(57)【要約】磁石（２）及びｊ個（ｊ＝１，．．．，Ｎ）のコイル（３）を有するプレーナモータ（１）の高精度制御を確実にするために、電流Ｔ７は、磁石（２）と相互作用する力及びモーメントが生成されるようにコイル（３）を通って流れることが可能であり、現位置から好ましい位置に磁石（２）及びコイルの相対的位置を変えるために必要な力及びモーメントを決定すること、そして電動モータ（１）の制御ユニット（４）の演算手段（４３）にこの力及びモーメントを生成するために必要な電流Ｔ７を決定することが提案されている。コイル電流は、その場合、調節手段（４４）により調節される。磁石（２）及びコイル（３）の相対的位置は測定手段（５）により測定され、制御ユニット（４）の第１入力手段（４１）に供給される。
2008521379.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
電動モータ、特に、プレーナモータを制御するための方法であって、磁石はｊ個のコイルにより位置決めされ、ここで、ｊ＝１，．．．，Ｎであり、電流は磁石と相互作用する力及びモーメントが生成されるように、前記コイルを通って流れる、方法であり：
磁石及びコイルの現相対的位置を決定する段階；
現位置から好ましい位置に磁石及びコイルの相対的位置を変化させるために必要な力及びモーメントを決定する段階；
前記力及び前記モーメントを生成するために必要な電流を決定する段階であって、磁石−コイルシステムに関する更なる制限が、前記電流を規定するために考慮される、段階；並びに
前記決定された電流を前記ｊ個のコイルに適用する段階；
を有する方法。
【請求項２】
請求項１に記載の方法であって、電流の数Ｎは電動モータの自由度の数より多い、方法。
【請求項３】
請求項１又は２に記載の方法であって、前記更なる制限は最小電力損失である、方法。
【請求項４】
請求項１又は２に記載の方法であって、ｊ＞１であり、更なる制限は力及びモーメントの所定の分布である、方法。
【請求項５】
請求項１乃至４の何れ一項に記載の方法であって、ラグランジェ関数は前記電流を決定するために最小にされる、方法。
【請求項６】
請求項１乃至５の何れ一項に記載の方法であって、各々が現位置から好ましい位置に磁石及びコイルの相対的位置を変えられる必要がある、異なる力及びモーメントの集合が決定される、方法。
【請求項７】
電動モータ、特に、プレーナモータを制御するための制御ユニットであって、磁石はｊ個のコイルにより位置決めされ、ここで、ｊ＝１，．．．，Ｎであり、電流は磁石と相互作用する力及びモーメントが生成されるように、前記コイルを通って流れる、制御ユニットであり：
磁石及びコイルの現相対的位置についての情報を受け入れるための第１入力手段；
現位置から好ましい位置に磁石及びコイルの相対的位置を変える必要がある力及びモーメントについての情報を受け入れるための第２入力手段；
前記力及びモーメントを生成するために必要な電流を演算するための演算手段であって、磁石−コイルシステムに関する更なる制限が電流を決定するために考慮される、演算手段；並びに
前記ｊ個のコイルに前記演算された電流を適用するために前記電流を調節するための調節手段；
を有する制御ユニット。
【請求項８】
請求項７に記載の制御ユニットであって、前記第２入力手段は、各々が現位置から好ましい位置に磁石及びコイルの相対的位置を変えるために必要である力及びモーメントの集合を記憶するための記憶手段として備えられている、制御ユニット。
【請求項９】
請求項７に記載の制御ユニットであって、前記第２入力手段は、現位置から好ましい位置に磁石及びコイルの相対的位置を変えるために必要である力及びモーメントを演算するための演算手段として備えられている、制御ユニット。
【請求項１０】
電動モータであって：
磁石及びｊ個のコイルであって、ここで、ｊ＝１，．．．，Ｎであり、前記磁石と相互作用する力及びモーメントが生成されるように、前記コイルを通って流れる、磁石及びｊ個のコイル；並びに
請求項７乃至９の何れ一項に記載の制御ユニット；
を有する、電動モータ。
【請求項１１】
請求項１０に記載の電動モータであって、前記電動モータはプレーナモータである、電動モータ。
【請求項１２】
請求項１０又は１１に記載の電動モータであって、前記電動モータは６自由度を有するプレーナモータである、電動モータ。
【請求項１３】
請求項１０乃至１２の何れ一項に記載の電動モータであって、前記磁石は前記コイルに関して移動可能である、電動モータ。
【請求項１４】
請求項１０乃至１３の何れ一項に記載の電動モータであって、前記磁石及びコイルの相対的位置を測定するための手段を有する、電動モータ。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、電動モータを制御するための方法であって、磁石がｊ個のコイルに対して位置付けられ、ここで、ｊ＝１，．．．，Ｎであり、磁石、電動モータを制御するための制御ユニット及び電動モータと相互作用する力及びモーメントが生成されるように、電流Ｉｊがコイルを通って流れる、方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
電動モータは種々の電気機器、特に、高精度の位置決めのための機器で用いられる。その用途の一分野は、例えば、リニア電動モータ又はプレーナ電動モータの支援によりフォトリソグラフィ及び他の半導体処理中にウェーハの位置決めすることである。
【０００３】
米国特許出願公開第２００３／００８５６７６Ａ１号明細書において、６自由度で移動及び位置付けするようにプレーナモータを独立して制御するためのシステム及び方法について記載されている。コイルアレイのコイルに供給される電流は、磁石とコイルアレイとの間で力が発生するように磁石アレイの磁石の磁場と相互作用する。発生した力は、第１、第２及び第３方向の周りの回転のみならず、互いに対して一般に直交する第１、第２及び第３方向において、コイルアレイに関連する磁石アレイの動きを与える。
【０００４】
米国特許出願公開第２００３／００８５６７６Ａ１号明細書にしたがった方法は、第１、第２及び第３方向における磁石アレイとコイルアレイとの間に力を生成するようにコイルに供給される電流を決定する段階と、決定された電流により生成される力により発生される磁石アレイとコイルアレイとの間の第１、第２及び第３方向の周りの、結果として得られるトルクを決定する段階と、結果として得られたトルクを補償する又は取り消すように電流調節を決定する段階と、磁石アレイの磁場と相互作用するようにコイルに決定された電流及び決定された電流調節の和を適用する段階とを有する。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
電動モータを制御するための有効性であって、磁石が１つ又はそれ以上のコイルに関連して位置付けられ、電流Ｉｊが、追従する経路及び位置決めに関して高精度で磁石と相互作用する力及びモーメントが生成するように、コイルを通って流れることができ、ここで、ｊ＝１，．．．，Ｎである、有効性を与えることは好ましいことである。
【課題を解決するための手段】
【０００６】
本発明の第１特徴において、電動モータ、特に、プレーナモータを制御するための方法は、磁石がコイルに関して位置決めされ、ここで、ｊ＝１，．．．，Ｎであり、電流Ｉｊは、磁石と相互作用する力及びモーメントが生成されるように、コイルを通って流れ、磁石及びコイルの現相対的位置を決定する段階と、現位置から好ましい位置に磁石及びコイルの相対的一を変える必要がある力
【数１】
2008521379.tif 000003
及びモーメント
【数２】
2008521379.tif 000004
を決定する段階と、力
【数３】
2008521379.tif 000005
及びモーメント
【数４】
2008521379.tif 000006
を生成するために必要な電流Ｉｎｅｃｊを決定する段階であって、磁石−コイルシステムに関する更なる制限が電流Ｉｎｅｃｊを決定するために考慮される、段階と、ｊ個のコイルに決定された電流Ｉｎｅｃｊを適用する段階と、を有する。
【０００７】
磁石とコイルとの間の好ましい相対的動きのために必要な力及びモーメントの両方を最初から考慮することは、動きの非常に高精度な制御を可能にする。磁石−コイルシステムに関する更なる制限をまた、考慮することにより、そのシステムは全体として最適化され、そのシステムは一意の電流を決定する可能性を与え、それ故、制御の精度を改善する。
【０００８】
本発明にしたがった方法は、電流ＩＪの数Ｎが電動モータの自由度の数より大きく、一意の電流を導き出す場合に、特に有利である。自由度の数は、独立変数
【数５】
2008521379.tif 000007
及び
【数６】
2008521379.tif 000008
の数と同等である。
【０００９】
好適な実施形態においては、考慮される更なる制限は、電動モータの全電力損失の最小化であり、効率に関して最適化された電動モータに繋がり、空間における力及びモーメントの所定の分布を有する制限は、動きの間の磁石プレートの非常に小さい変形に繋がる。
【００１０】
本発明の最も好適な実施形態においては、ラグランジェの方法が、一意の電流Ｉｎｅｃｊを決定するために用いられる。電流Ｉｊ及びラグランジェ乗数λｉの関数依存性、並びに、選択された制限のみならず現位置から好ましい位置への磁石とコイルとの間の相対的位置の変化のために必要な力及びモーメントの考慮は最小化され、電流Ｉｎｅｃｊが与えられる。
【００１１】
有利であることに、現位置から好ましい位置に磁石とコイルとの間で相対的位置を変えるために必要な力及びモーメントは演算により全ての新しい位置の後に個別には決定されないが、異なる力
【数７】
2008521379.tif 000009
及びモーメント
【数８】
2008521379.tif 000010
の集合が決定され、現位置から好ましい位置に磁石及びコイルの相対的位置を変えるために必要な力及びモーメントの各々は、予め演算され、データベースとして与えられる。このことは、必要な演算資源を減少させて、制御中の反応時間を増加させる。
【００１２】
本発明の更なる特徴においては、電動モータ、特に、プレーナモータを制御するための制御ユニットであって、磁石がｊ個のコイルに関して位置付けされ、ここで、ｊ＝１．．．Ｎであり、Ｉｊは、磁石と相互作用する力及びモーメントが生成されるようにコイルを通って流れる、制御ユニットは、磁石及びコイルの現相対的位置に関する情報を受け入れるための第１入力手段と、現位置から好ましい位置に磁石及びコイルの相対的位置を変化させるために必要な力
【数９】
2008521379.tif 000011
及びモーメント
【数１０】
2008521379.tif 000012
に関する情報を受け入れるための第２入力手段と、力
【数１１】
2008521379.tif 000013
及びモーメント
【数１２】
2008521379.tif 000014
を生成するために必要な電流Ｉｎｅｃｊを演算するための演算手段であって、磁石−コイルシステムに関する更なる制限がＩｎｅｃｊを規定するために考慮される、演算手段と、ｊ個のコイルに演算された電流Ｉｎｅｃｊを適用するように電流Ｉｊを調節するための調節手段と、を備えている。
【００１３】
制御ユニットの第２入力手段は、各々が現位置から好ましい位置に磁石及びコイルの相対的位置を変化させるために必要とされる、力
【数１３】
2008521379.tif 000015
及びモーメント
【数１４】
2008521379.tif 000016
の集合を記憶するための記憶手段として備えられることが可能であり、又は、現位置から好ましい位置に磁石及びコイルの相対的位置を変化させるために必要とされる力
【数１５】
2008521379.tif 000017
及びモーメント
【数１６】
2008521379.tif 000018
を演算するための演算手段として備えられることが可能である。
【００１４】
本発明の更なる特徴においては、磁石及びｊ個のコイルであって、ここで、ｊ＝１．．．Ｎであり、電流Ｉｊは、その磁石と相互作用する力及びモーメントが生成されるようにそれらコイルを通って流れる、磁石及びコイルと、本発明にしたがった制御ユニットとを、電動モータが備えている。
【００１５】
好適な実施形態においては、そのモータはプレーナモータであり、最も好適な実施形態においては、プレーナモータは６自由度を有している。
【００１６】
磁石に関するコイルの動き、又は動くコイル及び磁石を有することが可能である。しかし、コイルに関する磁石の動きを有することは好ましい。このことは、ホース及びケーブルがコイルの自由な動きを妨げることを回避する。
【００１７】
有利であることに、モータは、磁石及びコイルの相対的位置を測定し、それ故、制御及び位置決めの精度を改善するための手段を有する。
【００１８】
以下、本発明について、詳述する。その詳細説明は、添付図を参照して理解する比制限的な例示として与えられている。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１９】
図１は、図２に示すモータを制御ループとして、本発明にしたがった方法の実施形態を示すブロック図である。磁石プレートは、所定の速度で所定の経路に沿って動く必要がある。この動きを実現するように、力及びモーメントが磁石プレートに作用される必要がある。この力及びモーメントは、コイルを通って流れる電流及び磁石プレートからの磁場の相互作用により生成される。それらの電流は制御されることができ、そのことは、そのプレートに作用する力及びモーメントが制御されることができることを意味する。
【００２０】
必要な力及びモーメントを生成するように、コイルを通って流れる電流が規定される必要がある。力及びモーメントがプレートで作用する場合、プレートは動き、新しい位置に達する。この位置は、磁石プレートの位置
【数１７】
2008521379.tif 000019
及び方位
【数１８】
2008521379.tif 000020
に関して測定される。その制御ループは、プレートが所定速度で所定経路に従うように、力及びモーメント、それ故、電流が規定されるように備えられている。
【００２１】
開始点、即ち、磁石及びコイルの第１相対的位置は、段階１０１において設定点として与えられる。磁石は、所定速度で位置
【数１９】
2008521379.tif 000021
への経路及び方位
【数２０】
2008521379.tif 000022
に沿って動く必要がある。磁石に作用する必要がある必要な力及びモーメントは段階１０２において決定される。それらの値を演算するように、所定のデータベースでそれらの値を調べることが可能である。次の段階１０３においては、必要な電流Ｉｊが、決定される力及びモーメントが生成される必要があるという制限と、更なる制限、例えば、電力損失又は所定の力及びモーメントの分布と、により決定される。
【００２２】
一旦、電流が決定されると、それらの電流は１つ又はそれ以上のコイルに適用され、それ故、所定速度で位置
【数２１】
2008521379.tif 000023
及び方位
【数２２】
2008521379.tif 000024
の方にコイルに対して磁石を動かす（段階１０４）。次いで、現相対的位置及び方位が測定され（段階１０５）、新しいループのための開始点として取られる。
【００２３】
図２において、対応する電動モータ１が示されている。そのモータは、コイル３のアレイにおいて位置付けられた磁石２を有する。磁石２及びコイル３は、コイル３から磁石２に向かうｚ方向を伴って、ｘ−ｙ平面内に備えられている。図から理解できるように、３０個のコイルのみが磁石２により少なくとも一部を覆われている。電動モータの制御、特に、必要な電流の決定を簡単化するように、磁石２により少なくとも一部が覆われたコイル３のみを通る電流を有し、力、モーメント及び電流を決定するときに、それらのコイルのみを考慮することが可能である。その場合、経路は副経路に分割される必要があり、各々の副経路は、磁石２により少なくとも一部が覆われているコイル３の所定の集合を有する。磁石２は単独の磁石である必要はなく、磁石のアレイであることがまた、可能であることに更に留意する必要がある。このことは、単に所定の力及びモーメントを更に複雑にするだけである。
【００２４】
電動モータ１は制御ユニット４により制御される。第１入力手段４１を介して、演算手段４３は、磁石２及びコイル３の現相対的位置に関する情報を得る。この情報は、例えば、レーザによる光学測定に基づいて、測定手段５により与えられることが可能である。この情報はまた、最後の現位置に対応する第１設定点として記憶されることが可能である。しかし、現位置がときどき、独立して測定される場合、精度が改善される。
【００２５】
所定の力及びモーメントに関する情報は、第２入力手段４２を介して演算手段４３に与えられる。この第２入力手段は、例えば、記憶手段であることが可能であり、その記憶手段において、データベースは、現位置から好ましい位置に相対的位置を変えるために必要な力及びモーメントの集合を有する。それは、実際の力及びモーメントを演算するための更なる演算手段であることが可能であり、そして演算手段４３に統合されることさえ、可能である。
【００２６】
必要な情報全てを有する場合、演算手段４３は、決定される力及びモーメントを生成するために必要な電流を演算することができる。演算の仕方についての実施例については、下で与えられる。調節手段４４は、その場合、演算される電流が適用されるようにコイル電流を調節し、それ故、所定速度で位置
【数２３】
2008521379.tif 000025
及び方位
【数２４】
2008521379.tif 000026
の方にコイル３に対して磁石２を動かす。
【００２７】
電流Ｉｎｅｃｊを決定する有効な方法については、移動プレート及び複数の固定コイルを有し、６自由度を有するプレーナモータの実施例に関して、下で説明される。
【００２８】
電流は、力及びモーメントが磁石に適用されるように、コイルを通って流れる。各々の電流Ｉｊは、力
【数２５】
2008521379.tif 000027
及びモーメント
【数２６】
2008521379.tif 000028
が磁石に作用するようにする。それ故、磁石に作用する全力
【数２７】
2008521379.tif 000029
及び全モーメント
【数２８】
2008521379.tif 000030
は
【数２９】
2008521379.tif 000031
であり、ここで、Ｎは磁石に作用される負荷を制御する電流の数である。課題は、所定の力
【数３０】
2008521379.tif 000032
及びモーメント
【数３１】
2008521379.tif 000033
が磁石に適用されるように、電流Ｉｊ（ここで、ｊ＝１．．．Ｎである）を決定することである。
【００２９】
単位電流Ｉｊ＝１を考える。コイルを通る電流は、磁石に力
【数３２】
2008521379.tif 000034
及びモーメント
【数３３】
2008521379.tif 000035
を作用させる。値Ｉｊを有する電流は、力
【数３４】
2008521379.tif 000036
及びモーメント
【数３５】
2008521379.tif 000037
（ｊについての和ではない）を作用させる。全ての電流Ｉｊ（ここで、ｊ＝１．．．Ｎである）の重畳は、それらの電流が次式
【数３６】
2008521379.tif 000038
を満足する必要があることをもたらす。表記を簡略化するように、ベクトル
【数３７】
2008521379.tif 000039
、影響行列
【数３８】
2008521379.tif 000040
及び電流ベクトル
【数３９】
2008521379.tif 000041
を導入する。その場合、制限（２）は次式
【数４０】
2008521379.tif 000042
のように書き換えられる。
【００３０】
Ｎ＝６であり影響因子の行列が１つだけでない場合、電流は式（２）により流れ、次式
【数４１】
2008521379.tif 000043
のようになる。
【００３１】
Ｎ＜６であり、影響因子の行列Ｆ（行列）のランクがＮに等しい場合であって、所定の力及びモーメント
【数４２】
2008521379.tif 000044
が
【数４３】
2008521379.tif 000045
（ここで、ｊ＝１．．．Ｎである）で張られる空間にある場合、一意の電流Ｉｊ（ここで、ｊ＝１．．．Ｎである）が存在する。それらの電流は、式（３）の最小二乗解により、次式
【数４４】
2008521379.tif 000046
のように決定される。
【００３２】
所定の力及びモーメントが
【数４５】
2008521379.tif 000047
（ここで、ｊ＝１．．．Ｎである）で張られる空間にない場合、所定の力及びモーメントを生成する電流の組み合わせは存在しない。
【００３３】
Ｎ＜６である場合、影響因子の行列のランクはＮより小さく、
【数４６】
2008521379.tif 000048
が
【数４７】
2008521379.tif 000049
（ここで、ｊ＝１．．．Ｎである）で張られた空間にある場合、所定の力
【数４８】
2008521379.tif 000050
及びモーメント
【数４９】
2008521379.tif 000051
を生成するための電流Ｉｊ（ここで、ｊ＝１．．．Ｎである）は一意ではない。この場合及びＮ＞６である場合、付加要求が、所定の力及びモーメントを生成して一意の値Ｉｊを得るように課せられる必要がある。
【００３４】
一般に、必要な力及びモーメントは、モータの６自由度と一致する６つの制限を表す。一般に、プレートにおいて作用する力及びモーメントに影響するコイルの数Ｎは６より多い。電流の数についての典型的な数は、２０乃至３０の範囲内にあり、例えば、２７である。その場合、課題は、プレートにおいて必要な力及びモーメントが生成されるために電流をどのように規定するかである。それ故、Ｎ＞６の変数が決定される必要があり、それ故、６個の制限が満足される。
【００３５】
電流は、必要な力
【数５０】
2008521379.tif 000052
及びモーメント
【数５１】
2008521379.tif 000053
が生成される制限を伴う最適化／最小化課題の解である。それ故、ラグランジェの方法を用いる場合、電流は、関数
【数５２】
2008521379.tif 000054
がその最小を有する変数である。Ｊについての式におけるインデックスｉは、ベクトル
【数５３】
2008521379.tif 000055
及び
【数５４】
2008521379.tif 000056
の成分を表し、ここで、λ１，．．．，６はラグランジェ乗数である。関数
【数５５】
2008521379.tif 000057
は、電流Ｉ１，．．．，ＩＮと生成された力
【数５６】
2008521379.tif 000058
及びモーメント
【数５７】
2008521379.tif 000059
との間の関係を規定する。この場合、それらの力及びモーメントは電流に依存して線形であり、それ故、
【数５８】
2008521379.tif 000060
であり、ここで、テンソル
【数５９】
2008521379.tif 000061
は固定されているコイルに対する磁石プレートの方向
【数６０】
2008521379.tif 000062
及び方位
【数６１】
2008521379.tif 000063
に依存する。関数Ｇ（Ｉ１，．．．，ＩＮ）は、必要な力及びモーメント
【数６２】
2008521379.tif 000064
が生成される制限により最小化されるべき関数を規定し、そしてＩｎｅｃｃｊを決定するために考慮されるべき更なる制限に相当する。この関数Ｇ（Ｉ１，．．．，ＩＮ）が選択される必要がある。その場合、関数Ｊが最小である必要がある条件は、電流Ｉ１，．．．，ＩＮを一意に決定するように十分な付加条件を生成する（そして、その条件は、所謂、ラグランジェ乗数λ１，．．．，６を導き出す付加条件を一意に決定する）。それ故、必要な力
【数６３】
2008521379.tif 000065
及びモーメント
【数６４】
2008521379.tif 000066
が生成される制限により関数Ｇ（Ｉ１，．．．，ＩＮ）を最小化する一意の電流Ｉ１，．．．，ＩＮが決定される。
【００３６】
１．最小電力損失
最適化される関数Ｇ（Ｉ１，．．．，ＩＮ）が選択される必要がある。適切な選択はコイルにおける全電力損失であり、それ故、次式
【数６５】
2008521379.tif 000067
のようであり、ここで、Ｒｉはコイルの抵抗であり、電流Ｉｊによりもたらされる電力損失はＰｊ＝ＲｊＩｊ２（和ではない）である。Ｎ＞６である場合、電流Ｉｊに関する付加要求は、電流の全電力損失が最小であることである。
【００３７】
続いて、コイルを通ってながれる電流は、制限の式（３）により全電力損失を最小化することにより決定され、関数
【数６６】
2008521379.tif 000068
を最小化することにより決定され、ここで、λｉはラグランジェ乗数である。
【００３８】
この関数は、
【数６７】
2008521379.tif 000069
及び
【数６８】
2008521379.tif 000070
である場合、最小値を有する。
【００３９】
式（３）及び（９）の解を簡単化するように、電流は次式
【数６９】
2008521379.tif 000071
のようになる。
【００４０】
式（１０）を（９）に代入すると、次式
【数７０】
2008521379.tif 000072
が得られる。
【００４１】
それ故、式（１１）を解くことにより、
Ｉｋｉ＝−Ｆｉｋ／２Ｒｋ  （ここで、ｉ＝１．．．６、ｋ＝１．．．Ｎである）
が得られる。ラグランジェ乗数λｉは制限式（３）から得られる。式（１０）及び（１２）を式（３）に代入することにより、
【数７１】
2008521379.tif 000073
又は
【数７２】
2008521379.tif 000074
又は
【数７３】
2008521379.tif 000075
が得られる。
【００４２】
それ故、ラグランジェ乗数は式（１３）から解かれる必要があり、
【数７４】
2008521379.tif 000076
により与えられる。
【００４３】
電流Ｉｊを得るように、式（１２）及び（１４）が式（１０）に代入され、それ故、
【数７５】
2008521379.tif 000077
が得られる。
【００４４】
それ故、式（１５）により与えられる電流は、最小電力損失で所定の力
【数７６】
2008521379.tif 000078
及びモーメント
【数７７】
2008521379.tif 000079
を供給する電流である。
【００４５】
例示として、コイルの抵抗全てが等しく、それ故、Ｒｊ＝Ｒ（ここで、ｊ＝１．．．Ｎ）である。それ故、行列Ａ（１３）（行列）及びＩ（１２）（行列）は次式
【数７８】
2008521379.tif 000080
のようであり、電流は、次式
【数７９】
2008521379.tif 000081
により与えられる。
【００４６】
それ故、予測されるように、電流はコイルの抵抗とは無関係である。
【００４７】
２．予測される力及びモーメント分布
他の要求は、プレートにおける単位面積当たりの好ましい力及びモーメントの分布、それ故、好ましい分布
【数８０】
2008521379.tif 000082
である。その場合、関数Ｇ（Ｉ１，．．．，ＩＮ）は次式
【００４８】
2008521379.tif 000083
のようになり、ここで、積分はプレートの領域Ｄに亘って実行され、
【数８２】
2008521379.tif 000084
は、プレートの位置
【数８３】
2008521379.tif 000085
におけるプレートの単位面積当たりに生成される力及びモーメントを表す。実際的な理由のために、一般に、数値上の方法（例えば、離散化）が面積分を演算するように用いられる。プレートの領域ＤはＭ個の副領域Ｄｋに分割され、その場合、Ｄにおける積分は、次式
【数８４】
2008521379.tif 000086
により近似され、ここで、
【数８５】
2008521379.tif 000087
は、磁石プレートの全領域Ｄの部分Ｄｋにおいて作用する好ましい力及びモーメントを表し、
【数８６】
2008521379.tif 000088
は、コイルを通る電流のために、Ｄｋにおいて作用する力及びモーメントを表す。全力及びモーメントは次式
【数８７】
2008521379.tif 000089
により与えられる。この全力及びモーメントは、磁石プレートにおいて作用する必要な力及びモーメント
【数８８】
2008521379.tif 000090
に等しい必要がある。それ故、最適化されるべき関数は、次式
【数８９】
2008521379.tif 000091
のようになる。
【００４９】
更に詳細には、磁石プレートを複数の領域要素に分割する必要がある。それらの領域要素は必ずしも等しい必要はない。単位電流Ｉｊ＝１について考える。このコイルを通る単位電流は、この領域要素が他の領域要素全てから分離されるように考慮されている場合、領域要素ｋにおいて力
【数９０】
2008521379.tif 000092
及びモーメント
【数９１】
2008521379.tif 000093
に影響を与える。Ｉｊを有する電流は、領域要素ｋにおいて力
【数９２】
2008521379.tif 000094
及びモーメント
【数９３】
2008521379.tif 000095
（ｊにおける和ではない）に影響を与える。全ての電流Ｉｊ（ここで、ｊ＝１．．．Ｎである）の重畳は、領域要素ｋにおいて後続する力
【数９４】
2008521379.tif 000096
及びモーメント
【数９５】
2008521379.tif 000097
を、次式
【数９６】
2008521379.tif 000098
のように生成し、ここで、Ｍは領域要素の数である。磁石プレートにおいて作用する全力及びモーメントは、全ての領域要素の結合から理解でき、それ故、全力
【数９７】
2008521379.tif 000099
及び全モーメント
【数９８】
2008521379.tif 000100
は次式
【数９９】
2008521379.tif 000101
のようであり、ここで、
【数１００】
2008521379.tif 000102
は、力
【数１０１】
2008521379.tif 000103
及びモーメント
【数１０２】
2008521379.tif 000104
が作用する領域要素における場所に全力及びモーメントが作用する位置からのベクトルである。
【００５０】
磁石プレートにおける力及びモーメントの分布を規定することができる。磁石プレートが領域要素において離散化されている場合、このことは、領域要素において作用する力
【数１０３】
2008521379.tif 000105
及びモーメント
【数１０４】
2008521379.tif 000106
の分布が規定されることができることを意味する。その場合、課題は、それらの力及びモーメントの分布を（略）もたらすコイルを通る電流を決定することである。しかしながら、コイルを通る電流は、磁石プレートにおいて作用する規定された全力及び全モーメントを生成する必要がある。それ故、下の最適化課題が解かれる必要がある。
【００５１】
力
【数１０５】
2008521379.tif 000107
及びモーメント
【数１０６】
2008521379.tif 000108
の規定された分布が、必要な全力
【数１０７】
2008521379.tif 000109
及びモーメント
【数１０８】
2008521379.tif 000110
が生成される制限により、最小二乗法において満足するように電流
【数１０９】
2008521379.tif 000111
を決定する。それ故、電流は、関数
【数１１０】
2008521379.tif 000112
を最小化することから理解でき、ここで、
【数１１１】
2008521379.tif 000113
及び
【数１１２】
2008521379.tif 000114
はラグランジェ乗数である。
【００５２】
関数（２２）が最小値を有する条件を決定するように、その関数をベクトル
【数１１３】
2008521379.tif 000115
、
【数１１４】
2008521379.tif 000116
及び
【数１１５】
2008521379.tif 000117
の成分の関数として表し、それ故、
【数１１６】
2008521379.tif 000118
のようであり、ここで、εｓｑｔ＝１（ｓｑｔが１２３、３１２、２３１である場合）、εｓｑｔ＝−１（ｓｑｔが１３２、３２１、２１３である場合）及びεｓｑｔ＝０（ｓｑｔがそれ以外の場合）である。
【００５３】
関数（２３）の式においては、アインシュタインの加算の慣習がインデックスｎ、ｐ、ｑ、ｒ及びｔについて用いられる（即ち、それらが項において２回現れる場合に、それらのインデックスについての加算）ことに留意されたい。Ｉｉ、λｊ及びμｋについての微分及び結果の０への設定は、次式
【数１１７】
2008521379.tif 000119
又は
【数１１８】
2008521379.tif 000120
、
【数１１９】
2008521379.tif 000121
及び
【数１２０】
2008521379.tif 000122
を得る。
【００５４】
関数（２２）は、式（２５）、（２６）及び（２７）が満たされる場合、最小値を有する。ベクトル及び行列の表記において、それらの式は、
【数１２１】
2008521379.tif 000123
、
【数１２２】
2008521379.tif 000124
及び
【数１２３】
2008521379.tif 000125
になり、ここで、行列成分ＤｋはＤｉｊｋ＝εｉｐｑｘｐｋＡｑｊｋであり、
εｉｐｑ＝１（ｉｐｑが１２３、３１２、２３１である場合）
εｉｐｑ＝−１（ｉｐｑが１３２、３２１、２１３である場合）及び
εｉｐｑ＝０（ｉｐｑがそれ以外の場合）                  （３１）
である。
【００５５】
続いて、次の規定
【数１２４】
2008521379.tif 000126
、
【数１２５】
2008521379.tif 000127
、
【数１２６】
2008521379.tif 000128
、
【数１２７】
2008521379.tif 000129
及び
【数１２８】
2008521379.tif 000130
が導き出される。
【００５６】
その場合、関数（２２）の最小値のための条件は、
【数１２９】
2008521379.tif 000131
、
【数１３０】
2008521379.tif 000132
及び
【数１３１】
2008521379.tif 000133
のようになる。
【００５７】
式（３２）から、次式
【数１３２】
2008521379.tif 000134
が得られ、次式
【数１３３】
2008521379.tif 000135
のように書き換えられる。
【００５８】
式（３５）を式（３３）及び（３４）に代入することにより、
【数１３４】
2008521379.tif 000136
及び
【数１３５】
2008521379.tif 000137
のそれぞれが得られる。
【００５９】
式（３７）及び（３８）を結合させることにより、ラグランジェの乗数
【数１３６】
2008521379.tif 000138
及び
【数１３７】
2008521379.tif 000139
についての線形式の集合
【数１３８】
2008521379.tif 000140
が与えられる。
【００６０】
それ故、
【数１３９】
2008521379.tif 000141
及び
【数１４０】
2008521379.tif 000142
の解は次式
【数１４１】
2008521379.tif 000143
のようである。
【００６１】
式（４０）を式（３６）に代入することにより、電流についての閉じた表現が、規定された力及びモーメントの関数として、直接与えられる。
【００６２】
規定された力の分布及びモーメントの分布は、例えば、均一であることが可能である。全力及びモーメントが、領域要素における均一な力及びモーメントの分布の条件及び領域要素のサイズが等しい条件で規定される場合、表面要素ｋにおいて作用する力
【数１４２】
2008521379.tif 000144
及びモーメント
【数１４３】
2008521379.tif 000145
は次式
【数１４４】
2008521379.tif 000146
のようである。
【００６３】
領域要素が等しくなく、磁石プレートの全領域
【数１４５】
2008521379.tif 000147
を伴って、サイズＯｋを有する場合、均一な分布に属する力
【数１４６】
2008521379.tif 000148
及びモーメント
【数１４７】
2008521379.tif 000149
は次式
【数１４８】
2008521379.tif 000150
のようである。
【００６４】
上では、本発明の複数の好適な実施形態について詳述したが、当業者は、種々の変形、代替及び置き換えが、本発明の主旨及び範囲から逸脱することなく実施されることが可能であることを理解できるであろう。それ故、本発明については、同時提出の特許請求の範囲内で何れの形態及び修正であれ、権利主張されるものである。例えば、従属請求項の特徴の種々の組み合わせが、本発明の範囲から逸脱することなく従属請求項の特徴を伴って実施されることが可能である。
【図面の簡単な説明】
【００６５】
【図１】本発明にしたがった制御方法の実施形態を示すブロック図である。
【図２】本発明にしたがった制御ユニット及び電動モータの実施形態を示すブロック図である。
【図１】
2008521379.tif 000151
【図２】
2008521379.tif 000152