(57)【要約】【課題】ウェーブレット変換の高速近似計算を行うことによって、信号処理における計算コストを削減する。【解決手段】入力された信号をＦＦＴして周波数領域の信号を生成するステップと、ウェーブレット基底をＦＦＴして周波数領域のウェーブレット基底を生成するステップと、前記周波数領域の信号と周波数領域のウェーブレット基底とを積算するステップと、周波数領域においてウェーブレット基底が支配的な周波数帯域に基づいて帯域制限幅を決定するステップと、積算結果において、決定された帯域制限幅だけ切り出したサンプル点列からＩＦＦＴによりウェーブレット係数を計算するステップと、を備えている。【選択図】図２
2008281898.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
周波数領域の信号と周波数領域のウェーブレット基底とを積算するステップと、
周波数領域においてウェーブレット基底が支配的な周波数帯域に基づいて帯域制限幅を決定するステップと、
積算結果において、決定された帯域制限幅で逆フーリエ変換によりウェーブレット係数を計算するステップと、
を備えているウェーブレット変換を用いた信号処理方法。
【請求項２】
入力された信号をフーリエ変換して周波数領域の信号を生成するステップを備えた、請求項１の信号処理方法。
【請求項３】
ウェーブレット基底をフーリエ変換して周波数領域のウェーブレット基底を生成するステップを備えた、請求項１，２いずれかに記載の信号処理方法。
【請求項４】
アナライジングウェーブレットの中心周波数をｘ、スケールパラメータをａとしたときに、
前記ウェーブレット基底は、当該ウェーブレット基底が周波数領域でｘ／ａ近傍の周波数帯域に成分が局在する関数であり、
前記帯域制限幅は、成分が局在しているｘ／ａ近傍の周波数帯域である、
請求項１乃至３いずれかに記載の信号処理方法。
【請求項５】
周波数帯域の制限において、帯域制限幅が一定である、請求項１乃至４いずれかに記載の信号処理方法。
【請求項６】
周波数帯域の制限において、帯域制限幅を、周波数ｘ／ａ毎に可変とするものであって、低い周波数の場合には帯域制限幅を小さくし、高い周波数の場合には帯域制限幅を大きくする、請求項４に記載の信号処理方法。
【請求項７】
周波数領域の信号及びウェーブレット基底は、ＦＦＴで求められる、請求項１乃至６いずれかに記載の信号処理方法。
【請求項８】
前記逆フーリエ変換は、ＩＦＦＴであり、決定された帯域制限幅だけ切り出したサンプル点列からＩＦＦＴによりウェーブレット係数を計算する、請求項１乃至７いずれかに記載の信号処理方法。
【請求項９】
前記帯域制限幅は、２のべき乗の点数からなる、請求項８に記載の信号処理方法。
【請求項１０】
ＩＦＦＴによるウェーブレット係数の計算は、被積分関数の規格化角周波数の積分範囲を０〜２πにそろえることを含む、請求項８ないし９に記載の信号処理方法。
【請求項１１】
入力された信号をＦＦＴして周波数領域の信号を生成するステップと、
ウェーブレット基底をＦＦＴして周波数領域のウェーブレット基底を生成するステップと、
前記周波数領域の信号と周波数領域のウェーブレット基底とを積算するステップと、
周波数領域においてウェーブレット基底が支配的な周波数帯域に基づいて帯域制限幅を決定するステップと、
積算結果において、決定された帯域制限幅だけ切り出したサンプル点列からＩＦＦＴによりウェーブレット係数を計算するステップと、
を備えているウェーブレット変換を用いた信号処理方法。
【請求項１２】
周波数領域の信号と周波数領域のウェーブレット基底とを積算する手段と、
周波数領域においてウェーブレット基底が支配的な周波数帯域に基づいて帯域制限幅を決定する手段と、
積算結果において、決定された帯域制限幅で逆フーリエ変換によりウェーブレット係数を計算する手段と、
を備えているウェーブレット変換を用いた信号処理装置。
【請求項１３】
入力された信号をフーリエ変換して周波数領域の信号を生成する手段を備えた、請求項１２の信号処理装置。
【請求項１４】
ウェーブレット基底をフーリエ変換して周波数領域のウェーブレット基底を生成する手段を備えた、請求項１２，１３いずれかに記載の信号処理装置。
【請求項１５】
アナライジングウェーブレットの中心周波数をｘ、スケールパラメータをａとしたときに、
前記ウェーブレット基底は、当該ウェーブレット基底が周波数領域でｘ／ａ近傍の周波数帯域に成分が局在する関数であり、
前記帯域制限幅は、成分が局在しているｘ／ａ近傍の周波数帯域である、
請求項１２乃至１４いずれかに記載の信号処理装置。
【請求項１６】
前記帯域制限幅決定手段は、帯域制限幅を、周波数ｘ／ａに依らず一定とする、請求項１２乃至１５いずれかに記載の信号処理装置。
【請求項１７】
前記帯域制限幅決定手段は、帯域制限幅を、周波数ｘ／ａ毎に可変とするものであり、低い周波数の場合には帯域制限幅を小さくし、高い周波数の場合には帯域制限幅を大きくする、請求項１５に記載の信号処理装置。
【請求項１８】
周波数領域の信号及びウェーブレット基底は、ＦＦＴで求められる、請求項１２乃至１７いずれかに記載の信号処理装置。
【請求項１９】
前記逆フーリエ変換は、ＩＦＦＴであり、前記ウェーブレット係数計算手段は、決定された帯域制限幅だけ切り出したサンプル点列からＩＦＦＴによりウェーブレット係数を計算する、請求項１２乃至１８いずれかに記載の信号処理装置。
【請求項２０】
前記帯域制限幅は、２のべき乗の点数からなる、請求項１９に記載の信号処理装置。
【請求項２１】
前記ウェーブレット係数の計算手段は、被積分関数の規格化角周波数の積分範囲を０〜２πにそろえることを含む、請求項１９ないし２０に記載の信号処理装置。
【請求項２２】
信号を入力する手段と、
入力された信号をＦＦＴして周波数領域の信号を生成する手段と、
ウェーブレット基底をＦＦＴして周波数領域のウェーブレット基底を生成する手段と、
前記周波数領域の信号と周波数領域のウェーブレット基底とを積算する手段と、
周波数領域においてウェーブレット基底が支配的な周波数帯域に基づいて帯域制限幅を決定する手段と、
積算結果において、決定された帯域制限幅だけ切り出したサンプル点列からＩＦＦＴによりウェーブレット係数を計算する手段と、
を備えているウェーブレット変換を用いた信号処理装置。
【請求項２３】
ウェーブレット変換を用いて信号処理を行うために、コンピュータを、
信号を入力する手段と、
入力された信号をＦＦＴして周波数領域の信号を生成する手段と、
ウェーブレット基底をＦＦＴして周波数領域のウェーブレット基底を生成する手段と、
前記周波数領域の信号と周波数領域のウェーブレット基底とを積算する手段と、
周波数領域においてウェーブレット基底が支配的な周波数帯域に基づいて帯域制限幅を決定する手段と、
積算結果において、決定された帯域制限幅だけ切り出したサンプル点列からＩＦＦＴによりウェーブレット係数を計算する手段と、
して機能させるコンピュータプログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、信号処理方法及び装置に係り、詳しくは、ウェーブレット変換を用いた信号の処理方法及び装置に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
音声認識や音楽信号処理などの前処理においては、時間・周波数解析が必要となる。その手法としては短時間フーリエ変換が多く用いられるが、通常のフーリエ変換では時間領域の情報が失われてしまい、音源分離やピッチ抽出などの用途には不十分である。そこで基底関数としてウェーブレット関数を用いるウェーブレット変換が注目されている。ウェーブレット変換では、基底関数の拡大縮小を行うので、広い周波数範囲で解析ができるが、フーリエ変換と比較して計算コストが大きいという問題がある。
【０００３】
周波数領域で連続ウェーブレット変換を行うことが知られており、このようなウェーブレット変換は特許文献１、特許文献２に記載されている。周波数領域の連続ウェーブレット変換は、デジタル信号を対象としたコンピュータでの解析を考えれば、ＩＦＦＴで高速に計算できる利点がある。
【特許文献１】特開２００６−５８２７８
【特許文献２】特開２００６−２００９０１
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００４】
本発明は、改良された周波数領域の連続ウェーブレット変換を用いた信号処理を提供するものであり、音声認識や音楽信号分析等の信号処理にウェーブレット変換を用いる場面において、ウェーブレット変換の高速近似計算を行うことによって、信号処理における計算コストを削減することを目的としている。
【課題を解決するための手段】
【０００５】
かかる課題を解決するために本発明が採用した信号処理方法は、周波数領域の信号と周波数領域のウェーブレット基底とを積算するステップと、周波数領域においてウェーブレット基底が支配的な周波数帯域に基づいて帯域制限幅を決定するステップと、積算結果において、決定された帯域制限幅で逆フーリエ変換によりウェーブレット係数を計算するステップと、を備えている。本発明が採用した信号処理装置は、周波数領域の信号と周波数領域のウェーブレット基底とを積算する手段と、周波数領域においてウェーブレット基底が支配的な周波数帯域に基づいて帯域制限幅を決定する手段と、積算結果において、決定された帯域制限幅で逆フーリエ変換によりウェーブレット係数を計算する手段と、を備えている。
【０００６】
ウェーブレット変換を用いた信号処理方法および装置において、周波数領域のウェーブレット係数の計算は、信号に対して、
【数１】
2008281898.tif 000003
を用いて周波数領域でウェーブレット係数を計算するものである。また、特殊はクラスのウェーブレット変換として、√ａを除いた下記の式を用いることも可能である。本明細書におけるウェーブレット変換には、両方の定義式を含む。
【数２】
2008281898.tif 000004
【０００７】
ウェーブレット基底は、当該ウェーブレット基底が周波数領域でｘ／ａ近傍の周波数帯域に成分が局在する関数であり、上記式における被積分関数の積分範囲を、前記成分が局在しているｘ／ａ近傍の周波数帯域に制限して、逆フーリエ変換によりウェーブレット係数を計算する。ｘ[rad/s]はアナライジングウェーブレットの中心周波数であり、本発明の実施形態の説明においては、ｘ＝１とする。
【０００８】
上記式において、
Ｗ（ａ，ｂ）：ウェーブレット係数、
ａ：スケールパラメータ、
ｂ：シフトパラメータ、
√ａｅ−ｊｗｂΨ＊（ａω）：周波数領域のウェーブレット基底（ウェーブレット基底をフーリエ変換したもの）、
Ｆ（ω）：周波数領域の信号（信号をフーリエ変換したもの）、
√ａΨ＊（ａω）Ｆ（ω）ｅ−ｊｗｂ：被積分関数
である。
【０００９】
一つの態様では、周波数帯域の制限において、帯域制限幅は一定である。他の態様では、周波数帯域の制限において、帯域制限幅を、周波数ｘ／ａ毎に可変とするものであって、低い周波数の場合には帯域制限幅を小さくし、高い周波数の場合には帯域制限幅を大きくする。帯域制限幅を一定とするか可変とするかについては、信号処理の目的や内容に合わせて、当業者をして適宜選択され得るものである。
【００１０】
好ましい態様では、周波数領域の信号及び周波数領域のウェーブレット基底は、フーリエ変換、さらに好ましくはＦＦＴ、で求められる。本発明において、信号処理方法は、入力された信号をフーリエ変換して周波数領域の信号を生成するステップ、および/あるいは、ウェーブレット基底をフーリエ変換して周波数領域のウェーブレット基底を生成するステップ、を備えても良い。あるいは、既に計算されて格納されている周波数領域の信号及び周波数領域のウェーブレット基底を用いても良い。
【００１１】
好ましい態様では、ウェーブレット係数を計算する逆フーリエ変換は、ＩＦＦＴである。ここで、本明細書において、「帯域制限」は、ある特定の積分範囲以外はすべて０と見なした積分計算、「帯域切り出し」は、帯域制限における積分範囲に相当するサンプル点だけをある配列に格納すること、と定義する。例えば、F(ω)がN点の系列であるとすると、この中からひとまとまりのn点を切り出す(ただしn<N)ことが「帯域切り出し」ということである。F(ω)にウェーブレット基底を乗じたものを「帯域切り出し」と、n点サイズの離散点系列が得られることになる。本発明によれば、定義通りの厳密なウェーブレット変換は、「帯域制限」したウェーブレット変換で概ね精度よく近似でき、帯域制限したウェーブレット変換は「帯域切り出し」により高速に計算できる。すなわち、一つの好ましい態様では、前記逆フーリエ変換は、ＩＦＦＴであり、決定された帯域制限幅だけ切り出したサンプル点列からＩＦＦＴによりウェーブレット係数を計算する。一つの態様では、「帯域切り出し」において、前記帯域制限幅は、２のべき乗の点数からなり、ウェーブレット係数の計算手段は、被積分関数の規格化角周波数の積分範囲を０〜２πにそろえることを含む。
【００１２】
一つの好ましい態様では、信号処理方法は、入力された信号をＦＦＴして周波数領域の信号を生成するステップと、ウェーブレット基底をＦＦＴして周波数領域のウェーブレット基底を生成するステップと、前記周波数領域の信号と周波数領域のウェーブレット基底とを積算するステップと、周波数領域においてウェーブレット基底が支配的な周波数帯域に基づいて帯域制限幅を決定するステップと、積算結果において、決定された帯域制限幅だけ切り出したサンプル点列からＩＦＦＴによりウェーブレット係数を計算するステップと、を備えている。一つの態様では、前記帯域制限幅は、２のべき乗の点数からなる。一つの態様では、ウェーブレット係数の計算は、被積分関数の規格化角周波数の積分範囲を０〜２πにそろえることを含む。
【００１３】
一つの好ましい態様では、信号処理装置は、信号を入力する手段と、入力された信号をＦＦＴして周波数領域の信号を生成する手段と、ウェーブレット基底をＦＦＴして周波数領域のウェーブレット基底を生成する手段と、前記周波数領域の信号と周波数領域のウェーブレット基底とを積算する手段と、周波数領域においてウェーブレット基底が支配的な周波数帯域に基づいて帯域制限幅を決定する手段と、積算結果において、決定された帯域制限幅だけ切り出したサンプル点列からＩＦＦＴによりウェーブレット係数を計算する手段と、を備えている。一つの態様では、前記帯域制限幅は、２のべき乗の点数からなる。一つの態様では、ウェーブレット係数の計算手段は、被積分関数の規格化角周波数の積分範囲を０〜２πにそろえることを含む。
【００１４】
一つの好ましい態様は、ウェーブレット変換を用いて信号処理を行うために、コンピュータを、信号を入力する手段と、入力された信号をＦＦＴして周波数領域の信号を生成する手段と、ウェーブレット基底をＦＦＴして周波数領域のウェーブレット基底を生成する手段と、前記周波数領域の信号と周波数領域のウェーブレット基底とを積算する手段と、周波数領域においてウェーブレット基底が支配的な周波数帯域に基づいて帯域制限幅を決定する手段と、積算結果において、決定された帯域制限幅だけ切り出したサンプル点列からＩＦＦＴによりウェーブレット係数を計算する手段と、して機能させるコンピュータプログラム、である。一つの態様では、前記帯域制限幅は、２のべき乗の点数からなる。一つの態様では、ウェーブレット係数の計算手段は、被積分関数の規格化角周波数の積分範囲を０〜２πにそろえることを含む。
【発明の効果】
【００１５】
本発明によれば、ウェーブレット変換を高速近似計算することで、信号処理における計算コストを低減することができる。より具体的に説明すると、例えば、音声認識や音楽信号分析においては特に周波数分解能に対する要求が強く、時間分解能は数十ｍｓ程度で十分である場合が多い。このような場合に、本発明の帯域制限によるウェーブレット係数系列の近似計算により、計算コストの削減が期待される。特に、支配的な帯域だけ切り出して、小さいサイズのIFFTを行うことで、よりいっそうの高速計算が可能となる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１６】
本発明は、周波数領域で帯域制限したウェーブレット変換を用いた信号処理方法及び装置に関するものである。周波数領域のウェーブレット変換を行うことで、ＩＦＦＴを用いた高速計算が可能となる。本発明は、さらに、これを改良するものであり、周波数成分がほとんどない帯域を無視して計算することができるようなウェーブレット変換において、帯域制限による近似計算を行い、所望の性能を維持したまま計算コストの削減を実現する手法に関するものである。ウェーブレット基底は、周波数領域のウェーブレット基底が、ウェーブレット基底をフーリエ変換したものが角周波数１／ａ近傍の帯域で支配的であるような関数、すなわち、周波数領域で１／ａ近傍の周波数帯域に成分が局在する関数である。ウェーブレット基底としては、非直交ウェーブレットとして、ガボール(gabor)、ガンマトーン(Gammatome)、メキカンハット(Mexican hat)、フレンチハット(French hat)、変形ガウシアン、が例示される。直交ウェーブレットとしては、メイエ(Meyer)、ドベシィ(Daubechies)、が例示される。本発明に係るウェーブレット変換の高速近似計算は、直交ウェーブレット、非直交ウェーブレットを問わず適用されるが、主として非直交ウェーブレットを対象とする。
【００１７】
本発明のハードウエア構成について説明する。本発明に係る信号処理装置は、信号を入力する手段と、入力された信号をＦＦＴして周波数領域の信号を生成する手段と、ウェーブレット基底をＦＦＴして周波数領域のウェーブレット基底を生成する手段と、前記周波数領域の信号と周波数領域のウェーブレット基底とを積算する手段と、周波数領域のウェーブレット基底における支配的な周波数帯域に基づいて帯域制限幅を決定する手段と、積算結果において、決定された帯域制限幅においてＩＦＦＴによりウェーブレット係数を求める手段、を備えているが、当該信号処理装置は、パーソナルコンピュータ等のコンピュータ（具体的には、入力装置、出力装置、ＣＰＵ，記憶装置（ＲＯＭ，ＲＡＭ等）、これらを接続するバス、を備えている。）から構成することができる。
【００１８】
以下、ウェーブレット変換の高速近似計算について説明するが、当該高速近似計算は純粋な数学的手法ではなく、信号処理の構成要素として用いられるものである。本発明が適用される信号処理の好ましい態様例として、音声認識や音楽信号分析が挙げられるが、ウェーブレット変換を用いた信号処理は広く知られており、本発明に係る信号処理は、ウェーブレット変換が適用され得るいかなる信号処理にも適用することができる。
【００１９】
［周波数領域の連続ウェーブレット変換］
先ず、導入として周波数領域での連続ウェーブレット変換について説明する。ウェーブレット係数Ｗ（ａ，ｂ）は、以下のように、信号ｆ（ｔ）とウェーブレット基底Ψａ，ｂ（ｔ）の内積
【数３】
2008281898.tif 000005
で定義される。但し、Ψ（ｔ）はアナライジングウェーブレット、すなわちマザーウェーブレットである。ａ，ｂはそれぞれウェーブレット基底に関するパラメータであり、ａはスケールパラメータであり、マザーウェーブレットを時間方向に何倍したか(1/aが周波数に相当)を示すものである。ｂはシフトパラメータ  であり、マザーウェーブレットを時間方向にどれくらい平行移動したかを示すものである。
【００２０】
フーリエ変換対を以下
【数４】
2008281898.tif 000006
で定義すると、一般化パーセバルの等式より時間領域と周波数領域における内積には、
【数５】
2008281898.tif 000007
なる関係式が成立する。但し、Ｆ［ｘ（ｔ）］＝Ｘ（ω），Ｆ［ｙ（ｔ）］＝Ｙ（ω）である。ウェーブレット基底のフーリエ変換Ψａ，ｂ（ω）は、
【数６】
2008281898.tif 000008
（ただし、Ψ（ω）＝Ｆ［Ψ（ｔ）］）なので、式（１）と式（５）より、
【数７】
2008281898.tif 000009
を得る。
【００２１】
上式は、ｂを仮に時間と見立てた場合に、式（４）との対応から明らかなように、√ａΨ＊（ａω）Ｆ（ω）の逆フーリエ変換となる。これより、特定の角周波数１／ａにおけるＷ（ａ，ｂ）のトラジェクトリが時間領域ｂの擬似信号であると解釈できる。
【００２２】
このような周波数領域の連続ウェーブレット変換自体は公知であって、例えば、特許文献１、特許文献２に開示されている。特許文献１には、検出された検出信号をＦＦＴして周波数領域の検出信号を生成し、ウェーブレット変換におけるマザーウェーブレットをＦＦＴして得られた周波数領域のマザーウェーブレットと、上記周波数領域の検出信号とを、周波数毎に乗算し、上記乗算して得られた周波数領域の信号を逆ＦＦＴ変換することにより、ウェーブレット係数を算出することが記載されている。特許文献２には、受信波形を高速フーリエ変換し受信波形ＦＦＴを得る受信波形ＦＦＴステップと、マザーウェーブレットを高速フーリエ変換しウェーブレットＦＦＴを得るウェーブレットＦＦＴステップと、前記受信波形ＦＦＴとウェーブレットＦＦＴを掛け算して積算ＦＦＴを得るＦＦＴ積算ステップと、前記積算ＦＦＴを逆高速フーリエ変換してウェーブレット係数を求める係数解析ステップが記載されている。
【００２３】
［帯域制限による計算効率向上］
デジタル信号を対象とした計算機での解析を考えれば、式（８）はＩＦＦＴ（Ｉｎｖｅｒｓｅ  Ｆａｓｔ  Ｆｏｕｒｉｅｒ  Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ）で高速に計算できる利点はあるものの、ここで着目すべき点は、擬似信号Ｗ（ａ，ｂ）は信号ｆ（ｔ）のサンプリング周期と等しい時間分解能をもつということである。Ψ＊（ａω）が角周波数１／ａ近傍のある狭帯域でのみ支配的である場合を考えれば、ｂの分解能は適度に下げても情報の損失は極力抑えられるはずであり、高精度な近似をより少ない計算量で行うことが期待できる。
【００２４】
ここで、はじめからある周波数帯域にのみ成分が局在しているなら、復元すべき所望の信号の情報をほとんど失わずに計算コストを効果的に抑えるためには、成分が局在する帯域のみを切り出して逆フーリエ変換を施せばよいことがわかる。この場合、成分が局在する帯域が狭ければ狭いほど計算効率を向上させることができる。
【００２５】
式（８）の計算に関してもこの状況は同様に当てはまると考えられる。なぜなら、例えば、ガボール関数などのウェーブレット関数をアナライジングウェーブレットに用いる場合、Ψ＊（ａω）が、角周波数１／ａを中心としてその近傍のみが支配的であるような周波数窓の役割となっているからである。
【００２６】
任意の帯域制限における被積分関数の格納について説明する。√ａΨ＊（ａω）Ｆ（ω）を離散化した標本系列をＧ［ｋ］（ｋ＝０，．．．，Ｎ−１）とする。Ｇ［ｋ］は、以後の説明の便宜上、規格化角周波数が０から２πまで（πから２πは負の周波数成分に相当）の√ａΨ＊（ａω）Ｆ（ω）を順にｋ＝０，．．．，Ｎ−１に格納したものとする。ここでは、これをサイズｄの帯域Ｚ［ｌ，ｌ＋ｄ−１］に制限してＩＦＦＴを行う上で、被積分関数に相当するＧ［ｋ］の格納先の標本系列Ｇ´［ｋ］（ｋ＝０，．．．，ｄ−１）をどのように決めるかについて述べる。
【００２７】
全帯域を利用する場合、特定のａにおける離散ウェーブレット係数系列Ｗａ［ｎ］（ｎ＝０，．．．，Ｎ−１）は、
【数８】
2008281898.tif 000010
により計算される。一方、Ｇ［ｋ］が十分小さいと見なせる帯域を無視して図１のように区間をＺ［ｌ，ｌ＋ｄ−１］に制限した場合、Ｎ／ｄ点ダウンサンプリングされた離散ウェーブレット係数系列Ｗ´ａ［ｎ］は、
【数９】
2008281898.tif 000011
で計算される。ｄをＮ／ｄが自然数となるように選ぶと式（９）、（１１）を比較すると、
【数１０】
2008281898.tif 000012
であることがわかる。
【００２８】
式（１０）において、規格化角周波数の積分範囲がＲ（２πｌ／ｄ，２πｌ／ｄ＋２π）に相当していることに注意し、式（１０）をＩＦＦＴで計算するときは規格化角周波数の積分範囲をＲ（０，２π）にそろえる必要がある。
ｋ´＝ｋ−ｌと置くと式（１０）は、
【数１１】
2008281898.tif 000013
と書き直せる。ｌ／ｄが整数であるとき以外、Ｇ［ｋ］をそのまま切り出してＩＦＦＴを行った場合の計算結果は式（１０）と一致しないことがわかる。そこで、
【数１２】
2008281898.tif 000014
を満たすｐを用いて上式の複素正弦波の項を
【数１３】
2008281898.tif 000015
と置く。ただし、２段目と３段目の等式は複素正弦波の周期性を利用している。式（１５）の結果から、ｋ´´＝ｋ´＋ｌ−ｐｄと置き、式（１４）の条件よりｌ−ｐｄは負の整数なので、式（１３）を
【数１４】
2008281898.tif 000016
のようにｋ´´の正と負の区間に分けて別々の項にする。［］内の第２項は周期性を利用して、
【数１５】
2008281898.tif 000017
と置けるので、これを式（１６）に戻すと、
【数１６】
2008281898.tif 000018
を得る。上式の第１項と第２項におけるｋの終点と始点に注目すると、Ｇ´［ｋ］  を、
【数１７】
2008281898.tif 000019
のように格納することで（図２参照）、式（１８）は、
【数１８】
2008281898.tif 000020
にまとめることができる。以上より、被積分関数の規格化角周波数の積分範囲をＲ（０，２π）にそろえることができたので、ＩＦＦＴで式（１０）と同じ計算結果を得ることができる。ただし、ｄは２のべき乗とする必要がある。
【００２９】
［周波数領域での帯域制限幅の可変にしたウェーブレット変換］
上述の説明では、切り出し幅をスケールパラメータａに依らず一定としていた。しかしながら、切り出し幅を一定とすると、周波数が高いところでの誤差が大きくなるという不具合があった。１／ａが周波数に対応することから、図３に示すように、大きいａが低い周波数に、小さいａが高い周波数に対応し、周波数領域におけるウェーブレット基底において、周波数が高いところでの誤差が大きくなる。
【００３０】
そこで、周波数毎に帯域制限幅を可変にすることで、計算の精度を向上させる。具体的には、図４に示すように、低い周波数については帯域制限幅を小さくし、高い周波数については帯域制限幅を大きくする。周波数毎に帯域制限幅を可変にすることで、より精度が上がると考えられる。また、このことは、周波数毎に異なる時間分解能でみていることに相当する。
【００３１】
周波数毎に帯域制限幅を可変にする態様について説明したが、周波数毎に帯域制限幅を可変とすることは必須ではない。実際、信号の種類や信号処理の目的や内容に応じて、一定幅の帯域制限による高速ウェーブレット変換であっても、十分な性能を得ることが確認されている。帯域制限幅を可変にした方が高周波 (小さいa)の周波数成分の近似精度は良くなるが、その分計算量が大きくなるというトレードオフがある。しかし、高周波の周波数成分が正確に近似されていなくてもそれほど影響してこない場面は音響分析などではしばしばある。
【００３２】
本発明では、周波数領域において成分が局在している１／ａ近傍の周波数帯域に制限して逆フーリエ変換を行うわけであるが、帯域制限幅の決め方については、帯域制限幅が一定の場合、可変の場合に限らず、信号処理の目的等に応じて使用者が適宜決定することができる。一つの態様では、帯域制限幅は、ウェーブレット基底の周波数応答(Ψａ，ｂ（ω）)の裾が収まるレンジである。また、帯域制限幅の基準を、Ψａ，ｂ（ω）のピークに比べてある一定値パーセント以上の帯域とすることもできる。具体的なパーセント値については、具体的な信号処理に応じて使用者が適宜決定することができる。
【００３３】
［計算量］
帯域制限によるウェーブレット係数系列の近似計算がどれだけの計算量で見積もれるかを述べる。ここでは、総計算量の中の大部分を占めると考えられるＦＦＴとＩＦＦＴにおける乗算と加算の回数だけについて言及する。
【００３４】
サンプル点数が２のべき乗になるように零詰めした信号のサイズをＮ，ａｉ（ｉ＝０，．．．，Ａ−１）の離散系列のサイズをＡとすると、式（９）の計算はＦ（ω）の計算に必要なサイズＮのＦＦＴとそれぞれのスケールパラメータａｉについてサイズＮのＩＦＦＴを要するので乗算と加算の回数は、
【数１９】
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である。
【００３５】
一方、ａｉごとに適切に決めた２つのべき乗のサイズｄｉで帯域制限した場合の乗算と加算の回数は、
【数２０】
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となり、乗算と加算の回数の削減が期待される。
【００３６】
［実験例］
本発明に係るウェーブレット変換の高速近似計算を用いて実験を行った。
使用データ：ピアノ曲  「トロイメライ」（RWC研究用音楽データベースより）、約１７秒、１６ｋHzサンプリング、である。この曲を、60Hz〜7618Hzまでを周波数分解能14centで解析することを目標とした。
精度の評価方法：基準となるウェーブレット係数をWr(a,b)としたときのW(a,b)精度を、パーセントで算出した。
【数２０】
2008281898.tif 000023
計算量の評価方法：演算に要する四則演算の回数で評価。周波数領域でのウェーブレット変換では、支配的と考えられるFFT、IFFTでの演算回数を評価した。
【００３７】
図５は時間シフト毎の精度と演算回数比の関係を示す図である。4msや8msの時間分解能でも精度は99％に保つことができ、計算量は100分の1程度に落とすことが出来た。音楽信号において、周波数領域上で帯域制限を行った上でWavelet変換することの有効性が確認できた。また、計算量と精度のトレードオフを具体的に示せた。よって、求めたい精度に応じて、ウェーブレット変換のアルゴリズムやパラメータを選択することができる。
【００３８】
図６は、帯域制限幅と精度・演算回数比を示す図である。帯域制限幅を、「平均を中心として、標準偏差の何倍離れた点までとするか」で定めた。帯域制限幅を大きく取ると、精度が高まり、計算量が大きくなることがわかるが、精度の低下は、帯域制限幅が小さくなっても限定的であることがわかる。
【００３９】
周波数領域で帯域制限したウェーブレット変換、すなわち、周波数領域上の全点を用いず、帯域制限を行ったウェーブレット変換を採用することで、より小さいサイズのIFFTで済み、ウェーブレット変換の計算量、したがって、信号処理における計算量を低減することができる。帯域制限は、時間領域ではダウンサンプリングしていることに相当し、時間分解能は落ちるが、所与の信号処理においてある程度の時間分解能を犠牲にできる場合には、ウェーブレット変換の高速近似計算を採用することは有用である。
【産業上の利用可能性】
【００４０】
本発明は、声認識や音楽信号処理などの前処理として用いられるウェーブレット解析を高速に行う手法であり、多重音からの自動採譜、音楽検索、雑音下音声認識、多数話者の音声認識などで有用である。
【図面の簡単な説明】
【００４１】
【図１】周波数領域で帯域制限したウェーブレット変換において、被積分関数の帯域制限を説明する図である。縦軸は振幅（複素数）である。
【図２】周波数領域で帯域制限したウェーブレット変換において、被積分関数の規格化角周波数の積分範囲を０〜２πとする格納方法を説明する図である。縦軸は振幅（複素数）である。
【図３】ウェーブレット変換におけるスケールパラメータａと周波数との関係を示す図である。縦軸は振幅（複素数）である。
【図４】周波数領域での帯域制限幅を可変とすることを説明する図である。縦軸は振幅（複素数）である。
【図５】周波数領域で帯域制限したウェーブレット変換ついて、時間シフト毎の精度と演算回数比の関係を示す図である。
【図６】周波数領域での帯域制限幅を可変にしたウェーブレット変換において、帯域制限幅と精度・演算回数比を示す図である。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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