(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
鋳造機のノズルから回転する冷却ロール上に連続的に噴出された融液が、前記冷却ロール表面上でパドルを形成し、当該パドル中の融液が、前記冷却ロールとの接触冷却によって凝固し、前記冷却ロールとともに移動しながら固体の帯状物質を連続的に形成するメルトスピニング法を用いた連続鋳造による帯状物質の製造方法において、
前記帯状物質の板厚影響因子である、前記ノズルの流出口と前記冷却ロールとの間の間隙、前記ノズルでの融液圧力、前記ノズルでの融液温度、前記冷却ロールの周速、及び、前記冷却ロールの冷却特性値を連続鋳造中に連続して測定し、当該測定値を入力値として所定の関数により、前記パドルの下流端での前記帯状物質の板厚を演算する演算工程と、
前記帯状物質の製品板厚の目標値を、前記帯状物質の熱膨張係数、又は当該熱膨張係数及び前記帯状物質にかかる張力を用いた所定の関数によって板厚減少量を算出し、前記板厚減少量を前記帯状物質の製品板厚の目標値に減算することによって、前記パドルの下流端での前記帯状物質の板厚の目標値に換算する換算工程とを有し、
前記演算工程で演算された前記パドルの下流端での前記帯状物質の板厚が、前記換算工程における換算後の板厚の目標値となるように、前記板厚影響因子から選ばれる１種又は２種以上を調整して、フィードフォワード制御することを特徴とするメルトスピニング法を用いた連続鋳造による帯状物質の製造方法。
【請求項２】
鋳造機のノズルから回転する冷却ロール上に連続的に噴出された融液が、前記冷却ロール表面上でパドルを形成し、当該パドル中の融液が、前記冷却ロールとの接触冷却によって凝固し、前記冷却ロールとともに移動しながら固体の帯状物質を連続的に形成するメルトスピニング法を用いた連続鋳造による帯状物質の製造方法において、
前記帯状物質の板厚影響因子である、前記ノズルの流出口と前記冷却ロールとの間の間隙、前記ノズルでの融液圧力、前記ノズルでの融液温度、前記冷却ロールの周速、及び、前記冷却ロールの冷却特性値を連続鋳造中に連続して測定し、当該測定値を入力値として所定の関数により、前記パドルの下流端での前記帯状物質の板厚を演算する演算工程と、
前記帯状物質の製品板厚の目標値を、前記帯状物質の熱膨張係数、又は当該熱膨張係数及び前記帯状物質にかかる張力を用いた所定の関数によって板厚減少量を算出し、前記板厚減少量を前記帯状物質の製品板厚の目標値に減算することによって、前記パドルの下流端での前記帯状物質の板厚の目標値に換算する換算工程とを有し、
前記演算工程で演算された前記パドルの下流端での前記帯状物質の板厚と、計器により測定された前記帯状物質の板厚との差が所定の目標範囲以内となるように、前記板厚影響因子から選ばれる１種又は２種以上を調整して、フィードバック制御することを特徴とするメルトスピニング法を用いた連続鋳造による帯状物質の製造方法。
【請求項３】
前記演算工程で前記パドルの下流端での前記帯状物質の板厚を演算する際に用いる前記所定の関数として、
前記板厚影響因子である前記ノズルでの融液圧力、及びこれ以外の前記板厚影響因子から選択される１種又は２種以上の組合せの板厚影響因子を用いて、次の式、
融液流量鋳造機＝関数鋳造機（ノズルでの融液圧力，他の板厚影響因子）
融液流量パドル＝関数パドル（ノズルでの融液圧力，他の板厚影響因子）
（ここで、「関数鋳造機」は、「ノズルでの融液圧力」及び「他の板厚影響因子」（複数の場合もありえる）を独立変数とし、ノズルでの融液の流量「融液流量鋳造機」を表す関数であり、また、「関数パドル」は、「ノズルでの融液圧力」及び「他の板厚影響因子」（複数の場合もありえる）を独立変数とし、ノズルでの融液の流量「融液流量パドル」を表す関数である。上記関係式を、それぞれ、鋳造機側の流量特性関数、パドルの流量特性関数と称する。）
において、それぞれ独立に表現される前記鋳造機側の流量特性関数及び前記パドルの流量特性関数を用いるとともに、前記板厚影響因子の入力値における特定の組合せに対して、前記鋳造機側の流量特性関数値と前記パドルの流量特性関数値とが一致するときの融液流量を、前記板厚影響因子群の組合せにおける融液流量とし、当該板厚影響因子群の組合せにおける前記融液流量から前記パドルの下流端における板厚を算出する関数を用いることを特徴とする請求項１又は２に記載のメルトスピニング法を用いた連続鋳造による帯状物質の製造方法。
【請求項４】
前記パドルの流量特性関数の算出方法として、選択された前記板厚影響因子群の組合せにおいて、複数の異なる値に対してパドル内挙動をモデル化した数値計算を行って前記パドル内部の前記異なる値それぞれにおける流量値と前記帯状物質の板厚を算出し、互いに異なる前記板厚影響因子群の各組合せと当該各組合わせに対応する前記帯状物質の板厚算出値から、前記パドル内部の流量特性関数における前記帯状物質の板厚に係る板厚影響因子群の回帰式を求め、当該回帰式を前記パドルの流量特性関数として用いることを特徴とする請求項３に記載のメルトスピニング法を用いた連続鋳造による帯状物質の製造方法。
【請求項５】
前記パドル内挙動をモデル化した数値計算において、前記パドル内領域を液相及び凝固相の２つの領域に分割し、それぞれの領域で、独立に領域内挙動をそれぞれにモデル化した数値計算を実施するとともに、これら液相と凝固相の境界であるところの凝固界面において液相及び凝固相の速度が一致し、かつ、前記凝固界面において液相及び凝固相の凝固界面応力が同じ大きさで互いに反対方向になる凝固界面の境界条件を繰り返し計算により求め、前記凝固界面での境界条件を液相及び凝固相でともに満足するときの前記帯状物質の板厚を、前記パドル内部の流量特性関数における前記帯状物質の板厚として用いることを特徴とする請求項４に記載のメルトスピニング法を用いた連続鋳造による帯状物質の製造方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、メルトスピニング型連続鋳造機による、金属帯等の帯状物質の製造方法に関するものである。この帯状物質は、各種機械部品として、また、各種エネルギ変換機器部品として広く産業的に適用される。
【背景技術】
【０００２】
メルトスピニング法は、比較的薄い帯状物質を高速に製造できる連続鋳造法として、広く製造業で適用されている。図１を用いて、メルトスピニング法における板厚の形成機構を説明する。
【０００３】
流入境界６から流入してノズル４から噴射された融液２が、回転する冷却ロール５と接触することにより、冷却ロール５側から凝固する。ノズル４と冷却ロール５との間に湯だまりとして形成される融液２の液相、液相近傍の凝固相３の一部、並びに、凝固相３と液相間の境界である凝固界面７を総称して、当業者は、パドル１と呼ぶ。
【０００４】
パドル１の液相は、上流側自由表面８と下流側自由表面９と凝固界面７に囲まれている。パドル１の最下流部では、冷却ロール５側から成長した凝固相３が下流側自由表面に達して完全な帯状物質となる。以下、冷却ロール５側から成長した凝固相３を、帯状物質３と称して説明する。この位置での凝固相厚Ｌ０が最終的に得られる製品板厚Ｌ１と強い関係を持つ。板厚を決定する要因には、従来、ノズル４の流出口と冷却ロール５との間の間隙Ｇ、ノズル４での融液圧力である流入圧力Ｐｉｎ、ノズル４での融液温度である流入温度Ｔｉｎ、冷却ロール５の速度ｕＲ、冷却ロール５の冷却特性値（例えば、冷却ロール５の冷却水温Ｔｗ）等の板厚影響因子が存在するといわれてきた。この製造方法で得られる帯状物質には、用途上、高い板厚精度が求められる場合が多い。このため、板厚安定化及び板厚制御のための様々な手法が提案されてきた。
【０００５】
下記の「特許文献１」には、冷却ロール５上で形成された直後の板厚を間隙Ｇの測定を介して測定し、目標板厚値からの偏差を間隙Ｇ又は流入圧力Ｐｉｎを修正することにより補正するフィードバック制御手法が示されている。この他、冷却ロール５の速度ｕＲや冷却ロール５の冷却水温Ｔｗを単独に修正する方法も知られている。
【０００６】
これらの板厚影響因子修正量を算出する手法は、従来、下記の「特許文献２」に示された、ＰＩＤ制御法、又は、これに準じた簡易な手法が採用されてきた。これらの方法の場合、板厚計から得られた板厚偏差量（例えば、特許文献２においては、板幅一定の仮定のもとに融液重量変化率、即ち、融液流量実測値は、実測板厚と１対１に対応付けられる）に対して、どれだけ板厚影響因子を修正するのか算出する物理的に妥当な手法が存在せず、単に、経験的に求めた一定のフィードバック制御ゲインが設定されるのみであった。
【０００７】
しかし、同一板厚を満足する板厚影響因子群の各板厚影響因子間の組合せは無数に存在し、かつ、メルトスピニング操業中には、各因子の変化が避けられないため、ある操業時点で調整したフィードバック制御ゲイン値を、板厚影響因子の条件が異なる他の操業条件に対して共通に適用することは妥当ではない。このため、従来技術では、過剰な板厚変動を回避するためにＰＩＤ制御におけるフィードバックゲインを極端に小さく設定する必要があり、制御応答遅れによって板厚偏差発生から修正完了まで、長時間を要する問題があった。
【０００８】
また、この手法では、原理的に高精度の板厚測定値を用いることが必須の条件であり、一般に高価である板厚計を設置しなければならない。さらに、板厚が測定できたとしても、例えば、一般的に製品に求められる、例えば、１μｍ以下の精度を常に満足する板厚測定は、振動の激しい冷却ロール５近傍では一般に困難であり、低精度の製品を製造するか、測定環境のより良い、冷却ロールの遠方に、高精度板厚を設置せざるをえない。冷却ロール５の遠方に板厚計を設置する場合には、制御応答遅れの問題は一層深刻になる。
【０００９】
また、板厚測定値を使用するのではなく、板厚影響因子のうち特定の因子を一定に制御することにより、板厚を安定化させる技術も開示されている。例えば、下記の「特許文献３」では、板厚影響因子の１つである間隙Ｇを一定にするため、冷却ロール５の表面温度を一定にするように冷却ロール５の冷却水温Ｔｗを制御する手法が示されている。しかし、この手法は、板厚制御の観点からは間接的なものであり、制御されない板厚影響因子変動の影響によって板厚偏差が発生しても、これを修正することができないため、高精度での板厚制御が困難という問題が存在した。
【００１０】
さらに、板厚測定値無しに、板厚を変化させる方法として、下記の「特許文献４」に示された、特定時刻毎に間隙Ｇ（従来技術に記載）や流入圧力Ｐｉｎを修正して、所望の板厚推移を得ようとする板厚制御も試みられている。しかし、この手法では、板厚影響因子と板厚の関係がモデル化されていないため、操業ごとの板厚影響因子変動によって、得られる板厚が大きく変動する問題が存在した。
【００１１】
また、下記の「非特許文献１」では、操業因子から板厚を計算するオフライン実験回帰式を提案している。また、下記の「非特許文献２」では、パドル１を上流側及び下流側２つの自由表面、冷却ロール表面、ノズル流出口、凝固物質の流出境界で囲まれた領域とみなし、かつ、パドル内融液の粘性係数を温度低下に対して連続的に上昇させることにより凝固現象を表現する数値解析手法によって、メルトスピニング法における板厚傾向の算出を試みている。しかし、これらの手法が板厚制御に直接、適用されることはなく、制御への適用手法について開示されることもなかった。
【００１２】
【特許文献１】特開平１０−１２８５０４号公報
【特許文献２】特開平１−４８６５２号公報
【特許文献３】特開昭５８−３５０４７号公報
【特許文献４】特開２００２−２８３００８号公報
【非特許文献１】Ｆｉｅｄｌｅｒ，Ｈ．他、Ｊ．ｏｆ  Ｍａｔｅｒｉａｌ  Ｓｃｉｅｎｃｅ、Ｖｏｌ９．、ｐ３２２９−３２３５（１９８４）
【非特許文献２】Ｋａｗａｈａｒａ，Ｈ．他、Ｍｏｄｅｌｉｎｇ  ｏｆ  Ｃａｓｔｉｎｇ  Ｗｅｌｄｉｎｇ  ａｎｄ  Ａｄｖａｎｃｅｄ  Ｓｏｌｉｄｉｆｉｃａｔｉｏｎ  Ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ  VII、Ｍｉｎｅｒａｌｓ  Ｍａｔｅｒｉａｌｓ  Ｓｏｃ．、ｐ８３３−８４０（１９９５）
【非特許文献３】Ｊ．Ｍ．マコーミク他、ＦＯＲＴＲＡＮ  IV／７７による数値計算プログラム、サイエンス社、昭和４５年
【非特許文献４】数値流体力学編集委員会編、移動境界流れ解析、東京大学出版会、１９９５年
【非特許文献５】中江利昭、レオロジー工学とその応用技術、フジ・テクノシステム、２００１年
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１３】
そこで、本発明においては、板厚計を必ずしも必要とせず、高速、かつ、高精度に板厚影響因子の制御値を修正することにより、板厚偏差の小さい帯状物質を製造するメルトスピニング法を用いた連続鋳造による帯状物質の製造方法を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００１４】
本発明者によるメルトスピニングに関する研究の結果、以下の解決方法を発明するに至った。
【００１５】
第１の発明は、鋳造機のノズルから回転する冷却ロール上に連続的に噴出された融液が、前記冷却ロール表面上でパドルを形成し、当該パドル中の融液が、前記冷却ロールとの接触冷却によって凝固し、前記冷却ロールとともに移動しながら固体の帯状物質を連続的に形成するメルトスピニング法を用いた連続鋳造による帯状物質の製造方法において、前記帯状物質の板厚影響因子である、前記ノズルの流出口と前記冷却ロールとの間の間隙、前記ノズルでの融液圧力、前記ノズルでの融液温度、前記冷却ロールの周速、及び、前記冷却ロールの冷却特性値を連続鋳造中に連続して測定し、当該測定値を入力値として所定の関数により、前記パドルの下流端での前記帯状物質の板厚を演算する演算工程と、前記帯状物質の製品板厚の目標値を、前記帯状物質の熱膨張係数、又は当該熱膨張係数及び前記帯状物質にかかる張力を用いた所定の関数によって板厚減少量を算出し、前記板厚減少量を前記帯状物質の製品板厚の目標値に減算することによって、前記パドルの下流端での前記帯状物質の板厚の目標値に換算する換算工程とを有し、前記演算工程で演算された前記パドルの下流端での前記帯状物質の板厚が、前記換算工程における換算後の板厚の目標値となるように、前記板厚影響因子から選ばれる１種又は２種以上を調整して、フィードフォワード制御することを特徴とするメルトスピニング法を用いた連続鋳造による帯状物質の製造方法である。
【００１６】
第１の発明と従来技術との差異について述べる。
まず、第１の差異について述べる。
従来技術では、板厚を制御するためには、一般に板厚計を必要としているが、装置が高価、かつ、複雑化することが避けられない問題が存在する。従来技術のうち、特定の板厚影響因子を制御して板厚の安定化を間接的に図る手法や特定タイミングで無条件に板厚影響因子を変化させる手法では、原理的に板厚を高精度に制御することはできない。
【００１７】
一方、第１の発明では、主要板厚影響因子を全て網羅して板厚を計算するので、完全な板厚フィードフォーワード制御が可能であり、必ずしも板厚計からのフィードバックを必要しない。従って、第１の発明では、板厚計を必ずしも必要としない。尚、第１の発明では、各板厚影響因子を操業中に測定又は推定する必要がある。しかし、このための装置は、本来、操業管理上必須のもの（例えば、冷却ロール周速計）であるか、又は、板厚計に比べて一般に安価であるため、第１の発明におけるシステム全体の費用は、板厚計を使用する従来法のものに比べて安価である。
【００１８】
続いて、第２の差異について述べる。
従来技術では、複数の板厚影響因子を同時に修正する発想はなく、常に、単独の板厚影響因子を修正するのみであった。このことは、以下の点で不利である。
例えば、流入圧力Ｐｉｎが低下して板厚が目標値以下となった場合、従来技術では、一般的に、即応性の低い流入圧力Ｐｉｎではなく、即応性の高い間隙Ｇを増大させることで流量を増加させて板厚の増大を図っている。ところで、パドルが安定して形成されるために許容される板厚影響因子間の組合せには制約が存在する。パドルが安定であるとは、パドル上流側自由表面と下流側自由表面との間隔が定常的に一定の間隔を維持できることを意味する。
【００１９】
間隙Ｇ単独の修正は、パドル安定限界から遠い板厚影響因子群の組合せの場合には有効な操作であるが、パドル安定性の限界に近い板厚影響因子群の組合せの場合、この様な操作は、板厚影響因子群の制約を超えさせ、パドルの崩壊を招く可能性がある。この様に、従来技術では、単独の板厚影響因子しか操作できないため、パドル安定性の限界近傍では、間隙Ｇを修正してパドル崩壊の危険を冒すか、あるいは、無制御状態として放置するかの２者択一しか存在せず、問題であった。
【００２０】
一方、第１の発明では、複数の板厚影響因子を同時に修正することができる。このため、第１の発明では、前記のパドル安定性の限界近傍での操業にあたっては、例えば、流入圧力Ｐｉｎを徐々に上昇させるとともに、即応性の比較的高い、冷却ロール回転速度を低下させて素早く板厚を目標値近傍に修正するとともに、その後の流入圧力Ｐｉｎの上昇に応じて徐々に冷却ロール回転速度を元の速度に向けて復帰させる。こうすることにより、パドルの安定性を維持しつつ、板厚精度を確保することができる。つまり、パドル形成の制約限界近傍では、複数の板厚影響因子を同時に修正することが、パドルの安定性を確保しつつ板厚を制御する上で重要である。この事実は、本発明者によって見出されたものである。
【００２１】
尚、「所定の関数」としては、公知の手法、例えば、板厚影響因子を重回帰式して板厚補間式を求めてこれを用いてもよい。また、「パドル下流端での帯状物質の板厚を計算した後、その後の板厚変化を補正」する方法として、例えば、巻き取り機による板への張力を連続測定し、実測張力値と実測板厚変化率の関係から求めた経験的なモデル式を用いて、操業中瞬時の張力に応じた瞬時の板厚変化補正値を算出してもよい。
【００２２】
第２の発明は、鋳造機のノズルから回転する冷却ロール上に連続的に噴出された融液が、前記冷却ロール表面上でパドルを形成し、当該パドル中の融液が、前記冷却ロールとの接触冷却によって凝固し、前記冷却ロールとともに移動しながら固体の帯状物質を連続的に形成するメルトスピニング法を用いた連続鋳造による帯状物質の製造方法において、前記帯状物質の板厚影響因子である、前記ノズルの流出口と前記冷却ロールとの間の間隙、前記ノズルでの融液圧力、前記ノズルでの融液温度、前記冷却ロールの周速、及び、前記冷却ロールの冷却特性値を連続鋳造中に連続して測定し、当該測定値を入力値として所定の関数により、前記パドルの下流端での前記帯状物質の板厚を演算する演算工程と、前記帯状物質の製品板厚の目標値を、前記帯状物質の熱膨張係数、又は当該熱膨張係数及び前記帯状物質にかかる張力を用いた所定の関数によって板厚減少量を算出し、前記板厚減少量を前記帯状物質の製品板厚の目標値に減算することによって、前記パドルの下流端での前記帯状物質の板厚の目標値に換算する換算工程とを有し、前記演算工程で演算された前記パドルの下流端での前記帯状物質の板厚と、計器により測定された前記帯状物質の板厚との差が所定の目標範囲以内となるように、前記板厚影響因子から選ばれる１種又は２種以上を調整して、フィードバック制御することを特徴とするメルトスピニング法を用いた連続鋳造による帯状物質の製造方法である。
【００２３】
第２の発明と従来技術の差異について述べる。
まず、第１の差異について述べる。
従来技術では、主に、フィードバック制御により、板厚を制御していた。このフィードバック板厚制御方法においては、板厚影響因子群と板厚の定量的な関係が明確に意識されていなかった。このため、板厚影響因子群の組合せのうち、フィードバック修正量に対する板厚変動の感度の最も高い条件に対しても制御が過補償にならない様にするため、常に、過剰に小さいフィードバックゲインを用いる必要があり、制御応答が遅いという問題があった。従来技術でも特定の板厚影響因子と板厚の関係式を与えて制御に使用する例はあるものの、他の板厚影響因子の影響が無視されているため、これらの関係式の予測精度は低く、大きなフィードバックゲインを実現できるものではなかった。
【００２４】
一方、第２の発明においては、主要な板厚影響因子を全て網羅し、操業時のこれら板厚影響因子の実測値又は推定値を全て用いて板厚を計算する。このため、板厚の予測精度が高く、フィードバック制御を行う場合のフィードバックゲインを大きく設定することができる。
【００２５】
続いて、第２の差異について述べる。
第１の発明と同様に、第２の発明でも複数の板厚制御因子を同時に修正できるので、パドルの安定性を維持しつつ、板厚精度を確保することができる。
【００２６】
第３の発明は、前記演算工程で前記パドルの下流端での前記帯状物質の板厚を演算する際に用いる前記所定の関数として、前記板厚影響因子である前記ノズルでの融液圧力、及びこれ以外の前記板厚影響因子から選択される１種又は２種以上の組合せの板厚影響因子を用いて、次の式、
融液流量鋳造機＝関数鋳造機（ノズルでの融液圧力，他の板厚影響因子）
融液流量パドル＝関数パドル（ノズルでの融液圧力，他の板厚影響因子）
（ここで、「関数鋳造機」は、「ノズルでの融液圧力」及び「他の板厚影響因子」（複数の場合もありえる）を独立変数とし、ノズルでの融液の流量「融液流量鋳造機」を表す関数であり、また、「関数パドル」は、「ノズルでの融液圧力」及び「他の板厚影響因子」（複数の場合もありえる）を独立変数とし、ノズルでの融液の流量「融液流量パドル」を表す関数である。上記関係式を、それぞれ、鋳造機側の流量特性関数、パドルの流量特性関数と称する。）
において、それぞれ独立に表現される前記鋳造機側の流量特性関数及び前記パドルの流量特性関数を用いるとともに、前記板厚影響因子の入力値における特定の組合せに対して、前記鋳造機側の流量特性関数値と前記パドルの流量特性関数値とが一致するときの融液流量を、前記板厚影響因子群の組合せにおける融液流量とし、当該板厚影響因子群の組合せにおける前記融液流量から前記パドルの下流端における板厚を算出する関数を用いることを特徴とする第１の発明又は第２の発明に記載のメルトスピニング法を用いた連続鋳造による帯状物質の製造方法である。
【００２７】
第４の発明は、前記パドルの流量特性関数の算出方法として、選択された前記板厚影響因子群の組合せにおいて、複数の異なる値に対してパドル内挙動をモデル化した数値計算を行って前記パドル内部の前記異なる値それぞれにおける流量値と前記帯状物質の板厚を算出し、互いに異なる前記板厚影響因子群の各組合せと当該各組合わせに対応する前記帯状物質の板厚算出値から、前記パドル内部の流量特性関数における前記帯状物質の板厚に係る板厚影響因子群の回帰式を求め、当該回帰式を前記パドルの流量特性関数として用いることを特徴とする第３の発明に記載のメルトスピニング法を用いた連続鋳造による帯状物質の製造方法である。
【００２８】
尚、「互いに異なる前記板厚影響因子群の各組合せと当該各組合わせに対応する前記帯状物質の板厚算出値から、前記パドル内部の流量特性関数における前記帯状物質の板厚に係る板厚影響因子群の回帰式を求め」る方法として、公知の方法、例えば、折れ線近似法やスプライン関数による近似法が適用可能である。
【００２９】
第５の発明は、前記パドル内挙動をモデル化した数値計算において、前記パドル内領域を液相及び凝固相の２つの領域に分割し、それぞれの領域で、独立に領域内挙動をそれぞれにモデル化した数値計算を実施するとともに、これら液相と凝固相の境界であるところの凝固界面において液相及び凝固相の速度が一致し、かつ、前記凝固界面において液相及び凝固相の凝固界面応力が同じ大きさで互いに反対方向になる凝固界面の境界条件を繰り返し計算により求め、前記凝固界面での境界条件を液相及び凝固相でともに満足するときの前記帯状物質の板厚を、前記パドル内部の流量特性関数における前記帯状物質の板厚として用いることを特徴とする第４の発明に記載のメルトスピニング法を用いた連続鋳造による帯状物質の製造方法である。
【００３０】
ここで、冷却ロール冷却特性値とは、帯状物質板厚に与える、冷却ロール冷却の影響を表現するための指標であり、例えば、ロール冷却水温、冷却ロール−融液間の熱伝達係数値、冷却ロール−融液間の熱抵抗値、冷却ロール上での熱流束値、並びに、帯状物質の巻き取り温度である。
【００３１】
また、単に、「板厚」と表現する場合は、パドル最下流部での帯状物質の厚みのことであり、「製品板厚」と表現するときは、巻き取り時点での帯状物質板厚のことである。熱膨張差や、巻き取り機張力による板厚減少などの効果により、板厚と製品板厚は、一般には一致しない。
【００３２】
また、流量特性関数とは、予め定めた基準点における圧力を流量と関係付ける関数のことである。パドル内での凝固相速度は、概ね、ロール周速値と一致するとみなすと、板幅一定の場合は、［板厚］＝［流量］／［ロール周速］なので、流量特性関数は、圧力と板厚の関係式として表現することもできる。
【発明の効果】
【００３３】
本発明によれば、メルトスピニング型連続鋳造機を用いたメルトスピニング法に適用することにより、板厚計を必ずしも必要とせず、高速、かつ、高精度に板厚影響因子を修正することができ、板厚偏差の小さい帯状物質を製造することができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００３４】
次に、本発明のメルトスピニング法を用いた連続鋳造による帯状物質の製造方法における実施形態について説明を行う。
【００３５】
まず、第１の発明の具体的な実施形態を説明する。
【００３６】
（装置構成）
図２は、鋳造機の概略構成図である。この図２を用いて、第１の発明を説明する。
融液貯留器１０に貯留された融液２は、液自身のヘッド又はコンプレッサ等の加圧装置１５による雰囲気圧力の付与により、ノズル４出口で正圧を付与されて冷却ロール５上に噴出し、パドル１を形成する。パドル内で凝固した帯状物質３は、冷却ロール５とともに下流側に移動しながら冷却ロール５との接触により、さらに温度低下する。帯状物質３は、下流のある地点で巻き取り機１１により付与された張力によって冷却ロール５から剥離し、巻き取り機１１によって巻き取られる。
【００３７】
融液貯留器１０には、熱伝対等の流入温度計２０及びダイヤフラム等の流入圧力計２１が設置されており、それぞれ、流入温度Ｔｉｎと流入圧力Ｐｉｎを測定する。融液貯留器１０は、加熱器３４によって、保温及び昇温可能である。冷却ロール５は、可変速の冷却ロールモータ１３により駆動され、ロータリーエンコーダの等の冷却ロール周速計１９が設置されている。融液貯留器１０全体は、昇降装置１６によって冷却ロール５の表面と垂直方向に可動であり、間隙Ｇを変更できる。間隙Ｇの値は、透過光検出器等の間隙計１８によって計測される。
【００３８】
冷却ロール５は、ロール表面又はロール内部を水冷ノズル等の冷却ロール冷却装置１７によって冷却され、冷却水量は不図示の流量調整弁等により可変である。冷却ロール５から剥離した帯状物質３は、巻き取り機１１に至る前に放射温度計等の巻き取り温度計２２によって温度計測される。
【００３９】
以上の構成により板厚フィードフォーワード制御が可能である。板厚フィードバック制御を行う場合には、板厚計２３を設置する。また、設備費の観点から、加圧装置１５、加熱器３４、並びに、冷却ロール冷却装置１７については、省略してもかまわない。これら省略される装置のある場合、以下の制御方法の説明では、当該制御端の修正量を０と設定することに対応する。また、不図示の冷却ロール温度計等の冷却ロール膨張量を測定する機器及び昇降装置１６の位置（設定値、又は、実績値）を用いて間隙計１８を代用し、間隙Ｇを算出しても良い。
【００４０】
（板厚制御方法）
まず、フィードフォーワード制御について述べる。
帯状物質３の製品板厚目標値に、パドル１と巻き取り機１１での帯状物質温度差（巻き取り温度計２２と流入温度計２０による温度差を用いて定義される）に帯状物質３の線膨張係数を乗じた値を加え、さらに、実験により求めた、巻き取り機１１の張力による板厚減少量を減じた値を、パドル１の下流端における板厚目標値とする。以下、単に「板厚目標値」と記述した場合、パドル１の下流端でのものと定義する。
【００４１】
鋳造操業中に、流入温度計２０、流入圧力計２１、冷却ロール周速計１９、間隙計１８、並びに、巻き取り温度計２２から演算装置１２に入力した流入温度Ｔｉｎ、流入圧力Ｐｉｎ、冷却ロール５の速度ｕＲ、間隙Ｇ、並びに、巻き取り温度Ｔｃの各測定値を用いて、ロール冷却特性値、帯状物質製品板厚計算値ｈｃａｌ、各板厚影響因子の板厚影響係数εｉを演算装置１２によって計算する。
【００４２】
ロール冷却特性値として、例えば、冷却ロール５と凝固面間の熱抵抗Ｈｒを用いる場合、次の式を熱抵抗Ｈｒについて展開することにより、演算装置１２への各入力測定値から算出できる。尚、Ｃｐには潜熱を考慮した等価比熱を用いる。
【００４３】
ｄＴsol／ｄｔ  ＝  ｑout／（ρ・Ｃｐ・ｈ）  ・・・［式１］
ｑout  ＝  １／Ｈｒ・（Ｔsol,surf  −  Ｔrol,surf）  ・・・［式２］
ここで、境界条件を以下に示す。
Ｔsol  ＝  Ｔｉｎ  （ｔ＝０）
Ｔsol  ＝  Ｔｃ    （ｔ：巻取り温度計測時刻）
Ｔsol：帯状物質の冷却ロール半径方向断面平均温度
Ｔrol：冷却ロール温度
ｑｏｕｔ：熱流束
ρ：帯状物質密度
Ｃｐ：帯状物質比熱
ｈ：帯状物質板厚
添え字ｓｕｒｆ：冷却ロールと凝固相の界面
【００４４】
式１における帯状物質板厚ｈは、熱抵抗Ｈｒを用いて表現された当該時刻における帯状物質製品板厚計算値ｈｃａｌを用いる。この場合、帯状物質板厚ｈが複数の方程式で共用される未知数になる陰的表現となるが、前記の非特許文献３に示すガウス−ジョルダン法の様な一般的な方程式の解法によって、この帯状物質板厚ｈを求めることができる。
【００４５】
また、熱抵抗Ｈｒは、他の板厚影響係数に比べて時間変化が緩やか（なぜならば、熱抵抗Ｈｒは、板とロールの真接触面積比率が最大の影響因子であり、ロール表面性状の変化により主に変化する。ロール表面性状は、操業中のロール表面摩耗・損耗により変化するものである。安定した操業を行なうために、一般に、ロール材質は、急激に摩耗・損耗しないものが選択されている。従って、操業中のロール磨耗・損耗によるロール真接触面積の時間変化率は比較的小さく、その結果、熱抵抗Ｈｒの時間変化率も比較的小さいのである）であることを利用して、図２には示されていない付加的な計測器、例えば、巻き取り機重量計を用いて、板幅一定の前提のもとに、過去の重量と冷却ロール周速の履歴から帯状物質板厚ｈを算出しても良い。
【００４６】
この場合、帯状物質板厚ｈを陰的に解く必要はなくなる。従来法においても、帯状物質の重量変化から帯状物質板厚ｈを求める手法は存在したが、これらの手法では、こうして求めた帯状物質板厚ｈを直ちに実測の帯状物質板厚とみなし、直接、フィードバック制御に用いていた。これに対し、本発明における重量変化から求められた帯状物質板厚ｈは、単に、熱抵抗Ｈｒを算出するために補助的に使用されるものであり、制御対象として用いられる帯状物質製品板厚計算値ｈｃａｌは、熱抵抗Ｈｒを含めた全板厚影響係数から算出した計算値を用いる点で従来法とは異なる。
【００４７】
板厚影響因子の板厚影響係数εｉは、次の式３で定義される。
εｉ  ＝  ∂ｈ／∂ｘｉ  ・・・［式３］
ｘ：板厚影響因子
添え字ｉ：各板板厚影響因子の番号
【００４８】
次に、帯状物質製品板厚計算値ｈｃａｌと目標板厚値ｈａｉｍとの差Δｈｃａｌは、一般に０ではないので、これを補正するための、各板厚影響因子修正量Δｘｉを計算する。
【００４９】
差Δｈｃａｌは、次の式４で表現できる。
Δｈｃａｌ  ＝  Σ（βｉ・εｉ・Δｘｉ）  ・・・［式４］
βｉ：任意の値
【００５０】
ここで、各板厚影響因子は、互いに独立に変化させることができるので、式４を満たす任意の値βｉの組合せは無数に存在する。そこで、この組合せのうち、最も妥当な組合せを採用する。
【００５１】
その具体的手法は、次の手順による。
第１段階として、予め、操作のし易い順（エンジニアリング上の制約や特定設備・特定作業者における操業上の制約等を考慮して、適宜定めるものとする）に板厚影響因子に優先順を設定する。
【００５２】
第２段階として、優先順の最も高い板厚影響因子（例えば、間隙Ｇ）のみで差Δｈｃａｌを満足させることを考える。即ち、以下の式５である。
Δｈｃａｌ＝εｉ１・Δｘｉ１  ・・・［式５］
ｉ１：優先順１番のｉ
【００５３】
第３段階として、式５のΔｘｉ１なる修正を加えたｘｉ１が、板厚影響因子条件の組合せごとに予め経験的又は解析的に求めておいたパドル形成可能な条件をマップ化したパドル形成限界範囲の内側に存在するかをチェックする。この限界範囲は、その時点での他の板厚影響因子の値の影響も考慮されたものである。もし、限界範囲内であれば、Δｘｉ１を修正量として出力する。
【００５４】
第４段階として、もし、修正結果が限界範囲外である場合には、優先順２番、３番と、同様のチェックを満足するまで繰り返す。
【００５５】
第５段階として、最終優先順まで達してもパドル形成限界範囲外である場合には、複数の板厚影響因子を、優先順に従って同時に修正してパドル限界範囲に収まる様に修正量を探索する。
【００５６】
以上の優先順の設定にあたっては、常に同一の優先順に固定する必要は必ずしもない。例えば、各板厚影響因子の標準的な条件を予め定め、ある時刻でのこの標準値からの偏差の大きい順に優先順を設定してその時刻での制御に用いても良い。また、操業安定性の観点から修正すべきでない板厚影響因子については、修正用の優先順から除外して修正しないことにしてもよい。
【００５７】
最後に、各板厚影響因子の修正量Δｘｉを補正して実際の修正量を算出して加圧装置１５、加熱器３４、冷却ロールモータ１３、巻き取り機モータ１４、昇降装置１６、並びに、冷却ロール冷却装置１７に対する出力をそれぞれ修正する。修正量Δｘｉを補正する理由は、瞬時の修正量をそのまま出力すると、板厚自励振動等の不安定現象を招く可能性があるからであり、この生の修正量を補正することによって、制御の安定化を図る。手法としては、Δｈに対する一般的なＰＩＤ制御等を適用すればよい。尚、自励振動などの不安定性が認められない場合には、ゲイン１の比例制御としてもかまわない。
【００５８】
次に、フィードバック制御について説明する。
フィードフォーワード制御に対して、板厚実測値ｈａｑが演算装置１２の入力として追加される。板厚実測値ｈａｑは、測定位置に応じてパドル下流端相当での値に補正されるものとし、以下、板厚実測値ｈａｑをパドル１の下流端での値とみなす。熱抵抗Ｈｒの算出時に必要な帯状物質板厚ｈについては、板厚実測値ｈａｑを用いる。この他の帯状物質製品板厚計算値ｈｃａｌ、板厚影響係数εｉの算出方法は、フィードフォーワード制御と同様である。各板厚影響因子の修正量の計算方法としては、例えば、Δｈ＝ｈａｑ−ｈａｉｍとして、以下、フィードフォーワード制御と同様の処理を行ってもよい。また、ｈａｑ  −  ｈｃａｌ＝０となる様に、板厚予測式のモデル係数を逐次修正する一般的な学習制御を用いても良い。
【００５９】
次に第３の発明について説明する。
第１の発明において、主要板厚影響因子群の組合せと板厚の関係をあらゆる鋳造機条件及びあらゆるパドル条件に対して求めようとすると、著しい手間を要し、不経済である。そこで、第３の発明では、鋳造機のノズル４を境として、鋳造機側の流量特性とパドル側の流量特性を分離し、それぞれ独立に板厚影響因子群の条件による板厚を評価することにより、検討に必要な手間を大幅に削減できる。
【００６０】
ここで、ポイントとなるのは、本来、鋳造機（ノズル４出口を含めてこれより上流部と定義する）からパドル１まで一体として考えなければならない実機の鋳造条件において、鋳造機の流量特性とパドルの流量特性を結合する手法である。第３の発明では、鋳造機流量特性とパドル流量特性をそれぞれノズルでの流量と融液圧力の関数で次の式６及び式７の様に独立に表現する。
【００６１】
融液流量鋳造機＝関数鋳造機（ノズルでの融液圧力，他の板厚影響因子）  ・・・［式６］
融液流量パドル＝関数パドル（ノズルでの融液圧力，他の板厚影響因子）  ・・・［式７］
【００６２】
式６の表現は、「関数鋳造機」は、「ノズルでの融液圧力」及び「他の板厚影響因子」（複数の場合もありえる）を独立変数とし、ノズル４での融液の流量「融液流量鋳造機」を表す関数であり、式７でも同様である。式６を鋳造機流量特性関数、式７をパドル流量特性関数と称する。
【００６３】
例えば、図３のパドル流量特性曲線は、式７中の「他の板厚影響因子」を特定の値に固定した場合に特定の曲線になる。このとき、図３上で圧力Ｐ１を設定すると、式７よりノズル位置での融液流量Ｑ１が決定する。
【００６４】
式６、式７中の「他の板厚影響因子」は、ノズル４での融液圧力を除いた前記板厚影響因子から選択した１種又は２種以上の任意の組合わせであり、式６と式７で一般には異なる板厚影響因子の組合せになる。同一の板厚影響因子群の組合せにおいて（式６、式７ではこのうち一部の影響因子を使用する）、流量の一致する条件、即ち、図３で鋳造機流量特性関数とパドル流量特性関数の交点での流量及び融液圧力を、操業の成立する点（操業点）とする。この点での流量値及び融液圧力値を、当該板厚影響因子群の組合せにおける流量及びノズル４での融液圧力の計算値とみなす。尚、一般に、ノズル４の開口サイズは操業中に固定なので、帯状物質３のパドル下流端での凝固相速度が既知であれば、ノズル４での流量は、容易に板厚に変換できる。操業点における板厚に、凝固相内での変形による板厚変化量を加えたものが最終的な帯状物質製品板厚になる。
【００６５】
以下具体的に説明する。
まず、鋳造機流量特性関数について述べる。
融液貯留器１０内での融液２の液面静圧（加圧器が存在する場合、昇圧することができる）及び、液面高さで表現できる融液２のヘッドから、ノズル４までの圧力損失を減じたものが、ノズル４での圧力（全圧）になる。鋳造機入口全圧が一定の場合、粘性流体の特性から、ノズル４の流量が増えるに従って、流路での圧力損失が増大するので、ノズル４での全圧は低下する。
【００６６】
従って、図３において、鋳造機流量関数は、座標点（流入圧力＝鋳造機入口全圧，ノズルでの流量＝０）を起点とした左上がりの曲線になる。具体的な曲線形状は、融液２の放流実験等を行い、圧力損失係数を求めることにより、少数の実験で確定できる。融液温度の変化等により融液物性値が変化すれば圧力損失特性が変化するので、流量特性関数も変化する。また、鋳造機流量特性に対して、板厚影響因子の全てが影響を与えるわけではない。例えば、冷却ロール周速は、鋳造機流量特性関数に直接何ら影響を与えないので、流量特性関数の構築時には、この板厚影響因子を無視してよい。
【００６７】
次に、パドル流量特性関数について述べる。
多くの実験結果から、ノズル４での融液物性（例えば、密度、粘性係数、比熱、熱伝導率等）、ノズル圧力、冷却ロール周速、並びに、冷却ロール冷却特性が一定の場合、板厚が一定になることが確認されている。従って、ノズル流量（＝板厚・板幅・冷却ロール周速）とノズル圧力の関係、即ちパドル流量特性関数も一定になることが期待できる（同一物性、同一冷却条件の場合）。
【００６８】
ここで、パドル１の圧力分布が充分小さい場合、パドル１が形成できないので、流量＝０である。一方、パドル１の圧力が大きい場合には、大きなパドル１が形成でき、その中で、凝固相が厚く成長できるので、板厚が大きく、即ち、ノズル流量が大きくなる。従って、パドル流量特性関数は、図３中で右上がりの曲線になる。パドル流量特性関数も、物性値や冷却ロール冷却条件の差により変化する。
【００６９】
また、鋳造機流量特性関数とパドル流量特性関数から操業点を求める手法を説明する。
図３において、両関数曲線の交点では、ノズル流量及びノズル圧力が一致しているので、この点のみにおいて操業が可能であり、両関数曲線の交点が操業点になる。尚、これらの流量特性関数は、予めオフラインで作成しておき、オンライン設定・制御においては、単に式、又はテーブル参照により、簡易に値を引き出すことができる様にしておく。
【００７０】
次に、第４の発明について説明する。
パドル流量特性関数を算出するにあたって、板厚影響因子群の特定の条件に対応する板厚を知る必要がある。この様な目的のためには、多数の条件で実験を行うことが確実な方法である。この様な方針で求められた板厚影響因子による板厚実験回帰式として、前記の非特許文献１のものが有名であり、定性的な傾向は問題ないとされる。
【００７１】
しかし、この非特許文献１での回帰式は、定量的には板厚の数十％以上の誤差があるため、第１の発明の板厚フィードフォーワード制御で求められる高精度の板厚予測式として適用することはできない。実験回帰式で予測誤差が大きい理由は、実験において、各板厚影響因子群の組合せを所定の値に維持することが実験技術上困難であることが最大の原因である。この様な誤差は、多数の実験を行い、統計処理することによって、減少させることは可能だが、鋳造実験は一般に高価かつ手間も要するため、膨大な実験を行うことは、経済的に不合理である。また、パドル内挙動は、輸送現象として複雑であるため、パドル内の流れを解析的な式で解くことは不可能である。
【００７２】
そこで、第４の発明において、板厚影響因子を容易に固定できる、数値計算手法を用いて、板厚影響因子群の個別条件に対応する板厚を算出する。数値計算手法は、原理的に、実験に比べて結果のバラツキが小さくなる傾向を持つので、実験に比べて少量の結果を用いて、ばらつきの小さい回帰式を求めることができ、経済的である。数値計算手法としては、パドル内を連続体の質量、運動量、及びエネルギの輸送方程式で記述し、併せて凝固をモデル化する。これらの式を、パドル内で離散式に変換し、有限要素法等を適用して解くことにより、パドル内での流れ場、温度場、凝固分布を計算できる。板厚は、最下流部での凝固相厚として計算結果から与えられる。
【００７３】
パドルに存在する自由表面（上流側及び下流側）と凝固界面からなる自由界面に対しては、例えば、前記の非特許文献４に示す一般的なＡＬＥ法（計算メッシュの変形を通じて、自由表面形状を表現する手法の１つ）を適用することにより、自由界面位置を算出することができる。連続体の輸送方程式としては、流体相には、粘性流体を仮定し、固体相には、高粘度の粘性流体、粘塑性体、剛塑性体、弾塑性体等の一般的な輸送式を適用することができる。凝固モデルに関しては、凝固温度で比熱を増大させる方法、エンタルピ法、凝固界面に潜熱を吸収させる方法等の一般的な手法を適用できる。
【００７４】
この様にして求められた、板厚影響因子群の個別条件と板厚の組合せを複数個を用いて流入圧力Ｐｉｎ以外の条件を固定して、流入圧力Ｐｉｎをパラメータとした、回帰式を求め、板厚を流量に換算する換算式として、１つのパドル流量特性関数とする。
【００７５】
次に、流入圧力Ｐｉｎ以外の条件を先のものとは異なる条件に固定して、同様に別のパドル流量特性関数を求めることを繰り返す。板厚影響因子群の任意の組合せでの流量特性関数は、この板厚影響因子群の組合せと最も近い条件の前記計算により求めた板厚影響因子群からの補間により、求められる。この補間方法として、公知の技術、例えば、線形補間法を用いることができる。
【００７６】
この様に、回帰する対象がパドル流量特性関数でなければならない理由について、以下に説明する。
例えば、パドル流量特性関数を経由することなく、計算結果から単に重回帰を行いてパドル特性式を求め、この特性式と鋳造機流量特性関数の一致する点を求める手法も原理的にはありうる。しかし、この様な方式の場合、計算条件の設定方法によっては、流入圧力Ｐｉｎ以外の板厚影響因子が特定のケースで流入圧力Ｐｉｎとノズル流量に正の相関が得られない場合がありうる。この様な条件で、操業点を求めようとした場合、鋳造機流量特性関数とパドル特性式の交点は、非現実的な点に発生する可能性が高く、問題であるからである。
【００７７】
また、本発明では、パドル１が安定して存在しえない板厚影響因子群の組合せの場合、数値計算での解は発散するので、この様な板厚影響因子群の組合せをパドル形成不能条件とみなし、物理的に妥当な収束解の存在するパドル安定化条件範囲を求める。このパドル安定化条件範囲は、第１の発明で板厚影響因子修正量を計算する際に用いられる。
【００７８】
次に、第５の発明について説明する。
第４の発明に示したパドル内流れの数値計算手法は、有効な板厚計算手法ではあるが、本発明に求められる、高精度の板厚予測を満足させるためには、数値計算手法にも特別の配慮が必要である。例えば、凝固相も含めたパドル全体を一様な粘性流（但し、温度による連続的な物性値変化を考慮する）とみなす方法の場合、十分な板厚精度の得られないことを本発明者は見出した。以下、精度上の問題点を列記する。
【００７９】
第１に、従来法においては、凝固界面における圧力及び速度の不連続性に対して配慮が払われていなかった問題が存在する。これについて具体的に説明する。
【００８０】
いま、簡単のため、凝固相を粘性の高い粘性流とみなすことにする。質量保存式及び非圧縮性定常時の輸送方程式は、パドル内全域で次の数式８及び数式９のようになる。
【００８１】
＜質量保存式＞
∂（ρｕi）／∂ｘi  ＝  ０  ・・・［式８］
＜運動量輸送式＞
ρ・ｕj∂ｕi／∂ｘj  ＝  −∂Ｐ／∂ｘi  ＋  ∂（μ・（∂ｕi／∂ｘj＋∂ｕj／∂ｘi））／∂ｘj  ・・・［式９］
ρ：密度
ｕ：速度
ｘ：長さ
Ｐ：圧力
μ：粘性係数
添え字ｉ,ｊ：座標軸方向番号
【００８２】
ここで、凝固界面で満たされるべき条件は、次の数式１０〜数式１２に示すとおりである。
ρLｕ'L  ＝  ρsｕ's  ・・・［式１０］
−ＰL  ＋  ２・μL∂ｕ'L／∂ｘ'
＝  −Ｐs  ＋  ２・μs∂ｕ's／∂ｘ'  ・・・［式１１］
μＬ（∂uL'／∂x"  ＋  ∂uL"／∂x'）
＝  −μｓ（∂us'／∂x"  ＋  ∂us"／∂x'）  ・・・［式１２］
ｕ'：凝固界面垂直方向速度
ｘ'：凝固界面垂直方向長さ
ｕ"：凝固界面平行方向速度
ｘ"：凝固界面平行方向長さ
添え字Ｌ：液相
添え字ｓ：凝固相
【００８３】
凝固により粘性係数が不連続に変化する一般的な物質の場合、μL≪μsであり、∂u／∂xは、周囲の流れ場によって決定するので、∂ｕ'L／∂ｘ'≫∂ｕ's／∂ｘ'とは限らない。従って、式１１より、凝固界面上においては、一般に液相側と凝固相側で圧力が異なる。即ち、凝固界面上において、ＰL≠Ｐsである。
【００８４】
例えば、図４に示す、回転する冷却ロール５と自由スリップ境界２４に拘束されて冷却ロール５上で凝固相の成長する急冷凝固連続鋳造機においては、帯状物質３は、塑性変形加工を受けながら凝固するため、∂ｕ's／∂ｘ'＞０であり、凝固界面の凝固相側では、液相圧力よりも数桁大きい圧力値となるため、凝固界面での圧力不連続は無視できない大きさになりうる。
【００８５】
また、凝固によって一般に物質密度が変化するのでρL≠ρsであり、式１０より、凝固界面において液相と凝固相で速度が不連続にならなければならない。即ち、凝固界面上において、ｕL≠ｕsである。しかし、従来の連続鋳造の凝固解析では、これら圧力Ｐと速度ｕの凝固界面における不連続性を明確に認識して回避対策を講じたものは存在せず、凝固界面において、何らかの誤差を発生させることが避けられなかった。
【００８６】
例えば、同一計算領域の中に液相と凝固相を共存させて有限体積法を用いて流れ場、温度場、並びに、凝固状態場（以下これらを総称して状態場と呼ぶ）を解く手法は、連続鋳造の数値計算にしばしば用いられてきたが、以下の様なモデル誤差発生要因が存在する。
【００８７】
第１に、有限体積法で最も多用される、圧力Ｐと速度ｕをともに計算セル中心に配置する離散化手法（コローケド法）の場合、凝固界面は、セル境界で定義され、セルの運動方程式を解く際には凝固界面での圧力を補間する必要がある。有限体積法では、この圧力補間値がセル境界の両側セル（それぞれ、液相、凝固相）で共通であるため、前述の凝固界面における圧力不連続性を無視したことになり、大きなモデル誤差が発生する。
【００８８】
第２に、速度ｕと圧力Ｐをセルの別々の位置で定義する手法（スタガード法）では、凝固界面上で圧力を補間せず、凝固界面上に速度ｕを設定する手法であり、凝固界面上で圧力を定義しなくて良いので、圧力不連続の影響は、第１の方法に比べて軽減できる。しかし、この手法では、凝固界面上に分布する速度ｕの速度差に基づいて働く応力がほとんど無視されるため、この影響によるモデル誤差の発生は避けられない。さらに、この手法では、凝固界面上の速度ｕを液相と凝固相で共用しなければならないため、凝固による密度変化起因の速度不連続を表現することはできず、モデル誤差が発生する。
【００８９】
第３に、凝固モデルとして、凝固相内目標速度ｕｃと任意の圧力損失係数Ｃｕを用いて、凝固相相当の領域にＣｕ・（ｕ  −  ｕｃ）なる体積力を与えて凝固相を表現する手法もしばしば採用されてきた。しかし、この手法では、凝固相内目標速度ｕｃを与える一般的な手法がないため、凝固相内目標速度ｕｃが一定であることが保証されている検討系（例えば、ｕｃ＝ｕＲ）以外の、例えば図４の系では、モデル誤差を評価することさえ不可能である。従って、この手法の適用は妥当ではない。
【００９０】
また、同一計算領域の中に液相と凝固相を共存させて有限要素法を用いて状態場を解く手法も同様に繁用される。この手法でも以下の凝固界面における以下のモデル誤差問題が存在する。
【００９１】
第１に、有限要素法で高精度として一般に推奨されている、有限要素のノード上で速度ｕと圧力Ｐを定義して速度ｕと圧力Ｐをともに解く手法（圧力連続型原始関数法）では、凝固界面上に圧力Ｐを定義するノードが存在し（有限要素法では、凝固界面を一般に有限要素境界に配置するため、凝固界面上にノードが存在することになる）、凝固界面上で液相有限要素と凝固相有限要素が共有するノードを介して、同じ圧力値を共有することになる。この結果、凝固界面における圧力Ｐの不連続性は無視され、モデル誤差が発生する。具体的には、図４のケースで、本来、凝固相の凝固海面上圧力≫０とならなければならないのに、本手法では、凝固界面の圧力≒０となってしまう問題が発生する。
【００９２】
第２に、圧力Ｐを運動方程式から除去するペナルティ法も適用されることがある。この手法の場合、圧力Ｐが存在しないので、圧力の不連続性に関する問題は発生しない。しかし、ペナルティ法では、圧力の代わりに運動方程式に導入するペナルティ係数の物理的意味あいが乏しく、かつ、ペナルティ係数値に任意性が強いため、解析結果の妥当性が疑問視される場合が多く、定量的な予測のための数値計算手法としてそもそも基本的なモデル誤差の問題が大きい。
【００９３】
第３に、圧力Ｐを速度ｕとともに直接解くのではなく、圧力Ｐのポアソン方程式を別にたて、これを運動方程式と連成して解く分離解法もしばしば用いられる。この手法では、圧力のポアソン方程式を解く段階で隣接有限要素の圧力値が必要であり、凝固界面を挟んだ隣接セル間の離散方程式では、巨大な圧力差を使用しなければならないが、凝固界面におけるこの様な処理は、本来、物理的な意味をもつものではないので（圧力Ｐのポアソン方程式の導出過程では、暗に、物性値の均一性が仮定されているので）、モデル誤差が発生する問題がある。
【００９４】
さらに、第１から第３の方法は、いずれも、凝固界面上のノードで速度ｕを共有する手法のため、速度ｕの不連続性に起因するモデル誤差が必ず発生する。
【００９５】
そこで、第５の発明では、図５に示すように、連続鋳造時に、計算領域を液相計算領域２９と凝固相計算領域２８に分離し、それぞれの領域で数値計算を行った後、両者を接続して最終的な状態場を探索する。これにより、凝固界面での速度ｕ、圧力Ｐの不連続性の問題を回避し、かつ、高精度に状態場を予測することができる。
【００９６】
この具体的手順は、次のとおりである。
第１段階として、図５に示す様に、計算領域を、凝固界面を境として、液相計算領域２９と凝固相計算領域２８に分離し、凝固界面を各計算領域の境界として設定する。
【００９７】
第２段階として、図６に示した凝固相計算領域２８での状態場を数値計算する。ここで、流入境界２６は、固定であり、境界条件は、次の式１３〜式１５に示すとおりである。
【００９８】
σ  ＝  ＰｍL  ・・・［式１３］
τ  ＝  μL（∂uL"／∂ｘ'  ＋  ∂uL'／∂ｘ"）｜凝固界面  ・・・［式１４］
Ｔs  ＝  Ｔｗ（ｕｍ's）  ・・・［式１５］
σ：凝固界面垂直応力
ＰｍL：凝固界面の液相圧力
τ：凝固界面水平応力
Ｔｗ：凝固温度
ｕｍ'：凝固界面垂直方向の速度（凝固速度）
【００９９】
ここで、凝固温度Ｔｗは、凝固速度ｕｍ'の関数としているのは、急冷凝固時には、凝固点降下の影響が無視できないことを反映したものであり、凝固点降下が無視できる場合には、Ｔｗを単に、融点に設定しても良い。流出境界２５と冷却ロール５との接触面での境界条件、並びに、離散化式等は、従来技術のものを使用すれば良い。例えば、流出境界条件を一定圧力とし、冷却ロール５の表面境界条件を一定温度とし、精度の高い計算方法である、圧力連続型原始関数法を用いた有限要素法を用いれば良い。数値計算の結果、凝固界面での速度（凝固界面垂直方向と水平方向を合成したもの）ｕｍs及び熱流束ｑｍsが求められる。
【０１００】
第３段階として、図７に示す液相計算領域での状態場の数値計算を行う。凝固相での状態場計算結果を用いて、流出境界２７での境界条件を、次の式１６、１７の様に与える。
【０１０１】
ｕｍL  ＝  ρs／ρL・uｍs  ・・・［式１６］
ｑｍL  ＝  ｑｍs  −γ・ρL・ＣpL・ｕｍ'L  ・・・［式１７］
γ：凝固潜熱
【０１０２】
流入境界条件、冷却ロール５との接触面での境界条件、並びに、離散化式等については、従来の手法をそのまま適用すればよい。例えば、流入境界条件を圧力一定とし、冷却ロール５表面での境界条件として、ロール熱流束分布を指定し、圧力連続型原始関数法を用いた有限要素法を用いれば良い。この様にして数値計算を行った結果の凝固界面温度は、一般に、凝固温度Ｔｗ（ｕｍ's）とは異なり、凝固界面の満たすべき条件を満足しない。
【０１０３】
そこで、ＴｍL＝Ｔｗ（ｕｍ's）となる様に、凝固界面の位置を修正する。凝固界面の修正法には、例えば、ＡＬＥ法を用いて、凝固界面上のノードの移動方向を主流方向に限定する。図４の系を前提にすると、ＴｍL ＞ Ｔｗ（ｕｍ's）の場合、液相への入熱を増やす方向、即ち、凝固界面長を延長して凝固界面の傾斜をより緩やかにする方向に凝固界面を移動させ、その逆の温度条件の場合には、凝固界面の傾斜をより急になる様に修正することにより、ＴｍL＝Ｔｗ（ｕｍ's）を満たす界面位置を見出すことができる。
【０１０４】
第４段階として、修正された凝固界面をもとに、再び凝固相の数値計算を第２段階と同様に実施し、その結果を用いて、引き続き、第３段階と同様に液相の数値計算を実施する。以上の凝固相と液相の数値計算の繰り返しを、凝固界面位置の修正量が予め定めた許容値以下になるまで繰り返す。この様にして得られた液相及び凝固相の状態場は、与えられた全ての輸送方程式と境界条件を満足しているので、物理的に妥当である。
【０１０５】
凝固相と液相の数値計算の連携方法として、上記の方法（第１の方法）ではなく、次の第２の方法を用いても良い。上記の第３段階で、凝固相の数値計算結果から求められたｑｍLを液相数値計算の境界条件として直接用いるのではなく、液相数値計算での凝固界面境界条件を一定温度（Ｔｗ）とし、凝固界面で計算される熱流束を目標熱流束ｑｍLとなる様に、凝固界面位置を修正する。
【０１０６】
第１の方法と第２の方法で得られる解は一致するが、凝固点降下の大きい系、即ちＴｗ変動の大きい系では、第１の方法の数値安定性がより良く、逆に、Ｔｗ変動の小さい系では、第２の方法の安定性が良い傾向がある。
【０１０７】
第５の発明の第１のポイントは、凝固界面での速度ｕ及び圧力Ｐを、液相数値計算と凝固相数値計算でそれぞれ別の値を使用するので、これらの状態量の凝固界面における不連続性を問題無く表現できる点である。
【０１０８】
従来の連続鋳造数値計算における凝固界面位置の計算にあたっては、伝熱に関しては、液相と凝固相を同一の計算領域内に設定し（液相と凝固相で別の構成式を用いて、それぞれ別に運動方程式を解く様な場合であっても）、凝固界面位置の探索を、液相と凝固相の周囲全ての温度場を解く過程で求めることが常識であった。
【０１０９】
これに対し、第５の発明の第２のポイントでは、液相数値計算と凝固相数値計算は、互いに独立してなされ、両者の連成は、単に、凝固界面上での速度、熱流束、並びに、凝固界面形状のみを互いにやりとりすれば良く、連成する相手の計算領域の中で必要とする情報量が格段に減少している点で、計算の効率化が図られている。つまり、液相数値計算で凝固界面を探索する際に、凝固相内部の温度場情報は一切必要なく、凝固界面における凝固相側の入出熱及び凝固界面での速度のみ把握できていれば良い。
【０１１０】
また、本実施形態は、純物質、又は、急冷材を想定して凝固温度を一点の温度としたが、合金等を対象とする場合には、凝固温度に幅を持たせ、半凝固相を用いる一般的なモデルを用いてもかまわない。半凝固相を仮定した場合でも、一般的な物質の場合、粘性が凝固相並に上昇するのは、１００％に近い凝固率の場合に限定されるので、凝固界面を固相率１００％の点と置き換えれば、上記の手法をそのまま適用できる。
【０１１１】
メルトスピニングにおいても、帯状物質３には張力が付与され、凝固相の冷却中の収縮に起因する残留応力等の応力が付与される。このためメルトスピニングで、凝固相内流れを一様流とみなすことはできず、図４と同様の凝固界面での圧力Ｐ及び速度ｕの不連続性を回避する手法が必要である。そのための手法の基本的な考え方は、既に述べた、液相と凝固相を分離してそれぞれ、数値計算を行い、両者を連成する方法で対応可能である。但し、メルトスピニングにおいては、自由界面が存在するため、図４の系に加えて、数値計算上の特別の工夫が必要である。
【０１１２】
図４の系に対してなされた第５の発明の考え方を単純にメルトスピニングに適用した例を図８に示す。
この場合、凝固界面と上流側と下流側の２つの自由表面が接する。原理的には、この界面間接触点の位置を二次元的に移動させながら凝固界面を探索すれば、図４の場合と同様に収束解が得られるはずである。
【０１１３】
しかし、図８に示す様に、板厚に比べて長大な移動界面が複数接する界面で囲まれた領域の数値計算は極めて不安定になることが知られている。このため、図８の様な系は、解が得られたとしても、膨大な計算時間を必要とするため経済性の観点から適用は困難である。そこで、メルトスピニング用に改良した第５の発明では、図９に示す様に、凝固界面と２つの自由表面の間に、固定境界３０をそれぞれ挟み、凝固界面と自由表面を直接接触させないことにより、前記の数値計算不安定性を軽減できる。
【０１１４】
しかし、凝固界面と上流側自由表面の間に固定境界を設置した場合、この固定境界上でも本来、凝固相が発達するはずであるのに、固定境界自身は変形できないので、凝固界面形状、並びに、板厚の予測に悪影響を与える。そこで、この固定境界と凝固界面を合わせた凝固の発生しうる領域に、次の凝固モデルを使用することにより、この問題を回避する。この凝固モデルでは、凝固界面の形状のみで凝固を表現するのではなく、凝固速度と凝固界面形状を組み合わせて、真の凝固面形状を代用するのである。
【０１１５】
凝固速度は、凝固界面に垂直な速度ｕｍ'で定義されるが、メルトスピニングでは一般に凝固界面の傾斜が緩やかであるので、凝固界面に垂直な速度ｕｍ'を冷却ロール半径方向速度ｖＡとみなしても誤差は小さい。そこで、まず、凝固界面に垂直な速度ｕｍ'を冷却ロール半径方向速度ｖＡとおいて凝固界面勾配の影響を取り除き、勾配０の固定境界でも凝固速度を計算できるようにする。
【０１１６】
次に、凝固界面での温度条件及び伝熱条件を満たす様に、冷却ロール半径方向速度ｖＡを探索することを考える。満たすべき条件とは、次の式１８、式１９である。
ＴｍL  ＝  Ｔｗ（ｖＡ）  ・・・［式１８］
ｑｍL  ＝  ｑｍs  −γ・ρL・ＣpL・ｖＡ  ・・・［式１９］
【０１１７】
ここで、ある凝固界面区間Δｘで冷却ロール半径方向速度ｖＡによって増大した凝固相厚Δｈは、以下の式２０で表される。
Δｈ  ＝  ｖＡ／ｕｍｒL・Δｘ  ・・・［式２０］
ｕｍｒL：凝固界面速度の冷却ロール平行成分
【０１１８】
一方、凝固界面速度は、ｕｍｒLとみなすことができるので、凝固界面にはこの速度も境界条件として与える。前述の様に、凝固界面が平坦な場合には、Δｈは冷却ロール半径方向速度ｖＡのみで表現され、逆に、真の凝固界面に対しては、ｖＡ＝０となるはずである。なぜならば、ｕｍｒLの凝固界面垂直方向成分が凝固速度と一致するため、この界面上で新たに冷却ロール半径方向速度ｖＡを付与する余地はないからである。
【０１１９】
従って、凝固界面に沿った下流の特定区間ｉでの板厚は、次の式２１で一般化できる。
ｈi  ＝  ｈi-1  ＋  ｄｈｍ／ｄｘ・Δｘi
＋  ｖＡ／ｕｍｒL・Δｘi  ・・・［式２１］
ｈｍ：凝固界面高さ
Δｘｉ：区間ｉの区間長
【０１２０】
ところで、凝固界面の全区間でｈｍ＝０とし、冷却ロール半径方向速度ｖＡのみで板厚を表現することも原理的には考えられる。しかし、この手法には、次の欠点が存在する。即ち、下流側自由界面高さｈｆの変化は、少なくとも、その最下流部では、次の式２２のオーダになる。
ｄｈｆ／ｄｘ  ≒  ｖＡ／ｕｍｒ  ・・・［式２２］
【０１２１】
従って、冷却ロール半径方向速度ｖＡがｘ方向に急変した場合、下流側自由界面高さｈｆも急変する。しかし、冷却ロール半径方向速度ｖＡによる凝固速度の表現は、本来、凝固界面高さｈｍの変化を模擬したものであり、凝固界面高さｈｍが急変しても下流側自由界面高さｈｆが急変する必要なない。従って、冷却ロール半径方向速度ｖＡの急変による下流側自由界面高さｈｆの急変は、物理的に不合理であるとともに、下流側自由界面高さｈｆの急変部では表面張力の効果によって、内部圧力も急変するため、この部位での流れ場の計算安定性を著しく阻害する。
【０１２２】
従って、凝固界面と下流側自由界面の近接するパドル１の下流領域では、冷却ロール半径方向速度ｖＡによる凝固速度の表現を使用せず、凝固界面高さｈｍの変化による表現を用いるべきである。前述の様に、上流側自由界面近傍での固定境界上では、冷却ロール半径方向速度ｖＡによる凝固速度の表現が不可欠であるので、凝固速度の表現は、冷却ロール半径方向速度ｖＡによるものと凝固界面高さ変化によるものを併用する必要がある。
【０１２３】
また、冷却ロール半径方向速度ｖＡを用いずに、（ｄｈｍ／ｄｘ）のみで凝固速度を表現するための方法は、次の手順である。
【０１２４】
第１段階として、２つの自由界面位置及び自由界面上速度を固定する。第２段階として、この時点での凝固界面高さｈｍ分布を前提に、式１８及び式１７を満たす様に、冷却ロール半径方向速度ｖＡ分布を求める。第３段階として、当該区間で冷却ロール半径方向速度ｖＡ＝０となる様に、式２１を用いて、凝固界面高さｈｍ分布を修正する。第４段階として、冷却ロール半径方向速度ｖＡと凝固界面高さｈｍ分布を固定したうえで、２つの自由界面の拘束を解除し、自由界面位置を含めたパドル内流れ場を計算する。以上の４段階を繰り返すことにより、複数の自由界面を有する状態場であても、安定して収束解を得ることができる。
【０１２５】
次に、凝固界面と下流側自由界面の間の固定境界の取り扱いについて説明する。
流出境界には、この位置に対応する流出速度ｕｍｒLを境界条件として与える。この固定境界は、凝固界面と自由界面の接触部を代用するものなので、本来、凝固界面と自由界面が充分接近した位置に固定境界は設定されるべきである。しかし、下流側のどこで凝固界面と自由界面が充分接近するのかを予め知ることは困難である。そこで、この固定境界を充分下流に設定し、この境界の上流で凝固界面と自由界面が所定値以内に接近した場合、それより下流での凝固界面及び自由界面の高さを固定することにする。この凝固界面と自由界面が所定値以内に接近した位置から固定境界までの領域をパドル流出領域３１と呼ぶ。
【０１２６】
パドル流出領域内では、流れはほぼ一様になるので、この領域の上流端では、固定境界の流出速度ｕｍｒLの平均速度が付与されることになる。また、自由界面の高さが固定されているので、この領域内部の圧力場は、自由界面曲率とは無関係になるので、流出速度に対応した、負圧も表現できる。但し、この領域では、凝固界面高さを固定しているため、ここでの温度場は、物理的意味のあるものではない。即ち、パドル流出領域は、数値計算作業性の便宜上設定されたものであり、物理的意味の存在する領域上流端での状態場を適切に表現するためのものである。
【０１２７】
以上のモデル化により、凝固界面に付与される熱流束ｑｍｓ及び流出速度ｕｍｒLが与えられれば、メルトスピニング液相での状態場を数値計算により解くことができる。他の境界条件や、離散化手法、数値解法については、伝統的な手法を用いればよい。例えば、流入境界条件を圧力及び温度一定条件とし、ノズル内壁面境界条件を速度＝０、かつ、断熱条件とし、自由表面での境界条件を温度場に関しては断熱条件、流れ場に関しては、次の条件式２３を用いる。
【０１２８】
Ｐ  ＝  ２・σ／Ｒ  ・・・［式２３］
σ：表面張力
Ｒ：自由表面の曲率半径
また、数値解法には、有限要素法を用い、自由界面の位置探索にはＡＬＥ法等を用いれば良い。
【０１２９】
次に、凝固相の状態場を解く。
図１０の様な系を設定する。流入境界の形状は、式２１を用いて凝固速度を全て凝固界面高さｈｍで表した場合の凝固界面高さｈｍ分布で与える。但し、パドル流出領域の凝固界面位置に物理的妥当性はないので、物理的な意味を有する、パドル流出領域上流端を凝固界面に接続する固定境界とみなす。凝固相の計算においては、凝固界面の位置を常に固定し、液相数値計算で求められた凝固界面上の圧力分布をこれに対応する位置の凝固相凝固界面での流入条件として用いる。
【０１３０】
メルトスピニングで凝固相に加えられる主要な応力は、巻き取り機１１との間に働く張力なので、流出境界には張力に対応する境界面垂直応力を与える。図１０の下端境界は、冷却ロール５の付着部に対応する凝固相ロール境界３２と自由表面に対応する凝固相自由境界３３に分割され、凝固相ロール境界での境界条件を一定速度（冷却ロール周速）及び、冷却ロール抜熱流束として与え、凝固相自由境界での境界条件を断熱条件及び式２３で与える。
【０１３１】
図１０上端の境界は、自由表面に対応する凝固相自由境界とし、断熱条件及び式２３で与える。以上の境界条件前提で、凝固相の状態場を伝統的な数値計算手法、例えば、ＡＬＥ法を用いた有限要素法で解くと、板厚（流出境界での上端境界の高さ）、凝固界面での熱流束ｑｍs、並びに、凝固界面速度ｕｍsを求めることができる。
【０１３２】
ここで求められた凝固界面での熱流束ｑｍsと凝固界面速度ｕｍsは、凝固相での数値計算前に用いた液相凝固界面での熱流束と凝固界面速度（実際には、ｕｍｒ＝ρs／ρL・ｕｍsとして使用）とは、一般に一致しない。そこで、更新された熱流束ｑｍsと凝固界面速度ｕｍsを用いて再度、液相数値計算を実施する。以上のプロセスを熱流束ｑｍsと凝固界面速度ｕｍsが変化しなくなるまで繰り返すと、液相と凝固相を含めたパドル全域での最終的な状態量場を得ることができる。
【０１３３】
ところで、メルトスピニングの場合、２つの自由界面位置が計算中に変動するため、収束解を得るのに必要な凝固相−液相間の連携計算の繰り返し回数は、図４の系の場合と比較して格段に多い。そこで、凝固相の変形が比較的小さい場合に限定して適用可能な、上記のモデルを簡略化した数値計算手法について説明する。
【０１３４】
メルトスピニングでは、一般にパドル長に比べて板厚が十分小さく、板厚方向の状態量変化率は、冷却ロール周速方向の状態量変化率に比べて格段に大きい。また、凝固相での変形が小さい場合には、凝固相の速度を一様に冷却ロール周速ｕＲとみなしても誤差は小さい。
【０１３５】
ここで、冷却ロールと共に移動するラグランジェ座標系上でパドルの特定断面での凝固相状態量の時間変化を考える。このとき、凝固相は、ラグランジェ座標系上で静止しているので、連続の式と運動方程式を無条件に満たし、また、冷却ロール周速方向の状態量変化は、板厚方向の状態量変化に比べて無視できる。その結果、凝固相の状態量場は、凝固を考慮した、板厚方向一次元非定常熱伝導問題（ステファン問題）に単純化できる。
【０１３６】
従来技術でもパドル断面をステファン問題とみなす計算手法は存在したが、凝固相と液相をともに含んだ計算領域を設定していたため、凝固相の温度場を求めるためには、液相内での温度分布の情報が不可欠であった。しかし、メルトスピニングの液相は、一様流速ではないのでステファン問題とみなすことには無理があり、従来技術でのモデル誤差は大きくならざるをえなかった。
【０１３７】
本発明では、一様流速であることが保証されている凝固相のみに対してステファン問題を適用し、液相の影響は、単に、凝固相厚及び凝固界面における凝固速度のみで表現することにより、予測の困難な液相内温度分布を仮定することによるモデル誤差を回避することができる。
【０１３８】
凝固相温度場は、次の式２４を解いて求める。
ｄＴs／ｄｔ  ＝  κ・（ｄ2Ｔs／ｄｙ2）  ・・・［式２４］
ｔ：時刻
κ：温度伝導率
ｙ：ラグランジェ座標系上での板厚方向位置
【０１３９】
また、境界条件は、以下の式２５及び式２６のとおりである。
Ｔs  ＝  ＴR    冷却ロール表面（ｙ＝０）  ・・・［式２５］
Ｔs  ＝  Ｔｗ（ｖＡ）    凝固界面（ｙ＝ｈｍ）  ・・・［式２６］
ＴR：冷却ロール表面温度
【０１４０】
境界条件に、冷却ロール５の表面熱抵抗の影響を含めても良い。冷却ロール表面温度ＴRは、冷却ロール５と凝固相を連成して解いて求めても良いし、凝固相に比べて冷却ロール５の熱伝導率が充分大きい場合には、冷却ロール表面温度ＴRを冷却ロール初期温度（一定値）としても大きなモデル誤差にはならない。上式で、凝固速度ｖＡは、ｄｈｍ／ｄｘの影響も含めた総合的な凝固速度を表し、凝固界面高さｈｍは、液相数値解析結果から与えられる。
【０１４１】
一方、式２４を解いて得られたＴｓを用いて、次の式２７から液相数値解析で必要になる凝固相熱流速目標値ｑLを与えることができる。
ｑL  ＝  ｋs（ｄＴs／ｄｙ）｜y=hm  −  ρＣｐｖＡ  ・・・［式２７］
ｋs：凝固相熱伝導率
【０１４２】
以上の手法を用いると、凝固相の（多次元）数値計算を行うことなしにパドル１内の状態場を求めることができ、計算負荷を大幅に節約することができる。また、温度場計算をステファン問題として解き、板厚への影響の大きい凝固相流れ場についてのみ、凝固相の多次元数値解析を行い、流体数値計算で用いるｕｍｒを与えてもよい。
【０１４３】
式２４の解法には、数値計算を用いることもできるが、式２７の温度勾配を高精度で求めるためには、メッシュ分割を著しく細かく設定する必要があり、計算負荷と計算安定性の点で必ずしも有利とはいえない。そこで、凝固相凝固界面での温度勾配の解析解を与える以下の手法を用いる。
【０１４４】
凝固相中で物性が一様で、凝固界面高さｈｍが常に一定の場合、次の式２８の定常解となる。
Ｔs＝（Ｔｍ  −  ＴR）・ｙ／ｈｍ  ・・・［式２８］
【０１４５】
式２８でのＴs分布をＴs0とおく。このときの凝固相凝固界面温度勾配は、次の式２９のとおりである。
（ｄＴs／ｄｙ）｜y=hm  ＝  （Ｔｍ  −  ＴＲ）／ｈｍ  ・・・［式２９］
【０１４６】
また、式２４はＴについて線形なので、Ｔｓ  ＝  Ｔｓ０  ＋  Ｔｓ'とおいて式２４に代入すると、次の式２０に示す偏差温度Ｔｓ'のみの熱伝導方程式が得られる。
ｄＴs'／ｄｔ  ＝  κ・（ｄ2Ｔs'／ｄｙ2）  ・・・［式３０］
【０１４７】
また、境界条件は、次の式３１及び式３２で示される。
Ｔs'  ＝  ０    ｙ＝０  ・・・［式３１］
Ｔs'  ＝  ０    ｙ＝ｈｍ  ・・・［式３２］
【０１４８】
いま任意のｙの点ｙｉ（０≦ｙｉ≦ｈｍ）で任意温度偏差Ｔs'ｉ０を与え、図１１の様な直線温度分布を与えたとき（この温度分布をＴs'ｉとおく）、式３０はＴに対して線形であり、かつ、Ｔs'ｉは、式３１、式３０の境界条件を満足するので、次の式３３及び式３４のように表せる。
Ｔｓ'  ＝  Ｔs'ｉ  ＋  Ｔｓ"  ・・・［式３３］
初期条件：Ｔｓ'|t=0  ＝  Ｔs'ｉ|t=0  ＋  Ｔｓ"|t=0  ・・・［式３４］
【０１４９】
Ｔs'ｉ、Ｔｓ"で別々に熱伝導方程式を解き、それらの解の温度を足し合わせたものは、式３０を解いて得た温度解に一致する。従って、Ｔｓ'|t=0を複数の互いに異なるｙの点でのＴs'ｉ|t=0を加算して近似し、個々のＴs'ｉの熱伝導方程式を解いた後、これらの解の温度を加算すれば、Ｔｓ'の近似解を得たことになる。
【０１５０】
Ｔs'ｉの熱伝導方程式には、次の式３５の解析解が存在する。
Ｔｓ'(ｙ，ｔ)  ＝  Σ｛２Ｔs'ｉ０／((ｎπ)2α(１−α))・ｓｉｎ(αｎπ)
・ｓｉｎ（ｎπｙ／ｈ）・ｅｘｐ［−（ｎπ／ｈ）2κｔ］｝  ・・・［式３５］
【０１５１】
ここで、Σは、ｎ＝１から∞までの値をとる。また、αは、α＝ｙ／ｈｍで定義されるｙ方向無次元位置である。次に、式３５のｙに関する微分は、次の式３６になる。
ｄＴｓ'(ｙ，ｔ)／ｄｙ  ＝  Σ｛２Ｔs'ｉ０／(ｎπｈα(１−α))
・ｓｉｎ(αｎπ)・ｃｏｓ（ｎπｙ／ｈ）
・ｅｘｐ［−（ｎπ／ｈ）2κｔ］｝  ・・・［式３６］
【０１５２】
従って、ｙ＝ｈｍにおける時刻０からｔｅ間の平均偏差熱流束ｑs'aは、次の式３７になる。
ｑs'a  ＝  −Σ｛２ｋｈＴs'ｉ０／((ｎπ)3κα(１−α)ｔｅ)
・ｓｉｎ(αｎπ)・ｃｏｓ（ｎπ）
・(１−ｅｘｐ［−（ｎπ／ｈ）2κｔｅ］)｝  ・・・［式３７］
【０１５３】
また、初期温度Ｔs'は、複数のＴs'ｉ０の組合わせで次の式３８の様になる。
Ｔs'  ＝  Σ｛αｉ／αｊ・Ｔs'ｉ０｝
＋  Σ｛（１−αｉ）／（１−αｊ）・Ｔs'ｉ０｝  ・・・［式３８］
【０１５４】
ここで、式３８の右辺第１項のΣは、ｊ＝ｉからＮまでの総和をとり、右辺第２項のΣは、ｊ＝１からｉ−１までの総和をとる。Ｎは、近似に用いるＴs'ｉの個数である。Ｎ点のＴs'初期値を与えて、式３８の連立一次方程式を解くと、Ｔs'ｉ０初期値をＴs'初期値の関数で表すことができる。
【０１５５】
さらに、実際にステファン問題を解く場合には、あるステップでの近似温度分布から次の時間ステップでの温度分布を計算することになるが、このステップ間で凝固界面高さｈｍが変化するので、特定のαに対するｙ値が変化する。
【０１５６】
そこで、αの値を一定に保つ様に、ステップごとに、温度近似点を変更し、前ステップでのＴｓ'を新たな近似点での値に補間する。また、ステップ内でのｈｍ変化のパターンも予め定める必要がある。この方法では、凝固界面高さｈｍの変化を次の式３９の様において、Ｔs'ｉの計算を行う。
【０１５７】
【数１】
0004804841.tif 000002
【０１５８】
また、式３５中等のｎの最大値は、通常５０程度で充分である。なぜならば、これより大きなｎが必要なケースは、凝固速度が極めて遅い場合に限られるからである。温度偏差の計算が重要なのは、凝固速度が速く、凝固相内温度分布が定常解から大きく外れる場合であり、凝固速度の遅い場合はそもそも、定常解に近い温度分布になっており、偏差成分の計算が必要ないからである。
【０１５９】
以上の偏差温度計算から求めた偏差熱流束ｑs'aと、式２９にｋを乗じて得られる平均熱流束を合計して、凝固界面での熱流束ｑsを求める。尚、以上の計算過程は、全て解析解の組合せで構成されており、数値解析手法を採用した際に発生しがちな、計算安定性や計算負荷の問題を回避することができる。
【実施例】
【０１６０】
（実施例１）
図２に示す鋳造機で帯状物質３の製造を行った。
融液貯留器１０は、上部開放とし、融液自重によるヘッドで融液噴射圧を与える形式とした。融液２の高さは、融液貯留器１０の上端に設置したレーザ式湯面計を用いて測定した。また、一般的なシース熱電対を融液中に設置して流入温度Ｔｉｎを測定した。また、ロータリエンコーダ式の回転速度計により、速度ｕＲを測定した。また、放射温度計を用いて、巻き取り温度Ｔｃを測定した。また、透過光式間隙計により、間隙Ｇを測定した。
【０１６１】
これらの測定結果は、演算装置１２にリアルタイムで入力され、演算結果から求めた瞬時の間隙Ｇの設定値を、リニアガイド式のノズル移動装置に対して出力し、間隙Ｇの値が所定値となる様、時事刻々、位置修正した。また、帯状物質３として、Ｔｉ−４８ａｔ％Ｎｉ合金をを用いた。融液貯留器１０外部に設置したヒータにより１３５０℃に維持された融液２を、内部水冷によって平均温度を常温に維持した純銅製回転冷却ロールの上に１２分間噴射して、目標板厚５０μｍ、目標板幅３００ｍｍ、質量２００ｋｇの帯状物質３を連続鋳造した。
【０１６２】
鋳造中は、連続測定した流入温度Ｔｉｎ、間隙Ｇ、速度ｕＲ、巻き取り温度Ｔｃ、及び融液貯留器１０内での湯面高さ測定値から算出した流入圧力Ｐｉｎを用いて、予め求めておいた、鋳造機流量特性関数及びパドル流量特性関数を用いて、瞬時の板厚を算出し、これに、熱膨張量差を補正して（巻き取り機１１の張力による板厚偏差は微小であったので、特には補正を実施しなかった）、製品板厚計算値を求めた。流入圧力Ｐｉｎは、圧力計を設置して測定しても構わない。
【０１６３】
この製品板厚計算値が目標製品板厚と一致する様に、一般的なフィードフォーワード制御を用いて、時事刻々、間隙Ｇの値を設定した。鋳造機流量特性関数を求める方法には、実機鋳造機で冷却ロール５を用いずに融液の放流を行う実験を複数の融液背圧条件で行い、流量と圧力の関係式を求めた。パドル流量特性関数を求める方法には、圧力損失特性が既知の単純な構造の鋳造機を用いて冷却ロール５上でメルトスピニングによる帯状物質製造実験を複数の板厚影響因子群の組合せで行い、各実験で得られた帯状物質の実測製品板厚を、熱膨張量と巻取り機張力による変化量を補正したパドル出口での板厚に換算し、これら板厚データ群から流量を圧力で表す回帰式を求め、これをパドル流量特性関数とした。得られた製品板厚の目標板厚からの偏差は、平均値で目標製品板厚の１％、標準偏差で０.６％であった。
【０１６４】
（実施例２）
パドル流量特性関数を求める方法として、数値計算を用いた。数値計算手法としては、パドル１を粘性流体として構成式を与え、凝固相を粘性の高い液相とみなして、連続体の輸送方程式（例えば、前記の非特許文献５）を、有限要素法を用いて解いて流れ場、温度場、並びに、凝固界面位置を求めた。構成式の物性値には、実測値を用いた。境界条件をノズル４の出口、パドル１の下流端の凝固相断面、上流側自由表面、下流側自由表面、並びに、冷却ロール５表面で、速度又は応力条件として与えた。自由表面の計算には、前記ＡＬＥ法を用いた。液相と凝固相を含めた単一の領域に計算領域を設定し、輸送方程式を液相と凝固相で同時に解いた。
【０１６５】
凝固界面位置の算出法については、温度場計算で、凝固温度に一致する有限要素を探索し、この一連の有限要素を凝固界面とみなした。これ以外の条件を全て実施例１と同様にして鋳造実験を行なった結果、得られた製品板厚の目標板厚からの偏差は、平均値で目標製品板厚の０.９％、標準偏差で０.５％であった。
【０１６６】
（実施例３）
パドル流量特性関数を求める方法として、数値計算を用いた。
数値計算手法としては、パドル１を図９に示す液相計算領域、及び図１０に示す凝固相計算領域に分割し、それぞれ独立に数値計算を行った。液相計算領域では粘性流体、凝固相計算領域では粘塑性体として構成式を与えた連続体の輸送方程式（例えば、前記の非特許文献５）を、有限要素法を用いて解いて流れ場、温度場、並びに、凝固界面位置を求めた。液相計算領域での境界条件を、ノズル４の出口、凝固界面、上流側自由表面、下流側自由表面、並びに、冷却ロール５の表面とし、速度又は応力条件として与えた。また、液相計算領域での境界条件を、凝固界面、パドル下流端の凝固相断面、下流側自由表面、並びに、冷却ロール表面とし、速度又は応力条件として与えた。
【０１６７】
自由表面の計算には、前記ＡＬＥ法を用いた。そして、数値計算を以下の手順で行った。第１段階として、式１３、式１２の境界条件のもとに、凝固相計算領域での状態場を計算した。第２段階として、式１６、式１５の境界条件のもとに、液相計算領域での状態場を計算し、凝固界面での温度が凝固温度となる様に前記の手法を用いて凝固界面位置を修正した。第３段階として、再び、凝固相の計算と液相の計算を交互に行い、状態場の収束解を得た。これ以外の条件を全て実施例１と同様にして鋳造実験を行なった結果、得られた製品板厚の目標板厚からの偏差は、平均値で目標製品板厚の０.８％、標準偏差で０.４５％であった。
【０１６８】
（比較例１）
実施例１の鋳造機で冷却ロール５と巻き取り機１１の中間にγ線型板厚計を設置し、その測定板厚をもとに、間隙Ｇの値をＰＩＤフィードバック制御により修正し、これ以外の製造条件を全て実施例１と同様にして、帯状物質３を鋳造した。複数回の鋳造を行い、ＰＩＤ制御の各ゲインを最適に調整した結果、最良の鋳造での製品板厚の目標板厚からの偏差は、平均値で目標製品板厚の１.２％、標準偏差で２％であった。
【０１６９】
従って、本発明は、従来技術よりも高精度に板厚を制御することができること実証することができた。
【図面の簡単な説明】
【０１７０】
【図１】メルトスピニング型連続鋳造を説明するための模式図である。
【図２】鋳造機の概略構成図である。
【図３】パドル流量の特性図である。
【図４】凝固界面で圧力と速度が不連続になる例を示した模式図である。
【図５】計算領域を液相計算領域と凝固相計算領域に分離した概念を示す模式図である。
【図６】図５に示した凝固相計算領域における凝固相モデルの模式図である。
【図７】図５に示した液相計算領域における液相モデルの模式図である。
【図８】メルトスピニング法を用いた液相モデルの模式図である。
【図９】メルトスピニング法を用いた液相モデルの模式図である。
【図１０】メルトスピニング法を用いた凝固相モデルの模式図である。
【図１１】偏差温度の分布関数を示した図である。
【符号の説明】
【０１７１】
１  パドル
２  融液（又は、液相）
３  帯状物質（又は、凝固相）
４  ノズル
５  冷却ロール
６  流入境界
７  凝固界面
８  上流側自由表面
９  下流側自由表面
１０  融液貯留器
１１  巻き取り機
１２  演算装置
１３  冷却ロールモータ
１４  巻き取り機モータ
１５  加圧装置
１６  昇降装置
１７  冷却ロール冷却装置
１８  間隙計
１９  冷却ロール周速計
２０  流入温度計
２１  流入圧力計
２２  巻き取り温度計
２３  板厚計
２４  自由スリップ境界
２５  流出境界
２６  凝固相側凝固界面（又は、流入境界）
２７  液相側凝固界面（又は、流出境界）
２８  凝固相計算領域
２９  液相計算領域
３０  固定境界（又は、流出境界）
３１  パドル流出領域
３２  凝固相ロール境界
３３  凝固相自由境界
３４  加熱器
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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