(57)【要約】【課題】変換の対象となる特定の周波数が高い場合であっても、連続時間のフィルタの特性と離散時間のフィルタの特性との間の差異を小さくした連続時間のフィルタを離散時間のフィルタに変換する方法を提供する。【解決手段】中心周波数ｆｃａ、減衰係数ζ及び連続時間のラプラス演算子ｓにより表わされる連続時間の２次バタワース型ノッチフィルタの伝達関数を、離散時間の演算子ｚにより表わされる離散時間の２次バタワース型ノッチフィルタの伝達関数に変換する。この変換の前に、中心周波数ｆｃａをプリワーピングする。プリワーピング後、減衰係数ζを補正するための補正係数ｋを求め、この補正係数ｋを減衰係数ζに乗算する。また、双一次変換等を用いて連続時間のラプラス演算子ｓを離散時間の演算子ｚに変換する。【選択図】　図３
2004080141.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
連続時間のフィルタを離散時間のフィルタに変換する方法において、
特定の周波数ωｓｐ、減衰係数ζ及び連続時間のラプラス演算子ｓにより表わされる連続時間のフィルタの伝達関数を取得するステップと、
前記特定の周波数ωｓｐをプリワーピングするプリワーピングステップと、
前記減衰係数ζを補正するための補正係数ｋを求める補正係数取得ステップと、
前記補正係数ｋに基づき前記減衰係数ζを補正する減衰係数補正ステップと、
前記プリワーピングステップ及び前記減衰係数補正ステップを実行した後における前記連続時間のフィルタの伝達関数において前記連続時間のラプラス演算子ｓを離散時間の演算子ｚに変換する変換ステップとを備えたことを特徴とする連続時間のフィルタを離散時間のフィルタに変換する方法。
【請求項２】
前記補正係数取得ステップは、前記減衰係数ζ、前記特定の周波数ωｓｐ、及び前記変換ステップにおけるサンプリング周波数ｆｓａｍとに基づき演算された前記補正係数ｋを取得する請求項１に記載の連続時間のフィルタを離散時間のフィルタに変換する方法。
【請求項３】
前記補正係数取得ステップは、前記離散時間のフィルタのゲイン特性と前記連続時間のフィルタのゲイン特性とを同一ゲインのレベルで比較し、この比較の結果に基づいて前記補正係数ｋを取得する請求項１に記載の連続時間のフィルタを離散時間のフィルタに変換する方法。
【請求項４】
前記変換ステップは、双一次変換により前記演算子ｓを前記演算子ｚに変換するものである請求項１に記載の連続時間のフィルタを離散時間のフィルタに変換する方法。
【請求項５】
前記変換ステップは、後退差分により前記演算子ｓを前記演算子ｚに変換するものである請求項１に記載の連続時間のフィルタを離散時間のフィルタに変換する方法。
【請求項６】
請求項１乃至５のいずれか１項に記載の方法により生成される離散時間のフィルタ。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、連続時間のフィルタを離散時間のフィルタに変換する方法、及びこの方法により生成される離散時間のフィルタに関する。
【０００２】
【従来の技術】
このような方法としては、インパルス不変法、双一次変換を用いる方法などが知られている（例えば電気情報通信学会編「ディジタル信号処理（第１４版）」株式会社コロナ社、平成２年７月１日、ｐ１０２−１０８）。インパルス不変法は、連続時間のフィルタの伝達関数を標本化して離散時間のフィルタの伝達関数を求めるものである。このインパルス不変法の場合、変換の対象となる連続時間のフィルタの伝達関数がナイキスト周波数以下に帯域制限されていなければならない。このため、インパルス不変法では、連続時間のハイパスフィルタやノッチフィルタを離散時間のものに変換することは難しかった。
【０００３】
双一次変換は、連続時間のフィルタの伝達関数をナイキスト帯域内に写像することにより、帯域制限された伝達関数に変換する方法である。この方法を用いれば、ハイパスフィルタやノッチフィルタなどについても離散時間のフィルタに変換することができる。ただし、全帯域をナイキスト周波数以下の帯域に写像するため、アナログフィルタの遮断周波数とディジタルフィルタの遮断周波数が、そのままでは異なったものとなる。
【０００４】
このことを説明するため、一例として、連続時間の２次バタワース型ノッチフィルタを、離散時間のノッチフィルタに変換する場合を考える。連続時間のフィルタは、一般に１次のフィルタの特性と２次のフィルタの特性の和として表現されるので、１次、若しくは３次以上のフィルタでも同様のことが生じる。
連続時間の２次バタワース型ノッチフィルタの伝達関数ＨＡＢＥＦ２は、減衰係数をζ、中心周波数をｆｃａ、連続時間のラプラス演算子をｓとした場合、一般的に次の式で表わすことができる。
【０００５】
【数１】
ＨＡＢＥＦ２＝［ｓ２＋（２πｆｃａ）２］／［ｓ２＋２ζ（２πｆｃａ）ｓ＋（２πｆｃａ）２］
【０００６】
この伝達関数ＨＡＢＥＦ２に対して、双一次変換を施す。双一次変換は、
サンプリング周波数ｆｓａｍ、離散時間の演算子ｚにより、次の式で表わすことができる。
【０００７】
【数２】
ｓ＝２ｆｓａｍ（１−　ｚ−１）　／（１＋ｚ−１）
【０００８】
この双一次変換によると、連続時間の周波数をｆａ、離散時間の周波数をｆｄとした場合、このｆａとｆｄの関係は次の式で示されるような関係となる。
【０００９】
【数３】
ｆａ＝　ｆｓａｍ／π×ｔａｎ（π・ｆｄ／ｆｓａｍ）
【００１０】
このように、双一次変換は周波数に関して非線形な変換であるため、双一次変換を用いて連続時間のフィルタを離散時間のそれに変換する場合、連続時間のフィルタのゲイン特性が歪んだ形で離散時間のフィルタの振幅特性に変換される。このため、例えば変換後の離散時間の２次バタワース型ノッチフィルタの中心周波数が、変換前の連続時間の２次バタワース型ノッチフィルタの中心周波数とは異なってしまうことが生じる。
【００１１】
こうした不都合を回避するため、上記［数３］を利用して、変換対象となる連続時間のノッチフィルタの中心周波数を補正すること（プリワーピング）が行われている。図８，９に連続時間の２次バタワース型ノッチフィルタの特性と、プリワーピングと双一次変換により求めた離散時間の２次バタワース型ノッチフィルタの特性とを示す。横軸はサンプリング周波数ｆｓａｍで正規化した周波数とし、縦軸をゲイン及び位相としている。図８は、連続時間の２次バタワース型ノッチフィルタの中心周波数ｆｃａがｆｃａ＝ｆｓａｍ／２０の場合を示し、図９は、連続時間の２次バタワース型ノッチフィルタの中心周波数ｆｃａがｆｃａ＝ｆｓａｍ／３の場合を示している。連続時間の２次バタワース型ノッチフィルタの特性と、離散時間の２次バタワース型ノッチフィルタの特性とは、その中心周波数ｆｃａの大きさにおいて一致していることが分かる。なお、プリワーピングを実行しない場合における離散時間の２次バタワース型ノッチフィルタの中心周波数は、図８の場合はｆｓａｍ／２０．１６、図９の場合にはｆｓａｍ／３．８９となり、変換前との誤差を生じることになる。
【００１２】
【発明が解決しようとする課題】
このように、プリワーピングと双一次変換とによれば、変換前の周波数と、変換後の周波数とがズレることを防止することができる。しかし、この従来の方法によると、図８及び９に示すように、連続時間のフィルタの伝達関数の周波数がナイキスト周波数（サンプリング周波数ｆｓａｍの１／２）に近付くにつれ、離散時間のフィルタの減衰係数が変化してしまい、連続時間のフィルタと離散時間のフィルタの特性との間の差異が大きくなるという問題が生じていた。例えば、連続時間の２次バタワース型ノッチフィルタの中心周波数ｆｃａがｆｃａ＝ｆｓａｍ／２０の場合（図８）には、ゲイン特性には大きな差異はないが（同図（ａ））、位相特性（同図（ｂ））においては、特に周波数がナイキスト周波数に近付くにつれて差異が大きくなっていることが分かる。
また、連続時間の２次バタワース型ノッチフィルタの中心周波数ｆｃａがｆｃａ＝ｆｓａｍ／３の場合（図９）には、図８の場合よりも中心周波数ｆｃａがナイキスト周波数に近いため、影響が大きくなる。すなわち、ゲイン特性（同図（ａ））においても中心周波数ｆｃａの前後において大きな差が見られ、位相特性（同図（ｂ））においても大きな差異が見られる。
【００１３】
本発明は、かかる問題点に鑑みなされたもので、変換の対象となる特定の周波数が高い場合であっても、連続時間のフィルタの特性と離散時間のフィルタの特性との間の差異を小さくした連続時間のフィルタを離散時間のフィルタに変換する方法を提供することを目的とする。
【００１４】
【課題を解決するための手段】
上記目的達成のため、本出願に係る連続時間のフィルタを離散時間のフィルタに変換する方法は、連続時間のフィルタを離散時間のフィルタに変換する方法において、特定の周波数ωｓｐ、減衰係数ζ及び連続時間のラプラス演算子ｓにより表わされる連続時間のフィルタの伝達関数を取得するステップと、前記特定の周波数ωｓｐをプリワーピングするプリワーピングステップと、前記減衰係数ζを補正するための補正係数ｋを求める補正係数取得ステップと、前記補正係数ｋに基づき前記減衰係数ζを補正する減衰係数補正ステップと、前記プリワーピングステップ及び前記減衰係数補正ステップを実行した後における前記連続時間のフィルタの伝達関数において前記連続時間のラプラス演算子ｓを離散時間の演算子ｚに変換する変換ステップとを備えたことを特徴とする。
【００１５】
この発明に係る方法によれば、補正係数ｋが求められ、これにより減衰係数ζが補正される。このため、変換の対象となる特定の周波数ωｓｐが高い場合であっても、連続時間のフィルタの特性と離散時間のフィルタの特性との間の差異を小さくすることができる。この方法により生成される離散時間のフィルタは、公知の遅延器、加算器、乗算器等を組み合わせて実現させることができる。
【００１６】
前記補正係数取得ステップにおいて、前記補正係数ｋは、前記減衰係数ζと前記特定の周波数ωｓｐとサンプリング周波数ｆｓａｍとに基づき演算することができる。また、前記補正係数取得ステップにおいて、前記補正係数ｋは、前記離散時間のフィルタのゲイン特性と前記連続時間のフィルタのゲイン特性とを同一ゲインのレベルで比較し、この比較の結果に基づいて取得することができる。
【００１７】
前記変換ステップでは、例えば双一次変換や後退差分により前記演算子ｓを前記演算子ｚに変換することができる。
【００１８】
【発明の実施の形態】
次に本発明の実施の形態について、図面を使用して詳細に説明する。
ここでも、上記従来技術の説明と同様、［数１］に示す伝達関数ＨＡＢＥＦ２により表わされる連続時間の２次バタワース型ノッチフィルタを、離散時間の２次バタワース型ノッチフィルタに変換する場合を例にとって説明する。なお、本発明はこうしたノッチフィルタに限らず、ローパスフィルタ等にも適用可能であることはいうまでもない。
【００１９】
この実施の形態では、図１に示すように、まず伝達関数ＨＡＢＥＦ２を取得し（Ｓ１）、続いてこの伝達関数ＨＡＢＥＦ２に対してｓｚ変換（双一次変換等）を施す前に（Ｓ４）プリワーピングを施すが（Ｓ２）、これは上記で説明した従来の方法と同様の方法による。本実施の形態では、これに加えて、後述する方法で演算される補正係数ｋを減衰係数ζに乗算することにより、減衰係数ζの補正を実行する（Ｓ３）。
【００２０】
次に、この補正係数ｋの演算方法の一例について説明する。補正係数ｋの演算方法は、離散時間のフィルタの設計方針等に合わせて変化させることができる。ここでは、離散時間の２次バタワース型ノッチフィルタのゲインが−３ｄＢとなるときの周波数を、連続時間の２次バタワース型ノッチフィルタのゲインが同様に−３ｄＢとなるときの周波数に一致するような補正係数ｋを演算する。
【００２１】
連続時間の２次バタワース型ノッチフィルタのゲインが−３ｄＢとなるときの周波数をｆａ１　、離散時間の２次バタワース型ノッチフィルタのゲインが同様に−３ｄＢとなるときの周波数をｆｄ１とすると（図２参照）、ｆａ１、ｆｄ１は、減衰係数ζ、中心周波数ｆｃａ、サンプリング周波数ｆｓａｍを使用して、それぞれ［数４］［数５］により表わされる。
【００２２】
【数４】
ｆａ１＝ｆｃａ（−ζ＋（ζ２＋１）１／２）
【００２３】
【数５】
ｆｄ１＝ｆｓａｍ／π×ｔａｎ−１（（−ζ＋（ζ２＋１）１／２）ｔａｎ（π・ｆｃａ／ｆｓａｍ））
【００２４】
このｆａ１、ｆｄ１は図２に示すように通常一致しないので、これを一致させるような補正係数ｋを次のようにして求める。まず、この［数５］のζに補正係数ｋを乗算した場合、ｆｄ１は次の［数６］で示すｆｎｄ１となる。
【００２５】
【数６】
ｆｎｄ１＝ｆｓａｍ／π×ｔａｎ−１（（−ｋζ＋（（ｋζ）２＋１）１／２）ｔａｎ（π・ｆｃａ／ｆｓａｍ））
【００２６】
このｆａ１とｆｎｄ１が一致する場合の補正係数ｋの大きさを、次の［数７］に示す式をｋについて解くことにより求める。
【００２７】
【数７】
ｆｃａ（‐ζ＋（ζ２＋１）１／２）＝ｆｓａｍ／π×ｔａｎ−１（（−ｋζ＋（（ｋζ）２＋１）１／２）ｔａｎ（π・ｆｃａ／ｆｓａｍ））
【００２８】
［数７］をｋについて解くと、
【００２９】
【数８】
ｋ＝１／２ζ×（Ａ−１／Ａ）
但し、
Ａ＝ｔａｎ（π・ｆｃａ／ｆｓａｍ）／ｔａｎ（（−ζ＋（ζ２＋１）１／２）・π・ｆｃａ／ｆｓａｍ）
【００３０】
となる。このようにして演算された補正係数ｋを減衰係数ζに乗算することにより、連続時間の２次バタワース型のノッチフィルタの特性に近似した特性を有する離散時間の２次バタワース型のノッチフィルタが取得される。すなわち、図３に示すように、伝達関数ＨＡＢＥＦ２により表わされる連続時間の２次バタワース型のノッチフィルタと、上記の方法により生成された離散時間の２次バタワース型のノッチフィルタ（伝達関数ＨＤＢＥＦ２）とに同じ入力信号Ｘ（ｔ）が入力された場合、それぞれの出力信号Ｙ（ｔ）、Ｙ´（ｔ）はほぼ同じ信号となる。この伝達関数ＨＤＢＥＦ２は次の［数９］に示す式で表わされる。
【００３１】
【数９】
ＨＤＢＥＦ２＝Ａ［（Ｂ２＋１）ｚ２＋２（Ｂ２−１）ｚ＋Ｂ２＋１］／［（ＢＡ２＋Ｂ２Ａ＋　　　Ａ−Ｂ）ｚ２＋２（Ｂ２Ａ−Ａ）ｚ−　ＢＡ２＋Ｂ２Ａ＋Ａ＋Ｂ　］
但しＢ＝ｔａｎ（πｆｃａ／ｆｓａｍ）
【００３２】
図４及び図５は、それぞれ、中心周波数ｆｃａがｆｃａ＝ｆｓａｍ／２０の場合、ｆｃａ＝ｆｓａｍ／３の場合において、上述のような減衰係数ζの補正を実行した場合における離散時間の２次バタワース型ノッチフィルタの特性を、連続時間のそれと比較したものである。図８及び９と比較してみると、離散時間のフィルタと連続時間のフィルタとの間の差異が改善されていることが分かる。
【００３３】
以上では、連続時間のラプラス演算子ｓを離散時間の演算子ｚに変換する場合において双一次変換を用いているが、双一次変換以外の方法によってｓｚ変換を実行してもよい。双一次変換は、近似変換則の次数が２次の場合であるが、例えば、次の［数１０］に示される、近似変換則の次数を１次としたｓｚ変換式（後退差分近似）により変換を行っても良い。
【００３４】
【数１０】
ｓ＝ｆｓａｍ（１−ｚ−１）
【００３５】
この［数１０］に示すｓｚ変換の場合、補正係数ｋは次の式で表わされる。
【００３６】
【数１１】
ｋ＝１／２ζ×（Ａ−１／Ａ）
但し、
Ａ＝ｓｉｎ（π・ｆｃａ／ｆｓａｍ）／ｓｉｎ（（−ζ＋（ζ２＋１）１／２）・π・ｆｃａ／ｆｓａｍ）
【００３７】
図６は、ノッチフィルタの中心周波数ｆｃａと補正係数ｋとの関係を、近似変換則の次数が１次の場合（［数１０］の変換式）と２次の場合（双一次変換）とに分けて示したグラフである（ただし、グラフの横軸はサンプリング周波数ｆｓａｍで正規化してある）。図６に示すように、中心周波数ｆｃａが十分に小さい場合には補正係数ｋは変化無く一定であるが、中心周波数ｆｃａがナイキスト周波数に近付くと、次数１次の場合には補正係数ｋは減少方向に向かい、２次の場合には増加の方向に向かう。
【００３８】
図７は、減衰係数ζの補正をした場合としない場合とにおいて、連続時間の２次バタワース型ノッチフィルタの特性と離散時間の２次バタワース型ノッチフィルタの特性との間の差異がどれだけ変化するかを示したものである。特に中心周波数ｆｃａがナイキスト周波数に近付くほど、その効果が大きいことが分かる。
【００３９】
【発明の効果】
以上述べたように、本発明によれば、変換の対象となる特定の周波数が高い場合であっても、連続時間のフィルタの特性と離散時間のフィルタの特性との間の差異を小さくすることができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本実施の形態に係る連続時間のフィルタを離散時間のフィルタに変換する方法を説明するフローチャートである。
【図２】本発明の実施の形態に係る、連続時間のフィルタを離散時間のフィルタに変換する方法を示すグラフである。
【図３】本実施の形態に係る連続時間のフィルタを離散時間のフィルタに変換する方法により生成される離散時間のフィルタを示す概念図である。
【図４】本実施の形態による減衰係数ζの補正をした場合における、連続時間のフィルタの特性と離散時間のフィルタの特性との間の差異を示すグラフである。
【図５】本実施の形態による減衰係数ζの補正をした場合における、連続時間のフィルタの特性と離散時間のフィルタの特性との間の差異を示すグラフである。
【図６】補正係数ｋと、フィルタの特性との間の関係を示すグラフである。
【図７】本実施の形態による減衰係数ζの補正をした場合としない場合とにおけるフィルタ特性の差異を示したグラフである。
【図８】従来技術において、プリワーピングを施した後に双一次変換を実行した場合における、連続時間のフィルタと離散時間のフィルタの特性の差異を示したグラフである。
【図９】従来技術において、プリワーピングを施した後に双一次変換を実行した場合における、連続時間のフィルタと離散時間のフィルタの特性の差異を示したグラフである。
【図１】
2004080141.tif 000003
【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
2004080141.tif 000008
【図７】
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【図８】
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【図９】
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