(57)【要約】【課題】  特に粒子等の対象の位置（特に未来の位置）を決定する方法において、対象の位置を良好に決定すると同時に技術的費用をできるだけ低くする。【解決手段】  基準対象の位置の進行が決定され、基準対象がある過程を経過し、対象および基準対象の位置の差が形成される。本方法は、位置誤差項がその差から形成され、位置誤差項が少なくとも１つの補正因子で重み付けられるように設計される。補正因子で重み付けられた位置誤差項が足し合わされる。【選択図】  図１
2004288184.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
対象（特に粒子等）の位置（特に未来の位置）を決定する方法において、
基準対象の位置の進行が決定され、
前記基準対象がある過程を経過し前記対象および前記基準対象の位置の差が形成され、
前記差から位置誤差項が形成され、
前記位置誤差項が少なくとも１つの補正因子で重み付けられる、
ことを特徴とする対象の位置を決定する方法。
【請求項２】
前記補正因子で重み付けられた位置誤差項が足し合わされることを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項３】
前記補正因子は随伴過程により計算されることを特徴とする請求項２に記載の方法。
【請求項４】
前記随伴過程は、時間の関数として、前記基準対象の過程とは逆方向に進むことを特徴とする請求項３に記載の方法。
【請求項５】
重み付けられ総和された位置誤差項は、前記対象の位置を決定するために、前記基準対象の位置に加算されることを特徴とする請求項４に記載の方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、粒子などの対象（オブジェクト）の位置あるいはポジション、特に未来の位置を決定する方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
多くの物理的および種々の技術的システムでは、例えば損害を避けるために、対象の位置、特に未来の位置を知ることが必要である。そうした損害は、そのような損害が引き起こされる位置に対象が存在することにより起こり得る。これに関して、位置を決定するためのさまざまな方法が知られている。そうした方法では、基準対象の位置の進行が決定され、対象および基準対象の位置の差が形成される。これに関して、基準対象は、そのダイナミクスを良好に決定することができるような基準対象である。既知の方法における一般的問題は、それらの方法がしばしば不十分な結果しか生み出さないことである。というのは、位置の決定に使用される方法は、非常に高い技術的費用をかけなければ正確な結果を生み出さないからである。このような技術的手段が利用可能でない場合、結果はしばしば無益である。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００３】
したがって、本発明の目的は、上記の種類の対象の位置を決定する方法を提供し、それにより対象の位置の良好な決定と同時に技術的費用をできるだけ低くすることを可能にすることである。
【課題を解決するための手段】
【０００４】
本発明によれば、上記目的は、請求項１に記載された対象位置決定方法によって実現される。本発明による対象位置決定方法は、対象（特に粒子等）の位置（特に未来の位置）を決定する方法であって、基準対象の位置の進行が決定され、前記基準対象がある過程を経過し、前記対象および前記基準対象の位置の差が形成され、位置誤差項が前記差から形成され、前記位置誤差項が少なくとも１つの補正因子で重み付けられることを特徴とする。対象の位置を決定する当該方法は、位置誤差項が差から形成され、位置誤差項が少なくとも１つの補正因子で重み付けられるように設計され修正される。
【０００５】
本発明によれば、重み付き位置誤差項を導入することによって、技術的費用、例えば、シミュレーション中の計算量を、特に簡単な形で低く保つことができる。
【０００６】
特に簡単な実施形態に関して、補正因子で重み付けられた位置誤差項を足し合わせることができる。したがって、決定することが特に簡単で、しかも良好な補正を提供する補正因子が得られる。もう１つの有利な点として、補正因子は、随伴過程によって計算することができる。ここで、随伴過程とは、時間の関数として、基準対象の過程と逆方向に進む過程であってもよい。特に簡単な実施形態の場合、対象の位置を決定するために、重み付けられ総和された位置誤差項を基準対象の位置に加算することができる。
【０００７】
特に簡単な実施形態の場合、対象はアメリカンオプションであり、基準対象は相当するヨーロピアンオプションであってもよい。その場合、位置は早期行使価格であり、位置誤差項は価格誤差項であり、補正因子は定数であってもよい。
【発明の効果】
【０００８】
本発明によれば、例えばモンテカルロ法や有限差分法のような所定の最適化方法のために、早期行使価格、すなわちアメリカンオプションとヨーロピアンオプションの価格差を計算することができる。好ましくは、これは、ほとんどの方法により既に計算されている価格誤差項の総和によって達成することができる。この項は、対応して選択される随伴過程によって計算可能な定数により、特に有利な方法で重み付けられてもよい。随伴過程は、もう１つの有利な点として、時間の関数として原過程と逆方向に発展してもよい。原過程は、ヨーロピアンオプションの価格発展を決定し、ここで例えば発展パラメータはヨーロピアン価格作用素の形式的連結作用素であってもよい。その場合、アメリカンオプションの価格は、当該価格が対応するヨーロピアンオプションの価格に加算されるという事実のため、早期行使プレミアムを推定することによって簡単に計算することができる。したがって、不完全なシミュレーション方法における数値誤差をこの方法によって補償することができ、本発明による方法が基礎としている純粋に数値的な方法よりも良好な推定値が得られる。例えば、これにより、有限差分法の粗格子に基づく高速シミュレーションが可能となる。こうして、基礎となる方法の実用的限界を克服し、いくつかの基本価値を用いて複雑なオプションの評価を可能にすることもできる。
【０００９】
本方法は、単一の基本価値を用いてアメリカンスタンダードオプションを推定することに特に適しており、有限差分法およびモンテカルロ法に対する補充として特に有利に使用可能である。もう１つの有利な点として、実装がＪａｖａ（登録商標）で行われる。
【００１０】
また、本方法は、制御の有無にかかわらずさまざまな過程に、特に自動制御を受けている過程に適用可能である。オプション価格の推定に関する既に説明した実施形態について、ヨーロピアンオプションの価格は非制御過程であり得る。というのは、それは保有者の外部影響から独立であるからである。よって、アメリカンオプションの価格を決定する時には、制御過程が関与し得る。というのは、この場合、価格がオプションの本質的価値を下回るとすぐに、最適価格決定が行われるべきである、すなわち、オプションが行使され得るからである。このようにして、他の実施形態は、制御および非制御過程にも容易に適用・移行されることが可能である。
【００１１】
なお、本発明の教示を有利に設計し変更する種々の可能性が存在する。この目的のために、一方では請求項１に従属する請求項が、そして他方では本発明による対象の位置を決定する方法の好ましい実施例についての図面に基づく以下の説明が、参照される。一般的に、本発明による対象の位置を決定する方法の好ましい実施例についての図面に基づく説明に関連して、教示の好ましい実施形態および変更もまた説明される。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１２】
アメリカンオプションがオプションの満期前にいつでも行使可能であるのに対して、ヨーロピアンオプションが満期日にのみ行使可能であるという点で、アメリカンオプションとヨーロピアンオプションは異なる。したがって、アメリカンオプションの推定はヨーロピアンオプションの推定よりはるかに困難であり、メモリ集約的および時間集約的な数値シミュレーションを必要とする。
【００１３】
ある一定の条件の下では、例えば株式に対するアメリカンスタンダードプットオプションの場合であって配当の支払がない場合には、アメリカンオプションとヨーロピアンオプションは等価であり得ることが知られている。一般的に、アメリカンオプションに対する適切な価格を計算するには、各時間ステップにおいて最適な行使戦略を考慮しなければならない。このため、ヨーロピアンオプションの場合よりも解析的および数値的計算がはるかに多くなる。
【００１４】
したがって、アメリカンオプションの推定はヨーロピアンオプションの推定よりも複雑である。これに関連して、早期行使オプション価格、すなわち随伴過程に関して２つのタイプのオプション間の価格差の計算を可能にする公式が開発されている。随伴過程は、時間の関数として、ヨーロピアンオプションの価格の発展を決定する原過程の後退方向に発展する。この計算は、例えば有限差分法やモンテカルロ法のような数値的方法によって得られるオプション価格推定値を改善するために使用可能である。
【００１５】
アメリカンオプションの価格の計算を、それに対応するヨーロピアンオプションの価格の補正によって可能にする、随伴過程補正法（ＡＰＣ）と呼ばれる方法が開発されている。その有用性は、オプション価格計算のための２つの異なる数値的方法、すなわち有限差分法および確率シミュレーションへのＡＰＣ法の適用によって実証されている。後者は、マスター方程式に関する発展方程式の再定式化に基づいており、いくつかの確率論的現象だけでなく決定論的現象をもモデル化しシミュレートするために、物理過程で頻繁に使用される。有限差分法とは異なり、確率シミュレーションは実際上いかなる既知の価格ダイナミクスにも使用可能である。
【００１６】
ここで、ＡＰＣ法は、既知の後退発展方程式だけでなく、時間の進行方向に進む随伴過程も使用する。したがって、価格補正は、随伴過程で重み付けられた、無限小時間ステップに対するヨーロピアンとアメリカンの後退発展作用素間の価格差を記述するソース項に対する積分として表すことができる。随伴過程に関する必要な情報はしばしば解析的に決定することができる。これが可能である場合、ＡＰＣ法は、従来の方法の拡張に比べて、特に簡単に使用可能であると同時に低コストである。このような場合、ＡＰＣ法は、さもなければ離散化や統計誤差により妨害される情報を正確に算出することができ、したがって、単純な有限差分法やモンテカルロ法よりもわずかに高いだけの計算量で、より正確な結果を与えることができる。
【００１７】
ＡＰＣ法のもう１つの利点は、関連する価格帯に焦点を合わせることができることである。例えば、オプション基本価値の時価が＄１０である場合、＄２０のオプション価格は特に興味深くはないが、それにもかかわらず一般に有限差分法はこの価値を、＄１０と＄２０の間の細格子上の他のすべての価値と全く同じように提供する。というのは、＄２０レンジは、最終条件の後退計算中に決定的に重要となる可能性があるからである。随伴過程は、＄１０と＄２０の間の比較的粗な格子を使用し、それでもなお、＄１０における随伴過程の初期分布の圧縮により、時価の非常に正確な結果を得ることを可能にする。複数の基本価値を有するオプションの場合、問題の複雑さは基本価値の数とともに指数関数的に増大するので、ｄ個の基本価値に対してｄ次元空間を離散化しなければならない。したがって、粗格子であっても良好な結果を与えるＡＰＣ法の能力は、数値的に要求の厳しい高次元の場合に特に有利である。
【００１８】
研究の数値的部分では、幾何ブラウン運動に従い自己随伴形式のブラック・ショールズモデルで処理される単一基本価値に対する結果を示す。しかし、この場合にＡＰＣ法自体に対する制約は現れない。例えば、確率シミュレーションは複雑な過程に一般化可能であり、ジャンプ過程は簡単に積分することができる。さらに、時間発展作用素が自己随伴である必要はない。一定時間進行を開始点として使用し、ヨーロピアンオプション価格ベクトルＰの発展が次の方程式によって決定されると仮定する。
【数１】
2004288184.tif 000003
ここで、ＡＰＣ法は簡単に離散時間進行に書き換え可能である。
【００１９】
まず、ヨーロピアンオプションの価格をいかにして随伴過程の形で表すことができるかを示す。この結果を使用して、アメリカンオプションの場合に一般化する。これにより、ＡＰＣ法で使用される補正公式を導く。第１の数値的応用では、ＡＰＣ法を使用して、非常に粗い格子による有限差分法によってオプション価格を計算しそれを補間することができることを示す。代替的確率法を提示し、これにより、オプション価格計算が随伴過程によって妥当な価格推定値を与えることができることを示す。この場合、基礎となるモンテカルロ法の統計量は、非常に不良であるので妥当な結果をもたらすことができない結果を与える。
【００２０】
最初に、ヨーロピアンオプションの価格を随伴過程の形で算出し、定義および不変性について説明する。この過程をまず定義し、得られる量を求める。
【００２１】
式（１）の過程Ｐの随伴過程とは、次式により定義される過程を指す。
【数２】
2004288184.tif 000004
ここでＬ*は、標準Ｌ2内積による作用素の形式的随伴であり、
【数３】
2004288184.tif 000005
がＬまたはＬ*の定義域内のすべてのψ、φに対して成り立つ。部分積分の際の境界領域における問題を避けるために、Ｌ*の定義域内のすべてのφは急減少関数である、すなわち境界領域内の有限の定義域に対して無視できるほど小さいと仮定する。特にこれは、Ｐ*に対する境界条件として前提される。例えば、ダイナミクスがＬ＝Ｕ∇＋ＤΔによる移流拡散方程式によって決定される場合、随伴作用素はＬ*＝−Ｕ∇＋ＤΔであり、これから過程は正の発展時間方向であっても一意的に定義されるが、随伴過程は後退発展時間方向で一意的に定義されることが明らかである。前進発展時間方向では、随伴過程方程式に対する解は、負の拡散作用素が存在するため、うまく解けない課題となる。したがって、原過程の時間的後退発展はうまく解けない。
【００２２】
これらの定義により、ＰとＰ*の内積は時不変である。式（３）の随伴作用素の定義のゆえに、任意の時点Ｔ1およびＴ2に対して次式が実際に成り立つ。
【数４】
2004288184.tif 000006
【００２３】
次に、随伴過程に対する初期または終期条件を、解いている問題に最も適した形で選択することができる。この目的のため、
【数５】
2004288184.tif 000007
を選択する。ここで、ｘ0は、オプションが評価されるべき資産価格であり、δはｄ次元ディラック超関数である。有利なこととして、ｘ0を追加パラメータとして導入することができ、Ｐ*（ｘ，ｔ；ｘ0）を使用して、式（２）および（５）の初期値問題の解を指定することができる。これらの初期条件を用いると、次式を得る。
【数６】
2004288184.tif 000008
ここで、公式の一般性に悪影響を及ぼすことなく、式（４）において、Ｔ1は０に等しいと置かれ、Ｔ2はＴに等しいと置かれている。
【００２４】
次に、随伴過程によりオプションの推定を行う。ヨーロピアンオプションの価格は次の方程式によって決定されると前提される。
【数７】
2004288184.tif 000009
【００２５】
例えばブラック・ショールズおよびマートンのモデルでは、Ｌ＝ＬBSは無リスク金利ｒおよび基礎となるボラティリティσに対するブラック・ショールズ作用素であり、これは次式により表される。
【数８】
2004288184.tif 000010
【００２６】
作用素の拡散部分−（１／２）σ2Ｓ2∂2／∂Ｓ2から、方程式は時間の後退方向に計算されることが明らかである。満期日Ｔのプットオプションに対する終期条件は次式のようになる。
【数９】
2004288184.tif 000011
ここでＥはオプションの基本価格である。次式により与えられる、対応する随伴過程Ｐ*
【数１０】
2004288184.tif 000012
および式（６）を用いると、次式が得られる。
【数１１】
2004288184.tif 000013
したがって、オプションの価格は、随伴過程の基礎条件における期待時刻ｔ＝０および期待価格Ｓで表される。ブラック・ショールズモデルでは、これは、リスク中立条件に対する利益の割引期待値として価格を決定するオプション価格計算公式に対応する。
【００２７】
次に、随伴過程をアメリカンオプションの評価に適用する。アメリカンオプションの場合、各時間ステップにおいて価格を求めることは、オプションを行使すべきか否かに関する決定を伴う。このことが過程のダイナミクスをより複雑にし、このダイナミクスを例えば自由境界問題、線形相補性問題、または最適停止問題としてモデル化するためにさまざまな手法が導出されている。ここでは、無限小時間ステップｄｔに対して、オプション価格の時間発展が次式によって表されると仮定する。
【数１２】
2004288184.tif 000014
ここで、Ｆ（ｘ，ｔ）はオプションの本質的価値を反映する利得関数であり、基本価値の現在状態ｘのみならず時間ｔにも依存する。この定式化は、例えば、Wilmott、HowisonおよびDewynneによって示されたように、ブラック・ショールズモデルから、対応する線形相補性問題の陽的離散化として導出することができる。同様の式は、例えば二項ツリーに対する動的計画法方程式の離散時間定式化から導出することもできる。
【００２８】
【数１３】
2004288184.tif 000015
を考慮すると、ｄｔ→０に対する式を次のように書き直すことができる。
【数１４】
2004288184.tif 000016
ここでソース項は次式の通りである。
【数１５】
2004288184.tif 000017
【００２９】
この式（１５）において、時間ステップ幅ｄｔの後の（Ｐam＋ＬＰamｄｔ）で価格付けされるオプションに対応するものを「差対象」という。差対象は、直前の時間ステップでは対象と同じ状態／位置（ポジション）を有していたが、次の時間ステップでは基準対象と同じ（単純な）ダイナミクスに従うような対象をいう。また、ソース項は行使領域でのみゼロにならないことに注意すべきである。行使領域ではそれぞれＰam（ｘ，ｔ）＝Ｆ（ｘ，ｔ）であるので、次式が得られる。
【数１６】
2004288184.tif 000018
【００３０】
式（１５）および（１６）から、アメリカンオプションがヨーロピアンオプションと異なるかどうかを数値シミュレーションなしに判定することもできる。これは特に、（Ｆ−Ｐam−ＬＰamｄｔ）および／または（∂／∂ｔＦ−ＬＦ）≦０が成り立つ場合に可能となる。この場合、ソース項Ｊ（Ｆ，Ｐam，ｔ）が消えるので、２つの系は本質的に同一の挙動をする。この場合に対する実施例は、ブラック・ショールズモデルにおける無配当株式に対するアメリカンスタンダードプットオプションである。
【００３１】
ここで、数値計算の労力が避けられることは特に有利である。というのは、ここでは、より容易に決定されるヨーロピアンオプションの価格を決定することができるからである。さらに、この方法により、本質的にヨーロピアンオプションまたはアメリカンオプションのように挙動する商品を故意に作り出すこともできる。利得関数Ｆを選択することにより、オプションの挙動に影響を与え、Ｊ（Ｆ，Ｐam，ｔ）が非負または非正になるようにすることができる。すると、特にオプションがアメリカンオプションとしてリスクプレミアムなしで、または限定されたリスクプレミアムのみで売り出される可能性があるかどうかが売り出し側に知られている場合には、満期前行使の可能性は双方にとって有利となり得る。
【００３２】
次に、随伴過程Ｐ*を、式（１２）のＬを用いて式（２）の場合のように定義する。すなわち、Ｐamではなく、随伴過程をヨーロピアンダイナミクスの場合のように決定する。ヨーロピアンオプションの計算を繰り返し、現在時刻がゼロであり行使時刻がＴであると仮定すれば、一般性を制限することなく、次式が成り立つ。
【数１７】
2004288184.tif 000019
【００３３】
式（１１）から、式（１７）における積分∫ｄｘＰam（ｘ，ｔ）Ｐ*（ｘ，Ｔ）＝∫ｄｘＦ（ｘ，ｔ）Ｐ*（ｘ，Ｔ）はヨーロピアンオプション価格Ｐeuに等しいことが分かる。ここで、随伴過程の初期条件としてＰ*（ｘ，０）＝δ（ｘ−Ｓ）が成り立つ場合、式（１７）から次式が得られる。
【数１８】
2004288184.tif 000020
したがって、早期行使オプション価格が、随伴過程Ｐ*で重み付けられた価格誤差ソース項Ｊに対する積分の形で表される。
【００３４】
式（１６）を用いると、式（１８）はさらに次のように簡略化される。
【数１９】
2004288184.tif 000021
ここで、Ω（ｔ）は時刻ｔにおける行使領域である。
【００３５】
ここで、式（１６）は、単一基本価値でのブラック・ショールズモデルに対してKim、Jacka、Carr、JarrowおよびMyeniによって導出された積分方程式の一般化である。この公式は、例えば後で例示するように、行使限度を求めるために半解析的方法に使用することができる。ここで、ブラック・ショールズモデルでは、ある一定の条件の下での式（１９）が、本研究で導出される分解公式を与えると言える。
【００３６】
以下、有限差分法におけるＡＰＣ法の数値的応用について説明する。ここで、式（１８）および（１９）における分解は、アメリカンオプションの推定の問題を解くための数値的方法を改善するツールとみなされる。
【００３７】
オプション価格の数値的決定にとってこの方程式を興味深いものにする以下の３つの性質がある。
【００３８】
１．ソース項は、行使領域でのみゼロとは異なる。この領域では厳密解も既知である。というのは、それは利得関数Ｆに等しいからである。したがって、ソース項は、数値的または解析的のいずれでも、高い精度で計算することができる。
【００３９】
２．随伴過程を解析的に決定することができる場合、オプション価格補正に対するこれらのソースの寄与は、正確な伝達関数Ｐ*（Ｓ，Ｔ；Ｓ0）でＳ0に伝搬可能である。
【００４０】
３．モンテカルロ法の場合、二重積分が局所的価格推定値のゆらぎを平滑化する。
【００４１】
式（１８）および（１９）は、単純な陽的有限差分法の価格推定を改善するためにも使用可能である。これを説明するため、式（８）のブラック・ショールズ作用素を使用する。
【数２０】
2004288184.tif 000022
を用い、α＝（１／２）（ｋ−１）、β＝−（１／４）（ｋ＋１）2、ｋ＝２ｒ／σ2とすることにより、ブラック・ショールズ方程式は次の自己随伴形式に変換される。
【数２１】
2004288184.tif 000023
これははるかに容易に数値的に解くことができる。利得関数Ｆ（Ｓ）＝ｍａｘ（Ｅ−Ｓ，０）は次式に変換される。
【数２２】
2004288184.tif 000024
初期条件は次式のようになる。
【数２３】
2004288184.tif 000025
【００４２】
ここで境界条件は次のように導出することができる。
【数２４】
2004288184.tif 000026
【００４３】
有限差分方式においてＡＰＣ法を説明するために、標準格子｛ｘ0，ｘ1，ｘ2，...，ｘN｝、ｘn＝ｘ0＋ｎσｘ、および一定時間ステップδｔによる式（２１）の陽的有限差分離散化を使用する。定義ｐnm＝ｐ（ｘn，ｍδｔ）を用いると、ヨーロピアンプットオプションに対して、離散化が次式から得られる。
【数２５】
2004288184.tif 000027
【００４４】
オーダーＯ（δｔ）およびＯ（（δｔ）2）の項を無視すれば、次の差分方程式が得られる。
【数２６】
2004288184.tif 000028
ここで
【数２７】
2004288184.tif 000029
である。
【００４５】
ここで、この更新方法は０＜α≦１／２に対して安定であることが知られている。アメリカンオプションの場合は、式（２７）を次式で置き換えなければならない。
【数２８】
2004288184.tif 000030
ここでｆnm＝ｆ（ｘ0＋ｎδｘ，ｍδｔ）は離散化された利得関数である。初期条件式および境界条件式は式（２３）および（２５）によって決定される。
【００４６】
有限差分方式における随伴過程補正に基づいて、式（１６）が、有限差分法への追加として、早期行使価格を計算するために使用される。式（２１）は自己随伴形式であるので、
【数２９】
2004288184.tif 000031
である。
【００４７】
式（１０）で定義される随伴問題の解は、
【数３０】
2004288184.tif 000032
である。ここで、ｘ0：＝ｌｎ（Ｓ0／Ｅ）であり、Ｓ0は決定すべき基本価値の価格、すなわちほとんどの場合は時価である。
【００４８】
行使価格Ｐam−Ｐeuは、各格子点および各時間ステップにおけるｍａｘ（Ｆ−Ｐam−ＬＰam（ｄｔ，０））の和をとることによって計算することができる。
【００４９】
図１は、無リスク金利ｒ＝０．１、ボラティリティσ＝０．４、および行使価格Ｅ＝＄１０におけるアメリカンオプションの依存性を示している。ここで、オプションは、６か月で満期であり、陽的有限差分法により粗格子（５０格子点）上で計算された。図１は、同一格子上で、ヨーロピアン価格に随伴過程補正項を加算したことによるアメリカンオプションの依存性も示している（５０格子点、ＡＰＣ法）。また、図１は、細格子上でCrank-Nicolson方式により計算される基準解と、ヨーロピアンオプションの対応する価格も示している。
【００５０】
粗格子上のシミュレーションの結果が図１に示されている。式（１８）を用いて計算される早期行使価格をヨーロピアンオプション価格に加算することによって価格を計算する場合には、有限差分法による直接計算の場合よりも、明らかにアメリカンオプション価格の大幅に良好な推定値が得られている。ただし、両方の方法において、同じ格子が使用され、重み付けられたソース項の総和は限定された計算量しか必要としない。また、関連する過程補正は全区間にわたり滑らかな推定値を与えるのに対して、有限差分法は格子点間で補間法を使用する。
【００５１】
モンテカルロ法、すなわち確率シミュレーションを用いたアメリカンオプションの推定のための式（１５）の使用を実証するために、これをマスター方程式の確率シミュレーションに適用する。これは、系を状態ｎに見出す確率Ｐnの時間発展を記述する次のマスター方程式を解くために物理学において数値的応用を有する数値的手法である。
【数３１】
2004288184.tif 000033
ここで、Ｒmnは系が状態ｍから状態ｎに遷移する遷移率である。ここで、式（３２）は、全状態に対する常微分方程式系と解釈しなければならない。
【００５２】
再びブラック・ショールズモデルにおける随伴過程補正の使用を示す。あらゆる場合において、この手法はこのモデルには限定されず、効果が、確率的ボラティリティおよびジャンプ過程と同様に、マスター方程式に簡単な形で統合されることも可能である。
【００５３】
そのフレキシビリティおよび簡単さにもかかわらず、確率シミュレーションは、金融数学において使用される標準的方法ではない。FallerとPetruccioneは、オプション価格推定のためのマスター方程式による手法を提示しているが、例えば彼らは一定時間ステップを使用しているので、ここに示す方法とは重要な点で異なる。FallerとPetruccioneの確率シミュレーション手法は、標準的なモンテカルロ法より高速であるが、ここに例示する手法ほど効果的ではない。
【００５４】
次に、極小過程法の使用について説明する。極小過程法の背後にある考え方は、状態確率がマスター方程式（３２）に従う単純マルコフ過程を確立することである。状態の表現が求められると、アルゴリズムは次のように作用する。
【００５５】
１．初期条件に従って初期状態ｎを選択する。
２．単一遷移で状態ｎから到達可能なすべての状態ｍに対する遷移率を足し合わせる：Ｒtot＝ΣmＲmn。
３．指数分布から得られ平均Ｒtotを有する、すなわち確率密度π（τ）＝Ｒtot-1ｅｘｐ（−Ｒtotτ）を有する時間増分τだけ時間を進める。
４．確率Ｒmn／Ｒtotを用いて、すべての可能な状態から新たな状態ｍを選択する。
５．選択された状態ｍへの遷移を実行する。すなわち、ｎをｍに等しいと置く。
６．増加時間が所望のシミュレーション時間以上になるまで、ステップ２に進む。
【００５６】
このアルゴリズムで最も時間のかかる部分はステップ４、すなわち実際の遷移の選択である。というのは、ｍから到達可能な終状態の数は非常に多くなり得るからである。以下の例では、それはＯ（Ｎ）である。ここでＮは、使用する格子点の数に対応する。したがって、線形選択アルゴリズムもまたＯ（Ｎ）となる。ここで、選択過程を加速するために、FrickeとSchnakenbergの「二重対数クラス」手法を使用する。この手法では、すべての可能な遷移が反応カテゴリに編成される。遷移率は１つのカテゴリ内ではたかだか２倍しか異ならないので、いったん反応カテゴリが選択されれば、遷移はフォンノイマン評価方式によって非常に効率的に選択される。ここで、反応カテゴリの数は少ない（極小および極大遷移率がおよぶオクターブ数）ので、線形選択により確率Ｒc／Ｒtotで反応カテゴリを選択するために必要なステップ数はほんのわずかである。ここでＲcはカテゴリｃ内のすべての遷移率の総和である。
【００５７】
簡単のため（マスター方程式によるブラック・ショールズ方程式の離散化として）、以下では再び拡散方程式、すなわち自己随伴形式に変換されたブラック・ショールズ方程式を使用することができる。
【００５８】
過程は、以下の仮定の下で離散化される。
１．ｘ0＝ｘminからｘN＝ｘmaxまで、ｉ＝１，...，Ｎに対してｘi−ｘi-1＝Δｘとして、基本価値の価格の対数の等距離離散化を行う。
２．各空間［ｘi，ｘi-1）ごとの状態は、図２に示すような定数階段関数である。図２は、基本価値の価格の離散化およびおよび状態に対する許容遷移を示している。
３．各空間について、準粒子の、その左隣または右隣へのジャンプを許容する。粒子は、オプション価格の一定の規定部分Δｐを運ぶので、ｉからｉ−１への１回のジャンプの後に実現される価格は、ヨーロピアンオプションの場合、ｐ（ｉ，ｔ）＝ｐ（ｉ，ｔ−τ）−Δｐおよびｐ（ｉ−１，ｔ）＝ｐ（ｉ−１，ｔ−τ）＋Δｐであり、アメリカンオプションの場合、ｐ（ｉ，ｔ）＝ｍａｘ（ｐ（ｉ，ｔ−τ）−Δｐ，ｆ（ｉ，ｔ））およびｐ（ｉ−１，ｔ）＝ｍａｘ（ｐ（ｉ−１，ｔ−τ）＋Δｐ，ｆ（ｉ，ｔ））となる。
【００５９】
これは明らかに、各準粒子についてのランダムな１次元パスを記述する。したがって、Δｘ→０の極限で、準粒子の群の確率密度は拡散方程式に従う。式（２１）の自己随伴形式では、拡散係数は１に等しいので、ｉからｉ±１への準粒子のステップ過程に対する遷移率は、ｉとは独立に、次のようになる。
ｒ＝１／Δｘ2    （３３）
【００６０】
確率シミュレーションの効率は、純遷移率の導入によってさらに改善することも可能である。時刻ｔにおける空間ｉ内の準粒子の数はＮi＝ｐ（ｉ，ｔ）／Δｐである。したがって、現在時刻から始まるすべての遷移の平均から、ノードｉからｉ±１への準粒子の正味の移動は、次式から得られることが明らかである。
【数３２】
2004288184.tif 000034
ここで〈τ〉は時間ステップの平均サイズであり、各ジャンプの純遷移率が各空間に導入されることから考慮される。
【数３３】
2004288184.tif 000035
【００６１】
これらの純遷移率を使用することには２つの特別な利点がある。第１に、空間に関する、すなわち価格推定値に関する占有数の移動が急激に減少する。他方、純遷移率にわたる総和は、準粒子の遷移率にわたる総和よりはるかに小さい。典型的な時間ステップは全遷移率に反比例するので、このことは、シミュレーションがはるかに速やかに終了することを意味する。
【００６２】
図３では、アメリカンプットオプションの価格が、少数の遷移により粗格子上で計算され（ＭＣ３０）、ヨーロピアンオプション価格（ＡＰＣ）が、同じシミュレーションにおける随伴過程補正を加算することにより推定されている。この例で、ボラティリティはσ＝０．４、金利はｒ＝０．１、行使価格はＥ＝＄１０である。
【００６３】
数値実験の例として、図３は、アメリカンオプションに対する推定の結果を示している。ここでは、３０格子点を有する非常に粗い格子を使用し、確率過程の単一の実施において６００回の遷移を実行している。後退シミュレーションにより推定されるオプション価格は実用上は無価値である。すなわち、多くの格子点において、予測アメリカン価格がヨーロピアン価格を下回るが、これは不可能である。ＡＰＣ法は、同じシミュレーションに基づいているが、対照的に、計算量のほんのわずかな増加で、実際のアメリカンオプション価格の非常に良好な推定値を与える。
【００６４】
最後に要約すれば、アメリカンオプションの早期行使価格を簡潔な公式で表現することができるといえる。ここで、原プロセスの時間の後退方向に発展する随伴過程が利用され、対応するヨーロピアンオプション価格の発展が決定される。この公式は、本発明によれば、ブラック・ショールズモデルにおいて妥当な積分方程式を一般化している。この積分方程式は、アメリカンオプションの推定のための半解析的方法を導出するために文献で使用されているものである。
【００６５】
この公式は、早期行使価格の決定的に優れた推定値を得るために、数値的な標準的方法に対する追加として使用できることが実証される。これは、有限差分法に対するブラック・ショールズモデルの例について実証される。モンテカルロ法に対する公式の使用を実証するために、過程のマスター方程式表現に基づく確率シミュレーションが導入される。不良な統計量による非常に粗い近似に対してさえ、早期行使価格の十分に良好な推定値を得ることができる。良好な性能の理由は、この公式が、行使領域で生成されるソース項の解析的または半解析的伝搬が行われることを可能にしているからである。したがって、数値誤差の最大の原因は、行使限度の位置の不確定性にある。
【００６６】
明らかに、随伴過程は、新たな半解析的および数値的方法を開発するためにも使用可能である。例えば、行使限度の初期推定値を有している場合、確率シミュレーション法を、行使領域では離散化なしで動作し得るように変更することができる。というのは、価格、したがって遷移率はそこでは解析的に既知であるからである。後の領域では、行使領域にわたって随伴過程補正の和をとることにより価値を計算することができるので、自己無撞着計算の場合、限度に関する非常に粗い離散化で十分である。随伴過程により得られる推定値が非常に粗い格子であっても使用可能であるということと組み合わせると、本方法は、いくつかの基本価値を有するオプションの推定値に対しても非常に良好に使用可能であることになる。
【００６７】
最後に、随伴過程は、粗格子でも計算される価格を補間および補外する特に良好な可能性を提供する。
【００６８】
ブラック・ショールズモデルにおけるアメリカンプットオプションの価格からヨーロピアン価格および早期行使価格への以下の明示的分解が文献で知られている。
【数３４】
2004288184.tif 000036
ここでＢtは時刻ｔにおける行使限度の位置であり、
【数３５】
2004288184.tif 000037
が成り立つ。
【００６９】
これは式（１９）の特別の場合である。というのは、Ｌ＝ＬBSの場合、式（８）の随伴作用素は次式から得られるからである。
【数３６】
2004288184.tif 000038
これは、随伴作用素の式を求める際の部分積分によって示すことができる（式（３）参照）。ここで随伴作用素はブラック・ショールズ作用素と同一ではないが、類似の構造を有する。随伴問題
【数３７】
2004288184.tif 000039
は、ブラック・ショールズの公式を導出するために使用されるのと同じ方法によって解析的に解くことができる。その場合、大幅に簡単な初期条件を使用することができる。結果は次のようになる。
【数３８】
2004288184.tif 000040
【００７０】
アメリカンプットオプションの利得関数は
【数３９】
2004288184.tif 000041
となるので、行使領域内で次式が成り立つ。
【数４０】
2004288184.tif 000042
【００７１】
ここで、行使領域は区間Ω（ｔ）＝［０，Ｂt］であり、式（１９）から次式が従う。
【数４１】
2004288184.tif 000043
【００７２】
ζ＝ｌｎ Ｓ／Ｓ0を代入し、結果として得られる指数関数の引数について２次まで展開すれば、これは式（３６）の形になる。
【００７３】
本発明による方法のさらなる有利な実施形態および変更に関しては、繰り返しを避けるために、一般的説明および添付の特許請求の範囲が参照される。
【００７４】
最後に、上記の実施例は、特許請求の範囲の教示を説明するためのものに過ぎず、その教示は実施例には制限されないことを明確に指摘しておかなければならない。
【図面の簡単な説明】
【００７５】
【図１】オプションが６か月で満期になる無リスク金利ｒ＝０．１、ボラティリティσ＝０．４、行使価格Ｅ＝＄１０のアメリカンオプションの依存性の実施例を示すグラフである。
【図２】基本価値の価格の離散化を、ある条件に対する許容遷移とともに示すグラフである。
【図３】少数の遷移による粗格子上のアメリカンプットオプションの価格（ＭＣ３０）と、同じシミュレーションにおいて随伴過程補正を加算することにより推定されたヨーロピアンオプション価格（ＡＰＣ）を例示するもう１つの実施例を示すグラフである（ただし、ボラティリティσ＝０．４、金利ｒ＝０．１、行使価格Ｅ＝＄１０）。
【図１】
2004288184.tif 000044
【図２】
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【図３】
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