(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
照明光源および投影レンズを有する投影系を含む手段によって形成される像を求めるためにコンピュータが実行する方法であって、前記照明光源と前記投影レンズの間にマスクが配設され、
光源のｓ偏光およびp偏光を含む光源強度分布を下記式として取得するステップと、
0004738012.tif 000256
前記投影レンズのインパルス応答を含む光源偏光ｍに対する投影インパルス応答関数を下記式
0004738012.tif 000257
として求めるステップと、
前記光源偏光ｍを考慮したレンズのベクトル・インパルス応答関数を下記式
0004738012.tif 000258
で定式化し、前記光源強度分布と前記投影インパルス応答関数との自己相関を含む一般化した双１次カーネルを下記式
0004738012.tif 000259
で定式化するステップと、
前記一般化した双１次カーネルの分解をＳＯＣＳ分解を使用して実施するステップと、
マスク透過関数を求めるステップと、
前記像の表現式を求めるステップであって、前記表現式が、前記一般化した双１次カーネルおよび下記式で与えられる前記マスク透過関数
0004738012.tif 000260
からなり、前記一般化した双１次カーネルが、前記マスク透過関数から独立している、ステップとを含み、
前記一般化した双１次カーネルは、少なくとも１つの非スカラー効果を含み、前記投影インパルス応答関数は、下記式
0004738012.tif 000261
で与えられるレジストぼけ関数と組み合わせた前記投影インパルス応答関数を含む、方法。
【請求項２】
前記像が空間像またはレジスト像である、請求項１に記載の方法。
【請求項３】
レジスト・スタック構造を準備するステップと、
前記レジスト・スタック構造内のある面における露光応答を求めるステップとをさらに含み、
前記投影インパルス応答関数が、前記レジスト・スタック構造の前記面における前記露光応答をさらに含む、請求項１に記載の方法。
【請求項４】
前記レジスト・スタック構造内の複数の面における露光応答を求めるステップをさらに含み、一般化した双１次カーネルを形成する前記ステップが、前記複数の面ごとの前記露光応答からなる平均化された一般化した双１次カーネルを形成するステップを含む、請求項３に記載の方法。
【請求項５】
複数のデフォーカス位置における露光応答を求めるステップをさらに含み、一般化した双１次カーネルを形成する前記ステップが、前記複数のデフォーカス位置ごとの前記露光応答からなる平均化された一般化した双１次カーネルを形成するステップを含む、請求項３に記載の方法。
【請求項６】
前記投影インパルス応答関数が、ゼロとは異なるレンズのデフォーカス収差を含む、請求項１に記載の方法。
【請求項７】
前記照明光源の偏光分布を取得するステップをさらに含み、前記投影インパルス応答関数がベクトル・インパルス応答関数である、請求項１に記載の方法。
【請求項８】
前記一般化した双１次カーネルの分解を実施する前記ステップが、
積分対象領域の第１グリッドを求めるステップと、
前記対象領域のグリッド点で前記一般化した双１次カーネルの値を行列で表すステップと、
前記一般化した双１次カーネルの前記行列で表した値をマッピングし直してサイズを縮小した前記行列の基底を求めるステップと、
求めた前記基底において、前記一般化した双１次カーネルの支配的な固有関数を求めるステップと、
求めた前記支配的な固有関数を変換して、前記第１グリッドの基底に戻すステップと、
前記変換した支配的な固有関数と１組のポリゴン・セクタとをコンボリューションして、前記変換した支配的な固有関数ごとにあらかじめ計算したセクタ・コンボリューションを形成するステップと、
をさらに含む、請求項１に記載の方法。
【請求項９】
積分対象領域の前記第１グリッドを求めた後で、前記系の対称性に応じて前記対象領域を折り畳むステップをさらに含み、前記一般化した双１次カーネルの値を行列で表す前記ステップを、前記折り畳んだ対象領域内のグリッド点において実施する、請求項８に記載の方法。
【請求項１０】
前記固有関数を前記第１グリッドに変換する前記ステップの後で、前記一般化した双１次カーネルの前記行列で表した値に対して、前記変換した支配的な固有関数を反復して精緻化するステップをさらに含む、請求項９に記載の方法。
【請求項１１】
前記マスク透過関数を、前記１組のポリゴン・セクタのサブセットに分解するステップと、
前記変換した支配的な固有関数ごとに、前記あらかじめ計算したセクタ・コンボリューションのコヒーレント和を含む重み付けした初期像を形成するステップと、
前記変換した支配的な固有関数のすべての前記重み付けした初期像のインコヒーレント和を含む像を形成するステップと
をさらに含む、請求項８に記載の方法。
【請求項１２】
コンピュータが請求項１の方法を実行するためのコンピュータ実行可能なプログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、一般に、リソグラフィを必要とする製造プロセスに関し、詳細には、フォトマスクを設計し、マイクロエレクトロニクス技術による製造で用いるリソグラフィおよびエッチングのプロセスを最適化する方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
現在のＩＣ（集積回路）は、利用可能なリソグラフィ機器では容易に解像されない構造体を含む。そのため、ＣＤ（クリティカルな構造体（critical feature）の寸法）を正しく印刷するには、マスク上に配置するＩＣの形状に補償調整を加える必要がある。いわゆるＭＢＯＰＣ（モデルに基づく（model-based）光学的近接効果補正（opticalproximity correction））では、リソグラフィ・プロセスをシミュレーションすることによって、具体的には、ウェハ面における像をシミュレーションする手段を準備することによって適切な調整が決まる。究極的には、レジスト層内で形成される像（例えば、レジスト潜像（latentimage））を求めることが望まれるが、レジスト内の潜像の近似としてウェハ面における空間像（aerial image）がしばしば使用される。
【０００３】
一般に、従来方式の像シミュレーションは、スカラー部分コヒーレント像（scalarpartial coherent image）を形成するホプキンス（Hopkins）積分を用いて行われる。ここで、空間像強度Ｉ０を表現する式は、
【０００４】
【数１】
0004738012.tif 000002
で与えられる。ただし、ｈは、（点像分布関数（point spread function）すなわちＰＳＦとしても知られる）レンズのインパルス応答関数、ｊはコヒーレンス、ｍはマスクの透過関数、＊は複素共役、
【０００５】
【数２】
0004738012.tif 000003
は像の位置である。この積分は一般に、マスク全体に対して行われる。
【０００６】
【数３】
0004738012.tif 000004
は、ホプキンス・カーネルとして知られている表現式である。これは、所与の系に対して一定の２Ｄ（２次元）関数である。
【０００７】
この４Ｄ（４次元）のホプキンス積分（式１）は、２Ｄ（２次元）コヒーレント像積分のインコヒーレント和として近似し得る。ホプキンス積分を計算するこの方法は、ＳＯＣＳ（コヒーレント系の和）手順（procedure）として知られている。ＳＯＣＳ手順では、部分コヒーレントなホプキンス積分に対する最適なｎ項近似は、
【０００８】
【数４】
0004738012.tif 000005
になる。ただし、
【０００９】
【数５】
0004738012.tif 000006
は、２Ｄ（２次元）コンボリューション演算を示し、λｋ、
【００１０】
【数６】
0004738012.tif 000007
はそれぞれ、ホプキンス・カーネルのｋ番目の固有値および固有関数を示す。ホプキンス・カーネルは、マーサー（Mercer）展開
【００１１】
【数７】
0004738012.tif 000008
から導出される。この式は、得られたコヒーレント像の有限和によって、例えば線形コンボリューション（linear convolution）によって、部分コヒーレント結像問題を最適に近似し得ることを示唆している。一般に、光源（source）およびマスク・ポリゴンを（例えば、グリッドまたはセクタに）分解し、コヒーレントな（コンポーネント像または初期像（pre-image）とも称する）副像（sub-image）のインコヒーレント和として各フィールド（field）の像を計算する。こうすると、問題の像点
【００１２】
【数８】
0004738012.tif 000009
における全強度は、すべてのコンポーネント像にわたる和になる。ＳＯＣＳ近似では、例えば、像行列を対角行列化して、固有値分解により最小階数（rank）の許容可能な近似行列を得ることによって、計算しなければならないコヒーレント副像の数が最小限に抑えられる。例えば、２Ｄコンボリューションの数ｎを約１０とすると、大型の充填光源（large-fillsource）さえ十分に近似することができる。
【００１３】
通常、１つまたは複数の透過率のポリゴンからなる２値マスク設計パターンによって近似し得るマスク透過関数ｍは、グリッド・セルやセクタ分解など、様々な方法で表すことができ、点
【００１４】
【数９】
0004738012.tif 000010
における像は、マスク透過関数ｍおよび固有関数φｋの重み付けコヒーレント・コンボリューションの有限インコヒーレント和によって表すことができる。各固有関数および可能なマスク・セクタとの各固有関数のコンボリューションはあらかじめ計算することができ、それによって、空間像Ｉ０を計算する高速な方法が提供される。この空間像を、レジスト潜像を十分に近似するものとみなすことが多い。レジストの影響を補償するために、以前の方法では、集中パラメータ・モデル（lumped parameter model）を適用することによって、あるいはレジストによるぼけを適用することによって、この空間像を後処理していた。しかし、ＭＢＯＰＣ（モデルに基づく光学的近接効果補正）を次世代ＩＣ製品の１００ｎｍ未満の寸法に拡張するに際して、この従来技術にはいくつかの制限がある。
【００１５】
例えば、レジスト内で干渉次数間の角度がかなり小さくなる約０．７未満のＮＡ（開口数）の場合にはスカラー処理が適用可能であり、そのため、異なるビーム内の電場（electric field）は、これらのビームが干渉するときに、ほぼ垂直または反垂直（anti-perpendicular）な状態になる。このような状況下では、重ね合わせ（superposition）はほぼスカラーである。しかし、光リソグラフィを１００ｎｍ未満の寸法に拡張するときには、少なくとも０．８５のＮＡ（開口数）を用いなければならない。その結果傾きが急になるところでは、標準のスカラー・ホプキンス積分は不正確になり、電場のベクトル特性を考慮しなければならない。これは、電場のグローバル直交座標（Ｅｘ、Ｅｙ、Ｅｚ）のそれぞれにおける独立像を計算し、次いで、これらの像を、照明偏光の許容される向きのそれぞれに対して加算し、マスクを照明する光源の異なる方向のそれぞれに対して再度加算することによって達成し得ることが知られている。しかし、この手順の計算効率は、ＭＢＯＰＣには十分ではない。
【００１６】
アダム（Adam）他（ケイ・アダム（K. Adam）、ワイ・グラニック（Y.Granik）、エイ・トレス（A. Torres）、エヌ・ビー・コブ（N.B. Cobb）、「ホプキンス結像方程式の適応ベクトル表現によるモデル化性能の向上（Improvedmodeling performance with an adapted vectorial formulation of Hopkins imagingequation）」、SPIE vol. 5040、第１６回光マイクロ・リソグラフィ（Optical Microlithography XVI）、アンソニー・イェン（AnthonyYen）監修、(2003)、78〜91頁）、およびハーフェマン（Hafeman）他（SPIE vol. 5040、第１６回光マイクロ・リソグラフィ（OpticalMicrolithography XVI）、アンソニー・イェン（Anthony Yen）監修、(2003)、700頁）は、被膜内でのＥＭ（電磁）場のベクトル加算が含まれるようにスカラー・ホプキンス結像方程式を拡張することを開示している。しかし、アダム他およびハーフェマン他の手法は、場のｚ成分を無視しており、レンズの複屈折性、調整された光源偏光（tailoredsource）、あるいはレジストまたはマスクからのぼけなどの影響を考慮に入れていない。
【００１７】
像形成のスカラー処理では、照明の偏光を無視し、レンズおよびレジストの表面がもたらす部分偏光は無視し得ると仮定する。しかし、今後のリソグラフィ用のＯＰＣ（光学的近接効果補正）では、レンズ自体の偏光特性も考慮に入れなければならないであろう。ＮＡが大きくなり、レンズの複雑さが増すと、出力ビームの偏光状態が、レンズ要素の表面で生じる偏光依存性累積反射損失によって変化する。これらの損失を抑える反射防止コーティングで実現可能な性能は、波長が短くなり深ＵＶ（紫外）の範囲に入るとますます悪くなる。来るべき１５７ｎｍ用レンズは、要素母材（substrate）中での空間的な分散の理由から、バルク母材の状態でさえ複屈折性のものとなろう。ビーム・スプリッタその他のコーティングに斜めに入射すると、光の偏光状態が歪むことになる。高ＮＡのＴＭ（横方向磁場）偏光で生じるコントラストの損失を最小限に抑えるために、光線間に意図的に偏光の較差を導入する光源（すなわち、偏光が調整された光源）にも関心が集まっている。露光像は、様々な界面間での偏光依存性多重反射のために、レジスト被膜スタックによっても影響を受ける。これらの反射を抑えるＡＲ（反射防止）被膜は、高ＮＡで角度範囲が広くなるとあまり効果がないことがある。レジストの最上面での屈折により、透過像に球面収差（sphericalaberration）が生じる。
【００１８】
最後に、次世代ＩＣの最小構造体サイズは、フォトレジストの分解能に近づきつつあり、ＭＢＯＰＣを行う際にはこのことを考慮に入れなければならない。
【００１９】
あまり大きくないサイズのマスク区域全体にわたってこれらの現象をそれぞれモデル化する方法が知られている。すべての照明偏光および像面の偏光に対して、かつすべての光源点に対して加算することによって、ベクトル像を計算することができる。
【００２０】
レジストによるぼけ（resist blur）は、レジストの分解能が有限なために生じ得る。物理学の文献では、空間分散性媒質中の伝播が扱われており、現在、この解析が１５７ｎｍのリソグラフィ・レンズに適用されている。有限なレジスト分解能は、周波数ドメインでは４Ｄホプキンス積分を周波数フィルタリングすることに等価であるレジスト・カーネルを用いて露光光学像をぼかすことによる近似的な方法で取り扱うことができる。レジスト中での露光後のぼけは、レジスト現像液の作用を受ける化学像（chemicalimage）で生じることが知られている。このレジストによるぼけは、光学像とぼけ関数とのコンボリューションによって、あるいは、それと等価には、変調伝達関数（modulationtransfer function）により像の空間周波数成分（frequency content）を減衰させることによって補償し得る（例えば、ジェイ・ガロファロ（J.Garofalo）他、「マスク補償によるＡＳＩＣゲート・レベルの線端後退（line-end shortening）の減少（Reduction of ASICGate-Level line-end shortening by Mask Compensation）」、SPIE v.2440、第８回光／レーザ・マイクロ・リソグラフィ（Optical/LaserMicrolithography VIII）、ティモシー・エイ・ブラナー（Timothy A. Brunner）監修、(SPIE, 1995)、171頁を参照されたい）。ホフナグル（Hoffnagle）他（「フォトレジストの空間分解能を測定する方法（Methodof measuring the spatial resolution of a photoresist）」、光学レター誌（Optics Letters）27、no.20、(2002)、1776頁）は、１対の干渉正弦波が得られるように露光したレジスト中のＣＤ（最小線幅）の測定値から（この干渉パターンが示す光学的なコントラストは、本質的に１００％である）、個々の空間周波数について、（実効レジストＭＴＦとしても知られている）レジストの変調伝達関数を求めることができることを示している。このようにして推定された潜像のコントラストは、実質的に１００％を下回ることがあり、この変調による損失は、構造体サイズがレジストの解像限界により近づくにつれ、定常的にいっそう重大になる。例えば、２２５ｎｍのピッチでは、ホフナグル他が解析したＵＶ２レジストでは、露光光学像における変調の約５０％しか化学潜像に伝達されない。比較的粗い空間周波数でさえ、コントラストの損失がやや穏やかになり、比較的長い範囲の近接効果が生じ得る。
【００２１】
しかし、レジストによるぼけを補償するこのような方法は、レジストぼけ関数と連続的光学像との直接的な空間ドメイン・コンボリューションを行うことを伴う。取扱いが比較的簡単であり、かつ比較的高速に計算し得るマスク上に配置する種類のポリゴンに比べて、このコンボリューション処理は相対的に計算に時間がかかる。遺憾ながら、今後のＭＢＯＰＣは、これらの影響を極めて迅速に計算する方法が見つからない限り、実用的なものにならないであろう。
【００２２】
ＭＢＯＰＣプロセスの他の態様（例えば、エッチング・シミュレーション、マスクの電磁的な影響のシミュレーション、ポリゴン・エッジの調整、ならびにリソグラフィに係わらない多くの問題）は、この考察では直接検討を行わないが、リソグラフィ・シミュレーションは、ＩＣ設計プロセス全体の１つの小さな側面でしかないことを念頭に置くことが重要である。複雑な階層編成（hierarchical organization）の認知されているデータ構造中にマスク・ポリゴンを記憶させなければならない。こうしたパターンは相当な労力の後で得られるものであり、回路およびデバイスの設計ソフトウェアを長時間連続して使用することを伴う。追加の処理ソフトウェアにより、ＯＰＣ処理後の形状を、マスク描画で使用する形式（format）に変換する。このＣＡＤ（コンピュータ援用設計）プロセスの複雑さのために、（ＭＢＯＰＣ用のツールを含めて）ソフトウェア設計ツール・パッケージ（suitsof software design tools）を利用して、設計プロセスの１つの段階から別の段階にチップ・データを移動する（mitigate）ときの問題を回避することが慣行になっている。改善されたＭＢＯＰＣ方法は、この設計フローと互換性がなければならない。リソグラフィ・シミュレーション用の改善された方法が、既存のＯＰＣプログラムと互換性があることも望ましい。
【００２３】
ＳＯＣＳ方法により、スカラーＡＩ（空間像）を計算するのに十分に高速で正確なアルゴリズムが得られる。このアルゴリズムの最終出力としてＡＩしか必要とされない場合には、実用的な要件を満足するにはスカラーＡＩで十分であり、実用的な要件以上のものが得られよう。しかし、レジストの現像ステップが存在するために、このＡＩからレジスト像を得るためにさらなる計算が必要である。
【００２４】
ＳＯＣＳ方法を用いて得られる像は、マスク・ポリゴンを構成するすべての可能な半無限（semi-finite）セクタの対応する像をあらかじめ記憶することによって計算する。したがって、マスクの多角形構造体の像を極めて迅速に計算し得る。
【００２５】
これらのあらかじめ記憶させたテーブルは、スカラー・ホプキンス積分にのみ基づくものである。レジストの分解能、ベクトル結像、レジスト薄膜効果、照明の偏光、およびレンズの複屈折性などの現象を考慮に入れるには、これらの現象があたかもコヒーレント像のインコヒーレント和から生じるかのように、これらの現象の影響を再現し得る新しいテーブルを取得する必要がある。
【００２６】
したがって、ベクトル電場、偏光の影響を含めて非スカラー効果（すなわち、「非ホプキンス」効果）をより正確に含み、かつ空間像またはレジスト像を含めて様々な像を計算するのに適用可能な効率のよい像シミュレーション方法が必要とされている。さらに、既存のコンピュータ・コードに、このコードを大きく再構築せずに組み込むことができる方法を実装することが望ましい。
【特許文献１】米国特許出願第１０／６９４，４７３号
【特許文献２】米国特許出願第１０／６９４，４６６号
【非特許文献１】ケイ・アダム（K. Adam）、ワイ・グラニック（Y. Granik）、エイ・トレス（A.Torres）、エヌ・ビー・コブ（N.B. Cobb）、「ホプキンス結像方程式の適応ベクトル表現によるモデル化性能の向上（Improved modelingperformance with an adapted vectorial formulation of Hopkins imaging equation）」、SPIEvol. 5040、第１６回光マイクロ・リソグラフィ（Optical Microlithography XVI）、アンソニー・イェン（Anthony Yen）監修、(2003)、78〜91頁
【非特許文献２】ハーフェマン（Hafeman）他、SPIE vol. 5040、第１６回光マイクロ・リソグラフィ（OpticalMicrolithography XVI）、アンソニー・イェン（Anthony Yen）監修、(2003)、700頁
【非特許文献３】ジェイ・ガロファロ（J. Garofalo）他、「マスク補償によるＡＳＩＣゲート・レベルの線端後退の減少（Reductionof ASIC Gate-Level line-end shortening by Mask Compensation）」、SPIE v.2440、第８回光／レーザ・マイクロ・リソグラフィ（Optical/LaserMicrolithography VIII）、ティモシー・エイ・ブラナー（Timothy A. Brunner）監修、(SPIE, 1995)、171頁
【非特許文献４】ホフナグル（Hoffnagle）他、「フォトレジストの空間分解能を測定する方法（Methodof measuring the spatial resolution of a photoresist）」、光学レター誌（Optics Letters）27、no.20、(2002)、1776頁
【非特許文献５】アール・エム・フォン・ビュノー（R.M. von Bunau）、ワイ・シー・パティ（Y.C.Pati）、ワイ・ティー・ウォン（Y.-T. Wang）、「放射対称光学系用の最適なコヒーレント分解（Optimal coherentdecompositions for radially symmetric optical systems）」、真空科学技術ジャーナル（J. Vac.Sci. Technol.） B15、no.6 (1997)、2412頁
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００２７】
したがって、従来技術の問題および欠陥を念頭に置くと、本発明の目的は、非スカラー（すなわち、「非ホプキンス」）効果を考慮に入れた高速な像計算方法を提供することである。
【００２８】
本発明の別の目的は、既存のコンピュータ・コードに、このコードを大きく再構築せずに組み込むことができる高速な非スカラー像計算方法を提供することである。
【００２９】
本発明の他の目的および利点は、部分的には明白であり、部分的には本明細書から明らかになるであろう。
【課題を解決するための手段】
【００３０】
本発明によれば、リソグラフィ像を計算するための、レンズの複屈折性、レジスト・スタックの影響、および調整された光源偏光などのベクトルの影響を考慮に入れ、かつマスクおよびレジストによるぼけの影響も含み得る効率のよい方法およびシステムが提供される。本発明によれば、一般化した双１次カーネル（generalized bilinear kernel）を形成することによってこれらの影響を含め、次いで、ＳＯＣＳ分解を用いてこのカーネルを処理して、このような非スカラー効果を含む像を迅速に計算することができる。光源強度分布
【００３１】
【数１０】
0004738012.tif 000011
が与えられる。光源は、強度分布
【００３２】
【数１１】
0004738012.tif 000012
によって特徴付けることができ、かつ独立した偏光ｍによって特徴付けることがある。これらの偏光はそれぞれ、偏光マップによって特徴付けられる。投影インパルス応答関数
【００３３】
【数１２】
0004738012.tif 000013
が与えられる。これは、好ましくは、レンズの複屈折性を含めてレンズのベクトル・インパルス応答関数を含むが、レジスト被膜スタック内でのベクトルの影響を含むように一般化することもできる。さらに、偏光が調整された光源の場合には、投影インパルス応答関数
【００３４】
【数１３】
0004738012.tif 000014
は、光源の偏光マップも含み得る。一般化した双１次カーネル
【００３５】
【数１４】
0004738012.tif 000015
が、光源強度分布
【００３６】
【数１５】
0004738012.tif 000016
と、ベクトル・インパルス応答関数
【００３７】
【数１６】
0004738012.tif 000017
との双１次自己相関を形成することによって形成される。一般化した双１次カーネルは、マスクによるぼけを含むように形成し得る。一般化した双１次カーネルにレジストによるぼけを含めることができるのは、例えば、レジスト・スタックの深さ全体にわたって平均化を実施し得る場合か、またはある範囲の焦点位置全体にわたって平均化を実施し得る場合か、あるいはその両方の場合である。好ましくは、この一般化した双１次カーネルのＳＯＣＳ分解を実施する。一般化した双１次カーネルＶは、マスク透過関数
【００３８】
【数１７】
0004738012.tif 000018
とは独立であるように形成する。本発明の別の態様では、次いで、一般化した双１次カーネルとマスク透過関数を組み合わせることによって、より具体的には、それらの双１次積分を実施することによって、点
【００３９】
【数１８】
0004738012.tif 000019
における像
【００４０】
【数１９】
0004738012.tif 000020
を計算する。その後、得られた像
【００４１】
【数２０】
0004738012.tif 000021
を用いて、ＭＢＯＰＣ（モデルに基づく光学的近接効果補正）を実施し得る。
【００４２】
本発明の好ましい実施形態では、一般化した双１次カーネルのＳＯＣＳ分解を実施し得る。まず、ＲＯＩ（region of interest；対象領域）の積分ドメイン内の像面をグリッド化する。本発明によれば、可能な場合には、この系（system）の対称性に応じて、このＲＯＩの積分ドメインを折り畳む（fold）ことが好ましい。この折り畳んだＲＯＩ積分ドメイン内で、ＧＢＫ（generalizedbilinear kernel；一般化した双１次カーネル）を計算し、像面のグリッド点で表形式にする（tabulate）。この好ましい実施形態では、表形式にしたＧＢＫの値をマッピングし直して縮小基底（reducedbasis）にし、次いで、この縮小基底においてＧＢＫの固有関数を計算し、変換して元のグリッドに戻す。必要な場合には、例えばランチョス（Lanczos）法の場合と同様に、表形式にしたＧＢＫの値に対して支配的な固有関数を反復して精緻化（refine）することができる。次いで、これらの支配的な固有関数と、可能なマスク・ポリゴン・セクタとのコンボリューションをあらかじめ計算する。
【００４３】
本発明の別の態様によれば、像の計算は、マスク透過関数を１組の適切な可能なポリゴン・セクタに分解するステップを含む。次いで、支配的な固有関数ごとに、支配的な固有関数と、ＲＯＩ内のマスク・ポリゴン・セクタとのあらかじめ計算したコンボリューションからの寄与のコヒーレント和を形成することによって初期像を計算する。この初期像に、好ましくは固有関数の固有値によって、特により好ましくは固有値の平方根によって重み付けする。あるいは、これらの重みは実験的に決めることができる。最後に、すべての支配的な固有関数の重み付けした初期像のインコヒーレント和から、像
【００４４】
【数２１】
0004738012.tif 000022
を形成する。
【００４５】
本発明は、調整された光源偏光、レンズの複屈折性、およびレジスト・スタックによる偏光、ならびにマスクまたはレジストにおけるぼけを含めて、ベクトルの影響などの非スカラー効果を、像の計算に効率よく組み込むことができるという利点を有する。
【００４６】
本発明により、以下の利点が得られる。
１．丸め誤差（rounding error）を伴ってすでに計算された関数の導関数をとる結果生じ得る極めて大きな計算上の誤差が回避される。
２．レジスト像の計算の複素時間量（time complexity）を、空間像だけの計算の複素時間量に減らす。本発明によれば、ホプキンス・モデルのＳＯＣＳ近似に従って空間像を形成するのに用いる双１次カーネルと同じまたは類似の形態を有する一般化した双１次カーネルが形成される。すなわち、本発明により、レジスト像計算の複素量が、空間像だけを得る複素量に減る。すなわち、計算量が、少なくとも１０分の１程度に減る。
３．ベクトル電場、調整された光源偏光、レンズの複屈折性、デフォーカスの変動、レジスト・スタック、ならびにマスクおよびレジストからのぼけの影響を含めて、非スカラー効果が含まれるために像の精度が向上する。ただし、非スカラー効果の例は、これらに限定されるものではない。
【００４７】
新規と考えられる本発明の特徴および本発明を特徴づける要素は、添付の特許請求の範囲に詳細に述べられている。図は、単に説明を行うためのものであり、原寸に比例していない。ただし、本発明自体は、その構成および動作方法に関して、以下の詳細な説明を添付の図面と併せ読めば最もよく理解されよう。
【発明を実施するための最良の形態】
【００４８】
以下の説明では、本発明が十分に理解されるように多くの特定の細部を述べることがある。ただし、このような特定の細部を用いずに本発明を実施し得ることが当業者には明らかであろう。他の例では、不必要な細部で本発明が不明瞭にならないように、周知の要素（feature）はブロック図の形式で示すことがある。
【００４９】
次に、図面を参照するが、図に示す要素は必ずしも原寸に比例して示されておらず、いくつかの図を通じて同じまたは類似の要素は、同じ参照数字で示す。
【００５０】
図１に、光リソグラフィで使用するケーラー（Kohler）投影系（projectionsystem）１０の概略図を示す。エネルギー源１００から、化学線エネルギー（actinic energy）が供給され（化学線エネルギーは、レジスト内で反応を起こさせる照射エネルギーである）、それがコンデンサ・レンズ１１０を介してパターン化されたマスクまたはレチクル（１２０）に投影される。光源１００およびコンデンサ・レンズ１１０を合わせて、照明光源１１５と称することがある。次いで、マスク１２０から回折した光は、（入射瞳（pupil）１２９および出射瞳１３５を有する）投影レンズ１３０を通過し、その後、ウェハ１４０上に投影される。ウェハ１４０は一般に、レジスト層１４２およびその下にある基板１４４を含む。投影系１０の分解能は、レンズの開口絞り（aperturestop）１２５によって制御される光の量に関係する。これを、図１に示すｚ方向に沿った光軸１５０に対する投影光の最大角度θで示す。ただし、２θは、レンズ１３０から各像点に収束する角度の範囲である。この投影系の開口数は、ＮＡ＝ｎｓｉｎθで与えられる。ただし、ｎは、レンズを取り囲む媒質の屈折率（空気の場合には約１）である。以下、この考察では、マスク１２０と投影レンズ１３０の間の領域１２２を物体空間（objectspace）と称し、投影レンズ１３０とウェハ１４０の間の領域１３２を像空間（image smapce）と称する。
【００５１】
一般に、ＭＢＯＰＣプログラムによる各像の計算には、対象とする像点
【００５２】
【数２２】
0004738012.tif 000023
を中心とする小さな領域（いわゆる対象領域、すなわちＲＯＩ）内に含まれるマスク形状しか含めない。例えば図２に、マスク・ポリゴン３０１を含むマスク・レイアウト３００を示す。対象とする像点
【００５３】
【数２３】
0004738012.tif 000024
１４１は、このマスク・レイアウト上に（参照数字１２１で示す）対応する点
【００５４】
【数２４】
0004738012.tif 000025
を有する。像強度の計算では、この像点からある影響ゾーン内のマスク・ポリゴン３０１だけを考える。以下、この影響ゾーンを「対象領域」すなわちＲＯＩ  ３１０と称する。このＲＯＩ  ３１０の領域は、レンズの分解能よりもわずかに大きいものに過ぎない。例えば、９０ｎｍの構造体を転写するのに使用するレンズの場合、ＲＯＩ  ３１０の半径は、（１倍の尺度で）１μｍとし得る。個々のＲＯＩのフィールドの値を求めるとき、ＲＯＩの境界付近の点における像強度は計算しない。通常、ＲＯＩ  ３１０の中心点１２１における強度の値しか求めないか、あるいは、ケイ・ライ（K. Lai）他、「効率的なポリゴン・ピンニング方法および複数のサンプリング点の同時計算を用いたセクタに基づくＯＰＣエンジンの性能の向上（Improvementof performance in sector-based OPC engine utilizing efficient polygon pinningmethod and simultaneous computation of multiple sample points）」（米国特許出願第１０／６９４，４７３号）に開示されているように、内部のいくつかの点で、これらの点がＲＯＩの境界から離れている場合に限り、強度の値を求めることがある。この仮定の下で、議論の都合上、周期的な境界条件が適用されると仮定し得る。ただし、セクタ・テーブルの実際の計算時にはこのような仮定を行う必要はない。
【００５５】
次いで、ＲＯＩ  ３１０をグレーティングの単位セルと解釈すると仮定する。この場合、グレーティング３００のサイズは、ＲＯＩ  ３１０に比べて大きいが、投影レンズ１３０の尺度に対しては依然として微視的な大きさである。そのため、図３を参照して、単一の光源点１１１（ここでは、図１のエネルギー源１００およびコンデンサ・レンズ１１０を合わせて照明光源１１５とみなす）からの照明中に生じるコヒーレント像成分を考えると、ＲＯＩ  ３１０から回折する複数のビームが物体空間１２２中で張る（図示しない）幅は、投影レンズ１３０に固有の尺度では極めて小さいものになる。このようなビームはそれぞれ、ケーラー照明下で入射瞳１２９に結像する。回折次数（diffracted order）が、入射瞳１２９から出射瞳１３５に伝播し、次いで（例えば、ウェハ１４０のところの）像面に至る際に、ＲＯＩ  ３１０から回折した複数のビームからなるこの小さな幅を、レンズ１３０によって結像する単一の光線として取り扱うことができる。
【００５６】
ベクトルおよび偏光の影響
図３を参照して、上記で説明した様々なリソグラフィによる影響を、マスク１２０上の点１２１から投影レンズ１３０を通って、（一般にレジスト層１４２内の）像面１４２上の点
【００５７】
【数２５】
0004738012.tif 000026
１４１に至る光線２０１で示す回折次数の伝播中にどのように補償し得るかを考える。光線２０１の経路および（開口絞り１２５の中心を通るが、局所的にマスクの点１２１および像面上の焦点
【００５８】
【数２６】
0004738012.tif 000027
１４１を通る光線である）局所的な光軸１５０’を含む面として、メリジオナル（meridional；経線）面２２０を定義することができる。まず、光源１００が直線偏光または無偏光の状態であり、投影レンズ１３０が理想的な非偏光挙動を示す簡単な場合を考える。投影レンズ１３０が理想的であり、光源の偏光が固定され、かつ照明ＮＡが小さい場合でさえ、伝播光線２０１に沿う偏光はある種の回転を受けることになる。というのは、光線が投影レンズ１３０内で方向を変えたときに、進行方向に対する直交性（transversality）が維持されなければならないからである。リソグラフィ・レンズは物体空間および像空間でともにテレセントリック（telecentric）なので、対象とする像点
【００５９】
【数２７】
0004738012.tif 000028
１４１は、（ｚに沿うとみなされる）局所的な光軸１５０’上にあるとみなすことができる。任意選択で、当技術分野では周知のように、特定の像位置に固有の収差の影響を、そのフィールド位置に該当する開口絞り内での収差を適用することによって考慮に入れることができる。
【００６０】
【数２８】
0004738012.tif 000029
の方向に伝播する光線の場合、この光線の偏光は、（ｓ，ｐ）基底と対比してたどることができる。ただし、この光線の偏光のｐ成分はメリジオナル面２２０内にあり、この光線の偏光のｓ成分はｐ成分に直交し、以下のように表される。
【００６１】
【数２９】
0004738012.tif 000030
ただし、像空間１３２内での光線の方向
【００６２】
【数３０】
0004738012.tif 000031
およびレジスト層１４２内での光線の方向
【００６３】
【数３１】
0004738012.tif 000032
は、倍率（正弦条件）を用いて物体空間１２２の方向
【００６４】
【数３２】
0004738012.tif 000033
から、かつレジストの屈折率（スネル（Snell）の法則）から求められる。以下の恒等式
【００６５】
【数３３】
0004738012.tif 000034
が成立していることに留意されたい。というのは、式５の光線の偏光の
【００６６】
【数３４】
0004738012.tif 000035
成分と、式６の
【００６７】
【数３５】
0004738012.tif 000036
成分の間の符号の変化は、単にレンズ１３０によって光線の方向が反転する（すなわち、倍率が負になる）ことを表しているからである。像空間１３２とレジスト層１４２の間に区別がつけられていることにも留意されたい。本発明では必要とされないが、好ましくは、マスクからウェハへの伝播は、偏光光線追跡（polarization ray tracing）を用いて取り扱い、レジスト・スタック内への伝播は、従来方式の平面波薄膜手法（planewave thin-film approach）を用いて取り扱う。
【００６８】
大面積のリソグラフィ・シミュレーションを実用的なものにするには、マスクの回折についての仮定を簡略化することが慣行になっている。これは、２つの推量を伴う。第１は、いわゆる薄膜マスク近似（thin mask approximation）であり、第２は、（空間的な不変性に起因する）投影レンズのインパルス応答関数は、照明方向に関しても不変であるという仮定である。本発明では、これら両方の推量を偏光光源の場合に拡張する必要がある。縮小率が大きいとき、すなわち、集められる次数の伝播角が比較的小さく、かつマスクの構造体が比較的大きい場合には、これら両方の推量の状況がある程度改善する。ただし、マスク側ＮＡが小さいときでさえ、パターン化されたマスク内でのトポグラフィ（形状）の強い影響によって、これらの推量はいずれも有効とはならないことがある。
【００６９】
ベクトルの影響
マスク側ＮＡが小さいときには、各光源点の（２Ｄ）偏光方向を指定する２Ｄマップによって光源の偏光分布を表すことは難しくない。ただし、マスク側ＮＡが無視し得ないときには、２Ｄへの変形（reduction）はある程度恣意的なものになる。慣例により、光源マップについての座標方向をｘ’およびｙ’と称する（すなわち、光軸はｚに沿うとみなす）。照明方向は、（グローバルな）ｘおよびｙの方向余弦によって指定し、局所的なｘ’およびｙ’の座標方向を用いて、各光線に沿った照明偏光を指定する。例えば、局所的なｘ’軸が、光線およびグローバルｙ軸を含む面２２０に直交するように（次いで、局所的なｙ’軸が、ｘ’軸および光線２０１に直交するように）定義することによって照明偏光を指定する。ｘ’およびｙ’方向に沿った単位ベクトルは、次のように表すことができる。
【００７０】
【数３６】
0004738012.tif 000037
ただし、
【００７１】
【数３７】
0004738012.tif 000038
は、グローバル座標系の単位ベクトルであり、
【００７２】
【数３８】
0004738012.tif 000039
は、照明方向である。
【００７３】
無偏光または部分偏光の光源は、独立した偏光光源について計算したこの系のカーネルを独立に重ね合わせることによって取り扱う。
【００７４】
空間的な不変性（spatial invariance）の仮定（すなわち、それぞれの局所的な結像フィールド内でレンズのインパルス応答関数が一定であることによって投影レンズ１３０を特徴づけることができるという仮定）は、主に投影レンズ１３０に関与するものである。ただし、部分コヒーレント照明を取り扱うために、従来、マスクによる回折についての関連した仮定、すなわち、（マスク形状を透過する振幅が、照明傾斜位相（illuminationtilt phase）によってのみ変化する状態で）照明方向がある光源点から別の光源点に移動しても、同じ一定のレンズ・インパルス応答関数をマスク形状に適用することによってマスクによる回折を正しく取り扱うことができるという仮定がなされている。同様に、この取扱いでは、投影レンズが空間的に不変のインパルス応答を示すことが求められる。このインパルス応答が光源の方向に関して不変であることは、光源偏光が単一である場合でさえ、厳密には必要とされない。しかし、インパルス応答が、光源の方向に対する拘束依存性（constraineddependence）に従わない限り、本発明の事前計算段階がかなり長くなる。以下では、この依存性を一般化した光源不変性と称する。このような光源不変性の最も簡単なモデルは、従来、スカラー・ホプキンスによる取扱いでなされる仮定を自然に拡張したものである。すなわち、投影レンズは、（位相の傾きを除いて）照明方向には無関係な２つのベクトル・インパルス応答関数に左右されることがわかる。このベクトル応答はそれぞれ、２つの光源偏光方向ｘ’またはｙ’の一方に沿った偏光に対応する。マスク側ＮＡが無視し得ない場合、光線の方向が変化するときに照明光線の偏光が実際には完全に不変になり得ないとしても、マスク側ＮＡは少なくとも４分の１に小さくなるので、照明光線の偏光は、光線の方向が変化してもほぼ不変になる。
【００７５】
光源の不変性を近似することが必要とされないより複雑なモデルを用いて、効率よくあらかじめ計算を行うことも可能である。例えば、光源１１５は、それぞれ１対の光源インパルス応答関数によって左右される独立した領域（例えば、４重極の各極）に分割することができる。本発明によれば、一般化した双１次カーネルを求めるための効率的な積分では、この領域内での光源の完全な方向不変性は必要とされず、応答が、照明方向および集光方向（すなわち回折方向）に分離可能な関数の和になるだけでよい。
【００７６】
本発明では、当技術分野で周知の薄膜マスク近似を用いる。この場合、回折光の振幅は、マスク・パターンのフーリエ変換として計算される（あるいは、いくつかの実施形態では、マスク・パターンのぼかしたバージョン（rendition）のフーリエ変換として計算される。一般に、この関数は線形でなければならない）。この薄膜マスク構成（framework）を拡張して、真のマスク・パターンの代わりに実効パターンを使用することによって、マスク・トポグラフィによる影響に対応し得ることが示されている。この実効パターンは、そのフーリエ変換が真の回折スペクトルをより厳密に再現するものである。上記に沿う簡単な手法は、クロムの幅をわずかに広げて各エッジをバイアスする（一方に偏らせる）ことである。
【００７７】
本発明の好ましい実施形態では、マスクによる回折の簡単なモデルとして理想的なレンズの例を考える。軸上の光源点が、ｚ成分をもたない方向
【００７８】
【数３９】
0004738012.tif 000040
に沿って偏光していると考える。
【００７９】
【数４０】
0004738012.tif 000041
の方向は通常、所与の光線２０１のメリジオナル面２２０に直交する成分を有する。
【００８０】
【数４１】
0004738012.tif 000042
のメリジオナル面２２０に直交する投影を、この光線の偏光のｓ成分とし、まず、このｓ成分の振幅が、レンズ１３０を通過して伝搬する際に維持されると仮定する（これは、理想レンズに当てはまることであり、一般の場合については後で考察する）。この最初の簡単な方法では、電場のｓ振幅は、この投影ファクタにマスク回折パターンの通常のフーリエ成分を掛けたものに等しいとみなされる。この回折パターンは、（ＮＡが比較的小さいために）（従来技術で行われるのと同様に）スカラーに基づいて計算される。理想レンズの場合、電場のｓ成分は、
【００８１】
【数４２】
0004738012.tif 000043
になる。ただし、
【００８２】
【数４３】
0004738012.tif 000044
は、下記の式１３で与えられるスカラー次数振幅である。
【００８３】
【数４４】
0004738012.tif 000045
からｓ成分を数学的に減算しても、その残りは光線２２０に対して横方向にならず、したがって、真のｐ偏光成分を表さない。マスク１２０からの回折を（ＮＡが比較的小さいと仮定して）近似的に取り扱っているので、まず、（適切なスカラー回折次数振幅
【００８４】
【数４５】
0004738012.tif 000046
を掛けた）この面内
【００８５】
【数４６】
0004738012.tif 000047
成分の大きさを見つけることによって、ｐ成分の大きさを計算し得ると仮定する。当然のことながら、このｐ成分の方向は、横方向
【００８６】
【数４７】
0004738012.tif 000048
に沿うものとみなす。ｐ成分の符号は、ｓｉｇｎ
【００８７】
【数４８】
0004738012.tif 000049
とする。
【００８８】
いくらかの代数計算を行った後で、ｐ成分が次のように与えられることがわかる。
【００８９】
【数４９】
0004738012.tif 000050
ただし、
【００９０】
【数５０】
0004738012.tif 000051
とした。式１１は、以下の恒等式に従うことに留意されたい。
【００９１】
【数５１】
0004738012.tif 000052
というのは、（物体空間１２２内での光線２２０の伝播方向である）
【００９２】
【数５２】
0004738012.tif 000053
のｘおよびｙ成分と、（像空間１３２内での光線２２０の伝播方向である）
【００９３】
【数５３】
0004738012.tif 000054
のｘおよびｙ成分は、倍率の比で変化するだけであり、それらは分子と分母で相殺されるからである。
【００９４】
本発明者らのモデルでは、光線２２０に沿った電場の強さにも、この光線の伝播方向
【００９５】
【数５４】
0004738012.tif 000055
におけるマスク１２０のスカラー回折効率
【００９６】
【数５５】
0004738012.tif 000056
を掛けることになる。このスカラー回折効率は、光源方向
【００９７】
【数５６】
0004738012.tif 000057
からの単位照明強度については、
【００９８】
【数５７】
0004738012.tif 000058
で与えられる。ただし、
【００９９】
【数５８】
0004738012.tif 000059
は、マスク透過率関数である。
【０１００】
理想レンズでは、ｓ偏光およびｐ偏光は合成されず、光線の強度は、レンズ内で吸収されない。上記で論じたように、光線２２０を、マスク１２０から回折し、例えばマスク面内のＲＯＩ  ３１０によって境界づけられた断面（またはそれを何倍かしたもの、ここでは１とする）で切り取られた単一次数とすることができる。ウェハ面内で張られる断面積は、ＲＯＩ×Ｍ２に等しい（Ｍは、リソグラフィ・システムの倍率であり、一般にＭ＝−０．２５である）。ただし、この面積（area）は斜めにしか張られず、すなわち、光線の方向から見ると縮小されており、したがって垂直方向の断面積は、γ’分の１に縮小されている。ただし、γ’は、像空間１３２内での伝播方向である
【０１０１】
【数５９】
0004738012.tif 000060
のｚ成分を示す。このように集中させることにより、電場の強さが増す。したがって理想レンズでは、この光線（回折次数）に沿う電場は、物体と像の間の比
【０１０２】
【数６０】
0004738012.tif 000061
だけ変化する。簡単にするために、定数ファクタＭを無視し（suppress）、いわゆる傾角ファクタ（obliquityfactor）を、
【０１０３】
【数６１】
0004738012.tif 000062
と定義する。明示的には述べないことが多いが、いわゆる「１倍」のウェハ・スケール座標でマスク面の量を記述するのが慣行であることにも留意されたい。以下ではこの慣行に従い、マスク・スケールおよびウェハ・スケールの積分ドメインをともに「ＲＯＩ」と称する。
【０１０４】
光線２２０のｓ成分は、レジストの入射面に対して横向きであり（レジストの入射面は、この光線およびレジスト表面の法線を含む面である）、そのため、ｓベクトル成分は、透過率τＳ（Δｚｒ）でレジスト１４２内を伝播する。ただし、τＳ（Δｚｒ）は、ウェハ被膜スタック１４２を貫通して深さΔｚｒに至るｓの透過係数である。標準の薄膜法を用いて、ｐ成分についての透過係数τＰ（Δｚｒ）を計算することもできる。これらの標準的な方法によって計算した透過係数により、この場の接線（正接）成分（すなわち、レジスト・スタック１４２の界面に平行な成分）が得られ、その結果、ｐ振幅の大きさの透過係数として、
【０１０５】
【数６２】
0004738012.tif 000063
が定義される。簡単にするために、以下の式では、Δｚの依存性を無視する。
【０１０６】
レジスト層１４２の底面が反射防止処理されている場合、レジスト１４２内の電場
【０１０７】
【数６３】
0004738012.tif 000064
は、量
【０１０８】
【数６４】
0004738012.tif 000065
に比例することになる。すなわち、
【０１０９】
【数６５】
0004738012.tif 000066
になる。ただし、
【０１１０】
【数６６】
0004738012.tif 000067
は、
【０１１１】
【数６７】
0004738012.tif 000068
と定義する。同様に、像空間中の電場は、
【０１１２】
【数６８】
0004738012.tif 000069
で与えられることに留意されたい。ただし、レジスト（式１６）および像空間（式１８）内での傾角ファクタ（obliquity factor）
【０１１３】
【数６９】
0004738012.tif 000070
はともに、式１４で与えられる同じファクタで与えられる。
【０１１４】
式５、式６、式７、式８、式１０、式１１、式１２、および式１５を用いることによって、いくらか代数計算を行った後で、屈折率整合基板を伴うレジスト層内で、
【０１１５】
【数７０】
0004738012.tif 000071
となることがわかる。ただし、
【０１１６】
【数７１】
0004738012.tif 000072
は、
【０１１７】
【数７２】
0004738012.tif 000073
の、レジスト・スタック１４２内の局所的な光軸に横向きの投影であり、
【０１１８】
【数７３】
0004738012.tif 000074
になる。この最後の形式は、直交成分からなるベクトルを表す。式１９の右辺の第１項
【０１１９】
【数７４】
0004738012.tif 000075
は本質的に、低ＮＡで得られる標準的なほぼスカラーの結果であり、残りの項は、ベクトル補正と考えることができることに留意されたい。ただし、式１９の第１項に現れるτＳのファクタは、高ＮＡでかなりの角度依存性をもつことがある。式１９の大括弧［  ］内の項は、
【０１２０】
【数７５】
0004738012.tif 000076
がゼロになると１次になる。というのは、垂直（法線）入射では、
【０１２１】
【数７６】
0004738012.tif 000077
、γ”→１になるからである。したがって、予想されるように、ＮＡの下限では
【０１２２】
【数７７】
0004738012.tif 000078
が得られる。
【０１２３】
ビームの円錐角（beam cone angle）は、レジスト中よりも空気中でより大きくなり、そのため、空気中の像（いわゆる空間像）が示す高ＮＡでのスカラー挙動からの逸脱が、レジスト像が示すものよりも大きくなる。そのため、ベクトル干渉が重大な影響を及ぼすＮＡにおいて空間像でレジスト像を近似する際には注意を要する。この注意を念頭に置いて、式１９の特別な場合として、空間像空間１３２内での光線に沿う電場
【０１２４】
【数７８】
0004738012.tif 000079
についての簡単な式が次のように得られることを指摘しておく。
【０１２５】
【数７９】
0004738012.tif 000080
【０１２６】
式１９の
【０１２７】
【数８０】
0004738012.tif 000081
は、ウェハ１４４上の被膜のスタック１４２、例えば、レジストの上下の反射防止層、または他のプロセスによる被膜あるいはその両方の場合を含むように一般化することができる。単一の透過率τでは一般的な被膜スタック１４２への伝達は決まらない。振幅ｕを有し、下向きに移動して透過する波に加えて、レジスト層１４２は一般に、振幅ｖを有し、基板１４４から反射して上向きに移動する波も含むことになる。これらの振幅について解くために、被膜スタック１４２を上部サブスタックおよび下部サブスタックに分割する。これらのサブスタックは、レジスト内で像を計算したい深さの面によって分離されている。標準の薄膜法を用いて、上向きに移動する振幅ｖおよび下向きに移動する振幅ｕをそれぞれ計算することができる。上向きおよび下向きに移動するｓ成分（それぞれｖｓおよびｕｓ）ならびにｐ成分（それぞれｖｐおよびｕｐ）について別々に計算を行わなければならない。従来、薄膜法では、場の接線成分についての伝達係数が得られる。というのは、これらの係数について解く式が、界面全体にわたる接線成分の連続性を表しているからである。下記の本発明者らによる式２６により、これらの成分から電場が完全に回復される。
【０１２８】
これらの場について解くために、まず、各層ごとに、
【０１２９】
【数８１】
0004738012.tif 000082
と定義する標準の薄膜特性行列を計算する。ただし、β≡２πｎｄｃｏｓθ／λ、ｎは薄膜の屈折率、ｄはこの層の被膜の厚さである。Ｙは、ｓ偏光についてはＹ≡ｎｃｏｓθ、ｐ偏光についてはＹ＝ｎ／ｃｏｓθと定義する層アドミタンス（admittance）であり、θは、（スネルの法則から計算される）この被膜内の光線の角度である。これらの被膜行列を掛け合わせて、上部サブスタックに対してはサブスタック行列Ｍ１を、下部サブスタックに対してはＭ２を形成し、全スタック行列をＭＴｏｔ≡Ｍ１Ｍ２とする。次いで、
【０１３０】
【数８２】
0004738012.tif 000083
の４つの線形な式を、（補助変数ρＴｏｔおよびτＴｏｔを消去して）ｕおよびｖについて解き、ｓ偏光およびｐ偏光についてこの手順を繰り返す。次いで、レジスト１４２内の場が、
【０１３１】
【数８３】
0004738012.tif 000084
から得られる。ただし、
【０１３２】
【数８４】
0004738012.tif 000085
は、
【０１３３】
【数８５】
0004738012.tif 000086
と定義するものであり、ｖについても同様に定義する。
【０１３４】
非理想レンズの場合、像空間内の電場は、当技術分野では周知のように、偏光の光線追跡によって求めることができる。像空間の場
【０１３５】
【数８６】
0004738012.tif 000087
と、物体空間の場
【０１３６】
【数８７】
0004738012.tif 000088
の関係は、ジョーンズ（Jones）行列Ｊによる乗算として、次のように表し得る。
【０１３７】
【数８８】
0004738012.tif 000089
ここで、ジョーンズ行列Ｊを用いてレンズの複屈折性を含めることができる。次いで、式２４の一般化したバージョン
【０１３８】
【数８９】
0004738012.tif 000090
の中で、式２５を用いることができる。式２５および式２６では、式５、式６、および式７のｓ、ｐ基底（basis）を用いて行列Ｊが計算されると仮定する。そのため、式２６の
【０１３９】
【数９０】
0004738012.tif 000091
を用いて得られる像空間の電場
【０１４０】
【数９１】
0004738012.tif 000092
は、被膜スタックのベクトルの影響を含む。
【０１４１】
（式１０の）電場ＥＳのｓ成分と（式１１の）電場ＥＰのｐ成分は、単一のコヒーレント照明偏光
【０１４２】
【数９２】
0004738012.tif 000093
によって記述される。無偏光照明は、以下でさらに論じるように、最初に選択した直交する
【０１４３】
【数９３】
0004738012.tif 000094
からのコヒーレントによる寄与のインコヒーレント和として取り扱うことができる。
【０１４４】
カスタマイズした光源偏光
別の重要な一般化は、カスタマイズした偏光すなわち調整された偏光を有する光源についてのものである。例えば、ＮＡが１に近づくか、あるいは１よりも大きくなると、接線方向に（すなわち、傾いた入射面に直交する方向に）軸外（off-axis）照明を偏光させることによって、ある種のｌｏｗ−ｋ１構造体の像質を高めることができる。形式的には、このようなカスタマイズした偏光分布は、投影された照明方向
【０１４５】
【数９４】
0004738012.tif 000095
の
【０１４６】
【数９５】
0004738012.tif 000096
（したがって、
【０１４７】
【数９６】
0004738012.tif 000097
）関数を作成することによって取り扱うことができる。この投影された照明方向は、式１９との類推によって、
【０１４８】
【数９７】
0004738012.tif 000098
と定義される。こうすると、マスクによって回折される光の偏光を、より一般的なやり方で取り扱うこともできる。
【０１４９】
一般化した双１次カーネルに基づくベクトル像
本発明によれば、次に、レジスト１４２中の点
【０１５０】
【数９８】
0004738012.tif 000099
における一般化した双１次カーネルを含む全体的な像
【０１５１】
【数９９】
0004738012.tif 000100
についての式が得られる。そのためには、レジスト１４２中の各位置
【０１５２】
【数１００】
0004738012.tif 000101
における（各光源点からの、かつ独立な各照明偏光からの）全電場ベクトルを計算し、次いで、
【０１５３】
【数１０１】
0004738012.tif 000102
を計算し、その後、すべての光源点σおよびすべての独立な照明偏光
【０１５４】
【数１０２】
0004738012.tif 000103
にわたって加算する。（ｍ＝１からｍ＝ｍＭａｘ（一般に、ｍＭａｘは１または２に等しい）までの範囲にわたって、独立な光源偏光を加算することにより、無偏光または部分偏光照明を補償することができる。）像の式
【０１５５】
【数１０３】
0004738012.tif 000104
が得られる。以下でさらに論じるように、本発明によれば、式２８の像
【０１５６】
【数１０４】
0004738012.tif 000105
は、この時点では
【０１５７】
【数１０５】
0004738012.tif 000106
で与えられる一般化した双１次カーネル
【０１５８】
【数１０６】
0004738012.tif 000107
によって表されている。式２９は、光源関数
【０１５９】
【数１０７】
0004738012.tif 000108
および（レジスト・スタックについての情報も含み得る）レンズのインパルス応答関数
【０１６０】
【数１０８】
0004738012.tif 000109
だけから決まり、マスク透過率関数
【０１６１】
【数１０９】
0004738012.tif 000110
から独立している。
【０１６２】
式２８の最終行では、マスク・パターン
【０１６３】
【数１１０】
0004738012.tif 000111
を、「１倍寸法」でマスクを記述する一般慣行に従って、縮小率Ｒ＝１／Ａｂｓ（Ｍ）が１であるかのように記述した。式２８中の積分は、技術的には無限遠（infinity）に拡張すべきであるが、実際には、計算上の理由から、レンズの分解能、例えば±〜４λ／ＮＡよりもわずかに大きい（ＲＯＩ  ３１０などの）ドメインに限定される。
【０１６４】
【数１１１】
0004738012.tif 000112
は、この系の、収差を受けたスカラー瞳を表し、これは、デフォーカス収差を含み得る。投影レンズを照明することによる生じる像面内の電場分布を表わすために、記号
【０１６５】
【数１１２】
0004738012.tif 000113
も導入した。これを、レンズのベクトル・インパルス応答と称し、
【０１６６】
【数１１３】
0004738012.tif 000114
と定義する。ただし、
【０１６７】
【数１１４】
0004738012.tif 000115
は、所与の光源偏光ｍに対する投影インパルス応答であり、レンズの複屈折性を含めることもできるし、ゼロとは異なるデフォーカス位置に対応するデフォーカス収差を含めることもできる。
【０１６８】
【数１１５】
0004738012.tif 000116
は、レジストの分解能が制限されることの影響を含まないが、一般に、レジスト・スタック内の多重反射の影響を含む。ただし、式２６の像の場についてのより一般的な表現の代わりに、（式２１の場合と同様に）空間像の場
【０１６９】
【数１１６】
0004738012.tif 000117
を用いる場合、式３０の投影インパルス応答関数
【０１７０】
【数１１７】
0004738012.tif 000118
により、レジストの影響を受けることなく、このレンズの空間像インパルス応答が得られる。さらに、式２１中の先頭の項
【０１７１】
【数１１８】
0004738012.tif 000119
だけを残す場合、式３０中では、ベクトル干渉、レジスト被膜スタック、レンズの複屈折性、カスタマイズした光源偏光、および光源における可変部分偏光の度合いを含む一般化したインパルス応答ではなく、スカラー空間像インパルス応答が回復される。
【０１７２】
式２４または式２６の
【０１７３】
【数１１９】
0004738012.tif 000120
からは、レジスト中の特定の深さにおける場しか得られないことに留意されたい。このことは、単一の固定した像面内で計算した像にＯＰＣを適用する一般慣行に適合するが、多くの場合、レジストの深さ全体にわたって平均した露光像に基づいてＯＰＣを行うことが好ましい可能性がある。この深さ方向の平均は、例えばΔｚ＝０．１５λ／ＮＡ２で離間したいくつかの面にわたって平均することによって近似し得る。（同様な方法でレンズの焦点全体にわたって平均して、例えば、結像ビームに対するウェハの位置決めの変動を補償することができる。最新の走査型リソグラフィ機器では、この変動の一部はまさに累積されることになる。というのは、この変動は、結像フィールド全体にわたってウェハが走査されるときに生じるからである。）面の総数をＷとすると、（式２４または式２６から）各レジスト面ごとに得られる特定の
【０１７４】
【数１２０】
0004738012.tif 000121
の値を示す指数としてｗを用いて、式２８の像強度
【０１７５】
【数１２１】
0004738012.tif 000122
についての式に表れる双１次項は、
【０１７６】
【数１２２】
0004738012.tif 000123
になる。この式から、レジストの深さ全体にわたって平均化されたレジスト内の像が得られる。式３１では、複数の面内で場を計算することが必要とされるが、深さ方向に平均した像を実際に用いると、（用いるカーネルの総数が同じである限り）この事前計算が完了した後で追加の計算は必要とされない。双１次項中に
【０１７７】
【数１２３】
0004738012.tif 000124
が対で現れるとき、ｗ全体にわたって１回だけ加算すべきであることにも留意されたい。
【０１７８】
【数１２４】
0004738012.tif 000125
または
【０１７９】
【数１２５】
0004738012.tif 000126
の各複製（copy）の指数は、同じ値のｗとする。
【０１８０】
簡単にするために、式２８の像強度
【０１８１】
【数１２６】
0004738012.tif 000127
についての式中の内部積分を、
【０１８２】
【数１２７】
0004738012.tif 000128
および
【０１８３】
【数１２８】
0004738012.tif 000129
のｘ、ｙ成分についての４Ｄ関数である記号Ｖを用いて示す。その結果、本発明によれば、式２８の像強度
【０１８４】
【数１２９】
0004738012.tif 000130
は、以下に示すようにマスク・パターン全体にわたる二重コンボリューションになる。
【０１８５】
【数１３０】
0004738012.tif 000131
ただし、
【０１８６】
【数１３１】
0004738012.tif 000132
であり、これは、本発明によれば、マスク透過関数とは独立の一般化した双１次カーネルである。そのため、本発明によれば、式３２の像強度
【０１８７】
【数１３２】
0004738012.tif 000133
は、スカラー・ホプキンス積分の一般化とみなすことができるが、さらに、ベクトル回折、レジスト被膜スタック、および調整された光源偏光の影響を含む。さらに、本発明によれば、これにより、ＳＯＣＳ法が一般化されることになり、それによって４Ｄホプキンス積分が、２Ｄコンボリューションの二乗の和に変形される。さらに、ＩＣマスク・パターンのポリゴン形状を利用する場合には、例えば、ケイ・ライ（K. Lai）他（米国特許出願第１０／６９４，４６６号）が述べているように、マスク・パターン全体にわたるコンボリューション積分を迅速に計算することができる。レジストの屈折率が１に等しい場合、式３２の
【０１８８】
【数１３３】
0004738012.tif 000134
は、空間像に等価になることに留意されたい。
【０１８９】
マスクによるぼけ
しかし、マスクの形状
【０１９０】
【数１３４】
0004738012.tif 000135
は、厳密には多角形にならない。というのは、マスク製作ツールの分解能が有限であり、それによってパターン中のコーナが丸くなるからである。大雑把に言えば、マスク定義におけるこの損失を、マスクぼけ関数
【０１９１】
【数１３５】
0004738012.tif 000136
とのコンボリューションによって近似することができる。ぼけたマスク・パターンをｍ’と示すと、この近似では、式３２の像強度
【０１９２】
【数１３６】
0004738012.tif 000137
についての、マスクによるぼけを含む代替式が以下のように得られる。
【０１９３】
【数１３７】
0004738012.tif 000138
ただし、
【０１９４】
【数１３８】
0004738012.tif 000139
である。遺憾ながら、式３４の場合と同様に、マスクによるぼけを含む像強度
【０１９５】
【数１３９】
0004738012.tif 000140
は、値を求めるのに式３２よりもかなり多くの計算を必要とする。というのは、関数ｍ’が、２値ポリゴンではなく、連続的に変化する関数だからである。
【０１９６】
しかし、以下のように、マスクぼけ関数
【０１９７】
【数１４０】
0004738012.tif 000141
の影響を含めるように、式２８の強度
【０１９８】
【数１４１】
0004738012.tif 000142
を一般化することができる。
【０１９９】
式３５のマスク形状ｍを、式３４の強度
【０２００】
【数１４２】
0004738012.tif 000143
に代入すると、
【０２０１】
【数１４３】
0004738012.tif 000144
が得られる。変数を、
【０２０２】
【数１４４】
0004738012.tif 000145
のように変更すると、
【０２０３】
【数１４５】
0004738012.tif 000146
が得られる。ただし、
【０２０４】
【数１４６】
0004738012.tif 000147
であり、ここで、
【０２０５】
【数１４７】
0004738012.tif 000148
は、マスクなしの一般化した双１次カーネルである（式３３参照）。さらに変数を変更して式３８および式３９を変形することが好都合であり、それによって、
【０２０６】
【数１４８】
0004738012.tif 000149
が得られる。ただし、
【０２０７】
【数１４９】
0004738012.tif 000150
である。
【０２０８】
式４０では、式３４で用いるぼけたマスク
【０２０９】
【数１５０】
0004738012.tif 000151
ではなく、公称上のポリゴン・マスク・パターン
【０２１０】
【数１５１】
0004738012.tif 000152
が結像されることに留意されたい。
【０２１１】
このように、本発明によれば、式４０の像強度
【０２１２】
【数１５２】
0004738012.tif 000153
は、式４１の一般化した双１次カーネル
【０２１３】
【数１５３】
0004738012.tif 000154
を含む。この一般化した双１次カーネルは、マスク製作から生じるぼけを含み、一般化したベクトル・モデルを用いて、光学系によって（かつ、被膜スタック内での多重反射によって）生じるぼけを補償する（干渉するベクトル場によって生じ得る高ＮＡにおけるコントラストの損失も補償する）。
【０２１４】
ただし、レジストによるぼけは、レジストの分解能が有限であるために生じることがある。上記で論じたように、このレジストによるぼけは、光学像とぼけ関数とのコンボリューションによって、あるいはそれと等価には、変調伝達関数（modulation transfer function；ＭＴＦ）により像の空間周波数成分を減衰させることによって補償し得る。しかし、このような方法は、レジストぼけ関数と像との直接的なコンボリューションを伴い、効率が悪い。
【０２１５】
レジストによるぼけ
本発明によれば、例えば、２Ｄフーリエ変換（ハンケル（Hankel）変換）により、以下のようにレジストＭＴＦ（変調伝達関数）の測定値から実効レジストぼけ関数を求めることによって、レジストによるぼけの影響を像の中に効率よく含めることができる。
【０２１６】
【数１５４】
0004738012.tif 000155
ただし、
【０２１７】
【数１５５】
0004738012.tif 000156
は、レジストの露光応答、より具体的には、レジスト・スタック構造内のある面における露光応答であり、Ｊ０はベッセル（Bessel）関数である。レジストの露光応答は一般に、測定または推定するか、あるいはレジスト製造業者から提供される。リソグラフィに関係する像は、
【０２１８】
【数１５６】
0004738012.tif 000157
により光学像から求められる。遺憾ながら、この光学像
【０２１９】
【数１５７】
0004738012.tif 000158
は連続的に変化するものであり、それによって、ＯＰＣに必要とされる迅速な方法で式４３を積分することが難しくなる。ただし、本発明によれば、式４１に含まれる現象の拡張リストにレジストによるぼけが追加されるように改変された一般化した双１次結像カーネルＶ”を用いて、次のようにレジストの分解能を補償し得る。
【０２２０】
【数１５８】
0004738012.tif 000159
ただし、本発明による変形された一般化した双１次カーネル
【０２２１】
【数１５９】
0004738012.tif 000160
は、
【０２２２】
【数１６０】
0004738012.tif 000161
であり、この式は、レジスト・スタックの深さまたはある範囲の焦点位置、あるいはその両方の範囲全体にわたって平均したレジストによるぼけを含む。この一般化した双１次カーネルＶ”は、レジストぼけ関数ｇ２Ｄと組み合わせた投影インパルス応答関数（projection impulse response function）
【０２２３】
【数１６１】
0004738012.tif 000162
も含む。一般化した双１次カーネルＶ”は、マスクによるぼけｂおよびベクトル結像の影響も含む。レジストぼけ関数、マスクぼけ関数その他のレジスト・スタックによる影響のいずれか１つと組み合わせたものを、以下では露光応答と称する。Ｗが１の場合、式４５は、単一のレジスト面におけるレジストによるぼけを表す。
【０２２４】
【数１６２】
0004738012.tif 000163
で与えられる式４５の一般化した双１次カーネルの最後の項は、（スカラーまたはベクトル）投影インパルス応答、マスクによるぼけ、およびレジストによるぼけを含めて、リソグラフィ・サブシステムの双１次インパルス応答を表すことに留意されたい。さらに、本発明によれば、このサブシステムのインパルス応答は、（マスクによるぼけを伴わずに）レジストによるぼけを伴うスカラーまたはベクトルの投影インパルス応答、あるいは、（レジストによるぼけを伴わずに）マスクによるぼけを伴うスカラーまたはベクトルの投影インパルス応答を含み得る。
【０２２５】
式４５の一般化した双１次カーネルＶ”は通常、レンズの一般化したベクトル・インパルス応答
【０２２６】
【数１６３】
0004738012.tif 000164
（式３０）を利用することになるが、その代わりにこのインパルス応答
【０２２７】
【数１６４】
0004738012.tif 000165
を、式２１の電場の項
【０２２８】
【数１６５】
0004738012.tif 000166
、または式２１の先頭の項
【０２２９】
【数１６６】
0004738012.tif 000167
を用いて計算して、空間像またはスカラー空間像にそれぞれ関与する一般化した双１次カーネルが得られることを上記で述べた。
【０２３０】
任意選択で、マスクによるぼけ、レジストによるぼけ、深さ平均化、および焦点平均化を後で追加し得る。
【０２３１】
ＴＣＣ（Transmission Cross-CorrelationCoefficient；透過相互相関係数）
式４５の一般化した双１次カーネル
【０２３２】
【数１６７】
0004738012.tif 000168
をフーリエ変換すると、ＴＣＣ（透過相互相関係数）として知られているものの一般式が次のように得られる。
【０２３３】
【数１６８】
0004738012.tif 000169
ただし、大文字の各変数は、小文字の同じ記号で示す空間ドメイン量のフーリエ変換を示す。変数Ｈは、この規則の例外であり、Ｈを用いて、傾角ファクタ（obliquity factor）Ｏと組み合わせた円形のレンズの瞳Ｐ（例えば、スカラー投影インパルス応答関数のフーリエ変換に等しい円形のトップハット関数（tophatfunction））、またはより一般的には、存在し得る傾角ファクタおよびレンズのデフォーカスと組み合わせた収差を受けたスカラー瞳を示す。
【０２３４】
レジストによるぼけモデルへの適用
式４５の一般化した双１次カーネルＶ”は、レジスト・スタック内での多重反射によってもたらされる光学的な露光におけるぼけ、レジスト材料自体の分解能が有限であることの影響、および（深さ全体にわたって平均化した場合の）レジスト層内でのデフォーカスの影響、ならびにベクトル場を結像する有限ＮＡレンズに固有な分解能の制限を含む。ただし、この一般化した双１次カーネルＶ”は、（露光されたレジストのパターンを現像するのに使用する化学物質である）現像液が、露光潜像と相互作用して現像された回路構造体を転写（印刷）する際に生じる動的な影響も、現像されたレジスト構造体を無機回路被膜に伝達（転写）する際に生じる類似の影響も含まない。レジストは、ハードによる制限（hard-limited）を強く受けるので、これらの動的な伝達の影響は小さい。例えば、レジストは、Γをレジスト・コントラストとするべき法則による非線形性によって特徴づけられる。このレジスト・コントラストΓは、一般に１０よりも大きい。そのため、レジストの現像は、一次のオーダーでは（tofirst order）定数閾値モデルに従い、所与の構造体のエッジを指定したターゲット位置に転写するという目標は、その位置における強度が基準強度に等しくなるように要求することによってほぼ満足される。この基準強度は、特にクリティカルな構造体のエッジ強度として選択することが多い。というのは、最もクリティカルな構造体のエッジが公称位置に（atnominal）転写されるように現像プロセスを全体的に調整するからである。
【０２３５】
しかし、実際には、レジスト・コントラストΓは無限大にはなり得ない。そのため、転写される構造体は通常、公称上の像の輪郭からわずかに離れるようにバイアス（bias）されることになる。これは、バイアスとして、あるいは等価には（バイアスが小さい場合）、エッジ強度の実効的変化として補償し得る。ブラナー−ファーガソン（Brunner-Ferguson）・モデルなど、ある種の現像モデルでは、このバイアス（または強度変化）は、公称エッジ位置における強度および強度勾配の関数としてモデル化され、これをｆ（Ｉ，∂Ｉ／∂ｘ）と示す。（一般性を失わずに、水平の向きの構造体の右側エッジを考えると、像の勾配は、ｘに沿った正の導関数として表すことができる。）ｆを級数に展開する場合、そのエッジにおける実効強度について、
【０２３６】
【数１６９】
0004738012.tif 000170
が得られる。ただし、
【０２３７】
【数１７０】
0004738012.tif 000171
は、∂Ｉ／∂ｘの略式表現であり、
【０２３８】
【数１７１】
0004738012.tif 000172
は、基準構造体のエッジを指す。ここで、ｆ（１）およびｆ（２）は、小さな補正係数を表す。
【０２３９】
係数ｆ（１）およびｆ（２）は、解析的に、あるいは、実験データに適合させることによって求めることができる。この実効強度は、異なるパラメータｃ０、ｃ１、およびｃ２に関して、
【０２４０】
【数１７２】
0004738012.tif 000173
と等価的に表し得る。強度Ｉに関する一般化した双１次カーネルＶが、本発明による上記で説明した方法によって得られる場合、直接代入することによって、ｃ０およびｃ１が組み込まれるようにこの一般化した双１次カーネルＶを直ちに変形することができる。
【０２４１】
【数１７３】
0004738012.tif 000174
に関するカーネルは、いくつかの方法で、例えば、Ｖの固有ベクトル展開式を微分することによって得ることができる。次いで、実効強度Ｉｅｆｆを、強度および強度勾配の別々の計算値から後で計算するのではなく、直接計算することができ、それによって実行時間が短くなる。本発明によれば、一般化した実効双１次カーネルが、次のように得られる。
【０２４２】
【数１７４】
0004738012.tif 000175
ただし、Ｌは、一般化した双１次カーネルＶ”の保持する固有関数Ψの数を表す。
【０２４３】
【数１７５】
0004738012.tif 000176
は、ｘに関するΨの部分導関数である。次いで、一般化した実効双１次カーネルＶｅｆｆを対角化して１組の最終の固有関数にする。
【０２４４】
同様に、他の実験的な項をＶｅｆｆに追加し得る。エッジ近傍において、Ｉの挙動に対するΔＩの一般的な汎関数（functional）依存性を仮定すると、この依存性を汎関数テイラー（Taylor）級数に展開し、１次カーネルΩを伴うＩの積分の形を取る最低次数の線形項（すなわち、汎関数テイラー級数の１次項）を得ることができる。すなわち、
【０２４５】
【数１７６】
0004738012.tif 000177
となる。ただし、明示的な適合定数ｃ３を含めた（これはΩに吸収させることもできる）。Ωは、ＣＤデータ、例えば、多くの異なる補助構造体の組合せを含むＣＤデータに対する適合度から求めることができる。適合処理中に、正則化項（regularizing term）を追加することができ、それによって、Ωの滑らかで単調な挙動が確保される。Ωが求まると、単に線形係数ｃ３を調整し直すことによって、この適合度を、後のデータに対して更新することができる。こうすると、
【０２４６】
【数１７７】
0004738012.tif 000178
が得られる。ただし、ΔＶΩは、式４５の一般化した双１次カーネル
【０２４７】
【数１７８】
0004738012.tif 000179
の中のレジストぼけ関数ｇ２Ｄの代わりに、
【０２４８】
【数１７９】
0004738012.tif 000180
で与えられる補正された影響関数ｇΩを用いることによって得られる。（この影響関数を実験的に求めると、直接ｇΩが求まる可能性がある。）式５２中の（１＋ｃ１）およびｃ３の項は、全ぼけ関数
【０２４９】
【数１８０】
0004738012.tif 000181
として合成することができることに留意されたい。多くの場合、ｇΩは、ｇ２Ｄよりも長い範囲の関数である。そのため、形式的には、ｇＬをレジストぼけ関数の遠距離成分、あるいは、別の（しばしば密度のような（density-like））影響関数とみなすことができる。ｃ１およびｃ３における再調整が企図されない場合、（反復によって）式５２のｃ２勾配項中でＶｅｆｆ自体の固有関数が使われるようにする１回限りの適合処理を実施することが望ましい可能性がある。これは、適合するカーネルを後で適用することに対応していない既存のＯＰＣソフトウェアに、表形式のカーネルを入力する場合に好都合である。一方、範囲が長いというｇΩの特徴により、保持する固有ベクトルの数が多くならざるを得ない場合、ｃ３項を、主像の一般化した双１次カーネルＶ”とは別のままにし、ＯＰＣの計算を最も正確に行う必要がある場合にのみ、ｃ３項を強度に追加することが好まれることがある（例えば、プリント・スルー（print-through）または基本像の極性を確認するとき、あるいは、ＯＰＣの初期反復を実施するときにはｃ３項を追加しない）。
【０２５０】
ＳＯＣＳ分解の一般化
本発明によれば、一般化した双１次カーネルを用いて、ＳＯＣＳ分解を一般化することができる。一般化した双１次カーネル演算子Ｖ”の支配的な固有関数（あるいは、演算子Ｔ”の支配的な固有関数のフーリエ変換（その後、これらはフーリエ変換される））、およびそれらに関連する固有値を計算する。固有関数Ψおよび関連する固有値μは、次式を満足する。
【０２５１】
【数１８１】
0004738012.tif 000182
【０２５２】
高速事前計算
式５５は、行列固有分解（matrix eigendecomposition）法を用いてΨおよびμについて解くことができる。一般に、１０個または２０個の最も大きい固有値および関連する固有関数だけを計算するだけでよい。（これらを支配的な固有要素と称する。）これらの固有要素は、式５５の積分を、グリッド・ステップを０．２λ／（ＮＡ（１＋σＭａｘ））程度とするグリッド上での加算として近似することによって見つけることができる。ここで、σＭａｘは、用いられる中で最も斜めに入射する照明方向の傾きを示す。例えば０．４という下限をσＭａｘに設定することもできる。これは、実際に用いるσの最大値がこれよりもいくらか小さい、ほぼコヒーレントな（near-coherent）特定の露光プロセスにも当てはまる。したがって、一般化した双１次カーネルＶを、行および列に沿ってステップ・アウトした（stepout）変数
【０２５３】
【数１８２】
0004738012.tif 000183
および
【０２５４】
【数１８３】
0004738012.tif 000184
を有する行列として近似し得る。（これらの変数はそれぞれ、実際には２次元であるが、それらに関連する２Ｄグリッドを解放（unwrapped）して、行列の軸に沿う分解された（unraveled）線形グリッドにする。）
【０２５５】
可変グリッドの事前計算
行列のサイズは、可変グリッド・アルゴリズムを用いることによって、精度を犠牲にすることなく小さくし得る。このアルゴリズムでは、一般化した双１次カーネルが小さいか、またはゆっくりと変化するか、あるいはその両方の場合には比較的粗いグリッドを用いる。ｋ番目の行または列におけるｘおよびｙのグリッド・サイズをΔｘｋおよびΔｙｋとする。次いで、グリッド処理し直した行列
【０２５６】
【数１８４】
0004738012.tif 000185
が、
【０２５７】
【数１８５】
0004738012.tif 000186
で与えられる改変された離散行列式
【０２５８】
【数１８６】
0004738012.tif 000187
の固有ベクトルΨ’（ｘｊ，ｙｊ）を計算すると、結像カーネルＶの所望の固有ベクトルΨ（ｘｊ，ｙｊ）は、
【０２５９】
【数１８７】
0004738012.tif 000188
で与えられることになる。
【０２６０】
縮小基底による事前計算
カーネル行列（式５７）の支配的な固有ベクトルおよび固有値（式５８）は、ランチョス（Lanzos）法などの標準的な方法で得ることができる。これらの標準的な方法では、支配的な度合いが最も低い固有要素の計算を回避することができ、それによって効率が向上する。
【０２６１】
行列のサイズは、適切な縮小基底にマッピングし直すことによって、かなり小さくし得る。適切な縮小基底は、例えば、類似のシステム・パラメータの下で得られた以前に計算済みの固有ベクトルからの縮小基底ベクトル、あるいは粗いグリッドによる解から形成した縮小基底ベクトルなどの新しい縮小基底ベクトルによって元のカーネル行列の固有ベクトルが近似されるように得られることが好ましい。同様に、このような縮小基底の行列に対して固有解析を実施して、反復固有解アルゴリズム用の良好な開始解（starting solution）を得ることができる。そのために、この縮小基底の行列の固有ベクトルを変換して、元のグリッド基底に戻す。次いで、必要な場合には、ランチョス法などの方法によって、元のカーネル行列の固有ベクトルを反復して精緻化することがある。
【０２６２】
カーネル行列（空間ドメイン内の一般化した双１次カーネルＶ、またはフーリエ・ドメイン内の一般化した双１次カーネルＴ）中の要素の総数は、ＲＯＩの４乗に比例し、これらの固有要素を計算するのに必要とされる時間は通常、これよりもさらに速く増加する（例えば、固有解析の計算時間は、要素の数の３／２乗に比例することがある）。ＲＯＩを通常よりも大きくしなければならない場合（例えば、離れた構造体からのフレアその他の相互作用を含めなければならないとき、あるいは、実効レジストぼけ関数が長く尾をひくとき）には、カーネルおよびその固有関数の計算に伴う事前計算を最小限に抑えることが特に望ましい。これは、例えばデータ・フィッティングなどで多くの異なる系のモデルを計算しなければならないときにも重要である。
【０２６３】
事前計算への対称性の適用
本発明によれば、一般化した双１次カーネルの値の計算（evaluation）時間は、カーネルのエルミート（Hermitian）対称性を利用すると、すなわち、
【０２６４】
【数１８８】
0004738012.tif 000189
を利用してカーネルの値の計算の半分をなくすと、２分の１に短縮し得る。
【０２６５】
ＲＯＩの境界を円形とみなすことは、多くの場合許容可能である。その場合、（カーネルの各変数において）正方形ドメインではなく円形ドメインを用いて、カーネルの値の計算時間および行列のサイズをともに、（π／４）２分の１に減少させることができる。
【０２６６】
通常、カーネルの値の計算時間および固有解析時間はともに、系の対称性を利用して大きく減少させることができる。例えば、投影レンズは、残余の不完全さを無視すれば、公称上回転対称であり（少なくとも、基になる設計形態の公称軸は、物理的なリソグラフィ・レンズ自体が軸外結像フィールドを利用するときでさえ、回転対称である）、通常、ＯＰＣ補正を実施するときに残余の非対称性を含めることは望ましくない。というのは、収差に固有な補正では、機器に固有なマスクを使用することが必要とされ、この補正がチップ全体にわたって異なる場所で繰り返し行われるときには、単一の回路要素が複数のＯＰＣ解法を強制的に受けることにもなるからである。デフォーカスは、場合によってはこの規則の例外になる。すなわち、デフォーカスは、ＯＰＣを行う際に考慮に入れるべき１つの収差になることがあるが、デフォーカスでは回転対称性が保存される。
【０２６７】
本発明では、対称でない系を取り扱うことができる（かつ、単一の平均化した４Ｄカーネルを使用することによって走査経路（scan path）全体にわたって平均した像を扱うことができる）が、対称性を利用すると事前計算はかなり高速になる。
【０２６８】
系が対称であるためには、光源においても対称性が求められる。残余の光源非対称性はほとんどの場合、残余のレンズ対称性と同様に、ＯＰＣを行う際に意図的に無視されるが、公称上の（nominal）光源でさえ、レンズよりももともと対称性の度合いが低いことがよくある。（例えば、レンズが回転対称であっても、光源が双極子形状（dipoleshape）を有することがある。）ほぼすべての場合において、（公称上の）光源形状は、ｘ軸およびｙ軸について少なくとも左右（bilateral）対称である。ほとんどの場合、光源は、４５°、１３５°の対角線についても対称であり（というのは、これにより、垂直および水平の向きの構造体において釣り合いのとれた性能が得られるからであり）、主な例外は、双極子の光源である。場合によっては、光源形状も回転対称（例えば、ディスクまたは環状の光源）である。これらの形状対称性は、光源が無偏光のときには光源において全体として保存され、好ましくは、光源の偏光がより複雑な分布に意図的にカスタマイズされるときにも維持されるべきである。公称投影レンズ（デフォーカスを伴う場合でも）、ならびにレジスト・スタック内の等方性（isotropic）被膜、さらに等方性のマスクおよびレジストのぼけ関数は、これら慣行の光源対称性のいずれにもあずかることになる。そのため、系全体の対称性を一般に決めるのは、光源の対称性である。
【０２６９】
事前計算における左右対称性の適用
ＯＰＣが対象とするほぼすべての場合において、系は、ｘ軸およびｙ軸について左右対称を示す。ここでは、これを「双極子対称性」と称する。というのは、（おそらくは、リソグラフィで使用する公称光源のうち、最も対称性が低い）双極子光源でさえこの対称性に従うからである。双極子対称性を有する光源は、実際には４重の鏡面対称性を有することに留意されたい。すなわち、
式６０
Ｖ（ｘ’，ｙ’；ｘ”，ｙ”）≡Ｖ（−ｘ’，ｙ’；−ｘ”，ｙ”）
Ｖ（ｘ’，ｙ’；ｘ”，ｙ”）≡Ｖ（ｘ’，−ｙ’；ｘ”，−ｙ”）
である。式６０は、一般化した双１次カーネルＶの固有関数において類似の対称性を要求する。これを理解するために、Ψ（ｘ’，ｙ’）がこのような固有関数である場合、式５５に例えばΨ（−ｘ’，ｙ’）を直接代入した後で式６０を適用すると、Ψ（−ｘ’，ｙ’）も、同じ固有値を有するＶの固有関数になることが示されることに留意されたい。そのため、線形な組合せ
【０２７０】
【数１８９】
0004738012.tif 000190
を形成することによって、ｘに関して（同様にｙに関しても）Ｖの固有関数が奇関数または偶関数のいずれかになることがわかり、また、μに関する２重（two-fold）の縮退（degeneracy）の場合には、関連する固有関数が、奇関数または偶関数のいずれかにしかならない副空間（subspace）固有基底関数にまたがることがわかる。
【０２７１】
次いで、パラメータξｘによって、Ψが奇対称のときξｘ＝−１になり、偶対称の場合にξｘ＝＋１になるように、ｘに沿ったΨの奇対称または偶対称を指定する。同様に、パラメータξｙを用いて、Ψのｙに沿った対称性を指定する。式５５の積分中の変数を適当に変更することによって、積分のドメインを、次のように正のｘ’、ｙ’象限にマッピングし直すことができる。
【０２７２】
【数１９０】
0004738012.tif 000191
式６１中の積分ドメインの面積は、式５５中の積分ドメインの面積の４分の１であり、ｘ”、ｙ”に関する範囲の４分の１の広さ（すなわち、０＜ｘ”＜ＲＯＩ、０＜ｙ”＜ＲＯＩ）にわたって値を求めるだけでよい。というのは、他の（負の）象限では、対称性によって（ξｘ、ξｙに従って）Ψが求まるからである。そのため、式６１を離散化させることによって得られる行列に含まれる要素の数は、単に式５５を離散化させることによって得られるであろう数の１６分の１であり、式６１の行列の固有要素をはるかに迅速に（例えば、固有解法のスピードが要素の数の３／２乗に比例する場合には、６４分の１の時間で）見つけることができる。ただし、式６１は、（ξｘ、ξｙの４つの異なる組合せがあるので）４回解かなければならず、そのため、典型的な例では、固有解法の総時間は、このように系の左右対称性を利用すると、約１６倍向上し得る。本発明の一般化した双１次カーネルＶの値を求める点の数は４分の１だけでよいので、スピードも速くなる。ξｘとξｙの組合せごとに別々の（支配的な）固有解が得られた後でそれらを合成し、それを用いてＶの支配的な固有要素が得られる。一般に、ξｘ、ξｙの異なる組合せにより、異なる固有値が得られることに留意されたい。
【０２７３】
事前計算への４重極対称性の適用
ｘ軸およびｙ軸についての対称性を有することに加えて、光源（および全体としての投影系）は、ほとんどの場合、±４５°の対角線についての左右対称性も有する。ここでは、これを「４重極（quadrupole）対称性」と称する。というのは、標準の４重極光源形状がこれに従うからである。これは、各８分円の境界について、この系が８重の鏡面対称性を有することを示唆していることに留意されたい。このような系に対する一般化した双１次カーネルは、
式６２
Ｖ（ｘ’，ｙ’；ｘ”，ｙ”）≡Ｖ（ｙ’，ｘ’；ｙ”，ｘ”）
の関係に従い、引き続き、式５９および式６０の双極子ならびにエルミート対称性に従う。双極子対称性に対して上記で行ったのといくらか同じやり方で、式６２の対称性を利用し得るが、４重極の場合はより複雑である。式６１を満足する固有関数の転置行列（transpose）Ψ（ｙ’，ｘ’）の代わりに、４重極対称カーネルを式６１の演算子に代入し（すなわち、折り畳まれた双極子対称カーネルを、転置した（対角線について反転した）固有関数に適用し）、次いで、積分中の変数を、ｘ’→ｙ’、ｙ’→ｘ’に変更し（入れ替え）、その後、式６２を適用する場合、（ξｘおよびξｙを適切に選択すると）Ψ（ｙ’，ｘ’）が、Ψ（ｘ’，ｙ’）と同じ固有値を有するＶの固有関数になることがわかる。さらに、ξｘ＝ξｙである場合、転置した固有関数は、Ψ（ｘ’，ｙ’）と同じ双極子対称性を有することになり、すなわち、同じ値のξｘおよびξｙの下で式６１を満足することになる。そのため、まず、双極子対称性ξ＝＋１または−１に従う４つの固有関数のサブセットを求めることを考える。ただし、ξは、ξ≡ξｘ＝ξｙによって定義する。４つの固有関数からなるこの組は、式６１を、下記のように１つの８分円に対する積分に変形することによって得られる。
【０２７４】
【数１９１】
0004738012.tif 000192
ただし、ξ４５は、＋１または−１とし得る。離散グリッドに（すなわち、行列式に）変形することによって式６３を解く場合、所与のξについての解は、（ξ４５＝＋１およびξ４５＝−１の選択に対応する）２つの行列の選択についての固有解析を必要とする。それぞれの選択では、双極子対称性の場合からサイズが４分の１に小さくなっている。こうすると、解法時間が要素の数の３／２乗に比例する場合、双極子固有解析の対応する部分に比べて正味４倍のスピードの向上がもたらされる。必要とされるカーネルの値の計算は２分の１に減る。
【０２７５】
残りの４重極対称固有関数は、ξｘ＝−ξｙに関連するものであり（すなわち、これらは、反対の対称性、すなわち、ｘ−ｙ非対称の双極子対称性と名付けることができるものを有する解であり）、これらは式６３で利用した種類の８分円の（octagonal）折畳み（folding）に従わない。これは、上記の式６１にΨ（ｙ’，ｘ’）を代入することによって理解し得る。この場合、転置したΨは、Ψ（ｘ’，ｙ’）と同じ固有値を有するが、反対の双極子パラメータを有する（すなわち、ξｘ→ξｙ、ξｙ→ξｘとした）固有関数であることがわかる。そのため、このような固有要素を計算する際に４重極対称性を利用するために、まず、式６１の折り畳まれた双極子対称性カーネルを用いて、反対の対称性の１つの組合せを解く（例えば、ξｘ＝＋１、ξｙ＝−１を選択し、双極子としてこのケースを解く）。こうした後で、第１の組の転置行列をとる（例えば、Ψ（ｙ’，ｘ’））ことによって、残りのケース（例えば、ξｙ＝＋１、ξｘ＝−１）についての固有関数が直ちに回復される。これは、双極子解法の対応するステップに比べて正味２倍のスピードの向上を示している。同様に、式６２を利用すると、必要とされるカーネルの値の計算は半分だけでよい。
【０２７６】
４重極対称性は、Ψ（ｘ’，ｙ’）が固有関数であるときはいつでもΨ（ｙ’，ｘ’）が固有関数になることを示唆しているが、これは、ξｘ＝ξｙ＝±１のときにはむしろ自明な結果である。というのは、このような場合には、式６３の８分円の折畳み対称性は、Ψ（ｙ’，ｘ’）とΨ（ｘ’，ｙ’）が実際には（−１を掛ける範囲内で）同じ関数になることを示しているからである。しかし、残りの２つの双極子のケース（ξｘ＝−ξｙ＝＋１およびξｘ＝−ξｙ＝−１）についての固有関数は、簡単な転置行列によって関連づけられているが、（同じ固有値を有する）別個の関数であり、そのため、これらのケースで得られる（等しい）固有値は、２重に縮退している。ξｘ＝−ξｙのときには、Ψ（ｙ’，ｘ’）とΨ（ｘ’，ｙ’）の任意の線形な組合せも、同じ固有値を有する固有関数になる。
【０２７７】
事前計算における回転対称性の適用
光学系が回転対称である場合、アール・エム・フォン・ビュノー（R.M. vonBunau）、ワイ・シー・パティ（Y.C. Pati）、ワイ・ティー・ウォン（Y.-T. Wang）、「放射対称光学系用の最適なコヒーレント分解（Optimalcoherent decompositions for radially symmetric optical systems）」、真空科学技術ジャーナル（J.Vac. Sci. Technol.） B15、no.6 (1997)、2412頁に開示されている方法の数値バージョンを用いて、固有要素を見つけることができる。以下、この文献をフォン・ビュノーと呼ぶ。（フォン・ビュノーは、ディスク状または環状の光源の場合の収束したホプキンス・カーネル（focusedHopkins kernel）の固有関数の解析的な式も見つけた。）おそらくは、現在用いられているリソグラフィ光源の大部分は、ディスク形状または環状であり、これらの光源は、無偏光または接線方向に偏光している場合（あるいは、スカラーとして取り扱う場合）には円対称になる。デフォーカス下では、回転対称性が保存される。等方性のマスクまたはレジストによるぼけの存在下でも、レジスト被膜スタックの等方性の層内でも同様である。回転対称性は連続な対称性であり、以下で示すように、これにより、固有問題の次元の数を１つ少なくすることができ、それによってかなりの時間が節約される（問題のサイズが大きくなるにつれ、ますますそうなる）。さらに、ここでは支配的な固有要素にしか注目していないので、対称性により導出された３Ｄカーネルの分解を、いくつかの２Ｄ問題の分解で置き換えることができるという意味で、次元の数を４から「２．５」に減らすことができる。実際の関心事の点では、この追加の時間的な節約は相当なものである。放射対称性により、高速ハンケル変換を用いてすべてのフーリエ変換が効率よく実行されることにも留意されたい。
【０２７８】
このような節約を実現する方法を理解するために、無偏光光源の場合の式４５の一般化した双１次カーネル
【０２７９】
【数１９２】
0004738012.tif 000193
を考える。この場合、ｍＭａｘは２であり、ｘ方向およびｙ方向に偏光した照明下の相関のない像全体にわたって和が拡張される。そのため、式１０の電場のｓ偏光成分および式１１の電場のｐ成分についての理想レンズ・モデルの下で、本発明によれば、一般化した双１次カーネルＶ”は、
【０２８０】
【数１９３】
0004738012.tif 000194
になる。ただし、
【０２８１】
【数１９４】
0004738012.tif 000195
は、式２のホプキンス・カーネル中に現れるコヒーレンス関数であり、投影インパルス応答関数は、
【０２８２】
【数１９５】
0004738012.tif 000196
である。したがって、１つの８分円全体の
【０２８３】
【数１９６】
0004738012.tif 000197
に対して、関数
【０２８４】
【数１９７】
0004738012.tif 000198
を形成し、次いで、対称性によって、
【０２８５】
【数１９８】
0004738012.tif 000199
のドメインの残りを埋める。ＦＦＴによってｆとｇ２Ｄとのコンボリューションを行った後で、本発明によれば、一般化した対称な双１次カーネルＶ”を、極座標の３Ｄ関数として、次のように表すことができる。
【０２８６】
【数１９９】
0004738012.tif 000200
ただし、θ≡θ’−θ”である。
【０２８７】
次いで、
【０２８８】
【数２００】
0004738012.tif 000201
のｍ次の方位フーリエ成分（azimuthal Fourier component）を以下のようにｖｍと示すと、
【０２８９】
【数２０１】
0004738012.tif 000202
となり、所与の値のｍについての固有解析問題を、純粋な放射方向（各変数に関して１Ｄ）の問題に変形することができる。ｍ番目の方位次数に関連する、Ｖ”のこれらの固有関数を計算するときに、ｊ番目のこのような固有関数が、
【０２９０】
【数２０２】
0004738012.tif 000203
で与えられることがわかる。ただし、ψ’ｊ，ｍは、ｖｍから得られる対称化した２Ｄ放射方向カーネルのｊ番目の固有関数を示し、すなわち、
【０２９１】
【数２０３】
0004738012.tif 000204
である。λｊ，ｍは、Ψｊ，ｍに関連する固有値である。これらの固有値は、ｍ≠０のときに縮退することに留意されたい。この場合、式６９で＋ｍおよび−ｍについて定義した固有関数Ψｊ，ｍにより、副空間にまたがる１つの対が得られる。ｍについての妥当な値は約１０である。
【０２９２】
一般化した双１次カーネルのＯＰＣへの適用
固有要素を計算した後で、従来方式のＯＰＣ方法で行う場合とほぼ同じやり方で、ＯＰＣ断片点（fragmentation point）における本発明による像強度
【０２９３】
【数２０４】
0004738012.tif 000205
を計算することができる。これは、例えば、支配的な各固有関数Ψごとに１組のセクタ・コンボリューションＣΨをあらかじめ記憶させることによって行うことができる（縦横の幾何形状（Manhattan geometry）に対しては、この組は、９０°のコーナとのコンボリューションを示す単一のこのようなセクタ・コンボリューションを含むだけでよいが、他の幾何形状では、他のコーナ角度についての追加のコンボリューションを必要とする。）次いで、点
【０２９４】
【数２０５】
0004738012.tif 000206
における像強度を、Ｍ個の支配的な固有要素およびＲＯＩに取り囲まれたＬ個のコーナ全体にわたって加算することによって、次のように計算する。
【０２９５】
【数２０６】
0004738012.tif 000207
ただし、
【０２９６】
【数２０７】
0004738012.tif 000208
は、ｌ番目のコーナの位置であり、δｌは、このコーナを含むポリゴンの周囲をたどるときにこのコーナが現れる順番に応じて＋１または−１になる（ケイ・ライ他、米国特許出願第１０／６９４，４６６号を参照されたい）。こうすると、（ホプキンス・モデルとともに使用するように設計されたソフトウェアを含めて）ＭＢＯＰＣソフトウェアが、このＣΨのテーブルを用いることができる。
【０２９７】
式７１を、例えば、ポリゴンのエッジに直交する方向に、位置
【０２９８】
【数２０８】
0004738012.tif 000209
に関して微分するのは簡単であり、ＣΨの導関数のテーブルをあらかじめ記憶させることができる。すなわち、以下でさらに論じるように、像の傾きを伴うレジスト現像モデルも、本発明によって実現される高速な計算スピードを活用することができる。
【０２９９】
この時点で、一般化した双１次カーネルＶ”についての式４５および透過相互相関係数Ｔ”についての式４７のいくつかの計算の態様を検討することが適当である。これらの値の計算は、
【０３００】
【数２０９】
0004738012.tif 000210
が、
【０３０１】
【数２１０】
0004738012.tif 000211
および
【０３０２】
【数２１１】
0004738012.tif 000212
の両方に依存していることによって複雑になる。（もちろん、この値の計算は、本発明の事前計算ステップ中に行うだけでよく、この計算の結果、カーネルの固有関数が得られた後で、対象とするマスク形状に本発明を実際に適用するときには、式４５の計算の負荷は発生しない。）偏光光源に関する式２７に関する議論で述べたように、光源の偏光がカスタマイズされた（不均一な）状態では、
【０３０３】
【数２１２】
0004738012.tif 000213
の
【０３０４】
【数２１３】
0004738012.tif 000214
への依存性が生じる。最もよく知られている例は、おそらくは、ＴＥ（横方向電場）偏光中の（高ＮＡにおける）クリティカルな空間周波数を結像するために偏光が接線方向に向けられる環状光源である。マスクとウェハの間で生じる、光線の偏光
【０３０５】
【数２１４】
0004738012.tif 000215
の偏光の変化は、回折方向
【０３０６】
【数２１５】
0004738012.tif 000216
にしか依存しないが、マスクから回折する偏光は、照明光線の偏光、したがって、
【０３０７】
【数２１６】
0004738012.tif 000217
にも依存することになる。χｘおよびχｙが、（上記で説明した光源偏光についての局所的な座標系における）照明光線のｘ’およびｙ’の偏光成分を示すものとすると、χｘおよびχｙにより、調整された、またはカスタマイズし得る光源の偏光分布のマップが得られる。次いで、薄膜マスク近似を用いて、マスクから回折した後の光線偏光のｐ成分についての式が、下記のように得られる。
【０３０８】
【数２１７】
0004738012.tif 000218
（ｓ成分についても類似の式が当てはまる。）ここで、
【０３０９】
【数２１８】
0004738012.tif 000219
は、マスク・パターンのフーリエ成分であり、式１３で与えられる。照明光線に沿う強度
【０３１０】
【数２１９】
0004738012.tif 000220
が別の項として取り出されるように選択して、χｘおよびχｙを単位ベクトルの成分とした。係数Ｄは、回折される偏光の照明偏光への依存性を表す。例えば、上記で論じた空間的な不変性についての一般化した仮定の下で、例えばｘ’方向に偏光した光源のケースでは、回折される偏光が照明光線方向からは独立しているとみなすことになる。この
【０３１１】
【数２２０】
0004738012.tif 000221
についての独立性を、（光源Ｓではなく、瞳Ｈを示すために）上付き文字（Ｈ）を追加することによって示す。式１０および式１１を導出するために上記で用いた特定のモデルをさらに適用すると、
【０３１２】
【数２２１】
0004738012.tif 000222
が得られる（式１１参照）。（ｐの単位ベクトルもＤ（Ｈ）に吸収して、それをベクトル量とした。）
【０３１３】
式４５の一般化した双１次カーネルＶ”を含む積分の迅速な値の計算に、式７３の簡単な空間的不変性モデルを無理に用いる必要はない。より一般的には、
【０３１４】
【数２２２】
0004738012.tif 000223
を（
【０３１５】
【数２２３】
0004738012.tif 000224
とともに）光源の各領域内で分離可能な形で記述し得ることを仮定するだけでよい。例えば、光源を合計Ｊ個の領域に分割し、それぞれを指数ｊで参照する場合、Ｊ個の各光源領域ごとに、
【０３１６】
【数２２４】
0004738012.tif 000225
になることが必要である。（Ｄ（Ｈ）またはＤ（Ｓ）のいずれかをベクトル量とし得る。）式２５のレンズ・パラメータおよび式２６の被膜スタック・パラメータがともに、照明方向とは独立していることに留意すると（かつ、様々な光線方向変数ｋ”、ｋ’と
【０３１７】
【数２２５】
0004738012.tif 000226
との簡単な幾何形状的対応を念頭に置くと）、光線方向への、
【０３１８】
【数２２６】
0004738012.tif 000227
におけるすべての依存性を、光源偏光に固有な（すなわち、所与の照明光線に沿った特定のｘ’およびｙ’成分に固有な）、かつ光源領域ｊに固有な、（
【０３１９】
【数２２７】
0004738012.tif 000228
で示す）一般化した係数Ｄに折り畳む（collapse）ことができる。こうすると、投影インパルス応答関数
【０３２０】
【数２２８】
0004738012.tif 000229
の式３０が、
【０３２１】
【数２２９】
0004738012.tif 000230
になる。ただし、（指数ｊを通るものを除く）照明光線方向に依存しないインパルス応答成分
【０３２２】
【数２３０】
0004738012.tif 000231
を導入し、照明に依存する項Ｄ（Ｓ）およびＳを組み合わせて、
【０３２３】
【数２３１】
0004738012.tif 000232
で示す単一のファクタにした。
【０３２４】
式４５の一般化した双１次カーネルは、
【０３２５】
【数２３２】
0004738012.tif 000233
になる。内積（dot product）を展開すると、一般化した双１次カーネル
【０３２６】
【数２３３】
0004738012.tif 000234
についての積分は、
【０３２７】
【数２３４】
0004738012.tif 000235
に関する双１次積分項の和に変形される。これらの双１次項の値を求めるのにいくつかの手法が利用可能である。例えば、一方法ではまず、レジストまたはマスクからのぼけがない予備的な場合（式３３）を考える。ぼけがない場合には、Ｖは、下記の形式を有する項の和で与えられる。
【０３２８】
【数２３５】
0004738012.tif 000236
ただし、下付き文字ｅおよびｆにより、この和の中の任意の項を指すことができる。光源積分の結果を示すコヒーレンス項Ｊを導入し、最終行では、ぼけを受けない項Ｖを、（Θで示す）その支配的な固有関数の双１次和で近似した。
【０３２９】
レジストまたはマスクあるいはその両方によるぼけを加えると、（式７６の）一般化した双１次カーネルＶ”（ただし、Ｖのダブル・プライムはぼけの存在を示す）についての式は、
【０３３０】
【数２３６】
0004738012.tif 000237
に関するぼけを受けない双１次項からなる（式７７で与えられる）同じ組のぼけを受けたバージョンを含む。ぼけを加えると、これらの項は、
【０３３１】
【数２３７】
0004738012.tif 000238
の形をとる。式７７から代入すると、この式は、
【０３３２】
【数２３８】
0004738012.tif 000239
になる。ただし、
【０３３３】
【数２３９】
0004738012.tif 000240
である。式７９の一般化した双１次カーネルＶ”中の関数は滑らかに変化し、したがって、空間ドメイン内で数値積分するのが容易である。関与する積分の数は、通常のホプキンス・モデルにおけるスカラーＴＣＣの計算に関与する数と同様である（ただし、当然のことながら、このようなｅ、ｆの組合せの多くは、最も一般的な場合について値を求めなければならない）。
【０３３４】
Ｖ”を計算する別の手法は、周波数ドメインで積分を行う（式４７のＴ”）ことである。これは、瞳Ｈの関数と光源Ｓの関数の境界の交わりが明示的に決められる場合には、（簡単なコンボリューションの場合を除き）空間ドメインの積分よりも容易なことがある。次いで、逆変換によって、空間ドメイン・カーネルＶ”を求めることができる。周波数ドメインにおける効率的な積分限界は、帯域制限された系の応答によって定義され、周波数ドメインにおける離散グリッドに対する積分によって暗黙のうちに生成される物体構造の周期的な繰返しにより、簡単な空間ドメインの切捨てにより再現されるよりも実際的なやり方で、除外された（すなわち、ＲＯＩの外側の）マスク構造が再現される（mimic）ことがある。
【０３３５】
より好ましくは、組み合わせた方式を用いる別の手法である。式７７のぼけのない固有関数Θｎ，ｅ，ｆをフーリエ変換すると（このような変換を
【０３３６】
【数２４０】
0004738012.tif 000241
で示す）、式７９の変換は、
【０３３７】
【数２４１】
0004738012.tif 000242
になり、これを、表形式にした後で逆変換して
【０３３８】
【数２４２】
0004738012.tif 000243
が得られる。固有関数も変換し得る。この手法の利点は、式７７の中央の行が示すように、ぼけを受けないカーネルＶを表形式にすると、積分による値の計算を繰返し行う必要がなくなることである。（一回限りのフーリエ変換が必要であるが、これらは表形式化ループに先立つものであり、ＦＦＴ（高速フーリエ変換）によって迅速に実行し得る。）ぼけを受けないカーネルを計算し固有分解した後で、これを、ＦＦＴによって迅速に周波数ドメインに変換し得る。この場合も、ぼけの適用は、（積分ではなく）関数の値を求めるという簡単な事柄である。ただし、この手順は、２つの固有解析のステップを必要とする。
【０３３９】
まとめると、本発明は、リソグラフィ像を計算するための、レンズの複屈折性、レジスト・スタックの影響、および調整された光源偏光などのベクトルの影響を考慮に入れ、かつマスクおよびレジストによるぼけの影響も含み得る効率のよい方法およびシステムを対象とする。本発明によれば、一般化した双１次カーネルを形成することによってこれらの影響を含め、次いで、ＳＯＣＳ分解を用いてこのカーネルを処理して、このような非スカラー効果を含む像を迅速に計算することができる。図４を参照すると、本発明による方法の好ましい実施形態には、光源強度分布
【０３４０】
【数２４３】
0004738012.tif 000244
を準備すること（ブロック５１０）が含まれている。この光源は、強度分布
【０３４１】
【数２４４】
0004738012.tif 000245
によって特徴づけることもできるし、それぞれ（式７２を参照してχｘ、χｙなどによる）偏光マップによって特徴付けられる独立な偏光ｍによって特徴づけることもできる。投影インパルス応答関数
【０３４２】
【数２４５】
0004738012.tif 000246
が準備される（ブロック５２０）。この投影インパルス応答関数は、好ましくは、レンズの複屈折性を含むレンズのベクトル・インパルス応答関数（式３０）を含むが、式３１の場合と同様にレジスト被膜スタック内でのベクトルの影響が含まれるようにも一般化し得る。さらに、調整された偏光を伴う光源の場合には、投影インパルス応答関数
【０３４３】
【数２４６】
0004738012.tif 000247
は、例えば式７５で示す光源の偏光マップ（χｘ，χｙ）も含み得る。光源強度分布
【０３４４】
【数２４７】
0004738012.tif 000248
と、ベクトル・インパルス応答関数
【０３４５】
【数２４８】
0004738012.tif 000249
との双１次自己相関を形成することによって、一般化した双１次カーネル
【０３４６】
【数２４９】
0004738012.tif 000250
を形成する（ブロック５３０）。一般化した双１次カーネルは、例えば式４１に示すように、マスクによるぼけを含むように形成し得る。一般化した双１次カーネルには、例えば式４５に示すように、レジストによるぼけを含めることができる。この場合、レジスト・スタックの深さまたはある範囲の焦点位置、あるいはその両方の範囲全体にわたって平均化を実施することがある。好ましくは、以下でさらに論じるように、一般化した双１次カーネルのＳＯＣＳ分解を実施する（ブロック５４０）。一般化した双１次カーネルＶは、ブロック５５０で準備されるマスク透過関数
【０３４７】
【数２５０】
0004738012.tif 000251
とは独立する（無関係となる）ように形成する。次いで、例えば、式２８、式３２、式４０、または式４４の場合と同様に、一般化した双１次カーネルとマスク透過関数を組み合わせることによって、より具体的には、それらの双１次積分を実施することによって、点
【０３４８】
【数２５１】
0004738012.tif 000252
における像
【０３４９】
【数２５２】
0004738012.tif 000253
を計算する（ブロック５６０）。その後、ブロック５７０で、得られた像
【０３５０】
【数２５３】
0004738012.tif 000254
を用いて、ＭＢＯＰＣ（モデルに基づく光学的近接補正効果）を実施することができる。
【０３５１】
本発明の好ましい実施形態では、一般化した双１次カーネルのＳＯＣＳ分解（ブロック５４０）を、図５に示すように実施し得る。まず、ＲＯＩの積分ドメイン内の像面をグリッド化する（ブロック５４１）。本発明によれば、可能な場合には、この系の対称性に応じて、このＲＯＩの積分ドメインを折り畳む（fold）（ブロック５４２）ことが好ましい。この折り畳んだＲＯＩ積分ドメイン内で、ＧＢＫ（一般化した双１次カーネル）を計算し、像面のグリッド点で表形式にする（ブロック５４３）。この好ましい実施形態では、表形式にしたＧＢＫの値をマッピングし直して縮小基底にし（ブロック５４４）、次いで、この縮小基底においてＧＢＫの固有関数を計算し、変換して元のグリッドに戻す（ブロック５４５）。必要な場合には、例えばランチョス法の場合と同様に、表形式にしたＧＢＫの値に対して支配的な固有関数を反復して精緻化することができる（ブロック５４６）。次いで、これらの支配的な固有関数と、可能なマスク・ポリゴン・セクタとのコンボリューションをあらかじめ計算する（ブロック５４７）。
【０３５２】
図６に、像を計算する（ブロック５６０）ための好ましい実施形態を示す。まず、ブロック５５０で準備されたマスク透過関数を、適切な１組の可能なポリゴン・セクタに分解する（ブロック５６１）。次いで、支配的な固有関数ごとに（ブロック５６２）、支配的な固有関数と、ＲＯＩ内のマスク・ポリゴン・セクタとのあらかじめ計算したコンボリューションからの寄与のコヒーレント和を形成することによって初期像（pre-image）を計算する（ブロック５６３）。この初期像に、好ましくは固有関数の固有値によって、特により好ましくは固有値の平方根によって重み付けする。あるいは、これらの重みは実験的に決めることができる。最後に、すべての支配的な固有関数の重み付けした初期像のインコヒーレント和から、像
【０３５３】
【数２５４】
0004738012.tif 000255
を形成する（ブロック５６４）。
【０３５４】
本発明は、ＳＯＣＳ分解などの技法を用いて、調整された光源偏光、レンズの複屈折性、およびレジスト・スタックによる偏光、ならびにマスクまたはレジストにおけるぼけを含めて、ベクトルの影響などの非スカラー効果を、像の計算に効率よく組み込むことができるという利点を有する。例えば、像の計算（ブロック５６０）は、図６に概略を示す方法などによって効率的に実施し得る。マスク・ポリゴンは、式７１で示すように、例えばセクタとして分解することができる（ブロック５６１）。同様に、像面も、例えばグリッド化することによって分解することができる（ブロック５４１）。マスク透過関数とは無関係に、本発明の一般化した双１次カーネルのＳＯＣＳ分解を実施し得る（ブロック５４０）。例えばランチョス法を用いることによって、支配的な固有関数および固有値を得ることができる。
【０３５５】
集積回路設計の像を計算する本発明の方法は、上記で説明したプロセス・ステップおよび命令を、その他の点では従来型のプログラム・コードに組み込んだコンピュータ・プログラムまたはソフトウェアによって実行し、ＥＤＡ（電子設計自動化）ツールまたはその他の点では従来型のプログラム記憶装置に記憶し得る。これらの命令は、上記で説明した方法を用いて、（レジスト・スタックによる影響およびぼけを含み得る）投影レンズのインパルス応答関数を準備することと、一般化した双１次カーネルを生成することと、ベクトルの影響を考慮に入れることと、一般化した双１次カーネルのＳＯＣＳに似た分解を実施することとを含む。本発明の方法を実施するこれらの命令は、モデルに基づくＯＰＣを実施するプログラム・コードに組み込むことができる。図７に示すように、このプログラム・コードならびに必要とされる任意の入力情報は、ＥＤＡツールまたはコンピュータ４４０内の、半導体チップ、読出し専用メモリ、ディスケットまたはコンピュータ用ハード・ドライブなどの磁気媒体、あるいはＣＤまたはＤＶＤ  ＲＯＭなどの光媒体などのプログラム記憶装置４４２に記憶させることができる。コンピュータ・システム４４０は、上記で説明したやり方で装置４４２内に記憶したプログラム・コードを読み出し、かつ実行するマイクロプロセッサ４４４を有する。
【０３５６】
本発明による方法および本発明による方法を実施するシステムは、上記で論じた実施形態に限定されないことが当業者には理解されよう。したがって、本発明は、本発明および添付の特許請求の範囲の範囲および趣旨に含まれるこのようなすべての代替形態、改変形態、および変形形態を包含することを意図する。
【図面の簡単な説明】
【０３５７】
【図１】リソグラフィ投影システムを示す図である。
【図２】本発明によるマスク・レイアウトおよびＲＯＩ（影響領域）を示す図である。
【図３】投影系を通過する光線のベクトル伝播を示す図である。
【図４】本発明による方法を示す流れ図である。
【図５】本発明による方法を示す流れ図である。
【図６】本発明による方法を示す流れ図である。
【図７】本発明による方法を実施するように構成されたコンピュータ・システムを示す図である。
【符号の説明】
【０３５８】
１０  投影系
１００  エネルギー源
１１０  コンデンサ・レンズ
１１１  光源点
１１５  照明光源
１２０  マスク、レチクル
１２１  像点に対応する点
１２２  物体空間
１２５  開口絞り
１２９  入射瞳
１３０  投影レンズ
１３２  像空間
１３５  出射瞳
１４０  ウェハ
１４１  像点
１４２  レジスト層、像面
１４４  下にある基板
１５０  光軸
１５０’  局所的な光軸
２０１  光線
２２０  メリジオナル面
３００  マスク・レイアウト、グレーティング
３０１  マスク・ポリゴン
３１０  対象領域、ＲＯＩ
４４０  ＥＤＡツール、コンピュータ
４４２  プログラム記憶装置
４４４  マイクロプロセッサ
【図１】
0004738012.tif 000262
【図２】
0004738012.tif 000263
【図３】
0004738012.tif 000264
【図４】
0004738012.tif 000265
【図５】
0004738012.tif 000266
【図６】
0004738012.tif 000267
【図７】
0004738012.tif 000268