(57)【要約】      （修正有）【課題】Ｊ次元の周期アナログ信号が標本化されることにより得られた標本化データ群から、隣接する標本点どうしの途中の任意の点のデータを求めるデータ補間方法に関し、標本点以外の任意の点のデータを高精度に求める。【解決手段】Ｊ次元の周期アナログ信号が標本化されることにより得られる標本化データ群を取得し、取得した標本化データ群に基づいて、Ｊ次元空間内の任意の点のデータｆｐ（ｔ１，…，ｔＪ）を求める。【選択図】図５
2008305045.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
Ｊ次元の周期アナログ信号が標本化されることにより得られる標本化データ群を取得し、
取得した標本化データ群に基づいて、Ｊ次元空間内の任意の点のデータｆｐ（ｔ１，…，ｔＪ）を、式
【数１】
2008305045.tif 000108
但し、（ｔ１，…，ｔＪ）はＪ次元空間内の任意の点
（ｔ1，0，…，ｔＪ，０）は、Ｊ次元空間内の任意の参照点
（Δｔ１，…，ΔｔＪ）は、標本間隔
（Ｎ１，…，ＮＪ）は、一周期（Ｔ１，…，ＴＪ）に渡る標本数
ｆｐ，ｎ１，…，ｎＪは、標本化データであって、
ｆｐ，ｎ１，…，ｎＪ＝ｆｐ（ｔ１，０＋ｎ１・Δｔ１，…，ｔＪ，０＋ｎＪ・ΔｔＪ）
である、および
ψ１（ｔ），…，ψＪ（ｔ）は内挿関数であって、
【数２】
2008305045.tif 000109
（ｊ＝１，…，Ｊ）
である、
に従って求めることを特徴とするデータ補間方法。
【請求項２】
Ｊ次元の周期アナログ信号が標本化されることにより得られる標本化データ群を取得する取得部と、
取得した標本化データ群に基づいて、Ｊ次元空間内の任意の点のデータｆｐ（ｔ１，…，ｔＪ）を、式
【数３】
2008305045.tif 000110
但し、（ｔ１，…，ｔＪ）はＪ次元空間内の任意の点
（ｔ１，０，…，ｔＪ，０）は、Ｊ次元空間内の任意の参照点
（Δｔ１，…，ΔｔＪ）は、標本間隔
（Ｎ１，…，ＮＪ）は、一周期（Ｔ１，…，ＴＪ）に渡る標本数
ｆｐ，ｎ１，…，ｎＪは、標本化データであって、
ｆｐ，ｎ１，…，ｎＪ＝ｆｐ（ｔ１，０＋ｎ１・Δｔ１，…，ｔＪ，０＋ｎＪ・ΔｔＪ）
である、および
ψ１（ｔ），…，ψＪ（ｔ）は内挿関数であって、
【数４】
2008305045.tif 000111
（ｊ＝１，…，Ｊ）
である、
に従って求める演算部とを備えたことを特徴とするデータ補間装置。
【請求項３】
プログラムを実行する情報処理装置内で実行され、該情報処理装置を、Ｊ次元の周期アナログ信号が標本化されることにより得られる標本化データ群を取得する取得部と、
取得した標本化データ群に基づいて、Ｊ次元空間内の任意の点のデータｆｐ（ｔ１，…，ｔＪ）を、式
【数５】
2008305045.tif 000112
但し、（ｔ１，…，ｔＪ）はＪ次元空間内の任意の点
（ｔ１，０，…，ｔＪ，０）は、Ｊ次元空間内の任意の参照点
（Δｔ１，…，ΔｔＪ）は、標本間隔
（Ｎ１，…，ＮＪ）は、一周期（Ｔ１，…，ＴＪ）に渡る標本数
ｆｐ，ｎ１，…，ｎＪは、標本化データであって、
ｆｐ，ｎ１，…，ｎＪ＝ｆｐ（ｔ１，０＋ｎ１・Δｔ１，…，ｔＪ，０＋ｎＪ・ΔｔＪ）
である、および
ψ１（ｔ），…，ψＪ（ｔ）は内挿関数であって、
【数６】
2008305045.tif 000113
（ｊ＝１，…，Ｊ）
である、
に従って求める演算部とを備えたデータ補間装置として動作させることを特徴とするデータ補間プログラム。
【請求項４】
Ｊ次元の周期アナログ信号が標本化されＪ次元離散フーリエ変換が施されることにより得られるＪ次元離散スペクトルを取得し、
取得されたＪ次元離散スペクトルに基づいて、Ｊ次元周波数空間内の任意の点のスペクトル値
【数７】
2008305045.tif 000114
を、式
【数８】
2008305045.tif 000115
但し、（ω１，…，ωＪ）はＪ次元周波数空間内の任意の点
（ω１，０，…，ωＪ，０）はＪ次元周波数空間内の任意の参照点
（Δω１，…，ΔωＪ）は離散スペクトルの間隔
（Ｎ１，…，ＮＪ）は、一周期（ωＳ１，…，ωＳＪ）に渡る標本数
Ｆｐ，ｋ１，…，ｋＪは、離散スペクトルの値であって、
Ｆｐ，ｋ１，…，ｋＪ＝Ｆｐ（ω１，０＋ｋ１・Δω１，…，ωＪ，０＋ｋＪ・ΔωＪ）
である、および
Ψ１（ω），…，ΨＪ（ω）は内挿関数であって、
【数９】
2008305045.tif 000116
（ｊ＝１，…，Ｊ）
である、
に従って求めることを特徴とするスペクトル内挿方法。
【請求項５】
Ｊ次元の周期アナログ信号が標本化されＪ次元離散フーリエ変換が施されることにより得られるＪ次元離散スペクトルを取得する取得部と、
取得されたＪ次元離散スペクトルに基づいて、Ｊ次元周波数空間内の任意の点のスペクトル値
【数１０】
2008305045.tif 000117
を、式
【数１１】
2008305045.tif 000118
但し、（ω１，…，ωＪ）はＪ次元周波数空間内の任意の点
（ω１，０，…，ωＪ，０）はＪ次元周波数空間内の任意の参照点
（Δω１，…，ΔωＪ）は離散スペクトルの間隔
（Ｎ１，…，ＮＪ）は、一周期（ωＳ１，…，ωＳＪ）に渡る標本数
Ｆｐ，ｋ１，…，ｋＪは、離散スペクトルの値であって、
Ｆｐ，ｋ１，…，ｋＪ＝Ｆｐ（ω１，０＋ｋ１・Δω１，…，ωＪ，０＋ｋＪ・ΔωＪ）
である、および
Ψ１（ω），…，ΨＪ（ω）は内挿関数であって、
【数１２】
2008305045.tif 000119
（ｊ＝１，…，Ｊ）
である、
に従って求める演算部とを備えたことを特徴とするスペクトル内挿装置。
【請求項６】
プログラムを実行する情報処理装置内で実行され、該情報処理装置を、
Ｊ次元の周期アナログ信号が標本化されＪ次元離散フーリエ変換が施されることにより得られるＪ次元離散スペクトルを取得する取得部と、
取得されたＪ次元離散スペクトルに基づいて、Ｊ次元周波数空間内の任意の点のスペクトル値
【数１３】
2008305045.tif 000120
を、式
【数１４】
2008305045.tif 000121
但し、（ω１，…，ωＪ）はＪ次元周波数空間内の任意の点
（ω１，０，…，ωＪ，０）はＪ次元周波数空間内の任意の参照点
（Δω１，…，ΔωＪ）は離散スペクトルの間隔
（Ｎ１，…，ＮＪ）は、一周期（ωＳ１，…，ωＳＪ）に渡る標本数
Ｆｐ，ｋ１，…，ｋＪは、離散スペクトルの値であって、
Ｆｐ，ｋ１，…，ｋＪ＝Ｆｐ（ω１，０＋ｋ１・Δω１，…，ωＪ，０＋ｋＪ・ΔωＪ）
である、および
Ψ１（ω），…，ΨＪ（ω）は内挿関数であって、
【数１５】
2008305045.tif 000122
（ｊ＝１，…，Ｊ）
である、
に従って求める演算部とを備えたスペクトル内挿装置として動作させることを特徴とするスペクトル内挿プログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、Ｊ次元の周期アナログ信号が標本化されることにより得られた標本化データ群から、隣接する標本点どうしの途中の任意の点のデータを求めるデータ補間方法およびデータ補間装置、および、コンピュータ等の情報処理装置内で実行されてその情報処理装置をデータ補間装置として動作させるデータ補間プログラム、並びに、上記のＪ次元標本化データ群にＪ次元離散フーリエ変数を施すことにより得られたＪ次元離散スペクトルから、その離散スペクトルにはあらわれていない、隣接する離散点の間の任意の周波数のスペクトルを求めるスペクトル内挿方法およびスペクトル内挿装置、および、コンピュータ等の情報処理装置内で実行されてその情報処理装置をスペクトル内挿装置として動作させるスペクトル内挿プログラムに関する。
【背景技術】
【０００２】
従来より様々な分野で標本化データ群から標本点以外の点のデータを求めるデータ補間演算が行なわれている。
【０００３】
従来採用されているデータ補間法の１つにゼロ点追加法がある。このゼロ点追加法は、標本化データ列の隣接する標本点どうしの間に内挿したい数だけゼロ点（データ値ゼロを持つ標本点）を等間隔に追加し、このようにして標本点を何倍にも増やした上でディジタルの低域通過フィルタを通過させる、という手法である。このゼロ点追加法によれば、最初の標本化にあたってエイリアジングノイズを防止するためのフィルタリング処理をきちんと行なっている限りにおいて、ゼロ点として追加した標本点のデータを正確に再生することができる。
【０００４】
しかしながら、このゼロ点追加法では、もともとの標本点どうしの間にゼロ点を等間隔に追加する必要があり、追加点数で決まる固定点のデータは正確に再生できるものの、任意の時刻のデータを再生することは不可能である。
【０００５】
また、従来採用されているデータ補間法のうちの他の方法として、染谷＆シャノン（Ｓｈａｎｎｏｎ）の標本化定理を利用する方法がある。詳細は省略するが、この標本化定理を採用すると、やはり最初の標本化にあたってエイリアジングノイズ防止のためのフィタリング処理がきちんと行なわれてさえいれば、数学的には、任意の時刻ｔのデータを再生することができる。
【０００６】
しかしながら、この標本化定理は、無限個の標本点を必要とする。しかしながら現実的には、有限個の標本点のデータで演算を行なう必要を生じ、その分ある程度大きな誤差を含む結果しか求めることができないという問題がある。
【０００７】
これに対し、本願出願人は、特許文献１で、有限個の標本化データに基づいて、任意の点のデータを高精度に（数学的には厳密に）求めるデータ補間法を提案している。
【０００８】
しかしながら、この特許文献１で提案されたデータ補間法は一次元データにのみに適用可能なものであって、例えば二次元画像データ等の複数次元のデータには適用することはできない。
【０００９】
また、従来より様々な分野で例えば時間的に変化する波形のスペクトル解析が多用されており、このスペクトル解析にはＦＦＴの演算手法が用いられており、このＦＦＴでは、時間波形を周期関数と見なして所定の時間間隔でサンプリングし、一周期分のＮ個の離散的なサンプリング点の値を得て、それらのサンプリング点の値を基に演算してＮ個の離散的な周波数のスペクトル成分が求められる。
【００１０】
しかしながら、上記のＦＦＴの手法では、求めることができるのは離散的な周波数のスペクトル成分であるため、離散点どうしの間の周波数のスペクトル値は分からず、詳細なスペクトル解析を行なうには限界がある。サンプリング点の数（上記のＮ）を増やすことも考えられるが、その場合、ＦＦＴの計算量が厖大となり現実的ではなく、しかもサンプリング点の数を増やしても離散的であることには変わりなく、任意の周波数のスペクトル値を求めることはできない。
【００１１】
これに対し、本願出願人は、特願２００６−１５００５７で、離散スペクトルから任意の周波数のスペクトル値を極めて高精度に内挿することのできるスペクトル内挿法を提案している。
【００１２】
しかしながら、このスペクトル内挿法は、一次元スペクトルにのみに適用可能のものであって、例えば二次元画像データに二次元ＦＦＴ演算を施して得た二次元スペクトル等の複数次元のスペクトルには適用することはできない。
【特許文献１】特開２００２−２７８９４８号公報
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１３】
本発明は、上記事情に鑑み、複数次元（一般的にＪ次元）の有限個の標本化データからなる標本化データ群に基づいて、標本点以外の任意の点のデータを高精度に求めることができるデータ補間方法およびデータ補間装置、および、コンピュータ等の情報処理装置内で実行されてその情報処理装置をそのような、標本点以外の任意の点のデータを高精度に求めることができるデータ補間装置として動作させるデータ補間プログラム、並びに、複数次元（一般的にＪ次元）の有限個の離散スペクトルから任意の周波数のスペクトル値を極めて高精度に内挿することのできるスペクトル内挿方法およびスペクトル内挿装置、および、コンピュータ等の情報処理装置内で実行されてその情報処理装置をそのような任意の周波数のスペクトル値を極めて高精度に内挿することのできるスペクトル内挿装置として動作させるスペクトル内挿プログラムを提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００１４】
上記目的を達成する本発明のデータ補間方法は、
Ｊ次元の周期アナログ信号が標本化されることにより得られる標本化データ群を取得し、
取得した標本化データ群に基づいて、Ｊ次元空間内の任意の点のデータｆｐ（ｔ１，…，ｔＪ）を、式
【００１５】
【数１】
2008305045.tif 000003
【００１６】
但し、（ｔ１，…，ｔＪ）はＪ次元空間内の任意の点
（ｔ１，０，…，ｔＪ，０）は、Ｊ次元空間内の任意の参照点
（Δｔ１，…，ΔｔＪ）は、標本間隔
（Ｎ１，…，ＮＪ）は、一周期（Ｔ１，…，ＴＪ）に渡る標本数
ｆｐ，ｎ１，…，ｎＪは、標本化データであって、
ｆｐ，ｎ１，…，ｎＪ＝ｆｐ（ｔ１，０＋ｎ１・Δｔ１，…，ｔＪ，０＋ｎＪ・ΔｔＪ）
である、および
ψ１（ｔ），…，ψＪ（ｔ）は内挿関数であって、
【００１７】
【数２】
2008305045.tif 000004
【００１８】
（ｊ＝１，…，Ｊ）
である、
に従って求めることを特徴とする。
【００１９】
本発明のデータ補間方法によれば、上記の式の導出は後述するが、その式に従って任意の点のデータを、少なくとも原理的には誤差なしで極めて高精度に求めることができる。
【００２０】
また、上記目的を達成する本発明のデータ補間装置は、
Ｊ次元の周期アナログ信号が標本化されることにより得られる標本化データ群を取得する取得部と、
取得した標本化データ群に基づいて、Ｊ次元空間内の任意の点のデータｆｐ（ｔ１，…，ｔＪ）を、式
【００２１】
【数３】
2008305045.tif 000005
【００２２】
但し、（ｔ１，…，ｔＪ）はＪ次元空間内の任意の点
（ｔ１，０，…，ｔＪ，０）は、Ｊ次元空間内の任意の参照点
（Δｔ１，…，ΔｔＪ）は、標本間隔
（Ｎ１，…，ＮＪ）は、一周期（Ｔ１，…，ＴＪ）に渡る標本数
ｆｐ，ｎ１，…，ｎＪは、標本化データであって、
ｆｐ，ｎ１，…，ｎＪ＝ｆｐ（ｔ１，０＋ｎ１・Δｔ１，…，ｔＪ，０＋ｎＪ・ΔｔＪ）
である、および
ψ１（ｔ），…，ψＪ（ｔ）は内挿関数であって、
【００２３】
【数４】
2008305045.tif 000006
【００２４】
（ｊ＝１，…，Ｊ）
である、
に従って求める演算部とを備えたことを特徴とする。
【００２５】
さらに、上記目的を達成する本発明のデータ補間プログラムは、
プログラムを実行する情報処理装置内で実行され、該情報処理装置を、
Ｊ次元の周期アナログ信号が標本化されることにより得られる標本化データ群を取得する取得部と、
取得した標本化データ群に基づいて、Ｊ次元空間内の任意の点のデータｆｐ（ｔ１，…，ｔＪ）を、式
【００２６】
【数５】
2008305045.tif 000007
【００２７】
但し、（ｔ１，…，ｔＪ）はＪ次元空間内の任意の点
（ｔ１，０，…，ｔＪ，０）は、Ｊ次元空間内の任意の参照点
（Δｔ１，…，ΔｔＪ）は、標本間隔
（Ｎ１，…，ＮＪ）は、一周期（Ｔ１，…，ＴＪ）に渡る標本数
ｆｐ，ｎ１，…，ｎＪは、標本化データであって、
ｆｐ，ｎ１，…，ｎＪ＝ｆｐ（ｔ１，０＋ｎ１・Δｔ１，…，ｔＪ，０＋ｎＪ・ΔｔＪ）
である、および
ψ１（ｔ），…，ψＪ（ｔ）は内挿関数であって、
【００２８】
【数６】
2008305045.tif 000008
【００２９】
（ｊ＝１，…，Ｊ）
である、
に従って求める演算部とを備えたデータ補間装置として動作させることを特徴とする。
【００３０】
また、上記目的を達成する本発明のスペクトル内挿方法は、
Ｊ次元の周期アナログ信号が標本化されＪ次元離散フーリエ変換が施されることにより得られるＪ次元離散スペクトルを取得し、
取得されたＪ次元離散スペクトルに基づいて、Ｊ次元周波数空間内の任意の点のスペクトル値
【００３１】
【数７】
2008305045.tif 000009
【００３２】
を、式
【００３３】
【数８】
2008305045.tif 000010
【００３４】
但し、（ω１，…，ωＪ）はＪ次元周波数空間内の任意の点
（ω１，０，…，ωＪ，０）はＪ次元周波数空間内の任意の参照点
（Δω１，…，ΔωＪ）は離散スペクトルの間隔
（Ｎ１，…，ＮＪ）は、一周期（ωＳ１，…，ωＳＪ）に渡る標本数
Ｆｐ，ｋ１，…，ｋＪは、離散スペクトルの値であって、
Ｆｐ，ｋ１，…，ｋＪ＝Ｆｐ（ω１，０＋ｋ１・Δω１，…，ωＪ，０＋ｋＪ・ΔωＪ）
である、および
Ψ１（ω），…，ΨＪ（ω）は内挿関数であって、
【００３５】
【数９】
2008305045.tif 000011
【００３６】
（ｊ＝１，…，Ｊ）
である、
に従って求めることを特徴とする。
【００３７】
本発明のスペクトル内挿方法によれば、上記の式の導出は後述するが、その式に従ってＪ次元周波数空間内の任意の点のスペクトルを、少なくとも原理的には誤差なしで、極めて高精度に求めることができる。
【００３８】
また、上記目的を達成する本発明のスペクトル内挿装置は、
Ｊ次元の周期アナログ信号が標本化されＪ次元離散フーリエ変換が施されることにより得られるＪ次元離散スペクトルを取得する取得部と、
取得されたＪ次元離散スペクトルに基づいて、Ｊ次元周波数空間内の任意の点のスペクトル値
【００３９】
【数１０】
2008305045.tif 000012
【００４０】
を、式
【００４１】
【数１１】
2008305045.tif 000013
【００４２】
但し、（ω１，…，ωＪ）はＪ次元周波数空間内の任意の点
（ω１，０，…，ωＪ，０）はＪ次元周波数空間内の任意の参照点
（Δω１，…，ΔωＪ）は離散スペクトルの間隔
（Ｎ１，…，ＮＪ）は、一周期（ωＳ１，…，ωＳＪ）に渡る標本数
Ｆｐ，ｋ１，…，ｋＪは、離散スペクトルの値であって、
Ｆｐ，ｋ１，…，ｋＪ＝Ｆｐ（ω１，０＋ｋ１・Δω１，…，ωＪ，０＋ｋＪ・ΔωＪ）
である、および
Ψ１（ω），…，ΨＪ（ω）は内挿関数であって、
【００４３】
【数１２】
2008305045.tif 000014
【００４４】
（ｊ＝１，…，Ｊ）
である、
に従って求める演算部とを備えたことを特徴とする。
【００４５】
さらに、上記目的を達成する本発明のスペクトル内挿プログラムは、
プログラムを実行する情報処理装置内で実行され、該情報処理装置を、
Ｊ次元の周期アナログ信号が標本化されＪ次元離散フーリエ変換が施されることにより得られるＪ次元離散スペクトルを取得する取得部と、
取得されたＪ次元離散スペクトルに基づいて、Ｊ次元周波数空間内の任意の点のスペクトル値
【００４６】
【数１３】
2008305045.tif 000015
【００４７】
を、式
【００４８】
【数１４】
2008305045.tif 000016
【００４９】
但し、（ω１，…，ωＪ）はＪ次元周波数空間内の任意の点
（ω１，０，…，ωＪ，０）はＪ次元周波数空間内の任意の参照点
（Δω１，…，ΔωＪ）は離散スペクトルの間隔
（Ｎ１，…，ＮＪ）は、一周期（ωＳ１，…，ωＳＪ）に渡る標本数
Ｆｐ，ｋ１，…，ｋＪは、離散スペクトルの値であって、
Ｆｐ，ｋ１，…，ｋＪ＝Ｆｐ（ω１，０＋ｋ１・Δω１，…，ωＪ，０＋ｋＪ・ΔωＪ）
である、および
Ψ１（ω），…，ΨＪ（ω）は内挿関数であって、
【００５０】
【数１５】
2008305045.tif 000017
【００５１】
（ｊ＝１，…，Ｊ）
である、
に従って求める演算部とを備えたスペクトル内挿装置として動作させることを特徴とする。
【発明の効果】
【００５２】
以上の本発明によれば、有限個の離散データからＪ次元空間内の任意の点のデータを極めて高精度に求めることができ、また、有限個の離散スペクトルからＪ次元周波数空間内の任意の点のスペクトルを極めて高精度に求めることができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００５３】
以下では、先ず本発明の理論的な背景について説明する。
１．はじめに
ここでは、１次元信号に対し証明された周期信号に対するサンプリング定理を、多次元の周期関数に対するサンプリング定理として拡張し、その副産物として、標本点を用いた周期信号の内挿公式を導出することにする。
２．１次元の時間域での周期信号に対するサンプリング定理のまとめ（特許文献１参照）
今、周期
【００５４】
【数１６】
2008305045.tif 000018
【００５５】
の周期アナログ信号を
【００５６】
【数１７】
2008305045.tif 000019
【００５７】
とする。すなわち、
【００５８】
【数１８】
2008305045.tif 000020
【００５９】
とする。
【００６０】
【数１９】
2008305045.tif 000021
【００６１】
は周期信号だから、フーリエ級数展開が可能であり、次のように表される。
【００６２】
【数２０】
2008305045.tif 000022
【００６３】
特に、信号が帯域制限されていて、
【００６４】
【数２１】
2008305045.tif 000023
【００６５】
であったとする。この時には、
【００６６】
【数２２】
2008305045.tif 000024
【００６７】
なる内挿公式が成り立つ。ただし、内挿関数は、
【００６８】
【数２３】
2008305045.tif 000025
【００６９】
で与えられる。
【００７０】
内挿関数が（２．５）で表わされることについての証明は、特許文献１に記載されており、ここではその記述は省略する。
（註２．１）（２．３）の条件は、（２．２）から、
【００７１】
【数２４】
2008305045.tif 000026
【００７２】
の範囲のスペクトル成分がゼロということ、あるいは、スペクトル成分がゼロでないのは、
【００７３】
【数２５】
2008305045.tif 000027
【００７４】
なる区間内に限られるということを意味することが容易に示される。ただし、
【００７５】
【数２６】
2008305045.tif 000028
【００７６】
をサンプリング時間間隔とし、
【００７７】
【数２７】
2008305045.tif 000029
【００７８】
とした。
３．１次元の周波数域での周期信号に対するサンプリング定理のまとめ（付記  Ａ  参照）
今、周期
【００７９】
【数２８】
2008305045.tif 000030
【００８０】
の周期スペクトル関数を
【００８１】
【数２９】
2008305045.tif 000031
【００８２】
とする。すなわち、
【００８３】
【数３０】
2008305045.tif 000032
【００８４】
とする。
【００８５】
【数３１】
2008305045.tif 000033
【００８６】
は周期信号だから、フーリエ級数展開が可能であり、次のように表される。
【００８７】
【数３２】
2008305045.tif 000034
【００８８】
今、信号が時間域で局在していて、
【００８９】
【数３３】
2008305045.tif 000035
【００９０】
であったとする。この時には、
【００９１】
【数３４】
2008305045.tif 000036
【００９２】
なる内挿公式が成り立つ。ただし、
【００９３】
【数３５】
2008305045.tif 000037
【００９４】
である。
（註３．１）
【００９５】
【数３６】
2008305045.tif 000038
【００９６】
という条件は、（３．２）より、時間域で言えば、
【００９７】
【数３７】
2008305045.tif 000039
【００９８】
なる範囲の時間域成分がゼロと見做し得ること、あるいは、時間域成分がゼロでないのは、
【００９９】
【数３８】
2008305045.tif 000040
【０１００】
なる区間内に限られるということを意味している。ただし、
【０１０１】
【数３９】
2008305045.tif 000041
【０１０２】
をサンプリング角周波数間隔とし、
【０１０３】
【数４０】
2008305045.tif 000042
【０１０４】
とした。
４．多次元周期関数に対するサンプリング定理と内挿公式（その１）
今、周期
【０１０５】
【数４１】
2008305045.tif 000043
【０１０６】
の周期アナログ信号を
【０１０７】
【数４２】
2008305045.tif 000044
【０１０８】
とする。すなわち、
【０１０９】
【数４３】
2008305045.tif 000045
【０１１０】
が成り立つものとする。この２次元信号は帯域制限されているものとすると、第２節の結果を利用すれば、
【０１１１】
【数４４】
2008305045.tif 000046
【０１１２】
を得る。以上のことを、更に、一般化すると次のようになる。
【０１１３】
今、周期
【０１１４】
【数４５】
2008305045.tif 000047
【０１１５】
の周期アナログ信号を
【０１１６】
【数４６】
2008305045.tif 000048
【０１１７】
とする。すなわち、
【０１１８】
【数４７】
2008305045.tif 000049
【０１１９】
が成り立つものとする。このＪ次元信号は、帯域制限されているものとすると、第２節の結果を利用すれば、
【０１２０】
【数４８】
2008305045.tif 000050
【０１２１】
を得る。
（註４．１）帯域制限条件は、１次元の場合の多次元への拡張として、
【０１２２】
【数４９】
2008305045.tif 000051
【０１２３】
の範囲のスペクトル成分がゼロということ、あるいは、スペクトル成分がゼロでないのは、
【０１２４】
【数５０】
2008305045.tif 000052
【０１２５】
なる区間内に限られることを意味することが容易に示される。ただし、
【０１２６】
【数５１】
2008305045.tif 000053
【０１２７】
をサンプリング時間間隔とし、
【０１２８】
【数５２】
2008305045.tif 000054
【０１２９】
とした。
５．多次元周期関数に対するサンプリング定理と内挿公式（その２）
今、周期
【０１３０】
【数５３】
2008305045.tif 000055
【０１３１】
の周期アナログ信号を
【０１３２】
【数５４】
2008305045.tif 000056
【０１３３】
とする。すなわち、
【０１３４】
【数５５】
2008305045.tif 000057
【０１３５】
が成り立つものとする。この２次元信号は、時間域で局在しているものとすると、第３節の結果を利用すれば、
【０１３６】
【数５６】
2008305045.tif 000058
【０１３７】
を得る。以上のことを、更に、一般化すると次のようになる。
【０１３８】
今、周期
【０１３９】
【数５７】
2008305045.tif 000059
【０１４０】
の周期アナログ信号を
【０１４１】
【数５８】
2008305045.tif 000060
【０１４２】
とする。すなわち、
【０１４３】
【数５９】
2008305045.tif 000061
【０１４４】
が成り立つものとする。このＪ次元信号は、時間域で局在しているものとすると、第３節の結果を利用すれば、
【０１４５】
【数６０】
2008305045.tif 000062
【０１４６】
を得る。
（註５．１）時間域局在という条件は、１次元の場合の多次元への拡張として、
【０１４７】
【数６１】
2008305045.tif 000063
【０１４８】
なる範囲の時間域成分がゼロと見做し得ること、あるいは、時間域成分がゼロでないのは、
【０１４９】
【数６２】
2008305045.tif 000064
【０１５０】
なる区間内に限られることを意味している。ただし、
【０１５１】
【数６３】
2008305045.tif 000065
【０１５２】
をサンプリング角周波数間隔とし、
【０１５３】
【数６４】
2008305045.tif 000066
【０１５４】
とした。
【０１５５】
付記  Ａ  周波数域での周期関数に対するサンプリング定理と内挿公式
今、周期
【０１５６】
【数６５】
2008305045.tif 000067
【０１５７】
の周期スペクトル関数を
【０１５８】
【数６６】
2008305045.tif 000068
【０１５９】
とする。すなわち、
【０１６０】
【数６７】
2008305045.tif 000069
【０１６１】
とする。
【０１６２】
【数６８】
2008305045.tif 000070
【０１６３】
は周期信号だから、フーリエ級数展開が可能であり、次のように表される。
【０１６４】
【数６９】
2008305045.tif 000071
【０１６５】
【数７０】
2008305045.tif 000072
【０１６６】
他方、離散フーリエ変換、逆変換は、
【０１６７】
【数７１】
2008305045.tif 000073
【０１６８】
【数７２】
2008305045.tif 000074
【０１６９】
と表される。ただし、
【０１７０】
【数７３】
2008305045.tif 000075
【０１７１】
をサンプリング角周波数間隔とし、
【０１７２】
【数７４】
2008305045.tif 000076
【０１７３】
【数７５】
2008305045.tif 000077
【０１７４】
と略記した。この時、（Ａ．２）、（Ａ．５）から、
【０１７５】
【数７６】
2008305045.tif 000078
【０１７６】
が言える。特に、信号が時間域で局在していて、
【０１７７】
【数７７】
2008305045.tif 000079
【０１７８】
であったとする。
（註１）
【０１７９】
【数７８】
2008305045.tif 000080
【０１８０】
という条件は、（Ａ．２）より、時間域で言えば、
【０１８１】
【数７９】
2008305045.tif 000081
【０１８２】
なる範囲の時間域成分がゼロと見做し得ることを意味している。
この時には、（Ａ．８）より、
【０１８３】
【数８０】
2008305045.tif 000082
【０１８４】
となる。（Ａ．９）、（Ａ．１０）を（Ａ．２）に入れて、
【０１８５】
【数８１】
2008305045.tif 000083
【０１８６】
を得る。そこで、
【０１８７】
【数８２】
2008305045.tif 000084
【０１８８】
と置くと、（Ａ．１１）は、
【０１８９】
【数８３】
2008305045.tif 000085
【０１９０】
となる。
【０１９１】
（Ａ．１２）で与えられる
【０１９２】
【数８４】
2008305045.tif 000086
【０１９３】
は、以下の性質を有することが容易に示される。
１）周期性
【０１９４】
【数８５】
2008305045.tif 000087
【０１９５】
２）選点性（
【０１９６】
【数８６】
2008305045.tif 000088
【０１９７】
、および、
【０１９８】
【数８７】
2008305045.tif 000089
【０１９９】
での値）
【０２００】
【数８８】
2008305045.tif 000090
【０２０１】
３）
【０２０２】
【数８９】
2008305045.tif 000091
【０２０３】
のまわりの対称性
まず、
【０２０４】
【数９０】
2008305045.tif 000092
【０２０５】
と置く。ここに、
【０２０６】
【数９１】
2008305045.tif 000093
【０２０７】
【数９２】
2008305045.tif 000094
【０２０８】
である。まず、実部については、
【０２０９】
【数９３】
2008305045.tif 000095
【０２１０】
より、
【０２１１】
【数９４】
2008305045.tif 000096
【０２１２】
のまわりの対称性があることが判る。次、虚部については、
【０２１３】
【数９５】
2008305045.tif 000097
【０２１４】
より、
【０２１５】
【数９６】
2008305045.tif 000098
【０２１６】
のまわりの歪対称性があることが判る。
【０２１７】
特に、
【０２１８】
【数９７】
2008305045.tif 000099
【０２１９】
が偶数の場合には、
【０２２０】
【数９８】
2008305045.tif 000100
【０２２１】
での値については、
【０２２２】
【数９９】
2008305045.tif 000101
【０２２３】
【数１００】
2008305045.tif 000102
【０２２４】
が言える。
【０２２５】
以下、本発明の実施形態について説明する。
【０２２６】
図１は、コンピュータの外観斜視図である。このコンピュータは、後述するプログラムの実行により本発明の一実施形態としてのデータ補間装置およびスペクトル内挿装置として動作するものである。
【０２２７】
この図１に示すコンピュータ１００は、外観構成上、本体装置１１０、その本体装置１１０からの指示に応じて表示画面１２１上に画像を表示する画像表示装置１２０、本体装置１１０に、キー操作に応じた各種の情報を入力するキーボード１３０、および、表示画面１２１上の任意の位置を指定することにより、その位置に表示された、例えばアイコン等に応じた指示を入力するマウス１４０を備えている。この本体装置１１０は、外観上、フレキシブルディスク（以下、ＦＤと略記する）を装填するためのＦＤ装填口１１１、およびＣＤ−ＲＯＭを装填するためのＣＤ−ＲＯＭ装填口１１２を有する。
【０２２８】
図２は、図１に外観を示すコンピュータ１００のハードウェア構成図である。
【０２２９】
本体装置１１０の内部には、図２に示すように、各種プログラムを実行するＣＰＵ１１３、ハードディスク装置１１５に格納されたプログラムが読み出されＣＰＵ１１３での実行のために展開される主メモリ１１４、各種プログラムやデータ等が保存されたハードディスク装置１１５、ＦＤ４００をアクセスするＦＤドライブ１１６、ＣＤ−ＲＯＭ４０１が装填され、その装填されたＣＤ−ＲＯＭ４０１をアクセスするＣＤ−ＲＯＭドライブ１１７、外部のセンサ等から信号を入力する入力インタフェース１１８、演算結果を外部装置に出力する出力インタフエース１１９が内蔵されており、これらの各種要素と、さらに図１にも示す画像表示装置１２０、キーボード１３０、およびマウス１４０は、バス１５０を介して相互に接続されている。
【０２３０】
ＣＤ−ＲＯＭ４０１には、このコンピュータ１００を本発明のデータ補間装置やスペクトル内挿装置の一実施形態として動作させるためのプログラムが記憶されている。そのＣＤ−ＲＯＭ４０１はＣＤ−ＲＯＭドライブ１１７に装填され、そのＣＤ−ＲＯＭ４０１に記憶されたプログラムがこのコンピュータにアップロードされてハードディスク装置１１５に記憶される。そして、このプログラムが起動されて実行されることにより、コンピュータ１００は、本発明のデータ補間装置やスペクトル内挿装置の一実施形態として動作する。
【０２３１】
尚、上記では、プログラムを記憶する記憶媒体としてＣＤ−ＲＯＭ４０１が例示されているが、プログラムを記憶する記憶媒体はＣＤ−ＲＯＭに限られるものではなく、それ以外の光ディスク、ＭＯ、ＦＤ、磁気テープなどの記憶媒体であってもよい。
【０２３２】
図３は、データ補間プログラムが記憶されたＣＤ−ＲＯＭを示す概念図である。
【０２３３】
この図３に示すＣＤ−ＲＯＭ４０１には、取得部４１１と演算部４１２とからなるデータ補間プログラム４１０が格納されている。
【０２３４】
図１，図２に示すコンピュータ１００には、Ｊ次元の標本化データ群を外部から取り込まれ、取得部４１１は、そのコンピュータ１００に取り込まれて例えばハードディスク装置１１５に格納されていた標本化データ群をそのハードディスク装置から読み出させることによりその標本化データ群を取得させる役割りを担っているプログラム部品である。尚、この取得部４１１は、コンピュータ１００がＡ／Ｄ変換器を備え、そのコンピュータ１００にアナログ信号を入力させてＡ／Ｄ変換させることにより標本化データ群を生成させる処理を行なわさせるプログラム要素を含めて取得部とするものであってもよい。
【０２３５】
また、演算部４１２は、取得した標本化データ群に基づいて、Ｊ次元空間内の任意の点のデータｆｐ（ｔ１，…，ｔＪ）を、式
【０２３６】
【数１０１】
2008305045.tif 000103
【０２３７】
但し、（ｔ１，…，ｔＪ）はＪ次元空間内の任意の点
（ｔ１，０，…，ｔＪ，０）は、Ｊ次元空間内の任意の参照点
（Δｔ１，…，ΔｔＪ）は、標本間隔
（Ｎ１，…，ＮＪ）は、一周期（Ｔ１，…，ＴＪ）に渡る標本数
ｆｐ，ｎ１，…，ｎＪは、標本化データであって、
ｆｐ，ｎ１，…，ｎＪ＝ｆｐ（ｔ１，０＋ｎ１・Δｔ１，…，ｔＪ，０＋ｎＪ・ΔｔＪ）
である、および
ψ１（ｔ），…，ψＪ（ｔ）は内挿関数であって、
【０２３８】
【数１０２】
2008305045.tif 000104
【０２３９】
（ｊ＝１，…，Ｊ）
である、
に従って求めさせるプログラム部品である。
【０２４０】
図４は、本発明の一実施形態としてのデータ補間装置の機能構成図である。
【０２４１】
この図４に示すデータ補間装置４２０は、取得部４２１と演算部４２２とから構成されている。これら取得部４２１および演算部４２２は、それぞれ、図３に示すデータ補間プログラム４１０の各プログラム部品である取得部４１１および演算部４１２がコンピュータ１００内で実行されることにより実現する機能である。したがって図４の取得部４２１および演算部４２２は、プログラム部品である図３の取得部４１１および演算部４１２のそれぞれとコンピュータ１００のハードウェアとで構成されている。
【０２４２】
図５は、本発明の一実施形態としてのデータ補間方法のフローチャートである。
【０２４３】
この図５に示すデータ補間方法４３０は、取得ステップａ１と演算ステップａ２とから構成されている。これら取得ステップａ１および演算ステップａ２は、それぞれ、図３に示すデータ補間プログラム４１０の各プログラム部品である取得部４１１および演算部４１２がコンピュータ１００内で実行されることによりそのコンピュータ１００内で実施されるステップである。
【０２４４】
図６は、本発明の一実施形態としてのスペクトル内挿プログラムが記憶されたＣＤ−ＲＯＭを示す概念図である。
【０２４５】
この図６に示すＣＤ−ＲＯＭ４０１には、取得部５１１と演算部５１２とからなるスペクトル内挿プログラム５１０が格納されている。
【０２４６】
図１，図２に示すコンピュータ１００は、Ｊ次元の信号を外部から取り込んでＦＦＴ演算を行なって離散スペクトルを求めるＦＦＴアナライザの機能も搭載されており、取得部５１１は、そのコンピュータ１００に、Ｊ次元ＦＦＴ演算により得られて、例えばハードディスク装置１１５に格納されていた離散スペクトルを、そのハードディスク装置１１５から読み出させることによりその離散スペクトルを取得させる役割りを担っているプログラム部品である。尚、この取得部５１１は、コンピュータ１００にＦＦＴ演算を行なわさせるプログラム要素を含めて取得部とするものであってもよい。
【０２４７】
また、演算部５１２は、取得した離散スペクトルに基づいて、Ｊ次元周波数空間内の任意の点のスペクトル値
【０２４８】
【数１０３】
2008305045.tif 000105
【０２４９】
を、式
【０２５０】
【数１０４】
2008305045.tif 000106
【０２５１】
但し、（ω１，…，ωＪ）はＪ次元周波数空間内の任意の点
（ω１，０，…，ωＪ，０）はＪ次元周波数空間内の任意の参照点
（Δω１，…，ΔωＪ）は離散スペクトルの間隔
（Ｎ１，…，ＮＪ）は、一周期（ωＳ１，…，ωＳＪ）に渡る標本数
Ｆｐ，ｋ１，…，ｋＪは、離散スペクトルの値であって、
Ｆｐ，ｋ１，…，ｋＪ＝Ｆｐ（ω１，０＋ｋ１・Δω１，…，ωＪ，０＋ｋＪ・ΔωＪ）
である、および
Ψ１（ω），…，ΨＪ（ω）は内挿関数であって、
【０２５２】
【数１０５】
2008305045.tif 000107
【０２５３】
（ｊ＝１，…，Ｊ）
である、
に従って求めさせるプログラム部品である。
【０２５４】
図７は、本発明の一実施形態としてのスペクトル内挿装置の機能構成図である。
【０２５５】
この図７に示すスペクトル内挿装置５２０は、取得部５２１と演算部５２２とから構成されている。これら取得部５２１および演算部５２２は、それぞれ、図６に示すスペクトル内挿プログラム５１０の各プログラム部品である取得部５１１および演算部５１２がコンピュータ１００内で実行されることにより実現する機能である。したがって図７の取得部５２１および演算部５２２は、プログラム部品である図６の取得部５１１および演算部５１２のそれぞれとコンピュータ１００のハードウェアとで構成されている。
【０２５６】
図８は、本発明の一実施形態としてのスペクトル内挿方法のフローチャートである。
【０２５７】
この図８に示すスペクトル内挿方法５３０は、取得ステップｂ１と演算ステップｂ２とから構成されている。これら取得ステップｂ１および演算ステップｂ２は、それぞれ、図６に示すデータ補間プログラム５１０の各プログラム部品である取得部５１１および演算部５１２がコンピュータ１００内で実行されることによりそのコンピュータ１００内で実施されるステップである。
【図面の簡単な説明】
【０２５８】
【図１】コンピュータの外観斜視図である。
【図２】図１に外観を示すコンピュータのハードウェア構成図である。
【図３】データ補間プログラムが記憶されたＣＤ−ＲＯＭを示す概念図である。
【図４】本発明の一実施形態としてのデータ補間装置の機能構成図である。
【図５】本発明の一実施形態としてのデータ補間方法のフローチャートである。
【図６】本発明の一実施形態としてのスペクトル内挿プログラムが記憶されたＣＤ−ＲＯＭを示す概念図である。
【図７】本発明の一実施形態としてのスペクトル内挿装置の機能構成図である。
【図８】本発明の一実施形態としてのスペクトル内挿方法のフローチャートである。
【符号の説明】
【０２５９】
１００    コンピュータ
１１０    本体装置
１２０    画像表示装置
１３０    キーボード
１４０    マウス
４０１    ＣＤ−ＲＯＭ
４１０    データ補間プログラム
４１１，４２１，５１１，５２１    取得部
４１２，４２２，５１２，５２２    演算部
４２０    データ補間装置
５１０    スペクトル内挿プログラム
５２０    スペクトル内挿装置
【図１】
2008305045.tif 000123
【図２】
2008305045.tif 000124
【図３】
2008305045.tif 000125
【図４】
2008305045.tif 000126
【図５】
2008305045.tif 000127
【図６】
2008305045.tif 000128
【図７】
2008305045.tif 000129
【図８】
2008305045.tif 000130