(57)【要約】【課題】薄板構造物を含むポテンシャル場の領域の数値解析において、領域分割をする事無く精度の良い解析が行える数値解析装置及び方法を提供する。【解決手段】非対称なポテンシャル分布形状を有する基本解を用いて境界要素法に基づき、境界要素解析を行ない、近特異性を回避すると共に境界要素方程式の独立性を保つようにする。また、前記基本解が限長の壁の片面中央部一点に吸込みがある場合の電場を表すようにする。【選択図】  図５
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
薄板構造物を含むポテンシャル場に対する数値解析装置であって、非対称なポテンシャル分布形状を有する基本解を用いて境界要素法に基づき、境界要素解析を行なう境界要素解析手段を備え、近特異性を回避すると共に境界要素方程式の独立性を保つことを特徴とする数値解析装置。
【請求項２】
前記基本解が限長の壁の片面中央部一点に吸込みがある場合の電場を表す請求項１に記載の数値解析装置。
【請求項３】
薄板構造物を含むポテンシャル場に対する数値解析装置に適用される数値解析方法であって、非対称なポテンシャル分布形状を有する基本解を用いて境界要素法に基づき、境界要素解析を行ない、近特異性を回避すると共に境界要素方程式の独立性を保つことを特徴とする数値解析方法。
【請求項４】
前記基本解が限長の壁の片面中央部一点に吸込みがある場合の電場を表す請求項３に記載の数値解析方法。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、数値解析法として工学上重要な境界要素法を用いて薄板構造物を含むポテンシャル場の領域に対し精度の良い解析が行える数値解析装置及び方法に関するものである。
【０００２】
【従来の技術】
薄い構造、狭い隙間等の薄板構造物を含むポテンシャル場に対する数値解析は、例えばめっきにおける管楽器や放熱フィン等の電気めっき解析や、薄い遮蔽物が領域内に大きく突き出しているような羽根車の腐食解析など工業上の例が多い。
【０００３】
一般に、境界要素法（ＢＥＭ）は汎用且つ効率的な数値解析法として広く利用されている。しかし、領域内に著しく薄い板状構造物を含む数値解析に境界要素法を適用すると精度低下を生じる問題が知られている（非特許文献１を参照）。
【０００４】
薄板構造物を含むポテンシャル場に対して従来のＢＥＭ  解析を行う場合、領域を一領域として扱う手法（以後、単一領域法と呼ぶ）で解析すると、係数マトリクスが悪条件となるばかりではなく解が得られない場合がある。そのため、領域を幾つかの部分領域に分割する手法（以後、領域分割法と呼ぶ）などで解析する方が有利とされている（非特許文献２、非特許文献３を参照）。しかし、薄板構造物が多数存在する場合には、領域を多数に分割する必要があったり、解の誤差が増大するといった問題があった。
【０００５】
また、従来の境界要素法で用いる基本解は、点対称なポテンシャル分布を形成するために、薄板の上面にソース点を置いたときと薄板の下面にソース点を置いたときのポテンシャル分布は非常に一致し、境界要素方程式の独立性が損なわれた問題が有った。
【０００６】
さらに、従来の境界要素法では薄板の上面にソース点を置いたときに、薄板の下面の近特異性を考慮した積分を行わなければならなかった。そのために、解析領域を分割する方法や例えば特許文献１に開示されたように特異積分を改良する方法が開発されたが、依然として労力がかかったり、式が複雑になったりする問題点がある。
【０００７】
【特許文献１】
特開平７−０１３９６０号公報
【０００８】
【非特許文献１】
結城良治・曹国強，「細長い物体のＢＥＭ解析の高精度化」，境界要素法論文集，７，１９９０年，ｐ．５３−５８
【０００９】
【非特許文献２】
宮坂松甫・橋本和宏・他２名，「境界要素法によるガルバニック腐食問題の解析」，材料，３８−４３２，１９８９年，ｐ．１０７９−１０８４
【００１０】
【非特許文献３】
Ｃ．Ａ．Ｂｒｅｂｂｉａ  ａｎｄ  Ｓ．Ｗａｌｋｅｒ，「境界要素法の基礎と応用」、神谷紀生・田中正隆・田中喜久昭訳，培風館，１９８１年
【００１１】
【非特許文献４】
河村庄造・伊吹竜大・他１名，「境界要素法を用いた境界値逆問題解析における適切な基本解の選択に関する研究」，日本機械学会論文集，６４−６２８，Ａ（１９９８），ｐ．２９２０−２９２４
【００１２】
【発明が解決しようとする課題】
本発明は上述のような事情よりなされたものであり、本発明の目的は、薄板構造物を含むポテンシャル場の領域の数値解析において、領域分割をする事無く精度の良い解析が行える数値解析装置及び方法を提供することにある。
【００１３】
【課題を解決するための手段】
本発明は、薄板構造物を含むポテンシャル場に対する数値解析装置及び方法に関し、本発明の上記目的は、非対称なポテンシャル分布形状を有する基本解を用いて境界要素法に基づき、境界要素解析を行ない、近特異性を回避すると共に境界要素方程式の独立性を保つようにすることにより、或いは、前記基本解が限長の壁の片面中央部一点に吸込みがある場合の電場を表すようにすることによって達成される。
【００１４】
【発明の実施の形態】
以下、本発明の実施の形態を図面を参照して説明する。
【００１５】
＜１＞従来の境界要素法
＜１−１＞支配方程式と境界条件
正電解、静磁界、定常熱伝導問題などの多くの物理現象はラプラス方程式やポアソン方程式を支配方程式とするポテンシャル問題として扱うことができる。本発明では次のような一般的なポテンシャル境界値問題を枠組とする。図１のように滑らかな境界Γをもつ領域Ω内で、ポテンシャルφはラプラス方程式を満たすとする。
【００１６】
【数１】
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数１の支配方程式の境界条件は次の数２〜数４のいずれかで与えられるとする。ただし、
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は外向き法線方向の微分である。
【００１７】
【数２】
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【数３】
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【数４】
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＜１−２＞従来の境界要素方程式の定式化
基本解
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を用いると、数１に対する境界要素法の基礎式は次式のように表せる。
【００１８】
【数５】
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ここで、ｘ、ｙは領域内の点で、ｃ（ｙ）はソース点ｙが置かれている境界のなす角度によって決まる定数である。
【００１９】
ラプラス方程式に対する基本解
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は次の微分方程式を満たす。
【００２０】
【数６】
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ただし、δ（ｘ−ｙ）はＤｉｒａｃのデルタ関数である。２次元ラプラス方程式に対して、通常用いられている基本解は
【数７】
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である。ここでｒはソース点と積分点の距離を表す。
【００２１】
数５を離散化すると次式が得られる。
【００２２】
【数８】
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数８に境界条件を代入して、未知成分に関する連立一次方程式に整理し直すと次式が得られる。
【００２３】
【数９】
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ここで、［Ａ］は未知成分に関連する要素からなるマトリクスで、｛ｑ｝は未知境界値で、｛ｂ｝は既知境界から定まるベクトルである。このとき、数４が非線形関数の場合は、数８や数９をニュートン法等で繰返し計算を行って解を収束させる。
【００２４】
＜１−３＞従来の境界要素法の問題点
図２に示すように薄板構造部に基本解のソース点がある場合、薄板上に置かれたソース点Ａと薄板下に置かれたソース点Ｂの間の距離が非常に近くなる。従来の境界要素法の基本解はソース点を中心に軸対称な分布をもつため、点Ａおよび点Ｂをソース点とする基本解
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のポテンシャル分布は同じような分布となる。板厚を０に近づけていくと、両者のポテンシャル分布は一致する。したがって、従来の基本解を重み関数として用いると、境界積分方程式である数５の独立性が失われる。代数方程式である下記数１０においては、マトリクス［Ｈ］、［Ｇ］に同じような値をもつ行
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が現れる。マトリクスの条件数が悪くなるので解の精度が悪くなるばかりでなく解が得られない場合がある。
【００２５】
【数１０】
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＜２＞本発明における２次元Ｌａｐｌａｃｅ方程式の特別な重み関数の提案
＜２−１＞特別な重み関数
基本解に対しての境界条件は対象とする問題とは無関係に定める事ができ、同じ支配方程式を境界要素解析する場合に種々の基本解を利用する事ができる（非特許文献４を参照）。マトリクス方程式である上記数１０の式の独立性を保つためには、本発明では、薄板上にソース点を置いたときに、従来の基本解に代えて非軸対称な形状の重み関数（グリーン関数）を与えることを提案した。本発明の好適な実施例では、次式で表される特別な重み関数を利用する。
【００２６】
【数１１】
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ただし、
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とする。このときａは任意のパラメータである。数１１は、有限長さ２ａの仮想絶縁板の片面上の一点で湧出しがあるときのポテンシャル分布を表す式である。
【００２７】
図３は、ａ＝１のときの数１１の等ポテンシャル線を示している。図３から分かるように、仮想絶縁板の上面では特異性があるため急激に変化しているが、仮想絶縁板の下面ではポテンシャルはなだらかに変化している。
【００２８】
＜２−２＞特別な重み関数の導出
本実施例では、有限の長さの仮想絶縁板の片面に湧出しがある場合のポテンシャル分布を本発明における特別な重み関数として用いる。この特別な重み関数は、次のように導かれる。
【００２９】
数１２で表されるｚ平面上の円は、数１３の写像によってζ面の実軸上の長さ２ａの平板に写像される。
【００３０】
【数１２】
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【数１３】
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一方、図４に示すように、ｚ平面上の原点中心、半径ａの円周Ｋを境界とし、かつ、Ｋ上のσ点にｍの強さの湧き出しのある流れは次のようにあたえられる。
【００３１】
【数１４】
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数１４で表される円柱周りの流れは、数１３によって平板周りの流れに等角写像され、以下の式で表される。
【００３２】
【数１５】
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数１５の実部が本発明の重み関数
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となる。
【００３３】
＜２−３＞特別な重み関数の利点
図５に示すような薄板構造部に基本解のソース点がある場合、薄板上に置かれたソース点Ａと薄板下に置かれたソース点Ｂの間の距離が非常に近くなる。本発明で提案する特別な重み関数の一例である上記数１１は図３に示すように上下非対称な分布をもつため、点Ａおよび点Ｂを中心とする重み関数
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のポテンシャル分布は異なる。板厚を０に近づけたとしても、両者のポテンシャル分布は異なる。この関数を重み関数として用いると、境界積分方程式が独立となる。代数方程式である上記数１０においては、マトリクス［Ｈ］、［Ｇ］に同じような値をもつ行が現れないので、方程式の独立性が保たれて解を得ることができる。
【００３４】
本発明は、ソース点を薄板上に置いたときにだけ、従来の基本解に代えて特別な重み関数（その一例として上記数１１）を適用すれば良いので、本発明を適用した数値解析コンピュータ・プログラムを大幅に変更する必要が無いという利点をもつ。
【００３５】
＜２−４＞係数マトリクス成分の計算法
境界要素法の係数マトリクス成分は、基本解を境界要素上で積分することで計算する。従来の基本解は解析的に積分できるが、本発明で提案する重み関数は解析的な積分が困難である。数値的に積分すると、特異点周りの積分に誤差が生じる。そこで、上記数１１を下記数１６のように変形し、この数１６を積分することを考える。すなわち、数１１から従来の基本解を引いた特異性の無い下線部を数値的に積分し、これに従来の基本解を解析的に積分した値を加算する。
【００３６】
【数１６】
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図６はａ＝０．５のときのｙ＝＋０上における数１６の下線部の値を示している。ｘ＝０において、特異性がないことがわかる。
【００３７】
＜３＞本発明に係る数値解析方法の検証と解析例
＜３−１＞従来の単一領域法との比較
薄板問題に対して、本発明に係る数値解析方法と従来の境界要素法で得られる解の精度を条件数で評価する。条件数Ｃｏｎｄは次式で与えられる。
【００３８】
【数１７】
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ここで、λｍａｘ、λｍｉｎはそれぞれ数９における係数マトリクス［Ａ］の最大固有値及び最小固有値である。条件数は数９のベクトル｛ｂ｝の相対誤差の最大拡大率を表す。条件数が小さい程、解の誤差は小さい。
【００３９】
図７に示すような解析モデル（２Ｄ問題）を、従来の境界要素法と本発明に係る数値解析方法で解析した場合の条件数を求める。上辺から電流密度分布１［ｍＡ／ｃｍ２］で電流を流し、下辺を接地した。領域中には高さｈ［ｃｍ］の絶縁板を接地した。１要素の長さは１［ｃｍ］、数１１のパラメータａは０．５  とした。板厚ｈに対する、係数マトリクス［Ａ］の条件数を図８に示した。従来用いられている境界要素法は、板厚が薄くなるにつれて、条件数が悪くなる。一方、本発明に係る数値解析方法は、板厚が薄くなった場合でも、条件数は上昇しない。したがって、本発明に係る数値解析方法は薄板問題に対して精度の良い解析を行なえることが分かる。
【００４０】
＜３−２＞従来の領域分割法との比較
本発明に係る数値解析方法の有効性を検証するため、簡単な例題を用いて従来の領域分割法との比較を行う。図９に示すように、領域内に１枚の接地された薄板があり、領域の両端から電流を加える閉領域問題を考える。薄板の厚みを０とするため、従来の単一領域法では解析ができない。１要素の長さは１［ｃｍ］、数１１のパラメータａは０．５とした。
【００４１】
本発明に係る数値解析方法と従来の領域分割法で求めた薄板面上の電流密度分布を図１０に示す。図１０から分かるように、本発明に係る数値解析方法を用いて、精度良く解析できる事がよくわかる。
【００４２】
＜３−３＞特別な重み関数を利用した境界要素解析の例
図１１に示すように、絶縁された複数の薄板を含む領域に電流を加える例題を本発明に係る数値解析方法を用いて解析する。なお、本例題を従来の領域分割法で解析する場合、解析領域を複数の領域に適切な形で分割しなければならなく、労力を要する問題点がある。
【００４３】
一辺１００［ｃｍ］の正方領域内に、４枚の絶縁板があり、上辺からは１［ｍＡ／ｃｍ２］の電流を流入させ、下辺は接地する。１要素の長さは１［ｃｍ］、数１１のパラメータａは０．５とした。
【００４４】
解析した絶縁板（ａ）上の電位分布（ポテンシャル分布）を図１２に示す。板の上側の電位が下側に比べて高いことが分かる。また、絶縁板の両端の電位は、板の中央部に比べて近いことが分かる。本発明に係る数値解析方法により合理的な解析結果が得られていることがよく分かる。
【００４５】
上述したように、本発明に係る数値解析方法を用いて薄板構造が複数含まれる問題に対して数値シミュレーションを行った。本発明に係る数値解析方法により、薄板構造が含まれる問題に対して領域を複数に分割することなく、精度の良い解析が行なえることが確認された。
【００４６】
＜４＞結言
本発明では、薄板構造を含むポテンシャル場を対象として、特別な重み関数を利用した境界要素解析手法を開発した。仮想的に有限長の絶縁壁の片面中央部一点に湧出しがある場合のポテンシャルを表す特別な重み関数を導出した。本発明は、薄板部にソース点を置いたときにだけ、従来の基本解の代わりに導出した特別な重み関数を用いるため、従来の境界要素法コンピュータ・プログラムを大幅に変更する必要が無く、本発明を適用することができる。
【００４７】
また、上述した実施例では２次元問題を対象としたが、本発明を３次元問題へ拡張することもできる。本発明は、薄板構造が多数含まれる構造物に対するめっき解析や腐食解析等の様々な問題に応用できる。
【００４８】
本発明における他の非対称な重み関数の例に関しては、上述した実施例に２次元の基本解を利用する例を示したが、本発明の非対称な重み関数はそれに限定されることがなく、その他にも解析領域内でラプラス方程式を解析的もしくは近似的に満足し、薄板の表と裏で異なるポテンシャル関数を重み関数として利用することができる。
【００４９】
このようなポテンシャル関数値はいろいろな方法で得ることができる。例えばつぎのように値を得ることができる。要素の大きさ程度の円形の絶縁板の片側表面に電流湧きだしをもつ開領域の３次元境界値問題を境界要素法もしくは有限要素法もしくは級数展開法などで数値的に解析することにより３次元の非対称なポテンシャル関数の値を得ることができる。
【００５０】
なお、本発明をめっき解析以外の分野に適用することができる。物理現象がラプラス方程式でモデル化される対象で薄い形状が解析領域に含まれる場合に本発明は有効である。例えば、電子機器まわりの静電場に薄い金属板もしくは誘電体の板が配置されている場合の電場解析、定常熱伝導場に薄い形状で材質のことなった部分もしくは薄い形状の空孔が配置されている場合の熱伝導解析や拡散場に薄い板が配置されている場合の解析などに本発明を適用することができる。
【００５１】
【発明の効果】
本発明では、薄板構造物を含むポテンシャル場に対して特別な重み関数を基本解の代わりに境界要素解析に適用することで、精度の良い解を得るための数値解析装置及び方法を提案した。具体的に、２次元問題に対しての特別な重み関数を導出した。さらに、上述したように本発明を用いた２次元解析シミュレーションを行い、本発明の有効性を示した。
【００５２】
例えば、従来の境界要素法を利用した場合には、薄板の厚みが１００分の１になったときに、解析精度の指標である条件数が１００倍の大きさになった。しかし、本発明に係る数値解析装置及び方法では、薄板の厚みが１００分の１になったとしても、条件数が殆ど変わらなかった。すなわち、本発明に係る数値解析装置及び方法の解析精度は薄板の厚みには依らない。本発明によれば、従来法では計算誤差が大きくなる薄板構造が含まれる任意形状に対しての数値解析精度が向上するという優れた効果を奏する。
【００５３】
また、本発明に係る数値解析装置及び方法では、限長の壁の片面中央部一点に吸込みがある場合の電場を表す基本解を用いたことで、近特異積分を考慮する必要が無くなったという優れた効果を奏する。
【００５４】
さらに、本発明に係る数値解析装置及び方法では、非対称なポテンシャル分布形状をした基本解を使用することで、薄板の上面にソース点を置いたときと薄板の下面にソース点を置いたときのポテンシャル分布が異なるようにして、境界要素方程式の独立性を保つという優れた効果を奏する。
【図面の簡単な説明】
【図１】支配方程式と境界条件を説明するための図である。
【図２】基本解を説明するための図である。
【図３】特別な重み関数のポテンシャル分布を示す図である。
【図４】Ｘ軸上のポテンシャル分布を示す図である。
【図５】特別な重み関数を説明するための図である。
【図６】Ｘ軸上のポテンシャル分布を示す図である。
【図７】解析モデル（２Ｄ問題）を示す図である。
【図８】本発明と従来方法で解析した場合の条件数を示す図である。
【図９】解析モデル（閉領域問題）を示す図である。
【図１０】本発明と従来の領域分割法で求めた薄板面上の電流密度分布を示す図である。
【図１１】解析モデルを示す図である。
【図１２】薄板上のポテンシャル分布を示す図である。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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