(57)【要約】【課題】制御系の目的変数を制御するための重回帰式が、その後の未知の要因による系の変動で該重回帰式が合わなくなった場合，従来は、再び多数のデータをとって重回帰分析を行なわなければならず、多量の労力と時間を必要とする問題があった。【解決手段】異なるｎ＋１　組の説明変数の値における変動後の目的変数の実測値と、元の重回帰式における目的変数の予測値を求め、ｎ＋１　元の連立方程式を作成し、該ｎ＋１　元の連立方程式からｎ　個の未知数を求め、該求めた未知数により元の重回帰式を補正して、補正された重回帰式を得る。【選択図】　　　図１
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
目的変数をＹ，説明変数をＸ１〜Ｘ　ｎ　として、制御系における元の重回帰式を、
Ｙ＝　ａ０＋ａ１Ｘ１＋　・・・ａ　ｎ　Ｘ　ｎ　＋　ｃ１１Ｘ１Ｘ１＋ｃ１２Ｘ１Ｘ２＋・・・＋　ｃ　ｎｎＸ　ｎ　Ｘ　ｎ　としたとき、未知要因Ｚ　の変動によって該重回帰式が合わなくなった場合の重回帰式の補正方法であって、
異なるｎ＋１　組の説明変数の値（Ｘ１，Ｘ２，　・・・Ｘ　ｎ　）　における変動後の目的変数の実測値Ｙ’と、前記元の重回帰式における目的変数の予測値Ｙ　を求め、
Ｙ’−　Ｙ　＝　ｂ０　Δｚ＋ｂ１Δｚ　Ｘ１＋　・・・＋　ｂ　ｎ　Δｚ　Ｘ　ｎ　の式から、ｎ＋１　元の連立方程式を作成するステップと、
該ｎ＋１　元の連立方程式から未知数　ｂｋ　Δｚ　（ｋ＝　０，１，・・・ｎ）を求めるステップと、
該求めた未知数ｂ　ｋ　Δｚ　を、
Ｙ’　＝　（ａ０＋ｂ０Δｚ　）＋（ａ１　＋ｂ１Δｚ　）Ｘ１＋・・・（ａｎ　＋ｂ　ｎ　Δｚ　）Ｘｎ　＋ｃ１１Ｘ１Ｘ１＋　　　　ｃ１２Ｘ１Ｘ２＋・・・＋　ｃ　ｎｎＸ　ｎ　Ｘ　ｎ　の式に代入し、補正された重回帰式Ｙ’を求めるステップを含むことを特徴とする制御系における重回帰式の補正方法。
【請求項２】
前記請求項１で求めた補正された重回帰式が、再度、未知要因により系が変動した場合の重回帰式の補正方法であって、
ある説明変数における目的変数の実測値Ｙ’’　を求めるステップと、
該ある説明変数における補正された１度目の重回帰式による予測値Ｙ’を求めるステップと、
該ある説明変数における元の重回帰式による予測値Ｙ　を求めるステップと、
（Ｙ’’−Ｙ）／（Ｙ’−Ｙ）＝ｒを求めるステップと、
該求めたｒ　の値を、
Ｙ’’＝（ａ０＋ｒｂ０　Δｚ）＋（ａ１＋ｒｂ１Δｚ）Ｘ１＋　・・・（ａｎ　＋ｒｂ　ｎ　Δｚ）Ｘ　ｎ　＋ｃ１１Ｘ１Ｘ１＋ｃ１２Ｘ１Ｘ２＋　・・・＋ｃｎｎＸ　ｎ　Ｘ　ｎ　の式に代入して補正された２度目の重回帰式Ｙ’’　を求めるステップを含むことを特徴とする制御系における重回帰式の補正方法。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、制御系において特性値を制御するための重回帰式を補正する方法および装置に関し、たとえば半導体エッチング装置のＶｄｃを制御する場合等に有効な重回帰式の補正方法に関する。
【０００２】
【従来の技術】
制御系において、目的変数を制御するために重回帰式を用いることは通常よく行われている。例えば、半導体の製造工程で使用されるエッチング装置のＶｄｃを所望の値に制御したい場合に、Ｖｄｃをエッチング装置内の磁場の強さと圧力の関数として表した重回帰式を使用して制御している。この重回帰式は、予め説明変数である磁場の強さおよび圧力を種々に振った場合の目的変数であるＶｄｃのデータを複数個取得して、これらのデータの重回帰分析の計算を行うことにより求められる。
【０００３】
【発明が解決しようとする課題】
しかし、せっかく求めた重回帰式がその後未知の要因が変化することにより合わなくなることがある。この場合、従来は重回帰式を求め直すために、再び多数のデータをとって重回帰分析を行なわなければならず、このために多量の労力と時間を必要とする問題があった。
【０００４】
【課題を解決するための手段】
上記の課題を解決するため、本発明の請求項１の発明では、目的変数をＹ，説明変数をＸ１〜Ｘ　ｎ　として、制御系における元の重回帰式を、
Ｙ＝　ａ０＋ａ１Ｘ１＋　・・・ａ　ｎ　Ｘ　ｎ　＋　ｃ１１Ｘ１Ｘ１＋ｃ１２Ｘ１Ｘ２＋・・・＋　ｃ　ｎｎＸ　ｎ　Ｘ　ｎ　としたとき、未知要因Ｚ　の変動によって該重回帰式が合わなくなった場合の重回帰式の補正方法であって、異なるｎ＋１　組の説明変数の値（Ｘ１，Ｘ２，　・・・Ｘ　ｎ　）　における変動後の目的変数の実測値Ｙ’と、前記元の重回帰式における目的変数の予測値Ｙ　を求め、　Ｙ’−　Ｙ　＝　ｂ０　Δｚ＋ｂ１Δｚ　Ｘ１＋　・・・＋　ｂ　ｎ　Δｚ　Ｘ　ｎ　の式から、ｎ＋１　元の連立方程式を作成するステップと、該ｎ＋１　元の連立方程式から未知数　ｂｋ　Δｚ　（ｋ＝　０，１，・・・ｎ）を求めるステップと、該求めた未知数ｂ　ｋ　Δｚ　を、　Ｙ’　＝　（ａ０＋　　ｂ０Δｚ　）＋（ａ１　＋ｂ１Δｚ　）Ｘ１＋・・・（ａｎ　＋ｂ　ｎ　Δｚ　）Ｘｎ　＋ｃ１１Ｘ１Ｘ１＋ｃ１２Ｘ１Ｘ２＋・・・＋　ｃ　ｎｎＸ　ｎ　Ｘ　ｎ　の式に代入し、補正された重回帰式Ｙ’を求めるステップを含むことを特徴とする。
【０００５】
請求項２の発明では、この請求項１で求めた補正された重回帰式が、再度、未知要因により系が変動した場合の重回帰式の補正方法であって、ある説明変数における目的変数の実測値Ｙ’’　を求めるステップと、該ある説明変数における補正された１度目の重回帰式による予測値Ｙ’を求めるステップと、該ある説明変数における元の重回帰式による予測値Ｙ　を求めるステップと、（Ｙ’’−Ｙ）／（Ｙ’−Ｙ）＝ｒを求めるステップと、該求めたｒ　の値を、Ｙ’’＝（ａ０＋ｒｂ０　Δｚ）＋（ａ１＋ｒｂ１Δｚ）Ｘ１＋　・・・（ａｎ　＋ｒｂｎΔｚ）Ｘ　ｎ　＋ｃ１１Ｘ１Ｘ１＋ｃ１２Ｘ１Ｘ２＋　・・・＋ｃｎｎＸ　ｎ　Ｘ　ｎ　の式に代入して補正された２度目の重回帰式Ｙ’’　を求めるステップを含むことを特徴とする。
【０００６】
すなわち、本発明によれば、制御系が未知の要因により変動した後の重回帰式を補正を行うためのデータが、説明変数の個数＋１個の少ないデータで済むので、再び多数のデータをとって重回帰分析を行なう必要がなく、重回帰式の補正を容易に行える効果がある。
【０００７】
【発明の実施の形態】
一度目の重回帰式を求めたとき、その後この重回帰式が合わなくなった原因である未知パラメータｚ　は一定であったとする。そのｚ　が　ｚ＋Δｚ　に変化したときに系が変動して、重回帰式が合わなくなってしまったと考える。重回帰式は２次の項までを考える。最初にデータを大量に取って求めた重回帰式が次のようだったとする。ただし、この考察は変動の原因である未知要因が１個の場合である。
【０００８】
Ｙ　＝　ａ０＋ａ１Ｘ１＋・・・ａ　ｎ　Ｘ　ｎ　＋ｃ１１Ｘ１Ｘ１＋ｃ１２Ｘ１Ｘ２＋　・・・ｃ　ｎｎＸ　ｎ　Ｘ　ｎ　（１）
ｚ　が変動するとａ　ｋ　が変動するのでａ　ｋ　をｚ　でテイラー展開して１次の項のみ残して、
ａ　ｋ　＝　ａ　ｋ０＋ｂｋ　ｚ
のように書き換える。すると、（１）　式は次のように書き換えられる。
【０００９】
Ｙ　＝　（ａ００＋ｂ０ｚ）＋（ａ１０＋ｂ１ｚ）Ｘ１＋・・・（ａｎ０＋ｂｎ　ｚ）Ｘ　ｎ　＋ｃ１１Ｘ１Ｘ１＋ｃ１２Ｘ１Ｘ２＋　・・・＋ｃｎｎＸ　ｎ　Ｘ　ｎ　　　（２）
この後ｚ　がｚ＋Δｚ　に変動したとすると、補正された重回帰式は、
Ｙ’＝　（ａ００＋ｂ０（ｚ＋Δｚ　））＋（ａ１０＋ｂ１（ｚ＋　Δｚ））Ｘ１＋・・・（ａｎ０＋ｂｎ　（ｚ＋　Δｚ））Ｘ　ｎ　＋　　ｃ１１Ｘ１Ｘ１＋ｃ１２Ｘ１Ｘ２＋・・・＋ｃｎｎＸ　ｎ　Ｘ　ｎ　＝（ａ０＋ｂ０　Δｚ）＋（ａ１＋ｂ１　Δｚ　）Ｘ１＋・・・（ａｎ　＋ｂｎ　Δｚ）Ｘ　ｎ　＋ｃ１１Ｘ１Ｘ１＋ｃ１２Ｘ１Ｘ２＋　・・・＋ｃｎｎＸ　ｎ　Ｘ　ｎ　　（３）
となる。Ｙ　を元の重回帰式で求めたときの目的変数の予測値、Ｙ’を変動後の実測値として２次の項まで残すと、
Ｙ’−Ｙ＝　ｂ０　Δｚ＋　ｂ１　ΔｚＸ１＋・・・＋ｂｎ　ΔｚＸｎ　　（４）
が得られる。
【００１０】
ここで、求めるべき未知数はｂ　ｋ　Δｚ（ｋ＝０，１，・・・ｎ）のｎ＋１　個である。
そのため、（４）　式において、（Ｘ１，Ｘ２，　・・・，Ｘｎ　）　をｎ＋１　組適当に選んで、それに対応した実測値Ｙ’と、これらのＸ　を元の重回帰式に代入して求めたＹ　を計算して、Ｙ’−Ｙを計算してｎ＋１　元の連立方程式を立てる（図１におけるステップＳ１）。そして、その方程式を解いてｂ　ｋ　Δｚ　を求めて（ステップＳ２）、（３）　式に代入して、補正された重回帰式Ｙ’を求める（ステップＳ３）。
【００１１】
例えば、説明変数が２個の場合は、次のようになる。
Ｙ’＝　（ａ００＋ｂ０（ｚ＋Δｚ　））＋（ａ０１＋ｂ１（ｚ＋　Δｚ））Ｘ１＋　（ａ０２＋ｂ２　（ｚ＋Δｚ））Ｘ　２　＋ａ３Ｘ１Ｘ１＋　ａ４Ｘ１Ｘ２＋ａ５Ｘ２　Ｘ２　＝（ａ０＋ｂ０Δｚ）＋（ａ１＋ｂ１　Δｚ　）Ｘ１＋（ａ２　＋ｂ２　Δｚ）Ｘ２＋ａ３Ｘ１Ｘ１＋ａ４Ｘ１Ｘ２＋　ａ５　Ｘ２Ｘ２（５）
ここで、（ａ０＋ｂ０Δｚ）、（ａ１＋ｂ１Δｚ　）　、（ａ２　＋ｂ２　Δｚ）　が補正された偏回帰係数である。
【００１２】
なお、補正された重回帰式Ｙ’を求めた後に再度、系が変動した場合、そのときのある説明変数における目的変数の実測値をＹ’’　とし、ｚ　の変動をΔｚ’とすると、　　　　　　　　
（Ｙ’’−Ｙ）／（Ｙ’−Ｙ）＝（Δｚ’）／（　Δｚ）＝ｒである。即ち、Δｚ’＝ｒΔｚ　である。従って、再度補正された重回帰式は、
Ｙ’’＝（ａ０＋ｒｂ０　Δｚ）＋（ａ１＋ｒｂ１Δｚ）Ｘ１＋　・・・（ａｎ　＋ｒｂ　ｎ　Δｚ）Ｘ　ｎ　＋ｃ１１Ｘ１Ｘ１＋ｃ１２Ｘ１Ｘ２＋　・・・＋ｃｎｎＸ　ｎ　Ｘ　ｎ　　（６）
つまり、ある説明変数における再度変動後の目的変数の実測値Ｙ’’　を求める。（図１におけるＳ４）、次に、該ある説明変数における補正された１度目の重回帰式による予測値Ｙ’と元の重回帰式による予測値Ｙ　を求める（Ｓ５、Ｓ６）。
【００１３】
そして、（Ｙ’’−Ｙ）／（Ｙ’−Ｙ）＝ｒを求め（Ｓ７）、このｒを（６）　式に代入して２度目の重回帰式Ｙ’’　（Ｓ８）を得る。
このように、２度目以降の補正された重回帰式は、一つのある説明変数における実測データを採ればよく、さらに容易に得ることができる。
以下、本発明の実施例による制御系における重回帰式の補正方法を半導体エッチング装置の制御に適用した場合について、図２〜図３および表１を用いて説明する。
【００１４】
図２は、半導体エッチング装置の構成図を示し、チャンバー１内に対向して配置された２枚の電極２および３があり、交流電源４から数百ワットの交流パワーがかかっている。電極２および３の間にプラズマ５があり、プラズマ５と電極３の間にバイアス電圧Ｖｄｃが生じる。そしてチャンバー１の外にコイル６があり、プラズマ５に磁場がかけられている。チャンバー１にはガスの流入口７と内部の圧力を下げるためのポンプ８が付いている。
【００１５】
【表１】
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表１は、交流電源４からの交流パワーが５００［Ｗ］一定および３００［Ｗ］　一定の各条件下において、圧力、磁場の強さを種々変化させた場合のＶｄｃの実測値および重回帰式による予測値を表す。
【００１６】
まず、元の条件として、交流電源４のパワーが５００［Ｗ］の場合に、Ｖｄｃを目的変数として、コイル６によって生じた磁場［Ｇ］　とプラズマの圧力［ｍＴｏｒｒ］　を説明変数として重回帰分析を行う。表１において、パワーが５００［Ｗ］一定の条件下で、圧力、磁場、Ｖｄｃの組が１３個あり、磁場とパワーの２次までを説明変数として重回帰分析を行うと、その結果得られた重回帰式は、
Ｖｄｃ＝−５９２．２０６　＋２．５５６　×圧力＋６．２３８　×磁場−３．３１７Ｅ−２×圧力×磁場　（７）
となった。
【００１７】
その後、制御系が変動してパワーが３００［Ｗ］に変化したとする。実際には意図的にパワーを変化させているのだが、想定としては知らないうちに未知の要因により系が変動したとする。従って、パワーが３００［Ｗ］に変化したという知識は使用できない。
なお、表１において、Ａは、交流パワーで、すべて５００［ｗ］に固定、Ｂは、プラズマの圧力［ｍＴｏｒｒ］　、Ｃは、磁場の強さ［Ｇ］　、Ｄは、パワーが５００［Ｗ］のときのＶｄｃ［Ｖ］　、Ｅは、パワー×パワー、Ｆは、磁場の強さ×磁場の強さ、Ｇは、パワー×磁場の強さ、Ｈは、パワーが３００［Ｗ］のときのＶｄｃ［ｖ］　、Ｉは、圧力の二乗、Ｊは、圧力×磁場の強さ、Ｋは、パワーが３００［Ｗ］のときのＶｄｃを目的変数にした重回帰式の予測値、Ｌは、パワーが３００［Ｗ］のときのＶｄｃを目的変数にした重回帰式の残差、Ｍは、補正された重回帰式による予測値、Ｎは、パワーが５００［Ｗ］のときのＶｄｃを目的変数にした重回帰式の予測値、Ｏは、パワーが５００［Ｗ］のときのＶｄｃを目的変数にした重回帰式の残差、Ｐは、補正された重回帰式による予測値と、パワーが５００［Ｗ］のときのＶｄｃの実測値との差、Ｑは、補正された重回帰式による予測値と、パワーが３００［Ｗ］のときのＶｄｃの実測値との差、Ｒは、Ｐの値の二乗、Ｓは、Ｑの値の二乗、Ｔは、パワーが５００［Ｗ］のときのＶｄｃの実測値と、パワーが３００［Ｗ］のときのＶｄｃの実測値との差、Ｕは、Ｔの値の二乗、Ｖは、パワーが５００［Ｗ］のときのＶｄｃを目的変数にした重回帰式による予測値と、パワーが３００［Ｗ］のときのＶｄｃの実測値との差、Ｗは、Ｖの値の二乗、Ｘは、パワーが５００［Ｗ］のときのＶｄｃを目的変数にした重回帰式による予測値と、パワーが５００［Ｗ］のときのＶｄｃの実測値との差、Ｙは、Ｘの値の二乗を示す。
【００１８】
ここで、系が変動した後の補正された重回帰式を求める。そのため、（４）式による３元連立１次方程式を立ててｂ　ｋ　Δｚ　を求めればよい。左辺はＹ’−Ｙであり、Ｙ’は系が変動した後、即ちパワーが３００［Ｗ］になった後のＶｄｃの実測値である。　　表１において、データは１３個あるので適当に３個（表１の上から２番目、４番目、９番目のデータ）を選んだ。Ｙ　は（７）　式の重回帰式から求めたＶｄｃである。行列の中の２列目の値（３０、１０、５０）　は圧力［ｍＴｏｒｒ］　であり、３列目の値（０　、２０、４０］　は磁場の強さ［Ｇ］　である。
【００１９】
【数１】
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この行列式（８）　を解くと、ｂ０Δｚ＝１１４．６６７　、ｂ１Δｚ＝−０．５７１、ｂ２Δｚ＝−１．０７２が得られる。従って、補正された重回帰式は、
Ｖｄｃ（　補正）＝−４７７．５３９＋１．９８５×圧力＋５．１６６×磁場−３．３１７Ｅ−２　×圧力×磁場　（９）
となる。
【００２０】
次に、本発明による重回帰式の補正方法によって予測精度がよくなったことを確認する。
まず、元の重回帰式の予測精度を確認するために、パワーが５００［Ｗ］のときの重回帰式の予測値と実測値の差の二乗和の平均の平方根ｒ１を求めてみると、ｒ１＝１１．３６８［Ｖ］であった。次に系が変動した後、即ち、パワーが３００［Ｗ］に変化した後、元の重回帰式を用いて、予測値を求め、それと、系が変動した後の実測値の差の二乗和の平均の平方根ｒ２を求めてみると、ｒ２＝１０１．９２［Ｖ］であった。
【００２１】
最後に、補正された重回帰式（９）　を用いて予測値を求め、系の変動後のＶｄｃの実測値との差の二乗和の平均の平方根ｒ３を求めると、ｒ３＝３２．３６［Ｖ］　であった。
図３に示すグラフは、横軸に実測値、縦軸に重回帰式の予測値をプロットしている。最初の菱形◆のプロットは、系の変動前の実測値と重回帰式による予測値とのプロットである。かなり精度よく直線状に並んでいる。２番目の正方形□は、系の変動後の実測値と系の変動前の重回帰式による予測値をプロットしたものである。プロットはかなり右側にずれている。最後に三角形△は、変動後の実測値と、補正された重回帰式（９）　による予測値をプロットしたもので、完全ではないが、元の直線に近づいていることがわかる。これは、系の変動後の予測精度がよくなったことを示すものである。
【００２２】
【発明の効果】
以上説明したように、本発明によれば、制御系が未知の要因により変動した後の重回帰式を補正を行うためのデータが、説明変数の個数＋１個の少ないデータで済むので、再び多数のデータをとって重回帰分析を行なう必要がなく、重回帰式の補正を容易に行える効果がある。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明の実施例による重回帰式の補正フローチャート図。
【図２】半導体エッチング装置の構成図。
【図３】重回帰式による予測値と実測値の関係を表したグラフ。
【符号の説明】
１　　　　チャンバー
２〜３　　電極
４　　　　交流電源
５　　　　プラズマ
６　　　　コイル
７　　　　流入口
８　　　　ポンプ
【図１】
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【図２】
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【図３】
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