(57)【要約】【課題】コンピュータを用いて、Ａｆｆｉｎｅ形式のモデルを自動的に線形形式モデルに変換することである。【解決手段】Ａｆｆｉｎｅ形式のモデルを自動的に線形形式モデルに変換するために、まず、制御対象に対するＡｆｆｉｎｅ形式モデルを取得し、制御対象から複数のデータセットを取得し、これをトレーニングセットとチェキングセットに二分する（Ｓ１０，１２，１４）。次に状態変数ｘに関する多項式を候補多項式ｚkとして複数生成し、トレーニングセットにより、各候補多項式について評価条件ＪPを最小にするようにして各多項式係数を算出し、チェッキングセットにより評価し、十分でないときは、さらに高次の候補多項式を生成し、これを繰り返す（Ｓ１６，１８，２０，２２，２４）。最小のＪPとなる候補多項式を微分可能同相写像関数Ｔとして、線形形式モデルに変換する（Ｓ２６，２８）。【選択図】図２
2008250665.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
非線形ダイナミクスを有する制御対象について、
制御対象に対するＩ個の互いに独立の線形入力変数をｕとし、
制御対象の観察可能なＪ個の互いに独立の非線形状態変数をｘとし、
ｄｘ／ｄｔを算出対象として、
制御対象の状態方程式が
【数１】
2008250665.tif 000042
のＡｆｆｉｎｅ形式にモデル化されたときに、これを
新しいＩ個の入力変数と、
新しいＪ個の状態変数であって、それぞれがｕを含まないｘの関数であり、それらのＪ個の関数のうち２つをＴ1，Ｔ2として、ｘのそれぞれとｇiのそれぞれについて、Ｌｉｅ微分演算子をＬとして
【数２】
2008250665.tif 000043
を満足するＪ個の状態変数と、
で表現される
【数３】
2008250665.tif 000044
の線形形式のモデルに変換する線形化変換装置であって、
制御対象に対するＡｆｆｉｎｅ形式モデルを取得する手段と、
ｘに関する部分多項式として、Ｔ1の候補多項式を複数生成する候補生成手段と、
生成された複数のＴ1の候補多項式のそれぞれをｚkとして、各ｚkについて、部分多項式の各係数を算出する手段であって、Ｊ個の非線形状態変数を１組とした｛ｘj｝の観察データの複数組の全体について、重み係数をＷiとして、
【数４】
2008250665.tif 000045
を最小にする各係数を算出する係数算出手段と、
複数のｚkのなかで、ＪPの値が最も小さい候補多項式をＴ1として、線形形式モデルを設定する設定手段と、
を備えることを特徴とする線形化変換装置。
【請求項２】
請求項１に記載の線形化変換装置において、
係数算出手段は、
制御対象に関する観察結果からＪ個の非線形状態変数を１組とした｛ｘj｝の観察データを複数組収集し、その一部を複数の｛ｘj｝のセットからなるトレーニングセットとし、残りを複数の｛ｘj｝のセットからなるチェッキングセットとするデータ収集手段と、
トレーニングセットの複数の｛ｘj｝のセットを用いてＪPを最小にする各係数を求めるトレーニング手段と、
チェッキングセットの複数の｛ｘj｝のセットを用いて、トレーニング手段によって求められた各係数を用いたときにＪPが所定範囲にあるか否かを判断し、所定範囲にあると判断されたときに、チェッキングセットの複数の｛ｘj｝のセットを用いて改めてＪPを求める評価手段と、
を有することを特徴とする線形化変換装置。
【請求項３】
請求項２に記載の線形化変換装置において、
候補生成手段は、
Ｊ個の互いに独立の非線形状態変数を第１世代選択群とし、その中から任意に２つを選択して複数の組合せとし、各組み合わせについてそれぞれ部分多項式を生成して、これを第１世代候補多項式群とし、
第１世代選択群に第１世代候補多項式群とを合わせて第２世代選択群とし、その中から任意に２つを選択して複数の組合せとし、各組み合わせについてそれぞれ部分多項式を生成して、これを第２世代候補多項式群とし、
評価手段の結果に応じて、前の世代選択群に今の世代選択群を合わせて次の世代選択群とし、その中から任意に２つを選択して複数の組合せとし、各組み合わせについてそれぞれ部分多項式を生成して、これを次の世代候補多項式群として作成し、
評価手段は、
今の世代候補多項式群の各候補多項式のＪPの最小値が、前の世代候補多項式群の各候補多項式のＪPの最小値よりも小さいときは、さらに、次の世代候補多項式群の各候補多項式のＪPの最小値と比較し、
今の世代候補多項式群の各候補多項式のＪPの最小値が、前の世代候補多項式群の各候補多項式のＪPの最小値よりも大きいときは、前の世代候補多項式群の各候補多項式のなかでＪPが最小値となる候補多項式をＴ1として、線形形式モデルを設定することを特徴とする線形化変換装置。
【請求項４】
請求項１に記載の線形化変換装置において、
Ｊ＝３、Ｉ＝２の場合、
Ａｆｆｉｎｅ形式モデルは、
【数５】
2008250665.tif 000046
で表現され、
線形形式モデルは、
【数６】
2008250665.tif 000047
【数７】
2008250665.tif 000048
【数８】
2008250665.tif 000049
で表現され、
ＪPは、
【数９】
2008250665.tif 000050
であることを特徴とする線形化変換装置。
【請求項５】
非線形ダイナミクスを有する制御対象について、
制御対象に対するＩ個の互いに独立の線形入力変数をｕとし、
制御対象の観察可能なｎ個の互いに独立の非線形状態変数をｘとし、
ｄｘ／ｄｔを算出対象として、
制御対象の状態方程式が
【数１０】
2008250665.tif 000051
のＡｆｆｉｎｅ形式にモデル化されたときに、これを
新しいＩ個の入力変数と、
新しいＪ個の状態変数であって、それぞれがｕを含まないｘの関数であり、それらのＪ個の関数のうち２つをＴ1，Ｔ2として、ｘのそれぞれとｇiのそれぞれについて、Ｌｉｅ微分演算子をＬとして、
【数１１】
2008250665.tif 000052
を満足するＪ個の状態変数と、
で表現される
【数１２】
2008250665.tif 000053
の線形形式のモデルに変換する線形化変換装置上で実行される線形化変換プログラムであって、
制御対象に対するＡｆｆｉｎｅ形式モデルを取得する処理手順と、
ｘに関する部分多項式として、Ｔ1の候補多項式を複数生成する候補生成処理手順と、
生成された複数のＴ1の候補多項式のそれぞれをｚkとして、各ｚkについて部分多項式の各係数を算出する処理手順であって、Ｊ個の非線形状態変数を１組とした｛ｘj｝の観察データの複数組の全体について、重み係数をＷiとして、
【数１３】
2008250665.tif 000054
を最小にする各係数を算出する係数算出処理手順と、
複数のｚkのなかで、ＪPの値が最も小さい候補多項式をＴ1として、線形形式モデルを設定する設定処理手順と、
が実行される線形化変換プログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、線形化変換装置及び線形化変換プログラムに係り、特に、非線形ダイナミクスを有する制御対象がＡｆｆｉｎｅ形式にモデル化されたときに、これを線形形式のモデルに変換する線形化変換装置及び線形化変換プログラムに関する。
【背景技術】
【０００２】
車両の操作と走行状態のように、非線形のダイナミクスを有するシステムが数多くあるが、これらのシステムを制御するコントローラ、すなわち制御装置を設計することは容易ではない。すなわち、従来の制御システムの構築を行う際のモデリング手法は、力学的な方程式表現を用いる解析的な手法であるが、この解析的手法を用いて非線形系に対するコントローラを設計しようとすると、次のような問題に直面する。第１に、非線形ダイナミクスをモデリングすることが困難で、常に精度のよい解析的モデルを得られる保証がないこと、第２に、仮に精度のよいモデリングが求められたとしても、そのモデルはコントローラの構築に適した形ではなく、コントローラの作成に容易な形への変換が困難である。
【０００３】
第１の問題に関し、例えば、非特許文献１には、無人車両システムにおいて、非線形ダイナミクスがＡｆｆｉｎｅ形式でモデル化することが述べられている。
【０００４】
【非特許文献１】金泳佑等，低速度下における車両ダイナミクス操作のモデル化方法と非線形最適化コントローラ設計への応用，ＪＳＭＥ，Ｓｅｒｉｅｓ  Ｃ，ｖｏｌ．４９，Ｎｏ．４９，２００６，ｐ１０４０−１０４９
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
このように、非線形ダイナミクスを有するシステムについてＡｆｆｉｎｅ形式のモデル化を行うことができるが、上記第２の問題が残されることがある。すなわち、多くの制御理論は線形システムを前提としているので、Ａｆｆｉｎｅ形式のモデルを用いて制御システムを構築するには限界がある。そのために、Ａｆｆｉｎｅ形式モデルを線形形式モデルに変換することが望ましいが、モデルによってはその変換が困難なことが多く、その場合には大幅な近似を行った線形形式モデルを用いることが余儀なくされる。近似モデルでは制御の精度が低下するため、厳密な線形形式モデルへの変換の試みもなされるが、現在ではトライアンドエラーを繰り返す試行錯誤を繰り返すため、変換をなすことができたとしても、多大な労力と時間を要する。
【０００６】
本発明の目的は、コンピュータを用いて、Ａｆｆｉｎｅ形式のモデルを自動的に線形形式モデルに変換する線形化変換装置及び線形化変換プログラムを提供することである。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
本発明に係る線形化変換装置は、非線形ダイナミクスを有する制御対象について、制御対象に対するＩ個の互いに独立の線形入力変数をｕとし、制御対象の観察可能なＪ個の互いに独立の非線形状態変数をｘとし、ｄｘ／ｄｔを算出対象として、制御対象の状態方程式が
【数１】
2008250665.tif 000003
のＡｆｆｉｎｅ形式にモデル化されたときに、これを新しいＩ個の入力変数と、新しいＪ個の状態変数であって、それぞれがｕを含まないｘの関数であり、それらのＪ個の関数のうち２つをＴ1，Ｔ2として、ｘのそれぞれとｇiのそれぞれについて、Ｌｉｅ微分演算子をＬとして
【数２】
2008250665.tif 000004
を満足するＪ個の状態変数と、で表現される
【数３】
2008250665.tif 000005
の線形形式のモデルに変換する線形化変換装置であって、制御対象に対するＡｆｆｉｎｅ形式モデルを取得する手段と、ｘに関する部分多項式として、Ｔ1の候補多項式を複数生成する候補生成手段と、生成された複数のＴ1の候補多項式のそれぞれをｚkとして、各ｚkについて、部分多項式の各係数を算出する手段であって、Ｊ個の非線形状態変数を１組とした｛ｘj｝の観察データの複数組の全体について、重み係数をＷiとして、
【数４】
2008250665.tif 000006
を最小にする各係数を算出する係数算出手段と、複数のｚkのなかで、ＪPの値が最も小さい候補多項式をＴ1として、線形形式モデルを設定する設定手段と、を備えることを特徴とする。
【０００８】
また、本発明に係る線形化変換装置において、係数算出手段は、制御対象に関する観察結果からＪ個の非線形状態変数を１組とした｛ｘj｝の観察データを複数組収集し、その一部を複数の｛ｘj｝のセットからなるトレーニングセットとし、残りを複数の｛ｘj｝のセットからなるチェッキングセットとするデータ収集手段と、トレーニングセットの複数の｛ｘj｝のセットを用いてＪPを最小にする各係数を求めるトレーニング手段と、チェッキングセットの複数の｛ｘj｝のセットを用いて、トレーニング手段によって求められた各係数を用いたときにＪPが所定範囲にあるか否かを判断し、所定範囲にあると判断されたときに、チェッキングセットの複数の｛ｘj｝のセットを用いて改めてＪPを求める評価手段と、を有することが好ましい。
【０００９】
また、本発明に係る線形化変換装置において、候補生成手段は、Ｊ個の互いに独立の非線形状態変数を第１世代選択群とし、その中から任意に２つを選択して複数の組合せとし、各組み合わせについてそれぞれ部分多項式を生成して、これを第１世代候補多項式群とし、第１世代選択群に第１世代候補多項式群とを合わせて第２世代選択群とし、その中から任意に２つを選択して複数の組合せとし、各組み合わせについてそれぞれ部分多項式を生成して、これを第２世代候補多項式群とし、評価手段の結果に応じて、前の世代選択群に今の世代選択群を合わせて次の世代選択群とし、その中から任意に２つを選択して複数の組合せとし、各組み合わせについてそれぞれ部分多項式を生成して、これを次の世代候補多項式群として作成し、評価手段は、今の世代候補多項式群の各候補多項式のＪPの最小値が、前の世代候補多項式群の各候補多項式のＪPの最小値よりも小さいときは、さらに、次の世代候補多項式群の各候補多項式のＪPの最小値と比較し、今の世代候補多項式群の各候補多項式のＪPの最小値が、前の世代候補多項式群の各候補多項式のＪPの最小値よりも大きいときは、前の世代候補多項式群の各候補多項式のなかでＪPが最小値となる候補多項式をＴ1として、線形形式モデルを設定することが好ましい。
【００１０】
また、本発明に係る線形化変換装置において、Ｊ＝３、Ｉ＝２の場合、Ａｆｆｉｎｅ形式モデルは、
【数５】
2008250665.tif 000007
で表現され、線形形式モデルは、
【数６】
2008250665.tif 000008
【数７】
2008250665.tif 000009
【数８】
2008250665.tif 000010
で表現され、ＪPは、
【数９】
2008250665.tif 000011
であることが好ましい。
【００１１】
また、本発明に係る線形化変換プログラムは、非線形ダイナミクスを有する制御対象について、制御対象に対するＩ個の互いに独立の線形入力変数をｕとし、制御対象の観察可能なｎ個の互いに独立の非線形状態変数をｘとし、ｄｘ／ｄｔを算出対象として、制御対象の状態方程式が
【数１０】
2008250665.tif 000012
のＡｆｆｉｎｅ形式にモデル化されたときに、これを新しいＩ個の入力変数と、新しいＪ個の状態変数であって、それぞれがｕを含まないｘの関数であり、それらのＪ個の関数のうち２つをＴ1，Ｔ2として、ｘのそれぞれとｇiのそれぞれについて、Ｌｉｅ微分演算子をＬとして、
【数１１】
2008250665.tif 000013
を満足するＪ個の状態変数と、で表現される
【数１２】
2008250665.tif 000014
の線形形式のモデルに変換する線形化変換装置上で実行される線形化変換プログラムであって、制御対象に対するＡｆｆｉｎｅ形式モデルを取得する処理手順と、ｘに関する部分多項式として、Ｔ1の候補多項式を複数生成する候補生成処理手順と、生成された複数のＴ1の候補多項式のそれぞれをｚkとして、各ｚkについて部分多項式の各係数を算出する処理手順であって、Ｊ個の非線形状態変数を１組とした｛ｘj｝の観察データの複数組の全体について、重み係数をＷiとして、
【数１３】
2008250665.tif 000015
を最小にする各係数を算出する係数算出処理手順と、複数のｚkのなかで、ＪPの値が最も小さい候補多項式をＴ1として、線形形式モデルを設定する設定処理手順と、が実行される。
【発明の効果】
【００１２】
上記構成の少なくとも１つによれば、Ａｆｆｉｎｅ形式モデルを線形形式モデルに変換する際に、新しい状態変数のそれぞれがｕを含まないｘの関数であるようにするため、
【数１４】
2008250665.tif 000016
の条件を満たす関数Ｔ1を、コンピュータを用いて自動的に求める。
【００１３】
そのために、制御対象に対するＡｆｆｉｎｅ形式モデルを取得し、つぎに、Ａｆｆｉｎｅ形式の非線形状態変数ｘに関する部分多項式として、Ｔ1の候補多項式を複数生成し、生成された複数のＴ1の候補多項式であるｚkのそれぞれについて、部分多項式の各係数を算出する。その際に、例えば、制御対象からＪ個の非線形状態変数を１組とした｛ｘj｝の観察データを取得し、その複数組の全体について、重み係数をＷiとして、
【数１５】
2008250665.tif 000017
を評価条件として、その評価条件の値が最小となるように各係数を算出し、複数のｚkのなかで、ＪPの値が最も小さい候補多項式をＴ1として、線形形式モデルを設定する。
【００１４】
上記のように、複数の観測データから多項式の係数を定める際に、上記評価条件の値を最小に、好ましくは限りなくゼロに近づけるので、新しい状態変数のそれぞれがｕを含まないｘの関数であるようにできる。これによって、コンピュータを用いて、Ａｆｆｉｎｅ形式のモデルを自動的に線形形式モデルに変換することができる。
【００１５】
また、係数算出に当っては、制御対象に関する観察結果を収集し、収集された複数の観察データをトレーニングセットとチェッキングセットとに分け、トレーニングセットによってＪPが所定範囲にあるか否かを判断し、所定範囲にあると判断されたときに、チェッキングセットを用いて改めてＪPを求める。したがって、係数算出の妥当性を検証することができる。
【００１６】
また、候補多項式の生成に当っては、Ｊ個の互いに独立の非線形状態変数を第１世代選択群とし、その中から任意に２つを選択して複数の組合せとし、各組み合わせについてそれぞれ部分多項式を生成して、これを第１世代候補多項式群とし、これに引き続き、必要に応じ、前の世代選択群に今の世代選択群を合わせて次の世代選択群とし、その中から任意に２つを選択して複数の組合せとし、各組み合わせについてそれぞれ部分多項式を生成して、これを次の世代候補多項式群を作成する。
【００１７】
そして、評価に当っては、今の世代候補多項式群の各候補多項式のＪPの最小値と前の世代候補多項式群の各候補多項式のＪPの最小値を比較し、前者が後者よりも小さいときは、さらに、次の世代候補多項式群の各候補多項式のＪPの最小値と比較し、前者が後者よりも大きいときは、前の世代候補多項式群の各候補多項式のなかでＪPが最小値となる候補多項式をＴ1として、線形形式モデルを設定する。
【００１８】
このようにして、多項式の次数を高くしながらＪPの最小値の推移を調べ、ＪPの最小値がそれ以上ゼロに近づかない次数の多項式で止める。これによって、効率的に、しかも自動的に、候補多項式の中からＪPが最もゼロに近いものを決定できる。
【００１９】
また、状態変数の数がＪ＝３、入力変数の数がＩ＝２の場合には、
【数１６】
2008250665.tif 000018
の線形形式に変換することができ、その場合、ＪPが最もゼロに近い多項式Ｔ1を用いることで、次のような形式で表現できる。
【数１７】
2008250665.tif 000019
【数１８】
2008250665.tif 000020
【００２０】
このようにして、本発明に係る線形化変換装置及び線形化変換プログラムによれば、コンピュータを用いて、Ａｆｆｉｎｅ形式のモデルを自動的に線形形式モデルに変換することができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２１】
以下に図面を用いて本発明に係る実施の形態につき詳細に説明する。以下において、制御対象は車両システムとし、より具体的には、車両の操縦輪角速度と、車両加速度の２つを入力変数とし、車両の縦方向速度と、横方向速度と、ヨーイング角の３つを状態変数とする非線形ダイナミクスを有する車両システムを説明するが、これは、説明のための一例であって、入力変数はこれら以外のものであってもよく、また、状態変数もこれら以外のものであってもよい。また、入力変数の数は２以外であってもよく、状態変数の数の３以外であってもよい。また、車両システム以外の制御対象であってもよい。例えば、宇宙ロボットや医療用ロボットの高性能制御に用いられる制御装置及び制御プログラムのように、高精度の制御系の設計が必要なものについて適用されてもよい。
【００２２】
最初に、Ａｆｆｉｎｅ形式モデルから、線形形式モデルへの自動変換の考え方を説明する。
【００２３】
非線形ダイナミクスを有する制御対象について、制御対象に対するＩ個の互いに独立の線形入力変数をｕとし、制御対象の観察可能なＪ個の互いに独立の非線形状態変数をｘとし、ｄｘ／ｄｔを算出対象とするときに、制御対象がＡｆｆｉｎｅ形式のモデルで表現されるとは、制御対象の状態方程式が
【数１９】
2008250665.tif 000021
と表現されることである。ここで、ｘはＪ個あり、ｕはＩ個あるので、ｆ（ｘ）とｇi（ｘ）は次の内容を有するものである。
【数２０】
2008250665.tif 000022
【００２４】
ここで、同じ制御対象を、新しい線形形式のモデルで表現するとは、そのモデルにおいて、新しい入力変数の数がＩ個で、新しい状態変数がＪ個であることとともに、Ｊ個の状態変数は、それぞれがｕを含まないｘの関数であることを意味する。そのような入力変数と状態変数を用いて、次の形式で表現できるとき、制御対象は、線形形式のモデルで表現できることになる。
【数２１】
2008250665.tif 000023
【００２５】
Ａｆｆｉｎｅ形式のモデルと、線形形式のモデルとが、同じ制御対象のダイナミクス（力学的挙動）を表現するものであるためには、次のような条件があればよい。すなわち、線形形式モデルの状態変数の関数形をいまＴとすると、線形形式モデルでの算出対象であるｄＴ／ｄｔと、Ａｆｆｉｎｅ形式モデルでの算出対象であるｄｘ／ｄｔとの間には次の関係となる。
【数２２】
2008250665.tif 000024
【００２６】
ここで、Ｌｉｅ微分演算子Ｌとして知られる演算子を用いることにする。Ｌｉｅ微分演算子は、一般にＬAＢという表現をするが、ＡもＢもｘの関数である。例えば、上記の例で、関数Ａをｇiとし、関数ＢをＴとすると、Ｌｉｅ微分ＬgiＴは、次のように定義される。
【数２３】
2008250665.tif 000025
【００２７】
Ｌｉｅ微分演算子を用いて、上記の線形形式の線形形式モデルでの算出対象であるｄＴ／ｄｔは次式で表される。
【数２４】
2008250665.tif 000026
【００２８】
そこで次の式の条件を満たすＴが求められれば、ｄＴ／ｄｘは簡単な式となることが分かる。
【数２５】
2008250665.tif 000027
【００２９】
すなわち、Ａｆｆｉｎｅ形式で示される全てのｇiについて、全てのｘjに関するＬｉｅ微分に関する上記の条件を満たすＴが求められれば、Ａｆｆｉｎｅ形式のモデルは、次式の線形形式モデルに変換することができる。
【数２６】
2008250665.tif 000028
【００３０】
このように、上記条件を満たすＴは、Ａｆｆｉｎｅ形式モデルを、状態変数の数と、入力変数の数を同じとして、線形形式モデルに変換するための関数である。この関数Ｔは、微分可能であると共に、Ａｆｆｉｎｅ形式モデルを線形形式モデルに、同じ相の空間に写像する関数と考えることができる。そこで、このＴのことを、微分可能同相写像関数、あるいは、ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ  ｈｏｍｅｏｍｏｒｐｈｉｓｍ  ｆｕｎｃｔｉｏｎ  と呼ぶことができる。
【００３１】
本発明に係る実施の形態に係る線形化変換装置１０は、制御対象から得られる状態変数の観測データに基づき、統計処理によって、Ａｆｆｉｎｅ形式で示される全てのｇiについて、全てのｘjに関するＬｉｅ微分に関する上記の条件を満たすＴを自動的に求めるためのものである。
【００３２】
図１は、Ａｆｆｉｎｅ形式モデルを線形モデルに変換する線形化変換装置１０の構成を示す図である。線形化変換装置１０は、非線形ダイナミクスを有する車両システムの制御のための車両システムのモデル化を行う装置で、とくに、非線形ダイナミクスを有する車両システムについてそのＡｆｆｉｎｅ形式モデルが既に分かっている場合に、そのＡｆｆｉｎｅ形式モデルを、線形形式モデルに変換する機能を有する。なお、変換された線形形式モデルは、例えば、車両の自動操縦制御システム等に組み込まれ、従来技術として集積化されている線形制御理論が適用され、これにより、非線形ダイナミクスを有する車両システムに対し、高精度の制御の実行が可能となる。
【００３３】
線形化変換装置１０は、ＣＰＵ１２と、制御対象である車両システムのＡｆｆｉｎｅ形式モデルを取得し、また、制御対象である車両システムの状態変数の観測データセットを取得する等の機能を有する入力部１４と、線形形式モデル化の結果を出力する等の機能を有する出力部１６と、プログラムやデータ等を記憶する記憶装置１８を含んで構成され、これらの要素は内部バスによって相互に接続される。なお、取得されたＡｆｆｉｎｅ形式モデルのパラメータ、取得されたデータセットは、ファイルとして記憶装置１８に記憶される。また、入力部１４は、他の入力データを入力するためのキーボード等を含むことができ、出力部１６はディスプレイやプリンタを含むものとすることができる。
【００３４】
ＣＰＵ１２は、制御対象である車両システムのＡｆｆｉｎｅモデルを取得するＡｆｆｉｎｅ形式モデル取得モジュール２０と、上記の微分可能同相写像関数Ｔの候補多項式を生成する候補生成モジュール２２と、制御対象から観察されたデータセットに基づいて候補多項式のそれぞれの多項式係数を算出する係数算出部２４と、算出された多項式係数の評価に基づき、最も評価のよい候補多項式に基づいて、線形形式モデルを設定する線形形式モデル設定モジュール２６を含んで構成される。
【００３５】
ここで、係数算出部２４は、制御対象から観察されたデータセットを収集するデータ収集モジュール３０と、収集されたデータセットを、トレーニングセットとチェッキングセットとに分け、トレーニングセットを用いて多項式係数を算出するトレーニングモジュール３２と、算出された多項式係数をチェッキングセットを用いて評価する評価モジュール３４を含んで構成される。
【００３６】
かかる各機能はソフトウェアによって実現され、具体的には、線形化変換プログラムを実行することで実現される。必要があれば、上記構成の一部をハードウェアで構成するものとすることができる。
【００３７】
かかる構成の作用、特にＣＰＵ１２の各機能について図２のフローチャート及び図３のデータファイルを用いて詳細に説明する。なお、以下では、図１の符号を用いて説明する。
【００３８】
なお、データファイルの説明は、制御対象である実際の車両システムの例について行うので、ここで、制御対象である車両システムについて説明する。制御対象としての車両システムは、車両の操縦システムで、車両の操縦輪角速度と、車両加速度の２つを入力変数とし、車両の縦方向速度と、横方向速度と、ヨーイング角の３つを状態変数とするときに、非線形ダイナミクスを有する車両システムである。この非線形ダイナミクスを有する車両システムは、制御対象の２入力変数、３状態変数の挙動の解析を通して、ここでは詳細に説明しない別途のＡｆｆｉｎｅ形式モデル化手法を用いて、Ａｆｆｉｎｅ形式モデル化が既になされている。このように、既にＡｆｆｉｎｅ形式モデル化が行われている車両システムを線形化変換の対象とする。
【００３９】
図２は、非線形ダイナミクスを有する車両のＡｆｆｉｎｅ形式モデルを線形形式モデルに自動的に変換する手順を示すフローチャートで、各手順は、線形化変換プログラムの各処理手順に相当する。
【００４０】
線形化変換装置１０において線形化変換プログラムを立ち上げると、最初に、制御対象のＡｆｆｉｎｅ形式モデルを取得する（Ｓ１０）。この工程は、ＣＰＵ１２のＡｆｆｉｎｅ形式モデル取得モジュール２０の機能によって入力部１４から入力されたデータを取得することで実行される。Ａｆｆｉｎｅ形式モデルとは、上記のように、非線形ダイナミクスを次式で表現したものである。
【数２７】
2008250665.tif 000029
【００４１】
具体的に、上記の２入力変数、３状態変数の場合は、Ａｆｆｉｎｅ形式モデルは次式で示される。
【数２８】
2008250665.tif 000030
【００４２】
したがって、Ａｆｆｉｎｅ形式モデルの取得とは、上記式におけるｆ1（ｘ），ｆ2（ｘ），ｆ3（ｘ），ｇ11（ｘ），ｇ21（ｘ），ｇ31（ｘ），ｇ12（ｘ），ｇ22（ｘ），ｇ32（ｘ）の８つの関数形を取得することになる。ここでｘは３つの独立の状態変数ｘ1，ｘ2，ｘ3であるので、これら８つの関数形は、これら３つの変数ｘ1，ｘ2，ｘ3に関する多項式である。取得された８つの関数形は、記憶装置１８に一旦記憶される。
【００４３】
次に、制御対象である車両システムから、３つの変数ｘ1，ｘ2，ｘ3に関して、できるだけ多くのデータセットを収集し、これらを取得する（Ｓ１２）。この工程は、ＣＰＵ１
２の係数算出部２４のデータ収集モジュール３０の機能により実行される。データセットの数は、できるだけ多い方が線形化変換の精度が向上するが、収集時間が長くなるので、適当な数、例えば、５０，０００セット程度とすることができる。収集されたデータセットは、記憶装置１８に一旦記憶される。
【００４４】
データ収集は、実際の車両にセンサを取り付け、実際の操縦の各時刻において観測される３つの変数ｘ1，ｘ2，ｘ3を１つセットとして取得するものとできる。あるいは、実際の車両パラメータを実績のある適当なシミュレータに入力し、模擬操縦を実行させて、観測される３つの変数ｘ1，ｘ2，ｘ3を１つセットとして取得するものとしてもよい。そのような車両シミュレータとして、米国ミシガン交通研究院大学（Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ  ｏｆ  Ｍｉｃｈｉｇａｎ  Ｔｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎ  Ｒｅｓｅａｒｃｈ  Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ）によって開発された車両運転シミュレータであるＣａｒＳｉｍを用いることができる。
【００４５】
収集されたデータセットは、トレーニングセットとチェッキングセットに分けられる（Ｓ１４）。この工程は、ＣＰＵ１２の係数算出部２４の機能によって実行される。トレーニングセットは、収集されたデータセットを用いて、微分可能同相写像関数Ｔの複数の候補多項式についてそれぞれ多項式係数を統計処理によって算出するために用いられ、チェッキングセットは、その算出された多項式係数を評価するために用いられる。したがって、トレーニングセットに用いられるデータセットの数をチェッキングセットに用いられるデータセットの数よりも多く設定することが望ましい。例えば、２：１、あるいは７０：３０程度の比でトレーニングセットとチェッキングセットを二分することができる。上記の例で、収集された全部のデータセットを５０，０００セットとするときは、例えば、３５，０００セットをトレーニングセット用とし、残りの１５，０００セットをデータセット用とすることができる。
【００４６】
図３のデータファイル５０は、収集されたデータセットを用いて、線形化変換を行うときの各データの様子を模擬的に示す図である。ここでは、収集されたデータセットの用途を示すセット５２の欄と、収集された各データセットを識別するための番号５４の欄と、収集されたデータセットの内容が書き込まれるデータ収集５６の欄等が設けられている。なお、データ収集としては、ここでは３状態変数であるｘ1，ｘ2，ｘ3が１組として行われる。この１組のデータは、車両システムの１状態における３状態変数の値を示すもので、例えば、車両システムの同じ時刻における３状態変数のそれぞれの観測値の組である。
【００４７】
図３の例では、データ収集５６の欄に、収集されたデータセットとして合計５０，０００セットが書き込まれている。そして、セット５２の欄に示されるように、これらの５０，０００セットのデータが、トレーニングセットを３５，０００セット、チェッキングセットを１５，０００セットとして二分される。
【００４８】
ここで再び図２に戻り、微分可能同相写像関数Ｔの複数の候補多項式を生成する。ここでの候補多項式は、第１世代の候補多項式で、具体的には、複数の状態変数の中から任意の２つの状態変数を選択して複数の組合せとし、各組合せについてそれぞれ部分多項式ｚkを生成する（Ｓ１６）。この機能はＣＰＵ１２の候補生成モジュール２２の機能によって実行される。なお、Ｓ１６の工程は、Ｓ１０の工程の直後以後であれば、Ｓ１２，Ｓ１４よりも先に実行するものとしてもよい。
【００４９】
上記の例で、状態変数が３つのｘ1，ｘ2，ｘ3である場合は、これら３つの変数から任意の２つの変数を選択したときの組合せは、（ｘ1，ｘ2），（ｘ1，ｘ3），（ｘ2，ｘ3）の３つである。この場合には、部分多項式ｚkとして、次式で示される３つの候補多項式ｚ1，ｚ2，ｚ3，が生成される。なお、これらの多項式は、状態変数のみの関数で、入力変数を含んでいない。
【数２９】
2008250665.tif 000031
【００５０】
次に、これら複数の候補多項式における各多項式係数が、トレーニングセットを用いて算出される（Ｓ１８）。この工程は、ＣＰＵ１２のトレーニングモジュール３２の機能によって実行される。例えば、上記の例で、候補多項式は、多項式係数としてｃ11，ｃ21，ｃ31，ｃ41，ｃ51の５つがあるので、この５つの多項式係数を未知数とし、ｘ1，ｘ2の複数の観測データを既知数として与えて、二次計画法（Ｑｕａｄｒａｔｉｃ  Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ）を用いて解く。その際に、解を安定して出力するために、次の条件を付すことが好ましい。
【数３０】
2008250665.tif 000032
【００５１】
上記条件は、各多項式係数の二乗の和がほぼ１となるように各係数の範囲を制限するものである。この条件以外でも、解を安定して迅速に出力するものであれば、適当な条件を制限条件として用いることができる。
【００５２】
そして、複数のデータセットに基づいて各多項式係数を求める際の実行条件として、次式で示されるＪPを最小にする条件が付される。これを多項式係数算出の際の評価条件と呼ぶことができ、ＪPの値がゼロに近いほど、評価が高くなる。
【数３１】
2008250665.tif 000033
【００５３】
ここで、Ｗiは重み係数であり、実験または経験等で適当に設定することができる。ＬはＬｉｅ微分演算子で、ｇは、Ａｆｆｉｎｅ形式モデルに用いられている多項式であり、Ｓ１０によって取得されたものである。上記の例で、ｇが、ｇ11，ｇ21，ｇ31，ｇ12，ｇ22，ｇ32，あるとき、対象とする候補多項式をＴで示すものとして、ＪPは次式で与えられる。
【数３２】
2008250665.tif 000034
【００５４】
上記評価条件は、Ａｆｆｉｎｅ形式モデルを線形形式モデルに変換する際の条件である次式を統計的に達成するために付されるものである。
【数３３】
2008250665.tif 000035
【００５５】
すなわち、上記の例では、５つの多項式係数を未知数として解くには、原理的にｘ1，ｘ2の５つのセットがあれば１つの組の解が得られる。しかし、ここで得られる多項式係数は、必ずしも上記のＡｆｆｉｎｅ形式モデルを線形形式モデルに変換する際の条件を満たさない。そこで、上記の例で３５，０００セットの観測データを既知数として与え、上記評価条件の値が最もゼロに近くなる多項式係数を解とする。このようにすることで、Ａｆｆｉｎｅ形式モデルを線形形式モデルに変換する際の条件を満たすものに近い多項式係数を有する候補多項式とすることができる。
【００５６】
ここで図３を参照すると、第１世代候補多項式５８の欄には、３つの候補多項式ｚ1，ｚ2，ｚ3，が示されている。そして、トレーニングセット３５，０００セットを用いて、上記評価条件ＪPを最小にする多項式係数が算出される工程８０が示されている。この工程を実行して得られた多項式係数と評価条件ＪPの値は、それぞれの候補多項式ｚ1，ｚ2，ｚ3に対応して、データファイル５０に書き込まれ、記憶される。
【００５７】
ここで、後述する第２世代、第３世代等の候補多項式について先に説明する。第２世代以降の候補多項式は、チェッキングセットでの評価において、第１世代候補多項式の形式では不十分であるとされるときに用いられる、さらに高次の部分多項式である。例えば第２世代候補多項式は、データ収集された変数と、第１世代候補多項式の中の２つの変数を展開要素として構成される。すなわち、図３の例では、ｘ1，ｘ2，ｘ3に加え、ｚ1，ｚ2，ｚ3も部分多項式の展開要素となる。これら６つの中で２つを選択する組合せは合計１５であるが、そのうち３つは既に第１世代候補多項式であるので、実質的には１２種類の多項式が第２世代候補多項式となる。したがって、図３の第２世代候補多項式６０の欄に示されるように、第２世代候補多項式は、ｚ4からｚ15までの１２種類あることになる。
【００５８】
同様に、第３世代候補多項式は、ｘ1，ｘ2，ｘ3に加え、ｚ1からｚ15も部分多項式の展開要素となる。したがって、第３世代候補多項式は、第２世代多項式よりもさらに高次の部分多項式で構成されることになる。図３には、第３世代候補多項式６２の欄にその一部が示されている。
【００５９】
再び図２に戻り、次に、チェッキングセットによる各候補多項式の評価が行われ（Ｓ２０）、十分か否かが判断される（Ｓ２２）。これらの工程は、ＣＰＵ１２の係数算出部２４における評価モジュール３４の機能によって実行される。評価はいくつかの段階を経て行われる。図３においては、評価８４として、欄８６から欄９２が示されている。
【００６０】
第１段階として、トレーニングセットを用いてＪPを最小とする多項式係数を得る際に計算されたＪPの値が、所定範囲に入っているか否かが評価される。上記のように、ＪPはゼロに近い方が好ましいので、ゼロからの乖離があまりにも大きいＪPの場合には、そのＪPの下で得られた多項式係数は不適当なものとされる。評価の基準としては、ＪPについての閾値範囲を予め設定し、閾値範囲以内か否かで評価するものとできる。
【００６１】
図３を参照すると、欄８６において、ＪPが所定範囲か否かについての評価結果が○または×で示されている。図３の例では、第１世代候補多項式は、３つともＪPが所定範囲にあることが示されている。なお、図３では、第２世代候補多項式ｚ6のＪPが所定範囲にない、と評価されていることが示されている。
【００６２】
次に、第２段階として、第１段階の評価において、ＪPが所定範囲にあるとされた候補多項式について、今度は、チェッキングセットの３５，０００セットを用いて改めて２次計画法に基づき、各多項式係数を求め、そのときの評価条件ＪPの値を求める。この計算は、第１段階の評価がよいものについて実行されるので、算出された各多項式係数は通常の場合、トレーニングセットで得られたものと同じとなる。
【００６３】
ここで、仮に、トレーニングセットで得られた各多項式係数または評価条件ＪPの値と、チェッキングセットで得られた各多項式係数または評価条件ＪPの値が大幅に異なる場合には、トレーニングセットのデータセットとチェッキングセットのデータセットとの同一母集団性がないことになるので、そのような場合には、第１段階の評価を取り消して、×とする。評価の基準としては、ＪPについての閾値範囲を予め設定し、閾値範囲以内か否かで評価するものとできる。この閾値範囲は、第１段階で用いられる閾値範囲と同じものを用いてもよく、異なる閾値範囲としてもよい。このように、第２段階においては、トレーニングセットで得られた各多項式係数について、データセットの母集団代表性が評価される。
【００６４】
第１段階の評価及び第２段階の評価が問題ない場合には、その候補多項式の評価条件ＪPの値がデータファイル５０に書き込まれる。図３において、チェッキングセット１５，０００セットからＪPが求められる工程８２と、各候補多項式のＪPの値として、ｒ1，ｒ2，ｒ3等が欄８８に書き込まれて記憶される様子が示される。
【００６５】
そして、第３段階として、各世代候補多項式のそれぞれの評価条件ＪPが比較され、最もＪPの低い値、すなわちＪPの値が最もゼロに近いＪPが特定される。実質的にこの段階が、各世代候補多項式の間の相対評価であって、上記の第１段階の評価、第２段階の評価は、個々の候補多項式の評価に当り、この第３段階の評価のためのスクリーニング評価に相当する。したがって、第１段階の評価、第２段階の評価に代えて、上記以外の適当な他のスクリーニング評価をするものとしてもよい。
【００６６】
第３段階の評価の結果は、図３における欄９０に書き込まれる。図３の例では、第１世代候補多項式の間のＪPの比較評価においては、ｚ2のＪPの値ｒ2が最もゼロに近いものとして特定されたことが示される。
【００６７】
再び図２へ戻り、チェッキングの評価について十分かが判断される（Ｓ２２）。この評価判断は第４段階の評価で、世代間の評価である。つまり、複数の第１世代候補多項式の間で特定された最小のＪPと、複数の第２世代候補多項式の間で特定された最小のＪPとが比較される。
【００６８】
そして、第２世代候補多項式の間で特定された最小のＪPが、第１世代候補多項式の間で特定された最小のＪPよりも小さい場合には、さらに高次の多項式であれば、ＪPがさらにゼロに近づく可能性があることになる。したがって、その場合には、さらに次世代の候補多項式を生成し、多項式係数を求め、評価条件ＪPを求めることになる。一方、第２世代候補多項式の間で特定された最小のＪPが、第１世代候補多項式の間で特定された最小のＪPよりも大きい場合には、さらに高次の多項式を生成しても、ＪPがさらにゼロに近づく可能性が少ないことになる。したがって、この場合には、その段階でのＪPの最小の候補多項式が、最もゼロに近いＪPを有するものとして、評価を終了することができる。
【００６９】
これを一般的にいえば次のようになる。すなわち、今の世代候補多項式群の各候補多項式のＪPの最小値が、前の世代候補多項式群の各候補多項式のＪPの最小値よりも小さいときは、さらに、次の世代候補多項式群の各候補多項式のＪPの最小値と比較し、今の世代候補多項式群の各候補多項式のＪPの最小値が、前の世代候補多項式群の各候補多項式のＪPの最小値よりも大きいときは、前の世代候補多項式群の各候補多項式のなかでＪPが最小値となる候補多項式を、求める微分可能同相写像関数Ｔとすることができる。
【００７０】
したがって、Ｓ２２の工程は、今の世代候補多項式と前の世代候補多項式の間の評価であるので、第１世代候補多項式の間の評価が終了した段階では、Ｓ２２の判断がなされず、無条件にＳ２４に進み、さらに高次の候補多項式である第２世代多項式の生成が行われる。そして、第２世代候補多項式について、Ｓ１８からＳ２０間での工程が処理される。図３を参照すると、第２世代候補多項式の間で評価条件ＪPが最小となるのは、候補多項式ｚ5で、その評価条件ＪPの値がｒ5であることが欄９０に示される。
【００７１】
そこで、Ｓ２２において、今の世代候補多項式の間の最小のＪPと、前の世代多項式の間の最小のＪPとが比較される。図３を参照すると、この比較の結果は、欄９２に示され、この場合、ｒ2とｒ5の大小が比較されるが、ｒ2の方がｒ5よりも小さい、すなわち、よりゼロに近い値であることが示される。したがって、Ｓ２２の判断は肯定され、それ以上の高次の候補多項式の生成は行われない。
【００７２】
再び図２に戻り、Ｓ２２で判断が肯定されると、この段階での最小のＪPを有する候補多項式が、求める微分可能同相写像関数Ｔとして決定される（Ｓ２６）。そして、このようにして、統計的処理によって自動的に求められた関数Ｔを用いて線形形式モデルへの変換が行われる（Ｓ２８）。
【００７３】
決定された微分可能同相写像関数Ｔを用いて、線形形式モデルを構築するには次のようにして行われる。すなわち、線形形式モデルにおけるＪ個の状態変数のうち、１つはＳ２８で求められたＴをそのまま用いる。これをＴ1とすると、もう１つの状態変数を、ＬfＴ1＝Ｔ2とする。Ｊが３以上の場合、その他の状態変数については、ｘの適当な関数としてよい。
【００７４】
このようにすることで、上記で説明したＡｆｆｉｎｅ形式モデルから線形形式モデルへ変換する際の次の条件を満足することができる。
【数３４】
2008250665.tif 000036
【００７５】
上記の手順によって求められるＴ1とＴ2を用いて、線形形式モデルは、次式で表現することができる。
【数３５】
2008250665.tif 000037
【数３６】
2008250665.tif 000038
【数３７】
2008250665.tif 000039
【００７６】
次に、実際の車両モデルを制御対象とし、Ａｆｆｉｎｅ形式モデルを線形形式モデルに変換し、両モデルにおいてシミュレーションによって求めた制御変数の比較結果を示す。
【００７７】
制御対象の車両モデルは、上記のように、車両の操縦輪角速度と、車両加速度の２つを入力変数とし、車両の縦方向速度（ｘ1）と、横方向速度（ｘ2）と、ヨーイング角（ｘ3）の３つを状態変数とするものである。ここで、別途の方法で得られたＡｆｆｉｎｅ形式モデルの各多項式は以下の通りである。
【数３８】
2008250665.tif 000040
【００７８】
そして、これらのＡｆｆｉｎｅ形式モデルの各多項式を取得し、制御対象である車両システムから５０，０００セットのデータセットを取得し、図２で説明した手順で微分可能同相写像関数Ｔを求め、これをＴ1とした結果は次の式の通りである。
【数３９】
2008250665.tif 000041
【００７９】
次に、Ａｆｆｉｎｅモデル形式に基づいてシミュレーションによって、車両の縦方向速度Ｖｘ（ｘ1）と、横方向速度Ｖｙ（ｘ2）と、ヨーイング角θ（ｘ3）の時間変化を求めた。また、上記のようにして求めた関数Ｔを用い、次式で線形形式モデルの入力変数をＡｆｆｉｎｅ形式モデルにおける入力変数に逆変換し、その値をＡｆｆｉｎｅモデル形式に基づくシミュレーションに用いて車両の縦方向速度Ｖｘ（ｘ1）と、横方向速度Ｖｙ（ｘ2）と、ヨーイング角θ（ｘ3）の時間変化を求めた。その結果を図４から図６に示すが、両計算結果は極めてよい一致を示し、図上においてほとんど重なり、その相違がほとんど認められないものであった。すなわち、上記手順で求めた関数Ｔを用いて、Ａｆｆｉｎｅ形式モデルを線形形式モデルに変換した場合に、シミュレーションで求められる各状態変数の変化がよい一致を示すことが確かめられた。
【図面の簡単な説明】
【００８０】
【図１】本発明に係る実施の形態における線形化変換装置の構成を示す図である。
【図２】本発明に係る実施の形態において線形化変換の手順を示すフローチャートである。
【図３】本発明に係る実施の形態におけるデータファイルの例を示す図である。
【図４】Ａｆｆｉｎｅ形式モデルによるシミュレーション結果を線形形式モデルによるものと比較した例の１つを示す図である。
【図５】Ａｆｆｉｎｅ形式モデルによるシミュレーション結果を線形形式モデルによるものと比較した例の１つを示す図である。
【図６】Ａｆｆｉｎｅ形式モデルによるシミュレーション結果を線形形式モデルによるものと比較した例の１つを示す図である。
【符号の説明】
【００８１】
１０  線形化変換装置、１２  ＣＰＵ、１４  入力部、１６  出力部、１８  記憶装置、２０  Ａｆｆｉｎｅ形式モデル取得モジュール、２２  候補生成モジュール、２４  係数算出部、２６  線形形式モデル設定モジュール、３０  データ収集モジュール、３２  トレーニングモジュール、３４  評価モジュール、５０  データファイル、５２  セット、５４  番号、５６  データ収集、５８  第１世代候補多項式、６０  第２世代候補多項式、６２  第３世代候補多項式、８０，８２  工程、８４  評価、８６，８８，９０，９２  欄。
【図１】
2008250665.tif 000055
【図２】
2008250665.tif 000056
【図３】
2008250665.tif 000057
【図４】
2008250665.tif 000058
【図５】
2008250665.tif 000059
【図６】
2008250665.tif 000060