(57)【要約】【課題】表面に詳細形状を備える三角形メッシュモデルから表面詳細を再利用性が高い状態で抽出する。【解決手段】基本形状推定部１１により三角形メッシュモデルに対してローパスフィルタを適用して表面に詳細形状が合成されているとみなされる基本形状メッシュを推定し、高周波成分抽出部１２により詳細形状を高周波成分とみなしてローパスフィルタによって失われた高周波成分を抽出し、パラメタライゼーション生成部１３により推定基本形状メッシュの各頂点についての位相構造を基本平面に持つパラメタライゼーションを生成し、表面詳細生成部１４によりパラメタライゼーションの各頂点に対して高周波成分に基づく高さ値を与えることにより表面詳細メッシュを生成する。【選択図】      図２
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
表面に詳細形状が合成された三角形メッシュモデルに対してローパスフィルタを適用して基本形状メッシュを推定する基本形状推定手段と、
前記ローパスフィルタによって失われた高周波成分を抽出する高周波成分抽出手段と、
推定された基本形状メッシュの各頂点の位相構造を基本平面に持つパラメタライゼーションを生成するパラメタライゼーション生成手段と、
前記パラメタライゼーションの各頂点に対して前記高周波成分に基づく高さ値を与えて表面詳細メッシュを生成する表面詳細生成手段と、
を有することを特徴とする表面詳細抽出システム。
【請求項２】
前記基本形状推定手段は、三角形メッシュモデルの各頂点について定義されるラプラシアンを用いたＴａｕｂｉｎのフィルタ関数を適用することを特徴とする請求項１記載の表面詳細抽出システム。
【請求項３】
前記基本形状推定手段は、前記ラプラシアンをｎ近傍の頂点に拡張したｎ近傍ラププラシアンとすることを特徴とする請求項２記載の表面詳細抽出システム。
【請求項４】
前記高周波成分抽出手段は、前記ローパスフィルタの適用による三角形メッシュモデルの各頂点の移動量を高周波成分として求めることを特徴とする請求項１乃至３のいずれかに記載の表面詳細抽出システム。
【請求項５】
前記パラメタライゼーション生成手段は、推定された基本形状メッシュの各頂点に対してパラメータ平面への線形区分写像を適用することを特徴とする請求項１乃至４のいずれかに記載の表面詳細抽出システム。
【請求項６】
前記パラメタライゼーション生成手段は、稜線長保存度に関する評価関数と符号付面積保存の評価関数の重み付和が最小となるように各頂点について解くことを特徴とする請求項１乃至５のいずれかに記載の表面詳細抽出システム。
【請求項７】
前記表面詳細生成手段は、前記パラメタライゼーションの各頂点について高周波成分と法線ベクトルを用いて定義される符号付強度を当該各頂点に高さ値として与えることを特徴とする請求項１乃至６のいずれかに記載の表面詳細抽出システム。
【請求項８】
表面に詳細形状が合成された三角形メッシュモデルに対してローパスフィルタを適用して基本形状メッシュを推定する基本形状推定処理と、
前記ローパスフィルタによって失われた高周波成分を抽出する高周波成分抽出処理と、
推定された基本形状メッシュの各頂点の位相構造を基本平面に持つパラメタライゼーションを生成するパラメタライゼーション生成処理と、
前記パラメタライゼーションの各頂点に対して前記高周波成分に基づく高さ値を与えて表面詳細メッシュを生成する表面詳細生成処理と、
をコンピュータに実行させることを特徴とする表面詳細抽出プログラム。
【請求項９】
前記基本形状推定処理は、三角形メッシュモデルの各頂点について定義されるラプラシアンを用いたＴａｕｂｉｎのフィルタ関数を適用することを特徴とする請求項８記載の表面詳細抽出プログラム。
【請求項１０】
前記基本形状推定処理は、前記ラプラシアンをｎ近傍の頂点に拡張したｎ近傍ラププラシアンとすることを特徴とする請求項９記載の表面詳細抽出プログラム。
【請求項１１】
前記高周波成分抽出処理は、前記ローパスフィルタの適用による三角形メッシュモデルの各頂点の移動量を高周波成分として求めることを特徴とする請求項８乃至１０のいずれかに記載の表面詳細抽出プログラム。
【請求項１２】
前記パラメタライゼーション生成処理は、推定された基本形状メッシュの各頂点に対してパラメータ平面への線形区分写像を適用することを特徴とする請求項８乃至１１のいずれかに記載の表面詳細抽出プログラム。
【請求項１３】
前記パラメタライゼーション生成処理は、稜線長保存度に関する評価関数と符号付面積保存の評価関数の重み付き和が最小となるように各頂点について解くことを特徴とする請求項８乃至１２のいずれかに記載の表面詳細抽出プログラム。
【請求項１４】
前記表面詳細生成処理は、前記パラメタライゼーションの各頂点について高周波成分と法線ベクトルを用いて定義される符号付強度を当該各頂点に高さ値として与えることを特徴とする請求項８乃至１３のいずれかに記載の表面詳細抽出プログラム。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、表面に詳細形状を備える三角形メッシュモデルからその詳細形状を抽出する表面詳細抽出システム及び表面詳細抽出プログラムに関する。
【０００２】
【従来の技術】
工業製品には、その形状表面に、微小な凹凸からなる文字や模様等の詳細形状（表面詳細）が基本形状の表面に合成されている表面詳細合成形状が多くみられる。このような工業製品を対象とする意匠設計では、基本形状が複雑な曲面であると、表面詳細を基本形状上で直接設計することが複雑かつ困難である。そこで、設計初期段階では表面詳細と基本形状を個別に設計しておき、最終段階において表面詳細を基本形状の表面に精度良く合成できれば、容易かつ効率的な表面詳細合成形状の設計を実現できる。
【０００３】
メッシュモデルは、物体形状を微小な平面の集合による多面体として近似表現したモデルである。その中でも、特に全ての面が三角形のものは三角形メッシュモデルと呼ばれ、幾何演算アルゴリズムや位相管理が容易、形状表現の自由度が高いといった利点から、様々な分野の形状表現に適用されてきている。また、計算機資源の向上により大規模なメッシュモデルの処理が可能となり、三角形メッシュモデルは、高精度な形状表現が要求されるアプリケーションの形状モデルとしても活用されつつある。しかし、上述した表面詳細合成形状の設計を対象とした三角形メッシュモデリング手法はほとんど提案されていない。そこで、発明者らは、三角形メッシュモデルを対象とし、個別に設計された表面詳細を基本形状表面の局所領域へ高精度に合成する表面詳細合成手法について研究を行っている。
【０００４】
ところで、既存の表面詳細合成形状の三角形メッシュモデルから、表面詳細のみを抽出できれば、前述の表面詳細合成手法と組み合わせることで、既存の三角形メッシュモデルの再利用性を向上できると共に、表面詳細合成形状の設計バリエーションの増加を実現できる。
【０００５】
三角形メッシュモデルで表現された表面詳細合成形状から表面詳細のみを抽出する手法に関しては研究例がほとんどなく、唯一、細分割連結性を持つメッシュモデルからの表面詳細の抽出手法が提案されている（非特許文献１参照）。この抽出手法は、粗い初期制御メッシュからのオリジナルメッシュへの細分割曲面のフィッティングにより得られる滑らかな曲面と、元の形状との差分を表面詳細として抽出する。この抽出手法は、表面詳細抽出の程度を１パラメータで制御可能であり、更に対話的な処理が可能である。
【０００６】
また、三角形メッシュモデルの表面詳細を基本形状と分離して個別に取り扱う既存研究として、形状表面の詳細な変位をスカラーディスプレイスメントとして保持し、コンパクトなメッシュデータ表現を行う研究がある（非特許文献２，３参照  ）。その他のものも含め、この出願の発明に関連する先行技術文献としては次のものがある。
【０００７】
【非特許文献１】
Ｈｅｎｎｉｎｇ  Ｂｉｅｒｍａｎｎ，  Ｉｏａｎａ  Ｍａｒｔｉｎ，  Ｆａｕｓｔｏ  Ｂｅｒｎａｒｄｉｎｉ，  Ｄｅｎｉｓ  Ｚｏｒｉｎ，  Ｃｕｔ−ａｎｄ−Ｐａｓｔｅ  Ｅｄｉｔｉｎｇ  ｏｆ  Ｍｕｌｔｉｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ  Ｓｕｒｆａｃｅｓ，  ｐｒｏｃ．  ｏｆ  ＳＩＧＧＲＡＰＨ２００２  Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ，  ｐｐ．  ３１２−３２１，  ２００２
【０００８】
【非特許文献２】
Ｉ．  Ｇｕｓｋｏｖ，  Ｋ．  Ｖｉｄｉｍｃｅ，  Ｗ．  Ｓｗｅｌｄｅｎｓ  ａｎｄ  Ｐ．  Ｓｃｈｒｏｄｅｒ：  Ｎｏｒｍａｌ  Ｍｅｓｈｅｓ，  Ｐｒｏｃ．  ｏｆ  ＳＩＧＧＲＡＰＨ２０００，  ｐｐ．  ９５−１０２，  ２０００
【０００９】
【非特許文献３】
Ａ．  Ｌｅｅ，  Ｈ．  Ｍｏｒｅｔｏｎ  ａｎｄ  Ｈ．  Ｈｏｐｐｅ：  Ｄｉｓｐｌａｃｅｄ  Ｓｕｂｄｉｖｉｓｉｏｎ  Ｓｕｒｆａｃｅ，  Ｐｒｏｃ．  ｏｆ  ＳＩＧＧＲＡＰＨ２０００，  ｐｐ．  ８５−９４，  １９９９
【００１０】
【非特許文献４】
Ｇ．  Ｔａｕｂｉｎ：  Ａ  Ｓｉｇｎａｌ  Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ  Ａｐｐｒｏａｃｈ  ｔｏ  Ｆａｉｒ  Ｓｕｒｆａｃｅ  Ｄｅｓｉｇｎ，  ｐｒｏｃ．  ｏｆ  ＳＩＧＧＲＡＰＨ  ’９５，  ｐｐ．  ３５１−３５８，  １９９５
【００１１】
【発明が解決しようとする課題】
しかしながら、非特許文献１の抽出手法は、任意位相のメッシュモデルに対しては適用が不可能である。また抽出される表面詳細は、細分割接続性と厳密に関連付けられた微小なベクトルのマップであり、個別管理や視覚化の観点からは有効ではなく、他の基本形状の表面に合成する際の再利用性に劣るものであった。
【００１２】
また、非特許文献２，３の手法により分離される表面詳細は、非特許文献１の手法と同様に、細分割接続性と厳密に関連付けられた微小なベクトルのマップであり、個別管理や視覚化の観点からは有効ではなく、やはり他の基本形状の表面に合成する際の再利用性に劣るものであった。
【００１３】
本発明は、上記に鑑みてなされたものであり、その目的とするところは、表面に詳細形状を備える三角形メッシュモデルから表面詳細を再利用性が高い状態で抽出し得る表面詳細抽出システム及び表面詳細抽出プログラムを提供することにある。
【００１４】
【課題を解決するための手段】
第１の本発明に係る表面詳細抽出システムは、表面に詳細形状が合成された三角形メッシュモデルに対してローパスフィルタを適用して基本形状メッシュを推定する基本形状推定手段と、前記ローパスフィルタによって失われた高周波成分を抽出する高周波成分抽出手段と、推定された基本形状メッシュの各頂点の位相構造を基本平面に持つパラメタライゼーションを生成するパラメタライゼーション生成手段と、前記パラメタライゼーションの各頂点に対して前記高周波成分に基づく高さ値を与えて表面詳細メッシュを生成する表面詳細生成手段と、を有することを特徴とする。
【００１５】
本発明にあっては、三角形メッシュモデルに対してローパスフィルタを適用して表面に詳細形状が合成されているとみなされる基本形状メッシュを推定し、詳細形状を高周波成分とみなしてローパスフィルタによって失われた高周波成分を抽出し、推定された基本形状メッシュの各頂点についての位相構造を基本平面に持つパラメタライゼーションを生成し、このパラメタライゼーションの各頂点に対して高周波成分に基づく高さ値を与えることにより表面詳細メッシュを生成する。これによって、表面詳細メッシュは、底部を基本平面とする３次元座標上に再現され、基本形状メッシュとは独立した形式で表現されるようにして、表面詳細メッシュの個別管理及び視覚化を容易とし、表面詳細メッシュを他の基本形状メッシュの表面へ合成する際の再利用性の向上を図っている。
【００１６】
上記表面詳細抽出システムにおいて、前記基本形状推定手段は、三角形メッシュモデルの各頂点について定義されるラプラシアンを用いたＴａｕｂｉｎのフィルタ関数を適用することを特徴とする。
【００１７】
本発明にあっては、フィルタリングの強度を制御するための設定が可能なＴａｕｂｉｎのフィルタ関数を適用することで、三角形メッシュモデルにおける表面詳細の形状に柔軟に対応するフィルタリングを可能にしている。
【００１８】
上記表面詳細抽出システムにおいて、前記基本形状推定手段は、前記ラプラシアンをｎ近傍の頂点に拡張したｎ近傍ラププラシアンとすることを特徴とする。
【００１９】
本発明にあっては、Ｔａｕｂｉｎのフィルタ関数におけるラプラシアンをｎ近傍ラプラシアンに拡張することで、より強力なローパスフィルタリングの効果が得られるようにしている。
【００２０】
上記表面詳細抽出システムにおいて、前記高周波成分抽出手段は、前記ローパスフィルタの適用による三角形メッシュモデルの各頂点の移動量を高周波成分として求めることを特徴とする。
【００２１】
本発明にあっては、ローパスフィルタの適用による三角形メッシュモデルの各頂点の移動量、すなわち推定された基本形状メッシュと三角形メッシュモデルの各頂点座標の差分をとることにより、ローパスフィルタによって失われた高周波成分を抽出できるようにしている。
【００２２】
上記表面詳細抽出システムにおいて、前記パラメタライゼーション生成手段は、推定された基本形状メッシュの各頂点に対してパラメータ平面への線形区分写像を適用することを特徴とする。
【００２３】
本発明にあっては、推定された基本形状メッシュの各頂点に対して線形区分写像を適用することで、線形区分写像を適切に設計することにより、例えば稜線長さ等の三角形メッシュモデル上の特有の計量をパラメタライゼーション上で保存できるようにしている。
【００２４】
上記表面詳細抽出システムにおいて、前記パラメタライゼーション生成手段は、稜線長保存度に関する評価関数と符号付面積保存の評価関数の重み付き和が最小となるように各頂点について解くことを特徴とする。
【００２５】
本発明にあっては、稜線長保存度に関する評価関数と符号付面積保存の評価関数の重み付き和の最小化問題を各頂点について解くことで、実空間における稜線長さをパラメータ平面上で極力保存し、かつ面干渉の起こらないパラメタライゼーションを構築できるようにしている。
【００２６】
上記表面詳細抽出システムにおいて、前記表面詳細生成手段は、前記パラメタライゼーションの各頂点について高周波成分と法線ベクトルを用いて定義される符号付強度を当該各頂点に高さ値として与えることを特徴とする。
【００２７】
本発明にあっては、パラメタライゼーションの各頂点について高周波成分と法線ベクトルを用いて定義される符号付強度を各頂点に高さ値として与えることで、詳細形状の凹凸を高さ値とする表面詳細メッシュが得られるようにしている。
【００２８】
第２の本発明に係る表面詳細抽出プログラムは、表面に詳細形状が合成された三角形メッシュモデルに対してローパスフィルタを適用して基本形状メッシュを推定する基本形状推定処理と、前記ローパスフィルタによって失われた高周波成分を抽出する高周波成分抽出処理と、推定された基本形状メッシュの各頂点の位相構造を基本平面に持つパラメタライゼーションを生成するパラメタライゼーション生成処理と、前記パラメタライゼーションの各頂点に対して前記高周波成分に基づく高さ値を与えて表面詳細メッシュを生成する表面詳細生成処理と、をコンピュータに実行させることを特徴とする。
【００２９】
本発明にあっては、上記基本形状推定処理、高周波成分抽出処理、パラメタライゼーション生成処理、表面詳細生成処理をプログラムにより実行させるようにしたことで、本プログラムをインストールした汎用のコンピュータで本手法を実現できるようにしている。
【００３０】
【発明の実施の形態】
［表面詳細の抽出・合成の概要］
図１の機能ブロック図に示すように、一実施の形態における表面詳細抽出システムを適用した表面詳細抽出・合成システムは、表面詳細合成形状を表現する三角形メッシュモデル（以下「メッシュモデル」という）Ｍの表面から微小な凹凸からなる文字や模様等の詳細形状を表現する三角形メッシュモデル（以下「表面詳細メッシュ」という）ＭＤを抽出する表面詳細抽出システム１と、抽出あるいは個別に設計された表面詳細メッシュＭＤを記憶・管理する表面詳細データベース（表面詳細ＤＢ）２と、詳細形状が合成されていない基本形状を表現する三角形メッシュモデル（以下「基本形状メッシュ」という）ＭＢを記憶・管理する基本形状データベース（基本形状ＤＢ）３と、表面詳細データベース２から読み出した表面詳細メッシュＭＤを基本形状メッシュＭＢの表面に合成し、合成後の三角形メッシュモデル（以下「表面詳細合成メッシュ」という）ＭＣを出力する表面詳細合成システム４を備える構成である。表面詳細抽出システム１及び表面詳細合成システム４はコンピュータで構成され、表面詳細データベース２及び基本形状データベース３は、大容量の記憶装置で構成される。
【００３１】
本表面詳細抽出・合成システムは、設計の初期段階では表面詳細メッシュＭＤと基本形状メッシュＭＢを個別に設計でき、最終段階において表面詳細メッシュＭＤを任意の基本形状メッシュＭＢの表面に高精度で合成できるようにしたものである。この個別設計と合成による表面詳細合成形状の三角形メッシュモデリング手法は、以下の利点を持つ。
【００３２】
１）設計の容易さ：表面詳細は複雑な基本形状上ではなく、例えば、平面に対する凹凸として独立に設計できる。従って、表面詳細の設計や修正を容易かつ効率的に行うことができる。
【００３３】
２）データの再利用性の向上：表面詳細と基本形状とを個別に設計・保存しておくことにより、各形状データを他の形状設計に再利用することができる。
【００３４】
３）形状設計バリエーションの向上：様々な表面詳細と基本形状との組み合わせによる表面詳細合成形状の設計が可能となり、意匠設計のバリエーションが向上する。
【００３５】
このような表面詳細抽出・合成システムに適用される表面詳細抽出システム１について、以下説明する。
【００３６】
［表面詳細抽出の基本概念］
表面詳細が合成された既存のメッシュモデルの表面から表面詳細メッシュのみを抽出し、他の基本形状メッシュへの合成による再利用を可能とするためには、以下の２つの課題がある。
【００３７】
（１）基本形状推定と表面詳細の分離
表面詳細は、ある基本形状メッシュの表面に合成されている。表面詳細メッシュを抽出するためには、表面詳細が合成されていたとみなされる基本形状メッシュを推定し、表面詳細メッシュを分離しなければならない。
【００３８】
（２）表面詳細の独立した表現
基本形状メッシュから分離された表面詳細メッシュの情報は、その再利用性向上のために、独立したデータ管理が可能でなければならず、基本形状メッシュとは独立した形式で表現されるべきである。
【００３９】
本抽出手法では、メッシュモデルの表面詳細による凸凹形状を高周波成分とみなす。これにより、（１）の課題における、表面詳細が合成されていたと推定される基本形状メッシュは、表面詳細が合成されたメッシュモデルに対するローパスフィルタリングにより得ることができる。抽出したい表面詳細メッシュは、ユーザによって定義が異なるため、ローパスフィルタリングはその強度を柔軟に制御できる必要がある。例えば、形状表面の粗さなどの小さな領域から成る凹凸から、文字や模様などの大きな領域から成る凹凸を選択的に抽出したい場合がある。本手法では、このような要求に応じるために、フィルタリングの強度を制御するための詳細な設定が可能な、Ｔａｕｂｉｎらの手法を用いる（非特許文献４参照）。表面詳細メッシュの基本形状メッシュに対する凹凸の情報は、フィルタリング後の形状と元形状との差分として表される。
【００４０】
一方、（２）の課題に対して、本抽出手法では、基本形状メッシュから分離された表面詳細メッシュを、基本形状メッシュに対する詳細形状の凹凸を頂点の高さ値として持つモデルとして表現することにより解決する。表面詳細メッシュの位相構造は、シャープな稜線などの形状表現の自由度を損なわないように分離前の三角形メッシュモデルの位相構造を利用する。基本形状メッシュに対する凹凸を表す高さ値は、フィルタリングで分離された高周波成分の各頂点における強度（ノルム）で表す。また、分離前の三角形メッシュモデルの位相構造を持つ基本平面を定義するために、本手法ではパラメタライゼーションを用いる。パラメタライゼーションとは、後述するように、三角形メッシュモデルの各頂点と１対１で対応する頂点をパラメータ平面上に備えた平面三角化グラフである。基本形状メッシュ表面上での計量を保存した表面詳細メッシュを抽出するために、推定された基本形状メッシュ表面の距離に関する計量を保存するパラメタライゼーションを構築する。最後に、構築されたパラメタライゼーションを定義域とし、パラメタライゼーションの各頂点を高周波成分に基づいて修正することにより表面詳細メッシュＭＤを生成する。
【００４１】
すなわち、本手法では、メッシュモデルＭに対するローパスフィルタリングにより失われる高周波成分が、基本形状メッシュに対する表面詳細メッシュの凹凸形状を表現しているものとみなし、基本形状メッシュの位相構造を持つ基本平面上にその凹凸を高さ値として与えることで表面詳細メッシュＭＤを生成する。
【００４２】
［表面詳細抽出システムの概要］
図２の機能ブロック図に示すように、本実施の形態における表面詳細抽出システム１は、基本形状推定部１１、高周波成分抽出部１２、パラメタライゼーション生成部１３、表面詳細生成部１４を備える構成である。
【００４３】
各部における処理の概要は次の通りであり、基本形状推定部１１は、表面詳細合成形状を表現するメッシュモデルＭに対してローパスフィルタを適用して、表面詳細が合成されていない基本形状メッシュＭＢを推定する。高周波成分抽出部１２は、メッシュモデルＭの表面から表面詳細とみなされる高周波成分を抽出する。パラメタライゼーション生成部１３は、推定した基本形状メッシュの各頂点についての位相構造を持つ基本平面を定義するためのパラメタライゼーションを生成する。表面詳細生成部１４は、パラメタライゼーションの各頂点に対して高周波成分に基づく高さ値を与えて表面詳細メッシュＭＤを生成する。
【００４４】
基本形状推定部１１、高周波成分抽出部１２、パラメタライゼーション生成部１３、表面詳細生成部１４における処理は、コンピュータにインストールされた表面詳細抽出プログラムによって実行される。表面詳細抽出プログラムのインストールは、例えばネットワークを介してコンピュータにダウンロードすることとしてもよいし、プログラムを記憶した記憶媒体をコンピュータの所定のスロットに挿入してインストールすることとしてもよい。ここで、記憶媒体とは、例えば、磁気ディスク、光ディスク、光磁気ディスク、半導体メモリなどのプログラムを記憶することが可能な種々の記憶媒体のことをいう。
【００４５】
［基本形状の推定］
基本形状推定部１１では、ローパスフィルタとして、フィルタリングの強度を制御するための詳細な設定が可能なＴａｕｂｉｎらの手法を用いる（非特許文献４参照）。Ｔａｕｂｉｎらの手法は、離散信号に対するフーリエ変換に基づくフィルタリングを、ガウス関数を用いたスムージングに基づいて三角形メッシュモデルに対して一般化したものとして解釈できる。
【００４６】
メッシュモデルＭがｎ個の頂点列（ｐ１，…，ｐｎ）から成るものとすると、まず、次式（１）のラプラシアンΔｐｉをメッシュモデルＭの各頂点ｐｉについて定義する。
【００４７】
ΔＰｉ＝Σ  ｗｉｊ（ｐｊ−ｐｉ）          （１）
ここで、Σはｊ∈ｉ＊における離散積分を示す。ｉ＊は頂点ｉに隣接する頂点集合であり、ｗｉｊはｊに対する総和が１となる正値の重みである。重みｗｉｊは、要求されるフィルタリングの性質に応じて幾つかの選択法があるが、Ｔａｕｂｉｎらは、最も単純でよい結果を生み出すとして，重みを隣接頂点数の逆数ｗｉｊ＝１／｜ｉ＊｜を用いている。式（１）を行列表現すると、重みを要素として持つ行列Ｗ＝｛ｗｉｊ｝、単位行列Ｉ、Ｐ＝｛ｐｉ｝を用いてΔＰ＝−（Ｉ−Ｗ）Ｐ＝−ＫＰと表される。Ｋは対角成分が１、隣接する頂点に対応する成分が−１／２の対角行列である。行列Ｋは、ｎ個の固有値ｋｉと基底を成す固有ベクトルｅｉを持つ。行列Ｋの固有ベクトルｅ１，…，ｅｎは、自然振動モードとして考えられ、対応する固有値ｋ１，…，ｋｎは対応する自然周波数として考えられる。行列Ｗは、非負の要素１／２を各行に２つずつ持つ行の和が１の確率行列であるため、固有値は上限が１によって制限される。結果として行列Ｋの固有値ｋｉの範囲は（０，２）となり、固有値ｋｉをその大きさでソートし、０≦ｋ１≦…≦ｋｎ≦２と書き換えた場合、小さな固有値に対応する固有ベクトルは低い周期を持つ周期関数、大きな固有値に対応する固有ベクトルは高い周期を持つ周期関数となる。
【００４８】
ローパスフィルタリングは、行列表現を用いた次式（２）を繰り返し適用することにより行われる。
【００４９】
Ｐ’＝ｆ（Ｋ）Ｐ＝（Ｉ−μＫ）（Ｉ−λＫ）Ｐ  （２）
ここで、λ，μはスケーリングファクタ（０＜λ＜−μ）である。
【００５０】
式（２）をＮ回繰り返し適用することは、周波数を表すＫの固有値ｋｉに対する固有ベクトルｅｉの張る空間で、次式（３）のＴａｕｂｉｎのフィルタ関数を用いて低周波成分（小さなｋｉに対応する成分）を通過させることに相当する。
【００５１】
ｆＮ（ｋ）＝｛（１−μｋ）（１−λｋ）｝Ｎ    （３）
実際にフィルタリングを行うためには、パスバンド周波数ｋＰＢ、スケーリングファクタλ，μ、計算の反復回数Ｎを適切に定める必要がある。例えば、パスバンド周波数ｋＰＢは、ｆＮ（ｋＰＢ）＝１、ｋＰＢ＝１／λ＋１／μとなるように定める。
【００５２】
図３（ａ）のガウシアンフィルタリングにおけるフィルタ関数と、同図（ｂ）のＴａｕｂｉｎのフィルタ関数を比較すると、同図（ａ）のフィルタ関数は、ｆ（ｋ）＝（１−λｋ）であり、｜１−λｋ｜＜１であるため、計算の反復回数Ｎを大きくした場合には、ｋ＝０以外ではｆＮ（ｋ）＝（１−λｋ）Ｎ≒０となり、理想的なローパスフィルタとなっていない。これに対し、Ｔａｕｂｉｎのフィルタ関数は、Ｎが大きくなるにつれ、理想的なローパスフィルタに近くなり、パスバンド周波数ｋＰＢより低い周波数成分のみが通過することが確認された。
【００５３】
このように、基本形状推定部１１は、式（３）をメッシュモデルＭに対してＮ回繰り返し適用することにより、表面詳細が合成されていない基本形状を推定する。以下、推定された基本形状の三角形メッシュモデルを推定基本形状メッシュＭ’という。
【００５４】
なお、基本形状推定部１１で用いたＴａｕｂｉｎのフィルタ関数は、形状の縮退を生じないローパスフィルタリングを実現するものであるが、計算の反復回数Ｎが大きくなると計算が収束するため、そのフィルタリング強度には一定の限界がある。このため、数頂点から構成される凹凸からなる表面詳細は十分に抽出できるが、例えば数百頂点から構成されるような表面詳細を抽出したい場合には、更に強いローパスフィルタリング効果が必要となる。
【００５５】
そこで、よりサポートの広い（構成要素数が多い）表面詳細メッシュを抽出できるように、式（１）のラプラシアンの定義におけるｉ＊を、頂点ｉのｎ近傍の集合に拡張する。以降では、ｎ近傍の頂点を用いて定義されるラプラシアンをｎ近傍ラプラシアンと呼ぶ。重みｗｉｊは、ｊに対する総和を１とし、非負にとることで、行列Ｗは確率行列となり、Ｋの固有値の範囲はいまだ０から２に制限される。このように、ラプラシアンの定義をｎ近傍に拡張することにより、同じフィルタ関数に対して通過する周波数に対応する基底の周期が長くなり、１近傍に比べ長い周期を持つ凹凸をフィルタリングできる。
【００５６】
図４に、ｎ近傍ラプラシアンを用いたフィルタリングの結果を示す。フィルタリングパラメータは、パスバンド周波数ｋＫＢ＝１．０、スケーリングファクタλ＝０．５と設定し、重みｗｉｊは、ｎ近傍内に含まれる頂点数の逆数を用いた。図４より、２近傍のラプラシアンは、同じフィルタリングパラメータの設定において、１近傍ラプラシアンより強いローパスフィルタリング効果が得られることが確認された。これは、よりサポートの広い表面詳細が抽出可能となることを示している。また、近傍を３以上に広げた場合はスムージングの効果にあまり変化が見られないことが確認された。
【００５７】
［高周波成分の抽出］
高周波成分抽出部１２では、ローパスフィルタによって失われた高周波成分が基本形状メッシュ表面に対する表面詳細メッシュの凹凸を表現しているものとみなし、入力されたメッシュモデルＭと推定基本形状メッシュＭ’を用いてメッシュモデルＭの高周波成分Ｈを抽出する。メッシュモデルＭの高周波成分Ｈは、フィルタリングにより失われた幾何情報であり、フィルタリング前後の頂点の移動量として、次式（４）により得られる。
【００５８】
Ｈ＝Ｐ−Ｐ’  （Ｐ∈Ｍ，Ｐ’∈Ｍ’）      （４）
ここでＰ＝｛ｐｉ｝はメッシュモデルＭの頂点集合、Ｐ’＝｛ｐ’ｉ｝はフィルタリング後の推定基本形状メッシュＭ’の頂点集合である。高周波成分Ｈは、推定基本形状メッシュＭ’に対する表面詳細メッシュＭＤの凹凸を表すベクトルの集合Ｈ＝｛ｈｉ｝である。
【００５９】
図５（ａ）は、メッシュモデルＭの一例であり、図５（ｂ）は、このメッシュモデルＭに対して式（４）を適用して得られた高周波成分のベクトルを、対応する頂点を始点として表示した図である。各々のベクトルｈｉは、推定基本形状メッシュＭ’の頂点に対応付けられるが、このままの状態では、高周波成分Ｈ内の他のベクトルに対する空間的な配置や、他の形状に対する対応関係を持っていないため、個別管理や編集には向いておらず、他の基本形状メッシュの表面に合成することも困難である。
【００６０】
［パラメタライゼーションの生成］
そこで、パラメタライゼーション生成部１３では、表面詳細の凹凸を独立して管理可能とするため、推定基本形状メッシュＭ’の各頂点についての位相構造を持つ基本平面を定義するためのパラメタライゼーションを生成する。メッシュモデルＭのパラメタライゼーションは、図６に示すように、メッシュモデルＭと１対１で対応する２次元の平面三角化グラフＧであり、ここではＧ（Ｑ，К）と記述する。ここで、Ｑ＝｛ｑｉ＝（ｕｉ，ｖｉ）∈Ｒ２｜１≦ｉ≦ｎ｝（パラメータ）である。パラメタライゼーションの構築には，次式（５）に示すメッシュモデルＭに対する区分線形写像φ：｜Ｍ｜→Ｒ２（｜Ｍ｜⊂Ｒ３はメッシュモデル上の点集合）を定めることが必要となる。
【００６１】
φ（ｐｉ）＝ｑｉ    （５）
メッシュモデル表面上の任意点ｐｍに対するパラメータは、点ｐｍを含む三角形（ｉ，ｊ，ｋ）の頂点のパラメータを用いて次式（６）で定義される。
【００６２】
φ（ｐｍ）＝λφ（ｐｉ）＋μφ（ｐｊ）＋νφ（ｐｋ）    （６）
ここで、λ，μ，νは、三角形（ｉ，ｊ，ｋ）における点ｐｍの重心座標（λ＋μ＋ν＝１）である。また、写像φは区分線写像であるため、その逆写像φ−１：Ｒ２→｜Ｍ｜が定義され、パラメータ平面のパラメタライゼーションの各頂点は、実空間の三角形メッシュモデルの各頂点と１対１で対応する。
【００６３】
このように、パラメタライゼーション生成部１３は、推定基本形状メッシュＭ’に対してパラメータ平面への写像を適用することにより、パラメタライゼーションＧ’を生成する。
【００６４】
さらに、パラメタライゼーション生成部１３では、元の合成形状であるメッシュモデルＭの表面上における距離に関する計量を保存可能な表面詳細メッシュの抽出を目的として、推定基本形状メッシュＭ’のパラメタライゼーションＧ’を、距離保存の性質を持つように生成する。この手法では、次式（７）に示す稜線長保存度に関する評価関数Ｅｌｅｎを定義する。
【００６５】
Ｅｌｅｎ＝Σ（‖ｐｉ−ｐｊ‖２−φＢ（Ｐｉｊ））２／φＢ（Ｐｉｊ）        （７）
φＢ（Ｐｉｊ）＝‖φ（ｐｉ）−φ（ｐｊ）‖２
ここで、Σは（ｉ，ｊ）∈Ｅにおける離散積分を示す。式（７）は、パラメータｕ，ｖに対する勾配が容易に計算され、共役勾配法を用いてｐｉについて解くことができる。しかし、パラメタライゼーション境界や実空間のメッシュ形状が複雑な場合、面の裏返りが生じ、自己干渉を起こすことがあるために、メッシュモデルに対する単写を構築できないことがある。そこで、次式（８）に示す面分の符号付面積保存の評価関数Ｅａｒｅを導入し、自己干渉の問題を解決する。
【００６６】
Ｅａｒｅ＝Σ｛ｄｅｔ［φＢ（Ｐｊｉ）ＴφＢ（Ｐｋｉ）Ｔ］／２−Ｓｉｊｋ｝２／Ｓｉｊｋ    （８）
φＢ（Ｐｊｉ）＝φＢ（ｐｊ）−φＢ（ｐｉ）
φＢ（Ｐｋｉ）＝φＢ（ｐｋ）−φＢ（ｐｉ）
ここで、Σは面分（ｉ，ｊ，ｋ）∈Ｆにおける離散積分であり、Ｓｉｊｋは面分（ｉ，ｊ，ｋ）の符号付面積でありＳｉｊｋ＝‖（ｐｊ−ｐｉ）×（ｐｋ−ｐｉ）‖／２で表される。式（８）の評価関数も、そのパラメータｕ，ｖに対する勾配が容易に計算でき、共役勾配法を用いてｐｉについて同様に解くことができる。
【００６７】
最終的に、表面詳細メッシュの定義域決定のための推定基本形状メッシュＭ’のパラメタライゼーションＧ’は、次式（９）に示す式（７）と式（８）の評価関数の重み付き和の最小化問題を、共役勾配法を用いて解くことにより構築できる。
【００６８】
ｍｉｎｉｍｉｚｅ（αＥｌｅｎ＋βＥａｒｅ）            （９）
ここで、α，βは各性質の強度を決定する重み係数である。式（９）を解くことにより、実空間と稜線長をパラメータ平面上で極力保存し、かつ面干渉の起こらないパラメタライゼーションの構築を実現できる。
【００６９】
式（９）により構築されたパラメタライゼーションの例を図７に示す。図７では、見易さのため、同図（ａ）に示すメッシュモデルＭの局所部分に対し、ここまで述べた手法を適用して構築したパラメタライゼーションを同図（ｂ）に示している。幾つかのメッシュモデルに対して実験を行った結果，重み係数は、α＝０．５，β＝０．５と定めることにより、自己干渉がなく距離歪の少ないパラメタライゼーションを構築できることが確認された。
【００７０】
［表面詳細メッシュの生成］
表面詳細生成部１４では、推定基本形状メッシュＭ’のパラメタライゼーションＧ’を定義域とする表面詳細メッシュＭＤを生成する。これは、パラメタライゼーションＧ’の頂点位置ｑｉ＝（ｕｉ，ｖｉ）を、フィルタリングにより得られた高周波成分Ｈに基づいて操作することにより行う。高周波成分Ｈの要素ｈｉ＝（ｘｈｉ，ｙｈｉ，ｚｈｉ）は、推定基本形状メッシュの各頂点からの表面詳細の凹凸を表すため、まず、次式（１０）に示すｈｉの符号付強度ｓｉをパラメタライゼーションＧ’の各頂点に属性として与える。
【００７１】
ｓｉ＝ｓｉｇｎ（ｈｉ・ｎｉ）｛（ｘｈｉ）２＋（ｙｈｉ）２＋（ｚｈｉ）２｝１／２      （１０）
ここで、ｓｉｇｎ（ｘ）は、ｘの符号が正の場合は１、負の場合は−１となる関数であり、ｎｉは頂点ｉにおける法線ベクトルである。図８に示すように、同図（ａ）に示すパラメタライゼーションＧ’の各頂点ｐｉについての情報（ｕｉ，ｖｉ，ｓｉ）を、同図（ｂ）に示す実空間における座標（ｘｉ，ｙｉ，ｚｉ）に対応させることにより、メッシュモデルＭにおける表面詳細の凹凸を高さ値ｚとした表面詳細メッシュＭＤを生成する。
【００７２】
［本抽出手法の適用結果］
図９乃至図１１の各図（ａ）に示す表面詳細合成形状のメッシュモデルに対してフィルタリングを適用して得られた推定基本形状メッシュを各図（ｂ）、抽出された表面詳細メッシュを各図（ｃ）に示す。各図（ｄ）は、抽出された表面詳細メッシュの高さ値を濃淡で表した図である。図９（ａ）及び図１０（ａ）のメッシュモデルの面分数は６，９６２、図１１（ａ）のメッシュモデルの面分数は１５，８４２である。また、基本形状推定に用いたフィルタリングパラメータの設定は、図９乃至図１１のいずれも、ｋＰＢ＝０．０１，Ｎ＝２００，１近傍とした。抽出処理時間は、図１１のモデルにおいて約１０秒（Ｐｅｎｔｉｕｍ（登録商標）−３，  １ＧＨｚ，  ＲＡＭ５１２ＭＢ）であった。適用結果から、与えられたメッシュモデルにおいて合成されていたとみなされる表面詳細が、基本形状に対する凹凸を高さ値として持つメッシュモデルとして抽出されることが確認された。
【００７３】
したがって、本実施の形態によれば、基本形状推定部１１によりメッシュモデルＭに対してローパスフィルタを適用して表面に詳細形状が合成されているとみなされる基本形状メッシュを推定し、高周波成分抽出部１２によりローパスフィルタによって失われた高周波成分を抽出し、パラメタライゼーション生成部１３により推定基本形状メッシュの各頂点についての位相構造を基本平面に持つパラメタライゼーションを生成し、表面詳細生成部１４によりパラメタライゼーションの各頂点に対して高周波成分に基づく高さ値を与えることにより表面詳細メッシュを生成する。これによって、メッシュモデルＭから抽出した表面詳細メッシュは、底部を基本平面とする３次元座標上に再現され、基本形状メッシュとは独立した形式で表現されるので、表面詳細メッシュの個別管理及び視覚化が容易であり、表面詳細メッシュを他の基本形状メッシュの表面へ合成する際の再利用性を向上させることができる。結果として、三角形メッシュモデリングを利用した意匠設計における作業の効率化、設計バリエーションの増加を図ることができる。
【００７４】
本実施の形態によれば、基本形状推定部１１により、フィルタリングの強度を制御するための設定が可能なＴａｕｂｉｎのフィルタ関数を適用することで、三角形メッシュモデルにおける表面詳細の形状に柔軟に対応するフィルタリングを可能にすることができる。
【００７５】
本実施の形態によれば、基本形状推定部１１により、Ｔａｕｂｉｎのフィルタ関数におけるラプラシアンをｎ近傍ラプラシアンに拡張することで、より強力なローパスフィルタリングの効果が得られるので、例えば数百頂点から構成されるような大規模な表面詳細メッシュを高精度で抽出することができる。
【００７６】
本実施の形態によれば、パラメタライゼーション生成部１３により、稜線長保存度に関する評価関数と符号付面積保存の評価関数の重み付き和の最小化問題を各頂点について解くことで、実空間における稜線長さをパラメータ平面上で極力保存し、かつ面干渉の起こらないパラメタライゼーションを構築することができる。
【００７７】
【発明の効果】
以上、説明したように、本発明に係る表面詳細抽出システム及び表面詳細抽出プログラムによれば、抽出した表面詳細の個別管理及び視覚化が容易であり、表面詳細を他の基本形状の表面へ合成する際の再利用性を向上させることができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】一実施の形態における表面詳細抽出・合成システムの全体構成を示す機能ブロック図である。
【図２】一実施の形態における表面詳細抽出システムの全体構成を示す機能ブロック図である。
【図３】同図（ａ）は、ガウシアンフィルタリングにおけるフィルタ関数を示し、同図（ｂ）は、Ｔａｕｂｉｎのフィルタ関数を示す図である。
【図４】ｎ近傍ラプラシンによる強スムージングの例を示す図である。
【図５】同図（ａ）は、メッシュモデルの一例であり、同図（ｂ）は、このメッシュモデルについて得られた高周波成分のベクトルを、対応する頂点を始点として表示した図である。
【図６】メッシュモデルとパラメタライゼーションの区分線形写像による対応関係を示す図である。
【図７】同図（ａ）は、メッシュモデルの一例であり、同図（ｂ）は、このメッシュモデルの局所部分についてのパラメタライゼーションを示す図である。
【図８】同図（ａ）は、パラメタライゼーションを示す図であり、同図（ｂ）は、表面詳細メッシュを示す図である。
【図９】本表面詳細抽出手法の適用結果を示す図であり、同図（ａ）は、入力されたメッシュモデル、同図（ｂ）は、推定基本形状メッシュ、同図（ｃ）は、抽出された表面詳細メッシュ、同図（ｄ）は、表面詳細メッシュの高さ値を濃淡で表した図である。
【図１０】本表面詳細抽出手法の別の適用結果を示す図であり、同図（ａ）は、入力されたメッシュモデル、同図（ｂ）は、推定基本形状メッシュ、同図（ｃ）は、抽出された表面詳細メッシュ、同図（ｄ）は、表面詳細メッシュの高さ値を濃淡で表した図である。
【図１１】本表面詳細抽出手法のさらに別の適用結果を示す図であり、同図（ａ）は、入力されたメッシュモデル、同図（ｂ）は、推定基本形状メッシュ、同図（ｃ）は、抽出された表面詳細メッシュ、同図（ｄ）は、表面詳細メッシュの高さ値を濃淡で表した図である。
【符号の説明】
１…表面詳細抽出システム
２…表面詳細データベース
３…基本形状データベース
４…表面詳細合成システム
１１…基本形状推定部
１２…高周波成分抽出部
１３…パラメタライゼーション生成部
１４…表面詳細生成部
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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