(57)【要約】【課題】高速化のような過酷な条件においても、適切に動作することが可能な内部諸元を有するボールねじを提供する。【解決手段】以下の特性を有するボールねじを用いる。ボールが運動中のねじ軸２とボール６との間、及び、ナット１とボール６との間のＰＶ値が、いずれも４３ｋｇｆ／ｍｍ２・ｍ／ｓ以下である。そのとき、ねじ軸２のねじ軸溝半径をｒＢ、ボール６のボール径をＤａとしたとき、０．５２≦ｒＢ／Ｄａ≦０．６１である。また、ナット１のナット溝半径をｒＭ、ボール６のボール径をＤａとしたとき、０．５０＜ｒＭ／Ｄａ≦０．５２である。更に、ピッチ円径をｄｍ、ボール６のボール径をＤａとしたとき、０＜Ｄａ／ｄｍ≦０．１８である。加えて、リードをｌ、ピッチ円径をｄｍとしたとき、０．２８≦ｌ／ｄｍ≦１．０である。そして、ボール６の停止中での接触角をβとしたとき、１０度≦β≦４５度である。【選択図】　　　図１
2004076808.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
ねじ軸とナットとがボールを介して作動する送りねじとしてのボールねじであって、
前記ボールが運動中における前記ねじ軸と前記ボールとの間、及び、前記ナットと前記ボールとの間のＰＶ値が、いずれも４３ｋｇｆ／ｍｍ２・ｍ／ｓ以下である、
ボールねじ。
【請求項２】
前記ねじ軸のねじ軸溝半径をｒＢ、前記ボールのボール径をＤａとしたとき、
０．５２≦ｒＢ／Ｄａ≦０．６１
である、
請求項１に記載のボールねじ。
【請求項３】
前記ナットのナット溝半径をｒＭ、前記ボールのボール径をＤａとしたとき、
０．５０＜ｒＭ／Ｄａ≦０．５２
である、
請求項１又は２に記載のボールねじ。
【請求項４】
ピッチ円径をｄｍ、前記ボールのボール径をＤａとしたとき、
０＜Ｄａ／ｄｍ≦０．１８
である、
請求項１乃至３のいずれか一項に記載のボールねじ。
【請求項５】
リードをｌ、ピッチ円径をｄｍとしたとき、
０．２８≦ｌ／ｄｍ≦１．０
である、
請求項１乃至４のいずれか一項に記載のボールねじ。
【請求項６】
前記ボールの停止中での接触角をβとしたとき、
１０度≦β≦４５度
である、
請求項１乃至５のいずれか一項に記載のボールねじ。
【請求項７】
請求項１乃至６のいずれか一項に記載のボールねじと、
前記ボールねじに取り付けられ、工作物を固定するテーブルと、
を具備する、
工作機械。
【請求項８】
請求項１乃至６のいずれか一項に記載のボールねじと、
前記ボールねじに取り付けられ、材料を押出す射出部と、
を備える、
電動射出成形機。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、ボールねじに関し、特に、高速化に対応するボールねじに関する。
【０００２】
【従来の技術】
ボールねじは、その高い機械効率、高精度、長期にわたる作動の安定性、負荷加容量と速度に対する広い対応等、数多くの特徴を有する。このため、駆動、伝達要素の中心的存在となっており、多くの機械に採用されている。ここで、現状の一般的なボールねじは、その内部諸元により、ボールとねじ溝間のＰＶ値（ボールねじの焼付きを判定するための指標）が大きいために、高速化に不向きである。
【０００３】
一方、近年においては、ボールねじの使用条件が過酷化（例示：高速化）している。そのため、ボールとねじ溝との接触部の摩擦が問題となるケースがしばしばある。特に、最近の高速ボールねじでは、高速化での摩擦熱による熱膨張は、正確な位置決め精度を要する工作機械では無視できない。
【０００４】
玉軸受では、玉と内輪及び外輪との接触部での弾性変形や摩擦を考慮した上で、玉のスピン運動（すべり）や３次元運動を評価できる理論的な研究が報告されている。一方、ボールねじについては、上記の摩擦や磨耗、発熱に関する報告はほとんど無い。玉軸受は、基本的に２次元平面内での運動であるが、ボールねじは、３次元空間内での運動になる。従って、玉軸受の評価手法をそのまま利用することは出来ない。また、摩擦や磨耗、発熱を解析するためのボールねじの運動、すなわちボールのスピン運動（すべり）に関する評価についても同様である。
【０００５】
過酷化（高速化）に適したボールねじが求められている。高速化に適する内部諸元を有するボールねじが望まれている。ボールねじの運動を評価する評価方法が求められている。
【０００６】
【発明が解決しようとする課題】
従って、本発明の目的は、高速化のような過酷化した条件において、適切に動作するボールねじを提供することである。
【０００７】
また、本発明の他の目的は、高速化のような過酷化した条件に適する内部諸元を有するボールねじを提供することである。
【０００８】
本発明の更に他の目的は、高速化のような過酷化した条件に適する内部諸元を評価するボールねじの評価方法を提供することである。
【０００９】
【課題を解決するための手段】
以下に、［発明の実施の形態］で使用される番号・符号を用いて、課題を解決するための手段を説明する。これらの番号・符号は、［特許請求の範囲］の記載と［発明の実施の形態］との対応関係を明らかにするために付加されたものである。ただし、それらの番号・符号を、［特許請求の範囲］に記載されている発明の技術的範囲の解釈に用いてはならない。
【００１０】
従って、上記課題を解決するために、本発明のボールねじは、ねじ軸（２）とナット（１）とがボール（６）を介して作動する送りねじとしてのボールねじである。そして、ボール（６）が運動中におけるねじ軸（２）とボール（６）との間、及び、ナット（１）とボール（６）との間のＰＶ値が、いずれも４３ｋｇｆ／ｍｍ２・ｍ／ｓ以下である。
【００１１】
また、本発明のボールねじは、ねじ軸（２）のねじ軸溝半径をｒＢ、ボール（６）のボール径をＤａとしたとき、０．５２≦ｒＢ／Ｄａ≦０．６１である。
【００１２】
また、本発明のボールねじは、ナット（１）のナット溝半径をｒＭ、ボール（６）のボール径をＤａとしたとき、０．５０＜ｒＭ／Ｄａ≦０．５２である。
【００１３】
更に、本発明のボールねじは、ピッチ円径をｄｍ、ボール（６）のボール径をＤａとしたとき、０＜Ｄａ／ｄｍ≦０．１８である。
【００１４】
更に、本発明のボールねじは、リードをｌ、ピッチ円径をｄｍとしたとき、０．２８≦ｌ／ｄｍ≦１．０である。
【００１５】
更に、本発明のボールねじは、ボール（６）の停止中での接触角をβとしたとき、１０度≦β≦４５度である。
【００１６】
上記課題を解決するために、本発明の工作機械は、上記各項のいずれか一項に記載のボールねじと、ボールねじに取り付けられ、工作物を固定するテーブルとを備える。
工作機械は、フライス盤や旋盤に例示される。
【００１７】
上記課題を解決するために、本発明の電動射出成形機は、上記各項のいずれか一項に記載のボールねじと、ボールねじに取り付けられ、材料を押出す射出部とを備える。
電動射出成形機は、バンパーのような樹脂製品を射出成形により形成する射出成形機に例示される。
【００１８】
【発明の実施の形態】
以下、本発明であるボールねじの実施の形態に関して、添付図面を参照して説明する。
なお、各実施の形態において同一又は相当部分には同一の符号を付して説明する。
また、図及び文中の説明の符号の添え字は、Ｍ：ナット、Ｂ：ねじ軸、ｑ：ボール番号　をそれぞれ示す。
【００１９】
まず、本発明のボールねじの構成について添付図面を参照して説明する。
図１は、本発明であるボールねじの実施の形態の構成を示す図である。ボールねじ１０は、ナット１、ねじ軸２、リターンチューブ３及び複数のボール６を具備する。
【００２０】
ボールねじ１０は、回転運動を直線運動に換えて部品の位置を移動させる目的に用いる送りねじの一形式であり、ねじ軸２とナット１とが複数のボール６を介して作動する機械部品である。ねじ軸２とナット１の相対回転に伴って、ねじ軸２の溝であるねじ軸溝とナット１の溝であるナット溝とで形成されるねじ溝、及び、リターンチューブ３（リターンチューブ入口Ａからリターンチューブ出口Ｂまで）とで形成される閉じた通路の中を、ボール６が転動しながら無限循環する。
【００２１】
このボールねじ１０は、以下の特性（内部諸元）を有する。
▲１▼ボール６が運動中において、ねじ軸２とボール６との間のＰＶ値（軸受の焼付き等の安全性限界を判定するための指標値）、及び、ナット１とボール６との間のＰＶ値が、いずれも４３ｋｇｆ／ｍｍ２・ｍ／ｓ以下である。
▲２▼ねじ軸２のねじ軸溝半径をｒＢ、ボール６のボール径をＤａとしたとき、０．５２≦ｒＢ／Ｄａ≦０．６１、である。
▲３▼ナット１のナット溝半径をｒＭ、ボール６のボール径をＤａとしたとき、０．５０＜ｒＭ／Ｄａ≦０．５２、である。
▲４▼ピッチ円径をｄｍ、ボール６のボール径をＤａとしたとき、０＜Ｄａ／ｄｍ≦０．１８、である。
▲５▼リードをｌ、ピッチ円径をｄｍとしたとき、０．２８≦ｌ／ｄｍ≦１．０、である。
▲６▼ボール６とナット溝又はねじ溝との接触角をβ（ただし、ボール６は停止中）としたとき、１０度≦β≦４５度、である。
この特性は、以下に示すボールねじの評価装置のシミュレーションに基づく解析により、決定されている。以下、その評価装置及び評価方法、評価結果に基づいた内部諸元について説明する。
【００２２】
次に、本発明であるボールねじの内部諸元を評価する評価装置の構成について添付図面を参照して説明する。
図２は、ボールねじ評価装置の構成を示す図である。ボールねじ評価装置１１は、ワークステーションに例示される情報処理装置である。入出力部１２と、内部の記憶部（図示されず）に格納されたプログラムとしての玉荷重解析部１３及び玉運動解析部１４を備える。
【００２３】
入出力部１２は、ボールねじの評価に必要な情報（各種設定条件）を入力する入力装置（例示：キーボード、マウス）と、評価結果やその途中経過を知るための出力装置（例示：ディスプレイ、プリンタ）とを備える。
玉荷重解析部１３は、ボールねじの運動を評価する評価アルゴリズムと、入力された各種設定条件とに基づいて、玉（ボール）の荷重に関連する荷重情報を算出する。結果は、ディスプレイに表示され、記憶部に格納される。
玉運動解析部１４は、評価アルゴリズム、入力された各種設定条件及び算出された荷重情報に基づいて、玉（ボール）の運動を解析する。結果は、ディスプレイに表示され、記憶部に格納される。
【００２４】
次に、ボールねじ評価装置の評価アルゴリズムを用いた動作について添付図面を参照して説明する。
図３は、本発明のボールねじの評価方法の実施の形態のプロセスを示すフロー図である。
（０）座標系について（前提条件）
まず、ボールねじ評価装置の評価アルゴリズムにおいて用いる座標系について説明する。
図４は、評価アルゴリズムで用いるボールねじ１０の直交座標系を示す図である。図４（ａ）は、直交座標系とボールねじ１０（ナット１とねじ軸２とボール６とを有する）との関連を示している。また、図４（ｂ）は、各直交座標系同士の関係を示している。
【００２５】
評価アルゴリズムにおける直交座標系を図４のように定める。図４（ａ）を参照して、原点Ｏは、ナット１内のボール６の列の中心にある。ｘ−ｙ−ｚは、ボール６の中心がｘ軸まわりに回転するように取った固定右手座標系である。ｘ軸は、ねじ軸２のねじ軸方向である。ｘ軸と垂直で、互いに垂直な２軸の内、一方をｙ軸とし、他方をｚ軸とする。また、ねじ軸２に相当する円筒は、ボール６のピッチ円径ｄｍを直径とする仮想円筒である。仮想円筒に巻き付けたつる巻き線は、ボール６の中心の公転軌跡となる。
図中、１の黒点は、リターンチューブ入口Ａのボール６を示し、ｑの黒点は、ナット１及びねじ軸２とで形成されるねじ溝の途中のｑ個目のボールを示し、ｎの黒点は、リターンチューブ出口Ｂのボールを示す。ねじ溝中には、ｎ個のボールが存在している。
【００２６】
図４（ｂ）を参照して、ｘ’軸及びｙ’軸は、それぞれｘ軸及びｙ軸をボール中心リード角γｍだけ回転させた座標軸である。
ｘ’’ｙ’’ｚ’’は、ｘ’’軸がｘ’軸に平行で、原点をボール６の中心に取った回転右手座標系である。ｘ’’軸は、ｄｍ／２の半径で、ｘ’軸まわりを回転する。
ＵＶＷは、ｘ’’ｙ’’ｚ’’の原点と同じ原点を有し、ｘ’’ｙ’’ｚ’’と共に動く回転右手座標系である。Ｕ軸が、ボールの自転軸に沿っている。Ｗ軸は、Ｕｚ’’平面内にある。図のボール断面は、ｑ番目のボール６のｘ’’ｚ’’平面における断面であり、ボール６の中心、ボール６とねじ軸２あるいはナット１との接触点は全てこの断面上にある。
ただし、
α、β’：ボール６の自転軸角
ｄｍ：ピッチ円直径
である。
【００２７】
（１）ステップＳ１
設計者又は外部の記憶装置等から入出力部１２へ評価条件が入力される。ここでは、以下のような内部諸元、運転条件を設定する。
内部諸元
ボール径：Ｄａ
接触角（停止中）：βｑ（ナット１−ボール６−ねじ軸２とｚ’’軸との接触角）
ねじ溝半径：ｒＭ（ナット１），ｒＢ（ねじ軸２）
各部の材質：ＳＵＪ１〜ＳＵＪ５に例示される従来ボールねじに使用される材料、密度、ヤング率、ポアソン比
ＡＢ：ねじ軸有効断面積
ＡＭ：ナット有効断面積
ｄｍ：ピッチ円径
γｍ：ボール中心リード角
ζ：有効ねじ巻数
ｎ：負荷ボール数
ｌ：リード
μ：ボールとねじ溝間のトラクション係数
ｍ：ボール６の質量
ρ：ボール６材料の密度
（ただし、添え字ｑ：ｑ番目のボール）
運転条件
ω：ナット１あるいはねじ軸２の角速度
Ｆｘｗ：スラスト荷重
Ｆｙｗ（ｙ軸）、Ｆｚｗ（ｚ軸）：ラジアル荷重
Ｍｚｗ（ｙ軸）、Ｍｙｗ（ｚ軸）：モーメント
ｎＭ（ナット）、ｎＢ（ねじ軸）：回転数
以下のステップにおいて、この条件に基づいて、ボールねじの諸特性を算出する。
【００２８】
（２）ステップＳ２
玉荷重解析部１３において、ボール６とねじ軸２又はナット１の接触部分以外は剛体と仮定した場合における、玉荷重分布（ボールの負荷分布）を計算する。ここでは、玉荷重、接触面圧、接触領域、接触角、弾性接近量について算出する。
【００２９】
図５は、ボールねじ１０におけるボール６とナット１及びねじ軸２との接触領域（停止時）の概観を示す図である。接触領域は、ナット側及びねじ軸側とも楕円形状をなしている。ボール６は、両接触領域において弾性接近量δの厚み分だけ弾性的につぶれている。そして、各接触領域において、ナット１あるいはねじ軸２から垂直荷重が負荷されている。
【００３０】
図６は、ボール６とねじ溝との幾何学的な位置関係を示す図である。すなわち、ナット１のねじ溝であるナット溝の曲率中心（以下、「ナット溝曲率中心」）、ねじ軸２のねじ溝であるねじ軸溝の曲率中心（以下、「ねじ軸溝曲率中心」）、及び、ボール６の中心であるボール中心の３点の相対位置関係について示す図である。ただし、ナット溝曲率中心Ｅを基準点として示している。
ここで、
Ｅ：ナット溝曲率中心（ナット溝の半径の中心）
Ｆ０：ボールの中心（停止中）
Ｆ１：ボールの中心（回転中）
Ｇ０：ねじ軸溝曲率中心（ねじ軸溝の半径の中心）（停止中）
Ｇ１：ねじ軸溝曲率中心（ねじ軸溝の半径の中心）（回転中）
であり、Ｅ、Ｆ０、Ｆ１、Ｇ０及びＧ１は、同一平面上にある。
また、
Ｂｄ：Ｅ−Ｇ０間距離
（ｆＭ−０．５）Ｄａ＋δＭｑ：Ｅ−Ｆ１間距離
（ｆＢ−０．５）Ｄａ＋δＢｑ：Ｆ１−Ｇ１間距離
Ｄａ：ボール６の直径
ｆＭ：ｒＭ／Ｄａ
ｆＢ：ｒＢ／Ｄａ
δＭｑ：Ｈｅｒｔｚの弾性接近量（ナット１−ボール６間）
δＢｑ：Ｈｅｒｔｚの弾性接近量（ねじ軸２−ボール６間）
Ｈｑ：Ｅを通るｚ’’軸と平行なｚ１軸−Ｆ１間距離
Ｖｑ：Ｅを通るｚ１軸と垂直なｘ１軸−Ｆ１間距離
Ｌｈｑ：ｚ１軸−Ｇ１間距離
Ｌｖｑ：ｘ１軸−Ｇ１間距離
βＭｑ：ナット１とボール６との接触角（回転中）
βＢｑ：ねじ軸２とボール６との接触角（回転中）
βｑ：ナット１とボール６、及び、ねじ軸２とボール６との接触角（停止中）
である。
【００３１】
図６の幾何学的位置関係から、以下のような式を得る。
【数１】
2004076808.tif 000003
【００３２】
数１にピタゴラスの定理を適用すると、以下のような式を得る。
【数２】
2004076808.tif 000004
ただし、
【数３】
2004076808.tif 000005
ここで、
ｘｕ、ｙｕ、ｚｕ：ｘ、ｙ、ｚ軸方向のナット１に対するねじ軸２の相対変位
αｙｕ、αｚｕ：ｙ、ｚ軸周りのナット１に対するねじ軸２の相対角変位
ｒｕ：ｘｙｚ座標の原点からねじ軸溝極率中心までの距離
ｌｑ：ｘｙｚ座標の原点からｑ番目の玉中心までのｘ軸方向距離
【００３３】
次に、ボール１個に作用する力とモーメントについて説明する。
図７は、各ボールに作用する力とモーメントを示す。ただし、ボール同士の接触による力は無視している。図に示すように、遠心力ＦＣｑは、本ボールねじ評価方法に特徴的なパラメータであり、これにより、ボールねじ動的な解析（高回転域での評価）が可能となる。図で、垂直（上下）方向（ｚ’’軸方向）及び水平方向（ｘ’’軸方向）の釣り合いから、以下のような式を得る。
【数４】
2004076808.tif 000006
【００３４】
ここで、数４に数１を代入することで次式を得る。
【数５】
2004076808.tif 000007
ただし、
ＰＭｑ：ナット１からボール６へのボール１個当たりの法線方向荷重（Ｈｅｒｔｚの公式）＝ＫＭδＭｑ３／２
ＰＢｑ：ねじ軸２からボール６へのボール１個当たりの法線方向荷重（Ｈｅｒｔｚの公式）＝ＫＢδＢｑ３／２
λ：ねじ軸回転の場合λ＝１、ナット回転の場合λ＝０
【００３５】
ＦＣｑは、ボール６に作用する遠心力であり、数６で表される。
【数６】
2004076808.tif 000008
ωｍ：ボールの公転角速度
ω：ねじ軸２又はナット１の角速度
また、Ｍｇｑは、ボールに作用するジャイロモーメントであり、数７で表される。
【数７】
2004076808.tif 000009
ωＲ：ボールの自転角速度
【００３６】
次に、回転中のボールねじと外力との関係について説明する。
図８は、回転中のボールねじが受ける外力を示している。ボールねじは、ｘ軸方向にＦｘｗ：スラスト荷重、ｙ軸方向にＦｙｗ：ラジアル荷重、ｙ軸周りにＭｚｗ：モーメント、ｚ軸方向にＦｚｗ：ラジアル荷重、ｚ軸周りにＭｙｗ：モーメント　をそれぞれ受ける。これらの値は、既定値や実測値など予め与える。
ボールねじは、反力により、それらの力と釣り合って運動している。すなわち、以下のような関係が成り立つ。
【数８】
2004076808.tif 000010
【数９】
2004076808.tif 000011
ただし、Ｆｘｕ：ボールねじのｘ軸方向反力、Ｆｙｕ：ボールねじのｙ軸方向反力、Ｍｚｕ：ボールねじのｙ軸周り反力（モーメント）、Ｆｚｕ：ボールねじのｚ軸方向反力、Ｍｙｕ：ボールねじのｚ軸周り反力（モーメント）である。
【００３７】
ここで、各反力は、以下の様に表される。
【数１０】
2004076808.tif 000012
【数１１】
2004076808.tif 000013
【数１２】
2004076808.tif 000014
ただし、ｒｕ、ｌｕは、数３から計算される。
となる。
【００３８】
ボールとねじ軸２あるいはナット１の接触部分以外は剛体と仮定した場合において、全ての式（数１〜数１２）を一度にＮｅｗｔｏｎ−Ｒａｐｈｓｏｎ法（非線型方程式の数値解析法）で解くことにより、各変数を求めることが出来る。すなわち、Ｖｑ、Ｈｑ、δＭｑ、βＢｑ、ｘｕ、ｙｕ、ｚｕ、αｙｕ、αｚｕ、等が算出される。例えば、Ｖｑ、Ｈｑ、δＭｑ、βＢｑに関して数２、数５を、ｘｕ、ｙｕ、ｚｕ、αｙｕ、αｚｕに関して数８〜数９をそれぞれＮｅｗｔｏｎ−Ｒａｐｈｓｏｎ法で解けば、各ボール６（ｑ＝１〜ｎ）の負荷分布（玉荷重分布ＰＭｑ、ＰＢｑ）を得ることが出来る。
【００３９】
また、各ボール６（ｑ＝１〜ｎ）での接触領域にかかる荷重として計算されたＰＭｑ（ナット１−ボール６）及びＰＢｑ（ねじ軸２−ボール６）に基づいて、Ｈｅｒｔｚの公式（数１３）により、接触領域における最大面圧ＰＭｑｍａｘ、及びＰＢｑｍａｘが計算される。
【数１３】
2004076808.tif 000015
ここで、
ａＭ及びｂＭ：ナット１−ボール６間でのＨｅｒｔｚの接触楕円の長半径及び短半径（ただし、ナット溝とボール６との接触点における主曲率と、ＰＭｑと各材料のヤング率とポアソン比とに基づいて算出）
ａＢ及びｂＢ：ねじ軸２−ボール６間のＨｅｒｔｚの接触楕円の長半径及び短半径（ただし、ねじ軸溝とボール６との接触点における主曲率と、ＰＢｑと各材料のヤング率とポアソン比とに基づいて算出）
【００４０】
計算された接触領域における最大面圧ＰＭｑｍａｘ、及びＰＢｑｍａｘに基づいて、各接触領域（接触楕円）を複数に分割した小領域毎の面圧ｐ（ボール６とナット１との間の（接触）面圧、及びボール６とねじ軸２との間の（接触）面圧）を計算することが出来る。各接触領域内の小領域毎の荷重分布は、数１４により計算される。
【数１４】
2004076808.tif 000016
ただし、
ａ：接触楕円の長軸半径
ｂ：接触楕円の短軸半径
（ｘ、ｙ）：接触楕円の中心を原点としてａ方向をｘ軸、ｂ方向をｙ軸とする小領域の座標
【００４１】
（３）ステップＳ３
玉運動解析部１４において、ボール６（玉）とねじ溝間の弾性接触を考慮した場合のボール６の運動を計算する。ここでは、ボール６の自転角速度、公転角速度、スピン角速度について算出する。
図４の座標系において、図９のような条件のボール６の運動を考える。図９は、ボール６の中心が固定され、ナット１とねじ軸２がボール６から見た角速度（ωＭ（又はωＭｑ）：ナット１、ωＢ（又はωＢｑ）：ねじ軸２、で回転している様子を示す。もし、ねじ軸２回転のナット１固定の場合で、ボール６の中心を固定するとすれば、ねじ軸２とボール６とは反対方向に回転するはずであるが、同一方向に回転すると仮定する。ナット１回転でねじ軸２固定の場合も同様に考える。これにより、両方の場合に対応できる。
【００４２】
図１０は、ボール６の運動をベクトル（角速度ベクトル）表示した図である。図９の条件を図４の座標系でベクトル表示すると、ボール６の自転角速度（ωＲ）ベクトルは、（ωｘ’、ωｙ’、ωｚ’）＝（ωＲｃｏｓαｃｏｓβ’、ωＲｃｏｓαｓｉｎβ’、ωＲｓｉｎα）である。また、ωＭ及びωＢは、ｘ軸（ｘ’’軸）に平行である。
【００４３】
図１１及び図１２は、図９及び図１０で示したボール６の運動の詳細を示した図である。図１１は、ボール６とナット１間の運動を示す。また、図１２は、ボール６とねじ軸２との間の運動を示す。
図１１において、αＭ：自転軸角（ボール６−ナット１）である。また、図１２において、αＢ：自転軸角（ボール６−ねじ軸２）である。
【００４４】
以上のような前提に基づいて、ボール６の運動を計算する。
【００４５】
まず、数６及び数７で表されるボールに作用する遠心力とジャイロモーメントについて検討する。
ボールねじの高速領域での使用条件は、ｄＮ値（ｄ：ねじ軸径、Ｎ：回転数）で、約１５万であり、玉軸受のようにｄＮ値が２００万〜３００万（ｄ：軸径、Ｎ：回転数）のような使用条件では無い。
また、通常は予圧荷重をかけて使用される。つまり、玉軸受に比べて、低速で十分な荷重条件下で使用される。このため、ボールの運動を評価する際に、ジャイロモーメントによるボールの運動は無視できると考えられる。したがって、ジャイロモーメントによる自転軸角をゼロ（β’＝０）とする。
【００４６】
そして、玉軸受の玉の運動を評価する際に用いられるコントロール理論をボールねじに適用する。
コントロール理論は、玉のスピン運動に要する摩擦モーメントの小さい側の軌道輪において、玉のスピン運動が発生するという考えである。もし内輪コントロールならば、外輪側で、玉はスピン運動を発生する。また、外輪コントロールならば、内輪側でスピン運動を発生する。ボールねじにこの理論を適用した時、ねじ軸２側でボール６がスピン運動を発生する場合をナットコントロール、ナット１側で発生する場合をねじ軸コントロールと呼ぶことにする。ナットコントロールになるか、ねじ軸コントロールになるかは、次式で判定する。数１５が成立すれば、ナットコントロールである。
【数１５】
2004076808.tif 000017
ただし、
【数１６】
2004076808.tif 000018
εｑ＝εＢｑの場合
ａｑ＝ａＢ＝ａＢｑ：Ｈｅｒｔｚの接触楕円の長半径（ねじ軸−ボール間）ｂｑ＝ｂＢ＝ｂＢｑ：Ｈｅｒｔｚの接触楕円の短半径（ねじ軸−ボール間）
εｑ＝εＭｑの場合
ａｑ＝ａＭ＝ａＭｑ：Ｈｅｒｔｚの接触楕円の長半径（ナット−ボール間）ｂｑ＝ｂＭ＝ｂＭｑ：Ｈｅｒｔｚの接触楕円の短半径（ナット−ボール間）
【００４７】
図４、図９〜図１２を参照して、ボール６の運動（スピン角速度、自転角速度、公転角速度）は、以下のようになる。
まず、ボールのスピン角速度（ωＳ）は、次式になる。
［ナットコントロールの場合］
【数１７】
2004076808.tif 000019
［ねじ軸コントロールの場合］
【数１８】
2004076808.tif 000020
【００４８】
ボールの自転角速度（ωＲ）は、次式で表される。
［ねじ軸回転の場合］
【数１９】
2004076808.tif 000021
［ナット回転の場合］
【数２０】
2004076808.tif 000022
ここで、数１９及び数２０の変数は、以下の式で計算される。
【数２１】
2004076808.tif 000023
【数２２】
2004076808.tif 000024
【数２３】
2004076808.tif 000025
【００４９】
また、ボールの公転角速度（ωｍ）は、図１３に示す表の様になる。図１３は、公転角速度を、ナット回転／ねじ軸回転と、ナットコントロール／ねじ軸コントロールとで分類したものである。
【００５０】
ここで、ボールの自転軸角は、次式で表される。
［ナットコントロールの場合］
【数２４】
2004076808.tif 000026
［ねじ軸コントロールの場合］
【数２５】
2004076808.tif 000027
以上により、ボールの運動（スピン角速度（ωＳ）、自転各速度（ωＲ）、公転角速度（ωｍ））が求まる。
【００５１】
（４）ステップＳ４
玉荷重解析部１３及び玉運動解析部１４において、ねじ軸２及びナット１の伸縮を考慮した運動を計算する。ここでは、アキシャル荷重によるねじ軸２及びナット１の伸縮を考慮して、上記各運動を算出する。なお、このステップＳ４は、ねじ軸２及びナット１の伸縮を考慮しない場合には省略する（飛ばす）。
上述のボール６の負荷荷重、及びボール６の運動は、ボール６とねじ軸２あるいはナット１との接触部以外を剛体として仮定した場合の説明である。しかし、ボールねじはねじ軸２及びナット１が軸方向に長い。従って、大きなアキシャル荷重が作用した場合には、アキシャル荷重によるねじ軸２及びナット１の伸縮を考慮する必要があるからである。
ねじ軸２の伸び量及びナット１の縮み量を、それぞれ円筒の引っ張り並びに中空円筒の圧縮に起因するものとすると、次の関係が得られる。
【数２６】
2004076808.tif 000028
ここで、
ＬＢ＝ＬＭ：ボール６とボール６玉の間のｘ軸方向距離
ＥＢ：ねじ軸のヤング率
ＡＢ：ねじ軸有効断面積
ＥＭ：ナットのヤング率
ＡＭ：ナット有効断面積
である。
前述のボールの負荷分布及び運動の各式と、上式を連成（上式のｘｕｑを、数３のｘｕと対応させて）して、ステップ２のようにＮｅｗｔｏｎ−Ｒａｐｈｓｏｎ法で解けば、ねじ軸２及びナット１の伸縮も考慮した場合の解析が可能となる。
【００５２】
すなわち、Ｖｑ、Ｈｑ、δＭｑ、βＢｑ、ｘｕ、ｙｕ、ｚｕ、αｙｕ、αｚｕ、等が算出される。そして、各ボール６（ｑ＝１〜ｎ）の負荷分布（玉荷重分布ＰＭｑ、ＰＢｑ）を得ることが出来る。そこから、数１３により、接触領域における最大面圧ＰＭｑｍａｘ、及びＰＢｑｍａｘが計算され、数１４により、各接触領域（接触楕円）を複数に分割した小領域毎の面圧ｐ分布が計算される。
【００５３】
（５）ステップＳ５
上記計算によるボールの滑り速度、寿命の目安となる最大面圧、焼き付きの目安となるＰＶ値を算出する。
ステップＳ３により算出された上記スピン角速度（ωＳ）、自転各速度（ωＲ）及び公転角速度（ωｍ）を合成することにより、接触領域（ボール６とナット１との間、及びボール６とねじ軸２との間）を複数に分割した小領域毎の速度ｖ（ボール６とナット１との間の滑り速度、及びボール６とねじ軸２との間の滑り速度）を計算することが出来る。
従って、これらの小領域毎のｖと、ステップＳ２において計算された小領域毎のｐ（ねじ軸２及びナット１の伸縮も考慮した場合には、ステップＳ４において計算された小領域毎のｐ）とを、小領域それぞれについて掛け合わせることにより、各小領域でのｐｖ値を求めることが出来る。
評価の代表値としては、ｐｖ値の内の最大値を、ＰＶ値として用いる。
【００５４】
上記ステップＳ１〜ステップＳ５の取り扱いにより、高速ボールねじの成立性の指標であるボールとねじ溝間のＰＶ値（Ｐ：ボール６とねじ溝間の接触面圧、Ｖ：ボールとねじ溝間の滑り速度、焼き付き等の目安）の評価と、ボールねじの最大面圧（寿命等の目安）の評価が出来る。
【００５５】
次に、上記ボールねじの評価方法を用いて、ボールねじの内部諸元を評価した結果、得られた本発明の高速用のボールねじ１０の特性について、図面を参照して説明する。
なお、この評価では、より実際の使用条件に近いナット１やねじ軸２の伸縮を考慮（ステップＳ４を実行）して評価を行っている。
【００５６】
（Ａ）ねじ軸溝半径比（ｒＢ／Ｄａ）について
図１４は、ＰＶ値とねじ軸溝半径比との関係を示すグラフである。横軸は、ねじ軸溝半径比（ｒＢ／Ｄａ：ねじ軸２のねじ溝の半径ｒＢとボール６の直径Ｄａとの比）、縦軸は、ＰＶ値（ｋｇｆ／ｍｍ２・ｍ／ｓ）である。
過去の実績から、ボールねじにおいて高速動作を行う場合、ＰＶ値としては、４３ｋｇｆ／ｍｍ２・ｍ／ｓ以下であることが、寿命や焼付き等の面から望ましい。ここで、ボールねじの高速領域の範囲は、ナット２の送り速度が、５０ｍ／ｍｉｎ．以上の範囲である。
このグラフと、ＰＶ値≦４３ｋｇｆ／ｍｍ２・ｍ／ｓの条件から、０．５２≦ｒＢ／Ｄａ≦０．６１がボールねじの高速化に必要な範囲であることがわかる。０．５２よりも小さい場合、Ｐ値は小さくなるが、Ｖ値が著しく大きくなる。また、０．６１よりも大きい場合、Ｖ値は小さくなるが、Ｐ値が大きくなる。いずれの場合にも焼き付きが大きくなり寿命の低下原因となる。また、Ｐ値が大きくなれば、疲れ寿命も著しく短くなる。
【００５７】
（Ｂ）ナット溝半径比（ｒＭ／Ｄａ）について
図１５は、ＰＶ値とナット溝半径比との関係を示すグラフである。横軸は、ナット溝半径比（ｒＭ／Ｄａ：ナット１のねじ溝の半径ｒＭとボール６の直径Ｄａとの比）、縦軸は、ＰＶ値（ｋｇｆ／ｍｍ２・ｍ／ｓ）である。
ＰＶ値≦４３ｋｇｆ／ｍｍ２・ｍ／ｓの条件から、０．５０＜ｒＭ／Ｄａ≦０．５２がボールねじの高速化に必要な範囲であることがわかる。
０．５２よりも大きい場合、Ｐ値は小さくなるが、Ｖ値が大きくなる。その場合、焼き付きが大きくなり寿命の低下原因となる。
【００５８】
（Ｃ）ボール径／ピッチ円径比（Ｄａ／ｄｍ）について
図１６は、ＰＶ値とボール径／ピッチ円径比との関係を示すグラフである。横軸は、ボール径／ピッチ円径比（Ｄａ／ｄｍ：ボール６の直径Ｄａとピッチ円径ｄｍとの比）、縦軸は、ＰＶ値（ｋｇｆ／ｍｍ２・ｍ／ｓ）である。
ＰＶ値≦４３ｋｇｆ／ｍｍ２・ｍ／ｓの条件から、０＜Ｄａ／ｄｍ≦０．１８がボールねじの高速化に必要な範囲であることがわかる。
０．１８よりも大きい場合、Ｐ値は小さくなるが、Ｖ値が大きくなる。その場合、焼き付きが大きくなり寿命の低下原因となる。
【００５９】
（Ｄ）リード／ピッチ円径比（ｌ／ｄｍ）について
図１７は、ＰＶ値とリード／ピッチ円径比との関係を示すグラフである。横軸は、リード／ピッチ円径比（ｌ／ｄｍ：リードｌとピッチ円径ｄｍとの比）、縦軸は、ＰＶ値（ｋｇｆ／ｍｍ２・ｍ／ｓ）である。
ＰＶ値≦４３ｋｇｆ／ｍｍ２・ｍ／ｓの条件から、０．２８≦ｌ／ｄｍ≦１．０がボールねじの高速化に必要な範囲であることがわかる。
０．２８よりも小さい場合、Ｐ値は小さくなるが、Ｖ値が大きくなる。その場合、焼き付きが大きくなり寿命の低下原因となる。
【００６０】
（Ｅ）接触角β（ボールの停止中）について
図１８は、ＰＶ値と接触角との関係を示すグラフである。横軸は、接触角β（ボール６の停止中での接触角β）、縦軸は、ＰＶ値（ｋｇｆ／ｍｍ２・ｍ／ｓ）である。
ＰＶ値≦４３ｋｇｆ／ｍｍ２・ｍ／ｓの条件から、１０度≦β≦４５度がボールねじの高速化に必要な範囲であることがわかる。
１０度よりも小さい場合、Ｖ値が小さくなるが、Ｐ値は大きくなる。また、４５度よりも大きい場合、Ｐ値は小さくなるが、Ｖ値が大きくなる。いずれの場合にも焼き付きが大きくなり寿命の低下原因となる。また、Ｐ値が大きくなれば、疲れ寿命も著しく短くなる。
【００６１】
上記のように、本発明により、ボールねじにおいても、ボールとねじ軸及びナットとの接触部における弾性変形や摩擦を考慮して、ボールのスピン運動を評価することが可能となる。そして、摩擦や磨耗を解析でき、精度の高い最高面圧やｐＶ値を計算することが出来る。また、ナットやねじ軸の伸縮を考慮して評価を行うことが出来、より高速なボールねじの評価を行うことが可能となる。
【００６２】
本発明により、高速動作に対応したボールねじの焼付けや寿命について精度良く評価を行うことが可能となる。
そして、その評価結果から、高速動作に対応したボールねじに必要とされる内部諸元（ねじ軸溝半径比（ｒＢ／Ｄａ）、ナット溝半径比（ｒＭ／Ｄａ）、ボール径／ピッチ円径比（Ｄａ／ｄｍ）、リード／ピッチ円径比（ｌ／ｄｍ）、接触角β（ボールの停止中））の範囲を明確化することができた。
【００６３】
さらに、上記評価結果に基づいて、高速化に対応したボールねじの設計、試作を行うことにより、無駄を無くし、製品開発を短期間且つ低コストで行なうことが可能となる。
【００６４】
【発明の効果】
本発明により、高速化のような過酷な条件においても、適切に動作することが可能な内部諸元を有するボールねじを得ることが可能となる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明であるボールねじの実施の形態の構成を示す図である。
【図２】本発明のボールねじの評価装置の構成を示す図である。
【図３】本発明のボールねじの評価方法のプロセスを示すフロー図である。
【図４】（ａ）（ｂ）本発明であるボールねじの評価方法の実施の形態に関わるボールねじの座標系を示す図である。
【図５】ボールねじにおけるボールとナット及びねじ軸との接触領域（停止時）の概観を示す図である。
【図６】本発明のボールねじの評価方法におけるボールとねじ溝との幾何学的な位置関係を示す図である。
【図７】本発明のボールねじの評価方法における各ボールに作用する力とモーメントを示す図である。
【図８】本発明のボールねじの評価方法における回転中のボールねじが受ける外力を示す図である。
【図９】本発明のボールねじの評価方法におけるナットとねじ軸がボールから見た角速度（ωＭ、ωＢ）で回転している様子を示す図である。
【図１０】本発明のボールねじの評価方法におけるボールの運動をベクトル（角速度ベクトル）表示した図である。
【図１１】図９及び図１０で示したボールの運動（ボール−ナット間）の詳細を示した図である。
【図１２】図９及び図１０で示したボールの運動（ボール−ねじ軸間）の詳細を示した図である。
【図１３】本発明のボールねじの評価方法におけるボールの公転角速度（ωｍ）を示す表である。
【図１４】ＰＶ値とねじ軸溝半径比との関係を示すグラフである。
【図１５】ＰＶ値とナット溝半径比との関係を示すグラフである。
【図１６】ＰＶ値とボール径／ピッチ円径比との関係を示すグラフである。
【図１７】ＰＶ値とリード／ピッチ円径比との関係を示すグラフである。
【図１８】ＰＶ値と接触角との関係を示すグラフである。
【符号の説明】
１　　ナット
２　　ねじ軸
３　　リターンチューブ
６　　ボール
１１　　ボールねじ評価装置
１２　　入出力部
１３　　玉荷重解析部
１４　　玉運動解析部
１５　　追加条件解析部
【図１】
2004076808.tif 000029
【図２】
2004076808.tif 000030
【図３】
2004076808.tif 000031
【図４】
2004076808.tif 000032
【図５】
2004076808.tif 000033
【図６】
2004076808.tif 000034
【図７】
2004076808.tif 000035
【図８】
2004076808.tif 000036
【図９】
2004076808.tif 000037
【図１０】
2004076808.tif 000038
【図１１】
2004076808.tif 000039
【図１２】
2004076808.tif 000040
【図１３】
2004076808.tif 000041
【図１４】
2004076808.tif 000042
【図１５】
2004076808.tif 000043
【図１６】
2004076808.tif 000044
【図１７】
2004076808.tif 000045
【図１８】
2004076808.tif 000046