(57)【要約】【課題】  放射線画像の配向を決定する。【解決手段】  放射線写真画像の様な画像の配向が該画像のデジタル表現から推論される。１実施例ではその曲率が計算され、該画像の配向に関する決定は該計算された曲率の値に基づいて得られる。【選択図】  図１
2004337590.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
画像の配向を決定する方法に於いて、該配向が該画像のデジタル表現から推論されることを特徴とする該方法。
【請求項２】
曲率が計算され、そして前記画像の該配向に関する決定が該計算された曲率の値に基づいて得られることを特徴とする請求項１の方法。
【請求項３】
前記デジタル表現がエッジ表現であることを特徴とする請求項１の方法。
【請求項４】
前記画像が胸郭の画像であり、そして該曲率が前記胸郭画像の肋骨又は胸郭で決定されることを特徴とする請求項１の方法。
【請求項５】
前記画像がマンモグラフイーの画像であり、そして前記曲率が前記画像の皮膚境界エッジセグメントについて計算されることを特徴とする請求項１の方法。
【請求項６】
下記、すなわち
−前記デジタル表現の画素について１階及び２階の導関数ベクトル計算過程と、
−計算された１階及び２階の導関数ベクトルの方向及び大きさを定量化する過程と、
−最大票を決定するために、定量化された１階及び２階導関数の方向を解析座標システム配向内へ重み付けされた票決を行う過程と、
−最大票を有する該画像配向を選択する過程とを具備することを特徴とする請求項１の方法。
【請求項７】
コリメーション範囲が前記デジタル信号表現から排除されることを特徴とする請求項１の方法。
【請求項８】
直接露光範囲が前記デジタル表現から排除されることを特徴とする請求項１の方法。
【請求項９】
デジタル信号表現により表現された画像を望ましい配向内へ配向する方法に於いて、該方法が
−前記画像から配向を導出する過程と、
−該画像の前記望ましい配向を生じるために前記画像を配向修正用幾何学的変換に供する過程とを具備しており、前記配向は請求項１から８の何れかの方法により導出されることを特徴とする該配向する方法。
【請求項１０】
コンピュータ上でランさせられた時、請求項１から９の何れかの過程を実行するよう適合されたコンピュータプログラム製品。
【請求項１１】
請求項１から９の何れかの過程を実行するよう適合されたコンピュータで実行可能なプログラムコードを具備するコンピュータ読み出し可能なキャリア媒体。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は放射線写真画像（radiographic images）内の対象形状の配向（オリエンテーション、orientation）を検出する方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
放射線医学の慣習では、予め規定されたフオーマットで患者研究に関する種々の露光物（exposures）を表示するのが普通である。この特徴は吊りプロトコル（hanging protocol）として公知である。フイルムベースの操作では、それは放射線医学者又は操作者が該フイルムを標準の、又はローカルの選択に依る特殊空間配置のライトボックス（light box）上に吊ることを意味する。配向の決定又は検査の種類の鏡映、或いはそれが利用可能な時のそれの検証（verification）は多くの検査の種類の正しい表示に有用である。
【０００３】
例えば、胸郭の検査品は常に、胸郭（ribcage）を直立方向（upstanding direction）に表示し、心臓の影を中心線に対し右側に示す様な仕方で吊られる。しかしながら、露光及び読み出し形状の理由で、デジタル式に取得された画像では９０度の配向変更が行われてもよい。
【０００４】
特に計算機化放射線写真様式で取得された胸部画像については、正しい配向を保証することは主要な問題であり、何故なら患者条件及び医療上の要求により露光時にカセットが悪く配向されるかも知れないからである。標準的直立配向と異なる配向は４０％程の多さである報告されている。特に高スループット病院部門では、放射線医学者及び治療医（clinicians）は画像を標準的配向へ回転させるタスクを面倒なタスク及び時間の浪費と感じる。更に、デジタル画像について自動診断データ処理が行われねばならない時、シーエイデー（CAD）｛コンピュータ支援診断（computer-aided diagnosis）｝アルゴリズム又は注釈、計測及び記録保管（archiving）の様な次の操作の正しい操作用に、標準的配向が入手可能でなければならない。
【０００５】
同様な問題は、入射方向[頭蓋下側（cranio-caudal）｛シーシー（CC）｝及び中外側斜線（medio-lateral oblique）｛エムエルオー（MLO）｝]の各々について左、右乳房（left and right breast）の標準的な４つの図が取られる選別用マンモグラフイー（screening mammography）でも、存在する。これらの図は、該胸郭エッジ又は両乳房が中央にありそして接触しておりそして左乳房画像が右にそして右の乳房が左に表示されるように、鏡映しの仕方で（in a mirrored fashion）表示されるのが典型的である。しかしながら、両乳房画像は同様な仕方で取得され、どの画像が該左又は右乳房に対応しているかは一般的に知られないので、１つの画像は、もう１つの画像に隣接して位置付け出来る前に、フリップ（flipped）されねばならない。従来のスクリーンフイルム画像形成では、Ｘ線不透明の鉛文字が同時に放射線写真撮影され｛アールシーシー（RCC）、エルシーシー（LCC）、アールエムエルオー（RMLO）そしてエルエムエルオー（LMLO）｝、そしてそれぞれ該アールシーシー、アールエムエルオーフイルムは、該ライトボックス上でそれぞれ該エルシーシー、エルエムエルオーの右に、それらを吊る前に、手動でフリップされる。
【０００６】
デジタル式に取得されたマンモグラム（mammogram）は、それらをフイルム上にプリントし、ライトボックス上にそれらを表示することにより、なお従来の仕方で読まれる。マンモグラムの対｛例えば、アールシーシー／エルシーシーの対と該アールエムエルオー／エルエムエルオーの対｝は１枚の大きなフイルムシート上又は２枚のより小さい寸法のシート上にプリントされる。一般にハードコピー機械のプリントマージンは、画像の非プリント部分を最小化するよう、調整可能である。マンモグラフイーのハードコピー用には、胸郭側に対応するプリントマージンは出来るだけ小さく保たれるので、画像の右左の対は、同時にそして近接して見ると、両画像間には最小の非診断視認範囲しか示さない。従って、それぞれ左及び右画像をプリントするために１対の小さいプリントシートを使う時、それらをプリントする前に、胸郭側を自動的に識別する手段が必要であり、何故ならば該胸郭側位置は一般的に知られないか又は知られていると仮定されないからである。同様に、該右画像が該左画像に鏡映しの仕方で接触しているように該画像を構成するために、両画像が１枚のフアイルシート上にプリントされる大型フイルムオプションでは、両画像の胸郭側の知識が同様に必要である。
【０００７】
デジタルマンモグラフイーはプリントされたマンモグラムに訴えることなくコンピュータデイスプレー又は視認ステーション（viewing station）上で読まれても良く、視認条件はソフトコピー読み出しとして知られている。しかしながら、ここでも、予備検査型の右及び左画像の識別（sub-examination types identifying right and left images）は表示時には知られてない。更に、胸郭エッジ配向は標準化されて居られず、例えば、それは左又は右又は上部又は下部境界に接触するかも知れない。従って、自動化された仕方で鏡映しされた視認配置（mirrored viewing disposition）を達成するニーヅがある。
【０００８】
一般に、吊りプロトコル機能はユーザーが画像を、特定の視認上の選択に適合するように医学的視認ステーション上に配置し表示することを可能にする。この目的で、 該予備検査は、身体部分の患者研究に関する予備画像（sub-images）をその検査の種類の好ましい表示レイアウト内の位置に割り当てるために、使われる。画像予備型（image sub-type）が知られており、従って該レイアウト内のその位置が決定される時、該画像はなお８つの異なる仕方で配向され得て、それは正しく配向され得るか、又は９０，１８０又は２７０度回転され得るが、これら４つの場合の何れでも、該画像は又垂直（又は水平軸線）の周りにフリップされ得る。従って、放射線医学的標準又は局所的選択に従った視認を保証するために該画像の配向を自動的に導出したいニーヅが存在する。
【０００９】
配向検出とそのための時々の修正の問題は、画像座標軸線に対する０，９０，１８０又は２７０度の１つとして該配向を検出することに帰着する。該配向が０度に等しい時は、配向修正は行われる必要はなく、他の場合は、該画像はそれを直立方向にするために反対回転（anti-rotated）されなばならない｛修正された画像の頂部に頭部−頸部領域（head-neck region）があるよう｝。
【００１０】
該配向検出の解は更に次の様な多数の画像擾乱特性に不感応でなければならない。
【００１１】
−コリメーション境界（collimation borders）の存在、
−垂直軸線に対する該胸郭中心線の回転、
−頭部／頸部、横隔膜下領域（sub-diaphragm region）及び腹領域の様な他の非胸郭領域の存在、
−疾患肺領域の片側性超高濃度の状況。
【特許文献１】欧州特許出願公開第１２５６９０７号明細書
【特許文献２】欧州特許出願公開第８８７７６９号明細書
【特許文献３】欧州特許出願公開第６１０６０５号明細書
【特許文献４】欧州特許出願公開第７４２５３６号明細書
【発明の開示】
【００１２】
上記目的は請求項１に表明された方法により実現される。
【００１３】
更に進んだ実施例は従属請求項で表明される。
【００１４】
本方法は胸部（chest）放射線写真を直立位置に配向し、標準化するために特に有用である。
【００１５】
本発明の方法は、該胸郭を乳頭方向に検出し、フイルム上にプリントされるか又はスクリーン上に表示された時それらの胸郭側が接触しているように乳房図（breast views）の左右対を整合させるために、デジタルマンモグラフイーの分野で、特に有用である。
【００１６】
一般の放射線医学の分野では、本発明は、２デー（2D）又は３デー（3D）の大脳検査（cerebral examination）｛エムアール（MR）、シーテー（CT）｝で頭蓋骨の前部又は横方向露光の配向の決定の様な、カーブした形状の対象の配向を決定するのに、特に有用である。
【００１７】
本発明の方法の実施例は一般に、コンピュータ上でランさせられた時、本発明の方法の過程を実行するよう適合されたコンピュータプログラム製品の形で実施される。該コンピュータプログラム製品は普通、シーデーロム（CD-ROM）の様なコンピュータ読み出し可能なキャリア（carrier）媒体内に記憶される。
【００１８】
代わりに、該コンピュータプログラム製品は電気信号の形を取り、電子的通信を通してユーザーへ通信されることも出来る。
【実施例】
【００１９】
画像の診断領域（含む複数）内の対象の形状により放射画像を操作するシステムの総合的概要が図１で与えられる。
【００２０】
乳房胸郭側の位置と、乳頭（nipple）−胸郭方向と、を推量するよう放射線写真画像のトポロジー的解析（topological analysis）を行うために、形状解析（shape analysis）が行われる。
【００２１】
形状解析は、セグメント化（segmented）された画像及び／又は特殊形状記述子（special shape descriptors）を典型的に含む中間的表現（intermediate representation）からスタートして行うことが出来る。
【００２２】
放射画像は典型的に３つの異なる範囲から成る：
−診断範囲（diagnostic area）は患者解剖構造に対応する画素を含む。一般に、この画像形成された範囲の外形（outline）は何等かの形状を持つ。
−直接露光範囲（direct exposure area）は減衰されない放射を受けた画像領域である。この領域はノイズのみにより損なわれた一定濃度（constant intensity）を有するが、入射エネルギー｛例えば、Ｘ線源ヒール効果（X-ray source Heel effect） ｝と受光部（receptor）｛例えば、計算機化された放射線写真法での種々の記憶型燐光感度｝の非均質性がこのパターンを歪ませる。特許文献１では、これらの大域的非均質性を診断画像から遡及的に見積もり、外挿された背景信号により全画像部分で応答を平坦化する方法が開示されている。
−コリメートされた範囲（collimated area）は高度に減衰した画素として該画像上に現れる。これらの範囲の形状は典型的に直線性であるが、円形の又は曲線のコリメーション形状にも同様に適用されてもよい。
【００２３】
放射画像では、３つの異なる範囲移行タイプ、すなわち、診断／直接露光、診断／コリメートされた範囲、そして直接露光／コリメートされた範囲境界が考えられる。
【００２４】
セグメント化アルゴリズムは解析下にある対象（複数を含む）を構成する画素のセットの検出と分離を狙う。これらの技術は画像に適用される処理の種類のより広く分類される。領域ベースのアルゴリズム（Region-based algorithms）は適合する類似基準（similarity criteria）により画像内の画素をグループ化する。特許文献２には、グレイ値ヒストグラム（grey value histogram）の図心一団化（centroid clustering）に依って画素をグループ化することにより直接露光範囲をセグメント化する領域ベースのアルゴリズムが開示されている。エッジベースのアルゴリズム（Edge based algorithm）は隣り合う領域のグレイ値差に依り画像内の高コントラスト領域の画像画素を分離する。特許文献３と４では、単一又は多数の露光された画像上のコリメートされた範囲と診断範囲との間の境界を検出し、輪郭を描くエッジベースアルゴリズムが開示されている。領域ベースの取り組みであれ、エッジベースのそれであれ、予め規定された測光的又は幾何学的拘束（photometric or geometric constraints）に従うようセグメント化された画像範囲の外観又は形状を制限するモデルが使われてもよい。この枠組みの例はいわゆるアクチブアピアランス（Active Appearance）及びアクチブシエープモデル（Active Shape Models）｛エイエイエム（AAM）及びエイエスエム（ASM）｝である。
【００２５】
セグメント化効果の結果は領域か又は領域推移であるので、形状解析技術も又領域ベースか又はエッジベースの手順に粗く分けられる。形状解析技術は一般に領域及び領域境界の適切な表現から出発し、従ってそれらは又広く領域ベース及び輪郭ベースのクラスに分けられる。何れかの種類の表現の例が結果として与えられる。
【００２６】
形状解析技術は問題要求を考慮して選択されるのが典型的である。これらの要求は広くは２つのクラスの１つに分類される。第１のクラスはトポロジー問題と称され、そこでは問題は、基準システムの他の対象に対する、対象形状の特定の空間的配置を位置決めし、そして具体化することの１つである。該第２のクラスは特徴付け（characterization）と称されても良く、分類と密接に関連付けされる。この問題クラスでは、形状に特定的な記述子（shape specific descriptors）が適用されねばならず、そして一般にトポロジーから独立した特徴付けが必要である。両問題クラスは密接に関連しており、何故ならば、特定形状のトポロジーが計算されねばならない時、該形状は最初に、該形状の特定の特徴に基づいて探索され、検出されねばならないからである。逆に、例えば、それを分類するために特定形状の該特徴が決定されねばならない時、該形状は最初に該画像内に配置されねばならず、その問題成分はトポロジーの１つである。形状のトポロジーと特徴が与えられれば、応用に特定的な問題は解かれることが可能である。
【００２７】
形状解析の結果は１セットの形状記述子であり、それは該トポロジーか、該特定形状の特徴か又は両者か、の何れかを特徴付ける。
【００２８】
形状を標準的トポロジーに整合させる応用のために、該形状のトポロジーと望ましいトポロジーとの幾何学的パラメーターにより幾何学的変換が決定され、そして幾何学的変位場と濃度内挿法（geometric displacement field and the intensity interpolation）を決定するために従来技術で公知の技術が、画像を目標トポロジーへ幾何学的に修正するよう使用される。
【００２９】
医学的画像内の対象、例えば、乳房体（breast mass）の胸郭側、の配向を決定するために、該画像内の対象のトポロジーと特徴を記述する形状解析技術（shape analysis techniques）が使用される。
【００３０】
該対象の形状は、２進画像である該画像内での該対象の存続範囲（extent）と、該対象の存続範囲内部でのグレイレベルの空間的分布と、を決定する。従って、形状解析は形状表現から出発するが、該表現から形状記述子が計算される。形状表現方法は該形状の重要特徴（重要性は応用に左右されるが）を捕捉する元の形状の非数値的表現に帰着する。形状記述方法は、形状記述子ベクトル（shape descriptor vector）｛特徴ベクトル（feature vector）とも呼ばれる｝を計算することにより発生される、該形状の数値的記述子に帰着する方法を称する。該記述の目標は、該形状の位置、配向及び寸法から独立した、その記述子ベクトルを使って該形状を独特に特徴付けることである。逆に、形状を、並進、回転及びスケールに対し不変なその標準形（canonical form）に簡約する過程（process of reduction）は、実際の形状の位置、配向及び寸法は決定されることを仮定している。
【００３１】
曲線ベースの形状配向手段（Curve-based shape orientation measures）
曲線表現
曲線又は輪郭は、その最も簡単な形では、（ことによると連鎖した）輪郭画素（contour pixel）のセットにより表現される。より高いレベルでは、該曲線は、近似する線セグメント（代わりにコーナー交わりにより表現される、多角形表現）、円弧、楕円弧、統語原形（syntactic primitives）、Ｂ−スプライン（B-splines）、スネークス（Snakes）及びアクチブ輪郭（active contours）、又は多スケール原形（multiscale primitives）の集まり（collection）の様な、原形（primitive forms）で近似されてもよい。最終的に、曲線は、例えば、平面曲線（plane curve）用に２成分ベクトルγ（ｔ）＝｛ｘ（ｔ）、ｙ（ｔ）｝として、或いは複素信号ｕ（ｔ）＝ｘ（ｔ）＋ｊｙ（ｔ）、チェーンコード（chain code）又はラン長さコード（run-length code）として、パラメーター式に表現されてもよい。
【００３２】
エッジ勾配手段
連続画像ｆ（ｘ、ｙ）については、その導関数はそのエッジの方向で極大を取る。従って、１つのエッジ検出技術はｘ軸線に対し角度θを作る直線に沿ってｆの勾配を測ることである。もしｒが該線に沿った弧長さを示すパラメーターであるなら、変化
【００３３】
【数１】
2004337590.tif 000003
【００３４】
が該線に沿って行われる時該変化
【００３５】
【数２】
2004337590.tif 000004
【００３６】
は下記となる（図２参照）。
【００３７】
【数３】
2004337590.tif 000005
【００３８】
勾配
【００３９】
【数４】
2004337590.tif 000006
【００４０】
の最大値は下記からθを解くことにより得られる。
【００４１】
【数５】
2004337590.tif 000007
【００４２】
その最大値は下記である。
【００４３】
【数６】
2004337590.tif 000008
【００４４】
θｇ（ｘ、ｙ）は、位置（ｘ、ｙ）でエッジ又は勾配大きさｇ（ｘ、ｙ）に付随する、エッジ又は勾配の配向（edge or gradient orientation）である。
【００４５】
これらの連続エッジ勾配の概念に基づき、デジタル画像用の２種類のエッジ検出演算子（edge detection operator）が開発された。第１は、有限差を用いたｘ及びｙ方向の偏導関数の計算に基づいた、勾配演算子（gradient operators）である。ロバーツ（Roberts）、プレウィット（Prewitt）、ソ−ベル（Sobel）及び等方性の演算子は、ノイズの影響を減じるために局所和の水平及び垂直差を計算する。これらの演算子のエッジ勾配は範囲[０，２π]内にある。第２はコンパス演算子（compass operators）であり、該演算子はテンプレート（template）を用いて予め規定された方向の勾配を測定し、そしてその出力と、最大絶対値応答を与えるマスクの付随する方向と、をそれぞれ勾配大きさ及び配向として割り当てる。大きいマスク程該配向を高精度に定量化可能にする。
【００４６】
２階導関数（ラプラス演算子の様な）のゼロ交差の様な代替えエッジ検出技術も考えられる。
【００４７】
エッジ勾配手段により計算される配向は共線的配向と称し、すなわち、もし２つの配向が共線的なら｛すなわち、それら間の差がπであるか、又は等価的に、それらが反対のエッジの向き（sense）を有する｝それらは同じ配向と考えられるべきであることは述べられるべきである。従って、画素の局所的配向を解釈し、その画素をその対象境界に割り当てるため使われてもよい、対象のモデル｛例えば、胸郭画像内の上下肋骨エッジを１対式（pair-wise）にグループ化し、ラベル付けするモデル｝が無い場合は、該配向θのドメインは[０，π]である。一定勾配配向を有するパターンを解析するためには、このドメインは充分である。例えば、局所的選択方向を有する、大腿骨（femur）の様なチューブ状骨内部のグレイ値小柱組織パターン（grey value trabecular texture pattern）を解析するため、或いはチューブ状骨の皮質の（外側の）エッジ｛cortical (outer) edges of tubular bones｝の選択方向を解析するためには、該エッジ勾配手段はその主配向を決定するために有用である。
【００４８】
しかしながら、胸郭の４つの配向（上方／下方、左／右、及びそれらの逆）の１つを決定する時、直立と逆様の方向又は左から右及び右から左の配向間を区別するためには、該ドメイン[０，π]に定量化される時、該エッジ配向は不充分である。
【００４９】
各肋骨は１対の（殆ど平行な）エッジから成り；何れかの肋骨のエッジ上の並ぶエッジ画素の配向はかくして１８０度だけ異なる。従って、定量化されたエッジ配向のヒストグラムは２つのピークを示し、各１つは支配的エッジ配向に付随され、従ってフリップされた又は１８０度回転された画像バージョンの間を区別することは不可能である。
【００５０】
結果として、[０，２π]のドメインを有し、該エッジの向きに感応しない手段が取り組まれる。それは、例えば、並べて置かれた１対の胸郭肋骨エッジの何れも同様に配向された形状解析特徴ベクトル（similarly oriented analyzing shape feature vector）を生じ、従って該胸郭の配向は該４つの主な配向の１つに区別され得ることを意味する。
【００５１】
結果的に概説された該形状特徴は３デー空間曲線に一般化され、（放射線写真の様な）投影画像の平面内の輪郭の場合は特殊ケースとして扱われる。３デー画像｛シーテー（CT）又はエムアール（MR）の様な｝内の面の同様な形状特徴への拡張も又示される。
【００５２】
曲率及びねじれ率（torsion）手段
弧長さ、曲率及びねじれ率は３デーの一般的曲線の局所的性質を記述し、いわゆる主要法断面（principal normal sections）の曲率は３デーの面の局所的性質を記述する。この様な研究用の主なツールは該曲線又は面上の点にリンクした、局所的座標フレームである。
【００５３】
任意のパラメーター化γ（ｔ）＝｛ｘ＝ψ１（ｔ）、ｙ＝ψ２（ｔ）、ｚ＝ψ３（ｔ）｝と、ｓの弧長さパラメーターを有する空間曲線の付随する自然パラメーター化（associated natural parameterization）γ＊（ｓ）＝｛ｘ＝ψ１（ｓ）、ｙ＝ψ２（ｓ）、ｚ＝ψ３（ｓ）｝が与えられた場合、自然パラメーター（natural parameter）ｓ０と任意のパラメーター（arbitrary parameter）ｔ０を有する場所
【００５４】
【数７】
2004337590.tif 000009
【００５５】
での接線ベクトル
【００５６】
【数８】
2004337590.tif 000010
【００５７】
法ベクトル
【００５８】
【数９】
2004337590.tif 000011
【００５９】
及び従法ベクトル（binormal vector）
【００６０】
【数１０】
2004337590.tif 000012
【００６１】
用の表現は下記で与えられる。
【００６２】
【数１１】
2004337590.tif 000013
【００６３】
一緒にした
【００６４】
【数１２】
2004337590.tif 000014
【００６５】
は局所的座標システムを形成し、それはフレネット−セレットフレーム（Frenet-Serret frame）と呼ばれる。これらのベクトルを組んだもの（Tuples of these vectors）は接触する
【００６６】
【数１３】
2004337590.tif 000015
【００６７】
各面を規定する。接線
【００６８】
【数１４】
2004337590.tif 000016
【００６９】
を通る曲線への接線と平行であり、該曲線が横断される向きにより規定される方向を指し、反対向きの横断は該接線ベクトルの反対方向を生じさせる。
【００７０】
画像処理の関連では、曲線の横断の方向は該エッジを横切るグレイ値の分布、すなわち、例えば、より明るい画像範囲は右手側に、そしてより暗い画像範囲は左手側にある様な、該分布に基づいてもよい。
【００７１】
法線
【００７２】
【数１５】
2004337590.tif 000017
【００７３】
（主法線とも呼ばれる）の配向は、該ベクトルが、接触面上への該曲線の投影が凹である方向を指すように選ばれる。この配向選出は該曲線の横断方向から独立している。該曲線の点
【００７４】
【数１６】
2004337590.tif 000018
【００７５】
での局所的フレネット−セレットフレームが図３に描かれており、更に該描かれたベクトル上では下記関係が成立する。
【００７６】
【数１７】
2004337590.tif 000019
【００７７】
点
【００７８】
【数１８】
2004337590.tif 000020
【００７９】
が該曲線に沿って動く時ベクトル
【００８０】
【数１９】
2004337590.tif 000021
【００８１】
の変化は下記フレネット−セレットの式で与えられる。
【００８２】
【数２０】
2004337590.tif 000022
【００８３】
幾何学的意味はパラメーターκとτが点
【００８４】
【数２１】
2004337590.tif 000023
【００８５】
でそれぞれ該曲線の曲率とねじれ率に関係することである。それらはそれぞれ、自然及び任意のパラメーター化で表現された、式により下記の様に与えられる。
【００８６】
【数２２】
2004337590.tif 000024
【００８７】
ここでＡ、Ｂ、Ｃは下記の様である。
【００８８】
【数２３】
2004337590.tif 000025
【００８９】
明らかに、κは、該法ベクトルｎの大きさが単位である様に選ばれたスカラーである。
【００９０】
曲率の逆数はρ＝１／κで、曲率半径である。直線の曲率は０であるが、一方円の曲率は一定で、該円の半径の逆数に等しい。
【００９１】
フレネット−セレットの式から、該曲率が接線ベクトルの角速度に等しく、従って弧長さが変わる時は接線ベクトルの変化の速度のメザー（measure）であることが分かる。該ねじれ率は従法線
【００９２】
【数２４】
2004337590.tif 000026
【００９３】
の角速度に等しく、従って該曲線の接触面からツイスト作用のメザー（measure of the twisting）である。
【００９４】
平面（２デー）曲率計算｛Plane (2D) curvature computation｝
２次元曲線については、該ねじれ率は、該画像の平面内では、どこでもゼロであり、一般的パラメーター化用の曲率は下記に簡約され、
【００９５】
【数２５】
2004337590.tif 000027
【００９６】
（自然パラメーター化用には分母は１である）。デジタル画像では、有限差を用いて、該曲線の空間的にサンプルされたバージョンの導関数が見積もられる。
【００９７】
該３部分から成る
【００９８】
【数２６】
2004337590.tif 000028
【００９９】
は右手座標システムを形成するけれども、そしてκは厳格に正であるので、平面座標システム
【０１００】
【数２７】
2004337590.tif 000029
【０１０１】
は本来的には右手座標システムを意味しないことを注意頂きたい。
【０１０２】
上記の様に、応用のトポロジー成分は該トポロジーが要求される形状の特徴を知ること無しには解くことが出来ない。該形状のトポロジーを決定するためには、特定の空間的範囲内に曲率及びねじれ率の特徴を有する形状の画素のみが考慮されればよい。更に、充たされねばならぬ該特徴自身は該トポロジーの解析スケールに関連して選ばれねばならない。一方で、余りに精細なスケールレベルでの形状のトポロジーは無関係と考えられてもよく、何故ならばそれは大抵ノイズに帰せられるからである（該形状に内在的か、又は画像定量化ノイズの様に外在的か何れかで）。他方で、余りに粗いレベルの形状のトポロジーも望ましくなく、何故ならばそれは区別するトポロジー的特徴を失うことへ導くかも知れぬからである。適当なスケールが選択されると、より多くカーブした曲線構造を持つ画像範囲程、決定される画像配向へより多く寄与することは明らかである。
【０１０３】
フーリエベースの曲率見積（Fourier-based curvature estimation）
曲率メザー（curvature measures）は又複素輪郭表現（complex contour representation）から計算されてもよい。特定の表現に依り、２つの基本的方策がある。
・ｕ（ｔ）＝（ｘ（ｔ）、ｙ（ｔ））
もしＸ（ｆ）とＹ（ｆ）が、信号ｆ（ｔ）のフーリエ変換Ｆ（ｆ）上で成立するフーリエ導関数特性、すなわち
【０１０４】
【数２８】
2004337590.tif 000030
【０１０５】
を使って、該輪郭座標信号ｘ（ｔ）、ｙ（ｔ）のフーリエ変換を示すならば、曲率の平面方程式は下記の様に書き直される。
【０１０６】
【数２９】
2004337590.tif 000031
【０１０７】
・ｕ（ｔ）＝ｘ（ｔ）＋ｊｙ（ｔ）
ｕ（ｔ）の導関数、すなわち、
【０１０８】
【数３０】
2004337590.tif 000032
【０１０９】
を使って、曲率の平面方程式は下記の様に書き直すことが出来て、
【０１１０】
【数３１】
2004337590.tif 000033
【０１１１】
そこでは該導関数
【０１１２】
【数３２】
2004337590.tif 000034
【０１１３】
は該複素数信号ｕ（ｔ）のフイルターされたフーリエ変換の逆数から見積もられる。
【０１１４】
輪郭はノイズのある画像から抽出され、空間的にサンプルされるので、該導関数を実施するハイパスフイルター（high-pass filter）は高周波ノイズの影響を強調し、該影響は該曲率見積もりを完全に損ねさせる（undermine）。該導関数を見積もる前に多数スケールローパスフイルター（multi-scale low-pass filters）を適用することは該導関数のノイズ増強性を回避させることが出来る。時間ドメインのガウシアン（Gaussian）の標準偏差パラメーターσを有するガウシアンフイルター動作（Gaussian filtering）が解析スケール（analyzing scale）に付随し、輪郭スムーズ化の程度を制御する（ローパスフイルター動作）。しかしながら、該ガウシアンフイルター動作は該フイルターされる輪郭の信号振幅を修正し、それはいわゆる縮小効果を意味する。従ってそれは又見積もられる曲率にも影響するが、何故なら後者が該曲線スケールに左右されるからである。該縮小効果は、スペクトルエネルギー保存（spectral energy conservation）の原理か、又は周辺保存（perimeter conservation）の原理か何れかを通して該輪郭を正規化し直すことにより、防止出来る。
【０１１５】
法ベクトルと曲率計算に基づく選択的２デー画像配向（Preferential 2D image orientation based on normal vector and curvature computation）
前記微分幾何学の基礎に基づき、今度は、与えられた解析座標システム｛例えば、元の画像軸線、すなわち直交座標、と整合する座標システム｝に対する画像構造の選択的配向が、局所的に、すなわち、点
【０１１６】
【数３３】
2004337590.tif 000035
【０１１７】
に付けられた基準座標システムを描き、そして、該法線
【０１１８】
【数３４】
2004337590.tif 000036
【０１１９】
がある該解析座標システムの象限を決定することにより、表現される。
【０１２０】
例えば、図６で与えられる様に象限を割り当てると、該解析座標システムの下部画像境界に対しどこでも凸型形状（convex shape）を有する曲線は、象限３か又は象限４か何れかに割り当てられたそのパス（path）に全てが沿う法ベクトルを有する。象限３と４は負のｙ値に付随されるので、該形状の全体的配向の向きは下部画像境界の方向にあると決定される。
【０１２１】
同様に、該左画像境界に対して凸型形状の全ての法ベクトルは象限割り当て２と３を有する。該象限票の分布（distribution of quadrant votes）が次いでヒストグラム内に集められ、そして最高票を有する象限又は象限対が主要形状配向を割り当てるため取られる。高曲率を有する点を該形状の配向の向きのより重要なインデイケータ（indicators）として重み付けするために、各票は、該配向の強さ（orientation's strength）のインデイケータである、曲率の値により重み付けされる（weighted）。
【０１２２】
法線の方向にある、接触円の中心の方向は、各々が点
【０１２３】
【数３５】
2004337590.tif 000037
【０１２４】
への等しい弧長さ距離を有する、点
【０１２５】
【数３６】
2004337590.tif 000038
【０１２６】
への左及び右弦を作り、そしてこれらの弦ベクトルの引き算を行うことにより、決定されてもよい（該弦ベクトルが両方共該点
【０１２７】
【数３７】
2004337590.tif 000039
【０１２８】
から発するよう描かれる時は、該引き算は加算として行われる）。該引き算ベクトルは２階の導関数となり（該弦長さベクトルが１階の導関数である）、そして自然パラメーター化が使われる時は、該引き算ベクトルは該法ベクトルの方向を指す。
【０１２９】
このベクトル演算は図４（ｂ）で描かれる。
【０１３０】
曲線に沿って一定曲率を有する円については、そして自然パラメーター化が使われる時、
【０１３１】
【数３８】
2004337590.tif 000040
【０１３２】
に対して等しい弧長さ距離にある点に付随される弦は等しい長さを有する。従って、それらの加算ベクトルは、その方向が該接線ベクトルに直角の、該円の中心の方向を指す。
【０１３３】
直線については、そして自然パラメーター化が使われる時は、該弦の加算はゼロベクトルを生じるが、それは、線がどこでもゼロ曲率を有しているので、尤もである。加算ベクトルの長さ、又は該弦の間に対して張られる角度、の何れかは、曲率のメザー（curvature measure）として使われ、それぞれ、長さが長い程或いは角度が小さい程より高い曲率を表す。１８０度より小さい付随の張られた弦の角度に対応する、加算ベクトルの方向は、曲線の凸側を決定するため使われるか、又は等価的に法線方向を決定するため使われ、該方向の向き（sense）は該ベクトルの終点に向かって見る時該曲線が凹に見られる様なものである。この張られた角度θｉｋは図４（ａ）に描かれ、ｋベクトルに基づいて下記の様に計算される｛ｋは多数の輪郭画素として表され、解析スケール（analyzing scale）を決定する、該弧長さ距離を参照する｝。
【０１３４】
【数３９】
2004337590.tif 000041
【０１３５】
ｃｏｓ（θｉｋ）はシーユーエスピー（cusp）（無限大曲率に対応する）の角度について１，９０度の角度について０，そして直線に沿っては−１となる。
【０１３６】
前記の様に、デジタル画像では、曲率方程式の導関数（derivatives in the curvature formula）が評価されるスケールに特別の注意が払われねばならない。このスケールは弦ベクトルを規定する弧長さ差の選出により制御されてもよい。正しい解析スケールを選択することに注意が行われねばならない。明らかなことは、解析点間の弧長さ距離が余り小さい時は、該曲線のノイズ的変動に依る曲率（curvature due to noisy variations）が測られることである。逆に、該距離が余り大きいと、曲率ベースの形状特徴がなお貧弱な区別力（poor discriminatory power）しか有しないかも知れない。微分は高周波ノイズの影響を強調するハイパスフイルターとして作用し、それは曲率見積もりを損ね得る。該差の評価でより大きい画素間弧長さ距離（larger inter-pixel arc length distance）の適用は、導関数見積もり過程でローパスフイルターを適用するのと同様な効果を有し、より安定な曲率見積もりを生じるであろう。
【０１３７】
選択的３デー空間曲線配向（Preferential 3D space curve orientation ）
２デーの曲線の形状配向を評価するために、法ベクトルを局所的解析２デー座標システムの局所的象限に割り当てることにより曲率を使うと同様に、３デーの曲線又は面の形状配向を評価するために、法線及び従法線が、それらを局所的解析３デー座標システムの８分空間（octants）に割り当てるため使われてもよい。例えば、３デー空間曲線の各点
【０１３８】
【数４０】
2004337590.tif 000042
【０１３９】
に於いて、法ベクトル
【０１４０】
【数４１】
2004337590.tif 000043
【０１４１】
と従法ベクトル（binormal vector）
【０１４２】
【数４２】
2004337590.tif 000044
【０１４３】
により形成された法平面（normal plane）が
【０１４４】
【数４３】
2004337590.tif 000045
【０１４５】
に作られる。該加算ベクトル
【０１４６】
【数４４】
2004337590.tif 000046
【０１４７】
は該法平面内にあり、その配向向きは８つの解析直交座標空間象限（eight analyzing Cartesian space quadrants）の１つ内へ定量化されてもよい。２デーの場合と同様に、重み付けは、
【０１４８】
【数４５】
2004337590.tif 000047
【０１４９】
に於ける局所的曲率とねじれ率によるスカラーを該票に掛け算することにより一般化されてもよい。
【０１５０】
画像配向検出の応用（Application of image orientation detection）
１．胸郭配向検出
肋骨（ribs）又は胸郭（ribcage）の曲率は胸郭Ｘ線画像（thoracic X-ray image）の配向及び鏡映（reflection）の推量に使用される。該曲率はエッジベースのセグメント化から生じる全てのエッジセグメントについて計算され、選択的方向（上から下、右から左、左から右又は下から上）が、解析座標システム象限割り当ての票決スキーム（voting scheme of analyzing coordinate system quadrant assignments）に基づいて推量される。直接露光輪郭に付随されるエッジセグメントは典型的により小さな影響しか及ぼさず、何故ならそれらの数は肋骨に属するエッジセグメントより遙かに少ないからである。代わりに、それらは診断／直接露光輪郭であるとしてそれらの分類に基づいて捨てられてもよい。
【０１５１】
図５に依ると、４つのクラス（直立、逆様、右側に該胸郭の上部を有して右から左、左側に該胸郭の上部を有して左から右）の１つ内の配向の検出用のアルゴリズムは次の様である。
【０１５２】
過程１：しきい値適用（thresholding）又は領域成長（region-growing）（領域ベースの方法）或いはアクチブ形状モデル（輪郭ベースの方法）の様な従来技術を用いた肺野（lung fields）のセグメント化。該肺野に関する画像データのみが更に進んだ処理過程に使用される。
【０１５３】
過程２：ソーベル演算子の様な従来技術を使用するエッジ検出、そして１画素の厚さのエッジを生じるための非最大抑制（non-maximum suppression）によるエッジの薄寸法化（thinning）。
【０１５４】
過程３：エッジに接触する画素をエッジセグメント内へグループ化するエッジ随伴（edge-following）
過程４：前に概説した原理及び技術に依る該エッジセグメントに沿う各エッジ点での曲率及び法線計算。
【０１５５】
過程５：法線方向の定量化。この演算は、座標軸と平行な軸線を用いた画像平面の分割に対応した４つの角度区間（angular intervals）がある時の、座標象限票決と等価である。接触円の中心に向かって指している法線が、大抵は象限４の方向を指している図ｘｘｘの例では、縦隔（mediastinum）により近いエッジ画素は象限３に向かって指す法線を有する。同様な票決結果はこの肺範囲内の他の肋骨についても真として成立し；反対側の肺範囲内の付随肋骨については逆のことが真として成立する。象限票決は、現在の画像座標システムの軸線に対して９０度の倍数だけ画像の配向を変えるトポロジー修正が考えられる時、妥当である。
【０１５６】
過程６：望ましい画像配向をカバーするための角度的区間エントリーのグループ化。普通（胸郭対称線が垂直であり、上部胸郭部分が画像の頂部にあるよう）直立位置で取られる胸郭検査について、象限対の１＋２、２＋３，３＋４，４＋１のグループ和が考慮される。象限３と４はｘ軸の下にあり、共に下部画像境界に接しているので（該座標軸が該画像の中心に引かれた時）、グループ和３＋４は直立胸郭位置に付随されている。象限１＋２に依るグループ票は逆様の胸郭位置に付随され、同様に象限２＋３及び４＋１のグループ票はそれぞれ右から左へと、左から右への胸郭位置に付随されている。
【０１５７】
過程７：最大グループ票による画像配向の選択。図５に依れば、象限３と４の票のグループ和が和１−２，２−３，３−４，４−１の中で最大である時、該画像は直立位置にある。
【０１５８】
前部及び横の頭蓋骨輪郭（a frontal and a lateral skull contour）の配向も又、法ベクトルの累積方向に基づき推量されてもよい。該頭蓋骨輪郭の対称形状のために、診断／直接露光輪郭に属する全ての法ベクトルの加算は垂直方向では打ち消し成分を有するが、しかしながら、該頭蓋骨対称線に対応する方向では、それらは累積加算結果を有する。
【０１５９】
この原理は又、シーテー又はエムアール大脳検査で屡々起こる様な３デーのボクセルデータ（3D voxel data）内の球形状の３デーの選択的配向を検出するために使用されてもよい。
【０１６０】
曲率とねじれ率はカテーテル（catheters）の様な３デー空間曲線及び脊椎中心（spinal centre）に対応する曲線用の興味ある記述子である。
【０１６１】
曲率とねじれ率は、脊椎の３デー形状を特徴付けたり、横方向胸郭図の鏡映を推量するために使ってもよい。脊椎の弦の横方向図はその胸郭部分｛この曲率の医学的命名は脊柱後弯（kyphosis）｝については正の曲率を有し、その腰椎部分（lumbar part）｛この曲率の医学的命名は脊柱前弯（lordosis）｝については負の曲率を有する。従って該脊椎の横方向図はそれが標準的又は好ましい配向を有するよう表示又はプリントされる。
【０１６２】
前記から、胸郭検査の配向を検出する開示されたアルゴリズムはコリメーション範囲の存在には感応しないが、それはそれが主な被検出画像特徴としてエッジを使うからである。コリメーション境界の影響は２つの理由で最小化される。第１に、コリメーション境界によるエッジ画素数は典型的にエッジによるエッジ画素数より遙かに少ない。従って票決でのそれらの寄与はより小さい。第２に、該コリメーション境界は典型的に直線であり、それはそれらの曲率がゼロの近いことを意味する。従って、それらに付けられる重みも又非常に小さい。そのため、配向を正しく決定するためにコリメーションが必ずしも取り除かれる必要がないことは本発明の利点である。この特徴は、該境界が該画像面積の３０％より多くをカバーする小児科放射線医学（pediatric radiology）では特に有利である。
【０１６３】
該開示された方法の第２の特徴は、それが胸郭画像に非常に典型的な画像特徴に依存しており、すなわち、例え幾らかのコントラストが超濃度の肺組織のために部分的に減少させられた時でも殆ど常に胸郭上に存在する、肋骨の形状にそれが依存していることである。
【０１６４】
該アルゴリズムは更に４つの種類の胸郭画像：成人の、背腹（posterio-anterior）｛ピーエイ（PA）｝と腹背（antero-posterior）｛エイピー（AP）｝の、及び小児科のピーエイとエイピーの投影、を扱う。それらの全ては胸郭画像であるが、それらの外観の範囲（their range of appearance）は著しく異なる。特に小児科の画像は標準的成人胸郭画像と最も異なる。後者では、縦隔は通常該画像内で中央に置かれ、該画像自身は該胸郭のみを含む。小児科の胸郭取得では、該画像はその頭又はその部分を含んだり、含まなかったりし、その腕の配置はランダムでありそしてその腹の部分が時々含まれそして露光される横隔膜の範囲（area of exposed sub-diaphragm）は異なる。これらの領域は構成されたエッジ（structured edges）の存在から比較的自由なので、それらは票決するメザー（voting measure）に無視可能にしか寄与しないだろう。該アルゴリズムは更に、中心外れの画像、そして画像の垂直軸線に対しランダムな角度を有する中心線の存在、に対しローバスト（robust）である。肋骨は胸骨（sternum）と脊椎の間に懸かる円形の３デー構造体であるので、その曲率メザーも又その中心線の角度的偏差に対して比較的不変である。
【０１６５】
２．マンモグラフイーの配向検出（Mammographic orientation detection）
マンモグラフイーの皮膚の線の曲率（Curvature of the mammographic skin line）がマンモグラフイーのＸ線画像の配向と鏡映を推量するため使われる。該曲率はエッジベースのセグメント化から生じる全ての皮膚境界エッジセグメント（skin border edge segments）について計算され、そして胸郭配向検出と同様に、解析座標システム象限割り当ての票決スキームに基づいて選択方向（上から下、右から左、左から右又は下から上）が推量されてもよい。該皮膚の線のエッジは特許文献２で開示された様なセグメント化により得られる領域移行上の画素を選択し、繋ぎ合わせることにより決定出来る。
【０１６６】
図６に依れば、マンモグラフイーのシーシー（頭蓋下側）図の４つのクラス｛胸壁（chest wall）が左、右、上部又は下部の画像境界と整合されるかどうかに対応する｝の１つ内へ配向を入れる検出用アルゴリズムは次の様である。
【０１６７】
過程１：直接露光範囲にしきい値適用又は領域成長の様な従来技術を用いた、マンモグラフイーの乳房体（breast mass）の皮膚の線のセグメント化。
【０１６８】
過程２：該皮膚の線（乳房体と直接露光範囲の間の移行部）の１画素厚さのエッジを決定するエッジ検出。
【０１６９】
過程３：エッジに接触する画素をエッジセグメントにグループ分けするエッジ随伴。
【０１７０】
過程４：前に概説した原理及び技術に依る該エッジセグメントに沿う各エッジ点での曲率と法線の計算。
【０１７１】
過程５：法線方向の定量化。この演算は、座標軸と平行な軸線を用いた画像平面の分割に対応した４つの角度区間（4 angular intervals）がある時の、座標象限票決と等価である。
【０１７２】
過程６：望ましい画像配向をカバーするための角度的区間エントリーのグループ化。
【０１７３】
過程７：最大グループ票による画像配向の選択。図６ａの例では、与えられたアールシーシー（RCC）図の乳房乳頭の周りの法線は大抵は象限１と４の方向を指している（正しい画像境界を表している）。与えられた該エルシーシー（LCC）図については、乳房乳頭周りの法線は象限２と３の方向を指している（左画像境界を表している）。与えられたアールエムエルオー（RMLO）及びエルエムエルオー（LMLO）図については、これらの法線はそれぞれ象限１（頂部右隅を表している）と象限２（頂部左隅を表している）を指している。
【０１７４】
本発明の範囲から離れることなく概説したアルゴリズムの変型品が与えられ得る。例えば、全てのエッジ画素について法線を計算し、票決機構を適用する代わりに、１つの円が該エッジデータに嵌め合わされ、該嵌め合わされた円セグメントの中点の該円中心に向かう方向が主な対象配向として使用され得る。この円は最大曲率の接触円を近似する最小２乗に似ている。
【０１７５】
領域ベースの形状配向手段（region-based shape orientation measures）
前記方法は実際には曲線が画像データから、例えば、エッジ検出により抽出されることを必要とする。しかしながら、カーブした対象の良く規定された境界が無い場合は、該対象の全体的形状の曲率も又該対象内に埋め込まれた等濃度線（iso-intensity lines）を使うことにより計算出来る。従って、前記概説した票決戦略は今度は、入手可能な又は選択された対象画素の局所的に定量化された曲率を使って該対象内部の画素のグループに適用されてもよい。
【０１７６】
領域表現
その最も簡単な形では、領域は、問題に特定的な意味合い（problem-specific semantic）（例えば、全ての画素が対象部分に属する）を有する実体に属する画素のグループ化又は集まりと見られる。より高いレベルの抽象化では、領域はより小さい原始的形（primitive forms）｛多角形又は四部木（quadtrees）の様な｝へのその分解により記述されてもよい。又領域は、フエレット箱（Feret box）、最小の包囲する長方形（minimum enclosing rectangle）又は凸型殻（convex hull）の様なその境をなす領域により記述されてもよい。最後に、領域はその骨格（skeleton）の様なその内部特徴、又はランレングス表現（run-length representation）により表されてもよい。
【０１７７】
等濃度曲率手段（Iso-intensity curvature measure）
等濃度線（iso-intensity line）は、時には等光線（isophote）と呼ばれる、一定濃度の曲線である。点（ｘ、ｙ）での幾何学的性質はグレイ値関数ｆ（ｘ、ｙ）をそのテイラー級数により近似することにより記述出来て下記の様である。
【０１７８】
【数４６】
2004337590.tif 000048
【０１７９】
該グレイ値関数ｆ（ｘ、ｙ）の勾配を下記の様に規定して、
【０１８０】
【数４７】
2004337590.tif 000049
【０１８１】
その１階の導関数は何等かの方向
【０１８２】
【数４８】
2004337590.tif 000050
【０１８３】
として計算出来る。
【０１８４】
その前記及び下記表現での偏導関数は、下記等式に基づき、ガウシアン（Gaussian）の標準偏差σにより表される或るスケールでのガウシアンの方向性導関数（directional derivatives）を用いて元の濃度画像をたたみ込む（convolving）ことにより計算される。
【０１８５】
【数４９】
2004337590.tif 000051
【０１８６】
該ガウシアンの空間的存続範囲（spatial extent）はスムーズ化効果を有し、ノイズ、或いは局所的小柱骨構造（local trabecular bone structure）の様な無関係な画像詳細に帰し得るカーブした構造体を無視するために有利である。
【０１８７】
画素内での該等光線への法線は勾配方向であり、その方向はその画素を通る流れ線（flowline）に接する。該等光線曲線への接線は該勾配に垂直である（The tangent to the isophote curve is the gradient perpendicular）。これらの方向に対応する単位正規化ベクトルは
【０１８８】
【数５０】
2004337590.tif 000052
【０１８９】
で与えられる。該法線
【０１９０】
【数５１】
2004337590.tif 000053
【０１９１】
の配向又は向きは該ベクトルが、該接線上への該等光線曲線の投影が凹であるような方向を指すように選ばれる。この配向選出は該曲線の横断方向から独立である。
【０１９２】
点（ｘ、ｙ）に於ける局所的テイラー近似の第２次の項（second-order term in the local Taylor approximation）を考慮することにより、局所的画像グレイ値面の第２次の幾何学的性質が計算出来る。該第２次の項は対称なヘッセ行列Ｈｆ（ｘ、ｙ）により下記の様に記述される。
【０１９３】
【数５２】
2004337590.tif 000054
【０１９４】
このマトリックスは局所的勾配
【数５３】
2004337590.tif 000055
【０１９５】
座標軸の様な、他の方向での該２階導関数を計算するため使うことが出来て、下記の様である。
【０１９６】
【数５４】
2004337590.tif 000056
【０１９７】
これらの２階の導関数は、下記の様に、ｘｙ座標に回転マトリックスＲを印加することにより得られる、νｗ座標システムでの該ヘッセ行列の構成要素である。
【０１９８】
【数５５】
2004337590.tif 000057
【０１９９】
該ヘッセ行列は実数で、対称であり、そしてその行列式がその固有値（eigenvalues）の積に等しく、そして元の軸線ｘ及びｙの選択に対し不変であると言う性質を有する。
【０２００】
【数５６】
2004337590.tif 000058
【０２０１】
が等光線輪郭方向を指すので、該輪郭方向エスデーシーデー（SDCD）での２階導関数は下記により与えられる。
【０２０２】
ｆνν＝（ｆｘ２ｆｙｙ−２ｆｘｆｙｆｘｙ＋ｆｙ２ｆｘｘ）／（ｆｘ２＋ｆｙ２）
該等光線輪郭方向ν＝（ｆｙ、−ｆｘ）での該２階導関数は、下記の様に、該等光線の路に沿って移動した時の正接角の配向の変化（change in orientation of the tangent angle）として規定される等光線曲率と関係付けられる。
【０２０３】
【数５７】
2004337590.tif 000059
【０２０４】
ここで（ｆｘ２＋ｆｙ２）１／２は該勾配の大きさである。
【０２０５】
曲線ベースの配向検出方法で概説した票決手順と同様に、カーブしたグレイ値構造体の配向方向は該法ベクトルに対応する方向の定量化された局所的配向の重み付けされた票決により計算される。該票に付けられる重みは、より多くカーブした等濃度線を有する画像範囲が該決定される画像配向により多く寄与することを意味する、該等光線曲率の値κに比例する。
【０２０６】
この方法は３デー画像の３デーの等グレイ面パッチ（3D iso-grey surface patch）の主配向（main orientation）を決定するよう拡張される。各点（ｘ、ｙ、ｚ）で、主曲率κ１，κ２（κ１＞κ２）と、それらの、該等グレイ面に接する平面内にある、対応する表面ベクトル
【０２０７】
【数５８】
2004337590.tif 000060
【０２０８】
は次の様に計算される。最初に、そのベクトルが該表面法ベクトルと整合され、かつ、ガウシアン核（Gaussian kernels）の導関数で該画像をたたみ込むことにより評価される導関数を有する下記ヘッセ行列と整合される、勾配ベクトル
【０２０９】
【数５９】
2004337590.tif 000061
【０２１０】
が計算される。
【０２１１】
【数６０】
2004337590.tif 000062
【０２１２】
次に、該ヘッセ行列は第１軸線を該勾配と整合させるために回転される。最終マトリックスは下記の形を有するが、
【０２１３】
【数６１】
2004337590.tif 000063
【０２１４】
ここでｆｇｇは該勾配方向の２階の導関数であり、ＨＴ’は該勾配に直角な接触する平面内の２デーのヘッセ行列である。最後に、該ヘッセ行列ＨＴ’の固有値と固有ベクトル（eigenvectors）が該３デー画像の局所的グレイ値面の第２次形状（second order geometry）を記述するために使用される。最大の絶対固有値（largest absolute eigenvalue）λに対応する第１固有ベクトル
【０２１５】
【数６２】
2004337590.tif 000064
【０２１６】
は最大曲率の方向である（２階の導関数）。その対応する固有値λ２が最小絶対値を有する、第２の固有ベクトル
【０２１７】
【数６３】
2004337590.tif 000065
【０２１８】
は最小曲率の方向である。これらの固有ベクトルは該勾配に直角な接触平面内にある。対応する固有値は、それぞれκ１，κ２により表されるこれらの曲率のそれぞれの量であり、主曲率（principal curvature）として参照される。それらは元の座標システムの回転下で不変である。該固有ベクトルは主方向ｐ、ｑと呼ばれ、相互に対し垂直である。それらは純粋な曲率の方向であり、何故ならそれらの混合偏導関数（mixed partial derivatives）がゼロだからである。曲率は線に沿って規定されるので、表面パッチのそれぞれ平面
【０２１９】
【数６４】
2004337590.tif 000066
【０２２０】
との交差曲線Ｃ１及びＣ２の曲率κ１，κ２は、２デーに於ける様に、輪郭方向での２階の導関数と下記の様に関係付けられる。
【０２２１】
【数６５】
2004337590.tif 000067
【０２２２】
該ヘッセ行列ＨＴ’の行列式により表される量はガウシアン曲率（Gaussian curvature）と呼ばれる。又（対角線成分の和である）ヘッセの行列の該トレース（trace）はｘ及びｙの選択に対して不変である。該トレースの半分は主要曲率κ１，κ２ の平均に等しく、ｘ及びｙの選択に対し不変である。
【０２２３】
曲線ベースの配向検出方法で概説した該票決手順と同様に、カーブした３デーグレイ値構造体の配向方向は定量化された局所的配向ベクトルの主曲率で重み付けされた票決により計算される。曲率は線に沿って規定されるので、該票重みで使用される曲率値は該主曲率の組み合わせである。該主要方向ｐ及びｑに関する導関数の項で書き直された、適切な組み合わせはガウシアン曲率（Gaussian curvature）Ｋ＝κ１κ２＝ＬｐｐＬｑｑ｛それは幾何学的には、平らなパッチの面積に対する、該カーブした面パッチの周囲により囲まれた面積の追加量（extra amount）を表す｝、平均曲率Ｈ＝（Ｌｐｐ＋Ｌｑｑ）／２、又はラプラシアン（Laplacian）Ｌ＝Ｌｐｐ＋Ｌｑｑ＝２Ｈである。それらは該座標システムの回転下で不変である。
【図面の簡単な説明】
【０２２４】
【図１】本発明の方法の一般的概要を示す。
【図２】エッジ勾配により計算された配向を図解する。
【図３】局所的な１階及び２階導関数を有する、平面的曲線を示す。点
【０２２５】
【数６６】
2004337590.tif 000068
【０２２６】
で２つの座標システムが作られる：（１）該曲線への接線の方向及び該接線方向に直角な（接触円の中心に向かう）軸線を有するフレネットセレットフレーム（Frenet-Serret frame）。（２）この例で直交画像座標軸線と整合する、局所的解析座標フレーム（local analyzing coordinate frame）。
【０２２７】
【図４】（ａ）局所的な張られた角による、及び（ｂ）２つの弦ベクトルの加算ベクトルの大きさによる、曲率の計算を図解する。
【０２２８】
【図５】胸郭検査用配向計算の例である。
【０２２９】
【図６】マンモグラフイー画像用配向計算の例を図解する。
【符号の説明】
【０２３０】
１，２，３，４  象限名
【０２３１】
【数６７】
2004337590.tif 000069
【０２３２】
ｆ（ｘ、ｙ）  連続画像の関数
ｎ  法線
ｒ  任意の線に沿う弧長さ
ｘ  直交座標軸
【０２３３】
【数６８】
2004337590.tif 000070
【０２３４】
ｙ  直交座標軸
【０２３５】
【数６９】
2004337590.tif 000071
【０２３６】
θ  任意の線がｘ軸に対する角
【０２３７】
【数７０】
2004337590.tif 000072
【図１】
2004337590.tif 000073
【図２】
2004337590.tif 000074
【図３】
2004337590.tif 000075
【図４】
2004337590.tif 000076
【図５】
2004337590.tif 000077
【図６】
2004337590.tif 000078