(57)【要約】【課題】破壊前の微小変形状態を精度良く再現でき、かつ実験等に基づくことなく離散モデルにおけるバネ定数を設定する。【解決手段】被対象物の離散モデルを作成する第１ステップと、前記離散モデルの各個別要素中心を節点とする四面体要素の有限要素モデルに置き換える第２ステップと、前記有限要素モデルの各四面体要素の剛性マトリックスを計算し、四面体要素の節点間毎に力−変位関係を示すマトリックスを抽出する第３ステップと、前記離散モデルにおいて、各個別要素の中心同士がバネで連結されたトラスモデルと仮定し、各個別要素間の力と変位の関係を求め、個別要素間の力−変位関係を示すマトリックスを求める第４ステップと、前記第３ステップの四面体要素の各節点間の力−変位関係を示すマトリックスと、前記第４ステップの各個別要素間の力−変位関係を示すマトリックスとの各項の残差二乗和を最小とするバネ定数を求める第５ステップとからなる。【選択図】図１
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
連続体である被対象物を個別要素に分割し、前記個別要素間のバネ作用を考慮した離散モデルにモデル化して、個別要素法により数値計算を行う際、前記離散モデルの個別要素間のバネ定数を設定するための方法であって、
前記被対象物を個別要素に分割した離散モデルを作成する第１ステップと、
前記離散モデルの各個別要素中心を節点とする四面体要素の連続体から構成される有限要素モデルに置き換える第２ステップと、
前記有限要素モデルの各四面体要素に物理定数のデータを与えて、各四面体要素の要素剛性マトリックスを求めるとともに、前記四面体要素の各節点間毎に力−変位関係を示すマトリックスを抽出する第３ステップと、
前記離散モデルにおいて、各個別要素の中心同士がバネで連結されたトラスモデルと仮定し、各個別要素間の力と変位の関係から各個別要素間の力−変位関係を示すマトリックスを求める第４ステップと、
前記第３ステップで得られた四面体要素の各節点間の力−変位関係を示すマトリックスと、前記第４ステップで得られた各個別要素間の力−変位関係を示すマトリックスとの各項の残差二乗和を最小とするバネ定数を求める第５ステップとからなる個別要素法における離散モデルのバネ定数設定方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、連続体を個別要素に分割して離散モデル化し、その挙動を解析する個別要素法において、前記離散モデルの個別要素間のバネ定数を簡易かつ精度よく設定する方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
従来より、静的荷重や動的荷重を受ける連続体の挙動を解析する手法として、連続体を有限の単純な要素の集合体にモデル化して数値解析を行う有限要素法が用いられている。この有限要素法による数値解析は、連続体の微小変形や微小振動などに対しては精度よく再現できるが、大変形や破壊現象をシミュレーションすることは困難であった。
【０００３】
そのため、近年では、かかる連続体の大変形や破壊などのシミュレーションについては、連続体を離散可能な個別要素に分割して解析を行う個別要素法が用いられるようになっている。前記個別要素法は、連続体を複数の個別要素に分割し、各要素間に作用するバネ作用などを考慮した離散モデルにモデル化して数値解析を行う手法である。前記離散モデルについて、図１３に示されるように、任意の個別要素５０、５１を取り出して具体的に詳述すると、これら個別要素５０、５１間の接続は、個別要素５０、５１同士の接触によるバネ作用や粘性作用が、バネ５２及びダッシュポット５３でモデル化されている。また、個別要素５０、５１間の接続は、図１４に示されるように、個別要素５０，５１に引張荷重Ｔが作用し、所定の引張荷重Ｔｙ以上となって、両要素間距離σが２つの要素の半径の和に相当する距離σｕより大きくなったとき、両要素が分離して相互に無関係となる状態が、ディバイダー５４でモデル化されている。なお、前記引張荷重Ｔｙまでの前記要素間距離σは、図示例のように線形となっている。
【０００４】
このような個別要素法を用いたシミュレーションとして、下記特許文献１では、複数の粒状体である個別要素で表すことができる地盤内と、当該地盤内に設けられた杭などの連続体である構造物との挙動を、前記地盤の複数の個別要素同士の接触力および前記地盤と前記杭との接触力を個別要素法により算出して解析する粒状体及び連続体の解析方法が記載されている。
【０００５】
また、下記特許文献２では、解析対象物を複数の小要素の非連続な集合体として取り扱う個別要素法の計算方法において、計算に必要な設定変数を抽出し、前記設定変数の一部又は全部に確率分布を与え、前記設定変数を運動方程式に代入して摂動展開をおこなって解析値の統計量を算出する個別要素法の計算方法が記載されている。
【特許文献１】特開２００４−３７１１４号公報
【特許文献２】特開２００４−３１０３８１号公報
【特許文献３】特開平９−２２１７５４号公報
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
しかしながら、上記特許文献１，２に記載の個別要素法によるシミュレーションでは、一般に個別要素間のバネ作用をモデル化したバネのバネ定数は、一軸圧縮試験などの実験結果から予め目安値を求めておき、この目安値を用いて予備的な数値シミュレーションを行い、シミュレーション結果が実験結果と適合するように前記バネ定数の目安値を調整して、試行錯誤により設定しているのが現状である。
【０００７】
このように、従来の個別要素法によるシミュレーションでは、要素間のバネ定数を実験結果との対比から試行錯誤により設定しているため、常に実験結果に基づかないと設定できず、バネ定数の設定値に客観性が担保されていない。また、従来の個別要素法によるシミュレーションは、大変形や破壊現象の再現が可能な反面、破壊前の変形状態においては解析結果の精度が悪かった。このため、大変形前や破壊前の状態を有限要素法により解析し、大変形や破壊の状態を個別要素法により解析する手段（特許文献３等参照）が採られていたが、その解析結果の連続性が再現できない問題があった。そのため、連続体の破壊前の微小変形状態から破壊後の状態まで、一連の挙動を１つの解析手法により精度よく再現できる解析手法が望まれていた。
【０００８】
そこで、本発明の主たる課題は、被対象物の微小変形から破壊後までの一連の挙動を個別要素法によって精度よく解析するための方法を確立する一環として、被対象物の離散モデルにおける個別要素間のバネ定数を、破壊前の微小変形状態を精度良く再現できるようにするとともに、実験等に基づくことなく容易に設定可能とする方法を提供することにある。
【課題を解決するための手段】
【０００９】
前記課題を解決するために請求項１に係る本発明として、連続体である被対象物を個別要素に分割し、前記個別要素間のバネ作用を考慮した離散モデルにモデル化して、個別要素法により数値計算を行う際、前記離散モデルの個別要素間のバネ定数を設定するための方法であって、
前記被対象物を個別要素に分割した離散モデルを作成する第１ステップと、
前記離散モデルの各個別要素中心を節点とする四面体要素の連続体から構成される有限要素モデルに置き換える第２ステップと、
前記有限要素モデルの各四面体要素に物理定数のデータを与えて、各四面体要素の要素剛性マトリックスを求めるとともに、前記四面体要素の各節点間毎に力−変位関係を示すマトリックスを抽出する第３ステップと、
前記離散モデルにおいて、各個別要素の中心同士がバネで連結されたトラスモデルと仮定し、各個別要素間の力と変位の関係から各個別要素間の力−変位関係を示すマトリックスを求める第４ステップと、
前記第３ステップで得られた四面体要素の各節点間の力−変位関係を示すマトリックスと、前記第４ステップで得られた各個別要素間の力−変位関係を示すマトリックスとの各項の残差二乗和を最小とするバネ定数を求める第５ステップとからなる個別要素法における離散モデルのバネ定数設定方法が提供される。
【００１０】
上記請求項１記載の本発明では、個別要素法の離散モデルの個別要素間のバネ定数を設定するにあたり、第３ステップで得られた有限要素法に基づく四面体要素の各節点間の力−変位関係を示すマトリックスと、前記第４ステップで得られた離散モデルをトラスで仮定した場合の各個別要素間の力−変位関係を示すマトリックスとの各項の残差二乗和を最小とするバネ定数（ＥＡ／ｌ）を求めるものである。すなわち、離散モデルを各個別要素中心を節点とする四面体要素の連続体から構成される有限要素モデルに置き換えた有限要素モデルを想定し、この有限要素モデルの四面体要素の内、離散モデルの各個別要素間の変形に対応する節点間の変形に着目し、その節点間の変形に関連する項を抽出したマトリックスと、離散モデルを各個別要素同士がバネで連結されたトラスモデルと仮定した場合の各個別要素間（節点間）の変形挙動を表すマトリックスとを対比し、両者モデルの節点間での変形挙動を近似させるために、前者のマトリックスと、後者のマトリックスとの各項の残差二乗和を最小とする定数（バネ定数＝ＥＡ／ｌ）を求めるものである。
【００１１】
その結果、離散モデルにおける個別要素間のバネ定数として上記定数（バネ定数＝ＥＡ／ｌ）を用いることにより、個別要素法のバネ定数は有限要素モデルの変形挙動に近い挙動を示すものとなるわけであるから、破壊前の微小変形状態を精度良く再現できるようになるとともに、従来のように実験等に基づくことなく容易に設定することが可能となる。
【発明の効果】
【００１２】
以上詳説のとおり本発明によれば、被対象物の微小変形から破壊後までの一連の挙動を個別要素法によって精度よく解析するための方法を確立する一環として、被対象物の離散モデルにおける個別要素間のバネ定数を本方法により設定することで、破壊前の微小変形状態を精度良く再現できるようになるとともに、実験等に基づくことなく容易に設定可能となる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１３】
以下、本発明の実施の形態について図面を参照しながら詳述する。図１は、本発明に係る個別要素法における離散モデルのバネ定数の推定方法を示すフロー図である。
【００１４】
本発明は、連続体である被対象物を個別要素に分割し、前記個別要素間のバネ作用を考慮した離散モデルにモデル化して、個別要素法により数値計算を行う際、バネ定数を、破壊前の微小変形状態においても変形挙動を精度良く再現できるようにするとともに、実験等に基づくことなく容易に設定可能とするための方法を提案するものである。
【００１５】
具体的な計算手順は、図１に示されるように、第１ステップとして、前記被対象物を個別要素に分割した離散モデルを作成し、第２ステップとして、前記離散モデルの各個別要素中心を節点とする四面体要素の連続体から構成される有限要素モデルに置き換え、第３ステップとして、前記有限要素モデルの各四面体要素に物理定数のデータを与えて、各四面体要素の要素剛性マトリックスを求めるとともに、前記四面体要素の各節点間毎に力−変位関係を示すマトリックスを抽出し、第４ステップとして、前記離散モデルにおいて、各個別要素の中心同士がバネで連結されたトラスモデルと仮定し、各個別要素間の力と変位の関係から各個別要素間の力−変位関係を示すマトリックスを求め、第５ステップとして、前記第３ステップで得られた四面体要素の各節点間の力−変位関係を示すマトリックスと、前記第４ステップで得られた各個別要素間の力−変位関係を示すマトリックスとの各項の残差二乗和を最小とする定数（ＥＡ／ｌ）を求め前記個別要素間のバネ定数とするものである。
【００１６】
以下、前記各ステップについて詳述する。
【００１７】
先ず、前記第１ステップでは、例えば図２に示される被対象物１を、通常の個別要素法による解析を行う手順通りに、図３に示されるように、個別要素３，３…に分割した離散モデル２を作成する。この離散モデル２では、各個別要素３，３…は球体とする。
【００１８】
次いで、前記第２ステップでは、図４に示されるように、前記離散モデル２の各個別要素３、３…の中心を節点とする四面体要素５，５…（図５参照）の連続体から構成される有限要素モデル４に置き換える。前記各個別要素３，３…に中心点の座標が既知であるから、これらの節点データをもとに四面体要素５，５…に分割する。四面体要素５への分割方法としては、デラウニー分割法、ボロノイ分割法等が存在するが、概念と計算手法（Watsonアルゴリズム）が簡単なデラウニー分割法を用いるのが望ましい。
【００１９】
前記第３ステップでは、上記第２ステップで作成した有限要素モデル４の各四面体要素５，５…に弾性係数とポアソン比などの物理定数を与えると、有限要素法による解析手法から剛性マトリックスが決定される。一般的に、剛性マトリックスＫは、荷重マトリックスＦ及び変位マトリックスδと式(1)に示す関係を有する。この剛性マトリックスＫは、各四面体要素５，５…毎の要素剛性マトリックスの組合せであるから、着目する四面体要素の要素剛性マトリックスを求めるとともに、前記四面体要素５，５…の各節点間毎に、例えば図５で示せば、節点１−２、節点２−３、節点３−４というように、図６に示されるように、各節点ｒ、ｓ間での力−変位関係を示す成分を抽出したマトリックスＫＦＥＭ（３×３行列）を作成する。
【００２０】
【数１】
2008152455.tif 000003
【００２１】
第４ステップでは、図２に示される離散モデル２において、図７に示されるように、各個別要素の中心同士がバネで連結されたトラスモデルと仮定し、各個別要素３，３間の力と変位の関係から各個別要素間の力−変位関係を示すマトリックスを求める。例えば、図８に示されるように、隣接する任意の個別要素の中心点（節点）ｐ、ｑがバネで連結されたトラスモデルを想定すると、このｐ、ｑ間における力と変位の関係を示すマトリックスＫ＊は下式(2)となる。式(2)中、ＫＳＰＲは下式(3)に示される各個別要素間の力−変位関係を示すマトリックスである。
【００２２】
【数２】
2008152455.tif 000004
【００２３】
【数３】
2008152455.tif 000005
【００２４】
ここで、lpq、mpq、npq：それぞれ直線pqとox、oy、oz方向のなす角の方向余弦
最後に、第５ステップでは、前記第３ステップで得られた有限要素法による四面体要素の各節点間の力−変位関係を示すマトリックスと、前記第４ステップで得られたトラスモデルで仮定した各個別要素間の力−変位関係を示すマトリックスとの各項の残差二乗和を最小とするようにバネ定数（ＥＡ／ｌ）を近似する。
【００２５】
具体的には、前記第２ステップで得られた各節点間の力−変位関係を示すマトリックスＫＦＥＭと、前記第４ステップで得られた各個別要素間の力−変位関係マトリックスＫＳＰＲとの差分に関する次式(4)の残差二乗和Ｊを最小化する条件の定数ｘ（＝ＥＡ／ｌ）を求める。
【００２６】
【数４】
2008152455.tif 000006
【００２７】
この残差二乗和Ｊを最小化する条件のxは、極小値の条件より、下式(5)より求めることができる。
【００２８】
【数５】
2008152455.tif 000007
【００２９】
上式(5)で求められたｘが、式(2)のＥＡ／ｌである。
【実施例】
【００３０】
（１）一軸圧縮シミュレーション
図２に示される円柱状の試験体を縦方向に圧縮する一軸圧縮試験において、本発明に係るバネ定数の設定方法を用いた数値シミュレーションによる場合と、弾性理論に基づく数値計算による場合との、負荷時間と発生応力との関係を比較した。なお、理論値において弾性係数E=3900MPa、ポアソン比ν=0.35であり、数値シミュレーションにおいてE=2690MPa、ν=0.29である。この結果、図９に示されるように、本発明による数値シミュレーションは、弾性理論値を精度よく再現できることは判明した。
【００３１】
（２）斜面の加振シミュレーション
図１０に示されるように、片側に切り立った斜面の地盤を加振する斜面の加振シミュレーションにおいて、法肩Ｓ点の応答加速度波形を、本発明による数値シミュレーション結果と、従来の試行錯誤による数値シミュレーション結果とから求め、それぞれ実験結果に対する比較を行った。この結果、本発明による数値シミュレーションでは、図１１に示されるように、比較的精度よく実験結果を再現しているのに対し、従来の試行錯誤による数値シミュレーションでは、図１２に示されるように、殆ど実験結果が再現できなかった。
【図面の簡単な説明】
【００３２】
【図１】本発明に係る個別要素法における離散モデルのバネ定数の推定方法を示す流れ図である。
【図２】被対象物１の斜視図である。
【図３】被対象物１を離散モデルにモデル化した斜視図である。
【図４】離散モデルを所定の条件の下で、四面体要素５で構成される有限要素モデルに置き換えた有限要素モデル斜視図である。
【図５】四面体要素５の拡大斜視図である。
【図６】節点ｒ、ｓ間での力−変位関係を示すマトリックスＫＦＥＭ成分の抽出の概念図である。
【図７】個別要素をトラスモデルと仮定した場合のモデル図である。
【図８】個別要素ｐ、ｑをトラスモデルと仮定した場合の座標系を示す説明図である。
【図９】一軸圧縮シミュレーションの負荷時間と発生応力との関係を解析した結果を示すグラフである。
【図１０】斜面のモデルを示す図である。
【図１１】図９の法肩Ｓにおける応答加速度波形を、本発明に係る推定法による結果と実験結果とを比較したグラフである。
【図１２】図９の法肩Ｓにおける応答加速度波形を、従来の個別要素法により解析した結果と実験結果とを比較したグラフである。
【図１３】個別要素５０、５１間のモデル図である。
【図１４】個別要素５０、５１間の引張荷重Ｔと要素間距離σの関係を示すグラフである。
【符号の説明】
【００３３】
１…被対象物、２…離散モデル、３…個別要素、４…有限要素モデル、５…四面体要素
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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