(57)【要約】【課題】ラドンデータから（ｎ＋１）次元イメージ関数を再構成する方法および装置を提供する。【解決手段】検査範囲（１）を示す（ｎ＋１）次元イメージ関数ｆを再構成する方法は、複数の所定の射影方向（Θ）に対応する測定された複数の射影関数ｐΘ（ｔ）を含むｎ次元以下のラドンデータからイメージ関数ｆを決定するステップを含む。イメージ関数ｆは複数の射影関数ｐΘ（ｔ）の複数の値で積算される複数の多項式の和として決定される。この再構成方法を使用する方法および、例えば、コンピュータ断層撮影装置のような、撮像装置が記述される。【選択図】図１
2008526283.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
検査範囲を示す（ｎ＋１）次元イメージ関数ｆを再構成する方法であって、
複数の予め定められた射影方向（Θ）に対応する測定された複数の射影関数ｐΘ（ｔ）を含む、ｎ次元以下のラドンデータから前記イメージ関数ｆを決定し、
前記イメージ関数は、前記複数の射影関数ｐΘ（ｔ）の複数の値でかけ算された複数の多項式の和として決定されることを含む方法。
【請求項２】
前記イメージ関数ｆは、ｎが１，２，３の場合それぞれ、２，３，４次元を有する請求項１に記載の方法。
【請求項３】
前記多項式は、複数の直交リッジ多項式の和である請求項１または請求項２に記載の方法。
【請求項４】
前記複数の射影関数ｐΘ（ｔ）は複数の離散射影プロファイルを含み、各離散射影プロファイルは、同一の射影方向（ｖ）を有する複数の射影線（ｊ）に対応する複数の射影値γ（ｖ，ｊ）を含む請求項１から請求項３のいずれか１項に記載の方法。
【請求項５】
前記複数の多項式の定義に含まれる複数の積分は、求積和Ｉによって離散化される請求項４に記載の方法。
【請求項６】
前記複数の積分は、ガウスの求積和によって離散化される請求項５に記載の方法。
【請求項７】
前記イメージ関数は、多項式行列Ｔの対応する複数の要素でかけ算された複数の射影値γ（ｖ，ｊ）の和として決定される請求項５または請求項６に記載の方法。
【請求項８】
前記複数の射影関数を測定する予め定められた複数の条件に依存して調整された多項式行列Ｔ＊を与えるために、多項式行列Ｔを較正することを含む請求項７に記載の方法。
【請求項９】
前記較正することは、前記多項式行列Ｔに、エネルギー生成装置のエネルギー分布関数、検出装置の感度分布関数、および、物体の散乱関数のうちの少なくとも１つによって決定される較正行列βをかけ算することを含む請求項８に記載の方法。
【請求項１０】
前記多項式行列Ｔと前記調整された多項式行列Ｔ＊の少なくとも１つが、前記複数の射影関数ｐΘ（ｔ）を測定する前に、格納される請求項７から請求項９のいずれか１項に記載の方法。
【請求項１１】
前記多項式行列Ｔ、Ｔ＊は、前記複数の射影関数を測定する処理の前に、測定装置に格納される請求項１０に記載の方法。
【請求項１２】
前記複数の射影関数を測定する処理は、
前記測定装置に物体を配置し、
前記物体に、前記複数の予め定められた射影方向（Θ）に向けられたエネルギー入力を与え、
前記複数の射影関数ｐΘ（ｔ）を測定することを含む請求項１１に記載の方法。
【請求項１３】
前記物体および前記測定装置のうちの少なくとも１つは、ヘリカル射影データを得るために、前記物体に前記エネルギー入力を与えるステップの間に、予め定められた方向に平行移動させる請求項１２に記載の方法。
【請求項１４】
複数の多項式の前記和は、予め定められた乗算関数に応じて高次数の多項式の寄与を減らす前記乗算関数が施される請求項１から請求項１３のいずれか１項に記載の方法。
【請求項１５】
前記イメージ関数ｆは、Ｘ線コンピュータ断層撮影（ＣＴ）装置、超音波断層撮影装置、ＰＥＴ撮像装置、光断層撮影装置、ガンマ線撮像装置、ＳＰＥＣＴ撮像装置、中性子に基づいた透過検出システム、または、電気インピーダンス断層撮影装置で測定されたラドンデータから決定される請求項１から請求項１４のいずれか１項に記載の方法。
【請求項１６】
物体での検査範囲を撮像する撮像方法であって、
前記検査範囲を通る予め定められた射影方向（Θ）に複数のエネルギー入力ビームを方向付け、
前記複数のエネルギー入力ビームで測定された複数の減衰値を含む複数の射影関数ｐΘ（ｔ）を決定し、
前記複数の射影関数ｐΘ（ｔ）に、請求項１から請求項１５のいずれか１項に記載の再構成法を施すことを含む撮像方法。
【請求項１７】
得られる視覚化画像で前記イメージ関数ｆの近似を示すことをさらに含む請求項１６に記載の撮像方法。
【請求項１８】
前記複数の射影関数ｐΘ（ｔ）は、
複数の扇形または円錐形ビームを、前記検査範囲を通る予め定められた複数の射影方向に方向付け、
前記複数の扇形または円錐形ビームのそれぞれで測定された複数の減衰値から前記複数の射影関数ｐΘ（ｔ）を決定する
ことで決定される請求項１６または請求項１７に記載の撮像方法。
【請求項１９】
複数の離散射影プロファイルを与えることをさらに含み、
各離散射影プロファイルの前記複数の射影値γ（ｖ，ｊ）は、同一射影方向（ｖ）を有する予め定められた複数の扇形ビーム成分に対応する複数の減衰値を含み、前記複数の離散射影プロファイルは前記複数の射影関数ｐΘ（ｔ）を示す請求項１８に記載の撮像方法。
【請求項２０】
前記複数の射影プロファイルは、
複数のペンシルビームを、前記物体に含まれる前記検査範囲を通る予め定められた複数の射影方向（Θ）に方向付け、
前記複数のペンシルビームの複数の減衰値を測定し、
複数の離散射影プロファイルを与える
ことで決定され
各離散射影プロファイルの前記複数の射影値γ（ｖ，ｊ）は、同一射影方向（ｖ）を有する複数のペンシルビームに対応する複数の減衰値を含み、前記複数の離散射影プロファイルは前記複数の射影関数ｐΘ（ｔ）を示す請求項１７に記載の撮像方法。
【請求項２１】
前記複数のペンシルビームを方向付けることは、
前記検査範囲を通る複数の平行なペンシルビームの複数組を方向付けることを含み、
各離散射影プロファイルは、複数の平行なペンシルビームの複数組の１つに対応する複数の減衰値を含む請求項２０に記載の撮像方法。
【請求項２２】
前記複数のペンシルビームを方向付けることは、
前記検査範囲を通る複数の離散的な扇形または円錐形ビームの複数組を方向付けることを含み、
各離散射影プロファイルは、同一の射影方向（Θ）を有する複数の扇形または円錐形ビーム成分で、複数の離散的な扇形または円錐形ビームの異なった複数組に含まれている複数の扇形または円錐形ビーム成分に対応する複数の減衰値を含む請求項２０に記載の撮像方法。
【請求項２３】
前記複数の射影方向（Θ）は、前記物体の周りを回転している移動可能な放射源を使用して次々と設定される請求項１６から請求項１９のいずれか１項に記載の撮像方法。
【請求項２４】
前記複数の射影方向（Θ）は、前記検査範囲を横切る少なくとも１つの共通平面に設定される請求項１６から請求項２３のいずれか１項に記載の撮像方法。
【請求項２５】
前記複数の射影方向（Θ）は、ヘリカル射影データを得るために、前記検査範囲に交差する斜平面を変更する際に設定される請求項１６から請求項２３のいずれか１項に記載の撮像方法。
【請求項２６】
前記物体は、生物有機体またはその一部分、自然現象、流体組成、固体物質、製造工程中の製品、および／または、セキュリティ上の理由のために検査される物体を含む請求項１６から請求項２５のいずれか１項に記載の撮像方法。
【請求項２７】
物体での検査範囲を撮像する撮像装置であって、
複数の予め定められた射影方向（Θ）に対応する複数の射影関数ｐΘ（ｔ）を測定する測定装置を含み、
複数の前記測定された射影関数ｐΘ（ｔ）の複数の値でかけ算された複数の多項式の和としてイメージ関数ｆを再構成する再構成回路をさらに含むことを特徴とする撮像装置。
【請求項２８】
前記再構成回路は、請求項１から請求項２６のいずれか１項に記載の方法によって前記イメージ関数ｆを再構成することに適している請求項２７に記載の撮像装置。
【請求項２９】
前記再構成回路は、多項式行列Ｔ、Ｔ＊の複数の対応する要素でかけ算された複数の射影値γΘ（ｖ，ｊ）の和として前記イメージ関数を決定する和回路を含む請求項２７または請求項２８に記載の撮像装置。
【請求項３０】
前記測定装置または前記再構成回路は、前記多項式行列Ｔ、Ｔ＊を格納する格納部を含む請求項２９に記載の撮像装置。
【請求項３１】
前記測定装置は、
前記物体を通って入力されるエネルギーを方向付けるエネルギー生成装置と、
複数の前記射影関数ｐΘ（ｔ）を測定する検出装置と、を含む請求項２７から請求項３０のいずれか１項に記載の撮像装置。
【請求項３２】
前記エネルギー生成装置は少なくとも１つのエネルギー入力源と線源キャリアを含み、前記エネルギー入力源は前記物体に対して前記線源キャリア上で移動可能である請求項３１に記載の撮像装置。
【請求項３３】
前記線源キャリアはリング状であり、前記エネルギー入力源は前記物体の周りを回転することが可能である請求項３２に記載の撮像装置。
【請求項３４】
前記エネルギー入力源は前記物体に対してヘリカル状の経路に沿って移動することが可能である請求項３３に記載の撮像装置。
【請求項３５】
前記検出装置は、前記複数の予め定められた射影方向（Θ）に対応するエネルギー入力の減衰を示す複数の減衰値を検出する少なくとも１つのセンサアレイを含む請求項３１から請求項３４のいずれか１項に記載の撮像装置。
【請求項３６】
前記エネルギー入力源は電磁放射の放出のための扇形または円錐形のビーム源である請求項３１から請求項３５のいずれか１項に記載の撮像装置。
【請求項３７】
前記扇形または円錐形のビーム源は、前記扇形または円錐形のビーム源のエネルギー分布関数を形成する線源マスクを含み、該線源マスクは前記扇形または円錐形のビーム源と共に移動可能である請求項３６に記載の撮像装置。
【請求項３８】
前記エネルギー入力源は、電磁または粒子放射の放出のためのペンシルビーム源である請求項３１から請求項３５のいずれか１項に記載の撮像装置。
【請求項３９】
前記ペンシルビーム源は、複数のペンシルビームを配置する線源マスクを含み、前記線源マスクは前記ペンシルビーム源と共に移動可能である請求項３８の撮像装置。
【請求項４０】
前記線源マスクは、前記エネルギー入力源から取り外し可能である請求項３７または請求項３９に記載の撮像装置。
【請求項４１】
前記線源マスクは、スルーホールを有するプレートを含み、該プレートはエネルギー入力遮蔽材料でできている請求項３７または請求項３９に記載の撮像装置。
【請求項４２】
前記エネルギー生成装置は、前記エネルギー入力源のエネルギー分布関数を形成する複数のフレームマスクを含み、複数の該フレームマスクは予め定められた複数の位置で線源キャリア上に固定されている請求項３１から請求項４１のいずれか１項に記載の撮像装置。
【請求項４３】
複数の前記フレームマスクの複数の前記位置は、複数の等しい弧長によって等間隔に配置されている請求項４２に記載の撮像装置。
【請求項４４】
前記線源キャリアは、複数の前記フレームマスクを含むリング状シールドを含み、前記リング状シールドは、複数の前記フレームマスクの複数の前記位置の他の複数の位置で、前記エネルギー入力源を遮蔽する請求項４２または請求項４３に記載の撮像装置。
【請求項４５】
前記検出装置は、前記複数の予め定められた射影方向（Θ）に対応するエネルギー入力の減衰を示す複数の減衰値を検出する複数のフレームセンサを含み、複数の該フレームセンサは、予め定められた複数の位置で前記線源キャリア上に固定される請求項３１から請求項４４のいずれか１項に記載の撮像装置。
【請求項４６】
複数の前記フレームセンサは、複数の前記フレームマスクに隣接して配置される請求項４５に記載の撮像装置。
【請求項４７】
前記測定装置は、Ｘ線コンピュータ断層撮影（ＣＴ）装置、超音波断層撮影装置、ＰＥＴ撮像装置、光断層撮影装置、ガンマ線撮像装置、ＳＰＥＣＴ撮像装置、中性子に基づいた透過検出システム、または、電気インピーダンス断層撮影装置を含む請求項３１から請求項４６のいずれか１項に記載の撮像装置。
【請求項４８】
電気的に判読可能なデータを備えた、デジタル格納メディアまたはコンピュータプログラムプロダクトであって、
複数の多項式の和を含み、前記データは、請求項１から請求項４６の少なくとも１項による方法を実施する、請求項３１から請求項４７のいずれか１項に記載の前記撮像装置内の計算部と相互作用することが可能であるデジタル格納メディアまたはコンピュータプログラムプロダクト。
【請求項４９】
電気的に判読可能なデータを備えた、デジタル格納メディアまたはコンピュータプログラムプロダクトであって、
多項式行列Ｔを含み、前記データは、請求項１から請求項４６の少なくとも１項による方法を実施する、請求項３１から請求項４７のいずれか１項に記載の前記撮像装置内の計算部と相互作用することが可能であるデジタル格納メディアまたはコンピュータプログラムプロダクト。
【請求項５０】
コンピュータ読取可能な媒体上に常駐するコンピュータプログラムであって、
請求項１から請求項４６の少なくとも１項による方法を実行するプログラムコードを備えるコンピュータプログラム。
【請求項５１】
請求項１から請求項４６の少なくとも１項による方法を実行する複数のプログラム命令を含むコンピュータ読取可能な媒体を含む装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、複数の予め決められた射影方向に対応して測定された複数の射影関数を含むｎ次元またはそれよりも低い次元のラドンデータから、（ｎ＋１）次元イメージ関数を再構成する方法に関する。さらに、本発明は、上記の再構成する方法に基づいて検査範囲を撮像するための方法および装置に関する。
【０００２】
関連出願への相互参照  
本出願は、２００４年１２月３０日に出願された米国仮出願６０／６４０，４２６と、２００４年１２月３０日に出願された欧州特許出願０４０３１０４３．５番との利益を主張する。
【０００３】
国庫補助の承認  
本発明は、全米科学財団、アメリカ合衆国によって与えられた、認可番号ＤＭＳ−０２０１１６６９の下の国庫補助で行なわれた。アメリカ合衆国の政府は発明において一定の権利を持っている。
【背景技術】
【０００４】
標本の非破壊検査は、物性科学、健康診断、考古学、施工技術、セキュリティ問題などに関する技術のような様々な技術分野で、重要な対象である。例えば、コンピュータ断層撮影法（ＣＴ）による標本の画像を得るための１つの手法は、標本平面を通って異なる複数の射影方向からの複数のＸ線による照射に基づいているもの、続いて、異なる複数の方向で測定された減衰データに基づく標本平面の再構成がある。測定された減衰データの全体は、ラドン空間のいわゆるラドンデータで記述することが可能である。
【０００５】
ラドンデータの異なる複数の再構成方法は今日では知られている。従来の画像再構成の数学的および物理的な原理の概要については、教科書“Computed Tomography-Fundamentals, System Technology, Image Quality, Applications" by W. A. Kalender (1st. edition, ISBN 3-89578-081-2)”、“Image Reconstruction from Projections: The Fundamentals of Computerized Tomography" by G. T. Herman, Academic Press, 1980; and "Einfuhrung in die Computertomographie" by Thorsten M. Buzug (Springer-Verlag, Berlin 2004)”を参照する。従来の再構成方法は、反復する再構成に基づいた方法、または、いわゆるフィルタ処理した逆射影法に基づいた方法として要約することが可能である。
【０００６】
反復する再構成法は、複数の反復ステップに基づいた近似法である。射影の中での点は、それぞれ再構成された画像の中での線に相当する。射影はこのように逆射影される。これは非常に荒い近似への第一歩になる。続いて、ラドンデータを変換する撮像処理は、この近似のためにシミュレートされる。次に、複数の差分は再び逆射影法を行うために計算される。再構成された画像の最適化については、この反復は何度も繰り返される。反復する再構成法の本質的な欠点は、上記の反復が非常に長い計算時間になることである。
【０００７】
フィルタ処理した逆射影法は、ラドンデータのフーリエ変換と、フーリエ変換された画像データとの関係を記述するフーリエのスライス定理に原理的に依存する。フーリエのスライス定理を用いる一般的な欠点は、再構成での補間ステップが、増加する空間周波数につれて増加する傾向がある、誤りおよびアーティファクトをもたらすという事実にある。高精細な画像を再構成する能力は制限されている。この欠点は、高解像度のみを備えた複数の検出器を用いることにより回避することができる。しかしながら、これらの検出器の適用は、線量負担、コストおよびデータ処理時間の点から制限されている。別の問題は、イメージデータが再構成されなければならないラドンデータの離散化に関係している。フィルタ処理した最適な逆射影再構成法を得るために、複数の検出器の複数のセンサ素子と射影された複数の照射線とを正確に一致させることが必要である。これは一般的には事実とは異なる。この理由のため、フィルタ処理した逆射影法アルゴリズムによるラドンデータの再構成からの不確定要素または平滑効果が取り込まれる。この欠点は一般的にフィルタ処理した逆投影アルゴリズムによって克服することができない。上述した反復する再構成法を用いることによりそれを回避することができるが、これらは非常に計算法上高価であるので、それらは実際的なコンピュータ断層撮影法で広く用いられてはいない。
【０００８】
いわゆるフェルトカムプアルゴリズムまたはアドバンスド単一スライス再構成は、ｚ軸方向に均一に広げられない複数のデータ点にもたらす、扇または円錐のビーム形状を備えたヘリカルコンピュータ断層撮影法でデータが集められ、射影および統合が起こる光線が互いに対して傾けられる場合に、フィルタ処理した逆射影法アルゴリズムを、適応させようとする方法である。フーリエのスライス定理によれば、あらゆる複数の光線を評価しなければならない。なぜなら、そうでなければ、高い空間周波数による誤りがより大きくなるからである。これはさらなる不確定要素および非鮮明さに至る。
【０００９】
一般的に、従来の技術は、それに構造体再構成の非鮮明さを低減することができるが、計算能力をより多く必要とするアルゴリズムを用いることによって非鮮明さを回避することができない。
【００１０】
コンピュータ断層撮影法での現在の開発により、平面パネル技術に基づいたいわゆる多重スライス−ＣＴおよびＣＴシステムを提供した。これらの開発はさらに２つの主な問題で影響を受けている。第１に、データ量が非常に大きい、あるいは、そのようなデータ量による再構成時間が長すぎる、または、そのようなデータを扱うために必要とされるコンピュータは高価すぎる。第２の問題は散乱放射である。散乱放射は物体の放射された、より大きな領域にとってより大きな問題になる。グリッドのような従来の散乱削減法は十分な効果がない。また、ＳＮ比はとにかく、既に非常に小さい。それはグリッドの挿入に起因するとして信号のさらなる減少がより多くのアーティファクトおよびより悪い画像を生成することを意味する。さらに、グリッド線を回避するための、検出器に対するグリッドの振動を仮定して、検出器のグリッドの回転は、０．５秒以下の回転時間のために非常に困難である。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１１】
本発明の目的は、ラドンデータから複数のイメージ関数を再構成し、非破壊検査での応用の増加した範囲に結びつき、従来の再構成技術の複数の欠点を回避する改良方法を提供することである。特に、本発明の目的は、高い空間周波数でさえ低減された非鮮明さおよび低減された複数のアーティファクトで複数のイメージ関数をもたらす再構成方法を提供することである。本発明の目的のさらなる態様は、ラドンデータの収集に基づいた従来の撮像方法の複数の欠点を回避する改良された撮像方法を提供することである。本発明の別の目的は、測定されたラドンデータを再構成することにより検査範囲を撮像するための改良された複数の装置を提供することである。特別の態様によれば、本発明の目的は、入力されたエネルギー量（例えば放射線量）、および検査範囲内の複数の散乱効果を減少させる撮像装置を提供することである。
【００１２】
上記の目的は、請求項１、１６および２７の特徴を含む方法または装置で達成される。発明の有利な複数の実施形態および応用は複数の従属クレームで定義される。
【課題を解決するための手段】
【００１３】
本発明の第１の一般的な態様によれば、検査範囲（以下、ＲＯＩと称す）を表現する（ｎ＋１）次元イメージ関数ｆは、ＲＯＩを通る複数の所定の射影方向（Θ）に対応する測定された複数の射影関数ｐΘ（ｔ）の値でかけ算された複数の多項式の和として、ｎ次元以下のラドンデータから決定される。
【００１４】
複雑な変換または反復計算を用いる従来の再構成技術とは対照的に、本発明は複数の多項式関数の近似としてイメージ関数ｆを提供する。発明者は、この近似がラドンデータから来る複数の射影関数によってちょうど決定されることを見出した。近似の結果（詳細は下記セクション３参照）、イメージ関数は、反復する再構成法によって通常用いられ、かつ、少なくともフィルタ処理した複数の逆射影法アルゴリズムによって用いられるそれに匹敵する計算時間より、非常により少ない計算時間を用いて計算されることが可能である。
【００１５】
本発明は、測定された複数のエネルギー量子の数または測定された複数の射影信号の強さに直接結合した解像度および雑音特性、および非常にわずかのアーティファクトを備えた速い再構成を可能にする。さらに、その再構成は、扇形ビームデータからの並列データを構築するために補間を用いない。本発明により再構成された（ｎ＋１）次元画像は、再構成自体により解像度減少を受けず、再構成によって導入された少ないアーティファクトを有する。
【００１６】
第１の態様によれば、本発明の主題はそういうものとしてイメージ関数ｆを再構成する方法である。イメージ関数ｆは検査範囲（ＲＯＩ）の表現である。イメージ関数の複数の値はＲＯＩの複数の局所変数または複数の特徴によって決定される。イメージ関数の次元は、ＲＯＩの次元に依存し、特にＲＯＩでの各点を完全に記述するために必要なパラメータ数に依存する。一般の場合では、イメージ関数は（ｎ＋１）次元（ｎ：自然数、ｎ≧１）を持っている。したがって、ここで用いられる用語「イメージ関数」は必ずしも視覚化された画像を示しておらず、むしろ実際のＲＯＩまたはそれらの部分の複数の特徴の表現を示している。ここで、表現は、例えば数的表現、図的表現などである。「イメージ関数」は、品質が、任意の補間に依存するのではなく、処理されたデータ量に依存する近似を表現する。検査範囲に及ぶ円形の単位ディスク上でのイメージ関数の近似は、下記に記述される。楕円形のディスク上での近似は、下記に概説される類似の手法で行うことが可能である。
【００１７】
ここで一般的に用いられる用語「検査範囲」（ＲＯＩ）は、検査を受ける物体またはそれの一部分を示す。ＲＯＩは、イメージ関数に関して上述されるような２次元以上の実体として記述されることが可能である。ＲＯＩは、例えばステップのような不連続ではなく、スムースな連続関数によって記述することが可能である。しかし、平滑なＲＯＩを再構成するこの条件が、本発明の全ての実際的な応用で満たされることは、本発明の重要な利点である。検査を受ける材料にあるクラックでさえ、理想的な不連続ではなくむしろ、本発明の方法で再構成されることが可能なあいまいなステップを示している。
【００１８】
ここで一般的に用いられる用語「射影方向」は、ＲＯＩを通って入力されたエネルギーの線形の進路を示す。２または３次元の場合では、射影方向は、用いられる座標系に対する複数の角度によって定義することが可能である。扇形状または円錐形状のビームを考慮するならば、用語「主な射影方向」は扇形状または円錐形状のビームでの中心ビーム成分の方向を示す。
【００１９】
ＲＯＩで測定されたラドンデータは、ＲＯＩを通り抜ける複数の所定の射影方向に対応する決定された１セットの射影関数を含む。ｎ次元データは、複数の「射影」のある数（理論上大きく無限大かもしれない）だけ収集される。これらの射影は、複数の１次元線上の興味深い効果を統合することによって特徴づけられる。これらの統合された複数の「射影」の十分な数を測定することによって、物体の重要な複数の特徴をラドンデータから再構成することが可能である。
【００２０】
複数の射影関数の複数の値は、それぞれの射影方向に沿ってＲＯＩを通り移動するエネルギー入力ビームの相互作用（特に減衰、例えば吸収、散乱または反射による）によって一般的には決定される。射影関数は１次元の関数であるが、すべての利用可能な複数の射影方向に対応する複数の射影関数の全体は、より高い次元の空間（ラドン空間）に及ぶ。一般的には、（ｎ＋１）次元イメージ関数を再構成するために、ｎ次元を備えたラドンデータが必要である。しかしながら、また、より少ない次元を持っているラドンデータを備えた再構成も可能である。
【００２１】
ここに用いられる用語「エネルギー入力ビーム」はすべての型の物理量を示す。それは、運ばれたエネルギーがＲＯＩと相互作用により変化する一方、ＲＯＩを通って直線（あるいは本質的に直線）に沿って移動する。特に、用語「エネルギー入力ビーム」は、電磁放射線、粒子放射線、音波または電流を対象とする。
【００２２】
ここに用いられる用語「ラドンデータ」は、ＲＯＩを通る上記の複数の射影によって得られたデータを示すだけでなく、検査された物体内の反射によって得られたエネルギー出力を測定することによって得られたデータをも示す。これらのラドンデータ（またはラドン様データ）は、例えば複数の超音波の使用による複数の物体の検査で得られる。ラドン様データのためにイメージ関数の再構成を行うことが可能であるのは、本発明の本質的な利点である。
【００２３】
本発明の好ましい実施形態によれば、イメージ関数ｆは１、２または３から選択されているｎに対して２、３または４次元を持っている。２次元イメージ関数ｆの再構成は、複数の射影関数の複数の値を備えた複数の多項式の乗算を低い計算能力で行うことが可能であるという点で特別の利点を有する。２次元イメージ関数は、例えば検査中の物体でのディスク部の画像を表現する。３次元イメージ関数の再構成は、２次元の場合の単純な適応によってイメージ関数を再構成するための計算を得ることが可能であるという点で利点を有する。２Ｄおよび３Ｄの場合のための本発明に基づいた計算は、非常に単純な手法で、かつ、多くの値を事前に計算する可能性に対して行うことが可能である複数の数学的演算であり、コンピュータまたは別のデータ記憶媒体（例えば、メモリチップ）内でそれらを格納することが可能である数学的演算に基づいている。これは、複数の行列要素（セクション３の方程式２．３を参照）を事前に計算することが可能であるように動作数が大幅に削減されることを意味する。
【００２４】
さらに、本発明は、ＲＯＩが空間３次元および第４次元として時間を含む４次元の場合に対する利点に適している場合がある。一例として、４次元イメージ関数は、検査を受ける物体（例えば動作するモータエンジン、または生きている有機体（例えば心臓））の３次元表現の時系列によって表現される。複数の４次元イメージ関数の再構成に関して、本発明は、非破壊撮像（例えば、コンピュータ断層撮影法）の本質的に新しい複数の応用を提示する。本発明による再構成の高精度によって、エネルギー入力（例えば、演算時間の減少に結びつくＸ線）の減少を可能にする。発明で得られたこの演算時間減少により、相対的な高周波を備えた過程（例えば鼓動する心臓の機能）は、オンライン撮像処理によってリアルタイムに検査することが可能である。
【００２５】
本発明の好ましい実施形態によれば、イメージ関数ｆは複数の直交リッジ多項式の和に基づいて決定される。この実施形態で、イメージ関数の近似の収束は向上され、その結果、射影関数は、エネルギー入力線量の有利な減少を可能にする低減された標本数で測定されることが可能である。
【００２６】
複数の射影関数の測定は、常に実際上、離散化に対応付けられる。例えば複数の放射センサ素子の離散化により、測定された任意の複数の射影関数は、エネルギーまたは粒子放射線の単一線による複数の減衰値から構成される。一方、この離散化は本発明による和演算には有利である。さらに、本発明の方法は、従来の複数の装置（例えばＣＴ装置）で得られた生データを再構成することに適用することが可能である。一方、本発明の再構成方法は、統合された射影が生じるある離散的な複数の線のみを用いることによって、上記の目的を達成することを可能にする。これは、コンパクト集合上のイメージ関数が複数の多項式によって近似できるように、可能である。ＲＯＩが射影方向の数より小さい次数の多項式によって表現される場合、再構成されたイメージ関数は正確なレプリカさえである。この背後の基本的考えは、複数の連続関数が複数の多項式によって正確に近似されることが可能であるということである。
【００２７】
したがって、本発明の特に好ましい実施形態によれば、複数の射影関数ｐΘ（ｔ）が複数の離散射影プロファイルを含んでいる。離散射影プロファイルはそれぞれ、同一の射影方向（ｖ）での複数の射影線（ｊ）に対応する射影値γ（ｖ，ｊ）を含む。すべての従来のアルゴリズムと比較した場合の本質的な利点は、発明に基づいた方法が、フィルタ処理した逆射影法で作動する従来方式のために収集された全ての情報を必要とするわけではないことである。これは、エネルギー入力（例えば、ＣＴシステムでの線量）を低減する可能性、または、複数の３Ｄ再構成に役立つ超音波のような複数の撮像療法をつくり出す可能性に直ちにつながる。
【００２８】
検査される複数の物体特性を再構成するための統合された射影の数および幾何学的な複数の特徴は、特定の応用に依存して選択される。特に、複数の射影線と複数の射影方向との数および距離の選択は、複数のテスト測定を経た一例として得られる空間分解能に依存して行われる。
【００２９】
一般的に、イメージ関数を再構成するために用いられる複数の多項式は、ＲＯＩ上（例えばＲＯＩのディスク部上）の積分で表現される。積分は、技術で知られているように数的に計算することが可能である。しかしながら、本発明の好ましい特徴によれば、複数の多項式の定義での複数の積分は求積和Ｉによって離散化される。求積和Iは、数学的な背景（セクション３を参照）の議論で概説されるように、複数の積分の離散的な近似を表わす。複数の求積和の実行は、中間の調節ステップのない測定データの直接処理を促進する。ガウスの求積和による積分の離散化が特に望ましい。それは、大量の多項式が離散化にかかわらず保存されるように、積分の近似がより正確であるという点で重要な利点を有する。
【００３０】
再構成方法の特徴は、同じ射影方向で得られた離散の射影値が、ＲＯＩでの単位ディスクの周囲が等しい弧長へ複数の射影線によって分割されるように、測定されるということである。この場合、多項式行列Ｔを構築することが可能である。この行列の複数の要素は複数の多項式の複数の和である（セクション３を参照）。本実施形態では、イメージ関数は、すべての射影方向に付加された多項式行列Ｔの対応する複数の要素によって積算された複数の離散射影値の和Ａとして近似される。
【数１】
2008526283.tif 000003
【００３１】
多項式行列Ｔの複数の要素は、下記（セクション３．２）の方程式２．１によって与えられるように計算される。
【００３２】
本実施形態の本質的な利点は、イメージ関数再構成が、演算時間の削減を可能にする単純なダブルサム計算に縮小されることにある。
【００３３】
用いられる行列が一般的にデータ収集の幾何学的な条件にのみ依存するので、計算とその形式の数は、再びビン化する必要がなく、かつ、多くの計算が前もってなされることが可能である事実によって、上述したダブルサムの速い評価を可能にする。これは、それが予め計算可能であり、かつ、再構成コンピュータまたは別のデータ記憶媒体内に格納することが可能であることを意味する。
【００３４】
上記の行列乗算に基づいてイメージ関数を近似する別の重要な利点は、多項式行列Ｔが複数の射影値を測定する特別の複数の条件への適応を可能にすることにある。発明者は、複数の射影関数を測定する複数の条件が多項式行列の複数の要素に直接影響を及ぼすことを見出した。特に、筒の非均質の放射または複数の検出器要素の非線形応答によるシステム較正は、較正特性として用いられることが可能であり、オンライン較正により画質を向上するために多項式行列Ｔに入れられることが可能である。その改良は、従来の再構成方式のための様々な補間がもはや必要ではないという事実から来る。したがって、発明の好ましい特徴では、多項式行列Ｔの較正は調整された多項式行列Ｔ＊を提供するために導入される。測定の複数の条件が補正されない限り、調整された多項式行列Ｔ＊は、異なる物体のイメージ関数を再構成するために用いることが可能である。
【００３５】
好ましくは、エネルギー生成装置のエネルギー分布関数、複数の射影関数を測定するために用いられる検出装置の感度分布関数、および、物体の散乱関数の少なくとも１つは、較正行列βを構築するために用いられる。調整された多項式行列Ｔ＊は、較正行列を単に乗算した多項式行列から得ることが可能である。
【００３６】
Ｔ＊ ＝ β＊Ｔ
エネルギーおよび感度分布と物体の散乱特性を示す上記の関数は、較正測定から、および恐らく理論的な考察によって得られる。
【００３７】
例えば、Ｘ線源（Ｈｅｅｌ効果）のエネルギー分布および複数のセンサ素子の感度分布を測定するためにＰＭＭＡでできた均質の球体を備えたＣＴ装置で、較正測定を実行することが可能である。従来の技術からわかるように散乱関数の理論的な推定は、較正測定に用いることが可能である。しかしながら、複数の射影が、低減された散乱効果がある、直線のペンシルまたは針状のビームで測定される場合、散乱による強い外乱は本発明によって回避することが可能である（以下を参照）。
【００３８】
イメージ関数を近似するために用いられた多項式行列Ｔは、多項式行列の複数の要素が測定形状のみに依存するという点で本質的な利点を有する。特に、多項式行列Ｔの複数の要素は、複数の射影線の数および距離と複数の射影方向の選定のみに依存する。したがって、多項式行列は、所定の１セットの幾何学的な測定条件のために、１度だけ計算される必要がある。例えばエネルギーまたは感度分布としての測定条件が変わらない限り、複数の測定に用いることが可能である調整された多項式行列Ｔ＊と同じである。
【００３９】
好ましくは、多項式行列Ｔおよび較正された多項式行列Ｔ＊の少なくとも１つは、複数の射影関数を測定する測定装置に接続または含まれている格納部に格納される。複数の射影関数を測定する処理の前に、多項式行列Ｔ、および／または、調整された多項式行列Ｔ＊、または、測定の異なる条件に対応する複数の行列が特に好ましい。
【００４０】
本発明の好ましい実施形態によれば、再構成方法は複数の射影関数の測定とつながっている。複数の射影関数を測定する処理は、まず、測定の複数の幾何学的条件を調整するための測定装置で検査される物体を配置するステップを含む。続いて、物体は、複数の所定の射影方向（Θ）に沿って向けられたエネルギー入力を受ける。各エネルギー入力に対して、複数の射影関数ｐΘ（ｔ）は測定される。
【００４１】
本実施形態によって提供されるような再構成を備えた測定の組合せは、従来の技術と比較して、本質的な発展を示している。高い再構成速度により、イメージ関数は、複数の射影方向の１周分の円に沿って測定直後に決定することが可能である。データの測定、および測定装置での物体の配置は、より好ましい結果を達成するために走査中に最適化することが可能である。
【００４２】
本発明のさらなる変更によれば、ヘリカル射影データは、２次元または３次元の複数のイメージ関数を得るために処理されることが可能である。発明者は、傾いた複数のディスク部を備えた複数の測定に再構成方法を適応させるための従来のアルゴリズムが、本発明の再構成方法に適用できることを見出した。したがって、本発明のさらなる実施形態で、物体および測定装置の少なくとも１つは、ヘリカル射影データを得るために物体がエネルギー入力を受けるステップの間に、所定方向（例えば、複数の射影方向に垂直）に平行移動される。
【００４３】
発明のさらなる好ましい実施形態によれば、複数の多項式の和は、乗算関数によるより高次の複数の多項式の複数の寄与を低減する所定の乗算関数にしたがう。有利なことには、この乗算関数は、アーティファクトの減少を可能にし、イメージ関数の近似を向上する。乗算関数は、考慮された直交基底でより高い次数の複数の多項式をフィルタリングするスムースな伝達関数を備えたフィルタの効果を有する。従来の技術とは対照的に、このフィルタはフーリエ領域で従来のフィルタではない。
【００４４】
一般的に、本発明は、ｎ次元以下でラドンデータまたはラドン様データから（ｎ＋１）次元データを再構成するために用いることが可能である。この再構成が、例えばＣＴ、ＰＥＴ、ＳＰＥＣＴ、ガンマカメラ撮像等の医療の撮像での多くの応用のように様々な応用で使用されうることは本発明の本質的な利点である。しかしながら、超音波断層撮像法、光断層撮影法、工業試験または生物学の研究などのための任意の多次元撮像法のような多くのより可能な応用がある。好ましくは、イメージ関数ｆは、Ｘ線のコンピュータ断層撮影（ＣＴ）装置、超音波断層撮影装置、ＰＥＴ撮像装置、ガンマ線撮像装置、ＳＰＥＣＴ撮像装置、中性子に基づいた透過検出システムまたは電気インピーダンス断層撮影装置で測定されたラドンデータから決定される。
【００４５】
発明の第２の一般的な態様によれば、ＲＯＩを撮像するための撮像方法が提供される。ここでは、複数の直線のエネルギー入力ビームはＲＯＩを通る所定の複数の射影方向に向けられていて、関係する複数の射影関数ｐΘ（ｔ）は複数の射影方向にそって測定された複数の減衰値を含んで決定される。本発明によれば、複数の射影関数ｐΘ（ｔ）は、本発明の上記第１の形態による構築方法を施される。任意の比較可能な従来の断層撮像方法とは対照的に、本発明の撮像方法は、再びビン化することなく測定された射影データの直接処理を可能にする。イメージ関数は、撮像装置で得られた生データから直接計算することが可能である。
【００４６】
撮像方法の応用に依存して、適切なフォーマットでの要求された画像情報を提供するためのさらに手続き的なステップが続いてもよい。好ましくは、イメージ関数の近似は（例えば、少なくとも一つの２または３次元画像または対応するビデオ表現（動画）で）視覚化画像として表わされる。あるいは、イメージ関数は、（例えば、所定の複数の特徴を自動的に検出するための）さらなる画像処理を受けることが可能である。有利なことには、先行技術の画像処理方法は、発明によって決定されたイメージ関数に適用することが可能である。視覚化画像の設備は、（例えば、イメージ関数の複数の値を複数のグレイ値に変換することによって）物体の映像化を計算するステップを含む。
【００４７】
本発明の撮像方法は、物体に作用するエネルギー入力の任意のタイプから得られるラドンデータの任意の収集に適用することが可能である。特に、特別のエネルギー生成装置によって生成されたエネルギー入力の形状を記述する分布関数への依存はない。一例として、撮像方法は、ある分布を備えた電磁気放射または粒子放射を生成する多くの型の放射源で実行することが可能である。
【００４８】
本発明の好ましい実施形態によれば、エネルギー入力ビームは扇形ビームまたは円錐形ビームである。扇形または円錐形ビームの特性がある放射源を備えたＲＯＩの照射は、例えば、ＣＴまたはＳＰＥＣＴ装置のような従来の撮像装置が本発明の撮像方法を実行するために使用されうるという点で特別の利点を持つ。
【００４９】
ここで使用される「連続的な扇形ビーム」または「連続的な円錐形ビーム」の用語は、放射源の分布特性によるスムースな放射場を備えた扇形または円錐形ビームを示す。ここで使用される「離散扇形ビーム」または「離散円錐形ビーム」は、空間フィルタ（例えば、マスク）で形作られた放射源の分布特性による離散化された放射場を備えた扇形または円錐形ビームを示す。
【００５０】
好ましい変更によれば、所定の複数の扇形または複数の円錐形ビーム成分は、上述した複数の離散射影プロファイルを構築するために用いられる。ここで、１つの離散射影プロファイルに寄与する全ての扇形または円錐形ビーム成分は同じ射影方向を有する。複数の扇形または複数の円錐形ビーム成分の選択は、上記に概説されるように信号処理を容易にする。
【００５１】
撮像方法の別の実施形態によれば、複数のエネルギー入力ビームは複数のペンシルビーム（または複数の針ビーム）として形成される。有利なことに、例えば、中性子源のような利用可能な複数の粒子線源は、本発明の撮像方法を実行するために用いることが可能である。別の利点は、複数のペンシルビームの方向による離散の複数の射影プロファイルの直接測定の能力である。あるいは、同じ射影方向を有する複数のペンシルビームが、動いている放射源によって連続モードで生成される場合、複数の離散射影プロファイルは上記に概説されるようなあるビーム成分を選択することによって構築することが可能である。
【００５２】
離散の扇形または円錐形ビームの複数のセットがＲＯＩを通って向けられる場合、複数の離散射影プロファイルは、同じ射影方向を有しているが複数の離散扇形ビーム成分の異なるセットに含まれている複数のビーム成分の複数の減衰値を含んで構築されうる。この特徴は、本発明の再構成方法への従来の撮像装置の単純な適応を可能にする。
【００５３】
好ましくは、複数の扇形ビーム成分または複数の離散ペンシルビームは、要求された複数の直線ビーム成分による線源の初期の放射特性を形作る線源マスクと、放射源とを組み合わせることによって提供される。
【００５４】
発明のさらに好ましい実施形態によれば、複数の射影方向（Θ）は、対象物のまわりで回転している移動可能な放射源を用いることにより、その後に設定される。有利なことに、回転可能な放射源は、特別の実用的な応用にしたがって、複数の射影方向の自由な調整を可能にする。複数の射影方向（Θ）が検査範囲を横断する少なくとも１つの共通の平面で設定される場合、複数の射影プロファイルの構成を容易にする。しかしながら、発明者は、ヘリカル射影データを得るためにＲＯＩと交差する斜平面を変更する際に複数の射影方向（Θ）を設定することが可能であることを見出した。この場合、ＲＯＩの複数の３次元画像は得ることが可能である。
【００５５】
本発明の撮像方法の本質的な利点は、検査される物体またはそれのサイズに関して制限がないことである。本発明が放射線量の本質的な減少を可能にするので、好ましくは、生物有機体またはその一部分のような放射線に敏感な物体を検査することができる。他方、物質科学または技術のすべての分野での非破壊検査は、特に固体または流体物質、特に技術的な装置（例えば、エンジンまたは、機構部品（例えば、構成技術での要素））を撮像するために、可能である。エネルギー入力の適切な幾何学的条件を単に選択することによって、特に、１つの射影プロファイルに寄与する、複数の射影方向と複数の射影距離とを選択することによって、撮像方法は検査される物体に適応可能であることに本発明の特別な利点がある。空港でのセキュリティチェックのような特定の目的のために、低解像度を設定することは可能である。一方、地質学的または天文学的なサイズでさえに収集されたラドンデータは、本発明の方法で再構成されさらに処理されることが可能である。
【００５６】
本発明に基づいた方法は、結果として生じる、物体の画素の解像度は撮像処理に使用される光線数によってのみ決定されるので、他の再構成方法よりも優れる再構成を提供する。これは、例えば、ＣＴで、検査される物体が子どもに関しては小さい、または、必要とされる解像度が非常に低い場合（例えば、テロ攻撃を回避するために空港でのＣＴスキャナーの潜在的な使用）にＸ線の線量を減少させることが可能であることを意味する。この直接の関係は、補間によって生ずる問題によって従来の装置においては有効ではない。発明に基づく技術が、民間航空機での短い飛行の間で集められた任意の線量よりも少ない線量をもたらす、人体を通る単にある種のＸ線を必要とするだけなので、その結果、体の中に武器または爆発材料を、とても多くのＸ線照射をしなくても、検出することができる。これは、セキュリティ審査の新しく、かつ、よりよい品質を可能にするかもしれない。
【００５７】
本発明の第３の一般的な態様によれば、検査範囲を撮像する撮像装置は、ＲＯＩを通って複数の所定の射影方向（Θ）に対応する射影関数ｐΘ（ｔ）を測定する測定装置を含む。ここで、測定装置と関連する再構成回路は、測定された射影関数ｐΘ（ｔ）の値でかけ算された複数の多項式の和としてイメージ関数ｆを再構成することに適している。
【００５８】
好ましくは、再構成回路は、本発明の上記の実施形態による方法でイメージ関数ｆを再構成することに適している。したがって、再構成回路は、複数の射影値の上記の和としてイメージ関数ｆを決定するための合計回路を含む。
【００５９】
好ましくは、本発明による撮像装置は、検査中の物体に入って、または、物体を通ってエネルギー入力ビームを向けるためのエネルギー生成装置と、複数の射影関数ｐΘ（ｔ）を測定するための検出装置とを含む。エネルギー生成装置は、少なくとも１つのエネルギー入力源と、線源キャリアとを含む。ここで、エネルギー入力源は、物体に対して線源キャリア上で移動可能である。
【００６０】
線源キャリアがリング状であり、エネルギー入力源が物体のまわりを回転することが可能である場合、複数の射影方向の設定が容易になる。さらに、エネルギー入力源は物体に対してヘリカル状の経路に沿って移動可能にすることが可能である。
【００６１】
好ましくは、検出装置は、複数の所定の射影方向に対応するエネルギー入力の減衰を示す複数の減衰値を検出するための複数のセンサ要素を備える少なくとも１つのセンサアレイを含む。
【００６２】
有利なことには、本発明は、従来のエネルギーまたは粒子放射線源に対して、実行することが可能である。一例として、扇形または円錐形のビーム源は、電磁放射の放出用のエネルギー入力源としてに用いることが可能である。代わりに、電磁気または粒子放射線の放出のためのペンシルビーム源を用いることが可能である。
【００６３】
本発明の特に好ましい実施形態によれば、撮像装置の放射源は、放射源のエネルギー分布関数を形作るために、および、放射源の放射場内で複数の直線のペンシルビームを提供するために、線源マスクを支えている。好ましくは、線源マスクは、放射源と共に移動可能である。線源マスクが放射源から分離可能な場合、照射の複数の幾何学的条件は様々な応用への利点に対して適応することが可能である。
【００６４】
本発明のさらなる好ましい実施形態によれば、線源マスクは、遮蔽材料でできていて、かつ、所定の方向で複数のビーム成分の透過を可能にする複数のスルーホールを含んでいるプレートを含む。
【００６５】
複数のビーム成分を方向付けるための別の測定として、エネルギー生成装置は、エネルギー入力源のエネルギー分布関数を形作るための複数の固定フレームマスクを含む。複数のフレームマスクは、複数の所定の位置に、好ましくは等しい弧長間隔で線源キャリア上に固定される。
【００６６】
さらに好ましい本発明の実施形態によれば、線源キャリアは、複数のフレームマスクを含んでいるリング状シールドを含む。リング状シールドは、複数のフレームマスクの複数の位置以外の複数の位置でエネルギー入力源をシールドする。この実施形態は、物体の中での放射線量および散乱を両方とも減少することが可能であるという点で本質的な利点を提供する。
【００６７】
従来の装置とは対照的に、検出装置は、複数の所定の射影方向に対応するエネルギー入力の減衰を示す減衰値を検出するための複数の固定フレームセンサを含むことが可能である。複数のフレームセンサは、（好ましくは、リング状シールドで複数の放射窓上のフレームマスクに隣接した）複数の所定位置で線源キャリアに固定される。
【００６８】
本発明のさらなる複数の主題は、複数の多項式、特に多項式行列Ｔの和を含む電子的に判読可能なデータを備えた、デジタル格納メディアまたはコンピュータプログラムプロダクトである。そのようなデータは、プログラムがコンピュータで動作しているときに本発明による方法を実施するためのプログラムコードでコンピュータプログラムを実施し相互作用するのと同様に、本発明の撮像装置中の演算ユニットと相互作用することが可能であり、かつ／または、本発明による方法を実施することが可能である。
【発明を実施するための最良の形態】
【００６９】
本発明のさらなる詳細および利点は付属の図面に関して下記に記述される。
【００７０】
本発明は、コンピュータ断層撮影法（セクション１、２．１）での応用に関して以下の文章で記述される。本発明は、上で言及された他の応用（セクション２．２での例）を備えた類似した方法で、行われることが可能であることが強調される。さらに、好ましい実施形態の次の記述は主としてデータ収集およびデータ処理を参照する。本発明を実行するために用いられたＣＴ装置の詳細は、それらが従来のＣＴ装置から知られているかぎり、記述されない。
【００７１】
ＲＯＩを表わすイメージ関数を再構成する複数の基本原理は、図１および図２を参照して以下の文章で記述される。本発明によって用いられる複数の撮像装置の詳細と同様な本発明の撮像方法は、図３〜１４を参照して記述される。
【００７２】
１．  再構成および撮像の基本原理  
（１．１）図１によれば、本発明による再構成方法の基本的なステップは、ラドンデータを表す複数の射影関数の提供（ステップ１０００）と、複数の射影関数の複数の値で積算された複数の多項式の和としてイメージ関数の再構成（ステップ２０００）とを含む。再構成は、発明者の注目すべき結果に基づいている。その結果によれば、複数の多項式の直交基底で関数の展開の部分和が、複数のラドン射影で表現されることが可能になる。この関係の詳細は、下に示される（セクション３．１）。
【００７３】
再構成の実際的な実行は、特に、応用分野および近似の所望のレベルに依存する。擬連続な（センサ素子のみによって離散化された）複数の射影関数に基づいて、上記の複数の部分和は直接計算することが可能である。複数の離散射影プロファイルが、イメージ関数を決定するために用いられる場合、ガウスの求積法に基づくまたは多項式行列Ｔに基づく近似が好ましい。下記では、多項式行列Ｔを用いた好ましい実施形態が参照される。当業者は、類似の手法で擬連続関数に基づいて再構成を実行するであろう。
【００７４】
以下の考察は、１次元ラドンデータ（複数の１次元射影関数）からの２次元イメージ関数の再構成を示す。これは、特別なスライスが再構成されることになっている１つの単一スライスで複数の光線に起因するデータに基づく撮像の最も単純な場合に対応する。より高い次元のイメージ関数の再構成は、セクション３に概説されるような類似の手法で実行される。
【００７５】
示される実施形態については、ＲＯＩは２次元平面内に位置する。デカルト座標系の直交するｘ方向およびｙ方向はこの平面で定義され、直交するｚ方向はｘｙ平面に対して直交する。複数のエネルギー入力ビームをＲＯＩに向けることは、それぞれのエネルギー入力（例えば放射）がＲＯＩ平面で射影線ｖに沿って移動していることを意味する。ＲＯＩ平面がｚ方向に対して垂直である場合、同じ射影方向を有する全ての射影線（２次元の場合で：複数の射影角）は、互いに平行である。
【００７６】
例えば、らせん形の測定形状のように、ＲＯＩ平面が傾いている場合、射影線は必ずしも互いに平行ではない。この場合、互いに平行な所定の複数の射影線による測定値は、生データから選択することが可能である。
【００７７】
図２は、ある射影方向ｖに対応する１つの特別な射影関数ｐΘ（ｔ）の収集を示している。複数の平行射影線ｌ（破線）は、現在の射影方向による単位ディスクＢ２を通り抜ける。それは、開始状態（ｘ’、ｙ’）に対する射影角Θによる回転を表わす。（概略的に示された）放射源２００からの放射は単位ディスクを含んでいるＲＯＩを通って複数の射影線ｌに沿って移動する。射影線に沿った統合された相互作用により、放射は減衰する。減衰は、複数のセンサ素子のリニアアレイを含む（概略的に示された）検出装置３００で測定される。複数のセンサ素子の複数の信号は、図２の右側部分に示された複数の射影関数ｐΘ（ｔ）を表現する。
【００７８】
示された２次元の場合、ラドンデータＲΦｖは、複数の異なる射影方向によって測定された複数の１次元の射影関数を含む。複数の射影方向の数は要求された解像度に依存して選択されている。本発明によれば、ＲＯＩでの構造体の特徴を表わす任意のスムースな関数は、複数の多項式関数によって近似することが可能である。本発明に基づく手順を使用して、この近似はいくつかの変数の複数の直交多項式によって行われる。計算の詳細はセクション３で与えられる。セクション３．１での、一般的な表現１．４および１．５によれば、イメージ関数は、複数の射影関数ｐΘ（ｔ）に基づく測定されたラドンデータＲφｖから部分和S２ｍとして直接計算することが可能である。
【数２】
2008526283.tif 000004
【００７９】
（図２に破線で示される）離散化された複数の射影プロファイルγは、複数の射影線ｌによる複数の減衰値を含んで決定される。セクション３．２での一般的な表現２．１によれば、イメージ関数の近似は、測定された複数の射影値γから２倍和Ａ２ｍとして直接計算することが可能である。
【数３】
2008526283.tif 000005
【００８０】
結果として、和Ｓ２ｍまたは和Ａ２ｍは、得られるイメージ関数ｆに近似を直接与える。
【００８１】
（１．２）本発明による撮像方法の基本的なステップは、図３および図４に示される。図３によれば、複数の射影関数（特に複数の離散射影プロファイル）は、ＲＯＩに、または、ＲＯＩを通ってエネルギー入力ビームを向けるステップ（ステップ１１００）および射影プロファイルの決定（ステップ１２００）によって決定される。続いて、イメージ関数ｆは再構成され（ステップ２０００）、（適用可能な場合）イメージ関数ｆは視覚化画像として表わされる（ステップ３０００）。
【００８２】
ステップ１１００は、ＲＯＩに入る複数のエネルギー入力ビームを向けるステップを含む。これは、例えば、ＲＯＩ平面でビームを発するように向けられているか集中させる、利用可能な放射源または粒子源（以下を参照）に対して、実行される。ステップ１２００で、射影プロファイルは決定される。これは、図１２に示されるように同じ射影方向を備えた全てのビームがＲＯＩによって同時に向けられる場合、直接測定を含む。あるいは、複数の離散射影プロファイルは、図７を参照して下に示されるような扇形または円錐形のビーム成分での複数の測定から構築される。この場合、放射源の異なる位置で測定された複数の減衰値は、同じ射影方向で測定される全ての減衰値が同じ射影プロファイルに寄与するように、離散射影プロファイルに配列される。
【００８３】
ステップ１１１０のさらなる詳細は図４に示される。測定の最初では、第１の射影方向Θが設定され（ステップ１１１０）、実際上用いられる撮像装置の動作条件に依存して選択される。射影方向を設定するとは、エネルギー生成装置（例えば放射源）および検出装置が、両方の装置間の接続ラインがＲＯＩを通るように、配置される。特に、撮像装置（例えば、複数の超音波の測定に基づいた、超音波生成器および検出装置の両方）は、ＲＯＩの同じ側に配置される。ステップ１１２０で、エネルギー生成器は、エネルギー入力ビームがＲＯＩを通って、または、少なくともＲＯＩに移動するように、作動される。したがって、ステップ１１３０で、減衰値の検出は検出装置で行われる。
【００８４】
ステップ１１３０の後に、１周分の円が走査されたかどうかの決定がなされる。走査されなければ、次の射影方向は設定される（ステップ１１１０）。設定されなければ、複数の射影プロファイルは図３のステップ１２００によって決定される。
【００８５】
２．  本発明の実際的な実行  
２．１  コンピュータ断層撮影法  
図５は、概略的に撮像装置１００の実施形態を示す。撮像装置１００は、エネルギー生成器２００および検出装置３００を備えた測定装置と、測定装置と接続されている再構成装置４００とを含む。さらに、保持装置５００が与えられ、それは、例えば、ＣＴシステムまたは任意の他のキャリア、または、測定装置で検査中の物体を配置し、エネルギー生成器に対する物体と検出装置３００との幾何を調整するための基板保持部から知られているようなキャリアテーブルである。制御装置のようなさらなる構成部（表示装置など（図示せず））は、それらが従来技術の装置からそれ自体知られているように提供される。エネルギー生成器２００は、従来のＣＴ装置から分かるように、例えば、線源キャリア２２０（例えばガイドレール）上に配置された移動可能なＸ線管のようなエネルギー入力源２１０を含む。検出装置は、エネルギー入力源２１０に対して反対の関係で線源キャリア２２０上移動可能に配置されるセンサアレイ３１０を含む。この構造体で、（図面の平面に平行な）ＲＯＩを通る射影方向は、保持装置５００のまわりの構成部２１０、３１０の組合せを回転させることにより設定することが可能である。
【００８６】
線源キャリア２２０は、物体の周りで、エネルギー生成器２００と検出装置３００の回転を可能にする円として示される。変更によって、線源キャリアは楕円形または別の形をとりうる。これは、検査される物体の形状への適応の点から利点がある。
【００８７】
本発明がコンピュータ断層撮影法に適用される場合、撮像装置１００は現在の医学のＣＴシステムのように構築される。射影データを収集するＣＴシステムでＲＯＩ２を通る連続的な扇形また円錐形のビーム５を向けることは、図６に概略的に示される。（完全には示されていない）ＣＴシステムは、Ｘ線管（放射源２１０）および検出装置３１０が、全体のシステムが完全な回転を例えば０．３〜０．５ｓ内で終了することが可能な方法で回転しているリング状線源キャリア２２０を含んでいる。検出装置３１０は、例えば、１から６４列のセンサ素子（それが１列を超えるならば、それは多重スライスＣＴと呼ばれる）と、１列当たり約７００および１０００のセンサ素子とから構成される。それぞれの単一回転内では、データは約１０００回読まれる。検査中の物体（例えば患者）は、連続的に移動している患者テーブル上にあるこのＣＴリングを介して移動している。この手法によって、いわゆるヘリカル状またはスパイラル状のＣＴデータセットは集めることが可能である。収集されるデータがヘリカル状の網（図１４を参照）上に配置されるからである。
【００８８】
検出装置３１０は、ＣＴリングの半径に適した球状基準表面上に配置されている複数のセンサ素子の線形または２次元のアレイである。球状の検出装置の設備が必ずしも必要でないのは本発明の本質的な利点である。あるいは、複数のセンサ素子の、直線（１次元）または平面（２次元）の配置を備えた平面検出装置は、用いることが可能である。平面検出装置上の複数のセンサ素子は、下で言及される均等に配置された弧長位置による複数の減衰値を検出しないが、これは、本発明による再構成の品質に影響を及ぼさない。同じ位置での球状の検出装置上の配置と比較される平面検出装置上のセンサ素子の配置間の固定された幾何学的関係によれば、イメージ関数の上記の近似が適応されうる。そのような単純な適応は、平面検出装置に余分な補間ステップを必要とする従来の再構成技術では不可能である。
【００８９】
本発明に基づいた再構成方法については、管の形状および検出器形状（電流検出器要素は、０．５〜１．０ｍｍのサイズを持っている）に起因するすべての可能な光線は、再構成に必要とされるとは限らない。これは、できるだけ多くの検出器要素が読み出されねばならない従来のフィルタ処理された逆射影法アルゴリズムにとって主な違いである。なぜなら、単位平方メートル当たりに読み出される検出器の数が多ければ多いほど、補間する必要性が低くなり、したがって、再構成に関係があるとされるぶれが少なくなるからである。本発明に基づいた再構成方法にとって、ある光線だけが必要である。これらの光線は、平行ビームの的確な数が複数の撮像条件にとって達成される方法で調整される。光線と射影の数を増加させることによって、より高い解像度を達成することが可能になる。これは、アーティファクトがなく再構成されることが可能なピクセル数を意味する。再構成による付加的なぶれはない。
【００９０】
複数の平行ビーム成分の選択は、下記で概説されるような従来のＣＴシステムで行うことが可能である。円錐形ビームは類似の手法で扱われているが、扇形ビームが参照される。図６に示されるような扇形ビーム５は、それぞれ扇形ビーム成分５．１、５．２、５．３、・・・の一束を表している。扇形ビーム成分５．１、５．２、５．３、・・・の各々は、直線のペンシルビームと見なすことが可能である。このようなこれらのペンシルビームは、同じ射影方向を有しないが、図３のステップ１２００による複数の離散射影プロファイルの決定は、図７に示される概念に続く。
【００９１】
図７は、複数の扇形ビーム（例えば扇形ビーム５）を示し、それぞれの扇形ビームは、扇形ビーム成分５．１から５．４までを含む。実際上、ビーム成分の数は、図７に示された数よりも本質的に多くてもよい（下記、図８および図９の記述参照）。さらに、扇形ビームの形状は、ＲＯＩ ２の中心と交差する扇形ビーム成分が与えられるように、変更することが可能である。さらに、例えば、線源の幾何またはマスキングによりＲＯＩ ２と交差しない複数の扇形ビーム成分は除くことが可能である。放射源２１０の示された位置に対応する第１の主な射影方向に対して、扇形ビーム成分５．３が、検出装置３１０（検出器アレイ）のセンサ素子３１１で検出されている直線ペンシルビームとして、ROI ２を通り抜ける。扇形ビーム成分５．３に平行な別の射影線の減衰値を得るために、放射源２１０の変更された位置で放射された扇形ビーム５’の扇形ビーム成分５．２’は、センサ素子３１２で検出される。複数のセンサ素子位置および複数の放射源位置の適切な選択で、特に等しいアーク長で配置されたこれらの位置の取り決めでは、同じ射影を有してかつ特に平行である扇形ビーム成分で測定された複数の減衰値は、離散射影プロファイルを構築するために用いることが可能である。
【００９２】
この概念は、図６による従来のＣＴ装置で収集された射影データからイメージ関数を再構成することに使用することが可能である。放射源２１０および検出装置３１０の複数の位置、および検出装置３１０内のセンサ素子３１１の位置が、それぞれ選択された射影方向から分かるので、離散射影プロファイルを構築するための複数の減衰値は、ＣＴ装置で得られた生データの収集から単に選択することが可能である。
【００９３】
生データのこの選択は、図８から図１０に示された離散扇形ビームに、図６に示された連続的な扇形ビームを交換することによって自動化することが可能である。一般的に、離散扇形ビームは、伝播している連続的な扇形ビームのある成分だけを許容するマスクと結合した連続的な扇形（あるいは円錐形）ビームを放射する放射源で生成される。これらの成分は直線の複数のペンシルビームと見なすことが可能である。マスク機能は、放射源上に位置し、それと共に移動可能な源マスクによって、または、線源キャリア上またはそれに付けられたリング状シールド上に配置されている複数の固定フレームマスクによって、果たすことが可能である。源マスクが分離可能になりえ、放射源上に配置することが可能であるように、源マスクを用いる実施形態は好まれる。検査中の物体に依存して、複数の直線ビーム成分の適切な数および間隔を備えた源マスクは、１セットの異なる源マスクから選択し、放射源に付けることが可能である。
【００９４】
図８によれば、扇形ビーム成分６．１、６．２、・・・を含む離散扇形ビーム６は、源マスク２１１を装備した放射源２１０で生成される。源マスク２１１は、放射源２１０のエネルギー分布関数を形作ることに適している。この目的のために、源マスク２１１は、例えば、図９および図１０に概略的に示されるような貫通孔２１２を備えたタングステンからできているシールド板２１２を含む。シールド板１２は球形（図９）または平面形（図１０）、または、撮像装置の概要の複数の条件に適合した他の適切な形を有することが可能である。貫通孔２１３は、放射源で出発する複数の射影線が、検出器要素が等しい弧長間隔で配置されることが可能な所定位置上に検出器要素を備えた線で円に交差するように配置される。
【００９５】
源マスクは放射源（例えばＸ線管）に固定される、特に（例えば、クリップ要素またはスナップ接続のような）分離可能な固定エレメントによって放射源２１０の出力窓２１５のフレーム２１４に固定される。分離扇形ビーム６は例えば２００の直線扇形ビーム成分を含む。
【００９６】
上記に示されたマスクによって生成される離散扇形ビームで、対応する複数の射影線に沿った減衰を検出する検出装置の複数のセンサ素子からの複数の信号は、放射源および検出装置のみのある位置で読み出される。その読み出された複数の位置は、リング状線源キャリア上のそれらの複数の弧長位置である。弧長位置は、図７に示されるのと同じ射影方向を備えた扇形ビーム成分を選択する条件を満たす。
【００９７】
検査中の物体の放射または粒子露出を低減するために、エネルギー入力（例えば放射）を上記の複数の読出し位置でのみ検査中の物体に向けることが望ましい。すなわち、複数のセンサ素子信号は、放射源および検出装置の組合せが複数の適切位置に向けられる場合に限り読み出される。放射源の移動中に、この条件は、一定時間、および／または放射源のある弧長位置で満たされる。読出し条件が満たされない限り、放射源を止めるかまたはシールドすることが可能である。放射源をシールドすることは複数の放射条件を安定に保つために望ましい。
【００９８】
シールド機能は、複数の放射窓２２３を備えた、図８に概略的に示されるリング状シールド２２２によって果たすことが可能である。リング状シールド２２２は、実用化と特に使用されるマスクに、シールド２２２の複数の幾何学的特性を適応させるための線源キャリア２２０に分離可能に固定することが可能である。一例として、リング状シールド２２２は、直径が各々６ｍｍである（ＣＴリングの直径８０ｃｍを備えた）２０１個の放射窓２２３を含む。
【００９９】
リング状シールド２２２の放射窓２２３がそれぞれ一例としてのみ図８に示されるフレームマスク２２４を備えている場合、上述された源マスク２１１は省略することが可能である。実際、源フレームマスク２１１、２２４を同時に提供する必要はない。
【０１００】
撮像装置の設計に影響を及ぼす本発明の再構成方法の本質的な利点は、図１１に示される。本発明は図６から図１０に、（互いに固定される、または、互いとは別々に移動される）放射源および検出装置の回転する組合せで示されているが、本発明は撮像装置に固定されている検出装置を備えたデータ収集を可能にする。本発明が連続的に変わる射影方向だけでなく、放射源の離散放射位置を必要としないという事実により、放射窓２２３の間の間隔（上記参照）が、検出装置の複数のセンサ素子を位置決めするために使用されることが可能である。この状況は、放射窓２２３（図１１）に隣接して配置された放射窓２２３（空円）およびセンサ素子３１３（完全円）で示される。
【０１０１】
複数の管と複数の検出器との間の少し傾きで、これは、複数の孔またはその上の複数のスライスを有しているＣＴリング内のリングで構築されることさえ可能である。そのようなリングは検査中に動かないままで、幾何にしたがって必要とされる光線がない領域での放射をシャットダウンするために用いることが可能である。これは、現在用いられているシステムでの管が回転中に時々切り替えられないという事実により、ＣＴシステムでのＸ線の線量の相当に大きな減少を可能にする。これに似た構成は、フィルタ処理された逆射影法アルゴリズムで作動する従来システムでは可能ではない。なぜなら、擬連続データが、十分な再構成結果を達成するために必要とされたからである。散乱放射が物体で起こるある光線があり、必要とされる少数の検出器によって検出されなければならない光線があるので、単一線への減少は散乱放射の問題も低減する。
【０１０２】
本発明へのさらなる実施形態によれば、検査中の物体は、図１２に示されるような放射源２１０の各位置で同時に放射された直線の複数の平行ペンシルビームで照射されることが可能である。直線の平行ペンシルビーム７は放射電磁場で分配される。その拡張は長方形の放射源によって決定される。平行ペンシルビーム７は、上述したような放射源で提供されるマスクで形作られる。あるいは、１つのペンシルビームを放射する、動いている放射源は、第１世代のＣＴシステムから知られているように、用いることが可能である。図１２の実施形態は、離散射影プロファイルが、図７に示されるような成分選択なしに検出装置３１０で直接測定することが可能であるという特別の利点を持つ。
【０１０３】
図１３は、人工物のスライスの比較を示す。（ａ）では、現物の物体が示されていて、（ｂ）では、１つの射影当たり３２本の光線で、１２８の射影を用いる従来のフィルタ処理された逆射影法での再構成が示され、一方、（ｃ）は、本発明にしたがって、３１の射影および３１の光線からの再構成を示す。
【０１０４】
図２に示される幾何が３Ｄ撮像へ拡張される場合、現在実際上用いられるヘリカルＣＴは、本発明によって容易に採用されることが可能である。図１４は、ヘリカルＣＴシステムの複数の幾何条件と、本発明に基づいた再構成方法でどのようにこれを用いることが可能であるかを示す。平面上でディスクに接近しているシリンダ通るスライスがある。それは２次元の場合と同じ方法で再構成することが可能である。図７で見られるような２次元の場合にあるように、複数の放射点の間のステップが一定間隔で配置されるものとする。とりわけ、ｚ軸に沿って移動する患者を備えたＣＴスキャナーの幾何のために、上記で述べた孔の内部リングは（図８でのように）今までどおり用いることが可能である。
【０１０５】
単一スライスＣＴの代わりに検出器アレイ３１０を備えた多重スライスＣＴを仮定している場合、２次元平面のための物体を通る複数の平行光線を見つけて選択するほうが簡単かもしれない。
【０１０６】
これは、例えば、焦点のようなスライスを備えた、ｚ軸に沿った別の孔板によって、または上記のようにそれの上に複数の孔または複数のスライスがあるリングによって、ある複数の光線が選ばれる管が（円形スポットの代わりに）用いられる場合、達成される。この場合、単一スライスに調整することが可能なシリンダ上のデータを得る。ｚ軸での達成可能な解像度は、再び、機械の単位回転当たりの光線数、および検出器要素サイズにのみ依存する。
【０１０７】
２．２  さらなる撮像技術  
物体を撮像する上記の特徴は、Ｘ線のコンピュータ断層撮影法に関して記述されている。本発明は類似の手法で上述した他の撮像技術に適用することが可能である。
【０１０８】
標本の超音波断層撮影法用の一例は図１５に示される。撮像装置１００は、超音波オシレータ２１０（コンバータ）、超音波検出器３１０を含む結合された、固定された配置のエネルギー生成器と検出装置２００、３００を含む。
【０１０９】
図１５は構成を長方形での配置を示す。対応するリング状配置は同様に可能である。撮像装置１００内では、物体１は保持装置５００上に配置される。有利なことに、保持装置５００の効果は上述された較正で調整された行列に導入されることが可能である。物体１と超音波コンバータとの間で、カップリング流体は配置される。超音波オシレータ２１０は、物体へ移動する直線の超音波体を生成する。複数の超音波は物体内で反射される。後方反射は、超音波検出器３１０で検出され、上記に概説した複数の原理にしたがって処理される。
【０１１０】
物体１のインピーダンス断層撮影法の一例は図１６に示される。撮像装置１００は、インピーダンス測定装置と電気的に接続されている電極２４０の配列を含む。従来のインピーダンス断層撮影法でのように測定されているデータは、物体での平行な電流方向に沿って測定された複数のインピーダンス値に基づいて撮像を再構成するために用いられる。
【０１１１】
３．  数学的な記述  
本発明の方法は、例えば、ＣＴで、ラドンデータからの撮像の再構成のために直接の手法を提供する。フィルタ処理された逆射影法のようなフーリエ変換技術を用いる代わりに、本発明は、下記で概説されるように、ディスク上の２つの変数の複数の直交多項式での直交展開に基づく。数学的な背景は、セクション（３．１）で与えられ、好ましい近似はセクション（３．２）で提示される。
【０１１２】
下記の数学的な記述は、円に包まれたディスクを参照する。楕円に囲まれた領域で、類似の考察を行うことが可能であることが強調される。楕円の方程式（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝１で、変数変換式ｘ＝ａｕとｙ＝ｂｖは、ディスクｕ２＋ｖ２＝１の場合に戻す。対応する変数変換を導入することが可能である場合、さらなる変更された形は可能である。
【０１１３】
ここに用いられる数学的なツールのさらなる詳細については、以下の出版物が参照される。R. Marr：“On the reconstruction of a function on a circular domain from a sampling of its line integrals” in “J. Math. Anal. Appl. ” vol. 45, 1974, p. 357-374；F. Natterer：“The mathematics of computerized tomography” Reprint of the 1986 original “Classics in Applied Mathematics 32” SIAM, Philadelphia, PA, 2001；F. Natterer and F. Wuebbeling ：“Mathematical Methods in Image Reconstruction” SIAM, Philadelphia, PA, 2001；C. Dunkl and Yuan Xu：“Orthogonal polynomials of several variables”, Cambridge University Press, 2001；Yuan Xu：“Funk-Hecke formula for orthogonal polynomials on spheres and on balls” in “Bull. London Math. Soc.” vol. 32, 2000, p. 447-457；およびYuan Xu：“Representation of reproducing kernels and the Lebesgue constants on the ball” in “J. Approximation Theory” vol. 112, 2001, p. 295-310である。
【０１１４】
３．１  数学的な背景  
Ｂ２＝｛（ｘ，ｙ）：ｘ２＋ｙ２≦１｝で平面上の単位ディスクを表示させる。単位ディスクは、その内部で０を備え閉じて境界のある集合であり、０（すなわち、ｑがＤに属す場合、−ｑも属す）に関して対称であり、凸である。
【０１１５】
θを、正のＸ軸から時計と逆回りに測定された角度とし、ｌ（θ，ｔ）＝｛（ｘ，ｙ）：ｘ cosθ＋ｙ sinθ＝ｔ｝を線とする。ここで、−１≦ｔ≦１である。
【０１１６】
表記  
【数４】
2008526283.tif 000006
【０１１７】
は、Ｂ２内の線分を示すために使用する。パラメータｔ∈［−１，１］で、方向（cosθ，sinθ）での関数ｆのラドン射影（Ｘ線）はＲθ（ｆ；ｔ）と示される。  
【数５】
2008526283.tif 000007
【０１１８】
（Ｒθ（ｆ；ｔ）は上記の関数ｐΘ（ｔ）に対応する）
【数６】
2008526283.tif 000008
【０１１９】
は２変数での全次数ｎの多項式空間を示し、次元  
【数７】
2008526283.tif 000009
【０１２０】
を有する。
【０１２１】
ｖｎ（Ｂ２）は、単位重み関数に対してＢ２上の次数ｎの直交多項式空間を示す。すなわち、Ｐが次数ｎであり、
【数８】
2008526283.tif 000010
【０１２２】
である場合に、Ｐ∈ｖｎ（Ｂ２）である。
【数９】
2008526283.tif 000011
【０１２３】
の場合、ｖｎ（Ｂ２）での多項式｛Ｐｊ，ｋ：０≦ｊ≦ｋ｝の集合は、ｖｎ（Ｂ２）の正規直交基底である。
【０１２４】
ｖｎ（Ｂ２）に対し明示的に知られているいくつかの直交または正規直交基底がある（C. F. Dunkl and Yuan Xu in "Orthogonal polynomials of several variables", Cambridge Univ. Press, 2001を参照）。ここで、複数のリッジ多項式で与えられた基底が用いられる。
【０１２５】
Ｕｋは、第２種のチェビシェフ多項式を示す。  
Ｕｋ＝sin（ｋ＋１）θ／sinθ，ｘ＝cosθ
ξ＝（cosθ，sinθ）およびＸ＝（ｘ，ｙ）については、リッジ多項式は  
【数１０】
2008526283.tif 000012
【０１２６】
によって定義される。
【０１２７】
明らかに、Ｕｋは  
【数１１】
2008526283.tif 000013
【０１２８】
の要素である。
【０１２９】
Ｕｋの０はcosθｊ，ｋ、１≦ｊ≦ｋである。ここで、θｊ，ｋ＝ｊπ／（ｋ＋１）。
【０１３０】
以下の結果は、R. Marr in "On the reconstruction of a function on a circular domain from a sampling of its line integrals" in "J. Math. Anal. Appl." vol. 45, 1974, p. 357-374 (see also Yuan Xu in "FunkHecke formula for orthogonal polynomials on spheres and on balls" in "Bull. London Math. Soc." vol. 32, 2000, p. 447-457)で説明されている。
【０１３１】
補題１．１  
ｖｎ（Ｂ２）の正規直交基底は
【数１２】
2008526283.tif 000014
【０１３２】
で与えられる。
【０１３３】
特に、集合Ｐｋ：｛０≦ｋ≦ｎ｝は  
【数１３】
2008526283.tif 000015
【０１３４】
にとっての正規直交基底である。
【０１３５】
標準ヒルベルト空間理論は、Ｌ２（Ｂ２）での任意の関数が、正規直交基底Ｐｋ：｛ｋ≧０｝でのフーリエ直交系列として展開されることが可能であることを示す。
【０１３６】
より正確には、ｆ∈Ｌ２（Ｂ２）の場合、
【数１４】
2008526283.tif 000016
【０１３７】
展開のｎ番目の部分和は、Ｓｎｆと表示され、すなわち、
【数１５】
2008526283.tif 000017
【０１３８】
本発明による再構成方法は次の注目すべき結果に基づいている。それは複数のラドン射影で部分和Ｓ２ｍｆを表現する。
【０１３９】
定理１．２  
ｍ≧０で、部分和演算子Ｓ２ｍｆは、
【数１６】
2008526283.tif 000018
【０１４０】
のように書くことが可能である。ここで、  
【数１７】
2008526283.tif 000019
【０１４１】
ただし、φ＝２ｖπ／（２ｍ＋１）である。
【０１４２】
類似の定理は、シリンダ領域ＢＬ＝Ｂ２×［０，Ｌ］（ただしＬ＞０）で有効である。ｖｎ３（Ｂ２）を重み関数（ｚ（Ｌ−ｚ））−１／２／π２に関してＢＬ上のｎ次の複数の直交多項式とする。すなわち、degＱ＜ｎ＝degＰのような３変数の全ての多項式Ｑに対して、  
【数１８】
2008526283.tif 000020
【０１４３】
であれば、Ｐ∈ｖｎ３（ＢＬ）である。
【数１９】
2008526283.tif 000021
【０１４４】
を第１種の複数のチェビシェフ多項式とする。
【数２０】
2008526283.tif 000022
【０１４５】
を
【数２１】
2008526283.tif 000023
【０１４６】
によって定義する。
【０１４７】
複数の多項式  
【数２２】
2008526283.tif 000024
【０１４８】
は［０，L］上の（ｚ（Ｌ−ｚ））−１／２／π２に関して正規直交である。以前のようにＵｋ（θｊ，ｋ；ｘ，ｙ）を定義する。
【０１４９】
補題１．３  
ｖｎ３（ＢＬ）にとっての正規直交基底は、  
【数２３】
2008526283.tif 000025
【０１５０】
によって与えられる。
【０１５１】
特に、集合｛Ｐｌ：０≦ｌ≦ｎ｝は、  
【数２４】
2008526283.tif 000026
【０１５２】
にとっての正規直交基底である。
【０１５３】
ｆ∈Ｌ２（ＢＬ）にとって、正規直交基底系｛Ｐｎ：ｎ≧０｝に関してｆの複数のフーリエ係数は、
【数２５】
2008526283.tif 000027
【０１５４】
によって与えられる。
【０１５５】
Ｓｎｆをフーリエ部分和演算子とする。  
【数２６】
2008526283.tif 000028
【０１５６】
関数  
【数２７】
2008526283.tif 000029
【０１５７】
のラドン射影用のＲφ（ｇ；ｔ）の表記法はそのままである。［０，Ｌ］に固定されたｚで、  
【数２８】
2008526283.tif 000030
【０１５８】
下記は、シリンダＢＬのための定理１．２の類似である。  
定理１．４  
ｍ≧０で、  
【数２９】
2008526283.tif 000031
【０１５９】
ただし、  
【数３０】
2008526283.tif 000032
【０１６０】
ラドンデータの平行な形状を利用するために、（１．４）および（１．７）での積分に離散近似を得る本発明によれば、積分が好ましくは使用される。
【０１６１】
ｆが多項式であれば、Ｒφ（ｆ；．）／（１−ｔ２）１／２もまた多項式である。したがって、求積法は、［−１，１］上の（１−ｔ２）１／２に関する積分で選ばれる。そのような求積法は、Ｉｎｇと表示される。そのとき、
【数３１】
2008526283.tif 000033
【０１６２】
ここで、ｔ１，・・・，ｔｎは、（−１，１）での複数の特徴点であり、λｊは、
【数３２】
2008526283.tif 000034
【０１６３】
のような実数である。
【０１６４】
高々次数ρの複数の多項式であるｇにとって（１．８）で等号が成立する場合、求積法は正確度ρを持つと言う。
【０１６５】
すべての求積公式の中で、ガウスの求積法は最も高い正確度を有する。それは、高々２ｎ−１の次数の全ての多項式ｇにとって、
【数３３】
2008526283.tif 000035
【０１６６】
で与えられる。すなわち、それの正確度は２ｎ−１である。ｊπ／（ｎ＋１）はチェビシェフ多項式Ｕｎの０であることに注意する。
【０１６７】
３．２  平行形状のための再構成アルゴリズム  
３．２．１  ２Ｄ画像用の再構成アルゴリズム  
（１．４）で求積公式を用いることは我々の再構成アルゴリズムを与える。それは、以下に定義された多項式Ａ２ｍｆを生成する。  
アルゴリズム２．１  
γｖ，ｊ＝Ｒφｖ（ｆ；ｔｊ）とする。ｍ≧０および（ｘ，ｙ）∈Ｂ２で、
【数３４】
2008526283.tif 000036
【０１６８】
ここで、
【数３５】
2008526283.tif 000037
【０１６９】
そして、λｊおよびｔｊは（１．８）で与えられる。
【０１７０】
与えられたｆにとって、近似処理Ａ２ｍｆはｆのラドンデータ  
｛Ｒφｖ（ｆ；ｔｊ）：０≦ｖ≦２ｍ、１≦ｊ≦ｎ｝
を用いる。
【０１７１】
データは、（φνによって規定される）ディスクの周面に沿った２ｍ＋１の等間隔の方向上の複数のラドン射影から構成され、それぞれの方向ごとで（ｔｊによって規定される）ｎ個の平行線がある。これらの平行ラドン射影が画像ｆから採用される場合、アルゴリズムはオリジナル画像に近似を与える多項式Ａ２ｍｆを生成する。
【０１７２】
多項式Ａ２ｍｆは、数値実行にとって特に扱いやすい。なぜなら、（例えば、測定前のハードディスクドライブ上に）Ｔｊ，ｖを保存することが可能であるからである。これは、非常に単純なアルゴリズムを提供する。すなわち、ラドンデータが与えられ、画像の再構成を得るために（２．１）でＡ２ｍｆ(x)を評価する足し算、かけ算を行わなければならないだけである。
【０１７３】
求積法のよい選択はガウスの求積法である。特にｎ＝２ｍが選ばれる場合、求積法（１．９）のノードは、ｔｊ＝cosθｊ，２ｍ=cosｊπ／（２ｍ＋１）になる。この場合、本発明のアルゴリズムは特別な単純形をとる。  
アルゴリズム２．２  
γｖ，ｊ＝Ｒφｖ（ｆ；cosθｊ，２ｍ）とする。ｍ≧０、（ｘ，ｙ）∈Ｂ２に対して、
【数３６】
2008526283.tif 000038
【０１７４】
ここで、
【数３７】
2008526283.tif 000039
【０１７５】
定義の結果として、次の結論が得られる。
【０１７６】
定理２．３  
アルゴリズム２．１での演算子Ａ２ｍｆは、次数σの複数の多項式を保存する。より正確には、ｆが高々σの次数の多項式である場合は常に、Ａ２ｍ（ｆ）＝ｆである。特に、アルゴリズム２．２での演算子Ａ２ｍｆは、高々２ｍ−１の次数の多項式を保存する。
【０１７７】
３．２．２  標本関数（乗算関数）を備えた２Ｄイメージ用の再構成アルゴリズム  
近似の収束の向上のために、本発明の方法は、Ｓ２ｍｆから開始する代わりに、より好ましい収束の振る舞いを有する、フーリエの直交展開のためのいくつかの総和法から開始することが可能である。次の標本関数（または乗算関数）が用いられる場合、有利なことに、ある次数までの多項式が保存されている特性は保たれる。この目的のために、複数の多項式の和は、乗算関数に応じて高い次数の多項式の寄与を低減する所定の乗算関数を施される。
【０１７８】
定義２．４  
η（ｔ）＝１、０≦ｔ≦１かつsuppπ⊂［０，２π］である場合に、Ｃτ［０，∞）、ｒ＞０での関数ηは、標本関数と呼ばれる。
【０１７９】
ηを標本関数とする。演算子
【数３８】
2008526283.tif 000040
【０１８０】
は
【数３９】
2008526283.tif 000041
【０１８１】
によって定義される。
【０１８２】
演算子
【数４０】
2008526283.tif 000042
【０１８３】
がより好ましい近似特性を有していることは証明されうる。事実、ηが３次微分を有している場合、演算子
【数４１】
2008526283.tif 000043
【０１８４】
はｍまでの次数の多項式を保存し、それは一定の倍数まで高々ｍの次数の任意の多項式と同様に正確にｆを近似する。本発明のアルゴリズムはこの場合、下記に基づいている。
【０１８５】
定理２．５  
ｍ≧０にとって、演算子
【数４２】
2008526283.tif 000044
【０１８６】
は、
【数４３】
2008526283.tif 000045
【０１８７】
のように書くことができる。ただし、
【数４４】
2008526283.tif 000046
【０１８８】
である。
【０１８９】
したがって、求積法は、乗算関数を備えた再構成アルゴリズムを得るために（２．４）での積分に適用することが可能である。ガウスの求積法（１．９）では、次のアルゴリズムに帰結する。
【０１９０】
アルゴリズム２．６  
ｍ≧０、（ｘ，ｙ）∈Ｂ２にとって、
【数４５】
2008526283.tif 000047
【０１９１】
ここで、
【数４６】
2008526283.tif 000048
【０１９２】
与えられたｆにとって、近似処理
【数４７】
2008526283.tif 000049
【０１９３】
は、Ａ２ｍｆの場合と同様にｆのラドンデータを用いる。それは、数値実行では単純な構造を持ち、ｍまでの次数の複数の多項式を保存する。その近似の振る舞いはＡ２ｍｆでの場合よりも好ましく見える。
【０１９４】
本発明の別の実施例によれば、乗算関数によって規定されない他の総和法も収束の向上のために用いることが可能である。
【０１９５】
３．２．３  ３Ｄ画像用の再構成アルゴリズム  
シリンダ領域上のアルゴリズムを得るために、再び、ガウスの求積法が用いられる。ｚでの積分については、（ｚ（Ｌ−ｚ））−１／２にとってのガウスの求積法が用いられる。
【数４８】
2008526283.tif 000050
【０１９６】
と設定する。ここで、ｚｉはＴｎ（ｚ）の０である。［０，Ｌ］上のガウスの求積法は、次の形式をとる。
【数４９】
2008526283.tif 000051
【０１９７】
これは、ｇが高々２ｎ−１の次数の多項式である場合は常に有効である。ｔでの積分にとって、Ｂ２の場合と同じ求積法（１．８）が使用される。単純にするために、ガウスの求積法（１．９）を用いる再構成アルゴリズムのみが記述される。アルゴリズムは、以下のように３つの変数の多項式Ｂ２ｍを生成する。
【０１９８】
アルゴリズム２．７  
γｖ，ｋ，ｉ＝Ｒφｖ（ｆ（．，．，ｚｉ）；cosΨｊ，２ｍ）とする。  
ｍ≧０で、
【数５０】
2008526283.tif 000052
【０１９９】
ここで、
【数５１】
2008526283.tif 000053
【０２００】
与えられた関数ｆについて、近似処理Ｂ２ｍは、ｆのラドンデータ
｛Ｒφｖ（ｆ（．，．，ｚｉ；cosΨｊ）：０≦ｖ≦２ｍ、１≦ｊ≦２ｍ、０≦ｉ≦ｎ−１）｝
を使用する。データは、ｚ軸に垂直なｎ個のディスク上のラドン射影から構成されている。各ディスク上では、ラドン射影は、（Ψｊによって規定される）ディスクの周囲、かつ、各方向で（cosΨｊによって規定される）２ｍ＋１個の平行線に沿って等間隔に配置された２ｍ＋１の方向で取得される。この近似は、平行なラドンデータからの３Ｄ画像の再構成に用いることが可能である。実際上、ｚ方向の整数ｎは、ｚ方向での解像度が各ディスク上の解像度と同程度であるように、選ばれるべきである。
【０２０１】
アルゴリズム２．７での演算子は、次数２ｍ−１の多項式を保存する。より正確には、ｆが高々２ｍ−１の次数の多項式である場合は常にＢｍ（ｆ）＝ｆである。
【０２０２】
ｚ方向で、好ましくは、重み関数（ｚ（Ｌ−ｚ））−１／２は一定の重み関数の代わりに用いられる。理由は、第一種のチェビシェフ多項式が計算するのに簡単である、対応するガウスの求積法（２．７）が明示的であるという事実にある。一定の複数の重み関数が用いられる場合、０（ガウスの求積法のノード）が数値的にのみ与えれる複数のルジャンドル多項式で計算しなければならない。
【０２０３】
上記に概説される（セクション３．２．２）類似の手法で３Ｄ画像用の再構成アルゴリズムは、標本関数（乗算関数）で行うことが可能である。
【０２０４】
３．２．４  アルゴリズムの収束  
上記のアルゴリズムの収束について、ｆが２次連続微分を有している場合、近似（例えばアルゴリズム２．２）が点別収束および一様収束を示すことを示すことが可能である。対照的に、従来のフィルタ処理された逆射影法で、収束はスムースな帯域が制限された複数の関数にとってのみ得られる（上記F. Nattererを参照）。
【図面の簡単な説明】
【０２０５】
【図１】本発明による再構成方法の基本的なステップを示すフローチャート。
【図２】ラドンデータの収集を示す図。
【図３】本発明の再構成方法のさらなるステップを示すフローチャート。
【図４】図４は、本発明の撮像方法での複数の射影方向の設定を示すフローチャート。
【図５】図５は、本発明による撮像装置の実施形態の図式表現。
【図６】図６は、検査中の物体を通る複数の扇状ビームまたは複数のペンシルビームを配向することを示す。
【図７】図７は、検査中の物体を通る複数の扇状ビームまたは複数のペンシルビームを配向することを示す。
【図８】図８は、検査中の物体を通る複数の扇状ビームまたは複数のペンシルビームを配向することを示す。
【図９】図９は、本発明にしたがい用いられる複数のマスクを形成するビームの実施形態を示す図。
【図１０】図１０は、本発明にしたがい用いられる複数のマスクを形成するビームの実施形態を示す図。
【図１１】図１１は、本発明にしたがい用いられるラドンデータ収集のさらなる例を示す図。
【図１２】図１２は、本発明にしたがい用いられるラドンデータ収集のさらなる例を示す図。
【図１３】図１３は、再構成結果の例を示す図。
【図１４】図１４は、らせん形のラドンデータの収集を示す図。
【図１５】図１５は、本発明による撮像装置のさらなる実施形態を示す図。
【図１６】図１６は、本発明による撮像装置のさらなる実施形態を示す図。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
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【国際調査報告】
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