(57)【要約】【課題】待ち行列モデルの測定や記録のコストや手間を少なくした簡易な測定に基づいて、平均利用時間や到着率等を推定することのできる待ち行列の統計量推定装置および方法並びにプログラムを提供する。【解決手段】滞留者検出部１１が任意の時間間隔で系の状態を観測して処理対象を検出し、延べ滞留者計数部１２が検出された処理対象の数を延べ滞留者数として計数し、滞留者識別部１３が新規に検出された処理対象を新規到着者として識別し、新規到着者計数部１４が識別した新規到着者の数を新規到着者数として計数する。そして、推定値演算部１５が、観測回数と、観測の時間間隔と、延べ滞留者数、新規到着者数とに基づいて、系内における処理対象による待ち行列の統計量を推定する。【選択図】        図１
2004287780.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
系の状態を観測し、該系内における処理対象による待ち行列の統計量を推定する待ち行列の統計量推定装置において、
任意の時間間隔で系の状態を観測して処理対象を検出する処理対象検出手段と、
前記処理対象検出手段により検出された処理対象の数を延べ滞留者数として逐次計数する延べ滞留者数計数手段と、
前記処理対象検出手段により検出された処理対象から新規に検出された処理対象を新規到着者として識別する新規到着者識別手段と、
前記新規到着者識別手段が識別した新規到着者の数を新規到着者数として逐次計数する新規到着者計数手段と、
前記処理対象検出手段による観測回数と、前記処理対象検出手段による観測の時間間隔と、前記延べ滞留者数計数手段が計数した前記延べ滞留者数と、前記新規到着者数計数手段が計数した新規到着者数とに基づいて、前記系内における処理対象による待ち行列の統計量を推定する統計量推定手段とを具備することを特徴とする待ち行列の統計量推定装置。
【請求項２】
前記統計量推定手段は、
前記処理対象に対するサービス時間の分布を指数分布として、前記処理対象が前記観測により検出される確率を算出し、該算出結果に基づいて前記統計量を推定することを特徴とする請求項１記載の待ち行列の統計量推定装置。
【請求項３】
前記処理対象検出手段は、
前記観測を一定時間間隔で行うことを特徴とする請求項１または２記載の待ち行列の統計量推定装置。
【請求項４】
前記処理対象検出手段による観測のタイミングを制御する観測制御手段をさらに具備することを特徴とする請求項１乃至３のいずれかに記載の待ち行列の統計量推定装置。
【請求項５】
前記処理対象検出手段は、
前記処理対象に対応付けられた無線デバイスを検出することにより、該処理対象を検出することを特徴とする請求項１乃至４のいずれかに記載の待ち行列の統計量推定装置。
【請求項６】
系の状態を観測し、該系内における処理対象による待ち行列の統計量を推定する待ち行列の統計量推定方法において、
任意の時間間隔で系の状態を観測し、該観測毎に検出された処理対象の数を延べ滞留者数として計数するとともに、該観測毎に新規に検出された処理対象の数を新規到着者数として計数し、
前記観測を行った観測回数と、前記観測を行った時間間隔と、前記延べ滞留者数と、前記新規到着者数とに基づいて、前記系内における処理対象による待ち行列の統計量を推定することを特徴とする待ち行列の統計量推定方法。
【請求項７】
前記推定は、
前記処理対象に対するサービス時間の分布を指数分布として、前記処理対象が前記観測により検出される確率を算出することにより行われることを特徴とする請求項６記載の待ち行列の統計量推定方法。
【請求項８】
前記観測を一定時間間隔で行うことを特徴とする請求項６または７記載の待ち行列の統計量推定方法。
【請求項９】
系の状態を観測し、該系内における処理対象による待ち行列の統計量をコンピュータに推定させる待ち行列の統計量推定プログラムにおいて、
処理対象を検出する処理対象検出手段を制御し、任意の時間間隔で系の状態を観測させる観測制御処理と、
前記処理対象検出手段により検出された処理対象の数を延べ滞留者数として逐次計数する延べ滞留者数計数処理と、
前記処理対象検出手段により検出された処理対象から新規に検出された処理対象を新規到着者として識別する新規到着者識別処理と、
前記新規到着者識別処理により識別された新規到着者の数を新規到着者数として逐次計数する新規到着者計数処理と、
前記処理対象検出手段による観測回数と、前記処理対象検出手段による観測の時間間隔と、前記延べ滞留者数計数処理で計数した前記延べ滞留者数と、前記新規到着者数計数処理で計数した新規到着者数とに基づいて、前記系内における処理対象による待ち行列の統計量を推定する統計量推定処理とをコンピュータに実行させることを特徴とする待ち行列の統計量推定装置。
【請求項１０】
前記統計量推定処理は、
前記処理対象に対するサービス時間の分布を指数分布として、前記処理対象が前記観測により検出される確率を算出し、該算出結果に基づいて前記統計量を推定することを特徴とする請求項９記載の待ち行列の統計量推定プログラム。
【請求項１１】
前記観測制御処理は、
前記処理対象検出手段に、前記観測を一定時間間隔で行わせることを特徴とする請求項９または１０記載の待ち行列の統計量推定プログラム。
【請求項１２】
前記処理対象検出手段は、
前記処理対象に対応付けられた無線デバイスを検出することにより、該処理対象を検出することを特徴とする請求項９乃至１１のいずれかに記載の待ち行列の統計量推定プログラム。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
この発明は、待ち行列の統計量推定装置および方法並びにプログラムに関し、特に、待ち行列のあるシステムや渋滞が起るシステムであって、利用時間や到着率の直接測定が困難であるか、利用時間や到着率の直接測定が手間やコストにおいて実用的でないシステムに有効な待ち行列の統計量推定装置および方法並びにプログラムに関する。
【０００２】
【従来の技術】
人や車両等の待ち行列は、その特性を把握することができれば、様々な用途で利用することが可能である。このため、古くは、人や呼の入退出時間若しくは時間間隔等を人手でなるべく正確に測定したり、記録したりすることによって待ち行列モデルとしての性質を観測していた。
【０００３】
また、近年では、技術の発達に伴い、センサを利用して道路交通状況を観測する技術（例えば、特許文献１、特許文献２参照）や、ビデオカメラを用いて等間隔の時間で撮影した複数の画像から、待ち行列長を車の数で求める技術（例えば、特許文献３参照）が提案されている。
【０００４】
しかしながら、特許文献１や特許文献２に記載されている技術では、決まった場所を通らない人の出入りなどに適用できなかったり、特定のセンサを持っていないと測定できない等の制約がある。
【０００５】
また、特許文献３に記載されている技術では、到着率を観測することができないため、リトルの公式によって、他のパラメータを算出する等の処理を行うことができず、窓口が全てふさがっていると呼が待ち行列で待つことができない（待ち行列長が常に０である）損失系の待ち行列を観測することができない。
【０００６】
一方、待ち行列の性質を観測のみでなく、推定を行うことによって特定するような技術も提案されている。このような技術としては、到着と退去の呼数を計数し累積した値を、リトルの公式に代入することによって、遅延時間などを推定する技術（例えば、特許文献４参照）や、退去の起きるごとに、一定時間（ｘ）前の到着数と比較することによって、待ち時間がｘより長いか短いかを判別する技術（例えば、特許文献５参照）がある。
【０００７】
しかしながら、特許文献４に記載の技術では、推定を行う前提として到着と退去を常に監視する必要があるため、スチルカメラのように連続的に観測が困難な場合には適用できず、特許文献５に記載の技術では、過去の到着を時間とともに記憶しておく必要があるため、スチルカメラのように連続的に観測が困難な場合には適用できない上、待ち時間が設定した値より大きくなる（もしくは小さくなる）確率が求められるだけで、待ち時間の平均時間を求めることができない。
【０００８】
【特許文献１】
特開平６−１１１１７８号公報
【特許文献２】
特開２００１−３０７２８７号公報
【特許文献３】
特開２００２−３４２７４８号公報
【特許文献４】
特開平６−１２５３９１号公報
【特許文献５】
特開平７−４４４２４号公報
【０００９】
【発明が解決しようとする課題】
待ち行列のモデルは、輸送機関における待ち、計算機の設計、機械の故障修理、呼び品在庫数の決定等に利用され、近年では、ネットワークのシミュレーションにも応用されている。
【００１０】
これらの待ち行列のモデルでは、上述したように、到着とサービス時間の確率分布とその強さから、待ち時間や待ち行列の長さなどを求めることができ、反対に、リトルの公式などを用いて、平均待ち時間と平均待ち行列長から到着率やサービス時間を逆算することもできる。
【００１１】
ところが、到着率やサービス時間あるいは平均待ち時間や平均待ち行列長は、時間的な連続量を扱う必要があり、到着と退出の際の時間を記録したり、ビデオ撮影をしたりというように、測定や記録に大きなコストや手間がかかる。
【００１２】
また、入退出時間の自動記録が困難な人の出入りなどでは、ビデオ撮影により、後日人手で分析する方法がとられることがある。この場合、分析に時間がかかるばかりでなく、数日間に渡る連続撮影が困難であり、撮影できたとしても大容量あるいは多数の記録媒体を必要とするなど、実用的ではない。
【００１３】
そこで、この発明は、待ち行列モデルの測定や記録のコストや手間を少なくした簡易な測定に基づいて、平均利用時間や到着率等を推定することのできる待ち行列の統計量推定装置および方法並びにプログラムを提供することを目的とする。
【００１４】
【課題を解決するための手段】
上述した目的を達成するため、請求項１の発明は、系の状態を観測し、該系内における処理対象による待ち行列の統計量を推定する待ち行列の統計量推定装置において、任意の時間間隔で系の状態を観測して処理対象を検出する処理対象検出手段と、前記処理対象検出手段により検出された処理対象の数を延べ滞留者数として逐次計数する延べ滞留者数計数手段と、前記処理対象検出手段により検出された処理対象から新規に検出された処理対象を新規到着者として識別する新規到着者識別手段と、前記新規到着者識別手段が識別した新規到着者の数を新規到着者数として逐次計数する新規到着者計数手段と、前記処理対象検出手段による観測回数と、前記処理対象検出手段による観測の時間間隔と、前記延べ滞留者数計数手段が計数した前記延べ滞留者数と、前記新規到着者数計数手段が計数した新規到着者数とに基づいて、前記系内における処理対象による待ち行列の統計量を推定する統計量推定手段とを具備することを特徴とする。
【００１５】
また、請求項２の発明は、請求項１の発明において、前記統計量推定手段は、前記処理対象に対するサービス時間の分布を指数分布として、前記処理対象が前記観測により検出される確率を算出し、該算出結果に基づいて前記統計量を推定することを特徴とする。
【００１６】
また、請求項３の発明は、請求項１または２の発明において、前記処理対象検出手段は、前記観測を一定時間間隔で行うことを特徴とする。
【００１７】
また、請求項４の発明は、請求項１乃至３のいずれかの発明において、前記処理対象検出手段による観測のタイミングを制御する観測制御手段をさらに具備することを特徴とする。
【００１８】
また、請求項５の発明は、請求項１乃至４のいずれかの発明において、前記処理対象検出手段は、前記処理対象に対応付けられた無線デバイスを検出することにより、該処理対象を検出することを特徴とする。
【００１９】
また、請求項６の発明は、系の状態を観測し、該系内における処理対象による待ち行列の統計量を推定する待ち行列の統計量推定方法において、任意の時間間隔で系の状態を観測し、該観測毎に検出された処理対象の数を延べ滞留者数として計数するとともに、該観測毎に新規に検出された処理対象の数を新規到着者数として計数し、前記観測を行った観測回数と、前記観測を行った時間間隔と、前記延べ滞留者数と、前記新規到着者数とに基づいて、前記系内における処理対象による待ち行列の統計量を推定することを特徴とする。
【００２０】
また、請求項７の発明は、請求項６の発明において、前記推定は、前記処理対象に対するサービス時間の分布を指数分布として、前記処理対象が前記観測により検出される確率を算出することにより行われることを特徴とする。
【００２１】
また、請求項８の発明は、請求項６または７の発明において、前記観測を一定時間間隔で行うことを特徴とする。
【００２２】
また、請求項９の発明は、系の状態を観測し、該系内における処理対象による待ち行列の統計量をコンピュータに推定させる待ち行列の統計量推定プログラムにおいて、処理対象を検出する処理対象検出手段を制御し、任意の時間間隔で系の状態を観測させる観測制御処理と、前記処理対象検出手段により検出された処理対象の数を延べ滞留者数として逐次計数する延べ滞留者数計数処理と、前記処理対象検出手段により検出された処理対象から新規に検出された処理対象を新規到着者として識別する新規到着者識別処理と、前記新規到着者識別処理により識別された新規到着者の数を新規到着者数として逐次計数する新規到着者計数処理と、前記処理対象検出手段による観測回数と、前記処理対象検出手段による観測の時間間隔と、前記延べ滞留者数計数処理で計数した前記延べ滞留者数と、前記新規到着者数計数処理で計数した新規到着者数とに基づいて、前記系内における処理対象による待ち行列の統計量を推定する統計量推定処理とをコンピュータに実行させることを特徴とする。
【００２３】
また、請求項１０の発明は、請求項９の発明において、前記統計量推定処理は、前記処理対象に対するサービス時間の分布を指数分布として、前記処理対象が前記観測により検出される確率を算出し、該算出結果に基づいて前記統計量を推定することを特徴とする。
【００２４】
また、請求項１１の発明は、請求項９または１０の発明において、前記観測制御処理は、前記処理対象検出手段に、前記観測を一定時間間隔で行わせることを特徴とする。
【００２５】
また、請求項１２の発明は、請求項９乃至１１の発明において、前記処理対象検出手段は、前記処理対象に対応付けられた無線デバイスを検出することにより、該処理対象を検出することを特徴とする。
【００２６】
【発明の実施の形態】
以下、この発明に係る待ち行列の統計量推定装置および方法並びにプログラムの一実施の形態について、添付図面を参照して、詳細に説明する。
【００２７】
待ち行列理論における「待ち行列」は、実際の待ち行列だけを指すのではなく、待ち行列を作る原因となるサービス窓口などを含む系全体を指している。これに合わせ、以下の説明においても、系全体を「待ち行列」と呼ぶものとする。
【００２８】
また、系内にサービスを受けている人や車、ネットワークパケット等の待ち行列で取り扱われるサービス対象を総称して滞留者と呼ぶものとする。
【００２９】
図１は、この発明を適用した平均統計量測定装置の機能的な構成を示すブロック図である。同図に示すように、平均統計量測定装置１は、滞留者検出部１１と延べ滞留者計数部１２、滞留者識別部１３、新規到着者計数部１４、推定値演算部１５、推定値出力部１６、測定時間制御部１７を具備して構成される。ただし、詳細については後述するが、測定時間制御部１７は、必ずしも必要な構成ではない。
【００３０】
なお、平均統計量測定装置１は、専用のハードウェアとして構成してもよく、この発明を適用したプログラムをコンピュータで実行させ、他に必要な機器を当該コンピュータに接続することにより構成してもよい。
【００３１】
滞留者検出部１１は、滞留者を検出する。具体的な構成としては、ビデオカメラやマイク等を利用してもよく、ＲＦＩＤや赤外線バッジのような特定のセンサを滞留者に付し、これを検出に利用してもよい。また、滞留者が所持する電子機器を検出対象として利用する場合には、無線等のデバイス、例えば、Ｂｌｕｅｔｏｏｔｈによるデバイスを検出するようにしてもよい。なお、滞留者検出部１１は、滞留者を連続して検出する必要がないため、その検出に人手を要しても差し支えは無い。
【００３２】
延べ滞留者計数部１２は、観測開始から観測終了までの観測時点毎に滞留者検出部１１が検出した滞留者の数を加算する。具体的には、ある観測時点で検出された滞留者は、その時点で滞留者数１として加算され、同じ滞留者が次の観測時点でも検出された場合でも滞留者数１として再度加算される。したがって、これら加算処理によって得られた結果は、述べ滞留者数となる。
【００３３】
滞留者識別部１３は、滞留者検出部１１が検出した滞留者が、検出した時点で新たに系内に到着した滞留者であるか、もともと系内でサービスを受けている滞留者であるかどうかを判別する。具体的に説明すると、滞留者検出部１１としてビデオやマイクを利用する場合には、画像認識や音声認識などの技術を用いて識別してもよく、背景画像との差分情報から識別する方法でもよく、人手による識別を行っても構わない。また、特定のセンサや無線デバイス等を用いる場合には、これらデバイス等に付与されているＩＤ番号等を用いて識別すればよい。
【００３４】
新規到着者計数部１４は、滞留者識別部１３によって識別された、新たに到着した滞留者の数を加算する。具体的には、滞留者識別部１３による識別により、ある観測時点で初めて滞留者として検出された滞留者であると識別された場合には、その時点で新規到着者数１として加算される。また、同じ滞留者が次の観測時点で検出されたとしても、滞留者識別部１３により新規到着者ではないと識別されるため、この場合には、再度の加算は行わない。したがって、新規到着者数計数部１４が計数した結果は、見かけ上の新規到着者数となる。
【００３５】
推定値演算部１５は、新規到着者数計数部１４が計数した新規到着者数と、延べ滞留者数計数部１２が計数した延べ滞留者数と、滞留者検出部１１による観測時間間隔に基づいて、平均到着率と平均サービス率を算出する。なお、推定値演算部１５による平均到着率と平均サービス率の算出方法については後述する。
【００３６】
推定値出力部１６は、推定値演算部１５で算出した平均到着率と平均サービス率を出力する。具体的な例としては、ディスプレイへの表示や紙への印字等の一般的な出力手段を利用することができる。なお、平均到着率と平均サービス率をパラメータとして例えば待ち行列の長さのような別の指標を求めるようなシステムに組み込む場合には、必ずしもここで出力する必要はなく、別の演算を行うシステムが読み出せるような記憶装置や記録媒体に記録するようにしても構わない。
【００３７】
測定時間制御部１７は、滞留者の観測のタイミングを制御するもので、観測の開始と終了を指示し、観測時点において滞留者検出部１１に観測を実施することを指示する。また、観測の時間間隔を推定値演算部１６に通知する。なお、観測の開始と終了あるいは観測時間間隔は、平均統計量測定装置１の利用者があらかじめ設定するよう構成してもよく、この場合には、測定時間制御部１７は不要となる。
【００３８】
次に、平均統計量測定装置１による平均統計量測定処理について説明する。図２は、平均統計量測定処理の流れを示すフローチャートである。
【００３９】
平均統計量測定装置１は、処理を開始すると、まず、初期設定を実行する（ステップ１０１）。初期設定では、延べ滞留者計数部１２の初期値と新規到着者数計数部１４の初期値をそれぞれ０に設定するとともに、滞留者識別部１３において使用する滞留者のリストをクリアする。
【００４０】
初期設定を終了すると、平均統計量測定装置１は、滞留者の観測タイミングを待ち（ステップ１０２でＮＯ）、測定時間制御部１７により観測タイミングである旨が指示されるか、予め設定された時間間隔、つまり、滞留者の観測タイミングになると（ステップ１０２でＹＥＳ）、滞留者検出部１１が滞留者の検出を行う（ステップ１０３）。
【００４１】
滞留者検出部１１による滞留者の検出の結果、滞留者が存在した場合には（ステップ１０４でＹＥＳ）、滞留者識別部１３が、検出された滞留者が新規到着者であるか否かを識別し、新規到着者であれば（ステップ１０５でＹＥＳ）、その数を新規到着者計数部１４に通知し、新規到着者計数部１４がこの数を加算する（ステップ１０６）。滞留者識別部１３による新規到着者の識別は、例えば、図３に示すｎ回目の観測で検出された滞留者のリストと、図４に示すｎ＋１回目の観測で検出された滞留者のリストを比較することで行う。この両者を比較すると、図５に示すように、ｎ＋１回目の滞留者リスト中でｎ回目の滞留者リストに含まれない滞留者の数が２であることがわかり、これが新規到着者となる。なお、図３乃至５においては、滞留者検出部１１が４８ビットのＩＤを有する無線デバイスを検出した場合の例を示しており、このため、滞留者ＩＤも無線デバイスのＩＤがそのまま利用されている。また、図５に示した例では、ｎ回目の滞留者数は４であり、ｎ＋１回目の滞留者数は５であるため、仮に、ｎ＝２であるとし、初回の滞留者リストに滞留者が全く存在しなかったとすると、新規到着者計数部１４が計数する新規到着者の数は、０＋４＋２で６となる。
【００４２】
また、滞留者検出部１１による滞留者の検出の結果、滞留者が存在した場合には（ステップ１０４でＹＥＳ）、検出された滞留者が新規到着者であるか否かにかかわらず（ステップ１０６の後、ステップ１０５でＮＯ）、延べ滞留者計数部１２が、滞留者の数を加算する（ステップ１０６）。上述の場合と同様に、図５に示した例において、ｎ＝２であるとし、初回の滞留者リストに滞留者が全く存在しなかったとすると、延べ滞留者計数部１２が計数する滞留者の数は、０＋４＋５で９となる。
【００４３】
一方、滞留者検出部１１による滞留者の検出の結果、滞留者が存在しなかった場合には（ステップ１０４でＮＯ）、何ら処理は行わない。
【００４４】
そして、これらの処理が終了した時点が、観測終了時刻前であれば（ステップ１０８でＮＯ）、ステップ１０２に戻り、同様の処理を繰り返す。
【００４５】
これらの処理を繰り返し行った結果、観測終了時刻に達すると（ステップ１０８でＹＥＳ）、推定値演算部１５が、新規到着者数計数部１４が計数した新規到着者数と、延べ滞留者数計数部１２が計数した延べ滞留者数と、滞留者検出部１１による観測時間間隔に基づいて、平均到着率と平均サービス率を算出し（ステップ１０９）、その算出結果を推定値出力部１６が出力して（ステップ１１０）、平均統計量測定処理を終了する。
【００４６】
次に、推定値演算部１５による演算処理について説明する。
【００４７】
本来、正確に待ち行列の状態を知るためには、滞留者の到着と退去を連続的に監視し、到着と退去の数を正確に把握する必要がある。その際、求められる統計量としては、平均到着率λａと平均サービス率λｓがある。平均到着率λａは、単位時間あたりの到着数を求めたもので、ランダムな到着であるポアソン到着においては、到着時間間隔の分布である指数分布の強さを示している。このため、時間Ｔの間の到着数をＮとすると、平均到着率λａは、式１のように表せる。
【００４８】
【式１】
2004287780.tif 000003
【００４９】
また、平均サービス率λｓは、ランダムなサービス時間である場合には、平均サービス時間の分布である指数分布の強さを示すこととなり、平均サービス時間の逆数となる。このため、各サービス時間をＳｉとすると式２のように表すことができる。
【００５０】
【式２】
2004287780.tif 000004
【００５１】
そして、これらの、到着とサービスの分布とパラメータが分かれば、待ち行列の挙動が予測できる。
【００５２】
しかしながら、上述の平均統計量測定装置１では、連続的な滞留者の連続的な監視を行わないため、連続的な監視ができない場合に、定期的に系内の状態を観測することを考える。
【００５３】
系内の状態として、滞留者がいるかどうかと、系内に新たに加わった滞留者（新規到着者）がいるかどうかを調べる。これらから算出できる見かけ上の平均到着率をλ１とする。ここで、見かけ上の平均到着率とするのは、ある観測のタイミングと次の観測のタイミングの間に到着し、すぐ立ち去る滞留者が到着者としてカウントされないからである。平均到着率λ１は、見かけ上の新規到着者をＬ、観測時間をＴとして、式３で表すことができる。
【００５４】
【式３】
2004287780.tif 000005
【００５５】
また、観測時間Ｔは、観測回数ｊと観測時間間隔ｋの積で表せるので、式４で表現することもできる。
【００５６】
【式４】
2004287780.tif 000006
【００５７】
次に、平均延べ滞留率をλ２とする。平均延べ滞留率は、系内に滞留する滞留者の延べ数を単位時間あたりに平均したものである。平均延べ滞留率λ２は、滞留者の延べ数をＨとして、式５で表すことができ、観測時間Ｔは、観測回数ｊと観測時間間隔ｋの積で表せるので、式６で表現することもできる。
【００５８】
【式５】
2004287780.tif 000007
【式６】
2004287780.tif 000008
【００５９】
次に、ランダムな到着、すなわちポアソン到着を仮定した場合に、平均到着率λ１と平均延べ滞留率λ２を用いて、本来観測したかった平均到着率λａと平均サービス率λｓを導き出す方法を説明する。
【００６０】
ランダムな到着では、ある観測タイミングと次の観測タイミングの間の時間帯で、滞留者が、どのタイミングで到着する確率も等しいと考えることができる。このため、微小時間ｕ＋ｄｕの間に到着する確率をｄｕ／ｋと置くことができる。
【００６１】
ここで、サービス時間の分布により、滞留者が次の観測のタイミングまでに退去してしまうか、そのまま滞留し、新規到着者として検出されるかが分かれることとなる。そこで、ｕからｋまでの時間の間サービスが続く確率が、この新規到着者が観測されるかどうかの確率になる。この確率ｐｄは、サービス時間の分布をλｓをパラメータとする指数分布として、式７で表すことができる。
【００６２】
【式７】
2004287780.tif 000009
【００６３】
式７に示すように確率ｐｄをサービス時間の分布をλｓをパラメータとする指数分布として表すことができる理由としては、例えば、図６に示すように、滞留者Ａ、滞留者Ｂ、滞留者Ｃへのサービスがそれぞれ異なる時間続いたとし、三者へのサービスが同時（時刻ｔ０）に開始されたとすると、時刻ｔ１では、三者へのサービスが継続しており、時刻ｔ２では、滞留者Ａと滞留者Ｃへのサービスが継続し、時刻ｔ３では、滞留者Ｃへのサービスのみが継続し、時刻ｔ４では、三者へのサービスは全て終了しているといった状態となることが一般的であるためである。
【００６４】
また、実際の到着は、０からｋまでの時間の間に一様に分布するので、式８に示すように、この区間で積分することによって、観測される確率ｐが求められる。
【００６５】
【式８】
2004287780.tif 000010
【００６６】
これに対し、λ１はパラメータλａの到着が確率ｐで観測されたものの統計量を示すので、式９で表すことができる。
【００６７】
【式９】
2004287780.tif 000011
【００６８】
また、λ２は、サービス時間（滞留時間）の和を観測時間間隔ｋで割って観測数にしたものを単位時間当りに直したものである。それぞれのサービス時間が同じλｓの指数分布に従うとすると、そのｉ個の和の分布は、ｉ次のアーラン分布に従う。この場合のアーラン分布の期待値は、時間内の到着数の期待値がλａＴとなりλａＴ次のアーラン分布とみなすことができるので、λａＴ／λｓとなり、式１０で表すことができる。
【００６９】
【式１０】
2004287780.tif 000012
【００７０】
ここで、λ１とλ２の関係式をλｓについて変形すると、式１１のようになり、この両辺にｅのλｓｋ乗をかけて（式１２）、さらに両辺に−１をかけて、両辺からｅのλｓｋ乗を引いて、式１３を求めることができる。
【００７１】
【式１１】
2004287780.tif 000013
【式１２】
2004287780.tif 000014
【式１３】
2004287780.tif 000015
【００７２】
この式１３から平均到着率λａと平均サービス率λｓを、それぞれ、式１４、式１５に示すように導くことができる。
【００７３】
【式１４】
2004287780.tif 000016
【式１５】
2004287780.tif 000017
【００７４】
上述した平均統計量測定装置１においては、λ１は、新規参加者数÷観測回数÷観測時間間隔で表され、λ２は、延べ滞留者数÷観測回数÷観測時間間隔で表される。したがって、図５に示した例で、ｎ＝２で、初回の滞留者リストに滞留者が全く存在せず、観測時間間隔が１０分、ｎ＋１回目の観測で観測を終了したとすると、観測回数は３、観測時間間隔が１０であるから、λ１＝６÷３÷１０＝０．２、λ２＝９÷３÷１０＝０．３となる。これを式１４と式１５に代入すると、λａ≒０．３３０、λｓ≒０．１１０となる。
【００７５】
ところで、上述の式１４と式１５は、観測時間間隔が一定である場合の平均到着率λａと平均サービス率λｓを求める式であるが、推定値演算部１５では、観測時間間隔が一定でない場合でも、平均到着率λａと平均サービス率λｓを求めることができる。
【００７６】
ｋがｎ種類ある場合の観測時間間隔をｋｉ（０≦ｉ＜ｎ）とし、各観測時間間隔ごとの平均サービス率の推定値をλｓｉとすると、λｓｉは、式１６で表すことができる。したがって、λｓの平均値は、式１７で表すことができる。式１７は、式１８のように変形することができる。このようにして相乗平均を取ることによって、平均サービス率λｓの推定を行うことができる。
【００７７】
【式１６】
2004287780.tif 000018
【式１７】
2004287780.tif 000019
【式１８】
2004287780.tif 000020
【００７８】
同様に、各観測時間間隔ごとの平均到着率の推定値をλａｉとすると、λａｉは、式１９で表すことができる。したがって、λａの平均値は、式２０で表すことができる。式２０は、式２１のように変形することができる。このようにして相乗平均を取ることによって、平均到着率λａの推定を行うことができる。
【００７９】
【式１９】
2004287780.tif 000021
【式２０】
2004287780.tif 000022
【式２１】
2004287780.tif 000023
【００８０】
また、ｋｉごとの測定回数が異なる場合には、測定回数をｍｉとして、式２２を算出する。そして、式２２を用いて、式２３、式２４に示した演算を行い、平均到着率λａと平均サービス率λｓを求める、というように重み付けをすることで正確な値を推定することができる。
【００８１】
【式２２】
2004287780.tif 000024
【式２３】
2004287780.tif 000025
【式２４】
2004287780.tif 000026
【００８２】
【発明の効果】
以上説明したように、この発明によれば、任意の時間間隔で系の状態を観測し、該観測毎に検出された処理対象の数を延べ滞留者数として計数するとともに、該観測毎に新規に検出された処理対象の数を新規到着者数として計数し、観測を行った観測回数と、観測を行った時間間隔と、延べ滞留者数と、新規到着者数とに基づいて、系内における処理対象による待ち行列の統計量を推定するように構成したので、到着や退去といったイベントの時間を正確に測定できない場合や、連続的に監視をすることが実際上コスト面で不可能な場合に、待ち行列の状態を示す統計量を推定することができる。
【００８３】
また、サービスを受けている滞留者のみを観測するため、待ち行列を持つことができない系においても、統計量を求めることができる。
【００８４】
さらに、連続監視、連続量の測定の必要がないため、無線デバイスを利用して到着を検出する場合など、例えばポーリングが必要で、連続量の測定が事実上困難な場合でも統計量を求めることができ、ビデオ撮影による観察など、後で膨大なデータの詳細な解析が必要で解析コストがかかるものと比較して、わずかなデータ量のため解析コストが少なくて済むといった利点を有する。
【図面の簡単な説明】
【図１】この発明を適用した統計量推定装置の機能的な構成を示すブロック図である。
【図２】平均統計量測定処理の流れを示すフローチャートである。
【図３】滞留者のリストの例を示した図（１）である。
【図４】滞留者のリストの例を示した図（２）である。
【図５】リストの比較による新規到着者の識別例を示した図である。
【図６】サービス時間の分布をλｓをパラメータとする指数分布として表すことができる理由を説明するための図である。
【符号の説明】
１    平均統計量測定装置
１１    滞留者検出部
１２    延べ滞留者計数部
１３    滞留者識別部
１４    新規到着者計数部
１５    推定値演算部
１６    推定値出力部
１７    測定時間制御部
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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