(57)【要約】本発明は、電気化学反応器（１）の状態を確認する方法に関し、電極部（２）で高調波電流および／または電圧信号を生成するために電気化学反応器（１）の電極部（２）を動作させるステップと、高調波電流および／または電圧信号の振幅および／または位相のモデルに基づく推定値を作成し、当該推定値に基づいて電気化学反応器（１）の状態を確認するステップと、を備える。本発明は、高調波電流および／または電圧信号の振幅および／または位相を推定するために再帰的な時系列ベースの方法を使用することを特徴とする。本発明はさらに、診断システム（３）、コンピュータプログラム製品（５）、及び記憶手段（６）に関する。
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
電気化学反応器（１）の状態を確認するための方法であって、
・前記電気化学反応器（１）の電極部（２）を動作させ、前記電極部（２）で高調波電流および／または電圧信号を生成するステップと、
・前記高調波電流および／または電圧信号の振幅および／または位相のモデルに基づく推定値を作成し、当該推定値に基づいて前記電気化学反応器（１）の状態を確認するステップと、を備え、
前記高調波電流および／または電圧信号の振幅および／または位相を推定するために再帰的な時系列ベースの方法を使用することを特徴とする方法。
【請求項２】
前記再帰的な時系列ベースの方法は、カルマンフィルタリングを含むことを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項３】
前記再帰的な時系列ベースの方法は、並行して実行されるカルマンフィルタリングの複数の事例を含むことを特徴とする、請求項１または２に記載の方法。
【請求項４】
前記再帰的な時系列ベースの方法は、ＲＬＳ法を含むことを特徴とする、請求項１〜３のいずれか１項に記載の方法。
【請求項５】
測定セットアップが、前記状態を確認するために使用され、推定中の前記測定セットアップのバックグラウンドノイズが、−８０ｄＢＶを超えるように設定されることを特徴とする、請求項１〜４のいずれか１項に記載の方法。
【請求項６】
前記推定が行われる周波数範囲を局所化する目的で、前記推定中に少なくとも断続的にＦＦＴ（高速フーリエ変換）が行われることを特徴とする、請求項１〜５のいずれか１項に記載の方法。
【請求項７】
前記状態は、オンライン診断方法の範囲内で確認されることを特徴とする、請求項１〜６のいずれか１項に記載の方法。
【請求項８】
高調波電流および／または電圧信号の振幅および／または位相が推定された後に、残留信号成分がさらに評価されることを特徴とする、請求項１〜７のいずれか１項に記載の方法。
【請求項９】
前記電気化学反応器は、燃料電池システム、特にＰＥＭ燃料電池システムであることを特徴とする、請求項１〜８のいずれか１項に記載の方法。
【請求項１０】
電気化学反応器（１）の状態を確認するために、電極部（２）の高調波電流および／または電圧信号の振幅および／または位相のモデルに基づく推定を行う推定装置（４）を備え、前記推定装置は、前記高調波電流および／または電圧信号の振幅および／または位相を推定するように構成され、再帰的な時系列ベースの方法を使用するように具現化されることを特徴とする、電気化学反応器（１）の状態を確認するための診断システム（３）。
【請求項１１】
請求項１〜９のいずれか１項に記載の方法にしたがって前記状態を確認するように構成され、具現化された診断システム（３）。
【請求項１２】
記憶手段（６）に記憶され、請求項１〜９のいずれか１項に記載の方法を実行するように構成され、具現化されたコンピュータプログラム製品（５）。
【請求項１３】
請求項１２に記載のコンピュータプログラム製品（５）が記憶された記憶手段（６）。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、電気化学反応器の状態を確認する方法に関する。本発明はさらに、一般的な電気化学反応器の状態を確認するための診断システム、当該状態を確認するためのコンピュータプログラム製品、およびその上に記憶されたコンピュータプログラム製品を有する記憶手段に関する。
【背景技術】
【０００２】
従来技術は、信号分析を用いた燃料電池システムのような電気化学反応器を監視する実例を開示している。ここで、高調波または周期的な電流および電圧信号を、電気化学反応器を少なくとも実質的に形成する電極部分、例えば燃料電池システムの燃料電池スタックに印加することができ、その結果得られる周期的な応答信号がその後読み取られる。当該応答信号に基づいて、電気化学反応器の状態に関する結論を引き出すことが可能である。このような状態の確認は、インピーダンス分光法の一種であると理解することができる。
【０００３】
応答信号を評価するために、いわゆるＴＨＤＡ（全高調波歪分析）法の使用が知られている。このような方法では、電気化学反応器内の高調波ノイズの振幅を推定し、それによって電気化学状態の状態を記述できるように、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）を実行することが従来の方法である。しかしながら、この処理は、例えば電気化学反応器内のバルブによって引き起こされる可能性があるノイズと、用途によって生成される応答信号との間で十分な区別を行うことができないという点で不利である。ＦＦＴ では、このようなノイズ信号と応答信号とを区別できない。ノイズは、周波数スペクトラムに追加のピークまたは信号ピークであったり、歪みを引き起こす。ここで、ノイズによって歪められた周波数範囲内に応答信号が位置すると、ノイズの振幅と応答信号の振幅とが重畳される。そして、所定の周波数点において推定された振幅がノイズに起因するのか、応答信号に起因するのかを区別することはできない。結果、信号分析の不正確さが、電気化学反応器の状態に関する不正確な記述につながる可能性がある。
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００４】
本発明の目的は、上述の問題を少なくとも部分的に考慮することである。特に、本発明の目的は、電気化学反応器の状態を可能な限り正確に特に信頼できる方法で確認するための方法、診断システム、コンピュータプログラム製品、および記憶手段を開発することである。
【課題を解決するための手段】
【０００５】
上述の目的は、特許請求の範囲によって達成される。特に、上記目的は、請求項１に記載の方法、請求項１０に記載の診断システム、請求項１２に記載のコンピュータプログラム製品、請求項１３に記載の記憶手段によって達成される。本発明のさらなる利点は、従属項、明細書、および図面から得られる。ここで、電気化学反応器の状態を確認するための方法に関連して記載された特徴および詳細な説明は当然、本発明による診断システムに関連しても適用され、それぞれの場合においてその逆も同様であり、したがって、開示に関して、本発明の個々の態様を相互に参照するまたは相互に参照することができる。
【０００６】
本発明の第１の態様によれば、電気化学反応器の状態を確認するための方法が提供される。この方法は、以下のステップを含む：
・電極部で高調波電流および／または電圧信号を生成するために電気化学反応器の電極部を動作させるステップと、
・高調波電流および／または電圧信号の振幅および／または位相のモデルに基づく推定値を作成し、当該推定値に基づいて電気化学反応器の状態を確認するステップ。
そして、高調波電流および／または電圧信号の振幅および／または位相を推定するために再帰的な時系列ベースの方法を使用する。
【発明の効果】
【０００７】
すなわち、従来の振幅および／または位相を推定するためのＦＦＴは、本発明によって初めて放棄される。ＦＦＴを使用する代わりに、再帰的な時系列ベースの方法によって根本的に新規な方法が取られる。これにより、印加される信号とは異なる起源を持つ変化する信号に、信号評価を適用することができる。再帰的な時系列ベースの方法は、ＦＦＴとは対照的に、遅滞を引き起こすいわゆるウィンドウ処理を必要としないので、現在好まれているオンライン方法においてさらに特に有利である。
【０００８】
再帰的な時系列ベースの方法は妨害信号を分離することを可能にし、その結果、周期的または高調波電流および／または電圧信号のより正確で詳細な分析、したがって、これによる電気化学反応器の改善された状態分析が、容易になる。生成される周期的または高調波電流および／または電圧信号は励起応答である。特に好ましくは、本発明による方法が高調波電流および電圧信号の振幅および位相のモデルに基づく推定に使用される。
【０００９】
本発明による方法の使用の一例として、これにより、Ｎａｆｌｏｎと同じ機能原理を有する電解質を持つ電気化学反応器が乾燥状態にあるか、または浸水状態にあるかを確認したり、および／または燃料枯渇などの媒体の枯渇を認識することができるかどうかを確認することが可能になる。
【００１０】
本明細書において、再帰的方法とは、建設的および／または絶えず更新する方法を意味すると理解されるべきである。好ましくは、中間値であって電流および／または電圧信号に基づいて確認される新しい測定値の各々の後にまたはそれと共に更新が行われる。したがって、時系列ベースの方法は動的な方法である。例えば、推定値が例えば２０４８個の値の一連の値の終わりにのみ提供されるＦＦＴの場合とは異なり、本発明による再帰的方法では、上述のように、各新しい測定値の後に、または各新しい測定値と共に更新がなされる。したがって、本発明による方法はオンラインで、すなわち、この書面では、遅延なしに、および測定ウィンドウの持続時間にわたる平均化なしに、測定データを処理するのに適している。本発明による方法は再帰的原則に基づいて動作するので、電流値は前の値に基づいて推定され、いわば、再帰的方法は外挿法を行う。しかしながら、原則として、本発明による方法を用いてオフラインでデータを処理することも可能である。
【００１１】
再帰的時系列ベースの方法は、好ましくは線形数学モデルによって実行される。線形数学モデルは重畳的高調波基本信号（superposed harmonic fundamental signals）からなる応答信号を記述する。原則として、線形数学モデルは、すべての技術システムにおいて、少なくとも定義された作業点に関する範囲で見つけることができる。その結果、高調波電流および電圧信号の振幅および／または位相を推定するための必要なデータを迅速かつ容易に得ることができる。したがって、モデルに基づく推定値は、数学的推定値、特に線形数学モデルを用いた推定値であると理解することができる。
【００１２】
状態の確認は、信号に基づく診断方法として行われる。特に、本再帰的な時系列ベース法には観察者ベース推定法を用いた。これらは、本発明の範囲内の包括的な試験中に特に正確な分析データをもたらした。電極部分は、好ましくはアノード部分およびカソード部分を有する燃料電池スタックを意味すると理解されるべきである。高調波信号成分（応答信号）を有する電流および／または電圧信号を生成するために、電極部分は、電気混合信号（電流または電圧混合信号のいずれか）によって励起され得る。混合信号は、直流成分と交流成分とから構成される。電流または電圧励起の交流成分は、必ずしも正弦波である必要はない１つ以上の周期信号で構成される。しかしながら、周期的励起は、他のいかなる方法、例えば音波励起によっても実施することができる。原理的には、印加された信号が予め定義された様式で印加される励起に関係するのか、動作する周囲に関係するのかは無関係である。原理的には、この方法はＦＦＴアルゴリズムの使用により拡張できるので、励起パターンが時間の経過と共に既知または不変であることも必要ではない。励起の結果、対応する電圧および電流信号が、対応する特定の周波数を有する高調波関数の振幅と共に得られる。
【００１３】
特に、本発明による方法は、電気化学反応器内のノイズの振幅を推定するために実行される。状態を判断することは、電気化学反応器の動作状態および／または健康状態または老化状態を判断することを意味すると理解することができる。特に、この方法は、燃料電池、バッテリーまたは電解槽のような電気化学反応器に使用される。
【００１４】
さらに、電気化学反応器の分野では、擾乱信号を除去するために再帰的な時系列ベースの方法を適用することは、それ自体公知であるという事実を参照すべきである。しかしながら、このような方法を用いてフィルタリングされた信号は、本発明により提案されるように、測定結果として使用されることはなかった。これは、高調波電流および／または電圧応答の振幅および／または位相の特に正確な推定を容易にし、その結果、電気化学反応器の状態を、対応する精度で確認することができるのみである。
【００１５】
本発明の発展形態によれば、再帰的な時系列ベースの方法はカルマンフィルタリングを含むことが可能である。すなわち、高調波電流および電圧信号の振幅および／または位相を推定するためにカルマンフィルタが使用されるか、またはカルマンフィルタリングが実行される。カルマンフィルタリングが使用される場合の推定に関する特に正確な分析結果は、本発明の範囲内の試験において判断できる。カルマンフィルタリングは例えば、圧力、温度または速度のような電気化学反応器内の動的変数を、特に、確実に確認可能にする。この目的のために、測定された信号（これらは高調波関数である）の信号成分は、本発明による方法によって推定される。反応器内の状態（例えば、乾燥、浸水および／または燃料枯渇）および／または他の変数も、特定の関係によって高調波成分に基づいて推定することができる。カルマンフィルタリングはまた、動的モデルが長期に亘るパラメータの開発のために導入される場合、パラメータを確認するために使用することもできる。カルマンフィルタリングを使用する場合、カルマンフィルタリングによって得られた測定結果およびプロセスノイズ共分散行列は、好ましくはフィルタリングの適応（チューニング）、またはプロセスノイズ共分散行列の改善のために使用される。これは、パラメータをチューニングするときの自由度の増大を容易にし、その結果として、各個別高調波推定値の個別の重み付けが可能になる。さらに、カルマンフィルタリングは、電流および／または電圧信号における未知のノイズをより良くフィルタリングするためにパラメータ化することができる。
【００１６】
さらに、再帰的な時系列ベースの方法に係る本発明による方法では、並列に実行されるカルマンフィルタリングの複数の実例を含むことが可能である。総合的な試験により、これが推定値の精度を高めることができることを示しており、その結果、並列動作方法に関する複雑さの増大が正当化される。ここで、異なる特性を持つ複数のカルマンフィルタを初期化することが好ましい。
【００１７】
さらに、本発明による方法では、再帰的な時系列ベースの方法がＲＬＳ法を含むことが可能である。すなわち、高調波電流および電圧信号の振幅および／または位相を推定するためにＲＬＳ法が使用されるか、または実行される。ＲＬＳ法は、再帰的最小二乗法を意味するか、または再帰的最小二乗アルゴリズムを使用する方法を意味すると理解されるべきである。ＲＬＳ法を使用する場合、本発明の範囲内の試験により、推定値に関して特に正確な分析結果の判断が可能となる。ＲＬＳ法におけるパラメータおよび／またはアルゴリズムを調整するために、好ましくは、単一のスカラまたは忘却因子のみが使用される。したがって、好ましくは単一の（容易に解釈可能である）チューニングパラメータのみが、妨害のない測定のための高速チューニングを可能にする。しかしながら、自由度が少ないことの結果として、一般に、少なくとも単純な方法では、妨害された場合に応答信号を抽出することができない場合がある。
【００１８】
本発明のさらなる変形例によれば、状態を確認するために測定セットアップが使用され、推定中の測定セットアップのバックグラウンドノイズは、−８０ｄＢＶを超えるように設定される。特に好ましくは、そのバックグラウンドノイズが可能であれば、推定中に−６０ｄＢＶ未満である測定セットアップが状態を確認するために使用される。−８０ｄＢＶの限界値は有意義な結果を得るために十分に低いことが見出されたが、それにもかかわらず、測定セットアップに関して過度の費用または過度に高いコストを必要としない。
【００１９】
さらに、本発明による方法の間に、推定が行われる周波数範囲を局所化する目的で、推定中に高速フーリエ変換を少なくとも断続的に実行すると有利である。本発明の範囲内で、少なくとも断続的とは、特に、少なくとも周期的な間隔を意味すると理解される。しかしながら、推定は、有利には連続的に実行することもできる。相補的ＦＦＴは、目標とされた方法で、したがって結果として有意義な方法で、推定を実行可能にする。さらに、相補的ＦＦＴは、既知の周波数の有利な更新をもたらす。これは、初期周波数が不明な場合に、拡張フィルタの使用と複素非線形モデルとの間の有利な妥協点である。励起周波数が既知であれば、正確な推定を行うのに線形モデルで十分である。このような線形モデルでは、計算コストはほとんど必要とされない。しかしながら、励起周波数が未知であるか、またはいわゆる「ドリフト」を受ける場合、この変化する周波数は、非線形モデルを導く。その結果、１つのステップにおける振幅、位相、および周波数の同時推定は例えば拡張カルマンフィルタ（または他の非線形推定方法）によってのみ依然として可能であるが、これは増加した計算コストを伴い、ある状況下でもはやオンラインでは不可能である。
【００２０】
残留信号成分が、高調波電流および／または電圧信号の振幅および／または位相が推定された後にさらに評価される場合には有利である。再帰的な時系列ベースの方法（例えば、ＲＬＳまたはＫＦ法）によって指定された高調波成分の決定後でも、別のまたは残留信号成分が残ることがある。そのうち、後者は動作状態に関する追加情報を導出するために、さらなる評価を受ける。
【００２１】
さらに、オンライン診断方法の範囲内で状態が確認されると有利であり得る。一例として、電気化学反応器は、燃料電池システム、特にＰＥＭ燃料電池システムまたは低温燃料電池システムの形態で構成される。すなわち、本発明によれば、それに応じて燃料電池システムの状態を把握することができる。さらに、電気化学反応器は、電解槽または電池として具現化されてもよい。
【００２２】
本発明のさらなる態様によれば、電気化学反応器の状態を確認するための診断システムが提案される。本診断システムは電気化学反応器の状態を確認するために、電気化学反応器の電極部の高調波電流および／または電圧信号の振幅および／または位相のモデルに基づく推定を行う推定装置を備え、推定装置は、高調波電流および／または電圧信号の振幅および／または位相を推定するように構成され、再帰的な時系列ベースの方法を使用するように具現化される。したがって、本発明による診断システムは、本発明による方法を参照して詳細に説明されるのと同じ利点を有する。
【００２３】
さらに、本発明による診断システムは、上記で詳細に説明した方法にしたがって状態を確認するように構成および実施することができる。これにより、推定装置は、上述のカルマンフィルタリングおよび／またはＲＬＳ法を適用するように構成および実施されることが可能になる。
【００２４】
さらに、本発明によれば、コンピュータプログラム製品が提案され、当該コンピュータプログラム製品は、記憶手段に記憶され、上述の方法を実行するように構成され、具現化される。さらに、そのようなコンピュータプログラム製品が記憶される記憶手段が提供される。したがって、本発明によるコンピュータプログラム製品および記憶手段は同様に、上記で提示された利点を伴う。
【００２５】
コンピュータプログラム製品は例えば、Ｊａｖａ（登録商標）またはＣ＋＋のような任意の適切なプログラミング言語で、コンピュータ読取可能命令コードとして実現することができる。コンピュータプログラム製品は、データ・ディスク、取り外し可能なドライブ、揮発性または不揮発性メモリ、または取り付けられたメモリ／プロセッサなどのコンピュータ可読記憶手段に記憶することができる。命令コードは所望の機能が実行されるように、コンピュータまたは診断システムのコントローラなどの他のプログラマブルデバイスをプログラムすることができる。さらに、コンピュータプログラム製品は、ユーザが必要に応じてそれをダウンロードすることができるネットワーク、例えばインターネット上で提供することができる。コンピュータプログラム製品は、コンピュータプログラム、すなわちソフトウェアによって、および１つまたは複数の特定の電子回路、すなわちハードウェアによって、あるいは任意のハイブリッド形態、すなわちソフトウェア製品およびハードウェア製品によって実現することができる。
【００２６】
本発明を改善するさらなる手段は、図面に概略的に示される本発明の様々な例示的な実施形態の以下の説明から生じる。特許請求の範囲、明細書または図面から明らかになるすべての特徴および／または利点は、構造的詳細および空間的配置を含めて、単独でも、様々な組合せでも、本発明に必須であり得る。
【図面の簡単な説明】
【００２７】
【図１】本発明による診断システムを説明するためのブロック図を示す。
【図２】本発明による実施形態による方法を説明するためのフローチャートを示す。
【図３】未知のまたは時間的に変化する励起を有するシステムのための、本発明による実施形態による方法を説明するためのフローチャートを示す。
【図４】可変の非常に動的な応答挙動を有するシステムのための、本発明による実施形態による方法を説明するためのフローチャートを示す。
【図５ａ】妨害を受けた試験環境における、本発明による推定値とＦＦＴによる推定値との間の測定品質の違いを説明するための図である。
【図５ｂ】図５ａの抜粋を示す。
【図６】妨害を受けた試験環境における、本発明による推定値とＦＦＴによる推定値との間の測定品質の違いを説明するための別の図である。
【図７ａ】本発明による高調波の推定値とＦＦＴによる推定値との間の違いを説明するための図である。
【図７ｂ】本発明による高調波の推定値とＦＦＴによる推定値との間の違いを説明するための図である。
【発明を実施するための形態】
【００２８】
図１は、電気化学反応器１の状態を確認するための本発明による診断システム３を、ブロック図の形で概略的に示す。診断システム３は、電気化学反応器１の状態を確かめるために、電気化学反応器１の電極部２の高調波電流および電圧信号の振幅および／または位相をモデルに基づき推定するための推定装置４を備え、推定装置は、高調波電流および電圧信号の振幅および／または位相を推定するように構成され、再帰的な時系列ベースの方法を使用するように具現化されている。図１に示される電気化学反応器１は電池スタック（例えば、バッテリスタック）の様式で具現化されるべきであり、電池スタックは例えば、モバイルアプリケーションの構成部分であってもよい。
【００２９】
さらに、図１に示す診断システム３は、コンピュータプログラム製品５が記憶された記憶手段６を備える。コンピュータプログラム製品は、以下に詳細に説明する方法を実行するように構成され、実施される。
【００３０】
ここで、図２に示すフローチャートを用いて、電気化学反応器１の状態を確認する方法を説明する。第１のステップＳ１において、高調波電流信号または電圧信号を印加した状態で、電気化学反応器１の電極部２を最初に動作させる。第２のステップＳ２において、電流または電圧の印加は、電極部２による対応する高調波電圧または電流信号（応答信号）の生成につながる。続いて、第３のステップＳ３において、高調波電流もしくは電圧信号または応答信号の振幅および位相のモデルに基づく推定が実行され、ここで、電気化学反応器１の状態は、該推定値に基づいて確認される。高調波電流と電圧信号の振幅と位相を推定する目的で、再帰的な時系列ベースの方法を使用した。この方法は、外部励起の周波数が既知の場合に適用される。ここで、電極部２の応答挙動は静的である。関連する高調波信号の周波数は既知である。
【００３１】
状態を確認するために、測定セットアップが使用される。測定セットアップのバックグラウンドノイズは、推定中−８０ｄＢＶ以上に設定される。この状態は、オンライン診断方法の範囲内で確認される。
【００３２】
推定装置のさらなる具現化では、ＦＦＴアルゴリズムを再帰的な時系列ベースの方法と組み合わせる。これは図３に示されており、ここでは電極部２は、既知の励起周波数に加えて、未知の周波数または変更可能な周波数によっても励起される。従来の実施形態では、再帰フィルタリング法は検討すべき信号の現在の周波数スペクトルの分析を含んでいない。ただし、評価すべき高調波成分の周波数は、フィルタのパラメータ化中に入力する必要がある。これは既知の励起周波数および既知の典型的な応答特性の場合は容易に可能である。しかしながら、アプリケーションおよび／または応答信号の周波数に変化がある場合、それぞれの周波数スペクトルはオンラインで確認されなければならない。ＦＦＴによる周波数スペクトルのオンライン演算は、それぞれの振幅レベル（過誤の影響を受けやすい）の定量的な計算ではなく、電気化学反応器１の状態を監視するために重要な周波数ドリフトする信号成分（高調波信号成分）の周波数の確かさである。この場合、振幅と位相との推定値をパラメータ化する目的で、信号の周波数位置を連続的に確認する必要がある。
【００３３】
図４は、関連する振幅と位相との非常にダイナミックな挙動を有するさらなる適用例を示し、位相と振幅とが別途構成された推定装置により並行して推定される。
【００３４】
カルマンフィルタリングおよびＲＬＳ法は原理上、従来技術においてそのようなものとして知られており、したがって、不必要な説明を避けるために包括的な形式では説明しない。したがって、カルマンフィルタリングおよびＲＬＳ法の方法セクションの選択された例のみを以下に提示する。
【００３５】
(ＲＬＳ法の適用)
信号は、高調波信号の和に基づいて推定される：
【数１】
2021504721.tif 000003
【数２】
2021504721.tif 000004
【数３】
2021504721.tif 000005
【数４】
2021504721.tif 000006
時刻ｋ＋１における新しい値に対する回帰行列および信号ベクトルの分割：
【数５】
2021504721.tif 000007
最小二乗推定の再帰的変形への展開：
【数６】
2021504721.tif 000008
【数７】
2021504721.tif 000009
【００３６】
ここで、スケーラλは古いデータに対する新たなデータの重要性を重み付けするために、すなわち、反応能力を調整または増加させるために使用される。
【００３７】
（カルマンフィルタリングの適用）
本例では、パラメータが未知の動的モデルを用い、パラメータはゆっくりとしか変化せず、確率論的プロセスノイズ（ｗ（ｋ））が存在すると仮定している。確率論的プロセスノイズはパラメータの時変推定を可能にする。したがって、（８）のようなノイズ処理が必須となる。
【数８】
2021504721.tif 000010
【００３８】
測定ノイズの共分散に加えて、プロセスノイズの共分散行列はカルマンフィルタの調整パラメータである。
【数９】
2021504721.tif 000011
【００３９】
ここで、Ｅ｛ｗ（ｋ）Tｗ（ｋ）｝は期待値であり、Ｑはプロセスノイズの共分散行列である。
【数１０】
2021504721.tif 000012
【数１１】
2021504721.tif 000013
【００４０】
この方式は前述のＲＬＳ法と類似しており、カルマンフィルタのゲインは、調整パラメータとして使用されるプロセスノイズと測定ノイズとの共分散を用いて決定される。しかしながら、式（１）は、（線形）外乱項によって展開され、その結果、ノイズのフィルタリングが可能になる。仮定したプロセスノイズの共分散は決定的な調整パラメータであり、特に外乱や応答信号の分離を容易にするので、プロセスノイズはカルマンフィルタに不可欠である。カルマンフィルタをチューニングする際の追加の自由度により、応答信号および外乱信号のキャリブレーションおよび重み付けが可能になる。
【００４１】
カルマンフィルタリングによる高調波振幅Ａの推定値ＢとＦＦＴを用いた推定値Ｄとの差を、図５ａ、図５ｂおよび図６に示す。図示されている図では、振幅が時間の経過と共に秒単位でプロットされている。図５ａおよび図５ｂから明らかなように（図５ｂは図５ａの抜粋を示す）、カルマンフィルタを使用した推定値Ｂは、ＦＦＴを使用した推定値Ｄよりも、高調波振幅Ａの実信号値に著しく近い。図５ａおよび図５ｂは、カルマンフィルタリングによって防止される、ＦＦＴの固有の推定バイアス（リーケージ効力）を示す。これとは対照的に、励起周波数がＦＦＴの周波数グリッド点に一致するので、図４によるような例ではＦＦＴに漏れ効果はない。しかしながら、これは図６の例において人為的に生成されたものであり、実際にはこのような状況の発生は非常に起こりにくい。改めて、ＦＦＴに関連してカルマンフィルタリングのより速い収束が明らかである。
【００４２】
図７ａおよび図７ｂは、荒れた環境下におけるカルマンフィルタリング（図７ｂ）による新規な方法の性能を、純粋なＦＦＴ方法（図７ａ）と比較して示す。ここでは、外乱信号は分離されている。
【００４３】
例示された実施形態に加えて、本発明は、さらなる設計を許容する。すなわち、本発明は、例示された実施形態に限定されるものと解釈されるべきではない。
【符号の説明】
【００４４】
１      電気化学反応器
２      電極部
３      診断システム
４      推定装置
５      コンピュータプログラム製品
６      記憶手段
Ａ      実信号値
Ｂ      ＲＬＳ法を用いた推定値
Ｃ      カルマンフィルタリングを用いた推定値
Ｄ      ＦＦＴを用いた推定値
【図１】
2021504721.tif 000014
【図２】
2021504721.tif 000015
【図３】
2021504721.tif 000016
【図４】
2021504721.tif 000017
【図５ａ】
2021504721.tif 000018
【図５ｂ】
2021504721.tif 000019
【図６】
2021504721.tif 000020
【図７ａ】
2021504721.tif 000021
【図７ｂ】
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【国際調査報告】
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