(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
少なくとも２つのホイールが設けられた道路車両又は鉄道車両の極（λｎ）、モーダルベクトル（ψｎ）及び実稼働ベクトル
0006736669.tif 000107
の、前記車両の割り当てられた測定点において取得される移動量及び／又は速度及び／又は加速度（システムの出力）の解析による推定の方法であり、
前記車両に対して前記道路の表面又はレールの表面によって及ぼされる「入力」と称される負荷は、時間周波数とともに減少する振幅を有し、前記入力は、時間及び／又は空間において互いに相関されることを前提とする前記推定の方法であって、
該方法は、
Ｎｗ個のトラック幅Ｗｍ及びＮＬ個の軸間距離Ｌｌによって記述される幾何学的配置を有する車両を準備するステップであって、ここで、ｍは１〜ＮＷに及ぶ正の整数であり、ｌは１〜ＮＬに及ぶ正の整数であり、Ｎｗ及びＮＬは規定の正の整数であるステップと、
定速Ｖで前記車両を運転するステップと、
前記車両の割り当てられた測定点において移動及び／又は速度及び／又は加速度（出力）を測定するステップと、
直前のステップで取得された前記出力のパワースペクトル密度ＰＳＤの行列（Ｓｑ（ω））を
0006736669.tif 000108
のように計算するステップと、
を含み、  項
0006736669.tif 000109
は、周波数依存実稼働基準ベクトルであり、
0006736669.tif 000110
ただし、Γ0(ω)＝１
として定義され、前記式は、多項式関数間の比として書き換えられ、
0006736669.tif 000111
ただし、Γ0(ω)＝１であり、
ここで、Ｂｍ（ω）、Ｃｍｌ（ω）及び
0006736669.tif 000112
は、その一般要素
0006736669.tif 000113
が、それぞれ
0006736669.tif 000114
を有する多項式である行列であり、
ここで、前記多項式
0006736669.tif 000115
は、「フィッティング多項式」と称され、
0006736669.tif 000116
も、その根がシステム極である、係数ａｒを有するフィッティング多項式であり、
ｎｂ及びｎａは、それぞれ分子多項式及び分母多項式の係数の数であり、
Γm(ω)は、空間横座標ｘの関数である２つの一般的な平行プロファイルｄi(x)及びｄｊ(x)によって定義されるようなトラック幅Ｗｍについてのコヒーレンス関数であり、ｖ＝ω／Ｖを代入して、以下の式によって与えられ、
0006736669.tif 000117
ここで、
0006736669.tif 000118
は、それぞれ前記プロファイルｄi(x)及びｄｊ(x)に関連付けられた自己ＰＳＤであり、一方、
0006736669.tif 000119
は、前記プロファイルｄｉ（ｘ）とｄｊ（ｘ）との間で計算された相互ＰＳＤ
であり、
Ｓｄ（ω）＝Ｓｄ（ｖ＝ω／Ｖ）／Ｖであり、
Ｎは自由度の数であり、τｌ＝Ｌｌ／Ｖであり、  前記フィッティング多項式Ａ（ω）、
0006736669.tif 000120
は、該フィッティング多項式を前記出力の値にフィッティングし、対応するフィッティングされた多項式を得ることによって計算され、
前記極（λｎ）、前記モーダルベクトル（ψｎ）及び前記実稼働ベクトル
0006736669.tif 000121
は、前記フィッティングされた多項式から計算される、方法。
【請求項２】
前記出力ＰＳＤ行列（Ｓｑ（ω））を記述する多項式モデルを定義するステップであって、該多項式モデルは、異なる車軸に配置されたホイールに印加される前記入力の間に存在する前記時間相関の前記システム出力に対する前記効果を説明するように適合された複素指数項を含む、ステップと、
前記システム出力からフィッティング手順を実行して、前記多項式モデルの前記係数を求めるステップと、
前記多項式モデルに関する前記特性多項式に関連付けられた前記コンパニオン行列の固有値及び固有ベクトルを求めることによって、前記極（λｎ）及び前記モーダルベクトル（ψｎ）を求めるステップと、
を更に含む、
請求項１に記載の方法。
【請求項３】
0006736669.tif 000122
であり、
ここで、
0006736669.tif 000123
は、その一般要素
0006736669.tif 000124
が、それぞれ係数
0006736669.tif 000125
を有する、前記対応するＰＳＤの前記分子多項式である行列であり、
Ωｒ（ω）は多項式関数である、
請求項２に記載の方法。
【請求項４】
適切に選択されたパラメトリックモデルによるプロファイル(Ｓｄ（ω）)に関連付けられた前記自己ＰＳＤ（Ｓｄ（ω））の記述と、
前記道路又は前記レールプロファイル(Ｓｄ（ω）)に関連付けられた前記自己ＰＳＤ（Ｓｄ（ω））の前記パラメトリックモデルの係数の前記推定と、
を更に含む、
請求項１〜３のいずれか一項に記載の方法。
【請求項５】
適切に選択されたパラメトリックモデルによるコヒーレンス関数（Γｍ（ω））の記述、及び、前記コヒーレンス関数（Γｍ（ω））のパラメトリックモデルの係数の前記推定を更に含む、
請求項４に記載の方法。
【請求項６】
前記パワースペクトル密度ＰＳＤの行列（Ｓｑ（ω））の第ｉ成分は、
0006736669.tif 000126
によって与えられ、
ここで、μｍは、Bogsjoモデルμ0W0 =０を用いて前記コヒーレンス関数を定義するパラメーターのセットであり、
0006736669.tif 000127
は、前記実稼働ベクトルの第ｉ成分であり、
ただし、ｍ＝０，．．．，ＮＷ、ｌ＝１，．．．，ＮＬ、ｎ＝１，．．．，２Ｎであり、
ｃ（ｍ２ｒａｄ／ｓ）及びω０（ｒａｄ／ｓ）は、プロファイルＳｄ（ω）に関連付けられた前記自己ＰＳＤの求められる未知の値であり、
Ｔｉｎ（ω）、Ｕｌｉｎ（ω）、Ｖｌｉｎ（ω）は、
0006736669.tif 000128
0006736669.tif 000129
によって与えられ、
ここで、Ωｌ（ω）は、ｒ＝１である前記多項式関数であり、
ψｉｎは、モーダルベクトル（ψｎ）の第ｉ成分である、
請求項５に記載の方法。
【請求項７】
前記パワースペクトル密度ＰＳＤの行列（Ｓｑ（ω））の第ｉ成分は、
0006736669.tif 000130
によって与えられ、
0006736669.tif 000131
は、前記稼働ベクトルの第ｉ成分であり、
ただし、ｌ＝１，．．．，ＮＬ、ｎ＝１，．．．，２Ｎである、
請求項６に記載の方法。
【請求項８】
実行されると、請求項１〜７のいずれか一項に記載の道路車両又は鉄道車両の極（λｎ）、モーダルベクトル（ψｎ）及び実稼働ベクトル
0006736669.tif 000132
の推定の方法を実現する命令を含むプログラマブルデバイスのプログラム。
【請求項９】
道路車両又は鉄道車両の極（λｎ）、モーダルベクトル（ψｎ）及び実稼働ベクトル
0006736669.tif 000133
の推定のシステムであって、
前記車両に位置決めされ、請求項１で定義された前記出力に関するデータを取得して電子支援部に記憶するように構成された一連のセンサーと、
請求項８に記載のプログラマブルデバイスのプログラムを含む電子デバイスと、を備える、システム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
［説明］
本発明は、作動状態にある道路／鉄道車両システムのモーダルパラメーター（modal parameters：モードパラメーター）の推定の方法及び道路／レール表面上のローリングプロファイルの粗度の統計的特性の間接的な特徴付けの方法に関する。
【０００２】
前もって正確に言うと、以下に説明する方法は、道路車両システム又は鉄道車両システムのいずれにも適用することができ、したがって、道路表面及びレール表面、道路プロファイル及びレールプロファイル、道路及びレール又は鉄道線路という用語は、本文全体を通して交換可能であることが意図されている。
【０００３】
用いられる全ての頭字語の説明については、本明細書の最後にあるリストを参照されたい。
【０００４】
本発明の利用分野は、道路／鉄道車両システム及び道路／レール表面の粗度プロファイルの特徴付けの場合に適用される実稼働モーダル解析（ＯＭＡ）である。
【０００５】
ＯＭＡは、作動状態にある構造体の実験的同定を行うために一般に用いられる技法であり、加速度計を用いることによって一般に取得される単独の（sole）出力信号の解析に基づいている。使用荷重（working load）を受けるＮ個の自由度を有する線形システムの実験的同定は、いわゆる実稼働モーダルパラメーターの推定を目的とする。これらのパラメーターは、すなわち、
−  システム極λｎ；
−  モーダルベクトル
0006736669.tif 000002
実稼働基準ベクトル
0006736669.tif 000003
である。
【０００６】
特に、システム極λｎを求めることは非常に重要である。なぜならば、システム極は、検査されるシステムの固有周波数ωｎ及び減衰比ζｎについての情報を含むからである。
0006736669.tif 000004
【０００７】
ただし、道路／レール表面プロファイルの特徴付けの場合、それらの粗度に関連付けられた統計的特性を求めることが意図されている。そのような特徴付けは、一般に、適した粗面計によって行われる直接の測定から実行され、様々な道路表面又は様々なレール要素に属するプロファイルの分類を目的とする。
【背景技術】
【０００８】
実稼働モーダル解析
最先端技術において、自然励振技法（ＮＥｘＴ）の仮定が満たされる場合、単独の出力信号の解析から構造システムのモーダルパラメーターの推定を得ることを可能にする様々な方法が知られている。分離（separation）領域（タイムラグ）
0006736669.tif 000005
では、出力される自己相関関数及び相互相関関数
0006736669.tif 000006
（式（３））が一般に用いられる。代わりに周波数領域（ω）では、出力の自己及び相互電力スペクトル密度（ＰＳＤ）
0006736669.tif 000007
（式（４））から、モーダルパラメーターを直接推定することができる。Ｎｔ個の外部荷重がＮＥｘＴ仮定を満たす場合、入力されたＰＳＤ行列Ｓｆは、定数要素を有する対角行列として記述することができる（式（２））。
0006736669.tif 000008
【０００９】
上記のＮＥｘＴ仮定は、すなわち、以下のとおりである。
仮定１：システムに作用する荷重は、白色雑音（式（２）において周波数から独立した振幅）のシーケンスにトレースバックすることができるパターンを有しなければならない。
仮定２：励振が多くの点に作用する場合、インレット（inlets）は、厳密に無相関でなければならない（式（２）において対角以外の要素は存在しない）。
【００１０】
ＮＥｘＴ仮定を満たす外部荷重を受けるＮ個の自由度を有する一般的なシステムに関して、出力ｑｉ及びｑｊを考えると、相互相関の数式表現は、［Shen, DOI:10.1006/jsvi.2002.5203］として記述することができる。
0006736669.tif 000009
ここで、
−  ψｉｎ及びψｊｎは、モーダルベクトルψｎの２つの一般成分（generic component）である；
−  φｉｎ及びφｊｎは、実稼働ベクトルφｎの２つの一般的な成分である；
−  ｈ（・）は、ヘビサイド（Heaviside）関数を示す。
【００１１】
その結果、相互ＰＳＤの数式表現は、フーリエ変換を適用することによって式（３）から得ることができる。
0006736669.tif 000010
【００１２】
最後に、式（３）及び（４）は、コンパクト行列形式に書き換えると、以下のものが得られる。
0006736669.tif 000011
ここで、
0006736669.tif 000012
は、出力相関行列である；
0006736669.tif 000013
は出力ＰＳＤ行列である；
−  シンボル（・）Ｔは、転置演算子行列を示す。
【００１３】
特に、様々な項をグループ化することによって、式（６）を多項式関数間の比としてより一般的な形態に書き換えることができる［Reynders, DOI:10.1007/s11831-012-9069-x］。
0006736669.tif 000014
ここで、
0006736669.tif 000015
は、その一般要素
0006736669.tif 000016
が、係数ｂｉｊｒを有する対応するＰＳＤの分子多項式である行列を表す；多項式Ｂｉｊ（ω）は、ここでは、フィッティング多項式として定義され、その結果、入力に関連付けられる；
0006736669.tif 000017
は、係数ａｒを有する全てのＰＳＤに共通の分母多項式である；これは、その根がシステム極である特性多項式を表す；
−  ｎｂ及びｎａは、それぞれ分子多項式及び分母多項式の係数の数を示す。
【００１４】
式（５）、（６）及び（７）が有効であるＮＥｘＴ仮定は、一般に、土木工学の用途（建物、橋、一般の土木構造物）において満たされる。なぜならば、ほとんどの場合、大きな建造物は、そのような仮定を容易に満たす確率論的荷重（交通及び風）にさらされるからである。
【００１５】
以下に、特許文献において利用可能である主な寄与するものを説明する。
【００１６】
国際公開第０１／３３１８２号は、ＮＥｘＴ仮定に基づく実稼働モーダル同定のためのちょうど紹介したばかりの方法を記載している。
【００１７】
国際公開第２００８／００２３１０号は、ＦＲＦからのモーダルパラメーターの抽出の方法に言及している。そのような関数を得るために、既知の信号を用いて構造体を励振することが必要とされる。これに対して、ＯＭＡ技法は、入力を測定することを要しない。
【００１８】
国際公開第２０１４／００６１７６号は、伝達率（transmissibilities）の使用に基づく構造体のモーダルパラメーターの推定の方法を紹介している。そのような関数は、求められた作動状態にあるシステムの２つの出力の間の比として得られる。入力の影響を除去することも、少なくとも２つの異なる作動状態を検討するために必要とされる。
【００１９】
道路／レール表面の粗度プロファイルの特徴付け
この数十年の間に、確率過程（確率場）の特性は広く研究され、その結果、道路／レール粗度のモデル化における様々な手法の使用が見られるようになった［Dodds&Robson, DOI:10.1016/S0022-460X(73)80373-6］。特に、基礎となるそのようなモデルは、３つの基本的な仮定である。
仮定３：表面は均一である。すなわち、粗度の統計的特性は、より多くの平行プロファイルを参照しながら検討される空間的観測から独立している；
仮定４：粗度の高さは、ゼロ平均を有するガウス分布を有し、したがって、統計的特性は、相関関数又はＰＳＤによって完全に記載することができる；
仮定５：表面はエルゴード過程である。すなわち、単一の実現値に沿って計算された単純平均は、全ての実現値に沿って計算されたアンサンブル平均と一致する。
【００２０】
この論議において、技術文献は様々な近似を提案している。それらの大部分は、測定されたＰＳＤのパラメトリックモデルの使用に基づいている。そのような近似に関するパラメーターは、取得されたデータから適したフィッティング技法を用いることによって計算される。例えば、標準ＩＳＯ８６０８−１９９５は、空間周波数νの領域において定義される以下の自己ＰＳＤモデルを提案している。
0006736669.tif 000018
ここで、
−  ν０は基準の空間周波数を示す（ν０＝１ｒａｄ／m）、
−  Ｓ０（ｍ３）は、ν＝ν０の場合のＰＳＤの振幅である。
【００２１】
上記標準は、データが定速で取得される場合には、指数ｅを２に等しくすることを提案している。したがって、これが所与の速度ｖで進展する粗面計とみなされる場合、式（８）の数式表現は、時間周波数領域ωに変換することができ、以下のように書き換えることができる。
0006736669.tif 000019
ここで、ω０＝ν０ｖ（基準の空間周波数と速度ｖとの積）は、基準の周波数を示す。この例において、フィッティングによって求めなければならない単独のパラメーターがどのようにして振幅Ｓ０になるのかに留意すべきである。
【００２２】
道路及びレールの用途の双方に共通に用いられる別の近似は、Sussman［Andren, DOI:10.1504/IJVD.2006.008450］によって提案されたものであり、２つのパラメーターの推定しか必要としないので容易に使用可能である。時間周波数領域ωにおいて、自己ＰＳＤのパターンは、以下のものとなる。
0006736669.tif 000020
ここで、ｃ（ｍ２ｒａｄ／ｓ）及びω０（ｒａｄ／ｓ）は、求められる未知の値である。
【００２３】
特徴付けが、同じ道路表面に属するより多くの平行プロファイル又は同じ鉄道線路に属する２本のレールに関係している場合、コヒーレンス関数Γｉｊ（ν）を用いてそれらの間の関係を記述することができる。距離Ｗｍにおいて与えられ、空間横座標ｘの関数として規定される２つの一般的な平行プロファイルｄｉ（ｘ）及びｄｊ（ｘ）を考えることによって、そのような関数は、以下の公式を用いることによって計算することができる。
0006736669.tif 000021
ここで、第ｍのトラック幅は、平行プロファイルｄｉ（ｘ）及びｄｊ（ｘ）によって個別化されたものであり、特に、そのようなプロファイルの間の距離の尺度となる。その上、
0006736669.tif 000022
は、それぞれプロファイルｄｉ（ｘ）及びｄｊ（ｘ）に関連付けられた自己ＰＳＤである；
0006736669.tif 000023
は、プロファイルｄｉ（ｘ）とｄｊ（ｘ）との間で計算された相互ＰＳＤである。
【００２４】
そこから、相互ＰＳＤを以下のように得ることができることが導出される。
0006736669.tif 000024
ここで、βｍ（ν）は、２つのプロファイルｄｉ（ｘ）及びｄｊ（ｘ）のスペクトルに関連付けられた位相の差である。定義として、コヒーレンスは、その値を０〜１とすることができる偶実関数（Γｍ（ν）＝Γｍ（−ν））である。その結果、２つのプロファイルは、コヒーレンスが１に近い値を前提とする空間周波数についてのみ互いに非常に類似する。その上、２つのプロファイルの間の距離Ｗｍを０にすることによって、コヒーレンスΓｍ（ν）は明らかにユニタリーになる。異なる種類の道路／レール表面に対して行われた研究は、多くの場合に、コヒーレンスは、空間周波数νの関数としてどの程度の減少パターンを有するのかを示している。Bogsjo［Bogsjo, DOI:10.1080/00423110802018289］によって提案されたフィッティングモデルは、そのような観測結果とよく一致している。なぜならば、このフィッティングモデルは、以下の関係による、１つのパラメーターμのみを有する減少指数（exponential）関数の使用に基づいているからである。
0006736669.tif 000025
【００２５】
最後に、Γｍ（ν）は無次元単位であるので、式（１１）及び（１３）に記載された関係は、代入ν＝ω／ｖを適用して時間周波数領域ωに変換することができることを想起されたい。
【００２６】
近年、道路／レール表面プロファイルの統計的特性の間接的特徴付けに対する関心が、技術文献及び特許文献の双方において高まってきた。
【００２７】
特に、Gonzales他［Gonzales, DOI:10.1080/00423110701485050］は、道路プロファイルの自己ＰＳＤの間接的推定の方法を提案している。この方法では、車両全体が、単一のプロファイルに基づいて動いているとみなされる。車両のＦＲＦの行列を知ることによって、同じ車両において検出された単独の加速度からプロファイルの自己ＰＳＤを再構成することが可能である。
【００２８】
米国特許出願公開第２０１４／２５７６２９号は、１つ以上のサスペンションの上流及び下流で測定された振動から道路プロファイルの推定を可能にする方法を記載している。そのような方法は、適応カルマンフィルターに基づくとともに車両のモノサスペンションモデルを基準としたアルゴリズムを用いる。
【００２９】
米国特許出願公開第２０１４／２０４２０５号は、車両が移動する道路プロファイルの高さを測定する方法を提案している。そのような方法は、画像処理技法を幅広く利用し、道路レベルに配置された１つ以上のカメラ（例えば、交通監視用カメラ）の使用を必要とする。
【００３０】
鉄道線路分野において提案されている方法は、概ね、レールの障害の存在を検出することに限られ、粗度の統計的特性を特徴付ける推定のアルゴリズムを用いない。
【００３１】
米国特許第７９９９８８号は、少なくとも鉄道車両に配置されたカメラによって鉄道線路網を監視する方法を記載している。画像制御及び変更のアルゴリズムによって、鉄道線路網を監視することが可能であり、とりわけ、同じ網において起こり得る異常の存在を検出することが可能である。
【００３２】
米国特許第８９０５３５９号は、レールの損傷を検出する方法を記載している。車軸の垂直加速度及び縦加速度をそれぞれ測定する２つの加速度計を用いることによって、加速度計測信号のデータベースを作成することが可能である。起こり得る損傷を、同じ鉄道線路セクションにおいて異なる時間に取得される信号間の偏差として特定することができる。
【００３３】
米国特許第８９４２４２６号は、カメラ及びＧＰＳを用いることによって鉄道線路網をリアルタイムで監視する方法を記載している。測定値は、鉄道線路網の不規則なものの存在の基準を順守しているか否かを確認するためにリアルタイムで処理される。存在する場合、データは、コントロールセンターに自動的に送信され、そのような不規則なものの種類が判断される。
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【００３４】
本発明の目的である、ＯＭＡが車両システムに適用される特定の場合において、以下の定常性の仮定が満たされるか否かを検証することが確実に必要とされる。
仮定６：車両は、直線軌道又は定半径を有する湾曲部に沿って定常走行（stationary running）状態、すなわち定速、で進行しなければならない。すなわち、これは、方向の急激な変化を意味しない。
【００３５】
これらの条件において、車両は、主として、ホイールと道路／鉄道線路との間に存在する相互作用によって生み出される定常外部荷重を受ける。一般に、システムに印加される入力は未知のままであるので、そのモーダルパラメーターを同定するには、実稼働モーダル解析を用いることができる。
【００３６】
例えば、Ｎｔ＝５個の複数のホイールを有する図（１）に記載された車両を考えることにする。幾何学的配置は、一般的であるように規定されたものであり、したがって、その結果、１０個のトラック幅Ｗｍ及び３つの異なる軸間距離Ｌｌの存在によって特徴付けられるように規定されたものである。車両が、速度ｖを有する定常走行条件で５つのプロファイルｄ１（ｘ），．．．，ｄ５（ｘ）上を移動する場合、外部荷重は、各単一のホイールを通じてシステムに伝達される。ホイールとローリング（rolling：転がり）面との相互作用を説明するには、簡単にするために、点状の部類の接触を考えることが可能である。実際は、フットプリントは、入力に対してスローパスフィルター（slow-pass filter）のように振る舞うので、この説明の形態は、一般性を失うことなく導入することができる。仮定３〜６が検証された場合、それぞれの接触点（図１において参照符号Ａ〜Ｅで示す）において表面によって誘発されるホイール上の移動を基準としたＰＳＤ行列Ｓｒ（ω）は、時間周波数領域ωにおいて以下の式として定義することができる。
0006736669.tif 000026
ここで、ｌ＝１，．．．，３であるτｌ＝Ｌｌ／ｖは、２つの車軸の間の一般的な遅れを示し、簡略化するために、
0006736669.tif 000027
のωへの依存関係は省略されている。ホイールの周波数応答関数（ＦＲＦ）の行列を、
0006736669.tif 000028
を用いて示すことによって、ストック（stocks）に作用する力によって表される入力ＰＳＤ行列Ｓｆ（ω）は、以下のように計算することができる。
0006736669.tif 000029
【００３７】
自然励振を考慮することによって得られる入力ＰＳＤ行列の数式表現（式（２））と、ローリング面との相互作用に起因した数式表現（式（１５））とを比較すると、ＮＥｘＴ仮定から派生するモーダル同定技法、したがって、式（５）、（６）及び（７）に基づくモーダル同定技法は、ＯＭＡが、作動状態にある車両に適用される場合にどのように有効にならないのかは明らかである。実際には、以下の問題がある。
問題１：荷重は、周波数とともに一般に減少する振幅を有する、有色雑音のパターンにトレースバックすることができるパターンであって、その形態が道路／レールプロファイルの特性（式（９）及び（１０））とホイールの特性（式（１５）においてＨｆｒ（ω）によって記述される）とに依存するパターンを有する。したがって、ＮＥｘＴの仮定１は有効でない。
問題２：同じ車軸上に位置決めされたホイールに作用する入力は、空間相関（式（１４）においてΓｍ（ω）によって記述される）に関与し、共通のローリングプロファイルを有するが異なる車軸に配置されたホイールに印加される入力は、時間相関（式（１４）において
0006736669.tif 000030
によって記述される）に関与する一方、共通のローリングプロファイルを有せず、異なる車軸に属するホイールに関する荷重の場合、空間相関及び時間相関の双方が存在する。したがって、ＮＥｘＴの仮定２は有効でない。
【００３８】
したがって、ＮＥｘＴ仮定に従って定式化されたモデルを用いることによって推定プロセスにおいて生じる誤差は著しく増加する。その上、ＮＥｘＴ仮定が満たされないことによって引き起こされるモデル化の誤差を補償するために、既知の同定のアルゴリズムは、物理的意味を有せず、極／偽モードの形式で提供される追加の解を、推定されるモーダルパラメーターのセットに導入する。これらの追加の解は、個別化及び除外されることが不可能な場合に困難である。したがって、最先端技術において知られている同定方法によって解かれない技術的問題は、システムのモーダル同定が時間及び空間の荷重において「特色化（coloured）」及び相関化（correlated）を受けるときもシステムのモーダル同定を行う。
【００３９】
したがって、本発明の第１の目的は、入力の特色化（colouring）及び相関がシステムの出力に対して有する効果を明示的に考慮した、作動状態にある車両のモーダルパラメーターの推定の方法を提供することである。
【００４０】
道路／レール表面プロファイルの間接的な特徴付けに関して、上述の方法及び最先端技術において知られている他の全てのものは、車両システムの出力に対して入力の相関の効果を明示的に考慮していない。Gonzales他［Gonzales, DOI:10.1080/00423110701485050］によって提案された方法は、現に、様々な作動状態にある、すなわち、既知の特徴を有する道路表面における様々な移動速度を考慮した車両のＦＲＦの行列を求めるのに必要とされる較正ステップを必要とする。米国特許出願公開第２０１４／２５７６２９号は、代わりに、道路入力の相関にリンクされた効果を適切に考慮することを可能にしていない車両のモノサスペンションモデルに基づく方法を提案している。
【００４１】
カメラは、固定された構造体に設置されている（車両に設置されていない）ので、米国特許出願公開第２０１４／２０４２０５号に記載された方法は、同じカメラの視角によってカバーされるエリア内のプロファイルの高さのみを再構成することを可能にする。鉄道線路の分野では、米国特許第７９９９８８号、米国特許第８９０５３５９号及び米国特許第８９４２４２６号は、レールの障害の存在を検出することに限られており、粗度の統計的特性を特徴付ける推定のアルゴリズムを用いない。
【００４２】
したがって、もう１つの目的によれば、本発明は、作動状態にある車両に関して取得された出力信号からの道路／レール表面プロファイルの統計的特性の間接的な特徴付けの方法を提供する。特に、均一性の幾つかの固有特性を利用することによって、提案される方法は、同じローリング面に属する平行プロファイルの統計的特性を特徴付けるために推定する必要がある物理量の数を著しく削減することを可能にする。
【課題を解決するための手段】
【００４３】
本発明は、少なくとも２つのホイールが設けられ、作動状態にある道路車両又は鉄道車両の極（λｎ）及びモーダルベクトル（ψｎ）の、前記車両の割り当てられた測定点において取得される前記移動量又は速度又は加速度（前記システムの出力）の前記解析による同定の方法であって、前記モーダルパラメーターは、道路又は鉄道線路と前記車両との間の前記相互作用を記述する数学モデルに基づいて前記システムの前記出力に関する前記データの前記フィッティングによって求められ、
前記車両が直線軌道又は定半径を有する湾曲部を定速で移動すると仮定することと、  前記車両が、粗度がガウス分布を有する均一のエルゴード的表面上を移動すると仮定するとともに、前記少なくとも２つのホイールが一プロファイル上又は互いに平行な複数のプロファイル上を移動すると仮定することと、
前記車両に対して前記道路表面又は前記レール表面によって誘発される前記入力は、白色雑音のシーケンスにトレースバックすることができず、時間及び／又は空間において互いに相関されると仮定することと、
を特徴とする、方法を提供する。
【００４４】
本発明はまた、実稼働ベクトル
0006736669.tif 000031
の前記推定、並びに、
道路プロファイル又はレールプロファイルに関連付けられた自己相関関数（Ｒｄ（τ））又は自己ＰＳＤ（Ｓｄ（ω））と、
平行な道路プロファイル又はレールプロファイルに関連付けられたコヒーレンス関数（Γｍ（ω））又はそれぞれのＩＦＴ（ηｍ（τ））と、
を用いることによって得られる道路表面又はレール表面の前記統計的特性の間接的な前記特徴付けの方法を提供する。
【図面の簡単な説明】
【００４５】
【図１】５つのホイールを有するとともに１０個のトラック幅及び３つの異なる軸間距離を有する車両の幾何学的配置を示す図である。
【図２】車両の図式化されたモデルを７つの自由度を有するシステムとして示す図である。
【図３．ａ】均一のガウス表面上を定速（６０ｋｍ／ｈ）で移動している７つの自由度を有する車両のモデルに本発明による同定の手順を適用することによって得られる安定化の図である。
【図３．ｂ】均一のガウス表面上を定速（６０ｋｍ／ｈ）で移動している７つの自由度を有する車両のモデルに最小二乗複素周波数領域（ＬＳＣＦ）アルゴリズムを適用することによって得られる安定化の図である。
【図４】提案された同定手順を用いることによる合成モデルの有効性確認の図である。
【図５】本発明による方法を説明するフローチャートである。
【図６】本発明による方法を説明するフローチャートである。
【図７】本発明による方法を説明するフローチャートである。
【図８】本発明による方法を説明するフローチャートである。
【発明を実施するための形態】
【００４６】
本方法の基本的仮定
本発明による車両のモーダル同定の方法は、仮定３〜６の全てが満たされることを必要とするが、ＮＥｘＴ仮定１及び２が満たされることを要しない。換言すれば、表面は、均一であり、かつ、エルゴード過程に同化可能であることと、粗度がゼロ平均を有するガウス分布を有することと、車両が直線軌道又は定半径を有する湾曲部に沿って定速で進むこととが前提とされる。しかし、車両に作用する荷重は、有色雑音にトレースバックすることができるパターンを有し、時間及び／又は空間の相関によって関係付けられることが仮定される。特に、以下に説明するように、トラック幅及び軸間距離の知識として意図された車両の幾何学的配置の知識は、モーダル同定方法における入力の時間及び／又は空間相関に関する情報を含むことを可能にする。これによって、ＮＥｘＴ仮定が満たされない場合にも車両のモーダルパラメーターと、道路／レールの特性パラメーターとを求めることが可能になる。
【００４７】
所与の道路表面又はレール表面を均一のガウス確率場に同化させることができる場合、それらの道路表面又はレール表面に属する平行プロファイルに関連付けられた統計的特性を特徴付けるのに必要な物理量の数は、著しく削減することができる。そのために、以下の均一性の重要な固有特性を利用することが可能である。
特性１：
0006736669.tif 000032
であり、プロファイルｄｉ（ｘ）及びｄｊ（ｘ）に関連付けられた自己ＰＳＤは一致し、したがって、それらは関数Ｓｄ（ν）に等しいとみなすことができる；
特性２：
0006736669.tif 000033
であり、プロファイルｄｉ（ｘ）とｄｊ（ｘ）との間で計算された相互ＰＳＤは、自己ＰＳＤ  Ｓｄ（ν）及びコヒーレンス関数Γｍ（ν）にのみ依存する実関数である。
【００４８】
したがって、表面によって誘発されるホイール上の移動量を基準とした式（１４）のＰＳＤ行列は、以下のように、時間周波数ωの領域に書き換えることができる。
0006736669.tif 000034
【００４９】
車両の幾何学的配置が分かると、トラック幅Ｗｍ及び軸間距離Ｌｌに関して、式（１６）のＰＳＤ行列の係数全体を求めるために知られる物理量の数を計算することが可能である。すなわち、
−  自己ＰＳＤの数は単一関数Ｓｄに制限される；
−  コヒーレンス関数Γｍの数はトラック幅の数ＮＷと一致する；
−  遅れτｌの数は異なる長さの軸間距離の数ＮＬと一致する。
【００５０】
図（１）の一般的な車両システムについて、入力相関行列
0006736669.tif 000035
は、ＩＦＴを式（１５）の数式表現に適用することによって計算することができ、出力相関行列
0006736669.tif 000036
は、時間領域における任意の外部荷重の作用に対するシステムへの応答を最初に数式化することと、いわゆるデュアメルの積分
0006736669.tif 000037
を用いることと、その後、２つの一般的な出力ｑｉ（ｔ）及びｑｊ（ｔ）を考慮した一般的な出力相互相関関数
0006736669.tif 000038
の数式表現を得ることとによって得ることができる。ここで、
0006736669.tif 000039
は、インパルスに対する応答関数の行列であり、
0006736669.tif 000040
は、出力ベクトルであり、
0006736669.tif 000041
は、入力のベクトルである。そのような関数は、システムダイナミクスに特有のパラメーター（すなわち、モーダルパラメーター）を含み、行列Ｒｆ（τ）に依存する。
【００５１】
出力相関行列Ｒｑ（τ）を以下の形式で得ることができることを実証することが特に可能である。
0006736669.tif 000042
ここで、項
0006736669.tif 000043
は、遅れ依存実稼働基準ベクトルであり、以下の式として定義される。
0006736669.tif 000044
ここで、
−  Ｒｄ（τ）は、プロファイルに関連付けられた自己相関の関数であり、Ｓｄ（ω）から逆フーリエ変換（ＩＦＴ）によって計算することができる；
−  ｍ＝１，．．．，ＮＷであるηｍ（τ）は、距離Ｗｍに配置されたプロファイルｄｉとｄｊとの間で計算されたコヒーレンス関数Γｍ（ω）のＩＦＴである；
0006736669.tif 000045
は、実稼働ベクトルである。
【００５２】
その結果、出力ＰＳＤ行列Ｓｑ（ω）の数式表現は、フーリエ変換を適用することによって式（１８）によって得ることができる。
0006736669.tif 000046
ここで、項
0006736669.tif 000047
は、周波数依存実稼働基準ベクトルであり、以下の式として定義される。
0006736669.tif 000048
【００５３】
様々な項をグループ化することによって、式（２０）は、多項式関数間の比として、より一般的な形式に書き換えることができる。
0006736669.tif 000049
ただし、ここで、
0006736669.tif 000050
は、その一般要素
0006736669.tif 000051
が、それぞれ係数
0006736669.tif 000052
を有する対応するＰＳＤの分子多項式である行列を表す；多項式
0006736669.tif 000053
は、ここでは、フィッティング多項式と呼ばれ、結果として入力に関連付けられる；
0006736669.tif 000054
は、係数ａｒを有する全てのＰＳＤに共通の分母多項式である；これは、その根がシステム極である特性多項式を表す；
−  ｎｂ及びｎａは、それぞれ分子多項式及び分母多項式の係数の数を示す。
【００５４】
したがって、式（１８）〜（２２）は、以下の様々な項の組み合わせを含むことが明らかである。
（ｉ）Ｒｄ（τ）及びＳｄ（ω）は、それぞれ分離領域及び周波数領域において、プロファイルに関連付けられた統計的特性のパターンを記述する；
（ｉｉ）ｈ（τ±τｌ）及び
0006736669.tif 000055
は、共通のローリングプロファイルを有するが異なる車軸に配置されたホイールに作用する入力間に存在する時間相関の効果を含めることを可能にする；
（ｉｉｉ）ηｍ（τ）及びΓｍ（ω）は、異なるプロファイル上を移動するホイールに作用する入力間に存在する空間相関の効果をモデル化する。
【００５５】
最後に、上記式は、作動状態にある車両の同定の新たな方法の基礎をなすものである。これらの数式表現からの作動状態にある道路／鉄道車両システムのモーダルパラメーターの推定と、道路／レール表面プロファイルの統計的特性の間接的な特徴付けとを可能にする特定の手順を開発することが可能である。特に、式（１８）及び（１９）は、分離領域において動作するアルゴリズムを設定するのに用いることができる。
【００５６】
代替形態として、本発明の好ましい実施形態によれば、式（２０）、（２１）及び（２２）を用いることによって、周波数領域の解析から得られる利点を利用することができるフィッティング技法を実施することが可能である。
【００５７】
周波数領域における同定の手順
本発明の目的である同定の手順は、車両システムの幾何学的配置について、トラック幅及び軸間距離の数及び寸法が判明していることを要する。単独の出力信号を測定することで十分である。測定ツールは、様々な物理量、例えば、上記車両の割り当てられた測定点において取得される移動量、速度又は加速度、に関するものとすることができる。用いられる測定ツールが１つだけであってもシステムの全てのモーダルパラメーターを同定することが可能であるということが分かっている場合にも、モーダル形式の適した視覚的再構成を得て、したがって、モーダル形式の良好な空間解像度を得るために、適した数のセンサーを用いることが推奨される。各サスペンションの上方又は下方にセンサーを位置決めすることによって、適した実験準備を実現することができる。推定のプロセスを初期化するために、例えばＧＰＳセンサーを用いることによってカバーされる地域において、車両の位置及び速度を検出することが有用であり得る。そのような情報は、定常走行条件が順守されない一時的なゾーンがあり得る場合に、そのようなゾーンを弁別することを可能にすることができる。信号が取得されると、実データ解析ステップが開始する。
【００５８】
本発明による方法が、分離領域においても適用することができる場合であっても、周波数領域において機能する方法を採用することによって、少なくとも３つの利点が得られる。すなわち、（１）最小計算労力と、（ｉｉ）より明瞭な安定化図と、（ｉｉｉ）車両システムが一般にそうであるように正確に強く制動されたシステムを本方法が取り扱うことができる能力とが得られる。
【００５９】
本発明のこの実施形態による推定の手順は、以下の２つのステップに分割される。
−  ステップＡ：車両システムの極及びモーダルベクトルの推定；
−  ステップＢ：道路／鉄道線路の実稼働ベクトル及び特性パラメーターの推定。
【００６０】
ステップＡの車両の極及びモーダルベクトルの推定は、以下のステップを含むと言われている。
Ａ．１）以下に表された式（２５）によって数式化された多項式モデルに基づく、測定された出力信号からの出力ＰＳＤ行列Ｓｑ（ω）の１つ以上の関数の推定；
Ａ．２）式（２５）の特性多項式に関連付けられたコンパニオン行列の自己値（auto-values：自動値）及び自己ベクトル（auto-vectors：自動ベクトル）を求めることによる極λｎ及びモーダルベクトルψｎの推定。
【００６１】
ステップＢの道路／鉄道線路の実稼働ベクトル及び特性パラメーターの推定は、以下のステップを含む。
Ｂ．１）道路プロファイルに関連付けられた自己ＰＳＤ  Ｓｄ（ω）を記述するのに用いられるパラメトリックモデルの選択、及び、存在するときのコヒーレンス関数Γｍ（ω）の選択；
Ｂ．２）道路プロファイルに関連付けられた自己ＰＳＤ  Ｓｄ（ω）のパラメーターの実稼働ベクトル
0006736669.tif 000056
の推定、並びに、必要に応じて、以下に表された式（２６）〜（３４）に従った出力ＰＳＤ行列Ｓｑ（ω）の１つ以上の関数の単分数の分解に基づくコヒーレンス関数Γｍ（ω）のパラメーターの推定。
【００６２】
モーダルパラメーターの同定の手順は、多項式基底関数Ωｒ（ω）の使用について、以下に単一のステップにおいて詳細に説明される。多項式関数Ωｒ（ω）は、連続時間領域におけるモデルの場合には、Ωｒ（ω）＝（ｉω）ｒとすることができ、離散時間領域におけるモデルの場合には、
0006736669.tif 000057
とすることができる。ここで、Ｔｓはサンプリング周期を示す。
【００６３】
ステップＡ：車両システムの極及びモーダルベクトルの推定
ステップＡの間、上述のように、車両システムの極λｎ及びモーダルベクトルψｎは、単独の出力信号から求められる。ステップＡは、以下の２つのステップを含む。
Ａ．１）以下の式（２５）によって数式化された多項式モデルに基づく、測定された出力信号からの出力ＰＳＤ行列Ｓｑ（ω）の１つ以上の関数の推定。
【００６４】
出力される自己ＰＳＤ及び相互ＰＳＤを求めることが可能であるアルゴリズムは、パラメトリック推定器である。なぜならば、それらのアルゴリズムは、データフィッティングモデルの採用を必要とするからである。この論議において、パラメトリック推定器は、２種類に分割することができる。すなわち、（ｉ）パラメトリック推定器が動作する開始データが測定信号である場合のこの用語の厳密な意味でのパラメトリック推定器と、（ｉｉ）パラメトリック推定器が動作する開始データがＰＳＤの非パラメトリック推定値である場合の混成パラメトリック推定器とに分割することができる。
【００６５】
特に、ＰＳＤの非パラメトリック推定値は、例えば、パーセバル（Parseval）の定理及びウィーナー＝ヒンチン（Wiener-Khinchin）の定理によるＰＳＤの理論的定義から得ることができる。そのような推定器を通常区別するものは、それらの推定器が動作するデータの領域と、推定誤差、例えばリーク（leakage）、を低減するために用いられるウィンドウとである。ウェルチ（Welch）の重み付けぺリオドグラム法及びコレログラム法は、ＯＭＡの論議において最も普及した技法に含まれるものとして言及されるものである。
【００６６】
特に、本発明による方法では、式（２２）の多項式モデルの簡略化は、出力ＰＳＤに極を明らかに導入せず、その結果、システムの極の推定値及びそのモーダルベクトルに影響を与えない単独のゼロ（sole zeros）を有する多項式モデルによって、プロファイルに関連付けられた自己ＰＳＤ  Ｓｄのパターンと、コヒーレンス関数Γｍのパターンとを記述することによって得られる。
【００６７】
そのような考察に基づくと、以下の式を記述することが可能である。
0006736669.tif 000058
ここで、
−  σｒ及びｎｓは、それぞれプロファイルに関連付けられた自己ＰＳＤの補間器（interpolator）多項式の係数及び係数の数を示す；
−  γｒ及びｎｇは、それぞれコヒーレンス関数の補間器多項式の係数及び係数の数を示す。
【００６８】
式（２２）に提示されたフィッティングモデルに基づくと、式（２３）及び（２４）を利用することによって、出力ＰＳＤ行列Ｓｑ（ω）の新たな多項式モデルは、以下の式となる。
0006736669.tif 000059
ここで、
0006736669.tif 000060
は、その一般要素
0006736669.tif 000061
が、それぞれ係数
0006736669.tif 000062
を有する対応するＰＳＤの分子多項式である行列を表す。選択された推定方法によって、係数
0006736669.tif 000063
は、入力のカラライゼーション及びインレットの間の空間相関に関する情報を含むことを強調しておく。
0006736669.tif 000064
は、係数ａｒを有する全てのＰＳＤに共通の分母多項式である。
【００６９】
式（２５）の未知の値を求めるには、推定問題を解くことが必要である。そのような問題は、パラメーター線形（linear-in-the-parameters）又はパラメーター非線形（non-linear-in-the-parameters）になるように設定することができる。それらのケースによれば、未知の値は、文献において知られている技法によって計算することができ、例えば、二乗誤差を最小限に低減すること（最小二乗手法）、又は尤度関数を最大にすること（最尤手法）と、可能な場合には、（例えば、既知の回帰行列の逆行列に基づいて）直接解く方法又は（例えば、ニュートン・ラフソン（Newton-Raphson）解決アルゴリズム又はレーベンバーグ・マーカート（Levenberg-Marquardt）解決アルゴリズムに基づく）反復方法を用いることとによって計算することができる。
【００７０】
Ａ．２）式（２５）の特性多項式に関連付けられたコンパニオン行列の固有値（eigen-values）及び固有ベクトル（aeigen-vectors）を求めることによる極λｎ及びモーダルベクトルψｎの推定。
【００７１】
式（２５）の分子多項式及び分母多項式の係数が推定されると、特性多項式Ａ（ω）のコンパニオン行列を作成することによって、多項式モデルを状態空間における標準表現に変換することが可能である。用いられる表現とは無関係に、上記行列は、その固有値が定義によってシステム極λｎである状態行列に対応する。その代わりに、そのような行列に関連付けられた固有ベクトルは、用いられる標準形式に従って様々な物理的意味を仮定することができる。したがって、状態空間における表現は、モーダルベクトルψｎがそのような固有ベクトルに対応するように選択されなければならない。
【００７２】
ステップＢ：道路／レールの実稼働ベクトル及び特性パラメーターの推定
ステップＢの間、上述のように、道路／鉄道線路の実稼働ベクトル及び特性パラメーターが得られる。ステップＢは、以下のステップを含む。
【００７３】
Ｂ．１）適切に選択されたパラメトリックモデルによる、プロファイルに関連付けられた自己ＰＳＤ  Ｓｄ（ω）の記述、及び、存在する場合には、コヒーレンス関数Γｍ（ω）の記述。
【００７４】
そのために、式（２３）及び（２４）に導入された単独のゼロを有する多項式モデルを用いることができ、いずれにしても、それらの使用は、推定される未知のパラメーターが非常に多く存在することを意味する。これに対して、本明細書の最先端技術において提案されたモデルは、それらのモデルが、はるかに少ない数のパラメーターによって特徴付けられるという利点を提供し、その結果、実験的測定において観測される通常のパターンに良好に対応する。そのような簡略化を行うために、例として、時間周波数領域ωにおけるSussman（式（１０））及びBogsjo（式（１３））によって提案されたモデルが考慮される。
【００７５】
Ｂ．２）プロファイルに関連付けられた自己ＰＳＤ  Ｓｄ（ω）のパラメーターの実稼働ベクトル
0006736669.tif 000065
の推定、並びに、必要に応じて、以下の式（２６）〜（３４）に従った出力ＰＳＤ行列Ｓｑ（ω）の１つ以上の関数の単分数の分解に基づくコヒーレンス関数Γｍ（ω）のパラメーターの推定。
【００７６】
出力ＰＳＤ行列Ｓｑ（ω）（式（２０））の単分数の分解から、一般的な自己ＰＳＤ
0006736669.tif 000066
は、以下のように数式化することができる。
0006736669.tif 000067
ここで、周波数φｉｎ（ω）に依存する実稼働ベクトルの第ｉ成分は、以下の式によって与えられる。
0006736669.tif 000068
ただし、
【００７７】
時間周波数領域ωにおいてSussman（式（１０））及びBogsjo（式（１３））によって提案されたモデルを用いると、式（２７）は、以下のように書き換えることができる。
0006736669.tif 000069
【００７８】
ただし、その結果、式（２６）は以下の式となる。
0006736669.tif 000070
ただし、ここで、
0006736669.tif 000071
である。
【００７９】
特に、式（２９）における未知の値は、以下のとおりである。
−  ｍ＝０，．．．，ＮＷ、ｌ＝１，．．．，ＮＬ、ｎ＝１，．．．，２Ｎである実稼働ベクトルの第ｉ成分
0006736669.tif 000072
；
−  プロファイルに関連付けられた自己ＰＳＤ  Ｓｄ（ω）のパラメーターｃ及びω０；
−  コヒーレンス関数Γｍ（ω）のｍ＝１，．．．，ＮＷであるパラメーターμｍ。
【００８０】
式（２９）の未知の値を求めるには、パラメーター非線形推定の問題を解く必要がある。
【００８１】
特に、ローリング面の特徴付けに必要とされるパラメーターは、文献において知られている実験的測定又は実験値から得られるデータを用いることによって初期化することができる。
【００８２】
コヒーレンス関数Γｍ（ω）のパラメーターの推定が必要とされない以下の３つのケースを個別化することが可能である。
ケース１：車両、例えばオートバイが単一のプロファイル上を移動している場合、Γｍ（ω）は存在しない；
ケース２：車両が完全に一致したプロファイル上を移動している場合、コヒーレンス関数は既知であり、全ての値は１に等しいと仮定する；
ケース３：車両が完全に異なるプロファイル上を移動している場合、コヒーレンス関数は既知であり、全ての値は０に等しいと仮定する。
【００８３】
３つの全てのケースにおいて、未知の値を求めることは、式（２９）から導出される以下の関係を用いることによって得ることができる。
0006736669.tif 000073
【００８４】
特に、式（３３）の未知の値は、以下のとおりである。
−ｌ＝１，．．．，ＮＬ、ｎ＝１，．．．，２Ｎである実稼働ベクトルの第ｉ成分
0006736669.tif 000074
；
−  プロファイルに関連付けられた自己ＰＳＤ  Ｓｄ（ω）のパラメーターｃ及びω０。
【００８５】
式（２９）と異なり、式（３３）の未知の値を求めることは、パラメーター線形推定の問題を解くことによって行うことができる。
【００８６】
コヒーレンス関数が必要とされない場合の実稼働ベクトルの残りの成分αｎ、
0006736669.tif 000075
の推定値又は逆の場合の
0006736669.tif 000076
の推定値は、本節において前述した同じ手順に従うことと、一般的な出力相互ＰＳＤ
0006736669.tif 000077
の以下の式の部分分数分解を考えることとによって得ることができる。
0006736669.tif 000078
【００８７】
そのような場合に、式（３４）において推定される単独の未知の値は、ｌ＝１，．．．，ＮＬ、ｎ＝１，．．．，２Ｎである実稼働ベクトルの第ｉの成分
0006736669.tif 000079
又はｍ＝０，．．．，ＮＷ、ｌ＝１，．．．，ＮＬ及びｎ＝１，．．．，２Ｎである実稼働ベクトルの第ｉの成分
0006736669.tif 000080
である。
【００８８】
数値例
本発明の目的である同定の手順の性能を示すために、以下では、図（２）に表された、集中パラメーターを有するとともに、７つの自由度（ＤＯＦＳ：degree of freedom）を有する車両システムの同定の数値例を説明する。幾何学的特徴と、本発明による方法の仮定を順守する表面上の既知のモーダルパラメーターとを有する車両の動きを、適したコンピューティングフィールドにおいてシミュレーションした。用いられたモデルは、ばね上質量（シャーシ）の剛体モード、すなわち、ヒーブ、ピッチ及びロールと、ばね下質量（ホイール）の剛体モード、すなわち、前車軸及び後車軸の上下方向の揺れ及びローリング運動を記述することを可能にする。固有周波数ｆｎ＝ωｎ／２π（Ｈｚ）及び減衰係数ζｎ（％）は、以下の表に記載されている。
【００８９】
【表１】
0006736669.tif 000081
【００９０】
車両は、１つのみのトラック幅Ｗ１＝１．４９ｍ及び１つのみの軸間距離Ｌ１＝２．６６ｍを有する既知の幾何学的配置を有し、均一のガウス表面（仮定３〜６参照）上を定速ｖ＝６０ｋｍ／ｈで移動していると仮定される。
【００９１】
剛体モードは、垂直方向に沿ってばね上質量の３つの角度に配置された仮想移動量センサー
0006736669.tif 000082
と、４つのばね下質量のそれぞれに配置された仮想移動量センサー
0006736669.tif 000083
とのレイアウトを用いることによって捕捉されてきた。これらの７つの移動センサーに関する時系列のデータが、同定の方法の入力として用いられる単独のデータである。以下に説明するように、同じデータが、従来のＯＭＡ技法（ＬＳＣＦ）及び本発明による方法を用いて解析されてきた。
【００９２】
ホイールとローリングプロファイルとの間の相互作用によって生成される入力を式（１６）によって記述するこの例では、以下のものが必要とされる。
−  右側及び左側のホイールがそれぞれ回転するプロファイルｄ１とｄ２との間で計算された１つのみのコヒーレンス関数Γ１（ω）；
−  １つのみの遅れτ１＝０．１６秒。
【００９３】
そのような入力は、プロファイルに関連付けられた自己ＰＳＤ  Ｓｄ（ω）についてSussmanによって提案されたモデル（式（１０））と、コヒーレンス関数Γ１（ω）についてBogsjoによって提案されたモデル（式（１３））とをパラメトリックモデルとして用いることによってシミュレーションされる。用いられるパラメーターは、以下の表にまとめられている。
【００９４】
【表２】
0006736669.tif 000084
【００９５】
最後に、出力信号が、式（１７）の入力−出力関係によって自己ＰＳＤ及び相互ＰＳＤについて計算される。
【００９６】
従来のＯＭＡの通常のアルゴリズムの使用から派生する問題、すなわち、ＮＥｘＴ仮定（式（５）、（６）及び（７））に基づく問題を強調するために、同じ出力信号は、ＬＳＣＦ推定器によって処理され、それぞれの結果は、本発明の目的であるアルゴリズムを用いることによって得られた結果と比較される。
【００９７】
モーダルテストにおいて、安定化解析は、多くの場合、解析者のシステムの物理的な極の選択を助けるのに用いられる。実際には、偽の極の存在が、推定のプロセスに多かれ少なかれ強く影響を与える可能性がある。それらの存在は、様々な原因、例えば、データ内の雑音、モデル化誤差及び計算上の問題に起因する可能性がある。物理的な極は、それよりも、推定が様々な多項式次数を用いて実行されるときに安定化される傾向がある。
【００９８】
安定化図と呼ばれるグラフィカルツールは、多項式の増加する次数を用いて推定されるモーダルパラメーターを視覚化することを可能にする。固有周波数は、横座標軸に表される一方、様々な次数は、縦座標軸上に示される。解析者は、固有周波数、減衰係数及びモード信頼性評価基準（ＭＡＣ）の値に関する安定化を規定する許容範囲閾値を設定する。様々な状況は、異なるシンボルを用いて表される。すなわち、ｏは固有周波数の安定化の失敗を示し、ｆは固有周波数の安定化を表し、ｄ及びｖは減衰係数及びモーダルベクトルに関する必要以上の安定化を表し、ｓは完全に安定化された解を指す。
【００９９】
図（３．ａ）及び図（３．ｂ）には、提案された同定の手順（式（２５））及びＬＳＣＦアルゴリズムをそれぞれ用いることによって得られた安定化図が示されている。背景の曲線は、ばね上質量の右前部に配置されたセンサー
0006736669.tif 000085
によって検出された移動量から計算された自己ＰＳＤを指す。ＬＳＣＦアルゴリズムによって生成される解は、高い多項式次数に向かってもどの程度安定しない傾向があるか、したがって、著しい量の極／偽のモードを生成することに留意されたい。提案された同定の手順は、そうではなく、完全に安定化された解の列及びシステムの７つの極／物理モードに対応する列が明瞭に現れる非常に明瞭な安定化図を提供する。４０に等しい多項式次数を用いることによって得られる固有周波数ｆｎ（Ｈｚ）、減衰係数ζｎ（％）は、以下の表に与えられている。
【０１００】
【表３】
0006736669.tif 000086
【０１０１】
上記に紹介した表の解析から、提案された同定の手順によって提供される推定値が固有周波数及び減衰係数の双方に関して正確な値といかに完全に一致しているかということに気付くことができる。
【０１０２】
この論議において、ＭＡＣは、推定されたモーダルベクトル（ψｎ）を正確なベクトルと比較するのに用いることができる。特に、そのような行列は、全相関である１から厳密な直交である０まで変化させることによって様々なモードのセットのモーダルベクトルの間の類似度を定量化することを可能にする。したがって、理想的な解は、ＭＡＣが、同じモードのセットに属するモーダルベクトルをそれ自体と比較することによって得られるいわゆる自己ＭＡＣと一致する解である。図（２）の車両システムの正確なモーダルベクトルを基準とした自己ＭＡＣの行列を以下に示す。
【０１０３】
【表４】
0006736669.tif 000087
【０１０４】
一方、推定されたモーダルベクトルと正確なモーダルベクトルとの間で計算されたＭＡＣは以下の表となる。
【０１０５】
【表５】
0006736669.tif 000088
【０１０６】
提案された同定の手順によって得られるＭＡＣは、理想的な状況に非常に近く、したがって、推定されたモーダルベクトルの正確性を示している。
【０１０７】
モーダルパラメーターの推定を完了するために、この時、実稼働ベクトル
0006736669.tif 000089
を求めることが必要とされる。そのような目的のために、式（２６）〜（３３）によって、最初に、プロファイルに関連付けられた自己ＰＳＤ  Ｓｄ（ω）及びコヒーレンス関数Γ１（ω）のパラメトリックモデルに関連付けられた係数が計算される。それらの結果は、以下の表に示され、ローリングプロファイルとともにホイールの相互作用によって生成される入力をモデル化するのに用いられる正確な値への最適な対応を示している。  
【０１０８】
【表６】
0006736669.tif 000090
【０１０９】
この時点で、出力される自己ＰＳＤ又は相互ＰＳＤを時間ごとに参照するとともに式（２６）又は（３４）を用いて、実稼働ベクトルの全ての成分を求めることが可能である。この場合も、ＭＡＣを用いて、推定された実稼働ベクトルを正確な実稼働ベクトルと比較することができる。簡潔にするために、以下に示す自己ＭＡＣの行列は、図（２）の車両システムの正確な実稼働ベクトルのサブセットを指す。
【０１１０】
【表７】
0006736669.tif 000091
【０１１１】
一方、推定された実稼働値と正確な実稼働値との間で計算されたＭＡＣは以下の表となる。
【０１１２】
【表８】
0006736669.tif 000092
【０１１３】
また、提案された同定の手順によって得られるＭＡＣは、理想的な状況に非常に近く、したがって、推定された実稼働ベクトルの正確性を示している。
【０１１４】
プロファイルに関連付けられた自己ＰＳＤ  Ｓｄ（ω）及びコヒーレンス関数Γ１（ω）のパラメトリックモデルに関連付けられた全ての実稼働モーダルパラメーター及び係数が推定されると、出力される自己ＰＳＤ及び相互ＰＳＤを合成することと、それらの実稼働モーダルパラメーター及び係数の非パラメトリック推定値との比較を行うこととが可能である。この最後のステップは非常に興味深い。なぜならば、このステップは、得られた結果の有効性を確認する可能性を解析者に提供するからである。そのような比較の一例は図（４）に示されている。この図には、右前方のばね下質量に配置されたセンサー
0006736669.tif 000093
によって検出された移動量から計算された自己ＰＳＤが示されている。２つの曲線を完全に重ね合わせることによって、提案された同定の手順から得られる結果が優れていることが更に確認される。
【０１１５】
頭字語
ＦＲＦ：周波数応答関数
ＩＦＴ：逆フーリエ変換
ＬＳＣＦ：最小二乗複素周波数
ＭＡＣ：モード信頼性評価基準
ＮＥｘＴ：自然励振技法
ＯＭＡ：実稼働モーダル解析
ＰＳＤ：パワースペクトル密度
【０１１６】
シンボルのリスト
0006736669.tif 000094
＝実稼働ベクトル。
βｉｊ（ν）＝２つのプロファイルｄｉ（ｘ）及びｄｊ（ｘ）のスペクトルに関連付けられた位相間の差。
γｒ＝コヒーレンス関数の補間器多項式の係数
Γｉｊ（ν）＝コヒーレンス関数
λｎ＝システム極
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0006736669.tif 000096
φｉｎ及びφｊｎ  実稼働ベクトルφｎの成分
0006736669.tif 000097
ψｉｎ、ψｊｎ＝モーダルベクトルψｎの成分
ν０＝基準空間周波数
τｌ＝Ｌｌ／ｖ＝遅れ
ηｌｍ＋ｌ（τ）＝プロファイルｄｌとｄｍ＋ｌとの間で計算されたコヒーレンス関数Γｌｍ＋ｌ（ω）のＩＦＴ；
σｒ＝プロファイルに関連付けられた自己ＰＳＤの補間器多項式の係数；
Ωｒ（ω）＝多項式関数
0006736669.tif 000098
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ｄｉ（ｘ）、ｄｊ（ｘ）＝横座標ｘの関数として規定される道路表面に沿った平行プロファイル
0006736669.tif 000100
Ｌｌ＝軸間距離
ｎｇ＝コヒーレンス関数の補間器多項式の係数の数
ｎｓ＝プロファイルに関連付けられた自己ＰＳＤの補間器多項式の係数の数；
Ｎｔ＝ホイールの数
ｑｉ、ｑｊ＝出力
Ｒｄ（τ）＝プロファイルに関連付けられた自己相関の関数
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Ｓｄ＝道路表面又はレール表面を基準としたＰＳＤ
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0006736669.tif 000104
Ｓｊ＝入力ＰＳＤ行列
0006736669.tif 000105
0006736669.tif 000106
Ｓｒ（ω）＝表面によって誘発される移動量を基準としたＰＳＤ行列
Ｔｓ＝サンプリング周期
ｖ＝車両の進行速度
Ｗ＝２つの平行プロファイルｄｉ（ｘ）、ｄｊ（ｘ）の間の距離
Ｗｍ＝トラック幅 
【図１】
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【図２】
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【図３．ａ】
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【図３．ｂ】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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