(57)【要約】【課題】ツリー構造フィルタバンクにおいて、分割回数を減らすことなく計算量を低減でき、容易な設計で完全再構成となる実現方式を有するフィルタバンクを提供する。【解決手段】分析フィルタバンク１００への複素数の入力信号Ｘ（ｚ）は、ダウンサンプラ１１０を経てＤＦＴ演算部１２０にて離散フーリエ変換をそれぞれ施され、行列乗算部１３０において、所定の行列が乗算される。さらなる分割を行う信号Ｕ（ｋ）は、第１の行列演算部１４０へ送られ、あらかじめ計算し記憶してある所定の行列を乗算され、２つの信号、Ｓ０（ｋ）およびＳ１（ｋ）として出力される。信号Ｓ０（ｋ）は第２の行列演算部１５０へ送信され同様の処理を繰り返す。ＩＤＦＴ演算部１６０は、入力信号に対し、離散逆フーリエ変換を施し、分析フィルタバンク１００の出力信号とする。【選択図】        図１７
2004362474.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
少なくとも離散フーリエ変換が施された長さ２Ｍの入力信号を所定の規則で行列化し、所定の行列演算を行うことにより長さＭの２つの信号を出力する行列演算部を含むことを特徴とする分析フィルタバンク。
【請求項２】
少なくとも離散フーリエ変換が施された長さＭ／２の２つの入力信号を所定の規則で行列化し、所定の行列演算を行うことにより長さＭの信号を出力する行列演算部を含むことを特徴とする合成フィルタバンク。
【請求項３】
少なくとも離散フーリエ変換が施された長さ２Ｍの入力信号Ｕ（ｋ），ｋ＝０，１，…，２Ｍ−１に対し、
長さＭの分析フィルタのポリフェーズ行列における各要素を離散フーリエ変換した多項式を要素にもつ２×２の行列をＥ（ｋ）とし、
【数１】
2004362474.tif 000049
で定義される２×２の行列をＢｋとしたとき、
【数２】
2004362474.tif 000050
なる演算を行い、長さＭの２つの信号Ｓ０（ｋ），Ｓ１（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｍ−１を出力する行列演算部を含むことを特徴とする分析フィルタバンク。
【請求項４】
少なくとも離散フーリエ変換が施された長さＭ／２の２つの入力信号Ｓ０（ｋ）およびＳ１（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｍ／２−１に対し、
長さＭ／２の合成フィルタのポリフェーズ行列における各要素を離散フーリエ変換した多項式を要素にもつ２×２の行列をＲ（ｋ）とし、
【数３】
2004362474.tif 000051
で定義される２×２の行列をＡｋとしたとき、
【数４】
2004362474.tif 000052
なる演算を行い、長さＭの信号Ｑ（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｍ−１を出力する行列演算部を含むことを特徴とする合成フィルタバンク。
【請求項５】
少なくとも離散フーリエ変換が施された長さ２Ｍの実数入力信号Ｕ（ｋ），ｋ＝０，１，…，２Ｍ−１を、
Ｕ（ｋ）＝ｕｋ（０）＋ｕｋ（１）ｚ−１  （ｍ＝０，１）
なる形で表したとき
ｋ＝０のときＵ［ｋ］＝［ｕ０（０）  ｕ０（１）  ｕＭ（０）  ｕＭ（１）］Ｔ、
ｋ＝１，２，…，Ｍ−１のときＵ［ｋ］＝［ｕｋ（０）  ｕｋ（１）  ｕ２Ｍ−ｋ（０）  ｕ２Ｍ−ｋ（１）］Ｔ
で定義される行列Ｕ［ｋ］（ｋ＝０，１，…，Ｍ−１）に対し、
長さＭの合成フィルタのポリフェーズ行列における各要素に離散フーリエ変換を施した多項式を要素にもつ２×２の行列Ｅ（ｋ）の（ｍ，ｎ）の要素を、ｅ（ｍ，ｎ），ｋ（０）＋ｅ（ｍ，ｎ），ｋ（１）ｚ−１（ｍ，ｎ＝０，１）の形で表すと、
ρｋ＝２ｃｏｓ（πｋ／Ｍ）として、
【数５】
2004362474.tif 000053
で定義される行列Ｅ（ｋ）と、
【数６】
2004362474.tif 000054
で定義される行列Ｄｋとを用いて、
【数７】
2004362474.tif 000055
なる演算を行い、Ｓ（ｋ）の各要素を
Ｓ（ｋ）＝［ｓ０，ｋ（０）  ｓ０，ｋ（１）  ｓ１，ｋ（０）  ｓ１，ｋ（１）］Ｔ
としたとき、
Ｓｍ（ｋ）＝ｓｍ，ｋ（０）＋ｓｍ，ｋ（１）ｚ−１  （ｍ＝０，１）
となる長さＭの２つの信号Ｓ０（ｋ），Ｓ１（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｍ−１を出力する行列演算部を含むことを特徴とする分析フィルタバンク。
【請求項６】
少なくとも離散フーリエ変換が施された長さＭ／２の２つの実数入力信号Ｓ０（ｋ）およびＳ１（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｍ／２−１を、Ｓｍ（ｋ）＝ｓｍ，ｋ（０）＋ｓｍ，ｋ（１）ｚ−１  （ｍ＝０，１）
なる形で表したとき
Ｓ（ｋ）＝［ｓ０，ｋ（０）  ｓ０，ｋ（１）  ｓ１，ｋ（０）  ｓ１，ｋ（１）］Ｔ
で定義される行列Ｓ［ｋ］に対し、
長さＭ／２の合成フィルタのポリフェーズ行列における各要素を離散フーリエ変換した多項式を要素にもつ２×２の行列Ｒ（ｋ）の（ｍ，ｎ）の要素を、ｒ（ｍ，ｎ），ｋ（０）＋ｒ（ｍ，ｎ），ｋ（１）ｚ−１（ｍ＝０，１）の形で表すと、
ρｋ＝２ｃｏｓ（πｋ／Ｍ）としたとき、
【数８】
2004362474.tif 000056
で定義される行列Ｒ（ｋ）と、
【数９】
2004362474.tif 000057
で定義される行列Ｃｋとを用いて、
【数１０】
2004362474.tif 000058
なる演算を行い、
ｋ＝０のときＱ［ｋ］＝［ｑ０（０）  ｑ０（１）  ｑＭ／２（０）  ｑＭ／２（１）］Ｔ、
ｋ＝１，２，…，Ｍ／２−１のときＱ［ｋ］＝［ｑｋ（０）  ｑｋ（１）  ｑＭ−ｋ（０）  ｑＭ−ｋ（１）］Ｔ
としたとき、
Ｑ（ｋ）＝ｑｋ（０）＋ｑｋ（１）ｚ−１
となる長さＭの実数信号Ｑ（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｍ−１を出力する行列演算部を含むことを特徴とする合成フィルタバンク。
【請求項７】
少なくとも離散フーリエ変換が施された長さ２Ｍの信号Ｕ（ｋ），ｋ＝０，１，…，２Ｍ−１に対し、
長さＭの分析フィルタのポリフェーズ行列における各要素を離散フーリエ変換した多項式を要素にもつ２×２の行列をＥ（ｋ）とし、
【数１１】
2004362474.tif 000059
で定義される２×２の行列をＢｋとしたとき、
【数１２】
2004362474.tif 000060
なる演算を行い、長さＭの２つの信号Ｓ０（ｋ），Ｓ１（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｍ−１を算出する行列演算を含むことを特徴とする分析フィルタリング方法。
【請求項８】
少なくとも離散フーリエ変換が施された長さＭ／２の２つの信号Ｓ０（ｋ）およびＳ１（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｍ／２−１に対し、
長さＭ／２の合成フィルタのポリフェーズ行列における各要素を離散フーリエ変換した多項式を要素にもつ２×２の行列をＲ（ｋ）とし、
【数１３】
2004362474.tif 000061
で定義される２×２の行列をＡｋとしたとき、
【数１４】
2004362474.tif 000062
なる演算を行い、長さＭの信号Ｑ（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｍ−１を算出する行列演算を含むことを特徴とする合成フィルタリング方法。
【請求項９】
少なくとも離散フーリエ変換が施された長さ２Ｍの実数信号Ｕ（ｋ），ｋ＝０，１，…，２Ｍ−１を、
Ｕ（ｋ）＝ｕｋ（０）＋ｕｋ（１）ｚ−１  （ｍ＝０，１）
なる形で表したとき
ｋ＝０のときＵ［ｋ］＝［ｕ０（０）  ｕ０（１）  ｕＭ（０）  ｕＭ（１）］Ｔ、
ｋ＝１，２，…，Ｍ−１のときＵ［ｋ］＝［ｕｋ（０）  ｕｋ（１）  ｕ２Ｍ−ｋ（０）  ｕ２Ｍ−ｋ（１）］Ｔ
で定義される行列Ｕ［ｋ］（ｋ＝０，１，…，Ｍ−１）に対し、
長さＭの合成フィルタのポリフェーズ行列における各要素に離散フーリエ変換を施した多項式を要素にもつ２×２の行列Ｅ（ｋ）の（ｍ，ｎ）の要素を、ｅ（ｍ，ｎ），ｋ（０）＋ｅ（ｍ，ｎ），ｋ（１）ｚ−１（ｍ，ｎ＝０，１）の形で表すと、
ρｋ＝２ｃｏｓ（πｋ／Ｍ）として、
【数１５】
2004362474.tif 000063
で定義される行列Ｅ（ｋ）と、
【数１６】
2004362474.tif 000064
で定義される行列Ｄｋとを用いて、
【数１７】
2004362474.tif 000065
なる演算を行い、Ｓ（ｋ）の各要素を
Ｓ（ｋ）＝［ｓ０，ｋ（０）  ｓ０，ｋ（１）  ｓ１，ｋ（０）  ｓ１，ｋ（１）］Ｔ
としたとき、
Ｓｍ（ｋ）＝ｓｍ，ｋ（０）＋ｓｍ，ｋ（１）ｚ−１  （ｍ＝０，１）
となる長さＭの２つの信号Ｓ０（ｋ），Ｓ１（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｍ−１を算出する行列演算を含むことを特徴とする分析フィルタリング方法。
【請求項１０】
少なくとも離散フーリエ変換が施された長さＭ／２の２つの実数信号Ｓ０（ｋ）およびＳ１（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｍ／２−１を、
Ｓｍ（ｋ）＝ｓｍ，ｋ（０）＋ｓｍ，ｋ（１）ｚ−１  （ｍ＝０，１）
なる形で表したとき
Ｓ（ｋ）＝［ｓ０，ｋ（０）  ｓ０，ｋ（１）  ｓ１，ｋ（０）  ｓ１，ｋ（１）］Ｔ
で定義される行列Ｓ［ｋ］に対し、
長さＭ／２の合成フィルタのポリフェーズ行列における各要素を離散フーリエ変換した多項式を要素にもつ２×２の行列Ｒ（ｋ）の（ｍ，ｎ）の要素を、ｒ（ｍ，ｎ），ｋ（０）＋ｒ（ｍ，ｎ），ｋ（１）ｚ−１（ｍ＝０，１）の形で表すと、
ρｋ＝２ｃｏｓ（πｋ／Ｍ）としたとき、
【数１８】
2004362474.tif 000066
で定義される行列Ｒ（ｋ）と、
【数１９】
2004362474.tif 000067
で定義される行列Ｃｋとを用いて、
【数２０】
2004362474.tif 000068
なる演算を行い、
ｋ＝０のときＱ［ｋ］＝［ｑ０（０）  ｑ０（１）  ｑＭ／２（０）  ｑＭ／２（１）］Ｔ、
ｋ＝１，２，…，Ｍ／２−１のときＱ［ｋ］＝［ｑｋ（０）  ｑｋ（１）  ｑＭ−ｋ（０）  ｑＭ−ｋ（１）］Ｔ
としたとき、
Ｑ（ｋ）＝ｑｋ（０）＋ｑｋ（１）ｚ−１
となる長さＭの実数信号Ｑ（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｍ−１を算出する行列演算を含むことを特徴とする合成フィルタリング方法。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は信号の符号化などに用いられるフィルタバンクに関し、特にサブバンド符号化におけるツリー構造フィルタバンクを用いた離散ウェーブレット変換に関する。
【０００２】
【従来の技術】
フィルタバンクは音声信号や画像信号の符号化や圧縮に利用される。サブバンド符号化における分析フィルタバンクでは、入力信号を周波数帯域によって分割し、サブバンド信号として出力する。一方、合成フィルタバンクではサブバンド信号を合成し、元の信号を再構成する。サブバンド符号化に用いられるフィルタバンクは、使用目的に応じて周波数帯域ごとの信号処理が可能となる点に優位性がある。特にサブバンド符号化において一般的に用いられるツリー構造フィルタバンクでは、離散ウェーブレット変換が導入されてきた。離散ウェーブレット変換は、一般的な画像信号などで重要となる低周波数帯において優れた周波数分解能を有するため、効率的に高品質の符号化を行うことができる。フィルタバンクを効率的に実現するためには、これまで多くの研究がおこなわれてきた。そのひとつとして、発明者はフィルタバンクを高速フーリエ変換プロセッサと行列の乗算の並列処理で実現する、並列モジュール実現方式を提案した（特許文献１参照）。
【０００３】
合成フィルタバンクによって再構成された信号が、単に分析フィルタバンクへの入力信号に対して遅延のみを有する理想的なフィルタバンクを、完全再構成フィルタバンクと呼ぶ。完全再構成となる条件については数多くの解析結果が得られている。そのうち例えばポリフェーズ行列を用いた解析では、一般的なＦＩＲフィルタバンクは、ｄを自然数、ｃを非ゼロ定数としたとき、ポリフェーズ行列の行列式がｃｚ−ｄの場合のみ、完全再構成となることが導出されている。
【０００４】
【特許文献１】
特開２００１−１０２９３１号公報  （第２図）
【０００５】
【発明が解決しようとする課題】
ツリー構造フィルタバンクは信号の分割数が増すごとに計算コストが増大し、その設計も複雑になる。さらに完全再構成のフィルタバンクを実現するためには、一般に厳しい条件を満たす必要があり、これがフィルタバンクの設計をさらに困難なものにしている。
【０００６】
本発明は、このような状況に鑑みなされたものであり、その目的はツリー構造フィルタバンクを効率的に実現する方法を提供することにある。
【０００７】
また、本発明の別の目的は、完全再構成特性を有するフィルタバンクを、容易に設計する方法を提供することにある。
【０００８】
【課題を解決するための手段】
本発明は、上記課題を解決するためのもので、完全再構成条件を緩和できるツリー構造フィルタバンクにおいて、分析および合成の各段階に要する工程を、行列演算を用いて平易化するものである。
【０００９】
本発明のある態様は、分析フィルタバンクに関する。このフィルタバンクは少なくとも離散フーリエ変換が施された長さ２Ｍの入力信号を所定の規則で行列化し、所定の行列演算を行うことにより長さＭの２つの信号を出力する行列演算部を含むことを特徴とする。
【００１０】
例えば、少なくとも離散フーリエ変換が施された長さ２Ｍの入力信号Ｕ（ｋ），ｋ＝０，１，…，２Ｍ−１に対し、長さＭの分析フィルタのポリフェーズ行列における各要素を離散フーリエ変換した多項式を要素にもつ２×２の行列をＥ（ｋ）とし、
【数２１】
2004362474.tif 000003
で定義される２×２の行列をＢｋとしたとき、
【数２２】
2004362474.tif 000004
なる演算を行い、長さＭの２つの信号Ｓ０（ｋ），Ｓ１（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｍ−１を出力する演算部を含んでもよい。
【００１１】
前記入力信号Ｕ（ｋ）は、離散フーリエ変換後、前記演算部へ入力される前に所定の処理がなされていてもよい。具体的には、前記演算部を縦列接続し、前記演算部の出力信号の一方を、次に接続された前記演算部の入力信号としてもよいし、Ｅ（ｋ）のみを乗じる演算を施した後に前記演算部へ入力してもよい。
【００１２】
さらに別の例として、少なくともＤＦＴが施された長さ２Ｍの実数入力信号Ｕ（ｋ），ｋ＝０，１，…，２Ｍ−１を、Ｕ（ｋ）＝ｕｋ（０）＋ｕｋ（１）ｚ−１  （ｍ＝０，１）なる形で表したとき、ｋ＝０のときＵ［ｋ］＝［ｕ０（０）ｕ０（１）  ｕＭ（０）  ｕＭ（１）］Ｔ、ｋ＝１，２，…，Ｍ−１のときＵ［ｋ］＝［ｕｋ（０）  ｕｋ（１）  ｕ２Ｍ−ｋ（０）  ｕ２Ｍ−ｋ（１）］Ｔで定義される行列Ｕ［ｋ］（ｋ＝０，１…，Ｍ−１）に対し、長さＭの合成フィルタのポリフェーズ行列における各要素を離散フーリエ変換した多項式を要素にもつ２×２の行列Ｅ（ｋ）の（ｍ，ｎ）の要素を、ｅ（ｍ，ｎ），ｋ（０）＋ｅ（ｍ，ｎ），ｋ（１）ｚ−１（ｍ＝０，１）の形で表すと、ρｋ＝２ｃｏｓ（πｋ／Ｍ）として、
【数２３】
2004362474.tif 000005
で定義される行列Ｅ（ｋ）と、
【数２４】
2004362474.tif 000006
で定義される行列Ｄｋとを用いて、
【数２５】
2004362474.tif 000007
なる演算を行い、Ｓ（ｋ）＝［ｓ０，ｋ（０）  ｓ０，ｋ（１）  ｓ１，ｋ（０）ｓ１，ｋ（１）］Ｔとしたとき、Ｓ（ｋ）の各要素をＳｍ（ｋ）＝ｓｍ，ｋ（０）＋ｓｍ，ｋ（１）ｚ−１  （ｍ＝０，１）となる長さＭの２つの信号Ｓ０（ｋ），Ｓ１（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｍ−１を出力する演算部を含んでもよい。
【００１３】
ここで上付きのＴは転置行列を表している。
【００１４】
本発明の別の態様は、合成フィルタバンクに関する。この合成フィルタバンクは、少なくとも離散フーリエ変換が施された長さＭ／２の２つの入力信号を所定の規則で行列化し、所定の行列演算を行うことにより長さＭの信号を出力する行列演算部を含むことを特徴とする。
【００１５】
例えば、少なくとも離散フーリエ変換が施された長さＭ／２の２つの入力信号Ｓ０（ｋ）およびＳ１（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｍ／２−１に対し、長さＭ／２の合成フィルタのポリフェーズ行列における各要素を離散フーリエ変換した多項式を要素にもつ２×２の行列をＲ（ｋ）とし、
【数２６】
2004362474.tif 000008
で定義される２×２の行列をＡｋとしたとき、
【数２７】
2004362474.tif 000009
なる演算を行い、長さＭの信号Ｑ（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｍ−１を出力する演算部を含んでもよい。
【００１６】
前記入力信号Ｓ０（ｋ）およびＳ１（ｋ）は、離散フーリエ変換がなされた後、前記演算部へ入力される前に所定の処理がなされていてもよい。具体的には、前記演算部を縦列接続し、前記演算部の出力信号を次に接続された前記演算部の入力信号の一方としてもよい。
【００１７】
また、別の例として、少なくとも離散フーリエ変換が施された長さＭ／２の２つの実数入力信号Ｓ０（ｋ）およびＳ１（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｍ／２−１を、Ｓｍ（ｋ）＝ｓｍ，ｋ（０）＋ｓｍ，ｋ（１）ｚ−１  （ｍ＝０，１）なる形で表したとき、Ｓ（ｋ）＝［ｓ０，ｋ（０）  ｓ０，ｋ（１）  ｓ１，ｋ（０）  ｓ１，ｋ（１）］Ｔで定義される行列Ｓ［ｋ］に対し、長さＭ／２の合成フィルタのポリフェーズ行列における各要素をＤＦＴが施された多項式を要素にもつ２×２の行列Ｒ（ｋ）の（ｍ，ｎ）の要素を、ｒ（ｍ，ｎ），ｋ（０）＋ｒ（ｍ，ｎ），ｋ（１）ｚ−１（ｍ＝０，１）の形で表すと、ρｋ＝２ｃｏｓ（πｋ／Ｍ）として、
【数２８】
2004362474.tif 000010
で定義される行列Ｒ（ｋ）と、
【数２９】
2004362474.tif 000011
で定義される行列Ｃｋとを用いて、
【数３０】
2004362474.tif 000012
なる演算を行い、Ｑ［ｋ］の各要素を、ｋ＝０のときＱ［ｋ］＝［ｑ０（０）  ｑ０（１）  ｑＭ／２（０）  ｑＭ／２（１）］Ｔ、ｋ＝１，２，…，Ｍ／２−１のときＱ［ｋ］＝［ｑｋ（０）  ｑｋ（１）  ｑＭ−ｋ（０）  ｑＭ−ｋ（１）］Ｔとしたとき、
Ｑ（ｋ）＝ｑｋ（０）＋ｑｋ（１）ｚ−１となる長さＭの実数信号Ｑ（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｍ−１を出力する演算部を含んでもよい。
なお、本発明の表現をフィルタリング方法やフィルタバンク設計方法などに変換したり、それらを任意に組合せたものもまた、本発明の態様として有効である。
【００１８】
【発明の実施の形態】
概要
初めに本発明に係る原理を概説する。［１］では本発明を適用するツリー構造巡回畳み込みフィルタバンクの基礎的な構成を示す。［２］では複素数での並列モジュール計算をベースに、本実施の形態に係るフィルタバンクの実現方式について説明する。［３］では実数での並列モジュール計算をベースに、本実施の形態に係るフィルタバンクの実現方式について説明する。［４］では本実施の形態に係るフィルタバンクの完全再構成条件を解析する。［５］ではＱＭＦバンクを用いた場合の完全再構成条件を解析し、標準的なフィルタ設計サブルーチンを用い、本実施の形態を利用した、線形位相ＦＩＲ  ＱＭＦバンクの設計について説明し、特性評価を行う。［６］では本実施の形態によるフィルタバンクの実現方式と、その他の実現方式について、計算上の複雑度を比較する。
【００１９】
［１］巡回畳み込みフィルタバンクを用いた基礎的ツリー構造
２チャネルフィルタバンクは２分割ツリー構造フィルタバンクの基礎となるビルディングブロックである。本実施の形態のツリー構造フィルタバンクは巡回畳み込みをフィルタとする。２チャネル分析巡回畳み込みフィルタバンク（以下、ＣＣＦＢとよぶ）を接続することによって、図１（ａ）に示す３段階ツリー構造の分析ＣＣＦＢが得られる。ここで入力信号の長さをＮとし、Ｎは２のべき乗と仮定する。図においてＮ／２ｔ−１−ＣＣ  Ｈｍ（ｔ）（ｚ），ｔ＝１，２，３およびｍ＝Ｌ，Ｈのブロックは、入力信号とフィルタＨｍ（ｔ）（ｚ）の、Ｎ／２ｔ−１ポイントの巡回畳み込み演算を示している。分析フィルタＨＬ（ｔ）（ｚ）およびＨＨ（ｔ）（ｚ）はそれぞれ、第ｔステージにおけるローパスフィルタおよびハイパスフィルタである。これに対して、３段階ツリー構造の合成ＣＣＦＢは図１（ｂ）で示される。
【００２０】
ツリー構造ＣＣＦＢは対称拡張法による画像符号化へ応用できる。簡単のため信号は１次元とする。入力信号をＮサンプルからなる連続したブロックに分割し、それぞれの入力信号のブロックに対してツリー構造ＣＣＦＢを実現する。対称拡張法ではまず、長さＮの入力信号ｘ（ｎ）を、０≦ｎ≦Ｎ−１においてはｘｅｘ（ｎ）＝ｘ（ｎ）、Ｎ≦ｎ≦２Ｎ−１においてはｘｅｘ（ｎ）＝ｘ（２Ｎ−ｎ−１）となる、長さ２Ｎの対称な信号ｘｅｘ（ｎ）に拡張する。次に拡張した信号を、巡回畳み込みを用いた２チャネル分析フィルタバンクへ送る。上記のように拡張した信号はｘｅｘ（０）＝ｘｅｘ（２Ｎ−１）を満たすため、符号化に際して境界の影響が生じない。拡張した信号は２Ｎ個のサンプルを有するが、対称であるためＮ個のサンプルで一意的に表すことができる。さらに線形位相フィルタを分析フィルタに用いれば、その出力信号は対称性が保たれる。対称拡張法のもうひとつの重要な利点として、直線畳み込みでなく巡回畳み込みを用いることにより、係数の増大が起きないことがある。入力信号とフィルタの直線畳み込みを行うと、フィルタの長さによって出力信号の長さが増加し、それにともない係数の増大が生じる。
【００２１】
［２］  ツリー構造ＣＣＦＢの複素数演算処理
本章ではまず、ツリー構造ＣＣＦＢを効率的に実現するための基礎として、複素数での並列モジュール処理の方法について説明する。Ａ（ｚ）を長さＭの信号のｚ変換とすると、信号の離散フーリエ変換（以下、これをＤＦＴとよぶ）は、Ａ（ｋ）＝Ａ（ｅｊ２πｋ／Ｍ），ｋ＝０，１，…，Ｍ−１で与えられ、これはＡ（ｚ）においてｚにｅｊ２πｋ／Ｍを代入した値である。次に、多項式Ψを次式で定義する。
【数３１】
2004362474.tif 000013
これらの多項式は次式を満足させる。
【数３２】
2004362474.tif 000014
ここで、ｎがＭの倍数のときδＭ（ｎ）＝１、その他のときはδＭ（ｎ）＝０である。多項式Ψを用いて、離散逆フーリエ変換（以下、これをＩＤＦＴとよぶ）は
【数３３】
2004362474.tif 000015
と表すことができる。今後、ＩＤＦＴをこの形のｚ変換で表すものとする。
【００２２】
まず合成部について述べる。第ｔステージの合成バンクにおいて、長さＮ／２ｔ−１の合成フィルタＦＬ（ｔ）（ｚ）およびＦＨ（ｔ）（ｚ）は次のようなポリフェーズ分解で表される。
【数３４】
2004362474.tif 000016
合成ポリフェーズ行列は
【数３５】
2004362474.tif 000017
で与えられ、複素数モジュール合成ポリフェーズ行列は
【数３６】
2004362474.tif 000018
で与えられる。ここでモジュール合成ポリフェーズ行列の各要素はそれぞれ、Ｒ（ｔ）において対応する要素のＮ／２ｔポイントのＤＦＴである。複素数での並列モジュール処理を、第（ｔ＋１）ステージと第ｔステージのＣＣＦＢの縦列における２チャネルＣＣＦＢのそれぞれに施すと、図２に示す構成となる。
【００２３】
まず、図２において両方向矢印（Ａ）で示された演算について述べる。図中の信号Ｑ（ｚ）は、Ｐ０（ｋ）及びＰｌ（ｋ）に対するＮ／２ｔ＋１ポイントのＩＤＦＴおよび、それらのポリフェーズ構成をとり、次のように与えられる。
【数３７】
2004362474.tif 000019
（２）式を用いて、Ｑ（ｚ）のＮ／２ｔポイントのＤＦＴは次式で与えられる。
【数３８】
2004362474.tif 000020
結果的には、行列の形で次のように表すことができる。
【数３９】
2004362474.tif 000021
ここで
【数４０】
2004362474.tif 000022
である。演算（Ａ）における２回のＮ／２ｔ＋１ポイントのＩＤＦＴと１回のＮ／２ｔポイントのＤＦＴは、Ｎ／２ｔ＋１回の簡単な２×２行列の乗算となり、計算上の複雑度が軽減される。
【００２４】
行列Ａｋ（ｔ）および行列Ｒ（ｔ＋１）（ｋ）を予め乗じておくことにより、図２の縦列システムの複素数演算はさらに簡単になる。上記の手法を図１（ｂ）の３段階ツリー構造ＣＣＦＢの合成部にあてはめると、図３の処理となる。同図においてＡｋ（ｔ）Ｒ（ｔ＋１）（ｋ），ｔ＝１，２のブロックは、行列の乗算に加え、式（９）に基づいて信号を並べる処理を含んでいる。
【００２５】
次に分析部について述べる。並列モジュール処理を適用するため、分析フィルタＨＬ（ｔ）（ｚ）およびＨＨ（ｔ）（ｚ）をポリフェーズ分解で表す。
【数４１】
2004362474.tif 000023
分析ポリフェーズ行列および複素数モジュール分析ポリフェーズ行列は次のように定義される。
【数４２】
2004362474.tif 000024
【数４３】
2004362474.tif 000025
Ｅ（ｔ）（ｋ）の各要素は、Ｅ（ｔ）において対応する要素のＮ／２ｔポイントのＤＦＴである。複素数での並列モジュール処理を、分析部の第ｔステージと第ｔ＋１ステージのＣＣＦＢの縦列における、２チャネル分析ＣＣＦＢのそれぞれに施すと、図４の処理となる。
【００２６】
図２の演算（Ａ）と図４の演算（Ｂ）を比較すると、演算（Ｂ）は単に演算（Ａ）の逆に他ならない。即ち、演算（Ｂ）の入力信号と出力信号の関係は次のように表される。
【数４４】
2004362474.tif 000026
ここで、行列Ｂｋ（ｔ）はＡｋ（ｔ）の逆行列である。
【数４５】
2004362474.tif 000027
合成の場合と同様、行列Ｂｋ（ｔ）の乗算とＥ（ｔ＋１）（ｋ）の乗算は、行列Ｅ（ｔ＋１）（ｋ）Ｂｋ（ｔ）の１回の乗算にまとめることができる。上記の手法を図１（ａ）に示したシステムの２チャネル分析ＣＣＦＢのそれぞれにあてはめると、分析部は図５に示すシステムによって実現される。
【００２７】
［３］  ツリー構造ＣＣＦＢの実数演算処理
実際のアプリケーションでは信号が実数であることが多いため、実数演算のみを用いた実現方式の模索は重要である。実数のシステムにおいて計算上の複雑度を下げる手順は、複素数の場合のアプローチと同様である。
【００２８】
始めに、実数値での並列モジュール処理の方法について説明する。多項式φおよび多項式ψを次のように定義する。
【数４６】
2004362474.tif 000028
【数４７】
2004362474.tif 000029
多項式φと多項式ψは次の合同式を満足する。
【数４８】
2004362474.tif 000030
長さＭの信号Ａ（ｚ）に対する、Ｍポイントの実数値化離散フーリエ変換（以下、ＲＤＦＴとよぶ）は次式で定義される。
【数４９】
2004362474.tif 000031
角括弧は、ＤＦＴを実数値化したことを示している。信号Ａ（ｚ）が実数の場合、ＲＤＦＴはｚ−１が１以下において実数の多項式となる。実数値化離散逆フーリエ変換（以下、ＩＲＤＦＴとよぶ）は次のように与えられる。
【数５０】
2004362474.tif 000032
Ｍが２のべき乗のとき、ＲＤＦＴとＩＲＤＦＴは高速フーリエ変換（以下、ＦＦＴとよぶ）型のアルゴリズムを用いることにより効率的に計算することができる。また実数のみの計算であるため、上述のアルゴリズムはＦＦＴアルゴリズムよりさらに効率的である。
【００２９】
実数での並列モジュールの実行を、合成部の第ｔ＋１ステージと第ｔステージのＣＣＦＢの縦列において、２チャネルＣＣＢＦＢに適用すると、図６の実現方式を得る。Ｒ（ｔ）［ｋ］の各要素は、合成ポリフェーズ行列Ｒ（ｔ）において対応する要素の、Ｎ／２ｔポイントのＲＤＦＴである。図６において、両方向矢印（Ｃ）で示された演算に対する入力信号は、Ｐｍ［ｋ］＝ｐｍ，ｋ（０）＋ｐｍ，ｋ（１）ｚ−１，ｍ＝０，１で表される。これらの入力信号に対し、Ｎ／２ｔ＋１ポイントのＩＲＤＦＴを取得し、それらのポリフェーズ構成をとると、信号Ｑ（ｚ）は次式で与えられる。
【数５１】
2004362474.tif 000033
ここでＰ［ｋ］＝［ｐ０，ｋ（０）  ｐ０，ｋ（１）  ｐ１，ｋ（０）  ｐ１，ｋ（１）］Ｔとすると、Ｐ［ｋ］＝［１  ｚ−２  ｚ−１  ｚ−３］Ｐ［ｋ］である。上付きのＴは行列の転置を示す。
【００３０】
表記を簡便にするため、この章では今後、Ｎ／２ｔ＋１をＭと表す。式（１８）を用いると、合同式Ｑ（ｚ）≡Ｐ［ｋ］ｍｏｄ（φｋ／Ｍ（ｚ２）），ｋ＝０，１，…，Ｍ／２−１を得る。演算（Ｃ）の出力信号は、Ｑ［ｋ］≡Ｑ（ｚ）ｍｏｄ（φｋ／２Ｍ（ｚ）），ｋ＝０，１，…，Ｍ−１である。さらにφ０（ｚ２）＝φ０（ｚ）φ１／４（ｚ）であるから、出力信号はＱ［０］≡Ｐ［０］ｍｏｄ（φ０（ｚ））、Ｑ［Ｍ／２］≡Ｐ［０］ｍｏｄ（φ１／４（ｚ））である。また、φＫ／Ｍ（ｚ２）＝φＫ／２Ｍ（ｚ）φ（Ｍ−ｋ）／２Ｍ（ｚ）であるから、ｋ＝１，２，…，Ｍ／２−１においてはＱ［ｋ］≡Ｐ［ｋ］ｍｏｄ（φｋ／２Ｍ（ｚ））、Ｑ［Ｍ−ｋ］≡Ｐ［ｋ］ｍｏｄ（φ（Ｍ−ｋ）／２Ｍ（ｚ））である。これらの合同式を次のような４×４実数行列の乗算の形で表すことができる。
【数５２】
2004362474.tif 000034
ここで、ｋ＝０のときＱ［ｋ］＝［ｑ０（０）  ｑ０（１）  ｑＭ／２（０）  ｑＭ／２（１）］Ｔ、ｋ＝１，２，…，Ｍ／２−１のときＱ［ｋ］＝［ｑｋ（０）  ｑｋ（１）  ｑＭ−ｋ（０）  ｑＭ−ｋ（１）］Ｔである。
【００３１】
４×４の実数行列Ｃｋ（ｔ）は次のように定まる。まず合同式ｚ−２≡１ｍｏｄ（φ０（ｚ））、ｚ−２≡−１ｍｏｄ（φ１／４（ｚ））であり、ｋ＝１，２，…，Ｍ／２−１においてｚ−２≡−１＋ρｋ（ｔ）ｚ−１ｍｏｄ（φｋ／２Ｍ（ｚ））、ｚ−３≡−ρｋ（ｔ）＋（１＋ρ２ｋ（ｔ））ｚ−１ｍｏｄ（φｋ／２Ｍ（ｚ））、ｚ−２≡−１−ρｋ（ｔ）ｚ−１ｍｏｄ（φ（Ｍ−ｋ）／２Ｍ（ｚ））、ｚ−３≡ρｋ（ｔ）＋（１＋ρ２ｋ（ｔ））ｚ−１ｍｏｄ（φ（Ｍ−ｋ）／２Ｍ（ｚ））である。ここで、
【数５３】
2004362474.tif 000035
である。
Ｐ［ｋ］＝ｐ０，ｋ（０）＋ｐ０，ｋ（１）ｚ−２＋ｐ１，ｋ（０）ｚ−１＋ｐ１，ｋ（１）ｚ−３であるから、行列Ｃｋ（ｔ）は次のように与えられる。
【数５４】
2004362474.tif 000036
【００３２】
図６においてｍｏｄ（φｋ／Ｍ（ｚ））にＲ（ｔ＋１）［ｋ］を乗じる行列演算を、実数の４×４行列の乗算に変換して、Ｃｋ（ｔ）と同時に乗ずるようにする。まず、（ａ（０）＋ａ（１）ｚ−１）（ｂ（０）＋ｂ（１）ｚ−１）≡ａ（０）ｂ（０）＋ａ（１）ｂ（１）＋｛ａ（０）ｂ（１）＋ａ（１）ｂ（０）｝ｚ−１ｍｏｄ（φ０（ｚ））であり、ｋ＝１，２，…，Ｍ／２−１においては、（ａ（０）＋ａ（１）ｚ−１）（ｂ（０）＋ｂ（１）ｚ−１）≡ａ（０）ｂ（０）−ａ（１）ｂ（１）＋｛ａ（０）ｂ（１）＋ａ（１）ｂ（０）＋ρ２ｋ（ｔ）ａ（１）ｂ（１）｝ｚ−１ｍｏｄ（φｋ／Ｍ（ｚ））である。モジュール合成ポリフェーズ行列Ｒ（ｔ＋１）［ｋ］の（ｍ，ｎ）の要素を、ｍ，ｎ＝０，１に対してｒ（ｍ，ｎ），ｋ（ｔ＋１）（０）＋ｒ（ｍ，ｎ），ｋ（ｔ＋１）（１）ｚ−１，の形で表すと、ｍｏｄ（φｋ／Ｍ（ｚ））にＲ（ｔ＋１）［ｋ］を乗じる行列演算は、Ｐ［ｋ］＝Ｒ（ｔ＋１）［ｋ］Ｓ［ｋ］で表される。ここでＳ［ｋ］＝［ｓ０，ｋ（０）  ｓ０，ｋ（１）  ｓ１，ｋ（０）  ｓ１，ｋ（１）］Ｔであり、
【数５５】
2004362474.tif 000037
である。Ｒ（ｔ＋１）［ｋ］およびＣｋ（ｔ）を乗ずる演算を結合させることによって複雑度を低減した、３段階ツリー構造ＣＣＦＢの合成部を図７に示す。図中、Ｃｋ（ｔ）Ｒ（ｔ＋１）［ｋ］のブロックには、行列の乗算および式（２２）に基づいて入力信号および出力信号を並べる処理が含まれている。
【００３３】
分析部の第ｔステージと第ｔ＋１ステージのＣＣＦＢの縦列における、実数値並列モジュールの処理構成を図８に示す。Ｅ（ｔ）［ｋ］の各要素は、Ｅ（ｔ）において対応する要素の、Ｎ／２ｔポイントのＲＤＦＴである。図８の演算（Ｄ）は、図６の演算（Ｃ）の逆である。従って、ＱｋおよびＰｋの場合と同様に、入力信号をＵｋ、出力信号をＶｋと表すと、演算（Ｄ）は、Ｄｋ（ｔ）をＣｋ（ｔ）の逆行列として、Ｖｋ＝Ｄｋ（ｔ）Ｕｋで与えられる。合成の場合と同様、ｍｏｄ（φｋ／Ｍ（ｚ））にＥ（ｔ＋１）［ｋ］を乗ずる演算は、式（２５）および式（２６）と同様にして４×４の実数行列Ｅ（ｔ＋１）［ｋ］に変換できる。行列の乗算を結合させたＥ（ｔ＋１）［ｋ］Ｄｋ（ｔ）を導入することにより、複雑度を低減させた３段階ツリー構造ＣＣＢＦＢの分析部は、図９に示すような実現方式となる。
【００３４】
［２］、［３］で導出した、複雑度の低減手法は、３段階以上のツリー構造ＣＣＦＢへ容易に拡張できる。
【００３５】
［４］  ２チャネルＣＣＦＢのＰＲ条件
合成フィルタバンクによって再構成された信号が、単に分析フィルタバンクへの入力信号に対して遅延のみを有する場合、フィルタバンクは完全再構成（以下、ＰＲとよぶ）フィルタバンクと呼ばれる。ＰＲ条件は、主にエイリアス成分行列またはポリフェーズ行列を用いて解析されるが、タイムドメイン解析が有効な場合もある。ポリフェーズ行列解析によれば、分析ポリフェーズ行列の行列式が純粋な遅延の場合、すなわち、ｄを自然数、ｃを非ゼロ定数としたとき、ｄｅｔ（Ｅ）＝ｃｚ−ｄである場合にのみＰＲのＦＩＲフィルタバンクが存在する。
【００３６】
線形位相２チャネルフィルタバンクの場合、ＦＩＲがＰＲとなるためには、分析フィルタが奇数次で逆対称もしくは偶数次で対称となる必要がある。これに基づき、２チャネルＰＲ線形位相ＦＩＲフィルタバンクの設計手法がいくつか提案されている。準完全再構成と見なされる別のアプローチでは、ＰＲの拘束条件を緩和するために再構成時のわずかな誤りを許容し、誤りの度合いを表すことによって、設計上の問題を最適化の問題として明確化している。準完全再構成においては、個々のアプリケーションに要する周波数応答を満足させるために、まず分析フィルタバンクを設計し、次に合成フィルタバンクを設計することにより、再構成時の誤りを最小にできることも示された。
【００３７】
２チャネルの分析ＣＣＦＢ及び合成ＣＣＦＢの組合せが、全てのステージにおいてＰＲであるとき、ツリー構造システムはＰＲである。本章および次章では、式（５）および式（１２）によってそれぞれ定義される、合成ポリフェーズ行列Ｒ（ｔ）および分析ポリフェーズ行列Ｅ（ｔ）を用いて、第ｔステージにおける２チャネルＣＣＦＢのＰＲ条件を解析する。故にＥ（ｔ）およびＲ（ｔ）の入力は長さＮ／２ｔの信号である。２チャネルＣＣＦＢがＰＲであるためには、対応する複素数モジュールポリフェーズ行列が次のような関係を満たさなければならない。
【数５６】
2004362474.tif 000038
ここでＩは２×２の単位行列である。従って、ＰＲ合成モジュールポリフェーズ行列Ｒ（ｔ）（ｋ）は、Ｅ（ｔ）（ｋ）を正則行列としたときＲ（ｔ）（ｋ）＝Ｅ（ｔ）（ｋ）−１で与えられる。Ｅ（ｔ）（ｋ）はスカラーの要素をもつ２×２の行列であるから、その逆行列は容易に得られる。ＰＲ条件を満たす合成ポリフェーズ行列Ｒ（ｔ）は、Ｅ（ｔ）（ｋ）−１の各要素のＮ／２ｔポイントのＩＤＦＴをとることによって得られ、実数値のＰＲシステムの構築は、Ｒ（ｔ）を用いて実現できる。各ステージにおいて式（２７）のＰＲ条件に合致するようにフィルタを設計すれば、全ツリー構造ＣＣＦＢはＰＲシステムを構成する。
【００３８】
ポリフェーズ行列Ｅ（ｔ）に対する行列式として次に定義される多項式Ｄ（ｔ）（ｚ）を導入する。
【数５７】
2004362474.tif 000039
Ｄ（ｔ）（ｚ）のＮ／２ｔポイントのＤＦＴとして、Ｄ（ｔ）（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｎ／２ｔ−１を定義する。すると上式より、
【数５８】
2004362474.tif 000040
となる。多項式剰余算上でＤ（ｔ）（ｚ）の逆数が存在すればＣＣＦＢはＰＲとなる。式（１３）からわかるように、Ｄ（ｔ）（ｋ）はＥ（ｔ）（ｋ）の行列式であるから、ｋ＝０，１，…，Ｎ／２ｔ−１においてＤ（ｔ）（ｋ）が非ゼロのときのみ、ＣＣＦＢはＰＲである。このとき、Ｄ（ｔ）（ｚ）の逆数は常に有限長である。一方、通常の多項式演算では、ＦＩＲフィルタバンクのＰＲ条件である、多項式がｃｚ−ｄの形をなすときを除き、Ｄ（ｔ）（ｚ）の逆数は無限長である。この違いにより、通常のＦＩＲの場合と比較してＣＣＦＢのＰＲ条件はより緩和されたものとなる。Ｄ（ｔ）（ｚ）がｃｚ−ｄの形をとるときは、そのＤＦＴ値Ｄ（ｔ）（ｋ）は必ず非ゼロ値をとることは明らかである。
【００３９】
式（１１）で定義される、Ｈ（ｔ）ｍ（ｚ）とポリフェーズ成分Ｈ（ｔ）ｍ０（ｚ）およびＨ（ｔ）ｍ１（ｚ）の関係を用いると、Ｎ／２ｔ−１ポイントのＤＦＴであるＨ（ｔ）ｍ（ｋ）は、ポリフェーズ成分Ｈ（ｔ）ｍ０（ｚ）およびＨ（ｔ）ｍ１（ｚ）のＮ／２ｔポイントのＤＦＴと、次のような関係にある。
【数５９】
2004362474.tif 000041
ここで、ｍ＝Ｌ，Ｈであり、ｋ＝０，１，…，Ｎ／２ｔ−１である。これらの連立方程式をＨ（ｔ）ｍ０（ｋ）およびＨ（ｔ）ｍ１（ｋ）について解き、それらの解を式（２９）に代入する。さらに実数値の分析フィルタにおけるＨ（ｔ）ｍ（Ｎ／２ｔ＋ｋ）＝Ｈ（ｔ）ｍ（Ｎ／２ｔ−ｋ）＊なる関係を用い、これが真であれば
【数６０】
2004362474.tif 000042
を得る。ここでｋ＝０，１，…，Ｎ／２ｔ−１である。上付きの＊は複素共役を意味する。ｋ＝０，１，…，Ｎ／２ｔ＋１のときＤ（ｔ）（Ｎ／２ｔ−ｋ）＝Ｄ（ｔ）（ｋ）＊であるから、実数値の分析フィルタにおいては、Ｄ（ｔ）（ｋ）≠０，ｋ＝０，１，…，Ｎ／２ｔ＋１のときのみＰＲ条件が満たされる。
【００４０】
分析フィルタＨＬ（ｔ）（ｚ）及びＨＨ（ｔ）（ｚ）が、ｋ＝０，１，…，Ｎ／２ｔ＋１−１のとき｜ＨＬ（ｔ）（ｋ）｜＞｜ＨＨ（ｔ）（ｋ）｜、｜ＨＨ（ｔ）（Ｎ／２ｔ−ｋ）｜＞｜ＨＬ（ｔ）（Ｎ／２ｔ−ｋ）｜であるように設計されたとする。そのとき、｜ＨＬ（ｔ）（ｋ）ＨＨ（ｔ）（Ｎ／２ｔ−ｋ）＊｜＞｜ＨＬ（ｔ）（Ｎ／２ｔ−ｋ）＊ＨＨ（ｔ）（ｋ）｜であるから、ｋ＝Ｎ／２ｔ＋１のときを除き全てのＤ（ｔ）（ｋ）は非ゼロ値であることが保障される。ｋ＝Ｎ／２ｔ＋１のときは、その行列式が次のように与えられる。
【数６１】
2004362474.tif 000043
ここでＩｍ｛ｘ｝はｘの虚数部分である。実際のケースではほとんど、Ｄ（ｔ）（Ｎ／２ｔ＋１）の場合のみに注意すればよい。ＨＬ（ｔ）（Ｎ／２ｔ＋１）またはＨＨ（ｔ）（Ｎ／２ｔ＋１）の一方が０でなければ、ＨＬ（ｔ）（ｚ）またはＨＨ（ｔ）（ｚ）のどちらかをシフトさせることによりＤ（ｔ）（Ｎ／２ｔ＋１）を容易に０以外にすることができる。時間をシフトさせてもフィルタの振幅応答は変化しない。
【００４１】
［５］  ＱＭＦ  ＣＣＦＢ
直交ミラーフィルタ（ＱＭＦ）バンクは分析フィルタがＨＨ（ｚ）＝ＨＬ（−ｚ）なる関係を有する２チャネルフィルタバンクであり、ＨＬ（ｚ）が良好なローパスフィルタであれば、ＨＨ（ｚ）は良好なハイパスフィルタであることが保障される。ＱＭＦバンクは、ローパスフィルタＨＬ（ｚ）のみを設計すればよいことから重要性を有し、ポリフェーズ構造を用いることによって効率的な実現が可能である。しかしＨＬ（ｚ）がＦＩＲに限定される場合、ＰＲ条件のために、プロトタイプフィルタＨＬ（ｚ）のポリフェーズ成分はＨＬ０（ｚ）＝ｃ０ｚ−ｎおよびＨＬ１（ｚ）＝ｃ１ｚ−ｍの形をとる必要がある。ここでｎおよびｍは自然数、ｃ０およびｃ１は非ゼロ定数である。この拘束条件は、フィルタに良好なストップバンド減衰がないことを意味する。
【００４２】
第ｔステージの分析フィルタにおいて、ＨＨ（ｔ）（ｚ）＝ＨＬ（ｔ）（−ｚ）のとき、分析フィルタＨＨ（ｔ）（ｚ）は、ＨＬ（ｔ）（ｚ）のポリフェーズ成分と次の関係にある。
【数６２】
2004362474.tif 000044
このとき分析ポリフェーズ行列は次のように与えられる。
【数６３】
2004362474.tif 000045
Ｅ（ｔ）の行列式Ｄ（ｔ）（ｚ）は
【数６４】
2004362474.tif 000046
である。前章で述べたとおり、行列式のＤＦＴ値Ｄ（ｔ）（ｋ）がｋ＝０，１，…，Ｎ／２ｔ＋１において非ゼロのときのみ、２チャネルＣＣＦＢはＰＲである。通常のＱＭＦバンクにおける必要条件と同様に、Ｈ（ｔ）Ｌ０（ｚ）＝ｃ０ｚ−ｎ、Ｈ（ｔ）Ｌ１（ｚ）＝ｃ１ｚ−ｍのときは、Ｄ（ｔ）（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｎ／２ｔ＋１は非ゼロ値であり、ＣＣＦＢはＰＲとなる。
【００４３】
通常のＱＭＦバンクと比較して、ＣＣＦＢのＰＲの拘束条件はより緩和されたものとなる。ＨＨ（ｔ）（ｚ）＝ＨＬ（ｔ）（−ｚ）なる関係を用いて、行列式のＤＦＴ値は次式で与えられる。
【数６５】
2004362474.tif 000047
式（３１）の後で述べたように、Ｄ（ｔ）（ｋ）がｋ＝０，１，…，Ｎ／２ｔ＋１において非ゼロ値のときのみＰＲ条件を満足する。プロトタイプ分析フィルタＨＬ（ｔ）（ｚ）が、｜ＨＬ（ｔ）（ｋ）｜＞｜ＨＬ（ｔ）（Ｎ／２ｔ−ｋ）｜，ｋ＝０，１，…，Ｎ／２ｔ＋１−１を満たすローパスフィルタのとき、そのようなｋにたいして｜ＨＬ（ｔ）（ｋ）｜２＞｜ＨＬ（ｔ）（Ｎ／２ｔ−ｋ）＊｜２であるから、（ＨＬ（ｔ）（ｋ））２≠（ＨＬ（ｔ）（Ｎ／２ｔ−ｋ）＊）２となる。従ってｋ＝０，１，…，Ｎ／２ｔ＋１−１においてＤ（ｔ）（ｋ）は非ゼロ値である。臨界点となるのはｋ＝Ｎ／２ｔ＋１のときであり、このときの行列式は次式で与えられる。
【数６６】
2004362474.tif 000048
この式から、ＤＦＴ値ＨＬ（ｔ）（Ｎ／２ｔ＋１）の実数部、虚数部の双方が非ゼロ値のときに限り、Ｄ（ｔ）（Ｎ／２ｔ＋１）は非ゼロ値になることがわかる。
【００４４】
各ステージのローパスフィルタは、ツリー構造システム全体がＰＲとなるように設計する必要がある。さらにフィルタの設計にあたっては、｜Ｄ（ｔ）（Ｎ／２ｔ＋１）｜の値が小さくならないように注意を払わなければならない。値が小さくなることによって、合成フィルタ係数が増大するとともに、合成部におけるノイズ増幅をもたらす。
【００４５】
導入例：第ｔステージにおけるフィルタ長をＮ／２ｔ＋１とする。導入例として、長さ３２のローパス線形位相フィルタを、ＰＲの制限を課さない標準的なｒｅｍｅｚ交換法を用いて設計した。図１０はフィルタのインパルス応答を、図１１はそのＤＦＴを示している。図１１より、ｋ＝０，１，…，７において｜ＨＬ（ｋ）｜＞｜ＨＬ（１６−ｋ）｜であり、ＨＬ（８）の実数部および虚数部は非ゼロであることがわかる。従って、このフィルタはＰＲ条件を満たしている。フィルタの振幅応答を図１２に示す。
【００４６】
［６］  本実施の形態の評価
ＤＦＴドメイン構造図はフィルタが巡回畳み込みをなすフィルタバンクに適しているため、本章ではまずツリー構造システムにおけるＤＦＴドメイン構造図を導出し、次に、ツリー構造の構成がもたらす問題点について述べる。本章の後半では、本実現方式の計算上の複雑度にいついて評価する。
【００４７】
ツリー構造の構成中、２チャネルＣＣＦＢを縦列にすると、図１２に示すような周波数応答は、システム全体の周波数応答を直接反映することはない。ここで図１３（ａ）に示すプロセスについて考える。長さＭの入力信号Ｘ（ｚ）はまず、１／２ダウンサンプラを通過し、ダウンサンプラの出力信号および長さＭ／２のフィルタＨ（ｚ）についてのＭ／２ポイント巡回畳み込みから出力Ｙ（ｚ）が得られる。このプロセスは、図１３（ｂ）に示すように、入力信号Ｘ（ｚ）およびＨ（ｚ２）のＭポイントの巡回畳み込みの後に１／２ダウンサンプラを通過するシステムと等しいことは、容易に理解できる。ＤＦＴドメインにおける実現手順は、図１３（ｃ）のように表すことができる。同図で、（ｋ）Ｍ／２≡ｋ  ｍｏｄ（Ｍ／２）であり、Ｈ（ｋ）はフィルタＨ（ｚ）のＭ／２ポイントのＤＦＴである。ＭポイントのＤＦＴ、Ｈ（（ｋ）Ｍ／２）はＨ（ｚ）のＭ／２ポイントのＤＦＴを、ｋが０からＭ−１に至るまで２回繰り返す。図１３の手法を図１（ａ）の３段階ツリー構造分析ＣＣＦＢにあてはめると、図１４に示すＤＦＴドメイン構造図が得られる。
【００４８】
ツリー構造ＣＣＦＢは、ステージが１つ増すごとにフィルタ長を半分にしなければならない点が困難である。例えばＮ＝３２のとき、第２ステージのフィルタ長は１６であり、第３ステージでは８である。良好な周波数応答を有する短いフィルタを設計することは難しく、そのため、ステージが上がるごとに遷移バンドはシャープでなくなる傾向にある。サブチャネル遷移バンドは、基本的により高いステージにおけるフィルタのＤＦＴによって変化し、信号ブロックの大きさＮと、周波数応答の分解能とはトレードオフの関係にある。
【００４９】
本章の後半では、本実現方式の計算上の複雑度について、分析部に焦点をあてて評価を行う。ＭポイントのＦＦＴまたはＩＦＦＴを行うと、複素数の乗算が（Ｍ／２）ｌｏｇ２（Ｍ）回、複素数の和算が（Ｍ）ｌｏｇ２（Ｍ）回必要となる。２×２複素数行列の乗算における複雑度は、複素数の乗算が４回、複素数の和算が２回である。１回の複素数乗算の複雑度は、実数の乗算が４回と実数の和算が２回としてカウントする。実数のシステムにおいて、ＭポイントのＲＤＦＴの複雑度は実数の乗算が（Ｍ／２）ｌｏｇ２（Ｍ）−３Ｍ／２＋２回、の実数の和算が（３Ｍ／２）ｌｏｇ２（Ｍ）−５Ｍ／２＋２回である。ツリー構造システムの複雑度は上述の値を用いて、複素数の場合は図３、実数の場合は図７より計算できる。
【００５０】
ここで、最小化手順を踏まずに２チャネルＣＣＦＢを各々、複素数並列処理によって実現した場合の複雑度を評価する。長さＭの入力信号に対して２チャネル分析ＣＣＦＢを実行するには、Ｍ／２ポイントのＤＦＴが２回、Ｍ／２ポイントのＩＤＦＴが２回、２×２複素数行列乗算がＭ／２回必要となる。長さＭの入力信号に対する２チャネルＣＣＦＢを、実数の並列モジュールで実現した場合、Ｍ／２ポイントのＲＤＦＴが２回、Ｍ／２ポイントのＩＲＤＦＴが２回、４×４実数行列の乗算がＭ／４回必要となる。
【００５１】
最も効率的な実現方式の１つに、コサイン変調フィルタバンクがある。長さＭの分析フィルタを有する２チャネルフィルタバンクの計算上の複雑度は、ポリフェーズの実行手法を用い、高速離散コサイン変換の計算コストを無視すると、入力信号のサンプルポイントごとに、ほぼ乗算Ｍ／２回、和算（Ｍ−１）／２回となる。２チャネルフィルタバンクがラティス形のときも同じ桁の演算が必要となる。対称拡張法はコサイン変調フィルタバンクに不必要なため、入力信号の長さをＮでなくＮ／２と仮定し、ＣＣＦＢシステムに対して公平を期す。入力信号サイズＮ／２、フィルタ長Ｎの２チャネルコサイン変調フィルタバンクの複雑度は、乗算がＮ２／４回、和算がＮ（Ｎ−１）／４回となる。第２ステージの２チャネルフィルタバンクでは、入力信号サイズはＮ／４、フィルタ長さはＮ／２となる。第３ステージにおける入力信号サイズおよびフィルタ長は第２ステージの半分となる。図１５に３段階までの分析フィルタバンクの複雑度をまとめた。図１６はＮ＝１６，３２，６４および１２８のときの、実数値での並列モジュールの実現、本手法による実数値での実現、およびコサイン変調フィルタバンクのそれぞれにおいて必要となる演算数を示している。Ｎが６４以上のとき、本手法を実数値で実現すると、他の２つの実現方式より良好な結果となることがわかる。
【００５２】
具体的構成
以上述べた概説に基づき、本実施の形態の具体的構成を次に述べる。
【００５３】
図１７は、第１の実施の形態に係る分析フィルタバンクのブロック図であり、基本となる動作原理は概要の［２］において述べたとおりである。分析フィルタバンク１００への複素数の入力信号Ｘ（ｚ）は、ダウンサンプラ１１０を経てＤＦＴ演算部１２０にて離散フーリエ変換をそれぞれ施され、行列乗算部１３０に送信される。次に行列乗算部１３０において、概要［２］における式（１３）で定義される行列Ｅ（ｔ）（ｋ）のうち、ｔ＝１なる行列が乗算される。さらなる分割を行う長さＮ／２の信号、Ｕ（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｎ／２−１は、第１の行列演算部１４０へ送られる一方、分析フィルタバンク１００の出力とする信号は、ＩＤＦＴ演算部１６０へ送られる。第１の行列演算部１４０では、概要［２］における式（１５）で定義される行列Ｂｋ（ｔ）のうち、ｔ＝１なる行列と、式（１３）で定義される行列Ｅ（ｔ）のうち、ｔ＝２なる行列との積、Ｅ（２）（ｋ）Ｂｋ（１）の行列をあらかじめ計算し、記憶しておく。行列乗算部１３０から送信された信号Ｕ（ｋ）は［Ｕ（ｋ），Ｕ（Ｎ／４＋ｋ）］Ｔ，ｋ＝０，１，…，Ｎ／４−１
なる行列に変換され、前記Ｅ（２）（ｋ）Ｂｋ（１）を乗算される。結果として得られた行列を［Ｓ０（ｋ），Ｓ１（ｋ）］Ｔとすると、長さＮ／４の２つの信号、Ｓ０（ｋ）およびＳ１（ｋ）が第１の行列演算部１４０より出力される。信号Ｓ０（ｋ）は第２の行列演算部１５０へ、信号Ｓ１（ｋ）はＩＤＦＴ演算部１６０へ送られる。
【００５４】
ＩＤＦＴ演算部１６０は、入力信号に対し、離散逆フーリエ変換を施し、分析フィルタバンク１００の出力信号とする。
【００５５】
第２の行列演算部１５０にて、第１の行列演算部１４０と同様の処理を繰り返し、得られた２つの信号をＩＤＦＴ演算部１６０へ送信して、分析フィルタバンク１００の最終的な出力信号を得る。
【００５６】
図１８は第２の実施の形態に係る合成フィルタバンクのブロック図であり、基本となる動作原理は概要の［２］において述べたとおりである。合成フィルタバンク２００の複素数の入力信号は、ＤＦＴ演算部２１０にてそれぞれ離散フーリエ変換を施される。長さＮ／８の２つの信号、Ｓ０（ｋ）およびＳ１（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｎ／８−１は、第１の行列演算部２２０に送られる。第１の行列演算部２２０では、概要［２］における式（６）で定義される行列Ｒ（ｔ）（ｋ）のうち、ｔ＝３なる行列と、式（１０）で定義される行列Ａｋ（ｔ）のうち、ｔ＝２なる行列との積、Ａｋ（２）Ｒ（３）（ｋ）の行列をあらかじめ計算し、記憶しておく。ＤＦＴ演算部２１０より送信された２つの信号は、行列［Ｓ０（ｋ），Ｓ１（ｋ）］Ｔの形となり、前記Ａｋ（２）Ｒ（３）（ｋ）が乗算される。結果として得られた行列は、概要の式（９）に基づいて並べられ、長さＮ／４の信号Ｑ（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｎ／４として出力されて、第２の行列演算部２３０へ送られる。第２の行列演算部２３０へは、ＤＦＴ演算部２１０から出力された長さＮ／４の信号も入力され、第１の行列演算部２２０と同様の処理が行われる。第２の行列演算部２３０とＤＦＴ演算部２１０からそれぞれ出力された長さＮ／２の信号は、行列乗算部２４０へ送られ、概要［２］における式（６）で定義される行列Ｒ（ｔ）（ｋ）のうち、ｔ＝１なる行列が乗算される。このようにして得られた信号は、ＩＤＦＴ演算部２５０にて離散逆フーリエ変換を施され、アップサンプラ２６０を介して合成フィルタバンク２００の出力信号Ｙ（ｚ）として出力される。
【００５７】
本発明における第３の実施の形態に係る分析フィルタバンクは、図１７に示したブロック図と同じ構成を有する。基本となる動作原理は概要の［３］において述べたとおりである。第１の実施の形態と異なる点は、入力信号が実数のみからなり、全ての演算を実数のみで行うことである。そのため、行列乗算部１３０にて乗算される行列は、概要［３］におけるＥ（ｔ）［ｋ］のうち、ｔ＝１なる行列であり、第１の行列演算部１４０への実数入力信号Ｕ（ｋ）は、Ｕ（ｋ）＝ｕｋ（０）＋ｕｋ（１）ｚ−１  （ｍ＝０，１）なる形で表したとき、ｋ＝０にてＵ［ｋ］＝［ｕ０（０）  ｕ０（１）  ｕＭ（０）  ｕＭ（１）］Ｔ、ｋ＝１，２，…，Ｎ／２−１にてＵ［ｋ］＝［ｕｋ（０）  ｕｋ（１）  ｕ２Ｍ−ｋ（０）  ｕ２Ｍ−ｋ（１）］Ｔとなる行列へ変換される。この変換は、行列乗算部１３０、第２の行列演算部１５０への入力信号に対しても同様に行われる。行列Ｕ［ｋ］に第１の行列演算部１４０で乗算される行列は、概要［３］における行列Ｄｋ（ｔ）およびＥ（ｔ）［ｋ］を用いて、Ｅ（２）［ｋ］Ｄｋ（１）となる。さらに演算結果をＳ（ｋ）＝［ｓ０，ｋ（０）  ｓ０，ｋ（１）  ｓ１，ｋ（０）ｓ１，ｋ（１）］Ｔとしたとき、Ｓｍ（ｋ）＝ｓｍ，ｋ（０）＋ｓｍ，ｋ（１）ｚ−１  （ｍ＝０，１）なる２つの信号が出力される。第２の行列演算部においても同様の処理が行われる。
【００５８】
本発明における第４の実施の形態に係る分析フィルタバンクは、図１８に示したブロック図と同じ構成を有する。第２の実施の形態と異なるのは、第３の実施の形態と同じく、実数のみの演算で構成されている点である。そのため、入力信号をＳｍ（ｋ）＝ｓｍ，ｋ（０）＋ｓｍ，ｋ（１）ｚ−１  （ｍ＝０，１）なる形で表したときの行列、Ｓ（ｋ）＝［ｓ０，ｋ（０）  ｓ０，ｋ（１）  ｓ１，ｋ（０）  ｓ１，ｋ（１）］Ｔへ、ブロックごとに行列を乗算していく。第１の行列演算部２２０においては、概要［３］における式（２５）で定義される行列Ｒ（ｔ＋１）［ｋ］と、式（２４ａ）および（２４ｂ）で定義される行列Ｃｋ（ｔ）のうち、ｔ＝２なる行列との積、Ｃｋ（２）Ｒ（３）［ｋ］を乗算する。演算結果となる行列を、ｋ＝０のときＱ［ｋ］＝［ｑ０（０）  ｑ０（１）  ｑＭ／２（０）  ｑＭ／２（１）］Ｔ、ｋ＝１，２，…，Ｍ／２−１のときＱ［ｋ］＝［ｑｋ（０）  ｑｋ（１）  ｑＭ−ｋ（０）  ｑＭ−ｋ（１）］Ｔとすると、Ｑ（ｋ）＝ｑｋ（０）＋ｑｋ（１）ｚ−１が、第１の行列演算部２２０における出力信号となる。また、行列乗算部２４０では、前記行列Ｒ（ｔ＋１）［ｋ］のうちｔ＝０なる行列が乗算される。第２の行列演算部２３０は第１の行列演算部２２０と同様の処理となる。
【００５９】
全ての実施の形態において、前記行列演算部は第１、第２のみに限らず、所望とする数だけ設けてもよい。また、前記行列演算部１４０、１５０、２２０、２３０は、前記入力信号に乗算する２つの行列の積を予め計算せず、入力信号に順次乗算させてもよい。
【００６０】
以上、本発明を実施の形態をもとに説明した。この実施の形態は例示であり、それらの各構成要素や各処理プロセスの組合せにいろいろな変形例が可能なこと、またそうした変形例も本発明の範囲にあることは当業者に理解されるところである。
【００６１】
【発明の効果】
本発明によれば、ツリー構造の分析フィルタバンクまたは合成フィルタバンクの実現に要する演算回数が減り、より低い計算コストで高い品質の信号処理を行うことが可能となる。また、完全再構成の条件が緩和されることにより、フィルタバンクの設計を容易に行うことができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】３段階ツリー構造ＣＣＦＢの基本構造を示す図である。図１（ａ）は分析フィルタバンク、図１（ｂ）は合成フィルタバンクである。
【図２】合成ＣＣＦＢの第ｔ＋１ステージと第ｔステージの縦列において複素数の並列モジュールを実現した時の構成を示す図である。
【図３】３段階ツリー構造の合成ＣＣＦＢにおける、本実施の形態に係る複素数での実現方式の構成を示す図である。
【図４】分析ＣＣＦＢの第ｔ＋１ステージと第ｔステージの縦列において複素数の並列モジュールを実現した時の構成を示す図である。
【図５】３段階ツリー構造の分析ＣＣＦＢにおける、本実施の形態に係る複素数での実現方式の構成を示す図である。
【図６】合成ＣＣＦＢの第ｔ＋１ステージと第ｔステージの縦列において実数の並列モジュールを実現した時の構成を示す図である。
【図７】３段階ツリー構造の合成ＣＣＦＢにおける、本実施の形態に係る実数での実現方式の構成を示す図である。
【図８】分析ＣＣＦＢの第ｔ＋１ステージと第ｔステージの縦列において実数の並列モジュールを実現した時の構成を示す図である。
【図９】３段階ツリー構造の分析ＣＣＦＢにおける、本実施の形態に係る実数での実現方式の構成を示す図である。
【図１０】導入例において設計されたフィルタの評価結果のうち、インパルス応答を示す図である。
【図１１】導入例において設計されたフィルタの評価結果のうち、ＤＦＴを示す図である。
【図１２】導入例において設計されたフィルタの評価結果のうち、振幅応答を示す図である。
【図１３】ダウンサンプラとＭ／２ポイント巡回畳み込みとの関係を示す説明図である。
【図１４】３段階ツリー構造ＣＣＦＢのＤＦＴドメイン構造を示す図である。
【図１５】長さＮの入力信号に対する２分割ツリー構造フィルタバンクの計算上の複雑度を、フィルタバンクの実現方式によって比較した図である。
【図１６】各入力信号長に対する演算回数を、フィルタバンクの実現方式によって比較した図である。
【図１７】本実施の形態に係る分析フィルタバンクのブロック図である。
【図１８】本実施の形態に係る合成フィルタバンクのブロック図である。
【符号の説明】
１００  分析フィルタバンク、  １１０  ダウンサンプラ  １２０  ＤＦＴ演算部、  １３０  行列乗算部、  １４０  第１の行列演算部、  １５０  第２の行列演算部、  １６０  ＩＤＦＴ演算部、  ２００  合成フィルタバンク、  ２１０  ＤＦＴ演算部、  ２２０  第１の行列演算部、  ２３０第２の行列演算部、  ２４０  行列乗算部、  ２５０  ＩＤＦＴ演算部  ２６０  アップサンプラ。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
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【図１７】
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【図１８】
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