(57)【要約】  原子炉炉心をモデル化するためのコンピュータで実行する方法であって、  コンピュータで実行する計算のための格子のノードを構成するために炉心を立方体（１Ｂ、１Ｒ）に分割するステップと、  立方体を第１カテゴリー（１Ｒ）と第２カテゴリー（１Ｂ）に分割するステップと、第１カテゴリー（１Ｒ）の各立方体が、立方体の第１カテゴリーと第２カテゴリーが市松模様を構成するように、立方体（１Ｒ）に第２カテゴリーからのみ隣接し、  第１カテゴリーの立方体（１Ｒ）及び第２カテゴリーの立方体（１Ｂ）を順序付けするステップと、  少なくとも１つの線形系及び/又は固有系の反復解手順を用いることによって中性子束及び/又は熱水力パラメータを計算するステップと、線形系及び/又は固有系の反復の成分が計算される中性子束及び/又は熱水力パラメータを構成し、反復解手順中、計算が第１カテゴリーの立方体に、次いで第２カテゴリーの立方体に行われる、ことを特徴とする。【選択図】図１
2011514587.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
原子炉炉心をモデル化するためのコンピュータで実行する方法であって、
コンピュータで実行する計算のための格子のノードを構成するために炉心を立方体（１Ｂ、１Ｒ）に分割するステップと、
立方体を第１カテゴリー（１Ｒ）と第２カテゴリー（１Ｂ）に分割するステップとを含み、第１カテゴリー（１Ｒ）の各立方体が、立方体の第１カテゴリーと第２カテゴリーが市松模様を構成するように、第２カテゴリーから立方体（１Ｒ）にのみ隣接し、
第１カテゴリーの立方体（１Ｒ）を、次に第２カテゴリーの立方体（１Ｂ）を順序付けするステップと、
少なくとも１つの線形系及び/又は固有系の反復解手順を用いることによって中性子束及び/又は熱水力パラメータを計算するステップを含み、線形系及び/又は固有系の反復の成分が計算されるべき中性子束及び/又は熱水力パラメータを構成し、反復解手順中、計算が第１カテゴリーの立方体に、次いで第２カテゴリーの立方体に行われる、ことを特徴とする、前記方法。
【請求項２】
解手順の反復中、第１カテゴリーの立方体に対応する反復の成分が更新され、次いで、第２カテゴリーの立方体に対応する反復の成分が、第１カテゴリーの、第２カテゴリーの隣りの立方体の更新された成分に基づいて更新される、請求項１に記載の方法。
【請求項３】
解手順の反復は下式に相当し、
2011514587.tif 000083
になる、
ここに、
2011514587.tif 000084
は、第１カテゴリーの立方体（１Ｒ）に対応する反復の成分を示し、
2011514587.tif 000085
は、第２カテゴリーの立方体（１Ｂ）に対応する反復の成分を示し、
2011514587.tif 000086
は、第１カテゴリーの立方体と第２カテゴリーの立方体とを結合する非対角行列を示し、さらに、
2011514587.tif 000087
と
2011514587.tif 000088
は源因子を示す、請求項２に記載の方法。
【請求項４】
解手順の反復は、
2011514587.tif 000089
になる、
ここに、
2011514587.tif 000090
は、第１カテゴリーの立方体（１Ｒ）に対応する反復の成分を示し、
2011514587.tif 000091
は、第２カテゴリーの立方体（１Ｂ）に対応する反復の成分を示し、
2011514587.tif 000092
は、それぞれに損失移動演算子の対角部分と非対角部分である、請求項２に記載の方法。
【請求項５】
反復解手順は、第１カテゴリーの立方体にのみ行われ、かくして、第１カテゴリーの立方体に対応する反復の成分を計算し、次いで、第２カテゴリーの立方体に対応する反復の成分が第１カテゴリーの立方体に対応する反復の成分に基づいて計算される、ことを特徴とする、請求項２乃至４の何れか１項に記載の方法。
【請求項６】
第１カテゴリーの立方体（１Ｂ）について解かれるべき線形系は、
2011514587.tif 000093
になるように予備調整される、請求項３と組み合わされた請求項５に記載の方法。
【請求項７】
解手順の収束は、線形系の剰余ベクトルによりモニターされ、この剰余ベクトルは、
2011514587.tif 000094
と定義される、請求項６に記載の方法。
【請求項８】
解手順の収束は、剰余ベクトルの成分の最大絶対値によりモニターされ、この最大値は
2011514587.tif 000095
と定義される、請求項７に記載の方法。
【請求項９】
第１カテゴリーの立方体（１Ｂ）について解かれるべき線形系は、
2011514587.tif 000096
になるように、予備調整される、請求項４と組み合わされた請求項５に記載の方法。
【請求項１０】
反復解手順はガウスザイデル手順である、請求項１乃至９の何れか１項に記載の方法。
【請求項１１】
ガウスザイデル手順は、系統的逐次過緩和法と組み合わされる、請求項１０に記載の方法。
【請求項１２】
反復解手順は共役勾配手順である、請求項１乃至９の何れか１項に記載の方法。
【請求項１３】
反復解手順は双共役勾配安定化手順である、請求項１乃至９の何れか１項に記載の方法。
【請求項１４】
方法は並列プロセッサで実行される、請求項１乃至１３の何れか１項に記載の方法。
【請求項１５】
方法は、計算された中性子束及び/又は計算された熱水力パラメータに基づいて原子炉炉心を建設するステップを含む、請求項１乃至１４の何れか１項に記載の方法。
【請求項１６】
方法は、計算された中性子束及び/又は計算された熱水力パラメータに基づいて原子炉炉心を運転するステップを含む、請求項１乃至１５の何れか１項に記載の方法。
【請求項１７】
コンピュータプログラム製品がコンピュータ読み出し可能な媒体上に在り且つコンピュータで実行するためのコンピュータプログラム手段を含む、請求項１乃至１６の何れか１項に記載の方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、原子炉の炉心をモデル化する方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
そのようなモデル化方法は、炉心内の中性子束及び/又は熱水力パラメータを計算するのに有用である。
【０００３】
そのようなモデル化方法の結果は、原子炉を建設する及び始動するまえに安全解析レポートを準備するために用いることができる。
【０００４】
これらの結果は、また、既存の原子炉のために及び特に原子炉内に装入された核燃料を管理するために有用である。特に、これらの結果は、どのように炉心設計がいったいどのように発展すべきか又、炉心内の燃料集合体の位置、特に炉心内に導入されるべき新しい燃料集合体の位置をどのようにすべきかを評価するために用いることが出来る。
【０００５】
そのようなモデル化方法は、コンピュータ計算によって実行される。この目的のために、炉心は、立方体に分割され、各立方体はデジタル計算を実行するための格子のノードを構成する。
【０００６】
従来技術の状態では、立方体は、辞書式の順序で次々に番号付けされる。
【０００７】
そのような方法では、計算努力のほとんどは、結局線形系或いは固有系のいずれかである、大きな希薄系の反復解にささげられる部分に集中している。
【０００８】
熱水力パラメータを計算するとき、解かれるべき系は、線形系であり、数学的形態で、
【数１】
2011514587.tif 000003
形の線形方程式に対応する。
【０００９】
典型的な全体の炉心計算は、１５０個乃至２００個の燃料集合体及び普通何万の立方体に基づいて定義される希薄（まばら）線形系になり、非自明な計算努力が関連した代数系を解くために必要とされることを意味する。
【発明の概要】
【００１０】
行列Ａの実際の構造は、各々立方体とすぐ隣りの立方体だけとの間の相互作用を表す、限られた数のゼロでないオフ対角要素を加えた対角要素の対象の存在を特徴とする。換言すれば、共通の面をシェアする立方体間の相互作用のみが考慮される。
【００１１】
辞書式格子により、
2011514587.tif 000004
がそれぞれ
2011514587.tif 000005
の対角及び下対角部分である、小数のゼロでない値
2011514587.tif 000006
は、
2011514587.tif 000007
である下部辞書編集法インデックスを有する立方体iそれ自身とすぐ隣りの立方体jとの相互作用を表す。
【００１２】
上述の線形方程式を解くために、ガウス-ザイデル（GS）手順が、通常実行され、行列
2011514587.tif 000008
は、一方では、下対角部分
2011514587.tif 000009
を加えたその対角
2011514587.tif 000010
、及び他方ではその上対角部分
2011514587.tif 000011
に分割されることを意味する：
【数２】
2011514587.tif 000012
【００１３】
下三角行列部分を加えた対角は陰関数に反転することが容易であり、ガウス-ザイデル手順は、反復
【数３】
2011514587.tif 000013
になる。
【００１４】
これは、
【数４】
2011514587.tif 000014
【数５】
2011514587.tif 000015
の形で大変コンパクトに且つ効率的にプログラムすることができる。
【００１５】
上式によると、新しいガウスザイデル反復中に、立方体iの各更新が、下の辞書式インデックスを有するその隣りの立方体の（同じ反復中に）既に実現された更新から”得をする”。
【００１６】
残っている隣りの立方体、すなわちより高い辞書式インデックスを有する残っている隣りの立方体、との結合に関して、前のガウスザイデル反復から明らかになった他の値を用いなければならない。
【００１７】
このガウスザイデル手順の収束速度は、通常、緩和因子ωを有する系統的逐次過緩和（ＳＯＲ）法の適用によって加速され、
【数６】
2011514587.tif 000016
の最後の実行になる。
【００１８】
収束のときに、剰余r は0に向かって収束し、反復 x は線形系の正確な解に向かって収束する。逐次ベースで、すなわちガウスザイデル反復が単一プロセッサによって逐次実行されると、このGS/SOR手順の性能は確かに悪くない。
【００１９】
しかしながら、現在実行されたGS/SOR手順における重要な懸念問題は、SORスキームに適用されるべき緩和因子ωのための値の選択において計算性能の高い敏感な依存性である。緩和因子ωのための値の小さな変動が、収束速度の実質的な差をもたらすことが発見され、典型的に経験的に決定された最適からの小さな偏差が、計算効率の大きな損失をもたらすことを意味する。
【００２０】
緩和因子ωは、現在、モデル化方法を実行するコンピュータの使用者によって設定されるべきパラメータである。この使用者は、個々の検索能力の場合毎に緩和因子ωの最適な選択を決定することができることは期待できない。この最適な選択の値は、実際に、チャネル寸法、材料特性、温度等、のようないくつかのパラメータに依存し、そのどれも解かれるべき線形系の行列の個々の成分を決定する。したがって、使用者にとって、状態変化によるこの最適な選択でのシフトを予め決定することは不可能である。識別された性能の敏感さで、緩和因子ωのデフォルト値が、平均して、異なるコンピュータ計算の場合の固定ＳＯＲパラメータとして適用されるときに性能損失をもたらすことが期待される。
【００２１】
さらに、現在のＧＳ手順では、異なるプロセッサの反復仕事量の配分が、少数の並列プロセッサでさえ、計算効率の深刻な低下をもたらし、そのために、主計算速度の向上が並列化により得られないかもしれない。
【００２２】
本発明の目的は、関係する炉心シミュレーションを短い計算時間内に得ることができるように、よりよい計算エラー強さ及びよりよい計算効率を提供するモデル化方法を提供することによって上述の問題を解決することにある。
【００２３】
この目的のために、本発明は請求項１に記載された方法に関する。特定の実施形態では、本方法は、単独で又は組合せで取られた請求項２乃至１６の特徴を含むのがよい。
【００２４】
本発明は、また、請求項１７に記載のコンピュータープログラム製品に関する。
【００２５】
本発明は、単に例示によって与えられ、添付図面を参照して以下の詳細な説明を読むときによりよく理解される。
【図面の簡単な説明】
【００２６】
【図１】本発明による原子炉炉心の分割を示す概略図である。
【図２】本発明によるモデル化方法の収束速度を従来技術のモデル化方法と比較したグラフである。
【図３】本発明によるモデル化方法の収束速度を従来技術のモデル化方法と比較したグラフである。
【図４】本発明によるモデル化方法の収束速度を従来技術のモデル化方法と比較したグラフである。
【図５】本発明によるモデル化方法の並列化によって得られる計算時間の改良を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００２７】
以下の説明では、加圧水型原子炉（ＰＷＲ）の場合が検討されるが、本発明を他のタイプの原子炉に適用することも心に留めておくべきである。本発明によるコンピュータ実行モデル化方法の第１ステップでは、原子炉の炉心が、従来技術の状態におけるように立方体に分割される。各立方体は、数値計算がコンピュータにより実行される格子又はネットワーク３のノードに対応する。
【００２８】
表示を簡単にするために、格子は２次元であるとして図１に示されるが、格子は、実際には、炉心全体を表すために３次元であることを心に留めておくべきである。本発明の第１側面によれば、立方体は第１カテゴリと第２カテゴリに分割される。
【００２９】
以下の説明では、第１カテゴリーの立方体１Ｒは、赤立方体と呼ばれ、第２カテゴリーの立方体１Ｂは黒立方体と呼ばれるが、特別の限定意味を用語”黒”及び”赤”と関連させるべきではない。各赤立方体１Ｒは、すぐ隣りの立方体として黒立方体１Ｂのみ有する。かくして、赤立方体１Ｒのほとんどは、６つのすぐ隣りの黒立方体１Ｂを有する。これは、”すぐ”隣りの立方体によって理解されるべきであり、立方体が考慮される立方体と共通の面を共有している。
【００３０】
その結果、図１により例示されるように、格子は市松模様の暗い領域と明るい領域に関して視覚的な類似性を有する。
【００３１】
次いで、立方体には、例えば赤立方体１Ｒで始まり、黒立方体１Ｂで終わる番号が付けられる。
【００３２】
以下の説明では、立方体を２つのカテゴリーに分割すること及びカテゴリーを次々に番号付けすることを、赤−黒順序付けと称する。
【００３３】
従来技術の辞書式順序付けの状態と比較して立方体の赤−黒順序付けの利点は、赤立方体１Ｒについて、そのすぐ隣りの立方体が全て黒になり、逆もまた同じであることである。以下の説明の第１実施形態では、モデル化方法が、水力学パラメータを計算するために実行される。
【００３４】
コンピュータが炉心の水力学パラメータを計算するために解かねばならない線形方程式（１）は、一般的な、対角的に予め調整された形、
【数７】
2011514587.tif 000017
で書くことができる。
【００３５】
非対角行列
2011514587.tif 000018
は、赤立方体１Ｒをすぐ隣の黒の立方体１Ｂにのみ結合して散在し、逆もまた同じである。かくして、赤−黒順序付けは、方程式８の赤部分と黒部分の間に次の便利な関係を可能にする：
【数８】
2011514587.tif 000019
【００３６】
計算の観点から、赤黒順序付けの使用は、もし、反復の第１の半分で、赤の反復 x の成分xred が更新されるならば、次いで、反復の第２の部分中に、黒成分 xblackは、すべてそれらの隣の赤成分xredに基づいて更新されることを示す。換言すれば、黒立方体１Ｂ毎の値は、全ての直ぐ隣りの赤立方体１Ｒの値に基づいて計算される。
【００３７】
かくして、反復は、
【数９】
2011514587.tif 000020
（９）
になる。
【００３８】
赤黒順序付けの使用によって、計算効率を改善することを助ける。実際、図２は、反復回数が、辞書式の順序付けに基づき且つＧＳ手順を用いる従来技術の方法の状態（曲線５）については、赤黒順序付けに基づき且つＧＳ手順を用いる本発明による方法（曲線７）についてよりも、高いことを示す。
【００３９】
実際、前に強調されたように、もしＧＳ反復の第１の半分で、反復x の赤成分が更新されるならば、反復の第２の半分中、全ての黒更新が、辞書式順序付けの場合のように、隣の赤の半分だけからではなく、隣りの赤の全てから共通の更新を受ける。２つの異なる順序付けの間で観測された収束速度差を説明する、この特定の特性の差である。
【００４０】
赤黒順序付けは、種々の解手順について使用することができる本発明の第１側面を構成する。
【００４１】
そのような赤黒順序付けは、本発明の第２側面を構成する特定の解手順について用いられるとき特に有用であることがわかる。
【００４２】
この手順は、特に高いエラー強さ安定化双共役勾配安定化（Bi-CGStab）手順である。この手順の適当な前置きの記載は、以下の引用文献に見られる。Y. Saad, "スパース線形系反復法 (Iterative Methods for Sparse Linear Systems)", 第２版, 工業・応用数学会 (SIAM) (2003;)、H.A. van der Vorst, "Bi-CGSTAB: 非対称の線形系を解くためのBi-CGの高速且つ円滑な収束バリアント (a Fast and Smoothly Converging Variant of Bi-CG for the solution of nonsymmetric linear systems)", 日本応用数理学会 SIAM J. Sci. Stat. Comput. 13(2), pp.631-644 (1992),
【００４３】
前記双共役勾配安定化（Bi-CGStab）手順は、与えられた
2011514587.tif 000021
ともにxの関数のための最小化原理から由来され、そのために定常を線形系
2011514587.tif 000022
をちょうど満たす特定の最適な xを中心とした小さな変分δx に関して適用し、且つ汎関数が最小値を仮定する。
【００４４】
かくして、線形系
2011514587.tif 000023
の効率的な解き方についてより直接的な考察によってではなく汎関数の最小化によって行われる解手順を定義することが可能である。Bi-CGStab手順は、そのような最小原理から続き、反復での連続変化は、（Galerkin加重積分剰余のようである）関数の各変化が先の変化の全てに関して直交するように配列される。
【００４５】
本発明の第２側面による特殊なBi-CGStab手順が、解ベクトル x、解誤差ｒただし
2011514587.tif 000024
及び補助ベクトルr*、s及びp、初期解推定値x0で下式に与えられる：
【数１０】
2011514587.tif 000025
（１０）
【００４６】
典型的に、Bi-CGStab法は、それが良好な収束作用を提供する予備調整（プレコンディショナー）を必要とする。
【００４７】
これは、例えば、線形系の両側を、いわゆる予備調整行列によって予め掛け算されることを意味する。この行列は、対角のプレコンディショナのような陽関数の形、又は
2011514587.tif 000026
に十分に適当な近似を提供する系行列
2011514587.tif 000027
の陰関数近似逆行列のような陰関数の形、を有することができ、これは予備調整の目的に十分に適当であることを意味する。本実施形態に採用され且つ本発明の第３の側面を構成する他の方法は、対角行列が変換の形で十分に有力であることを確かめることによって、左に現われる行列が、単純な逆対角行列のみを用いて良好な予備調整を可能にするように、もとの方程式を書き換え或いは変換することにある。
【００４８】
良好なプレコンディショナ又は良好な変換は、典型的に、空間的な結合、それ故に方程式の解を決定するノードの間の物理的な相互作用に関して、重要な情報又はその情報の主要部分をうまく予め含める。ここで検討下の特定の場合は、その点に関して例外はない。
【００４９】
特別な形
2011514587.tif 000028
が反復的に解かれるべき系に適用できるので、式（７）を適用し、さらなる予備調整がなければ、Bi-CGStab方法の直接の赤黒変形は、ＳＯＲポスト測定によって最適化されるＧＳ手順と比較してむしろゆっくりと収束する。しかしながら、展開、
【数１１】
2011514587.tif 000029
（１１）
の１次数打ち切りを使用することができる。
【００５０】
これはテーラー公式から直接続くKrylov展開であり、これは、また、
【数１２】
2011514587.tif 000030
（１２）
をもたらすヤコビ法
2011514587.tif 000031
中、陰関数的に追及され、その極限の場合から、方程式（１１）の妥当性が確認される。
【００５１】
今、プレコンディショナとして方程式（１２）に表現された行列展開の１次打切り
2011514587.tif 000032
を用いると、この打切りによって、Bi-CGStab法の収束効率を実質的に改善することができることが分かる。この１次プレコンディショナ
2011514587.tif 000033
で方程式（７）の左側と右側の予備掛け算は、変換された系を得る：
【数１３】
2011514587.tif 000034
（１３）
【００５２】
この特定のプレコンディショナ−の使用は、隣りの（赤対黒）ノード/立方体の間の直接の中性子相互作用が解かれるべき系に予め含まれ、単一演算子
2011514587.tif 000035
故にもっと有位にすることを意味する。
【００５３】
これは、Bi-CGStab手順を適用するとき実質的な効率増加をもたらす。
【００５４】
以下により詳細に論じられるように、この形は、反復解を１つの色のみ（赤のみ或いは黒のみのいずれか）に限定することができる追加の重要な利点を提供する。次いで、反対の色の値を、さらなる反復の必要なく、直接に後計算することができる。これは、もしノード/立方体が同じ色（いわゆる赤と赤、又は黒と黒）を有する場合にのみ演算子
2011514587.tif 000036
がノード/立方体を結合するからである。
【００５５】
この意味では、これは、解かれるべき色の選択後、全体の方程式並びに解手順を、ノード/立方体の半分だけのレベルで定義し且つ追及することができる場合、単一色市松模様方程式に圧縮することができる。
【００５６】
方程式（９）に示されるように、線形系の純粋に赤−黒の形により、方程式（１３）は、系の単に赤又は単に黒部分についての方程式の公式に等しい。
【００５７】
固定黒源部
2011514587.tif 000037
及び赤解部xredの項で xblackを表現し、これを赤部についての式に代入すると、我々は赤解部分だけについての形
【数１４】
2011514587.tif 000038
（１４）
を得る。
【００５８】
黒部分については、同様の形が当てはまる。それ故に、赤解部分だけを方程式（１４）に基づいて解き、収束後、黒部分を、方程式（９）の黒方程式部分から直接解くことができる。方程式（１４）の解効率及び、特にエラー強さについて、単に格子の半分に定義された特別に仕立てられた市松模様に予備調整されたBi-CGStab法は、
【数１５】
2011514587.tif 000039
（１５）
によって与えられる。
【００５９】
前述のように、手順（１５）は、全体の方程式並びに解手順を、解くべき色の選択後ノード/立方体の半分だけのレベルで定義し且つ実行することができる場合、単一色市松模様方程式と称される。
【００６０】
次いで、反対色のノード/立方体は、典型的に、赤−黒演算子である
2011514587.tif 000040
の２連続適用による
2011514587.tif 000041
の適用を可能にするために用いられる。
【００６１】
このアプローチから、適用行列の便利な赤-黒希薄、すなわち予め計算され且つ予め記憶された陽関数の市松模様の予備調整オフ対角行列が保たれ、これが反対色のノードの無視を可能にし、より多くのオフ対角行列のゼロ以外の要素を簡単に有する。
【００６２】
反復当りの主な仕事量、すなわち格子の半分に（例えば赤立方体だけ）
2011514587.tif 000042
の適用は、全格子（先ず赤立方体、次いで黒立方体）に
2011514587.tif 000043
を適用して、赤−黒順序付け格子に１つのＧＳ反復を追求する際に伴われる計算努力と同様の計算努力を与える。
スカラー和を計算するための仕事量は少ない。
【００６３】
図３では、解精度ε = 10-8までの、市松模様の予備調整Bi-CGStab手順の収束挙動（曲線９）が、最もよいSORパラメータ値（ω＝1.8）を適用したGS/SOR処理（曲線１１）と比較してプロットされ、手順の両方が赤−黒順序付け格子に適用される。
【００６４】
図３から、パラメータのない市松模様の予備調整Bi-CGStab手順が、可能な最も高い程度のSOR加速でGS手順と少なくとも同じ収束速度を提供することが明らかである。
【００６５】
市松模様の予備調整Bi-CGStab手順はパラメータなしであるので、最適なSORパラメータがここに適用されたSORパラメータと異なる場合についても、保証された競争（又はよりよい）性能を提供することが期待できる。
【００６６】
Bi-CGStabステップ当りの計算努力は、GSステップの２倍よりもわずかに大きいが、もしBi-CGStab手順が効率的にプログラムされるならばあまり大きくならない。しかしながら、Bi-CGStab手順は、もし良好なプレコンディショナと組み合わされるならば、予め特定された誤差基準を満たすための著しく少ない反復ステップを要求する。
【００６７】
従って、SORパラメータの小さい変分に関して大きな性能感度を心に留めると、市松模様の予備調整Bi-CGStab手順は、それによって、赤−黒順序付け格子のプラットフォームで反復を追求するための、実質的によりエラー強さの、信頼できる、パラメータのない選択として現われる。
【００６８】
かくして、上述の方法は、より短い時間で関連する炉心シミュレーションを得るために効率的に用いることができる。
【００６９】
別に言及する価値のある、他の便利な特性は、ノード剰余が、Bi-CGStab方程式で陽関数で現されるから、収束監視の目的のためにノード剰余を別々に計算される必要がない事である。これまで開示された収束の例では、採用された収束基準は、普通、伝統的なＳＯＲ加速ヤコビ又はガウス-ザイデル反復の ith回反復に用いられる基準であった。
【数１６】
2011514587.tif 000044
（１６）
【００７０】
これが収束基準の現在依然としたデフォルト定義であるという特別な理由のためである。しかしながら、反復がその前者とどのくらい異なるかを単に監視する代わりに、それは、また、解かれるべき線形方程式の実際の剰余
2011514587.tif 000045
の開方を直接に監視することができ、その実際の剰余は、方程式の厳密な達成感が確立されるとき0に収束する。
【００７１】
これは、任意に、この場合に単に単色変換方程式の変換された単色部分について行なうことができる：
【数１７】
2011514587.tif 000046
（１７）
【００７２】
前述のように、Bi-CGStab手順の便利な特性は、ノード剰余は陽関数で現われるから、ノード剰余を収束監視の目的のために別々に計算する必要がない事実である。最大立方体剰余、
【数１８】
2011514587.tif 000047
（１８）
を本発明の第４の側面を構成する収束監視量として用いるとき、実際にBi-CGStab手順が、最適化されたＧＳ手順と比較して顕著な性能向上を提供することが分かる。
【００７３】
これは、Bi-CGStab手順が、線形方程式の積分されたGalerkin重み剰余の最適な効率の及び早い最小化のために特別に仕立てられる特性に結び付けられる。
【００７４】
市松模様の予備調整Bi-CGStab手順（曲線１３）と、ＳＯＲパラメータに関して経験的に決定された最適な選択（ω＝1.8）を有する赤−黒ＳＯＲ加速ＧＳ手順（曲線１５）の間の比較を繰り返えすと、我々は図４に示す図を得る。
【００７５】
この特定の比較により、 ith回の反復の収束監視量として rmax (i)の使用の場合に、赤−黒ＧＳと比較した市松模様の予備調整Bi-CGStabの使用と結び付けられた期待通りの性能向上を確認する。
【００７６】
かくして、赤−黒ＧＳアプローチの場合には、解の黒部分は、黒ノードがこれらの隣の赤ノードの更新情報から常に利益を得るので、常に赤部分にまさっている。
【００７７】
これを公式化する他の方法は、反復の赤部分が常に”遅れ（lagging behind）”ることであり、これは、式が赤ノードと黒ノードの間に絶対剰余の”不公平な”差を常に期待しなければならないことを意味する。市松模様の予備調整Bi-CGStabアプローチにより、この”不公平な”差は完全に除去され、これは、図４で観測できる赤−黒ＧＳと比較した市松模様の予備調整Bi-CGStabの収束速度の利点を説明するのに役立つ。
【００７８】
さらに、本発明の第４の側面により、
赤−黒Bi-CGStabの適用のために収束監視量として rmax (i)を採用することが推奨される、というのは、これが、方程式を満たすか否かをより一層厳しく示す根本的により意味のある収束監視量であり、
古い反復x(i)の蓄積を避け、
ステップi毎に、方程式（１６）におけるように古い収束基準εi の計算をなしで済ませるからである。
【００７９】
言及する価値がある他の点は、赤−黒順序付けに基づいた解手順を、簡単に並列化することができ、そのため、計算効率をさらに向上させることができることである。
【００８０】
実際、赤−黒順序付けでは、赤及び黒ノード計算がプロセッサ間で続けて再分され、すなわち赤ノード計算がプロセッサ間で先ず再分され、次いで、黒ノード計算がプロセッサ間で再分されるとき、デグラデーションがない。
【００８１】
これは、ＧＳ手順が用いられるときのみらず、ＣＧ手順のような他の手順によっても当てはまる。
【００８２】
ＧＳ手順については、この独立は、赤−黒ＧＳ反復の第１の半分では、赤の更新は前の並行化されたＧＳ反復からの古い隣りの情報に依存する特性に結び付けられ、その全ての結果は全ての並行プロセッサに既に伝達されている。この特徴は、どのくらい多くの並行プロセッサが用いられるかに無関係である。反復の第２の黒部分中、全ての赤値の全ての更新は、これらが、現在のＧＳ反復の第１の半分の終わりに、マスタープロセッサによって均一に伝達され且つ配分されるので、全てのプロセッサに知らされる。
【００８３】
再び、これは、どのくらい多くの並行プロセッサが用いられるかに無関係であり、Ｎ個の並行プロセッサの適用はNの理論的なスピードアップ因子Ｎをもたらすことを意味する。
【００８４】
実際には、この利得は、プロセッサ間の伝達のために、少し減少されるが、典型的には多くなく、いかなる場合においてもとても大きなスピードアップが可能であることを意味する。
【００８５】
普通に、赤−黒ＧＳ反復の大変外の部分は、 通常"do i_rb = 1,2"の性質のものによって表される赤と黒の立法体にわたるループであり且つ、これは、普通、異なるプロセッサに並列に割り当てられた多数の立方体にわたる内ループである。
【００８６】
図５では、異なるシミュレーションをされた待ち時間シナリオが、黒−赤順序付けの場合に、利用できる並列プロセッサの数、１（曲線１７）、２（曲線１９）、４（曲線２１）及び８（曲線２３）の関数としてプロットされる。辞書式順序付けの場合には、アルゴリズム効率が、プロセッサ数が増大するにつれてますます低下し、並列コンピュータ計算を行うときとても期待はずれのスピードアップとなる。
【００８７】
上記例示は、熱水力パラメータの計算に関して与えられる。
【００８８】
しかしながら、本発明は、また、下に開示されるように、中性子束の計算にも適用される。
【００８９】
この場合、解くべき希薄系は固有系である。
【００９０】
そのような系は
【数１９】
2011514587.tif 000048
になる。
ただし、
2011514587.tif 000049
は移動損失、
2011514587.tif 000050
は産出演算子であり、定常状態の場合については、
2011514587.tif 000051
であり、過渡の場合については、
2011514587.tif 000052
である。特別な数値解の目的のために、損失及び移動演算子
2011514587.tif 000053
は、その対角部分及び非対角部分に分けることができる：
【数２０】
2011514587.tif 000054
(20)
【００９１】
非対角部分
2011514587.tif 000055
が赤−黒演算子であり、即ち赤ベクトルに適用されるとき、赤ベクトルは黒ベクトルを生成し、その逆も同じである。ノードの赤−黒順序付けは、中性子平衡方程式の界面カレント式で赤と黒のノードの面境界にわたって定義されたカレント間の関係について特別である特性
2011514587.tif 000056
と
2011514587.tif 000057
を用いて、反復の設定に用いられる（赤ノードのアウトカレントは黒ノードについてはインカレントである）。
【００９２】
古典的なGS反復手順（ただし反復インデックスn）は、各反復スイープが黒部分が続く赤部分からなるように設定することができ：先ず、赤部分の反復
2011514587.tif 000058
が更新され、その後反復
2011514587.tif 000059
のこの更新された部分が反復の黒部分
2011514587.tif 000060
のさらに改善された更新を発生するように用いられる：
【数２１】
2011514587.tif 000061
（２１）
【００９３】
或いは、
【数２２】
2011514587.tif 000062
（２２）
の適用により、制限産出演算子
2011514587.tif 000063
は対角であり、
【００９４】
さらに、固有推定値は、
2011514587.tif 000064
は、単位重み関数
【数２３】
2011514587.tif 000065
（２３）
の使用により（定常状態の場合のみのために）計算される。
【００９５】
今、変形例として、また、
【数２４】
2011514587.tif 000066
（２４）
により、赤カレントのみ（或いは黒カレントのみ）を解くように選択することができ、ただし、固定変換源
【数２５】
2011514587.tif 000067
（２５）
である。
【００９６】
このアプローチの魅力的な計算特性は、
2011514587.tif 000068
のノルムと比較して演算子
2011514587.tif 000069
の低いノルムに関係し、これは、ノルムが古典的な反復処理を用いるが下に開示されるように反復手順を用いるかに関係なく式剰余の衰微に有益である。さらに、固有値更新及び収束監視の計算は、ショートの２倍であるループを伴い、誤差衰微調整数の改善が、この場合では計算の不利益なしに得られることを意味する。赤或いは黒ベクトルに適用される行列ベクトル積は、半分のノードにわたる合計のみを含む。反復手順の収束後に、解の黒部分を直接計算することができる。
【数２６】
2011514587.tif 000070
（２６）
【００９７】
本発明の第５側面によれば、特別の解手順が、固有系を処理するとき、特に効率的であることが証明されている。この解手順は、Bi-CGStab（双共役勾配安定化）として知られ且つ次の文献に開示される：H.A. van der Vorst, "Bi-CGSTAB: 非対称の線形系を解くための双共役グラジエントの高速且つ円滑な収束バリアント (a Fast and Smoothly Converging Variant of Bi-CG for the solution of nonsymmetric linear systems)", 日本応用数理学会 SIAM J. Sci. Stat. Comput. 13(2), pp.631-644 (1992)、Y. Saad, "スパース線形系反復方法 (Iterative Methods for Sparse Linear Systems)", 第２版, 工業・応用数学会 (SIAM) (2003;)、Bi-CGSTAB処理は、また、Bi-CGStab処理と一般化された最小誤差（GMRES）処理とを組み込む一般的な部類のKrylov部分空間法に属する。
【数２７】
2011514587.tif 000071
（２７）
の形の系を考察するとき：
ただし、源項
2011514587.tif 000072
は
2011514587.tif 000073
によって決定され、Ｎステップ（ただし、通常Ｎ＜５）後に打ち切られるBi-CGSTABシーケンスは、
【数２８】
2011514587.tif 000074
（２８）
と書かれる。
【００９８】
非対称線形系を解くためのBi-CGSTAB手順は、とても簡単にコードに入れることができるのに対し、その主な挑戦は、Bi-CGSTAB手順が最適効率を提供することができるために、十分に予備調整された線形系を有することの要求に関する。
【００９９】
良好な予備調整は、典型的には、予備調整演算子のための、陽関数或いは陰関数の強い対角優勢を意味するので、技術は、（ｉ）もたらされる十分な程度の対角優勢と、（ii）Bi-CGSTAB手順のステップ当りの系統的陰関数予備調整対策と関連した、限られた計算不利益との間の最適なトレードオフを実現する、通常陰関数表示の予備調整形を発見することである。
Bi-CGSTAB手順のために、予備調整はシフト反転陰関数形
【数２９】
2011514587.tif 000075
（２９）
ただし、典型的には、0.9<α<0.97、に基づく。
【０１００】
シフトμのこの選択で、演算子
2011514587.tif 000076
は、解手順中、μ＝αλが系の最も小さい可能な固有値をα倍まで収束するので、非正則のままにすることが保証される。
【０１０１】
方程式（２９）を解くことは、中性子源を有するわずかに臨界未満の系の中性子束分布を決定することに数値的に等しく、これは、進んだ予備調整Krylov手順を展開するための完全なシナリオである。
【０１０２】
方程式（２９）を解くための典型的な内/外反復手順は、陰関数変換を採用し、連続的な反復ステップの間、
【数３０】
2011514587.tif 000077
（３０）
の形の線形源方程式を解くことを意味する。
【０１０３】
反復手順中、
2011514587.tif 000078
は、方程式（２３）におけるような式の異なる項の重み量積分のλの再均衡の適用によって更新することができる。今、我々は、結合された赤−黒反復系、
【数３１】
2011514587.tif 000079
（３１）
を、赤解部分だけについて次の同等の反復スキーム式３２に変換することができる。
【数３２】
2011514587.tif 000080
（３２）
【０１０４】
この予備調整系は、本発明の第６の側面を構成する。いったん方程式（３２）が、Bi-CGSTAB手順によって解かれると、黒解部分が、方程式（３１）の黒部分から計算される。再均衡格子上に投影されるように、隣りの（赤対黒）ノードの間の直接の中性子相互作用を意味する予備調整のこの特定の方法の使用は、解かれるべき系に予め含まれ、
【数３３】
2011514587.tif 000081
（３３）
は、
【数３４】
2011514587.tif 000082
（３４）
により与えられるゆえに、方程式（３２）の単位演算子を、より優勢にさせる。
【０１０５】
予備調整のこのやり方は、空間的な結合、それ故に方程式の解を決定するノード間の物理的な相互作用に関して、決定的な情報（又はその情報の主要部分）を、低い計算コストで、どうにか予め含める。
【０１０６】
前の説明で述べたように、本発明の第１乃至第６の側面は、エラー強さ及び効率的なモデル化方法を達成するのに役立つ。
【０１０７】
本発明の第１側面は、それ自体で、この目的を達成するのに役立ち、かくして、例えば、ＧＳ反復手順を用いることによって第２乃至第５側面に別々に使用することができることを心に留めておくべきである。また、第３及び第４の側面は、第２側面で必ずしも実行されず、第５側面は第６側面で必ずしも実行されない。モデル化方法により得られた結果は、例えば、核燃料を管理するための既存の原子炉炉心を制御するために使用することができ、或いは新しい原子炉を建設するために用いることができる。
【０１０８】
モデル化方法は、熱水力パラメータ及び中性子束の両方をコンピュータ計算するために用いることができる。
【図１】
2011514587.tif 000097
【図２】
2011514587.tif 000098
【図３】
2011514587.tif 000099
【図４】
2011514587.tif 000100
【図５】
2011514587.tif 000101
【手続補正書】
【提出日】平成22年10月21日(2010.10.21)
【手続補正１】
【補正対象書類名】特許請求の範囲
【補正対象項目名】全文
【補正方法】変更
【補正の内容】
【特許請求の範囲】
【請求項１】
原子炉炉心をモデル化するためのコンピュータで実行する方法であって、
コンピュータで実行する計算のための格子のノードを構成するために炉心を立方体（１Ｂ、１Ｒ）に分割するステップと、
立方体を第１カテゴリー（１Ｒ）と第２カテゴリー（１Ｂ）に分割するステップとを含み、第１カテゴリー（１Ｒ）の各立方体が、立方体の第１カテゴリーと第２カテゴリーが市松模様を構成するように、第２カテゴリーから立方体（１Ｒ）にのみ隣接し、
第１カテゴリーの立方体（１Ｒ）を、次に第２カテゴリーの立方体（１Ｂ）を順序付けするステップと、
少なくとも１つの線形系及び/又は固有系の反復解手順を用いることによって中性子束及び/又は熱水力パラメータを計算するステップを含み、線形系及び/又は固有系の反復の成分が計算されるべき中性子束及び/又は熱水力パラメータを構成し、反復解手順中、計算が第１カテゴリーの立方体に、次いで第２カテゴリーの立方体に行われる、ことを特徴とする、前記方法。
【請求項２】
解手順の反復中、第１カテゴリーの立方体に対応する反復の成分が更新され、次いで、第２カテゴリーの立方体に対応する反復の成分が、第１カテゴリーの、第２カテゴリーの隣りの立方体の更新された成分に基づいて更新される、請求項１に記載の方法。
【請求項３】
解手順の反復は、
2011514587.tif 000102
になる、
ここに、
2011514587.tif 000103
は、第１カテゴリーの立方体（１Ｒ）に対応する反復の成分を示し、
2011514587.tif 000104
は、第２カテゴリーの立方体（１Ｂ）に対応する反復の成分を示し、
2011514587.tif 000105
は、第１カテゴリーの立方体と第２カテゴリーの立方体とを結合する非対角行列を示し、さらに、
2011514587.tif 000106
と
2011514587.tif 000107
は源因子を示す、請求項２に記載の方法。
【請求項４】
解手順の反復は、
2011514587.tif 000108
になる、
ここに、
2011514587.tif 000109
は、第１カテゴリーの立方体（１Ｒ）に対応する反復の成分を示し、
2011514587.tif 000110
は、第２カテゴリーの立方体（１Ｂ）に対応する反復の成分を示し、
2011514587.tif 000111
は、それぞれに損失移動演算子の対角部分と非対角部分である、請求項２に記載の方法。
【請求項５】
反復解手順は、第１カテゴリーの立方体にのみ行われ、かくして、第１カテゴリーの立方体に対応する反復の成分を計算し、次いで、第２カテゴリーの立方体に対応する反復の成分が第１カテゴリーの立方体に対応する反復の成分に基づいて計算される、ことを特徴とする、請求項２乃至４の何れか１項に記載の方法。
【請求項６】
第１カテゴリーの立方体（１Ｂ）について解かれるべき線形系は、
2011514587.tif 000112
になるように予備調整される、請求項３と組み合わされた請求項５に記載の方法。
【請求項７】
解手順の収束は、線形系の剰余ベクトルによりモニターされ、この剰余ベクトルは、
2011514587.tif 000113
と定義される、請求項６に記載の方法。
【請求項８】
解手順の収束は、剰余ベクトルの成分の最大絶対値によりモニターされ、この最大値は
2011514587.tif 000114
と定義される、請求項７に記載の方法。
【請求項９】
第１カテゴリーの立方体（１Ｂ）について解かれるべき線形系は、
2011514587.tif 000115
になるように、予備調整される、請求項４と組み合わされた請求項５に記載の方法。
【請求項１０】
反復解手順はガウスザイデル手順である、請求項１乃至９の何れか１項に記載の方法。
【請求項１１】
ガウスザイデル手順は、系統的逐次過緩和法と組み合わされる、請求項１０に記載の方法。
【請求項１２】
反復解手順は共役勾配手順である、請求項１乃至９の何れか１項に記載の方法。
【請求項１３】
反復解手順は双共役勾配安定化手順である、請求項１乃至９の何れか１項に記載の方法。
【請求項１４】
方法は並列プロセッサで実行される、請求項１乃至１３の何れか１項に記載の方法。
【請求項１５】
方法は、計算された中性子束及び/又は計算された熱水力パラメータに基づいて原子炉炉心を建設するステップを含む、請求項１乃至１４の何れか１項に記載の方法。
【請求項１６】
方法は、計算された中性子束及び/又は計算された熱水力パラメータに基づいて原子炉炉心を運転するステップを含む、請求項１乃至１５の何れか１項に記載の方法。
【請求項１７】
方法は、コンピュータで実行される方法である、請求項１乃至１６の何れか１項に記載の方法。
【請求項１８】
コンピュータプログラム製品がコンピュータ読み出し可能な媒体上に在り且つコンピュータで実行するためのコンピュータプログラム手段を含む、請求項１乃至１６の何れか１項に記載の方法。
【国際調査報告】
2011514587.tif 000116
2011514587.tif 000117
2011514587.tif 000118