(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
部分計測を複数回行い、それらを合成して全体の形状を得るスティッチ計測方法において、
全体計測領域に対して、部分計測領域を複数配置するラティス構築ステップと、
ラティスにおいて、全体計測領域の外部が存在する周辺部分計測領域に対しては、全体計測領域の内部の第１の領域と外部の第２の領域とに分割し、全体計測領域の外部が存在しない中央部分計測領域に対しては、周辺部分計測領域の分割パターンによって第１の領域と第２の領域とに分割するステップと、
第１の領域上に第１の直交関数系を構築するステップと、
全体計測領域における各部分計測領域に対して、第１の領域上に第１の直交関数系の各関数の線形結合を第１のシステムエラーとして定義するステップと、
線形結合における係数を変数として含む整合性関数を構築するステップと、
整合性関数を最適化することにより決定された変数からシステムエラーを算出するステップと
を有することを特徴とする計測方法。
【請求項２】
第２の領域上に第２の直交関数系を構築するステップと、
全体計測領域における各部分計測領域に対して、第２の領域上に第２の直交関数系の各関数の線形結合を第２のシステムエラーとして定義するステップと
を有することを特徴とする請求項１に記載の計測方法。
【請求項３】
第１の領域上に第１の直交関数系を構築するステップまたは第２の領域上に第２の直交関数系を構築するステップにおいて、グラム・シュミットの直交化法を用いる
ことを特徴とする請求項１または請求項２に記載の計測方法。
【請求項４】
各部分計測領域上の第１の領域が合同であるラティスを構築する
ことを特徴とする請求項１に記載の計測方法。
【請求項５】
予め部分計測領域に対して特定領域を抽出する
ことを特徴とする請求項１に記載の計測方法。
【請求項６】
第１のシステムエラーと第２のシステムエラーが算出された後、これらを部分計測領域上の直交関数系の各関数の線形結合で合成する
ことを特徴とする請求項２に記載の計測方法。
【請求項７】
部分計測領域上の直交関数系がＺｅｒｎｉｋｅ多項式である
ことを特徴とする請求項６に記載の計測方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、部分計測を複数回行い、それらを合成して全体の形状を得る計測（スティッチ）に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
スティッチ技術は、干渉計測において、天体反射鏡を試験するための大型参照光学素子を製造する費用を回避するために誕生した。誕生からしばらくは、部分計測領域が重なり領域をもたず、「大域的滑らかさ」を基準にして多項式フィッティングが行われていた。このため、部分計測データの高分解能な情報は失われていた。近年では、部分計測領域が重なり領域をもち、「自己整合性」を基準にして合成が行われている。その結果、部分計測データの高分解能な情報を保持することができる。
【０００３】
各部分計測にはそれぞれ別々のセットエラー（位置・姿勢の誤差）が存在している。また、各部分計測にはすべてで同等のシステムエラー（計測装置特有の誤差）が存在している。スティッチには、このセットエラーとシステムエラーの補正も求められる。特許文献１には、セットエラーとシステムエラーを同時に算出する方法が示されている。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００４】
【特許文献１】米国特許第６９５６６５７号
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
従来、干渉計測における部分計測領域は円形であるため、システムエラーを定義するために円上で直交する関数系であるＺｅｒｎｉｋｅ多項式が用いられていた。この場合、ラティス（部分計測領域の配置）において、全体計測領域の外部ではデータが存在しないにも関わらず、非円形であるデータ存在領域のデータを用いて円形である部分計測領域上のシステムエラー補正が行われるため、精度が低下していた。また、同じ理由により、システムエラー定義に用いるＺｅｒｎｉｋｅ多項式の基底によって各基底の係数が異なっていた。
【０００６】
本発明は、このような従来技術の課題に鑑みてなされ、被検面の形状を高精度に計測することを可能とする新たな技術を提供することを例示的目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
上記課題を解決するために、本発明は、部分計測を複数回行い、それらを合成して全体の形状を得るスティッチ計測方法において、全体計測領域に対して、部分計測領域を複数配置するラティス構築ステップと、ラティスにおいて、全体計測領域の外部が存在する周辺部分計測領域に対しては、全体計測領域の内部の第1の領域と外部の第2の領域とに分割し、全体計測領域の外部が存在しない中央部分計測領域に対しては、周辺部分計測領域の分割パターンによって第1の領域と第2の領域とに分割するステップと、第1の領域上に第1の直交関数系を構築するステップと、全体計測領域における各部分計測領域に対して、第1の領域上に第1の直交関数系の各関数の線形結合を第1のシステムエラーとして定義するステップと、線形結合における係数を変数として含む整合性関数を構築するステップと、整合性関数を最適化することにより決定された変数からシステムエラーを算出するステップとを有することを特徴とする。
【発明の効果】
【０００８】
本発明により、被検面の形状を高精度に計測することができる。
【図面の簡単な説明】
【０００９】
【図１】本発明の一側面としての計測方法を説明するためのフローチャートである。
【図２】全体計測領域：長方形、部分計測領域：円形、第１の領域：半円、第２の領域：半円である場合のラティスを示す図である。
【図３】全体計測領域：長方形、部分計測領域：円形、第１の領域：縮小半円、第２の領域：拡大半円である場合のラティスを示す図である。
【図４】全体計測領域：円形、部分計測領域：円形、第１の領域：凸月、第２の領域：三日月、小円と大円の交点のｙ座標：正である場合のラティスを示す図である。
【図５】全体計測領域：円形、部分計測領域：円形、第１の領域：凸月、第２の領域：三日月、小円と大円の交点のｙ座標：負である場合のラティスを示す図である。
【図６】第２のシステムエラーを定義する必要がない場合のラティスを示す図である。
【図７】第１の領域が合同でない場合のラティスを示す図である。
【図８】予め部分計測領域に対して特定領域を抽出する場合のラティスを示す図である。
【図９】半円多項式を示す図である。
【図１０】半円多項式の定義域（半円）を示す図である。
【図１１】拡張半円多項式の定義域（縮小半円）を示す図である。
【図１２】拡張半円多項式の定義域（拡大半円）を示す図である。
【図１３】三日月多項式の定義域（小円と大円の交点のｙ座標が正の三日月）を示す図である。
【図１４】凸月多項式の定義域（小円と大円の交点のｙ座標が正の凸月）を示す図である。
【図１５】三日月多項式の定義域（小円と大円の交点のｙ座標が負の三日月）を示す図である。
【図１６】凸月多項式の定義域（小円と大円の交点のｙ座標が負の凸月）を示す図である。
【図１７】半円多項式の基底グラフ表を示す図である。
【図１８】拡張半円多項式の基底グラフ表（定義域：縮小半円）を示す図である。
【図１９】拡張半円多項式の基底グラフ表（定義域：拡大半円）を示す図である。
【図２０】拡張半円多項式・凸月多項式・三日月多項式の基底グラフ表（定義域：全円）を示す図である。
【図２１】三日月多項式の基底グラフ表（小円と大円の交点のｙ座標：正）を示す図である。
【図２２】凸月多項式の基底グラフ表（小円と大円の交点のｙ座標：正）を示す図である。
【図２３】三日月多項式の基底グラフ表（小円と大円の交点のｙ座標：負）を示す図である。
【図２４】凸月多項式の基底グラフ表（小円と大円の交点のｙ座標：負）を示す図である。
【図２５】フィッティングの対象形状を示す図である。
【図２６】Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式フィッティングの形状を示す図である。
【図２７】半円多項式フィッティングの形状を示す図である。
【図２８】Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式フィッティングの係数を示す図である。
【図２９】半円多項式フィッティングの係数を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００１０】
本発明は、部分計測を複数回行い、それらを合成して全体の形状を得るスティッチ計測方法に関するものである。本発明のフローチャートを図１に示す。このフローチャートの各ステップである＜ラティス構築＞、＜領域分割＞、＜直交関数系構築＞、＜システムエラー定義＞、＜整合性関数構築＞、＜システムエラー算出＞を順に説明する。
＜ラティス構築＞
まず、全体計測領域（被検面）に対して、部分計測領域（計測範囲）を複数配置するラティス構築を行う。なお、１つの計測範囲が少なくとも１つの他の計測範囲の一部と重なり領域を形成するように複数の計測範囲の各々を設定する。全体計測領域が長方形であり、部分計測領域が円形である場合の例が図２、図３である。また、全体計測領域が円形であり、部分計測領域も円形である場合の例が図４、図５である。各部分計測で姿勢が異なる場合、ラティスは３次元となるが、これらは簡単のため２次元としている。また、これらは後述する第２のシステムエラーを定義する必要がある場合の例でもあるが、第２のシステムエラーを定義する必要がない場合の例が図６である。さらに、これらは後述する第１の領域が合同である場合（第２の領域も合同）の例でもあるが、第１の領域が合同でない場合の例が図７である。その上、これらは予め部分計測領域に対して特定領域を抽出しない場合の例でもあるが、予め部分計測領域に対して特定領域を抽出する場合の例が図８である。
＜領域分割＞
次に、ラティスにおいて、全体計測領域の外部が存在する周辺部分計測領域に対しては、全体計測領域の内部の第１の領域と、外部の第２の領域とに分割する。また、全体計測領域の外部が存在しない中央部分計測領域に対しては、周辺部分計測領域の分割パターンによって第１の領域と第２の領域とに分割する。図２では第１の領域が半円、第２の領域も半円である。図３では第１の領域が縮小半円、第２の領域が拡大半円である。図４、図５では第１の領域が凸月、第２の領域が三日月である。図７では第１の領域の第１の種類が半円、第１の領域の第２の種類が縮小半円、第２の領域の第１の種類が半円、第２の領域の第２の種類が拡大半円である。
＜直交関数系構築＞
次に、第１の領域上に第１の直交関数系を構築する。第１の領域が合同である場合は１種類、合同でない場合はその種類だけ構築する。ラティスにおいて、第１の領域のみでは全体計測領域を被覆していない場合、第２の領域上に第２の直交関数系を構築する。第２の領域が合同である場合は１種類、合同でない場合はその種類だけ構築する。特定領域上で直交する関数系の構築方法としては、グラム・シュミットの直交化法がある。これは、基底系ｖ＝｛ｖｉ｝に対して、以下の式で定まるｗ＝｛ｗｉ｝は直交基底系となるというものである。
【００１１】
【数１】
0005725883.tif 000002
【００１２】
また、以下のようにｗ＝｛ｗｉ｝を正規化することにより、正規直交基底系ｕ＝｛ｕｉ｝を得ることもできる。
【００１３】
【数２】
0005725883.tif 000003
【００１４】
＜システムエラー定義＞
次に、全体計測領域における各部分計測領域に対して、第１の領域上に第１の直交関数系の各関数の線形結合を第１のシステムエラーとして定義する。以下、第１の領域が合同である場合を考えるが、合同でない場合は第１の直交関数系、第２の直交関数系の種類だけ同様に行えばよい。第１の直交関数系をｗ＝｛ｗｉ｝、線形結合における係数（第１のシステムエラー補正変数）をａ＝｛ａｉ｝とすると、第１のシステムエラーｅは以下の通りである。
【００１５】
【数３】
0005725883.tif 000004
【００１６】
これを座標変換することによって、各部分計測領域上に第１のシステムエラーを定義する。ラティスにおいて、第１の領域のみでは全体計測領域を被覆していない場合、第２の領域上に第２の直交関数系の各関数の線形結合を第２のシステムエラーとして定義する。第２の直交関数系をｗ’＝｛ｗ’ｉ｝、線形結合における係数（第２のシステムエラー補正変数）をａ’＝｛ａ’ｉ｝とすると、第２のシステムエラーｅ’は以下の通りである。
【００１７】
【数４】
0005725883.tif 000005
【００１８】
これを座標変換することによって、各部分計測領域上に第２のシステムエラーを定義する。
＜整合性関数構築＞
次に、線形結合における係数（システムエラー補正変数）を変数として含む整合性関数（ＣｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙＦｕｎｃｔｉｏｎ）を構築する。整合性関数は自己整合性の指標となる補正変数の関数であり、これを最適化（最大化または最小化）することによって補正変数が決定される。補正変数として、システムエラー補正変数の他にセットエラー補正変数などを含んでいてもよい。以下、第１の領域が合同である場合を考えるが、合同でない場合は第１のシステムエラー補正変数、第２のシステムエラー補正変数の種類だけ同様に行えばよい。システムエラー補正変数が第１のシステムエラー補正変数のみである場合、整合性関数ｃは以下の通りである。
【００１９】
【数５】
0005725883.tif 000006
【００２０】
システムエラー補正変数が第２のシステムエラー補正変数を含む場合、整合性関数ｃ’は以下の通りである。
【００２１】
【数６】
0005725883.tif 000007
【００２２】
例えば、特許文献１では整合性関数として以下のようなものが用いられている。まず、計測領域の１点における各部分計測の補正計測値（計測値に補正変数を用いて補正を施したもの）の加重平均を算出する。次に、この加重平均を用いて補正計測値の加重分散を算出する。最後に、この加重分散のデータ点すべてにおける加重平均を算出し、これを整合性関数としている。
＜システムエラー算出＞
最後に、整合性関数を最適化することにより決定された変数からシステムエラーを算出する。以下、第１の領域が合同である場合を考えるが、合同でない場合は第１のシステムエラー補正変数、第２のシステムエラー補正変数の種類だけ同様に行えばよい。システムエラー補正変数が第１のシステムエラー補正変数のみである場合、決定された第１のシステムエラー補正変数をａｏ＝｛ａｏｉ｝とすると、最適化が最大化、最小化である場合でそれぞれ以下の通りである。
【００２３】
【数７】
0005725883.tif 000008
【００２４】
システムエラー補正変数が第２のシステムエラー補正変数を含む場合、決定された第２のシステムエラー補正変数をａ’ｏ＝｛ａ’ｏｉ｝とすると、最適化が最大化、最小化である場合でそれぞれ以下の通りである。
【００２５】
【数８】
0005725883.tif 000009
【００２６】
この決定されたシステムエラー補正変数を用いて以下のようにシステムエラーを算出する。
【００２７】
【数９】
0005725883.tif 000010
【００２８】
最適化は目的関数である整合性関数によって手法を選択することが好ましい。例えば、特許文献１では補正計測値が計測値に補正変数の線形結合を加えたものであるため、上記の整合性関数は補正変数の二次関数となる。また、補正変数の次元空間上の超楕円体の内部に補正変数が存在するという制約を付けている。この二次制約二次関数最適化はラグランジュの未定乗数法やペナルティ関数法によって簡単に解くことができる。
［実施例１］
ここでは、全体計測領域が長方形であり、部分計測領域が円形である場合の実施例を示す（図２参照）。なお、＜整合性関数構築＞、＜システムエラー算出＞ステップについては、本実施例に依存しないため省略する。
＜ラティス構築＞
図２のようなラティスを構築する。
＜領域分割＞
第１の領域が半円、第２の領域も半円である。
＜直交関数系構築＞
半円上で直交する多項式系である半円多項式（Ｓｅｍｉｃｉｒｃｌｅ Ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ）を構築する。関数系ｖは以下の通りである。
【００２９】
【数１０】
0005725883.tif 000011
【００３０】
ここでｖｉｊは
【００３１】
【数１１】
0005725883.tif 000012
【００３２】
である。
【００３３】
定義域Ｄは以下の通りである（図１０参照）。
【００３４】
【数１２】
0005725883.tif 000013
【００３５】
内積は以下の通りである。
【００３６】
【数１３】
0005725883.tif 000014
【００３７】
ここで、内積の引数は多項式である。多項式×多項式は多項式なので、重積分の被積分関数は多項式である。よって、項別積分することによって以下の積分に帰着させることができる（内積帰着関数）。
【００３８】
【数１４】
0005725883.tif 000015
【００３９】
これを計算すると、以下のようになる。
【００４０】
【数１５】
0005725883.tif 000016
【００４１】
ここでＢはベータ関数（Ｂｅｔａ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ）であり、以下の通りである。
【００４２】
【数１６】
0005725883.tif 000017
【００４３】
以上より、Ｄ上で直交する関数系ｗ＝｛ｗｉｊ｝は以下のように求めることができる。
【００４４】
【数１７】
0005725883.tif 000018
【００４５】
ここでｎ−１、ｋ−１は、
【００４６】
【数１８】
0005725883.tif 000019
【００４７】
である。
【００４８】
なお、内積（ノルムの２乗も含む）は内積帰着関数を用いて以下のように求めることができる。
【００４９】
【数１９】
0005725883.tif 000020
【００５０】
以上のような計算は、手計算でも行うことはできるが、数式処理システム（ＣｏｍｐｕｔｅｒＡｌｇｅｂｒａ Ｓｙｓｔｅｍ）を用いると便利である。また、数式処理システムを用いる場合は、メモ化（Ｍｅｍｏｉｚａｔｉｏｎ）を行うとより効率的に計算を行うことができる。
【００５１】
以上の計算を実行することにより得た半円多項式を図９に示す。また、基底を定義域上でグラフ化したものの表を図１７に示す。これは、上から下へ順に０次、１次、・・・、９次と次数（ｎ）が上がっていき、左から右へ順にｎ次０項、ｎ次１項、・・・、ｎ次ｎ項と次数内項番（ｋ）が上がっていく。
＜システムエラー定義＞
各部分計測領域に応じて半円多項式に座標変換を施し、各基底の線形結合を第１のシステムエラー、第２のシステムエラーとして定義する。第１のシステムエラー、第２のシステムエラーは、計測装置または計測対象を並進のみで移動する場合は４種類（集合として第１のシステムエラーと第２のシステムエラーは等しい）、回転を含めて移動する場合は１種類になる。
［実施例２］
ここでは、全体計測領域が長方形であり、部分計測領域が円形である場合の、実施例１とは異なる実施例を示す（図３参照）。なお、＜整合性関数構築＞、＜システムエラー算出＞ステップについては、本実施例に依存しないため省略する。
＜ラティス構築＞
図３のようなラティスを構築する。
＜領域分割＞
第１の領域が縮小半円、第２の領域が拡大半円である。
＜直交関数系構築＞
縮小半円、拡大半円を拡張距離ｄ（ｄ＝０：半円、ｄ＜０：縮小半円、ｄ＞０：拡大半円）により表現した拡張半円上で直交する多項式系である拡張半円多項式（ＥｘｔｅｎｄｅｄＳｅｍｉｃｉｒｃｌｅ Ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ）を構築する。
【００５２】
関数系ｖの定義や直交関数系ｗの構築は実施例１と同様である。
【００５３】
実施例１と異なるのは定義域であり、それゆえの内積であり、それゆえの内積帰着関数である。
【００５４】
定義域Ｄは以下の通りである（縮小半円：図１１、拡大半円：図１２参照）。
【００５５】
【数２０】
0005725883.tif 000021
【００５６】
内積は以下の通りである。
【００５７】
【数２１】
0005725883.tif 000022
【００５８】
内積帰着関数は以下の通りである。
【００５９】
【数２２】
0005725883.tif 000023
【００６０】
これを計算すると、以下のようになる。
【００６１】
【数２３】
0005725883.tif 000024
【００６２】
ここでｓは
【００６３】
【数２４】
0005725883.tif 000025
【００６４】
である。また、Ｂｚは不完全ベータ関数（ＩｎｃｏｍｐｌｅｔｅＢｅｔａ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ）であり、以下の通りである。
【００６５】
【数２５】
0005725883.tif 000026
【００６６】
この内積帰着関数を用いて構築した拡張半円多項式の基底グラフ表を図１８（縮小半円：ｄ＝−１／２）、図１９（拡大半円：ｄ＝１／２）に示す。また、拡張半円多項式は、ｄ＝０のときは実施例１で示した半円多項式になり、ｄ＝１のときはＺｅｒｎｉｋｅ多項式とは異なる全円上直交多項式系になる（基底グラフ表：図２０参照）。
＜システムエラー定義＞
縮小半円に対応する拡張距離ｄと拡大半円に対応する拡張距離ｄで拡張半円多項式をそれぞれ構築し、さらに各部分計測領域に応じて座標変換を施し、各基底の線形結合を第１のシステムエラー、第２のシステムエラーとして定義する。第１のシステムエラー、第２のシステムエラーは、計測装置または計測対象を並進のみで移動する場合は４種類、回転を含めて移動する場合は１種類になる。
［実施例３］
ここでは、全体計測領域が円形であり、部分計測領域も円形である場合の実施例を示す（図４参照）。なお、＜整合性関数構築＞、＜システムエラー算出＞ステップについては、本実施例に依存しないため省略する。
＜ラティス構築＞
図４のようなラティスを構築する。
＜領域分割＞
第１の領域が凸月、第２の領域が三日月である。
＜直交関数系構築＞
小円と大円の交点のｙ座標（ｙ０）が正（ｙ０＞０）の場合の、三日月上で直交する多項式系である三日月多項式（ＣｒｅｓｃｅｎｔＰｏｌｙｎｏｍｉａｌ）と凸月上で直交する多項式系である凸月多項式（Ｇｕｂｂｏｕｓ Ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ）を構築する。
【００６７】
関数系ｖの定義や直交関数系ｗの構築は実施例１と同様である。
【００６８】
実施例１と異なるのは定義域であり、それゆえの内積であり、それゆえの内積帰着関数である。
〔三日月多項式〕
定義域Ｄは以下の通りである（図１３参照）。
【００６９】
【数２６】
0005725883.tif 000027
【００７０】
ここでｄは大円のｙ切片のうち大きい方であり、ｒは大円の半径である。
【００７１】
また、小円と大円の交点の座標を（±ｘ０，ｙ０）（ｘ０＞０）とおくと
【００７２】
【数２７】
0005725883.tif 000028
【００７３】
である。
【００７４】
内積は以下の通りである。
【００７５】
【数２８】
0005725883.tif 000029
【００７６】
内積帰着関数は以下の通りである。
【００７７】
【数２９】
0005725883.tif 000030
【００７８】
これを計算すると、以下のようになる。
【００７９】
【数３０】
0005725883.tif 000031
【００８０】
この内積帰着関数を用いて構築した三日月多項式の基底グラフ表を図２１（ｄ＝１／２、ｒ＝２）に示す。
〔凸月多項式〕
定義域Ｄは以下の通りである（図１４参照）。
【００８１】
【数３１】
0005725883.tif 000032
【００８２】
これを以下の３つの領域Ｄ１、Ｄ２、Ｄ３に分割する。
【００８３】
【数３２】
0005725883.tif 000033
【００８４】
内積は以下の通りである。
【００８５】
【数３３】
0005725883.tif 000034
【００８６】
内積帰着関数は以下の通りである。
【００８７】
【数３４】
0005725883.tif 000035
【００８８】
これを計算すると、以下のようになる。
【００８９】
【数３５】
0005725883.tif 000036
【００９０】
この内積帰着関数を用いて構築した凸月多項式の基底グラフ表を図２２（ｄ＝１／２、ｒ＝２）に示す。また、凸月多項式はｄ＝１のときＺｅｒｎｉｋｅ多項式とは異なる全円上直交多項式系になる（ｄ＝１の拡張半円多項式と同一、基底グラフ表：図２０参照）。
＜システムエラー定義＞
大円切片ｄと大円半径ｒで凸月多項式、三日月多項式をそれぞれ構築し、さらに各部分計測領域に応じて座標変換を施し、各基底の線形結合を第１のシステムエラー、第２のシステムエラーとして定義する。第１のシステムエラー、第２のシステムエラーは、計測装置または計測対象を並進のみで移動する場合は８種類、回転を含めて移動する場合は１種類になる。
［実施例４］
ここでは、全体計測領域が円形であり、部分計測領域も円形である場合の、実施例３とは異なる実施例を示す（図５参照）。なお、記号ｄ、ｒ、ｘ０、ｙ０は実施例３と同様である。また、＜整合性関数構築＞、＜システムエラー算出＞ステップについては、本実施例に依存しないため省略する。
＜ラティス構築＞
図５のようなラティスを構築する。
＜領域分割＞
第１の領域が凸月、第２の領域が三日月である。
＜直交関数系構築＞
小円と大円の交点のｙ座標が負（ｙ０＜０）の場合の、三日月上で直交する多項式系である三日月多項式と凸月上で直交する多項式系である凸月多項式を構築する。
【００９１】
関数系ｖの定義や直交関数系ｗの構築は実施例１と同様である。
【００９２】
実施例１と異なるのは定義域であり、それゆえの内積であり、それゆえの内積帰着関数である。
〔三日月多項式〕
定義域Ｄは以下の通りである（図１５参照）。
【００９３】
【数３６】
0005725883.tif 000037
【００９４】
これを以下の３つの領域Ｄ１、Ｄ２、Ｄ３に分割する。
【００９５】
【数３７】
0005725883.tif 000038
【００９６】
内積は以下の通りである。
【００９７】
【数３８】
0005725883.tif 000039
【００９８】
内積帰着関数は以下の通りである。
【００９９】
【数３９】
0005725883.tif 000040
【０１００】
これを計算すると、以下のようになる。
【０１０１】
【数４０】
0005725883.tif 000041
【０１０２】
この内積帰着関数を用いて構築した三日月多項式の基底グラフ表を図２３（ｄ＝−１／２、ｒ＝２）に示す。また、三日月多項式はｄ＝−１のときＺｅｒｉｋｅ多項式とは異なる全円上直交多項式系になる（ｄ＝１の拡張半円多項式・ｄ＝１の凸月多項式と同一、基底グラフ表：図２０参照）。
〔凸月多項式〕
定義域Ｄは以下の通りである（図１６参照）。
【０１０３】
【数４１】
0005725883.tif 000042
【０１０４】
内積は以下の通りである。
【０１０５】
【数４２】
0005725883.tif 000043
【０１０６】
内積帰着関数は以下の通りである。
【０１０７】
【数４３】
0005725883.tif 000044
【０１０８】
これを計算すると、以下のようになる。
【０１０９】
【数４４】
0005725883.tif 000045
【０１１０】
この内積帰着関数を用いて構築した凸月多項式の基底グラフ表を図２４（ｄ＝−１／２、ｒ＝２）に示す。
＜システムエラー定義＞
大円切片ｄと大円半径ｒで凸月多項式、三日月多項式をそれぞれ構築し、さらに各部分計測領域に応じて座標変換を施し、各基底の線形結合を第１のシステムエラー、第２のシステムエラーとして定義する。第１のシステムエラー、第２のシステムエラーは、計測装置または計測対象を並進のみで移動する場合は１２種類、回転を含めて移動する場合は１種類になる。
［実施例５］
ここでは、実施例１で示した、全体計測領域が長方形であり、部分計測領域が円形である場合（図２参照）の特殊な場合である、全体計測領域が正方形であり、部分計測領域が円形である場合の実施例を示す（図６参照）。このラティスの場合、第１の領域のみで全体計測領域を被覆しているので、第２の領域に第２の直交関数系の各関数の線形結合を第２のシステムエラーとして定義する必要はない。
［実施例６］
ここでは、全体計測領域が長方形であり、部分計測領域が円形である場合の、実施例１、実施例２、実施例５とは異なる実施例を示す（図７参照）。このラティスの場合、第１の領域のみで全体計測領域を被覆しているので、第２の領域に第２の直交関数系の各関数の線形結合を第２のシステムエラーとして定義する必要がないことは実施例５と同様である。実施例５と異なるのは各部分計測領域上の第１の領域が合同でない点である。第１の領域が半円と縮小半円の２種類存在するため、第１の直交関数系も２種類構築する（拡張半円多項式においてｄ＝０：半円、ｄ＜０：縮小半円）。
［実施例７］
ここでは、全体計測領域が円形であり、部分計測領域が長方形である場合の実施例を示す（図８参照）。このラティスの場合、予め部分計測領域に対して特定領域を抽出しない場合（部分計測領域：破線長方形）は第１の領域が拡大半円であり、予め部分計測領域に対して特定領域を抽出する場合（部分計測領域：実線長方形）は第１の領域が半円である。予め部分計測領域に対して特定領域を抽出すると以下のような効果がある。
・直交関数系の構築を簡単にできる（拡張半円多項式の構築よりも半円多項式の構築の方が簡単）。
・構築した直交関数系が簡潔になる（拡張半円多項式よりも半円多項式の方が簡潔）。
［実施例８］
ここでは、第１のシステムエラーと第２のシステムエラーが算出された後、これらを部分計測領域上の直交関数系の各関数の線形結合で合成する実施例を示す。実施例１から実施例４において第１のシステムエラー、第２のシステムエラーが１種類の場合を考える。この場合、部分計測領域は円形であり、システムエラーは円上に存在する。算出された第１のシステムエラーと第２のシステムエラーを合成したものがシステムエラーであるが、これを円上の直交関数系であるＺｅｒｎｉｋｅ多項式やｄ＝１の拡張半円多項式でフィッティングすることにより表現すると以下のような効果がある。
・システムエラーの成分（各基底の係数）がわかる。
・第１の領域と第２の領域の境界上に生じる第１のシステムエラーと第２のシステムエラーの段差を低減できる。
［実施例９］
ここでは、実施例１で示した、全体計測領域が長方形であり、部分計測領域が円形である場合（図２参照）の、システムエラー定義にＺｅｒｎｉｋｅ多項式を用いた場合と半円多項式を用いた場合の比較の実施例を示す。内容としては、周辺部分計測データを模擬し、円形である部分計測領域のうち、半円（図１０のＤ）にのみデータが存在するものとする。このデータを用いて、Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式と半円多項式のそれぞれでフィッティングを行う。設定項目としては、対象とする形状、形状データを作成する際のサンプリング間隔、フィッティングを行う際の多項式の次数がある。評価項目としては、フィッティングにより得られた多項式の定義域上の形状、フィッティングにより得られた多項式の各基底の係数がある。これらは以下の通りである。
・設定項目
対象形状
ｚ＝ｅ−（ｘ４＋ｙ４）（図２５参照）
サンプリング間隔
Δｘ＝０．１、Δｙ＝０．１
多項式の次数
０次、１次、・・・、９次
・評価項目
形状
Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式：図２６、半円多項式：図２７
係数
Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式：図２８、半円多項式：図２９
形状については、図２６より、Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式によるフィッティングは、定義域のうち、データが存在する領域ではうまくフィッティングできているが、データが存在しない領域ではうまくフィッティングできていないことがわかる。なお、形状の値域外の値をとる点はプロットされない。一方、図２７より、半円多項式によるフィッティングは、定義域であるデータ存在領域でうまくフィッティングできていることがわかる。
【０１１１】
係数については、図２８より、Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式によるフィッティングは、次数によって各基底の係数が異なることがわかる。一方、図２９より、半円多項式によるフィッティングは、次数によらず各基底の係数が同じであることがわかる。
【符号の説明】
【０１１２】
Ｄ…直交関数系の定義域
Ｌ…ラティス
Ｓ…部分計測領域
Ｓ１…第１の領域
Ｓ２…第２の領域
Ｓ１１…第１の領域の第１の種類
Ｓ１２…第１の領域の第２の種類
Ｓ２１…第２の領域の第１の種類
Ｓ２２…第２の領域の第２の種類
Ｔ…全体計測領域
【図１】
0005725883.tif 000046
【図２】
0005725883.tif 000047
【図３】
0005725883.tif 000048
【図４】
0005725883.tif 000049
【図５】
0005725883.tif 000050
【図６】
0005725883.tif 000051
【図７】
0005725883.tif 000052
【図８】
0005725883.tif 000053
【図９】
0005725883.tif 000054
【図１０】
0005725883.tif 000055
【図１１】
0005725883.tif 000056
【図１２】
0005725883.tif 000057
【図１３】
0005725883.tif 000058
【図１４】
0005725883.tif 000059
【図１５】
0005725883.tif 000060
【図１６】
0005725883.tif 000061
【図２８】
0005725883.tif 000062
【図２９】
0005725883.tif 000063
【図１７】
0005725883.tif 000064
【図１８】
0005725883.tif 000065
【図１９】
0005725883.tif 000066
【図２０】
0005725883.tif 000067
【図２１】
0005725883.tif 000068
【図２２】
0005725883.tif 000069
【図２３】
0005725883.tif 000070
【図２４】
0005725883.tif 000071
【図２５】
0005725883.tif 000072
【図２６】
0005725883.tif 000073
【図２７】
0005725883.tif 000074