(57)【要約】      （修正有）【課題】放射線療法治療の診断パラメーターに対する制約下で放射線療法治療のための放射線量を最適化する方法を提供する。【解決手段】診断パラメーターの座標系２２０内に配置された多面体２１０の点を求め、座標系内の点の位置が少なくとも部分的に各診断パラメーターの値によって求められるようにする。多面体は凸であり、制約によって指定される各診断パラメーターの実行可能値の半空間を交差させることによって境界が形成される。点は、重み付けされたユークリッド距離ノルムに関して座標系の原点２２５に対する多面体の最近傍点である。点の位置に対応する診断パラメーターの値を用いて放射線療法治療のための放射線量の分布を求める。【選択図】図２
2015136625.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
放射線療法治療の診断パラメーターに対する制約下で前記放射線療法治療のための放射線量を最適化する方法であって、
前記診断パラメーターの座標系内に配置された多面体の点を求めることであって、前記座標系内の前記点の位置が少なくとも部分的に各診断パラメーターの値によって求められるようにし、前記多面体は凸であり、前記制約によって指定される前記各診断パラメーターの実行可能値の半空間を交差させることによって境界が形成され、前記点は、重み付けされたユークリッド距離ノルムに関して前記座標系の原点に対する前記多面体の最近傍点であることと、
前記点の前記位置に対応する前記診断パラメーターの前記値を用いて前記放射線療法治療のための前記放射線量の分布を求めることと、
を含み、前記方法のステップはプロセッサによって実行される、放射線療法治療の診断パラメーターに対する制約下で前記放射線療法治療のための放射線量を最適化する方法。
【請求項２】
前記診断パラメーターに対する前記制約は、腫瘍の最小放射線量に対する制約、少なくとも１つの危険臓器（ＯＡＲ：ｏｖｅｒ−ｄｏｓｅ  ｔｏ  ｏｒｇａｎｓ−ａｔ−ｒｉｓｋ）の最大放射線量に対する制約、並びに組織の累積放射線量に対する最大制約及び最小制約のうちの１つ又はそれらの組み合わせを含み、前記座標系の原点は、ゼロ放射線量を有する前記放射線療法治療を表す、請求項１に記載の方法。
【請求項３】
前記最適点の前記位置は、前記制約を受け取ることに応じて、前記多面体を構築することなくリアルタイムで求められる、請求項１に記載の方法。
【請求項４】
少なくとも１つの制約の変更に応じて前記点の前記位置を更新することを更に含む、請求項１に記載の方法。
【請求項５】
前記制約を受け取ることに応じて、前記多面体が実行可能であるか否かを判断することと、
前記多面体が実行不可能である場合、少なくとも１つの制約を自動的に更新することと、
前記更新された制約に対応する前記多面体が実行可能になるまで前記更新することを繰り返すことと、
を更に含む、請求項１に記載の方法。
【請求項６】
出力デバイスにおいて、治療容積に関する前記放射線量の前記分布をレンダリングすることと、
前記出力デバイスにおいて、少なくとも１つの制約を変更するためのインターフェースを提供することであって、前記変更によって、リアルタイムで、前記最適点の位置を求め、前記線量の前記分布を求め、前記出力デバイスにおいて前記線量の前記分布をレンダリングすることが繰り返されるようにすることと、
を更に含む、請求項５に記載の方法。
【請求項７】
前記点の前記位置は前記多面体を構築することなく最適化問題を解くことによって求められ、前記方法は、
治療容積の様々なボクセルの総放射線量に対する最小制約及び最大制約下の放射線ビームの強度値を最小化する最短距離問題（ＬＤＰ：Ｌｅａｓｔ−Ｄｉｓｔａｎｃｅ  Ｐｒｏｂｌｅｍ）を定式化することと、
前記ＬＤＰの双対をとることであって、前記ＬＤＰを非負の二次計画（ＮＮＱＰ：ｎｏｎ−ｎｅｇａｔｉｖｅ  ｑｕａｄｒａｔｉｃ  ｐｒｏｇｒａｍ）に変換することと、
並列二次計画法（ＰＱＰ：ｐａｒａｌｌｅｌ  ｑｕａｄｒａｔｉｃ  ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ）を用いて前記ＮＮＱＰの候補解を反復的に再スケーリングして前記ＮＮＱＰを解くことであって、双対解を求めることと、
前記ＮＮＱＰの前記双対解を用いて前記ＬＤＰの主解を求めることと、
を含む、請求項１に記載の方法。
【請求項８】
前記制約及び前記治療容積のボクセルマップに基づいて前記治療容積の様々なボクセルの総放射線量に対する前記最小制約及び前記最大制約を求めること、
を更に含む、請求項７に記載の方法。
【請求項９】
スラック変数を、少なくとも幾つかのボクセルのための幾つかの制約に加えることと、
前記ＬＤＰの前記定式化において前記スラック変数にペナルティを付けることと、
を更に含む、請求項７に記載の方法。
【請求項１０】
スラック変数の集合について求められた最適値集合の最適値間の補間を用いて前記スラック変数の様々な値のための最適解を表すパレート曲線を求めることと、
前記パレート曲線を用いて特定のスラック変数のための最適解を求めることと、
を更に含む、請求項９に記載の方法。
【請求項１１】
前記スラック変数の値を受け取ることに応じて、前記スラック変数の前記値を含む前記パレート曲線の一部をリアルタイムで求めること、
を更に含む、請求項１０に記載の方法。
【請求項１２】
前記ＮＮＱＰの目的関数値のための界を求めることと、
前記ＰＱＰ反復によって、解推定値の目的関数値がこれらの界を超える前記解推定値が得られる場合、前記ＬＤＰが実行不可能であると判断することと、
を更に含む、請求項７に記載の方法。
【請求項１３】
前記再スケーリングと異なる動作を用いて中間反復の候補双対解の値を変更すること、
を更に含む、請求項７に記載の方法。
【請求項１４】
コスト関数勾配の負の成分によって示される方向に前記候補双対解の前記値を変更すること、
を更に含む、請求項１３に記載の方法。
【請求項１５】
治療容積の診断パラメーターに対する制約下で患者の治療容積の放射線療法治療のための放射線量を最適化する方法であって、
前記制約及び前記治療容積のボクセルマップに基づいて前記治療容積における各ボクセルの総放射線量に対する最小制約及び最大制約を求めることと、
前記治療容積における前記各ボクセルの総放射線量に対する前記最小制約及び前記最大制約下の放射線ビームの強度値を最小化する最短距離問題（ＬＤＰ）を定式化することと、
前記ＬＤＰの双対をとることであって、前記ＬＤＰを非負の二次計画（ＮＮＱＰ）に変換することと、
並列二次計画法（ＰＱＰ）を用いて前記ＮＮＱＰの候補解を反復的に再スケーリングして前記ＮＮＱＰを解くことであって、双対解を求めることと、
前記ＮＮＱＰの前記双対解を用いて前記ＬＤＰの主解を求めることと、
を含み、前記方法のステップはプロセッサによって実行される、前記治療容積の診断パラメーターに対する制約下で患者の治療容積の放射線療法治療のための放射線量を最適化する方法。
【請求項１６】
スラック変数を、少なくとも幾つかのボクセルのための幾つかの制約に加えることと、
前記ＬＤＰの前記定式化において前記スラック変数にペナルティを付けることと、
を更に含む、請求項１５に記載の方法。
【請求項１７】
前記スラック変数の集合について求められた最適値集合の最適値間の補間を用いて前記スラック変数の様々な値のための最適解を表すパレート曲線を求めることと、
前記パレート曲線を用いて特定のスラック変数のための最適解を求めることと、
を更に含む、請求項１６に記載の方法。
【請求項１８】
前記プロセッサは並列プロセッサである、請求項１７に記載の方法。
【請求項１９】
放射線療法システムであって、患者の治療容積の診断パラメーターに対する制約下で前記治療容積の放射線療法治療のための放射線量を最適化するためのプロセッサを備え、前記プロセッサは、前記治療容積における各ボクセルの総放射線量に対する最小制約及び最大制約下の放射線ビームの強度値を最小化する最短距離問題（ＬＤＰ）の解を求め、前記制約を満たす前記診断パラメーターの最適値を得るように構成されるとともに、前記診断パラメーターの前記最適値を用いて前記放射線療法治療のための前記放射線量の分布を求めるように構成される、放射線療法システム。
【請求項２０】
前記プロセッサは並列プロセッサであり、前記ＬＤＰを非負の二次計画（ＮＮＱＰ）に変換し、並列二次計画法（ＰＱＰ）を用いて、前記並列プロセッサを用いて前記ＮＮＱＰの候補解を反復的に再スケーリングして前記ＮＮＱＰを解くことによって前記ＬＤＰを解く、請求項１９に記載のシステム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は粒子線線量最適化に関し、より詳細には、診断パラメーターに対する制約下での線量の最適化に関する。
【背景技術】
【０００２】
放射線療法は、がん細胞等の悪性組織を治療するのに用いられる。放射線は、高エネルギー光子等の電磁形態、又は電子、陽子、中性子若しくはα粒子等の微粒子形態を有することができる。高速で正確な線量決定は、正しい線量が患者に送達されることを確実にするために、放射線療法治療計画にとって重要である。線量決定は通常、２つの部分、すなわち、ソースモデル及び輸送モデルを有する。ソースモデルは入射フルエンスを提供する。入射フルエンスとは、時間積分された放射線束である。輸送モデルは、入射フルエンスの結果として得られる線量を求める。
【０００３】
粒子線線量最適化（ＰＢＤＯ：ｐａｒｔｉｃｌｅ  ｂｅａｍ  ｄｏｓｅ  ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ）の１つの目的は、放射線療法治療の間、腫瘍に対する線量不足を防ぐとともに、危険臓器（ＯＡＲ：ｏｖｅｒ−ｄｏｓｅ  ｔｏ  ｏｒｇａｎｓ−ａｔ−ｒｉｓｋ）及び健常な組織に対する線量過剰を防ぐことである。照射のための治療制約は通常、放射線療法治療を担当する臨床医によって処方される。多くの場合、処方内の全ての制約を満たすことは物理的に不可能である。この場合、最適化問題は実行不可能であり、すなわち解が存在しない。このため、処方の変形形態を探索して、過度に妥協することなく治療制約の実行可能な組合せを見つけることが必要となる。臨床医は多くの場合に、所望の実行可能な治療計画が得られるまで、ＰＢＤＯの目的関数及び／又は制約を調整する反復プロセスに携わる。多基準最適化（ＭＣＯ：ｍｕｌｔｉ−ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ  ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ）がこのプロセスのための枠組みであり、ＭＣＯでは、幾つかのハード制約は、コスト関数としても知られるソフトな目的関数に変更され、これらの目的関数の様々な重み付けされた和を最小にすることによって様々な最適解が得られる。全てのそのような最適解の集合が空間内で凸面を形成し、この空間において、任意の候補解の座標は、重み付けされていない目的関数に関するそのコストである。パレート集合又はパレート面として知られる凸面は、実行不可能解の空間と、準最適解の領域との間の境界である。
【０００４】
ＰＢＤＯにおいてパレート面を用いるほとんどの従来の方法は、同じ概要に従う。例えば、夜間の（ｏｖｅｒｎｉｇｈｔ）計算において多数の解が予め決定される。各解は、目的関数の異なる実行可能な重み付けを最適化し、全数のそのような解によってパレート面のポイントごとのサンプリングが形成される。近隣の点を補間することによって、パレート面に近い準最適解が得られる。臨床医が補間された面を調べて所望の解を選択するためのリアルタイムインターフェースが提供される。例えば、特許文献１又は特許文献２を参照されたい。
【０００５】
しかしながら、臨床医は、パレート面の表現を理解し解析することが困難であると感じている。最近のシステムは、パレート面の視覚化を試みる代わりに、ダイアル若しくはスライダー等の身近なグラフィカルユーザーインターフェース要素を用いて個々の基準又はトレードオフを表現する。しかしながら、これらの基準は放射線療法治療において物理的な意味を有せず、直観に反するか更には混乱を招くものとなり得る。さらに、基準を選択した結果、パレート面から逸脱した近似解が得られる。近似解が選択された後、再最適化方法が繰り返され、実際のパレート面上の近傍点が求められる。この結果は、臨床医の最終的な選択の根拠となった特性を保持しない場合がある。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００６】
【特許文献１】米国特許第８３１５３５７号明細書
【特許文献２】米国特許出願公開第２００９／０３７１５０号明細書
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００７】
パレート面を予め決定し、後続の再最適化について実行可能解の近似を選択することが必要であることによって、ＰＢＤＯ計算が非効率で不正確なものとなる。
【０００８】
本発明の様々な実施形態は、放射線療法のための線量最適化を、放射線療法治療問題の可能な解の空間上でパラメーター化された座標系の原点と、制約によって指定された各診断パラメーターの実行可能値の半空間を交差させることによって形成される境界を有する、その座標系内に配置された凸実行可能多面体との間の重み付けされた最短距離問題（ＬＤＰ：Ｌｅａｓｔ−Ｄｉｓｔａｎｃｅ  Ｐｒｏｂｌｅｍ）とみなすことができるという認識に基づいている。１つの実施形態において、重み付けは、距離が患者への総照射を正確に又は近似的に表すように選択される。
【０００９】
原点に最も近い多面体上の点は、診断パラメーターに対する制約を満たす可能な解のパレート面に属する。特に、この問題はＬＤＰとみなされるので、多面体又はパレート面を明示的に判断する必要はない。
【００１０】
ＬＤＰの多面体の形状は診断パラメーターによって求められ、多面体の各ファセットが、１つの臨床的制約が正確に満たされる解の集合を表し、多面体の内部が、全ての臨床的制約が幾らかの誤差の余地を伴って満たされる解の集合を表すようになっている。例えば、診断パラメーター及び診断パラメーターに対する制約は、腫瘍の最小照射に対する制約と、少なくとも１つの危険臓器（ＯＡＲ）の最大照射に対する制約と、正常組織の最大照射に対する制約とを含むことができる。
【００１１】
幾つかの実施形態は、多面体を形成する全ての可能な解を求めることなくＬＤＰを解く様々な最適化方法を用いる。例えば、多面体は、放射線源強度の座標系内に配置され、総照射は放射線ビームの強度値に関連するので、ＬＤＰ問題は、放射線ビームの強度値の重み付けされたノルムを最小化するものとして定式化することができる。また、診断パラメーターに対する様々な制約を、治療容積の様々なボクセルの総照射に対する最小制約及び最大制約として定式化することができる。そのような定式化によって、パレート面全体の構築を必要としない様々な最適化方法を受け入れ可能なＬＤＰの数学的表現を導出することが可能になる。
【００１２】
原点に対する多面体の最近傍点の位置が得られた後、この最近傍点の位置を指定する診断パラメーターの値を用いて、放射線量の分布を求めることができる。診断パラメーターにおけるパラメーター化に起因して、診断パラメーターの得られた値が総照射の重み付けされたノルムを最小にする実行可能解に対応することが保証される。さらに、診断パラメーターにおけるパラメーター化は、放射線量の分布における診断パラメーターに対する制約を変更することの影響を直接探索する機会を臨床医に提供する。
【００１３】
特に、少なくとも１つの診断パラメーターに対する少なくとも１つの制約の変更は、多面体の形状を変化させ、このため原点に最も近い多面体点の位置を変化させる可能性がある。しかし、更新された位置は依然として多面体上にあり、依然として最適解に対応する。さらに、この枠組みでは、新たな最適点が以前の最適点と同じファセット上にあるか否かを判断することが可能であり、このような場合、最適化を実行することなく新たな最適解を求めることが可能である。このため、臨床医は、物理的かつ医学的な意味を有する診断パラメーターに対する制約を変動させることによって、近似に頼る必要なく、及び／又はパレート面を再構成及び／又は近似する必要なく、診断パラメーターの最適で実行可能な組合せを直接求めることができる。
【００１４】
さらに、本発明の様々な実施形態は、並列二次計画法（ＰＱＰ：ｐａｒａｌｌｅｌ  ｑｕａｄｒａｔｉｃ  ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ）法を使用するために、ＬＤＰを双対問題に変換する。ＰＱＰ法は、最適化問題の候補解を反復的に再スケーリングし、並列マルチプロセッサ計算を最大限に利用する。ＬＤＰのそのような再定式化によって、最適で実行可能な解をリアルタイムで求めることが可能になり、これによって、診断パラメーターに対する様々な制約の影響をリアルタイムで探索する独自の機会が臨床医に提供される。
【００１５】
したがって、１つの実施形態は、放射線療法治療の診断パラメーターに対する制約下で前記放射線療法治療のための放射線量を最適化する方法を開示する。本方法は、前記診断パラメーターの座標系内に配置された多面体の点を求めることであって、前記座標系内の前記点の位置が少なくとも部分的に各診断パラメーターの値によって求められるようにし、前記多面体は凸であり、前記制約によって指定される各診断パラメーターの実行可能値の半空間を交差させることによって境界が形成され、前記点は、重み付けされたユークリッド距離ノルムに関して前記座標系の原点に対する前記多面体の最近傍点であることと、前記点の前記位置に対応する前記診断パラメーターの前記値を用いて前記放射線療法治療のための前記放射線量の分布を求めることと、を含む。この方法のステップはプロセッサによって実行される。
【００１６】
別の実施形態は、前記治療容積の診断パラメーターに対する制約下で患者の治療容積の放射線療法治療のための放射線量を最適化する方法を開示する。本方法は、前記制約及び前記治療容積のボクセルマップに基づいて前記治療容積における各ボクセルの総放射線量に対する最小制約及び最大制約を求めることと、前記治療容積における各ボクセルの総放射線量に対する前記最小制約及び前記最大制約下の放射線ビームの強度値を最小化する最短距離問題（ＬＤＰ）を定式化することと、前記ＬＤＰの双対をとることであって、このＬＤＰを非負の二次計画（ＮＮＱＰ：ｎｏｎ−ｎｅｇａｔｉｖｅ  ｑｕａｄｒａｔｉｃ  ｐｒｏｇｒａｍ）に変換することと、並列二次計画法（ＰＱＰ）を用いて前記ＮＮＱＰの候補解を反復的に再スケーリングして前記ＮＮＱＰを解くことであって、双対解を求めることと、前記ＮＮＱＰの前記双対解を用いて前記ＬＤＰの主解を求めることと、を含む。この方法のステップはプロセッサによって実行される。
【００１７】
更に別の実施形態は、放射線療法システムを開示する。本システムは、患者の治療容積の診断パラメーターに対する制約下で前記治療容積の放射線療法治療のための放射線量を最適化するためのプロセッサを備え、このプロセッサは、前記治療容積における各ボクセルの総放射線量に対する最小制約及び最大制約下の放射線ビームの強度値を最小化する最短距離問題（ＬＤＰ）の解を求め、前記制約を満たす前記診断パラメーターの最適値を得るように構成されるとともに、前記診断パラメーターの前記最適値を用いて前記放射線療法治療のための前記放射線量の分布を求めるように構成される。
【図面の簡単な説明】
【００１８】
【図１】本発明の１つの実施形態による放射線療法システムの概略図である。
【図２】本発明の１つの実施形態による、座標系内に配置された例示的な多面体の図である。
【図３】図２における多面体の２次元（２Ｄ：ｔｗｏ−ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ）表現の概略図である。
【図４】本発明の１つの実施形態による、多面体の点の位置を求める方法のブロック図である。
【図５】本発明の幾つかの実施形態による、点の位置を更新する方法のブロック図である。
【図６Ａ】本発明の１つの実施形態による、パレート曲線の例の図である。
【図６Ｂ】本発明の１つの実施形態による、スラック変数を解析するためのパレート曲線の例の図である。
【図７】ＰＱＰ更新反復と、本発明の幾つかの実施形態による様々な加速技法との差異を比較するグラフである。
【図８Ａ】本発明の１つの実施形態による、放射線量の分布をレンダリングする例の図である。
【図８Ｂ】本発明の１つの実施形態による、放射線量の分布をレンダリングする例の図である。
【発明を実施するための形態】
【００１９】
図１は、本発明の１つの実施形態による放射線療法システム１００の概略図である。放射線療法システム１００は放射線治療計画システム１０１を備え、放射線治療計画システム１０１は並列プロセッサ１０２を更に備える。並列プロセッサは、ボクセルの容積として表すことができる、対象の放射線治療容積を有する身体１０５に関する入力情報を受け取るようになっている。並列プロセッサ１０２はまた、身体の対象の放射線治療容積に放射線治療を提供するための出力情報を生成するようになっている。
【００２０】
放射線治療計画システム１０１は、記憶装置１０７と、ディスプレイ１０８と、入／出力（Ｉ／Ｏ：ｉｎｐｕｔ／ｏｕｔｐｕｔ）デバイス及びインターフェース１０９とを更に備えることができる。記憶装置１０７は例えば、ハードディスクドライブ、ＣＤ−ＲＯＭドライブ、ＤＶＤドライブ、フラッシュドライブ等とすることができる。ディスプレイ１０８は、例えば、液晶ディスプレイ（ＬＣＤ：ｌｉｑｕｉｄ  ｃｒｙｓｔａｌ  ｄｉｓｐｌａｙ）、陰極線管（ＣＲＴ：ｃａｔｈｏｄｅ  ｒａｙ  ｔｕｂｅ）モニター、プラズマディスプレイ等とすることができる。Ｉ／Ｏデバイス１０９は、例えば、マウスと、キーボードと、ネットワーク又はデータバスを介したデータ転送のためのインターフェースとを含むことができる。
【００２１】
放射線療法システム１００は、放射線治療計画システム１０１と通信する放射線治療システム１０３を更に備えることができる。放射線治療システム１０３は、治療のために複数の有向放射線ビームを放出する放射線源１０６を備えることができる。放射線源の例は、Ｘ線源、ガンマ線源、電子ビーム源等を含むことができる。放射線源１０６は、ビームを成形するマルチリーフコリメーター（ＭＬＣ：ｍｕｌｔｉ−ｌｅａｆ  ｃｏｌｌｉｍａｔｏｒ）を更に備えることができる。ＭＬＣのリーフの位置を調整することによって、放射線療法士は放射場を身体の治療容積の形状に合わせることができる。幾つかの実施形態では、他のビーム成形及び／又は輪郭形成を含めることができる。放射線源１０６は、対応するソースモデルを有することができる。放射線治療システム１０３は、放射線治療計画システム１０１によって、例えば、強度が調整された放射エネルギーを送達するように、及び放射線治療を対象の放射線治療容積の形状に合わせるように制御することができる。
【００２２】
放射線療法システム１００は、放射線治療計画システム１０１と通信する診断システム１０４も備えることができる。診断システム１０４は、身体１０５、例えば患者の身体の経験的データを生成する。経験的データは、放射線治療計画システム１０１及び並列プロセッサ１０２への入力情報として用いることができ、放射線量を求めるのに用いることができる。診断システム１０４は、身体１０５の経験的データを取得するセンサーを備えることができる。例示的な診断システムは、コンピューター断層撮影法（ＣＴ：ｃｏｍｐｕｔｅｄ  ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ）スキャナー、磁気共鳴画像法（ＭＲＩ：ｍａｇｎｅｔｉｃ  ｒｅｓｏｎａｎｃｅ  ｉｍａｇｉｎｇ）スキャナー、ポジトロン放出型断層撮影法（ＰＥＴ：ｐｏｓｉｔｒｏｎ  ｅｍｉｓｓｉｏｎ  ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ）スキャナーとすることができる。
【００２３】
放射線療法線量最適化の１つの目的は、放射線療法治療の間、腫瘍への線量不足を防ぐとともに、危険臓器（ＯＡＲ）及び他の健常な組織に対する線量過剰を防ぐことである。放射線療法は通常、診断パラメーターの処方に従って実行される。処方は、例えば腫瘍内の各容積単位への最小放射線量と、各近傍の健常な臓器内の各容積単位への最大線量とを与えることができる。ペンシルビーム放射療法又は粒子線放射療法（ＰＢＤＯ）の設定において、処方内の診断パラメーターが成り立つような多数の放射線ビームについての強度値の算出が模索される。
【００２４】
本発明の様々な実施形態は、放射線療法のための線量最適化を、放射線療法治療の診断パラメーターにおいてパラメーター化された総照射の座標系の原点と、制約によって指定された各診断パラメーターの実行可能値の半平面を交差させることによって形成される境界を有する、その座標系内に配置された凸実行可能多面体との間の最短距離問題（ＬＤＰ）とみなすことができるという認識に基づいている。
【００２５】
図２は、上記の認識の原理に従って座標系２２０内に配置される例示的な多面体２１０を示している。座標系２２０は通常、診断パラメーターの低次元系である。例えば、処方が、腫瘍Ｔに対する最小放射線量、第１の危険臓器（ＯＡＲ）ＯＡＲ１に対する最大放射線量、第２の危険臓器（ＯＡＲ）ＯＡＲ２に対する最大放射線量、及び正常組織Ｎに対する最大放射線量等の４つの診断パラメーターのための４つの制約を含む場合、座標系２２０は４次元であり、対象の腫瘍の放射値のための１つの次元Ｔ２２２と、第１のＯＡＲに対する放射値のための次元ＯＡＲ１  ２２４と、第２のＯＡＲに対する放射値のための次元ＯＡＲ２  ２２６と、正常組織に対する放射値のための次元２２８とを有する。座標系２２０は、他の制約と、放射線治療の物理特性及び／又は機械特性に関する対応する次元とを有することができる。例えば、幾つかの制約は可能な限り最小の放射を指定することができる。
【００２６】
そのような構成は、ＰＢＤＯを、臨床医にとって物理的な意味があるパラメーターにおいて定式化する。点２３３、２３５、２３７等の多面体上の点の集合は、診断パラメーターに対する制約を満たす可能な解の集合を定義する。しかしながら、１つのみの点、例えば、ゼロ放射を表す原点２２５の最近傍点２３７が、患者の総照射を最小にする最適解を指定する。ここで「最近傍」とは、何らかの重み付けされた凸ノルムを最小化することと解釈され、例えば、最適に重み付けされたユークリッドノルムを最小化することによって総照射が正確に最小化されるのに対し、重み付けされていないユークリッドノルムを最小化することによって総照射に対する上界が最小化される。したがって、ＰＢＤＯは、原点２２５と多面体２１０との間のＬＤＰとして定式化される。
【００２７】
図３は、２Ｄ座標系における多面体２１０の２次元（２Ｄ）表現３１０を示している。多面体の境界を形成する各線、例えば線３４０及び３４５は、診断パラメーターに対する制約、すなわち多面体２１０を形成する半平面に対応する。
【００２８】
少なくとも１つの診断パラメーターに対する少なくとも１つの制約の変更によって、多面体上の最近傍点の位置が変化する可能性がある。例えば、線３４０によって表される制約の値が線３５０によって表される値に変化することによって、多面体の形状が変化し、原点に対する最近傍点の位置が位置３３０から位置３３５に更新される。しかし、点の更新された位置は、依然として多面体上にあり、このため実行可能解に対応し、また、依然として原点の最近傍にあり、最適解に対応する。このため、臨床医は、物理的かつ医学的な意味を有する診断パラメーターに対する制約を変動させることによって、近似に頼る必要なく、及び／又はパレート面を再構成する必要なく、診断パラメーターの最適で実行可能な組合せを直接求めることができる。
【００２９】
最短距離問題（ＬＤＰ）としての粒子線線量最適化
幾つかの実施形態は、治療容積の様々なボクセルの総照射に対する最小制約及び最大制約を表す多面体を明示的に求めることなくＬＤＰを解く様々な最適化方法を用いる。そのような定式化によって、様々な最適化方法を受け入れ可能なＬＤＰの数学的表現を導出することが可能になる。例えば、ＬＤＰは、非負の二次計画法（ＮＮＱＰ）として数学的に等価な双対定式に変換することができ、ＬＤＰ多面体を決定する臨床的制約は、非負のベクトル空間にわたって最小化される二次コスト関数によって表され、そのようなベクトルの各要素は、臨床的制約のうちの１つを満たすことのコストを表す。ＰＱＰ法は、このＮＮＱＰを非常に高速に解くことができ、ＬＤＰの最適解はＮＮＱＰの最適解の線形変換である。しかしながら、最新のスーパーコンピューターであっても、この二次コスト関数を明示的に表すのは現実的でない。幾つかの実施形態は、二次コスト関数を明示的に形成することなく特にＬＤＰ問題を解く新たな形式のＰＱＰを用いる。
【００３０】
図４は、多面体を構築することなく最適化問題を解くことによって、原点に対する最近傍の多面体の点の位置を求める方法のブロック図を示している。本方法は、プロセッサ４０１、例えば並列プロセッサ１０２を用いて実施することができる。
【００３１】
本方法は、処方を、照射を受ける患者の治療容積のセグメント化、例えばボクセルマップ及びフルエンス行列と組み合わせる（４１５）。ボクセルマップにおいて、各ボクセルは「腫瘍」、「肝臓」、「骨」等とラベル付けされる。フルエンス行列は、すなわち、各ビームが各ボクセルに放射線をかけるレートを決定するテーブルである。通常、各ラベル付けされたエンティティは、数千個のボクセルを含む３Ｄ容積に及ぶ。セグメント化を用いて、処方は治療計画容積内のそれぞれの全てのボクセルに対する制約４０５に変換される（４１５）。
【００３２】
一般的な最適化問題は、多くのビームの強度値を、それらの組み合わされた放射パターンがボクセルごとの制約を満たし、総照射を最小化するように設定することである。このように述べた問題は線形計画（ＬＰ：ｌｉｎｅａｒ  ｐｒｏｇｒａｍ）である。しかしながら、この大きさのＬＰは通常、現実的な時間量で解くには大き過ぎる。ＬＰ手法の更なる欠点は、ＬＰ解が空間的に平滑でないことであり、これによって、患者が治療時に正しく位置合わせされていないとき、不正確な線量となる。さらに、発見的最適化、例えばペナルティ付き最小二乗は比較的高速であり、平滑な解をもたらすが、必ずしも制約を満たさない。
【００３３】
本発明の幾つかの実施形態は、最適化問題を重み付けされたＬＤＰとして定式化することができる（４１０）という認識に基づいている。ここで、制約はビーム強度値の重み付けされたＬ２ノルムを最小化している間に厳密に満たされ、これは空間的により平滑な解を促進する。さらに、重み付けは、最適なＬＰ解に類似しているか又は同一の、最適なＬＤＰ解を成すように選択することができる。幾何学的に、ＬＰ及びＬＤＰの場合、制約はビーム重みベクトルの空間内に凸多面体を形成し、各制約は半空間を定義し、多面体は全てのそのような半空間の交差部である。ＬＤＰでは、この多面体において原点に対し最近傍の点を見つけることが目的である。
【００３４】
幾つかの実施形態は、以下のＬＤＰ定式化を用いる。
【数１】
2015136625.tif 000003
式中、Ａ∈Ｒｍ×ｎ≧０は、ビーム強度値のベクトルｘ∈Ｒｎ≧０を累積ボクセル線量のベクトルＡｘ∈Ｒｍにマッピングする非負の線量フルエンス行列であり、Ｗ∈Ｒｎ×ｎ≧０は重みの対角行列である。下界制約Ａｘ≧ｂｍｉｎは、腫瘍内のボクセルごとに最小処方線量を設定し、上界制約Ａｘ≦ｂｍａｘは、ＯＡＲボクセルを保護し、腫瘍内のホットスポットを防ぐのに用いられる。
【００３５】
様々な実施形態によって、様々な重み付け方式が行列Ｗに用いられる。例えば、Ｗ＝ｄｉａｇ（ＡＴｅ）の場合、ベクトルＷｘの各要素は１つのビームによって送達される総線量を含む。ここで、ｅは１のベクトルである。この場合、Ｅ［Ｘ２］＝（Ｅ［Ｘ］）２＋ｖａｒ［Ｘ］であるので、２ノルム‖Ｗｘ‖２を最小化することは、二乗平均線量と線量変動（ビーム単位）とを加えたものを最小化することに等しい。これによって、解における節約及び平滑性の双方が促進される。
【００３６】
付加的に又は代替的に、
【数２】
2015136625.tif 000004
の場合、
【数３】
2015136625.tif 000005
であり、
【数４】
2015136625.tif 000006
において等式が成り立つので、２ノルム‖Ｗｘ‖２を最小化することは、全てのボクセルにわたる累積線量‖Ａｘ‖１を最小化することに等しい。ここで
【数５】
2015136625.tif 000007
は解の推定値である。
【００３７】
本発明の幾つかの実施形態は、ＬＤＰ問題の双対が、並列二次計画法（ＰＱＰ）反復により、特にグラフィック処理ユニット（ＧＰＵ：ｇｒａｐｈｉｃ  ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ  ｕｎｉｔ）等の並列ハードウェアにおいて効率的に解くことができる形態の非負二次計画（ＮＮＱＰ）であるという別の認識に基づいている。ＰＱＰは、任意の問題データ構造について完全に並列化可能であり、マルチコア、単一命令／複数データ（ＳＩＭＤ：ｓｉｎｇｌｅ−ｉｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ／ｍｕｌｔｉｐｌｅ  ｄａｔａ）及びＧＰＵを含むマルチプロセッサマシンの完全な並列性を容易に利用することができる。ＰＱＰの実施は、行列ベクトル積及びスカラー除算（ｓｃａｌａｒ  ｄｉｖｉｄｅ）に縮約することができ、そのような単純性によって、直列コンピューター上で実施される場合であってもかなりの速度の利点がもたらされる。
【００３８】
したがって、幾つかの実施形態は、ＬＤＰの双対を取ってＬＤＰを非負の二次計画（ＮＮＱＰ）に変換し（４２０）、ＰＱＰを用いてＮＮＱＰの候補解を反復的に再スケーリングしてＮＮＱＰを解き、双対解４３５を求める（４３０）。
【００３９】
ＬＤＰのそのような再定式化によって、最適で実行可能な解をリアルタイムで求めることが可能となり、これによって、診断パラメーターに対する様々な制約の影響をリアルタイムで探索する独自の機会が臨床医に提供される。例えば、１つの実施形態において、双対変数を２つ以上のグループ、通常、上界制約を表す１つのグループと、下界制約を表す１つのグループとに分割することによって、ＰＱＰ反復をＬＤＰ双対に特化させて、計算効率を更に増大させる。
【００４０】
幾何学的に、これは双対変数（ボクセルに対する制約ごとに１つの変数）の非常に高次元の空間における動作であり、制約はこの空間内の二次コストによって表され、目的は、二次コストを最小化するこの空間の非負部分における点を見つけることである。双対解４３５が求められると、この双対最適点は線形変換により最適ビーム強度ベクトルに関連付けられる。このため、本方法は、ＮＮＱＰの双対解４３５を用いてＬＤＰの主解４４５を求める（４４０）。
【００４１】
したがって、本発明の幾つかの実施形態は、以下の式に従って、ＬＤＰ問題（２．１）を、その双対を取ることによって非負の最小二乗問題に変換することにより、ＰＱＰの乗法的更新を用いて最適化問題（２．１）を解く。
【数６】
2015136625.tif 000008
ここで、以下の式が成り立つ。
【数７】
2015136625.tif 000009
【数８】
2015136625.tif 000010
及び
【数９】
2015136625.tif 000011
【００４２】
ベクトルｕ、ｖ及びｗは、それぞれ下界制約、上界制約及び非負性制約に対応する双対変数を含む。ＰＱＰアルゴリズムは、行列Ｑを非負の行列Ｑ→Ｑ＋−Ｑ−に分割し、同様にベクトルｈを分割し、次に、線形に収束した固定点を反復することによってｙ＊について解く。
【数１０】
2015136625.tif 000012
ここで、
【数１１】
2015136625.tif 000013
はアダマール（要素ごとの）積であり、逆演算子はベクトルに要素ごとに適用される。ＬＤＰにおいて双対変数を代入することによってＬＤＰ固有の反復が得られる。
【数１２】
2015136625.tif 000014
【数１３】
2015136625.tif 000015
【数１４】
2015136625.tif 000016
【００４３】
上記の反復が収束した後、本方法は、式ｘ＊＝Ｗ−２ｍａｘ（０，ＡＴ（ｕ＊−ｖ＊））を用いることによって主解を求める。反復は、ｗを代数的に消去することによって更に単純化することができる。
【００４４】
スラックによる定式化（ｓｌａｃｋｅｄ  ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ）における２つの基準の平衡
多くの場合に、臨床医によって与えられる処方は実行不可能であり、これは、ＬＤＰ主空間における多面体２１０が正の容積を囲まないことを意味する。この問題に対する１つの解は、制約の部分集合を、それらを満たすものに何らかの「スラック」を許可するによって緩和することである。スラックの量は、制約を過度に緩和することを防ぐ目的でペナルティを付けることができる。幾何学的に、これは、多面体の容積を、その容積を定義する半空間のうちのいくらかを外側に動かすことによって成長させることに等しい。図３に示すように、多面体が形状を変更すると、位置最適点も更新することができる。
【００４５】
図５は、本発明の幾つかの実施形態による、少なくとも１つの制約の変更に応じて点の位置を更新する方法のブロック図を示している。本方法は、診断パラメーターに対する制約を受け取るのに応じて、多面体が実行可能であるか否かを判断する（５１０）。本方法は、多面体が実行不可能である場合、更新された制約に対応する多面体が実行可能となるまで、少なくとも１つの制約を自動的に更新する（５２０）。実行可能な多面体について最適点が求められる（５３０）。
【００４６】
さらに、幾つかの実施形態は、出力デバイスにおいて治療容積に関して放射線量の分布をレンダリングし、出力デバイスにおいて少なくとも１つの制約を更新する（５４０）ためのインターフェースを提供する。更新によって、点の位置及び線量の分布を求めることがリアルタイムで繰り返され（５５０）、出力デバイスにおける線量の分布のレンダリングを更新することができる。
【００４７】
例えば、幾つかの実施形態は、特化したＰＱＬ／ＬＤＰ反復を、任意の２つの二次目的関数間の平衡を最適にとり、特に総照射の測定量及びペナルティ付きスラックの測定量を最小化するビーム重みの集合を計算するように変更することができるという別の認識に基づいている。
【００４８】
このために、１つの実施形態は、スラック変数ｓを制約の或る集合ｖの上界に加え、目的関数においてこのスラック変数にペナルティを付け、以下の最適化問題を得る。
【数１５】
2015136625.tif 000017
ここで、ｅｖはｉ番目の成分が、ｉ∈ｖである場合に１であり、そうでない場合に０であるベクトルであり、βはスラックペナルティに対する相対的な重みである。目的関数は、（放射コスト‖Ｗｘ‖によって測定されるような）解の全体品質と、（スラックコストｓ２によって測定されるような）緩和された制約における過剰な線量を最小化することとのトレードオフを提供する。このトレードオフは重み０＜β＜１によって制御される。
【００４９】
上記のスラック問題（ｓｌａｃｋｅｄ  ｐｒｏｂｌｅｍ）の双対は以下となる。
【数１６】
2015136625.tif 000018
ここで、
【数１７】
2015136625.tif 000019
であり、Ｑ、ｈ及びｙは元のＬＤＰ問題について定義されたとおりであり、
【数１８】
2015136625.tif 000020
である。
【００５０】
１つの実施形態では、スラック変数ｓ及びその関連付けられた双対変数ｔは、例えばＫＫＴ最適条件を解くことによって代数的に消去され、
【数１９】
2015136625.tif 000021
及びｔ＝０が得られる。元のＬＤＰ問題と同様に、実施形態は行列分割＝Ｈ＋−Ｈ−を代数的に求める。双対問題及び行列分割を用いて、スラック問題の乗法的更新の集合が得られる。
【数２０】
2015136625.tif 000022
【数２１】
2015136625.tif 000023
【数２２】
2015136625.tif 000024
【数２３】
2015136625.tif 000025
【００５１】
上記の反復が収束した後、実施形態は、
【数２４】
2015136625.tif 000026
を通じて所望の解を得る。
【００５２】
スラック問題における変形形態は、スラック変数ｓが緩和された最大安全線量選択の実際の値を表すようにすることである。この場合、問題は以下の形態をとる。
【数２５】
2015136625.tif 000027
【００５３】
ＰＯＰ乗法的反復の導出は、元のスラック問題に類似しているが、ｂｍａｘが
【数２６】
2015136625.tif 000028
に置き換えられることが異なる。
【００５４】
別の変形形態は、上界の代わりに下界制約の部分集合に対するペナルティ付きのスラック変数を含めることである。この解析は類似しているが、行列Ｅにおいて唯一の変更点がある。
【数２７】
2015136625.tif 000029
【００５５】
幾つかの実施形態は、この問題のＰＱＰ反復も含み、下界制約の部分集合ｖにおいてスラックを追加し、
【数２８】
2015136625.tif 000030
【数２９】
2015136625.tif 000031
【数３０】
2015136625.tif 000032
【数３１】
2015136625.tif 000033
上述したようにｘ＊を求める。
【００５６】
さらに、幾つかの実施形態は、主ＬＤＰ問題が、その双対が非有界である場合にのみ実行可能であるという認識に基づく。これについては以下でより詳細に説明する。したがって、幾つかの実施形態は、ＮＮＱＰの界を求め（５０５）、ＮＮＱＰが非有界である場合にＬＤＰが実行不可能であると判断することによって、ＬＤＰの実行可能性を判断する（５１０）。
【００５７】
パレート曲線の探索
治療計画の間、緩和する制約の集合を選択して、これらの制約のより多くの違反が許容されるにつれ利用可能になる解の集合を調べる。異なる量のスラックペナルティによって異なる最適解が求められる。例えば、ペナルティは、総照射を最小化することと、或る特定の制約において許可されるスラック量を最小化することとのトレードオフを決定する。このトレードオフを変動させるときの全ての最適解の集合がパレート曲線と呼ばれる。
【００５８】
パレート曲線は、基準重み付けパラメーターβによってパラメーター化される。しかしながら、βは臨床的に意味のあるパラメーターではない。代わりに、治療計画部は、スラック変数ｓの値の関数として解を見ること、すなわち所与の基準重み付けβについて最適解を得るために制約がどれだけ緩和されるかに関心を有する。このため、ｓは所与のβについての最適化の結果とすることができる。本発明の幾つかの実施形態はこの関係を逆転させ、制約緩和値ｓから直接重み付けβ及び解ｘ＊を計算する。
【００５９】
図６Ａは、パレート曲線６３０の例を示している。幾何学的に、この曲線は２Ｄ空間内にあり、軸６１０及び６２０は様々なコスト基準を表す。この２Ｄ空間における全ての点は、僅かに異なる問題に対する解をあらわす。パレート曲線は、一方の側では全ての解が劣解であり、他方の側では全ての解が実行不可能であるという意味で「最良」解を表す。
【００６０】
本発明の幾つかの実施形態は、少数のＰＱＰ／ＬＤＰ最適化から、スラック変数によってインデックス付けされたこの曲線上の任意の全ての解を生成することが可能であるという更に別の認識に基づいている。したがって、幾つかの実施形態は、スラック変数の集合について求められた最適値集合の最適値間の補間を用いてスラック変数の様々な値についての最適解を表すパレート曲線を求め、パレート面を用いて特定のスラック変数についての最適解を求める。
【００６１】
図６Ｂは、スラック変数の値と、最適化の可能な解のうちの１つ、例えば診断パラメーターの値との平衡をとるパレート曲線６５０の例を示している。曲線６５０上の点、例えば点６５１、６５３、６５５、６５７は、ＰＱＰ／ＬＤＰ反復によって求められる。点をつなぐセグメント、例えばセグメント６５２、６５４、６５６は、例えば求められた点をつなぐことによって、補間を用いて求められる。
【００６２】
幾つかの実施形態では、解及び解の補間は、必要な場合にのみ求められる。例えば、臨床医が制約の特定の集合においてＸ個のスラックユニットを有する最適解６６０を得ることを望む場合、幾つかの実施形態は、それぞれＸ個よりも多いスラックユニット及びＸ個よりも少ないスラックユニットを有し、その双対解ベクトルにおいてゼロの同じパターンを有する２つの最適解６６１及び６６２を索出する。このとき、新たな最適解は、それらの主解ベクトル（ビーム強度）間の線形補間であり、重み付けは以下に示すようにＸから求められる。
【００６３】
ＰＱＰ／ＬＤＰ反復は非常に高速であるので、これらの索出される解は、既にメモリに記憶されていない場合、オンザフライで計算することができる。臨床的に、これは、臨床医が任意の量のスラックに対応する最適解を要求することによって、制約の任意の部分集合に関連付けられた任意のパレート曲線を迅速に探索することができることを意味する。大抵の場合、実施形態は、区分的線形補間により最適解を即座に提供することができる。そうでない場合、効率的なＰＱＰ／ＬＤＰ反復を用いてキャッシュに解を加え、補間可能な解の範囲を拡張させることができる。
【００６４】
パレート曲線の構造によれば、基準重み付けパラメーターβが変化すると、線量分布が変化し、最終的に、最大線量又は最小線量を受ける治療容積のボクセルの集合が変化する。これは、解においてアクティブである制約の部分集合の変更を反映する。
【００６５】
結果的に、範囲β∈（０，１］は、解がβとともに変化するにもかかわらず、アクティブ集合のメンバーシップが一定のままである間隔に分割することができる。βの特定の値についてアクティブ制約がわかっている場合、アクティブである制約のみを用いてスラック付き最適化問題（３．１）を書き換えることができる。
【数３２】
2015136625.tif 000034
ここで、行列Ｂ１、行列Ｂ２及びベクトルｃはアクティブ制約の集合を形成する（双対最適解における正値の変数によって示される）。
【００６６】
［Ｂ１  Ｂ２］は行フルランクを有し、そうでない場合、アクティブ制約は冗長である。式（４．１）における問題は、非負の重み付けされた最小二乗問題であるので、幾つかの実施形態は、閉形式解を以下のように書くことができる。
【数３３】
2015136625.tif 000035
【００６７】
【数３４】
2015136625.tif 000036
が階数１の行列であることに注目し、１つの実施形態は、逆行列補題を用いてｘ及びｓについて以下の式を得る。
【数３５】
2015136625.tif 000037
及び
【数３６】
2015136625.tif 000038
ただし、比
【数３７】
2015136625.tif 000039
並びに、定数
【数３８】
2015136625.tif 000040
及び
【数３９】
2015136625.tif 000041
を有する。
【００６８】
ｘ、ａ、ｂに関する式における行列反転は、大きくかつ階数不足であるが、計算されない。スラックｓは既知のｑ及び２つの未知の定数ａ及びｂに線形に依存する。このため、最適ＬＤＰ解におけるアクティブ制約の集合が不変の任意の間隔β∈（β１，β２）について、ａ、ｂを求め、これによってアクティブ集合が不変のβ間隔における全ての解を求めるのに、２つの解があれば十分である。
【００６９】
式（４．３）並びに２つの解（β１，ｓ１）及び（β２，ｓ２）によれば、以下の式が成り立ち、
【数４０】
2015136625.tif 000042
ここで、ｑ１及びｑ２は式（４．４）によりそれぞれβ１及びβ２から得られる。
【００７０】
特定のアクティブ集合についてパラメーターａ及びｂがわかった後、以下の式が得られる。
【数４１】
2015136625.tif 000043
及び
【数４２】
2015136625.tif 000044
【００７１】
所与の重み付けβ又はスラックｓに対応する解ｘを得るために、式（４．２）は以下のように書き換えることができる。
【数４３】
2015136625.tif 000045
ここで、ｇは非スラック問題から導出されたものであり、ｈはスラックによって生じる補正である。
【数４４】
2015136625.tif 000046
【数４５】
2015136625.tif 000047
【００７２】
これらのベクトルは行列演算なしで計算することができる。同じアクティブ集合を有するが目的関数の重み付けβ１及びβ２を有する２つの解ｘ１及びｘ２を所与とすると、式（４．２）の操作によって以下が得られる。
【数４６】
2015136625.tif 000048
及び
【数４７】
2015136625.tif 000049
【００７３】
元の問題の凸性に起因して、式（４．１０）はパレートスライスのファセットをパラメーター化し、このファセットの端点は、ｓの最小値及び最大値について解くことによって得ることができる。ここで、ｘ＝ｇ＋ｓｈ及びＡｘ＝Ａｇ＋ｓＡｈは問題制約を満たし、これらの制約のほとんどはボックス制約であるので、これはＰＢＤＯにとって容易な計算である。各端点は隣接するファセットによって共有され、このため、端点を僅かに超えて１つの最適化を実行することで、この次のファセットを特徴付けるのに十分な情報が得られる。したがって、パレートスライス全体は、ファセットあたり１つの最適化のコストにおいて特徴付けることができる。次に、治療計画部が様々な緩和値ｓに対応する解を要求するとき、これらの解は、適切なファセットを特定し、式（４．１０）を適用することによってオンザフライで生成することができる。
【００７４】
加速技法
幾つかの実施形態は、最適化問題空間の特定の部分空間において加速技法を周期的に又は断続的に適用することによってＰＱＰ反復を低減する。これらの実施形態は、様々な要素がＰＱＰの収束を低速化させる可能性があるという認識に基づいている。例えば、ＰＱＰの現在の候補解を表すベクトルの幾つかの要素がゼロに近いか、又はＰＱＰ反復のスケーリング係数が１に近いとき、候補解の変化は非常に小さくなる可能性がある。
【００７５】
そのような問題を回避するために、幾つかの実施形態は、様々なタイプの動作、すなわちスケーリング以外によって候補解の値を更新する。１つの実施形態の加速技法は、更新方向及びその方向に沿ったステップ長を得ることによって、候補解を更新する。通常の技法は、負のコスト関数勾配方向を用い、最適ステップ選択を実行する。例えば、幾つかの実施形態は、凸二次関数の勾配を、候補解における双対問題によって最小化されるように決定する。
【００７６】
図７は、ＰＱＰ更新反復と、本発明の幾つかの実施形態による様々な加速技法との差異を比較するグラフを示している。候補解７０８の更新７０７は、最適解７０１に向けたＰＱＰの反復によって得ることができる。更新７０７は解の実行可能領域７００内に留まるが、非常に短い場合があり、すなわち、解７０８と７０７との差が小さい。
【００７７】
検討される１つの実施形態は、コスト関数勾配７０９の逆である減少方向７０４を用いて加速技法による更新された解７０３を求める。しかしながら、勾配に従う候補値の変化により、双対問題の実行可能領域の外側の候補解をとる場合がある。そして、解が実行不可能領域に入る場合、ＰＱＰ法は中断する。例えば、解は実行可能領域７００を去り、実行不可能領域７０２に入る場合がある。
【００７８】
しかしながら、幾つかの実施形態は、臨床的制約に依拠する主問題の実行可能領域と対照的に、双対問題の実行可能領域は常に、負の要素を有しないベクトルの集合である、はるかに単純な非負の円錐であるという別の認識に基づいている。このため、ＮＮＱＰの反対勾配がその成分によって表される場合、幾つかの成分は、実行不可能領域の方を指す場合があり、幾つかの成分は実行可能領域の方、すなわち、正の円錐が非有界の方向を指す場合がある。このため、幾つかの実施形態は、実行可能領域の方を指す反対勾配の成分のみを選択して候補解を更新する。反対勾配のそのような変更によって、候補解が常に実行可能領域に留まることが確実になる。
【００７９】
例えば、１つの実施形態は時折、正の無限大から現在のＮＮＱＰ解推定値まで、厳密に非正の劣勾配である任意の方向に沿って延びる半直線に沿った最低コスト点について、閉形式で解く。この点は、実行可能領域の内部にあることがわかっており、したがって、略ゼロの変数をゼロから離れるように動かす。現在の推定値ｘにおける任意の厳密に非正の劣勾配は、この特性を有する１Ｄアフィン部分空間を提供する。なぜなら、構築によって、劣勾配に沿った任意の下降は非負の円錐内に更に進むためである。これは双対実行可能領域である。
【００８０】
１つの実施形態は、負である勾配の成分として劣勾配を選択する。元のＬＤＰ問題（２．１）について、ベクトルｇを双対目的関数の逆勾配であるものとする。
【数４８】
2015136625.tif 000050
これは、ｇ＞０である場合はいつでも主制約違反を測定することになる。このため、劣勾配
【数４９】
2015136625.tif 000051
は、双対変数が、満たされない制約を増強するようにゼロから離れて伸展する必要がある方向を指す。目的関数（２．１）は二次であるので、ｄに沿った最適値は代数的に解くことができ、これは以下となる。
【数５０】
2015136625.tif 000052
及び
【数５１】
2015136625.tif 000053
【００８１】
混合したＰＱＰ反復の収束は、ＰＱＰ収束解析の後に生じる。ＰＱＰ更新が無限に多くの場合に用いられると仮定する。このとき、ＰＱＰ−Ｓ更新は双対問題の最小値に単調に収束する。以下は、ＰＱＰ−Ｓアルゴリズムにおいて用いられるステップサイズαの例である。
【００８２】
上界スラック問題（３．１）について、結果は以下のように導出することができる。
【数５２】
2015136625.tif 000054
【数５３】
2015136625.tif 000055
ここで、ｄ＝ｍａｘ（ｇ，０）及びｒは上記で定義済みである。スラック問題の他の変形形態を同様に加速することができる。
【００８３】
実行不可能性検出
ＬＤＰ問題が主実行可能である場合、ＰＱＰは最適点に収束する。しかしながら、放射線療法計画において非常に一般的な実行不可能問題を求める方法が必要である。いくつかの実施形態は、主ＬＤＰ問題は、その双対が非有界である場合かつその場合に限り（ｉｆｆ）実行不可能であるという認識に基づいている。
【００８４】
証明。主ＬＤＰ問題は、以下の線形計画が実行不可能である場合かつその場合に限り実行不可能である。
【数５４】
2015136625.tif 000056
上記のＬＰの双対は以下となる。
【数５５】
2015136625.tif 000057
【００８５】
この双対形式は常に実行可能である。ファーカスの補題によれば、主ＬＤＰ問題は以下の式が満たされるような∃λ≧０の場合かつその場合に限り実行不可能である。
【数５６】
2015136625.tif 000058
又は等価には
【数５７】
2015136625.tif 000059
【００８６】
ＰＱＰがそのようなλを算出する場合、本方法は、実行不可能性の証明とともに終了することができる。このため、双対形式（７．２）は、主ＬＰ（７．１）が実行不可能である場合かつその場合に限り非有界である。（７．３）を満たすλ≧０が存在しない場合、明らかに、双対ＬＰ問題の最適値が存在するならばこの最適値が０によって上界を設けられ、したがって非有界でない。他の方向について、∃λ≧０が（７．８）を満たす場合、実施形態は増大していく定数ａを選択し、それによってａλが結果として、任意の大きさの双対ＬＰ目的関数（結果として非有界目的関数をもたらす）をもたらすようにすることができる。最終的に、最後のステップは、ＬＤＰ問題の双対が、（７．８）を満たす∃λ≧０である場合かつその場合に限り非有界であることを示すことである。
【００８７】
後方向（
【数５８】
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）はＬＰ双対の非有界性を証明するのに用いられるのと同じ議論により証明される。順方向について、ＬＤＰ双対が非有界であると仮定する。このとき、ｈＴλ＞０を満たすＱのヌル空間内に何らかのλ≧０が存在しなくてはならない。λに対するこの条件は、（７．８）において与えられるものに等しい。
【００８８】
上記の提案は、全ての主実行可能問題によって双対目的関数に対する上界が満たされる限り、ＰＱＰアルゴリズムが実行不可能性を検出することができることを保証する。一方、より良好な上界は、結果としてより迅速な検出をもたらす。このため、１つの実施形態は、Ａｘのための上界Ｕを得ることができると仮定する。放射線療法の場合、そのような上界の例は、Ｕ＝ｂｍａｘをセットし、腫瘍ボクセルへの可能な最大線量に対する制限をかけ、同様に正常な組織及びＯＡＲへの可能な最大線量に対する別の制限をかけることとすることができる。
Ｗ＝ｄｉａｇ（ＡＴｅ）の場合、以下となる。
【数５９】
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【数６０】
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【数６１】
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【００８９】
次に、実施形態は、以下の一連の不等式を用いて双対目的関数に対する上界を計算する。
【数６２】
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【数６３】
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【数６４】
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【数６５】
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ここで、（７．８）では双対理論を用いて主目的関数と双対目的関数とを関係付け、（７．９）では従来のノルム限界を用いた。
【００９０】
ユーザーインターフェース
図８Ａ及び図８Ｂは、出力デバイスにおける治療容積に関して放射線量の分布をレンダリングする例を示している。治療容積は、患者の様々な臓器８３０、組織８２０及び／又は腫瘍８１０の表現を含むようにレンダリングすることができる。また、幾つかの実施形態は、出力デバイスにおいて、線量の分布の表現をレンダリングすることもできる。例えば、線量の分布は等高線８１５、８２５、８３５としてレンダリングすることができる。１つの実施態様において、等高線は様々な放射線量を示すように色分けされる。
【００９１】
幾つかの実施形態は、少なくとも１つの制約を変更するためのインターフェースも提供する。そのような変更によって、リアルタイムで、最適点の位置を求め、線量の分布を求め、出力デバイスにおいて線量の分布をレンダリングすることが繰り返される。そのようなインターフェースを、本発明の様々な実施形態の最適化技法と組み合わせることによって、臨床医が診断パラメーターに対する様々な制約について放射線ビームの線量の分布をリアルタイムで解析することが可能になる。
【００９２】
本発明の上記の実施形態は数多くの方法のいずれかにおいて実現することができる。例えば、それらの実施形態は、ハードウェア、ソフトウェア又はその組み合わせを用いて実現することができる。ソフトウェアにおいて実現されるとき、そのソフトウェアコードは、単一のコンピューター内に設けられるにしても、複数のコンピューター間に分散されるにしても、任意の適切なプロセッサ、又はプロセッサの集合体において実行することができる。そのようなプロセッサは集積回路として実現することができ、集積回路構成要素内に１つ又は複数のプロセッサが含まれる。しかしながら、プロセッサは、任意の適切な構成の回路を用いて実現することができる。
【００９３】
さらに、コンピューターは、ラック取付けコンピューター、デスクトップコンピューター、ラップトップコンピューター、ミニコンピューター又はタブレットコンピューター等の幾つかの形態のうちのいずれかにおいて具現できることは理解されたい。また、コンピューターは、１つ又は複数の入力及び出力デバイスを有することができる。これらのデバイスは、とりわけ、ユーザーインターフェースを提供するために用いることができる。ユーザーインターフェースを提供するために用いることができる出力デバイスの例は、出力を視覚的に提示するプリンター又はディスプレイ画面、及び出力を聴覚的に提示するスピーカー又は他の音生成デバイスを含む。
【００９４】
ユーザーインターフェースのために用いることができる入力デバイスの例は、キーボード、並びにマウス、タッチパッド及びデジタイジングタブレット等のポインティングデバイスを含む。別の例として、コンピューターは、音声認識を通して、又は他の可聴形式において入力情報を受信することができる。
【００９５】
そのようなコンピューターは、企業ネットワーク又はインターネット等の、ローカルエリアネットワーク又はワイドエリアネットワークを含む、任意の適切な形態の１つ又は複数のネットワークによって相互連結することができる。そのようなネットワークは、任意の適切な技術に基づくことができ、任意の適切なプロトコルに従って動作することができ、無線ネットワーク、有線ネットワーク又は光ファイバーネットワークを含むことができる。
【００９６】
また、本発明の実施形態は方法として具現することができ、その一例が提供されてきた。その方法の一部として実行される動作は、任意の適切な方法において順序化することができる。したがって、例示的な実施形態において順次の動作として示される場合であっても、例示されるのとは異なる順序において動作が実行される実施形態を構成することもでき、異なる順序は、幾つかの動作を同時に実行することを含むことができる。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６Ａ】
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【図６Ｂ】
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【図７】
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【図８Ａ】
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【図８Ｂ】
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【外国語明細書】
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