(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
少なくとも１つの機械的および電気技術的／電子的な構成要素を有するメカトロニクスシステムのシミュレーション方法において、メカトロニクスシステムの構成要素について得られる質量マトリックス、制動マトリックス、剛性マトリックス、節点力及び節点シフチングベクトルにより時間の関数として与えられる基礎運動方程式
【数１】
0004612989.tif 000019
ここで、
0004612989.tif 000020
に基づいて、コンピュータにより、前記基礎運動方程式を式
【数２】
0004612989.tif 000021
ここで、
【数３】
0004612989.tif 000022
に基づき１次の線形の微分方程式に変換する演算ステップと、
前記線形の微分方程式を
【数４】
0004612989.tif 000023
ここで
【数５】
0004612989.tif 000024
ＡdおよびＢdは離散的なシステムマトリックス
で表される時間離散的な状態方程式に変換する演算ステップと、
その結果得られた代数的な差分方程式によりメカトロニクスシステムの回転数調節系および位置調節系の走査周期内でメカトロニクスシステムの時間的動作特性を決定する演算ステップと
を順次行わせることによりメカトロニクスシステムのモデル化を行うことを特徴とするメカトロニクスシステムのシミュレーション方法。
【請求項２】
コンピュータにより基礎運動方程式を１次の線形の微分方程式に変換する演算ステップにおいて、変換がモーダル空間において行われることを特徴とする請求項１記載のメカトロニクスシステムのシミュレーション方法。
【請求項３】
コンピュータによりメカトロニクスシステムの時間的挙動を決定する演算ステップにおいて、付加された微分方程式により節点力ベクトル（Ｆ）の時間的遅れがシミュレートされることを特徴とする請求項１または２記載のメカトロニクスシステムのシミュレーション方法。
【請求項４】
コンピュータによりメカトロニクスシステムの時間的挙動を決定する演算ステップにおいて、力ベクトル（ベクトルＦ）を時間的に遅らされている成分ベクトル（ベクトルＦＲ）と時間的に遅らされていない成分ベクトル（ベクトルＦＤ）とに分割することにより得られるシステムにおける付加的な遅らされていない成分ベクトル（ベクトルＦＤ）がシステムの時間的挙動の決定に関与されることを特徴とする請求項３記載のメカトロニクスシステムのシミュレーション方法。
【請求項５】
節点力ベクトル（ベクトルＦ）の時間的遅れをシミュレートするための微分方程式がメカトロニクスシステムの操作要素としてのＰＴ１調節要素により記述され、目標力ベクトル（ベクトルＦW）がこの調節器の操作量を表すことを特徴とする請求項３または４記載のメカトロニクスシステムのシミュレーション方法。
【請求項６】
メカトロニクスシステムの機械的部分についてモーダル座標およびそれらの時間微分を使用して得られるモーダル質量マトリックス、モーダル制動マトリックス、モーダル剛性マトリックス、制動されないシステムの固有ベクトルのマトリックス、一般化されたモーダルな座標、節点シフチング及び一般化されたモーダルな力により時間の関数として与えられる基礎運動方程式
【数６】
0004612989.tif 000025
に基づいて、コンピュータにより演算ステップが行われることを特徴とする請求項２ないし５のいずれか１つに記載のメカトロニクスシステムのシミュレーション方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明はメカトロニクスシステムをシミュレートするための方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
このようなメカトロニクスシステムは、構造、構成および機能を顧慮して統一的なシステムにまとめられる少なくとも１つの機械的および電気技術的／電子的な構成要素を有する。この事情は合成用語"メカトロニクス"により表される。
【０００３】
従来通常の仕方でメカニクスのモデル化は、微分方程式を手作業でたてられる多質量モデル、すなわち集中されたばねおよび質量を持ったモデルにより、又は好ましくはいわゆるＦＥＭモデルにより行われる。このようなＦＥＭモデルまたは有限要素モデルは、その比較的大きい精度のため有利であるが、計算に非常に費用がかかる。
【０００４】
後者では基礎となる運動方程式は以下のように表される。
【数１】
0004612989.tif 000002
ここで
0004612989.tif 000003
【０００５】
この計算規則は当業者に知られている仕方でこのような有限要素モデルに一体化される。
【０００６】
基礎となる運動方程式(1)を解くためには種々の時間積分法が存在するが、これらの方法はいずれも高い時間的費用を必要とする。なぜならば、要求される精度を顧慮して積分誤差を受容可能な限度内に保つためには、積分ステップ幅が非常に小さく選ばれなければならないからである。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００７】
従って本発明の課題は、冒頭にあげた種類の方法であって、先に示された公知の方法にくらべて、計算費用が僅かで、シミュレーション精度をより高くする方法を提供することである。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
この課題は、本発明によれば、システムのモデル化のため基礎となる運動方程式(1)
【数２】
0004612989.tif 000004
を出発点として、
−基礎となる運動方程式を１次の線形の微分方程式に変換するステップと、
−線形の微分方程式を時間離散的な状態方程式に変換する別のステップと、
−対応付けられている調節プロセスの走査ラスター(周期)において結果として生ずる代数的な差分方程式を実現することによりシステムの時間的動作特性を決定するステップとが順次行われることにより解決される。
【発明を実施するための最良の形態】
【０００９】
本発明による方法の第１の有利な構成によれば、基礎となる運動方程式の１次の線形の微分方程式への変換がモーダル空間において行われる。それにより、時間離散化が行われる前に予め定め得る固有モードを選択または選択解除することができる。
【００１０】
本発明による方法の別の有利な構成によれば、節点力（ベクトルＦ）の時間的遅れをシミュレートするため相応の微分方程式が付加され、システムの時間的動作特性の決定の際に考
慮に入れられる。それにより特に効率的に、このような力が一般に時間的に遅れてのみビルドアップするという認識を考慮に入れることができる。
【００１１】
もちろん、現実がそれを必要とするならば（たとえば重力のモデル化）、システムにおいて付加的に力を時間遅れなしに印加することも可能である。これは、好ましくは、システムにおける付加的な時間遅れのない力ベクトルであるベクトルＦＤが、時間的に遅らされた力のベクトル成分ＦＲと時間的に遅らされない力のベクトル成分ＦＤとへの力ベクトルＦの分解によりシステムの時間的動作特性の決定の際に考慮に入れられることによって行わ
れる。
【００１２】
節点力ベクトルＦの時間的遅れをシミュレートするための微分方程式が操作要素としてのＰＴ１調節要素により記述されることは有利であることが判明している。その際に目標力はこの調節器の操作量である。
【００１３】
原理的にはもちろん任意の伝達関数を有する操作要素も使用することができる。
【００１４】
本発明による方法の別の有利な構成によれば、モーダル座標およびそれらの時間微分がメカトロニクスシステムの機械的部分を記述するために用いられ、それから基礎となる運動方程式
【数３】
0004612989.tif 000005
が結果として生じ、その際に
0004612989.tif 000006
である。
【００１５】
本発明の他の利点および詳細は計算のための数学的関係の以下の説明から、また原理図を示す図面と結び付けて、明らかになる。
【００１６】
冒頭に記載した基礎となる運動方程式（１）は本発明により先ず普通の標準状態方程式に、特に１次の線形の微分方程式に、好ましくはモーダル空間において変換される。これらは続いて時間離散化され、その結果システムの時間的動作特性を決定するために微分方程式の代わりに代数的な差分方程式を解くことができ、現在の計算機システムではそれは簡単かつ効率的に可能である。
【００１７】
すなわち上記の変換により、シミュレートされたシステムの時間的動作特性を決定するために、時間ラスターを、すなわち差分方程式の計算を、調節プロセッサの走査周期において実現するだけでよい。これは、計算を実行するコンピュータの計算機クロックのなかの値のみが意義を有するからそのとおりである。計算ステップ幅はこうして、要求される精度に応じて、典型的に１〜５msecから１００μsに減ぜられ得る。
【００１８】
代数的な方程式のこうして得られる本発明による解は正確であり、一方シミュレーションのための微分方程式の従来の解は単に近似を表すだけである。
【００１９】
この処理の仕方の重要な利点は、より高いシミュレーション精度および非常に大きい時間節減であり、それによってシミュレーションはユーザーに対して顕著な実際上のメリットを提供する。一般的に冒頭にあげた公知の方法にくらべて時間節減の率は１０００よりも大きい。
【００２０】
その際に本発明にとって重要なことは、以下に示される計算過程の"アクセス"である。
【００２１】
基礎となる運動方程式（１）を出発点として先ず、わかりやすくするために、下記の定義がされる。
【数４】
0004612989.tif 000007
【００２２】
それによって、基礎となる運動方程式（１）から下記の計算規則が得られる。
【数５】
0004612989.tif 000008
【００２３】
両式（２）および（３）は下記のように一括することができる。
【数６】
0004612989.tif 000009
【００２４】
力は一般に遅れてしかビルドアップされ得ないので、このことが相応の微分方程式の付加により考慮に入れられる。最も簡単な場合には、操作要素は１つのＰＴ１要素により記述され得る。その場合、力は下記のように表される：
【数７】
0004612989.tif 000010
ここでＴers,FはＰＴ１要素の時定数、またベクトルＦWは目標力（調節器の操作量）である。
【００２５】
計算規則（５）は計算規則（４）により一括され得る。なお
【数８】
0004612989.tif 000011
と定義すると、下式が得られる。
【数９】
0004612989.tif 000012
【００２６】
付加的に遅れのない力ＦDがシステムにおいて作用する場合に対しては、これらが時間的に遅らされた力の成分ＦRと時間的に遅らされない力の成分ＦDとへの力ベクトルの分解により考慮に入れられる。計算規則（６）は次いで下記のように表される。
【数１０】
0004612989.tif 000013
【００２７】
計算規則（６）または（６ａ）はそれぞれ調節技術的な過程を記述するための標準状態方程式を表し、一般に公知の仕方で離散的な状態方程式
【数１１】
0004612989.tif 000014
に変換され得る。ここで離散的なシステムマトリックスＡdおよびＢdは
【数１２】
0004612989.tif 000015
により与えられている。
【００２８】
操作値ｕは走査周期においてのみ変化し得るので、上記の計算規則（８）は走査時
点でのシステムの動作特性を正確に記述する。
【００２９】
機械的なシステムの状態を記述するためには、目的にかなった仕方で、モーダル座標およびそれらの時間的な導関数が使用される。固有ベクトルＸのマトリックスおよび一般化されたモーダル座標、ベクトルｑを有する基礎となる運動方程式（１）の形態で与えられる有限要素システムの座標変換を行うと、システムはいわゆる"モーダル空間"に変換され得る。
【００３０】
0004612989.tif 000016
【数１３】
0004612989.tif 000017
ここで
0004612989.tif 000018
【００３１】
これにより、モーダル質量マトリックス、バーＭが常にポジティブに確定的であるので、式（６）を計算するために必要とされる逆マトリックス、バーＭ-1が常に存在することが保証される。
【００３２】
モーダル空間における状態記述はさらに、時間離散化が行われる前に、特定の、予め定め得る固有モードが選択（選択解除）され得るという利点を与える。
【実施例１】
【００３３】
図１は、その上をキャリッジＳがｘ方向に動かされ得る簡単な機械的ブリッジＢの有限要素モデルを示す。概略的に示されている座標系はｘ、ｙおよびｚ方向の空間的方位を示す。さらに例として、シミュレーションのために用いられる連結節点１ないし４、測定節点５および力導入節点６が示されている。
【００３４】
従って連結節点における剛性はｘ方向には０に等しく、一方ｙおよびｚ方向にはガイドの剛性により予め定められている。構造のパフォーマンスを写像するためボリューム要素が使用される。
【００３５】
この有限要素モデルをＦＥＭプログラムによりモデル化すると、このモデルにおける節点の数により条件付けられて約２００の固有周波数が生ずるが、そのうち２０未満の固有周波数のみがシステムの動作特性に対して重要である。従って、これらの固有周波数のみが選択され、相応の標準状態方程式がシステムマトリックスの形態で書き出される。
【００３６】
それによって次数４３のシステムマトリックスが得られる。
−２０の共役複素固有値が次数４０を生ずる、
−キャリッジがｘ方向に自由に動き得るので、原点に二重の極を有する１つの剛体モード、
−電流調節回路のモデル化により条件付けられる１つの実の負の固有値。
その結果、合計として計算規則（６）に対して４３のシステム次数が生ずる。
【００３７】
相応して計算規則（７）および（８）による離散化後のシステム次数も同じく次数４３である。
【００３８】
本発明による方法に従うステップ応答のシミュレーション時間は、たとえばプログラム"Matlab/Simulink/Realtime-Workshop"により130msecである。従来通りの同じ過程のシミュレーションは例えばソフトウェアインスツルメント"PERMAS"の使用の際には11minである、すなわちシミュレーション時間が本発明の使用により5000分の1に短縮される。
【００３９】
次に、本願発明の効果を、ばねにより結合された２つの質量からなる最も簡単な系を例にとって具体的に説明する。
２つの質量として、モータＭの質量ｍM、負荷Ｌの質量ｍLを選び、この２つの質量が図２に示すように、ばね定数CF、ばねの減衰係数Kdなるばねにより結合されている系を考える。
この場合、段落０００４で説明された運動方程式（１）は、具体的には図２に示すように表される。
この場合、例えば、段落００３８に示される"Matlab/Simulink"（米国のMathWork社が開発した行列計算、ベクトル演算等のインタプリタ形式のコンピューティング言語で「ＭＡＴＬＡＢ」として商品化されている）にインプットされる関連調節技術的構造図は、図３（ステップ１）に示されるようなものとなる。
例えば３軸工作機械にように、かかるばね−質量系が３つあるとすると、図４（ステップ２）に示すような調節構造図が描ける。この構造は、"Matlab/Simulink "では、" plant_cont_3axes "の名前で記憶される。
段落００２６の式（6a）、段落００２７の式（7）及び（８）が、Matlabでどのように計算されるかを示したのが図５（ステップ３）である。
次のステップ４は、図６に示すように、時間連続的構造モデルで作動するシミュレーションモデル（位置及び回転数調節系）の作成となる。このステップでは、３つの軸目標値の生成、位置調節系のモデル化、回転数調節系のモデル化、マトリックスA,B,C,Dを有する時間連続的系モデルの作成が行なわれ、測定系のモデル化がなされる。
次のステップ５は、図７に示すように、時間離散的（不連続的）構造モデルで作動するシミュレーションモデル（位置及び回転数調節系）の作成である。
そして、最後のステップ（図８）で、時間離散的モデルによる完全シミュレーションと時間連続的モデルによる完全シミュレーション並びに必要シミュレーション時間の比較が行なわれ、その結果として、12.54／0.04＝300倍の差が生じることが証明される。
即ち、時間離散的モデルによるシミュレーションは時間連続的モデルによるシミュレーションよりも所要時間が300倍も少ない（速い）ことが判る。
なお、方程式（７）において、xは変位を表し、（ｋ+1）T時点での変位が、ｋT時点での変位と、ｋT時点での節点移動（シフチング）ベクトルとに関係し、その係数がそれぞれ（８）式で示されるＡdおよびＢdとなることを意味している。
【図面の簡単な説明】
【００４０】
【図１】動き得るキャリッジを有する機械的ブリッジの有限要素モデル
【図２】モータ、ばね及び負荷からなる系の説明図
【図３】運動方程式
【図４】関連調節技術的構造図（ステップ１）
【図５】ばね質量系が３つある調節構造図（ステップ２）
【図６】Metlabでの計算様式（ステップ３）
【図７】時間連続的構造モデルで作動するシミュレーションモデル（位置及び回転数調節系）の作成例（ステップ４）
【図８】時間離散的構造モデルで作動するシミュレーションモデル（位置及び回転数調節系）の作成例
【図９】時間離散的構造モデルによる完全シミュレーションと時間連続的構造モデルによる完全シミュレーション並びに必要シミュレーション時間の比較を示す図
【符号の説明】
【００４１】
Ｓ  キャリッジ
Ｂ  ブリッジ
１〜４  連結節点
５  測定節点
６  力導入節点
【図１】
0004612989.tif 000026
【図２】
0004612989.tif 000027
【図３】
0004612989.tif 000028
【図４】
0004612989.tif 000029
【図５】
0004612989.tif 000030
【図７】
0004612989.tif 000031
【図８】
0004612989.tif 000032
【図６】
0004612989.tif 000033
【図９】
0004612989.tif 000034