(57)【要約】【課題】従来よりも確実に時系列のパラメータを推定する方法、推定したパラメータよりデータを予測する方法、パラメータ推定装置、データ予測装置、コンピュータプログラム、及び記録媒体を提供する。【解決手段】複数のデータからなる時系列｛ｘｎ  ｝を読み込み（Ｓ１）、白色雑音を生成し（Ｓ３）、白色雑音の分散σｅ２を計算し（Ｓ４）、ラグ０の白色雑音の自己相関関数をσｅ２、ラグが０以外の白色雑音の自己相関関数を０、時系列と該時系列よりも未来の白色雑音との相互相関関数を０とし、更にパラメータの計算式に含まれる逆行列を展開して高次項を省略した近似式を用いて、パラメータａ及びｂを計算し（Ｓ７）、計算したパラメータの収束を判定し（Ｓ８）、収束していない場合は、計算したパラメータからＡＲＭＡモデルの式を用いて新たな白色雑音｛ｅｎ  ｝を生成し（Ｓ９）、パラメータが収束するまで計算を繰り返す。【選択図】        図２
2004295638.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
複数のデータから構成される時系列、及び平均値が０で分散がσｅ２である白色雑音から、前記時系列の自己相関関数、前記白色雑音の自己相関関数、及び前記時系列と前記白色雑音との相互相関関数を用いて、前記時系列を（ｐ，ｐ）次のＡＲＭＡモデルに当てはめたときのパラメータを推定する方法において、
ラグが０の前記白色雑音の自己相関関数の値をσｅ２とし、
ラグが０以外の前記白色雑音の自己相関関数の値を０とし、
前記時系列と前記白色雑音との相互相関関数のうち、前記時系列に含まれるデータと該データよりも未来の時点の白色雑音の値との相互相関関数の値を０とし、
前記時系列の自己相関関数及び前記相互相関関数からなる２ｐ×２ｐの行列の逆行列を前記自己相関関数からなるｐ×ｐの行列及び前記相互相関関数からなるｐ×ｐの行列を用いて展開して高次項を省略した近似式に基づいて、前記パラメータを計算することを特徴とするパラメータ推定方法。
【請求項２】
記憶部及び演算部を備えたコンピュータを用いて、Ｎ個のデータから構成される時系列を（ｐ，ｐ）次のＡＲＭＡモデルに当てはめたときのパラメータを推定する方法において、
Ｎ個のデータから構成される時系列｛ｘｎ  ：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝を記憶部に記憶し、
Ｒｋ  ＝Ｅ［ｘｎ  ｘｎ＋ｋ  ］で定義される｛ｘｎ  ｝の自己相関関数｛Ｒｋ  ：ｋ＝０，１，…，ｐ｝を演算部にて計算し、
平均値が０であるＮ個の値が時系列で並んだ白色雑音｛ｅｎ  ：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝を記憶部に記憶し、
前記白色雑音の分散σｅ２を演算部にて計算し、
Ｔｋ  ＝Ｅ［ｅｎ  ｘｎ＋ｋ  ］で定義される｛ｅｎ  ｝と｛ｘｎ  ｝との相互相関関数｛Ｔｋ  ：ｋ＝０，１，…，ｐ｝を演算部にて計算し、
前記ＡＲＭＡモデルにおけるＡＲ過程のｐ個のパラメータを行列要素とする行列ａ＝［ａ１，ａ２，…，ａｐ］Ｔ、及び前記ＡＲＭＡモデルにおけるＭＡ過程のｐ個のパラメータを行列要素とする行列ｂ＝［ｂ１，ｂ２，…，ｂｐ］Ｔを、以下の式
【数１】
2004295638.tif 000022
に基づいて演算部にて計算することを特徴とするパラメータ推定方法。
【請求項３】
計算した行列ａ及び行列ｂに含まれる前記ＡＲＭＡモデルのパラメータ、並びに前記時系列の値を前記ＡＲＭＡモデルの式に代入して、新たな白色雑音を演算部にて計算し、
計算した新たな白色雑音を用いて新たな行列ａ及び行列ｂを演算部にて計算し、
行列ａ及び行列ｂが収束するまで行列ａ及び行列ｂの計算を演算部にて繰り返すことを特徴とする請求項２に記載のパラメータ推定方法。
【請求項４】
記憶部及び演算部を備えたコンピュータを用いて、複数のデータから構成される時系列から該時系列に加わる新たなデータを予測する方法において、
時系列を記憶部に記憶し、
請求項２又は３に記載のパラメータ推定方法を用い、前記時系列をＡＲＭＡモデルに当てはめたときのパラメータを演算部にて計算し、
計算したパラメータ、及び記憶している前記時系列の値を前記ＡＲＭＡモデルの式に代入して、前記時系列に加わる新たなデータを演算部にて計算する
ことを特徴とするデータ予測方法。
【請求項５】
Ｎ個のデータから構成される時系列を（ｐ，ｐ）次のＡＲＭＡモデルに当てはめたときのパラメータを推定する装置において、
Ｎ個のデータから構成される時系列｛ｘｎ  ：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝を記憶する手段と、
Ｒｋ  ＝Ｅ［ｘｎ  ｘｎ＋ｋ  ］で定義される｛ｘｎ  ｝の自己相関関数｛Ｒｋ  ：ｋ＝０，１，…，ｐ｝を計算する手段と、
平均値が０であるＮ個の値が時系列で並んだ白色雑音｛ｅｎ  ：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝を記憶する手段と、
前記白色雑音の分散σｅ２を計算する手段と、
Ｔｋ  ＝Ｅ［ｅｎ  ｘｎ＋ｋ  ］で定義される｛ｅｎ  ｝と｛ｘｎ  ｝との相互相関関数｛Ｔｋ  ：ｋ＝０，１，…，ｐ｝を計算する手段と、
前記ＡＲＭＡモデルにおけるＡＲ過程のｐ個のパラメータを行列要素とする行列ａ＝［ａ１，ａ２，…，ａｐ］Ｔ、及び前記ＡＲＭＡモデルにおけるＭＡ過程のｐ個のパラメータを行列要素とする行列ｂ＝［ｂ１，ｂ２，…，ｂｐ］Ｔを、以下の式
【数２】
2004295638.tif 000023
に基づいて計算する手段と
を備えることを特徴とするパラメータ推定装置。
【請求項６】
計算した行列ａ及び行列ｂに含まれる前記ＡＲＭＡモデルのパラメータ、並びに前記時系列の値を前記ＡＲＭＡモデルの式に代入して、新たな白色雑音を計算する手段と、
計算した新たな白色雑音を用いて新たな行列ａ及び行列ｂを計算する手段と、
行列ａ及び行列ｂが収束するまで行列ａ及び行列ｂの計算を繰り返す手段と
を更に備えることを特徴とする請求項５に記載のパラメータ推定装置。
【請求項７】
複数のデータから構成される時系列から該時系列に加わる新たなデータを予測する装置において、
時系列を記憶する手段と、
請求項５又は６に記載のパラメータ推定装置と、
該パラメータ推定装置を用いて、前記時系列から、前記時系列をＡＲＭＡモデルに当てはめたときのパラメータを計算する手段と、
計算したパラメータ、及び記憶している前記時系列の値を前記ＡＲＭＡモデルの式に代入して、前記時系列に加わる新たなデータを計算する手段と
を備えることを特徴とするデータ予測装置。
【請求項８】
コンピュータに、Ｎ個のデータから構成される時系列を（ｐ，ｐ）次のＡＲＭＡモデルに当てはめたときのパラメータを推定させるコンピュータプログラムにおいて、
コンピュータに、Ｎ個のデータから構成される時系列｛ｘｎ  ：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝から、Ｒｋ  ＝Ｅ［ｘｎ  ｘｎ＋ｋ  ］で定義される｛ｘｎ  ｝の自己相関関数｛Ｒｋ
：ｋ＝０，１，…，ｐ｝を計算させる手順と、
コンピュータに、平均値が０であるＮ個の値が時系列で並んだ白色雑音｛ｅｎ  ：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝の分散σｅ２を計算させる手順と、
コンピュータに、Ｔｋ  ＝Ｅ［ｅｎ  ｘｎ＋ｋ  ］で定義される｛ｅｎ  ｝と｛ｘｎ  ｝との相互相関関数｛Ｔｋ  ：ｋ＝０，１，…，ｐ｝を計算させる手順と、
コンピュータに、前記ＡＲＭＡモデルにおけるＡＲ過程のｐ個のパラメータを行列要素とする行列ａ＝［ａ１，ａ２，…，ａｐ］Ｔ、及び前記ＡＲＭＡモデルにおけるＭＡ過程のｐ個のパラメータを行列要素とする行列ｂ＝［ｂ１，ｂ２，…，ｂｐ］Ｔを、以下の式
【数３】
2004295638.tif 000024
に基づいて計算させる手順と
を含むことを特徴とするコンピュータプログラム。
【請求項９】
コンピュータに、計算した行列ａ及び行列ｂに含まれる前記ＡＲＭＡモデルのパラメータ、並びに前記時系列の値を前記ＡＲＭＡモデルの式に代入して、新たな白色雑音を計算させる手順と、
コンピュータに、計算した新たな白色雑音を用いて新たな行列ａ及び行列ｂを計算させる手順と、
コンピュータに、行列ａ及び行列ｂが収束するまで行列ａ及び行列ｂの計算を繰り返させる手順と
を更に含むことを特徴とする請求項８に記載のコンピュータプログラム。
【請求項１０】
コンピュータに、複数のデータから構成される時系列から該時系列に加わる新たなデータを予測させるコンピュータプログラムにおいて、
コンピュータに、請求項８又は９に記載のコンピュータプログラムを用いて、記憶している時系列から、該時系列をＡＲＭＡモデルに当てはめたときのパラメータを計算させる手順と、
コンピュータに、計算したパラメータ、及び記憶している前記時系列の値を前記ＡＲＭＡモデルの式に代入して、前記時系列に加わる新たなデータを計算させる手順と
を含むことを特徴とするコンピュータプログラム。
【請求項１１】
コンピュータに、Ｎ個のデータから構成される時系列を（ｐ，ｐ）次のＡＲＭＡモデルに当てはめたときのパラメータを推定させるコンピュータプログラムを記録してあるコンピュータでの読み取りが可能な記録媒体において、
コンピュータに、Ｎ個のデータから構成される時系列｛ｘｎ  ：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝から、Ｒｋ  ＝Ｅ［ｘｎ  ｘｎ＋ｋ  ］で定義される｛ｘｎ  ｝の自己相関関数｛Ｒｋ
：ｋ＝０，１，…，ｐ｝を計算させる手順と、
コンピュータに、平均値が０であるＮ個の値が時系列で並んだ白色雑音｛ｅｎ  ：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝の分散σｅ２を計算させる手順と、
コンピュータに、Ｔｋ  ＝Ｅ［ｅｎ  ｘｎ＋ｋ  ］で定義される｛ｅｎ  ｝と｛ｘｎ  ｝との相互相関関数｛Ｔｋ  ：ｋ＝０，１，…，ｐ｝を計算させる手順と、
コンピュータに、前記ＡＲＭＡモデルにおけるＡＲ過程のｐ個のパラメータを行列要素とする行列ａ＝［ａ１，ａ２，…，ａｐ］Ｔ、及び前記ＡＲＭＡモデルにおけるＭＡ過程のｐ個のパラメータを行列要素とする行列ｂ＝［ｂ１，ｂ２，…，ｂｐ］Ｔを、以下の式
【数４】
2004295638.tif 000025
に基づいて計算させる手順と
を含むコンピュータプログラムを記録してあることを特徴とするコンピュータでの読み取りが可能な記録媒体。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、データの時系列からパラメータを推定する方法、推定されたパラメータを用いて新たなデータを予測する方法、パラメータ推定装置、データ予測方法、コンピュータをパラメータ推定装置またはデータ予測装置として実現するためのコンピュータプログラム、及び記録媒体に関する。
【０００２】
【従来の技術】
蓄積されたデータの時系列を解析し、新たなデータの値を予想する方法は、従来より様々な方法が提案されている。株価または販売量などのデータから構成される一般の経済的な時系列は、白色ノイズによって励起された系の出力とみることができる。データの時系列｛ｘｎ  ：ｎ＝１，２，…，Ｎ，…｝を、定常エルゴード的正規過程ｘ（ｔ）の標本時系列であるとしたときには、（ｐ，ｑ）次のＡＲＭＡモデルでは、｛ｘｎ  ｝の要素間の関係は、以下の式で表される。
【０００３】
【数５】
2004295638.tif 000003
【０００４】
ここで、｛ｅｎ  ｝は、平均値０及び分散σｅ２の正規性雑音であり、｛ａｉ  ：ｉ＝１，２，…，ｐ｝及び｛ｂｊ  ：ｊ＝１，２，…，ｑ｝は、
Ａ（Ｚ−１）＝１＋ａ１  Ｚ−１＋…＋ａｐ  Ｚ−ｐ
Ｂ（Ｚ−１）＝１＋ｂ１  Ｚ−１＋…＋ｂｑ  Ｚ−ｑ
とおいたときに、Ａ（Ｚ−１）及びＢ（Ｚ−１）が規約であり、更に定常条件、可逆条件および強正実条件を満たすものとする。
【０００５】
標本の時系列｛ｘｎ  ｝から（１）式のパラメータ｛ａｉ  ｝及び｛ｂｊ  ｝を推定するための方法として、非特許文献１に開示された疑似線形回帰法がある。現代制御理論では、ｐ＝ｑとしても一般性を失わないため、以下、ｐ＝ｑとして議論を進める。ベクトルＺｎ  及びベクトルθを次の様に定義する。
Ｚｎ  ＝［−ｘｎ−１，…，−ｘｎ−ｐ，ｅｎ−１，…，ｅｎ−ｐ］Ｔ
θ＝［ａ１，ａ２，…，ａｐ，ｂ１，ｂ２，…，ｂｐ］Ｔ
（１）式をｘｎ  についての式に書き直したときには、（１）式は、
ｘｎ  ＝θＴ  Ｚｎ  ＋ｅｎ      …（２）
と表すことができる。Ｎ個のデータから構成される時系列｛ｘｎ  ：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝が得られたとき、ベクトルθを時系列から最小二乗法により求めるためには、以下の式
【０００６】
【数６】
2004295638.tif 000004
【０００７】
の右辺を最小にするθを求めればよい。従って、（３）式の右辺をθで偏微分して０に等しいとすることにより、時系列から推定したベクトルθは、次の式で与えられる。
【０００８】
【数７】
2004295638.tif 000005
【０００９】
ラグがｋである｛ｘｎ  ｝の自己相関関数をＲｋ  とすると、
Ｒｋ  ＝Ｅ［ｘｎ  ｘｎ＋ｋ  ］
である。ここで、Ｅ［ｙｎ  ］は、データ列｛ｙｎ  ：ｎ＝１，２，…｝の期待値である。また、
Ｒ−ｋ＝Ｒｋ
である。ラグがｋである｛ｅｎ  ｝の自己相関関数をＳｋとすると、同様に、
Ｓｋ＝Ｅ［ｅｎ  ｅｎ＋ｋ  ］，Ｓ−ｋ＝Ｓｋ
である。また、｛ｘｎ  ｝と｛ｅｎ  ｝との相互相関関数は、
Ｔｋ  ＝Ｅ［ｅｎ  ｘｎ＋ｋ  ］
Ｔ−ｋ＝Ｅ［ｅｎ  ｘｎ−ｋ  ］
とおくと、
Ｅ［ｘｎ  ｅｎ＋ｋ  ］＝Ｅ［ｅｎ  ｘｎ−ｋ  ］＝Ｔ−ｋ
Ｅ［ｘｎ  ｅｎ−ｋ  ］＝Ｅ［ｅｎ  ｘｎ＋ｋ  ］＝Ｔｋ
となる。
【００１０】
（４）式の右辺は、｛ｘｎ  ｝の自己相関関数、｛ｅｎ  ｝の自己相関関数、及び｛ｘｎ  ｝と｛ｅｎ  ｝との相互相関関数で表すことができ、（４）式は、
【００１１】
【数８】
2004295638.tif 000006
【００１２】
となる。ベクトルａ及びｂを、
ａ＝［ａ１，ａ２，…，ａｐ］Ｔ
ｂ＝［ｂ１，ｂ２，…，ｂｐ］Ｔ
と定義し、（５）式に含まれる行列を、
【００１３】
【数９】
2004295638.tif 000007
【００１４】
と定義したときには、（５）式は、
【００１５】
【数１０】
2004295638.tif 000008
【００１６】
と表すことができる。ベクトルａ，ｂ，ｒ，ｔはｐ行１列の行列であり、行列Ｒ，Ｔ，Ｓはｐ行ｐ列の行列であるため、（７）式はベクトルａ及びｂについての連立方程式の形に書き直すことができ、
Ｒ・ａ−τ・ｂ＝−ｒ                …（８）
−τＴ  ・ａ＋Ｓ・ｂ＝ｔ            …（９）
となる。（９）式より、
ｂ＝Ｓ−１（ｔ＋τＴ  ・ａ）        …（１０）
であり、（１０）式を（８）式へ代入することにより、
ａ＝（Ｒ−τ・Ｓ−１・τＴ  ）−１（τ・Ｓ−１・ｔ−ｒ）        …（１１）
が求められる。（１１）式よりベクトルａが得られ、得られたベクトルａを（１０）式に代入することにより、ベクトルｂを計算することができる。
【００１７】
疑似線形回帰法では、白色雑音｛ｅｎ  ｝を乱数などを用いて生成し、生成した｛ｅｎ  ｝と時系列｛ｘｎ  ｝とから、（１１）式および（１０）式を用いて、（１）式のパラメータ｛ａｉ  ｝及び｛ｂｊ  ｝を計算し、計算した｛ａｉ  ｝及び｛ｂｊ  ｝から、（１）式を用いて白色雑音｛ｅｎ  ｝を計算し、パラメータ｛ａｉ  ｝及び｛ｂｊ  ｝が収束するまで計算を繰り返し、パラメータ｛ａｉ  ｝及び｛ｂｊ  ｝を求める。
【００１８】
【非特許文献１】
片山徹「システム同定入門」朝倉書店  １９９４年
【００１９】
【発明が解決しようとする課題】
疑似線形回帰法は、問題の性質によっては、パラメータ｛ａｉ  ｝及び｛ｂｊ  ｝が収束せず、パラメータの推定ができない場合があるという問題がある。また、ｐ行ｐ列の行列計算を行うため、計算時間が長いという問題があった。
【００２０】
本発明は、以上の問題を解決するためになされたものであって、その目的とするところは、計算に用いる数値のうち理論的に０となるはずの数値を０とおき、更に逆行列を展開した計算を行うことにより、パラメータの値の収束を容易にし、同時に計算時間の短縮を図ることができるパラメータ推定方法、パラメータ推定装置、コンピュータを該パラメータ推定装置として実現するためのコンピュータプログラム、及び記録媒体を提供することにある。
【００２１】
また、本発明の他の目的とするところは、前記パラメータ推定方法により推定したパラメータを用いてデータの推定を行うことにより、従来の手法ではデータの予測ができなかった時系列についてもデータの予測が可能となるデータ予測方法、データ予測装置、コンピュータを該データ予測装置として実現するためのコンピュータプログラム、及び記録媒体を提供することにある。
【００２２】
【課題を解決するための手段】
第１発明に係るパラメータ推定方法は、複数のデータから構成される時系列、及び平均値が０で分散がσｅ２である白色雑音から、前記時系列の自己相関関数、前記白色雑音の自己相関関数、及び前記時系列と前記白色雑音との相互相関関数を用いて、前記時系列を（ｐ，ｐ）次のＡＲＭＡモデルに当てはめたときのパラメータを推定する方法において、ラグが０の前記白色雑音の自己相関関数の値をσｅ２とし、ラグが０以外の前記白色雑音の自己相関関数の値を０とし、前記時系列と前記白色雑音との相互相関関数のうち、前記時系列に含まれるデータと該データよりも未来の時点の白色雑音の値との相互相関関数の値を０とし、前記時系列の自己相関関数及び前記相互相関関数からなる２ｐ×２ｐの行列の逆行列を前記自己相関関数からなるｐ×ｐの行列及び前記相互相関関数からなるｐ×ｐの行列を用いて展開して高次項を省略した近似式に基づいて、前記パラメータを計算することを特徴とする。
【００２３】
第２発明に係るパラメータ推定方法は、記憶部及び演算部を備えたコンピュータを用いて、Ｎ個のデータから構成される時系列を（ｐ，ｐ）次のＡＲＭＡモデルに当てはめたときのパラメータを推定する方法において、Ｎ個のデータから構成される時系列｛ｘｎ  ：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝を記憶部に記憶し、Ｒｋ  ＝Ｅ［ｘｎｘｎ＋ｋ  ］で定義される｛ｘｎ  ｝の自己相関関数｛Ｒｋ  ：ｋ＝０，１，…，ｐ｝を演算部にて計算し、平均値が０であるＮ個の値が時系列で並んだ白色雑音｛ｅｎ  ：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝を記憶部に記憶し、前記白色雑音の分散σｅ２を演算部にて計算し、Ｔｋ  ＝Ｅ［ｅｎ  ｘｎ＋ｋ  ］で定義される｛ｅｎ  ｝と｛ｘｎ  ｝との相互相関関数｛Ｔｋ  ：ｋ＝０，１，…，ｐ｝を演算部にて計算し、前記ＡＲＭＡモデルにおけるＡＲ過程のｐ個のパラメータを行列要素とする行列ａ＝［ａ１，ａ２，…，ａｐ］Ｔ、及び前記ＡＲＭＡモデルにおけるＭＡ過程のｐ個のパラメータを行列要素とする行列ｂ＝［ｂ１，ｂ２，…，ｂｐ］Ｔを、以下の式
【００２４】
【数１１】
2004295638.tif 000009
【００２５】
に基づいて演算部にて計算することを特徴とする。
【００２６】
第３発明に係るパラメータ推定方法は、計算した行列ａ及び行列ｂに含まれる前記ＡＲＭＡモデルのパラメータ、並びに前記時系列の値を前記ＡＲＭＡモデルの式に代入して、新たな白色雑音を演算部にて計算し、計算した新たな白色雑音を用いて新たな行列ａ及び行列ｂを演算部にて計算し、行列ａ及び行列ｂが収束するまで行列ａ及び行列ｂの計算を演算部にて繰り返すことを特徴とする。
【００２７】
第４発明に係るデータ予測方法は、記憶部及び演算部を備えたコンピュータを用いて、複数のデータから構成される時系列から該時系列に加わる新たなデータを予測する方法において、時系列を記憶部に記憶し、第２又は第３発明に係るパラメータ推定方法を用い、前記時系列をＡＲＭＡモデルに当てはめたときのパラメータを演算部にて計算し、計算したパラメータ、及び記憶している前記時系列の値を前記ＡＲＭＡモデルの式に代入して、前記時系列に加わる新たなデータを演算部にて計算することを特徴とする。
【００２８】
第５発明に係るパラメータ推定装置は、Ｎ個のデータから構成される時系列を（ｐ，ｐ）次のＡＲＭＡモデルに当てはめたときのパラメータを推定する装置において、Ｎ個のデータから構成される時系列｛ｘｎ  ：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝を記憶する手段と、Ｒｋ  ＝Ｅ［ｘｎ  ｘｎ＋ｋ  ］で定義される｛ｘｎ  ｝の自己相関関数｛Ｒｋ  ：ｋ＝０，１，…，ｐ｝を計算する手段と、平均値が０であるＮ個の値が時系列で並んだ白色雑音｛ｅｎ  ：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝を記憶する手段と、前記白色雑音の分散σｅ２を計算する手段と、Ｔｋ  ＝Ｅ［ｅｎ  ｘｎ＋ｋ  ］で定義される｛ｅｎ  ｝と｛ｘｎ  ｝との相互相関関数｛Ｔｋ  ：ｋ＝０，１，…，ｐ｝を計算する手段と、前記ＡＲＭＡモデルにおけるＡＲ過程のｐ個のパラメータを行列要素とする行列ａ＝［ａ１，ａ２，…，ａｐ］Ｔ、及び前記ＡＲＭＡモデルにおけるＭＡ過程のｐ個のパラメータを行列要素とする行列ｂ＝［ｂ１，ｂ２，…，ｂｐ］Ｔを、以下の式
【００２９】
【数１２】
2004295638.tif 000010
【００３０】
に基づいて計算する手段とを備えることを特徴とする。
【００３１】
第６発明に係るパラメータ推定装置は、計算した行列ａ及び行列ｂに含まれる前記ＡＲＭＡモデルのパラメータ、並びに前記時系列の値を前記ＡＲＭＡモデルの式に代入して、新たな白色雑音を計算する手段と、計算した新たな白色雑音を用いて新たな行列ａ及び行列ｂを計算する手段と、行列ａ及び行列ｂが収束するまで行列ａ及び行列ｂの計算を繰り返す手段とを更に備えることを特徴とする。
【００３２】
第７発明に係るデータ予測装置は、複数のデータから構成される時系列から該時系列に加わる新たなデータを予測する装置において、時系列を記憶する手段と、第５又は第６発明に係るパラメータ推定装置と、該パラメータ推定装置を用いて、前記時系列から、前記時系列をＡＲＭＡモデルに当てはめたときのパラメータを計算する手段と、計算したパラメータ、及び記憶している前記時系列の値を前記ＡＲＭＡモデルの式に代入して、前記時系列に加わる新たなデータを計算する手段とを備えることを特徴とする。
【００３３】
第８発明に係るコンピュータプログラムは、コンピュータに、Ｎ個のデータから構成される時系列を（ｐ，ｐ）次のＡＲＭＡモデルに当てはめたときのパラメータを推定させるコンピュータプログラムにおいて、コンピュータに、Ｎ個のデータから構成される時系列｛ｘｎ  ：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝から、Ｒｋ  ＝Ｅ［ｘｎ  ｘｎ＋ｋ  ］で定義される｛ｘｎ  ｝の自己相関関数｛Ｒｋ  ：ｋ＝０，１，…，ｐ｝を計算させる手順と、コンピュータに、平均値が０であるＮ個の値が時系列で並んだ白色雑音｛ｅｎ  ：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝の分散σｅ２を計算させる手順と、コンピュータに、Ｔｋ  ＝Ｅ［ｅｎ  ｘｎ＋ｋ  ］で定義される｛ｅｎ  ｝と｛ｘｎ  ｝との相互相関関数｛Ｔｋ  ：ｋ＝０，１，…，ｐ｝を計算させる手順と、コンピュータに、前記ＡＲＭＡモデルにおけるＡＲ過程のｐ個のパラメータを行列要素とする行列ａ＝［ａ１，ａ２，…，ａｐ］Ｔ、及び前記ＡＲＭＡモデルにおけるＭＡ過程のｐ個のパラメータを行列要素とする行列ｂ＝［ｂ１，ｂ２，…，ｂｐ］Ｔを、以下の式
【００３４】
【数１３】
2004295638.tif 000011
【００３５】
に基づいて計算させる手順とを含むことを特徴とする。
【００３６】
第９発明に係るコンピュータプログラムは、コンピュータに、計算した行列ａ及び行列ｂに含まれる前記ＡＲＭＡモデルのパラメータ、並びに前記時系列の値を前記ＡＲＭＡモデルの式に代入して、新たな白色雑音を計算させる手順と、コンピュータに、計算した新たな白色雑音を用いて新たな行列ａ及び行列ｂを計算させる手順と、コンピュータに、行列ａ及び行列ｂが収束するまで行列ａ及び行列ｂの計算を繰り返させる手順とを更に含むことを特徴とする。
【００３７】
第１０発明に係るコンピュータプログラムは、コンピュータに、複数のデータから構成される時系列から該時系列に加わる新たなデータを予測させるコンピュータプログラムにおいて、コンピュータに、第８又は第９発明に係るコンピュータプログラムを用いて、記憶している時系列から、該時系列をＡＲＭＡモデルに当てはめたときのパラメータを計算させる手順と、コンピュータに、計算したパラメータ、及び記憶している前記時系列の値を前記ＡＲＭＡモデルの式に代入して、前記時系列に加わる新たなデータを計算させる手順とを含むことを特徴とする。
【００３８】
第１１発明に係るコンピュータでの読み取りが可能な記録媒体は、コンピュータに、Ｎ個のデータから構成される時系列を（ｐ，ｐ）次のＡＲＭＡモデルに当てはめたときのパラメータを推定させるコンピュータプログラムを記録してあるコンピュータでの読み取りが可能な記録媒体において、コンピュータに、Ｎ個のデータから構成される時系列｛ｘｎ  ：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝から、Ｒｋ  ＝Ｅ［ｘｎｘｎ＋ｋ  ］で定義される｛ｘｎ  ｝の自己相関関数｛Ｒｋ  ：ｋ＝０，１，…，ｐ｝を計算させる手順と、コンピュータに、平均値が０であるＮ個の値が時系列で並んだ白色雑音｛ｅｎ  ：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝の分散σｅ２を計算させる手順と、コンピュータに、Ｔｋ  ＝Ｅ［ｅｎ  ｘｎ＋ｋ  ］で定義される｛ｅｎ  ｝と｛ｘｎ  ｝との相互相関関数｛Ｔｋ  ：ｋ＝０，１，…，ｐ｝を計算させる手順と、コンピュータに、前記ＡＲＭＡモデルにおけるＡＲ過程のｐ個のパラメータを行列要素とする行列ａ＝［ａ１，ａ２，…，ａｐ］Ｔ、及び前記ＡＲＭＡモデルにおけるＭＡ過程のｐ個のパラメータを行列要素とする行列ｂ＝［ｂ１，ｂ２，…，ｂｐ］Ｔを、以下の式
【００３９】
【数１４】
2004295638.tif 000012
【００４０】
に基づいて計算させる手順とを含むコンピュータプログラムを記録してあることを特徴とする。
【００４１】
本発明者は、ＡＲＭＡモデルの式の構成から導かれるａ  ｐｒｉｏｒｉ  ｋｎｏｗｌｅｄｇｅを導入することにより、従来の疑似線形回帰法の改良を試みた。（１）式より、ＡＲＭＡモデルでは、現在のデータの値は、過去のデータの値および過去の白色雑音の値に関連づけられている。しかし、現在のデータの値は、未来の白色雑音の値とは関連性がないため、データと該データよりも未来の白色雑音との相互相関関数は、理論的に、
Ｅ［ｘｎ  ｅｎ＋ｋ  ］＝０
となる。同様に、
Ｅ［ｅｎ  ｘｎ−ｋ  ］＝０
である。これにより、（５）式に含まれるＴ−ｋは理論的に０とすることができる。また、白色雑音｛ｅｎ  ｝の自己相関関数は、理論的に、
【００４２】
【数１５】
2004295638.tif 000013
【００４３】
となる。実際の場合は、Ｎの値が有限であるため、相互相関関数および自己相関関数を計算した値は、理論的な値とは違った値となる。理論的な値が得られる部分は、理論的な値と置き換えることにより、（５）式は、
【００４４】
【数１６】
2004295638.tif 000014
【００４５】
と表すことができる。ｐ×ｐの単位行列Ｉを用いて、（１２）式は、更に、
【００４６】
【数１７】
2004295638.tif 000015
【００４７】
と表すことができる。ここで、行列Ｋ，Ｌ，Ｍ，Ｎと、
Ｚ＝Ｎ−ＭＫ−１Ｌ
Ｘ＝Ｋ−１Ｌ
Ｙ＝ＭＫ−１
である行列Ｘ，Ｙ，Ｚに関する以下の公式
【００４８】
【数１８】
2004295638.tif 000016
【００４９】
を（１３）式に含まれる逆行列に対して適用し、更に、行列Ａ，Ｂ，Ｃ及びＢの転置行列ＢＴ  に関する以下の公式
［Ａ＋ＢＣＢＴ  ］−１＝Ａ−１−Ａ−１Ｂ［Ｃ−１＋ＢＴ  Ａ−１Ｂ］−１ＢＴ  Ａ−１
を繰り返し適用すると、前記逆行列は、以下の如く表すことができる。
【００５０】
【数１９】
2004295638.tif 000017
【００５１】
（１３）式に含まれる逆行列は、正定値対称行列であるため、（１３）式は一意の解を持つ。（１５）式においてｎ＝０としたものを１次近似とし、ｎ＝１としたものを２次近似とする。前記逆行列を１次近似で表すと、（１３）式より、求めるべきパラメータであるベクトルａ，ｂを計算する式は、
【００５２】
【数２０】
2004295638.tif 000018
【００５３】
となる。また、前記逆行列を２次近似で表すと、求めるべきパラメータであるベクトルａ，ｂを計算する式は、
【００５４】
【数２１】
2004295638.tif 000019
【００５５】
となる。１次近似の（１６）式または２次近似の（１７）式は、従来の（１０）式および（１１）式に比べて、式を構成する各行列が単純になっており、更に、必要な逆行列の計算が少なくなっている。従って、（１６）式または（１７）式を用いることで、（１０）式および（１１）式を用いる従来の方法に比べて簡易的にパラメータの推定値を計算することができる。
【００５６】
第１発明においては、時系列をＡＲＭＡモデルに当てはめたときの前記ＡＲＭＡモデルのパラメータを推定する際に、白色雑音の自己相関関数、及び時系列と白色雑音との相互相関関数に理論的な値を用い、更にパラメータの推定値を計算する式に含まれる逆行列を展開して高次の項を省略した近似式に基づいて、簡易的にパラメータの推定値を計算する。
【００５７】
第２、第５、第８及び第１１発明においては、白色雑音｛ｅｎ  ｝を記憶し、記憶した白色雑音と時系列とから、ＡＲＭＡモデルのパラメータであるベクトルａ及びｂの推定値を、理論的な値を含む１次近似の（１６）式または２次近似の（１７）式に基づいて計算する。
【００５８】
第３、第６及び第９発明においては、計算したベクトルａ及びｂから、（１）式を用いて新たな白色雑音｛ｅｎ  ｝を計算し、推定すべきパラメータであるベクトルａ及びｂが収束するまで計算を繰り返す。従来に比べて単純化された行列を含む式を用いるため、ベクトルａ及びｂがより収束しやすい。
【００５９】
第４、第７、第１０発明においては、従来より確実にパラメータを推定できる方法により推定したパラメータを用いてデータを予測することにより、従来ではデータの予測ができなかった時系列についてもデータを予測できる。
【００６０】
【発明の実施の形態】
以下本発明をその実施の形態を示す図面に基づき具体的に説明する。
図１は、本発明のデータ予測装置の構成を示すブロック図である。データ予測装置１は、本発明のパラメータ推定装置の機能を兼ね備えており、コンピュータを用いて構成されている。データ予測装置１は、演算を行うＣＰＵ（演算部）１１と、演算に伴って発生する一時的な情報を記憶するＲＡＭ（記憶部）１２と、ＣＤ−ＲＯＭドライブ等の外部記憶装置１３と、ハードディスク等の内部記憶装置１４とを備えており、ＣＤ−ＲＯＭ等の本発明に係る記録媒体２から本発明に係るコンピュータプログラム２０を外部記憶装置１３にて読み取り、読み取ったコンピュータプログラム２０を内部記憶装置１４に記憶し、ＲＡＭ１２にコンピュータプログラム２０をロードし、ＣＰＵ１１は、ロードしたコンピュータプログラム２０に基づいてデータ予測装置１に必要な処理を実行する。データ予測装置１は、キーボード又はマウス等の入力装置１５と、液晶ディスプレイ又はＣＲＴディスプレイ等の出力装置１６とを備えており、データの入力を初めとするオペレータからの操作を受け付ける構成となっている。
【００６１】
なお、データ予測装置１は、図示しない通信インタフェースを備え、通信インタフェースに接続されている図示しない外部のサーバ装置から本発明に係るコンピュータプログラム２０をダウンロードし、ＣＰＵ１１にて処理を実行する形態であってもよい。
【００６２】
図２は、本発明のデータ予測装置が行うパラメータ推定の処理およびデータ予測の処理を示すフローチャートである。データ予測装置１は、オペレータの操作により入力装置１５に入力されたデータを読み込む、又は内部記憶装置１４に記憶してあるデータを読み込む等して、ＡＲＭＡモデルにおけるＡＲ過程のパラメータ（ａ１  ，ａ２  ，…，ａｐ  ）及びＭＡ過程のパラメータ（ｂ１  ，ｂ２  ，…，ｂｐ  ）の数ｐと、Ｎ個のデータから構成されるデータの時系列｛ｘｎ  ：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝とをＲＡＭ１２に読み込む（Ｓ１）。ＣＰＵ１１は、コンピュータプログラム２０をＲＡＭ１２へロードし、ロードしたコンピュータプログラム２０に従って、ＲＡＭ１２に読み込んだ｛ｘｎ  ｝を用いて、｛ｘｎ  ｝の自己相関関数Ｒｋ  を、ｋ＝０，１，…，ｐとした次の式
【００６３】
【数２２】
2004295638.tif 000020
【００６４】
に基づいて計算して、（６）式で定義されるｐ×ｐの行列Ｒの逆行列Ｒ−１、及びｐ×１の行列ｒを生成する（Ｓ２）。ＣＰＵ１１は、次に、ＲＡＭ１２にロードしたコンピュータプログラム２０に従って、乱数生成のルーチンを用いて時刻の値を種値とする乱数を発生させる等して、Ｎ個の値から構成される平均値０の白色雑音｛ｅｎ  ：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝を生成し（Ｓ３）、生成した白色雑音｛ｅｎ  ｝の分散σｅ２  を計算する（Ｓ４）。ＣＰＵ１１は、次に、ＲＡＭ１２にロードしたコンピュータプログラム２０に従って、データの時系列｛ｘｎ  ｝及び白色雑音｛ｅｎ  ｝を用いて、｛ｘｎ  ｝と｛ｅｎ  ｝との相互相関関数Ｔｋ  を、ｋ＝０，１，…，ｐとした次の式
【００６５】
【数２３】
2004295638.tif 000021
【００６６】
に基づいて計算して、（１４）式で定義されるｐ×ｐの行列Ｔ、及びｐ×１の行列ｔを生成し（Ｓ５）、生成したＲ−１及びＴを用いて、行列Ｒ−１Ｔ，ＴＴ  Ｒ−１を計算する（Ｓ６）。ここで、２次近似の計算式を用いてパラメータの推定値を計算する場合は、ステップＳ６において、行列Ｒ−１Ｔ，ＴＴ  Ｒ−１に加えて、更に行列ＴＴ  Ｒ−１Ｔを計算する。ＣＰＵ１１は、次に、ＲＡＭ１２にロードしたコンピュータプログラム２０に従って、計算したＲ−１、Ｒ−１Ｔ、ＴＴ  Ｒ−１、又はＴＴ  Ｒ−１Ｔを（１６）式または（１７）式へ代入して、求めるべきパラメータであるベクトルａ＝［ａ１  ，ａ２  ，…，ａｐ  ］Ｔ  及びｂ＝［ｂ１  ，ｂ２  ，…，ｂｐ  ］Ｔ  を計算する（Ｓ７）。
【００６７】
ＣＰＵ１１は、次に、ＲＡＭ１２にロードしたコンピュータプログラム２０に従って、計算したベクトルａ及びｂが収束したか否かを判定し（Ｓ８）、計算したベクトルａ及びｂが収束していない場合は（Ｓ８：ＮＯ）、ベクトルａ及びｂとデータの時系列｛ｘｎ  ｝とを（１）式に代入して、新たな白色雑音｛ｅｎ  ｝を計算し（Ｓ９）、処理をステップＳ４へ戻し、ベクトルａ及びｂが収束するまでステップＳ４〜Ｓ９の処理を繰り返す。ステップＳ８では、ＣＰＵ１１は、例えば、最新のベクトルａ及びｂと前回のループで計算したベクトルａ及びｂであるベクトルａ’及びｂ’とから、
Δ＝｜ａ−ａ’｜＋｜ｂ−ｂ’｜
を計算し、Δの値が所定値よりも小さい場合に、ベクトルａ及びｂが収束したと判定する。ステップＳ８においてベクトルａ及びｂが収束している場合には（Ｓ８：ＹＥＳ）、ＣＰＵ１１は、ＲＡＭ１２にロードしたコンピュータプログラム２０に従って、計算したベクトルａ及びｂを、求めるべきＡＲＭＡモデルのパラメータの推定値であると決定し（Ｓ１０）、（１）式のＡＲＭＡモデルにより時系列｛ｘｎ  ｝の予測データを計算し（Ｓ１１）、処理を終了する。
【００６８】
以上の処理により、ＡＲＭＡモデルのパラメータθが推定され、時系列の新たなデータが予測できる。従来のパラメータ推定方法では、（１０）式および（１１）式を用いて計算を行っており、ｐ×ｐのフルマトリックスＲ、τ、及びＳを用いて計算を行っている。これに対して、本発明では、ａ  ｐｒｉｏｒｉ  ｋｎｏｗｌｅｄｇｅを導入することにより、ベクトルａ及びｂは、ｐ×ｐの一つのフルマトリックスであるＲ、三角行列であるＴ、及び単位行列Ｉを用いて計算され、パラメータの推定値であるベクトルａ及びｂがより収束し易くなる。また、更に２ｐ×２ｐの逆行列を展開して高次項を省略する近似を行った式を用いて計算を行っているため、繰り返し計算でベクトルａ及びｂを計算する都度（１１）式を用いて逆行列の計算を行う必要がある従来の方法に比べて、本発明では、逆行列の計算はＲ−１を計算する一度のみであり、逆行列の計算が大幅に少なくなって、より簡単にパラメータの推定値を計算することができ、計算時間を短縮することができる。従って、従来ではデータの予測ができなかった時系列について、データの予測が可能となり、株価または売上高などの経済的な時系列について本発明を適用して、従来よりも確実に株価または売上高などのデータの予測が可能となる。
【００６９】
なお、本実施の形態においては、本発明のデータ予測装置１は、本発明のパラメータ推定装置の機能を兼ね備えている形態を示したが、これに限るものではなく、パラメータ推定装置と、ＡＲＭＡモデルによりデータを予測するデータ予測装置とを夫々別のコンピュータにて構成し、互いに情報を入出力してパラメータの推定とデータの予測とを行う形態としても良い。また、本実施の形態においては、パラメータ推定を行った後にデータ予測を行う形態を示しているが、これに限るものではなく、パラメータの推定値を記憶しておき、必要時に記憶しているパラメータの推定値を用いて予測データを計算する処理を行う形態であってもよい。
【００７０】
【発明の効果】
第１発明においては、時系列をＡＲＭＡモデルに当てはめたときの前記ＡＲＭＡモデルのパラメータを推定する際に、白色雑音の自己相関関数、及び時系列と白色雑音との相互相関関数に理論的な値を用い、更にパラメータの推定値を計算する式に含まれる逆行列を展開して高次の項を省略した近似式に基づいて、簡易的にパラメータの推定値を計算することにより、確実にパラメータの値を推定することができる。
【００７１】
第２、第５、第８及び第１１発明においては、白色雑音｛ｅｎ  ｝を記憶し、記憶した白色雑音と時系列とから、ＡＲＭＡモデルのパラメータであるベクトルａ及びｂの推定値を、理論的な値を用いて行列を単純化し、更に計算式に含まれる逆行列を展開して高次項を省略する近似式を用いて計算するため、逆行列の計算が少なくなって、従来より簡単にパラメータの値を計算することができる。
【００７２】
第３、第６及び第９発明においては、パラメータの推定値が収束するまで計算を繰り返す際に、理論的な値を用いて単純化した計算式を用いてパラメータの推定値を計算するため、従来に比べてよりパラメータの推定値が収束しやすくなって確実にパラメータの値を推定することが可能となり、更に計算時間が短縮される。
【００７３】
第４、第７、第１０発明においては、従来より確実にパラメータを推定できる方法により推定したパラメータを用いてデータを予測することにより、従来ではデータの予測ができなかった時系列についてもデータを予測することができる。また、株価または売上高などの経済的な時系列について本発明を適用して、従来よりも確実に株価または売上高などのデータの予測が可能となる等、本発明は優れた効果を奏する。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明のデータ予測装置の構成を示すブロック図である。
【図２】本発明のデータ予測装置が行うパラメータ推定の処理およびデータ予測の処理を示すフローチャートである。
【符号の説明】
１  データ予測装置（パラメータ推定装置）
１１  ＣＰＵ（演算部）
１２  ＲＡＭ（記憶部）
２  記録媒体
２０  コンピュータプログラム
【図１】
2004295638.tif 000026
【図２】
2004295638.tif 000027