(57)【要約】【課題】正方晶系の多結晶体のｃ軸配向試料について，従来のｓｉｎ２ψ法よりも精密な応力測定法を提供する。【解決手段】まず，Ｘ線光学系をφ＝０°の位置に設定する。Ｘ線源１２から試料１０に入射したＸ線１４はミラー指数（ｈｋｌ）の結晶面（その法線方向は角度ψの方向）で回折して，その回折Ｘ線１６はＸ線検出器１８で検出される。ミラー指数が決まれば，無歪状態のブラッグ角θ０が決まる。このθ０の近傍で，歪がある状態の回折角θを測定する。この測定値θとブラッグ角θ０との差から歪εを計算できる。複数のψについて歪εを求める。次に，φ＝４５°と９０°についても，同様に，各ψについて歪εを求める。平面応力状態を仮定すると，ラウエ対称が４／ｍｍｍに属する正方晶系については，特定の応力計算式を求めることができ，この応力計算式に基づいて，上述の測定結果をグラフ上にプロットすると，その直線の傾きから応力を求めることができる。【選択図】　図１８
2004093404.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
次の各段階を備える，Ｘ線回折による応力測定法。
（ａ）測定試料として正方晶系の多結晶体のｃ軸配向試料を準備する段階。
（ｂ）試料座標系として，試料表面に垂直な座標軸Ｐ３と，試料表面内において直交する二つの座標軸Ｐ１とＰ２とを定めて，座標軸Ｐ１とＰ３とを含む平面内に，Ｘ線源とＸ線検出器とを含むＸ線光学系を配置する段階。
（ｃ）測定試料のひとつのミラー指数（ｈｋｌ）を選定して，そのミラー指数の結晶面の法線（試料表面の法線から角度ψだけ傾斜している）を中心として，当該ミラー指数（ｈｋｌ）の結晶面からの回折Ｘ線が検出できるような回折角度θ０（無歪状態の回折角度）となるように前記Ｘ線光学系のＸ線源とＸ線検出器とを配置する段階。
（ｄ）測定試料にＸ線を照射してそこからの回折Ｘ線をＸ線検出器で検出し，Ｘ線光学系を調整することで回折Ｘ線の強度が最大となるような回折角度θを見つけて，これを測定値とする段階。
（ｅ）無歪状態の回折角度θ０と測定した回折角度θとを用いて歪を求める段階。
（ｆ）測定試料の別のミラー指数（ｈｋｌ）を選定して，前記（ｃ）乃至（ｅ）の段階を繰り返して，そのミラー指数（ｈｋｌ）について歪を求める段階。
（ｇ）座標軸Ｐ１とＰ３とを含む平面を座標軸Ｐ３の回りに角度φ＝４５°だけ回転させた平面内に，Ｘ線源とＸ線検出器とを含むＸ線光学系を配置する段階。
（ｈ）前記（ｃ）乃至（ｆ）の段階を繰り返す段階。
（ｉ）座標軸Ｐ１とＰ３とを含む平面を座標軸Ｐ３の回りに角度φ＝９０°だけ回転させた平面内に，Ｘ線源とＸ線検出器とを含むＸ線光学系を配置する段階。
（ｊ）前記（ｃ）乃至（ｆ）の段階を繰り返す段階。
（ｋ）平面応力状態と４／ｍｍｍの対称性とを条件として求めた応力計算の数式に基づいて，前記（ｆ）の段階で求めた歪ε（φ＝０°）と，前記（ｈ）の段階で求めた歪ε（φ＝４５°）と，前記（ｊ）の段階で求めた歪ε（φ＝９０°）と，ｓｉｎ２ψとをもとにして，座標軸Ｐ１の方向の応力σ１１と，座標軸Ｐ２の方向の応力σ２２と，座標軸Ｐ１とＰ２の間の剪断応力σ１２とを求める段階。
【請求項２】
次の各段階を備える，Ｘ線回折による応力測定法。
（ａ）測定試料として正方晶系の多結晶体のｃ軸配向試料を準備する段階。
（ｂ）試料座標系として，試料表面に垂直な座標軸Ｐ３と，試料表面内において直交する二つの座標軸Ｐ１とＰ２とを定めて，座標軸Ｐ３とを含む任意の平面内に，Ｘ線源とＸ線検出器とを含むＸ線光学系を配置する段階。
（ｃ）測定試料のひとつのミラー指数（ｈｋｌ）を選定して，そのミラー指数の結晶面の法線（試料表面の法線から角度ψだけ傾斜している）を中心として，当該ミラー指数（ｈｋｌ）の結晶面からの回折Ｘ線が検出できるような回折角度θ０（無歪状態の回折角度）となるように前記Ｘ線光学系のＸ線源とＸ線検出器とを配置する段階。
（ｄ）測定試料にＸ線を照射してそこからの回折Ｘ線をＸ線検出器で検出し，Ｘ線光学系を調整することで回折Ｘ線の強度が最大となるような回折角度θを見つけて，これを測定値とする段階。
（ｅ）無歪状態の回折角度θ０と測定した回折角度θとを用いて歪を求める段階。
（ｆ）測定試料の別のミラー指数（ｈｋｌ）を選定して，前記（ｃ）乃至（ｅ）の段階を繰り返して，そのミラー指数（ｈｋｌ）について歪を求める段階。
（ｇ）等２軸応力状態を条件として求めた応力計算の数式に基づいて，前記（ｆ）の段階で求めた歪εと，ｓｉｎ２ψとをもとにして，試料表面内の平面応力σを求める段階。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
この発明はＸ線回折による応力測定法に関し，特に，正方晶系の多結晶体試料のｃ軸配向試料の応力測定法に関する。
【０００２】
【従来の技術】
Ｘ線回折による応力測定法は，一般に，ｓｉｎ２ψ法が使われている。このｓｉｎ２ψ法は，四つの条件，すなわち，（１）結晶粒が小さいこと，（２）強優先方位を有しないこと，（３）Ｘ線侵入深さ内で平面応力状態にあること，（４）深さ方向に対して応力勾配が存在しないこと，を測定条件としている。
【０００３】
特定の結晶軸が特定の方向に配向している（このような配向を繊維配向という）ような多結晶体試料について，従来のｓｉｎ２ψ法を用いて応力測定をすると，上述の（２）の条件すなわち強優先配向を有しないこと，を満足していない。したがって，繊維配向試料に対してｓｉｎ２ψ法で応力測定をすることは，近似値を測定していたに過ぎないことになる。
【０００４】
ところで，このような繊維配向試料に対しては，従来のｓｉｎ２ψ法よりも精密な測定法が開発されている。現在までに，立方晶系や六方晶系の多結晶体の繊維配向試料に対しては，従来のｓｉｎ２ψ法よりも精密な測定法が開発されている。例えば，立方晶系については，田中啓介，石原啓策，井上馨，「材料」，Ｖｏｌ．４５，　Ｎｏ．８，　ｐｐ．９４５−９５０，　１９９６が，立方晶系の多結晶体の［１１１］繊維配向（試料表面に対して［１１１］が垂直）について，応力測定法の計算式を開示している。また，Ｔａｎａｋａ，　Ｋ．，　Ａｋｉｎｉｗａ，　Ｙ．，　Ｉｔｏ，　Ｔ．，　Ｉｎｏｕｅ，　Ｋ．，　ＪＳＭＥ　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｊｏｕｒｎａｌ，　Ｓｅｒｉｅｓ　Ａ，　Ｖｏｌ．４２，　Ｎｏ．２，　ｐ．２２４−２３４，　１９９８は，立方晶系の多結晶体の〈１１１〉，〈１００〉，〈１１０〉繊維配向について，応力測定法の計算式を開示している。さらに，六方晶系については，Ｔａｎａｋａ，　Ｋ．，　Ａｋｉｎｉｗａ，　Ｙ．，　ＪＳＭＥ　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｊｏｕｒｎａｌ，　Ｓｅｒｉｅｓ　Ａ，　Ｖｏｌ．４１，　Ｎｏ．２，　ｐ．２８７−２８９，　１９９８が，六方晶系の多結晶体の［００１］繊維配向について，応力測定法の計算式（等２軸応力状態のみ）を開示している。
【０００５】
【発明が解決しようとする課題】
しかしながら，正方晶系の多結晶体の繊維配向試料（この場合，正方晶のｃ軸が試料表面に垂直となり，ｃ軸配向試料となる）については，従来のｓｉｎ２ψ法よりも精密な応力測定法が開発されていなかった。正方晶系の多結晶体のｃ軸配向試料についての応力測定は，例えば半導体業界で強い要望があり，ＰＺＴなどの正方晶系試料ではｃ軸配向試料が多く存在していて，その応力測定法が望まれている。
【０００６】
この発明の目的は，正方晶系の多結晶体のｃ軸配向試料について，従来のｓｉｎ２ψ法よりも精密な応力測定法を提供することにある。
【０００７】
【課題を解決するための手段】
第１の発明は，平面応力状態を仮定して，正方晶系の多結晶体のｃ軸配向試料の応力をＸ線回折により測定するものである。正方晶系のうち，ラウエ対称が４／ｍｍｍのものだけが測定対象となる。この発明は，次の各段階を有する。（ａ）測定試料として正方晶系の多結晶体のｃ軸配向試料を準備する段階。（ｂ）試料座標系として，試料表面に垂直な座標軸Ｐ３と，試料表面内において直交する二つの座標軸Ｐ１とＰ２とを定めて，座標軸Ｐ１とＰ３とを含む平面内に，Ｘ線源とＸ線検出器とを含むＸ線光学系を配置する段階。（ｃ）測定試料のひとつのミラー指数（ｈｋｌ）を選定して，そのミラー指数の結晶面の法線（試料表面の法線から角度ψだけ傾斜している）を中心として，当該ミラー指数（ｈｋｌ）の結晶面からの回折Ｘ線が検出できるような回折角度θ０（無歪状態の回折角度）となるように前記Ｘ線光学系のＸ線源とＸ線検出器とを配置する段階。（ｄ）測定試料にＸ線を照射してそこからの回折Ｘ線をＸ線検出器で検出し，Ｘ線光学系を調整することで回折Ｘ線の強度が最大となるような回折角度θを見つけて，これを測定値とする段階。（ｅ）無歪状態の回折角度θ０と測定した回折角度θとを用いて歪を求める段階。（ｆ）測定試料の別のミラー指数（ｈｋｌ）を選定して，前記（ｃ）乃至（ｅ）の段階を繰り返して，そのミラー指数（ｈｋｌ）について歪を求める段階。（ｇ）座標軸Ｐ１とＰ３とを含む平面を座標軸Ｐ３の回りに角度φ＝４５°だけ回転させた平面内に，Ｘ線源とＸ線検出器とを含むＸ線光学系を配置する段階。（ｈ）前記（ｃ）乃至（ｆ）の段階を繰り返す段階。（ｉ）座標軸Ｐ１とＰ３とを含む平面を座標軸Ｐ３の回りに角度φ＝９０°だけ回転させた平面内に，Ｘ線源とＸ線検出器とを含むＸ線光学系を配置する段階。（ｊ）前記（ｃ）乃至（ｆ）の段階を繰り返す段階。（ｋ）平面応力状態と４／ｍｍｍの対称性とを条件として求めた応力計算の数式に基づいて，前記（ｆ）の段階で求めた歪ε（φ＝０°）と，前記（ｈ）の段階で求めた歪ε（φ＝４５°）と，前記（ｊ）の段階で求めた歪ε（φ＝９０°）と，ｓｉｎ２ψとをもとにして，座標軸Ｐ１の方向の応力σ１１と，座標軸Ｐ２の方向の応力σ２２と，座標軸Ｐ１とＰ２の間の剪断応力σ１２とを求める段階。
【０００８】
第２の発明は，等２軸応力状態を仮定して，正方晶系の多結晶体のｃ軸配向試料の応力をＸ線回折により測定するものである。ラウエ対称が４／ｍｍｍのものと４／ｍのものの両方が測定対象となる。この発明は，次の各段階を有する。（ａ）測定試料として正方晶系の多結晶体のｃ軸配向試料を準備する段階。（ｂ）試料座標系として，試料表面に垂直な座標軸Ｐ３と，試料表面内において直交する二つの座標軸Ｐ１とＰ２とを定めて，座標軸Ｐ３とを含む任意の平面内に，Ｘ線源とＸ線検出器とを含むＸ線光学系を配置する段階。（ｃ）測定試料のひとつのミラー指数（ｈｋｌ）を選定して，そのミラー指数の結晶面の法線（試料表面の法線から角度ψだけ傾斜している）を中心として，当該ミラー指数（ｈｋｌ）の結晶面からの回折Ｘ線が検出できるような回折角度θ０（無歪状態の回折角度）となるように前記Ｘ線光学系のＸ線源とＸ線検出器とを配置する段階。（ｄ）測定試料にＸ線を照射してそこからの回折Ｘ線をＸ線検出器で検出し，Ｘ線光学系を調整することで回折Ｘ線の強度が最大となるような回折角度θを見つけて，これを測定値とする段階。（ｅ）無歪状態の回折角度θ０と測定した回折角度θとを用いて歪を求める段階。（ｆ）測定試料の別のミラー指数（ｈｋｌ）を選定して，前記（ｃ）乃至（ｅ）の段階を繰り返して，そのミラー指数（ｈｋｌ）について歪を求める段階。（ｇ）等２軸応力状態を条件として求めた応力計算の数式に基づいて，前記（ｆ）の段階で求めた歪εと，ｓｉｎ２ψとをもとにして，試料表面内の平面応力σを求める段階。
【０００９】
ラウエ対称が４／ｍｍｍに属する正方晶系の例としては，ＢａＴｉＯ３，ＣｕＧａＳ２，ＭｇＦ２，ＰｂＴｉＯ３，Ｍｎ３Ｏ４，ＭｎＦ２，ＭｎＯ２，ＴｉＯ２，ＹＶＯ４がある。また，ラウエ対称が４／ｍに属する正方晶系の代表例としては，ＰｂＭｏＯ４，ＣａＷＯ４がある。
【００１０】
【発明の実施の形態】
図１は，正方晶系の多結晶体のｃ軸配向試料を説明する斜視図である。試料１０の表面付近に存在する多数の結晶粒の大部分は，その正方晶のｃ軸が試料表面に対して垂直になっている。そして，正方晶の結晶軸の残りの二つの軸（これらは等価なので，どちらもａ軸とする）は試料表面に平行な平面内に存在する。ｃ軸配向試料の場合，二つのａ軸の向きは一般にランダムであり，いろいろな向きの結晶粒が混在している。このようなｃ軸配向試料が本件発明の測定対象である。
【００１１】
まず，図２に示した数式を参照して，Ｘ線回折による応力測定の原理を簡単に説明する。式（１）はＸ線の回折条件を表すブラッグの式である。波長λ（測定に使用するＸ線の波長）が一定であることを前提にして，式（１）の両辺を全微分して，これを変形すると，式（２）が成立する。一方，歪εは式（３）で定義される。無歪状態の結晶面のブラッグの回折角をθ０とすると，式（２）と（３）から，式（４）が成立する。すなわち，無歪状態のブラッグの回折角θ０が分かっていれば，Ｘ線回折測定によって回折角θを測定することにより，歪εを求めることができる。このような原理と，それに基づく従来のｓｉｎ２ψ法は，例えば，高良和武編，実験物理学講座２０，Ｘ線回折，共立出版，１９８８年，ｐ．５７１−５７５，「１６・２　Ｘ線応力測定の原理」に詳しく記載されている。
【００１２】
次に，直交する三つの座標軸を有する結晶系（正方晶，立方晶など）の多結晶体からなる繊維配向試料の応力測定法の一般論を説明する。
【００１３】
図３は，応力測定の計算方法を説明するのに使用する三つの座標系を示す斜視図である。表面が平坦な試料１０に対して，試料座標系Ｐ，結晶座標系Ｘ，実験室座標系Ｌ，の三つの３次元直交座標系を考える。
【００１４】
試料座標系Ｐは，試料上に固定した３次元直交座標系であり，試料の表面内において，直交する二つの座標軸Ｐ１，Ｐ２を定め，試料表面に垂直になるように座標軸Ｐ３をとる。試料座標系Ｐは観測者にとって目に見える座標系であり，観測者にとっての基準座標となる。試料に負荷された応力は，この試料座標系で求めることになる。
【００１５】
結晶座標系Ｘは，回折に寄与する結晶面が属している結晶粒（試料表面付近にあるもの）の結晶軸を表す３次元直交座標系である。試料としては，繊維配向した多結晶体試料を考えているので，試料に含まれるどの結晶粒も，その特定の結晶軸（この場合，座標軸Ｘ３）が試料表面に垂直になっている。その他の二つの座標軸Ｘ１，Ｘ２は試料の表面内に存在する。この結晶座標系Ｘは観測者にとって目に見えないものであり，座標軸Ｘ１，Ｘ２はいろいろな方向を向いている可能性がある。結晶座標系Ｘは，試料座標系Ｐを座標軸Ｐ３の回りに，Ｐ３の原点からＰ３の正方向を見た状態で，反時計回りにβ回転させたものである。当然ながら，Ｐ３とＸ３は一致している。
【００１６】
実験室座標系Ｌは，Ｘ線回折測定をするときのＸ線光学系を基準にした座標系である。実験室座標系Ｌは，試料座標系Ｐを，座標軸Ｐ３の回りに，Ｐ３の原点からＰ３の正方向を見た状態で，時計回りにφだけ回転させ，かつ，そのときのＰ２（図３のＬ２の位置にある）の回りにＰ３とＰ１を角度ψ（プサイ）だけ回転させたものである。Ｌ３の方向が，回折に寄与する結晶面の法線の方向である。この実験室座標系Ｌは，回折角を測定する（すなわち，歪を測定する）座標系である。
【００１７】
各座標系における弾性コンプライアンス定数Ｓ，応力σ，歪εは，図５に示すような記号表記とする。ここで，歪εｉｊ（ｉ，ｊ＝１，２，３）と応力σｉｊ（ｉ，ｊ＝１，２，３）は３×３の行列である。また，弾性コンプライアンス定数Ｓｉｊｋｌ（ｉ，ｊ，ｋ，ｌ＝１，２，３）はテンソル表記である。
【００１８】
ところで，弾性コンプライアンス定数のテンソル表記Ｓｉｊｋｌ（ｉ，ｊ，ｋ，ｌ＝１，２，３）と，６×６の行列のマトリックス表記Ｓｐｑ（ｐ，ｑ＝１，２，３，４，５，６）との間には，図６に示すような関係がある。例えば，Ｓ１２１３はＳ６５の４分の１に等しい。
【００１９】
三つの座標系の間の変換行列π，ω，γを図４のように定義すると，これらの変換行列は，図７の式（５）〜（７）のように表すことができる。これらの式は，座標軸１の回りに角度δだけ回転する回転行列Ｒ１（δ）と，座標軸２の回りに角度δだけ回転する回転行列Ｒ２（δ）と，座標軸３の回りに角度δだけ回転する回転行列Ｒ３（δ）とを用いて表現しているが，Ｒ１〜Ｒ３の回転行列の形は，図７の式（８）〜（１０）に示した通りである。
【００２０】
一方で，歪εと応力σの間には，図７の式（１１）〜（１３）のような関係が成立する。そして，式（１１）〜（１３）から，式（１４）が成立する。この式（１４）は，実験室座標系での歪εＬ３３（測定できるもの）が，結晶座標系での弾性コンプライアンス定数Ｓと，試料座標系での負荷応力σと，変換行列とにより表現されている。
【００２１】
以上が，繊維配向した試料の応力測定法の一般論である。ここまでの話は，従来技術として引用した上述のＴａｎａｋａ，　Ｋ．，　Ａｋｉｎｉｗａ，　Ｙ．，　Ｉｔｏ，　Ｔ．，　Ｉｎｏｕｅ，　Ｋ．，　ＪＳＭＥ　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｊｏｕｒｎａｌ，　Ｓｅｒｉｅｓ　Ａ，　Ｖｏｌ．４２，　Ｎｏ．２，　ｐ．２２４−２３４，　１９９８にも記載されている。
【００２２】
次に，正方晶系に特有の内容，すなわち本件発明に特徴的な事項，を説明する。正方晶系は，その対称性によって２種類に分類でき，ラウエ対称（すなわち，逆格子空間の対称性）が４／ｍｍｍに属するものと，４／ｍに属するものとに分類できる。前者はｃ軸回りの４回対称と３個のミラー対称とを含んでおり，対称性が高いものである。後者は，ｃ軸回りの４回対称と１個のミラー対称を含んでおり，対称性が低いものである。結晶の対称性については，例えば，Ｘ線結晶解析の手引き（応用物理学選書），桜井敏雄，裳華房，１９８３，　ｐ．５３に記載されている。
【００２３】
４／ｍｍｍに属する正方晶系の単結晶弾性コンプライアンス定数Ｓは図８の式（１５）のように表現でき，一方，４／ｍに属する正方晶系の単結晶弾性コンプライアンス定数Ｓは図８の式（１６）のように表現できる。
【００２４】
次に，このような正方晶系に対して，２種類の応力状態を仮定して，それぞれの応力状態について，Ｘ線回折による応力測定が可能かどうか（すなわち，測定値としての歪εと，測定条件としてのψ等との関係から，応力を実験的に求めることができるかどうか）を検証する。
【００２５】
まず，「等２軸応力状態」を仮定する。これは，図９の式（１７）と（１８）が成立するような応力状態である。すなわち，試料座標系Ｐにおいて，座標軸Ｐ１方向の応力σ１１と座標軸Ｐ２方向の応力σ１２とが等しく（等応力である），座標軸Ｐ１とＰ２の間の剪断応力σ１２がゼロの状態である。試料表面に垂直な方向（座標軸Ｐ３の方向）には応力は作用していないから（なぜなら，試料表面は自由表面であるから），σ１３，σ２３，σ３３はゼロである。このような応力条件に基づいて，図８の式（１５）の弾性コンプライアンス定数を図７の式（１４）に代入すると，図９の式（１９）が成立する。また，同じ応力条件に基づいて，図８の式（１６）の弾性コンプライアンス定数を図７の式（１４）に代入しても，同様に，図９の式（１９）が成立する。
【００２６】
以上のことから，等２軸応力状態では，４／ｍｍｍに属する正方晶系でも，４／ｍに属する正方晶系でも，図９の式（１９）に基づいて応力を測定することが可能である。すなわち，Ｘ線回折で求めた歪εＬ３３と，ｓｉｎ２ψとをグラフ上にプロットすると，これがほぼ直線関係になり，その傾きを求めることができる。その傾きと，結晶の弾性コンプライアンス定数Ｓ１１，Ｓ１２，Ｓ１３とを用いて，応力σを計算することができる。
【００２７】
ところで，正方晶系のｃ軸配向試料は，一般的には，等２軸応力状態（特殊な応力状態）ではなくて，後述する平面応力状態になっていると考えられる。したがって，図９の式（１９）に基づいてうまく応力測定ができない（上述のグラフが直線関係にない）場合には，以下に述べるように，より一般的な平面応力状態を仮定して，応力を求める必要がある。
【００２８】
そこで，次に，「平面応力状態」を仮定する。これは，図９の式（２０）が成立するような応力状態である。すなわち，試料座標系Ｐにおいて，座標軸Ｐ１方向の応力σ１１と座標軸Ｐ２方向の応力σ２２とが異なっており（非等応力である），座標軸Ｐ１とＰ２の間の剪断応力σ１２が存在する。試料表面に垂直な方向（座標軸Ｐ３の方向）には応力は作用していないから（試料表面は自由表面であるから），σ１３，σ２３，σ３３はゼロである。このような応力条件の場合，ラウエ対称が４／ｍｍｍに属する正方晶系と，４／ｍに属する正方晶系とでは，計算結果が異なってくる。結論を述べると，４／ｍｍｍに属する正方晶系については，以下に述べるように，計算結果をうまくまとめることができて，応力測定が可能な数式になる。一方，４／ｍに属する正方晶系については，現在のところ，応力測定が可能となるような数式は得られていない。したがって，本件発明によれば，「平面応力状態」（試料表面の一般的な応力状態）については，ラウエ対称が４／ｍｍｍに属する正方晶系についてのみ応力測定が可能になる。
【００２９】
ラウエ対称が４／ｍｍｍに属する正方晶系では，「平面応力状態」を表す図９の式（２０）に基づいて，図８の式（１５）の弾性コンプライアンス定数を図７の式（１４）に代入して，さらに，φ＝０°，４５°，９０°について結晶面歪εＬ３３を求めると，図１０の式（２１），（２２）及び図１１の式（２３）のような数式が得られる。このままでは，応力測定が可能な数式にはなっていない。
【００３０】
そこで，４／ｍｍｍの対称性を検討する。図１５はラウエ対称が４／ｍｍｍの正方晶系の対称性をｃ軸方向から見たものである。ｃ軸方向から見た場合の対称性（本件発明に関係してくる対称性）は，ｃ軸回りの４回の回転対称とひとつのミラー対称との組み合わせでできている。今，φ＝０°，４５°，９０°を図１５に示すような位置にとる。φはＸ線光学系を設置する位置である。Ｘ線光学系をφ＝０°の位置に設定したときは，φ＝０°の位置からみて角度βだけ回転した地点（１）で表現されるような結晶座標系をもつ結晶粒群からの回折線が検出されたと仮定する。この場合，図１５に示す（１）〜（８）の８個の等価な結晶座標系をもつ結晶粒群からの回折線も同時に検出されることになる。したがって，検出された回折Ｘ線は，これらの８種類の等価な結晶座標系をもつ結晶粒群からの回折Ｘ線の平均値である。（１）〜（８）のそれぞれの結晶座標系の，φ＝０°の位置に対する角度は，図１６の一覧表のφ＝０°の列に記載した通りである。
【００３１】
そこで，図１０の式（２１）に戻ると，この数式は，φ＝０°において，ひとつの反射（結晶面）に対応する歪を示しているが，実際には，上述のような対称性に基づいて，異なる結晶粒から同時に測定される反射（結晶面）が８個存在することになる。したがって，式（２１）のβのところには，図１６のφ＝０°のところに記載されている８個の角度をそれぞれ代入して歪を求める必要があり，それを平均したものが，実際に測定される歪となる。このような平均値を計算すると，ｓｉｎ４βの項については相殺されてゼロとなり，ｃｏｓ４βの項については，そのままｃｏｓ４βとして残る。その計算結果が図１２の式（２４）である。この式（２４）において，εＬ３３（０°）の上に引いた横線は，上述の８種類の反射の「平均値」を意味している。
【００３２】
同様にして，φ＝９０°については，図１６のφ＝９０°の列に記載されている８個の角度を図１０の式（２２）に代入して，その平均値をとり，図１２の式（２５）のようになる。
【００３３】
また，φ＝４５°については，図１６のφ＝４５°の列に記載されている８個の角度を図１１の式（２３）に代入して，その平均値をとり，図１３の式（２６）のようになる。
【００３４】
以上のようにして求めた三つの数式（２４）〜（２６）を互いに組み合わせて変形すると，図１４の式（２７）〜（３０）が得られる。ここで，式（２８）と（２９）に出てくるＶは，式（３０）に示すものである。
【００３５】
これらの数式を用いると応力測定が可能になる。以下にその点を説明する。図１４の式（２７）において，φ＝０°の位置にＸ線光学系を設定して，回折線を検出可能な複数のψについて（すなわち，複数のミラー指数について），Ｘ線回折測定を実施して，各回折角θを測定する。それらの回折角θと無歪状態の回折角θ０（既知）とから，各ψについて，歪εを計算する。この歪εがεＬ３３（０°）の平均値に該当する。同様にして，φ＝９０°においても同様のＸ線回折測定を実施して，各ψについてεＬ３３（９０°）の平均値を求める。そして，これらをグラフ上にプロットする。すなわち，横軸にｓｉｎ２ψを，縦軸にＦ１（すなわち，φ＝０°のときの歪と，φ＝９０°のときの歪を合計して，それを２分の１にしたもの）をとり，各測定値をプロットして，そのグラフを直線近似する（例えば最小二乗法により回帰直線を求める）。その直線の傾きと弾性コンプライアンス定数Ｓ１１，Ｓ１２，Ｓ１３とから，σ１１＋σ２２の値が得られる。
【００３６】
同様にして，式（２８）からは，横軸にＶ（式（３４）を参照）を，縦軸にＦ２（すなわち，φ＝０°のときの歪と，φ＝９０°のときの歪の差を計算して，それを２分の１にしたもの）をとり，各測定値をプロットして，そのグラフを直線近似する。その直線の傾きがσ１１−σ２２となる。
【００３７】
σ１１＋σ２２の値とσ１１−σ２２の値が得られたので，これらからσ１１とσ２２を計算できる。これで，座標軸Ｐ１方向の応力σ１１と，座標軸Ｐ２方向の応力σ２２が求まった。
【００３８】
次に，式（２９）からは，横軸にＶを，縦軸にＦ３（すなわち，φ＝４５°のときの歪から上述のＦ１を引いたもの）をとり，各測定値をプロットして，そのグラフを直線近似する。その直線の傾きが２σ１２となる。
【００３９】
次に，実際の測定試料を想定して，応力測定の具体的な手順を説明する。測定試料としては，ラウエ対称が４／ｍｍｍに属する正方晶系の多結晶体試料として，ＰｂＴｉＯ３を想定する。その格子定数は，ａ＝０．３９０２ｎｍ，ｂ＝０．４１５６ｎｍである。空間群は９９（Ｐ４ｍｍ）である。弾性コンプライアンス定数（単位は１／ＴＰａ）は，Ｓ１１＝７．１２，Ｓ１２＝−２．１，Ｓ３３＝３２．５，Ｓ４４＝１２．２，Ｓ６６＝７．９である。このような弾性コンプライアンス定数の数値は，既知のもの（各種の物質の物性値に関する書籍や文献等に記載されている）を使うことができる。
【００４０】
ＰｂＴｉＯ３について，回折線が測定できるミラー指数（ｈｋｌ）としては，図１７に示すようなものがある。ミラー指数（ｈｋｌ）で表される結晶面の法線方向は，図１８に示すように，試料表面の法線方向（すなわち座標軸Ｐ３の方向）から角度ψだけ傾斜した方向である。各ミラー指数についてのψの値は図１７に示した通りである。また，各ミラー指数についてのβの値と，無歪状態での結晶面間隔ｄ０と，それに対応するブラッグ角θ０も，図１７に示した通りである。なお，ブラッグ角θ０は，ＣｕＫα線（波長λ＝０．１５４０５６ｎｍ）を使用するものとして，ｄ０から計算したものである。
【００４１】
まず，Ｘ線光学系を図３のφ＝０°の位置に設定する。すなわち，実験室座標系のＬ３・Ｌ１平面（座標軸Ｌ３とＬ１とを含む平面）を試料座標系のＰ１・Ｐ３平面と一致させる。図１８は実験室座標系のＬ３・Ｌ１平面を紙面に平行にした状態を示した図面である。ミラー指数（ｈｋｌ）の結晶面の法線方向は座標軸Ｌ３の方向であり，座標軸Ｐ３から角度ψだけ傾斜している。ミラー指数（ｈｋｌ）の結晶面は座標軸Ｌ１と平行になっている。Ｘ線源１２から試料１０に入射したＸ線１４はミラー指数（ｈｋｌ）の結晶面で回折して，その回折Ｘ線１６はＸ線検出器１８で検出される。入射Ｘ線１４と結晶面とのなす角度はθであり，回折Ｘ線１６と結晶面とのなす角度もθである。
【００４２】
ミラー指数（ｈｋｌ）が決まれば，無歪状態のブラッグ角θ０が決まる（既知である）。そこで，このθ０の近傍でＸ線源１２とＸ線検出器１８とを微小角度範囲内で調整して，回折Ｘ線の強度が最大になるような回折角θを見つけることができ，それを測定値とする。この測定値θとブラッグ角θ０との差から歪εを計算できる。このようにして，複数のミラー指数（ｈｋｌ）について，すなわち複数のψについて，歪ε（φ＝０°）が求まったことになる。なお，上述のＸ線検出器１８として，１次元または２次元の位置感応型Ｘ線検出器を用いれば，その分だけ，Ｘ線検出器１８の調整（走査）は不要になる。
【００４３】
次に，Ｘ線光学系をφ＝４５°の位置に設定して，同様の測定を行い，各ψに対する歪ε（φ＝４５°）を求めることができる。さらに，Ｘ線光学系をφ＝９０°の位置に設定して，同様の測定を行い，各ψに対する歪ε（φ＝９０°）を求めることができる。
【００４４】
以上のようにして，φ＝０°，４５°，９０°について，各ψに対応する歪εが求まったので，図１４の式（２７）〜（３０）に基づいて，ｓｉｎ２ψやＶと，Ｆ１，Ｆ２，Ｆ３の値とをグラフ上にプロットして，直線近似の傾きを求め，その傾きからσ１１，σ２２，σ１２を計算することができる。計算に使うβの値は図１７に示す値であり，弾性コンプライアンス定数Ｓ１１，Ｓ１２，Ｓ１３，Ｓ６６の数値は既に示した通りである。
【００４５】
以上が，平面応力状態を仮定した場合の応力測定法の具体的手順であるが，等２軸応力状態を仮定した場合の応力測定法の具体的手順はもっと簡単であり，次のようになる。
【００４６】
数式としては図９の式（１９）を使えば足りる。求める応力も１種類，すなわちσ１１＝σ２２＝σである。まず，座標軸Ｐ３を含む任意の平面内に（等２軸応力状態であるからどこでも構わない）Ｘ線光学系を設定して，回折線を検出可能な複数のψについてＸ線回折測定を実施して，各回折角θを測定する。それらの回折角θと無歪状態の回折角θ０（既知）とから，各ψについて，歪εを計算する。この歪εがεＬ３３となる。そして，横軸にｓｉｎ２ψを，縦軸にεＬ３３をプロットして，そのグラフを直線近似する（例えば最小二乗法により回帰直線を求める）。その直線の傾きと弾性コンプライアンス定数Ｓ１１，Ｓ１２，Ｓ１３とから，σの値が得られる。
【００４７】
【発明の効果】
この発明の応力測定法によれば，正方晶系の多結晶体のｃ軸配向試料について，従来のｓｉｎ２ψ法よりも精密な応力測定が可能になる。
【図面の簡単な説明】
【図１】正方晶系の多結晶体のｃ軸配向試料を説明する斜視図である。
【図２】Ｘ線回折による応力測定の原理を示す式（１）〜（４）である。
【図３】応力測定の計算方法を説明するのに使用する三つの座標系を示す斜視図である。
【図４】三つの座標系の間の変換行列π，ω，γを説明する図である。
【図５】三つの座標系における弾性コンプライアンス定数Ｓ，応力σ，歪εの記号表記である。
【図６】弾性コンプライアンス定数のテンソル表記定数と，６×６の行列のマトリックス表記との関係を示したものである。
【図７】応力計算に用いる式（５）〜（１４）である。
【図８】２種類の正方晶系の弾性コンプライアンス定数のマトリックス表記である。
【図９】応力計算に用いる式（１７）〜（２０）である。
【図１０】応力計算に用いる式（２１）と（２２）である。
【図１１】応力計算に用いる式（２３）である。
【図１２】応力計算に用いる式（２４）と（２５）である。
【図１３】応力計算に用いる式（２６）である。
【図１４】応力計算に用いる式（２７）〜（３０）である。
【図１５】ラウエ対称４／ｍｍｍの対称性を示す図である。
【図１６】８個の等価な結晶座標系の角度の一覧表である。
【図１７】ＰｂＴｉＯ３の各ミラー指数（ｈｋｌ）に対するψ，β，ｄ０，θ０の数値を示す一覧表である。
【図１８】Ｘ線光学系を示す説明図である。
【符号の説明】
１０　試料
１２　Ｘ線源
１４　入射Ｘ線
１６　回折Ｘ線
１８　Ｘ線検出器
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
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【図１７】
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【図１８】
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