(57)【要約】  本開示は、ノイズの存在下でマルチキュービットを含む量子プロセッサに対する制御実施のパフォーマンスを評価及び改善することに関する。ノイズモデルが、マルチキュービットノイズハミルトニアンによって記述されたノイズ相互作用を複数の寄与ノイズチャネルに分解する。各チャネルは、一意のノイズ軸演算子によって記述されたノイズダイナミクスを生成する。所与の制御実施で、一意のフィルタ関数が、関連するノイズダイナミクスに対するマルチキュービットシステムの感度を表す。フィルタ関数は、対応するノイズチャネルのノイズ軸演算子の周波数変換に基づいており、それによって制御実施のパフォーマンスを評価する。最適化された制御シーケンスは、フィルタ関数に基づいており、ノイズチャネルに対するマルチキュービットシステムの感度を低減し、それによってマルチキュービットノイズハミルトニアンとの有効相互作用を低減する。最適化された制御シーケンスは、量子プロセッサを制御して、それにより制御実施のパフォーマンスを向上させる。
2021532514.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
ノイズの存在下でマルチキュービットを含む量子プロセッサの制御実施のパフォーマンスを評価及び改善するための方法であって、
マルチキュービットノイズハミルトニアンによって記述されたノイズ相互作用を複数の寄与ノイズチャネルに分解することによってノイズをモデル化することであって、各チャネルは、一意のノイズ軸演算子Ａ（ｉ）によって記述されたノイズダイナミクスを生成し、式中（ｉ）はｉ番目のノイズチャネルをインデックス化する、前記モデル化すること、
所与の制御実施について、関連する前記ノイズダイナミクスに対するマルチキュービットシステムの感度を表す各ノイズチャネルの一意のフィルタ関数を判定することであって、前記マルチフィルタ関数のそれぞれは、対応する前記ノイズチャネル（ｉ）の前記ノイズ軸演算子（Ａ（ｉ））の周波数変換（Ｆ）に基づき、それによって前記制御実施の前記パフォーマンスを評価する、前記判定すること、
前記フィルタ関数に基づいて最適化された制御シーケンスを判定し、前記ノイズチャネルに対する前記マルチキュービットシステムの前記感度を低減し、それによって前記マルチキュービットノイズハミルトニアンとの有効相互作用を低減する、前記判定すること、
前記最適化された制御シーケンスを前記マルチキュービットシステムに適用して前記量子プロセッサを制御し、それによって前記制御実施のパフォーマンスを向上させる、前記適用すること、
を含む、前記方法。
【請求項２】
前記マルチキュービットノイズ軸演算子が線形演算子である、請求項１に記載の方法。
【請求項３】
前記ノイズ軸演算子の組み合わせが、確率変数による各ノイズ軸演算子の重み付けを含む、請求項１または２に記載の方法。
【請求項４】
前記ノイズ軸演算子の組み合わせは、それぞれの確率変数によって重み付けされた前記ノイズ軸演算子の線形結合である、請求項１、２または３に記載の方法。
【請求項５】
前記マルチフィルタ関数のそれぞれは、前記ノイズ軸演算子に適用した制御ハミルトニアン（Ｕｃ）の周波数変換に基づいている、請求項１から４のうちのいずれか一項に記載の方法。
【請求項６】
前記制御ハミルトニアンは、マルチキュービットに対する演算を表す、請求項５に記載の方法。
【請求項７】
前記量子プロセッサのゲートセットがエンタングル演算を含み、前記制御ハミルトニアンが前記マルチキュービット間の前記エンタングル演算を含む、請求項６に記載の方法。
【請求項８】
前記ノイズ軸演算子に適用される前記制御ハミルトニアン（Ｕｃ）は、トグルフレームノイズ軸演算子を形成する、請求項５〜７のいずれか１項に記載の方法。
【請求項９】
前記トグルフレームノイズ軸演算子が、前記ノイズの確率論的内容を除く前記ノイズ軸に対する制御ダイナミクスを表す、請求項８に記載の方法。
【請求項１０】
前記ノイズ軸演算子は、前記マルチキュービットのヒルベルト空間にある、請求項１から９のうちのいずれか一項に記載の方法。
【請求項１１】
前記ノイズ軸演算子が時変する、請求項１から１０のうちのいずれか一項に記載の方法。
【請求項１２】
前記ノイズ軸演算子の次元は、前記マルチキュービットのハミルトニアンの次元に等しい、請求項１から１１のうちのいずれか一項に記載の方法。
【請求項１３】
前記ノイズ軸演算子が非マルコフ誤差モデルに基づく、請求項１から１２のうちのいずれか一項に記載の方法。
【請求項１４】
前記ノイズ軸演算子が、前記量子プロセッサの環境の１つまたは複数の測定に基づく、請求項１から１３のうちのいずれか一項に記載の方法。
【請求項１５】
各フィルタ関数が、前記周波数変換の前記ノイズ軸演算子の次元の合計に基づく、請求項１から１４のうちのいずれか一項に記載の方法。
【請求項１６】
フィルタ関数に基づいて制御シーケンスを判定することは、前記マルチキュービットの前記演算に対する前記ノイズの影響を低減することである、請求項１から１５のうちのいずれか一項に記載の方法。
【請求項１７】
縮小次元の有効制御ハミルトニアンにマルチキュービット系のための演算子をマッピングすることをさらに含み、
前記マルチフィルタ関数のそれぞれは、前記最適化された制御シーケンスがマルチキュービット制御解を表すように、前記ノイズ軸演算子に適用される前記有効制御ハミルトニアン（Ｕｃ）の周波数変換に基づいている、請求項１から１６のうちのいずれか一項に記載の方法。
【請求項１８】
コンピュータによって実行されたときに、前記コンピュータに請求項１から１７のうちのいずれか一項の方法を実行させるソフトウェア。
【請求項１９】
マルチキュービットと、コントローラであって、
マルチキュービットノイズハミルトニアンによって記述されたノイズ相互作用を複数の寄与ノイズチャネルに分解することによってノイズをモデル化することであって、各チャネルは、一意のノイズ軸演算子Ａ（ｉ）によって記述されたノイズダイナミクスを生成し、式中（ｉ）はｉ番目のノイズチャネルをインデックス化する、前記モデル化すること、
所与の制御実施について、関連する前記ノイズダイナミクスに対するマルチキュービットシステムの感度を表す各ノイズチャネルの一意のフィルタ関数を判定することであって、前記マルチフィルタ関数のそれぞれは、対応する前記ノイズチャネル（ｉ）の前記ノイズ軸演算子（Ａ（ｉ））の周波数変換（Ｆ）に基づき、それによって前記制御実施のパフォーマンスを評価する、前記判定すること、
前記フィルタ関数に基づいて最適化された制御シーケンスを判定し、前記ノイズチャネルに対する前記マルチキュービットシステムの前記感度を低減し、それによって前記マルチキュービットノイズハミルトニアンとの前記有効相互作用を低減する、前記判定すること、
前記最適化された制御シーケンスを前記マルチキュービットシステムに適用して前記量子プロセッサを制御し、それによって前記制御実施のパフォーマンスを向上させる、前記適用すること、
を行うように構成された前記コントローラとを含む、量子プロセッサ。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
関連出願の相互参照
本願は、２０１８年１０月１２日に出願された豪州仮特許出願第２０１８２４７３２７号、及び２０１８年７月２３日の豪州特許第２０１８９０２６５０号の優先権を主張するものであり、その内容のすべてが参照により本明細書に組み込まれる。
【０００２】
本開示は、ノイズの存在下でマルチキュービットを含む量子プロセッサに対する制御実施のパフォーマンスを評価及び改善することに関する。
【背景技術】
【０００３】
量子コンピュータは新しい技術であり、トラップ型イオン、ダイヤモンド内の窒素空孔、超伝導回路、半導体や他の結晶構造内の電子及び核スピンなど、量子コンピュータを実施するためのいくつかの技術が存在する。これらの技術のそれぞれについて、実施されるキュービットの数と空間配置、キュービット間の接続、使用可能な制御、またはキュービットが経る物理的環境など、多種多様な構成と微視的な詳細がある。その結果、各量子コンピュータには、他の量子コンピュータとは異なる独自の特性がある。
【０００４】
しかし、量子コンピュータの１つの共通のテーマは、量子情報が急速に劣化し、量子情報を安定させることができる制御プロトコルを作成するには複雑なアルゴリズムが必要になることである。量子コンピューティングハードウェア間の高い変動性と内包する計算上の課題の両方のために、特定の量子コンピュータに対してこれらの制御アルゴリズムを決定して実行することは困難であり、量子コンピューティング技術の効果的な使用を妨げている。
【０００５】
図１は、複数のキュービット１０２に対して１つまたは複数の演算を実装する量子プロセッサ１０１を示している。この例では、複数のキュービットはキュービットの５行３列の配列の形式であるが、線形配列やさらに多くのキュービットを備える他の構造を含む他の配置も同様に可能である。同様に、最近傍カップリングが示されているが、他のカップリングアーキテクチャ（例えば、第二近傍）も同様に可能である。開示されるシステムを使用して制御できる例示的なアーキテクチャには、ＧｏｏｇｌｅのＢｒｉｓｔｌｅｃｏｎｅ及びＩＢＭのＱ Ｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅが含まれる。量子プロセッサ１０１によって実施される演算は、「回路モデル」量子コンピューティングを実行するためのユニバーサルゲートセット、測定ベースの量子コンピューティングのためのエンタングル演算、断熱量子コンピューティングのための断熱発展、または「アナログ」量子シミュレーションを含み得る。
【０００６】
また、ここでキュービット１０２を制御するための制御信号１０４を生成する制御信号源１０３が示される。制御信号は、キュービットの物理的な実施に応じて、ＲＦ、マイクロ波、または光信号の場合がある。アーキテクチャと実施に応じて、全体的にまたは局所的にキュービットに送達され得る。信号は、キュービットごとに個別に合わせることも、すべてのキュービットに均一に適用することもできる。制御信号１０４は、キュービット１０２に量子演算を適用するために一般的に使用されるのと同じ信号であっても、または別個の並列制御システムであってもよい。より具体的には、制御信号１０４は、キュービットへの量子情報のロード、量子論理演算の実行、相互作用の有効化、及び結果として生じるキュービット情報の読み出しなど、キュービット演算を制御するための第１の成分を有し得る。以下でより詳細に説明するように、第１の成分に加えて、キュービットへのノイズの影響を低減する第２の成分がある。第１及び第２の成分は、それらが別個の供給源によって生成される、またはさらにＲＦ、レーザー、ＭＷなどの別個の物理デバイスを使用して生成されるという意味で、別個であり得る。
【０００７】
図１はまた、キュービット１０２が動作する環境１０５を示している。環境１０５は、空間と時間において相関関係を示し得るが、正確に特性評価することが比較的困難であり、ランダムに動作することを示すために不規則な形状として描かれている。より具体的には、キュービット１０２は、望ましくないが避けられない様式で環境と相互作用する。例えば、キュービット１０２は、キュービット１０２に記憶された量子情報のデコヒーレンス、及びキュービット１０２に適用される量子論理演算におけるデコヒーレンスによって誘発されるエラーをもたらす様々なメカニズムを介して、環境１０５と相互作用し得る。環境１０５は、プロセッサ１０１の多くのキュービット１０２にわたって同じであり得、またはキュービット間で大きく異なり得る。対策がなければ、このデコヒーレンスは、デコヒーレンスが減少しない限り、量子プロセッサ内の個々の量子論理演算のパフォーマンス、及び量子プロセッサで実行される最終的なアルゴリズムのパフォーマンスを大幅に低下させるエラーをもたらす。したがって、デコヒーレンスの影響が低減されるようにキュービット１０２を制御することが、制御信号１０４のタスクである。この制御信号は、制御信号１０４自体が不完全である場合でもデコヒーレンスの影響を低減し、それ自体のデコヒーレンスを誘発するノイズ特性に寄与する。
【０００８】
図２は、量子状態がブロッホ球２０１上のブロッホベクトルとして表される単一キュービット２００の簡略化された例を示しており、それにおいて北極２０２は｜１＞基底状態（例えばアップスピン）を表し、南極２０３は｜０＞基底状態（例えば、ダウンスピン）を表している。ここでの量子情報は、第１のベクトル２０３によって示されるように、２つの基底状態の重ね合わせとして符号化され得る。ここでの例では、目的はアイドル演算を実行することまたはメモリである。キュービット２００と環境１０５との相互作用の結果として、ベクトルは未知の制御されていない量の回転をし、ある特定の時間の後、第２のベクトル２０４によって示されるように、異なる位置に到達する。これは、状態ベクトルによって記述される、キュービット状態でエンコードされた情報のランダム化に対応する。これで、第２のベクトル２０４を１８０度「反転」させて、第３のベクトル２０５によって示されるように新しい位置に到達させる制御信号を適用することが可能である。次に、制御信号が２０３と２０４の間で同時にオフになると、第３のベクトル２０５は、環境１０５との相互作用により、第１のベクトル２０３の位置まで正確に回転する。結果として、この場合、環境１０５との相互作用によって説明されるようなノイズの影響は完全に排除される。これは、環境的なデコヒーレンスに対して量子状態を安定化する開ループ（測定なし）制御の簡単な例である。したがって、この制御プロトコルは、環境の干渉に対するキュービット状態２０３の補正を提供するが、環境１０５またはキュービット状態２０３または２０４のいずれかの直接的な測定を回避する。これは、測定プロセスによって量子情報が崩壊し、量子計算に使用できなくなるため、大きな効果を有する。
【０００９】
図３は、図２に示すように、ｔ１３０２及びｔ２３０３の間に単一の制御パルス３０１を適用してキュービットを反転させる対応する制御シーケンス３００を示す。この例では、ＲＦ源１０３がｔ１でオンになり、ｔ２でオフになることを意味する。
【００１０】
図２及び図３の例では、環境１０５との時間に依存しない、または静的な「離調」相互作用による外部ノイズの完全な除去をもたらすが、実際の場合においは、状況はより複雑である。特に、マルチキュービット１０２は、異なり、潜在的にランダムな方法で、互いに、及び環境１０５と相互作用する。これは、単一の信号１０４のみをすべてのキュービット１０２に同時に適用することができる場合、制御するのが特に難しい。
【００１１】
さらに、環境１０５及びキュービット１０２間のほとんどの相互作用は、一般に、単一のパルスによって修正することはできず、シーケンスを形成する複数の複雑な制御を必要とする。シーケンス内の各セグメントのタイミングとプロパティは、一般的な時変ノイズの影響下、目的の操作（メモリ（Ｉ）、ビットフリップ（Ｘ）、フェーズフリップ（Ｚ）、Ｔ、Ｓ、ＣＮＯＴ、ＣＰＨＡＳＥ、または他の絡み合うゲートを含むがこれらに限定されない）のパフォーマンスを最適化するように選択される。
【００１２】
環境１０５の効果及びシステム１０４によって誘発される制御が量子機械的に交換しない状況において、そのような制御シーケンスを判定することは遥かに複雑になる。これは、多くの量子プロセッサで発生する特定の条件であり、また、実際の状況で制御を定める問題を大幅に複雑にする。例えば、離調ノイズの存在下でキュービットフリップ（Ｘ）ゲートを適用することが、そのような例に該当する。全体として、このようなシナリオでノイズを補償するシーケンスを正確に判定することは困難である。
【００１３】
本明細書に含まれている文書、行為、材料、デバイス、物品などのいかなる説明も、それが本願の各特許請求の範囲の優先日より前に存在していたとき、これらの事項のいずれかまたはすべてが、先行技術の基礎の部分を形成するか、本開示に関連する分野において共通の一般知識であったことの承認としてみなされるべきではない。
【００１４】
本明細書を通じて、単語「ｃｏｍｐｒｉｓｅ（含む）」、または「ｃｏｍｐｒｉｓｅｓ（含む）」もしくは「ｃｏｍｐｒｉｓｉｎｇ（含む）」などの変形は、既定された要素、完全体またはステップ、または要素群、完全体群またはステップ群を包含するが、いかなる他の要素、完全体またはステップ、または要素群、完全体群またはステップ群をも排除することを意味するものではないことが理解されよう。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【００１５】
【非特許文献１】Biercuk, MJ、Uys, H., VanDevender, AP、Shiga, N., Itano, WM, and Bollinger, JJ(2009a). 「High-fidelity quantum control using ion crystals in a Penning trap」, Quantum Information and Computation, 9:920-949
【非特許文献２】Bylander, J., Gustavsson, S., Yan, F., Yoshihara, F., Harrabi, K., Fitch, G., Cory, D.G., Nakamura, Y., Tsai, J.-S., and Oliver, W.D.(2011), 「Noise spectroscopy through dynamical decoupling with a superconducting flux qubit」, Nat.Phys., 7:565-570
【非特許文献３】Faoro, L.and Viola, L.(2004), 「Dynamical suppression of 1/f noise processes in qubit systems」, Phys.Rev.Lett., 92:117905
【非特許文献４】Harlingen, D.J.V., Plourde, B.L.T., Robertson, T.L., Reichardt, P.A., and Clarke, J.(2004), 「Decoherence in flux qubits due to 1/f noise in Josephson junctions」, In Leggett, A., Ruggiero, B., and Silvestini, P., editors, Quantum Computing and Quantum Bits in Mesoscopic Systems, pages 171-184, Kluwer Academic Press, New York
【非特許文献５】Zhang, W., Dobrovitski, V.V., Santos, L.F., Viola, L., and Harmon, B.N.(2007), 「Dynamical control of electron spin coherence in a quantum dot」, a theoretical study.Phys.Rev.B, 75:201302
【非特許文献６】Rutman, J.(1978), 「Characterization of phase and frequency instabilities in precision frequency sources:fifteen years of progress」, Proceedings of the IEEE, 66:1048
【非特許文献７】Green, T.J., Sastrawan, J., Uys, H., and Biercuk, M.J.(2013), 「Arbitrary quantum control of qubits in the presence of universal noise」, New J.Phys., 15:095004
【非特許文献８】Miller, S.L.and Childers, D.(2012), 「Probability and Random Processes with Applications to Signal Processing and Communications」, Academic Press, Boston, MA
【非特許文献９】Schumacher, B.(1996).Sending entanglement through noisy quantum channels.Phys.Rev.A, 54:2614
【非特許文献１０】Blanes, S., Cases, F., Oteo, J.A., and Ros, J.(2009), 「The Magnus expansion and some of its applications」, Phys.Rep., 470:151
【非特許文献１１】Magnus, W.(1954), 「On the exponential solution of differential equations for a linear operator」, Commun.Pure and Appl.Math., 7:649
【非特許文献１２】Harmuth, H.F.(1969a), 「Applications of Walsh functions in communications」, IEEE Spectrum, 6:82
【非特許文献１３】Ball, H.and Biercuk, M.J.(2015), 「Walsh-synthesized noise filters for quantum logic」, EPJ Quantum Technol., 2(1)
【発明の概要】
【課題を解決するための手段】
【００１６】
ノイズの存在下でマルチキュービットを含む量子プロセッサでの制御実施のパフォーマンスを評価及び改善するための方法が提供される。本方法は、
マルチキュービットノイズハミルトニアンによって記述されたノイズ相互作用を複数の寄与ノイズチャネルに分解することによってノイズをモデル化することであって、各チャネルは、一意のノイズ軸演算子Ａ＾｛（ｉ）｝によって記述されたノイズダイナミクスを生成し、式中（ｉ）はｉ番目のノイズチャネルをインデックス化する、モデル化すること、
所与の制御実施について、関連するノイズダイナミクスに対するマルチキュービットシステムの感度を表す各ノイズチャネルの一意のフィルタ関数を判定することであって、マルチフィルタ関数のそれぞれは、対応するノイズチャネル（ｉ）のノイズ軸演算子（Ａ＾｛（ｉ）｝）の周波数変換（＄＼ｍａｔｈｃａｌ｛Ｆ｝＄）に基づき、それによって制御実施のパフォーマンスを評価する、判定すること、
フィルタ関数に基づいて最適化された制御シーケンスを判定し、ノイズチャネルに対するマルチキュービットシステムの感度を低減し、それによってマルチキュービットノイズハミルトニアンとの有効相互作用を低減する、判定すること、
最適化された制御シーケンスをマルチキュービットシステムに適用して量子プロセッサを制御し、それによって制御実施のパフォーマンスを向上させる、適用することを含む。
【００１７】
この方法は、マルチキュービットへのノイズの影響（それをアドレス指定しないままにすると、ハードウェア障害が発生する）を低減するという利点がある。なぜなら、この方法が、フィルタ関数を計算し、フィルタ関数に基づいてノイズ抑制制御シーケンスを判定するためである。したがって、マルチキュービットをより高い忠実度で、つまりより低いエラー率で使用できる。
【００１８】
マルチキュービットノイズ軸演算子は線形演算子であり得る。
【００１９】
ノイズ軸演算子の組み合わせは、確率変数による各ノイズ軸演算子の重み付けを含み得る。
【００２０】
組み合わせは、それぞれの確率変数によって重み付けされたノイズ軸演算子の線形結合であり得る。
【００２１】
マルチフィルタ関数のそれぞれは、ノイズ軸演算子に適用される制御ハミルトニアン（Ｕ＿ｃ）の周波数変換に基づき得る。
【００２２】
制御ハミルトニアンは、マルチキュービットに対する演算を表し得る。
【００２３】
量子プロセッサのゲートセットはエンタングル演算を含み得、制御ハミルトニアンはマルチキュービット間のエンタングル演算を含む。
【００２４】
ノイズ軸演算子に適用される制御ハミルトニアン（Ｕ＿ｃ）は、トグルフレームノイズ軸演算子を形成し得る。
【００２５】
トグルフレームノイズ軸演算子は、ノイズの確率的内容を除くノイズ軸に対して制御ダイナミクスを表し得る。
【００２６】
ノイズ軸演算子は、マルチキュービットのヒルベルト空間にあり得る。
【００２７】
ノイズ軸演算子は時変であり得る。
【００２８】
ノイズ軸演算子の次元は、マルチキュービットのハミルトニアンの次元と同じであり得る。
【００２９】
ノイズ軸演算子は、非マルコフ誤差モデルに基づき得る。
【００３０】
ノイズ軸演算子は、量子プロセッサの環境の１つまたは複数の測定に基づき得る。
【００３１】
各フィルタ関数は、周波数変換のノイズ軸演算子の次元の合計に基づき得る。
【００３２】
フィルタ関数に基づいて制御シーケンスを判定することは、マルチキュービットの演算に対するノイズの影響を減らすことであり得る。
【００３３】
この方法は、マルチキュービットシステム用の演算子を、次元数が低減された有効制御ハミルトニアンにマッピングすることをさらに含み得、マルチフィルタ関数のそれぞれは、最適化された制御シーケンスがマルチキュービット制御解を表すように、ノイズ軸演算子に適用される有効制御ハミルトニアン（Ｕ＿ｃ）の周波数変換に基づいている。
【００３４】
量子プロセッサは、マルチキュービットと、
マルチキュービットノイズハミルトニアンによって記述されたノイズ相互作用を複数の寄与ノイズチャネルに分解することによってノイズをモデル化することであって、各チャネルは、一意のノイズ軸演算子Ａ＾｛（ｉ）｝によって記述されたノイズダイナミクスを生成し、式中（ｉ）はｉ番目のノイズチャネルをインデックス化する、モデル化すること、
所与の制御実施について関連するノイズダイナミクスに対するマルチキュービットシステムの感度を表す各ノイズチャネルの一意のフィルタ関数を判定することであって、マルチフィルタ関数のそれぞれは、対応するノイズチャネル（ｉ）のノイズ軸演算子（Ａ＾｛（ｉ）｝）の周波数変換（＄＼ｍａｔｈｃａｌ｛Ｆ｝＄）に基づき、それによって制御実施の前記パフォーマンスを評価する、判定すること、
フィルタ関数に基づいて最適化された制御シーケンスを判定し、ノイズチャネルに対するマルチキュービットシステムの感度を低減し、それによってマルチキュービットノイズハミルトニアンとの有効相互作用を低減する、判定すること、
最適化された制御シーケンスをマルチキュービットシステムに適用して量子プロセッサを制御し、それによって制御実施のパフォーマンスを向上させる、適用すること、
を行うように構成されたコントローラとを含む。
【図面の簡単な説明】
【００３５】
【図１】量子プロセッサを示す。
【図２】量子状態がブロッホ球のブロッホベクトルとして表される単一キュービットの簡略化された例を示す。
【図３】制御シーケンスを示す。
【図４】量子プロセッサの制御実施のパフォーマンスを評価及び改善するための方法を示す。
【図５】２キュービットシステムのフィルタ関数を示す。
【図６】２キュービットシステムのフィルタ関数を示す。
【発明を実施するための形態】
【００３６】
上記のように、ノイズの影響は量子状態の劣化を引き起こす重大な問題である。特に、マルチキュービットシステムの場合、複数の相互作用するキュービットまたはエンタングルな演算のいずれかに適した適切な制御シーケンスのモデリングと計算が難しいため、このノイズ相互作用を排除することは困難である。
【００３７】
この開示は、所与の制御実施の下で量子プロセッサのパフォーマンスを評価及び改善する量子制御のための方法を提供する。これは、量子プロセッサが、所望の操作、例えば、量子情報をマルチキュービットにロードし、一定時間量子状態を発展及び操作し、潜在的に量子エラー補正を採用しているキュービットから結果として得られる量子情報を読み取ることを本質的に実施する信号の制御下で動作するということを意味する。これらのステップ（及び場合によっては他のステップ）は、ノイズのない量子プロセッサの公称動作の制御を行うため、制御実施と呼ばれる。
【００３８】
開示される方法は、複数のノイズチャネルの概念を使用し、これらを合わせると、各ノイズチャネルがすべてのキュービットに適用される可能性があるため、キュービットの数とノイズチャネルの数がほとんどの場合異なることに注意して、完全なノイズの影響を表す。次に、開示される方法は、ノイズ分解されたハミルトニアンとしてノイズをモデル化し、その分解の各要素は、ノイズチャネルのうちの１つのノイズチャネルの影響を表す。より具体的には、各要素は、線形（行列）演算子であるノイズ軸演算子を含み、各ノイズ軸演算子は、すべてのキュービット及び１つのノイズチャネルに適用される。制御ハミルトニアン（上記の制御実施を表す）に適用された場合、結果は「トグルフレームノイズ演算子」と呼ばれる。
【００３９】
線形ノイズ軸演算子と加法性ノイズチャネルの利点は、演算子のフーリエ変換を計算して、選択した制御を行う間のノイズの影響を表すフィルタ関数を判定できることである。フィルタ関数がわかれば、ノイズの影響を可能な限り排除することで、それを用いて、量子プロセッサのパフォーマンスを向上させることができる。
【００４０】
これよりこの方法を、図４を参照して比較的大まかに説明し、その後、厳密な数学的定式化がなされる。大まかな説明では、本開示の両部分の間にある繋がりを確立するために、数学的定式化で使用される方程式記号を提示する。
【００４１】
図４は、ノイズの存在下でマルチキュービットを含む量子プロセッサの制御実施のパフォーマンスを評価及び改善するための方法４００を示す。方法４００は、プロセッサと、コンピュータ命令が格納されたプログラムメモリとして機能する非一時的なコンピュータ可読媒体とを含む古典的なコンピュータシステムによって実行され得ることに留意されたい。プロセッサは、ＩｎｔｅｌＰｅｎｔｉｕｍ、ＦＰＧＡ、またはカスタムメイドのＡＳＩＣなどの市販のプロセッサであってよい。命令により、プロセッサは方法４００を実行する。方法４００及び他の方法のさらなる特徴の数学的定式化もまた、プログラムコードとして実施され、古典的なコンピュータシステムのプログラムメモリにインストールされ得る。
【００４２】
この方法は、マルチキュービットノイズハミルトニアン
【数１】
2021532514.tif 000003
によって記述されたノイズの相互作用を複数の寄与ノイズチャネルに分解することによって、ノイズをモデル化４０１することから始まる。各チャネルは、一意のノイズ軸演算子
【数２】
2021532514.tif 000004
によって記述されるノイズダイナミクスを生成する。この場合（ｉ）はｉ番目のノイズチャネルにインデックスを付ける（以下の式６）。
【００４３】
次のステップは、所与の制御実施
【数３】
2021532514.tif 000005
について、
【数４】
2021532514.tif 000006
に従って一意のフィルタ関数Ｆを判定する４０２ことである（これは以下の式（８５）である）。すなわち、フィルタ関数Ｆは、各ノイズチャネルｉについて計算され、関連するノイズダイナミクスに対するマルチキュービットシステムの感度を表す。マルチフィルタ関数Ｆのそれぞれは、対応するノイズチャネルｉのノイズ軸演算子
【数５】
2021532514.tif 000007
の周波数変換
【数６】
2021532514.tif 000008
に基づいている。上記の式の
【数７】
2021532514.tif 000009
は、トグルフレームノイズ軸演算子であることに留意されたい。フィルタ関数を判定することは、本質的に、量子プロセッサのパフォーマンスが様々なノイズ周波数でのノイズの影響を示すときに評価されることを意味する。
【００４４】
ノイズ特性に戻ると、いくつかの例では、量子システムのデコヒーレンスは、低周波数が支配的なノイズパワースペクトルによって特徴付けられる、長い相関の時間依存の非マルコフノイズプロセスによって支配される［１、２、３、４、５］。これらは、環境の変動から、または、駆動量子システムの重要なケースでは、単一キュービットまたはマルチキュービット操作を実施するような制御デバイス自体のノイズから発生し得る［６］。いずれの場合も、結果として、メモリの操作と重要な操作の両方を含む、ターゲット制御操作の忠実度が低下する。これらの現象は、量子デバイスが原理実証のデモンストレーションから、量子デバイスに対するパフォーマンス要求が頻繁に極端になる現実的なアプリケーションに移行する際に大きな課題を提示する。したがって、ノイズの存在下で量子システムを効率的かつ効果的に制御する方法を見つけることは、量子制御理論の中心的課題である。
【００４５】
次に、ノイズチャネルに対するマルチキュービットシステムの感度を低減するために、フィルタ関数に基づいて最適化された制御シーケンスを判定すること４０３が可能である。周波数の関数としてのパワースペクトル密度によって特徴づけられる既知のノイズが与えられると、量子操作の全体的なパフォーマンスは、周波数空間におけるノイズ及びフィルタ関数のオーバーラップする積分によって判定される。ノイズパワースペクトル密度が最大である小さな数値のフィルタ関数を示す制御は、マルチキュービットノイズハミルトニアンとのキュービットの有効相互作用を減らし、したがって、そのゲートへの全体的なノイズの影響と劣化を減らす。これは、広い低周波数帯域、特定の狭い周波数範囲、またはその両方で同時に達成できる。したがって、計算が完了すると、制御シーケンスを繰り返し変更して、ターゲット操作が達成され、所望のフィルタリングパフォーマンスが達成されるようにし得る。
【００４６】
最後に、最適化された制御シーケンスがマルチキュービットシステムに適用され４０４、量子プロセッサを制御して、そのため、もはやマルチキュービットがアイドル（メモリ）または自明ではない量子論理演算中のノイズ劣化の影響を受けにくいという意味で、制御実施のパフォーマンスを向上させ、そのため大幅に低下したエラー率での実行ができるようになる。
【００４７】
この開示の残りの部分は、分析的な計算と数値計算の両方に適しており、量子情報処理の目的で現在世界中で研究されているほとんどの量子システムをカバーする、非常に幅広いクラスの制御及びノイズハミルトニアンのフィルタ関数を計算するための形式を示す。
【００４８】
まず、システムの次元、キュービット／粒子の数、またはそれらの間の相互作用に関してさらに制限を加えることなく、制御とノイズの相互作用のハミルトニアンフレームワークを表現することは、役に立つ。したがって、
【数８】
2021532514.tif 000010
式中、
【数９】
2021532514.tif 000011
は、例えば理想的な外部駆動場を介したシステムの完全な制御を表し、ノイズハミルトニアン
【数１０】
2021532514.tif 000012
は、ノイズプロセスとの望ましくない時変相互作用を捉える。システムがシュレディンガー方程式の下で発展する
【数１１】
2021532514.tif 000013
式中、
【数１２】
2021532514.tif 000014
は時間順序演算子を示し、時間発展演算子
【数１３】
2021532514.tif 000015
は、期間
【数１４】
2021532514.tif 000016
の相互作用の後、初期状態
【数１５】
2021532514.tif 000017
を最終的な
【数１６】
2021532514.tif 000018
に変換する。ノイズがない場合、ハミルトニアンの合計は
【数１７】
2021532514.tif 000019
に減少する。この場合、理想的な制御下のターゲット発展経路は、以下によって決定され、
【数１８】
2021532514.tif 000020
いずれのノイズプロセスからも独立している。
【００４９】
ノイズプロセスは、確率的に時間に依存する変動する古典的なノイズフィールドの観点から、半古典的にモデル化できる。さらに具体的にすることなく、ノイズハミルトニアンは
【数１９】
2021532514.tif 000021
ノイズチャネルの組み合わせとして表され、ｎ個のノイズチャネルの合計として記述できる
【数２０】
2021532514.tif 000022
式中、ノイズ軸演算子
【数２１】
2021532514.tif 000023
は確率変数ではなく、むしろ、システムのヒルベルト空間でノイズの「軸」（時間と共に変化する可能性がある）を定義する演算子である。このモデルでは、ノイズフィールド
【数２２】
2021532514.tif 000024
は、平均がゼロで非マルコビアンパワースペクトルの古典的なランダムの変数であると想定される。それらはまた、広義の定常（ｗｓｓ）であり、独立していると想定される。独立性の仮定は、例えば、周波数と振幅のランダムな変動が様々な物理的プロセスから発生する駆動フィールドの場合に合理的である。ただし、Ｇｒｅｅｎらによって概説されたアプローチに従って、ノイズプロセス間の相関関係を含む一般的なモデルが可能である［７］。ｗｓｓの仮定は、自己相関関数
【数２３】
2021532514.tif 000025
は時間の差
【数２４】
2021532514.tif 000026
のみに依存することを意味する。さらに、各ノイズチャネルの自己相関関数は、ウィーナーヒンチンの定理を使用して、関連するＰＳＤ
【数２５】
2021532514.tif 000027
のフーリエ変換に関連付けることができる［８］。つまり、
【数２６】
2021532514.tif 000028
である。
【００５０】
独立性の仮定は、相互相関関数が消滅することを意味する。すなわち、
【数２７】
2021532514.tif 000029
である。
【００５１】
ここでの山括弧は、確率変数の時間平均を示す。最後に、このモデルは準静的（
【数２８】
2021532514.tif 000030
と比較して遅いノイズ）から、
【数２９】
2021532514.tif 000031
に匹敵するかまたはそれよりも速い時間スケールでノイズが変動する限界まで、パラメータレジームの広い範囲へのアクセスを許可する。
【００５２】
これらのノイズハミルトニアンは、キュービットダイナミクスで制御されない回転を生成し、
【数３０】
2021532514.tif 000032
で意図されたターゲット変換に関連する発展経路（したがって最終状態）でエラーを引き起こす。このエラーの推定値は、演算子の１次展開を使用して次の説明で導出され、関連するフィルタ関数に関する一般的な説明になる。
【００５３】
一般的なフィルタ関数
提案されたプロセスは、ノイズ及び関連する制御の両方が存在する場合の操作の忠実度の尺度を使用する。このために、Ｇｒｅｅｎらによって開発された方法［１８］を参照できる。関連する指標は忠実度だけではない可能性があることに留意されたい。同じフレームワークで様々な測定可能なパラメータを計算できる。現在のフレームワークでは、制御の期間中にノイズフィールドによってもたらされるエラーは、切り捨てられたマグヌス展開を介して１次に近似される。次に、各ノイズフィールドは、ノイズパワースペクトルと適切な一般化されたフィルタ伝達関数との間のオーバーラップする積分として表される、スペクトル領域のゲート不忠実度に項を与える。
【００５４】
操作の忠実度
ノイズの相互作用がない場合、ターゲット状態の発展は
【数３１】
2021532514.tif 000033
で記述され、式（４）で求められる。
【数３２】
2021532514.tif 000034
の下でのノイズ相互作用は、操作をこのターゲットから遠ざけ、式（１８）によって求められる正味の操作
【数３３】
2021532514.tif 000035
をもたらす。したがって、平均的な操作の忠実度を以下のように表すことができ、
【数３４】
2021532514.tif 000036
ヒルベルト−シュミット内積によって捉えられる、意図され実現された演算子が「オーバーラップ」する程度を効果的に測定する［９］。ここで
【数３５】
2021532514.tif 000037
はヒルベルト空間の次元である。これにより、ノイズがないときにユニットの忠実度を確実に回復できる。つまり、
【数３６】
2021532514.tif 000038
ならば以下を得る。
【数３７】
2021532514.tif 000039
【００５５】
フレームの切り替え
式（１０）を評価するような発展ダイナミクスを計算することは、制御とノイズのハミルトニアンが異なる時間において交換しない可能性があるため、困難である。結果として生じる時間依存の非代理操作を順次適用すると、離調エラーと脱分極エラーの両方が発生し、近似法が必要になる。
【００５６】
提案されたエラーモデルは、制御とノイズ両方の相互作用が単一回転をもたらす非散逸キュービット発展を想定している。したがって、発展演算子は、マグヌス展開を使用してユニタリとして近似される［１０、１１］。これには、トグルフレームと呼ばれる制御と共回転するフレームへの移動が伴う。［１２］も参照されたい。このアプローチにより、制御のみに起因するシステムの発展の部分を、環境結合により影響を受ける部分から分離することができる。
【００５７】
完全なユニタリと理想的なユニタリ
【数３８】
2021532514.tif 000040
及び
【数３９】
2021532514.tif 000041
の誤差を、エラーユニタリ
【数４０】
2021532514.tif 000042
で表し、
【数４１】
2021532514.tif 000043
とする。この場合、次の同等な関係が得られる。
【数４２】
2021532514.tif 000044
【００５８】
したがって、式（１３）を使用して式（１０）の計算が実行でき、以下が生じる。
【数４３】
2021532514.tif 000045
【００５９】
したがって、完全な制御は
【数４４】
2021532514.tif 000046
に対応する。しかし、
【数４５】
2021532514.tif 000047
を計算する方法は如何になるか。式（１３）の時間微分により、以下を得る
【数４６】
2021532514.tif 000048
【００６０】
ここで式（１８）と式（４）から、また
【数４７】
2021532514.tif 000049
に注目すると、以下も得られる
【数４８】
2021532514.tif 000050
【００６１】
これらを式（１７）に代入すると、それにより、
【数４９】
2021532514.tif 000051
【００６２】
今度は式（１２）と式（１４）に代入すると、以下が生じる
【数５０】
2021532514.tif 000052
【００６３】
したがって、トグルフレームハミルトニアンを定義すると、
【数５１】
2021532514.tif 000053
エラープロパゲーターは
【数５２】
2021532514.tif 000054
でシュレディンガー方程式を満たし、
【数５３】
2021532514.tif 000055
また、このフレームでマグヌス展開を実行して
【数５４】
2021532514.tif 000056
を近似することができる。
【００６４】
マグヌス展開
マグヌス級数［１１］の収束を仮定すると、マグヌス展開を実行することによって、式（２８）によって決定されるエラープロパゲーター
【数５５】
2021532514.tif 000057
の任意に正確なユニタリ推定を取得することが可能である。特に、発展時間
【数５６】
2021532514.tif 000058
の終わりにおいて、以下のように記載でき、
【数５７】
2021532514.tif 000059
式中、有効なエラー演算子は以下のように展開され、
【数５８】
2021532514.tif 000060
最初のいくつかのマグヌス展開項は以下のように表される。
【数５９】
2021532514.tif 000061
【００６５】
これらは通常、
【数６０】
2021532514.tif 000062
のネストされた交換子の時間順積分の形式をとる。ノイズフィールド
【数６１】
2021532514.tif 000063
が十分に弱いと仮定すると、以下の最低次数の近似を行うことができる。
【数６２】
2021532514.tif 000064
これはエラー演算子を以下のように一次に切り捨てることによってなされる。
【数６３】
2021532514.tif 000065
【００６６】
一次誤差ユニタリの指数関数的拡張
トグルフレームのハミルトニアンは、エルミートでありトレースレスであるということを強く述べる。
【数６４】
2021532514.tif 000066
式（３３）から、また積分の線形性のために、一次エラープロパゲーターはまたこれらの特性を満たすことになる。
【数６５】
2021532514.tif 000067
【００６７】
ここで、
【数６６】
2021532514.tif 000068
の実数または複素数の行列
【数６７】
2021532514.tif 000069
の場合、指数化された行列は、以下のべき級数として表すことができる。
【数６８】
2021532514.tif 000070
【００６８】
したがって、式（３２）は以下のように展開する。
【数６９】
2021532514.tif 000071
式中、式（１５）のトレース操作を（自明ではないが）存続させる最低次数の項に切り捨てた。
【００６９】
操作の不忠実度：一次近似
この展開を式（１５）に代入すると、以下を生じる。
【数７０】
2021532514.tif 000072
【００７０】
最後の行は次の結果を使用している。
【数７１】
2021532514.tif 000073
エルミート演算子の場合
【数７２】
2021532514.tif 000074
となる。
【００７１】
その結果、
【数７３】
2021532514.tif 000075
となる。
【００７２】
したがって、
【数７４】
2021532514.tif 000076
を超える項を無視すると、以下を得る。
【数７５】
2021532514.tif 000077
【００７３】
周波数領域に変換する
したがって、不忠実の１次近似は以下のように表すことができる。
【数７６】
2021532514.tif 000078
【００７４】
ここで、式（６）と（２７）の定義から、以下を得る。
【数７７】
2021532514.tif 000079
式において、トグルフレームノイズ軸演算子を以下のように定義した。
【数７８】
2021532514.tif 000080
これは、任意のヒルベルト空間次元Ｄに当てはまる。
【００７５】
注：ノイズ軸演算子
【数７９】
2021532514.tif 000081
は確率変数ではなく、ノイズの軸を定義する演算子である。したがって、制御ユニタリ
【数８０】
2021532514.tif 000082
による共役を介して変換された演算子で構成されるトグルフレームノイズ軸演算子
【数８１】
2021532514.tif 000083
は、ノイズの確率的内容に関するいずれの情報をも捉えず、対象のノイズ軸に関連する制御ダイナミクスに関する情報を捉える。
【００７６】
これを式（６）に挿入すると、したがって、以下を得る。
【数８２】
2021532514.tif 000084
【００７７】
式（９）から、すべての相互相関がゼロであるため、以下となる。
【数８３】
2021532514.tif 000085
【００７８】
ここで、式中、式（８）で説明されているウィーナーヒンチンの定理を使用して周波数領域に移動できる。つまり、
【数８４】
2021532514.tif 000086
である。
演算子
【数８５】
2021532514.tif 000087
のフーリエ変換を以下のように定義すると、
【数８６】
2021532514.tif 000088
を得る。
【００７９】
したがって、最終的に不忠実度を以下のように表現することができる。
【数８７】
2021532514.tif 000089
式中、各ノイズチャネルに関連付けられたフィルタ関数
【数８８】
2021532514.tif 000090
は、以下のように定義される。
【数８９】
2021532514.tif 000091
【００８０】
注：トグルフレームノイズ軸演算子
【数９０】
2021532514.tif 000092
は、ノイズ軸を定義する制御変換された演算子であるため、式（７０）のフーリエ変換は、対象のノイズチャネルに関連する制御に関する情報を捉えるが、いずれの確率的ノイズ変数にも依存しない。
【００８１】
以下であるため
【数９１】
2021532514.tif 000093
以下となる。
【数９２】
2021532514.tif 000094
【００８２】
その結果、
【数９３】
2021532514.tif 000095
である。
【００８３】
ここで、式（６７）を要素単位で適用すると、それにより、以下を得る。
【数９４】
2021532514.tif 000096
【００８４】
したがって、（７０）において
【数９５】
2021532514.tif 000097
である。
【００８５】
したがって、
【数９６】
2021532514.tif 000098
である。
【００８６】
したがって、i番目のノイズチャネルに関連付けられたフィルタ関数は、最終的に次の形式になる。
【数９７】
2021532514.tif 000099
【００８７】
要約
したがって、以下のように要約することができる。次元
【数９８】
2021532514.tif 000100
の量子システムの場合、ハミルトニアンが以下のように記述される。
【数９９】
2021532514.tif 000101
式中、
【数１００】
2021532514.tif 000102
は完全な制御を表し、以下を満す。
【数１０１】
2021532514.tif 000103
【数１０２】
2021532514.tif 000104
は、
【数１０３】
2021532514.tif 000105
の独立したノイズチャネルとの相互作用を捉え、それぞれが以下のように半古典的に以下のようにモデル化される。
【数１０４】
2021532514.tif 000106
式中、ノイズフィールド
【数１０５】
2021532514.tif 000107
は、ＰＳＤ
【数１０６】
2021532514.tif 000108
が関連付けられた古典的なゼロ平均ｗ.ｓ.ｓ.プロセスであると想定される。ここで、トグルフレームノイズ軸演算子
【数１０７】
2021532514.tif 000109
及び関連するフーリエ変換を定義すると、
【数１０８】
2021532514.tif 000110
操作の不忠実度を以下のように一次で表すことができる。
【数１０９】
2021532514.tif 000111
式中、各ノイズチャネルに関連付けられたフィルタ関数
【数１１０】
2021532514.tif 000112
は以下のように計算される。
【数１１１】
2021532514.tif 000113
【００８８】
つまり、時間依存演算子
【数１１２】
2021532514.tif 000114
の各要素のフーリエ変換を行い、すべての要素それぞれの複素弾性率の２乗を合計し、量子システムの次元
【数１１３】
2021532514.tif 000115
で除算する。この結果は、ヒルベルト空間次元Ｄの一般的な量子システムに適している。これは、マルチレベルの「キュービット」（ｄの状態のいずれかをとり得る情報の量子単位であり、ｄは変数である）または複数の相互作用するキュービットであり得る。
【００８９】
実際の駆動システムにおけるデコヒーレンスは、主に低周波数相関ノイズ環境によるものである。これは、特にＤ次元マルチキュービットまたは一般的なマルチレベル「クディット」システムのコンテキストで、時間依存の非マルコフエラーモデルを使用したノイズフィルタリング問題として有界強度制御を今回開示することを強く動機付ける。さらに、制御操作中のノイズ相互作用の継続的な存在と、その結果生じる非線形ダイナミクスによる、制限された強度の制御の処理の複雑さは、Ｄ次元のシステムのノイズフィルタリング制御の設計に対する開示の合理化されたアプローチによって対処できる。
【００９０】
本明細書に記載のフィルタ伝達関数フレームワークは、環境の実験的に測定可能な特性、すなわちノイズパワースペクトルを、入力とすることができ、制御の構築及び予測される操作の忠実度の計算双方に対する数値的に実行可能なフレームワークを提供する。また、制御及びノイズハミルトニアンが交換しない状況で暗黙的な制御非線形性を効率的に捉える。このフレームワークは、研究された元の単一キュービットシステムを超えた量子システムに適用可能であり、対象のシステム内の関連するノイズチャネルを記述するノイズ軸演算子の形式についての控えめな仮定がある。
【００９１】
式（８５）で表されるフィルタ関数は、フィルタ関数の数値計算用のＰｙｔｈｏｎモジュールとして、またはＣ＋＋やＪａｖａを含む他のプログラミング言語で実施できる。フィルタ関数は、分析形式がわかっているよく知られたケースに対してテストされており、フーリエ変換の数値計算に使用されるＦＦＴのサンプリングレートによって制限される周波数帯域で、良好な一致が確認されている。関連する例示的なサンプルレートは、操作ごとに１，０００サンプルであるため、関連する操作のタイムスケールに応じて約１ｋｓ／秒から１００Ｇｓ／秒の範囲であるが、この範囲に限定されない。
【００９２】
単一キュービットの例
単軸振幅変調による単一キュービット制御
制御ハミルトニアンの単一キュービット（
【数１１４】
2021532514.tif 000116
）システムを検討する。
【数１１５】
2021532514.tif 000117
例えば、
【数１１６】
2021532514.tif 000118
にスレピアン変調を使用して、振幅変調された
【数１１７】
2021532514.tif 000119
ノイズをプローブする。したがって、ノイズハミルトニアンは次の形式をとる。
【数１１８】
2021532514.tif 000120
【００９３】
したがって、ノイズ軸演算子は次の形式をとる。
【数１１９】
2021532514.tif 000121
そのため、トグルフレームノイズ軸演算子は次の式で得られる。
【数１２０】
2021532514.tif 000122
なぜなら、制御ユニタリとノイズ軸演算子は乗法振幅ノイズに対し交換したからである。その結果、以下となる。
【数１２１】
2021532514.tif 000123
【００９４】
したがって、
【数１２２】
2021532514.tif 000124
である。
【００９５】
つまり、振幅変調されたエンベロープのフーリエ変換のモジュラス二乗（例えば、スレピアン関数）である。
【００９６】
単一キュービット動的デカップリング
動的デカップリング（ＤＤ）は、制御ハミルトニアンが一連の瞬間（「バンバン(bang-bang)」）操作の形式をとることを要求することにより、上記の説明に適合する。これは、ゼロ（オフ）と無限（オン）の値を切り替える振幅変調の形式として表現できる。カノニカルなＤＤ方式は、直列
【数１２３】
2021532514.tif 000125
、瞬間
【数１２４】
2021532514.tif 000126
、
【数１２５】
2021532514.tif 000127
周囲のパルスからなり、
【数１２６】
2021532514.tif 000128
の時間間隔で、
【数１２７】
2021532514.tif 000129
時点で実行され、式中
【数１２８】
2021532514.tif 000130
及び
【数１２９】
2021532514.tif 000131
と定義する。正規化されたパルス位置を示す
【数１３０】
2021532514.tif 000132
によって定義される断片的な時間
【数１３１】
2021532514.tif 000133
を導入する。この場合、シーケンス
【数１３２】
2021532514.tif 000134
は、ＤＤ構造、したがってその特性を完全に判定する。したがって、制御ハミルトニアン（
【数１３３】
2021532514.tif 000135
）は次の形式をとる。
【数１３４】
2021532514.tif 000136
式中、振幅変調エンベロープ
【数１３５】
2021532514.tif 000137
は、0または
【数１３６】
2021532514.tif 000138
の値をとり、時間
【数１３７】
2021532514.tif 000139
で中心になる
【数１３８】
2021532514.tif 000140
パルス列を定義し、各パルスは面積
【数１３９】
2021532514.tif 000141
及び持続時間
【数１４０】
2021532514.tif 000142
を有する。バンバン制限では、
【数１４１】
2021532514.tif 000143
と
【数１４２】
2021532514.tif 000144
である。次に、制御振幅エンベロープは、ディラックの櫛として記述できる。
【数１４３】
2021532514.tif 000145
【００９７】
したがって、制御ユニタリは次の形式をとる。
【数１４４】
2021532514.tif 000146
式中、j番目の積分は以下のように評価され、
【数１４５】
2021532514.tif 000147
【数１４６】
2021532514.tif 000148
は以下のように定義されたヘヴィサイド関数である。
【数１４７】
2021532514.tif 000149
【００９８】
したがって、
【数１４８】
2021532514.tif 000150
であり、式中、
【数１４９】
2021532514.tif 000151
は時間
【数１５０】
2021532514.tif 000152
までに実行されたパルスの数をカウントする。
【００９９】
したがって、
【数１５１】
2021532514.tif 000153
である。
【０１００】
具体的には、以下のとおりであり、
【数１５２】
2021532514.tif 000154
式中、
【数１５３】
2021532514.tif 000155
の前の複素数
【数１５４】
2021532514.tif 000156
は無視されている。これは、グローバルフェーズにのみ寄与するためである。方形波（スイッチング）関数
【数１５５】
2021532514.tif 000157
を導入することによって、よりコンパクトにこれを記すことができ、これは
【数１５６】
2021532514.tif 000158
の値をとり、
【数１５７】
2021532514.tif 000159
で始まり、j番目の符号スイッチが時間
【数１５８】
2021532514.tif 000160
に発生する。つまり、以下のとおりである。
【数１５９】
2021532514.tif 000161
【０１０１】
次いで、以下のように記すことができる。
【数１６０】
2021532514.tif 000162
または代わりに、以下のとおりである。
【数１６１】
2021532514.tif 000163
【０１０２】
ここで、離調を以下のように仮定する。
【数１６２】
2021532514.tif 000164
【０１０３】
したがって、ノイズ演算子は次の形式をとる
【数１６３】
2021532514.tif 000165
そのため、トグルフレームノイズ演算子は、拡大した後、次の式で得られる。
【数１６４】
2021532514.tif 000166
したがって、フーリエ領域では以下が得られ、
【数１６５】
2021532514.tif 000167
スイッチング関数のフーリエ変換を定義する。
【数１６６】
2021532514.tif 000168
【０１０４】
したがって、離調フィルタ関数は次の式で得られる。
【数１６７】
2021532514.tif 000169
【０１０５】
注：この結果は、最終的にモジュラスを二乗しているという事実のため、実際にはスイッチング関数の符号の規則とは無関係である。つまり、
【数１６８】
2021532514.tif 000170
である。最後に、以下のように記すことができる。
【数１６９】
2021532514.tif 000171
【０１０６】
それは以下を生じる。
【数１７０】
2021532514.tif 000172
例えば、以下のとおりである。
【０１０７】
スピンエコーシーケンスのために、
【数１７１】
2021532514.tif 000173
、及び
【数１７２】
2021532514.tif 000174
に設定すると、以下となる。
【数１７３】
2021532514.tif 000175
【０１０８】
２キュービットゲートの例
以下の説明は、上記の形式を使用した２キュービットゲートのフィルタ関数分析の結果を示している。
【０１０９】
表現
次の単一キュービット及び２キュービットの演算子の規則を以下のように定義する。
【０１１０】
単一キュービット
【数１７４】
2021532514.tif 000176
以下と交換関係がある
【数１７５】
2021532514.tif 000177
【０１１１】
２キュービット
テンソル積を参照しながら以下に示す定義を使用して、２キュービット状態を記述する。
【数１７６】
2021532514.tif 000178
及び演算子
【数１７７】
2021532514.tif 000179
【０１１２】
２キュービット交換子
すべての２キュービット演算子の交換子は、式（２２４）の行列に示されている。左側と上部の余白には、１６個の２キュービット演算子がすべて表示され、行の下と列全体で１から１６までインデックスが付けられる。(i, j)番目の行列要素は、i番目に列挙された演算子（左マージン）とj番目に列挙された演算子（上マージン）の交換子として定義される。例えば、インデックス１６は
【数１７８】
2021532514.tif 000180
に対応し、インデックス２は
【数１７９】
2021532514.tif 000181
に対応する。行列要素(16, 2)は
【数１８０】
2021532514.tif 000182
を表示する（前因子は全体行列を2iで乗算することに由来）。すなわち、以下のとおりである。
【数１８１】
2021532514.tif 000183
これらの交換子は、式（４０６）を使用して導出できる。例えば、以下のとおりである。
【数１８２】
2021532514.tif 000184
【０１１３】
単一キュービットのパウリ演算子の交換子関係の構造を共有する交換子関係を有する１６要素の演算子空間の部分空間を調べることを対象とする。これらの部分空間での作業は、馴染の単一キュービット制御を２キュービットシステムにマッピングするための経路を提供する。以下では、物理システムで設計され得る２キュービット交互作用項
【数１８３】
2021532514.tif 000185
及び
【数１８４】
2021532514.tif 000186
が含まれているため、このような２つの対象の部分空間について検討する。
【０１１４】
有効な補償パルス：
【数１８５】
2021532514.tif 000187
部分空間
２キュービット制御ハミルトニアンを検討する。
【数１８６】
2021532514.tif 000188
有効な単一キュービットハミルトニアンへマッピングする。
【数１８７】
2021532514.tif 000189
式中、有効な演算子
【数１８８】
2021532514.tif 000190
は以下のように定義され、
【数１８９】
2021532514.tif 000191
制御振幅は以下のように定義される。
【数１９０】
2021532514.tif 000192
【０１１５】
次に、式（４０６）を使用するか、または式（２２４）の表を読み取り、次の交換関係が得られる。
【数１９１】
2021532514.tif 000193
【０１１６】
【数１９２】
2021532514.tif 000194
はパウリ演算子の交換関係を満たすので、式（２３２）は、単一キュービットのハミルトニアンと同等であるため、その空間で機能することが知られている制御テクニックのいずれをも実施できる。つまり、単一キュービットベース
【数１９３】
2021532514.tif 000195
で補償特性を有することがわかっている任意の制御は、このベース
【数１９４】
2021532514.tif 000196
が亘る制御（及びノイズ）で、２キュービットシステムにマッピングするはずである。以下の２つの場合を検討し、対応するフィルタ関数を示して、期待されるパフォーマンスとの一致を示す。
【０１１７】
有効プリミティブ
【数１９５】
2021532514.tif 000197
相互作用時間
【数１９６】
2021532514.tif 000198
に対して、以下を設定する。
【数１９７】
2021532514.tif 000199
【０１１８】
これは、単一キュービット
【数１９８】
2021532514.tif 000200
軸の周りのプリミティブなπパルスに似ているが、２キュービット空間では、
【数１９９】
2021532514.tif 000201
交互作用項にπ位相を蓄積するようにマップされる。２キュービット空間でのこの操作のフィルタ関数は、プリミティブな単一キュービットπx パルスと同じプロパティ（つまり、フィルタ次数）を継承すると予想される。
【０１１９】
ＺＺ相互作用のマルチキュービット部分空間における有効ＢＢ１保護πx 
一例では、単一キュービット技法に触発された制御を作成することによってノイズフィルタリングマルチキュービット論理演算を達成することができるが、ここでは、マルチキュービット演算について本開示で説明されるノイズフィルタリングフレームワークで操作している。ここで、４セグメントＢＢ１パルスを組み込んで、
【数２００】
2021532514.tif 000202
で同じ効果的な操作を実現し、ノイズフィルタリング特性を強化することができる。
【数２０１】
2021532514.tif 000203
は、角度θを通る
【数２０２】
2021532514.tif 000204
軸を中心としたブロッホベクトルの回転を示すこととする。次いで、
【数２０３】
2021532514.tif 000205
の周りの正味θ回転を組み込むＢＢ１パルスは、以下が書き込まれる（演算子は、右から左へ適用される）。
【数２０４】
2021532514.tif 000206
式中
【数２０５】
2021532514.tif 000207
である。
【数２０６】
2021532514.tif 000208
の期間、一連のセグメント
【数２０７】
2021532514.tif 000209
にわたって一定のラビレート
【数２０８】
2021532514.tif 000210
とともに組み込まれると、これは以下のように記される。
【数２０９】
2021532514.tif 000211
【０１２０】
図５は、２キュービットシステムのフィルタ関数を示し、有効プリミティブπxと、
【数２１０】
2021532514.tif 000212
部分空間にて組み込まれた有効ＢＢ１（π）を比較する。ＢＢ１は、プリミティブよりも高いフィルタ次数を示す。
【０１２１】
ＢＢ１(π)パルスは、プリミティブπパルスと同じ正味操作を実現するが、振幅（ラビレート）のエラーを補正する。つまり、ＢＢ１(π)の振幅フィルタ関数は、制御に比例するノイズ演算子の場合、プリミティブよりも高いフィルタ次数を示すはずである。ここで、振幅ノイズは共通の
【数２１１】
2021532514.tif 000213
ノイズを意味する。２キュービットの図では、これは制御
【数２１２】
2021532514.tif 000214
と
【数２１３】
2021532514.tif 000215
の共通するノイズを意味する。図５は、この結果を示している。開示された方法がない場合、このフィルタリング動作を計算することは一般に難題である。
【０１２２】
有効補償パルス：
【数２１４】
2021532514.tif 000216
相互作用
２キュービット制御ハミルトニアンを検討する。
【数２１５】
2021532514.tif 000217
有効単一キュービットハミルトニアンへマッピングする。
【数２１６】
2021532514.tif 000218
式中、有効演算子
【数２１７】
2021532514.tif 000219
は以下のように定義される。
【数２１８】
2021532514.tif 000220
制御振幅は以下のように定義される。
【数２１９】
2021532514.tif 000221
【０１２３】
次に、以下の式（４０６）または式（２２４）の表の読み出しを使用して、次の交換関係が得られる。
【数２２０】
2021532514.tif 000222
【０１２４】
【数２２１】
2021532514.tif 000223
はパウリ演算子の交換関係を満たすので、式（２４６）は、単一キュービットハミルトニアンと同等であるため、その空間で機能することが知られている制御技法のいずれかを実施できる。つまり、単一キュービットベース
【数２２２】
2021532514.tif 000224
で補償特性を有することがわかっているいずれの制御も、この基底
【数２２３】
2021532514.tif 000225
に亘る制御（及びノイズ）を使用して、２キュービットシステムにマッピングするはずである。以下の２つの場合を検討し、対応するフィルタ関数を示し、期待されるパフォーマンスとの一致を示す。繰り返し述べるが、以下の２つの場合を検討し、対応するフィルタ関数を示し、期待されるパフォーマンスとの一致を示す。
【０１２５】
有効プリミティブπx
相互作用時間
【数２２４】
2021532514.tif 000226
に対して、以下を設定する。
【数２２５】
2021532514.tif 000227
【０１２６】
これは、単一キュービット
【数２２６】
2021532514.tif 000228
軸の周りのプリミティブなπパルスに似ているが、２キュービット空間では、
【数２２７】
2021532514.tif 000229
交互作用項にπ位相を蓄積するようにマップされる。２キュービット空間でのこの操作のフィルタ関数は、プリミティブな単一キュービットπxパルスと同じプロパティ（つまり、フィルタ次数）を継承すると予想される。
【０１２７】
ＸＸ相互作用のマルチキュービット部分空間における有効ＢＢ１保護πx
別の例では、また４セグメントＢＢ１パルスを組み込んで、
【数２２８】
2021532514.tif 000230
で同じ効果的な操作を実現し、ノイズフィルタリング特性を強化することができる。
【数２２９】
2021532514.tif 000231
は、角度θを通る
【数２３０】
2021532514.tif 000232
軸を中心としたブロッホベクトルの回転を示すとする。次いで、
【数２３１】
2021532514.tif 000233
の周りの正味θ回転を組み込むＢＢ１パルスは、以下が書き込まれる（演算子は、右から左へ適用される）。
【数２３２】
2021532514.tif 000234
式中
【数２３３】
2021532514.tif 000235
である。
【数２３４】
2021532514.tif 000236
の期間、一連のセグメント
【数２３５】
2021532514.tif 000237
にわたって一定のラビレート
【数２３６】
2021532514.tif 000238
とともに組み込まれると、これは以下のように記される。
【０１２８】
【数２３７】
2021532514.tif 000239
【０１２９】
図６は、２キュービットシステムのフィルタ関数を示し、有効プリミティブπxと、
【数２３８】
2021532514.tif 000240
部分空間にて組み込まれた有効ＢＢ１（π）を比較する。ＢＢ１は、プリミティブよりも高いフィルタ次数を示す。
【０１３０】
ＢＢ１(π)パルスは、プリミティブπパルスと同じ正味操作を実現するが、振幅（ラビレート）のエラーを補正する。つまり、ＢＢ１(π)の振幅フィルタ関数は、制御に比例するノイズ演算子の場合、プリミティブよりも高いフィルタ次数を示すはずである。ここで、振幅ノイズは共通の
【数２３９】
2021532514.tif 000241
ノイズを意味する。２キュービットの図では、これは制御
【数２４０】
2021532514.tif 000242
と
【数２４１】
2021532514.tif 000243
の共通するノイズを意味する。図６は、本開示の主題であるフィルタ関数を使用して計算されたこの結果を示している。
【０１３１】
数学的予備知識
以下の説明は、上記で使用された数学的定式化を提示する。
【０１３２】
テンソル積
定義１．１  
【数２４２】
2021532514.tif 000244
が
【数２４３】
2021532514.tif 000245
行列で、
【数２４４】
2021532514.tif 000246
が
【数２４５】
2021532514.tif 000247
行列の場合、クロネッカー積
【数２４６】
2021532514.tif 000248
を以下のように定義し、
【数２４７】
2021532514.tif 000249
【数２４８】
2021532514.tif 000250
行列を生成する。
【０１３３】
次に、次のプロパティが保持される
【０１３４】
プロパティ１．１  行列を定義する
【数２４９】
2021532514.tif 000251
よって、
【数２５０】
2021532514.tif 000252
【０１３５】
具体的には、
プロパティ１．２  
【数２５１】
2021532514.tif 000253
を
【数２５２】
2021532514.tif 000254
列ベクトル、
【数２５３】
2021532514.tif 000255
を
【数２５４】
2021532514.tif 000256
列ベクトルとすると、クロネッカー積は（
【数２５５】
2021532514.tif 000257
）列ベクトルとなる。
【数２５６】
2021532514.tif 000258
【０１３６】
量子力学的ケットと演算子を使用して言い換えると、
プロパティ１．３  
【数２５７】
2021532514.tif 000259
と
【数２５８】
2021532514.tif 000260
を
【数２５９】
2021532514.tif 000261
と
【数２６０】
2021532514.tif 000262
次元のヒルベルト空間とし、その上で演算子を定義する。
【数２６１】
2021532514.tif 000263
及びケット
【数２６２】
2021532514.tif 000264
次に
【数２６３】
2021532514.tif 000265
ジョイントヒルベルト空間
【数２６４】
2021532514.tif 000266
のケットと演算子であり、
【数２６５】
2021532514.tif 000267
となる。
【０１３７】
外積を定義する。
定義１．２  
【数２６６】
2021532514.tif 000268
を同じヒルベルト空間上のケットとする。次に外積
【数２６７】
2021532514.tif 000269
が
【数２６８】
2021532514.tif 000270
の演算子を定義した。
【０１３８】
次いで、次のプロパティが成り立つ。
プロパティ１．４  
【数２６９】
2021532514.tif 000271
を同じヒルベルト空間上のケットとし、演算子を定義する。
【数２７０】
2021532514.tif 000272
【０１３９】
次に、ジョイントヒルベルト空間で定義された演算子
【数２７１】
2021532514.tif 000273
は以下を満たす。
【数２７２】
2021532514.tif 000274
式中
【数２７３】
2021532514.tif 000275
である。
【０１４０】
本開示の広い一般的な範囲から逸脱することなく、多くの変形例及び／または修正が、上記の実施形態になされ得ることが、当業者によって理解されるであろう。したがって、本発明の実施形態は、あらゆる点において例示的であり、制約的ではないとみなすべきである。
【符号の説明】
【０１４１】
１０１  量子プロセッサ
１０２  キュービット
１０３  制御信号源
１０４  制御信号
１０５  環境
【図１】
2021532514.tif 000276
【図２】
2021532514.tif 000277
【図３】
2021532514.tif 000278
【図４】
2021532514.tif 000279
【図５】
2021532514.tif 000280
【図６】
2021532514.tif 000281
【国際調査報告】
2021532514.tif 000282
2021532514.tif 000283
2021532514.tif 000284