(57)【要約】  位相幾何学的な二次元流れ構造の全体または一部における、構造安定な流れパターンが、構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介して、他の構造安定な流れパターンに遷移可能か否かに関するパターン遷移情報を記憶し、パターン遷移情報に基づいて、指定された構造安定な流れパターンから、位相幾何学的に採り得る別の構造安定な流れパターンへ至る遷移ルートに関する遷移情報を取得する。
2015068784.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
記憶部と制御部とを備えた流体遷移経路取得装置において、
上記記憶部は、
位相幾何学的な二次元流れ構造の全体または一部における、構造安定な流れパターンが、構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介して、他の構造安定な流れパターンに遷移可能か否かに関するパターン遷移情報を記憶し、
上記制御部は、
上記パターン遷移情報に基づいて、指定された構造安定な流れパターンから、位相幾何学的に採り得る別の構造安定な流れパターンへ至る遷移ルートに関する遷移情報を取得する遷移情報取得手段、
を備えたことを特徴とする、流体遷移経路取得装置。
【請求項２】
請求項１に記載の流体遷移経路取得装置において、
上記遷移情報は、
上記別の構造安定な流れパターンに至る、構造不安定な中間状態の流れパターンに関する情報を含むこと
を特徴とする、流体遷移経路取得装置。
【請求項３】
請求項１または２に記載の流体遷移経路取得装置において、
上記遷移情報取得手段は、
上記パターン遷移情報に基づいて、指定された２つの上記構造安定な流れパターンについて、一方の上記構造安定な流れパターンから他方の上記構造安定な流れパターンに至るまでの上記遷移情報を取得すること
を特徴とする、流体遷移経路取得装置。
【請求項４】
請求項３に記載の流体遷移経路取得装置において、
上記遷移情報取得手段は、
上記構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介した遷移を１回の遷移として、上記一方の上記構造安定な流れパターンから上記他方の上記構造安定な流れパターンに至るまでの遷移回数を含む上記遷移情報を取得すること
を特徴とする、流体遷移経路取得装置。
【請求項５】
請求項４に記載の流体遷移経路取得装置において、
上記遷移情報取得手段は、
上記遷移回数が最小となる、上記一方の上記構造安定な流れパターンから上記他方の上記構造安定な流れパターンに至るまでの上記遷移情報を取得すること
を特徴とする、流体遷移経路取得装置。
【請求項６】
請求項１乃至５のいずれか一つに記載の流体遷移経路取得装置において、
上記構造安定な流れパターンは、
一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンに加えて、二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンを追加した、合計３種類の流れパターンを規定するパターン語に対して、上記流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語のうちのいずれか一語を、追加された穴の数だけ付与することにより形成された語表現によって識別されており、
上記パターン遷移情報は、
上記構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介して、互いに遷移可能な上記構造安定な流れパターンが、上記語表現にて記述された情報であり、
上記遷移情報取得手段は、
指定された構造安定な流れパターンの語表現を基準として、上記パターン遷移情報に基づいて、上記遷移情報を取得すること
を特徴とする、流体遷移経路取得装置。
【請求項７】
請求項６に記載の流体遷移経路取得装置において、
上記パターン遷移情報は、
上記構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介して、互いに遷移可能な上記構造安定な流れパターン間の、上記語表現の上記操作語の変化情報を含み、
上記遷移情報取得手段は、
指定された２つの構造安定な流れパターン間の語表現の操作語の変化を基準として、上記変化情報に基づいて、上記遷移情報を取得すること
を特徴とする、流体遷移経路取得装置。
【請求項８】
請求項６または７に記載の流体遷移経路取得装置において、
上記遷移情報取得手段は、上記指定された構造安定な流れパターンの語表現を基準として上記パターン遷移情報に基づいて取得した遷移ルートの候補が複数ある場合には、流れパターンに１対１に対応する正規表現を使用して遷移ルートを１つに特定すること
を特徴とする流体遷移経路取得装置。
【請求項９】
請求項８に記載の流体遷移経路取得装置において、
上記遷移情報取得手段は、
上記指定された２つの構造安定な流れパターン間の語表現の操作語の変化を基準として上記変化情報に基づいて取得した遷移ルートの候補が複数ある場合は、上記２つの構造安定な流れパターンの語表現に対応する正規表現をそれぞれ取得し、複数の遷移ルートの候補について、その遷移が起こるための部分表現が、一方の構造安定な流れパターンの語表現に対応する正規表現に含まれていない場合は、遷移ルートの候補から除外することを特徴とする流体遷移経路取得装置。
【請求項１０】
請求項９に記載の流体遷移経路取得装置において、
上記遷移情報取得手段は、
除外されなかった遷移ルートの候補が複数ある場合は、当該除外されなかった複数の遷移ルートの候補に対応する正規表現をそれぞれ取得し、上記除外されなかった複数の選択ルートの候補のうち、その正規表現が、他方の構造安定な流れパターンの語表現に対応する正規表現と一致するものを遷移パターンとして特定することを特徴とする流体遷移経路取得装置。
【請求項１１】
請求項８〜請求項１０のいずれか１つに記載の流体遷移経路取得装置において、
上記正規表現は、上記流れパターンに１対１に対応するグラフ表現が作成され、作成されたグラフ表現に基づいて作成されたものであることを特徴とする流体遷移経路取得装置。
【請求項１２】
請求項１１に記載の流体遷移経路取得装置において、
上記グラフ表現は、上記流れパターンで規定される構造安定なハミルトンベクトル場Ｈに対して、固有のルート付き、ラベル付き、及び向き有りのツリーＴＨ＝（Ｖ，Ｅ）を割り当て（但し、Ｖは頂点と呼ばれる点の集合、Ｅは、頂点の間を結ぶエッジの集合である）、平面グラフとして可視化したものであることを特徴とする流体遷移経路取得装置。
【請求項１３】
請求項８〜請求項１２のいずれか１つに記載の流体遷移経路取得装置において、
さらに、流体中の物体に対して設計パラメータの候補を選択する場合に、上記設計パラメータの上限及び下限を設定し、当該設計パラメータの上限と下限で規定されるパラメータ領域から複数のパラメータを選択し、選択した複数のパラメータに対して、それぞれ流れの実験及び／又は数値計算を行い、実験及び／又は数値計算の結果に対して、上記語表現及び／又は上記正規表現を割り当て、割り当てた上記語表現及び／又は上記正規表現のうち、最適状態を示す上記語表現及び／又は上記正規表現を有する設計パラメータを、上記設計パラメータの候補として選択するシミュレーション手段を備えたことを特徴とする流体遷移経路取得装置。
【請求項１４】
請求項１３に記載の流体遷移経路取得装置において、
上記割り当てた上記語表現及び／又は上記正規表現が、最適状態を示す上記語表現及び／又は上記正規表現を有しない場合でも、１回の遷移で、上記語表現及び／又は上記正規表現が、最適状態を示す上記語表現及び／又は上記正規表現を有する場合は、上記設計パラメータの候補として選択するシミュレーション手段を備えたことを特徴とする流体遷移経路取得装置。
【請求項１５】
記憶部と制御部とを備えたコンピュータにおいて実行される流体遷移経路取得方法において、
上記記憶部は、
位相幾何学的な二次元流れ構造の全体または一部における、構造安定な流れパターンが、構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介して、他の構造安定な流れパターンに遷移可能か否かに関するパターン遷移情報を記憶し、
上記制御部において実行される、
上記パターン遷移情報に基づいて、指定された構造安定な流れパターンから、位相幾何学的に採り得る別の構造安定な流れパターンへ至る遷移ルートに関する遷移情報を取得する遷移情報取得ステップ、
を含むことを特徴とする、流体遷移経路取得方法。
【請求項１６】
記憶部と制御部とを備えたコンピュータに実行させるためのプログラムにおいて、
上記記憶部は、
位相幾何学的な二次元流れ構造の全体または一部における、構造安定な流れパターンが、構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介して、他の構造安定な流れパターンに遷移可能か否かに関するパターン遷移情報を記憶し、
上記制御部において、
上記パターン遷移情報に基づいて、指定された構造安定な流れパターンから、位相幾何学的に採り得る別の構造安定な流れパターンへ至る遷移ルートに関する遷移情報を取得する遷移情報取得ステップ、
を実行させるための、プログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、流体遷移経路取得装置、流体遷移経路取得方法、および、プログラムに関する。
【背景技術】
【０００２】
従来、複数の構造物の配置設計や効率的な流体力学的特性を持つ構造物の形の最適化を行う際には、大規模な数値計算による流体シミュレーションを何度も繰り返すことにより、最適な構造物の配置を決定している。【０００３】
例えば、従来、河川などの一様な流れの中に、橋などの構造物を設計する場合、橋脚の周辺にどのような流れができるかを、計算機による大規模シミュレーション等を通じて解析していた。【０００４】
また、近年、流体等の数理モデルを構築して、流れのパターンのトポロジーを数理的に扱うことのできるアルゴリズムやプログラムが開発されている。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００５】
【非特許文献１】Ｔｏｍａｓｚ  Ｋａｃｚｙｎｓｋｉ，  Ｋｏｎｓｔａｎｔｉｎ  Ｍｉｓｃｈａｉｋｏｗ，  Ｍａｒｉａｎ  Ｍｒｏｚｅｋ著  “Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ  Ｈｏｍｏｌｏｇｙ”  Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，  ２０００年
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
しかしながら、従来の構造物設計の最適化手法においては、繰り返し行われる大規模計算により計算時間と設計コストの増大化を招く一方、それらの制約上、探索範囲を限定せざるを得ず、導き出される最適な構造物が局所最適なものである可能性を排除できないという問題点を有していた。すなわち、従来、探索範囲をどこにするのかは、技術者の経験と直感に頼らざるを得ず、どこに探索範囲を設定したかによって、導き出される構造物の最適化結果が左右されるという致命的欠陥を有していた。【０００７】
特に、最適化手法において、ある形状と配置における流れパターンを、目的の流れパターンに導くためには、どのような遷移段階を必要とするのか、その判断の指標とすべきものがなく、計算結果によって得られた流れに対して構造物の配置や形状を変えるなど流れ場の状況を制御するには、計算を試行錯誤的に何度も繰り返す必要があった。【０００８】
本発明は、上記問題点に鑑みてなされたもので、流れパターンの遷移に関する知見を得ることができる、流体遷移経路取得装置、流体遷移経路取得方法、および、プログラムを提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００９】
このような目的を達成するため、本発明の流体遷移経路取得装置は、記憶部と制御部とを備えた流体遷移経路取得装置において、上記記憶部は、位相幾何学的な二次元流れ構造の全体または一部における、構造安定な流れパターンが、構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介して、他の構造安定な流れパターンに遷移可能か否かに関するパターン遷移情報を記憶し、上記制御部は、上記パターン遷移情報に基づいて、指定された構造安定な流れパターンから、位相幾何学的に採り得る別の構造安定な流れパターンへ至る遷移ルートに関する遷移情報を取得する遷移情報取得手段、を備えたことを特徴とする。【００１０】
また、本発明の流体遷移経路取得装置は、上記記載の流体遷移経路取得装置において、上記遷移情報は、上記別の構造安定な流れパターンに至る、構造不安定な中間状態の流れパターンに関する情報を含むことを特徴とする。【００１１】
また、本発明の流体遷移経路取得装置は、上記記載の流体遷移経路取得装置において、上記遷移情報取得手段は、上記パターン遷移情報に基づいて、指定された２つの上記構造安定な流れパターンについて、一方の上記構造安定な流れパターンから他方の上記構造安定な流れパターンに至るまでの上記遷移情報を取得することを特徴とする。【００１２】
また、本発明の流体遷移経路取得装置は、上記記載の流体遷移経路取得装置において、上記遷移情報取得手段は、上記構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介した遷移を１回の遷移として、上記一方の上記構造安定な流れパターンから上記他方の上記構造安定な流れパターンに至るまでの遷移回数を含む上記遷移情報を取得することを特徴とする。【００１３】
また、本発明の流体遷移経路取得装置は、上記記載の流体遷移経路取得装置において、上記遷移情報取得手段は、上記遷移回数が最小となる、上記一方の上記構造安定な流れパターンから上記他方の上記構造安定な流れパターンに至るまでの上記遷移情報を取得することを特徴とする。【００１４】
また、本発明の流体遷移経路取得装置は、上記記載の流体遷移経路取得装置において、上記構造安定な流れパターンは、一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンに加えて、二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンを追加した、合計３種類の流れパターンを規定するパターン語に対して、上記流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語のうちのいずれか一語を、追加された穴の数だけ付与することにより形成された語表現によって識別されており、上記パターン遷移情報は、上記構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介して、互いに遷移可能な上記構造安定な流れパターンが、上記語表現にて記述された情報であり、上記遷移情報取得手段は、指定された構造安定な流れパターンの語表現を基準として、上記パターン遷移情報に基づいて、上記遷移情報を取得することを特徴とする。【００１５】
また、本発明の流体遷移経路取得装置は、上記記載の流体遷移経路取得装置において、上記パターン遷移情報は、上記構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介して、互いに遷移可能な上記構造安定な流れパターン間の、上記語表現の上記操作語の変化情報を含み、上記遷移情報取得手段は、指定された２つの構造安定な流れパターン間の語表現の操作語の変化を基準として、上記変化情報に基づいて、上記遷移情報を取得することを特徴とする。【００１６】
また、本発明の流体遷移経路取得装置は、上記遷移情報取得手段は、上記指定された構造安定な流れパターンの語表現を基準として上記パターン遷移情報に基づいて取得した遷移ルートの候補が複数ある場合には、構造安定な流れパターンに１対１に対応する正規表現を使用して遷移ルートを１つに特定することを特徴とする。【００１７】
また、本発明の流体遷移経路取得装置は、上記遷移情報取得手段は、上記指定された２つの構造安定な流れパターン間の語表現の操作語の変化を基準として上記変化情報に基づいて取得した遷移ルートの候補が複数ある場合は、上記２つの構造安定な流れパターンの語表現に対応する正規表現をそれぞれ取得し、複数の遷移ルートの候補について、その遷移が起こるための部分表現が、一方の構造安定な流れパターンの語表現に対応する正規表現に含まれていない場合は、遷移ルートの候補から除外することを特徴とする。【００１８】
また、本発明の流体遷移経路取得装置は、上記遷移情報取得手段は、除外されなかった遷移ルートの候補が複数ある場合は、当該除外されなかった複数の遷移ルートの候補に対応する正規表現をそれぞれ取得し、上記除外されなかった複数の選択ルートの候補のうち、その正規表現が、他方の構造安定な流れパターンの語表現に対応する正規表現と一致するものを遷移パターンとして特定することを特徴とする。【００１９】
また、本発明の流体遷移経路取得装置は、上記正規表現は、上記流れパターンに１対１に対応するグラフ表現が作成され、作成されたグラフ表現に基づいて作成されたものであることを特徴とする。【００２０】
また、本発明の流体遷移経路取得装置は、上記グラフ表現は、上記流れパターンで規定される構造安定なハミルトンベクトル場Ｈに対して、固有のルート付き、ラベル付き、及び向き有りのツリーＴＨ＝（Ｖ，Ｅ）を割り当て（但し、Ｖは頂点と呼ばれる点の集合、Ｅは、頂点の間を結ぶエッジの集合である）、平面グラフとして可視化したものであることを特徴とする。【００２１】
また、本発明の流体遷移経路取得装置は、さらに、流体中の物体に対して設計パラメータの候補を選択する場合に、上記設計パラメータの上限及び下限を設定し、当該設計パラメータの上限と下限で規定されるパラメータ領域から複数のパラメータを選択し、選択した複数のパラメータに対して、それぞれ流れの実験及び／又は数値計算を行い、実験及び／又は数値計算の結果に対して、上記語表現及び／又は上記正規表現を割り当て、割り当てた上記語表現及び／又は上記正規表現のうち、最適状態を示す上記語表現及び／又は上記正規表現を有する設計パラメータを、上記設計パラメータの候補として選択するシミュレーション手段を備えたことを特徴とする。【００２２】
また、本発明の流体遷移経路取得装置は、上記割り当てた上記語表現及び／又は上記正規表現が、最適状態を示す上記語表現及び／又は上記正規表現を有しない場合でも、上記流れパターンが１回の遷移で、上記語表現及び／又は上記正規表現が、最適状態を示す上記語表現及び／又は上記正規表現を有する場合は、上記設計パラメータの候補として選択するシミュレーション手段を備えたことを特徴とする。【００２３】
また、本発明の流体遷移経路取得方法は、記憶部と制御部とを備えたコンピュータにおいて実行される流体遷移経路取得方法において、上記記憶部は、位相幾何学的な二次元流れ構造の全体または一部における、構造安定な流れパターンが、構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介して、他の構造安定な流れパターンに遷移可能か否かに関するパターン遷移情報を記憶し、上記制御部において実行される、上記パターン遷移情報に基づいて、指定された構造安定な流れパターンから、位相幾何学的に採り得る別の構造安定な流れパターンへ至る遷移ルートに関する遷移情報を取得する遷移情報取得ステップ、を含むことを特徴とする。【００２４】
また、本発明のプログラムは、記憶部と制御部とを備えたコンピュータに実行させるためのプログラムにおいて、上記記憶部は、位相幾何学的な二次元流れ構造の全体または一部における、構造安定な流れパターンが、構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介して、他の構造安定な流れパターンに遷移可能か否かに関するパターン遷移情報を記憶し、上記制御部において、上記パターン遷移情報に基づいて、指定された構造安定な流れパターンから、位相幾何学的に採り得る別の構造安定な流れパターンへ至る遷移ルートに関する遷移情報を取得する遷移情報取得ステップ、を実行させることを特徴とする。【００２５】
また、本発明は記録媒体に関するものであり、上記記載のプログラムを記録したことを特徴とする。
【発明の効果】
【００２６】
この発明によれば、位相幾何学的な二次元流れ構造の全体または一部における、構造安定な流れパターンが、構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介して、他の構造安定な流れパターンに遷移可能か否かに関するパターン遷移情報を記憶し、パターン遷移情報に基づいて、指定された構造安定な流れパターンから、位相幾何学的に採り得る別の構造安定な流れパターンへ至る遷移ルートに関する遷移情報を取得する。これにより、本発明は、流れパターンの遷移に関する知見を得ることができる、という効果を奏する。特に、この遷移情報により、位相構造の遷移順序が特定できるので、例えば、航空機等の設計上で理想の流れパターンとなるよう導くために、流れパターンの遷移順序を指標にして構造設計等を行うことができる。【００２７】
また、本発明によれば、遷移情報は、別の構造安定な流れパターンに至る、構造不安定な中間状態の流れパターンに関する情報を含むので、構造安定な流れパターン間の遷移の中間状態を決定することができる、という効果を奏する。具体的には、飛行機の翼周りの流れ場の時間発展に対して、その各時刻における揚抗比といった翼の機能として重要な特性の変化がどうやって形成されるのか、どうやって失われるのか等のメカニズムが理解できるようになるため、翼機能の設計における改良の指針が得られ、最適化手法の効率化を図ることができる。【００２８】
また、本発明によれば、パターン遷移情報に基づいて、指定された２つの構造安定な流れパターンについて、一方の構造安定な流れパターンから他方の構造安定な流れパターンに至るまでの遷移情報を取得するので、２つの構造安定な流れパターン間で遷移可能な場合に流れパターンの遷移ルートや、その間の中間状態の流れパターン等に関する知見を得ることができる、という効果を奏する。【００２９】
また、本発明によれば、構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介した遷移を１回の遷移として、一方の構造安定な流れパターンから他方の構造安定な流れパターンに至るまでの遷移回数を含む遷移情報を取得するので、２つの流れパターンを移りあうのに、どれくらいの遷移が必要かを、遷移回数の多寡として取得することで、流れ構造の遠さ近さといった距離的な指標を得ることができる、という効果を奏する。【００３０】
また、本発明によれば、遷移回数が最小となる、一方の構造安定な流れパターンから他方の構造安定な流れパターンに至るまでの遷移情報を取得するので、最短の流れパターンの遷移ルートの知見を得ることができる、という効果を奏する。【００３１】
また、本発明によれば、構造安定な流れパターンは、一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンに加えて、二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンを追加した、合計３種類の流れパターンを規定する語に対して、流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した語のうちのいずれか一語を、追加された穴の数だけ付与することにより形成された語表現によって識別される。そして、パターン遷移情報は、構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介して、互いに遷移可能な構造安定な流れパターンが、語表現にて記述された情報であり、遷移情報を取得する際は、指定された構造安定な流れパターンの語表現を基準として、パターン遷移情報に基づいて、遷移情報を取得する。これにより、本発明は、流れパターンの位相幾何学的な遷移可能性を判定する場合に、語表現を用いてコンピュータが容易に扱えるようになる、という効果を奏する。【００３２】
また、本発明によれば、パターン遷移情報は、構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介して、互いに遷移可能な構造安定な流れパターン間の、語表現の操作語の変化情報を含み、指定された２つの構造安定な流れパターン間の語表現の操作語の変化を基準として、変化情報に基づいて遷移情報を取得する。これにより、本発明は、語表現の変化を基準として、効率よく遷移ルートを探索することができる、という効果を奏する。【００３３】
また、本発明によれば、指定された構造安定な流れパターンの語表現を基準としてパターン遷移情報に基づいて取得した遷移ルートの候補が複数ある場合には、流れパターンに１対１に対応する正規表現を使用して遷移ルートを１つに特定する。これにより、選択ルートの候補が複数ある場合でもパターンマッチングを行うことなく、遷移ルートを特定することが可能となるという効果を奏する。【００３４】
また、本発明によれば、指定された２つの構造安定な流れパターン間の語表現の操作語の変化を基準として変化情報に基づいて取得した遷移ルートの候補が複数ある場合は、２つの構造安定な流れパターンの語表現に対応する正規表現をそれぞれ取得し、複数の遷移ルートの候補について、その遷移が起こるための部分表現が、一方の構造安定な流れパターンの語表現に対応する正規表現に含まれていない場合は、遷移ルートの候補から除外する。これにより、遷移ルートの候補の部分表現と正規表現を比較するだけで、実際に遷移する可能性のない遷移ルートの候補を除外することが可能になるという効果を奏する。【００３５】
また、本発明によれば、除外されなかった遷移ルートの候補が複数ある場合は、当該除外されなかった複数の遷移ルートの候補に対応する正規表現をそれぞれ取得し、除外されなかった複数の選択ルートの候補のうち、その正規表現が、他方の構造安定な流れパターンの語表現に対応する正規表現と一致するものを遷移パターンとして特定する。これにより、正規表現同士を比較するだけで、遷移ルートを１つに特定することが可能となるという効果を奏する。【００３６】
また、本発明によれば、正規表現は、流れパターンに１対１に対応するグラフ表現が作成され、作成されたグラフ表現に基づいて作成されたものである。これにより、流れパターンと１対１に対応させることが可能な新たな表現方法を提供することが可能となるという効果を奏する。【００３７】
また、本発明によれば、グラフ表現は、流れパターンで規定される構造安定なハミルトンベクトル場Ｈに対して、固有のルート付き、ラベル付き、及び向き有りのツリーＴＨ＝（Ｖ，Ｅ）を割り当て（但し、Ｖは頂点と呼ばれる点の集合、Ｅは、頂点の間を結ぶエッジの集合である）、平面グラフとして可視化したものである。これにより、構造安定なハミルトンベクトル場に対して、固有のルート付き、ラベル付き、及び向き有りのツリーを平面グラフとして可視化したものをグラフ表現として提供することが可能となるという効果を奏する。【００３８】
また、本発明によれば、さらに、流体中の物体に対して設計パラメータの候補を選択する場合に、設計パラメータの上限及び下限を設定し、当該設計パラメータの上限と下限で規定されるパラメータ領域から複数のパラメータを選択し、選択した複数のパラメータに対して、それぞれ流れの実験及び／又は数値計算を行い、実験及び／又は数値計算の結果に対して、語表現及び／又は正規表現を割り当て、割り当てた語表現及び／又は正規表現のうち、最適状態を示す語表現及び／又は正規表現を有する設計パラメータを、設計パラメータの候補として選択する。これにより、最初から理想的な状況を流れパターンの語表現や正規表現として設定しておいて、それが実現されるようパラメータ領域を探索することが可能となるという効果を奏する。こうして最適な設定を実現する設計パラメータの「候補」をできるだけ多くかつ速やかに探すことができるようになる。それらの候補から始めて、既知の最適化手法を行うことで多くのかつ実現性の高い設計パラメータが得られる可能性が高くなる。【００３９】
また、本発明によれば、割り当てた語表現及び／又は正規表現が、最適状態を示す語表現及び／又は正規表現を有しない場合でも、１回の遷移で、語表現及び／又は正規表現が、最適状態を示す語表現及び／又は正規表現を有する場合は、設計パラメータの候補として選択する。これにより、１回の遷移で最適状態を示す語表現及び／又は正規表現を有するものをパラメータの候補として採用することが可能となるという効果を奏する。
【図面の簡単な説明】
【００４０】
【図１】図１は、本実施形態で用いる語表現アルゴリズムの概要を示すフローチャートである。
【図２】図２は、流れのパターンを模式的に示した図である。
【図３】図３は、領域における構造安定な流れの位相的分類を行う特徴的な軌道（流線）を全て記述した図である。
【図４】図４は、初期構造となる３種類の構造安定な流れパターンを模式的に示す図である。
【図５】図５は、穴を一つ付け加えて構造安定な流れを構成する５種類の操作を模式的に示した図である。
【図６】図６は、二つの構造物と一様流がある場合の構造安定な流れパターンの全分類を示す図である。
【図７】図７は、構造不安定な軌道の例を示す図である。
【図８】図８は、Ｄｚ（Ｍ−１）における構造安定な流線パターンから穴を一つ追加してＤｚ（Ｍ）におけるｈ−不安定な流線パターンを生成する１０個の操作を示す図である。
【図９−１】図９−１は、操作Ｄ０，ｓによって生成されるｈ−不安定な流線パターンを示す図（その１）である。
【図９−２】図９−２は、操作Ｄ０，ｓによって生成されるｈ−不安定な流線パターンを示す図（その２）である。
【図１０】図１０は、操作Ｄ０によって生成されるｈ−不安定な流線パターンとその摂動を示す図である。
【図１１】図１１は、操作Ｅ０，ｓおよびＥ０によって生成されるｈ−不安定な流線パターンとその摂動を示す図である。
【図１２】図１２は、操作Φ０，ｓとΦ０によって生成されるｈ−不安定な流線パターンとその摂動を示す図である。
【図１３】図１３は、操作Ｄ２，ｓによって生成されたｈ−不安定な流線パターンとその摂動を示す図である。
【図１４】図１４は、操作Ｄ２によって生成されるｈ−不安定な流線パターンとその摂動を示す図である。
【図１５】図１５は、操作Ｅ２，ｓとＥ２によって生成されるｈ−不安定な流線パターンとその摂動を示す図である。
【図１６】図１６は、二つ以上の穴を追加して構造安定な流線パターンからｈ−不安定な流線パターンを生成する四つの操作を示す図である。
【図１７】図１７は、操作Ψｓ（２）とΨ（２）によって生成されるｈ−不安定な流線パターンとその摂動を示す図である。
【図１８】図１８は、操作Ψ（２）によって生成されるｈ−不安定な流線パターンとその摂動を示す図である。
【図１９】図１９は、操作Ξｓ（２ｎ−１）とΞ（２ｎ−１）によって生成されるｈ−不安定な流線パターンとその摂動を示す図である。
【図２０】図２０は、ｐ−不安定なパターンΛとその摂動を示す図である。
【図２１】図２１は、Ｄｚ（Ｍ−１）における構造安定な流れ場に対して、ｐｉｎｃｈｉｎｇ  ｏｒｂｉｔを一つ追加してｐ−不安定な流線パターンを生成する操作を示す図である。
【図２２】図２２は、操作Δ１で生成されるｐ−不安定な流線パターンとその摂動を示す図（その１）である。
【図２３】図２３は、操作Δ１で生成されるｐ−不安定な流線パターンとその摂動を示す図（その２）である。
【図２４】図２４は、操作Ｍ１，ｓによって生成されるｐ−不安定な流線パターンとその摂動を示す図である。
【図２５】図２５は、操作Ｍ１，ｉとＭ１，ｏによって生成されるｐ−不安定な流線パターンとその摂動を示す図である。
【図２６】図２６は、二つの構造安定な流線パターンの間の中間状態として現れるｈ−不安定な流線パターンのリストを示す図である。
【図２７】図２７は、二つの構造安定な流線パターンの間の中間状態として現れるｈ−不安定な流線パターンのリストを示す図である。
【図２８】図２８は、二つの構造安定な流線パターンの間の中間状態として現れるｐ−不安定な流線パターンのリストを示す図である。
【図２９】図２９は、本実施形態が適用される流体遷移経路取得装置１００の一例を示すブロック図である。
【図３０】図３０は、流体遷移経路取得装置１００の処理の一例を示すフローチャートである。
【図３１】図３１は、流体遷移経路取得装置１００における、指数の差を用いた遷移ルート探索処理の一例を示すフローチャートである。
【図３２】図３２は、二次元外部領域内において、有限の厚みを持つ薄い一枚の平板が、一様流中の物体として、一様流に対して一定の角度で傾いておかれている場合を模式的に示した図である。
【図３３】図３３は、物体周りの流れの数値計算結果を示す図である。
【図３４】図３４は、物体周りの流れの数値計算結果を示す図である。
【図３５】図３５は、時刻ｔ＝５．５から７．７の時間発展の間に起こった遷移を示す図である。
【図３６】図３６は、パターン語の割り当て処理の一例を示すフローチャートである。
【図３７】図３７は、アルゴリズムＢにおけるＩ系列の操作語の割り当て処理の一例を示すフローチャートである。
【図３８】図３８は、アルゴリズムＢにおけるＩ系列の操作語の割り当て処理の一例を示すフローチャートである。
【図３９】図３９は、アルゴリズムＢにおけるＩＩ系列の操作語の割り当て処理の一例を示すフローチャートである。
【図４０】図４０は、アルゴリズムＢにおけるＯ系列の操作語の割り当て処理の一例を示すフローチャートである。
【図４１】図４１は、アルゴリズムＢ（Ｉ，ＩＩ−Ｗｏｒｄ  ａｌｇｏｒｉｔｈｍ）におけるＩ，ＩＩ系列の操作語の割り当て処理の他の例を示すフローチャートである。
【図４２】図４２は、アルゴリズムＢ（Ｉ，ＩＩ−Ｗｏｒｄ  ａｌｇｏｒｉｔｈｍ）におけるＩ，ＩＩ系列の操作語の割り当て処理の他の例を示すフローチャートである。
【図４３】図４３は、アルゴリズムＢ（Ｏ−Ｗｏｒｄ  ａｌｇｏｒｉｔｈｍ）におけるＯ系列の操作語の割り当て処理の他の例を示すフローチャートである。
【図４４】図４４は、実施の形態２に係る流れパターンの正規表現作成方法を説明するためのフローチャートである。
【図４５】図４５は、図４４のグラフ表現作成工程の一例を説明するためのフローチャートである。
【図４６】図４６は、操作Ｂ０，Ｂ２，Ｃによって生成されるすべての流れパターンとそれに対応して連結部分集合（頂点集合）に励起される親子関係を示す図である。
【図４７−Ａ】図４７−Ａは、Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。
【図４７−Ｂ】図４７−Ｂは、Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。
【図４７−Ｃ】図４７−Ｃは、Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。
【図４７−Ｄ】図４７−Ｄは、Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。
【図４７−Ｅ】図４７−Ｅは、Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。
【図４８】図４８は、ルートとなる連結成分をＣＨ＝Ｄｚ（Ｍ）＼Ｄから選ぶ方法を説明するための図である。
【図４９】図４９は、操作Ａ０，Ａ２，Ｃによって生成されるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍの局所構造とそれに対応して得られるグラフ表現の可視化を示す図である。
【図５０−Ａ】図５０−Ａは、Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。
【図５０−Ｂ】図５０−Ｂは、Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。
【図５０−Ｃ】図５０−Ｃは、Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。
【図５０−Ｄ】図５０−Ｄは、Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。
【図５１−Ａ】図５１−Ａは、ＩＡ０Ｃなる語表現をもつ構造安定な流線パターンのグラフ表現とその正規表現を示す図である。
【図５１−Ｂ】図５１−Ｂは、ツリーの正規表現への変換処理を説明するためのフローチャートである。
【図５２】図５２は、実施の形態２が適用される流体遷移経路取得装置１０１の一例を示すブロック図である。
【図５３】図５３は、流体遷移経路取得装置１０１における、指数の差を用いた遷移ルート探索処理の一例を示すフローチャートである。
【図５４】図５４は、一様流中におかれた一枚平板のｔ＝５．５からｔ＝７．７までの時間発展とその流線パターンの位相構造、その極大語表現、及びその正規表現である。
【図５５】図５５は、時刻ｔ＝５．５から７．７の時間発展の間に起こった遷移を示す図である。
【図５６】図５６は、語表現と正規表現を使用した流体中の物体の設計方法を説明するためのフローチャートである。
【図５７】図５７は、語表現と正規表現を使用した流体中の物体の設計方法を説明するための具体例の一例を説明するための図である。
【図５８】図５８は語表現と正規表現を使用した流体中の物体の設計方法を説明するための具体例の一例を説明するための図である。
【発明を実施するための形態】
【００４１】
以下に、本発明にかかる流体遷移経路取得装置、流体遷移経路取得方法、および、プログラムの実施形態を図面に基づいて詳細に説明する。この実施形態によりこの発明が限定されるものではない。
【００４２】
『実施の形態１』
［本発明の実施形態の概要］
以下、本発明の実施形態の概要について図１〜図２８を参照して説明し、その後、本実施形態の構成および処理等について詳細に説明する。
【００４３】
まず、本実施の形態は、位相幾何学的な二次元流れ構造の全体または一部における、構造安定な流れパターン（以下、「流線パターン」とも称する）が、構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介して、他の構造安定な流れパターンに遷移可能か否かに関するパターン遷移情報を記憶する。なお、このようなパターン遷移情報を網羅的に取得する方法については後述する。
【００４４】
そして、本実施の形態は、パターン遷移情報に基づいて、指定された構造安定な流れパターンから、位相幾何学的に採り得る別の構造安定な流れパターンへ至る遷移ルートに関する遷移情報を取得する。すなわち、本実施の形態は、指定された構造安定な流れパターンを出発点として、別の構造安定な流れパターンへ至る遷移ルートを探索する。本実施の形態は、全ての採り得る経路を導出してもよい。例えば、指定された構造安定な流れパターンを出発点として、パターン遷移情報を参照して、構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介した２番目の構造安定な流れパターンを全て書き出してもよい。そして、２番目の構造安定な流れパターンのそれぞれを出発点として、パターン遷移情報を参照して、構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介した３番目の構造安定な流れパターンを全て書き出してもよい。このように上述の処理を繰返すことにより、全ての採り得る遷移ルートを算出してもよい。なお、道路等の経路探索と同様に、構造安定な流れパターンをノードと考えて、構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介した１回の遷移をリンクと考えて、公知の経路探索手法等を用いて遷移ルートを探索してもよい。
【００４５】
ここで、本実施の形態は、遷移情報は、別の構造安定な流れパターンに至る、構造不安定な中間状態の流れパターンに関する情報を含んでもよい。すなわち、本実施の形態は、遷移ルートとして、構造安定な流れパターンの遷移順序のみを取得するのではなく、その間の構造不安定な中間状態の流れパターンも遷移ルートの一部として遷移情報を取得してもよい。
【００４６】
また、本実施の形態は、パターン遷移情報に基づいて、指定された２つの構造安定な流れパターンについて、一方の構造安定な流れパターンから他方の構造安定な流れパターンに至るまでの遷移情報を取得してもよい。より具体的には、本実施の形態は、指定された、一方の構造安定な流れパターンを出発点として、他方の構造安定な流れパターンを到達点として、その間の遷移ルートを探索してもよい。なお、２つの構造安定な流れパターン間に遷移ルートがない場合は、遷移不可能との結果を遷移情報として取得する。
【００４７】
また、本実施の形態は、構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介した遷移を１回の遷移として、一方の構造安定な流れパターンから他方の構造安定な流れパターンに至るまでの遷移回数を含む遷移情報を取得してもよい。すなわち、２つの流れパターン間における、流れ構造の遠さ近さといった距離的な尺度として、遷移回数を取得してもよい。
【００４８】
また、本実施の形態は、遷移回数が最小となる、一方の構造安定な流れパターンから他方の上記構造安定な流れパターンに至るまでの遷移情報を取得してもよい。すなわち、本実施の形態は、遷移回数を指標として、遷移ルートの最短ルートを算出してもよい。
【００４９】
流れパターンの位相構造をコンピュータに取り扱い易くするために、流れパターンを語表現で識別（ラベル）してもよい。例えば、一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンに加えて、二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンを追加した、合計３種類の流れパターンを規定するパターン語に対して、流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語のうちのいずれか一語を、追加された穴の数だけ付与することにより形成された語表現によって構造安定な流れパターンを識別してもよい。このように、流れパターンを語表現で識別することで、本実施の形態は、構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介して、互いに遷移可能な上記構造安定な流れパターンが、語表現にて記述されたパターン遷移情報に基づいて、指定された構造安定な流れパターンの語表現を基準として遷移情報を取得することができる。また、パターン遷移情報に、構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介して、互いに遷移可能な構造安定な流れパターン間の、語表現の操作語の変化情報を含めることで、本実施の形態は、指定された２つの構造安定な流れパターン間の語表現の操作語の変化を基準として、変化情報に基づいて遷移情報を取得してもよい。
【００５０】
なお、本実施の形態において、この語表現を形成させるアルゴリズムを、「語変換アルゴリズム」と呼ぶ。なお、「語変換アルゴリズム」について、その数学的な詳細は公表論文（Ｔ．  Ｙｏｋｏｙａｍａ  ａｎｄ  Ｔ．  Ｓａｋａｊｏ，  “Ｗｏｒｄ  ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ  ｏｆ  ｓｔｒｅａｍｌｉｎｅ  ｔｏｐｏｌｏｇｙ  ｆｏｒ  ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌｌｙ  ｓｔａｂｌｅ  ｖｏｒｔｅｘ  ｆｌｏｗｓ  ｉｎ  ｍｕｌｔｉｐｌｙ  ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ  ｄｏｍａｉｎｓ”，  Ｐｒｏｃ．  Ｒｏｙ．  Ｓｏｃ．  Ａ  ４６９  （２０１３）ｄｏｉ：  １０．１０９８／ｒｓｐａ．２０１２．０５５８）を参照することができる（以下、「公表論文（２０１３）」と呼ぶ）。
【００５１】
以上が、本実施の形態の概要である。
【００５２】
［語変換アルゴリズム］
ここで、上述した語表現を形成させる語変換アルゴリズムの概要について以下に説明する。ここで、図１は、本実施形態の語表現アルゴリズムの概要を示すフローチャートである。
【００５３】
図１に示すように、まず、本実施形態は、位相幾何学的にＮ個の穴を有する連結外部領域における流れパターンの語表現を形成させるために、一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンに加えて、二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンを追加した、合計３種類の流れパターンを規定するパターン語（例えば、Ｉ，ＩＩ，Ｏ）のうちのいずれか一語を付与する（ステップＳＡ−１）。
【００５４】
そして、本実施形態は、ステップＳＡ−１にて付与された語に対して、流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語（例えば、Ａ０，Ａ２，Ｂ０，Ｂ２，Ｃ）のうちのいずれか一語を付与し（ステップＳＡ−２）、当該ステップＳＡ−２の処理を穴の数がＮ個となるまで繰り返し行うことにより（ステップＳＡ−３）、Ｎ個の穴を有する連結外部領域に対応する語表現を形成させる。なお、この例では、パターン語の付与（ステップＳＡ−１）が先に行われ、操作語の付与（ステップＳＡ−２）が後に行われるが、
これに限られず、操作語の付与を先に行い、後にパターン語の付与を行ってもよいものである。
【００５５】
ここで、本実施形態において、「連結外部領域」とは、単連結外部領域と多重連結外部領域を含む表現であり、「単連結外部領域」とは、二次元（平面）の中にある領域で、一つの穴があいたものをいい、「多重連結外部領域」とは、二次元（平面）の中にある領域で、複数の穴があいたものをいう。ここでいう「穴」という表現は、数学的な抽象表現であるが、応用上はさまざまな表現形態であってもよい。例えば、乗り物が移動した際に相対的に発生する一様な流れに注目した場合、一様流に沿った乗り物の断面に構造物が一つ又は複数あった状況があれば、その領域は単連結外部領域または多重連結外部領域として扱える。例えば、空気中を進む航空機等の飛行物体や、空気中を進む電車や自動車等の地上走行車両、海上または海中を進む船等の乗り物についても、一または複数の穴と、単連結または多重連結の連結外部領域として扱える。換言すれば、「流れの中に一または複数の障害物がある」ような流れを、本実施形態では、連結外部領域における流れとして扱う。また、孤立した渦構造や周囲に周期軌道を持つような流れ構造（楕円型の停留点など）も「穴」とみなすことができる。
【００５６】
上述のように、流れパターンに対して語表現を割り当てることによって、連結外部領域における流れの位相的分類が可能となる。位相的というのは数学の専門用語であり、トポロジー（位相幾何学）とも呼ばれる幾何学の一分野を指す。古典的な幾何学では、三角形や四角形はその角の数の違いにより異なる図形と見なすが、位相幾何学の立場ではそういった細かい情報を見ず、三角形と四角形を例えば輪ゴムを変形させて互いに移りあえるという立場にたって同じ図形と見なす。すなわちすべての多角形は、円と同じと見なす。一方で、円の中にもう一つ円がくりぬかれているような円環領域があったときに円と円環領域は一つの輪ゴムの変形では互いに変形できないので、異なる図形と見なす。連結外部領域では、空いている穴の数が異なれば、それらの図形は位相的に異なると見なす一方で、穴の形さえ同じであれば、その穴の形が円であろうが三角形であろうが線分であろうが同じものとみなす。このような理由から流れの領域を特徴づけるのは穴の数のみであるため、本実施形態では、穴の数Ｍ＋１に対して連結外部領域をＤζ（Ｍ）と表現する。例えば、穴が１つのみの場合は、単連結外部領域Ｄζ（０）であり、穴が２つ在る場合は、二重連結外部領域Ｄζ（１）となる。
【００５７】
流れの位相的分類を扱うときは、流れを特徴づけるある特定の構造（「位相構造」と呼ぶ。）を捕まえて、その特定の構造をもった流れが二つあったときに、その双方を特定の構造の連続的な（すなわち切ったり貼ったりしない）変形によって互いに変形できないものは異なる流れと見なす。
【００５８】
［流れの構成要素の説明］
ここで、本実施形態において扱う流れの構成要素について図２〜図４を参照して説明する。本実施形態における「流れ」として非圧縮流れを扱ってもよい。流体の非圧縮性とは、力を加えてもほとんどその体積を変えないような性質をいう。通常の水や大気の流れは、日常生活のスケールで考える場合は、こうした流れの枠組みで考えても概ね差し支えはない。なお、本発明は、これに限られず、圧縮性のある流れを計算上取り扱ってもよい。
【００５９】
また、本実施形態における流体は、非粘性流体として扱ってもよい。非粘性流体は、境界条件を「すべり条件」として扱うことができる。なお、粘性流体では、境界条件が「ゼロ境界条件」となるが、粘性流体でも、粘性が大きくないとき、境界付近は渦が層状の流れとなっており、その流れの外側境界を、仮想的に拡張することで「すべり条件」として扱うことができる。したがって、本実施形態では、特に、非粘性流体における語変換アルゴリズムにおいて説明することがあるが、適切な境界の拡張により、粘性流体についても本実施形態を適用することができる。
【００６０】
本実施形態で扱う流れの構成要素は、以下の３つである。一つは障害物、一つは渦（ｖｏｒｔｅｘ）、一つは一様流（ｕｎｉｆｏｒｍ  ｆｌｏｗ）である。障害物は連結外部領域における穴のことであり、この形状は位相的分類を考えている上で円としておいても数学的に与える結果に影響はないことが一般的な流体の数学理論から導くことができる。ここで、図２は、流れのパターンを模式的に示した図である。なお、図２（ｃ）は、４つの∂−ｓａｄｄｌｅ点（定義は後述）を持つ境界を模式的に示している。
【００６１】
図２（ａ）に示すように、渦はそのまわりで回転する流れを作る要素である。一様流とは、川の流れでいえば基本的な流れのことであり、領域全体を横切るような流れである。また、乗り物等の移動物体の場合、一様流とは、その乗り物に乗っている観察者から見た、相対的な気流や水流等の流れである。すなわち、移動物体の座標系においては、実際には空気や水が静止していても、無限遠点から流れてくる相対的な流れを観念することができる。
【００６２】
一様流を構成する要素は、吸い込み湧き出し対（１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ  ｐｏｉｎｔ）と呼ぶ（数学的定義は、公表論文（２０１３）のＤｅｆｉｎｉｔｉｏｎ  ２．１参照）。
【００６３】
ここで、一様流ではなく吸い込み湧き出し対と呼ぶことには理由がある。その理由の説明のため、いくつかの数学的な解説を以下に行う。一様流が存在するとき、考えている流れの領域は無限に拡がる平面であり、その中に一つまたは複数の穴（障害物）が埋め込まれているような連結外部領域であるが、このような流れを模式的（Ｓｃｈｅｍａｔｉｃ）に表現する上では扱いにくい。そのため、数学におけるｓｔｅｒｅｏｇｒａｐｈｉｃ  ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ（ステレオ射影・立体射影）と呼ばれる射影法によって、平面を球面の上に投影して扱ってもよい。この場合、平面における無限遠点は球面の北極に、平面の原点は南極に対応させることができる。
【００６４】
このようにしておくと、一様流は球面の北極における流れの湧き出しと吸い込み対といった流れ構造となり、図２（ｂ）のような流れ場に対応していることが数学的に示せる。さらに模式的に流れ場を表現するためには、球面は対称性の高い形状であるということを利用して、北極と南極の位置を適当にずらすことができるので、無限遠点を南極に、ある円形の穴（障害物）の中心を北極にあわせてから、再びｓｔｅｒｅｏｇｒａｐｈｉｃ  ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎを使って平面に投影すると、南極に対応する原点付近の近くでは図２（ｂ）のような流れができる。さらに無限遠点に中心を持つ円境界は平面の外側円境界に投影されるので、結果として平面全体の流れ場が、例えば図３のような形の有界な領域として表現できる。なお、連結外部領域Ｄζ（Ｍ）をこの変換方法により，無限遠点の吸い込み湧き出し対を原点に、また、Ｍ＋１個の境界の１つを選んで、それを単位円外部領域に移したときに得られる、Ｍ個の境界をその内部に含む単位円内部の連結領域をＤｚ（Ｍ）と書く。以後の記載はすべてこのＤｚ（Ｍ）を用いて行う。したがって、図２（ｂ）のような表現は適切な射影法を通じて、平面全体の中に一様流が入っている流れと等価なものである。本実施形態の説明では、流れを模式的に示すために便利であることから、このような射影法を用いて図に表現する場合がある。
【００６５】
図３は、このような連結領域Ｄｚ（Ｍ）における構造安定な流れの位相的分類を行う特徴的な軌道（流線）を全て記述した図である。図３（ａ）に示すように、まず吸い込み湧き出し対から出て自分自身に戻ってくる軌道をｓｓ−ｏｒｂｉｔと呼ぶ。この線一本一本が連結外部領域での一様流の流線を表す。次に、図３（ｂ）に示すように、吸い込み湧き出し対から出て境界の上につながる軌道をｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと呼び、図３（ｃ）に示すように、その軌道がつながっている境界上の点をｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅと呼ぶ。
【００６６】
また、図３（ｅ）に示すように、吸い込み湧き出し対からではなく、ある境界の上の点から出て同じ境界上の点につながる軌道を∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと呼び、図３（ｄ）に示すように、これによってつながれている境界上の点を∂−ｓａｄｄｌｅと呼ぶ。また、図３（ｈ）に示すような、境界上にない双曲型の停留点をｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔ（サドル点）と呼ぶが、図３（ｆ）に示すように、吸い込み湧き出し対から出る軌道で、このｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔにつながる軌道をｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと呼ぶ。また、図３（ｇ）に示すように、境界や渦の回りを作る閉曲線軌道をｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔと呼び、図３（ｉ）に示すように、ｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔから出てそれ自身に戻るような軌道をｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと呼ぶ。対象とする構造安定な流れは、これらの軌道の組み合わせによってしか表現されないことが数学的に証明できる。
【００６７】
本実施形態では、上述したステップＳＡ−２において、穴の数がＭ個ある連結外部領域Ｄｚ（Ｍ−１）の流れに、一つの穴とそれに伴う流れの構造を付け足すことで、一つ穴の多い多重連結外部領域Ｄｚ（Ｍ）の流れ場を帰納的に構成していく。そのため、もっとも簡単な穴が一つの単連結外部領域Ｄｚ（０）や、二重連結外部領域Ｄｚ（１）で、これらの帰納的構成の初期構造になるものをステップＳＡ−１で与えている。
【００６８】
具体的には、上述した基本となる流れパターンは、３種類あり、
１）吸い込み湧き出し対をもち、二つのｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩ、
２）吸い込み湧き出し対をもち、一つのｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔ、それを結ぶｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと二つのｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩＩ、および
３）吸い込み湧き出し対をもたないパターンＯ、
である。ここで、図４は、初期構造となる３種類の構造安定な流れパターンを模式的に示す図である。
【００６９】
すなわち、図４（ａ）と（ｂ）に示すように、穴が一個の単連結外部領域Ｄｚ（０）にある流れは、パターンＩとパターンＩＩの２種類存在する。これらのパターンは、ともに吸い込み湧き出し対を持ち、数学的にはこれら２種類しかないことが証明できる。一様流を仮定した吸い込み湧き出し対を持つような流れに対して、原則的には二重連結外部領域Ｄｚ（１）は、これらから構成されるが、吸い込み湧き出し対を持たない流れはここから構成されないので、その流れを構成するために必要な初期流れが図４（ｃ）に模式的に示されるパターンＯである。なお、これらの位相構造は表現の簡便さのため、吸い込み湧き出し対を丸囲みＳと図示し、ｓｓ−ｏｒｂｉｔやｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔは、無限に存在するので表現せず、以後、模式的に図４（ｄ）や（ｅ）のように簡略的に表す。また、図４（ｃ）に示すように、吸い込み湧き出し対を持たない二重連結外部Ｄｚ（１）における流れのパターンのｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔも、すべて書かないで図４（ｆ）のように簡略に記す。
【００７０】
［操作語の説明］
帰納的に流れを構成していくために、穴を一つとそれに伴う流れの構造を追加するという「操作」について、図５および図６を参照して説明する。すなわち、穴の数がＭ個ある連結外部領域Ｄｚ（Ｍ−１）の流れに、一つの穴を加えて多重連結外部領域Ｄｚ（Ｍ）の流れを求める操作について説明する。
【００７１】
上述したステップＳＡ−２において、位相幾何学的に採り得る５種類の操作は、
１）一本のｓｓ−ｏｒｂｉｔを、一つのｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔ、それを結び内部に穴をもつｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと二つのｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに置き換えるＡ０操作、
２）一本のｓｓ−ｏｒｂｉｔを、二つのｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと新たに追加した境界上の二つの∂−ｓａｄｄｌｅに置き換えるＡ２操作、
３）一本のｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔを、一つの穴とｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔを追加して８の字をした２本のｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに置き換えるＢ０操作（このパターンを以後Ｆｉｇｕｒｅ  Ｅｉｇｈｔパターンと呼ぶ。）、
４）一本のｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔを、新たに追加した穴の境界上に二つ∂−ｓａｄｄｌｅをつけて一本の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎでつなぐような軌道に置き換えるＢ２操作、および、
５）既に２ｋ個（ｋ＞０）の∂−ｓａｄｄｌｅをもつ境界に、新たに二つの∂−ｓａｄｄｌｅを付け加えて一本の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎでつなぎ内部に新たに付け加えた穴を置くＣ操作、
である。ここで、図５は、穴を一つ付け加えて構造安定な流れを構成する５種類の操作を模式的に示した図である。
【００７２】
図５（ａ）に示すように、操作Ａ０とＡ２は一本のｓｓ−ｏｒｂｉｔに対して行われる。また、図５（ｂ）に示すように、操作Ｂ０とＢ２は、一本のｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔに対して行われる。また、図５（ｃ）に示すように、操作Ｃは、既に∂−ｓａｄｄｌｅを持つ境界に対して行われる。なお、構造安定性を維持しながらそのようなことを可能にする操作が、上記の５種類しかないことが数学的に証明可能である（公表論文（２０１３）のＴｈｅｏｒｅｍ  ３．１，  Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ３．１，  Ｔｈｅｏｒｅｍ  ３．２参照）。このステップを繰り返してできる流れパターン図を、パターンＩ，ＩＩから始めたときはｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍと呼び、パターンＯから始めたときは、ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍと呼ぶ。
【００７３】
ステップＳＡ−１で与えた初期構造の３種類の流れパターンＩ，ＩＩ，Ｏから、これらの操作を行って一つずつ穴を増やす（Ｍ→Ｍ＋１）ことで、多くの穴を持つ領域における流れが帰納的に構成されるので、本実施形態では、その操作を表す操作語の列を文字列と見なして列挙することで、流れ場の語表現（Ｗｏｒｄ  ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ）を得ることができる。ここで、図６は、二つの構造物と一様流がある場合の構造安定な流れパターンの全分類を示す図である。図６に示すように、単連結外部領域Ｄｚ（０）における初期構造のパターンＩ，ＩＩに対して、操作語を付与することで、二重連結外部領域Ｄｚ（１）における全ての流れパターンを記述することができる。ただし、図６に示す全ての流れパターンは、２種類（Ｉ，ＩＩ）×５種類（Ａ０，Ａ２，Ｂ０，Ｂ２，Ｃ）の計１０種類とはなっていない。すなわち、操作語は、５種類の操作語を任意に並べてできるわけではなく、数学的な理由から様々な制約がつく。
【００７４】
ここで、制約について説明すれば以下のようになる。すなわち、図５を用いて上述したように、操作Ａ０とＡ２は、一本のｓｓ−ｏｒｂｉｔに対して行われるので、この操作を行う前提として、一本のｓｓ−ｏｒｂｉｔの存在が不可欠となる。また、操作Ｂ０とＢ２は、一本のｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔに対して行われるので、この操作を行う前提として、一本のｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔの存在が不可欠である。また、操作Ｃは、∂−ｓａｄｄｌｅを持つ境界に対して行われるので、この操作を行う前提として、∂−ｓａｄｄｌｅを持つ境界の存在が不可欠となる。そのため、パターン語をＩ，ＩＩ，Ｏのどこからはじめるかによって並べ方のルールは異なる。上記の制約条件に基づいて導出される、各パターン語Ｉ，ＩＩ，Ｏからはじまる文字列の並べ方のルールについて、以下に説明する。
【００７５】
まず、湧き出し吸い込み対を持たないＯのパターン語からはじめる場合には、次のようなルールがある。Ｏから始まる語表現に対して、それが構造安定な流れを表すために以下が必要十分である。
Ｏ−１）実際に施すことができる操作は、Ｂ０，Ｂ２，Ｃのみであり、その結果、Ｏから始まる語表現はこれら三つの語を列挙したものとなる。
Ｏ−２）操作列の語表現においてＣの語が含まれるためには、それ以前に必ずＢ２が存在しなければならない。
【００７６】
このような文字列をＯ系列の語（Ｏ−Ｗｏｒｄ）と呼び、そのルールの正しさは数学的に証明可能である（公表論文（２０１３）のＬｅｍｍａ  ３．１参照）。
【００７７】
次に、パターン語Ｉから始まる語表現については、以下のルールが成り立つ必要がある。
Ｉ−１）  実施可能な操作はＡ０，Ａ２，Ｂ０，Ｂ２，Ｃの全てであり、その結果、Ｉから始まる語表現はこれら５種類の操作語を列挙したものである。
Ｉ−２）  操作列の語表現において、Ｂ０あるいはＢ２の語が含まれるためには、それ以前に必ずＣかＡ０が存在しなければならない。
【００７８】
このような文字列をＩ系列の語（Ｉ−Ｗｏｒｄ）と呼び、そのルールの正しさは数学的に証明可能である（公表論文（２０１３）のＬｅｍｍａ３．３参照）。
【００７９】
最後にパターン語ＩＩから始まる語表現については、以下のルールが成り立つ必要がある。
ＩＩ−１）実施可能な操作はＡ０，Ｂ０，Ｂ２，Ｃであり、その結果、ＩＩから始まる語表現はこれら四つの語を列挙したものである。
ＩＩ−２）操作列の語表現においてＣの語が含まれるためには、それ以前に必ずＢ２が存在しなければならない。
【００８０】
このような文字列をＩＩ系列の語（ＩＩ−Ｗｏｒｄ）と呼び、そのルールの正しさは数学的に証明可能である（公表論文（２０１３）のＬｅｍｍａ  ３．４参照）。
【００８１】
これらの語表現群に対して、重複する語表現や、包含される語表現等を排除することにより得られる語表現を、極大語表現（ｍａｘｉｍａｌ  ｗｏｒｄ  ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ）と呼ぶ。例えば、極大語表現は、以下の表で示される包含関係に従って、語表現を入れ替えて、重複や包含関係のない語表現を形成させてもよい。なお、下表において「＝」は一致関係、「≦」または「≧」は包含関係を示す。唯一の例外はＢ２とＣであり、これは入れ替えても包含関係が成立しないので、この二つは入れ替えることができないので、このことを、Ｂ２Ｃ｜｜ＣＢ２と象徴的に表している。なお、極大語表現を用いるのは、重複や包含関係がなく扱い易いからであり、本実施の形態を行うために必須ではない。例えば、本実施の形態のパターン遷移情報において、重複や包含関係を許して語表現が割り当てられていれば（例えば、１つの構造安定な流れパターンに、対応する複数の語表現が割り当てられていれば）、極大語表現を用いることは必須ではない。また、後に示すアルゴリズムＢやその亜種などのようにアルゴリズムが一つ決まれば、与えられた流れに対して一意に語表現を割り当てることができる。
【表１】
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【００８２】
以上のように、流れパターンの語表現によって、その流線構造が文字によって表現されることで、起こりうる全ての流れパターンが分類可能になる。
【００８３】
［パターン遷移情報］
つづいて、本実施の形態のパターン遷移情報について説明する。なお、流れ場には、上述したアルゴリズムを使って既に一意な極大語表現がラベル付けされているとしてよい。ただし、本実施の形態は、上述のようにパターン遷移情報に重複や包含関係を許して語表現の割り当てを行えば、極大語表現を用いることに限られない。
【００８４】
本実施の形態のパターン遷移情報は、２つの構造安定な流線パターンにそれぞれ極大語表現Ｗ１とＷ２が与えられていたときに、その２つの流線パターンが、ある１つの中間状態を経て互いに移りあえるかどうかを判定して、遷移可能な場合に、その中間状態の流線パターンの候補を特定した情報である。
【００８５】
本実施の形態のパターン遷移情報の求め方の一例について説明する。まず、与えられた構造安定な流線パターンの極大語表現をＷとするとき、その「指数」を以下のように定義する。
【００８６】
定義２．１
極大語表現Ｗに対して、ａ０（Ｗ），ａ２（Ｗ），ｂ０（Ｗ），ｂ２（Ｗ）およびｃ（Ｗ）をそれぞれＷの中に含まれるＡ０，Ａ２，Ｂ０，Ｂ２，Ｃの文字の数とする。このとき、Ｗが、Ｏ系列の極大語（ｍａｘｉｍａｌ  Ｏ−ｗｏｒｄ），Ｉ系列の極大語（ｍａｘｉｍａｌ  Ｉ−ｗｏｒｄ），ＩＩ系列の極大語（ｍａｘｉｍａｌ  ＩＩ−ｗｏｒｄ）であるとき、その指数（ｉｎｄｅｘ）をそれぞれ以下のように定義する。
ｉｎｄＯ（Ｗ）＝（０，０，ｂ０（Ｗ），ｂ２（Ｗ），ｃ（Ｗ））
ｉｎｄＩ（Ｗ）＝（ａ０（Ｗ），ａ２（Ｗ）＋１，ｂ０（Ｗ），ｂ２（Ｗ），ｃ（Ｗ））
ｉｎｄＩＩ（Ｗ）＝（ａ０（Ｗ）＋１，ａ２（Ｗ），ｂ０（Ｗ），ｂ２（Ｗ），ｃ（Ｗ））
【００８７】
また、極大語表現Ｗの中に含まれる文字の部分列（必ずしも隣り合う必要はない）ＳをＷの部分語（ｓｕｂｗｏｒｄ）と呼ぶ。
【００８８】
定義２．２
極大語表現がＷ＝Ｏ０Ｏ１．．．Ｏｋと与えられているとする。ただし、Ｏ０はＯ，Ｉ，ＩＩのいずれか、Ｏｉ（１≦ｉ≦ｋ）はＡ０，Ａ２，Ｂ０，Ｂ２，Ｃのいずれかである。このときＷに含まれる文字列の一部、すなわちＳ＝Ｏｉ１．．．Ｏｉｌ（０≦ｉ１＜・・・＜ｉｌ≦ｋ）をＷの部分語（ｓｕｂｗｏｒｄ）とよび、Ｓ⊆Ｗのように記述する。
【００８９】
なお、この定義においてｉ１＝０となる場合も許していることから、部分語Ｓの中にはＯ，Ｉ，ＩＩといった三種類のパターン語を表す文字も含めることができる。
【００９０】
ここで、与えられた２つの極大語表現Ｗ１，Ｗ２に対して、それらが表している構造安定な流線パターンの位相構造の間に起こる遷移状態（中間状態）を与える。このような遷移状態は、わずかな摂動を加えることで直ちに２つ以上の構造安定なパターンへと変化するため、「構造不安定（ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌｌｙ  ｕｎｓｔａｂｌｅ）」な流線パターンである。そのため、中間状態を表す流線を構成するためには、構造不安定な流れ場および流線パターンを使う必要がある。そこで、以下にこうした構造不安定な流れを構成する流れの要素を与える。図７は、構造不安定な軌道の例を示す図である。
【００９１】
図７（ａ）に示すように、まず、２つの異なるサドル点を結ぶ軌道をヘテロクリニック軌道（ｈｅｔｅｒｏｃｌｉｎｉｃ  ｏｒｂｉｔ）と呼ぶ。
【００９２】
図７（ｂ）は、サドル点と境界上の２つの∂−ｓａｄｄｌｅを結ぶ（２つの）ｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを示している。このように、ｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎは、サドル点と境界上にある∂−ｓａｄｄｌｅの間を結ぶ軌道である。
【００９３】
図７（ｃ）は、２つの異なる境界の上にある∂−ｓａｄｄｌｅの間を結ぶ（２つの）ｈｅｔｅｒｏｃｌｉｎｉｃ  ∂−ｏｒｂｉｔを示している。このように、ｈｅｔｅｒｏｃｌｉｎｉｃ  ∂−ｏｒｂｉｔは、異なる２つの境界上にある∂−ｓａｄｄｌｅを結ぶ軌道である。
【００９４】
こうした軌道で結ばれているサドル点や円境界の組を、以後「ｈｅｔｅｒｏｃｌｉｎｉｃ  ｐａｉｒ」と呼ぶこととする。さらに、図７（ａ）（ｂ）（ｃ）のように、こうしたｈｅｔｅｒｏｃｌｉｎｉｃ  ｐａｉｒをただ１つだけ持ち、それ以外はすべて構造安定であるような非粘性・非圧縮流れ場を「ｈ−不安定（ｈ−ｕｎｓｔａｂｌｅ）」、あるいはその流線パターンを「ｈ−不安定なパターン（ｈ−ｕｎｓｔａｂｌｅ  ｓｔｒｅａｍｌｉｎｅ  ｐａｔｔｅｒｎ）」と呼ぶ。
【００９５】
一方、図７（ｄ）は、境界上にあるｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｐｉｎｃｈｉｎｇ  ｏｒｂｉｔを示している。境界上にある正則でない停留点で４本の分岐する軌道（セパラトリクス）につながっているものを「ｐｉｎｃｈｉｎｇ  ｐｏｉｎｔ」と呼ぶ。図７（ｄ）に示すように、ｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｐｉｎｃｈｉｎｇ  ｏｒｂｉｔは、４本の分岐する軌道のうち２本は境界上を残り２本が互いにつながっているよう軌道を表す。こうしたｐｉｎｃｈｉｎｇ  ｐｏｉｎｔをたった１つだけもち、それ以外は構造安定であるような非粘性・非圧縮流れ場を、「ｐ−不安定（ｐ−ｕｎｓｔａｂｌｅ）」あるいはその流線パターンを「ｐ−不安定なパターン（ｐ−ｕｎｓｔａｂｌｅ  ｓｔｒｅａｍｌｉｎｅ  ｐａｔｔｅｒｎ）」と呼ぶ。
【００９６】
本実施の形態では、２つの構造安定な流れ場の間の構造不安定な中間状態の流線パターンを、これらのｈ−不安定あるいはｐ−不安定な流れ場を使って表現する。ここで、構造不安定な流れ場というものは、ｐ−不安定な流れやｈ−不安定な流れだけではなく厳密にはもっと多様かつ複雑な流れ場を含みうるが、流体領域内における「穴」の数が有限かつ変化しないという仮定の下では、すべての中間状態である構造不安定な流れ場はｐ−不安定あるいはｈ−不安定な流れ場によって連続的に近似できることが数学的に論証可能であり、この特殊な構造を持つ構造不安定な流れ場を使って中間状態を記述することは問題ない（論文「Ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎｓ  ｏｆ  ｓｔｒｅａｍｌｉｎｅ  ｔｏｐｏｌｏｇｉｅｓ  ｆｏｒ  ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌｌｙ  ｓｔａｂｌｅ  Ｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎ  ｆｌｏｗｓ  ｉｎ  ｍｕｌｔｉｐｌｙ  ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ  ｄｏｍａｉｎｓ」参照）。
【００９７】
［ｈ−不安定なパターン］
以下に、一つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｐａｉｒをもちそれ以外はすべて構造安定な流線パターンを持つｈ−不安定な流線構造を生成する１４個の操作を定義し、それらが摂動を受けたときにどのような構造安定な流線パターンに遷移するかをその部分語表現とともに記述する。
【００９８】
［穴を１つ追加する操作］
まず、構造安定な連結外部領域Ｄｚ（Ｍ−１）内における流線パターンに対して、一つ穴を追加してＤｚ（Ｍ）におけるｈ−不安定な流線パターンを生成する１０個の操作を定義する。図８は、Ｄｚ（Ｍ−１）における構造安定な流線パターンから穴を一つ追加してＤｚ（Ｍ）におけるｈ−不安定な流線パターンを生成する１０個の操作を示す図である。図中の斜線の円が新たに追加された穴を表している（以下の図でも同様）。
【００９９】
（操作Ｄ０，ｓとＤ０）
操作Ｄ０，ｓとＤ０は、図８（ａ）に示すように、それぞれｓｓ−（∂−）ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎおよび∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎの上にｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅを一つくっつける操作である。なお、操作を表す文字Ｄ０，ｓに現れる下付文字のｓはこの構造が、一様流の存在を表す１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ  ｐｏｉｎｔに直接つながっていることを意味する。
【０１００】
まず、数学的な検討の結果、操作Ｄ０，ｓは、９種類のｈ−不安定な流れパターンを生成する。これらの構造と部分語表現およびそれらを摂動したときに得られる構造安定な流線パターンを図９（図９−１および図９−２）に従って記述する。図９（ａ）から（ｃ）は、操作Ｄ０，ｓによって生成されるｈ−不安定な流線パターンとその摂動および部分語表現を示す図である。また、図９（ｄ）は２つのｈ−不安定な流れパターンを示している。なお、以下に示す図（例えば図９の（ａ）から（ｃ）等）においては、真ん中にはｈ−不安定な流線パターンとその部分語表現を、その左右にこのパターンを摂動して得られる二つの構造安定な流線パターンとその部分語表現を表現している。
【０１０１】
図９（ａ）は、ｈ−不安定な流れパターンＩＤ０，ｓとその摂動パターンを示す図である。ｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅをｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎの上側につけるか下側につけるかによって２種類のパターンが得られる。双方とも摂動後の流線のパターンはかわらないものの穴の位置がｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎの上から下へ移動する。摂動後の部分語表現は、ともにＩＡ０である。よって、この遷移によって、それぞれの構造安定な流れ場を表す極大語表現の間の指数は変化しない。
【０１０２】
図９（ｂ）は、ｈ−不安定な流れパターンＩＩＤ０，ｓとその摂動パターンを示す図である。この場合もｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅを追加する方向に応じて２種類のｈ−不安定なパターンが得られるが、やはりともに摂動により部分語表現ＩＩＡ０を持つ二つの構造安定な流れパターンへ遷移する。この遷移によって、それぞれの構造安定な流れ場を表す極大語表現の間の指数は変化しない。
【０１０３】
図９（ｃ）は、ｈ−不安定な流れパターンＡ０Ｄ０，ｓとその摂動パターンを示す図である。この場合も操作を施すＡ０の構造およびｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅを追加する方向に応じて３種類のｈ−不安定なパターンが得られるが、いずれの場合も摂動により部分語表現Ａ０Ａ０を持つ二つの構造安定な流れパターンへ遷移する。この遷移によって、それぞれの構造安定な流れ場を表す極大語表現の間の指数は変化しない。
【０１０４】
図９（ｄ）は、ｈ−不安定な流れパターンＡ２Ｄ０，ｓを示す図である。この場合もｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅを追加する方向に応じて２種類のｈ−不安定なパターンが得られるが、これらの流線パターンは、適切な変数変換によって、ＩＤ０，ｓと位相的に同じパターンになるので、図９（ａ）と同じ遷移を起こす。語表現の間の指数は変化しない。
【０１０５】
以上Ｄ０，ｓの考察にあるように、操作を施す方向などの組み合わせに応じて、例えばＩＤ０，ｓでは２種類のｈ−不安定なパターンが得られる。以後の全ての操作についても同様の組み合わせに応じた複数のパターンが得られるが、いずれの場合もその摂動を行った場合は全く同じ語表現をもつ構造へと遷移していること、また指数の変化も同じであることから本質的な違いはないため、以後では便宜上これらの複数のパターンのうちの一つを代表的なものだけをとりあげて図示し、その説明を行うものとする。以後これらを「代表的なパターン」と呼ぶことにする。
【０１０６】
次に、数学的な検討の結果、操作Ｄ０は図１０に示すように４種類の代表的なｈ−不安定な流線パターンを生成する。図１０は、操作Ｄ０によって生成されるｈ−不安定な流線パターンとその摂動を示す図である。
【０１０７】
図１０（ａ）は、ｈ−不安定な流線パターンＢ２Ｄ０とその摂動を示している。このパターンの摂動によって、構造は異なるが同じ部分語表現Ｂ０Ｂ２（あるいはＢ２Ｂ０）を持つ構造安定な流線パターンが得られる。したがって、このとき極大語表現の間の指数に変化は起こらない。
【０１０８】
図１０（ｂ）は、ｈ−不安定な流線パターンＡ２ＣＤ０とその摂動を示している。Ａ２ＣＤ０のパターンは、適切な変数変換の下で、ＩＣＤ０が表すパターンと位相的に同じであるため、そのパターンの摂動を考える。摂動により部分語表現がＩＡ０ＣおよびＩＣＢ０と異なる二つの構造安定な流線パターンが得られる。このとき極大語表現の指数は、ｉｎｄＩ（ＩＡ０Ｃ）−ｉｎｄＩ（ＩＣＢ０）＝（１，０，−１，０，０）と変化する。
【０１０９】
図１０（ｃ）は、ｈ−不安定な流線パターンＩＣＣＤ０とその摂動を示している。このパターンの摂動により構造は異なるが同じ部分語表現ＩＣＣＢ０（あるいはＩＣＢ０Ｃ）を持つ二つの構造安定な流線パターンが得られる。そのため指数の変化はない。
【０１１０】
図１０（ｄ）は、ｈ−不安定な流線パターンＢ２ＣＤ０とその摂動を示している。このパターンの摂動により構造は異なるが同じ部分語表現Ｂ２ＣＢ０（あるいはＢ０Ｂ２Ｃ，Ｂ２Ｂ０Ｃ）を持つ二つの構造安定な流線パターンが得られる。そのため、指数の変化はない。
【０１１１】
図１０（ｅ）は、ｈ−不安定な流線パターンＢ２ＣＤ０とその摂動を示している。このパターンの摂動により構造は異なるが同じ部分語表現Ｂ２ＣＢ０（あるいはＢ０Ｂ２Ｃ，Ｂ２Ｂ０Ｃ）を持つ二つの構造安定な流線パターンが得られる。そのため、指数の変化はない。
【０１１２】
（操作Ｅ０，ｓとＥ０）
操作Ｅ０，ｓとＥ０は、図８（ｂ）のように、ｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎの軌道内に、新たにｈｏｍｏｌｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅを一つつける操作を表す。数学的な検討の結果、これらの操作によって得られる代表的なｈ−不安定な流線パターンとその摂動は以下の通りである。ここで、図１１は、操作Ｅ０，ｓおよびＥ０によって生成されるｈ−不安定な流線パターンとその摂動を示す図である。
【０１１３】
図１１（ａ）は、ｈ−不安定な流線パターンＩＩＥ０，ｓとその摂動を示している。このパターンの摂動により部分語表現がそれぞれＩＩＡ０とＩＩＢ０に対応する構造安定な流線パターンが得られる。この遷移による極大語表現の指数の変化は、ｉｎｄＩＩ（ＩＩＡ０）−ｉｎｄＩＩ（ＩＩＢ０）＝（１，０，−１，０，０）である。
【０１１４】
図１１（ｂ）は、ｈ−不安定な流線パターンＡ０Ｅ０，ｓとその摂動を示している。このパターンの摂動により部分語表現がそれぞれＡ０Ａ０とＡ０Ｂ０に対応する構造安定な流線パターンが得られる。この遷移による極大語表現の指数の変化は、ｉｎｄＩ（Ａ０Ａ０）−ｉｎｄＩ（Ａ０Ｂ０）＝ｉｎｄＩＩ（Ａ０Ａ０）−ｉｎｄＩＩ（Ａ０Ｂ０）＝（１，０，−１，０，０）である。
【０１１５】
図１１（ｃ）は、ｈ−不安定な流線パターンＢ０Ｅ０とその摂動を示している。摂動により同じ部分語表現Ｂ０Ｂ０を持つ構造が得られる。そのため指数の変化はない。
【０１１６】
（操作Φ０，ｓとΦ０）
操作Φ０，ｓとΦ０は、ともに一つのサドル点を二つに分離して、それらの点を新たに二つの（新しい穴を一つ取り囲む）ヘテロクリニック軌道で結ぶ図８（ｃ）に示したような操作である。なお、この操作によってΦの形をした形状をした流線パターンを作るので、この記号を用いている。数学的な検討の結果、これらの操作によって図１２に示すような３種類の代表的なｈ−不安定な流線パターンとその摂動が得られる。図１２は、操作Φ０，ｓとΦ０によって生成されるｈ−不安定な流線パターンとその摂動を示す図である。
【０１１７】
図１２（ａ）は、ｈ−不安定な流線パターンＩＩΦ０，ｓとその摂動を示している。摂動により同じ部分語表現ＩＩＡ０を持つ構造が得られる。そのため指数の変化はない。
【０１１８】
図１２（ｂ）は、ｈ−不安定な流線パターンＡ０Φ０，ｓとその摂動を示している。摂動により同じ部分語表現Ａ０Ａ０を持つ構造が得られる。そのため指数の変化はない。
【０１１９】
図１２（ｃ）は、ｈ−不安定な流線パターンＢ０Φ０とその摂動を示している。摂動により同じ部分語表現Ｂ０Ｂ０を持つ構造が得られる。そのため指数の変化はない。
【０１２０】
（操作Ｄ２，ｓとＤ２）
ｓｓ−（∂−）ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎあるいは∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを切断して、その切断点を新しく付け加えた境界につなげる図８（ｄ）のような操作をそれぞれ操作Ｄ２，ｓおよびＤ２と呼ぶ。まず、数学的な検討の結果、Ｄ２，ｓによって図１３に示すような３種類の代表的なｈ−不安定な流線パターンが得られる。図１３は、操作Ｄ２，ｓによって生成されたｈ−不安定な流線パターンとその摂動を示す図である。
【０１２１】
図１３（ａ）は、ｈ−不安定な流線パターンＩＤ２，ｓとその摂動を示している。摂動により同じ部分語表現ＩＡ２を持つ構造が得られる。そのため指数の変化はない。
【０１２２】
図１３（ｂ）は、ｈ−不安定な流線パターンＩＩＤ２，ｓとその摂動を示している。摂動により同じ部分語表現ＩＡ０を持つ構造が得られる。そのため指数の変化はない。
【０１２３】
図１３（ｃ）に示すように、ｈ−不安定な流線パターンＡ０Ｄ２，ｓは、位相的にＡ２Ｄ０，ｓと同じである（図９−２（ｄ）参照）。
【０１２４】
図１３（ｄ）に示すように、ｈ−不安定な流線パターンＡ２Ｄ２，ｓは適当な変数変換によりＩＤ２，ｓと同じになる（図１３（ａ）参照）。
【０１２５】
次に、数学的な検討の結果、操作Ｄ２によって図１４に示すような５種類の代表的なｈ−不安定な流線パターンが生成される。図１４は、操作Ｄ２によって生成されるｈ−不安定な流線パターンとその摂動を示す図である。
【０１２６】
図１４（ａ）は、ｈ−不安定な流線パターンＢ２Ｄ２とその摂動を示している。摂動により同じ部分語表現Ｂ２Ｂ２を持つ構造が得られる。そのため指数の変化はない。
【０１２７】
図１４（ｂ）に示すように、ｈ−不安定な流線パターンＡ２ＣＤ２は、適当な変数変換の下でＩＣＤ２と同じなので、その摂動を考える。摂動により部分語表現ＩＡ２ＣとＩＣＢ２を持つ異なる構造安定な流線パターンが得られる。この遷移による指数の変化は、ｉｎｄＩ（ＩＡ２Ｃ）−ｉｎｄＩ（ＩＣＢ２）＝（０，１，０，−１，０）である。
【０１２８】
図１４（ｃ）は、ｈ−不安定な流線パターンＩＣＣＤ２とその摂動を示している。摂動により同じ部分語表現ＩＣＣＢ２（あるいはＩＣＢ２Ｃ）を持つ構造が得られる。そのため指数の変化はない。
【０１２９】
図１４（ｄ）は、ｈ−不安定な流線パターンＢ２ＣＤ２とその摂動を示している。摂動により同じ部分語表現Ｂ２ＣＢ２（あるいはＢ２Ｂ２Ｃ）を持つ構造が得られる。そのため指数の変化はない。
【０１３０】
図１４（ｅ）は、ｈ−不安定な流線パターンＢ２ＣＣＤ２とその摂動を示している。このパターンはＢ２ＣＤ２にＣを施したものと同じなのでＢ２ＣＤ２と同じ部分語変化を与える（図１４（ｄ）参照）。
【０１３１】
（操作Ｅ２，ｓとＥ２）
操作Ｅ２，ｓとＥ２は、ｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを切断して、その切断点に新しい円境界をつなぐ図８（ｅ）のような操作を表す。数学的な検討の結果、この操作により図１５のような３種類の代表的なｈ−不安定な流線パターンが得られる。図１５は、操作Ｅ２，ｓとＥ２によって生成されるｈ−不安定な流線パターンとその摂動を示す図である。
【０１３２】
図１５（ａ）は、ｈ−不安定な流線パターンＩＩＥ２，ｓとその摂動を示している。摂動により部分語表現ＩＡ０とＩＩＢ２を持つ異なる構造安定な流線パターンが得られる。この遷移による指数の変化は、ｉｎｄＩ（ＩＡ０）−ｉｎｄＩＩ（ＩＩＢ２）＝（０，１，０，−１，０）である。
【０１３３】
図１５（ｂ）は、ｈ−不安定な流線パターンＩＡ０Ｅ２，ｓとその摂動を示している。摂動により部分語表現ＩＡ０Ａ２とＩＡ０Ｂ２を持つ異なる構造安定な流線パターンが得られる。この遷移による指数の変化は、ｉｎｄＩ（ＩＡ０Ａ２）−ｉｎｄＩ（ＩＡ０Ｂ２）＝（０，１，０，−１，０）である。
【０１３４】
図１５（ｃ）に示すように、ｈ−不安定な流線パターンＩＩＡ０Ｅ２，ｓは、ＩＩＥ２，ｓに操作Ａ０を施したものと同じである（図１５（ａ）参照）。
【０１３５】
図１５（ｄ）に示すように、ｈ−不安定な流線パターンＢ０Ｅ２は、Ｂ２Ｄ０と位相的に同じである（図１０（ａ）参照）。
【０１３６】
［穴を２つ以上追加する操作］
ここでは、図１６に示すような一回の操作で二つ以上の穴を追加する操作を導入して、そこから生成されるｈ−不安定な流線パターンとその摂動について説明する。図１６は、二つ以上の穴を追加して構造安定な流線パターンからｈ−不安定な流線パターンを生成する四つの操作を示す図である。
【０１３７】
（操作Ψｓ（２）とΨ（２））
図１６（ａ）に示すように、境界上にある一つのｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅを選んで、それにつながる軌道の上に一つｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔと境界に二つの∂−ｓａｄｄｌｅｓを追加して、それらの間を２本のｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎでつなぐ操作をΨｓ（２）と呼ぶ。一方、一つの∂−ｓａｄｄｌｅを選んで同じ操作をすることをΨ（２）と呼ぶ。この操作により、３本のｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎが得られ、それらによって囲まれる新たな二つの穴が追加される。なお、操作の結果Ψの形の流線パターンが形成されるので、この記号を用いている。また、Ψｓ（２）における（２）の文字は、この操作によって追加される穴の数を明示的に表現している。
【０１３８】
数学的な検討の結果、Ψｓ（２）とΨ（２）によって生成される代表的なｈ−不安定な流線パターンは、図１７と図１８に示す５種類である。図１７は、操作Ψｓ（２）とΨ（２）によって生成されるｈ−不安定な流線パターンとその摂動を示す図である。図１８は、操作Ψ（２）によって生成されるｈ−不安定な流線パターンとその摂動を示す図である。
【０１３９】
図１７（ａ）は、ｈ−不安定な流線パターンＩΨｓ（２）とその摂動を示している。摂動により同じ部分語表現ＩＡ０Ｃを持つ構造が得られる。そのため指数の変化はない。
【０１４０】
図１７（ｂ）に示すように、ｈ−不安定な流線パターンＡ２Ψｓ（２）は、ＩΨｓ（２）と位相的に同じである（図１７（ａ）参照）。
【０１４１】
図１７（ｃ）は、ｈ−不安定な流線パターンＢ２Ψ（２）とその摂動を示している。摂動により同じ部分語表現Ｂ０Ｂ２Ｃ（あるいはＢ２ＣＢ０，Ｂ２Ｂ０Ｃ）を持つ構造が得られる。そのため指数の変化はない。
【０１４２】
図１８（ａ）は、ｈ−不安定な流線パターンＩＣΨ（２）とその摂動を示している。摂動により部分語表現ＩＡ０ＣＣとＩＣＣＢ０（あるいはＩＣＢ０Ｃ）を持つ異なる構造安定な流線パターンが得られる。この遷移による指数の変化は、ｉｎｄＩ（ＩＡ０ＣＣ）−ｉｎｄＩ（ＩＣＣＢ０）＝（１，０，−１，０，０）である。
【０１４３】
図１８（ｂ）は、ｈ−不安定な流線パターンＩＣＣΨ（２）とその摂動を示している。摂動により同じ部分語表現ＩＣＣＣＢ０（あるいはＩＣＣＢ０Ｃ，ＩＣＢ０ＣＣ）を持つ構造が得られる。そのため指数の変化はない。
【０１４４】
図１８（ｃ）は、ｈ−不安定な流線パターンＢ２ＣΨ（２）とその摂動を示している。摂動により同じ部分語表現Ｂ２ＣＣＢ０（あるいはＢ０Ｂ２ＣＣ，Ｂ２Ｂ０ＣＣ，Ｂ２ＣＢ０Ｃ）を持つ構造が得られる。そのため指数の変化はない。
【０１４５】
図１８（ｄ）は、ｈ−不安定な流線パターンＢ２ＣＣΨ（２）とその摂動を示している。このパターンは、Ｂ２ＣΨ（２）にＣを施したものと同じなので、Ｂ２ＣΨ（２）と同じ部分語表現の変化を与える（図１８（ｃ）参照）。
【０１４６】
（操作Ξｓ（２ｎ−１）とΞ（２ｎ−１），  ｎ≧２）
図１６（ｂ）に示すように操作Ξｓ（２ｎ−１）とΞ（２ｎ−１）は、三個以上の任意の奇数個の新しい穴を追加してｈ−不安定な流線パターンを生成する操作である。具体的には、∂−ｓａｄｄｌｅをすでに持っている円境界を一つ選び、それとは別のところに新たに円境界を生成して、この二つの境界を２ｎ−１本のｈｅｔｅｒｏｃｌｉｎｉｃ  ∂−ｏｒｂｉｔで結ぶ操作である。この結果として、∂−ｏｒｂｉｔで囲まれた２ｎ−２個の円境界が追加され、全部で２ｎ−１個の穴が生成される。なお、ｎ＝１のときは、これらの操作はＤ２，ｓおよびＤ２と一致するので、一般性を失うことなくｎ≧２としてよい。数学的な検討の結果、これらの操作は、図１９に示すように４種類の代表的なｈ−不安定な流線パターンを生成する。図１９は、操作Ξｓ（２ｎ−１）とΞ（２ｎ−１）によって生成されるｈ−不安定な流線パターンとその摂動を示す図である。
【０１４７】
図１９（ａ）は、ｈ−不安定な流線パターンＩΞｓ（２ｎ−１）とその摂動を示している。摂動により同じ部分語表現ＩＡ２Ｃ２ｎ−２を持つ構造が得られる。そのため指数の変化はない。
【０１４８】
図１９（ｂ）は、ｈ−不安定な流線パターンＢ２Ξ（２ｎ−１）とその摂動を示している。摂動により同じ部分語表現Ｂ２ＣｋＢ２Ｃ２ｎ−２−ｋ（０≦ｋ≦ｎ−１）を持つ構造が得られる。そのため指数の変化はない。
【０１４９】
図１９（ｃ）は、ｈ−不安定な流線パターンＩＣΞ（２ｎ−１）とその摂動を示している。摂動により部分語表現ＩＡ２Ｃ２ｎ−１とＩＣｋＢ２Ｃ２ｎ−１−ｋ（１≦ｋ≦ｎ）を持つ異なる構造安定な流線パターンが得られる。この遷移による指数の変化は、ｉｎｄＩ（ＩＡ２Ｃ２ｎ−１）−ｉｎｄＩ（ＩＣＢ２Ｃ２ｎ−２）＝（０，１，０，−１，０）である。
【０１５０】
図１９（ｄ）は、ｈ−不安定な流線パターンＩＣＣΞ（２ｎ−１）とその摂動を示している。摂動により同じ部分語表現ＩＣｋＢ２Ｃ２ｎ−ｋ（１≦ｋ≦ｎ）を持つ構造が得られる。そのため指数の変化はない。
【０１５１】
以上がｈ−不安定な流線パターンを作る１４操作と、その結果現れるｈ−不安定な３２個の代表的な流線パターンおよびその摂動と部分語表現である。数学的には、二つの構造安定な流れ場の中間状態として現れるｈ−不安定な流線パターンが、これだけしかないことが厳密に証明できる。これらをすべてまとめて、与えられた二つの構造安定な流線パターンＷ１，Ｗ２の極大語表現の中に含まれる部分語Ｓ１およびＳ２と指数の差ｄに対応して起こりうる遷移のパターンをまとめると、ｈ−不安定なパターンを介した遷移のパターン遷移情報が得られる（後述する図２６および図２７参照）。
【０１５２】
［ｐ−不安定なパターン］
まず、内部に境界を持たない単連結外部領域Ｄｚ（０）において一つのｐｉｎｃｈｉｎｇ  ｏｒｂｉｔを持つ基本パターンが存在するので、それに名前をつける。図２０は、ｐ−不安定なパターンΛとその摂動を示す図である。
【０１５３】
（基本パターンΛ）
基本パターンΛは、Ｄｚ（０）におけるｐ−不安定な流線パターンであり、図２０（ａ）で与えられる。このパターンを摂動する基本パターンＩとＩＩに遷移する。したがって、このパターンによって極大語表現の先頭部分の文字を変更することになる。このときの極大語表現の指数の変化はｉｎｄＩ（Ｉ）−ｉｎｄＩＩ（ＩＩ）＝（−１，１，０，０，０）である。一方、図２０（ｂ）は、このΛの作る構造が一つの∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに囲まれた流線パターンΛＣとその摂動を表している。摂動により部分語表現がＩＣおよびＩＩＢ２を持つ異なる構造安定な流線パターンが得られる。このときの極大語表現の指数の変化はｉｎｄＩ（ＩＣ）−ｉｎｄＩＩ（ＩＩＢ２）＝（−１，１，０，−１，１）である。なお、このΛパターンを基本パターンとして、構造安定な流れ場を作る操作Ａ０，Ａ２，Ｂ０，Ｂ２，Ｃを繰り返して得られるｐ−不安定な流れ場に対して、その施した操作を列に並べて得られる極大語表現をｍａｘｉｍａｌ  Λ−ｗｏｒｄ（Λ系列の極大語）と呼ぶことができるので、このΛ−ｗｏｒｄの摂動によって、Ｉ−ｗｏｒｄとＩＩ−ｗｏｒｄの間の遷移が起こる。ただし、Λ−ｗｏｒｄの中にＡ２の文字が含まれているときは、その摂動によってＩＩ−ｗｏｒｄに変化したものはＩＡ０＝ＩＩＡ２の関係式を使って、Ｉ−ｗｏｒｄに常に変換されることに注意する。例えば、ΛＡ０Ａ２Ｂ０Ｃで表現されるｐ−不安定な流れ場を摂動すると、ＩＡ０Ａ２Ｂ０ＣとＩＩＡ０Ａ２Ｂ０Ｃ＝ＩＡ０Ａ０Ｂ０Ｃの極大語表現を持つ構造安定な流れ場が得られる。
【０１５４】
ここで、図２１は、Ｄｚ（Ｍ−１）における構造安定な流れ場に対して、ｐｉｎｃｈｉｎｇ  ｏｒｂｉｔを一つ追加してｐ−不安定な流線パターンを生成する操作を示す図である。
【０１５５】
（操作Δ１）
操作Δ１は、図２１（ａ）に示すように、任意の円境界にｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｐｉｎｃｈｉｎｇ  ｏｒｂｉｔを追加して穴を増やす操作を表している。数学的な検討の結果、操作Δ１により、図２２や図２３に示すような５種類の代表的なｐ−不安定な流線パターンが生成される。ここで、図２２および図２３は、操作Δ１で生成されるｐ−不安定な流線パターンとその摂動を示す図である。
【０１５６】
図２２（ａ）は、ｐ−不安定な流線パターンΔ１とその摂動を示している。摂動により部分語表現Ｂ０とＢ２を持つ異なる構造安定な流線パターンが得られる。この遷移による指数の変化は、ｉｎｄ＊（Ｂ０）−ｉｎｄ＊（Ｂ２）＝（０，０，１，−１，０）である（＊は、Ｏ，Ｉ，ＩＩのいずれか）。
【０１５７】
図２２（ｂ）は、ｐ−不安定な流線パターンＩΔ１とその摂動を示している。摂動により部分語表現ＩＡ０とＩＣを持つ異なる構造安定な流線パターンが得られる。この遷移による指数の変化は、ｉｎｄＩ（ＩＡ０）−ｉｎｄＩ（ＩＣ）＝（１，０，０，０，−１）である。
【０１５８】
図２２（ｃ）は、ｐ−不安定な流線パターンＩＩΔ１とその摂動を示している。摂動により部分語表現ＩＩＢ０とＩＩＢ２を持つ異なる構造安定な流線パターンが得られる。この遷移による指数の変化は、ｉｎｄＩＩ（ＩＩＢ０）−ｉｎｄＩＩ（ＩＩＢ２）＝（０，０，１，−１，０）である。
【０１５９】
図２２（ｄ）は、ｐ−不安定な流線パターンＡ０Δ１とその摂動を示しているが、これはΔ１のついた境界にＡ０を施したものに等しい（図２２（ａ）参照）。
【０１６０】
図２２（ｅ）は、ｐ−不安定な流線パターンＢ０Δ１とその摂動を示しているが、これはΔ１のついた境界にＢ０を施したものに等しい（図２２（ａ）参照）。
【０１６１】
図２３（ａ）に示すように、ｐ−不安定な流線パターンＡ２Δ１は、ＩΔ１と位相的に同じである（図２２（ｂ）参照）。
【０１６２】
図２３（ｂ）は、ｐ−不安定な流線パターンＢ２Δ１とその摂動を示している。摂動により部分語表現Ｂ０Ｂ２（あるいはＢ２Ｂ０）とＢ２Ｃを持つ異なる構造安定な流線パターンが得られる。この遷移による指数の変化は、ｉｎｄ＊（Ｂ０Ｂ２）−ｉｎｄ＊（Ｂ２Ｃ）＝（０，０，１，０，−１）である（＊は、Ｏ，Ｉ，ＩＩのいずれか）。
【０１６３】
図２３（ｃ）に示すように、ｐ−不安定な流線パターンＡ２ＣΔ１は、ＩＣΔ１に位相的に等しい。その摂動により部分語表現ＩＣＢ０とＩＣＣを持つ異なる構造安定な流線パターンが得られる。この遷移による指数の変化は、ｉｎｄＩ（ＩＣＢ０）−ｉｎｄＩ（ＩＣＣ）＝（０，０，１，０，−１）である。
【０１６４】
図２３（ｄ）は、ｐ−不安定な流線パターンＢ２ＣΔ１は、Ｂ２Δ１にＣを施したものに等しいので考える必要はない（図２３（ｂ）参照）。
【０１６５】
（操作Ｍ１，ｓ）
図２１（ｂ）に示すように、１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ  ｐｏｉｎｔにｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎによってつながっている∂−ｓａｄｄｌｅと端点を共有する∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを同じ境界上に付け加える操作をＭ１，ｓと呼ぶ。この操作によって穴が一つ増えると同時に、数学的な検討の結果、以下の図２４に示すような１種類の代表的なｐ−不安定な流線パターンを生成する。図２４は、操作Ｍ１，ｓによって生成されるｐ−不安定な流線パターンとその摂動を示す図である。
【０１６６】
図２４（ａ）は、ｐ−不安定な流線パターンＩＭ１，ｓとその摂動を示している。摂動により部分語表現ＩＡ０とＩＣを持つ異なる構造安定な流線パターンが得られる。この遷移による指数の変化は、ｉｎｄＩ（ＩＡ０）−ｉｎｄＩ（ＩＣ）＝（１，０，０，０，−１）である。
【０１６７】
図２４（ｂ）は、ｐ−不安定な流線パターンＡ２Ｍ１，ｓは、適当な変数変換によりＩＭ１，ｓと同じとなる（図２４（ａ）参照）。
【０１６８】
（操作Ｍ１，ｉとＭ１，ｏ）
操作Ｍ１，ｉとＭ１，ｏは、それぞれ図２１（ｃ）に示すように境界上に存在する∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎの∂−ｓａｄｄｌｅと端点を共有するような∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを同じ境界上に新たに追加する操作である。Ｍ１，ｉは∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを既存の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎの内側に、Ｍ１，ｏは外側に追加するものである。数学的な検討の結果、これらの操作は、図２５に示すような５種類の代表的なｐ−不安定な流線パターンを生成する。図２５は、操作Ｍ１，ｉとＭ１，ｏによって生成されるｐ−不安定な流線パターンとその摂動を示す図である。
【０１６９】
図２５（ａ）は、ｐ−不安定な流線パターンＢ２Ｍ１，ｏおよびＢ２Ｍ１，ｉとその摂動を示している。双方とも摂動により部分語表現Ｂ２Ｂ０とＢ２Ｃを持つ異なる構造安定な流線パターンが得られる。この遷移による指数の変化は、ｉｎｄ＊（Ｂ２Ｂ０）−ｉｎｄ＊（Ｂ２Ｃ）＝（０，０，１，０，−１）である（＊は、Ｏ，Ｉ，ＩＩのいずれか）。
【０１７０】
図２５（ｂ）上段は、ｐ−不安定な流線パターンＩＣＭ１，ｏとその摂動を示している。摂動により部分語表現ＩＣＢ０とＩＣＣを持つ異なる構造安定な流線パターンが得られる。この遷移による指数の変化は、ｉｎｄＩ（ＩＣＢ０）−ｉｎｄＩ（ＩＣＣ）＝（０，０，１，０，−１）である。
【０１７１】
図２５（ｂ）下段は、ｐ−不安定な流線パターンＩＣＭ１，ｉとその摂動を示している。摂動により部分語表現ＩＡ０ＣとＩＣＣを持つ異なる構造安定な流線パターンが得られる。この遷移による指数の変化は、ｉｎｄＩ（ＩＡ０Ｃ）−ｉｎｄＩ（ＩＣＣ）＝（１，０，０，０，−１）である。
【０１７２】
図２５（ｃ）は、ｐ−不安定な流線パターンＩＣＣＭ１，ｉとその摂動を示している。摂動により部分語表現ＩＣＣＢ０（あるいはＩＣＢ０Ｃ）とＩＣＣＣを持つ異なる構造安定な流線パターンが得られる。この遷移による指数の変化は、ｉｎｄＩ（ＩＣＣＢ０）−ｉｎｄＩ（ＩＣＣＣ）＝（０，０，１，０，−１）である。
【０１７３】
以上がｐ−不安定な流線パターンを生成する１つの基本パターンと６つの操作、およびそれらによって生成される１３種類のｐ−不安定な流線パターンとその摂動と部分語表現である。これ以外にｐ−不安定な流線パターンを生成する操作は存在しないことも数学的に厳密に証明することができる。
【０１７４】
以上のｈ−不安定な流線パターンとｐ−不安定な流線パターンに関する全てをまとめて、与えられた二つの構造安定な流線パターンＷ１，Ｗ２の極大語表現の中に含まれる部分語Ｓ１およびＳ２と指数の差ｄに対応して起こりうる遷移のパターンをまとめたものが図２６〜図２８に示す表である。
【０１７５】
図２６および図２７は、二つの構造安定な流線パターンの間の中間状態として現れるｈ−不安定な流線パターンのリストを示す図である。ｈ−不安定な流線パターンＸを部分構造にもつ遷移は、Ｗ１およびＷ２なる極大語表現を持つ二つの構造安定な流れ場に対して、条件Ｓ１⊆Ｗ１，Ｓ２⊆Ｗ２，ｉｎｄ＊（Ｗ１）−ｉｎｄ＊（Ｗ２）＝ｄ（＊はＯ，Ｉ，ＩＩのいずれか）が成り立っているときに起こりうることを示している。
【０１７６】
図２８は、二つの構造安定な流線パターンの間の中間状態として現れるｐ−不安定な流線パターンのリストを示す図である。ｐ−不安定な流線パターンＸを部分構造にもつ遷移は、Ｗ１およびＷ２なる極大語表現を持つ二つの構造安定な流れ場に対して、条件Ｓ１⊆Ｗ１，Ｓ２⊆Ｗ２，ｉｎｄ＊（Ｗ１）−ｉｎｄ＊（Ｗ２）＝ｄ（＊はＯ，Ｉ，ＩＩのいずれか）が成り立っているときに起こりうることを示している。
【０１７７】
これら、図２６〜図２８で示されたリストにおいては、中間状態である構造不安定な流れ場が近似的に全て網羅されており、そのためリストをパターン遷移情報として用いることで遷移ルートを探索することができる。
【０１７８】
つづいて、上述した本実施形態の方法をコンピュータにより実施するための装置構成や処理の詳細について、以下に詳しく説明する。なお、以上の本実施形態による方法の全部または一部を、人またはコンピュータにより実施してもよく、以下の実施形態による処理等を人により実施する場合に用いてもよいものである。
【０１７９】
［流体遷移経路取得装置の構成］
次に、本実施形態における流体遷移経路取得装置の構成について図２９を参照して説明する。図２９は、本実施形態が適用される流体遷移経路取得装置１００の一例を示すブロック図であり、当該構成のうち本実施形態に関係する部分のみを概念的に示している。
【０１８０】
図２９に示すように、本実施形態における流体遷移経路取得装置１００は、概略的に、制御部１０２と記憶部１０６を少なくとも備え、本実施形態において、更に、入出力制御インターフェース部１０８と通信制御インターフェース部１０４を備える。ここで、制御部１０２は、流体遷移経路取得装置１００の全体を統括的に制御するＣＰＵ等である。また、通信制御インターフェース部１０４は、通信回線等に接続されるルータ等の通信装置（図示せず）に接続されるインターフェースであり、入出力制御インターフェース部１０８は、入力装置１１２や出力装置１１４に接続されるインターフェースである。また、記憶部１０６は、各種のデータベースやテーブルなどを格納する装置である。これら流体遷移経路取得装置１００の各部は任意の通信路を介して通信可能に接続されている。更に、この流体遷移経路取得装置１００は、ルータ等の通信装置および専用線等の有線または無線の通信回線を介して、ネットワーク３００に通信可能に接続されている。
【０１８１】
記憶部１０６に格納される各種のデータベースやテーブル（シミュレーション結果ファイル１０６ａ、流線図ファイル１０６ｂ、および、パターン遷移ファイル１０６ｃ等）は、固定ディスク装置等のストレージ手段である。例えば、記憶部１０６は、各種処理に用いる各種のプログラム、テーブル、ファイル、データベース、および、ウェブページ等を格納する。
【０１８２】
これら記憶部１０６の各構成要素のうち、シミュレーション結果ファイル１０６ａは、シミュレーション部１０２ａにより実験的または数理的にシミュレーションされた、シミュレーション結果を示すデータを記憶するシミュレーション結果記憶手段である。例えば、シミュレーション結果ファイル１０６ａは、物体が受ける力や物体周りの流れに関する実験結果または数値計算結果を記憶してもよい。一例として、シミュレーション結果ファイル１０６ａは、構造物の形状を示す設計変数の値や、その構造物に対する所定の流体（海流や気流等）の流体力学的シミュレーション結果（各空間座標における流体の圧力や流れの向き等）を示すデータであってもよい。なお、シミュレーション結果ファイル１０６ａは、風洞実験等の実験室内でのモデル計測などを通じて事前に入力装置１１２を介して入力されたデータをシミュレーション結果として記憶してもよい。シミュレーション結果ファイル１０６ａに記憶されるデータは、数値計算結果に限られず、実験室内でのモデル計測などを通じて得たデータであってもよい。実験結果であっても、それらのデータを可視化したり計算機などで処理をして、流線図という流れの様子をとらえるスナップショットとして表現することができる。
【０１８３】
また、流線図ファイル１０６ｂは、流線図等の流線を示すデータを記憶する流線データ記憶手段である。例えば、流線図ファイル１０６ｂに記憶される流線データは、シミュレーション結果を示すデータに基づいて流線解析部１０２ｂにより解析された流線を示すデータであってもよい。
【０１８４】
また、パターン遷移ファイル１０６ｃは、パターン遷移情報を記憶する対応関係情報記憶手段である。例えば、パターン遷移ファイル１０６ｃは、位相幾何学的な二次元流れ構造の全体または一部における、構造安定な流れパターンが、構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介して、他の構造安定な流れパターンに遷移可能か否かに関するパターン遷移情報を記憶する。なお、各流れパターンは、語表現で識別されてもよい。一例として、パターン遷移ファイル１０６ｃに記憶される語表現データは、パターン語と操作語の組み合わせからなる文字列等である。例えば、構造安定な流れパターンは、一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンに加えて、二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンを追加した、合計３種類の流れパターンを規定するパターン語（例えば、Ｉ，ＩＩ，Ｏ）に対して、流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語（例えば、Ａ０，Ａ２，Ｂ０，Ｂ２，Ｃ）のうちのいずれか一語を、追加された穴の数だけ付与することにより形成された語表現によって識別されてもよい。
【０１８５】
そして、パターン遷移ファイル１０６ｃに記憶されるパターン遷移情報は、構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介して、互いに遷移可能な構造安定な流れパターン間の、語表現の操作語の変化情報（指数の差ｄなど）を含んでもよい。一例として、パターン遷移ファイル１０６ｃに記憶されるパターン遷移情報は、図２６〜図２８に示すように、構造不安定な１つの中間状態の流れパターンＸを介して互いに遷移可能な構造安定な流れパターンの部分語Ｓ１，Ｓ２とともに、指数差ｄを対応付けて記憶したデータである。なお、リンクとノードによる経路探索手法を用いる場合には、構造安定な流れパターンをノードに設定し、２つの構造安定な流れパターン間で１つの中間状態を介して遷移可能な場合に、対応するノード間にリンクを設定してもよい。なお、パターン遷移ファイル１０６ｃのパターン遷移情報は、語表現により流れパターンが識別されることに限られず、他の識別情報（連番数字や記号など）等により識別されていてもよい。例えば、有限個Ｎの穴をもつ連結外部領域において、流れパターン図に対して識別番号を全て割り当てておき、流れパターン同士が１回で遷移可能な場合に、その２つの流れパターンの識別番号を対応付けてリスト化してパターン遷移情報としてもよい。これにより語表現を用いなくとも、流れパターン図の一覧を出力装置１１４に表示して、利用者が入力装置１１２を介して流れパターン図を選択することにより、流れパターンを指定して、対応する識別番号から遷移ルートを探索することが可能となる。
【０１８６】
図２９に戻り、入出力制御インターフェース部１０８は、入力装置１１２や出力装置１１４の制御を行う。ここで、出力装置１１４としては、モニタ（家庭用テレビを含む。）の他、スピーカを用いることができる（なお、以下においては出力装置１１４をモニタとして記載する場合がある）。また、入力装置１１２としては、キーボード、マウス、およびマイク等を用いることができる。
【０１８７】
また、図２９において、制御部１０２は、ＯＳ（Ｏｐｅｒａｔｉｎｇ  Ｓｙｓｔｅｍ）等の制御プログラムや、各種の処理手順等を規定したプログラム、および、所要データを格納するための内部メモリを有する。そして、制御部１０２は、これらのプログラム等により、種々の処理を実行するための情報処理を行う。制御部１０２は、機能概念的に、シミュレーション部１０２ａ、流線解析部１０２ｂ、語表現形成部１０２ｃ、および、遷移情報取得部１０２ｇを備える。
【０１８８】
このうち、シミュレーション部１０２ａは、構造物等の物体に対する流体のシミュレーションを行うシミュレーション手段である。例えば、シミュレーション部１０２ａは、構造物に対する流体のシミュレーションを実験的または数理的に行って、物体が受ける力や物体周りの流れの実験結果または数値計算結果を取得してもよい。ここで、シミュレーション部１０２ａは、２次元平面におけるシミュレーションに限られず、３次元空間における流体のシミュレーションを行ってもよいものである。なお、本実施形態において、シミュレーション部１０２ａは、シミュレーション結果を示すデータをシミュレーション結果ファイル１０６ａに格納する。例えば、シミュレーション部１０２ａは、構造物の形状を示す設計変数の値や、その構造物に対する所定の流体（海流や気流等）の流体力学的シミュレーション結果（各空間座標における流体の圧力や流れの向きや抵抗等）を示すデータを格納してもよい。ここで、シミュレーション部１０２ａは、公知の流体力学計算手法として、ナヴィエ・ストークス方程式や、有限要素法や、有限差分法、有限体積法等を用いてもよい。
【０１８９】
なお、シミュレーション部１０２ａは、公知の最適化手法を用いて、構造物の最適化を行ってもよい。例えば、シミュレーション部１０２ａは、構造物の形状を決定する設計変数を、焼きなまし法や遺伝的アルゴリズム法等を用いて繰り返し変化させながら、当該構造物に対する流体シミュレーションを行って、適切な構造物の形状（例えば、水流に対する抵抗の少ない橋脚の形状等）を求めてもよい。その際、シミュレーション部１０２ａは、遷移情報取得部１０２ｇにより取得された遷移情報による遷移ルートを参照して、最適化を行ってもよい。例えば、現在の構造物の形状と配置による流線パターンを出発点として、理想的な流線パターンを到達点とした遷移ルートが遷移情報取得部１０２ｇにより得られた場合、シミュレーション部１０２ａは、遷移ルートにおいて現在の流線パターンから次の流線パターンを見出すように構造物の形状や配置を変更しながら、理想の流線パターンに近づけていくことにより、構造物の形状や配置の最適化を行ってもよい。
【０１９０】
また、流線解析部１０２ｂは、流線解析を行う流線解析手段である。ここで、流線解析部１０２ｂは、シミュレーション部１０２ａによるシミュレーション結果に対し流線解析を行って流線図を導出してもよい。例えば、流線解析部１０２ｂは、シミュレーション結果ファイル１０６ａに記憶された、物体周りの流れの実験結果（実験のデータ等）または数値計算結果（数値シミュレーション結果等）から、公知の手法を用いて流線図を作成する。具体的には、流線解析部１０２ｂは、数値シミュレーション結果から、ｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔや∂−ｓａｄｄｌｅなどをすべて計算した後、その点における流れ関数の値と同じ値を持つ流れ関数の等高線をすべて描画し、また、境界（ｂｏｕｎｄａｒｙ）上の流れ関数の値と同じ値を持つ流れ関数の等高線をすべて描画することにより流線図の作成が可能となる。なお、３次元のシミュレーション結果の場合、流線解析部１０２ｂは、構造物における断面における２次元のデータに変換してから、流線解析を行ってもよい。断面とする平面は任意であるが好適には、流線解析部１０２ｂは、流体の流れ方向（一様流）の方向に沿った断面で２次元データに変換してもよい。例えば、列車や自動車や航空機等の乗り物においては、進行方向に沿って断面を生成してもよい。また、流線解析部１０２ｂは、Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ  Ｈｏｍｏｌｏｇｙに記載の技術等を用いて、流れ場から条件を満たす特徴的な構造を抽出してもよい（「Ｔｏｍａｓｚ  Ｋａｃｚｙｎｓｋｉ，  Ｋｏｎｓｔａｎｔｉｎ  Ｍｉｓｃｈａｉｋｏｗ，  Ｍａｒｉａｎ  Ｍｒｏｚｅｋ著  “Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ  Ｈｏｍｏｌｏｇｙ”  Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，  ２０００年」参照）。なお、本実施形態において、流線解析部１０２ｂは、作成した流線図データを流線図ファイル１０６ｂに格納する。
【０１９１】
また、語表現形成部１０２ｃは、流線解析部１０２ｂにより取得された流線図に基づいて、一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンを規定する語のうちのいずれか一語（パターン語Ｉ，ＩＩ）とともに、流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した語（操作語Ａ０，Ａ２，Ｂ０，Ｂ２，Ｃ）のうちのいずれか一語を、追加された穴の数だけ付与することにより、物体周りの流れの流れパターンを示す語表現を形成させる語表現形成手段である。なお、語表現形成部１０２ｃは、語表現のために必要ならば、中間状態の流れパターンを表現するためのパターン語（Λ）や操作語（Ｄ０やＥ０，ｓやΦ０やＤ２やＭ１，ｉなど）を用いてもよい。ここで、語表現形成部１０２ｃは、図２９に示すように、パターン語付与部１０２ｄ、操作語付与部１０２ｅ、および、極大語表現部１０２ｆを備える。
【０１９２】
このうち、パターン語付与部１０２ｄは、一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンを規定する語（例えば、パターン語Ｉ，ＩＩ）のうちのいずれか一語を付与するパターン語付与手段である。ここで、パターン語付与部１０２ｄは、上記に加えて、二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンを追加した、合計３種類の流れパターンを規定する語（すなわちパターン語Ｉ，ＩＩ，Ｏ）のうちのいずれか一語を付与してもよい。より具体的には、３種類の流れパターンは、
１）吸い込み湧き出し対をもち、二つのｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩ、
２）吸い込み湧き出し対をもち、一つのｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔ、それを結ぶｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと二つのｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩＩ、および
３）吸い込み湧き出し対をもたないパターンＯ、
である。
【０１９３】
ここで、パターン語付与部１０２ｄは、流線図から語表現を求めるアルゴリズム（「アルゴリズムＢ」と呼ぶ。）において、流線図に、ｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎが存在するか否かを判定し、ｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎが存在する場合にパターンＩの語を与えるＩ分類ステップと、Ｉ分類ステップにおいてｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎが存在しない場合に、流線図においてｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎが存在するか否かを判定し、ｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎが存在する場合にパターンＩＩの語を与え、一方、ｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎが存在しない場合にパターンＯの語を与えるＩＩ／Ｏ分類ステップと、を行ってもよい。これにより、パターン語付与部１０２ｄは、流線図が属する系列（Ｉ系列，ＩＩ系列，Ｏ系列）を適切に判別することができる。
【０１９４】
また、操作語付与部１０２ｅは、流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した語（例えば、操作語Ａ０，Ａ２，Ｂ０，Ｂ２，Ｃ）のうちのいずれか一語を繰り返し付与することにより、Ｎ個の穴を有する多重連結外部領域に対応する語表現を形成させる操作語付与手段である。より具体的には、５種類の操作は、
１）一本のｓｓ−ｏｒｂｉｔを、一つのｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔ、それを結び内部に穴をもつｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと二つのｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに置き換えるＡ０操作、
２）一本のｓｓ−ｏｒｂｉｔを、二つのｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと新たに追加した境界上の二つの∂−ｓａｄｄｌｅに置き換えるＡ２操作、
３）一本のｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔを、一つの穴とｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔを追加して８の字をした２本のｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに置き換えるＢ０操作、
４）一本のｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔを、新たに追加した穴の境界上に二つ∂−ｓａｄｄｌｅをつけて一本の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎでつなぐような軌道に置き換えるＢ２操作、および、
５）既に２ｋ個（ｋ＞０）の∂−ｓａｄｄｌｅをもつ境界に、新たに二つの∂−ｓａｄｄｌｅを付け加えて一本の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎでつなぎ内部に新たに付け加えた穴を置くＣ操作、
である。
【０１９５】
ここで、操作語付与部１０２ｅは、以下の制約条件に従って操作語を付与してもよい。すなわち、操作語付与部１０２ｅは、５種類の操作語を付与する場合に、
１）一本のｓｓ−ｏｒｂｉｔが存在することを条件に、操作語Ａ０またはＡ２を付与し、
２）一本のｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔが存在することを条件に、操作語Ｂ０またはＢ２を付与し、
３）∂−ｓａｄｄｌｅを持つ境界が存在することを条件に、操作語Ｃを付与してもよい。なお、当該制約条件にしたがった操作語付与部１０２ｅの具体的な処理の詳細については、フローチャートを参照して後述する。また、本実施形態において、操作語付与部１０２ｅは、パターン語に対して付与した操作語の文字列である語表現をパターン遷移ファイル１０６ｃに格納してもよい。
【０１９６】
また、極大語表現部１０２ｆは、パターン語付与部１０２ｄおよび操作語付与部１０２ｅにより形成された語表現（パターン語および操作語の組み合せからなる文字列）を極大語に変換する極大語表現手段である。すなわち、全ての採り得る流れパターンを書き出すアルゴリズム（以下、「アルゴリズムＡ」と呼ぶ。）において、パターン語付与部１０２ｄおよび操作語付与部１０２ｅにより形成された語表現群は、流れパターンを全て書き出しているものの、互いに同じ流れパターンを規定した語表現や、互いに包含関係となる流れパターンを規定した語表現が存在する。そこで、極大語表現部１０２ｆは、これらの語表現群に対して、重複する語表現や、包含される語表現等を排除することにより、極大語表現（ｍａｘｉｍａｌ  ｗｏｒｄ  ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ）とする処理を行う。例えば、極大語表現部１０２ｆは、以下の表で示される包含関係に従って、語表現を入れ替えて極大語表現を形成させる。なお、下表において「＝」は一致関係、「≦」または「≧」は包含関係を示す。唯一の例外はＢ２とＣであり、これは入れ替えても包含関係が成立しないので、この二つは入れ替えることができないので、このことを、Ｂ２Ｃ｜｜ＣＢ２と象徴的に表している。なお、当該関係式にしたがった極大語表現部１０２ｆの具体的な処理の詳細については、フローチャートを参照して後述する。
【表２】
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【０１９７】
また、遷移情報取得部１０２ｇは、パターン遷移ファイル１０６ｃのパターン遷移情報に基づいて、指定された構造安定な流れパターンから、位相幾何学的に採り得る別の構造安定な流れパターンへ至る遷移ルートに関する遷移情報を取得する遷移情報取得手段である。例えば、遷移情報取得部１０２ｇは、入力装置１１２を介して利用者より指定された構造安定な流れパターンを出発点として、別の構造安定な流れパターンへ至る遷移ルートを探索してもよい。また、遷移情報取得部１０２ｇは、シミュレーション部１０２ａによるシミュレーション結果による指定された構造安定な流れパターンを出発点として、別の構造安定な流れパターンへ至る遷移ルートを探索してもよい。例えば、シミュレーション部１０２ａによるシミュレーション結果を流線解析部１０２ｂにより解析することで得られた流線図について、語表現形成部１０２ｃにより形成された語表現を、指定された流れパターンの出発点として、予め指定された理想とする流れパターンを到達点としてもよい。そして、遷移情報取得部１０２ｇは、探索して得られた遷移ルートの遷移情報をシミュレーション部１０２ａに返すことにより、シミュレーション部１０２ａによる最適化手法の指標としてもよい。
【０１９８】
ここで、遷移情報取得部１０２ｇは、全ての採り得る遷移ルートを取得してもよく、指定された２つの構造安定な流れパターンについて最短の遷移ルートのみを取得してもよい。また、遷移情報取得部１０２ｇは、構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介した遷移を１回の遷移として、一方の構造安定な流れパターンから他方の構造安定な流れパターンに至るまでの遷移回数を含む遷移情報を取得してもよい。
【０１９９】
ここで、遷移情報取得部１０２ｇは、道路等の経路探索と同様に、リンクとノードによるグラフ理論を用いて、遷移ルートを探索してもよい。その場合、遷移情報取得部１０２ｇは、構造安定な流れパターンをノードとして扱い、構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介した１回の遷移をリンクとして扱ってもよい。例えば、現在の構造物の形状と配置による流れパターンを出発点として、理想とする流れパターンを到達点として設定された場合について説明する。一例として、遷移情報取得部１０２ｇは、指定された構造安定な流れパターンを出発点として、パターン遷移情報を参照して、構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介した２番目の構造安定な流れパターンを全て書き出す。そして、遷移情報取得部１０２ｇは、２番目の構造安定な流れパターンのそれぞれを出発点として、パターン遷移情報を参照して、構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介した３番目の構造安定な流れパターンを全て書き出す。このように順次探索範囲を広げていくことにより、到達点として設定された理想の流れパターンに辿り着いた場合に、遷移情報取得部１０２ｇは、繰り返し処理を終了して、その到達点に至るまでの遷移ルートを最短ルートとして出力してもよい。このように、遷移情報取得部１０２ｇは、パターン遷移情報に基づいて、指定された２つの構造安定な流れパターンについて、一方の構造安定な流れパターンから他方の構造安定な流れパターンに至るまでの遷移情報を取得してもよい。なお、２つの構造安定な流れパターン間に遷移ルートがない場合は、遷移不可能との結果を遷移情報として取得する。なお、遷移情報取得部１０２ｇは、取得した遷移情報を、モニタ等の出力装置１１４に出力してもよく、シミュレーション部１０２ａによる最適化のために参照させてもよく、シミュレーション結果ファイル１０６ａなどの記憶部１０６に格納してもよい。
【０２００】
ここで、遷移情報取得部１０２ｇは、語表現の操作語の数の変化（操作語の数の増減など）を指標として、効率的な遷移ルート探索を行ってもよい。すなわち、パターン遷移ファイル１０６ｃにおいて、構造不安定な１つの中間状態の流れパターンを介して、互いに遷移可能な構造安定な流れパターン間の、語表現の操作語の変化情報がパターン遷移情報に記憶されている場合、遷移情報取得部１０２ｇは、指定された２つの語表現の操作語の変化を、パターン遷移情報に照会して、対応する流れパターンを抽出してもよい。より具体的には、遷移情報取得部１０２ｇは、与えられた二つの構造安定な流線パターンＷ１，Ｗ２について、語表現形成部１０２ｃにより形成された極大語表現の指数の差ｄを求め、その差ｄを持つ遷移パターンを図２〜図２８に示すようなパターン遷移情報から探し出すことによって、遷移情報を取得してもよい。
【０２０１】
以上が、本実施形態における流体遷移経路取得装置１００の構成の一例である。なお、流体遷移経路取得装置１００は、ネットワーク３００を介して外部システム２００に接続されてもよい。この場合、通信制御インターフェース部１０４は、流体遷移経路取得装置１００とネットワーク３００（またはルータ等の通信装置）との間における通信制御を行う。すなわち、通信制御インターフェース部１０４は、他の端末と通信回線を介してデータを通信する機能を有する。また、ネットワーク３００は、流体遷移経路取得装置１００と外部システム２００とを相互に接続する機能を有し、例えば、インターネット等である。
【０２０２】
また、外部システム２００は、ネットワーク３００を介して、流体遷移経路取得装置１００と相互に接続され、実験結果や数値計算結果等のシミュレーション結果データや流線図データ等の各種データに関する外部データベースや、接続された情報処理装置に流体遷移経路取得方法を実行させるためのプログラム等を提供する機能を有する。
【０２０３】
ここで、外部システム２００は、ＷＥＢサーバやＡＳＰサーバ等として構成していてもよい。また、外部システム２００のハードウェア構成は、一般に市販されるワークステーション、パーソナルコンピュータ等の情報処理装置およびその付属装置により構成していてもよい。また、外部システム２００の各機能は、外部システム２００のハードウェア構成中のＣＰＵ、ディスク装置、メモリ装置、入力装置、出力装置、通信制御装置等およびそれらを制御するプログラム等により実現される。
【０２０４】
以上で、本実施形態の構成の説明を終える。
【０２０５】
［流体遷移経路取得装置１００の処理］
次に、このように構成された本実施形態における流体遷移経路取得装置１００の処理の一例について、以下に図面を参照して詳細に説明する。図３０は、流体遷移経路取得装置１００の処理の一例を示すフローチャートである。
【０２０６】
図３０に示すように、まず、遷移情報取得部１０２ｇは、構造安定な流れパターンを指定させるように制御する（ステップＳ−１）。例えば、遷移情報取得部１０２ｇは、利用者に、入力装置１１２を介して、流れパターンを指定させるように制御してもよい。また、遷移情報取得部１０２ｇは、シミュレーション部１０２ａによるシミュレーション結果に基づいて流線解析部１０２ｂにより得られた流線図を、指定の流れパターンとしてもよい。なお、遷移情報取得部１０２ｇは、語表現に基づいて経路探索を行う場合は、指定された流線図や流れパターンを、語表現形成部１０２ｃによって語表現に変換する。
【０２０７】
そして、遷移情報取得部１０２ｇは、指定された構造安定な流れパターンに対応する、パターン遷移情報を参照する（ステップＳ−２）。例えば、互いに１回の中間状態を経て遷移可能な構造安定な流れパターンが、語表現として対応付けてパターン遷移ファイル１０６ｃに格納されている場合、遷移情報取得部１０２ｇは、指定された構造安定な流れパターンの語表現に一致するパターン遷移情報を検索して、遷移可能な流れパターンを順次探索してもよい。なお、２つの上記構造安定な流れパターンが指定されている場合、遷移情報取得部１０２ｇは、一方の上記構造安定な流れパターンから他方の上記構造安定な流れパターンに向けて、順次探索してもよく、２つの構造安定な流れパターン間の位相的な差（例えば、指数の差）に基づいて探索してもよい。後者の処理の詳細については、後述する。このほか、遷移情報取得部１０２ｇは、公知の経路探索手法や、公知の最短経路探索手法（ダイクストラ法等）を用いて、遷移ルートの探索を行ってもよい。
【０２０８】
そして、遷移情報取得部１０２ｇは、探索した遷移ルートに関する遷移情報を取得する（ステップＳ−３）。例えば、１つの流れパターンが指定された場合に、遷移情報取得部１０２ｇは、指定された構造安定な流れパターンから、所定の遷移回数にわたって、別の構造安定な流れパターンへ至る遷移ルートに関する遷移情報を取得してもよい。なお、遷移情報取得部１０２ｇは、構造安定な流れパターンに関する情報のみならず、その中間の構造不安定な流れパターンに関する情報を遷移情報に含めてもよい。なお、２つの流れパターンが指定された場合に、遷移情報取得部１０２ｇは、一方の構造安定な流れパターン（Ｗ１）から他方の構造安定な流れパターン（Ｗ２）に至るまでの遷移情報を取得してもよい。その際、遷移情報取得部１０２ｇは、遷移回数が最小となる遷移ルートを遷移情報として取得してもよい。なお、遷移情報取得部１０２ｇは、遷移ルートを流線図や流れパターンの図形とした遷移情報を取得してもよく、語表現で記述した遷移情報を取得してもよい。また、遷移情報取得部１０２ｇは、取得した遷移情報を出力装置１１４に表示出力してもよく、記憶部１０６に格納してもよく、シミュレーション部１０２ａによる最適化処理のために参照させてもよい。
【０２０９】
以上が、流体遷移経路取得装置１００の処理の一例である。
【０２１０】
［指数の差を用いた遷移ルート探索処理］
ここで、指数の差を用いた遷移ルート探索処理の一例について以下に図面を参照して詳細に説明する。図３１は、流体遷移経路取得装置１００における、指数の差を用いた遷移ルート探索処理の一例を示すフローチャートである。なお、以下の例では、パターン遷移情報として、ｈ−不安定およびｐ−不安定な流線パターンの摂動とその部分語表現に関して得られた図２６〜図２８のリストを用いている。また、入力として、二つの構造安定な流線パターンとその極大語表現Ｗ１とＷ２が指定されており、極大語表現から判定される遷移の可能性Ｘのリストを遷移情報として出力することを前提として説明する。
【０２１１】
まず、遷移情報取得部１０２ｇは、上述したステップＳ−１と同様に、２つの構造安定な流線パターンを指定させる（ステップＳ−１１）。
【０２１２】
そして、遷移情報取得部１０２ｇは、２つの構造安定な流線パターンに対応する語表現Ｗ１，Ｗ２を取得する（ステップＳ−１２）。例えば、流線図が指定された場合、遷移情報取得部１０２ｇは、語表現形成部１０２ｃの処理により、対応する語表現Ｗ１，Ｗ２を取得する。
【０２１３】
そして、遷移情報取得部１０２ｇは、語表現Ｗ１とＷ２の差ｄを計算する（ステップＳ−１３）。すなわち、遷移情報取得部１０２ｇは、適当な＊をＩ，ＩＩ，Ｏから選んで、ｄ＝ｉｎｄ＊（Ｗ１）−ｉｎｄ＊（Ｗ２）を計算する。
【０２１４】
そして、遷移情報取得部１０２ｇは、差ｄをもつ遷移パターンＸを、パターン遷移情報（図２６〜図２８の表）から導出する（ステップＳ−１４）。なお、差ｄをもつ遷移パターンＸが一致しない場合は、二つの構造安定な流線パターンは一回の遷移で互いに移りあえない旨を示す遷移情報としてもよく、あるいは、複数回の遷移で移りあえる遷移ルートを探索してもよい。例えば、ｋ回の遷移で移りあえるとして、遷移情報取得部１０２ｇは、ｄ＝ｉｎｄ＊（Ｗ１）−ｉｎｄ＊（Ｗ２）＝ｄ１＋ｄ２＋・・・・＋ｄｋとなるような、遷移パターンＸ１，Ｘ２，・・・，Ｘｋの組み合わせを導出してもよい。なお、遷移するときの隣り合う流線パターン同士は、語表現が同一（部分列を共有）でなければならない。
【０２１５】
そして、遷移情報取得部１０２ｇは、差ｄをもつ遷移パターンＸをリストから全て探しだし（ステップＳ−１４）、各遷移パターンＸに対応する部分列Ｓ１とＳ２を取得する（ステップＳ−１５）。なお、上述した複数回の遷移を仮定する場合、遷移パターンＸ１，Ｘ２，・・・，Ｘｋについて、それぞれ部分列Ｓ１１とＳ２１〜Ｓ１ｋとＳ２ｋを求める。
【０２１６】
そして、遷移情報取得部１０２ｇは、部分列Ｓ１とＳ２に対して、これらがそれぞれＷ１とＷ２の部分語となっているかを調べ、部分語となっている場合は、遷移候補として遷移情報に含める（ステップＳ−１６）。すなわち、Ｓ１⊆Ｗ１かつＳ２⊆Ｗ２かを調べる。もしこれが成り立っていた場合はＸを遷移の候補として取得し、そうでなければ棄却する。なお、上述した複数回の遷移を仮定する場合、遷移するときの隣り合う流線パターン同士が、部分列を共有するように並び替えを行う。もし、部分列を共有する並びがあれば、その順列を遷移候補として取得し、部分列を共有する並びがなければ棄却する。部分列を共有する並びができれば、端のＷ１またはＷ２から順に辿って、遷移ルートにおける語表現の全体を順次決定していくことも可能である。
【０２１７】
以上が、指数の差を用いた遷移ルート探索処理の一例である。なお、ｈ−不安定およびｐ−不安定な流線パターンの摂動とその部分語表現に関して得られた図２６〜図２８のリストをパターン遷移情報として用いた例では、遷移候補のパターンＸは、起こりうる遷移の候補（必要条件）を与えるだけであって、それに対応する中間状態が実際に実現されうるかどうかは、その部分語に対応して得られている構造が実際に存在するか（十分性）を確認する必要がある。それが確認されれば、二つの構造安定な流線パターンの中間状態としてのｐ−不安定あるいはｈ−不安定な流線パターンを実際に書き下すこともできる。なお、この十分性の確認部分について、流線構造のパターンマッチングについて人間の手で行ってもよく、公知のパターンマッチング技術を用いて行ってもよい。
【０２１８】
［実施例］
ここで、シミュレーション結果を用いた実施例について説明する。前提として、一様流中におかれた物体について、ある期間における、物体が受ける力と物体周りの流れの実験結果または数値計算結果を記憶している。ここで、物体が受ける力は、一様流によって物体が受ける力であり、具体的には、揚力（ｌｉｆｔ）や抗力（ｄｒａｇ）であり、一例として、揚抗比（揚力と抗力の比）であってもよい。
【０２１９】
ここで、図３２は、二次元外部領域内において、有限の厚みを持つ薄い一枚の平板が、一様流中の物体として、一様流に対して一定の角度で傾いておかれている場合を模式的に示した図である。図中の記号Ｕは一様流を示し、ｃｌは平板の長辺の長さ、θは一様流に対する角度、ＬｘおよびＬｙはｘ軸方向とｙ軸方向の長さからなる、計算対象の矩形領域を示している。
【０２２０】
図３２に示すように、例えば、航空機や列車や自動車等の物体においては、進行方向に沿って相対的に無限遠点からの一様流が発生するので、この一様流に沿った２次元断面を仮定して、一様流中におかれた物体について、ある期間における、物体が受ける力と物体周りの流れを、シミュレーションにより得ることを考える。ここで、図３３および図３４は、物体周りの流れの数値計算結果を示す図である。なお、図３４における、数値計算条件の詳細（例えば、レイノルズ数：１３７０、θ：１５°、分析範囲（Ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ）：１０２４×２５６）は、ここでは重要ではないので省略する。
【０２２１】
図３３では、一様流が物体に当たっていないときの物体周りの流れを図示したものであり、図３４では、一様流が物体に当たっているときの、ある時点（ｔ＝５．５）の物体周りの流れを図示したものである。左回り（反時計回り）の流れは、正の値となっており、右回りの流れは、負の値となっており、真っすぐな流れは、０で示されている。すなわち、図は、流れの渦度成分を表現しており、正の値の部分は反時計回りの正向きの渦成分がある領域を示し、負の値の部分は時計回りの負向きの渦成分がある領域を表している。物体が受ける力のうち、揚力（ｌｉｆｔ）や揚抗比（ｌ／ｄ  ｒａｔｉｏ）には、大きな時間変動がみられ、周期的に上下に振動している。
【０２２２】
従来では、ある時点における揚力や揚抗比と、その時点における物体周りの流れのシミュレーション結果を対応づけることは可能であったが、どのような位相構造の変化が、物体が受ける力の変動に影響を及ぼすものであるのか、また、その位相構造の変化の間に、どのような中間状態の不安定な位相構造が起こりうるのか、分析や知見を得ることは困難であった。そこで、本実施例では、このようなシミュレーションについて、中間状態を分析するため以下の処理を行った。
【０２２３】
図３４は、一様流中におかれた一枚平板のｔ＝５．５からｔ＝７．７までの時間発展とその流線パターンの位相構造およびその極大語表現である。これによると各時刻における極大語表現が異なっているため何らかの遷移が起こったと考えられる。どのような遷移が起こったかどうかを本実施形態のアルゴリズム（指数の差を用いた遷移ルート探索処理等）に従って与えることにする。
【０２２４】
まず、時刻ｔ＝５．５とｔ＝６．６の極大語表現がＷ０＝ＩＣＣＢ０およびＷ１＝ＩＡ０ＣＢ０であるので、まずその指数の差ｄをとると、ｄ＝ｉｎｄＩ（Ｗ１）−ｉｎｄＩ（Ｗ０）＝（１，０，０，０，−１）となるが、このような指数の差を生成する遷移Ｘは、図２６〜図２８のリストから、Ｘ＝ＩΔ１，ＩＭ１，ｓ，ＩＣＭ１，ｉの三つあることがわかる。  
【０２２５】
それぞれのＸに対して、リストから対応する部分列Ｓ１とＳ２をみると、いずれもＷ１とＷ０によって部分語として含まれているので起こりうる可能性はこの三つであることが分かる。
【０２２６】
それぞれについて摂動して得られる流線パターンのマッチングを行うと実際に起こった遷移はＩＭ１，ｓであり、その中間状態にあるｐ−不安定な流線パターンは図３５（ａ）であることもわかる。ここで、図３５は、時刻ｔ＝５．５から７．７の時間発展の間に起こった遷移を示す図である。
【０２２７】
次に、時刻ｔ＝６．６からｔ＝７．７に対して、その極大語表現はＷ１＝ＩＡ０ＣＢ０とＷ２＝ＩＡ０Ａ０Ｃであるので、その指数の差をとるとｄ＝ｉｎｄＩ（Ｗ２）−ｉｎｄＩ（Ｗ１）＝（１，０，−１，０，０）であるので、図２６〜図２８のリストからＸを探すと、Ｘ＝ＩＣＤ０，Ａ０Ｅ０，ｓおよびＩＣΨ（２）を得られる。
【０２２８】
Ｘ＝ＩＣΨ（２）に対応する部分語Ｓ１とＳ２はＷ２とＷ１に含まれないので、これは除外される。
【０２２９】
一方、Ｘ＝Ａ０Ｅ０，ｓおよびＸ＝ＩＣＤ０については、いずれもＳ１⊆Ｗ２かつＳ２⊆Ｗ１が成り立つので、これらは起こりうる遷移の候補である。それぞれについて不安定パターンを実際に摂動させて得られる構造安定パターンを比較することで起こった遷移はＸ＝Ａ０Ｅ０，ｓであることがわかり、その中間状態は図３５（ｂ）のようなｈ−不安定な流線パターンが得られる。
【０２３０】
以上で、本実施例の説明を終える。本実施例によれば、例えば、飛行機の翼回りの流れ場の時間発展に対して、その各時刻における揚抗比といった翼の機能として重要な特性の変化がどのように形成されるか、またどのように失われるかのメカニズムが理解できるようになるため、効率的な翼機能の設計における改良の指針がより明確に与えられる。また、飛行機に限らず、橋脚の設計や堰堤の設計において、ある配置で得られた流線から最適と思われる流線構造に最適化する上での中間段階やそこへ到るルートが記述できる。
【０２３１】
種々の流体と構造物の相互作用の効率という観点から最適な配置が分かっているとき、本実施例に拠れば、現在の状態から初めて連続的に形状や配置を変形する場合に、次に進むべき流れパターンの状態がわかる。このとき構造物の形状や配置の連続変化を通して最適配置へと到る最短ルートを把握できるようになり、最適化を行う上での効率的な指針を与える。また、大規模数値計算や流体実験などで得られた流れの時間発展に対して、その流れパターンの遷移を記述することが可能になることで、運動を制御して最適な状態を保持するための最短制御を考えることができる。例えば、航空機等において失速しないための翼の効率的な制御方法が分かるようになる。
【０２３２】
［語表現アルゴリズムの基本処理］
ここで、流体遷移経路取得装置１００により実行される語表現アルゴリズムの基本処理の一例について、上述した図１を再び参照して説明する。なお、以下の例では、パターン語の付与（ステップＳＡ−１）が先に行われ、操作語の付与（ステップＳＡ−２）が後に行われるが、これに限られず、操作語の付与を先に行い、後にパターン語の付与を行ってもよいものである。
【０２３３】
図１に示すように、まず、語表現形成部１０２ｃのパターン語付与部１０２ｄは、パターン語Ｉ，ＩＩのうちのいずれか一語を付与する（ステップＳＡ−１）。ここで、パターン語付与部１０２ｄは、上記に加えてパターンＯを追加した、合計３種類のパターン語Ｉ，ＩＩ，Ｏのうちのいずれか一語を付与してもよい。より具体的には、３種類のパターン語は、
１）吸い込み湧き出し対をもち、二つのｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンを規定するパターン語Ｉ、
２）吸い込み湧き出し対をもち、一つのｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔ、それを結ぶｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと二つのｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンを規定するパターン語ＩＩ、および
３）吸い込み湧き出し対をもたないパターンを規定するパターン語Ｏ、
である。
【０２３４】
そして、語表現形成部１０２ｃの操作語付与部１０２ｅは、パターン語付与部１０２ｄにより付与されたパターン語に対して、５種類の操作語Ａ０，Ａ２，Ｂ０，Ｂ２，Ｃのうちのいずれか一語を付与する（ステップＳＡ−２）。より具体的には、５種類の操作語は、
１）一本のｓｓ−ｏｒｂｉｔを、一つのｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔ、それを結び内部に穴をもつｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと二つのｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに置き換える操作を規定した操作語Ａ０、
２）一本のｓｓ−ｏｒｂｉｔを、二つのｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと新たに追加した境界上の二つの∂−ｓａｄｄｌｅに置き換える操作を規定した操作語Ａ２、
３）一本のｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔを、一つの穴とｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔを追加して８の字をした２本のｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに置き換える操作を規定した操作語Ｂ０、
４）一本のｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔを、新たに追加した穴の境界上に二つ∂−ｓａｄｄｌｅをつけて一本の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎでつなぐような軌道に置き換える操作を規定した操作語Ｂ２、および、
５）既に２ｋ個（ｋ＞０）の∂−ｓａｄｄｌｅをもつ境界に、新たに二つの∂−ｓａｄｄｌｅを付け加えて一本の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎでつなぎ内部に新たに付け加えた穴を置く操作を規定した操作語Ｃ、
である。なお、上記の操作は、穴を追加する場合の操作を規定したものであることから、ある流線図に操作語を割り当てていくアルゴリズムＢにおいては、当該流線図に対して上記操作の逆の操作（逆の置き換え操作）を行うことになる。
【０２３５】
ここで、操作語付与部１０２ｅは、上記の操作がｓｓ−ｏｒｂｉｔやｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔ等の存在を前提にしていることから、以下の制約条件に従って操作語を付与してもよい。すなわち、操作語付与部１０２ｅは、５種類の操作語を付与する場合に、
１）一本のｓｓ−ｏｒｂｉｔが存在することを条件に、操作語Ａ０またはＡ２を付与し、
２）一本のｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔが存在することを条件に、操作語Ｂ０またはＢ２を付与し、
３）∂−ｓａｄｄｌｅを持つ境界が存在することを条件に、操作語Ｃを付与してもよい。
【０２３６】
そして、語表現形成部１０２ｃの操作語付与部１０２ｅは、穴の数がＮ個に達したか否かを判定する（ステップＳＡ−３）。例えば、操作語付与部１０２ｅは、穴が１つの単連結外部領域Ｄζ（０）におけるパターン語Ｉ，ＩＩに対して、穴がＮ個となるまで（Ｎ−１）個の操作語を付与し終えたか否かを判定する。また、操作語付与部１０２ｅは、穴が２つの二重連結外部領域Ｄζ（１）におけるパターン語Ｏに対して、穴がＮ個となるまで（Ｎ−２）個の操作語を付与し終えたか否かを判定する。なお、アルゴリズムＢにおいては予め穴の数を設定していない。アルゴリズムＢの場合は、操作語付与部１０２ｅは、流線図に対する操作語に従った置き換え操作によって、流線図が初期パターン（Ｉ，ＩＩ，またはＯ）に達したか否かで、穴の数がＮ個に達したか否かを判定してもよい。
【０２３７】
穴の数がＮ個に達していない場合（ステップＳＡ−３，Ｎｏ）、語表現形成部１０２ｃの操作語付与部１０２ｅは、これまでに作成した文字列に対して、更に操作語を付与する（ステップＳＡ−２）。
【０２３８】
一方、穴の数がＮ個に達した場合（ステップＳＡ−３，Ｙｅｓ）、語表現形成部１０２ｃの操作語付与部１０２ｅは、これまでに作成した文字列を語表現としてパターン遷移ファイル１０６ｃに格納して処理を終える。
【０２３９】
以上が、本実施形態における流体遷移経路取得装置１００の語表現アルゴリズムの基本処理の一例である。このように語表現を形成させることによって、シミュレーション結果がどの流れパターンに対応するか語表現にて表すことができる。
【０２４０】
［アルゴリズムＢ］
つづいて、上述した語表現形成部１０２ｃによる基本処理を基礎として、流線図から語表現を求めるアルゴリズムＢの処理の詳細について、以下に図３６〜図４３を参照して説明する。
【０２４１】
［Ｂ−１．パターン語の割り当て処理］
上述した基本処理のステップＳＡ−１におけるパターン語の割り当て処理について図３６を参照して以下に説明する。図３６は、パターン語の割り当て処理の一例を示すフローチャートである。
【０２４２】
ここで、与えられた流線図は、図６に示したように円内の領域として描画の便宜上記載したが、本アルゴリズムは、もともと一様流を持つ非有界な領域における流れの判定アルゴリズムである。数値シミュレーションや実際の計測によって得られる流れは非有界な流れ場（から必要な部分を切り出した）の流線図であることから、円内の領域への変換が必要であるかどうかが問題になるが、本願発明者らによる鋭意検討の結果、本アルゴリズムを適用するにあたり、そのような変換は不要であることがわかった。それに基づいて、与えられた流線図に対して以下の処理を施せば、その流線図がＩ系列かＩＩ系列かＯ系列かがわかる。すなわち、以下の処理を実施する場合に、流線図をステレオ射影法等によって円内の領域へ変換することは不要である。
【０２４３】
図３６に示すように、パターン語付与部１０２ｄは、流線図から語表現を求めるアルゴリズムＢにおいて、与えられた流線図において、ｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎが存在するか否かを判定する（ステップＳＡ−１１）。
【０２４４】
ｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎが存在すると判定した場合（ステップＳＡ−１１，Ｙｅｓ）、パターン語付与部１０２ｄは、パターン語Ｉを付与する（ステップＳＡ−１２）。すなわち、与えられた流線図はＩ系列と判定される。
【０２４５】
一方、ｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎが存在しない場合（ステップＳＡ−１１，Ｎｏ）、パターン語付与部１０２ｄは、流線図においてｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎが存在するか否かを判定する（ステップＳＡ−１３）。
【０２４６】
そして、ｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎが存在すると判定した場合（ステップＳＡ−１３，Ｙｅｓ）、パターン語付与部１０２ｄは、パターン語ＩＩを付与する（ステップＳＡ−１５）。すなわち、与えられた流線図はＩＩ系列と判定される。
【０２４７】
一方、ｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎが存在しない場合（ステップＳＡ−１３，Ｎｏ）、パターン語付与部１０２ｄは、パターン語Ｏを付与する（ステップＳＡ−１４）。すなわち、与えられた流線図はＯ系列と判定される。
【０２４８】
以上が、パターン語の割り当て処理の一例である。
【０２４９】
［Ｂ−２．Ｉ系列における操作語の割り当て処理］
つづいて、アルゴリズムＢにおけるＩ系列の操作語の割り当て処理の一例について、図３７および図３８を参照して説明する。図３７および図３８は、アルゴリズムＢにおけるＩ系列の操作語の割り当て処理の一例を示すフローチャートである。
【０２５０】
図３７に示すように、流線解析部１０２ｂは、シミュレーション結果ファイル１０６ａに記憶された、数値シミュレーションや実験データから、流線解析により流線図を作成する（ステップＳＢ−１）。具体的には、流線解析部１０２ｂは、数値シミュレーション結果から、ｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔや∂−ｓａｄｄｌｅなどをすべて計算した後、その点における流れ関数の値と同じ値を持つ流れ関数の等高線をすべて描画し、また、境界（ｂｏｕｎｄａｒｙ）上の流れ関数の値と同じ値を持つ流れ関数の等高線をすべて描画することにより流線図の作成が可能となる。そのほか、流線解析部１０２ｂは、Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ  Ｈｏｍｏｌｏｇｙ（非特許文献１）に記載の技術等を用いて、流れ場から条件を満たす特徴的な構造を抽出してもよい。なお、本実施形態において、流線解析部１０２ｂは、作成した流線図データを流線図ファイル１０６ｂに格納する。なお、データ管理上、流線解析部１０２ｂは、得られたすべての線やｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔ，  ｓｓ−ｏｒｂｉｔｓ，  ∂−ｓａｄｄｌｅ，  ｂｏｕｎｄａｒｙに番号をつけて流線図データを扱ってもよい。これにより、それらの包含関係をつけてその順位をつけてデータ構造を決めることによって、以降の前処理や各系列のアルゴリズムを計算機上で扱いやすくなる。
【０２５１】
そして、流線解析部１０２ｂは、流線図に対して前処理を施す（ステップＳＢ−２）。例えば、流線解析部１０２ｂは、与えられた流線図に対して以下の三つの前処理を施す。なお、これらの操作を施した回数をエラー数と呼び、語表現にてどの程度流線を表すことができているかの指標となる。例えば、渦潮では、平面上の流体の動きにとどまらず、平面の垂直方向にも海流が移動している。また、航空機等の物体について、一様流に沿った二次元断面と水平でない方向にも、障害物にぶつかった気体等が流れ込む場合がある。そこで、以下の前処理を行うことで、平面状の流れと近似して、前処理を行った回数（エラー回数）だけ、真から外れていることの指標としている。
１．  ∂−ｓａｄｄｌｅの安定多様体、不安定多様体あるいは極限集合が、ｓｉｎｋ，ｓｏｕｒｃｅのｌｉｍｉｔ  ｃｙｃｌｅを含むならば、それを閉じてｓｉｎｋ，ｓｏｕｒｃｅ，ｌｉｍｉｔ  ｃｙｃｌｅを消去する。
２．  ｓｉｎｋの（吸引）領域を、ｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋとｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ（∂−）ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに置き換える。
３．  ｓｏｕｒｃｅの（発散）領域を、ｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋとｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ（∂−）ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに置き換える。
【０２５２】
そして、操作語付与部１０２ｅは、流線解析部１０２ｂにより前処理が施された流線図について、∂−ｓａｄｄｌｅが存在するか判定する（ステップＳＢ−３）。
【０２５３】
∂−ｓａｄｄｌｅが存在する場合（ステップＳＢ−３，Ｙｅｓ）、操作語付与部１０２ｅは、ちょうど２つの∂−ｓａｄｄｌｅが存在する境界で、ｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを持つものがあるか否かを判定する（ステップＳＢ−４）。
【０２５４】
ちょうど二つの∂−ｓａｄｄｌｅが存在する境界を含むｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを持つものがｋ個ある場合（ステップＳＢ−４，Ｙｅｓ）、操作語付与部１０２ｅは、操作語Ａ２をｋ個付与し（ステップＳＢ−５）、流線解析部１０２ｂは、流線図上において、これら二つの∂−ｓａｄｄｌｅと境界（ｂｏｕｎｄａｒｙ）を消去して、一本のｓｓ−ｏｒｂｉｔに置き換える操作をｋ回行う（ステップＳＢ−６）。
【０２５５】
一方、ちょうど二つの∂−ｓａｄｄｌｅが存在する境界を含むｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを持つものがない場合（ステップＳＢ−４，Ｎｏ）、操作語付与部１０２ｅは、ちょうど２つの∂−ｓａｄｄｌｅが存在する境界で、同じ境界上の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを持つものがあるか否かを判定する（ステップＳＢ−７）。
【０２５６】
ちょうど２つの∂−ｓａｄｄｌｅが存在する境界を含む∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを持つものがｋ個ある場合（ステップＳＢ−７，Ｙｅｓ）、操作語付与部１０２ｅは、操作語Ｂ２をｋ個付与し（ステップＳＢ−８）、流線解析部１０２ｂは、流線図上において、同じ境界上の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎで結ばれた∂−ｓａｄｄｌｅと境界（ｂｏｕｎｄａｒｙ）を消去して一本のｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔ  に置き換える操作をｋ回行う（ステップＳＢ−９）。
【０２５７】
一方、ちょうど二つの∂−ｓａｄｄｌｅが存在する境界を含む∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを持つものがない場合（ステップＳＢ−７，Ｎｏ）、操作語付与部１０２ｅは、４つ以上の∂−ｓａｄｄｌｅを持つ境界の中に、同じ境界上の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎで、その内側がｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋであるものがあるか否かを判定する（ステップＳＢ−１０）。
【０２５８】
∂−ｓａｄｄｌｅを４つ以上含む境界上の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎで、その内側がｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋであるような境界がｋ個ある場合（ステップＳＢ−１０，Ｙｅｓ）、操作語付与部１０２ｅは、操作語Ｃをｋ個付与し（ステップＳＢ−１１）、流線解析部１０２ｂは、流線図上において、同じ境界上の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと、それによって結ばれている二つの∂−ｓａｄｄｌｅと、それらに囲まれるｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋを消去する操作をｋ回行う（ステップＳＢ−１２）。
【０２５９】
一方、∂−ｓａｄｄｌｅを４つ以上含む境界上の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎで、その内側がｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋであるような境界がない場合（ステップＳＢ−１０，Ｎｏ）、もっとも内側にあるＦｉｇｕｒｅ  ｅｉｇｈｔ（すなわち∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎで、その内側の少なくとも片方がｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋであるもの）が存在するので、その数をｋ個とし、操作語付与部１０２ｅは、操作語Ｂ０をｋ個付与し（ステップＳＢ−１３）、流線解析部１０２ｂは、流線図上において、もっとも内側にあるＦｉｇｕｒｅ  ｅｉｇｈｔからｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔとｂｏｕｎｄａｒｙを一つ消去して、ｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋを囲むｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔに置き換える操作をｋ回行う（ステップＳＢ−１４）。ここで、「Ｆｉｇｕｒｅ  ｅｉｇｈｔ」とは、一つのサドル点とそれをつなぐ二つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎからなり、各ｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎはその内部にｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋを囲んでいるような（８の字のような形をした）流れの構造を指す。
【０２６０】
そして、以上の処理を行った後、処理をステップＳＢ−３に戻し、まだ∂−ｓａｄｄｌｅが存在する場合は（ステップＳＢ−３，Ｙｅｓ）、流体遷移経路取得装置１００は、上述した処理を繰り返す。
【０２６１】
一方、∂−ｓａｄｄｌｅがなくなった場合は（ステップＳＢ−３，Ｎｏ）、図３８に示すように、操作語付与部１０２ｅは、ｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔ（サドル点）が存在するか否かを判定する（ステップＳＢ−１５）。
【０２６２】
ｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔが存在する場合（ステップＳＢ−１５，Ｙｅｓ）、操作語付与部１０２ｅは、Ｆｉｇｕｒｅ  ｅｉｇｈｔパターンに存在するｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔがあるか否かを判定する（ステップＳＢ−１６）。
【０２６３】
Ｆｉｇｕｒｅ  ｅｉｇｈｔパターンに存在するｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔがｋ個ある場合（ステップＳＢ−１６，Ｙｅｓ）、操作語付与部１０２ｅは、操作語Ｂ０をｋ個付与し（ステップＳＢ−１７）、流線解析部１０２ｂは、流線図上において、もっとも内側にあるＦｉｇｕｒｅ  ｅｉｇｈｔパターンを一つのｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋまわりのｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔに置き換える操作をｋ回行う（ステップＳＢ−１８）。
【０２６４】
一方、Ｆｉｇｕｒｅ  ｅｉｇｈｔパターンに存在するｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔがない場合（ステップＳＢ−１６，Ｎｏ）、ｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎで、かつｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを持ち、その内側がｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋであるものが存在するので、その数をｋ個とし、操作語付与部１０２ｅは、操作語Ａ０を付与し（ステップＳＢ−１９）、流線解析部１０２ｂは、ｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔ（サドル点）とそれを結ぶｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎおよび、それらに囲まれるｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋを消去する操作をｋ回行う（ステップＳＢ−２０）。
【０２６５】
そして、以上の処理を行った後、処理をステップＳＢ−１５に戻し、まだｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔが存在する場合は（ステップＳＢ−１５，Ｙｅｓ）、流体遷移経路取得装置１００は、上述した処理を繰り返す。
【０２６６】
一方、ｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔがもはやない場合は（ステップＳＢ−１５，Ｎｏ）、流体遷移経路取得装置１００は、アルゴリズムＢにおけるＩ系列の操作語の割り当て処理を終え、語表現形成部１０２ｃにより形成された語表現は、遷移情報取得部１０２ｇの制御により、その時点で物体が受ける力に対応付けて、パターン遷移ファイル１０６ｃに格納される。なお、語表現形成部１０２ｃの極大語表現部１０２ｆは、得られた文字列の中から一つＡ２を選んで、それをＩと置き換えて文字列の先頭に移動させ、残りの文字列をルールに従って並び替えれば、極大語（ｍａｘｉｍａｌ  ｗｏｒｄ）に変換することができる。
【０２６７】
［Ｂ−３．ＩＩ系列における操作語の割り当て処理］
つづいて、アルゴリズムＢにおけるＩＩ系列の操作語の割り当て処理の一例について、図３９を参照して説明する。図３９は、アルゴリズムＢにおけるＩＩ系列の操作語の割り当て処理の一例を示すフローチャートである。なお、Ｉ系列の操作語の割り当て処理のステップＳＢ−１およびステップＳＢ−２と同様に、流線解析により流線図の作成と前処理が行われていてもよい。
【０２６８】
図３９に示すように、操作語付与部１０２ｅは、与えられた流線図について、∂−ｓａｄｄｌｅが存在するか判定する（ステップＳＣ−１）。
【０２６９】
∂−ｓａｄｄｌｅが存在する場合（ステップＳＣ−１，Ｙｅｓ）、操作語付与部１０２ｅは、ちょうど２つの∂−ｓａｄｄｌｅが存在する境界で、その境界上の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを持つものがあるか否かを判定する（ステップＳＣ−２）。
【０２７０】
ちょうど２つの∂−ｓａｄｄｌｅが存在する境界を含む∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを持つものがｋ個ある場合（ステップＳＣ−２，Ｙｅｓ）、操作語付与部１０２ｅは、操作語Ｂ２をｋ個付与し（ステップＳＣ−３）、流線解析部１０２ｂは、流線図上において、同じ境界上の∂−ｓａｄｄｌｅと∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを一本のｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔに置き換える操作をｋ回行う（ステップＳＣ−４）。
【０２７１】
一方、ちょうど２つの∂−ｓａｄｄｌｅが存在する境界を含む∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを持つものがない場合（ステップＳＣ−２，Ｎｏ）、操作語付与部１０２ｅは、４つ以上の∂−ｓａｄｄｌｅを持つ境界の中に、同じ境界上の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎで、その内側がｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋであるものがあるか否かを判定する（ステップＳＣ−５）。
【０２７２】
∂−ｓａｄｄｌｅを４つ以上含む境界上の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎで、その内側がｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋであるような境界がｋ個ある場合（ステップＳＣ−５，Ｙｅｓ）、操作語付与部１０２ｅは、操作語Ｃをｋ個付与し（ステップＳＣ−６）、流線解析部１０２ｂは、流線図上において、同じ境界上の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと、それによって結ばれている二つの∂−ｓａｄｄｌｅと、それらに囲まれるｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋを消去する操作をｋ回行う（ステップＳＣ−７）。
【０２７３】
一方、∂−ｓａｄｄｌｅを４つ以上含む境界上の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎで、その内側がｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋであるような境界がない場合（ステップＳＣ−５，Ｎｏ）、もっとも内側にあるＦｉｇｕｒｅ  ｅｉｇｈｔが存在するので、その数をｋ個とし、操作語付与部１０２ｅは、操作語Ｂ０をｋ個付与し（ステップＳＣ−８）、流線解析部１０２ｂは、流線図上において、もっとも内側にあるＦｉｇｕｒｅ  ｅｉｇｈｔパターンを、一つのｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋを囲むｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔに置き換える操作をｋ回行う（ステップＳＣ−９）。
【０２７４】
そして、以上の処理を行った後、処理をステップＳＣ−１に戻し、まだ∂−ｓａｄｄｌｅが存在する場合は（ステップＳＣ−１，Ｙｅｓ）、流体遷移経路取得装置１００は、上述した処理を繰り返す。
【０２７５】
一方、∂−ｓａｄｄｌｅがもはやない場合は（ステップＳＣ−１，Ｎｏ）、操作語付与部１０２ｅは、ｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔ（サドル点）が存在するか否かを判定する（ステップＳＣ−１０）。
【０２７６】
ｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔが存在する場合（ステップＳＣ−１０，Ｙｅｓ）、操作語付与部１０２ｅは、Ｆｉｇｕｒｅ  ｅｉｇｈｔパターンに存在するｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔがあるか否かを判定する（ステップＳＣ−１１）。
【０２７７】
Ｆｉｇｕｒｅ  ｅｉｇｈｔパターンに存在するｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔがｋ個ある場合（ステップＳＣ−１１，Ｙｅｓ）、操作語付与部１０２ｅは、操作語Ｂ０をｋ個付与し（ステップＳＣ−１２）、流線解析部１０２ｂは、流線図上において、もっとも内側にあるＦｉｇｕｒｅ  ｅｉｇｈｔパターンを一つのｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋまわりのｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔに置き換える操作をｋ回行う（ステップＳＣ−１３）。
【０２７８】
一方、Ｆｉｇｕｒｅ  ｅｉｇｈｔパターンに存在するｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔがない場合（ステップＳＣ−１１，Ｎｏ）、ｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎで、かつｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを持ち、その内側がｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋであるものが存在するので、その数をｋ個とし、操作語付与部１０２ｅは、操作語Ａ０をｋ個付与し（ステップＳＣ−１４）、流線解析部１０２ｂは、ｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔ（サドル点）とそれを結ぶｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎおよび、それらに囲まれるｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋを消去する操作をｋ回行う（ステップＳＣ−１５）。
【０２７９】
そして、以上の処理を行った後、処理をステップＳＣ−１０に戻し、まだｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔが存在する場合は（ステップＳＣ−１０，Ｙｅｓ）、流体遷移経路取得装置１００は、上述した処理を繰り返す。
【０２８０】
一方、ｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔがもはやない場合は（ステップＳＣ−１０，Ｎｏ）、流体遷移経路取得装置１００は、アルゴリズムＢにおけるＩＩ系列の操作語の割り当て処理を終える。なお、得られた文字列の中から一つＡ０を選んで、それをＩＩと置き換えて文字列の先端に移動し、残りの文字列をルールに従って並び替えれば極大語（ｍａｘｉｍａｌ  ｗｏｒｄ）に変換することが可能である。
【０２８１】
［Ｂ−４．Ｏ系列における操作語の割り当て処理］
つづいて、アルゴリズムＢにおけるＯ系列の操作語の割り当て処理の一例について、図４０を参照して説明する。図４０は、アルゴリズムＢにおけるＯ系列の操作語の割り当て処理の一例を示すフローチャートである。なお、Ｉ系列の操作語の割り当て処理のステップＳＢ−１およびステップＳＢ−２と同様に、流線解析により流線図の作成と前処理が行われていてもよい。
【０２８２】
図４０に示すように、操作語付与部１０２ｅは、与えられた流線図について、∂−ｓａｄｄｌｅが存在するか判定する（ステップＳＤ−１）。
【０２８３】
∂−ｓａｄｄｌｅが存在する場合（ステップＳＤ−１，Ｙｅｓ）、操作語付与部１０２ｅは、ちょうど２つの∂−ｓａｄｄｌｅが存在する境界で、同じ境界上の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを持つものがあるか否かを判定する（ステップＳＤ−２）。
【０２８４】
ちょうど２つの∂−ｓａｄｄｌｅが存在する境界を∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを持つものがｋ個ある場合（ステップＳＤ−２，Ｙｅｓ）、操作語付与部１０２ｅは、操作語Ｂ２をｋ個付与し（ステップＳＤ−３）、流線解析部１０２ｂは、流線図上において、同じ境界上の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎで結ばれた∂−ｓａｄｄｌｅと境界（ｂｏｕｎｄａｒｙ）を消去して一本のｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔに置き換える操作をｋ回行う（ステップＳＤ−４）。
【０２８５】
一方、ちょうど２つの∂−ｓａｄｄｌｅが存在する境界を含む∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを持つものがない場合（ステップＳＤ−２，Ｎｏ）、操作語付与部１０２ｅは、４つ以上の∂−ｓａｄｄｌｅを持つ境界の中に、同じ境界上の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎで、その内側がｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋであるものがあるか否かを判定する（ステップＳＤ−５）。
【０２８６】
∂−ｓａｄｄｌｅを４つ以上含む境界上の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎで、その内側がｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋであるような境界がｋ個ある場合（ステップＳＤ−５，Ｙｅｓ）、操作語付与部１０２ｅは、操作語Ｃをｋ個付与し（ステップＳＤ−６）、流線解析部１０２ｂは、流線図上において、同じ境界上の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと、それによって結ばれている二つの∂−ｓａｄｄｌｅと、それらに囲まれるｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋを消去する操作をｋ回行う（ステップＳＤ−７）。
【０２８７】
一方、∂−ｓａｄｄｌｅを４つ以上含む境界上の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎで、その内側がｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋであるような境界がない場合（ステップＳＤ−５，Ｎｏ）、もっとも内側にあるＦｉｇｕｒｅ  ｅｉｇｈｔが存在するので、その数をｋ個とし、操作語付与部１０２ｅは、操作語Ｂ０をｋ個付与し（ステップＳＤ−８）、流線解析部１０２ｂは、流線図上において、もっとも内側にあるＦｉｇｕｒｅ  ｅｉｇｈｔパターンを、一つのｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋを囲むｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔに置き換える操作をｋ回行う（ステップＳＤ−９）。
【０２８８】
そして、以上の処理を行った後、処理をステップＳＤ−１に戻し、まだ∂−ｓａｄｄｌｅが存在する場合は（ステップＳＤ−１，Ｙｅｓ）、流体遷移経路取得装置１００は、上述した処理を繰り返す。
【０２８９】
一方、∂−ｓａｄｄｌｅがもはやない場合は（ステップＳＤ−１，Ｎｏ）、操作語付与部１０２ｅは、ｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔ（サドル点）が存在するか否かを判定する（ステップＳＤ−１０）。
【０２９０】
ｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔがｋ個存在する場合（ステップＳＤ−１０，Ｙｅｓ）、操作語付与部１０２ｅは、操作語Ｂ０をｋ個付与し（ステップＳＤ−１１）、流線解析部１０２ｂは、流線図上において、もっとも内側にあるＦｉｇｕｒｅ  ｅｉｇｈｔパターンを、一つのｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋまわりのｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔに置き換える操作をｋ回行う（ステップＳＤ−１２）。
【０２９１】
そして、以上の処理を行った後、処理をステップＳＤ−１０に戻し、まだｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔが存在する場合は（ステップＳＤ−１０，Ｙｅｓ）、流体遷移経路取得装置１００は、上述した処理を繰り返す。
【０２９２】
一方、ｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔがもはやない場合は（ステップＳＤ−１０，Ｎｏ）、流体遷移経路取得装置１００は、アルゴリズムＢにおけるＯ系列の操作語の割り当て処理を終える。なお、得られた文字列の先頭にＯをつけて、それをルールに従って並び替えれば極大語（ｍａｘｉｍａｌ  ｗｏｒｄ）に変換することが可能である。
【０２９３】
以上が、流線図から語表現を求めるアルゴリズムＢの処理の詳細な例である。これにより、任意の流線図に対応する語表現を適切に求めることができる。なお、以上のアルゴリズムＢの処理は、一例に過ぎず、本発明は、上記のアルゴリズムに限定されるものではない。例えば、アルゴリズムＢの処理の他の例として、以下の処理を行ってもよいものである。
【０２９４】
［Ｂ−５．Ｉ，ＩＩ系列における操作語の割り当て処理（亜種アルゴリズム）］
ここで、アルゴリズムＢにおける操作語Ｉ，ＩＩの割り当て処理の他の例（亜種アルゴリズム）について、図４１および図４２を参照して説明する。図４１および図４２は、アルゴリズムＢ（Ｉ，ＩＩ−Ｗｏｒｄ  ａｌｇｏｒｉｔｈｍ）におけるＩ，ＩＩ系列の操作語の割り当て処理の他の例を示すフローチャートである。なお、上述した割り当て処理のステップＳＢ−１およびステップＳＢ−２と同様に、流線解析により流線図の作成と前処理が行われていてもよい。また、以下の操作語の割り当て処理において、操作語を付与する場合は、後ろから前に付与するものとする。
【０２９５】
図４１および図４２に示すように、操作語付与部１０２ｅは、流線解析部１０２ｂにより前処理が施された流線図について、吸い込み湧き出し対（１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ  ｐｏｉｎｔ）に繋がっていないｓａｄｄｌｅが存在する、または、∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎが存在するか判定する（ステップＳＩ−１）。
【０２９６】
吸い込み湧き出し対（１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ  ｐｏｉｎｔ）に繋がっていないｓａｄｄｌｅが存在する、または、∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎが存在する場合（ステップＳＩ−１，Ｙｅｓ）、操作語付与部１０２ｅは、ちょうど２つの∂−ｓａｄｄｌｅが存在する境界で、∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを持つものがあるか否かを判定する（ステップＳＩ−２）。
【０２９７】
ちょうど２つの∂−ｓａｄｄｌｅが存在する境界で、∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを持つものがｋ個ある場合（ステップＳＩ−２，Ｙｅｓ）、操作語付与部１０２ｅは、操作語Ｂ２をｋ個付与し（ステップＳＩ−３）、流線解析部１０２ｂは、流線図上において、同じ境界上の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎで結ばれた∂−ｓａｄｄｌｅと境界（ｂｏｕｎｄａｒｙ）を消去して一本のｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔ  に置き換える操作をｋ回行う（ステップＳＩ−４）。
【０２９８】
ちょうど２つの∂−ｓａｄｄｌｅが存在する境界で、∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを持つものがない場合であって（ステップＳＩ−２，Ｎｏ）、もっとも内側にあるＦｉｇｕｒｅ  ｅｉｇｈｔパターンがある場合（ステップＳＩ−５，Ｙｅｓ）、操作語付与部１０２ｅは、操作語Ｂ０を付与し、操作語付与部１０２ｅは、流線図上において、もっとも内側にあるＦｉｇｕｒｅ  ｅｉｇｈｔパターンを一つのｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋまわりのｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔに置き換える操作を行う（ステップＳＩ−６）。この操作（操作語Ｂ０を付与し、ｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔに置き換える操作）は、可能な限り繰り返し実行される。
【０２９９】
一方、もっとも内側にあるＦｉｇｕｒｅ  ｅｉｇｈｔパターンに存在するｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔがない場合（ステップＳＩ−５，Ｎｏ）、すなわち∂−ｓａｄｄｌｅを４つ以上含む境界上の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎで、その内側がｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋであるような境界がある場合、操作語付与部１０２ｅは、操作語Ｃを付与し、流線解析部１０２ｂは、流線図上において、その境界上の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと、それによって結ばれている二つの∂−ｓａｄｄｌｅと、それらに囲まれるｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋを消去する操作を繰り返し行う（ステップＳＩ−７）。この操作（操作語Ｃを付与し、ｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋを消去する操作）は、可能な限り繰り返し実行される。
【０３００】
そして、以上の処理を行った後、処理をステップＳＩ−１に戻し、まだ吸い込み湧き出し対（１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ  ｐｏｉｎｔ）に繋がっていないｓａｄｄｌｅが存在する、または、∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎが存在する場合は（ステップＳＩ−１，Ｙｅｓ）、流体遷移経路取得装置１００は、上述した処理を繰り返す。
【０３０１】
一方、吸い込み湧き出し対（１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ  ｐｏｉｎｔ）に繋がっているｓａｄｄｌｅのみが存在し、かつ、∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎがもはやない場合は（ステップＳＩ−１，Ｎｏ）、図４２に示すように、操作語付与部１０２ｅは、ｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅが存在するか判定する（ステップＳＨ−１）。
【０３０２】
そして、ｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅが存在しない場合（ステップＳＨ−１，Ｎｏ）、流線解析部１０２ｂは、ｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔ（サドル点）とそれを結ぶｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎおよび、それらに囲まれるｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋを消去する操作を１回行う（ステップＳＨ−２）。
【０３０３】
そして、ｓｓ−ｓａｄｄｌｅがｋ個あるとき、操作語付与部１０２ｅは、操作語Ａ０をｋ個付与する（ステップＳＨ−３）。
【０３０４】
そして、流線解析部１０２ｂは、ｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔ（サドル点）とそれを結ぶｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎおよび、それらに囲まれるｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋを消去する操作をｋ回行う（ステップＳＨ−４）。
【０３０５】
そして、パターン語付与部１０２ｄは、パターン語ＩＩを付与し（ステップＳＨ−５）、流体遷移経路取得装置１００は、アルゴリズムＢ（Ｉ，ＩＩ−Ｗｏｒｄ  ａｌｇｏｒｉｔｈｍ）におけるＩ，ＩＩ系列の操作語の割り当て処理を終える。なお、得られた文字列は極大語（ｍａｘｉｍａｌ  ｗｏｒｄ）である。
【０３０６】
一方、上記のステップＳＨ−１において、ｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅが存在する場合（ステップＳＨ−１，Ｙｅｓ）、流線解析部１０２ｂは、流線図上において、これら二つの∂−ｓａｄｄｌｅと境界（ｂｏｕｎｄａｒｙ）を消去して、一本のｓｓ−ｏｒｂｉｔに置き換える操作を１回行う（ステップＳＨ−７）。
【０３０７】
そして、ｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅがｋ個あるとき、操作語付与部１０２ｅは、操作語Ａ２をｋ個付与する（ステップＳＨ−８）。
【０３０８】
そして、流線解析部１０２ｂは、流線図上において、これら二つの∂−ｓａｄｄｌｅと境界（ｂｏｕｎｄａｒｙ）を消去して、一本のｓｓ−ｏｒｂｉｔに置き換える操作をｋ回行う（ステップＳＨ−９）。
【０３０９】
そして、操作語付与部１０２ｅは、ｓｓ−ｓａｄｄｌｅがｋ個あるとき、操作語Ａ０をｋ個付与する（ステップＳＨ−１０）。
【０３１０】
そして、流線解析部１０２ｂは、ｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔ（サドル点）とそれを結ぶｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎおよび、それらに囲まれるｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋを消去する操作をｋ回行う（ステップＳＨ−１１）。
【０３１１】
そして、パターン語付与部１０２ｄは、パターン語Ｉを付与し（ステップＳＨ−１２）、流体遷移経路取得装置１００は、アルゴリズムＢ（Ｉ，ＩＩ−Ｗｏｒｄ  ａｌｇｏｒｉｔｈｍ）におけるＩ，ＩＩ系列の操作語の割り当て処理を終える。なお、得られた文字列は極大語（ｍａｘｉｍａｌ  ｗｏｒｄ）である。
【０３１２】
［Ｂ−６．Ｏ系列における操作語の割り当て処理（亜種アルゴリズム）］
つづいて、アルゴリズムＢにおけるＯ系列の操作語の割り当て処理（亜種アルゴリズム）の一例について、図４３を参照して説明する。図４３は、アルゴリズムＢ（Ｏ−Ｗｏｒｄ  ａｌｇｏｒｉｔｈｍ）におけるＯ系列の操作語の割り当て処理の他の例を示すフローチャートである。なお、上述した割り当て処理のステップＳＢ−１およびステップＳＢ−２と同様に、流線解析により流線図の作成と前処理が行われていてもよい。また、以下の操作語の割り当て処理において、操作語を付与する場合は、後ろから前に付与するものとする。
【０３１３】
図４３に示すように、操作語付与部１０２ｅは、与えられた流線図について、ｓａｄｄｌｅまたは∂−ｓａｄｄｌｅが存在するか判定する（ステップＳＪ−１）。
【０３１４】
ｓａｄｄｌｅまたは∂−ｓａｄｄｌｅが存在する場合（ステップＳＪ−１，Ｙｅｓ）、操作語付与部１０２ｅは、ちょうど２つの∂−ｓａｄｄｌｅが存在する境界で、同じ境界上の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを持つものがあるか否かを判定する（ステップＳＪ−２）。
【０３１５】
ちょうど２つの∂−ｓａｄｄｌｅが存在する境界を繋ぐ∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを持つものがｋ個ある場合（ステップＳＪ−２，Ｙｅｓ）、操作語付与部１０２ｅは、操作語Ｂ２をｋ個付与する（ステップＳＪ−３）。
【０３１６】
そして、流線解析部１０２ｂは、流線図上において、その境界上の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎで結ばれた∂−ｓａｄｄｌｅと境界（ｂｏｕｎｄａｒｙ）を消去して一本のｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔに置き換える操作をｋ回行う（ステップＳＪ−４）。
【０３１７】
一方、ちょうど２つの∂−ｓａｄｄｌｅが存在する境界を繋ぐ境界上の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを持つものがない場合（ステップＳＪ−２，Ｎｏ）、操作語付与部１０２ｅは、もっとも内側にあるＦｉｇｕｒｅ  ｅｉｇｈｔがあるか否かを判定する（ステップＳＪ−５）。
【０３１８】
もっとも内側にあるＦｉｇｕｒｅ  ｅｉｇｈｔがあるもの（すなわち、∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎで、その内側の少なくとも片方ｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋであるもの）がある場合（ステップＳＪ−５，Ｙｅｓ）、操作語付与部１０２ｅは、操作語Ｂ０を付与し、流線解析部１０２ｂは、流線図上において、一つのｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋを囲むｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔに置き換える操作を行う（ステップＳＪ−６）。なお、この操作（操作語Ｂ０を付与し、ｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔに置き換える操作）は、可能な限り繰り返し実行される。
【０３１９】
一方、もっとも内側にあるＦｉｇｕｒｅ  ｅｉｇｈｔがない場合（ステップＳＪ―５，Ｎｏ）、すなわち∂−ｓａｄｄｌｅを４つ以上含む境界上の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎで、その内側がｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋであるような境界がある場合、操作語付与部１０２ｅは、操作語Ｃを付与し、流線解析部１０２ｂは、流線図上において、その境界上の∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと、それによって結ばれている二つの∂−ｓａｄｄｌｅと、それらに囲まれるｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋを消去する（ステップＳＪ−７）。なお、この操作（操作語Ｃを付与し、ｃｅｎｔｅｒ／ｄｉｓｋを消去する操作）は、可能な限り繰り返し実行される。
【０３２０】
そして、以上の処理を行った後、処理をステップＳＪ−１に戻し、まだｓａｄｄｌｅまたは、∂−ｓａｄｄｌｅが存在する場合は（ステップＳＪ−１，Ｙｅｓ）、流体遷移経路取得装置１００は、上述した処理を繰り返す。
【０３２１】
一方、ｓａｄｄｌｅまたは、∂−ｓａｄｄｌｅがもはやない場合は（ステップＳＪ−１，Ｎｏ）、流体遷移経路取得装置１００は、アルゴリズムＢ（Ｏ−Ｗｏｒｄ  ａｌｇｏｒｉｔｈｍ）におけるＯ系列の操作語の割り当て処理を終える。なお、得られた文字列の先頭にＯをつけると、それは極大語（ｍａｘｉｍａｌ  ｗｏｒｄ）である。
【０３２２】
以上が、流線図から語表現を求めるアルゴリズムＢの処理（亜種アルゴリズム）の詳細な例である。これにより、任意の流線図に対応する語表現を適切に求めることができる。
【０３２３】
［極大語表現］
得られる語表現には冗長性がある場合があるので、パターン語の組み合わせから全文字列を生成したのち、各文字列が極大語になっているか否かを判定し、冗長性のない極大語表現を得る原理と方法について説明する。
【０３２４】
すなわち、操作語を付与する場合の制約条件に従えば、原則的にはすべての構造安定な流れの位相構造は、操作語を列挙することで表現することができる。ただし、注意すべき点は、「一つの流れパターンを表現する語は複数ある」ということである。また一方で「一つの語表現で表される流れのパターンも複数ある」という点である。この実例は、ＩＡ０Ａ２とＩＡ２Ａ０等にみることができる。語表現という観点からすれば、後者の点は特に大きな問題ではない。ある一つの語がある流れパターンの集合（グループ）を表現するにすぎないからである。一方、前者の点は一つの流れを複数の語が表現すると冗長であり、たいへん紛らわしいので問題である。そこで、「極大語表現（ｍａｘｉｍａｌ  ｗｏｒｄ  ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ）」というものを用いてこの問題を解決することができる。
【０３２５】
この極大語表現は、Ｉ系列，ＩＩ系列，Ｏ系列で与えられている操作を表す文字列の順序の入れ替えによって、それが表現している流れの集合がどうなるかを調べることによって導入される。例えば、文字ＩＡ０Ａ２とＩＡ２Ａ０なる二つの語表現について、これらが表す流れのパターンは同じであることが示されるのでＡ０とＡ２の入れ替えによって表現されるパターンは変化しない。そこで、「Ａ０のほうがＡ２より先に語表現の中で現れる」というルールを追加して、重複するＩＡ２Ａ０という表現を排除する。このような文字の入れ替えに関して起こる、語表現されるパターンの変化を象徴的にＡ０Ａ２＝Ａ２Ａ０のように表現することにする。このように語を入れ替えても、それが表すパターンが変化しないような組み合わせが、Ｌｅｍｍａ３．５とＬｅｍｍａ３．６に与えられる（公表論文（２０１３）参照）。
【０３２６】
一方で、語を入れ替えることによって、それが表現するパターンの集合が変化する場合もある。例えばＩＢ０Ａ０とＩＡ０Ｂ０については、前者が表すパターンの集合は後者が表すパターンの集合に含まれる包含関係がある。すなわち集合の記号を使えば、（ＩＢ０Ａ０）⊂（ＩＡ０Ｂ０）となる。このように入れ替えによって、一方が一方のパターンの集合を含んでしまう場合は、含まれる側の語表現は排除して、より大きな語表現のみを採用する。この関係式を象徴的にＢ０Ａ０≦Ａ０Ｂ０と表現することにする。このような包含関係を生むような語の入れ替えの組み合わせはＬｅｍｍａ３．７で与えられる（公表論文（２０１３）参照）。
【０３２７】
これらの語の入れ替えによる包含関係式をまとめたものが下の表である。なお、Ｂ２Ｃ｜｜ＣＢ２は、Ｂ２とＣが入れ替えても包含関係が成立しないので、この二つは入れ替えることができないことを表している。
【表３】
2015068784.tif 000005
【０３２８】
なお、ある適切なアルゴリズムを１つ固定すると、これらの語表現の入れ替えによりできる極大語表現は、一つのパターンに対して、必ず一つしかないということを数学的に証明可能である（公表論文（２０１３）Ｌｅｍｍａ  ３．８参照）。
【０３２９】
さらに、これに基づいて極大語表現の標準形を求めることができる。Ｏ系列に対する極大語表現の標準形を与えたのがＴｈｅｏｒｅｍ  ３．３であり、Ｉ系列に対する極大語表現の標準形を与えたのがＴｈｅｏｒｅｍ  ３．４であり、ＩＩ系列に対するそれはＴｈｅｏｒｅｍ  ３．５で与えられている（公表論文（２０１３）参照）。
【０３３０】
上記の理論に基づいて、文字列が極大語になっているか否かを判定し、アルゴリズムＢにおいて極大語表現になるように書き換えたり、アルゴリズムＢ（亜種）において極大語表現のみを書き出したりすることができる。これにより、重複なく文字列を得ることができるので、位相上、一つの流れパターンについて、一つの語表現を割り当てることができ、冗長性を排除することができる。
【０３３１】
以上で、本実施の形態の詳細な説明を終える。
【０３３２】
なお、本実施の形態によれば、一例として航空機等の構造物設計の最適化手法において得られた遷移情報を利用することができる。例えば、上述の実施形態により、流れパターンの遷移順序や中間状態の流れパターン等が得られるので、流体遷移経路取得装置１００は、パターン遷移ファイル１０６ｃに記憶されたパラメータの範囲や遷移順序等の情報に基づく制約の下で、シミュレーション部１０２ａにより最適な構造物が探索されるよう制御してもよい。例えば、理想の流れパターンまでの遷移ルートが得られた場合において、現在の流れパターンの次の流れパターンがシミュレーションで得られていない間は、シミュレーション部１０２ａは、焼きなまし法において、ローカルミニマムを抜け出せるように、設計変数に対して大きな変更を許容するように、グローバルパラメータＴ（温度）を高く設定してもよい。このほか、航空機等の設計において理想的な流れパターンに導くために、遷移ルート上の語表現との一致不一致に従って、シミュレーション部１０２ａは、設定された所望のパターンを規定する探索範囲が当該所望のパターンになるよう調整してもよい。例えば、上記と同様に、シミュレーション部１０２ａは、焼きなまし法において、探索範囲が所望のパターンと不一致の場合は、設計変数に対して大きな変更を許容するようにグローバルパラメータＴ（温度）を高く設定し、一方、探索範囲が所望のパターンと一致している場合は、設計変数に対して小さな変更を求めるようにグローバルパラメータＴ（温度）を低く設定してもよい。このように、河川や海洋、飛行など物体配置と流れの相互作用の最適状態を、短時間および低コストで高精度の計算を行うことが可能となる。また、目的に応じた流線パターンの特定によって、構造物設計の省力化を図ることができる。
【０３３３】
また、本実施の形態によれば、橋脚の配置の設計、防波堤の配置の設計、港湾の汚染物質の効率的除去、風力発電の翼や航空機の形状の設計、オイルフェンスなどにおいて最適な構造への探索ルートを遷移経路として効率的に同定することができる。
【０３３４】
［他の実施形態］
さて、これまで本発明の実施形態について説明したが、本発明は、上述した実施形態以外にも、特許請求の範囲に記載した技術的思想の範囲内において種々の異なる実施形態にて実施されてよいものである。
【０３３５】
特に上記の実施形態においては、本発明を、三次元流体のシミュレーションにおける断面（構造物の断面等）について適用した例について説明したが、これに限られず、二次元流体のシミュレーションに適用してもよいものである。
【０３３６】
例えば、流体遷移経路取得装置１００がスタンドアローンの形態で処理を行う場合を一例に説明したが、流体遷移経路取得装置１００は、クライアント端末からの要求に応じて処理を行い、その処理結果を当該クライアント端末に返却するようにしてもよい。
【０３３７】
また、実施形態において説明した各処理のうち、自動的に行われるものとして説明した処理の全部または一部を手動的に行うこともでき、あるいは、手動的に行われるものとして説明した処理の全部または一部を公知の方法で自動的に行うこともできる。
【０３３８】
このほか、上記文献中や図面中で示した処理手順、制御手順、具体的名称、各処理の登録データや検索条件等のパラメータを含む情報、画面例、データベース構成については、特記する場合を除いて任意に変更することができる。
【０３３９】
また、流体遷移経路取得装置１００に関して、図示の各構成要素は機能概念的なものであり、必ずしも物理的に図示の如く構成されていることを要しない。
【０３４０】
例えば、流体遷移経路取得装置１００の各装置が備える処理機能、特に制御部１０２にて行われる各処理機能については、その全部または任意の一部を、ＣＰＵ（Ｃｅｎｔｒａｌ  Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ  Ｕｎｉｔ）および当該ＣＰＵにて解釈実行されるプログラムにて実現してもよく、また、ワイヤードロジックによるハードウェアとして実現してもよい。尚、プログラムは、後述する記録媒体に記録されており、必要に応じて流体遷移経路取得装置１００に機械的に読み取られる。すなわち、ＲＯＭまたはＨＤなどの記憶部１０６などには、ＯＳ（Ｏｐｅｒａｔｉｎｇ  Ｓｙｓｔｅｍ）として協働してＣＰＵに命令を与え、各種処理を行うためのコンピュータプログラムが記録されている。このコンピュータプログラムは、ＲＡＭにロードされることによって実行され、ＣＰＵと協働して制御部１０２を構成する。
【０３４１】
また、このコンピュータプログラムは、流体遷移経路取得装置１００に対して任意のネットワーク３００を介して接続されたアプリケーションプログラムサーバに記憶されていてもよく、必要に応じてその全部または一部をダウンロードすることも可能である。
【０３４２】
また、本発明に係るプログラムを、コンピュータ読み取り可能な記録媒体に格納してもよく、また、プログラム製品として構成することもできる。ここで、この「記録媒体」とは、メモリーカード、ＵＳＢメモリ、ＳＤカード、フレキシブルディスク、光磁気ディスク、ＲＯＭ、ＥＰＲＯＭ、ＥＥＰＲＯＭ、ＣＤ−ＲＯＭ、ＭＯ、ＤＶＤ、および、Ｂｌｕ−ｒａｙ  Ｄｉｓｃ等の任意の「可搬用の物理媒体」を含むものとする。
【０３４３】
また、「プログラム」とは、任意の言語や記述方法にて記述されたデータ処理方法であり、ソースコードやバイナリコード等の形式を問わない。なお、「プログラム」は必ずしも単一的に構成されるものに限られず、複数のモジュールやライブラリとして分散構成されるものや、ＯＳ（Ｏｐｅｒａｔｉｎｇ  Ｓｙｓｔｅｍ）に代表される別個のプログラムと協働してその機能を達成するものをも含む。なお、実施形態に示した各装置において記録媒体を読み取るための具体的な構成、読み取り手順、あるいは、読み取り後のインストール手順等については、周知の構成や手順を用いることができる。
【０３４４】
記憶部１０６に格納される各種のデータベース等（シミュレーション結果ファイル１０６ａ、流線図ファイル１０６ｂ、パターン遷移ファイル１０６ｃ等）は、ＲＡＭ、ＲＯＭ等のメモリ装置、ハードディスク等の固定ディスク装置、フレキシブルディスク、および、光ディスク等のストレージ手段であり、各種処理やウェブサイト提供に用いる各種のプログラム、テーブル、データベース、および、ウェブページ用ファイル等を格納する。
【０３４５】
また、流体遷移経路取得装置１００は、既知のパーソナルコンピュータ、ワークステーション等の情報処理装置として構成してもよく、また、当該情報処理装置に任意の周辺装置を接続して構成してもよい。また、流体遷移経路取得装置１００は、該情報処理装置に本発明の方法を実現させるソフトウェア（プログラム、データ等を含む）を実装することにより実現してもよい。
【０３４６】
更に、装置の分散・統合の具体的形態は図示するものに限られず、その全部または一部を、各種の付加等に応じて、または、機能負荷に応じて、任意の単位で機能的または物理的に分散・統合して構成することができる。すなわち、上述した実施形態を任意に組み合わせて実施してもよく、実施形態を選択的に実施してもよい。
【０３４７】
『実施の形態２』
実施の形態２に係る流体遷移経路取得装置、流体遷移経路取得方法、および、プログラムを図４４〜図６６を参照して説明する。実施の形態２では、実施の形態１と共通する部分の説明を省略し、異なる点についてのみ説明する。
【０３４８】
実施の形態１で説明したように、語表現に対しては複数の流れパターンが対応する場合がある。そのため、実施の形態１のように、語表現のみを使用して遷移パターンＸを特定する方法では、起こりうる遷移の候補（必要条件）を与えるだけであって、それに対応する中間状態が実際に実現されうるかどうかは、その部分語に対応して得られている構造が実際に存在するかを流線構造のパターンマッチングで確認する必要がある。
【０３４９】
そこで、実施の形態２では、流れパターンと完全に１対１に対応する新たな表現方法である正規表現を提案すると共に、語表現に加えて正規表現を使用して遷移パターンＸを特定することにより、パターンマッチングをしないで自動で遷移パターンＸを特定する方法を提案する。詳細を後述するように、実施の形態２では、流線パターンと正規表現は完全に１対１で対応することを利用して、遷移パターンＸに対応する局所の流線構造の変化に対して、それらを正規表現の一部表現の一部（部分表現という）の変化として予め記述できることに注意する。
【０３５０】
［流れパターンの正規表現方法］
実施の形態２に係る流れパターンの正規表現作成方法について説明する。実施の形態２に係る流れパターンの正規表現作成方法では、実施の形態１の語表現理論を一部使用している。本実施の形態２に係る流れパターンの正規表現作成方法はコンピュータ等の装置により実行可能である。図４４は、実施の形態２に係る流れパターンの正規表現方法の概略を説明するためのフローチャートである。
【０３５１】
図４４に示すように、本実施の形態に係る流れパターンの正規表現方法は、位相幾何学的にＮ（但し、Ｎは１以上の整数）個の穴を有する多重連結外部領域における流れパターンの正規表現を作成ものであり、大別すると、流れパターンに１対１に対応するグラフ表現を作成するグラフ表現作成工程（ステップＳ２１）と、ステップＳ１２のグラフ表現作成工程で作成されたグラフ表現から正規表現を作成する正規表現作成工程（ステップＳ２２）と、を備えている。
【０３５２】
グラフ表現は、流れパターンで規定される構造安定なハミルトンベクトル場Ｈに対して、固有のルート付き、ラベル付き、向き有りツリーＴＨ＝（Ｖ，Ｅ）を割り当て（但し、Ｖは頂点と呼ばれる点の集合、Ｅは、頂点の間を結ぶエッジの集合である）、平面グラフとして可視化したものであってもよい。
【０３５３】
また、グラフ表現は、親の頂点をｖ、その子の頂点をｗ，親の頂点ｖに割り当てられたラベルをｌ（ｖ）、子の頂点ｗに割り当てられたラベルをｌ（ｗ），ｖの子頂点集合Γ（ｖ）とした場合、ｖの子頂点集合Γ（ｖ）を所定の順序関係のルールに従って並び替え、ｗ∈Γ（ｖ）について、ｌ（ｖ）からｌ（ｗ）への矢印を左から右に並べて描画されたものを含むことにしてもよい。
【０３５４】
また、流れパターンは、（１）一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンのうちの、吸い込み湧き出し対をもち、二つのｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩ、（２）上記一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンのうちの、吸い込み湧き出し対をもち、一つのｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔ、それを結ぶｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと二つのｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩＩ、（３）二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンＯ、からなるパターン語の１又は複数であることにしてもよい。
【０３５５】
また、語表現は、一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンに加えて、二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンを追加した、合計３種類の流れパターンを規定するパターン語に対して、上記流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語のうちのいずれか一語を、追加された穴の数だけ付与することにより形成された記号語であることとしてもよい。
【０３５６】
図４５は、図４４のグラフ表現作成工程の一例を説明するためのフローチャートである。図４５において、グラフ表現作成工程では、まず、流れパターンが吸い込み湧き出し対を持つ場合は、流れパターンをその吸い込み湧き出し対に最も近い反時計回りのｓｓ−ｏｒｂｉｔを含む領域が一番外側領域になるように変換する（ステップＳ３１）。流れパターンは、例えば、上述のパターン語の１又は複数から開始し、流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語のうちのいずれか一語を付与する操作を、穴の数がＮ個となるまで繰り返して作成された穴の数がＮ個の流れパターン図としてもよい。具体的には、後述するように、Ｉ−ｗｏｒｄ，ＩＩ−ｗｏｒｄのｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍ（流れパターン図）のルートが、図４８に示すようになるように変換する。次に、変換した流れパターンの（ｓｓ−）ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍに現れる軌道を領域全体から抽出する（ステップＳ３２）。領域全体から（ｓｓ−）ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍに現れる軌道をすべて除外して得られる連結成分に頂点を設定し、一番外側にある連結成分をルートとする（ステップＳ３３）。続いて、カレント成分をルートに設定する（ステップＳ３４）。カレント成分と互いに境界を接するような連結成分をカレント成分の子とし、境界にあたる軌道に応じてラベルを割り当て，それらを所定のラベルの順序関係に従って並べる（ステップＳ３５）。カレント成分の子をカレント成分に設定して、子がなくなるまでステップＳ３５を繰り返し実行する（ステップＳ３６）。
【０３５７】
以下、実施の形態２の流れパターンの正規表現方法をその原理と共に、詳細に説明する。
【０３５８】
（２．グラフ表現作成工程）
上記図４４のグラフ表現作成工程（ステップＳ２１）について詳細に説明する。まず、実施の形態２で使用しているグラフ理論について説明する。
【０３５９】
（２−１．グラフ理論）
グラフＴ＝（Ｖ，Ｅ）とは、「ｖｅｒｔｅｘ（頂点）」と呼ばれる点の集合（頂点集合）Ｖとその頂点の間を結ぶ「ｅｄｇｅ（エッジ）」と呼ばれる集合Ｅのペアとして与えられる集合である。一般にグラフは多様な構造を持ちうるが、本実施の形態のグラフ表現理論では、グラフ全体の集合におけるある特定の構造をもった以下のグラフの集合を考える。
【０３６０】
１）ツリー，木（Ｔｒｅｅ）とは、任意の二つ頂点が一本のｅｄｇｅによってのみ結合されているようなグラフを指す。
２）ルート付き（Ｒｏｏｔｅｄ）グラフとは、ある特定の頂点（以下、ルート（ｒｏｏｔ）と呼ぶ）が存在しているグラフを指す。ルート付きグラフに対しては、このルートから各頂点ｖ∈Ｖへのエッジの連結による最短経路を考えることができるので、これをｖの高さ（ｈｅｉｇｈｔ）と呼び、記号をｈｔ（ｖ）と書く。これによりルート付きツリーＴに対してはｈｔ（Ｔ）：＝ｍａｘｖ∈Ｖｈｔ（ｖ）によって、ツリーＴ自体の高さを考えることができる。
３）グラフが向き有り（ｄｉｒｅｃｔｅｄ）であるとは、すべてのエッジに親子の順序が入っているようなものを指す。向き有りグラフにおける、頂点ｖ∈Ｖからｗ∈Ｖへのエッジは、ｖ⇒ｗ∈Ｅと表わす。このとき、ｖはｗの親、ｗはｖの子と呼ぶ。Г（ｖ）と書いて、頂点ｖ∈Ｖの子供全体の集合を表す。すなわち、Г（ｖ）：＝｛ｗ∈Ｖ│ｖ⇒ｗ∈Ｅ｝。また、その集合に含まれる子供頂点の数＃Г（ｖ）を持って，ｖのｏｕｔ−ｄｅｇｒｅｅとよび、逆にｖに入ってくるエッジの数をｖのｉｎ−ｄｅｇｒｅｅと呼ぶ。
【０３６１】
４）グラフがラベル付き（ｌａｂｅｌｌｅｄ）であるとは、全ての頂点に特定のラベルが割り当てられているようなものを指す。
【０３６２】
本実施の形態においては、ルート付き、ラベル付き、向き有りのツリーを考える。またそのルートはｉｎ−ｄｅｇｒｅｅがゼロ、すなわちそこに入ってくるエッジが存在しないような頂点を考える。頂点のラベルとしては、｛ｏφ，ｏ０，ｏ2，+φ，+０，+2，-φ，-０，-2｝のいずれかを割り当てるものとする。このとき，ラベルがｏφ（ｏ０，ｏ２，+φ，+０，+2，-φ，-０，あるいは-2）となっている頂点集合の部分集合をＶｏφ（Ｖｏ０、Ｖｏ2、Ｖ+φ、Ｖ+０、Ｖ+2、Ｖ-φ，Ｖ-０，あるいはＶ-2）と表す。頂点ｖに対して、ｌ（ｖ）と書けばそれは頂点に割り当てられたラベルを表すことにする。以後の便宜のため、以下のような集合を定義しておく。Ｖｏ＝ＶｏφＵＶｏ０ＵＶｏ２、Ｖ+＝Ｖ+φＵＶ+０ＵＶ+２、Ｖ-＝Ｖ-φＵＶ-０ＵＶ-２、Ｖ０＝Ｖｏ０∪Ｖ+０∪Ｖ-０、Ｖ２＝Ｖｏ２ＵＶ+２ＵＶ-２、ただし、Ｕの記号は、ｄｉｓｊｏｉｎｔ  ｕｎｉｏｎを表している。加えて、頂点ｖの子頂点集合は、Г（ｖ）は以下のように分割することができる。
【０３６３】
Гｏ０（ｖ）＝Г（ｖ）∩Ｖｏ０，Гｏ２（ｖ）＝Г（ｖ）∩Ｖｏ２，Г+０（ｖ）＝Г（ｖ）∩Ｖ+０，Г-０（ｖ）＝Г（ｖ）∩Ｖ-０，Г+２（ｖ）＝Г（ｖ）∩Ｖ+２，Г-２（ｖ）＝Г（ｖ）∩Ｖ-２，Г−（ｖ）＝Г（ｖ）∩Ｖ−，Г＋（ｖ）＝Г（ｖ）∩Ｖ＋，Г２（ｖ）＝Г（ｖ）∩Ｖ２である。
【０３６４】
さらに、頂点ｖ∈Ｖに対して「符合」をｓｇｎ（ｖ）と書けば、ｖ∈Ｖ+ＵＶ０ならばｓｇｎ（ｖ）＝＋、ｖ∈Ｖ−ならばｓｇｎ（ｖ）＝−を与えるものとする。以後ラベルを並べて流れの表現を与えるので、これらのラベルの出現順序には以下のような順序関係のルール（１）を定めておく。
【０３６５】
ｏ０＞ｏ２＞+０＞-０＞+２＞-２・・・（１）
【０３６６】
（２−２．二次元構造安定なハミルトンベクトル場のツリー表現）
本実施の形態のグラフ表現作成工程に係る二次元構造安定なハミルトンベクトル場のツリー表現について説明する。以下、Ｏ−ｗｏｒｄで表現される流れパターンのグラフ表現と、Ｉ，ＩＩ−ｗｏｒｄで表現される流れパターンのグラフ表現について説明する。
【０３６７】
（２−２−１．Ｏ−ｗｏｒｄで表現される流れパターンのグラフ表現）
Ｈを二次元領域Ｄｚ（Ｍ）上のＯ−ｗｏｒｄで表現される構造安定なハミルトンベクトル場とし、Ｄをそのｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍとする。このハミルトンベクトル場Ｈに対して固有のルート付き、ラベル付き、及び向き有りのツリーＴＨ＝（Ｖ，Ｅ）を割り当てる方法とその平面グラフとしての可視化アルゴリズムを以下に説明する。
【０３６８】
まず、領域全体Ｄｚ（Ｍ）からＤをすべて取り除くと、いくつかの（無限の周期軌道を含む）円環開集合である連結成分からなる集合ＣＨ＝Ｄｚ（Ｍ）＼Ｄが構成できる。この各連結成分を頂点集合Ｖとする。ルートの頂点はこれらの連結成分のうちもっとも外側にある連結成分とし、そのラベルとして含まれている周期軌道が反時計回りであるときは＋φ、時計回りであるときは-φを割り当てる。
【０３６９】
次にエッジは以下のように作成する。二つの頂点ｖ、ｗ∈Ｖに対して、これらの頂点に対応する連結成分の閉包の共通部分（つまり成分の共通境界）が１次元ｄｉｍ（ｃl（ｖ）∩ｃl（ｗ））＝１、かつ、ｖがｗの外側の成分となっている場合に、その二つの間に向き有りエッジｖ⇒ｗ∈Ｅを構成する。さらに、この共通部分（境界）集合ｃl（ｖ）∩ｃl（ｗ）がｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎであり、子連結成分ｗが反時計回り（あるいは、時計回り）の周期軌道を持つとき、ｗのラベルとして+０（あるいは-０）を割り当てるものとする。同様に、その共通部分（境界）集合ｃl（ｖ）∩ｃl（ｗ）が∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎであり、ｗ内の周期軌道の向きが反時計回り（あるいは時計回り）であれば、ｗのラベルを+２（あるいは-２）とする。
【０３７０】
ＣＨの内部にはｓｓ−ｏｒｂｉｔは一つも存在しないので、連結成分ｖの子頂点集合Г（ｖ）は、Г（ｖ）＝Г+０（ｖ）ＵГ-０（ｖ）ＵГ+２（ｖ）ＵГ-２（ｖ）となることに注意する。Ｖo０＝Ｖo２＝φでもあるので、頂点集合Ｖの部分集合Ｖ０＝Ｖ+０∪Ｖ-０およびＶ２＝Ｖ+２∪Ｖ-２となっている。これらの部分頂点集合に入っている元の数は全ての構造安定な流れパターンが操作Ｂ０，Ｂ２，Ｃによって構成されていることから見積もることができる。
【０３７１】
図４６は、操作Ｂ０，Ｂ２，Ｃによって生成されるすべての流線パターンとそれに対応して連結部分集合（頂点集合）に励起される親子関係を示している。（ａ）はＢ０、（ｂ）はＢ０、（ｃ）はＢ０Ｂ０、（ｄ）はＢ２Ｃｋ-１，ｋ≧１、（ｅ）はＢ２Ｃ１，l≧１、（ｆ）は、Ｂ２２Ｃｋ＋ｌ-１，ｋ，l≧１、（ｇ）はＢ０Ｂ２Ｃｋ，ｋ≧１、（ｈ）はＢ０Ｂ２Ｃｌ，l≧１を示している。図４６において、ｖは親連結部分集合を表し、その子連結部分集合はｗ，ｙ，ｚなどのように表現されている。破線は親連結部分の集合を表すため、そこに含まれている周期軌道を一本だけ向きとともに描いている。
【０３７２】
図４６（ａ）に示すように、操作Ｂ０によって作られた外向き８の字パターンが構成できる。ｖとｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎを境界として共有する二つの連結成分ｗ１∈Ｖ０およびｗ２∈Ｖ０で、その符合が同じ、つまりｓｇｎ（ｖ）＝ｓｇｎ（ｗ１）＝ｓｇｎ（ｗ２）となるものが存在する。他方、Ｂ０で作られたパターンが図４６（ｂ）に示すように内向き８の字パターンであったとき、親成分ｖをどの連結成分にとるかによって、二種類のｖとｗ∈Ｖ０の二つのエッジ（一つはｓｇｎ（ｖ）＝ｓｇｎ（ｗ）、もう一つはｓｇｎ（ｖ）≠ｓｇｎ（ｗ）となっている）が構成できる。
【０３７３】
図４６（ｃ）に示すように、操作Ｂ０Ｂ０によっては二種類の親子エッジ関係が形成される。左側のパターンでは、親連結成分ｖから、ｓｇｎ（ｖ）＝ｓｇｎ（ｗ１）＝ｓｇｎ（ｗ２）かつｓｇｎ（ｖ）≠ｓｇｎ（ｗ３）となる三つの子連結成分ｗ１，ｗ２，ｗ３∈Ｖ０へのエッジが構成できる。
【０３７４】
右側のパターンでは、親連結成分ｖからｓｇｎ（ｖ）＝ｓｇｎ（ｗ１）≠ｓｇｎ（ｗ２）となる二つの子連結成分ｗ１，ｗ２∈Ｖ０へのエッジが構成できる。以下同様に、図４６（ｄ）〜（ｆ）に示すように、各操作Ｂ２Ｃｋ-１，Ｂ２Ｃｌ，Ｂ２２Ｃｋ＋ｌ-１（ｋ≧１，l≧１）によってｋ個のｖと同じ向きの周期軌道を含む連結成分と逆向きの周期軌道を含むｌ個の連結成分間の親子関係のエッジが順次構成される。
【０３７５】
図４６（ｇ）は、操作Ｂ０Ｂ２Ｃｋによって構成された流線パターンであり、これによりｖからｗ１，ｗ２∈Ｖ０、あるいは、ｖからｗ∈Ｖ０への同じ符合を持つ領域へのエッジと、ｋ個の反対の符合を持つ子連結成分ｚｊ∈Ｖ０（ｊ＝１，．．．，ｋ）へのエッジが構成される。
【０３７６】
最後に、操作Ｂ０Ｂ２Ｃｌ（l≧１）によって作られる図４６（ｈ）の流線パターンに対応しては、ｓｇｎ（ｖ）≠ｓｇｎ（ｗ）となるｗ∈Ｖ０への一本のエッジと、同じ符合を持つｌ本のｙｊ∈Ｖ０（ｊ＝１，．．．，l）へのエッジができる。
【０３７７】
これ以外に、操作Ｂ０，Ｂ２，Ｃによって新しい親子関係を生成するものは存在しないので、以上から、子連結成分の集合に含まれる元の数は＃Γ+０（ｖ），＃Γ-０（ｖ）≦２であり、子頂点集合に含まれる元の数＃Γ+２（ｖ）、＃Γ-２（ｖ）については任意の非負整数を選ぶことができる。
【０３７８】
次に、与えられたｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍから得られるグラフ表現をどのように平面グラフとして描画するかを説明する。まず、全ての連結部分ｖ∈Ｖに対して、その子連結部分集合Γ（ｖ）に含まれる元をラベルに関する順序関係のルール（１）に応じて並び替えておく。ただし、複数の同じラベル+０（あるいは-０）が含まれているときはサイクリックな順序で並べる（このことは、＃Γ+０（ｖ）、＃Γ-０（ｖ）≦２ということから一義的に実現できる。）。一方、ラベル+２および-０に対応する子連結部分集合Γ+２（ｖ）およびΓ-２（ｖ）については、その並べ方は以下のようなルールに従うものとする。
【０３７９】
図４６にあるｙｊと書かれた連結部分に対してその順序をサイクリックに並べる。すなわち、この中から特定の連結部分をｙ１として選んで、後は反時計回りに連結成分を並べる。同じ図中ｚｊと書かれた子連結成分については単に反時計回りに並べることができる。
【０３８０】
以下で説明する（２−２−１−１．Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理）及び（２−２−２−１．Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理）について、以下のように定義する。Ｎで非負整数のなす集合とし、Ｎ∞で非負整数のなす有限列の集合とする（すなわち、Ｎ∞＝ＮＵＮ２ＵＮ３・・・）。Ｎ∞上に以下のように半順序＜を定義する。Ｎ∞の元ｓ＝ｓ１・・・ｓｎ，ｔ＝ｔ１・・・ｔｍに対して、「ｎ＜ｍ」または「ｎ＝ｍかつｓ１＝ｔ１，．．．，ｓｋ−１＝ｔｋ−１かつｓｋ＜ｔｋとなる自然数ｋ＞０が存在する事である」が成り立つ時、ｓ＜ｔと定義する。以下では、頂点集合ＶからＮ∞への単射関数Ｓ：Ｖ→Ｎ∞を与える。このとき、頂点ｖに対して、Ｓ（ｖ）を頂点ｉｄと呼ぶ。ここで、単射性から、頂点とその頂点ｉｄを同一視する。さらに、ｒｏｏｔの頂点ｉｄは０と置く（頂点とｉｄを同一視するため）。また、以下の構成から、頂点ｉｄは、ツリーの高さ優先探索の順番に対応していることが分かる。以下、σ∈｛＋，−｝を表し、μ＝-σとし、Ｇでツリー、ｓ，ｓ’，ｔ，ｕで頂点ｉｄ、Ｔで頂点ｉｄの部分集合を表す。また、以下で、図４６，４９を参照するが、流れの向きは無視するものとする。
【０３８１】
（２−２−１−１．Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理）
図４７−Ａ〜図４７−Ｅは、Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。コンピュータ等の装置により、図４７−Ａ〜図４７−Ｅに示す、Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を実行可能である。
【０３８２】
図４７−Ａ〜図４７−Ｅにおいて、ｉｎｐｕｔをｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍ  Ｄとし、ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍ  Ｄをｏｕｔｅｒｍｏｓｔにｒｏｏｔがあるよう変換し（ステップＳ１０１）、ｓ＝０，Ｔ＝｛０｝と置く（ステップＳ１０２）。ｒｏｏｔ  ０の外側境界が反時計回りであるか否かを判断する（ステップＳ１０３）、ｒｏｏｔ  ０の外側境界が反時計回りである場合は(ステップＳ１０３の「Ｙｅｓ」)、σ=+，ツリーＧ＝（０，+φ）とし(ステップＳ１０４)、ｒｏｏｔ  ０の外側境界が反時計回りでない場合、すなわち、時計回りである場合は（ステップＳ１０３の「Ｎｏ」）、σ=-，ツリーＧ＝（０，-φ）として（ステップ１０５）、ステップＳ１０６に移行する。
【０３８３】
ステップＳ１０６では、ｒｏｏｔ  ０が図４６(a)の形（パターン）をしているか否かを判断する。ｒｏｏｔ  ０が図４６(a)の形をしている場合は(ステップ１０６の「Ｙｅｓ」)、w１，w２の頂点idを００，０１と定め、ツリーＧを、図４６(a)のツリーのラベルをidとラベルの組に置き換えたツリーＧ（すなわち、Ｇを（００，σ０）←（０，σφ）→（０１，σ０））と定め、集合Ｔに{００，０１}を追加する(ステップＳ１０７)。すなわち、Ｔ＝｛０，００，０１｝と置き換える。この置換操作を、Ｔ←ＴＵ｛００，０１｝と表す。この後、処理はステップＳ１１４に移行する。
【０３８４】
他方、ステップＳ１０６において、ｒｏｏｔ  ０が図４６(a)の形をしていない場合は(ステップ１０６の「Ｎｏ」)、ステップＳ１０８に移行する。
【０３８５】
ステップＳ１０８では、ｒｏｏｔ  ０が図４６（ｂ）の左の形をしているか否かを判断する。ｒｏｏｔ  ０が図４６（ｂ）の左の形をしている場合には（ステップ１０８の「Ｙｅｓ」）、ｗの頂点ｉｄを００と定め、ツリーＧを、図４６（ｂ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリー（すなわち、Ｇを（（０，σφ）→（００，σ０）））と定め、集合Ｔに｛００｝を追加する（ステップＳ１０９）。すなわち、Ｔ←ＴＵ｛００｝とする。この後、処理はステップＳ１１４に移行する。
【０３８６】
他方、ステップＳ１０８において、ｒｏｏｔ  ０が図４６（ｂ）の左の形をしていない場合は（ステップＳ１０８の「Ｎｏ」）、ステップＳ１１０に移行する。
【０３８７】
ステップＳ１１０において、ｒｏｏｔ  ０が図４６（ｄ）の形をしているか否かを判断する。ｒｏｏｔ  ０が図４６（ｄ）の形をしている場合は（ステップＳ１１０の「Ｙｅｓ」）、ｙ１，．．．，ｙｋの頂点ｉｄを００，．．．，０ｋ−１と定め、ツリーＧを、図４６（ｄ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、集合Ｔに｛００，．．．，０ｋ−１｝を追加する（ステップＳ１１１）。すなわち、Ｔ←ＴＵ｛００，．．．，０ｋ−１｝とする。この後、処理はステップＳ１１４に移行する。
【０３８８】
他方、ステップＳ１１０において、ｒｏｏｔ  ０が図４６（ｄ）の形をしていない場合は（ステップＳ１1０の「Ｎｏ」）、ツリーＧをσφと定め（ステップＳ１１２）、このツリーＧをｏｕｔｐｕｔして（ステップＳ１１３）、処理を終了する。
【０３８９】
ステップＳ１１４において、Ｔの中にｓより大きい元ｔが存在するか否かを判断する。ｓがＴの中で最大元の場合は（ステップＳ１１４の「Ｎｏ」）、ツリーＧの頂点ｉｄを全て取り除いて、残りのツリーをＧとし（ステップＳ１１５）、ツリーＧをｏｕｔｐｕｔして（ステップＳ１１３）、処理を終了する。
【０３９０】
他方、ステップＳ１１４において、ｓがＴの中で最大元でない場合は（ステップＳ１１４の「Ｙｅｓ」）、ｓ’＝ｍｉｎ｛ｔ∈Ｔ｜ｓ＜ｔ｝（すなわち、ｓ’をＴの中でｓの次に大きい元）として、sをs’と置換して、（ｓ，σ＊）←（ｓ’，σ＊’）とする（ステップ１１６）。この後、処理はステップS１１７に移行する。
【０３９１】
ステップＳ１１７において、頂点ｓの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎとｓａｄｄｌｅからなり、頂点ｓの内部境界ｓが図４６（ａ）の形をしているか否かを判断する。頂点ｓの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎとｓａｄｄｌｅからなり、頂点ｓがの内部境界が図４６（ａ）の形をしている場合は（ステップ１１７の「Ｙｅｓ」）、ｗ１，ｗ２の頂点ｉｄをｓ０，ｓ１と定め、ツリーＧを、図４６（ａ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，ｓ１｝を追加する（ステップＳ１１８）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。
【０３９２】
他方、ステップＳ１１７において、頂点ｓの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎとｓａｄｄｌｅでない、もしくは、頂点ｓの内部境界が図４６（ａ）の形をしていない場合は（ステップＳ１１７の「Ｎｏ」）、ステップＳ１１９に移行する。
【０３９３】
ステップＳ１１９において、頂点ｓの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎとｓａｄｄｌｅからなり、頂点ｓの内部境界が図４６（ｂ）の左の形をしているか否かを判断する。頂点ｓの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎとｓａｄｄｌｅからなり、頂点ｓの内部境界が図４６（ｂ）の左の形をしている場合は（ステップＳ１１９の「Ｙｅｓ」）、ｗの頂点ｉｄをｓ０と定め、ツリーＧを、図４６（ｂ）の左のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０｝を追加する（ステップＳ１２０）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。
【０３９４】
他方、ステップＳ１１９において、頂点ｓの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎとｓａｄｄｌｅでない、もしくは、頂点ｓの内部境界が図４６（ｂ）の左の形をしていない場合は（ステップＳ１１９の「Ｎｏ」）、ステップＳ１２１に移行する。
【０３９５】
ステップＳ１２１において、頂点ｓの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎとｓａｄｄｌｅからなり、頂点ｓの内部境界が図４６（ｄ）の形をしているか否かを判断する。頂点ｓの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎとｓａｄｄｌｅからなり、頂点ｓの内部境界が図４６（ｄ）の形をしている場合は（ステップ１２１の「Ｙｅｓ」）、ｙ１，．．．，ｙｋの頂点ｉｄを｛ｓ０，．．．，ｓｋ−１｝と定め、ツリーＧを、図４６（ｄ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，．．．，ｓｋ−１｝を追加する（ステップＳ１２２）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。
【０３９６】
他方、ステップＳ１２１において、頂点sの外側境界が1つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎとｓａｄｄｌｅでない、もしくは、頂点sの内部境界が図４６(d)の形をしていない場合は（ステップＳ１２１の「Ｎｏ」）、ステップＳ１２３に移行する。
【０３９７】
ステップＳ１２３において、頂点sが図４６(c)の左の形をしているか否かを判断する。頂点sが図４６(c)の左の形をしている場合は（ステップＳ１２３の「Ｙｅｓ」）、ステップＳ１２４に移行する。
【０３９８】
ステップＳ１２４において、頂点sのラベルσ０のσが+であるか（すなわち、sの中の流れは反時計回りであるか）否かを判断する。頂点sのラベルσ０のσが+である（すなわち、sの中の流れは反時計回りである）場合は（ステップＳ１２４の「Ｙｅｓ」）、ｗ１，ｗ２，ｗ３の頂点ｉｄをｓ０，ｓ１，ｓ２と定め、ツリーＧを、図４６（ｃ）の左のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，ｓ１，ｓ２｝を追加する（ステップＳ１２５）。この後、処理は、ステップＳ１１４に戻る。
【０３９９】
他方、ステップＳ１２４において、頂点sのラベルσ０のσが+でない場合、すなわち、頂点ｓのラベルσ０のσが−である（すなわち、ｓの中の流れは時計回りである）場合は（ステップＳ１２４の「Ｎｏ」）、ｗ１，ｗ２，ｗ３の頂点ｉｄをｓ１，ｓ２，ｓ０と定め、ツリーＧを、図４６（ｃ）の左のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，ｓ１，ｓ２｝を追加する（ステップＳ１２６）。この後、処理は、ステップＳ１１４に戻る。
【０４００】
他方、ステップＳ１２３において、頂点sが図４６(c)の左の形をしていない場合は（ステップＳ１２３の「Ｎｏ」）、ステップＳ１２７に移行する。
【０４０１】
ステップＳ１２７において、頂点sが図４６(c)の右の形をしているか否かを判断する。頂点sが図４６(c)の右の形をしている場合は（ステップＳ１２７の「Ｙｅｓ」）、ステップＳ１２８に移行する。
【０４０２】
ステップＳ１２８において、頂点ｓのラベルσ０のσが＋である（すなわち、ｓの中の流れは反時計回りである）か否かを判断する。頂点ｓのラベルσ０のσが＋である（すなわち、ｓの中の流れは反時計回りである）場合は（ステップＳ１２８の「Ｙｅｓ」）、ｗ１，ｗ２の頂点ｉｄをｓ０，ｓ１と定め、ツリーＧを、図４６（ｃ）の右のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，ｓ１｝を追加する（ステップＳ１２９）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。
【０４０３】
他方、ステップＳ１２８において、頂点ｓのラベルσ０のσが＋でない場合、すなわち、頂点ｓのラベルσ０のσが−である（すなわち、ｓの中の流れは時計回りである）場合は（ステップＳ１２８の「Ｎｏ」）、ｗ１，ｗ２の頂点ｉｄをｓ１，ｓ０と定め、ツリーＧを、図４６（ｃ）の右のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，ｓ１｝を追加する（ステップＳ１３０）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。
【０４０４】
他方、ステップＳ１２７において、頂点ｓが図４６（ｃ）の右の形をしていない場合は（ステップＳ１２７の「Ｎｏ」）、ステップＳ１３１に移行する。
【０４０５】
ステップＳ１３１において、頂点ｓが図４６（ｈ）の形をしているか否かを判断する。頂点ｓが図４６（ｈ）の形をしている場合は（ステップＳ１３１の「Ｙｅｓ」）、ｙ１，．．．，ｙｌ，ｗの頂点ｉｄをｓ１，．．．，ｓｌ，ｓ０と定め、ツリーＧを、図４６（ｈ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，．．．，ｓｌ｝を追加する（ステップＳ１３２）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。
【０４０６】
他方、ステップＳ１３１において、頂点ｓが図４６（ｈ）の形をしていない場合は（ステップＳ１３１の「Ｎｏ」）、ステップＳ１３３に移行する。
【０４０７】
ステップＳ１３３において、頂点ｓが図４６（ｇ）の左の形をしているか否かを判断する。頂点ｓが図４６（ｇ）の左の形をしている場合（ただし、k＝０の場合も含む）は（ステップ１３３の「Ｙｅｓ」）、ｗ１，ｗ２，ｚ１，．．．，ｚｋの頂点ｉｄをｓ０，ｓ１，ｓ２，．．．，ｓｋ＋１と定め、ツリーＧを、図４６（ｇ）の左のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，．．．，ｓｋ＋１｝を追加する（ステップＳ１３４）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。
【０４０８】
他方、ステップＳ１３３において、頂点sが図４６(ｇ)の左の形をしていない場合は（ステップＳ１３３の「Ｎｏ」）、ステップＳ１３５に移行する。
【０４０９】
ステップＳ１３５において、頂点ｓが図４６（ｇ）の右の形をしているか否かを判断する。頂点ｓが図４６（ｇ）の右の形をしている場合（ただし、k＝０の場合も含む）は（ステップＳ１３５の「Ｙｅｓ」）、ｗ，ｚ１，．．．，ｚｋの頂点ｉｄをｓ０，ｓ１，．．．，ｓｋと定め、ツリーＧを、図４６（ｇ）の右のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，．．．，ｓｋ｝を追加する（ステップＳ１３６）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。
【０４１０】
他方、ステップＳ１３５において、頂点ｓが図４６（ｇ）の右の形をしていない場合は（ステップＳ１３５の「Ｎｏ」）、ステップＳ１３８に移行する（この場合、ステップＳ１３７に示すように、頂点ｓは図４６（ｆ）の形をしている）。
【０４１１】
ステップＳ１３８において、頂点ｓのラベルσ０のσが＋である（すなわち、ｓの中の流れは反時計回りである）か否かを判断する。頂点ｓのラベルσ０のσが＋である（すなわち、ｓの中の流れは反時計回りである）場合は（ステップＳ１３８の「Ｙｅｓ」）、ｙ１，．．．，ｙｋ，ｚ１，．．．，ｚｌの頂点ｉｄをｓ０，．．．，ｓｋ−１，ｓｋ，．．．，ｓｌ＋ｋ−１と定め、ツリーＧを、図４６（ｆ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，．．．，ｓｌ＋ｋ−１｝を追加する（ステップＳ１３９）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。
【０４１２】
ステップＳ１３８において、頂点ｓのラベルσ０のσが＋でない場合、すなわち、頂点ｓのラベルσ０のσが−である（すなわち、ｓの中の流れは時計回りである）場合は（ステップＳ１３８の「Ｎｏ」）、ｙ１，．．．，ｙｋ，ｚ１，．．．，ｚｌの頂点ｉｄをｓl，．．．，ｓl＋ｋ−１，ｓ０，．．．，ｓl−１と定め、ツリーＧを、図４６（ｆ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｓ０，．．．，ｓl＋ｋ−１｝を追加する（ステップＳ１４０）。この後、処理はステップＳ１１４に戻る。
【０４１３】
以上の操作が、Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理である。
【０４１４】
（２−２−２．Ｉ−ｗｏｒｄおよびＩＩ−ｗｏｒｄによって表現される流れのグラフ表現）
ＨをＤｚ（Ｍ）内に１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ  ｐｏｉｎｔを持つ構造安定なハミルトンベクトル場、Ｄをそのｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍとする。このとき、ＣＨ＝Ｄｚ（Ｍ）＼Ｄは、ｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔを含む円環回領域またはｓｓ−ｏｒｂｉｔを含む開円板領域となる連結成分からなる。これに対して、ルート付き、ラベル付き向き有りツリーを以下のように構成する。Ｏ−ｗｏｒｄの時と同様に、各ＣＨの連結成分を頂点集合に対応づける。ルートとなる連結成分はＣＨの中で１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ  ｐｏｉｎｔに最も近い開円板領域で、その閉包は１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ  ｐｏｉｎｔを含みかつ内部に時計回りのｓｓ−ｏｒｂｉｔを含むものを選ぶ。この連結成分にラベルｏφを割り当てる。このような決め方によりルートは一義的に決定することができる。
【０４１５】
図４８は、ルートとなる連結成分をＣＨ＝Ｄｚ（Ｍ）＼Ｄから選ぶ方法を説明するための図である。ここで、ＤはＩ−ｗｏｒｄあるいはＩＩ−ｗｏｒｄで表現できるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍとする。破線はルートとなる連結成分に含まれるｓｓ−ｏｒｂｉｔを一本、その向きとともに書いたものである。
【０４１６】
図４８において、（ａ）は、語表現ＩＡ０Ａ０で表現されたｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍであり、ｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎの流れの向きは右から左である。（ｂ）は、語表現ＩＡ０Ａ０を持つｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍで、ｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎの向きは左から右である。（ｃ）は、語表現ＩＩＡ０Ａ０を持つｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍで、その最も外側にある連結成分に含まれた周期軌道の向きが時計回り。（ｄ）は、語表現ＩＩＡ０Ａ０は（ｃ）と同じであるが周期軌道の向きが反対である。各ｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｄ  ｄｉａｇｒａｍの下には、ルートとなっている連結成分内にある点を無限大に写すような等角写像によってできるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍの像を示している。この写像による像では、ルートに含まれるｓｓ−ｏｒｂｉｔはすべて反時計回りになっている。
【０４１７】
例えば、図４８（ａ）に示すような、ＩＡ０Ａ０なる語表現を持つｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍを考えると、１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ  ｐｏｉｎｔの真上にある連結成分（破線で書いた曲線が含まれる領域）がルートになる。もし、同じｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍが同じ形でもその流れの向きが、図４８（ｂ）のように反対になれば、その定義からルートは１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ  ｐｏｉｎｔの真下にある連結成分となる。図４８（ｃ）の語表現ＩＩＡ０Ａ０を持つｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍに対しては、１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ  ｐｏｉｎｔの真上の連結成分が、向きを逆転すると（図４８（ｄ））、その真下の連結成分がルートとなる。このルートとなっている連結成分にある点を一つ選び、それを無限遠点に写すような等角写像でｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍを写すと、その像において、ルートの連結成分は最も外側の連結成分となり、さらにその中でｓｓ−ｏｒｂｉｔは常に反時計回りになることに注意する（図４８の各図の下の部分参照）。
【０４１８】
こうして得られ連結成分からなる頂点集合に対して、頂点間の向き付けエッジを、ルート連結成分が最も外側になるよう等角写像で写したものを使って図４８に示したように定義する。二つの連結成分ｖ，ｗ∈Ｖの閉包の共通部分の次元が１、すなわちｄｉｍ（ｃl（ｖ）∩ｃl（ｗ））＝１かつｖがｗの外側にあるとき、ｖからｗへの向き付けエッジを構成する。ｓｓ−ｏｒｂｉｔを持つ連結成分ｗ∈Ｖに対して、もしｃl（ｖ）∩ｃl（ｗ）がｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ（あるいはｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ）を含む場合、その子頂点ｗにはｏ０（あるいはｏ２）のラベルを割り当てる。内部に反時計回りのｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔを持つ連結成分ｗ∈Ｖに対して、もしｃl（ｖ）∩ｃl（ｗ）がｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ（あるいは∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ）となっている場合、子の連結成分ｗにはラベル+０（あるいは+２）を付与する。同様にして、ラベル-０および-２を時計回りのｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔを持つ連結成分に付与する。
【０４１９】
この結果、ハミルトンベクトル場Ｈのｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍに対して固有のルート付き、ラベル付き、向き有りツリーＴＨ＝（Ｖ，Ｅ）を対応させることができる。Ｉ−ｗｏｒｄあるいはＩＩ−ｗｏｒｄの語表現を持つ構造安定なハミルトンベクトル場Ｗのグラフ表現ＴＨ＝（Ｖ，Ｅ）を平面グラフとして可視化する方法は以下の通りである。
【０４２０】
まず、子連結成分の集合に関して、Г（ｖ）＝ГＯ（ｖ）ＵГ＋（ｖ）ＵГ−（ｖ）となっていることに注意する。いま、Г（ｖ）に入っている元は予め順序関係のルール（１）に従って並びかえられており、また同じラベルを持つГ+２（ｖ）ＵおよびГ-２（ｖ）の元については、Ｏ−ｗｏｒｄの可視化の時と同様にサイクリックに反時計回りに並べられているとしておく。Ｖ＋やＶ−に入っているｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔを持つ連結成分ｖに対する平面グラフへの可視化は、フローチャート（図４７-Ａから図４７-Ｅ）を用いればよいので、後はＶｏに入っている連結成分に対するグラフの描画について考えればよい。
【０４２１】
図４９は、操作Ａ０，Ａ２，Ｃによって生成されるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍの局所構造とそれに対応して得られるグラフ表現の可視化を示したものである。図４９において、親連結成分ｖはｏφ（ｏ０またはｏ２）と表現されている。
【０４２２】
図４９において、（ａ）はＡ０、（ｂ）はＡ０、（ｃ）はＡ０Ａ０、（ｄ）はＡ２Ｃｋ  （ｋ≧０）、（ｅ）はＡ２Ｃｌ  （ｌ≧１）、（ｆ）はＡ２２Ｃｋ＋ｌ  （ｋ，ｌ≧１）、（ｇ）は、Ａ０Ａ２Ｃｋ  （ｋ≧０）、（ｈ）はＡ０Ａ２Ｃｌ  （ｌ≧１）によって構成される局所的なｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍとそれに対応して生成される連結成分の親子関係、親連結成分ｖに含まれる反時計回りのｓｓ−ｏｒｂｉｔは破線で示している。親連結成分のラベルはｏ＊（ただし、＊はφ、０あるいは２のいずれか）と表現されている。ｓｓ−ｏｒｂｉｔの方向は常に反時計回りになるようにルートを定めているので、その子になる連結成分に含まれる軌道の流れる方向は自動的に決まる。
【０４２３】
より具体的に説明すると、図４９（ａ）にある外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに対して、親連結成分ｖは二つの子連結成分ｗ∈Ｖo０とｙ∈Ｖ+０を持つので、ｏ＊からｏ０と+０への二本の矢印を描画する。図４９（ｂ）にあるような内向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎに対しては、親をどの連結成分に選ぶかに応じて、ｏ０あるいは-０への矢印を描くことができる。操作Ａ０Ａ０で作られる構造に対しては、図４９（ｃ）に示すように二種類のパターンが作られるので、それに応じてｏ０、+０、-０への三本の矢印を描くかｏ０と-０への二本のエッジを描くことができる。
【０４２４】
操作Ａ２Ｃｋ（ｋ≧０）で作られる図４９（ｄ）のようなｋ個のｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔを含む連結成分｛ｚ１，．．．，ｚｋ｝を持つ局所的なｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍの局所構造に対応して、ｏ２およびｋ個の+２の矢印を描く。操作Ａ２Ｃｌ（ｌ≧１）で作られるｌ個の時計回りのｃｌｏｓｅｄ  ｏｒｂｉｔを含む子連結成分｛ｙ１，．．．，ｙｌ｝を持つ局所流線構造（図４９（ｅ））に対しては、ｌ個の矢印と-２を描けばよい。図３（ｆ）には、Ａ２２Ｃｋ＋ｌ（ｋ，ｌ≧１）で作られる一個の子連結成分ｗ∈Ｖｏ２とｌ個の子の連結成分｛ｙ１，．．．，ｙｌ｝とｋ個の子連結成分｛ｚ１，．．．，ｚｋ｝を持つ局所構造と、それに対応してｋ個の+２とｌ個の-２への矢印が描けることが示されている。最後に、操作Ａ０Ａ２Ｃｋ（ｋ≧０）で与えられる図４９（ｇ）（あるいは図４９（ｈ）のようなＡ０Ａ２Ｃｌ（ｌ≧１））の構造に対しては、ｏ２、-０（あるいはｏ０、+０）の矢印を描いてその右側にｋ個の+２（あるいはｌ個の-２）への矢印を描く。
【０４２５】
（２−２−３−１．Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理）
図５０−Ａ〜図５０−Ｄは、Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理を説明するためのフローチャートである。図５０−Ａ〜図５０−Ｄに示す、Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理は、コンピュータ等の装置によって実行可能である。
【０４２６】
図５０−Ａ〜図５０−Ｄにおいて、ｉｎｐｕｔをｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍ  Ｄとして、所定の座標変換をして、図４８に示すような、ｏｕｔｅｒｍｏｓｔにｒｏｏｔがあるよう変換し（ステップＳ１４１）、ｕ＝０，Ｔ＝｛０｝，ツリーＧ＝（０，ｏφ）と置く（ステップＳ１４２）。
【０４２７】
ステップＳ１４３において、ｒｏｏｔ  ０が図４９（ａ）の形をしているか否かを判断する。ｒｏｏｔ  ０が図４９（ａ）の形をしている場合は（ステップＳ１４３の「Ｙｅｓ」）、ｗ、ｙの頂点ｉｄを１，００と定め、ツリーＧを、図４９（ａ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリー（すなわち、Ｇを（１，ｏ０）←（０，ｏφ）→（００，＋０））と定め、Ｔに｛１，００｝を追加する（すなわち、Ｔ＝｛０｝をＴ＝｛０，１，００｝と置換する）（ステップＳ１４４）。この後、処理はステップＳ１４９に移行する。
【０４２８】
他方、ステップＳ１４３において、ｒｏｏｔ  ０が図４９（ａ）の形をしていない場合は（ステップＳ１４３の「Ｎｏ」）、ステップＳ１４５に移行する。
【０４２９】
ステップＳ１４５において、ｒｏｏｔ  ０が図４９（ｂ）の左の形をしているか否かを判断する。ｒｏｏｔ  ０が図４９（ｂ）の左の形をしている場合は（ステップＳ１４５の「Ｙｅｓ」）、ｗの頂点ｉｄを１と定め、ツリーＧを、図４９（ｂ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリー（すなわち、Ｇを（（０，ｏφ）→（１，ｏ０））と定め、Ｔに｛１｝を追加する（ステップＳ１４６）。この後、処理はステップＳ１４９に移行する。
【０４３０】
他方、ステップＳ１４５において、ｒｏｏｔ  ０が図４９（ｂ）の左の形をしていない場合は（ステップＳ１４５の「Ｎｏ」）、ステップＳ１４８に移行する（この場合、ステップＳ１４７に示すように、ｒｏｏｔ  ０が図４９（ｄ）の形をしている）。
【０４３１】
ステップＳ１４８において、ｗ，ｚ１，．．．，ｚｋの頂点ｉｄを１，００，．．．，０ｋ−１と定め、ツリーＧを、図４９（ｄ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛１，００，．．．，０ｋ−１｝を追加し、ステップＳ１４９に移行する。
【０４３２】
ステップＳ１４９において、Ｔの中にｕより大きい元ｔが存在するか否かを判断する。ｕがＴの中で最大元の場合は（ステップＳ１４９の「Ｎｏ」）、ツリーＧの頂点ｉｄを全て取り除いて、残りのツリーをＧとおき（ステップＳ１５０）、ツリーＧをｏｕｔｐｕｔして（ステップＳ１５１）、処理を終了する。
【０４３３】
他方、ステップＳ１４９において、ｕがＴの中で最大元でない場合には（ステップＳ１４９の「Ｙｅｓ」）、ｕ’＝ｍｉｎ｛ｔ∈Ｔ｜ｕ＜ｔ｝（すなわち、ｕ’をＴの中でｕの次に大きい元）として、ｕをｕ’と置換する（ステップＳ１５２）。この後、処理はステップＳ１５３に移行する。
【０４３４】
ステップＳ１５３において、ｕが自然数であるか（すなわち、ｏφ、ｏ０、ｏ２のidに対応するか）否かを判断する。ｕが自然数でない場合は（ステップＳ１５３の「Ｎｏ」）、Ｏ−ｗｏｒｄの処理である図４７−ＢのＳ１１４に移行する。
【０４３５】
他方、ステップＳ１５３において、ｕが自然数の場合は（ステップＳ１５３の「Ｙｅｓ」）、ステップＳ１５５に移行する。
【０４３６】
ステップＳ１５５において、頂点ｕの外側境界が外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと、丸囲みＳ（吸い込み湧き出し対：図４参照）からなり、ｕの内側境界が図４９（ａ）の形をしているか否かを判断する。頂点ｕの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと丸囲みＳからなり、ｕの内側境界が図４９（ａ）の形をしている場合は（ステップＳ１５５の「Ｙｅｓ」）、ｗ、ｙの頂点ｉｄをｕ＋１，ｕ０と定め、ツリーＧを図４９（ａ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリー（すなわち、Ｇを（ｕ＋１，ｏ０）←（ｕ，ｏ０）→（ｕ０，＋０））と定め、ＴをＴＵ｛ｕ＋１，ｕ０｝と置換する（ステップＳ１５６）。この後、処理はステップＳ１４９に戻る。
【０４３７】
他方、ステップＳ１５５において、頂点ｕの外側境界が外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと丸囲みＳからなっていない、または，ｕの内側境界が図４９（ａ）の形をしていない場合は（ステップＳ１５５の「Ｎｏ」）、ステップＳ１５７に移行する。
【０４３８】
ステップＳ１５７において、頂点ｕの外側境界が外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと丸囲みＳからなり、ｕの内側境界が図４９（ｂ）の左の形をしているか否かを判断する。頂点ｕの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと丸囲みＳからなり、ｕの内側境界が図４９（ｂ）の左の形をしている場合は（ステップＳ１５７の「Ｙｅｓ」）、ｗの頂点ｉｄをｕ＋１と定め、ツリーＧを、図４９（ｂ）の左のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ＋１｝を追加する（ステップＳ１５８）。この後、処理はステップＳ１４９に戻る。
【０４３９】
他方、ステップＳ１５７において、頂点ｕの外側境界が外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと丸囲みＳからなっていない、または，ｕの内側境界が図４９（ｂ）の左の形をしていない場合は（ステップＳ１５７の「Ｎｏ」）、ステップＳ１５９に移行する。
【０４４０】
ステップＳ１５９において、頂点ｕの外側境界が外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと丸囲みＳからなり、ｕの内側境界が図４９（ｄ）の形をしているか否かを判断する。頂点ｕの外側境界が１つのｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと丸囲みＳからなり、ｕが図４９（ｄ）の形をしている場合は（ステップＳ１５９の「Ｙｅｓ」）、ｗ，ｚ１，．．．，ｚｋの頂点ｉｄをｕ＋１，ｕ０，．．．，ｕｋ−１と定め、ツリーＧを、図４９（ｄ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ＋１，ｕ０，．．．，ｕｋ−１｝を追加する（ステップＳ１６０）。この後、処理はステップＳ１４９に戻る。
【０４４１】
他方、ステップＳ１５９において、頂点ｕの外側境界が外向きｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと丸囲みＳからなっていない、または，ｕの内側境界が図４９（ｄ）の形をしていない場合は（ステップＳ１５９の「Ｎｏ」）、ステップＳ１６１に移行する。
【０４４２】
ステップＳ１６１において、頂点ｕが図４９（ｃ）の左の形をしているか否かを判断する。頂点ｕが図４９（ｃ）の左の形をしている場合は（ステップＳ１６１の「Ｙｅｓ」），ｗ，ｙ１，ｙ２の頂点ｉｄをｕ＋１，ｕ０，ｕ１と定め、ツリーＧを、図４９（ｃ）の左のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ＋１，ｕ０，ｕ１｝を追加する（ステップＳ１６２）。この後、処理はステップＳ１４９に戻る。
【０４４３】
ステップＳ１６１において、頂点ｕが図４９（ｃ）の左の形をしていない場合は（ステップＳ１６１の「Ｎｏ」）、ステップＳ１６３に移行する。
【０４４４】
ステップＳ１６３において、頂点ｕが図４９（ｃ）の右の形をしているか否かを判断する。頂点ｕが図４９（ｃ）の右の形をしている場合は（ステップＳ１６３の「Ｙｅｓ」），ｗ１，ｗ２の頂点ｉｄをｕ＋１，ｕ０と定め、ツリーＧを、図４９（ｃ）の右のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ＋１，ｕ０｝を追加する（ステップＳ１６４）。この後、処理はステップＳ１４９に移行する。
【０４４５】
他方、ステップＳ１６３において、頂点ｕが図４９（ｃ）の右の形をしていない場合は（ステップＳ１６３の「Ｎｏ」）、ステップＳ１６５に移行する。
【０４４６】
ステップＳ１６５において、頂点ｕが図４９（ｇ）の形をしているか否かを判断する。頂点ｕが図４９（ｇ）の形をしている場合は（ステップＳ１６５の「Ｙｅｓ」）、ｗ、ｙ、ｚ１，．．．，ｚｋの頂点ｉｄをｕ＋１，ｕ０，ｕ１，．．．，ｕｋと定め、ツリーＧを、図４９（ｇ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ＋１，ｕ０，．．．，ｕｋ｝を追加する（ステップＳ１６６）。この後、処理はステップＳ１４９に戻る。
【０４４７】
他方、ステップＳ１６５において、頂点ｕが図４９（ｇ）の形をしていない場合は（ステップＳ１６５の「Ｎｏ」）、ステップＳ１６７に移行する。
【０４４８】
ステップＳ１６７において、頂点ｕが図４９（ｈ）の左の形をしているか否かを判断する。頂点ｕが図４９（ｈ）の左の形をしている場合は（ステップＳ１６７の「Ｙｅｓ」）、ｗ，ｚ，ｙ１，．．．，ｙｌの頂点ｉｄをｕ＋１，ｕ０，ｕ１，．．．，ｕｌと定め、ツリーＧを、図４９（ｈ）の左のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ＋１，ｕ０，ｕ１，．．．，ｕｌ｝を追加する（ステップＳ１６８）。ステップＳ１４９に戻る。
【０４４９】
ステップＳ１６７において、頂点ｕが図４９（ｈ）の左の形をしていない場合は（ステップＳ１６７の「Ｎｏ」）、ステップＳ１６９に移行する。
【０４５０】
ステップＳ１６９において、頂点ｕが図４９（ｈ）の右の形をしているか否かを判断する。頂点ｕが図４９（ｈ）の右の形をしている場合は（ステップＳ１６９の「Ｙｅｓ」）、ｗ，ｙ１，．．．，ｙｌの頂点ｉｄをｕ＋１，ｕ０，．．．，ｕｌ−１と定め、ツリーＧを、図４９（ｈ）の右のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ＋１，ｕ０，．．．，ｕｌ−１｝を追加する（ステップＳ１７０）。この後、処理はステップＳ１４９に戻る。
【０４５１】
他方、ステップＳ１６９において、頂点ｕが図４９（ｈ）の右の形をしていない場合は（ステップＳ１６９の「Ｎｏ」）、ステップＳ１７１に移行する。
【０４５２】
ステップＳ１７１において、頂点ｕが図４９（ｆ）の形をしているか否かを判断する。頂点ｕが図４９（ｆ）の形をしている場合は（ステップＳ１７１の「Ｙｅｓ」）、ｗ，ｚ１，．．．，ｚｋ，ｙ１，．．．，ｙｌ，の頂点ｉｄをｕ＋１，ｕ０，．．．，ｕｋ−１，ｕｋ，．．．，ｕｌ＋ｋ−１と定め、ツリーＧを、図４９（ｆ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ＋１，ｕ０，．．．，ｕｌ＋ｋ−１｝を追加する（ステップＳ１７２）。この後、処理はステップＳ１４９に戻る。
【０４５３】
ステップＳ１７１において、頂点ｕが図４９（ｆ）の形をしていない場合は（ステップＳ１７１の「Ｎｏ」）、ステップＳ１７３に移行する。
【０４５４】
ステップＳ１７３において、頂点ｕが図４９（ｂ）の右の形をしているか否かを判断する。頂点ｕが図４９（ｂ）の右の形をしている場合は（ステップＳ１７３の「Ｙｅｓ」）、ｙの頂点ｉｄをｕ０と定め、ツリーＧを、図４９（ｂ）の右のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ０｝を追加する（ステップＳ１７４）。この後、処理はステップＳ１４９に戻る。
【０４５５】
他方、ステップＳ１７３において、頂点ｕが図４９（ｂ）の右の形をしていない場合は（ステップＳ１７３の「Ｎｏ」）、ステップＳ１７５に移行する。
【０４５６】
ステップＳ１７５において、頂点ｕが図４９（ｅ）の形をしているか否かを判断する。頂点ｕが図４９（ｅ）の形をしている場合は（ステップＳ１７５の「Ｙｅｓ」）、ｙ１，．．．，ｙｌの頂点ｉｄをｕ０，．．．，ｕｌ−１，と定め、ツリーＧを、図４９（ｅ）のツリーのラベルをｉｄとラベルの組に置き換えたツリーと定め、Ｔに｛ｕ０，．．．，ｕｌ−１｝を追加する（ステップ１７６）。この後、処理はステップＳ１４９に戻る。
【０４５７】
他方、ステップＳ１７５において、頂点ｕが図４９（ｅ）の形をしていない場合は（ステップＳ１７５の「Ｎｏ」）、ステップＳ１４９に戻る（この場合、ステップＳ１７７に示すように、頂点ｕは、図４９（ａ）の形をしている）。
【０４５８】
以上の操作が、Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍからのツリーへの変換処理である。
【０４５９】
（２−２−３．グラフ表現とその正規表現）
以上のことから、１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ  ｐｏｉｎｔを持つｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍに対して、そのルートを一義的に決定でき、また、そこから操作Ａ０，Ａ２，Ｂ０，Ｂ２，Ｃによって構成されるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍの局所構造と、そこから導入される連結成分の間の親子関係は図４６と図４９の中で全て表現されているので、以下のことが示されたことになる。
【０４６０】
Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ  ３．１：各１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ  ｐｏｉｎｔを持つ構造安定なハミルトンベクトル場の流線位相構造には固有のルート付き、ラベル付き、向き有りツリー表現が対応する。
【０４６１】
１−ｓｏｕｒｃｅ  ｓｉｎｋ  ｐｏｉｎｔを持たない構造安定なハミルトンベクトル場については、ルートの選び方は一義的ではない。なぜなら、内部に∂−ｓａｄｄｌｅをもたない円境界を含む任意の連結成分に対して、ある連続写像が存在して、それによってその連結成分を常に最も外側の連結成分にすることができるからである。したがって、ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍについては、その連結成分の数だけ異なるグラフ表現が存在することになる。このような曖昧さを取り除くために、こうした連続写像によって移りあってできるグラフ表現はそれぞれ別ということにする。すなわち、二つの構造安定なハミルトンベクトル場Ｖ１とＶ２に対して、Ｖ１〜Ｖ２なる同値関係を、ある同相写像Ｄｚ（Ｍ）上の同相写像が存在してＶ１とＶ２の各軌道が向きを変えることなく互いに写りあいＶ１とＶ２の外側境界が対応していることによって定義する。このとき、〜は同値関係を定め、この同値類に対して固有のルート付き、ラベル付き、向き有りツリーを与えることができる。
【０４６２】
Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ  ３．２：構造安定なハミルトニアンベクトル場の〜による同値類の流線位相構造には固有のルート付き、ラベル付き、向き有りツリー表現が対応する。
【０４６３】
（３．正規表現作成工程）
上記図２の正規表現作成工程（ステップＳ２）について詳細に説明する。さて、グラフ理論でよく知られた事実として、任意のルート付き、ラベル付き、向き有りツリーには固有の「正規表現（ｒｅｇｕｌａｒ  ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ）」なるものを考えることができる。ＴＨ＝（Ｖ，Ｅ）を上記方法で与えられた構造安定なハミルトンベクトル場Ｈに対して与えられたグラフ表現とする。このグラフ表現に対して、その正規表現は以下のようにして帰納的に与えられる。まず、ルート以外のすべての頂点のｉｎ−ｄｅｇｒｅｅはすべて１であることに注意する。もし、ｈｔ（ＴＨ）＝０ならグラフはルートのみ、すなわちＶ＝｛ｖ０｝であり、その正規表現はｌ（ｖ０）である。いま、高さｈｔ（ＴＨ）＝ｎ-１の正規表現Ｎがあった時に、そこにある頂点集合Ｔｎ-１＝｛ｖ１，ｖ２，．．．，ｖｍ｝とすると、各頂点ｖｉの子頂点集合Г（ｖｉ）＝｛ｖｉ１，ｖｉ２，．．．，ｖｉｍｉ｝とそれに対応するラベルｌｉ＝ｌ（ｖｉ）（ｉ＝１，．．．，ｍ）を使うと、Ｎに対してｌｉをｌｉ（ｌｉ１，ｌｉ２，．．．，ｌｉｍｉ）に置き換えることによって新しい正規表現が構成できる。ただし、ｌｉｋ＝ｌ（ｖｉｋ）（ｋ＝１，．．．，ｍｉ）である。このようにして構成されたＴＨの正規表現をＮＴＨとすると、その構成手法から以下の命題を得る。
【０４６４】
Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ  ３．３：ルート付き、ラベル付き、向き有りツリーＴから正規表現ＮＴへの写像ＮＴ＝ｆＮ（Ｔ）は全単射である。
【０４６５】
Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ  ３．１とＰｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ  ３．２の主張していることは、言い換えれば、（ｓｓ−）ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍ  Ｈからそのグラフ表現ＴＨへの写像ＴＨ＝ｆＴ（Ｈ）は単射（１対１対応）となるので、上のＰｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ  ３．３と合わせれば、合成写像ＮＴ＝ｆＮ（ｆＴ（Ｈ））も単射になることがわかる。すなわち、同じ語表現を持つ構造安定なハミルトンベクトル場に対して異なる正規表現が与えられ、語表現で区別できないパターンも正規表現を使えば全て区別が可能となる。その実施例として、図５１−Ａに同じ語表現ＩＡ０Ｃで与えられる構造安定な流線パターンのグラフ表現の可視化とその正規表現を示す。（２−２−２．Ｉ−ｗｏｒｄおよびＩＩ−ｗｏｒｄによって表現される流れのグラフ表現）で説明したようにルートの連結成分は１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ  ｐｏｉｎｔの真下あるいは真上にあるものを選んでいる。これからもわかるように全ての正規表現は異なっている。
【０４６６】
図５１−Ａは、ＩＡ０Ｃなる語表現をもつ構造安定な流線パターンのグラフ表現とその正規表現を示している。ルートはその定義から１−ｓｏｕｒｃｅ−ｓｉｎｋ  ｐｏｉｎｔの真下の連結成分に対応している。グラフ表現を得るために、ルート連結成分を最も外側の連結成分へと写したものをその右側に描いている。
【０４６７】
（３−１．ツリーの正規表現への変換処理）
図５１−Ｂは、ツリーの正規表現への変換処理を説明するためのフローチャートである。図５１−Ｂに示す、ツリーの正規表現への変換処理は、コンピュータ等の装置により実行可能である。以下の処理では、前処理として，ツリーの全ての点にｉｄが与える。ただし，異なる点のｉｄは異なるものとする。図５１−Ｂにおいて、ｉｎｐｕｔをツリーＧとする（ステップＳ１７８）。ＶをツリーＧの頂点集合，ｓ＝０，Ｔ＝｛０｝，Ｘを空集合φ，正規表現Ｎ＝（ｓ，σφ）（）と置く（ステップＳ１７９）。
【０４６８】
ステップＳ１８０において、ｓの子を左から読んだ結果を（ｓ（１），σ（１）），．．．，（ｓ（ｈ），σ（ｈ））とする。このとき、正規表現Ｎの中の（ｓ，σ＊）（）をσ＊（ｓ（１），σ（１））（），．．．，（ｓ（ｈ），σ（ｈ））（））と置換し、Ｔに｛ｓ（１），．．．，ｓ（ｈ）｝、Ｘに｛ｓ｝を追加する。
【０４６９】
ステップＳ１８１において、♯Ｖ＝♯Ｘであるか否かを判断する。♯Ｖ＝♯Ｘである場合は（ステップＳ１８１の「Ｙｅｓ」）、正規表現Ｎをｏｕｔｐｕｔして、処理を終了する。
【０４７０】
他方、ステップＳ１８１において、♯Ｖ＝♯Ｘでない場合には（ステップＳ１８１の「Ｎｏ」）、ｓ’∈Ｔ−Ｘを一つ選び（注：選び方に依らない）、（ｓ，σ＊）を（ｓ’，σ’＊）と置換して（ステップＳ１８２）、ステップＳ１８０に戻る。
【０４７１】
以上の操作が、ツリーの正規表現への変換処理である。
【０４７２】
つづいて、上述した本実施の形態の流れパターンの正規表現方法をコンピュータにより実施するための装置構成について説明する。なお、以上の本実施の形態による方法を、人またはコンピュータにより実施してもよく、以下の実施形態による処理等を人により実施する場合に用いてもよいものである。
【０４７３】
［実施の形態２の流体遷移経路取得装置の構成］
次に、実施の形態２に係る流体遷移経路取得装置の構成について図５２を参照して説明する。図５２は、本実施の形態２が適用される流体遷移経路取得装置１０１の一例を示すブロック図であり、該構成のうち本実施形態２に関係する部分のみを概念的に示している。図５２において、図２９に示す実施の形態１の流体遷移経路取得装置１００と同等機能を有する部位には同一符号を付して、共通する部分の説明を省略し、異なる点についてのみ説明する。実施の形態２の流体遷移経路取得装置１０１が実施の形態１の流体遷移経路取得装置１００と異なる点は、正規表現形成部１２０を備えている点と、遷移情報取得部１０２ｇ２が、図２９の遷移情報取得部１０２ｇの処理に加えて、正規表現も使用して遷移情報を取得する点と、シミュレーション部１０２ａ２が、図２９のシミュレーション部１０２ａの処理に加えて、さらに、語表現と正規表現を使用して設計パラメータの候補を選択する設計パラメータ工程選択処理を実行する点である。
【０４７４】
実施の形態２の記憶部１０６は、さらに、流体遷移経路取得装置１０１で上述の正規表現作成方法を実行するために必要な各種のデータ（例えば、図２〜図６，図４６，図４８〜図４９，図５１−Ａに示すものをデータ化したもの等）、データベース、およびテーブル等を格納する。
【０４７５】
実施の形態２の制御部１０２は、さらに、上述の正規表現作成方法を実行する正規表現形成部１２０を備えている。正規表現形成部１２０は、グラフ表現形成部１２０ａ、正規表現作成部１２０ｂを含んでいる。
【０４７６】
グラフ表現形成部１２０ａは、上述のグラフ表現作成工程（ステップＳ２１）を実行するためのグラフ表現作成手段であり、例えば、図４７−Ａ〜図４７−Ｅに示す、Ｏ系列におけるｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理、および図５０−Ａ〜図５０−Ｄに示す、Ｉ，ＩＩ系列におけるｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍのツリーへの変換処理等を実行することにより、位相幾何学的にＮ（但し、Ｎは１以上の整数）個の穴を有する多重連結外部領域における流れパターンに１対１に対応するグラフ表現を作成する。ここで、グラフ表現は、流れパターンで規定される構造安定なハミルトンベクトル場Ｈに対して、固有のルート付き、ラベル付き、向き有りツリーＴＨ＝（Ｖ，Ｅ）を割り当て（但し、Ｖは頂点と呼ばれる点の集合、Ｅは、頂点の間を結ぶエッジの集合である）、平面グラフとして可視化したものであってもよい。また、グラフ表現は、親の頂点をｖ、その子の頂点をｗ，親の頂点ｖに割り当てられたラベルをｌ（ｖ）、子の頂点ｗに割り当てられたラベルをｌ（ｗ），ｖの子頂点集合Γ（ｖ）とした場合、ｖの子頂点集合Γ（ｖ）を所定の順序関係のルールに従って並び替え、ｗ∈Γ（ｖ）について、ｌ（ｖ）からｌ（ｗ）への矢印を左から右に並べて描画されたものを含んでいてもよい。また、流れパターンは、（１）一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンのうちの、吸い込み湧き出し対をもち、二つのｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩ、（２）上記一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンのうちの、吸い込み湧き出し対をもち、一つのｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔ、それを結ぶｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと二つのｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩＩ、（３）二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンＯ、の１又は複数であってもよい。また、流れパターンが吸い込み湧き出し対を持つ場合は、流れパターンをその吸い込み湧き出し対に最も近い反時計回りのｓｓ−ｏｒｂｉｔを含む領域が一番外側領域になるように変換し、変換した流れパターンの（ｓｓ−）ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍに現れる軌道を領域全体から抽出し、領域全体から（ｓｓ−）ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ  ｄｉａｇｒａｍに現れる軌道をすべて除外して得られる連結成分に頂点を設定し、一番外側にある連結成分をルートとし、カレント成分と互いに境界を接するような連結成分をカレント成分の子として、境界にあたる軌道に応じてラベルを割り当て，当該ラベルを所定の順序関係に従って並べ、カレント成分の子をカレント成分に設定して、子がなくなるまで繰り返すことにしてもよい。また、かかる流れパターンは、パターン語の１又は複数から開始し、流れパターンに一つの穴を加える場合に位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語のうちのいずれか一語を付与する操作を、穴の数がＮ個となるまで繰り返して作成された流れパターン図であることにしてもよい。
【０４７７】
また、正規表現作成部１２０ｂは、上述の正規表現作成工程（ステップＳ２２）を実現するための正規表現作成手段であり、例えば、図５１−Ｂに示す、ツリーの正規表現への変換処理等を実行することにより、グラフ表現作成部１２０ａで作成されたグラフ表現から正規表現を作成する。
【０４７８】
シミュレーション部１０２ａ２は、さらに、設計パラメータ候補選択処理（図５６参照）を実行する。設計パラメータ候補選択処理では、流体中の物体に対して設計パラメータの候補を選択する場合に、設計パラメータの上限及び下限を設定し、当該設計パラメータの上限と下限で規定されるパラメータ領域から複数のパラメータを選択し、選択した複数のパラメータに対して、それぞれ流れの実験及び／又は数値計算を行い、実験及び／又は数値計算の結果に対して、語表現及び／又は正規表現を割り当て、割り当てた語表現及び／又は正規表現のうち、最適状態を示す語表現及び／又は正規表現を有する設計パラメータを、上記設計パラメータの候補として選択することにしてもよい。
【０４７９】
また、設定パラメータ候補選択処理では、割り当てた語表現及び／又は正規表現が、最適状態を示す語表現及び／又は正規表現を有しない場合でも、流れパターンが１回の遷移で、語表現及び／又は正規表現が、最適状態を示す語表現及び／又は正規表現を有する場合は、設計パラメータの候補として選択することにしてもよい。さらに、設計パラメータ候補選択処理では、さらに、選択した設計パラメータを使用して最適化設計を行うことにしもよい。
【０４８０】
遷移情報取得部１０２ｇ２は、語表現に加えて、流れパターンに１対１に完全に対応する正規表現も使用して遷移ルートを取得してもよい。遷移情報取得部１０２ｇ２は、指定された構造安定な流れパターンの語表現を基準としてパターン遷移情報に基づいて取得した遷移ルートの候補が複数ある場合には、構造安定な流れパターンに１対１に対応する正規表現を使用して遷移ルートを１つに特定することにしてもよい。また、遷移情報取得部１０２ｇ２は、指定された２つの構造安定な流れパターン間の語表現の操作語の変化を基準として上記変化情報に基づいて取得した遷移ルートの候補が複数ある場合は、２つの構造安定な流れパターンの語表現（例えば、Ｗ１、Ｗ２）に対応する正規表現（例えば、Ｎ１、Ｎ２）をそれぞれ取得し、複数の遷移ルートの候補について、その遷移が起こるための部分表現が、一方の構造安定な流れパターンの語表現（例えば、Ｗ１）に対応する正規表現（例えば、Ｎ１）に含まれていない場合は、遷移ルートの候補から除外することにしてもよい。また、遷移情報取得部１０２ｇ２は、除外されなかった遷移ルートの候補が複数ある場合は、当該除外されなかった複数の遷移ルートの候補に対応する正規表現をそれぞれ取得し、除外されなかった複数の選択ルートの候補のうち、その正規表現が、他方の構造安定な流れパターンの語表現（例えば、Ｗ２）に対応する正規表現（Ｎ２）と一致するものを遷移パターンとして特定することにしてもよい。
【０４８１】
図５３は、実施の形態２に係る流体遷移経路取得装置１０１における、指数の差を用いた遷移ルート探索処理の一例を示すフローチャートである。図５３において、図３１と同様な処理を行うステップには同一のステップ番号を付している。なお、以下の例では、パターン遷移情報として、ｈ−不安定およびｐ−不安定な流線パターンの摂動とその部分語表現に関して得られた図２６〜図２８のリストを用いている。
【０４８２】
図５３において、まず、遷移情報取得部１０２ｇ２は、２つの構造安定な流線パターンを指定させる（ステップＳ−１１）。
【０４８３】
そして、遷移情報取得部１０２ｇ２は、２つの構造安定な流線パターンに対応する語表現Ｗ１，Ｗ２を取得する（ステップＳ−１２）。例えば、流線図が指定された場合、遷移情報取得部１０２ｇ２は、語表現形成部１０２ｃの処理により、対応する語表現Ｗ１，Ｗ２を取得する。
【０４８４】
そして、遷移情報取得部１０２ｇ２は、語表現Ｗ１とＷ２の差ｄを計算する（ステップＳ−１３）。すなわち、遷移情報取得部１０２ｇ２は、適当な＊をＩ，ＩＩ，Ｏから選んで、ｄ＝ｉｎｄ＊（Ｗ１）−ｉｎｄ＊（Ｗ２）を計算する。
【０４８５】
そして、遷移情報取得部１０２ｇ２は、差ｄをもつ遷移パターンＸを、パターン遷移情報（図２６〜図２８の表）から導出する（ステップＳ−１４）。なお、差ｄをもつ遷移パターンＸが一致しない場合は、二つの構造安定な流線パターンは一回の遷移で互いに移りあえない旨を示す遷移情報としてもよく、あるいは、複数回の遷移で移りあえる遷移ルートを探索してもよい。例えば、ｋ回の遷移で移りあえるとして、遷移情報取得部１０２ｇは、ｄ＝ｉｎｄ＊（Ｗ１）−ｉｎｄ＊（Ｗ２）＝ｄ１＋ｄ２＋・・・・＋ｄｋとなるような、遷移パターンＸ１，Ｘ２，・・・，Ｘｋの組み合わせを導出してもよい。なお、遷移するときの隣り合う流線パターン同士は、語表現が同一（部分列を共有）でなければならない。
【０４８６】
そして、遷移情報取得部１０２ｇ２は、差ｄをもつ遷移パターンＸをリストから全て探しだし（ステップＳ−１４）、各遷移パターンＸに対応する部分列Ｓ１とＳ２を取得する（ステップＳ−１５）。なお、上述した複数回の遷移を仮定する場合、遷移パターンＸ１，Ｘ２，・・・，Ｘｋについて、それぞれ部分列Ｓ１１とＳ２１〜Ｓ１ｋとＳ２ｋを求める。
【０４８７】
そして、遷移情報取得部１０２ｇ２は、部分列Ｓ１とＳ２に対して、これらがそれぞれＷ１とＷ２の部分語となっているかを調べ、部分語となっている場合は、遷移パターンＸの候補とする（ステップＳ−１６）。すなわち、Ｓ１⊆Ｗ１かつＳ２⊆Ｗ２かを調べる。もしこれが成り立っていた場合はＸを遷移の候補として取得し、そうでなければ棄却する。
【０４８８】
さらに、遷移情報取得部１０２ｇ２は、遷移パターンＸの候補が複数ある場合は、正規表現形成部１２０の処理により、Ｗ１、Ｗ２の語表現を持つ流線構造の正規表現Ｎ１，Ｎ２を取得する（ステップＳ−１７）。
【０４８９】
遷移情報取得部１０２ｇ２は、複数の遷移パターンの候補について、その遷移が起こるための部分表現が正規表現Ｎ１の中に存在しないものを候補から除外する（ステップＳ−１８）。
【０４９０】
遷移情報取得部１０２ｇ２は、遷移パターンの候補が１つか否かを判断する（ステップＳ−１９）、遷移パターンの候補が１つの場合は（ステップＳ−１９の「Ｙｅｓ」）、それを遷移パターンとして特定する（ステップＳ−２０）。
【０４９１】
他方、遷移パターンの候補が１つでない場合は（ステップＳ−１９の「Ｎｏ」）、遷移情報取得部１０２ｇ２は、正規表現形成部１２０の処理により、遷移パターンＸの候補について、その正規表現をそれぞれ取得する（ステップＳ−２１）。
【０４９２】
遷移情報取得部１０２ｇ２は、遷移パターンＸの候補のうち、その正規表現が、正規表現Ｎ２と一致するものを遷移パターンとして特定する（ステップＳ−２２）。
【０４９３】
このように、実施の形態２では、複数の遷移パターンの候補がある場合に、パターンマッチングを行うことなく、Ｎ１の正規表現に含まれる部分表現の比較と、遷移パターンの正規表現とＮ２との比較によって、遷移が実際に起こったかどうかを判定でき、遷移パターンを１つに特定することができる。
【０４９４】
［実施例］
図５４および図５５を参照して、図３２〜３５で説明した実施例と同様の条件において、語表現と正規表現を使用して遷移パターンを特定する実施例を説明する。図５４は、一様流中におかれた一枚平板のｔ＝５．５からｔ＝７．７までの時間発展とその流線パターンの位相構造、その極大語表現、およびその正規表現である。図５５は、時刻ｔ＝５．５から７．７の時間発展の間に起こった遷移を示す図である。
【０４９５】
図５４において、ｔ＝５．５のときの流線パターンの正規表現Ｎ０＝ｏφ（ｏ２（-２（-０，-０，＋２）））、ｔ＝６．６のときの流線パターンの正規表現Ｎ1＝ｏφ（ｏ０（ｏ２，-０（-０，-０），＋２）、およびｔ＝７．７のときの流線パターンの正規表現Ｎ2＝ｏφ（ｏ０（ｏ０（ｏ２，-０，＋２），-０））をさらに割り当てている。どのような遷移が起こったかどうかを本実施の形態２のアルゴリズム（指数の差を用いた遷移ルート探索処理等）に従って与えることにする。実施の形態２のアルゴリズムでは、遷移パターンの特定を語表現と正規表現の比較においてのみ行うことが可能である。
【０４９６】
まず、時刻ｔ＝５．５とｔ＝６．６の極大語表現がＷ０＝ＩＣＣＢ０およびＷ１＝ＩＡ０ＣＢ０であるので、まずその指数の差ｄをとると、ｄ＝ｉｎｄＩ（Ｗ１）−ｉｎｄＩ（Ｗ０）＝（１，０，０，０，−１）となるが、このような指数の差を生成する遷移Ｘは、図２６〜図２８のリストから、Ｘ＝ＩΔ１，ＩＭ１，ｓ，ＩＣＭ１，ｉの三つあることがわかる。
【０４９７】
Ｘ＝ＩＭ１，ｓの遷移の方法にしたがって対応する正規表現を与えると、ＮＩＭ１，ｓ＝ｏφ（ｏ０（ｏ２，-０（-０，-０），＋２）を得る。これを比べるとＮ1＝ＮＩＭ１，ｓとなるので、正規表現の１対１対応より実際に起こった遷移はＸ＝ＩＭ１，ｓであることが判定できる。
【０４９８】
次に、時刻ｔ＝６．６からｔ＝７．７に対して、その極大語表現はＷ１＝ＩＡ０ＣＢ０とＷ２＝ＩＡ０Ａ０Ｃであるので、その指数の差をとるとｄ＝ｉｎｄＩ（Ｗ２）−ｉｎｄＩ（Ｗ１）＝（１，０，−１，０，０）であるので、図２６〜図２８のリストからＸを探すと、Ｘ＝ＩＣＤ０，Ａ０Ｅ０，ｓおよびＩＣΨ（２）を得られる。
【０４９９】
Ｘ＝ＩＣΨ（２）に対応する部分語Ｓ１とＳ２はＷ２とＷ１に含まれないので、これは除外される。
【０５００】
一方、Ｘ＝Ａ０Ｅ０，ｓおよびＸ＝ＩＣＤ０については、いずれもＳ１⊆Ｗ２かつＳ２⊆Ｗ１が成り立つので、これらは起こりうる遷移の候補である。Ｘ＝Ａ０Ｅ０の遷移に従って対応する正規表現はＮ２と等しくなるので、正規表現の１対１対応より、起こる遷移はＸ＝Ａ０Ｅ０，ｓであることが特定できる。
【０５０１】
［語表現と正規表現を使った流体中の物体の設計方法（設計パラメータ候補選択処理）］
例えば、橋や橋脚など流体中におかれた物体（以下設計対象と呼ぶ）の形状や配置、またその周囲の流れの制御などを通じて設計の対象にとって最適なパラメータを定めるような設計手法について，語表現と正規表現を使ってどのように設計を行うかを説明する。
【０５０２】
前提１：設計対象には変更可能な設計パラメータがある（形状・配置・流れの制御装置など）。
前提２：設計対象を設計する上で、問題に応じた「最適な状態」が設定されており、その最適状態が流線構造の特徴として記述できているものとする。例えば、剥離渦を閉じこめる状態を最適状態とすると、翼であれば揚力の最大化，橋脚であれば抗力の最小化などが期待できる。
前提３：これらの設計において、設計パラメータを変えて実験および数値計算（そしてそれにおいて得られる流線パターンの語表現・正規表現）ができるものとする。以下、二次元の流れに限定する。三次元の場合は断面をとって考えたりして二次元化することなどで設計が可能になる場合もある（三次元の場合はすべての場合でできるとは限らないことに注意する）。
【０５０３】
従来の最適化設計においては，初期状態から始めて、設計パラメータを経験や試行錯誤、あるいは既知の最適化手法などによる最適化が行われている。ある種の最適化が実現できても、それは局所的な最適化であったり物理的に不安定であったりして実際の設計に耐えうるかどうか分からないところがある。
【０５０４】
本実施の形態による設計パラメータの探索では、かかる状況に対して、最初から理想的な状況を流線パターンの語表現や正規表現として設定しておいて、それが実現されるようパラメータ領域を探索することができるようになる。こうして最適な設定を実現する設計パラメータの「候補」をできるだけ多くかつ速やかに探すことができるようになる。それらの候補から始めて、既知の最適化手法を行うことで多くのかつ実現性の高い設計パラメータが得られる可能性が高くなる。
【０５０５】
図５６は、語表現と正規表現を使用した流体中の物体の設計方法、すなわち、上述の設計パラメータ候補選択処理を説明するためのフローチャートである。図５６に示すフローチャートは、シミュレーション部１０２ａ２により実行される。
【０５０６】
図５６において、まず、とりうる設計パラメータの上限と下限を定める（ステップＳ３１１）。次に、上記ステップＳ３１１で定めたパラメータ領域（設計パラメータの上限と下限で規定される領域を「パラメータ領域」と称する）を分割して、パラメータ領域からＮ個のパラメータの組み合わせサンプル（設計パラメータＰｉ（ｉ＝１，・・・，Ｎ））を選択する（ステップＳ３１２）。なお、サンプルの選択は、これまでの経験や計算結果などを踏まえて適当に選んでも良いし、先験的な情報がないときは、パラメータ領域を等分してサンプリングしてもよい。
【０５０７】
以下では、渦閉じこめ状態を表す語表現として「Ｃ」が語表現に含まれることを設計の目的とする例を説明する。各設計パラメータＰｉ（ｉ＝１，・・・，Ｎ）に対してそれぞれ流れの実験や数値計算を行う（ステップＳ３１３）。得られた各結果に語表現と正規表現の割り当てを行う（ステップＳ３１４）。その語表現が最適状態を表すＩＣの部分語を持つ、あるいはそれに対応する正規表現を持つ構造表現か否かを判断する（ステップＳ３１５）。その語表現が最適状態を表すＩＣの部分語を持つ，あるいはそれに対応する正規表現を持つ構造表現の場合は（ステップＳ３１５の「Ｙｅｓ」）、設計パラメータの候補として採用する（ステップＳ３１６）。他方、その語表現が最適状態を表すＩＣの部分語を持つ、あるいはそれに対応する正規表現を持つ構造表現でない場合は（ステップＳ３１５の「Ｎｏ」）、一回の遷移で、その語表現が最適状態を表すＩＣの部分語を持つ，あるいはそれに対応する正規表現を持つ構造表現か否かを判断する（ステップＳ３２０）。一回の遷移で、その語表現が最適状態を表すＩＣの部分語を持つ，あるいはそれに対応する正規表現を持つ構造表現の場合は（ステップＳ３２０の「Ｙｅｓ」）、設計パラメータの候補として採用する（ステップＳ３１６）。一回の遷移（構造安定な流れパターンから構造不安定な中間状態の流れパターンへの１回の遷移）で、その語表現が最適状態を表すＩＣの部分語を持つ，あるいはそれに対応する正規表現を持つ構造表現でない場合は（ステップＳ３２０の「Ｎｏ」）、設計パラメータの候補には採用しない。
【０５０８】
ステップＳ３１７では、設計パラメータの候補があるか否かを判断し（ステップＳ３１７）、設計候補のパラメータがある場合には（ステップＳ３１７の「Ｙｅｓ」）、設計パラメータの候補に対して既存の最適化手法を適用する（ステップＳ３１９）。なお、既存の最適化手法を適用するだけでなく，最適化過程の各段階において、常に語表現や正規表現を計算してモニタリングすることで、定量的な流れの最適化に加えて、理想的な流線構造の最適化も同時に行うような最適化設計も可能である。
【０５０９】
他方、設計パラメータの候補がない場合には（ステップＳ３１７の「Ｎｏ」）、パラメータ領域を更に細かく分割して（ステップＳ３１８）、ステップＳ３１３〜Ｓ３１７の処理を実行する。
【０５１０】
図５７及び図５８は、上記の語表現と正規表現を使用した流体中の物体の設計方法を説明するための具体例の一例を説明するための図である。図５７において、一様流中におかれた物体４００の背後に渦構造が二つ（渦１，渦２）存在するような状況があったとする。一様流の速さ（あるいは物体の進行速度）をＵとし、物体４００は角速度Ｇで回転できるものとする。渦の強さと位置は流れにおいて既に与えられているとして、このうち渦１を「閉じこめて」、物体４００にかかる揚力を最大化し、渦２は流れに沿って物体から遠ざかることができるような装置を、「ＵやＧのパラメータ」を探索して最適化することを考える。渦閉じこめ状態の語表現は「Ｃ」によって遠ざかる渦は「Ａ０に」よって表現できるので、ターゲットとなる状況の語表現としてはＩＡ０Ｃを達成するものを本設計手法の適用によりパラメータ領域を絞り込む。
【０５１１】
本設計パラメータについて，Ｕは０から１．１まで変化でき，Ｇは-１．６×２πから１．６×２πまで変化できるものとする（上記ステップＳ３１１で設計パラメータの上限、下限を定める）。これらのパラメータ区間を５等分して設計パラメータ領域を分割し（上記ステップＳ３１２）する。そして、上記ステップＳ３１３〜Ｓ３２０を実行した結果が、図５８の（ａ）〜（ｆ）である。このパラメータ領域のうち、この設計手法によって最適化設計は「０．５≦Ｕ≦０．９，Ｇ＝-０．８×２π」(図５８の（ａ）〜（ｃ）に対応)および「０．３≦Ｕ≦０．７，Ｇ＝０」（図５８の(ｄ)〜（ｆ）に対応）の間で達成されている。これらのパラメータ候補の絞り込みにより、さらにこれらのパラメータ領域の分割を繰り返して、揚力などの定量的な量の最大化をするような最良パラメータ領域を探すことで、渦閉じ込めをして揚力を最大化するための物体４００の速度と各回転速度を知ることができる。
【０５１２】
以上説明したように、実施の形態２によれば、遷移ルートの候補が複数ある場合には、流れパターンに１対１に対応する正規表現を使用して遷移ルートを１つに特定することとしたので、選択ルートの候補が複数ある場合でもパターンマッチングを行うことなく、遷移ルートを特定することが可能となる。
【０５１３】
また、実施の形態２によれば、遷移ルートの候補が複数ある場合は、２つの構造安定な流れパターンの語表現に対応する正規表現をそれぞれ取得し、複数の遷移ルートの候補について、その遷移が起こるための部分表現が、一方の構造安定な流れパターンの語表現に対応する正規表現に含まれていない場合は、遷移ルートの候補から除外することとしたので、遷移ルートの候補の部分表現と正規表現を比較するだけで、実際に遷移する可能性のない遷移ルートの候補を除外することが可能となる。
【０５１４】
また、実施の形態２によれば、除外されなかった遷移ルートの候補が複数ある場合は、当該除外されなかった複数の遷移ルートの候補に対応する正規表現をそれぞれ取得し、上記除外されなかった複数の選択ルートの候補のうち、その正規表現が、他方の構造安定な流れパターンの語表現に対応する正規表現と一致するものを遷移パターンとして特定することとしたので、正規表現同士を比較するだけで、遷移ルートを１つに特定することが可能となる。
【０５１５】
また、実施の形態２によれば、位相幾何学的にＮ（但し、Ｎは１以上の整数）個の穴を有する多重連結外部領域における流れパターンの正規表現を作成する正規表現作成方法であって、流れパターンに１対１に対応するグラフ表現を作成するグラフ表現作成工程と、グラフ表現作成工程で作成されたグラフ表現から正規表現を作成する正規表現作成工程と、を含むこととしたので、流れパターンと１対１に対応させることが可能な新たな表現方法を提供することが可能となる。
【０５１６】
また、実施の形態２によれば、グラフ表現は、流れパターンで規定される構造安定なハミルトンベクトル場Ｈに対して、固有のルート付き、ラベル付き、及び向き有りのツリーＴＨ＝（Ｖ，Ｅ）を割り当て（但し、Ｖは頂点と呼ばれる点の集合、Ｅは、頂点の間を結ぶエッジの集合である）、平面グラフとして可視化したものであるので、構造安定なハミルトンベクトル場に対して、固有のルート付き、ラベル付き、及び向き有りのツリーを平面グラフとして可視化したものをグラフ表現として提供することが可能となる。
【０５１７】
また、実施の形態２によれば、グラフ表現は、親の頂点をｖ、その子の頂点をｗ，親の頂点ｖに割り当てられたラベルをｌ（ｖ）、子の頂点ｗに割り当てられたラベルをｌ（ｗ），ｖの子頂点集合Γ（ｖ）とした場合、ｖの子頂点集合Γ（ｖ）を所定の順序関係のルールに従って並び替え、ｗ∈Γ（ｖ）について、ｌ（ｖ）からｌ（ｗ）への矢印を左から右に並べて描画することとしたので、親子の連結関係が視認しやすいグラフ表現を提供することが可能となる。
【０５１８】
また、実施の形態２によれば、流れパターンは、（１）一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンのうちの、吸い込み湧き出し対をもち、二つのｓｓ−∂−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩ、（２）一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンのうちの、吸い込み湧き出し対をもち、一つのｓａｄｄｌｅ  ｐｏｉｎｔ、それを結ぶｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃ  ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎと二つのｓｓ−ｓａｄｄｌｅ  ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎをもつパターンＩＩ、（３）二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンＯの１又は複数であることとしたので、基本となる全ての流れパターンに対して正規表現を付与することができ、具体的な流れパターンの正規表現を扱えるようになる。
【０５１９】
また、実施の形態２によれば、正規表現作成工程で作成された正規表現を語表現に変換する語表現変換工程を備えているので、正規表現を語表現に変換することが可能となる。
【０５２０】
また、実施の形態２によれば、語表現は、一つの穴を有する単連結外部領域において位相幾何学的に採り得る２種類の流れパターンに加えて、二つの穴を有する二重連結外部領域において吸い込み湧き出し対を持たないパターンを追加した、合計３種類の流れパターンを規定するパターン語に対して、位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した操作語のうちのいずれか一語を、追加された穴の数だけ付与することにより形成された記号語であることとしたので、正規表現を、基本となる全ての流れパターンと位相幾何学的に採り得る５種類の操作を規定した語表現に変換することが可能となる。
【０５２１】
また、実施の形態２によれば、語表現と同様に、流れ場における構造物設計を行うにあたって、構造物に対して採り得る流れパターンを経験や直感に頼ることなく容易に扱うことができる、流れパターンの正規表現作成方法、正規表現作成装置、および、プログラムを提供することができる。また、語表現と正規表現の両方を使用することで、語表現だけでは特定の流れを限定できないものを限定することができ、流れの最適制御の理論をより発展させることができる。
【０５２２】
また、実施の形態２によれば、語表現と正規表現は、例えば、橋脚の設計、防波堤の配置、港湾の汚染物の除去、風力発電のブレードの設計、列車のパンタグラフの構造、オイルフェンスの最適配置などのように、構造物設計や配置を伴う様々な分野において極めて有用である。また、スポーツ用品の構造設計などのようにスポーツ力学等の分野に応用することも可能である。
【産業上の利用可能性】
【０５２３】
以上詳述に説明したように、本発明によれば、流れパターンの遷移に関する知見を得ることができる、流体遷移経路取得装置、流体遷移経路取得方法、および、プログラムを提供、ならびに記録媒体を提供することができる。例えば、飛行物体の設計、列車のパンタグラフの構造、レーシングカー等の自動車の構造、スキージャンプなどのスポーツ用品の設計、高速船の設計、気象予報など、構造物の形状や配置の設計や制御、流体の変化予測などを伴う様々な分野において極めて有用である。特に、流れ場とその中に含まれる多数の構造物の配置設計が重要な分野（橋脚の設計、防波堤の配置、港湾の汚染物質の除去、風力発電のブレードの設計、航空機翼の設計、オイルフェンスの最適配置など）において極めて有用である。
【符号の説明】
【０５２４】
１００，１０１  流体遷移経路取得装置
１０２  制御部
１０２ａ，１０２ａ２  シミュレーション部
１０２ｂ  流線解析部
１０２ｃ  語表現形成部
１０２ｄ  パターン語付与部
１０２ｅ  操作語付与部        
１０２ｆ  極大語表現部
１０２ｇ，１０２ｇ２  遷移情報取得部
１０４  通信制御インターフェース部
１０６  記憶部
１０６ａ  シミュレーション結果ファイル
１０６ｂ  流線図ファイル
１０６ｃ  パターン遷移ファイル
１０８  入出力制御インターフェース部
１１２  入力装置
１１４  出力装置
１２０  正規表現形成部
１２０ａ  グラフ表現作成部
１２０ｂ  正規表現作成部
１２０ｃ  語表現作成部
２００  外部システム
３００  ネットワーク
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９−１】
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【図９−２】
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【図１０】
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【図１１】
2015068784.tif 000017
【図１２】
2015068784.tif 000018
【図１３】
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【図１４】
2015068784.tif 000020
【図１５】
2015068784.tif 000021
【図１６】
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【図１７】
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【図１８】
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【図１９】
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【図２０】
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【図２１】
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【図２２】
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【図２３】
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【図２４】
2015068784.tif 000030
【図２５】
2015068784.tif 000031
【図２６】
2015068784.tif 000032
【図２７】
2015068784.tif 000033
【図２８】
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【図２９】
2015068784.tif 000035
【図３０】
2015068784.tif 000036
【図３１】
2015068784.tif 000037
【図３２】
2015068784.tif 000038
【図３５】
2015068784.tif 000039
【図３６】
2015068784.tif 000040
【図３７】
2015068784.tif 000041
【図３８】
2015068784.tif 000042
【図３９】
2015068784.tif 000043
【図４０】
2015068784.tif 000044
【図４１】
2015068784.tif 000045
【図４２】
2015068784.tif 000046
【図４３】
2015068784.tif 000047
【図４４】
2015068784.tif 000048
【図４５】
2015068784.tif 000049
【図４６】
2015068784.tif 000050
【図４７−Ａ】
2015068784.tif 000051
【図４７−Ｂ】
2015068784.tif 000052
【図４７−Ｃ】
2015068784.tif 000053
【図４７−Ｄ】
2015068784.tif 000054
【図４７−Ｅ】
2015068784.tif 000055
【図４８】
2015068784.tif 000056
【図４９】
2015068784.tif 000057
【図５０−Ａ】
2015068784.tif 000058
【図５０−Ｂ】
2015068784.tif 000059
【図５０−Ｃ】
2015068784.tif 000060
【図５０−Ｄ】
2015068784.tif 000061
【図５１−Ａ】
2015068784.tif 000062
【図５１−Ｂ】
2015068784.tif 000063
【図５２】
2015068784.tif 000064
【図５３】
2015068784.tif 000065
【図５５】
2015068784.tif 000066
【図５６】
2015068784.tif 000067
【図５７】
2015068784.tif 000068
【図５８】
2015068784.tif 000069
【図３３】
2015068784.tif 000070
【図３４】
2015068784.tif 000071
【図５４】
2015068784.tif 000072
【国際調査報告】
2015068784.tif 000073
2015068784.tif 000074
2015068784.tif 000075