(57)【要約】【課題】光軸に対して回転対称なレンズ系において正確な収差係数を用いて高次収差を計算するレンズ系設計方法を提供する。【解決手段】光軸に対して回転対称なレンズ系における入射瞳面上の座標値と物体面上の座標値による３個の回転不変量をＵ，Ｖ，Ｗとし、この回転不変量のそれぞれの冪乗数をｉ，ｊ，ｋとし、光学系の物体面上の位置または像面上の位置の光軸からの距離をｙsとし、光学系の入射瞳面上の位置または射出瞳面上の位置の光軸からの距離をｙtとし、光学系の物体面上の位置または像面上の位置の光軸からの距離ｙsと３個の回転不変量Ｕ，Ｖ，Ｗに対する収差係数をＡijkとし、光学系の入射瞳面上の位置または射出瞳面上の位置の光軸からの距離ｙtと３個の回転不変量Ｕ，Ｖ，Ｗに対する収差係数をＢijkとしたとき、光学系の収差ｙを次式【数１９６】2008039971.tif 000208により表して高次収差計算をするレンズ系設計方法。【選択図】図１
2008039971.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
光軸に対して回転対称なレンズ系における高次収差係数を３個の添え字を用いた多項式で表し、前記３個の添え字を、それぞれの回転不変量の冪乗数で表して高次収差を計算することを特徴とするレンズ系設計方法。
【請求項２】
光軸に対して回転対称なレンズ系における入射瞳面上の座標値と物体面上の座標値による３個の回転不変量をＵ，Ｖ，Ｗとし、前記回転不変量のそれぞれの冪乗数をｉ，ｊ，ｋとし、前記光学系の物体面上の位置または像面上の位置の光軸からの距離をｙsとし、前記光学系の入射瞳面上の位置または射出瞳面上の位置の光軸からの距離ｙtとし、前記光学系の物体面上の位置または像面上の位置の光軸からの距離ｙsと３個の回転不変量Ｕ，Ｖ，Ｗに対する収差係数をＡijkとし、前記光学系の入射瞳面上の位置または射出瞳面上の位置の光軸からの距離ｙtと３個の回転不変量Ｕ，Ｖ，Ｗに対する収差係数をＢijkとしたとき、前記光学系の収差ｙを次式
【数１】
2008039971.tif 000206
により表して高次収差計算をすることを特徴とするレンズ系設計方法。
【請求項３】
光軸に対して回転対称なレンズ系における物体面座標値と入射光線方向の正接による３個の回転不変量をＵ，Ｖ，Ｗとし、前記回転不変量のそれぞれの冪級数をｉ，ｊ，ｋとし、前記光学系の物体面上の位置または像面上の位置の光軸からの距離をｙsとし、前記光学系の入射光線方向または屈折光線方向の正接をｔyとし、前記光学系の物体面上の位置または像面上の位置の光軸からの距離ｙsと３個の回転不変量Ｕ，Ｖ，Ｗに対する収差係数をＡijkとし、前記光学系の入射光線方向または屈折光線方向の正接ｔyと３個の回転不変量Ｕ，Ｖ，Ｗに対する収差係数をＢijkとしたとき、前記光学系の収差ｙを次式
【数２】
2008039971.tif 000207
により表して高次収差計算をすることを特徴とするレンズ設計方法。
【請求項４】
前記光軸に対して回転対称なレンズ系における高次収差による非点収差は、レンズ系の像面での位置および射出瞳面上の位置または光線方向の正接を、前記入射瞳面上の座標値または前記物体面上の座標値で微分した量から求めることを特徴とする請求項１〜３のいずれか一項に記載のレンズ系設計方法。
【請求項５】
前記光軸に対して回転対称なレンズ系における高次収差のレンズ形状を示すパラメータによる微分を計算するときには、前記パラメータによる微分計算した面以後の収差係数に、像面位置と射出瞳面位置の移動による微分の項を付加させないで、レンズ系全体の収差係数についての前記パラメータによる微分を計算して後、前記パラメータによる近軸最終像面位置の移動による項を追加することを特徴とする請求項１〜４のいずれか一項に記載のレンズ系設計方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、カメラ、顕微鏡、双眼鏡、複写機、投影機など、あらゆる光学分野に使用されるレンズ系（光学系）の設計方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
従来レンズ系は、光軸上に屈折光学素子または、反射光学素子または、それらを複数枚組み合わせたもので構成され、それらの光学系を構成するパラメータ(曲率半径、間隔、屈折率など)を最適に設計することで収差を補正し、所望の性能を得ていた。最適なパラメータ値を求めるために、現設計時点での収差値と、その設計値のパラメータをわずかに変化した場合の収差の変化率を求め、それらの値から、最小二乗法または減衰最小二乗法（DLS法）によりさらに良い設計解を得ていた。しかし、パラメータ値に対して収差値がきわめて非線形なために、最小二乗法または減衰最小二乗法による最適値を一回で求められることは稀で、何回も繰り返して計算することにより、所望の性能を得ていた。
【０００３】
しかし、DLS法などにより一旦設計解に収束すると、他にさらに良い解があってもそこに移動することは極めて困難で、何らかの手動的な操作によりパラメータを大幅に移動させなければ、別の設計解に収束することはできない。パラメータをどのように動かすかは、従来からレンズ設計者の勘と経験に頼らなければならなかった。そこで、最近になって、このような局所的な設計解で停止せずに、その極小値を乗り越えてもっと別の設計解を探索するというような、「グローバル最適化」を行うようなレンズ設計アルゴリズムが提案されるようになってきた。S. C. Johnstonによる方法は、その「グローバル最適化」の一つの方法であって、パラメータの変動に対して比較的変動がゆるやかな、高次の収差から最適化して、最後に最低次の収差まで最適化することにより、実収差による極小値を乗り越えて、よりグローバルに最適化する方法である（例えば、非特許文献１参照）。
【０００４】
【非特許文献１】S. C. Johnston［SPIE International Lens DesignConference Vol.554 p48-p51 (1985)］
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
このような高次収差から最適化を行うためには、当然高次収差係数を計算することが必要である。従来、高次収差係数の計算方法に関しては多くの論文があるが、どの論文でも高次収差の計算方法はかなり複雑であり、5次収差までは一般的に計算できるが、7次収差以上になると、球面収差以外はあまり知られていないのが実情である。
【０００６】
そこで、本発明では、従来計算が複雑で困難であった高次収差を、汎用的に計算する方法を提供することを課題としている。また、高次収差により最適化するために、高次収差のパラメータによる微係数を計算する必要があるが、その微係数を差分により近似して計算すると、次数が高くなるほどかなり計算時間がかかるようになる。そこで、本発明では、微係数をもっと短時間で計算する方法をも提供することを課題としている。
【０００７】
また、レンズ系の波動光学的評価のために、Zernike係数を求める場合があるが、そのためには、波面収差係数(ニーボアの係数)から求める必要があるが、高次の波面収差係数は、通常瞳面を分割して後、多数の光線追跡をして、それらの波面収差から数値解析（最小二乗法）により求められている。しかし、高次の収差まで求めるためには、かなり多数本の光線追跡をしないと、正確には求められないのが現状である。ところが、収差論的な計算方法であると、数値解析と違って、追跡する光線本数に依存せずに正確に計算できることが期待される。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
前記課題を解決するために、第１の本発明に係るレンズ系設計方法は、光軸に対して回転対称なレンズ系における高次収差係数の３個の添え字を、それぞれの回転不変量の冪乗数で表して高次収差を計算する。
【０００９】
また、第２の本発明に係るレンズ系設計方法は、光軸に対して回転対称な光学系における入射瞳面上の座標値と物体面上の座標値による３個の回転不変量をＵ，Ｖ，Ｗとし、この回転不変量のそれぞれの冪乗数をｉ，ｊ，ｋとし、光学系の物体面上の位置または像面上の位置の光軸からの距離をｙsとし、光学系の入射瞳面上の位置または射出瞳面上の位置の光軸からの距離をｙtとし、光学系の物体面上の位置または像面上の位置の光軸からの距離ｙsと３個の回転不変量Ｕ，Ｖ，Ｗに対する収差係数をＡijkとし、光学系の入射瞳面上の位置または射出瞳面上の位置の光軸からの距離ｙtと３個の回転不変量Ｕ，Ｖ，Ｗに対する収差係数をＢijkとしたとき、この光学系の収差ｙを次式
【数３】
2008039971.tif 000003
により表して高次収差を計算する。
【００１０】
また、第３の本発明に係るレンズ系設計方法は、光軸に対して回転対称なレンズ系における物体面座標値と入射光線方向の正接による３個の回転不変量をＵ，Ｖ，Ｗとし、この回転不変量のそれぞれの冪級数をｉ，ｊ，ｋとし、光学系の物体面上の位置または像面上の位置の光軸からの距離をｙsとし、光学系の入射光線方向または屈折光線方向の正接をｔyとし、光学系の物体面上の位置または像面上の位置の光軸からの距離ｙsと３個の回転不変量Ｕ，Ｖ，Ｗに対する収差係数をＡijkとし、光学系の入射光線方向または屈折光線方向の正接ｔyと３個の回転不変量Ｕ，Ｖ，Ｗに対する収差係数をＢijkとしたとき、この光学系の収差ｙを次式
【数４】
2008039971.tif 000004
により表して高次収差計算をする。
【００１１】
このとき、高次収差による非点収差の計算方法は、レンズ系の像面での位置および射出瞳面上の位置または光線方向の正接を、入射瞳面上の座標値または物体面上の座標値で微分した量から求めることが好ましい。
【００１２】
また、高次収差のレンズ形状を示すパラメータによる微分を計算するときには、パラメータによる微分計算した面以後の収差係数に、像面位置と射出瞳面位置の移動による微分の項を付加させないで、レンズ系全体の収差係数についてのパラメータによる微分を計算して後、パラメータによる近軸最終像面位置の移動による項を追加することが好ましい。
【発明の効果】
【００１３】
本発明により、高次収差の汎用的な計算が可能になり、計算時間と計算機のメモリーの制約がなければ、何次の次数までの収差でも計算可能となった。また、高次収差による非点収差の計算が可能となった。
【００１４】
さらに、高次収差をパラメータで微分することにより、微分を差分近似する場合よりも高速で高次収差を最適化することが可能となった。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１５】
従来、レンズの収差係数は、M.Herzberger[J. Opt. Soc. Amer.,29(1939),395]の論文にあるように、回転対称な光学系では、物体面上の点、または像面上の点の座標値を（ｓ，ｙｓ，ｚｓ）、入射瞳面上の点、または射出瞳面上の点の座標値を（ｔ，ｙｔ，ｚｔ）とすると、回転不変量
【数５】
2008039971.tif 000005
により、収差を
【数６】
2008039971.tif 000006
等のように展開して、３次収差係数はＡ1i、５次収差係数はＡ1ik、というように、収差係数の次数により係数の添え字の個数が異なっている。しかし、収差係数の次数により係数の添え字が異なっていると、収差係数の次数毎に異なった配列を用意する必要があり、異なった次数の収差係数をプログラムで汎用的に一括して処理するためには、非常に不便である。そこで、回転不変量を、
【数７】
2008039971.tif 000007
として、収差を
【数８】
2008039971.tif 000008
というように、収差係数の３個の添え字を，それぞれの回転不変量の冪乗数で表し、どの次数の収差係数も，添え字を３個に統一するようにする。すると、３次収差係数はＡ100, Ａ010, Ａ001, Ｂ100, Ｂ010, Ｂ001、つまり、Ａijk，Ｂijkにおいてｉ＋ｊ＋ｋ＝１、５次収差係数はＡ200, Ａ110, Ａ101, Ａ020, Ａ011, Ａ002, Ｂ200, Ｂ110, Ｂ101, Ｂ020, Ｂ011, Ｂ002、つまりｉ＋ｊ＋ｋ＝２、というように、添え字の合計数により収差係数の次数が異なるが、プログラミングするときに収差係数の次数毎に異なった配列を用意する必要がなく、異なった次数であっても収差係数の汎用的な処理が可能となる。汎用的な計算方法が確立すれば、計算時間と計算機のメモリーの制約がなければ、何次の次数までの収差でも計算可能となる。そして、低次の収差から順に計算する場合は、
【数９】
2008039971.tif 000009
とすれば良い。この場合収差の最大次数は、２N+1であり、N=1と指定すれば３次収差が、N=2と指定すれば５次収差までが、N=3と指定すれば７次収差までが計算できる。
【００１６】
ところで、従来レンズの収差係数は、Seidel収差係数やHerzbergerによる係数のように、物体面座標値と入射瞳面座標値の関数の係数として与えられてきた。そこで、第一の展開方法として高次収差についても、物体面座標値と入射瞳面座標値の関数の係数として計算する方法を示す。ところが、カメラレンズや望遠鏡のレンズのように、物体がほぼ無限遠にある場合、物体面座標値と入射瞳面座標値の関数の係数として表すのは困難である。そこで、第二の展開方法として、松居吉哉の「レンズ設計法」(共立出版)のP79からにあるように、物体面座標値と入射光線方向の正接の関数の係数として計算する方法を示す。
【００１７】
先ず、第一の展開方法で、単一のレンズ面による収差係数の計算方法について、説明する。第一段階として、レンズ面上での光線到達位置を、物体面座標値と入射瞳座標値の冪級数展開で計算する方法を示す。図２の、第一の展開方法による高次収差計算過程の概略図では、Ｖ1の矢印で表してある。図1にあるように、物体位置をｓ、入射瞳位置をｔ、物体面上の点Ｓの座標値を（ｓ，ｙｓ，ｚｓ），入射瞳面上の点Ｔの座標値を（ｔ，ｙｔ，ｚｔ）とし、光軸をx軸とする。点Ｓと点Ｔを通過した光線がレンズ面上の点Ｒに到達するとし、点Ｒの座標値を（ｘ，ｙ，ｚ）とし、レンズ面と光軸との交点を原点（0，0，0）とする。そして、レンズ面上での位置関係が
【数１０】
2008039971.tif 000010
であるとする。ここで、係数Cmはレンズの形状によってのみ決まる係数である。物体面上の点Ｓを出た光線が、レンズに到達するまでの光線の式は、図１において、横軸が光軸でそれをx軸、縦軸をｙ軸とすると、図１より明らかなように、
【数１１】
2008039971.tif 000011
となり、図１の縦軸をy軸の代わりにz軸とすると、
【数１２】
2008039971.tif 000012
となる。ただし、
【数１３】
2008039971.tif 000013
である。従って、
【数１４】
2008039971.tif 000014
となる。そこで、回転不変量を、
【数１５】
2008039971.tif 000015
として、
【数１６】
2008039971.tif 000016
と置く。ただし、summationの記号の定義として、
【数１７】
2008039971.tif 000017
は、(２N+1)次から(２M+1）次までの収差の和を表すものとする。
【数１８】
2008039971.tif 000018
とすると、式(1-1-8)〜(1-1-12)より、
【数１９】
2008039971.tif 000019
となり、係数を比較すると、
【数２０】
2008039971.tif 000020
となる。ｌ＋ｍ＋ｎ＝Ｎのとき、ＦlmnはＵ，Ｖ，ＷのN次の係数であるが、式(1-1-16)を見ると、Ａijk，ＢijkはＵ，Ｖ，Ｗの(N-1)次までの係数の積和で表されることがわかる。つまり、Ｕ，Ｖ，Ｗの(N-1)次までの係数Ａijk，Ｂijkを計算して後、Ｕ，Ｖ，ＷのN次の係数Ｆlmnを計算するというように、漸化的に計算すれば良い。なお、冪級数で表される関数どおしの積の冪級数の係数を,係数比較により計算する方法は、Duncan  T.  Mooreがgradient  index光線方程式を冪級数展開により求めた方法を参考にした[J. Opt. Soc. Amer. 65，451(1975)を参照]。また、
【数２１】
2008039971.tif 000021
とすると、漸化式
【数２２】
2008039971.tif 000022
が成り立つ。
【数２３】
2008039971.tif 000023
とすると、
【数２４】
2008039971.tif 000024
となる。式(1-1-6)に式(1-1-11)、(1-1-19)を代入すると、
【数２５】
2008039971.tif 000025
となる。式(1-2-21)の係数を比較すると、
【数２６】
2008039971.tif 000026
となる。これで、第一段階のレンズ面上での光線到達位置の冪級数展開の係数を求めたことになる。
【００１８】
なお、式(1-1-7)に式(1-1-12),(1-1-20)を代入すると、式(1-1-21)においてｙｓ，ｙｔの代わりにｚｓ，ｚｔを置き換えた式になる。一般的に回転対称なレンズ系では、ｙ方向の座標値や方向余弦をｚ方向の座標値や方向余弦に置き換えても成り立つので、以後の標記においては、ｙ方向で成り立つ式のみ標記し、z方向で成り立つ式を省略するときもある。
【００１９】
次に、第二段階として、屈折後の像面座標値を物体面座標値と入射瞳座標値の冪級数展開で計算する方法を示す。図２の、第一の展開方法による高次収差計算過程の概略図では、Ｖ２の矢印で表してある。図１にあるように、第一段階で求めた点Ｒ（ｘ、ｙ、ｚ）から屈折して、像面上の点Ｓ′と射出瞳面上の点Ｔ′を通過し、点Ｓ′の座標値を（ｓ′，ｙ′ｓ，ｚ′ｓ），点Ｔ’の座標値を（ｔ′，ｙ′ｔ，ｚ′ｔ）とする。そして、屈折式により、点Ｓ′の冪級数展開の係数を求める。ボルン・ウオルフ著：「光学の原理I」（邦訳：東海大学出版会）のP192によると、屈折前の媒質の屈折率をn0,屈折後の媒質の屈折率をn1,屈折前の光線の方向余弦を（Ｃx，Ｃy，Ｃz）、屈折後の光線の方向余弦を（Ｃx′，Ｃy′，Ｃz′）とすると、屈折の法則は、ベクトルＮ（ｎ0Ｃx−ｎ1Ｃx′，ｎ0Ｃy−ｎ1Ｃy′，ｎ0Ｃz−ｎ1Ｃz′）が、点（ｘ，ｙ，ｚ）における曲面と直交することと同じなので、式(1-1-1)を
【数２７】
2008039971.tif 000027
の形に書き直すと、
【数２８】
2008039971.tif 000028
が成立する。ゆえに、
【数２９】
2008039971.tif 000029
となる。従って、
【数３０】
2008039971.tif 000030
と置くと、図１において、横軸をx軸、縦軸をｙ軸とすると、図１より明らかなように、入射光線と屈折光線のx方向の方向余弦はそれぞれ、
【数３１】
2008039971.tif 000031
となり、入射光線と屈折光線のｙ方向の方向余弦はそれぞれ、
【数３２】
2008039971.tif 000032
となり、図１の縦軸をy軸の代わりにz軸とすると、入射光線と屈折光線のｙ方向の方向余弦はそれぞれ、
【数３３】
2008039971.tif 000033
となる。式(1-2-5)に、式(1-2-9)〜(1-2-12)を代入することにより、
【数３４】
2008039971.tif 000034
となり、式(1-2-6)に、式(1-2-9),(1-2-10),(1-2-13),(1-2-14)を代入することにより、
【数３５】
2008039971.tif 000035
となる。このレンズの曲率半径をｒとすると、２Ｃ1＝１／ｒであり、式(1-2-15)より、
【数３６】
2008039971.tif 000036
となる。そこで、像面上での係数を求めるために、
【数３７】
2008039971.tif 000037
と置く。また、
【数３８】
2008039971.tif 000038
と置いて、式(1-2-7)、(1-2-8)の平方根の冪級数展開を求めるが、平方根をテーラー展開して求めるよりも、
【数３９】
2008039971.tif 000039
の両辺を2乗して係数を比較する方が、はるかに速く計算できる。その方法を以下に説明すると、先ず、式(1-2-22)において、式(1-1-8)〜(1-1-10)より、
【数４０】
2008039971.tif 000040
となる。従って、
【数４１】
2008039971.tif 000041
と置くと、
【数４２】
2008039971.tif 000042
となる。また、
【数４３】
2008039971.tif 000043
と置いて、係数を比較して、
【数４４】
2008039971.tif 000044
となる。Ｏijkは、０次の場合はゼロなので、式(1-2-28)で、Ｏ2lmnのN次の係数は、Ｏijkの（N-1）次までの係数の積で与えられる。式(1-2-22)の両辺を２乗して、式(1-2-25)、(1-2-27)を代入すると、
【数４５】
2008039971.tif 000045
となり、係数を比較して、
【数４６】
2008039971.tif 000046
となる。
【００２０】
また、式(1-2-23)において、式(1-1-8)〜(1-1-12)、式(1-2-18)、式(1-2-19)より、
【数４７】
2008039971.tif 000047
となり、
【数４８】
2008039971.tif 000048
と置くと、係数を比較して、
【数４９】
2008039971.tif 000049
となる。ｌ＋ｍ＋ｎ＝Ｎのとき、ＰlmnはＵ，Ｖ，ＷのN次の係数であるが、式(1-2-33)を見ると、Ａijk，Ａijk′，Ｂijk，Ｂijk′のＵ，Ｖ，Ｗの(N-1)次までの係数の積和で表されることがわかるので、Ｕ，Ｖ，Ｗの(N-1)次までの係数Ａijk，Ａijk′，Ｂijk，Ｂijk′を計算して後、Ｕ，Ｖ，ＷのN次の係数Ｐlmnを計算するというように、漸化的に計算すれば良い。式(1-2-23)の両辺を２乗して、式(1-1-19),(1-2-33)を代入することにより、
【数５０】
2008039971.tif 000050
となる。また、
【数５１】
2008039971.tif 000051
と置いて、係数を比較して、
【数５２】
2008039971.tif 000052
となる。Ｓijk，Ｘijkも、0次の場合はゼロなので、式(1-2-37)，(1-2-38)で、Ｓ2lmn，Ｘ2lmnのN次の係数は、Ｓijk，Ｘijの（N-1）次までの係数の積で与えられる。式(1-2-35),(1-2-36)を式(1-2-34)に代入して、係数を比較して、
【数５３】
2008039971.tif 000053
となる。
【００２１】
式(1-1-19)，(1-2-20)，(1-2-21)より、
【数５４】
2008039971.tif 000054
となる。これを
【数５５】
2008039971.tif 000055
と置く。また、
【数５６】
2008039971.tif 000056
と置く。これらを式(1-2-15)に代入して、項別に展開すると、
【数５７】
2008039971.tif 000057
となる。係数を比較すると、最も低次の項は、
【数５８】
2008039971.tif 000058
となる。
【００２２】
それより高次の項は、
【数５９】
2008039971.tif 000059
と置いて、ｉ＋ｊ＋ｋ＝０の場合以外の合計を、
【数６０】
2008039971.tif 000060
のように表すと、
【数６１】
2008039971.tif 000061
となる。これらの像面上での点Ｓ′の冪級数展開係数が、単一のレンズ面による像面での収差係数になる。
【００２３】
次に、第三段階として、レンズ面上の点（ｘ、ｙ、ｚ）と、像面上の点Ｓ′の冪級数展開係数から、射出瞳面上の点Ｔ′の冪級数展開係数を求める。図２の、第一の展開方法による高次収差計算過程の概略図では、Ｖ３の矢印で表してある。像面上での点Ｓ′の冪級数展開係数だけでなく、射出瞳面上の点Ｔ′の冪級数展開係数を求めるのは、複数の面にまたがって収差係数を求めるために必要だからである。射出瞳座標値を（ｔ′，ｙt′，ｚt′）とすると、その座標値は図１より明らかなように、レンズ面の位置（ｘ，ｙ，ｚ）および物体面座標値（ｓ′，ｙs′，ｚs′）より、
【数６２】
2008039971.tif 000062
と表すことができる。従って式(1-3-1)より、
【数６３】
2008039971.tif 000063
となる。
【数６４】
2008039971.tif 000064
と置き、これと、式(1-1-11)と式(1-2-18)とを式(1-3-3)に代入すると、
【数６５】
2008039971.tif 000065
となる。従って、係数を比較して、
【数６６】
2008039971.tif 000066
となる。
【００２４】
次に、第二の展開方法として、物体面座標値と入射光線方向の正接により展開する方法で、単一のレンズ面による収差係数の計算方法について、説明する。この方法を用いると、物体がほぼ無限遠にある場合でも計算が容易である。
【００２５】
第一段階として、レンズ面上での光線到達位置を物体面座標値と入射光線方向の正接の冪級数展開で計算する方法を示す。図３の、第二の展開方法による高次収差計算過程の概略図では、Ｖ1の矢印で表してある。図１において、物体位置をｘ＝ｓ、物体面上の点Ｓの座標値を（ｓ，ｙs，ｚs），物体側の光線の方向余弦を（ｃx，ｃy，ｃz）とし、光軸をx軸とする。点Ｓと点Ｔを通過した光線がレンズ面上の点Ｒに到達するとし、点Ｒの座標値を（ｘ，ｙ，ｚ）とし、レンズ面と光軸との交点を原点（0，0，0）とする。そして、レンズ面上での位置関係が式(1-1-1)と同様であるとする。入射光線のy, z方向の正接をｔｙ，ｔｚとすると、ｔｙ＝ｃｙ/ｃx，ｔｚ＝ｃｚ/ｃxであり、物体面上の点Ｓを出た光線が、レンズに到達するまでの光線の式は、
【数６７】
2008039971.tif 000067
となる。そこで、回転不変量を、
【数６８】
2008039971.tif 000068
として、
【数６９】
2008039971.tif 000069
と置く。ただし、
【数７０】
2008039971.tif 000070
であるとする。ｙ２＋ｚ２を式(1-1-14)と同様な式で式(2-1-3)〜(2-1-5)のような回転不変量で展開すると、式(1-1-16)と同様な式で係数が求められる。このとき、ｘを式(1-1-19)と同様な式で展開すると、式(1-1-20)と同様な式になる。式(2-1-1)に(2-1-6)、式(1-1-19)を代入すると、
【数７１】
2008039971.tif 000071
となり、係数を比較すると、
【数７２】
2008039971.tif 000072
となる。
【００２６】
次に、第二段階として、第二の展開方法で、屈折光線方向の正接を物体面座標値と入射光線方向の正接の冪級数展開で計算する方法を示す。図３の、第二の展開方法による高次収差計算過程の概略図では、Ｖ２の矢印で表してある。第一段階で求めた点（ｘ、ｙ、ｚ）から、ｙ方向にｔｙ、z方向にｔｚの正接で屈折して、像面上の点Ｓ′を通過し、点Ｓ′の座標値を（ｓ′，ｙ′ｓ，ｚ′ｓ），とする。そして、屈折式により、点Ｓ′の冪級数展開の係数を求める。第一の展開方法と同様に、BornとWolfの「光学の原理I」のP192によると、屈折前の媒質の屈折率をn,屈折後の媒質の屈折率をn′,屈折前の光線の方向余弦を（ｃx，ｃy，ｃz）、屈折後の光線の方向余弦を（ｃ′x，ｃ′y，ｃ′z）とすると、屈折の式(1-2-5)、(1-2-6)において、
【数７３】
2008039971.tif 000073
であるので、
【数７４】
2008039971.tif 000074
と置いて、式(1-2-5)に代入すると、第一の展開方法の場合と同様に、
【数７５】
2008039971.tif 000075
となり、
【数７６】
2008039971.tif 000076
となる。そこで、屈折後の光線における正接の係数を求めるために、
【数７７】
2008039971.tif 000077
と置く。また、
【数７８】
2008039971.tif 000078
と置いて、式(2-2-4)、(2-2-5)の平方根の冪級数展開を求めるが、この場合も平方根をテーラー展開して求めるよりも、
【数７９】
2008039971.tif 000079
の両辺を2乗して係数を比較する方が、はるかに速く計算できる。その方法を以下に説明すると、先ず、式(2-2-12)の両辺を2乗して、式(2-1-5)を代入すると、
【数８０】
2008039971.tif 000080
となる。式(2-2-14)より明らかなように、Ｔ00k（ｋ≠0）以外はゼロであることが分かる。従って、
【数８１】
2008039971.tif 000081
と置いて、係数を比較して、
【数８２】
2008039971.tif 000082
として、式(2-2-16)を式(2-2-14)に代入して係数を比較して、
【数８３】
2008039971.tif 000083
となる。
【００２７】
また、式(2-2-13)において、式(2-2-8),(2-2-9)より、
【数８４】
2008039971.tif 000084
となり、
【数８５】
2008039971.tif 000085
と置くと、係数を比較して、
【数８６】
2008039971.tif 000086
となる。ｌ＋ｍ＋ｎ＝Ｎのとき、ＰlmnはＵ，Ｖ，ＷのN次の係数であるが、式(2-2-20)を見ると、ＡTijk，ＢTijkのＵ，Ｖ，Ｗの(N-1)次までの係数の積和で表されることがわかるので、Ｕ，Ｖ，Ｗの(N-1)次までの係数ＡTijk，ＢTijkを計算して後、Ｕ，Ｖ，ＷのN次の係数Ｐlmnを計算するというように、漸化的に計算することができる。式(2-2-13)の両辺を2乗して、式(2-2-20)を代入することにより、
【数８７】
2008039971.tif 000087
となる。また、
【数８８】
2008039971.tif 000088
と置いて、係数を比較して、
【数８９】
2008039971.tif 000089
となる。Ｔ′ijkも、0次の場合はゼロなので、式(2-2-23)で、Ｔ′2lmnのN次の係数は、Ｔ′ijkの（N-1）次までの係数の積で与えられる。式(2-2-22)を式(2-2-21)に代入して、係数を比較して、
【数９０】
2008039971.tif 000090
となる。
【００２８】
そして、式(2-2-10),(2-2-11)より、
【数９１】
2008039971.tif 000091
となる。これを
【数９２】
2008039971.tif 000092
と置く。またＧijkを式(1-2-38)と同様な式で定義する。これらを式(2-2-7)に代入して、項別に展開すると、
【数９３】
2008039971.tif 000093
となる。係数を比較すると、最も低次の項は、
【数９４】
2008039971.tif 000094
となる。
【００２９】
それより高次の項は、
【数９５】
2008039971.tif 000095
と置いて、ｉ＋ｊ＋ｋ＝０の場合以外の合計を、
【数９６】
2008039971.tif 000096
のように表すと、
【数９７】
2008039971.tif 000097
となる。
【００３０】
次に、第三段階として、レンズ面上の位置（ｘ、ｙ、ｚ）と、屈折光線方向の正接の冪級数展開係数から、像面上の点Ｓ′の冪級数展開係数を求める。図３の、第二の展開方法による高次収差計算過程の概略図では、Ｖ３の矢印で表してある。像面座標値を（ｓ′，ｙ′s，ｚ′s）とすると、レンズ面上の位置（ｘ，ｙ，ｚ）および入射光線のｙ，ｚ方向の正接ｔｙ，ｔｚより、
【数９８】
2008039971.tif 000098
となり、
【数９９】
2008039971.tif 000099
と置き、これと、式(1-1-19),(2-1-6),(2-2-8)を式(2-3-1)に代入すると、
【数１００】
2008039971.tif 000100
となる。従って、係数を比較して、
【数１０１】
2008039971.tif 000101
となる。
【００３１】
以上で、各面での高次収差を計算する方法を示したが、次に複数のレンズ面にまたがる収差係数を、第一の展開方法で計算する方法を示す。すなわち図４において、第一のレンズ面に対する物体面上の点Ｓ0の座標値を（ｓ0，ｙｓ0，ｚｓ0）、入射瞳面上の点Ｔ0の座標値を（ｔ0，ｙｔ0，ｚｔ0）、第一のレンズ面と光軸すなわちx軸との交点を原点（0，0，0）とし、像面上の点Ｓ1の座標値を（ｓ1，ｙｓ1，ｚｓ1）、射出瞳面上の点Ｔ1の座標値を（ｔ1，ｙｔ1，ｚｔ1）とする。次に、第二のレンズ面に対する物体面上の点はＳ１すなわち（ｓ1，ｙｓ1，ｚｓ1）であり、入射瞳面上の点はＴ１すなわち（ｔ1，ｙｔ1，ｚｔ1）である。そして、第二のレンズ面に対する像面上の点Ｓ2の座標値を（ｓ2，ｙｓ2，ｚｓ2）、射出瞳面上の点Ｔ1の座標値を（ｔ2，ｙｔ2，ｚｔ2）とする。さらに、前記のような方法で、各面の座標値が収差係数により、
【数１０２】
2008039971.tif 000102
と計算できたとする。ただし、上式で、回転不変量を、
【数１０３】
2008039971.tif 000103
と定義する。ｙｓ2，ｙｔ2をｙｓ0，ｙｔ0の冪級数で展開するために、
【数１０４】
2008039971.tif 000104
と置いた式と、式(3-3)，(3-4)に、式(3-1)，(3-2)，(3-5) 〜(3-10)を代入した式とを係数比較することにより、式(3-11)，(3-12)の収差係数が求められる。レンズ系全体の収差係数を求めるためには、上記の操作を逐次行えば良い。なお、第二の展開方法で計算する場合は、ｙｔ0，ｚｔ0，ｙｔ１，ｚｔ１，ｙｔ２，ｚｔ２の代わりに、それぞれ第一のレンズ面に入射する光線方向の正接tｙ0，tｚ0，第二のレンズ面に入射する光線方向の正接tｙ1，tｚ1，第二のレンズ面から射出する光線方向の正接tｙ2，tｚ2に置き換えれば良い。
【００３２】
しかし、この方法では、Ｕ1，Ｖ1，Ｗ1の冪乗にＵ0，Ｖ0，Ｗ0の冪乗を代入するために、収差係数が高次になるほど、著しく計算時間が長くなる。各面での収差係数を見る必要が無く、ただ単に最終像面での高次収差を見るためには、以下の計算方法の方が速く計算できる。
【００３３】
複数のレンズ面にまたがる収差係数を求める別の方法について、第一の展開方法で、第一段階として、第二面以後のレンズ面上の到達位置を求める方法を示す。すなわち、第二面以後の物体面位置をＳ（ｓ，ｙs，ｚs）、入射瞳座標値をＴ（ｔ，ｙt，ｚt）、レンズ面の位置をＲ（ｘ，ｙ，ｚ）とし、物体面位置と入射瞳位置が第一面の物体面位置（ｓ0，ｙs0，ｚs0）と入射瞳座標位置（ｔ0，ｙt0，ｚt0）により、
【数１０５】
2008039971.tif 000105
ただし、
【数１０６】
2008039971.tif 000106
と表されるとする。また、レンズ面上での位置関係が式(1-1-1)を満足するとする。物体面上の点Ｓを出た光線が、レンズに到達するまでの光線の式は、式(1-1-6)，(1-1-7)と同様の式で表されるので、
【数１０７】
2008039971.tif 000107
となり、
【数１０８】
2008039971.tif 000108
と置き、ｘを式(1-1-19)と同様な展開係数で展開して代入すると、
【数１０９】
2008039971.tif 000109
となり、係数を比較すると、
【数１１０】
2008039971.tif 000110
となる。
【００３４】
次に、第二段階として、複数のレンズ面にまたがる収差係数を求める場合の、屈折後の像面での座標値を、第一面の物体面位置と入射瞳座標位置の冪級数展開で計算する方法を示す。第一段階で求めた点（ｘ、ｙ、ｚ）から屈折して、像面上の点Ｓ′と射出瞳面上の点Ｔ′を通過し、点Ｓ′の座標値を（ｓ′，ｙ′ｓ，ｚ′ｓ），点Ｔ′の座標値を（ｔ′，ｙ′ｔ，ｚ′ｔ）とする。そして、屈折式により、点Ｓ′の冪級数展開の係数を求めると、単一のレンズ面での収差係数を求めたのと同じ式(1-2-17)のようになる。そこで、像面上での係数を求めるために、
【数１１１】
2008039971.tif 000111
と置く。そして、単一のレンズ面による収差係数を求めた場合と同じように、
【数１１２】
2008039971.tif 000112
と置く。式(3-2-4)の展開係数は式(1-2-39)と同様な式になるが、式(3-2-3)の展開係数は式(1-2-30)とは異なり、式(1-2-22)に、式(3-1-1),(3-1-2)を代入して2乗し、その左辺は、
【数１１３】
2008039971.tif 000113
となる。
【数１１４】
2008039971.tif 000114
と置くと、係数を比較して、
【数１１５】
2008039971.tif 000115
となる。また左辺は、式(3-2-3)を2乗して、
【数１１６】
2008039971.tif 000116
となり、また、
【数１１７】
2008039971.tif 000117
と置いて、係数を比較して、
【数１１８】
2008039971.tif 000118
となる。式(3-2-5)〜(3-2-10)より、
【数１１９】
2008039971.tif 000119
となる。
【００３５】
式(1-2-17)において、式(1-2-41)，(1-2-42)のように置き、また、式(3-2-1)〜(3-2-4)より、
【数１２０】
2008039971.tif 000120
となる。これらを式(1-2-17)に代入して、項別に展開すると、
【数１２１】
2008039971.tif 000121
となる。係数を比較すると、最も低次の項は、
【数１２２】
2008039971.tif 000122
となる。それより高次の項は、式(1-2-46)のように置いて、式(1-2-47)のように表すと、
【数１２３】
2008039971.tif 000123
となる。これらの像面上での点Ｓ′の冪級数展開係数が、複数のレンズ面にまたがる場合の、像面での収差係数になる。
【００３６】
次に、第三段階として、レンズ面上の位置（ｘ、ｙ、ｚ）と、像面上の点Ｓ′の冪級数展開係数から、射出瞳面上の点Ｔ′の冪級数展開係数を求める。像面上での点Ｓ′の冪級数展開係数だけでなく、射出瞳面上の点Ｔ′の冪級数展開係数を求めるのは、さらに次の面にまたがって収差係数を求めるために必要である。これは、式(1-3-4)のように置くと、単一のレンズ面の場合と同様に、式(1-3-6)〜(1-3-9)と同様な式になる。
【００３７】
次に、複数のレンズ面にまたがる収差係数を、第二の展開方法、すなわち第一レンズ面の物体面座標値と入射光線方向の正接により展開する方法で計算する方法について、説明する。この方法だと、物体がほぼ無限遠にある場合でも計算が容易である。
【００３８】
第二の展開方法で、第一段階として、レンズ面上での光線到達位置を計算する方法を示す。すなわち、第二面以後の物体面位置をＳ（ｓ，ｙs，ｚs）、入射光線の正接をｔy，ｔz、レンズ面の位置をＲ（ｘ，ｙ，ｚ）とし、物体面位置と入射光線の正接が、第一面の物体面位置（ｓ0，ｙs0，ｚs0）と，第一面の入射光線の正接ｔy0，ｔz0により、
【数１２４】
2008039971.tif 000124
ただし、
【数１２５】
2008039971.tif 000125
と表されるとする。
【００３９】
ｙ２＋ｚ２を式(1-1-14)と同様な式で式(2-1-3)〜(2-1-5)のような回転不変量で展開すると、式(1-1-16)と同様な式で係数が求められる。このとき、ｘを式(1-1-19)と同様な式で展開すると、式(1-1-20)と同様な式になる。さらに、レンズ面上での光線到達位置を求めるために、
【数１２６】
2008039971.tif 000126
とする。式(2-1-1)に式(4-1-1)，(4-1-2)，(4-1-5)を代入すると、
【数１２７】
2008039971.tif 000127
となり、係数を比較すると、
【数１２８】
2008039971.tif 000128
となる。
【００４０】
次に、第二段階として、第二の展開方法で、屈折後の光線方向の正接を第一レンズ面の物体面座標値と入射光線方向の正接の冪級数展開で計算する方法を示す。第一段階で求めた点（ｘ，ｙ，ｚ）から、ｙ方向にｔ′ｙ、z方向にｔ′ｚの正接で屈折して、像面上の点Ｓ′を通過し、点Ｓ′の座標値を（ｓ′，ｙ′ｓ，ｚ′ｓ），とする。そして、Ｌ，Ｌ′を式(2-2-4)，(2-2-5)のように置くと、式(2-2-6)，(2-2-7)のような式になる。そこで、屈折後の光線における正接の係数を求めるために、
【数１２９】
2008039971.tif 000129
と置く。また、式(2-2-10)，(2-2-11)のように置いて、式(2-2-4)，(2-2-5)の平方根の冪級数展開を求めるが、この場合も平方根をテーラー展開して求めるよりも、式(2-2-12)，(2-2-13)の両辺を2乗して係数を比較する方が、はるかに速く計算できる。その方法を以下に説明すると、先ず、式(2-2-12)，(2-2-13)において、
【数１３０】
2008039971.tif 000130
と置くと、式(2-2-18)，(2-2-19)から式(2-2-20)が導かれたように、式(4-2-3)，(4-2-4)に式(4-1-1)，(4-1-2)，(4-2-1)，(4-2-2)を代入して、係数を比較して、
【数１３１】
2008039971.tif 000131
となる。ｌ＋ｍ＋ｎ＝Ｎのとき、Ｐlmn，Ｐ′lmnはＵ，Ｖ，ＷのN次の係数であるが、式(4-2-5)，(4-2-6)を見ると、ＡTijk，ＢTijk，Ａ′Tijk，Ｂ′TijkのＵ，Ｖ，Ｗの(N-1)次までの係数の積和で表されることがわかるので、Ｕ，Ｖ，Ｗの(N-1)次までの係数ＡTijk，ＢTijk，Ａ′Tijk，Ｂ′Tijkを計算して後、Ｕ，Ｖ，ＷのN次の係数Ｐlmn，Ｐ′lmnを計算するというように、漸化的に計算すれば良い。式(2-2-12)，(2-2-13)の両辺を2乗して、式(4-2-5)，(4-2-6)を代入することにより、
【数１３２】
2008039971.tif 000132
となる。また、式(2-2-22)のように置いて，係数を比較して式(2-2-23)のようになり、
【数１３３】
2008039971.tif 000133
と置いて、係数を比較して、
【数１３４】
2008039971.tif 000134
となる。Ｔijk，Ｔ′ijkも、0次の場合はゼロなので、式(2-2-23)で、Ｔ2lmn，Ｔ′2lmnのN次の係数は、Ｔijk，Ｔ′ijkの（N-1）次までの係数の積で与えられる。式(2-2-22)，(4-2-9)を式(4-2-7)，(4-2-8)に代入して、係数を比較して、
【数１３５】
2008039971.tif 000135
となる。
【００４１】
そして、式(2-2-10)，(2-2-11)より、式(2-2-25)のようになり、これを式(2-2-26)のように置く。またＧijkを式(1-2-38)と同様な式で定義する。これらを式(2-2-7)に代入して、項別に展開すると、
【数１３６】
2008039971.tif 000136
となる。係数を比較すると、最も低次の項は、
【数１３７】
2008039971.tif 000137
となる。
【００４２】
それより高次の項は、式(2-2-30)のように置いて、ｉ＋ｊ＋ｋ＝０の場合以外の合計を、式(2-2-31)のように表すと、
【数１３８】
2008039971.tif 000138
となる。これらは屈折光線方向の正接の冪級数展開係数である。
【００４３】
次に、第三段階として、レンズ面上の点Ｒ（ｘ，ｙ，ｚ）と、屈折光線方向の正接の冪級数展開係数から、像面上の点S’の冪級数展開係数を求める。物体面座標値を（ｓ′，ｙ′s，ｚ′s）とし、式(2-3-3)のように置くと、式(2-3-5)〜(2-3-8)と同様な式になる。
【００４４】
次に、高次収差による非点収差を計算する方法を示す。図５において、入射光線の方向余弦Ｙ0をΔＹ0だけ変動させたとき、Gauss像面ＧＢ0での光線ＡＢが光線Ａ′Ｂ′となる場合、ＡＢとＡ′Ｂ′の交点をＣとする。Ｃから光軸(ｘ軸)に平行に引いた直線とGauss像面との交点をＢ0とする。Gauss面上での到達位置がＧＢ＝ｙｓFからＧＢ′＝ｙｓF＋ΔｙｓFと変化し，∠Ｂ0ＣＢ＝θから∠Ｂ0ＣＢ′＝θ＋Δθと変化した場合、Gauss像面からレンズ方向へのメリジオナル像面位置をｍとすると、図５により明らかなように、
【数１３９】
2008039971.tif 000139
となり、Gauss像面からレンズ方向へのメリジオナル像面位置ｍは、
【数１４０】
2008039971.tif 000140
となる。
【００４５】
また図６のように、像面付近で子午面(ｘｙ面)内で光軸からθ傾いている光線ＡＢがあり、光線ＡＢとGauss像面との交点をＢとするとき、光軸に平行でＡと交差する軸をｘ′軸として、ｘ′軸とGauss像面との交点をＢ0とし、∠Ｂ0ＡＢ＝θとする。入射光線の方向余弦を子午面からΔＺ0だけ変動させたときのGauss像面での光線ＡＢ′の到達位置の変化をＢＢ′＝ΔｚｓF、角度の変化を∠ＢＡＢ′＝Δφとし、Ｓ像位置をＡＢ0＝ｓとし、ＡＢ＝ｓ′とすると、図６より明らかなように、
【数１４１】
2008039971.tif 000141
ただし、
【数１４２】
2008039971.tif 000142
となる。式(5-3)，(5-4)より、
【数１４３】
2008039971.tif 000143
となる。そして、ＡＢ′をｘ′ｚ面に射影して、Ｂ′のｘ′ｚ面上の射影点をＢ0′とし、∠Ｂ0ＡＢ0′＝Δφ′とすると、
【数１４４】
2008039971.tif 000144
となり、式（5−6）を式（5−5）に代入して、
【数１４５】
2008039971.tif 000145
となる。
【００４６】
第一の展開方法として,高次収差が、レンズ系全体の物体面座標値（ｓ0，ｙｓ0，ｚｓ0）と入射瞳面座標値（ｔ0，ｙｔ0，ｚｔ0）の関数の係数として表される場合、入射光線の方向余弦Ｙ0を微小変動させることは、入射瞳座標値ｙｔ0を微小変動させることと同じなので、
【数１４６】
2008039971.tif 000146
と表すことができる。レンズ系全体の像面座標値を（ｓF，ｙｓF，ｚｓF）、射出瞳面座標値を（ｔF，ｙｔF，ｚｔF）とすると、
【数１４７】
2008039971.tif 000147
となり、
【数１４８】
2008039971.tif 000148
となる。式(5-1-1)〜(5-1-4)を、式(5-2)に代入することにより、
【数１４９】
2008039971.tif 000149
となり、高次収差の第一の展開方法による子午面内での非点収差が計算できる。
【００４７】
次に、高次収差の第一の展開方法によるサジタル面内での非点収差を求めると、式(5-5)において、入射光線の方向余弦を子午面からΔＺ0だけ変動させることは、入射瞳座標値ｚｔ0を微小変動させることと同じなので、
【数１５０】
2008039971.tif 000150
と表すことができ、
【数１５１】
2008039971.tif 000151
であるので、
【数１５２】
2008039971.tif 000152
となる。式(5-7)に式(5-1-6)〜(5-1-9)を代入することにより、
【数１５３】
2008039971.tif 000153
となり、高次収差の第一の展開方法によるサジタル面内での非点収差が計算できる。
【００４８】
レンズ系全体の像面座標値（ｓF，ｙｓF，ｚｓF）と、射出瞳面座標値（ｔF，ｙｔF，ｚｔF）が、レンズ系全体の物体面座標値（ｓ0，ｙｓ0，ｚｓ0）と入射瞳面座標値（ｔ0，ｙｔ0，ｚｔ0）により、
【数１５４】
2008039971.tif 000154
と表されるとする。ただし、回転不変量Ｕ0，Ｖ0，Ｗ0が、式(3-5)〜(3-7)で表されるとする。このとき、式(5-1-5)，(5-1-10)における微分は、
【数１５５】
2008039971.tif 000155
となるが、回転対称な光学系では、非点収差を求める光線追跡は子午面内での光線追跡のみで充分であるので、式(5-1-15)〜(5-1-18)において、ｚｓ0＝ｚｔ0＝0として良く、従って回転不変量は、
【数１５６】
2008039971.tif 000156
となり、ゆえに式(5-1-15)〜(5-1-18)は、
【数１５７】
2008039971.tif 000157
となる。
【数１５８】
2008039971.tif 000158
と置いて、式(5-1-22)と式(5-1-26)、式(5-1-24)と式(5-1-27)をそれぞれ係数比較して係数を求めると、
【数１５９】
2008039971.tif 000159
となる。ただし、式(5-1-28)におけるＡ′Ｓ、または式(5-1-29)におけるＡ′Ｔの添え字が  ｌ−１＝−１  である場合の係数、または  ｍ−１＝−１  である場合の係数は、値がゼロであることに注意する必要がある。式(5-1-26)，(5-1-27)を式(5-1-5)に代入し、式(5-1-23)，(5-1-25)を式(5-1-10)に代入し、
【数１６０】
2008039971.tif 000160
と置くと、
【数１６１】
2008039971.tif 000161
となり、係数を比較することにより、
【数１６２】
2008039971.tif 000162
となる。これらにより、非点収差の第一の展開方法による冪級数展開が可能になる。
【００４９】
次に、第二の展開方法として,高次収差が、レンズ系全体の物体面座標値（ｓ0，ｙｓ0，ｚｓ0）と入射光線方向の正接ｔｙ0，ｔｚ0の関数の係数として表される場合で、物体面が無限遠にある場合、レンズ系全体の像面座標値を（ｓF，ｙｓF，ｚｓF）、射出光線方向の正接をｔｙF，ｔｚFとすると、入射光線の方向余弦Ｙ0を微小変動させる代わりに、物体面座標値ｙｓ0を微小変動させて、
【数１６３】
2008039971.tif 000163
となる。式(5-2-1)，(5-2-2)を式(5-2)に代入することにより、
【数１６４】
2008039971.tif 000164
となり、高次収差の第二の展開方法による子午面内での非点収差が計算できる。また、式(5-7)において、入射光線の方向余弦を子午面からΔＺ0だけ変動させる代わりに、物体面座標値zｓ0を微小変動させて、
【数１６５】
2008039971.tif 000165
と表すことができるので、式(5-2-4)，(5-2-5)を式(5−7)に代入して、
【数１６６】
2008039971.tif 000166
となり、高次収差の第二の展開方法によるサジタル面内での非点収差が計算できる。
【００５０】
レンズ系全体の像面座標値（ｓF，ｙｓF，ｚｓF）と、射出光線方向の正接をｔｙF，ｔｚFが、レンズ系全体の物体面座標値（ｓ0，ｙｓ0，ｚｓ0）と入射光線方向の正接ｔｙ0，ｔｚ0により、
【数１６７】
2008039971.tif 000167
と表す。ただし、回転不変量を、
【数１６８】
2008039971.tif 000168
と置く。このとき、式(5-2-3)，(5-2-6)における微分は、
【数１６９】
2008039971.tif 000169
となるが、回転対称な光学系では、非点収差を求める光線追跡は子午面内での光線追跡のみで充分であるので、式(5-2-14)〜(5-2-17)において、ｚｓ0＝tｚ0＝0  として良く、従って回転不変量は、
【数１７０】
2008039971.tif 000170
となり、ゆえに式(5-2-14)〜(5-2-17)は、
【数１７１】
2008039971.tif 000171
となる。
【数１７２】
2008039971.tif 000172
と置いて、式(5-2-21)と式(5-2-25)、式(5-2-23)と式(5-2-26)をそれぞれ係数比較して係数を求めると、
【数１７３】
2008039971.tif 000173
となる。ただし、式(5-2-27)におけるＢ′Ｓ、または式(5-72)におけるＢ′Ｔの添え字が  ｌ−１＝−１  である場合の係数、または  ｍ−１＝−１  である場合の係数は、値がゼロであることに注意する必要がある。
【００５１】
式(5-2-25)，(5-2-26)を式(5-2-3)に代入し、式(5-2-22)，(5-2-24)を式(5-2-6)に代入し、式(5-1-30)，(5-1-31)のように置くと、
【数１７４】
2008039971.tif 000174
となり、係数を比較することにより、
【数１７５】
2008039971.tif 000175
となる。これらにより、非点収差の第二の展開方法による冪級数展開が可能になる。
【００５２】
以上説明したように、高次収差による非点収差の計算方法を、レンズ系の像面での位置および射出瞳面上の位置または光線方向の正接を、入射瞳座標値または物体面座標値で微分した量から求めることにより、非点収差を高精度で求めることができる。
【００５３】
次に、高次収差のパラメータによる微係数を計算する方法を示す。多数のパラメータで実際の収差を自動修正で最適化する場合、収差のパラメータによる微分を差分近似するよりも、収差を数式解析的にパラメータ微分する方が、計算速度が速くなる場合が多いが [J. Opt. Soc. Am. 58, 1494 (1968)  参照]、高次収差においても、差分近似よりも数式解析的にパラメータ微分した方が、計算速度が速くなる場合が多い。
【００５４】
高次収差のパラメータによる微係数の計算では、先ず各面での収差係数のパラメータによる微分を計算するが、各面での収差係数を計算する方法が確立していれば、そ
のパラメータによる微分は極めて簡単である。例えば、その面の曲率半径の逆数がρであるとすると、式(1-1-20)のρによる微分は
【数１７６】
2008039971.tif 000176
である。
【００５５】
このように、各面での収差係数のパラメータによる微分は簡単に求められるが、レンズ系全体での収差係数のパラメータによる微分を計算するのには注意が必要である。すなわち、レンズのある途中の面で曲率半径などのパラメータを微小変化させると、その面以後の像面位置と射出瞳面位置が変わり、レンズ系の最終像面位置まで次々と各面での物体面位置と入射瞳面位置、像面位置と射出瞳面位置が変わることになる。
【００５６】
例えば、図７のように、第一のレンズ面の曲率半径を微小に変動させることにより、光線と第一のレンズ面との交点がＲ1からＲ1′に変動し、第一のレンズ面の像面位置がｘ＝ｓ1からｘ＝ｓ1′に変動し、射出瞳面位置がｘ＝ｔ1からｘ＝ｔ1′に変動したとする。すると、第二のレンズ面の形状が全然変動しなくても、光線と第二のレンズ面との交点がＲ2からＲ2′に変動し、第二のレンズ面の像面位置がｘ＝ｓ2からｘ＝ｓ2′に変動し、射出瞳面位置がｘ＝ｔ2からｘ＝ｔ2′に変動することになる。そして、最終像面まで次々に各面での物体面位置と入射瞳面位置、像面位置と射出瞳面位置が移動することになる。
【００５７】
それをそのまま微分化すると、パラメータを微小変化させた面以後の収差係数の像面位置と射出瞳面位置による微分の項を付加させる必要がある。それをプログラミングすると、プログラミングが複雑になるばかりでなく、計算時間もかなりかかり、パラメータ微分による有利性がなくなる可能性がある。
【００５８】
ところが、「光学の原理I」のP300を読めばわかるように、ｓ1，ｔ1をそれぞれ像面位置と射出瞳面位置に置くと便利ではあるが、それが正確に像面位置と射出瞳面位置である必然性はない。そこで、レンズ系全体の収差係数のパラメータによる微分を計算するためには、ある途中面でのパラメータが微小変化しても、その面以後の各面での物体面位置と入射瞳面位置、像面位置と射出瞳面位置は、パラメータが変化しないままの位置であるとした方が良い。例えば、図７において、光線と第一のレンズ面との交点がＲ1からＲ1′に変動しても、第一のレンズ面の像面位置がｘ＝ｓ1のままで、射出瞳面位置がｘ＝ｔ1のままであるとする。また、第二のレンズ面の像面位置がｘ＝ｓ2のままで、射出瞳面位置がｘ＝ｔ2のままであるとする。そしてそれらを微分化しても、パラメータ微分した面以後の収差係数に、像面位置と射出瞳面位置の移動による微分の項を付加させないようにする。
【００５９】
その代わり、レンズ系全体の収差係数のパラメータによる微分を計算して後、予め近軸光線追跡のパラメータによる微分計算により計算した、パラメータによる近軸最終像面位置の移動による項を最後に追加すれば、各面での像面位置と射出瞳面位置の移動による微分の項を付加しなくても、正確な微分量を計算することができる。
【００６０】
以上のことを注意しておいて、計算時間ができるだけかからないような、レンズ系全体での収差係数のパラメータによる微分を計算する方法を考えると、図８のようになる。すなわち、レンズ系の中間の面を第I面とし、第I面のパラメータによる微分を求めると、次のようになる。すなわち、第I面による像面上の座標値を（ｓI，ｙsI，ｚsI）、射出瞳面上の座標値を（ｔI，ｙtI，ｚtI）、第(I-1)面による像面上の座標値を（ｓI-1，ｙsI-1，ｚsI-1）、,射出瞳面上の座標値を（ｔI-1，ｙtI-1，ｚtI-1）とし、第I面による像面上の座標値が第(I-1)面による像面上の座標値により、
【数１７７】
2008039971.tif 000177
と表されるとする。ただし、
【数１７８】
2008039971.tif 000178
とする。この計算は、計算全体の中で占める位置として、図８ではS1で表している。式(6-2)，(6-3)の第I面の曲率半径の逆数ρIによる微分は、ρIを微小変化させても第(I-1)面以前の収差係数には影響を及ぼさないので、
【数１７９】
2008039971.tif 000179
となる。この計算は、計算全体の中で占める位置として、図８ではS2で表してある。
【００６１】
次にレンズ系全体の像面上の座標値（ｓF，ｙsF，ｚsF）を逆から第(I+1)面まで係数比較して、第I面による像面上の座標値（ｓI，ｙsI，ｚsI）と、射出瞳面上の座標値（ｔI，ｙtI，ｚtI）で冪級数展開したものを、
【数１８０】
2008039971.tif 000180
と表す。この計算は、図８では、Ｖ２の矢印で計算方向を示してある。レンズ系全体の像面上の座標値（ｓF，ｙsF，ｚsF）の、第I面のパラメータρIによる微分を求めると、第I面のパラメータρIが微小変化することにより第(I+1)面以後の各面の収差係数は変化しないので、式(6-9)，(6-10)の収差係数は変化しない。従って、
【数１８１】
2008039971.tif 000181
となる。式(6-11)，(6-12)に、式(6-2)，(6-3)，(6-7)，(6-8)を代入して係数比較することにより、レンズ系全体の像面上の座標値（ｓF，ｙsF，ｚsF）の、第I面のパラメータρIによる微分が、第(I-1)面による像面上の座標値と射出瞳面上の座標値の冪級数展開であらわすことができる。これを、
【数１８２】
2008039971.tif 000182
と表す。この計算は、図８では、Ｓ１，Ｓ２，Ｖ２の結果により、矢印Ｖ３のように、第I面から、第F面について、パラメータ微分を計算したことになる。
【００６２】
そして、式(6-8)，(6-9)における第(I-1)面による像面上の座標値（ｓI-1，ｙsI-1，ｚsI-1）は、各面の収差係数を次々と係数比較することにより、レンズ系全体の物体面上の座標値（ｓ0，ｙs0，ｚs0）と入射瞳座標値（ｔ0，ｙt0，ｚt0）とにより、
【数１８３】
2008039971.tif 000183
のように表すことができる。ただし、回転不変量を、式(3-5)〜(3-7)のように定義する。また式(6-15)，(6-16)の計算は、I-1=2以上の場合は、各面の物体面座標値と入射瞳座標値が、レンズ系全体の物体面上の座標値（ｓ0，ｙs0，ｚs0）と入射瞳座標値（ｔ0，ｙt0，ｚt0）で表して計算する方法、すなわち、式(3-1-1)から式(3-2-17)までにより示された方法で計算しても良い。この計算は、図８のＶ１のような計算方向で行う。
【００６３】
式(6-13)，(6-14)に、式(6-15)，(6-16)を代入して係数比較し、レンズ系全体の物体面上の座標値（ｓ0，ｙs0，ｚs0）と入射瞳座標値（ｔ0，ｙt0，ｚt0）とにより冪級数展開した第I面の収差係数のρIによる微分が求められる。これを、
【数１８４】
2008039971.tif 000184
と表す。この計算は、図６では、Ｓ２と矢印Ｖ３に矢印Ｖ１を継ぎ足して、矢印Ｖ４のように、レンズ系全体の物体面から第F面（最終像面）まで計算したことになる。なお、レンズ系全体の物体面から第I面までの、パラメータρIによる微分を求めてから（これは図8ではＶ１＋Ｓ１に相当する）、矢印Ｖ２のように最終面から第（I+1）面までの収差係数を係数比較して後、先に求めたパラメータρIによる微分と係数比較して、レンズ系全体のパラメータ微分を求めても良い。
【００６４】
最後に、予め近軸光線追跡のパラメータによる微分計算により計算した、パラメータによる近軸最終像面位置または最終射出瞳位置の移動による項を追加する。その方法を図９によって示す。
【００６５】
図９において、現在のレンズデータにより、レンズ系全体の最終レンズ面上の点ＲＦからレンズ系全体の像面上の点Ｂに向けて光線が進行したとする。そして、最終レンズ面とレンズ系全体の像面との光軸上の距離をｓＦとする。次に、第I面のパラメータρIが微小シフトした場合の、レンズ系全体の最終レンズ面上の点をＲＦ′とし、その光線と、パラメータが微小シフトする前のレンズ形全体の像面との交点をＢ′とする。しかし、第I面のパラメータρIが微小シフトすることによって、レンズ系全体の像面位置が変動し、その光線との交点をＣ′とする。そして、最終レンズ面と、第I面のパラメータρIが微小シフトした場合のレンズ系全体の像面との光軸上の距離をｓＦ′とする。また、Ｂから光軸に平行に引いた線と、線ＣＣ′を延長した線との交点を、Ｃ0とする。さらに、パラメータが微小シフトする前の光線と最終射出瞳面との交点をｔＦ、第I面のパラメータρIが微小シフトした場合の光線と最終射出瞳面との交点をｔＦ′とする。
【００６６】
図９で、第I面のパラメータρIが微小シフトした場合の最終像面での光線到達位置の変化量は、Ｃ0Ｃ′であるが、一方ＣＣ′は、ＢＢ′とほぼ同じなので、
Ｃ0Ｃ′＝ Ｃ0Ｃ＋ＢＢ′    …(6-19)
が成り立つ。また、図９において、縦軸がｙ軸の場合、光軸と、Ｂ,Ｄとの距離はそれぞれ、ｙｓF，ｙｔFなので、
【数１８５】
2008039971.tif 000185
となる。式(6-19)においてＢＢ′は  補正前の最終像面での光線到達位置の第I面のパラメータρIによる微分ｄｙsF／ｄρIに相当し、式(6-20)において(ｓＦ′-ｓＦ)は最終像面位置の第I面のパラメータρIによる微分ｄｓF／ｄρIに相当するので、式(6-17)の補正は、
【数１８６】
2008039971.tif 000186
となる。従って、収差係数の微分の補正は、
【数１８７】
2008039971.tif 000187
となる。また同様にして、式(6-18)の補正は、最終射出瞳面位置の第I面のパラメータρIによる微分ｄｔF／ｄρIにより、
【数１８８】
2008039971.tif 000188
となる。従って、収差係数の微分の補正は、
【数１８９】
2008039971.tif 000189
となる。
【００６７】
以上，第一の展開方法について、高次収差のパラメータによる微分の計算方法を説明してきたが、第二の展開方法の場合、式(6-1)から式(6-18)において、ｙt，ｚtの代わりに、光線のｙ方向、z方向の正接ｔy，ｔzを置き換えれば良い。パラメータによる最終像面位置の移動による項の追加は、式(6-21)の代わりに、
【数１９０】
2008039971.tif 000190
とすれば良い。従って、収差係数の微分の補正は、
【数１９１】
2008039971.tif 000191
となる。なお、第二の展開方法の場合、最終光線の光線方向の正接を補正する必要はない。
【００６８】
次に、高次収差による非点収差のパラメータによる微分を求める方法を示す。第一の展開方法による非点収差の係数の微分は、式(5-1-28)，(5-1-29)をパラメータで微分して、
【数１９２】
2008039971.tif 000192
とし、式(5-1-34)〜(5-1-37)をパラメータで微分して、もう一回式(5-1-34)〜(5-1-37)を用いて、
【数１９３】
2008039971.tif 000193
となる。
【００６９】
第二の展開方法による非点収差の係数の微分は、式(5-2-27)，(5-2-28)をパラメータで微分して
【数１９４】
2008039971.tif 000194
とし、式(5-2-31)〜(5-2-34)をパラメータで微分して、もう一回式(5-2-31)〜(5-2-34)を用いて、
【数１９５】
2008039971.tif 000195
となる。なお、これらの式において、収差係数の微分は、パラメータによる近軸最終像面位置または最終射出瞳位置の移動による補正をしたものを用いることが必要である。
【００７０】
以上説明したように、高次収差による非点収差の計算方法を、レンズ系の像面での位置および射出瞳面上での位置または光線方向の正接を、入射瞳座標または物体面座標値で微分した量から求めることにより、差分近似で求めるよりも計算時間を早くすることができる。
【実施例１】
【００７１】
以上のような計算方法により高次収差を計算した実施例を次に示す。まず、実施例１として、図１０のようなダブルガウスタイプのレンズ（焦点距離50mm，F1.4）における高次収差の計算例を示す。このレンズのレンズデータは表１のようになる。表１のように、物体からレンズの第一面までの距離は1000ｍｍある。そして、表１の媒質でAIRとあるのは空気を表す。
【００７２】
【表１】
2008039971.tif 000196
【００７３】
そして、本発明の方法により計算されたF1.4の7割の場合の高次球面収差による横収差を２１次まで求めたものは、表２のようになる。これを見ると、最大次数が５次の場合、３次に比べて実際の収差から少し離れているが、7次以上になると収差の最大次数が高くなるほど、実際の収差に収束していくことがわかる。
【００７４】
【表２】
2008039971.tif 000197
【００７５】
次に、本発明の方法により計算されたF1.4の場合の高次球面収差による横収差を２１次まで計算したものは、表３のようになる。これを見ると、7割の場合に比べて、最大次数が少ないと実際の収差とはあまり一致せず、最大次数を上げてもなかなか収束せず、最大次数が１７次のあたりから収束することがわかる。
【００７６】
【表３】
2008039971.tif 000198
【００７７】
一方、F1.4の場合について、最大NAを1000分割して実際の光線追跡をし、数値解析（最小２乗法）により高次収差係数を計算してから計算された高次収差は表４から表７のようになる。表４、表５、表６、表７は、それぞれfittingする最大未知次数が11次、21次、31次，41次である。
【００７８】
【表４】
2008039971.tif 000199
【表５】
2008039971.tif 000200
【表６】
2008039971.tif 000201
【表７】
2008039971.tif 000202
【００７９】
表４と表５を比較するとわかるように、最大次数が３次から１１次までの収差値はかなり異なっている。また、表５と表６を比較するとわかるように、最大次数が１３次から２１次までの収差値はかなり異なっている。つまり、最小２乗法により高次収差係数を計算すると、実際の収差を何次までの未知収差係数でfittingするかによって、計算結果が違ってくることがわかる。
【００８０】
このように、最小２乗法で収差係数を計算すると、fittingする最大未知次数が違うことにより高次収差が異なるのは、収差係数の次数は無限にあって、F1.4の大口径になればなるほど高次収差までとらないとなかなか収束しないのにもかかわらず、有限の次数で実際の収差をまとめようとするからである。従って、最小2乗法である次数までの収差係数を求める場合、それより何次か高次の次数の係数までを未知数として、連立方程式を解かなければならず、しかも、正確に求めたい次数よりもどれだけ高次の次数まで求めると、どれだけの精度が保証できるかという理論はない。
【００８１】
ところが、表４から表７まで順番に表３と比較してみれば分かるように、最小２乗法のfittingする最大未知次数が高くなるに従って、本発明の計算方法で計算した結果に近づいていることが分かる。つまり、本発明のような計算方法で計算すると、高次収差まで正確に計算することができ、しかも、設定した最大次数によって、それより低次の収差係数が変動することはない。
【００８２】
次に、実施例１のレンズデータの像高位置-9.77での光線到達位置を、本発明の計算方法で、高次の歪曲収差として最大次数を２１次まで求めてから計算すると、表８のようになる。一方、同じ像高位置-9.77で、光軸中心から最大像高まで10000分割して主光線を光線追跡し、最小２乗法で高次の歪曲収差として最大次数を１５次まで求めてから計算すると、表９のようになる。
【００８３】
【表８】
2008039971.tif 000203
【表９】
2008039971.tif 000204
【００８４】
表８を見ると、最大次数を上げれば上げる程、実際の位置に近づく事がわかる。ところが、表９の最小２乗法を見ると、最大次数の中間部分で、実際の位置よりかなりずれていて、数値解析では、高次の歪曲収差係数を正確に計算できないことがわかる。また、表で示しはしないが、fittingする最大未知次数を１５次からさらに上げていくと、かえって精度を上げられず、解が発散することがわかった。従って、高次の歪曲収差を計算する方法は、数値解析では不可能で、本発明による計算方法しかないことが分かる。
【実施例２】
【００８５】
次に実施例２として、平行光束で入射するレンズで、面数が20面の場合について、高次収差を最適化した。本発明による高次収差のパラメータ微分と、差分近似とについて、計算時間を比較した。比較のための差分近似に用いた計算方法としては、各面の収差係数を計算してからレンズ全体の収差係数を係数比較で計算する方法は時間がかかるので採用せずに、第二面以後の収差係数を計算するための物体面座標値と入射光線方向の正接を、常に第一面の物体面座標値と入射光線方向の正接の冪級数展開で表す方法、すなわち、式(4-1-1)〜(4-2-17)の式による方法を採用した。７次収差において微分と差分の場合の、最適化の1サイクルあたりの計算時間とパラメータ数の関係は、表1０および図１１のようになる。
【００８６】
【表１０】
2008039971.tif 000205
【００８７】
表１０および図１１を見ると分かるように、差分近似の場合はパラメータ数にほぼ比例して計算時間が増加していくのに対し、微分の場合はパラメータ数が増えても計算時間はほとんど変わらない。そして、パラメータ数が10の場合、微分の場合の計算時間は差分の約２分の１なのに対し、パラメータ数が20の場合、微分の場合の計算時間は差分の３分の１以下になっている。従って、パラメータ数が多くなるほど微分の方が有利であることが分かる。
【図面の簡単な説明】
【００８８】
【図１】高次収差を計算するための、光線の物体面上の位置、入射瞳面上の位置、レンズ面上の光線到達点、像面上の位置、射出瞳面上の位置関係を示す図である。
【図２】第一の展開方法による高次収差計算過程の概略図である。
【図３】第二の展開方法による高次収差計算過程の概略図である。
【図４】複数のレンズ面にまたがる収差係数を求める方法を説明するための図である。
【図５】高次収差によるメリジオナル像面の非点収差を計算する方法を示す図である。
【図６】高次収差によるサジタル像面の非点収差を計算する方法を示す図である。
【図７】レンズのある途中の面で曲率半径などのパラメータを微小変化させると、その面以後の像面位置と射出瞳面位置が次々と変わることを示す図である。
【図８】高次収差のパラメータによる微分を計算する方法を示す図である。
【図９】図８の方法で計算した後、パラメータによる近軸最終像面位置または最終射出瞳位置の移動による項を追加する方法を示す図である。
【図１０】実施例１のレンズの光路図である。
【図１１】７次収差の最適化において、微分と差分の場合の、最適化の1サイクルあたりの計算時間とパラメータ数の関係を示す図である。
【符号の説明】
【００８９】
Ｕ，Ｖ，Ｗ  回転不変量    ｉ，ｊ，ｋ  回転不変量の冪乗数    ｙ  高次収差
【図１】
2008039971.tif 000209
【図２】
2008039971.tif 000210
【図３】
2008039971.tif 000211
【図４】
2008039971.tif 000212
【図５】
2008039971.tif 000213
【図６】
2008039971.tif 000214
【図７】
2008039971.tif 000215
【図８】
2008039971.tif 000216
【図９】
2008039971.tif 000217
【図１０】
2008039971.tif 000218
【図１１】
2008039971.tif 000219