(57)【要約】【課題】不確かさを持つプラントモデルを含む制御系のロバスト極配置解析・設計において，制御系の極配置仕様の緩和可能な範囲を規定するパラメータのとり得る値の範囲を２次元のパラメータ空間上に領域表示することを目的とする。【解決手段】制御系を構成する要素の伝達関数情報及び極配置仕様を入力し，前記極配置仕様を記述する区間多項式の各係数の区間の範囲をパラメータで規定し，前記閉ループ特性多項式の極が前記区間多項式の解空間に含まれるために満たされるべき線形不等式系を定式化し，前記定式化した線形不等式系を一階述語論理式で記述し，前記記述した一階述語論理式に対して限定記号を消去するアルゴリズムを適用することにより，前記パラメータの取り得る値の範囲を定める。【選択図】　　　　図１
2004038618.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
計算機を用いた制御系の極配置解析・設計方法であって，
前記制御系を構成する要素の伝達関数情報を入力して極配置問題を定立するステップと，
前記制御系の極配置仕様の緩和可能な範囲をパラメータで規定するステップと，
前記定立した極配置問題を前記規定したパラメータを含む線形計画問題に変換するステップと，
前記線形計画問題に限定記号消去アルゴリズムを適用し，前記パラメータのとり得る値の範囲を算出するステップとを有する
ことを特徴とする制御系の極配置解析・設計方法。
【請求項２】
計算機を用いた制御系の極配置解析・設計方法であって，
前記制御系を構成する要素の伝達関数情報を入力するステップと，
前記制御系の閉ループ特性多項式の極の複素平面上における座標をポインティングデバイスで指定させることによって極配置仕様を入力するステップと，
前記指定された閉ループ特性多項式の極の複素平面上における座標情報に基づいて，前記極配置仕様を記述する区間多項式の各係数の区間の範囲をパラメータで規定するステップと，
前記閉ループ特性多項式の極が前記区間多項式の解空間に含まれるために満たされるべき線形不等式系を定式化するステップと，
前記定式化した線形不等式系を一階述語論理式で記述するステップと，
前記記述した一階述語論理式に対して限定記号を消去するアルゴリズムを適用するステップと，
前記アルゴリズムの適用の結果算出される前記区間多項式の各係数の区間の範囲を規定するパラメータのとり得る値の範囲を２次元平面上に領域表示するステップとを有する
ことを特徴とする制御系の極配置解析・設計方法。
【請求項３】
前記極配置仕様を記述する区間多項式の各係数の区間の範囲をパラメータで規定するステップは，
δｉ　Ｔ−，δｉ　Ｔ＋を前記区間多項式のｉ次の係数の区間の端点，δｉ　０　，　ｅｉ　を所与の定数として，
δｉ　Ｔ−＝σｉ　（δｉ　０　−ｅｉ　γ）
δｉ　Ｔ＋＝σｉ　（δｉ　０　＋ｅｉ　γ）
のようにパラメータσ，γを用いて規定する
ことを特徴とする請求項２記載の制御系の極配置解析・設計方法。
【請求項４】
計算機を用いた制御系の極配置解析・設計装置であって，
前記制御系を構成する要素の伝達関数情報を入力して極配置問題を定立する手段と，
前記制御系の極配置仕様の緩和可能な範囲をパラメータで規定する手段と，
前記定立した極配置問題を前記規定したパラメータを含む線形計画問題に変換する手段と，
前記線形計画問題に限定記号消去アルゴリズムを適用し，前記パラメータのとり得る値の範囲を算出する手段とを備える
ことを特徴とする制御系の極配置解析・設計装置。
【請求項５】
制御系の極配置解析・設計方法を計算機に実行させるためのプログラムであって，
前記制御系を構成する要素の伝達関数情報を入力して極配置問題を定立する処理と，
前記制御系の極配置仕様の緩和可能な範囲をパラメータで規定する処理と，
前記定立した極配置問題を前記規定したパラメータを含む線形計画問題に変換する処理と，
前記線形計画問題に限定記号消去アルゴリズムを適用し，前記パラメータのとり得る値の範囲を算出する処理とを，
計算機に実行させるための制御系の極配置解析・設計プログラム。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は，不確かさを持つプラントモデルを含む制御系のロバスト制御系設計ツールに係り，特に，制御系の安定性に関わる極配置の要求を満たすロバスト制御系設計をシステマチックに，高性能に行うことのできる汎用数式処理システム及び限定子消去（Ｑｕａｎｔｉｆｉｅｒ　Ｅｌｉｍｉｎａｔｉｏｎ：以下ＱＥ）処理装置等を利用した制御系の解析及び設計技術に関する。
【０００２】
ここで扱う問題は，対象となる制御系が要求される極配置をもつような，固定次数すなわち固定された構造をもつ制御器の設計パラメータを求めることである。実際の産業上に現れる制御系設計の場面において固定次数制御器（ＰＩ制御器，ＰＩＤ制御器など）を用いた設計の需要が最も多く，その有効な解決手法の開発が望まれてきた。また，制御系の設計過程において安定性は最も重要な要求仕様であり，特に極が所望の領域内に配置されるように設計することが要求される。以上のように，対象とする制御系が産業上で最も利用頻度が高いことと極配置問題が最も基本的で重要な設計仕様であることより，本発明は，産業上の制御系設計過程において極めて広範な範囲において必要とされるものである。
【０００３】
【従来の技術】制御系の設計過程において安定性は最も重要な設計仕様である。制御系が安定性を満たすためには，閉ループ特性多項式の極が所望の領域内に配置されるように設計することが要求される。この問題は，極配置問題と呼ばれている。
【０００４】
ここで，図３に示される線形時変系の制御システムを考える。Ｘは，入力信号，Ｙは，出力信号である。Ｇ（ｓ）は次数ｎのプラント伝達関数，Ｃ（ｓ）は次数ｒの制御器伝達関数であり，以下で与えられるとする。
【０００５】
【数１】
2004038618.tif 000003
【０００６】
閉ループ特性多項式は，
δ（ｓ）＝ｎ（ｓ）ｎｃ　（ｓ）＋ｄ（ｓ）ｄｃ　（ｓ）
＝（ｎｎ　ａｒ　＋ｄｎ　ｂｒ　）ｓｎ＋ｒ　＋・・・＋（ｎ０　ａ０　＋ｄ０　ｂ０　）
である。
【０００７】
ここで，閉ループ特性多項式δ（ｓ）の極（分母多項式の零点）が，極配置仕様を記述した以下の区間多項式△Ｔ　（ｓ），
△Ｔ　（ｓ）＝｛δＴ　（ｓ）＝δ　ｎ＋ｒＴ　ｓｎ＋ｒ　＋・・・＋δ１　Ｔ　ｓ＋δ０　Ｔ　｜δｉ　Ｔ−≦δｉ　≦δｉ　Ｔ＋｝　　　　（１）
の解空間（Ｒｏｏｔ　Ｓｐａｃｅ）に含まれるように，制御器のパラメータを決定することを考える。すなわち，
ＲｏｏｔＳｐａｃｅ（δ）⊆ＲｏｏｔＳｐａｃｅ（　△Ｔ　（ｓ））
なる制御器のパラメータを決定すれば，極配置問題が解決され，制御系が安定となるような制御系設計が可能となる。
【０００８】
上記（１）式で示される区間多項式において，δＴ　（ｓ）は，ターゲットの特性多項式であり，δｉ　Ｔ−，δｉ　Ｔ＋は，δＴ　（ｓ）のｉ次の係数の区間の端点である。
【０００９】
ＲｏｏｔＳｐａｃｅ（δ）⊆ＲｏｏｔＳｐａｃｅ（　△Ｔ　（ｓ））が成立するためには，以下の各係数についての線形不等式系を満たせばよい。
【００１０】
δｎ＋ｒ　Ｔ−≦ｎｎ　ａｒ　＋ｄｎ　ｂｒ　≦δｎ＋ｒ　Ｔ　＋　
：
：
δ０　Ｔ−≦ｎ０　ａ０　＋ｄ０　ｂ０　≦δ０　Ｔ　＋　
この条件は線形不等式系なので，この条件を満たす制御器のパラメータをＫｅｅｌ　＆　Ｂｈａｔｔａｃｈａｒｙｙａらは数値的なＬＰ（Ｌｉｎｅａｒ　Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ）　を用いて求めることを提案した。
【００１１】
次に，上記の極配置問題で，プラントが「不確かさ」を持つ場合（ロバスト極配置問題）を考える。この場合，プラント伝達関数は以下のような区間伝達関数で与えられる。
【００１２】
【数２】
2004038618.tif 000004
【００１３】
ｎｉ　−　≦ｎｉ　≦ｎｉ　＋　，　ｄｉ　−　≦ｄｉ　≦ｄｉ　＋　
閉ループ特性多項式は，
△（ｓ）＝ｎ（ｓ）ｎｃ　（ｓ）＋ｄ（ｓ）ｄｃ　（ｓ）
である。ターゲットの区間多項式は上記（１）式と同様とすると，
ＲｏｏｔＳｐａｃｅ（δ）⊆ＲｏｏｔＳｐａｃｅ（　△Ｔ　（ｓ））
であるためには，各係数についての線形不等式系
δｎ＋ｒ　Ｔ−≦ｎｎ　ａｒ　＋ｄｎ　ｂｒ　≦δｎ＋ｒ　Ｔ　＋　
：
：
δ０　Ｔ−≦ｎ０　ａ０　＋ｄ０　ｂ０　≦δ０　Ｔ　＋　　　（２）
をすべてのｎｉ　−　≦ｎｉ　≦ｎｉ　＋　，　ｄｉ　−　≦ｄｉ　≦ｄｉ　＋　について満足すればよい。線形不等式系であることより，すべてのｎｉ　−　≦ｎｉ　≦ｎｉ　＋　，　ｄｉ　−　≦ｄｉ　≦ｄｉ　＋　について満足するためには，パラメータの頂点において上記不等式系を満足すればよい。すなわち以下の不等式を満足すればよい。
【００１４】
δｎ＋ｒ　Ｔ−≦ｎｎ　−　ａｒ　＋ｄｎ　−　ｂｒ　≦δｎ＋ｒ　Ｔ　＋　
δｎ＋ｒ　Ｔ−≦ｎｎ　＋　ａｒ　＋ｄｎ　−　ｂｒ　≦δｎ＋ｒ　Ｔ　＋　
δｎ＋ｒ　Ｔ−≦ｎｎ　−　ａｒ　＋ｄｎ　＋　ｂｒ　≦δｎ＋ｒ　Ｔ　＋　
δｎ＋ｒ　Ｔ−≦ｎｎ　＋　ａｒ　＋ｄｎ　＋　ｂｒ　≦δｎ＋ｒ　Ｔ　＋　
：
：
δ０　Ｔ−≦ｎ０　−　ａ０　＋ｄ０　−　ｂ０　≦δ０　Ｔ　＋　
δ０　Ｔ−≦ｎ０　＋　ａ０　＋ｄ０　−　ｂ０　≦δ０　Ｔ　＋　
δ０　Ｔ−≦ｎ０　−　ａ０　＋ｄ０　＋　ｂ０　≦δ０　Ｔ　＋　
δ０　Ｔ−≦ｎ０　＋　ａ０　＋ｄ０　＋　ｂ０　≦δ０　Ｔ　＋　
この条件も線形不等式系なので，この条件を満たす制御器のパラメータをＫｅｅｌ　＆　Ｂｈａｔｔａｃｈａｒｙｙａらは同様に数値的なＬＰ（Ｌｉｎｅａｒ　Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ）を用いて求めることを提案している。
【００１５】
【発明が解決しようとする課題】
これまで上記の極配置問題は，一般にｏｐｅｎ　ｐｒｏｂｌｅｍであり数値的な有効な手法も上記Ｋｅｅｌ　＆　Ｂｈａｔｔａｃｈａｒｙｙａの手法しかなく，実用上の点からも，このような問題を扱えるより有効な制御系解析・設計装置が必要となる。しかし，上記従来技術における，ＬＰへ問題を帰着させ数値最適化の手法で設計パラメータを決める方法では，所望の制御器パラメータを決めることはできるが，より進んだ設計問題を解くことはきわめて難しい。
【００１６】
より進んだ設計問題とは，極配置仕様の緩和可能な範囲を求める問題であり，具体的には，極配置問題において，
ＲｏｏｔＳｐａｃｅ（δ）⊆ＲｏｏｔＳｐａｃｅ（　△Ｔ　（ｓ））
を満たすような制御器が存在するためには，ターゲットの区間多項式
△Ｔ　（ｓ）＝｛δＴ　（ｓ）＝δｎ＋ｒ　Ｔ　ｓｎ＋ｒ　＋・・・＋δ１　Ｔ　ｓ＋δ０　Ｔ　｜δｉ　Ｔ−≦δｉ　≦δｉ　Ｔ＋｝
の各係数の区間の範囲について，どの範囲まで許容できるのか，その可能領域を求める問題である。
【００１７】
従来技術では，この問題を解くに当たり，制御系設計者の経験と勘に基づいて，ターゲットの区間多項式の各係数値を具体的に選択して数値計算を行い，選択した係数値では極配置仕様を満たさない場合には各係数値の選択を繰り返すというトライアンドエラーに基づく設計方法を採っていた。そのため，システマチックな制御設計ができず，設計効率が上がらないという問題点があった。
【００１８】
本発明は，上記従来技術の問題点を解決し，制御系の極配置仕様の緩和可能な範囲，すなわち上記区間多項式の各係数の区間の範囲を規定するパラメータを２次元平面上に領域表示することにより，当該極配置仕様を満たす制御器のパラメータを効率よくシステマチックに算出することが可能な極配置解析・設計方法を提供することを目的とする。
【００１９】
【課題を解決するための手段】
本発明は，上記課題を解決するため，極配置問題をＬＰ問題へ帰着させた後，ターゲットの区間多項式の各係数の区間の範囲をパラメータで規定した上で，上記（２）式で示される線形不等式系を一階述語論理式で記述し，記述した一階述語論理式に限定記号を消去するアルゴリズム（ＱＥアルゴリズム）を適用することにより，前記パラメータの取り得る値の範囲を算出する。
【００２０】
ＱＥ（Ｑｕａｎｔｉｆｉｅｒ　Ｅｌｉｍｉｎａｔｉｏｎ）法は代数的（数式処理的）　な手法であるので，ターゲットの区間多項式の各係数の区間の範囲をパラメータ形式のまま計算することが可能であり，計算の結果求められる当該範囲は２次元のパラメータ空間における領域として表示されることから，上記課題の解決が可能となる。
【００２１】
すなわち，本発明は，上記課題を解決するため，計算機を用いた制御系の極配置解析・設計方法及び極配置解析・設計装置であって，前記制御系を構成する要素の伝達関数情報を入力して極配置問題を定立し，前記制御系の極配置仕様の緩和可能な範囲をパラメータで規定し，前記定立した極配置問題を前記規定したパラメータを含む線形計画問題に変換し，前記線形計画問題に限定記号消去アルゴリズムを適用し，前記パラメータのとり得る値の範囲を算出することを特徴とする。
【００２２】
また，本発明は，計算機を用いた制御系の極配置解析・設計方法及び極配置解析・設計装置であって，前記制御系を構成する要素の伝達関数情報を入力し，前記制御系の閉ループ特性多項式の極の複素平面上における座標をポインティングデバイスで指定させることによって極配置仕様を入力し，前記指定された閉ループ特性多項式の極の複素平面上における座標情報に基づいて，前記極配置仕様を記述する区間多項式の各係数の区間の範囲をパラメータで規定し，前記閉ループ特性多項式の極が前記区間多項式の解空間に含まれるために満たされるべき線形不等式系を定式化し，前記定式化した線形不等式系を一階述語論理式で記述し，前記記述した一階述語論理式に対して限定記号を消去するアルゴリズムを適用し，前記アルゴリズムの適用の結果算出される前記区間多項式の各係数の区間の範囲を規定するパラメータのとり得る値の範囲を２次元平面上に領域表示することを特徴とする。
【００２３】
また，本発明は，前記極配置仕様を記述する区間多項式の各係数の区間の範囲をパラメータで規定するにあたり，δｉ　Ｔ−，δｉ　Ｔ＋を前記区間多項式のｉ次の係数の区間の端点，δｉ　０　，　ｅｉ　を所与の定数として，
δｉ　Ｔ−＝σｉ　（δｉ　０　−ｅｉ　γ）
δｉ　Ｔ＋＝σｉ　（δｉ　０　＋ｅｉ　γ）
のようにパラメータσ，γを用いて規定することを特徴とする。
【００２４】
また，本発明は，制御系の極配置解析・設計方法を計算機に実行させるためのプログラムであって，前記制御系を構成する要素の伝達関数情報を入力して極配置問題を定立する処理と，前記制御系の極配置仕様の緩和可能な範囲をパラメータで規定する処理と，前記定立した極配置問題を前記規定したパラメータを含む線形計画問題に変換する処理と，前記線形計画問題に限定記号消去アルゴリズムを適用し，前記パラメータのとり得る値の範囲を算出する処理とを，計算機に実行させるものであることを特徴とする。
【００２５】
本発明は，要求される極配置仕様を満たす制御器のパラメータを決める値である区間多項式の各係数の区間の範囲を規定するパラメータのとり得る値を２次元のパラメータ空間上で領域表示するため，システマチックで効率の良い制御系設計が可能となる。
【００２６】
【発明の実施の形態】
本発明の実施の形態についての説明に先立ち，本発明における課題解決手段に用いられる一階述語論理式及びＱＥアルゴリズムの概略について説明する。
【００２７】
〔一階述語論理式〕
多くの産業上の問題や数学の問題は方程式・不等式・限定記号（∀，　∃）・ブール演算記号（∧，　∨，　¬，　→，　ｅｔｃ．）からなる式（ｆｏｒｍｕｌａ　）で記述できる。このような式は，論理学的にはいわゆる実閉体（ｒｅａｌ　ｃｌｏｓｅｄ　ｆｉｅｌｄ　）上の一階述語論理（ｆｉｒｓｔ−ｏｒｄｅｒ　ｔｈｅｏｒｙ）の文（ｓｅｎｔｅｎｃｅ）を構成し，一階述語論理式（ｆｉｒｓｔ−ｏｒｄｅｒ　ｆｏｒｍｕｌａ　）という。Ｑを有理数の集合とする。
【００２８】
Ｘ＝（ｘ１　，・・・，ｘｎ　）∈Ｒｎ　を限定記号付きのベクトル，Ｕ＝（ｕ１　，・・・　，ｕｍ　）∈Ｒｍ　を限定記号の付いていないパラメータのベクトルであるとし，ｆｉ　（Ｘ，Ｕ）（ｉ＝１，２，・・・　，ｔ）を有理数を係数にもつ以下のような多項式であるとする。
【００２９】
ｆｉ　（Ｘ，Ｕ）∈Ｑ［Ｘ，Ｕ］，（ｉ＝１，２，・・・　，ｔ）
次に，Ｆｉ　＝ｆｉ　（Ｘ，Ｕ）□ｉ　０　とする。ここでｉ＝１，・・・，ｓに対して□ｉ　∈｛＝，≧，＞，≠｝である。Ｑｊ　∈｛∀，　∃｝とし，ｊ＝１，・・・　，ｓに対してｘｊ　をｑｊ　個の限定記号付きの変数のブロックだとすると，一般に，限定記号付きの式φは以下で与えられる。
【００３０】
φ＝（Ｑ１ｘ１　・・・Ｑｎｘｓ　）Ｇ（Ｆ１　，・・・，　Ｆ　ｔ　）
ここで，Ｇ（Ｆ１　，・・・，　Ｆ　ｔ　）は限定記号無しの（ｑｕａｎｔｉｆｉｅｒ−ｆｒｅｅ　）ブール式（Ｂｏｏｌｅａｎ　ｆｏｒｍｕｌａ　）である。
【００３１】
〔限定記号消去（ＱＥ）アルゴリズム〕
ＱＥアルゴリズムは，与えられた一階述語論理式に対して限定記号無しの等価な式，即ち，注目したパラメータだけに対する等価な条件式を構成するアルゴリズムである。全ての変数が限定記号付きの場合は（ｉ．ｅ．ｍ＝０），ＱＥアルゴリズムは，与えられた一階述語論理式がｔｒｕｅ（真）かｆａｌｓｅ（偽）であるかを決定する。この問題は，決定問題（ｄｅｃｉｓｉｏｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ）という。
【００３２】
また，いくつかの変数（Ｕ）には限定記号が無い場合，ＱＥアルゴリズムは与えられた一階述語論理式と等価な限定記号の無い式φ（Ｕ）を構成する。得られたφ（Ｕ）は，φ（Ｕ）が真であるような，Ｕの可能な範囲を記述している。もし，そのような範囲が存在しなければ，ＱＥアルゴリズムはｆａｌｓｅと出力する。この問題は，一般限定記号消去問題（ｇｅｎｅｒａｌ　ｑｕａｎｔｉｆｉｅｒ　ｅｌｉｍｉｎａｔｉｏｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ）という。
【００３３】
ＱＥアルゴリズムの歴史は１９５０年代のＴａｒｓｋｉ−Ｓｅｉｄｅｎｂｅｒｇ　ｄｅｃｉｓｉｏｎ　ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ（参考文献［４］，［３］）に始まる。しかし，その当時はアルゴリズム自体非常に複雑で，実際に動くソフトウェアもなく実用とはかけ離れていた。１９７５年にＣｏｌｌｉｎｓがより効率的な汎用のＱＥアルゴリズムを提案した。これは，Ｃｙｌｉｎｄｒｉｃａｌ　Ａｌｇｅｂｒａｉｃ　Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ（ＣＡＤ）とよばれる状態空間の領域分割に基づく方法である（参考文献［１］）。この方法はＣｏｌｌｉｎｓ　＆Ｈｏｎｇによって改良され，Ｈｏｎｇにより数式処理システムＳＡＣＬＩＢ上に“ＱＥＰＣＡＤ”として実装されている（参考文献［２］）。その後，ある制限されたクラスの一階述語論理式を入力とする，さらに効率的なＱＥアルゴリズムもいくつか提案されている（参考文献［５］，［６］，［７］）。
【００３４】
（参考文献）
［１］Ｃｏｌｌｉｎｓ，　Ｇ，Ｅ．　（１９７５）．　Ｑｕａｎｔｉｆｉｅｒ　Ｅｌｉｍｉｎａｔｉｏｎ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｒｅａｌ　ｃｌｏｓｅｄ　ｆｉｅｌｄｓ　ｂｙ　ｃｙｌｉｎｄｒｉｃａｌ　ａｌｇｅｂｒａｉｃ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｑｕａｎｔｉｆｉｅｒ　ｅｌｉｍｉｎａｔｉｏｎ．　ＬＮＣＳ　３３，　１３４−１８３，　Ｓｐｒｉｎｇｅｒ−Ｖｅｒｌａｇ，　Ｂｅｒｌｉｎ．
［２］Ｃｏｌｌｉｎｓ，　Ｇ，Ｅ．，　Ｈｏｎｇ，　Ｈ．　（１９９１）．　Ｐａｒｔｉａｌ　ｃｙｌｉｎｄｒｉｃａｌ　ａｌｇｅｂｒａｉｃ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｑｕａｎｔｉｆｉｅｒ　ｅｌｉｍｉｎａｔｉｏｎ．　Ｊ．　Ｓｙｍｂ．Ｃｏｍｐ．　１２，　Ｎｏ．３，　ｐｐ２９９−３２８．
［３］Ｓｅｉｄｅｎｂｅｒｇ，　Ａ．　（１９５４）．　Ａ　ｎｅｗ　ｄｅｃｉｓｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ　ａｌｇｅｂｒａ．　Ａｎｎａｌｓ　ｏｆ　Ｍａｔｈ．，　ｖｏｌ．　６０，　ｐｐ．　３６５−３７４．
［４］Ｔａｒｓｋｉ，　Ａ．　（１９５１）．　Ｄｅｃｉｓｉｏｎ　Ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒ　Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ　Ａｌｇｅｂｒａ　ａｎｄ　Ｇｅｏｍｅｔｒｙ．　Ｂｅｒｋｅｌｅｙ：　Ｕｎｉｖ．　ｏｆ　Ｃａｌｉｆｏｒｎｉａ　Ｐｒｅｓｓ．
［５］Ｗｅｉｓｐｆｅｎｎｉｎｇ，　Ｖ．　（１９８８）．　Ｔｈｅ　ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ　ｏｆ　ｌｉｎｅａｒ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｉｎ　ｆｉｅｌｄｓ．　Ｊ．　Ｓｙｍｂ．　Ｃｏｍｐ．　５，（１），　３−２７．
［６］Ｌｏｏｓ，　Ｒ．，　Ｗｅｉｓｐｆｅｎｎｉｎｇ，　Ｖ．　（１９９６）．　Ａｐｐｌｙｉｎｇ　ｌｉｎｅａｒ　ｑｕａｎｔｉｆｉｅｒ　ｅｌｉｍｉｎａｔｉｏｎ．　Ｔｈｅ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｊｏｕｒｎａｌ，Ｖｏｌ．３６，Ｎｏ．５．ｐｐ４５０−４６２．
［７］Ｗｅｉｓｐｆｅｎｎｉｎｇ，　Ｖ．　（１９９６）．　Ｑｕａｎｔｉｆｉｅｒ　Ｅｌｉｍｉｎａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｒｅａｌ　ａｌｇｅｂｒａ−　ｔｈｅ　ｑｕａｄｒａｔｉｃ　ｃａｓｅ　ａｎｄ　ｂｅｙｏｎｄ．　Ｔｏ　ａｐｐｅａｒ　ｉｎ　ＡＡＥＣＣ，　１９９６．
次に，本発明によるロバスト極配置問題の解法について説明する。閉ループ特性多項式δ（ｓ）の極（分母多項式の零点）が，上述した（１）式で示される区間多項式△Ｔ　（ｓ），
△Ｔ　（ｓ）＝｛δＴ　（ｓ）＝δ　ｎ＋ｒＴ　ｓｎ＋ｒ　＋・・・＋δ１　Ｔ　ｓ＋δ０　Ｔ　｜δｉ　Ｔ−≦δｉ　≦δｉ　Ｔ＋｝
の解空間（Ｒｏｏｔ　Ｓｐａｃｅ）に含まれるように，制御器のパラメータを決定することを考える。この場合，
ＲｏｏｔＳｐａｃｅ（δ）⊆ＲｏｏｔＳｐａｃｅ（　△Ｔ　（ｓ））
であるためには，上述した（２）式で示す各係数についての線形不等式系，
δｎ＋ｒ　Ｔ−≦ｎｎ　ａｒ　＋ｄｎ　ｂｒ　≦δｎ＋ｒ　Ｔ　＋　
：
：
δ０　Ｔ−≦ｎ０　ａ０　＋ｄ０　ｂ０　≦δ０　Ｔ　＋　
をすべてのｎｉ　−　≦ｎｉ　≦ｎｉ　＋　，　ｄｉ　−　≦ｄｉ　≦ｄｉ　＋　について満足すればよい。
【００３５】
本発明では，まず，ロバスト極配置問題をＬＰ問題へ帰着させる。ここで，本発明においては，ターゲットの区間多項式の各係数を
δｉ　Ｔ−＝σｉ　（δｉ　０　−ｅｉ　γ）
δｉ　Ｔ＋＝σｉ　（δｉ　０　＋ｅｉ　γ）
のようにパラメータσ，γで規定する。δｉ　Ｔ−，δｉ　Ｔ＋は，区間多項式△Ｔ　（ｓ）のｉ次の係数の区間の端点，δｉ　０　は，δＴ　（ｓ）のｉ次の係数の区間の核になる値である。ｅｉ　は，誤差である。σは，タイムスケールや周波数帯域の変化を示すパラメータ，γは，摂動の大きさを示すパラメータである。
【００３６】
この場合，上記線形不等式系が，すべてのｎｉ　−　≦ｎｉ　≦ｎｉ　＋　，　ｄｉ　−　≦ｄｉ　≦ｄｉ　＋　について満足するような制御器パラメータが存在するためのδｉ　Ｔ−，　δｉ　Ｔ＋の可能範囲（すなわちσ，　γの可能領域）が求めるべき対象である。
【００３７】
ここで，
φ≡δｎ＋ｒ　Ｔ−≦ｎｎ　ａｒ　＋ｄｎ　ｂｒ　≦δｎ＋ｒ　Ｔ　＋　∧・・・∧δ０　Ｔ−≦ｎ０　ａ０　＋ｄ０　ｂ０　≦δ０　Ｔ　＋　∧Λｉ　（ｎｉ　−　≦ｎｉ　≦ｎｉ　＋　）∧Λｉ　（ｄｉ　−　≦ｄｉ　≦ｄｉ　＋　）として，上記線形不等式系を一階述語論理式
∃ａｒ　・・・∃ａ０　∃ｂｒ　・・・∃ｂ０　∃ｎｎ　・・・∃ｎ０　∃ｄｎ　・・・∃ｄ０　φ（ａｒ　・・・ａ０　，ｂｒ　・・・ｂ０　，ｎｎ　・・・ｎ０　，ｄｎ　・・・ｄ０　，σ，　γ）
のように記述する。なお，Λｉ　は，すべてのｉについての論理積を意味している。
【００３８】
そして，上記一階述語論理式に対してＱＥを適用すれば，所望のσ，　γの可能領域を表す限定記号無しの式
ψ（σ，　γ）
が得られる。このψ（σ，　γ）は，２次元のパラメータ領域として表されるので，制御系の設計者は，当該領域からσ，　γを選択することを通じて制御器のパラメータを決定することができる。
【００３９】
以下に，図を用いて本発明の実施の形態について説明する。図１は，本発明に係る制御系解析・設計装置の構成図である。１は，制御系解析・設計装置，２は，ディスプレイ，キーボード，ポインティングデバイス等の入出力装置，１１は，極配置問題をＬＰ問題に変換するＬＰ定式化部，１２は，設計者に極配置問題を入力させるとともに極配置問題をＬＰ定式化部１１に送信する問題入力部，１３は，ＬＰ問題を一階記述論理式で記述し，それをもとに極配置仕様の緩和可能な範囲および制御器のパラメータ値を算出する問題解析部，１４は，極配置仕様の緩和可能な範囲および制御器のパラメータ値を入出力装置２に出力する出力部，１３０は，一階記述論理式の限定記号を消去する限定記号消去処理部，１３１は，一般の数式計算を行う汎用記号計算処理部である。
【００４０】
図３乃至図５を参照しながら図２に基づいて本発明の第１の実施の形態を説明する。第１の実施の形態においては，制御系に不確かさがないノミナルな制御系に本発明を適用する。
【００４１】
図２は，本発明の第１の実施の形態における動作処理フローを示す図である。ここで，第１の実施の形態における制御系は，図３に示すような構成を有するものとする。Ｘは，入力信号，Ｙは，出力信号であり，Ｇ（ｓ）は，プラント伝達関数，Ｃ（ｓ）は，制御器伝達関数である。まず，問題入力部１２は，入出力装置２からプラント伝達関数情報及び制御器伝達関数情報を入力する（ステップＳ１）。例えば，Ｇ（ｓ）及びＣ（ｓ）について与えられる式
【００４２】
【数３】
2004038618.tif 000005
【００４３】
を入出力装置２から入力する。
【００４４】
次に，問題入力装置１２は，入出力装置２において，極配置したい位置を設計者にグラフィカルに複素平面上にポインティングデバイスで指定させることにより，極配置仕様を入力する（ステップＳ２）。例えば，図４に示す入出力装置２の表示画面に表示された複素平面上において，極配置したいｎ＋ｒ個の点α１　，α２　，・・，αｎ＋ｒ　を指定させる。問題入力部１２は，入力した伝達関数情報及び極配置仕様を，ＬＰ定式化部１１に送信する。
【００４５】
次に，ＬＰ定式化部１１は，極配置問題を定式化する（ステップＳ３）。即ち，ＬＰ定式化部１１は，問題入力部１２から受信したＧ（ｓ）及びＣ（ｓ）の情報に基づいて当該制御系の閉ループ特性多項式δ（ｓ），
δ（ｓ）＝ｎ（ｓ）ｎｃ　（ｓ）＋ｄ（ｓ）ｄｃ　（ｓ）
＝（ｎｎ　ａｒ　＋ｄｎ　ｂｒ　）ｓｎ＋ｒ　＋・・・＋（ｎ０　ａ０　＋ｄ０　ｂ０　）
を求めるとともに，極配置仕様の入力情報に基づいてターゲットの特性多項式
δＴ　（ｓ）＝（ｓ−α１　）×（ｓ−α２　）×・・・×（ｓ−αｎ＋ｒ　）
＝δ　ｎ＋ｒ０　ｓｎ＋ｒ　＋・・・＋δ０　０　
を求め，両式から以下の連立方程式
ｎｎ　ａｒ　＋ｄｎ　ｂｒ　＝δ　ｎ＋ｒ０　
：
：
ｎ０　ａ０　＋ｄ０　ｂ０　＝δ０　０　
を定式化する。
【００４６】
次に，問題解析部１３は，ＬＰ定式化部１１が定式化した連立方程式を処理し（ステップＳ４），解が存在するかを判断する（ステップＳ５）。解が存在する場合は，出力部１４から入出力装置２に対して当該極配置仕様を満たす制御器のパラメータ値が送信され，入出力装置２が当該パラメータ値を出力する（ステップＳ６）。
【００４７】
解が存在しない場合は，極配置仕様を満たすような制御器は存在しないため，極配置仕様の緩和可能な範囲を計算する。即ち，まず，入出力装置２において入力された誤差の大きさｅｉ　の入力情報を受信した問題入力部１２が，ターゲットの特性多項式を区間多項式△Ｔ　（ｓ），
△Ｔ　（ｓ）＝｛δＴ　（ｓ）＝δｎ＋ｒ　Ｔ　ｓｎ＋ｒ　＋・・・＋δ１　Ｔ　ｓ＋δ０　Ｔ　｜δｉ　Ｔ−≦δｉ　≦δｉ　Ｔ＋｝
に変更し（ステップＳ７），当該区間多項式において，δｉ　Ｔ−及びδｉ　Ｔ＋を，
δｉ　Ｔ−＝σｉ　（δｉ　０　−ｅｉ　γ）
δｉ　Ｔ＋＝σｉ　（δｉ　０　＋ｅｉ　γ）
のようにパラメータσ，γを用いて規定する。δｉ　０　は，ステップＳ２における極の指定によって決定される。
【００４８】
そして，ＬＰ定式化部１１が，線形不等式系
δｎ＋ｒ　Ｔ−≦ｎｎ　ａｒ　＋ｄｎ　ｂｒ　≦δｎ＋ｒ　Ｔ　＋　
：
：
δ０　Ｔ−≦ｎ０　ａ０　＋ｄ０　ｂ０　≦δ０　Ｔ　＋　
を定式化する（ステップＳ８）。即ち，極配置問題をＬＰ問題へ帰着させるのである。
【００４９】
次に，
φ≡δｎ＋ｒ　Ｔ−≦ｎｎ　ａｒ　＋ｄｎ　ｂｒ　≦δｎ＋ｒ　Ｔ　＋　∧・・・∧δ０　Ｔ−≦ｎ０　ａ０　＋ｄ０　ｂ０　≦δ０　Ｔ　＋　
として，問題解析部１３が，上記定式化した線形不等式系を以下の一階述語論理式
∃ａｒ　・・・∃ａ０　∃ｂｒ　・・・∃ｂ０　∃ｎｎ　・・・　∃ｎ０　∃ｄｎ　・・・∃ｄ０　φ（ａｒ　・・・ａ０　，ｂｒ　・・・ｂ０　，ｎｎ　・・・ｎ０　，ｄｎ　・・・ｄ０　，σ，　γ）
のように記述する（ステップＳ９）。
【００５０】
次に，問題解析部１３の限定記号消去処理部１３０において，上記一階述語論理式に対してＱＥを適用して（ステップＳ１０）限定記号を消去した後，汎用記号計算処理部１３１が上記区間多項式の各係数の区間の範囲すなわち極配置仕様の緩和可能な範囲を規定するパラメータσ，γの可能領域を表す式ψ（σ，γ）を算出し（ステップＳ１１），算出結果を出力部１４から入出力装置２に送信する。そして，入出力装置２が，例えば図５の斜線部で示すようなψ（σ，γ）の領域を表示画面に表示する（ステップＳ１２）。
【００５１】
次に，問題入力部１２は，入出力装置２の画面に表示されたψ（σ，γ）の領域からσ，γの値を設計者にポインティングデバイスで指定させることにより，緩和可能範囲から適当な極配置仕様を選択し（ステップＳ１３），ＬＰ定式化部１１に当該σ，γの値の情報を送信する。そして，問題入力部１２から当該σ，γの値の情報を受信したＬＰ定式化部１１が，σ，γの値をψに代入することにより，ＬＰ問題を定式化する（ステップＳ１４）。そして，問題解析部１３がＬＰ処理し（ステップＳ１５），処理結果を出力部１４から入出力装置２に送信する。そして，入出力装置２が，当該極配置仕様を満たす制御器のパラメータ値又はパラメータ可能領域を表示画面に表示し（ステップＳ１６），処理を終了する。
【００５２】
次に，図３乃至図５を参照しながら図６に基づいて本発明の第２の実施の形態を説明する。第２の実施の形態においては，制御系に不確かさが存在するロバスト制御系に本発明を適用する。
【００５３】
図６は，本発明の第２の実施の形態における動作処理フローを示す図である。ここで，第２の実施の形態における制御系は，図３に示すような構成を有するものとする。
【００５４】
まず，問題入力部１２は，制御問題として，入出力装置２からプラント伝達関数情報及び制御器伝達関数情報を入力する（ステップＳ２１）。例えば，次数ｎのプラント伝達関数Ｇ（ｓ）及び次数ｒの制御器伝達関数Ｃ（ｓ）について与えられる式
【００５５】
【数４】
2004038618.tif 000006
【００５６】
ｎｉ　−　≦ｎｉ　≦ｎｉ　＋　，　ｄｉ　−　≦ｄｉ　≦ｄｉ　＋　
を入出力装置２から入力する。ｎｉ　−　≦ｎｉ　≦ｎｉ　＋　，　ｄｉ　−　≦ｄｉ　≦ｄｉ　＋　は，制御系の不確かさを示す式である。
【００５７】
次に，問題入力部１２は，入出力装置２から極配置仕様を入力する（ステップＳ２２）。即ち，図４に示す入出力装置２の表示画面に表示された複素平面上において，極配置したいｎ＋ｒ個の点α１　，α２　，・・，αｎ＋ｒ　を設計者にグラフィカルにポインティングデバイスで指定させることにより，δｉ　０　を入力し，同時にｅｉ　も入力し，当該入力情報をＬＰ定式化部１１に送信する。
【００５８】
次に，ＬＰ定式化部１１が，極配置問題を定式化する（ステップＳ２３）。即ち，ＬＰ定式化部１１は，問題入力部１２から送信されたＧ（ｓ）及びＣ（ｓ）の情報に基づいて当該制御系の閉ループ特性多項式δ（ｓ），
δ（ｓ）＝ｎ（ｓ）ｎｃ　（ｓ）＋ｄ（ｓ）ｄｃ　（ｓ）
＝（ｎｎ　ａｒ　＋ｄｎ　ｂｒ　）ｓｎ＋ｒ　＋・・・＋（ｎ０　ａ０　＋ｄ０　ｂ０　）
を求めるとともに，入力された極配置仕様に基づいてターゲットの区間多項式△Ｔ　（ｓ），
△Ｔ　（ｓ）＝｛δＴ　（ｓ）＝δｎ＋ｒ　Ｔ　ｓｎ＋ｒ　＋・・・＋δ１　Ｔ　ｓ＋δ０　Ｔ　｜δｉ　Ｔ−≦δｉ　≦δｉ　Ｔ＋｝
δｉ　Ｔ−＝σｉ　（δｉ　０　−ｅｉ　γ）
δｉ　Ｔ＋＝σｉ　（δｉ　０　＋ｅｉ　γ）
を求め，求めたδ（ｓ）と△Ｔ　（ｓ）とに基づいて，すべてのｎｉ　−　≦ｎｉ　≦ｎｉ　＋　，　ｄｉ　−　≦ｄｉ　≦ｄｉ　＋　について満足すべき線形不等式系
δｎ＋ｒ　Ｔ−≦ｎｎ　ａｒ　＋ｄｎ　ｂｒ　≦δｎ＋ｒ　Ｔ　＋　，
：
：
δ０　Ｔ−≦ｎ０　ａ０　＋ｄ０　ｂ０　≦δ０　Ｔ　＋　
を定式化する（ステップＳ２４）。即ち，極配置問題をＬＰ問題へ帰着させるのである。
【００５９】
次に，
φ≡δｎ＋ｒ　Ｔ−≦ｎｎ　ａｒ　＋ｄｎ　ｂｒ　≦δｎ＋ｒ　Ｔ　＋　∧・・・∧δ０　Ｔ−≦ｎ０　ａ０　＋ｄ０　ｂ０　≦δ０　Ｔ　＋　∧Λｉ　（ｎｉ　−　≦ｎｉ　≦ｎｉ　＋　）∧Λｉ　（ｄｉ　−　≦ｄｉ　≦ｄｉ　＋　）
として，問題解析部１３が，上記定式化された線形不等式系を以下の一階述語論理式
∃ａｒ　・・・∃ａ０　∃ｂｒ　・・・∃ｂ０　∃ｎｎ　・・・　∃ｎ０　∃ｄｎ　・・・∃ｄ０　φ（ａｒ　・・・ａ０　，ｂｒ　・・・ｂ０　，ｎｎ　・・・ｎ０　，ｄｎ　・・・ｄ０　，σ，　γ）
のように記述する（ステップＳ２５）。
【００６０】
次に，問題解析部１３の限定記号消去処理部において，上記一階述語論理式に対してＱＥを適用して（ステップＳ２６）限定記号を消去した後，汎用記号計算処理部１３１がσ，γの可能領域を表す式ψ（σ，γ）を算出する（ステップＳ２７）。出力部１４は，この算出結果を入出力装置２に出力し，例えば図５の斜線部で示すようなψ（σ，γ）の領域を表示画面に表示する（ステップＳ２８）。
【００６１】
次に，問題入力部１２は，入出力装置２の画面に表示されたψ（σ，γ）の領域からσ，γの値を設計者にポインティングデバイスで指定させることにより，緩和可能範囲から適当な極配置仕様を選択し（ステップＳ２９），ＬＰ定式化部１１に当該σ，γの値の情報を送信する。そして，問題入力部１２から当該σ，γの値の情報を受信したＬＰ定式化部１１がσ，γの値をψに代入し，ＬＰ問題を定式化する（ステップＳ３０）。そして，問題解析部１３がＬＰ処理し（ステップＳ３１），処理結果を出力部１４に送信する。出力部１４は，受信した処理結果をもとに，当該極配置仕様を満たす制御器のパラメータ値又はパラメータ可能領域を入出力装置２の表示画面に表示し（ステップＳ３２），処理を終了する。
【００６２】
【実施例】
図７は，本発明の具体的な実施例を説明するための制御問題の例を示す図である。まず，問題入力部１２は，入出力装置２において，図７に示すプラント伝達関数
Ｇ（ｓ）＝１／（ｃ２　ｓ２　＋ｃ１　ｓ＋ｃ０　）
及び制御器伝達関数
Ｃ（ｓ）＝ｋ１　＋ｋ２　／ｓ
並びに与えられた条件式
−１≦ｃ０　≦１
１≦ｃ１　≦１．５
−０．５≦ｃ２　≦１．５
を入力するとともに極配置仕様をポインティングデバイスを用いて入力する。
【００６３】
次に，ＬＰ定式化部１１が閉ループ特性多項式
δ（ｓ）＝ｃ２　ｓ３　＋ｃ１　ｓ２　＋（ｋ１　＋ｃ０　）ｓ＋ｋ２　
を求めるとともに，上記入力された極配置仕様に基づいて，ターゲットの区間多項式△Ｔ　（ｓ），
△Ｔ　（ｓ）＝｛δＴ　（ｓ）＝δ３　Ｔ　ｓ３　＋δ２　Ｔ　ｓ２　＋δ１　Ｔ　ｓ＋δ０　Ｔ　｜δｉ　Ｔ−≦δｉ　≦δｉ　Ｔ＋｝
を定式化する。この場合，
δ３　Ｔ−＝σ３　（１−０．２５γ）
δ３　Ｔ＋＝σ３　（１＋０．２５γ）
δ２　Ｔ−＝σ２　（４−０．５γ）
δ２　Ｔ＋＝σ２　（４＋０．５γ）
δ１　Ｔ−＝σ１　（６−０．７５γ）
δ１　Ｔ＋＝σ１　（６＋０．７５γ）
δ０　Ｔ−＝（４−γ）
δ０　Ｔ＋＝（４＋γ）
のようにパラメータσ，γを用いて規定する。
【００６４】
そして，ＬＰ定式化部１１は，上記式に基づいて，−１≦ｃ０　≦１，１≦ｃ１　≦１．５，−０．５≦ｃ２　≦１．５という条件下での線形不等式系，
δ３　Ｔ−≦ｃ２　≦δ３　Ｔ　＋　
δ２　Ｔ−≦ｃ１　≦δ２　Ｔ＋
δ１　Ｔ−≦ｋ１　＋ｃ０　≦δ１　Ｔ＋
δ０　Ｔ−≦ｋ２　≦δ０　Ｔ＋
を定式化する。
【００６５】
次に，
φ≡δ３　Ｔ−≦ｃ２　≦δ３　Ｔ　＋　∧δ２　Ｔ−≦ｃ１　≦δ２　Ｔ＋∧δ１　Ｔ−≦ｋ１　＋ｃ０　≦δ１　Ｔ＋∧δ０　Ｔ−≦ｋ２　≦δ０　Ｔ＋∧−１≦ｃ０　≦１∧１≦ｃ１　≦１．５∧−０．５≦ｃ２　≦１．５
として，問題解析部１３が，上記定式化した線形不等式系を一階述語論理式
∃ｋ１　∃ｋ２　∃ｃ０　∃ｃ１　∃ｃ２　φ（ｋ１　，ｋ２　，ｃ０　，ｃ１　，ｃ２　，σ，γ）のように記述する。
【００６６】
次に，問題解析部１３の限定記号消去処理部１３０において，上記一階述語論理式に対してＱＥを適用して限定記号を消去し，汎用記号計算処理部１３１が，σ及びγの可能領域を表す式ψ（σ，γ）を算出する。ここで，一般のＱＥアルゴリズム（ＣＡＤに基づいた方法）では計算効率が非常に悪く，産業応用上で許容できる時間内では，ごく小さなサイズの問題しか解けない。そこで，本実施例では，問題の定式化がＬＰであることを利用して線形不等式系について効率的なＱＥアルゴリズム（参考文献［５］，［６］）を用いる。即ち，本実施例においては，計算効率の高いＳｐｅｃｉａｌなＱＥ［ｔｅｓｔ　ｔｅｒｍ法］を適用する。このことにより計算効率は改善され，実用上必要なサイズの問題も解くことが可能となる。
【００６７】
算出されたψ（σ，γ）は，以下のようになる。
【００６８】
ψ（σ，γ）≡ω１　（σ，γ）∨ω２　（σ，γ）
ω１　＝（Ｐ２　≧０∧Ｐ３　≧０∧Ｐ５　≧０∧Ｐ６　≧０∧Ｐ７　≧０∧Ｐ８　≧０）
ω２　＝（Ｐ１　≧０∧Ｐ２　≦０∧Ｐ５　≧０∧Ｐ６　≧０∧Ｐ７　≧０∧Ｐ８　≧０）
Ｐ１　＝γσ３　＋４σ３　−２
Ｐ２　＝γσ３　＋４σ３　−６
Ｐ３　＝γσ３　−４σ３　＋６
Ｐ４　＝γσ２　＋８σ２　−２
Ｐ５　＝γσ２　＋８σ２　−３
Ｐ６　＝γσ２　−８σ２　＋３
Ｐ７　＝γσ
Ｐ８　＝γ
そして，出力部１４からψ（σ，γ）の情報が入出力装置２に送信され，入出力装置２の画面上にψ（σ，γ）の可能領域が図８の斜線部に示す領域として表示される。
【００６９】
制御系設計者が，上記斜線部に示すσ及びγの領域をポインティングデバイスで指定すると，ＬＰ定式化部１１がＬＰ問題を定式化し，これを問題解析部１３が解き，出力部１４が当該極配置仕様を満たす制御器のパラメータ値又はパラメータ可能領域を入出力装置２に送信し，送信された制御器のパラメータ値又はパラメータ可能領域情報を入出力装置２が出力する。
【００７０】
図９は，本発明を適用してプラントの次数ｎを上げていったときのＰＩ制御システム及びＰＩＤ制御システムそれぞれに対する計算時間を示す図である。ＰＩ制御システムにおける制御器伝達関数Ｃ（ｓ）は，
Ｃ（ｓ）＝ｘ１　＋ｘ２　／ｓ
であり，ＰＩＤ制御システムにおける制御器伝達関数Ｃ（ｓ）は，
Ｃ（ｓ）＝ｘ１　＋ｘ２　／ｓ＋ｘ３　×ｓ／（１＋０．１ｓ）
とした。また，プラント伝達関数Ｇ（ｓ）は，
Ｇ（ｓ）＝１／（ｄｎ　ｓｎ　＋ｄｎ−１　ｓｎ−１　＋・・・ｄ１　ｓ＋ｄ０　）
とし，プラントの不確かさを示す不等式ｄｉ　−　≦ｄｉ　≦ｄｉ　＋　の端値ｄｉ　−　，ｄｉ　＋　については，ｄｉ　＋　−ｄｉ　−　≦２となるようにランダムに設定する。δｉ　０　についてはランダムに選択し，ｅｉ　は，０＜ｅｉ　≦３の区間からランダムに選択した。
【００７１】
また，本実施例では，スペシャルなＱＥパッケージである「ＲＥＤＲＯＧ」を用いて計算した。計算機としては，９００ＭＨｚのＣＰＵ，１ＧＢのメモリーを持つ「ＳＵＮ　Ｕｌｔｒａ　ＩＩＩ　」を用いた。
【００７２】
従来のＣＡＤアルゴリズムに基づくソフトウェア「ＱＥＰＣＡＤ」を用いてもプラントの次数ｎが３以下までについては適度な時間内でＱＥ問題を解くことができるが，次数ｎが４以上ではメモリー不足により迅速な計算が困難となる。一方，本実施例で用いた「ＲＥＤＲＯＧ」によれば，図９に示すように，高次の制御システムについても高い計算効率が示される。実用上必要な次数は１０次もあれば十分と考えられるので，本発明は実問題についても有効だと言える。
【００７３】
以下に，本発明の実施の形態・実施例の特徴について列挙する。
【００７４】
（付記１）計算機を用いた制御系の極配置解析・設計方法であって，
前記制御系を構成する要素の伝達関数情報を入力して極配置問題を定立するステップと，
前記制御系の極配置仕様の緩和可能な範囲をパラメータで規定するステップと，
前記定立した極配置問題を前記規定したパラメータを含む線形計画問題に変換するステップと，
前記線形計画問題に限定記号消去アルゴリズムを適用し，前記パラメータのとり得る値の範囲を算出するステップとを有する
ことを特徴とする制御系の極配置解析・設計方法。
【００７５】
（付記２）計算機を用いた制御系の極配置解析・設計方法であって，
前記制御系を構成する要素の伝達関数情報を入力するステップと，
前記制御系の閉ループ特性多項式の極の複素平面上における座標をポインティングデバイスで指定させることによって極配置仕様を入力するステップと，
前記指定された閉ループ特性多項式の極の複素平面上における座標情報に基づいて，前記極配置仕様を記述する区間多項式の各係数の区間の範囲をパラメータで規定するステップと，
前記閉ループ特性多項式の極が前記区間多項式の解空間に含まれるために満たされるべき線形不等式系を定式化するステップと，
前記定式化した線形不等式系を一階述語論理式で記述するステップと，
前記記述した一階述語論理式に対して限定記号を消去するアルゴリズムを適用するステップと，
前記アルゴリズムの適用の結果算出される前記区間多項式の各係数の区間の範囲を規定するパラメータのとり得る値の範囲を２次元平面上に領域表示するステップとを有する
ことを特徴とする制御系の極配置解析・設計方法。
【００７６】
（付記３）前記極配置仕様を記述する区間多項式の各係数の区間の範囲をパラメータで規定するステップは，
δｉ　Ｔ−，δｉ　Ｔ＋を前記区間多項式のｉ次の係数の区間の端点，δｉ　０　，　ｅｉ　を所与の定数として，
δｉ　Ｔ−＝σｉ　（δｉ　０　−ｅｉ　γ）
δｉ　Ｔ＋＝σｉ　（δｉ　０　＋ｅｉ　γ）
のようにパラメータσ，　γを用いて規定する
ことを特徴とする付記２記載の制御系の極配置解析・設計方法。
【００７７】
（付記４）計算機を用いた制御系の極配置解析・設計装置であって，
前記制御系を構成する要素の伝達関数情報を入力して極配置問題を定立する手段と，
前記制御系の極配置仕様の緩和可能な範囲をパラメータで規定する手段と，
前記定立した極配置問題を前記規定したパラメータを含む線形計画問題に変換する手段と，
前記線形計画問題に限定記号消去アルゴリズムを適用し，前記パラメータのとり得る値の範囲を算出する手段とを備える
ことを特徴とする制御系の極配置解析・設計装置。
【００７８】
（付記５）計算機を用いた制御系の極配置解析・設計装置であって，
前記制御系を構成する要素の伝達関数情報を入力する手段と，
前記制御系の閉ループ特性多項式の極の複素平面上における座標をポインティングデバイスで指定させることによって極配置仕様を入力する手段と，
前記指定された閉ループ特性多項式の極の複素平面上における座標情報に基づいて，前記極配置仕様を記述する区間多項式の各係数の区間の範囲をパラメータで規定する手段と，
前記閉ループ特性多項式の極が前記区間多項式の解空間に含まれるために満たされるべき線形不等式系を定式化する手段と，
前記定式化した線形不等式系を一階述語論理式で記述する手段と，
前記記述した一階述語論理式に対して限定記号を消去するアルゴリズムを適用する手段と，
前記アルゴリズムの適用の結果算出される前記区間多項式の各係数の区間の範囲を規定するパラメータのとり得る値の範囲を２次元平面上に領域表示する手段とを備える
ことを特徴とする制御系の極配置解析・設計装置。
【００７９】
（付記６）前記極配置仕様を記述する区間多項式の各係数の区間の範囲をパラメータで規定する手段は，
δｉ　Ｔ−，δｉ　Ｔ＋を前記区間多項式のｉ次の係数の区間の端点，δｉ　０　，　ｅｉ　を所与の定数として，
δｉ　Ｔ−＝σｉ　（δｉ　０　−ｅｉ　γ）
δｉ　Ｔ＋＝σｉ　（δｉ　０　＋ｅｉ　γ）
のようにパラメータσ，　γを用いて規定する
ことを特徴とする付記５記載の制御系の極配置解析・設計装置。
【００８０】
（付記７）制御系の極配置解析・設計方法を計算機に実行させるためのプログラムであって，
前記制御系を構成する要素の伝達関数情報を入力して極配置問題を定立する処理と，
前記制御系の極配置仕様の緩和可能な範囲をパラメータで規定する処理と，
前記定立した極配置問題を前記規定したパラメータを含む線形計画問題に変換する処理と，
前記線形計画問題に限定記号消去アルゴリズムを適用し，前記パラメータのとり得る値の範囲を算出する処理とを，
計算機に実行させるための制御系の極配置解析・設計プログラム。
【００８１】
（付記８）制御系の極配置解析・設計方法を計算機に実行させるためのプログラムを記録した記録媒体であって，
前記制御系を構成する要素の伝達関数情報を入力して極配置問題を定立する処理と，
前記制御系の極配置仕様の緩和可能な範囲をパラメータで規定する処理と，
前記定立した極配置問題を前記規定したパラメータを含む線形計画問題に変換する処理と，
前記線形計画問題に限定記号消去アルゴリズムを適用し，前記パラメータのとり得る値の範囲を算出する処理とを，
計算機に実行させるための制御系の極配置解析・設計プログラムを記録した記録媒体。
【００８２】
【発明の効果】
本発明は，極配置仕様の緩和可能な範囲，即ち，ターゲットの区間多項式の各係数の区間の範囲を２次元のパラメータ空間上で領域表示することを通じて制御器のパラメータを決定するため，システマチックで効率の良い制御系設計が可能となる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明における制御系解析・設計装置の構成図である。
【図２】本発明の第１の実施の形態における動作処理フローを示す図である。
【図３】本発明の第１の実施の形態における制御システムの構成図である。
【図４】複素平面を示す図である。
【図５】ψ（σ，γ）の領域を示す図である。
【図６】本発明の第２の実施の形態における動作処理フローを示す図である。
【図７】本発明の具体的な実施例を説明するための制御問題の例を示す図である。
【図８】ψ（σ，γ）の領域を示す図である。
【図９】本発明を適用してプラント次数を上げていったときの計算時間を示す図である。
【符号の説明】
１　制御系解析・設計装置
２　入出力装置
１１　ＬＰ定式化部
１２　問題入力部
１３　問題解析部
１４　出力部
１３０　限定記号消去処理部
１３１　汎用記号計算処理部
【図１】
2004038618.tif 000007
【図２】
2004038618.tif 000008
【図３】
2004038618.tif 000009
【図４】
2004038618.tif 000010
【図５】
2004038618.tif 000011
【図６】
2004038618.tif 000012
【図７】
2004038618.tif 000013
【図８】
2004038618.tif 000014
【図９】
2004038618.tif 000015