(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
支持構造と、
ドープシリコン半導体共振器と、
前記共振器を前記支持構造に懸架する少なくとも一つのアンカーと、前記共振器に共振を励起するアクチュエータと、
を備えるマイクロ電気機械共振器において、
前記共振器は、ベース部と、前記ベース部から外側に突出する少なくとも一つの突出部から形成されたモノリシック構造を備え、前記モノリシック構造は、ｎ型ドーピング剤により少なくとも２．３＊１０１９ｃｍ−３の平均ドーピング濃度にドープされ、前記ベース部は、長方形、正方形、又はディスク状プレートを備え、
前記共振器は、前記アクチュエータによって、前記ベース部におけるバルク音響波（ＢＡＷ）共振モードと前記少なくとも一つの突出部における屈曲共振モードとを備える複合共振モードに、励起され、
前記複合共振モードは、周波数温度係数（ＴＣＦ）特性を有し、そのＴＣＦ特性は前記ベース部と前記少なくとも一つの突出部との両方により与えられ、前記少なくとも一つの突出部のＴＣＦ特性は、−４０℃から８５℃の範囲内で、前記ベース部のＴＣＦ特性に対して反対符号を有する、ことを特徴とする共振器装置。
【請求項２】
前記複合共振モードは、本質的に、前記ベース部における第１の共振モードと、前記少なくとも一つの突出部における前記第１の共振モードと異なる第２の共振モードを備え、
前記第１の共振モードは第１のＴＣＦ特性を有し、前記第２の共振モードは前記第１のＴＣＦと異なる第２のＴＣＦ特性を有する、ことを特徴とする請求項１記載の共振器装置。
【請求項３】
前記ベース部は１より大きいアスペクト比を有する長方形プレートを備える、ことを特徴とする請求項１又は２のいずれかに記載の共振器装置。
【請求項４】
前記突出部の数は４又はそれ以上である、ことを特徴とする請求項１〜３のいずれかに記載の共振器装置。
【請求項５】
前記少なくとも一つの突出部は、前記ベース部の主軸と一致しない長手方向軸を有する屈曲ビーム、好ましくは複数の屈曲ビーム、を備える、ことを特徴とする請求項１〜４のいずれかに記載の共振器装置。
【請求項６】
前記突出部は、前記ベース部から異なる横方向に突出する複数の屈曲ビームを備え、前記ベース部の主軸に対する各ビームの角度は、２０−７０°である、ことを特徴とする請求項１〜５のいずれかに記載の共振器装置。
【請求項７】
前記突出部は、それぞれが前記ベース部から前記ベース部の主軸の一つの横方向に突出する複数の屈曲ビームを備える、ことを特徴とする請求項１〜５のいずれかに記載の共振器装置。
【請求項８】
前記複数の突出部は前記ベース部の周囲に対称に配置されている、ことを特徴とする請求項１〜７のいずれかに記載の共振器装置。
【請求項９】
前記支持構造と前記複合共振モードにおける前記ベース部の２以上の節点との間に延在する２以上の前記アンカーを備える、ことを特徴とする請求項１〜８のいずれかに記載の共振器装置。
【請求項１０】
前記共振器の前記ベース部は、１より大きいアスペクト比、特に約１：１．５、１：２．７、１：４．３、１：５．５、１：７．０、１：８．７（５％の精度）を有し且つ一つの主軸が半導体材料の［１００］結晶方向に＋／−５°の範囲内で向けられた、長方形プレートであり、
前記突出部は、前記ベース部の外周に対称に配置され且つ半導体材料の「１１０」結晶方向に本質的に＋／−５°の範囲内で向けられた４つ以上の屈曲ビームを備える、ことを特徴とする請求項１〜９のいずれかに記載の共振器装置。
【請求項１１】
前記共振器の前記ベース部は、１より大きいアスペクト比を有し且つ一つの主軸が半導体材料の［１００］結晶方向に＋／−５°の範囲内で向けられた、長方形プレートであり、
前記突出部は、前記ベース部の外周に対称に配置され且つ半導体材料の「１００」結晶方向に本質的に＋／−５°の範囲内で向けられた４つ以上の屈曲ビームを備える、ことを特徴とする請求項１〜１０のいずれかに記載の共振器装置。
【請求項１２】
前記複合共振モードは、本質的に、前記ベース部における幅伸縮（ＷＥ）バルク音響波（ＢＡＷ）モードと前記少なくとも一つの突出部における屈曲モードを備える、ことを特徴とする請求項１〜１１のいずれかに記載の共振器装置。
【請求項１３】
前記複合共振モードは、本質的に、前記ベース部における長さ伸縮（ＬＥ）バルク音響波（ＢＡＷ）モードと前記少なくとも一つの突出部における屈曲モードを備える、ことを特徴とする請求項１〜１１のいずれかに記載の共振器装置。
【請求項１４】
前記複合共振モードは、本質的に、前記ベース部におけるラーメバルク音響波（ＢＡＷ）モードと前記少なくとも一つの突出部における屈曲モードを備える、ことを特徴とする請求項１〜１１のいずれかに記載の共振器装置。
【請求項１５】
前記複合共振モードにおいて、前記少なくとも一つの突出部は前記ベース部と異なる周波数で共振するように構成される、ことを特徴とする請求項１〜１４のいずれかに記載の共振器装置。
【請求項１６】
前記共振器はｎ型ドーピング剤が少なくとも２．３＊１０１９ｃｍ−３、例えば７〜２０＊１０１９ｃｍ−３の平均ドーピング濃度にドープされたモノリシックシリコン母材を備え、前記ドーピング濃度は好ましくは前記共振器全体に本質的に均一である、ことを特徴とする請求項１〜１５のいずれかに記載の共振器装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明はマイクロ電気機械共振器に関する。特に、本発明は共振器の周波数温度係数（ＴＣＦ）の調整に関する。
【背景技術】
【０００２】
広く使用されている水晶ベース共振器は、多くの分野でマイクロ機械共振器、一般的にはシリコンベース共振器、と置き換えられる可能性がある。シリコン共振器は水晶共振器より小さくでき、シリコン共振器には複数の標準的な製造方法がある。しかしながら、シリコンベース共振器と関連する問題として、これらの共振器は共振周波数の温度ドリフトが高いという問題を有する。このドリフトは、主にシリコンのヤング率の温度依存性に起因し、約−３０ｐｐｍ／Ｃの周波数温度係数（ＴＣＦ）を生じる。これは周囲温度の変化により共振周波数の変動をもたらす。
【０００３】
ＴＣＦに関しては、線形、即ち一次の挙動と二次の挙動の両方が実際上重要であり、その理由は、第１の挙動は温度変化による周波数の局部的変化（理想的にはゼロ）を表し、第２の挙動は低いドリフト温度範囲の幅を表す。一次項がゼロであれば、周波数ドリフトは二次項のみから生じ、ＴＣＦがその絶対最小値になる特定の「ターンオーバ温度」が存在する。二次ＴＣＦはここでは、一次係数ＴＣＦ１（線形ＴＣＦ）と対比してＴＣＦ２ともいう。ＡＴカット水晶は２５℃においてほぼゼロの低いＴＣＦ１及びＴＣＦ２を有し、それらの総合周波数ドリフトは一般的には−４０℃〜＋８５℃の広い温度範囲に亘って±１０ｐｐｍ以内である。シリコン共振器の温度性能は現時点ではかなり悪い。
【０００４】
温度ドリフトの問題を除去又は緩和する一つの有望な方法は極度に高濃度のシリコンドーピングである。バルク弾性波（ＢＡＷ）共振挙動への１０１９ｃｍ−３より高濃度の均一なｎ型ドーピングの効果は、例えば国際公開ＷＯ２０１２／１１０７０８号明細書（特許文献１）において検討されている。この特許文献は、「純粋」ｃ11−ｃ12モード（ｃ11，ｃ12及びｃ44はシリコンのヤング率の弾性項である）のＴＣＦ１はゼロより十分上にとどまり、周波数は依然として温度に大きく依存する。しかしながら、面積伸縮（ＳＥ）モード又は幅伸縮（ＷＥ）モード等の他のＢＡＷ共振モードはそのような弾性パラメータｃ11，ｃ12（及びｃ44）への依存性を有するため、一次ＴＣＦをそれらの面内幾何学的アスペクト比の正しい選択によってゼロにすることができる。また、１１＊１０１９ｃｍ−３以上のｎ型ドーピングレベル（ドーピング剤ヒ素）を実際に実現できることも証明されている。
【０００５】
別の方法は、米国特許第８５５８６４３号明細書（特許文献２）で検討されているように、異なるドーピングレベル又は結晶方向を有する重畳層を備えた有効材料構造を形成する。この構造は、アンドープ又は均一ドープの対応シリコン元素のＴＣＦより低いＴＣＦを有する共振モードを実行し得る超格子を形成する。このような構造は、１００℃の範囲に亘って５０ｐｐｍより低い温度ドリフトが達成されるように、二次ＴＣＦをある程度減少させるために使用することもできる。
【０００６】
上述の文献はシリコンドーピングを利用する他の文献も援用し、温度ドリフト問題に対処する他の方法も検討している。
【０００７】
共振器の温度挙動はドーピング濃度に依存するのみならず、その幾何学的形状、結晶方向及びそこで励起される共振モードにも依存し、いくつかの重要な因子に言及する。さらに、考慮する必要がある因子は、共振器のＱ値（共振器の固定法が重要な役割を果たす）と、共振器設計を実際に製造する能力である。低いＴＣＦと高いＱ値は、例えば一般的に種々の幾何学的レイアウトで達成されるため、既知の共振器設計において相反する設計目標になり得る。
【０００８】
現時点で実際に実現可能で利用可能な低ＴＣＦシリコン共振器設計は少なく、そのいくつかが特許文献１及び特許文献２に開示されているにすぎない。しかしながら、ＴＣＦ特性と高いＱ値を同時により良好に制御し得るように改良された実際に実現可能な新設計が必要とされている。簡単な構造及び製造プロセスも望まれている。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００９】
【特許文献１】国際公開ＷＯ２０１２／１１０７０８号
【特許文献２】米国特許第８５５８６４３号明細書
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【００１０】
本発明の目的は、ＴＣＦ特性が特定のニーズを満たすために調整可能な新規な共振器装置を提供することにある。
【００１１】
特に、本発明の目的は、効率的に温度補償することができ、そのターンオーバ温度を便利に設定することができる共振器を提供することにある。本発明の目的はまた、低い温度ドリフト範囲の幅を増大し得る共振器設計を提供することにある。
【００１２】
本発明の特定の目的は、上述した目的の一つ又はすべてを満たすにもかかわらず高いＱを有する共振器を提供することにある。
【課題を解決するための手段】
【００１３】
本発明は、固有の共振モードを有するドーププレート共振器のＴＣＦ特性は、突出部によって共振器全体のＴＣＦに所望の影響を与えることができ、例えば一次ＴＣＦを、場合によっては二次ＴＣＦ及びそれより高次のＴＣＦも、最小化することができるという観察に基づいている。プレートと突出部で形成された複合共振器は複合モードで共振し、単純なプレート共振器に匹敵するＴＣＦ特性にこの種の変化を可能にする。複合モードはプレートにおける第１の共振と、突出部における第１の共振と異なるＴＣＦ特性を有する第２の共振とからなるものと考えられ、プレートと突出部は結合している。本発明の追加の目的を達成するためには、プレートと突出部は共振器の高いＱを維持するために固定点として作用し得る節点が共振器の外周に存在するように設計することができることも重要である。
【００１４】
従って、本発明は、支持構造と、少なくとも一つのアンカー素子により前記支持構造に懸架されたドープ半導体共振器と、前記共振器に共振を励起するアクチュエータとを備えるマイクロ電気機械共振器を提供する。前記共振器は、ベース部と、前記ベース部の外周から突出する少なくとも一つの突出部を備える。前記共振器は前記アクチュエータによってＴＣＦ特性を有する複合共振モードに励起することができ、そのＴＣＦ特性は前記複合共振に関与する前記ベース部と前記少なくとも一つの突出部とにより与えられる。
【００１５】
特に、このように形成された複合共振器はベース部と突出部における異なる種類の共振、例えばベース部におけるＢＡＷ共振と突出部における屈曲共振とよりなる複合共振モードに励起することができる。
【００１６】
特に、ベース部及び突出部のＴＣＦは反対符号にすることができ、それによって低損失の懸架を可能にするベース部の幾何学的構成を用いて総合ＴＣＦを最小にすることができる。よって、この実施形態では、共振器は可補償の主要部と不十分補償の突出部を備え、またその逆もあり得る。
【００１７】
より具体的には、本発明の特徴は独立請求項に記載されている。
【００１８】
本発明によれば、多大な利点が達成される。特に、本発明によれば、注意深く選択した突出部を用いることによって、共振器の品質係数Ｑを損なうことなくシリコン共振器のＴＣＦ特性を調整することができる。
【００１９】
本発明は、例えばＷＥ、ＬＥ又はラーメモード共振器などのＢＡＷモード共振器の幾何学的構成を、節点懸架と線形ＴＣＦの略ゼロ化が同時に達成されるように修正することによって、ＴＣＦ及び品質係数の問題を解消する。節点懸架とは、アンカー素子を共振器素子に共振モードの節点で位置させることを意味する。節点での懸架は高い品質係数動作の必須要件である。実際には、これは、一般的な製造プロセスに対して、節点は共振器の外周になければならないことを意味し、本発明の設計はこれを可能にする。
【００２０】
本発明の実際の応用に関しては、本共振器は能動温度補償を必要としないために超低電力の基準発振器として使用できる。
【００２１】
本発明はまた、実際に証明可能で達成可能なｎ型ドーピング濃度を用いて実現可能である。互いに積み重ねられた異なる層に異なる材料特性を有する超格子構造と比較して、本共振器素子はモノリシック単層素子として製造でき、よってその製造は簡単である。また、必要とされるドーパント濃度も超格子実装の場合に必要とされるものより小さい。また、本共振器は本質的に所要の周波数安定度を満たすように設計されているので、共振器の周囲の複雑な能動温度補償回路を不要にし得る。
【００２２】
従属請求項は選ばれた好ましい実施形態に向けられている。
【００２３】
ベース部と突出部との間に強い音響結合が存在するが、ベース部は第１のＴＣＦ特性を有する第１の共振モードを備えるが、突出部は第１の共振モードとは異なる第２のＴＣＦ特性を有する第２の共振モードを備える、と考えられる。第２のＴＣＦ特性は一般的に第１のＴＣＦ特性と異なり、よってベース部と突出部の共同作用は複合モードで振動する共振器の総合温度性能を決定する。突出部は好ましくはベース部から横方向に突出する。
【００２４】
一つの好ましい実施形態では、第１の共振モードはバルク音響波（ＢＡＷ）モードであり、第２の共振モードは屈曲モードである。
【００２５】
一つの好ましい実施形態では、第１及び第２の共振モードは互い異なる共振周波数を有する。
【００２６】
一実施形態によれば、ベース部は１より大きいアスペクト比を有する長方形プレートである。このようなプレートにはＷＥモード又はＬＥモードを励起することができ、適切な辺長であれば、最適な懸架点として作用する２つの節点がプレートの辺に存在する。
【００２７】
一実施形態によれば、主要部はその両長手方向端の中間に節点を生じるアスペクト比を有するＷＥモード共振器である。アンカー素子はこれらの点で主要部に結合する。更に、突出部は共振器のＴＣＦを調整するためにビーム状の屈曲突出部を備える。この設計では、屈曲突出部に対して十分な自由度（水平エッジの幅、長さ、位置）があるため、節点を維持したままＴＣＦの所望の変化（所定の範囲内）を達成することができる解決策が存在する。共振器全体は好ましくは、少なくとも２．３＊１０１９ｃｍ−３の平均ドーピング濃度にドープされる。これらのドーピング濃度では、ゼロＴＣＦ１を達成できる。設計はＴＣＦ１がゼロである同じ点においてＴＣＦ２もゼロにするのが好ましい。
【００２８】
代替実施形態によれば、主要部はＬＥモード共振器であり、その対向長辺に懸架点を有し、突出部は屈曲ビームを備える。この実施形態は、いくつかの構成においてＴＣＦ２がゼロであるドーピングレベルにおいてＷＥモード共振器のＴＣＦ１が低くなりすぎるために有益である。従って、ＷＥ−ＳＥ分枝に関してはＴＣＦ１=ＴＣＦ２=０を満足し得る幾何学的構成（すべてのアスペクト比に対してＴＣＦ＜０）は存在し得ない。この場合、ＴＣＦ１=ＴＣＦ２=０を有する幾何学的構成はラーメ−ＬＥモード分枝に見つけることができる。また、この幾何学的構成をわずかに修正することによってこの分枝のモードの線形ＴＣＦを減少させるのも有利でありうる。
【００２９】
ＴＣＦ１及びＴＣＦ２がゼロのとき、総合周波数ドリフトは極めて小さい。特に、本発明の実施形態による共振器の総合周波数ドリフトは少なくとも５０℃の範囲、特に１２５℃、好ましくはＴ＝−４０℃，．．．８５℃の範囲（いわゆる工業範囲）に亘って±１０ｐｐｍ以内にすることができ、これは水晶の温度性能レベルに相当する。
【００３０】
一実施形態によれば、突出部の数は４以上であり、この数はそれらを主プレートの周囲に対称に配置することによって共振器全体を左右対称にすることを容易にする。
【００３１】
上述したように、一実施形態によれば、少なくとも一つの突出部は一般にＷＥ及びＬＥモードと異なるＴＣＦ特性を有する一つの屈曲ビーム又は屈曲モードに励起し得る複数のビームを備える。
【００３２】
一実施形態では、ビームはベース部の主軸に対するベース部の結晶配向と異なるビームの長手方向軸に対する結晶配向を有する。ベース部の主軸に対する各ビームの角度は２０−７０℃、好ましくは［１１０］結晶方向に対応する４５℃である。
【００３３】
代替実施形態では、突出部はベース部からベース部の主軸の一つの方向に突出する複数の屈曲ビームを備える。この場合にはビームの結晶方向は主要部と同じであるが、屈曲モードと選択した幾何学的構成とによって主要部と異なるＴＣＦ特性を有する突出部がもたらされる。
【００３４】
一実施形態では、共振器素子のベース部は、その外周に節点をもたらす約１：１．５、１：２．７，１：４．３，１：５．５，１：７．０，１：８．７のアスペクト比又は任意の他のアクセス比を有し、一つの主軸が半導体材料の［１００］結晶方向に（±５℃の精度で）向けられた長方形プレートである。突出部は本質的に、共振器の温度挙動に対する突出部の所望の効果に応じて、半導体材料の［１１０］又は［１００］結晶方向に（同様に±５℃の精度で）向けられている。
【００３５】
アンカー素子は好ましくは、共振器素子と、一般的には駆動手段の少なくとも一部分も周囲の構造に懸架する細長いブリッジを備える。アンカー素子の数は少なくとも２つであり、それらを支持構造と共振器の主要部で生じる第１のＢＡＷ共振の２以上の節点との間に掛け渡すのが好ましい。
【００３６】
ラーメモードで共振する正方形の主プレートを使用することもできる。この場合にも、屈曲突出部が共振器の総合ＴＣＦ特性を修正する。プレートの隅部の節点はラーメモードに固有であって、突出部があっても維持することができ、よってプレートの四隅にアンカーを配置することができる。
【００３７】
好ましい実施形態では、共振器素子はモノリシックシリコン結晶を備える。シリコン母材は好ましくは、ｎ型ドーピング剤が少なくとも２．３＊１０１９ｃｍ−３、特に２．３．．．２０＊１０１９ｃｍ−３の平均濃度にドープされる。好ましいＷＥ−屈曲及びＬＥ／ラーメ−屈曲複合共振器に関しては、最も良いドーピング範囲は７〜２０＊１０１９ｃｍ−３であり、完全な一次温度補償のみならず、完全な二次温度補償も同時に可能にする。上記のドーピング範囲は、実際の設計では、例えば圧電アクチュエータのようなアクチュエータは一般的に総合ＴＣＦ１及びＴＣＦ２を減少するので、ＴＣＦ１及びＴＣＦ２が十分な余裕をもってゼロより上になるようにシリコン結晶は（例えばアクチュエータを無視した理論的推定値と比較して）「オーバドープ」されなければならいことを考慮している。
【００３８】
ドーピング濃度は共振器素子の全体に亘って本質的に均一にし得るが、シリコンウェハの特に深さ方向の均質性は絶対に必要というわけではない。しかしながら、平均ドーピング濃度は上述の範囲内に維持するのが好ましい。
【００３９】
本発明による主要部及び突出部は音響的に結合され、よってこれらの構成要素の両方により影響された複合共振モードが共振器に形成される。しかしながら、複合モードは、異なる共振モードがそれぞれの構成要素で優勢であり、それらの機械的運動及びＴＣＦ特性をほぼ決定するものである。複合モードのこれらのサブモードは、他の部分から音響的に絶縁された対応する形状部に励起される理想（純粋）モードに類似する。実際には、特に異なる部分の交差部における理想的挙動からの偏差が存在し得る。「ベース部における（突出部における）第１の（第２の）共振モードを本質的に備える複合共振モード」という用語はこのような非理想的共振をカバーする。当業者であれば、異なるモード、例えばＢＡＷモード（特にＷＥ，ＬＥ及びラーメモード）と屈曲モードを、それらが純粋な形で存在しなくても区別することができる。
【００４０】
用語「ＴＣＦ特性」は、共振器の周波数対温度曲線の形状、特に共振器の共振周波数の温度に対する一次及び二次変化の組み合わせを意味する。本共振器のＴＣＦ特性はベース部と突出部によって与えられ、つまりそのＴＣＦ特性は他の部分から絶縁されたこれらの部分のいずれのＴＣＦ特性とも異なるものになる。実際上、ＴＣＦ特性という語は、複合共振器の一部分のみに言及するとき、その部分がその部分を他の部分に接続する仮想線に強固に固定された類似の部分のＴＣＦ特性を意味する。
【００４１】
「異なるＴＣＦ特性」（共振器の２つの音響的に結合された部分の間）と言う語は一次、二次挙動又はその両方が（両部分の間で）異なることを意味する。ＴＣＦ１及びＴＣＦ２の定義は、共振器の温度依存周波数ｆを表すべき級数から数学的に公式化して得ることができる。
ｆ(Ｔ)＝ｆ0[１＋ＴＣＦ1×ΔＴ＋ＴＣＦ2×ΔＴ2]
ここで、ΔＴ＝Ｔ−Ｔ0は温度差であり、ｆ0は基準温度Ｔ0における周波数である（更なる詳細は、例えば、A. K. Samarao at al, "Passive TCF compensation in high q silicon micromechanical resonators, " in IEEE International Conference on Micro Electro Mechanical Systems (MEMS 2010), Hong Kong, Jan. 2010, pp. 116-119,を参照されたい)。特に断りがなければ、ここではＴ0＝２５℃を使用する。
【００４２】
特に、本発明は、別々に研究されたベース部及び突出部のＴＣＦは少なくとも一つの温度範囲において反対符号であること、それによって複合一次ＴＣＦ成分を（その温度範囲で）最小にすること、共振器のターンオーバ温度点を調整すること、及び総合二次ＴＣＦ成分を最小にすることもでき、即ち共振器に広い安定動作温度範囲を、必要に応じ共振器の節点懸架の可能性を維持したまま与えることができるという状況を保護するものである。
【００４３】
「ベース部」は、一般的には長方形、正方形又はディスク状（円形又は楕円形）プレートである。「突出部」は、ベースから特に横方向面内に突出し、それとともに共振する特徴部を意味する。通常、突出部はベース部より小さい側面積を有し、一般的には最大でその３０％である。本発明の一実施形態によれば、主要部はＢＡＷ共振するが、突出部は屈曲共振に励起し得る特徴部であってＢＡＷ−屈曲複合共振モードを形成する。
【００４４】
本明細書において「横方向」は共振器の平面内の方向、即ち一般的には共振器装置が製造されたウェハと同一平面内の方向を意味する。
【００４５】
要素の「主軸」は要素の長手方向軸及び／又は対称軸を意味する。例えば、長方形又は正方形の主軸は長方形又は正方形の辺の方向に向き、その対称軸と一致する。ビームの主軸はビームの長手方向に沿う。
【００４６】
共振モードの「節点」は、当技術分野で準節点として知られている点も包含する。
【００４７】
次に、本発明の選ばれた実施形態及びそれらの利点が添付図面を参照してより詳しく説明される。
【図面の簡単な説明】
【００４８】
【図１Ａ】ＷＥモードの長方形プレート共振器を示す。
【図１Ｂ】本発明の一実施形態による複合共振器を示す。
【図１Ｃ】本発明の一実施形態による複合共振器を示す。
【図１Ｄ】本発明の一実施形態による複合共振器を示す。
【図１Ｅ】本発明の一実施形態による複合共振器を示す。
【図１Ｆ】本発明の一実施形態による複合共振器を示す。
【図１Ｇ】本発明の一実施形態による複合共振器を示す。
【図１Ｈ】本発明の一実施形態による複合共振器を示す。
【図１Ｉ】本発明の一実施形態による複合共振器を示す。
【図２】図２Ａは、異なるｎドーピング濃度における、最適化された横方向アスペクト比（Ｗ／Ｌ）を有するＳＥ／ＷＥモード共振器の総合周波数ドリフト対温度のグラフを示す。図２Ｂは、その一次ＴＣＦが最適設計によりゼロにされたＷＥ共振器の二次ＴＣＦ対ドーピング濃度のグラフを示す。
【図３】図３Ａは、ＳＥ／ＷＥモードの一次ＴＣＦを長方形プレート共振器の辺長（アスペクト比）の関数として示すグラフである。図３Ｂは、ビーム共振器の屈曲モードの一次ＴＣＦを［１００］結晶方向に対するビーム角度の関数として示すグラフである。
【図４Ａ】ＬＥ−ラーメ分枝共振器の周波数対アスペクト比のグラフである。
【図４Ｂ】２つの異なるドーピングレベルにおけるＬＥ−ラーメ共振器のＴＣＦ対アスペクト比のグラフである。
【図５】シミュレーションモデルを用いた本発明の一実施形態による共振器の四分割の一つを示す。
【図６Ａ】複数のシミュレーションした幾何学的構成に関する、図１Ｂの複合ＷＥ−屈曲モード共振器の、純粋ＷＥ共振器に対する節点の変位及びＴＣＦの変化を示す。
【図６Ｂ】複数のシミュレーションした幾何学的構成に関する、図１Ｂの複合ＷＥ−屈曲モード共振器の、純粋ＷＥ共振器に対する節点の変位及びＴＣＦの変化を示す。
【図６Ｃ】複数のシミュレーションした幾何学的構成に関する、図１Ｂの複合ＷＥ−屈曲モード共振器の、純粋ＷＥ共振器に対する節点の変位及びＴＣＦの変化を示す。
【図６Ｄ】複数のシミュレーションした幾何学的構成に関する、図１Ｂの複合ＷＥ−屈曲モード共振器の、純粋ＷＥ共振器に対する節点の変位及びＴＣＦの変化を示す。
【図６Ｅ】複数のシミュレーションした幾何学的構成に関する、図１Ｂの複合ＷＥ−屈曲モード共振器の、純粋ＷＥ共振器に対する節点の変位及びＴＣＦの変化を示す。
【図６Ｆ】最適節点懸架と効率的な温度補償が同時に可能であることを示すために、複数のＷＥ−屈曲モード複合共振器の幾何学的構成に対するシミュレーション結果を示す。
【図６Ｇ】最適節点懸架と効率的な温度補償が同時に可能であることを示すために、複数のＷＥ−屈曲モード複合共振器の幾何学的構成に対するシミュレーション結果を示す。
【図６Ｈ】最適節点懸架と効率的な温度補償が同時に可能であることを示すために、複数のＷＥ−屈曲モード複合共振器の幾何学的構成に対するシミュレーション結果を示す。
【図６Ｉ】最適節点懸架と効率的な温度補償が同時に可能であることを示すために、複数のＷＥ−屈曲モード複合共振器の幾何学的構成に対するシミュレーション結果を示す。
【図６Ｊ】最適節点懸架と効率的な温度補償が同時に可能であることを示すために、複数のＷＥ−屈曲モード複合共振器の幾何学的構成に対するシミュレーション結果を示す。
【図６Ｋ】最適節点懸架と効率的な温度補償が同時に可能であることを示すために、複数のＷＥ−屈曲モード複合共振器の幾何学的構成に対するシミュレーション結果を示す。
【図７Ａ】最適節点懸架と効率的な温度補償が同時に可能であることを示すために、複数のＬＥ−屈曲モード複合共振器の幾何学的構成に対するシミュレーション結果を示す。
【図８Ａ】シリコンの弾性パラメータＣijの温度係数をドーピング濃度ｎの関数として示すグラフである。
【図８Ｂ】図８Ｃの結果の計算に使用されるｂ11-12(n)に対する外挿部分（破線）を示す。
【図８Ｃ】ＷＥモード共振器のＴＣＦ１=０及びＴＣＦ２＝０曲線を共振器のベース部のドーピング濃度及び面内アスペクト比の関数として示す。
【発明を実施するための形態】
【００４９】
幅伸縮ベース部、長さ伸縮ベース部又はラーメモードベース部と、該ベース部から横方向に突出する複数の屈曲ビームとを組み合わせた複合共振器が好ましい実施形態として以下に詳細に説明される。いくつかの変形例も例証として説明される。本発明による設計は多数あり、図示の実施形態から逸脱してもよい。
【００５０】
複合ＷＥ−屈曲モード共振器
一つの主実施形態として、本発明は幅伸縮（ＷＥ）／長さ伸縮（ＬＥ）モード分枝で動作する共振器プレートに適用することができる。
【００５１】
図１Ａは幅Ｗ及び長さＬを有する長方形プレート共振器素子２０を示す。長さ方向は結晶軸の［１００］結晶方向に沿って向けられている。このような共振器のための、共振器素子の低損失懸架のために、最適アスペクト比（Ｗ：Ｌとして表される）は１：１．５、１：２．７，１：４．３，１：５．５，１：７．０，１：８．７，．．．（５％の精度で）である。これらのアスペクト比において、純粋ＷＥモードが素子２０に励起される場合には、２つの節点Ｎ１及びＮ２が素子２０の外周、より詳しくは対向長手方向端、に位置する。これらの点Ｎ１及びＮ２は共振器の理想的な（不動の）固定点として作用し、共振器の高いＱをもたらす。他方、上述したように、ＷＥ共振器に対して、二次補償、即ちＴＣＦ１＝ＴＣＦ２＝０を生じる単一のドーピングレベル及び単一のアスペクト比が存在する可能性ある。しかしながら、このアスペクト比は一般的に懸架のために最適なアスペクト比と相違し、即ち節点を共振器の外周に生じない。この点に関する更なる考察は本明細書において後で与えられる。
【００５２】
一実施形態によれば、節点懸架と一緒にＴＣＦ１＝ＴＣＦ２＝０を有するＷＥ共振器を作製するために、共振器素子２０の長方形主要部に屈曲突出部が設けられる。屈曲突出部は主要部と同じモノリシック構造の一部分であり、ＷＥモードの長方形主要部２０と異なるＴＣＦ特性を有する屈曲モードで共振し得る。いくつかのこのような設計が図１Ｂ−１Ｅに示され、以下に詳しく説明される。主要部及び突出部は図では明瞭のために線で分離されているが、実際には一般にモノリシック一体構造を構成する。
【００５３】
図１Ｂに示す実施形態によれば、長方形主要部２１の外周から［１１０］方向に横方向面内で向けられた互いに離れる（外向き配置）４つの対称屈曲ビーム２２Ａ−Ｄが設けられている。ビームの各々は長さｌ、幅ｗを有し、主要部の長辺においてその隅から距離ｄに設置される。所定のドーピング濃度及びパラメータ値Ｌ，Ｗ，ｌ，ｗ及びｄにおいて、ビーム２２Ａ−Ｄは、主要部２１と反対符号のＴＣＦを有する屈曲モードで共振し、複合共振器の総合ＴＣＦをほぼゼロにする。懸架部（図示せず）は好ましくは図１Ａに示すような主要部２１の長さ方向端に配置される。
【００５４】
図１Ｃは代替構成例を示し、本例では共振器は、主要部２３及び主要部２３の外周から本質的に（１１０）方向に向けられるがペアごとに互いに向かい合う（内向き配置）４つの対称に配置された屈曲ビーム２４Ａ−Ｄを備える。懸架部（図示せず）は好ましくは主要部２３の長手方向端に配置される。この内向き配置の屈曲ビーム２４Ａ−Ｄの効果は本質的に外向き配置と同じであるが、はウェハ上で共振器に必要とされる空間が小さくなる。
【００５５】
ビーム２２Ａ−Ｄ又は２４Ａ−Ｄは［１１０］方向に正確に向ける必要はなく、例えばプレートの長手方向軸に対して２０〜７０°、特に３０~６０°、好ましくは４０〜５０°の方向に向けてもよい。
【００５６】
ビームの数は４以外の数にしてもよいことにも留意すべきである。しかしながら、ベース部のＷＥモードをできるだけ純粋に維持するためにベース部の２つの主軸に対して対称の形態を保つのが好ましい。特に、３つ以上、例えば４つの小さいビームをベース部の各長辺に設けてもよい。
【００５７】
更に、ビームは図に示すような台形にする必要はなく、それらの一次ＴＣＦが反対符号を有する限り、他の形状にしてもよいことにも留意されたい。図１Ｆ及び１Ｇはこのような２つの変形例を示し、前者は長方形ベースプレート２９から突出する先細ビーム３０を備え、後者は長方形ベースプレート３０から突出する拡開ビーム３２を備える。
【００５８】
最後に、全結晶面は本明細書の詳細例で使用される１００結晶面と異なる結晶面にしてもよいことに留意されたい。例えば、場合によっては、設計の要求を満たすために構造全体をその垂直軸を中心に回転させるのが望ましいこともある。なぜなら、この回転は共振器のＴＣＦ特性に影響を与えるからである。加えて、本明細書で述べるものと同様のモードは１１０ウェハにも存在し得る。従って、ベースプレートの主軸の向きは［１００］方向から０，．．４５°偏倚させてもよい。
【００５９】
図１Ｄは本発明の代替実施形態を示す。この共振器はベース部２５を備え、このベース部も先と同様にドープ長方形プレートであり、その長手方向端で理想的な懸架を可能とするアスペクト比を有する。突出部として、［１００］方向に向けられた主軸を有する４つの屈曲ビーム２６Ａ−Ｄが設けられている。この実施形態では、ベース部２５及び屈曲ビーム２６Ａ−Ｄの幾何学的構成及びドーピングレベルは、ＷＥモードのベース部が不十分補償（ＴＣＦ１＜０）され、屈曲ビームが過補償（ＴＣＦ１＞０）されるように選択される。この場合にも、複合共振器は特定の温度においてゼロ又はほぼゼロの総合ＴＣＦ１及び該温度の近くで小さいＴＣＦ２を示し得る。
【００６０】
図１Ｅは本発明のさらなる実施形態を示す。その構成は原理的に図１Ｄの構成に類似するが、屈曲突出部２８Ａ−Ｄは（図１Ｄに示すような端辺の代わりにベース部２７の長辺から突出する。突出部２８Ａ−Ｄは［１００］方向からある角度で偏倚する短い中間部分と［１００］方向の長いビームを備える。ＴＣＦに関して、これらの突出部の主な貢献はビームの［１００］方向部分からもたらされ、よって実効補償は図１Ｄの実施形態に対して述べたものと同等である。
【００６１】
図１Ｂ及び１Ｃの実施形態について上述したように、図１Ｄ及び１Ｅにおいても、ビームの角度、数、幾何学的構成及び結晶面に関して柔軟性が存在する。例えば、ビーム２６Ａ−Ｄ及び２８Ａ−Ｄは、それらの一次ＴＣＦがベース部２５，２７のＴＣＦとそれぞれ反対のままである限り、［１００］方向に対して±１５°、特に±５°の角度に配置してもよい。
【００６２】
本発明による共振器に対する模範的に適切なドーピングレベルは、２*１０１９ｃｍ−３より高いドーピング濃度、例えば２．３，．．２０*１０１９ｃｍ−３を備える。このような濃度の場合、ＷＥモードにおける懸架のために最適なアスペクト比（例えば１：１．５）を有する長方形プレート共振器は正のＴＣＦ（過補償）を有する。適切なサイズパラメータを有する図１Ｂ又は１Ｃによるビームは同じ周波数において屈曲モードで負のＴＣＦ（不十分補償）を有し、それゆえ複合共振器の総合ＴＣＦに所望の貢献をもたらし、ＴＣＦを減少もしくはゼロにする。パラメータを適切に選択することによって、ＴＣＦ１をゼロにするのみならず、ＴＣＦ２もゼロに近づけることができ、共振器に広い安定動作温度範囲を与えることができる。
【００６３】
図２Ａは、３つの異なるｎドーピング濃度における、最適化ＳＥ/ＷＥモード共振器に対する総合周波数ドリフトΔｆ対温度Ｔを示す。図から明らかなように、ＴＣＦ曲線の開始曲率（即ちＴＣＦ２）はドーピングレベルの増加とともに減少する。より詳細には、ＴＣＦ２の漸進的変化は図２Ｂに示される。この最適ケースにおいて線形近似を使用すると、ＴＣＦ２は約１２＊１０１９ｃｍ−３でゼロになることが推定され得る。ドーピング濃度が増加するとＴＣＦ２はゆっくり飽和するという実際的な要因を考慮すると、ＴＣＦ２は１２＊１０１９ｃｍ−３と２０＊１０１９ｃｍ−３の間のどこかでゼロになる。二次ＴＣＦはドーピング濃度が１１＊１０１９ｃｍ−３より大きくなると単調に増大し、同時に一次ＴＣＦが小さくなると仮定すると、ＴＣＦ１とＴＣＦ２の両方がゼロになる一つのドーピングレベル及び単一点（＝確定アスペクト比）がＷＥ−ＳＥ連続分枝に存在する。
【００６４】
本発明は、ベースプレート及び突出部の多数の異なる共振周波数、ドーピング濃度、幾何学的構成（横方向形状及び厚さ等）の一部が図面に示され、明細書に記載されるのみであるが、その全部を包含するものと理解すべきである。それらに共通していることは、本共振器は共振器の総合ＴＣＦを低減するように協働する異なるＴＣＦ特性を有する少なくとも２つの異なる部分を備えることにある。すべての可能な組み合わせを微に入り細に亘り包含することは不可能であるが、いくつかの更なる設計原理、ガイドライン及び模範的なパラメータ値が以下で与えられる。
【００６５】
図３Ａは、ＷＥ共振器のＴＣＦをその面内アスペクト比の関数として示す。異なる曲線は異なるｎ型ドーピングレベルに対応する。２．３．．．１１＊１０１９ｃｍ−３の範囲のｎ型ドーピングレベルにおいて、線形ＴＣＦはアスペクト比を正しく設定することによってゼロにし得る。最適アスペクト比（Ｌ：Ｗ）は１０：１（細長ビーム）から１：１（正方形プレート）の間である。他方、屈曲ビーム共振器のＴＣＦは図３Ｂに示すようにシリコン結晶格子に対するその向きに依存する。０°の回転は［１００］方向に対応し、４５°の回転は［１１０］方向に対応する。ビーム状の突出部がＷＥ共振器に（対称に）に付加されると、複合共振器のＴＣＦは変化することが期待される。複合共振器のＴＣＦは構成要素のＴＣＦのある種の平均になるはずである。特に、先に例示したように、伸縮が［１１０］方向と一致する場合にはＴＣＦは減少し、突出部が［１００］方向と一致する場合にはＴＣＦは増加するはずである。このように、節点懸架を維持しながらＴＣＦの所望の変化を生成することができるということが極めて重要なことである。
【００６６】
一つの設計ガイドラインとして、屈曲ビームとＷＥモードの共振周波数の衝突を避けること、即ちベース部と突出部は異なる周波数で共振するようにその構造を設計することが好ましい。これは、所望のＴＣＦ変化を利用する多数の方法が存在し得るので、一般に可能である。
【００６７】
複合ＬＥ−屈曲モード共振器
上述した複合ＷＥ−屈曲モード分枝共振器の代替例として、本発明は長さ伸縮（ＬＥ）／ラーメモード分枝で動作する共振器プレートに適用することができる。
【００６８】
ＷＥ／ＬＥ共振分枝の場合と同様に、ラーメ／長さ伸縮共振器のＴＣＦは共振器の面内アスペクト比の関数として変化する。図４Ａ及び図４Ｂはこの効果を示す。図４Ａの線形ＴＣＦが十分低くなると、ＴＣＦ１=ＴＣＦ２＝０となる点をラーメ／ＬＥモード分枝上で見つけることができる。
【００６９】
しかしながら、ラーメ／ＬＥ分枝とＷＥ／ＳＥ分枝との間にギャップ（線形ＴＣＦ空間内において）が存在する。従って、ＬＥ共振器の線形ＴＣＦを僅かに低減するのが望ましい。これは、本発明の精神に従って、即ち屈曲突出部を本来［１００］方向のＬＥ共振器に「１１０」方向に付加することによって達成することができる。この場合の幾何学的構成は図１Ｂ又は１Ｃに示す形態に原理的に類似する（しかし異なるパラメータ値を有する）。
【００７０】
図１Ｈ及び１Ｉは、正方形ベースプレート３３，３５と、それらからそれぞれ４５度の角度で突出する複数のビーム３４，３６を備えるラーメモード共振器の追加の例を示す。傾斜配向で示されているが、［１００］結晶方向は好ましくはベースプレートの辺に沿っている。図ＩＨの形態では、ビーム３４はベースプレート３３の各隅部の両側に２つ一組で同じ方向に配置されている。図１Ｉの形態では、ビーム３６はベースプレート３５の各隅部の両側に２つ一組で反対方向に配置されている。両形態において、ビームの形状及びベースプレートの辺上のそれらの位置を適切に選択することによって、懸架用の節点をベースプレートの隅部に維持することができる。前述の例と同様に、ビームの角度及び形状も図示のものから相違させてもよい。
【００７１】
本発明のマイクロ電気機械共振器（ＷＥ−屈曲、ＬＥ−屈曲、ラーメ−屈曲又は任意の他のタイプ）のアクチュエータは、例えば圧電アクチュエータ又は静電アクチュエータとすることができ、またそれ自体周知のＢＡＷ共振モードを励起するのに適した任意の他のアクチュエータとしてもよい。一実施形態によれば、アクチュエータはベース部の上に配置された圧電アクチュエータとする。圧電アクチュエータは、例えば窒化アルミニウム（ＡｌＮ）層及びモリブデン電極を備えてもよい。複合共振モードは単一のアクチュエータで励起することができ、即ちベース部及び突出部のために別々のアクチュエータを必要としない。圧電アクチュエータも静電アクチュエータもそれ自体は周知であり、当業者によって本発明の共振器設計に適用し得るので、その詳細な記載は省略する。屈曲突出部はこれらの一般に知られているアクチュエーション方法とコンパチブルであることはシミュレーションされている。
【００７２】
数値検証
本発明の原理は広範なシミュレーションによって数値的に検証した。検証方法は以下の通りである。
【００７３】
ＷＥモード及び１１０方向屈曲突出部
［１１０］方向の突出部を有するＷＥ共振器のパラメトリックモデルを構成した。このモデルを図５に示す。図１Ｂによる共振器の北東コーナがこのモデルに含められ、ｘ/ｙ軸において対称境界条件が適用されている。
【００７４】
ＷＥ共振器の寸法は一定に維持し（長方形ＷＥ共振器に対して２１０×３１５μｍ）、突出部寸法は変化させた。
・ビーム幅ｄＷは１０から５０マイクロメートルまで１０μｍステップで変化させた。
・ビーム位置ｄｘをＷＥ共振器の上縁上をコーナから５μｍステップで変化させた。
・ビーム長さｄＬを５μｍから８０μｍまで５μｍステップで変化させた。
【００７５】
モード解析をパラメータのすべての組み合わせについて行った。ＷＥモードの周波数は図６Ａのプロットマトリクスに示されている。サブプロットはパラメータｄＷ及びｄＬのすべての変化を含む。図６Ａ−６Ｇのすべてにおいて、ｄＷの値は最上行のｄＷ＝３０から最下行のｄＷ＝−１０まで５のステップで変化し、ｄＬの値は最左列のｄＬ＝０から最右列ｄＬ＝８０まで２０のステップで変化する。軸はすべてのプロットに対して同一であり、それらは南西サブプロットにのみ示されている。水平軸はパラメータｄｘを示し、モード周波数が垂直軸に示されている。
【００７６】
非摂動ＷＥモードのＴＣＦはＴＣＦWE＝＋４．３ｐｐｍ／Ｃである（５＊１０１９ｃｍ−３のドーピングに対して計算されている）。図６Ｂのプロットの陰影はＴＣＦWEからのＴＣＦの変化を示し、即ちビーム突出部が複合共振器のＴＣＦをどのように変化するかを示す。
【００７７】
ＴＣＦ変化の全範囲を示すために、図６Ｂのプロットが図６Ｃにおいて反復され、ここでは（−４から０までの代わりに）−１０から０までの範囲の陰影コードを有している。
【００７８】
次に、「節点ＦＯＭ」、即ちどのぐらい良い節点が位置Ｂに形成されるかを定量化する性能指数を定義する（図５参照）。
節点ＦＯＭ＝ｄｘ(Ｂ)/ｄｙ(Ａ)
これは点Ｂにおけるｘ方向変位を点Ａにおけるｙ方向変位で正規化したものである。完全な節点に対して節点ＦＯＭはゼロになるはずである。
【００７９】
図６Ｄは節点ＦＯＭがｄｘ，ｄＷ及びｄＬの異なる組み合わせに対してどのように変化するかを陰影コードで示す。
【００８０】
図６Ａ−６Ｄのプロットから、ほぼゼロ値の節点ＦＯＭを同時に達成しながら、範囲−４．．．０内で所望のＴＣＦ変化を見つけることができるｄｘ，ｄＷ及びｄＬの多くの組み合わせが存在すること明らかである。これは以下の３つのプロットで実証され、小さい節点ＦＯＭは白の四角で示され、所望のＴＣＦ変化はドットで示される（第１のプロット：所望のＴＣＦ変化は約−３ｐｐｍ/Ｃ、第２のプロット：約−２ｐｐｍ/Ｃ、第３のプロット：約−１ｐｐｍ/Ｃ）。最適設計は（ｄＬ、ｄＷ、ｄｘパラメータ空間内で）点で見つかり、ドットが四角で囲まれる。ｄＬ、ｄＷ、ｄｘパラメータ空間のより緻密な離散化によって新たな最適設計を見つけることができる（例えば、上述のシミュレーションにおいてはｄＬの離散化はかなり粗かった（２０μｍ））。
【００８１】
一例として、図６Ｆに１−４として分類された幾何学的構成及びモードシェープが図６Ｈ−６Ｋにそれぞれ示されている。
【００８２】
ＬＥモード及び１１０方向屈曲突出部
修正されたＬＥ共振器幾何学的構成に対して同様のパラメータ解析を実行した。図７Ａは０．．．−５の範囲内でＴＣＦ変化（ｄＴＣＦ）が現れる得ることを示す。
【００８３】
ゼロＴＣＦを有する長方形ＷＥモード共振器の形状に関する追加の考察
同時の一次及び二次ＴＣＦのゼロ化及び節点懸架は本発明による突出部のないＷＥモード設計（図１Ａ）では不可能であることを示すために、図８Ａ−８Ｃ及び以下の考察を提示する。
【００８４】
図８Ａは弾性パラメータｃijの温度係数をキャリア濃度ｎの関数として示す。第１、第２及び第３列は、Ｔ＝２５℃における定数項ｃ0ij、一次係数ａij及び二次係数ｂijをそれぞれ示す。ｃ011-12、ａ11-12及びｂ11-12はｃ11-ｃ12の係数の省略表現である。依存係数ａ12は、ａ12＝(ａ11ｃ011−ａ11-12ｃ011-12)/ｃ012として容易に評価され、ｂ12に対しても同様の等式が成立する。７．５＊１０１９ｃｍ−３より低いキャリア濃度におけるデータ点は文献（Jaakkola et al, "Determination of doping and temperature dependent elastic constants of degenerately doped silicon from MEMS resonators, " IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control . IEEE. Vol. 61 (2014) No: 7, 1063 - 1074）からのデータを表す。１０＊１０１９ｃｍ−３及び１１＊１０１９ｃｍ−３のキャリア濃度における一次及び二次係数ａ11-12及びｂ11-12に関するデータ点も丸で示されている。これらのデータ点は図８Ｂに示す本出願人の最近の測定結果に基づいており、重要なことに、５＊１０１９ｃｍ−３より低いドーパント濃度から出発する正勾配に続くｂ11-12の特性値を示す。図８Ｃの結果を生じる計算には、図８Ａの破線曲線で表される補間値及び外挿値が使用されている。
【００８５】
キャリア濃度０＜ｎ＜７．５＊１０１９ｃｍ−３におけるフィッティングは、プロットで示される全９項に関するキャリア濃度０＜ｎ＜７．５＊１０１９ｃｍ−３におけるデータ点への三次多項式フィッティングに基づいている。ｎ＞＝７．５＊１０１９ｃｍ−３のキャリア濃度におけるａ11-12及びｂ11-12のフィッティングはこの範囲で利用可能な３つのデータ点への線形フィッティングに基づいている。ａ11-12及びｂ11-12以外の他の項に関しては、それらの値はｎ＝７．５＊１０１９ｃｍにおける実験データと同じレベルのままであるとみなす。従って、これらの場合には、破線はｎ＞７．５＊１０１９ｃｍに対して水平になる。この選択の理由は、７．５＊１０１９ｃｍより上のキャリア濃度では項ａ11-12及びｂ11-12以外に実験データが存在しないためである。結果として、図８Ｃの結果は定性的に完全に正確に予測されないが、それらはＴＣＦ１及びＴＣＦ２を同時にゼロにし得る最適構成の存在を証明している。また、本明細書で議論されている共振モードの温度係数に寄与する主な項はａ11-12及びｂ11-12であるので、図８Ｃの予測はかなり有効であるとみなして正当である。
【００８６】
図８Ｂは、モード周波数が弾性パラメータ差分項ｃ11-ｃ12にのみ依存するように［１００］結晶方向と整列したラーメモード共振器に対して測定された実験データを示す。ドーピング濃度ｎ＜７．５＊１０１９ｃｍに対するデータ点は、文献（Jaakkola et al, "Determination of doping and temperature dependent elastic constants of degenerately doped silicon from MEMS resonators, " IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control . IEEE. Vol. 61 (2014) No: 7, 1063 - 1074）からのものであるが、最高ドーピング濃度に対する２つのデータ点はこれまで公表されていない。この実験データに基づいて、[１００]整列ラーメモード共振器の二次ＴＣＦは高いドーパントレベルにおいてさらに大きな正値に達することが予測され得る。これは図８Ａにおいて確かに推測され、ｂ11-12項の挙動が推定される
【００８７】
図８Ｃにおいて、ＴＣＦ１=０曲線とＴＣＦ２=０曲線は約ｎ＝１３＊１０１９ｃｍ−３の濃度及び１．３のアスペクトＬ／Ｗで交差する。この最適点において、総合周波数偏差Δｆtotalはゼロに成る。しかしながら、このような共振器はプレートの外周に節点が存在しないので、低損失の懸架が不可能である。節点懸架に関しては、好ましいアスペクト比は１：１．５,１：２．７,１：４．３,１：５．５，１：７．０，１：８．７（５％の精度で）であるが、これらのアスペクト比はＴＣＦを零にしえない。これは、追加の突出部をプレートの外周に設ける本発明の設計が極めて有益であることを証明している。
【図１Ａ】
0006615191.tif 000002
【図１Ｂ】
0006615191.tif 000003
【図１Ｃ】
0006615191.tif 000004
【図１Ｄ】
0006615191.tif 000005
【図１Ｅ】
0006615191.tif 000006
【図１Ｆ】
0006615191.tif 000007
【図１Ｇ】
0006615191.tif 000008
【図１Ｈ】
0006615191.tif 000009
【図１Ｉ】
0006615191.tif 000010
【図２】
0006615191.tif 000011
【図３】
0006615191.tif 000012
【図４Ａ】
0006615191.tif 000013
【図４Ｂ】
0006615191.tif 000014
【図５】
0006615191.tif 000015
【図６Ａ】
0006615191.tif 000016
【図６Ｂ】
0006615191.tif 000017
【図６Ｃ】
0006615191.tif 000018
【図６Ｄ】
0006615191.tif 000019
【図６Ｅ】
0006615191.tif 000020
【図６Ｆ】
0006615191.tif 000021
【図６Ｇ】
0006615191.tif 000022
【図６Ｈ】
0006615191.tif 000023
【図６Ｉ】
0006615191.tif 000024
【図６Ｊ】
0006615191.tif 000025
【図６Ｋ】
0006615191.tif 000026
【図７Ａ】
0006615191.tif 000027
【図８Ａ】
0006615191.tif 000028
【図８Ｂ】
0006615191.tif 000029
【図８Ｃ】
0006615191.tif 000030