(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
電気二重層キャパシタの性能測定方法において、
電気二重層キャパシタの電荷をゼロとした後、定電流Ｉによる定電流充電、定電圧Ｅによる定電圧充電及び定電流Ｉによる定電流放電を行い、定電流充電及び定電流放電の端子電圧Ｖを所定の間隔で計測するとともに充電時間ｔｃｈ及び放電時間ｔを計測し、
計測された端子電圧Ｖ、充電時間ｔｃｈ及び放電時間ｔから、充電時の電荷Ｑｃｈと放電時の電荷Ｑとの差ΔＱと、放電時に端子から放出される放出エネルギーＷと、を算出し、ΔＱと、放出エネルギーＷと直線的放電特性の放出エネルギーＷ０との差である乖離エネルギーΔＷと、の算定式から、
電気二重層キャパシタの微分容量として規定されるｃ＝ｃ０＋αＶｃの特性式より、
前記電荷の差ΔＱは、ΔＱ＝Ｑ−Ｑｃｈ＝αＩＲ（Ｅ−ＩＲ）と表され、
前記乖離エネルギーΔＷは、ΔＷ＝Ｗ−Ｗ０＝α（Ｅ−ＩＲ）３／１２と表されることから、
前記ΔＱに含まれるαを前記ΔＷに代入してＩＲの式とし、このＩＲの解を求めることによって、内部抵抗Ｒを算出し、
算出された前記内部抵抗Ｒと前記電荷の差ΔＱとから、電気二重層キャパシタの微分容量における電圧に依存する成分αＶｃの電圧係数αを算出し、算出された前記内部抵抗Ｒと前記電圧係数αとから、静電容量Ｃを算出することを特徴とする電気二重層キャパシタの性能測定方法。
【請求項２】
前記ΔＱに含まれるαを前記ΔＷに代入するとともに、Ｘ＝ＩＲと置いて、
Ｘ＝（−ｂ＋√（ｂ２＋４ａｃ））／２ａ
ただし、ａ＝６Ｑ−ΔＱ、ｂ＝１２Ｗ−６ＱＥ＋２ΔＱＥ、ｃ＝ΔＱＥ２
このＸの解を求めることによって、内部抵抗Ｒを算出することを特徴とする請求項１に記載の電気二重層キャパシタの性能測定方法。
【請求項３】
前記ΔＱと内部抵抗Ｒとを用いて、微分容量の電圧係数αを、α＝ΔＱ／ＩＲ（Ｅ−ＩＲ）によって算出することを特徴とする請求項１に記載の電気二重層キャパシタの性能測定法。
【請求項４】
電気二重層キャパシタの性能測定方法において、
電気二重層キャパシタの電荷をゼロとした後、定電流Ｉによる定電流充電、定電圧Ｅによる定電圧充電及び定電流Ｉによる定電流放電を行い、定電流放電の端子電圧Ｖを所定の間隔で計測するとともに放電時間ｔを計測し、
計測された端子電圧Ｖの傾きから、電気二重層キャパシタの微分容量における電圧に依存する成分αＶｃの電圧係数αを算出し、
計測された端子電圧Ｖ、放電時間ｔから、放電時に端子から放出される放出エネルギーＷと電荷Ｑとを算出し、放出エネルギーＷと直線的放電特性の放出エネルギーＷ０との差である乖離エネルギーΔＷの算定式から、
電気二重層キャパシタの微分容量として規定されるｃ＝ｃ０＋αＶｃの特性式より、
前記乖離エネルギーΔＷは、ΔＷ＝Ｗ−Ｗ０＝α（Ｅ−ＩＲ−Ｖ２）３／１２と表されることから、
前記ΔＷが内部抵抗Ｒの三次式であることから、内部抵抗に関する三次方程式が得られ、この三次方程式の解を求めることによって、内部抵抗Ｒを算出し、
算出された前記内部抵抗Ｒと前記電圧係数αとから、静電容量Ｃを算出することを特徴とする電気二重層キャパシタの性能測定方法。
【請求項５】
放電終止電圧Ｖ２の直線的放電特性の放出エネルギーＷ０は、Ｗ０＝Ｉｔ（Ｅ−ＩＲ＋Ｖ２）／２と表されることから、
内部抵抗Ｒを、次のＸによる三次方程式と置き、
ａＸ３＋ｂＸ−Ｗ’＝０
ただし、Ｘ＝Ｅ−ＩＲ−Ｖ２、ａ＝α／１２、ｂ＝Ｉｔ／２
前記三次方程式を、Ｘ＝Ａ−ｂ／３ａＡと置き換えて次のＡによる三次方程式と置き、
ａＡ３−（ｂ３／２７ａ２Ａ３）−Ｗ’＝０
ｘ＝Ａ３と置き換えて、次のｘによる二次方程式と置き、
ａｘ２−Ｗ’ｘ−ｂ３／２７ａ２＝０
前記二次方程式の解ｘの立方根からＡを算出し、Ｘ＝Ｅ−ＩＲ−Ｖ２＝Ａ−ｂ／３ａＡの関係から、内部抵抗Ｒを算出することを特徴とする請求項４に記載の電気二重層キャパシタの性能測定方法。
【請求項６】
充放電試験器と、電気二重層キャパシタを含むキャパシタユニットと、により構成され、
前記充放電試験器は、前記請求項１から５のいずれか一つに記載の電気二重層キャパシタの性能測定方法を実行することを特徴とする電気二重層キャパシタの性能測定システム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
この発明は、電気二重層キャパシタの性能測定方法及び性能測定システムに関する。
【背景技術】
【０００２】
エネルギー分野で用いる電気二重層キャパシタ（ＥＤＬＣ：Electric Double Layer Capacitor）においては、エネルギー密度、出力密度、充放電効率などが重要視されるが、これらの指標の基礎となる充放電特性は、内部抵抗Ｒおよび静電容量Ｃに大きく依存する曲線的特性を示すため、精度の高い内部抵抗Ｒおよび静電容量Ｃの測定法の開発が望まれる。
【０００３】
ＥＤＬＣの充放電特性を模擬する最も簡易かつ実用的な等価回路モデルとして１段のＲＣ配列が考えられる。端子電圧Ｖ、電流Ｉ、キャパシタンス素子電圧（以下、素子電圧）Ｖｃ、静電容量Ｃ、内部抵抗Ｒである。充放電は、ＥＤＬＣの端子を短絡した後、一定電流Ｉで充電を開始する。その後、端子電圧Ｖが規定電圧Ｅに達すと、端子電圧Ｖを規定電圧Ｅに維持しつつ、電流Ｉが十分小さくなるまで充電（定電圧充電）し、充電終了後に一定電流Ｉで放電する。
【０００４】
内部抵抗Ｒの測定方法としては、放電の２時点（Ｔ１，Ｔ２）間の電圧（Ｖ１，Ｖ２）を結ぶ直線を引き、放電開始直後の電圧を推定して電圧降下ＩＲを図式的に求め、これから内部抵抗Ｒを推定する方法がある。静電容量Ｃの測定方法としては、放電の２時点（Ｔ１，Ｔ２）間の放出電荷Ｑを定電流ＩからＱ＝Ｉ（Ｔ２−Ｔ１）として、Ｃ＝Ｑ／（Ｖ１−Ｖ２）によって静電容量Ｃを推定する方法がある（非特許文献１）。
【０００５】
このように、内部抵抗Ｒ及び静電容量Ｃの測定方法においては、充放電時間・電圧特性が直線的であり、内部抵抗が殆ど無視できるような場合には、比較的精度よく推定しえる。一方、大容量型ＥＤＬＣにおいては、内部抵抗Ｒの影響が無視できず、また、微分容量ｃが電圧により変化するため、充放電時間・電圧特性が曲線的になる。そのため、等価回路モデルを適用すると、曲線的充放電特性を模擬できず、内部抵抗Ｒ及び静電容量Ｃを精度よく推定しえない。
【０００６】
これに対して、内部抵抗Ｒ及び静電容量Ｃを精度良く測定するための方法として、放電時の２時点間の端子放出エネルギーＷを求め、微分容量ｃを構成する素子電圧Ｖｃに依存する成分αＶｃのαを求め、２時点間の素子放出エネルギーＵを求め、Ｗ＝Ｕ−Ｉ２Ｒｔのエネルギー平衡式から内部抵抗Ｒ及び静電容量Ｃを求める手法が、本出願人によって既に提案されている（特許文献１）。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００７】
【非特許文献１】「電気二重層コンデンサの試験方法」 日本電子機械工業規格 （２０００−４）
【特許文献】
【０００８】
【特許文献１】特開２００９−２６０２７５号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００９】
前述の特許文献１に記載の方法は、微分容量の電圧依存係数αを図式的に求め、このαに基づいて、内部抵抗Ｒが収束するように繰り返し計算を行う必要があり、測定方法としては計算が煩雑であった。特に、繰り返し行う計算の収束の時間が予測しづらいため、より簡易な計算方法が求められていた。
【００１０】
本発明はこのような問題点に鑑みてなされたものであり、電気二重層キャパシタの性能測定方法において、精度を落とすことなくより簡易な方法で内部抵抗Ｒ及び静電容量Ｃを算出することができる性能測定方法及び性能測定システムを提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００１１】
本発明は、電気二重層キャパシタの性能測定方法において、電気二重層キャパシタの電荷をゼロとした後、定電流Ｉによる定電流充電、定電圧Ｅによる定電圧充電及び定電流Ｉによる定電流放電を行い、定電流充電及び定電流放電の端子電圧Ｖを所定の間隔で計測するとともに充電時間ｔｃｈ及び放電時間ｔを計測し、計測された端子電圧Ｖ、充電時間ｔｃｈ及び放電時間ｔから、充電時の電荷Ｑｃｈと放電時の電荷Ｑとの差ΔＱを算出し、ΔＱと、放電時に端子から放出される放出エネルギーＷと直線的放電特性の放出エネルギーＷ０との差である乖離エネルギーΔＷと、の算定式から、電気二重層キャパシタの微分容量として規定されるｃ＝ｃ０＋αＶｃの特性式より、電荷の差ΔＱは、ΔＱ＝Ｑ−Ｑｃｈ＝αＩＲ（Ｅ−ＩＲ）と表され、乖離エネルギーΔＷは、ΔＷ＝Ｗ−Ｗ０＝α（Ｅ−ＩＲ）３／１２と表されることから、ΔＱに含まれるαをΔＷに代入してＩＲの式とし、このＩＲの解を求めることによって、内部抵抗Ｒを算出し、算出された内部抵抗ＲとΔＱとから、電気二重層キャパシタの微分容量ｃにおける電圧に依存する成分αＶｃの電圧係数αを算出し、算出された内部抵抗Ｒと電圧係数αとから、静電容量Ｃを算出することを特徴とする。
【００１２】
また、本発明は、電気二重層キャパシタの性能測定方法において、電気二重層キャパシタの電荷をゼロとした後、定電流Ｉによる定電流充電、定電圧Ｅによる定電圧充電及び定電流Ｉによる定電流放電を行い、定電流充電及び定電流放電の端子電圧Ｖを所定の間隔で計測するとともに放電時間ｔを計測し、計測された端子電圧Ｖの傾きから、電気二重層キャパシタの微分容量ｃにおける電圧に依存する成分αＶｃの電圧係数αを算出し、計測された端子電圧Ｖ、放電時間ｔから、放電時に端子から放出される放出エネルギーＷを算出し、放出エネルギーＷと直線的放電特性の放出エネルギーＷ０との差である乖離エネルギーΔＷと電圧係数αとの関係から、電気二重層キャパシタの微分容量として規定されるｃ＝ｃ０＋αＶｃの特性式より、乖離エネルギーΔＷは、ΔＷ＝Ｗ−Ｗ０＝α（Ｅ−ＩＲ−Ｖ２）３／１２と表されることから、ΔＷが内部抵抗Ｒの三次式であることから、内部抵抗に関する三次方程式が得られ、この三次方程式の解を求めることによって、内部抵抗Ｒを算出し、算出された内部抵抗Ｒと電圧係数αとから、静電容量Ｃを算出することを特徴とする。
【発明の効果】
【００１３】
本発明によると、計測された充電時間、放電時間、電圧の推移より、充電時の電荷Ｑｃｈと放電時の電荷Ｑとの差ΔＱと乖離エネルギーΔＷの算定式を求め、これらより解析的に内部抵抗Ｒ及び静電容量Ｃを求めるので、従来技術のような値が収束するまで繰り返しの計算を行うことなく、曲線的充放電特性の電気二重層キャパシタの内部抵抗Ｒと静電容量Ｃを精度良く計測することが可能になる。
【図面の簡単な説明】
【００１４】
【図１】本発明の実施形態のＥＤＬＣの等価回路を示す説明図である。
【図２】従来の直線的特性を示す定電流充放電特性の説明図である。
【図３】本発明の実施形態のＥＤＬＣの定電流充放電特性の説明図である。
【図４】本発明の実施形態のＥＤＬＣの性能測定システムの説明図である。
【図５】本発明の実施形態の微分容量の電圧特性を示す説明図である。
【発明を実施するための形態】
【００１５】
以下、図面を参照して、本発明の実施形態を説明する。
【００１６】
＜第１実施形態＞
図１は、本発明の実施形態の電気二重層キャパシタのＲＣ等価回路を示す説明図である。
【００１７】
電気二重層キャパシタ（Electric Double Layer Capacitor、以下「ＥＤＬＣ」と表記する。）は、実用的には、図１に示すＲＣ等価回路で表される。
【００１８】
図１において、端子電圧Ｖ、電流Ｉ、素子電圧Ｖｃ、静電容量Ｃ、内部抵抗Ｒである。充放電は、ＥＤＬＣの端子を短絡した後、一定電流Ｉで充電を開始する。その後、端子電圧Ｖが規定電圧Ｅに達すと、端子電圧Ｖを規定電圧Ｅに維持しつつ、電流Ｉが十分小さくなるまで充電（定電圧充電）し、充電終了後に一定電流Ｉで放電する。
【００１９】
図２は、図１に示す静電容量一定の等価回路における充放電特性を示す説明図である。
【００２０】
静電容量一定の等価回路においては、充放電時間に対する電圧特性が直線的となる。この直線的特性において、内部抵抗Ｒの測定方法は、放電の２時点（Ｔ１、Ｔ２）間の電圧（Ｖ１、Ｖ２）から、放電開始直後の電圧を推定して電圧降下ＩＲを図式的に求め、これから内部抵抗Ｒを推定することができる。また、静電容量Ｃの測定方法は、放電の２時点（Ｔ１、Ｔ２）間の放出電荷Ｑを定電流ＩからＱ＝Ｉ（Ｔ２−Ｔ１）として、Ｃ＝Ｑ／（Ｖ１−Ｖ２）によって静電容量Ｃを推定することができる。
【００２１】
図２に示すように、充放電時間・電圧特性が、直線的であり、内部抵抗が殆ど無視できるような場合には、内部抵抗Ｒ及び静電容量Ｃを比較的精度よく推定しえる。
【００２２】
一方、例えば大容量型のＥＤＬＣでは、内部抵抗Ｒの影響が無視できない。また、微分容量ｃは電圧により変化する。そのため、充放電時間・電圧特性が直線的でないので、図１の等価回路を適用すると、曲線的充放電特性を模擬できず、内部抵抗Ｒ及び静電容量Ｃを精度よく推定しえない。
【００２３】
図３は、本実施形態のＥＤＬＣにおける充放電特性を示す説明図である。
【００２４】
まず、ＥＤＬＣに対して充放電を行い、充放電時の電圧を測定する。
【００２５】
具体的には、ＥＤＬＣに対して、端子を短絡した後、定電流Ｉで充電を開始する。その後、端子電圧Ｖが規定電圧Ｅに達すと、端子電圧Ｖを規定電圧Ｅに維持しつつ、電流Ｉが十分小さくなるまで充電（定電圧充電）を行う。充電が終了した後、ＥＤＬＣの端子電圧Ｖが終止電圧Ｖ２（＝０）となるまで定電流Ｉで定電流放電を行う。
【００２６】
前述のように、ＥＤＬＣは、内部抵抗Ｒを持ち、微分容量ｃが電圧により変化するため、このときの計測値（端子電圧Ｖ）は、図２に示す直線的特性から乖離した特性を示す。
【００２７】
具体的には、定電流充電開始時は、内部抵抗Ｒによって端子電圧Ｖは、０ではなくＩＲとして検出される。また、微分容量ｃが電圧依存することから、充電中は、端子電圧Ｖは実線で示すような曲線的特性を示し規定電圧Ｅまで到達する。このときの素子電圧Ｖｃは、内部抵抗Ｒによる電圧降下ＩＲにより一点鎖線のような特性を示す。
【００２８】
規定電圧Ｅでの定電圧充電後、定電流放電を開始する。このとき、内部抵抗Ｒによる電圧降下ＩＲにより、端子電圧Ｖ＝Ｖ１＝Ｅ−ＩＲとして検出される。また、微分容量ｃが電圧依存することから、放電中は、端子電圧Ｖは実線で示すような曲線的特性を示し、終止電圧Ｖ２（＝０）まで降下する。このときの素子電圧Ｖｃも、内部抵抗Ｒによる電圧降下ＩＲにより一点鎖線のような特性を示す。
【００２９】
ここで、直線的放電特性の放出エネルギーＷ０は、斜線で示すように、放電開始時のＶ１と放電終了時のＶ２（＝０）を結ぶ直線と電圧および時間軸で囲まれた領域となる。これに対して、実際の放出エネルギーＷは、実線に示す曲線的特性で囲まれた領域となる。直線的放電特性の放出エネルギーＷ０と実際の放出エネルギーとの差である乖離エネルギーΔＷは、これらの差分である三日月状の領域となる。また、内部抵抗Ｒでの損失エネルギーＩ２Ｒｔを含む素子から放出される素子エネルギーＵは、一点鎖線で示す特性で囲まれた領域となる。
【００３０】
このように、直線的特性から乖離した曲線的特性を示すＥＤＬＣについて、内部抵抗Ｒ及び静電容量Ｃを、精度良く、かつ、簡易な方法で求める手法を以下に説明する。
【００３１】
ここで、図３に示すＥＤＬＣの定電流充放電特性に関する諸量を次のように定義する。
【００３２】
ＥＤＬＣの端子電圧をＶ、ＥＤＬＣの電気二重層間に現れる素子電圧をＶｃとする。
【００３３】
充電開始時の初期電荷ゼロの状態、すなわち、素子電圧Ｖｃ１（＝０）から、端子電圧ＶがＥ（Ｅ＝Ｖｃ２＋ＩＲ）となるまで、定電流Ｉによる充電を行う。このとき、充電開始から端子電圧ＶがＥに達するまでの定電流充電時間をｔｃｈとする。
【００３４】
端子電圧Ｖ＝Ｅから、端子電圧Ｖが終止電圧Ｖ２（＝０）に達するまで、定電流Ｉによる放電を行う。このとき、放電開始から放電終了までの定電流放電時間をｔとする。
【００３５】
また、素子の満充電時の電荷をＱｃｈとし、完全放電時の電荷をＱとする。このとき、素子の放電エネルギーをＵ、端子の放電エネルギーをＷとする。
【００３６】
ここで、素子の電荷Ｑにより、電圧は、（Ｖｃ１−Ｖｃ２）だけ変化する。図３に示すように、放電特性は、直線的特性から乖離した曲線的な放電特性を示し、このときの微分容量は電圧に依存する。微分容量の電圧特性が、素子電圧Ｖｃに無関係な成分ｃ０と、これに並列する比例定数α（傾き）からなる素子電圧Ｖｃに依存する成分αＶｃと、から構成されるものとすると、微分容量ｃは次式（１）のように表される。
【００３７】
ｃ＝ｃ０＋αＶｃ  ・・・  （１）
【００３８】
また、電荷Ｑｃｈ及びＱは、図３の素子電圧Ｖｃを用いて、微分容量の電圧積分として表され、次式（２）及び（３）のように、規定電圧Ｅ、定電流Ｉ、内部抵抗Ｒの式に表される。
【００３９】
すなわち、充電時の電荷Ｑｃｈは、Ｖｃ１＝０からＶｃ２＝Ｅ−ＩＲまでの積分値であり、次式（２）のように表される。
【００４０】
Ｑｃｈ＝∫ｃｄＶｃ＝ｃ０（Ｅ−ＩＲ）＋α（Ｅ−ＩＲ）２／２＝Ｉｔｃｈ  ・・・  （２）
【００４１】
また、放電時の電荷Ｑは、Ｖｃ１＝ＥからＶｃ２＝ＩＲまでの積分値であるので、次式（３）のように表される。
【００４２】
Ｑ＝∫ｃｄＶｃ＝ｃ０（Ｅ−ＩＲ）＋α（Ｅ２−Ｉ２Ｒ２）／２＝Ｉｔ  ・・・  （３）
【００４３】
式（２）及び（３）から、充電時の電荷Ｑｃｈと放電時の電荷Ｑとの差ΔＱは、次式（４）のように表される。
【００４４】
ΔＱ＝Ｑ−Ｑｃｈ＝Ｉ（ｔ−ｔｃｈ）＝αＩＲ（Ｅ−ＩＲ）  ・・・  （４）
【００４５】
また、充電時間ｔｃｈと放電時間ｔとの差Δｔは、同様に次式（５）のように表される。
【００４６】
Δｔ＝ｔ−ｔｃｈ＝αＲ（Ｅ−ＩＲ）  ・・・  （５）
【００４７】
次に、放電時における直線的特性の放出エネルギーＷ０と、端子からの放出エネルギーＷとから、直線的特性から乖離した乖離エネルギーΔＷを定義する。
【００４８】
直線的特性の放出エネルギーＷ０は、図３の斜線部分で示す三角形の領域であり、これは次式（６）のように表される。ここで、Ｑ＝Ｉｔである。
【００４９】
Ｗ０＝Ｑ（Ｅ−ＩＲ）／２  ・・・  （６）
【００５０】
一方、Ｖｃ１−Ｖｃ２＝Ｖ１−Ｖ２の関係から、特許文献１に示されているように、ΔＷ＝α（Ｅ−ＩＲ）３／１２となるので、ΔＷは次式（７）のように表される。
【００５１】
ΔＷ＝Ｗ−Ｗ０＝Ｗ−Ｑ（Ｅ−ＩＲ）／２＝α（Ｅ−ＩＲ）３／１２  ・・・  （７）
【００５２】
ここで、式（４）から、α＝ΔＱ／ＩＲ（Ｅ−ＩＲ）であるので、Ｘ＝ＩＲと置くと、式（７）は次式（８）のように表される。
【００５３】
Ｗ−Ｑ（Ｅ−Ｘ）／２＝ΔＱ（Ｅ−Ｘ）２／１２Ｘ  ・・・  （８）
【００５４】
この式（８）をＸの式として展開すると、次式（９）のようにＸの二次方程式として表される。
【００５５】
（６Ｑ−ΔＱ）Ｘ２＋（１２Ｗ−６ＱＥ＋２ΔＱＥ）Ｘ−ΔＱＥ２＝０  ・・・  （９）
【００５６】
ここで、この二次方程式の解を求めると、Ｘは、次式（１０）のように表される。
【００５７】
Ｘ＝（−ｂ＋√（ｂ２＋４ａｃ））／２ａ  ・・・  （１０）
ただし、ａ＝６Ｑ−ΔＱ、ｂ＝１２Ｗ−６ＱＥ＋２ΔＱＥ、ｃ＝ΔＱＥ２とする。
【００５８】
Ｘ＝ＩＲであるから、この式（１０）を用いて、充電時の電荷Ｑｃｈ、放電時の電荷Ｑ、電流Ｉ、放電時の端子エネルギーＷ及び規定電圧Ｅから、内部抵抗Ｒを求めることができる。
【００５９】
また、微分容量の電圧係数αは、内部抵抗Ｒから、前述の（４）式を元に次式（１１）のように求めることができる。
α＝ΔＱ／ＩＲ（Ｅ−ＩＲ）  ・・・  （１１）
【００６０】
ところで、図３の一点鎖線に示すように、素子から放出される素子エネルギーＵは、微分容量ｃによる電荷ｃＶｃの電圧積分として、次式（１２）のように表される。
【００６１】
Ｕ＝∫ｃＶｃｄＶｃ  ・・・  （１２）
【００６２】
この素子エネルギーＵは、端子放出エネルギーＷと内部抵抗による損失分である損失エネルギーＩ２Ｒｔによって、次式（１３）のように表される。
【００６３】
Ｕ＝Ｗ＋Ｉ２Ｒｔ＝Ｗ０＋Ｉ２Ｒｔ＋ΔＷ＝ｃ０（Ｖｃ１２−Ｖｃ２２）／２＋α（Ｖｃ１３−Ｖｃ２３）／３  ・・・  （１３）
【００６４】
一方で、電荷法の積分容量Ｃ’は、電流Ｉと放電時間ｔと放電時の端子電圧（Ｅ−ＩＲ）とにより、次式（１４）のように表される。
【００６５】
Ｃ’＝Ｉｔ／（Ｅ−ＩＲ）  ・・・  （１４）
【００６６】
この積分容量Ｃ’と前述の式（３）とから、微分容量の電圧に無関係な成分ｃ０は、次式（１５）のように表される。
【００６７】
ｃ０＝Ｃ’−α（Ｅ＋ＩＲ）／２  ・・・  （１５）
【００６８】
従って、これらの式より、静電容量Ｃは、次式（１６）のように表される。
【００６９】
Ｃ＝２Ｕ／（Ｖｃ１２−Ｖｃ２２）＝ｃ０＋２α（Ｖｃ１３−Ｖｃ２３）／３（Ｖｃ１２−Ｖｃ２２）  ・・・  （１６）
【００７０】
この計算式によって、内部抵抗Ｒから、静電容量Ｃを求めることができる。
【００７１】
次に、本発明の実施形態のＥＤＬＣの性能測定システム１０について説明する。図４は、本発明の実施形態のＥＤＬＣの性能測定システム１０を示す説明図である。
【００７２】
この性能測定システム１０は、充放電試験器１００と、キャパシタユニット２００とから構成される。
【００７３】
充放電試験器１００は、キャパシタユニット２００に対して充電及び放電を行う。その際に、キャパシタユニット２００の端子電圧Ｖ及び端子電流Ｉを測定する。そして、この測定結果に基づいて、前述のアルゴリズムを用いて、キャパシタユニット２００の性能を測定する。
【００７４】
キャパシタユニット２００は、複数のキャパシタ素子（ＥＤＬＣ）を直列又は並列に接続して構成される。このキャパシタユニット２００は、図１に示すように、静電容量Ｃと内部抵抗Ｒとの等価回路により示されている。
【００７５】
この充放電試験器１００によるキャパシタユニット２００の性能測定方法を説明する。
【００７６】
まず、充放電試験器１００は、キャパシタユニット２００の端子を短絡した後、一定電流（Ｉ）にて、キャパシタユニット２００の定電流充電を行う。
【００７７】
端子電圧Ｖが規定電圧Ｅに達した場合は、充放電試験器１００は、端子電圧Ｖを規定電圧Ｅに維持しつつ、端子電流Ｉが十分に小さくなるまで充電（定電圧充電）を行う。
【００７８】
端子電流Ｉが十分小さくなったとき、すなわち、ＥＤＬＣの電荷が飽和状態となったとき、充放電試験器１００は、キャパシタユニット２００の端子電圧がゼロになるまで定電流Ｉでの放電を行う。
【００７９】
この充電及び放電を行うとき、充放電試験器１００は、キャパシタユニット２００の端子電圧を、所定間隔（例えば０．０１〜０．１秒間隔）で測定し、これを記憶しておく。これを、キャパシタユニット２００の端子電圧がゼロになるまで継続する。この測定値は、図３の実線で示すような線を描く。
【００８０】
また、充放電試験器１００は、記憶されたデータに基づいて、前述のような計算式を用いて、キャパシタユニット２００の性能、すなわち、キャパシタユニット２００の静電容量Ｃ及び内部抵抗Ｒを算出する。
【００８１】
次に、実際のＥＤＬＣについて実験結果により求めた計測結果を、説明する。
【００８２】
まず、前提条件として、放電電流Ｉ＝１０［Ａ］、規定電圧Ｅ＝２．７［Ｖ］として、前述のように、ＥＤＬＣの電荷をゼロとした後、定電流充電、定電圧充電、定電流放電を行い、充電時間ｔｃｈ、放電時間ｔ、端子電流Ｉ、端子電圧Ｖを測定する。
【００８３】
実験結果では、充電時間ｔｃｈ＝３７５．３８［ｓ］、放電時間ｔ＝３８２．０７［ｓ］、放電エネルギーＷ＝５５１８．８２［Ｊ］を計測した。
【００８４】
この計測値を用いて、前述の式（４）より、
ΔＱ＝Ｉ（ｔ―ｔｃｈ）＝６６．９［Ｃ］
が求まる。
【００８５】
また、前述の式（５）より、
Δｔ＝ｔ−ｔｃｈ＝６．６９［ｓ］
が求まる。
【００８６】
これらの結果から、ａ、ｂ、ｃを求めると、
ａ＝６Ｑ−ΔＱ＝２２，８５７．３
ｂ＝１２Ｗ−６ＱＥ＋２ΔＱＥ＝４，６９１．７６
ｃ＝ΔＱＥ２＝４８７．７０１
が求まる。
【００８７】
これらａ、ｂ、ｃを用いて、前述の式（１０）より、
Ｘ＝（−ｂ＋√（ｂ２＋４ａｃ））／２ａ＝０．０７５８９
となり、内部抵抗Ｒは、
Ｒ＝Ｘ／Ｉ＝０．００７５８９［Ω］
が求まる。
【００８８】
また、微分容量の電圧係数αは、前述の（４）式より、
α＝ΔＱ／ＩＲ（Ｅ−ＩＲ）＝３３５．９４［Ｆ／Ｖ］
が求まる。
【００８９】
また、電荷法による積分容量は、前述の式（１４）により、
Ｃ’＝Ｉｔ／（Ｅ−ＩＲ）＝１４５６．００［Ｆ］
が求まる。
【００９０】
そして、微分容量の電圧に依存しない成分ｃ０は、前述の式（１５）により、
ｃ０＝Ｃ’−α（Ｅ＋ＩＲ）／２＝９８９．７３［Ｆ］
【００９１】
従って、静電容量Ｃは、前述の式（１６）より、
Ｃ＝ｃ０＋２α（Ｖｃ１３−Ｖｃ２３）／３／（Ｖｃ１２−Ｖｃ２２）＝９８９．７３＋６０５．１６＝１５９４．８９［Ｆ］
が求まる。
【００９２】
以上のように、充電時間ｔｃｈ、放電時間ｔ、放出エネルギーＷから、内部抵抗Ｒ、微分容量の電圧係数α及び静電容量Ｃを求めることができる。
【００９３】
特に、第１の実施形態では、ＥＤＬＣの残留電荷がゼロの状態から充電電荷Ｑｃｈを測定し、放電電荷Ｑとの差ΔＱを算出し、ΔＱ及び乖離エネルギーΔＷの算定式から内部抵抗Ｒを解析的に求め、このＲとΔＱとから微分容量の電圧係数αを求めることによって、静電容量Ｃを求めることができる。このような計算方法によって、煩雑な繰り返し計算を必要とすることなく、内部抵抗Ｒと静電容量Ｃとを精度良く求めることができる。
【００９４】
＜第２実施形態＞
次に、本発明の第２の実施形態を説明する。
【００９５】
第１の実施形態と同様に、端子放出エネルギーＷと直線的放電特性の放出エネルギーＷ０との関係は、ΔＷ＝Ｗ−Ｗ０であり、Ｗ０＝Ｉｔ（Ｖ１＋Ｖ２）／２と算出できる。
【００９６】
ここで、ＥＤＬＣの放電開始電圧Ｖ１及び放電終止電圧Ｖ２は、Ｖ１＝Ｖｃ１―ＩＲ、Ｖ２＝Ｖｃ２−ＩＲであり、素子電圧はＶｃ１＝Ｅ、Ｖｃ２＝Ｖ２＋ＩＲとすると、Ｗ０＝Ｉｔ（Ｅ−ＩＲ＋Ｖ２）／２となるので、乖離エネルギーΔＷは、次式（１７）のように表される。
【００９７】
ΔＷ＝Ｗ−Ｉｔ（Ｅ−ＩＲ＋Ｖ２）／２＝α（Ｖ１−Ｖ２）３／１２＝α（Ｅ−ＩＲ−Ｖ２）３／１２  ・・・  （１７）
【００９８】
ここで、Ｉｔ（Ｅ−ＩＲ＋Ｖ２）／２＝Ｉｔ（Ｅ−ＩＲ−Ｖ２）／２＋ＩｔＶ２と変形し、かつ、Ｗ’をＷ’＝Ｗ−ＩｔＶ２と定義すると、乖離エネルギーΔＷは、次式（１８）のように表される。
【００９９】
ΔＷ＝Ｗ’−Ｉｔ（Ｅ−ＩＲ−Ｖ２）／２＝α（Ｅ−ＩＲ−Ｖ２）３／１２  ・・・（１８）
【０１００】
この式（１８）から、次式（１９）を得る。
【０１０１】
ａＸ３＋ｂＸ−Ｗ’＝０  ・・・  （１９）
ただし、Ｘ＝Ｅ−ＩＲ−Ｖ２、ａ＝α／１２、ｂ＝Ｉｔ／２
【０１０２】
この式（１９）の３次方程式の解として、Ｒを求めることができる。
【０１０３】
まず、式（１９）を、次式（２０）のように変形する。
【０１０４】
ａＸ３＋ｂＸ−Ｗ’＝ａ（Ｘ３＋ｂ／ａＸ）−Ｗ’＝０  ・・・  （２０）
【０１０５】
ここで、Ｘ＝Ａ−β／Ａと置くと、式（２０）は次式（２１）のように展開できる。
【０１０６】
Ｘ３＝（Ａ−β／Ａ）３＝Ａ３−３βＸ−（β／Ａ）３であるから、
Ｘ３＋３βＸ＝Ａ３−（β／Ａ）３  ・・・  （２１）
【０１０７】
この式（２１）に対して、さらに、β＝ｂ／３ａとすると、次式（２２）のように表される。
【０１０８】
Ｘ３＋ｂ／ａＸ＝Ａ３−（ｂ／３ａ／Ａ）３  ・・・  （２２）
【０１０９】
式（２０）に、式（２２）を代入すると、次式（２３）のように表される。
【０１１０】
ａＡ３−（ｂ３／２７ａ２Ａ３）−Ｗ’＝０  ・・・  （２３）
【０１１１】
この式（２３）を、Ａ＝Ｘ＋ｂ／３ａＡ、ｘ＝Ａ３として整理すると、次式（２４）のように表される。
【０１１２】
ａｘ２−Ｗ’ｘ−ｂ３／２７ａ２＝０  ・・・  （２４）
【０１１３】
この式（２４）の二次方程式を解くと、ｘは、次式（２５）のように表される。
【０１１４】
ｘ＝（Ｗ’＋√（Ｗ’２＋４ｂ３／２７ａ））／２ａ  ・・・  （２５）
【０１１５】
前述のようにｘ＝Ａ３なので、ｘの立方根からＡが求まる。このＡを用いて、Ｘ＝Ａ−β／Ａが求まるので、Ｘ＝Ｅ−ＩＲ−Ｖ２の関係から、内部抵抗Ｒは、次式（２６）のように求めることができる。
【０１１６】
Ｒ＝（Ｅ−Ｖ２−Ｘ）／Ｉ＝（Ｅ−Ｖ２−（Ａ−β／Ａ））／Ｉ  ・・・  （２６）
【０１１７】
以上のように、放出電荷Ｑ＝Ｉｔ、微分容量の電圧係数α、放電終止電圧Ｖ２及び端子放出エネルギーＷの値を用いて、内部抵抗Ｒを求めることができる。
【０１１８】
次に、実際のＥＤＬＣについて実験結果により求めた計測結果を、説明する。
【０１１９】
まず、前提条件として、放電電流Ｉ＝１０［Ａ］、規定電圧Ｅ＝２．７［Ｖ］、放電開始電圧Ｖ１＝Ｅ−ＩＲ［Ｖ］、放電終止電圧Ｖ２＝０［Ｖ］として、前述のように、放電後、定電流充電、緩和充電後の放電を行い、放電時間ｔ、端子電流Ｉ、端子電圧Ｖ、端子放出エネルギーＷを測定する。
【０１２０】
実験結果では、放電時間ｔ＝３８２．０７［ｓ］、端子放出エネルギーＷ＝５５１８．８２［Ｊ］を計測した。
【０１２１】
まず、これらの計測結果から、微分容量の電圧係数αを図式的に求める。
【０１２２】
図５は、微分容量ｃの電圧依存性を示す説明図である。
【０１２３】
微分容量ｃは図５に示すような電圧依存性を示すことから、微分容量特性を定義する電圧係数αは、図５に示すようなグラフを参照して、図式的に求めることができる。
【０１２４】
すなわち、前述のように、ＥＤＬＣの微分容量ｃは、電圧に依存しない容量ｃ０と、傾きαで電圧に依存する成分αＶｃとの和により表される。この傾きαは定量的であり、予め実験等により求めておいた値を図５として保持しておき、計測時にこの値を読み出すことによってαを求めることができる。
【０１２５】
ここでは、前述の計測値に基づいて図式的に電圧係数αを求めた結果、α＝３３７．５となる。
【０１２６】
まず、Ｗ’＝Ｗ−ＩｔＶ２であるから、
Ｗ’＝５５１８．８２、（Ｗ’）２＝３０，４５７，３７４．１９
が求まる。
【０１２７】
また、ａ、ｂ、βは、それぞれ、
ａ＝α／１２＝２８．１２５
ｂ＝Ｉｔ／２＝１，９１０．３５、ｂ３＝６，９７１，７０２，２０６．９６
β＝ｂ／３ａ＝２２．６４１１８５
が求まる。
【０１２８】
これらの値を式（２５）に代入してｘを求めると、
ｘ＝（Ｗ’＋√（Ｗ’２＋４ｂ３／２７ａ））／２ａ＝（５５１８．８２＋８，１９６．３８６）／２ａ＝２４３．８２５８８
が求まる。
【０１２９】
このｘの立方根、すなわちＡは、
Ａ＝３√ｘ＝６．２４７３１
が求まる。
【０１３０】
このＡからＸを求める。すなわち、
Ｘ＝Ａ−β／Ａ＝６．２４７３１−２２．６４１１８５／６．２４７３１＝２．６２３１６
が求まる。
【０１３１】
このＸの値を前述の式（２６）に代入することによって、内部抵抗Ｒは、
Ｒ＝（Ｅ−Ｘ）／Ｉ＝（２．７−２．６２３１６）／１０＝０．００７６８４［Ω］
が求まる。
【０１３２】
これから、静電容量Ｃは、前述の式（１４）、（１５）、（１６）より、
Ｃ＝ｃ０＋２α（Ｖｃ１３−Ｖｃ２３）／３／（Ｖｃ１２−Ｖｃ２２）＝９８７．９４＋６０７．９７８＝１５９５．９２［Ｆ］
が求まる。
【０１３３】
以上のように、放電時間ｔ、端子放出エネルギーＷ、微分容量の電圧係数αから、解析的に内部抵抗Ｒを求め、静電容量Ｃを求めることができる。
【０１３４】
特に、第２の実施形態では、ＥＤＬＣを、定電圧Ｅでの定電圧充電後、放電電荷Ｑと端子放出エネルギーＷを計測し、微分容量の電圧係数αを求め、乖離エネルギーΔＷの定義式を用いて解析的に内部抵抗Ｒを求めることができる。この内部抵抗Ｒに基づいて静電容量Ｃを求めることができる。このような計算方法によって、煩雑な繰り返し計算を必要とすることなく、内部抵抗Ｒと静電容量Ｃとを精度良く求めることができる。なお、第２の実施形態では、電圧係数αを図５のように実験値から図式的に求めるので、前述の第１実施形態の算出方法と比べて電圧係数αの値が若干異なる。しかし、電圧センサ等の計測値の誤差を考慮すると、実用的な精度は前述の第１実施形態と同様である。
【０１３５】
以上説明したように、本発明の第１及び第２の実施形態では、ＥＤＬＣの性能計測において、定電流充電、定電圧充電及び定電流放電を行ったときの定電流Ｉ、規定電圧Ｅ、端子電圧Ｖ、充電時間ｔｃｈ、放電時間ｔ等の計測値から、一度の計算によって内部抵抗Ｒ及び電圧係数αを求め、静電容量Ｃを求めることができる。
【０１３６】
従って、従来のような、直線的放電特性を想定した誤差が大きな計測方法や、値が収束するまで繰り返し行う煩雑な計算を実行することなく、より簡易な方法で、電気二重層キャパシタ（ＥＤＬＣ）の性能を計測することができる。
【符号の説明】
【０１３７】
１０  性能測定システム
１００  充放電試験器
２００  キャパシタユニット
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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