(57)【要約】【課題】自由曲線・曲面の連続性を保障する曲面理論を採用することで、ＣＡＤモデルの利用価値を大幅に高めることができるとともに、設計・生産プロセスを効率化することができるＣＡＤシステム及びＣＡＤプログラムを提供する。【解決手段】コンピュータに、曲面上の複数の点列を抽出する点列情報抽出処理と、点列から他のＣＡＤシステムを用いて曲面を生成し、曲面を所定数のメッシュに分割する分割処理と、メッシュの接平面を形成する接線ベクトルによって定義される一次規格量を算出する一次規格量算出処理と、接線ベクトルとメッシュの法線ベクトルによって定義される二次規格量を算出する二次規格量算出処理と、点列情報及び一次規格量並びに二次規格量を記憶する記憶処理とを実行させる。【選択図】　図１
2004127099.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
曲面上の複数の点列を抽出する点列情報抽出手段と、
前記点列から他のＣＡＤシステムを用いて曲面を生成し、該曲面を所定数のメッシュに分割する分割手段と、
該メッシュの接平面を形成する接線ベクトルによって定義される一次規格量を算出する一次規格量算出手段と、
前記接線ベクトルと前記メッシュの法線ベクトルによって定義される二次規格量を算出する二次規格量算出手段と、
前記点列情報及び前記一次規格量並びに前記二次規格量を記憶する記憶手段と
を具備することを特徴とするＣＡＤシステム。
【請求項２】
前記一次規格量及び二次規格量に基づいて、前記メッシュの主曲率を算出する主曲率算出手段と、
前記主曲率に基づいて、前記メッシュの主方向を示す曲率線を算出する曲率線算出手段と、
前記主曲率，前記主方向，前記曲率線，並びに前記一次規格量及び二次規格量に基づいて算出されるガウス曲率及び平均曲率からなる前記曲面の特徴を示す５つの特徴量のうち、１または２以上の特徴量の変化パターンによって規定される変形の基準点または基準線となる点または線の抽出を行う特徴点・特徴線解析手段と、
前記一次規格量及び二次規格量より算出される曲率に基づいてガース長さを算出するガース長さ算出手段と
をさらに具備することを特徴とする請求項１に記載のＣＡＤシステム。
【請求項３】
前記特徴点または特徴線を変形の基準として、前記曲率線方向に前記ガース長さ分だけ前記曲率線を変形させ、前記メッシュまたは前記曲面を再生する再生手段
をさらに具備することを特徴とする請求項２に記載のＣＡＤシステム。
【請求項４】
前記再生したメッシュまたは曲面から曲面上の複数の点列を抽出し、該点列を他のＣＡＤシステムにおける図形表現アルゴリズムにしたがって、変換する変換手段
をさらに具備することを特徴とする請求項３に記載のＣＡＤシステム。
【請求項５】
コンピュータに、
曲面上の複数の点列を抽出する点列情報抽出処理と、
前記点列から他のＣＡＤシステムを用いて曲面を生成し、該曲面を所定数のメッシュに分割する分割処理と、
該メッシュの接平面を形成する接線ベクトルによって定義される一次規格量を算出する一次規格量算出処理と、
前記接線ベクトルと前記メッシュの法線ベクトルによって定義される二次規格量を算出する二次規格量算出処理と、
前記点列情報及び前記一次規格量並びに前記二次規格量を記憶する記憶処理と
を実行させるためのＣＡＤプログラム。
【請求項６】
前記一次規格量及び二次規格量に基づいて、前記メッシュの主曲率を算出する主曲率算出処理と、
前記主曲率に基づいて、前記メッシュの主方向を示す曲率線を算出する曲率線算出処理と、
前記主曲率，前記主方向，前記曲率線，並びに前記一次規格量及び二次規格量に基づいて算出されるガウス曲率及び平均曲率からなる前記曲面の特徴を示す５つの特徴量のうち、１または２以上の特徴量の変化パターンによって規定される変形の基準点または基準線となる点または線の抽出を行う特徴点・特徴線解析処理と、
前記一次規格量及び二次規格量より算出される曲率に基づいてガース長さを算出するガース長さ算出処理と
をさらにコンピュータに実行させるための請求項５に記載のＣＡＤプログラム。
【請求項７】
前記特徴点または特徴線を変形の基準として、前記曲率線方向に前記ガース長さ分だけ前記曲率線を変形させ、前記メッシュまたは前記曲面を再生する再生処理
をさらにコンピュータに実行させるための請求項６に記載のＣＡＤプログラム。
【請求項８】
前記再生したメッシュまたは曲面から曲面上の複数の点列を抽出し、該点列を他のＣＡＤシステムにおける図形表現アルゴリズムにしたがって、変換する変換処理
をさらにコンピュータに実行させるための請求項７に記載のＣＡＤプログラム。
【請求項９】
曲面上の複数の点列を抽出する点列情報抽出手段と、
前記点列から他のＣＧシステムを用いて曲面を生成し、該曲面を所定数のメッシュに分割する分割手段と、
該メッシュの接平面を形成する接線ベクトルによって定義される一次規格量を算出する一次規格量算出手段と、
前記接線ベクトルと前記メッシュの法線ベクトルによって定義される二次規格量を算出する二次規格量算出手段と、
前記点列情報及び前記一次規格量並びに前記二次規格量を記憶する記憶手段と
を具備することを特徴とするＣＧシステム。
【請求項１０】
コンピュータに、
曲面上の複数の点列を抽出する点列情報抽出処理と、
前記点列から他のＣＧシステムを用いて曲面を生成し、該曲面を所定数のメッシュに分割する分割処理と、
該メッシュの接平面を形成する接線ベクトルによって定義される一次規格量を算出する一次規格量算出処理と、
前記接線ベクトルと前記メッシュの法線ベクトルによって定義される二次規格量を算出する二次規格量算出処理と、
前記点列情報及び前記一次規格量並びに前記二次規格量を記憶する記憶処理と
を実行させるためのＣＧプログラム。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、部材の形状を目標の曲面形状に変形するＣＡＤシステム及びＣＡＤプログラムに関する。
【０００２】
【従来の技術】
今日、消費者の要求に応えるべく、企画から設計・生産のプロセスの短縮化が望まれている。設計・生産プロセスを効率化するために、ＣＧ（Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｇｒａｐｈｉｃｓ）やＣＡＤ（Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ａｉｄｅｄ　Ｄｅｓｉｇｎ）システムの利用が盛んに行われている。コンピュータ上で自動車や家庭電器製品等の複雑な曲線や曲面形状を持った形状を表現するために、従来、以下の処理方法が存在する
【０００３】
一つ目はソリッドモデルであって、プリミティブと呼ばれる簡単な形状をコンピュータ内で保持し、その形状同士を組み合わせる操作を繰り返して、複雑な形状を表現する。プリミティブとは、例えば円柱、立方体、直方体、トーラス、球等であって、ソリッドモデルにおいてはこれらのプリミティブの集合演算によって形状表現を行う。したがって、複雑な形状を作成するためには多くのステップを必要とするとともに、厳密な計算が必要となる。
【０００４】
二つ目はサーフェスモデルであって、ｂｅｚｉｅｒ、ｂ−ｓｐｌｉｎｅ、有理ｂｅｚｉｅｒ、ＮＵＲＢＳ（Ｎｏｎ−Ｕｎｉｆｏｒｍ　Ｒａｔｉｏｎａｌ　ｂ−ｓｐｌｉｎｅ）などのアルゴリズムを利用することにより、線や面を切る、つなげるといった操作を行い、この繰り返しにより複雑な自由曲線・曲面を表現する。
【０００５】
しかし、上述のソリッドモデルやサーフェスモデルでは表現上では問題がないモデルであっても、ＣＡＭやＣＡＥ等の下流アプリケーションで使用する場合に問題が発生することがある。この原因は、作成したＣＧがサポートするサポート要素と他のＣＧ、ＣＡＤ及び下流アプリケーションがサポートするサポート要素の違いや形状定義の違い等であり、これらの違いを修正するトランスレータ等のアプリケーションを介してモデルの補正を行う（特許文献３等を参照）。
【０００６】
【特許文献１】
特開２００１−２５０１３０号公報
【特許文献２】
特開平１１−６５６２８号公報
【特許文献３】
特開平１０−６９５０６号公報
【特許文献４】
特開平４−１３４５７１号公報
【特許文献５】
特開平４−１１７５７２号公報
【特許文献６】
特開平１−６５６２８号公報
【０００７】
【発明が解決しようとする課題】
しかし、上述の補正作業は設計・生産プロセスの短縮化を図る上では、極めて非効率的である。補正が必要となる理由は、個々のケースによって様々であるが、特に生産過程において問題となる点は、従来のＣＧやＣＡＤシステムにおいては、ユークリッド幾何によってすべての曲線・曲面表現を近似しているである。例えば、図６に示す鞍型のタブシル面をスイ−プ操作によって生成する場合、鞍の裾部分の長い線と鞍の中心部分の短い線とが存在する。したがってこのスイ−プ操作は生成される曲面の連続性を保つように図形の伸縮を伴う変形となる。しかし、従来のＣＧやＣＡＤシステムにおいてはこの伸縮を考慮しておらず、内部表現としては円筒型として近似表現している。このため、実際にこういったユークリッド幾何で近似的に表現されるＣＧモデル、あるいはＣＡＤモデルをＣＡＥに渡すと、ここで生じる誤差が生産上問題となる。
【０００８】
本発明は、このような問題を解消すべく案出されたものであり、ＣＧモデルあるいはＣＡＤモデルの利用価値を大幅に高めることができるとともに、設計・生産プロセスを効率化することができるＣＡＤシステム及びＣＡＤプログラムを提供することを目的とする。
【０００９】
【課題を解決するための手段】
請求項１に記載の発明は、曲面上の複数の点列を抽出する点列情報抽出手段と、前記点列から他のＣＡＤシステムを用いて曲面を生成し、該曲面を所定数のメッシュに分割する分割手段と、該メッシュの接平面を形成する接線ベクトルによって定義される一次規格量を算出する一次規格量算出手段と、前記接線ベクトルと前記メッシュの法線ベクトルによって定義される二次規格量を算出する二次規格量算出手段と、前記点列情報及び前記一次規格量並びに前記二次規格量を記憶する記憶手段とを具備することを特徴とする。
【００１０】
請求項２に記載の発明は、請求項１に記載の発明において、前記一次規格量及び二次規格量に基づいて、前記メッシュの主曲率を算出する主曲率算出手段と、前記主曲率に基づいて、前記メッシュの主方向を示す曲率線を算出する曲率線算出手段と、前記主曲率，前記主方向，前記曲率線，並びに前記一次規格量及び二次規格量に基づいて算出されるガウス曲率及び平均曲率からなる前記曲面の特徴を示す５つの特徴量のうち、１または２以上の特徴量の変化パターンによって規定される変形の基準点または基準線となる点または線の抽出を行う特徴点・特徴線解析手段と、前記一次規格量及び二次規格量より算出される曲率に基づいてガース長さを算出するガース長さ算出手段とをさらに具備することを特徴とする。
【００１１】
請求項３に記載の発明は、請求項２に記載の発明において、前記特徴点または特徴線を変形の基準として、前記曲率線方向に前記ガース長さ分だけ前記曲率線を変形させ、前記メッシュまたは前記曲面を再生する再生手段とをさらに具備することを特徴とする。
【００１２】
請求項４に記載の発明は、請求項３に記載の発明において、前記再生したメッシュまたは曲面から曲面上の複数の点列を抽出し、該点列を他のＣＡＤシステムにおける図形表現アルゴリズムにしたがって、変換する変換手段をさらに具備することを特徴とする。
【００１３】
請求項５に記載の発明は、コンピュータに、曲面上の複数の点列を抽出する点列情報抽出処理と、前記点列から他のＣＡＤシステムを用いて曲面を生成し、該曲面を所定数のメッシュに分割する分割処理と、該メッシュの接平面を形成する接線ベクトルによって定義される一次規格量を算出する一次規格量算出処理と、前記接線ベクトルと前記メッシュの法線ベクトルによって定義される二次規格量を算出する二次規格量算出処理と、前記点列情報及び前記一次規格量並びに前記二次規格量を記憶する記憶処理とを実行させるためのＣＡＤプログラムである。
【００１４】
請求項６に記載の発明は、請求項５に記載の発明において、前記一次規格量及び二次規格量に基づいて、前記メッシュの主曲率を算出する主曲率算出処理と、前記主曲率に基づいて、前記メッシュの主方向を示す曲率線を算出する曲率線算出処理と、前記主曲率，前記主方向，前記曲率線，並びに前記一次規格量及び二次規格量に基づいて算出されるガウス曲率及び平均曲率からなる前記曲面の特徴を示す５つの特徴量のうち、１または２以上の特徴量の変化パターンによって規定される変形の基準点または基準線となる点または線の抽出を行う特徴点・特徴線解析処理と、前記一次規格量及び二次規格量より算出される曲率に基づいてガース長さを算出するガース長さ算出処理とをさらにコンピュータに実行させるためのＣＡＤプログラムである。
【００１５】
請求項７に記載の発明は、請求項６に記載の発明において、前記特徴点または特徴線を変形の基準として、前記曲率線方向に前記ガース長さ分だけ前記曲率線を変形させ、前記メッシュまたは前記曲面を再生する再生処理をさらにコンピュータに実行させるためのＣＡＤプログラムである。
【００１６】
請求項８に記載の発明は、請求項７に記載の発明において、前記再生したメッシュまたは曲面から曲面上の複数の点列を抽出し、該点列を他のＣＡＤシステムにおける図形表現アルゴリズムにしたがって、変換する変換処理をさらにコンピュータに実行させるためのＣＡＤプログラムである。
【００１７】
請求項９に記載の発明は、曲面上の複数の点列を抽出する点列情報抽出手段と、前記点列から他のＣＧシステムを用いて曲面を生成し、該曲面を所定数のメッシュに分割する分割手段と、該メッシュの接平面を形成する接線ベクトルによって定義される一次規格量を算出する一次規格量算出手段と、前記接線ベクトルと前記メッシュの法線ベクトルによって定義される二次規格量を算出する二次規格量算出手段と、前記点列情報及び前記一次規格量並びに前記二次規格量を記憶する記憶手段とを具備することを特徴とする。
【００１８】
請求項１０に記載の発明は、コンピュータに、曲面上の複数の点列を抽出する点列情報抽出処理と、前記点列から他のＣＧシステムを用いて曲面を生成し、該曲面を所定数のメッシュに分割する分割処理と、該メッシュの接平面を形成する接線ベクトルによって定義される一次規格量を算出する一次規格量算出処理と、前記接線ベクトルと前記メッシュの法線ベクトルによって定義される二次規格量を算出する二次規格量算出処理と、前記点列情報及び前記一次規格量並びに前記二次規格量を記憶する記憶処理とを実行させるためのＣＧプログラムである。
【００１９】
【発明の実施の形態】
以下、本発明のＣＡＤシステムの一実施形態について図面を参照して説明する。図１は本実施形態のＣＡＤシステムの構成を示す構成図である。本実施形態のＣＡＤシステムは、ＣＰＵ等の中央演算処理装置（図示せず）、ＲＯＭやＲＡＭ等の記憶メモリ（図示せず）、データベース１０、画像表示処理部１１、表示部１２、出力部１３、通信部（図示せず）からなる。
ＣＰＵは、ＲＯＭに記憶された解析プログラム１、変換プログラム２、再生プログラム３を読み出して、自由曲面解析、変換、再生に関する一連の処理を実行する。ＲＡＭは、ＣＰＵが一次的にデータを記憶させるための半導体メモリである。
【００２０】
解析プログラム１は、ＣＡＴなどによる３次元形状物の実測値データ２０や他のＣＡＤフォーマットデータ２１（例えば、ソリッドモデル、ｂｅｚｉｅｒ、ｂ−ｓｐｌｉｎｅ、有理ｂｅｚｉｅｒ、ＮＵＲＢＳ等のサーフェスモデルで表現された図形データ）を読み込んで、点列情報テーブル３０、一次規格量テーブル３１、二次規格量テーブル３２を作成し、データベース１０に記憶させる処理をＣＰＵに実行させるプログラムである。
点列情報テーブル３０は、図２に示すように
【数１】
2004127099.tif 000003
のパラメータ形式で表示される曲面上の点列情報（ｕ、ｖ）からなる。例えば、ｕ＝０、１／ｍ、２／ｍ、・・・ｍ−１／ｍ（ｍは自然数）であり、ｖ＝０、１／ｎ、２／ｎ、・・・ｎ−１／ｎ（ｎは自然数）とすると、図２に示す曲面はｍ×ｎのメッシュに分割される。この場合、点列情報（ｕ、ｖ）は、メッシュＩＤ１〜ＩＤｍｎまでのｍｎ個のデータ列となる。
【００２１】
一次規格量テーブル３１は、以下の式により導出される一次規格量Ｅ，Ｆ，Ｇからなる。上述のｕとｖに関数関係がある場合、ｓ（ｕ、ｖ）は曲面上の曲線を表し、偏導関数∂ｓ／∂ｕ＝Ｓｕは、ｕ＝一定の曲線の接線ベクトルを表し、偏導関数∂ｓ／∂ｖ＝Ｓｖは、ｖ＝一定の曲線の接線ベクトルを表す。このとき、基本ベクトルＳｕ、Ｓｖは、曲面の接平面を形成する。また、曲面上の２点ｓ（ｕ、ｖ）からｓ（ｕ＋ｄｕ、ｖ＋ｄｖ）を結ぶベクトルｄｓは
【数２】
2004127099.tif 000004
で表される。ここでｄｓの絶対値の自乗は
【数３】
2004127099.tif 000005
で表され，曲面の基本ベクトルより、上述の一次規格量が次式で定義される。
【数４】
2004127099.tif 000006
上述の一次規格量Ｅ，Ｆ，Ｇは、このように各メッシュに一意に定まり、一次規格量テーブル３１は、メッシュＩＤ１〜ＩＤｍｎそれぞれに対する値を格納する。
また上記式３及び式４をまとめると、
【数５】
2004127099.tif 000007
となる。
【００２２】
二次規格量テーブル３２は、以下の式により導出される二次規格量Ｌ，Ｍ，Ｎからなる。基本ベクトルＳｕ、Ｓｕがなす角をωとすると、これらの内積Ｆと、基本ベクトルのベクトル積の絶対値Ｈは、一次規格量を用いて以下のように表される。
【数６】
2004127099.tif 000008
【数７】
2004127099.tif 000009
【００２３】
この算出値Ｈを用いて、曲面上の単位法線ベクトルｎは以下の式で表される。
【数８】
2004127099.tif 000010
また、図３に示すように、曲面上の点Ｐにおける接線ベクトルの線束はこの接平面内に存在し、単位接線ベクトルｔの１つは、以下の式で表される。
【数９】
2004127099.tif 000011
図３に示すように、このｔとｎで定まる平面を法平面という。
この法断面上の点Ｐにおける曲率κを法曲率といい、ｔを法断面の弧長ｓで微分すると、
【数１０】
2004127099.tif 000012
となる。両辺に法線ベクトルを掛けて、以下に示す二次規格量
【数１１】
2004127099.tif 000013
を導入すると、
【数１２】
2004127099.tif 000014
となる。
上述の二次規格量Ｌ，Ｍ，Ｎは、このように各メッシュに一意に定まり、二次規格量テーブル３２は、メッシュＩＤ１〜ＩＤｍｎそれぞれに対する値を格納する。
なお、式５を式１２に代入すると、以下の式が得られる。
【数１３】
2004127099.tif 000015
以上によって一次規格量及び二次規格量から法曲率が算出される。
【００２４】
変換プログラム２は、点列情報テーブル３０、一次規格量テーブル３１、二次規格量テーブル３２より自由曲面に必要な情報を読み出して、自由曲面データを生成し、他のＣＡＤアプリケーションが解釈できる形に変形する処理をコンピュータに実行させるプログラムである．
再生プログラム３は、変換プログラム２と同様に、点列情報テーブル３０、一次規格量テーブル３１、二次規格量テーブル３２より自由曲面に必要な情報を読み出して自由曲面データを生成し、画像表示処理部１１に出力する処理をコンピュータに実行させるプログラムである。
【００２５】
データベース１０は、上述の点列情報テーブル３０、一次規格量テーブル３１、二次規格量テーブル３２を記憶しており、解析プログラム１の出力結果が後述するメッシュＩＤと関連付けて書き込まれる。
画像表示処理部１１は、再生プログラム及び他のＣＡＤアプリケーションからの出力結果の画像表示処理を行う。
表示部１２は、画像表示処理部１１の出力結果を表示する。
出力部１３は、画像表示処理部１１の出力結果を通信部や他の記録媒体等に出力する。通信部は、ＬＡＮやインターネット等のネットワークを介して他のサーバやクライアントにデータベース１に記憶された点列情報、一次規格量、二次規格量等のデータの送受信を行う。
【００２６】
次に本実施形態のＣＡＤシステムによる自由曲面解析、変換、再生に関する一連の処理の流れについて図面を参照して説明する。図４は、解析プログラム１による自由曲面解析からデータ転送が行われるまでの処理の流れを示すフローチャートである。
ユーザの操作により、実測値データ２０や他のＣＡＤフォーマットデータ２１の解析命令を受けて、ＣＰＵはＲＯＭより解析プログラム１を読み出して、自由曲面解析処理を実行する。まずＣＰＵは、実測値データ２０や他のＣＡＤフォーマットデータ２１が保持する、２次元ＮＵＲＢＳ面や双三次曲面などの曲面上の複数の点列を抽出する処理を行う。そして、この点列から他のＣＡＤシステムを用いて曲面を生成し（図４のステップＳ１）、図２に示すように曲面を所定数ｍｎのメッシュに分割した後、各メッシュ部分を基本ベクトルＳｕ、Ｓｖで規格化する。規格化時に生成される点列情報（ｕ、ｖ）は、データベース１０の保持する点列情報テーブル３０にメッシュＩＤとともに関連付けられて書き込まれる。
【００２７】
次にＣＰＵは、微分幾何解析処理を実行する。すなわち、メッシュの接平面を形成する基本ベクトルＳｕ、Ｓｖによって定義される一次規格量Ｅ，Ｆ，Ｇを算出する処理を行う。算出される一次規格量Ｅ，Ｆ，Ｇは、点列情報と同様に、データベース１０の保持する一次規格量テーブル３１にメッシュＩＤとともに関連付けられて書き込まれる。またＣＰＵは、基本ベクトルＳｕ、Ｓｖとメッシュの単位法線ベクトルｎによって定義される二次規格量Ｌ，Ｍ，Ｎを算出する処理を行う。算出される二次規格量Ｌ，Ｍ，Ｎは、一次規格量Ｅ，Ｆ，Ｇと同様に、データベース１０の保持する二次規格量テーブル３２にメッシュＩＤとともに関連付けられて書き込まれる。
【００２８】
またＣＰＵは、上述のメッシュを表す微分方程式がそれぞれのメッシュの境界において連続であるための条件、言い換えればこの微分方程式が一意な解を持つための条件である積分可能条件を算出する処理を行う。
今、上述の曲面座標（ｕ、ｖ）を（ｕ１、ｕ２）と置き換え、この点をｐ（ｕ１、ｕ２）とする。ｕ２を固定し、ｕ１を動かしてできる曲線をｕ１曲線と呼び、ｕ１を固定し、ｕ２を動かしてできる曲線をｕ２曲線と呼ぶ時、曲面上のｐ（ｕ１、ｕ２）点を始点とし、ｕ１曲線、ｕ２曲線に沿う接線ベクトルは以下のように計算できる。
【数１４】
2004127099.tif 000016
そして、ｅ１、ｅ２より単位法線ベクトルｎが次のように計算できる。
【数１５】
2004127099.tif 000017
このようにして、３本のベクトル｛ｅ１、ｅ２、ｎ｝が曲面上の各点において定義される。
各点において、第１基本量Ｅ、Ｆ、Ｇを以下のように定義する。
【数１６】
2004127099.tif 000018
そして、第１基本テンソル（ｇｉｊ、ｉ，ｊ＝１，２）を以下のように定義する。
【数１７】
2004127099.tif 000019
また、４個の数の組ｇｉｊ、ｉ，ｊ＝１，２を次のように定義する。
【数１８】
2004127099.tif 000020
さらに、各点において第２基本量Ｌ、Ｍ、Ｎを以下のように定義する。
【数１９】
2004127099.tif 000021
そして、さらに第２基本テンソル（ｈｉｊ、ｉ，ｊ＝１，２）を以下のように定義する。
【数２０】
2004127099.tif 000022
【００２９】
今、動標構｛ｅ１、ｅ２、ｎ｝を曲面座標（ｕ１、ｕ２）で微分すると、次の２式（式２１のガウスの式及び式２２のワインガルテンの式）で示される曲面の構造方程式を得る。
【数２１】
2004127099.tif 000023
【数２２】
2004127099.tif 000024
【数２３】
2004127099.tif 000025
ただし、式２３はクリストッフェルの記号を示す。
この構造方程式２１、２２の積分可能条件は次の２式（式２４のガウスの方程式及び式２５のマイナル・コダッツィの方程式）で示される。
【数２４】
2004127099.tif 000026
【数２５】
2004127099.tif 000027
【数２６】
2004127099.tif 000028
ただし、式２６はリーマン・クリストッフェルの曲率テンソルを示す。
【００３０】
第１基本テンソル（ｇｉｊ、ｉ，ｊ＝１，２）と第２基本テンソル（ｈｉｊ、ｉ，ｊ＝１，２）が曲面座標（ｕ１、ｕ２）の関数として与えられ、これらが上述のガウスの方程式及びマイナル・コダッツィの方程式を満たす場合、そのようなｇｉｊ、ｈｉｊを持つ曲面の形は一意に決まる（ボネの基本定理を参照）ので、それぞれのメッシュはＣ２連続となる。
ＣＰＵはこれらの演算処理を行い、上述の積分可能条件を算出する（ステップＳ２）。
【００３１】
次にＣＰＵは、曲率線解析処理と、特徴線解析処理及び曲率・ガース長さ変換処理を実行する（ステップＳ３）。まず曲率線解析処理により、一次規格量Ｅ，Ｆ，Ｇ及び二次規格量Ｌ，Ｍ，Ｎに基づいて、メッシュにおける主曲率κ１、κ２を算出する（ステップＳ４）。すなわち、まず上述の曲率κの極値を算出する。図３に示す法平面と曲面との交線である法断面の形状は、その接線方向とともに変化し、それに伴って法曲率も変化する。この形状は法平面を半回転させたところでもとの状態に戻る。今、γを
【数２７】
2004127099.tif 000029
とおき、さらにκをγの関数κ（γ）と書き直すと、
【数２８】
2004127099.tif 000030
となる。このγの２次式よりｄκ（γ）／ｄγ＝０において、κ（γ）は極値を取る。そして、この極値条件のもとで、式１５を微分し、κとγを（κ〜）と（γ〜）と書き換えると、
【数２９】
2004127099.tif 000031
を得る。そして、数１６に代入すると、
【数３０】
2004127099.tif 000032
を得る。これらの式より以下の関係式が得られる。
【数３１】
2004127099.tif 000033
【数３２】
2004127099.tif 000034
式１８を変形すると、
【数３３】
2004127099.tif 000035
が得られる。κ〜２の係数は、式７より正であり、この根をκ１、κ２とすると、図５に示すように、この値が主曲率となる。
【００３２】
次に主曲率に基づいてガウス曲率または平均曲率を算出する（ステップＳ５）。すなわち、２次方程式の根と係数の関係より、
【数３４】
2004127099.tif 000036
【数３５】
2004127099.tif 000037
が表現される。ここで、Ｋｍ、Ｋｇはそれぞれ平均曲率及びガウス曲率である。Ｋｇ＝０となるのは、図６に示すように，曲面が可展面となる場合であり、曲面上の曲率線は直線になる。本実施形態においては、このガウス曲率が０となる点を後述する変形の基準点とする。
この点以外に変形の基準点として適当な点として、例えば、曲率線、境界線（稜線）、図７に示す等傾斜直交線、図８に示す主曲率極値線，図９に示す傾斜極値線、臍点を選択してもよい。これらは、曲面の特徴を示す特徴量である主曲率，主方向，ガウス曲率，平均曲率，曲率線のうち、１または２以上の特徴量の変化パターンによって規定される変形の基準点または基準線となる点または線であり、一次規格量及び二次規格量に基づいて算出可能である。
【００３３】
また、主曲率に基づいて、メッシュの主方向を示す曲率線を算出する。すなわち、式１９よりκ〜を消去すると、
【数３６】
2004127099.tif 000038
または、
【数３７】
2004127099.tif 000039
を得る。これら２式はともに、曲率線の式であり、２次方程式であるので、γ１、γ２は以下の関係がある。
【数３８】
2004127099.tif 000040
曲面上の点において、γ１、γ２で決まる方向において、曲率は極値を取る。曲面上の接線ベクトルは、（Ｓｕｄｕ＋Ｓｖｄｖ）であり、γ１、γ２に対応する２つの接線ベクトルの内積は、
【数３９】
2004127099.tif 000041
となり、この｛　｝内を変換すると、
【数４０】
2004127099.tif 000042
はゼロとなる。すなわち、主曲率の法断面の２つの接線方向は、直交している事が分かる。この方向は主方向と呼ばれ、この主方向と曲面上の接線が一致する場合、これが図１０に示す曲率線となる。
以上により、メッシュの主方向を示す曲率線の算出処理が行われる。
【００３４】
次に曲率・ガース長さ変換処理を実行する（ステップＳ６）。すなわち、ＣＰＵは、一次規格量Ｅ，Ｆ，Ｇ及び二次規格量Ｌ，Ｍ，Ｎに基づいてより算出される曲率に基づいてガース長さを算出する。上述の曲率線の算出処理によって算出された曲率線に沿って、曲率（１／ｒ）から曲率半径ｒを算出し、曲率線のガース長さを算出区間毎に伸縮させる。
以上により、解析処理が行われる。
【００３５】
次に、ＣＰＵは、ステップＳ１及びステップＳ２で作成、抽出された点列情報及び一次規格量、二次規格量が収集されたことを受けて（ステップＳ７でＹｅｓ）曲面データ転送処理を行う（ステップＳ９）。一方、これらの情報が揃わない場合、データベース評価処理を行う（ステップＳ７でＮｏ）。すなわち、ステップＳ４〜Ｓ６で算出された主方向、基準位置（点や線等）、変形量に基づいて再生される形状と、点列情報及び一次規格量、二次規格量に基づいて再生される形状を比較し、これらが一致する場合は（ステップＳ８でＹｅｓ）、曲面データ転送処理を行う（ステップＳ９）。また、これらが一致しない場合は（ステップＳ８でＮｏ）、近似補完精度向上処理を行う。すなわち、２階微分可能となるように元の曲面を近似補完し、再度ステップＳ１から上述の処理を繰り返す。そして、ステップＳ８における比較評価が一致した段階で、曲面データ転送処理に移行する。
【００３６】
曲面データは図１に示す変換プログラム２、または再生プログラム３に対して転送される。ＣＰＵは変換命令を受けると、変換プログラム２を実行する。すなわち、まず特徴点または特徴線としてえらんだガウス曲率０となる点を変形の基準として、曲率線方向にガース長さ分だけ曲率線を伸縮変形させ、メッシュまたは曲面を再生する。そして、再生したメッシュまたは曲面から曲面上の複数の点列を抽出し、点列を他のＣＡＤシステムにおける図形表現アルゴリズムにしたがって変換する。変換された図形データは、他のＣＡＤアプリケーション２２によって、再生された後、画像表示処理部１１に出力される。画像表示処理部１１は、ＣＡＤアプリケーション２２が出力するデータの表示処理を行い、これを表示部１２に出力する。表示部１２は、表示データの入力を受けて、これを表示する。
【００３７】
また、ＣＰＵは再生命令を受けると、再生プログラム３を実行する。再生プログラムは、変換プログラムにおける変換処理を除いた処理をＣＰＵに実行させる。すなわち、ガウス曲率０となる点を変形の基準として、曲率線方向にガース長さ分だけ曲率線を伸縮変形させ、メッシュまたは曲面を再生する。そして、再生した図形データを画像表示処理部１１に出力し、表示処理後、表示部１２において表示される。
【００３８】
以上説明したように、本実施形態のＣＡＤシステムによれば、Ｃ２連続の連続性を保持して、自由曲面の解析、変換、再生を行うことができる効果が得られる。したがってＣＡＤモデルの利用価値を大幅に高めることができるとともに、設計・生産プロセスを効率化することができる効果が得られる。
【００３９】
なお、本実施形態のＣＡＤシステムにおいては、ＣＡＤモデルにおける自由曲面解析、変換、再生に関する一連の処理について説明したが、本発明のＣＡＤシステムはこれに限られるものではなく、上述したＣＧシステムやコンピュータを用いて画像表現を行うシステム及びプログラムにおいて適用可能である。
また、本実施形態のＣＡＤシステムにおいては、好適な例として図２に示すように曲面をメッシュに分割した後、基本ベクトルＳｕ、Ｓｖで規格化し、点列情報（ｕ、ｖ）を用いたｕ、ｖパラメータ表現による自由曲面解析、変換、再生を行ったが、本発明のＣＡＤシステムはこれに限られるものではなく、（ｘ、ｙ、ｚ）座標パラメータによる座標値を用いてもよい。
【００４０】
上述のＣＡＤシステムは内部に、コンピュータシステムを有している。そして、上述した自由曲面解析、変換、再生に関する一連の処理の過程は、プログラムの形式でコンピュータ読み取り可能な記録媒体に記憶されており、このプログラムをコンピュータが読み出して実行することによって、上記処理が行われる。ここでコンピュータ読み取り可能な記録媒体とは、磁気ディスク、光磁気ディスク、ＣＤ−ＲＯＭ、ＤＶＤ−ＲＯＭ、半導体メモリ等をいう。また、このコンピュータプログラムを通信回線によってコンピュータに配信し、この配信を受けたコンピュータが当該プログラムを実行するようにしても良い。
【００４１】
【発明の効果】
以上説明したように、本発明によれば、曲面上の複数の点列を抽出する点列情報抽出手段と、点列から他のＣＧまたはＣＡＤシステムを用いて曲面を生成し、曲面を所定数のメッシュに分割する分割手段と、メッシュの接平面を形成する接線ベクトルによって定義される一次規格量を算出する一次規格量算出手段と、接線ベクトルとメッシュの法線ベクトルによって定義される二次規格量を算出する二次規格量算出手段と、点列情報及び一次規格量並びに二次規格量を記憶する記憶手段とを具備するので、自由曲線・曲面の連続性を保障する曲面理論を採用することで、ＣＧモデルまたはＣＡＤモデルの利用価値を大幅に高めることができるとともに、設計・生産プロセスを効率化することができる効果が得られる。
【００４２】
また本発明によれば、一次規格量及び二次規格量に基づいて、メッシュの主曲率を算出する主曲率算出手段と、主曲率に基づいて、メッシュの主方向を示す曲率線を算出する曲率線算出手段と、主曲率，主方向，曲率線，並びに一次規格量及び二次規格量に基づいて算出されるガウス曲率及び平均曲率からなる曲面の特徴を示す５つの特徴量のうち、１または２以上の特徴量の変化パターンによって規定される変形の基準点または基準線となる点または線の抽出を行う特徴点・特徴線解析手段と、一次規格量及び二次規格量より算出される曲率に基づいてガース長さを算出するガース長さ算出手段とをさらに具備するので、曲面理論によって解析されたＣＧまたはＣＡＤモデルを再生及び他のＣＧまたはＣＡＤモデルへ変換することができる効果が得られる。
【００４３】
また本発明によれば、特徴点または特徴線を変形の基準として、曲率線方向にガース長さ分だけ曲率線を変形させ、メッシュまたは曲面を再生する再生手段とをさらに具備するので、曲面理論によって解析されたＣＧまたはＣＡＤモデルを再生することができる効果が得られる。
【００４４】
また本発明によれば、再生したメッシュまたは曲面から曲面上の複数の点列を抽出し、点列を他のＣＧまたはＣＡＤシステムにおける図形表現アルゴリズムにしたがって、変換する変換手段をさらに具備するので、曲面理論によって解析されたＣＧまたはＣＡＤモデルを他のＣＧまたはＣＡＤモデルへ変換することができる効果が得られる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本実施形態のＣＡＤシステムの構成を示す構成図である。
【図２】曲面をｍ×ｎのメッシュに分割し、基本ベクトルＳｕ、Ｓｖを定義する様子を示す説明図である。
【図３】単位接線ベクトルｔと単位法線ベクトルｎの張る面を示す説明図である。
【図４】解析プログラム１による自由曲面解析からデータ転送が行われるまでの処理の流れを示すフローチャートである。
【図５】曲率変化の様子を示す説明図である。
【図６】平均曲率とガウス曲率の分類を示す説明図である。
【図７】等傾斜直交線を示す説明図である。
【図８】主曲率極値線を示す説明図である。
【図９】傾斜極値線とガウス曲率分布の様子を示す説明図である。
【図１０】曲率線を示す説明図である。
【符号の説明】
１…解析プログラム
２…変換プログラム
３…再生プログラム
１０…データベース
１１…画像表示処理部
１２…表示部
１３…出力部
【図１】
2004127099.tif 000043
【図２】
2004127099.tif 000044
【図３】
2004127099.tif 000045
【図４】
2004127099.tif 000046
【図５】
2004127099.tif 000047
【図６】
2004127099.tif 000048
【図７】
2004127099.tif 000049
【図８】
2004127099.tif 000050
【図９】
2004127099.tif 000051
【図１０】
2004127099.tif 000052