(57)【要約】      （修正有）【課題】潜在的な概念多重解像度解析への需要を満たすべく、そのモデリングは現代代数学における位相幾何学に基づいて定式化する。【解決手段】モデリングの定式は、適宜追加可能なモジュール構成を有する概念階層において導き出されており、その階層中概念モデリングに適した二つのレベル、すなわち付加空間レベルとセル構造空間レベルが特に強調されている。このモデルは、画像を物理的及び論理的画面において幾何学的なオブジェクトの階層として分類する従来の多重解像度解析とは明らかな対照を成すものである。【選択図】        図１
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
適宜追加可能なモジュール構成を有する概念階層において、概念のモデリングに適した前記階層中のふたつのレベルである付加空間レベル及びセル構造空間レベルにつき、モデリングの定式を算出する手段を含む多重解像度解析の方法。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
この発明は、モデリング技術に関し、特に仮想環境において形成される概念のモデリングに関する。
【０００２】
【従来の技術】
「ｅ−コマース」や「ｅ−ラーニング」といったウェブ情報システムの近来の進歩は、非常に大きな、しかし、潜在的な概念多重解像度解析への需要を創出した。
【０００３】
【発明が解決しようとする課題】
この需要を概略的に満たすべく、そのモデリングは現代代数学における位相幾何学に基づいて定式化される。具体的には、モデリングの定式は、適宜追加可能なモジュール構成を有する概念階層において導き出されており、その階層中概念モデリングに適した二つのレベル、すなわち付加空間レベルとセル構造空間レベルが特に強調されている。以下に、提示するモデルの有用性を示す例を挙げる。
【０００４】
【課題を解決するための手段】
１．イントロダクション
従来、多重解像度画像分析についての研究は、階層的に形成された多重解像度画像に関するものであり、通常、複数の画像の階層、例えば三角形ベース［２］若しくはボクセルベース［３］の階層、で構成される画像ピラミッド［１］として現されてきた。
【０００５】
一般に、概念多重解像度分析のモデリングについては、大きなしかし潜在的な需要が存在しているといえる。その需要が潜在的であるのは、ウェブ上のさまざまな情報を分析及び認知し、そしてその情報をモデル化するためのウェブ情報システムの発展が急速であり、モデルがそれらウェブ情報システムを分析するという要求を確実に満たすには不便であることに起因している。アプリケーションは必要と思われる商品をウェブ上の商店で購入するｅ−コマースやウェブ上で必要な知識を手早く学ぶことが出来る、遠距離教育の一類型であるｅ−ラーニングを含むものである。我々のモデルは、適宜追加可能なモジュール構成を有する概念階層に立脚するものであり、階層構造の各レベルは概念の抽象性に対応している。このモデルは、画像を物理的及び論理的両面において幾何学的なオブジェクトの階層として分類する従来の多重解像度解析とは明らかな対照を成すものである。概念多重解像度という場合、それはより一般的な情報の多重解像度レベルを指すものであり、そこではオブジェクトが、その属性や性質といった一般的な情報をもって表現される。
【０００６】
また、従来の多重解像度解析は対象物の静的な階層関係に重点をおいてきている。例えば、花の花托とその花弁の関係はその花における静的な階層表現を示すものである。しかしながら、「満開の後に花弁が散る」といったような動的な関係はめったに表されることがない。通常、動的システムの物理的な作用は時間依存性偏微分方程式の集合によって定式化される。我々が多重解像度解析の対象として考えるオブジェクトが持つ複雑さのために、これは現実離れしたものとなっている。
【０００７】
特に、ダイナミズムを概念的に表現するには、動的な物体間の関係がより抽象的な意味を持つようになる。面倒な手動作業を行わないよう、できる限り自動的に多重解像度解析を実現するため、概念多重解像度解析を形式的にモデル化することとする。
【０００８】
【発明の実施の形態】
２．モデリングのフレームワーク
適宜追加可能なモジュール構成をもつ概念階層における以下のレベルに基づいて概念的多重解像度解析を考察する［４，５］。
１．拡張理論レベル、その特別な場合としてホモトピー理論レベル
２．集合理論レベル
３．位相理論レベル、その特別な場合としてグラフ理論レベル
４．付加空間レベル
５．セル構造空間レベル
６．幾何レベル
７．表現レベル
【０００９】
レベル６およびそれより下位のレベルは、アプリケーション領域に依存しており、ここで、それらは多重解像度解析領域のために定義される。本稿で、我々は概念多重解像度解析を必要な程度まで詳細にモデル化するため、付加空間レベル４とセル構造空間レベル５について詳述する。
【００１０】
付加空間レベルにおいては、我々が上述したタイプの動的な関係がオブジェクト間の同値関係ｆ（記号〜で表す）で表現される。その関係は、あるオブジェクトＸが、ｘ〜ｆ（ｙ）｜∃ｘ∈Ｘ，∀ｙ∈Ｙ０であるような部分集合Ｙ０⊆Ｙを共有することにより別のオブジェクトＹと、ｆを介して関連付けられるというものである。付加空間にはさまざまな場合が想定できる。例えば、工業製品が組み立てられる場合や何らかの取引が行われる場合などである。
【００１１】
セル構造空間レベルにおいては、付加空間レベルで定義された各オブジェクトの帰納的次元ｎがオブジェクトの自由度として付加される。本論文では、我々は単純化のため帰納的次元を単に次元と呼ぶこととする。例えば、工業製品の形状は通常３次元であり、取引される商品は多数の特徴をその次元として有する。
【００１２】
幾何レベルは、幾何学的な多重解像度に相当する。このレベルにおいては、セル構造空間レベルにおけるオブジェクトに座標系や計量系が幾何学的属性として付加される。このレベルにおける多重解像度解析に関する調査は十分になされているため［１］、我々は幾何レベルについてこれ以上の詳述は行わない。
【００１３】
適宜追加可能なモジュラー構成を有する概念階層に基づく付加空間レベル及びセル構造空間レベルにおける、概念多重解像度解析の種々のケースを検討する前に、適宜追加可能なモジュラー構成を有する概念階層の、より上位のレベルについて少し触れておく。それを行うため、伝統的な幾何学上の多重解像度解析からはかけ離れた概念多重解像度解析の例を用いる。その例とは、幾何レベルをもたない、書籍のｅ−コマースに係る概念多重解像度解析である。集合理論的な自動機器であるコンピュータによって計算可能とするために、オブジェクトは集合理論空間において定義される必要がある。我々は、オブジェクトは集合理論空間レベルにあるということとする。
【００１４】
さらに上位の概念レベルとして拡張理論レベルの典型的な例であるホモトピー理論レベルがある。ホモトピー理論レベルにおいては、あらゆる変化を可逆とすることでホモトピーを維持することができる。所定の集合に要素を加えまたはその集合から要素を削除するための可逆的な演算を定義することにより、集合理論レベルよりもう１レベル上位のレベルを創出することが可能となるのである。それがホモトピー理論レベルであり、集合理論レベルよりもさらに抽象的なレベルとなる。
【００１５】
我々が観察するいずれのオブジェクトも、通常その要素として部分集合をもち、そのため、定義づけにより、それらは位相的な空間となる。例えば、後述するオンライン書籍購買の例においては、顧客Ｘは名、中間名、姓を「名前」として持ち、Ｘの要素「名前」としての部分集合｛姓、中間名、名｝が形成されることとなる。要素としての部分集合を持つ集合理論空間はいずれも基本的には位相空間である。同様に、オンライン書店Ｙもその要素として部分集合、新本および中古本、を持つため、Ｙも位相空間である。それゆえ、Ｘ及びＹは位相理論レベルにあると言える。
【００１６】
３．ｅ−コマースにおける概念多重解像度解析：オンライン書籍購入の例
３．１  付加空間レベル
付加空間の分析として、位相理論レベルよりひとつ下位のレベルにおいて、オンライン書籍購入の事例を分析していく。顧客Ｘがウェブサイトを次から次へと閲覧した結果オンライン書店Ｙを見つけたと仮定する。また、既に説明したとおり、我々はＸとＹが位相的な空間であると仮定する。
【００１７】
第一に、顧客Ｘとオンライン書店Ｙは相互に独立しているものと考えられ、それ
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ぶ）を表す。
【００１８】
顧客Ｘが、あたかも我々がよい商品をもとめてウインドウショッピングをするかのようにウェブページを次々と閲覧している間に、オンライン書店Ｙのホームページであるウェブページに掲載された書籍Ｙ０をみつけたとする。これがウェブウインドウショッピングの過程である。書籍Ｙ０がオンライン書店Ｙの属性の一部であるため、Ｙ０⊆Ｙが成り立つ。ｅ−コマースとしての、ウェブ上でのオンライン書籍購入の過程は、図１に示されたとおりに分析および表現される。図１は、書籍が取引のために特定された後、顧客Ｘがどのようにオンライン書店に関連付けられるかを示している。
【００１９】
これが、前に説明した動的な関係の例にあたるものである。我々がここで提示する付加空間レベルは正確に接着写像ｆによる関係を表している。さらに「書籍が取引のために特定される」という状況を二つの重なり合わない位相空間Ｘ（顧客）とＹ（オンライン書店）の付加空間として表している。付加空間は、顧客Ｘから開始し、ｘ〜ｆ（ｙ）｜∃ｘ∈Ｘ，∀ｙ∈Ｙ０となるように各点ｙ∈Ｙ０｜Ｙ０⊆Ｙを像ｆ（ｙ）∈Ｘと等化することで連続写像ｆによってオンライン書店Ｙを顧客に接着することによって得られるものである。このように、符号〜で表される同値関係は、概念多重解像度解析の付加空間レベルにおいて、付加空間を組成するのに中心的な役割を果たす。
【００２０】
これにより、書籍Ｙ０についての、オンライン書店Ｙにおける顧客Ｘのオンラインでの書籍購入は、上述した概略説明に沿って以下のように定式化される。
【００２１】
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で表される付加空間Ｙｆ（接着空間、隣接空間、貼付空間とも呼ばれる）は、各点ｙ∈Ｙ０｜Ｙ０⊆Ｙをｘ〜ｆ（ｙ）｜∀ｙ∈Ｙ０となるようにその像ｆ（ｙ）∈Ｘと等化することで得ることができる。これが、顧客Ｘが書籍を購入する過程を動的な状況として表す。動的な状況をより正確に説明すると、オンライン書店Ｙにおける書籍の集合Ｙ０から、顧客Ｘは、もともと顧客Ｘの要素ｘである、書籍購入における顧客Ｘの興味対象という要素にすることにより、興味の対象となる本ｆ（ｙ）を選択する。それゆえにｘ〜ｆ（ｙ）となる。顧客Ｘは多数の興味対象の書籍を特定すべく、このやり方で購入を継続する。接着空間ｆと等化写像ｇは
ｆ：Ｙ０→Ｘ｜Ｙ０⊆Ｙ
および
2004199636.tif 000005
となる。
【００２２】
等化写像（商写像ともいう）は、顧客Ｘとオンライン書店Ｙがあるという最初の
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をＸとＹが形成するという、書籍ｆ（Ｙ０）が顧客Ｘによって興味対象として特定された後の状況とどのように関連付けられるかを示す。
【００２３】
３．２  セル構造空間レベル
概念多重解像度解析のための、適宜追加可能なモジュール構成を有する概念階層中の、ひとつ下位のレベルにおけるオンライン書籍購入について分析する。このレベルは、付加空間レベルにおいて位相空間の次元を分析および検出することでつくりだされる。顧客Ｘの次元がｎ、オンライン書店の次元がｍ、オンライン書店における書籍Ｙ０の次元がｋ（ｋ≦ｍ）であったとする。クローズなｎ次元の位相的な空間を、閉ｎセルＢｎと呼ぶこととする。すると、オンライン書店はＢｍｓｔｏｒｅ、顧客はＢｎｃｕｓｔｏｍｅｒ、書籍はＢｋｓｔｏｒｅと表される。接着空間は、
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∃ｘ∈Ｂｎｃｕｓｔｏｍｅｒ，∀ｙ∈Ｂｋｓｔｏｒｅ）
となる。
接着写像ｆと等化写像ｇは、
ｆ：Ｂｋｓｔｏｒｅ→Ｂｎｃｕｓｔｏｍｅｒ    （ここで、Ｂｋｓｔｏｒｅ⊆Ｂｍｓｔｏｒｅである）
2004199636.tif 000008
となる。
そして、オンライン書店における書籍は、
∂ｍ−ｋＢｍｓｔｏｒｅ＝Ｂｋｓｔｏｒｅ．
となる。
【００２４】
３．３  幾何レベル
書籍の購入および販売は幾何学的ではない。それゆえ、オンラインでの書籍購入の概念多重解像度解析において、幾何レベルは生成されない。
【００２５】
４．花の概念多重解像度解析
以下では、一般的なテーマである植物学および歯学という２つの主題を通して、ｅ−ラーニングにおける概念多重解像度のレベルを分析していく。植物学においては、我々は一般的なテーマとして花の分析を行うこととする。
【００２６】
４．１  付加空間レベル
ウェブ上で、花はその構造を明確に図示されており、図２および図３は、その好例である［６，７］。ウェブ上でのｅ−ラーニングにおいて、我々は花の一生における各段階を学習する。花は、満開を迎え、しばらくすると美しく花弁を地面に残して散り、詩作のよいテーマとなる。概念多重解像度解析のモデリングにおいては、このことは、どんな花も、花弁が散り落ちることから、集合理論レベルにおいて花弁は花托に結合されえないということを意味する。これはさらに、花弁と花托は共通部分もってはならないということを意味する。では、花弁が散り落ちる以前において、花弁は花托とどのように関連付けられるのであろうか。この関係は、「所定の時間の後に散り落ちるように、花弁が花托に接着される」という状況を反映することになる。付加空間レベルはその状況を、そのまま正確に示す。
【００２７】
ある花の花托を位相空間Ｘと呼ぶこととし、ｉ番目の花弁（ｉ＝０，１，２，３，．．．）を
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着することにより得ることができる位相空間である。接着は、全てのｙｉ∈Ｙ０ｉとｉ＝０，１，２，３，．．．について各点ｘ∈Ｘ｜Ｙ０ｉ⊆Ｙｉを像ｆ（ｙｉ）∈Ｘと等化することにより連続写像ｆを介して行われる。ここで、Ｙ０ｉは花托に接触するｉ番目の花弁の輪郭線であり、花托Ｘの、ｉ番目の花弁が接触する部分はｆ（Ｙ０ｉ）⊆Ｘとなる。このため、花弁が散り落ちる前は、同値関係ｘ〜ｆ（ｙｉ）｜ｘ∈Ｘ，∀ｙｉ∈Ｙ０ｉ，Ｙ０ｉ⊆Ｙｉｆｏｒｉ＝０，１，２，３，．．．
が成立する。
【００２８】
したがって、花弁と花托からなる付加空間Ｙｆは、
2004199636.tif 000010
３，．．．）
となる。
【００２９】
等化写像ｇは
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があるという状況。
を、
2004199636.tif 000012
花弁の集合が花托に接着されるような形で、花弁の集合が花の一部を形成するという状況。
に関連付けるものである。
【００３０】
より正確には、花弁の最下部が花托の最上部に接着されることになる。花托の、
2004199636.tif 000013
2004199636.tif 000014
況Ｂは、例えば満開の花であり、状況Ａは、例えば散った後の花である。
【００３１】
４．２  セル構造空間レベル
花のセル構造空間は、付加空間レベルにおける位相空間に次元を付与することで得ることができる。このレベルは、概念多重解像度解析において、付加空間レベルの１レベル下位のものである。セル構造空間を生成するためのこの過程は、些少なものであり、以下のように進行する。
【００３２】
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である。
【００３３】
そして、セル空間レベルにおける隣接空間は
2004199636.tif 000016
となる。
【００３４】
ここで接着写像ｆと等化写像ｇは、花の概念多重解像度解析のセル空間レベルにおけるものであり、
2004199636.tif 000017
および
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となる。
【００３５】
また、花托に接着される花弁の表面は
2004199636.tif 000019
となり、花弁が接着される、花托の最上部の面は
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となる。
【００３６】
４．３  幾何レベル
花の構造は、図２や図３に典型的に見られるように、２次元（２Ｄ）の注釈付きの図面によって示されるのが普通である［６，７］。概念多重解像度解析においては、それらは階層化された構造の中の２次元形状として幾何学的に分類され得る。それらは概念構造を提示するのに役立つ。それらを我々のフレームワーク、特に付加空間レベルおよびセル空間レベル、において概念的に再定式化することで、接着関数および等化関数により、我々は花の特定の各要素間の関係をより明らかにすることができる。その関係とは、ある要素がいずれかの面において互いに接触しているか、それとも、それらがともにより大きな要素の一部であるかといった
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それらがより大きな要素の一部であれば、集合論理和Ｕが適用される。これにより、我々は例えば以下のような植物学の一般的な説明を再定式化することができる。その説明とは、「花とは雄蘂群、雌蘂および基部からなるものである。雄蘂群は葯の一部と花糸からなる。雌蘂は柱頭の一部、花柱および子房からなる。基部は花弁の一部、花托および萼からなる。」のようなものである。再定式化を実行すべく、我々は、再分析のため３次元形状をもつ実際の花に立ち戻る必要がある。現在我々はアネモネおよびコスモスの花を検討対象としている（図４）。図４の上半はアネモネの花を示している。
【００３７】
下半は、コスモスの花全体（左側）および雌蘂と雄蘂群（右側）を示している。再分析には、さまざまな段階における各要素の接着の本質に係る、詳細な、広範にわたる研究が必要であり、その研究には生物学的な細胞レベルの研究や分子生物学レベルの研究が含まれる。この再分析は我々に興味深い研究テーマを提供するものである。
【００３８】
５．歯のモデリングに係る概念多重解像度解析
我々が遠隔教育サイトにおいて、ウェブ上で歯科学講義を受けようとする場合を想定する。ウェブ上には優れた講義が多数提供されている。講義のウェブサイトに貼付されている教材は、明確な根拠と立証に裏打ちされたものであり、それらのサイトを信頼に足るものにしている。我々がここで提示する概念多重解像度解析は、ｅ−エデュケーションによる遠隔教育の各段階で講義が必要とされる際、より詳細なレベルで提供できるようｅ−ラーニングやｅ−エデュケーションがよりインタラクティブになるべく、それらの講義をより分かりやすいものにするのに有用である。
【００３９】
典型的な歯学上の題材について調べることとする。図５は著者の一人（ＴＬＫ）の歯のパントモグラフィーである。ＦＤＩ（国際歯科連盟）／ＩＳＯによる、歯の番号の２桁の数字表示（ＦＤＩ表示ともいう）が図６に示されている［８］。図５には、歯１８、３８および４８がまだ生えてきておらず、また歯２８は抜歯により失われていることが示されている。
【００４０】
通常、歯というものは相互に共通部分をもたない。ＦＤＩ表示でｎの番号がつけられた歯をＴｎと呼ぶことにする。人工的な歯冠が２以上に渡って歯を覆っている場合、それらの歯は互いにどのように関連付けられるだろうか。図７では、パントモグラフィーよりも物理的に解像度の高い１３番から１７番の歯のＸ線写真が示
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なく、Ｔ１３ＵＴ１４を形成するようにそれらの歯を結合している。
【００４１】
歯は歯茎とどのように関連付けられるだろうか。歯というものは抜歯されうるため、集合理論レベルにおいては歯肉（歯茎）にも歯槽骨にも結合されえない。それゆえ、付加空間レベルで正確に示されているように、歯は、歯肉および歯槽骨と共通部分を持たないようにしなくてはならない。概念多重解像度解析に係るそのような情報は、付加空間レベルにおけるものであり、図８［９］や図９［１０］に示されるような通常の歯の構造に係る情報を補完する。
【００４２】
顎骨に歯を固定する組織は、歯周組織と言われる。歯周組織は、歯肉（歯茎）、歯周靱帯、歯根セメント質および歯槽骨、支持骨といった組織からなるものである。図１０に示すように、（下顎の歯の頸部に隣接している）歯周組織の構造は線図で表すと非常に複雑なものとなる［１１］。
【００４３】
ここで、歯周組織の詳細な構造についての分析およびモデリングは別途の機会の題材とし、概念多重解像度解析のモデリングに係る最初の分析として、我々は歯と歯周組織の関係を分析する。これは、歯科学に、非常に興味深い問題を提起しうる、研究する価値のおおいにある題材である。
【００４４】
５．１  付加空間レベル
図８は通常の一本の歯の構造を示す［９］。図９は歯の断面を示す［１０］。これらはともにｅ−エデュケーション用の、十分に洗練されたウェブサイトに貼付されている。図８には、通常の歯の一般的な状況として概略的な関係が示されている。我々の概念多重解像度解析のモデリングにおいて、歯と歯周組織の内部構造に立ち入ることなく、それらの関係に関し、全体的な詳細レベルにおいて示されるものは何であろうか。それは非常に単純なものであり、つまり、位相空間Ｘ（歯周組織）とＹｉ（即ち、ｉ番目の歯Ｔｉを示す位相空間）の付加空間としての、「歯が歯周組織に取り巻かれ、支持されている」という状況である。当該付加空間は、歯周
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を像ｆ（ｙｉ）∈Ｘと等化することにより、連続写像ｆを介して歯Ｙｉを歯周組織に接着することで得ることができる。ここで、Ｙ０ｉはｉ番目の歯の根元部分の表面の一部に相当し、そのｉ番目の歯が接触する歯周組織の表面部分はｆ（Ｙ０ｉ）⊆Ｘである。したがって、接着写像ｆは
ｆ：Ｙ０ｉ→Ｘ｜Ｙ０ｉ⊆Ｙｉ
となる。
【００４５】
等化写像ｇは、
2004199636.tif 000024
となる。
【００４６】
図７のＸ線画像は歯同士の関係における二つの典型的な例を示している。
【００４７】
その第１は２本の正常な歯の間の関係である。歯Ｔ１６と歯Ｔ１７は互いに接触しており、互いに共有部分を持たない位相空間Ｙ１６（１６番目の歯Ｔ１６を表すための位相空間）とＸ１７（１７番目の歯Ｔ１７を表すための位相空間）の付加空間としてモデル化される。当該付加空間は、Ｘ１７から開始して、各点ｘ０，１７∈Ｘ０，１７｜Ｘ０，１７⊆Ｘ１７を像ｆ（ｙ０，１６）∈Ｘ１７と等化することにより、連続写像ｆを介してＹ１６をＸ１７に接着することで得られる。ここで、Ｙ０，１６は、１７番目の歯Ｔ１７に接触している１６番目の歯Ｔ１６の側面部分を示すための位相空間であり、Ｘ０，１７は１６番目の歯ｆ（Ｙ０，１６）⊆Ｘ１７が接触する１７番目の歯Ｔ１７の側面部分を示す。歯Ｔ１６および歯Ｔ１７を示す位相空間
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は、
ｆ：Ｙ０，１６→Ｘ１７｜Ｙ０，１６⊆Ｙ１６
となり、等化写像ｇは、
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となる。
【００４８】
第２の典型的な事例は、上述したように、共通の歯冠によって２本の歯が人工的に関連付けられている場合である。歯Ｔ１３と歯Ｔ１４に歯冠が覆いかぶさっており、両者が結合されている。集合理論レベルにおいて、両者は、共通部分を持たないものではなく、結合されている。つまり、Ｔ１３ＵＴ１４が成り立つ。
【００４９】
図１１は、歯列の石膏像の写真である。歯列が閉じられているときは、上側の歯列が下側の歯列にぴったりと合わされている。上側の歯列と下側の歯列は、それらが互いに接着および分離されるように、互いに共通部分を持たないものでなくてはならない。接着写像と等化写像は基本的に上述した事例のそれらと同様である。
【００５０】
いろいろな観点があり、犬歯は食物を噛み切るためのものであり、臼歯は食物をすりつぶすためのものである。以前の我々の研究において、食物を咀嚼しているとき、犬歯と臼歯は全く異なる動的な接着パターンを示すことが明らかにされている。これに関する１９９５年の研究は、微分位相幾何学、特にモース理論とリーブグラフ、に基づくものであり［１２，１３］、これは、歯科学に関して、本稿で提示する代数学的位相幾何学分析と幾何学的分析の橋渡しをするものである。
【００５１】
５．２  セル構造空間レベル
我々は、各位相空間を閉じたｎセルＢｎにすべく、各位相空間に次元ｎを与えることによって、既に述べた付加空間レベルにおける歯学的な概念多重解像度分析の結果から、セル構造空間レベルにおける同分析の結果をほぼ自動的に得ることができる。もし２次元であれば、位相空間はＢ２となり、３次元であれば、Ｂ３となる。
【００５２】
５．３  幾何レベル
図５および図７はともに歯および歯周組織のＸ線画像であるが、上述したように図７の解像度が図５のそれよりも物理的に高いものとなっている。この種の解像度の物理的な差異は幾何レベルにおけるものであり、幾何学的多重解像度解析の範疇に属する。理論上、幾何レベルにおける多重解像度解析の真の問題は、異なる大きさの精度の並存にある。歯というものは、食物を咀嚼する際、通常ほぼ数センチメートル程度の範囲で動くが、その一方で歯の咬合には数ミクロン単位の精度が要求され、両数値の比率は１：１０−４となる。我々はこの問題につき多くの調査を行ったが、その調査により、要求される精度の高い歯の咬合とういものを、ゆるやかに結合している顎関節の機構で幾何学的に制御するという非常に困難な問題が提示されている［１４−１７］。適宜追加可能なモジュール構成を有する概念階層に基づく概念多重解像度解析モデリングという観点からは、本稿で提示している代数学的位相幾何学という側面から生じる、そのような幾何学的モデリングについて我々は更なる調査を行う必要がある。これまでは、微分位相幾何学的な側面を主に述べられている［１２，１３］。ウェブ上には、Ａｌｌｅｎ  Ｈａｔｃｈｅｒによるもの［１８］など、代数位相幾何学についての優れた参考文献が多数存在する。
【００５３】
６．結論
我々は、ここで提示する概念階層が、概念多重解像度解析モデリングにおける適宜追加可能なモジュール特性を明確に示すものであることを確認できた。ｅ−コマースやｅ−ラーニングにおける恩恵を受けるべくウェブ上の多方面の情報を分析する際に、提案したモデルは、モデル化されたオブジェクトに生じる変化の性質を理解するのに有用である。しかしながら、物理的なまたは論理的なもしくはその両方である幾何学形状の階層に通常は基づいている従来の多重解像度解析に依存するのは非常に困難である。さらに、この研究は、まだ初期段階であり、さらなる研究が待たれるものである。
参考文献
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［２］Ｌｏｒｉ  Ｓｃａｒｌａｔｏｓ  ａｎｄ  Ｔｈｅｏ  Ｐａｖｌｉｄｉｓ，“Ｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌ  Ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎ  Ｕｓｉｎｇ  Ｃａｒｔｏｇｒａｐｈｉｃ  Ｃｏｈｅｒｅｎｃｅ，ＣＶＧＩＰ：ＧｒａｐｈｉｃａｌＭｏｄｅｌｓ  ａｎｄ  Ｉｍａｇｅ  Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，Ｖｏｌ．５４，Ｎｏ．２，ｐｐ．１４７−１６１″，１９９２，Ａｃａｄｅｍｉｃ  Ｐｒｅｓｓ，Ｓａｎ  Ｄｉｅｇｏ，Ｕ．Ｓ．Ａ．
［３］Ｔａｏｓｏｎｇ  Ｈｅ  ａｎｄ  Ｌ．Ｈｏｎｇ  ａｎｄ  Ａ．Ｋａｕｆｍａｎ  ａｎｄ  Ａ．Ｖａｒｓｈｎｅｙ  ａｎｄ  Ｓ．Ｗａｎｇ，“Ｖｏｘｅｌ−Ｂａｓｅｄ  Ｏｂｊｅｃｔ  Ｓｉｍｐｌｉｆｉｃａｔｉｏｎ”，“Ｐｒｏｃ．６ｔｈ  ＩＥＥＥ  Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ  ｏｎ  Ｖｉｓｕａｌｉｚａｔｉｏｎ′９５”，Ｏｃｔｏｂｅｒ２９−Ｎｏｖｅｍｂｅｒ  ０３，１９９５  Ａｔｌａｎｔａ，Ｇｅｏｒｇｉａ，Ｕ．Ｓ．Ａ．，ｐｐ．２９６−３０４，Ｏｃｔｏｂｅｒ，１９９５，ＩＥＥＥ  Ｃｏｍｐｕｔｅｒ  Ｓｏｃｉｅｔｙ  Ｐｒｅｓｓ，Ｌｏｓ  Ａｌａｍｉｔｏｓ，Ｃａｌｉｆｏｒｎｉａ，Ｕ．Ｓ．Ａ．
［４］Ｔｏｓｉｙａｓｕ  Ｌ．Ｋｕｎｉｉ，“Ｄｉｓｃｏｖｅｒｉｎｇ  Ｃｙｂｅｒｗｏｒｌｄｓ”，ｉｎ  Ｓｐｅｃｉａｌ  Ｉｓｓｕｅ  ｏｎ  Ｖｉｓｉｏｎ２０００，ＩＥＥＥ  Ｃｏｍｐｕｔｅｒ  Ｇｒａｐｈｉｃｓ  ａｎｄ  Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，ｐｐ．６４−６５，Ｊａｎｕａｒｙ／Ｆｅｂｒｕａｒｙ  ２０００，ＩＥＥＥ  Ｃｏｍｐｕｔｅｒ  Ｓｏｃｉｅｔｙ  Ｐｒｅｓｓ，Ｌｏｓ
Ａｌａｍｉｔｏｓ，Ｃａｌｉｆｏｒｎｉａ，Ｕ．Ｓ．Ａ．
［５］Ｔｏｓｉｙａｓｕ  Ｌ．Ｋｕｎｉｉ，“Ｃｙｂｅｒ  Ｇｒａｐｈｉｃｓ”，Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ  ｏｆ  ｔｈｅ  Ｆｉｒｓｔ  Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ  Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ  ｏｎ  Ｃｙｂｅｒ  Ｗｏｒｌｄｓ（ＣＷ２００２），Ｎｏｖｅｍｂｅｒ６−８，２００２  Ｔｏｋｙｏ，Ｊａｐａｎ，ｐｐ．３−７，，Ｎｏｖｅｍｂｅｒ  ２００２，ＩＥＥＥ  Ｃｏｍｐｕｔｅｒ  Ｓｏｃｉｅｔｙ  Ｐｒｅｓｓ，Ｌｏｓ  Ａｌａｍｉｔｏｓ，Ｃａｌｉｆｏｒｎｉａ，Ｕ．Ｓ．Ａ．
［６］ｈｔｔｐ：／／ｋｏｎｉｎｇ．ｅｃｓｕ．ｃｔｓｔａｔｅｕ．ｅｄｕ／ｐｌａｎｔｓ＿ｈｕｍａｎ／ｆｌｏｗｅｒｓｔｒｕｃｔｕｒｅ．ｈｔｍｌ．
［７］ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｍｅｎｄｅｌｗｅｂ．ｏｒｇ／ＭＷｆｌｏｗｅｒ．ｈｔｍｌ．
［８］ｈｔｔｐ：／／１９９．２４５．２００．１２８／６６−２−９６／ｐｅｃｋ．ｈｔｍｌ．
［９］ＭｙＤｒ  Ｈｏｍｅ  Ｐａｇｅ，Ａｕｓｔｒａｌｉａ：
ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｍｙｄｒ．ｃｏｍ．ａｕ／ｄｅｆａｕｌｔ．ａｓｐ？ａｒｔｉｃｌｅ＝３７２８．
［１０］ｈｔｔｐ：／／ａｎｉｍａｌｄｉｖｅｒｓｉｔｙ．ｕｍｍｚ．ｕｍｉｃｈ．ｅｄｕ／
ａｎａｔ／ｔｏｏｔｈ＿ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ．ｈｔｍｌ．
［１１］Ｍａｘ  Ａ．Ｌｉｓｔｇａｒｔｅｎ，“Ｈｉｓｔｏｌｏｇｙ  ｏｆ  ｔｈｅ  Ｐｅｒｉｏｄｏｎｔｉｕｍ”，Ａ  ｆｒｅｅ  ｏｎ−ｌｉｎｅ  ｃｏｕｒｓｅ，ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｔｅｍｐｌｅ．ｅｄｕ／ｄｅｎｔｉｓｔｒｙ／ｐｅｒｉｏ／ｐｅｒｉｏｈｉｓｔｏｌｏｇｙ／．
［１２］Ａｎａｔｏｌｙ  Ｔ．Ｆｏｍｅｎｋｏ  ａｎｄ  Ｔｏｓｉｙａｓｕ  Ｌ．Ｋｕｎｉｉ，“Ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ  Ｍｏｄｅｌｉｎｇ  ｆｏｒ  Ｖｉｓｕａｌｉｚａｔｉｏｎ”，１９９７，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ−Ｖｅｒｌａｇ，Ｈｅｉｄｅｌｂｅｒｇ，Ｇｅｒｍａｎｙ．
［１３］Ｙｏｓｈｉｈｉｓａ  Ｓｈｉｎａｇａｗａ，Ｔｏｓｉｙａｓｕ  Ｌ．Ｋｕｎｉｉ，Ｈｉｄｅｙｕｋｉ  Ｓａｔｏ  ａｎｄ  Ｍａｓｕｍｉ  ｌｂｕｓｕｋｉ，“Ｍｏｄｅｌｉｎｇ  Ｃｏｎｔａｃｔ  ｏｆ  Ｔｗｏ  Ｃｏｍｐｌｅｘ  Ｏｂｊｅｃｔｓ：  ｗｉｔｈ  ａｎ  Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ  ｔｏ  Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｉｎｇ  Ｄｅｎｔａｌ  Ａｒｔｉｃｕｌａｔｉｏｎｓ”，Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ  ａｎｄ  Ｇｒａｐｈｉｃｓ，Ｖｏｌ．１９，Ｎｏ．１，ｐｐ．２１−２８，１９９５，Ｐｅｒｇａｍｏｎ  Ｐｒｅｓｓ，Ｏｘｆｏｒｄ，Ｕ．Ｋ．．
［１４］Ｋａｒｏｌ  Ｍｙｓｚｋｏｗｓｋｉ，Ｏｌｅｇ  Ｇ．Ｏｋｕｎｅｖ，Ｔｏｓｉｙａｓｕ  Ｌ．Ｋｕｎｉｉ  ａｎｄ  Ｍａｓｕｍｉ  Ｉｂｕｓｕｋｉ，“Ｍｏｄｅｌｉｎｇ  ｏｆ  Ｈｕｍａｎ  Ｊａｗ  Ｍｏｔｉｏｎ  ｉｎ  Ｓｌｉｄｉｎｇ  Ｃｏｎｔａｃｔ”，Ｔｈｅ  Ｊｏｕｒｎａｌ  ｏｆ  Ｖｉｓｕａｌｉｚａｔｉｏｎ  ａｎｄ  Ｃｏｍｐｕｔｅｒ  Ａｎｉｍａｔｉｏｎ，Ｖｏｌ．８，Ｎｏ．３，ｐｐ．１４７−１６３，１９９７，Ｊｏｈｎ  Ｗｉｌｅｙ＆Ｓｏｎｓ，Ｃｈｉｃｈｅｓｔｅｒ，Ｕ．Ｋ．
［１５］Ｋａｒｏｌ  Ｍｙｓｚｋｏｗｓｋｉ，Ｊｅｎｓ  Ｈｅｒｄｅｒ，Ｔｏｓｉｙａｓｕ  Ｌ．Ｋｕｎｉｉ，Ｍａｓｕｍｉ  Ｉｂｕｓｕｋｉ，“Ｖｉｓｕａｌｉｚａｔｉｏｎ  ａｎｄ  Ａｎａｌｙｓｉｓ  ｏｆ  Ｏｃｃｌｕｓｉｏｎ  ｆｏｒ  Ｈｕｍａｎ  Ｊａｗｓ  Ｕｓｉｎｇ  ａ  Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙ  Ｇｅｎｅｒａｔｅｄ  Ｐａｔｈ”，Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ  ｏｆ  ＩＳ＆Ｔ／ＳＰＩＥ  Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ  ｏｎ  Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ  Ｉｍａｇｉｎｇ，Ｇ．Ｇ．Ｇｒｉｎｓｔｅｉｎ，Ｒ．Ｆ．Ｅｒｂａｃｈｅｒ  ａｎｄ  Ｒ．Ｎ．Ｅｌｌｓｏｎ（ｅｄｓ．），ｐｐ．３６０−３６７，Ｊａｎｕａｒｙ  ２８−Ｆｅｂｒｕａｒｙ  ２，１９９６，ＩＳ＆Ｔ／ＳＰＩＥ，Ｓａｎ  Ｊｏｓｅ，Ｕ．Ｓ．Ａ．
［１６］Ｔｏｓｉｙａｓｕ  Ｌ．Ｋｕｎｉｉ，Ｊｅｎｓ  Ｈｅｒｄｅｒ，Ｋａｒｏｌ  Ｍｙｓｚｋｏｗｓｋｉ，Ｏｌｅｇ  Ｏｋｕｎｅｖ，Ｇａｌｉｎａ  Ｇ．Ｏｋｕｎｅｖａ  ａｎｄ  Ｍａｓｕｍｉ  Ｉｂｕｓｕｋｉ，“Ａｒｔｉｃｕｌａｔｉｏｎ  Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ  ｆｏｒ  ａｎ  Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ  Ｄｅｎｔａｌ  Ｃａｒｅ  Ｓｙｓｔｅｍ”，Ｄｉｓｐｌａｙｓ，Ｖｏｌ．１５，Ｎｏ．３，ｐｐ．１８１−１８８，１９９４，Ｅｌｓｅｖｉｅｒ  Ｓｃｉｅｎｃｅ  Ｂ．Ｖ．，Ａｍｓｔｅｒｄａｍ，Ｔｈｅ  Ｎｅｔｈｅｒｌａｎｄｓ．
［１７］Ｊｅｎｓ  Ｈｅｒｄｅｒ，Ｋａｒｏｌ  Ｍｙｓｚｋｏｗｓｋｉ，Ｔｏｓｉｙａｓｕ  Ｌ．Ｋｕｎｉｉ  ａｎｄ  Ｍａｓｕｍｉ  Ｉｂｕｓｕｋｉ，“Ａ  Ｖｉｒｔｕａｌ  Ｒｅａｌｉｔｙ  Ｉｎｔｅｒｆａｃｅ  ｔｏ  ａｎ  Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ  Ｄｅｎｔａｌ  Ｃａｒｅ  Ｓｙｓｔｅｍ”，ＭｅｄｉｃｉｎｅＭｅｅｔｓ  Ｖｉｒｔｕａｌ  Ｒｅａｌｉｔｙ  ４，Ｐ．Ｂｏｕｒｇｉｎｅ，Ａ．Ｌｕｃｉａｎｉ  ａｎｄ  Ｔ．Ｌ．Ｋｕｎｉｉ（ｅｄｓ．），Ｊａｎｕａｒｙ  １７−２０，１９９６，Ｓａｎ  Ｄｉｅｇｏ，Ｕ．Ｓ．Ａ．，ｐｐ．４００−４１０，Ｊａｎｕａｒｙ，１９９６，ＩＯＳ  Ｐｒｅｓｓ，Ａｍｓｔｅｒｄａｍ，Ｔｈｅ  Ｎｅｔｈｅｒｌａｎｄｓ．
［１８］Ａｌｌｅｎ  Ｈａｔｃｈｅｒ，“Ａｌｇｅｂｒａｉｃ  Ｔｏｐｏｌｏｇｙ  （２ｎｄ  ｅｄｉｔｉｏｎ）”，Ｊｕｌｙ  ２００２，ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｍａｔｈ．ｃｏｒｎｅｌｌ．ｅｄｕ／〜ｈａｔｃｈｅｒ／ＡＴ／ＡＴｐａｇｅ．ｈｔｍｌ．
Ｔｈｅ  ｐｒｉｎｔｅｄ  ｂｏｏｋ  ｖｅｒｓｉｏｎ  ｉｓ  ａｖａｉｌａｂｌｅ  ｆｒｏｍ  Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ  Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ  Ｐｒｅｓｓ，Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ，Ｕ．Ｋ．
【図面の簡単な説明】
【図１】付加空間レベルにおけるオンライン書店の概念分析を示す。
【図２】花の構造を示す。
【図３】花の別の構造を示す。
【図４】花の実際の形状を示す。
【図５】歯のパントモグラフィーを示す。
【図６】ＦＤＩ／ＩＳＯによる歯の２桁番号系を示す。
【図７】歯のＸ線写真を示す。
【図８】歯の構造を示す。
【図９】歯の断面を示す。
【図１０】歯周組織を示す。
【図１１】歯の石膏像を示す。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【外国語明細書】
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