更は、ｎ２、ｎ３以外の少なくとも１つのパラメータを変更することを含む、請求項３７に記載のシステム。
【請求項４４】
前記パラメータｎ１、ｎ２、ｎ３、ｍ１およびｍ２が選択され、ａおよびｂの値が非選択定数である、請求項３２に記載のシステム。
【請求項４５】
ｍ１およびｍ２の値が同じで、一緒に選択されたものである、請求項４４に記載のシステム。
【請求項４６】
前記システムは、
前記式に基づいて第２形状を生成すると共に、
前記第２形状は前記パラメータａ、ｂ、ｎ１、ｎ２、ｎ３、ｍ１およびｍ２の少なくとも１つにおける相違に基づいて前記形状と異なるものであり、
前記形状および前記第２形状を見えるように示すことによって、
形状間の関連性を提示するようになされている、請求項３２に記載のシステム。
【請求項４７】
前記提示は、前記形状および前記第２形状が互いに近接して視認できるように表示されることを含む、請求項４６に記載のシステム。
【請求項４８】
前記形状および前記第２形状が時間的に連続して提示される、請求項４６に記載のシステム。
【請求項４９】
前記形状および前記第２形状が時間的に連続して提示される、請求項４８に記載のシステム。
【請求項５０】
少なくとも前記パラメータｍ１またはｍ２を段階的に増加させることによって生成された、多数の追加の形状が時間的に連続して表示され、徐々に段階的な視認変換を生成する、請求項４８に記載のシステム。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【関連発明】
この出願は１９９９年５月１０日出願に係る米国仮出願第６０／１３３，２７９号の優先権主張を伴うものであり、その開示内容はそのまま完全な形でこの出願に引用された如く組み込まれるものとする。
【０００２】
【発明の属する技術分野】
この発明は、（音波や電磁波のようなイメージ及び波形のような）パターンの合成および既存パターンの分析に関する。
【０００３】
この発明は、以下に「スーパー公式」と称する単一公式によって各種幾何学的図形および形状を描く、本発明者によって開発された新規な幾何学的概念を用いたパターンの「合成」および「分析」を含むものである。この公式によって描かれる各種幾何学的図形および形状を、「スーパー形状」あるいは「スーパー螺旋」という。
【０００４】
【発明が解決しようとする課題】
コンピュータ技術の出現に伴い、 （例えば光や電気などの各種音や電磁波のようなイメージや波形等の） パターンを合成しあるいは分析する各種方法が開発されている。イメージを合成するための各種技術が、コンピュータ・スクリーンセーバー・プログラムやその他各種アプリケーションのような、各種コンピュータ・グラフィックス・プログラムおよびその他の各種アプリケーションにおいて用いられている。更に、既存のイメージを分析するための各種技術も既存の技術分野において開発されている。
【０００５】
各種技術が知られているものの、パターン合成およびパターン解析には更に改良の必要性がある。コンピュータはより汎用性に富み、より知的になっているが、コンピュータの機能および操作を単純化して、有益なメモリ容量をセーブし、かつコンピュータによって実行される迅速で正確な決定を可能にすることが大いに必要である。パターン合成およびパターン分析の技術では、各種数学的概念がパターン合成および分析を単純化するために提案されている。しかしながら、従来の方法においては改良されているものの、基本的に改良する必要がある。
【０００６】
フォームと形の変化は常に自然科学の学生(例えば生物学者と数学者等)の好奇心をそそるものであったが、フォームと形を正確で簡潔に作成することは、概念的に骨の折れる作業であることが判明した。
【０００７】
古代ギリシア人は、自然なフォームについて説明する基本的な幾何学的法則を幾つか開発した。古代及び現代のいずれの概念においても、円は理想的なオブジェクトとして普及している。一般に、円形及び円柱形のフォームおよび形も、植物及び生物において見ることができる。既存の幾何学の大半は、全ての三角法および三角関数に基づくすべての技術を含む、円に基づくものである。複雑なフォームも円と調波に置き換えて分析することができる。
【０００８】
最近では、自然フォームを描く他の発見には、例えばいくつかのタイプの仮想植物を生成し得る、例えばフラクタルおよびアルゴリズムが含まれていた。
【０００９】
コンピュータ技術の進歩に伴い、モデルは非常に精巧なものになった。そのようなモデルにおいて、数学がツールとして用いられている。しかし、これらのツールだけでは、形の基礎となる法則は解明されていない。更に、一般に自然なフォームは数学的規則に正確にはあてはまらない。例えば、完全な円は自然界においては観察されない。また、２枚の葉は決して完全に同一ではない。既存のアルゴリズムでは、自然界において存在するフォームを描くことは不可能なままであり、また各種形とフォームの真の関係を概念化することは不可能なままである。
【００１０】
それらの必要性は、より簡易な幾何学的な規則を利用して各種形およびフォームを特徴づけることができる応用数学及び生物学の分野においてある。同様に、改善された方法のためのパターン合成および分析の技術において必要性があり、それによって様々な各種パターン(例えば幾何学的な形、波形等)を、コンピュータ・メモリおよびリソースを最適に使用することにより、迅速かつ正確に合成及び／又は分析することができる。
【００１１】
【課題を解決するための手段】
本発明は、上述した技術分野における人々によって経験された前述の問題及びその他の問題を克服するものである。本発明者は、１）単一公式で、多くの自然かつ抽象的な幾何学的図形およびフォームを描くために用いることができる新規な幾何学的概念を開発し、２）例えばパターンの合成および分析に用いられるユニークなコンピュータ・アプリケーションにこの新規な幾何学的な概念をうまく適用した。
【００１２】
この幾何学的な概念によると、多数の自然かつ抽象的な形を容易かつ簡潔に描くことができる。更に本発明の幾何学的な概念は、自然な形およびフォームが成長するにつれてなぜ特定の形およびフォームに成長するのかをモデリングし、説明するのに役立つ。以下に説明するように、本発明者は、円や多角形を含むほとんどの従来の幾何学的フォームおよび規則的な形を下記公式の特別の実現として描くことができることを見出した。
【００１３】
【数式１０】
0004753474.tif 000002
【００１４】
(a、 ｂ、 ｎi及びｍi∈Ｒ+)(a及びｂがゼロでない場合)
この公式および表示は、例えば（電磁気等（電気、光等）のイメージ・パターンおよび音の波形、音および他の波形あるいはシグナルパターンその他を含む）パターンの「合成」および「分析」の双方において利用することができる。
【００１５】
各種パターンを合成するために、この公式中のパラメータは、各種パターンを合成することができるように変更することができる。特に、パラメータｍ1、ｍ2、ｎ1、ｎ2、ｎ3、ａおよび／またはｂは、変更することができる。回転対称(ｍi)、べき指数(ｎi)および／または短軸及び長軸(ａまたはｂ)の数を変更しあるいは調整することによって、自然な、人工的なまた抽象的な様々な形を作成することができる。これらのパラメータの変更は、定義された論理的な方法で実行することもできる。この公式はスーパー形状およびサブ形状の大きな集合を生成するために用いることができる。既存のスーパー円およびサブ円(不完全な楕円形)を超越した上記公式の進歩のゆえに、この新規な公式は、「スーパー公式」としてここに称される。
【００１６】
この公式は様々な形状を定義することができ、その形状の輪郭内のいずれのポイントも、ａ＝ｂの場合０＜Ｒ＜Ｒmaxとして、また０＜ａ，ｂ＜ａmaxおよび ｂmaxとして、同様に定義することができる。
【００１７】
この新規なスーパー公式は新規な線形演算子として好適に用いることができる。他の機能と組み合わされると、その公式もその機能を変形しあるいは変更することもできる。関数ｆ(φ)が一定である場合、その公式は、上に示したようになる。他の機能と組み合わせると、例えばより平坦になるように、より鋭くなるようになるように、あるいは回転対称の異なる数を持たせるように、これらの機能のグラフを変更するだろう。容易に参照できるようにするために、ユニークな変更能力を備えたこの新規な線形演算子(つまりスーパー公式)は、下記の新規なシンボルによって現される。
【００１８】
【数式１１】
0004753474.tif 000003
【００１９】
更に、スーパー公式は、以下に詳述するように、３次元以上で各種表示およびアプリケーションにおいても同様に適用され得る。
【００２０】
本発明の上記および他の特徴および利点は、添附図面を参酌することによって、後述する好ましい実施形態の説明より理解されるであろう。
【００２１】
【発明の実施の形態】
上述のとおり、本発明は、ここに「スーパー公式」と称する新規な数式を使用して、パターン(例えばイメージ、音あるいは他の信号等の波形)の「合成」および／または「分析」に用いられる方法および装置を含むものである。
【００２２】
Ａ. スーパー公式の導出
先ず、デカルト座標における円の方程式を示す。
（１）  ｘ2+ｙ2=Ｒ2
次いで、この方程式を以下のように一般化する。
（２）  ｜ｘn｜＋｜ｙn｜＝Ｒn
第３に、この方程式を以下のとおり極座標(ｘ＝ｒｃｏｓφ、ｙ＝ｒsinφ)に変換する。
（３）  ｜ｒncosn・φ｜＋｜ｒnsinn・φ｜＝Ｒn
第４に、この方程式を以下のとおり変形する。
（４）
【００２３】
【数式１２】
0004753474.tif 000004
【００２４】
第５に、この方程式を変形して回転対称ｍφを導入する。
【００２５】
第６に、この方程式を変形して異なったべき指数ｎ:ｎ1、ｎ2およびｎ3を導入する。
【００２６】
第７に、この方程式を変形して異なった軸長Ａ及びＢを導入する。
【００２７】
すると、この「スーパー公式」はまず以下のように表現できる:
【００２８】
【数式１３】
0004753474.tif 000005
【００２９】
好ましくは、スーパー公式は、Ａ及びＢの代わりに１／ａ及び１／ｂとし、ノミネータが1になるように、楕円の方程式から開始する。このようにスーパー公式を表わすことは、このスーパー公式がここで説明するような線形演算子として好適に使用可能となることから、好ましいものである。而して、このスーパー公式は好ましくは以下のように表わされる:
【００３０】
【数式１４】
0004753474.tif 000006
【００３１】
同様に、スーパー公式の他の表現は、双曲線の方程式｜ｘ｜n−｜ｙ｜nからスタートしてスーパー公式の分母において負符号が余弦と正弦の間に現れるようにしても導き出すことができる。更に同様の方程式は、複素数z=cosｘ+ｉsinｘの絶対値からスタートしても導くことができる。いずれの場合でも、絶対値は全体の合計に適用される。例えば、次の方程式を最初に示すことができる。ａ）複素数:ｘ＋ｉｙ：→ｘ2−ｙ2＝１そしてｂ)双曲線ｘ2―ｙ2＝１に基づいて、距離を計算する。
【００３２】
例えば、これを以下のように示し、あるいは一般化することができる。
【００３３】
【数式１５】
0004753474.tif 000007
【００３４】
（特にｉ＝−１の平方根であり、ｎ3の値はこれがプラス又はマイナスかを決定する）
従って、一般式は、好ましくは以下のように表わすことができる。
【００３５】
【数式１６】
0004753474.tif 000008
【００３６】
この「スーパー公式」は、各種表現モードで数学的に示すことができる。後述するように、表現のモードは、手元にある特定のアプリケーションに応じて選択することができる。
【００３７】
例えば以下のようなモードがある。
（ａ）  上述したスーパー公式(上で速記した演算子シンボルで表わされている)幾つかの実施例図１１６（ＦＩＧ．２０Ａ）、図１２１（ＦＩＧ．２１Ａ）、図１２６（ＦＩＧ．２２Ａ）及び図１４５（ＦＩＧ．３２Ａ）ご参照。（注：図１４５〜図１４９（ＦＩＧ．３２Ａ〜Ｅ）の実施例においてスーパー公式は、例えば双曲線から導かれる）。
（ｂ）  極座標におけるスーパー公式のグラフ。例えば、図１１７（ＦＩＧ．２０Ｂ）、図１２２（ＦＩＧ．２１Ｂ）、図１２７（ＦＩＧ．２２Ｂ）及び図１４６（ＦＩＧ．３２Ｂ）ご参照。
（ｃ）  ＸＹ座標におけるスーパー公式のグラフ(例えば、特定の角度φで半径値rに対応するｙの値およびその角度φの値に対応するｘの値)。例えば、図１１８（ＦＩＧ．２０Ｃ）、図１２３（ＦＩＧ．２１Ｃ）、図１２８（ＦＩＧ．２２Ｃ）および図１４７（ＦＩＧ．３２Ｃ）参照。
（ｄ） ある軸系にスーパー公式によって作成された多角形を投影したＸＹ表現（例えば、直交系における以下の公式）。
【００３８】
【数式１７】
0004753474.tif 000009
【００３９】
例えば、図１１９（ＦＩＧ．２０Ｄ）、図１２４（ＦＩＧ．２１Ｄ）、図１２９（ＦＩＧ．２２Ｄ）および図１４８（ＦＩＧ．３２Ｄ）の概略図ご参照。
（ｅ） 前記(ｄ)の極表現。例えば、図１２０（ＦＩＧ．２０Ｅ）、図１２５（ＦＩＧ．２１Ｅ）、図１３０（ＦＩＧ．２２Ｅ）および図１４９（ＦＩＧ．３２Ｅ）参照。
【００４０】
更に、このスーパー公式は、３次元又はそれ以上の次元におけるように異なる次元でも表わすことが可能である。３次元の基本的な方程式はｒ＝ｆ(φ、θ)の球面座標を用いて、例えば、以下のように書くことができる。
【００４１】
【数式１８】
0004753474.tif 000010
【００４２】
但し、
【００４３】
【数式１９】
0004753474.tif 000011
【００４４】
Ｂ. スーパー公式を用いた形状およびフォームの作成および変形
１．形状の回転対称および膨張等の導入
０-、１-、２-および多角形へのスーパー公式の適用
先ず、「スーパー公式」中の整数としての、角度の独立変数ｍ1およびｍ2を変更することによって、特有の回転対称が導入され得る。これらの回転対称はｍ1、2に等しい。すなわち、ｍi角および辺を有する多角形が作成される。図２１（ＦＩＧ．２Ａ）ないし図２９（ＦＩＧ．２Ｉ）は、ｍ1とｍ2の値を変更することにより作成された形状を示している（ｍ1およびｍ2は等しく）（ｎ1＝ｎ2＝ｎ3＝１である）。図２１（ＦＩＧ．２Ａ）においてｍ1、2＝０であり、図２２（ＦＩＧ．２Ｂ）においてｍ1、2＝１であり、図２３（ＦＩＧ．２Ｃ）においてｍ1、2＝２であり、以下同様である。図２１（ＦＩＧ．２Ａ）〜図２５（ＦＩＧ．２Ｅ）に示されるように、外側に膨らんだ辺を備えた形状はｍ＜４の値で作成される。図２６（ＦＩＧ．２Ｆ）〜図２９（ＦＩＧ．２Ｉ）に示されるように、内側にカーブした辺を備えた形状はｍ＞４の値で作成される。図２１（ＦＩＧ．２Ａ）ないし図２９（ＦＩＧ．２Ｉ）に示された各形状において、もし２π／ｍの角だけ回転してもその形状は全く同一のままである。この回転がｍ回繰り返されると、その形状はもとの位置に戻る。
【００４５】
図２１（ＦＩＧ．２Ａ）に示すように、０-角形状(例えば円)を定義することができる。図２２（ＦＩＧ．２Ｂ）に示すように、1-角形状を定義することも可能である。図２３（ＦＩＧ．２Ｃ）に示すように、２-角形状を定義することも可能である。また、より高い回転対称を備えたより一般的な三角形、四角形および他の多角形のような追加の角を備えた形状を定義することも可能である。円は、０角として、ｎiの任意の値で、あるいは回転対称ｍiの任意の数(ｎ2、3＝２の場合)で、定義される。
【００４６】
また、更なる形状変更は、べき指数ｎ1、ｎ2およびｎ3の値を変更することにより行うことができる。
【００４７】
図１（ＦＩＧ．１Ａ）ないし図１０（ＦＩＧ．１Ｊ）に示されるように、ｎi＜２の値で、生成された形状は図１１（ＦＩＧ．１Ｋ）に示された円に内接される。ｎiの値が０から１まで増加するにつれて、外部ポイント間に伸びた内側に湾曲する辺を有する形状は、ｎの値が1に近づくにつれてその湾曲の程度が減少するように、十字から正方形へいわば「膨張」する。その後、１と２の間では、図１１（ＦＩＧ．１Ｋ）で示されるような正確な円が得られるまで、それらの辺は、外側に湾曲し続ける。図１（ＦＩＧ．１Ａ）ないし図１０（ＦＩＧ．１Ｊ）の形状は、それぞれ図１１（ＦＩＧ．１Ｋ）に示される正確な円に内接されるので、これらの形状はサブ円と呼ばれる。
【００４８】
図１２（ＦＩＧ．１Ｌ）ないし図２０（ＦＩＧ．１Ｔ）に示されるように、２を越えてｎの値が増加すると、前記正確な円に外接するように該正確な円を超えて「膨張」を始める。この点で、図１２（ＦＩＧ．１Ｌ）ないし図２０（ＦＩＧ．１Ｔ）に示される形状はスーパー円と称される。ｎの値が大きなる(例えば無限の方へ)につれて、その値の増加と共にコーナーが鋭さを漸増してスーパー円の形状は正方形に接近する(例えばｎ＝５０の値を備えた図１６（ＦＩＧ．１Ｐ）中の事実上理想的な正方形をご参照)。図示のとおり、サブ円は、スーパー円に対してπ／２(例えば９０度)だけ本質的に回転している。
【００４９】
図１（ＦＩＧ．１Ａ）ないし図２０（ＦＩＧ．１Ｔ）に示されるように、サブ円の「辺」は、その形状が前記理想円を過ぎて「膨張」するにつれて、実質的にスーパー円の「角」になる。
【００５０】
同様に、多角形に関しては、べき指数ｎiが２未満であるとき、その多角形は前記円に内接させられ、前記外接多角形に対してπ／ｍだけ回転され、前者の角度が後者（ｎｉ＞２）の辺の間のそれに一致する。前記と同様に、それらが前記円に内接するか同円に外接するかどうかによって、それらを、ここではサブ多角形あるいはスーパー多角形とそれぞれ称する。また、サブ多角形がスーパー多角形に変形する場合（またその逆の場合）、その角は辺へと変形し、辺は角へと変形する。従って、回転対称なる用語は、角または辺より有用である。
【００５１】
上述および図１（ＦＩＧ．１Ａ）ないし図２０（ＦＩＧ．１Ｔ）に示されたように、ｎi＝ｎ2＝ｎ3、ｍ＝４の場合におけるスーパー円に関しては、ｎの値が無限に近づくにつれて真っ直ぐな辺が得られる。しかしながら、ｍ＞４の多角形については、ｎが無限に行くにつれて、辺が内部に向かって曲がる。他方、ｍ＜４の場合、ｎが無限に行くにつれて、辺は外側に曲がる。
【００５２】
更に、ｎ1対ｎ2＝ｎ3の比率を変えることによって、図３０〜３５（ＦＩＧ．３ＡないしＦ）に示されるように、五角形、六角形、七角形、八角形、九角形、十角形などを生成することができる。多角形は一般に座標系で記述されるが、「スーパー公式」は単一の方程式で多角形を生成することを可能にする。
【００５３】
ｎ1とｎ2＝ｎ3の比率が与えられた回転対称の規則的な多角形、を生成するために定義することができる１つの方法は、生成された多角形のエリア（それはＲ2 m tg(１８０°／ｍ)と等しい）を評価による、内接円の半径がＲの規則的なｍ角形のエリアの一般的な公式である。この手続きでどのようなアプリケーションについても十分な精度で比率を決定することができる。一旦比率が決まれば、それらをｎiのより高い値について固定する。
【００５４】
ここに、固有の強健さがある。例えば、ｎ1＝１００の場合、視覚的に直線の辺を得るためには、ｎ2、3の値は、正方形の場合に約９８から１０２の範囲、五角形の場合に約５８から６２の範囲、六角形の場合に約３８〜４２の範囲にある。その後、この比率はｎiがより高い値で固定されるであろう。回転対称の数がより高くなればなるほど、この範囲はより小さくなる。
【００５５】
さらに、公式Ｒ2  ｍ  ｔｇ（１８０°／ｍ）では、０角形、１角形あるいは２角形の面積や周囲長を計算することはできないが、「スーパー公式」を用いればこれらの面積を計算することでできる。
【００５６】
先の可能な変更に加えて、スーパー公式も、べき指数の絶対値を変更することによって変更することができる。例えば図１２（ＦＩＧ．１Ｌ）ないし図１５（ＦＩＧ．１Ｏ）に示すように、(例えば、２と１０の間のｎ2およびｎ3で)丸みを帯びた角を備えたより多くあるいは少ない直線の辺を作成することは可能である。例えば図３０（ＦＩＧ．３Ａ）ないし図３５（ＦＩＧ．３Ｆ）に示されるように、(例えば、ｎ2、3＞１０で)直線の辺およびより多くのあるいは少ない鋭い角を備えた多角形を得ることも可能である。図４５〜５３（ＦＩＧ．５ＡないしＦＩＧ．５Ｉ）に示すように、(例えば、ｎ1、2＝１５(即ち、＞２)およびｎ3＝３０(即ち、＞２)で)一方の内側にあるいは外側に曲がった辺を備えた多角形を得ることも可能である。
【００５７】
図２１〜２８（ＦＩＧ．２ＡないしＦＩＧ．２Ｈ）に図示された形状とは対照的に、図３６〜４４（ＦＩＧ．４ＡないしＦＩＧ．４Ｉ）に示されるように、ｎ1、ｎ2およびｎ3＜２の値とすることで更に内側に曲がった辺および更に鋭い角を備えた多角形を得ることも可能である。
【００５８】
導入された回転対称は上述したようなべき指数および独立変数を変更しても不変のままであるが、スーパー公式が、比率ｎ2/ｎ3を変更し(図５４〜６２（ＦＩＧ．６ＡないしＦＩＧ．６Ｉ）参照)、あるいはａ／ｂの比を変更する（図６３〜６９（ＦＩＧ．７ＡないしＦＩＧ．７Ｇ参照））等、更に変更されるとこれはもはや真実ではない。軸の長さａおよびｂが異なる場合、例えば円は楕円、正方形、長方形になる。しかしながら、この操作は制限される。回転対称が偶数の場合、長さａおよびｂを変更すると、対称の数は半減する。一方、回転対称の数が奇数である場合、その形状はａおよびｂが異なれば1回転後(０〜２π)に閉じない（例えば図６４（ＦＩＧ．７Ｂ）、図６６（ＦＩＧ．７Ｄ）および図６８（ＦＩＧ．７Ｆ）参照）。
【００５９】
２．壊れた対称の導入
ａ＝ｂとして、ｍiに正の整数またはゼロを選択することによって、形状は、完全な１回転（即ち、０と２πの間）後に閉じたものとなる。続いて２π（２πから４π、４πから６πなど）だけ回転させると、全く同一の形状が生成される。しかし、ｍが正であるが整数でない場合、その生成された形状は１回転後に閉じない。その代わり、更に回転する場合もし無理数が用いられるとその形状は決して閉じることはなく、選択された値に応じて大きくなったりあるいは小さくなったりする。
【００６０】
このように、自然数（ゼロを含む）は閉じた形状を生成し、有理数および無理数は１回転で開いた形状を生成する。有理数はパターンの繰り返しを生ずるが（例えば、植物葉序における５枚葉の2回転に類似）、無理数を使うパターンはない。このように、値がゼロあるいは正の実数はこの式においてあるいはこの式から当然に生ずる。
【００６１】
そのような開放形において観察される回転対称は、事実「明らかな」回転対称である。これらの壊れた対称形状における回転対称の真実の数は、起源の有限位置のため１だけであり、それら形状は終点のポジションのために有限の開いたものである。
【００６２】
図７０〜７５（ＦＩＧ．８ＡないしＦＩＧ．８Ｆ）および図７６〜８２（ＦＩＧ．９ＡないしＦＩＧ．９Ｇ）は、どのように形状が整数対称間で「成長」することができるかを示している。図７６〜８１（ＦＩＧ．９ＡないしＦＩＧ．９Ｆ）は、対称値ｍが４から３にインクリメンタルに減少する場合を示し、図７０〜７５（ＦＩＧ．８ＡないしＦＩＧ．８Ｆ）は、対称値ｍが４から５にインクリメンタルに増加する場合を示している。これは三角形（そして０角形、１角形および２角形）の場合にその辺がどのように外側に曲がるか、およびｍ＞４の多角形の場合にその辺がどのように内側に曲がるかをも示すものである。
【００６３】
このスーパー公式で、形状は、ｍによって定義される（例えば、回転、反射および転換など）完全な数学的対称を有することができる。整数を有する対称グループに関する前述の記載に対して、本件発明は非整数対称が幾何学に導入されることを可能にするものである。特に、このスーパー公式は、例えば植物葉序（例えばフィボナッチ数列）において見られ、あるいはフェルミオンの量子数（例えば０角形、１角形および２角形に対応するボゾンの整数スピン量子数０、１、２と比較して）において見られるような、例えば特定の既存の非整数対称を描き、合成しおよび／または分析するのに用いることができる。
【００６４】
従って、このスーパー公式は、このセクションで規定したような形状を描き、分類しおよび/または分析するために用いることもできる。
【００６５】
３．スーパー公式による各種植物およびその他の形状（正方形竹、ヒトデ、馬の尾などの形状）に類似するイメージ・パターンの作成
スーパー・サークルのステム(四辺形、正方形、あるいは四角形のものとしてしばしば引用される)は、ラミアセア(Lamiaceae)、チボウウチア(Tibouchina［Melastomataceae］)およびエピロビウムテトラゴナム(Epilobium tetragonum)等の様々な各種植物において生じる。正方形の竹であるチモノバンブーサクアドラングラリス(Chimonobambussa quadrangularis)の稈およびその属における他の種の大半の稈において、低い部分は横断面がスーパー円である。そのようなスーパー円(あるいはスーパー楕円)形状も、解剖レベルで非常に頻繁に観察される。縦断面における竹稈において、柔組織セル(長く短い)は、互いで積まれたビルディングブロックの縦列に似ている。セギタリア(Sagittaria)とジアメイ（Zea mays）の根の横断面において、細胞は、スーパー円を形成することにより、利用可能なスペースを最大限(同時に細胞間隙を最小限)にしようとしている。ほぼ正方形ないしは長方形の細胞は、藻類中および松の木の仮道管で観察される。
【００６６】
この「スーパー公式」は、より高い回転対称を備えた様々な各種他の自然なフォームおよび自然界で見られる各種スーパー円形状を表示し、合成しかつ／または分析するために用いることができる。独立変数は「コーナー」の数(ひいては回転対称)を決定し、ｎ1、2、3の絶対値およびそれらの比率は、コーナーを鋭くしあるいは/柔らかくする/平らにすること、(内側あるいは外側へ曲がる)コーナーを接続するラインを真っすぐにし或いは曲げることを可能にする。図８３〜８８（ＦＩＧ．１０ＡないしＦＩＧ．１０Ｆ）は、「スーパー公式」を用いて、描写し、合成しあるいは分析することができる、いくつかの自然に生じる形状(つまり自然に生じる「スーパー形状」)の、ヒトデの横断面（図８３〜８４（ＦＩＧ．１０ＡないしＦＩＧ．１０Ｂ））、五角形対称の(例えばルーバス・サルカタス(Rubus sulcatus)およびルーバス・フィロクタクス(Rubus phollostachys)（図８５（ＦＩＧ．１０Ｃ））、馬の尾の断面（図８６（ＦＩＧ．１０Ｄ））、四辺形対称のスクロフラリア・ノダサ(Scrophularia nodosa)の茎（図８７（ＦＩＧ．１０Ｅ））、ヌファー・ルテウム(Nuphar luteum)(ヨーロッパの黄色スイレン)の葉柄の断面（図８８（ＦＩＧ．１０Ｆ））を含む、多数の例を示すものである。藻類のトリセラテリウム・ファブス(Triceraterium favus)(「三角形の対称」)、２０「角」のペディアストラム・ボリャナム(Pediastrum boryanum)およびアステリオネラ(Asterionellla)のような他の形状もスーパー公式で描き、合成しあるいは分析することができる。シパレイシア(Cyperaceae[cypergrasses])の種は横断面において三角形、スーパー円または五角形の茎を持つことができる。
【００６７】
例えば馬の尾における回転対称の数は、その軸の直径によって異なり、そして肥沃な茎が無性の茎より厚いので、エクイゼタム・アーベンス（Equisetum arvense）の無性の茎に八角形の対称を、また肥沃なものの中に１４角形の対称を見つけることができる。
【００６８】
多くのより高等植物の果実は横断面が同じ様なスーパー形状を呈している。 横断面においてバナナは４角形の対称を持つ傾向がある。また、オクラ(Abelmoschus esculentus Moench)のある品種の果実は内側に湾曲した辺(例えば図２６（ＦＩＧ．２Ｆ）および図５１（ＦＩＧ．５Ｇ）)を備えたほぼ完全な五角形である。
【００６９】
上記に加えて、コーナーをサスペンションのポイントと見なすこともできることは注目される。典型的な1角のスーパー形状は、例えば涙滴状のものである
(例えば図２２（ＦＩＧ．２Ｂ）および図３７（ＦＩＧ．４Ｂ）参照)。典型的な２角スーパー形状には、人間の目あるいは木のこぶの形状が含まれる(例えば図２３（ＦＩＧ．２Ｃ）および図３８（ＦＩＧ．４Ｃ参照）)。０角としてのサークルは、サスペンション・ポイントひいては不連続点がなく、一定の曲がり(例えば図２１（ＦＩＧ．２Ａ）および図３６（ＦＩＧ．４Ａ）)がある。
【００７０】
辺を更に内側へ折り曲げると、ヒトデの形状を得ることができる（例えば図８３（ＦＩＧ．１０Ａ）および図８４（ＦＩＧ．１０Ｂ）参照）。左右同形で左/右対称な初期の幼虫期の後、ヒトデ(Asteroidea)および棘皮動物門の他の種は成人段階で放射相称になる。ほとんどの事例は生きた生物組織から選ばれるが、事例は、例えば結晶学のような分野において、自然界の至る所で見つけることができる。
【００７１】
スーパー公式によって生成される、添付図面に示された「観念的」形状の大半が自然界において見られる。例えば、六角形は、スペースの効率的な使用に最もしばしば関連するものであり、ハチの巣や、昆虫の目や、藻類属ヒドロディクトン(Hydrodictyon)の種、ウキクサのウオルヒエラ・フロリダナ(Wolfiella floridana[Lemnaceae])およびトクサ種の胞子嚢のように、自然界のどこにでもあるものである。べき指数ｎが無限に接近した時、限界形状として平坦な辺で完全に囲む正方形を得ることができるが、ほとんど、視覚的にほぼ完全な正方形は、１０を超えるべき指数で既に得られている(例えば図１６（ＦＩＧ．１Ｐ）参照)。同様にｍ角形については、ほぼ完全なｍ角形はべき指数ｎ1＝１００(ｎ1／ｎ2=3の比率)で得ることができる。
【００７２】
特に、生物の組織において、コーナーは常に丸くなる傾向がある。自然界において観察される多角形は典型的に「完全な」多角形ではなく近似したものだけである。
【００７３】
更に、スーパー公式は、ｎ2およびｎ3の値を変更することによって1方向へ真直ぐな(あるいは曲げられた)いくつかの辺および別の方向に曲げられた辺を有する形状を作成するのに用いることができる（例えば図５４〜６２（ＦＩＧ．６）参照）。自然界において、そのような形状は、植物の葉、藻類(例えばOscillatoria spp.)および菌類の菌糸中の表皮細胞において観察することができる(図５８（ＦＩＧ．６Ｅ）)。
【００７４】
従って、スーパー公式は、各種形状および顕著に自然界で見つかるような各種形状を描き、分類し、合成しおよび／または分析して応用する際に特別の利点がある。
【００７５】
４．貝殻、蜘蛛そしてほとんどの物へのスーパー公式の適用
対数渦巻線(r=eaθ)の黄金比に対する関係は、うまく文書化されている。対数渦巻線は黄金の長方形に「内接」される。また、４つの(螺旋状対称)の明白な回転対称が観察される。
【００７６】
オリジナルの公式上で演算子として「スーパー公式」を用いれば、大きいｎの値で、スーパーログ螺旋は黄金の長方形に接近するため、同様の関係を直接視覚化することが可能になる(図１０５（ＦＩＧ．１５Ｂ）参照)。
【００７７】
デカルトによって初め描かれた対数渦巻線は、オブジェクトが全体的な形状を変更せずに成長することを可能にするので、最も完全な数学的な幾何学的オブジェクトのうちの1つであると考えられる。これは、古典的な例としてのオウムガイに関し、植物の葉序および軟体動物の貝殻におけるように自然界において螺旋状の形状を描くことを支援した。しかしながら、いわゆる対数渦巻線意匠を備えた多くの貝殻は明確な回転対称を備えている。貝殻の不連続的成長に関連する、多くの種における螺層および冠は、この実例である(図１０６（ＦＩＧ．１５Ｃ）参照)。また、これらの明白な回転対称は不連続的開発を反映するものであるかもしれない。
【００７８】
更に、真の対数渦巻線はｎ＝２でのみ得られる。しかしながら、現われる対称については、ｎ2=3の値は２とは異なるべきである。明らかに、周期的な成長を備えた多くの貝殻は完全な対数渦巻線を示すものではなく、定義された対称(および定義されないｎi値)を備えた自然物である。これとは対照的に、連続的に成長する貝殻(例えばカタツムリ)は、そのような明白な回転対称を示さない。同様の明らかな回転対称は、植物中の頂端分裂組織からの葉あるいは花の器官が成長する間に生ずる。このプロセスは、生物物理学と生理学の形質導入メカニズムによって、側生器官のよく定義された周期的な副産物を含む。
【００７９】
このスーパー公式をアルキメデスの螺線(r＝ａφ)と組み合わせると、この螺旋をｎ＞＞２でその外接された「開いた長方形のフレーム」(４つの明らかな回転対称)に向かって成長させる（図１０７（ＦＩＧ．１５Ｄ）参照）。特に、単一のパラファイン水晶は、そのような正方形螺旋のまわりに正確に成長する。
【００８０】
明らかな回転対称の数を増加させることによって、平面的なクモの巣の単純性および美の双方を視覚化し評価することができる。スーパー公式によって図示されるように、花のように、多くのクモの巣は数学上簡易である。図１０８（ＦＩＧ．１５Ｅ）は、スーパー形状のようなクモの巣を図示するものであり、クモは徐々に内側へあるいは徐々に外側へ発展させて螺旋状にクモの巣を織る。(明らかな)回転対称の数は、主な「ワイヤー」の取付位置によって定義される。クモにおいて、これは種によって異なる。
【００８１】
幾何学において、螺旋の一般的な定義はｒ＝f(φ)によって定義された任意の幾何学的図形である。それは、この明細書において説明した全ての形状およびr＝f(φ)で定義される他のすべての２次元形状を含む。従って、「スーパー公式」プロパーおよび他の「螺旋」での使用の双方は、すべての既知の「螺旋」、特別の場合は円および楕円（ｎ2,3＝２）で幾何学の一般化へと(その起源が自然物で見つかるので)非常に自然な方法で導く。「スーパー螺旋」の無限数はこのように定義され、また「スーパー公式」は下記のスーパー螺旋公式に変形される。
【００８２】
【数式２０】
0004753474.tif 000012
【００８３】
従って、スーパー公式は、上述したような自然界に見いだしたものを含む様々な螺旋形状を描き、分類し、合成しおよび／または分析するアプリケーション（後述する）において特別優位である。
【００８４】
５．スーパー形状の一般的形状を大きく変更することなくある範囲内でべき指数を変更すること
スーパー公式の顕著な側面は、従前の幾何学的概念(つまり完全なサークルおよび正方形)とは対照的に、スーパー公式のべき指数を変更することが可能であるということである。この変更は、植物成長などのような自然界における成長を例証するために用いることができる。植物の器官は、分裂組織によって個別に成長するため、当初の成長プログラムは、環境あるいは内的制約等により各種方法で変形される。この点、「スーパー公式」によって示された幾何学は、本質的にその公式が若干変更されることを許容するものである。例えば、べき指数ｎiが２、例えば１．９９６７８８であるか２．０００５４８であるかどうかはあまり重要ではない。これらの僅かな相違は視覚的には顕著なものではないであろう。しかしながら、小さく、外見上気づかない相違は、植物成長などの機会を作るかも知れない。例えば、０．１％の面積の違いは絶対値において非常に重要であるかもしれない
この原理は、余弦機能の変更がどのような形状の違いを作成するかを例証する、例えば図８９〜９３（ＦＩＧ．１１ＡないしＦＩＧ．１１Ｅ）を参照することによって見ることができる。スーパー公式の分母のべき指数ｎiをわずかに変更することによって、葉型の形状変化を視覚化することができる。サジタリア（Sagittaria）の三角形の葉は、著しく簡易であることが判かり、また、（例えば図１３９〜１４２（ＦＩＧ．２９ＡないしＦＩＧ．２９Ｄ）に示された）これらの各種形状は、丸みを帯びているものや尖っているものを、たった1つの植物で見つけることができる。従って、基本的な形状は遺伝的資料にあるが、個々の葉はその植物の他の葉と異なることができる。葉に加えて、植物あるいは他の組織の他の器官も同様に形状が異なる。また、潜在的な変化(つまり潜在的なべき指数値の範囲)の範囲は、例えば、特定の器官/組織に応じて、例えば大きくなったり小さくなったり、変化するかもしれない。
【００８５】
このべき指数変更は、順応性のある成長を許容するものであるが、実際には、正確なべき指数および正確なモデルが実際に存在しないので、概念的視点から見て非常に重要である。例えば、サークルのような抽象物は、条件ｎ2,3＝２は決して現実に正確に適合するものではないので、実際の世界では見つけることはできない。これに対して、自然界における円形物は、視覚的に円形であると認識される範囲から離れることなく、例えば２．００１５ないし１．９９８２のように非常に接近した範囲内でｎ2,3の値を容易に採用することができる。同様に、正方形の茎を備えた植物は正確に９０°にはならない。スーパー公式においてｎの値がｎ＝５０あるいはそれ以下である場合、実際の茎において真の「四角」に近づく。ほとんどの組織はトリセラチウム（Triceratium）黄癬や正方形竹のように(例えば図８５〜８８（ＦＩＧ．１０Ｃないし１０Ｆ）)のように、コーナーがわずかに丸くなる傾向がある。実際には、無限の精度でｎiの値を決定することは事実上不可能だろう。
【００８６】
べき指数を適応可能に変更するある程度の自由に加えて、固有の強健さがある。例えば六角形では、視覚的に真っ直ぐな辺は、ｎ1＝１００、ｎiが約３８〜４２の範囲のときに得られる。回転対称の数が大きくなればなる程、範囲は小さくなる。そのような強健さは、形状の変化を伴うことなく成長することを可能にするので、自然界においては重要である。例えば、円はｎi＝２で厳密に定義されるが、スーパー公式によって図示されるような自然界において、その形状は、例えばｎi＝２．０７５あるいはｎi＝１．９８７５の値で未だ円形である。
【００８７】
従って、このような理由で、スーパー公式は、そのような自然の形状およびその変化(例えば個々の器官の成長や器官相互の形状差)を描き、分類し、合成しおよび／または分析するアプリケーションにおいて格別有利である。
【００８８】
６. スーパー公式の他のアプリケーション:特定のアプリケーションのための好ましい形状を描き、合成しおよび／または分析するためにスーパー公式を用いること
ある状況では、理想物は好まれる。例えば、 (空気中に自由に漂うシャボン玉や水銀滴に見られるように) 孤立した円および球体は、与えられた体積で最も表面が小さくなるような、好ましい数学的特性を備えた理想的物であると考えられる。
【００８９】
他の多くの自然状況下において、スーパー円のような他の形状が好まれる。多数の例が、前記の如く図示されている。これらの形状(スーパー螺旋公式によって定義された少なくとも対称なもの)は、円あるいは楕円よりまさしく数学上完全である。ただ、それらはそれぞれ独自の特性を有する。
【００９０】
「スーパー公式」は、植物や他の組織で達成されるような理想的条件を描き、合成しおよび／または分析するために用いることができる。若干の簡単な例を説明する。
【００９１】
(ｉ) 円と球体のパッキング
円または球体は２つの顕著な方法でより効率的にパックすることができる。特に利用可能なスペースは、円あるいは球体を1）正方形あるいは２)六角形のいずれかに近づける(つまり、円あるいは球体の形状をわずかに変形させる)ことにより最大限にする(つまり円あるいは球体間の面積を最小限にする)ことができる。
【００９２】
自然界においては、「スーパー円」パッキングの実例は、植物の根および茎の細胞において、およびブロモビールス（Bromoviruses）のような幾つかのビールスにおいても見られる。さらに、六角形のパッキングの自然な例はハチの巣および昆虫の目において見られる。これらの自然系において、この戦略は(植物細胞におけるように)利用可能なスペースの最適化、あるいは(蜂の巣におけるように)空スペースの最大化を可能にすることは明らかである。いずれの場合においても、接触表面は、効果的に回転を回避しあるいは相互にスーパー円を滑らせて拡大される(Flachpunkt)。この効果は、単細胞から複細胞組織までの進化の推移に役割をも果たしたかもしれない。
【００９３】
あるいは、正確な円によって囲まれる場合と同一の面積は、その円の半径よりも小さな半径を有するスーパー円の内側で囲まれることができる。スーパー公式のべき指数ｎiを適度に増加させると、より小さなスーパー円の面積をより効率的にパッキングすることができる。特に、この効果は、３次元において特に当てはまる。これに関して、もとの球体と同じ体積を囲むスーパー球体を作って、半径を５％減少させると、同じ体積中に８０００個の球体(２０*２０*２０)の代わりに、例えば９２６１個(２１*２１*２１)のスーパー球体の収容が可能になるであろう。
【００９４】
これに関して、スーパー円およびサブ円の面積は、例えば下記の式で計算することができる。
【００９５】
【数式２１】
0004753474.tif 000013
【００９６】
また、全ての２次元スーパー形状について利用することが可能な、より一般的な公式として、例えば下記の公式をあげることができる
【００９７】
【数式２２】
0004753474.tif 000014
【００９８】
(ii) 機械的な抵抗およびスーパー形状パッキングの改善
スーパー形状公式によって描かれ、合成されおよび／または分析することができる特定の形状は、機械的および他の特性を改善し得る。例えば、正方形竹におけるようなスーパー形状の横断図を有する茎の形成は、機械的なストレスに対する抵抗を大きく増大させることができる。チモノバムブサ・クアドロアングラリス（Chimonobambusa quadrangularis）、正方形の竹、またその種のほとんど他の種において、稈の横断図は、機械的な力が最もかかる稈の下方１／３の部分において多かれ少なかれ四角形になる傾向がある。スーパー公式のべき指数を増加させることによって、与えられた半径Ｒについて、より大きな面積が作成される。この面積を増大させると、慣性モーメントＩで決定することができるように、曲げに対する抵抗を増大させるという点で大きな見返りがある。例えばべき指数ｎを５に増加させると、与えられた半径に対してその面積は２１％増加するが、曲げに対する抵抗は５１％増大する。この計算は等方性のものだけに当てはまるが、稈および茎の中で最も強い部分は、−−例えば、竹における繊維の増加の割合あるいはラミアシアエ（Lamiaceae）の茎の肋骨における余分なコレンチム（collenchym）のように--一般的には外側にあるので、その効果は現実には多くの生き物においてもっと当てはまることに注目すべきである。葉、および確実に花弁および萼片は平面であるため、効率的にスペースが充填されることより、茎の付け根でローブ（丸い突出部）によって作用される運動量は、同一面積が円（ｎ＝２）に内接されたローブによって描かれる場合よりもはるかに少ない。
【００９９】
これに関して、スーパー円およびサブ円の慣性モーメントは、下記の方程式で計算することができる。
【０１００】
【数式２３】
0004753474.tif 000015
【０１０１】
Ｃ．スーパー公式の好ましいアプリケーション
スーパー公式は、パターンの合成や分析を含む、各種アプリケーションにおいて利用することができる。既に述べたように、この公式は、物の形状あるいは波(例えば音波あるいは電磁波)の合成および／または分析に用いることができる。また、その公式は、（極座標、球面座標、パラメータ座標であれ）各種座標系においてまた各種次元(例えば１次元、２次元、３次元など)において用いることができる。例えば、このスーパー公式は、様々な自然パターンおよび／または人造パターンを再生し、および／または分析し、描きあるいは説明するために用いることができる。また既に述べたように、この公式は最適値等を計算するのにも用いることができる。
【０１０２】
このスーパー公式は、コンピュータ・アプリケーション(即ち、ある種類のコントローラーを利用するアプリケーション)について特に有用である。ここで、コンピュータないしはコントローラーという用語は、計算可能なあらゆる装置、特に、高速で数学的あるいは論理的計算を実行し、あるいはデータから情報をアセンブルし、格納し、相互関係を示し、出力する、電子機器を特定するものとして用いる。典型的なコンピュータとして、パーソナル・コンピュータ、メインフレーム・コンピュータ、ホスト・コンピュータなどを例示することができる。さらに、ここに用いられるコンピュータという用語は、単一のコンピュータおよび例えば複数のコンピュータが協働して必要な作業を実行する複数のコンピュータを包含する。従って、このコンピュータなる用語は、更にインターネット、各種オンラインシステムあるいは通信システムを介してアクセスされるコンピュータを包含する。本発明は、インターネット・ウェブサイト用の企業のロゴマークや各種イメージの生成からここに開示した各種実施形態から離れたアプリケーションに至るまでの各種アプリケーションにおいてそれらの環境において実質的に役立つものである。
【０１０３】
このスーパー公式は既存のソフトウェアおよび／または技術を用いて様々な環境に適用可能なことは、このアプリケーションの技術分野の人々に明らかとなるであろう。また、この開示から理解できるように、スーパー公式は、各種の方法でコンピュータ・アプリケーションにおいて、例えばプログラムされるなど、適用されることが企図されている。そのプログラミングは、ハードドライブ、ＣＤ−ＲＯＭやディスクなどの任意の既知のコンピュータ読取可能媒体に含めることができ、またインターネットやイントラネットなどのオン・ライン上でダウンロードすることができる。このスーパー公式は、例えば当該分野において知られたパターン合成および／または分析に関する任意の適切なアプリケーションにおいて当該技術分野の人々によって用いられ得る。
【０１０４】
このスーパー公式は、各種イメージおよびパターンを作成することができ、ユニークな方法で各種機能を変更するために用いることができる新規な「演算子」として用いることができる。この公式のパラメータを所定の値に設定することで、円、楕円や各種多角形などの周知の形状を生成することができる。
【０１０５】
異なる関数で演算する場合、もしその演算子の値が１である場合、そのような関数は変更されないかもしれない。従って、円、余弦および正弦のような有名な関数および螺旋は不変である。実際、値1とした演算子の演算は、単位元の演算、より具体的には関数に1を掛ける、ということになる。上述したように、その線形演算子(つまりスーパー公式あるいはスーパー演算子)は２次元で定義され、次のシンボルが与えられる:
【０１０６】
【数式２４】
0004753474.tif 000016
【０１０７】
２次元において、その演算子は、図８９〜９３（ＦＩＧ．１１ＡないしＦＩＧ．１１Ｅ）、図９９〜１００（ＦＩＧ．１３ＡないしＦＩＧ．１３Ｂ）、図１０１〜１０３（ＦＩＧ．１４ＡないしＦＩＧ．１４Ｃ）、図１０４〜１０９（ＦＩＧ．１５ＡないしＦＩＧ．１５Ｆ）等に実施例が示されているような、一定の関数、三角関数、螺旋関数等の与えられた関数を変更することを許容するものである。
【０１０８】
その演算子は、単一の公式で、自然界および数学において観察される広範囲のオブジェクトを分類することを可能にする。
【０１０９】
演算子が一定の関数に用いられる場合、真っ直ぐなあるいは曲がった片および／または角張ったあるいは丸みを帯びたコーナーを有する円および多角形は全て、そのような一定の関数での演算子の演算から作成することができる。
【０１１０】
その演算子が三角関数に用いられる場合、各種他の形状を作成することができる。いくつかの実施例として、図８９〜９３（ＦＩＧ．１１ＡないしＦＩＧ．１１Ｅ）は、作成可能な、基本的に同じである５重の回転対称な各種の花形を示しており、それらで唯一実際に違っているのは演算子の値である。幾何学的には、図８９〜９３（ＦＩＧ．１１ＡないしＦＩＧ．１１Ｅ）に示される演算は、その演算子によって定義される五角形（図９４〜図９８（ＦＩＧ．１２ＡないしＦＩＧ．１２Ｅ）をそれぞれ参照）に内接される三角関数として理解することができる。
【０１１１】
ＸＹ座標で表現された時、その演算子がどのように波状関数を変更するのに用いることができるかもを容易に確かめることができる。例えば図１０１〜１０３（（ＦＩＧ．１４ＡないしＦＩＧ．１４Ｃ）参照。
【０１１２】
これら全ての形状がその演算子でその関数の産物として描くことができるとすれば、積分プロセスによって、周囲長、表面積、慣性モーメントのようなあるパラメータを量ることが可能である。この種の定量化は、例えば円のように効率が非常に低いであろう場合に満たすスペースと較べて、外接された多角形内の花(図８９〜９８（ＦＩＧ．１１ないし１２）参照)によって満たされたスペース効率のような、「効率」を定量的に評価することを可能にする。これは、スーパー円の配列におけるような、オブジェクトのより大きな配列におけるスペース使用効率の評価をも可能にする。
【０１１３】
本発明は、（１）入力としてのパラメータを用いることによってコンピュータ中でパターン(例えばイメージ形状あるいは波)を「合成」するプロセス、および （２）そのようなパラメータを決定してそのようなパターンを「分析」するプロセスの２つの一般的プロセスにおいてコンピュータに格別適用可能である。
【０１１４】
I. 合成
第１の側面によると、図１１０（ＦＩＧ．１６）に図示の目的で示したように、形状または波は、下記の典型的な基本ステップを適用することで「合成」することができる。
【０１１５】
第1ステップにおいて、(例えば、キーボード２０、タッチ・スクリーン、マウスポインター、音声認識装置あるいは他の入力装置等を介してコンピュータ１０に値を入力することによって、あるいはコンピュータ１０に値を指定させることによって)、パラメータの選択を行い、そしてそのコンピュータ１０は、パラメータの選択に基づいて選択されたスーパー形状を合成するために用いられる。
【０１１６】
第２のオプションのステップにおいては、このスーパー公式は、選択された形状を適合させるため、あるいは最適化の計算のためなどに用いることができる。このステップでは、(例えば２次元、３次元などの)グラフィックス・プログラム、ＣＡＤソフトウェア、有限要素分析プログラム、波生成プログラム、あるいは他のソフトウェアを使用しても良い。
【０１１７】
第３ステップにおいては、第１または第２ステップからの出力がコンピュータ化されたスーパー形状を物理的な形状に変形するために用いられる。例えば、(ａ) モニター３０にスーパー形状３１を表示すること、プリンタ５０から供給される紙のようなストック資料５２上にスーパー形状５１を印字すること（２次元または３次元）、(ｂ) コンピュータを利用して製造する(例えば、ステップ３の出力に基づいて機械類、ロボットのような外部装置６０をコントロールすることによって)、(ｃ) スピーカー・システム７０などによって音７１を生成すること、(ｄ) ステレオリトグラフィを実行すること、(ｅ) 迅速にプロトタイプを作ること、および／または(ｆ)そのような形状を変形する技術において既知の別の方法においてその出力を利用すること、等である。
【０１１８】
コンピュータ支援製造(「ＣＡＭ」)技術およびその技術によって製造された各種製品は当該技術において既知であり、任意の適切なＣＡＭ技術および製造された製品を選択することができる。ＣＡＭ技術およびその製品のほんのいくつかの例が、後述する米国特許(発明の名称を括弧内に示す)に示されており、その開示内容はこの明細書に引用としてそのまま組込まれる。米国特許第5,796,986号(コンピュータ支援設計データ・ベースを数値制御機械データ・ベースとリンクする方法および装置)、米国特許第4,864,520号(コンピュータ支援設計のための形状作成／生成システム、コンピュータを利用した製造、コンピュータ支援エンジニアリングおよびコンピュータ支援技術)、米国特許第5,587,912号(３次元オブジェクトのコンピュータ支援処理およびその装置)、米国特許第5,880,962号(３次元オブジェクトのコンピュータ支援処理および同装置)、および米国特許第5,159,512号(ＣＡＤ／ＣＡＭシステムにおける任意の多面体のミンコフスキーの合計および派生形態論のコンビネーションの作図)。
【０１１９】
ステレオリトグラフィ（stereolithography）技術およびそれによって製造された製品は、当該技術分野において既知であり、任意の適切なステレオリトグラフィ技術およびその製品を選択することができる。ステレオリトグラフィ技術およびその製品のほんのいくつかの例が、後述する米国特許(発明の名称を括弧内に示す)に示されており、その開示内容はこの明細書に引用としてそのまま組込まれる。
米国特許第5,728,345号(ステレオリトグラフィモデルの使用によって電気放電機械加工用の電極を製造する方法)、米国特許第5,711,911号(ステレオリトグラフィによる三次元オブジェクト製造装置)、米国特許第5,639,413号(方法およびステレオリトグラフィに関連する合成)、米国特許第5,616,293号(ステレオリトグラフィモデルを用いたプロトタイプパーツ又は型の急速製法)、米国特許第5,609,813号(ステレオリトグラフィによる三次元オブジェクトの作成方法)、米国特許第5,609,812号(ステレオリトグラフィによる三次元オブジェクトの作成方法)、米国特許第5,296,335号(ステレオリトグラフィを用いたファイバー強化部材の製造方法)、米国特許第5,256,340号(ステレオリトグラフィによる三次元オブジェクトの作成方法)、米国特許第5,247,180号(ステレオリトグラフィ装置およびその使用方法)、米国特許第5,236,637号(ステレオリトグラフィによる３次元オブジェクトの製造方法および装置)、米国特許第5,217,653号(ステレオリトグラフィによる段差のない３次元オブジェクトの製造方法および装置)、米国特許第5,184,307号(ステレオリトグラフィによる高分離３次元オブジェクトの製造方法および装置)、米国特許第5,182,715号(ステレオリトグラフィパーツの迅速かつ正確な生産)、米国特許第5,182,056号(各種貫通深さを採用したステレオリトグラフィ方法および装置)、米国特許第5,182,055号(ステレオリトグラフィによる３次元オブジェクトの作成方法)、米国特許第5,167,882号(ステレオリトグラフィ法)、米国特許第5,143,663号(ステレオリトグラフィ方法および装置)、米国特許第5,130,064号(ステレオリトグラフィによる３次元オブジェクトの作成方法)、米国特許第5,059,021号(ステレオリトグラフィによるオブジェクトの生産におけるドリフトを修正するための装置および方法)、米国特許第4,942,001号(ステレオリトグラフィによる３次元オブジェクトの作成方法およびその合成)、米国特許第4,844,144号(ステレオリトグラフィによって生成されたパターンを利用するインベストメントキャスティング)。
【０１２０】
更に、本発明は既知のマイクロステレオリトグラフィの処理において用いることができる。例えば、本発明は、コンピュータ・チップおよび他のアイテムを生成する際に用いることができる。いくつかの実例となる記事(それらの開示は引用してここに組込まれる)は、以下のとおりである: エイ・ベルへ（A. Bertsch）、エイチ・ロレンツ（ H Lorenz）、ピー・レナウド（P. Renaud）著「マイクロステレオリトグラフィおよび厚いレジストＵＶリトグラフィを組み合わせることによる３次元マイクロファブリケーション」センサーおよびアクチュエーター:A、73、pp.14-23(1999)、エル・ベルズ（L. Beluze）、エイ・ベルシュ（A. Bertsch）、ピー・レナウド（P. Renaud）著「マイクロステレオリトグラフィ:複雑な３次元オブジェクトを構築する新規プロセス」、「意匠のシンポジウム、MEM/MOEMのテストおよびマイクロファブリケーション、SPIEの手続、3680(2)、pp.808-8 17(1999)、エイ・ベルシュ（A. Bertsch）、エイチ・ロレンツ（H. Lorenz）、ピー・レナウド（P. Renaud）著「３次元マイクロファブリケーションのためのマイクロステレオリトグラフィおよび厚いレジストＵＶリトグラフィの組み合わせ」、「IEEE MEMS 98  ワークショップの手続き」ドイツ、pp.18-23(1998)、エイ・ベルシュ（A. Bertsch）、ジェイ・ワイ・ジェゼクエル（J.Y. Jezequel）、ジェイ・シー・アンドレ（J.C. Andre）著「新規な３次元マイクロファブリケーションの空間的解決の研究:ダイナミック・マスクジェネレーター技術を用いたマイクロステレオリトグラフィ」Photochem．Photobiol．A  ジャーナル:化学、107、pp.275-281(1997)、エイ・ベルシュ（A. Bertsch）、エス・ジシー（S. Zissi）、ジェイ・ワイ・ジェゼクエル（J.Y. Jezequel）、エス・コーベル（S. Corbel）、ジェイ・シー・アンドレ（J.C. Andre）著「ダイナミック・マスクジェネレーターとしての液晶ディスプレーを用いたマイクロステレオリトグラフィ」Micro.Tech.  3(2)、pp.42-47(1997)、エイ・ベルシュ（A. Bertsch）、エス・ジシー（S.Zissi）、エム・カリン（M.Calin）、エス・バランドラス（S.Ballandras）、エイ・ボウルジャウル（A.Bourjault）、ディ・エイチ・ハウデン（D.Hauden）、ジェイ・シー・アンドレ（J.C.Andre）著「マイクロステレオリトグラフィによって組み立てられ形状記憶合金によって操作された小型アクチュエーターの概念および実現」、メカトロニクスに関する第３回フランス-日本議会の講演収録、ブザンソン、2、pp.631-634(1996)。
【０１２１】
同様に、各種の迅速プロトタイピング技術およびそれ(例えば型など)により作られた製品は当該技術において既知であり、いずれの適切な技術および製品をも選択することができる。現在使用可能な３つの典型的な３次元モデル急速プロトタイピング法は、米国特許第5,578,227号(その開示は引用によってここに組込まれる)に開示されているように: a)フォトキュラブル液の凝固あるいはステレオリトグラフィ(例えば、上記参照); b)選択的レーザー焼結（ＳＬＳ）またはパウダー層焼結; c)溶融堆積模型製作(FDM)あるいは押出溶融プラスチック堆積法。迅速にプロトタイプを作る技術およびそれにより製作された製品は、後述する米国特許(発明の名称を括弧内に示す)に示されており、その開示内容はこの明細書に引用としてそのまま組込まれる。米国特許第5,846,370号(迅速にプロトタイプを作る方法およびその装置)、米国特許第5,818,718号(迅速にプロトタイプを作るための高等オーダー構築アルゴリズム法)、米国特許第5,796,620号(迅速工具細工セット・アップを用いたロストフォーム鋳物プロセス用のコンピュータ化されたシステム)、米国特許第5,663,883号(迅速プロトタイプ作成法)、米国特許第5,622,577号(迅速プロトタイピング法およびそのチェンバー)、米国特許第5,587,913号(迅速プロトタイピングシステムによる組立てのための殻を作成する連続的な２次元幾何学を採用する方法)、米国特許第5,578,227号(迅速なプロトタイプを作るシステム)、米国特許第5,547,305号(ホットスティックツーリングのための迅速なツールレス調節システム)、米国特許第5,491,643号(迅速プロトタイピングシステムにおいて開発されていたオブジェクトのパラメータ特性を最適化する方法)、米国特許第5,458,825号(迅速コンテナープロトタイピングのためのステレオリトグラフィによって製造されたブロー・モールディング・ツーリングの利用)、米国特許第5,398,193号(制御された層的堆積/抽出による３次元迅速プロトタイピング法およびその装置)。
【０１２２】
前述した３つのステップすなわち段階も、図１１１（ＦＩＧ．１７）に示す概略ダイヤグラムに概略的に示されている(ステップ１および２は、図示のようにコンピュータ自体の内部で実行することができる)。
【０１２３】
次のセクションにおいて、スーパー公式を用いたパターン「合成」の多くの典型的な実施形態を更に詳細に説明する。
【０１２４】
Ａ．２次元グラフィカルソフトウェア
本発明は、２次元グラフィック・ソフトウェアプリケーションにおいて非常に有益である。
【０１２５】
本発明は、Corel-Draw（商標）、Corel-Paint（商標）、Adobe Photoshop（商標）のような例えば従来市販のプログラム、Visual Basic（商標）またはWindows（商標）、あるいはLotus WordPro（商標）およびLotus Freelance Graphics（商標）のような他の環境、Visual C（商標）、Visual C++（商標）および他のすべてのC-環境下における各種描画プログラムにおいて適用することができる。本発明は、古典的な関数(累乗、三角関数など)を備えたスーパー公式だけを利用するものであることより、とりわけこのアプローチはコンピュータ・メモリ・スペースを実質的にセーブすることが可能であり、イメージ合成において本質的に有利である。更に、スーパー公式で利用可能なイメージ形状の数は、従前に利用可能であった数を越えて実質的に増加している。
【０１２６】
グラフィックス・プログラム(建築意匠において用いられるPaint in Windows（商標）、Microsoft Word（商標）、Corel-Draw（商標）、CAD（商標）等)は、コンピュータにプログラムした形状である「原始関数」を用いる。これらは、しばしば主に円、楕円、正方形および長方形に制限されるなど、非常に制限的なものである(３次元において、容積測定の原始関数も非常に限定されている)。
【０１２７】
スーパー公式の導入は、２次元グラフィックスにおける全般的な可能性を数桁オーダーで著しく拡大させるものである(以下に議論するように３次元グラフィックスにおいても同様)。線形演算子として用いられるので、それは、極座標などであっても各種方法および公式で演算することができ、そしてまた球座標、柱座標、均質化したシリンダのパラメータの公式を用いた３次元においても同様である。
【０１２８】
２次元グラフィックス・ソフトウェア・アプリケーションの典型的な幾つかの実施形態を以下に示す。
【０１２９】
ａ. １.  コンピュータは、例えば極座標あるいはＸＹ座標で演算子を簡単に利用するようにしても良い。この意味で、パラメータは、(例えばオペレータの入力によって、あるいはコンピュータ自体によって)選択され、そして(例えばプログラミングによって)スーパー公式へ入力されたものとして用いることができる。個々の形状あるいはオブジェクトは、オブジェクトを印字したり表示したりするなど、任意の方法で用いることができる。
【０１３０】
ａ．２．  コンピュータは、面積、周囲長、慣性モーメントなどを計算するための積分のような演算を実行するようにしても良い。これに関し、コンピュータは、そのような演算を実行するために、ａ）(例えばキーボード２０を介した)オペレータ入力による演算子の選択、あるいはｂ）(例えば事前プログラミングによる)コンピュータの適応のいずれかにより、演算を実行するようにしても良い。
【０１３１】
ａ．３． コンピュータは、(例えばソフトウェアによって)a)形状をディスプレイしあるいは示し、 b)ユーザがそのディスプレイ後にその形状を変形できるようにし、そしてc)ユーザによって変形された形状を表示するようにしても良い。これに関して、ユーザは、例えばパラメータを変更することによって形状を変形することができる。典型的な実施形態において、コンピュータは、ステップ３で作成された物理的な表示に物理的に作用することによって表示されあるいは示された(つまり、上述のステップ３において)形状を可能にするようにしても良い。好ましい実施形態において、コンピュータは、モニターに表示される形状がパターン(例えばイメージ)の辺および／またはコーナーを引き伸ばすことによって変形され得るようにしても良い。その点、好ましくは、イメージ３１がコンピュータ・スクリーンかモニター３０に表示され、かつユーザが手動操作「マウス」４０を用いて表示されたポインター３２を形状の上に配置してそれを「クリック」して新たな位置まで「ドラッグ」することができ、それによってそのスーパー形状を新規な「スーパー形状」の輪郭３４のように変更する。これは、更に公式およびパラメータの再計算を含むであろう。
【０１３２】
ａ．４．またコンピュータは、スーパーポジションのプロセスを通じて（図１３１（ＦＩＧ．２３Ａ）に概略的に示される代数的加法）あるいは（図１３２（ＦＩＧ．２３Ｂ）に概略的に示された）反復のプロセスのいずれかを通じて、ａ１またはａ３において生成された個々の形状の1つ以上がひとまとめにして考えられるような演算を実行するようにしても良い。いくつかの場合には、例えばスーパー・ポジションおよび／または反復などによって結合される個々のスーパー形状は、異なるセクションあるいは領域を有する形状を作成するために結合可能な、例えばセクターあるいはセクションであっても良い。(1つの実例として、例えば０とπ／２との間の円のセクターは、例えばπ／２とπとの間の正方形のセクターと組み合わされて多重構成要素形状を構成する)。コンピュータは、作成されたスーパー形状上で、例えば平らにし、曲げ、引き延ばし、拡大し、回転し、移動しあるいは並進し、あるいはまたその形状を変形するために、追加の演算を実行するようにしても良い。
【０１３３】
Ｂ. ３次元グラフィックソフトウェア
２次元アプリケーションの場合と同様に、本発明は、３次元グラフィック・ソフトウェア・アプリケーション(および各種他の次元における表示においても)においても非常に有益である。
【０１３４】
本発明は、例えばコンピュータ支援意匠ソフトウェア（「ＣＡＤ」）、有限要素分析ソフトウェア(「ＦＥＭ」)、建築意匠ソフトウェアなどに適用可能である。本発明は、各種アプリケーションについて、スプライン関数ではなく、単一の連続関数を用いることを可能にする。ＣＡＤの産業アプリケーションは、例えば迅速にプロトタイプを作る場合あるいはコンピュータ支援により製造する場合(「ＣＡＭ」)における使用を含む。本発明は、とりわけ、メモリースペースおよび計算機能力を実質的にセーブすることを可能にする。
【０１３５】
先に「スーパー・二次関数」(スーパー楕円体などを含む)を導入することにより、グラフィックス・プログラムが改善される可能性があることを示した。しかし以下に示すように、スーパー公式はスーパー・二次関数を大幅に超えた新規な可能性を提供するものである。例えばスーパー楕円のためのベクトルｘを定義する明示的な公式は、以下のとおりである:
【０１３６】
【数式２５】
0004753474.tif 000017
【０１３７】
但し、−π/２＜ω＜π/２
−π＝＜ω＜π
しかし、ここではまた、可能な回転対称の数は、直交方向に４まで制限される。
【０１３８】
これに対して、スーパー公式は異なる方法で演算する。それは、同じ又は異なる方法で陽関数におけるすべての個々の三角関数上で演算し、どのような回転対称の導入をも許容すると同時に半径を保存する。スーパー公式を導入すると、３次元グラフィックス(および上述したとおり２次元グラフィックス)における全体的な可能性が数桁単位で著しく拡大する。上述のとおり、演算子として用いると、極座標、球座標、柱座標、均質化されたシリンダなどのパラメータの公式化等であれ、各種異なった方法および公式化で演算することができる。スーパー公式を用いると、スーパー楕円の新規標記は以下のように書き表される。
【０１３９】
【数式２６】
0004753474.tif 000018
【０１４０】
指標J1からJ4
従って、スーパー二次関数に限定されず、どんな形状でも、グラフィックスまたはＣＡＤプログラム等における原始関数としてプログラムすることができる。この上記実施例はマトリックスで処理しているが、球状、円柱状、パラメータであれ任意の記数法でなされ得るものであると認識されなければならない。
【０１４１】
このスーパー公式は、３次元スーパー公式によって定義された３次元スーパー形状を作成するために用いることができるが、他の３次元「スーパー形状」は、少なくとも２次元セクションが２次元スーパー公式によってスーパーシェイプされる如何なる形状をも含むことができるよう企図されている。この点において、３次元「スーパー形状」は、更に例えば以下のものを含むことができる。ａ）２次元スーパー形状内の対称ポイントの回りを回転する２次元スーパー形状の回転体、ｂ）任意のポイントの回り、例えば２次元スーパー形状等の外側のポイントの回りを回転する回転体、c)均質化された筒（例えば、一般化された筒および円錐）；例えば、２次元スーパー形状は任意のラインに沿って３次元に拡張される得る、ｄ）均質化されていないシリンダ--例えば２次元スーパー形状は、変形した形状のシリンダを作成するために２次元スーパー形状(例えば寸法および／または形状)を同時に変えながら、任意のラインに沿って３次元に拡張され得る（これは、例えば、花瓶、装飾用カラムその他色々なものを生成するのに、非常に役に立つ--これらの場合、いくつかの好ましい実施例においては、２次元スーパー形状は好ましくは連続的に変形されて滑らかに変化する外表面を作る）、ｄ）上記コンビネーション、ｅ）２次元形状から３次元形状を作成する任意の適切な既知の手段。このスーパー公式は、他の次元において更に一般化され、また他の次元(例えば４次元またはそれ以上の次元)の各種スーパー形状を作成するためにも同様に用いられ得るものであると、理解されなければならない。
【０１４２】
３次元グラフィックス・ソフトウェア・アプリケーションのいくつかの典型的な実施形態は以下のとおりである。
【０１４３】
ｂ. 1.  コンピュータは前記ａ．１項で説明されたと同様の方法で演算子を簡単に利用するようにしても良い。３次元グラフィックスにおいてその演算子を使用するために、その演算子は、極座標あるいはパラメータ座標において展開される。そうでなければ、その演算は２次元におけるそれに類似する。
【０１４４】
球座標において、その線形演算子はｒ＝ｆ(φ、θ)で３次元に拡張され得る:
【０１４５】
【数式２７】
0004753474.tif 000019
【０１４６】
ここに、
【０１４７】
【数式２８】
0004753474.tif 000020
【０１４８】
ここに、ｃは第３形状パラメータ
パラメータの座標において、三角関数の使用は、修正された三角関数を使用することによって、即ち三角関数上の演算子の簡易なアクションによって、拡張され得る。
【０１４９】
ｂ．２．  またこのコンピュータは、前記ａ．２項で述べたようなプロセスを、３次元に(あるいは追加の次元にも)拡張することによって、実行するようにしても良い。
【０１５０】
ｂ．３．  またこのコンピュータは、前記ａ．３項で述べたようなプロセスを、３次元に(あるいは追加の次元にも)拡張することによって、実行するようにしても良い。
【０１５１】
ｂ．４．  またこのコンピュータは、前記ａ．４項で述べたようなプロセスを、３次元に(あるいは追加の次元にも)拡張することによって、実行するようにしても良い。
【０１５２】
３次元スーパー形状を生成するコンピュータプログラムの典型的な1つの実施形態を図１３６〜１３７（ＦＩＧ．２７）に示す。図１３６〜１３７（ＦＩＧ．２７）で図示するプログラムはスーパー公式形状の３次元表示を作成することができるプログラミング言語ＢＡＳＩＣ（商標）のなかでも簡易なプログラムである。この公式は、例えばMathlab（商標）、Mathematica（商標）あるいはMathCAD（商標）等の入手可能な任意の数学的ソフトウェアでプログラムすることができることを理解すべきである。更に、Mathlab（商標）、Mathematica（商標）、MathCAD（商標）、Graphing Calculator of Pacific Tech （商標）のような環境下および他のプログラムにおいて、パラメータを変更させるリアル・タイム・ビューを実行することができる。これは、また任意の適切な計算機言語でプログラムすることができる。(補足注として、図１〜１０９（ＦＩＧ．１ないし１５）で示される各種2次元イラストレーションは MathSoft International（商標）のMathCad 7.0（商標）を用いて作成された。) 周囲長、面積、慣性モーメントなどを計算するための公式は、このソフトウェア(あるいはこの開示に基づいて理解されるように他の適切なソフトウェア)へ容易に導入することができる。
【０１５３】
Ｃ. 波形生成および波形変更
また本発明は、例えば光、電気等を含む音波形や電磁気波形およびその他の各種波形のような波形を生成しかつ変更する際に本質的に有益である。典型的なアプリケーションには、インプットとして波の数学的形状を用いることができる波生成プログラムを備えたコンピュータにつながれて音等を作成するために用いることができるスピーカー・システム７０、シンセサイザーあるいは他の装置の使用が含まれる。
【０１５４】
音(あるいは他の波形)を生成するいくつかの典型的な実施形態は、以下のとおりである。
【０１５５】
ｃ．１． このコンピュータは、ＸＹ座標モードにおいて三角関数で作動する線形演算子を表現するようにしても良い。これは、それゆえ音あるいは他の出力を作成するために既知の方法で用いることができる信号を生成するために使用することができる。例えば、その波形はスピーカー７０などを作動させるために使用することができる。
【０１５６】
ｃ．２．コンピュータは、上記c. 1.で生成された波のような各種波を重ね合わせ、およびそのような異なる波の重ね合せに対応する出力を生成するようにしても良い。
【０１５７】
ｃ．３．またそのコンピュータは、各種既知の音生成プログラム内のc. １かc.２ からのコンピュータ生成波形を利用するようにしても良い。
【０１５８】
Ｄ. 最適化および他のアプリケーション
イメージ、音などを合成するためのスーパー公式の前述したアプリケーションに加えて、スーパー公式は、特に結果を生成し、かつ各種アプリケーションのための結果を表示あるいは使用するために用いることができる。
【０１５９】
第１実施例においては、スーパー公式は各種最適化決定に用いることができる。これに関して、スーパー公式は、各種構造の形状、面積、寸法などを計算し最適化するために用いることができる。例えば、このスーパー公式は、食品等のパッケージング用のプラスチックポットのような製品の外形を計算し最適化するために用いることができる。その点では、このコンピュータは、識別受容性決定、%最適化、潜在的形状、潜在的パラメータ等のような最適化の結果を識別するために、ディスプレイ、印刷などを生成するようにしても良い。更に、スーパー公式は、そのように最適化された製品の製造工程に直接適用することができる。
【０１６０】
他の実施例において、コンピュータはスーパー公式に基づいて各種の他の値あるいは特性を計算するようにしても良い。また、そのコンピュータは、そのような他の値あるいは特性の結果を表示し、あるいは他の装置あるいはメカニズム６０をコントロールするようにしても良い。
【０１６１】
（ｉ） 産業上の実施例
典型的な工業製品の構成においてコンパクトさ(例えば面積／周囲長の比率)を計算するためにスーパー公式を用いる場合を次に例示する。この方法において、材料の最適化は、食物あるいは他の内容物のパッケージの容器（例えばプラスチック容器、金属缶等）などの製品を開発する際になされる。これに限定されるものではないが以下の２つの実施例を例示し得る。
【０１６２】
（ａ）ヨーグルト(およびこれに類似するものを含む)用容器
例えば、ヨーグルトは、プラスチックカップおよび除去可能な蓋からなる容器に充填されて販売に供されるのが普通である。それら容器は、複数の容器（通常は６個パックとして）でしばしば販売される。本発明は、最も安価な形状（使用材料を最小にするとともに面積を最小にし、従って容器プロパーを最小体積にするという点において）を作成する際に用いることができる。
【０１６３】
（ａ）エンジン(およびこれに類似するものを含む)の製造
例えば、エンジンにおいて、このスーパー公式は、一定のシリンダ容積およびエンジン強度で（例えばシリンダーブロックの）体積および重量を減少させる際に用いることができる。
【０１６４】
幾何学において、円は最も簡易で最も完全な形状であると考えられている。一つの一般的に知られた原理はイソペリメトリック性状と呼ばれ、それは周囲長が与えられた全ての平面の形状のなかでは円が最大の面積を有するということを示している。しかしながら、技術的に応用する場合、その問題は若干異なるものとなる。エンジニアは、リザーバ自体（例えばその表面材料）をできるだけ小さくしつつ、そのリザーバ内に一定量あるいは容積の物質を入れようとする。この問題は以下のように言い換えることができる。 「どのような形状が最も「コンパクト」なのかということであり、それは内容積を外表面材料で除算することによって計算される」。
【０１６５】
この表面材料は、封入された物質に接触する表面だけではなく、例えばマルチパックヨーグルト容器は、並べて接続される複数のカップあるいは空洞を有する。またこれらの接続は材料を必要とし、追加費用がかかるものである。本発明は、そのようなポットあるいは容器等の新規かつ最適化された形状を設計するためにスーパー公式を用いるものである。
【０１６６】
（ａ）（例えばヨーグルト・パックなど）のパッケージング材料の最適化
以下の実施例においては、それらポットは（例えば上述した一般的な複合パックヨーグルト容器でなされているように）その上端においてプラスチック等で互いに固定されるものと仮定する。以下の計算は、どの基本的スーパー形状が（例えば、変数ａ＝ｂ＝グランド半径Ｒ、べき指数ｎだけで）与えられた断面積に対して最も安価であるかを決める。この面積は、スーパー形状のグランド半径（角度＝０°の半径）およびそのポットの体積を決定する。例えば、あるポットが約２２５０ｍｍ2(これは実際の例である)の断面積を有するものである場合、スーパー形状のべき指数は我々が決定しようとしている変数である。従って、我々はまだグランド半径を知らない。べき指数のスパンについて、面積の定数（それはスーパー形状のべき指数によって決定される）を計算する:
【０１６７】
【数式２９】
0004753474.tif 000021
【０１６８】
全てのべき指数について、ここでグランド半径ｒｇ（ｎ）を決定することができる。先ず、その面積は以下によって計算される:
【０１６９】
【数式３０】
0004753474.tif 000022
【０１７０】
但し、
【０１７１】
【数式３１】
0004753474.tif 000023
【０１７２】
従って、
【０１７３】
【数式３２】
0004753474.tif 000024
【０１７４】
シェープパラメーターａおよびｂが等しいとき、それらはいずれもｒｇ（ｎ）に等しい。
【０１７５】
【数式３３】
0004753474.tif 000025
【０１７６】
さて、その断面積ｒ(ｎ)の周囲長は図１３８（ＦＩＧ．２８）に示す方程式を用いることによって計算することができる。
【０１７７】
これら実施例において、ｍ1およびｍ2(つまり回転対称)は４に等しい。これは他の回転対称にも一般化され得るものであると理解されるべきである。また、積分が０からπ／２までの第一象限にあるので、絶対値は削除されている。例えば、これらポットが１６ｍｍ間隔であるとすると、このスペースはプラスチック接続プレートで満たさなければならない。ここに、全表面は以下のようにして計算される:
【０１７８】
【数式３４】
0004753474.tif 000026
【０１７９】
ここで、ozijde(n)はポットの面積（＝例えば６０ｍｍの高さを掛けた断面積の周囲長）であり、otot(n)はポットを生産するのに必要なプラスチックの合計面積である。図１３３（ＦＩＧ．２４）は、上記に基づく計算を図示するものである。たった２回の反復（より高等な精度でべき指数のいくつかの個別の範囲を選んで）を実行したあと、約ｎ＝３．４（より正確にはｎ＝３．４２７）のべき指数がこれらヨーグルト・ポットのために最適の形状を提供するものであることが容易に判明した。
【０１８０】
（ｂ）エンジンの最適化:
このスーパー形状を用いた他の非常に注目に値する産業用アプリケーションは、シリンダーブロックの作図にある。スーパー公式のおかげで、ピストンは、中間点から中間点への距離を減少させつつ、左右に同じ距離を維持して組み込むことができる。その結果、エンジンは非常にコンパクト化され、またその重量を徹底的に減少することができる。
【０１８１】
これに限定されるものではないがある実施例において、エンジン・シリンダを切削加工するための長方形ブロックで作られた簡易なエンジンで説明する。スーパー形状を有するシリンダ（即ちスーパーシリンダ）を用いることによって、(シリンダーブロックの)長方形の寸法を、最も強度的に弱い場所でその機械的な強堅さを失うことなく縮小させることができる。従って、過剰で不要な材料、例えば鉄を実質的に排除することができ、それによってエンジンをより効率化することができる。スーパー公式でシリンダーブロック(＝長方形シリンダ)の体積を計算すると、顕著な結果を見いだすことができる。例えば、図１３４（ＦＩＧ．２５）に示されるように、1-シリンダエンジンで、スーパー形状のグランド半径よりも２ｍｍ広いグランド半径を有する断面正方形の長方形ブロックにおいて、ｎを２の代わりに２．５としてスーパーシリンダを用いることによって、重量を最大２４％を軽減することが可能である。従って、スーパー公式により、最適化された形状などを得るために状況パラメータを計算に含めるための方法を使用することができる。（特に、最大面積／周囲長比率の1つのスーパー形状は約ｎ＝４．３９３５４９のべき指数を有しており、これは上述の計算によって証明することができる。）
Ｅ．各種製品
上述のとおり、本発明の一つの側面によると、スーパー公式は、製品の製造工程において用いられる装置のような外部装置をコントロールするために用いられる出力を提供するために利用することができる。
【０１８２】
（ａ）ある典型的な実施形態において、本発明は、「ロシア人形」に類似した玩具を作成するために利用することができる。例えば、(例えば２枚のハーフシェル（貝殻の一方）で作られたような)開くことが可能な、より小さなスーパー球体および／またはその内部に作成された連続的に寸法が減少させられたサブ球体を有する立方体を提供することができる（例えば、分離してその内部の他のスーパー形状を明らかにすることができる２枚のハーフシェルで作られたもの）。同様に、数学的なツールであって、スーパー公式の原理を学生に教えるために用いることができる（２次元あるいは３次元の）形状からなるものを作成することができる。例えば、これらの形状は、図３〜１４（ＦＩＧ．１ＣないしＦＩＧ．１Ｎ）等で示された形状に類似するような複数の形状でありえる。これら形状は、前記スーパー形状の半分に作られた弓状の形状のような、スーパー形状の部分でもあり得る。
【０１８３】
(ｂ) 別の実施形態において、教育ツールおよび／または娯楽装置は、以下のいずれか一方と共に描写されあるいは表示される複数のスーパー形状を有するものを提供することができる: ａ）時間(例えば、映画スクリーン、コンピュータ・モニター、ビデオモニター、テレビモニターなどで、異なるスーパー形状が連続的に表示される) (これは、見る人が各形状を連続的あるいは瞬時に視認あるいは理解して一般に瞬間的に表示された形状間に映画のようなシーケンスあるいは流れを作成することを可能にするようにゆっくりなされ得る)、又はｂ）位置（例えば、本の1又は複数のページ上、1又は複数枚の写真上、あるいはフィルム片上、あるいは映画スクリーン、モニター、テレビ・ディスプレイ、ビデオディスプレイ等に並んで表示されたポジション）。これらの構成において、スーパー形状は、ａ）表示されたスーパー形状が、パラメーターの段階的変化を表示する方法において異なるように、ひいては、例えば図１〜２０（ＦＩＧ．１ＡないしＦＩＧ．１Ｔ）、図２１〜２９（ＦＩＧ．２ＡないしＦＩＧ．２Ｉ）、図３０〜３５（ＦＩＧ．３ＡないしＦＩＧ．３Ｆ）、図３６〜４４（ＦＩＧ．４ＡないしＦＩＧ．４Ｉ）、図４５〜５３（（ＦＩＧ．５ＡないしＦＩＧ．５Ｉ）、図５４〜６２（ＦＩＧ．６ＡないしＦＩＧ．６Ｉ）、図６３〜６９（ＦＩＧ．７ＡないしＦＩＧ．７Ｇ）、図７０〜７５（ＦＩＧ．８ＡないしＦＩＧ．８Ｆ）、図７６〜８２（ＦＩＧ．９ＡないしＦＩＧ．９Ｇ）等のいずれかの実施例において示されたように、スーパー形状によって形成された形状が異なるように配列することができ、あるいはｂ）スーパー公式のパラメータの他の変化から生じるバリエーションを実証するためにともに表示されあるいは描写することができる(図８９〜９３（ＦＩＧ．１１ＡないしＦＩＧ．１１Ｅ）に示されるのように)、あるいはｃ）スーパー形状の相互関係(図８９〜９３（ＦＩＧ．１１ＡないしＦＩＧ．１１Ｅ）および図９４〜９８（ＦＩＧ．１２ＡないしＦＩＧ．１２Ｅ）等で示されたものの相互関係等)を実証するためにともに表示しあるいは描写することができる。同様に、他の座標系等におけるスーパー公式のバリエーションを表示する製品を作ることができる。同様に、スーパー公式パラメータの同様のバリエーションによって作成された、異なる波形(例えば音)を表示しあるいは示す製品を作ることができる。玩具、本、フィルム等を含む各種製品が、コンピュータの援助で好ましくは公式化されるが、そのようなものは必ずしも要求されない。
【０１８４】
ｃ）別の実施形態においては、1つ以上のスーパー形状が印字され、刺繍され、エッチングチングされ、機械加工された、描かれ、あるいは１個のストック資料片上あるいは内に形成された製品を形成することができる。例えば、織物材料あるいは他の織物は、衣類（例えばTシャツ、セーター等）、シーツ、毛布、カーテン等の上部に、スーパー形状を印字し、刺繍等がなされるように作ることができる。例えば、複数の花状のスーパー形状をその上に作ることができる。別の実施例においては、絵画をキャンバス上にコンピュータ化された方法で描くことができ、それによって１またはそれ以上のスーパー形状がその上に描写される。その方法は、好ましくは、その方法のオペレーションを制御するコンピュータによってガイドされてそのような形状を描く。別の実施例では、木、プラスチック、金属、セラミックなどの材料片を、１またはそれ以上のスーパー形状が上部に描かれるように、機械加工することなどができる。その方法は、好ましくは、そのオペレーションをコントロールするコンピュータによってガイドされ、その材料片にそのような形状を作る。
【０１８５】
(ｄ) 別のアプリケーションにおいては、本発明は、各種地球儀、地図等の製造において利用することができる。これに関し、用語「距離（metric）」について説明する。一般に、例えば１ｍとかその百万分の１のμｍ等のように、十分に定義された手段で考えることに慣れている。しかし、これだけが距離を見る唯一の方法ではない。
【０１８６】
ここで述べたように、スーパー公式は、円を各種多角形および他の形状にするために用いることができる。従って、上述のとおり、スーパー公式は関数上の演算子として用いることができる。しかし、論法を逆にすれば、本質的に、これら全ての形状は円であると言うことができる。この場合、スーパー公式または演算子は「距離(metric)」を定義する。例えば、円を正方形へモデル化すれば、その円からこれに外接された正方形への遷移が見られる。０°では、円の半径は正方形の１辺の長さの丁度半分であるが、４５°ではその半径Ｒは該半径のルート２倍に拡大する。半径は依然として同じであるが、その半径は他の単位(すなわち公式によって与えられた単位)で測られる。この実施例において、本質的に、我々は、固定された物差しで一定の距離を有する円の視点からその正方形に目を向けている。しかし、たとえそれ自身の距離で正方形の視点から見て正方形を見たとしても、それは依然として円である。
【０１８７】
例えば、図１３５（ＦＩＧ．２６）において、どのようにして図１３５（ＦＩＧ．２６）の円が図１３５（ＦＩＧ．２６）の正方形と相互に関連するかが示されている。もし円の定義が中心からの一定距離に位置する全てのポイントを集めたものであることを知っていれば、どのようにその正方形が円であるかが分かる。推定によって、我々は、全てのスーパー形状は、事実、スーパー公式によって定義された距離を有する円であると想像することができる（図１３５（ＦＩＧ．２６ＡおよびＦＩＧ．２６Ｂ）に示されるイラストにおいて、この距離はＲＳｍ＝４およびすべてのｎ＝1のときの公式である）。
【０１８８】
これらと同様に、他の「距離」はスーパー公式で見ることができる。例えば、演算子が螺旋を四角形の螺旋に導くような明らかな回転対称も真の螺旋として、正方形の距離を有するものとして見ることができる。
【０１８９】
さて、球体(例えば特に地球)および立方体に上記を適用した場合、その立方体は依然として球体であるが、異なった「距離」を有する。従って、もし我々が地球を立方体に「膨張させれ」ば、すべての国々および大陸等は変形するだろうが、これはこの公式で行うことができるものであるため、我々は全てのポイントで距離を知ることができる。
【０１９０】
而して、我々は、例えば地球をどのような他のスーパー公式形状（立方体、ビーム、ピラミッド、１２面体、各種他の多面体などで真っ直ぐな辺あるいは膨張した辺、丸くなったコーナーなどあるいは直角のコーナーを有するもの）に変形するために用いることができる。
【０１９１】
例えば、地球等は次のようになりうる、 （１）例えばコンピュータとグラフィックスのプログラミングで作られた３次元フォームの２次元表示(例えば、コンピュータ・モニターに示された、紙(例えば小さな紙（例えば、８インチ（約２０．３ｍｍ）×１１インチ（約２５１．５ｍｍ）あるいはそれより小さい）からポスター等（例えば２フィート（約６０．９ｃｍ）×３フィート（約９１．４ｃｍ）あるいはもっと大きい）に印字されたもの、織物材(例えばＴシャツなどの衣類)のような繊維材料上に印字されたもの、あるいは別の材料上に形成されたもの) 、（２）売り物になるアイテムとして製造することができる変形地球儀などを作るために好ましくはコンピュータによって実行されたそのような計算に基づいた３次元構造。
【０１９２】
更に、本発明によると、スーパー公式を用いて地球を平面上に容易に写像することができる。これは、地球が紙上に例えば正確な精度で写像することができる初めてのことである。地球（非ユークリッド）の内在する湾曲はユークリッド空間に容易に変形することができる（現在、ユークリッドおよび非ユークリッド幾何的配列は相互に相容れないものである）。
【０１９３】
典型的な教育用等のツールは以下のように作ることができる。１つの実施形態においては、センサーを、距離に関連する表面（例えば視認されないように表面下に）に埋め込むことができる。従って、人が、スーパー形状地球あるいは立方体あるいはピラミッド上を敏感なプローブ（例えばペン状のもの）を２つの位置(例えばローマとワシントンＤＣ間で)間で移動させれば、その地球上で同じ距離を測定するであろう。もちろん、センサー間の間隔は球体および立方体で異なるであろう。これは、スーパー形状についてどのように考えるか、即ち、球体、立方体等は同じであるということの理解の助けになる。これらの形状は、一般化された球体と分類しても良い。
【０１９４】
更にまた、スーパー公式は、この開示から理解されるように、各種他のアプリケーション用の非常に強力なツールを提供する、形状の距離と寸法間のリンク（正弦、余弦などは手段であるという意味で）をも提供する。
【０１９５】
更に、コンピュータ環境において、そのような一般化された地球は、回転マトリックスを用いて、固定軸のまわりで回転することができる。更に、スーパー公式で、例えば、地球は回転する例えば「正方形」であり得るようにスーパー公式を回転マトリックス中に三角関数を適用することも可能である。
【０１９６】
原則として、スーパー公式演算子は、例えば相対性理論の中で用いられる４次元ミンコフスキー・スペース上のような、ユークリッド空間あるいは他の幾何学的スペースも含む、如何なる幾何学的スペース上にも距離として適用することができる(すなわち、距離を任意の幾何学的なスペースに導入するために)。さらに、フィッツジェラルドローレンツ収縮公式がスーパー公式によって達成され得ることは注目される。ここに、余弦用語は一定でありかつｃ（つまり光の速度）に等しく、正弦用語は、υ(つまり粒子あるいはオブジェクトの速度)に等しく、そしてべき指数ｎはすべて２に等しい。
【０１９７】
（ｅ）別の典型的な装置には、例えば、以下のものを有する新規なあるいは教育的なアイテムが含まれる。（１）スクリーンやモニター、（２）１又は複数のパラメータｍ、１／ａ、１／ｂ、ｎ1、ｎ2、ｎ3の値を入力しあるいは変更するためのキー、および（３）入力値に基づいてスーパー形状イメージ（例えば、２次元又は３次元のスーパー形状の２つの次元のイメージ）を生成しかつスクリーンやモニターにイメージを生成するための(例えばコンピュータなどの)プロセッサー。典型的な実施形態においては、キーは、各パラメータ値を変更するための「アップ(up)」および「ダウン(down)」矢印キーを含む。ｎ2パラメータのために例えばアップキーを押すと、ユーザはスーパー形状を漸増的に変更することができる（その漸増は、形状が望ましい範囲内で視覚的に確実に変更するように選択され得る）。この実施形態は、ＰＣコンピュータ上で実行される(例えば、ＣＤ−ＲＯＭによって供給された)コンピュータ・プログラムを有するものであっても良く、あるいは表示用の小さなモニターと、内部エレクトロニクスおよびソフトウェアと必要なキーを有するものであっても良い。変形例において、そのコンピュータは、モニターやスクリーン上で（例えばスクリーンの上端領域で）スーパー形状を表示するように作られても良く、スクリーンの上端に示されたスーパー形状に変形しようとする簡易な円を(例えばスクリーンの下端に)ユーザに示される（他の変形例においては、イメージをオーバーラップして示すようにしても良く、あるいはユーザによって変形されたイメージとは別に初期イメージを別に示すようにしても良い）。一旦ユーザが、作成されたイメージが最初に示されたものと類似するように（例えば、あるいは前もって定義した範囲内で）パラメータ値を変更すると、もし望めば、コンピュータは、(ａ)作業が完了したことを示すことができる（あるいは、ユーザは、作成されたイメージが最初のイメージに類似するかどうかを決定することができた）、（ｂ）その完成の時刻か速度を示すことができる、（ｃ）アップキーおよびダウンキーのオペレータの使用の効率の評価を与えることができる。(注:本質的には、この変更は、ユーザによるパラメータの変化を通じて初期のイメージのパラメータを分離することにより、初期のイメージの簡易なイメージ分析を実行することを含むことができた) (下記「分析」セクション参照)
（ｆ）スーパー公式は（例えば、２次元スーパー形状として作られる断面形状を持つように作られた２次元スーパー形状および／または３次元スーパー形状等として作られた構造の）各種製品を製造するために用いられることが企図されている。上記実施例に加えて、例えば花瓶(例えば花等のための)、食器、カップ、容器、ドア・ノブ、家具（例えば脚意匠、テーブル表面形状、その装飾など）、および他の適切な製品などの他の製品も含まれる。
【０１９８】
ＩＩ. 分析
既に上で議論したように、本発明の第２の側面によれば、スーパー公式は、イメージや波のようなパターンの分析に利用される。
【０１９９】
これに関して、図１１６〜１３０（ＦＩＧ．２０ないしＦＩＧ．２２）を参照して上で議論したように、スーパー公式が少なくとも５つの異なる数学的な描写モードを持っていることは非常に注目に値する。更に、描写の他のモードは他の座標システムにおける他のグラフを含んでいる。パラメータがスーパー公式内で選択されると、それら選択値と釣り合った特定の方程式が作成される。しかしながら、この特定の方程式は、これらの数学的な描写モードのいずれでも表わすことができる。数学的な意味において、これらの異なる描写モード間に同形、即ち1対1の関係がある。
【０２００】
とりわけ、これは、各種形状と物との間の比較を促進し、それらが単一の公式によってともに「一致」することを可能にする。例えば、幾何学は、すべてが正弦と余弦に基づく場合で、電磁波と全く関係がないこととして典型的には見られる。しかしながら、このスーパー公式は、単一の公式を用いて波および幾何学的な形状の双方を表わすこと、例えば粒子波双対性の原理に光を注ぐことを可能とする。唯一の違いは描写のモードである。
【０２０１】
各種描写のモードの中で、いくつかの点で特定の優先権はない。しかしながらとりわけ、異なるモードは、異なるタイプの「パターン」分析において容易に利用することができる。
【０２０２】
例えば、ピークを有する波等として表わされるような化学のある種類のシグナルを分析する場合(例えばＹ軸を特性あるいは条件としＸ軸を時間変域とするＸＹ座標で表わすことができる化学反応において)、図１１８（ＦＩＧ．２０Ｃ）、図１２３（ＦＩＧ．２１Ｃ）および図１２８（ＦＩＧ．２２Ｃ）で示されるタイプのＸＹ描写は、分析に格別有用なものとなる。別の実施例として、電磁波を分析する場合、図１１９（ＦＩＧ．２０Ｄ）、図１２４（ＦＩＧ．２１Ｄ）および図１２９（ＦＩＧ．２２Ｄ）で示される射影タイプのＸＹ描写（サブ正弦あるいはスーパー正弦のいずれか）は特に有用なものとなる。図１１６〜１３０（ＦＩＧ．２０ないしＦＩＧ．２２）で図示されるように、これらの実施例において、これらのＸＹグラフは同形で極座標グラフに容易に変形することができる。
【０２０３】
一般に、以下に制限されるものではないが、形状または波は、下記の基本的なステップの適用によって「分析」することができる（これらのステップは、合成の先のステップと逆の組立において類似する）。
【０２０４】
第１ステップにおいて、パターンはスキャンあるいはインプットによりコンピュータに（例えばディジタルフォームで）導入され得る。例えば、オブジェクトのイメージは（２次元あるいは３次元で）スキャンされ、マイクロホンは音波を受信し、電気信号（例えば波）はインプットされ、例えばＣＤ−ＲＯＭ等のディスクのようなコンピュータ読取可能メディアからのデータはインプットされ、データはインターネット、イントラネットのようなオン・ラインで受信され得る。各種他の既知の入力技術を用いることができる。例えばディジタルあるいは他のカメラ（単一の写真あるいは連続的なリアル・タイムであれ）を用いるなどである。図１１０（ＦＩＧ．１６）は、実施例を示すもので、イメージ・スキャナー１００（例えば紙または写真のようなストック材料上にイメージを走査するために利用される文書スキャナー、あるいは他のスキャナー）および／または（マイクロホンなどによって波形を受け取るような）レコーダー２００が、コンピュータ１０と共に利用されている。
【０２０５】
第２のステップにおいて、そのイメージが分析されスーパー公式のパラメータ値等を決定する。このステップにおいて、その分析された信号は、分類され、分析され、比較等される。コンピュータ分析する場合、そのコンピュータは、（例えばパラメータの値によって分類されたスーパー形状等の）原始関数の（例えば、メモリに格納された）ライブラリあるいはカタログを備えたものであっても良い。後者のような場合、その後、コンピュータは、そのライブラリあるいはカタログの情報に基づいてスーパー形状を近似し、識別し、分類等するのに使用しうる。原始関数のカタログは、例えばパターンや形状を最初に近似するために使用しても良い。
【０２０６】
第３のオプションのステップにおいて、所期するとおり分析された信号を変更しても良い（例えば、演算は、合成の第２の一般的な過程あるいはステップに関して上述したと同様に実行するようにしても良い）。
【０２０７】
第４ステップにおいて、出力を作成しても良い。その出力には以下のものが含まれ得る。（ａ）（例えば表示されあるいは印字された）視覚的はあるいは(例えば音のような)聴覚的出力を提供すること、（ｂ）（例えばある条件が決定される場合）特定の装置の演算をコントロールすること、(ｃ)分析されたパターンに関係する表示を提供すること（例えばそれを識別し、それを分類し、好適あるいは最適の形状を識別し、欠陥あるいは異常を識別すること）、（ｄ）当該技術分野における人々に明らかなような出力あるいは結果を別のフォームで作成すること。
【０２０８】
その分析において、そのパターンがディジタル化された後、コンピュータは特定形式の描写を用いて進める。化学パターンである場合、ＸＹグラフが選択されるべきである。閉じた形状である場合、変形フーリエ解析が選択されるべきである。コンピュータは、ディジタル化されたパターンを表わすための方程式に正しいパラメータを推定するように（例えばソフトウェアを介して）されるべきである。
【０２０９】
フーリエ解析技術は、例えば以下の米国特許出願（括弧中に発明の名称を示す）において開示されており、それらの開示内容はこの明細書に引用して組込まれる。米国特許第5,749,073号（自動的にオーディオ情報を変形させるためのシステム）、米国特許法第3,720,816号（干渉信号のフーリエ解析用方法）、米国特許法第5,769,081号（光分光学およびフーリエ分析を用いて癌の組織を検知する方法）、米国特許法第5,425,373号（相互心臓の信号を分析し増進するための装置および方法）、米国特許第5,109,862号（電気-カードグラフィック信号の分光分析用、方法および装置）、米国特許第5,657,126号(楕円偏光計)、米国特許第5,416,588号（小さな調整楕円偏光法）、米国特許第5,054,072号（聴覚波形のコーディング）、米国特許法第4,885,790号（聴覚の波形の処理）、米国特許法第4,937,868号（正弦波を用いる音声分析合成システム）。
【０２１０】
このスーパー公式を利用して実行することができる「変形された」フーリエ分析は、多くの長所を有する。まず、この「変形された」分析は、単に円に基づくものではなく、それははるかに広いものである。例えば、フーリエ解析中の初項は定数であり、波あるいはオブジェクトの基本的な尺度を与える。次いで、はるかに小さな円にそれぞれ基づく、更なる項が後に加えられる。
【０２１１】
イラストレーションとしての、台形波のフーリエ解析および同波の「変形された」スーパー公式分析を概略的に示す図１１２（ＦＩＧ．１８Ａ）および図１１３（ＦＩＧ．１８Ｂ）にそれぞれ言及する。図１１２（ＦＩＧ．１８Ａ）に示されるように、フーリエ解析は２つのステップにおいて概略的近似を提供する。本発明では、すべての項が演算子によって連続して変更されるので、基本的な形状（あるいはパターン）が特定の形状、例えば円、スーパー円など、に近似するかどうかが決定され得る。この場合、演算子は以下のようにあてがわれてもよい。
【０２１２】
【数式３５】
0004753474.tif 000027
【０２１３】
（１≦ｎ≦無限大）
従って、図１１３（ＦＩＧ．１８Ｂ）で示されるように、本発明は台形波パターンに基づいてはるかに速く収束しうる。
【０２１４】
より多くの限界を加える必要があるところに、限界の全部に最良推定値があるかもしれない。例えば、３つの限界が用いられる場合、変更は最良推定値を得るためにコンビネーションにおいて、すべての限界に適用されるべきである。従って、拡張フーリエ解析（あるいはその一般化されたもの）の一般的な公式は以下のとおりである。
【０２１５】
【数式３６】
0004753474.tif 000028
【０２１６】
これは手さぐり法であり、コンピュータは容易に実行することができるでものである。スーパー公式を用いたフーリエ級数を単純化されたものに変換する追加の方法を開発することができ、また利用することができる。
【０２１７】
特に、「化学波」および「電磁波」また他の「波形」でさえ、拡張フーリエ解析を用いて、分析することができ、また対応するスーパー形状に変換することができる。パターン解析におけるスーパー公式のアプリケーションを実証する若干の典型的な実施形態を以下に説明する。
【０２１８】
Ａ. イメージ分析の実例となる実施例
スーパー公式を利用した分析の簡易な1つの実例は、合成の基本的な実施形態に関連する。特に、合成する際、多角形は「原始関数」として用いることができる（上述のとおり、スーパー公式は原始関数の無限の数の生成を可能にし、既存の作図プログラムを著しく改良する）。上述のとおり、ある実施形態において、スーパー形状はモニターに示すことができ、またそのスーパー形状（例えばここでは「原始関数」）はポインター（例えばマウス等）でつかまることができて、例えば、１つの辺を「つかみ」それを外側あるいは内側に向かってドラッグすることができる。スーパー公式のために、形状は対称的に変わるであろう。その後、同じ「ドラッギング」操作は、例えば表示されたスーパー形状のコーナーをよりシャープにあるいはより丸くするようになされる。
【０２１９】
ユーザが前記演算を実行すると、コンピュータは自動的に新規な形状の新規なパラメータ（例えば新規なべき指数ｎi）を計算することができ、かつその新規な面積、周囲長などを更に計算することができる。
【０２２０】
典型的な「分析」に関して、（例えば三角形の形状のような）簡易な形状あるいは容器（例えば店で購入したヨーグルト・ポットーその最適化に関してここに説明された実施形態を参照）のような簡易なオブジェクトはコンピュータへスキャンすることができる（例えば、もし必要ならばそれの写真はスキャンインすることができる。多くのスキャン装置が当該技術分野において知られている）。その後、ユーザは、手動で原始関数（例えば三角形、正方形など）のうちの1つを選ぶことができ、コンピュータ・モニターあるいはスクリーン上にスキャンされた形状の表示されたイメージに関する原始関数を被せることができる。すなわち、スーパー形状の辺を、例えばマウスなどで、原始関数の辺がスキャンされた形状（例えばオブジェクトなどのアウトライン）のそれにマッチするまで、スキャンした形状の上にドラッグする。上述したように、同じ操作を形状のコーナーで行うことができ、その結果、パラメータの正確なセットがスキャンした形状について決定され得る。
【０２２１】
上述したとおり、面積、周囲長あるいは如何なる関連する特性もここで説明したように容易に計算することができる。１つの典型的な実施形態において、特定のタイプの複数のアイテム（例えば特定の植物、他の自然の構成など）はコンピュータへスキャンすることができ（例えば、特別の植物タイプの断面はコンピュータへスキャンすることができる）、かつ各アイテムに関してそのパラメータ（例えばｎiなど）の値は決定されうる。その後、中央の値などが、その特定のアイテムのパラメータ（値の範囲、そのような値の標準偏差等）について決定される。従って、得られたそのような値に基づいて、分類がなされ、それによって特定のアイテムが、パラメータの値（例えばｎi等）に基づいて分類される。このようにして、将来のアイテムは、それぞれのパラメータの（分析による）決定に基づいて分類することができる。例えば、ある植物が、環境条件（例えば生育場所、栄養等）等に基づいて異なるパラメータを有する場合、選択された植物のパラメータの評価は、そのような前分類によるその植物の環境条件等を決定することを支援することができる。
【０２２２】
前記実施例において、分析はマニュアル・コンポーネントを含んでいるが、これは例えば以下によって改善され得る。(ａ)コンピュータにこの分析を自動的に実行させる（例えば、コンピュータは、とりわけ、精度を増大させることができる）、（ｂ）不規則なカーブあるいは形状に関してスーパー形状近似は、当該技術分野において既知であるベジエル曲線(Bezier)、小波等の他の既存技術と統合することができる（注: 第１近似においてはスーパー形状は非常に効率的であるため、計算機能力とメモリとを節約することができる）、（ｃ）当該技術分野において既知の他の技術を用いること。
Ｂ. 変形されたフーリエ解析を用いた、基本的な自然パターンの分析
基本的なパターンは次の典型的なステップを利用して分析することができる。
【０２２３】
第1ステップにおいては、オブジェクトの一般的なアウトラインはスキャンされディジタル化することができる。例えば、図１１４（ＦＩＧ．１９Ａ）に示されるように、鳥の基本的なアウトラインをスキャンすることができる。
【０２２４】
第２ステップにおいて、変形されたフリエ解析を実行することができる。図１１４（ＦＩＧ．１９Ａ）に概略的に示されるように、第１、第２および第３項は図示のように一般に生成することができる。第１項は
【０２２５】
【数式３７】
0004753474.tif 000029
【０２２６】
で表すことができ、第２および第３項は変更することができる。この開示に基づく技術分野における人々によって理解されるべきであるように、変更されあるいは拡張されたフーリエ解析でのように、スーパー公式も、小波ファミリー、スプライン関数、ベジル（Bezier）曲線等を変更する演算子として用いることができるように、企図されている。
【０２２７】
第３ステップにおいて、一般的な公式の導出を実行することができる。
【０２２８】
図１１５（ＦＩＧ．１９Ｂ）は、この典型的な実例となる場合における基本的な自然パターンを再現しあるいは分析するために用いることができる公式を示す。
【０２２９】
Ｃ. 直接的形状解析(２次元または３次元):オブジェクト認識
このアプリケーションにおいて、オブジェクト（例えばヒトデ、四角形、多角形、湾曲或いは真直ぐな辺などを有するもの等のような簡易なアイテム）はスキャンすることができる。その後、コンピュータは、これらスキャンされた形状をスーパー公式方程式へ直接ディジタル化することができる。
【０２３０】
他の利点は、如何なる形状についても、コンピュータは、座標について知る必要はなく、公式のみを知れば良いことである。とりわけ、これはコンピュータ・メモリーを著しくセーブすることを可能にする。
【０２３１】
コンピュータは、それぞれのスーパー公式方程式(つまりそれぞれのパラメータ)およびその分類をそのコンピュータのメモリ内のデータとして格納するようにしても良い。従って、記憶データに基づいて、新規なオブジェクトはスキャンされ分析され、分析の結果を格納された値と比較することができる。コンピュータは、このように新規なオブジェクトの分類の状態を決定することができる。コンピュータは、これらの結果を印字し、そのような結果に関するデータを蓄積し、比較あるいは他の評価をなし、そのような結果に基づいて別の装置をコントロールすることができる(例えば、ロボットアームを特定のオブジェクト上に位置決めするようにコントロールし、多角形を撮影するためにカメラをコントロールするなど、外部装置６０をコントロールする)
Ｄ. 直接形状解析(２次元または３次元): リバース・エンジニアリング
このアプリケーションにおいて、パーツはコンピュータにスキャンしてディジタル化することができる(例えばブロークンパーツなど)。その後、上で議論したようにイメージ分析される。結果はパラメータで通常の方程式に一般化される。その後、そのパーツはその一般化に基づいて復元することができる。
【０２３２】
Ｅ．波に関する変形(あるいは一般化)されたフーリエ解析:音の分析
このアプリケーションにおいて、音は、任意の既知の記録手段（例えばレコーダー２００）によって記録することができる。古典的なフーリエ解析で音を分析する代わりに、この発明に係る変形されたフーリエ解析を実行しうる。
【０２３３】
この点に関しては、多くの音は、物理数学の円形波音とは異なり、スーパー音あるいはサブ音にむしろ似ているかもしれない。潜在的に、音の各種コンポーネント（例えば音質、調子、ピッチ、音の大きさ等）は、そのようなスーパー公式分析を用いて、より容易に識別することができる。
【０２３４】
この変形されたフーリエ解析で、高速変換用の新規アルゴリズムを開発することができる。さらに、例えば、スーパー公式も小波変換用の小波ファミリー上で演算子として用いることができる。
Ｆ．既知のパターン認識アプリケーションでの使用
この開示から明らかなように、本発明はパターン認識の任意の既知のアプリケーションにおいて適用することができる。
【０２３５】
例えば、本発明は、例えばイメージをカメラによって捕らえて分析しイメージされたものを描写する「機械ビジョン」システムにおいて利用することができる。機械ビジョン・システムは、一般的には、自動外観検査あるいは組立ラインのオートメーション用などの製造業において応用される。検査する場合の実施例において、動いているコンベアー上の製造されたオブジェクトが、（カメラを備えた）検査ステーションを通過し、この発明はそのオブジェクトの欠陥あるいは他の品質を識別するために用いることができる。その場合において、分析は「オン・ラインで」処理されるものであり、速度と正確さが重要である。その検出後に、識別、マーク、承認、拒絶、保持、放出等の処置を特定のオブジェクトに講ずることができる。組立ラインにおいて、異なるオブジェクトが捜し出されて「認識される」(つまり、多くのクラスのうちの1つに演繹的に分類される)。その後、ロボットアームは認識されたオブジェクトを正確な場所あるいはポジションに置くことができる。
【０２３６】
別の実施例として、本発明は（文字、数などを識別するのに用いられる）「文字認識」システムであって、光源、走査レンズ、ドキュメント搬送装置および検知器を含むフロントエンド装置を備えたものに応用することができる。光感応の検知器の出力では、光の強度変化は例えばデータに変換することができ、イメージ配列を形成することができる。その後、コンピュータは、ラインおよび文字区分化用の一連のイメージプロセシング技術を適用するために用いられる。その後、コンピュータ中のパターン認識ソフトウェアは文字を分類する。典型的なアプリケーションには、例えば筆跡の認識、オン・ライン・メイル・仕訳マシーン、銀行小切手の機械読取、（筆跡が入力される）ペン入力コンピュータ等が含まれる。
【０２３７】
本発明は、他に例えば「コンピュータ支援の分析」システムであって、パターン認識が、Ｘ線、計算された断層撮影イメージ、超音波イメージ、心電図、電子脳造影図のような各種医療データを分析するのに適用されて、医者の診断決定を支援するのに用いられるようなものに一般的に適用される。また本発明は、「スピーチ」あるいは他の音の認識システムであって、データがマイクロホンを介してコンピュータに入力され、ソフトウェアが話されたテキストを認識し、それをＡＳＣＩＩ文字等（コンピュータ・モニターに表示しメモリに格納することができるもの）に変換するものに、一般的に適用される。音声認識も、遠隔的にコンピュータ自体をコントロールするかあるいはコンピュータによって他の機械を遠隔的にコントロールするために用いることができる。
【０２３８】
本発明は、また指紋識別、署名認証、テキスト検索、顔および身振り認識等の各種他の既知のアプリケーションに適用することができる。
【０２３９】
Ｇ. データ伝送および圧縮
データがコンピュータ（例えば分析、合成する際に）に入力された場合、データは、例えばハード・ディスク、ＣＤ−ＲＯＭ、ＤＶＤ、ディスクなどの装置に格納することができる。あるいは例えばインターネット等でオン・ラインしているとき、データは、例えばケーブル、衛星、ラジオあるいは他のデータ電送方法を介して他のコンピュータに転送することができる。
【０２４０】
スーパー公式はコンピュータ内のデータを効率的に格納するために好適に用いることができる。例えば、スーパー公式が簡易な作図プログラムで用いられる場合、ユーザは事実上無制限に多くの形状を、重要な付加メモリを必要することなく、作成し適合させることができる。また、例えばＣＡＤあるいは他のベクトルに基づいたグラフィックスプログラムにおいて、多くの要素をより少ないメモリで格納することができる。
【０２４１】
さらに、変形されたフーリエ解析および変換の使用、小波などの使用は、データの圧縮によってメモリを相当セーブすることができ、ひいてはデータ伝送をより効率的より経済的なものとする。これは、例えば、ＣＡＤ／ＣＡＭアプリケーション、ディジタル化されたオーディオおよびビデオ信号の送信、波形圧縮およびフーリエ変換のような技術を使用したパラメーターエンコーディング等の各種アプリケーションにおいて有益である。
【０２４２】
本発明が、米国特許第4,941,193号（その全ての開示は引用によってここに組込まれる）に説明された技術に類似する圧縮技術を含むことができることも注目に値する。前記'193特許において言及されているように、コンピュータグラフィックスにおける当該技術の現状において、コンピュータベース格納、送信あるいは通信および分析のために形状で現実の世界のイメージを表わす際に多くの問題がある。効率的な圧縮スキームは、コンピュータのメモリにデータを格納するための、電話回線上の写真送信のための、景観などの特定のオブジェクト等を認識するための、およびコンピュータ上で自然な風景をシミュレートするための、より一層有効な手段となる。
【０２４３】
ＩＩＩ. 結論
上述の次第で、べき指数および回転対称の簡易な変更を介して本発明の各種実施形態の中で用いられる新規なスーパー公式は、とりわけ、自然界で見つかるものあるいはありふれた認識である形状と波形の全宇宙を産出することができる。昔、１９世紀前半に、ガブリエル・ラメ(Gabriel  Lame)は、べき指数ｎの如何なる正の実数の値をも含めるようにデカルト座標で円の方程式を一般化し、単一の公式によって楕円および長方形、円および正方形をも説明することができることを示した。
【０２４４】
しかしながら、本発明前に、スーパー公式は発見されておらず、また説明可能な隠された世界はこのスーパー公式で合成されあるいは分析されなかった。円はスーパー公式によって説明することができる、無限にある形状のうちの唯一のものである。ここで造られた「スーパー形状」あるいは「スーパー螺旋」の一般的な定義は、人々が多くの自然形状、抽象、人造形状、ならびに形状の数学的な単純性を視覚化し理解するのを助けることができる。従って、スーパー公式は、各種形状の関係を説明し実証し、かつ上述したような自然界における成長に関する理論を実証するツールとして、ある意味では用いることができる。スーパー公式は、例えば以下のものを描くことを可能にする。（ａ）丸くなった角あるいは鋭くなった角、あるいは内側へあるいは外へ曲がった辺を有する各種多角形、(ｂ)円、それらは０角形であるとわかる、(ｃ)１角形および２角形等。
【０２４５】
この公式によって説明することができるすべての形状および形状に関し、表面積、最適使用、面積の範囲および慣性モーメント等のパラメータは、この公式を積分することによって計算することができる。さらに、ノミネータにおいてＲをＲｍａｘとして使用すると、関数は０＜Ｒ＜Ｒｍａｘの内-外関数になり、周囲長だけでなく形状内のすべてのポイントもこの関数によって定義される。
【０２４６】
自然界で観察される多くの形状（例えば茎、葉および果物および細胞および組織を含む下等或いは高等植物）は、スーパー公式で説明され、合成され、かつ／または分析されるスーパー公式の特有の現実化であることが分かる。スーパー公式は、多くの種類のヒトデ、貝殻およびクモの巣が存在するために同じ数学的なルートに従っていることを実証するために用いることができる。更に、スーパー公式は螺旋の正方形に形をしているらせん転位のまわりでパラフィン水晶がどのようにして成長するか実証するために用いることができる。更に、スーパー公式の実現の他の多くの実例を結晶学で見出すことができる。
【０２４７】
例えば、スーパー公式は、（ａ）そのような形状に関する教育ツールとして、（ｂ）これらの形状のイメージ、製品、オブジェクトなどを合成するための手段として、（ｃ）そのような形状、オブジェクトなどを分析しあるいは検出するための手段として、（ｄ）どのように、そのような形状がどのように発展し、成長するか、およびそれらの成長の理由を評価する手段として、そして（ｅ）さらに多くのアプリケーションにおいて、非常に有用である。スーパー公式は、さらに単一の公式で対称（自然界における普及している戦略のうちの1つ）をどのように表現することができるか好都合に実証することができる。幾何学的図形のこのクラスの主な特性のうちの1つは、例えば、セジタリア（Sagittaria）（例えばスーパー公式で合成し、かつ／または分析することができる典型的な葉を示す図１３９〜１４２（ＦＩＧ．２９ＡないしＦＩＧ．２９Ｄ）参照）およびハナズオウ属の花木（Cericis）の葉で観察されるように、成長する間の形状の可能な適応性のある変更である。
【０２４８】
非常に各種形状等がスーパー公式によってともに関連づけられるという事実は、抽象的な幾何学における本質的な前進である。
【０２４９】
多くの人造形状もさらに自然物と同じ規則に従うものである。セム人の粘土タブレットのスーパー・サークル形状、エジプトのピラミッド、マヤ文化中の正方形螺旋、ビクトリア朝時代のチューダー花、メキシコシティのスーパー楕円のオリンピック・スタジアム、日常生活中の円形およびスーパー・サークルボトルは一部ではあるか実例である。表面上は、人は、恐らくスーパー公式についてのある演繹的な知識によって、構造および意匠において多くの自然を抽象した。スーパー公式は、人が世界をどのように識別しあるいは知覚するかあるいは知覚したかを識別するのに役立ちまたそのツールとして用いることができ、また、自然および文化的オブジェクト（つまり人造）についての我々の理解を解明するのに役立つ。
【０２５０】
本発明は上述のとおり詳細に説明されているが、本発明は説明されたような特定の実施形態に限定されるものではない。当該技術に熟練する人々は、本発明の概念から外れることなくここに記載された特定の実施形態を利用しあるいはその変形またはそれから外れたものを利用しても良い。特に、当該技術に熟練している人々は、本発明の範囲を逸脱することなく、スーパー公式の各種表現が可能であることを認識するべきである。例えば、前述のとおり、スーパー公式は各種方法および形状で表わすことができる。
【０２５１】
例えば、図１４３（ＦＩＧ．３０）に概略的に示されるようにｒ＝Ｒからｒ＝ｃｏｓφへ移動する１実施例におけるように、座標系の中心ポイントから起源０のポイントを移すことができることが認識されるべきである一方において、起源のポイントが座標系の中心ポイントと同じである場合、前述した（図１〜１０９（ＦＩＧ．１ないしＦＩＧ．１５）で示された）スーパー公式の各種表示は、対称図形を含んでいた。更に、これらのポイントあるいはこれらポイントを通るラインは、円はその円の外部で線の回りに回転される３次元のトロイド等において回転の基礎を提供する。更に、上述した（例えば図１〜１０９（ＦＩＧ．１ないしＦＩＧ．１５）に示されるような）スーパー公式の各種表示は、直交格子で作られた形状を含んでいた。その一方で、この開示に基づいて、それが認識されているべきである一方、その形状は、例えば単純格子変換によって、非直交格子でも作られうることを認識すべきである。これに関して、図１４４（ＦＩＧ．３１）は、左の直交格子から右の非直交格子への典型的な変換を概略的に示している。各種非直交格子へのそのような変換の使用は、例えば仮現運動を通じて漫画キャラクターをモデル化するなど動く要素をモデル化するためにアニメーション(例えばコンピュータ・アニメーション)において役立つ。更に、各種非直交格子への変換も、例えば、各種格子（例えば、アニメーションの目的で行われるのに類似する）からリアル・タイムで滑らかに変化するように図示し、あるいは個別の変更を示すために、教育目的に用いることができる。
【０２５２】
更に、この公式の他の表示は、下記に示すように、例えばべき指数ｎ4およびｎ5のような別々のパラメータを有するスーパー公式方程式においてパラメータ１／ａおよび１／ｂを提供することを含むことができる。
【０２５３】
【数式３８】
0004753474.tif 000030
【０２５４】
先のものに加えて、スーパー公式の表示は形成されるスーパーパターンの他の既知の修正および／または変更も含むことができる。例えば、形状、色、および他のグラフィック属性の混合（例えば、形状の変更、色の変更、幅のぼかし、線の幅の変更など）に関して、所期するとおり米国特許第5,467,443号（その開示内容は引用によってここに組込まれる）に説明された変形のいずれも利用することができる。更に、合成されたパターンを変更する他の方法は、生成された形状の部分的変形などに使用することができる。
【０２５５】
さらに、スーパー公式の表示は、またここで説明したものと数学的あるいは幾何学的に実質的に等価な如何なる公式も含む。上述したように、パターン合成のいくつかの典型的な実施形態において、スーパー公式パターンは生成され（例えば、表示され）、上述したように各種目的で「順番に並べる」ことを提供するように、スーパー公式パターンを変形し、再生することができる。一つの実施例として、スーパー公式は、あるスーパー形状から別の形状へ変形するために（つまり順番に並べることによって）変形される、２次元形状として表示することができる。例えば、漸増的にパラメータの1つ以上を増加させかつこの新規なスーパー形状を連続的に再表示することによって実行することができる。この点に関し、いくつかの好ましい実施形態において、パラメータ値の増大は、普通の人間の観察者にとって、スーパー形状が段階的に成長しあるいは変形するのではなく、連続的に成長しあるいは変形するように見えるようにすることが好ましい。勿論、各種実施形態において、段階的あるいはその他の変化も、もし望まれるのであれば、採用しても良い。
【０２５６】
上述の次第で、スーパー公式は、２次元、３次元あるいはそれ以上の次元で合成し、分析しおよび他のアプリケーションにおいて、また各種表示およびアプリケーションにおいて非常に有利に適用されるものである。
【図面の簡単な説明】
実施態様を示すものであって限定事項を示すものではない添付図面を以下のとおり簡潔に説明する。
【図１】  図１〜２０（ＦＩＧ．１Ａ〜ＦＩＧ．１Ｔ）は、各イメージに隣接して示されたパラメータを含むスーパー公式線形演算子によって作成された、極座標における２次元イメージを示す。これらの図において、ｍ1およびｍ2の値は４であり、ｎ1、ｎ2およびｎ3（ｎ1=ｎ2=ｎ3）の値は、右側および各隣接した公式中に示された値である。これらの図は、例えば、ｎiの値が漸増した段階的な膨張を示している。
【図２】  同上
【図３】  同上
【図４】  同上
【図５】  同上
【図６】  同上
【図７】  同上
【図８】  同上
【図９】  同上
【図１０】  同上
【図１１】  同上
【図１２】  同上
【図１３】  同上
【図１４】  同上
【図１５】  同上
【図１６】  同上
【図１７】  同上
【図１８】  同上
【図１９】  同上
【図２０】  同上
【図２１】  図２１ないし図２９（ＦＩＧ． ２Ａ〜ＦＩＧ．２Ｉ）は、各イメージに隣接して示されたパラメータを含むスーパー公式線形演算子によって作成された、極座標で示された2次元イメージを示す。これらの図において、ｎ1、ｎ2およびｎ3（ｎ1=ｎ2=ｎ3）の値は1であり、ｍ1およびｍ2（ｍ1=ｍ2）は、右側および図に隣接した各式の中で示された値である。これらの図は、例えば多角形を形成する回転対称の導入を示す。
【図２２】  同上
【図２３】  同上
【図２４】  同上
【図２５】  同上
【図２６】  同上
【図２７】  同上
【図２８】  同上
【図２９】  同上
【図３０】  図３０ないし図３５（ＦＩＧ．３Ａ〜ＦＩＧ．３Ｆ）は、極座標で表わされた2次元のイメージを示すもので、各図面に隣接して示すようにパラメータを適宜変化させることによりスーパー公式で真っ直ぐな片を有する多角形の生成を示すものである。
【図３１】  同上
【図３２】  同上
【図３３】  同上
【図３４】  同上
【図３５】  同上
【図３６】  図３６ないし図４４（ＦＩＧ．４Ａ〜ＦＩＧ．４Ｉ）は、極座標で表わされた2次元イメージを示すもので、各図面に隣接して示すようにパラメータを、例えばｎ1＝ｎ2＝ｎ3＜２で適宜変化させることによりスーパー公式で尖った多角形の生成を示すものである。
【図３７】  同上
【図３８】  同上
【図３９】  同上
【図４０】  同上
【図４１】  同上
【図４２】  同上
【図４３】  同上
【図４４】  同上
【図４５】  図４５ないし図５３（ＦＩＧ．５Ａ〜ＦＩＧ．５Ｉ）は、極座標で表わされた2次元イメージを示すもので、例えばｎ1＝ｎ2＝１５、ｎ3＝３０とし、図面間でｍの値を漸増させて、各図面に隣接して示すようにパラメータを適宜変更させることによって前記スーパー公式で、曲辺を有する０角形、１角形、２角形および多角形の生成を示すものである。
【図４６】  同上
【図４７】  同上
【図４８】  同上
【図４９】  同上
【図５０】  同上
【図５１】  同上
【図５２】  同上
【図５３】  同上
【図５４】  図５４ないし図６２（ＦＩＧ．６Ａ〜ＦＩＧ．６Ｉ）は、極座標で表わされた２次元イメージを示すもので、例えばｎ1≠ｎ2≠ｎ3とし、図面間でｍの値を漸増させたパラメータによってイメージの生成を示すものである。
【図５５】  同上
【図５６】  同上
【図５７】  同上
【図５８】  同上
【図５９】  同上
【図６０】  同上
【図６１】  同上
【図６２】  同上
【図６３】  図６３ないし図６９（ＦＩＧ．７Ａ〜ＦＩＧ．７Ｇ）は、極座標で表わされた２次元イメージを示すもので、ａ≠ｂとし、図面間でｍの値を漸増させたパラメータによってイメージの生成を示すものである。
【図６４】  同上
【図６５】  同上
【図６６】  同上
【図６７】  同上
【図６８】  同上
【図６９】  同上
【図７０】  図７０ないし７５（ＦＩＧ．８Ａ〜ＦＩＧ．８Ｆ）は、極座標で表わされた２次元イメージを示すもので、ｎ1＝ｎ2＝ｎ3＝１００のときに回転対称値をｍ＝４とｍ＝５の間で変化させて作成したイメージの漸増変化を示すものである。
【図７１】  同上
【図７２】  同上
【図７３】  同上
【図７４】  同上
【図７５】  同上
【図７６】  図７６ないし図８２（ＦＩＧ．９Ａ〜ＦＩＧ．９Ｇ）は、極座標で表わされた２次元イメージを示すもので、ｎ1＝ｎ2＝ｎ3＝１００のときに回転対称値をｍ＝４とｍ＝３の間で変化させて作成したイメージの漸増変化を示すものである。
【図７７】  同上
【図７８】  同上
【図７９】  同上
【図８０】  同上
【図８１】  同上
【図８２】  同上
【図８３】  図８３ないし図８８（ＦＩＧ．１０Ａ〜ＦＩＧ．１０Ｆ）は、極座標で表わされた２次元イメージを示すもので、各スーパー公式自体に示されたパラメータを代入することによって作成された各種の自然形を示すものである。
【図８４】  同上
【図８５】  同上
【図８６】  同上
【図８７】  同上
【図８８】  同上
【図８９】  図８９ないし図９３（ＦＩＧ．１１Ａ〜ＦＩＧ．１１Ｅ）は、極座標で表わされた、各スーパー公式自体に示されたパラメータを代入することによって作成された２次元（花形）イメージを示すものである。
【図９０】  同上
【図９１】  同上
【図９２】  同上
【図９３】  同上
【図９４】  図９４ないし図９８（ＦＩＧ．１２Ａ〜ＦＩＧ．１２Ｅ）は、極座標で表わされた、各スーパー公式自体に示されたパラメータを代入することによって作成された2次元（多角形）イメージを示すものである。図９４〜図９８（ＦＩＧ．１２Ａ〜ＦＩＧ．１２Ｅ）に示された多角形は、それぞれ図８９〜図９３（ＦＩＧ．１１Ａ〜ＦＩＧ．１１Ｅ）に示された花状イメージが内接される多角形である。
【図９５】  同上
【図９６】  同上
【図９７】  同上
【図９８】  同上
【図９９】  図９９（ＦＩＧ．１３Ａ）は、どのように形が形成されるかを図示する目的で示された、パラメータを備えた線形演算子の積分を示すものである。
【図１００】  図１００（ＦＩＧ．１３Ｂ）は、例示された形に隣接して示された線形演算子で形成された例示的な形を示すものである。
【図１０１】  図１０１（ＦＩＧ．１４Ａ）は、ＸＹ座標における余弦ファンクションを示すものである。
【図１０２】  図１０２〜図１０３（ＦＩＧ．１４Ｂ〜ＦＩＧ．１４Ｃ）は、それぞれ方程式に示されたパラメータを備えた余弦ファンクションの変更例を示す。
【図１０３】  同上
【図１０４】  図１０４〜図１０６（ＦＩＧ．１５Ａ〜ＦＩＧ．１５Ｃ）は、極座標で表わされた、各スーパー公式自体に示されたパラメータを代入することによって作成された２次元（花形）イメージを対数渦巻線(r=eaθ)上で行動するスーパー公式演算子と共に示すものである。
【図１０５】  同上
【図１０６】  同上
【図１０７】  図１０７ないし図１０９（ＦＩＧ．１５Ｄ〜ＦＩＧ．１５Ｆ）は、極座標で表わされた、各スーパー公式自体に示されたパラメータを代入することによって作成された2次元（螺旋形になった）イメージをアルキメデスの螺線(r=aφ)上で行動するスーパー公式演算子と共に示すものである。
【図１０８】  同上
【図１０９】  同上
【図１１０】  図１１０（ＦＩＧ．１６）は、スーパー公式演算子でパターン合成および／またはパターン分析するための各種実施形態に含まれ得る各種コンポーネントを示す概要図である。
【図１１１】  図１１１（ＦＩＧ．１７）は、スーパー公式でパターン合成することを含む例示的な実施形態で実行可能なステップあるいは段階を図示する概要図である。
【図１１２】  図１１２および図１１３（ＦＩＧ．１８ＡおよびＦＩＧ．１８Ｂ）は、台形波のフーリエ解析および同台形波の「変形」スーパー公式分析の概略図である。
【図１１３】  同上
【図１１４】  図１１４（ＦＩＧ．１９Ａ）は、スーパー公式演算子で変形されたフーリエ解析を用いた基本的な自然パターンの分析の概略図である。
【図１１５】  図１１５（ＦＩＧ．１９Ｂ）は、この例示的に示されたケースにおける基本的な自然パターンを再現しあるいは分析するために用いることができる公式を示す。
【図１１６】  図１１６〜図１２０（ＦＩＧ．２０Ａ〜ＦＩＧ．２０Ｅ）は、特別のスーパー公式方程式によって作成されたスーパー形状の表現の５つの異なる可能なモードの概略図である。
【図１１７】  同上
【図１１８】  同上
【図１１９】  同上
【図１２０】  同上
【図１２１】  図１２１〜図１２５（ＦＩＧ．２１Ａ〜ＦＩＧ．２１Ｅ）は、特別のスーパー公式方程式によって作成されたスーパー形状の表現の５つの異なる可能なモードの概略図である。
【図１２２】  同上
【図１２３】  同上
【図１２４】  同上
【図１２５】  同上
【図１２６】  図１２６〜図１３０（ＦＩＧ．２２Ａ〜ＦＩＧ．２２Ｅ）は、特別のスーパー公式方程式によって作成されたスーパー形状の表現の５つの異なる可能なモードの概略図である。
【図１２７】  同上
【図１２８】  同上
【図１２９】  同上
【図１３０】  同上
【図１３１】  図１３１（ＦＩＧ．２３Ａ）は、スーパー・ポジションのプロセスによって1つ以上の個々のスーパー形状のコンビネーションを示す概要図である。
【図１３２】  図１３２（ＦＩＧ．２３Ｂ）は、反復のプロセスによって1つ以上の個々のスーパー形状のコンビネーションを示す概要図である。
【図１３３】  図１３３（ＦＩＧ．２４）は、ヨーグルト・ポット等に好適な形状のために好ましいｎの値を供給した1つの例示的な実施形態に係る計算を示すものである。
【図１３４】  図１３４（ＦＩＧ．２５）は、エンジンブロック等に好適な形状のために好ましいｎの値を供給した1つの例示的な実施形態に係る計算を示すものである。
【図１３５】  図１３５（ＦＩＧ．２６）は、どのようにして円や正方形、また球や立方体がスーパー公式を利用して等価なものとして表わすことができるのかを概略的に図示するものである。
【図１３６】  図１３６および図１３７（ＦＩＧ．２７ＡおよびＦＩＧ．２７Ｂ）は、３次元スーパー形状を生成するのに使用可能な実際のプログラムを示すものである。
【図１３７】  同上
【図１３８】  図１３８（ＦＩＧ．２８）は、断面積ｒ(ｎ)の周囲長の計算を示す方程式を示すものである。
【図１３９】  図１３９〜図１４２（ＦＩＧ．２９Ａ〜ＦＩＧ．２９Ｄ）は、サジタリア（Sagittaria ）植物の各種葉に相当するスーパー形状の変化を示すものである。
【図１４０】  同上
【図１４１】  同上
【図１４２】  同上
【図１４３】  図１４３（ＦＩＧ．３０）は、座標系の中心から移された起点を備えたモードにおいてスーパー公式の1つの例示的な表現を示す概要図である。
【図１４４】  図１４４（ＦＩＧ．３１）は、直交しない格子を用いたモードにおいてスーパー公式の1つの例示的な表現を示す概要図である。
【図１４５】  図１４５〜図１４９（ＦＩＧ．３２Ａ〜ＦＩＧ．３２Ｅ）は、双曲線に基づくスーパー公式の表現を用いたスーパー形状の表現の５つの例示的なモードを図示するものである。
【図１４６】  同上
【図１４７】  同上
【図１４８】  同上
【図１４９】  同上
【図１】
0004753474.tif 000037
【図２】
0004753474.tif 000038
【図３】
0004753474.tif 000039
【図４】
0004753474.tif 000040
【図５】
0004753474.tif 000041
【図６】
0004753474.tif 000042
【図７】
0004753474.tif 000043
【図８】
0004753474.tif 000044
【図９】
0004753474.tif 000045
【図１０】
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【図１１】
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【図１４】
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