(57)【要約】  変圧器回路において、電力とインピーダンスとが磁束の位相、すなわち、電流の位相に依存することを最初に示した。磁束が磁心を通過するとき、位相の変化があることになるが、位相の変化がいかに電力とインピーダンスとに影響を及ぼすかということについて公式が誘導された。従って、力率を調節することにより、負荷で消耗される電力が、電源により供給される一次における電力より大きくなりえることを示した。
2021506223.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
磁心と、
電源から交流電圧を受信し、前記磁心を取り囲む一次コイル、を含み、
電流は、前記磁心を通し伝播される磁束により、二次コイルでまたは回転子で生成され、
前記の一次コイルと前記の二次コイルとの電流の位相変化は、前記回路の力率が、電力差関数を正数にする値のうち、望みの値に調節できるように制御され、前記の電力差関数は、前記二次の負荷において消費される電力と、前記の電源が供給する前記の一次の電力との差を示すことを特徴とする力率調節装置。
【請求項２】
電流の前記位相変化の反対符号サイズは、磁束が磁心を介して伝播される距離に比例し、ここで、前記の電流の前記の位相変化の反対符号のサイズは、前記の電流波の前記の周波数が増加するとき増大することをその特徴とする、請求項１の記載の力率調節装置。
【請求項３】
前記電流の前記位相変化は、磁心の長さを変え、かつ／または前記交流電圧の他の周波数を利用して周波数を変え、かつ／またはリアクティブ部品を添加して制御されることを特徴とする、請求項１の記載の力率調節装置。
【請求項４】
前記磁心は、積層された鉄、フェライト、または必要な位相変化のためのその周波数範囲に適した他の物質からなり、前記回転子のスリップ値は、１に近いことを特徴とする請求項１に記載した力率調節装置。
【請求項５】
変圧器または誘導機器の一部として具現されることを特徴とする、請求項１の記載の力率調節装置。
【請求項６】
回路インピーダンスの位相、または前記電力差関数の特定範囲内の周波数、振幅及び位相を以た前記交流電圧を生成する交流生成器をさらに含むことを特徴とする請求項１の記載の力率調節装置。
【請求項７】
前記負荷は、変圧器や誘導機器の一次側または二次側に繋がることを特徴とする請求項１の記載の力率調節装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、変圧器回路における、位相制御を介した力率調節に係わる方法とその装置に係わる。
【背景技術】
【０００２】
変圧器は、電磁気誘導を利用し、交流電圧を昇降させる装置である。一次コイルと二次コイルとに巻かれた数により、電源から負荷に伝達される電圧と電流とが変化する。
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００３】
本発明の実施例が目指している技術的課題は、変圧器回路において、位相の制御を通して力率を調節することにより、負荷で消耗される電力と、電源が供給する一次における電力との差を増大させる方法とその装置とを提供することである。
【課題を解決するための手段】
【０００４】
本発明の、１またはそれ以上の実施例によれば、力率調節装置は、磁心と、電源から交流電圧を受信し、前記磁心を取り囲む一次コイルと、を含み、電流は、前記の磁心を通して伝播される磁束により、変圧器回路の二次コイルまたは回転子で生成され、前記一次コイルと前記二次コイルとの間の電流の位相変化は、前記回路の力率が電力差関数を正数にする値のうち所望する値に調節されるように制御され、前記電力差関数は、前記二次の負荷において消費する電力と、前記電源が供給する前記一次の電力との差を示す。
【０００５】
ここで、電流の前記位相変化の反対符号のサイズは、磁束が磁心により伝わる距離に比例し、ここで、前記電流の前記位相変化の反対符号のサイズは、上記の電流波の 周波数が高くなるとき増大する。
【０００６】
ここで、上記の電流の位相変化は、磁心の長さを変え、かつ／または上記の交流電圧の他の周波数を利用して周波数を変え、かつ／またはリアクティブ部品を付け加えて制御される。
【０００７】
ここで、前記の磁心は、積層された鉄、フェライト、または必要な位相変化のためのその周波数の範囲内にある他の物質からなり、前記の回転子のスリップ値は、１に近い。
【０００８】
ここで、前記の力率調節装置は、変圧器または誘導機器の一部として具現される。
【０００９】
ここで、交流生成器は、回路インピーダンスの位相、または前記電力差関数の特定範囲内の周波数、振幅及び位相を有した前記交流電圧を生成する。
【００１０】
ここで、前記の負荷は、変圧器や誘導機器の一次側または二次側に連結される。
【発明の効果】
【００１１】
本発明の実施形態によれば、変圧器回路において、位相の制御を通した力率の調節により、負荷で消耗される電力と、電源が供給する一次の電力との差を増大させることができる。
【図面の簡単な説明】
【００１２】
【図１】単相（single phase）無損失変圧器回路の一例を示した図である。
【図２】一次にＬＣ共鳴回路を有する変圧器回路の一例を示した図である。
【図３】デカルト座標系において、インピーダンスを表現した一例を図示した図である。
【図４】単相不完全変圧器（imperfect transformer）回路の一例を図示した図である。
【図５】電力発電変圧器システムの一例を図示した図である。
【図６】負荷が二次の方だけではなく、一次の方にもある電力発電変圧器システムの一例を図示した図である。
【図７】二次だけではなく、一次にも負荷がある場合の変圧器回路であり、それが必要な周波数を生成する交流生成器に連結されている回路の一例を図示した図である。
【図８】バッテリを充電する自動スイッチングシステムの一例を示し、ここで、機器は、変圧器システムによって充電されなかったバッテリで作動することを示した図である。
【図９】動的交流生成器を有した電力発電変圧器システムの一例を示した図である。
【図１０】寿命が長いバッテリシステムの一例を示した図である。
【図１１】電力を少なく使用するシステムの一例を示し、ここでは、周波数を変換するために、回路の部分に整流器を使用し、一般的には、周波数を変える周波数変換装置が必要であることを示した図である。
【図１２】電力保存器がない自給システムの一例を示した図である。
【図１３】電力保存器がある自給システムの一例を示した図である。
【図１４】電力保存器がある自給システムにおいて、感知制御装置がある場合の一例を示した図である。
【図１５】実験１において、２２０ＫＨｚであるときのＮ４Ｌ ＰＰＡ５５３０画面である。
【図１６】周波数によるインピーダンスの位相θｖの変化を図示したグラフである。
【図１７】実験２において、２ＭＨｚであるときのＮ４Ｌ ＰＰＡ５５３０画面である。
【図１８】周波数による電力値と電力差の値を示し、ＰＬは、二次の負荷の電力であり、Ｐｐは、一次における電力であり、（ＰＬ−Ｐｐ）は、電力差を示すグラフである。
【図１９】周波数によるθΓとΦとを示すグラフである。
【図２０】送電線回路を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００１３】
以下、本発明について、その望ましい実施形態を中心に検討する。本発明が属する技術分野の関連者であるならば、本発明が、本発明の本質的な特性から外れない範囲で変形された形に具現できるということが理解できるであろう。従って、開示される実施形態は、限定的な観点ではなく、説明的な観点から考慮されなければならない。本発明の範囲は、ここで記述された説明ではなく、特許請求の範囲に示されており、それと同等な範囲内にある全ての差異は、本発明に含まれたものであると解釈されなければならないのである。
【００１４】
１．変圧器回路における過程に係わるモデリング
図１は、単相（single phase）無損失変圧器回路の一例を図示した図である。
【００１５】
次のような値を持っている無損失変圧器を含んだ回路について考える（参照文献１：Betty I. Bleaney and B. Bleaney, Electricity and Magnetism, 3rd ed. (Oxford University Press, 1976), 212-213）。
【００１６】
ｖｐは、角周波数（angular frequency）がωである交流の正弦波（sinusoidal）の入力電圧であり、
ｖ１とｖ２は、それぞれ一次コイル及び二次コイルでの電圧であり、
Ｚ１は、一次回路の側の電源と直列に連結されたインピーダンスであるか、電源の内部インピーダンスであるか、またはその内部インピーダンスも含むインピーダンスであり、
ＺＬは、二次回路の負荷（load）インピーダンスであり、
ｉｐとｉｓは、それぞれ一次及び二次における角周波数がωである正弦波電流であり、
ＬｐとＬｓは、それぞれ一次コイル及び二次コイルの自己インダクタンス（self-inductance）であり、
ＮｐとＮｓは、それぞれ一次コイルと二次コイルが巻かれた数であり、
ｎ＝Ｎｓ／Ｎｐは、巻かれた数の比（turns ratio）であり、
Ｍは、相互インダクタンス（mutual inductance）である。
【００１７】
それでは、次のような結果がでる。
【００１８】
【数１】
2021506223.tif 000003
【数２】
2021506223.tif 000004
そして、電源側のインピーダンスを除いた全体回路のインピーダンスＺｐは、次の通りである。
【００１９】
【数３】
2021506223.tif 000005
前述の回路に係わる式は、一次から二次に磁束（magnetic flux）が行くとき、位相の変化がないと仮定して作った修飾である。しかし、磁束が伝播されるとき、比較高い周波数において、著しい位相変化が生じる。この高い周波数というのは、家庭に入る６０Ｈｚよりは相当に高いという意味であるが、周波数が３ＭＨｚから３０ＭＨｚまでの間にあるＨＦ（high frequency）を意味するものではない。そうであるならば、位相の変化の効果を考慮し、それにより、変圧器回路の数式に修正を加えなければならない。
【００２０】
一次コイル及び二次コイルに、それぞれＮｐとＮｓとの巻かれた数を有する完全に結合された（completely coupled）無損失変圧器を考える。ｖ１を、二次に行く波ｖｔ（ｐ）と、そこから来る波ｖｒ（ｐ）との和であるとする：
【数４】
2021506223.tif 000006
ここで、添え字であるｔとｒは、それぞれ伝達（transmitted）と反射（reflected）を意味し、ｐは、それが一次（primary）の方にあるということを意味する。同様に、一次側にある電流の波も、ｉｔ（ｐ）は、二次で行く波、そしてｉｒ（ｐ）は、二次から来る波と表示する。
【００２１】
二次側においても、電圧ｖ２は、２つの波であるｖｔ（ｓ）とｖｒ（ｓ）との合計で示されるが、ここで、ｓは、それが二次（secondary）の側にあるとことを言う。
【００２２】
【数５】
2021506223.tif 000007
磁束も、そのように示すことができる。従って、磁束Φにも４種類がある：Φｔ（ｐ）、Φｒ（ｐ）、Φｔ（ｓ）そしてΦｒ（ｓ）である。
【００２３】
これが、変圧器の回路であり、一次と二次との間でただ磁束が行き交うために、一次と二次との間には、直接的な電流の流れがない。しかし、磁束が、次のような数式で電流と連結されているために、まさしく電流が磁束を「媒介」とし、一次と二次の間に流れるようにも見える。
【００２４】
【数６】
2021506223.tif 000008
ここでＮ、ｉ、ΦそしてRは、それぞれコイルの巻かれた数、電流、磁束そして磁気抵抗（reluctance）を意味する。言い換えれば、磁束は、電流に変換され、電流と常に同じ位相を持つ。従って、電流は、「仮想的に」一次と二次との間に移動するように見ることができる。ここで、磁束を波（wave）として取り扱い、その位相は、電流の位相と同一である。
【００２５】
電源（voltage source）は、電圧ｖｐを提供し、電流ｉｔ（ｐ）は、磁束を発生させ、電流の変化は、次のように、起電力（ｅｍｆ：electromotive force）を誘導する。従って、それにより、電圧ｖｔ（ｐ）が発生する。
【００２６】
【数７】
2021506223.tif 000009
【数８】
2021506223.tif 000010
一般的に、磁束が磁心から伝播されるとき、一定の規模の損失が発生する。その損失を、変圧器モデリングをするとき、抵抗値で表示する代わりに、次のような定数を導入することにする。それは、減衰定数（attenuation constant）αと、位相定数（phase constant）βとである。それらは、伝播定数（propagation constant）γにより、次のように表れる。
【００２７】
【数９】
2021506223.tif 000011
磁束が磁心から伝播される過程において、減衰と位相との変化を１つの因数ｅｘｐ（−γl）として示すことは、単純化したモデリングであるが、その方が、効果的でかつ有効的ある。多くの場合、減衰定数と位相定数は、正数であるが、電磁気波が伝播されるとき、それらが負数である場合も発生する。例えば、メタ物質（metamaterial）においては、負の減衰定数と、負の位相定数とを有することができる。（参照文献２：J. B. Pendry, “Negative refraction makes a perfect lens,” Phys. Rev. Lett. 85 (2001): 3966-3969. 参考文献3: Kihun Chang, Tao Jiang, Lixin Ran, and Hao Xin, “Investigation of Microwave Negative Refractive Index (NRI) Transmission Lines Incorporating Tunnel Diodes,” IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, Vol. 11 (2012): 671-674）。
【００２８】
磁束Φｔ（ｐ）は、磁心を通して伝播される際、位相変化が生じる。磁束が磁心から順方向（forward direction）に、<一次コイルから二次コイルまでの磁心の長さ＞である<l>の距離ほど行くとき、その位相変化を＜−Φ＞だとすると、Φは「相対位相（relative phase）」と呼ばれ、それは、次のように、βに関わる。
【００２９】
【数１０】
2021506223.tif 000012
それにより、Φｔ（ｐ）は、二次の側に到着し、次のように、磁束Φｔ（ｓ）になる。
【００３０】
【数１１】
2021506223.tif 000013
ここでは、電流が一次から二次に伝播されるのではなく、磁束が伝播されることに注意すべきでる。ところで、電流の代わりに、磁束Φｔ（ｓ）が伝播されるとき、位相変化が生じ、また減衰することになるので、電流ｉｔ（ｓ）も、同様に同じ量ほどの位相変化があり、減衰があると表示することができる。それを明らかにするために、ｉｔ（ｓ）を次のように表現する。
【００３１】
【数１２】
2021506223.tif 000014
二次においては、相互誘導作用（mutual induction）により、起電力ｅ（ｓ）が誘導される。
【００３２】
【数１３】
2021506223.tif 000015
起電力は、二次側において、電流ｉｒ（ｓ）が流れるようにする。その電流の量は、二次の側のコイルのインピーダンスと負荷、また相互インダクタンスの影響を受ける（数式２参照）。電流ｉｒ（ｓ）は、それによる、振幅（amplitude）と位相が生じる：
【数１４】
2021506223.tif 000016
ここで、ΓＬを、二次回路側の電流の「反射係数」（reflection coefficient）と呼ぶことにする。
【００３３】
【数１５】
2021506223.tif 000017
反射する程度、すなわち「反射係数」は、回路のインピーダンスと相互インダクタンスとによって決定される。該反射係数は、物理的には、送電線（transmission line）の理論から出た反射係数とは異なるものである。電流ｉｒ（ｓ）は、一次では反射されず、実際に二次で流れる電流である。
【００３４】
二次での電流ｉｒ（ｓ）は、二次において、起磁力（ｍｍｆ：magnetomotive force）を発生させ、それによって発生する磁束Φｒ（ｓ）は、一次から来る磁束Φｔ（ｓ）とは、反対方向に流れることになる。
【００３５】
【数１６】
2021506223.tif 000018
上述したように、磁束が電流のような位相をもつために、Φｒ（ｓ）の位相は、電流ｉｒ（ｓ）の位相に従うことになる。また、Φｒ（ｓ）の方向が、Φｔ（ｓ）と反対方向であるために、Φｒ（ｓ）をΦｔ（ｓ）の「反射」磁束とする。言い換えれば、Φｔ（ｐ）は、磁心を通して伝播され二次に到逹する。これはΦｔ（ｓ）になり、これのために反射される磁束Φｒ（ｓ）が作られ、一次の方に行くことになる。
【００３６】
一次と二次との間には、誘導結合がなされており（inductively coupled）、一次と二次は、磁束により連絡されているために、磁束は、二次に関する情報を持っていなければならない。磁束が、以下のように電流と関係するために、電流は、（Ｎｓ／R）の転換因数（conversion factor）の分だけ磁束に転換される。
【００３７】
【数１７】
2021506223.tif 000019
（数式１）と（数式２）は、磁心を通るときの位相変化を除いた電気的な全ての情報を言っている。磁束が、転換因数を通して、電流と係わるので、磁束の反射係数も、コイルに巻かれた回収による影響なしでは、電流の反射係数と同じ値になる。
【００３８】
【数１８】
2021506223.tif 000020
二次コイルでの電圧は、次の通りである。
【００３９】
【数１９】
2021506223.tif 000021
ここで、完全に結合した（perfectly coupled）場合の関係式（ｎ＝Ｌｓ／Ｍ）が使用された。
【００４０】
二次回路での電流が、二次コイルでの誘導電圧、二次コイルのインピーダンス、及び負荷によって発生し、その情報が、反射された磁束によって二次から一次へ行くにつれて、一次は、二次の負荷に係わるインピーダンスＺＬを「見る」ことになる。そのような反射過程が、一次と二次との間の磁束交換によって継続的に発生するが、それは、磁束交換が、一次と二次とが互いに交流することができる唯一の手段だからである。
【００４１】
磁束Φｔ（ｓ）は、二次において、反射磁束Φｒ（ｓ）を発生させ、Φｒ（ｓ）は、Φｔ（ｓ）の反対の方向へ一次まで来て、Φｒ（ｐ）になる。このとき、磁束Φｒ（ｓ）が反対の方向に伝播される際、さらに減衰と位相変化が起こることに注目できる。その変化の量は、磁束が、一次から二次に行くときに起こった量と同一である。従って、位相変化は、順方向に行くときに起こった（−Φ）のような量になる。Φｒ（ｓ）は、一次に来来て磁束Φｒ（ｐ）になり、次のように表現される。
【００４２】
【数２０】
2021506223.tif 000022
一次での電流ｉｔ（ｐ）は、磁束Φｔ（ｐ）及びＮｐと係わるが、電流ｉｒ（ｐ）は、二次での磁束Φｒ（ｓ）及びＮｓと関係を持っている。従って、電流ｉｒ（ｐ）とｉｔ（ｐ）の間の比率は、関連コイルの回数が異なるために、Φｒ（ｐ）とΦｔ（ｐ）との比率のようではない。
【００４３】
【数２１】
2021506223.tif 000023
【数２２】
2021506223.tif 000024
【数２３】
2021506223.tif 000025
電流ｉｒ（ｐ）によって誘導された一次での起電力は、電圧ｖｒ（ｐ）を発生させる。
【００４４】
【数２４】
2021506223.tif 000026
電圧と電流との関係式は、次の通りである。
【００４５】
【数２５】
2021506223.tif 000027
【数２６】
2021506223.tif 000028
【数２７】
2021506223.tif 000029
【数２８】
2021506223.tif 000030
前述の数式をさらに整理すると、
【数２９】
2021506223.tif 000031
【数３０】
2021506223.tif 000032
前述の式を見ると、一次での電流は、２つの部分からなされていることが分かる：最初の項は、電源がインピーダンス、すなわち、ｊωＬｐとＺ１との合計で割れたものによって形成され、２番目項は、二次から来る「反射」電流と係わっていることが分かる。１／（ｊωＬｐ＋Ｚ１）を、次のように表記する：
【数３１】
2021506223.tif 000033
そして、電源側での一次での電流係数を、次のように定義する。
【００４６】
【数３２】
2021506223.tif 000034
ここでの係数ΓＳは、変圧器回路をよく説明するための技術的な係数である。それにより、ｉｔ（ｐ）は、次のように表現される。
【００４７】
【数３３】
2021506223.tif 000035
ｉｔ（ｐ）に係わる解は、ｉｒ（ｐ）についての数式を前述の項に代入して得られる。
【００４８】
【数３４】
2021506223.tif 000036
【数３５】
2021506223.tif 000037
【数３６】
2021506223.tif 000038
【数３７】
2021506223.tif 000039
インピーダンスＺ１を除いた回路のインピーダンスＺｐは、次の通りである。
【００４９】
【数３８】
2021506223.tif 000040
前述のインピーダンスに係わる数式は、（数式３）と比較するとき、因数ｅｘｐ（−２γl）が加えられたものである。変圧器回路において、インピーダンスは、減衰だけではなく、位相変化も考慮しなければならないということを意味する。ここで、留意すべき点は、インピーダンスの２番目項の表現において、ｅｘｐ（−ｊ２Φ）因数が含まれているということである。従って、インピーダンスは、磁束の相対位相を制御することによって調節することができる。インピーダンスＺ１を含んだ回路のインピーダンスＺｖは、次の通りである。
【００５０】
【数３９】
2021506223.tif 000041
（数式１）は、位相変化を含むために、次のように修正される。
【００５１】
【数４０】
2021506223.tif 000042
ここで、一次側における状況を描写する（数式１）における電流ｉｐが、事実上一次から二次へ行く電流の、ｉｔ（ｐ）であることが分かる。
【００５２】
２．電力
２．１ 電力計算
電源が供給する一次における電力（power）をＰｐと示せば、以下の通りである。
【００５３】
【数４１】
2021506223.tif 000043
2021506223.tif 000044
ここで、θΓは、ΓＬの位相を意味する。留意すべき点は、Ｐｐの符号が、ｓｉｎ（θΓ−２Φ）のような符号を有するということである。それは、０にもなり、さらには、負数にもなる。
【００５４】
二次の負荷により伝達された電力ＰＬを計算するために、二次側での状況を描写した（数式２）を次のように修正する。
【００５５】
【数４２】
2021506223.tif 000045
【数４３】
2021506223.tif 000046
二次の負荷で消耗された電力と、電源が供給した一次での電力との差、である
電力差関数（power difference function）を計算すると：
【数４４】
2021506223.tif 000047
これからは、簡単に分析を行うために、減衰因数は、省略することにする。減衰因数ｅｘｐ（−２αl）が数式から省かれたとしても、必要な場合には、考慮することができるように、数式に再度入れることは、容易なことである。ｉｔ（ｐ）がΓＬの関数であり、また電源の抵抗は、一般的に実数であり、大きさが小さいために、高い周波数においては、次のような数式が成り立つ。
【００５６】
【数４５】
2021506223.tif 000048
【数４６】
2021506223.tif 000049
【数４７】
2021506223.tif 000050
【数４８】
2021506223.tif 000051
【数４９】
2021506223.tif 000052
【数５０】
2021506223.tif 000053
2021506223.tif 000054
上の電力差の関数の分母は、次のような理由で、負数ではない。
【００５７】
【数５１】
2021506223.tif 000055
従って、もし分母が０ではない場合、電力差の関数は、もし次の条件が成り立ったら、正数になる。
【００５８】
【数５２】
2021506223.tif 000056
前述の数式により、以下のような条件である場合、電力差の関数が正数になることを明らかになる：
もしθΓ＝０であるならば、Φは、１四分面か３四分面にあるときである。
【００５９】
もしθΓ＝πであるならば、Φは、２四分面か４四分面にあるときである。
【００６０】
もしθΓ＝π／２であるならば、Φがどの四分面にあるかということに関係なく、電力差の関数は、Φがｋπではない限り、常に正数である。ここで、ｋは、定数である。一般的に、位相が互いに２ｋπの差があるものは、同じ値を持った位相として取り扱う。
【００６１】
相対位相Φを制御することにより、与えられた負荷と、ｎの値とについて、上の条件を満足させることができ、よって、電力差の関数を正数にすることができる。
【００６２】
２．２ 高周波数であるときの電力計算
さて、いくつかの事例を見ることにする。負荷のＺＬを次のように表現する。
【００６３】
【数５３】
2021506223.tif 000057
ここで、ＲＬとＸＬは、それぞれ二次における抵抗とリアクタンスとである。これによると、次のような関係式が成り立つ。
【００６４】
【数５４】
2021506223.tif 000058
【数５５】
2021506223.tif 000059
ここで、ＡＴＡＮ２（ｘ，ｙ）は、アークタンジェント（arctangent）の関数として与えられたｘとｙとの値について、角度をラジアンで（in radians）与える関数である。その結果値は（−π）とπとの間で決定されるが、（−π）の値は、除外する。ＲＬが正数であるので、
【数５６】
2021506223.tif 000060
【数５７】
2021506223.tif 000061
まず述べる事例は、高周波の領域において、｜ωＬｓ＋ＸＬ｜≫ＲＬを満足するときである。それにより、
【数５８】
2021506223.tif 000062
ΓＬは、実数になる。
【００６５】
もし（ωＬｓ＋ＸＬ）が正数であるならば、
【数５９】
2021506223.tif 000063
そうでなければ、
【数６０】
2021506223.tif 000064
まず、θΓ＝０＋である場合を見れば、電力差関数を最大にする条件を探すために、その関数をΦに対して微分した後、０にする。
【００６６】
【数６１】
2021506223.tif 000065
【数６２】
2021506223.tif 000066
前述の値を電力差の関数に入れると、次のようになる。
【００６７】
【数６３】
2021506223.tif 000067
ところで、一般的に（ｎΓＬ＜１）であるので、そのようなときの電力差は、次のようになる。
【００６８】
【数６４】
2021506223.tif 000068
ここで、負数符号は、（２Φ）が４四分面にあるときの符号であり、正数符号は、（２Φ）が１四分面にあるときの符号である。電力差が正数になることが望ましいので、（２Φ）は、電力差が最大になる１四分面にあるようにすべきである。
【００６９】
【数６５】
2021506223.tif 000069
ここで、ｋは、定数である。留意すべきことは、上のΦに係わる条件は、周波数が高い場合、電力差が最大になるということである。上の条件は、電力差が最大である場合なので、電力差の値が最大ではなくても、正数の電力差の値を持つ他のΦ値になることも可能でる。
【００７０】
次に、θΓ＝π−である場合、電力差の関数をΦに対して微分し、それを０にする条件を探す。
【００７１】
【数６６】
2021506223.tif 000070
【数６７】
2021506223.tif 000071
【数６８】
2021506223.tif 000072
上の数式において、負数符号は、（２Φ）が２四分面にあるときであり、正数符号は、（２Φ）が３四分面にあるときである。電力差が正数になるためには、（２Φ）が３四分面にあるべきなので、
【数６９】
2021506223.tif 000073
ここで、ｋは、定数である。上述したように、上の条件は、電力差が最大値を有するときの条件である。Φが他の領域にあるときにも、たとえ最大値ではなくても、電力関数が正数を持つことができる。
【００７２】
これまでは、｜ωＬｓ＋ＸＬ｜≫ＲＬが満足される場合について述べた。その場合、電力差関数を最大値にするΦに係わる条件を検討した。
【００７３】
これからは、高周波数において、負荷がただ抵抗だけによってなるときや、あるいは非常に高い周波数である場合を検討する。高周波数において、もし次のような条件が満足されると、
【数７０】
2021506223.tif 000074
それにより、ＲＬとＸＬとの大きさは、無視される。それにより、次のような式が成り立つ。
【００７４】
【数７１】
2021506223.tif 000075
【数７２】
2021506223.tif 000076
【数７３】
2021506223.tif 000077
上の数式は、電力差の関数が、以下の条件を満足するとき、正数になるということを言う。
【００７５】
【数７４】
2021506223.tif 000078
ここで、ｋは、定数である。その場合、電力差の最大値は、Φが（ｋπ＋ε）に近いときにある。ここで、εは、非常に小さい正数である。
【００７６】
他の場合を考えると、それは、ＸＬが（−２ωＬｓ）に近い値を持つときであり、また（ωＬｓ≫ＲＬ）の条件が満されるときである。それにより、次のような式が成り立つ。
【００７７】
【数７５】
2021506223.tif 000079
【数７６】
2021506223.tif 000080
【数７７】
2021506223.tif 000081
前述の数式を見ると、電力差の関数は、ＸＬが（−２ωＬｓ）に近く、以下の条件が満されるとき、正数であることが分かる。
【００７８】
【数７８】
2021506223.tif 000082
ここで、ｋは、定数である。その場合、電力差の最大値は、Φが（π／２＋ｋπ＋ε）に近いときにある。
【００７９】
回路のインピーダンスは、磁束の位相の関数であり、よって、電力は、磁束が伝播されることによって生ずる位相の変化によって変わる。今の分析は、正弦波について行ったが、他の形態の波に対する分析は、それぞれの周波数について、フーリエ変換（Fourier transform）を使って同じ方法で行うことができる。
【００８０】
３．位相制御によるインピーダンス調節
３．１ いくつかの事例研究
位相変化を起こす方法は、３種類があり、もしくはその３種を混ぜて行うことも可能である：磁心の長さを変える方法、及び／または周波数を変化させる方法、及び／またはリアクティブ部品（reactive component）を添加する方法がある。ここで、磁心の長さというのは、一次から二次まで磁束が伝播されるときの磁心の長さを言う。
【００８１】
磁心の長さを変えて位相を変化させるのは、非常に簡単な論であるため、これ以上の説明は、要らない。ほとんどの場合、磁心の長さを変えるよりは、一般家庭で使用する５０Ｈｚの電力線より高い周波数を使って、位相を変化させることが容易であろう。
【００８２】
電源のインピーダンスを除いた回路のインピーダンスＺｐは、減衰因数を省略したとき（数式３８）から、下記のようになる。
【００８３】
【数７９】
2021506223.tif 000083
この発明を通して加えられた位相項のｅｘｐ（−ｊ２Φ）の影響を調べるため、いくつかの事例を検討する。その場合、他の言及がない場合には、一次電源の側には、直列になった特別に大きいサイズのインピーダンスが連結されていないと仮定する。一次回路側のインピーダンスを無視することは、妥当性があるといえるが、それは、周波数が高い場合、ωＬｐが非常に大きく、他の一次側の小さいサイズの直列インピーダンスを支配するためである。それにより、一次側だけ検討するときのインピーダンスの位相は、一次コイルのインピーダンスであるｊωＬｐの位相になり、それは、π／２である。項ω２Ｍ２／（ＺＬ＋ｊωＬｓ）を、次のように表記する：
【数８０】
2021506223.tif 000084
ここで、θＡは、Ａの位相である。それにより、θＡがθΓと、以下のような関係を持つ。
【００８４】
【数８１】
2021506223.tif 000085
それにより、インピーダンス式は、次の通りになる。
【００８５】
【数８２】
2021506223.tif 000086
ここで、いくつかの事例について述べる。
【００８６】
１）最初の事例として、負荷が抵抗だけで成っている場合を考える。
【００８７】
【数８３】
2021506223.tif 000087
【数８４】
2021506223.tif 000088
この際、項｜Ａ｜ｅｘｐ｛ｊ（θＡ−２Φ）｝が位相（−π／２）を持ったときを考える。
【００８８】
【数８５】
2021506223.tif 000089
【数８６】
2021506223.tif 000090
【数８７】
2021506223.tif 000091
【数８８】
2021506223.tif 000092
ここで、ｋは、定数である。その場合、Ｚｐとθｐは、次の通りである。
【００８９】
【数８９】
2021506223.tif 000093
【数９０】
2021506223.tif 000094
【数９１】
2021506223.tif 000095
上の２つの場合、いずれも力率は、０になり、それは、すなわち、電源が一次に供給する電力は、ないということを意味する。ωＬｓ≫｜ＺＬ｜である場合、ΓＬが（１／ｎ）になるので、電力差関数は、次の通りである。
【００９０】
【数９２】
2021506223.tif 000096
相対位相Φは、（数式１０）でのように、磁心の長さに比例するが、位相速度（phase velocity）ｖが周波数に関係なく一定で理想的な場合には、相対位相は、周波数ｆにも次のように比例する。
【００９１】
【数９３】
2021506223.tif 000097
一般的に、相対位相Φは、周波数が向上するにつれて増大する。もし磁心の長さが長ければ、周波数が低くても、必要な位相変化（−Φ）を起こすことができる。磁心の長さが短いときには、位相の変化は、高い周波数のとき起こる。従って、変圧器の同じ磁心において、あるコイルの上に他のコイルが巻かれて、磁心の長さが非常に短くなった場合も、力率を望む値に作るための、必要な位相変化を起こすことができる。
【００９２】
回路のインピーダンスが調節されるので力率を、０にすることができる。よって、一次が二次に送る電力が０に近づくことができる。力率が０である場合は、二次から来る磁束が負荷の位相に係わる「誤った」情報、すなわち、二次には、リアクティブ部品のみが存在すると一次に伝達することにより発生する。当然、二次には、負荷として抵抗が存在するが、磁束が伝播され位相が変わることにより、一次は、変化された位相を「見て」「だまされる」のである。
【００９３】
電源がたとえ力率が０である電力を二次に送るにしても、二次でその磁束を受けたときは、一次からきた磁束から必要な起電力を発生させ、また二次にあるインピーダンスに合わせて電流を発生させる。たとえ力率が０である電力が送られても、回路は、二次で抵抗を負荷として持っいても、正しく作動することになる。
【００９４】
２）次の事例として、条件が前述のようであっても、ωＬｐ＝｜Ａ｜である場合を考える。この場合は、ＺＬが無視され、次の条件が満されるとき起こる。
【００９５】
【数９４】
2021506223.tif 000098
上述の場合は完全に結合された（perfectly coupled）場合、すなわち、結合係数ｃが１であるときに起こる。実際、結合係数が１である場合はないので、ＺＬが適合したリアクタンスを持っていれば、条件ωＬｐ＝｜Ａ｜を満すことができる。例えば、もしｃ２＝０．９であるとしたら、静電容量（capacitance）が｛１０／（ω２Ｌｓ）｝より若干小さい蓄電器を直列に連結するとき、二次の全体リアクタンスは、ほぼ０．９ωＬｓになる。そして、適量の抵抗を加えれば、条件ωＬｐ＝｜Ａ｜を満すことができる。
【００９６】
それにより、インピーダンスＺｐが０になり、回路は、まさしく直列ＬＣ同調回路に類似している。直列ＬＣ同調回路においては、周波数が低いところから、共振周波数を経て高いところに変化し、回路が容量性（capacitive）回路から、誘導性（Inductive）回路になって作動する。しかし、励起回路は、以下の条件を満せるように周波数を固定した場合である。
【００９７】
【数９５】
2021506223.tif 000099
従って、その場合、｜Ａ｜の値が、ωＬｐ値近辺で変わることにより、この回路のインピーダンス位相は、(π／２)から（−π／２）に変わることになる。
【００９８】
３）次の３番目で述べる場合は、図２のように、蓄電器が一次コイルに直列に連結され、蓄電器Ｃｆが一次コイルＬｐと共振するようにした場合であるが、共振する角周波数ω０において、次の条件が満すと仮定する：
【数９６】
2021506223.tif 000100
【数９７】
2021506223.tif 000101
ここで、ｋは、定数である。
【００９９】
図２は、一次にＬＣ共鳴回路を持つ変圧器回路の一例を示した図面である。
【０１００】
蓄電器の容量は、次の通りである。
【０１０１】
【数９８】
2021506223.tif 000102
共振角周波数ω０において、ＬｐとＣｆとのインピーダンスの大きさが同様になり、その合するインピーダンスの合計は、０になる。従って、そのとき、回路のインピーダンス数式において、一次の蓄電器とコイルとの部分に係わったものが消えることになる。
【０１０２】
【数９９】
2021506223.tif 000103
言い換えれば、回路の位相である（θＡ−２Φ）は、相対位相Φの変化により、任意の値で制御することが可能になる。もし（θＡ−２Φ）が（−π）になると、インピーダンスは、次の通りである。
【０１０３】
【数１００】
2021506223.tif 000104
これは、まさしくインピーダンスが負の抵抗値を持つことを表す。それは、電流の位相が電圧に比べ、πの値の差を持つことである。一次における電力が、負の電力になることになり、それは、電力が一次において逆流することを意味する。
【０１０４】
一次における電力が平均して負の電力値を持つときは、負の抵抗を持つときに限らない。回路のインピーダンスの位相が、２四分面や３四分面にあると、一次での有効電力（active power）は、負の値を持つ。
【０１０５】
次の「一般解」の章で検討するが、（θＡ−２Φ）が（−２ｋπ−π）になり、負数の抵抗値を有する条件は、次のような条件が満されるとき、可能である。
【０１０６】
【数１０１】
2021506223.tif 000105
その場合には、負数の抵抗値を持つため、敢えて蓄電器を付けなくともいい。しかし、この例は、下記のように回路が分析するとき、理解に一助とするために提示するものである。前述のように、蓄電器が付けられると、角周波数ωが共振角周波数ω０になったとき、一次コイルに係わるインピーダンスの数式から消えることになるので、次のような数式が成り立つ。
【０１０７】
【数１０２】
2021506223.tif 000106
【数１０３】
2021506223.tif 000107
【数１０４】
2021506223.tif 000108
【数１０５】
2021506223.tif 000109
【数１０６】
2021506223.tif 000110
【数１０７】
2021506223.tif 000111
【数１０８】
2021506223.tif 000112
最後の数式は、Ｚ１を無視するときである。ここで、電流ｉｔ（ｐ）が、一次から反対方向に流れることに注目する必要がある。
【０１０８】
【数１０９】
2021506223.tif 000113
【数１１０】
2021506223.tif 000114
ＰＬ−Ｐｐ＞０であり、Ｐｐ＜０であるので、電力は、二次の負荷で消耗されるだけではなく、また一次において逆に流れ、一次に供給される電力より、二次の負荷で消耗される電力が多い。
【０１０９】
ここで、Ｚ１は、一次側回路に掛かっている負荷と考えられることができる。二次の負荷も、続けて作動するので、従って、負荷が二次側だけではなく、一次側にもあることになる。Ｚ１の値は、０にもなるということは、言うまでもない。そのときは、一次側に抵抗がない場合を言う。
【０１１０】
この回路が、一次側において、直列ＬＣ同調回路であるが、２）の場合のように、条件ωＬｐ＝｜Ａ｜が満されるときの回路も、直列共振回路と同じように作動することはすでに述べた通りである。従って、蓄電器が図２のようにあり、また条件ωＬｐ＝｜Ａ｜が満されれば、２つの共振回路が連続している形態になる：最初のものは、一次において、直列の同調回路であり、２番目のものは、直列の同調回路と同じように作動する回路である。
【０１１１】
すでに述べたように、図２において、 蓄電器がないとしても、負数の抵抗値を有する回路は、条件ωＬｐ＜｜Ａ｜が満されれば、具現が可能である。その場合にも、Ｚ１は、一次側での負荷として見ることができる。
【０１１２】
一次で行ったように、蓄電器を二次側に入れ、二次のコイルのインダクタンスと、ある周波数においては共振をなすことができるということは、言うまでもない。
【０１１３】
４）四番目に、この場合は、負荷が次のようなときである。
【０１１４】
【数１１１】
2021506223.tif 000115
項｜Ａ｜ｅｘｐ｛ｊ（θＡ−２Φ）｝が位相π／２を有するならば、
【数１１２】
2021506223.tif 000116
【数１１３】
2021506223.tif 000117
【数１１４】
2021506223.tif 000118
【数１１５】
2021506223.tif 000119
ここで、ｋは、定数である。その場合、Ｚｐとθｐは、次の通りである。
【０１１５】
【数１１６】
2021506223.tif 000120
【数１１７】
2021506223.tif 000121
力率が０になり、それは、一次において、電源が供給する電力がないという意味である。高い周波数になり、（ωＬｓ≫ＲＬ）が成り立てば、
【数１１８】
2021506223.tif 000122
【数１１９】
2021506223.tif 000123
【数１２０】
2021506223.tif 000124
この場合は、Φがπ／２とπとの間にあるため、電力差関数が正数であるが、電力差の値が最大値であるとは言えない。
【０１１６】
以上のように、高周波を使用し位相変化を行う方法を説明する章を終わりとする。
【０１１７】
３．２ リアクティブ部品の添加
一般的に、抵抗及び／またはリアクティブ部品を添加することにより、回路の位相変化を与えることができる。しかし、負荷は、一般的に抵抗値を持ち、この抵抗は、すでに与えられた負荷の要求により値が決まったとみることができる。または、電力差関数の値が正数であるか、最大である条件の下で、負荷下での電力が正数であるか、最大値になるようにする抵抗の大きさが決定されたとみることができる。よって、以下リアクタンス部品を加えることにより、周波数か磁心の長さを通し位相変化を減少させることについて述べる。
【０１１８】
相互インダクタンス（mutual inductance）Ｍを除いた一次側と二次側とのインピーダンスであるＺＡとＺＢとがそれぞれ次のようであるとすると、
【数１２１】
2021506223.tif 000125
【数１２２】
2021506223.tif 000126
ここで、Ｒは、抵抗であり、Ｘは、リアクタンスを意味する。また、Ｘは、変圧器コイルのリアクタンスを含む。リアクティブ部品を加える前の回路のインピーダンスＺＵは、次の通りである。
【０１１９】
【数１２３】
2021506223.tif 000127
【数１２４】
2021506223.tif 000128
【数１２５】
2021506223.tif 000129
ここで、位相に変化を与えるため、リアクタンスがＸＥである部品を二次負荷に加えるとする。合された二次側でのリアクタンスＸＣは、次の通りである。
【０１２０】
【数１２６】
2021506223.tif 000130
それにより、変化されたインピーダンスＺＣは、以下の通りである。
【０１２１】
【数１２７】
2021506223.tif 000131
【数１２８】
2021506223.tif 000132
【数１２９】
2021506223.tif 000133
添加されたリアクタンスのために発生する位相差Δθは、以下の通りである。
【０１２２】
【数１３０】
2021506223.tif 000134
二次のインピーダンスが一次に変換（referred）された場合、その変換された大きさの比率ｒＣＢは、次の通りである。
【０１２３】
【数１３１】
2021506223.tif 000135
リアクティブ部品を添加したときの効果について説明するため、相互インダクタンスがＭであるとき、次のような簡単な場合を考える。
【０１２４】
【数１３２】
2021506223.tif 000136
【数１３３】
2021506223.tif 000137
ここで、ＬＡとＬＢは、それぞれ一次と二次との自己インダクタンス（self-inductance）である。また二次では、負荷として、抵抗ＲＢだけがあるとすると、ＲＢは、１００Ωであり、周波数ｆは、１ｋＨｚである。それにより、一次が変化される前のインピーダンスＺＵは、以下の通りである。
【０１２５】
【数１３４】
2021506223.tif 000138
【数１３５】
2021506223.tif 000139
【数１３６】
2021506223.tif 000140
条件（θＢ−２Φ）＝（−π／２）が満されるためには、相対位相ΦＢは、以下の値を持つべきである 。
【０１２６】
【数１３７】
2021506223.tif 000141
これに、インダクタンス（inductance）５ｍＨを持つインダクタ（inductor）を負荷に加えると想定する。それにより、
【数１３８】
2021506223.tif 000142
【数１３９】
2021506223.tif 000143
【数１４０】
2021506223.tif 000144
【数１４１】
2021506223.tif 000145
【数１４２】
2021506223.tif 000146
【数１４３】
2021506223.tif 000147
相対位相ΦＣは、次の通りでなければならない。
【０１２７】
【数１４４】
2021506223.tif 000148
従って、リアクティブ部品を添加することにより、システムインピーダンスの位相が（−０．１９５）ｒａｄだけ変わった。また、一次に変換（referred）された二次のインピーダンスの大きさも変わった。磁心の長さの変化、及び／または周波数変化と共に、リアクティブ部品を加えることにより、最適の位相をみつけるようにサポートできる。この例においては、リアクティブ部品を二次側に添加したが、それをさらに一次側に添加し、必要な位相変化を起こすことができる。「３．１ いくつかの事例研究」の章において、３）番目の場合が、一次側にリアクティブ部品である蓄電器を添えることにより、回路の位相を変化させた場合として見ることができる。
【０１２８】
また直列方式を並列方式に、また並列方式を直列方式に変化させることができる方法がある。従って、ここで、例に挙げたのが、直列または並列方式として挙げたとしても、同じ効果を、並列または直列で処理できる方法があるので、そのような場合は、電力とインピーダンスとに同様な原理が適用される（参考文献４： Michael Tse, Lecture Note on EIE403: High Frequency Circuit Design, Hong Kong Polytechnic University, accessed September 4, 2017, http://cktse.eie.polyu.edu.hk/eie403/impedancematching.pdf）。
【０１２９】
４．一般解（general solution）
４．１ 証明
これまで、回路の性質を調べるための例を挙げた。しかし、一般的に回路の位相は、インピーダンスの数式にある位相（θＡ−２Φ）を制御することによって変えられる 。
【０１３０】
インピーダンスＺｅを持つ部品が一次側に加わったとする。一次コイルのインピーダンスｊωＬｐは、相互インダクタンスを除いた一次のインピーダンスであるＺｆの数式に含まれている。それにより、
【数１４５】
2021506223.tif 000149
ここで、Ｒ１とＸ１は、それぞれ一次の抵抗とリアクタンスとである。回路のインピーダンスであるＺｖは、下記のようになる。
【０１３１】
【数１４６】
2021506223.tif 000150
ここで、Ｒ２とＸ２は、二次における抵抗と、二次コイルのリアクタンスを含んだ二次側のリアクタンスであり、θｖは、Ｚｖの位相である。Ｅは、次の通りである。
【０１３２】
【数１４７】
2021506223.tif 000151
ＥとＺｆとの位相をそれぞれθＥ及びθｆとすると、
【数１４８】
2021506223.tif 000152
【数１４９】
2021506223.tif 000153
ここで、証明しようとするのは、もし｜Ｅ｜＞｜Ｚｆ｜であるなら、回路のインピーダンスの位相θｖをある望む値、すなわち、（−π＜θｖ≦π）になるようにする相対位相Φが存在するということである。もしこのとき、位相θｖがπになれば、負の値を持つ抵抗になる。もし｜Ｅ｜＜｜Ｚｆ｜であるならば、相対位相Φを制御することにより、θｖがある範囲内で位相値を持つことができる。｜Ｅ｜＝｜Ｚｆ｜である場合も、後で取り扱う。
【０１３３】
インピーダンスを次のように表現する。
【０１３４】
【数１５０】
2021506223.tif 000154
ここで、ＲｅとＩｍは、それぞれ実数部分と虚数部分とを言う。インピーダンスを、デカルト座標系（Cartesian coordinate system）で示すために、ｘとｙとをそれぞれインピーダンスの実数部分と虚数部分との値とする。そして、ＺｖとＺｆとをデカルト座標系において表現したとき、そのベクトルをそれぞれＺ￣ｖ及びＺ￣ｆだとすると、それらの座標は、それぞれ（ｘｖ，ｙｖ）及び（ｘｆ，ｙｆ）と表現される。
【０１３５】
【数１５１】
2021506223.tif 000155
【数１５２】
2021506223.tif 000156
【数１５３】
2021506223.tif 000157
【数１５４】
2021506223.tif 000158
図３は、デカルト座標系において、インピーダンスを表現した一例を図示した図面である。ξは、ベクトルＺ￣ｆとベクトルＥ￣との角度である。
【０１３６】
項Ｅｅｘｐ（−ｊ２Φ）を、デカルト座標系において表現したベクトルをＥ￣であるとしたら、その全ての座標は、１つの円を構成するが、その中心は、（ｘｆ，ｙｆ）であり、その数式は、次の通りである。
【０１３７】
【数１５５】
2021506223.tif 000159
ここで、
【数１５６】
2021506223.tif 000160
それにより、（ｘｖ，ｙｖ）は、その円の周囲にあることになる。θｖの角度の最小値と最大値は、図３にある、点線の直線で示されているように、ベクトルＺ￣ｖがその円と接線するときに決定される。一般的に、Ｚ￣ｖがその円と接する直線は２本ある。Ｚ￣ｖがその円と接する接点を（ｘ０，ｙ０）とし、その接線を次のように表現する。
【０１３８】
【数１５７】
2021506223.tif 000161
ここで、
【数１５８】
2021506223.tif 000162
これは、一次関数の傾きである。それにより、次のように成立する。
【０１３９】
【数１５９】
2021506223.tif 000163
【数１６０】
2021506223.tif 000164
接線がその円と一点で会うので、判別式Ｄ／４は、０になる。従って、
【数１６１】
2021506223.tif 000165
【数１６２】
2021506223.tif 000166
ａについて解けば、
【数１６３】
2021506223.tif 000167
もし（ｘｆ２＋ｙｆ２＜ｒ２）であるなら、ａに対する解がないため、接線が存在しない。それは、｜Ｚｆ｜＜｜Ｅ｜であるときであり、そのようなときは、原点（０，０）がその円の中に入ることになり、（ｘｖ，ｙｖ）は、どの四分面にあってもよいことになる。それは、すなわち、θｖがいかなる位相値をも持つことができることを意味する。言い換えれば、回路の位相θｖは、相対位相Φを制御することにより、いかなる任意の値も持つようにすることができる。
【０１４０】
もし（ｘｆ２＋ｙｆ２＞ｒ２）であるならば、ａについて２つの解が存在する。従って、θｖは、最小値θｖｍと最大値θｖＭとがあることになる。その円の中心（ｘｆ，ｙｆ）から点（ｘ０，ｙ０）で線を引けば、それは、接線と直角をなす。それにより、
【数１６４】
2021506223.tif 000168
【数１６５】
2021506223.tif 000169
ａの２つの解をａ１及びａ２とする。それにより、ａ１及びａ２であるときに接する座標を（ｘ０１，ｙ０１）及び（ｘ０２，ｙ０２）とする。それにより、θｖｍとθｖＭは、次のように決定される。
【０１４１】
【数１６６】
2021506223.tif 000170
【数１６７】
2021506223.tif 000171
従って、Ｚｖの位相は、θｖｍからθｖＭまでありえる。Ｚｖの大きさも、同様に決定される。
【０１４２】
もし（ｘｆ２＋ ｙｆ２＝ｒ２）であるならば、Ｚ￣ｖがその円に接する部分が、ただ原点（０，０）しかない。そのときは、｜Ｅ｜＝｜Ｚｆ｜である。その場合、多くの可能な解のうち１つの特別な解は、（ｘｖ，ｙｖ）＝（０，０）であるときであり、そのときのインピーダンスは、０になる。
【０１４３】
【数１６８】
2021506223.tif 000172
結論として、与えられた｜Ｚｖ｜とθｖについて、適切なＺｆ、Ｅ及びΦを見出すことにより、回路をデザインすることができる。証明を通し、もし条件｜Ｅ｜＞｜Ｚｆ｜が満足されると、Ｚｖは、いかなる力率にもデザインできることがわかった。相対位相Φは、すでに言及した３種類の方法によっても制御される：磁心の長さの変化、及び／または周波数の変化、及び／またはリアクティブ部品の添加である。θｖが調節されるだけではなく、｜Ｅ｜＞｜Ｚｆ｜の条件が満足されるとき、望む値をつくるため、それをデザインすることができる。従って、力率は、ｃｏｓ｛ＡＴＡＮ２（ｘｖ，ｙｖ）｝であるが、それは、調節することができる。ＡＴＡＮ２（ｘｖ，ｙｖ）関数が、（−π）からπまでの値を持つために、力率は、すでに言及したように、適切な条件が満足される場合、−１から１までの値を有することができる。同様に、回路のインピーダンスの大きさ｜Ｚｖ｜も、それによって決定される。
【０１４４】
この証明は｜Ｅ｜値が周波数によって変わらない理想的な場合である。実際においては、相互インダクタンスＭと減衰因数
【数１６９】
2021506223.tif 000173
は、周波数によって変わる。それにより、｜Ｅ｜値は、全ての周波数において同じ値を持つことはない。従って、点（ｘｖ，ｙｖ）は、完全な円を形成するものではない。
【０１４５】
４．２ 相対位相を推定する方法
さて、磁束の相対位相Φを、実験を通し推定する方法について述べる。実験データから、インピーダンスの大きさ｜Ｚｖ｜は、下記のように決定される。
【０１４６】
【数１７０】
2021506223.tif 000174
ここで、ｖ１（ｒｍｓ）とｉｐ（ｒｍｓ）は、それぞれ一次コイルでの実効値（ｒｍｓ：root mean square）の電圧と電流とである。一次コイルでの電力Ｐｐは、オシロスコープの数学機能（math function）を使用し、ｖ１とｉｐをかけて平均値を測定するか、電力分析器（power analyzer）を使用して直接計測することができる。しかし、一般的に電力分析器を使用して計測することが、オシロスコープを使用して測定するよりことよりもさらに正確である。インピーダンスの位相θｖは、次の通りである。
【０１４７】
【数１７１】
2021506223.tif 000175
ここで、ａｃｏｓは、アークコサイン（arccosine）関数である。｜Ｚｆ｜とθｆは、次のように計算する。
【０１４８】
【数１７２】
2021506223.tif 000176
【数１７３】
2021506223.tif 000177
｜Ｅ｜は、次のように計算できる：
【数１７４】
2021506223.tif 000178
図３において、頂点（０，０）、（ｘｆ，ｙｆ）と（ｘｖ，ｙｖ）でなった三角形の面積について、次の関係が成り立つ。
【０１４９】
もしθｖ＞θｆであるなら、
【数１７５】
2021506223.tif 000179
ここで、ξは、ベクトルＺ￣ｆとＥ￣との間の角度であり、正数である。相対位相Φは、次のように決定される。
【０１５０】
【数１７６】
2021506223.tif 000180
【数１７７】
2021506223.tif 000181
θｖとθｆが他の関係を持つときも、前述のような方法で解くことができる。
【０１５１】
磁束の相対位相Φの値は、電源が一次に供給する電力が相対位相に係わるので、次の式からも得ることができる。
【０１５２】
【数１７８】
2021506223.tif 000182
ここで、ｉｔ（ｐ）は、一次側での電流であり、（１／２）｜ｉｔ（ｐ）｜２の値は、一次側の電流の実効値ｉｐ（ｒｍｓ）から次のように求める。
【０１５３】
【数１７９】
2021506223.tif 000183
減衰の大きさ程度を示す因数ｅｘｐ（−２αl）は、次の式を通して求めることができる。
【０１５４】
【数１８０】
2021506223.tif 000184
ここで、Ｒ２とｖ２は、それぞれ二次での負荷抵抗と、負荷の電圧である。
【０１５５】
５．不完全変圧器（imperfect transformer）
５．１ 単相不完全変圧器
単相不完全変圧器の等価回路（equivalent circuit）は、次の通りである（参照文献５：Bleaney and Bleaney, Electricity and Magnetism, 251）。
【０１５６】
図４は、単相(single phase)不完全変圧器（imperfect transformer）回路の一例を図示した図面である。ここで、見える値は、次の通りである。
【０１５７】
ｖｐは、角周波数ωを持つ交流電源であり、
【数１８１】
2021506223.tif 000185
は、結合係数であり、Ｍ、Ｌｐ及びＬｓは、それぞれ相互インダクタンス、一次コイル自己インダクタンス、二次コイル自己インダクタンスであり、
Ｒｃは、磁心の損失抵抗（loss resistance）であり、
Ｘｍ＝ｃωＬｐは、磁化リアクタンス（magnetizing reactance）であり、
Ｚ１は、一次の抵抗と、一次の漏れリアクタンス（leakage reactance）を含む一次側のインピーダンスである。一次の漏れリアクタンスは、（１−ｃ）ωＬｐである。非理想（non-ideal）変圧器の位相の変化にのみ留意するために、一次の抵抗と漏れリアクタンスとを合わせ、インピーダンスＺ１に含めた。
【０１５８】
ｉｐとｉｓは、それぞれ一次と二次との電流であり、
ｉ０は負荷がないときの一次電流（no load primary current）であり、
ｉｃは、電流ｉ０の磁心の損失部分（core loss component）を示し、
ｉｍは、ｉ０の磁化部分（magnetizing component）を示すため、磁化電流（magnetizing current）であり、
ｉ１は、変換された二次電流（transformed secondary current）であり、
Ｚ２は、二次側のインピーダンスであるが、二次の抵抗、二次の漏れリアクタンス、及び負荷を含む。二次の漏れリアクタンスは、（１−ｃ）ωＬｓである。言い換えると、ただ回路の位相部分についての分析を望んでいるため、二次の抵抗や二次の漏れリアクタンスなどは、いずれも合わせて１つのインピーダンスとして表現する。
【０１５９】
四角形で、点線を引いた部分は、完全変圧器（perfect transformer）であり、一次と二次とにそれぞれＮｐ回とＮｓ回とのコイルが巻かれている。そして、巻かれた数の比（turns ratio）ｎは、次の通りである：
ｎ＝Ｎｓ／Ｎｐ
そのような等価回路の電流に関する数式の中で、負荷がないときの一次電流（no load primary current）ｉ０は、ｉｓと次のような関係で表現されてきた（参照文献６：Thomas Wu, Lecture Notes on EEL 4205 Electric Machinery, Chapter 7 Non-ideal Transformer, The University of Central Florida, accessed September 15, 2017, http://www.eecs.ucf.edu/~tomwu/course/eel4205/notes/07%20Nonideal%20Transformer.pdf）。
【０１６０】
【数１８２】
2021506223.tif 000186
ところで、二次電流ｉｓは、一次側で使用するとき、磁束の伝播による減衰と、位相の変化が生じる。従って、前述の数式は、次のように、変化を含む数式に変わらなければならない。
【０１６１】
【数１８３】
2021506223.tif 000187
それにより、電流が位相に係わる因数を持つように修正するとき、全てのインピーダンスと電力に係わる計算も、位相変化を含む必要がある。
【０１６２】
このような不完全変圧器が分析する方法のうち、もう一つは、テブナンの整理（Thevenin’s theorem）を利用する方法である。ｖＴとＺＴとをそれぞれ一次側の一部分のテブナンの等価電圧（equivalent voltage）及び等価インピーダンスだとすると、これは、一次側回路において、磁心損失抵抗Ｒｃまでを含むが、磁化リアクタンスＸｍは、含まず、テブナンの等価回路に変換されることを言う。それにより、
【数１８４】
2021506223.tif 000188
Ｒｃは、大きい値であるため、ＺＴは、Ｚ１に近い値になる。それにより、テブナンの等価回路のインピーダンスＺｐは、ＺＴを含まないとき、非損失変圧器のような形態に下記のようになる。
【０１６３】
【数１８５】
2021506223.tif 000189
そして、テブナンの等価電圧は、次の通りである。
【０１６４】
【数１８６】
2021506223.tif 000190
そうすると、次のような若干の修正を加えれば、上記で誘導したように電力及びインピーダンスに関する式を使えるようになる。
【０１６５】
【数１８７】
2021506223.tif 000191
【数１８８】
2021506223.tif 000192
【数１８９】
2021506223.tif 000193
【数１９０】
2021506223.tif 000194
言い換えれば、（数式３９）の電圧ｖｐとインピーダンスＺ１は、電圧ｖＴ及びＺＴにそれぞれ振替えられる。また、不完全変圧器であるために、結合係数ｃが入ることになる。
【０１６６】
従って、テブナンの等価回路のインピーダンスによる反応は、非損失変圧器のときのように分析され、不完全変圧器のインピーダンス及び電力差関数も、同じ方法によって分析される。
【０１６７】
５．２ 多相変圧器（polyphase transformers）
多相変圧器は、単相変圧器いくつかを組み合わせて作ることになるので、前述の原理が、多相変圧器の各相（phase）の部分にもそのまま適用される。従って、多相変圧器も、同様な方法によっても分析される。
【０１６８】
６．誘導機器（Induction machines）
６．１ 誘導機器のモデル
線形誘導機器（linear induction machines）を含む誘導機器、すなわち、誘導電動器（induction motors）や誘導発電器（induction generators）は、原理的に、変圧器のようであるということが知られている。従って、各相（per phase）誘導機器の等価回路は、上で見た単相不完全変圧器の等価回路と同一である（参照文献７： Charles Porteus Steinmetz and Ernst J. Berg, Theory and Calculation of Alternating Current Phenomena, 3rd edition (New York Electrical World and Engineer Incorporated, 1900), 220）。
【０１６９】
誘導機器の固定子（stator）は、回転する磁束（rotating magnetic flux）を発生させ、回転子（rotor）のコイルに誘導された電流は、変圧器において、二次電流が誘導されるように誘導される。誘導機器における主な差があるならば、誘導機器においては、一次と二次との間に空気ギャップ（air-gap）があるので、その磁化電流は、変圧器でのそれより大きい（参照文献８：H. Wayne Beaty, ed., "Section 5-Three-Phase Induction Motors by Hashem Oraee" (PDF) Handbook of Electric Power Calculations (3rd ed.) (New York: McGraw-Hill, 2006), ISBN 0-07-136298-3）。不完全変圧器のパラメータは、誘導機器において、不完全変圧器のパラメータと同一な表記をしたとき、次のように解釈される：
ｖｐは、各相（per phase）電源の電圧を言い、
Ｚ１は、固定子の抵抗Ｒ１と、固定子の漏れリアクタンスＸ１を含み、次のようである。
【０１７０】
【数１９１】
2021506223.tif 000195
Ｚ１＝Ｒ１＋ｊＸ１
外部から掛けられるインピーダンスＺｅｐが一次にあることもある：
【数１９２】
2021506223.tif 000196
これも、Ｚ１に含まれていると見られる。従って、Ｒ１とＸ１は、ＲｅｐとＸｅｐとが外部から負荷として、一次に掛けられたとき、それらをそれぞれ包含する。変圧器の場合と同様に、ただ位相の部分のみに関心を持つため、固定子の全ての抵抗とリアクタンスは、合わせて１つのインピーダンスＺ１として示す。
【０１７１】
Ｒｃは、固定子磁心の損失抵抗であり、
Ｘｍは、磁化リアクタンスであり、
ｉｐとｉｓは、それぞれ固定子と回転子の電流であり、
ｉ０は、負荷がないときの一次電流（no load primary current）であり、
ｉｃは、電流ｉ０の磁心損失電流部分を示し、
ｉｍは、ｉ０の磁化部分を示すものである、磁化電流であり、
ｉ１は、一次に変換された（referred）回転子の電流であり、
Ｚ２は、回転子側の総合したインピーダンスを示す。
【０１７２】
【数１９３】
2021506223.tif 000197
ここで、Ｒ２は、回転子の抵抗、Ｘ２は、回転子の漏れリアクタンスを表示する。
【０１７３】
前述のところに加え、外部から二次側に掛ける負荷Ｚｅｓがあることある：
【数１９４】
2021506223.tif 000198
これも、二次インピーダンスＺ２に含める。従って、前述のＲ２とＸ２は、ＲｅｓとＸｅｓと外部から二次に負荷として掛けられるとき、それらをそれぞれ含めたことにする。再言するが、ただ回路の位相部分に関心があるため、回転子の全てのインピーダンスは、総合して、回転子側に、便宜上１つのインピーダンスＺ２と示す。点線になった四角形中の変圧器は、完全変圧器と仮定したものであり、固定子と回転子とにそれぞれＮｐ回とＮｓ回とのコイルを巻いたものである。
【０１７４】
６．２ スリップ（slip）の条件
スリップσは、次のように定義される。
【０１７５】
【数１９５】
2021506223.tif 000199
ここで、ωｐとωｒは、それぞれ一次と回転子との角周波数を言う。もしωｐとωｒが同じ値を有するならば、回転子には、誘導電流が流れなくなる。従って、固定子の場（field）の回転速度と、回転子の速度が違うとき、誘導機器が作動する。
【０１７６】
誘導電動器の固定子のコイルは、固定子の磁心のスロット（slot）に巻かれる。固定子の磁心は、渦電流（eddy current）の損失を減少させるために、積層に（laminated）なっている。また、回転子においても、積層になった鉄心が磁心として使用される。従って、誘導電動器の磁気経路（magnetic path）は、固定子の磁心から空気ギャップを経て、回転子の磁心に行くことになる。誘導電動器での位相変化は、主に空気ギャップではなく鉄心で起こる。位相角の変化を作るためには、空気ギャップを除いた磁心の長さを調整し、かつ／または周波数を調整し、かつ／またはリアクティブ部品を機器に加える必要がある。
【０１７７】
誘導電動器の磁心の長さは、固定子及び／または回転子の磁心をデザインするとき、容易に調節することができる。リアクティブ部品を回路に加えることにより、位相を変化させることは、便利な方法として、 他の２つの方法、すなわち、磁心の長さを調整する方法と、周波数を変化させる方法による必要な位相の変化を最小化することに役立つ。
【０１７８】
周波数を変化させ磁束の位相を調節することは、簡単なことである。誘導機器の速度は、周波数に比例し、一般的に、５０Ｈｚや６０Ｈｚで作動する。しかし、周波数が高すぎると、誘導機器は、機械的に高速で回ることができないので、その早い周波数の速度に追いつくことはできない。
【０１７９】
同期回転子速度（synchronous rotor speed）ｎｓは、ポール（pole）の個数ρに対し、次のような関係がある。
【０１８０】
【数１９６】
2021506223.tif 000200
ここで、ｆは、電源の周波数である。
【０１８１】
例えば、４つのポール（pole）を持った５０Ｈｚで作動する機械であれば、同期速度は、１，５００ｒｐｍである。しかし、もし周波数を１ｋＨｚに上げると、３０，０００ｒｐｍになる。従って、誘導機器で位相を制御するためには、高周波数においては、回転子の速度を下げることにより、機械の故障を防ぐことができる。
【０１８２】
高周波数が固定子の側に加えられると、回転子の速度を下げるために、スリップ（slip）の値は、１に近くければならない。磁束の位相を制御するために、一次の周波数を高める場合、回転子側の回転子の速度を下げなければならない。回転子の速度を制御することができる他の方法は、スリープ周波数の電圧（sleep-frequency voltage）を回転子の回路に掛けることである（参照文献９：I. Boldea, The induction machines design handbook, 2nd ed. (Boca Raton, FL: CRC Press/Taylor & Francis, c2010)）。いずれにせよ、回転子の速度を、スリップ値が１に近づけ、回転子の速度が同期の速度より遅くなるよう維持することが重要である。
【０１８３】
一般的に誘導機器においては、積層の鉄心からなる磁心が使用される。しかし、積層の鉄心は、高周波数に効率的ではないために、高周波数に効率的な磁心を使用する場合は、効率を高めるために、他の物質からなった磁心を使用する必要がある。例えば、周波数が高い誘導機器の場合、フェライト磁心を使用し、相対位相を制御することにより、力率を調節することができる。
【０１８４】
６．３ 回転力（torque）
テブナンの等価電圧とインピーダンスは、回転力（torque）と関連がある。誘導機器の回転力Ｔは、下記のように表現される（参照文献１０：H. Wayne Beaty, Standard Handbook for Electrical Engineers, Edition 16th ed. (New York: McGraw-Hill Professional Publishing, Aug. 2012), Chapter 20）。
【０１８５】
【数１９７】
2021506223.tif 000201
ここで、ｖＴｈは、テブナンの等価電圧であり、Ｒ１ＴとＸ１Ｔは、固定子部分の回路を、磁心損失抵抗及び磁化リアクタンスまでを含んでテブナンの等価回路に変えたときの固定子のテブナンの等価抵抗と、等価リアクタンスをそれぞれ示す。Ｒ２１とＸ２１は、それぞれ固定子側に変換された（referred）回転子の抵抗と、回転子の損失リアクタンスとである。最大回転力が得られるスリップ値σｍは、次のように得られる：（参照文献１１：Steinmetz and Berg, Theory and Calculation of Alternating Current Phenomena, 250）。
【０１８６】
【数１９８】
2021506223.tif 000202
【数１９９】
2021506223.tif 000203
誘導機器の普通の運行状況においては、スリップ値がσｍより小さいために、大きいスリップ値で作動する機械をデザインするときには、σｍ値を１に近づけることが必要である。従って、外部抵抗を回転子側に掛け、Ｒ２１を大きくすることが必要である。このように、外部抵抗器（rheostat）を使用するときは、その短所として加えられた抵抗による銅損失（copper loss）をよく言及する。しかし、磁束の位相角を調節することにより、一次での力率を０にすることができるため、回転子の側での損失を必要がない。実際、電力は、回転子の側で「生成」されるために、回転子側での銅損失は、それ以上損失ではなく、むしろ外部負荷と見なされ、電力を消耗することにより、有用に利用可能である。
【０１８７】
誘導機器の等価回路が、変圧器の等価回路に変換されるために、そしてインピーダンスと電力差関数とを使用し、変圧器が分析されるために、誘導機器も、また同じ方法によって正確に分析される。また変圧器にみえたさまざまな場合の事例も、全く同じように誘導機器で具現される。
【０１８８】
機器の作動が、すでに解かれている数式によってされるため、相対位相Φを変化させることにより、誘導機器は、電力差関数が正の値を持つとき、回転子側において、電力を発電するだけではなく、力率が負になるとき、固定子側においても、電力を発電する電力発電器になることができる。負荷が回転子側だけではなく、固定子側にもあるということに注目する。固定子側の負荷は、力率が負の値を持つとき、回転子側から来る電力を消耗し、有用な働きをすることができる。
【０１８９】
そのような電力とインピーダンスとに係わる原理は、多相誘導機器（polyphase induction machines）がいくつかの単相誘導機器からなると見られるので、ただ単相誘導機器においてだけではなく、多相誘導機器においても適用される。
【０１９０】
７．電力発電変圧器システム（the power generating transformer system）
７．１ 電力発電変圧器システム
一般的に、普通の変圧器は、二次における電圧が巻かれた比の数（turns ratio）に比例するので、電圧を変更させるために使用される。しかし、本発明での変圧器の主な目的は、電圧を変えるためでもなく、負荷で使用する電力を供給するためでもない。むしろ、一次における電力と、回路のインピーダンスが磁束の位相に依存するという原理の下で、負荷側において、電力を発電させるためである。ここで、「電力を発電する」ということは、無から（from nothing）発電を行うことができるという意味ではなく、負荷で消耗される電力が、電源から一次に供給する電力より多いということを意味する。
【０１９１】
従って、ここでの変圧器回路においては、力率が０に近いか、あるいは負数にもなってしまうために、平均して電源が一次に供給する電力も、非常に小さいか、あるいは負の値になる。それを達成するために、磁束の相対位相Φを制御することにより、回路の力率を調節する必要がある。
【０１９２】
すでに言及したように、周波数の変更、かつ／または磁心の長さの変更、かつ／またはリアクティブ部品を加えることにより、必要な相対位相Φを持つように制御することができる。
【０１９３】
また、変圧器自体は、高い周波数での作動ができなければならない。鉄心からできた磁心を持つ普通の変圧器は、高い周波数で効率的ではない。従って、本発明の変圧器の磁心としては、高周波数で効率がいい、例えば、フェライトのような、高い周波数でさらにうまく作動するある物質を使用することができる。
【０１９４】
変圧器だけではなく、本システムは、のぞむ力率または相対位相Φを回路がもつため正しい周波数の信号を生成する交流生成器をもつ必要がある。この交流生成システムが生成しなければならない相対位相Φに関する条件は、前述の「２．電力」でとり扱った。よって、交流生成器と変圧器は、電力発電システムになるためには、共に対をなさなければならない。このような点で、普通の変圧器回路とは異なる。普通の変圧器回路では、変圧器がある広い周波数範囲において作動するように作製され、また交流生成器も、適切にその範囲内での周波数を提供すれば、その回路は、負荷において電力を使うように作動するのに問題がないために、交流生成器と普通の変圧器は、互いに対をなす必要がない。
【０１９５】
しかし、本発明の「電力発電変圧器システム」において、交流生成器は、変圧器の状態と非常に緊密に関係しなければならない。なぜならば、必要な周波数や相対位相Φを提供し、電力差関数が正の値をもつようにする必要があるためである。
【０１９６】
図５において、「（必要な周波数を発生させる）交流生成器」は、例えば、２つの部分によっても形成される：周波数合成発振器（frequency synthesizer）の部分（参照文献１２：Dean Banerjee, PLL Performance, Simulation and Design, 4th ed. (Dog Ear Publishing, LLC., Aug. 2006)と、増幅器（amplifier）の部分とである。周波数合成発振器は「変圧器回路」において、電力差関数を正数にする周波数を生成し、周波数合成発振器によって生成されたその周波数の波を増幅器が増幅し、適切な大きさの電圧で変圧器回路に入れる。ここで、周波数合成発振器と、その他の電子部品を使用するとき、回路が、高次のハーモニック（higher order harmonic）や相互変調（Intermodulation）のように非線形歪曲が発生しすぎないように設計する必要がある。
【０１９７】
図５は、電力発電変圧器システムの一例を図示した図面である。
【０１９８】
７．２ 変圧器回路
変圧器回路の電力差関数が正の値を有することになるとき、２つの場合がある：一次に負荷がなく、二次にある場合と、一次と二次に負荷がある場合である。
【０１９９】
一次や二次における負荷は、交流によって作動する電気機器でもあり、直流によって作動する電気機器でもある。それが、直流によって作動する機器である場合には、変圧器回路において、交流を直流につくって、機器に入れられる整流器が必要である。従って、ここにおける「変圧器回路」というのは、負荷が直流を使う機器である場合必要な整流器を含む回路を言う。負荷は、１またはそれ以上のバッテリや（スーパー）蓄電器（（super） capacitor）でもある。このとき、バッテリや（スーパー）蓄電器を充電できるように、電圧が適切な大きさをもつように、変圧器回路の内において、調節することができる。それにより、そのバッテリや（スーパー）蓄電器は、他の回路の電源の役割を行うことになる。
【０２００】
図６は、負荷が二次側だけではなく、一次側にもある電力発電変圧器システムの一例を図示した図面である。
【０２０１】
すでに言及したように、一次における電力が負の値をもつとき、変圧器回路は、負荷を、図２のＺ１のように、一次にもつことができる。二次だけではなく、一次で負荷がある「変圧器回路」の例が、図７にあるが、それは、一次側に、バッテリや（スーパー）蓄電器が整流器に連結されている。図７において、点Ａ１と点Ａ２とを繋ぐ平面の左側部分の回路をテブナンの等価回路に変換すれば、その回路は、前述の無損失変圧器が分析する方式によっても分析される。そのようにして、電力は、力率が負の値を持つとき、一次側の負荷においても生成されるのである。
【０２０２】
図７は、二次だけではなく、一次にも負荷がある場合の変圧器回路であり、それが、必要な周波数を生成する交流生成器に繋がった回路の一例を図示した図面である。
【０２０３】
一次に負荷がない場合、電力差関数が正数でありながら、二次の負荷での電力は最大値にした方がよい。一次に負荷があるときは、ユーザの必要により、一次及び／あるいは二次の負荷において、電力が最大値になるようにし、かつ／または電力差関数が最大になるようにすることができる。いずれによせ、電力差関数が正数にならなければならないという条件は、満されなければならない。電力差関数が正数になるこの条件は、「電力発電変圧器システム」だけではなく、追って説明する「自給システム」も含む本発明の全ての分野で守られなければならない。
【０２０４】
７．３ 交流生成器及び静的交流生成器
一般的に、「（必要な周波数を発生させる）交流生成器」は、正弦波形態の波を生成する。しかし、他の形態の波形が生成されても、それを、フィルタを通して、望みの１つの周波数だけを持つようにすることができる。従って、そのような場合には、２つの部分があるようになる：最初の部分は、ある形態の電圧波形をつくるものであり、２番目の部分は、ただ望む周波数の波形のみを増幅する部分である。これに関する一例は、最初の部分が矩形波（square wave）電圧波形を生成し、それが２番目部分である直列ＬＣ回路に入り、所望するサイン形態の周波数を生成する場合である。そのような直列ＬＣ回路は、図２にもあるように、変圧器回路に入るものでもある。変圧器回路は、それが作動するために、一般的に電力を必要としないが、交流生成器は、変圧器回路に必要な波形を生成するので、それ自体は、電力を消耗する。
【０２０５】
交流生成器部分は、さらに２つの種類に分けられる：静的なものと動的なものとである。静的交流生成器は、一度周波数を生成するように固定された後は、その周波数以外の他の周波数は生成しない。これは、負荷のインピーダンスが変わらないとき有用である。例えば、もし二次の負荷が他の機器に連結されていないバッテリである場合、変圧器回路は、一次で平均して電力を供給しないが、そのバッテリを充電することができる。
【０２０６】
７．４ バッテリや（スーパー）蓄電器を充電する（自動）スイッチシステム
もし「電力発電変圧器システム」が充電するバッテリが、電力を消耗する他の機器や負荷に連結されているとしたら、一般的に負荷のインピーダンスは、変更される。そのような場合、以下で説明する「動的交流生成器を持った電力発電変圧器システム」を使用するか、あるいは図８で見るように、１またはそれ以上のバッテリを使用するものの、一部は「電力発電変圧器システム」で充電し、残りのバッテリは、電力を消耗する機器に電力を与えるといい。そのとき、充電するバッテリ（battery bank）がフルに充電されたならば、他のバッテリを充電するようにし、フルに充電されたバッテリが電気機器を作動するようにすればいい。そのような作業は、バッテリがどれほど充電されたかを測定することにより、スイッチを利用して自動的に行うことができる。もし機器が交流で作動する機器であるなら、バッテリから出る直流を、インバータ（Inverter）を通して交流に変えた後、電力を供給すればよい。また、ここで、バッテリは、他の電気機器の電源として使用する例になる。例えば、（スーパー）蓄電器も、電源として使用することができる。このとき、バッテリや（スーパー）蓄電器を充電するため、適切な大きさの電圧をもつように、変圧器システムの内で、電圧を調節することができる。このようなバッテリや（スーパー）蓄電器を充電する（自動）スイッチングシステムは、本発明のあらゆる分野、すなわち、ここの「電力発電変圧器システム」だけでなく、これから言及される「自給システム」にも、同様に適用される。この（自動）スイッチングシステムは、二次側の負荷だけではなく、図７のように、一次側に負荷がある場合も適用される。
【０２０７】
図８は、バッテリを充電する自動スイッチングシステムの一例を図示した図面である。機器は、変圧器システムによって充電されていないバッテリにより作動する。
【０２０８】
７．５ 動的交流生成器及び感知制御装置
負荷のインピーダンスが変わるなら、力率が同じ値を維持するように、または電力差関数が最大になるように、またはインピーダンスが変わる前の与えられた条件を維持する等、望みの条件に合わせるため、周波数を動的に変えることが必要である。回路のインピーダンスを（数式１５０）で見たように、以下のようであるとする：
【数２００】
2021506223.tif 000204
＝｜Ｚｖ｜ｅｘｐ（ｊθｖ）＝Ｒｅ（Ｚｖ）＋ｊＩｍ（Ｚｖ）
負荷の変化、または回路のインピーダンスの位相変化であるΔθｖは、いくつかのシステムパラメータを測定することによっても感知される。周波数を動的に変化させるために、感知制御装置が必要である。
【０２０９】
図９は、動的交流生成器がある電力発電変圧器システムの一例を図示した図面である。
【０２１０】
例えば、回路のインピーダンスの位相θｖは、（数式１７１）のように、Ｐｐ、ｖ１（ｒｍｓ）及びｉｐ（ｒｍｓ）を通しても感知される。
【０２１１】
【数２０１】
2021506223.tif 000205
それにより、もしθｖに変化がある場合、θｖを以前の値に維持するか、または電力やインピーダンスに係わる他の条件を満足させるために、交流生成器の周波数が変わらなければならない。周波数合成発振器により、電力差や、負荷の電力と係わった、例えば、相対位相Φの条件を満足させる、適切な振幅を持った新たな周波数を作ることにより可能である。
【０２１２】
７．６ 周波数変化の方向及び大きさ決定モジュール
位相θｖや、それ以外のある感知するパラメータに変化が感知されたとき、周波数を現在の値より大きくするか、それとも小さくするかということは、回路のパラメータ、すなわち、インピーダンスの大きさや位相などによって決定される。相対位相Φの値を測定する方法は、前述の「４．２ 相対位相を推定する方法」においてすでに説明した。ところで、相対位相Φは、周波数の増加によって大きくなるので、周波数が少しだけ変わらなければならない状況であるならば、相対位相Φの変化も、それにより、周波数と同じ方向へ動く。
【０２１３】
周波数をどの方向と、どれほどの大きさで動かなければならないかということを決定させる簡単な方法のうち一つは、相対位相Φと周波数との関係を記録しておくことである。例えば、最初システムを設定するとき、周波数による相対位相Φの値を、インピーダンスの大きさ値（magnitude）、位相値、またはそれ以外の関連したパラメータにより、テーブルに記録すればよい。そして、周波数の変化方向と大きさは、そのテーブルを調べることによって知ることができる。
【０２１４】
テーブルを作る１つの方法は、機械学習方法を使用することである。例えば、神経回路網（neural network）を使い、変化する周波数の方向と大きさを訓練させることができる。例えば、インピーダンスの位相、大きさ、またはそれ以外の関連パラメータが入力ノード（input nodes）に入り、出力ノード（output node）は、周波数の変化方向や、周波数の変化の大きさを示すように作られた、中間の隠蔽層（hidden layer）も持った神経回路網（neural network）を考えることができる。それを学習して作られた神経回路網は、感知制御装置内において、常時回路のインピーダンスや位相に変化がある場合、それを呼び出してから使用できる。
【０２１５】
他の簡単な方法は、「試行錯誤を通した（trial-and-error）」方法である。周波数にある変化を与えなければならない場合が発生すると、動的交流生成器は、周波数に変化を与える。ところで、もしそ方向が願う結果をもたらすことができない場合は、反対方向へ周波数を変化させればよい。そのようにして、回路は、一次において、最小または負値の電力で電力を発電することになる。
【０２１６】
周波数方向及びその変化の大きさを決定するモジュールは「感知制御装置」内にソフトウェア、ファームウェア（firmware）またはハードウェアの形で入っている。
【０２１７】
７．７ 直流電源に連結された場合：寿命が長いバッテリシステム
さて、直流や交流の電源が、電力発電変圧器システムにも繋がることができる。例えば、システムが、直流の電源に繋がった場合の一例を考える。スマートフォンの場合、その中にバッテリがある。もしバッテリが電力発電変圧器システムに繋がると、バッテリは、ただ交流生成器にのみ電力を供給し、変圧器回路には、電力を供給しなくてもよい。そして、変圧器回路が残りスマートフォン回路に電力を供給する。従って、スマートフォンのバッテリが長持ちし、寿命が長いバッテリシステムが作られる。すでに言及したように、ここで、変圧器回路の負荷が、バッテリや（スーパー）蓄電器でもある。それにより、そのバッテリや（スーパー）蓄電器が、スマートフォンの残り回路に電力を与える電源の役割を行う。図８で言及したように、一方のバッテリが充電される間、他方のバッテリが機器に電力を供給する（自動）スイッチングシステムをここでも適用することができる。
【０２１８】
図１０は、寿命が長いバッテリシステムの一例を図示した図面である。
【０２１９】
７．８ 交流電源に連結された場合：電力を少なく使用するシステム
もし電源が交流であり、その電源の周波数が電力差関数を正数にする条件を満すことができなければ、その周波数を望みの周波数に変更する必要がある。それは、周波数の変換装置を通してなされる。そのような場合の１つの例を挙げると、交流を直流にする整流装置を経た後、再び「変圧器回路」に必要な交流を「必要な周波数を発生させる交流生成器」において、直流電源の電力を使って作れる。上述したように、周波数変換装置の一例は、周波数合成発振器（frequency synthesizer）と増幅器（amplifier）の組み合わせにより作れる。
【０２２０】
図１１は、電力を少なく使用するシステムの一例を図示した図面である。ここでは、周波数を変換するために、回路の部分に整流器を使用した例である。一般的には、周波数を変える周波数変換装置が必要である。
【０２２１】
例えば、家庭で使う５０Ｈｚや６０Ｈｚの電源が、電力発電変圧器システムに繋がる場合を考えてみよう。その周波数は低くいため、小さい値または負の力率には作らないために、電力発電変圧器システムに適合しない。従って、電源の低い周波数を、電力発電変圧器システムに合う高周波数に変えた後、それを電力発電変圧器の変圧器に入力すれば、その後の家庭の電気製品での電力の必要は、電力発電変圧器の変圧器で用に足る。このとき、家庭で使っている発電所から来た電力は、ただ低い周波数を高周波数に変更させるところにのみ使用される。このようにして、電力を過渡に使用しないシステムが具現可能であり、同時に、家電製品の電力必要は、システムによって満たされることになる。
【０２２２】
７．９ システムの組み合わせ
「静的交流生成器」や「動的交流生成器」は、「寿命が長いバッテリシステム」や「電力を少なく使用するシステム」と組み合わせをなすことができる。従って、次の４種形態のシステムが可能である：
「静的交流生成器を持った電力発電変圧器になった寿命が長いバッテリシステム」
「動的交流生成器を持った電力発電変圧器になった寿命が長いバッテリシステム」
「電力を省く静的交流生成器を持った電力発電変圧器システム」
「電力を省く動的交流生成器を持った電力発電変圧器システム」
また、このようなシステムは、互いに連続して連結し（cascaded）、ある作業を遂行することができる。
【０２２３】
また、「バッテリや（スーパー）蓄電器を充電する（自動）スイッチシステム」は、それぞれの組み合わされたシステムの変圧器の二次側、または一次側の出力に連結され、バッテリや（スーパー）蓄電器を充電するように作動することができる。
【０２２４】
７．１０ 多相システム
単相変圧器に適用される前述の全ての原理と応用は、多相変圧器においても、同様に適用される。それは、多相変圧器は、いくつかの単相変圧器から作られているためである。
【０２２５】
７．１１ 電力発電誘導機器システム
該電力発電変圧器システムにおいて変圧器というのは、線形誘導機器（linear induction machines）を含む誘導機器（induction machines）、すなわち、誘導電動器（induction motors）や誘導発電器（induction generators）を含む。すでに言及したように、各相（per phase）誘導機器は、原理的に単相変圧器と同じである。多相変圧器は、いくつかの単相変圧器を合わせなっていると見ることができる。また、多相誘導機器は、単相誘導機器いくつかを合わせてなると見ることができるために、多相変圧器や多相誘導機器も、前述と全く同じ原理の下で、「電力発電システム」にもなる。
【０２２６】
誘導機器の磁心は、一般的に積層の鉄心からなっているが、その場合、それは、高周波数に効率的ではない。従って、「電力発電誘導機器システム」を作る場合、誘導機器の磁心は、高周波数で効率にすぐれる物質から作らなければならない。例えば、さらに良好な効率のために、電力発電誘導機器において、フェライト磁心を使用することができる。
【０２２７】
また、スリップ値（slip value）は、機器が機械的に無理しないように、１に近くしなければならない。また、最大回転力であるときのスリップ値も、１に近くしなければならない。従って、そのために「電力発電誘導電動器システム」は、（数式１９９）での二次での抵抗値Ｒ２１を大きくしなければならない。
【０２２８】
一般的に、誘導電動器と誘導発電器は、本質的に同じ形である。違いがあるなら、それが、発電器として使われるときは、機械的な力によって回転子を回して発電するようになる。しかし、本発明での「電力発電誘導電動器システム」は、他の原理で作動する。回転子を外部電源によって機械的に回して発電する代わりに、一般誘導電動器が作動するように、固定子によって回転子に誘導される回る場（rotating field）によって回転子が回転する。違いは、たとえ固定子が電源に連結されていても、力率が０に近づけるか、あるいは負数にすることができるため、一次においては、非常に小さいか、負の電力が発生する。同時に、二次及び／または一次にある負荷で電力が生じるのである。再言するが、ここで、負荷側で電力が「生成」されるというのは、電力差が正数であるとき、負荷で電力が消耗されることを意味する。力率が負の値を持つときには、負荷が固定子の側にもあり、そのとき固定子側の負荷においては、電力が生成される。
【０２２９】
従って、前述の本発明は「誘導機器」が「電力発電変圧器システム」の「変圧器回路」を振替えるようになれば、線形誘導機器（linear induction machines）を含む誘導機器、すなわち、誘導電動器（induction motors）や誘導発電器（induction generators）で作られた「電力発電誘導機器システム」に、全く同様に適用される。
【０２３０】
８．自給システム（self-sustaining system）
８．１ 自給システム：フィードバック（feedback）があるシステム
前述の「電力発電変圧器システム」は、直流や交流を電源として供給され作動する。それは、「動的交流生成器」の場合を除いては、システムにおいて、フィードバックがない場合である。
【０２３１】
変圧器回路が供給された電力よりさらに多くの電力を作れば、その出力は、負荷で消耗されるだけではなく、さらに入力に入って、自給するシステムを作ることができる。そのような場合、大きく２つの形の自給システムを考えることができる：一つは、電力保存器（powerre servoir）がない場合であり、他の一つは、それがある場合である。ここで、「出力」の電力というのは、二次の負荷での電力を意味するだけではなく、電源が供給する一次における電力が負の値を持つとき、一次の側に負荷がある場合には、一次の負荷の電力を意味するときもする。
【０２３２】
８．２ 電力保存器がない自給システム
電力保存器がない場合は、変圧器の出力がそのまま入力として入っていって自給するシステムを作る場合である。変圧器の出力電圧がシステムにまた入っていくので、出力と入力との電圧波形の振幅（amplitude）と位相が同一にするよう、また波形が歪曲されないように注意しなければならない。それらの振幅を同じにするための、１つの方法を例として挙げれば、変圧器の巻かれた数の比（turns ratio）を良好に調節し、不完全な結合（imperfect coupling）による電圧損失を補償しなければならない。他の方法の例としては、それは、演算増幅器（operational amplifier）を使用し、変圧器回路の出力電圧の振幅を、変圧器回路の入力電圧の振幅と同じようにすることができる。または、変圧器に入る入力電圧の振幅は、すでに特定値に決められる。そのような場合、変圧器の出力電圧の大きさは、その特定値に調節されなければならない。
【０２３３】
変圧器回路の出力電圧の位相は、電圧信号が歪曲されないように調節されなければならない。そのような機器の一例として、位相同期ループ（ＰＬＬ：phase-locked loop）を使用すればよい。出力電圧の位相は、変圧器回路入力電圧の位相と比較され、入力の位相を同じように調節され、また変圧器回路に入る。従って、図１２に図示される「振幅と位相との調節器」は、そのように、出力電圧の振幅と位相とに必要な調節を行って変圧器回路に入れる。
【０２３４】
「動的交流生成器を持った電力発電変圧器システム」と「電力保存器がない自給システム」の相違点は「動的交流生成器」の「感知制御装置」は、たとえ周波数を変更させても変圧器回路の出力された波をまた変圧器で入れないことに比べて、「電力保存器がない自給システム」は、負荷に変動がない限り、変圧器回路の出力電圧をまた変圧器に入力で入れることである。このとき、に負荷のインピーダンスが変わって回路のインピーダンスの大きさそして／またはその位相が変わる場合、「感知制御装置」加えることと似ている機能を電力保存器がない自給システムの「振幅と位相との調節器」が包含していなければならない。言い換えれば、「振幅と位相との調節器」は、負荷の変動を感知してその変化に合わせて適切な振幅と位相、そして周波数の電圧波形を生成しなければならない。
【０２３５】
図１２は、電力保存器がない自給システムの一例を図示した図面である。
【０２３６】
負荷に必要な電力は、自給システムから取り出し、負荷に入れればよい。すでに言及したように、負荷は、電力差関数が正の値を持つとき、二次側にあり、また力率が負の値を持つとき、一次側にもありえる。負荷に係わるこのような原理は、以下で言及される「電力保存器がある自給システム」にも、同様に適用される。
【０２３７】
「電力保存器がない自給システム」を始めるためには、そのシステムを、外部電源を使用して電力を入れなればならない。いったんシステムが始まり、平衡状態に入れば、外部の電源は、遮断することができ、自給システムは働き続けることになる。
【０２３８】
８．３ 電力保存器がある自給システム
２番目は、電力保存器がある場合である。交流を発電する部分と、必要な場合に負荷とを動かすことに必要な電力を電力保存器が備蓄している。変圧器回路の出力電力が、この電力保存器を充電する。
【０２３９】
図１３は、電力保存器がある自給システムの一例を図示した図面である。
【０２４０】
まず、電力保存器は、システムに電力を供給する。電力保存器の例として、バッテリ（battery）や（スーパー）蓄電器（（super） capacitor）をあげられる。そして、交流生成器中のインバータにより、変圧器回路において、電力差関数が正になるようにする適切な周波数の交流電圧が生成され、変圧器にその交流が入る。次に、不完全な変圧器で損失が発生するので、変圧器の巻かれた数の比を良好に調節し、適切な出力電圧の大きさになるようにする。または、例えば、演算増幅器（operational amplifier）を使用し、出力電圧の振幅を調節した後、整流器に送ればよい。または、整流器回路に入っていく入力電圧が、定値としてすでに定めれれている場合、変圧器回路の出力電圧の振幅を、その定振幅になるように調節すればよい。それにより、変圧器の出力電圧が直流に変わったとき、電力保存器を充電することができる適切な大きさの電圧になるようにすることができる。そのような変圧器回路において、出力電圧の振幅を調節する過程は、この段階で行ってもいいし、以下で言及するように、整流の後行ってもよい。大事なことは、電圧の振幅が調節され、変圧器回路にまた入っていくとき、正しい電圧の振幅になるようにすることである。どの段階において、出力電圧の振幅を調節するかというのは、重要ではない。
【０２４１】
「交流を直流にする」モジュールへの１方法の例は、整流器を使用し、それにより、変圧器回路の出力から出た電力を電力保存器を使い保存することができる。
【０２４２】
整流器から出た直流は、電力保存器に行くことになる。すでに述べたように、整流後、電圧の大きさを調節することも可能である。
【０２４３】
力率が０に近いか、あるいは負数にもなるので、電力は、システムから取り出し、有用に使用すればよい。
【０２４４】
図１４は、電力保存器がある自給システムにおいて、感知制御装置がある場合の一例を図示した図面である。
【０２４５】
「電力保存器がある自給システム」中の「交流生成器」は、「感知制御装置」が持った機能と似た機能をさらに持つことができる。そのような場合、「交流生成器」モジュールは、負荷の状況を感知し、負荷の状況により、特定の振幅、位相及び周波数の電圧波形を生成するようにしなければならない。そのような機能は、例えば、位相同期ループ（ＰＬＬ：phase−Locked loop）を含む周波数合成発振器（frequency synthesizer）及び増幅器（amplifier）を使用し活用することができる。そのような場合、図１４のように、交流生成器が負荷の状況に係わる情報を得るために、変圧器から交流生成器にフィードバックループ（feedback loop）がなければならない。実際には、負荷は、システムのいかなる位置にも存在することができるために、フィードバックループは、システムのいかなるモジュールからも、交流生成器へ来ることができる。従って、そのような場合には、システムの構造は、フィードバックループを示すものに変わらなければならない。
【０２４６】
８．４ （自動）スイッチングシステムを有した自給システム
また、図８のように、（自動）スイッチングシステムは、自給システムと共に使用し、一方のバッテリや（スーパー）蓄電器を充電しながら、他方のバッテリや（スーパー）蓄電器は、他の機器に電力を供給させられる。従って、図８において、「自給システム」が「電力発電変圧器システム」を振替えることができる。すでに言及したように、二次だけではなく、一次においても、図７のように、本（自動）スイッチングシステムにも連結できる。
【０２４７】
８．５ 誘導機器
すでに言及したように、前述の本発明の全ての原則と応用は、「誘導機器」が「自給システム」の「変圧器回路」を代替するようになれば、線形誘導機器（linear induction machines）を含む誘導機器、すなわち、誘導電動器（induction motors）や誘導発電器（induction generators）で作られた「自給システム」に全く同様に適用される。それらは、各相（per phase）だけではなく、また多相誘導機器にも適用される。
【０２４８】
８．６ 多相システム
これまで言及された原理と応用は、多相変圧器においても、同様に適用されるが、なぜならば、多相変圧器は、いくつかの単相変圧器からなっているからである。
【０２４９】
８．７ 組み合わせシステム
全てのこれまで言及されたシステム、すなわち、誘導機器を使用したシステムを含め、「電力発電変圧器システム」と「自給システム」は、特定のタスクを達成するために、互いに組み合わせたシステムをつくることができる。
【０２５０】
８．８ 電力制御モジュール
電力が過度に多く生成される場合、それを少なくしたり、回路を遮断したりする電力制御モジュールは、これまでの、誘導機器を使用したシステムも含め、「電力発電変圧器システム」、「自給システム」、及びその（組み合わせ）システムにも添加できる。過剰の電力がある場合、超過した電力は、他の負荷、例えば（可変）抵抗に入るように迂回させるとよい。（可変）抵抗は、超過した電力を吸収する（可変）負荷の役割を行う。電力制御モジュールは、超過した電力の吸収に適切な抵抗値を計算し、可変抵抗を調節することができる。電力制御モジュールは、システムのどこに挿入してもよい。例えば、交流生成器や変圧器回路は、内部に電力制御モジュールを置き、その機能を遂行することができる。もし過度に多くの電力が出る場合には、電力制御モジュールは、回路を遮断して作動を中止することができる。
【０２５１】
９．実験
実験１
本実験の目的は、周波数に依存する相対位相Φが存在するということを観察すること、及び周波数を変化させることにより、磁束の位相を制御することにより、回路の力率を０近づけることが可能かいうことを調べることである。そして、二次の負荷で消耗される電力が、電源から供給された一次における電力より大きいか否かということを調べることである。また、電力差関数が正の値を持つときの相対位相Φに関する条件を確認することである。
【０２５２】
変圧器は、２つのＵ字状のフェライト磁心からなっている（参照１３：Kaschke UI-1F4, 3C85 grade）。磁心からなった変圧器の全体閉ループ（closed-loop）の長さは、３５．４ｃｍである。１．２ｍｍ銅線を、一次及び二次として、それぞれ６０回ずつ巻いた。一次及び二次の自己インダクタンスは、それぞれ１７．２１０ｍＨと１７．００５ｍＨとであり、結合係数ｃは、０．９６４５８であり、その値は、option ００１を持ったKeysight Ｅ４９８０Ａ ＬＣＲメータ器を使用し、１０ＫＨｚと１５Ｖとで測定した。二次での負荷Ｒ２は、抵抗１０１．１９Ωである。Keysight Ｅ４９８０Ａ ＬＣＲメータを使用し、２０Ｖ正弦波の電圧が変圧器に送られた。周波数は、１０ＫＨｚから３５０ＫＨｚまで１０ＫＨｚ単位で上げながら実験した。
【０２５３】
Ｎ４Ｌ ＰＰＡ５５３０精密電力分析器（precision power analyzer）を使用し、一次での電圧ｖ１と電流ｉｐとを観察した。また、回路のインピーダンスの位相θｖ、及び一次における電力Ｐｐも測定した。負荷での電圧ｖ２は、Agilent ３４５８Ａマルチメータ（multimeter）を使用して測定した。実験は、室温１９℃で行った。
【０２５４】
ＬＣＲメータは、９０゜以上の位相は、示さないモデルを使用しデザインされた一方、Ｎ４Ｌ ＰＰＡ５５３０精密電力分析器は、正弦波の同相（in−phase）成分と直交（quadrature）成分とを直接測定し、位相角を示す。従って、力率が負の値を有するときには、精密電力分析器を介した位相値が正しい値であり、ＬＣＲメータのものは、正確な値ではない。
【０２５５】
表１は、２２０ＫＨｚにおいて、回路の力率が負の値になり、電源が供給する一次における電力が−６９８μＷと、絶対量が非常に小さいということを示す。図１５は、２２０ＫＨｚであるときのＮ４Ｌ ＰＰＡ５５３０精密電力分析器の画面である。このとき、回路のインピーダンスの位相θｖは、電圧の位相から電流の位相を差し引いた９０．１７である。その画面は、２２０ＫＨｚであるとき力率が０．００３０であるということを示すが、実際の力率は、ｃｏｓ（９０．１７°）、すなわち、−０．００３０である。これは、電力分析器を作った者が、力率が負数の値を持つことが信じられなかったためであると見られる。
【０２５６】
【表１】
2021506223.tif 000206
2021506223.tif 000207
【０２５７】
図１５は、実験１において、２２０ＫＨｚであるとき、Ｎ４Ｌ ＰＰＡ５５３０の画面である。
【０２５８】
（数式３）からみるように、もし磁束の相対位相Φが存在しなかったら、インピーダンスの位相θｖは、決して９０゜を超えることができないだろう。しかし、図１５及び図１６から分かるように、精密電力分析器は、明らかに２２０ＫＨｚから、回路のインピーダンスの位相θｖが９０゜を超えることを示している。実験した周波数範囲において、Ｎ４Ｌ ＰＰＡ５５３０の位相の誤差の最大値は、３．５０５゜であるので、２６０ＫＨｚ以上の周波数からは、回路のインピーダンスの位相が９０゜を超えたことは、非常に明らかである。
【０２５９】
図１６は、周波数によるインピーダンスの位相θｖの変化を図示したグラフである。
【０２６０】
１６０ＫＨｚのときから、Φが１四分面にあるとき、電力差が正数になることを示すが、これは、（数式５２）と一致することと見ることができる。
【０２６１】
二次側負荷での電力であるＰＬと、一次コイルでの電力との差である電力差は、次のように計算する。
【０２６２】
【数２０２】
2021506223.tif 000208
相対位相は、実験値から次のように求められる：
まず、減衰因数ｅｘｐ（２αl）を次の式で得る。
【０２６３】
【数２０３】
2021506223.tif 000209
ここで、ｉｔ（ｐ）は、一次の入力電流であり、（１／２）｜ｉｔ（ｐ）｜２の値は、実験からの一次の入力電流の実効値ｉｐ（ｒｍｓ）から次のように求める。
【０２６４】
【数２０４】
2021506223.tif 000210
減衰因数が周波数によって異なると推定し、各周波数での減衰因数ｅｘｐ（−２αl）を求める。そして、各周波数において、磁束の相対位相Φを、一次における電力が相対位相と関係する次の式で求める。
【０２６５】
【数２０５】
2021506223.tif 000211
例えば、１０ＫＨｚでの相対位相Φを、表１の２番目の列（row）のデータから、次のように求めることができる。
【０２６６】
【数２０６】
2021506223.tif 000212
【数２０７】
2021506223.tif 000213
【数２０８】
2021506223.tif 000214
【数２０９】
2021506223.tif 000215
【数２１０】
2021506223.tif 000216
【数２１１】
2021506223.tif 000217
【数２１２】
2021506223.tif 000218
【数２１３】
2021506223.tif 000219
実験値から得たＰｐ値は、次の通りである。
【０２６７】
【数２１４】
2021506223.tif 000220
【数２１５】
2021506223.tif 000221
【数２１６】
2021506223.tif 000222
実際計算は、マイクロソフトアクセルプログラムで行われたので、数字の端数を捨てず（truncate）に、計算する過程において、若干の結果の差があることにもある。
【０２６８】
相対位相を測定することに主眼点を置くので、全ての周波数での相互インダクタンスを測定せず、１０ＫＨｚの周波数での相互インダクタンスＭを、全ての周波数で使用した。そのために、ある周波数では、減衰因数ｅｘｐ（−２αl）が１より大きく示されるときもある。例えば、７０ＫＨｚでの相互インダクタンスは、２３．４４９ｍＨであることに対し、１０ＫＨｚでの相互インダクタンスは、ただ１６．５０１ｍＨであるために、７０ＫＨｚでの減衰因数は、１．００７６と計算される。しかし、これは、ここで増幅が起こったということを意味するものではなく、ただ便宜上、１０ＫＨｚでの相互インダクタンスを使用したためであり、７０ＫＨｚでの相互インダクタンスを使用すれば、実際減衰因数は、０．４９９０になる。
【０２６９】
一次と、変換された（referred）二次とのインピーダンスの大きさである｜Ｚｆ｜と｜Ｅ｜は、回路の全体インピーダンスの大きさである｜Ｚｖ｜より約１０倍ほど大きい値を持つ。（式１４６）と図３と参照する。一次と、変換された二次とのインピーダンスの位相であるθｆとθＥは、特に、高周波数であるとき、それぞれπ／２と（−π／２）との値に近い。従って、反射係数ΓＬの位相変化の大きさである｜ΔθΓ｜は、Ｚｖの位相の変化の大きさである｜Δθｖ｜より小さいということが分かる。ここで、｜ΔθΓ｜は、｜ΔθＥ｜のような値を持つが、それは、θΓとθＥとが以下の関係があるためである。
【０２７０】
【数２１７】
2021506223.tif 000223
相対位相Φは、周波数増大につれて増大するということが分かる。もし電源が一次に供給する電力の表現式において、相対位相Φがないのであれば、二次負荷での電力と、一次における電力とが同じ値を持つようになったのであろう。しかし、相対位相Φは、存在し、一般的な傾向は、それが周波数によって変わるということである。そして、相対位相が変わるために、力率が０であるか、甚だしくは、負の値をも持つ。
【０２７１】
実験２
その場合、実験の加えられた目標は、負の抵抗を実現することである。バー状のフェライト磁心が使用された（参照１４：Samwha電子ＳＤ １０５Ｘ１５−５Ｔ）。バーの中間部分に、二次コイルを一次コイル上に巻いた。一次と二次との巻かれた数は、１００回であり、０．６ｍｍ銅線を使用した。一次と二次との自己インダクタンスであるＬｐとＬｓは、それぞれ１．０１４６ｍＨと０．９９１２ｍＨとである。結合係数は、０．９７８０６である。全てのものは、１００ＫＨｚ１０Ｖで測定した。二次での負荷Ｒ２は、抵抗であり、１０１．６０Ωである。１０Ｖの正弦波電圧を変圧器に加えた。周波数は、１００ＫＨｚから２ＭＨｚまで、１００ＫＨｚの間隔で変化させた。実験の環境は、実験１と同じである。
【０２７２】
一次の電圧、電流、及びそれらの位相を観察し、電圧と電流との位相差がπになるか否かということを調べた。表２は、１．３ＭＨｚにおける回路インピーダンスの位相θｖがπ／２を超えたことを示し、力率は負の値である。
【０２７３】
図１７は、２ＭＨｚであるときのＮ４Ｌ ＰＰＡ５５３０の画面であるが、２ＭＨｚでの位相θｖは、１８１．６８とπを超えた。Ｎ４Ｌ ＰＰＡ５５３０の位相のエラーが、２ＭＨｚにおいて２０．００５゜である。従って、２ＭＨｚにおいて、インピーダンスの位相であるθｖは、１６１．６７５と２０１．６８５との間にあり、そのときの力率と、インピーダンスの抵抗値は、負の値を持つ。
【０２７４】
【表２】
2021506223.tif 000224
【０２７５】
図１７は、実験２において、２ＭＨｚであるときのＮ４Ｌ ＰＰＡ５５３０画面である。
【０２７６】
図１８は、周波数による電力値と電力差との値を示す。ＰＬは、二次の負荷での電力であり、Ｐｐは、一次における電力であり、（ＰＬ−Ｐｐ）は、電力差である。
【０２７７】
電力差は、以前のように測定し、図１８から分かるように、１ＭＨｚから、電力差は、正の値であり、１．３ＭＨｚからは、電源によって一次に供給された電力であるＰｐが負の値を持つが、それは、一次で電力が逆に流れていることを意味する。
【０２７８】
図１９は、周波数によるθΓとΦとであるある。
【０２７９】
反射係数の位相θΓと相対位相Φとの変化が図１９に示されている。実験から、磁束の相対位相Φは、周波数の増加により、増大するということを示す。低い周波数においては、相対位相が負の値を持つ。もし相対位相Φが低い周波数で正の値を持つのであるならば、（数式５２）により、低い周波数において、電力差が正の値を持つことになるが、そのような可能性は、まれである。低い周波数において、相対位相Φが負の値を持つことを理解するために、電磁気の電波による磁心物質との相互作用についてさらに研究が必要である。
【０２８０】
変圧器回路において、一次における電力と、二次の負荷での電力に係わる表現式は、磁束の位相に対し、すなわち、電流の位相に対し、互いに異なる因数を持つ。従って、二次の負荷で消耗される電力は、電源によって供給される一次における電力と異なる。
【０２８１】
図２０は、送電線回路である。
【０２８２】
電圧波ｖと電流波ｉとが角周波数ωを持つ電源ｖＳによって発生し、図２０でのように、送電線（transmission line）を通し伝播される過程を考える。電源側は、インピーダンスＺＳを有している。それは、電源の内部抵抗を含む。
【０２８３】
送電線と負荷は、それぞれＺＴとＺＬとのインピーダンスを持っている。インピーダンスＺＴは、高周波数で実数値を持つ。負荷は、位置ｘ＝０にあり、電源は、負荷からlほど離れたｘ＝（−l）の位置にあるとする。
【０２８４】
伝播定数γは、後の通りである。
【０２８５】
【数２１８】
2021506223.tif 000225
ここで、αとβは、それぞれ減衰定数と位相定数である。
【０２８６】
電源が負荷に送電線を通し連結された場合、電源側においても反射がある場合を考える。行く波と来る波とをさらに明確に区分するために、ｖｔ（−l）とｉｔ（−l）とをそれぞれ電源側から行く電圧波及び電流波とする。ここで、添え字ｔは、「行く波」を意味する。それにより、電流ｉｔ（−l）は、次のようになる。
【０２８７】
【数２１９】
2021506223.tif 000226
電圧波と電流波とが負荷の側に行きながら変化を経るが、すなわち、減衰と位相変化（−Φ）であり、ここで、相対位相Φは、距離lと次のような関係を持つ。
【０２８８】
【数２２０】
2021506223.tif 000227
それにより、負荷側では、電圧ｖｔ（０）と、反射された電圧ｖｒ（０）は、次のようである。
【０２８９】
【数２２１】
2021506223.tif 000228
【数２２２】
2021506223.tif 000229
ここで、添え字ｒは、「反射波」を意味し、ΓＬは、負荷側での電圧の反射係数であり、次の通りである。
【０２９０】
【数２２３】
2021506223.tif 000230
前述のところにおいて、θΓは、ΓＬの位相である。
【０２９１】
電源側位置Ａでの電圧ｖ（−l）と電流ｉ（−l）は、それぞれ次の通りである。
【０２９２】
【数２２４】
2021506223.tif 000231
【数２２５】
2021506223.tif 000232
ここで、ｖｒ（−l）は、負荷側で反射された電圧ｖｒ（０）が電源側に伝播されたときの電圧である。従って、ｖｔ（−l）は、次のようになる。
【０２９３】
【数２２６】
2021506223.tif 000233
【数２２７】
2021506223.tif 000234
【数２２８】
2021506223.tif 000235
ここで、ΓＳは、電源側での反射係数であり、一般的に実数値である。前述の数式は、電圧ｖｔ（−l）が２つの部分からなったことを示す。最初の部分は、電圧が分圧されて（voltage divided）おり、２番目部分は、負荷側から反射されてくる波が、電源側で反射されたものである。
【０２９４】
それぞれの波が負荷側だけではなく、電源側においても反射される当該過程は、無限に繰り返される。負荷で反射された波は、電源側に来ることになる。それらが回りながら、因数ｅｘｐ（−γl）による他の全く同じ量の変化を経ることになる。従って、電源側での反射された電圧波ｖｒ（−l）は、次のように表現される。
【０２９５】
【数２２９】
2021506223.tif 000236
ｖｒ（−l）をｖｔ（−l）に係わる数式に代入し、ｖｔ（−l）について整理すれば：
【数２３０】
2021506223.tif 000237
従って、電源側（ｘ＝−l）と負荷側（ｘ＝０）とでの電圧と電流は：
【数２３１】
2021506223.tif 000238
【数２３２】
2021506223.tif 000239
【数２３３】
2021506223.tif 000240
【数２３４】
2021506223.tif 000241
【数２３５】
2021506223.tif 000242
【数２３６】
2021506223.tif 000243
送電線を通した位相の変化は、十分に研究され確立された分野である。
【０２９６】
位置Ａにおいて、負荷に送られる電力Ｐｓは、
【数２３７】
2021506223.tif 000244
負荷によって消耗される電力Ｐａは、
【数２３８】
2021506223.tif 000245
従って、減衰を無視すれば、電力に係わる表現式Ｐｓと表現式Ｐａは、同じであり、点Ａと負荷との間の電力は、保存される。
【０２９７】
電力が相対位相Φに依存するということを示すために続ければ：
【数２３９】
2021506223.tif 000246
【数２４０】
2021506223.tif 000247
【数２４１】
2021506223.tif 000248
【数２４２】
2021506223.tif 000249
｜ｖｔ（−l）｜２の分母項での因数は、次の通りである。
【０２９８】
【数２４３】
2021506223.tif 000250
電力Ｐｓと電力Ｐａは、｜ｖｔ（−l）｜２に比例するので、それらも、相対位相Φに依存する。電力Ｐｓと電力Ｐａが位相に依存するが、それらが、位相で同じ因数を持つので、送電線においては、電源が供給した電力と、負荷で消耗した電力は同じである。
【０２９９】
本発明は、変圧器回路において、電力が磁束の位相に依存することを最初に示した。それだけではなく、その磁束の位相を制御し、電源から供給された一次における電力が、負荷で消耗される電力よりさらに少なく調節できることを示した。
【符号の説明】
【０３００】
Ｍ  相互インダクタンス
Ｚ１  インピーダンス
ＺＬ  インピーダンス
【図１】
2021506223.tif 000251
【図２】
2021506223.tif 000252
【図３】
2021506223.tif 000253
【図４】
2021506223.tif 000254
【図５】
2021506223.tif 000255
【図６】
2021506223.tif 000256
【図７】
2021506223.tif 000257
【図８】
2021506223.tif 000258
【図９】
2021506223.tif 000259
【図１０】
2021506223.tif 000260
【図１１】
2021506223.tif 000261
【図１２】
2021506223.tif 000262
【図１３】
2021506223.tif 000263
【図１４】
2021506223.tif 000264
【図１５】
2021506223.tif 000265
【図１６】
2021506223.tif 000266
【図１７】
2021506223.tif 000267
【図１８】
2021506223.tif 000268
【図１９】
2021506223.tif 000269
【図２０】
2021506223.tif 000270
【手続補正書】
【提出日】令和2年6月12日(2020.6.12)
【手続補正１】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】全文
【補正方法】変更
【補正の内容】
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、変圧器回路における、位相制御を介した力率調節に係わる方法とその装置に係わる。
【背景技術】
【０００２】
変圧器は、電磁気誘導を利用し、交流電圧を昇降させる装置である。一次コイルと二次コイルとに巻かれた数により、電源から負荷に伝達される電圧と電流とが変化する。
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００３】
本発明の実施例が目指している技術的課題は、変圧器回路において、位相の制御を通して力率を調節することにより、負荷で消耗される電力と、電源が供給する一次における電力との差を増大させる方法とその装置とを提供することである。
【課題を解決するための手段】
【０００４】
本発明の、１またはそれ以上の実施例によれば、力率調節装置は、磁心と、電源から交流電圧を受信し、前記磁心を巻かれた一次コイルと、を含み、電流は、前記の磁心を通して伝播される磁束により、変圧器回路の二次コイルまたは誘導機器の回転子で生成され、前記一次コイルと前記二次コイルとの間の前記磁速の位相変化は、前記の変圧器回路か前記の誘導機器の力率が電力差関数を正数にする値のうち、望みの値に調節できるように制御され、前記電力差関数は、二次のの負荷において消費される電力と、前記の電源が供給する前記の一次のコイルの電力差を示す。
【０００５】
ここで、前記の磁束の前記位相変化の絶対値は、前記の磁束が前記の磁心により伝わる距離に比例し、ここで、前記磁束の前記位相変化の絶対値は、前記の電流波の周波数が増加するとき増大する。
【０００６】
ここで、前記の磁束の位相変化は、前記磁心の長さを変え、かつ／または前記の交流電圧の周波数を変え、かつ／またはリアクティブ部品を付け加えて制御される。
【０００７】
ここで、前記の磁心は、積層された鉄、フェライト、または前記磁束の必要な位相変化のためのその周波数の範囲内にある他の物質からなる。
【０００８】
ここで、前記の力率調節装置は、前記変圧器回路または前記誘導機器の一部として具現される。
【０００９】
ここで、交流生成器は、インピーダンスの位相を前記変圧器回路か、前記誘導機器の前記電力差関数を特定の範囲内におく周波数及び振幅を持った前記交流電圧を生成する。
【００１０】
ここで、前記の負荷は、前記変圧器回路や前記誘導機器の一次側または前記二次側に連結される。
【発明の効果】
【００１１】
本発明の実施形態によれば、変圧器回路において、位相の制御を通した力率の調節により、負荷で消耗される電力と、電源が供給する一次の電力との差を増大させることができる。
【図面の簡単な説明】
【００１２】
【図１】単相（single phase）無損失変圧器回路の一例を示した図である。
【図２】一次にＬＣ共鳴回路を有する変圧器回路の一例を示した図である。
【図３】デカルト座標系において、インピーダンスを表現した一例を図示した図である。
【図４】単相不完全変圧器（imperfect transformer）回路の一例を図示した図である。
【図５】電力発電変圧器システムの一例を図示した図である。
【図６】負荷が二次の方だけではなく、一次の方にもある電力発電変圧器システムの一例を図示した図である。
【図７】二次だけではなく、一次にも負荷がある場合の変圧器回路であり、それが必要な周波数を生成する交流生成器に連結されている回路の一例を図示した図である。
【図８】バッテリを充電する自動スイッチングシステムの一例を示し、ここで、機器は、変圧器システムによって充電されなかったバッテリで作動することを示した図である。
【図９】動的交流生成器を有した電力発電変圧器システムの一例を示した図である。
【図１０】寿命が長いバッテリシステムの一例を示した図である。
【図１１】電力を少なく使用するシステムの一例を示し、ここでは、周波数を変換するために、回路の部分に整流器を使用し、一般的には、周波数を変える周波数変換装置が必要であることを示した図である。
【図１２】電力保存器がない自給システムの一例を示した図である。
【図１３】電力保存器がある自給システムの一例を示した図である。
【図１４】電力保存器がある自給システムにおいて、感知制御装置がある場合の一例を示した図である。
【図１５】実験１において、２２０ＫＨｚであるときのＮ４Ｌ ＰＰＡ５５３０画面である。
【図１６】周波数によるインピーダンスの位相θｖの変化を図示したグラフである。
【図１７】実験２において、２ＭＨｚであるときのＮ４Ｌ ＰＰＡ５５３０画面である。
【図１８】周波数による電力値と電力差の値を示し、ＰＬは、二次の負荷の電力であり、Ｐｐは、一次における電力であり、（ＰＬ−Ｐｐ）は、電力差
【発明を実施するための具体的な形態】
【００１３】
以下、本発明について、その望ましい実施形態を中心に検討する。本発明が属する技術分野の関連者であるならば、本発明が、本発明の本質的な特性から外れない範囲で変形された形に具現できるということが理解できるであろう。従って、開示される実施形態は、限定的な観点ではなく、説明的な観点から考慮されなければならない。本発明の範囲は、ここで記述された説明ではなく、特許請求の範囲に示されており、それと同等な範囲内にある全ての差異は、本発明に含まれたものであると解釈されなければならないのである。
【００１４】
１．変圧器回路における過程に係わるモデリング
図１は、単相（single phase）無損失変圧器回路の一例を図示した図である。
【００１５】
次のような値を持っている無損失変圧器を含んだ回路について考える（参照文献：Betty I. Bleaney and B. Bleaney, Electricity and Magnetism, 3rd ed. (Oxford University Press, 1976), 212-213）。
【００１６】
ｖｐは、角周波数（angular frequency）がωである交流の正弦波（sinusoidal）の入力電圧であり、
ｖ１とｖ２は、それぞれ一次コイル及び二次コイルでの電圧であり、
Ｚ１は、一次回路の側の電源と直列に連結されたインピーダンスであるか、電源の内部インピーダンスであるか、またはその内部インピーダンスも含むインピーダンスであり、
ＺＬは、二次回路の負荷（load）インピーダンスであり、
ｉｐとｉｓは、それぞれ一次及び二次における角周波数がωである正弦波電流であり、
ＬｐとＬｓは、それぞれ一次コイル及び二次コイルの自己インダクタンス（self-inductance）であり、
ＮｐとＮｓは、それぞれ一次コイルと二次コイルが巻かれた数であり、
ｎ＝Ｎｓ／Ｎｐは、巻かれた数の比（turns ratio）であり、
Ｍは、相互インダクタンス（mutual inductance）である。
【００１７】
それでは、次のような結果がでる。
【００１８】
【数１】
2021506223.tif 000271
【数２】
2021506223.tif 000272
そして、電源側のインピーダンスを除いた全体回路のインピーダンスＺｐは、次の通りである。
【００１９】
【数３】
2021506223.tif 000273
前述の回路に係わる式は、一次から二次に磁束（magnetic flux）が行くとき、位相の変化がないと仮定して作った修飾である。しかし、磁束が伝播されるとき、比較高い周波数において、著しい位相変化が生じる。この高い周波数というのは、家庭に入る６０Ｈｚよりは相当に高いという意味であるが、周波数が３ＭＨｚから３０ＭＨｚまでの間にあるＨＦ（high frequency）を意味するものではない。そうであるならば、位相の変化の効果を考慮し、それにより、変圧器回路の数式に修正を加えなければならない。
【００２０】
一次コイル及び二次コイルに、それぞれＮｐとＮｓとの巻かれた数を有する完全に結合された（completely coupled）無損失変圧器を考える。ｖ１を、二次に行く波ｖｔ（ｐ）と、そこから来る波ｖｒ（ｐ）との和であるとする：
【数４】
2021506223.tif 000274
ここで、添え字であるｔとｒは、それぞれ伝達（transmitted）と反射（reflected）を意味し、ｐは、それが一次（primary）の方にあるということを意味する。同様に、一次側にある電流の波も、ｉｔ（ｐ）は、二次で行く波、そしてｉｒ（ｐ）は、二次から来る波と表示する。
【００２１】
二次側においても、電圧ｖ２は、２つの波であるｖｔ（ｓ）とｖｒ（ｓ）との合計で示されるが、ここで、ｓは、それが二次（secondary）の側にあるとことを言う。
【００２２】
【数５】
2021506223.tif 000275
磁束も、そのように示すことができる。従って、磁束Φにも４種類がある：Φｔ（ｐ）、Φｒ（ｐ）、Φｔ（ｓ）そしてΦｒ（ｓ）である。
【００２３】
これが、変圧器の回路であり、一次と二次との間でただ磁束が行き交うために、一次と二次との間には、直接的な電流の流れがない。しかし、磁束が、次のような数式で電流と連結されているために、まさしく電流が磁束を「媒介」とし、一次と二次の間に流れるようにも見える。
【００２４】
【数６】
2021506223.tif 000276
ここでＮ、ｉ、ΦそしてR、それぞれコイルの巻かれた数、電流、磁束そして磁気抵抗（reluctance）を意味する。言い換えれば、磁束は、電流に変換され、電流と常に同じ位相を持つ。従って、電流は、「仮想的に」一次と二次との間に移動するように見ることができる。ここで、磁束を波（wave）として取り扱い、その位相は、電流の位相と同一である。
【００２５】
電源（voltage source）は、電圧ｖｐを提供し、電流ｉｔ（ｐ）は、磁束を発生させ、電流の変化は、次のように、起電力（ｅｍｆ：electromotive force）を誘導する。従って、それにより、電圧ｖｔ（ｐ）が発生する。
【００２６】
【数７】
2021506223.tif 000277
【数８】
2021506223.tif 000278
一般的に、磁束が磁心から伝播されるとき、一定の規模の損失が発生する。その損失を、変圧器モデリングをするとき、抵抗値で表示する代わりに、次のような定数を導入することにする。それは、減衰定数（attenuation constant）αと、位相定数（phase constant）βとである。それらは、伝播定数（propagation constant）γにより、次のように表れる。
【００２７】
【数９】
2021506223.tif 000279
磁束が磁心から伝播される過程において、減衰と位相との変化を１つの因数ｅｘｐ（−γl）として示すことは、単純化したモデリングであるが、その方が、効果的でかつ有効的ある。
【００２８】
磁束Φｔ（ｐ）は、磁心を通して伝播される際、位相変化が生じる。磁束が磁心から順方向（forward direction）に、<一次コイルから二次コイルまでの磁心の長さ＞である<
l>の距離ほど行くとき、その位相変化を＜−Φ＞だとすると、Φは「相対位相（relative phase）」と呼ばれ、それは、次のように、βに関わる。
【００２９】
【数１０】
2021506223.tif 000280
それにより、Φｔ（ｐ）は、二次の側に到着し、次のように、磁束Φｔ（ｓ）になる。
【００３０】
【数１１】
2021506223.tif 000281
ここでは、電流が一次から二次に伝播されるのではなく、磁束が伝播されることに注意すべきでる。ところで、電流の代わりに、磁束Φｔ（ｓ）が伝播されるとき、位相変化が生じ、また減衰することになるので、電流ｉｔ（ｓ）も、同様に同じ量ほどの位相変化があり、減衰があると表示することができる。それを明らかにするために、ｉｔ（ｓ）を次のように表現する。
【００３１】
【数１２】
2021506223.tif 000282
二次においては、相互誘導作用（mutual induction）により、起電力ｅ（ｓ）が誘導される。
【００３２】
【数１３】
2021506223.tif 000283
起電力は、二次側において、電流ｉｒ（ｓ）が流れるようにする。その電流の量は、二次の側のコイルのインピーダンスと負荷、また相互インダクタンスの影響を受ける（数式２参照）。電流ｉｒ（ｓ）は、それによる、振幅（amplitude）と位相が生じる：
【数１４】
2021506223.tif 000284
ここで、ΓＬを、二次回路側の電流の「反射係数」（reflection coefficient）と呼ぶことにする。
【００３３】
【数１５】
2021506223.tif 000285
反射する程度、すなわち「反射係数」は、回路のインピーダンスと相互インダクタンスとによって決定される。該反射係数は、物理的には、送電線（transmission line）の理論から出た反射係数とは異なるものである。電流ｉｒ（ｓ）は、一次では反射されず、実際に二次で流れる電流である。
【００３４】
二次での電流ｉｒ（ｓ）は、二次において、起磁力（ｍｍｆ：magnetomotive force）を発生させ、それによって発生する磁束Φｒ（ｓ）は、一次から来る磁束Φｔ（ｓ）とは、反対方向に流れることになる。
【００３５】
【数１６】
2021506223.tif 000286
上述したように、磁束が電流のような位相をもつために、Φｒ（ｓ）の位相は、電流ｉｒ（ｓ）の位相に従うことになる。また、Φｒ（ｓ）の方向が、Φｔ（ｓ）と反対方向であるために、Φｒ（ｓ）をΦｔ（ｓ）の「反射」磁束とする。言い換えれば、Φｔ（ｐ）は、磁心を通して伝播され二次に到逹する。これはΦｔ（ｓ）になり、これのために反射される磁束Φｒ（ｓ）が作られ、一次の方に行くことになる。
【００３６】
一次と二次との間には、誘導結合がなされており（inductively coupled）、一次と二次は、磁束により連絡されているために、磁束は、二次に関する情報を持っていなければならない。磁束が、以下のように電流と関係するために、電流は、（Ｎｓ／R）の転換因数（conversion factor）の分だけ磁束に転換される。
【００３７】
【数１７】
2021506223.tif 000287
（数式１）と（数式２）は、磁心を通るときの位相変化を除いた電気的な全ての情報を言っている。磁束が、転換因数を通して、電流と係わるので、磁束の反射係数も、コイルに巻かれた回収による影響なしでは、電流の反射係数と同じ値になる。
【００３８】
【数１８】
2021506223.tif 000288
二次コイルでの電圧は、次の通りである。
【００３９】
【数１９】
2021506223.tif 000289
ここで、完全に結合した（perfectly coupled）場合の関係式（ｎ＝Ｌｓ／Ｍ）が使用された。
【００４０】
二次回路での電流が、二次コイルでの誘導電圧、二次コイルのインピーダンス、及び負荷によって発生し、その情報が、反射された磁束によって二次から一次へ行くにつれて、一次は、二次の負荷に係わるインピーダンスＺＬを「見る」ことになる。そのような反射過程が、一次と二次との間の磁束交換によって継続的に発生するが、それは、磁束交換が、一次と二次とが互いに交流することができる唯一の手段だからである。
【００４１】
磁束Φｔ（ｓ）は、二次において、反射磁束Φｒ（ｓ）を発生させ、Φｒ（ｓ）は、Φｔ（ｓ）の反対の方向へ一次まで来て、Φｒ（ｐ）になる。このとき、磁束Φｒ（ｓ）が反対の方向に伝播される際、さらに減衰と位相変化が起こることに注目できる。その変化の量は、磁束が、一次から二次に行くときに起こった量と同一である。従って、位相変化は、順方向に行くときに起こった（−Φ）のような量になる。Φｒ（ｓ）は、一次に来来て磁束Φｒ（ｐ）になり、次のように表現される。
【００４２】
【数２０】
2021506223.tif 000290
一次での電流ｉｔ（ｐ）は、磁束Φｔ（ｐ）及びＮｐと係わるが、電流ｉｒ（ｐ）は、二次での磁束Φｒ（ｓ）及びＮｓと関係を持っている。従って、電流ｉｒ（ｐ）とｉｔ（ｐ）の間の比率は、関連コイルの回数が異なるために、Φｒ（ｐ）とΦｔ（ｐ）との比率のようではない。
【００４３】
【数２１】
2021506223.tif 000291
【数２２】
2021506223.tif 000292
【数２３】
2021506223.tif 000293
電流ｉｒ（ｐ）によって誘導された一次での起電力は、電圧ｖｒ（ｐ）を発生させる。
【００４４】
【数２４】
2021506223.tif 000294
電圧と電流との関係式は、次の通りである。
【００４５】
【数２５】
2021506223.tif 000295
【数２６】
2021506223.tif 000296
【数２７】
2021506223.tif 000297
【数２８】
2021506223.tif 000298
前述の数式をさらに整理すると、
【数２９】
2021506223.tif 000299
【数３０】
2021506223.tif 000300
前述の式を見ると、一次での電流は、２つの部分からなされていることが分かる：最初の項は、電源がインピーダンス、すなわち、ｊωＬｐとＺ１との合計で割れたものによって形成され、２番目項は、二次から来る「反射」電流と係わっていることが分かる。１／（ｊωＬｐ＋Ｚ１）を、次のように表記する：
【数３１】
2021506223.tif 000301
そして、一次での電流係数を、次のように定義する。
【００４６】
【数３２】
2021506223.tif 000302
ここでの係数ΓＳは、変圧器回路をよく説明するための技術的な係数である。それにより、ｉｔ（ｐ）は、次のように表現される。
【００４７】
【数３３】
2021506223.tif 000303
ｉｔ（ｐ）に係わる解は、ｉｒ（ｐ）についての数式を前述の項に代入して得られる。
【００４８】
【数３４】
2021506223.tif 000304
【数３５】
2021506223.tif 000305
【数３６】
2021506223.tif 000306
【数３７】
2021506223.tif 000307
インピーダンスＺ１を除いた回路のインピーダンスＺｐは、次の通りである。
【００４９】
【数３８】
2021506223.tif 000308
前述のインピーダンスに係わる数式は、（数式３）と比較するとき、因数ｅｘｐ（−２γl）が加えられたものである。変圧器回路において、インピーダンスは、減衰だけではなく、位相変化も考慮しなければならないということを意味する。ここで、留意すべき点は、インピーダンスの２番目項の表現において、ｅｘｐ（−ｊ２Φ）因数が含まれているということである。従って、インピーダンスは、磁束の相対位相を制御することによって調節することができる。インピーダンスＺ１を含んだ回路のインピーダンスＺｖは、次の通りである。
【００５０】
【数３９】
2021506223.tif 000309
（数式１）は、位相変化を含むために、次のように修正される。
【００５１】
【数４０】
2021506223.tif 000310
ここで、一次側における状況を描写する（数式１）における電流ｉｐが、ｉｔ（ｐ）であることが分かる。
【００５２】
２．電力
２．１ 電力計算
電源が供給する一次における電力（power）をＰｐと示せば、以下の通りである。
【００５３】
【数４１】
2021506223.tif 000311
2021506223.tif 000312
ここで、θΓは、ΓＬの位相を意味する。留意すべき点は、Ｐｐの符号が、ｓｉｎ（θΓ−２Φ）のような符号を有するということである。それは、０にもなり、さらには、負数にもなる。
【００５４】
二次の負荷により伝達された電力ＰＬを計算するために、二次側での状況を描写した（数式２）を次のように修正する。
【００５５】
【数４２】
2021506223.tif 000313
【数４３】
2021506223.tif 000314
二次の負荷で消耗された電力と、電源が供給した一次での電力との差、である
電力差関数（power difference function）を計算すると：
【数４４】
2021506223.tif 000315
これからは、簡単に分析を行うために、減衰因数は、省略することにする。減衰因数ｅｘｐ（−２αl）が数式から省かれたとしても、必要な場合には、考慮することができるように、数式に再度入れることは、容易なことである。ｉｔ（ｐ）がΓＬの関数であり、また電源の抵抗は、一般的に実数であり、大きさが小さいために、高い周波数においては、次のような数式が成り立つ。
【００５６】
【数４５】
2021506223.tif 000316
【数４６】
2021506223.tif 000317
【数４７】
2021506223.tif 000318
【数４８】
2021506223.tif 000319
【数４９】
2021506223.tif 000320
【数５０】
2021506223.tif 000321
上の電力差の関数の分母は、次のような理由で、負数ではない。
【００５７】
【数５１】
2021506223.tif 000322
従って、もし分母が０ではない場合、電力差の関数は、もし次の条件が成り立ったら、正数になる。
【００５８】
【数５２】
2021506223.tif 000323
前述の数式により、以下のような条件である場合、電力差の関数が正数になることを明らかになる：
もしθΓ＝０であるならば、Φは、１四分面か３四分面にあるときである。
【００５９】
もしθΓ＝πであるならば、Φは、２四分面か４四分面にあるときである。
【００６０】
もしθΓ＝π／２であるならば、Φがどの四分面にあるかということに関係なく、電力差の関数は、Φがｋπではない限り、常に正数である。ここで、ｋは、定数である。一般的に、位相が互いに２ｋπの差があるものは、同じ値を持った位相として取り扱う。
【００６１】
相対位相Φを制御することにより、与えられた負荷と、ｎの値とについて、上の条件を満足させることができ、よって、電力差の関数を正数にすることができる。
【００６２】
２．２ 高周波数であるときの電力計算
さて、いくつかの事例を見ることにする。負荷のＺＬを次のように表現する。
【００６３】
【数５３】
2021506223.tif 000324
ここで、ＲＬとＸＬは、それぞれ二次における抵抗とリアクタンスとである。これによると、次のような関係式が成り立つ。
【００６４】
【数５４】
2021506223.tif 000325
【数５５】
2021506223.tif 000326
ここで、ＡＴＡＮ２（ｘ，ｙ）は、アークタンジェント（arctangent）の関数として与えられたｘとｙとの値について、角度をラジアンで（in radians）与える関数である。その結果値は（−π）とπとの間で決定されるが、（−π）の値は、除外する。ＲＬが正数であるので、
【数５６】
2021506223.tif 000327
【数５７】
2021506223.tif 000328
まず述べる事例は、高周波の領域において、｜ωＬｓ＋ＸＬ｜≫ＲＬを満足するときである。それにより、
【数５８】
2021506223.tif 000329
ΓＬは、実数になる。
【００６５】
もし（ωＬｓ＋ＸＬ）が正数であるならば、
【数５９】
2021506223.tif 000330
そうでなければ、
【数６０】
2021506223.tif 000331
まず、θΓ＝０＋である場合を見れば、電力差関数を最大にする条件を探すために、その関数をΦに対して微分した後、０にする。
【００６６】
【数６１】
2021506223.tif 000332
【数６２】
2021506223.tif 000333
前述の値を電力差の関数に入れると、次のようになる。
【００６７】
【数６３】
2021506223.tif 000334
ところで、一般的に（ｎΓＬ＜１）であるので、そのようなときの電力差は、次のようになる。
【００６８】
【数６４】
2021506223.tif 000335
ここで、負数符号は、（２Φ）が４四分面にあるときの符号であり、正数符号は、（２Φ）が１四分面にあるときの符号である。電力差が正数になることが望ましいので、（２Φ）は、電力差が最大になる１四分面にあるようにすべきである。
【００６９】
【数６５】
2021506223.tif 000336
ここで、ｋは、定数である。留意すべきことは、上のΦに係わる条件は、周波数が高い場合、電力差が最大になるということである。上の条件は、電力差が最大である場合なので、電力差の値が最大ではなくても、正数の電力差の値を持つ他のΦ値になることも可能でる。
【００７０】
次に、θΓ＝π−である場合、電力差の関数をΦに対して微分し、それを０にする条件を探す。
【００７１】
【数６６】
2021506223.tif 000337
【数６７】
2021506223.tif 000338
【数６８】
2021506223.tif 000339
上の数式において、負数符号は、（２Φ）が２四分面にあるときであり、正数符号は、（２Φ）が３四分面にあるときである。電力差が正数になるためには、（２Φ）が３四分面にあるべきなので、
【数６９】
2021506223.tif 000340
ここで、ｋは、定数である。上述したように、上の条件は、電力差が最大値を有するときの条件である。Φが他の領域にあるときにも、たとえ最大値ではなくても、電力関数が正数を持つことができる。
【００７２】
これまでは、｜ωＬｓ＋ＸＬ｜≫ＲＬが満足される場合について述べた。その場合、電力差関数を最大値にするΦに係わる条件を検討した。
【００７３】
これからは、高周波数において、負荷がただ抵抗だけによってなるときや、あるいは非常に高い周波数である場合を検討する。高周波数において、もし次のような条件が満足されると、
【数７０】
2021506223.tif 000341
それにより、ＲＬとＸＬとの大きさは、無視される。それにより、次のような式が成り立つ。
【００７４】
【数７１】
2021506223.tif 000342
【数７２】
2021506223.tif 000343
【数７３】
2021506223.tif 000344
上の数式は、電力差の関数が、以下の条件を満足するとき、正数になるということを言う。
【００７５】
【数７４】
2021506223.tif 000345
ここで、ｋは、定数である。その場合、電力差の最大値は、Φが（ｋπ＋ε）に近いときにある。ここで、εは、非常に小さい正数である。
【００７６】
他の場合を考えると、それは、ＸＬが（−２ωＬｓ）に近い値を持つときであり、また（ωＬｓ≫ＲＬ）の条件が満されるときである。それにより、次のような式が成り立つ。
【００７７】
【数７５】
2021506223.tif 000346
【数７６】
2021506223.tif 000347
【数７７】
2021506223.tif 000348
2021506223.tif 000349
前述の数式を見ると、電力差の関数は、ＸＬが（−２ωＬｓ）に近く、以下の条件が満されるとき、正数であることが分かる。
【００７８】
【数７８】
2021506223.tif 000350
ここで、ｋは、定数である。その場合、電力差の最大値は、Φが（π／２＋ｋπ＋ε）に近いときにある。
【００７９】
回路のインピーダンスは、磁束の位相の関数であり、よって、電力は、磁束が伝播されることによって生ずる位相の変化によって変わる。今の分析は、正弦波について行ったが、他の形態の波に対する分析は、それぞれの周波数について、フーリエ変換（Fourier transform）を使って同じ方法で行うことができる。
【００８０】
３．位相制御によるインピーダンス調節
３．１ いくつかの事例研究
位相変化を起こす方法は、３種類があり、もしくはその３種を混ぜて行うことも可能である：磁心の長さを変える方法、及び／または周波数を変化させる方法、及び／またはリアクティブ部品（reactive component）を添加する方法がある。ここで、磁心の長さというのは、一次から二次まで磁束が伝播されるときの磁心の長さを言う。
【００８１】
磁心の長さを変えて位相を変化させるのは、非常に簡単な論であるため、これ以上の説明は、要らない。ほとんどの場合、磁心の長さを変えるよりは、一般家庭で使用する５０Ｈｚの電力線より高い周波数を使って、位相を変化させることが容易であろう。
【００８２】
電源のインピーダンスを除いた回路のインピーダンスＺｐは、減衰因数を省略したとき（数式３８）から、下記のようになる。
【００８３】
【数７９】
2021506223.tif 000351
この発明を通して加えられた位相のｅｘｐ（−ｊ２Φ）の影響を調べるため、いくつかの事例を検討する。その場合、他の言及がない場合には、一次電源の側には、直列になった特別に大きいサイズのインピーダンスが連結されていないと仮定する。一次回路側のインピーダンスを無視することは、妥当性があるといえるが、それは、周波数が高い場合、ωＬｐが非常に大きく、他の一次側の小さいサイズの直列インピーダンスを支配するためである。それにより、一次側だけ検討するときのインピーダンスの位相は、一次コイルのインピーダンスであるｊωＬｐの位相になり、それは、π／２である。項ω２Ｍ２／（ＺＬ＋ｊωＬｓ）を、次のように表記する：
【数８０】
2021506223.tif 000352
ここで、θＡは、Ａの位相である。それにより、θＡがθΓと、以下のような関係を持つ。
【００８４】
【数８１】
2021506223.tif 000353
それにより、インピーダンス式は、次の通りになる。
【００８５】
【数８２】
2021506223.tif 000354
ここで、いくつかの事例について述べる。
【００８６】
１）最初の事例として、負荷が抵抗だけで成っている場合を考える。
【００８７】
【数８３】
2021506223.tif 000355
【数８４】
2021506223.tif 000356
この際、項｜Ａ｜ｅｘｐ｛ｊ（θＡ−２Φ）｝が位相（−π／２）を持ったときを考える。
【００８８】
【数８５】
2021506223.tif 000357
【数８６】
2021506223.tif 000358
【数８７】
2021506223.tif 000359
【数８８】
2021506223.tif 000360
ここで、ｋは、定数である。その場合、Ｚｐとθｐは、次の通りである。
【００８９】
【数８９】
2021506223.tif 000361
【数９０】
2021506223.tif 000362
【数９１】
2021506223.tif 000363
上の２つの場合、いずれも力率は、０になり、それは、すなわち、電源が一次に供給する電力は、ないということを意味する。ωＬｓ≫｜ＺＬ｜である場合、ΓＬが（１／ｎ）になるので、電力差関数は、次の通りである。
【００９０】
【数９２】
2021506223.tif 000364
相対位相Φは、（数式１０）でのように、磁心の長さに比例するが、位相速度（phase velocity）ｖが周波数に関係なく一定で理想的な場合には、相対位相は、周波数ｆにも次のように比例する。
【００９１】
【数９３】
2021506223.tif 000365
一般的に、相対位相Φは、周波数が向上するにつれて増大する。もし磁心の長さが長ければ、周波数が低くても、必要な位相変化（−Φ）を起こすことができる。変圧器の同じ磁心において、あるコイルの上に他のコイルが巻かれて、力率を望む値に作るための、必要な位相変化を起こすことができる。
【００９２】
回路のインピーダンスが調節されるので力率を、０にすることができる。力率が０である場合は、二次から来る磁束が負荷の位相に係わる「誤った」情報、すなわち、二次には、リアクティブ部品のみが存在すると一次に伝達することにより発生する。当然、二次には、負荷として抵抗が存在するが、磁束が伝播され位相が変わることにより、一次は、変化された位相を「見て」「だまされる」のである。
【００９３】
電源がたとえ力率が０である電力を二次に送るにしても、二次でその磁束を受けたときは、一次からきた磁束から必要な起電力を発生させ、また二次にあるインピーダンスに合わせて電流を発生させる。たとえ力率が０である電力が送られても、回路は、二次で抵抗を負荷として持っいても、正しく作動することになる。
【００９４】
２）次の事例として、条件が前述のようであっても、ωＬｐ＝｜Ａ｜である場合を考える。この場合は、ＺＬが無視され、次の条件が満されるとき起こる。
【００９５】
【数９４】
2021506223.tif 000366
上述の場合は完全に結合された（perfectly coupled）場合、すなわち、結合係数ｃが１であるときに起こる。実際、結合係数が１である場合はないので、ＺＬが適合したリアクタンスを持っていれば、条件ωＬｐ＝｜Ａ｜を満すことができる。例えば、もしｃ２＝０．９であるとしたら、静電容量（capacitance）が｛１０／（ω２Ｌｓ）｝より若干小さい蓄電器を直列に連結するとき、二次の全体リアクタンスは、ほぼ０．９ωＬｓになる。そして、適量の抵抗を加えれば、条件ωＬｐ＝｜Ａ｜を満すことができる。
【００９６】
それにより、インピーダンスＺｐが０になり、回路は、まさしく直列ＬＣ同調回路に類似している。直列ＬＣ同調回路においては、周波数が低いところから、共振周波数を経て高いところに変化し、回路が容量性（capacitive）回路から、誘導性（Inductive）回路になって作動する。しかし、励起回路は、以下の条件を満せるように周波数を固定した場合である。
【００９７】
【数９５】
2021506223.tif 000367
従って、その場合、｜Ａ｜の値が、ωＬｐ値近辺で変わることにより、この回路のインピーダンス位相は、(π／２)から（−π／２）に変わることになる。
【００９８】
３）次の３番目で述べる場合は、図２のように、蓄電器が一次コイルに直列に連結され、蓄電器Ｃｆが一次コイルＬｐと共振するようにした場合であるが、共振する角周波数ω０において、次の条件が満すと仮定する：
【数９６】
2021506223.tif 000368
【数９７】
2021506223.tif 000369
ここで、ｋは、定数である。
【００９９】
図２は、一次にＬＣ共鳴回路を持つ変圧器回路の一例を示した図面である。
【０１００】
蓄電器の容量は、次の通りである。
【０１０１】
【数９８】
2021506223.tif 000370
共振角周波数ω０において、ＬｐとＣｆとのインピーダンスの大きさが同様になり、その合するインピーダンスの合計は、０になる。従って、そのとき、回路のインピーダンス数式において、一次の蓄電器とコイルとの部分に係わったものが消えることになる。
【０１０２】
【数９９】
2021506223.tif 000371
言い換えれば、回路の位相である（θＡ−２Φ）は、相対位相Φの変化により、任意の値で制御することが可能になる。もし（θＡ−２Φ）が（−π）になると、インピーダンスは、次の通りである。
【０１０３】
【数１００】
2021506223.tif 000372
これは、まさしくインピーダンスが負の抵抗値を持つことを表す。それは、電流の位相が電圧に比べ、πの値の差を持つことである。一次における電力が、負の電力になることになり、それは、電力が一次において逆流することを意味する。
【０１０４】
一次における電力が平均して負の電力値を持つときは、負の抵抗を持つときに限らない。回路のインピーダンスの位相が、２四分面や３四分面にあると、一次での有効電力（active power）は、負の値を持つ。
【０１０５】
次の「一般解」の章で検討するが、（θＡ−２Φ）が（−２ｋπ−π）になり、負数の抵抗値を有する条件は、次のような条件が満されるとき、可能である。
【０１０６】
【数１０１】
2021506223.tif 000373
その場合には、負数の抵抗値を持つため、敢えて蓄電器を付けなくともいい。しかし、この例は、下記のように回路が分析するとき、理解に一助とするために提示するものである。前述のように、蓄電器が付けられると、角周波数ωが共振角周波数ω０になったとき、一次コイルに係わるインピーダンスの数式から消えることになるので、次のような数式が成り立つ。
【０１０７】
【数１０２】
2021506223.tif 000374
【数１０３】
2021506223.tif 000375
【数１０４】
2021506223.tif 000376
【数１０５】
2021506223.tif 000377
【数１０６】
2021506223.tif 000378
【数１０７】
2021506223.tif 000379
【数１０８】
2021506223.tif 000380
最後の数式は、Ｚ１を無視するときである。ここで、電流ｉｔ（ｐ）が、一次から反対方向に流れることに注目する必要がある。
【０１０８】
【数１０９】
2021506223.tif 000381
【数１１０】
2021506223.tif 000382
2021506223.tif 000383
ＰＬ−Ｐｐ＞０であり、Ｐｐ＜０であるので、電力は、二次の負荷で消耗されるだけではなく、また一次において逆に流れ、一次に供給される電力より、二次の負荷で消耗される電力が多い。
【０１０９】
ここで、Ｚ１は、一次側回路に掛かっている負荷と考えられることができる。二次の負荷も、続けて作動するので、従って、負荷が二次側だけではなく、一次側にもあることになる。Ｚ１の値は、０にもなるということは、言うまでもない。そのときは、一次側に抵抗がない場合を言う。
【０１１０】
すでに述べたように、図２において、 蓄電器がないとしても、負数の抵抗値を有する回路は、条件ωＬｐ＜｜Ａ｜が満されれば、具現が可能である。その場合にも、Ｚ１は、一次側での負荷として見ることができる。
【０１１１】
一次で行ったように、蓄電器を二次側に入れ、二次のコイルのインダクタンスと、ある周波数においては共振をなすことができるということは、言うまでもない。
【０１１２】
４）四番目に、この場合は、負荷が次のようなときである。
【０１１３】
【数１１１】
2021506223.tif 000384
項｜Ａ｜ｅｘｐ｛ｊ（θＡ−２Φ）｝が位相π／２を有するならば、
【数１１２】
2021506223.tif 000385
【数１１３】
2021506223.tif 000386
【数１１４】
2021506223.tif 000387
【数１１５】
2021506223.tif 000388
ここで、ｋは、定数である。その場合、Ｚｐとθｐは、次の通りである。
【０１１４】
【数１１６】
2021506223.tif 000389
【数１１７】
2021506223.tif 000390
力率が０になり、それは、一次において、電源が供給する電力がないという意味である。高い周波数になり、（ωＬｓ≫ＲＬ）が成り立てば、
【数１１８】
2021506223.tif 000391
【数１１９】
2021506223.tif 000392
【数１２０】
2021506223.tif 000393
この場合は、Φがπ／２とπとの間にあるため、電力差関数が正数であるが、電力差の値が最大値であるとは言えない。
【０１１５】
以上のように、高周波を使用し位相変化を行う方法を説明する章を終わりとする。
【０１１６】
３．２ リアクティブ部品の添加
一般的に、抵抗及び／またはリアクティブ部品を添加することにより、回路の位相変化を与えることができる。しかし、負荷は、一般的に抵抗値を持ち、この抵抗は、すでに与えられた負荷の要求により値が決まったとみることができる。または、電力差関数の値が正数であるか、最大である条件の下で、負荷下での電力が正数であるか、最大値になるようにする抵抗の大きさが決定されたとみることができる。よって、以下リアクタンス部品を加えることにより、周波数か磁心の長さを通し位相変化を減少させることについて述べる。
【０１１７】
相互インダクタンス（mutual inductance）Ｍを除いた一次側と二次側とのインピーダンスであるＺＡとＺＢとがそれぞれ次のようであるとすると、
【数１２１】
2021506223.tif 000394
【数１２２】
2021506223.tif 000395
ここで、Ｒは、抵抗であり、Ｘは、リアクタンスを意味する。また、Ｘは、変圧器コイルのリアクタンスを含む。リアクティブ部品を加える前の回路のインピーダンスＺＵは、次の通りである。
【０１１８】
【数１２３】
2021506223.tif 000396
【数１２４】
2021506223.tif 000397
【数１２５】
2021506223.tif 000398
ここで、位相に変化を与えるため、リアクタンスがＸＥである部品を二次負荷に加えるとする。合された二次側でのリアクタンスＸＣは、次の通りである。
【０１１９】
【数１２６】
2021506223.tif 000399
それにより、変化されたインピーダンスＺＣは、以下の通りである。
【０１２０】
【数１２７】
2021506223.tif 000400
【数１２８】
2021506223.tif 000401
【数１２９】
2021506223.tif 000402
添加されたリアクタンスのために発生する位相差Δθは、以下の通りである。
【０１２１】
【数１３０】
2021506223.tif 000403
二次のインピーダンスが一次に変換（referred）された場合、その変換された大きさの比率ｒＣＢは、次の通りである。
【０１２２】
【数１３１】
2021506223.tif 000404
リアクティブ部品を添加したときの効果について説明するため、相互インダクタンスがＭであるとき、次のような簡単な場合を考える。
【０１２３】
【数１３２】
2021506223.tif 000405
【数１３３】
2021506223.tif 000406
ここで、ＬＡとＬＢは、それぞれ一次と二次との自己インダクタンス（self-inductance）である。また二次では、負荷として、抵抗ＲＢだけがあるとすると、ＲＢは、１００Ωであり、周波数ｆは、１ｋＨｚである。それにより、変化される前のインピーダンスＺＵは、以下の通りである。
【０１２４】
【数１３４】
2021506223.tif 000407
【数１３５】
2021506223.tif 000408
【数１３６】
2021506223.tif 000409
条件（θＢ−２Φ）＝（−π／２）が満されるためには、相対位相ΦＢは、以下の値を持つべきである 。
【０１２５】
【数１３７】
2021506223.tif 000410
これに、インダクタンス（inductance）５ｍＨを持つインダクタ（inductor）を負荷に加えると想定する。それにより、
【数１３８】
2021506223.tif 000411
【数１３９】
2021506223.tif 000412
【数１４０】
2021506223.tif 000413
【数１４１】
2021506223.tif 000414
【数１４２】
2021506223.tif 000415
【数１４３】
2021506223.tif 000416
相対位相ΦＣは、次の通りでなければならない。
【０１２６】
【数１４４】
2021506223.tif 000417
従って、リアクティブ部品を添加することにより、システムインピーダンスの位相が（−０．１９５）ｒａｄだけ変わった。また、一次に変換（referred）された二次のインピーダンスの大きさも変わった。磁心の長さの変化、及び／または周波数変化と共に、リアクティブ部品を加えることにより、最適の位相をみつけるようにサポートできる。この例においては、リアクティブ部品を二次側に添加したが、それをさらに一次側に添加し、必要な位相変化を起こすことができる。「３．１ いくつかの事例研究」の章において、３）番目の場合が、一次側にリアクティブ部品である蓄電器を添えることにより、回路の位相を変化させた場合として見ることができる。
【０１２７】
また直列方式を並列方式に、また並列方式を直列方式に変化させることができる方法がある。従って、ここで、例に挙げたのが、直列または並列方式として挙げたとしても、同じ効果を、並列または直列で処理できる方法があるので、そのような場合は、電力とインピーダンスとに同様な原理が適用される（参考文献： Michael Tse, Lecture Note on EIE403: High Frequency Circuit Design, Hong Kong Polytechnic University, accessed September 4, 2017, http://cktse.eie.polyu.edu.hk/eie403/impedancematching.pdf）。
【０１２８】
４．一般解（general solution）
４．１ 証明
これまで、回路の性質を調べるための例を挙げた。しかし、一般的に回路の位相は、インピーダンスの数式にある位相（θＡ−２Φ）を制御することによって変えられる 。
【０１２９】
インピーダンスＺｅを持つ部品が一次側に加わったとする。一次コイルのインピーダンスｊωＬｐは、相互インダクタンスを除いた一次のインピーダンスであるＺｆの数式に含まれている。それにより、
【数１４５】
2021506223.tif 000418
ここで、Ｒ１とＸ１は、それぞれ一次の抵抗とリアクタンスとである。回路のインピーダンスであるＺｖは、下記のようになる。
【０１３０】
【数１４６】
2021506223.tif 000419
ここで、Ｒ２とＸ２は、二次における抵抗と、二次コイルのリアクタンスを含んだ二次側のリアクタンスであり、θｖは、Ｚｖの位相である。Ｅは、次の通りである。
【０１３１】
【数１４７】
2021506223.tif 000420
ＥとＺｆとの位相をそれぞれθＥ及びθｆとすると、
【数１４８】
2021506223.tif 000421
【数１４９】
2021506223.tif 000422
ここで、証明しようとするのは、もし｜Ｅ｜＞｜Ｚｆ｜であるなら、回路のインピーダンスの位相θｖをある望む値、すなわち、（−π＜θｖ≦π）になるようにする相対位相Φが存在するということである。もしこのとき、位相θｖがπになれば、負の値を持つ抵抗になる。もし｜Ｅ｜＜｜Ｚｆ｜であるならば、相対位相Φを制御することにより、θｖがある範囲内で位相値を持つことができる。｜Ｅ｜＝｜Ｚｆ｜である場合も、後で取り扱う。
【０１３２】
インピーダンスを次のように表現する。
【０１３３】
【数１５０】
2021506223.tif 000423
ここで、ＲｅとＩｍは、それぞれ実数部分と虚数部分とを言う。インピーダンスを、デカルト座標系（Cartesian coordinate system）で示すために、ｘとｙとをそれぞれインピーダンスの実数部分と虚数部分との値とする。そして、ＺｖとＺｆとをデカルト座標系において表現したとき、そのベクトルをそれぞれＺ￣ｖ及びＺ￣ｆだとすると、それらの座標は、それぞれ（ｘｖ，ｙｖ）及び（ｘｆ，ｙｆ）と表現される。
【０１３４】
【数１５１】
2021506223.tif 000424
【数１５２】
2021506223.tif 000425
【数１５３】
2021506223.tif 000426
【数１５４】
2021506223.tif 000427
図３は、デカルト座標系において、インピーダンスを表現した一例を図示した図面である。ξは、ベクトルＺ￣ｆとベクトルＥ￣との角度である。
【０１３５】
項Ｅｅｘｐ（−ｊ２Φ）を、デカルト座標系において表現したベクトルをＥ￣であるとしたら、その全ての座標は、１つの円を構成するが、その中心は、（ｘｆ，ｙｆ）であり、その数式は、次の通りである。
【０１３６】
【数１５５】
2021506223.tif 000428
ここで、
【数１５６】
2021506223.tif 000429
それにより、（ｘｖ，ｙｖ）は、その円の周囲にあることになる。θｖの角度の最小値と最大値は、図３にある、点線の直線で示されているように、ベクトルＺ￣ｖがその円と接線するときに決定される。一般的に、Ｚ￣ｖがその円と接する直線は２本ある。Ｚ￣ｖがその円と接する接点を（ｘ０，ｙ０）とし、その接線を次のように表現する。
【０１３７】
【数１５７】
2021506223.tif 000430
ここで、
【数１５８】
2021506223.tif 000431
これは、一次関数の傾きである。それにより、次のように成立する。
【０１３８】
【数１５９】
2021506223.tif 000432
【数１６０】
2021506223.tif 000433
接線がその円と一点で会うので、判別式Ｄ／４は、０になる。従って、
【数１６１】
2021506223.tif 000434
【数１６２】
2021506223.tif 000435
ａについて解けば、
【数１６３】
2021506223.tif 000436
もし（ｘｆ２＋ｙｆ２＜ｒ２）であるなら、ａに対する解がないため、接線が存在しない。それは、｜Ｚｆ｜＜｜Ｅ｜であるときであり、そのようなときは、原点（０，０）がその円の中に入ることになり、（ｘｖ，ｙｖ）は、どの四分面にあってもよいことになる。それは、すなわち、θｖがいかなる位相値をも持つことができることを意味する。言い換えれば、回路の位相θｖは、相対位相Φを制御することにより、いかなる任意の値も持つようにすることができる。
【０１３９】
もし（ｘｆ２＋ ｙｆ２＞ｒ２）であるならば、ａについて２つの解が存在する。従って、θｖは、最小値θｖｍと最大値θｖＭとがあることになる。その円の中心（ｘｆ，ｙｆ）から点（ｘ０，ｙ０）で線を引けば、それは、接線と直角をなす。それにより、
【数１６４】
2021506223.tif 000437
【数１６５】
2021506223.tif 000438
ａの２つの解をａ１及びａ２とする。それにより、ａ１及びａ２であるときに接する座標を（ｘ０１，ｙ０１）及び（ｘ０２，ｙ０２）とする。それにより、θｖｍとθｖＭは、次のように決定される。
【０１４０】
【数１６６】
2021506223.tif 000439
【数１６７】
2021506223.tif 000440
従って、Ｚｖの位相は、θｖｍからθｖＭまでありえる。Ｚｖの大きさも、同様に決定される。
【０１４１】
もし（ｘｆ２＋ ｙｆ２＝ｒ２）であるならば、Ｚ￣ｖがその円に接する部分が、ただ原点（０，０）しかない。そのときは、｜Ｅ｜＝｜Ｚｆ｜である。その場合、多くの可能な解のうち１つの特別な解は、（ｘｖ，ｙｖ）＝（０，０）であるときであり、そのときのインピーダンスは、０になる。
【０１４２】
【数１６８】
2021506223.tif 000441
結論として、与えられた｜Ｚｖ｜とθｖについて、適切なＺｆ、Ｅ及びΦを見出すことにより、回路をデザインすることができる。証明を通し、もし条件｜Ｅ｜＞｜Ｚｆ｜が満足されると、Ｚｖは、いかなる力率にもデザインできることがわかった。相対位相Φは、すでに言及した３種類の方法によっても制御される：磁心の長さの変化、及び／または周波数の変化、及び／またはリアクティブ部品の添加である。θｖが調節されるだけではなく、｜Ｅ｜＞｜Ｚｆ｜の条件が満足されるとき、望む値をつくるため、それをデザインすることができる。従って、力率は、ｃｏｓ｛ＡＴＡＮ２（ｘｖ，ｙｖ）｝であるが、それは、調節することができる。ＡＴＡＮ２（ｘｖ，ｙｖ）関数が、（−π）からπまでの値を持つために、力率は、すでに言及したように、適切な条件が満足される場合、−１から１までの値を有することができる。同様に、回路のインピーダンスの大きさ｜Ｚｖ｜も、それによって決定される。
【０１４３】
この証明は｜Ｅ｜値が周波数によって変わらない理想的な場合である。実際においては、相互インダクタンスＭと減衰因数ｅｘｐ（−２αl）は、周波数によって変わる。それにより、｜Ｅ｜値は、全ての周波数において同じ値を持つことはない。従って、点（ｘｖ，ｙｖ）は、完全な円を形成するものではない。
【０１４４】
４．２ 相対位相を推定する方法
さて、磁束の相対位相Φを、実験を通し推定する方法について述べる。実験データから、インピーダンスの大きさ｜Ｚｖ｜は、下記のように決定される。
【０１４５】
【数１６９】
2021506223.tif 000442
ここで、ｖ１（ｒｍｓ）とｉｐ（ｒｍｓ）は、それぞれ一次コイルでの実効値（ｒｍｓ：root mean square）の電圧と電流とである。一次コイルでの電力Ｐｐは、オシロスコープの数学機能（math function）を使用し、ｖ１とｉｐをかけて平均値を測定するか、電力分析器（power analyzer）を使用して直接計測することができる。しかし、一般的に電力分析器を使用して計測することが、オシロスコープを使用して測定するよりことよりもさらに正確である。インピーダンスの位相θｖは、次の通りである。
【０１４６】
【数１７０】
2021506223.tif 000443
ここで、ａｃｏｓは、アークコサイン（arccosine）関数である。｜Ｚｆ｜とθｆは、次のように計算する。
【０１４７】
【数１７１】
2021506223.tif 000444
【数１７２】
2021506223.tif 000445
｜Ｅ｜は、次のように計算できる：
【数１７３】
2021506223.tif 000446
図３において、頂点（０，０）、（ｘｆ，ｙｆ）と（ｘｖ，ｙｖ）でなった三角形の面積について、次の関係が成り立つ。
【０１４８】
もしθｖ＞θｆであるなら、
【数１７４】
2021506223.tif 000447
ここで、ξは、ベクトルＺ￣ｆとＥ￣との間の角度であり、正数である。相対位相Φは、次のように決定される。
【０１４９】
【数１７５】
2021506223.tif 000448
【数１７６】
2021506223.tif 000449
θｖとθｆが他の関係を持つときも、前述のような方法で解くことができる。
【０１５０】
磁束の相対位相Φの値は、電源が一次に供給する電力が相対位相に係わるので、次の式からも得ることができる。
【０１５１】
【数１７７】
2021506223.tif 000450
ここで、ｉｔ（ｐ）は、一次側での電流であり、（１／２）｜ｉｔ（ｐ）｜２の値は、一次側の電流の実効値ｉｐ（ｒｍｓ）から次のように求める。
【０１５２】
【数１７８】
2021506223.tif 000451
減衰の大きさ程度を示す因数ｅｘｐ（−２αl）は、次の式を通して求めることができる。
【０１５３】
【数１７９】
2021506223.tif 000452
ここで、Ｒ２とｖ２は、それぞれ二次での負荷抵抗と、負荷の電圧である。
【０１５４】
５．不完全変圧器（imperfect transformer）
５．１ 単相不完全変圧器
単相不完全変圧器の等価回路（equivalent circuit）は、次の通りである（参照文献：Bleaney and Bleaney, Electricity and Magnetism, 251）。
【０１５５】
図４は、単相(single phase)不完全変圧器（imperfect transformer）回路の一例を図示した図面である。ここで、見える値は、次の通りである。
【０１５６】
ｖｐは、角周波数ωを持つ交流電源であり、
【数１８０】
2021506223.tif 000453
は、結合係数であり、Ｍ、Ｌｐ及びＬｓは、それぞれ相互インダクタンス、一次コイル自己インダクタンス、二次コイル自己インダクタンスであり、
Ｒｃは、磁心の損失抵抗（loss resistance）であり、
Ｘｍ＝ｃωＬｐは、磁化リアクタンス（magnetizing reactance）であり、
Ｚ１は、一次の抵抗と、一次の漏れリアクタンス（leakage reactance）を含む一次側のインピーダンスである。一次の漏れリアクタンスは、（１−ｃ）ωＬｐである。非理想（non-ideal）変圧器の位相の変化にのみ留意するために、一次の抵抗と漏れリアクタンスとを合わせ、インピーダンスＺ１に含めた。
【０１５７】
ｉｐとｉｓは、それぞれ一次と二次との電流であり、
ｉ０は負荷がないときの一次電流（no load primary current）であり、
ｉｃは、電流ｉ０の磁心の損失部分（core loss component）を示し、
ｉｍは、ｉ０の磁化部分（magnetizing component）を示すため、磁化電流（magnetizing current）であり、
ｉ１は、変換された二次電流（transformed secondary current）であり、
Ｚ２は、二次側のインピーダンスであるが、二次の抵抗、二次の漏れリアクタンス、及び負荷を含む。二次の漏れリアクタンスは、（１−ｃ）ωＬｓである。言い換えると、ただ回路の位相部分についての分析を望んでいるため、二次の抵抗や二次の漏れリアクタンスなどは、いずれも合わせて１つのインピーダンスとして表現する。
【０１５８】
四角形で、点線を引いた部分は、完全変圧器（perfect transformer）であり、一次と二次とにそれぞれＮｐ回とＮｓ回が巻かれている。そして、巻かれた数の比（turns ratio）ｎは、次の通りである：
ｎ＝Ｎｓ／Ｎｐ
そのような等価回路の電流に関する数式の中で、負荷がないときの一次電流（no load primary current）ｉ０は、ｉｓと次のような関係で表現されてきた（参照文献６：Thomas Wu, Lecture Notes on EEL 4205 Electric Machinery, Chapter 7 Non-ideal Transformer, The University of Central Florida, accessed September 15, 2017, http://www.eecs.ucf.edu/~tomwu/course/eel4205/notes/07%20Nonideal%20Transformer.pdf）。
【０１５９】
【数１８１】
2021506223.tif 000454
ところで、二次電流ｉｓは、一次側で使用するとき、磁束の伝播による減衰と、位相の変化が生じる。
【０１６０】
それにより、電流が位相に係わる因数を持つように修正するとき、全てのインピーダンスと電力に係わる計算も、位相変化を含む必要がある。
【０１６１】
５．２ 多相変圧器（polyphase transformers）
多相変圧器は、単相変圧器いくつかを組み合わせて作ることになるので、前述の原理が、多相変圧器の各相（phase）の部分にもそのまま適用される。従って、多相変圧器も、同様な方法によっても分析される。
【０１６２】
６．誘導機器（Induction machines）
６．１ 誘導機器のモデル
線形誘導機器（linear induction machines）を含む誘導機器、すなわち、誘導電動器（induction motors）や誘導発電器（induction generators）は、原理的に、変圧器のようであるということが知られている。従って、各相（per phase）誘導機器の等価回路は、上で見た単相不完全変圧器の等価回路と同一である（参照文献： Charles Porteus Steinmetz and Ernst J. Berg, Theory and Calculation of Alternating Current Phenomena, 3rd edition (New York Electrical World and Engineer Incorporated, 1900), 220）。
【０１６３】
誘導機器の固定子（stator）は、回転する磁束（rotating magnetic flux）を発生させ、回転子（rotor）のコイルに誘導された電流は、変圧器において、二次電流が誘導されるように誘導される。誘導機器における主な差があるならば、誘導機器においては、一次と二次との間に空気ギャップ（air-gap）があるので、その磁化電流は、変圧器でのそれより大きい（参照文献：H. Wayne Beaty, ed., "Section 5-Three-Phase Induction Motors by Hashem Oraee" (PDF) Handbook of Electric Power Calculations (3rd ed.) (New York: McGraw-Hill, 2006), ISBN 0-07-136298-3）。不完全変圧器のパラメータは、誘導機器において、不完全変圧器のパラメータと同一な表記をしたとき、次のように解釈される：
ｖｐは、各相（per phase）電源の電圧を言い、
Ｚ１は、固定子の抵抗Ｒ１と、固定子の漏れリアクタンスＸ１を含み、次のようである。
【０１６４】
【数１８２】
2021506223.tif 000455
外部から掛けられるインピーダンスＺｅｐが一次にあることもある：
【数１８３】
2021506223.tif 000456
これも、Ｚ１に含まれていると見られる。従って、Ｒ１とＸ１は、ＲｅｐとＸｅｐとが外部から負荷として、一次に掛けられたとき、それらをそれぞれ包含する。変圧器の場合と同様に、ただ位相の部分のみに関心を持つため、固定子の全ての抵抗とリアクタンスは、合わせて１つのインピーダンスＺ１として示す。
【０１６５】
Ｒｃは、固定子磁心の損失抵抗であり、
Ｘｍは、磁化リアクタンスであり、
ｉｐとｉｓは、それぞれ固定子と回転子の電流であり、
ｉ０は、負荷がないときの一次電流（no load primary current）であり、
ｉｃは、電流ｉ０の磁心損失電流部分を示し、
ｉｍは、ｉ０の磁化部分を示すものである、磁化電流であり、
ｉ１は、一次に変換された（referred）回転子の電流であり、
Ｚ２は、回転子側の総合したインピーダンスを示す。
【０１６６】
【数１８４】
2021506223.tif 000457
ここで、Ｒ２は、回転子の抵抗、Ｘ２は、回転子の漏れリアクタンスを表示する。
【０１６７】
前述のところに加え、外部から二次側に掛ける負荷Ｚｅｓがあることある：
【数１８５】
2021506223.tif 000458
これも、二次インピーダンスＺ２に含める。従って、前述のＲ２とＸ２は、ＲｅｓとＸｅｓと外部から二次に負荷として掛けられるとき、それらをそれぞれ含めたことにする。再言するが、ただ回路の位相部分に関心があるため、回転子の全てのインピーダンスは、総合して、回転子側に、便宜上１つのインピーダンスＺ２と示す。点線になった四角形中の変圧器は、完全変圧器と仮定したものであり、固定子と回転子とにそれぞれＮｐ回とＮｓ回を巻いたものである。
【０１６８】
６．２ スリップ（slip）の条件
スリップσは、次のように定義される。
【０１６９】
【数１８６】
2021506223.tif 000459
ここで、ωｐとωｒは、それぞれ一次と回転子との角周波数を言う。もしωｐとωｒが同じ値を有するならば、回転子には、誘導電流が流れなくなる。従って、固定子の場（field）の回転速度と、回転子の速度が違うとき、誘導機器が作動する。
【０１７０】
誘導電動器の固定子のコイルは、固定子の磁心のスロット（slot）に巻かれる。固定子の磁心は、渦電流（eddy current）の損失を減少させるために、積層に（laminated）なっている。また、回転子においても、積層になった鉄心が磁心として使用される。従って、誘導電動器の磁気経路（magnetic path）は、固定子の磁心から空気ギャップを経て、回転子の磁心に行くことになる。誘導電動器での位相変化は、主に空気ギャップではなく鉄心で起こる。位相角の変化を作るためには、空気ギャップを除いた磁心の長さを調整し、かつ／または周波数を調整し、かつ／またはリアクティブ部品を機器に加える必要がある。
【０１７１】
誘導電動器の磁心の長さは、固定子及び／または回転子の磁心をデザインするとき、容易に調節することができる。リアクティブ部品を回路に加えることにより、位相を変化させることは、便利な方法として、 他の２つの方法、すなわち、磁心の長さを調整する方法と、周波数を変化させる方法による必要な位相の変化を最小化することに役立つ。
【０１７２】
周波数を変化させ磁束の位相を調節することは、簡単なことである。誘導機器の速度は、周波数に比例し、一般的に、５０Ｈｚや６０Ｈｚで作動する。しかし、周波数が高すぎると、誘導機器は、機械的に高速で回ることができないので、その早い周波数の速度に追いつくことはできない。
【０１７３】
同期回転子速度（synchronous rotor speed）ｎｓは、ポール（pole）の個数ρに対し、次のような関係がある。
【０１７４】
【数１８７】
2021506223.tif 000460
ここで、ｆは、電源の周波数である。
【０１７５】
例えば、４つのポール（pole）を持った５０Ｈｚで作動する機械であれば、同期速度は、１，５００ｒｐｍである。しかし、もし周波数を１ｋＨｚに上げると、３０，０００ｒｐｍになる。従って、誘導機器で位相を制御するためには、高周波数においては、回転子の速度を下げることにより、機械の故障を防ぐことができる。
【０１７６】
高周波数が固定子の側に加えられると、回転子の速度を下げるために、スリップ（slip）の値は、１に近くければならない。磁束の位相を制御するために、一次の周波数を高める場合、回転子側の回転子の速度を下げなければならない。回転子の速度を制御することができる他の方法は、スリープ周波数の電圧（sleep-frequency voltage）を回転子の回路に掛けることである（参照文献：I. Boldea, The induction machines design handbook, 2nd ed. (Boca Raton, FL: CRC Press/Taylor & Francis, c2010)）。いずれにせよ、回転子の速度を、スリップ値が１に近づけ、回転子の速度が同期の速度より遅くなるよう維持することが重要である。
【０１７７】
一般的に誘導機器においては、積層の鉄心からなる磁心が使用される。しかし、積層の鉄心は、高周波数に効率的ではないために、高周波数に効率的な磁心を使用する場合は、効率を高めるために、他の物質からなった磁心を使用する必要がある。例えば、周波数が高い誘導機器の場合、フェライト磁心を使用し、相対位相を制御することにより、力率を調節することができる。
【０１７８】
６．３ 回転力（torque）
テブナンの等価電圧とインピーダンスは、回転力（torque）と関連がある。誘導機器の回転力Ｔは、下記のように表現される（参照文献：H. Wayne Beaty, Standard Handbook for Electrical Engineers, Edition 16th ed. (New York: McGraw-Hill Professional Publishing, Aug. 2012), Chapter 20）。
【０１７９】
【数１８８】
2021506223.tif 000461
ここで、ｖＴｈは、テブナンの等価電圧であり、Ｒ１ＴとＸ１Ｔは、固定子部分の回路を、磁心損失抵抗及び磁化リアクタンスまでを含んでテブナンの等価回路に変えたときの固定子のテブナンの等価抵抗と、等価リアクタンスをそれぞれ示す。Ｒ２１とＸ２１は、それぞれ固定子側に変換された（referred）回転子の抵抗と、回転子の損失リアクタンスとである。最大回転力が得られるスリップ値σｍは、次のように得られる：（参照文献：Steinmetz and Berg, Theory and Calculation of Alternating Current Phenomena, 250）。
【０１８０】
【数１８９】
2021506223.tif 000462
【数１９０】
2021506223.tif 000463
誘導機器の普通の運行状況においては、スリップ値がσｍより小さいために、大きいスリップ値で作動する機械をデザインするときには、σｍ値を１に近づけることが必要である。従って、外部抵抗を回転子側に掛け、Ｒ２１を大きくすることが必要である。このように、外部抵抗器（rheostat）を使用するときは、その短所として加えられた抵抗による銅損失（copper loss）をよく言及する。しかし、磁束の位相角を調節することにより、一次での力率を０にすることができるため、回転子の側での損失を必要がない。実際、電力は、回転子の側で「生成」されるために、回転子側での銅損失は、それ以上損失ではなく、むしろ外部負荷と見なされ、電力を消耗することにより、有用に利用可能である。
【０１８１】
誘導機器の等価回路が、変圧器の等価回路に変換されるために、そしてインピーダンスと電力差関数とを使用し、変圧器が分析されるために、誘導機器も、また同じ方法によって正確に分析される。また変圧器にみえたさまざまな場合の事例も、全く同じように誘導機器で具現される。
【０１８２】
機器の作動が、すでに解かれている数式によってされるため、相対位相Φを変化させることにより、誘導機器は、電力差関数が正の値を持つとき、回転子側において、電力を発電するだけではなく、力率が負になるとき、固定子側においても、電力を発電する電力発電器になることができる。負荷が回転子側だけではなく、固定子側にもあるということに注目する。固定子側の負荷は、力率が負の値を持つとき、回転子側から来る電力を消耗し、有用な働きをすることができる。
【０１８３】
そのような電力とインピーダンスとに係わる原理は、多相誘導機器（polyphase induction machines）がいくつかの単相誘導機器からなると見られるので、ただ単相誘導機器においてだけではなく、多相誘導機器においても適用される。
【０１８４】
７．電力発電変圧器システム（the power generating transformer system）
７．１ 電力発電変圧器システム
一般的に、普通の変圧器は、二次における電圧が巻かれた比の数（turns ratio）に比例するので、電圧を変更させるために使用される。しかし、本発明での変圧器の主な目的は、電圧を変えるためでもなく、負荷で使用する電力を供給するためでもない。むしろ、一次における電力と、回路のインピーダンスが磁束の位相に依存するという原理の下で、負荷側において、電力を発電させるためである。ここで、「電力を発電する」ということは、無から（from nothing）発電を行うことができるという意味ではなく、負荷で消耗される電力が、電源から一次に供給する電力より多いということを意味する。
【０１８５】
従って、ここでの変圧器回路においては、力率が０に近いか、あるいは負数にもなってしまうために、平均して電源が一次に供給する電力も、非常に小さいか、あるいは負の値になる。それを達成するために、磁束の相対位相Φを制御することにより、回路の力率を調節する必要がある。
【０１８６】
すでに言及したように、周波数の変更、かつ／または磁心の長さの変更、かつ／またはリアクティブ部品を加えることにより、必要な相対位相Φを持つように制御することができる。
【０１８７】
また、変圧器自体は、高い周波数での作動ができなければならない。鉄心からできた磁心を持つ普通の変圧器は、高い周波数で効率的ではない。従って、本発明の変圧器の磁心としては、高周波数で効率がいい、例えば、フェライトのような、高い周波数でさらにうまく作動するある物質を使用することができる。
【０１８８】
変圧器だけではなく、本システムは、のぞむ力率または相対位相Φを回路がもつため正しい周波数の信号を生成する交流生成器をもつ必要がある。この交流生成システムが生成しなければならない相対位相Φに関する条件は、前述の「２．電力」でとり扱った。よって、交流生成器と変圧器は、電力発電システムになるためには、共に対をなさなければならない。このような点で、普通の変圧器回路とは異なる。普通の変圧器回路では、変圧器がある広い周波数範囲において作動するように作製され、また交流生成器も、適切にその範囲内での周波数を提供すれば、その回路は、負荷において電力を使うように作動するのに問題がないために、交流生成器と普通の変圧器は、互いに対をなす必要がない。
【０１８９】
しかし、本発明の「電力発電変圧器システム」において、交流生成器は、変圧器の状態と非常に緊密に関係しなければならない。なぜならば、必要な周波数や相対位相Φを提供し、電力差関数が正の値をもつようにする必要があるためである。
【０１９０】
図５において、「（必要な周波数を発生させる）交流生成器」は、例えば、２つの部分によっても形成される：周波数合成発振器（frequency synthesizer）の部分（参照文献：Dean Banerjee, PLL Performance, Simulation and Design, 4th ed. (Dog Ear Publishing, LLC., Aug. 2006)と、増幅器（amplifier）の部分とである。周波数合成発振器は「変圧器回路」において、電力差関数を正数にする周波数を生成し、周波数合成発振器によって生成されたその周波数の波を増幅器が増幅し、適切な大きさの電圧で変圧器回路に入れる。
【０１９１】
７．２ 変圧器回路
変圧器回路の電力差関数が正の値を有することになるとき、２つの場合がある：一次に負荷がなく、二次にある場合と、一次と二次に負荷がある場合である。
【０１９２】
一次や二次における負荷は、交流によって作動する電気機器でもあり、直流によって作動する電気機器でもある。それが、直流によって作動する機器である場合には、変圧器回路において、整流器が必要である。従って、ここにおける「変圧器回路」というのは、負荷が直流を使う機器である場合必要な整流器を含む回路を言う。負荷は、１またはそれ以上のバッテリや（スーパー）蓄電器（（super） capacitor）でもある。このとき、バッテリや（スーパー）蓄電器を充電できるように、電圧が適切な大きさをもつように、変圧器回路の内において、調節することができる。それにより、そのバッテリや（スーパー）蓄電器は、他の回路の電源の役割を行うことになる。
【０１９３】
図６は、負荷が二次側だけではなく、一次側にもある電力発電変圧器システムの一例を図示した図面である。
【０１９４】
すでに言及したように、一次における電力が負の値をもつとき、変圧器回路は、負荷を、図２のＺ１のように、一次にもつことができる。二次だけではなく、一次で負荷がある「変圧器回路」の例が、図７にあるが、それは、一次側に、バッテリや（スーパー）蓄電器が整流器に連結されている。図７において、点Ａ１と点Ａ２とを繋ぐ平面の左側部分の回路をテブナンの等価回路に変換すれば、その回路は、前述の無損失変圧器が分析する方式によっても分析される。そのようにして、電力は、力率が負の値を持つとき、一次側の負荷においても生成されるのである。
【０１９５】
図７は、二次だけではなく、一次にも負荷がある場合の変圧器回路であり、それが、必要な周波数を生成する交流生成器に繋がった回路の一例を図示した図面である。
【０１９６】
一次に負荷がない場合、電力差関数が正数でありながら、二次の負荷での電力は最大値にした方がよい。一次に負荷があるときは、ユーザの必要により、一次及び／あるいは二次の負荷において、電力が最大値になるようにし、かつ／または電力差関数が最大になるようにすることができる。いずれによせ、電力差関数が正数にならなければならないという条件は、満されなければならない。電力差関数が正数になるこの条件は、「電力発電変圧器システム」だけではなく、追って説明する「自給システム」も含む本発明の全ての分野で守られなければならない。
【０１９７】
７．３ 交流生成器及び静的交流生成器
一般的に、「（必要な周波数を発生させる）交流生成器」は、正弦波形態の波を生成する。しかし、他の形態の波形が生成されても、それを、フィルタを通して、望みの１つの周波数だけを持つようにすることができる。従って、そのような場合には、２つの部分があるようになる：最初の部分は、ある形態の電圧波形をつくるものであり、２番目の部分は、ただ望む周波数の波形のみを増幅する部分である。これに関する一例は、最初の部分が矩形波（square wave）電圧波形を生成し、それが２番目部分である直列ＬＣ回路に入り、所望するサイン形態の周波数を生成する場合である。そのような直列ＬＣ回路は、変圧器回路に入るものでもある。変圧器回路は、それが作動するために、一般的に電力を必要としないが、交流生成器は、変圧器回路に必要な波形を生成するので、それ自体は、電力を消耗する。
【０１９８】
交流生成器部分は、さらに２つの種類に分けられる：静的なものと動的なものとである。静的交流生成器は、一度周波数を生成するように固定された後は、その周波数以外の他の周波数は生成しない。これは、負荷のインピーダンスが変わらないとき有用である。例えば、もし二次の負荷が他の機器に連結されていないバッテリである場合、変圧器回路は、一次で平均して電力を供給しないが、そのバッテリを充電することができる。
【０１９９】
７．４ バッテリや（スーパー）蓄電器を充電する（自動）スイッチシステム
もし「電力発電変圧器システム」が充電するバッテリが、電力を消耗する他の機器や負荷に連結されているとしたら、一般的に負荷のインピーダンスは、変更される。そのような場合、以下で説明する「動的交流生成器を持った電力発電変圧器システム」を使用するか、あるいは図８で見るように、１またはそれ以上のバッテリを使用するものの、一部は「電力発電変圧器システム」で充電し、残りのバッテリは、電力を消耗する機器に電力を与えるといい。そのとき、充電するバッテリ（battery bank）がフルに充電されたならば、他のバッテリを充電するようにし、フルに充電されたバッテリが電気機器を作動するようにすればいい。そのような作業は、バッテリがどれほど充電されたかを測定することにより、スイッチを利用して自動的に行うことができる。もし機器が交流で作動する機器であるなら、バッテリから出る直流を、インバータ（Inverter）を通して交流に変えた後、電力を供給すればよい。また、ここで、バッテリは、他の電気機器の電源として使用する例になる。例えば、（スーパー）蓄電器も、電源として使用することができる。このとき、バッテリや（スーパー）蓄電器を充電するため、適切な大きさの電圧をもつように、変圧器システムの内で、電圧を調節することができる。このようなバッテリや（スーパー）蓄電器を充電する（自動）スイッチングシステムは、本発明のあらゆる分野、すなわち、ここの「電力発電変圧器システム」だけでなく、これから言及される「自給システム」にも、同様に適用される。この（自動）スイッチングシステムは、二次側の負荷だけではなく、図７のように、一次側に負荷がある場合も適用される。
【０２００】
図８は、バッテリを充電する自動スイッチングシステムの一例を図示した図面である。機器は、変圧器システムによって充電されていないバッテリにより作動する。
【０２０１】
７．５ 動的交流生成器及び感知制御装置
負荷のインピーダンスが変わるなら、力率が同じ値を維持するように、または電力差関数が最大になるように、またはインピーダンスが変わる前の与えられた条件を維持する等、望みの条件に合わせるため、周波数を動的に変えることが必要である。回路のインピーダンスを（数式１５０）で見たように、以下のようであるとする：
【数１９１】
2021506223.tif 000464
負荷の変化、または回路のインピーダンスの位相変化であるΔθｖは、いくつかのシステムパラメータを測定することによっても感知される。周波数を動的に変化させるために、感知制御装置が必要である。
【０２０２】
図９は、動的交流生成器がある電力発電変圧器システムの一例を図示した図面である。
【０２０３】
例えば、回路のインピーダンスの位相θｖは、（数式１７０）のように、Ｐｐ、ｖ１（ｒｍｓ）及びｉｐ（ｒｍｓ）を通しても感知される。
【０２０４】
【数１９２】
2021506223.tif 000465
それにより、もしθｖに変化がある場合、θｖを以前の値に維持するか、または電力やインピーダンスに係わる他の条件を満足させるために、交流生成器の周波数が変わらなければならない。、電力差や、負荷の電力と係わった、例えば、相対位相Φの条件を満足させる、適切な振幅を持った新たな周波数を作ることにより可能である。
【０２０５】
７．６ 周波数変化の方向及び大きさ決定モジュール
位相θｖや、それ以外のある感知するパラメータに変化が感知されたとき、周波数を現在の値より大きくするか、それとも小さくするかということは、回路のパラメータ、すなわち、インピーダンスの大きさや位相などによって決定される。相対位相Φの値を測定する方法は、前述の「４．２ 相対位相を推定する方法」においてすでに説明した。ところで、相対位相Φは、周波数の増加によって大きくなるので、周波数が少しだけ変わらなければならない状況であるならば、相対位相Φの変化も、それにより、周波数と同じ方向へ動く。
【０２０６】
周波数をどの方向と、どれほどの大きさで動かなければならないかということを決定させる簡単な方法のうち一つは、相対位相Φと周波数との関係を記録しておくことである。例えば、最初システムを設定するとき、周波数による相対位相Φの値を、インピーダンスの大きさ値（magnitude）、位相値、またはそれ以外の関連したパラメータにより、テーブルに記録すればよい。そして、周波数の変化方向と大きさは、そのテーブルを調べることによって知ることができる。
【０２０７】
テーブルを作る１つの方法は、機械学習方法を使用することである。例えば、神経回路網（neural network）を使い、変化する周波数の方向と大きさを訓練させることができる。例えば、インピーダンスの位相、大きさ、またはそれ以外の関連パラメータが入力ノード（input nodes）に入り、出力ノード（output node）は、周波数の変化方向や、周波数の変化の大きさを示すように作られた、中間の隠蔽層（hidden layer）も持った神経回路網（neural network）を考えることができる。それを学習して作られた神経回路網は、感知制御装置内において、常時回路のインピーダンスや位相に変化がある場合、それを呼び出してから使用できる。
【０２０８】
周波数方向及びその変化の大きさを決定するモジュールは「感知制御装置」内にソフトウェア、ファームウェア（firmware）またはハードウェアの形で入っている。
【０２０９】
７．７ 直流電源に連結された場合：寿命が長いバッテリシステム
さて、直流や交流の電源が、電力発電変圧器システムにも繋がることができる。例えば、システムが、直流の電源に繋がった場合の一例を考える。スマートフォンの場合、その中にバッテリがある。もしバッテリが電力発電変圧器システムに繋がると、バッテリは、ただ交流生成器にのみ電力を供給し、変圧器回路には、電力を供給しなくてもよい。そして、変圧器回路が残りスマートフォン回路に電力を供給する。従って、スマートフォンのバッテリが長持ちし、寿命が長いバッテリシステムが作られる。すでに言及したように、ここで、変圧器回路の負荷が、バッテリや（スーパー）蓄電器でもある。それにより、そのバッテリや（スーパー）蓄電器が、スマートフォンの残り回路に電力を与える電源の役割を行う。図８で言及したように、一方のバッテリが充電される間、他方のバッテリが機器に電力を供給する（自動）スイッチングシステムをここでも適用することができる。
【０２１０】
図１０は、寿命が長いバッテリシステムの一例を図示した図面である。
【０２１１】
７．８ 交流電源に連結された場合：電力を少なく使用するシステム
もし電源が交流であり、その電源の周波数が電力差関数を正数にする条件を満すことができなければ、その周波数を望みの周波数に変更する必要がある。それは、周波数の変換装置を通してなされる。そのような場合の１つの例を挙げると、交流を直流にする整流装置を経た後、再び「変圧器回路」に必要な交流を「必要な周波数を発生させる交流生成器」において、直流電源の電力を使って作れる。
【０２１２】
図１１は、電力を少なく使用するシステムの一例を図示した図面である。ここでは、周波数を変換するために、回路の部分に整流器を使用した例である。一般的には、周波数を変える周波数変換装置が必要である。
【０２１３】
例えば、家庭で使う５０Ｈｚや６０Ｈｚの電源が、電力発電変圧器システムに繋がる場合を考えてみよう。その周波数は低くいため、小さい値または負の力率には作らないために、電力発電変圧器システムに適合しない。従って、電源の低い周波数を、電力発電変圧器システムに合う高周波数に変えた後、それを電力発電変圧器の変圧器に入力すれば、その後の家庭の電気製品での電力の必要は、電力発電変圧器の変圧器で用に足る。このとき、家庭で使っている発電所から来た電力は、ただ低い周波数を高周波数に変更させるところにのみ使用される。このようにして、電力を過渡に使用しないシステムが具現可能であり、同時に、家電製品の電力必要は、システムによって満たされることになる。
【０２１４】
７．９ システムの組み合わせ
「静的交流生成器」や「動的交流生成器」は、「寿命が長いバッテリシステム」や「電力を少なく使用するシステム」と組み合わせをなすことができる。従って、次の４種形態のシステムが可能である：
「静的交流生成器を持った電力発電変圧器になった寿命が長いバッテリシステム」
「動的交流生成器を持った電力発電変圧器になった寿命が長いバッテリシステム」
「電力を省く静的交流生成器を持った電力発電変圧器システム」
「電力を省く動的交流生成器を持った電力発電変圧器システム」
また、このようなシステムは、互いに連続して連結し（cascaded）、ある作業を遂行することができる。
【０２１５】
また、「バッテリや（スーパー）蓄電器を充電する（自動）スイッチシステム」は、それぞれの組み合わされたシステムの変圧器の二次側、または一次側の出力に連結され、バッテリや（スーパー）蓄電器を充電するように作動することができる。
【０２１６】
７．１０ 多相システム
単相変圧器に適用される前述の全ての原理と応用は、多相変圧器においても、同様に適用される。それは、多相変圧器は、いくつかの単相変圧器から作られているためである。
【０２１７】
７．１１ 電力発電誘導機器システム
該電力発電変圧器システムにおいて変圧器というのは、線形誘導機器（linear induction machines）を含む誘導機器（induction machines）、すなわち、誘導電動器（induction motors）や誘導発電器（induction generators）を含む。すでに言及したように、各相（per phase）誘導機器は、原理的に単相変圧器と同じである。多相変圧器は、いくつかの単相変圧器を合わせなっていると見ることができる。また、多相誘導機器は、単相誘導機器いくつかを合わせてなると見ることができるために、多相変圧器や多相誘導機器も、前述と全く同じ原理の下で、「電力発電システム」にもなる。
【０２１８】
誘導機器の磁心は、一般的に積層の鉄心からなっているが、その場合、それは、高周波数に効率的ではない。従って、「電力発電誘導機器システム」を作る場合、誘導機器の磁心は、高周波数で効率にすぐれる物質から作らなければならない。例えば、さらに良好な効率のために、電力発電誘導機器において、フェライト磁心を使用することができる。
【０２１９】
また、スリップ値（slip value）は、機器が機械的に無理しないように、１に近くしなければならない。また、最大回転力であるときのスリップ値も、１に近くしなければならない。従って、そのために「電力発電誘導電動器システム」は、（数式１９０）での二次での抵抗値Ｒ２１を大きくしなければならない。
【０２２０】
一般的に、誘導電動器と誘導発電器は、本質的に同じ形である。違いがあるなら、それが、発電器として使われるときは、機械的な力によって回転子を回して発電するようになる。しかし、本発明での「電力発電誘導電動器システム」は、他の原理で作動する。回転子を外部電源によって機械的に回して発電する代わりに、一般誘導電動器が作動するように、固定子によって回転子に誘導される回る場（rotating field）によって回転子が回転する。違いは、たとえ固定子が電源に連結されていても、力率が０に近づけるか、あるいは負数にすることができるため、一次においては、非常に小さいか、負の電力が発生する。同時に、二次及び／または一次にある負荷で電力が生じるのである。再言するが、ここで、負荷側で電力が「生成」されるというのは、電力差が正数であるとき、負荷で電力が消耗されることを意味する。力率が負の値を持つときには、負荷が固定子の側にもあり、そのとき固定子側の負荷においては、電力が生成される。
【０２２１】
従って、前述の本発明は「誘導機器」が「電力発電変圧器システム」の「変圧器回路」を振替えるようになれば、線形誘導機器（linear induction machines）を含む誘導機器、すなわち、誘導電動器（induction motors）や誘導発電器（induction generators）で作られた「電力発電誘導機器システム」に、全く同様に適用される。
【０２２２】
８．自給システム（self-sustaining system）
８．１ 自給システム：フィードバック（feedback）があるシステム
前述の「電力発電変圧器システム」は、直流や交流を電源として供給され作動する。それは、「動的交流生成器」の場合を除いては、システムにおいて、フィードバックがない場合である。
【０２２３】
変圧器回路が供給された電力よりさらに多くの電力を作れば、その出力は、負荷で消耗されるだけではなく、さらに入力に入って、自給するシステムを作ることができる。そのような場合、大きく２つの形の自給システムを考えることができる：一つは、電力保存器（powerre servoir）がない場合であり、他の一つは、それがある場合である。ここで、「出力」の電力というのは、二次の負荷での電力を意味するだけではなく、電源が供給する一次における電力が負の値を持つとき、一次の側に負荷がある場合には、一次の負荷の電力を意味するときもする。
【０２２４】
８．２ 電力保存器がない自給システム
電力保存器がない場合は、変圧器の出力がそのまま入力として入っていって自給するシステムを作る場合である。変圧器の出力電圧がシステムにまた入っていくので、出力と入力との電圧波形の振幅（amplitude）と位相が同一にするよう、また波形が歪曲されないように注意しなければならない。それらの振幅を同じにするための、１つの方法を例として挙げれば、変圧器の巻かれた数の比（turns ratio）を良好に調節し、不完全な結合（imperfect coupling）による電圧損失を補償しなければならない。
【０２２５】
変圧器回路の出力電圧の位相は、電圧信号が歪曲されないように調節されなければならない。そのような機器の一例として、位相同期ループ（ＰＬＬ：phase-locked loop）を使用すればよい。出力電圧の位相は、変圧器回路入力電圧の位相と比較され、入力の位相を同じように調節され、また変圧器回路に入る。従って、図１２に図示される「振幅と位相との調節器」は、そのように、出力電圧の振幅と位相とに必要な調節を行って変圧器回路に入れる。
【０２２６】
「動的交流生成器を持った電力発電変圧器システム」と「電力保存器がない自給システム」の相違点は「動的交流生成器」の「感知制御装置」は、たとえ周波数を変更させても変圧器回路の出力された波をまた変圧器で入れないことに比べて、「電力保存器がない自給システム」は、負荷に変動がない限り、変圧器回路の出力電圧をまた入力で入れることである。このとき、に負荷のインピーダンスが変わって回路のインピーダンスの大きさそして／またはその位相が変わる場合、「感知制御装置」加えることと似ている機能を電力保存器がない自給システムの「振幅と位相との調節器」が包含していなければならない。言い換えれば、「振幅と位相との調節器」は、負荷の変動を感知してその変化に合わせて適切な振幅と位相、そして周波数の電圧波形を生成しなければならない。
【０２２７】
図１２は、電力保存器がない自給システムの一例を図示した図面である。
【０２２８】
負荷に必要な電力は、自給システムから取り出し、負荷に入れればよい。すでに言及したように、負荷は、電力差関数が正の値を持つとき、二次側にあり、また力率が負の値を持つとき、一次側にもありえる。負荷に係わるこのような原理は、以下で言及される「電力保存器がある自給システム」にも、同様に適用される。
【０２２９】
「電力保存器がない自給システム」を始めるためには、そのシステムを、外部電源を使用して電力を入れなればならない。いったんシステムが始まり、平衡状態に入れば、外部の電源は、遮断することができ、自給システムは働き続けることになる。
【０２３０】
８．３ 電力保存器がある自給システム
２番目は、電力保存器がある場合である。交流を発電する部分と、必要な場合に負荷とを動かすことに必要な電力を電力保存器が備蓄している。変圧器回路の出力電力が、この電力保存器を充電する。
【０２３１】
図１３は、電力保存器がある自給システムの一例を図示した図面である。
【０２３２】
まず、電力保存器は、システムに電力を供給する。電力保存器の例として、バッテリ（battery）や（スーパー）蓄電器（（super） capacitor）をあげられる。そして、交流生成器中のインバータにより、変圧器回路において、電力差関数が正になるようにする適切な周波数の交流電圧が生成され、変圧器にその交流が入る。次に、不完全な変圧器で損失が発生するので、変圧器の巻かれた数の比を良好に調節し、適切な大きさの出力電圧をもつようにする。または、整流器回路に入っていく入力電圧が、定値としてすでに定めれれている場合、変圧器回路の出力電圧の振幅を、その定振幅になるように調節すればよい。それにより、変圧器の出力電圧が直流に変わったとき、電力保存器を充電することができる適切な大きさの電圧になるようにすることができる。そのような変圧器回路において、出力電圧の振幅を調節する過程は、この段階で行ってもいいし、以下で言及するように、整流の後行ってもよい。大事なことは、電圧の振幅が調節され、変圧器回路にまた入っていくとき、正しい電圧の振幅になるようにすることである。どの段階において、出力電圧の振幅を調節するかというのは、重要ではない。
【０２３３】
「交流を直流にする」モジュールへの１方法の例は、整流器を使用し、それにより、変圧器回路の出力から出た電力を電力保存器を使い保存することができる。
【０２３４】
整流器から出た直流は、電力保存器に行くことになる。すでに述べたように、整流後、電圧の大きさを調節することも可能である。
【０２３５】
力率が０に近いか、あるいは負数にもなるので、電力は、システムから取り出し、有用に使用すればよい。
【０２３６】
図１４は、電力保存器がある自給システムにおいて、感知制御装置がある場合の一例を図示した図面である。
【０２３７】
「電力保存器がある自給システム」中の「交流生成器」は、「感知制御装置」が持った機能と似た機能をさらに持つことができる。そのような場合、「交流生成器」モジュールは、負荷の状況を感知し、負荷の状況により、特定の振幅、周波数の電圧波形を生成するようにしなければならない。そのような場合、図１４のように、交流生成器が負荷の状況に係わる情報を得るために、変圧器から交流生成器にフィードバックループ（feedback loop）がなければならない。実際には、負荷は、システムのいかなる位置にも存在することができるために、フィードバックループは、システムのいかなるモジュールからも、交流生成器へ来ることができる。従って、そのような場合には、システムの構造は、フィードバックループを示すものに変わらなければならない。
【０２３８】
８．４ （自動）スイッチングシステムを有した自給システム
また、図８のように、（自動）スイッチングシステムは、自給システムと共に使用し、一方のバッテリや（スーパー）蓄電器を充電しながら、他方のバッテリや（スーパー）蓄電器は、他の機器に電力を供給させられる。従って、図８において、「自給システム」が「電力発電変圧器システム」を振替えることができる。すでに言及したように、二次だけではなく、一次においても、図７のように、本（自動）スイッチングシステムにも連結できる。
【０２３９】
８．５ 誘導機器
すでに言及したように、前述の本発明の全ての原則と応用は、「誘導機器」が「自給システム」の「変圧器回路」を代替するようになれば、線形誘導機器（linear induction machines）を含む誘導機器、すなわち、誘導電動器（induction motors）や誘導発電器（induction generators）で作られた「自給システム」に全く同様に適用される。それらは、各相（per phase）だけではなく、また多相誘導機器にも適用される。
【０２４０】
８．６ 多相システム
これまで言及された原理と応用は、多相変圧器においても、同様に適用されるが、なぜならば、多相変圧器は、いくつかの単相変圧器からなっているからである。
【０２４１】
８．７ 組み合わせシステム
全てのこれまで言及されたシステム、すなわち、誘導機器を使用したシステムを含め、「電力発電変圧器システム」と「自給システム」は、特定のタスクを達成するために、互いに組み合わせたシステムをつくることができる。
【０２４２】
８．８ 電力制御モジュール
電力が過度に多く生成される場合、それを少なくしたり、回路を遮断したりする電力制御モジュールは、これまでの、誘導機器を使用したシステムも含め、「電力発電変圧器システム」、「自給システム」、及びその（組み合わせ）システムにも添加できる。過剰の電力がある場合、超過した電力は、他の負荷、例えば（可変）抵抗に入るように迂回させるとよい。（可変）抵抗は、超過した電力を吸収する（可変）負荷の役割を行う。電力制御モジュールは、超過した電力の吸収に適切な抵抗値を計算し、可変抵抗を調節することができる。電力制御モジュールは、システムのどこに挿入してもよい。例えば、交流生成器や変圧器回路は、内部に電力制御モジュールを置き、その機能を遂行することができる。もし過度に多くの電力が出る場合には、電力制御モジュールは、回路を遮断して作動を中止することができる。
【０２４３】
９．実験
実験１
本実験の目的は、及び周波数を変化させることにより、磁束の位相を制御することにより、回路の力率を０近づけることが可能かいうことを調べることである。そして、二次の負荷で消耗される電力が、電源から供給された一次における電力より大きいか否かということを調べることである。
【０２４４】
変圧器は、２つのＵ字状のフェライト磁心からなっている（参照：Kaschke UI-1F4, 3C85 grade）。磁心からなった変圧器の全体閉ループ（closed-loop）の長さは、３５．４ｃｍである。１．２ｍｍ銅線を、一次及び二次として、それぞれ６０回ずつ巻いた。一次及び二次の自己インダクタンスは、それぞれ１７．２１０ｍＨと１７．００５ｍＨとであり、結合係数ｃは、０．９６４５８であり、その値は、option ００１を持ったKeysight Ｅ４９８０Ａ ＬＣＲメータ器を使用し、１０ＫＨｚと１５Ｖとで測定した。二次での負荷Ｒ２は、抵抗１０１．１９Ωである。Keysight Ｅ４９８０Ａ ＬＣＲメータを使用し、２０Ｖ正弦波の電圧が変圧器に送られた。周波数は、１０ＫＨｚから３５０ＫＨｚまで１０ＫＨｚ単位で上げながら実験した。
【０２４５】
Ｎ４Ｌ ＰＰＡ５５３０精密電力分析器（precision power analyzer）を使用し、一次での電圧ｖ１と電流ｉｐとを観察した。また、回路のインピーダンスの位相θｖ、及び一次における電力Ｐｐも測定した。負荷での電圧ｖ２は、Agilent ３４５８Ａマルチメータ（multimeter）を使用して測定した。実験は、室温１９℃で行った。
【０２４６】
表１は、２２０ＫＨｚにおいて、回路の力率が負の値になり、電源が供給する一次における電力が−６９８μＷと、絶対量が非常に小さいということを示す。図１５は、２２０ＫＨｚであるときのＮ４Ｌ ＰＰＡ５５３０精密電力分析器の画面である。このとき、回路のインピーダンスの位相θｖは、電圧の位相から電流の位相を差し引いた９０．１７である。その画面は、２２０ＫＨｚであるとき力率が０．００３０であるということを示すが、実際の力率は、ｃｏｓ（９０．１７°）、すなわち、−０．００３０である。
【０２４７】
【表１】
2021506223.tif 000466
【０２４８】
図１５は、実験１において、２２０ＫＨｚであるとき、Ｎ４Ｌ ＰＰＡ５５３０の画面である。
【０２４９】
（数式３）からみるように、もし磁束の相対位相Φがなかったら、インピーダンスの位相θｖは、決して９０゜を超えることができないだろう。しかし、図１５及び図１６から分かるように、精密電力分析器は、明らかに２２０ＫＨｚから、回路のインピーダンスの位相θｖが９０゜を超えることを示している。実験した周波数範囲において、Ｎ４Ｌ ＰＰＡ５５３０の位相の誤差の最大値は、３．５０５゜であるので、２６０ＫＨｚ以上の周波数からは、回路のインピーダンスの位相が９０゜を超えたことは、非常に明らかである。
【０２５０】
図１６は、周波数によるインピーダンスの位相θｖの変化を図示したグラフである。
【０２５１】
１６０ＫＨｚのときから、電力差が正数になる
【０２５２】
二次側負荷での電力であるＰＬと、一次コイルでの電力との差である電力差は、次のように計算する。
【０２５３】
【数１９３】
2021506223.tif 000467
【０２５４】
実験２
その場合、実験の加えられた目標は、負の抵抗を実現することである。バー状のフェライト磁心が使用された（参照：Samwha電子ＳＤ １０５Ｘ１５−５Ｔ）。バーの中間部分に、二次コイルを一次コイル上に巻いた。一次と二次との巻かれた数は、１００回であり、０．６ｍｍ銅線を使用した。一次と二次との自己インダクタンスであるＬｐとＬｓは、それぞれ１．０１４６ｍＨと０．９９１２ｍＨとである。結合係数は、０．９７８０６である。全てのものは、１００ＫＨｚ１０Ｖで測定した。二次での負荷Ｒ２は、抵抗であり、１０１．６０Ωである。１０Ｖの正弦波電圧を変圧器に加えた。周波数は、１００ＫＨｚから２ＭＨｚまで、１００ＫＨｚの間隔で変化させた。実験の環境は、実験１と同じである。
【０２５５】
一次の電圧、電流、及びそれらの位相を観察し、電圧と電流との位相差がπになるか否かということを調べた。表２は、１．３ＭＨｚにおける回路インピーダンスの位相θｖがπ／２を超えたことを示し、力率は負の値である。
【０２５６】
図１７は、２ＭＨｚであるときのＮ４Ｌ ＰＰＡ５５３０の画面であるが、２ＭＨｚでの位相θｖは、１８１．６８とπを超えた。Ｎ４Ｌ ＰＰＡ５５３０の位相のエラーが、２ＭＨｚにおいて２０．００５゜である。従って、２ＭＨｚにおいて、インピーダンスの位相であるθｖは、１６１．６７５と２０１．６８５との間にあり、そのときの力率と、インピーダンスの抵抗値は、負の値を持つ。
【０２５７】
【表２】
2021506223.tif 000468
【０２５８】
図１７は、実験２において、２ＭＨｚであるときのＮ４Ｌ ＰＰＡ５５３０画面である。
【０２５９】
図１８は、周波数による電力値と電力差との値を示す。ＰＬは、二次の負荷での電力であり、Ｐｐは、一次における電力であり、（ＰＬ−Ｐｐ）は、電力差である。
【０２６０】
電力差は、以前のように測定し、図１８から分かるように、１ＭＨｚから、電力差は、正の値であり、１．３ＭＨｚからは、電源によって一次に供給された電力であるＰｐが負の値を持つが、それは、一次で電力が逆に流れていることを意味する。
【０２６１】
変圧器回路において、一次における電力と、二次の負荷での電力に係わる表現式は、磁束の位相に対し、すなわち、電流の位相に対し、互いに異なる因数を持つ。従って、二次の負荷で消耗される電力は、電源によって供給される一次における電力と異なる。
【０２６２】
本発明は、変圧器回路において、電力が磁束の位相に依存することを最初に示した。それだけではなく、その磁束の位相を制御し、電源から供給された一次における電力が、負荷で消耗される電力よりさらに少なく調節できることを示した。
【符号の説明】
【０２６３】
Ｍ  相互インダクタンス
Ｚ１  インピーダンス
ＺＬ  インピーダンス
【手続補正２】
【補正対象書類名】特許請求の範囲
【補正対象項目名】全文
【補正方法】変更
【補正の内容】
【特許請求の範囲】
【請求項１】
磁心と、
電源から交流電圧を受信し、前記磁心に巻かれた一次コイル、を含み、
電流は、前記磁心を通し伝播される磁束により、変圧器回路の二次コイルで、または誘導機器の回転子で生成され、
前記の一次コイルと前記の二次コイルとの前記磁束の位相変化は、前記変圧器回路か前記誘導機器の力率が、電力差関数を正数にする値のうち、望みの値に調節できるように制御され、前記の電力差関数は、前記二次の側の負荷において消費される電力と、前記の電源が供給する前記の一次のコイルの電力との差を示すことを特徴とする力率調節装置。
【請求項２】
前記磁束の前記位相変化の絶対値は、前記磁束が前記磁心を通して伝播される距離に比例し、ここで、前記の磁束の前記の位相変化の絶対値は、前記の電流波の周波数が増加するとき増大することをその特徴とする、請求項１に記載された力率調節装置。
【請求項３】
前記磁束の前記位相変化は、磁心の長さを変え、かつ／または前記交流電圧の周波数を変え、かつ／またはリアクティブ部品を添加して制御されることを特徴とする、請求項１に記載された力率調節装置。
【請求項４】
前記磁心は、積層された鉄、フェライト、または前記磁束の必要な位相変化のためのその周波数範囲に適した他の物質から作られたことを特徴とする請求項１に記載された力率調節装置。
【請求項５】
変圧器回路または前記誘導機器の一部として具現されることを特徴とする、請求項１に記載された力率調節装置。
【請求項６】
インピーダンスの位相を前記変圧器回路か、前記誘導機器の前記電力差関数を特定の範囲内にする周波数及び振幅をもった前記交流電圧を生成する交流生成器をさらに含むことを特徴とする請求項１の記載の力率調節装置。
【請求項７】
前記負荷は、前記変圧器回路や前記誘導機器の一次側または前記二次側に繋がることを特徴とする請求項１に記載された力率調節装置。
【手続補正３】
【補正対象書類名】図面
【補正対象項目名】図１９
【補正方法】削除
【補正の内容】
【手続補正４】
【補正対象書類名】図面
【補正対象項目名】図２０
【補正方法】削除
【補正の内容】
【国際調査報告】
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2021506223.tif 000470