(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
設定針路に検出方位を追従させるべく制御対象を制御する船舶用自動操舵装置であって、船体を含む制御対象からの検出方位から外乱を除去した推定値を出力する推定器と、推定器からの推定値と参照針路ψRから得られる値に対してフィードバックゲインを乗じて命令舵角を出力するフィードバック制御部とを有し、制御対象と共に閉ループを構成する船舶用自動操舵装置において、
フィードバック制御部のフィードバックゲインは、微分ゲインＫDと比例ゲインＫPとを有し、推定器の推定値を推定方位
0004820621.tif 000122
と推定角速度
0004820621.tif 000123
としたときに、命令舵角δcは
【数１】
0004820621.tif 000124
であり、
閉ループの特性多項式として、
【数２】
0004820621.tif 000125
と置いたときに、
λeは、船体モデルの状態量を推定するための推定器の特性多項式であり、ζe、ωeがそれぞれ船体モデルの状態量を推定するための減衰係数、固有周波数であり、
λnは、推定器がない閉ループとしたときの操舵系の特性多項式であり、ζn、ωnがそれぞれその減衰係数、固有周波数であり、
ωeが操舵系周波数ωnのρ（＞１）倍に設定され、この推定係数ρは、ωnが一定としたときに、前記微分ゲインＫDまたは比例ゲインＫPが大きくなるに連れて大きくなるように、設定され、
前記船体モデルの伝達関数は、
【数３】
0004820621.tif 000126
で表されるとしたときに、前記推定係数ρは、微分ゲインＫDまたは比例ゲインＫPが一定としたときに、舵感度時定数Ｔs3nが大きくなるに連れて小さくなるように設定され、
前記比例ゲインＫP、微分ゲインＫD、減衰係数ζn及び固有周波数ωnとの間では、
【数４】
0004820621.tif 000127
が成り立つことを特徴とする船舶用自動操舵装置。
【請求項２】
設定針路に検出方位を追従させるべく制御対象を制御する船舶用自動操舵装置であって、船体を含む制御対象からの検出方位から外乱を除去した推定値を出力する推定器と、推定器からの推定値と参照針路ψRから得られる値に対してフィードバックゲインを乗じて命令舵角を出力するフィードバック制御部とを有し、制御対象と共に閉ループを構成する船舶用自動操舵装置において、
フィードバック制御部のフィードバックゲインは、微分ゲインＫDと比例ゲインＫPとを有し、推定器の推定値を推定方位
0004820621.tif 000128
と推定角速度
0004820621.tif 000129
としたときに、命令舵角δcは
【数５】
0004820621.tif 000130
であり、
閉ループの特性多項式として、
【数６】
0004820621.tif 000131
と置いたときに、
λeは、船体モデルの状態量を推定するための推定器の特性多項式であり、ζe、ωeがそれぞれ船体モデルの状態量を推定するための減衰係数、固有周波数であり、
λnは、推定器がない閉ループとしたときの操舵系の特性多項式であり、ζn、ωnがそれぞれその減衰係数、固有周波数であり、
前記船体モデルの伝達関数は、
【数７】
0004820621.tif 000132
で表されるとしたときに、
ωeが操舵系周波数ωnのρ（＞１）倍に設定され、該推定係数ρ（＝ωe／ωn）は、
【数８】
0004820621.tif 000133
ここで、
【数９】
0004820621.tif 000134
としたときに、Ｒfbestを設定値、Δa2を第２設定値とするような値に設定されることを特徴とする船舶用自動操舵装置。
【請求項３】
前記ρはＲfbest＝設定値、Δa2＝第２設定値を満足する高次方程式の解のうちの実数の最大値に設定されることを特徴とする請求項２記載の船舶用自動操舵装置。
【請求項４】
設定針路に検出方位を追従させるべく制御対象を制御する船舶用自動操舵装置であって、船体を含む制御対象からの検出方位から外乱を除去した推定値を出力する推定器と、推定器からの推定値と参照針路から得られる値に対してフィードバックゲインを乗じて命令舵角を出力するフィードバック制御部とを有し、制御対象と共に閉ループを構成する船舶用自動操舵装置の設計方法であって、
まず、推定器なしで閉ループを構成したときの系の減衰係数と固有周波数とをζnとωnとし、フィードバック制御部のフィードバックゲインの比例ゲインと微分ゲインとをＫPとＫDとしたときに、船体パラメータの不確かさΔに起因して減衰係数ζnがζn*と変化するとしたときに、
【数１０】
0004820621.tif 000135
を定め、
推定器ありで閉ループを構成したときの推定器の船体モデルの状態量を推定するための減衰係数と固有周波数とをζeとωeとしたときに、
特性方程式
【数１１】
0004820621.tif 000136
の代表根を求め、船体パラメータの不確かさΔに起因して変化した代表根から減衰係数の変化ζestを求め、
ζfbとζestの比率Ｒfbest＝一定値を満足するρ＝ωe／ωnを求めることにより、推定係数ρを決定する設計方法。
【請求項５】
前記船体パラメータの不確かさΔは、船体モデルの伝達関数を
【数１２】
0004820621.tif 000137
としたときに、−１／Ｔsnの実際値とノミナル値との差異であることを特徴とする請求項４記載の設計方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、推定器を有する船舶用自動操舵装置に関し、特にパラメータの不確かさの存在下で閉ループの安定性を図ることができる船舶用自動操舵装置及びその設計方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
船舶用自動操舵装置は、一定の設定針路に、ジャイロコンパスから検出される船首方位を追従させるために舵を制御する装置であり、その保針制御系は、検出方位から外乱を除去した推定値を出力する推定器と、推定値を用いて操舵系を安定化するように命令舵角を出力するフィードバック制御部とを有し、制御対象と共に閉ループ系を構成する。
【０００３】
荒天時、方位に含まれる外乱成分が制御系を経て舵角に入力するために、操舵系を構成する操舵機は無効な操舵を行い機器の疲労や磨耗、燃料の損失を招くことになる。かかる無駄舵を防止するために各種のフィルタや天候調節機能が提案されている（非特許文献１、非特許文献２）。その中で外乱モデルとして波浪モデルを組み込んだ推定器の外乱除去効果の有効性が報告されている（非特許文献３、非特許文献４）。
【０００４】
また、特許文献１では、定常カルマンフィルタを用いて、旋回角速度及び方位誤差の最適値を推定して天候調整を行うようにしたカルマンフィルタを含む自動操舵装置を開示している。
【０００５】
しかしながら、制御対象の船体モデルは、載荷の変化によるノミナル値のパラメータ不確かさを持ち、そのためノミナル値のモデルベースで構成する推定器は載荷の変化によって推定値に誤差を生じる。このため、推定値の状態フィードバックによる閉ループ安定性は、推定誤差によって劣化し、船体を蛇行航行させる（ヨーイング）おそれがある。
【０００６】
しかしながら、従来の推定器の設計にあたっては、かかるパラメータ不確かさに対する検討については、何らなされていなかった。
【０００７】
本発明者らは、かかる問題を解決するために、非特許文献５（または特願２００４−２２６６７０）において、船体パラメータのノミナル値のパラメータ不確かさを積極的に考慮に入れて、該パラメータ不確かさを起因とする推定誤差を小さくすることができるようにした船舶用自動操舵装置及びその推定器の設計方法を提案している。
【０００８】
ここでは、推定器の特性多項式として、
【数１】
0004820621.tif 000002
【０００９】
と置き、λｅ２は、波浪モデルが仮に無いとしたときの船体モデルの状態量を推定するための特性多項式であり、ζｅ、ωｅがそれぞれ船体モデルの状態量を推定するための減衰係数、固有周波数としたときに、ωｅを操舵系周波数ωｎのρ（＞１）倍に設定し、ζｅを１／√２に設定するようにして推定器を設計することにより、閉ループ安定性を低下させる要因となる推定角速度のパラメータ不確かさによる推定誤差を低減させることができる、ことを見出した。
【００１０】
さらに、非特許文献５では、船体モデルと２つの外乱モデル（波浪モデル、舵角オフセットモデル）とからなる制御対象に対して、推定誤差が船体モデルのみのときの推定誤差と等価になるように推定器の固有周波数を外乱モデル特性から修正することを、提案している。これによれば、推定器の制御対象は船体モデルのみとなり、外乱モデルを無視することができるようになる。
【００１１】
【非特許文献１】大津、長谷川、IX. オートパイロットの評価と展望、第3回操縦性シンホジウムテキスト、日本造船学会試験水槽委員会、p.243/279（1981）
【非特許文献２】Fossen, T. I., "Guidance and Control of Ocean Vehicles", John Wiley & Sons Ltd., p.222/245(1994)
【非特許文献３】Fossen, T. I., "High Performance Ship Autopilot With Wave Filter", Proceedings of the 10th International Ship Control Systems Symposium (SCSS’93), p.2.271/2.285 (1993)
【非特許文献４】Grimble, M. J., Patton, R. J., and Wise, D. A., "The Design of Dynamic Positioning Control System Using Stochastic Optimal Control Thory", Optimal Control Applications and Methods, Vol.1, p.167/202 (1980)
【非特許文献５】Hane Fuyuki, Sakai Satoshi, Watanabe Minoru: Design of Estimator with Disturbance Model under Parameter Uncertainty and Its Application to Autopilot, SICE Annual Conference 2004, 1853/2858, (2004)
【特許文献１】特公平４−５５９８号公報
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１２】
しかしながら、この非特許文献５では、上記推定器の固有周波数ωｅを操舵系周波数ωｎよりも高く設定する、即ち、推定係数ρ＝ωｅ／ωｎ＞１と設定することは提示されたものの、ρを具体的にいかなる値にするかは決定できていない、という問題があった。これは、推定器単体の設計からのみでは限界があることを意味するものと考えられる。
【００１３】
本発明はかかる課題に鑑みなされたもので、閉ループ系の設計全体を通して船体パラメータの不確かさに対して閉ループを安定化させるように決定された固有周波数を持つ推定器を有する船舶用自動操舵装置及びその設計方法を提供することをその目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００１４】
かかる目的を達成するために、本発明の請求項１に記載の発明は、設定針路に検出方位を追従させるべく制御対象を制御する船舶用自動操舵装置であって、船体を含む制御対象からの検出方位から外乱を除去した推定値を出力する推定器と、推定器からの推定値と参照針路ψＲから得られる値に対してフィードバックゲインを乗じて命令舵角を出力するフィードバック制御部とを有し、制御対象と共に閉ループを構成する船舶用自動操舵装置において、
フィードバック制御部のフィードバックゲインは、微分ゲインＫＤと比例ゲインＫＰとを有し、推定器の推定値を推定方位
0004820621.tif 000003
と推定角速度
0004820621.tif 000004
としたときに、命令舵角δcは
【００１５】
【数２】
0004820621.tif 000005
であり、
閉ループの特性多項式として、
【００１６】
【数３】
0004820621.tif 000006
【００１７】
と置いたときに、
λｅは、船体モデルの状態量を推定するための推定器の特性多項式であり、ζｅ、ωｅがそれぞれ船体モデルの状態量を推定するための減衰係数、固有周波数であり、
λｎは、推定器がない閉ループとしたときの操舵系の特性多項式であり、ζｎ、ωｎがそれぞれその減衰係数、固有周波数であり、
ωｅが操舵系周波数ωｎのρ（＞１）倍に設定され、この推定係数ρは、ωｎが一定としたときに、前記微分ゲインＫＤまたは比例ゲインＫＰが大きくなるに連れて大きくなるように、設定され、
【００１８】
前記船体モデルの伝達関数が、
【数４】
0004820621.tif 000007
で表されるとしたときに、前記推定係数ρは、微分ゲインＫＤまたは比例ゲインＫＰが一定としたときに、舵感度時定数Ｔs3nが大きくなるに連れて小さくなるように設定され、
【００１９】
前記比例ゲインＫＰ、微分ゲインＫＤ、減衰係数ζｎ及び固有周波数ωｎとの間では、
【００２０】
【数５】
0004820621.tif 000008
が成り立つことを特徴とする。
【００２１】
請求項２記載の発明は、設定針路に検出方位を追従させるべく制御対象を制御する船舶用自動操舵装置であって、船体を含む制御対象からの検出方位から外乱を除去した推定値を出力する推定器と、推定器からの推定値と参照針路ψRから得られる値に対してフィードバックゲインを乗じて命令舵角を出力するフィードバック制御部とを有し、制御対象と共に閉ループを構成する船舶用自動操舵装置において、
フィードバック制御部のフィードバックゲインは、微分ゲインＫDと比例ゲインＫPとを有し、推定器の推定値を推定方位
0004820621.tif 000009
と推定角速度
0004820621.tif 000010
としたときに、命令舵角δcは
【００２２】
【数６】
0004820621.tif 000011
であり、
閉ループの特性多項式として、
【００２３】
【数７】
0004820621.tif 000012
と置いたときに、
λｅは、船体モデルの状態量を推定するための推定器の特性多項式であり、ζｅ、ωｅ
がそれぞれ船体モデルの状態量を推定するための減衰係数、固有周波数であり、
λｎは、推定器がない閉ループとしたときの操舵系の特性多項式であり、ζｎ、ωｎがそれぞれその減衰係数、固有周波数であり、
前記船体モデルの伝達関数は、
【００２４】
【数８】
0004820621.tif 000013
で表されるとしたときに、
ωｅが操舵系周波数ωｎのρ（＞１）倍に設定され、該推定係数ρ（＝ωｅ／ωｎ）は、
【００２５】
【数９】
0004820621.tif 000014
【００２６】
ここで、
【数１０】
0004820621.tif 000015
としたときに、Ｒfbestを設定値、Δａ２を第２設定値とするような値に設定されることを特徴とする。
【００２７】
請求項３記載の発明は、請求項２記載のものにおいて、前記ρがＲfbest＝設定値、Δａ２＝第２設定値を満足する高次方程式の解のうちの実数の最大値に設定されることを特徴とする。
【００２８】
請求項４記載の発明は、設定針路に検出方位を追従させるべく制御対象を制御する船舶用自動操舵装置であって、船体を含む制御対象からの検出方位から外乱を除去した推定値を出力する推定器と、推定器からの推定値と参照針路から得られる値に対してフィードバックゲインを乗じて命令舵角を出力するフィードバック制御部とを有し、制御対象と共に閉ループを構成する船舶用自動操舵装置の設計方法であって、
まず、推定器なしで閉ループを構成したときの系の減衰係数と固有周波数とをζnとωnとし、フィードバック制御部のフィードバックゲインの比例ゲインと微分ゲインとをＫＰとＫＤとしたときに、船体パラメータの不確かさΔに起因して減衰係数ζnがζn*と変化するとしたときに、
【００２９】
【数１１】
0004820621.tif 000016
【００３０】
を定め、
推定器ありで閉ループを構成したときの推定器の船体モデルの状態量を推定するための減衰係数と固有周波数とをζeとωeとしたときに、
特性方程式
【００３１】
【数１２】
0004820621.tif 000017
の代表根を求め、船体パラメータの不確かさΔに起因して変化した代表根から減衰係数の変化ζestを求め、
ζfbとζestの比率Ｒfbest＝一定値を満足するρ＝ωe／ωnを求めることにより、推定係数ρを決定することを特徴とする。
【００３２】
請求項５記載の発明は、請求項４記載のものにおいて、前記船体パラメータの不確かさΔが、船体モデルの伝達関数を
【００３３】
【数１３】
0004820621.tif 000018
としたときに、−１／Ｔsnの実際値とノミナル値との差異であることを特徴とする。
【発明の効果】
【００３４】
本発明によれば、微分ゲイン及び比例ゲインの変化に応じて、従来一律に決めていた推定係数ρを変化させることによって、推定器と操舵系との固有周波数を関係づける推定係数を適切に設定することができるようになり、船体モデルの船体パラメータの不確かさによる閉ループの安定性を図ることができるようになる。
【００３５】
また、野本モデルに基づいた舵感度時定数を有する船体モデルに対して、舵感度時定数の変化に応じて、従来一律に決めていた推定係数ρを変化させることによって、船体モデルの船体パラメータの不確かさによる閉ループの安定性を図ることができるようになる。
【００３６】
推定器がないと仮定したときの閉ループの特性多項式（λｎ＝ｓ2＋２ζnωnｓ＋ω2n）から、比例ゲインＫＰ、微分ゲインＫＤ、減衰係数ζｎ及び固有周波数ωｎの関係を定めることができ、これらから設計パラメータを例えば比例ゲインＫＰ、減衰係数ζｎとしたときに、微分ゲインＫＤと固有周波数ωｎとを設計パラメータＫＰ、ζｎと同定器によって同定される船体パラメータＫsn,Ｔsn,Ｔs3nとから一義的に決定することができる。
【００３７】
請求項２記載の発明によれば、Ｒfbestをある値に決定すれば、推定係数ρを代数解として求めることができるようになる。
【００３８】
請求項３記載の発明によれば、推定係数ρを請求項２の代数解のうちの実数の最大値に設定することで、ρを一義的に決定することができる。
【００３９】
請求項４記載の発明によれば、推定器なしで閉ループを構成したときの船体パラメータの不確かさに起因する減衰係数の変化ζfbと、推定器ありで閉ループを構成したときの船体パラメータの不確かさに起因する減衰係数の変化ζestとの比率Ｒfbest＝一定値を満足するρを設計することにより、閉ループ安定性の仕様から与えられるζfbとＲfbestに対して、仕様を満足する推定器の固有周波数ωeを決定することが可能になる。
【００４０】
請求項５記載の発明によれば、船体パラメータのうちで、推定器がなしとした閉ループ系において、弱減衰状態をまねくおそれがある−１／Ｔsnを選択して、その船体パラメータによる影響を考慮したρの設計をすることにより、閉ループの安定性を図ることができるようになる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００４１】
以下、図面を用いて本発明の実施の形態を説明する。
本発明で対象とする船舶用自動操舵装置１０の制御系は、図１に示したように、設定針路から得られる参照針路ψＲと検出船首方位とに基づいて命令舵角δcを出力する自動操舵装置の制御系において、閉ループを安定化するフィードバック制御部１５と、船首方位に含まれる波浪成分といった外乱成分を除去する推定器２０とから構成され、推定器２０は、検出方位ψと命令舵角δcとを入力とし、船首方位の推定値である推定方位
0004820621.tif 000019
と旋回角速度の推定値である推定角速度
0004820621.tif 000020
とを出力する。
【００４２】
１  制御対象とパラメータ不確かさ
１．１  制御対象
図１に示すように、制御対象は船体モデルと、波浪モデル及び舵角オフセットモデルの外乱モデルから構成される。船体モデルは、図１Ａに示す舵感度時定数を加えた野本の１次式とコンパスとからなる。簡単化のため操舵機は船体モデルから除外する。波浪モデルは狭帯域フィルタで白色ノイズから波浪外乱を発生する。舵角オフセットは方位軸まわりに作用する船体モーメントを舵角換算にしたものである。このとき制御対象の入出力は
【００４３】
【数１４】
0004820621.tif 000021
【００４４】
として表せる．ここでｓはラプラス演算子を、
0004820621.tif 000022
はそれぞれ検出（または観測）方位，方位，波浪成分（簡単に波浪と呼ぶ）を、δc,δoはそれぞれ命令舵角，舵角オフセットを、νは白色ノイズＮ（０，１）を、それぞれ示す。方位，舵角及びノイズの単位は[deg]になる。
【００４５】
Ｇs,Ｇwはそれぞれ船体モデルと波浪モデルとの伝達関数で
【数１５】
0004820621.tif 000023
【００４６】
を示す。ここでＫsn,Ｔsn,Ｔs3nは図示しない公知の同定器から得られる船体パラメータのノミナル値でそれぞれ旋回力ゲイン[1/s]，船体時定数[s]と舵感度時定数[s]とを示す。Ｇsは舵感度時定数により直達成分をもつ。なお添字(・)s,(・)w,(・)nはそれぞれ船体，波浪及びノミナル値を意味する。ψ(s),δ(s)はｓを略してψ, δのように書く場合もある。
【００４７】
このように制御対象は船体モデル以外の外乱モデルを含むものであるが、非特許文献５で示された方法によって、外乱モデルを仮になしとしたときの推定器の設計から、外乱モデルが有るとしたときの推定器の設計を行なうことができるので、本発明で述べる閉ループ系の設計では船体モデルのみを制御対象とすることにする。よって、以降は、
【００４８】
【数１６】
0004820621.tif 000024
とする。
【００４９】
１．２  パラメータ不確かさ
パラメータ不確かさは制御対象の実際値とノミナル値との差異によって定める。船体モデルの場合は
【００５０】
【数１７】
0004820621.tif 000025
になる．ここでΔa1, Δa2, Δb1, Δb2 はそれぞれパラメータ不確かさを示し，アクセント
0004820621.tif 000026
は実際値を意味し
【００５１】
【数１８】
0004820621.tif 000027
とおく。ここで添字(・)aは実際値を意味する。さらに係数の積は上式より
【００５２】
【数１９】
0004820621.tif 000028
の関係をもつ。これにパラメータ不確かさを代入すると、誤差積の関係式は
【００５３】
【数２０】
0004820621.tif 000029
として求まる。
【００５４】
２  推定器がない閉ループ系
図２に示すように、推定器なしで、制御対象にフィードバックを用いて閉ループを構成した系を「操舵系」と呼ぶ。まず、推定器なしの操舵系において、操舵系の安定性に最も影響を与えるパラメータ不確かさを調べることにする。そのために、まず制御対象にパラメータ不確かさがない場合で、操舵系の特性多項式を求め、フィードバックゲインを定める。次にパラメータ不確かさがある場合で、特性多項式を求めパラメータ不確かさに起因した根軌跡を調べる。その結果、操舵系の安定性に最も影響を与えるパラメータ不確かさを決める。
【００５５】
２．１  パラメータ不確かさがない場合
制御対象を式（4）を用いて状態空間で表現すると
【００５６】
【数２１】
0004820621.tif 000030
になる。ここでｘは状態量で
【００５７】
【数２２】
0004820621.tif 000031
を、ψは方位を、ｒx, ｒ はそれぞれ角速度を、δcは命令舵角を
【００５８】
【数２３】
0004820621.tif 000032
をそれぞれ示し、添字(・)T は転置行列を意味する。時定数Ｔs3nが存在するために、角速度ｒは直接状態量にできなく、間接的にｒxとδcとから求める。
制御量出力である命令舵角δcは参照方位ψR，方位ψと角速度ｒ，ｒxとを用いて
【００５９】
【数２４】
0004820621.tif 000033
になる。式(14)にてｒが消去されている。ここでＫP，ＫDはフィードバックゲインでそれぞれ比例ゲインと微分ゲインとを示し、Ｆ はフィードバックゲインの行ベクトルで
【００６０】
【数２５】
0004820621.tif 000034
を示す。ここで
【００６１】
【数２６】
0004820621.tif 000035
を示す。
【００６２】
２．１．１  特性方程式
閉ループ特性を調べるために，式（14）の命令舵角δcを式（11）の制御対象に代入すると
【００６３】
【数２７】
0004820621.tif 000036
になる。上式の特性多項式を２次標準系に対応させると
【００６４】
【数２８】
0004820621.tif 000037
になる。ここでλn はノミナル値による操舵系の特性多項式を、detは行列式を、ｓはラプラス演算子を意味し、Ｉは２×２の単位行列を示し、パラメータの関係式ａ12ｂ2 −ａ22ｂ1＝０（式（9）より）を用いる。ζn，ωnは２次標準系の操舵系のそれぞれ減衰係数，固有周波数[rad/s]を示す。
また参照針路ψRの入力に対する方位ψと角速度ｒxとの出力は
【００６５】
【数２９】
0004820621.tif 000038
になる。
【００６６】
２．１．２  フィードバックゲイン
フィードバックゲインＫP，ＫDを特性多項式λnから定める。式（18）に所定の船体パラメータを代入すると
【００６７】
【数３０】
0004820621.tif 000039
になる。設計パラメータを比例ゲインＫPと減衰係数ζnとに選ぶと、上式と式（18）の２次標準系とから微分ゲインＫDと固有周波数ωnとはそれぞれ
【００６８】
【数３１】
0004820621.tif 000040
として得られる。また時定数Ｔs3nが省略できる場合は
【００６９】
【数３２】
0004820621.tif 000041
になる。ここで
0004820621.tif 000042
はＴs3n＝０のときの値を意味する。
【００７０】
２．１．３  時定数Ｔs3nの影響 
時定数Ｔs3nがフィードバックゲインに及ぼす影響を調べる。式（21）のＫDに
0004820621.tif 000043
を用いて書き直すと
【００７１】
【数３３】
0004820621.tif 000044
になる。ここでｘ1,ｘ2が微小として
【００７２】
【数３４】
0004820621.tif 000045
を用いる。Ｔs3nの係数内においてはζn ＞１/√２のとき２項の極性が異なり相殺され、Ｔs3nの係数は微小になる。微分ゲインＫDは
0004820621.tif 000046
とあまり違わない値になる．したがって，Ｔs3nの微分ゲインの影響はζn>１/√２のとき小さいものになると予想できる。
【００７３】
式（22）のωn にωnと
0004820621.tif 000047
とを用いて書き直すと
【００７４】
【数３５】
0004820621.tif 000048
になる。ここで
【００７５】
【数３６】
0004820621.tif 000049
を用いる。固有周波数ωnはＴs3nがゼロのとき最大になり、Ｔs3nが大きくなるに従い低くなる（周期が長くなる）傾向をもつ。
【００７６】
２．２  パラメータ不確かさがある場合
式（11）の制御対象にパラメータ不確かさを加えると
【００７７】
【数３７】
0004820621.tif 000050
になる。ここで
【００７８】
【数３８】
0004820621.tif 000051
を示す。
【００７９】
２．２．１  特性方程式
閉ループ特性を調べるために，式（14）の命令舵角δcを式（26）の制御対象に代入すると（参照針路ψR を除く）
【００８０】
【数３９】
0004820621.tif 000052
になる。上式の特性多項式は式（18）のλnを用いて
【００８１】
【数４０】
0004820621.tif 000053
になる。ここでλ2 はパラメータ不確かさを含んだ操舵系の特性多項式を示す。
【００８２】
２−２−２  パラメータ不確かさの影響
操舵系の閉ループにパラメータ不確かさが及ぼす影響を調べる。式（30）において、パラメータ不確かさΔa2，Δb1の大小関係は
【００８３】
【数４１】
0004820621.tif 000054
のように仮定することができるので、Δb1項を無視する。よって、以下パラメータ不確かさΔa2とΔb2とについて調べる。尚、式(30)より、λnとΔa2，Δb2とは相対関係をもち、Δa2，Δb2が一定であればλnの固有周波数ωnが高いほど、Δa2，Δb2の影響は小さくなることが分かる。
【００８４】
２．２．２．１  パラメータ不確かさΔa2について
式(30)におけるΔa2に関連の項を抽出すると、
【００８５】
【数４２】
0004820621.tif 000055
より、Δa2に起因して減衰係数ζnが
0004820621.tif 000056
に変化する。Δa2による減衰係数は
【００８６】
【数４３】
0004820621.tif 000057
で定める。根軌跡のために開ループ伝達関数を
【００８７】
【数４４】
0004820621.tif 000058
に定める。ここで根は
【００８８】
【数４５】
0004820621.tif 000059
【００８９】
，ゼロ点は原点になる。ＧΔa2の根軌跡を図３に示す。同図において、根は×でゼロ点は○で示す。根軌跡はΔa2=０の根ｒ1,ｒ2の位置から半径ωnの円上に沿って移動し、上式の分子分母の次数差が１よりそれぞれΔa2→±∞で実軸上の±方向に漸近する。
【００９０】
同図より、Δa2＞０（実線）の場合、共役根は半径ωnの円周上に沿ってΔa2=２ζnωnのとき虚軸上に交差し，さらにΔa2=４ζnωnのとき実軸上で２根は重根になる。その後根は実軸上で−方向で原点に向かう根と、＋方向に向かう根とに分かれる。Δa2＜０（破線）の場合、共役根は半径ωnの円周上に沿ってΔa2＝２（ζn−１）ωnのとき実軸上で２根は重根になる。その後根は実軸上で＋方向で原点に向かう根と−方向に向かう根とに分かれる。
【００９１】
根が同図において−側または左半平面にあれば閉ループは安定である。Δa2＞０の根は減衰係数が小さくなり、閉ループを不安定にする方向に作用する。Δa2＜０の根は減衰係数が大きくなるので、閉ループは不安定にならない。
ところで、Δa2＜０の根が２実根の場合を調べる。その一例を以下に示す。
【００９２】
【数４６】
0004820621.tif 000060
【００９３】
減衰係数が１（重根）から１．６６６になると、２実根は減衰時間が速い根（時定数１／(３ωn)）と減衰時間が遅い根（時定数３/ωn）とになる。このとき閉ループ特性は減衰時間が遅い根に支配されるために、Δa2＜０による過減衰状態も問題になる。
【００９４】
パラメータ不確かさΔa2に起因した影響を低減するために、固有周波数ωnを高くする方法と、減衰係数ζnを大きくする方法とがある。前者は設計パラメータである比例ゲインＫPを大きくするもので、その際、減衰係数ζnは変わらず微分ゲインＫDも大きくなる(式(21)、(22)参照)。一方後者は固有周波数ωnは変わらす微分ゲインＫDのみが大きくなるために、Δa2＜０ による過減衰状態を招きやすくなる。パラメータ不確かさΔa2に起因した減衰係数への影響は過減衰状態よりも弱減衰状態の方を重要であるとして、設計パラメータは
【００９５】
【数４７】
0004820621.tif 000061
を採用する。さらにパラメータ不確かさによる影響を低減する場合は、閉ループ系のバランスは保持される比例ゲインＫPを大きくする方法を利用する。
【００９６】
２．２．２．２  パラメータ不確かさΔb2について
式(30)におけるΔｂ2に関連の項を抽出すると、
【００９７】
【数４８】
0004820621.tif 000062
より、Δb2に起因して減衰係数ζnと固有周波数ωnとがそれぞれ
0004820621.tif 000063
と
0004820621.tif 000064
とに変化する。開ループ伝達関数は
【００９８】
【数４９】
0004820621.tif 000065
に定める。ここでゼロ点はｓ＝−ｚ＝−ｆ1／ｆ2になる。Δa2についての内容と重複する記述は省く。
【００９９】
ＧΔb2の根軌跡はGΔa2と同様の形状になるが、円の半径が未定のため、求める。式（35）を展開して
【０１００】
【数５０】
0004820621.tif 000066
とおく。根軌跡はｓ＝ｘ＋ｊｙで表現することができるので、上式にｓ＝ｘ＋ｊｙを代入すると
【０１０１】
【数５１】
0004820621.tif 000067
になる。実部と虚部との両方はゼロになる必要があるので
【０１０２】
【数５２】
0004820621.tif 000068
を得る。上式の共通のΔb2ｆ2を削除するために、両方のΔb2ｆ2を解くと
【０１０３】
【数５３】
0004820621.tif 000069
になる。よって根は円の方程式 
【０１０４】
【数５４】
0004820621.tif 000070
になり、半径は
【０１０５】
【数５５】
0004820621.tif 000071
として求まる。これより実軸での根は円との交点ｒ+,-＝−ｚ−Ｒ, −ｚ＋Ｒで与えられ、Δb2は式（41）より交点ｒ+,- の座標を代入すれば得られる。ところで、交点ｒ+,-はbreak-in point であるから、円の方程式に依らずに求めることができる。式（35）より
【０１０６】
【数５６】
0004820621.tif 000072
を得る。ｄΔb2/ｄｓ＝ ０ とする解ｓまたはbreak-in point は
【０１０７】
【数５７】
0004820621.tif 000073
になり、これは上記の円と実軸との交点である根ｒ+,-と一致する。
【０１０８】
ＧΔb2の根軌跡を図４に示す。同図より、根はΔb2＞０のとき常に左半平面に位置するが、Δb2＜０のとき１根が原点に位置することが分かる。
【０１０９】
詳細に軌跡を見ると、根はΔb2＞０のとき半径Ｒの円上に沿って左半平面方向へ移動し実軸で交わり、実軸上で分かれて１根はゼロ点にもう１根は左半平面方向にそれぞれ向かう。Δb2＜０の場合を調べる。Δb2の定義よりその最小値はΔb2＝−ｂ2になる。そのとき式（35）でｓ(ｓ+２ζnωn−ωn2ｆ2/ｆ1)＝０ （∵Δb2ｆ2＝−ｂ2ｆ2＝ωn2)になるから根は原点と（−２ζnωn＋ωn2ｆ2/ｆ1）とになる。これよりΔb2＜０の根は原点より右半平面には移動しない。よって根はΔb2＞０のとき半径Ｒの円上に沿って右半平面方向へ移動し実軸で交わり、実軸上で分かれて１根はゼロ点にもう１根は原点にそれぞれ向かう。したがって根はΔb2＞０のとき、Δa2＞０ の場合と同様に交点を挟んでゼロ点と原点との間に位置する。
【０１１０】
２．２．２．３  パラメータ不確かさ特性
以上のパラメータ不確かさΔa2,Δb1,Δb2の検討の結果より、これらのパラメータ不確かさによる２次操舵系への影響をまとめると以下のようになる。
1. Δa2は、正のとき減衰特性を悪化させ、負のとき時定数の長い根を生じさせる。
2. Δb1は、他のものに比べて影響が小さいため，省略できる。
3. Δb2は、正のとき影響が小さく、負のとき時定数の長い根を生じさせる。
4. 低減衰特性の対策は，減衰係数を大きくする、比例ゲインを大きくするなどである。
5. 長い時定数または過減衰特性の対策は比例ゲインを大きくする。
【０１１１】
また比例ゲインを大きくすると、閉ループ系の減衰係数を変化させず固有周波数を大きくするためバランスが保たれる。半面、微分ゲインが大きくなり、高域のノイズの影響を受けやすくなる。減衰係数を大きくすると、閉ループのバランスが悪く過減衰状態を招く場合を生じる。
【０１１２】
しかしながら、操舵系に対するパラメータ不確かさは、過減衰状態よりも弱減衰状態の方を安定性の見地から重要視するため、Δa2の場合が最も影響が大きいと判断する。よって、以降の設定において、Δa2の影響のみを考慮するものとする。
【０１１３】
３  推定器がある閉ループ系
以上の推定器がない場合の操舵系のみの検討結果を参考にして、推定器がある場合の閉ループ系についてのパラメータ不確かさの影響を検討する。
【０１１４】
閉ループ系は図５に示すように、操舵系と推定器とから構成される。推定器の固有周波数は操舵系のそれに比べてパラメータ不確かさの影響を低減させるために、高く設定する。まずパラメータ不確かさがある制御対象を用いて閉ループ系の特性多項式を求め、パラメータ不確かさの影響を調べる。つぎに特性多項式において代表根のパラメータ不確かさ感度から代表根の移動または変化を求める。そしてパラメータ不確かさに起因した代表根の減衰係数を導出する。最後に代表根の減衰係数の数値計算を実施する。
【０１１５】
３．１  特性方程式の導出
制御対象にパラメータ不確かさを加えてフィードバックループを施したものは式（26），（27）に示されている。図６に示すように、推定器はノミナル値の船体モデルを用いて構成され
【０１１６】
【数５８】
0004820621.tif 000074
になる。ここでアクセント
0004820621.tif 000075
は推定値を意味し、
0004820621.tif 000076
は推定状態量で
0004820621.tif 000077
を、Ｌ＝[ｋ１  ｋ２]Ｔは推定ゲインをそれぞれ示す。推定ゲインは推定器の特性根を極配置することにより求める。すなわち
【０１１７】
【数５９】
0004820621.tif 000078
になる。ここでＣ=[１  ０]を、ζe, ωe は推定器の設計パラメータでそれぞれ減衰係数と固有周波数とを示す。推定器設計より
【０１１８】
【数６０】
0004820621.tif 000079
とする。尚、ζe＝１／√２の導出については、非特許文献５（または特願２００４−２２６６７０）に記載されているが、本発明の主旨ではないために、詳細説明は省略する。ζe, ωeはそれぞれ独立な設計パラメータであり、必ずしも、ζe＝１／√２を前提とするものではない。
ここでρ（＞１）を推定係数と呼ぶ。これより推定ゲインは
【０１１９】
【数６１】
0004820621.tif 000080
になる。命令舵角δcは式（14）で状態量ｘを推定状態量
0004820621.tif 000081
に置き換えればよいから
【０１２０】
【数６２】
0004820621.tif 000082
【０１２１】
【数６３】
0004820621.tif 000083
になる。これより、状態フィードバックを式（26）の制御対象に実施すると
【０１２２】
【数６４】
0004820621.tif 000084
になる。また推定誤差
【０１２３】
【数６５】
0004820621.tif 000085
を定めると
【０１２４】
【数６６】
0004820621.tif 000086
になる。よって推定器を組み込んだ閉ループ系は前記２式から
【０１２５】
【数６７】
0004820621.tif 000087
になる。これより推定誤差はパラメータ不確かさΔＢの存在により入力項からの干渉を受け誤差を生じる。安定性を調べるために閉ループの特性方程式を求めると
【０１２６】
【数６８】
0004820621.tif 000088
になる。ここでλ4はパラメータ不確かさを含んだ閉ループ系の特性多項式を示す。これより閉ループの固有値はパラメータ不確かさの存在により(Ａ＋ＢＦ)の操舵系固有値と(Ａ−ＬＣ)の推定器固有値とが分離せず相互干渉する。
４次の特性多項式は上式を展開した結果を次に示すと
【０１２７】
【数６９】
0004820621.tif 000089
となる。ここで
【０１２８】
【数７０】
0004820621.tif 000090
を示す。
【０１２９】
推定器がある閉ループ系は、前章２において検討した推定器がない閉ループ系の結果を受けて、パラメータ不確かさΔa2について検討する。基本的な閉ループ特性を調べるために、式（56）でＴs3n＝０(b1＝０)とおき、Δa2により影響を受ける項を抽出すると、
【０１３０】
【数７１】
0004820621.tif 000091
になり、Δa2の係数にフィードバックゲインＫP，ＫDによる項が追加されている。したがって、閉ループ系は推定器の追加によりパラメータ不確かさの感度が高くなり、その感度を低減するために推定器の固有周波数は操舵系のそれより高く設定する必要がある。
【０１３１】
次にＴs3n＞０の影響を見る。ｃa0は
【数７２】
0004820621.tif 000092
になるから、Δa2の係数はＴs3nの存在により小さくなる。つまり、Ｔs3n≠０の推定器の固有周波数はＴs3n＝０のそれより低く設定することができることを意味する。
【０１３２】
３．２  代表根の移動
原点に近い根である代表根は操舵系の根となる。その根がパラメータ不確かさにより移動しs-平面の右側に位置したら、閉ループ系は不安定になる。推定器がない閉ループ系で検討した結果に基づいて、パラメータ不確かさは安定性に最も直接的に作用するΔa2を用いて、その影響を検討する。パラメータ不確かさに対する代表根の変化割合または感度を
【０１３３】
【数７３】
0004820621.tif 000093
に定める。代表根の感度が求められれば、パラメータ不確かさに対する根の移動量は得られる。まず上式を求めるために、式（56）のsのΔa2に関する導関数を求めると
【０１３４】
【数７４】
0004820621.tif 000094
になる。ここで
【０１３５】
【数７５】
0004820621.tif 000095
を示す。これより、代表根の感度は
【０１３６】
【数７６】
0004820621.tif 000096
になる。上式に代表根である操舵系の根
【０１３７】
【数７７】
0004820621.tif 000097
を代入すれば、パラメータ不確かさに対する変化率が求まり、代表根の移動量が得られる。すなわち
【０１３８】
【数７８】
0004820621.tif 000098
である。
【０１３９】
しかしながら、式（67）は分子にλe項を含むため、計算が複雑になり、また式（69）の形でｒ1*の減衰係数を導出することは極めて繁雑になることが予想できるので、これらの不具合を解消するべく、式（56）に式（32）の関係を用いると
【０１４０】
【数７９】
0004820621.tif 000099
と置ける。ここで再び
【０１４１】
【数８０】
0004820621.tif 000100
を示しておく。式（70）からｓのΔa2に関する導関数を求めると
【０１４２】
【数８１】
0004820621.tif 000101
になる。これより、代表根の感度は
【０１４３】
【数８２】
0004820621.tif 000102
になる。上式は分子にλe項を含まないことに留意されたい。
【０１４４】
次に代表根の変化ではなく、ｓでの変化を調べると
【数８３】
0004820621.tif 000103
になる。ここで簡単化のため、分母においてΔa2, Δb1, Δb2 からなる項ｃΔa, ｃΔb は他の項に比べて微小であると仮定してｃΔa= 0, ｃΔb = 0 とする。このとき代表根は
【０１４５】
【数８４】
0004820621.tif 000104
になり、減衰係数がζn*になる。式（75）に上式のｒ1を代入すると、代表根の移動量が
【０１４６】
【数８５】
0004820621.tif 000105
になり複素数の積として得られる。ここでｒΔはパラメータ不確かさに起因した推定器の誤差で
【０１４７】
【数８６】
0004820621.tif 000106
を示す。ここでλn*｜s=r1＝０を用い、Reｒx，Imｒxは複素数ｒxのそれぞれ実部，虚部を示す。
【０１４８】
３．３  代表根の減衰係数
パラメータ不確かさに起因した代表根の減衰係数を求める。代表根ｒ1と推定誤差ｒΔとは極形式で表すと
【０１４９】
【数８７】
0004820621.tif 000107
になる。ここでΔa2は微小として
【０１５０】
【数８８】
0004820621.tif 000108
を示す。パラメータ不確かさΔa2によって移動した代表根は
【０１５１】
【数８９】
0004820621.tif 000109
として得られる。図７はｒ1，ｒΔ及びｒ1*との関係を図示したものである。同図において
【０１５２】
【数９０】
0004820621.tif 000110
は推定器の根を示す。これより、代表根の減衰係数は
【０１５３】
【数９１】
0004820621.tif 000111
で与えられる。
【０１５４】
よって推定器に起因した減衰係数成分ζestは
【数９２】
0004820621.tif 000112
になる。また既に操舵系に起因した減衰係数成分は、式(32)より
【０１５５】
【数９３】
0004820621.tif 000113
になる。したがってζestとζfbとの比率Ｒfbestは
【０１５６】
【数９４】
0004820621.tif 000114
として導出される。比率Ｒfbestは陽にパラメータ不確かさΔa2を含んでなく、陰に偏角θ1およびImrxに含んでおり、よってΔa2の変動の影響は小さい。比率Ｒfbestを用いると、代表根の減衰係数は
【０１５７】
【数９５】
0004820621.tif 000115
で定まるので、閉ループの安定性設計が容易になり、かつ推定器の仕様が明確になる。つまり比率Ｒfbestが与えられれば、推定器の設計パラメータである推定係数ρが求まる。比率Ｒfbestより
【０１５８】
【数９６】
0004820621.tif 000116
に変形する。Imrx は式(79)を展開し、ωe=ρωnとして、整理すると
【０１５９】
【数９７】
0004820621.tif 000117
になる。各係数は
【０１６０】
【数９８】
0004820621.tif 000118
を用いて
【０１６１】
【数９９】
0004820621.tif 000119
になる。よって式（93），（94）からImrxを消去するとρに関する４次方程式
【０１６２】
【数１００】
0004820621.tif 000120
が得られる。ここで、ρは、４次方程式の根の実数の最大値とする。こうして、ρは数値計算に依らず直接に代数解を求めることができる。これより、推定係数ρは比率Ｒfbest及びζΔa＝ζfbを満足する値になる。
【０１６３】
３．４  数値計算例
減衰係数比率Ｒfbestと推定係数ρとの関係を計算した結果を図８から図１１に示し、計算条件を表１にまとめる。
【０１６４】
【表１】
0004820621.tif 000121
【０１６５】
また、ζn=０．９，ζe＝１／√２を用いる。
各図において実線は式（95）の解析解を、一点鎖線は数値解をそれぞれ示す。解析解は０≦ζΔa≦０．５の範囲で真値とする数値解の１０％以内に収まるので、解析解の精度は実用上問題ないものである。なお解析誤差はＲfbestが大きくなる程大きくなる傾向をもつ。これはＲfbestに反比例して推定係数ρが小さくなるために、省略項や近似などの影響を受けやすくなるためによる。
【０１６６】
図８は他の図と比較するための基準とする。図９は操舵系周波数ωnは同じで微分ゲインＫDが大きい場合で、同じＲfbestにするためにρは大きく設定される。よって推定係数は微分ゲインに比例することが分かる。図１０は時定数Ｔs3n≠０の場合で、同じＲfbestにするためにρは小さくてよい。よって推定係数はＴs3nの大きさに反比例することが分かる。図１１は比例ゲインＫP＝１．５の場合で、同じＲfbestにするためにρは大きめに設定される。よって推定係数は比例ゲインＫPの大きさに比例することが分かる。
【０１６７】
したがって推定係数を船体パラメータに対応させてみると、時定数Ｔsnが大きい程つまり微分ゲインＫDが大きくなる程大きく設定され、時定数Ｔs3nが大きい程、小さく設定される傾向をもつ。よって設計パラメータである推定係数ρはζΔa＝０．３, Ｒfbest＝０．５程度に設定すると、妥当であることが分かる。また、図８〜図１１からζΔaの影響は小さいことが分かる。
【０１６８】
４  まとめ
閉ループ系の安定性または減衰特性を確保するための設計を行い、安定性は閉ループ系の代表根の感度関数に着目して、その減衰係数の解析解を通して推定係数を設定することが可能になる。
【０１６９】
推定器がない閉ループ系において、フィードバックゲインの設定、操舵系の特性およびパラメータ不確かさの影響を調べ、推定器がある閉ループ系において、特性多項式の導出、代表根の移動、代表根の減衰係数を調べて数値計算を実施した結果、従来の推定器の固有周波数は操舵系のそれより高いものを一定値で設定するという愛昧な設定方法に対して、パラメータ不確かさを見積もることによって、推定器と操舵系との固有周波数を関係づける推定係数を適切に設定することができるようになる。そして、そのような手順で設定された推定係数は、比例ゲイン及び微分ゲインに比例することが分かり、換言すれば、ωnが一定としたときに、比例ゲインまたは微分ゲインが増加するのに応じて推定係数ρを増加させるように設定すると良いことが分かった。また、Ｔs3nが増加するのに応じて推定係数ρは減少させるように設定すると良いことが分かった。
【図面の簡単な説明】
【０１７０】
【図１】本発明による船舶用自動操舵装置及び制御対象の全体構成を表すブロック図である。
【図１Ａ】船体モデルのブロック図である。
【図２】推定器がない操舵系の閉ループを表すブロック図である。
【図３】（ａ）はパラメータ不確かさΔa2の伝達関数を表すブロック図、（ｂ）はその根軌跡を表すｓ平面である。
【図４】（ａ）はパラメータ不確かさΔb2の伝達関数を表すブロック図、（ｂ）はその根軌跡を表すｓ平面である。
【図５】推定器がある場合の閉ループを表すブロック図である。
【図６】推定器の構成を表すブロック図である。
【図７】代表根のパラメータ不確かさΔa2によって移動を表すｓ平面である。
【図８】減衰係数比率Ｒfbestと推定係数ρとの関係を表す基準のグラフである。
【図９】微分ゲインＫDが大きい場合の減衰係数比率Ｒfbestと推定係数ρとの関係を表すグラフである。
【図１０】時定数Ｔs3n≠０の場合の減衰係数比率Ｒfbestと推定係数ρとの関係を表すグラフである。
【図１１】比例ゲインＫP＝１．５の場合の減衰係数比率Ｒfbestと推定係数ρとの関係を表すグラフである。
【符号の説明】
【０１７１】
１０  自動操舵装置
１５  フィードバック制御部
２０  推定器
【図１】
0004820621.tif 000138
【図１Ａ】
0004820621.tif 000139
【図２】
0004820621.tif 000140
【図３】
0004820621.tif 000141
【図４】
0004820621.tif 000142
【図５】
0004820621.tif 000143
【図６】
0004820621.tif 000144
【図７】
0004820621.tif 000145
【図８】
0004820621.tif 000146
【図９】
0004820621.tif 000147
【図１０】
0004820621.tif 000148
【図１１】
0004820621.tif 000149