(57)【要約】【課題】組み合わせ爆発が発生し、取り扱いが困難なサイバーワールドや仮想世界を効果的に線形化するモジュール追加型抽象階層が知られている。【解決手段】モジュール追加型抽象階層において、一般化レベルから特定モデルに下る際に、上位レベルのモジュールを不変量として保存する。これにより、組み合わせ爆発を防止するだけでなく、サイバーワールドのリソースの再利用、開発、検証、妥当性に有利である。モジュール追加型抽象階層を、万華鏡のアニメーションに適用することにより、サイバーワールドの典型例として、その構成およびモデリングが特定される。特に、二重性を満足するホモトピーリフティングプロパティおよびホモトピー拡張プロパティが、万華鏡世界がいかに体系的に、システム全体からのトップダウンおよび構成要素からのボトムアップで構成されているかを説明した。【選択図】図１
2008015633.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
モジュール追加型抽象階層を、その構造およびモデルが、サイバーワールドの一例として定義される万華鏡のアニメーションに適用する過程と、
前記万華鏡のアニメーションを、ホモトピーリフティングプロパティおよびホモトピー拡張プロパティを用いて、システム全体からのトップダウンと、構成要素からのボトムアップにより体系的に構築する過程と、
を備えることを特徴とする情報処理方法。
【発明の詳細な説明】
【発明の開示】
【課題を解決するための手段】
【０００１】
（発明の概要）
情報処理方法が提供される。この方法は、モジュール追加型抽象階層を、その構造およびモデルが、サイバーワールドの一例として定義される万華鏡のアニメーションに適用する過程と、
前記万華鏡のアニメーションを、ホモトピーリフティングプロパティおよびホモトピー拡張プロパティを用いて、システム全体からのトップダウンと、構成要素からのボトムアップにより体系的に構築する過程と、
を備える。
【発明を実施するための最良の形態】
【０００２】
１．序論
「サイバーワールド」は情報の世界であり、現実世界と仮想世界のいずれか、あるいは双方に存在する。サイバーワールドは、動的に相互作用し変化する。たとえば、万華鏡、オンラインショッピング、電子学習（e-Learning）、製造、落ち葉は、サイバーワールドの一種である。万華鏡は、現実世界における単純な動きが、仮想世界における景色を大きく変化させるというサイバーワールドの基本的な性質を示すものである。これは、しばしば世界の金融ニュースで報告されるように、現実世界においてなされる単純な現実の商取引が、仮想世界における電子商取引に大きく影響を与えるのと同様である。このような大きな変化は、そのスケールとスピードに起因して、変化の途中およびその後における構成要素の関係性を特定することを著しく困難にする。
【０００３】
ファイバ束、および特に２重のプロパティとしてのホモトピーリフティングプロパティ（Homotopy Lifting Property:HLP）、ホモトピー拡張プロパティ（Homotopy Extension Property:HEP）を中心としたモジュール追加型抽象階層にもとづく本研究は、不変量に正確にもとづいた関係性を特定するための基本的な構造とモデリングを提供する。我々は、ファイバ束が実質的に、変化の途中およびその後において、一意的に維持されることを示す。
【０００４】
万華鏡は、Ｌｅｘｉｃｏｎｇｒａｐｈｉｃ  Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ  ＯＫＤ  第７版によれば、以下のように定義される。２つめの定義は、我々の定義する「サイバーワールド」と近い。
１［ｃ］  筒状のおもちゃであり、彩色されたガラスの裸石およびミラーが先端に見える。筒が回転されると、ガラス片が動き、異なるパターンを形成する。
２［ｓｉｎｇ．］  常に変化する異なる多くのパーツを含む状況、模様等
【０００５】
万華鏡［１］は、興味深い振る舞いをする。万華鏡は、もとの図案（design）をミラーによって繰り返し反射することにより幻想的なパターンを作り出す。もとの図案は、ガラスの破片からなり、万華鏡の底面に取り付けられている。現実世界において、万華鏡が回転されると、現在の図案が消去され、仮想世界として異なる図案が現れ、これが、さらに別の幻想的なパターンの発生につながる。このダイナミズムを、物理学、あるいは幾何学によって表現することとはほとんど困難である。これは、風に吹かれて地面を転がる落ち葉を記述する場合も同様である。
【０００６】
落ち葉と地面は、異なる構成要素であるが、これらの構成要素のある部分は、ある瞬間において接着（attach）し、別の部分は、別の瞬間において接着する。物理学も幾何学のいずれも、これらの関係性を記述することはできない。物理学は、要素削減法によって幾何学的に、落ち葉および地面を、それぞれ点と面としてモデリングし、各時刻において、重力と風の力によりそれらがどのように接触しあうかを考慮して解析する。落ち葉と地面の関係性の組み合わせが増加することにより、複雑さは爆発的に増加する。落ち葉と地面の力学的な関係性は、論理的構造体としてのサイバーワールドの構造およびモデリングに導入されているモジュール追加型抽象階層によって明確に表現される［２−２２］。それは、ホモトピーから始まる階層に基づいており、ファイバ束を含む。モジュール追加型抽象階層は、一般的なレベルから具体的なレベルに下がるとき、上位のモジュールを不変量として保存する。
【０００７】
最上位レベルにおいて、万華鏡のタイプと図案（デザイン）の関係は、転がる落ち葉の場合における地面と落ち葉の関係に対応するものであり、これは、ファイバ束を用いて特定される。タイプと図案は、それらはある部分において接着（attach）された２つの空間として表現される。集合および位相空間を追加した後、２つの空間の接着された部分は、２つの空間が互いに素に接着されている付加空間(adjunction space)によって、接着関数による互いに素である結合として明確に定義される。
【０００８】
上位レベルを不変量として保ちつつ、階層を下ると、必要に応じて、物理的なプロパティを含むより具体的なプロパティが付加される。
最上位レベルで使用されるホモトピーリフティングプロパティおよびホモトピー拡張プロパティは、それぞれ、システム全体からトップダウン方式で、各構成要素からボトムアップ方式で、万華鏡がどのようにして構成されているかを表現する。これらのプロパティの具体例については後述する。
【０００９】
サイバーワールド＝現実世界または仮想世界、あるいはその両方における情報世界
サイバーワールドは、モジュール追加型抽象階層と呼ばれる方法を用いてモデリングされ、組織される。万華鏡のプロパティは、サイバーワールドのモデリングおよび構成を一般的に示すことができる。イベントや現象は、「サイバーワールド」および「現実の（伝統的な）世界」において以下のように記述される。
［サイバーワールド］
（１）  オンラインショッピング
現実世界：ボタンをクリック
仮想世界：インターネットを介した、ユーザとオンラインショップの間の取引
（２）  電子学習
現実世界：ビデオの視聴
仮想世界：生徒はインターネットを介して、先生と相互作用する
[現実の（伝統的な）世界]
（１）製造
現実世界：座面の部品に、足の部品を取り付ける
現実世界：椅子として機能する
仮想世界：インターネットを介した、ユーザとオンラインショップの間の取引
（２）落ち葉
現実世界：葉に対して風が吹く
現実世界：道を葉が転がる
【００１０】
２．  モジュール追加型抽象階層
（ａ）  ホモトピー（ファイバ束を含む）レベル
サイバーワールドのアプリケーション領域に関する空間は、最も一般化された不変量として特定される。
（ｂ）  集合論レベル
サイバーワールドの空間を構成する要素が、より一般的な不変量として、線形的に特定され、付加される。
（ｃ）  位相空間レベル
近傍（neighbours）、写像、逆写像が、次の不変量として線形的に特定され、付加される。具体的には、最も弱い、あるいは最も強いトポロジーが離散システムのために導入される。
（ｄ）  接着空間レベル
サイバースペースをその他の空間と、接着し、あるいは離散させる動的な関係性が、次の不変量として線形的に特定され、付加される。等価な関係性は、商空間（Quotient space）として表される。
（ｅ）  セル空間レベル
さらに具体的な不変量として、次元が線形的に特定され、付加される。
（ｆ）  表現（ジオメトリを含む）レベル
アプリケーション領域のプロパティが、最も具体的な不変量として、線形的に特定され、付加される。
（ｇ）  可視（投影ともいう）レベル
【００１１】
次のリストは、万華鏡の世界をモデリングするために使用されるモジュール追加型抽象階層である。
１  ホモトピー（ファイバ束を含む）レベル
２  集合論レベル
３  位相空間レベル
４  接着空間レベル
５  セル空間レベル
６  表現（ジオメトリを含む）レベル
７  可視（投影ともいう）レベル
【００１２】
万華鏡の世界をモデリングする際に、万華鏡の世界の一般的なプロパティは、上位のレベルで定義され、より具体的なプロパティが、上位のレベルを不変量として保ちつつ、モジュール追加型抽象階層の階層を下るごとに追加されていく。これは、組み合わせの爆発的な増加（組み合わせ爆発＝combinatorial explosion）を防止するためのモジュール追加型抽象階層の能力である。また、それは、サイバーワールドにおけるリソースの再利用、開発、検証および妥当性の利益となる。提案する構成は、必然的に代数的位相幾何学のハイレベルの抽象性にもとづいた自動処理の形式に適合している。本明細書で前提とする代数的位相幾何学における必要な背景および基本的な定義、表記法、シンボルについては、参考書、論文の［９，２３−２７］を参照されたい。
【００１３】
ホモトピーレベルにおけるファイバ束は、万華鏡の世界を、万華鏡空間として定義する。万華鏡空間は、底空間と、ファイバ束と呼ばれるファイバの束の積によって特定される。万華鏡の世界は、本質的に、タイプ（あるいは形状）およびデザイン（ガラス片）からなり、これが、万華鏡空間を構成する。ホモトピーレベルで定義されるプロパティは、関数の連続的な変化の不変量である。ホモトピーは、ギリシャ語を起源とする専門用語であり、一般的な意味での連続的な変形を表す。時間的、空間的な連続的変形によって変化しないプロパティ、たとえば、オブジェクトの変形やコンセプトの開発などは、この階層で表現される。
【００１４】
万華鏡の世界は、万華鏡空間中のオブジェクトを含む。集合論レベルでは、万華鏡空間の要素が定義され、要素の集まりが、論理演算とともに集合を構成する。万華鏡空間において関数が定義されるとき、近傍が近接した場所に写像されるという連続性が保証された領域が必要となる。したがって、近傍の概念によって、万華鏡空間に位相幾何学が導入される。位相幾何学を定義する別の、あるいは等価な方法として、最も強い位相幾何学としての、べき集合（power set）、および、最も弱い位相幾何学としての空集合によるものがある。前者は、連続的な世界を記述するために使用され、後者は、離散的（不連続）な世界を記述するために使用される。
【００１５】
異なるデザインが別のパターンを発生させ、また、同じガラス片が使用される場合であっても、万華鏡が回転することにより、異なるパターンが発生するため、万華鏡世界は動的といえる。ガラス片が底面で動くときに、万華鏡空間のいくつかが、ひとつに接着され、あるいは、互いに分離し、または、追加されたり、除去されたりする。こうした動的な変化は、接着空間レベルにおいて記述される。２つの互いに素な万華鏡空間が、ひとつに接着されると、２つの万華鏡空間の排他的結合を構成し、ここでは、接着された領域が等価（同型）となる。ある方法で得られた接着空間が、別の方法で得られた接着空間と等価であることは起こりうる。これらの接着空間は、別の不変量である商空間とよばれる等価な空間の集合としてみなされる。
【００１６】
セル構成空間レベルにおいて、それぞれのサイバー空間に帰納的な次元が導入される。
表現レベルでは、各空間は、具体的な形式で表現され、これは万華鏡の世界をデザインする以前においてのみ、観念される。
可視レベルは、投影レベルとも呼ばれ、万華鏡の世界は、可視スクリーンに投影される。
【００１７】
３．  万華鏡の設計
万華鏡は、１８１６年にデビッド・ブリュースターによって発明された。Kaleidoscopeの語は、ギリシャ語の「美しい」を表す「kalo」と、Indo-Europeanの「形成する」を表す「eido」と、ギリシャ語の「見る」を表す「scope」を語源とする。万華鏡は、対照的な幾何学的パターンとして、彩色されたガラス片の像を反射するミラーを備える光学デバイスである。
【００１８】
４．  ホモトピーレベル
［ホモトピー不変量］
（ａ）  関数の連続性
（ｂ）  オンラインショッピングや、電子学習、製造や落ち葉など、構成要素を接着またはデタッチすることにより発生するイベントは、すべてホモトピーにより一意的に表現される。
（ｃ）  ホモトピー不変量
【００１９】
［ホモトピーの定義］
ＸおよびＹを、位相空間、ｆ、ｇ：Ｘ→Ｙを連続写像、Ｉ＝［１，０］とするとき、ホモトピーは、
Ｈ：Ｘ×Ｉ→Ｙ
ｔ∈Ｉ
ｔ＝０のとき、Ｈ＝ｆ、ｔ＝１のときＨ＝ｇである。
【００２０】
［ホモトピー同値（位相同型）］
２つの構成要素は、次元に関係なく、一方を変形することにより、それが他方に到達するときに等価である。全く異なるイベントが、同じ抽象レベルにおいて、ホモトピー同値であることもしばしば起こりえる。
【００２１】
［ホモトピー同値の定義］
位相空間Ｘ、Ｙがホモトピー同値
【数１】
2008015633.tif 000003
であるためは、以下の条件を満たす必要がある：
ｆ：Ｘ→Ｙ、ｈ：Ｙ→Ｘ
【数２】
2008015633.tif 000004
ここで、１Xおよび１Yは、同定写像（Identification map）１X=Ｘ→Ｘ, １Y=Ｙ→Ｙである。
【００２２】
［情報］
情報の基本的なプロパティ
動的な変化は、以下によって引き起こされる。
接着：（会社を合併し、バランスシートが集約された貸借対照表と損益計算書、コップをつかむなど）
デタッチ：  卒業、別離、販売
【００２３】
［ＨＬＰおよびＨＥＰ］
ホモトピーリフティングプロパティ（ＨＬＰ：Homotopy Lifting Property）およびホモトピー拡張プロパティ（ＨＥＰ：Homotopy Extension Property）は、概念の変化、システムの変化、イノベーションおよび進化を、ＨＬＰによりトップダウンで、ＨＥＰによりボトムアップでそれぞれ扱うことができる。
【００２４】
［利点］
抽象階層により何が解決されるか。
抽象階層は、多体問題、ソフトウェアエンジニアリングなどの従来の手法（要素削減法）において発生する組み合わせ爆発を避けることができる。なぜなら、不変量は抽象階層を上り、あるいは下ったときにのみ、線形的に増加するからである。
【００２５】
［数学とどう異なるのか］
サイバーワールドは、しばしば離散的である。数学は、より連続的な空間に関心を有する。
【００２６】
［伝統的な方法論と何が異なるのか］
伝統的な方法論は、手続き的である。
モジュール追加型抽象階層は、近代の数学と同様に、上位レベルにおいて抽象的であり、下位レベルにおいて手続き的である。
【００２７】
［万華鏡］
万華鏡は、内角を有するいくつかのミラーによって定義されるいくつかのタイプと、彩色されたガラス片の位置によって特定されるいくつかのデザインを有する。反射した像が干渉することなく、対照的な像を作り上げるために、万華鏡を構成する上でのいくつかの制限が存在する。すなわち、それぞれの内角は、円の３６０度を偶数で除した値でなければならない。
【００２８】
万華鏡の世界は、サイバーワールドほど複雑ではないが、万華鏡の世界は、タイプとデザインのわずかに２つの空間によって表現される点で興味深い。万華鏡のパターンの動的な変化は、これらの空間の関係性によってのみ、モデリングされ、表現される。これらの２つの空間の関係性は、万華鏡の世界において不変量であるため、万華鏡の世界が、デバッグや検証の工数爆発を回避し、ひいては開発のコストと時間を大幅に削減するために、関係性を不変量とするというシンプルなモデリングによって表現されることはすばらしい。これは、普遍的に適用可能な高いレベルの数学的抽象性にもとづいているため、全ての情報システムに適応することができる。
【００２９】
ファイバ束は、４つの部分からなるもの（quadraple）ξ＝（Ｅ,Ｂ,Ｆ,Ｐ）であり、全空間Ｅ、底空間Ｂ、ファイバＦおよび束投影ｐを含む。万華鏡の場合、全空間Ｅは、万華鏡そのものを表す。底空間Ｂについては後に詳述する。ファイバＦは、デザインによって記述される。束投影ｐは、万華鏡からそのタイプへの変換である。このファイバ束は図１に示される。
【００３０】
ここで、万華鏡のパターンについて考察する。説明の簡素化のため、底空間は、ただ一つのタイプ（たとえば、四角形）を含むものとし、ファイバは、ただひとつのデザイン（たとえば、文字「Ｒ」）のみを含むものとする。元になる像は、タイプに組み込まれたそれ自身のデザインそのものである。万華鏡のパターンは、元になる像を、ミラーによって繰り返し反射することにより生成される。
【００３１】
万華鏡のパターン生成の原理は、以下の通りである。
第１反射像群は、元の像をひとつのミラーで反射することにより得られる。それぞれの第１反射像は、元の像の境界に対して線対称である。第２反射像群は、元の像を連続する２つのミラーによって反射することにより生成される。言い換えれば、第２反射像のそれぞれは、第１反射像を別のミラーによって反射することにより生成される。それぞれの第２反射像は、第１反射像の境界に対して線対称である。元の像から、第３反射像までが、図２に示される。
【００３２】
元の像を含むすべての反射像の集合は、万華鏡のパターンである。万華鏡のパターンは、ファイバ束ξの全空間Ｅを構成する。万華鏡のパターンからデザインを除いた空間は、万華鏡空間と呼ばれ、これは、ファイババンドルξの底空間Ｂを形成する。
【００３３】
ｎ番目の反射像を用いることにより、以下の手順によって、万華鏡のパターンを近似することができる。
第０近似パターンは、元の像である。第ｎ近似パターンは、ｎ番目の反射像を、（ｎ−１）番目の近似パターンに接着することにより得ることができる。
【００３４】
ここで、第ｎ次近似パターンを数学的に表現するために、ホモトピーリフティングプロパティ（ＨＬＰ）について考察する。位相空間Ｘを、０次近似パターンによって定義する。さらに、積空間Ｘ×Ｉを、近似パターンのシーケンスとして定義する。近似パターンは、元のデザインの数倍の領域を有する。同じことが、三角空間（triangular space）において発生する。すなわち、sin(nθ)は、円上を０から２πまで、θをｎ回分進む。ここで、θおよびｎは、再帰的に、ＸおよびＩと考えることができる。
【００３５】
ｉ次の近似パターンの領域は、同様にして得ることができる。ホモトピーＨ：Ｘ×Ｉ→Ｂを、Ｘ×ＩおよびＢの定義から、簡単に定義することができる。ｎ次の近似パターンの定義から、ｉ次近似パターン∈Ｘ×Ｉを、全空間Ｅへと写像する関する関数ｋｔを見つけることができる。ここで、ｔ＝ｉ／Ｎ、,０≦ｉ≦Ｎであり、Ｎは、万華鏡のパターンをシミュレートするのに十分に大きな数である。ＨＬＰを構成する積空間Ｘ×Ｉ、および関数ｋｔ∈Ｋは、図３に示される。
【００３６】
ＨＬＰは、万華鏡のパターンの構成およびモデリングを、明確に説明する。万華鏡のパターンは、元の像を繰り返し反射することにより生成される。ミラーによる反射の回数は、フーリエ変換の場合と同様に、近似の次数を与える。この手法は、サイバーワールドの構成およびモデリングのための一般的な考え方を提供する。万華鏡の世界よりもより複雑なサイバーワールドを構成し、モデリングする場合には、その構成およびモデリングは、簡単な手法によって、ホモトピーレベルにおいて定義される不変量を保存するＨＬＰによって、明確に特定される。
【００３７】
５．  集合論レベル
万華鏡が回転するとき、彩色されたガラス片がその位置を変化させため、万華鏡のタイプとそのデザインの幾何学的な関係性は静的なものではなく、それらの接着された部分は、動的に移動する。これらの関係性は、２つの空間の互いに素な結合として表現される。したがって、位相空間Ｘは、底空間ＢおよびファイバＦの互いに素な結合である。ｎ次の近似パターンを取得するとき、ｎ次の反射像は（ｎ−１）次の近似パターンに接着される。しかし、この関係は動的に変化せず、（ｎ−１）次の近似パターンおよびｎ次の反射像は、強く結合されており、その結果、ｎ次の近似パターンは、（ｎ−１）次の近似パターンとｎ次の反射像の結合として取得される。
【００３８】
６．  位相空間レベル
離散空間を除くすべての空間は、Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ空間であるものとする。
【００３９】
７．  接着空間レベル
［ホモトピーリフティングプロパティ］
図４に示すタイプおよびデザインが付加されて構成される０次近似パターンからスタートする。ＴおよびＤを、それぞれタイプおよびデザインの位相空間を示すものとする。接着写像ｆは、f:D0→Tである連続写像である。ここで、D0⊂Dである。したがって、接着空間
【数３】
2008015633.tif 000005
は、商空間
【数４】
2008015633.tif 000006
の例である。
この場合の同定写像ｇは、
【数５】
2008015633.tif 000007
となる。
【００４０】
図５に示すように、１次近似パターンP1も同様に得ることができる。
R1i(=0,1,2)を１次反射像とする。ここで、
【数６】
2008015633.tif 000008
D1i0 およびT1i は、それぞれひとつのミラーによるD0およびTの１次次反射像である。
P0を０次近似パターンとする。ここで、
【数７】
2008015633.tif 000009
である。
接着写像ｆ’は、ｆ’:R1i→P0を満たす連続写像である。ここで、R1i0⊂R1iである。したがって、接着空間
【数８】
2008015633.tif 000010
は、商空間
【数９】
2008015633.tif 000011
の一例となる。
【００４１】
この処理を繰り返すことにより、以下のｎ次近似パターンが得られる。
【数１０】
2008015633.tif 000012
【００４２】
付加レベルを適用した後の結果は、万華鏡世界の明確な説明を与える。万華鏡世界は、反射数を用いて近似される。各近似パターンは、タイプ、デザイン指向の２つの空間によって表現される。各空間は、万華鏡のパターンを正確に近似するほど、その領域はさらに拡張される。しかし、付加空間である２つの空間の互いに素な結合は常に保存される。この不変プロパティは、万華鏡の世界が複雑な場合には、万華鏡の世界を簡素化するのにも寄与する。同様のことが、サイバーワールドの構成およびモデリングにも適用される。
【００４３】
［デザインの回転］
万華鏡が回転するとき、ガラス片は底面であちこち移動する。この動きは、ＨＬＰのｎ次近似のX×Iに、時間の次元を追加することにより表現される。デザインの動きの例は、図６に示され、ここでは、０次近似が記述されている。この場合、デザイン空間Ｄは、ガラス片の互いに素な結合として、
【数１１】
2008015633.tif 000013
として表現される。ここで、かけらは、オーバーラップすることが許されている。デザイン空間Ｄが、タイプ空間Ｔと接着されるとき、接着空間は、
【数１２】
2008015633.tif 000014
として表現される。ｎ次近似についても、同様のことが当てはまる。
【００４４】
この結果は、万華鏡のパターンのダイナミズムの明確な説明を与え、これは、電子商取引や、電子学習、電子ビジネスなどに見られるように、外部の状況がドラスティックに変化するというサイバーワールドの構成およびモデリングに好ましい仕様である。この結果は、ホモトピーレベルにおいて定義される互いに素な空間を接着することにより、サイバーワールドのダイナミズムがどのように説明されるかを明らかにする。
【００４５】
［ホモトピー拡張プロパティ（ＨＥＰ）］
ここまでは、万華鏡のモデリングは、ＨＬＰを用いて記述されていた。それは、万華鏡のパターンが、どのように構成されるかをシステム全体のビューポイントからトップダウンで説明し、ここでは、ｎ次近似パターンが、（ｎ−１）次近似パターンおよびｎ次反射像からどのようにして誘導的に生成されるかが記述される。しかしながら、それが、基本の構成要素からどのにしてボトムアップで構成されるかについては示していない。各反射像あるいはその部分は、元の像を一連のミラーによって反射することにより生成される。どの連続するミラーに対しても、ホモトピーを構成する連続する反射像が得られる。一連の反射像は、近似パターンの部分であるから、ＨＥＰを、この包含のために定義することができる。ＨＥＰは、万華鏡の制約を取り除くことにより興味深く示される。
【００４６】
万華鏡は、３６０度を除した角度を有するものとする。奇数の角度は、連続的なデザインを生成するが、図７に示すような、部分的な反射像を示す。
【００４７】
ｎ次反射像は、上述したのと同様に定義される。反射像の添え字は、Rni..jkは、元の像が線対称にミラーｋによって反射され、その像がミラーｊによって反射され、最後にミラーｉが前に得られた像を反射した結果、ｎ個のミラーで反射された場合をしめすという具合に、反射に用いられたミラーを特定する。
【００４８】
いくつかの反射像が、ある場所においてオーバーラップするとき、それらのうち、ただ一つの像が可視である。それは、万華鏡をのぞき込む人の視点に依存する。Rn+1in+1,in,...i1が、ミラーin+1における像Rnin,...i1の反射であるとする。
Rn+1in+1,in,...i1のビュー領域Vn+1in+1,in,...i1を、図８に示すように、それぞれが、視点から出発し、ミラーin+1の終点に至る２つの直線によって囲まれた領域として定義する。
Rn+1in+1,in,...i1の可視領域An+1in+1,in,...i1は、
【数１３】
2008015633.tif 000015
となる。
また、R0およびA0iを、元の像、ならびに、上述の視点およびミラーｉによって囲まれた元の領域のある部分と定義する。
【００４９】
万華鏡におけるＨＥＰは、図９に示される。空間Ａに対して、ｎ次反射像の可視部分は、図９に示すようにして生成され、A0r,A1r,A2rb,...∈A×IおよびAij..k⊆Rij..k.となる。万華鏡のパターンおよび一連のｎ次反射像は、空間ＹおよびＸ×Ｉを構成する。ここで、R0r,R1r,R2rb,...∈X×Iである。
【００５０】
これは、ＨＬＰおよびＨＥＰの間の二重性の典型的な説明を与える。ＨＬＰは、万華鏡世界のすべての像をトップダウンで表すことにより、マクロな見識を与える。一方、ＨＥＰは、コンポーネントおよびそれらの関係をボトムアップで表すことにより、ミクロな見識を与える。
この二重性は、システムビューとコンポーネントビューという二面からサイバーワールドの構成およびモデリングについて記述するのに大きく貢献する。
【００５１】
８．  セル空間レベル
空間が２次元を上限とするため、このレベルの実装は、自明である。いくつかの先行技術が、別の文献［２８，２９］に示されている。
【００５２】
９．  表現レベル
表現レベルは、上述のステップに沿って、Ｆｌａｓｈを用いて実装される。万華鏡のタイプは、Ｆｌａｓｈの新しいシーンのムービークリップシンボルとして編集される。この場合、それは三角形である。そして、Ｆｌａｓｈの図形シンボルであるデザインが、ムービークリップシンボルに配置される。これは、元の像を得るために、デザインがタイプに接着されることに対応する。Ｆｌａｓｈは、図形シンボルをムービーシンボル中で移動させることができ、デザインは、タイプ中におけるその位置を動的に変化させる。０次近似パターンが得られると、元の像の線形対称なコピーによりシーン上に１次反射像が生成され、０次近似パターンと接着される。この処理もまた繰り返される。最終的に、万華鏡のパターンが得られる。フラッシュのシーンは、回転する万華鏡をアニメ動画化する。
【００５３】
１０．  可視レベル
上述した万華鏡は、ときにユークリッド万華鏡（Euclidean Kaleidoscope）とも呼ばれる。ユークリッド万華鏡は、単調であるため、芸術的な変化を増やすために、非ユークリッド万華鏡［３０］、あるいは、ポアンカレ（Poincare）万華鏡と呼ばれる別のタイプの万華鏡が使用される。ユークリッド万華鏡は、ホモトピーレベルから表現レベルまで、非ユークリッド万華鏡と実装を共有化する。可視レベルにおいて、幾何学が導入されるため、このレベルにおいてのみ、異なる実装がなされる。
【００５４】
１１．  結論
万華鏡のアニメーションについて、サイバーワールドの典型例として記述した。万華鏡のアニメーションは、サイバーワールドにおける仮想世界と現実世界との関係性を象徴する。説明した不変量は、組み合わせ爆発が発生するサイバーワールドにも同様に適用される。
【００５５】
万華鏡は、元の像をミラーで繰り返し反射することにより幻想的な世界を提供する。万華鏡の世界は、底空間およびファイバを含むファイバ束によって表現される。底空間は、万華鏡のタイプによって構成される。ファイバは、デザインにより構成される。ＨＬＰにより近似パターンが得られ、万華鏡のパターンがＨＥＰによって構成要素から構築されることが示された。
【００５６】
万華鏡は、回転されると、別の幻想的な世界を提供する。この幻想的な世界は、ＨＬＰを用いて記述される。空間X×Iは、ｎ次近似パターンであり、X×I×Iが、ガラス片の動きによって生成されるパターンの変化を表現するために定義された。近似パターンはタイプおよびデザインによって生成される空間の互いに素な結合であるため、デザインによって生成される空間は、ガラス片の動きによってのみ影響を受ける。このことは、一般的なサイバーワールドの典型例としての万華鏡の世界の構成およびモデリングを明確なものとし、その結果、動的な変化を線形にすることにより、組み合わせ爆発を防止することができる。
【００５７】
１２．  参考文献
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【図面の簡単な説明】
【００５８】
【図１】万華鏡のファイバ束を示す図である。
【図２】万華鏡の３次反射像を示す図である。
【図３】万華鏡のホモトピーリフティングプロパティを示す図である。
【図４】０次近似パターンを示す図である。
【図５】１次近似パターンを示す図である。
【図６】２次近似パターンを示す図である。
【図７】反射像の分割されたパーツを生成する奇数角を示す図である。
【図８】ビュー領域を示す図である。
【図９】万華鏡のホモトピー拡張プロパティを示す図である。
【図４】
2008015633.tif 000016
【図５】
2008015633.tif 000017
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
2008015633.tif 000024
【外国語明細書】
[Title of Invention]
A kaleidoscope as a cyberworld and its animation: Linear architecture and modeling based on an incrementally modular abstraction hierarchy
[Detailed Description of Invention]
(Summary of the invention)
An information managing method is provided. The method comprising:
applying an incrementally modular abstraction hierarchy to a kaleidoscope animation whose architecture and modeling are defined as an example of cyberworlds, and
creating the kaleidoscope animation systematically top-down from the whole system and bottom-up from components using a homotopy lifting property and a homotopy extension property.
[BEST MODE FOR CARRYING OUT THE INVENTION]
1. Introduction
Cyberworlds are information worlds, either in the real worlds or virtual worlds, or both. A cyberworld interacts and changes dynamically. For example, Kaleidoscope, On-line shopping, e-Learning, Manufacturing, A fallen leave are a kind of cyberworld. Kaleidoscopes exhibit basic properties of cyberworlds in that simple moves in the real world change the views as virtual worlds drastically in a manner similar to a case such that simple real trading, trading in the real world, affects e-financial trading as a virtual world drastically as has been often reported in world financial news. Such drastic changes make it hard to identify the relationships of entities during and after the changes because of their scale and speed. This research based on an incrementally modular abstraction hierarchy centered on fiber bundles, homotopy lifting properties (HLP) and homotopy extension properties (HEP) as dual properties in particular, provides basic architecture and modeling to identify the relationships precisely based on invariants. We show that actually fiber bundles are maintained uniquely during and after the changes.
A Kaleidoscope is defined as follows in Lexicongraphic Definition OKD 7th Edition. The second definition is close to "cyberworlds" of our definition.
1[C] a toy consisting of a tube that you look through with loose pieces of colored glass and mirrors at the end. When the tube is turned, the pieces of glass move and form different patterns
2[sing.] a situation, pattern, etc. containing a lot of different parts that are always changing
A kaleidoscope[1] behaves interestingly. It creates a fantastic pattern by reflecting an original design in mirrors repeatedly. The original design, consisting bits of glass, is attached to the bottom of the kaleidoscope. When it is rotated as an activity in the real world, the current design is flushed away and a different design is exhibited and viewed as a virtual world, which leads to generate another fantastic pattern. This dynamism is hardly represented by physics or geometry. This is similar to describe a fallen leaf rolling on the ground when it is blown by a wind. The leaf and ground are different entities, but some parts of these entities are attached together at the present moment and different parts will be adjoined together at the next moment. Neither physics nor geometry can model these relations. Physics geometrically models a leaf and the ground as a point and a plane, respectively by the element reduction method and analyzes it by gravity and wind-force considering how they are attached with each other at each moment. The complexity explodes because of increasing combinations of the relationships between the leaf and road. These dynamic relations between a leaf and the ground are clearly represented by using an incrementally modular abstraction hierarchy, which has been introduced to the architecture and modeling of cyberworlds[2-22] as a theoretical structure. It is based on a hierarchy starting from homotopy, which includes fiber bundles. The incrementally modular abstraction hierarchy climbs down the levels from general level to specific preserving the higher level modules as invariants.
At the highest level, the relation between the type and design of a kaleidoscope, which corresponds to the ground and the leaf in the case of the rolling fallen leaf, is specified using fiber bundles. The type and design are represented as two spaces, which are attached together at some parts. After adding sets and topological spaces, attaching parts of two spaces are clearly defined by adjunction spaces where two spaces are disjointly attached together as a disjoint union by an attaching function. By climbing down the hierarchy, more specific properties are added including physical properties if necessary, while the higher levels are preserved as invariants. Homotopy lifting and extension properties used at the highest level express how the kaleidoscope is constructed top-down from the whole system and bottom-up from the components, respectively. The examples of these properties are also discussed in this paper.
Cyberworlds = Information world in the real world or virtual worlds, and both.
Cyberworlds are modeld and organized by the same methodology, which is called an incrementally modular abstraction hierarchy.
The properties of a kaleidoscope can exhibit modeling and architecture of the cyberworlds in a general way.
Events or phenomenon are described in "Cyberworlds" and "A real (traditional) world" as follows.
[Cyberworlds]
(1) On-line shopping
A real world: Clicking a button
A virtual world: trading between a user and an online-shop through the Internet
(2) e-Learning
A real world: Watching video
A virtual world: A student interacting with a teacher through the Internet
[A real(traditional) world)]
(1) Manufacturing
A real world: Attaching a foot part to a seat part
A real world: Functioning it as a seat
A virtual world: trading between a user and an online-shop through the Internet
(2) A fallen leave
A real world: Blowing a leave
A real world: Rolling it on the road
2. An Incrementally Modular Abstraction Hierarchy
(a) The homotopy (including fiber bundles) level
Cyberworld spaces related to the application area are specified as the most general invariants.
(b) The set theoretical level
Elements constituting the cyberworld spaces are specified and added linearly as more general invariants.
(c) The topological space level
Neighbors, mappings and reverse mappings are specified and added lineally as the next invariants. In particular, the weakest or strongest topology is introduced for a discrete system. 
(d) The adjunction space level
The dynamic relations by attaching or detaching a cyberspace with another space are specified and added linearly as the following invariants. The equivalent relations are represented as a quotient space.
(e) The cellular space level
Dimentions are specified and added linearly as more concrete invariants.
(f) The presentation (including geometry) level
Application domain properties are specified and added linearly as the most concrete invariants.
(g) The view (also called projection) level
The following list is an incrementally modular abstraction hierarchy to be used for modeling the kaleidoscope world:
1. The homotopy (including fiber bundles) level.
2. The set theoretical level.
3. The topological space level.
4. The adjunction space level.
5. The cellular space level.
6. The presentation (including geometry) level.
7. The view (also called projection) level.
In modeling the kaleidoscope world, general properties of the kaleidoscope world are defined at the higher level and more specific properties are added step by step while climbing down the incrementally modular abstraction hierarchy, keeping the higher levels as the invariants. This is one of the power of incrementally modular abstraction hierarchy to prevent the combinatorial explosion. It also benefits the reuse, development, testing and validation of resources in cyberworlds. The proposed architecture is naturally formal for automated processing based on high level of abstraction of algebraic topology. Please refer textbooks and papers[9,23-27] for the necessary background and the basic definitions, notations, and symbols on algebraic topology assumed in this paper.
Fiber bundles at the homotopy level define kaleidoscope spaces for a kaleidoscope world. Kaleidoscope spaces are specified by the product of a base space and a bundle of fibers called a fiber bundle. The kaleidoscope world is essentially composed of a type (or shape) and a design (bits of glass), which construct kaleidoscope spaces. The properties defined at the homotopy level are invariants of continuous changes of functions. Homotopy is a Greek origin terminology to signify continuous deformation in a general sense. The properties that do not change by continuous modifications in time and space, such as deformation of an object and development of concepts, are expressed at this level.
The kaleidoscope world is composed of objects in kaleidoscope spaces. At the set theoretical level, the elements of kaleidoscope spaces are defined, and a collection of elements constitutes a set with logical operations.
When a function is defined on kaleidoscope spaces, domains that guarantee continuity such that the neighbors are mapped to a near place is required. Therefore, a topology is introduced into kaleidoscope spaces through the concept of neighborhood. Another and equivalent way to define topology is by a power set as the strongest topology, and a null set as the weakest topology. The previous one is used for describing continuous worlds and the latter for discrete worlds.
The kaleidoscope world is dynamic since different designs generate other patterns and also kaleidoscope rotations create different patterns even when the same bits of glass are used. Sometimes some kaleidoscope spaces are attached together and/or separated from each other when bits of glass moves at the bottom, or are added or removed. These dynamic changes are described at the adjunction space level. When two disjoint kaleidoscope spaces are attached together, it constitutes an exclusive union of two kaleidoscope spaces where attached areas of two kaleidoscope spaces are equivalent. It may happen that an attached space obtained in one way is equivalent to a space attached in another way. These attached spaces can be regarded as a set of equivalent spaces called a quotient space that is another invariant.
At the cellular structured space level, an inductive dimension is introduced to each cyberspace.
At the presentation level, each space is represented in a concrete form, which may be only imagined before designing the kaleidoscope world.
At the view level, also called a projection level, the kaleidoscope worlds are projected on view screens.
3. Kaleidoscope Design
The kaleidoscope was invented in 1816 by Sir David Brewster. The word of kaleidoscope is originated from the Greek word kalos meaning ‘beautiful,’ the Indo-European eidos that means ‘form,’ and scope that is Greek for to ‘see.’ The kaleidoscope is an optical device consisting of mirrors that reflect images of bits of colored glass in a symmetrical geometric pattern.
4. TheHomotopy Level
[Homotopy Invariance]
(a) Continuous changes of a function
(b) Events which are caused by attaching or detaching entities like on-line shopping, e-Learning, manufacturing and a fallen leave, they are all uniquely represented by homotopy.
(c) Homotopy invariance
[Homotopy Definition]
Let X and Y be topological spaces, f,g:X→Y be continuous maps, and I=[1,0]. Homotopy is defined as H:X×I→Y where for t∈I.
H=f when t=0, and H=g when t=1.
[Homotopically Equivalent]
Two entities are equivalent if one reaches the other by deforming it regardless of dimensions. Very different events are often homotopically equivalent and same at the abstract level.
[Homotopically Equivalent Definition]
Topological spaces X and Y are homotopoically equivalent
【数１】
2008015633.tif 000025
if the following condition is satisfied:
f:X→Y and h:Y→X and 
【数２】
2008015633.tif 000026
where 1X and 1Y are identity maps 1X=X→X, 1Y=Y→Y.
[Information]
Basic properties of information 
Dynamic changes caused by 
Attaching: Mearge of companies, BSPL with consolidated balance sheet, and grabbing a cup.
Detaching: graduation, divorce, and selling
[HLP and HEP]
A homotopy lifting property (HLP) and homotopy extension property (HEP) can deal with changes of concepts, changes of a system, innovation and evolution from top-down (HLP) and bottom-up (HEP), respectively.
[Advantages]
What is solved by abstraction hierarchy?
It can avoid combinatorial explosion caused by Traditional Methods (the element reduction method) such as Many body problems Software engineering.
Because, invariants are only linearly incremented while climbing down the abstraction hierarchy.
[How different from mathematics?]
Cyberworlds are often discrete.
Mathematics is more interested in a continuous space.
[What is different from traditional methodologies?]
Traditional methodologies are procedural.
A incrementally modular abstraction hierarchy is abstract at higher levels and procedural at lower levels, in the same way with modern mathematics.
[Kaleidoscope]
The kaleidoscope has several types defined by a number of mirrors with the internal angles among them and various designs specified by allocation of bits of colored glass. There are some restrictions to build a kaleidoscope so that it creates a symmetric picture without causing interferences of reflection images. Each internal angle must evenly divide the 360 degrees of a circle.
Though a kaleidoscope world is less complicated than cyberworlds, it is an interesting result that the kaleidoscope world is represented only by two spaces of types and designs. The dynamic changes of a kaleidoscope pattern are modeled and represented only by the relation of these spaces. As the relation of these two spaces is an invariant of the kaleidoscope world, it is fantastic that the kaleidoscope world is represented in a simple way such that this modeling having the relation to be an invariant contributes to avoid explosion of debug and test so that the cost and time for development are drastically reduced. It is applied as is to all information systems since it based on universally applicable high level mathematical abstraction.
A fiber bundle is a quadruple ξ=(E, B, F, p) that is composed of a total space E, a base space B, a fiber F and a bundle projection p. For the kaleidoscope, the total space E is represented as the kaleidoscope itself. The base space B is considered as types of the kaleidoscope. The total space E and the base space B are described more precisely later. The fiber F is described by designs. The bundle projection p is a transformation from the kaleidoscope to its types. This fiber bundle is described in Figure 1.
Now, a kaleidoscope pattern is considered. To simplify explanation, it is assumed that the base space consists of only one type such as a rectangle and the fiber is composed of only one design such as character ‘R.’ The original image is the design itself embedded into the type. A kaleidoscope pattern is generated by reflecting the original image by mirrors repeatedly.
The principle of kaleidoscope pattern generation is as follows: The 1st reflection images are obtained by reflecting the original image by one mirror. Each 1st reflection image is line-symmetrical with respect to the boundary of the original image. The 2nd reflection images are created by reflecting the original image by two consecutive mirrors. In other words, each 2nd reflection image is generated by reflecting the 1st image by another mirror. Each 2nd reflection image is also linesymmetric to the corresponding boundary of the 1st image. From the original image to the 3rd reflection images are shown in Figure 2.
A set of all the reflection images including the original image is the kaleidoscope pattern. The kaleidoscope pattern constitutes the total space E of the fiber bundle ξ. The space excluding the design from the kaleidoscope pattern is called the kaleidoscope space, which forms the base space B of the fiber bundle ξ.
Using the nth reflection images, we can approximate the kaleidoscope pattern by the following procedure. The 0th approximation pattern is the original image. The nth approximation pattern is obtained by attaching the nth reflection images to the (n-1)th approximation pattern.
Now, we consider a homotopy lifting property (HLP) for representing the nth approximation pattern mathematically. We define a topological space X by the 0th approximation pattern. We also define a product space X×I as a sequence of the approximation patterns. An approximation pattern has several times as much area as the original design. The same thing happens in a triangular space such that sin(nθ) goes around a circle n times when θ proceeds from 0 to 2π, where θ and n are considered as X and I, recursively. The area of the ith approximation pattern is obtained in a similar way. We can define a homotopy H: X×I → B easily from definition of X×I and B. From definition of the nth approximation pattern, we can find a function kt that maps the ith approximation pattern ∈X×I into the total space E, where t=i/N, 0≦i≦N and N is an appropriate number big enough to simulate the kaleidoscope pattern. The product space X×I and functions kt∈K constitute a HLP as shown in Figure 3.
A HLP explains clearly the architecture and modeling of the kaleidoscope pattern. The kaleidoscope pattern is generated by reflecting the original image repeatedly. The number of reflections by mirrors gives the degree of its approximation as similar to the case of Fourier transformation. This scheme gives the general idea for architecture and modeling of cyberworlds. In the case of architecture and modeling of a more complicated cyberworld than the kaleidoscope world, its architecture and modeling are clearly specified by a HLP preserving invariants defined at the homotopy level in such a simple way.
5. The Set Theoretical Level
As bits of colored glass change their positions when the kaleidoscope is rotated, geometrical relations between the type of a kaleidoscope and its design are not static so that the attached parts between them move dynamically. These relations are represented as a disjoint union of two spaces. Therefore, the topological space X is a disjoint union of the base space B and the fiber F. When obtaining the nth approximation pattern, the nth reflection images are attached to the (n-1)th approximation pattern. But, this relation does not change dynamically and the (n-1)th approximation pattern and the nth reflection images are tightly connected so that the nth approximation pattern is obtained as the unions of the (n-1)th approximation pattern and the nth reflection images.
6. TheTopology Space Level
We assume that every space except the discrete spaces is a Hausdorff space.
7. The Adjunction Space Level
[A Homotopy Lifting Property.]
We start it from the 0th approximation pattern, which is composed by adjoining the type and the design as shown in Figure 4.
Let T and D denote the topological spaces for the type and the design, respectively. Attaching map f is a continuous map such that f:D0→T, where D0⊂D. Thus, the attaching space 
【数３】
2008015633.tif 000027
is a case of quotient spaces
【数４】
2008015633.tif 000028
The identification map g in this case is
【数５】
2008015633.tif 000029
The 1st approximation pattern P1 is obtained in the same way, which is shown in Figure 5.
Let R1i(=0,1,2) be the 1st reflection images where
【数６】
2008015633.tif 000030
and D1i0 and T1i are the 1st reflection images of D0 and T, respectively in one mirror. Let P0 be the 0th approximation pattern where
【数７】
2008015633.tif 000031
Attaching map f' is a continuous map such that f': R1i→P0, where R1i0⊂R1i. Thus, the attaching space 
【数８】
2008015633.tif 000032
is a case of quotient spaces
【数９】
2008015633.tif 000033
By repeating this process, the nth approximation pattern Pn is obtained as follows:
【数１０】
2008015633.tif 000034
The result after applying the adjunction level gives clear explanation of the kaleidoscope world. The kaleidoscope world is approximated using the reflection number. Each approximation pattern is represented by two spaces of originated types and designs. Each space is more expanding in its area when the kaleidoscope pattern is approximated more pricesely. However, the disjoint union of two spaces as an adjunction space is always preserved. This invarience property also contributes to simplify the kaleidoscope world when it is further elaborated. The same thing is applied to architecture and modeling of cyberworlds.
[Rotating Design.]
When rotating a kaleidoscope, the bits of glass move around at the bottom. This movement is represented by adding time-dimension to X×I of the nth approximation in the HLP. An example of design movement is shown in Figure 6, in which the 0th approximation is described. In this case, design space D is represented as disjoint union of bits of glass such that 
【数１１】
2008015633.tif 000035
, where bits are allowed to be overlapped. As design space D is attached to type space T, the attached space is represented as 
【数１２】
2008015633.tif 000036
For the nth approximation, the same thing applies.
This result gives clear description of dynamism of the kaleidoscope pattern, which is a desired specification of the architecture and modeling of cyberworlds, where external situations are drastically changing as seen in ecommerce, e-trading, and e-business. This result gives how dynamism of cyberworlds is explained by attaching the disjoint spaces defined at the homotopy level.
[A Homotopy Extension Property (HEP).]
Up to now, modeling of a kaleidoscope has been described using a HLP. It explains how a kaleidoscope pattern is constructed top-down from the view point of the whole system, where it is described how the nth approximation pattern is inductively created from the (n-1)th approximation pattern and the nth reflection images. However, it does not show how it is constructed from the elementary components bottom-up. Each reflection image or its part is generated by reflecting the original image in a sequence of mirrors. For any given sequence of mirrors, the sequence of reflection images, which constitutes homotopy, is obtained. As the sequence of reflection images is a part of the approximation pattern, a HEP can be determined for this inclusion. The HEP is shown more interestingly by removing restrictions on the kaleidoscope.
It is now assumed that the kaleidoscope has angles, which divide 360 degree fractionally. Odd angles produces continuing designs but showing fractional part of the reflection images as shown in Figure 7.
The nth reflection images are defined in the same way as described before. The suffixes of a reflection image specify the mirrors used in reflections such that Rni..jk  is reflected in n mirrors where the original image is linesymmetrically reflected by mirror k, and its image is reflected by mirror j, lastly mirror i reflects the previously obtained image.
When several reflection images overlap at some place, only one image among them is visible. It depends on the view point from which a viewer looks at the kaleidoscope. Assume that Rn+1in+1,in,...i1 is the reflection image of Rnin,...i1 in the mirror in+1. We define a viewing area Vn+1in+1,in,...i1 of Rn+1in+1,in,...i1 by an area which is bounded by two lines, each of which starts from the view point towards a terminal points of mirror in+1 as shown in Figure 8.
The visible area An+1in+1,in,...i1 of Rn+1in+1,in,...i1 becomes
【数１３】
2008015633.tif 000037
We also define R0 and A0i as the original image and the part of the original area which is bound by the view point and mirror i as described before.
The HEP for the kaleidoscope is shown in Figure 9. For space A, visible parts of the nth reflection images is generated as shown in Figure 9 where A0r,A1r,A2rb,...∈A×I and Aij..k⊆Rij..k. The kaleidoscope pattern and the sequence of the nth reflection images constitute space Υ and X×I where R0r,R1r,R2rb,...∈X×I.
This gives typical explanations of duality between a HLP and a HEP. A HLP gives a macro view by showing the whole image of the kaleidoscope world top-down. On the other hand, a HEP does a micro view by showing images of components and their relations bottom-up. This duality contributes greatly to describing the architecture and modeling of cyberworlds from both sides: the system view and the component view.
8. The Cellular Space Level
Implementation of this level is trivial since the spaces are limited up to two-dimensions. Some previous works are shown in other papers[28,29].
9. The Presentation Level
The presentation level can be implemented using Flash along the above step. The type of the kaleidoscope is edited as a movie clip symbol in a new scene of Flash. In this case, it is a triangular. Then, the design that is a graphical symbol of Flash is placed in the movie clip symbol, which corresponds to attach the design to the type in order that the original image is obtained. Flash allows a graphical symbol move around in the movie symbol so that the design changes its position dynamically in the type. As the 0th approximation pattern is obtained, the 1st reflection images are generated on the scene by line-symmetric copies of the original image and attached to the 0th approximation pattern. This process is also repeated. Finally, the kaleidoscope pattern is obtained. The scene of Flash animates a rotating kaleidoscope.
10. TheView Level
The kaleidoscope, which has been described up to now, is sometimes called a Euclidean kaleidoscope. As the Euclidean kaleidoscope is monotone, another type of kaleidoscope, which is called a non-Euclidean kaleidoscope 30 or a Poincare´ kaleidoscope, is used to increase artistic variations. A Euclidean kaleidoscope shares implementation with a non-Euclidean kaleidoscope from the homotopy level to the presentation level. Since geometry is introduced at the view level, they are implemented differently only at this level.
11. Conclusions
The kaleidoscope animation has been described as a typical case of cyberworlds. It symbolizes the relationships of virtual worlds and the real world of cyberworlds. The invariants presented are similarly applied to cyberworlds being exploding combinatorially.
The kaleidoscope provides fantastic world with reflecting the original image in mirrors repeatedly. The kaleidoscope world has been represented by a fiber bundle consisting of a base space and a fiber. The base space is constructed by types of the kaleidoscope. The fiber is constituted by designs. It is shown that the approximation pattern is obtained by a HLP and that the kaleidoscope pattern is constructed from components by a HEP.
The kaleidoscope provides another fantastic world when it is rotated. This fantastic world has been described using a HLP. As space X×I is the nth approximation pattern, X×I×I has been defined to represent changes of the pattern, which is created by movement of bits of glass. As an approximation pattern is disjoint union of spaces created by a type and a design, only the space created by design is affected by movement of bits. It gives clear a architecture and a model of the kaleidoscope world as a typical case of a cyberworld in general to prevent combinatorial explosion to make dynamic changes linear.
12. References
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[Brief Description of Drawings]
Figure 1 shows the fiber bundle for a kaleidoscope.
Figure 2 shows the third reflection images of the kaleidoscope.
Figure 3 shows the homotopy lifting property of the kaleidoscope.
Figure 4 shows the 0th approximation pattern.
Figure 5 shows the 1st approximation pattern.
Figure 6 shows the 0th approximation pattern.
Figure 7 shows Odd angles produce fractional parts of the reflection
images.
Figure 8 shows a viewing area.
Figure 9 shows a homotopy extension property of the kaleidoscope.
1. An information managing method comprising:
applying an incrementally modular abstraction hierarchy to a kaleidoscope animation whose architecture and modeling are defined as an example of cyberworlds, and
creating the kaleidoscope animation systematically top-down from the whole system and bottom-up from components using a homotopy lifting property and a homotopy extension property.
1  Abstract
An incrementally modular abstraction hierarchy is known to effectively linearize cyberworlds and virtual worlds, which are combinatorially exploding and hardly managed.
It climbs down from general level to specific model preserving the higher level modules as invariants. It not only prevents the combinatorial explosion but also benefits the reuse, development, testing and validation of cyberworld resources. By applying this incrementally modular abstraction hierarchy to a kaleidoscope animation, its architecture and modeling is also specified in this paper as a typical case of cyberworlds. In particular, a homotopy lifting property and a homotopy extension property, which satisfy a duality relation, are also described to show how a kaleidoscope world is systematically created top-down from the whole system and bottom-up from the components.
2  Representative Drawing: Figure 1
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