(57)【要約】【課題】測定対象物の関心領域に既に温度場が形成されている場合において、外部熱源により人工的に温度分布を生じさせることなく、関心領域内の測定データのみから熱伝導率を直接的に推定できる熱伝導率推定装置等を提供する。【解決手段】この熱伝導率推定装置は、測定対象物の関心領域内における複数の位置の温度を測定する温度検出手段１、２と、測定対象物と温度検出手段との間の距離を調整する距離調整手段１４と、測定対象物と温度検出手段との相対位置を変化させる走査手段３と、測定対象物を載置する試料設置台１５と、温度検出手段によって測定された温度データをその測定箇所の位置データと対応付けて記録するデータ記録手段７と、データ記録手段に記録されている温度データ及び位置データと関心領域内に設定された参照領域において得られる参照熱伝導率の値及び位置データとに基づいて測定対象物の関心領域内における熱伝導率分布を推定するデータ処理手段８と、制御手段６とを具備する。【選択図】　図１
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
測定対象物の３次元、２次元、又は、１次元の関心領域内における複数の位置の温度を測定するステップ（ａ）と、
ステップ（ａ）において測定された温度データをその測定箇所の位置データと対応付けて記録するステップ（ｂ）と、
記録されている温度データ及び位置データと前記関心領域内に設定された３次元、２次元、又は、１次元の参照領域において得られる参照熱伝導率の値及び位置データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される熱伝導率分布、温度勾配ベクトル分布、又は、温度分布に関して、変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における熱伝導率分布を求めるステップ（ｃ）と、
を具備する熱伝導率推定方法。
【請求項２】
測定対象物の１次元の関心領域内における複数の位置の温度を測定するステップ（ａ）と、
ステップ（ａ）において測定された温度データをその測定箇所の位置データと対応付けて記録するステップ（ｂ）と、
記録されている温度データ及び位置データと前記関心領域内に設定された１次元の参照領域において得られる参照熱伝導率の値及び位置データとを用いて、所定の１階の空間微分方程式中に表される熱伝導率の１階微分の１次元分布に関して、変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における熱伝導率分布を求めるステップ（ｃ）と、
を具備する熱伝導率推定方法。
【請求項３】
測定対象物の３次元、２次元、又は、１次元の関心領域内における複数の位置の温度を測定するステップ（ａ）と、
ステップ（ａ）において測定された温度データをその測定箇所の位置データと対応付けて記録するステップ（ｂ）と、
記録されている温度データ及び位置データと前記関心領域内に設定された３次元、２次元、又は、１次元の参照領域において得られる参照熱伝導率の値及び位置データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される熱伝導率分布、熱伝導率の１階偏微分の分布、温度勾配ベクトル分布、温度勾配ベクトルの発散、又は、温度分布に関して有限差分近似、あるいは、ガラーキン法に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における熱伝導率分布を求めるステップ（ｃ）と、
を具備する熱伝導率推定方法。
【請求項４】
測定対象物の３次元、２次元、又は、１次元の関心領域内における複数の位置の温度の時系列を測定するステップ（ａ）と、
ステップ（ａ）において測定された温度データをその測定した位置データと測定した時間データと対応付けて記録するステップ（ｂ）と、
記録されている温度データ及び位置データ及び時間データと前記関心領域内の３次元、２次元、又は、１次元の参照領域において得られる経時的に変化しうる参照熱伝導率、参照拡散率、熱伝導率と密度の参照比、熱伝導率と比熱の参照比、参照密度、参照比熱の値及び位置データ及び時間データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される熱伝導率分布、熱拡散率分布、熱伝導率と密度の比の分布、熱伝導率と比熱の比の分布、密度分布、比熱分布、温度の時間方向の１階偏微分の分布、温度勾配ベクトル分布、又は、温度分布に関して、変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における熱伝導率分布、熱拡散率分布、熱伝導率と密度の比の分布、熱伝導率と比熱の比の分布、密度分布、比熱分布、これらの経時的変化や周波数分散を求めるステップ（ｃ）と、
を具備する熱伝導率推定方法。
【請求項５】
測定対象物の１次元の関心領域内における複数の位置の温度の時系列を測定するステップ（ａ）と、
ステップ（ａ）において測定された温度データをその測定した位置データと測定した時間データと対応付けて記録するステップ（ｂ）と、
記録されている温度データ及び位置データ及び時間データと前記関心領域内の１次元参照領域において得られる経時的に変化しうる参照熱伝導率、参照拡散率、熱伝導率と密度の参照比、熱伝導率と比熱の参照比、参照密度、参照比熱の値及び位置データと時間データを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される熱伝導率の１階微分の１次元分布、熱拡散率の１階微分の１次元分布、熱伝導率と密度の比の１階微分の１次元分布、熱伝導率と比熱の比の１階微分の１次元分布に関して、変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における熱伝導率分布、熱拡散率分布、熱伝導率と密度の比の分布、熱伝導率と比熱の比、これらの経時的変化や周波数分散の分布を求めるステップ（ｃ）と、
を具備する熱伝導率推定方法。
【請求項６】
測定対象物の３次元、２次元、又は、１次元の関心領域内における複数の位置の温度の時系列を測定するステップ（ａ）と、
ステップ（ａ）において測定された温度データをその測定した位置データと測定した時間データと対応付けて記録するステップ（ｂ）と、
記録されている温度データ及び位置データ及び時間データと前記関心領域内の３次元、２次元、又は、１次元の参照領域において得られる経時的に変化しうる参照熱伝導率、参照拡散率、熱伝導率と密度の参照比、熱伝導率と比熱の参照比、参照密度、参照比熱の値及び位置データ及び時間データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される熱伝導率分布、熱伝導率の１階偏微分の分布、熱拡散率分布、熱拡散率の１階偏微分の分布、熱伝導率と密度の比の分布、熱伝導率と密度の比の１階偏微分の分布、熱伝導率と比熱の比の分布、熱伝導率と比熱の比の１階偏微分の分布、密度分布、密度の１階偏微分の分布、比熱分布、比熱の１階偏微分の分布、温度の時間方向の１階偏微分の分布、温度勾配ベクトル分布、温度勾配ベクトルの発散分布、又は、温度分布に関して有限差分近似、あるいは、ガラーキン法に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における熱伝導率分布、熱拡散率分布、熱伝導率と密度の比の分布、熱伝導率と比熱の比の分布、密度分布、比熱分布、これらの経時的変化や周波数分散を求めるステップ（ｃ）と、
を具備する熱伝導率推定方法。
【請求項７】
前記参照領域における参照熱伝導率の値を得るために、所定の物質を前記参照領域として測定対象物の前記関心領域に含めるステップ（ｄ）をさらに具備し、
ステップ（ｃ）が、前記関心領域内の温度データ及び位置データと前記所定の物質の参照熱伝導率の値及び位置データとに基づいて測定対象物の熱伝導率分布を推定することを含む、請求項１〜３のいずれか１項記載の熱伝導率推定方法。
【請求項８】
経時的に変化しうる前記参照領域における参照熱伝導率や参照熱拡散率や参照密度や参照比熱の値を得るために、所定の物質を前記参照領域として測定対象物の前記関心領域に含めるステップ（ｄ）をさらに具備し、
ステップ（ｃ）が、前記関心領域内の温度データ及び位置データ及び時間データと前記所定の物質の参照熱伝導率の値及び位置データ及び時間データとに基づいて測定対象物の熱伝導率分布、熱拡散率分布、熱伝導率と密度の比の分布、熱伝導率と比熱の比の分布、密度分布、比熱分布、これらの経時的変化や周波数分散を求めるステップ（ｃ）を推定することを含む、請求項４〜６のいずれか１項記載の熱伝導率推定方法。
【請求項９】
ステップ（ｃ）が、測定対象物の前記関心領域内に温度データが欠落した領域が存在する場合に、その領域を前記関心領域から除外して熱伝導率分布を推定し、その領域の熱伝導率分布を、推定された熱伝導率分布に内挿又は外挿補間処理を施すことにより求めることを含む、請求項１〜３及び７のいずれか１項記載の熱伝導率推定方法。
【請求項１０】
ステップ（ｃ）が、測定対象物の前記関心時間内の関心領域内に温度データが欠落した時間と領域が存在する場合に、その時間と領域の各々を前記関心時間と関心領域から除外して熱伝導率分布、熱拡散率分布、熱伝導率と密度の比の分布、熱伝導率と比熱の比の分布、密度分布、比熱分布、これらの経時的変化や周波数分散を推定し、その時間と領域の熱伝導率分布、熱拡散率分布、熱伝導率と密度の比の分布、熱伝導率と比熱の比の分布、密度分布、比熱分布、これらの経時的変化や周波数分散を、推定された熱伝導率分布、熱拡散率分布、熱伝導率と密度の比の分布、熱伝導率と比熱の比の分布、密度分布、比熱分布、これらの経時的変化や周波数分散に関心時空間内の内挿又は外挿補間処理を施すことにより求めることを含む、請求項４〜６及び８のいずれか１項記載の熱伝導率推定方法。
【請求項１１】
測定対象物の３次元、２次元、又は、１次元の関心領域内における複数の位置の温度を測定する温度検出手段と、
測定対象物と前記温度検出手段との間の距離を調整する距離調整手段と、
測定対象物と前記温度検出手段との相対位置を変化させる走査手段と、
測定対象物を載置する試料設置台と、
前記温度検出手段によって測定された温度データをその測定箇所の位置データと対応付けて記録するデータ記録手段と、
前記データ記録手段に記録されている温度データ及び位置データと前記関心領域内に設定された３次元、２次元、又は、１次元の参照領域において得られる参照熱伝導率の値及び位置データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される熱伝導率分布、温度勾配ベクトル分布、又は、温度分布に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における熱伝導率分布を求めるデータ処理手段と、
前記各手段の動作を制御する制御手段と、
を具備する熱伝導率推定装置。
【請求項１２】
測定対象物の１次元の関心領域内における複数の位置の温度を測定する温度検出手段と、
測定対象物と前記温度検出手段との間の距離を調整する距離調整手段と、
測定対象物と前記温度検出手段との相対位置を変化させる走査手段と、
測定対象物を載置する試料設置台と、
前記温度検出手段によって測定された温度データをその測定箇所の位置データと対応付けて記録するデータ記録手段と、
前記データ記録手段に記録されている温度データ及び位置データと前記関心領域内に設定された１次元の参照領域において得られる参照熱伝導率の値及び位置データとを用いて、所定の１階の空間微分方程式中に表される熱伝導率の１階微分の１次元分布に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における熱伝導率分布を求めるデータ処理手段と、
前記各手段の動作を制御する制御手段と、
を具備する熱伝導率推定装置。
【請求項１３】
測定対象物の３次元、２次元、又は、１次元の関心領域内における複数の位置の温度を測定する温度検出手段と、
測定対象物と前記温度検出手段との間の距離を調整する距離調整手段と、
測定対象物と前記温度検出手段との相対位置を変化させる走査手段と、
測定対象物を載置する試料設置台と、
前記温度検出手段によって測定された温度データをその測定箇所の位置データと対応付けて記録するデータ記録手段と、
前記データ記録手段に記録されている温度データ及び位置データと前記関心領域内に設定された３次元、２次元、又は、１次元の参照領域において得られる参照熱伝導率の値及び位置データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される熱伝導率分布、熱伝導率の１階偏微分の分布、温度勾配ベクトル分布、温度勾配ベクトルの発散分布、又は、温度分布に関して有限差分近似、あるいは、ガラーキン法に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における熱伝導率分布を求めるデータ処理手段と、
前記各手段の動作を制御する制御手段と、
を具備する熱伝導率推定装置。
【請求項１４】
測定対象物の３次元、２次元、又は、１次元の関心領域内における複数の位置の温度の時系列を測定する温度検出手段と、
測定対象物と前記温度検出手段との間の距離を調整する距離調整手段と、
測定対象物と前記温度検出手段との相対位置を変化させる走査手段と、
測定対象物を載置する試料設置台と、
前記温度検出手段によって測定された温度データをその測定した位置データと測定した時間と対応付けて記録するデータ記録手段と、
前記データ記録手段に記録されている温度データ及び位置データ及び時間データと前記関心領域内に設定された３次元、２次元、又は、１次元の参照領域において得られる経時的に変化しうる参照熱伝導率、参照拡散率、熱伝導率と密度の参照比、熱伝導率と比熱の参照比、参照密度、参照比熱の値及び位置データ及び時間データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される熱伝導率分布、熱拡散率分布、熱伝導率と密度の比の分布、熱伝導率と比熱の比の分布、密度分布、比熱分布、温度の時間方向の１階偏微分の分布、温度勾配ベクトル分布、又は、温度分布に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における熱伝導率分布、熱拡散率分布、熱伝導率と密度の比の分布、熱伝導率と比熱の比の分布、密度分布、比熱分布、これらの経時的変化や周波数分散を求めるデータ処理手段と、
前記各手段の動作を制御する制御手段と、
を具備する熱伝導率推定装置。
【請求項１５】
測定対象物の１次元の関心領域内における複数の位置の温度の時系列を測定する温度検出手段と、
測定対象物と前記温度検出手段との間の距離を調整する距離調整手段と、
測定対象物と前記温度検出手段との相対位置を変化させる走査手段と、
測定対象物を載置する試料設置台と、
前記温度検出手段によって測定された温度データをその測定した位置データと測定した時間データと対応付けて記録するデータ記録手段と、
前記データ記録手段に記録されている温度データ及び位置データ及び時間データと前記関心領域内の１次元参照領域において得られる経時的に変化しうる参照熱伝導率、参照拡散率、熱伝導率と密度の参照比、熱伝導率と比熱の参照比、参照密度、参照比熱の値及び位置データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される熱伝導率の１階微分の１次元分布、熱拡散率の１階微分の１次元分布、熱伝導率と密度の比の１階微分の１次元分布、熱伝導率と比熱の比の１階微分の１次元分布に関して、変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における熱伝導率分布、熱拡散率分布、熱伝導率と密度の比の分布、熱伝導率と比熱の比の分布、これらの経時的変化や周波数分散を求めるデータ処理手段と、
前記各手段の動作を制御する制御手段と、
を具備する熱伝導率推定装置。
【請求項１６】
測定対象物の３次元、２次元、又は、１次元の関心領域内における複数の位置の温度の時系列を測定する温度検出手段と、
測定対象物と前記温度検出手段との間の距離を調整する距離調整手段と、
測定対象物と前記温度検出手段との相対位置を変化させる走査手段と、
測定対象物を載置する試料設置台と、
前記温度検出手段によって測定された温度データをその測定した位置データと測定した時間と対応付けて記録するデータ記録手段と、
前記データ記録手段に記録されている温度データ及び位置データ及び時間データと前記関心領域内に設定された３次元、２次元、又は、１次元の参照領域において得られる経時的に変化しうる参照熱伝導率、参照拡散率、熱伝導率と密度の参照比、熱伝導率と比熱の参照比、参照密度、参照比熱の値及び位置データ及び時間データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される熱伝導率分布、熱伝導率の１階偏微分の分布、熱拡散率分布、熱拡散率の１階偏微分の分布、熱伝導率と密度の比の分布、熱伝導率と密度の比の１階偏微分の分布、熱伝導率と比熱の比の分布、熱伝導率と比熱の比の１階偏微分の分布、密度分布、密度の１階偏微分の分布、比熱分布、比熱の１階偏微分の分布、温度の時間方向の１階偏微分の分布、温度勾配ベクトル分布、温度勾配ベクトルの発散分布、又は、温度分布に関して有限差分近似、あるいは、ガラーキン法に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における熱伝導率分布、熱拡散率分布、熱伝導率と密度の比の分布、熱伝導率と比熱の比の分布、密度分布、比熱分布、これらの経時的変化や周波数分散を求めるデータ処理手段と、
前記各手段の動作を制御する制御手段と、
を具備する熱伝導率推定装置。
【請求項１７】
測定対象物の前記関心領域に少なくとも１つの温度場を発生させる温度場発生手段をさらに具備する、請求項１１〜１６のいずれか１項記載の熱伝導率推定装置。
【請求項１８】
測定対象物が前記熱伝導率推定装置の試料設置台に載らず前記熱伝導率推定装置の外部にある場合に、温度センサを測定対象物に向け、且つ、相対位置変化を行わせることのできる保持機構をさらに具備する、請求項１１〜１７のいずれか１項記載の熱伝導率推定装置。
【請求項１９】
少なくとも測定対象物を格納することのできる真空ポンプを用いた真空容器をさらに具備する、請求項１１〜１８のいずれか１項記載の熱伝導率推定装置。
【請求項２０】
前記温度検出手段が、赤外線素子を使用した温度センサを含む、請求項１１〜１９のいずれか１項記載の熱伝導率推定装置。
【請求項２１】
前記温度検出手段が、赤外線素子群の受光エネルギーをディジタル演算して焦点位置及び空間分解能を制御することが可能な赤外線温度センサを含む、請求項２０記載の熱伝導率推定装置。
【請求項２２】
前記温度検出手段が、赤外線レンズを併用して焦点位置及び空間分解能を制御することが可能な赤外線温度センサを含む、請求項２０記載の熱伝導率推定装置。
【請求項２３】
前記温度検出手段が、能動的に赤外線を放射する機能と、その焦点位置及び空間分解能を制御する機能とを有する赤外線温度センサを含む、請求項２０記載の熱伝導率推定装置。
【請求項２４】
推定結果としての熱伝導率分布又は温度分布を画面に表示する表示部をさらに具備する、請求項１１〜２３のいずれか１項記載の熱伝導率推定装置。
【請求項２５】
推定結果としての熱伝導率分布又は温度分布に加えて、温度勾配分布と、熱伝導率勾配分布と、温度ラプラシアン分布と、熱伝導率ラプラシアン分布と、熱拡散率分布と、熱拡散率勾配分布と、熱拡散率ラプラシアン分布と、熱伝導率と密度の比の分布と、熱伝導率と密度の比の勾配分布と、熱伝導率と密度の比のラプラシアン分布と、熱伝導率と比熱の比の分布と、熱伝導率と比熱の比の勾配分布と、熱伝導率と比熱の比のラプラシアン分布と、密度分布と、密度の勾配分布と、密度のラプラシアン分布と、比熱分布と、比熱の勾配分布と、比熱のラプラシアン分布と、これらの周波数分散や経時的変化そのものと、これらの絶対変化（差分値）や相対変化（比の値）との内の少なくとも１つを画面に表示する表示部をさらに具備する、請求項１１〜２４のいずれか１項記載の熱伝導率推定装置。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、一般的に、熱伝導率推定方法及び装置に関し、特に、非接触の温度測定により、物体又は生き物の熱伝導率を推定する方法及び装置に関する。
【０００２】
【従来の技術】
図５に、従来の熱伝導率推定装置の構成を示す。この熱伝導率推定装置においては、熱源１３によって測定対象物４に積極的に温度分布を生じさせ、サーモカプラ等の温度検出器１２によって、その温度分布を測定対象物の全体に渡る多数の点について測定する。さらに、データ処理手段１６によって、有限差分法や有限要素法を用いて熱の流れをモデル化し、感度理論に基づいて関心領域内部の熱伝導率を推定するというものである。ここで、関心領域とは、測定対象物において、熱伝導率が未知であるため、その熱伝導率を推定しようとする領域のことである。
【０００３】
【発明が解決しようとする課題】
しかしながら、この熱伝導率推定装置によれば、測定対象物の外部に熱源を設けて測定対象物に対して積極的に温度分布を生じさせる必要があるので、測定対象物内に既に温度分布が存在している場合に、その温度場を乱してしまうという問題があった。
【０００４】
また、この熱伝導率推定装置は感度理論に基づくものであるため、熱伝導率分布を仮定して温度分布を計算することにより、測定データと合致する熱伝導率分布を決定する。そのため、反復的に熱伝導率の推定値を更新する必要があるので、計算量が膨大となるという問題があった。さらに、その計算においては温度及び熱束に関する境界条件を必要とするので、測定対象物の関心領域内のみの測定に基づいてその関心領域の熱伝導率を推定することは困難であった。
【０００５】
そこで、上記従来技術の問題点に鑑み、本発明の目的は、熱源及び吸熱源が関心領域の外に存在するという条件あるいは仮定の下で、測定対象物の関心領域に既に温度場が形成されている場合においては外部熱源により人工的に温度分布を生じさせることなく、また、関心領域内の温度（温度勾配）の測定データのみから熱伝導率を直接的に推定できる熱伝導率推定方法及び装置を提供することである。
【０００６】
【課題を解決するための手段】
上記の目的を達成するために、本発明の第１の観点による熱伝導率推定方法は、測定対象物の３次元、２次元、又は、１次元の関心領域内における複数の位置の温度を測定するステップ（ａ）と、ステップ（ａ）において測定された温度データをその測定箇所の位置データと対応付けて記録するステップ（ｂ）と、記録されている温度データ及び位置データと関心領域内に設定された３次元、２次元、又は、１次元の参照領域において得られる参照熱伝導率の値及び位置データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される熱伝導率分布、温度勾配ベクトル分布、又は、温度分布に関して、変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の関心領域内における熱伝導率分布を求めるステップ（ｃ）とを具備する。
【０００７】
ここで、参照領域とは、熱伝導率（分布）が既知である領域、又は、先見的に熱伝導率が一定であるとして単位大きさの値を持つと想定されるか、ある分布（単位大きさの値に対する相対的な値の分布）を持つと想定される領域である。また、参照点とは、伝導率が既知である点、又は、単位大きさの値を持つと想定した点である。結局、関心領域とは、参照領域又は参照点をその内部及び境界に含む熱伝導率分布が未知の領域のことになる。
【０００８】
本発明の第２の観点による熱伝導率推定方法は、測定対象物の１次元の関心領域内における複数の位置の温度を測定するステップ（ａ）と、ステップ（ａ）において測定された温度データをその測定箇所の位置データと対応付けて記録するステップ（ｂ）と、記録されている温度データ及び位置データと関心領域内に設定された１次元の参照領域において得られる参照熱伝導率の値及び位置データとを用いて、所定の１階の空間微分方程式中に表される熱伝導率の１階微分の１次元分布に関して、変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の関心領域内における熱伝導率分布を求めるステップ（ｃ）とを具備する。
【０００９】
本発明の第３の観点による熱伝導率推定方法は、測定対象物の３次元、２次元、又は、１次元の関心領域内における複数の位置の温度を測定するステップ（ａ）と、ステップ（ａ）において測定された温度データをその測定箇所の位置データと対応付けて記録するステップ（ｂ）と、記録されている温度データ及び位置データと関心領域内に設定された３次元、２次元、又は、１次元の参照領域において得られる参照熱伝導率の値及び位置データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される熱伝導率分布、熱伝導率の１階偏微分の分布、温度勾配ベクトル分布、温度勾配ベクトルの発散分布、又は、温度分布に関して有限差分近似、あるいは、ガラーキン法に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の関心領域内における熱伝導率分布を求めるステップ（ｃ）とを具備する。
【００１０】
本発明の第４の観点による熱伝導率推定方法は、測定対象物の３次元、２次元、又は、１次元の関心領域内における複数の位置の温度の時系列を測定するステップ（ａ）と、ステップ（ａ）において測定された温度データをその測定した位置データと測定した時間データと対応付けて記録するステップ（ｂ）と、記録されている温度データ及び位置データ及び時間データと前記関心領域内の３次元、２次元、１次元参照領域において得られる経時的に変化しうる参照熱伝導率、参照拡散率、熱伝導率と密度の参照比、熱伝導率と比熱の参照比、参照密度、参照比熱の値及び位置データ及び時間データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される熱伝導率分布、熱拡散率分布、熱伝導率と密度の比の分布、熱伝導率と比熱の比の分布、密度分布、比熱分布、温度の時間方向の１階偏微分の分布、温度勾配ベクトル分布、又は、温度分布に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における熱伝導率分布、熱拡散率分布、熱伝導率と密度の比の分布、熱伝導率と比熱の比の分布、密度分布、比熱分布、これらの経時的変化や周波数分散を求めるステップ（ｃ）とを具備する。
【００１１】
本発明の第５の観点による熱伝導率推定方法は、測定対象物の１次元の関心領域内における複数の位置の温度の時系列を測定するステップ（ａ）と、ステップ（ａ）において測定された温度データをその測定した位置データと測定した時間データと対応付けて記録するステップ（ｂ）と、記録されている温度データ及び位置データ及び時間データと前記関心領域内の１次元参照領域において得られる経時的に変化しうる参照熱伝導率、参照拡散率、熱伝導率と密度の参照比、熱伝導率と比熱の参照比、参照密度、参照比熱の値及び位置データと時間データを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される熱伝導率の１階微分の１次元分布、熱拡散率の１階微分の１次元分布、熱伝導率と密度の比の１階微分の１次元分布、熱伝導率と比熱の比の１階微分の１次元分布に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における熱伝導率分布、熱拡散率分布、熱伝導率と密度の比の分布、熱伝導率と比熱の比、これらの経時的変化や周波数分散の分布を求めるステップ（ｃ）とを具備する。
【００１２】
本発明の第６の観点による熱伝導率推定方法は、測定対象物の３次元、２次元、又は、１次元の関心領域内における複数の位置の温度の時系列を測定するステップ（ａ）と、ステップ（ａ）において測定された温度データをその測定した位置データと測定した時間データと対応付けて記録するステップ（ｂ）と、記録されている温度データ及び位置データ及び時間データと前記関心領域内の３次元、２次元、１次元参照領域において得られる経時的に変化しうる参照熱伝導率、参照拡散率、熱伝導率と密度の参照比、熱伝導率と比熱の参照比、参照密度、参照比熱の値及び位置データ及び時間データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される熱伝導率分布、熱伝導率の１階偏微分の分布、熱拡散率分布、熱拡散率の１階偏微分の分布、熱伝導率と密度の比の分布、熱伝導率と密度の比の１階偏微分の分布、熱伝導率と比熱の比の分布、熱伝導率と比熱の比の１階偏微分の分布、密度分布、密度の１階偏微分の分布、比熱分布、比熱の１階偏微分の分布、温度の時間方向の１階偏微分の分布、温度勾配ベクトル分布、温度勾配ベクトルの発散分布、又は、温度分布に関して有限差分近似、あるいは、ガラーキン法に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における熱伝導率分布、熱拡散率分布、熱伝導率と密度の比の分布、熱伝導率と比熱の比の分布、密度分布、比熱分布、これらの経時的変化や周波数分散を求めるステップ（ｃ）とを具備する。
【００１３】
また、本発明の第１の観点による熱伝導率推定装置は、測定対象物の３次元、２次元、又は、１次元の関心領域内における複数の位置の温度を測定する温度検出手段と、測定対象物と温度検出手段との間の距離を調整する距離調整手段と、測定対象物と温度検出手段との相対位置を変化させる走査手段と、測定対象物を載置する試料設置台と、温度検出手段によって測定された温度データをその測定箇所の位置データと対応付けて記録するデータ記録手段と、データ記録手段に記録されている温度データ及び位置データと関心領域内に設定された３次元、２次元、又は、１次元の参照領域において得られる参照熱伝導率の値及び位置データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される熱伝導率分布、温度勾配ベクトル分布、又は、温度分布に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の関心領域内における熱伝導率分布を求めるデータ処理手段と、各手段の動作を制御する制御手段とを具備する。
【００１４】
本発明の第２の観点による熱伝導率推定装置は、測定対象物の１次元の関心領域内における複数の位置の温度を測定する温度検出手段と、測定対象物と温度検出手段との間の距離を調整する距離調整手段と、測定対象物と温度検出手段との相対位置を変化させる走査手段と、測定対象物を載置する試料設置台と、温度検出手段によって測定された温度データをその測定箇所の位置データと対応付けて記録するデータ記録手段と、データ記録手段に記録されている温度データ及び位置データと関心領域内に設定された１次元の参照領域において得られる参照熱伝導率の値及び位置データとを用いて、所定の１階の空間微分方程式中に表される熱伝導率の１階微分の１次元分布に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の関心領域内における熱伝導率分布を求めるデータ処理手段と、各手段の動作を制御する制御手段とを具備する。
【００１５】
本発明の第３の観点による熱伝導率推定装置は、測定対象物の３次元、２次元、又は、１次元の関心領域内における複数の位置の温度を測定する温度検出手段と、測定対象物と温度検出手段との間の距離を調整する距離調整手段と、測定対象物と温度検出手段との相対位置を変化させる走査手段と、測定対象物を載置する試料設置台と、温度検出手段によって測定された温度データをその測定箇所の位置データと対応付けて記録するデータ記録手段と、データ記録手段に記録されている温度データ及び位置データと関心領域内に設定された３次元、２次元、又は、１次元の参照領域において得られる参照熱伝導率の値及び位置データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される熱伝導率分布、熱伝導率の１階偏微分の分布、温度勾配ベクトル分布、又は、温度分布に関して有限差分近似、あるいは、ガラーキン法に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の関心領域内における熱伝導率分布を求めるデータ処理手段と、各手段の動作を制御する制御手段とを具備する。
【００１６】
本発明の第４の観点による熱伝導率推定装置は、測定対象物の３次元、２次元、又は、１次元の関心領域内における複数の位置の温度を測定する温度検出手段と、測定対象物と前記温度検出手段との間の距離を調整する距離調整手段と、測定対象物と前記温度検出手段との相対位置を変化させる走査手段と、測定対象物を載置する試料設置台と、前記温度検出手段によって測定された温度データをその測定箇所の位置データと対応付けて記録するデータ記録手段と、前記データ記録手段に記録されている温度データ及び位置データと前記関心領域内に設定された３次元、２次元、又は、１次元の参照領域において得られる参照熱伝導率の値及び位置データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される熱伝導率分布、温度勾配ベクトル分布、又は、温度分布に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における熱伝導率分布を求めるデータ処理手段と、各手段の動作を制御する制御手段とを具備する。
【００１７】
本発明の第５の観点による熱伝導率推定装置は、測定対象物の１次元の関心領域内における複数の位置の温度を測定する温度検出手段と、測定対象物と前記温度検出手段との間の距離を調整する距離調整手段と、測定対象物と前記温度検出手段との相対位置を変化させる走査手段と、測定対象物を載置する試料設置台と、前記温度検出手段によって測定された温度データをその測定箇所の位置データと対応付けて記録するデータ記録手段と、前記データ記録手段に記録されている温度データ及び位置データと前記関心領域内に設定された１次元の参照領域において得られる参照熱伝導率の値及び位置データとを用いて、所定の１階の空間微分方程式中に表される熱伝導率の１階微分の１次元分布に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における熱伝導率分布を求めるデータ処理手段と、各手段の動作を制御する制御手段とを具備する。
【００１８】
本発明の第６の観点による熱伝導率推定装置は、測定対象物の３次元、２次元、又は、１次元の関心領域内における複数の位置の温度を測定する温度検出手段と、測定対象物と前記温度検出手段との間の距離を調整する距離調整手段と、測定対象物と前記温度検出手段との相対位置を変化させる走査手段と、測定対象物を載置する試料設置台と、前記温度検出手段によって測定された温度データをその測定箇所の位置データと対応付けて記録するデータ記録手段と、前記データ記録手段に記録されている温度データ及び位置データと前記関心領域内に設定された３次元、２次元、又は、１次元の参照領域において得られる参照熱伝導率の値及び位置データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される熱伝導率分布、熱伝導率の１階偏微分の分布、温度勾配ベクトル分布、温度勾配ベクトルの発散分布、又は、温度分布に関して有限差分近似、あるいは、ガラーキン法に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における熱伝導率分布を求めるデータ処理手段と、各手段の動作を制御する制御手段とを具備する。
【００１９】
上記のように構成した本発明によれば、熱伝導率が未知である測定対象物の関心領域における熱伝導率を、関心領域内で測定された温度分布から求めることができる。特に、測定対象物内部に既に温度分布が存在する場合においても、その温度場を乱すことなくそのままの温度分布を測定することにより、容易に関心領域の熱伝導率を推定することができる。
【００２０】
【発明の実施の形態】
以下、本発明の実施の形態について、図面を参照しながら詳しく説明する。尚、同一の構成要素には同一の参照番号を付して、説明を省略する。
図１は、本発明の第１の実施形態に係る熱伝導率推定装置の構成を示すブロック図である。本実施形態においては、測定対象物４を試料設置台１５の上に載置して測定を行う。試料設置台１５の上に載置された測定対象物４の温度を測定するために、温度センサ１が、測定対象物４と対向するように配置される。温度センサ１は、温度測定機能を有しており、ハウジング９に保持されて駆動装置２によって駆動される。従って、温度センサ１と駆動装置２とが、温度検出手段を構成することになる。
【００２１】
本実施形態においては、測定対象物４における温度分布を非接触で遠隔的に測定するために、温度センサ１として、赤外線素子を使用した赤外線温度センサを用いている。
【００２２】
赤外線温度センサとしては、（イ）各種赤外線素子を使用した比較的単純な赤外線温度センサ、（ロ）赤外線素子群の受光エネルギーをディジタル演算して焦点位置の設定が可能な赤外線温度センサ、（ハ）赤外線素子群の受光エネルギーをディジタル演算して空間分解能の設定が可能な赤外線温度センサ、（ニ）イ〜ハの温度センサに赤外線レンズを併用して空間分解能及び焦点位置の設定が可能な赤外線温度センサ、（ホ）イ〜ニの温度センサに、能動的に赤外線を放射する機能及びその焦点位置と空間分解能を制御する機能を有する赤外線温度センサ等を用いることができる。
【００２３】
また、測定対象物４と温度センサ１との距離を温度測定のために適切な距離に調整できるように距離調整手段１４が設けられるとともに、温度分布を測定するため、距離方向と直交する面内において測定対象物４の２次元移動が可能なように走査機構３が設けられている。この距離調整手段及び走査機構は、試料設置台側に設けても良いし、温度センサ側に設けても良い。また、距離調整手段と走査機構については、試料設置台側と温度センサ側との両方に設けても良い。この距離調整手段と走査機構の位置は上下逆にすることも可能である。
【００２４】
本実施形態においては、必要に応じて測定対象物４の関心領域内に温度場を発生させるために、温度場発生手段５が設けられている。温度場発生手段５は、例えば、複数の熱電素子を含む熱電モジュールによって構成され、測定対象物に直接的に、あるいは試料載置台及び／又は参照物を介して間接的に、熱を流し込むか又は吸い取ることができる。
【００２５】
さらに、対流の影響を低減して測定精度を向上させるために真空中における測定を可能とするべく、少なくとも測定対象物を格納することのできる真空容器を設けても良い。この真空容器は、真空ポンプによって低圧状態に保たれる。この場合には、計測制御手段６等を、真空容器の外に設置するようにしても良い。赤外線温度センサ１を、真空容器の外に設置する場合には、容器に取り付ける赤外線窓の温度を下げるべく、冷却装置を利用するようにしても良い。
【００２６】
測定対象物４を試料設置台１５に載置し、温度センサで測定するに当り、距離調整手段１４により測定対象物との距離を設定し、走査機構３により測定点を変えて行く。こうして測定された温度データは、その測定位置を表す位置データと対応付けて、データ記録手段７に記録される。データ記録手段７としては、メモリ、ハードディスク、フレキシブルディスク、ＣＤ−ＲＯＭ等を用いることができる。その後、データ記録手段７から読み出されたデータと、測定対象物４の関心領域内に設けられた参照領域における参照値とが、データ処理手段８へ送られる。ここで、関心領域及び参照領域は、３次元、２次元、又は、１次元のいずれの形状を有していても良い。
【００２７】
データ処理手段８は、ディジタル回路で構成しても良いし、ＣＰＵとプログラムで構成しても良い。データ処理手段８においては、後で詳しく説明する（１８）式、（１９）式、（２０）式、（２８）式、（３９）式、（４０）式、（１１６）式〜（１２４）式、又は、（１３４）式〜（１３６）式に基づいて、測定対象物４の関心領域内における熱伝導率分布を表すベクトルＬ’ｌｎ又はＬ’が算出される。尚、絶対的な参照（分布）値が与えられた場合、それが一定である場合には参照値は１．０として処理され、一定でない場合には単位大きさ１．０に対する相対的な値の分布として処理され、相対的な熱伝導率分布が評価された後に、絶対的な参照値を用いて絶対的な分布が評価されることがある。尚、測定対象物の熱伝導率分布、熱拡散率分布、熱伝導率と密度の比の分布、熱伝導率と比熱の比の分布、密度分布、比熱分布等の経時的変化や周波数分散を評価する場合は、経時的に変化しうる熱伝導率、熱拡散率、熱伝導率と密度の比、熱伝導率と比熱の比、密度、比熱に関する参照領域を関心領域に含めることとなる。さらに、データ処理手段８において、測定された温度分布、熱伝導率分布から、温度勾配分布、熱伝導率勾配分布、温度ラプラシアン分布、及び、熱伝導率ラプラシアン分布等が評価され、同様に、熱拡散率分布から、熱拡散率勾配分布、熱拡散率ラプラシアン分布、熱伝導率と密度の比の分布から、熱伝導率と密度の比の勾配分布、熱伝導率と密度の比のラプラシアン分布、熱伝導率と比熱の比の分布から、熱伝導率と比熱の比の勾配分布、熱伝導率と比熱の比のラプラシアン分布、密度分布から、密度の勾配分布、密度のラプラシアン分布、比熱分布から、比熱の勾配分布、比熱のラプラシアン分布等が評価され、これらの周波数分散や経時的変化そのもの及びその絶対変化（差分値）やその相対変化（比の値）を評価することもできる。
【００２８】
この場合、温度センサにおける不良素子の存在により温度データが欠落した場合には、その時間の点又は領域を関心領域から除外して演算を行う。その演算後において、関心領域から除外された時間の点又は領域の熱伝導率（分布）、熱拡散率（分布）、熱伝導率と密度の比（の分布）、熱伝導率と比熱の比（の分布）、密度（分布）、比熱（分布）、これらの経時的変化や周波数分散を、評価された熱伝導率（分布）、熱拡散率（分布）、熱伝導率と密度の比（の分布）、熱伝導率と比熱の比（の分布）、密度（分布）、比熱（分布）、これらの経時的変化や周波数分散から関心時空間内において内挿又は外挿補間処理により評価するようにしても良い。
【００２９】
以上の測定の結果得られた分布データは、必要に応じて、データ記録手段７に送られて記録される。また、以上の測定の結果得られた分布データの少なくとも１つが、ＣＲＴ、液晶、又は、ＬＥＤを用いたもの等を含む表示部１７の画面上に表示されるようにしてもよい。
【００３０】
計測制御手段６は、以上の各部が、測定対象物の熱伝導率を求めるために円滑に機能するように、即ち、各部分が
【課題を解決するための手段】において記載された機能を発揮するように、各部を制御する。
【００３１】
本実施形態においては、赤外線温度センサ等の非接触の温度センサで測定対象物の温度分布を測定して温度勾配ベクトルを評価し、これと関心領域内に設けた参照領域において与えられる参照熱伝導率（分布）の値のみを用いて、３種類の熱伝導率推定方法の基本原理の内の一つを使用して、参照熱伝導率の値に対する相対的な熱伝導率分布を推定する。
【００３２】
既に測定対象物に温度勾配が生じている場合には、関心領域内に適切に参照領域を設けることにより、その温度場を乱すことなく熱伝導率分布を推定することが可能である。ここで、適切な参照領域とは、参照領域が発熱源又は吸熱源に対して適切な相対的配置となることを意味し、関心領域内において参照領域が温度勾配の方向と広く交わる様にするものである。また、発熱又は吸熱を行う温度場発生手段５を用意した上で複数の独立した温度分布を測定することができる場合には、即ち、３次元測定を行う場合に少なくとも３つ、２次元測定を行う場合に少なくとも２つ、１次元測定を行う場合に少なくとも１つ測定可能であれば、関心領域内の少なくとも１つの参照点において与えられる参照熱伝導率値に対する熱伝導率分布を推定することが可能である。但し、温度場の測定数は少ないことが望ましく、仮に温度場の測定数が測定を行う次元数未満となった場合には、上記のごとく、適切に参照領域を設ける必要がある。
【００３３】
更に、温度測定データに低域通過型フィルタをかけた上で、変分原理に基づく汎関数の最小化の際に正則化を施すことにより、温度測定データにエラー（ノイズ）データが含まれる場合や、参照領域が狭くて位置が悪い場合に対し、安定的に熱伝導率を決定できる。これについては、本発明者が先に出願した日本国特許出願（特願２００１−３１５０６４）において、測定された温度勾配ベクトル分布によって記述される熱伝導率に関する１階の空間偏微分方程式中に表される熱伝導率分布あるいは温度勾配ベクトルの分布（又は温度分布）に関して、有限要素近似（ガラーキン法、又は、変分法）あるいは離散（有限差分）近似を施すことにより導出される熱伝導率分布に関する全ての方程式を連立し、これを最小二乗化して解く場合と同様に正則化されることが記載されている。特に、変分原理を適用した場合は、汎関数そのものを最小化する際に正則化を施すことがあることも記載されている。
【００３４】
ガラーキン法に基づいて有限要素近似を施した場合は、関心領域内において成立する１階の空間偏微分方程式中に表される熱伝導率分布ｌｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）あるいは低域通過型フィルタのかけられる温度勾配ベクトル分布Ｄｉ（ｘ，ｙ，ｚ）（又は温度分布）を有限要素近似する際に使用する基底関数を重み基底関数（ガラーキン法）とする。ここで、熱伝導率分布ｌｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）の近似に使用する基底関数φｌｎｋは、１回以上偏微分可能である必要があり、一方、温度分布Ｔｉ（ｘ，ｙ，ｚ）及び温度勾配ベクトル分布Ｄｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の近似に使用する基底関数φＴ及びφＤは、各々、２回以上及び１回以上偏微分可能である必要がある。但し、重み関数として温度勾配ベクトル分布Ｄｉ（ｘ，ｙ，ｚ）又は温度分布Ｔｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の近似に使用する基底関数φＤ又はφＴを使用して、熱伝導率分布ｌｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）の勾配に部分積分を施した場合においては、その基底関数φｌｎｋは直流でも構わない。
その際、常に熱伝導率分布の基底関数が参照熱伝導率（分布）値ｌｎｋ’（ｘ，ｙ，ｚ）を表現できるものとすることにより、未知節点熱伝導率からなるベクトルＬ’ｌｎに関する連立方程式　ＨＬ’ｌｎ＝ｈ（特願２００１−３１５０６４の数式１）が導出され、これをベクトルＬ’ｌｎ　に関して最小二乗化する際に、正則化を行う場合は、温度勾配ベクトル分布そのものの測定精度（ＳＮ比）に依存してその大きさ（正値）が空間的に一様に適切に設定される（例えば、各温度勾配ベクトル分布のＳＮパワー比に反比例した値の和）ことのある、あるいは、温度（勾配ベクトル）の測定精度（ＳＮ比）の分布に依存してその大きさ（正値）が空間的に適切に調節される（例えば、各温度勾配ベクトル分布の各位置において評価されるＳＮパワー比に反比例した値の和）ことのある正則化パラメータα１、α２、α３（正値）を使用して次式のように処罰項を加える（特願２００１−３１５０６４の数式２）。ここで、温度勾配ベクトル分布データは、低域通過型フィルタのかけられた温度分布測定データに微分フィルタをかけるか、温度分布測定データに帯域制限付微分フィルタをかけるか、又は、基底関数を用いて表された低域通過型フィルタのかけられた温度分布測定データを偏微分するかのいずれかにより得られ、一方、温度勾配ベクトルの発散の分布データは、同様に、温度勾配ベクトル分布データに微分フィルタをかけるか、又は、基底関数を用いて表された温度勾配ベクトル分布を偏微分するかのいずれかにより得られる。
2004125397.tif 000003
【００３５】
これを汎関数として最小化することにより、ベクトルＬ’ｌｎ　に関する次の正則化された正規方程式が得られる（特願２００１−３１５０６４の数式３）。
（ＨＴＨ＋α１Ｉ＋α２ＧＴＧ＋α３ＧＴＧＧＴＧ）Ｌ’ｌｎ＝ＨＴｈ
但し、Ｇ、ＧＴＧ、ＧＴＧＧＴＧの各々は、有限要素近似あるいは有限差分近似された未知熱伝導率分布ｌｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）の勾配作用素、ラプラシアン作用素、及び、ラプラシアン２乗作用素であり、ＨＴＨが数値解析的に不安定（特異）であっても、Ｉ、ＧＴＧ、及び、ＧＴＧＧＴＧは正定値であるため、これを解くことにより、推定結果として安定的に一意に未知伝導率分布ｌｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）を得る（基底関数を使用する）。
尚、関心領域内の熱伝導率ｌｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）分布（参照熱伝導率（分布）を含む）に関して、同様にして、正則化された正規方程式を導出し、これに低域通過型フィルタのかけられた温度勾配ベクトル分布Ｄｉ（ｘ，ｙ，ｚ）及び参照熱伝導率（分布）値ｌｎｋ’（ｘ，ｙ，ｚ）を代入して未知熱伝導率分布ｌｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）を求めても良い。有限差分近似を行った場合には、α１が常に零であることおよび処罰項が有限差分近似されること以外は同様であり、正則化により安定的に未知熱伝導率分布を得る（但し、離散分布）。
【００３６】
本出願において、３種類の熱伝導率推定方法の基本原理を示すが、いずれも、独立した複数の温度分布が測定された場合には各温度分布（又は、これより評価される温度勾配ベクトル分布）をそのノルム（大きさ）を用いて正規化した上で、未知熱伝導率に関する、正則化されることのある、連立方程式又は正規方程式を導出してこれらを解くため、従って、本出願の第１の基本原理は、出願済みの、熱伝導率分布、温度勾配ベクトル分布、又は、温度分布に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用するものを含み、また、本出願の第２の基本原理は、出願済みの、熱伝導率分布、温度勾配ベクトル分布、又は、温度分布に関してガラーキン法に基づく有限要素近似又は離散近似、あるいは、有限差分近似を適用するものを含み、本出願の第３の基本原理は、温度分布の時間変化がある場合の熱伝導率分布の推定法として、時間変化を伴なうことのある熱伝導率分布、密度分布、比熱分布、密度と比熱の積の分布、熱拡散率分布、熱伝導率と密度の比の分布、熱伝導率と比熱の比の分布を計測対象として、第１及び第２の基本原理に基づいて、変分原理やガラーキン法に基づく有限要素近似又は離散近似、あるいは、有限差分近似を適用するものを含むこととなる。
【００３７】
次に、図２のフローチャートを参照しながら、本発明の第１の実施形態に係る熱伝導率推定方法について説明する。
まず、ステップＳ１において、測定対象物４において測定された独立した温度場（又は温度場時系列）の数が、計測する空間の次元数以上であるか否かを判断する。計測空間の次元数以上である場合には、ステップＳ２において、少なくとも１つの参照点の設定を行う。一方、測定空間の次元数未満である場合には、ステップＳ３において、温度勾配の方向と広く交わる少なくとも１つの参照領域の設定を行う。
【００３８】
次に、ステップＳ４において、関心領域を測定領域として設定し、温度場（又は温度場時系列）の測定つまり温度分布（又は温度分布の時系列）の測定を行う。
複数の独立温度分布（又は独立した温度分布の時系列）を測定する場合には、次のように行う。図１に示す温度場発生手段５を用いて、関心領域に第１の温度場を生じさせ、その測定を実施する。続いて、温度場発生手段５により、熱の発生又は吸い込み位置を変えて異なる第２の温度場を生じさせ、その測定を行う。以下、同様である。
【００３９】
既に温度場が存在する場合には、温度場発生手段５を使用せず、その１つのみを測定し、参照領域を設定しても良い。
測定においては、距離調整手段１４と走査機構３を調整して測定対象物を走査しながら、位置データと温度データとをデータ記録手段７に入力する。
【００４０】
次に、ステップＳ５において、図１に示すデータ処理手段８により、データ記録手段７から読み出したデータに対してノイズ除去のためのフィルタリングを行うことにより空間的に平滑化する。また、ステップＳ６において、（１８）式、（１９）式、（２０）式、（２８）式、（３９）式、（４０）式、（１１６）式〜（１２４）式、（１３４）式〜（１３６）式の正規方程式の係数を求める。さらに、ステップＳ７において、この正規方程式を解いて、関心領域の熱伝導率分布Ｌ’ｌｎ又はＬ’を求める。
【００４１】
以下に、ステップＳ６及びＳ７のデータ処理における３種類の熱伝導率推定方法の基本原理について、詳しく説明する。
第１の熱伝導率推定方法の基本原理によれば、測定された温度勾配ベクトル分布によって記述される熱伝導率分布に関する１階の空間偏微分方程式を立てて、これに対して、３次元、２次元、１次元関心領域を対象とする場合は熱伝導率分布あるいは温度勾配ベクトル（又は温度）の分布に関して、また、１次元関心領域を対象とする場合は熱伝導率の１階微分の１次元分布に関しても変分原理に基づく有限要素近似や離散近似を施してモデル化できる。
【００４２】
デカルト座標系（ｘ，ｙ，ｚ）において、温度場を３次元関心領域において測定できる場合には、３つの独立した温度場Ｔ１、Ｔ２、Ｔ３を測定することにより次の連立偏微分方程式が成立する。
【数１】
2004125397.tif 000004
但し、温度勾配ベクトルＤ１＝−∇Ｔ１、Ｄ２＝−∇Ｔ２、Ｄ３＝−∇Ｔ３である。
【００４３】
温度場を２次元関心領域において測定できる場合には、２つの独立した温度場Ｔ１、Ｔ２を測定することにより、次の連立偏微分方程式が成立する。
【数２】
2004125397.tif 000005
【００４４】
尚、温度場を１次元関心領域にて測定できる場合には、１つの温度場Ｔ１を測定することにより、次の偏微分方程式が成立する。
【数３】
2004125397.tif 000006
【００４５】
１つの温度場のみを測定できる場合には、（１）式〜（３）式の各々において１つの偏微分方程式のみが成立する。また、複数の温度分布が測定された場合には、温度分布の数だけ連立した方程式を得ることができる。
尚、（１）式〜（３）式中の右辺の符号を変え、熱伝導率の自然対数ｌｎｋの１階の偏微分を熱伝導率の逆数の自然対数ｌｎ（１／ｋ）の１階の偏微分に置き換えたものが、熱伝導率の逆数の自然対数そのものｌｎ（１／ｋ）を変数とする偏微分方程式として扱われることがある。以下において、（１）式〜（３）式に関しては、熱伝導率の自然対数ｌｎｋそのものを変数とする場合に関して説明するが、熱伝導率の逆数の自然対数そのものｌｎ（１／ｋ）を変数とする場合は、同様に、熱伝導率の逆数の自然対数ｌｎ（１／ｋ）又は熱伝導率の逆数（１／ｋ）を求め、その上で、熱伝導率の自然対数ｌｎｋ又は熱伝導率ｋを評価することがある。熱伝導率の自然対数そのものｌｎｋを変数とする場合は、関心領域内に断熱材などの熱伝導率の極めて低い物体を含む場合に有効である場合があり、又、熱伝導率の逆数の自然対数そのものｌｎ（１／ｋ）を変数とする場合は、関心領域内に熱伝導率の極めて高い物体を含む場合に有効である場合がある。
また、（１）式〜（３）式は、各々、両辺に熱伝導率ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）、ｋ（ｘ，ｙ）、ｋ（ｘ）をかけた上で、熱伝導率そのものｋを変数とする偏微分方程式として扱われることがある。また、この場合、熱伝導率ｋの１階の偏微分を含まない項の符号を変え、全ての熱伝導率ｋを熱伝導率の逆数（１／ｋ）に置き換えたものが、熱伝導率の逆数そのもの（１／ｋ）を変数とする偏微分方程式として扱われることがある。以下においては、熱伝導率ｋを変数とする場合に関して説明するが、熱伝導率の逆数（１／ｋ）を変数とする場合は、同様に、熱伝導率の逆数（１／ｋ）又は熱伝導率の逆数の自然対数ｌｎ（１／ｋ）を求め、その上で、熱伝導率ｋ又は熱伝導率の自然対数ｌｎｋを評価することがある。熱伝導率そのものｋを変数とする場合は、関心領域内に断熱材などの熱伝導率の極めて低い物体を含む場合に有効である場合があり、又、熱伝導率の逆数そのもの１／ｋを変数とする場合は、関心領域内に熱伝導率の極めて高い物体を含む場合に有効である場合がある。
【００４６】
一般的に、初期条件は、
【数４】
2004125397.tif 000007
という形で、関心領域内の複数の参照領域ｗｍ（ｍ＝１〜Ｎ）において与えられるが、測定を行う関心領域の次元数と同数の独立な温度場が測定された場合には、参照値は関心領域内の１点で与えられれば良い。
【００４７】
この様な１階の空間偏微分方程式中に現れる熱伝導率分布あるいは温度勾配ベクトル分布（又は温度分布）に対し、有限要素近似（変分原理）を適用する。
以下に、Ｌｌｎ及びＬを、各々、関心領域内の熱伝導率分布ｌｎｋ及びｋをそれぞれ表すベクトルとし、ｓを関心領域内の温度勾配ベクトル分布Ｄｉ（又は、温度分布Ｔｉ）を表すベクトルとして、３次元、２次元、及び、１次元関心領域において成立する汎関数を示す。但し、ｉ（＝１〜Ｍ）は測定された温度分布を指し、Ｍは測定された独立した温度分布の数（１以上）である。
【００４８】
３次元関心領域を対象とした際に、熱伝導率分布に変分原理を施した場合の汎関数は、次式のようになる。
【数５】
2004125397.tif 000008
【００４９】
また、３次元関心領域を対象とした際に、温度勾配ベクトル分布（又は、温度分布）に変分原理を施した場合の汎関数は、次式のようになる。
【数６】
2004125397.tif 000009
【００５０】
次に、２次元関心領域を対象とした際に、熱伝導率分布に変分原理を施した場合の汎関数は、次式のようになる。
【数７】
2004125397.tif 000010
【００５１】
また、２次元関心領域を対象とした際に、温度勾配ベクトル分布（又は、温度分布）に変分原理を施した場合の汎関数は、次式のようになる。
【数８】
2004125397.tif 000011
【００５２】
次に、１次元関心領域を対象とした際に、熱伝導率分布又は熱伝導率の１階微分の分布に変分原理を施した場合の汎関数は、次式のようになる。
【数９】
2004125397.tif 000012
【００５３】
また、１次元関心領域を対象とした際に、温度勾配ベクトル分布（又は、温度分布）に変分原理を施した場合の汎関数は、次式のようになる。
【数１０】
2004125397.tif 000013
【００５４】
（５）式〜（１０）式の汎関数は、各汎関数中に表される熱伝導率分布Ｌｌｎ、熱伝導率分布Ｌ、及び、温度勾配ベクトル分布（温度分布）ｓに関して有限要素近似されるが、３次元空間においては３次元基底関数が使用され、２次元空間においては２次元基底関数が使用され、１次元空間においては１次元基底関数が使用される。以下においては、要素の節点数は省略する。
【００５５】
３次元関心領域を対象とする場合において、（５）式中の３次元熱伝導率分布ｌｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）は、３次元節点熱伝導率ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）及び３次元基底関数φ３ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて、ｌｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）　と内挿される。（６）式中の３次元熱伝導率分布ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）は、３次元節点熱伝導率ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）及び３次元基底関数φ３ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて、ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と内挿される。一方、（５）式及び（６）式中の３次元温度勾配ベクトル分布Ｄｉ（ｘ，ｙ，ｚ）は、３次元節点温度勾配ベクトル［Ｄｉｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），　Ｄｉｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），　Ｄｉｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］Ｔ及び基底関数φ３Ｄ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて、Ｄｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　［ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３Ｄ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｄｉｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３Ｄ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｄｉｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３Ｄ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｄｉｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］Ｔと内挿される。また、（６）式中の温度分布Ｔｉ（ｘ，ｙ，ｚ）は、３次元節点温度Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）及び基底関数φ３Ｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて、Ｔｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３Ｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と内挿される。
【００５６】
２次元関心領域を対象とする場合において、（７）式中の２次元熱伝導率分布ｌｎｋ（ｘ，ｙ）は、２次元節点熱伝導率ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ）及び２次元基底関数φ２ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，ｘ，ｙ）を用いて、ｌｎｋ（ｘ，ｙ）　〜　ΣＩ，Ｊφ２ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，ｘ，ｙ）ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ）と内挿される。（８）式中の２次元熱伝導率分布ｋ（ｘ，ｙ）は、２次元節点熱伝導率ｋ（Ｉ，Ｊ）及び２次元基底関数φ２ｋ（Ｉ，Ｊ，ｘ，ｙ）を用いて、ｋ（ｘ，ｙ）　〜　ΣＩ，Ｊφ２ｋ（Ｉ，Ｊ，ｘ，ｙ）ｋ（Ｉ，Ｊ）と内挿される。一方、（７）式及び（８）式中の２次元温度勾配ベクトル分布Ｄｉ（ｘ，ｙ）は、２次元節点温度勾配ベクトル［Ｄｉｘ（Ｉ，Ｊ），　Ｄｉｙ（Ｉ，Ｊ）］Ｔ及び基底関数φ２Ｄ（Ｉ，Ｊ，ｘ，ｙ）を用いて、Ｄｉ（ｘ，ｙ）　〜［ΣＩ，Ｊφ２Ｄ（Ｉ，Ｊ，ｘ，ｙ）Ｄｉｘ（Ｉ，Ｊ），　ΣＩ，Ｊφ２Ｄ（Ｉ，Ｊ，ｘ，ｙ）Ｄｉｙ（Ｉ，Ｊ）］Ｔと内挿される。また、（８）式中の温度分布Ｔｉ（ｘ，ｙ）は、２次元節点温度Ｔｉ（Ｉ，Ｊ）及び基底関数φ２Ｔ（Ｉ，Ｊ，ｘ，ｙ）を用いて、Ｔｉ（ｘ，ｙ）　〜　ΣＩ，Ｊφ２Ｔ（Ｉ，Ｊ，ｘ，ｙ）Ｔｉ（Ｉ，Ｊ）と内挿される。
【００５７】
１次元関心領域を対象とする場合において、（９）式中の１次元熱伝導率分布ｌｎｋ（ｘ）は、１次元節点熱伝導率ｌｎｋ（Ｉ）及び１次元基底関数φ１ｌｎｋ（Ｉ，ｘ）を用いて、ｌｎｋ（ｘ）〜ΣＩφ１ｌｎｋ（Ｉ，ｘ）ｌｎｋ（Ｉ）と内挿される。（１０）式中の１次元熱伝導率分布ｋ（ｘ）は、１次元節点熱伝導率ｋ（Ｉ）及び１次元基底関数φ１ｋ（Ｉ，ｘ）を用いて、ｋ（ｘ）〜ΣＩφ１ｋ（Ｉ，ｘ）ｋ（Ｉ）　と内挿される。一方、（９）式及び（１０）式中の１次元温度勾配ベクトル分布Ｄｉ（ｘ）は、１次元節点温度勾配ベクトルＤｉｘ（Ｉ）及び基底関数φ１Ｄ（Ｉ，ｘ）を用いて、Ｄｉ（ｘ）〜ΣＩφ１Ｄ（Ｉ，ｘ）Ｄｉｘ（Ｉ）と内挿される。また、（１０）式中の温度分布Ｔｉ（ｘ）は、１次元節点温度Ｔｉ（Ｉ）及び基底関数φ１Ｔ（Ｉ，ｘ）を用いて、Ｔｉ（ｘ）〜ΣＩφ１Ｔ（Ｉ，ｘ）Ｔｉ（Ｉ）と内挿される。
【００５８】
但し、前述の基底関数の各々の微分可能性に関して、熱伝導率分布の近似に使用する基底関数φｌｎｋ及びφｋは、１回以上偏微分可能である必要があり、一方、温度分布及び温度勾配ベクトル分布の近似に使用する基底関数φＴ及びφＤは、各々、２回以上及び１回以上偏微分可能である必要がある。ここで、温度勾配ベクトル分布の基底関数は、前述のφＤとは別に、温度分布の基底関数φＴを偏微分することでも得られ、一方、温度勾配ベクトルの発散の分布の基底関数は、温度勾配ベクトル分布の基底関数を偏微分することでも得られる。ここで、熱伝導率分布の基底関数φｌｎｋ及びφｋに関しては、各々、参照熱伝導率（分布）値ｌｎｋ’（ｘ，ｙ，ｚ）及びｋ’（ｘ，ｙ，ｚ）を表現できるものである必要があることを断っておく。また、（５）〜（１０）式中において必要となる温度分布測定データには低域通過型フィルタがかけられ、温度勾配ベクトル分布データは、その低域通過型フィルタのかけられた温度分布測定データに微分フィルタをかけるか、又は、温度分布測定データに帯域制限付微分フィルタをかけるか、又は、基底関数φＴを用いて表された温度分布を偏微分するかのいずれかにより評価される。一方、温度勾配ベクトルの発散の分布データは、同様に、温度勾配ベクトル分布データに微分フィルタをかけるか、又は、基底関数φＤを用いて表された温度勾配ベクトル分布を偏微分するかのいずれかにより評価される。従って、使用される基底関数は、いずれも、必要となる微分処理を少なくとも可能とするものであれば十分である。
【００５９】
具体的に、（５）式、（７）式、（９）式の汎関数が使用される際は、次式に示す汎関数（ｉ＝１〜Ｍ）のいずれかが求められる。
【数１１】
2004125397.tif 000014
又は、
【数１２】
2004125397.tif 000015
但し、Ｐｉは、関心領域内の温度勾配ベクトル分布Ｄｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値である。
【００６０】
これらをＬｌｎに関する汎関数とする。但し、（１１）式は、一つのみの温度分布が測定された場合においてのみ使用できる。（１２）式の（）内の汎関数は、正規化を施していないものである。例えば、３次元関心領域を対象とした場合において、これらの汎関数は、前述の基底関数を用いて有限要素化された上で、低域通過型フィルタのかけられた温度勾配ベクトル分布データＤｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、及び、参照熱伝導率（分布）の値ｌｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）が代入された後、未知熱伝導率分布ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’ｌｎに関して最小化されるか、又は、関心領域内の熱伝導率分布ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ”ｌｎに関して最小化された後、温度勾配ベクトル分布データＤｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、及び、参照熱伝導率（分布）の値ｌｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）が代入される。
【００６１】
その結果、（１１）式より、一つの温度分布Ｔｉが測定された際の未知熱伝導率分布ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’ｌｎに関する次の連立方程式が得られる。
【数１３】
2004125397.tif 000016
さらに、（１２）式より、一つ以上の温度分布Ｔｉ（ｉ＝１〜Ｍ）が測定された際の最小二乗法に基づく未知熱伝導率分布ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’ｌｎに関する次の正規方程式が得られる。
【数１４】
2004125397.tif 000017
これらを解くことにより、推定結果としてｌｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）を得る（基底関数φ３ｌｎｋを使用する）。但し、（１３）式中のＡｉ及びａｉ、及び、（１４）式中のＡ’ｉ及びａ’ｉは、一連の計算により導出された、使用された基底関数と、測定された温度勾配ベクトル分布データＤｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と、温度勾配ベクトルの発散の分布データと、参照熱伝導率（分布）の値ｌｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）とからなる行列及びベクトルである。２次元関心領域、及び、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。
【００６２】
（１１）式及び（１２）式の汎関数を最小化する際に、Ａｉ、ａｉ、Ａ’、及び、ａ’は低域通過型フィルタのかけられた温度勾配ベクトル分布データ及び温度勾配ベクトルの発散の分布データで決まるが、Ａｉ及びＡ’の逆作用素は、各々、ａｉ及びａ’に含まれる高周波数帯域のノイズを増幅させてしまう。また、特に、１つの温度分布が測定された場合（Ｍ＝１）は、発熱源又は吸熱源と参照領域との相対的配置が不適切なものとなることがある。その結果、Ｌ’ｌｎが不安定な結果となってしまう。そこで、いわゆる正則化を応用して再構成の安定化を図るようにしても良い。
【００６３】
具体的には、各温度分布Ｔｉに対して設定されうる正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉ（正の値）を使用して、連続座標系において、次のような処罰項を考える。
【００６４】
３次元関心領域を対象にした場合には、以下のようになる。
【数１５】
2004125397.tif 000018
【００６５】
２次元関心領域を対象にした場合には、以下のようになる。
【数１６】
2004125397.tif 000019
【００６６】
１次元関心領域を対象にした場合には、以下のようになる。
【数１７】
2004125397.tif 000020
【００６７】
即ち、一つの温度分布Ｔｉが測定されて（１１）式の汎関数が扱われる場合に、（１５）式〜（１７）式によって与えられる処罰項の各々を、（５）式、（７）式、（９）式の有限要素近似において導入した基底関数を使用して有限要素化し、例えば、３次元関心領域を対象とした場合には、有限要素化された熱伝導率ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）に参照熱伝導率（分布）の値ｌｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を代入した上で、（１１）式の汎関数ＩＩｉ（Ｌ’ｌｎ）に加え、これをＬ’ｌｎに関して最小化する。この場合、基底関数φ３ｌｎｋは２回偏微分可能である必要がある。あるいは、（１５）式〜（１７）式の処罰項を有限差分近似して、参照熱伝導率（分布）の値ｌｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を代入した上で、同様に、（１１）式の汎関数ＩＩ（Ｌ’ｌｎ）に加え、これをＬ’ｌｎに関して最小化する。その結果、例えば、３次元関心領域を対象とした場合には、未知熱伝導率分布ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’ｌｎに関する正則化された次の連立方程式が得られる。
【数１８】
2004125397.tif 000021
これを解くことにより、推定結果としてｌｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）を得る（基底関数φ３ｌｎｋを使用する）。特に、ＧＴＧ、ＧＴＧＧＴＧの各々は、有限要素近似あるいは有限差分（離散）近似された熱伝導率分布ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）のラプラシアン作用素及びラプラシアン２乗作用素を表す。２次元、及び、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【００６８】
正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉは、（１８）式においては、同時に負の値をとり得、熱伝導率分布を表すベクトルＬ’ｌｎにかかる行列が数値解析的に安定化する様に、これらの絶対値は大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉの絶対値は、各温度勾配ベクトル分布の大きさに依存する各測定温度勾配ベクトル分布データの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各温度勾配ベクトル分布のＳＮパワー比の平方根に反比例した値とする。尚、温度勾配ベクトル分布のＳＮ比は、測定された温度分布データの間隔や温度分布そのもの（即ち、温度勾配方向、温度勾配成分の大きさ）に依存し、また、測定温度分布データのＳＮ比がセンサーの開口の方向に依存する場合があるため、各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比はその成分分布ごとに異なるものとなり、α２ｉおよびα３ｉは、これらに依存して、（１５）式および（１６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。即ち、α２ｉおよびα３ｉの絶対値は、各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮパワー比の平方根に反比例した値とする。その際には、α２ｉおよびα３ｉの絶対値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔に反比例した値）、これらの絶対値は、各温度勾配ベクトル分布のＳＮ比および各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその絶対値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
【００６９】
尚、温度測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、表面が平らであり温度が一定である黒体を対象に、複数回、温度分布の測定を行い、その測定温度分布データの平均値の２乗及びその測定温度分布データの分散値の比からＳＮパワー比を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、又は、黒体を対象にＳＮ比を評価するようにしても良い。各要素の節点（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の温度勾配ベクトルデータから、関心領域全体の温度勾配ベクトル分布Ｄｉ（ｘ，ｙ，ｚ）のＳＮ比が見積もられる。
【００７０】
また、正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉは、（１５）式〜（１７）式において空間的に変化するものとして実現されることもあり、結果的に、（１８）式においては、同時に負の値をとり得、熱伝導率分布を表すベクトルＬ’ｌｎの成分である各関心点の熱伝導率にかかる局所行列が数値解析的に安定化する様に、これらの絶対値は大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉの絶対値は、各温度勾配ベクトル分布の各関心点の温度勾配ベクトルの大きさに依存する各測定温度勾配ベクトルデータの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い位置においては小さく、ＳＮ比が低い位置においては大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各温度勾配ベクトル分布の各位置において評価されたＳＮパワー比の平方根に反比例した値とする。尚、温度勾配ベクトルのＳＮ比は、測定された温度分布データの間隔や温度勾配方向（即ち、温度勾配成分の大きさ）に依存し、また、測定温度分布データのＳＮ比がセンサーの開口の方向に依存する場合があるため、各温度勾配ベクトル分布の各関心点において、温度勾配ベクトルの成分のＳＮ比はその成分ごとに異なるものとなり、α２ｉおよびα３ｉは、位置だけでなく、これらに依存して（１５）式および（１６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。即ち、α２ｉおよびα３ｉの絶対値は、各温度勾配ベクトル分布の各温度勾配ベクトルの成分のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各温度勾配ベクトル分布の各位置において評価された成分のＳＮパワー比の平方根に反比例した値とする。その際には、α２ｉおよびα３ｉの絶対値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔に反比例した値）、これらの絶対値は、各温度勾配ベクトルのＳＮ比およびその各成分のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその絶対値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
【００７１】
尚、温度測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、表面が平らであり温度が一定である黒体を対象に、複数回、温度分布の測定を行い、各位置において、測定温度データの平均値の２乗及び測定温度データの分散値の比を評価し、ＳＮパワー比の分布を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、又は、黒体を対象にＳＮ比の分布を評価することがある。各節点（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の温度勾配ベクトルデータのＳＮ比、又は、各要素の節点の温度勾配ベクトルのＳＮ比より評価される各要素における温度勾配ベクトルのＳＮ比が見積もられる。
【００７２】
次に、一つ以上の温度分布Ｔｉ（ｉ＝１〜Ｍ）が測定されて（１２）式の汎関数が扱われる場合においても、同様に、（１５）式〜（１７）式によって与えられる処罰項の各々を、（５）式、（７）式、（９）式の有限要素近似において導入した基底関数を使用して有限要素化し、例えば、３次元関心領域を対象とした場合には、有限要素化された熱伝導率ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）に参照熱伝導率（分布）の値ｌｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を代入した上で、（１２）式の汎関数ＩＩ（Ｌ’ｌｎ）に加え、これをＬ’ｌｎに関して最小化する。この場合、基底関数φ３ｌｎｋは２回偏微分可能である必要がある。あるいは、（１５）式〜（１７）式の処罰項を有限差分近似して、参照熱伝導率（分布）の値ｌｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を代入した上で、同様に、（１２）式の汎関数ＩＩ（Ｌ’ｌｎ）に加え、これをＬ’ｌｎに関して最小化する。その結果、例えば、３次元関心領域を対象とした場合には、未知熱伝導率分布ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’ｌｎに関する正則化された次の正規方程式が得られる。
【数１９】
2004125397.tif 000022
これを解くことにより、推定結果としてｌｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）を得る（基底関数φ３ｌｎｋを使用する）。特に、ＧＴＧ、ＧＴＧＧＴＧの各々は、有限要素近似あるいは有限差分（離散）近似された熱伝導率分布ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）のラプラシアン作用素及びラプラシアン２乗作用素を表す。２次元、及び、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【００７３】
正則化パラメータα１、α２、α３は、（１９）式において、熱伝導率分布を表すベクトルＬ’ｌｎにかかる行列が数値解析的に正定値となる様に、大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉの値は、各温度勾配ベクトル分布の大きさに依存する各測定温度勾配ベクトル分布データの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各温度勾配ベクトル分布のＳＮパワー比に反比例した値とする。尚、温度勾配ベクトル分布のＳＮ比は、測定された温度分布データの間隔や温度分布そのもの（即ち、温度勾配方向、温度勾配成分の大きさ）に依存し、また、測定温度分布データのＳＮ比がセンサーの開口の方向に依存する場合があるため、各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比はその成分分布ごとに異なるものとなり、α２ｉおよびα３ｉは、これらに依存して、（１５）式および（１６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。即ち、α２ｉおよびα３ｉは、各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮパワー比に反比例した値とする。その際には、α２ｉおよびα３ｉの値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔の二乗に反比例した値）、これらの値は、各温度勾配ベクトル分布のＳＮ比および各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
【００７４】
尚、温度測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、表面が平らであり温度が一定である黒体を対象に、複数回、温度分布の測定を行い、その測定温度分布データの平均値の２乗及びその測定温度分布データの分散値の比からＳＮパワー比を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、又は、黒体を対象にＳＮ比を評価するようにしても良い。各要素の節点（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の温度勾配ベクトルデータから、関心領域全体の温度勾配ベクトル分布Ｄｉ（ｘ，ｙ，ｚ）のＳＮ比が見積もられる。
【００７５】
また、正則化パラメータα１、α２、α３は、（１５）式〜（１７）式において空間的に変化するものとして実現されることもあり、結果的に、（１９）式において、熱伝導率分布を表すベクトルＬ’ｌｎの成分である各関心点の熱伝導率にかかる局所行列が数値解析的に正定値となる様に、大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉの値は、各温度勾配ベクトル分布の各関心点の温度勾配ベクトルの大きさに依存する各測定温度勾配ベクトルデータの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い位置においては小さく、ＳＮ比が低い位置においては大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各温度勾配ベクトル分布の各位置において評価されたＳＮパワー比に反比例した値とする。尚、温度勾配ベクトルのＳＮ比は、測定された温度分布データの間隔や温度勾配方向（即ち、温度勾配成分の大きさ）に依存し、また、測定温度分布データのＳＮ比がセンサーの開口の方向に依存する場合があるため、各温度勾配ベクトル分布の各関心点において、温度勾配ベクトルの成分のＳＮ比はその成分ごとに異なるものとなり、α２ｉおよびα３ｉは、位置だけでなく、これらに依存して（１５）式および（１６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。即ち、α２ｉおよびα３ｉの値は、各温度勾配ベクトル分布の各温度勾配ベクトルの成分のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各温度勾配ベクトル分布の各位置において評価された成分のＳＮパワー比に反比例した値とする。その際には、α２ｉおよびα３ｉの値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔の二乗に反比例した値）、これらの値は、各温度勾配ベクトルのＳＮ比およびその各成分のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
【００７６】
尚、温度測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、表面が平らであり温度が一定である黒体を対象に、複数回、温度分布の測定を行い、各位置において、測定温度データの平均値の２乗及び測定温度データの分散値の比を評価し、ＳＮパワー比の分布を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、又は、黒体を対象にＳＮ比の分布を評価することがある。各節点（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の温度勾配ベクトルデータのＳＮ比、又は、各要素の節点の温度勾配ベクトルのＳＮ比より評価される各要素における温度勾配ベクトルのＳＮ比が見積もられる。
【００７７】
また、温度分布Ｔｉ（ｉ＝１〜Ｍ）が測定されて（１２）式の汎関数が扱われる際においては、（１５）式〜（１７）式によって与えられる処罰項の各々を、（５）式、（７）式、（９）式の有限要素近似において導入した基底関数を使用して有限要素化し、例えば、３次元関心領域を対象とした場合には、有限要素化された熱伝導率ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）に参照熱伝導率（分布）の値ｌｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を代入した上で、（１２）式の２乗ノルム内において、汎関数Ｉｉ（Ｌ’ｌｎ）に加えて、これをＬ’ｌｎに関して最小化した上、その２乗ノルムをＬ’ｌｎに関して最小化することがある。この場合、基底関数φ３ｌｎｋは２回偏微分可能である必要がある。あるいは、（１５）式〜（１７）式の処罰項を有限差分近似して、参照熱伝導率（分布）の値ｌｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を代入した上で、同様に、（１２）式の２乗ノルム内において、汎関数Ｉｉ（Ｌ’ｌｎ）に加えて、これをＬ’ｌｎに関して最小化した上、その２乗ノルムをＬ’ｌｎに関して最小化する。その結果、例えば、３次元関心領域を対象とした場合には、未知熱伝導率分布ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’ｌｎに関する正則化された次の正規方程式が得られる。
【数２０】
2004125397.tif 000023
これを解くことにより、推定結果としてｌｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）を得る（基底関数φ３ｌｎｋを使用する）。特に、ＧＴＧ、ＧＴＧＧＴＧの各々は、有限要素近似あるいは有限差分（離散）近似された熱伝導率分布ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）のラプラシアン作用素及びラプラシアン２乗作用素を表す。２次元、及び、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【００７８】
正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉは、（２０）式においては、同時に負の値をとり得、熱伝導率分布を表すベクトルＬ’ｌｎにかかる行列が数値解析的に正定値となる様に、これらの絶対値は大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉの絶対値は、各温度勾配ベクトル分布の各関心点の温度勾配ベクトルの大きさに依存する各測定温度勾配ベクトルデータの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い位置においては小さく、ＳＮ比が低い位置においては大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各温度勾配ベクトル分布の各位置において評価されたＳＮパワー比の平方根に反比例した値とする。尚、温度勾配ベクトルのＳＮ比は、測定された温度分布データの間隔や温度勾配方向（即ち、温度勾配成分の大きさ）に依存し、また、測定温度分布データのＳＮ比がセンサーの開口の方向に依存する場合があるため、各温度勾配ベクトル分布の各関心点において、温度勾配ベクトルの成分のＳＮ比はその成分ごとに異なるものとなり、α２ｉおよびα３ｉは、位置だけでなく、これらに依存して（１５）式および（１６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。即ち、α２ｉおよびα３ｉの絶対値は、各温度勾配ベクトル分布の各温度勾配ベクトルの成分のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各温度勾配ベクトル分布の各位置において評価された成分のＳＮパワー比の平方根に反比例した値とする。その際には、α２ｉおよびα３ｉの絶対値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔に反比例した値）、これらの絶対値は、各温度勾配ベクトルのＳＮ比およびその各成分のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその絶対値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
【００７９】
尚、温度測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、表面が平らであり温度が一定である黒体を対象に、複数回、温度分布の測定を行い、その測定温度分布データの平均値の２乗及びその測定温度分布データの分散値の比からＳＮパワー比を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、又は、黒体を対象にＳＮ比を評価するようにしても良い。各要素の節点（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の温度勾配ベクトルデータから、関心領域全体の温度勾配ベクトル分布Ｄｉ（ｘ，ｙ，ｚ）のＳＮ比が見積もられる。
【００８０】
また、正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉは、（１５）式〜（１７）式において空間的に変化するものとして実現されることもあり、結果的に、（２０）式においては、同時に負の値をとり得、熱伝導率分布を表すベクトルＬ’ｌｎの成分である各関心点の熱伝導率にかかる局所行列が数値解析的に正定値となる様に、これらの絶対値は大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉの絶対値は、各温度勾配ベクトル分布の各関心点の温度勾配ベクトルの大きさに依存する各測定温度勾配ベクトルデータの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い位置においては小さく、ＳＮ比が低い位置においては大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各温度勾配ベクトル分布の各位置において評価されたＳＮパワー比の平方根に反比例した値とする。尚、温度勾配ベクトルのＳＮ比は、測定された温度分布データの間隔や温度勾配方向（即ち、温度勾配成分の大きさ）に依存し、また、測定温度分布データのＳＮ比がセンサーの開口の方向に依存する場合があるため、各温度勾配ベクトル分布の各関心点において、温度勾配ベクトルの成分のＳＮ比はその成分ごとに異なるものとなり、α２ｉおよびα３ｉは、位置だけでなく、これらに依存して（１５）式および（１６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。即ち、α２ｉおよびα３ｉの絶対値は、各温度勾配ベクトル分布の各温度勾配ベクトルの成分のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各温度勾配ベクトル分布の各位置において評価された成分のＳＮパワー比の平方根に反比例した値とする。その際には、α２ｉおよびα３ｉの絶対値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔に反比例した値）、これらの絶対値は、各温度勾配ベクトルのＳＮ比およびその各成分のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその絶対値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
【００８１】
尚、温度測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、表面が平らであり温度が一定である黒体を対象に、複数回、温度分布の測定を行い、各位置において、測定温度データの平均値の２乗及び測定温度データの分散値の比を評価し、ＳＮパワー比の分布を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、又は、黒体を対象にＳＮ比の分布を評価することがある。各節点（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の温度勾配ベクトルデータのＳＮ比、又は、各要素の節点の温度勾配ベクトルのＳＮ比より評価される各要素における温度勾配ベクトルのＳＮ比が見積もられる。
【００８２】
尚、（１）式、（２）式、（３）式の各々の両辺が、熱伝導率ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）、ｋ（ｘ，ｙ）、ｋ（ｘ）がかけられた上で、関心領域内の熱伝導率分布に変分原理を施した場合（１次元関心領域を対象とした場合は、熱伝導率の１階微分の１次元分布に変分原理を施した場合もあり）の汎関数は、次のようになる。
３次元関心領域を対象とした場合は、（５’）式となる。
【数２１】
2004125397.tif 000024
２次元関心領域を対象とした場合は、（７’）式となる。
【数２２】
2004125397.tif 000025
１次元関心領域を対象とした場合は、（９’）式となる。
【数２３】
2004125397.tif 000026
但し、（１１）式及び（１２）式の汎関数中のＰｉは、関心領域内の温度勾配ベクトルＤｉ（ｘ，ｙ，ｚ）と熱伝導率ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）の勾配作用素との内積の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値と温度勾配ベクトルＤｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の発散の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値の和である。これらには、後記（２５）式〜（２７）式が正則化を行うための処罰項として使用されて、同様にして、未知熱伝導率分布Ｌ’に関する（１８）式、（１９）式、（２０）式が導出される。
【００８３】
（１８）式において、正則化パラメータは、例えば、温度勾配ベクトルＤｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の各成分とその成分と同一方向の熱伝導率ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）にかかる１階偏微分作用素との積の精度（ＳＮ比）と温度勾配ベクトルＤｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の同一成分の同一方向の１階偏微分の精度（ＳＮ比）で決まるＳＮパワー比の平方根に反比例した値とされるか、若しくは、温度勾配ベクトルＤｉ（ｘ，ｙ，ｚ）と熱伝導率ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）にかかる１階偏微分作用素との内積の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量データの精度（ＳＮ比）と温度勾配ベクトルＤｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の発散の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量データの精度（ＳＮ比）で決まるＳＮパワー比の平方根に反比例した値とされることがある。
【００８４】
また、（１９）式において、正則化パラメータは、例えば、温度勾配ベクトルＤｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の各成分とその成分と同一方向の熱伝導率ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）にかかる１階偏微分作用素との積の精度（ＳＮ比）と温度勾配ベクトルＤｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の同一成分の同一方向の１階偏微分の精度（ＳＮ比）で決まるＳＮパワー比に反比例した値とされるか、若しくは、温度勾配ベクトルＤｉ（ｘ，ｙ，ｚ）と熱伝導率ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）にかかる１階偏微分作用素との内積の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量データの精度（ＳＮ比）と温度勾配ベクトルＤｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の発散の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量データの精度（ＳＮ比）で決まるＳＮパワー比に反比例した値とされることがある。さらに、（２０）式において、正則化パラメータは、例えば、温度勾配ベクトルＤｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の各成分とその成分と同一方向の熱伝導率ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）にかかる１階偏微分作用素との積の精度（ＳＮ比）と温度勾配ベクトルＤｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の同一成分の同一方向の１階偏微分の精度（ＳＮ比）で決まるＳＮパワー比の平方根に反比例した値とされるか、若しくは、温度勾配ベクトルＤｉ（ｘ，ｙ，ｚ）と熱伝導率ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）にかかる１階偏微分作用素との内積の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量データの精度（ＳＮ比）と温度勾配ベクトルＤｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の発散の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量データの精度（ＳＮ比）で決まるＳＮパワー比の平方根に反比例した値とされることがある。この場合、熱伝導率分布、温度勾配ベクトル分布（又は温度分布）の基底関数として、φｋ、φＤ（又は、φＴ）が使用される。
【００８５】
次に、（６）式、（８）式、（１０）式の汎関数が使用される際は、次式の汎関数（ｉ＝１〜Ｍ）が求められる。
【数２４】
2004125397.tif 000027
但し、Ｐｉは、関心領域内の温度勾配ベクトル分布Ｄｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値である。
これらを温度勾配ベクトル分布（又は、温度分布）ｓに関する汎関数とする（（２１）式の代わりにＩｉ（ｓ）が使用されることがある。）。例えば、３次元関心領域を対象とした場合には、この汎関数は基底関数を用いて有限要素化された上で温度勾配ベクトル分布Ｄｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）（又は、温度分布Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））に関して最小化される。
【００８６】
その結果、各温度勾配ベクトル分布Ｄｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）（又は、各温度分布Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））からなるベクトルｓに関する連立方程式が得られ、低域通過型フィルタのかけられた温度勾配ベクトル分布データＤｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）（又は、温度分布データＴｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））及び参照熱伝導率（分布）の値ｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）が代入された上で、ｉ＝１〜Ｍの連立方程式が全て連立されることにより、最終的に、未知熱伝導率分布ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’に関する次の代数方程式が得られる。
【数２５】
2004125397.tif 000028
但し、Ｂ及びｂは、使用された基底関数と、測定された温度勾配ベクトル分布データＤｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）（ｉ＝１〜Ｍ）、又は、温度分布データＴｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）（ｉ＝１〜Ｍ）と、参照熱伝導率（分布）の値ｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）とからなる行列及びベクトルである。
【００８７】
次に、この代数方程式に対して、未知の熱伝導率分布ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’に関して最小二乗化するための次の汎関数が得られる。
【数２６】
2004125397.tif 000029
【００８８】
この汎関数を、未知の熱伝導率分布ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’に関して最小化することにより、次の正規方程式が得られる。
【数２７】
2004125397.tif 000030
【００８９】
これを解くことにより、推定結果としてｋ（ｘ，ｙ，ｚ）を得る（基底関数φ３ｋを使用する）。尚、この正規方程式は、（２１）式の温度勾配ベクトル分布Ｄｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）（又は、温度分布Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））に関する最小化により得られる、関心領域内の熱伝導率分布ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ”に関する連立方程式を、Ｌ”に関して最小二乗化した後に、測定された温度勾配ベクトル分布データＤｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、及び、参照熱伝導率（分布）の値ｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を代入しても得られる。２次元、及び、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。
【００９０】
（２４）式の正規方程式を得る際に、Ｂ、ｂは低域通過フィルタのかけられた温度勾配ベクトル分布データ又は温度分布データで決まるが、Ｂの逆作用素はｂに含まれる高周波数帯域のノイズを増幅させてしまう。また、特に、１つの温度分布が測定された場合（Ｍ＝１）においては、発熱源又は吸熱源と参照領域との相対的配置が不適切なものとなることがある。その結果、Ｌ’は不安定な結果となってしまう。そこで、いわゆる正則化を応用して再構成の安定化を図るようにしても良い。
【００９１】
具体的には、各温度分布Ｔｉに対して設定されうる正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉ（正の値）を使用して、連続座標系において、次のような処罰項を考える。
３次元関心領域を対象にした場合には、以下のようになる。
【数２８】
2004125397.tif 000031
２次元関心領域を対象にした場合には、以下のようになる。
【数２９】
2004125397.tif 000032
１次元関心領域を対象にした場合には、以下のようになる。
【数３０】
2004125397.tif 000033
【００９２】
即ち、（６）式、（８）式、（１０）式の汎関数を扱う際に、（２５）式〜（２７）式において与えられる処罰項の各々を、（６）式、（８）式、（１０）式の有限要素近似において導入した基底関数を使用して有限要素化し、例えば、３次元関心領域を対象とする場合には、有限要素化された熱伝導率ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）に参照熱伝導率（分布）の値ｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を代入した上で、（２３）式の汎関数ＩＩ（Ｌ’）に加え、これをＬ’に関して最小化する。この場合、基底関数φ３ｋは２回偏微分可能である必要がある。あるいは、（２５）式〜（２７）式の処罰項を、有限差分近似し、参照熱伝導率（分布）の値ｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を代入した上で、同様に、（２３）式の汎関数ＩＩ（Ｌ’）に加え、これをＬ’に関して最小化する。
【００９３】
その結果、例えば、３次元関心領域を対象とした場合には、未知熱伝導率分布ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’に関する正則化された次の正規方程式が得られる。
【数３１】
2004125397.tif 000034
【００９４】
これを解くことにより、推定結果としてｋ（ｘ，ｙ，ｚ）を得る（基底関数φ３ｋを使用する）。特に、ＧＴＧ、ＧＴＧＧＴＧの各々は、有限要素近似あるいは有限差分（離散）近似された熱伝導率分布ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）のラプラシアン作用素及びラプラシアン２乗作用素を表す。２次元、及び、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【００９５】
正則化パラメータα１、α２、α３は、（２８）式において、熱伝導率分布を表すベクトルＬ’にかかる行列が数値解析的に正定値となる様に、大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉの値は、各温度勾配ベクトル分布の大きさに依存する各測定温度勾配ベクトル分布データの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各温度勾配ベクトル分布のＳＮパワー比に反比例した値とする。尚、温度勾配ベクトル分布のＳＮ比は、測定された温度分布データの間隔や温度分布そのもの（即ち、温度勾配方向、温度勾配成分の大きさ）に依存し、また、測定温度分布データのＳＮ比がセンサーの開口の方向に依存する場合があるため、各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比はその成分分布ごとに異なるものとなり、α２ｉおよびα３ｉは、これらに依存して、（２５）式および（２６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。即ち、α２ｉおよびα３ｉは、各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮパワー比に反比例した値とする。その際には、α２ｉおよびα３ｉの値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔の二乗に反比例した値）、これらの値は、各温度勾配ベクトル分布のＳＮ比および各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
【００９６】
尚、温度測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、表面が平らであり温度が一定である黒体を対象に、複数回、温度分布の測定を行い、その測定温度分布データの平均値の２乗及びその測定温度分布データの分散値の比からＳＮパワー比を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、又は、黒体を対象にＳＮ比を評価するようにしても良い。各要素の節点（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の温度勾配ベクトルデータから、関心領域全体の温度勾配ベクトル分布Ｄｉ（ｘ，ｙ，ｚ）のＳＮ比が見積もられる。
【００９７】
また、正則化パラメータα１、α２、α３は、（２５）式〜（２７）式において空間的に変化するものとして実現されることもあり、結果的に、（２８）式において、熱伝導率分布を表すベクトルＬ’の成分である各関心点の熱伝導率にかかる局所行列が数値解析的に正定値となる様に、大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉの値は、各温度勾配ベクトル分布の各関心点の温度勾配ベクトルの大きさに依存する各測定温度勾配ベクトルデータの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い位置においては小さく、ＳＮ比が低い位置においては大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各温度勾配ベクトル分布の各位置において評価されたＳＮパワー比に反比例した値とする。尚、温度勾配ベクトルのＳＮ比は、測定された温度分布データの間隔や温度勾配方向（即ち、温度勾配成分の大きさ）に依存し、また、測定温度分布データのＳＮ比がセンサーの開口の方向に依存する場合があるため、各温度勾配ベクトル分布の各関心点において、温度勾配ベクトルの成分のＳＮ比はその成分ごとに異なるものとなり、α２ｉおよびα３ｉは、位置だけでなく、これらに依存して（２５）式および（２６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。即ち、α２ｉおよびα３ｉの値は、各温度勾配ベクトル分布の各温度勾配ベクトルの成分のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各温度勾配ベクトル分布の各位置において評価された成分のＳＮパワー比に反比例した値とする。その際には、α２ｉおよびα３ｉの値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔の二乗に反比例した値）、これらの値は、各温度勾配ベクトルのＳＮ比およびその各成分のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
【００９８】
尚、温度測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、表面が平らであり温度が一定である黒体を対象に、複数回、温度分布の測定を行い、各位置において、測定温度データの平均値の２乗及び測定温度データの分散値の比を評価し、ＳＮパワー比の分布を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、又は、黒体を対象にＳＮ比の分布を評価するようにしても良い。各節点（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の温度勾配ベクトルデータのＳＮ比、又は、各要素の節点の温度勾配ベクトルのＳＮ比より評価される各要素における温度勾配ベクトルのＳＮ比が見積もられる。
【００９９】
３次元関心領域は、複数の２次元又は１次元関心領域から、また、２次元関心領域は複数の１次元関心領域から成ることがあり、各々の場合、適宜、低次元関心領域にて前記の通り未知熱伝導率分布に関する代数方程式を導出し、最小二乗法に基づいて熱伝導率分布を決定する際には正則化を高次元関心領域又は各低次元関心領域において行うことがある。
【０１００】
次に、第２の熱伝導率推定方法の基本原理について説明する。
第２の熱伝導率推定方法の基本原理によれば、測定された温度勾配ベクトル分布によって記述される熱伝導率に関する（１）式〜（３）式の１階の空間偏微分方程式に対して、熱伝導率分布、熱伝導率の一階偏微分の分布、あるいは温度勾配ベクトル分布（又は温度分布、又は温度勾配ベクトルの発散分布）に関して有限差分近似あるいは有限要素近似（ガラーキン法）を施してモデル化する。
【０１０１】
デカルト座標系において、関心領域内にて成立する（１）式〜（３）式の１階の空間偏微分方程式中に表される熱伝導率分布ｌｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）、熱伝導率の一階偏微分の分布、あるいは低域通過型フィルタのかけられた温度勾配ベクトル分布Ｄｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　（又は、低域通過型フィルタのかけられた温度分布Ｔｉ（ｘ，ｙ，ｚ））［ｉ（ｉ＝１〜Ｍ）は測定された温度分布Ｔｉを指し、Ｍは測定された独立した温度分布の数（１以上）である。］は、離散座標系：（Ｉ，Ｊ，Ｋ）　〜　（ｘ／Δｘ，　ｙ／Δｙ，　ｚ／Δｚ）において有限差分（離散）近似されるか、あるいは、ガラーキン法に基づいて有限要素近似されるが、有限要素としては、（５）式〜（１０）式の有限要素近似において導入した３次元基底関数、２次元基底関数、１次元基底関数が使用される。以下、要素の節点数は省略する。
【０１０２】
（１）式〜（３）式の１階の空間偏微分方程式に有限差分（離散）近似を適用する場合、例えば、３次元関心領域を対象とする場合においては、（１）式中の３次元熱伝導率分布ｌｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）に有限差分近似（前方差分近似、後方差分近似など）が施され、加えて、温度勾配ベクトル分布Ｄｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の近似は、低域通過型フィルタのかけられた温度分布データに微分フィルタをかけるか、又は、温度分布データに帯域制限付微分フィルタをかけるかのいずれかにより得られ、一方、温度勾配ベクトルの発散の分布の近似は、得られた温度勾配ベクトル分布データに微分フィルタをかけることにより得られる。２次元関心領域、及び、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。
【０１０３】
また、（１）式〜（３）式の１階の空間偏微分方程式にガラーキン法に基づく有限要素近似を施した場合、例えば、３次元関心領域を対象とする場合において、（１）式中の３次元熱伝導率分布ｌｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）は、３次元節点熱伝導率ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）及び３次元基底関数φ３ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて、ｌｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）　と内挿される。３次元温度勾配ベクトル分布Ｄｉ（ｘ，ｙ，ｚ）は、３次元節点温度勾配ベクトル［Ｄｉｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），　Ｄｉｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），　Ｄｉｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］Ｔ及び基底関数φ３Ｄ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて、Ｄｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　［ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３Ｄ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｄｉｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３Ｄ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｄｉｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３Ｄ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｄｉｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］Ｔと内挿される。また、温度分布Ｔｉ（ｘ，ｙ，ｚ）は、３次元節点温度Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）及び基底関数φ３Ｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて、Ｔｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３Ｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と内挿される。尚、これらの基底関数の微分可能性に関しては、前述の通り、熱伝導率分布ｌｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）　の近似に使用する基底関数φ３ｌｎｋは１回以上偏微分可能である必要があり、一方、温度分布及び温度勾配ベクトル分布の近似に使用する基底関数φ３Ｔ及びφ３Ｄは、各々、２回以上及び１回以上偏微分可能である必要がある。ここで、温度勾配ベクトル分布の基底関数は、前述のφ３Ｄとは別に、温度分布の基底関数φ３Ｔを偏微分することでも得られ、一方、温度勾配ベクトルの発散の分布の基底関数は、温度勾配ベクトル分布の基底関数を偏微分することでも得られる。２次元、及び、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。
【０１０４】
但し、これらの基底関数φ３ｌｎｋ、φ３Ｄ、及び、φ３Ｔの各々は、（４）式において与えられる参照熱伝導率（分布）値ｌｎｋ’（ｘ，ｙ，ｚ）、低域通過型フィルタのかけられた温度勾配ベクトル分布データ、及び、低域通過型フィルタのかけられた温度分布を表現できるものである必要がある。尚、温度勾配ベクトル分布データは、低域通過型フィルタのかけられた温度分布データに微分フィルタをかけるか、又は、温度分布データに帯域制限付微分フィルタをかけるか、又は、基底関数φ３Ｔを用いて表された低域通過フィルタのかけられた温度分布データを偏微分するかのいずれかにより得られ、一方、温度勾配ベクトルの発散の分布データは、同様に、温度勾配ベクトル分布データに微分フィルタをかけるか、又は、基底関数φ３Ｄを用いて表された温度勾配ベクトル分布を偏微分するかのいずれかにより得られる。
【０１０５】
温度分布Ｔｉ（ｉ＝１〜Ｍ）が測定された際に、（１）式〜（３）式の１階の空間偏微分方程式中の熱伝導率分布Ｌｌｎ及び温度勾配ベクトル分布ｓに有限差分（離散）近似が施された場合において、例えば、３次元関心領域を対象としたときは、低域通過型フィルタのかけられた温度勾配ベクトル分布データＤｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）（ｉ＝１〜Ｍ）、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、及び、参照熱伝導率（分布）の値ｌｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）が代入されて、未知熱伝導率分布ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’ｌｎに関する次式に示す連立方程式が得られる。
【数３２】
2004125397.tif 000035
但し、Ｃｉ及びｃｉは、各々、温度分布Ｔｉが測定された場合に、一連の計算により導出された、使用された偏微分の有限差分近似定数と、測定された温度勾配ベクトル分布データＤｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と、温度勾配ベクトルの発散の分布データと、参照熱伝導率（分布）の値ｌｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）とからなる行列及びベクトルである。
【０１０６】
次に、この連立方程式に対して、未知熱伝導率分布ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’ｌｎに関して最小２乗化するための次の汎関数が得られる。
【数３３】
2004125397.tif 000036
但し、Ｐｉは、関心領域内の温度勾配ベクトル分布Ｄｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値である。（３０）式のカッコ内は正規化を施していないものである。
【０１０７】
この汎関数を、未知熱伝導率分布ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’ｌｎに関して最小化することにより、次の正規方程式が得られる。
【数３４】
2004125397.tif 000037
【０１０８】
これを解くことにより、推定結果として未知熱伝導率の離散分布ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）が得られる。尚、この正規方程式は、関心領域内の熱伝導率分布ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ”ｌｎに関する連立方程式をＬ”ｌｎに関して最小二乗化した後に、測定された温度勾配ベクトル分布データＤｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、及び、参照熱伝導率（分布）の値ｌｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を代入しても得られる。２次元、及び、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。
【０１０９】
次に、温度分布Ｔｉ（ｉ＝１〜Ｍ）が測定された際に、ガラーキン法に基づき、（１）式〜（３）式の１階の空間偏微分方程式中に表される熱伝導率分布ｌｎｋを表すベクトルＬｌｎ又は熱伝導率ベクトル分布Ｄｉを表すベクトルｓに関して、３次元、２次元、及び、１次元関心領域において扱う汎関数Ｉｉ（・）を示す。
３次元関心領域を対象とした場合の汎関数は、次式のようになる。
【数３５】
2004125397.tif 000038
但し、ｖ（ｘ，ｙ，ｚ）は、任意の重み関数であり、｜ｖ（ｘ，ｙ，ｚ）｜≠０を満たす。
２次元関心領域を対象とした場合の汎関数は、次式のようになる。
【数３６】
2004125397.tif 000039
但し、ｖ（ｘ，ｙ）は、任意の重み関数であり、｜ｖ（ｘ，ｙ）｜≠０を満たす。
１次元関心領域を対象とした場合の汎関数は、次式のようになる。
【数３７】
2004125397.tif 000040
但し、ｖ（ｘ）は、任意の重み関数であり、｜ｖ（ｘ）｜≠０を満たす。
【０１１０】
具体的に、（３２）式〜（３４）式の汎関数Ｉｉ（・）が使用される際には次式に示す汎関数が求められる（ｉ＝１〜Ｍ）。
【数３８】
2004125397.tif 000041
但し、Ｐｉは、関心領域内の温度勾配ベクトル分布Ｄｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値である（（３５）式の代わりにＩｉ（ｓ）が使用されることがある。）。
【０１１１】
（３５）式ＩＩｉ（・）中のＩｉ（・）内の重み関数ｖとして、熱伝導率分布Ｌｌｎ、熱伝導率の１階偏微分の分布、又は、温度勾配ベクトル分布ｓ（又は、温度分布、又は、温度勾配ベクトルの発散分布）を有限要素近似する際に使用される基底関数、即ち、
【数３９】
2004125397.tif 000042
が使用される。
【０１１２】
さらに、（３５）式のＩＩｉ（・）には、低域通過型フィルタのかけられた温度勾配ベクトル分布データＤｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と、温度勾配ベクトルの発散の分布データと、参照熱伝導率（分布）の値ｌｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）が代入されて、その結果得られるＩＩｉ（・）が０に等しいものとすることにより、温度分布Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）が測定された際の未知熱伝導率分布Ｌ’ｌｎに関する次式の連立方程式が得られる。
【数４０】
2004125397.tif 000043
【０１１３】
ここで、重み関数として温度勾配ベクトル分布ｓ（又は温度分布、又は温度勾配ベクトルの発散分布）の近似に使用する基底関数φＤ（又はφＴ）を使用して、熱伝導率分布ｌｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）の勾配に部分積分を施した場合においては、基底関数φｌｎｋは直流でも構わない。但し、Ｄｉ及びｄｉは、各々、温度分布Ｔｉが測定された場合に、一連の計算により導出された、使用された基底関数と、測定された温度勾配ベクトル分布データＤｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と、温度勾配ベクトルの発散の分布データと、参照熱伝導率（分布）の値ｌｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）とからなる行列及びベクトルである。
【０１１４】
次に、この連立方程式（一つの温度分布が測定された場合）および代数方程式（Ｍ個の温度分布が測定された場合）を未知熱伝導率分布ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’ｌｎに関して最小二乗化するための次の汎関数が得られる。
【数４１】
2004125397.tif 000044
【０１１５】
この汎関数を、未知熱伝導率分布ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’ｌｎに関して最小化することにより、次の正規方程式が得られる。
【数４２】
2004125397.tif 000045
【０１１６】
これを解くことにより、推定結果として未知熱伝導率分布ｌｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）が得られる（基底関数φ３ｌｎｋを使用）。尚、この正規方程式は、（３５）式の汎関数より得られる、関心領域内の熱伝導率分布ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ”ｌｎに関する連立方程式を、Ｌ”ｌｎに関して最小二乗化した後に、測定された温度勾配ベクトル分布データＤｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、及び、参照熱伝導率（分布）の値ｌｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を代入しても得られる。２次元関心領域、及び、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。
【０１１７】
有限差分近似を適用した際に導出される（３１）式の行列Ｃ’及びｃ’、及び、有限要素近似を適用した際に導出される（３８）式中の行列Ｄ’及びｄ’は、低域通過型フィルタのかけられた温度勾配ベクトル分布データから決まるが、Ｃ’の逆作用素はｃ’に含まれる高周波数帯域のノイズを増幅させ、Ｄ’の逆作用素はｄ’に含まれる高周波数帯域のノイズを増幅させてしまう。また、特に、１つの温度分布が測定された場合（Ｍ＝１）には、発熱源又は吸熱源と参照領域との相対的配置が不適切なものとなることがある。その結果、Ｌ’ｌｎは不安定な結果となってしまう。そこで、いわゆる正則化を応用して再構成の安定化を図るようにしても良い。
【０１１８】
具体的には、各温度分布Ｔｉに対して設定されうる正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉ（正の値）を使用して、連続座標系において、（１５）式〜（１７）式の処罰項を考える。
【０１１９】
有限差分近似を適用した場合には、（１５）式〜（１７）式によって与えられる処罰項の各々を有限差分近似し（但し、α１＝０）、例えば、３次元関心領域を対象としたときは、処罰項中の離散化された熱伝導率ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）に参照熱伝導率（分布）の値ｌｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を代入した上で、これを汎関数（３０）式に加えることにより新たに導出される汎関数をベクトルＬ’ｌｎに関して最小化する。その結果、未知熱伝導率分布ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’ｌｎに関する正則化された次の正規方程式が得られる。
【数４３】
2004125397.tif 000046
【０１２０】
これを解くことにより、推定結果としてｌｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）を得る（基底関数φ３ｌｎｋを使用する）。ＧＴＧ、ＧＴＧＧＴＧの各々は、有限差分（離散）近似された熱伝導率分布ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）のラプラシアン作用素及びラプラシアン２乗作用素を表す。２次元、及び、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０１２１】
また、有限要素近似を適用した場合には、（１５）式〜（１７）式によって与えられる処罰項の各々を、（３５）式にてｌｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）の有限要素近似において導入した基底関数φ３ｌｎｋを使用して有限要素化し、例えば、３次元関心領域を対象とした場合、処罰項中の有限要素化された熱伝導率ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）に参照熱伝導率（分布）の値ｌｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を代入した上で、これを汎関数（３７）式に加えることにより新たに導出される汎関数をベクトルＬ’ｌｎに関して最小化する。この場合、基底関数φ３ｌｎｋは２回偏微分可能である必要がある。又は、（１５）式〜（１７）式を有限差分近似し、参照熱伝導率（分布）の値ｌｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を代入した上で、同様に、これを加えることにより新たに導出される汎関数をベクトルＬ’ｌｎに関して最小化する。いずれの場合も、下記のごとく、未知熱伝導率分布ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’ｌｎに関する正則化された次の正規方程式が得られる。
【数４４】
2004125397.tif 000047
【０１２２】
これを解くことにより、推定結果としてｌｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）を得る（基底関数φ３ｌｎｋを使用する）。特に、ＧＴＧ、ＧＴＧＧＴＧの各々は、有限要素近似あるいは有限差分（離散）近似された熱伝導率分布ｌｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）のラプラシアン作用素及びラプラシアン２乗作用素を表す。２次元、及び、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０１２３】
正則化パラメータα１、α２、α３は、（３９）式及び（４０）式において、熱伝導率分布を表すベクトルＬ’ｌｎにかかる行列が数値解析的に正定値となる様に、大きい値に調節される。但し、（３９）式においては、α１は常に零である。あるいは、正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉの値は、各温度勾配ベクトル分布の大きさに依存する各測定温度勾配ベクトル分布データの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各温度勾配ベクトル分布のＳＮパワー比に反比例した値とする。尚、温度勾配ベクトル分布のＳＮ比は、測定された温度分布データの間隔や温度分布そのもの（即ち、温度勾配方向、温度勾配成分の大きさ）に依存し、また、測定温度分布データのＳＮ比がセンサーの開口の方向に依存する場合があるため、各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比はその成分分布ごとに異なるものとなり、α２ｉおよびα３ｉは、これらに依存して、（１５）式および（１６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。即ち、α２ｉおよびα３ｉは、各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮパワー比に反比例した値とする。その際には、α２ｉおよびα３ｉの値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔の二乗に反比例した値）、これらの値は、各温度勾配ベクトル分布のＳＮ比および各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
【０１２４】
尚、温度測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、表面が平らであり温度が一定である黒体を対象に、複数回、温度分布の測定を行い、その測定温度分布データの平均値の２乗及びその測定温度分布データの分散値の比からＳＮパワー比を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、又は、黒体を対象にＳＮ比を評価するようにしても良い。
【０１２５】
有限差分近似を行った場合には離散座標（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の温度勾配ベクトルから、また、有限要素近似を行った場合には各要素の節点（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の温度勾配ベクトルデータから、関心領域全体の温度勾配ベクトル分布Ｄｉ（ｘ，ｙ，ｚ）のＳＮ比が見積もられる。
【０１２６】
また、正則化パラメータα１、α２、α３は、（１５）式〜（１７）式において空間的に変化するものとして実現されることもあり、結果的に、（３９）式及び（４０）式において、熱伝導率分布を表すベクトルＬ’の成分である各関心点の熱伝導率にかかる局所行列が数値解析的に正定値となる様に、大きい値に調節される。但し、（３９）式においてはα１ｉは常に零である。あるいは、正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉの値は、各温度勾配ベクトル分布の各関心点の温度勾配ベクトルの大きさに依存する各測定温度勾配ベクトルデータの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い位置においては小さく、ＳＮ比が低い位置においては大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各温度勾配ベクトル分布の各位置において評価されたＳＮパワー比に反比例した値とする。尚、温度勾配ベクトルのＳＮ比は、測定された温度分布データの間隔や温度勾配方向（即ち、温度勾配成分の大きさ）に依存し、また、測定温度分布データのＳＮ比がセンサーの開口の方向に依存する場合があるため、各温度勾配ベクトル分布の各関心点において、温度勾配ベクトルの成分のＳＮ比はその成分ごとに異なるものとなり、α２ｉおよびα３ｉは、位置だけでなく、これらに依存して（１５）式および（１６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。即ち、α２ｉおよびα３ｉの値は、各温度勾配ベクトル分布の各温度勾配ベクトルの成分のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各温度勾配ベクトル分布の各位置において評価された成分のＳＮパワー比に反比例した値とする。その際には、α２ｉおよびα３ｉの値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔の二乗に反比例した値）、これらの値は、各温度勾配ベクトルのＳＮ比およびその各成分のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその値に重要度の重み付けを行った上で算出される績の値に比例するように設定される。
【０１２７】
尚、温度測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、表面が平らであり温度が一定である黒体を対象に、複数回、温度分布の測定を行い、各位置において、測定温度データの平均値の２乗及び測定温度データの分散値の比を評価し、ＳＮパワー比の分布を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、又は、黒体を対象にＳＮ比の分布を評価するようにしても良い。
【０１２８】
有限差分近似を行った場合には、各離散座標（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の温度勾配ベクトルのＳＮ比が必要となり、また、有限要素近似を行った場合には、各要素の節点（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の温度勾配ベクトルデータのＳＮ比又はこれより見積もられる要素の温度勾配ベクトルのＳＮ比が必要となる。
【０１２９】
尚、（１）式、（２）式、（３）式の各々の両辺が、熱伝導率ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）、ｋ（ｘ，ｙ）、ｋ（ｘ）がかけられた上で扱われる場合は、ガラ―キン法に基づいて、同様に、熱伝導率分布、熱伝導率の一階偏微分の分布、あるいは温度勾配ベクトル分布（又は、温度分布、又は、温度勾配ベクトルの発散分布）の基底関数、即ち、
【数４５】
2004125397.tif 000048
を重み関数として有限要素化され、さらに、（２５）式〜（２７）式が正則化を行うための処罰項として使用されて、未知熱伝導率分布Ｌ’に関する（４０）式が導出される。ここで、（３５）式の汎関数中のＰｉは、関心領域内の温度勾配ベクトルＤｉ（ｘ，ｙ，ｚ）と熱伝導率ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）の勾配作用素との内積の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値と温度勾配ベクトルＤｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の発散の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値の和である。また、正則化パラメータは、例えば、温度勾配ベクトルＤｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の各成分とその成分と同一方向の熱伝導率ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）にかかる１階偏微分作用素との積の精度（ＳＮ比）と温度勾配ベクトルＤｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の同一成分の同一方向の１階偏微分の精度（ＳＮ比）で決まるＳＮパワー比に反比例した値とされるか、若しくは、温度勾配ベクトルＤｉ（ｘ，ｙ，ｚ）と熱伝導率ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）にかかる１階偏微分作用素との内積の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量データの精度（ＳＮ比）と温度勾配ベクトルＤｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の発散の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量データの精度（ＳＮ比）で決まるＳＮパワー比に反比例した値とされることがある。
【０１３０】
３次元関心領域は、複数の２次元又は１次元関心領域から、又、２次元関心領域は複数の１次元関心領域から成ることがあり、各々の場合、適宜、低次元関心領域にて前記の通り未知熱伝導率分布に関する代数方程式を導出し、最小二乗法に基づいて熱伝導率分布を決定する際には正則化を高次元関心領域又は各低次元関心領域において行うことがある。
【０１３１】
次に、第３の熱伝導率推定方法の基本原理について説明する。
第１及び第２の熱伝導率推定法の基本原理によれば、関心領域内にて測定された温度分布データＴｉ（ｉ（＝１〜Ｍ）は測定された独立した温度分布Ｔｉを指し、Ｍは測定された独立した温度分布の数（１以上）である。）や温度勾配ベクトル分布データＤｉ及び初期条件として参照領域内又は参照点ｗｍ（ｍ＝１〜Ｎ）にて与えられる参照熱伝導率（分布）値、即ち（４）式を用いて、３次元、２次元、１次元関心領域内の熱伝導率分布ｋを表す１階の空間偏微分方程式である（１）〜（３）式（∇（ｋＤｉ）＝０、但し、Ｄｉ＝−∇Ｔｉ）に有限要素法（変分原理又はガラ−キン法）又は有限差分法及び正則化法を用いた所定の数値解法を施すことにより、未知熱伝導率分布ｋを得る。
【０１３２】
これに対し、第３の熱伝導率推定法の基本原理によれば、熱源、吸熱源、参照領域等の位置・大きさ・状態・個数等が時間的に変化することがあり、３次元、２次元、１次元関心領域内の温度分布の時間変化がある場合の熱伝導率分布の推定法として、時間変化を伴なうことのある（周波数依存性のある）熱伝導率分布、密度分布、比熱分布、密度と比熱の積の分布、熱拡散率分布、熱伝導率と密度の比の分布、熱伝導率と比熱の比の分布を計測対象とする。
【０１３３】
（Ｉ）第１及び第２の基本原理に基づいて関心領域内にて測定される温度分布の時系列、例えば、３次元関心領域を対象とする場合にはＴｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）と、温度の時間方向の１階の偏微分の分布の時系列ｄＴｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔ、温度勾配ベクトル分布の時系列データＤｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を用いて、次の１階の空間偏微分方程式が扱われることがある。
【数４６】
2004125397.tif 000049
但し、Ｄｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）＝−∇Ｔｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）。
【０１３４】
また、時系列ｉ及び時間ｔに依存しうる次の初期条件が扱われることがある。
ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）＝ｋ’ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　　…（４２）
且つ、
（ｘ，ｙ，ｚ）∈ｗｍ（ｔ）　（ｍ（ｔ）＝１〜Ｎ（ｔ））
ここで、ｔは、温度分布データの取得を開始してからの時間を表し、ｉ（＝１〜Ｍ）は、測定された独立した温度分布の時系列Ｔｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　を表し、Ｍは、測定された独立した温度分布の時系列の数（１以上）を表す。また、ｋｉは、熱伝導率分布の時系列ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　、又は、熱伝導率分布ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　若しくはｋ（ｘ，ｙ，ｚ）　を表し、ρｉは、密度分布の時系列ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、又は、密度分布ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　若しくはρ（ｘ，ｙ，ｚ）　を表し、ｃｉは、比熱分布の時系列ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、又は、比熱分布ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　若しくはｃ（ｘ，ｙ，ｚ）　を表す。
【０１３５】
（４１）式中の、関心領域内の、熱伝導率分布の時系列のｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、熱伝導率分布のｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　又はｋ（ｘ，ｙ，ｚ）　、密度分布の時系列ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、密度分布のρｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　又はρ（ｘ，ｙ，ｚ）、比熱分布の時系列のｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、比熱分布のｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　又はｃ（ｘ，ｙ，ｚ）、密度と比熱の積の分布の時系列のρｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　又はρｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　又はρｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）ｃ（ｘ，ｙ，ｚ）　又はρｉ（ｘ，ｙ，ｚ）ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　又はρ（ｘ，ｙ，ｚ）ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　（これらをρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　と表す。）と、密度と比熱の積の分布のρｉ（ｘ，ｙ，ｚ）ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　又はρｉ（ｘ，ｙ，ｚ）ｃ（ｘ，ｙ，ｚ）　又はρ（ｘ，ｙ，ｚ）ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　（これらをρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　と表す。）又はρ（ｘ，ｙ，ｚ）ｃ（ｘ，ｙ，ｚ）　（これをρｃ（ｘ，ｙ，ｚ）　と表す。）は、測定値、又は、典型値として与えられるか、あるいは、計測対象とされる。
【０１３６】
従って、熱拡散率分布の時系列ｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ρｃ（ｘ，ｙ，ｚ）、ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ）／ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）／ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　］、又は、熱拡散率分布ｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　［ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ）／ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ）／ρｃ（ｘ，ｙ，ｚ）、ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）／ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　］、又は、熱拡散率分布ｈ０（ｘ，ｙ，ｚ）　［ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）／ρｃ（ｘ，ｙ，ｚ）］　が求められることがある。
【０１３７】
また、関心領域内において密度と比熱の積の分布の時系列ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、又は、密度と比熱の積の分布のρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　若しくはρｃ（ｘ，ｙ，ｚ）　が、未知ではあるが、空間的に一定であると想定される場合、即ち、各々が、密度と比熱の積の時系列ρｃｉ（ｔ）　又は密度と比熱の積ρｃｉ若しくはρｃと表される場合には、（４１）式の代わりに、関心領域内の、熱拡散率ｈ０（熱拡散率分布の時系列ｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、又は、熱拡散率分布ｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　若しくはｈ０（ｘ，ｙ，ｚ））を変数とする次の１階の空間偏微分方程式：
【数４７】
2004125397.tif 000050
及び、（４２）式の代わりに時系列ｉ及び時間ｔに依存しうる次の初期条件（時系列ｉ及び時間ｔに対して一定であると想定される場合もある）：
ｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）＝ｈ’０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　　…（４４）
且つ、
（ｘ，ｙ，ｚ）∈ｗｍ（ｔ）　（ｍ（ｔ）＝１〜Ｎ（ｔ））
が扱われることがある。
【０１３８】
また、関心領域内において密度分布の時系列ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、又は、密度分布ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　若しくはρ（ｘ，ｙ，ｚ）が、未知ではあるが、空間的に一定であると想定される場合には、（４１）式の代わりに、関心領域内の、熱伝導率と密度の比ｈ１（熱伝導率と密度の比の分布の時系列ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、又は、熱伝導率と密度の比の分布ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　若しくはｈ１（ｘ，ｙ，ｚ））を変数とする次の１階の空間偏微分方程式：
【数４８】
2004125397.tif 000051
及び（４２）式の代わりに時系列ｉ及び時間ｔに依存しうる次の初期条件（時系列ｉ及び時間ｔに対して一定であると想定される場合もある）：
ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）＝ｈ’１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　…（４６）
且つ、
（ｘ，ｙ，ｚ）∈ｗｍ（ｔ）　（ｍ（ｔ）＝１〜Ｎ（ｔ））
が扱われることがある。
【０１３９】
また、関心領域内において比熱分布の時系列ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、又は、比熱分布ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）若しくはｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）が、未知ではあるが、空間的に一定であると想定される場合、（４１）式の代わりに、関心領域内の、熱伝導率と比熱の比ｈ２（熱伝導率と比熱の比の分布の時系列ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、又は、熱伝導率と比熱の比の分布ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　若しくはｈ２（ｘ，ｙ，ｚ）　）を変数とする次の１階の空間偏微分方程式：
【数４９】
2004125397.tif 000052
及び、（４２）式の代わりに時系列ｉ及び時間ｔに依存しうる次の初期条件（時系列ｉ及び時間ｔに対して一定であると想定される場合もある）：
ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）＝ｈ’２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　…（４８）
且つ、
（ｘ，ｙ，ｚ）∈ｗｍ（ｔ）　（ｍ（ｔ）＝１〜Ｎ（ｔ））
が扱われることがある。
２次元、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０１４０】
従って、以下の各物性パラメータを未知とする連続した有限領域が３次元、２次元、又は、１次元関心領域を構成することとなり（以下、この連続した有限領域を構成領域と称する）、少なくとも１つの３次元、２次元、又は、１次元の構成領域内の、熱伝導率分布の、Ｌｉｊ（３次元構成領域の場合はｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、２次元構成領域の場合はｋｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、１次元構成領域の場合はｋｉ（ｘ，ｔ））、及び、Ｌｉ（３次元構成領域の場合はｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はｋｉ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はｋｉ（ｘ））、及び、Ｌ（３次元構成領域の場合はｋ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はｋ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はｋ（ｘ））、及び、密度と比熱の積の分布の、Ｒｉｊ（３次元構成領域の場合はρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、２次元構成領域の場合はρｃｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、１次元構成領域の場合はρｃｉ（ｘ，ｔ））、及び、Ｒｉ（３次元構成領域の場合はρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はρｃｉ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はρｃｉ（ｘ））、及び、Ｒ（３次元構成領域の場合はρｃ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はρｃ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はρｃ（ｘ））、及び、密度分布の、Ｓｉｊ（３次元構成領域の場合はρｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、２次元構成領域の場合はρｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、１次元構成領域の場合はρｉ（ｘ，ｔ））、及び、Ｓｉ（３次元構成領域の場合はρｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はρｉ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はρｉ（ｘ））、及び、Ｓ（３次元構成領域の場合はρ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はρ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はρ（ｘ））、及び、比熱分布の、Ｓｉｊ（３次元構成領域の場合はｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、２次元構成領域の場合はｃｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、１次元構成領域の場合はｃｉ（ｘ，ｔ））、及び、Ｓｉ（３次元構成領域の場合はｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はｃｉ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はｃｉ（ｘ））、及び、Ｓ（３次元構成領域の場合はｃ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はｃ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はｃ（ｘ））、及び、熱拡散率分布の、Ｈ０ｉｊ（３次元構成領域の場合はｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、２次元構成領域の場合はｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、１次元構成領域の場合はｈ０ｉ（ｘ，ｔ））、及び、Ｈ０ｉ（３次元構成領域の場合はｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はｈ０ｉ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はｈ０ｉ（ｘ））、及び、Ｈ０（３次元構成領域の場合はｈ０（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はｈ０（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はｈ０（ｘ））、及び、熱伝導率と密度の比の分布の、Ｈ１ｉｊ　（３次元構成領域の場合はｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、２次元構成領域の場合はｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、１次元構成領域の場合はｈ１ｉ（ｘ，ｔ））、及び、Ｈ１ｉ（３次元構成領域の場合はｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はｈ１ｉ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はｈ１ｉ（ｘ））、及び、Ｈ１（３次元構成領域の場合はｈ１（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はｈ１（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はｈ１（ｘ））、及び、熱伝導率と比熱の比の分布の、Ｈ２ｉｊ（３次元構成領域の場合はｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、２次元構成領域の場合はｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、１次元構成領域の場合はｈ２ｉ（ｘ，ｔ））、及び、Ｈ２ｉ　（３次元構成領域の場合はｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はｈ２ｉ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はｈ２ｉ（ｘ））、及び、Ｈ２（３次元構成領域の場合はｈ２（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はｈ２（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はｈ２（ｘ））の内の少なくともいずれか１つが未知分布として計測対象となる。従って、設定される構成領域は、互いに同一位置の領域を含むことがあり、構成領域が１つの場合はその構成領域は関心領域そのものである。
【０１４１】
以下、時系列データのサンプリング間隔をΔｔとして離散時間座標ｊをｊ　〜　ｔ／Δｔ　（ｊ　＝　０〜ｎ）、離散空間座標系（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｉ，ｊ）　を　（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｉ，ｊ）　〜　（ｘ／Δｘ，　ｙ／Δｙ，　ｚ／Δｚ，　ｉ，　ｔ／Δｔ））と近似する。
従って、３次元関心領域（離散座標系（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｉ，ｊ）　〜　（ｘ／Δｘ，　ｙ／Δｙ，　ｚ／Δｚ，ｉ，　ｔ／Δｔ））を対象として、（４１）式及び（４２）式が扱われる場合には、３次元熱伝導率分布の時系列ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　及び３次元熱伝導率分布のｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　又はｋ（ｘ，ｙ，ｚ）　は、有限要素近似又は有限差分近似され、有限要素近似される場合は、３次元節点熱伝導率の時系列ｋｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、３次元節点熱伝導率ｋｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、及び、前記３次元基底関数φ３ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）、又は、空間座標及び時間を変数とする４次元基底関数φ４ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　を用いて、各々、ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｋｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）又はｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋ，ｊφ４ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）ｋｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｋｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と内挿され、有限差分近似される場合は、３次元節点熱伝導率の時系列ｋｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、３次元節点熱伝導率ｋｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）により、各々、ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　〜　ｋｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ｋｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と近似される。ここで、４次元基底関数φ４ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）の微分可能性については、ｘ，ｙ，ｚに関しては１回以上偏微分可能である必要があるが、実際には、ｔと共に、必要となる微分処理が少なくとも可能であれば十分である。また、使用される３次元基底関数φ３ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）又は４次元基底関数φ４ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）は、参照熱伝導率（分布）ｋｉ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｋｉ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を表現できるものである必要がある。
【０１４２】
また、３次元密度分布の時系列ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）又は３次元密度分布のρｉ（ｘ，ｙ，ｚ）又はρ（ｘ，ｙ，ｚ）、及び、３次元比熱分布の時系列ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）又は３次元比熱分布のｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）又はｃ（ｘ，ｙ，ｚ）、の両者が与えられる場合と両者とも与えられない場合は、密度と比熱の積の３次元分布の時系列はρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）として、又、密度と比熱の積の３次元分布はρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）又はρｃ（ｘ，ｙ，ｚ）として、有限要素近似又は有限差分近似され、有限要素近似される場合は、３次元節点密度と３次元節点比熱の積の時系列ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、３次元節点密度と３次元節点比熱の積ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、及び、３次元基底関数φ３ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）又は空間座標及び時間を変数とする４次元基底関数φ４ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　を用いて、各々、ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）又はρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋ，ｊφ４ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρｃ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と内挿され、有限差分近似される場合は、３次元節点密度と３次元節点比熱の積の時系列ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、３次元節点密度と３次元節点比熱の積ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）により、各々、ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　〜　ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρｃ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と近似される。ここで、３次元基底関数φ３ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）及び４次元基底関数φ４ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）の微分可能性については、各々、後記のｘ，ｙ，ｚ，ｔに関して必要となる微分処理が少なくとも可能であれば十分である。また、ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）が与えられる場合には、使用される３次元基底関数φ３ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）又は４次元基底関数φ４ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｔ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）は、これらを表現できるものである必要がある。
また、３次元密度分布の時系列ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）又は３次元密度分布のρｉ（ｘ，ｙ，ｚ）又はρ（ｘ，ｙ，ｚ）、又は、３次元比熱分布の時系列ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）又は３次元比熱分布のｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）又はｃ（ｘ，ｙ，ｚ）、のいずれか一方のみが与えられる場合は、３次元密度分布の時系列ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、３次元密度分布のρｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、ρ（ｘ，ｙ，ｚ）、及び、３次元比熱分布の時系列ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、３次元比熱分布のｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、ｃ（ｘ，ｙ，ｚ）は、有限要素近似又は有限差分近似され、３次元密度分布の時系列ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、３次元密度分布のρｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、ρ（ｘ，ｙ，ｚ）は、有限要素近似される場合は、３次元節点密度の時系列ρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、３次元節点密度ρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、及び、３次元基底関数φ３ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）又は空間座標及び時間を変数とする４次元基底関数φ４ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　を用いて、各々、ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）又はρｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋ，ｊφ４ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）ρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と内挿され、有限差分近似される場合は、各々、３次元節点密度の時系列ρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、３次元節点密度のρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）により、ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　〜　ρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜ρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と近似され、また、３次元比熱分布の時系列ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、３次元比熱分布ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、ｃ（ｘ，ｙ，ｚ）は、有限要素近似される場合には、３次元節点比熱の時系列ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、３次元節点比熱ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、及び、３次元基底関数φ３ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）又は空間座標及び時間を変数とする４次元基底関数φ４ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を用いて、各々、ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ４ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）又はｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋ，ｊφ４ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｃ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と内挿され、有限差分近似される場合は、３次元節点比熱の時系列ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、３次元節点比熱ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）により、各々、ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　〜　ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｃ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と近似される。
【０１４３】
ここで、３次元基底関数φ３ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）及び４次元基底関数φ４ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）の微分可能性については、各々、後記のｘ，ｙ，ｚ，ｔに関して必要となる微分処理が少なくとも可能であれば十分である。また、ρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）が与えられる場合には、使用される３次元基底関数φ３ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）又は４次元基底関数φ４ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｔ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）は、これらを表現できるものである必要がある。３次元基底関数φ３ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）及び４次元基底関数φ４ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）の微分可能性については、各々、後記のｘ，ｙ，ｚ，ｔに関して必要となる微分処理が少なくとも可能であれば十分である。また、ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）が与えられる場合には、使用される３次元基底関数φ３ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）又は４次元基底関数φ４ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｔ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）は、これらを表現できるものである必要がある。
【０１４４】
また、３次元関心領域を対象として、（４３）式及び（４４）式が扱われる場合には、３次元熱拡散率分布の時系列ｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）又は３次元熱拡散率分布のｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）又はｈ０（ｘ，ｙ，ｚ）は、有限要素近似又は有限差分近似され、有限要素近似される場合は、３次元節点熱拡散率の時系列ｈ０ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、３次元節点熱拡散率ｈ０ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ０（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、及び、前記３次元基底関数φ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）又は空間座標及び時間を変数とする４次元基底関数φ４ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　を用いて、各々、ｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｈ０ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）又はｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋ，ｊφ４ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）ｈ０ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｈ０ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ０（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｈ０（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と内挿され、有限差分近似される場合は、３次元節点熱拡散率の時系列ｈ０ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、３次元節点熱拡散率ｈ０ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ０（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）により、各々、ｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　〜　ｈ０ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ｈ０ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ０（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ｈ０（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と近似される。ここで、３次元基底関数φ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）及び４次元基底関数φ４ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）の微分可能性については、各々、ｘ，ｙ，ｚに関しては１回以上偏微分可能である必要があるが、実際には、ｔと共に、必要となる微分処理が少なくとも可能であれば十分である。また、使用される３次元基底関数φ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）又は４次元基底関数φ４ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）は、参照熱拡散率（分布）ｈ０ｉ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ０ｉ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ０’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を表現できるものである必要がある。
【０１４５】
また、３次元関心領域を対象として、（４５）式及び（４６）式が扱われる場合には、熱伝導率と密度の比の３次元分布の時系列ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）又は熱伝導率と密度の比の３次元分布のｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）又はｈ１（ｘ，ｙ，ｚ）は、有限要素近似又は有限差分近似され、有限要素近似される場合は、熱伝導率と密度の比の３次元節点分布の時系列ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、熱伝導率と密度の比の３次元節点分布ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ１（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、及び、前記３次元基底関数φ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）又は空間座標及び時間を変数とする４次元基底関数φ４ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　を用いて、各々、ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）又はｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋ，ｊφ４ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ）ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｈ１（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と内挿され、有限差分近似される場合は、熱伝導率と密度の比の３次元節点分布の時系列ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、熱伝導率と密度の比の３次元節点分布ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ１（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）により、各々、ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　〜　ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ｈ１（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と近似される。ここで、３次元基底関数φ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）及び４次元基底関数φ４ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）の微分可能性については、各々、ｘ，ｙ，ｚに関しては１回以上偏微分可能である必要があるが、実際には、ｔと共に、必要となる微分処理が少なくとも可能であれば十分である。また、使用される３次元基底関数φ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）又は４次元基底関数φ４ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）は、熱伝導率と密度の比の参照値（分布）ｈ１ｉ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ１ｉ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ１’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を表現できるものである必要がある。
【０１４６】
また、３次元関心領域を対象として、（４７）式及び（４８）式が扱われる場合には、熱伝導率と比熱の比の３次元分布の時系列ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）又は熱伝導率と比熱の比の３次元分布のｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）又はｈ２（ｘ，ｙ，ｚ）は、有限要素近似又は有限差分近似され、有限要素近似される場合は、熱伝導率と比熱の比の３次元節点分布の時系列ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、熱伝導率と比熱の比の３次元節点分布ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ２（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、及び、前記３次元基底関数φ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）又は空間座標及び時間を変数とする４次元基底関数φ４ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　を用いて、各々、ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）又はｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋ，ｊφ４ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｈ２（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と内挿され、有限差分近似される場合は、熱伝導率と密度の比の３次元節点分布の時系列ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、熱伝導率と密度の比の３次元節点分布ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ２（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）により、各々、ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　〜　ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ）　〜　ｈ２（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と近似される。ここで、３次元基底関数φ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）及び４次元基底関数φ４ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）の微分可能性については、各々、ｘ，ｙ，ｚに関しては１回以上偏微分可能である必要があるが、実際には、ｔと共に、必要となる微分処理が少なくとも可能であれば十分である。また、使用される３次元基底関数φ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）又は４次元基底関数φ４ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）は、熱伝導率と比熱の比の参照値（分布）ｈ２ｉ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ２ｉ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ２’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を表現できるものである必要がある。
【０１４７】
次に、３次元温度分布の時系列Ｔｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　（ｉ（＝１〜Ｍ）は測定された独立した３次元温度分布の時系列Ｔｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を指し、Ｍはその温度分布の時系列の数（１以上）である。）の時間方向の１階の偏微分ｄＴｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔ及び空間偏微分が有限要素近似（変分原理又はガラ−キン法）される場合（有限要素の節点数は省略。以下、同様。）には、３次元温度分布の時系列Ｔｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）は、次の（ａ）〜（ｃ）のいずれかのように評価される。
【０１４８】
（ａ）測定された３次元節点温度分布の時系列Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）及び空間座標を変数とする前記３次元基底関数φ３Ｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて、Ｔｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３Ｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）と内挿されることにより評価される。
【０１４９】
（ｂ）測定された３次元節点温度分布の時系列Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）及び空間座標及び時間を変数とする４次元基底関数φ４Ｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を用いて、Ｔｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）〜　ΣＩ，Ｊ，Ｋ，ｊφ４Ｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）と内挿されることにより評価される。ここで、４次元基底関数φ４Ｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）は、ｔに関しては１回以上偏微分可能である必要があり、ｘ，ｙ，ｚに関しては２回以上偏微分可能である必要があるが、実際には、必要となる微分処理を少なくとも可能とするものであれば十分である。
【０１５０】
（ｃ）３次元温度分布の時系列Ｔｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）の時間方向の１階の偏微分ｄＴｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔ及び空間偏微分が有限差分近似される場合には、３次元温度分布の時系列Ｔｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）は、測定された３次元節点温度分布の時系列Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）を用いて、Ｔｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　〜　Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ））と近似される。
【０１５１】
これより、３次元温度分布の時系列Ｔｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）の時間方向の１階の偏微分の３次元分布の時系列ｄＴｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔは、次のように評価される。
（ａ）の場合には、測定された３次元節点温度分布の時系列Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で時間ｊ方向に微分フィルタをかけて得られるｄＴｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、３次元節点温度分布の時系列Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に時間ｊ方向に時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるｄＴｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかが、前記３次元基底関数φ３Ｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて内挿されることにより評価される。
【０１５２】
（ｂ）の場合には、測定された３次元節点温度分布の時系列Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけたものが、前記４次元基底関数φ４Ｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を時間ｔに関して偏微分したもので内挿されることにより評価される。
【０１５３】
（ｃ）の場合には、測定された３次元節点温度分布の時系列Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で時間ｊ方向に微分フィルタをかけて得られるｄＴｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、３次元節点温度分布の時系列Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に時間ｊ方向に時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるｄＴｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかにより近似される。
【０１５４】
さらに、３次元温度勾配ベクトル分布の時系列Ｄｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）（＝　［Ｄｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ），　Ｄｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ），　Ｄｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］Ｔ）は、次のように評価される。
（ａ）の場合には、測定された３次元節点温度分布の時系列Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタをかけて得られるＤｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）　（＝　［Ｄｉｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ），　Ｄｉｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ），　Ｄｉｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］Ｔ）か、又は、３次元節点温度分布の時系列Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるＤｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかが、前記３次元基底関数φ３Ｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて内挿されるか、又は、３次元節点温度分布の時系列Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけたものが、前記３次元基底関数φ３Ｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を各ｘ，ｙ，ｚ方向に偏微分したもので内挿されるかにより評価される。
【０１５５】
（ｂ）の場合には、測定された３次元節点温度分布の時系列Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタをかけて得られるＤｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、３次元節点温度分布の時系列Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるＤｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかが、前記４次元基底関数φ４Ｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を用いて内挿されるか、３次元節点温度分布の時系列Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけたものが、前記４次元基底関数φ４Ｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を各ｘ，ｙ，ｚ方向に関して偏微分したもので内挿されるかにより評価される。
【０１５６】
（ｃ）の場合には、測定された３次元節点温度分布の時系列Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタをかけて得られるＤｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、３次元節点温度分布の時系列Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるＤｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかにより近似される。
【０１５７】
さらに、３次元温度勾配ベクトルＤｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）（＝　［Ｄｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ），　Ｄｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ），　Ｄｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］Ｔ）の発散分布の時系列は、次のように評価される。
（ａ）の場合には、測定された３次元節点温度勾配ベクトル分布時系列Ｄｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタをかけたものか、又は、３次元節点温度勾配ベクトル分布時系列Ｄｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけたもののいずれかが、前記３次元基底関数φ３Ｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて内挿されるか、又は、３次元節点温度勾配ベクトル分布時系列Ｄｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけたものが、前記３次元基底関数φ３Ｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）の各ｘ，ｙ，ｚ方向の２階の偏微分で内挿されるかにより評価される。
【０１５８】
（ｂ）の場合には、測定された３次元節点温度勾配ベクトル分布時系列Ｄｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタをかけたものか、又は、３次元節点温度勾配ベクトル分布の時系列Ｄｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけたもののいずれかが、前記４次元基底関数φ４Ｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を用いて内挿されるか、３次元節点温度勾配ベクトル分布時系列Ｄｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけたものが、前記４次元基底関数φ４Ｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）の各ｘ，ｙ，ｚ方向の２階の偏微分で内挿されるかにより評価される。
【０１５９】
（ｃ）の場合には、測定された３次元節点温度勾配ベクトル分布時系列Ｄｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタをかけたものか、又は、３次元節点温度勾配ベクトル分布時系列Ｄｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけたもののいずれかにより近似される。
尚、２次元構成領域及び１次元構成領域を対象とする各々の場合、上記の各基底関数の空間座標系を２次元及び１次元にしたものが使用される。
【０１６０】
第１の基本原理に従い、適宜、関心領域内の各構成領域においてその領域内の未知分布を表す（４１）式、（４３）式、（４５）式、（４７）式の空間偏微分方程式のいずれかの少なくとも１つに変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用して（前記（ａ）又は（ｂ））、関心領域内において導出された代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルＵ’に関する連立方程式を導出する場合（関心領域を構成する構成領域は同一領域を含むことがあり、また、構成領域が１つの場合はその構成領域は関心領域そのものを表す。）、即ち、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４１）式中に表される分布Ｑ、即ち、熱伝導率分布　Ｌｉｊ（３次元構成領域の場合はｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、２次元構成領域の場合はｋｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、１次元構成領域の場合はｋｉ（ｘ，ｔ））又は　Ｌｉ（３次元構成領域の場合はｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はｋｉ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はｋｉ（ｘ））又は　Ｌ（３次元構成領域の場合はｋ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はｋ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はｋ（ｘ））に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（ａ）又は（ｂ））は、時間ｔにおける汎関数Ｉｉ（Ｌ）　（３次元構成領域の場合は（５’）式、２次元構成領域の場合は（７’）式、１次元構成領域の場合は（９’）式の１つ目の式、但し、式中のｋはｋｉと表される。）　の積分核に、
【数５０】
2004125397.tif 000053
を加え、これより得られる汎関数Ｉｉｊ（Ｌｉｊ）又はＩｉｊ（Ｌｉ）又はＩｉｊ（Ｌ）を（４９）式とする。
【０１６１】
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４１）式中に表される分布Ｑ、即ち、熱伝導率　ｋｉ（ｘ，ｔ）　又は　ｋｉ（ｘ）　又は　ｋ（ｘ）　の１階微分の１次元分布　ｄｋｉ（ｘ，ｔ）／ｄｘ　又は　ｄｋｉ（ｘ）／ｄｘ　又は　ｄｋ（ｘ）／ｄｘ　に変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（ａ）又は（ｂ））は、時間ｔにおける汎関数Ｉｉ（Ｌ）（（９’）式の２つ目の式、但し、式中のｋはｋｉと表される）の積分核に、
【数５１】
2004125397.tif 000054
を加え、これより得られる汎関数Ｉｉｊ（・）を（５０）式とする。
【０１６２】
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４１）式中に表される分布Ｑ、即ち、密度と比熱の積の分布　Ｒｉｊ（３次元構成領域の場合はρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、２次元構成領域の場合はρｃｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、１次元構成領域の場合はρｃｉ（ｘ，ｔ））又は　Ｒｉ（３次元構成領域の場合はρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はρｃｉ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はρｃｉ（ｘ））又は　Ｒ（３次元構成領域の場合はρｃ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はρｃ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はρｃ（ｘ））に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（ａ）又は（ｂ））は、時間ｔにおいて、
３次元構成領域を対象とした場合には、
【数５２】
2004125397.tif 000055
２次元構成領域を対象とした場合には、
【数５３】
2004125397.tif 000056
１次元構成領域を対象とした場合には、
【数５４】
2004125397.tif 000057
を汎関数Ｉｉｊ（Ｒｉｊ）又はＩｉｊ（Ｒｉ）又はＩｉｊ（Ｒ）とする。
【０１６３】
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４１）式中に表される分布Ｑ、即ち、密度分布　Ｓｉｊ（３次元構成領域の場合はρｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、２次元構成領域の場合はρｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、１次元構成領域の場合はρｉ（ｘ，ｔ））又は　Ｓｉ（３次元構成領域の場合はρｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はρｉ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はρｉ（ｘ））又はＳ（３次元構成領域の場合はρ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はρ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はρ（ｘ））に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（ａ）又は（ｂ））は、時間ｔにおいて、
３次元構成領域を対象とした場合には、
【数５５】
2004125397.tif 000058
２次元構成領域を対象とした場合には、
【数５６】
2004125397.tif 000059
１次元構成領域を対象とした場合には、
【数５７】
2004125397.tif 000060
を汎関数Ｉｉｊ（Ｓｉｊ）又はＩｉｊ（Ｓｉ）又はＩｉｊ（Ｓ）とする。
【０１６４】
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４１）式中に表される分布Ｑ、即ち、比熱分布　Ｓｉｊ　（３次元構成領域の場合はｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、２次元構成領域の場合はｃｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、１次元構成領域の場合はｃｉ（ｘ，ｔ））又は　Ｓｉ（３次元構成領域の場合はｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はｃｉ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はｃｉ（ｘ））又はＳ（３次元構成領域の場合はｃ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はｃ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はｃ（ｘ））に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（ａ）又は（ｂ））は、時間ｔにおいて、
３次元構成領域を対象とした場合には、
【数５８】
2004125397.tif 000061
２次元構成領域を対象とした場合には、
【数５９】
2004125397.tif 000062
１次元構成領域を対象とした場合には、
【数６０】
2004125397.tif 000063
を汎関数Ｉｉｊ（Ｓｉｊ）又はＩｉｊ（Ｓｉ）又はＩｉｊ（Ｓ）とする。
【０１６５】
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４３）式中に表される分布Ｑ、即ち、熱拡散率分布　Ｈ０ｉｊ（３次元構成領域の場合はｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、２次元構成領域の場合はｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、１次元構成領域の場合はｈ０ｉ（ｘ，ｔ））又は　Ｈ０ｉ（３次元構成領域の場合はｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はｈ０ｉ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はｈ０ｉ（ｘ））又は　Ｈ０（３次元構成領域の場合はｈ０（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はｈ０（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はｈ０（ｘ））に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（ａ）又は（ｂ））は、時間ｔにおいて、
３次元構成領域を対象とした場合には、
【数６１】
2004125397.tif 000064
２次元構成領域を対象とした場合には、
【数６２】
2004125397.tif 000065
１次元構成領域を対象とした場合には、
【数６３】
2004125397.tif 000066
を汎関数Ｉｉｊ（Ｈ０ｉｊ）又はＩｉｊ（Ｈ０ｉ）又はＩｉｊ（Ｈ０）とする。
【０１６６】
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４３）式中に表される分布Ｑ、即ち、熱拡散率　ｈ０ｉ（ｘ，ｔ）　又は　ｈ０ｉ（ｘ）　又は　ｈ０（ｘ）　の１階微分の１次元分布　ｄｈ０ｉ（ｘ，ｔ）／ｄｘ　又は　ｄｈ０ｉ（ｘ）／ｄｘ　又は　ｄｈ０（ｘ）／ｄｘ　に変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（ａ）又は（ｂ））は、時間ｔにおいて、
【数６４】
2004125397.tif 000067
を汎関数Ｉｉｊ（・）とする。
【０１６７】
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４５）式中に表される分布Ｑ、即ち、熱伝導率と密度の比の分布　Ｈ１ｉｊ（３次元構成領域の場合はｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、２次元構成領域の場合はｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、１次元構成領域の場合はｈ１ｉ（ｘ，ｔ））又は　Ｈ１ｉ（３次元構成領域の場合はｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はｈ１ｉ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はｈ１ｉ（ｘ））又は　Ｈ１（３次元構成領域の場合はｈ１（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はｈ１（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はｈ１（ｘ））に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（ａ）又は（ｂ））は、時間ｔにおいて、
３次元構成領域を対象とした場合には、
【数６５】
2004125397.tif 000068
２次元構成領域を対象とした場合には、
【数６６】
2004125397.tif 000069
１次元構成領域を対象とした場合には、
【数６７】
2004125397.tif 000070
を汎関数Ｉｉｊ（Ｈ１ｉｊ）、Ｉｉｊ（Ｈ１ｉ）、Ｉｉｊ（Ｈ１）とする。
【０１６８】
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４５）式中に表される分布Ｑ、即ち、熱伝導率と密度の比　ｈ１ｉ（ｘ，ｔ）　又は　ｈ１ｉ（ｘ）　又は　ｈ１（ｘ）　の１階微分の１次元分布　ｄｈ１ｉ（ｘ，ｔ）／ｄｘ　又は　ｄｈ１ｉ（ｘ）／ｄｘ　又は　ｄｈ１（ｘ）／ｄｘに関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（ａ）又は（ｂ））は、時間ｔにおいて、
【数６８】
2004125397.tif 000071
を汎関数Ｉｉｊ（・）とする。
【０１６９】
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４７）式中に表される分布Ｑ、即ち、熱伝導率と比熱の比の分布Ｈ２ｉｊ　（３次元構成領域の場合はｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、２次元構成領域の場合はｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、１次元構成領域の場合はｈ２ｉ（ｘ，ｔ））又は　Ｈ２ｉ（３次元構成領域の場合はｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はｈ２ｉ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はｈ２ｉ（ｘ））又は　Ｈ２（３次元構成領域の場合はｈ２（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はｈ２（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はｈ２（ｘ））に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（ａ）又は（ｂ））は、時間ｔにおいて、
３次元構成領域を対象とした場合には、
【数６９】
2004125397.tif 000072
２次元構成領域を対象とした場合には、
【数７０】
2004125397.tif 000073
１次元構成領域を対象とした場合には、
【数７１】
2004125397.tif 000074
を汎関数Ｉｉｊ（Ｈ２ｉｊ）、Ｉｉｊ（Ｈ２ｉ）、Ｉｉｊ（Ｈ２）とする。
【０１７０】
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４７）式中に表される分布Ｑ、即ち、熱伝導率と比熱の比　ｈ２ｉ（ｘ，ｔ）、又は、ｈ２ｉ（ｘ）、又は、ｈ２（ｘ）　の１階微分の１次元分布　ｄｈ２ｉ（ｘ，ｔ）／ｄｘ　又は　ｄｈ２ｉ（ｘ）／ｄｘ　又は　ｄｈ２（ｘ）／ｄｘ　に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（ａ）又は（ｂ））は、時間ｔにおいて、
【数７２】
2004125397.tif 000075
を汎関数Ｉｉｊ（・）とする。
【０１７１】
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４１）式中に表される分布、即ち、温度分布ｓｉｊ（３次元構成領域の場合はＴｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、２次元構成領域の場合はＴｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、１次元構成領域の場合はＴｉ（ｘ，ｔ））に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（ａ）又は（ｂ））は、時間ｔにおける汎関数Ｉｉｊ（ｓｉｊ）（３次元構成領域の場合は（６）式の２つ目の式、２次元構成領域の場合は（８）式の２つ目の式、１次元構成領域の場合は（１０）式の２つ目の式）の積分核に、
【数７３】
2004125397.tif 000076
を加え、これより得られる汎関数Ｉｉｊ（Ｓｉｊ）を（７２）式とする。
【０１７２】
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４３）式中に表される分布Ｑ、即ち、温度分布ｓｉｊ（３次元構成領域の場合はＴｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、２次元構成領域の場合はＴｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、１次元構成領域の場合はＴｉ（ｘ，ｔ））に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（ａ）又は（ｂ））は、時間ｔにおける汎関数Ｉｉｊ（ｓｉｊ）、即ち、
３次元構成領域の場合には、
【数７４】
2004125397.tif 000077
２次元構成領域の場合には、
【数７５】
2004125397.tif 000078
１次元構成領域の場合には、
【数７６】
2004125397.tif 000079
の積分核に、
【数７７】
2004125397.tif 000080
を加え、これより得られる汎関数Ｉｉｊ（ｓｉｊ）を（７３）式とする。
【０１７３】
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４５）式中に表される分布Ｑ、即ち、温度分布ｓｉｊ（３次元構成領域の場合はＴｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、２次元構成領域の場合はＴｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、１次元構成領域の場合はＴｉ（ｘ，ｔ））に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（ａ）又は（ｂ））は、時間ｔにおける汎関数Ｉｉｊ（ｓｉｊ）、即ち、
３次元構成領域の場合には、
【数７８】
2004125397.tif 000081
２次元構成領域の場合には、
【数７９】
2004125397.tif 000082
１次元構成領域の場合には、
【数８０】
2004125397.tif 000083
の積分核に、
【数８１】
2004125397.tif 000084
を加え、これより得られる汎関数Ｉｉｊ（ｓｉｊ）を（７４）式とする。
【０１７４】
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４７）式中に表される分布Ｑ、即ち、温度分布ｓｉｊ（３次元構成領域の場合はＴｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、２次元構成領域の場合はＴｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、１次元構成領域の場合はＴｉ（ｘ，ｔ））に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（ａ）又は（ｂ））は、時間ｔにおける汎関数Ｉｉｊ（ｓｉｊ）、即ち、
３次元構成領域の場合には、
【数８２】
2004125397.tif 000085
２次元構成領域の場合には、
【数８３】
2004125397.tif 000086
１次元構成領域の場合には、
【数８４】
2004125397.tif 000087
の積分核に、
【数８５】
2004125397.tif 000088
を加え、これより得られる汎関数Ｉｉｊ（ｓｉｊ）を（７５）式とする。
【０１７５】
３次元関心領域を対象とする場合には、適宜、３次元関心領域内の３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の未知分布を表す（４１）式、（４３）式、（４５）式、（４７）式の空間偏微分方程式のいずれかを用いて導出された分布Ｑ（即ち、前記の、Ｌｉｊ、Ｌｉ、Ｌ、熱伝導率の１階偏微分の分布、Ｒｉｊ、Ｒｉ、Ｒ、Ｓｉｊ、Ｓｉ、Ｓ、Ｈ０ｉｊ、Ｈ０ｉ、Ｈ０、熱拡散率の１階の偏微分の分布、Ｈ１ｉｊ、Ｈ１ｉ、Ｈ１、熱伝導率と密度の比の１階偏微分の分布、Ｈ２ｉｊ、Ｈ２ｉ、Ｈ２、熱伝導率と比熱の比の１階偏微分の分布、又は、ｓｉｊ）に関する（４９）式〜（７５）式の汎関数Ｉｉｊ（Ｑ）のいずれかの少なくとも１つが、前述の基底関数を使用して有限要素近似又は離散近似されることにより、節点分布Ｑ’’に関する汎関数Ｉｉｊ（Ｑ’’）として、次に示すいずれかとなる。ここで、使用される汎関数Ｉｉｊ（Ｑ）が１つの場合には、構成領域は関心領域そのものである。
【０１７６】
（１）３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点熱伝導率分布のｋｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｋｉ（Ｉ，Ｊ，ｊ）、又は、ｋｉ（Ｉ，ｊ）から成るベクトルＬ’’ｉｊに関する汎関数Ｉｉｊ（Ｌ’’ｉｊ）又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点熱伝導率分布ｋｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｋｉ（Ｉ，Ｊ）、又は、ｋｉ（Ｉ）から成るベクトルＬ’’ｉに関する汎関数Ｉｉｊ（Ｌ’’ｉ）又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点熱伝導率分布ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｋ（Ｉ，Ｊ）、又は、ｋ（Ｉ）から成るベクトルＬ’’に関する汎関数Ｉｉｊ（Ｌ’’）。
【０１７７】
（２）３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の密度と比熱の積の節点分布ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，ｊ）、ρｃｉ（Ｉ，ｊ）から成るベクトルＲ’’ｉｊに関する汎関数Ｉｉｊ（Ｒ’’ｉｊ）又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の密度と比熱の積の節点分布ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρｃｉ（Ｉ，Ｊ）、ρｃｉ（Ｉ）から成るベクトルＲ’’ｉに関する汎関数Ｉｉｊ（Ｒ’’ｉ）又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の密度と比熱の積の節点分布ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρｃ（Ｉ，Ｊ）、又は、ρｃ（Ｉ）から成るベクトルＲ’’に関する汎関数Ｉｉｊ（Ｒ’’）。
【０１７８】
（３）３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点密度分布ρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋｊ）、ρｉ（Ｉ，Ｊ，ｊ）、ρｉ（Ｉ，ｊ）から成るベクトルＳ’’ｉｊに関する汎関数Ｉｉｊ（Ｓ’’ｉｊ）又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点密度分布ρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρｉ（Ｉ，Ｊ）、ρｉ（Ｉ）から成るベクトルＳ’’ｉに関する汎関数Ｉｉｊ（Ｓ’’ｉ）又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点密度分布ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρ（Ｉ，Ｊ）、ρ（Ｉ）から成るベクトルＳ’’に関する汎関数Ｉｉｊ（Ｓ’’）。
【０１７９】
（４）３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点比熱分布ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｃｉ（Ｉ，Ｊ，ｊ）、ｃｉ（Ｉ，ｊ）から成るベクトルＳ’’ｉｊに関する汎関数Ｉｉｊ（Ｓ’’ｉｊ）又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点比熱分布ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｃｉ（Ｉ，Ｊ）、ｃｉ（Ｉ）から成るベクトルＳ’’ｉに関する汎関数Ｉｉｊ（Ｓ’’ｉ）又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点比熱分布ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｃ（Ｉ，Ｊ）、ｃ（Ｉ）から成るベクトルＳ’’に関する汎関数Ｉｉｊ（Ｓ’’）。
【０１８０】
（５）３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点熱拡散率分布ｈ０ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）　、ｈ０ｉ（Ｉ，Ｊ，ｊ）　、ｈ０ｉ（Ｉ，ｊ）から成るベクトルＨ０’’ｉｊに関する汎関数Ｉｉｊ（Ｈ０’’ｉｊ）又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点熱拡散率分布ｈ０ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ０ｉ（Ｉ，Ｊ）、ｈ０ｉ（Ｉ）から成るベクトルＨ０’’ｉに関する汎関数Ｉｉｊ（Ｈ０’’ｉ）又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の構成領域内の節点熱拡散率分布ｈ０（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ０（Ｉ，Ｊ）、ｈ０（Ｉ）から成るベクトルＨ０’’に関する汎関数Ｉｉｊ（Ｈ０’’）。
【０１８１】
（６）３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の熱伝導率と密度の比の節点分布ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，ｊ）、ｈ１ｉ（Ｉ，ｊ）から成るベクトルＨ１’’ｉｊに関する汎関数Ｉｉｊ（Ｈ１’’ｉｊ）又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の熱伝導率と密度の比の節点分布ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ）、ｈ１ｉ（Ｉ）から成るベクトルＨ１’’ｉに関する汎関数Ｉｉｊ（Ｈ１’’ｉ）　又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の熱伝導率と密度の比の節点分布ｈ１（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ１（Ｉ，Ｊ）、ｈ１（Ｉ）から成るベクトルＨ１’’に関する汎関数Ｉｉｊ（Ｈ１’’）。
【０１８２】
（７）３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の熱伝導率と比熱の比の節点分布ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，，ｊ）、ｈ２ｉ（Ｉ，ｊ）から成るベクトルＨ２’’ｉｊに関する汎関数Ｉｉｊ（Ｈ２’’ｉｊ）又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の熱伝導率と比熱の比の節点分布ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ）、ｈ２ｉ（Ｉ）から成るベクトルＨ２’’ｉに関する汎関数Ｉｉｊ（Ｈ２’’ｉ）又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の熱伝導率と比熱の比の節点分布ｈ２（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ２（Ｉ，Ｊ）、ｈ２（Ｉ）から成るベクトルＨ２’’に関する汎関数Ｉｉｊ（Ｈ２’’）。
【０１８３】
（８）３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点温度分布Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，ｊ）、Ｔｉ（Ｉ，ｊ）から成るベクトルｓ’’ｉｊに関する汎関数Ｉｉｊ（ｓ’’ｉｊ）。
【０１８４】
これらの各々が、節点分布Ｑ’’、即ち、Ｌ’’ｉｊ、Ｌ’’ｉ、Ｌ’’、Ｒ’’ｉｊ、Ｒ’’ｉ、Ｒ’’、Ｓ’’ｉｊ、Ｓ’’ｉ、Ｓ’’、Ｈ０’’ｉｊ、Ｈ０’’ｉ、Ｈ０’’、Ｈ１’’ｉｊ、Ｈ１’’ｉ、Ｈ１’’、Ｈ２’’ｉｊ、Ｈ２’’ｉ、Ｈ２’’、又は、ｓ’’ｉｊ　に関して最小化されて得られる代数方程式に、関心領域内において与えられる全節点データ（低域通過型フィルタのかけられた温度Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）　の時間方向の１階の偏微分分布データ、温度分布データＴｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、温度勾配ベクトル分布データＤｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、適宜、参照熱伝導率（分布）のｋ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｋ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、参照拡散率（分布）のｈ０’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ０’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ０’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、参照熱伝導率と密度の比の分布データのｈ１’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ１’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ１’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、参照熱伝導率と比熱の比の分布データのｈ２’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ２’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ２’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、密度と比熱の積の分布データのρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、密度分布データのρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、比熱分布データのｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））が代入される。
【０１８５】
これより、３次元関心領域を対象とする場合、３次元関心領域内にて設定された、３次元、２次元、１次元の各構成領域内の未知節点分布に関して導出される代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした各構成領域内の未知節点分布からなる未知節点ベクトルＵ’に関する次の代数方程式：
ＥｉｊＵ’＝ｅｉｊ　…（７６）
が得られる。尚、関心領域を構成する構成領域は、互いに同一領域を含むことがある。
【０１８６】
但し、（４１）式（即ち、３次元、２次元、又は、１次元構成領域を対象とした（４９）式〜（５９）式、（７２）式）を用いた際に導出された代数方程式である（７６）式の未知節点ベクトルＵ’は、
関心領域が、熱伝導率分布のｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）が未知である３次元構成領域を含む各々の場合において、未知節点熱伝導率分布の　Ｌ’ｉｊ　［ｋｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、Ｌ’ｉ　［ｋｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、Ｌ’　［ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］をベクトル成分に含み、
関心領域が、熱伝導率分布のｋｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、ｋｉ（ｘ，ｙ）、ｋ（ｘ，ｙ）が未知である２次元構成領域を含む各々の場合において、未知節点熱伝導率分布の　Ｌ’ｉｊ　［ｋｉ（Ｉ，Ｊ，ｊ）］、Ｌ’ｉ　［ｋｉ（Ｉ，Ｊ）］、Ｌ’　［ｋ（Ｉ，Ｊ）］をベクトル成分に含み、
関心領域が、熱伝導率分布のｋｉ（ｘ，ｔ）、ｋｉ（ｘ）、ｋ（ｘ）が未知である１次元構成領域を含む各々の場合において、未知節点熱伝導率分布の　Ｌ’ｉｊ　［ｋｉ（Ｉ，ｊ）］、Ｌ’ｉ　［ｋｉ（Ｉ）］、Ｌ’　［ｋ（Ｉ）］をベクトル成分に含み、
関心領域が、密度分布のρｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、ρ（ｘ，ｙ，ｚ）、及び、比熱分布のｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、ｃ（ｘ，ｙ，ｚ）、の両者が未知の３次元構成領域を含む各々の場合において、未知である密度と比熱の積の節点分布の　Ｒ’ｉｊ　［ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、Ｒ’ｉ　［ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、Ｒ’　［ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］をベクトル成分に含み、
関心領域が、密度分布のρｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、ρｉ（ｘ，ｙ）、ρ（ｘ，ｙ）、及び、比熱分布のｃｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、ｃｉ（ｘ，ｙ）、ｃ（ｘ，ｙ）、の両者が未知の２次元構成領域を含む各々の場合において、未知である密度と比熱の積の節点分布の　Ｒ’ｉｊ　［ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，ｊ）］、Ｒ’ｉ　［ρｃｉ（Ｉ，Ｊ）］、Ｒ’　［ρｃ（Ｉ，Ｊ）］をベクトル成分に含み、
関心領域が、密度分布のρｉ（ｘ，ｔ）、ρｉ（ｘ）、ρ（ｘ）、及び、比熱分布のｃｉ（ｘ，ｔ）、ｃｉ（ｘ）、ｃ（ｘ）、の両者が未知の１次元構成領域を含む各々の場合において、未知である密度と比熱の積の節点分布の　Ｒ’ｉｊ　［ρｃｉ（Ｉ，ｊ）］、Ｒ’ｉ　［ρｃｉ（Ｉ）］、Ｒ’　［ρｃ（Ｉ）］をベクトル成分に含み、
関心領域が、密度分布のρｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、ρ（ｘ，ｙ，ｚ）が未知の３次元構成領域を含む場合は、未知節点密度分布の　Ｓ’ｉｊ　［ρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、Ｓ’ｉ　［ρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、Ｓ’　［ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］をベクトル成分に含み、
関心領域が、密度分布のρｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、ρｉ（ｘ，ｙ）、ρ（ｘ，ｙ）が未知の２次元構成領域を含む場合は、未知節点密度分布の　Ｓ’ｉｊ　［ρｉ（Ｉ，Ｊ，ｊ）］、Ｓ’ｉ　［ρｉ（Ｉ，Ｊ）］、Ｓ’　［ρ（Ｉ，Ｊ）］をベクトル成分に含み、
関心領域が、密度分布のρｉ（ｘ，ｔ）、ρｉ（ｘ）、ρ（ｘ）が未知の１次元構成領域を含む場合は、未知節点密度分布の　Ｓ’ｉｊ　［ρｉ（Ｉ，ｊ）］、Ｓ’ｉ　［ρｉ（Ｉ）］、Ｓ’　［ρ（Ｉ）］をベクトル成分に含み、
関心領域が、比熱分布のｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、ｃ（ｘ，ｙ，ｚ）が未知の３次元構成領域を含む場合は、未知節点比熱分布の　Ｓ’ｉｊ　［ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、Ｓ’ｉ　［ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、Ｓ’　［ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］をベクトル成分に含み、
関心領域が、比熱分布のｃｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、ｃｉ（ｘ，ｙ）、ｃ（ｘ，ｙ）が未知の２次元構成領域を含む場合は、未知節点比熱分布の　Ｓ’ｉｊ　［ｃｉ（Ｉ，Ｊ，ｊ）］、Ｓ’ｉ　［ｃｉ（Ｉ，Ｊ）］、Ｓ’　［ｃ（Ｉ，Ｊ）］をベクトル成分に含み、
関心領域が、比熱分布のｃｉ（ｘ，ｔ）、ｃｉ（ｘ）、ｃ（ｘ）が未知の１次元構成領域を含む場合は、未知節点比熱分布の　Ｓ’ｉｊ　［ｃｉ（Ｉ，ｊ）］、Ｓ’ｉ　［ｃｉ（Ｉ）］、Ｓ’　［ｃ（Ｉ）］をベクトル成分に含む。
【０１８７】
あるいは、（４３）式（即ち、３次元、２次元、又は１次元構成領域を対象とした（６０）式〜（６３）式、（７３）式）を用いた際に導出された代数方程式である（７６）式の未知節点ベクトルＵ’は、
関心領域が３次元構成領域を含む場合は、未知節点熱拡散率分布の　Ｈ’０ｉｊ　［ｈ０ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、Ｈ’０ｉ　［ｈ０ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、Ｈ’０　［ｈ０（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］をベクトル成分に含み、
関心領域が２次元構成領域を含む場合は、未知節点熱拡散率分布の　Ｈ’０ｉｊ　［ｈ０ｉ（Ｉ，Ｊ，ｊ）］、Ｈ’０ｉ　［ｈ０ｉ（Ｉ，Ｊ）］、Ｈ’０　［ｈ０（Ｉ，Ｊ）］をベクトル成分に含み、
関心領域が１次元構成領域を含む場合は、未知節点熱拡散率分布の　Ｈ’０ｉｊ　［ｈ０ｉ（Ｉ，ｊ）］、Ｈ’０ｉ　［ｈ０ｉ（Ｉ）］、Ｈ’０　［ｈ０（Ｉ）］をベクトル成分に含む。
あるいは、（４５）式（即ち、３次元、２次元、又は、１次元構成領域を対象とした（６４）式〜（６７）式、（７４）式）を用いた際に導出された代数方程式である（７６）式の未知節点ベクトルＵ’は、
関心領域が３次元構成領域を含む場合は、未知である熱伝導率と密度の比の節点分布のＨ１ｉｊ　［ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、Ｈ１ｉｊ　［ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、Ｈ１　［ｈ１（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］をベクトル成分に含み、
関心領域が２次元構成領域を含む場合は、未知である熱伝導率と密度の比の節点分布のＨ１ｉｊ　［ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，ｊ）］、Ｈ１ｉｊ　［ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ）］、Ｈ１　［ｈ１（Ｉ，Ｊ）］をベクトル成分に含み、
関心領域が１次元構成領域を含む場合は、未知である熱伝導率と密度の比の節点分布のＨ１ｉｊ　［ｈ１ｉ（Ｉ，ｊ）］、Ｈ１ｉｊ　［ｈ１ｉ（Ｉ）］、Ｈ１　［ｈ１（Ｉ）］をベクトル成分に含む。
あるいは、（４７）式（即ち、３次元構成領域を対象とした（６８）式〜（７１）式、（７５）式）を用いた際に導出された代数方程式である（７６）式の未知節点ベクトルＵ’は、
関心領域が３次元構成領域を含む場合は、未知である熱伝導率と比熱の比の節点分布のＨ２ｉｊ　［ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、Ｈ２ｉ　［ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、Ｈ２　［ｈ２（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］をベクトル成分に含み、
関心領域が２次元構成領域を含む場合は、未知である熱伝導率と比熱の比の節点分布のＨ２ｉｊ　［ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，ｊ）］、Ｈ２ｉ　［ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ）］、Ｈ２　［ｈ２（Ｉ，Ｊ）］をベクトル成分に含み、
関心領域が１次元構成領域を含む場合は、未知である熱伝導率と比熱の比の節点分布のＨ２ｉｊ　［ｈ２ｉ（Ｉ，ｊ）］、Ｈ２ｉ　［ｈ２ｉ（Ｉ）］、Ｈ２　［ｈ２（Ｉ）］をベクトル成分に含むこととなる。
【０１８８】
２次元関心領域を対象とした場合には、２次元又は１次元構成領域を対象とした（４９）式、（５０）式、（５２）式、（５３）式、（５５）式、（５６）式、（５８）式、（５９）式、（６１）式〜（６３）式、（６５）式〜（６７）式、（６９）式〜（７１）式、（７２）式〜（７５）式の汎関数Ｉｉｊ（Ｑ’’）のいずれかの少なくとも１つを節点分布Ｑ’’（即ち、Ｌ’’ｉｊ、Ｌ’’ｉ、Ｌ’’、Ｒ’’ｉｊ、Ｒ’’ｉ、Ｒ’’、Ｓ’’ｉｊ、Ｓ’’ｉ、Ｓ’’、Ｈ０’’ｉｊ、Ｈ０’’ｉ、Ｈ０’’、Ｈ１’’ｉｊ、Ｈ１’’ｉ、Ｈ１’’、Ｈ２’’ｉｊ、Ｈ２’’ｉ、Ｈ２’’、又は、ｓ’’ｉｊ）に関して最小化することにより導出される代数方程式を連立することにより、又、１次元関心領域を対象とする場合には、１次元構成領域を対象とした（４９）式、（５０）式、（５３）式、（５６）式、（５９）式、（６２）式、（６３）式、（６６）式、（６７）式、（７０）式、（７１）式、（７２）式〜（７５）式のいずれかを用いた少なくとも１つの汎関数Ｉｉｊ（Ｑ’’）より導出される代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルＵ’に関する代数方程式（７６）式が同様に得られる。
【０１８９】
また、第２の基本原理に従い、適宜、関心領域内の各構成領域においてその領域内の未知分布を表す（４１）式、（４３）式、（４５）式、（４７）式の空間偏微分方程式のいずれかの少なくとも１つに有限差分近似を適用して（前記（ｃ））、関心領域内において導出された代数方程式を連立することにより、前記の関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルＵ’に関する代数方程式（７６）式を導出する場合について、以下に説明する。ここで、関心領域を構成する構成領域は同一領域を含むことがあり、又、構成領域が１つの場合はその構成領域は関心領域そのものを表す。
【０１９０】
第２の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４１）式にて表される分布Ｑ、即ち、熱伝導率分布のＬｉｊ又はＬｉ又はＬ、熱伝導率の１階の偏微分の分布、密度と比熱の積の分布のＲｉｊ又はＲｉ又はＲ、密度分布のＳｉｊ又はＳｉ又はＳ、比熱分布のＳｉｊ又はＳｉ又はＳ、温度勾配ベクトル分布のｓｉｊ（３次元構成領域の場合はＤｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、又は、２次元構成領域の場合はＤｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、又は、１次元構成領域の場合はＤｉ（ｘ，ｔ））、温度の時間方向の１階の偏微分分布のｓｉｊ（３次元構成領域の場合はｄＴｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔ、又は、２次元構成領域の場合はｄＴｉ（ｘ，ｙ，ｔ）／ｄｔ、又は、１次元構成領域の場合はｄＴｉ（ｘ，ｔ）／ｄｔ）、また、温度分布のｓｉｊ（３次元構成領域の場合はＴｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、２次元構成領域の場合はＴｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、１次元構成領域の場合はＴｉ（ｘ，ｔ））に関して有限差分近似（離散近似）を適用して得られるこれらの節点分布Ｑ’’、即ち、節点熱伝導率分布のＬ’’ｉｊ又はＬ’’ｉ又はＬ’’、熱伝導率の１階の偏微分の節点分布、密度と比熱の積の節点分布のＲ’’ｉｊ又はＲ’’ｉ又はＲ’’、節点密度分布のＳ’’ｉｊ又はＳ’’ｉ又はＳ’’、節点比熱分布のＳ’’ｉｊ又はＳ’’ｉ又はＳ’’、節点温度勾配ベクトル分布のｓ’’ｉｊ、温度の時間方向の１階の偏微分の節点分布のｓ’’ｉｊ、又、節点温度分布のｓ’’ｉｊに関する代数方程式に、関心領域内において与えられる全節点データ　（低域通過型フィルタのかけられた前記の温度Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）の時間方向の１階の偏微分分布データ、温度勾配ベクトル分布データＤｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、適宜、参照熱伝導率（分布）のｋ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｋ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、参照拡散率（分布）のｈ０’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ０’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ０’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、参照熱伝導率と密度の比の分布データのｈ１’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ１’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ１’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、参照熱伝導率と比熱の比の分布データのｈ２’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ２’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ２’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、密度と比熱の積の分布データのρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、密度分布データのρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、比熱分布データのｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））が代入され、これより導出される代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルＵ’に関する代数方程式（７６）式が得られる。
【０１９１】
あるいは、第２の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４３）式にて表される分布Ｑ、即ち、熱拡散率分布のＨ０ｉｊ又はＨ０ｉ又はＨ０、熱拡散率の１階の偏微分の分布、温度勾配ベクトル分布のｓｉｊ、温度の時間方向の１階の偏微分分布のｓｉｊ、又、温度分布のｓｉｊに関して有限差分近似（離散近似）を適用して得られるこれらの節点分布Ｑ’’、即ち、節点熱拡散率分布のＨ０’’ｉｊ又はＨ０’’ｉ又はＨ０’’、熱拡散率の１階の偏微分の節点分布、節点温度勾配ベクトル分布のｓ’’ｉｊ、温度の時間方向の１階の偏微分の節点分布のｓ’’ｉｊ、又、節点温度分布のｓ’’ｉｊに関する代数方程式に、関心領域内において与えられる全節点データ　（低域通過型フィルタのかけられた前記の温度Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）の時間方向の１階の偏微分分布データ、温度勾配ベクトル分布データＤｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、適宜、参照熱伝導率（分布）のｋ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｋ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、参照拡散率（分布）のｈ０’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ０’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ０’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、参照熱伝導率と密度の比の分布データのｈ１’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ１’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ１’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、参照熱伝導率と比熱の比の分布データのｈ２’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ２’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ２’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、密度と比熱の積の分布データのρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、密度分布データのρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、比熱分布データのｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））が代入され、これより導出される代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルＵ’に関する代数方程式（７６）式が得られる。
【０１９２】
あるいは、第２の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４５）式にて表される分布Ｑ、即ち、熱伝導率と密度の比の分布のＨ１ｉｊ又はＨ１ｉ又はＨ１、熱伝導率と密度の比の１階の偏微分の分布、比熱分布のＳｉｊ又はＳｉ又はＳ、温度勾配ベクトル分布のｓｉｊ、温度の時間方向の１階の偏微分分布のｓｉｊ、又は、温度分布のｓｉｊに関して有限差分近似（離散近似）を適用して得られるこれらの節点分布Ｑ’’、即ち、熱伝導率と密度の比の節点分布のＨ１’’ｉｊ又はＨ’’１ｉ又はＨ’’１、熱伝導率と密度の比の１階の偏微分の節点分布、節点比熱分布のＳ’’ｉｊ又はＳ’’ｉ又はＳ’’、節点温度勾配ベクトル分布のｓ’’ｉｊ、温度の時間方向の１階の偏微分の節点分布のｓ’’ｉｊ、又、節点温度分布のｓ’’ｉｊに関する代数方程式に、関心領域内において与えられる全節点データ　（低域通過型フィルタのかけられた前記の温度Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）の時間方向の１階の偏微分分布データ、温度勾配ベクトル分布データＤｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、適宜、参照熱伝導率（分布）のｋ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｋ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、参照拡散率（分布）のｈ０’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ０’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ０’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、参照熱伝導率と密度の比の分布データのｈ１’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ１’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ１’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、参照熱伝導率と比熱の比の分布データのｈ２’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ２’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ２’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、密度と比熱の積の分布データのρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、密度分布データのρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、比熱分布データのｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））が代入され、これより導出される代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルＵ’に関する代数方程式（７６）式が得られる。
【０１９３】
あるいは、第２の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式〔（４７）式〕にて表される分布Ｑ、即ち、熱伝導率と比熱の比の分布のＨ２ｉｊ又はＨ２ｉ又はＨ２、熱伝導率と比熱の比の１階の偏微分の分布、密度分布のＳｉｊ又はＳｉ又はＳ、温度勾配ベクトル分布のｓｉｊ、温度の時間方向の１階の偏微分分布のｓｉｊ、又は、温度分布のｓｉｊに関して有限差分近似（離散近似）を適用して得られるこれらの節点分布Ｑ’’、即ち、熱伝導率と比熱の比の節点分布のＨ２’’ｉｊ又はＨ２’’ｉ又はＨ２’’、熱伝導率と比熱の比の１階の偏微分の節点分布、節点密度分布のＳ’’ｉｊ又はＳ’’ｉ又はＳ’’、節点温度勾配ベクトル分布のｓ’’ｉｊ、温度の時間方向の１階の偏微分の節点分布のｓ’’ｉｊ、又、節点温度分布のｓ’’ｉｊに関する代数方程式に、関心領域内において与えられる全節点データ　（低域通過型フィルタのかけられた前記の温度Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）の時間方向の１階の偏微分分布データ、温度勾配ベクトル分布データＤｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、適宜、参照熱伝導率（分布）のｋ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｋ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、参照拡散率（分布）のｈ０’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ０’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ０’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、参照熱伝導率と密度の比の分布データのｈ１’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ１’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ１’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、参照熱伝導率と比熱の比の分布データのｈ２’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ２’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ２’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、密度と比熱の積の分布データのρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、密度分布データのρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、比熱分布データのｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））が代入され、これより導出される代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルＵ’に関する代数方程式（７６）式が得られる。
【０１９４】
また、第２の基本原理に従い、適宜、関心領域内の各構成領域においてその領域内の未知分布を表す（４１）式、（４３）式、（４５）式、（４７）式の空間偏微分方程式のいずれかの少なくとも１つにガラーキン法に基づく有限要素近似又は離散近似を適用して（前記（ａ）又は（ｂ））、関心領域内において導出された代数方程式を連立することにより、前記の関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルＵ’に関する代数方程式（７６）式を導出する場合について、以下に説明する。ここで、関心領域を構成する構成領域は同一領域を含むことがあり、又、構成領域が１つの場合はその構成領域は関心領域そのものを表す。
第２の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４１）式中に表される分布Ｑ、即ち、熱伝導率分布のＬｉｊ又はＬｉ又はＬ、熱伝導率の１階の偏微分の分布、密度と比熱の積の分布のＲｉｊ又はＲｉ又はＲ、密度分布のＳｉｊ又はＳｉ又はＳ、比熱分布のＳｉｊ又はＳｉ又はＳ、温度勾配ベクトル分布のｓｉｊ、温度勾配ベクトルの発散分布のｓｉｊ、温度の時間方向の１階の偏微分分布のｓｉｊ、又、温度分布のｓｉｊに関してガラーキン法に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合は、時間ｔにおいて、次のものを汎関数Ｉｉｊ（・）とする。
【０１９５】
３次元構成領域を対象とした場合には、
【数８６】
2004125397.tif 000089
２次元構成領域を対象とした場合には、
【数８７】
2004125397.tif 000090
１次元構成領域を対象とした場合には、
【数８８】
2004125397.tif 000091
但し、（７７）式〜（７９）式中のｖは、重み関数であり、｜ｖ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）｜≠０を満たす。
【０１９６】
あるいは、第２の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４３）式中に表される分布Ｑ、即ち、熱拡散率分布のＨ０ｉｊ又はＨ０ｉ又はＨ０、熱拡散率の１階の偏微分の分布、温度勾配ベクトル分布のｓｉｊ、温度勾配ベクトルの発散分布のｓｉｊ、温度の時間方向の１階の偏微分分布のｓｉｊ、又、温度分布のｓｉｊに関してガラーキン法に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合は、時間ｔにおいて、次のものを汎関数Ｉｉｊ（・）とする。
３次元構成領域を対象とした場合には、
【数８９】
2004125397.tif 000092
２次元構成領域を対象とした場合には、
【数９０】
2004125397.tif 000093
１次元構成領域を対象とした場合には、
【数９１】
2004125397.tif 000094
但し、（８０）式〜（８２）式中のｖは、重み関数であり、｜ｖ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）｜≠０を満たす。
【０１９７】
あるいは、第２の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４５）式中に表される分布Ｑ、即ち、熱伝導率と密度の比の分布のＨ１ｉｊ又はＨ１ｉ又はＨ１、熱伝導率と密度の比の１階の偏微分の分布、温度勾配ベクトル分布のｓｉｊ、温度勾配ベクトルの発散分布のｓｉｊ、温度の時間方向の１階の偏微分分布のｓｉｊ、又、温度分布のｓｉｊに関してガラーキン法に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合は、時間ｔにおいて、次のものを汎関数Ｉｉｊ（・）とする。
３次元構成領域を対象とした場合には、
【数９２】
2004125397.tif 000095
２次元構成領域を対象とした場合には、
【数９３】
2004125397.tif 000096
１次元構成領域を対象とした場合には、
【数９４】
2004125397.tif 000097
但し、（８３）式〜（８５）式中のｖは、重み関数であり、｜ｖ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）｜≠０を満たす。
【０１９８】
あるいは、第２の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４７）式中に表される分布Ｑ、即ち、熱伝導率と比熱の比の分布のＨ２ｉｊ又はＨ２ｉ又はＨ２、熱伝導率と比熱の比の１階の偏微分の分布、温度勾配ベクトル分布のｓｉｊ、温度勾配ベクトルの発散分布のｓｉｊ、温度の時間方向の１階の偏微分分布のｓｉｊ、又、温度分布のｓｉｊに関してガラーキン法に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合は、時間ｔにおいて、次のものを汎関数Ｉｉｊ（・）とする。
３次元構成領域を対象とした場合には、
【数９５】
2004125397.tif 000098
２次元構成領域を対象とした場合には、
【数９６】
2004125397.tif 000099
１次元構成領域を対象とした場合には、
【数９７】
2004125397.tif 000100
但し、（８６）式〜（８８）式中のｖは、重み関数であり、｜ｖ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）｜≠０を満たす。
【０１９９】
各構成領域において、適宜、（７７）式〜（８８）式のいずれかの汎関数Ｉｉ（・）が使用されるが、各汎関数の重み関数ｖとしては各構成領域内の分布Ｑのいずれかを有限要素近似するための前記基底関数が使用され、時間ｔを変数としない前記の基底関数が使用されることがある。
【０２００】
従って、（４１）式の空間偏微分方程式が使用される場合には、前記基底関数を使用して有限要素化された（７７）式〜（７９）式の汎関数Ｉｉｊ（・）にて表される構成領域内の節点分布Ｑ’’の、節点熱伝導率分布のＬ’’ｉｊ又はＬ’’ｉ又はＬ’’、熱伝導率の１階の偏微分の節点分布、密度と比熱の積の節点分布のＲ’’ｉｊ又はＲ’’ｉ又はＲ’’、節点密度分布のＳ’’ｉｊ又はＳ’’ｉ又はＳ’’、節点比熱分布のＳ’’ｉｊ又はＳ’’ｉ又はＳ’’、温度の時間方向の１階の偏微分の節点分布のｓ’’ｉｊ、節点温度分布のｓ’’ｉｊ、節点温度勾配ベクトル分布のｓ’’ｉｊ、又、温度勾配ベクトルの発散の節点分布のｓ’’ｉｊに、関心領域内において与えられる全節点データ（低域通過型フィルタのかけられた温度の時間方向の１階の偏微分分布データｄＴｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）／ｄｔ、温度分布データＴｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、温度勾配ベクトル分布データＤｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、適宜、参照熱伝導率（分布）のｋ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｋ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、参照拡散率（分布）のｈ０’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ０’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ０’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、密度と比熱の積の分布データのρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、密度分布データのρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、比熱分布データのｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））が代入されて、その結果として得られるＩｉｊ（・）が０に等しいものとすることにより各構成領域において導出される代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルＵ’に関する代数方程式（７６）式が得られる。ここで、重み関数として基底関数φｋ以外を使用して、熱伝導率分布のＬｉｊ、Ｌｉ、Ｌの勾配に部分積分を施した場合においては、基底関数φｋは直流でも構わない。
【０２０１】
また、（４３）式の空間偏微分方程式が使用される場合には、前記基底関数を使用して有限要素化された（８０）式〜（８２）式の汎関数Ｉｉｊ（・）にて表される構成領域内の節点分布Ｑ’’の、節点熱拡散率分布のＨ０’’ｉｊ又はＨ０’’ｉ又はＨ０’’、熱拡散率の１階の偏微分の節点分布、温度の時間方向の１階の偏微分の節点分布のｓ’’ｉｊ、節点温度分布のｓ’’ｉｊ、節点温度勾配ベクトル分布のｓ’’ｉｊ、又、温度勾配ベクトルの発散の節点分布のｓ’’ｉｊに、関心領域内において与えられる全節点データ　（低域通過型フィルタのかけられた温度Ｔｉの時間方向の１階の偏微分分布データｄＴｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）／ｄｔ、温度分布データＴｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、温度勾配ベクトル分布データＤｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、適宜、参照拡散率（分布）のｈ０’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ０’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ０’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）が代入されて、その結果として得られるＩｉｊ（・）が０に等しいものとすることにより各構成領域において導出される代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルＵ’に関する代数方程式（７６）式が得られる。ここで、重み関数として基底関数φｈ以外を使用して、熱拡散率分布Ｈ０ｉｊ、Ｈ０ｉ、Ｈ０の勾配に部分積分を施した場合においては、基底関数φｈは直流でも構わない。
【０２０２】
また、（４５）式の空間偏微分方程式が使用される場合には、前記基底関数を使用して有限要素化された（８３）式〜（８５）式の汎関数Ｉｉｊ（・）にて表される構成領域内の節点分布Ｑ’’の、熱伝導率と密度の比の節点分布のＨ１’’ｉｊ又はＨ’’１ｉ又はＨ’’１、熱伝導率と密度の比の１階の偏微分の節点分布、節点比熱分布のＳ’’ｉｊ又はＳ’’ｉ又はＳ’’、温度の時間方向の１階の偏微分の節点分布のｓ’’ｉｊ、節点温度分布のｓ’’ｉｊ、節点温度勾配ベクトル分布のｓ’’ｉｊ、又、温度勾配ベクトルの発散の節点分布のｓ’’ｉｊに、関心領域内において与えられる全節点データ（低域通過型フィルタのかけられた温度の時間方向の１階の偏微分分布データｄＴｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）／ｄｔ、温度分布データＴｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、温度勾配ベクトル分布データＤｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、適宜、参照熱伝導率と密度の比の分布データのｈ１’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ１’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ１’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、比熱分布データのｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））が代入されて、その結果として得られるＩｉｊ（・）が０に等しいものとすることにより各構成領域において導出される代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルＵ’に関する代数方程式（７６）式が得られる。ここで、重み関数として基底関数φｈ以外を使用して、熱拡散率分布Ｈ１ｉｊ、Ｈ１ｉ、Ｈ１の勾配に部分積分を施した場合においては、基底関数φｈは直流でも構わない。
また、（４７）式の空間偏微分方程式が使用される場合は、前記基底関数を使用して有限要素化された（８６）式〜（８８）式の汎関数Ｉｉｊ（・）にて表される構成領域内の節点分布Ｑ’’の、熱伝導率と比熱の比の節点分布のＨ２’’ｉｊ又はＨ２’’ｉ又はＨ２’’、熱伝導率と比熱の比の１階の偏微分の節点分布、節点密度分布のＳ’’ｉｊ又はＳ’’ｉ又はＳ’’、温度の時間方向の１階の偏微分の節点分布のｓ’’ｉｊ、節点温度分布のｓ’’ｉｊ、節点温度勾配ベクトル分布のｓ’’ｉｊ、又、温度勾配ベクトルの発散の節点分布のｓ’’ｉｊに、関心領域内において与えられる全節点データ（低域通過型フィルタのかけられた温度の時間方向の１階の偏微分分布データｄＴｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）／ｄｔ、温度分布データＴｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、温度勾配ベクトル分布データＤｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、適宜、参照熱伝導率と比熱の比の分布データのｈ２’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ２’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ２’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、密度分布データのρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）が代入されて、その結果として得られるＩｉｊ（・）が０に等しいものとすることにより各構成領域において導出される代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルＵ’に関する代数方程式（７６）式が得られる。ここで、重み関数として基底関数φｈ以外を使用して、熱拡散率分布Ｈ２ｉｊ、Ｈ２ｉ、Ｈ２の勾配に部分積分を施した場合においては、基底関数φｈは直流でも構わない。
【０２０３】
上記の通り、第１基本原理及び第２基本原理に基づいて、代数方程式（７６）式を関心領域全体を対象とする未知節点ベクトルＵ’　に関する連立方程式として解く、あるいは、代数方程式（７６）式中にて表される、関心領域内の各構成領域内の、未知節点分布Ｑ’、即ち、未知節点熱伝導率分布のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｌ’、未知である密度と比熱の積の節点分布のＲ’ｉｊ、Ｒ’ｉ、Ｒ’、未知密度分布又は未知節点比熱分布のＳ’ｉｊ、Ｓ’ｉ、Ｓ’、未知節点熱拡散率分布のＨ０’ｉｊ、Ｈ０’ｉ、Ｈ０’、未知である熱伝導率と密度の比の節点分布のＨ１’ｉｊ、Ｈ１’ｉ、Ｈ１’、未知である熱伝導率と比熱の比の節点分布のＨ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉ、又は、Ｈ２’の１つ以上から成る未知節点ベクトルＶ’に関する連立方程式を各構成領域において解くことにより、熱源と吸熱源及び参照領域の位置が適切であれば（温度分布データの、ｄＴｉ／ｄｔ、Ｔｉ、Ｄｉ、∇・Ｄｉが１組のみ測定された場合においても）、関心領域内の、未知熱伝導率分布のＬｉｊ（３次元関心領域を対象とした場合、ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ））、Ｌｉ［ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｌ［ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）］、未知熱拡散率分布のＨ０ｉｊ［ｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｈ０ｉ［ｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ０［ｈ０（ｘ，ｙ，ｚ）］、未知である熱伝導率と密度の比の分布のＨ１ｉｊ［ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｈ１ｉ［ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ１［ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ）］、未知である熱伝導率と比熱の比の分布のＨ２ｉｊ［ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｈ２ｉ［ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ２［ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ）］を推定でき、又、時に、関心領域内の、未知である密度と比熱の積の分布Ｒｉｊ［ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｒｉ［ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｒ［ρｃ（ｘ，ｙ，ｚ）］、未知比熱分布のＳｉｊ［ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｓｉ［ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｓ［ｃ（ｘ，ｙ，ｚ）］、未知密度分布のＳｉｊ［ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｓｉ［ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｓ［ρ（ｘ，ｙ，ｚ）］を同時に推定でき、又、熱源と吸熱源及び参照領域の任意の配置下において、熱伝導率分布のＬｉｊ［ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｌｉ［ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｌ［ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）］又は熱拡散率分布のＨ０ｉｊ［ｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｈ０ｉ［ｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ０［ｈ０（ｘ，ｙ，ｚ）］、熱伝導率と密度の比の分布のＨ１ｉｊ［ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｈ１ｉ［ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ１［ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ）］又は熱伝導率と比熱の比の分布のＨ２ｉｊ［ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｈ２ｉ［ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ２［ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ）］が与えられた場合は、関心領域内の、未知である密度と比熱の積の分布Ｒｉｊ［ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｒｉ［ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｒ［ρｃ（ｘ，ｙ，ｚ）］、未知比熱分布のＳｉｊ［ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｓｉ［ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｓ［ｃ（ｘ，ｙ，ｚ）］、未知密度分布のＳｉｊ［ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｓｉ［ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｓ［ρ（ｘ，ｙ，ｚ）］を推定できる。尚、有限要素近似を行った場合には、前記基底関数を用いる。２次元、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。
【０２０４】
また、複数の独立した節点温度分布の時系列Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）（ｉ＝１〜Ｍ、但し、ｊ＝０〜ｎ）が測定されて、関心領域全体を対象として未知節点ベクトルＵ’を求めるために使用される場合には、未知節点ベクトルＵ’のｉ，ｊへの依存性により、適宜、代数方程式（７６）式を用いた次に示す（８９）式〜（９７）式の汎関数ＩＩ（Ｕ’）のいずれかが使用される。即ち、代数方程式（７６）式中の未知節点ベクトルＵ’は、関心領域全体を対象とした場合の未知節点分布Ｕｉｊ　（構成領域内のｉ，ｊに依存する未知節点分布Ｑ’のＬ’ｉｊ、Ｒ’ｉｊ、Ｓ’ｉｊ、Ｈ０’ｉｊ、Ｈ１’ｉｊ、Ｈ２’ｉｊのいずれかを少なくとも１つを含み、構成領域内のｉのみに依存する未知節点分布Ｑ’や構成領域内のｉとｊの両者に対して不変である未知節点分布Ｑ’のＬ’ｉ、Ｌ’、Ｒ’ｉ、Ｒ’、Ｓ’ｉ、Ｓ’、Ｈ０’ｉ、Ｈ０’、Ｈ１’ｉ、Ｈ１’、Ｈ２’ｉ、Ｈ２’を含むことのある分布）、未知節点分布Ｕｉ　（構成領域内のｉに依存する未知節点分布Ｑ’のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｒ’ｉｊ、Ｒ’ｉ、Ｓ’ｉｊ、Ｓ’ｉ、Ｈ０’ｉｊ、Ｈ０’ｉ、Ｈ１’ｉｊ、Ｈ１’ｉ、Ｈ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉのいずれかを少なくとも１つを含み、構成領域内のｉとｊの両者に対して不変である未知節点分布Ｑ’のＬ’、Ｒ’、Ｓ’、Ｈ０’、Ｈ１’、Ｈ２’を含むことのある分布）、未知節点分布Ｕ　（構成領域内のｉとｊの両者に対して不変である未知節点分布Ｑ’のＬ’、Ｒ’、Ｓ’、Ｈ０’、Ｈ１’、Ｈ２’のいずれかを少なくとも１つ含む分布）、未知節点分布Ｕｊ　（ｉに対して不変である未知節点分布Ｕｉｊ）　のいずれかを表し、各々、Ｕｉｊ、Ｕｉ、Ｕ、Ｕｊのいずれかに関して最小化される。
【０２０５】
但し、（７６）式を用いた（８９）式〜（９７）式の汎関数ＩＩｉｊ（Ｕ’）中のＰｉｊは、使用される各温度分布データＴｉｊに対して、汎関数ＩＩｉｊ（Ｕ’）中の（４９）式〜（７５）式の汎関数Ｉｉｊ（・）又は（７７）式〜（８８）式の汎関数Ｉｉｊ（・）のいずれかから導出された未知節点分布のＲ’ｉｊ、Ｒ’ｉ、Ｒ’、Ｒ’ｊのいずれかのみに関する式においては、各汎関数Ｉｉｊ（・）の構成領域（積分領域）内の温度の時間方向の１階の偏微分分布ｄＴｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔの（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値である。
【０２０６】
また、未知節点分布のＳ’ｉｊ、Ｓ’ｉ、Ｓ’、Ｓ’ｊのいずれかのみに関する式においては、Ｐｉｊは、各汎関数Ｉｉｊ（・）の構成領域（積分領域）内の温度の時間方向の１階の偏微分ｄＴｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔと与えられた密度ρ又は比熱ｃとの積の分布の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値である。
【０２０７】
また、汎関数ＩＩｉｊ（Ｕ’）中の（４９）式〜（７１）式の汎関数Ｉｉｊ（・）又は（７７）式〜（８８）式の汎関数Ｉｉｊ（・）いずれかから導出された、未知節点分布のＲ’ｉｊ、Ｒ’ｉ、Ｒ’、Ｒ’ｊ、Ｓ’ｉｊ、Ｓ’ｉ、Ｓ’、Ｓ’ｊのいずれかと未知節点分布のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｌ’、Ｌ’ｊ、Ｈ１’ｉｊ、Ｈ１’ｉ、Ｈ１’、Ｈ１’ｊ、Ｈ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉ、Ｈ２’、Ｈ２’ｊのいずれかとに関する式においては、Ｐｉｊは、各汎関数Ｉｉｊ（・）の構成領域（積分領域）内の温度の時間方向の１階の偏微分のｄＴｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔと与えられた密度と比熱の積ρｃ又は密度ρ又は比熱ｃとの積の分布の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値と構成領域内の温度勾配ベクトルＤｉ（ｘ，ｙ，，ｚ，ｔ）と未知である熱伝導率ｋ又は熱伝導率と密度の比ｈ１又は熱伝導率と比熱の比ｈ２にかかる勾配作用素との内積の分布の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値と構成領域内の温度勾配ベクトルの発散の分布の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値の和である。
【０２０８】
また、未知節点分布のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｌ’、Ｌ’ｊ、Ｈ０’ｉｊ、Ｈ０’ｉ、Ｈ０’、Ｈ０’ｊ、Ｈ１’ｉｊ、Ｈ１’ｉ、Ｈ１’、Ｈ１’ｊ、Ｈ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉ、Ｈ２’、Ｈ２’ｊのいずれかのみに関する式においては、Ｐｉｊは、各汎関数Ｉｉｊ（・）の構成領域（積分領域）内の温度勾配ベクトルと未知である熱伝導率ｋ又は熱拡散率ｈ０又は熱伝導率と密度の比ｈ１又は熱伝導率と比熱の比ｈ２にかかる勾配作用素との内積の分布の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値と構成領域内の温度勾配ベクトルの発散の分布の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値の和である。
【０２０９】
また、汎関数ＩＩｉｊ（Ｕ’）中の（７２）式〜（７５）式のいずれかから導出された、未知節点分布のＲ’ｉｊ、Ｒ’ｉ、Ｒ’、Ｒ’ｊ、Ｓ’ｉｊ、Ｓ’ｉ、Ｓ’、Ｓ’ｊのいずれかと未知節点分布のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｌ’、Ｌ’ｊ、Ｈ１’ｉｊ、Ｈ１’ｉ、Ｈ１’、Ｈ１’ｊ、Ｈ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉ、Ｈ２’、Ｈ２’ｊのいずれかとに関する式においては、Ｐｉｊは、各汎関数Ｉｉｊ（・）の構成領域（積分領域）内の温度の時間方向の１階の偏微分のｄＴｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔと与えられた密度と比熱の積ρｃ又は密度ρ又は比熱ｃとの積の分布の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値と構成領域内の温度勾配ベクトル分布Ｄｉ（ｘ，ｙ，，ｚ，ｔ）の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値の和である。
【０２１０】
また、未知節点分布のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｌ’、Ｌ’ｊ、Ｈ０’ｉｊ、Ｈ０’ｉ、Ｈ０’、Ｈ０’ｊ、Ｈ１’ｉｊ、Ｈ１’ｉ、Ｈ１’、Ｈ１’ｊ、Ｈ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉ、Ｈ２’、Ｈ２’ｊのいずれかのみに関する式においては、Ｐｉｊは、各汎関数Ｉｉｊ（・）の構成領域（積分領域）内の温度勾配ベクトル分布Ｄｉ（ｘ，ｙ，，ｚ，ｔ）の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値である。
この様に、通常は、汎関数中の各々の式はＰｉｊにより正規化される。
【０２１１】
未知節点分布Ｕｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ、ｊ＝０〜ｎ）に関して、次式が成立する。
【数９８】
2004125397.tif 000101
但し、未知節点分布Ｕｉｊは、ｉ又はｊ、又は、ｉとｊの両者に対して不変であることがあり、また、温度データｄＴｉ／ｄｔ、Ｔｉ、Ｄｉ、∇・Ｄｉの１組のみ、測定された場合にも使用できる。
【０２１２】
また、未知節点分布Ｕｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ、ｊ＝０〜ｎ）に関して、次式が成立する。
【数９９】
2004125397.tif 000102
但し、未知節点分布Ｕｉｊは、ｊに対して不変であることがある。
【０２１３】
また、未知節点分布Ｕｊ（ｊ＝０〜ｎ）（未知節点分布Ｕｉｊがｉに対して不変の場合）に関して、次式が成立する。
【数１００】
2004125397.tif 000103
但し、未知節点分布Ｕｊは、ｊに対して不変であることがある。
【０２１４】
また、未知節点分布Ｕｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ、ｊ＝０〜ｎ）に関して、次式が成立する。
【数１０１】
2004125397.tif 000104
但し、未知節点分布Ｕｉｊは、ｉに対して不変であることがある。
【０２１５】
また、未知節点分布Ｕｉ（ｉ＝１〜Ｍ）（未知節点分布Ｕｉｊがｊに対して不変の場合）　に関して、次式が成立する。
【数１０２】
2004125397.tif 000105
但し、未知節点分布Ｕｉは、ｉに対して不変であることがある。
【０２１６】
また、未知節点分布Ｕｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ、ｊ＝０〜ｎ）に関して、次式が成立する。
【数１０３】
2004125397.tif 000106
【０２１７】
また、未知節点分布Ｕｊ（ｊ　＝　０￣ｎ）（未知節点分布Ｕｉｊがｉに対して不変である場合）に関して、次式が成立する。
【数１０４】
2004125397.tif 000107
【０２１８】
また、未知節点分布Ｕｉ（ｉ　＝　１￣Ｍ）（未知節点分布Ｕｉｊがｊに対して不変である場合）に関して、次式が成立する。
【数１０５】
2004125397.tif 000108
【０２１９】
また、未知節点分布Ｕ（未知節点分布Ｕｉｊがｉとｊの両者に対して不変である場合）に関して、次式が成立する。
【数１０６】
2004125397.tif 000109
【０２２０】
上記の（８９）式〜（９７）式の汎関数ＩＩ（Ｕ’）が関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルＵ’（未知節点分布Ｕｉｊ、Ｕｉ、Ｕ、Ｕｊのいずれか）に関して最小化するより、以下の通り、未知節点ベクトルＵ’に関する正規方程式が得られる。
汎関数ＩＩｉｊ（Ｕｉｊ）（（８９）式）より、未知節点分布Ｕｉｊ　（ｉ　＝　１〜Ｍ，　ｊ　＝　０〜ｎ）　（ｉ又はｊ、又は、ｉとｊの両者に対して不変であることがあり、また、温度データｄＴｉ／ｄｔ、Ｔｉ、Ｄｉ、∇・Ｄｉの１組のみ、測定された場合にも使用できる。
Ｅ’ｉｊＵｉｊ＝ｅ’ｉｊ　…（９８）
【数１０７】
2004125397.tif 000110
汎関数ＩＩｊ（Ｕｉｊ）（（９０）式）より、未知節点分布Ｕｉｊ　（ｉ　＝　１〜Ｍ，　ｊ　＝　０〜ｎ）　（ｊに対して不変であることがある）　に関する以下の正規方程式が得られる。
【数１０８】
2004125397.tif 000111
但し、行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ，　ｊ＝０〜ｎ）は、各々、正規方程式（９８）式の行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊである。
【０２２１】
汎関数ＩＩｊ（Ｕｊ）（（９１）式）より、未知節点分布Ｕｊ（ｊ　＝　０〜ｎ）（ｊに対して不変であることがある）に関する以下の正規方程式が得られる。
ＥｊＵｊ＝ｅｊ　…（１００）
但し、行列Ｅｊ及びベクトルｅｊ（ｊ＝０〜ｎ）は、各々、正規方程式（９８）式の行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊを用いて、次のように表される。
【数１０９】
2004125397.tif 000112
【０２２２】
汎関数ＩＩｉ（Ｕｉｊ）（（９２）式）より、未知節点分布Ｕｉｊ（ｉ　＝　１〜Ｍ，　ｊ　＝　０〜ｎ）（ｉに対して不変であることがある）に関する以下の正規方程式が得られる。
【数１１０】
2004125397.tif 000113
但し、行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ，ｊ＝０〜ｎ）は、各々、正規方程式（９８）式の行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊである。
【０２２３】
汎関数ＩＩｉ（Ｕｉ）（（９３）式）より、未知節点分布Ｕｉ（ｉ　＝　１〜Ｍ）（ｉに対して不変であることがある）に関する以下の正規方程式が得られる。
ＥｉＵｉ＝ｅｉ　…（１０２）
但し、行列Ｅｉ及びベクトルｅｉ（ｉ＝１〜Ｍ）は、各々、正規方程式（９８）式の行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊを用いて、次のように表される。
【数１１１】
2004125397.tif 000114
【０２２４】
汎関数ＩＩ（Ｕｉｊ）（（９４）式）より、未知節点分布Ｕｉｊ（ｉ　＝　１〜Ｍ，　ｊ　＝　０〜ｎ）に関する以下の正規方程式が得られる。
【数１１２】
2004125397.tif 000115
但し、行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ，ｊ＝０〜ｎ）は、各々、正規方程式（９８）式の行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊである。
【０２２５】
汎関数ＩＩ（Ｕｊ）（（９５）式）より、未知節点分布Ｕｊ（ｊ＝０￣ｎ）に関する次の正規方程式が得られる。
【数１１３】
2004125397.tif 000116
但し、行列Ｅｊ及びベクトルｅｊ（ｊ＝０〜ｎ）は、各々、正規方程式（９８）式の行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊを用いて、次のように表される。
【数１１４】
2004125397.tif 000117
【０２２６】
汎関数ＩＩ（Ｕｉ）（（９６）式）より、未知節点分布Ｕｉ（ｉ＝１￣Ｍ）に関する以下の正規方程式が得られる。
【数１１５】
2004125397.tif 000118
但し、行列Ｅｉ及びベクトルｅｉ（ｉ＝１〜Ｍ）は、各々、正規方程式（９８）式の行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊを用いて、次のように表される。
【数１１６】
2004125397.tif 000119
【０２２７】
汎関数ＩＩ（Ｕ）（（９７）式）より、未知節点分布Ｕに関する次の正規方程式が得られる。
ＥＵ＝ｅ　…（１０６）
但し、行列Ｅ及びベクトルｅは、各々、正規方程式（９８）式の行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊを用いて、次のように表される。
【数１１７】
2004125397.tif 000120
【０２２８】
上記の正規方程式（９８）式〜（１０６）式を未知節点ベクトルＵ’に関して解くことにより、適宜、関心領域全体を対象とした場合の未知節点分布Ｕｉｊ、未知節点分布Ｕｉ、未知節点分布Ｕ、未知節点分布Ｕｊのいずれかが得られる。ここで、未知節点分布Ｕｉｊは、構成領域内のｉ，ｊに依存する未知節点分布Ｑ’のＬ’ｉｊ、Ｒ’ｉｊ、Ｓ’ｉｊ、Ｈ０’ｉｊ、Ｈ１’ｉｊ、Ｈ２’ｉｊのいずれかを少なくとも１つを含み、構成領域内のｉのみに依存する未知節点分布Ｑ’や構成領域内のｉとｊの両者に対して不変である未知節点分布Ｑ’のＬ’ｉ、Ｌ’、Ｒ’ｉ、Ｒ’、Ｓ’ｉ、Ｓ’、Ｈ０’ｉ、Ｈ０’、Ｈ１’ｉ、Ｈ１’、Ｈ２’ｉ、Ｈ２’を含むことがある。未知節点分布Ｕは、構成領域内のｉに依存する未知節点分布Ｑ’のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｒ’ｉｊ、Ｒ’ｉ、Ｓ’ｉｊ、Ｓ’ｉ、Ｈ０’ｉｊ、Ｈ０’ｉ、Ｈ１’ｉｊ、Ｈ１’ｉ、Ｈ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉのいずれかを少なくとも１つを含み、構成領域内のｉとｊの両者に対して不変である未知節点分布Ｑ’のＬ’、Ｒ’、Ｓ’、Ｈ０’、Ｈ１’、Ｈ２’を含むことがある。未知節点分布Ｕは、構成領域内のｉとｊの両者に対して不変である未知節点分布Ｑ’のＬ’、Ｒ’、Ｓ’、Ｈ０’、Ｈ１’、Ｈ２’のいずれかを少なくとも１つ含む。未知節点分布Ｕｊ　は、ｉに対して不変である未知節点分布Ｕｉｊに相当する。
【０２２９】
尚、関心領域全体を対象とする未知節点ベクトルＵ’に関する（８９）式〜（９７）式の汎関数ＩＩ（Ｕ’）は、代数方程式（７６）式中にて表される、関心領域内の各構成領域を対象とした未知節点ベクトルＶ’即ちＶｉｊ、未知節点分布Ｖｉ、未知節点分布Ｖ、未知節点分布Ｖｊのいずれかに関する連立方程式より導出される汎関数ＩＩ（Ｖ’）として扱われることもある。これらの各々は、未知節点ベクトルＶ’のｉ，ｊへの依存性により、未知節点分布Ｖｉｊ、Ｖｉ、Ｖ、Ｖｊのいずれかに関して最小化され、これより導出される各構成領域内の未知節点ベクトルＶ’に関する（９８）式〜（１０６）式の正規方程式を解くことにより、関心領域内の未知節点分布Ｖｉｊ、Ｖｉ、Ｖ、Ｖｊのいずれかが得られることがある。ここで、未知節点ベクトルＶｉｊは、構成領域内のｉ、ｊに依存する未知節点分布Ｑ’のＬ’ｉｊ、Ｒ’ｉｊ、Ｓ’ｉｊ、Ｈ０’ｉｊ、Ｈ１’ｉｊ、Ｈ２’ｉｊのいずれかを少なくとも１つを含み、構成領域内のｉのみに依存する未知節点分布Ｑ’や構成領域内のｉとｊの両者に対して不変である未知節点分布Ｑ’のＬ’ｉ、Ｌ’、Ｒ’ｉ、Ｒ’、Ｓ’ｉ、Ｓ’、Ｈ０’ｉ、Ｈ０’、Ｈ１’ｉ、Ｈ１’、Ｈ２’ｉ、Ｈ２’を含むことがある。未知節点分布Ｖｉは、構成領域内のｉに依存する未知節点分布Ｑ’のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｒ’ｉｊ、Ｒ’ｉ、Ｓ’ｉｊ、Ｓ’ｉ、Ｈ０’ｉｊ、Ｈ０’ｉ、Ｈ１’ｉｊ、Ｈ１’ｉ、Ｈ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉのいずれかを少なくとも１つを含み、構成領域内のｉとｊの両者に対して不変である未知節点分布Ｑ’のＬ’、Ｒ’、Ｓ’、Ｈ０’、Ｈ１’、Ｈ２’を含むことがある。未知節点分布Ｖは、構成領域内のｉとｊの両者に対して不変である未知節点分布Ｑ’のＬ’、Ｒ’、Ｓ’、Ｈ０’、Ｈ１’、Ｈ２’のいずれかを少なくとも１つ含む。未知節点分布Ｖｊは、ｉに対して不変である未知節点分布Ｖｉｊに相当する。
【０２３０】
これより、熱源と吸熱源及び参照領域の位置が適切であれば（温度分布データの、ｄＴｉ／ｄｔ、Ｔｉ、Ｄｉ、∇・Ｄｉが１組のみ測定された場合においても）、関心領域内の、未知熱伝導率分布のＬｉｊ（３次元関心領域を対象とした場合には、ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｌｉ［ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｌ［ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｌｊ［ｋ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］）、未知熱拡散率分布のＨ０ｉｊ［ｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｈ０ｉ［ｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ０［ｈ０（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ０ｊ［ｈ０（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、未知である熱伝導率と密度の比の分布のＨ１ｉｊ［ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｈ１ｉ［ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ１［ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ１ｊ［ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、未知である熱伝導率と比熱の比の分布のＨ２ｉｊ［ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｈ２ｉ［ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ２［ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ２ｊ［ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］を推定できる。また、時に、関心領域内の、未知である密度と比熱の積の分布Ｒｉｊ［ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｒｉ［ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｒ［ρｃ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｒｊ［ρｃ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、未知比熱分布のＳｉｊ［ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｓｉ［ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｓ［ｃ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｓｊ［ｃ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、未知密度分布のＳｉｊ［ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｓｉ［ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｓ［ρ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｓｊ［ρ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］を同時に推定できる。また、熱源と吸熱源及び参照領域の任意の配置下において、熱伝導率分布のＬｉｊ［ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｌｉ［ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｌ［ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｌｊ［ｋ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、又は、熱拡散率分布のＨ０ｉｊ［ｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｈ０ｉ［ｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ０［ｈ０（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ０ｊ［ｈ０（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、又は、熱伝導率と密度の比の分布のＨ１ｉｊ［ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｈ１ｉ［ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ１［ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ１ｊ［ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、又は、熱伝導率と比熱の比の分布のＨ２ｉｊ［ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｈ２ｉ［ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ２［ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ２ｊ［ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］が与えられた場合は、関心領域内の、未知である密度と比熱の積の分布Ｒｉｊ［ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｒｉ［ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｒ［ρｃ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｒｊ［ρｃ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、未知比熱分布のＳｉｊ［ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｓｉ［ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｓ［ｃ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｓｊ［ｃ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、未知密度分布のＳｉｊ［ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｓｉ［ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｓ［ρ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｓｊ［ρ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］を推定できる。尚、有限要素近似を行った場合には、前記基底関数を用いる。２次元、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。
【０２３１】
（８９）式〜（９７）式のＵ’及びＶ’に関する汎関数ＩＩ（Ｕ’）やＩＩ（Ｖ’）を最小化して得られる正規方程式（９８）式〜（１０６）式中のＥ、Ｅｉｊ、Ｅｉ、Ｅｊ、ｅ、ｅｉｊ、ｅｉ、及び、ｅｊは低域通過型フィルタのかけられた温度の時間方向の１階の偏微分分布データ、温度勾配ベクトル分布データ、及び、温度勾配ベクトルの発散の分布データで決まるが、行列Ｅ、Ｅｉｊ、Ｅｉ、Ｅｊの逆作用素は、各々、ｅ、ｅｉｊ、ｅｉ、及びｅｊに含まれる高周波数帯域のノイズを増幅させてしまう。また、（９８）式、（９９）式、（１０１）式、（１０３）式を用いる際には、発熱源又は吸熱源と参照領域との相対的配置が不適切なものとなることがある。その結果、未知節点分布のＵｉｊ、Ｕｉ、Ｕｊ、Ｕ、Ｖｉｊ、Ｖｉ、Ｖｊ、Ｖの推定が不安定となってしまう。
【０２３２】
そこで、第１の基本原理及び第２の基本原理と同様に、（９８）式〜（１０６）式の正規方程式に正則化を施して再構成の安定化を図るようにしても良い。具体的には、後記の通り、使用される各温度分布Ｔｉｊに対して設定されうる正則化パラメータα１ｉｊ、α２ｉｊ、α３ｉｊ、β１ｉｊ、β２ｉｊ、β３ｉｊ、χ１ｉｊ、χ２ｉｊ、χ３ｉｊ、δ１ｉｊ、δ２ｉｊ、δ３ｉｊ、ε１ｉｊ、ε２ｉｊ、ε３ｉｊ、γ１ｉｊ、γ２ｉｊ、γ３ｉｊ、η１ｉｊ、η２ｉｊ、η３ｉｊ（正の値）を使用して、連続座標系において次に表されるような処罰項を使用する。
【０２３３】
即ち、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’が未知熱伝導率分布の　Ｌ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｌ’、Ｌ’ｊ　をベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合に、熱伝導率分布の　ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ｋｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　［ｋｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）　［ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、ｋ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］　が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、（２５）式の処罰項と同様に、その各構成領域内の積分が求められる。
【数１１８】
2004125397.tif 000121
但し、ｋは、各点の熱伝導率のｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）、ｋ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）のいずれかである。
【０２３４】
熱伝導率分布の　ｋｉ（ｘ，ｙ，ｔ）　［ｋｉ（Ｉ，Ｊ，ｊ）］、ｋｉ（ｘ，ｙ）　［ｋｉ（Ｉ，Ｊ）］、ｋ（ｘ，ｙ）　［ｋ（Ｉ，Ｊ）］、ｋ（ｘ，ｙ，ｔ）　［ｋ（Ｉ，Ｊ，ｊ）］　が未知である１つ以上の不連続な２次元構成領域を含む場合には、（２６）式の処罰項と同様に、その各構成領域内の積分が求められる。
【数１１９】
2004125397.tif 000122
但し、ｋは、各点の熱伝導率のｋｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、ｋｉ（ｘ，ｙ）、ｋ（ｘ，ｙ）、ｋ（ｘ，ｙ，ｔ）のいずれかである。
【０２３５】
熱伝導率分布の　ｋｉ（ｘ，ｔ）　［ｋｉ（Ｉ，ｊ）］、ｋｉ（ｘ）　［ｋｉ（Ｉ）］、ｋ（ｘ）　［ｋ（Ｉ）］、ｋ（ｘ，ｔ）　［ｋ（Ｉ，ｊ）］　が未知である１つ以上の不連続な１次元構成領域を含む場合には、（２７）式の処罰項と同様に、その各構成領域内の積分が求められる。
【数１２０】
2004125397.tif 000123
但し、ｋは、各点の熱伝導率のｋｉ（ｘ，ｔ）、ｋｉ（ｘ）、ｋ（ｘ）、ｋ（ｘ，ｔ）のいずれかである。２次元及び１次元関心領域を含む場合も同様である。
【０２３６】
また、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’が未知である密度と比熱の積の分布の　Ｒ’ｉｊ、Ｒ’ｉ、Ｒ’、Ｒ’ｊ　をベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合に、密度と比熱の積の分布の　ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　［ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、ρｃ（ｘ，ｙ，ｚ）　［ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、ρｃ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］　が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、熱伝導率の場合と同様に、その各構成領域内の積分が求められる。
【数１２１】
2004125397.tif 000124
但し、ρｃは、各点の密度と比熱の積のρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、ρｃ（ｘ，ｙ，ｚ）、ρｃ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）のいずれかである。１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も熱伝導率の場合と同様である。２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２３７】
また、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’が未知である密度の分布の　Ｓ’ｉｊ、Ｓ’ｉ、Ｓ’、Ｓ’ｊ　をベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合、密度分布の　ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　［ρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、ρ（ｘ，ｙ，ｚ）［ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、ρ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］　が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、熱伝導率の場合と同様に、その各構成領域内の積分が求められる。
【数１２２】
2004125397.tif 000125
但し、ρは、各点の密度のρｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、ρ（ｘ，ｙ，ｚ）、ρ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）のいずれかである。１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も熱伝導率の場合と同様である。２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２３８】
また、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’が未知である比熱の分布の　Ｓ’ｉｊ、Ｓ’ｉ、Ｓ’、Ｓ’ｊ　をベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合、比熱分布の　ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　［ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、ｃ（ｘ，ｙ，ｚ）［ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、ｃ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］　が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、熱伝導率の場合と同様に、その各構成領域内の積分が求められる。
【数１２３】
2004125397.tif 000126
但し、ｃは、各点の密度のｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、ｃ（ｘ，ｙ，ｚ）、ｃ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）のいずれかである。
１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も熱伝導率の場合と同様である。２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２３９】
また、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’が未知である熱拡散率の分布の　Ｈ０’ｉｊ、Ｈ０’ｉ、Ｈ０’、Ｈ０’ｊ　をベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合、熱拡散率の分布のｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ｈ０ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、ｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　［ｈ０ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、ｈ０（ｘ，ｙ，ｚ）　［ｈ０（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、ｈ０（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ｈ０（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］　が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、熱伝導率の場合と同様に、その各構成領域内の積分が求められる。
【数１２４】
2004125397.tif 000127
但し、ｈ０は、各点の熱拡散率のｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、ｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、ｈ０（ｘ，ｙ，ｚ）、ｈ０（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）のいずれかである。
１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も熱伝導率の場合と同様である。２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２４０】
また、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’が未知である熱伝導率と密度の比の分布の　Ｈ１’ｉｊ、Ｈ１’ｉ、Ｈ１’、Ｈ１’ｊ　をベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合、熱伝導率と密度の比の分布のｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　［ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ）　［ｈ１（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ｈ１（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］　が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、熱伝導率の場合と同様に、その各構成領域内の積分が求められる。
【数１２５】
2004125397.tif 000128
但し、ｈ１は、各点の熱伝導率と密度の比のｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ）、ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）のいずれかである。
１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も熱伝導率の場合と同様である。２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２４１】
また、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’が未知である熱伝導率と比熱の比の分布の　Ｈ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉ、Ｈ２’、Ｈ２’ｊ　をベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合、熱伝導率と比熱の比の分布のｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）　［ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ）　［ｈ２（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ｈ２（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］　が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、熱伝導率の場合と同様に、その各構成領域内の積分が求められる。
【数１２６】
2004125397.tif 000129
但し、ｈ２は、各点の熱伝導率と比熱の比のｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ）、ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）のいずれかである。
１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も熱伝導率の場合と同様である。２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２４２】
（８９）式〜（９７）式の汎関数ＩＩ（Ｕ’）又はＩＩ（Ｖ’）が有限要素近似されている場合は、（１０７）式〜（１１５）式の処罰項は、有限要素近似において導入した基底関数を使用して有限要素近似されるか、又は、有限差分近似されるが、（８９）式〜（９７）式の汎関数ＩＩ（Ｕ’）又はＩＩ（Ｖ’）が有限差分近似されている場合は、（１０７）式〜（１１５）式の処罰項は、有限差分近似される。
【０２４３】
（１０７）式〜（１１５）式の処罰項が、有限要素近似された場合には、３次元関心領域を対象とする場合、適宜、（１０７）式〜（１０９）式には参照熱伝導率（分布）のｋ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｋ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｋ’（Ｉ、Ｊ，Ｋ，ｊ）が、（１１０）式には密度と比熱の積の分布データのρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が、（１１１）式には密度分布データのρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が、（１１２）式には比熱分布データのｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（１１３）式には参照拡散率（分布）のｈ’０ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ’０ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’０（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’０（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（１１４）式には参照熱伝導率と密度の比の分布データのｈ’１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ’１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’１（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’１（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（１１５）式には参照熱伝導率と比熱の比の分布データのｈ’２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ’２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’２（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’２（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入された上で、適宜、（８９）式〜（９７）式のいずれかの汎関数ＩＩ（Ｕ’）又はＩＩ（Ｖ’）に加えられ、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’に関して最小化される。その場合に、基底関数φ３ρｃ、φ３ρ、φ３ｃ、φ３ｋ、φ３ｈはｘ，ｙ，ｚに関して２回偏微分可能である必要がある。
２次元、及び、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２４４】
また、（１０７）式〜（１１５）式の処罰項が有限差分近似された場合には、３次元関心領域を対象とする場合、適宜、（１０７）式〜（１０９）式（但し、α１ｉｊ＝０）には参照熱伝導率（分布）のｋ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｋ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｋ’（Ｉ、Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（１１０）式（但し、β１ｉｊ＝０）には密度と比熱の積の分布データのρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（１１１）式（χ１ｉｊ＝０）には密度分布データのρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（１１２）式（δ１ｉｊ＝０）には比熱分布データのｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（１１３）式（ε１ｉｊ＝０）には参照拡散率（分布）のｈ’０ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ’０ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’０（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’０（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（１１４）式（γ１ｉｊ＝０）には参照熱伝導率と密度の比の分布データのｈ’１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ’１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’１（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’１（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（１１５）式（η１ｉｊ＝０）には参照熱伝導率と比熱の比の分布データのｈ’２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ’２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’２（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’２（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入された上で、適宜、（８９）式〜（９７）式の汎関数ＩＩ（Ｕ’）又はＩＩ（Ｖ’）に加えられ、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’に関して最小化される。
２次元、及び、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２４５】
各汎関数ＩＩ（Ｕ’）又はＩＩ（Ｖ’）から導出される未知節点ベクトルＵ’又はＶ’に関する以下の（１１６）式〜（１２４）式の正則化された正規方程式を解くことにより、未知節点分布Ｕｉｊ、Ｕｉ、Ｕｊ、Ｕ、Ｖｉｊ、Ｖｉ、Ｖｊ、又は、Ｖを安定的に得られる。但し、以下の正則化された正規方程式中に表される行列ＧＴＧ、ＧＴＧＧＴＧの各々は、適宜、関心領域内の未知節点分布のＵｉｊ、Ｕｉ、Ｕｊ、Ｕ、Ｖｉｊ、Ｖｉ、Ｖｊ、又は、Ｖ中の各構成領域内の未知節点分布Ｑ’にかかる有限要素近似あるいは有限差分（離散）近似されたラプラシアン作用素及びラプラシアン２乗作用素を表す。ここで、未知節点分布Ｑ’は、未知熱伝導率分布のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｌ’、　Ｌ’ｊ、未知である密度と比熱の積の分布のＲ’ｉｊ、Ｒ’ｉ、Ｒ’、Ｒ’ｊ、未知密度分布又は未知比熱分布のＳ’ｉｊ、Ｓ’ｉ、Ｓ’、　Ｓ’ｊ、未知熱拡散率分布のＨ０’ｉｊ、Ｈ０’ｉ、Ｈ０’、Ｈ０’ｊ、未知である熱伝導率と密度の比の分布のＨ１’ｉｊ、Ｈ１’ｉ、Ｈ１’、Ｈ１’ｊ、未知である熱伝導率と比熱の比の分布のＨ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉ、Ｈ２’、又は、Ｈ２’ｊを含む。
【０２４６】
従って、式中の正則化パラメータλ１ｉｊ、λ２ｉｊ、λ３ｉｊの各々は、適宜、使用される前記の処罰項（１０７）式〜（１１５）式中の正則化パラメータα１ｉｊ、α２ｉｊ、α３ｉｊの各々、β１ｉｊ、β２ｉｊ、β３ｉｊの各々、χ１ｉｊ、χ２ｉｊ、χ３ｉｊの各々、δ１ｉｊ、δ２ｉｊ、δ３ｉｊの各々、ε１ｉｊ、ε２ｉｊ、ε３ｉｊの各々、γ１ｉｊ、γ２ｉｊ、γ３ｉｊの各々、η１ｉｊ、η２ｉｊ、η３ｉｊの各々（正の値）が、対応する処罰項成分にかかるものとして表現されたものである。
【０２４７】
汎関数ＩＩｉｊ（Ｕｉｊ）（（８９）式）より、未知節点分布Ｕｉｊ（ｉ　＝　１〜Ｍ，　ｊ　＝　０〜ｎ）に関する以下の正則化された正規方程式が得られる。ここで、未知節点分布Ｕｉｊは、ｉ又はｊ、又は、ｉとｊの両者に対して不変であることがあり、また、温度データｄＴｉ／ｄｔ、Ｔｉ、Ｄｉ、∇・Ｄｉの１組のみ、測定された場合にも使用できる。
（Ｅ’ｉｊ＋Ｗｉｊ）Ｕｉｊ＝ｅ’ｉｊ　…（１１６）
但し、行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊは、各々、正規方程式（９８）式の行列Ｅ’ｉｊ＝ＥｉｊＴＥｉｊ、ベクトルｅ’ｉｊ＝ＥｉｊＴｅｉｊであり、行列Ｗｉｊ＝λ１ｉｊＩ＋λ２ｉｊＧＴＧ＋λ３ｉｊＧＴＧＧＴＧである。
【０２４８】
汎関数ＩＩｊ（Ｕｉｊ）（（９０）式）より、未知節点分布Ｕｉｊ　（ｉ　＝　１〜Ｍ，　ｊ　＝　０〜ｎ）　（ｊに対して不変であることがある）　に関する以下の正則化された正規方程式が得られる。
【数１２７】
2004125397.tif 000130
【０２４９】
汎関数ＩＩｊ（Ｕｊ）（（９１）式）より、未知節点分布Ｕｊ（ｊ　＝　０〜ｎ）（ｊに対して不変であることがある）に関する以下の正規方程式が得られる。
【数１２８】
2004125397.tif 000131
【０２５０】
汎関数ＩＩｉ（Ｕｉｊ）（（９２）式）より、未知節点分布Ｕｉｊ　（ｉ　＝　１〜Ｍ，　ｊ　＝　０〜ｎ）（ｉに対して不変であることがある）に関する以下の正規方程式が得られる。
【数１２９】
2004125397.tif 000132
【０２５１】
汎関数ＩＩｉ（Ｕｉ）（（９３）式）より、未知節点分布Ｕｉ（ｉ　＝　１〜Ｍ）（ｉに対して不変であることがある）に関する以下の正則化された正規方程式が得られる。
【数１３０】
2004125397.tif 000133
【０２５２】
汎関数ＩＩ（Ｕｉｊ）［（９４）式）より、未知節点分布Ｕｉｊ（ｉ　＝　１〜Ｍ、ｊ　＝　０〜ｎ）に関する以下の正規方程式が得られる。
【数１３１】
2004125397.tif 000134
【０２５３】
汎関数ＩＩ（Ｕｊ）（（９５）式）より、未知節点分布Ｕｊ（ｊ　＝　０￣ｎ）に関する以下の正規方程式が得られる。
【数１３２】
2004125397.tif 000135
【０２５４】
汎関数ＩＩ（Ｕｉ）（（９６）式）より、未知節点分布Ｕｉ（ｉ　＝　１￣Ｍ）に関する以下の正規方程式が得られる。
【数１３３】
2004125397.tif 000136
【０２５５】
汎関数ＩＩ（Ｕ）（（９７）式）より、未知節点分布Ｕに関する以下の正規方程式が得られる。
【数１３４】
2004125397.tif 000137
【０２５６】
上記の各正規方程式（１１６）式〜（１２４）式を未知節点ベクトルＵ’に関して解くことにより、適宜、関心領域全体を対象とした場合の未知節点分布Ｕｉｊ、未知節点分布Ｕｉ、未知節点分布Ｕ、未知節点分布Ｕｊ、関心領域内の各構成領域を対象とした未知節点ベクトルＶ’即ちＶｉｊ、未知節点分布Ｖｉ、未知節点分布Ｖ、未知節点分布Ｖｊのいずれかが得られる。
【０２５７】
これより、関心領域内の、未知熱伝導率分布のＬｉｊ（３次元関心領域を対象とした場合には、ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ））、Ｌｉ［ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｌ［ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｌｊ［ｋ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、未知である密度と比熱の積の分布Ｒｉｊ［ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｒｉ［ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｒ［ρｃ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｒｊ［ρｃ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、未知比熱分布のＳｉｊ［ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｓｉ［ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｓ［ｃ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｓｊ［ｃ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、未知密度分布のＳｉｊ［ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｓｉ［ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｓ［ρ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｓｊ［ρ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、未知熱拡散率分布のＨ０ｉｊ［ｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｈ０ｉ［ｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ０［ｈ０（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ０ｊ［ｈ０（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、未知である熱伝導率と密度の比の分布のＨ１ｉｊ［ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｈ１ｉ［ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ１［ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ１ｊ［ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、未知である熱伝導率と比熱の比の分布のＨ２ｉｊ［ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｈ２ｉ［ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ２［ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ２ｊ［ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］を推定できる。尚、有限要素近似を行った場合には、前記基底関数を用いる）。２次元、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。また、温度分布データの、ｄＴｉ／ｄｔ、Ｔｉ、Ｄｉ、∇・Ｄｉが１組のみ測定された場合においても、これらを推定できることがある。
【０２５８】
また、ｊに依存する未知節点ベクトルＵ’（関心領域全体を対象とした際の未知節点分布のＵｉｊ又はＵｊ）、又は、未知節点ベクトルＶ’（関心領域内の各構成領域内の未知節点分布のＶｉｊ又はＶｊ）に関する（９２）式、（９４）式、（９５）式の汎関数ＩＩ（Ｕ’）やＩＩ（Ｖ’）を正則化するには、（１０７）式〜（１１５）式の処罰項の他に、（１０７）式〜（１１５）式の処罰項の各積分核に各構成領域内の未知分布の時間ｔ（ｊ）方向の１階の偏微分及び２階の偏微分を加えた、連続座標系において次に表されるような処罰項を使用して再構成の安定化を図るようにしても良い。その際に新たに使用される正則化パラメータα４ｉｊ、α５ｉｊ、β４ｉｊ、β５ｉｊ、χ４ｉｊ、χ５ｉｊ、δ４ｉｊ、δ５ｉｊ、ε４ｉｊ、ε５ｉｊ、γ４ｉｊ、γ５ｉｊ、η４ｉｊ、η５ｉｊ（正の値）は、後記の通り、使用される各温度分布Ｔｉｊに対して設定されうる。
【０２５９】
即ち、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’が未知熱伝導率分布の　Ｌ’ｉｊ、Ｌ’ｊ　をベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合に、熱伝導率分布の　ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ｋｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、ｋ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］　が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、（１０７）式の処罰項の積分核に時間ｔ（ｊ）方向の１階の偏微分及び２階の偏微分を加え、その各構成領域内の積分を求める。
【数１３５】
2004125397.tif 000138
但し、ｋは、各点の熱伝導率のｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、ｋ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）のいずれかである。
【０２６０】
熱伝導率分布の　ｋｉ（ｘ，ｙ，ｔ）　［ｋｉ（Ｉ，Ｊ，ｊ）］、ｋ（ｘ，ｙ，ｔ）　［ｋ（Ｉ，Ｊ，ｊ）］　が未知である１つ以上の不連続な２次元構成領域を含む場合には、（１０８）式の処罰項に時間ｔ（ｊ）方向の１階の偏微分及び２階の偏微分を加え、その各構成領域内の積分を求める。
【数１３６】
2004125397.tif 000139
但し、ｋは、各点の熱伝導率のｋｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、ｋ（ｘ，ｙ，ｔ）のいずれかである。
【０２６１】
熱伝導率分布の　ｋｉ（ｘ，ｔ）　［ｋｉ（Ｉ，ｊ）］、ｋ（ｘ，ｔ）　［ｋ（Ｉ，ｊ）］　が未知である１つ以上の不連続な１次元構成領域を含む場合には、（１０９）式の処罰項に時間ｔ（ｊ）方向の１階の偏微分及び２階の偏微分を加え、その各構成領域内の積分を求める。
【数１３７】
2004125397.tif 000140
但し、ｋは、各点の熱伝導率のｋｉ（ｘ，ｔ）、ｋ（ｘ，ｔ）のいずれかである。
２次元及び１次元関心領域を含む場合も同様である。
【０２６２】
また、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’が未知である密度と比熱の積の分布の　Ｒ’ｉｊ、Ｒ’ｊ　をベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合に、密度と比熱の積の分布の　ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、ρｃ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］　が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、（１１０）式の処罰項に時間ｔ（ｊ）方向の１階の偏微分及び２階の偏微分を加え、その各構成領域内の積分を求める。
【数１３８】
2004125397.tif 000141
但し、ρｃは、各点の密度と比熱の積のρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、ρｃ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）のいずれかである。１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も同様である。また、２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２６３】
また、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’が未知である密度の分布の　Ｓ’ｉｊ、Ｓ’ｊをベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合に、密度分布のρｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、ρ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］　が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、（１１１）式の処罰項に時間ｔ（ｊ）方向の１階の偏微分及び２階の偏微分を加え、その各構成領域内の積分を求める。
【数１３９】
2004125397.tif 000142
但し、ρは、各点の密度のρｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、ρ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）のいずれかである。１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も同様である。また、２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２６４】
また、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’が未知である比熱の分布の　Ｓ’ｉｊ、Ｓ’ｊをベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合に、比熱分布のｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、ｃ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、（１１２）式の処罰項に時間ｔ（ｊ）方向の１階の偏微分及び２階の偏微分を加え、その各構成領域内の積分を求める。
【数１４０】
2004125397.tif 000143
但し、ｃは、各点の密度のｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、ｃ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）のいずれかである。
１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も同様である。また、２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２６５】
また、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’が未知である熱拡散率の分布の　Ｈ０’ｉｊ、Ｈ０’ｊをベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合に、熱拡散率の分布のｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ｈ０ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、ｈ０（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ｈ０（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、（１１３）式の処罰項に時間ｔ（ｊ）方向の１階の偏微分及び２階の偏微分を加え、その各構成領域内の積分を求める。
【数１４１】
2004125397.tif 000144
但し、ｈ０は、各点の熱拡散率のｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、ｈ０（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）のいずれかである。
１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も同様である。また、２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２６６】
また、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’が未知である熱伝導率と密度の比の分布の　Ｈ１’ｉｊ、Ｈ１’ｊをベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合に、熱伝導率と密度の比の分布のｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ｈ１（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］　が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、（１１４）式の処罰項に時間ｔ（ｊ）方向の１階の偏微分及び２階の偏微分を加え、その各構成領域内の積分を求める。
【数１４２】
2004125397.tif 000145
但し、ｈ１は、各点の熱伝導率と密度の比のｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）のいずれかである。
１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も同様である。また、２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２６７】
また、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’が未知である熱伝導率と比熱の比の分布のＨ２’ｉｊ、Ｈ２’ｊをベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合に、熱伝導率と比熱の比の分布のｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　［ｈ２（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］　が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、（１１５）式の処罰項に時間ｔ（ｊ）方向の１階の偏微分及び２階の偏微分を加え、その各構成領域内の積分を求める。
【数１４３】
2004125397.tif 000146
但し、ｈ２は、各点の熱伝導率と比熱の比のｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）のいずれかである。
１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も同様である。また、２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２６８】
（８９）式〜（９７）式の汎関数ＩＩ（Ｕ’）又はＩＩ（Ｖ’）が有限要素近似されている場合は、（１２５）式〜（１３３）式の処罰項は、有限要素近似において導入した基底関数を使用して有限要素近似されるか、又は、有限差分近似されるが、（８９）式〜（９７）式の汎関数ＩＩ（Ｕ’）又はＩＩ（Ｖ’）が有限差分近似されている場合は、（１２５）式〜（１３３）式の処罰項は、有限差分近似される。
【０２６９】
（１２５）式〜（１３３）式の処罰項が、有限要素近似された場合は、３次元関心領域を対象とする場合、適宜、（１２５）式〜（１２７）式には参照熱伝導率（分布）のｋ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｋ’（Ｉ、Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（１２８）式には密度と比熱の積の分布データのρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（１２９）式には密度分布データのρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（１３０）式には比熱分布データのｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（１３１）式には参照拡散率（分布）のｈ’０ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ’０ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’０（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’０（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（１３２）式には参照熱伝導率と密度の比の分布データのｈ’１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ’１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’１（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’１（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（１３３）式には参照熱伝導率と比熱の比の分布データのｈ’２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ’２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’２（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’２（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入された上で、適宜、（９２）式、（９４）式、（９５）式のいずれかの汎関数ＩＩ（Ｕ’）又はＩＩ（Ｖ’）　に加えられ、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’に関して最小化される。但し、未知節点ベクトルＵ’は、関心領域全体を対象とした際の未知節点分布のＵｉｊ又はＵｊであり、未知節点ベクトルＶ’は、関心領域内の構成領域内の未知節点分布のＶｉｊ又はＶｊである。この場合、基底関数φ３ρｃ、φ３ρ、φ３ｃ、φ３ｋ、φ３ｈは、ｘ，ｙ，ｚに関して２回偏微分可能であると共にｔに関して２回偏微分可能である必要がある。
【０２７０】
また、（１２５）式〜（１３３）式の処罰項が有限差分近似された場合に、３次元関心領域を対象とする場合、適宜、（１２５）式〜（１２７）式（但し、α１ｉｊ＝０）には参照熱伝導率（分布）のｋ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｋ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｋ’（Ｉ、Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（１２８）式（但し、β１ｉｊ＝０）には密度と比熱の積の分布データのρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（１２９）式（χ１ｉｊ＝０）には密度分布データのρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ρｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ρ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（１３０）式（δ１ｉｊ＝０）には比熱分布データのｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（１３１）式（ε１ｉｊ＝０）には参照拡散率（分布）のｈ’０ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ’０ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’０（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’０（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（１３２）式（γ１ｉｊ＝０）には参照熱伝導率と密度の比の分布データのｈ’１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ’１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’１（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’１（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（１３３）式（η１ｉｊ＝０）には参照熱伝導率と比熱の比の分布データのｈ’２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ’２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’２（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’２（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入された上で、適宜、（９２）式、（９４）式、（９５）式の汎関数ＩＩ（Ｕ’）又はＩＩ（Ｖ’）に加えられ、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’に関して最小化される。
２次元、及び、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２７１】
汎関数ＩＩ（Ｕ’）又はＩＩ（Ｖ’）（（９２）式、（９４）式、（９５）式）から導出される未知節点ベクトルＵ’又はＶ’に関する以下の（１３４）式〜（１３６）式の正則化された正規方程式を解くことにより、未知節点分布Ｕｉｊ、Ｕｊ、Ｖｉｊ、Ｖｊを安定的に得られる。尚、正規方程式の（１３４）式〜（１３６）式中の正則化パラメータλ１ｉｊ、λ２ｉｊ、λ３ｉｊ、λ４ｉｊ、λ５ｉｊの各々は、適宜、使用される前記の処罰項（１２５）式〜（１３３）式中の、各温度分布Ｔｉｊに対して設定されうる正則化パラメータα１ｉｊ、α２ｉｊ、α３ｉｊ、α４ｉｊ、α５ｉｊの各々、β１ｉｊ、β２ｉｊ、β３ｉｊ、β４ｉｊ、β５ｉｊの各々、χ１ｉｊ、χ２ｉｊ、χ３ｉｊ、χ４ｉｊ、χ５ｉｊの各々、δ１ｉｊ、δ２ｉｊ、δ３ｉｊ、δ４ｉｊ、δ５ｉｊの各々、ε１ｉｊ、ε２ｉｊ、ε３ｉｊ、ε４ｉｊ、ε５ｉｊの各々、γ１ｉｊ、γ２ｉｊ、γ３ｉｊ、γ４ｉｊ、γ５ｉｊの各々、η１ｉｊ、η２ｉｊ、η３ｉｊ、η４ｉｊ、η５ｉｊ　の各々（正の値）が、対応する処罰項成分にかかるものとして表現されたものである。
【０２７２】
即ち、（９２）式の関心領域全体を対象とした未知節点分布の時系列からなる未知節点ベクトルＸｉｊ＝（Ｕｉ０Ｔ，Ｕｉ１Ｔ，…，ＵｉｎＴ）Ｔ（ｉ　＝　１〜Ｍ）又は関心領域内の構成領域を対象とした未知節点分布の時系列からなる未知節点ベクトルＸｉｊ＝（Ｖｉ０Ｔ，Ｖｉ１Ｔ，…，ＶｉｎＴ）Ｔ（ｉ　＝　１〜Ｍ）に関する汎関数ＩＩｉ（Ｘｉｊ）を用いて導出される未知節点ベクトルＸｉｊに関する以下の正則化された正規方程式を解くことにより、未知節点分布の時系列の（Ｕｉ０，Ｕｉ１，…，Ｕｉｎ）　又は（Ｖｉ０，Ｖｉ１，…，Ｖｉｎ）　が安定的に得られる。
【数１４４】
2004125397.tif 000147
但し、行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ，　ｊ＝０〜ｎ）は、各々、正規方程式（９８）式の行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊであり、行列Ｗｉｊ＝λ１ｉｊＩ＋λ２ｉｊＧＴＧ＋λ３ｉｊＧＴＧＧＴＧである。
行列ＧＴＧ、ＧＴＧＧＴＧ、ＧｔＴＧｔ、ＧｔＴＧｔＧｔＴＧｔの各々は、関心領域全体を対象とした未知節点分布（Ｕｉ０，Ｕｉ１，…，Ｕｉｎ）又は関心領域内の各構成領域を対象とした未知節点分布（Ｖｉ０，Ｖｉ１，…，Ｖｉｎ）が含む各未知節点分布Ｑ’にかかる有限要素近似あるいは有限差分（離散）近似された前記ラプラシアン作用素、前記ラプラシアン２乗作用素、時間ｔ（ｊ）方向にかかる１階の偏微分作用素、及び、２階の偏微分作用素である。ここで、未知節点分布Ｑ’は、未知節点熱伝導率分布のＬ’ｉｊ、Ｌｊ’、未知である密度と比熱の積の節点分布のＲ’ｉｊ、Ｒ’ｊ、未知節点密度分布又は未知節点比熱分布のＳ’ｉｊ、Ｓ’ｊ、未知節点熱拡散率分布のＨ０’ｉｊ、Ｈ０’ｊ、未知である熱伝導率と密度の比の節点分布のＨ１’ｉｊ、Ｈ１’ｊ、未知である熱伝導率と比熱の比の節点分布のＨ２’ｉｊ、Ｈ２’ｊを含む。
【０２７３】
また、（９４）式の関心領域全体を対象とした未知節点分布の時系列からなる未知節点ベクトルＸｉｊ＝（Ｕ１０Ｔ，Ｕ１１Ｔ，…，Ｕ１ｎＴ，Ｕ２０Ｔ，Ｕ２１Ｔ，…，Ｕ２ｎＴ，……，ＵＭ０Ｔ，ＵＭ１Ｔ，…，ＵＭｎＴ）Ｔ　又は関心領域内の構成領域を対象とした未知節点分布の時系列からなる未知節点ベクトルＸｉｊ＝（Ｖ１０Ｔ，Ｖ１１Ｔ，…，Ｖ１ｎＴ，Ｖ２０Ｔ，Ｖ２１Ｔ，…，Ｖ２ｎＴ，……，ＶＭ０Ｔ，ＶＭ１Ｔ，…，ＶＭｎＴ）Ｔに関する汎関数ＩＩｉ（Ｘｉｊ）を用いて導出される未知節点ベクトルＸｉｊに関する以下の正則化された正規方程式を解くことにより、未知節点分布の時系列の（Ｕ１０，Ｕ１１，…，Ｕ１ｎ，Ｕ２０，Ｕ２１，…，Ｕ２ｎ，……，ＵＭ０，ＵＭ１，…，ＵＭｎ）又は（Ｖ１０，Ｖ１１，…，Ｖ１ｎ，Ｖ２０，Ｖ２１，…，Ｖ２ｎ，……，ＶＭ０，ＶＭ１，…，ＶＭｎ）が安定的に得られる。
【数１４５】
2004125397.tif 000148
但し、行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ，　ｊ＝０〜ｎ）は、各々、正規方程式（９８）式の行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊであり、行列Ｗｉｊ＝λ１ｉｊＩ＋λ２ｉｊＧＴＧ＋λ３ｉｊＧＴＧＧＴＧである。
行列ＧＴＧ、ＧＴＧＧＴＧ、ＧｔＴＧｔ、ＧｔＴＧｔＧｔＴＧｔの各々は、関心領域全体を対象とした未知節点分布（Ｕ１０，Ｕ１１，…，Ｕ１ｎ，Ｕ２０，Ｕ２１，…，Ｕ２ｎ，……，ＵＭ０，ＵＭ１，…，ＵＭｎ）　又は関心領域内の各構成領域を対象とした未知節点分布（Ｖ１０，Ｖ１１，…，Ｖ１ｎ，Ｖ２０，Ｖ２１，…，Ｖ２ｎ，……，ＶＭ０，ＶＭ１，…，ＶＭｎ）が含む各未知節点分布Ｑ’にかかる有限要素近似あるいは有限差分（離散）近似された前記ラプラシアン作用素、前記ラプラシアン２乗作用素、時間ｔ（ｊ）方向にかかる１階の偏微分作用素、及び、２階の偏微分作用素である。ここで、未知節点分布Ｑ’は、未知節点熱伝導率分布のＬ’ｉｊ、Ｌｊ’、未知である密度と比熱の積の節点分布のＲ’ｉｊ、Ｒ’ｊ、未知節点密度分布又は未知節点比熱分布のＳ’ｉｊ、Ｓ’ｊ、未知節点熱拡散率分布のＨ０’ｉｊ、Ｈ０’ｊ、未知である熱伝導率と密度の比の節点分布のＨ１’ｉｊ、Ｈ１’ｊ、未知である熱伝導率と比熱の比の節点分布のＨ２’ｉｊ、Ｈ２’ｊを含む。
【０２７４】
また、（９５）式の関心領域全体を対象とした未知節点分布の時系列からなる未知節点ベクトルＸｊ＝（Ｕ０Ｔ，Ｕ１Ｔ，…，ＵｎＴ）Ｔ　又は関心領域内の構成領域を対象とした未知節点分布の時系列からなる未知節点ベクトルＸｊ＝（Ｖ０Ｔ，Ｖ１Ｔ，…，ＶｎＴ）Ｔに関する汎関数ＩＩｉ（Ｘｊ）を用いて導出される未知節点ベクトルＸｊに関する以下の正則化された正規方程式を解くことにより、未知節点分布の時系列の（Ｕ０，Ｕ１，…，Ｕｎ）又は（Ｖ０，Ｖ１，…，Ｖｎ）が安定的に得られる。
【数１４６】
2004125397.tif 000149
行列ＧＴＧ、ＧＴＧＧＴＧ、ＧｔＴＧｔ、ＧｔＴＧｔＧｔＴＧｔの各々は、関心領域全体を対象とした未知節点分布（Ｕ０，Ｕ１，…，Ｕｎ）又は関心領域内の各構成領域を対象とした未知節点分布（Ｖ０，Ｖ１，…，Ｖｎ）が含む各未知節点分布Ｑ’にかかる有限要素近似あるいは有限差分（離散）近似された前記ラプラシアン作用素、前記ラプラシアン２乗作用素、時間ｔ（ｊ）方向にかかる１階の偏微分作用素、及び、２階の偏微分作用素である。
【０２７５】
これより、関心領域内の、未知熱伝導率分布のＬｉｊ（３次元関心領域を対象とした場合には、ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ））、Ｌｉ［ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｌ［ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｌｊ［ｋ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、未知である密度と比熱の積の分布Ｒｉｊ［ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｒｉ［ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｒ［ρｃ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｒｊ［ρｃ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、未知比熱分布のＳｉｊ［ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｓｉ［ｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｓ［ｃ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｓｊ［ｃ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、未知密度分布のＳｉｊ［ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｓｉ［ρｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｓ［ρ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｓｊ［ρ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、未知熱拡散率分布のＨ０ｉｊ［ｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｈ０ｉ［ｈ０ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ０［ｈ０（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ０ｊ［ｈ０（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、未知である熱伝導率と密度の比の分布のＨ１ｉｊ［ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｈ１ｉ［ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ１［ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ１ｊ［ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、未知である熱伝導率と比熱の比の分布のＨ２ｉｊ［ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｈ２ｉ［ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ２［ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ２ｊ［ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］を推定できる。尚、有限要素近似を行った場合には、前記基底関数を用いる。２次元、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。
【０２７６】
正則化された正規方程式（１１６）式〜（１２４）式及び（１３４）式〜（１３６）式中の正則化パラメータλ１ｉｊ、λ２ｉｊ、λ３ｉｊ、λ４ｉｊ、λ５ｉｊは、前記の第１基本原理にて示した正則化された正規方程式（１９）式と同様に、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルＵ’又は関心領域内の各構成領域を対象とした未知節点ベクトルＶ’にかかる行列が各温度データＴｉｊに対して数値解析的に正定値となる様に、大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータλ１ｉｊ、λ２ｉｊ、λ３ｉｊ、λ４ｉｊ、λ５ｉｊの各々を決定する正則化パラメータα１ｉｊ、α２ｉｊ、α３ｉｊ、α４ｉｊ、α５ｉｊの各々、β１ｉｊ、β２ｉｊ、β３ｉｊ、β４ｉｊ、β５ｉｊの各々、χ１ｉｊ、χ２ｉｊ、χ３ｉｊ、χ４ｉｊ、χ５ｉｊの各々、δ１ｉｊ、δ２ｉｊ、δ３ｉｊ、δ４ｉｊ、δ５ｉｊの各々、ε１ｉｊ、ε２ｉｊ、ε３ｉｊ、ε４ｉｊ、ε５ｉｊの各々、γ１ｉｊ、γ２ｉｊ、γ３ｉｊ、γ４ｉｊ、γ５ｉｊの各々、η１ｉｊ、η２ｉｊ、η３ｉｊ、η４ｉｊ、η５ｉｊ　の各々の値が、（１０７）式〜（１１５）式又は（１２５）式〜（１３３）式の各処罰項の各積分領域（各構成領域）内の、各温度データＴｉｊに対して評価される温度時空間偏微分分布データ（温度の時間方向の１階の偏微分分布データ、温度勾配ベクトル分布データ、温度勾配ベクトルの発散分布データ）の精度（ＳＮ比）により調節される。
【０２７７】
詳細には、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’に含まれる未知節点分布のＲ’ｉｊ、Ｒ’ｉ、Ｒ’、Ｒ’ｊにかかる正則化パラメータは、各処罰項の各積分領域内の温度の時間方向の１階の偏微分分布データの精度（ＳＮ比）により、
また、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’に含まれるＳ’ｉｊ、Ｓ’ｉ、Ｓ’、Ｓ’ｊにかかる正則化パラメータは、各処罰項の各積分領域内の温度の時間方向の１階の偏微分データと与えられた密度データ又は比熱データとの積の分布の精度（ＳＮ比）により調節される。
【０２７８】
また、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’に含まれる、（８９）式〜（９７）式の汎関数ＩＩｉｊ（Ｕ’）中の（４９）式〜（７１）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（７７）式〜（８８）式の汎関数Ｉｉｊ（・）のいずれかから導出された、未知節点分布のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｌ’、Ｌ’ｊ、Ｈ０’ｉｊ、Ｈ０’ｉ、Ｈ０’、　Ｈ０’ｊ、Ｈ１’ｉｊ、Ｈ１’ｉ、Ｈ１’、Ｈ１’ｊ、Ｈ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉ、Ｈ２’、Ｈ２’ｊにかかる正則化パラメータは、各処罰項の各積分領域内の温度勾配ベクトル分布データと未知である熱伝導率ｋ又は熱拡散率ｈ０又は熱伝導率と密度の比ｈ１又は熱伝導率と比熱の比ｈ２にかかる勾配作用素との内積の分布データと温度勾配ベクトルの発散分布データの精度（ＳＮ比）により調節される。
【０２７９】
また、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’に含まれる、（８９）式〜（９７）式の汎関数ＩＩｉｊ（Ｕ’）中の（７２）式〜（７５）式の汎関数Ｉｉｊ（・）のいずれかから導出された、未知節点分布のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｌ’、Ｌ’ｊ、Ｈ０’ｉｊ、Ｈ０’ｉ、Ｈ０’、Ｈ０’ｊ、Ｈ１’ｉｊ、Ｈ１’ｉ、Ｈ１’、Ｈ１’ｊ、Ｈ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉ、Ｈ２’、Ｈ２’ｊにかかる正則化パラメータは、各処罰項の各積分領域内の温度勾配ベクトル分布データの精度（ＳＮ比）により調節される。
【０２８０】
即ち、ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きくなるように調節される。
例えば、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’に含まれる未知節点分布のＲ’ｉｊ、Ｒ’ｉ、Ｒ’、Ｒ’ｊにかかる正則化パラメータは、各処罰項の各積分領域内の温度の時間方向の１階の偏微分分布データのＳＮパワー比に反比例した値とすることがある。
【０２８１】
また、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’に含まれるＳ’ｉｊ、Ｓ’ｉ、Ｓ’、Ｓ’ｊにかかる正則化パラメータは、各処罰項の各積分領域内の温度の時間方向の１階の偏微分データと与えられた密度データ又は比熱データとの積の分布のＳＮパワー比に反比例した値とすることがある。
【０２８２】
また、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’に含まれる、（８９）式〜（９７）式の汎関数ＩＩｉｊ（Ｕ’）中の（４９）式〜（７１）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（７７）式〜（８８）式の汎関数Ｉｉｊ（・）のいずれかから導出された、未知節点分布のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｌ’、Ｌ’ｊ、Ｈ０’ｉｊ、Ｈ０’ｉ、Ｈ０’、　Ｈ０’ｊ、Ｈ１’ｉｊ、Ｈ１’ｉ、Ｈ１’、Ｈ１’ｊ、Ｈ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉ、Ｈ２’、Ｈ２’ｊにかかる正則化パラメータは、各処罰項の各積分領域内の温度勾配ベクトル分布データと未知である熱伝導率ｋ又は熱拡散率ｈ０又は熱伝導率と密度の比ｈ１又は熱伝導率と比熱の比ｈ２にかかる勾配作用素との内積の分布データと温度勾配ベクトルの発散分布データとのＳＮパワー比に反比例した値とすることがある。
【０２８３】
また、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’に含まれる、（８９）式〜（９７）式の汎関数ＩＩｉｊ（Ｕ’）中の（７２）式〜（７５）式の汎関数Ｉｉｊ（・）のいずれかから導出された、未知節点分布のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｌ’、Ｌ’ｊ、Ｈ０’ｉｊ、Ｈ０’ｉ、Ｈ０’、Ｈ０’ｊ、Ｈ１’ｉｊ、Ｈ１’ｉ、Ｈ１’、Ｈ１’ｊ、Ｈ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉ、Ｈ２’、Ｈ２’ｊにかかる正則化パラメータは、各処罰項の各積分領域内の温度勾配ベクトル分布データのＳＮパワー比に反比例した値とすることがある。
尚、各温度時空間偏微分分布データや各温度時空間勾配ベクトル分布データ（各温度分布における時間方向の１階の偏微分成分と空間方向の勾配ベクトル成分から成るベクトルの分布）のＳＮ比は、測定された温度分布の時系列データの時空間方向の間隔や温度分布そのもの（即ち、温度時空間勾配方向、温度時空間勾配成分の大きさ）に依存し、また、測定温度分布の時系列データのＳＮ比がセンサーの開口の方向に依存する場合があるため、各温度時空間勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比はその成分分布ごとに異なるものとなる。
【０２８４】
従って、正則化パラメータα２ｉｊ、α３ｉｊ、α４ｉｊ、α５ｉｊの各々、β２ｉｊ、β３ｉｊ、β４ｉｊ、β５ｉｊの各々、χ２ｉｊ、χ３ｉｊ、χ４ｉｊ、χ５ｉｊの各々、δ２ｉｊ、δ３ｉｊ、δ４ｉｊ、δ５ｉｊの各々、ε２ｉｊ、ε３ｉｊ、ε４ｉｊ、ε５ｉｊの各々、γ２ｉｊ、γ３ｉｊ、γ４ｉｊ、γ５ｉｊの各々、η２ｉｊ、η３ｉｊ、η４ｉｊ、η５ｉｊの各々は、（１０７）式〜（１１５）式又は（１２５）式〜（１３３）式の処罰項成分の各々の偏微分の時空間方向によって変化するものとして実現されることがある。即ち、各処罰項の各積分領域（各構成領域）内の、各温度データＴｉｊに対して評価される温度時空間勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の時空間方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の時空間方向には大きくなるように調節されることがある。
【０２８５】
詳細には、正則化パラメータβ２ｉｊとβ３ｉｊは、温度の時間ｔ方向の１階偏微分の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量の空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節され、正則化パラメータχ２ｉｊとχ３ｉｊは、温度の時間ｊ方向の１階偏微分データと与えられる比熱データとの積の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量の空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節され、正則化パラメータδ２ｉｊとδ３ｉｊは、温度の時間ｊ方向の１階偏微分データと与えられる密度データとの積の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量の空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節される。また、正則化パラメータβ４ｉｊとβ５ｉｊ、χ４ｉｊとχ５ｉｊ、δ４ｉｊとδ５ｉｊは、温度の時間ｔ方向の１階偏微分の時間ｊ方向のΔｔ間の変化量の空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節される。
【０２８６】
また、正則化パラメータα２ｉｊとα３ｉｊ、ε２ｉｊとε３ｉｊ、γ２ｉｊとγ３ｉｊ、η２ｉｊとη３ｉｊは、汎関数Ｉｉｊ（・）として（４９）式〜（７１）式か（７７）式〜（８８）式が使用される場合には、温度勾配ベクトルの各成分とその成分と同一方向の未知である熱伝導率ｋ、又は、熱拡散率ｈ０、又は、熱伝導率と密度の比ｈ１、又は、熱伝導率と比熱の比ｈ２にかかる１階偏微分作用素との積の空間分布データと温度勾配ベクトルの同一成分の同一方向の１階偏微分の空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節されるか、あるいは、温度勾配ベクトルと未知である熱伝導率ｋ、又は、熱拡散率ｈ０、又は、熱伝導率と密度の比ｈ１、又は、熱伝導率と比熱の比ｈ２にかかる１階偏微分作用素との内積の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量の空間分布データと温度勾配ベクトルの発散の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量の空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節される。また、汎関数Ｉｉｊ（・）として（７２）式〜（７５）式が使用される場合は、温度勾配ベクトルの各成分分布データの精度（ＳＮ比）により調節されるか、あるいは、温度勾配ベクトルの大きさの各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量の空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節される。
【０２８７】
また、正則化パラメータα４ｉｊとα５ｉｊ、ε４ｉｊとε５ｉｊ、γ４ｉｊとγ５ｉｊ、η４ｉｊとη５ｉｊは、汎関数Ｉｉｊ（・）として（４９）式〜（７１）式か（７７）式〜（８８）式が使用される場合は、温度勾配ベクトルと未知である熱伝導率ｋ、又は、熱拡散率ｈ０、又は、熱伝導率と密度の比ｈ１、又は、熱伝導率と比熱の比ｈ２にかかる勾配作用素との内積の時間ｊ方向のΔｔ間の変化量の空間分布データと温度勾配ベクトルの発散の時間ｊ方向のΔｔ間の変化量の空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節される。また、汎関数Ｉｉｊ（・）として（７２）式〜（７５）式が使用される場合は、温度勾配ベクトルの大きさの時間ｊ方向のΔｔ間の変化量の空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節される。
【０２８８】
例えば、各処罰項の各積分領域（各構成領域）内にて評価されるＳＮパワー比に反比例した値とすることがある。
その際には、これらの正則化パラメータの各々の値は、例えば、各時空間方向のデータ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなる（例えば、データ間隔の二乗に反比例した値）。従って、これら正則化パラメータの各々の値は、各積分領域（各構成領域）内の、各温度データＴｉｊに対して評価される温度時空間偏微分分布のＳＮ比及び温度時空間勾配ベクトルの成分分布のＳＮ比を決定する各要因より評価される各値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定されることがある。
【０２８９】
尚、温度時系列測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、表面が平らであり温度が一定である黒体を対象に、複数回、温度分布の時系列の測定を行い、各測定温度分布データの平均値の２乗及び各測定温度分布データの分散値の比からＳＮパワー比を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、又は、黒体を対象にＳＮ比を評価するようにしても良い。有限要素近似が行われた場合は、各要素の節点（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の温度時空間偏微分データから、積分領域内の温度時空間偏微分分布のＳＮ比が見積もられる。
【０２９０】
また、正則化パラメータλ１ｉｊ、λ２ｉｊ、λ３ｉｊ、λ４ｉｊ、λ５ｉｊの各々を決定する正則化パラメータα１ｉｊ、α２ｉｊ、α３ｉｊ、α４ｉｊ、α５ｉｊの各々、β１ｉｊ、β２ｉｊ、β３ｉｊ、β４ｉｊ、β５ｉｊの各々、χ１ｉｊ、χ２ｉｊ、χ３ｉｊ、χ４ｉｊ、χ５ｉｊの各々、δ１ｉｊ、δ２ｉｊ、δ３ｉｊ、δ４ｉｊ、δ５ｉｊの各々、ε１ｉｊ、ε２ｉｊ、ε３ｉｊ、ε４ｉｊ、ε５ｉｊの各々、γ１ｉｊ、γ２ｉｊ、γ３ｉｊ、γ４ｉｊ、γ５ｉｊの各々、η１ｉｊ、η２ｉｊ、η３ｉｊ、η４ｉｊ、η５ｉｊ　の各々の値は、各々がかかる（１０７）式〜（１１５）式又は（１２５）式から（１３３）式の各処罰項の積分領域（構成領域）内において空間的に変化するものとして実現されることもある。結果的に、これらの正則化パラメータは、未知節点分布Ｕ’又はＶ’を構成する各関心点の未知物性値にかかる局所行列が各温度データＴｉｊに対して数値解析的に正定値となる様に、大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータλ１ｉｊ、λ２ｉｊ、λ３ｉｊ、λ４ｉｊ、λ５ｉｊの各々を決定する正則化パラメータα１ｉｊ、α２ｉｊ、α３ｉｊ、α４ｉｊ、α５ｉｊの各々、β１ｉｊ、β２ｉｊ、β３ｉｊ、β４ｉｊ、β５ｉｊの各々、χ１ｉｊ、χ２ｉｊ、χ３ｉｊ、χ４ｉｊ、χ５ｉｊの各々、δ１ｉｊ、δ２ｉｊ、δ３ｉｊ、δ４ｉｊ、δ５ｉｊの各々、ε１ｉｊ、ε２ｉｊ、ε３ｉｊ、ε４ｉｊ、ε５ｉｊの各々、γ１ｉｊ、γ２ｉｊ、γ３ｉｊ、γ４ｉｊ、γ５ｉｊの各々、η１ｉｊ、η２ｉｊ、η３ｉｊ、η４ｉｊ、η５ｉｊ　の各々の値は、（１０７）式〜（１１５）式又は（１２５）式から（１３３）式の各処罰項の各積分領域（各構成領域）内の、各関心点の各温度データＴｉｊに対して評価される温度時空間偏微分データ（温度の時間方向の１階の偏微分データ、温度勾配ベクトルデータ、温度勾配ベクトルの発散データ）の大きさに依存する温度時空間偏微分データの精度（ＳＮ比）により調節される。
【０２９１】
詳細には、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’に含まれる未知節点分布のＲ’ｉｊ、Ｒ’ｉ、Ｒ’、Ｒ’ｊにかかる正則化パラメータは、関心点の温度の時間方向の１階の偏微分データの精度（ＳＮ比）により調節される。
【０２９２】
また、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’に含まれるＳ’ｉｊ、Ｓ’ｉ、Ｓ’、Ｓ’ｊにかかる正則化パラメータは、関心点の温度の時間方向の１階の偏微分データと与えられた密度データ又は比熱データとの積の精度（ＳＮ比）により調節される。
【０２９３】
また、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’に含まれる、（８９）式〜（９７）式の汎関数ＩＩｉｊ（Ｕ’）中の（４９）式〜（７１）式の汎関数Ｉｉｊ（・）及び（７７）式〜（８８）式の汎関数Ｉｉｊ（・）のいずれかから導出された、未知節点分布のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｌ’、Ｌ’ｊ、Ｈ０’ｉｊ、Ｈ０’ｉ、Ｈ０’、　Ｈ０’ｊ、Ｈ１’ｉｊ、Ｈ１’ｉ、Ｈ１’、Ｈ１’ｊ、Ｈ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉ、Ｈ２’、Ｈ２’ｊにかかる正則化パラメータは、関心点の温度勾配ベクトルデータと未知である熱伝導率ｋ又は熱拡散率ｈ０又は熱伝導率と密度の比ｈ１又は熱伝導率と比熱の比ｈ２にかかる勾配作用素との内積データと温度勾配ベクトルの発散データの精度（ＳＮ比）により調節される。
【０２９４】
また、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’に含まれる、（８９）式〜（９７）式の汎関数ＩＩｉｊ（Ｕ’）中の（７２）式〜（７５）式の汎関数Ｉｉｊ（・）のいずれかから導出された、未知節点分布のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｌ’、Ｌ’ｊ、Ｈ０’ｉｊ、Ｈ０’ｉ、Ｈ０’、Ｈ０’ｊ、Ｈ１’ｉｊ、Ｈ１’ｉ、Ｈ１’、Ｈ１’ｊ、Ｈ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉ、Ｈ２’、Ｈ２’ｊにかかる正則化パラメータは、関心点の温度勾配ベクトルデータの精度（ＳＮ比）により調節される。
その結果、ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きくなるように調節される。
【０２９５】
例えば、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’に含まれる未知節点分布のＲ’ｉｊ、Ｒ’ｉ、Ｒ’、Ｒ’ｊにかかる正則化パラメータは、関心点の温度の時間方向の１階の偏微分データのＳＮパワー比に反比例した値とすることがある。
【０２９６】
また、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’に含まれるＳ’ｉｊ、Ｓ’ｉ、Ｓ’、Ｓ’ｊにかかる正則化パラメータは、関心点の温度の時間方向の１階の偏微分データと与えられた密度データ又は比熱データとの積のＳＮパワー比に反比例した値とすることがある。
【０２９７】
また、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’に含まれる、（８９）式〜（９７）式の汎関数ＩＩｉｊ（Ｕ’）中の（４９）式〜（７１）式の汎関数Ｉｉｊ（・）及び（７７）式〜（８８）式の汎関数Ｉｉｊ（・）のいずれかから導出された、未知節点分布のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｌ’、Ｌ’ｊ、Ｈ０’ｉｊ、Ｈ０’ｉ、Ｈ０’、　Ｈ０’ｊ、Ｈ１’ｉｊ、Ｈ１’ｉ、Ｈ１’、Ｈ１’ｊ、Ｈ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉ、Ｈ２’、Ｈ２’ｊにかかる正則化パラメータは、関心点の温度勾配ベクトルデータと未知である熱伝導率ｋ又は熱拡散率ｈ０又は熱伝導率と密度の比ｈ１又は熱伝導率と比熱の比ｈ２にかかる勾配作用素との内積データと温度勾配ベクトルの発散データとのＳＮパワー比に反比例した値とすることがある。
【０２９８】
また、未知節点ベクトルＵ’又はＶ’に含まれる、（８９）式〜（９７）式の汎関数ＩＩｉｊ（Ｕ’）中の（７２）式〜（７５）式の汎関数Ｉｉｊ（・）のいずれかから導出された、未知節点分布のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｌ’、Ｌ’ｊ、Ｈ０’ｉｊ、Ｈ０’ｉ、Ｈ０’、Ｈ０’ｊ、Ｈ１’ｉｊ、Ｈ１’ｉ、Ｈ１’、Ｈ１’ｊ、Ｈ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉ、Ｈ２’、Ｈ２’ｊにかかる正則化パラメータは、関心点の温度勾配ベクトルデータのＳＮパワー比に反比例した値とすることがある。
【０２９９】
尚、各温度時空間偏微分と各温度時空間勾配ベクトル（各温度分布における時間方向の１階の偏微分成分と空間方向の勾配ベクトル成分から成るベクトル）のＳＮ比は、測定された温度分布の時系列データの時空間方向の間隔や温度分布そのもの（即ち、温度時空間勾配方向、温度時空間勾配成分の大きさ）に依存し、また、測定温度分布の時系列データのＳＮ比がセンサーの開口の方向に依存する場合がある。そのため、各温度時空間勾配ベクトル分布の各関心点において、温度時空間勾配ベクトルの成分のＳＮ比はその成分ごとに異なるものとなり、正則化パラメータα２ｉｊ、α３ｉｊ、α４ｉｊ、α５ｉｊの各々、β２ｉｊ、β３ｉｊ、β４ｉｊ、β５ｉｊの各々、χ２ｉｊ、χ３ｉｊ、χ４ｉｊ、χ５ｉｊの各々、δ２ｉｊ、δ３ｉｊ、δ４ｉｊ、δ５ｉｊの各々、ε２ｉｊ、ε３ｉｊ、ε４ｉｊ、ε５ｉｊの各々、γ２ｉｊ、γ３ｉｊ、γ４ｉｊ、γ５ｉｊの各々、η２ｉｊ、η３ｉｊ、η４ｉｊ、η５ｉｊの各々は、位置だけでなく、（１０７）式〜（１１５）式又は（１２５）式〜（１３３）式の処罰項成分の各々の偏微分の時空間方向によって変化するものとして実現されることがある。即ち、これらの正則化パラメータの各々の値は、各温度データＴｉｊに対して評価される温度時空間勾配ベクトル分布の関心点の温度時空間勾配ベクトルの成分のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の時空間方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の時空間方向には大きくなるように調節されることがある。
【０３００】
詳細には、正則化パラメータβ２ｉｊとβ３ｉｊは、関心点の温度の時間ｔ方向の１階偏微分の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量データの精度（ＳＮ比）により調節され、正則化パラメータχ２ｉｊとχ３ｉｊは、関心点の温度の時間ｊ方向の１階偏微分データと与えられる比熱データとの積の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量データの精度（ＳＮ比）により調節され、正則化パラメータδ２ｉｊとδ３ｉｊは、関心点の温度の時間ｊ方向の１階偏微分データと与えられる密度データとの積の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量データの精度（ＳＮ比）により調節される。また、正則化パラメータβ４ｉｊとβ５ｉｊ、χ４ｉｊとχ５ｉｊ、δ４ｉｊとδ５ｉｊは、関心点の温度の時間ｔ方向の１階偏微分の時間ｊ方向のΔｔ間の変化量データの精度（ＳＮ比）により調節される。
【０３０１】
また、正則化パラメータα２ｉｊとα３ｉｊ、ε２ｉｊとε３ｉｊ、γ２ｉｊとγ３ｉｊ、η２ｉｊとη３ｉｊは、汎関数Ｉｉｊ（・）として（４９）式〜（７１）式か（７７）式〜（８８）式が使用される場合は、関心点の温度勾配ベクトルの各成分とその成分と同一方向の未知である熱伝導率ｋ、又は、熱拡散率ｈ０、又は、熱伝導率と密度の比ｈ１、又は、熱伝導率と比熱の比ｈ２にかかる１階偏微分作用素との積のデータと関心点の温度勾配ベクトルの同一成分の同一方向の１階偏微分データの精度（ＳＮ比）により調節されるか、あるいは、関心点の温度勾配ベクトルと未知である熱伝導率ｋ、又は、熱拡散率ｈ０、又は、熱伝導率と密度の比ｈ１、又は、熱伝導率と比熱の比ｈ２にかかる１階偏微分作用素との内積の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量データと関心点の温度勾配ベクトルの発散の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量データの精度（ＳＮ比）により調節される。また、汎関数Ｉｉｊ（・）として（７２）式〜（７５）式が使用される場合は、関心点の温度勾配ベクトルの各成分データの精度（ＳＮ比）により調節されるか、あるいは、関心点の温度勾配ベクトルの大きさの各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量データの精度（ＳＮ比）により調節される。
【０３０２】
また、正則化パラメータα４ｉｊとα５ｉｊ、ε４ｉｊとε５ｉｊ、γ４ｉｊとγ５ｉｊ、η４ｉｊとη５ｉｊは、汎関数Ｉｉｊ（・）として（４９）式〜（７１）式か（７７）式〜（８８）式が使用される場合は、関心点の温度勾配ベクトルと未知である熱伝導率ｋ、又は、熱拡散率ｈ０、又は、熱伝導率と密度の比ｈ１、又は、熱伝導率と比熱の比ｈ２にかかる勾配作用素との内積の時間ｊ方向のΔｔ間の変化量データと関心点の温度勾配ベクトルの発散の時間ｊ方向のΔｔ間の変化量データの精度（ＳＮ比）により調節される。また、汎関数Ｉｉｊ（・）として（７２）式〜（７５）式が使用される場合は、関心点の温度勾配ベクトルの大きさの時間ｊ方向のΔｔ間の変化量データの精度（ＳＮ比）により調節される。
【０３０３】
例えば、各処罰項の各積分領域（各構成領域）内の各位置において評価されるＳＮパワー比に反比例した値とすることがある。その際には、これらの正則化パラメータの各々の値は、例えば、各時空間方向のデータ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなる（例えば、データ間隔の二乗に反比例した値）。従って、これら正則化パラメータの各々の値は、各温度データＴｉｊに対して評価される温度時空間偏微分のＳＮ比及びその各成分のＳＮ比を決定する各要因より評価される各値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
【０３０４】
尚、温度時系列測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、表面が平らであり温度が一定である黒体を対象に、複数回、温度分布の時系列の測定を行い、各位置において、各測定温度データの平均値の２乗及び各測定温度データの分散値の比からＳＮパワー比を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、又は、黒体を対象にＳＮ比を評価することがある。各節点（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の温度時空間偏微分データのＳＮ比、又は、各要素の節点の温度時空間偏微分のＳＮ比より評価される各要素における温度時空間偏微分のＳＮ比が見積もられる。
【０３０５】
（ＩＩ）あるいは、第１及び第２の基本原理に基づいて、１階の空間偏微分方程式の（４１）式、（４３）式、（４５）式、（４７）式中にて未知パラメータのスペクトラムを扱い、（Ｉ）の場合と異なって、時空間方向にだけでなく周波数方向にも正則化を施して安定的に各未知パラメータを評価することがある。
【０３０６】
例えば、３次元構成領域内の熱伝導率空間分布ｋｉ（ｘ，，ｙ，ｚ，ｔ）及び密度と比熱の積ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）の周波数分散（スペクトラムの周波数分布及び位相の周波数分布）を計測対象とする場合に、前記の空間座標（ｘ，ｙ，ｚ，Ｉ，Ｊ，Ｋ）のみを変数とする各基底関数が使用され、熱伝導率空間分布の時系列ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）　が、前記の熱伝導率空間分布の時系列ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｊ）　（〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｋｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ））を各位置において時間ｊ方向にフーリエ変換を行うことにより得られるスペクトラム分布の各周波数ｌ成分の大きさｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｌ）及び位相θｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｌ）を用いて、即ち、各位置の各周波数ｌのスペクトラムの実数成分（ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｌ）ｃｏｓθｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｌ））及び虚数成分（ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｌ）ｓｉｎθｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｌ））を用いて、次のように表される。
【数１４７】
2004125397.tif 000150
ここで、太文字ｊは虚数単位を表し、ｉ（＝１〜Ｍ）は測定された独立した温度空間分布の時系列Ｔｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を表す。Ｍは測定された独立した温度空間分布の時系列の数（１以上）であり、ｌ（＝０〜ｎ）は離散周波数座標であり、周波数ｆとは周波数データの間隔Δｆを用いてｆ＝ｌΔｆの関係にある。
【０３０７】
また、密度と比熱の積の空間分布の時系列ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）が、前記の密度と比熱の積の空間分布の時系列ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｊ）　（〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ρｃ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ））を各位置において時間ｊ方向にフーリエ変換を行うことにより得られるスペクトラム分布の各周波数ｌ成分の大きさρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｌ）及び位相θρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｌ）を用いて、即ち、各位置の各周波数ｌのスペクトラムの実数成分（ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｌ）ｃｏｓθρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｌ））及び虚数成分（ρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｌ）ｓｉｎθρｃｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｌ））を用いて、次のように表される。
【数１４８】
2004125397.tif 000151
ここで、太文字ｊは虚数単位を表す。
【０３０８】
１階の空間偏微分方程式（４１）式は、次のように表されるものとする。
【数１４９】
2004125397.tif 000152
その場合には、各周波数ｌにおいて、次の１階の連立空間偏微分方程式が成立する。
【数１５０】
2004125397.tif 000153
【０３０９】
従って、１階の連立空間偏微分方程式の（１３７’）式及び（１３７’’）式を、（Ｉ）の場合の１階の空間偏微分方程式の（４１）式を各時系列ｉ（＝１〜Ｍ）の各時間ｊ（＝０〜ｎ）において扱う場合と同様に、有限要素近似（変分原理やガラーキン法に基づく）を行うことができる。
【０３１０】
その場合は、前記の各基底関数を使用して、温度空間分布の時系列Ｔｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を節点温度空間分布の時系列Ｔｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）を用いて、又、温度の時間方向の１階の偏微分の空間分布の時系列ｄＴ／ｄｔ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を温度の時間方向の１階の偏微分の節点空間分布の時系列ｄＴ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）を用いて、又、温度勾配ベクトル成分の空間分布のＤｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）とＤｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）とＤｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）の各々を節点温度勾配ベクトル成分の空間分布の時系列のＤｉｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）とＤｉｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）とＤｉｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）を用いて、又、温度勾配ベクトルの発散の空間分布の時系列をその節点空間分布の時系列を用いて近似した上で前記のいずれかの汎関数から導出される代数方程式に、各時系列ｉ（＝１〜Ｍ）の各時間ｊ（＝０〜ｎ）の低域通過型フィルタのかけられた節点温度空間分布データＴｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、低域通過型フィルタのかけられた温度の時間方向の１階の偏微分の節点空間分布データｄＴ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、低域通過型フィルタのかけられた節点温度勾配ベクトル成分の空間分布データのＤｉｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）とＤｉｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）とＤｉｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、及び、低域通過型フィルタのかけられた温度勾配ベクトルの発散の節点空間分布データを代入する。あるいは、有限差分近似を行う場合には、各々の空間分布の時系列を節点空間分布の時系列にて表した上で導出される有限差分方程式に、節点空間分布データを代入する。
【０３１１】
さらに、既知の各物性パラメータの時系列の各周波数ｌ（＝０〜ｎ）のスペクトラムの実数成分の節点空間分布データ及び虚数成分の節点空間分布データ（熱伝導率の時系列の各周波数ｌ（＝０〜ｎ）のスペクトラムの実数成分の節点空間分布データのｋｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｌ）ｃｏｓθｋｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｌ）と虚数成分の節点空間分布データのｋｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｌ）ｓｉｎθｋｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｌ）、及び、密度と比熱の積の時系列のスペクトラムの各周波数ｌ（＝０〜ｎ）の実数成分の節点空間分布データのρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｌ）ｃｏｓθρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｌ）　と虚数成分の節点空間分布データのρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｌ）ｓｉｎθρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｌ））　を代入することにより、各時系列ｉ（＝１〜Ｍ）の各時間ｊ（＝０〜ｎ）において、各波数ｌ（＝０〜ｎ）の、熱伝導率の時系列のスペクトラムの実数成分の節点空間分布ｋｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｌ）ｃｏｓθｋｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｌ）と虚数成分の節点空間分布ｋｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｌ）ｓｉｎθｋｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｌ）及び密度と比熱の積のスペクトラムの実数成分の節点空間分布ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｌ）ｃｏｓθρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｌ）とスペクトラムの虚数成分の節点空間分布ρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｌ）ｓｉｎθρｃｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｌ）に関する代数方程式の（７６）式を２個得る。
【０３１２】
この様に、（４１）式、（４３）式、（４５）式、（４７）式のいずれの１階の空間偏微分方程式が使用される場合においても、同様に、計測対象である物性パラメータの空間分布のみが、周波数領域においてその節点空間分布のスペクトラム及び空間座標のみを変数とする基底関数を用いて近似されて代数方程式（７６）式が導出される。以下、これらの代数方程式が連立されて正則化される際には、前記の如く、Ｐｉｊにより正規化される。
【０３１３】
（Ａ）各時系列ｉ（＝１〜Ｍ）の各時間ｊ（＝０〜ｎ）の各周波数ｌ（＝０〜ｎ）において導出される２個の代数方程式は、各々、１つ以上の未知パラメータの周波数ｌの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布の各々について解かれることがある（（７６）式又は正規方程式の（９８）式）。
【０３１４】
（Ｂ）異なる時系列ｉ（＝１〜Ｍ）や異なる時間ｊ（＝０〜ｎ）の各々において導出される２個の代数方程式は、各々、１つ以上の未知パラメータの周波数ｌの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布の各々に関して連立され、全ての未知パラメータの周波数ｌの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布の各々について解かれることがある（正規方程式の（９９）式〜（１０６）式）。
【０３１５】
（Ｃ）異なる時系列ｉ（＝１〜Ｍ）や異なる時間ｊ（＝０〜ｎ）の各々において導出される２個の代数方程式は、各々、１つ以上の未知パラメータの周波数ｌの実数成分の空間分布と虚数分布の空間分布の各々に関して連立され、全ての未知パラメータの各周波数ｌの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布の各々を空間的に安定化させるべく、これらの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布に関する連立方程式の各々に（１０７）式〜（１１５）式の処罰項を用いた正則化が施されることがある（正規方程式の（１１６）式〜（１２４）式）。この場合、各未知パラメータの各周波数ｌの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布にかかる正則化パラメータは、（４１）式、（４３）式、（４５）式、（４７）式の１階の空間偏微分方程式中にて各未知パラメータのかかる物理量（前記の通り、例えば、未知パラメータが密度ρである場合は、比熱ｃと温度の時間方向の１階の偏微分の積ｄＴ／ｄｔ、又、未知パラメータが熱伝導率である場合は、温度勾配ベクトルと温度勾配ベクトルの発散）の周波数ｌ成分の構成領域内において使用された時間内のＳＮパワー比に反比例する様に決定されることがある。尚、正則化パラメータは、時間と位置に依存するものとして扱われることもある。
【０３１６】
（Ｄ）同様に、異なる時系列ｉ（＝１〜Ｍ）や異なる時間ｊ（＝０〜ｎ）の各々において導出される２個の代数方程式は、各々、１つ以上の未知パラメータの周波数ｌの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布に関して連立され、全ての未知パラメータの各周波数ｌの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布の各々を時間方向に安定化させるべく、これらの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布に関する連立方程式の各々に（１２５）式〜（１３３）式の処罰項を用いた正則化が施されることがある（正規方程式の（１３４）式〜（１３６）式）。この場合、各未知パラメータの各周波数ｌの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布にかかる正則化パラメータは、（４１）式、（４３）式、（４５）式、（４７）式の１階の空間偏微分方程式中にて各未知パラメータのかかる物理量の周波数ｌ成分の構成領域内において使用された時間内のＳＮパワー比に反比例する様に決定されることがある。尚、正則化パラメータは、時間と位置に依存するものとして扱われることもある。
【０３１７】
（Ｅ）任意の時系列ｉの任意の１つの時間ｊにおいて、導出される１つ以上の未知パラメータの各周波数ｌの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布の各々に関する代数方程式を全ての周波数（ｌ＝０〜ｎ）に関して連立した上で、各位置において全ての未知パラメータのスペクトラムの実数成分分布と虚数成分分布の各々を周波数方向に安定化させるべく、（１０７）式〜（１１５）式や（１２５）式〜（１３３）式の処罰項と同様に、各未知パラメータのスペクトラムの実数成分分布と虚数成分分布の各々の周波数方向の１階の偏微分と２階の偏微分（各々に正則化パラメータがかかる）の構成領域内の積分の和として定義される処罰項を用いた正則化が施されることがある。これらの各未知パラメータの各周波数ｌの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布にかかる正則化パラメータは、（４１）式、（４３）式、（４５）式、（４７）式の１階の空間偏微分方程式中にて各未知パラメータのかかる物理量の各周波数ｌのＳＮパワー比に反比例する様に決定されることがある。尚、正則化パラメータは位置と時間に依存するものとして扱われることもある。
【０３１８】
さらに、上記の（Ｃ）や（Ｄ）と同様に、１つ以上の未知パラメータの空間分布の各々を、空間的に、又、時間方向に安定化させるべく、異なる時系列（ｉ＝１〜Ｍ）や時間ｊ（＝０〜ｎ）において導出される全ての未知パラメータの各周波数ｌの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布の各々に関する代数方程式を全ての周波数（ｌ＝０〜ｎ）に関して連立した上で、上記の周波数方向に関する処罰項に（１０７）式〜（１１５）式や（１２５）式〜（１３３）式の処罰項を加えた処罰項を用いて正則化が施されることがある。これらの各未知パラメータの各周波数ｌの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布にかかる正則化パラメータは、（４１）式、（４３）式、（４５）式、（４７）式の１階の空間偏微分方程式中にて各未知パラメータのかかる物理量の各周波数ｌ成分の使用された時間内のＳＮパワー比に反比例する様に決定されることがある。尚、正則化パラメータは位置と時間に依存するものとして扱われることもある。
【０３１９】
以上の通り、代数方程式の（７６）式を用いた上記の（Ａ）〜（Ｅ）いずれかにより、使用された温度の時間方向の１階の偏微分分布の時系列データの時間内の各未知パラメータの周波数分散が求められる。
【０３２０】
また、節点熱伝導率空間分布の時系列は、各位置において使用された節点温度勾配ベクトルの時系列データの時間内において求められたスペクトラム分布に、各位置において、逆フーリ変換を施すことにより求められる。例えば、時間ｊ＝０〜ｎにおいて、節点熱伝導率空間分布の時系列は、
【数１５１】
2004125397.tif 000154
であり、これより、熱伝導率空間分布の時系列ｋｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）が求められる。
２次元、１次元構成領域を対象とした場合も同様である。
【０３２１】
また、（Ｉ）の処理が行われた場合においては、逆に、直接的に求められる計測対象を各位置において関心時間内においてフーリエ変換を行うことにより、その時間内の各物性パラメータの周波数分散の空間分布を評価することが可能である。各物性パラメータの周波数分散そのものを最終的な計測対象とする場合は、（Ｉ）及び（ＩＩ）のいずれの場合においても、各物性パラメータの周波数分散の関心のある周波数帯域を対象とできる様に、充分に広帯域の温度分布の時系列データを生成させるべく、積極的に適切な熱源と吸熱源が使用されることがある。
尚、未知パラメータに関するフーリエ変換は時間方向にではなく、空間方向に適用されて、同様に、各未知パラメータ分布が求められることがある。
【０３２２】
以上が本発明に係る熱伝導率推定方法の基本原理であるが、参照領域を形成するために、測定対象物以外の各種参照物質を測定対象物の関心領域内に添えて参照値を得ることも考えられる。また、測定対象物の関心領域内に温度データが欠落した場合には、その時間の点又は領域を関心領域から除外して演算を行い、その演算後において、関心領域から除外された時間の点又は領域の、熱伝導率分布、熱拡散率分布、熱伝導率と密度の比の分布、熱伝導率と比熱の比の分布、密度分布、比熱分布、これらの経時的変化や周波数分散を、推定された熱伝導率分布、熱拡散率分布、熱伝導率と密度の比の分布、熱伝導率と比熱の比の分布、密度分布、比熱分布、これらの経時的変化や周波数分散から、関心時空間内において内挿又は外挿補間処理することにより評価することがある。
尚、同様に非等方性の計測対象が扱われることがある。
また、上記の熱伝導率、熱拡散率、密度、比熱、これらより表される高次データの計測は、計測対象の非線形特性を捉えるべく、非線形現象を微少時間内や微小空間内の線形近似を行った場合に適用されることがある。
【０３２３】
次に、本発明の第２の実施形態に係る熱伝導率推定装置について説明する。本発明の第１の実施形態に係る熱伝導率推定装置は、基本構成となっており、試料設置台の上に測定対象物を載置して測定を行うものであった。これに対し、本発明の第２の実施形態に係る熱伝導率推定装置は、測定対象物が試料設置台に載せられないもの、例えば寸法の大きなもの、あるいは現在存在する位置から移動のできない構築物等である場合に対応したものである。
【０３２４】
図３は、本発明の第２の実施形態に係る熱伝導率推定装置の構成を示すブロック図である。本実施形態に係る熱伝導率推定装置は、温度センサ１を測定対象物４に向け、且つ、温度センサ１と測定対象物４との相対位置の変化（走査）を行わせることのできる温度センサ保持機構２０を有している。尚、温度センサ保持機構２０と距離調整手段１４の位置を上下逆にすることも可能である。
【０３２５】
次に、本発明の第３の実施形態に係る熱伝導率推定装置について説明する。
図４は、本発明の第３の実施形態に係る熱伝導率推定装置の構成を示すブロック図である。本発明の第３の実施形態に係る熱伝導率推定装置は、温度センサ側に設けられた第１の走査機構１０と、試料設置台側に設けられた第２の走査機構１１とを有している。これにより、高速で自由度の高い走査が可能となる。本実施形態においては、距離調整手段１４を温度センサ側に設けているが、距離調整手段１４を測定対象物側に設けてもかまわない。また、第１の走査機構１０の位置と距離調整手段１４の位置を上下逆にすることも可能である。
【０３２６】
尚、温度センサとしては、赤外線素子以外に、他光検出素子や焦電素子や熱電対等が使用されることがあり、固体、液体、気体、混合物、生体、生物等、様々な物体を対象として温度分布を測定するべく、これらの素子やこれらがアレイ状に配置されたセンサが使用されることがある。
【０３２７】
【発明の効果】
以上説明したように、本発明によれば、熱伝導率が未知である測定対象物の関心領域における熱伝導率を、関心領域内で測定された温度分布から求めることができる。特に、測定対象物内部に既に温度分布が存在する場合においても、その温度場を乱すことなくそのままの温度分布を測定することにより、容易に関心領域の熱伝導率を推定することができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明の第１の実施形態に係る熱伝導率推定装置の構成を示すブロック図である。
【図２】本発明の第１の実施形態に係る熱伝導率推定方法の手順を示すフローチャートである。
【図３】本発明の第２の実施形態に係る熱伝導率推定装置の構成を示すブロック図である。
【図４】本発明の第３の実施形態に係る熱伝導率推定装置の構成を示すブロック図である。
【図５】従来の熱伝導率推定装置の構成を示すブロック図である。
【符号の説明】
１　温度センサ
２　駆動装置
３　走査機構
４　測定対象物
５　温度場発生手段
６　計測制御手段
７　データ記録手段
８　データ処理手段
９　ハウジング
１０　第１の走査機構
１１　第２の走査機構
１２　温度検出器
１３　熱源
１４　距離調整手段
１５　試料設置台
１６　データ処理手段
１７　表示部
２０　保持機構
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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