(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
測定対象である半透明膜に複数の波長の単色光を含む光を照射する光源と、
前記光源から照射され、前記半透明膜の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像を撮像する撮像部と、
前記撮像部により撮像された前記干渉画像の観測点番号をｉ、前記単色光の波長の種類に対する番号をｊ、前記単色光の波長をλ（ｊ）、前記半透明膜の膜屈折率をｎ、前記観測点において観測された輝度値をｇ（ｉ，ｊ）、前記半透明膜の表面からの反射光の強さをＩ１（ｊ）、前記半透明膜における光の吸収がない場合の裏面からの反射光の強さをＩ２０（ｊ）、前記半透明膜の吸収係数をｋ（ｊ）、前記半透明膜の膜厚をｔ（ｉ）とした場合、以下の式（１）に基づいて、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を推定する制御部とを備える、膜厚測定装置。
【数１】
0006564848.tif 000019
【請求項２】
前記制御部は、上記の式（１）に基づいて求められたＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）およびｋ（ｊ）と、以下の式（２）とに基づいて、Ｉ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）およびｋ（ｊ）を求める際に用いられた前記干渉画像の観測点以外の観測点の膜厚ｔを未知変数として推定するように構成されている、請求項１に記載の膜厚測定装置。
【数２】
0006564848.tif 000020
【請求項３】
前記制御部は、前記未知変数に初期値を設定するとともに、前記未知変数を含む関数から算出される値に基づいて、目的関数を最小化する非線形計画法により、前記未知変数を推定するように構成されている、請求項１または２に記載の膜厚測定装置。
【請求項４】
前記複数の単色光の波長の数をｍ、前記干渉画像の観測点の数をＮとした場合、以下の式（３）に基づいて、前記未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を求めるための前記干渉画像の観測点の数Ｎを設定するように構成されている、請求項１または３に記載の膜厚測定装置。
【数３】
0006564848.tif 000021
【請求項５】
前記複数の単色光は、青、緑および赤の３色の単色光を含む、請求項１に記載の膜厚測定装置。
【請求項６】
測定対象である半透明膜に複数の波長の単色光を含む光を照射する工程と、
前記半透明膜の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像を撮像する工程と、
撮像された前記干渉画像の観測点番号をｉ、前記単色光の波長の種類に対する番号をｊ、前記単色光の波長をλ（ｊ）、前記半透明膜の膜屈折率をｎ、前記観測点において観測された輝度値をｇ（ｉ，ｊ）、前記半透明膜の表面からの反射光の強さをＩ１（ｊ）、前記半透明膜における光の吸収がない場合の裏面からの反射光の強さをＩ２０（ｊ）、前記半透明膜の吸収係数をｋ（ｊ）、前記半透明膜の膜厚をｔ（ｉ）とした場合、以下の式（４）に基づいて、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を推定する工程とを備える、膜厚測定方法。
【数４】
0006564848.tif 000022
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
この発明は、膜厚測定装置および膜厚測定方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
従来、膜厚測定装置および膜厚測定方法が知られている（たとえば、特許文献１参照）。【０００３】
上記特許文献１では、透明膜の複数の点の反射光の情報を用いて、複数の点の膜厚を一括して推定する膜厚測定装置および膜厚測定方法が開示されている。この膜厚測定装置および膜厚測定方法では、複数の波長の単色光を含む光が測定対象である透明膜に照射される。そして、透明膜の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像から複数の観測点が選択され、選択された観測点の干渉画像の輝度信号と、所定の干渉縞モデル（透明膜についての干渉縞モデル）とに基づいて、複数の点の膜厚が一括して推定されるように構成されている。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００４】
【特許文献１】特開２０１３−１４５２２９号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
しかしながら、上記特許文献１に記載の膜厚測定装置および膜厚測定方法では、透明膜の複数の点の膜厚が一括して推定されるように構成されている一方、光の吸収係数が比較的大きい半透明膜についても複数の点の膜厚を一括して推定することが望まれている。【０００６】
この発明は、上記のような課題を解決するためになされたものであり、この発明の１つの目的は、半透明膜の複数の点の膜厚を一括して推定することが可能な膜厚測定装置および膜厚測定方法を提供することである。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
上記目的を達成するために、この発明の第１の局面による膜厚測定装置は、測定対象である半透明膜に複数の波長の単色光を含む光を照射する光源と、光源から照射され、半透明膜の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像を撮像する撮像部と、撮像部により撮像された干渉画像の観測点番号をｉ、単色光の波長の種類に対する番号をｊ、単色光の波長をλ（ｊ）、半透明膜の膜屈折率をｎ、観測点において観測された輝度値をｇ（ｉ，ｊ）、半透明膜の表面からの反射光の強さをＩ１（ｊ）、半透明膜における光の吸収がない場合の裏面からの反射光の強さをＩ２０（ｊ）、半透明膜の吸収係数をｋ（ｊ）、半透明膜の膜厚をｔ（ｉ）とした場合、以下の式（１）に基づいて、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を推定する制御部とを備える。なお、本発明における「半透明膜」とは、光が透過することが可能である一方、膜を透過する光の強さが低下する（光の一部が吸収される）膜を意味し、特定の波長を吸収する着色透明膜や、顆粒等を含有して濁り（ヘイズ）が生じている膜が対象となる。【０００８】
【数１】
0006564848.tif 000002
【０００９】
この第１の局面による膜厚測定装置では、上記の式（１）に基づいて、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を推定する制御部を備えることによって、複数の観測点（ｉ）に対するＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）が一括して推定される。すなわち、透明膜の場合と異なり、半透明膜による光の吸収（ｅ−２ｋ（ｊ）ｔ（ｉ）、ｅ−ｋ（ｊ）ｔ（ｉ））を考慮した上記式（１）を用いることにより、半透明膜の複数の点の膜厚ｔ（ｉ）を一括して推定することができる。その結果、１点ごとに膜厚を推定する場合と比べて、高速に半透明膜の複数の点の膜厚ｔ（ｉ）を推定することができる。【００１０】
上記第１の局面による膜厚測定装置において、好ましくは、制御部は、上記の式（１）に基づいて求められたＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）およびｋ（ｊ）と、以下の式（２）とに基づいて、Ｉ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）およびｋ（ｊ）を求める際に用いられた干渉画像の観測点以外の観測点の膜厚ｔを未知変数として推定するように構成されている。【００１１】
【数２】
0006564848.tif 000003
【００１２】
このように構成すれば、上記の式（２）においては、未知変数の数が膜厚ｔの１つであるので、上記の式（１）（未知変数の数がＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）の４つ）を用いる場合に比べて、より高速に膜厚ｔを推定することができる。【００１３】
上記第１の局面による膜厚測定装置において、好ましくは、制御部は、未知変数に初期値を設定するとともに、未知変数を含む関数から算出される値に基づいて、目的関数を最小化する非線形計画法により、未知変数を推定するように構成されている。このように構成すれば、未知変数を含む関数が解析的に解けない場合（非線形関数の場合）でも、未知変数を推定することができる。【００１４】
上記第１の局面による膜厚測定装置において、好ましくは、複数の単色光の波長の数をｍ、干渉画像の観測点の数をＮとした場合、以下の式（３）に基づいて、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を求めるための干渉画像の観測点の数Ｎを設定するように構成されている。【００１５】
【数３】
0006564848.tif 000004
【００１６】
このように構成すれば、未知変数に対して最低限必要な干渉画像の観測点の数を、上記の式（３）に基づいて、容易に求めることができる。【００１７】
上記第１の局面による膜厚測定装置において、好ましくは、複数の単色光は、青、緑および赤の３色の単色光を含む。このように構成すれば、３色の単色光の波長が各々異なるので、３色の単色光の干渉により生成される干渉色が膜厚によって変化する。これにより、観測点において観測された輝度値ｇ（ｉ，ｊ）（または輝度値ｇ（ｊ））に基づいて、膜厚を推定することができる。【００１８】
この発明の第２の局面による膜厚測定方法は、測定対象である半透明膜に複数の波長の単色光を含む光を照射する工程と、半透明膜の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像を撮像する工程と、撮像された干渉画像の観測点番号をｉ、単色光の波長の種類に対する番号をｊ、単色光の波長をλ（ｊ）、半透明膜の膜屈折率をｎ、観測点において観測された輝度値をｇ（ｉ，ｊ）、半透明膜の表面からの反射光の強さをＩ１（ｊ）、半透明膜における光の吸収がない場合の裏面からの反射光の強さをＩ２０（ｊ）、半透明膜の吸収係数をｋ（ｊ）、半透明膜の膜厚をｔ（ｉ）とした場合、以下の式（４）に基づいて、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を推定する工程とを備える。【００１９】
【数４】
0006564848.tif 000005
【００２０】
この第２の局面による膜厚測定方法では、上記のように、上記の式（４）に基づいて、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を推定する工程を備えることによって、複数の観測点（ｉ）に対するＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）が一括して推定される。すなわち、透明膜の場合と異なり、半透明膜による光の吸収（ｅ−２ｋ（ｊ）ｔ（ｉ）、ｅ−ｋ（ｊ）ｔ（ｉ））を考慮した上記式（４）
を用いることにより、半透明膜の複数の点の膜厚ｔ（ｉ）を一括して推定することができる。その結果、１点ごとに膜厚を推定する場合と比べて、高速に半透明膜の複数の点の膜厚ｔ（ｉ）を推定することができる。
【発明の効果】
【００２１】
本発明によれば、上記のように、半透明膜の複数の点の膜厚を一括して推定することができる。
【図面の簡単な説明】
【００２２】
【図１】本発明の一実施形態による膜厚測定装置のブロック図である。
【図２】膜厚と輝度値（光量）との関係を示す図である。
【図３】本発明の一実施形態によるＧＭＦＴ法を説明するための図である。
【図４】本発明の一実施形態による膜厚測定方法のフロー図である。
【図５】本発明の一実施形態によるＧＭＦＴ法の妥当性を確認するための実験の結果を示す図（１）である。
【図６】本発明の一実施形態によるＧＭＦＴ法の妥当性を確認するための実験の結果を示す図（２）である。
【図７】本発明の一実施形態によるＧＭＦＴ法の妥当性を確認するための実験の結果を示す図（３）である。
【図８】本発明の一実施形態による輝度合致法の妥当性を確認するための実験の結果を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００２３】
以下、本発明を具体化した実施形態を図面に基づいて説明する。
【００２４】
［本実施形態］
（膜厚測定装置の構成）
図１を参照して、本実施形態による膜厚測定装置１００の構成について説明する。
【００２５】
図１に示すように、膜厚測定装置１００は、白色光源１０と、３波長帯域フィルタ２０と、顕微鏡３０と、カラーカメラ４０と、制御部５０とを備えている。なお、白色光源１０およびカラーカメラ４０は、それぞれ、本発明の「光源」および「撮像部」の一例である。
【００２６】
白色光源１０は、測定対象である半透明膜６０に複数の波長の単色光を含む光を照射するように構成されている。本実施形態では、複数の単色光は、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の３色の単色光を含む。なお、本実施形態における「半透明膜」とは、光が透過することが可能である一方、膜を透過する光の強さが低下する（光の一部が吸収される）膜を意味し、特定の波長を吸収する着色透明膜や、顆粒等を含有して濁り（ヘイズ）が生じている膜が対象となる。
【００２７】
３波長帯域フィルタ２０は、白色光源１０から照射された白色の光のうち、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の３色の単色光を透過させるように構成されている。
【００２８】
顕微鏡３０の内部には、ハーフミラー３１が設けられている。そして、ハーフミラー３１は、３波長帯域フィルタ２０を透過した青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の３色の単色光を測定対象である半透明膜６０に照射するように構成されている。
【００２９】
カラーカメラ４０は、白色光源１０から照射され、半透明膜６０の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像を撮像するように構成されている。また、カラーカメラ４０は、たとえば、ＣＣＤ（Ｃｈａｒｇｅ  Ｃｏｕｐｌｅｄ  Ｄｅｖｉｃｅ）イメージセンサや、ＣＭＯＳ（Ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ  Ｍｅｔａｌ  Ｏｘｉｄｅ  Ｓｅｍｉｃｏｎｄｕｃｔｏｒ）イメージセンサなどにより構成されている。
【００３０】
ここで、本実施形態では、制御部５０は、干渉画像の観測点番号をｉ、単色光の波長の種類に対する番号をｊ、単色光の波長をλ（ｊ）、半透明膜６０の膜屈折率をｎ、観測点において観測された輝度値をｇ（ｉ，ｊ）、半透明膜６０の表面からの反射光の強さをＩ１（ｊ）、半透明膜６０における光の吸収がない場合の裏面からの反射光の強さをＩ２０（ｊ）、半透明膜６０の吸収係数をｋ（ｊ）、半透明膜６０の膜厚をｔ（ｉ）とした場合、後述する式（９）に基づいて、Ｉ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を推定するように構成されている。さらに、制御部５０は、後述する式（９）に基づいて求められたＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）およびｋ（ｊ）と、後述する式（１９）とに基づいて、Ｉ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）およびｋ（ｊ）を求める際に用いられた干渉画像の観測点以外の観測点の膜厚ｔを未知変数として推定するように構成されている。具体的には、制御部５０は、未知変数に初期値を設定するとともに、未知変数を含む関数から算出される値に基づいて、目的関数を最小化する非線形計画法により、未知変数を推定するように構成されている。以下、詳細に説明する。
【００３１】
（推定原理）
〈半透明膜における干渉色と膜厚との関係〉
ます、半透明膜６０における干渉色と膜厚との関係について説明する。
【００３２】
半透明膜６０の表面からの反射光と、裏面からの反射光とによる干渉は、多重反射を無視すれば、反射光の和は、下記の式（５）により表される。
【００３３】
【数５】
0006564848.tif 000006
【００３４】
ここで、Ｉ１およびＩ２は、それぞれ、表面からの反射光の強さ（光量）、および、裏面からの反射光の強さ（光量）を表す。また、λは、半透明膜６０に照射される光の波長を表し、δは、表面からの反射光と裏面からの反射光との位相差を表す。
【００３５】
また、半透明膜６０の物理的な膜厚をｔとし、膜屈折率をｎ（λ）として、半透明膜６０に対して光が垂直に入射すると仮定すると、表面からの反射光と裏面からの反射光との光路差（ｏｐｔｉｃａｌ  ｐａｔｈ  ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ；ＯＰＤ）は、ＯＰＤ＝２ｎ（λ）×ｔとなる。よって、位相差δ（λ）は、δ（λ）＝２π×ＯＰＤ／λ＝４πｎ（λ）×ｔ／λとなる。この式を、上記の式（５）に代入するとともに、屈折率の波長依存性がない（すなわち、ｎ（λ）＝ｎ）と仮定することにより、下記の式（６）が得られる。
【００３６】
【数６】
0006564848.tif 000007
【００３７】
ここで、半透明膜６０の屈折率が、半透明膜６０が載置される基板６１（図１参照）の屈折率よりも小さい場合（膜屈折率＜基板屈折率）には、上記の式（６）において、右辺第３項の符号が正（＋）になる。一方、膜屈折率＞基板屈折率の場合には、位相差δが、δ（λ）＝４πｎ（λ）ｔ／λ＋πとなるので、上記の式（６）において、右辺第３項の符号が負（−）になる。
【００３８】
また、半透明膜６０における裏面からの反射光の強さＩ２は、半透明膜６０の吸収係数をｋとして、ランベルト・ベールの法則により、下記の式（７）のように表される。
【００３９】
【数７】
0006564848.tif 000008
【００４０】
そして、上記の式（６）および式（７）から、下記の式（８）が得られる。
【００４１】
【数８】
0006564848.tif 000009
【００４２】
ここで、白色光源１０から照射され、３波長帯域フィルタ２０を透過する単色光である青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の各々の波長を、それぞれ、λＢ＝４７０ｎｍ、λＧ＝５６０ｎｍ、および、λＲ＝６００ｎｍ、とする。また、Ｉ１＝２０、Ｉ２０＝８０、膜屈折率ｎ＝１．４とする。また、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の各々の吸収係数を、ｋ（Ｂ）＝０．０００４（１／ｎｍ）、ｋ（Ｇ）＝０．０００３（１／ｎｍ）、および、ｋ（Ｒ）＝０．０００２（１／ｎｍ）とする。そして、反射光量と膜厚の関係を、上記の式（８）により算出することにより、図２に示すように、膜厚と輝度値（光量）との関係（図２の下段参照）、および、膜厚と干渉色との関係（図２の上段参照）が得られる。
【００４３】
図２の下段では、横軸は膜厚（ｎｍ）を表し、縦軸は輝度値を表している。図２の下段に示すように、波長（周期）は、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の順で長くなる。また、輝度値は、膜厚が大きくなるにしたがって、小さくなる。
【００４４】
図２の上段は、各膜厚（ｎｍ）に対する干渉色のカラーチャーチ―トを表している。すなわち、図２の上段では、各膜厚において、図２の下段の青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）が加算された色が示されている。なお、図２の上段では、グレーの濃淡で示されているが、実際には、カラーの濃淡の干渉色である。このように、各膜厚に対して異なる干渉色が得られる。
【００４５】
〈ＧＭＦＴ法〉
次に、未知変数Ｉ１、Ｉ２０、ｋおよびｔを推定するアルゴリズムについて説明する。このアルゴリズムを、ＧＭＦＴ（Ｇｌｏｂａｌ  Ｍｏｄｅｌ  Ｆｉｔｔｉｎｇ  ｆｏｒ  Ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ）法と呼ぶ。
【００４６】
カラーカメラ４０によって撮像された半透明膜６０の画像（干渉色の画像）内の観測点ｉ（ｉ＝１，２，．．．,Ｎ）における、単色光の波長の種類に対する番号ｊ（ｊ＝１，２，．．．,ｍ）の干渉縞のモデル輝度値ｇ（ｉ，ｊ）は、上記の式（８）を変形して、下記の式（９）により表される。
【００４７】
【数９】
0006564848.tif 000010
【００４８】
ここで、半透明膜６０の表面からの反射光の強さＩ１（ｊ）、吸収がない場合の半透明膜６０の裏面からの反射光の強さＩ２０（ｊ）、および、半透明膜６０の吸収係数をｋ（ｊ）は、観測点に依存せず、定数と仮定している。この仮定は、膜厚を推定しようとする対象の半透明膜６０の構成が同一（均一）であり、白色光源１０から照射される光が均一であれば、一般的に成立する。
【００４９】
ここで、本実施形態では、上記の干渉縞のモデル輝度値ｇ（ｉ，ｊ）と、複数点において観測された輝度値とに基づいて、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を推定するように構成されている。具体的には、下記の式（１０）の誤差二乗和を最小にする非線形計画法（最小二乗法）により、未知変数（パラメータ）Ｉ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を推定する。
【００５０】
【数１０】
0006564848.tif 000011
【００５１】
ここで、ｇ（ｉ，ｊ）は、上記の式（９）のモデル輝度値を表し、ｇｉｊは、観測輝度値を表す。
【００５２】
次に、上記の未知変数Ｉ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）が求められる条件について説明する。単色光の波長の数をｍ個、観測点数をＮ個とすると、未知変数の数は、３ｍ＋Ｎ個になる。また、Ｎ個の観測点の数からｍＮ個の輝度信号が得られる。そして、本実施形態では、下記の式（１１）に基づいて、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を求めるための干渉画像の観測点の数Ｎを設定するように構成されている。
【００５３】
【数１１】
0006564848.tif 000012
【００５４】
たとえば、本実施形態では、単色光の波長の数は、青、緑および赤の３（ｍ＝３）であるので、Ｎは、５以上になる。すなわち、少なくとも５個の観測点のデータがあれば、未知変数を推定することが可能になる。
【００５５】
単色光の波長の数が３（ｍ＝３）であり、観測点の数がＮ個の場合、推定（計測）アルゴリズムは、図３に示すように、模式的に表される。すなわち、３Ｎ個の観測輝度値（ｇ（１，Ｂ）、ｇ（１，Ｇ）、ｇ（１，Ｒ），．．．，ｇ（Ｎ，Ｂ）、ｇ（Ｎ，Ｇ）、ｇ（Ｎ，Ｒ））から、Ｎ個の膜厚（ｔ（１），．．．，ｔ（Ｎ））と、９個のパラメータ（Ｉ１（Ｂ）、Ｉ１（Ｇ）、Ｉ１（Ｒ）、Ｉ２０（Ｂ）、Ｉ２０（Ｇ）、Ｉ２０（Ｒ）、ｋ（Ｂ）、ｋ（Ｇ）、ｋ（Ｒ））が推定される。
【００５６】
上記の式（９）のモデル輝度値は、周期関数である余弦関数（ｃｏｓ関数）を含むため、本実施形態の推定アルゴリズムにおいて最小二乗法を用いた場合、局所的極小値（ローカルミニマム）が多数存在する。したがって、適切な初期値を設定する必要がある。
【００５７】
次に、観測輝度値から、Ｉ１およびＩ２０の概略値を推定する方法について説明する。
【００５８】
観測輝度値（観測点における輝度値）から、輝度値の中央値ａと振幅ｂとを、それぞれ、下記の式（１２）および式（１３）により求める。
【００５９】
【数１２】
0006564848.tif 000013
【００６０】
ここで、ｍａｘは、輝度値の最大値を表し、ｍｉｎは、最小値を表す。
【００６１】
次に、上記の式（９）において、半透明膜６０の光の吸収が小さい（すなわち、ｅ−２ｋ（ｊ）ｔ（ｉ）＝１、ｅ−ｋ（ｊ）ｔ（ｉ）＝１）と仮定すると、下記の式（１４）
および（１５）が得られる。
【００６２】
【数１３】
0006564848.tif 000014
【００６３】
上記の式（１４）および式（１５）から、下記の式（１６）および式（１７）が得られる。
【００６４】
【数１４】
0006564848.tif 000015
【００６５】
ここで、±符号は、Ｉ１とＩ２０との大小関係に依存する。この大小関係は、フレネルの式から導出した以下の式（１８）により求めることができる。
【００６６】
【数１５】
0006564848.tif 000016
【００６７】
ここで、ｎは、半透明膜６０の屈折率を表し、ｎＢは、半透明膜６０が載置される基板６１の屈折率を表す。上記の式（１８）が、１以上であれば、式（１６）の±符号は、正（＋）になり、１未満であれば、負（−）になる。同様に、上記の式（１８）が、１以上であれば、式（１７）の±符号は、負（−）になり、１未満であれば、正（＋）になる。よって、観測輝度値から、Ｉ１（ｊ）およびＩ２０（ｊ）の概略値を推定することができる。
【００６８】
他の未知変数ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）のうち、ｋ（ｊ）は、周期性がないことから初期値は「０」で問題がない。一方、ｔ（ｉ）は、ｃｏｓ関数の中にあるので、周期性がある。そこで、ｔ（ｉ）の初期値は、先験的な情報から精度のよい初期値が設定される。
【００６９】
〈輝度合致法〉
次に、１つの未知変数ｔを推定するアルゴリズムについて説明する。このアルゴリズムを輝度合致法と呼ぶ。輝度合致法では、ＧＭＦＴ法により推定された３つの未知変数Ｉ１、Ｉ２０、ｋを用いて、残りの１つの未知変数ｔが推定される。
【００７０】
上記の式（９）を変形することにより、単色光の各波長（ｊ）に対する輝度値と膜厚との関係は、下記の式（１９）により表される。
【００７１】
【数１６】
0006564848.tif 000017
【００７２】
ここで、未知数は、ｔのみである。
【００７３】
すなわち、本実施形態では、ＧＭＦＴ法（上記の式（９））に基づいて求められたＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）およびｋ（ｊ）と、上記の式（１９）とに基づいて、Ｉ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）およびｋ（ｊ）を求める際に用いられた干渉画像の観測点以外の観測点の膜厚ｔを未知変数として推定するように構成されている。具体的には、上記の干渉縞のモデル輝度値ｇ（ｊ）と、観測された輝度値とに基づいて、未知変数であるｔを推定するように構成されている。つまり、下記の式（２０）の誤差二乗和を最小にする非線形計画法により、未知変数ｔ（ｉ）を推定する。
【００７４】
【数１７】
0006564848.tif 000018
【００７５】
ここで、ｇ（ｊ）は、上記の式（１９）のモデル輝度値を表し、ｇｊは、観測輝度値を表す。
【００７６】
上記の式（１９）のモデル輝度値ｇ（ｊ）は、周期関数を含んでいるため、非線形計画法を用いた場合、局所的極小値（ローカルミニマム）が多数存在する。したがって、一般的な非線形計画法の解法では、初期値近傍の局所解に収束してしまい、正しい解が得られない場合がある。そこで、本実施形態では、マルチスタート法を用いる。すなわち、予想される膜厚の範囲内で、予め設定された刻み間隔を有する複数の初期値からスタートして、非線形計画法を用いることにより、複数の解を求める。そして、求められた複数の解から、誤差二乗和が最小になるものを、大域解として採用する。
【００７７】
このように、上記の式（９）または式（１９）を用いて、半透明膜６０の膜厚ｔ（ｉ）が推定されるので、分光器や偏光光学系などの比較的複雑な光学系を用いる必要がない分、膜厚測定装置１００の構成を簡略化することが可能になる。また、撮像した画像（干渉色）から膜厚への変換テーブル（校正データ）などを用いることなく、膜厚ｔ（ｉ）を推定することが可能になる。また、観測点毎（つまり、干渉画像の画素毎）に膜厚ｔ（ｉ）を推定することができるので、比較的水平分解能の高い膜厚測定装置１００を構成することが可能になる。
【００７８】
（膜厚測定方法）
次に、図４を参照して、本実施形態による膜厚測定方法について説明する。
【００７９】
図４に示すように、ステップＳ１において、白色光源１０から３波長帯域フィルタ２０およびハーフミラー３１を介して、測定対象である半透明膜６０に複数の波長（青、緑、赤）の単色光を含む光が照射される。そして、半透明膜６０の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像がカラーカメラ４０により撮像されて、観測輝度値が取得される。
【００８０】
次に、ステップＳ２において、上記の式（１１）に基づいて定められる数の観測点が選択される。
【００８１】
次に、ステップＳ３において、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）のそれぞれの初期値が設定される。
【００８２】
次に、ステップＳ４において、ＧＭＦＴ法（上記の式（９））に基づいて、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）が推定される。これにより、複数の観測点（ｉ）に対するＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）が一括して推定される。すなわち、半透明膜６０の複数の点の膜厚ｔ（ｉ）が一括して推定される。
【００８３】
次に、ステップＳ５において、ＧＭＦＴ法により推定されたＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）を用いて、輝度合致法（上記の式（１９））に基づいて、所望の観測点（ＧＭＦＴ法において使用された観測点以外の観測点）における未知変数であるｔが推定される。なお、マルチスタート法（複数の初期値からスタートする）を用いることにより、複数の解が求められる。
【００８４】
最後に、ステップＳ６において、求められた複数の解から、誤差二乗和が最小になるもの（つまり大域解）が、膜厚として採用（推定）される。
【００８５】
（実験）
次に、図５〜図８を参照して、ＧＭＦＴ法および輝度合致法の妥当性を確認するための実験について説明する。
【００８６】
この実験では、図２の上段に示されるカラーチャートを実験対象の画像とした。すなわち、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の各々の波長を、それぞれ、λＢ＝４７０ｎｍ、λＧ＝５６０ｎｍ、および、λＲ＝６００ｎｍ、とした。また、Ｉ１＝２０、Ｉ２０＝８０、膜屈折率ｎ＝１．４とした。また、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の各々の吸収係数を、ｋ（Ｂ）＝０．０００４（１／ｎｍ）、ｋ（Ｇ）＝０．０００３（１／ｎｍ）、および、ｋ（Ｒ）＝０．０００２（１／ｎｍ）とした。そして、図２の上段のカラーチャートは、水平方向に２００画素を有する。また、非線形計画法（具体的には、最小二乗法）として、マイクロソフト社製のＥｘｃｅｌ（登録商標）のＳｏｌｖｅｒ（登録商標）機能を使用した。
【００８７】
ＧＭＦＴ法についての実験では、カラーチャートの中の互いに等間隔の６点を観測点として使用した。そして、６点の観測点の輝度値を用いて、ＧＭＦＴ法（上記の式（９））に基づいて、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を推定した。
【００８８】
また、輝度合致法についての実験では、ＧＭＦＴ法により推定された未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）を用いて、輝度合致法（上記の式（１９））に基づいて、カラーチャートの水平方向の２００個の観測点の膜厚ｔを推定した。また、輝度合致法では、半透明膜６０の膜厚ｔの範囲が１０００ｎｍであるとして、刻み間隔１００ｎｍのマルチスタート法を採用した。
【００８９】
〈ＧＭＦＴ法についての実験結果〉
図５に示すように、６個の観測点（点番号１〜６）の全てにおいて、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の単色光の全てについて、観測された輝度値と、上記の式（９）により推定された輝度値とが、完全に一致した。
【００９０】
また、図６に示すように、この実験では、未知変数Ｉ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）の初期値を、各々の真値の９０％としてＧＭＦＴ法を適用した。その結果、未知変数Ｉ１（Ｂ、Ｇ、Ｒ）、Ｉ２０（Ｂ、Ｇ、Ｒ）およびｋ（Ｂ、Ｇ、Ｒ）の全てにおいて、真値と一致した。また、図６および図７に示すように、膜厚ｔ（１〜６）の全てにおいて、真値と一致した。すなわち、誤差は、０％であった。これにより、ＧＭＦＴ法が、未知変数Ｉ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）の推定に有効であることが確認された。
【００９１】
〈輝度合致法についての実験結果〉
図８に示すように、水平方向に沿った２００個の観測点（ｘ座標１〜２００）の全ておいて、推定された膜厚と真値とが、完全に一致した。これにより、輝度合致法が、未知変数ｔ（ｉ）の推定に有効であることが確認された。なお、推定された膜厚と真値とが完全に一致しているため、図８では、推定された膜厚の線と真値の線とが重なって表示されている。
【００９２】
（本実施形態の効果）
次に、本実施形態の効果について説明する。
【００９３】
本実施形態では、上記のように、上記の式（９）に基づいて、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を推定する制御部５０を設ける。これにより、複数の観測点（ｉ）に対するＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）が一括して推定される。すなわち、透明膜の場合と異なり、半透明膜６０による光の吸収（ｅ−２ｋ（ｊ）ｔ（ｉ）、ｅ−ｋ（ｊ）ｔ（ｉ））を考慮した上記式（９）を用いることにより、半透明膜６０の複数の点の膜厚ｔ（ｉ）を一括して推定することができる。その結果、１点ごとに膜厚を推定する場合と比べて、高速に半透明膜６０の複数の点の膜厚ｔ（ｉ）を推定することができる。
【００９４】
また、本実施形態では、上記のように、上記の式（９）に基づいて求められたＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）およびｋ（ｊ）と、上記の式（１９）とに基づいて、Ｉ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）およびｋ（ｊ）を求める際に用いられた干渉画像の観測点以外の観測点の膜厚ｔを未知変数として推定するように制御部５０を構成する。これにより、上記の式（１９）においては、未知変数の数が膜厚ｔの１つであるので、上記の式（９）（未知変数の数がＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）の３ｍ＋Ｎ個）を用いる場合に比べて、より高速に膜厚ｔを推定することができる。
【００９５】
また、本実施形態では、上記のように、未知変数に初期値を設定するとともに、未知変数を含む関数から算出される値に基づいて、目的関数を最小化する非線形計画法により、未知変数を推定するように制御部５０を構成する。これにより、未知変数を含む関数が解析的に解けない場合（非線形関数の場合）でも、未知変数を推定することができる。
【００９６】
また、本実施形態では、上記のように、複数の単色光の波長の数をｍ、干渉画像の観測点の数をＮとした場合、上記の式（１１）に基づいて、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を求めるための干渉画像の観測点の数Ｎを設定する。これにより、未知変数に対して最低限必要な干渉画像の観測点の数を、上記の式（１１）に基づいて、容易に求めることができる。
【００９７】
また、本実施形態では、上記のように、複数の単色光は、青、緑および赤の３色の単色光を含む。これにより、３色の単色光の波長が各々異なるので、３色の単色光の干渉により生成される干渉色が膜厚によって変化する。その結果、観測点において観測された輝度値ｇ（ｉ，ｊ）（または輝度値ｇ（ｊ））に基づいて、膜厚を推定することができる。
【００９８】
［変形例］
なお、今回開示された実施形態および実施例は、すべての点で例示であって制限的なものではないと考えられるべきである。本発明の範囲は、上記した実施形態および実施例の説明ではなく特許請求の範囲によって示され、さらに特許請求の範囲と均等の意味および範囲内でのすべての変更（変形例）が含まれる。
【００９９】
たとえば、上記実施形態では、３波長帯域フィルタを介して、青、緑および赤の単色光が半透明膜に照射される例を示したが、本発明はこれに限られない。たとえば、青、緑および赤の単色光を照射する光源から、半透明膜に光を照射してもよい。
【０１００】
また、上記実施形態では、青、緑および赤の３つの単色光が半透明膜に照射される例を示したが、本発明はこれに限られない。たとえば、２つの単色光が半透明膜に照射されるようにしてもよい。
【０１０１】
また、上記実施形態（実験）では、ＧＭＦＴ法（上記の式（９））において、６個の観測点の輝度値が用いられる例を示したが、本発明はこれに限られない。本発明では、上記の式（１１）を満たせば、６個以外の数の観測点の輝度値を用いてもよい。
【０１０２】
また、上記実施形態（実験）では、膜厚の推定にマルチスタート法（複数の初期値からスタートする）を用いる例を示したが、本発明はこれに限られない。膜厚の概略値（精度の良い初期値）が分かっている場合には、１つの初期値から膜厚を推定してもよい。
【符号の説明】
【０１０３】
１０  白色光源（光源）
４０  カラーカメラ（撮像部）
５０  制御部
６０  半透明膜
１００  膜厚測定装置
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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