(57)【要約】【課題】現実の銀河系における星の密度分布、質量分布、速度分布を表す高精度の銀河系モデルを求める方法を提供する。【解決手段】高精度天体位置観測装置に基づく天体位置計測において、天球上で銀河系中心部の近傍に位置するクェーサーに対する銀河系中心部の年周視差計測値および固有運動計測値から分離された、該クェーサーの重力レンズ効果に基づく位置揺らぎと誘起固有運動の値と、銀河系を構成する星の密度分布、質量分布、速度分布で表現される銀河系モデルに基づいて算出される重力レンズ効果による、該クェーサーの位置揺らぎと誘起固有運動の値との差異を比較し、光学深さ、イベント割合、星の平均質量、星の平均速度などにおける比例関係などから、上記銀河系モデルに用いられた銀河系の星の密度分布、質量分布、速度分布を補正することで、高精度の銀河系モデルを求める方法とする。【選択図】  図４
2004206157.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
高精度天体位置観測装置に基づく天体位置計測において、天球上で銀河系中心部の近傍に位置するクェーサーに対する銀河系中心部の年周視差計測値および固有運動計測値から分離された、該クェーサーの重力レンズ効果に基づく位置揺らぎおよび誘起固有運動の値と、
銀河系を構成する星の密度分布、質量分布、速度分布で表現される銀河系モデルに基づいて算出される重力レンズ効果による、該クェーサーの位置揺らぎおよび誘起固有運動の値との差異を比較し、
太陽質量をＭｓｕｎ、１年をｙｒとして、
地球（但し、銀河系という巨視的観点から太陽系と同視できる）からクェーサーの視線方向周囲の円柱質量密度σ［１０３Ｍｓｕｎ／ｐｃ３］、星の平均速度ｖ［１０２ｋｍ／ｓ］、光学深さτ［１０−２］、イベント割合Γ［１０−２ｙｒ−１］、位置揺らぎの起きる間隔＜Δｔ＞［ｙｒ］、イベント継続時間＜ｔｅ＞［ｙｒ］、星の平均質量Ｍの指数α、視線方向周囲の円柱質量密度σの指数β、星の平均速度ｖの指数γ、閾値である位置揺らぎθｔの指数δの間において、τ、Γ、＜Δｔ＞、＜ｔｅ＞は、それぞれ、Ｍα、σβ、ｖγ、θｔδに比例すること、および、
τに対し、αは、１であること、
Γに対し、αは、０であること、
＜Δｔ＞に対し、αは、０であること、
＜ｔｅ＞に対し、αは、１であること、
τに対し、βは、１であること、
Γに対し、βは、１であること、
＜Δｔ＞に対し、βは、−１であること、
＜ｔｅ＞に対し、βは、０であること、
τに対し、γは、０であること、
Γに対し、γは、１であること、
＜Δｔ＞に対し、γは、−１であること、
＜ｔｅ＞に対し、γは、−１であること、
τに対し、δは、−２であること、
Γに対し、δは、−１であること、
＜Δｔ＞に対し、δは、１であること、
＜ｔｅ＞に対し、δは、−１であること
から、少なくとも、τとΓ、または、＜Δｔ＞と＜ｔｅ＞のいずれかの比例関係を用いて、上記銀河系モデルに用いられた銀河系の星の密度分布、質量分布、速度分布を補正することで、現実の銀河系の星の密度分布、質量分布、速度分布を表現する高精度な銀河系モデルを求める方法。
【請求項２】
高精度天体位置観測装置の天体位置計測精度において、
年周視差計測精度が、銀河系を構成する星の密度分布、質量分布、速度分布で表現される銀河系モデルに基づいて算出される重力レンズ効果による、クェーサーの位置揺らぎの平均値以内である、
または、
固有運動計測精度が、銀河系を構成する星の密度分布、質量分布、速度分布で表現される銀河系モデルに基づいて算出される重力レンズ効果による、誘起固有運動の平均値以内である、
請求項１に記載の銀河系モデルを求める方法。
【請求項３】
位置揺らぎと誘起固有運動との間において、１対１関係があること、
および、
位置揺らぎの平均値である平均位置揺らぎθ［μａｓ］、誘起固有運動の平均値である平均誘起固有運動μ［μａｓ／ｙｒ］、星の平均質量Ｍの指数α、視線方向周囲の円柱質量密度σの指数β、星の平均速度ｖの指数γ、閾値である位置揺らぎθｔの指数δの間において、θ、μは、それぞれ、Ｍα、σβ、ｖγ、θｔδに比例すること、および、
θに対し、αは、略１／２であること、
μに対し、αは、０であること、
θに対し、βは、略１／２であること、
μに対し、βは、１／２であること、
θに対し、γは、０であること、
μに対し、γは、１であること、
θに対し、δは、０であること、
μに対し、δは、０であること
を、上記銀河系モデルに用いられた銀河系の星の密度分布、質量分布、速度分布の補正に用いる、請求項１または２に記載の銀河系モデルを求める方法。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、高精度の銀河系モデルの構築に関わる。
【０００２】
【従来の技術】
従来技術を説明する前提として、いくつかの学術的背景を説明する。
【０００３】
現在までに、幅広い意味において様々な天体観測が行われている。例えば、光学的な望遠鏡観測や、アンテナを用いた電波観測などがそれである。これら天体観測が行われている目的は、天体、つまり星の６次元位相空間情報［位相空間の次元、すなわち自由度は力学系によって異なる。たとえば、直線上を運動する質点であれば，位置と速度によって状態を特定できる。つまり、自由度は２である。したがって、系の状態は２次元の位相空間（平面）に表示される。また、３次元空間内を運動する質点であれば、位置と速度はそれぞれ３つの成分を持つ（たとえば、ガリレオ直交座標系を考えると、ｘ軸、ｙ軸、ｚ軸があり、各軸成分に位置と速度が分解できる。）。したがって、系の状態を特定するためには２×３＝６次元位相空間が必要になる。そして、星の６次元位相空間情報とは、天球上における２次元的位置情報、距離情報、２次元的固有運動（天球上における横断速度の角速度）、視線速度を意味する。］を獲得することにある。なぜなら、星の６次元位相空間情報は、銀河系（我々の存在する太陽系を含む銀河のことであり、いわゆる天の川銀河である。）や星団の力学構造や形成史、連星系や惑星系の運動、ダークマター、星の明るさやエネルギー、星形成、超新星、恒星の物理状態、宇宙の大きさ、アインシュタインが提言した宇宙項の存在の有無、銀河系の非軸対象性など極めて多くの宇宙事象の解明を可能とするからである。さらに、得られた銀河系内の情報を元に、遠方宇宙や系外銀河の物理状態を推定することをも可能にする。このように、星の６次元位相空間情報を獲得することは重要な意義を有するのである。
【０００４】
そして、天体観測に基づく星の６次元位相空間情報を、できるだけ高精度に獲得することが肝要であることは、論をまたないところである。
【０００５】
以上のような重要性の認識のもと、星の６次元位相空間情報を高精度に獲得する目的で、各国において（中には、国家的プロジェクトとして）高精度アストロメトリ（位置天文）観測計画が進められるに至った。
例えば、地上における高精度アストロメトリ観測計画として、可視光または近赤外線領域における望遠鏡観測計画に、ＳＤＳＳ（日本）、ＵＳＮＯ（アメリカ合衆国）などが、同じく可視光または近赤外線領域における干渉計観測計画に、ＮＰＯＩ、ＣＨＡＲＡ、ＫＥＣＫ  ｉｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒ（以上、アメリカ合衆国）などが、電波干渉計観測計画に、ＶＥＲＡ（日本）が挙げられる。一方、宇宙空間における高精度アストロメトリ観測計画としては、可視光領域における望遠鏡観測計画に、Ｈｉｐｐａｒｃｏｓ（欧州）、ＤＩＶＡ（ドイツ）、ＦＡＭＥ（アメリカ）、ＧＡＩＡ（欧州）などが、干渉計観測計画に、ＳＩＭ（アメリカ合衆国）が、赤外線領域における望遠鏡観測計画にＪＡＳＭＩＮＥ計画（日本）が挙げられる。
【０００６】
まず、１９８９年にＥＳＡ（欧州宇宙機関）によって打ち上げられ、１９９３年までミッションを行った、Ｈｉｐｐａｒｃｏｓ衛星について簡単に言及する。Ｈｉｐｐａｒｃｏｓ衛星に搭載された可視光望遠鏡の観測精度は、年周視差の精度（分解能）が１ｍａｓ（ミリ秒角）、固有運動の精度が１ｍａｓ／ｙｒ（ミリ秒角／年）であった。これは、距離に関して、１００ｐｃ（パーセク）の距離で１０％の誤差を、固有速度に関して、１ｋｐｃ（キロパーセク）の距離で５ｋｍ／ｓの誤差を生じるものであった。
ここで、１ｐｃとは、１ａｕ（天文単位：太陽と地球の公転軌道平均半径で約１億５０００万キロメートル）を遠方からみて１ａｓ（秒角）の角度で見える距離であり、約３．０８×１０１３ｋｍ（２．０６×１０５ａｕ、３．２６光年）である。また、１ａｓとは、１／３６００度の角度である。
【０００７】
つまり、Ｈｉｐｐａｒｃｏｓ衛星で、誤差１０％の精度で距離を測れる範囲は、地球から約３００光年の範囲にすぎないことになる。
過去の様々な観測から、地球から銀河系中心部までの距離は約２７，０００光年と見積もられており、それと比較して、Ｈｉｐｐａｒｃｏｓ衛星が誤差１０％の精度で観測できる約３００光年という範囲がいかに限られた狭い範囲であるかがわかる。
【０００８】
上述したとおり、高精度アストロメトリ観測計画が目指すのは、高精度の星の６次元位相空間情報の獲得であって、それに基づく、銀河系の力学構造、その中に含まれる星々の運動、ダークマターなどの解明である。
つまり、少なくとも地球から銀河系中心部までの距離を誤差１０％の精度で観測することが目標とされる。このことは、Ｈｉｐｐａｒｃｏｓ衛星の１００倍の精度が要求されることを意味し、具体的には、年周視差で１０μａｓ（マイクロ秒角）の精度が要求されることになるのである。
【０００９】
なお、上述の誤差１０％という精度は、昨今、機械分野や材料開発分野などにおいて、テンナイン（９９．９９９９９９９９％）精度がいわれることに比して、高精度と言えないのではないのかという疑問が生じうるところではある。
しかし、銀河系中心部が、地球から月までの距離（約３．８４４００×１０５ｋｍ）を僅か約１．３秒で到達する光の速度（約２９９，７９２ｋｍ／ｓ）をもってしても、約２７，０００年（約８．５×１０１１秒）かかる位置に存在することと、未だかつて人類が手にした観測精度が、上述したＨｉｐｐａｒｃｏｓ衛星の精度であることを鑑みれば、銀河系中心部の距離で誤差１０％という精度がいかに高精度であるかがわかる。
【００１０】
翻って、上記した各高精度アストロメトリ観測計画のうち、以下の４計画が目標とする年周視差精度は、ＶＥＲＡ計画（日本）が約１０μａｓ、ＪＡＳＭＩＮＥ計画（日本）が約１０μａｓ、ＧＡＩＡ計画（欧州）が約１０μａｓ、ＳＩＭ計画（アメリカ合衆国）が約４μａｓとなっている。
【００１１】
そこで、上記の各計画において、現在具体的に計画が進行していて、日本の学術的優位が見込まれるＶＥＲＡ計画について、その概要を簡略に説明する。
【００１２】
ＶＥＲＡ（ＶＬＢＩ  Ｅｘｐｌｏｒａｔｉｏｎ  ｏｆ  Ｒａｄｉｏ  Ａｓｔｒｏｍｅｔｒｙ）計画における目的の１つは、位相補償相対ＶＬＢＩ（Ｖｅｒｙ  Ｌｏｎｇ  Ｂａｓｅ  Ｉｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒ：超長基線電波干渉計）の手法により銀河系内のメーザー源の位置と運動を、Ｈｉｐｐａｒｃｏｓ衛星の１００倍の精度（年周視差精度が約１０μａｓ）で観測し、天体の距離を測る方法である地球の公転運動を利用した三角測量に基づいて銀河系の３次元地図を作成するというものである。これによって、将来における宇宙探査や宇宙開発の産業分野での発展が期待される。
【００１３】
ＶＥＲＡ計画の観測装置は、ＶＬＢＩの一種の口径２０ｍの電波望遠鏡（アンテナ望遠鏡）であって、これを日本列島の４カ所（水沢、鹿児島、小笠原、石垣）に設置し、これら４つの電波望遠鏡を組み合わせて観測することで、あたかも、口径２０００ｋｍの電波望遠鏡に相当する分解能を有するものである。
【００１４】
ＶＬＢＩの一種である、位相補償相対ＶＬＢＩの特徴は、天球上で隣接（天球上の離角にして、約０．３°から約２°）して見える２天体を同時に観測することで、地上からの天体観測において大きな誤差要因となる大気の揺らぎを打ち消し、観測天体の位置を高精度に測定することにある。そして、ＶＥＲＡ計画では、主としてメーザー（Ｍｉｃｒｏｗａｖｅ  Ａｍｐｌｉｆｉｃａｔｉｏｎ  ｂｙＳｔｉｍｕｌａｔｅｄ  Ｅｍｉｓｓｉｏｎ  ｏｆ  Ｒａｄｉａｔｉｏｎ：誘導放射によるマイクロ波増幅）源とクェーサー（Ｑｕａｓｉ  Ｓｔｅｌｌａｒ  Ｏｂｊｅｃｔ：準恒星状天体）を隣接する２つの天体とする。
【００１５】
ここで、天体の位置や運動を把握するためには、基準座標系が必要となる。そうでなければ、該天体が何に対してどの位置にあるのか、何に対してどのように運動しているのか、わからなくなるからである。つまり、デカルト直交座標系であれ、円柱座標系であれ、極座標系であれ、座標系が一義的に定まれば、空間におけるある運動体の位置と運動状態は、各座標系ごとに記述表現は異なっても、該運動体の位置と運動状態は一義的に記述表現可能なのである。そして、通常、基準座標系には静止座標系が用いられる。
【００１６】
上述してきたように、我々人類が解明の対象にしようとしているのは、我々の太陽系が所属する銀河系の力学的構造等である。とすれば、（静止）基準座標系は、銀河系外に求めなければならないことになる。現在、１９９５年にＩＡＵ（Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ  Ａｓｔｒｏｎｏｍｉｃａｌ  Ｕｎｉｏｎ：国際天文学連合）において採用された、クェーサーの位置に基づいて構築された銀河系外基準座標系がある。これは、クェーサーが、地球および銀河系から極めて遠い位置（クェーサーにもよるが、数Ｇｐｃ（ギガパーセク）以上の距離に位置するものが多い。）に存在するため、クェーサーの固有運動は無視しうる（ビッグバン宇宙論およびハッブルの法則からすれば、クェーサーは極めて速い速度で運動していると推察されるが、地球から観測する場合、クェーサーが極めて遠い位置に存在しているため、現在の技術水準で天球上におけるクェーサーの位置変化を捕らえることは無理であるので、クェーサーの固有運動は無視しうるということになる。加えて、クェーサーの位置に基づいて構築された銀河系外基準座標系の経年変化も無視しうることになる。）ことに基づくものである。
【００１７】
ところが、クェーサー自体の固有運動を無視し得るとしても、銀河系外基準座標系を構築するに必要なクェーサーの位置の観測に当たり、以下のような重大な問題が生ずるのである。
【００１８】
銀河系は、星と星間物質からなる円盤状部分と該円盤状部分を包み込むように広がるハロー部からなる。円盤状部分は、中心部であるコア部と、コア部を取り巻くバルジ部と、バルジ部を取り巻くディスク部からなる。ハロー部には、観測できるほどの光や電波を発しない暗黒物質（ダークマター）が存在すると云われている。そして、ダークマターの正体については現在様々な仮説が打ち出されているが、少なくとも、太陽質量の数分の１程度の重いコンパクトな天体が含まれていると有力的に考えられている。これを、ＭＡＣＨＯｓと呼ぶ（Ｍａｓｓｉｖｅ  Ａｓｔｒｏｐｈｙｓｉｃａｌ  Ｃｏｍｐａｃｔ  Ｈａｌｏ  Ｏｂｊｅｃｔｓ）。
以下の議論では、地球から見ると、バルジ方向は星や星間物質が密集しているため、とりあえずバルジ方向を除外するものとする。
【００１９】
我々人類が地球からクェーサーを観測するということは、銀河系を通して観測しているということになる。従って、一般相対性理論によれば、地球とクェーサーとの視線上ないしその近傍を、ディスクに存在する星やハローに存在するＭＡＣＨＯｓが横切ると、その重力場による空間の歪みによって、クェーサーからの光路が歪められることになる。つまり、ディスク上の星やＭＡＣＨＯｓによる重力レンズ効果に基づくクェーサーの位置揺らぎが生じることになるのである。なお、この重力レンズ効果はあまり大きいものではなく、観測分解能が良くないと、増光現象を引き起こすマイクロレンズ効果として観測される。つまり、クェーサーからの光が、あたかもディスク上の星やＭＡＣＨＯｓが凸レンズのような役割を果たし集光することで、そのようなレンズ効果が無いときに比較して明るく見える現象が起きるのである。
【００２０】
そして、さらに重要なことは、クェーサー自体の固有運動を無視できても、観測する地球と重力レンズ効果を引き起こすディスク上の星やＭＡＣＨＯｓの相対運動から、見かけ上クェーサーが動いているように観測されるということである。つまり、地球とクェーサーの視線上ないしその近傍をディスク上の星またはＭＡＣＨＯｓが横切るということは、該ディスク上の星またはＭＡＣＨＯｓの重力場が作り出す空間の歪みが横切ることに他ならず、空間の歪みによるクェーサーからの光路も変化し、クェーサーの位置揺らぎが運動して見えることになる。即ち、クェーサーを基準とした静止座標系としての銀河系外基準座標系が、重力レンズ効果によって位置揺らぎとその位置揺らぎの運動を生ずることになるのである。
【００２１】
そこで、この位置揺らぎと位置揺らぎの運動がどの程度のものとなるのか、また、位置揺らぎと位置揺らぎの運動の起きる確率はどれくらいになるかなどが、重要な知見対象となる。この点につき、発明者らは、すでに研究を行っており、詳細は、非特許文献１に記載されている。
【非特許文献１】
Ｍｉｚｕｈｉｋｏ  Ｈｏｓｏｋａｗａ，Ｋｏｕｊｉ  Ｏｈｎｉｓｉ，Ｔｏｓｈｉｏ  Ｆｕｋｕｓｈｉｍａ
ＦＬＵＣＴＵＡＴＩＯＮ  ＯＦ  ＥＸＴＲＡＧＡＬＡＣＴＩＣ  ＲＥＦＥＲＥＮＣＥ  ＦＲＡＭＥ  ＤＵＥ  ＴＯ  ＧＲＡＶＩＴＡＴＩＯＮＡＬ  ＬＥＮＳＩＮＧ  ＩＮ  ＯＵＲ  ＧＡＬＡＸＹ  （Ｔｈｅ  Ａｓｔｒｏｎｏｍｉｃａｌ  Ｊｏｕｒｎａｌ，Ｖｏｌｕｍｅ１１４，Ｎｕｍｂｅｒ４，Ｏｃｔｏｂｅｒ  １９９７）
以下では、本発明に関係を有する基礎的な部分を簡略的に説明する。また、本説明に当たっては、説明の便宜上、非特許文献１に未記載の数式を載せたり、記載の数式を変形したり、記号を変えたりしているが、内容において本質的な相違はない。
【００２２】
＜位置揺らぎの期待値＞
一般相対性理論は、時空を４次元リーマン空間と考え、物体の運動は空間の状態によって定まるとする。そして、空間の状態は、その空間に存在する物質と場の運動量・エネルギーテンソルＴｉｊによって定まる。このとき、アインシュタイン方程式は、次式で与えられる。
【数１】
2004206157.tif 000003
ここで、Ｒｉｊはリッチテンソル、Ｒはスカラー曲率、ｇｉｊは計量テンソル、Ｇはニュートンの重力定数、ｃは真空中の光速度、Λは宇宙項である。
【００２３】
このアインシュタイン方程式を、真空中で時間的に定常、空間的に球対称かつ宇宙項は０であるとの条件で解いたものがシュワルツシルトの外部解として知られるものであり、シュワルツシルトの外部解は、ｒ＞Ｒｓにおいて、極座標（ｒ、θ、φ）表示で、
【数２】
2004206157.tif 000004
と表される。ここで、ｄｓは線要素、ｃは光速、ｔは時間を表し、Ｒｓはシュワルツシルト半径で、
【数３】
2004206157.tif 000005
で表される。
シュワルツシルトの外部解は、太陽や星の周りの真空領域である時空を表すものである。ここで、Ｇは重力定数、Ｍはレンズ物体の質量を表す。
【００２４】
シュワルツシルトの外部解から、θ＝π／２における、φに関する方程式を導く（詳細な式展開は、本発明に関係しないので省略する。また、公知でもある。）ことによって、ディスクの星やＭＡＣＨＯｓのような重力レンズ効果を及ぼすレンズ物体による光路の偏向角αを求めることができる。空間の歪みを生じさせるレンズ物体の位置と、該レンズ物体があることによって歪められた光路との最大距離をＩとすると、αは、
【数４】
2004206157.tif 000006
で表される。
【００２５】
さらに式展開を進める前に、図１を説明する。Ｏは地球の位置を、Ｓはクェーサーの位置を、Ｐはレンズ物体の位置を、Ｄは地球とレンズ物体との距離を、Ｄｓは地球とクェーサーとの距離を、Ｌはレンズ物体と視線ＯＳ（レンズ物体が存在しない場合の、クェーサーからの光路に相当する。）との距離を、αは偏向角を、Ｉ１、Ｉ２は、レンズ物体の位置と該レンズ物体があることによって歪められた各光路との最大距離を表す。また、Ｓ１はレンズ物体によって歪められた光路によって見えるクェーサーの主像の位置を、Ｓ２は同じくレンズ物体によって歪められた光路によって見えるクェーサーの副像の位置を表す。なお、Ｉ１、Ｉ２は、上述のＩに相当する。
つまり、地球ＯからクェーサーＳに対する視線ＯＳ付近にレンズ物体Ｐが存在することで光路が歪み、あたかもクェーサーＳがＳ１とＳ２の位置にあるかのように見えるのである。勿論、重力レンズ効果をもたらすレンズ物体の質量が小さい場合や観測分解能が良くない場合には、主像・副像としてではなく、マイクロレンズ効果である増光現象として観測され、この場合、増光された光の強さの中心、即ち、光度中心を考慮する必要がある。
【００２６】
さて、ここでレンズ物体は、銀河系のディスク上の星またはハローのＭＡＣＨＯｓを考えるので、Ｄｓ≫Ｄである。従って、幾何学的考察から次式が成り立つ。
【数５】
2004206157.tif 000007
なお、別の視点で考えると、ＳＳ１の距離に着目した幾何学的考察から、次式が成り立つ。
【数６】
2004206157.tif 000008
θは、図１において、線分ＯＳ１とＯＰのなす角度、θｓは、線分ＯＳとＯＰのなす角度である。
ここで、Ｄｓ≫Ｄを考慮して、Ｄｓ−Ｄ≒Ｄｓとしても同様の結果が得られる。
【００２７】
次に、Ｉについての２次方程式である数５を、Ｉについて解くと、
【数７】
2004206157.tif 000009
【数８】
2004206157.tif 000010
となる。但し、
【数９】
2004206157.tif 000011
とした。
ここで、ＩＥは、Ｌ＝０におけるＩの値で、
【数１０】
2004206157.tif 000012
で表され、アインシュタイン半径と呼ばれる。
この２つの解は、上述したとおり、クェーサーＳの主像Ｓ１と副像Ｓ２があることを表している。
【００２８】
次に、上述した光度中心Ｓｃの位置を求める。
レンズ物体（ここでは、質点と近似して考えている。）を含む視線ＯＳに垂直な平面を考える。このとき、この平面と、視線ＯＳおよび主像Ｓｉ（ｉ＝１、２）からの光路とのそれぞれの交点周辺の微少面積を見込む地球Ｏからの立体角あたりの光量の比から増光率Ａｉを求めると（ここで、クェーサーは等方的に光を発しているものとする。）、
【数１１】
2004206157.tif 000013
【数１２】
2004206157.tif 000014
となる。従って、光度中心Ｓｃと視線ＯＳとの距離Ｌｃは、
【数１３】
2004206157.tif 000015
となり、さらに、光度中心Ｓｃの視線ＯＳからのずれを表す偏向角θｃは、
【数１４】
2004206157.tif 000016
となる。但し、
【数１５】
2004206157.tif 000017
とした。
【００２９】
ここまでは、レンズ物体が１つであることを前提にしたが、実際は、多数の星々が存在し、多かれ少なかれ重力レンズ効果を引き起こす。その相互作用は、星々において互いに独立であるとすると、位置揺らぎの期待値、即ち、偏向角θｃの２乗平均＜θｃ２＞は、
【数１６】
2004206157.tif 000018
で表される。ここで、ｎ（ｍ，ｒ）は、銀河系中心からｒの位置における、単位体積あたりの質量体数密度（濃度）分布である。具体的に説明すれば、銀河系は多くの星々の密集体であり、例えばコア部のように、より多くの星々が密集している部分もあれば、ディスク縁部のように、ほとんど密集していない部分もある。そこで、このような星々の密集の程度の分布を表すのが、単位体積あたりの質量体数密度分布である。いわば、銀河系に散りばめられた星々の濃度を表しているのである。以下において、特に断りのない限り、単に密度分布ということにする。
【００３０】
ここでは、レンズ物体として、銀河系のディスクの星とＭＡＣＨＯｓを考えることにする。すると、密度分布は、
【数１７】
2004206157.tif 000019
と表せる。ｎＤは銀河系のディスクの星の密度分布、ｎＭはＭＡＣＨＯｓの密度分布を表す。
そして、ディラックのデルタ関数と、銀河系のディスクの星およびＭＡＣＨＯｓの質量密度分布ρＤ、ρＭ（以下では、単に質量分布という。）を用いると、
【数１８】
2004206157.tif 000020
【数１９】
2004206157.tif 000021
と表すことができる。ここでは、銀河系のディスクの星の質量ｍＤは、すべて太陽質量ｍｓｕｎに等しく、ＭＡＣＨＯｓの質量ｍＭは、すべて太陽質量の１／１０に等しいと仮定する。
【００３１】
銀河系のディスクの星の質量分布は、指数関数を用いたモデルを適用する。
【数２０】
2004206157.tif 000022
ここで、ΣＤは、ディスク面に垂直な単位円柱体積あたりの質量密度を、Ｒ０は、太陽と銀河系中心部との距離、ＲＤは、ディスク面の直径を、ｚＤは、ディスクの厚さを表す。因みに、後の数値計算に用いた具体的な値は、ΣＤ＝４６ｍｓｕｎ／ｐｃ３、Ｒ０＝８．５ｋｐｃ、ＲＤ＝３５ｋｐｃ、ｚＤ＝３００ｐｃである。ここで、座標系（ｘ，ｙ，ｚ）は、原点（０，０，０）を銀河系中心、ｘ−ｙ平面をディスク面、太陽が（Ｒ０，０，０）となるような直交座標系であるとする。
【００３２】
ハローの質量分布は、等方性モデルを適用する。
【数２１】
2004206157.tif 000023
ここで、ρ０は、局所的なダークマターの質量密度を、Ｒは、銀河系中心部からの距離を、ａは、ＭＡＣＨＯｓの分布のコア半径である。因みに、後の数値計算に用いた具体的な値は、ρ０＝７．９×１０−３ｍｓｕｎ／ｐｃ３、ａ＝２ｋｐｃである。
【００３３】
偏向角θｃの２乗平均＜θｃ２＞を数値計算するために、数１６の式変形を行う。
ｄＶ＝２πＬｄＬｄＤを代入して、数１６は、
【数２２】
2004206157.tif 000024
と書き表せる。
ここで、質量密度はＬに依存しないと仮定する。また、θｃは、視線ＯＳの近傍、即ち、Ｌが比較的小さい範囲でレンズ物体の影響を大きく受けるとみなせるので、数２２のＬに関する積分範囲の上限をＬｍａｘ、下限をＬｍｉｎ＝０ｐｃとする。
【００３４】
もう少し詳述すれば、ＭＡＣＨＯｓまたは星が１つだけあると仮定した視線ＯＳ周りの円柱領域を考えた場合、その円柱の平均半径Ｌｉ１（ｉ＝Ｄ、Ｍ）は、そのときの質量体数密度（濃度）分布から求めることができる。
【数２３】
2004206157.tif 000025
ここで、具体的な数値を当てはめて数値計算した結果、少なくともＬｉ１が約０．００７ｐｃであることが得られた。従って、上限は少なくとも０．００７ｐｃよりも大きくなければならない。一方、数１４からわかるように、Ｌが大きくなるにつれて、θｃの値は十分小さくなるので、Ｌｍａｘを０．１ｐｃから１ｋｐｃに変化させたとしても、θｃの２乗平均の平方根は２倍も違わないことがわかっている。従って、Ｌｍａｘを１ｐｃに設定しても格別の影響、つまり、オーダーあたりでの影響は無いということになる。
【００３５】
すると、数２２は、次式のように書き直せる。
【数２４】
2004206157.tif 000026
ここで、Ｌｍａｘ２≫ｍＤとＬｍｉｎ＝０を考慮すると、さらに、
【数２５】
2004206157.tif 000027
と書き直せる。
ここにおいて、θｃの２乗平均＜θｃ２＞の数値計算ができることになった。その結果、銀緯が低く、かつ、銀経の回らない方向、即ち地球から見た銀河系中心部の方向では、クェーサーの重力レンズ効果による偏向角（揺らぎ）が、１０μａｓ以上も見積もられることになるのがわかった。
【００３６】
このことは、誤差１０μａｓ程度の精度に基づくクェーサーの位置を基準に銀河系外基準座標系を構築する際、重力レンズ効果による１０μａｓ以上の位置の揺らぎが無視しえないものとなることを意味する。
【００３７】
＜誘起固有運動の期待値＞
上記においては、クェーサーに対する視線方向における星々の重力レンズ効果による位置揺らぎを見積もった。
ところで、重力レンズ効果を引き起こす星々は、宇宙空間において静止しているのではなく運動をしている。従って、重力レンズ効果を引き起こす星々がクェーサーに対する視線上ないしその近傍を通過すると、その通過に伴って、重力レンズ効果によって歪められたクェーサーからの光路の光度中心も運動をすることになる。この運動が、誘起固有運動である。
そこで、この誘起固有運動がどの程度起こるのか、その期待値を見積もることにする。
【００３８】
図２を参照する。この図は、観測点（地球Ｏ）から見た（ここでいう、見た、とは可視的に見たという意味ではない。）、天球上の、レンズ物体の位置をＰ、重力レンズ効果がなければそこに位置するであろうクェーサーの位置がＳ、レンズ物体の重力レンズ効果によって歪められた光路の光度中心がＳｃの位置関係を表している。
【００３９】
さて、ここで知りたいのは光度中心Ｓｃの運動であるが、とくにその速度を考えることにする。
Ｓｃの、Ｓを原点とした２次元極座標表示（ｒ、φ）を考えると、Ｓｃ（θｃ、Ｓｃφ）で表すことができる。また、Ｐの極座標表示は、Ｐ（Ｌ／Ｄ、Ｐφ）となる。ここで、Ｓｃφと、Ｐφは不明な値であるので、適当にこのような記号で表しただけである。
ところで、公知として、二次元極座標表示（ｒ、φ）された位置における質点の速度はベクトル表示すると、ｔを時間として、
【数２６】
2004206157.tif 000028
と表せる。従って、Ｓｃの運動速度ＶＳｃ２（ベクトルではなく、スカラー量）は、
【数２７】
2004206157.tif 000029
で表される。
各成分は、
【数２８】
2004206157.tif 000030
【数２９】
2004206157.tif 000031
となる。ここでは、図２からレンズ物体の速度成分が、
【数３０】
2004206157.tif 000032
【数３１】
2004206157.tif 000033
と表せることと、単位時間あたりの角度の変化量が同じであるので、
【数３２】
2004206157.tif 000034
であることを用いた。
【００４０】
ところで、ここで、便宜上記号の置き換えをし、ＶＳｃ＝ｄθｃ／ｄｔとすると、誘起固有運動の期待値、即ち、運動速度の２乗平均＜（ｄθｃ／ｄｔ）２＞は、
【数３３】
2004206157.tif 000035
と表せる。
ここで、レンズ物体の運動が等方性であることを仮定すれば、
【数３４】
2004206157.tif 000036
となる。ｖはレンズ物体の速度である。
【００４１】
従って、数３３は、数２７、数２８、数２９、およびｄＶ＝２πＬｄＬｄＤを代入して、さらにＬについて積分すると、
【数３５】
2004206157.tif 000037
となる。
ここで、レンズ物体であるディスクの星の速度ｖについて、銀河系中心を原点とする３次元極座標表示を考えるに当たり、ディスク部分は扁平な一様回転運動をしているとする。すると、図３から、ディスクの星の地球との相対速度ｖＤは、ディスクの星の位置Ｐのディスク平面における投影位置をＰ１として、銀河系中心―地球―Ｐ１のなす角をｌ、銀河系中心―Ｐ１―地球のなす角をａ、銀河系に対する太陽系の公転速度をｖ０、ディスクの星の固有速度をｖＤ１と表せば、
【数３６】
2004206157.tif 000038
となる。さらに、ｖ０＝ｖＤ１＝ｖｆとすると、数３６は、余弦定理を用いて、
【数３７】
2004206157.tif 000039
となる。
ＭＡＣＨＯｓについては、等方性で一様な速度を有すると仮定する。
ここでは、ｖｆ＝２２０ｋｍ／ｓ、ｖＭ＝１８０ｋｍ／ｓとした。
この仮定の下で、数値計算を行った結果、ディスクの星によるクェーサーの誘起固有運動は、銀径６０°以下において、約１０μａｓ／ｙｒ以上、ＭＡＣＨＯｓによる誘起固有運動は、どの方向においても、約７μａｓ／ｙｒ以上が見込まれることがわかった。なお、ここでは、ＭＡＣＨＯｓは銀河系ハローに一様に分布しているとした。
【００４２】
そこで、次に、位置揺らぎと誘起固有運動が起きる確率はどれくらいになるか見積もることにする。ここでは、光学深さ（ｏｐｔｉｃａｌ  ｄｅｐｔｈ）を計算する。
まず、偏向角θｃの基準線である視線ＯＳと、偏向角θｃを引き起こすレンズ物体（銀河系のディスクの星またはＭＡＣＨＯｓ）との距離をＬｐｏｓ，ｉ（θｃ）（ｉ＝Ｄ、Ｍ）とする。このとき、ある偏向角θｃよりも大きい位置揺らぎが起きる光学深さσｐｏｓ，ｉ（θｃ）は、地球からレンズ物体のまでの距離における半径Ｌｐｏｓ，ｉの円面積と、同じく地球からレンズ物体のまでの距離における上述した半径Ｌｊ１の円面積の比で表すことができ（より正確には、各円面積に、レンズ物体と地球との距離を掛け、さらにその距離におけるレンズ物体の数密度（濃度）を掛けたものの比であるが、ここでは、その距離と数密度は同じである。）、
【数３８】
2004206157.tif 000040
で定義される。そして、数３８は、この値が小さいときに、位置揺らぎの起きる確率を表しているとみることができる。
具体的な数値計算の結果、銀河系中心部を除けば、重力レンズ効果による１０μａｓの位置揺らぎは、大きくとも０．１ほどの確率でしか起きないということが得られた。
【００４３】
誘起固有運動の光学深さは、上記と同様にして、
【数３９】
2004206157.tif 000041
で定義される。
ところで、Ｌ≫ＩＥとすると、θｃと、ｄθｃ／ｄｔは、
【数４０】
2004206157.tif 000042
【数４１】
2004206157.tif 000043
となる。従って、
【数４２】
2004206157.tif 000044
が成り立つ。この数４２の意味するところは、レンズ物体の速度と質量が与えられれば、位置揺らぎと誘起固有運動の間に１対１の関係があるということである。
【００４４】
また、ここで、光学深さの指数則を導いておく。これは、任意の観測精度に対して光学深さがどれくらい変化するかを容易に求めるためである。
Ｌがアインシュタイン半径よりも十分に大きい場合を想定すると、数３８、数３９、数４０、数４１から
【数４３】
2004206157.tif 000045
【数４４】
2004206157.tif 000046
となる。
数４３、数４４の意味するところは、観測精度をｋ倍にすると、観測しうる重力レンズ効果による偏向角θｃはｋ倍になるので、観測精度をｋ倍にしなかった場合に比較して、位置揺らぎの光学深さは１／ｋ２倍に、観測しうる重力レンズ効果による誘起固有運動ｄθｃ／ｄｔはｋ倍になるので、誘起固有運動の光学深さは１／ｋ倍になるということである。具体的に説明すると、例えば、観測精度（分解能）が１０μａｓとして、有効に観測しうる精度の限界である１０μａｓの偏向角θｃが起きる光学深さをσ（１０μａｓ）であるとすると、観測精度（分解能）が２０μａｓの場合において、有効に観測しうる精度の限界である２０μａｓ（ｋ＝２）の偏向角θｃが起きる光学深さσ（２０μａｓ）は、σ（１０μａｓ）の１／４になる、ということである。
【００４５】
以上のことは、上記過程からも明らかなように、銀河系の星の密度分布や、銀河系のディスクの星々やＭＡＣＨＯｓの平均質量の見積もりなどに依存することに注意が必要である。別の言い方をすれば、実際の観測結果と上記の見積もりとの間にずれが無ければ、それまでに仮定した（但し、闇雲の仮定ではなく、過去の天体観測に基づく仮定である。）銀河系の星の密度分布や質量分布のモデルの正当性が検証できることになるが、もし、ずれがある場合には、そのずれを解消するモデルを組み立てることが可能になることを示唆し、銀河系の星の密度分布や質量分布などのモデルを求めることができることになる。
上記では、バルジ方向を除く銀河系について説述してきたが、星が多く密集しているバルジ方向のクェーサーを観測すれば、銀河中心部の星の密度分布や質量分布のモデル化が可能になり、ひいては、銀河系全体のモデル化が可能になる。
【００４６】
【本発明が解決しようとする課題】
従って、本発明は、現実の銀河系に適合する、銀河系の星の密度分布、質量分布、速度分布を表す高精度の銀河系モデルを構築する方法を提供することを課題とする。
【００４７】
【課題を解決するための手段】
本発明は上記課題の解決を図るため、次の手段を用いる。
【００４８】
高精度天体位置観測装置に基づく天体位置計測において、天球上で銀河系中心部の近傍に位置するクェーサーに対する銀河系中心部の年周視差計測値および固有運動計測値から分離された、該クェーサーの重力レンズ効果に基づく位置揺らぎおよび誘起固有運動の値と、銀河系を構成する星の密度分布、質量分布、速度分布で表現される銀河系モデルに基づいて算出される重力レンズ効果による、該クェーサーの位置揺らぎおよび誘起固有運動の値との差異を比較し、太陽質量をＭｓｕｎ、１年をｙｒとして、地球（但し、銀河系という巨視的観点から太陽系と同視できる）からクェーサーの視線方向周囲の円柱質量密度σ［１０３Ｍｓｕｎ／ｐｃ３］、星の平均速度ｖ［１０２ｋｍ／ｓ］、光学深さτ［１０−２］、イベント割合Γ［１０−２ｙｒ−１］、位置揺らぎの起きる間隔＜Δｔ＞［ｙｒ］、イベント継続時間＜ｔｅ＞［ｙｒ］、星の平均質量Ｍの指数α、視線方向周囲の円柱質量密度σの指数β、星の平均速度ｖの指数γ、閾値である位置揺らぎθｔの指数δの間において、τ、Γ、＜Δｔ＞、＜ｔｅ＞は、それぞれ、Ｍα、σβ、ｖγ、θｔδに比例すること、および、τに対し、αは、１であること、Γに対し、αは、０であること、＜Δｔ＞に対し、αは、０であること、＜ｔｅ＞に対し、αは、１であること、τに対し、βは、１であること、Γに対し、βは、１であること、＜Δｔ＞に対し、βは、−１であること、＜ｔｅ＞に対し、βは、０であること、τに対し、γは、０であること、Γに対し、γは、１であること、＜Δｔ＞に対し、γは、−１であること、＜ｔｅ＞に対し、γは、−１であること、τに対し、δは、−２であること、Γに対し、δは、−１であること、＜Δｔ＞に対し、δは、１であること、＜ｔｅ＞に対し、δは、−１であることから、少なくとも、τとΓ、または、＜Δｔ＞と＜ｔｅ＞のいずれかの比例関係を用いて、上記銀河系モデルに用いられた銀河系の星の密度分布、質量分布、速度分布を補正することで、現実の銀河系の星の密度分布、質量分布、速度分布を表現する高精度な銀河系モデルを求める方法とする。
【００４９】
高精度天体位置観測装置の天体位置計測精度において、年周視差計測精度が、銀河系を構成する星の密度分布、質量分布、速度分布で表現される銀河系モデルに基づいて算出される重力レンズ効果による、クェーサーの位置揺らぎの平均値以内である、または、固有運動計測精度が、銀河系を構成する星の密度分布、質量分布、速度分布で表現される銀河系モデルに基づいて算出される重力レンズ効果による、誘起固有運動の平均値以内である、上記の銀河系モデルを求める方法としてもよい。
【００５０】
さらに、位置揺らぎと誘起固有運動との間において、１対１関係があること、および、位置揺らぎの平均値である平均位置揺らぎθ［μａｓ］、誘起固有運動の平均値である平均誘起固有運動μ［μａｓ／ｙｒ］、星の平均質量Ｍの指数α、視線方向周囲の円柱質量密度σの指数β、星の平均速度ｖの指数γ、閾値である位置揺らぎθｔの指数δの間において、θ、μは、それぞれ、Ｍα、σβ、ｖγ、θｔδに比例すること、および、θに対し、αは、略１／２であること、μに対し、αは、０であること、θに対し、βは、略１／２であること、μに対し、βは、１／２であること、θに対し、γは、０であること、μに対し、γは、１であること、θに対し、δは、０であること、μに対し、δは、０であることを、上記銀河系モデルに用いられた銀河系の星の密度分布、質量分布、速度分布の補正に用いる、上記銀河系モデルを求める方法としてもよい。
【００５１】
【発明の実施の形態】
本発明の実施形態を実施例に基づいて説明するが、以下の具体例は本発明を限定するものではない。実施形態例は、本発明の趣旨から逸脱しない限り適宜変更可能なものである。
【００５２】
銀河系は、天球上において、いわゆる天の川として視覚的にみることができる。そして、その天の川において、銀河系中心部は射手座方向に存在する。その射手座の銀河系中心部の方向に電波源の存在が観測され、ＳｇｒＡ（射手座Ａ）と命名された。さらに近年、ＳｇｒＡ電波源域の中に、より小さな電波源が発見され、ＳｇｒＡ＊（射手座Ａコンパクト）と命名された。そして、ＳｇｒＡ＊の放つ電波こそ、銀河系中心に存在するブラックホールに周囲の物質が落ち込む際に放つ電波であると考えられるようになった。
【００５３】
そこで、ＳｇｒＡ＊を観測し、その位置、距離、固有運動の有無などを高精度に計測することで、銀河系中心部までの距離、銀河系の大きさ、太陽系の銀河系中心に対する回転の角速度、太陽系の内側にある質量などを求めることができるようになる。
【００５４】
さて、ＳｇｒＡ＊の観測であるが、これは、上述したＶＥＲＡ計画に予定されている。ＶＥＲＡ計画で用いられるのは、位相補償相対ＶＬＢＩであり、同時に観測対象とするのは、ＳｇｒＡ＊と、その近傍に存在するクェーサーである。つまり、不動点である（上述したとおり、重力レンズ効果による位置揺らぎが起こるため、必ずしも不動点ではない。）クェーサーに対するＳｇｒＡ＊の相対運動を観測するのである。このとき、天球上における、ＳｇｒＡ＊の見かけの運動は、少なくとも次の３つの要素を含むものと考えられる。
（Ａ）銀河系中心部に対する太陽系の公転運動に基づく長周期的な運動
（Ｂ）太陽に対する地球の公転運動に基づく年周視差変化
（Ｃ）銀河系中心部に対するＳｇｒＡ＊の固有運動
【００５５】
１９９９年、アメリカ合衆国のＶＬＢＩシステムであるＶＬＢＡ（４３ＧＨｚ領域）をもってなされた、ＳｇｒＡ＊の見かけの固有運動の計測結果が公表された。それによると、
2004206157.tif 000047
である。
一方、ＶＬＡ（アメリカ合衆国・ニューメキシコ州に設置された超大型電波干渉計：Ｖｅｒｙ  Ｌａｒｇｅ  Ａｒｒａｙ）（４．９ＧＨｚ領域）の計測結果によれば、
2004206157.tif 000048
である。
この計測結果は、０．４ｍａｓ／ｙの精度で、上記の要素（Ａ）である、銀河系中心部に対する太陽系の公転運動に基づく長周期的な運動を示したものである。つまり、太陽の銀河系中心周りの公転によってクェーサーとＳｇｒＡ＊の角距離が年間約６ｍａｓ、一定割合で直線運動をすることを示す。なお、厳密には、太陽系の銀河系中心周りの公転運動なので直線運動ではないが、少なくとも数１０年単位での観測では、直線運動としてしか観測し得ないのである。
また、これは、上記の要素（Ｃ）である、銀河系中心部に対するＳｇｒＡ＊の固有運動の上限精度をも示す。
【００５６】
そこで、次に残りの要素（Ｂ）である、太陽に対する地球の公転運動に基づく年周視差変化の計測が望まれる。過去における観測から、地球から銀河系中心部までのおよその距離は約８ｋｐｃとされるので、大雑把にいえば、銀経にして２５０μａｓ程度の１年周期の揺らぎが見積もられることになる。つまり、地球の太陽周りの公転運動によって、クェーサーとＳｇｒＡ＊の角距離が１年周期で長径約２５０μａｓの楕円運動をすることを示す。
そして、ＶＥＲＡ計画では、ＳｇｒＡ＊の年周視差を１０μａｓの高精度で計測するのである。
【００５７】
ところで、上述したとおり、１０μａｓの高精度で観測を行う際には、重力レンズ効果による位置揺らぎと誘起固有運動を無視し得なくなる。つまり、ＶＥＲＡ計画で用いられる位相補償相対ＶＬＢＩが同時に観測する２つの天体は、この場合、天球上におけるＳｇｒＡ＊とＳｇｒＡ＊近傍のクェーサー（Ｗ５６、Ｗ１０９、ＧＣ４４１等）であり、不動点である（はずの）クェーサーを基準にして、そのクェーサーに対する相対的なＳｇｒＡ＊の位置を計測するのであるが、そのクェーサーは、天球上においてＳｇｒＡ＊の周囲約０．７°付近（距離にして約１００ｐｃ）にあるため、重力レンズ効果によって位置揺らぎを生じるのである。より詳述すれば、銀河系中心方向に存在するクェーサーを観測するということは、とりもなおさず、銀河系のコア部、バルジ部、ディスク部といった星々が高密度に集合している部分を通してクェーサーを観測することに他ならず、その星々によってもたらされる重力レンズ効果による位置揺らぎは、ＭＡＣＨＯｓを通して観測する場合に比較して、より大きいものとなる（図５参照）。従って、ＭＡＣＨＯｓの影響は考えなくて良いことになる。
そして、この基準となるクェーサーの位置揺らぎが、ＳｇｒＡ＊の位置計測に誤差となって影響を及ぼすことになる。
【００５８】
そこで、クェーサーに対する相対的なＳｇｒＡ＊の見かけの運動には、上述した３要素（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）に加えて、次に２つの要素を考慮しなくてはならないことになる。
（Ｄ）地球からクェーサーに対する視線付近のバルジおよびディスク上の星々によってもたらされる重力レンズ効果による、クェーサーの位置揺らぎ。
（Ｅ）銀河系の回転に基づく、重力レンズ効果によるクェーサーの位置揺らぎの変化。
【００５９】
ＳｇｒＡ＊の観測において、高精度に得たい観測データは、上記の３要素（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）であるが、高精度の観測では、観測データにおいて２要素（Ｄ）（Ｅ）が無視できない影響をもたらすので、観測データから、２要素（Ｄ）（Ｅ）を分離補正しなければならない。ところで、要素（Ｅ）については、せいぜい数十年という極めて短い観測では、事実上影響を受けないと言える。従って、ここでは要素（Ｄ）を考慮すれば良いことになる。
【００６０】
具体的に、銀河系中心部方向では、どれくらいの位置揺らぎ量が見込まれるか、それがどれくらいの確率で起こるか、どれくらいの頻度で起きるか、そのような位置揺らぎが起きた場合どれくらいの期間続くか、そのような位置揺らぎが起きる時間間隔はどれほどか等を、銀河系モデルを用いて見積もることにする。
【００６１】
再び図１を参照の上、説明する。Ｏは地球、Ｐはレンズ物体、Ｓはクェーサーである。Ｄは地球からレンズ物体までの距離、Ｄｓは地球からクェーサーまでの距離である。視線ＯＳに対する見かけのクェーサーの位置を角度で表し、それをθとする。また、視線ＯＳとレンズ物体との距離をＬとする。レンズ物体の重力場の作り出す空間歪みによって歪められたクェーサーからの光路と、レンズ物体との距離をＩとする。このとき、上述の通り、
【数４５】
2004206157.tif 000049
が成り立つ。ここで、Ｒｓはシュワルツシルト半径２ＧＭ／ｃ２（数３参照）である。Ｍはレンズ物体の質量である。
【００６２】
そして、この場合、Ｄｓ≫Ｄであり、また、重力レンズ効果はそれほど大きくない（大きく空間を歪めるほどの重力場を持つ重質量の天体を考慮する必要が無いとしてよいから。）ので、重力レンズ効果による副像は無視することにする。とすると、Ｉ〜Ｌ、Ｌ／Ｄ≫θとみなして良いことになる。
【００６３】
次に、光学深さτ（θ）と、単位時間（年）あたりどれくらいの頻度で位置揺らぎが起きるかを見積もる指標であるイベント割合Γ（θ）は、次式で与えられる。
【数４６】
2004206157.tif 000050
【数４７】
2004206157.tif 000051
ここで、Ｌ１は、星が１つだけあると仮定した視線ＯＳ周りの円柱領域を考えた場合のその円柱の平均半径（上述のＬｉ１を参照）を、Ｌ（θ）は、偏向角θを引き起こすレンズ物体の視線ＯＳに対する距離（上述のＬｐｏｓ，ｉ（θｃ）を参照）を、ｖは、視線ＯＳに対するレンズ物体の垂直速度を表す。
Γ（θ）は、地球からの距離Ｄにおける、半径Ｌ１の円面積における星の密度に対して、単位時間あたりに２Ｌ（θ）の線分を横切る星々の数に相当することを表している。
因みにここでのτ（θ）、Γ（θ）における、括弧の中のθは、変数としてのθではなく、ある定まった値、つまり、閾値としてのθを表すものとする。なぜなら、τ（θ）、Γ（θ）は、ある偏向角θの位置揺らぎがおきる、確率、イベント割合を表すものだからである。但し、閾値としてのθを意識する限り、θを変数と見ることを妨げるものではなく、単にθのとらえ方の違いである。
【００６４】
τ（θ）に関しては、上述した数３８で与えられる。そこで、Γ（θ）を、取り扱うことにする。
Ｉ〜Ｌであることに思い致せば、
【数４８】
2004206157.tif 000052
となる（数４０参照）。
従って、Ｌ（θ）は、重力定数が６．６７２×１０−１１ｍ３ｋｇ−１ｓ−２であることを用いて、レンズ物体の質量を太陽質量Ｍｓｕｎで、偏向角θを１０μａｓで規格化すると、
【数４９】
2004206157.tif 000053
と表すことができる。
同様に、Ｌ１は、数２３から、
【数５０】
2004206157.tif 000054
と表すことができる。ここで、σは、視線方向周囲の円柱質量密度で、
【数５１】
2004206157.tif 000055
である。
数４６、数４７に数４９、数５０を代入すると、
【数５２】
2004206157.tif 000056
【数５３】
2004206157.tif 000057
となる。
【００６５】
以上から、位置揺らぎの起きる間隔＜Δｔ＞とひとたび位置揺らぎが生じたときのその継続時間であるイベント継続時間は＜ｔｅ＞は、
【数５４】
2004206157.tif 000058
【数５５】
2004206157.tif 000059
で表すことができ、
【数５６】
2004206157.tif 000060
となる。
【００６６】
ところで、銀河系に存在する星々による重力レンズ効果の程度は、銀河系の星々の質量分布と速度分布などを表す銀河系モデルに依存する。因みに、ここでは、銀河系中心部方向を考えているので、銀河系ハローのＭＡＣＨＯｓがもたらす影響は考えないものとする。
ここでは、銀河モデルとして、Ｋｅｎｔが１９９２年に発表したものとＧｅｎｚｅｌらが１９９６年に発表したものとをＡｌｅｘａｎｄｅｒ  ＆  Ｓｔｅｒｎｂｅｒｇが統合して１９９９年に発表した、銀河系中心部であるコア部、バルジ部、ディスク部ごとに星の密度分布をモデル化した３要素モデルを採用した。
即ち、
【数５７】
2004206157.tif 000061
【数５８】
2004206157.tif 000062
【数５９】
2004206157.tif 000063
である。ここで、Ｋ０（ｘ）は、０次の第２種変形ベッセル関数である。また、
ρｃ＝４×１０６Ｍｓｕｎｐｃ−３、
ρｂ＝３．５３Ｍｓｕｎｐｃ−３、
ρｄ＝３Ｍｓｕｎｐｃ−３、
ｒｃ＝０．３８ｐｃ、
ｒｂ＝６６７ｐｃ、
ｒｄ＝３００１ｐｃ
である。また、数値計算にあたって、ディスクの半径の計算範囲は、１ｋｐｃ以上とした。
【００６７】
速度分布については、コア部、バルジ部においては一様速度分布とし、ディスク部においては、重力レンズ効果が地球（太陽系）に対する星の相対速度（つまり、銀河系自体が回転運動しているので、太陽系近傍のディスクの星々の地球（太陽系）に対する相対速度は遅くなり、逆に、銀河系中心部に対して、太陽系とは反対側にあるディスクの星々の地球（太陽系）に対する相対速度は速くなる。）に依存するため、太陽系と銀河系中心部との間の近傍ディスク部と、銀河系中心部に対して太陽系とは反対側にある遠方ディスク部との２つに分けて速度分布を考える。つまり、４速度分布モデルを採用した。
具体的には、太陽系に対する各部の速度を、
ｖｃｏｒｅ＝２２０ｋｍ／ｓ
ｖｂｕｌｇｅ＝２２０ｋｍ／ｓ
ｖｄｉｓｋ（ｆａｒｓｉｄｅ）＝４４０ｋｍ／ｓ
ｖｄｉｓｋ（ｎｅａｒｓｉｄｅ）＝３０ｋｍ／ｓ
とした。ここで、ｖｃｏｒｅは、コア部の速度を、ｖｂｕｌｇｅは、バルジ部の速度を、ｖｄｉｓｋ（ｆａｒｓｉｄｅ）は、遠方ディスク部の速度を、ｖｄｉｓｋ（ｎｅａｒｓｉｄｅ）は、近傍ディスク部の速度を表す。
【００６８】
以上に掲げた数式と、適当な具体的な数値を用いて、光学深さやイベント割合などの見積もりを行った。
レンズ物体の質量、つまりここでは、銀河系中心方向への視線周囲に存在する星々の質量Ｍについては、すべて一様に等しく、太陽質量Ｍｓｕｎの１／５とする。閾値である偏向角θは、１０μａｓとする。
【００６９】
なお、近傍ディスク部、バルジ部、コア部、遠方ディスク部を通した全体での光学深さτｔｏｔａｌ、イベント割合Γｔｏｔａｌ、イベント継続時間＜ｔｅ＞ｔｏｔａｌは、４速度分布モデルにおける各部の光学深さ、イベント割合をもって算出され、次式で表される。
【数６０】
2004206157.tif 000064
【数６１】
2004206157.tif 000065
【数６２】
2004206157.tif 000066
なお、ここで得られた位置揺らぎの期待値は、ＶＥＲＡ計画の観測精度である１０μａｓ以上である。
【００７０】
適宜記号の置き換えをして、図４に、視線方向周囲の円柱質量密度σ、地球からの距離Ｄ、星の平均速度ｖ、平均位置揺らぎθ、平均誘起固有運動μ、光学深さτ、イベント割合Γ、位置揺らぎの起きる間隔＜Δｔ＞、イベント継続時間＜ｔｅ＞、レンズ物体となる星の平均質量Ｍの指数α、視線方向周囲の円柱質量密度σの指数β、星の平均速度ｖの指数γ、閾値である位置揺らぎθｔの指数δ、Ｍ＝１／５Ｍｓｕｎ、θｔ＝１０μａｓにおける上記銀河モデルの具体的各数値との関係を示す表を掲げる。ここで、平均位置揺らぎは、数２５によって与えられる、＜θｃ２＞の平方根を、平均誘起固有運動は、数３５によって与えられる、＜（ｄθｃ／ｄｔ）２＞の平方根をいう。図４の表において、数式欄において掲げる数式群は、各諸元を算出するに必要な参照数式を掲げている。
【００７１】
以下に、平均位置揺らぎθ、平均誘起固有運動μ、光学深さτ、イベント割合Γ、位置揺らぎの起きる間隔＜Δｔ＞、イベント継続時間＜ｔｅ＞、星の平均質量Ｍの指数α、視線方向周囲の円柱質量密度σの指数β、星の平均速度ｖの指数γ、閾値である位置揺らぎθｔの指数δとの関係を具体的に算出する。
【００７２】
まず、θに対する、α、β、γ、δを求める。
上述のとおり、θは数２５から、
【数６３】
2004206157.tif 000067
で与えられる。ここでは、ディスク部分の星々を考慮すればよいことと、ｍ＝４ＧＭ／ｃ２（数１５参照）で表されることに留意している。
さて、まずこのときのαを求める。即ち、
【数６４】
2004206157.tif 000068
となる。従って、α＝〜１／２となる。
次に、βを求める。数６３と数５１から、
【数６５】
2004206157.tif 000069
となる。従って、β＝〜１／２となる。
γとδであるが、数６３に速度ｖと閾値θｔは含まれていないので、γ＝δ＝０となる。即ち、θ（ｋｖ）＝θ（ｖ）、θ（ｋθｔ）＝θ（θｔ）である。
【００７３】
次に、μに対する、α、β、γ、δを求める。
μは、数３５から、
【数６６】
2004206157.tif 000070
で与えられる。従って、数６６に、平均質量Ｍ、閾値θｔは含まれていないので、α＝δ＝０となる。即ち、μ（ｋＭ）＝μ（Ｍ）、μ（ｋθｔ）＝μ（θｔ）である。
さて、βは、
【数６７】
2004206157.tif 000071
となる。従って、β＝１／２である。
次に、γは、
【数６８】
2004206157.tif 000072
となる。従って、γ＝１となる。
【００７４】
次に、τに対する、α、β、γ、δを求める。
τは、数５２から、
【数６９】
2004206157.tif 000073
【数７０】
2004206157.tif 000074
【数７１】
2004206157.tif 000075
となる。従って、α＝β＝１、δ＝−２となる。
また、数５２は、速度ｖを含んでいないので、γ＝０となる。即ち、τ（ｋｖ）＝τ（ｖ）である。
【００７５】
次に、Γに対する、α、β、γ、δを求める。
Γは、数５３から、
【数７２】
2004206157.tif 000076
【数７３】
2004206157.tif 000077
【数７４】
2004206157.tif 000078
となる。従って、β＝γ＝１、δ＝−１となる。
また、数５３は、平均質量Ｍを含んでいないので、α＝０となる。即ち、Γ（ｋＭ）＝τ（Ｍ）である。
【００７６】
次に、＜Δｔ＞に対する、α、β、γ、δを求める。
＜Δｔ＞は、数５４から、Γ（θ）の−１乗なので、＜Δｔ＞に対するα、β、γ、δも、Γに対するα、β、γ、δの−１乗となる。従って、α＝０、β＝γ＝１、δ＝−１となる。
【００７７】
次に、＜ｔｅ＞に対する、α、β、γ、δを求める。
＜ｔｅ＞は、数５６から、
【数７５】
2004206157.tif 000079
【数７６】
2004206157.tif 000080
【数７７】
2004206157.tif 000081
となる。従って、α＝１、γ＝δ＝−１となる。
また、数５６は、視線方向周囲の円柱質量密度σを含んでいないので、β＝０となる。即ち、＜ｔｅ＞（ｋσ）＝τ（σ）である。
【００７８】
図４に示す表は、上述の銀河系モデルにおいては、重力レンズ効果によって、各クェーサーが１０μｓ以上の位置揺らぎを生じる確率は２５％であることを示す。そして、ひとたび重力レンズ効果による位置揺らぎが生じた場合、そのイベント継続時間は、約５．５年であることを示す。このことは、ＶＥＲＡ計画において、クェーサーを基準にしたＳｇｒＡ＊の位置観測結果（年周視差）から、クェーサーの位置揺らぎを除去するには、少なくとも５．５年以上、好ましくは１０年程度の観測が必要になることを示すものである。
【００７９】
また、図４に示した指数則の関係を使えば、レンズ物体の質量や速度などに応じた、位置揺らぎの光学深さやイベント継続時間などが求められる。つまり、θ、μ、τ、Γ、＜Δｔ＞、＜ｔｅ＞は、それぞれ、Ｍα、σβ、ｖγ、θｔδに比例することを利用する。例えば、レンズ物体の平均質量が、Ｍ＝１／５Ｍｓｕｎではなく、Ｍ＝１Ｍｓｕｎであるとする（但し、その他の条件は同一とする）と、光学深さτとレンズ物体の平均質量との指数関係は、図４から１なので、τ（Ｍ＝１Ｍｓｕｎ）＝τ（Ｍ＝１／５Ｍｓｕｎ）×｛１Ｍｓｕｎ／（１／５Ｍｓｕｎ）｝１で求められる。即ち、具体的には、τ（Ｍ＝１Ｍｓｕｎ）＝２５×１０−２×５１＝１．２５となる。これは、１．２５＞１．００なので、１０μａｓ以上の位置揺らぎが生じる確率が１００％であることを示す。
【００８０】
逆にいえば、観測結果から、その観測結果に適合するレンズ物体、即ち銀河系の星々の密度、質量や速度の分布を求めることが可能になるということである。つまり、銀河系中心部の年周視差計測値および固有運動計測値から分離されたクェーサーの位置揺らぎと誘起固有運動の値とから、数５２、数５３、数５４、数５５、数５６に基づいて、平均質量Ｍと視線方向周囲の円柱質量密度σが求まる。従って、もとの銀河系モデルと、数５１、数５７、数５８、数５９から、質量分布を決定することができる。また、数１８と平均質量Ｍと質量分布から密度分布を決定できる。
また、ＳｇｒＡ＊に対する離角の異なる複数のクェーサーについて観測を行うことで、数５７、数５８、数５９におけるパラメータ、ρｃ、ρｂ、ρｄ、ｒｃ、ｒｂ、ｒｄについても、決定することが可能である。
なお、速度分布は、数５３、数５６から、適宜補正可能である。ただし、必ずしも、数５３、数５６で補正を要するものではなく、例えば、ディスク面の中性水素ガス、ＨＩＩ領域、ＯＢ型星、散開星団、分子雲などの視線速度と固有運動の解析から得られたものや、重力レンズの光学深さが小さいところでの継続的な位置計測の結果などを用いてもよい。このようにして補正するパラメータを少なくすることで、より高精度の銀河系モデルを構築が可能となる。
【００８１】
具体的には、ＶＥＲＡ計画では、クェーサーとＳｇｒＡ＊との位置関係を２ヶ月に１度程度観測を数年間行う予定となっている。上述したように予測される期間にわたる観測結果には、上述した、太陽の銀河系中心周りの公転に基づくクェーサーとＳｇｒＡ＊の角距離で年間約６ｍａｓの直線運動、地球の太陽周りの公転運動に基づくクェーサーとＳｇｒＡ＊の角距離にして１年周期で長径約２５０μａｓの楕円運動、上述した重力レンズ効果に基づくより長周期の位置揺らぎが、合成して含まれることになる。そこで、フーリエ変換等の公知の手法で、これらの各成分を分離することで、基準座標系であるクェーサーの位置揺らぎと誘起固有運動を排除できるので、クェーサーに対するＳｇｒＡ＊のより正確な位置が求まることになる。さらに、上述したとおり、位置揺らぎと誘起固有運動には、１対１の関係があるので、観測結果に含まれる位置揺らぎと誘起固有運動との間の相関関係から、上述した銀河系モデルが正当なものであるかの検証が可能であり、さらに、もし、食い違いが生じる場合には、図４に掲げる表に基づいて、銀河系モデルに用いた各種のパラメータ、即ち、密度、質量、速度を変化させて補正することで、観測結果に適合する適切な、つまり、現実の銀河系の星の密度分布、質量分布、速度分布を表現する高精度な銀河系モデルを構築できることになる。
【００８２】
本発明の方法は、日本のＶＥＲＡ計画においてのみ有効な方法ではなく、ＶＥＲＡ計画に後続する上記の各計画の高精度天体位置観測装置の観測結果にも適用可能な汎用性のあるものである。
【００８３】
銀河系モデルを高精度に構築することで、将来の宇宙探査や宇宙開発などの産業分野あるいはその関連産業の発展に寄与するとともに、本発明は、その発展の礎となるものである。
【図面の簡単な説明】
【図１】レンズ物体による光路変化を示す図
【図２】天球上におけるレンズ物体、観測対象天体、光度中心の位置関係と運動関係を示す図
【図３】レンズ物体を銀河系ディスク部へ投影し、地球との相対速度を示す図
【図４】視線方向周囲の円柱質量密度σ、地球からの距離Ｄ、星の平均速度ｖ、平均位置揺らぎθ、平均誘起固有運動μ、光学深さτ、イベント割合Γ、位置揺らぎの起きる間隔＜Δｔ＞、イベント継続時間＜ｔｅ＞、星の質量Ｍの指数α、視線方向周囲の円柱質量密度σの指数β、星の平均速度ｖの指数γ、閾値である位置揺らぎθｔの指数δ、Ｍ＝１／５Ｍｓｕｎ、θｔ＝１０μａｓにおける上記銀河モデルの具体的各数値との関係を示す表
【図５】地球から銀河中心部を通してクェーサーを観測する様子を示す図
【符号の説明】
１  地球（但し、銀河系という巨視的観点からすれば、太陽系と同視できる）
２  コア部
３  バルジ部
４  近傍ディスク部
５  遠方ディスク部
６  クェーサー
７  銀河系
【図１】
2004206157.tif 000082
【図２】
2004206157.tif 000083
【図３】
2004206157.tif 000084
【図４】
2004206157.tif 000085
【図５】
2004206157.tif 000086
【手続補正書】
【提出日】平成15年11月7日(2003.11.7)
【手続補正１】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】全文
【補正方法】変更
【補正の内容】
【特許請求の範囲】
【請求項１】高精度天体位置観測装置に基づく天体位置計測において、
天球上で銀河系中心部の近傍に位置するクェーサーに対する銀河系中心部の年周視差計測値および固有運動計測値から分離された、該クェーサーの重力レンズ効果に基づく位置揺らぎおよび誘起固有運動の値と、
銀河系を構成する星の密度分布、質量分布、速度分布で表現される銀河系モデルに基づいて算出される重力レンズ効果による、該クェーサーの位置揺らぎおよび誘起固有運動の値との差異を比較し、
太陽質量をＭsun、１年をｙｒとして、
地球（但し、銀河系という巨視的観点から太陽系と同視できる）からクェーサーの視線方向周囲の円柱質量密度σ［１０3Ｍsun／ｐｃ3］、星の平均速度ｖ［１０2ｋｍ／ｓ］、光学深さτ［１０-2］、イベント割合Γ［１０-2ｙｒ-1］、位置揺らぎの起きる間隔＜Δｔ＞［ｙｒ］、イベント継続時間＜ｔe＞［ｙｒ］、星の平均質量Ｍの指数α、視線方向周囲の円柱質量密度σの指数β、星の平均速度ｖの指数γ、閾値である位置揺らぎθtの指数δの間において、τ、Γ、＜Δｔ＞、＜ｔe＞は、それぞれ、Ｍα、σβ、ｖγ、θtδに比例すること、および、
τに対し、αは、１であること、
Γに対し、αは、０であること、
＜Δｔ＞に対し、αは、０であること、
＜ｔe＞に対し、αは、１であること、
τに対し、βは、１であること、
Γに対し、βは、１であること、
＜Δｔ＞に対し、βは、−１であること、
＜ｔe＞に対し、βは、０であること、
τに対し、γは、０であること、
Γに対し、γは、１であること、
＜Δｔ＞に対し、γは、−１であること、
＜ｔe＞に対し、γは、−１であること、
τに対し、δは、−２であること、
Γに対し、δは、−１であること、
＜Δｔ＞に対し、δは、１であること、
＜ｔe＞に対し、δは、−１であること
から、少なくとも、τとΓ、または、＜Δｔ＞と＜ｔe＞のいずれかの比例関係を用いて、上記銀河系モデルに用いられた銀河系の星の密度分布、質量分布、速度分布を補正することで、現実の銀河系の星の密度分布、質量分布、速度分布を表現する高精度な銀河系モデルを求める方法。
【請求項２】高精度天体位置観測装置の天体位置計測精度において、
年周視差計測精度が、銀河系を構成する星の密度分布、質量分布、速度分布で表現される銀河系モデルに基づいて算出される重力レンズ効果による、クェーサーの位置揺らぎの平均値以内である、
または、
固有運動計測精度が、銀河系を構成する星の密度分布、質量分布、速度分布で表現される銀河系モデルに基づいて算出される重力レンズ効果による、誘起固有運動の平均値以内である、
請求項１に記載の銀河系モデルを求める方法。
【請求項３】位置揺らぎと誘起固有運動との間において、１対１関係があること、
および、
位置揺らぎの平均値である平均位置揺らぎθ［μａｓ］、誘起固有運動の平均値である平均誘起固有運動μ［μａｓ／ｙｒ］、星の平均質量Ｍの指数α、視線方向周囲の円柱質量密度σの指数β、星の平均速度ｖの指数γ、閾値である位置揺らぎθtの指数δの間において、θ、μは、それぞれ、Ｍα、σβ、ｖγ、θtδに比例すること、および、
θに対し、αは、略１／２であること、
μに対し、αは、０であること、
θに対し、βは、略１／２であること、
μに対し、βは、１／２であること、
θに対し、γは、０であること、
μに対し、γは、１であること、
θに対し、δは、０であること、
μに対し、δは、０であること
を、上記銀河系モデルに用いられた銀河系の星の密度分布、質量分布、速度分布の補正に用いる、請求項１または２に記載の銀河系モデルを求める方法。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、高精度の銀河系モデルの構築に関わる。
【０００２】
【従来の技術】
従来技術を説明する前提として、いくつかの学術的背景を説明する。
【０００３】
現在までに、幅広い意味において様々な天体観測が行われている。例えば、光学的な望遠鏡観測や、アンテナを用いた電波観測などがそれである。これら天体観測が行われている目的は、天体、つまり星の６次元位相空間情報［位相空間の次元、すなわち自由度は力学系によって異なる。たとえば、直線上を運動する質点であれば，位置と速度によって状態を特定できる。つまり、自由度は２である。したがって、系の状態は２次元の位相空間(平面)に表示される。また、３次元空間内を運動する質点であれば、位置と速度はそれぞれ３つの成分を持つ（たとえば、ガリレオ直交座標系を考えると、ｘ軸、ｙ軸、ｚ軸があり、各軸成分に位置と速度が分解できる。）。したがって、系の状態を特定するためには２×３＝６次元位相空間が必要になる。そして、星の６次元位相空間情報とは、天球上における２次元的位置情報、距離情報、２次元的固有運動（天球上における横断速度の角速度）、視線速度を意味する。］を獲得することにある。なぜなら、星の６次元位相空間情報は、銀河系（我々の存在する太陽系を含む銀河のことであり、いわゆる天の川銀河である。）や星団の力学構造や形成史、連星系や惑星系の運動、ダークマター、星の明るさやエネルギー、星形成、超新星、恒星の物理状態、宇宙の大きさ、アインシュタインが提言した宇宙項の存在の有無、銀河系の非軸対象性など極めて多くの宇宙事象の解明を可能とするからである。さらに、得られた銀河系内の情報を元に、遠方宇宙や系外銀河の物理状態を推定することをも可能にする。このように、星の６次元位相空間情報を獲得することは重要な意義を有するのである。
【０００４】
そして、天体観測に基づく星の６次元位相空間情報を、できるだけ高精度に獲得することが肝要であることは、論をまたないところである。
【０００５】
以上のような重要性の認識のもと、星の６次元位相空間情報を高精度に獲得する目的で、各国において（中には、国家的プロジェクトとして）高精度アストロメトリ（位置天文）観測計画が進められるに至った。
例えば、地上における高精度アストロメトリ観測計画として、可視光または近赤外線領域における望遠鏡観測計画に、ＳＤＳＳ（日本）、ＵＳＮＯ（アメリカ合衆国）などが、同じく可視光または近赤外線領域における干渉計観測計画に、ＮＰＯＩ、ＣＨＡＲＡ、ＫＥＣＫ  ｉｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒ（以上、アメリカ合衆国）などが、電波干渉計観測計画に、ＶＥＲＡ（日本）が挙げられる。
一方、宇宙空間における高精度アストロメトリ観測計画としては、可視光領域における望遠鏡観測計画に、Ｈｉｐｐａｒｃｏｓ（欧州）、ＤＩＶＡ（ドイツ）、ＦＡＭＥ（アメリカ）、ＧＡＩＡ（欧州）などが、干渉計観測計画に、ＳＩＭ（アメリカ合衆国）が、赤外線領域における望遠鏡観測計画にＪＡＳＭＩＮＥ計画（日本）が挙げられる。
【０００６】
まず、１９８９年にＥＳＡ（欧州宇宙機関）によって打ち上げられ、１９９３年までミッションを行った、Ｈｉｐｐａｒｃｏｓ衛星について簡単に言及する。
Ｈｉｐｐａｒｃｏｓ衛星に搭載された可視光望遠鏡の観測精度は、年周視差の精度（分解能）が１ｍａｓ（ミリ秒角）、固有運動の精度が１ｍａｓ／ｙｒ（ミリ秒角／年）であった。これは、距離に関して、１００ｐｃ（パーセク）の距離で１０％の誤差を、固有速度に関して、１ｋｐｃ（キロパーセク）の距離で５ｋｍ／ｓの誤差を生じるものであった。
ここで、１ｐｃとは、１ａｕ（天文単位：太陽と地球の公転軌道平均半径で約１億５０００万キロメートル）を遠方からみて１ａｓ（秒角）の角度で見える距離であり、約３．０８×１０13ｋｍ（２．０６×１０5ａｕ、３．２６光年）である。また、１ａｓとは、１／３６００度の角度である。
【０００７】
つまり、Ｈｉｐｐａｒｃｏｓ衛星で、誤差１０％の精度で距離を測れる範囲は、地球から約３００光年の範囲にすぎないことになる。
過去の様々な観測から、地球から銀河系中心部までの距離は約２７，０００光年と見積もられており、それと比較して、Ｈｉｐｐａｒｃｏｓ衛星が誤差１０％の精度で観測できる約３００光年という範囲がいかに限られた狭い範囲であるかがわかる。
【０００８】
上述したとおり、高精度アストロメトリ観測計画が目指すのは、高精度の星の６次元位相空間情報の獲得であって、それに基づく、銀河系の力学構造、その中に含まれる星々の運動、ダークマターなどの解明である。
つまり、少なくとも地球から銀河系中心部までの距離を誤差１０％の精度で観測することが目標とされる。このことは、Ｈｉｐｐａｒｃｏｓ衛星の１００倍の精度が要求されることを意味し、具体的には、年周視差で１０μａｓ（マイクロ秒角）の精度が要求されることになるのである。
【０００９】
なお、上述の誤差１０％という精度は、昨今、機械分野や材料開発分野などにおいて、テンナイン（９９．９９９９９９９９％）精度がいわれることに比して、高精度と言えないのではないのかという疑問が生じうるところではある。
しかし、銀河系中心部が、地球から月までの距離（約３．８４４００×１０5ｋｍ）を僅か約１．３秒で到達する光の速度（約２９９，７９２ｋｍ／ｓ）をもってしても、約２７，０００年（約８．５×１０11秒）かかる位置に存在することと、未だかつて人類が手にした観測精度が、上述したＨｉｐｐａｒｃｏｓ衛星の精度であることを鑑みれば、銀河系中心部の距離で誤差１０％という精度がいかに高精度であるかがわかる。
【００１０】
翻って、上記した各高精度アストロメトリ観測計画のうち、以下の４計画が目標とする年周視差精度は、ＶＥＲＡ計画（日本）が約１０μａｓ、ＪＡＳＭＩＮＥ計画（日本）が約１０μａｓ、ＧＡＩＡ計画（欧州）が約１０μａｓ、ＳＩＭ計画（アメリカ合衆国）が約４μａｓとなっている。
【００１１】
そこで、上記の各計画において、現在具体的に計画が進行していて、日本の学術的優位が見込まれるＶＥＲＡ計画について、その概要を簡略に説明する。
【００１２】
ＶＥＲＡ（ＶＬＢＩ  Ｅｘｐｌｏｒａｔｉｏｎ  ｏｆ  Ｒａｄｉｏ  Ａｓｔｒｏｍｅｔｒｙ）計画における目的の１つは、位相補償相対ＶＬＢＩ（Ｖｅｒｙ  Ｌｏｎｇ  Ｂａｓｅ  Ｉｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒ：超長基線電波干渉計）の手法により銀河系内のメーザー源の位置と運動を、Ｈｉｐｐａｒｃｏｓ衛星の１００倍の精度（年周視差精度が約１０μａｓ）で観測し、天体の距離を測る方法である地球の公転運動を利用した三角測量に基づいて銀河系の３次元地図を作成するというものである。これによって、将来における宇宙探査や宇宙開発の産業分野での発展が期待される。
【００１３】
ＶＥＲＡ計画の観測装置は、ＶＬＢＩの一種の口径２０ｍの電波望遠鏡（アンテナ望遠鏡）であって、これを日本列島の４カ所（水沢、鹿児島、小笠原、石垣）に設置し、これら４つの電波望遠鏡を組み合わせて観測することで、あたかも、口径２０００ｋｍの電波望遠鏡に相当する分解能を有するものである。
【００１４】
ＶＬＢＩの一種である、位相補償相対ＶＬＢＩの特徴は、天球上で隣接（天球上の離角にして、約０．３°から約２°）して見える２天体を同時に観測することで、地上からの天体観測において大きな誤差要因となる大気の揺らぎを打ち消し、観測天体の位置を高精度に測定することにある。そして、ＶＥＲＡ計画では、主としてメーザー（Ｍｉｃｒｏｗａｖｅ  Ａｍｐｌｉｆｉｃａｔｉｏｎ  ｂｙ
Ｓｔｉｍｕｌａｔｅｄ  Ｅｍｉｓｓｉｏｎ  ｏｆ  Ｒａｄｉａｔｉｏｎ：誘導放射によるマイクロ波増幅）源とクェーサー（Ｑｕａｓｉ  Ｓｔｅｌｌａｒ  Ｏｂｊｅｃｔ：準恒星状天体）を隣接する２つの天体とする。
【００１５】
ここで、天体の位置や運動を把握するためには、基準座標系が必要となる。そうでなければ、該天体が何に対してどの位置にあるのか、何に対してどのように運動しているのか、わからなくなるからである。つまり、デカルト直交座標系であれ、円柱座標系であれ、極座標系であれ、座標系が一義的に定まれば、空間におけるある運動体の位置と運動状態は、各座標系ごとに記述表現は異なっても、該運動体の位置と運動状態は一義的に記述表現可能なのである。そして、通常、基準座標系には静止座標系が用いられる。
【００１６】
上述してきたように、我々人類が解明の対象にしようとしているのは、我々の太陽系が所属する銀河系の力学的構造等である。とすれば、（静止）基準座標系は、銀河系外に求めなければならないことになる。現在、１９９５年にＩＡＵ（Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ  Ａｓｔｒｏｎｏｍｉｃａｌ  Ｕｎｉｏｎ：国際天文学連合）において採用された、クェーサーの位置に基づいて構築された銀河系外基準座標系がある。これは、クェーサーが、地球および銀河系から極めて遠い位置（クェーサーにもよるが、数Ｇｐｃ（ギガパーセク）以上の距離に位置するものが多い。）に存在するため、クェーサーの固有運動は無視しうる（ビッグバン宇宙論およびハッブルの法則からすれば、クェーサーは極めて速い速度で運動していると推察されるが、地球から観測する場合、クェーサーが極めて遠い位置に存在しているため、現在の技術水準で天球上におけるクェーサーの位置変化を捕らえることは無理であるので、クェーサーの固有運動は無視しうるということになる。加えて、クェーサーの位置に基づいて構築された銀河系外基準座標系の経年変化も無視しうることになる。）ことに基づくものである。
【００１７】
ところが、クェーサー自体の固有運動を無視し得るとしても、銀河系外基準座標系を構築するに必要なクェーサーの位置の観測に当たり、以下のような重大な問題が生ずるのである。
【００１８】
銀河系は、星と星間物質からなる円盤状部分と該円盤状部分を包み込むように広がるハロー部からなる。円盤状部分は、中心部であるコア部と、コア部を取り巻くバルジ部と、バルジ部を取り巻くディスク部からなる。ハロー部には、観測できるほどの光や電波を発しない暗黒物質（ダークマター）が存在すると云われている。そして、ダークマターの正体については現在様々な仮説が打ち出されているが、少なくとも、太陽質量の数分の１程度の重いコンパクトな天体が含まれていると有力的に考えられている。これを、ＭＡＣＨＯｓと呼ぶ（Ｍａｓｓｉｖｅ  Ａｓｔｒｏｐｈｙｓｉｃａｌ  Ｃｏｍｐａｃｔ  Ｈａｌｏ  Ｏｂｊｅｃｔｓ）。
以下の議論では、地球から見ると、バルジ方向は星や星間物質が密集しているため、とりあえずバルジ方向を除外するものとする。
【００１９】
我々人類が地球からクェーサーを観測するということは、銀河系を通して観測しているということになる。従って、一般相対性理論によれば、地球とクェーサーとの視線上ないしその近傍を、ディスクに存在する星やハローに存在するＭＡＣＨＯｓが横切ると、その重力場による空間の歪みによって、クェーサーからの光路が歪められることになる。つまり、ディスク上の星やＭＡＣＨＯｓによる重力レンズ効果に基づくクェーサーの位置揺らぎが生じることになるのである。なお、この重力レンズ効果はあまり大きいものではなく、観測分解能が良くないと、増光現象を引き起こすマイクロレンズ効果として観測される。つまり、クェーサーからの光が、あたかもディスク上の星やＭＡＣＨＯｓが凸レンズのような役割を果たし集光することで、そのようなレンズ効果が無いときに比較して明るく見える現象が起きるのである。
【００２０】
そして、さらに重要なことは、クェーサー自体の固有運動を無視できても、観測する地球と重力レンズ効果を引き起こすディスク上の星やＭＡＣＨＯｓの相対運動から、見かけ上クェーサーが動いているように観測されるということである。つまり、地球とクェーサーの視線上ないしその近傍をディスク上の星またはＭＡＣＨＯｓが横切るということは、該ディスク上の星またはＭＡＣＨＯｓの重力場が作り出す空間の歪みが横切ることに他ならず、空間の歪みによるクェーサーからの光路も変化し、クェーサーの位置揺らぎが運動して見えることになる。即ち、クェーサーを基準とした静止座標系としての銀河系外基準座標系が、重力レンズ効果によって位置揺らぎとその位置揺らぎの運動を生ずることになるのである。
【００２１】
そこで、この位置揺らぎと位置揺らぎの運動がどの程度のものとなるのか、また、位置揺らぎと位置揺らぎの運動の起きる確率はどれくらいになるかなどが、重要な知見対象となる。この点につき、発明者らは、すでに研究を行っており、詳細は、非特許文献１に記載されている。
【非特許文献１】
Ｍｉｚｕｈｉｋｏ  Ｈｏｓｏｋａｗａ，Ｋｏｕｊｉ  Ｏｈｎｉｓｉ，Ｔｏｓｈｉｏ  Ｆｕｋｕｓｈｉｍａ
ＦＬＵＣＴＵＡＴＩＯＮ  ＯＦ  ＥＸＴＲＡＧＡＬＡＣＴＩＣ  ＲＥＦＥＲＥＮＣＥ  ＦＲＡＭＥ  ＤＵＥ  ＴＯ  ＧＲＡＶＩＴＡＴＩＯＮＡＬ  ＬＥＮＳＩＮＧ  ＩＮ  ＯＵＲ  ＧＡＬＡＸＹ  （Ｔｈｅ  Ａｓｔｒｏｎｏｍｉｃａｌ  Ｊｏｕｒｎａｌ，Ｖｏｌｕｍｅ１１４，Ｎｕｍｂｅｒ４，Ｏｃｔｏｂｅｒ  １９９７）
以下では、本発明に関係を有する基礎的な部分を簡略的に説明する。また、本説明に当たっては、説明の便宜上、非特許文献１に未記載の数式を載せたり、記載の数式を変形したり、記号を変えたりしているが、内容において本質的な相違はない。
【００２２】
＜位置揺らぎの期待値＞
一般相対性理論は、時空を４次元リーマン空間と考え、物体の運動は空間の状態によって定まるとする。そして、空間の状態は、その空間に存在する物質と場の運動量・エネルギーテンソルＴijによって定まる。このとき、アインシュタイン方程式は、次式で与えられる。
【数１】
2004206157.tif 000087
ここで、Ｒijはリッチテンソル、Ｒはスカラー曲率、ｇijは計量テンソル、Ｇはニュートンの重力定数、ｃは真空中の光速度、Λは宇宙項である。
【００２３】
このアインシュタイン方程式を、真空中で時間的に定常、空間的に球対称かつ宇宙項は０であるとの条件で解いたものがシュワルツシルトの外部解として知られるものであり、シュワルツシルトの外部解は、ｒ＞Ｒsにおいて、極座標（ｒ、θ、φ）表示で、
【数２】
2004206157.tif 000088
と表される。ここで、ｄｓは線要素、ｃは光速、ｔは時間を表し、Ｒsはシュワルツシルト半径で、
【数３】
2004206157.tif 000089
で表される。
シュワルツシルトの外部解は、太陽や星の周りの真空領域である時空を表すものである。ここで、Ｇは重力定数、Ｍはレンズ物体の質量を表す。
【００２４】
シュワルツシルトの外部解から、θ＝π／２における、φに関する方程式を導く（詳細な式展開は、本発明に関係しないので省略する。また、公知でもある。）ことによって、ディスクの星やＭＡＣＨＯｓのような重力レンズ効果を及ぼすレンズ物体による光路の偏向角αを求めることができる。空間の歪みを生じさせるレンズ物体の位置と、該レンズ物体があることによって歪められた光路との最大距離をＩとすると、αは、
【数４】
2004206157.tif 000090
で表される。
【００２５】
さらに式展開を進める前に、図１を説明する。Ｏは地球の位置を、Ｓはクェーサーの位置を、Ｐはレンズ物体の位置を、Ｄは地球とレンズ物体との距離を、Ｄsは地球とクェーサーとの距離を、Ｌはレンズ物体と視線ＯＳ（レンズ物体が存在しない場合の、クェーサーからの光路に相当する。）との距離を、αは偏向角を、Ｉ1、Ｉ2は、レンズ物体の位置と該レンズ物体があることによって歪められた各光路との最大距離を表す。また、Ｓ1はレンズ物体によって歪められた光路によって見えるクェーサーの主像の位置を、Ｓ2は同じくレンズ物体によって歪められた光路によって見えるクェーサーの副像の位置を表す。なお、Ｉ1、Ｉ2は、上述のＩに相当する。
つまり、地球ＯからクェーサーＳに対する視線ＯＳ付近にレンズ物体Ｐが存在することで光路が歪み、あたかもクェーサーＳがＳ1とＳ2の位置にあるかのように見えるのである。勿論、重力レンズ効果をもたらすレンズ物体の質量が小さい場合や観測分解能が良くない場合には、主像・副像としてではなく、マイクロレンズ効果である増光現象として観測され、この場合、増光された光の強さの中心、即ち、光度中心を考慮する必要がある。
【００２６】
さて、ここでレンズ物体は、銀河系のディスク上の星またはハローのＭＡＣＨＯｓを考えるので、Ｄs≫Ｄである。従って、幾何学的考察から次式が成り立つ。
【数５】
2004206157.tif 000091
なお、別の視点で考えると、ＳＳ1の距離に着目した幾何学的考察から、次式が成り立つ。
【数６】
2004206157.tif 000092
θは、図１において、線分ＯＳ1とＯＰのなす角度、θsは、線分ＯＳとＯＰのなす角度である。
ここで、Ｄs≫Ｄを考慮して、Ｄs−Ｄ≒Ｄsとしても同様の結果が得られる。
【００２７】
次に、Ｉについての２次方程式である数５を、Ｉについて解くと、
【数７】
2004206157.tif 000093
【数８】
2004206157.tif 000094
となる。但し、
【数９】
2004206157.tif 000095
とした。
ここで、ＩEは、Ｌ＝０におけるＩの値で、
【数１０】
2004206157.tif 000096
で表され、アインシュタイン半径と呼ばれる。
この２つの解は、上述したとおり、クェーサーＳの主像Ｓ1と副像Ｓ2があることを表している。
【００２８】
次に、上述した光度中心Ｓcの位置を求める。
レンズ物体（ここでは、質点と近似して考えている。）を含む視線ＯＳに垂直な平面を考える。このとき、この平面と、視線ＯＳおよび主像Ｓi（ｉ＝１、２）からの光路とのそれぞれの交点周辺の微少面積を見込む地球Ｏからの立体角あたりの光量の比から増光率Ａiを求めると（ここで、クェーサーは等方的に光を発しているものとする。）、
【数１１】
2004206157.tif 000097
【数１２】
2004206157.tif 000098
となる。従って、光度中心Ｓcと視線ＯＳとの距離Ｌcは、
【数１３】
2004206157.tif 000099
となり、さらに、光度中心Ｓcの視線ＯＳからのずれを表す偏向角θcは、
【数１４】
2004206157.tif 000100
となる。但し、
【数１５】
2004206157.tif 000101
とした。
【００２９】
ここまでは、レンズ物体が１つであることを前提にしたが、実際は、多数の星々が存在し、多かれ少なかれ重力レンズ効果を引き起こす。その相互作用は、星々において互いに独立であるとすると、位置揺らぎの期待値、即ち、偏向角θcの２乗平均＜θc2＞は、
【数１６】
2004206157.tif 000102
で表される。ここで、ｎ（ｍ，ｒ）は、銀河系中心からｒの位置における、単位体積あたりの質量体数密度（濃度）分布である。具体的に説明すれば、銀河系は多くの星々の密集体であり、例えばコア部のように、より多くの星々が密集している部分もあれば、ディスク縁部のように、ほとんど密集していない部分もある。そこで、このような星々の密集の程度の分布を表すのが、単位体積あたりの質量体数密度分布である。いわば、銀河系に散りばめられた星々の濃度を表しているのである。以下において、特に断りのない限り、単に密度分布ということにする。
【００３０】
ここでは、レンズ物体として、銀河系のディスクの星とＭＡＣＨＯｓを考えることにする。すると、密度分布は、
【数１７】
2004206157.tif 000103
と表せる。ｎDは銀河系のディスクの星の密度分布、ｎMはＭＡＣＨＯｓの密度分布を表す。
そして、ディラックのデルタ関数と、銀河系のディスクの星およびＭＡＣＨＯｓの質量密度分布ρD、ρM（以下では、単に質量分布という。）を用いると、
【数１８】
2004206157.tif 000104
【数１９】
2004206157.tif 000105
と表すことができる。ここでは、銀河系のディスクの星の数１５で変換された変換質量ｍDは、すべて太陽質量も同様ｍsunに等しく、ＭＡＣＨＯｓの質量も同様ｍMは、すべて太陽質量の１／１０に等しいと仮定する。
【００３１】
銀河系のディスクの星の質量分布は、指数関数を用いたモデルを適用する。
【数２０】
2004206157.tif 000106
ここで、ΣDは、ディスク面に垂直な単位円柱体積あたりの質量密度を、Ｒ0は、太陽と銀河系中心部との距離、ＲDは、ディスク面の直径を、ｚDは、ディスクの厚さを表す。因みに、後の数値計算に用いた具体的な値は、ΣD＝４６ｍsun／ｐｃ3、Ｒ0＝８．５ｋｐｃ、ＲD＝３５ｋｐｃ、ｚD＝３００ｐｃである。ここで、座標系（ｘ，ｙ，ｚ）は、原点（０，０，０）を銀河系中心、ｘ−ｙ平面をディスク面、太陽が（Ｒ0，０，０）となるような直交座標系であるとする。
【００３２】
ハローの質量分布は、等方性モデルを適用する。
【数２１】
2004206157.tif 000107
ここで、ρ0は、局所的なダークマターの質量密度を、Ｒは、銀河系中心部からの距離を、ａは、ＭＡＣＨＯｓの分布のコア半径である。因みに、後の数値計算に用いた具体的な値は、ρ0＝７．９×１０-3ｍsun／ｐｃ3、ａ＝２ｋｐｃである。
【００３３】
偏向角θcの２乗平均＜θc2＞を数値計算するために、数１６の式変形を行う。
ｄＶ＝２πＬｄＬｄＤを代入して、数１６は、
【数２２】
2004206157.tif 000108
と書き表せる。
ここで、質量密度はＬに依存しないと仮定する。また、θcは、視線ＯＳの近傍、即ち、Ｌが比較的小さい範囲でレンズ物体の影響を大きく受けるとみなせるので、数２２のＬに関する積分範囲の上限をＬmax、下限をＬmin＝０ｐｃとする。
【００３４】
もう少し詳述すれば、ＭＡＣＨＯｓまたは星が１つだけあると仮定した視線ＯＳ周りの円柱領域を考えた場合、その円柱の平均半径Ｌi1（ｉ＝Ｄ、Ｍ）は、そのときの質量体数密度（濃度）分布から求めることができる。
【数２３】
2004206157.tif 000109
ここで、具体的な数値を当てはめて数値計算した結果、少なくともＬi1が約０．００７ｐｃであることが得られた。従って、上限は少なくとも０．００７ｐｃよりも大きくなければならない。一方、数１４からわかるように、Ｌが大きくなるにつれて、θcの値は十分小さくなるので、Ｌmaxを０．１ｐｃから１ｋｐｃに変化させたとしても、θcの２乗平均の平方根は２倍も違わないことがわかっている。従って、Ｌmaxを１ｐｃに設定しても格別の影響、つまり、オーダーあたりでの影響は無いということになる。
【００３５】
すると、数２２は、次式のように書き直せる。
【数２４】
2004206157.tif 000110
ここで、Ｌmax2≫ｍＤとＬmin＝０を考慮すると、さらに、
【数２５】
2004206157.tif 000111
と書き直せる。
ここにおいて、θcの２乗平均＜θc2＞の数値計算ができることになった。その結果、銀緯が低く、かつ、銀経の回らない方向、即ち地球から見た銀河系中心部の方向では、クェーサーの重力レンズ効果による偏向角（揺らぎ）が、１０μａｓ以上も見積もられることになるのがわかった。
【００３６】
このことは、誤差１０μａｓ程度の精度に基づくクェーサーの位置を基準に銀河系外基準座標系を構築する際、重力レンズ効果による１０μａｓ以上の位置の揺らぎが無視しえないものとなることを意味する。
【００３７】
＜誘起固有運動の期待値＞
上記においては、クェーサーに対する視線方向における星々の重力レンズ効果による位置揺らぎを見積もった。
ところで、重力レンズ効果を引き起こす星々は、宇宙空間において静止しているのではなく運動をしている。従って、重力レンズ効果を引き起こす星々がクェーサーに対する視線上ないしその近傍を通過すると、その通過に伴って、重力レンズ効果によって歪められたクェーサーからの光路の光度中心も運動をすることになる。この運動が、誘起固有運動である。
そこで、この誘起固有運動がどの程度起こるのか、その期待値を見積もることにする。
【００３８】
図２を参照する。この図は、観測点（地球Ｏ）から見た（ここでいう、見た、とは可視的に見たという意味ではない。）、天球上の、レンズ物体の位置をＰ、重力レンズ効果がなければそこに位置するであろうクェーサーの位置がＳ、レンズ物体の重力レンズ効果によって歪められた光路の光度中心がＳcの位置関係を表している。
【００３９】
さて、ここで知りたいのは光度中心Ｓcの運動であるが、とくにその速度を考えることにする。
Ｓcの、Ｓを原点とした２次元極座標表示（ｒ、φ）を考えると、Ｓc（θc、Ｓcφ）で表すことができる。また、Ｐの極座標表示は、Ｐ（Ｌ／Ｄ、Ｐφ）となる。ここで、Ｓcφと、Ｐφは不明な値であるので、適当にこのような記号で表しただけである。
ところで、公知として、二次元極座標表示（ｒ、φ）された位置における質点の速度はベクトル表示すると、ｔを時間として、
【数２６】
2004206157.tif 000112
と表せる。従って、Ｓcの運動速度ＶSc2（ベクトルではなく、スカラー量）は、
【数２７】
2004206157.tif 000113
で表される。
各成分は、
【数２８】
2004206157.tif 000114
【数２９】
2004206157.tif 000115
となる。ここでは、図２からレンズ物体の速度成分が、
【数３０】
2004206157.tif 000116
【数３１】
2004206157.tif 000117
と表せることと、単位時間あたりの角度の変化量が同じであるので、
【数３２】
2004206157.tif 000118
であることを用いた。
【００４０】
ところで、ここで、便宜上記号の置き換えをし、ＶSc＝ｄθc／ｄｔとすると、誘起固有運動の期待値、即ち、運動速度の２乗平均＜（ｄθc／ｄｔ）2＞は、
【数３３】
2004206157.tif 000119
と表せる。
ここで、レンズ物体の運動が等方性であることを仮定すれば、
【数３４】
2004206157.tif 000120
となる。ｖはレンズ物体の速度である。
【００４１】
従って、数３３は、数２７、数２８、数２９、およびｄＶ＝２πＬｄＬｄＤを代入して、さらにＬについて積分すると、
【数３５】
2004206157.tif 000121
となる。
ここで、レンズ物体であるディスクの星の速度ｖについて、銀河系中心を原点とする３次元極座標表示を考えるに当たり、ディスク部分は扁平な一様回転運動をしているとする。すると、図３から、ディスクの星の地球との相対速度ｖDは、ディスクの星の位置Ｐのディスク平面における投影位置をＰ1として、銀河系中心―地球―Ｐ1のなす角をｌ、銀河系中心―Ｐ1―地球のなす角をａ、銀河系に対する太陽系の公転速度をｖ0、ディスクの星の固有速度をｖD1と表せば、
【数３６】
2004206157.tif 000122
となる。さらに、ｖ0＝ｖD1＝ｖfとすると、数３６は、余弦定理を用いて、
【数３７】
2004206157.tif 000123
となる。
ＭＡＣＨＯｓについては、等方性で一様な速度を有すると仮定する。
ここでは、ｖf＝２２０ｋｍ／ｓ、ｖM＝１８０ｋｍ／ｓとした。
この仮定の下で、数値計算を行った結果、ディスクの星によるクェーサーの誘起固有運動は、銀径６０°以下において、約１０μａｓ／ｙｒ以上、ＭＡＣＨＯｓによる誘起固有運動は、どの方向においても、約７μａｓ／ｙｒ以上が見込まれることがわかった。なお、ここでは、ＭＡＣＨＯｓは銀河系ハローに一様に分布しているとした。
【００４２】
そこで、次に、位置揺らぎと誘起固有運動が起きる確率はどれくらいになるか見積もることにする。ここでは、光学深さ（ｏｐｔｉｃａｌ  ｄｅｐｔｈ）を計算する。
まず、偏向角θcの基準線である視線ＯＳと、偏向角θcを引き起こすレンズ物体（銀河系のディスクの星またはＭＡＣＨＯｓ）との距離をＬpos,i（θc）（ｉ＝Ｄ、Ｍ）とする。このとき、ある偏向角θcよりも大きい位置揺らぎが起きる光学深さσpos,i（θc）は、地球からレンズ物体のまでの距離における半径Ｌpos,iの円面積と、同じく地球からレンズ物体のまでの距離における上述した半径Ｌj1の円面積の比で表すことができ（より正確には、各円面積に、レンズ物体と地球との距離を掛け、さらにその距離におけるレンズ物体の数密度（濃度）を掛けたものの比であるが、ここでは、その距離と数密度は同じである。）、
【数３８】
2004206157.tif 000124
で定義される。そして、数３８は、この値が小さいときに、位置揺らぎの起きる確率を表しているとみることができる。
具体的な数値計算の結果、銀河系中心部を除けば、重力レンズ効果による１０μａｓの位置揺らぎは、大きくとも０．１ほどの確率でしか起きないということが得られた。
【００４３】
誘起固有運動の光学深さは、上記と同様にして、
【数３９】
2004206157.tif 000125
で定義される。
ところで、Ｌ≫ＩEとすると、θcと、ｄθc／ｄｔは、
【数４０】
2004206157.tif 000126
【数４１】
2004206157.tif 000127
となる。従って、
【数４２】
2004206157.tif 000128
が成り立つ。この数４２の意味するところは、レンズ物体の速度と質量が与えられれば、位置揺らぎと誘起固有運動の間に１対１の関係があるということである。
【００４４】
また、ここで、光学深さの指数則を導いておく。これは、任意の観測精度に対して光学深さがどれくらい変化するかを容易に求めるためである。
Ｌがアインシュタイン半径よりも十分に大きい場合を想定すると、数３８、数３９、数４０、数４１から
【数４３】
2004206157.tif 000129
【数４４】
2004206157.tif 000130
となる。
数４３、数４４の意味するところは、観測精度をｋ倍にすると、観測しうる重力レンズ効果による偏向角θcはｋ倍になるので、観測精度をｋ倍にしなかった場合に比較して、位置揺らぎの光学深さは１／ｋ2倍に、観測しうる重力レンズ効果による誘起固有運動ｄθc／ｄｔはｋ倍になるので、誘起固有運動の光学深さは１／ｋ倍になるということである。具体的に説明すると、例えば、観測精度（分解能）が１０μａｓとして、有効に観測しうる精度の限界である１０μａｓの偏向角θcが起きる光学深さをσ（１０μａｓ）であるとすると、観測精度（分解能）が２０μａｓの場合において、有効に観測しうる精度の限界である２０μａｓ（ｋ＝２）の偏向角θcが起きる光学深さσ（２０μａｓ）は、σ（１０μａｓ）の１／４になる、ということである。
【００４５】
以上のことは、上記過程からも明らかなように、銀河系の星の密度分布や、銀河系のディスクの星々やＭＡＣＨＯｓの平均質量の見積もりなどに依存することに注意が必要である。別の言い方をすれば、実際の観測結果と上記の見積もりとの間にずれが無ければ、それまでに仮定した（但し、闇雲の仮定ではなく、過去の天体観測に基づく仮定である。）銀河系の星の密度分布や質量分布のモデルの正当性が検証できることになるが、もし、ずれがある場合には、そのずれを解消するモデルを組み立てることが可能になることを示唆し、銀河系の星の密度分布や質量分布などのモデルを求めることができることになる。
上記では、バルジ方向を除く銀河系について説述してきたが、星が多く密集しているバルジ方向のクェーサーを観測すれば、銀河中心部の星の密度分布や質量分布のモデル化が可能になり、ひいては、銀河系全体のモデル化が可能になる。
【００４６】
【本発明が解決しようとする課題】
従って、本発明は、現実の銀河系に適合する、銀河系の星の密度分布、質量分布、速度分布を表す高精度の銀河系モデルを構築する方法を提供することを課題とする。
【００４７】
【課題を解決するための手段】
本発明は上記課題の解決を図るため、次の手段を用いる。
【００４８】
高精度天体位置観測装置に基づく天体位置計測において、天球上で銀河系中心部の近傍に位置するクェーサーに対する銀河系中心部の年周視差計測値および固有運動計測値から分離された、該クェーサーの重力レンズ効果に基づく位置揺らぎおよび誘起固有運動の値と、銀河系を構成する星の密度分布、質量分布、速度分布で表現される銀河系モデルに基づいて算出される重力レンズ効果による、該クェーサーの位置揺らぎおよび誘起固有運動の値との差異を比較し、太陽質量をＭsun、１年をｙｒとして、地球（但し、銀河系という巨視的観点から太陽系と同視できる）からクェーサーの視線方向周囲の円柱質量密度σ［１０3Ｍsun／ｐｃ3］、星の平均速度ｖ［１０2ｋｍ／ｓ］、光学深さτ［１０-2］、イベント割合Γ［１０-2ｙｒ-1］、位置揺らぎの起きる間隔＜Δｔ＞［ｙｒ］、イベント継続時間＜ｔe＞［ｙｒ］、星の平均質量Ｍの指数α、視線方向周囲の円柱質量密度σの指数β、星の平均速度ｖの指数γ、閾値である位置揺らぎθtの指数δの間において、τ、Γ、＜Δｔ＞、＜ｔe＞は、それぞれ、Ｍα、σβ、ｖγ、θtδに比例すること、および、τに対し、αは、１であること、Γに対し、αは、０であること、＜Δｔ＞に対し、αは、０であること、＜ｔe＞に対し、αは、１であること、τに対し、βは、１であること、Γに対し、βは、１であること、＜Δｔ＞に対し、βは、−１であること、＜ｔe＞に対し、βは、０であること、τに対し、γは、０であること、Γに対し、γは、１であること、＜Δｔ＞に対し、γは、−１であること、＜ｔe＞に対し、γは、−１であること、τに対し、δは、−２であること、Γに対し、δは、−１であること、＜Δｔ＞に対し、δは、１であること、＜ｔe＞に対し、δは、−１であることから、少なくとも、τとΓ、または、＜Δｔ＞と＜ｔe＞のいずれかの比例関係を用いて、上記銀河系モデルに用いられた銀河系の星の密度分布、質量分布、速度分布を補正することで、現実の銀河系の星の密度分布、質量分布、速度分布を表現する高精度な銀河系モデルを求める方法とする。
【００４９】
高精度天体位置観測装置の天体位置計測精度において、年周視差計測精度が、銀河系を構成する星の密度分布、質量分布、速度分布で表現される銀河系モデルに基づいて算出される重力レンズ効果による、クェーサーの位置揺らぎの平均値以内である、または、固有運動計測精度が、銀河系を構成する星の密度分布、質量分布、速度分布で表現される銀河系モデルに基づいて算出される重力レンズ効果による、誘起固有運動の平均値以内である、上記の銀河系モデルを求める方法としてもよい。
【００５０】
さらに、位置揺らぎと誘起固有運動との間において、１対１関係があること、および、位置揺らぎの平均値である平均位置揺らぎθ［μａｓ］、誘起固有運動の平均値である平均誘起固有運動μ［μａｓ／ｙｒ］、星の平均質量Ｍの指数α、視線方向周囲の円柱質量密度σの指数β、星の平均速度ｖの指数γ、閾値である位置揺らぎθtの指数δの間において、θ、μは、それぞれ、Ｍα、σβ、ｖγ、θtδに比例すること、および、θに対し、αは、略１／２であること、μに対し、αは、０であること、θに対し、βは、略１／２であること、μに対し、βは、１／２であること、θに対し、γは、０であること、μに対し、γは、１であること、θに対し、δは、０であること、μに対し、δは、０であることを、上記銀河系モデルに用いられた銀河系の星の密度分布、質量分布、速度分布の補正に用いる、上記銀河系モデルを求める方法としてもよい。
【００５１】
【発明の実施の形態】
本発明の実施形態を実施例に基づいて説明するが、以下の具体例は本発明を限定するものではない。実施形態例は、本発明の趣旨から逸脱しない限り適宜変更可能なものである。
【００５２】
銀河系は、天球上において、いわゆる天の川として視覚的にみることができる。そして、その天の川において、銀河系中心部は射手座方向に存在する。その射手座の銀河系中心部の方向に電波源の存在が観測され、ＳｇｒＡ（射手座Ａ）と命名された。さらに近年、ＳｇｒＡ電波源域の中に、より小さな電波源が発見され、ＳｇｒＡ*（射手座Ａコンパクト）と命名された。そして、ＳｇｒＡ*の放つ電波こそ、銀河系中心に存在するブラックホールに周囲の物質が落ち込む際に放つ電波であると考えられるようになった。
【００５３】
そこで、ＳｇｒＡ*を観測し、その位置、距離、固有運動の有無などを高精度に計測することで、銀河系中心部までの距離、銀河系の大きさ、太陽系の銀河系中心に対する回転の角速度、太陽系の内側にある質量などを求めることができるようになる。
【００５４】
さて、ＳｇｒＡ*の観測であるが、これは、上述したＶＥＲＡ計画に予定されている。ＶＥＲＡ計画で用いられるのは、位相補償相対ＶＬＢＩであり、同時に観測対象とするのは、ＳｇｒＡ*と、その近傍に存在するクェーサーである。つまり、不動点である（上述したとおり、重力レンズ効果による位置揺らぎが起こるため、必ずしも不動点ではない。）クェーサーに対するＳｇｒＡ*の相対運動を観測するのである。このとき、天球上における、ＳｇｒＡ*の見かけの運動は、少なくとも次の３つの要素を含むものと考えられる。
（Ａ）銀河系中心部に対する太陽系の公転運動に基づく長周期的な運動
（Ｂ）太陽に対する地球の公転運動に基づく年周視差変化
（Ｃ）銀河系中心部に対するＳｇｒＡ*の固有運動
【００５５】
１９９９年、アメリカ合衆国のＶＬＢＩシステムであるＶＬＢＡ（４３ＧＨｚ領域）をもってなされた、ＳｇｒＡ*の見かけの固有運動の計測結果が公表された。それによると、
2004206157.tif 000131
である。
一方、ＶＬＡ（アメリカ合衆国・ニューメキシコ州に設置された超大型電波干渉計：Ｖｅｒｙ  Ｌａｒｇｅ  Ａｒｒａｙ）（４．９ＧＨｚ領域）の計測結果によれば、
2004206157.tif 000132
である。
この計測結果は、０．４ｍａｓ／ｙの精度で、上記の要素（Ａ）である、銀河系中心部に対する太陽系の公転運動に基づく長周期的な運動を示したものである。つまり、太陽の銀河系中心周りの公転によってクェーサーとＳｇｒＡ*の角距離が年間約６ｍａｓ、一定割合で直線運動をすることを示す。なお、厳密には、太陽系の銀河系中心周りの公転運動なので直線運動ではないが、少なくとも数１０年単位での観測では、直線運動としてしか観測し得ないのである。
また、これは、上記の要素（Ｃ）である、銀河系中心部に対するＳｇｒＡ*の固有運動の上限精度をも示す。
【００５６】
そこで、次に残りの要素（Ｂ）である、太陽に対する地球の公転運動に基づく年周視差変化の計測が望まれる。過去における観測から、地球から銀河系中心部までのおよその距離は約８ｋｐｃとされるので、大雑把にいえば、銀経にして２５０μａｓ程度の１年周期の揺らぎが見積もられることになる。つまり、地球の太陽周りの公転運動によって、クェーサーとＳｇｒＡ*の角距離が１年周期で長径約２５０μａｓの楕円運動をすることを示す。
そして、ＶＥＲＡ計画では、ＳｇｒＡ*の年周視差を１０μａｓの高精度で計測するのである。
【００５７】
ところで、上述したとおり、１０μａｓの高精度で観測を行う際には、重力レンズ効果による位置揺らぎと誘起固有運動を無視し得なくなる。つまり、ＶＥＲＡ計画で用いられる位相補償相対ＶＬＢＩが同時に観測する２つの天体は、この場合、天球上におけるＳｇｒＡ*とＳｇｒＡ*近傍のクェーサー（Ｗ５６、Ｗ１０９、ＧＣ４４１等）であり、不動点である（はずの）クェーサーを基準にして、そのクェーサーに対する相対的なＳｇｒＡ*の位置を計測するのであるが、そのクェーサーは、天球上においてＳｇｒＡ*の周囲約０．７°付近（距離にして約１００ｐｃ）にあるため、重力レンズ効果によって位置揺らぎを生じるのである。より詳述すれば、銀河系中心方向に存在するクェーサーを観測するということは、とりもなおさず、銀河系のコア部、バルジ部、ディスク部といった星々が高密度に集合している部分を通してクェーサーを観測することに他ならず、その星々によってもたらされる重力レンズ効果による位置揺らぎは、ＭＡＣＨＯｓを通して観測する場合に比較して、より大きいものとなる（図５参照）。従って、ＭＡＣＨＯｓの影響は考えなくて良いことになる。
そして、この基準となるクェーサーの位置揺らぎが、ＳｇｒＡ*の位置計測に誤差となって影響を及ぼすことになる。
【００５８】
そこで、クェーサーに対する相対的なＳｇｒＡ*の見かけの運動には、上述した３要素（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）に加えて、次に２つの要素を考慮しなくてはならないことになる。
（Ｄ）地球からクェーサーに対する視線付近のバルジおよびディスク上の星々によってもたらされる重力レンズ効果による、クェーサーの位置揺らぎ。
（Ｅ）銀河系の回転に基づく、重力レンズ効果によるクェーサーの位置揺らぎの変化。
【００５９】
ＳｇｒＡ*の観測において、高精度に得たい観測データは、上記の３要素（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）であるが、高精度の観測では、観測データにおいて２要素（Ｄ）（Ｅ）が無視できない影響をもたらすので、観測データから、２要素（Ｄ）（Ｅ）を分離補正しなければならない。ところで、要素（Ｅ）については、せいぜい数十年という極めて短い観測では、事実上影響を受けないと言える。従って、ここでは要素（Ｄ）を考慮すれば良いことになる。
【００６０】
具体的に、銀河系中心部方向では、どれくらいの位置揺らぎ量が見込まれるか、それがどれくらいの確率で起こるか、どれくらいの頻度で起きるか、そのような位置揺らぎが起きた場合どれくらいの期間続くか、そのような位置揺らぎが起きる時間間隔はどれほどか等を、銀河系モデルを用いて見積もることにする。
【００６１】
再び図１を参照の上、説明する。Ｏは地球、Ｐはレンズ物体、Ｓはクェーサーである。Ｄは地球からレンズ物体までの距離、Ｄsは地球からクェーサーまでの距離である。視線ＯＳに対する見かけのクェーサーの位置を角度で表し、それをθとする。また、視線ＯＳとレンズ物体との距離をＬとする。レンズ物体の重力場の作り出す空間歪みによって歪められたクェーサーからの光路と、レンズ物体との距離をＩとする。このとき、上述の通り、
【数４５】
2004206157.tif 000133
が成り立つ。ここで、Ｒsはシュワルツシルト半径２ＧＭ／ｃ2（数３参照）である。Ｍはレンズ物体の質量である。
【００６２】
そして、この場合、Ｄs≫Ｄであり、また、重力レンズ効果はそれほど大きくない（大きく空間を歪めるほどの重力場を持つ重質量の天体を考慮する必要が無いとしてよいから。）ので、重力レンズ効果による副像は無視することにする。とすると、Ｉ〜Ｌ、Ｌ／Ｄ≫θとみなして良いことになる。
【００６３】
次に、光学深さτ（θ）と、単位時間（年）あたりどれくらいの頻度で位置揺らぎが起きるかを見積もる指標であるイベント割合Γ（θ）は、次式で与えられる。
【数４６】
2004206157.tif 000134
【数４７】
2004206157.tif 000135
ここで、Ｌ1は、星が１つだけあると仮定した視線ＯＳ周りの円柱領域を考えた場合のその円柱の平均半径（上述のＬi1を参照）を、Ｌ（θ）は、偏向角θを引き起こすレンズ物体の視線ＯＳに対する距離（上述のＬpos,i（θc）を参照）を、ｖは、視線ＯＳに対するレンズ物体の垂直速度を表す。
Γ（θ）は、地球からの距離Ｄにおける、半径Ｌ1の円面積における星の密度に対して、単位時間あたりに２Ｌ（θ）の線分を横切る星々の数に相当することを表している。
因みにここでのτ（θ）、Γ（θ）における、括弧の中のθは、変数としてのθではなく、ある定まった値、つまり、閾値としてのθを表すものとする。なぜなら、τ（θ）、Γ（θ）は、ある偏向角θの位置揺らぎがおきる、確率、イベント割合を表すものだからである。但し、閾値としてのθを意識する限り、θを変数と見ることを妨げるものではなく、単にθのとらえ方の違いである。
【００６４】
τ（θ）に関しては、上述した数３８で与えられる。そこで、Γ（θ）を、取り扱うことにする。
Ｉ〜Ｌであることに思い致せば、
【数４８】
2004206157.tif 000136
となる（数４０参照）。
従って、Ｌ（θ）は、重力定数が６．６７２×１０-11ｍ3ｋｇ-1ｓ-2であることを用いて、レンズ物体の質量を太陽質量Ｍsunで、偏向角θを１０μａｓで規格化すると、
【数４９】
2004206157.tif 000137
と表すことができる。
同様に、Ｌ1は、数２３から、
【数５０】
2004206157.tif 000138
と表すことができる。ここで、σは、視線方向周囲の円柱質量密度で、
【数５１】
2004206157.tif 000139
である。
数４６、数４７に数４９、数５０を代入すると、
【数５２】
2004206157.tif 000140
【数５３】
2004206157.tif 000141
となる。
【００６５】
以上から、位置揺らぎの起きる間隔＜Δｔ＞とひとたび位置揺らぎが生じたときのその継続時間であるイベント継続時間は＜ｔe＞は、
【数５４】
2004206157.tif 000142
【数５５】
2004206157.tif 000143
で表すことができ、
【数５６】
2004206157.tif 000144
となる。
【００６６】
ところで、銀河系に存在する星々による重力レンズ効果の程度は、銀河系の星々の質量分布と速度分布などを表す銀河系モデルに依存する。因みに、ここでは、銀河系中心部方向を考えているので、銀河系ハローのＭＡＣＨＯｓがもたらす影響は考えないものとする。
ここでは、銀河モデルとして、Ｋｅｎｔが１９９２年に発表したものとＧｅｎｚｅｌらが１９９６年に発表したものとをＡｌｅｘａｎｄｅｒ  ＆  Ｓｔｅｒｎｂｅｒｇが統合して１９９９年に発表した、銀河系中心部であるコア部、バルジ部、ディスク部ごとに星の密度分布をモデル化した３要素モデルを採用した。
即ち、
【数５７】
2004206157.tif 000145
【数５８】
2004206157.tif 000146
【数５９】
2004206157.tif 000147
である。ここで、Ｋ0（ｘ）は、０次の第２種変形ベッセル関数である。また、ρc＝４×１０6Ｍsunｐｃ-3、
ρb＝３．５３Ｍsunｐｃ-3、
ρd＝３Ｍsunｐｃ-3、
ｒc＝０．３８ｐｃ、
ｒb＝６６７ｐｃ、
ｒd＝３００１ｐｃ
である。また、数値計算にあたって、ディスクの半径の計算範囲は、１ｋｐｃ以上とした。
【００６７】
速度分布については、コア部、バルジ部においては一様速度分布とし、ディスク部においては、重力レンズ効果が地球（太陽系）に対する星の相対速度（つまり、銀河系自体が回転運動しているので、太陽系近傍のディスクの星々の地球（太陽系）に対する相対速度は遅くなり、逆に、銀河系中心部に対して、太陽系とは反対側にあるディスクの星々の地球（太陽系）に対する相対速度は速くなる。）に依存するため、太陽系と銀河系中心部との間の近傍ディスク部と、銀河系中心部に対して太陽系とは反対側にある遠方ディスク部との２つに分けて速度分布を考える。つまり、４速度分布モデルを採用した。
具体的には、太陽系に対する各部の速度を、
ｖcore＝２２０ｋｍ／ｓ
ｖbulge＝２２０ｋｍ／ｓ
ｖdisk(farside)＝４４０ｋｍ／ｓ
ｖdisk(nearside)＝３０ｋｍ／ｓ
とした。ここで、ｖcoreは、コア部の速度を、ｖbulgeは、バルジ部の速度を、ｖdisk(farside)は、遠方ディスク部の速度を、ｖdisk(nearside)は、近傍ディスク部の速度を表す。
【００６８】
以上に掲げた数式と、適当な具体的な数値を用いて、光学深さやイベント割合などの見積もりを行った。
レンズ物体の質量、つまりここでは、銀河系中心方向への視線周囲に存在する星々の質量Ｍについては、すべて一様に等しく、太陽質量Ｍsunの１／５とする。閾値である偏向角θは、１０μａｓとする。
【００６９】
なお、近傍ディスク部、バルジ部、コア部、遠方ディスク部を通した全体での光学深さτtotal、イベント割合Γtotal、イベント継続時間＜ｔe＞totalは、４速度分布モデルにおける各部の光学深さ、イベント割合をもって算出され、次式で表される。
【数６０】
2004206157.tif 000148
【数６１】
2004206157.tif 000149
【数６２】
2004206157.tif 000150
なお、ここで得られた位置揺らぎの期待値は、ＶＥＲＡ計画の観測精度である１０μａｓ以上である。
【００７０】
適宜記号の置き換えをして、図４に、視線方向周囲の円柱質量密度σ、地球からの距離Ｄ、星の平均速度ｖ、平均位置揺らぎθ、平均誘起固有運動μ、光学深さτ、イベント割合Γ、位置揺らぎの起きる間隔＜Δｔ＞、イベント継続時間＜ｔe＞、レンズ物体となる星の平均質量Ｍの指数α、視線方向周囲の円柱質量密度σの指数β、星の平均速度ｖの指数γ、閾値である位置揺らぎθtの指数δ、Ｍ＝１／５Ｍsun、θt＝１０μａｓにおける上記銀河モデルの具体的各数値との関係を示す表を掲げる。ここで、平均位置揺らぎは、数２５によって与えられる、＜θc2＞の平方根を、平均誘起固有運動は、数３５によって与えられる、＜（ｄθc／ｄｔ）2＞の平方根をいう。図４の表において、数式欄において掲げる数式群は、各諸元を算出するに必要な参照数式を掲げている。
【００７１】
以下に、平均位置揺らぎθ、平均誘起固有運動μ、光学深さτ、イベント割合Γ、位置揺らぎの起きる間隔＜Δｔ＞、イベント継続時間＜ｔe＞、星の平均質量Ｍの指数α、視線方向周囲の円柱質量密度σの指数β、星の平均速度ｖの指数γ、閾値である位置揺らぎθtの指数δとの関係を具体的に算出する。
【００７２】
まず、θに対する、α、β、γ、δを求める。
上述のとおり、θは数２５から、
【数６３】
2004206157.tif 000151
で与えられる。ここでは、ディスク部分の星々を考慮すればよいことと、ｍ＝４ＧＭ／ｃ2（数１５参照）で表されることに留意している。
さて、まずこのときのαを求める。即ち、
【数６４】
2004206157.tif 000152
となる。従って、α＝〜１／２となる。
次に、βを求める。数６３と数５１から、
【数６５】
2004206157.tif 000153
となる。従って、β＝〜１／２となる。
γとδであるが、数６３に速度ｖと閾値θtは含まれていないので、γ＝δ＝０となる。即ち、θ（ｋｖ）＝θ（ｖ）、θ（ｋθt）＝θ（θt）である。
【００７３】
次に、μに対する、α、β、γ、δを求める。
μは、数３５から、
【数６６】
2004206157.tif 000154
で与えられる。従って、数６６に、平均質量Ｍ、閾値θtは含まれていないので、α＝δ＝０となる。即ち、μ（ｋＭ）＝μ（Ｍ）、μ（ｋθt）＝μ（θt）である。
さて、βは、
【数６７】
2004206157.tif 000155
となる。従って、β＝１／２である。
次に、γは、
【数６８】
2004206157.tif 000156
となる。従って、γ＝１となる。
【００７４】
次に、τに対する、α、β、γ、δを求める。
τは、数５２から、
【数６９】
2004206157.tif 000157
【数７０】
2004206157.tif 000158
【数７１】
2004206157.tif 000159
となる。従って、α＝β＝１、δ＝−２となる。
また、数５２は、速度ｖを含んでいないので、γ＝０となる。即ち、τ（ｋｖ）＝τ（ｖ）である。
【００７５】
次に、Γに対する、α、β、γ、δを求める。
Γは、数５３から、
【数７２】
2004206157.tif 000160
【数７３】
2004206157.tif 000161
【数７４】
2004206157.tif 000162
となる。従って、β＝γ＝１、δ＝−１となる。
また、数５３は、平均質量Ｍを含んでいないので、α＝０となる。即ち、Γ（ｋＭ）＝τ（Ｍ）である。
【００７６】
次に、＜Δｔ＞に対する、α、β、γ、δを求める。
＜Δｔ＞は、数５４から、Γ（θ）の−１乗なので、＜Δｔ＞に対するα、β、γ、δも、Γに対するα、β、γ、δの−１乗となる。従って、α＝０、β＝γ＝１、δ＝−１となる。
【００７７】
次に、＜ｔe＞に対する、α、β、γ、δを求める。
＜ｔe＞は、数５６から、
【数７５】
2004206157.tif 000163
【数７６】
2004206157.tif 000164
【数７７】
2004206157.tif 000165
となる。従って、α＝１、γ＝δ＝−１となる。
また、数５６は、視線方向周囲の円柱質量密度σを含んでいないので、β＝０となる。即ち、＜ｔe＞（ｋσ）＝τ（σ）である。
【００７８】
図４に示す表は、上述の銀河系モデルにおいては、重力レンズ効果によって、各クェーサーが１０μｓ以上の位置揺らぎを生じる確率は２５％であることを示す。そして、ひとたび重力レンズ効果による位置揺らぎが生じた場合、そのイベント継続時間は、約５．５年であることを示す。このことは、ＶＥＲＡ計画において、クェーサーを基準にしたＳｇｒＡ*の位置観測結果（年周視差）から、クェーサーの位置揺らぎを除去するには、少なくとも５．５年以上、好ましくは１０年程度の観測が必要になることを示すものである。
【００７９】
また、図４に示した指数則の関係を使えば、レンズ物体の質量や速度などに応じた、位置揺らぎの光学深さやイベント継続時間などが求められる。つまり、θ、μ、τ、Γ、＜Δｔ＞、＜ｔe＞は、それぞれ、Ｍα、σβ、ｖγ、θtδに比例することを利用する。例えば、レンズ物体の平均質量が、Ｍ＝１／５Ｍsunではなく、Ｍ＝１Ｍsunであるとする（但し、その他の条件は同一とする）と、光学深さτとレンズ物体の平均質量との指数関係は、図４から１なので、τ（Ｍ＝１Ｍsun）＝τ（Ｍ＝１／５Ｍsun）×｛１Ｍsun／（１／５Ｍsun）｝1で求められる。即ち、具体的には、τ（Ｍ＝１Ｍsun）＝２５×１０-2×５1＝１．２５となる。これは、１．２５＞１．００なので、１０μａｓ以上の位置揺らぎが生じる確率が１００％であることを示す。
【００８０】
逆にいえば、観測結果から、その観測結果に適合するレンズ物体、即ち銀河系の星々の密度、質量や速度の分布を求めることが可能になるということである。つまり、銀河系中心部の年周視差計測値および固有運動計測値から分離されたクェーサーの位置揺らぎと誘起固有運動の値とから、数５２、数５３、数５４、数５５、数５６に基づいて、平均質量Ｍと視線方向周囲の円柱質量密度σが求まる。従って、もとの銀河系モデルと、数５１、数５７、数５８、数５９から、質量分布を決定することができる。また、数１８と平均質量Ｍと質量分布から密度分布を決定できる。
また、ＳｇｒＡ*に対する離角の異なる複数のクェーサーについて観測を行うことで、数５７、数５８、数５９におけるパラメータ、ρc、ρb、ρd、ｒc、ｒb、ｒdについても、決定することが可能である。
なお、速度分布は、数５３、数５６から、適宜補正可能である。ただし、必ずしも、数５３、数５６で補正を要するものではなく、例えば、ディスク面の中性水素ガス、ＨＩＩ領域、ＯＢ型星、散開星団、分子雲などの視線速度と固有運動の解析から得られたものや、重力レンズの光学深さが小さいところでの継続的な位置計測の結果などを用いてもよい。このようにして補正するパラメータを少なくすることで、より高精度の銀河系モデルを構築が可能となる。
【００８１】
具体的には、ＶＥＲＡ計画では、クェーサーとＳｇｒＡ*との位置関係を２ヶ月に１度程度観測を数年間行う予定となっている。上述したように予測される期間にわたる観測結果には、上述した、太陽の銀河系中心周りの公転に基づくクェーサーとＳｇｒＡ*の角距離で年間約６ｍａｓの直線運動、地球の太陽周りの公転運動に基づくクェーサーとＳｇｒＡ*の角距離にして１年周期で長径約２５０μａｓの楕円運動、上述した重力レンズ効果に基づくより長周期の位置揺らぎが、合成して含まれることになる。そこで、フーリエ変換等の公知の手法で、これらの各成分を分離することで、基準座標系であるクェーサーの位置揺らぎと誘起固有運動を排除できるので、クェーサーに対するＳｇｒＡ*のより正確な位置が求まることになる。さらに、上述したとおり、位置揺らぎと誘起固有運動には、１対１の関係があるので、観測結果に含まれる位置揺らぎと誘起固有運動との間の相関関係から、上述した銀河系モデルが正当なものであるかの検証が可能であり、さらに、もし、食い違いが生じる場合には、図４に掲げる表に基づいて、銀河系モデルに用いた各種のパラメータ、即ち、密度、質量、速度を変化させて補正することで、観測結果に適合する適切な、つまり、現実の銀河系の星の密度分布、質量分布、速度分布を表現する高精度な銀河系モデルを構築できることになる。
【００８２】
本発明の方法は、日本のＶＥＲＡ計画においてのみ有効な方法ではなく、ＶＥＲＡ計画に後続する上記の各計画の高精度天体位置観測装置の観測結果にも適用可能な汎用性のあるものである。
【００８３】
銀河系モデルを高精度に構築することで、将来の宇宙探査や宇宙開発などの産業分野あるいはその関連産業の発展に寄与するとともに、本発明は、その発展の礎となるものである。
【図面の簡単な説明】
【図１】レンズ物体による光路変化を示す図
【図２】天球上におけるレンズ物体、観測対象天体、光度中心の位置関係と運動関係を示す図
【図３】レンズ物体を銀河系ディスク部へ投影し、地球との相対速度を示す図
【図４】視線方向周囲の円柱質量密度σ、地球からの距離Ｄ、星の平均速度ｖ、平均位置揺らぎθ、平均誘起固有運動μ、光学深さτ、イベント割合Γ、位置揺らぎの起きる間隔＜Δｔ＞、イベント継続時間＜ｔe＞、星の質量Ｍの指数α、視線方向周囲の円柱質量密度σの指数β、星の平均速度ｖの指数γ、閾値である位置揺らぎθtの指数δ、Ｍ＝１／５Ｍsun、θt＝１０μａｓにおける上記銀河モデルの具体的各数値との関係を示す表
【図５】地球から銀河中心部を通してクェーサーを観測する様子を示す図
【符号の説明】
１  地球（但し、銀河系という巨視的観点からすれば、太陽系と同視できる）
２  コア部
３  バルジ部
４  近傍ディスク部
５  遠方ディスク部
６  クェーサー
７  銀河系