(57)【要約】【課題】解の収束性を補償する電磁界解析方法を提供する。【解決手段】解析対象領域１０の２つの領域Ωｒ１４、Ωｔ１６の間の境界Γｔｒ１８に関する境界条件を求める。前記境界条件を求めた際に数値的な誤差が発生する。境界Γｔｒ１８における磁界の強さを補正することにより、前記境界条件を前記数値的に収束性を改善した境界条件に変更する。この数値的に収束性を改善した境界条件を用いて解析対象領域１０における電磁界解析を行う。【選択図】図１
2004326630.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
ベクトルポテンシャルを用いた２ポテンシャル法により解析対象領域の電磁界解析を行う電磁界解析方法において、
前記解析対象領域を少なくとも２つの領域に分割し、前記２つの領域の間に境界を形成してから、前記２つの領域の中のいずれか一方の領域内に電流を流して、前記電流に基づく磁界の強さを前記境界に発生させて、前記解析対象領域における電磁界解析を行う際に、
前記境界における前記磁界の強さを補正してから、前記解析対象領域の電磁界解析を行う
ことを特徴とする電磁界解析方法。
【請求項２】
請求項１記載の電磁界解析方法において、
前記磁界の強さは、前記境界におけるスカラポテンシャルに基づいて補正される
ことを特徴とする電磁界解析方法。
【請求項３】
請求項２記載の電磁界解析方法において、
前記磁界の強さの補正量は、前記境界におけるスカラポテンシャルの勾配と、前記境界に垂直な単位ベクトルとの外積である
ことを特徴とする電磁界解析方法。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、例えば、変圧器、発電機、モータ等の電磁気現象を利用した電気機器又は電子機器を含む解析対象の電磁界解析を行う電磁界解析方法に関する。
【０００２】
【従来の技術】
有限要素法を用いて、変圧器、発電機、モータ等の電磁気現象を利用した電気機器又は電子機器を含む解析対象の電磁界解析を行う場合には、初めに前記解析対象領域の内部における空間を含め、該領域内に存在する全ての物体を、小領域の要素に分割する。次いで、分割されたそれぞれの要素に対するマクスウェルの電磁界方程式を近似的な式で表現する。次いで、前記解析対象領域の全体に関し、前記各要素における前記近似的な式による連立方程式を構成する。次いで、前記連立方程式を解いて、前記解析対象領域における電磁界を求める。
【０００３】
上記した電磁界解析では、磁気ベクトルポテンシャル（以下、単にベクトルポテンシャルという）を用いて解析対象領域における電磁界を求めることが多い。
【０００４】
次に、ベクトルポテンシャルを用いた解析対象の電磁界解析方法について説明する。
【０００５】
一般に、電磁界解析において情報を得たい対象は、解析対象領域内に存在する磁性体、導体及び誘電体である。これらは、電流が強制的に流れるコイルではない。しかしながら、上記した電流が強制的に流れるコイルについても、結局、他の部分と同様に、要素に分割する必要がある。この場合、複雑な形状を備えたコイルを含む解析対象領域に関し、要素に分割することは困難である上に、相当な手間を要する。
【０００６】
このような煩わしさを避けるため、解析対象領域をコイルの含まれる領域とコイルの含まれない領域とに分割し、それぞれの領域について、異なる電磁界方程式を適用することにより、前記コイルを有限要素に分割することなく、該解析対象領域の電磁界解析を行う手法（以下、２ポテンシャル法という）が開発されている（例えば、非特許文献１参照）。
【０００７】
この２ポテンシャル法では、図９に示すように、電磁界解析の対象となる解析対象領域１００を、コイル１０２が存在する領域Ωｒ１０４とコイル１０２が存在しない領域Ωｔ１０６とに分割する。
【０００８】
領域Ωｒ１０４内では、通常のベクトルポテンシャルからコイル１０２により発生する磁界に対応するベクトルポテンシャルを除いた変形ベクトルポテンシャルＡｒ１０８を用いて電磁界方程式を立てる。一方、領域Ωｔ１０６内では、通常の電磁界解析と同様に、ベクトルポテンシャル（以下、このベクトルポテンシャルを変形ベクトルポテンシャルＡｒ１０８と明確に区別するために、トータルベクトルポテンシャルＡｔ１１０と記す）を用いて電磁界方程式を立てる。ここで、領域Ωｒ１０４と領域Ωｔ１０６との間（境界）を境界Γｔｒ１１２とする。
【０００９】
コイル１０２に強制電流を流す場合、２ポテンシャル法による電磁界解析では、解析対象領域１００の内部に存在する全ての磁性体は、領域Ωｔ１０６内に含まれるようにする。また、解析対象領域１００の内部に渦電流を流すときの電磁界解析では、前記渦電流が流れる導体の全てが、領域Ωｔ１０６内に含まれるようにする。
【００１０】
上記した説明では、理解を容易にするために、コイル１０２を領域Ωｒ１０４に含めるようにしたが、実際には、コイル１０２は領域Ωｔ１０６に含まれることがないようにする。また、コイル１０２が磁性体や導体から十分に離れて存在する場合には、コイル１０２と領域Ωｔ１０６と境界Γｔｒ１１２とからなる解析対象領域１００内において電磁界解析が行われる。
【００１１】
また、有限要素に分割するコイル１０２は、通常の有限要素法と同様に、トータルベクトルポテンシャルＡｔ１１０を用いた電磁界方程式を構築する領域Ωｔ１０６に含めて解析しても差支えない。
【００１２】
さらにまた、解析対象領域１００が領域Ωｒ１０４及び領域Ωｔ１０６の２つの領域に分割された場合について説明したが、解析対象領域１００内に複数の領域が存在しても差し支えない。
【００１３】
２ポテンシャル法による電磁界解析の手順を、図１０のフローチャートに示す。
【００１４】
まず、解析対象の形状や解析対象の相互位置、解析対象の透磁率、導電率等の特性を含む、電磁界解析を行うために必要なデータの読み込みを行う（ステップＳ１０１）。次いで、解析対象の解析対象領域１００を少なくとも２つの領域Ωｒ１０４、Ωｔ１０６に分割し、分割した各領域Ωｒ１０４、Ωｔ１０６内における電磁界方程式と、読み込まれた前記データとから、電磁界解析を行うために必要な連立方程式を立てる（ステップＳ１０２）。次いで、領域Ωｒ１０４、Ωｔ１０６間の境界Γｔｒ１１２における境界条件をビオ・サバールの法則から求める（ステップＳ１０３）。
【００１５】
ステップＳ１０３に続いて、ステップＳ１０２で求めた前記連立方程式とステップＳ１０３で求めた前記境界条件とから解析対象領域１００の電磁界解析を行う（ステップＳ１０４）。最後に、電磁界解析の結果を出力する（ステップＳ１０５）。
【００１６】
上記した２ポテンシャル法を用いて電磁界解析を行う場合には、大規模な連立方程式を解くことが必要である。例えば、ガウスの消去法といった直接法によりこの連立方程式の解を得るためには、電磁界解析の計算に大規模な計算機を必要とする上、莫大な計算時間を要する。従って、反復法を用いて計算する方が電磁界解析の上で有利である。
【００１７】
反復法は、最初に解の値を仮定し、前記解を適当な方法により修正し、修正を反復する過程で修正量が十分に小さくなったとき、解が収束したものと判定し、連立方程式の解を求める手法である。代表的な反復法として、有限要素法では、不完全コレスキー分解を前処理とする共役勾配法（ＩＣＣＧ法）が使用される。
【００１８】
【非特許文献１】
亀有昭久（Ａ．Ｋａｍｅａｒｉ）「辺要素を用いた有限要素法によるホールを有する非対称導体の解（Ｓｏｌｕｔｉｏｎ  ｏｆ  ａｓｙｍｍｅｔｒｉｃ  ｃｏｎｄｕｃｔｏｒ  ｗｉｔｈ  ａ  ｈｏｌｅ  ｂｙ  ＦＥＭ  ｕｓｉｎｇ  ｅｄｇｅ−ｅｌｅｍｅｎｔｓ）」電気・電子工学における計算及び数学のための雑誌（ＣＯＭＰＥＬ−Ｔｈｅ  Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ  Ｊｏｕｒｎａｌ  ｆｏｒ  Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ  ａｎｄ  Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ  ｉｎ  Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ  ａｎｄ  Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ  Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ）第９巻（Ｖｏｌ．９、１９９０）補遺Ａ（Ｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔ  Ａ）２３０−２３２頁（ｐｐ．２３０−２３２）
【００１９】
【発明が解決しようとする課題】
しかしながら、上記した２ポテンシャル法により得られた連立方程式の解を、反復法によって求めようとすると、解が十分に収束しない場合があるという問題点があった。
【００２０】
具体的に、反復法を用いると解が収束しない解析例のモデルを、図１１に示す。
【００２１】
図１１に示す解析例は、直方体の磁性体１１４にコイル１１６が巻回された構成において、該コイル１１６の矢印に示す方向に電流を流し、２ポテンシャル法を用いて反復法により電磁界解析を行った場合を示す。
【００２２】
この解析例において、磁性体１１４は領域Ωｔ１０６内に存在する。一方、コイル１１６は領域Ωｒ１０４内に存在する。従って、境界Γｔｒ１１２は、磁性体１１４とコイル１１６との間に存在する。この場合、コイル１１６は境界Γｔｒ１１２に近接している。この解析例では、反復法を行っても解が収束しない場合が多い。この解析例の収束状態を図１２に示す。図１２において、横軸は反復回数を示し、縦軸は解の誤差を示す。通常、解の誤差が１０−６以下〜１０−８以下になれば解が収束したとみなされる。しかしながら、この解析例では、反復回数が３０回程度で誤差が１０−２まで低下するが、その後、反復回数を増加すると誤差が大きくなり、解は発散する。
【００２３】
本発明は、２ポテンシャル法を使用する際に、解の収束性を補償する電磁界解析方法を提供することを目的とする。
【００２４】
【課題を解決するための手段】
本発明に係る電磁界解析方法は、ベクトルポテンシャルを用いた２ポテンシャル法により解析対象領域の電磁界解析を行う電磁界解析方法において、前記解析対象領域を少なくとも２つの領域に分割し、前記２つの領域の間に境界を形成してから、前記２つの領域の中のいずれか一方の領域内に電流を流して、前記電流に基づく磁界の強さを前記境界に発生させて、前記解析対象領域における電磁界解析を行う際に、前記境界における磁界の強さを補正してから、前記解析対象領域の電磁界解析を行うことを特徴とする。
【００２５】
この場合、前記境界における前記磁界の強さを補正することにより、連立方程式を反復法で収束するように改善する。そのため、補正後の磁界の強さを用いて解析対象領域の電磁界解析を行うと、解の収束性が改善され、精度よく電磁界解析を行うことができる。
【００２６】
また、前記磁界の強さは、前記境界におけるスカラポテンシャルに基づいて補正される。
【００２７】
さらに、前記磁界の強さの補正量は、前記境界におけるスカラポテンシャルの勾配と、前記境界に垂直な単位ベクトルとの外積である。
【００２８】
【発明の実施の形態】
以下、本発明に係る電磁界解析方法の実施の形態（以下、本実施の形態に係る電磁界解析方法という）を、図１〜図８を参照しながら説明する。
【００２９】
本実施の形態に係る電磁界解析方法は、図１に示すような解析対象領域１０に対して適用される。
【００３０】
解析対象領域１０は、２ポテンシャル法に基づき、コイル１２が存在する領域Ωｒ１４とコイル１２が存在しない領域Ωｔ１６との２つの領域に分割され、領域Ωｒ１４と領域Ωｔ１６との間には境界Γｔｒ１８が形成される。
【００３１】
領域Ωｒ１４内では、通常のベクトルポテンシャルからコイル１２により発生する磁界に対応するベクトルポテンシャルを除いた変形ベクトルポテンシャルＡｒ２０を用いて電磁界方程式を立てる。一方、領域Ωｔ１６内では、通常の電磁界解析と同様に、トータルベクトルポテンシャルＡｔ２２を用いて電磁界方程式を立てる。
【００３２】
コイル１２に対して強制的に電流を流した場合における電磁界解析では、解析対象領域１０内に存在する図示しない全ての磁性体は、領域Ωｔ１６内に含まれなければならない。一方、解析対象領域１０内に渦電流が流れている場合における電磁界解析では、前記渦電流が流れる導体は、領域Ωｔ１６内に含まれなければならない。なお、上述したように、コイル１２は領域Ωｒ１４に含まれるが、コイル１２は領域Ωｔ１６に含まれていなければよい。また、コイル１２が磁性体や導体から十分に離れていれば、コイル１２と領域Ωｔ１６とそれらの境界Γｔｒ１８とで電磁界解析を行う。
【００３３】
変位電流を無視した場合、電磁界方程式であるマクスウェルの方程式は、（１）式〜（３）式に示す通りである。
【００３４】
【数１】
2004326630.tif 000003
【００３５】
【数２】
2004326630.tif 000004
【００３６】
【数３】
2004326630.tif 000005
【００３７】
ここで、Ｂは磁束密度、Ｈは磁界の強さ、Ｅは電界の強さ、Ｊは電流密度をそれぞれ示し、いずれもベクトル量である。電流密度Ｊは、コイル１２を強制的に流れる電流と、時間的に変動する磁界により導体を流れる渦電流とを含む電流密度である。
【００３８】
磁束密度Ｂに付したドット（・）は、磁束密度Ｂの時間微分（∂／∂ｔ）を表している。（２）式は渦電流が流れる導体に対して適用される。
【００３９】
また、磁束密度Ｂと磁界の強さＨとの関係及び電界の強さＥと電流密度Ｊとの関係は、解析対象領域１０内に存在する磁性体の透磁率μ及び導体の導電率σを用いれば、以下の（４）式及び（５）式で表わすことができる。
【００４０】
【数４】
2004326630.tif 000006
【００４１】
【数５】
2004326630.tif 000007
【００４２】
また、（３）式及びベクトル公式より、ベクトルポテンシャルＡは、以下の（６）式で示すことができる。
【００４３】
【数６】
2004326630.tif 000008
【００４４】
渦電流を考慮した導体を含めない場合には、（４）式及び（６）式を（１）式へ代入することにより、（７）式を得ることができる。
【００４５】
【数７】
2004326630.tif 000009
【００４６】
上記したように（７）式では渦電流が存在しないので、（７）式の電流密度Ｊは強制電流Ｊ０のみである。
【００４７】
これに対して、渦電流を考慮する導体では、（２）式、（５）式及び（６）式から渦電流密度Ｊｅを以下の（８）式で求めることができる。ただし、通常、渦電流密度Ｊｅを表わす際に現れる電気スカラポテンシャルは０としている。
【００４８】
【数８】
2004326630.tif 000010
【００４９】
（８）式を考慮して、（１）式、（４）式及び（６）式から、渦電流が存在する導体では、（７）式に対応して（９）式のようになる。
【００５０】
【数９】
2004326630.tif 000011
【００５１】
２ポテンシャル法を用いて電磁界解析を行う場合、領域Ωｔ１６には渦電流を考慮する導体が含まれていることもあるため、（９）式から（１０）式のように表すことができる。
【００５２】
【数１０】
2004326630.tif 000012
【００５３】
ここで、（１０）式のトータルベクトルポテンシャルＡｔ２２と、（９）式のベクトルポテンシャルＡは同一である。また、（１０）式の右辺は０であるが、要素に分割されるコイルが領域Ωｔ１６に含まれる場合には、（１０）式の右辺は（９）式と同様に０とはならない。つまり、上記したコイルが領域Ωｔ１６に含まれていても差し支えない。さらに、領域Ωｔ１６内において渦電流を考慮しない場合には、（１０）式の左辺の第２項は無視される。なお、以下の説明では、（１０）式の右辺を０とする。
【００５４】
領域Ωｒ１４において用いられるベクトルポテンシャルは、変形ベクトルポテンシャルＡｒ２０である。前記変形ベクトルポテンシャルＡｒ２０は、領域Ωｔ１６で用いられるトータルベクトルポテンシャルＡｔ２２から、コイル１２により発生した磁界に対応するベクトルポテンシャルＡｓ２４を除いたものである。
【００５５】
ここで、領域Ωｔ１６のトータルベクトルポテンシャルＡｔ２２と、領域Ωｒ１４の変形ベクトルポテンシャルＡｒ２０と、領域Ωｒ１４内のコイル１２により発生した磁界に対応するベクトルポテンシャルＡｓ２４との関係は、以下の（１１）式で表される。
【００５６】
【数１１】
2004326630.tif 000013
【００５７】
この場合、変形ベクトルポテンシャルＡｒ２０はコイル１２により発生する磁界とは無関係である。そのため、領域Ωｒ１４における電磁界方程式は、（７）式のベクトルポテンシャルＡに（１１）式の変形ベクトルポテンシャルＡｒ２０を代入し、強制電流Ｊ０を０とすることにより、（１２）式のようになる。
【００５８】
【数１２】
2004326630.tif 000014
【００５９】
ここで、μ０は真空中の透磁率である。即ち、（１２）式は、（１０）式とは異なり、磁性体が存在しない領域Ωｒ１４を示す。
【００６０】
次に、領域Ωｒ１４と領域Ωｔ１６との間の境界Γｔｒ１８における境界条件について、図１及び図２を参照しながら説明する。境界Γｔｒ１８に垂直で、領域Ωｔ１６から領域Ωｒ１４の方向を正方向とする単位ベクトルを、ベクトルｎ２６と定義する。この場合、ベクトルポテンシャルに関する境界条件は、以下の（１３）式で表される。一方、磁界の強さに関する境界条件は、以下の（１４）式で表わされる。
【００６１】
【数１３】
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【００６２】
【数１４】
2004326630.tif 000016
【００６３】
ここで、Ｈｓは、領域Ωｒ１４内のコイル１２により発生した磁界の強さである。また、Ｈｒは、領域Ωｒ１４の変形ベクトルポテンシャルＡｒ２０に対応する磁界の強さである。さらに、Ｈｔは、領域Ωｔ１６のトータルベクトルポテンシャルＡｔ２２に対応する磁界の強さである。
【００６４】
コイル１２により発生した磁界の強さＨｓと、該磁界の強さＨｓに対応するベクトルポテンシャルＡｓ２４とは、ビオ・サバールの法則を用いた数値積分により求めることができる。なお、（１３）式及び（１４）式の物理的意義について説明すると、（１３）式は、境界Γｔｒ１８に対する磁束密度の垂直成分の連続性を表わし、（１４）式は、境界Γｔｒ１８に対する磁界の強さの接線成分の連続性を表わしている。
【００６５】
ところで、最近の電磁界解析方法においては、辺要素と呼ばれる小さな要素の辺上に変数を定義する電磁界解析手法が主流となってきている（例えば、Ａ．Ｋａｍｅａｒｉ、“Ｔｈｒｅｅ  ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ  ｅｄｄｙ  ｃｕｒｒｅｎｔ  ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ  ｕｓｉｎｇ  ｅｄｇｅ  ｅｌｅｍｅｎｔｓ  ｆｏｒ  ｍａｇｎｅｔｉｃ  ｖｅｃｔｏｒ  ｐｏｔｅｎｔｉａｌ”、Ａｐｐｌｉｅｄ  Ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｓ  ｉｎ  Ｍａｔｅｒｉａｌｓ、Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ  ｏｆ  ｔｈｅ  Ｆｉｒｓｔ  Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ  Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ、Ｔｏｋｙｏ、３−５  Ｏｃｔｏｂｅｒ  １９８８、Ｅｄｉｔｅｄ  ｂｙ  Ｋ．Ｍｉｙａ、Ｐｅｒｇａｍｏｎ  Ｐｒｅｓｓ、ｐｐ．２２５−２３６参照）。この辺要素を用いて電磁界解析を行うと、境界Γｔｒ１８上に沿って、変形ベクトルポテンシャルＡｒ２０と、トータルベクトルポテンシャルＡｔ２２と、コイル１２により発生した磁界の強さＨｓに対応するベクトルポテンシャルＡｓ２４とが定義できる。
【００６６】
ここで、上記したベクトルポテンシャルＡｓ２４は、ビオ・サバールの法則から求められるので、（１３）式より、変形ベクトルポテンシャルＡｒ２０とトータルベクトルポテンシャルＡｔ２２の関係が求まる。その結果、（１３）式において、変形ベクトルポテンシャルＡｒ２０又はトータルベクトルポテンシャルＡｔ２２のいずれか一方を消去すれば、トータルベクトルポテンシャルＡｔ２２又は変形ベクトルポテンシャルＡｒ２０が決定されるので、（１３）式の境界条件は満足される。
【００６７】
ところで、（１０）式及び（１２）式は微分方程式により表現されており、これらの微分方程式を直接解いて電磁界解析を行うことは困難である。そこで、辺要素を含む有限要素法では、（１０）式及び（１２）式を、（１５）式及び（１６）式に示す弱形式に変更して電磁界解析を行う。
【００６８】
【数１５】
2004326630.tif 000017
【００６９】
【数１６】
2004326630.tif 000018
【００７０】
ここで、Ｎは辺要素の形状関数であり、弱形式における重み関数は、この形状関数に等しいとした。この重み関数には、スカラの勾配関数（ｇｒａｄ関数）が含まれている。（１４）式〜（１６）式より、弱形式の電磁方程式は、以下の（１７）式で表される。
【００７１】
【数１７】
2004326630.tif 000019
【００７２】
（１７）式を用いて電磁界解析を行うと、有限要素法による要素の分割とは無関係に、コイル１２を領域Ωｔ１６を除く解析対象領域１０内に配置することが可能となる。そのため、コイル１２を考慮して要素を分割する必要はなくなる。
【００７３】
ところで、上述したように、コイル１２により発生した磁界の強さＨｓは、一般には、ビオ・サバールの法則を用いた数値積分により求められる。しかしながら、前記数値積分では、数値的な誤差が必ず含まれている。そのため、（１７）式の右辺の精度が十分でない場合には、２ポテンシャル法による解の収束性が悪化するおそれがある。このような数値的な誤差を小さくするには、上記した数値積分の精度を高めることが考えられるが、このような方法では、数値積分に要する時間が莫大となるばかりでなく、数値積分の精度を向上にも限界があるので、必ずしも解が収束するとは限らない。
【００７４】
そこで、まず、（１７）式の前記重み関数を、任意のスカラ関数ωの勾配関数に設定し、（１７）式の右辺を以下の（１８）式に変形する。
【００７５】
【数１８】
2004326630.tif 000020
【００７６】
ここで、（１８）式の右辺第１項（ω∇×Ｈｓ・ｎ）は、物理的に、境界Γｔｒ１８に対して垂直な電流成分を表わす。しかしながら、上述したように、コイル１２を流れる電流は、領域Ωｒ１４内にのみ存在し、領域Ωｒ１４と領域Ωｔ１６との間をまたがって流れることはないので、（１８）式の前記右辺第１項は０となる。
【００７７】
一方、（１８）式の右辺第２項は、境界Γｔｒ１８を形成する閉曲線Ｃに沿った線積分を表している。この場合、領域Ωｔ１６は領域Ωｒ１４に取り囲まれているので、境界面全体の閉曲面は存在しない。従って、（１８）式における線積分の値は０となる。
【００７８】
以上のことから、（１８）式の右辺は０となるので、（１８）式の左辺もまた恒等的に０でなければならない。この場合、コイル１２により発生した磁界の強さＨｓはビオ・サバールの法則により、一般には、数値積分を利用して求めている。しかしながら、電子計算機等を用いて前記数値積分を行うと、丸め誤差等の数値的な誤差が必ず発生する。そのため、（１８）式の左辺を０にすることは困難である。このように、数値的な誤差を含んだ磁界の強さＨｓを（１８）式に代入して、解析対象領域１０全体にわたる連立方程式を構築して行列を形成し、該行列の計算を、例えば反復法により行えば、解の収束性が悪化するおそれがある。
【００７９】
そこで、本実施の形態に係る電磁界解析方法では、磁界の強さＨｓを補正することにより、上記した解の収束性を改善する。その具体的な改善方法（補正方法）について、図３の計算機３０と図４に示すフローチャートとを参照しながら、以下に説明する。
【００８０】
本実施の形態に係る電磁界解析方法では、計算機３０を用いて解析対象領域１０の電磁界解析を行わせる。計算機３０は、入力装置３２と、主記憶装置３４と、補助記憶装置３６と、中央処理装置３８と、出力装置４０とから構成される。中央処理装置３８は、さらに、制御部４２と解析対象領域形成部４４と連立方程式作成部４６と境界条件算出部４８と境界条件補正部５０と電磁界解析部５２とを有する。
【００８１】
入力装置３２は、外部より、解析対象領域１０の電磁界解析に必要な３次元データを入力する。この場合、解析対象領域１０となる解析対象とは、例えば、変圧器、発電機、モータ等の電磁気現象を利用した電気機器又は電子機器をいう。つまり、前記３次元データとは、上記した解析対象の形状や位置、前記解析対象に含まれる磁性体の透磁率及び導体の導電率、コイル１２を強制的に流れる電流の大きさ及び方向等の各種データをいう。
【００８２】
主記憶装置３４は、中央処理装置３８において解析対象領域１０の電磁界解析が行われる際に、前記電磁界解析に必要なデータを中央処理装置３８に供給したり、前記電磁界解析の結果として得られたデータ（電界、磁界等）を一時的に蓄積する。
【００８３】
補助記憶装置３６は、主記憶装置３４に蓄積された前記データを記憶する。
【００８４】
中央処理装置３８は、実際に電磁界解析を行う。制御部４２は、計算機３０全体の制御を行う。解析対象領域形成部４４は、中央処理装置３８から供給された３次元データに基づいて解析対象領域１０を構築し、前記解析対象領域１０を２つの領域Ωｒ１４、Ωｔ１６に分割する。連立方程式作成部４６は、解析対象領域形成部４４において分割された前記２つの領域Ωｒ１４、Ωｔ１６における電磁界方程式をそれぞれ構築し、前記電磁界方程式から連立方程式を作成する。境界条件算出部４８は、連立方程式作成部４６において作成された前記連立方程式とビオ・サバールの法則とに基づいて境界条件を求める。境界条件補正部５０は、境界条件算出部４８において前記境界条件を求めた際に発生する数値的な誤差を補正する。電磁界解析部５２は、連立方程式作成部４６で作成された前記連立方程式と境界条件補正部５０において補正された境界条件とに基づいて解析対象領域１０の電磁界解析を実行する。
【００８５】
出力装置４０は、主記憶装置３４に一時的に蓄積されるか、補助記憶装置３６に蓄積されている前記データを外部に出力する。
【００８６】
次に、計算機３０を用いた解析対象領域１０の電磁界解析を、図４に示すフローチャートに基づいて説明する。
【００８７】
まず、初めに計算機３０の入力装置３２から、解析対象領域１０の電磁界解析に必要な３次元データが入力される（ステップＳ１）。これにより、入力装置３２を介して主記憶装置３４に、３次元データが記憶される。
【００８８】
次いで、主記憶装置３４に記憶された前記３次元データを中央処理装置３８の解析対象領域形成部４４に供給する。解析対象領域形成部４４では、前記３次元データに基づいて解析対象領域１０を構築する（ステップＳ２）。その際、磁性体、導体、絶縁体、コイル１２等が、解析対象領域１０内の所定箇所に配置される。次いで、構築された解析対象領域１０が少なくとも２つの領域Ωｒ１４、Ωｔ１６に分割される（ステップＳ３）。これにより、領域Ωｒ１４、Ωｔ１６の間に境界Γｔｒ１８も形成される。
【００８９】
次いで、２つの領域Ωｒ１４、Ωｔ１６に分割された解析対象領域１０の情報が、解析対象領域形成部４４から連立方程式作成部４６に供給される。連立方程式作成部４６では、領域Ωｒ１４、Ωｔ１６に対してそれぞれ異なる電磁界方程式を構築する（ステップＳ４）。これらの電磁界方程式から後述する電磁界解析に必要な連立方程式が作成される（ステップＳ５）。
【００９０】
次いで、作成された前記連立方程式の情報が、連立方程式作成部４６から境界条件算出部４８に供給される。境界条件算出部４８では、領域Ωｒ１４、Ωｔ１６の間に存在する境界Γｔｒ１８の境界条件を、ビオ・サバールの法則に基づいて求める（ステップＳ６）。その際、前記境界条件には、例えば、丸め誤差等の数値的な誤差が含まれている。
【００９１】
次いで、求められた前記境界条件の情報が、境界条件算出部４８から境界条件補正部５０に供給される。境界条件補正部５０では、上記した数値的な誤差を補正し、前記数値的な誤差が含まれていない補正された境界条件を求める（ステップＳ７）。
【００９２】
次いで、前記補正された境界条件が、境界条件補正部５０から電磁界解析部５２に供給される。また、連立方程式作成部４６で作成された前記連立方程式も、連立方程式作成部４６から電磁界解析部５２に供給される。電磁界解析部５２では、前記連立方程式と前記補正された境界条件とを用いて解析対象領域１０の電磁界解析を、例えば、反復法により行う（ステップＳ８）。これにより、解析対象領域１０の各部における磁束密度、磁界の強さ、電界の大きさ等のデータが求められる。
【００９３】
次いで、電磁界解析部５２で行われた電磁界解析の結果、例えば、前記データが、主記憶装置３４に供給される。主記憶装置３４は、上記した電磁界解析の結果を補助記憶装置３６に供給して蓄積させるか、出力装置４０に供給して外部に出力させる（ステップＳ９）。
【００９４】
次に、ステップＳ７における境界条件の補正方法について、より詳細に説明する。
【００９５】
コイル１２により発生した磁界の強さＨｓに関し、境界条件に数値的な誤差が含まれていると、（１８）式の左辺が０ではなくなる。そのため、計算機３０の電磁界解析部５２において、解析対象領域１０の電磁界解析を行っても、前記数値的な誤差により解の収束性が悪くなるおそれがある。従って、前記解の収束性を改善してより効率よく解析対象領域１０の電磁界解析を行うためには、（１８）式が０となるように補正することが必要である。
【００９６】
そこで、解の収束性を改善するために、（１８）式が０となるように補正する方法について以下に説明する。
【００９７】
数値積分を利用して、ビオ・サバールの法則により求められるコイル１２により発生した磁界の強さＨｓについて、以下の（１９）式に示す磁界の強さＨｓ’に補正する。
【００９８】
【数１９】
2004326630.tif 000021
【００９９】
ここで、φは、境界Γｔｒ１８におけるスカラポテンシャル５４である（図１参照）。（１９）式の両辺に対して、任意のスカラ関数ωの勾配関数∇ωとの外積をとる。そして、前記外積について、境界Γｔｒ１８に関する面積分を行うことにより、以下の（２０）式が得られる。
【０１００】
【数２０】
2004326630.tif 000022
【０１０１】
ここで、（２０）式の左辺が０であれば、（２０）式の左辺における補正された磁界の強さＨｓ’を（１８）式の磁界の強さＨｓとして代入することにより、（１８）式の左辺もまた０となる。従って、磁界の強さＨｓを補正した磁界の強さＨｓ’に変更することにより、計算機３０において反復法に基づいて行われる解析対象領域１０の電磁界解析についての解の収束性が改善される。（１９）式より、ビオ・サバールの法則に基づいて数値積分を利用して求められるコイル１２により発生した磁界の強さＨｓは既知である。従って、磁界の強さＨｓの補正量である（１９）式の右辺第２項（∇φ×ｎ）が分かれば、補正した磁界の強さＨｓ’を求めることができる。
【０１０２】
（２０）式より右辺を０とし、任意のスカラ関数ωが境界Γｔｒ１８において定義されたスカラポテンシャルφ５４の形状関数に等しいとすれば、（２０）式の右辺第２項は、通常の有限要素法でよく解かれる公知の方程式である。従って、容易にスカラポテンシャルφ５４を求めることができる。
【０１０３】
上記した磁界の強さＨｓの補正方法を計算機３０で実行する場合、前記補正方法は、ステップＳ７において行われる。前記ステップＳ７において前記補正方法を実行し、磁界の強さＨｓを補正した磁界の強さＨｓ’に変更する過程を、図５に示すフローチャートを参照しながら説明する。
【０１０４】
まず、ステップＳ６において求められた境界条件の情報が、境界条件算出部４８から境界条件補正部５０に供給される（図４参照）。境界条件補正部５０では、前記情報に基づいて境界Γｔｒ１８における電磁界解析の連立方程式が作成される（ステップＳ７１）。
【０１０５】
次いで、境界条件算出部４８において計算された磁界の強さＨｓを、（２０）式の右辺第１項に代入する（ステップＳ７２）。この場合、（２０）式の右辺第１項は、（１８）式の左辺と同じ形である。また、（２０）式の左辺は０であることから、∇φ×ｎに関する連立方程式を作成することができる。
【０１０６】
次いで、前記磁界の強さＨｓが代入された前記連立方程式を解く（ステップＳ７３）。これにより、補正された磁界の強さＨｓ’が求められる。
【０１０７】
次いで、前記補正された磁界の強さＨｓ’を（１７）式に代入する（ステップＳ７４）。これにより、連立方程式の収束性を改善する境界条件の情報が形成され、前記情報を境界条件補正部５０から電磁界解析部５２に供給することが可能となる。
【０１０８】
次に、上記した補正方法を用いて解析対象領域１０の電磁界解析を行った結果（第１の解析例）について説明する。
【０１０９】
第１の解析例では、解析対象である図１１に示すモデルについて、計算機３０により電磁界解析を行った。前記モデルの電磁界解析における解の収束状況の結果を図６に示す。この場合、２０回程度の反復回数で、誤差が１０−８以下にまで減少し、解が収束していることが分かる。
【０１１０】
次に、第２の解析例について図７に示す。解析対象は、直方体の磁性体５６にコイル５８が巻き回されたモデルである。図７に示す矢印方向に電流を強制的に流した際の電磁界解析を計算機３０により行った。この場合、コイル５８は４つの導体部で磁性体５６を取り囲むように構成されているが、コイル５８の四隅である前記４つの導体部の接続部６０では電流が連続的に流れない。即ち、前記電流は接続部６０において不連続となっている。
【０１１１】
このようなモデルについて、従来技術に係る電磁界解析方法で電磁界解析を行うと、境界における数値積分の精度を高めたとしても、（１８）式の左辺が０になることはない。そのため、解の収束性は悪く、所望の電磁界解析の結果を得ることは困難である。
【０１１２】
これに対して、本実施の形態に係る電磁界解析方法に基づいて電磁界解析を行えば、（２０）式において予めφを求め、磁界の強さＨｓが補正された磁界の強さＨｓ’に変更され、補正された磁界の強さＨｓ’を用いて電磁界解析を行うので、解の収束性が改善され、所望の電磁界解析の結果を得ることができる。
【０１１３】
次に、本実施の形態に係る電磁界解析方法と、従来技術に係る電磁界解析方法との解の収束性についての比較結果を、図８に示す。従来技術に係る電磁界解析方法では、４５回程度の反復回数で誤差は１０−２にまで低下するが、それ以上の反復回数では、却って誤差が増加し、解が収束することはない。これに対して、本実施の形態に係る電磁界解析方法では、２０回程度の反復回数で誤差は１０−８にまで低下し、解が収束していることが分かる。
【０１１４】
なお、本発明に係る電磁界解析方法は、上述の実施の形態に限らず、この発明の要旨を逸脱することなく、種々の構成を採り得ることは勿論である。
【０１１５】
【発明の効果】
以上、説明したように、本発明に係る電磁界解析方法では、磁界の強さを補正することにより、解析対象領域の電磁界解析を行う際の解の収束性が改善され、精度よく電磁界解析を行うことができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本実施の形態に係る電磁界解析方法が行われる解析対象領域を示す図である。
【図２】図１の解析対象領域の境界を拡大して示す図である。
【図３】本実施の形態に係る電磁界解析方法を実行する計算機の構成を示すブロック図である。
【図４】本実施の形態に係る電磁界解析方法による電磁界解析のフローチャートである。
【図５】図４のステップ７を詳細に説明するフローチャートである。
【図６】本実施の形態に係る電磁界解析の結果を示す図である。
【図７】本実施の形態に係る電磁界解析方法の解析対象を示す斜視図である。
【図８】図７の解析対象に対する電磁界解析の結果を示す図である。
【図９】従来技術に係る電磁界解析方法が行われる解析対象領域を示す図である。
【図１０】従来技術に係る電磁界解析方法による電磁界解析のフローチャートである。
【図１１】従来技術に係る電磁界解析方法の解析対象を示す斜視図である。
【図１２】図１１の解析対象に対する電磁界解析の結果を示す図である。
【符号の説明】
１０…解析対象領域                １２、５８…コイル
１４、１６…領域                  １８…境界
２０…変形ベクトルポテンシャル    ２２…トータルベクトルポテンシャル
２４…ベクトルポテンシャル        ２６…ベクトル
３０…計算機                      ３２…入力装置
３４…主記憶装置                  ３６…補助記憶装置
３８…中央処理装置                ４０…出力装置
４２…制御部                      ４４…解析対象領域形成部
４６…連立方程式作成部            ４８…境界条件算出部
５０…境界条件補正部              ５２…電磁界解析部
５４…スカラポテンシャル          ５６…磁性体
６０…接続部
【図１】
2004326630.tif 000023
【図２】
2004326630.tif 000024
【図３】
2004326630.tif 000025
【図４】
2004326630.tif 000026
【図５】
2004326630.tif 000027
【図６】
2004326630.tif 000028
【図７】
2004326630.tif 000029
【図８】
2004326630.tif 000030
【図９】
2004326630.tif 000031
【図１０】
2004326630.tif 000032
【図１１】
2004326630.tif 000033
【図１２】
2004326630.tif 000034