(57)【要約】【課題】孤立系に比べて計算が複雑な非孤立系の多数キャリアの量子状態を高速、高精度に計算する。【解決手段】まず、キャリアの量子状態を計算する対象である非孤立系の半導体領域１に対して、ポテンシャルが鏡面対称になるように拡張領域４を設ける。このような鏡面対称のポテンシャルの系では、固有関数を対称固有関数と反対対称固有関数に分けることができる。そこで、半導体領域１及び拡張領域４の固有関数を対称固有関数と反対称固有関数に分割して固有値方程式を計算する。これにより、半導体領域１のキャリアの量子状態を計算する。【選択図】        図１
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
半導体領域のキャリアの量子状態を計算するデバイスシミュレーション方法に関し、前記半導体領域に対してポテンシャルが鏡面対象になるように拡張領域を設け、前記半導体領域及び前記拡張領域の固有関数を対称固有関数と反対称固有関数に分割して固有値方程式を計算することを特徴とするデバイスシミュレーション方法。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
この発明は、半導体領域のキャリアの量子状態を計算するデバイスシミュレーション方法に関する。
【０００２】
【従来の技術】
従来の半導体デバイスシミュレーションでは、デバイス内部のキャリアの量子状態の計算は、計算が容易な孤立系のキャリアの量子状態を計算するものに限られていた。ここで、半導体内部において孤立系として計算できるのは、キャリアの出入りが小さく無視できる部分である。よって、従来は、半導体デバイスの半導体表面部分の反転層を形成する少数キャリアの量子状態に限って計算していた。
【０００３】
【発明が解決しようとする課題】
しかし、非孤立系の計算が必要な場合がある。例えば、Ｎ型ポリシリコンのゲート電極やＮ型基板についてキャリアの量子状態を計算する場合である。この場合、多数キャリアとして存在する電子の熱浴との出入りが大きいため、孤立系では計算できない。
【０００４】
この発明は、上述のような課題を解決するためになされたもので、その目的は、非孤立系の多数キャリアの量子状態を高速、高精度に計算できるデバイスシミュレーション方法を得るものである。
【０００５】
【課題を解決するための手段】
この発明に係るデバイスシミュレーション方法は、半導体領域に対してポテンシャルが鏡面対象になるように拡張領域を設け、半導体領域及び拡張領域の固有関数を対称固有関数と反対称固有関数に分割して固有値方程式を計算する。この発明のその他の特徴は以下に明らかにする。
【０００６】
【発明の実施の形態】
Ｎ型シリコン基板を用いたＭＯＳキャパシタのＣＶ特性（ゲート電圧と容量との相関関係）を求める場合について考える。この場合、半導体領域であるＮ型シリコン基板のキャリアの量子状態を計算する必要がある。
【０００７】
図１は、本発明における計算領域を示す図である。図１において、半導体領域１上に、酸化膜２とゲート電極３が設けられている。そして、熱浴部分を計算に含めるために拡張領域４を設ける。この拡張領域４は、図２に示すように、半導体領域１に対してポテンシャルが鏡面対称になるようにする。このようなポテンシャルが対称な系では、固有関数Ψ（ｘ）を対称固有関数（式１）と反対称固有関数（式２）に分けることができる。
【数１】
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【数２】
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ここで、ｘは、半導体領域１と酸化膜２の境界から、酸化膜２とは反対方向への距離である。
【０００８】
また、半導体領域１及び拡張領域４において、対称固有関数と反対称固有関数について、（式３）のような固有値方程式が成り立つ。
【数３】
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ここで、ｈはプランク定数、ｍはキャリアの質量、ｑは単位電荷、Φ（ｘ）はポテンシャル、Ｅは固有値（エネルギー）である。
【０００９】
この固有値方程式の計算において、単に拡張領域４を設けて計算領域を２倍に拡張しただけでは、固有値方程式の要素数が２倍になり、計算量は数倍になる。
しかし、固有関数の対称性により、それぞれの固有値方程式の要素数は、拡張前と同じになる。よって、要素数が拡張前と同じ固有値方程式を２つ解けばよいので、計算量は２倍になるだけである。
【００１０】
次に、本発明により半導体領域のキャリアの量子状態を計算する手順について説明する。図３は計算のフローチャートである。まず、メッシュを生成する（ステップＳ１）。このメッシュには２種類ある。第１のメッシュは、固有値方程式を計算するためのもので、半導体領域１及び拡張領域４をｘ方向について複数のメッシュに分割する。一方、第２のメッシュは、ポアソン方程式を計算するためのもので、酸化膜２と半導体領域１をｘ方向について複数のメッシュに分割する。
【００１１】
次に、電子の密度ｎが不純物濃度Ｎとほぼ同一であると仮定して、（式４）から、ポテンシャルΦ（ｘ）の初期値Φ０を設定する（ステップＳ２）。
【数４】
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ここで、ｎ０は真性キャリア密度である。また、β＝１／ｋＴで、ｋはボルツマン定数、Ｔは温度である。
【００１２】
そして、対称固有関数と反対称固有関数について、それぞれ固有値方程式（式３）を計算する（ステップＳ３、Ｓ４）。この計算の際に、第１のメッシュを使った近似式（式４）を用いる。
【数５】
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ここで、ｉは各メッシュに対応する番号である。この（式５）を（式３）に代入すれば、メッシュと同数の連立方程式が得られる。そして、この連立方程式を解けば、メッシュごとに固有関数Ψ（ｘ）と固有値Ｅが求まる。
【００１３】
次に、これらの値からキャリア密度の計算をする（ステップＳ５）。まずは、（式６）から電子密度ｎを求める。
【数６】
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ここで、ｋは、メッシュごとの対称固有関数及び反対称固有関数を識別する番号である。また、Ψ＊（ｘ）は、Ψ（ｘ）の複素共役である。そして、Ｐ（β）は熱分布関数であり、（式７）で表される。
【数７】
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また、（式８）から正孔密度ｐを求める。
【数８】
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【００１４】
そして、これらのキャリア密度を代入して、ポアソン方程式（式９）を解く（ステップＳ６）。
【数９】
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ここで、εは誘電率である。次に、この計算の際に、第２のメッシュを使った近似式（式１０）を用いる。
【数１０】
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ここで、ｉは各メッシュに対応する番号である。この（式１０）を（式９）に代入すれば、メッシュと同数の連立方程式が得られる。そして、この連立方程式を解けば、ポテンシャルΦ（ｘ）が求まる。
【００１５】
次に、求められたポテンシャルΦ（ｘ）を（式３）に代入して、ステップＳ３〜Ｓ６を再び行って新しいポテンシャルΦ（ｘ）を求め、双方のポテンシャルΦ（ｘ）を比較する。この作業をポテンシャルΦ（ｘ）が収束するまで繰り返す（ステップＳ７）。そして、計算されたポテンシャルΦ（ｘ）から、キャパシタのＣＶ特性を求める。
【００１６】
以上の計算をパラメータを設定して実際に計算した結果を図４に示す。パラメータとして、基板濃度を１０１７個／ｃｍ３、酸化膜膜厚を２ｎｍ、計算領域を１μｍ、第１のメッシュ（固有値方程式用）の数を５００個、第２のメッシュ（ポアソン方程式用）の数を１００個、第２のメッシュの酸化膜表面でのサイズを１ｎｍとした。また、第２のメッシュは、表面から離れるに伴って、各メッシュのサイズが１．０６８倍になるようにした。なお、図４に示す本願発明による計算結果は、拡張領域を設けて固有関数を対称・反対称に分けずに二倍の要素数で計算したものとかわらない。
【００１７】
計算時間は、従来のように反転層の量子状態のみ計算する場合では１５７．２秒であり、拡張領域を設けて固有関数を対称・反対称に分けずに計算する場合は８８０．７秒である。これに対し、拡張領域を設けて対称・反対称に分けて計算する場合（本願発明）は３０８．９秒である。すなわち、半導体領域１のキャリアの量子状態を、孤立系で計算する場合の高々２倍程度の計算量で、非孤立系で計算することができる。
【００１８】
【発明の効果】
この発明は以上説明したように、孤立系に比べて計算が複雑な非孤立系の多数キャリアの量子状態を高速、高精度に計算することができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明における計算領域を示す図である。
【図２】半導体領域と拡張領域のポテンシャルを示す図である。
【図３】本発明による計算のフローチャートである。
【図４】本発明による計算の計算結果を示す図である。
【符号の説明】
１  半導体領域
４  拡張領域
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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