(57)【要約】  提案される方法は、信号における各ポイントについて、第１の隣接するものを含む環境を決定することと、信号における各ポイントについて再構築可能性測定または特異点測定を算出することと、上記ポイントにおける上記局所的環境の寄与に重み付けを行うことを含む。各ポイントにおける信号の値は、再構築の式を用いて局所的環境のポイントにおける信号の値から推論される。上記特異点測定は、ポイントにおける信号の値と、その局所的環境によって予測される値との間の差を含む。解像度の変化の下で制御的に変化するサンプルされたデジタル信号の振幅における独立した測定を得る目的で、対数変換が上記特異点測定について行われる。各ポイントについての上記特異点測定を得て、上記対数変換および他の計算を実行するための手段を有するシステムを提供する。
2011501308.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
デジタル信号における特異点の分析のための方法において、
ａ）信号における各ポイントｘについて、第１の隣接するものの環境すなわち局所的環境を判定する段階と、
ｂ）上記信号における各ポイントｘについて、関連する局所的環境に基づいて、以下の再構築の式を用いて上記局所的環境のポイントの値に基づいて上記ポイントにおける信号の値を推測することから構築される再構築可能性測定すなわち特異点測定を計算する段階とを含み、再構築の式は、式（Ｃ１）で示され、
【数５６】
2011501308.tif 000058
ここで、ｓは、任意の信号であり、
Ｆ∞は、上記信号における最も特異な多様体すなわちＭＳＭであり、
式（Ｃ２）
【数５７】
2011501308.tif 000059
は、ｓの基本的な勾配であり、
↑ｇは、普遍的再構築のカーネルであり、
記号「・」は、たたみ込みスカラー積を意味し、
上記再構築の式は、特異点測定が、測定された値と再構築の式から推測された値との差を含むように、上記局所的環境に適用されることを特徴とする、方法。
【請求項２】
上記測定の、信号におけるポイント数に対する依存性を抑制する、上記特異点測定における少なくとも１つの対数変換を行うことと、信号における各ポイントについての特異点指数を得ることを含む第３段階ｃ）をまた含むことを特徴とする、請求項１に記載の方法。
【請求項３】
段階ａ）を行う前に、一定間隔でサンプルされる上記デジタル信号における安定した導関数を得ることを含むことを特徴とし、
段階ｂ）では、サンプルされた上記デジタル信号における各ポイントについて、上記ポイントの関数における特異点測定を得て、ポイントの局所的環境と、上記局所的環境における全てのポイントにおける導関数の値との寄与に重み付けを行うことを含むことを特徴とする、請求項２に記載の方法。
【請求項４】
段階ａ）の前のデジタル信号における安定した導関数が、右への１ポイントの増加または中央の半ポイントの増加の導関数によって得られ、上記導関数は、どちらの場合にも、フーリエ空間において、対応する導関数のコアで信号を乗することによって規定され、導出されるポイントが座標方向ｘにＮｘ個存在すると仮定すると、導関数のコアは以下のように示され、
右への１つのポイントの差：
【数５８】
2011501308.tif 000060
中央になる半分のポイントの差：
【数５９】
2011501308.tif 000061
フーリエ変換を上記信号に適用する段階と、
ｄコンポーネントのそれぞれに関連付けられるコアで、上記信号のフーリエ変換のコピーを乗する段階と、
逆変換をこれらのｄ個のコンポーネントに適用する段階とを含むことを特徴とする、請求項３に記載の方法。
【請求項５】
少なくとも１つの、段階ｃ）における対数変換が行われる際、
サンプルされるデジタル信号における各ポイントについて、段階ｂ）において得られた測定が、全ての点における測定の平均で割り算され、
上記割り算で得られた結果の対数が、上記信号におけるポイントの合計数のｄ乗根（d-nth root）として規定される、サンプルされた上記デジタル信号の最小スケールの対数で割り算され、ｄは、上記信号に固有の変数の次元または数であることを特徴とする、請求項２に記載の方法。
【請求項６】
段階ｂ）において規定される特異点測定の算出は、
ベースポイントｘにおける（２×ｄ）個の第１の隣接するものの環境ベクトルを算出し、上記ポイントｘの座標におけるただ１つのそれぞれの値に、まず−１と、そして＋１を連続して加えることによってポイントｘにおける第１の隣接するものを得て、ポイントｘにおける上記信号の値である第１コンポーネントと、ｘの第１座標に−１を加えることによって得られるポイントにおける信号の値である第２コンポーネントと、ｘの第１座標に＋１を加えることによって得られるポイントにおける信号の値である第３コンポーネントと、ｘの第２座標に−１を加えることによって得られるポイントにおける信号の値である第４コンポーネントなどを連続して有する（２×ｄ）＋１の環境ベクトルを形成する工程と、
上記ベクトルのコンポーネントの合計を（（２×ｄ）−１）で割り算したものとして規定される、上記ベクトルの傾向を抽出し、この傾向を環境ベクトルに適用し、それを、ベースポイントｘを参照するコンポーネントに加え、それを他のコンポーネントから差し引いて、それによって新たに得られた環境ベクトルがゼロ平均を有するようにする工程と、
ゼロ平均を有する上記ベクトルに局所的勾配演算子を適用し、ｄ個のコンポーネントのそれぞれに（２×ｄ）＋１個の勾配ベクトルを戻し、この勾配ベクトルで局所的勾配を規定する工程と、
ポイントｘに関連付けられる上記局所的勾配におけるコンポーネントをキャンセルする工程と、
キャンセルされた上記コンポーネントを用いて、上記局所的勾配に、予測される信号と称される、（２×ｄ）＋１個のコンポーネントのベクトルを得る上記局所的勾配演算子とはっきりと関連付けられる局所的再構築演算子を適用する工程と、
上記局所的勾配演算子をもう一度、（２×ｄ）＋１個のコンポーネントのベクトルすなわち上記予測される信号に適用し、ｄ個のコンポーネントのそれぞれに対し、局所的環境の各ポイントのそれぞれについて（２×ｄ）＋１個のベクトルを得て、このベクトルで、上記環境についての予測局所的勾配を規定する工程と、
上記局所的勾配と、上記予測局所的勾配との間の勾配における差を示すｄ個のコンポーネントの（２×ｄ）＋１個のベクトルを得る工程と、
勾配差における上記（２×ｄ）＋１個のベクトルを用いて、ポイントｘに関連付けられる特異点測定を得る工程と
を行うことによって行われることを特徴とする、請求項５に記載の方法。
【請求項７】
（２×ｄ）＋１個のコンポーネントのベクトルに適用される上記局所的勾配演算子は、ポイントｘと、その（２×ｄ）個の隣接するものとにおける信号の値を含む（２×ｄ）＋１個のコンポーネントによって規定されるポイントｘの各環境について、この環境の考慮のみを行う局所的フーリエ変換を実行することを特徴とする、請求項６に記載の方法。
【請求項８】
上記局所的フーリエ変換が（（２×ｄ）＋１）×（（２×ｄ）＋１）個のマトリックスとして構築され、このマトリックスの要素のうち、主となる対角線の要素および隣接する対角線の要素を除いて、全ての要素が１の値を有しており、主となる対角線の全ての要素が、１である左の最初のものを除いて、複素指数２×π×ｉ／３であり、ここで、ｉは−１の平方根であり、隣接する対角線の要素は、上部左から下部右にかけて連続的に、１、−２×π×ｉ／３の指数、１などであることを特徴とする、請求項７に記載の方法。
【請求項９】
上記局所的フーリエ変換は、（（２×ｄ）＋１））×（（２×ｄ）＋１）個の上記マトリックスを、（２×ｄ）＋１個のコンポーネントの環境ベクトルに行列的に適用することによって算出されることを特徴とする、請求項８に記載の方法。
【請求項１０】
局所的逆フーリエ変換は、常に存在する、請求項８に記載の方法におけるマトリックスの逆行列を適用することによって算出されることを特徴とする、請求項９に記載の方法。
【請求項１１】
（２×ｄ）＋１個のコンポーネントにおけるベクトル↑ｐによって規定されるポイントｘにおける各環境について、上記局所的勾配演算子の↑ｐへの適用によって、ポイントｘおよびその環境のポイントについての局所的勾配ベクトルによって表される結果が得られ、
局所的フーリエ変換を↑ｐに適用する段階と、
任意の座標方向全体を通した導関数を構築するにあたり、−１を上記座標方向の指標に加えることによってポイントｘの座標を修正したときに得られるポイントに関連付けられるフーリエ変換ベクトル↑ｐのコンポーネントにｉ√３を乗し、＋１を上記座標方向の指標に加えることによってポイントｘの座標を修正したときに得られるポイントに関連付けられるフーリエ変換ベクトル↑ｐのコンポーネントに−ｉ√３を乗し、残っているコンポーネントをキャンセルし、それによって、各座標について、座標方向全体を通したｄ個の導関数ベクトルを得る段階と、
（２×ｄ）＋１個のコンポーネントの上記ｄ個のベクトルに局所的逆フーリエ変換を適用し、それによって、各ベクトルが、局所的環境の全てのポイントにおけるｄ個の座標方向のそれぞれを通じての導関数を表す段階と、
局所的環境のポイントのそれぞれについて、上記ポイントに関連付けられるｄ個の導関数を互いにグルーピングすることによって、これらのｄ個のベクトルのコンポーネントを記録し、ｄ個のコンポーネントのそれぞれの、局所的環境の各ポイントにおける勾配を再生する（２×ｄ）＋１局所的勾配ベクトルを得る段階とを含むことを特徴とする、請求項１０に記載の方法。
【請求項１２】
上記局所的勾配に適用される上記再構築演算子は、局所的演算子の反転として規定され、
（２×ｄ）＋１個のコンポーネントのそれぞれについて、各座標方向を通して局所的フーリエ変換をｄ個の導関数ベクトルに適用する段階と、
任意の座標方向全体を通した再構築ベクトルを構築するにあたり、−１を上記座標方向の指標に加えることによってポイントｘの座標を修正したときに得られるポイントに関連付けられるフーリエ変換ベクトル↑ｐのコンポーネントをｉ√３で割り算し、＋１を上記座標方向の指標に加えることによってポイントｘの座標を修正したときに得られるポイントに関連付けられるフーリエ変換ベクトル↑ｐのコンポーネントを−ｉ√３で割り算し、残っているコンポーネントをキャンセルし、それによって、各座標について、座標方向全体を通したｄ個の再構築ベクトルを得る段階と、
これらのｄ個の再構築ベクトルを加算し、
局所的逆フーリエ変換を、前の工程から得られた（２×ｄ）＋１個のベクトルに適用する段階とを含むことを特徴とする、請求項６に記載の方法。
【請求項１３】
ポイントｘに関連付けられる特異点測定が得られる段階ｂ）の最終工程は、
得られた勾配の差である（２×ｄ）＋１個のベクトルから、ポイントｘに関連付けられるｄ個のコンポーネントを差し引くことと、
これらのｄ個のコンポーネントの自乗の合計の平方根として特異点測定を得ることとを含み、
これによって、任意のポイントの予測不可能性を測定するのに適している局所的相関特異点測定が得られることを特徴とする、請求項６に記載の方法。
【請求項１４】
ポイントｘに関連付けられる特異点測定が得られる段階ｂ）の最終工程は、
任意のポイントｘを囲むｄ次元ハイパーキューブであって、座標指標に−１、０または＋１が加算されるときに取得されるポイントによって形成され、３ｄ個のポイントを与えるｄ次元ハイパーキューブを考えることと、
上記ハイパーキューブにおける各ポイントについて、勾配の差における（ベースポイントに関連付けられる）中央コンポーネントに関連付けられるｄ次元ベクトルを保持することと、
これらの３ｄ個のベクトルを加え、その結果得られるベクトルと、ポイントｘに関連付けられる勾配の差のｄ次元ベクトルとのスカラー積を算出することとを含み、
これによって勾配の差における配列指標が得られ、信号が再構築されるときに中央ポイントを省略することによって発生するエラーの間の空間的コヒーレンスの存在を推論することができ、（ランダムな向きの）ノイズとコヒーレントな信号との間の区別が可能であることを特徴とする、請求項６に記載の方法。
【請求項１５】
上記方法はさらに、
段階ａ）を行う前に、一定間隔でサンプルされた上記デジタル信号における安定した導関数を得て、段階ｂ）において、サンプルされた上記デジタル信号の各ポイントについて、上記ポイントにおける関数の特異点測定を得て、上記ポイントの局所的環境と、上記局所的環境の全てのポイントにおける導関数の値の寄与に以下のように重み付けを行うことと、
上記ハイパーキューブの各ポイントの勾配におけるモジュールの自乗を加えることによって上記ハイパーキューブの勾配エネルギーを得ることと、
勾配の差における（２×ｄ）＋１ベクトルから、ポイントｘに関連付けられるｄコンポーネントを差し引く演算と、これらのｄコンポーネントの自乗の合計の平方根として特異点測定を得る演算によってポイントｘにおける局所的相関特異点測定を得ることとを含み、
局所的勾配における差の配列指標の絶対値をハイパーキューブの勾配エネルギーで割り算したものの平方根から得られる局所的相関特異点測定の積として、大域的特異点測定を得ることを特徴とする、請求項１４に記載の方法。
【請求項１６】
段階ａ）の前のデジタル信号における安定した導関数が、右への１ポイントの増加または中央の半ポイントの増加の導関数によって得られ、上記導関数は、どちらの場合にも、フーリエ空間において、対応する導関数のコアで信号を乗することによって規定され、導出されるポイントが座標方向ｘにＮｘ個存在すると仮定すると、導関数のコアは以下のように示され、
右への１つのポイントの差：
【数６０】
2011501308.tif 000062
中央になる半分のポイントの差：
【数６１】
2011501308.tif 000063
フーリエ変換を上記信号に適用する段階と、
ｄコンポーネントのそれぞれに関連付けられるコアで、上記信号のフーリエ変換のコピーを乗する段階と、
逆変換をこれらのｄ個のコンポーネントに適用する段階とを含むことを特徴とする、請求項１５に記載の方法。
【請求項１７】
サンプルされた上記デジタル信号が、
ｄ＝１の場合、限定ではなく例として、温度、化学種の濃度、電気的強度、強度、圧力、および密度からなるグループから選択される物理的変数の時系列、トランセクト、
ｄ＝２の場合、限定ではなく例として、写真画像、生物医学的な画像（超音波スキャン、Ｘ線および放射線診断および核医学画像など、一般的にはガンマグラフ、ＣＡＴ、ＰＥＴ、ＭＲＩ、および他の任意の技術によって得られる画像など）、顕微鏡画像（光学的、電子的、および他の種類のもの）、地球物理学的画像、衛星から得られる画像または空気や地面によって伝えられるクラフト、埋もれたものの画像、または他の種類の画像、地面、海、空気、衛星、および他の媒体におけるセンサによって２次元に取得される分散変数を含む、実際の環境の画像、
ｄ＝３の場合、３次元体積における、前の場合の画像時間系列および２次元変数、
ｄ＝４の場合、体積における変数の時間系列、または
任意の次元において、数値的シミュレーションと、合成された信号の結果を示すことを特徴とする、請求項６に記載の方法。
【請求項１８】
サンプルされた上記デジタル信号が、乱流体における変数を表すことを特徴とし、また、上記流体の動態分析を実行するために上記変数の安定化のための特異点指数を得ることと、上記変数のエディ分散率、上記流体のエディ粘度、上記流体の分解されないスケールにおける他の代表的な量など、新たな量を得ることを含むことを特徴とする、請求項６に記載の方法。
【請求項１９】
デジタル信号における特異点の分析のためのシステムにおいて、
信号における各ポイントについて、第１の隣接するものを含む局所的環境を得るための手段と、
上記信号における各ポイントについて、関連する局所的環境に基づいて、以下の再構築の式を用いて上記局所的環境のポイントの値に基づいて上記ポイントにおける信号の値を推測することから構築される再構築可能性測定すなわち特異点測定を計算するための手段を含み、
【数６２】
2011501308.tif 000064
ここで、ｓは、任意の信号であり、
Ｆ∞は、上記ｓにおける最も特異な多様体すなわちＭＳＭであり、
【数６３】
2011501308.tif 000065
は、ｓの基本的な勾配であり、
↑ｇは、普遍的再構築のカーネルであり、
記号「・」は、たたみ込みスカラー積を意味し、
上記特異点測定は、測定された値と、各ポイントについて推測された値との間の差を含むことを特徴とする、システム。
【請求項２０】
上記システムはまた、上記信号におけるポイント数に対する依存性を抑制する上記再構築可能性測定における少なくとも１つの対数変換を行って、信号における各ポイントについての特異点指数を得る手段を含むことを特徴とする、請求項１９に記載のシステム。
【請求項２１】
上記システムはさらに、
一定間隔でサンプルされたデジタル信号における安定した導関数を得るための手段と、
サンプルされた上記デジタル信号の各ポイントについて、上記ポイントにおける信号の特異点測定を得て、上記ポイントの局所的環境と、上記局所的環境の全てのポイントにおける安定した上記導関数の値の寄与に重み付けを行うための手段とを含むことを特徴とする、請求項２０に記載のシステム。
【発明の詳細な説明】
【発明の詳細な説明】
【０００１】
〔技術分野〕
本発明は、デジタル信号の分析に関し、言い換えると、提案される方法の実行にウェーブレット分析を応用し、一定間隔でサンプルされる信号の分析に関し、他のものよりも、信号に対してより多くの情報を含むスケールおよび位置にまで、空間内の特定のポイントにおける様々なサブセットを特定することが可能となる。
【０００２】
本発明は同様に、提案される方法の実行のためのシステムに関する。
【０００３】
本明細書を通して、デジタル信号は、位置が信号ポイントと称される多次元的なマトリックスによって表され得る、均一にサンプルされるデータの任意の構造化集合として理解されなければならない。
【０００４】
本発明は、信号の勾配（gradient）に関する部分的情報に基づいてデジタル信号を処理し、再構築（reconstruction）し、圧縮し、特に、有限増加を通して得られる勾配測定に基づいて作動する有効な技術とツールを提供する。上記技術およびツールは、計算環境において動作し得るコンピュータプログラムにおいて有利に実現される自動的アルゴリズムによって実行され得る。
【０００５】
主にデジタル信号再構築タスクにおいて、特に画像を表示するタスクにおいて実現される大きな効果を考慮すると、本発明は多くの分野に応用可能であり、当該分野の間では、特定の応用としてデジタル信号圧縮（画像圧縮）と、液体関連信号（物理現象を表す画像における流線の決定を含む）における流線の評価を挙げ得るし、より一般的な応用として、写真、地理的、生物医学的、および他の種類の画像など、実環境の画像における構造の検出およびパターンの認識を挙げ得る。
【０００６】
本発明は、任意の次元において規定される信号に関し、ある次元について（例えば２次元）上記方法が説明されているが、当業者にとっては、任意の次元において規定される信号に一般化することは極めて自明であろう。このような理由から、また、単純化のために、本明細書を通して示される式および導関数（derivative）の多くは２Ｄ用に書かれ、言い換えると、２次元信号が概ね画像のような要素を構成することとなる。しかしながら、有効な結果が他の次元において得られ、特に、株式の時系列など、１Ｄ信号の処理において有効な結果が得られた（参考文献〔１６〕、〔１７〕を参照）。
【０００７】
〔背景技術〕
特許ＵＳ  −Ａ  −５９０１２４９、ＵＳ  −Ａ  −６１４１４５２、およびＵＳ  −Ａ  −６８６５２９１は、ウェーブレット分析を用いるデジタル信号圧縮技術に関する。
【０００８】
特許ＵＳ  −Ａ  −６４３４２６１は、異なるスケールチャンネルに分解されるデジタル画像のウェーブレット分析を行うために、適用可能な閾値の決定に基づいて上記画像における目標の位置を見つけるために、デジタル画像の検出および細分化を行うための方法を記載している。
【０００９】
特許ＵＳ  −Ａ  −７１８１０５６は、生物学的組織の少なくとも一部を示すデジタル画像における目標領域を自動的に検出し、ウェーブレット表示が調査対象領域から生成される方法に関する。
【００１０】
特許ＵＳ  −Ａ  −７０６２０８５は、カラーデジタル画像の多解像度分析に基づいてウェーブレット変換から導かれる係数を通じて実現されるテクスチュア特性を参照するカラー画像の領域における側面を検出する方法に関する。
【００１１】
特許出願ＵＳ  −Ａ  −２００５／０２５９８８９は、モチーフを有する画像への複素ウェーブレット変換の応用を含むＸ線画像のノイズ除去を行い、ノイズを低減するためにウェーブレット係数を用いて動作するための方法に関する。
【００１２】
特許出願ＷＯ  −Ａ  −２００４／０６８４１０は、サブサンプルされた画像と原画像とを関連させることによって、ウェーブレット変換を実行するデジタル画像における目標ポイントを検出するための方法に関する。
【００１３】
ｈ（ｘ）によって示される、いわゆるＨｏｌｄｅｒ特異点指数またはＨｕｒｓｔ指数に基づいて、それぞれのドメイン点ｘの周りにおけるＲｍにおいて予測され、Ｒｄについて規定される関数ｆ（ｘ）の局所的挙動を示すという概念を実行する特異点（singularity）分析（参考文献〔１４〕を参照）は、多くの信号処理タスクにとって非常に有効であり、特に、圧縮を行うという目的に非常に適しており、またパターン認識ツールとして適しており、内容にもよるが、複素信号の評価およびダイナミックに関する情報を示すために用いられ得る。
【００１４】
特許ＵＳ  −Ａ  −６７４５１２９は、現象の記録を時系列に表す処理に基づいて地震データにおける特異点分析を行うためのウェーブレットに基づく方法に関する。この特許の目的は、連続するウェーブレット変換を通じて地震記録についてＨｏｌｄｅｒ指数を算出することである。この方法を用いて、信号が分析されると（上記特許の図２ｂに示すように）、各点に対するＨｏｌｄｅｒ指数決定の質とともに、空間的解像度にも影響を及ぼす不安定さが発生する（参考文献〔１１〕におけるこの問題の記載を参照）。実際、この問題によって、本発明の方法における提案とは異なり、デジタル信号再構築のタスクを行うためのＵＳ  −Ａ  −６７４５１２９が開示する方法を用いることができなくなる。本発明は、より正確に特異点指数（singularity exponent）を、それらの位置のみでなくそれらの値についても決定することを可能にする。本発明とＵＳ  −Ａ  −６７４５１２９との正確さの違いが生じるのは、勾配測定の使用によるからであり（勾配測定を行うと、複素ウェーブレットに関連付けられた望ましくない変動を取り除くことができる。参考文献〔１７〕を参照）、また、上記測定が、再構築可能性（reconstructibility）の度合いを示す指標を含むからである。上記によれば、本発明はまた、特許ＵＳ  −Ａ  −６７４５１２９と異なり（参考文献〔１１〕を参照）、部分的情報に基づいて高品質信号を再構築することを可能にする。
【００１５】
信号分析に基づくウェーブレットの分野の中では、特に、ウェーブレット投射の局所的極大値によって決定される、いわゆるウェーブレット変換最大係数法（ＷＴＭＭとして知られている）が、最も一般的に用いられる方法の１つであるデジタル信号処理に応用される。ＭａｌｌａｔおよびＺｈｏｎｇ（参考文献〔４〕、〔５〕、および〔６〕を参照）は、このセットが信号を完全に再構築するために用いられ得ると要約している。続いて、上記セットは減衰した信号をもたらし、正確な信号振幅を再生できるように、様々な実験係数が導入されなければならないということが証明された。ＭａｌｌａｔおよびＺｈｏｎｇによる文献の発表以来、ＷＴＭＭに基づく高品質再構築を得るためのいくつかの試みがなされてきた。いずれの場合も、ＷＴＭＭ法について最も興味深いことは、画像の場合、最多数のラインが境界および輪郭に集中するということである。境界および輪郭は視覚的シーンについての情報を最も多く含んでいるということが長年知られてきているので（参考文献〔７〕を参照）、ＷＴＭＭは、上記方法に基づいて自動的かつ標準的なアルゴリズムを用いて知覚情報（境界）を抽出する良い例であることが証明されている。
【００１６】
他の研究グループはまた、ＷＴＭＭの使用に注目し、自らの研究を、乱流やカオス的システムなど、スケール普遍特性を示すものとして知られているシステムに中心を置き、マルチスケール信号を扱うためにＷＴＭＭの能力を認識していたＡｒｎｅｏｄｏおよびその協力者達はＷＴＭＭの使用を開始した。
【００１７】
全てのＷＴＭＭ関連の提案が有する主な不便な点は、極大値が（位相的に）蓄積すると、これは参考文献〔１７〕にも記載されているように実信号を扱う場合はいつでも起こる状態だが、システマティックに極大値を抽出することができない点である。参考文献〔１０〕では、この問題が研究され、部分的な解決法が提案されている。
【００１８】
ＷＴＭＭの使用とは別に、この技術分野ではＡ．Ｔｕｒｉｅｌの最近の研究が注目されている。Ａ．Ｔｕｒｉｅｌの研究は、勾配測定に基づく特異点の分析に関する。これらの業績において、任意のセットＡについて信号ｓ（ｘ）と関連付けられる勾配測定μは、上記セットについての勾配モジュールの積分として規定される。
【００１９】
【数１】
2011501308.tif 000003
【００２０】
Ａ．Ｔｕｒｉｅｌによるこの研究によると、実データを用いて作業を行い、打ち切りが発生し、ノイズが発生すると、以下のようにして測定のウェーブレット変換を用いて操作することが必要となる。ウェーブレットψが与えられると、スケールｒおよびポイントｘにおける勾配測定μのウェーブレット変換は、以下の式によって与えられる。ここで、ｄは信号次元である。
【００２１】
【数２】
2011501308.tif 000004
【００２２】
測定μのウェーブレット変換によると、ｒが小さいときの優位な項は指数法則としてｒに依存するので（参考文献〔１４〕を参照）、局所的特異点指数を決定することができる。
【００２３】
【数３】
2011501308.tif 000005
【００２４】
勾配測定を導入することによって、特異点の空間的解像度を向上させることができる（参考文献〔１１〕および〔１４〕を参照）。このように、１０画素毎に特異点指数を有する代わりに、または、ウェーブレットのために振動の制御を必要とする代わりに、ポイントの最小分散を用いて各画素に特異点指数を割り当てることが可能である。異なるウェーブレットの解像度能力における違いが存在することが認識された。これは、打ち切られたデータを扱うにふさわしい最適化されたウェーブレットを見つけ出す必要性が認識されたことを意味する。
【００２５】
最適化された解像度のための能力を有するウェーブレットの構築における重要な要素は、信号の勾配に関する部分的情報を用いる信号を再構築するという概念である。勾配再構築アルゴリズムの理論的アプローチおよび実施は参考文献〔１２〕に記載され、ここではマルチフラクタル信号の構造に関する議論が紹介されている（乱流のマルチフラクタル構造についての参考文献〔８〕および〔３〕を参照）。マルチフラクタル構造の信号について、階層の頂上と関連付けられるセットが少なくとも理論的な観点からよく知られており、最も特異的な（言い換えると最も陰性の）ｈ（ｘ）の値を有するポイントを含むセットである、最も特異な多様体（Most Singular Manifold）（ＭＳＭ）として知られている。
【００２６】
上記の参考文献〔１２〕は、任意の次元について上記式が有効であるが、画像の解像度を分析し、信号を完全に再構築するために、ＭＳＭは十分な情報を含んでいるという理論を維持している。無限に大きなドメインについて、参考文献〔１２〕で得られる再構築の式は以下の通りである。
【００２７】
【数４】
2011501308.tif 000006
【００２８】
ここで、ｓは、任意の信号であり、
Ｆ∞は、上記信号ｓにおける最も特異な多様体またはＭＳＭであり、
式（４ｂ）は、ｓにおける基本的な勾配ベクトル、言い換えると、式（４ｃ）の要素を有するＭＳＭに限定される勾配であり、
式（４ｄ）は、普遍的再構築のベクトルのカーネルであり、フーリエ空間においては以下の式（４ｅ）で与えられ、
記号「・」は、たたみ込みスカラー積を意味し、言い換えると、式（４ｆ）であり、星印は、関数における通常のたたみ込みの積を意味する。
【００２９】
【数５】
2011501308.tif 000007
【００３０】
【数６】
2011501308.tif 000008
【００３１】
【数７】
2011501308.tif 000009
【００３２】
【数８】
2011501308.tif 000010
【００３３】
【数９】
2011501308.tif 000011
【００３４】
勾配測定を考慮に入れて本発明者によって行われる研究から（参考文献〔１２〕を参照）、１つのものが存在すると、無限に大きなドメインにおけるＭＳＭに基づいて勾配を用いて信号を再構築するためのアルゴリズムは１つしかあり得ないという結論にたどり着く。同様に、ＭＳＭはこのアルゴリズムを用いて非常に良好な再構築をもたらすということが知られている（画像については参考文献〔１１〕および〔１２〕を、時系列については参考文献〔１５〕および〔１６〕を参照）。
【００３５】
〔発明の概要〕
本発明は、デジタル信号における特異点の分析のための方法を提案し、該方法は、
ａ）信号における各ポイントについて第１隣接環境を決定する段階と、
ｂ）信号ｘにおける各ポイントについて、環境によってもたらされる再構築可能性または再構築能力測定（以下、区別をつけずに「特異点測定」と称する）を、上記環境に基づいて算出する段階であって、上記再構築可能性は、参考文献〔１２〕において説明され、上記式（４）で示される再構築関数を用いて信号値を推測することで構築されるが、上記ポイントにおいて測定される値と、その環境から推測される値との差を含む特異点測定が得られるように上記環境に適応される段階とを含む。
【００３６】
提案される方法はまた、第３段階ｃ）を有利に含み、少なくとも１つの対数変換が上記再構築可能性測定において行われ、これは信号におけるトータルのポイント数に対する測定の依存性を抑制し、これによって信号における各ポイントのための特異点指数が得られる。
【００３７】
改良された実施形態では、提案される方法は以下の段階を含む。
ａ１）一定間隔でサンプルされるデジタル信号の安定した導関数を取得する段階と、
ｂ１）上記デジタル信号における各ポイントについて、上記ポイントにおける関数の特異点測定を行い、（先に示すように再構築関数を用いて）ポイントにおける局所的環境と、上記局所的環境の全てのポイントにおける導関数の値の寄与とに重み付けを行う段階と、
ｃ１）サンプルされるデジタル信号の振幅の独立した測定を行うための、また、解像度の変化の下で制御される状態で変化する上記特異点測定における少なくとも１つの対数変換を実行する段階とを含む。
【００３８】
本発明はまた、英語の頭文字でＵＰＭと表される予測不可能なポイントのセットまたは多様体に基づいた新たな特異点測定を提案することによって、前述の背景技術の表題の下で説明されるような特異点測定を一般化することを含む。言い換えると、本発明は、予測可能な他のポイントに対するのと同様に、全ての予測不可能なポイントのグルーピングを考慮することによって始められる。
【００３９】
〔発明を実施するための形態〕
前の項目で示したように、本発明の目的は、デジタル信号の特異点指数を正確に算出するために再構築性測定の算出を含み、上記指数が高品質再構築を得られるようにすることである。予測不可能ポイント多様体ＵＰＭ（unpredictable points manifold）に基づいて特異点測定μを規定するための基本的要件は以下の通りである。
ｉ）測定μは、関数の局所的特異点挙動を意味しなければならない。
ｉｉ）測定μは、できるだけ予測不可能ポイント多様体に近く、より特異的な多様体ＭＳＭをもたらさなくてはならない。
【００４０】
予測不可能ポイント多様体の測定は、以下の式に基づいてポイントの予測可能性のレベルを考慮に入れる特異点測定である。
【００４１】
【数１０】
2011501308.tif 000012
【００４２】
ここで、ＦはＵＰＭであり、上付き文字の「ｃ」は、補完的セット、言い換えると予測可能ポイントを意味する。この式（５）は、参考文献〔１２〕に示されるような式（４）の結論である。したがって、式（５）は、予測可能ポイントについてのみ用いられる勾配の発散がキャンセルされることを示す。
【００４３】
ここで本発明者は、特異点について作業を継続する最も良い方法は、標準的勾配測定のウェーブレット投射として、予測不可能ポイントのセットに基づいて測定を規定することであると提案する。この方法では、予測不可能なポイントのセットの測定は、予測不可能性を許さないように特別に設計される勾配測定のウェーブレット投射である。これは、ベクトル値を有するウェーブレット投射の実行を目的として、ウェーブレット投射の概念を一般化することを必然的に伴う。ベクトル値を用いるウェーブレット投射の使用は、従前からよく知られており、特別な複雑さは問題解決へのアプローチに導入されていない。
【００４４】
上記背景において説明される標準特異点分析に対する他の主な相違は、この発明の提案においては、式（３）に適用される対数回帰によって特異点指数を抽出するために、様々なスケールｒにおける特異点測定のウェーブレット投射を行わないということである。
【００４５】
【数１１】
2011501308.tif 000013
【００４６】
様々なスケールのウェーブレットにおける測定を投射することは演算時間においてコストがかかり、より特異的なものを悪化させるという犠牲を払うことで、特異でない構造の解像度を改良するに役立つのみである（参考文献〔１７〕におけるこの点の議論を参照）。本発明に関する基本的目的が最も特異的な構造を抽出することであることを考慮に入れると、多数スケールにわたる投射を行うことは不利である。その代わり、特異点指数のポイント推定量を用いることが提案される（参考文献〔１７〕および〔９〕を参照）。すなわち、以下の式（７）である。
【００４７】
【数１２】
2011501308.tif 000014
【００４８】
ここで、{Ｔψμ（・、ｒ０）}は、全信号にわたるウェーブレット投射測定であり、補正ｏ（１／ｌｏｇ  ｒ０）の相対的振幅を減少させるように機能する。式（７）を適用する際に、ｒ０は、この補正を無視するために十分小さくなければならない。スケールｒ０は、最も利用しにくいもの、言い換えると、１つの画素のスケールとして規定される。従来、１のルベーグ測定は全空間ドメインに適用され、これは、Ｎ×Ｍ画素の画像の場合、ｒ０の値が以下の式において設定されることを意味する。
【００４９】
【数１３】
2011501308.tif 000015
【００５０】
したがって、式（７）の右辺の最初の項を特異点指数に対する良好な近似にするためには、一般的に、十分大きな画像が求められる。これは概して、当該方向のうちの１つにおける少なくとも１００個の画素の画像を有することを意味する。
【００５１】
本発明の重要な側面は、予測不可能ポイント多様体に基づいて特異点測定を実行するためのデジタルウェーブレットに存在する。この種の予測不可能ポイント多様体に基づく測定の２つの実施を以下に示す。これらは実際的応用に良好な結果をもたらす。デジタル信号の処理において全体的に設計が方向付けられ、この結果、上記表記が理論に基づき、連続スキームに一般化しやすいが、数値的な重みによって上記ウェーブレットは（暗に）規定される。
【００５２】
提供される方法の他の重要な要素は、再構築が数的に安定するように勾配∇ｓの数的予測を規定する、および／または、確立する方法に存在する。これを行うために、２つの可能な選択肢が挙げられる。すなわち、右側に対する１つの画素またはポイントの差と、１つの画素の半分の差、言い換えると、第１例においては、位置１個分右側へ移動するときの値の差、または第２例においては、ポイントの左右に、位置の半個分だけずつ移動することによって得られる差に等しい補間である。どちらも、フーリエ空間において説明される導関数のコア（中心）によって規定される。
【００５３】
言い換えると、上記の方法における段階ａ１）の安定した導関数は、１つのポイントの右側への増加、またはポイントの半分の中央への増加に由来して得られる。
【００５４】
以下の式では、∂ｘについて説明するが、∂ｙについても説明は同様である。この演算子は、デジタル信号に対して、信号のフーリエ変換を導関数のコアで単純に乗することによって機能し、そして結果を逆変換する。ｘ方向においてＮｘ個の画素またはポイントがあり、ｙ方向にはＮｙ個の画素またはポイントがあることが仮定される。
【００５５】
右側への１つの画素／ポイントの差は式（９）であり、
【００５６】
【数１４】
2011501308.tif 000016
【００５７】
画素／ポイントの半分の差は式（１０）である。
【００５８】
【数１５】
2011501308.tif 000017
【００５９】
提案される方法の他の基本的側面は、交差フーリエ変換の新しい概念を導入することからなる。任意の予想可能性のレベルを予測するために、再構築の式が用いられる。これは、そのポイントの隣接ポイントのうち、考え得る個数のなかで最も少ない個数のポイントについて、特にその最初の隣接ポイントについて、以下の式によって表される。
【００６０】
【数１６】
2011501308.tif 000018
【００６１】
２Ｄ（ｄは信号次元を表すので、この場合はｄ＝２）において、それは４つの隣接するポイントからなり、オリジナルポイントとともに交差を形成する。任意の量ｐ（ｘ）について、任意のポイントｘ０に隣接するものは、上記ポイントおよび最も近接する４つのものを含む５コンポーネントベクトルによって表される。これはここでの約束事として以下の図に示すように番号付けるものとし、この図は２Ｄの交差におけるポイントの指標化を概略的に示す。このように、中央ポイントには指標０が割り当てられ、その右側へのポイントには指標１が割り当てられ、左側へのポイントには指標２が割り当てられ、上側のポイントには指標３が割り当てられ、下側のポイントには指標４が割り当てられる。これによって、注目ポイントにおける第１隣接環境は、ベクトル（ｐ０、ｐ１、ｐ２、ｐ３、ｐ４）となる。
【００６２】
【数１７】
2011501308.tif 000019
【００６３】
言い換えると、交差の中央に対して、全ての他のポイントの位置は、（１つのポイントの単位における）±１のシフトに対応し、いずれもｘ方向またはｙ方向に位置する。この交差構成に特化される、または適用されるフーリエ変換を規定するために、各方向における基本ナイキスト周波数が２π／３であることを考慮しなくてはならない。表記を単純化するために、基本的複素要素ζが導入される。
【００６４】
【数１８】
2011501308.tif 000020
【００６５】
本発明によると、任意の５コンポーネントベクトル式（１２ｂ）の直交フーリエ変換は、以下の式（１３）から得られる複素Ｔコンポーネントベクトル式（１２ｃ）として規定される。
【００６６】
【数１９】
2011501308.tif 000021
【００６７】
【数２０】
2011501308.tif 000022
【００６８】
【数２１】
2011501308.tif 000023
【００６９】
ここで、Ｆは以下の５×５の複素マトリックスである。
【００７０】
【数２２】
2011501308.tif 000024
【００７１】
このマトリックスは、交差におけるシフトに関連付けられるハーモニクスの直線的組み合わせを示し、最も近いポイントに基づいて、交差の中央における組成をできるだけ忠実に表現するように設計されている。このマトリックスの逆行列は以下のように容易に算出し得る。
【００７２】
【数２３】
2011501308.tif 000025
【００７３】
この式（１５）のマトリックスは、交差逆フーリエ変換を実行するために必要である。
【００７４】
隣接するものによる中央ポイントの予想可能性のレベルを素早く判定するために、交差に限定される勾配および再構築の式の実施を規定する必要がある。このため、本発明は、交差フーリエ変換に基づいて、勾配と、上記勾配の再構築の式の適切な実施を提案する。
【００７５】
第１の実施は、局所的勾配演算子関数（local gradient operator function）における交差勾配演算子（cross gradient operator）によるものであり、これは演算子式（１５ｂ）である。上記演算子は、フーリエ空間において、座標ｘおよびｙをそれぞれ得るために、関数式（１５ｃ）および式（１５ｄ）で任意の関数を単純に乗することによって機能する。
【００７６】
【数２４】
2011501308.tif 000026
【００７７】
【数２５】
2011501308.tif 000027
【００７８】
【数２６】
2011501308.tif 000028
【００７９】
式（１５ｃ）は、交差環境について以下の式（１６）のように規定される。
【００８０】
【数２７】
2011501308.tif 000029
【００８１】
また同様に、
【００８２】
【数２８】
2011501308.tif 000030
【００８３】
であり、画素の半分の差を表すために規定される。実際、√３＝２sin（π／３）である。
【００８４】
第２の実施は、交差再構築演算子（cross reconstruction operator）によるものであって、交差勾配演算子の反転したものの１つである。勾配演算子は、隣接するものを表す５コンポーネントベクトルにおける各コンポーネントに付加される任意の定数を取り除くので、再構築は、該定数の変化によることを除いては十分に規定される。交差再構築演算子について我々が提案する実施は、結果として得られる３コンポーネントベクトルはゼロ平均を持つ、すなわち式（１７）ｂであるということである。
【００８５】
【数２９】
2011501308.tif 000031
【００８６】
このため、信号は、これら２つの演算子を適用する前に、その平均を減算されなければならない。この効果について、フーリエ変換の、１行目のマトリックス要素は、再構築演算子が適用されるときにハーモニクスが導入されないように、逆交差において適用される。上記１行目の要素の合計が（２×ｄ）−１なので（その結果は２Ｄ信号の場合に３）、上記平均を減算するために、環境ベクトル（第１の隣接するもの）の値が加算され、（（２×ｄ）−１）で割り算され、その結果に対して環境ベクトルの第１コンポーネントが加えられ、他のコンポーネントが減算される。
【００８７】
交差再構築は、演算子式（１７ｃ）である。フーリエ空間では、式（１７ｄ）は２つの関数コンポーネントを有し、式（１７ｅ）である。上記演算子は、それが作用する勾配における対応するコンポーネント（ｘおよびｙ）を有する各コンポーネントの積の合計として作用する。
【００８８】
【数３０】
2011501308.tif 000032
【００８９】
【数３１】
2011501308.tif 000033
【００９０】
【数３２】
2011501308.tif 000034
【００９１】
コンポーネント式（１７ｆ）は、以下の式（１８）のように交差環境について規定される。
【００９２】
【数３３】
2011501308.tif 000035
【００９３】
【数３４】
2011501308.tif 000036
【００９４】
および、式（１８ｂ）についても同様に、以下の式（１９）の通りである。
【００９５】
【数３５】
2011501308.tif 000037
【００９６】
【数３６】
2011501308.tif 000038
【００９７】
このように、本発明の方法の段階ｂ１）において規定される特異点測定は、任意の次元ｄの空間において規定される一般的な信号について以下の工程によって説明し得る。
ベースポイントｘの（２×ｄ）個の第１の隣接するものの環境が抽出され、ポイントｘの第１の隣接するものを取得し、続いて第１に、−１を加算し、そして＋２を加算することによって上記ポイントｘの座標における唯一のものを修正し、ポイントｘにおける信号の値である第１コンポーネントを有する（２×ｄ）＋１個のコンポーネントのベクトルを形成し、第２に、−１を加算することを通じて第１座標を修正することによってポイントにおける信号の値が得られ、第３に、＋１を加算することを通じて第１座標を修正することによってポイントにおける信号の値が得られ、第４に、連続して−１を加算することなどを通じて第２座標を修正することによってポイントにおける信号の値が得られ、
このベクトルの傾向が抽出され、これは（（２×ｄ）−１）で割り算される値の合計として規定され、この傾向はベクトルに適用され、ベースポイントｘを参照するコンポーネントにそれを加算し、他のコンポーネントからそれを減算し、その結果、取得された新たなベクトルはこのようにゼロ平均を有し、
局所的勾配演算子は上記ゼロ平均ベクトルに適用され、これは（２×ｄ）＋１勾配ベクトルを戻し、ｄ個のコンポーネントにおけるこれらのベクトルのそれぞれは局所的勾配を規定し、
ポイントｘに関連付けられる上記局所的勾配のコンポーネントがキャンセルされ、
キャンセルされたコンポーネントを有する局所的勾配は、予測される信号と称される（２×ｄ）＋１個のコンポーネントを得る上記の局所的勾配演算子に明確に関連付けられる再構築演算子に適用され、
もう一度、局所的勾配演算子が（２×ｄ）＋１個のコンポーネントにおける上記ベクトルに適用され、ｄ個のコンポーネントにおける予測される信号および（２×ｄ）＋１個のベクトルが取得され、これは上記予測される局所的勾配を規定し、
ｄ個のコンポーネントの（２×ｄ）＋１個のベクトルが取得され、これは上記局所的勾配と上記予測される局所的勾配の間の勾配の差を表し、勾配の差におけるこれらの（２×ｄ）＋１個のベクトルから、ポイントｘに関連付けられる特異点測定が行われる。
【００９８】
交差勾配および交差再構築演算子は、予測不可能なポイント多様体に基づく特異点測定の設計および算出について、計算環境において動作し得るコンピュータプログラムにおいて有利に実現される基本的アルゴリズムによって実行することが可能な、本発明に含まれる手順のうちの２つである。特に、このようなプログラムまたはその一部は、マイクロプロセッサまたはマイクロチップに記憶されるルーチンに含まれ得る。これらの演算子は、より速い数値的実行について、（（２×ｄ）＋１）×（（２×ｄ）＋１）のマトリックス形式に単純化し得る。
【００９９】
以下に、本発明の原理に基づいて設計される２つの特異点測定を説明する。
局所的相関特異点測定（ｌｃｓｍ）と、
大域的相関特異点測定（ｇｃｓｍ）である。
【０１００】
どちらの測定も、計算環境において動作し得るコンピュータプログラムにおいて優位に実現される特定アルゴリズムによって実行され得る。特に、このようなプログラムまたはその一部は、マイクロプロセッサまたはマイクロチップに記憶されるルーチンに含まれ得る。
【０１０１】
局所的相関特異点測定は、任意のポイントにおいて平均のない状態の（言い換えると、一旦平均を取り除いた）信号の実際の値（real value）と、４つの隣接するもの（ｄ＝２のとき）に基づいて推測される値との間の差を単純に算出することによって、任意のポイントの予測不可能性を測定するために導き出されたものである。この測定の目的は、任意のポイントＸ０における以下の式（１９ｂ）
【０１０２】
【数３７】
2011501308.tif 000039
【０１０３】
を評価することであり、ｄ＝２の場合、以下の工程を含む。
１．Ｘ０に隣接するものは、先に示した図の交差指数化スキームに従って、５コンポーネントベクトル式（１９ｃ）に変換される。
【０１０４】
【数３８】
2011501308.tif 000040
【０１０５】
２．上記ベクトルは適切に修正される。最初の事例では、式（１９ｄ）
【０１０６】
【数３９】
2011501308.tif 000041
【０１０７】
を取得し、修正されたベクトル式（１９ｅ）
【０１０８】
【数４０】
2011501308.tif 000042
【０１０９】
は以下のように規定される。
【０１１０】
【数４１】
2011501308.tif 000043
【０１１１】
３．交差勾配演算子は、ベクトル↑ｇｘおよび↑ｇｙを得るために、↑ｐに適用される（↑はベクトルを表す）。
４．上記ベクトルのインデックス０に関連付けられるコンポーネントの値は、後の使用のために保持される。Ａｘ＝ｇｘ、０、Ａｙ＝ｇｙ、０
５．上記２つのコンポーネントはゼロに調整される。ｇｘ、０＝ｇｙ、０＝０
６．交差再構築演算子は、再構築された信号↑ｒを得るために、その結果得られるベクトル↑ｇｘおよび↑ｇｙに適用される。
７．交差勾配演算子は、予測された勾配↑ρｘおよび↑ρｙを得るために、もう一度↑ｒに適用される。
８．局所的特異点測定は、上記交差の中央における交差勾配の差のモジュールとして規定される。すなわち、以下の式（２１）の通りである。
【０１１２】
【数４２】
2011501308.tif 000044
【０１１３】
実際、この最後の工程は、ベクトル値を有するウェーブレット投射のモジュールを保持することを意味するが、記述を単純化するためにそのままにしてある。
９．次に、式（７）を適用することによって特異点指数ｈ（ｘ０）が得られる。
【０１１４】
言い換えると、ポイントｘに関連付けられる特異点測定は、
勾配における局所的な差の（２×ｄ）＋１個のベクトルから、ポイントｘに関連付けられるｄ個のコンポーネントを差し引くことと、
これらのｄ個のコンポーネントの自乗の合計の平方根として特異点測定を行うことを含み、
任意のポイントの予測不可能性を測定するのに適している局所的相関特異点測定を行う。
【０１１５】
大域的相関特異点測定は、予測される信号と実際の信号との間の偏差の大きさだけでなく、取得した勾配の方向における差も考慮することによって、局所的相関特異点測定を向上させる。このため、初期データは信号ｓ（↑ｘ）だけでなく、勾配∇ｓ（↑ｘ）でもある。∇ｓ（↑ｘ）の安定した特徴づけを行うことは非常に重要である。この趣旨で、上記２つのコアが用いられる。１画素分進んだ場合の差のコアと、半画素分増加した場合のコアである。
【０１１６】
大域的相関特異点測定はより複雑な構造を有している。しかしながら、本発明者は、特異点を評価し、同時に再構築における高品質を保証するためにはそれが最も効果的であることを実証した。この測定は、２つの段階で行われる。まず、全てのポイントについて勾配差が取得される。次に、各ポイントｘにおける測定は、上記ポイントに関連付けられる勾配における差と、上記ポイントに隣接するものの各グループにおける勾配∇ｓとを組み合わせることによって行われる。
【０１１７】
上記測定の目的は、任意のポイントｘ０において以下の式（２１ｂ）
【０１１８】
【数４３】
2011501308.tif 000045
【０１１９】
を評価することであり、以下の工程を含む。
第１段階：各ポイントｘ０での勾配における差を取得すること。
１．ｘ０に隣接するものは、先に示した図における交差指数化スキームに従って、５コンポーネントベクトル式（２１ｃ）に変換される。
【０１２０】
【数４４】
2011501308.tif 000046
【０１２１】
２．ベクトルは適切に修正される。第１の事例では、式（２１ｄ）
【０１２２】
【数４５】
2011501308.tif 000047
【０１２３】
を取得し、上記修正されたベクトル式（２１ｅ）
【０１２４】
【数４６】
2011501308.tif 000048
【０１２５】
は以下のように規定される。
【０１２６】
【数４７】
2011501308.tif 000049
【０１２７】
３．ベクトル↑ｇｘおよび↑ｇｙを得るために、交差勾配演算子が↑ｐに適用される。
４．上記ベクトルの指標０に関連付けられるコンポーネントの値は、後の使用のために保持される。Ａｘ＝ｇｘ、０、Ａｙ＝ｇｙ、０
５．上記２つのコンポーネントはゼロに調整される。ｇｘ、０＝ｇｙ、０＝０
６．再構築された信号↑ｒを得るために、上記の結果得られるベクトル↑ｇｘおよび↑ｇｙに交差再構築演算子が適用される。
７．予測された勾配ベクトル↑ρｘおよび↑ρｙを得るために、もう一度交差勾配演算子が↑ｒに適用される。
８．中央ポイントに関連付けられる勾配における差が生成される。
【０１２８】
【数４８】
2011501308.tif 000050
【０１２９】
第２段階：以下の工程に基づいて、勾配における差と、各ポイントに隣接するもののグループの勾配とを組み合わせることによって、大域的相関特異点測定が評価される。
１．各ポイントｘ０について、そのポイントを中央とする３×３のウィンドウを考慮する。このウィンドウにおいて、各ポイントは座標ｘ０＋（ｄｘ、ｄｙ）を有し、ｄｘ、ｄｙは値−１，０，１を有し得る。
２．このウィンドウの勾配における差の自動投射Ｓ（ｘ０）が算出される。
【０１３０】
【数４９】
2011501308.tif 000051
【０１３１】
言い換えると、ポイントｘに関連付けられる特異点測定は、
任意のポイントｘを囲むｄ次元ハイパーキューブであって、座標に−１、０または＋１が加算されるときに取得されるポイントによって形成され、３ｄ個のポイントを与えるｄ次元ハイパーキューブを考えることと、
上記ハイパーキューブの各ポイントについて、上記ポイントの局所的勾配における差であるｄ次元ベクトルを保持することと、
ｄ次元におけるこれらの３ｄ個のベクトルを加算し、その結果得られるベクトルと、ポイントｘに関連付けられる勾配の差におけるｄ次元ベクトルとのスカラー積を算出し、局所的勾配における差の配列指標を与えることとを含む。
勾配における差の配列指標によって、信号が再構築されるときの中央ポイントを削除することによって発生するエラーの間の空間的コヒーレンスの存在を推論することができ、これによって、ノイズ（ランダム配列のノイズ）とコヒーレント信号との間の区別をつけることができる。
３．このウィンドウに関連付けられる勾配のエネルギーＥ（ｘ０）を取得する。
【０１３２】
【数５０】
2011501308.tif 000052
【０１３３】
４．ポイントｘ０の勾配における差のエネルギーｅ（ｘ０）を取得する。
【０１３４】
【数５１】
2011501308.tif 000053
【０１３５】
５．最後に、大域的相関特異点測定は以下のように規定される。
【０１３６】
【数５２】
2011501308.tif 000054
【０１３７】
この場合、ベクトル値を有するウェーブレット投射が考慮されたとしても、上記規定ははるかに複雑になり、線型性は完全に失われる。
上記ハイパーキューブの勾配エネルギーは、ハイパーキューブの各ポイントの勾配のモジュールの自乗の合計として得られたことが分かるだろう。
別の注目すべき点として、局所的勾配における差の配列指標の絶対値をハイパーキューブの勾配エネルギーで割り算したものの平方根から、大域的特異点測定が、上記のようにして得られる局所的相関特異点測定の積であることが分かる。
６．次に、式（７）を適用することによって特異点指数ｈ（ｘ０）が得られる。
【０１３８】
本明細書において説明される発明は、演算または算出ユニット上で動作する計算技術によって実行可能である。上記方法の実行は、デジタル信号における特異点の分析のためのシステムを含み、これは基本部分において、
信号の各ポイントについて、第１の隣接するものを含む局所的環境を取得するための手段と、
信号の各ポイントｘについて、以下の関数または再構築の計算式を用いて、各ポイントに関連付けられる対応する環境におけるポイントの値に基づいて、各ポイントの値の推論から構築される、上記対応する環境に基づいて、再構築可能性測定または特異点測定を算出するための手段を含むことを特徴とする。
【０１３９】
【数５３】
2011501308.tif 000055
【０１４０】
ここで、ｓは、任意の信号であり、
Ｆ∞は、上記信号ｓにおける最も特異な多様体またはＭＳＭであり、
式（２６ｂ）
【０１４１】
【数５４】
2011501308.tif 000056
【０１４２】
は、ｓの基本的勾配であり、
↑ｇは、普遍的再構築のカーネルであり、
記号「・」は、たたみ込みスカラー積を意味し、
上記特異点測定は、測定された値と、各ポイントについて推論された値との間の差を含む。
【０１４３】
改良された実施形態によると、上記システムは、
信号におけるポイント数に対する依存性を抑制するように設計される上記再構築測定における少なくとも１つの対数変換を行うための手段であるとともに、また、信号における各ポイントについて特異点指数を与えるための手段とを、付加的に含み得るとともに、
また概して、
一定間隔でサンプルされるデジタル信号の安定した導関数を得るための手段と、
上記サンプルされたデジタル信号の各ポイントについて、該ポイントにおける関数の特異点測定を行って、ポイントにおける局所的環境と、上記局所的環境における全てのポイントにおける導関数の値との寄与に重み付けを行うための手段と、
サンプルされ、解像度の変化の下で制御的に変化するデジタル信号の振幅の独立した測定を行うという観点で、上記特異点測定における少なくとも１つの対数変換を行うための手段とを、付加的に含み得る。
【０１４４】
上記手段は概して、システムにおいて統合される、または、集積回路または専用処理ユニットの形態で実現される、計算またはデータ処理ユニットを含み得る。上記方法の段階を実行するための命令は、演算ユニットにロードされ得るプログラムに記録されるか、または、電子回路に統合される。
【０１４５】
以下に、いくつかの実施例を記載するが、異なる分野における発明に基づく方法の応用を限定するものと考えてはならない。以下の実施例において処理される全てのデジタル信号は、図５および図１０に対応するものを除いて、公のデータベースから得られたものである。全ての信号は、発明者によってＣ言語で書かれたプログラムを用いて処理され、Ｌｉｎｕｘ演算システムを用いてパーソナルコンピュータ上で動作する。得られた特異点指数は、同じプログラムによってデジタル画像に変換された。
【０１４６】
〔実施例１：構造の検出およびパターンの認識〕
特異点指数によって、一度見ただけでは検出が難しい非常にかすかな構造を認識することができる。これは、上記指数が実際の振幅とは関係のない各ポイントにおける信号変化の度合い（言い換えると、それらのぼやけ）を測定するからである。これは、媒体における小さな修正を検出し、画像における新しい構造の存在を証明するために用いられ得る。応用の範囲は、操作された写真の検出に加えて、医学用画像から遠隔検出に至るまで、画像についての全ての形態を含む。
【０１４７】
図１は、ＭｅｔｅｏＳａｔ衛星画像（参考文献〔１４〕を参照）からの内部海洋波の検出を示す。左側の画像は、潜水艦Ｍａｓｃａｒｅｎｅ  Ｒｉｄｇｅの上方から、２００４年１２月２７日に取得された、ＭｅｔｅｏＳａｔ  Ｖ衛星の可視チャンネルの一部を示している。上記画像は、およそ２．５キロメートル×２．５キロメートルの解像度を有し、５００×５００画素（１２５０ｋｍ×１２５０ｋｍの領域に対応）を含む。雲がぼやけた白い領域として表れ、一方、海は暗い背景となっている。右側の画像は、最も明るい色を最も低い値に割り当てるパレットを用いて示される、関連付けられた特異点指数を示す。１．８ＭＨｚで２つのＣｅｎｔｒｉｎｏプロセッサを有するラップトップコンピュータにおいて上記特異点指数を得るために約１０秒かかった（他の実施例における同様の時間は同じコンピュータを示す）。雲および大気の流れに関連付けられるより豊かな構造に加えて、５００ｋｍにのぼる同軸海洋前線の存在が示され、画像の中央はおそらく内部波である。ここで我々は、内部海洋波の十分な知識を有することが、海洋においてエネルギーおよび混合物（栄養分の混合、汚染物質の拡大など）の損失の過程を理解する上で鍵となることを知った。それにも関わらず、これらの波によって影響を及ぼされる惑星の領域についての情報は非常に少なく、あまりシステマティックなものではない。例えば、右側の画像で示されるものについて、それらが大きく伸びているにも関わらず（最大３００ｋｍによって分離される５００ｋｍにのぼる様々な前線がある）、現時点まで発表されていなかった。
【０１４８】
図２では、頂上部分が、偽色彩のＭｅｎｄｏｔａ湖（スイス）における藻の増殖の画像を、上記藻の増殖のコントラストを増加させるための様々なチャンネルの組み合わせとして示す。図の下の部分は、特異点指数を示し、該特異点指数は、最低値が最も明くなる灰色の影のパレットを用いて示され、わずか３秒の計算に基づいて得られる。
【０１４９】
図３では、上の部分が、不特定の日時にＬａｎｄＳａｔのバンド８によって登録されたＡｌｆａｃｓ湾（ＮＥ  Ｓｐａｉｎ、Ｒｉｖｅｒ  Ｅｂｒｏ  Ｄｅｌｔａ）の画像である。この画像の解像度は２．５メートルで、示されるゾーンは５００×５００画素をカバーする。この図の下の部分は、特異点指数（計算時間：１０秒）を示す。上の画像においてかろうじて視認できるいくつかのボートが、下の画像ではくっきりとした輪郭で現れる。様々な波の前線も観察することができる。
【０１５０】
左側の図４は、２００８年１０月１０日にアクセスされたデジタル形式胸部スキャン（ＵＳＦ  Ｄｉｇｉｔａｌ  Ｍａｍｍｏｇｒａｐｈｙ  Ｈｏｍｅ  Ｐａｇｅ，ｈｔｔｐ：／／ｍａｒａｔｈｏｎ．ｃｓｅｅ．ｕｓｆ．ｅｄｕ／Ｍａｍｍｏｇｒａｐｈｙ／Ｄａｔａｂａｓｅ．ｈｔｍｌ）の公文書から抽出された１９７６×４３１２画素の解像度を有するデジタル形式のマンモグラフィーを示す。この画像の右側は、関連付けられる特異点指数（計算時間：約４分）を示す。この分析は、胸部を形成する様々な組織の構造を明らかにする。この分析によれば、損傷の早期検出が可能となり得る。同時に、コントラストに関係のない特異線を検出する容量によって、パターンの検出に必要とされるｘ線への被爆を低減することができる。
【０１５１】
図５では、上の画像は、光学顕微鏡で得られた、間期のたまねぎ細胞の核の２００×２００画素の画像を示す（Ｈｉｇｈｅｒ  Ｃｏｕｎｃｉｌ  ｏｆ  Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ  Ｒｅｓｅａｒｃｈ、Ｍｏｌｅｃｕｌａｒ  Ｂｉｏｌｏｇｙ  Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ  ｏｆ  Ｂａｒｃｅｌｏｎａ、Ｅｌｉｓｅｎｄａ  ＧｅｎｄｒａおよびＭｏｎｉｃａ  Ｐｏｎｓの提供の画像）。この画像は、４８８ｎｍ波長におけるアルゴンレーザー光を用いて、透過モード（Ｎｏｍａｒｓｋｉ）にて、Ｌｅｉｃａ  ＳＰ１共焦点顕微鏡から得られた。同じ図の下の部分は、関連付けられる特異点指数を示す（計算時間：約２分）。特異点の分析は、核の内側およびその周辺のコヒーレント線の存在を明らかにし、クロマチンなどの核および核膜における要素と関連する構造とおそらく関連付けられ、このような構造は、特にしみやマーキングの何らかの形態が存在しない場合、光学媒体を用いて解決または解明することが困難である、または不可能である。特異点指数は、例えば核の二重膜構造を周辺的に示しているように見え、核を満たすクロマチン繊維に関連付けられる構造も示しているように見える。
【０１５２】
〔実施例２：画像圧縮およびノイズ除去〕
再構築の式によって、かなり高品質で最も特異なポイントのセットに基づいて画像を再生成することができる。上記セットはほとんど分散する傾向にあり、合計ポイントの２０〜３０％を占める。記述を完全にするために、上記ポイントについての勾配は記録および記憶される必要があり、コンパクトに符号化される必要がある。勾配が、最も特異な多様体ＭＳＭにおけるラインについてスムーズに変化することが観察され、それらをコンパクトに符号化できることが実現可能と考えられる。このため、最も特異な多様体ＭＳＭに基づく画像の再構築は、高品質画像のための圧縮コードを与えるための可能性を有することが証明された。
【０１５３】
図６で、一番上の部分は、ｉｍｋ０１０２０．ｉｍｃとして参考文献〔１８〕において特定されるｖａｎ  Ｈａｔｅｒｅｎの画像を示す。この画像は、２８ｍｍの焦点距離を有するＣＣＤカメラを用いて得られ、１５３６×１０２４画素のマトリックスによって規定される。このデータは、１２名目ビットの灰色の影として符号化される。特異点指数を得るために５０秒かかった。この図の中央部分は、最も特異なポイントの３０％を示す。最も下の部分では、中央部分で示されるＭＳＭについての勾配に基づいて画像が再構築され、高品質であることを示す、３７ｄＢのピーク信号  −ノイズ比率（ＰＳＮＲ）を用いて測定される質を得る。
【０１５４】
図７は、ＭＳＭを介した再構築によってどのように信号に存在するノイズを低減することができるかを示す。この図の上の部分は、２００×２００画素の解像度を有する原画像（Ｌｅｎａの画像。画像処理におけるＩＥＥＥ標準）を示す。下の部分は、関連するＭＳＭに基づく再構築を示す。ＭＳＭに含まれる輪郭および境界は、再構築時に維持されるが、ノイズに関連付けられる遷移であってコヒーレント前線を形成しない遷移はほとんど取り除かれる。これは、再構築された画像において、面におけるいくつかの領域において特に顕著である。
【０１５５】
〔実施例３：地球物理学的な、また他のタイプの画像における流れ線の判定〕
特異点指数の規定が確立される理論的根底を考えると、特異点指数は乱流において可変であるスカラーの画像を分析するために用いられるときに非常に有効である。この理論は、特異点は移流される（言い換えると、流体によって運ばれる）ことを予測しており、そのため、特異点は、カレントラインを追跡するために用いられ得る。本質的に、流れの通路は、温度、クロロフィル濃度、および同様の指標と関連付けられる画像を分析するだけで追跡することができる。ボード衛星Ｍｏｄｉｓ  ＡｃｑｕａおよびＴＲＭＭのマイクロ波センサ（ＭＷ  ＳＳＴ）によって検出される海面温度から導き出される特異点の結果は、高度計マップと比較される。
【０１５６】
高度計データは生成することが非常に困難であり、非常に低い空間解像度を有し、低ステップフィルタを用いて行う濾過を必要とする。さらに、質の高い高度計マップを生成するために、様々な高度計を組み合わせる必要があるが、２００３年から２基の衛星しか稼動状態になく、じきにそのうちの１つ、または全部が稼動しなくなってしまう。しかしながら、ＭＷ  ＳＳＴははるかに安価であり、大きなゾーンに対して総括的に得られ、処理も容易である。上記比較で示されるように、特異点は循環パターンの輪郭をかなり良好に示し、それらが流れによってチャンネルとなることを示す。このため、特異点分析を用いて流れを判定することは、環境的リスクの管理のための操作可能な海洋システムとして浮上する。
【０１５７】
図８において、下の部分は、上の部分で示されるマイクロ波（ＭＷ  ＳＳＴ）  −ＡＭＳＲ  −Ｅ  −ＴＭＩから得られる海面温度の画像から導き出される特異点指数を示し、２００３年２月１日のものに対応する（遠隔探査システムからダウンロードした画像。ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｓｓｍｉ．ｃｏｍ／；特異点の分析のための計算時間：約５秒）。ここで示されるゾーンは、メキシコ湾における流れに対応する。温度マップは、１／４度の一定角度解像度を有する円柱状投射グリッドにおいて形成される。図９の上の部分は、同日、２００３年２月１日について、４つの高度計衛星の内挿によって得られる地衡流の場を示し、この図の下の部分は、２つの場（前の図における温度の特異点指数と、この図の上の部分の地衡速度場）の重なりを示す。
【０１５８】
〔実施例４：乱流における可変列の動態分析〕
最近、流体に対する数値的なシミュレーションは、天気および海洋予報などのタスクにおいて不可欠なツールであり、モデルの空気力学的なプロトタイプ化、または化学反応および燃焼反応の分析における様々な問題が産業上の関心を集めている。しかしながら、荒れた状態における流体の混沌とした性質を考慮すると、数値的なシミュレーションにおいて用いられる分散型グリッド（discretised grid）によって課されるもののような有限な自由度数によって限定される、正確な記述を作成することは不可能である。この問題は、特定のサイズのグリッドステップを用いて流体を記述するとき、より小さなスケールで発生する動きを分解することができず、このため流体の混沌とした性質が予測できないという事実の結果である。
【０１５９】
これらの分解できないスケールを取り扱うための通常の方法は、エディ粘度およびエディ拡散率として知られる、（速度場についての）経験的粘度係数と、（シミュレーションにおいて考慮される各変数についての）経験的拡散率を導入することである。これらの係数は、これらの分解されないスケールにおいて考慮される変数における幾分かランダムで均一の分散を示す。上記係数は、ある状況では、シミュレーションを通じて、分解されないスケールが分解されたスケールに及ぼす影響をモデル化するのに役立つ。例えば、乱気流が十分に発達する場合や、分解されないスケールにおける典型的分散時間と比べて、シミュレーションの統合時間が十分に長い場合である。
【０１６０】
流体におけるエディ粘度およびエディ分散率係数の表示は、十分な質を有する数値的モデルを用いて乱気流の発達を記述するためには不可欠である。これらの係数を良好に判定することは、これらの予報の有効性の時間範囲を延ばすために、また、数値的シミュレーションに伴う上記の変数についてより高い精度を得るために、極めて重要である。しかしながら、最近用いられるほとんどの数値的モデルにおいて、これらの係数は流体のドメイン全体にわたって定数と見なされる。この定数は、その値を常に動態的シーケンス分析の予測実験値と比較しながら、以下の式に基づいて各数値的実行について発見的な方法で推測される。
【０１６１】
【数５５】
2011501308.tif 000057
【０１６２】
Κ０は大域的経験分散率係数であり、θ０は分析される変数であり、下付き文字の０は、処理が行われるスケールを意味し、三角括弧は流体における空間的ドメイン全体を通じての平均を意味する。θ０の代わりに流れ関数（current function）が用いられる場合、評価されるものは分散率の代わりに粘度である。
【０１６３】
実際、上記の分散率の大域的予測から、ドメインにおける各ポイントについてのこの係数の局所的予測まで行うことができる。これを行うために、上記表現の時間導関数の平均や勾配の平均は、評価ポイントから離れるほど重みが減少するように重み付けされた平均と置き換えられる。しかしながら、上記の大域的評価の式はすでに幾分か不安定であり、局所的式は極めて不安定であり、あるポイントにおいて負の局所的分散率値を生み出し、物理的に受容不可能なものとなっている。本発明の方法の応用によって、より安定した変数（ＭＳＭの密度）を得ることが可能であり、これに基づいて、大域的な分散率の非常に安定した評価が得られ、局所的分散率の評価はいずれのポイントにおいても負ではない。
【０１６４】
一例として、局所的分散率は、室内実験において分散される着色剤の画像を用いることによって評価されてきた。図１０の一番上の列は、ある２つの時刻における実験室における２Ｄ乱流媒体において分散される着色剤を示し、左のコラムについてｔ＝０ｓであり、右のコラムについてはｔ＝１０ｓである。（一番上の列の画像は、Ｐａｒｉｓ、Ｅｃｏｌｅ  Ｎｏｒｍａｌｅ  Ｓｕｐｅｒｉｅｕｒｅ、Ｐａｔｒｉｃｋ  Ｔａｂｅｌｉｎｇからの提供）。同じ図の中央列では、局所的エディ分散率の評価は、上記一番上の列の図の灰色の影に基づいて評価される着色剤の濃度を変数θ０として用いることによって一番上の列の画像と同じモーメントにおける全てのポイントについて示される。こうして得られた局所的分散率の値は、ゼロに近い値についての中間色（白）を伴う、２つの極端な色（負について赤、負について青）のパレットを用いて示された。図の理解を促進するために、太い斜線の陰影部分が、大きなサイズの負の値を有するゾーンに覆いかぶさり、細い水平線の陰影部分が、最も高い正の値を有するゾーンに覆いかぶさる。これらの中央列の画像が示すように、濃度に基づく分散率の評価は、負の値を有する広い領域をもたらすもとである。加えて、この列が処理されると、ある領域における局所的分散率における評価される値が特定の時刻に突然変化するので、上記判定が非常に不安定になることが分かる。最後に、一番下の列は、本発明を用いて評価される特異点指数に基づいて算出されるＭＳＭの密度関数に基づいて得られる、上記と同じ２つの時刻における局所的分散率評価を示す。この図が示すように、局所的分散率におけるこれらの評価は、負の値を有する領域を示さない。また、列全体を見ると、全てのポイントにわたって局所的分散率値が、なだらかに、かつ連続して展開していることが分かる。
【０１６５】
次に、当該分野の状況に関する科学的発表についての一連の参考文献を示す。これらは本発明において説明される側面を反映する。
【０１６６】
〔参考文献〕
［１］Ａ．Ａｒｎｅｏｄｏ。フラクタルのウェーブレット分析：数学的概念から実験的事実まで。Ｉｎ  Ｇ．Ｅｒｌｅｂａｃｈｅｒ、Ｍ．Ｙｏｕｓｕｆｆ  Ｈｕｓｓａｉｎｉ、Ｌ．Ｍ．Ｊａｍｅｓｏｎ、ウェーブレット編集者。理論と応用、３４９ページ。オックスフォード大学出版部。計算科学および工学のＩＣＡＳＥ／ＬａＲＣシリーズ、オックスフォード、１９９６。（Ａ．Ａｒｎｅｏｄｏ．Ｗａｖｅｌｅｔ  ａｎａｌｙｓｉｓ  ｏｆ  ｆｒａｃｔａｌｓ：ｆｒｏｍ  ｔｈｅ  ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ  ｃｏｎｃｅｐｔｓ  ｔｏ  ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ  ｒｅａｌｉｔｙ．Ｉｎ  Ｇ．Ｅｒｌｅｂａｃｈｅｒ、Ｍ．Ｙｏｕｓｕｆｆ  Ｈｕｓｓａｉｎｉ、ａｎｄ  Ｌ．Ｍ．Ｊａｍｅｓｏｎ、ｅｄｉｔｏｒｓ、Ｗａｖｅｌｅｔｓ．Ｔｈｅｏｒｙ  ａｎｄ  ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ、ｐａｇｅ  ３４９．Ｏｘｆｏｒｄ  Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ  Ｐｒｅｓｓ．ＩＣＡＳＥ／ＬａＲＣ  Ｓｅｒｉｅｓ  ｉｎ  Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ  Ｓｃｉｅｎｃｅ  ａｎｄ  Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ、Ｏｘｆｏｒｄ、１９９６．）
［２］Ａ．Ａｒｎｅｏｄｏ，Ｆ．Ａｒｇｏｕｌ、Ｅ．Ｂａｃｒｙ、Ｊ．Ｅｌｅｚｇａｒａｙ，ａｎｄ  Ｊ．Ｆ．Ｍｕｚｙ．Ｏｎｄｅｌｅｔｔｅｓ，乱流におけるマルチフラクタル。Ｄｉｄｅｒｏｔ  Ｅｄｉｔｅｕｒ、パリ、フランス、１９９５年。（Ａ．Ａｒｎｅｏｄｏ、Ｆ．Ａｒｇｏｕｌ、Ｅ．Ｂａｃｒｙ、Ｊ．Ｅｌｅｚｇａｒａｙ、ａｎｄ  Ｊ．Ｆ．Ｍｕｚｙ．Ｏｎｄｅｌｅｔｔｅｓ、ｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌｅｓ  ｅｔ  ｔｕｒｂｕｌｅｎｃｅ．Ｄｉｄｅｒｏｔ  Ｅｄｉｔｅｕｒ、Ｐａｒｉｓ、Ｆｒａｎｃｅ、１９９５．）
［３］Ｕ．Ｆｒｉｓｃｈ．Ｔｕｒｂｕｌｅｎｃｅ．ケンブリッジ大学出版部、ケンブリッジＭＡ、１９９５年。（Ｕ．Ｆｒｉｓｃｈ．Ｔｕｒｂｕｌｅｎｃｅ．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ  Ｕｎｉｖ．Ｐｒｅｓｓ、Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ  ＭＡ，１９９５．）
［４］Ｓ．Ｍａｌｌａｔ．多解像信号分解の理論：ウェーブレット表示。パターン分析および人工知能におけるＩＥＥＥ処理、１１：６７−９３，１９８９年。（Ｓ．Ｍａｌｌａｔ．Ａ  ｔｈｅｏｒｙ  ｆｏｒ  ｍｕｌｔｉｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ  ｓｉｇｎａｌ  ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ：ｔｈｅ  ｗａｖｅｌｅｔ  ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ．ＩＥＥＥ  Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎ  ｏｎ  Ｐａｔｔｅｒｎ  Ａｎａｌｙｓｉｓ  ａｎｄ  Ｍａｃｈｉｎｅ  Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ、１１：６７−９３、１９８９．）
［５］Ｓ．Ｍａｌｌａｔ  ａｎｄ  Ｗ．Ｌ．Ｈｕａｎｇ．特異点検出およびウェーブレットを用いた処理。ＩＥＥＥ  Ｔｒａｎｓ．ｉｎ  Ｉｎｆ．Ｔｈ．，３８：６１７−６４３，１９９２年。（Ｓ．Ｍａｌｌａｔ  ａｎｄ  Ｗ．Ｌ．Ｈｕａｎｇ．Ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ  ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ  ａｎｄ  ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ  ｗｉｔｈ  ｗａｖｅｌｅｔｓ．ＩＥＥＥ  Ｔｒａｎｓ．ｉｎ  Ｉｎｆ．Ｔｈ．、３８：６１７−６４３，１９９２．）
［６］Ｓ．  Ｍａｌｌａｔ  ａｎｄ  Ｓ．  Ｚｈｏｎｇ．ウェーブレット変換最大値およびマルチスケールエッジ。Ｉｎ  Ｒｕｓｋａｉ  Ｍ．  Ｂ．ｅｔ  ａｌ、および編集者、ウェーブレットおよびその応用。ＪｏｎｅｓおよびＢａｒｔｌｅｔｔ，ボストン、１９９１年。（Ｓ．Ｍａｌｌａｔ  ａｎｄ  Ｓ．Ｚｈｏｎｇ．Ｗａｖｅｌｅｔ  ｔｒａｎｓｆｏｒｍ  ｍａｘｉｍａ  ａｎｄ  ｍｕｌｔｉｓｃａｌｅ  ｅｄｇｅｓ．Ｉｎ  Ｒｕｓｋａｉ  Ｍ．Ｂ．ｅｔ  ａｌ，ｅｄｉｔｏｒ，Ｗａｖｅｌｅｔｓ  ａｎｄ  ｔｈｅｉｒ  ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．Ｊｏｎｅｓ  ａｎｄ  Ｂａｒｔｌｅｔｔ，Ｂｏｓｔｏｎ、１９９１．）
［７］Ｄ．  Ｍａｒｒ．Ｖｉｓｉｏｎ．ＦｒｅｅｍａｎおよびＣｏ．Ｎｕｅｖａ  Ｙｏｒｋ，１９８２年。（Ｄ．Ｍａｒｒ．Ｖｉｓｉｏｎ．Ｆｒｅｅｍａｎ  ａｎｄ  Ｃｏ．Ｎｕｅｖａ  Ｙｏｒｋ、１９８２．）
［８］Ｇ．ＰａｒｉｓｉおよびＵ．Ｆｒｉｓｃｈ．十分発達した乱流の特異点構造について。Ｉｎ  Ｍ．Ｇｈｉｌ、Ｒ．ＢｅｎｚｉおよびＧ．Ｐａｒｉｓｉ、編集者、地球物理学的流体力学における乱流および予測可能性。Ｐｒｏｃ．Ｉｎｔｌ．物理学校Ｅ．Ｆｅｒｍｉ、８４−８７ページ、アムステルダム、１９８５年。北ホランド。（Ｇ．Ｐａｒｉｓｉ  ａｎｄ  Ｕ．Ｆｒｉｓｃｈ．Ｏｎ  ｔｈｅ  ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ  ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ  ｏｆ  ｆｕｌｌｙ  ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ  ｔｕｒｂｕｌｅｎｃｅ．Ｉｎ  Ｍ．  Ｇｈｉｌ，Ｒ．Ｂｅｎｚｉ、ａｎｄ  Ｇ．Ｐａｒｉｓｉ、ｅｄｉｔｏｒｓ、Ｔｕｒｂｕｌｅｎｃｅ  ａｎｄ  Ｐｒｅｄｉｃｔａｂｉｌｉｔｙ  ｉｎ  Ｇｅｏｐｈｙｓｉｃａｌ  Ｆｌｕｉｄ  Ｄｙｎａｍｉｃｓ．  Ｐｒｏｃ．Ｉｎｔｌ．Ｓｃｈｏｏｌ  ｏｆ  Ｐｈｙｓｉｃｓ  Ｅ．Ｆｅｒｍｉ、ｐａｇｅｓ８４−８７，Ａｍｓｔｅｒｄａｍ、１９８５．Ｎｏｒｔｈ  Ｈｏｌｌａｎｄ．）
［９］Ｏ．Ｐｏｎｔ，Ａ．Ｔｕｒｉｅｌ、およびＣ．Ｐｅｒｅｚ−Ｖｉｃｅｎｔｅ。ミクロカノニカルマルチフラクタルフォナリズムのモノフラクタルシステムへの応用。物理概観Ｅ、７４：０６１１１０、２００６年。（Ｏ．Ｐｏｎｔ，Ａ．Ｔｕｒｉｅｌ、ａｎｄ  Ｃ．Ｐｅｒｅｚ−Ｖｉｃｅｎｔｅ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ  ｏｆ  ｔｈｅ  ｍｉｃｒｏｃａｎｏｎｉｃａｌ  ｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌ  ｆｏｎｎａｌｉｓｍ  ｔｏ  ｍｏｎｏｆｒａｃｔａｌ  ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｐｈｙｓｉｃａｌ  Ｒｅｖｉｅｗ  Ｅ、７４：０６１１１０、２００６．）
［１０］Ｚ．Ｒ．Ｓｔｒｕｚｉｋ。局所的特異点の強さおよびウェーブレット変換を伴うそれらのスペクトルの判定。フラクタルズ。８（２）：１６３−１７９，２０００年６月。（Ｚ．Ｒ．Ｓｔｒｕｚｉｋ．Ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｎｇ  ｌｏｃａｌ  ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ  ｓｔｒｅｎｇｔｈｓ  ａｎｄ  ｔｈｅｉｒ  ｓｐｅｃｔｒａ  ｗｉｔｈ  ｔｈｅ  ｗａｖｅｌｅｔ  ｔｒａｎｓｆｏｎｎ．Ｆｒａｃｔａｌｓ、８（２）：１６３−１７９、Ｊｕｎｅ  ２０００．）
［１１］Ａ．Ｔｕｒｉｅｌ。静止画像におけるマルチフラクタル組織の関連性。コンピュータビジョンおよびマルチフラクタル分析における電子文字。１（１）：３５−４９，２００３年。（Ａ．Ｔｕｒｉｅｌ．Ｒｅｌｅｖａｎｃｅ  ｏｆ  ｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌ  ｔｅｘｔｕｒｅｓ  ｉｎ  ｓｔａｔｉｃ  ｉｍａｇｅｓ．Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ  Ｌｅｔｔｅｒｓ  ｏｎ  Ｃｏｍｐｕｔｅｒ  Ｖｉｓｉｏｎ  ａｎｄ  Ｉｍａｇｅ  Ａｎａｌｙｓｉｓ、１（１）：３５−４９、２００３．）
［１２］Ａ．ＴｕｒｉｅｌおよびＡ．ｄｅｌ  Ｐｏｚｏ。最も特異なフラクタル多様体からの画像の再構築。ＩＥＥＥ  Ｔｒａｎｓ．Ｉｍ．Ｐｒｏｃ．、１１：３４５−３５０，２００２年。（Ａ．Ｔｕｒｉｅｌ  ａｎｄ  Ａ．ｄｅｌ  Ｐｏｚｏ．Ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ  ｉｍａｇｅｓ  ｆｒｏｍ  ｔｈｅｉｒ  ｍｏｓｔ  ｓｉｎｇｕｌａｒ  ｆｒａｃｔａｌ  ｍａｎｉｆｏｌｄ．ＩＥＥＥ  Ｔｒａｎｓ．Ｉｍ．Ｐｒｏｃ．、１１：３４５−３５０、２００２．）
［１３］Ａ．Ｔｕｒｉｅｌ，Ｊ．Ｉｓｅｒｎ−Ｆｏｎｔａｎｅｔ，Ｅ．Ｇａｒｃｉａ−Ｌａｄｏｎａ，およびＪ．Ｙｏｕｎｇ。地球静止軌道上の日光衛星画像からの、インド洋の波面の検出。Ｐｒｏｘｉｍａ  ａｐａｒｉｃｉｏｎ  ｅｎ  ｅｌ遠隔探査に関する国際学術誌、２００７年。（Ａ．Ｔｕｒｉｅｌ、Ｊ．Ｉｓｅｒｎ−Ｆｏｎｔａｎｅｔ、Ｅ．Ｇａｒｃｉａ−Ｌａｄｏｎａ、ａｎｄ  Ｊ．Ｙｏｕｎｇ．Ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ  ｏｆ  ｗａｖｅ  ｆｒｏｎｔｓ  ｉｎ  ｔｈｅ  Ｉｎｄｉａｎ  Ｏｃｅａｎ  ｆｒｏｍ  ｇｅｏｓｔａｔｉｏｎａｒｙ  ｓｕｎｇｌｉｎｔ  ｓａｔｅｌｌｉｔｅ  ｉｍａｇｅｒｙ．Ｐｒｏｘｉｍａ  ａｐａｒｉｃｉｏｎ  ｅｎ  ｅｌ  Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ  Ｊｏｕｒｎａｌ  ｏｆ  Ｒｅｍｏｔｅ  Ｓｅｎｓｉｎｇ、２００７．）
［１４］Ａ．ＴｕｒｉｅｌおよびＮ．Ｐａｒｇａ。自然画像におけるコントラスト変化のマルチフラクタル構造：鋭利な先端から組織まで。神経演算、１２：７６３−７９３，２０００年。（Ａ．Ｔｕｒｉｅｌ  ａｎｄ  Ｎ．Ｐａｒｇａ．Ｔｈｅ  ｍｕｌｔｉ−ｆｒａｃｔａｌ  ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ  ｏｆ  ｃｏｎｔｒａｓｔ  ｃｈａｎｇｅｓ  ｉｎ  ｎａｔｕｒａｌ  ｉｍａｇｅｓ：ｆｒｏｍ  ｓｈａｒｐ  ｅｄｇｅｓ  ｔｏ  ｔｅｘｔｕｒｅｓ．Ｎｅｕｒａｌ  Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ、１２：７６３−７９３，２０００．）
［１５］Ａ．ＴｕｒｉｅｌおよびＣ．Ｐｅｒｅｚ−Ｖｉｃｅｎｔｅ。株式市場時系列におけるマルチフラクタル幾何学。Ｐｈｙｓｉｃａ  Ａ、３２２：６２９−６４９、２００３年５月。（Ａ．Ｔｕｒｉｅｌ  ａｎｄ  Ｃ．Ｐｅｒｅｚ−Ｖｉｃｅｎｔｅ．Ｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌ  ｇｅｏｍｅｔｒｙ  ｉｎ  ｓｔｏｃｋ  ｍａｒｋｅｔ  ｔｉｍｅ  ｓｅｒｉｅｓ．Ｐｈｙｓｉｃａ  Ａ、３２２：６２９−６４９，Ｍａｙ  ２００３．）
［１６］Ａ．ＴｕｒｉｅｌおよびＣ．Ｐｅｒｅｚ−Ｖｉｃｅｎｔｅ。株式市場時系列の分析におけるマルチフラクタルソースの役割。Ｐｈｙｓｉｃａ  Ａ、３５５：４７５−４９６、２００５年９月。（Ａ．Ｔｕｒｉｅｌ  ａｎｄ  Ｃ．Ｐｅｒｅｚ−Ｖｉｃｅｎｔｅ．  Ｒｏｌｅ  ｏｆ  ｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌ  ｓｏｕｒｃｅｓ  ｉｎ  ｔｈｅ  ａｎａｌｙｓｉｓ  ｏｆ  ｓｔｏｃｋ  ｍａｒｋｅｔ  ｔｉｍｅ  ｓｅｒｉｅｓ．Ｐｈｙｓｉｃａ  Ａ、３５５：４７５−４９６、Ｓｅｐｔｅｍｂｅｒ  ２００５．）
［１７］Ａ．Ｔｕｒｉｅｌ、Ｃ．Ｐｅｒｅｚ−Ｖｉｃｅｎｔｅ、およびＪ．Ｇｒａｚｚｉｎｉ。サンプルされたデータにおけるマルチフラクタル特異点スペクトルの予測のための数値的方法：比較研究。計算物理学誌、２１６（１）：３６２−３９０、２００６年７月。（Ａ．Ｔｕｒｉｅｌ、Ｃ．Ｐｅｒｅｚ−Ｖｉｃｅｎｔｅ、ａｎｄ  Ｊ．Ｇｒａｚｚｉｎｉ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ  ｍｅｔｈｏｄｓ  ｆｏｒ  ｔｈｅ  ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ  ｏｆ  ｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌ  ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ  ｓｐｅｃｔｒａ  ｏｎ  ｓａｍｐｌｅｄ  ｄａｔａ：  ａ  ｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅ  ｓｔｕｄｙ．  Ｊｏｕｒｎａｌ  ｏｆ  Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ  Ｐｈｙｓｉｃｓ，  ２１６（１）：３６２−３９０，  Ｊｕｌｙ  ２００６．）
［１８］Ｊ．Ｈ．ｖａｎ  ＨａｔｅｒｅｎおよびＡ．ｖａｎ  ｄｅｒ  Ｓｃｈａａｆ。主要な視覚野における単純細胞と比較される自然画像における独立した成分フィルタ。Ｐｒｏｃ．Ｒ．Ｓｏｃ．Ｌｏｎｄ．、Ｂ２６５：３５９−３６６、１９９８年。（Ｊ．Ｈ．ｖａｎ  Ｈａｔｅｒｅｎ  ａｎｄ  Ａ．ｖａｎ  ｄｅｒ  Ｓｃｈａａｆ．Ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ  ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ  ｆｉｌｔｅｒｓ  ｏｆ  ｎａｔｕｒａｌ  ｉｍａｇｅｓ  ｃｏｍｐａｒｅｄ  ｗｉｔｈ  ｓｉｍｐｌｅ  ｃｅｌｌｓ  ｉｎ  ｐｒｉｍａｒｙ  ｖｉｓｕａｌ  ｃｏｒｔｅｘ．Ｐｒｏｃ．Ｒ．Ｓｏｃ．Ｌｏｎｄ．、Ｂ２６５：３５９−３６６，１９９８．）
【図面の簡単な説明】
【０１６７】
【図１】ＭｅｔｅｏＳａｔ衛星画像（参考文献〔１４〕を参照）からの内部海洋波の検出を示す図である。
【図２】頂上部分が、偽色彩のＭｅｎｄｏｔａ湖（スイス）における藻の増殖の画像を、上記藻の増殖のコントラストを増加させるための様々なチャンネルの組み合わせとして示す図である。
【図３】上の部分が、不特定の日時にＬａｎｄＳａｔのバンド８によって登録されたＡｌｆａｃｓ湾（ＮＥ  Ｓｐａｉｎ、Ｒｉｖｅｒ  Ｅｂｒｏ  Ｄｅｌｔａ）の画像を示し、この図の下の部分は、特異点指数（計算時間：１０秒）を示す図である。
【図４】２００８年１０月１０日にアクセスされたデジタル形式胸部スキャン（ＵＳＦ  Ｄｉｇｉｔａｌ  Ｍａｍｍｏｇｒａｐｈｙ  Ｈｏｍｅ  Ｐａｇｅ，ｈｔｔｐ：／／ｍａｒａｔｈｏｎ．ｃｓｅｅ．ｕｓｆ．ｅｄｕ／Ｍａｍｍｏｇｒａｐｈｙ／Ｄａｔａｂａｓｅ．ｈｔｍｌ）の公文書から抽出された１９７６×４３１２画素の解像度を有するデジタル形式のマンモグラフィーを示す図である。
【図５】上の画像は、光学顕微鏡で得られた、間期のたまねぎ細胞の核の２００×２００画素の画像を示し、下の部分は、関連付けられる特異点指数を示す図である。
【図６】一番上の部分は、ｉｍｋ０１０２０．ｉｍｃとして参考文献〔１８〕において特定されるｖａｎ  Ｈａｔｅｒｅｎの画像を示し、この図の中央部分は、最も特異なポイントの３０％を示し、最も下の部分では、中央部分で示されるＭＳＭについての勾配に基づいて画像が再構築され、高品質であることを示す、３７ｄＢのピーク信号  −ノイズ比率（ＰＳＮＲ）を用いて測定される質を得ることを示す図である。
【図７】ＭＳＭを介した再構築によってどのように信号に存在するノイズを低減することができるかを示す図である。
【図８】上の部分は、マイクロ波（ＭＷ  ＳＳＴ）  −ＡＭＳＲ  −Ｅ  −ＴＭＩを示し、下の部分は、上の部分で示されるマイクロ波（ＭＷ  ＳＳＴ）  −ＡＭＳＲ  −Ｅ  −ＴＭＩから得られる海面温度の画像から導き出される特異点指数を示す図である。
【図９】上の部分は、２００３年２月１日について、４つの高度計衛星の内挿によって得られる地衡流の場を示し、この図の下の部分は、２つの場（前の図における温度の特異点指数と、この図の上の部分の地衡速度場）の重なりを示す図である。
【図１０】着色剤の画像を示す図である。
【図１】
2011501308.tif 000066
【図２】
2011501308.tif 000067
【図３】
2011501308.tif 000068
【図４】
2011501308.tif 000069
【図５】
2011501308.tif 000070
【図６】
2011501308.tif 000071
【図７】
2011501308.tif 000072
【図８】
2011501308.tif 000073
【図９】
2011501308.tif 000074
【図１０】
2011501308.tif 000075
【国際調査報告】
2011501308.tif 000076
2011501308.tif 000077
2011501308.tif 000078
2011501308.tif 000079
2011501308.tif 000080
2011501308.tif 000081