(57)【要約】【課題】フーリエ変換の演算量を低減させ、ＣＧＨの演算速度を向上させること。【解決手段】フーリエ変換装置３は、サンプリング回路１０、位相補正部１１、フーリエ変換部１２、合成器１３及び位相補正器１４で構成される。位相補正部１１は、サンプリング回路１０からのＮ点の入力データの位相を変化させてｍ組（ｍは２以上の整数）のＮ点の位相補正データを生成し、フーリエ変換部１２は、各組の位相補正データにフーリエ変換を並列に施すことでｍ組のＮ点の変換データを生成する。合成器１３はｍ組の変換データを合成してＬ（＝ｍＮ）点の合成データを生成する。位相補正部１１は、Ｌ点の周期を持つ回転因子のベキ乗を入力データに乗算することで位相補正データを生成し、フーリエ変換部１２は、各組の位相補正データに対し、Ｎ点の周期を持つ回転因子のベキ乗を用いた離散フーリエ変換を実行する。【選択図】        図２
2004206254.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
Ｎ点（Ｎは２以上の整数）の入力データに対して離散フーリエ変換を実行するフーリエ変換装置であって、
前記Ｎ点の入力データの位相を変化させることでｍ組（ｍは２以上の整数）のＮ点の位相補正データを生成する位相補正部と、
前記位相補正部で生成された各組の前記位相補正データに離散フーリエ変換を並列に施すことでｍ組のＮ点の変換データを生成するフーリエ変換部と、
前記フーリエ変換部で生成されたｍ組の前記Ｎ点の変換データを合成してＬ点（ＬはＮのｍ倍の整数）の合成データを生成する合成器と、
を備え、
前記位相補正部は、Ｌ点の周期を持つ回転因子のベキ乗を前記入力データに乗算することで前記位相補正データを生成するとともに、前記フーリエ変換部は、各組の前記位相補正データに対して、Ｎ点の周期を持つ回転因子のベキ乗を用いたＮ点の離散フーリエ変換を実行する、ことを特徴とするフーリエ変換装置。
【請求項２】
請求項１記載のフーリエ変換装置において、
前記位相補正部は、前記Ｎ点の入力データの位相を変化させ、互いに並列に動作する第０番目〜第ｍ−１番目の位相補正器を備えており、第ｑ番目（ｑは０〜ｍ−１の整数）の前記位相補正器は、前記Ｌ点の周期を持つ回転因子のｑの整数倍乗を前記入力データに乗算することで前記位相補正データを生成する、
フーリエ変換装置。
【請求項３】
請求項２記載のフーリエ変換装置において、
第ｑ番目の前記位相補正器は、前記Ｎ点の入力データのうち第ｋ番目（ｋは０〜Ｎ−１の整数）の入力データｘ（ｋ）に、次式（Ａ）で規定される前記回転因子ＷLのｋｑ乗を乗算することで、次式（Ｂ）で表現される前記位相補正データｘC（ｋ，ｑ）を算出するとともに、
前記フーリエ変換部は、第ｑ番目の前記位相補正器から出力された前記位相補正データｘC（ｋ，ｑ）に対して、次式（Ｃ）で規定される前記回転因子ＷNを用いて次式（Ｄ）に基づいたＮ点の離散フーリエ変換を実行し、前記Ｎ点の変換データＸ（ｍｐ＋ｑ）（ｐは０〜Ｎ−１の整数）を生成する、
フーリエ変換装置。
【数１】
2004206254.tif 000035
【数２】
2004206254.tif 000036
【数３】
2004206254.tif 000037
【数４】
2004206254.tif 000038
【請求項４】
請求項１〜請求項３の何れか１項に記載のフーリエ変換装置において、前記合成データの位相を調整する位相補正器をさらに備える、フーリエ変換装置。
【請求項５】
請求項１〜請求項４の何れか１項に記載のフーリエ変換装置において、前記フーリエ変換部はＮ点の高速フーリエ変換を実行する機能を有する、フーリエ変換装置。
【請求項６】
Ｎ点（Ｎは２以上の整数）の入力データに対して離散フーリエ変換を実行するフーリエ変換方法であって、
（ａ）前記Ｎ点の入力データの位相を変化させることでｍ組（ｍは２以上の整数）のＮ点の位相補正データを生成する工程と、
（ｂ）前記工程（ａ）で生成された各組の前記位相補正データに離散フーリエ変換を並列に施すことでｍ組のＮ点の変換データを生成する工程と、
（ｃ）前記工程（ｂ）で生成されたｍ組の前記Ｎ点の変換データを合成してＬ点（ＬはＮのｍ倍の整数）の合成データを生成する工程と、
を備え、
前記工程（ａ）は、Ｌ点の周期を持つ回転因子のベキ乗を前記入力データに乗算することで前記位相補正データを生成する工程を含むとともに、前記工程（ｂ）は、各組の前記位相補正データに対して、Ｎ点の周期を持つ回転因子のベキ乗を用いたＮ点の離散フーリエ変換を実行する工程を含む、ことを特徴とするフーリエ変換方法。
【請求項７】
請求項６記載のフーリエ変換方法において、
前記工程（ａ）は、前記Ｎ点の入力データの位相を変化させ、互いに並列に実行される第０番目〜第ｍ−１番目の位相補正工程を備えており、第ｑ番目（ｑは０〜ｍ−１の整数）の前記位相補正工程は、前記Ｌ点の周期を持つ回転因子のｑの整数倍乗を前記入力データに乗算することで前記位相補正データを生成する、フーリエ変換方法。
【請求項８】
請求項７記載のフーリエ変換方法において、
前記工程（ａ）の第ｑ番目の位相補正工程は、前記Ｎ点の入力データのうち第ｋ番目（ｋは０〜Ｎ−１の整数）の入力データｘ（ｋ）に、次式（Ａ）で規定される前記回転因子ＷLのｋｑ乗を乗算することで、次式（Ｂ）で表現される前記位相補正データｘC（ｋ，ｑ）を算出する工程を有し、
前記工程（ｂ）は、第ｑ番目の前記位相補正工程で算出された前記位相補正データｘC（ｋ，ｑ）に対して、次式（Ｃ）で規定される前記回転因子ＷNを用いて次式（Ｄ）に基づいたＮ点の離散フーリエ変換を実行し、前記Ｎ点の変換データＸ（ｍｐ＋ｑ）（ｐは０〜Ｎ−１の整数）を生成する工程を有する、
フーリエ変換方法。
【数５】
2004206254.tif 000039
【数６】
2004206254.tif 000040
【数７】
2004206254.tif 000041
【数８】
2004206254.tif 000042
【請求項９】
請求項６〜請求項８の何れか１項に記載のフーリエ変換方法において、
（ｄ）前記工程（ｃ）で生成された前記合成データの位相を調整する工程、
をさらに備えるフーリエ変換方法。
【請求項１０】
請求項６〜請求項９の何れか１項に記載のフーリエ変換方法において、前記工程（ｂ）はＮ点の高速フーリエ変換を実行する工程を有する、フーリエ変換方法。
【請求項１１】
請求項１〜請求項５の何れか１項に記載のフーリエ変換装置を用いて計算機ホログラムを算出することを特徴とする計算機ホログラム生成装置。
【請求項１２】
請求項６〜請求項１０の何れか１項に記載のフーリエ変換方法を用いて計算機ホログラムを算出することを特徴とする計算機ホログラム生成方法。
【請求項１３】
請求項１１記載の計算機ホログラム生成装置で生成した計算機ホログラム、或いは、請求項１２記載の計算機ホログラム生成方法を使用して生成した計算機ホログラムを、描画装置を用いて記録媒体面に記録することを特徴とする回折光学素子の製造装置。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、フーリエ変換の技術、特に、フーリエ変換を用いて生成する計算機ホログラムの技術に関する。
【０００２】
【従来の技術】
図５に、光学的なホログラム形成方法の一例を模式的に示す。図５に示すように、物体面１０２にレーザ光などの照明光を照射すると、その透過光（物体光）が記録面１０３に伝搬する。同時に参照光を記録面１０３に照射させ、参照光と物体光との干渉縞を感光材料などを塗布した記録面１０３に記録させる。このように光波の干渉作用を利用し、物体光の複素振幅（位相及び振幅）の情報を記録面１０３に記録することでホログラムが光学的に形成される。
【０００３】
一方、計算機を用いて形成されたホログラムは、計算機合成ホログラム（ＣＧＨ；Computer Generated Hologram）、或いは単に、計算機ホログラムと呼ばれている。ホログラムの計算方法としては、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）を用いたアルゴリズムが一般的である。いま、物体面１０２上の平面座標を（ｘ，ｙ）、記録面１０３上の平面座標を（Ｘ，Ｙ）でそれぞれ示し、物体面（ｘ−ｙ面）１０２から透過した直後の物体光の電界分布をｇ（ｘ，ｙ）、物体面１０２と記録面（Ｘ−Ｙ面）１０３との間のｚ軸方向の距離をＺiでそれぞれ示すものとする。物体面１０２はｚ軸上の原点に置かれる。フレネル回折が成立する場合、記録面１０３上の点（Ｘ，Ｙ）で観測される物体光の電界分布ＥOBJ（Ｘ，Ｙ）は、次式（１）及び（２）で表現される。
【０００４】
【数９】
2004206254.tif 000003
【０００５】
【数１０】
2004206254.tif 000004
【０００６】
ただし、上式（１）及び（２）の中で、ｉ2＝−１であり、λ：波長、ｋ：波数（＝２π／λ）、Ｆｏｕｒｉｅｒ［ｆ（ｘ，ｙ）］：関数ｆ（ｘ，ｙ）に対して２次元フーリエ変換を行う演算子、である。
【０００７】
また参照光が点光源から発せられるとき、参照光は球面波となり、記録面１０３上の点（Ｘ，Ｙ）での参照光の電界分布ＥREF（Ｘ，Ｙ）は、次式（３）で表現される。
【０００８】
【数１１】
2004206254.tif 000005
【０００９】
ただし、上式（３）の中で、ｒ：参照光の点光源と記録面１０３上の点（Ｘ，Ｙ）との間の距離、である。
【００１０】
そして、記録面１０３上の点（Ｘ，Ｙ）における参照光と物体光との干渉光強度Ｉ（Ｘ，Ｙ）は、参照光の電界分布ＥREF（Ｘ，Ｙ）と物体光の電界分布ＥOBJ（Ｘ，Ｙ）との和の絶対値の２乗、すなわち次式（４）を用いて算出される。
【００１１】
【数１２】
2004206254.tif 000006
【００１２】
計算機ホログラムは、上式（１）〜（４）に基づいた演算によって算出される。このような計算機ホログラムは、例えば、非特許文献１（光情報工学の基礎，吉村武晃，コロナ社，２０００年発行）に記載されている。
【００１３】
【非特許文献１】
光情報工学の基礎，吉村武晃，コロナ社，２０００年発行（ISBN 4-339-02369-8）。
【００１４】
【発明が解決しようとする課題】
コンピュータによって干渉光強度Ｉ（Ｘ，Ｙ）の分布（干渉縞パターン）が算出された後は、高精度のプリンターやレーザー描画装置や電子線描画装置などを用いてレーザー光や電子線などを、感光材料などの記録媒体面に描画させることで記録媒体面にその干渉縞パターンを記録し、物理的なホログラムである回折光学素子を形成できる。この回折光学素子の再生像の品質を高めるには、干渉縞パターンの空間周波数を高めることが必要である。これを実現するには、物体面１０２を表す画像データの周囲に零値のデータを付加して、コンピュータに与えるデータの解像度を増やせばよい。例えば、図６に示す３，０００×３，０００ピクセルの画像データ１００の周囲に零値のデータを付加して、図７に示す３０，０００×３０，０００ピクセルのデータ１０１を形成し、コンピュータに与えればよい。
【００１５】
しかしながら、このように解像度を増やすとデータ点数が極端に増加する。この結果、フーリエ変換の演算量が膨大になり、干渉縞パターンを算出するために多大な処理時間を要するという問題が起きる。
【００１６】
以上の問題に鑑みて本発明の目的は、フーリエ変換の演算量を低減させ、ＣＧＨの演算速度を向上させ得るフーリエ変換装置及びフーリエ変換方法、並びに計算機ホログラム生成装置及び計算機ホログラム生成方法を提供する点にある。また、本発明の目的は、高品質な再生像を形成し得る回折光学素子を短時間で製造し得る回折光学素子の製造装置を提供する点にもある。
【００１７】
【課題を解決するための手段】
上記目的を達成するため、第１の発明は、Ｎ点（Ｎは２以上の整数）の入力データに対して離散フーリエ変換を実行するフーリエ変換装置であって、前記Ｎ点の入力データの位相を変化させることでｍ組（ｍは２以上の整数）のＮ点の位相補正データを生成する位相補正部と、前記位相補正部で生成された各組の前記位相補正データに離散フーリエ変換を並列に施すことでｍ組のＮ点の変換データを生成するフーリエ変換部と、前記フーリエ変換部で生成されたｍ組の前記Ｎ点の変換データを合成してＬ点（ＬはＮのｍ倍の整数）の合成データを生成する合成器と、を備え、前記位相補正部は、Ｌ点の周期を持つ回転因子のベキ乗を前記入力データに乗算することで前記位相補正データを生成するとともに、前記フーリエ変換部は、各組の前記位相補正データに対して、Ｎ点の周期を持つ回転因子のベキ乗を用いたＮ点の離散フーリエ変換を実行する、ことを特徴としている。
【００１８】
第２の発明では、第１の発明のフーリエ変換装置において、前記位相補正部は、前記Ｎ点の入力データの位相を変化させ、互いに並列に動作する第０番目〜第ｍ−１番目の位相補正器を備えており、第ｑ番目（ｑは０〜ｍ−１の整数）の前記位相補正器は、前記Ｌ点の周期を持つ回転因子のｑの整数倍乗を前記入力データに乗算することで前記位相補正データを生成する。
【００１９】
第３の発明では、第２の発明のフーリエ変換装置において、第ｑ番目の前記位相補正器は、前記Ｎ点の入力データのうち第ｋ番目（ｋは０〜Ｎ−１の整数）の入力データｘ（ｋ）に、次式（Ａ）で規定される前記回転因子ＷLのｋｑ乗を乗算することで、次式（Ｂ）で表現される前記位相補正データｘC（ｋ，ｑ）を算出するとともに、前記フーリエ変換部は、第ｑ番目の前記位相補正器から出力された前記位相補正データｘC（ｋ，ｑ）に対して、次式（Ｃ）で規定される前記回転因子ＷNを用いて次式（Ｄ）に基づいたＮ点の離散フーリエ変換を実行し、前記Ｎ点の変換データＸ（ｍｐ＋ｑ）（ｐは０〜Ｎ−１の整数）を生成する。
【００２０】
【数１３】
2004206254.tif 000007
【００２１】
【数１４】
2004206254.tif 000008
【００２２】
【数１５】
2004206254.tif 000009
【００２３】
【数１６】
2004206254.tif 000010
【００２４】
第４の発明は、第１〜第３の発明のうち何れかのフーリエ変換装置において、前記合成データの位相を調整する位相補正器をさらに備えている。
【００２５】
第５の発明では、第１〜第４のうち何れかのフーリエ変換装置において、前記フーリエ変換部はＮ点の高速フーリエ変換を実行する機能を有する。
【００２６】
第６の発明は、Ｎ点（Ｎは２以上の整数）の入力データに対して離散フーリエ変換を実行するフーリエ変換方法であって、（ａ）前記Ｎ点の入力データの位相を変化させることでｍ組（ｍは２以上の整数）のＮ点の位相補正データを生成する工程と、（ｂ）前記工程（ａ）で生成された各組の前記位相補正データに離散フーリエ変換を並列に施すことでｍ組のＮ点の変換データを生成する工程と、（ｃ）前記工程（ｂ）で生成されたｍ組の前記Ｎ点の変換データを合成してＬ点（ＬはＮのｍ倍の整数）の合成データを生成する工程と、を備え、前記工程（ａ）は、Ｌ点の周期を持つ回転因子のベキ乗を前記入力データに乗算することで前記位相補正データを生成する工程を含むとともに、前記工程（ｂ）は、各組の前記位相補正データに対して、Ｎ点の周期を持つ回転因子のベキ乗を用いたＮ点の離散フーリエ変換を実行する工程を含む、ことを特徴としている。
【００２７】
第７の発明では、第６の発明のフーリエ変換方法において、前記工程（ａ）は、前記Ｎ点の入力データの位相を変化させ、互いに並列に実行される第０番目〜第ｍ−１番目の位相補正工程を備えており、第ｑ番目（ｑは０〜ｍ−１の整数）の前記位相補正工程は、前記Ｌ点の周期を持つ回転因子のｑの整数倍乗を前記入力データに乗算することで前記位相補正データを生成する。
【００２８】
第８の発明では、第７の発明のフーリエ変換方法において、前記工程（ａ）の第ｑ番目の位相補正工程は、前記Ｎ点の入力データのうち第ｋ番目（ｋは０〜Ｎ−１の整数）の入力データｘ（ｋ）に、次式（Ａ）で規定される前記回転因子ＷLのｋｑ乗を乗算することで、次式（Ｂ）で表現される前記位相補正データｘC（ｋ，ｑ）を算出する工程を有し、前記工程（ｂ）は、第ｑ番目の前記位相補正工程で算出された前記位相補正データｘC（ｋ，ｑ）に対して、次式（Ｃ）で規定される前記回転因子ＷNを用いて次式（Ｄ）に基づいたＮ点の離散フーリエ変換を実行し、前記Ｎ点の変換データＸ（ｍｐ＋ｑ）（ｐは０〜Ｎ−１の整数）を生成する工程を有する。
【００２９】
【数１７】
2004206254.tif 000011
【００３０】
【数１８】
2004206254.tif 000012
【００３１】
【数１９】
2004206254.tif 000013
【００３２】
【数２０】
2004206254.tif 000014
【００３３】
第９の発明は、第６〜第８の発明のうち何れかのフーリエ変換方法において、（ｄ）前記工程（ｃ）で生成された前記合成データの位相を調整する工程、をさらに備えている。
【００３４】
第１０の発明では、第６〜第９の発明のうち何れかのフーリエ変換方法において、前記工程（ｂ）はＮ点の高速フーリエ変換を実行する工程を有する。
【００３５】
次に、第１１の発明の計算機ホログラム生成装置は、第１〜第５の発明のうち何れかのフーリエ変換装置を用いて計算機ホログラムを算出することを特徴としている。
【００３６】
また第１２の発明の計算機ホログラム生成方法は、第６〜第１０の発明のうち何れかのフーリエ変換方法を用いて計算機ホログラムを算出することを特徴としている。
【００３７】
そして、第１３の発明の回折光学素子の製造装置は、第１１の発明の計算機ホログラム生成装置で生成した計算機ホログラム、或いは、第１２の発明の計算機ホログラム生成方法を使用して生成した計算機ホログラムを、描画装置を用いて記録媒体面に記録することを特徴としている。
【００３８】
【発明の実施の形態】
＜計算機ホログラム生成装置１の構成＞
図１は、本発明の実施形態に係る計算機ホログラム生成装置１を概略的に示す図である。この計算機ホログラム生成装置１は、主処理部２とフーリエ変換装置３とを備えて構成される。図２は、フーリエ変換装置３の構成を概略的に示すブロック図である。
【００３９】
主処理部２は、Ｎ×Ｎ点（Ｎは正整数）の２次元配列の画像データを取り込み、フーリエ変換装置３を用いて上式（１）に従って２次元フーリエ変換を実行し、上式（４）に基づいて干渉縞パターンを示すＣＧＨデータを生成し出力する。フーリエ変換装置３は、後述する処理手順で１次元フーリエ変換を実行する機能を有している。主処理部２は、２次元フーリエ変換の実行のため、入力する画像データを所定順序で水平方向と垂直方向とに分解してフーリエ変換装置３に与え、１次元フーリエ変換を繰り返し実行させる。
【００４０】
なお、本実施形態では、主処理部２及びフーリエ変換装置３はハードウェアで構成されるが、本発明ではこの限りでは無く、主処理部２及びフーリエ変換装置３の一方または双方が、マイクロプロセッサで実行される命令群からなるプログラムまたはプログラムに準ずる電子ファイルで構成されてもよい。
【００４１】
この計算機ホログラム生成装置１は、後述するように、図３に示すＮ×Ｎピクセルの画像データ２０の周囲に零値のデータを付加して得られるＬ×Ｌピクセルの高解像度データ２１のＣＧＨを高速に算出することが可能である。ここで、高解像度データ２１の水平・垂直解像度と画像データ２０のそれとの比率ｍは、次式（５）の通りである。
【００４２】
【数２１】
2004206254.tif 000015
【００４３】
図２に示すようにフーリエ変換装置３は、サンプリング回路１０、位相補正部１１、フーリエ変換部１２、合成器１３及び位相補正器１４を備えて構成されている。サンプリング回路１０は、Ｎ点の入力データｘ（ｋ）（ｋは０〜Ｎ−１の整数）をサンプリングし、ｍ組（ｍはＮの整数倍）の入力データｘ（ｋ），ｘ（ｋ），…，ｘ（ｋ）に分岐させて位相補正部１１に出力する。
【００４４】
また位相補正部１１は、入力データｘ（ｋ）の位相を変化させ、互いに並列に動作する第０番目〜第ｍ−１番目の位相補正器１１0〜１１m-1から構成される。第０番目〜第ｍ−１番目の位相補正器１１0〜１１m-1は、それぞれ、位相補正データｘC（ｋ，０）〜ｘC（ｋ，ｍ−１）を生成してフーリエ変換部１２に出力する。
【００４５】
またフーリエ変換部１２は、Ｎ点のＦＦＴを実行する複数個のＦＦＴ演算器１２0〜１２m-1から構成されており、ＦＦＴ演算器１２0〜１２m-1は、それぞれ、位相補正器１１0〜１１m-1から入力するＮ点の位相補正データに対してＦＦＴを実行し、その処理結果の変換データを合成器１３に出力する。また合成器１３は、後述する方法で、ＦＦＴ演算器１２から入力するｍ組のＮ点の変換データを合成して合計Ｌ（＝ｍＮ）点の合成データＸ（ｎ）（ｎは０〜Ｌ−１の整数）を生成し、位相補正器１４に出力する。そして位相補正器１４は、合成データＸ（ｎ）の位相を所定量変化させて出力データを生成し、主処理部２に出力する。
【００４６】
＜１次元フーリエ変換のアルゴリズム＞
上記フーリエ変換装置３の動作を具体的に説明する前に、本発明に係る１次元フーリエ変換のアルゴリズムを以下に説明する。
【００４７】
Ｌ点の入力データｘ（ｋ）（ｋは０〜Ｌ−１の整数）に関するＬ点の１次元離散フーリエ変換式は、次式（６）の通りである。
【００４８】
【数２２】
2004206254.tif 000016
【００４９】
上式（６）によってＬ点の変換データＸ（ｎ）（ｎは０〜Ｌ−１の整数）が算出される。ここで、上式（６）中、ＷLは、Ｌ点の周期を持つ回転因子と呼ばれ、次式（Ａ）で規定される量である。
【００５０】
【数２３】
2004206254.tif 000017
【００５１】
なお、この回転因子ＷLの整数倍乗ＷLKは、ベキＫの値に応じて、複素平面における単位円の円周上を２π／Ｌ間隔で動く点に対応する複素値を有する周期関数である。その複素値は、ベキＫに関して周期的なＬ個の独立な値をとり得る。
【００５２】
前記Ｌ点の入力データｘ（ｋ）（ｋ＝０〜Ｌ−１）のうち、第Ｎ番目〜第Ｌ−１番目の入力データｘ（ｋ）（ｋ＝Ｎ〜Ｌ−１）を零値の付加データであると考える。すなわち、Ｌ点の入力データｘ（ｋ）（ｋ＝０〜Ｌ−１）は、Ｎ点の入力データｘ（ｋ）（ｋ＝０〜Ｎ−１）に、Ｌ−Ｎ点の零値のデータｘ（ｋ）（ｋ＝Ｎ〜Ｌ−１）を付加したものと考えられる。かかる場合、次式（７）が成立する。
【００５３】
【数２４】
2004206254.tif 000018
【００５４】
したがって、Ｌ点の積和演算式である上式（６）は、Ｎ点の積和演算式（８）に変形することができる。
【００５５】
【数２５】
2004206254.tif 000019
【００５６】
さらに、変換データＸ（ｎ）の番号ｎを、ｎ＝ｍｐ＋ｑ（ｐは０〜Ｎ−１の整数；ｑは０〜ｍ−１の整数）に分解することで、上式（８）は、次式（９）に変形することができる。
【００５７】
【数２６】
2004206254.tif 000020
【００５８】
上式（９）中、ＷNは、Ｎ点の周期を持つ回転因子と呼ばれ、次式（Ｃ）で規定される量である。
【００５９】
【数２７】
2004206254.tif 000021
【００６０】
また上式（９）中、入力データｘ（ｋ）と回転因子のベキ乗ＷLqkとの積ｘC（ｋ，ｑ）を次式（Ｂ）で規定し、位相補正データと呼ぶ。
【００６１】
【数２８】
2004206254.tif 000022
【００６２】
この位相補正データｘC（ｋ，ｑ）は、入力データｘ（ｋ）の位相を（−２π／Ｎ）ｑｋの量だけ変化させたものである。この位相補正データｘC（ｋ，ｑ）を用いて上式（９）は、次式（Ｄ）のように変形することができる。
【００６３】
【数２９】
2004206254.tif 000023
【００６４】
よって、上式（６）で表現されるＬ点の１次元フーリエ変換は、次式（１０）に示すｍ組のＮ点の１次元フーリエ変換に分解される。
【００６５】
【数３０】
2004206254.tif 000024
【００６６】
したがって上式（６）のＬ点の複素乗算を、ｍ組のＮ点の複素乗算によって実行することが可能となる。各組のＮ点の１次元フーリエ変換は独立且つ並列に実行できるため、上式（６）に基づく場合の演算時間と比べると、本実施形態の演算時間は約Ｎ／Ｌ倍に大幅に短縮される。２次元フーリエ変換の場合、本実施形態の演算時間は、約（Ｎ／Ｌ）2倍に短縮されることになる。
【００６７】
次に、Ｌ＝６、Ｎ＝２の場合を例に挙げて上記アルゴリズムを説明する。かかる場合、上式（６）の１次元フーリエ変換式は次式（１１）となる。
【００６８】
【数３１】
2004206254.tif 000025
【００６９】
入力データｘ（ｋ）（ｋ＝０〜５）のうち、ｘ（ｋ）（ｋ＝２〜５）を零値の付加データとする場合、上式（１１）は、次式（１２）の行列表現で示すことができる。
【００７０】
【数３２】
2004206254.tif 000026
【００７１】
また上式（１１）は、上式（Ｄ）に従って次式（１３）に変形することができる。
【００７２】
【数３３】
2004206254.tif 000027
【００７３】
なお、上式（１３）中、位相補正データｘC（ｋ，ｑ）は次式（１４）で規定される。
【００７４】
【数３４】
2004206254.tif 000028
【００７５】
また上式（１３）で表現される６点の１次元フーリエ変換は、次式（１５）に示す３組の２点の１次元フーリエ変換に分解される。
【００７６】
【数３５】
2004206254.tif 000029
【００７７】
これら３組の１次元フーリエ変換式の行列表現は、次式（１６）〜（１８）の通りである。
【００７８】
【数３６】
2004206254.tif 000030
【００７９】
【数３７】
2004206254.tif 000031
【００８０】
【数３８】
2004206254.tif 000032
【００８１】
＜フーリエ変換装置３の動作＞
上記１次元フーリエ変換のアルゴリズムに基づき、本実施形態に係るフーリエ変換装置３の動作を以下に説明する。
【００８２】
図２に示すフーリエ変換装置３において、位相補正部１１の第ｑ番目（ｑは０〜ｍ−１の整数）の位相補正器１１qは、上式（Ｂ）に従って、Ｌ点の周期を持つ回転因子ＷLのｑの整数倍乗ＷLkqを入力データｘ（ｋ）に乗算することで、Ｎ点の位相補正データｘC（ｋ，ｑ）（ｋ＝０〜Ｎ−１）を生成し、第ｑ番目のＦＦＴ演算器１２qに出力する。
【００８３】
またＦＦＴ演算器１２qは、位相補正部１１から入力するＮ点の位相補正データｘC（ｋ，ｑ）に対して、上式（Ｄ）に従って、Ｎ点の周期を持つ回転因子ＷNのベキ乗を用いたＮ点のＦＦＴを実行し、その処理結果である変換データを合成器１３に出力する。したがって、合成器１３には、上式（１０）に従って算出されたｍ組のＮ点の変換データＸ（ｍｐ＋０），Ｘ（ｍｐ＋１），…，Ｘ（ｍｐ＋ｍ−１）（ｐ＝０〜Ｎ−１）がフーリエ変換部１２から入力する。合成器１３は、これらＬ（＝ｍＮ）点の変換データＸ（ｍｐ＋０），Ｘ（ｍｐ＋１），…，Ｘ（ｍｐ＋ｍ−１）（ｐ＝０〜Ｎ−１）を合成することで、合成データＸ（０），Ｘ（１），…，Ｘ（Ｌ−１）を生成し、位相補正器１４に出力する。
【００８４】
ところで、上記した本実施形態のアルゴリズムでは、零値の付加データｘ（ｋ）（ｋ＝Ｎ〜Ｌ−１）は、入力データｘ（ｋ）（ｋ＝０〜Ｎ−１）の末尾に付加される。よって、合成データＸ（０），Ｘ（１），…，Ｘ（Ｌ−１）を位相調整せずに用いて作成したＣＧＨデータは、図４に示すように高解像度データ２１の隅部に配設された画像データ２０に対応するＣＧＨデータとなるが、実際に算出したいのは、図３に示すように中央位置の画像データ２０に対応するＣＧＨデータである。
【００８５】
位相補正器１４は、図３に示す中央位置の画像データ２０に対応するＣＧＨデータを作成するための位相調整を実行する機能を有する。図３に示すように画像データ２０と高解像度データ２１との間の垂直・水平方向の差は、Ｋピクセルである。位相補正器１４は、次式（１９）に従って、第ｎ番目の合成データＸ（ｎ）に位相補正因子ｅｘｐ（−ｉ（２π／Ｎ）ｎＫ）＝ＷNnKを乗算し、その処理結果のＣＧＨデータＸ’（ｎ）（ｎ＝０〜Ｌ−１）を出力する。
【００８６】
【数３９】
2004206254.tif 000033
【００８７】
このように本実施形態に係るフーリエ変換装置３によれば、Ｌ−Ｎ点の零値のデータを含むＬ（＝ｍＮ）点のデータに対する離散フーリエ変換を、ｍ組のＮ点の離散フーリエ変換に分解できる。よって、ｍ組の離散フーリエ変換を並列に実行して、Ｌ点の離散フーリエ変換の出力結果を得ることが可能である。したがって離散フーリエ変換を極めて高速に実行することが可能になる。
【００８８】
なお、２次元フーリエ変換は、次式（２０）に示すように１次元フーリエ変換の組合せであるから、フーリエ変換装置３を繰り返し使用することで２次元フーリエ変換を実行できる。
【００８９】
【数４０】
2004206254.tif 000034
【００９０】
したがって、本実施形態に係る計算機ホログラム生成装置１は、フーリエ変換装置１を用いて２次元フーリエ変換を効率良く実行するため、高解像度のＣＧＨを極めて短時間で算出することが可能となる。
【００９１】
また、このようにして形成したＣＧＨの干渉縞パターンを、レーザー描画装置や電子線描画装置などの描画装置を用いて感光材料などの記録媒体面に記録することで、空間周波数の高い回折光学素子を作製でき、高品質の再生像を形成し得る回折光学素子を得ることができる。とくに、遠方に像を結像させる場合に、良好な再生像を形成し得る回折光学素子を作製することが可能である。
【００９２】
【発明の効果】
以上の如く、本発明に係るフーリエ変換装置及びフーリエ変換方法によれば、Ｌ−Ｎ点の零値のデータを含むＬ（＝ｍＮ）点のデータに対する離散フーリエ変換を、ｍ組のＮ点の離散フーリエ変換に分解できる。よって、ｍ組の離散フーリエ変換を並列に実行して、Ｌ点の離散フーリエ変換の出力結果を得ることができる。したがって、離散フーリエ変換の高速演算が可能となる。
【００９３】
また本発明に係る計算機ホログラム生成装置及び計算機ホログラム生成方法によれば、前記フーリエ変換装置及びフーリエ変換方法を用いるため、高解像度の計算機ホログラムを極めて短時間で算出することが可能である。
【００９４】
さらに本発明に係る回折光学素子の製造装置によれば、前記計算機ホログラム生成装置及び計算機ホログラム生成方法を用いるため、高品質の再生像を形成し得る、空間周波数の高い回折光学素子を極めて短時間で製造することが可能となる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明の実施形態に係る計算機ホログラム生成装置を概略的に示す図である。
【図２】本発明の実施形態に係るフーリエ変換装置を概略的に示すブロック図である。
【図３】２次元配列の画像データを模式的に示す図である。
【図４】２次元配列の画像データを模式的に示す図である。
【図５】ホログラムの作成方法を説明するための図である。
【図６】２次元配列の画像データを模式的に示す図である。
【図７】２次元配列の画像データを模式的に示す図である。
【符号の説明】
１  計算機ホログラム生成装置
２  主処理部
３  フーリエ変換装置
１０  サンプリング回路
１１  位相補正部
１１0〜１１m-1  位相補正器
１２  フーリエ変換部
１２0〜１２m-1  ＦＦＴ演算器
１３  合成器
１４  位相補正器
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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