(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
画像のカラーレイヤーを表示する初期マトリクスを圧縮マトリクスにエンコードするステップを含むデジタルイメージの圧縮方法であって，前記初期マトリクスを圧縮マトリクスにエンコードするために，以下の処理：
各レベルのウェーブレット変換の出力成分のＬＬが，２×２を超えるサイズの残部レベルに至るまで上位のレベルで使用されるように，限定された数のレベルにわたって初期マトリクス全体にウェーブレット変換を行い；
初期数値を持つ残部レベルのセルに関し，前記初期数値と残部レベルの隣接セルの予測復元値との差に基づいて，対応するそれぞれの圧縮値の計算を含む前記残部レベルのエンコードを行い，
前記残部レベルの少なくとも１つのセルは，差分に従ってエンコードしてよく，前記差分の方向は，前にエンコードした値又は関連する復元された値に依存し，
２次元マトリクスをエンコードするために，前記残部レベルの少なくとも１つのセルを，水平差分又は垂直差分に従ってエンコードすることを含み，
前記残部レベルのセルについての水平差分又は垂直差分に従ったエンコードの選択は；
既に復元された複数の値の第１組の２つの値間の水平差分ＤＨを計算するステップであり，既に復元された複数の値の第１組の２つの値が同じ行のそれぞれ２つのセルから得られ，同じ行の前記２つのセルの少なくとも１つが前記残部レベルで該セルに隣接し；
既に復元された複数の値の第２組の２つの値間の垂直差分ＤＶを計算するステップであり，既に復元された複数の値の第２組の２つの値が同じ列のそれぞれ２つのセルから得られ，同じ列の前記２つのセルの少なくとも１つが前記残部レベルで該セルに隣接し；
前記垂直差分ＤＶが前記水平差分ＤＨ以下である場合，垂直差分によるエンコードを選択し，そうでない場合，水平差分によるエンコードを選択するステップを含むことを特徴とする，エンコード方法。
【請求項２】
ウェーブレットレベルの数は，前記画像のサイズに依存することを特徴とする，請求項１記載のエンコード方法。
【請求項３】
前記ウェーブレットレベルの数の計算は，少なくとも：
前記マトリクスの最小のサイズｍｉｎ＿ｄｉｍを決定するステップ；
前記ウェーブレットレベル及び前記残部レベルの数を含む，レベルの総数Ｎｂ＿ｌｅｖｅｌｓを，式：Ｎｂ＿ｌｅｖｅｌｓ＝ＡＲＲＯＮＤＩ．ＩＮＦ［ｌｎ（ｍｉｎ＿ｄｉｍ）／ｌｎ（２）−３］によって決定するステップであって，ＡＲＲＯＮＤＩ．ＩＮＦは切り捨て関数を表し，ｌｎは自然対数を表す，ステップ；
前記レベルの総数Ｎｂ＿ｌｅｖｅｌｓを，Ｎｂ＿ｌｅｂｅｌｓ＜１である場合には１，Ｎｂ＿ｌｅｖｅｌｓ＞５である場合には５に閾値処理するステップ；
最後のレベルを減ずるステップを含み，
前記ウェーブレットレベルの数は，前記レベルの総数−１に等しいことを特徴とする，請求項２記載のエンコード方法。
【請求項４】
少なくとも１つのサブマトリクスＬＨ，ＨＬ又はＨＨが量子化の係数によって量子化されることを特徴とする，請求項１〜３いずれか１項記載のエンコード方法。
【請求項５】
各前記サブマトリクスに関する前記量子化の係数は：
前記最後のレベルのマトリクスＨＨに適用される量子化の係数Ｑｍａｘを定義するステップ；
前記最後のレベルのマトリクスＨＬ及びＬＨに適用される，前記係数Ｑｍａｘの半分に等しい量子化の係数を決定するステップ；
‐最初のレベルに至るまでの，前のレベルそれぞれに関して：
‐‐前記最後のレベルのマトリクスＨＨに適用される，次のレベルのマトリクスＨＬ及びＬＨの量子化係数に等しい量子化係数を決定するステップ；
前記最後のレベルのマトリクスＨＬ及びＬＨに適用される，前記最後のレベルのマトリクスＨＨに適用される量子化係数の半分に等しい量子化係数を決定するステップを含む方法によって計算され，
サブマトリクスに関して量子化係数が１未満である場合，量子化は適用されないことを特徴とする，請求項４記載のエンコード方法。
【請求項６】
前記ウェーブレットは整数として計算されることを特徴とする，請求項１〜５いずれか１項記載のエンコード方法。
【請求項７】
前記ウェーブレットは，固定小数点数として計算されることを特徴とする，請求項１〜５いずれか１項記載のエンコード方法。
【請求項８】
前記ウェーブレットは，Cohen‐Daubechies‐Feauveau５／３タイプのものであることを特徴とする，請求項１〜７いずれか１項記載のエンコード方法。
【発明の詳細な説明】
【発明の詳細な説明】
【０００１】
本発明は，マトリクス内に配置された数値，特に上記マトリクスが２次元マトリクスである場合は，画像のピクセルを表す数値のエンコードの分野に関する。
【０００２】
圧縮方法に課される主な制約は，一方において圧縮によってバイト単位で測定される初期デジタルファイルの容量を最小化すること，及び他方において初期ファイルに可能な限り近いファイルを復元することである。多くの画像圧縮方法がウェーブレット変換，特にＪｐｅｇ２０００として公知のものを使用している。ウェーブレットの各レベルは，水平方向に適用されると，幅を係数２で分割し，垂直方向に適用されると，高さを係数２で分割し，２次元に適用されると，画像の２つの次元を係数２で分割する。既存のコーデックは，残りの画像がわずか１ピクセルとなるまで，ウェーブレットによって画像を圧縮する。適用するウェーブレットのレベルの数を低減するために，これらのコーデックのうちＪｐｅｇ２０００等のいくつかは，画像をタイルと呼ばれる矩形のサブ部分に分割する。この技術により，各画像サブ部分を全体画像と考えることによって，レベルの数の削減が可能となる。しかしながらこの技術は，展開後の復元画像上のタイル境界部分においてアーティファクト（人工的な画像の乱れ）／不連続性が生成されるという欠点を有する。
【０００３】
本発明は，画像を表すマトリクスに対して適用した場合に，復元画像上に上記タイルの変換，即ち圧縮及びそれに続く展開に関連する不連続性が生成されるという欠点なしに，上記画像を複数のタイルに分割することによる複数の利点の享受を可能とする，簡単な圧縮方法を提案することを意図している。
【０００４】
本発明の方法は，初期マトリクスを圧縮マトリクスにエンコードし，前記圧縮マトリクスを復元マトリクスに復元するための，連続する複数のレイヤーでのエンコード方法であって，前記初期マトリクスの各セルは，各初期数値を含み；前記圧縮マトリクスの各セルは，前記各初期数値に対応する各圧縮数値を含み；前記復元マトリクスの各セルは，前記各初期数値に対応する各復元数値を含む方法において，前記初期マトリクスをエンコード，即ち圧縮するために，以下の処理を適用する。
【０００５】
２×２を超えるサイズの残部レベルが存在するように，限定された数のレベルにわたって画像全体にウェーブレット変換を行う。
【０００６】
次いで，
前記残部レベルの各価を用いて差分を得ることによる，前記残部レベルの差分エンコード，即ち（このレベルの後に）前記残部レベルの圧縮を行う。
【０００７】
本方法は有利には，各値が画像のピクセルに対応するマトリクスのエンコードに適用される。
【０００８】
以下に，非限定的な例として，本発明の複数の実施形態を，添付図面を参照しながら説明する。
【図面の簡単な説明】
【０００９】
【図１】３２０×２２４ピクセルのサイズを有する未処理画像を示す；
【図２】図１の未処理画像全体に対して広く適用される従来技術のウェーブレット法による圧縮及びそれに続く展開によって得られた，第１の復元画像を示す；
【図３】３２×３２ピクセルの複数のタイルに事前分割された図１の未処理画像に対して適用された従来技術のウェーブレット法を用いた圧縮及びそれに続く展開によって得られた，第２の復元画像を示す；
【図４】図１の未処理画像全体に対して全体的に適用された本発明によるウェーブレット法による圧縮及びそれに続く展開によって得られた，第３の復元画像を示す。
【００１０】
本発明による方法を，画像のデジタル圧縮のための使用において説明する。この例では，離散Cohen‐Daubechies‐Feauveau（ＣＤＦ）５／３ウェーブレットを，リフティング法によって２次元に適用する。元の未処理画像を図１に示す。本発明の方法による初期画像の圧縮及びそれに続く展開後の復元画像を，図４に示す。図示した例では，画像は，３２０列及び２２４行，即ち３２０×２２４ピクセルを含むグレーレベルの画像である。
【００１１】
本発明の方法に従って，画像圧縮に適合したレベルの数を計算する。ここでは，「レベルの数（number of levels）」は，ウェーブレットによって処理されるレベルの数と，差分によって処理される残部レベルとの合計を意味している。例えば４つのレベルを含む画像は，ウェーブレットによって処理される３つのレベルと，差分によって処理される１つの残部レベルとを有する。
【００１２】
上記残部レベルが画像のコンテンツを十分に表示できるようにするために，レベルの数は例えば以下のように計算される：
高さと幅との間で最小のサイズを選択する：例えば３２０×２２４の画像の場合，最小のサイズは高さであり，即ちｍｉｎ＿ｄｉｍ＝２２４である；
以下の式を上記最小のサイズに適用することによって，レベルの数Ｎｂ＿ｌｅｖｅｌｓを決定する；
Ｎｂ＿ｌｅｖｅｌｓ＝ＡＲＲＯＮＤＩ．ＩＮＦ［ｌｎ（ｍｉｎ＿ｄｉｍ）／ｌｎ（２）−３］
及び
１≦Ｎｂ＿ｌｅｖｅｌｓ≦５
ここで：
ＡＲＲＯＮＤＩ．ＩＮＦは切り捨てを表す。例えば：
ＡＲＲＯＮＤＩ．ＩＮＦ（４．９９）＝４である。
ｌｎは自然対数を表す。
好ましくは，図示した例では，大型の画像に関して５レベルという限度が存在する。従って：
ＡＲＲＯＮＤＩ．ＩＮＦ［Ｉｎ（ｍｉｎ＿ｄｉｍ）／ｌｎ（２）−３］＞５である場合，Ｎｂ＿ｌｅｖｅｌｓ＝５である。
【００１３】
極めて小さい画像に関しては，少なくとも１つのレベルが存在する。従って：
ＡＲＲＯＮＤＩ．ＩＮＦ［ｌｎ（ｍｉｎ＿ｄｉｍ）／ｌｎ（２）−３］＝０である場合，Ｎｂ＿ｌｅｖｅｌｓ＝１である。
【００１４】
図示した例では：
Ｉｎ（２２４）＝５．４１
Ｉｎ（２）＝０．６９
である。
従って：
Ｎｂ＿ｌｅｖｅｌｓ＝ＡＲＲＯＮＤＩ．ＩＮＦ［（５．４１／０．６９）−３］＝４
である。
【００１５】
従って，４つのレベル，即ちウェーブレットによって処理される３つのレベルと，差分によって処理される１つの残部レベルとが存在する。
【００１６】
これ以降，最初のレベルを，画像のデコードの始点レベルと考える。即ちこれまで「残部レベル（residual level）」と呼んでいた差分によって処理されるレベルは最小の解像度を有するレベルであり；最後のレベルは，完全な画像を含むレベルである。
【００１７】
量子化係数もまた計算される。ここで提示されている例では，量子化係数は，レベル毎に定義される。上記係数が１である場合，量子化は行われず，変換は如何なる損失もなく適用される。量子化係数がウェーブレットレベルに適用される場合，上記レベルの各サブマトリクスＬＨ，ＨＬ及びＨＨは，上記量子化係数によって量子化される。量子化係数が残部レベルに適用される場合，上記係数に従って各差分値が量子化される。有利には，量子化係数の値は各レベルにおいて増大し：より多くのデータを含む最後のレベルでは，最初のレベルよりも大きく量子化されることになる。
【００１８】
これらの変換及び量子化はまた，全てのレベル又はいくつかのレベルに関して，整数，及び固定小数点数を用いて実施してよい。
【００１９】
量子化係数の計算方法は，以下のようなものであってよい：
最後のレベルのマトリクスＨＨに適用されることになる，最大量子化係数Ｑｍａｘを定義する；
上記係数を２で割り，同じく最後のレベルのマトリクスであるＬＨ及びＨＬの量子化係数を得る；
他のウェーブレットレベルそれぞれに関して，マトリクスＨＨに関連する量子化係数を，次のレベルのマトリクスＬＨ及びＨＬの量子化係数として定義する。現在のレベルのマトリクスＬＨ及びＨＬの量子化係数は，現在のレベルのマトリクスＨＨの量子化係数の半分として定義される。
【００２０】
計算された係数が１未満である場合，量子化は行われない。
【００２１】
差分によって処理される残部レベルは，量子化してもしなくてもよい。
【００２２】
簡略化のために，各ウェーブレットレベルに関して定数である量子化係数を使用し，各レベルに関する係数を以下のように定義する。
【００２３】
以下の説明では，値及び端数処理（丸め）に関して以下の慣例を使用する。
【００２４】
値に関する慣例は以下の通りである：
体系的に，各値がＹｍ，ｎと名付けられた要素で表されるマトリクスＹを考え，ここで：
ｍは，マトリクスＹ内で上記要素が位置する行の番号を表し；
ｎは，マトリクス内で上記要素が位置する列の番号を表し；
行ｍ及び列ｎは１から番号が付けられ，要素ｙ１，１はマトリクスＹの左上に位置する。従ってマトリクスＹは，以下のように表すことができる：
【表１】
0006585062.tif 000002
【００２５】
丸めに関する慣例は：レベルの数の計算を除いて，丸めが必要となる各場合，小数点以下を四捨五入する；例えば，以下の丸めが得られる：
ＡＲＲＯＮＤＩ（０．５）＝  １
ＡＲＲＯＮＤＩ（０．４９）＝  ０
ＡＲＲＯＮＤＩ（−０．４９）＝  ０
ＡＲＲＯＮＤＩ（−０．５）＝  １
本方法の次のステップは，ウェーブレットを用いて提供されたレベルをエンコードすることからなる。図示した例では，ＣＤＦ５／３のタイプのウェーブレットが使用される。
【００２６】
以下の等式を用いて，垂直ウェーブレットステップが得られる：
詳細なマトリクスＨを計算する：
ｈm,n＝ｙm,2n−［ｙ2m-1,n＋ｙ2m+1,n］/2
すべてのｍは１とマトリクスＹの高さの半分の間にあり，すべてのｎはマトリクスＹの幅上にある。
【００２７】
近似マトリクスＬを計算する：
ｌm,n＝ｙ2m-1,n＋［ｈm-1,n＋ｈm,n］/4
ｍはマトリクスＹの高さ（Ｙの高さが奇数の場合は＋１する）の半分以下で，すべてのｎはマトリクスＹの幅上にある。
【００２８】
以下の等式を用いて，水平ウェーブレットステップが得られる：
詳細なマトリクスを計算する：
ｈm,n＝ｙm,2n−［ｙ2m,2n-1＋ｙm,2n+1］/2
すべてのｎは１とマトリクスＹの幅の半分の間にあり，すべてのmはマトリクスＹの高さ上にある。
【００２９】
近似マトリクスを計算する：
ｌm,n＝ｙm,2n-1＋［ｈm,n-1＋ｈm,n］/4
ｎはマトリクスＹの幅（Ｙの幅が奇数の場合は＋１する）の半分以下で，すべてのmはマトリクスＹの高さ上にある。
【００３０】
従前の方法では，２次元ウェーブレットは以下のようにして得られる：
入力において垂直ウェーブレットをＹマトリクスに適用して，マトリクスＬ（近似）及びマトリクスＨ（詳細）を生成し；
マトリクスＬに対して水平ウェーブレットを適用して，マトリクスＬＬ（近似）及びマトリクスＬＨ（詳細）を生成し；
マトリクスＨに対して水平ウェーブレットを適用して，２つのマトリクスＨＬ（詳細）及びＨＨ（詳細）を生成する。
【００３１】
そして近似マトリクスＬＬは，１つ前のレベルに関する入力マトリクスとして機能する。
【００３２】
続いて，最初のレベル，又は残部レベル，即ちウェーブレットを用いて他のレベルをエンコードした後の残部レベルをエンコードする。最初のレベル又は残部レベルを表すマトリクスＹの値は，上で定義した慣例に従ってｙｍ，ｎと表される：元の値はｙと呼ばれ，圧縮された（量子化された）値はｙＱｍ，ｎと呼ばれ，復元された値はｙＲｍ，ｎと呼ばれる。
【００３３】
本例では，係数ｑ＝２が使用される。最後のレベルのエンコードは，量子化された差分を用い，方向を適合させることによって実施される；
最初の値ｙ１，１は保存され，以下のようになる：
ｙＱ1,１＝ｙＲ1,1＝ｙ1,1
第１の行の全ての値ｙ１，ｎに関して：
ｙＱ1,n＝（ｙ1,n−ｙＲ1,n-1）/ｑ
かつ
ｙＲ1,n＝ｙＲ1,n-1＋ｙＱ1,n×ｑ
であり，
第１の列の全ての値ｙｍ，１に関して：
ｙＱm,1＝（ｙm,1−ｙＲm-1,1）/ｑ
かつ
ｙＲm,1＝ｙＲm-1,1＋ｙＱm,1×ｑ
である。
全ての残部の値に関して，垂直なバー｜｜は，絶対値を表しており：
復元された値の中で最も近い水平差分を計算する：
ＤＨm,n＝|ｙＲm-1,n−ｙＲm-1,n-1｜
復元された値の中で最も近い垂直差分を計算する：
ＤＶm,n＝|ｙＲm,n-1−ｙＲm-1,n-1｜
デフォルト（未設定状態）では垂直である最小差分に従って基準値を選択する：
ＤＶ≦ＤＨである場合：垂直差分は
ｙＱm,n＝（ｙm,n−ｙＲm-1,n-1）/ｑ
及び
ｙＲm,n＝ｙＲm-1,n＋ｙＱm,n×ｑ
であり，
ＤＨ＜ＤＶである場合：水平差分は：
ｙＱm,n＝（ｙm,n−ｙＲm,n-1）/ｑ
及び
ｙＲm,n＝ｙＲm,n-1＋ｙＱm,n×ｑ
である；
最後のレベルが量子化されない（ｑ＝１）場合，上記の式はｙＲｍ，ｎ＝ｙｍ，ｎを用いて簡略化できる。
【００３４】
最後のレベルのデコード中，エンコードと同様にして方向が計算され，復元された値は同一のままとなる。従って，復元された値を得るために以下の演算を実施する：
最初の値ｙ１，１は保存され，以下のようになる：
ｙＲ１１＝ｙＱ１１；
‐第１の行の全ての値ｙ１，ｎに関して：
ｙＲ1,n＝ｙＲ1,n−ｙＲ1,n-1＋ｙＱ1,n×ｑ
であり，
第１の列の全ての値ｙｍ，１に関して：
ｙＲm,1＝ｙＲm-1,1＋ｙＱm,1×ｑである。
全ての残部の値に関して：
復元された値の中で最も近い水平差分を計算する：
ＤＨm,n＝|ｙＲm-1,n−ｙＲm-1,n-1｜
復元された値の中で最も近い垂直差分を計算する：
ＤＶm,n＝|ｙＲm,n-1−ｙＲm-1,n-1｜
デフォルトでは垂直である最小差分に従って基準値を選択する：
ＤＶ≦ＤＨである場合：垂直差分は
ｙＲm,n＝ｙＲm-1,n＋ｙＱm,n×ｑ
であり，
ＤＨ＜ＤＶである場合：水平差分は：
ｙＲm,n＝ｙＲm,n-1＋ｙＱm,n×ｑ
である。
最後のレベルが量子化されない（ｑ＝１）場合，上記の式はｙＲｍ，ｎ＝ｙｍ，ｎを用いて簡略化できる。
【００３５】
続いて，ウェーブレットによって既にエンコードされた複数のレベルをデコードする。各ウェーブレットレベルのデコードに関して，量子化されたサブマトリクスＬＨ，ＨＬ及びＨＨを逆量子化し，その後，上記逆量子化されたマトリクスと，前のレベルのデコードによって復元されたマトリクスＬＬとを用いて，２次元逆ウェーブレットを生成する。
【００３６】
この例では，２次元ＣＤＦ５／３ウェーブレットを用いたグレーレベル画像の圧縮について考える。
【００３７】
３２０×２２４のサイズを有する８ビット画像（０〜２５５の値）を，以下の３つの方法でエンコードする（図１）：
第１の従来技術の方法によると：画像が１ピクセルとなるまで，画像全体に連続した複数のウェーブレットレベルによるエンコードを行い，図２に示すような画像を復元する；
第２の従来技術の方法によると：３２×３２のタイルに分割し，５つのウェーブレットレベルを適用して，最後のレベルに関して１ピクセルのサイズを得，図３に示すような画像を復元する；
本発明の方法によると：画像全体に３つの連続したレベルを適用し，続いて差分をエンコードし，図４に示すような画像を復元する。
【００３８】
上記連続した複数のレベルは，各場合において同一の係数に従って量子化され，レベルの降順に５０，２５，１５，２，２，１，１，１，１である。
【００３９】
ここでは，整数のみを処理し，各ウェーブレット変換レベルに関して，上記レベルのマトリクスＬＨ，ＨＬ及びＨＨに単一の係数を適用する。
【００４０】
従来技術によると：
３２０×２２４画像の場合，１ピクセル画像を得るためには，画像全体上に１０個の連続したウェーブレットレベルを有する必要がある。
【００４１】
前記解像度と連続した複数のレベルの量子化のための係数は，以下の通りである：
【表２】
0006585062.tif 000003
【００４２】
離散２次元ＣＤＦ５／３ウェーブレット変換を，リフティング法によって各レベルに適用する。各レベルのマトリクスＬＨ，ＨＬ，ＨＨは，関連する係数によって量子化され，小数点以下を四捨五入する。
ＡＲＲＯＮＤＩ（０．５）＝  １
ＡＲＲＯＮＤＩ（０．４９）＝  ０
ＡＲＲＯＮＤＩ（−０．４９）＝  ０
ＡＲＲＯＮＤＩ（−０．５）＝  １
次に，画像の理論上の重みを以下のようにして計算する：全ての量子化されたウェーブレット係数を含む信号を形成し，上記ウェーブレット係数にシャノンのエントロピーの式を適用する。
【００４３】
最後に，平均誤差を以下の方法で計算する：元の値それぞれと，これに相当する復元された値それぞれとの間の差分の絶対値を得て，この値の平均を取る。
【００４４】
以下の結果が得られ，これらは図２に示される：
理論上の重み：２．０００６kB；
平均差分：０．８３３５
第１の従来技術によると：
画像を３２×３２ピクセルのタイルに分割する。従って，水平方向に３２０／３２＝１０個のタイル，垂直方向に２２４／３２＝７個のタイルが存在し，即ち全体として１０×７＝７０個のタイルが存在する。
【００４５】
各上記タイルを，１ピクセルタイルが得られるまで，５つの連続したウェーブレットレベルによって圧縮し，その後，上述のものと同一の係数を用いて量子化する。各タイルに関して以下が得られる：
【表３】
0006585062.tif 000004
【００４６】
離散２次元ＣＤＦ５／３ウェーブレット変換を，リフティング法によって各レベルに適用する。各レベルのマトリクスＬＨ，ＨＬ，ＨＨは，関連する係数によって量子化され，小数点以下を四捨五入する。
ＡＲＲＯＮＤＩ（０．５）＝  １
ＡＲＲＯＮＤＩ（０．４９）＝  ０
ＡＲＲＯＮＤＩ（−０．４９）＝  ０
ＡＲＲＯＮＤＩ（−０．５）＝  １
【００４７】
次に，画像の理論上の重みを以下のようにして計算する：全ての量子化されたウェーブレット係数を含む信号を形成し，上記ウェーブレット係数にシャノンのエントロピーの式を適用する。
【００４８】
最後に，平均誤差を以下の方法で計算する：元の値それぞれと，これに相当する復元された値それぞれとの間の差分の絶対値を得て，この値の平均を取る。
【００４９】
以下の結果が得られ，これらは図３に示される：
理論上の重み：２．１７７５kB；
平均差分：１．２１９７
また，復元画像上にタイルの境界が残ることも注意が必要である。これらの境界は，その箇所をより明確に図示するために，図３に加えられた線によって部分的に強調されている。
【００５０】
本発明の方法によると：
必要なレベルの数を計算する：本実施例において，最小のサイズは高さであり，即ち２２４の値である。
【００５１】
従って，以下の関係が存在する必要がある：
ｎｂ＿ｌｅｖｅｌｓ＝ＡＲＲＯＮＤＩ．ＩＮＦ（Ｉｎ(224)／Ｉｎ（2）−3）
＝ＡＲＲＯＮＤＩ．ＩＮＦ（(5.41)/0.69）−3）
＝ＡＲＲＯＮＤＩ．ＩＮＦ（4.8）
＝  ４
従って，画像全体に適用されるウェーブレットの３つのレベル（レベル２，３，４）と，差分によってエンコードされる１つの残部レベルとが得られる。
【００５２】
これらのレベルのサイズ及び量子化のための係数は，以下の通りである：
【表４】
0006585062.tif 000005
【００５３】
離散２次元ＣＤＦ５／３ウェーブレット変換を，リフティング法によって各レベルに適用する。各レベルのマトリクスＬＨ，ＨＬ，ＨＨは，関連する係数によって量子化され，小数点以下を四捨五入する。
ＡＲＲＯＮＤＩ（０．５）＝  １
ＡＲＲＯＮＤＩ（０．４９）＝  ０
ＡＲＲＯＮＤＩ（−０．４９）＝  ０
ＡＲＲＯＮＤＩ（−０．５）＝  １
最後のレベルに対し，上述のように定義された差分を適用し，同様に丸める。
【００５４】
次に，画像の理論上の重みを以下のようにして計算する：全ての量子化されたウェーブレット係数を含む信号を形成し，上記ウェーブレット係数にシャノンのエントロピーの式を適用する。
【００５５】
最後に，平均誤差を以下の方法で計算する：元の値それぞれと，これに相当する復元された値それぞれとの間の差分の絶対値を得て，この値の平均を取る。
【００５６】
以下の結果が得られ，これらは図４に示される：
理論上の重み：１．９２７７kB；
平均差分：０．７８１５
当然のことながら，本発明は上述の例に限定されない。
【００５７】
よって，ウェーブレットを上述のように２次元に使用する代わりに，単一の次元，例えば水平方向のみ又は垂直方向のみに使用してよい。またウェーブレットは，リフティング法によって使用することも，リフティング法によらずに使用することもできる。
【００５８】
また，レベルの数を計算するために異なる式を用いてもよく，及び／又は最大レベルの数は５でなくてもよい。レベルの数は事前に定義されていてもよい。例えばレベルの数は３又は４であってよく，即ちウェーブレットによって処理されるレベルの数は４ではなく２又は３であってよい。
【００５９】
更に，各ウェーブレットレベルに関して単一の量子化係数を使用することができ，又は対照的に，各ウェーブレットレベルのサブマトリクスＬＨ，ＨＬ，ＨＨそれぞれに特有の量子化係数を選択することができる。また，各レベルに関して，又は各ウェーブレットレベルのサブマトリクスそれぞれに関してさえ，任意に係数を固定することもできる。
【００６０】
本発明の方法は特に以下の点で有利である：
最後のレベルのみを展開するだけで，画像を視認できるため，本方法は使用が簡単である；
本方法は削減された数のレベルを生成するため，処理するべきデータに関して必要な異なるバッファの数が削減される；
本方法は，複数のタイルの使用による人工的な画像の乱れ（アーティファクト）又は不連続の出現を防止する；
‐本方法のスケーラビリティは，エンコードされた画像の部分的なデコードによって，所望の解像度を得るために必要な最初に展開されるレベルの数のみに基づいて，画像を上記分解能へと展開できることにより得られる。
【００６１】
先に使用したシャノンのエントロピーは，信号中に存在する情報の「量（quantity）」を定義し，従って，算術エンコーディング又はハフマンエンコーディング等のバイナリエンコーディング技術を用いて上記信号をエンコードするために必要なビットの量の正確な指標を与える。信号中で反復し，規則的に分散する値が多いほど，上記信号のエントロピーが低下する。シャノンのエントロピーを計算するための一般式は，以下の通りである：
0006585062.tif 000006
ここでＰｉは，各シンボルが出現する蓋然性を表す。
【００６２】
更に，本発明による方法は，２次元マトリクスに限定されない。このような方法は例えば，３次元マトリクス，特に３次元画像の３Ｄ印刷のための３次元マトリクスと共に使用できる。
【図１】
0006585062.tif 000007
【図２】
0006585062.tif 000008
【図３】
0006585062.tif 000009
【図４】
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