(57)【要約】      （修正有）【課題】推定誤差の存在する場合におけるポートフォリオ評価および最適化法を提供する。【解決手段】複数の金融商品を含むポートフォリオを最適化する方法は、ポートフォリオに関する制約条件および最適性基準を選択するステップと、金融リスク要因に関する履歴情報を取得するステップと、一般楕円分布を手段としてポートフォリオのリスク要因をシミュレートするために適切なモデルを選択するステップとを含む。同様に、複数の金融商品を含むポートフォリオを評価する方法は、ポートフォリオの評価基準を選択するステップと、金融リスク要因に関する履歴情報を取得するステップと、一般楕円分布を手段としてポートフォリオのリスク要因をシミュレートするために適切なモデルを選択するステップとを含む。モデルの選択は履歴情報に基づく。【選択図】図１
2008047099.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
複数の金融商品を含むポートフォリオの最適化方法であって、
ａ）  ポートフォリオに関する制約条件と最適性基準を選択するステップと、
ｂ）  金融リスク要因に関する履歴情報を取得するステップと、
ｃ）  前記履歴情報に基づいて、ポートフォリオのリスク要因を楕円分布を手段としてシミュレートするために、適切なモデルを選択するステップと、
ｄ）  シミュレーションにより推定リスクと市場リスクの両方を考慮するステップと、
ｅ）  最適ポートフォリオ複合物に関する数的精度基準を選択するステップと、
ｆ）  モデルおよび観測値（場合により欠測値を含む）を所与として複数の母数および経路を引き出すことにより、リスク要因をシミュレートするステップと、
ｇ）  シミュレートした母数および経路を基に、選択された制約条件および最適性基準を所与として最適ポートフォリオウェイトを求めるステップと、
ｈ）  前記精度基準が満たされるまで、前記シミュレーションを実施し、最適ポートフォリオウェイトを求めるステップと、
を含む方法。
【請求項２】
複数の金融商品を含むポートフォリオの評価方法であって、
ａ）  所与のポートフォリオにウェイトを付けるステップと、
ａ’）  該ポートフォリオの評価基準を選択するステップと、
ｂ）  金融リスク要因に関する履歴情報を取得するステップと、
ｃ）  前記履歴情報に基づいて、ポートフォリオのリスク要因を楕円分布を手段としてシミュレートするために、適切なモデルを選択するステップと、
ｄ）  シミュレーションにより推定リスクと市場リスクの両方を考慮するステップと、
ｅ）  所与のポートフォリオ複合物に関する数的精度基準を選択するステップと、
ｆ）  モデルおよび観測値（場合により欠測値を含む）を所与として母数および経路を引き出すことにより、リスク要因をシミュレートするステップと、
ｇ）  シミュレートした母数および経路を基に、選択された評価基準により所与のポートフォリオを評価するステップと、
ｈ）  前記精度基準が満たされるまで、前記シミュレーションと評価アルゴリズムを実施するステップと、
を含む方法。
【請求項３】
前記金融商品のリスク要因（Ｘ）をシミュレートするための楕円分布が、少なくとも期待収益率ベクトル（μ）と、分散共分散行列（Σ）と、生成変量（Ｒ）と、確率ベクトル（Ｕ）とで表わされる、請求項１記載の方法。
【請求項４】
前記金融商品のリスク要因（Ｘ）をシミュレートするための楕円分布が、少なくとも期待収益率ベクトル（μ）と、分散共分散行列（Σ）と、生成変量（Ｒ）と、確率ベクトル（Ｕ）とで表わされる、請求項２記載の方法。
【請求項５】
前記欠測値を、多重代入および／またはデータ拡大の標準的技術によりシミュレートする、請求項１記載の方法。
【請求項６】
前記欠測値を、多重代入および／またはデータ拡大の標準的技術によりシミュレートする、請求項２記載の方法。
【請求項７】
欠測履歴情報および未知の将来値に関して前記データ拡大を実施する、請求項５記載の方法。
【請求項８】
欠測履歴情報および未知の将来値に関して前記データ拡大を実施する、請求項６記載の方法。
【請求項９】
前記データ拡大はギブスサンプラーに基づくものである、請求項５記載の方法。
【請求項１０】
前記データ拡大はギブスサンプラーに基づくものである、請求項６記載の方法。
【請求項１１】
期待収益率ベクトル（μ）の実現値および分散共分散行列（Σ）の実現値は、前記履歴情報と「演繹的」情報を基に得た事後分布である、請求項３記載の方法。
【請求項１２】
期待収益率ベクトル（μ）の実現値および分散共分散行列（Σ）の実現値は、前記履歴情報と「演繹的」情報を基に得た事後分布である、請求項４記載の方法。
【請求項１３】
前記演繹的情報は報知および／または非報知事前分布に基づくものである、請求項１１載の方法。
【請求項１４】
前記演繹的情報は報知および／または非報知事前分布に基づくものである、請求項１２載の方法。
【請求項１５】
前記ステップ（ｇ）における評価が信頼区間および仮説検定に基づくものである、請求項２載の方法。
【請求項１６】
前記事後収益率母数（μ）および事後分散共分散行列（Σ）が、期待収益率母数と分散共分散行列に関する推定量（
［外１］
2008047099.tif 000201
）を必要条件とするものである、請求項１１記載の方法。
【請求項１７】
前記事後収益率母数（μ）および事後分散共分散行列（Σ）が、期待収益率母数と分散共分散行列に関する推定量（
［外２］
2008047099.tif 000202
）を必要条件とするものである、請求項１２記載の方法。
【請求項１８】
前記期待収益率母数および分散共分散行列の推定量（
［外３］
2008047099.tif 000203
）はアフィン共変推定量である、請求項１６記載の方法。
【請求項１９】
前記期待収益率母数および分散共分散行列の推定量（
［外４］
2008047099.tif 000204
）はアフィン共変推定量である、請求項１７記載の方法。
【請求項２０】
前記期待収益率母数（μ）と分散共分散行列（Σ）との結合事後分布を近似する、請求項２記載の方法。
【請求項２１】
前記期待収益率母数（
［外５］
2008047099.tif 000205
）および分散共分散行列（
［外６］
2008047099.tif 000206
）の推定量が、単位超球上に一様に分布されたｄ次元確率ベクトルを含む行列（
［外７］
2008047099.tif 000207
：＝［Ｕ１．．．Ｕｎ）と、主対角線上の生成変量（Ｒ）を含む行列（
［外８］
2008047099.tif 000208
：＝ｄｉａｇ（Ｒ１，．．．，Ｒｎ））によりシミュレートされる、請求項１６記載の方法。
【請求項２２】
前記期待収益率母数（
［外９］
2008047099.tif 000209
）および分散共分散行列（
［外１０］
2008047099.tif 000210
）の推定量が、単位超球上に一様に分布されたｄ次元確率ベクトルを含む行列（
［外１１］
2008047099.tif 000211
：＝［Ｕ１．．．Ｕｎ］）と、主対角線上の生成変量（Ｒ）を含む行列（
［外１２］
2008047099.tif 000212
：＝ｄｉａｇ（Ｒ１，．．．，Ｒｎ））によりシミュレートされる、請求項１７記載の方法。
【請求項２３】
前記生成変量（Ｒ）および／または単位確率ベクトル（Ｕ）の母数が市場リスクを表す、請求項１記載の方法。
【請求項２４】
前記生成変量（Ｒ）および／または単位確率ベクトル（Ｕ）の母数が市場リスクを表す、請求項２記載の方法。
【請求項２５】
前記生成変量（Ｒ）の母数と分散共分散行列（Σ）を有する期待収益率母数（μ）とを独立してシミュレートすることができる、請求項１記載の方法。
【請求項２６】
前記生成変量（Ｒ）の母数と分散共分散行列（Σ）を有する期待収益率母数（μ）とを独立してシミュレートすることができる、請求項２記載の方法。
【請求項２７】
分散共分散行列（Σ）の事後分布が正則行列（Λ）とその転置行列（Λ′）との積である、請求項３記載の方法。
【請求項２８】
分散共分散行列（Σ）の事後分布が正則行列（Λ）とその転置行列（Λ′）との積である、請求項４記載の方法。
【請求項２９】
期待収益率および分散共分散行列の事後分布（μ，Σ）が、期待収益率と分散共分散行列（
［外１３］
2008047099.tif 000213
）の推定量に基づくものである、請求項１１記載の方法。
【請求項３０】
期待収益率および分散共分散行列の事後分布（μ，Σ）が、期待収益率と分散共分散行列（
［外１４］
2008047099.tif 000214
）の推定量に基づくものである、請求項１２記載の方法。
【請求項３１】
前記分散共分散行列（Σ）の事後分布のシミュレーションが、
（ｉ）  
［外１５］
2008047099.tif 000215
：＝［Ｕ１．．．Ｕｎ］が単位超球上に一様に分布されたｎ列ｄ次元確率ベクトルを含む行列であり、
［外１６］
2008047099.tif 000216
：＝ｄｉａｇ（Ｒ１，．．．，Ｒｎ）が主対角線上にｎ個の生成変量を含むとき、確立標本
［外１７］
2008047099.tif 000217
をシミュレートするステップと、
（ｉｉ）  分散共分散行列の推定量の逆数（
［外１８］
2008047099.tif 000218
）を計算するステップと、
（ｉｉｉ）  
［外１９］
2008047099.tif 000219
に対して左と右から乗算するステップと、
によって行われる、請求項１１記載の方法。
【請求項３２】
前記分散共分散行列（Σ）の事後分布のシミュレーションが、
（ｉ）  
［外２０］
2008047099.tif 000220
：＝［Ｕ１．．．Ｕｎ］が単位超球上に一様に分布されたｎ列ｄ次元確率ベクトルを含む行列であり、
［外２１］
2008047099.tif 000221
：＝ｄｉａｇ（Ｒ１，．．．，Ｒｎ）が主対角線上にｎ個の生成変量を含むとき、確立標本
［外２２］
2008047099.tif 000222
をシミュレートするステップと、
（ｉｉ）  分散共分散行列の推定量の逆数（
［外２３］
2008047099.tif 000223
）を計算するステップと、
（ｉｉｉ）  
［外２４］
2008047099.tif 000224
に対して左と右から乗算するステップと、
によって行われる、請求項１２記載の方法。
【請求項３３】
期待収益率（μ）の事後分布のシミュレーションを、分散共分散行列（Σ）の事後分布のシミュレーションの後で、前記シミュレート行列（Ｕ）と主対角線上の生成変量（Ｒ）と分散共分散行列（Σ）の事後分布の対称平方根を含む行列とに基づいて行う、請求項１１記載の方法。
【請求項３４】
期待収益率（μ）の事後分布のシミュレーションを、分散共分散行列（Σ）の事後分布のシミュレーションの後で、前記シミュレート行列（Ｕ）と主対角線上の生成変量（Ｒ）と分散共分散行列（Σ）の事後分布の対称平方根を含む行列とに基づいて行う、請求項１２記載の方法。
【請求項３５】
ベクトルＸによるリスク要因のシミュレーションが、
（ｉ）  分散共分散行列の事後分布（
［外２５］
2008047099.tif 000225
）の実現値をシミュレートするステップと、
（ｉｉ）  分散共分散行列の事後分布（
［外２６］
2008047099.tif 000226
）の実現値の対称根を考慮に入れることにより、収益率または位置の事後分布（
［外２７］
2008047099.tif 000227
）の実現値をシミュレートするステップと、
（ｉｉｉ）  生成変量（Ｒ）およびＵ(d)の新たな実現値をシミュレートしてベクトルＸの可能な実現値を求めるステップと、
（ｉｖ）  位置、分散共分散行列およびベクトルＸの推定値（
［外２８］
2008047099.tif 000228
）に基づいて、株価の対応する軌道または経路を計算するステップと、
（ｖ）  所定の精度基準を満たすシミュレート軌道の数が十分に大きくなるまで、前記ステップ（ｉ）から（ｉｖ）を反復するステップと、
によって行われる請求項３記載の方法。
【請求項３６】
ベクトルＸによるリスク要因のシミュレーションが、
（ｉ）  分散共分散行列の事後分布（
［外２９］
2008047099.tif 000229
）の実現値をシミュレートするステップと、
（ｉｉ）  分散共分散行列の事後分布（
［外３０］
2008047099.tif 000230
）の実現値の対称根を考慮に入れることにより、収益率または位置の事後分布（
［外３１］
2008047099.tif 000231
）の実現値をシミュレートするステップと、
（ｉｉｉ）  生成変量（Ｒ）およびＵ(d)の新しい実現値をシミュレートしてベクトルＸの可能な実現値を求めるステップと、
（ｉｖ）  位置、分散共分散行列およびベクトルＸの推定値（
［外３２］
2008047099.tif 000232
）に基づいて、株価の対応する軌道または経路を計算するステップと、
（ｖ）  所定の精度基準を満たすシミュレート軌道の数が十分に大きくなるまで、前記ステップ（ｉ）から（ｉｖ）を反復するステップと、
によって行われる請求項４記載の方法。
【請求項３７】
前記最適化基準が、期待効用関数の最適化と、想定最大損失額（ＶａＲ）、投資収益率（ＲｏＩ）、シャープ比等の実績およびリスク尺度と、多目的決定基準とから成る群の少なくとも一つである、請求項１記載の方法。
【請求項３８】
前記最適化基準が、期待効用関数の最適化と、想定最大損失額（ＶａＲ）、投資収益率（ＲｏＩ）、シャープ比等の実績およびリスク尺度と、多目的決定基準とから成る群の少なくとも一つである、請求項２記載の方法。
【請求項３９】
請求項１記載の方法を実行するためのコンピュータシステム。
【請求項４０】
請求項２記載の方法を実行するためのコンピュータシステム。
【請求項４１】
請求項１記載の方法を遂行するコンピュータプログラムを記録した記憶媒体。
【請求項４２】
請求項２記載の方法を遂行するコンピュータプログラムを記録した記憶媒体。
【請求項４３】
複数の金融商品を含むポートフォリオの最適化方法であって、
ａ）  該ポートフォリオに関する制約条件および最適性基準を選択するステップと、
ｂ）  金融リスク要因に関する履歴情報を取得するステップと、
ｃ）前記履歴情報に基づいて、ポートフォリオのリスク要因を楕円分布を手段としてシミュレートするために、適切なモデルを選択し、前記楕円分布の生成変量（Ｒ）の母数を特定するステップと、
ｄ）  シミュレーションにより推定リスクと市場リスクの両方を考慮するステップと、
ｅ）  最適ポートフォリオ複合物に関する数的精度基準を選択するステップと、
ｆ）  平均ベクトル（μ）と共分散行列（Σ）に関するアフィン共変推定量を求めるステップと、
ｇ）  生成変量（Ｒ）により予想経路をシミュレートすると共にリスク要因をシミュレートするステップと、
ｈ）  共変性を利用してシミュレート標本誤差から真の共分散行列と真の平均ベクトルの可能な実現値を生成するステップと、
ｉ）  前記ステップ（ｇ）で得た平均および共分散母数を用いて種々のポートフォリオ展開の可能経路を計算するステップと、
ｊ）  観測値とモデルを条件としてモデルの母集団から母数と経路を引き出すことにより、ポートフォリオ結果をシミュレートするステップと、
ｋ）  シミュレートした母数および経路に基づいて、選択された制約条件と最適性基準を所与として最適ポートフォリオウェイトを求めるステップと、
ｌ）  選択された数的精度基準が満たされるまで、上記リサンプリングと最適化アルゴリズムを反復するステップと、
を含む方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、推定誤差が存在する場合のポートフォリオ評価および最適化に係る。本発明の方法は特に、長期投資展望も含めてのロバストポートフォリオ評価および最適化を提供する。
【背景技術】
【０００２】
資産管理担当者は、例えば収益率の分散等によって決まる一定レベルのリスクに対する総投資収益率の最大化を図る。現代ポートフォリオ理論（ＭＰＴ）は、投資家がどの様に分散投資を利用してポートフォリオを最適化するのかを提案する。非関連の資産または証券類を保有することでポートフォリオのリスクを低減することができる、すなわち、個々の証券の収益率の相関関係を小さく、あるいは負にする。ＭＰＴでは、ある資産の収益率をランダム変数としてモデリングし、ポートフォリオを資産の加重組合せとしてモデリングするため、ポートフォリオの収益率はランダム変数でもあり、従って期待値と分散を有する。このモデルにおけるリスクは、一般的にはポートフォリオ収益率の標準偏差、すなわち分散の平方根と同一と見做される。一般に、投資家が期待収益率の同じいくつかのポートフォリオから選択する場合、一定の期待収益率に対してリスクが最小となるポートフォリオを好むものである。ＭＰＴは、投資家はリスクを嫌うということを前提とする。これは、同じ収益率を提供する２つの資産またはポートフォリオが与えられたとするなら、投資家はリスクの少ない方を選ぶということである。したがって、投資家が大きなリスクを取るのは、期待収益率がより高い場合に限られる。逆に言うと、より高い収益率を求める投資家は、高いリスクを許容しなければならない。許容し得るリスクの値は投資家によって異なる。
【０００３】
ポートフォリオの期待収益率（または期待値）は、離散的に又は連続的に計算できる。ＰＴを期間Ｔの終点におけるポートフォリオの価格、Ｐ０を期間の始点における価格とするとき、期間０からＴまでのポートフォリオＰの離散的収益率Ｒは、下記の式（１）によって与えられる。
【数１】
2008047099.tif 000003
【０００４】
また、ベクトル
［外３３］
2008047099.tif 000004
は個々の資産収益率から成る。ここで、プライム符号（′）が転置を示しているため、
［外３４］
2008047099.tif 000005
は個別資産の収益率の加重和であり、期間［ｔ，ｔ＋１］後のポートフォリオ収益率に相当する。
【０００５】
これに対し、ポートフォリオの連続的収益率、すなわち「対数収益率」は次式（２）によって計算することができる。
【数２】
2008047099.tif 000006
【０００６】
ｄ個の資産を含むポートフォリオの各原資産に関する個別対数収益率は、次式（３）で表すことができる。
【数３】
2008047099.tif 000007
【０００７】
逆に、株価は、既知の収益率によって、次式（４）で計算することができる。
【数４】
2008047099.tif 000008
【０００８】
また、対数収益率は下記の有利な特長を含む。
【数５】
2008047099.tif 000009
【０００９】
一般的に投資マネジャーは、離散的収益率の点から考える。ＭＰＴは、離散的収益率は正規分布するというモデル仮説に基づいているが、長期の投資展望に関してはその歪みまたは非対称分布や負のポートフォリオ値による問題をはらんでいる。正規分布収益率のモデル仮説に関しては、対数収益率の方が問題は少ない。式（５）に関して、ある株式の対数収益率は、独立した一様分布の増分の和としてモデル化ができる。しかしながら、対数収益率は、式（１）の個別収益率とポートフォリオ収益率との間の線形関係という利点を提供しない。
【００１０】
標準的なポートフォリオ理論では、投資家のリスクまたは報酬の選好は、期待収益率、すなわち平均収益率（μ）と、変動率またはリスク、すなわち標準偏差（σ）にのみ依存する関数を介して説明できると考えられている。公知の先行技術のモデルは、平均収益率（μ）と（σ）が既知であることを前提とする。また、公知の先行技術のモデルによると、収益率は正規分布となることを前提とする。正規分布はその平均と分散とによって完全に特徴づけられるため、この前提では、投資家は分布の歪みといった他の特性には無関心であるということになる。
【００１１】
資産収益率は伝統的に、正規分布仮定に基づく方法によってモデル化されてきた。しかしながら、資産収益率は一般に独立しておらず、ガウシアン分布に従わない。収益率の絶対値は、長期に亘り、かつゆっくり低下する自己相関を示すことが多く、収益率分布はガウシアン分布に比べてピークが鋭く、テールが厚くなる。これらは、経験的ファイナンスの定型化された事実として周知である。定型化された事実は、日収益率の分布などの短期分布において特に顕著である。これらの事実にも拘らず、分布の形状は期間が長くなると共に正規分布に近づいて行く。したがって、四半期収益率などの長期の対数収益率はほぼ正規分布となる。
【００１２】
ＭＰＴによると、あらゆる資産の組合せはリスク−収益率空間にプロットすることができ、そのような可能なポートフォリオの集合がこの空間に領域を規定する。この領域の上縁部に沿う線が、平均分散（ＭＶ）の有効フロンティアとして知られている。この線に沿う組合せが、一定レベルの期待収益率に対してリスクが最小であるポートフォリオを表す。逆に、一定量のリスクに関しては、有効フロンティア上に位置するポートフォリオが、可能性ある最良の期待収益率となる組合せを表す。しかしながら、マーコウィッツのモデルでは、入力値が確実に分かっている、すなわち正確な平均値（μ）、分散または標準偏差（σ）、共分散（Σ）が既知であると想定されている。
【００１３】
長期収益率に関しても、すなわち収益率がほぼ正規分布である場合でも、収益率（μ）に関する推定量には疑問が残る。ほぼ正規分布の収益率の場合、共分散（Σ）の推定についてはどちらかと言えば良好である（二次項により）が、非正規分布の場合はやはり不良な推定値となる。従って、従来の最適化は、大きい推定収益率、小さな分散、および負の相関と関連して統計的推定誤差が大きい資産を重視しすぎる傾向があり、事後的実績が悪くなることが多い。従って、より現実的なポートフォリオ最適化方法のためには、推定誤差を考慮に入れることが必須である。日収益率に関する定型化された事実があるため、正規分布は適当でない。日収益率が正規分布でないため、共分散行列の推定も問題がある。
【００１４】
非特許文献１に、現代的なベイズのポートフォリオ最適化方法に関する記載がある。この論文に示されている方法もまた、正規分布仮定に基づくものである。対照的に、非特許文献２はベイズの決定理論的枠組みに基くもので、マーコウィッツ的な方法の持つ２つの主な欠点、つまりより高い積率の処理能力と、入力母数、即ち推定誤差、の不確実性に対応するものである。非特許文献２のモデルは、非対称正規分布を考慮することで非対称性を許容し、ポートフォリオの選択においてより高次の積率を組み込むことを提案している。平均分散効用関数は、付加的な非対称項によって拡張される。しかしながら、このような非対称正規分布では、指数法則分布のテールを見込んでおらず、効用関数に対する非対称性の寄与度は、この枠組みの中ではどちらかと言うと任意のものになっている。前記の方法で想定最大損失額（ＶａＲ）のような代替的リスク尺度を使用するのは困難であり、前記論文で述べられている効果が最も大きいのは日収益率に対してであって、月間、四半期と言った長期の投資展望に対しては重要性が失われる。
【００１５】
特許文献１においては、複数の資産を有する既存または想定ポートフォリオの評価方法が提案されている。古典的なマーコウィッツの枠組み理論におけるのと同様に、平均分散有効ポートフォリオを計算する。入力母数の誤りに対処するため、このポートフォリオの計算は、期待収益率および期待標準収益率偏差を中心として統計学的に分布した入力データの複数のシミュレーションに関して行われ、そのような各ポートフォリオを指数により平均分散有効フロンティア上の特定ポートフォリオと関連付ける。指数で関連付けられた平均分散有効ポートフォリオの統計的平均値を用いて、特定のリスク目標との整合性に関してポートフォリオの評価が行われる。リサンプリングを目的とする場合、前記特許文献１では、いくつかの所定の期待収益率および標準偏差と統計的に整合する分布関数から考えられる異なるポートフォリオ展開の経路を引き出している。しかしながら、「統計的に整合する」という用語の意味が明確に述べられていない。実際には、リサンプリング手順は、標本平均ベクトルおよび標本共分散行列を母数として選択した多変量正規分布に基づいて行うのが普通である。また、ポートフォリオのウェイトが一定の平均分散最適ポートフォリオの平均ウェイトを求めることにより最適化されているため、その方法は非現実的なポートフォリオをもたらす、すなわち最適化の結果、ポートフォリオの外的制約条件の一つを満足しないウェイトとなる恐れがある。収益率μとリスクσとは入力母数に過ぎない。
【００１６】
特許文献１の方法と本発明の相違点に関する理解を深めるため、より数学的観点からポートフォリオ評価と最適化について説明する。
【００１７】
ｋ次元ベクトルΘは任意の母数ベクトルを示す。例えば、Ｘが平均値μと共分散行列Σ，Ｘ〜Ｎｄ（μ，Σ）を有するｄ次元の正規分布確率ベクトルとすると、ΘはμとΣの（積重ね）要素のベクトルとなる。ベクトル
［外３５］
2008047099.tif 000010
は、例えば標本平均ベクトルと標本共分散行列の（未実現）要素のようなΘの任意の推定量（推定値ではない）を記号で表すものである。
【００１８】
本発明はベイズの枠組みに拠るものであるため、Θと
［外３６］
2008047099.tif 000011
の両方を確率ベクトルと解することができる。これに対し、符号θと
［外３７］
2008047099.tif 000012
はΘと
［外３８］
2008047099.tif 000013
の実現値を示す（ｘとｙがある確率変数ＸとＹの実現値であるように）。量‘Ｘ｜Ｙ＝ｙ’は、Ｙ＝ｙの条件下でＸのように分布される確率ベクトルを表す。これを短縮してＸ｜ｙと記すことにする。
【００１９】
表記の都合上、確率ベクトルＸの分布をｐ（ｘ）で示す。また、条件付確率ベクトルＸ｜Ｙ＝ｙの分布をｐ（ｘ｜ｙ）で示す。従ってベイズの法則は次式（６）で簡単に表すことができる。
【数６】
2008047099.tif 000014
【００２０】
ｄ次元確率ベクトルＸをｎ回観測した標本はｄ×ｎ行列
［外３９］
2008047099.tif 000015
によって示される。なお、各標本
［外４０］
2008047099.tif 000016
は
［外４１］
2008047099.tif 000017
の実現値を一意的に決定するものであるが、一般にその逆は当てはまらない。
【００２１】
特許文献１の方法によると、最適な加重関数が求まる。ここで、
［外４２］
2008047099.tif 000018
が「最適加重関数」であると仮定する。これは、真の母数θを所与とすると、（ある効用関数により、またおそらくは追加的な制約条件を考慮に入れることにより）ｗ（θ）が最適ポートフォリオウェイトのベクトルであることを意味する。さらに、
［外４３］
2008047099.tif 000019
がΘの不偏推定量であると仮定する。すなわち推定値は次式（７）となる。
【数７】
2008047099.tif 000020
【００２２】
よって、
【数８】
2008047099.tif 000021
【００２３】
さらに、ｗがアフィン関数であると仮定する。すると、次式（９）が成り立つ。
【数９】
2008047099.tif 000022
【００２４】
この仮定の結果は、以下の例により示される。次式
【数１０】
2008047099.tif 000023
が最適な株式ウェイトｗ１，．．．，ｗｄのベクトルと仮定する（これに対し、債権ウェイトは
［外４４］
2008047099.tif 000024
で求められる）。このとき、γ＞０がリスク回避母数を示し、ｒを安全金利、１を１のｄ次元ベクトル、Σを収益率の共分散行列とすると、Δμ：＝μ−ｒ１は期待超過収益率である。Σが既知であると仮定すると、ｗはμのアフィン関数である。
【００２５】
最適ウェイトベクトルを計算する際、
［外４５］
2008047099.tif 000025
の近似値を求めるために
［外４６］
2008047099.tif 000026
の分布（式（７）および（８）参照）をシミュレートしようとするであろう。もちろん、真の母数θが未知であるため、これを正確に行うことはできない。この時点で特許文献１の提案の出番となる。すなわち、確率ベクトル
［外４７］
2008047099.tif 000027
は、確率ベクトル
［外４８］
2008047099.tif 000028
に近似される。つまり、（特許文献１）では、母数
［外４９］
2008047099.tif 000029
を有する母集団から単に標本を取り出すことで、Θの可能推定値
［外５０］
2008047099.tif 000030
のリサンプリングを行うのである。実際には、この方法によると、次式（１１）によって最適ウェイト関数が求められる。
【数１１】
2008047099.tif 000031
【００２６】
後者の式は推定値
［外５１］
2008047099.tif 000032
によって与えられる最適ウェイトベクトルに過ぎない。従って、上述の仮定の場合、すなわちｗがアフィン関数である場合、リサンプリング技術は必要ない。ｗがアフィン関数でない場合に限って
［外５２］
2008047099.tif 000033
となり、リサンプリングの結果は
［外５３］
2008047099.tif 000034
以外となる。
【００２７】
先の例から、Σが未知であると仮定した場合、もはやｗがアフィン関数でないことは明らかである。従って、推定誤差を考慮すると、
［外５４］
2008047099.tif 000035
がポートフォリオ最適化問題の最適解であるかどうか疑問である。たまたま
2008047099.tif 000036
と仮定した場合でも（実際には、この等式が満足される可能性はゼロに相当する）、ウェイトは非アフィン関数であるが故に基本的に最適とはなり得ない。
【数１２】
2008047099.tif 000037
【００２８】
もちろん、実際の状況において
［外５６］
2008047099.tif 000038
は常にθと相違する。ベクトル
［外５７］
2008047099.tif 000039
がポートフォリオ最適化問題の最適解となるようなある推定値
［外５８］
2008047099.tif 000040
が存在するのかもしれないが、そのウェイトは一般に準最適か、あるいはたまたま最適になっているに過ぎないと予測され、この解の品質を定量化することはできない。要するに、特許文献１の方法は、非アフィンウェイト関数に関して十分な解を提供するものに過ぎない。しかしながら、最適ウェイト関数が非アフィン関数の場合、特許文献１で提案されているウェイトは概ね準最適である。
【００２９】
このように、
［外５９］
2008047099.tif 000041
をシミュレートすることにより母数が不確実になるため、特許文献１による不確実性の推定は概算または推量に過ぎない。母数しかしながら、
［外６０］
2008047099.tif 000042
（特許文献１の場合）は通常
［外６１］
2008047099.tif 000043
のように分布しないので、
［外６２］
2008047099.tif 000044
のシミュレーションは、より現実的で、それゆえ望ましいと思われる。この課題は本発明の方法によって解決されるものである。
【００３０】
要約すると、推定誤差を考慮する必要がある場合、既知のポートフォリオ最適化法には下記のような欠点がある。
【００３１】
単純な（離散的）収益の収益率は正規分布しないが、より厚いあるいはヘビーとさえ言えるテールを含む。個々の資産の離散的収益率の非対称分布を鑑みると、平均と分散は、ポートフォリオの管理目的には不十分である。
【００３２】
平均推定誤差は、正規分布収益率に関しても、正規分布対数収益率に関しても既に問題となっている。ヘビーテール分布についてもまた、実際面でしばしば見られるように、共分散行列推定値が問題となっている。
【００３３】
歴史的シミュレーションやバックテストの使用も、特に長期の投資展望については限界がある。これは十分に長期に亘っての観測結果が無いこと、特にバックテストの場合は「標本での」バックテストが許容されないためである。
【００３４】
また、期待収益率や分散などの従来の収益率およびリスクの尺度は、動的なポートフォリオ最適化には不適当である。
【００３５】
従来の収益率およびリスクの尺度は、発生する収益率分布が一般的に非対称であるため、長期の投資展望および非線形金融商品に適さない。
【００３６】
さらに、連続収益率（対数収益率）でさえ、正規分布ではないが、短期投資期間に関してはヘビーテールとなる。
【００３７】
本発明の目的は、推定誤差の存在を考慮に入れたロバストポートフォリオ評価及びポートフォリオ最適化法を提供することにある。さらに、動的ポートフォリオ戦略を用いる長期投資展望および／または非線形金融商品のためのポートフォリオ評価およびポートフォリオ最適化法を提供することを目的とする。さらに本発明の目的は、一般楕円分布の広いクラスを使用することによって、収益率分布に関する誤った仮定により生じうる設計の誤りを回避することにある。
【００３８】
本発明の目的は、特許請求の範囲に記載の特徴によって達成される。
【００３９】
【特許文献１】米国特許第６，００３，０１８号、Michaud et al.
【非特許文献１】Memmel, C., ‘Schatzrisiken in der Portfoliotheorie’, Ph.D. thesis, University of Cologne, 2004
【非特許文献２】Harvey, C.R. et al. (2004) ‘Portfolio selection with higher moments’, Duke University
【非特許文献３】G. Frahm (2004)博士論文、‘Generalized elliptical distributions: theory and applications’, University of Cologne
【発明の開示】
【００４０】
本発明の第１の態様によると、一実施例として複数の金融商品を含むポートフォリオの最適化方法が提供され、この方法は、ａ）ポートフォリオに関する制約条件と最適性基準を選択するステップと、ｂ）金融リスク要因に関する履歴情報を取得するステップと、ｃ）前記履歴情報に基づいて、ポートフォリオのリスク要因を楕円分布を手段としてシミュレートするために、適切なモデルを選択するステップと、ｄ）シミュレーションにより推定リスクと市場リスクの両方を考慮するステップと、ｅ）最適ポートフォリオ複合物に関する数的精度基準を選択するステップと、ｆ）モデルおよび観測値（場合により欠測値を含む）を所与として複数の母数および経路を引き出すことにより、リスク要因をシミュレートするステップと、ｇ）シミュレートした母数および経路を基に、選択された制約条件および最適性基準を所与として最適ポートフォリオウェイトを求めるステップと、ｈ）前記精度基準が満たされるまで、前記シミュレーションを実施し、最適ポートフォリオウェイトを求めるステップとを含む方法である。
【００４１】
本発明の別の態様によると、一実施例として複数の金融商品を含むポートフォリオの評価方法が提供され、この方法は、ａ）所与のポートフォリオにウェイトを付けるステップと、ａ’）該ポートフォリオの評価基準を選択するステップと、ｂ）金融リスク要因に関する履歴情報を取得するステップと、ｃ）前記履歴情報に基づいて、ポートフォリオのリスク要因を楕円分布を手段としてシミュレートするために、適切なモデルを選択するステップと、ｄ）シミュレーションにより推定リスクと市場リスクの両方を考慮するステップと、ｅ）所与のポートフォリオ複合物に関する数的精度基準を選択するステップと、ｆ）モデルおよび観測値（場合により欠測値を含む）を所与として母数および経路を引き出すことにより、リスク要因をシミュレートするステップと、ｇ）シミュレートした母数および経路を基に、選択された評価基準により所与のポートフォリオを評価するステップと、ｈ）前記精度基準が満たされるまで、前記シミュレーションと評価アルゴリズムを実施するステップとを含む方法である。
【００４２】
一実施例によると、前記金融商品のリスク要因（Ｘ）をシミュレートするための楕円分布が、少なくとも期待収益率ベクトル（μ）と、分散共分散行列（Σ）と、生成変量（Ｒ）と、確率ベクトル（Ｕ）とで表わされる。
【００４３】
別の実施例によると、前記欠測値が、多重代入および／またはデータ拡大の標準的技術によりシミュレートされる。
【００４４】
別の実施例によると、欠測履歴情報および未知の将来値に関して前記データ拡大が実施される。
【００４５】
別の実施例によると、前記データ拡大はギブスサンプラーに基づくものである。
【００４６】
別の実施例によると、期待収益率ベクトル（μ）の実現値および分散共分散行列（Σ）の実現値は、前記履歴情報と「演繹的」情報を基に得た事後分布である。
【００４７】
さらに別の実施例によると、演繹的情報は報知および／または非報知事前分布に基づくものである。
【００４８】
別の実施例によると、ステップ（ｇ）における評価は信頼区間および仮説検定に基づくものである。
【００４９】
別の実施例によると、事後収益率母数（μ）および事後分散共分散行列（Σ）は、期待収益率母数と分散共分散行列に関する推定量（
［外６３］
2008047099.tif 000045
）を必要条件とする。
【００５０】
さらに別の実施例によると、期待収益率母数と分散共分散行列との推定量（
［外６４］
2008047099.tif 000046
）はアフィン共変推定量である。
【００５１】
別の実施例によると、前記期待収益率母数（μ）と分散共分散行列（Σ）との結合事後分布が近似される。
【００５２】
別の実施例によると、期待収益率母数（
［外６５］
2008047099.tif 000047
）および分散共分散行列（
［外６６］
2008047099.tif 000048
）の推定量が、単位超球上に一様に分布されたｄ次元確率ベクトルを含む行列（
［外６７］
2008047099.tif 000049
：＝［Ｕ１．．．Ｕｎ］））と、主対角線上の生成変量（Ｒ）を含む行列（
［外６８］
2008047099.tif 000050
：＝ｄｉａｇ（Ｒ１，．．．，Ｒｎ））によりシミュレートされる。
【００５３】
別の実施例によると、生成変量（Ｒ）の母数および／または単位確率ベクトル（Ｕ）母数が市場リスクを表す。
【００５４】
別の実施例によると、生成変量（Ｒ）の母数と分散共分散行列（Σ）を有する期待収益率母数（μ）とを独立してシミュレートすることができる。
【００５５】
別の実施例によると、分散共分散行列（Σ）の事後分布は正則行列（Λ）とその転置行列（Λ′）との積である。
【００５６】
別の実施例によると、期待収益率および分散共分散行列の事後分布（μ，Σ）は、期待収益率と分散共分散行列（
［外６９］
2008047099.tif 000051
）の推定量に基づくものである。
【００５７】
別の実施例によると、前記分散共分散行列（Σ）の事後分布のシミュレーションは、（ｉ）
［外７０］
2008047099.tif 000052
：＝［Ｕ１．．．Ｕｎ］が単位超球上に一様に分布されたｎ列ｄ次元確率ベクトルを含む行列であり、
［外７１］
2008047099.tif 000053
：＝ｄｉａｇ（Ｒ１，．．．，Ｒｎ）が主対角線上にｎ個の生成変量を含むとき、確率標本
［外７２］
2008047099.tif 000054
をシミュレートするステップと、（ｉｉ）分散共分散行列の推定量の逆数（
［外７３］
2008047099.tif 000055
）を計算するステップと、（ｉｉｉ）
［外７４］
2008047099.tif 000056
に対して左と右から乗算するステップとによって行われる。
【００５８】
別の実施例によると、期待収益率（μ）の事後分布のシミュレーションは、分散共分散行列（Σ）の事後分布のシミュレーションの後で、前記シミュレート行列（Ｕ）と主対角線上の生成変量（Ｒ）と分散共分散行列（Σ）の事後分布の対称平方根を含む行列とに基づいて行われる。
【００５９】
別の実施例によると、ベクトルＸによるリスク要因のシミュレーションは、（ｉ）分散共分散行列の事後分布（
［外７５］
2008047099.tif 000057
）の実現値をシミュレートするステップと、（ｉｉ）分散共分散行列の事後分布（
［外７６］
2008047099.tif 000058
）の実現値の対称根を考慮に入れることにより、収益率または位置の事後分布（
［外７７］
2008047099.tif 000059
）の実現値をシミュレートするステップと、（ｉｉｉ）生成変量（Ｒ）およびＵ（ｄ）の新たな実現値をシミュレートしてベクトルＸの可能な実現値を求めるステップと、（ｉｖ）位置、分散共分散行列およびベクトルＸの推定値（
［外７８］
2008047099.tif 000060
）に基づいて、株価の対応する軌道または経路を計算するステップと、（ｖ）所定の精度基準を満たすシミュレート軌道の数が十分に大きくなるまで、前記ステップ（ｉ）から（ｉｖ）を反復するステップとによって行われる。
【００６０】
別の実施例によると、前記最適化基準は、期待効用関数の最適化と、想定最大損失額（ＶａＲ）、投資収益率（ＲｏＩ）、シャープ比等の実績およびリスク尺度と、多目的決定基準とから成る群の少なくとも一つである。
【００６１】
本発明の別の実施例によると、上記方法の各ステップを実行するように構成されたコンピュータシステムが提供される。
【００６２】
本発明のさらに別の実施例によると、複数の金融商品を含むポートフォリオの最適化方法は、ａ）該ポートフォリオに関する制約条件および最適性基準を選択するステップと、ｂ）金融リスク要因に関する履歴情報を取得するステップと、ｃ）前記履歴情報に基づいて、ポートフォリオのリスク要因を楕円分布を手段としてシミュレートするために、適切なモデルを選択し、前記楕円分布の生成変量（Ｒ）の母数を特定するステップと、ｄ）シミュレーションにより推定リスクと市場リスクの両方を考慮するステップと、ｅ）最適ポートフォリオ複合物体に関する数的精度基準を選択するステップと、ｆ）平均ベクトル（μ）と共分散行列（Σ）に関するアフィン共変推定量を求めるステップと、ｇ）生成変量（Ｒ）により可能経路をシミュレートすると共にリスク要因をシミュレートするステップと、ｈ）共変性を利用してシミュレート標本誤差から真の共分散行列と真の平均ベクトルの可能な実現値を生成するステップと、ｉ）前記ステップ（ｇ）で得た平均および共分散母数を用いて種々のポートフォリオ展開の可能経路を計算するステップと、ｊ）観測値とモデルを条件としてモデルの母集団から母数と経路を引き出すことにより、ポートフォリオ結果をシミュレートするステップと、ｋ）シミュレートした母数および経路に基づいて、選択された制約条件と最適性基準とを所与として最適ポートフォリオウェイトを求めるステップと、ｌ）選択された数的精度基準が満たされるまで、上記リサンプリングと最適化アルゴリズムを反復するステップとを含む。
【００６３】
本発明は、過去のデータと、リサンプリング技術を用いた最適ポートフォリオの探査によって得られる推定値に基づくものである。以下の記載において、用語「リサンプリング」は、モンテカルロ（ＭＣ）・シミュレーションによりリスク要因の確率過程を生成するための様々な方法を説明するために使用される。特に、本発明のリサンプリング方法は、下記４種類のリスク源を区別する。
【００６４】
（ｉ）  市場リスク、すなわち資産の好ましくない展開のリスク
（ｉｉ）  モデルリスク、すなわち誤ったモデルを用いるリスク
（ｉｉｉ）  推定リスク、すなわちモデル母数の推定値がそれらの真の値と異なるリスク
（ｉｖ）  数的リスク、すなわちモデル母数の真の分布の不十分な近似や、最適ポートフォリオに関する準最適解を使用するリスク
【００６５】
普通、多変量対数収益率は正規分布しないので、本発明の方法は一般多変量楕円分布を用いて対数収益率を母数化する。楕円分布のクラスは多変量正規（または「ガウシアン」）分布関数を自然一般化したものであることに気づかなければならない。一般楕円分布は、対称楕円分布と非対称楕円分布との一般化したものであって、金融収益率分布において見られる非対象性を正しく反映する。一般多変量楕円分布のクラスは、ヘビーテールや非対称性などのような、実証ファイナンスの定型化された事実と一致する分布から成る。正規分布関数の他、多くの周知かつ広く使用されている多変量分布関数、例えば、ｔ分布、一般対称双曲線分布、サブガウシアンα安定分布などもまた、楕円分布である。一般楕円分布の広いクラスは、非特許文献３に述べられており、その内容は本明細書に組み入れられる。
【００６６】
換言すると、本発明の方法は、従来のガウシアン分布の仮定に比べてより現実的な分布をモデル化することができる。
【００６７】
以下の説明において、本発明は株式に基づくポートフォリオに限定されない。本発明によるポートフォリオを構成するために、
債券、オプション等の金融派生商品、証券、商品、指数、通貨等の取引可能資産など、如何なるポートフォリオ成分も許される。
【００６８】
本発明では、ポートフォリオの展開に影響するリスク要因の分布に関し、経験的データと一致しやすく、場合によっては主観的な考慮によって裏付けられる代替モデルを指定することができる。従って、最適ポートフォリオとは、所与のモデルに対して期待される最大の利益を予測するポートフォリオである。モデルリスクはモデルの多様化により評価することができる。即ち、特定の組のモデルに関して、対応する最適ポートフォリオの比較が行われる。最適ポートフォリオの偏差が大きい場合、モデルリスクも大きくなり、その逆も同様である。
【００６９】
所与のポートフォリオ（これはポートフォリオ評価を目的とするものである）に関して、モデル母数に関する信頼区間、ポートフォリオ収益率、及びその他の数量を導き出すことができる。さらに、ポートフォリオの想定最大損失額（ＶａＲ）が臨界閾値を超える、期待されるポートフォリオ収益率が安全金利より小さい、期待効用率が所与の臨界値以下である、と言った、ある種の臨界的な帰無仮説に関して仮説検定を行うことができる。
【００７０】
本発明によると、リスク要因は一般楕円分布となると仮定される。本発明の最適化ポートフォリオは、見込まれるポートフォリオ収益率の全分布に亘って目標関数を最適化することによって得られる。全分布は市場／革新リスク（ｉ）だけでなく、推定リスク（ｉｉｉ）をも含んでいるので、目標関数は、従来の方法で通常行われるように、期待収益率と分散について定式化されるとは限らない。換言すると、本発明によれば、市場リスク（ｉ）と推定リスク（ｉｉｉ）は、以下に詳述するように、組み合わせて考察される。
【００７１】
本発明によると、推定リスク（ｉｉｉ）は、位置と分散に関するアフィン共変推定量を用いることにより、効果的にシミュレーションされる。ヘビーテールの発生といった実証ファイナンスの定型化された事実は、リスク要因に関して適切なモデル（ｉｉ）を選択することによって配慮される。
【００７２】
本発明の利点の一つは、推定誤差の現実的な考慮である。上に述べたように、本発明では
［外７９］
2008047099.tif 000061
ではなく
［外８０］
2008047099.tif 000062
のシミュレーションが提供される。
【００７３】
推定誤差、すなわち同義的に母数の不確実性を考慮に入れるためには、観測データｘの下でのΘ（現実）の分布，すなわちｐ（θ｜ｘ）が望ましい。これをΘの「事後分布」という。ベイズの方法では、対象となる未知量θに関する知識を事前確率分布ｐ（θ）によって表し、これを尤度関数ｐ（ｘ｜θ）により経験的観測値ｘと組み合わせる。ベイズの法則は、既に式（６）で述べたように、結果的に「事後分布」となる。
【数１３】
2008047099.tif 000063
【００７４】
Θの分布、すなわちｐ（θ）は一般に事前分布または「演繹的」分布と呼ばれる。先験的情報が皆無である場合、一連の許容値θに関してｐ（θ）は一定であり、その結果次式が得られる。
【数１４】
2008047099.tif 000064
【００７５】
ｐ（ｘ）（「証拠」と呼ばれる）も、所与の観測値ｘに対して（正の）定数であることに気づかなければならない。従って、次式が仮定できる。
【数１５】
2008047099.tif 000065
【００７６】
関数
［外８１］
2008047099.tif 000066
はΘの「尤度関数」と呼ばれるもので、簡単に
［外８２］
2008047099.tif 000067
と記されることが多い。
【００７７】
式（１５）によって与えられる比例関係により、尤度関数
［外８３］
2008047099.tif 000068
をΘの事後分布、すなわちｐ（θ｜ｘ）のシミュレーションに使用することもできる。正準相関法がフォン・ノイマンの棄却法により、より正確には、
【数１６】
2008047099.tif 000069
の矩形の上に一様に分布しているＮ（大）（ｋ＋１）次元確率ベクトルＺ＝（ζ，ξ）（
［外８４］
2008047099.tif 000070
）をシミュレートすることにより、与えられる。ここで、
［外８５］
2008047099.tif 000071
は大きい数、θＭＬはΘの最大尤度推定値、すなわち
【数１７】
2008047099.tif 000072
を示している。
【００７８】
確率ベクトルζ＝（ζ１，．．．，ζｋ）は、Θの可能な結果であると解釈できる。
【００７９】
［外８６］
2008047099.tif 000073
の場合、あるいは成分ζ１，．．．，ζｋのいずれかが許容値をもたない場合、対応するＺの実現値が棄却される。つまり、Ｚの残りの結果のみが考慮され、各残留ベクトルζは、Θの実現値を表すことになる。
【００８０】
明らかに、この棄却法は能率的でない。ここでは推定リスクを求めているので、すなわち、Θが大きく偏差する可能性を評価しているので、Θの可能な結果の範囲は大きな数ｃによって制限されなければならない。しかし、ｃが大きくなるほどより多くのＺの実現値を棄却しなければならなくなり、すなわち、上記の方法はすぐに非効率となる。このことは大きなｋ、すなわち複雑なモデルおよび／または高次元データについても言える。
【００８１】
そのため、本発明は、Θの事後分布をシミュレートする効率的な方法を提供する。本発明の方法は、観測値ｘを所与としてΘの分布を定量化するのではなく、母数推定値
［外８７］
2008047099.tif 000074
を所与としてΘの分布、すなわち
［外８８］
2008047099.tif 000075
を計算しようとするものである。すなわち、ｘに含まれる「必須」情報（母数Θに関する）のみが、所望の分布関数を導き出すために使用される。以下の説明は、θに関する先験的情報が無く、よって
【数１８】
2008047099.tif 000076
であることを前提とする。
【００８２】
本発明の別の利点は、その方法が、制度的または個別的制約条件の下で任意の動的ポートフォリオ戦略に適用することができることである。また、本発明の方法は、データ拡大法等を用いることにより、データが不完全な場合にも適用することができる。
【００８３】
本発明の評価および最適化法は、好ましくは、リサンプリングまたはモンテカルロ手法で体系化される。以下では、「ポートフォリオ評価」が所与のポートフォリオから種々のリスクシナリオを導き出すことを意味するのに対し、「ポートフォリオ最適化」は種々のリスクシナリオを顧慮して最適のポートフォリオを導き出すことを意味している。制約条件、ポートフォリオに関する最適性基準、及び所望の精度（ｉｖ）が選択される。リスク要因の過去の観測値が入力データとして使用される。これらのデータが選択されたモデルと組み合わされ、本発明の出力は、該モデルの事後分布に従う母数と金融リスク要因の将来の展開に関する対応シナリオとで構成される。これらの実現値に基づき、ポートフォリオ評価法および最適化法が適用される。
【００８４】
以下、数学的事例を用いて本発明の方法をさらに説明する。
【００８５】
本発明の好適実施例によると、株式収益といったリスク要因の多変量分布をモデル化するために、一般楕円分布のクラスが考慮される。以下の記載では、簡略化のため、ポートフォリオが種々の株式から成ると仮定している。しかしながら、本発明は株式ポートフォリオに限定されるものでなく、その潜在的リスク要因（例えば、金利、為替レート、株式収益率、株式指標収益、予想変動率）が一般楕円分布である任意の金融商品が考えられることに注意すべきである。
【００８６】
ポートフォリオがｄ種類の株式から成ると仮定する。Ｕ（ｋ）を単位超球上に一様に分布されたｋ次元確率ベクトル、Ｒを確立変数、
［外８９］
2008047099.tif 000077
、
［外９０］
2008047099.tif 000078
、および
［外９１］
2008047099.tif 000079
を分布が等しいことを意味する、としたとき、次式（１９）が成立するときのみ、例えばｄ種類の株式に関する確率的収益率ベクトルを表すｄ次元確率ベクトルＸは「一般楕円分布」と言える。
【数１９】
2008047099.tif 000080
確立変数ＲはＸの「生成変量」と称され、Σ：＝ΛΛ′はその「分散共分散行列」である（Λ′はΛの転置行列を示す）。Ｒが非負であり、確率的にＵ（ｋ）と無関係である場合、Ｘは「楕円対称分布している」と言われ、その共分散行列が存在するならば、それはΣに比例する。以下では、ｋ＝ｄおよびｒ（Λ）＝ｄと仮定する。その場合、分散共分散行列Σは正値確定となる。
【００８７】
μが期待対数収益率のベクトルである場合、確率ベクトルＸはｄ種類の株式の日対数収益率のベクトルと解釈することができる。数量ＲＵ（ｄ）が市場リスクを表し、μとΛが推定リスクによるものであるとき、残りの項ΛＲＵ（ｄ）は期待値からの確率偏差を示す。本発明によると、ＲＵ（ｄ）だけでなくμとΛについても観測市場データに基づいてシミュレーションが行われる。よって、（ｉ）と（ｉｉｉ）の両方のリスクを同時に考慮することができる。
【００８８】
簡素化のため、Ｘはｄ種類の株式の独立した一様分布の日対数収益率の楕円確率ベクトルであると仮定する。よって、母数の不確実性を考慮した日対数収益率をシミュレートするためには、生成変量Ｒと単位確率ベクトルＵ（ｄ）をシミュレートする必要があるだけでなく、母数μとΣも位置と分散に関して何らかの推定値、例えば
［外９２］
2008047099.tif 000081
と
［外９３］
2008047099.tif 000082
を与える。より正確に言うと、本発明の方法は式（１９）に依存するが、μとΣを、
［外９４］
2008047099.tif 000083
と
［外９５］
2008047099.tif 000084
、すなわち
［外９６］
2008047099.tif 000085
を条件とする確率数量と見做す。これは、「真値」（μ，Σ）の条件付き確率数量が推定値
［外９７］
2008047099.tif 000086
に依存していることを意味する。以下では、μおよびΣの実現値をそれぞれμ０とΣ０で示す。
【００８９】
これ以降の記載では、分布
［外９８］
2008047099.tif 000087
を（μ，Σ）の「事後分布」と呼ぶ（式（１３）参照）。推定誤差が過去の観測値によるものであるのに対し、市場リスク（ＲＵ（ｄ）で表される）は将来の革新から生じるものであることに気づかなければならない。過去の実現値、将来の革新、及びモデル母数は相互に独立するものと仮定する。よって、市場リスクは
［外９９］
2008047099.tif 000088
および
［外１００］
2008047099.tif 000089
と独立してシミュレートすることができる。
【００９０】
（μ，Σ）の事後分布を得るために、本発明の方法は、位置および／または分散に関して「アフィン共変推定量」の広いクラスに依存するのが好ましい。１′が１のｄ次元転置ベクトルを示すとき、任意の
［外１０１］
2008047099.tif 000090
、
［外１０２］
2008047099.tif 000091
、および非特異な
［外１０３］
2008047099.tif 000092
に関して、
【数２０】
2008047099.tif 000093
ならば、関数
［外１０４］
2008047099.tif 000094
は「アフィン共変位置汎関数」と呼ばれる。また、
［外１０５］
2008047099.tif 000095
と
［外１０６］
2008047099.tif 000096
が正則行列であるとき、
［外１０７］
2008047099.tif 000097
および
【数２１】
2008047099.tif 000098
のときに任意の
［外１０８］
2008047099.tif 000099
に関して
［外１０９］
2008047099.tif 000100
が正値確定であれば、関数
［外１１０］
2008047099.tif 000101
は「アフィン共変分散汎関数」と呼ばれる。この共変性は、元データに関する推定量からアフィン線形変換データの位置と分散とを推定できることを保証する。アフィン線形変換の例として、データの移動、回転、又はリスケーリングなどがある。
【００９１】
以下、アフィン共変を‘ａ．ｅ．’と略記することにする。Ｌがａ．ｅ．であるならば、
［外１１１］
2008047099.tif 000102
は「位置に関するアフィン共変推定量」と呼ばれる。ここで
［外１１２］
2008047099.tif 000103
は未実現標本を示す確立行列である。同様に、Ｓがａ．ｅ．であるならば、
［外１１３］
2008047099.tif 000104
は「散らばりに関するアフィン共変推定量」である。一例として、周知の標本平均
【数２２】
2008047099.tif 000105
は位置に関するａ．ｅ．推定量であり、周知の標本共分散行列
【数２３】
2008047099.tif 000106
は分散に関するａ．ｅ．推定量である。
【００９２】
以下の記載において、
［外１１４］
2008047099.tif 000107
と
［外１１５］
2008047099.tif 000108
が位置と分散に関するａ．ｅ．推定量を示すのに対し、
［外１１６］
2008047099.tif 000109
と
［外１１７］
2008047099.tif 000110
は
［外１１８］
2008047099.tif 000111
の特定実現値によって与えられる対応推定値である。
【００９３】
一般楕円分布データに関しては、推定量
［外１１９］
2008047099.tif 000112
は未知の真の母数μおよびΛ（ここで、Σ＝ΛΛ′）と未知の確率数量
［外１２０］
2008047099.tif 000113
およびＲ１，．．．，Ｒｎで表現することができる。実際に、位置に関しては、次式
【数２４】
2008047099.tif 000114
が得られるが、この中で、
【数２５】
2008047099.tif 000115
は単位超球上に一様に分布されたｎ列のｄ次元確率ベクトルを含む行列であり、
【数２６】
2008047099.tif 000116
は主対角線上にｎ個の生成変量を含む。また、散らばり推定量に関しては次式
【数２７】
2008047099.tif 000117
が得られる。
【００９４】
なお、本発明の方法は上記の例に限定されるものではなく、いかなるａ．ｅ．推定量でも用いることができることに気づかなければならない。
【００９５】
（μ，Σ）の事後分布を求めるためには、推定値
［外１２１］
2008047099.tif 000118
および
［外１２２］
2008047099.tif 000119
を考慮する必要がある。
【００９６】
［外１２３］
2008047099.tif 000120
と
［外１２４］
2008047099.tif 000121
の条件下において、式（２５）は
【数２８】
2008047099.tif 000122
となるのに対し、式（２２）は同じ条件下で、
【数２９】
2008047099.tif 000123
となる。よって、これらの等式の左辺は既知であるが、右辺の
［外１２５］
2008047099.tif 000124
と
［外１２６］
2008047099.tif 000125
はともに未知であり、確率数量と見做される。母数μは
［外１２７］
2008047099.tif 000126
に依存するが、
［外１２８］
2008047099.tif 000127
のアフィン共変性のため、母数
［外１２９］
2008047099.tif 000128
は
［外１３０］
2008047099.tif 000129
に、すなわち
【数３０】
2008047099.tif 000130
に依存しない。
【００９７】
また、式（２６）と（２７）の右辺の母数の実現値は、
［外１３１］
2008047099.tif 000131
および
［外１３２］
2008047099.tif 000132
の実現値に対して逆数となる。本発明では、単に
［外１３３］
2008047099.tif 000133
と
［外１３４］
2008047099.tif 000134
をシミュレートするだけでμとΛの結合事後分布を近似する（Σ＝ΛΛ′の事後分布を示す）。本発明の方法によると、
［外１３５］
2008047099.tif 000135
をシミュレートするためにμとΣに関する情報は必要ない。つまり、
［外１３６］
2008047099.tif 000136
は確率的にμおよびΣから独立している。
【００９８】
ここで、Гが
［外１３７］
2008047099.tif 000137
（確立行列）の対称根であり、
［外１３８］
2008047099.tif 000138
が
［外１３９］
2008047099.tif 000139
（固定行列）の対称根である、すなわち
［外１４０］
2008047099.tif 000140
、
［外１４１］
2008047099.tif 000141
であると仮定する。以下では、
【数３１】
2008047099.tif 000142
と定義される。
【００９９】
Гの分布は
［外１４２］
2008047099.tif 000143
に依存しない。分散共分散行列の事後分布は、明らかに
【数３２】
2008047099.tif 000144
によって与えられる。確立行列
［外１４３］
2008047099.tif 000145
は、散らばり推定量
［外１４４］
2008047099.tif 000146
に由来する推定誤差の行列と解釈することができる。
【０１００】
上記について、以下の例により説明する。ｄ次元ベクトルＸを、平均μ０と共分散行列Σ０とを有する正規分布、すなわちＸ〜Ｎｄ（μ０，Σ０）と仮定する。さらに、
［外１４５］
2008047099.tif 000147
が標本共分散行列であり、標本の大きさがｎ＞ｄ＋２であると仮定する。このとき、
【数３３】
2008047099.tif 000148
である。
【０１０１】
［外１４６］
2008047099.tif 000149
とすると、ランダム行列ｎＷは母数
［外１４６−１］
2008047099.tif 000150
と自由度ｎ−１を有するｄ次元ウィシャート分布
【数３４】
2008047099.tif 000151
である。よって、ｎ−１Ｗ−１は母数
［外１４７］
2008047099.tif 000152
と自由度ｎ−１を有するｄ次元の逆ウィシャート分布を有し、この分布は
［外１４８］
2008047099.tif 000153
で示すことができる。従って、共分散行列の事後分布
【数３５】
2008047099.tif 000154
を得ることができ、この場合、事後分布からのサンプリングがウィシャート分布からの取り出しに縮小される。
【０１０２】
一般的な場合では、分散共分散行列Σを次の３つのステップでシミュレートすることができる。
【０１０３】
１．  
［外１４９］
2008047099.tif 000155
と
［外１５０］
2008047099.tif 000156
が式（２３）と（２４）によって与えられるとき、確率標本
［外１５１］
2008047099.tif 000157
をシミュレートする。
【０１０４】
２．  推定値の逆数、すなわち
［外１５２］
2008047099.tif 000158
を計算する。
【０１０５】
３．  
［外１５３］
2008047099.tif 000159
に対して左と右から乗算する。
【０１０６】
ここで、式（２７）を用いて
【数３６】
2008047099.tif 000160
を得る。
【０１０７】
よって、位置ベクトルμのシミュレーションは、
［外１５４］
2008047099.tif 000161
（既にΣに関してシミュレート済み）と
［外１５５］
2008047099.tif 000162
（すなわち
［外１５６］
2008047099.tif 000163
の対称根）の両方に関する知識を基に行われる。したがって、
［外１５７］
2008047099.tif 000164
の項は位置推定量によって生まれる推定誤差を表すものである。
【０１０８】
以上について、下記の正規分散データを例にとって説明する。先に挙げた例の設定をそのままとし、
［外１５８］
2008047099.tif 000165
が標本平均を示すと見做す。次式
【数３７】
2008047099.tif 000166
は既知である。すなわち、真の共分散行列Σ０が既知であることを条件として、母数μは正規分布である。しかし、それが未知であれば、Σ０にその推定値
［外１５９］
2008047099.tif 000167
を代入して、事後分布
【数３８】
2008047099.tif 000168
を得なければならない。ここで、
［外１６０］
2008047099.tif 000169
は逆ウィシャート分布に相当する。
【０１０９】
［外１６１］
2008047099.tif 000170
は、位置ベクトル
［外１６２］
2008047099.tif 000171
、分散共分散行列
［外１６３］
2008047099.tif 000172
、自由度ｎ−ｄを有する多変量ｔ分布であることが分かる。よって、
［外１６４］
2008047099.tif 000173
が共分散行列
【数３９】
2008047099.tif 000174
を有するのに対し、
［外１６５］
2008047099.tif 000175
となる。したがって、共分散値の不確実性が高次元データの位置ベクトルμに関する推定リスクを甚だしく大きくするおそれがある。
【０１１０】
ここで、
［外１６６］
2008047099.tif 000176
と
［外１６７］
2008047099.tif 000177
の事後分布が与えられると、対数収益率Ｘのベクトルやその他のリスク要因の分布を、推定リスクを考慮に入れてシミュレートすることができる。資産対数収益率に対応するリスク要因のシミュレーションを例として、下記のステップから成るリサンプリングアルゴリズムについて考察する。
【０１１１】
１．  上記
［外１６８］
2008047099.tif 000178
の実現値をシミュレートする。
【０１１２】
２．  上記
［外１６９］
2008047099.tif 000179
の実現値の対称根を用いて
［外１７０］
2008047099.tif 000180
の実現値をシミュレートする。
【０１１３】
３．  式
【数４０】
2008047099.tif 000181
によってＲとＵ（ｄ）の新しいｍ個の実現値をシミュレートして、
［外１７１］
2008047099.tif 000182
の可能な実現値をｍ個得る。（前の２つのステップで得た
［外１７２］
2008047099.tif 000183
の実現値は、このステップでは一定のままとなる。）
【０１１４】
４．  Ｐ０が期首株価のベクトル、「
［外１７３］
2008047099.tif 000184
」が成分方向の乗算（式（４）参照）を示すとき、式      
【数４１】
2008047099.tif 000185
によって株価の対応する軌道を算出する。従って、ｅｘｐ（・）は通常の指数関数のベクトルバージョンである。
【０１１５】
５．  十分に大きな数のシミュレートされた軌道または経路が得られるまでステップ１〜４を反復する。
【０１１６】
前述のように、ステップ３のＲとＵ（ｄ）は確率的に
［外１７４］
2008047099.tif 000186
と無関係である。もちろん、実現値の数ｍは、評価または最適化の目的で与えられる投資期間の長さに依存する。例えば、投資期間が３０年に相当する場合、年間の取引日は概ね１２×２１＝２５２日である。よって、ｍ＝３０×２５２＝７５６０となる。
【０１１７】
上記アルゴリズムの簡単な拡張法は、ステップ３と４を反復して、（μ，Σ）の一つの実現値から経路に関する多数の実現値を求めることである。
【０１１８】
もう一つの方法は、真の母数と軌跡との結合実現値のためにギブス・サンプリング法を用いることである。この場合のアルゴリズムは以下のステップを含む。
【０１１９】
１．  上記
［外１７５］
2008047099.tif 000187
の実現値をシミュレートする。
【０１２０】
２．  上記
［外１７６］
2008047099.tif 000188
の実現値の対称根を用いて
［外１７７］
2008047099.tif 000189
の実現値をシミュレートする。
【０１２１】
３．  先のアルゴリズムのステップ３に記載のように、将来のデータをシミュレートする。
【０１２２】
４．  過去のデータとシミュレートした将来データとを結合して新規データセットを構築し、この新規データを基に位置と分散を推定する（すなわち、
［外１７８］
2008047099.tif 000190
を算出する）。
【０１２３】
５．  ステップ３において旧実現値を新実現値に置き換えながら、ステップ１〜３を反復する。
【０１２４】
この方法によって、予測分布
【数４２】
2008047099.tif 000191
から導き出された一つの実現値μ，Σと、ｍ個の可能な実現値Ｘが得られる。同じ方法を不完全な過去のデータに使用することができる。その場合、標準的な多重代入法、例えばデータ拡大法を適用することができる。データ拡大法では、将来データだけでなく、過去のデータの欠損部分についてもステップ３においてシミュレートされる。
【０１２５】
一般に、確率ベクトル
［外１７９］
2008047099.tif 000192
は
［外１８０］
2008047099.tif 000193
とは別の分布ファミリーに属し、推定誤差はＸの分布ファミリーだけでなく、その共分散行列にも影響を及ぼす。すなわち、μ０とΣ０が未知であり事前に推定が必要である場合、Ｘの各成分の分散（および共分散）は大きくなることが予想される。
【０１２６】
上の例の場合、確率ベクトルＸの分布は正規分布、すなわちＸ〜Ｎｄ（μ０，Σ０）と見做すことができる。式（３３）によって、次式が得られる。
【数４３】
2008047099.tif 000194
【０１２７】
正規分布仮定により、次式が得られる。
【数４４】
2008047099.tif 000195
よって、
［外１８１］
2008047099.tif 000196
は、位置ベクトル
［外１８２］
2008047099.tif 000197
、  分散共分散行列
［外１８３］
2008047099.tif 000198
、及び自由度ｎ−ｄを有するｄ変量ｔ分布である。その共分散行列は、
【数４５】
2008047099.tif 000199
によって与えられ、通常は
［外１８４］
2008047099.tif 000200
より大である。特に、高次元ポートフォリオ最適化問題に関しては、推定リスクが相当に大きなインパクトを有する。
【０１２８】
一般に、ＲはＸの「母分布」と呼ばれる分布を有すると仮定する必要がある。母分布は基本的に極値のリスクを決定するものであり、特に金融市場の崩壊の場合のように、極値が同時発生する確率を決定するものである。ここで指摘されるのは、正規分布は、実証ファイナンスの定型化された事実のため、良い選択ではないということである。よって、正規分布仮定の代わりとして、ヘビーテールを考慮に入れた生成変量Ｒに関する代替的な仮定を用いることができる。このとき、母分布の各母数はリサンプリングアルゴリズムを開始する前に推定しておかなければならない。モデルリスクを評価するために、この手続きを母分布の母数毎に繰り返し、結果として得られたリスクシナリオを相互に比較することができる。すなわち、代替モデルおよび／または母数の特定の集合に関して、対応するリスク尺度の比較が行われる。最適ポートフォリオの偏差が大きい場合、モデルリスクも大きくなり、その逆の場合も同じである。
【０１２９】
本発明の方法には既存の方法より優れた点がいくつかある。以下、その中のいくつかの好ましい利点について簡単に説明する。
【０１３０】
ポートフォリオウェイトは必ずしもゼロから１までの値の中から選択する必要はなく、負のウェイト（すなわち空売り）でも良い。空売りとは、売り手の所有ではないが、後日の引渡しが約束された証券の販売を意味する。
【０１３１】
本発明はμ−σ−最適化に限定されるものではなく、他の最適化基準も考慮することができる。
【０１３２】
上述のように、本発明によると、リスク要因は一般楕円分布であると仮定される。一般楕円分布のクラスには、詳細には、非対称楕円分布と楕円対称分布のクラス、例えば多変量ガウシアン分布やサブガウシアン分布、多変量ｔ分布、一般多変量対称双曲線分布の全クラス、その他金融関係の文献や実際面で考慮されることの多い分布が含まれる。
【０１３３】
本発明の別の利点は、経験的情報が限られているために避けられない推定誤差を考慮に入れた方法が提供されることである。
【０１３４】
本発明のさらに別の利点は、この方法が、様々な一般楕円分布ファミリーや母数化に関する感度解析によりモデルリスクを低減することである。
【０１３５】
本発明のさらに別の利点は、この方法が、観測データと一致する可能な一般楕円分布の全範囲に亘りポートフォリオの最適化と評価を可能にすることである。
【０１３６】
本発明のさらに別の利点は、この方法が、最適ポートフォリオを平均化するよりも、シミュレートした経路の最適化を行うことであり、過去のデータを欠損にも対処できることである。本発明はまた、所与のポートフォリオまたは戦略を評価するための方法も提供する。
【０１３７】
ポートフォリオ評価が、所与のポートフォリオから種々のリスクシナリオを引き出すことを意味するのに対し、ポートフォリオ最適化は、種々のリスクシナリオを考慮して最適ポートフォリオを引き出すことを意味する。
【発明を実施するための最良の形態】
【０１３８】
以下の詳細な説明から、当業者には本発明のその他の実施例についても容易に明らかとなるであろう。以下の説明では、本発明を実施する上で考えられる最適の態様を説明することによって本発明の実施例を説明している。当然ながら、本発明はこれら以外に様々な実施例が可能であり、そのいくつかの詳細については、本発明の精神および範囲から逸脱することなく変更が可能であることも明らかである。
【０１３９】
本発明の好適実施例を例示した添付図面を参照して、本発明についてさらに詳しく説明する。図面における符号は本発明の方法の各ステップに対応するものである。
【０１４０】
添付図面、特に図１を参照すると、本発明の一実施例による、推定誤差を考慮したポートフォリオ評価のためのリサンプリング処理手順が示されている。本方法は、好ましくは、メモリと、プロセッサと、表示器と、マウスやキーボード等のユーザ入力手段とを備えるコンピュータ（不図示）から成るコンピュータシステム上で実施される。
【０１４１】
図１は、推定誤差を考慮したポートフォリオ評価のためのリサンプリング処理方法を示す。一実施例による方法は、下記のステップを含む。
【０１４２】
ステップ１００：  ポートフォリオ戦略、すなわち投資期間の任意の時点における資産ポートフォリオの構成および管理に関するガイドライン、挙動、または手続きを選択する。ポートフォリオ戦略は金融リスク要因（下記ステップ１０２参照）に依存すると仮定し、同等のコンピュータプログラムまたはアルゴリズムに翻訳する必要がある。
【０１４３】
ステップ１０２：  選択したポートフォリオ戦略の金融リスク要因に関する履歴情報を取得する。金融リスク要因は、株価、金利、為替レート、商品価格、不動産価格等、考慮対象のポートフォリオの価値の決定因である。
【０１４４】
ステップ１０４：  金融リスク要因に関して収集したデータの具体的な統計特性を考慮することにより、適切なＧＥモデルを選択する。例えば、統計学的な考察により、金融リスク要因の非対称多変量分布を生むヘビーテールの母分布関数を使用するのが適当であるという結果が得られる場合もあろう。
【０１４５】
ステップ１０６： ポートフォリオ戦略に関する評価基準を選択する。ポートフォリオ戦略を評価するために、ポートフォリオ価値の展開により計算される任意の尺度を考慮することができる。例えば、総投資収益率に関する期待値、分散、シャープレシオ、想定最大損失額（ＶａＲ）等である。また、母数の事後分布を考慮する尺度、例えば真の期待ポートフォリオ収益率の分散や、真の期待ポートフォリオ収益率が安全金利より低くなる確率等を適用することもできる。さらに、ポートフォリオ価値の中間展開を考慮する尺度、例えば、ポートフォリオ価値が投資期間中に臨界閾値より低くなるに確率等について考慮する場合もある。次に、評価基準用の所望の信頼区間といった精度基準を選択する。
【０１４６】
ステップ１０８：  ＧＥモデルと金融リスク要因の観測値による各母数および／またはリスク要因シナリオを、本願記載の方法によりシミュレートする。例えば、金融リスク要因のいくつかの観測値が欠如している場合には、データ拡大法や他の多重代入法を適用することができる。多重代入法は、過去だけでなく金融リスク要因の正体の展開をシミュレートすることができる。過去の展開は欠測データを補填するのに利用できるのに対し、将来の展開は選択したポートフォリオ戦略により投資期間中に起こりうるポートフォリオ展開を計算するのに利用できる。
【０１４７】
ステップ１１０：  ステップ１０８においてシミュレートした母数および／またはリスク要因シナリオに関してポートフォリオ戦略を評価する。この評価は、ステップ１０６で選択した評価基準を用いて行われる。
【０１４８】
ステップ１１２：  選択した評価基準に関して所望の精度（ステップ１０６参照）が満たされているかチェックする。満たされていなければステップ１０８へ戻り、そうでなければステップ１１４へ進む。
【０１４９】
ステップ１１４：  結果を保存し、終了ステップへ進む。
【０１５０】
終了ステップ：  入出力された変数、評価基準、シミュレートされたリスク要因シナリオ、事後分布等に関する要約書、グラフまたは詳細な説明を、好ましくはコンピュータの表示器、および／またはプリンタを用いて書いて、リサンプリング処理の終了とすることができる。
【０１５１】
図２は、推定誤差を考慮したポートフォリオ最適化のためのリサンプリング処理方法を示す。一実施例による方法は、下記のステップを含む。
【０１５２】
ステップ２００：  金融リスク要因に関する履歴情報を取得する。金融リスク要因は、株価、金利、為替レート、商品価格、不動産価格等、考慮対象のポートフォリオの価値の決定因である。
【０１５３】
ステップ２０２：  金融リスク要因に関して収集したデータの具体的な統計特性を考慮することにより、適切なＧＥモデルを選択する。例えば、統計学的な考察により、金融リスク要因の非対称多変量分布を生むヘビーテールの母分布関数を使用するのが適当であるという結果が得られ場合もあろう。
【０１５４】
ステップ２０４：  最適ポートフォリオ戦略に関する制約条件を選択する。すなわち、個人的好み、制度的制約条件，および／または法律や経済により与えられる制約に応じて、資産ポートフォリオの構成および管理に関するガイドライン、挙動、または手続きの中で許容可能なものを特定する。さらに、最適化基準、すなわち許容可能なポートフォリオ戦略の中から最適ポートフォリオ戦略を探すための基準を選択する。例えば、任意のポートフォリオ評価基準（ステップ１０６参照）をポートフォリオ最適化基準とすることができる。次に、最適化基準用の所望の信頼区間等の精度基準を選択する。
【０１５５】
ステップ２０６：  ＧＥモデルと金融リスク要因の観測値による母数および／またはリスク要因シナリオを、本発明に記載の方法によりシミュレートして、ステップ２０４において特定した最適化基準に従って最適ポートフォリオ戦略を求める。最適ポートフォリオ戦略は、例えば、シミュレーテッドアニーリングや遺伝的アルゴリズムのような大域的最適化方法によって求めることができる。選択された制約条件と精度基準（ステップ２０４参照）の両方がみたされることを保証する。
【０１５６】
ステップ２１４：  結果を保存し、終了ステップへ進む。
【０１５７】
終了ステップ：    最適ポートフォリオ戦略、入出力された変数、最適化基準、シミュレートされたリスク要因シナリオ、事後分布等に関する要約書、グラフまたは詳細な説明を、好ましくはコンピュータの表示器、および／またはプリンタを用いて書いて、リサンプリング処理の終了とすることができる。
【０１５８】
図３は、推定誤差を考慮したポートフォリオ最適化のためのリサンプリング処理の特別な変形を示す。一実施例による方法は、下記のステップを含む。
【０１５９】
ステップ３００：  金融リスク要因に関する履歴情報を取得する。金融リスク要因は、株価、金利、為替レート、商品価格、不動産価格等、考慮対象のポートフォリオの価値の決定因である。
【０１６０】
ステップ３０２：  金融リスク要因に関する収集データの具体的な統計特性を考慮することにより適切なＧＥモデルを選択する。例えば、統計学的な考察により、金融リスク要因の非対称多変量分布を生むヘビーテールの母分布関数を使用するのが適当であるという結果が得られるかもしれない。
【０１６１】
ステップ３０４：  最適ポートフォリオ戦略に関する制約条件を選択する。すなわち、個人的好み、制度的制約条件，および／または法律や経済により与えられる制約に応じて、資産ポートフォリオの構成および管理に関するガイドライン、挙動、または手続きの中で許容可能なものを特定する。さらに、最適化基準、すなわち許容可能な全てのポートフォリオ戦略の中から最適ポートフォリオ戦略を探す基準を選択する。例えば、任意のポートフォリオ評価基準（ステップ１０６参照）をポートフォリオ最適化基準とすることができる。次に、最適化基準用の所望の信頼区間等の精度基準を選択する。
【０１６２】
ステップ３０６：  一群の許容可能なポートフォリオ戦略を選択する。
【０１６３】
ステップ３０８：  ＧＥモデルと金融リスク要因の観測値による母数および／またはリスク要因シナリオを、本発明に記載の方法によりシミュレートする。
【０１６４】
ステップ３１０：  ステップ３０４において選択したポートフォリオ最適化基準により、これまでにシミュレートした各シナリオに関するポートフォリオ戦略を評価する。
【０１６５】
ステップ３１２：  最適ポートフォリオ戦略を求め、選択した制約条件（ステップ３０４参照）が満たされることを保証する。精度基準（ステップ３０４参照）が満たされない場合はステップ３１３へ進み、そうで無ければステップ３１４へ進む。  
ステップ３１３：  一群のポートフォリオ戦略を変更して、ステップ３０８へ戻る。
【０１６６】
ステップ３１４：  結果を保存し、終了ステップへ進む。
【０１６７】
終了ステップ：    最適ポートフォリオ戦略、入出力された変数、最適化基準、シミュレートされたリスク要因シナリオ、事後分布等に関する要約書、グラフまたは詳細な説明を、好ましくはコンピュータの表示器、および／またはプリンタを用いて書いて、リサンプリング処理の終了とすることができる。
【０１６８】
他の実施例において、本発明による方法は、コンピュータシステムで使用されるコンピュータプログラム製品として実現され得る。そのような製品は、フロッピー（登録商標）ディスク、ＣＤ−ＲＯＭ、ＲＯＭ等のコンピュータ読み取り可能な媒体または固定ディスクに記録した、あるいはネットワークを介してコンピュータシステムに送信可能とした複数のコンピュータ命令で構成される。これら複数のコンピュータ命令が、システムに関してここに述べた機能の全てまたは一部を実現する。当業者には明らかなように、このようなコンピュータ命令は、多様なコンピュータアーキテクチャやオペレーティングシステムで使用可能な多くのプログラム言語で記述することができる。さらに、これらの命令は、半導体メモリ、磁気メモリ、光学メモリ、その他の記憶装置等の任意の記憶装置に記録しても良いし、光学、赤外線、マイクロ波、その他の伝送技術等の任意の通信技術を用いて送信するようにしても良い。このようなコンピュータプログラム製品は、取り外し可能な媒体としこれに印刷文書または電子文書を付して流通させる、コンピュータシステムに事前搭載しておく、あるいはネットワークを介してサーバまたは電子掲示板から流通させることができる。もちろん、本発明のいくつかの実施例では、ソフトウェア（コンピュータプログラム製品等）とハードウェアの組合せとして実施することもできる。
【０１６９】
本発明のさらに別の実施例として、完全にハードウェアとして、または完全にソフトウェア（コンピュータプログラム製品等）として実施することもできる。
【０１７０】
本発明は特許請求の範囲に記載の構成およびその自明の変更によって実施される。以上に説明され特許請求の範囲に記載された本発明の範囲と精神は決して制限されるものではない。
【図面の簡単な説明】
【０１７１】
【図１】推定誤差を考慮したポートフォリオ評価のためのリサンプリング処理方法を示すフローチャートである。
【図２】推定誤差を考慮したポートフォリオ最適化のためのリサンプリング処理の一般的方法を示すフローチャートである。
【図３】推定誤差を考慮したポートフォリオ最適化のためのリサンプリング処理の特殊な変形を示すフローチャートである。
【図１】
2008047099.tif 000233
【図２】
2008047099.tif 000234
【図３】
2008047099.tif 000235
【外国語明細書】
2008047099.tif 000236
2008047099.tif 000237
2008047099.tif 000238
2008047099.tif 000239
2008047099.tif 000240
2008047099.tif 000241
2008047099.tif 000242
2008047099.tif 000243
2008047099.tif 000244
2008047099.tif 000245
2008047099.tif 000246
2008047099.tif 000247
2008047099.tif 000248
2008047099.tif 000249
2008047099.tif 000250
2008047099.tif 000251
2008047099.tif 000252
2008047099.tif 000253
2008047099.tif 000254
2008047099.tif 000255
2008047099.tif 000256
2008047099.tif 000257
2008047099.tif 000258
2008047099.tif 000259
2008047099.tif 000260
2008047099.tif 000261
2008047099.tif 000262
2008047099.tif 000263
2008047099.tif 000264
2008047099.tif 000265
2008047099.tif 000266
2008047099.tif 000267
2008047099.tif 000268
2008047099.tif 000269
2008047099.tif 000270
2008047099.tif 000271
2008047099.tif 000272
2008047099.tif 000273
2008047099.tif 000274
2008047099.tif 000275
2008047099.tif 000276
2008047099.tif 000277
2008047099.tif 000278