(57)【要約】【課題】測定対象が系統定格周波数から外れて動作している場合であっても、より高い精度での電気量の測定を可能とする電気量測定装置および電気量測定方法を提供する。【解決手段】電気量測定装置は、測定対象となる交流電圧を第１のサンプリング周波数でサンプリングした電圧瞬時値データの中から、第１のサンプリング周波数よりも小さく、かつ交流電圧の周波数以上である、第２のサンプリング周波数で抽出した、連続する３点の電圧瞬時値データについて、中間時刻以外の電圧瞬時値データの和の平均値を中間時刻における電圧瞬時値で正規化した値を周波数係数として算出する周波数係数算出部と、周波数係数を算出する際に用いた３点の電圧瞬時値データと周波数係数とを用いて交流電圧振幅を算出する交流電圧振幅算出部とを含む。【選択図】図１６
2015045570.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
測定対象となる交流電圧を第１のサンプリング周波数でサンプリングした電圧瞬時値データの中から、前記第１のサンプリング周波数よりも小さく、かつ前記交流電圧の周波数以上である、第２のサンプリング周波数で抽出した、連続する３点の電圧瞬時値データについて、中間時刻以外の電圧瞬時値データの和の平均値を中間時刻における電圧瞬時値で正規化した値を周波数係数として算出する周波数係数算出部と、
前記周波数係数を算出する際に用いた３点の電圧瞬時値データと前記周波数係数とを用いて交流電圧振幅を算出する交流電圧振幅算出部とを備える、電気量測定装置。
【請求項２】
前記交流電圧振幅算出部は、前記周波数係数を算出する際に用いた３点の電圧瞬時値データのうち、中間時刻以外の電圧瞬時値データの差を、要素として含む計算式に従って、交流電圧振幅を算出する、請求項１に記載の電気量測定装置。
【請求項３】
前記交流電圧振幅算出部は、前記周波数係数を算出する際に用いた３点の電圧瞬時値データのうち、中間時刻以外の電圧瞬時値データの和を、要素として含む計算式に従って、交流電圧振幅を算出する、請求項１または２に記載の電気量測定装置。
【請求項４】
前記交流電圧の周波数が前記第２のサンプリング周波数の１／２よりも小さい場合には、前記回転位相角は正の値をとり、前記交流電圧の周波数が前記第２のサンプリング周波数の１／２よりも大きく、かつ前記第２のサンプリング周波数よりも小さい場合には、前記回転位相角は負の値をとる、請求項１〜３のいずれか１項に記載の電気量測定装置。
【請求項５】
前記回転位相角が零の値をとるとき、前記交流電圧の周波数を前記第２のサンプリング周波数の１／２として算出する、請求項４に記載の電気量測定装置。
【請求項６】
前記周波数係数算出部による周波数係数の算出結果に基づいて、前記交流電圧の対称性の破れを判定する対称性破れ判定部をさらに備える、請求項１〜５のいずれか１項に記載の電気量測定装置。
【請求項７】
測定対象となる交流電圧を第１のサンプリング周波数でサンプリングした電圧瞬時値データの中から、前記第１のサンプリング周波数よりも小さく、かつ前記交流電圧の周波数以上である、第２のサンプリング周波数で抽出した、連続する少なくとも４点の電圧瞬時値データにおける隣接する２点の電圧瞬時値データ間の先端間距離を表す３点の差分電圧瞬時値データについて、中間時刻以外の差分電圧瞬時値の和の平均値を中間時刻における差分電圧瞬時値で正規化した値を周波数係数として算出する周波数係数算出部と、
前記周波数係数を算出する際に用いた３点の差分電圧瞬時値データと前記周波数係数とを用いて交流電圧振幅を算出する交流電圧振幅算出部とを備える、電気量測定装置。
【請求項８】
前記交流電圧振幅算出部は、前記周波数係数を算出する際に用いた３点の差分電圧瞬時値データのうち、中間時刻以外の差分電圧瞬時値データの差を、要素として含む計算式に従って、交流電圧振幅を算出する、請求項７に記載の電気量測定装置。
【請求項９】
前記交流電圧振幅算出部は、前記周波数係数を算出する際に用いた３点の差分電圧瞬時値データのうち、中間時刻以外の差分電圧瞬時値データの和を、要素として含む計算式に従って、交流電圧振幅を算出する、請求項７または８に記載の電気量測定装置。
【請求項１０】
前記交流電圧の周波数が前記第２のサンプリング周波数の１／２よりも小さい場合には、前記回転位相角は正の値をとり、前記交流電圧の周波数が前記第２のサンプリング周波数の１／２よりも大きく、かつ前記第２のサンプリング周波数よりも小さい場合には、前記回転位相角は負の値をとる、請求項７〜９のいずれか１項に記載の電気量測定装置。
【請求項１１】
前記回転位相角が零の値をとるとき、前記交流電圧の周波数を前記第２のサンプリング周波数の１／２として算出する、請求項１０に記載の電気量測定装置。
【請求項１２】
前記周波数係数算出部による周波数係数の算出結果に基づいて、前記交流電圧の対称性の破れを判定する対称性破れ判定部をさらに備える、請求項７〜１１のいずれか１項に記載の電気量測定装置。
【請求項１３】
測定対象となる交流電圧を第１のサンプリング周波数でサンプリングした電圧瞬時値データの中から、前記第１のサンプリング周波数よりも小さく、かつ前記交流電圧の周波数以上である、第２のサンプリング周波数で抽出した、連続する３点の電圧瞬時値データについて、中間時刻以外の電圧瞬時値データの和の平均値を中間時刻における電圧瞬時値で正規化した値を周波数係数として算出するステップと、
前記周波数係数を算出する際に用いた３点の電圧瞬時値データと前記周波数係数とを用いて交流電圧振幅を算出するステップとを含む、電気量測定方法。
【請求項１４】
測定対象となる交流電圧を第１のサンプリング周波数でサンプリングした電圧瞬時値データの中から、前記第１のサンプリング周波数よりも小さく、かつ前記交流電圧の周波数以上である、第２のサンプリング周波数で抽出した、連続する少なくとも４点の電圧瞬時値データにおける隣接する２点の電圧瞬時値データ間の先端間距離を表す３点の差分電圧瞬時値データについて、中間時刻以外の差分電圧瞬時値の和の平均値を中間時刻における差分電圧瞬時値で正規化した値を周波数係数として算出するステップと、
前記周波数係数を算出する際に用いた３点の差分電圧瞬時値データと前記周波数係数とを用いて交流電圧振幅を算出するステップとを含む、電気量測定方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、電気量測定装置および電気量測定方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
近年、電力系統内の潮流が複雑化するにつれ、信頼性および品質の高い電力の供給が要求されるようになっており、特に、電力系統の電気量（交流電気量）を測定する測定装置の性能向上の必要性は、ますます高くなっている。
【０００３】
従来、この種の測定装置としては、例えば、特許文献１および２に開示されたものがある。より具体的には、特許文献１（広域保護制御計測システム）および特許文献２（保護制御計測システム）は、位相角の変化成分（微分成分）を定格周波数（５０Ｈｚまたは６０Ｈｚ）からの変化分として実系統の周波数を求める手法を開示している。
【０００４】
これらの文献では、実系統の周波数を求める計算式として、次式を開示しているが、これらの計算式は、下記非特許文献１が提示する計算式でもある。
【０００５】
２πΔｆ＝ｄφ／ｄｔ
ｆ（Ｈｚ）＝６０＋Δｆ
下記特許文献３は、本願発明者による先願特許発明であり、この発明の内容については適宜後述する。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００６】
【特許文献１】特開２００９−０６５７６６号公報
【特許文献２】特開２００９−０７１６３７号公報
【特許文献３】特許第４８７４４３８号公報
【非特許文献】
【０００７】
【非特許文献１】"IEEE Standard for Power Synchrophasors for Power Systems", p.p.30, IEEE Std C37.118-2005
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００８】
上記のように、特許文献１および２、ならびに非特許文献１に開示される手法は、位相角の変化成分を微分計算によって求める手法である。しかしながら、実系統の周波数瞬時値の変化は頻繁かつ複雑であり、微分計算は非常に不安定である。このため、例えば周波数測定に関し、充分な計算精度が得られないという課題があった。
【０００９】
また、これらの手法は、定格周波数（５０Ｈｚまたは６０Ｈｚ）を初期値として計算するため、計算の開始時において、測定対象が系統定格周波数から外れて動作している場合には、測定誤差が生じることになり、系統定格周波数からの外れ度合いが大きい場合には、測定誤差が非常に大きくなるという課題があった。
【００１０】
本発明は、上記に鑑みてなされたものであって、測定対象が系統定格周波数から外れて動作している場合であっても、より高い精度での電気量の測定を可能とする電気量測定装置および電気量測定方法を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００１１】
上述した課題を解決し、目的を達成するために、本発明に係る電気量測定装置は、測定対象となる交流電圧を第１のサンプリング周波数でサンプリングした電圧瞬時値データの中から、第１のサンプリング周波数よりも小さく、かつ交流電圧の周波数以上である、第２のサンプリング周波数で抽出した、連続する３点の電圧瞬時値データについて、中間時刻以外の電圧瞬時値データの和の平均値を中間時刻における電圧瞬時値で正規化した値を周波数係数として算出する周波数係数算出部と、周波数係数を算出する際に用いた３点の電圧瞬時値データと周波数係数とを用いて交流電圧振幅を算出する交流電圧振幅算出部とを含む。
【発明の効果】
【００１２】
本発明によれば、測定対象が系統定格周波数から外れて動作している場合であっても、より高い精度での電気量の測定が可能になるという効果を奏する。
【図面の簡単な説明】
【００１３】
【図１】回転位相角とリアルタイム周波数との間の対称性を説明するための図である。
【図２】回転位相角を用いた複素平面上のゲージ電圧群を示す図である。
【図３】ゲージ電圧群のベクトル加算空間図を示す図である。
【図４】ゲージ電圧群のベクトル減算空間図を示す図である。
【図５】複素平面上の回転電圧群を示す図である。
【図６】回転電圧群のベクトル加算空間図を示す図である。
【図７】複素平面上のゲージ差分電圧群を示す図である。
【図８】ゲージ差分電圧群のベクトル加算空間図である。
【図９】ゲージ差分電圧群のベクトル減算空間図である。
【図１０】複素平面上の回転差分電圧群を示す図である。
【図１１】回転差分電圧群のベクトル加算空間図を示す図である。
【図１２】ゲージサンプリング周期Ｔとデータ収集サンプリング周期Ｔ１との関係を説明するための図である。
【図１３】シミュレーションに用いたモデル系統を説明するための模式図である。
【図１４】シミュレーションによって得られた時間波形を示す図である。
【図１５】本発明の実施の形態に従う電気量測定装置の構成例を示す模式図である。
【図１６】本発明の実施の形態に従う電気量測定方法の処理手順を示すフローチャートである。
【発明を実施するための形態】
【００１４】
以下に添付図面を参照し、本発明の実施の形態に係る電気量測定装置および電気量測定方法について説明する。図中の同一または相当部分については、同一符号を付してその説明は繰返さない。なお、以下に示す実施の形態により本発明が限定されるものではない。
［Ａ．用語の定義］
まず、本実施の形態に係る電気量測定装置および電気量測定方法を説明するにあたり、本明細書で使用する用語について説明する。
【００１５】
（１）複素数
実数ａ，ｂと虚数単位ｊとを用いてａ＋ｊｂの形で表される値である。電気工学ではｉが電流符号であるため、虚数単位はｊ＝√（−１）を用いて表す。本明細書では複素数を用いて、回転ベクトルを表現する。
【００１６】
（２）複素平面
複素数を２次元平面上の点とし、一般的には、実部（Ｒｅ）を横軸に、虚部（Ｉｍ）を縦軸にとった直角座標で複素数を表す平面である。原理的には、実部（Ｒｅ）を縦軸とし、虚部（Ｉｍ）を横軸としてもよい。
【００１７】
（３）回転ベクトル
電力系統の電気量（電圧または電流）に関する複素平面上で反時計回りに回転するベクトルである。回転ベクトルの実数部は瞬時値に相当する。
【００１８】
（４）差分回転ベクトル
サンプリング周波数１サイクル前後２点の回転ベクトルの差分ベクトルである。差分回転ベクトルの実数部はサンプリング周波数１サイクル前後２点の瞬時値の差分である。
【００１９】
（５）対称群
複素平面上で回転している対称性を有するグループである。
【００２０】
（６）不変量
対称群が回転した前後において、変化しないパラメータである。本実施の形態が想定している不変量としては、これらには限られないが、回転位相角、周波数係数、ゲージ電圧、ゲージ差分電圧などがある。なお、不変量が分かれば、対称群の特性も分かる。
【００２１】
（７）ベクトル加算群表／ベクトル減算群表
対称群における所定のメンバー（ベクトル変数）同士の和（足し算）または差（引き算）で表される表（テーブル）である。対称群の不変量を調べるためのロードマップになる。
【００２２】
（８）実数加算群表
対称群における所定のメンバー（実数変数）同士の和（足し算）または差（引き算）で表される表（テーブル）である。
【００２３】
（９）リアルタイム周波数
電力系統における現実の周波数である。この実周波数は、電力系統が安定であっても、定格周波数の近傍で微妙に変動している。本明細書において、リアルタイム周波数はｆで表現する。リアルタイム周波数ｆの単位はヘルツ（Ｈｚ）である。また、電気回路等における角周波数ωは、ω＝２πｆで表され、その単位は（ｒａｄ／ｓ）である。
【００２４】
（１０）データ収集サンプリング周波数
データ収集時のサンプリング周波数（第１のサンプリング周波数）であり、“ｆ１”で表す。このデータ収集サンプリング周波数ｆ１は、高いほうが精度がよい。なお、ゲージサンプリング周期Ｔと同様にデータ収集サンプリング周期Ｔ１は、データ収集サンプリング周波数ｆ１の逆数として、Ｔ１＝１／ｆ１で表される。
【００２５】
（１１）ゲージサンプリング周波数
ゲージ対称群の計算に使用されるサンプリング周波数（第２のサンプリング周波数）であり、“ｆＳ”で表す。よって、ゲージサンプリング周期Ｔは、ゲージサンプリング周波数ｆＳの逆数として、Ｔ＝１／ｆＳで表される。なお、Ｔ，Ｔ１の間には、Ｔ＞Ｔ１の関係がある。
【００２６】
（１２）系統周波数
基本的には、電力系統における定格周波数を意味し、５０Ｈｚ、６０Ｈｚの２種類がある。
【００２７】
（１３）回転位相角
電圧回転ベクトル（単に「電圧ベクトル」と称する場合もある）または電流回転ベクトル（単に「電流ベクトル」と称する場合もある）がゲージサンプリン周波数１サイクルの間に複素平面上で回転した位相角であり、αで表す。なお、回転位相角αは周波数依存量であり、後述のように、αが正数の場合には、α＝２π（ｆ／ｆＳ）で計算し、αが負数の場合には、α＝２π｛（ｆ／ｆＳ）−１｝で計算する。また、αが零の場合、ゲージサンプリング周波数ｆＳとリアルタイム周波数ｆとの間には、ｆ＝ｆＳ／２の関係がある。
【００２８】
（１４）周波数係数
回転位相角αの余弦関数値であり、ｆＣで表す。本願のすべてのゲージ対称群にはそれぞれの周波数係数の計算式がある。なお、周波数係数ｆＣを対称性指標として利用すれば、交流であるかどうかの判定が可能となる。
【００２９】
（１５）移動平均処理
所定数の直近データを用いて行う単純な平均処理である。なお、移動平均処理を行うことにより、測定誤差および相加性ガウス雑音の影響を小さくできる。
【００３０】
（１６）ゲージ電圧群
時系列的に連続した３つの電圧ベクトルにより構成される対称群である。なお、電圧以外の電流、電力（有効電力、無効電力）についても同様な対称群の概念が定義可能である。
【００３１】
（１７）ゲージ電圧
ゲージ電圧群により計算される電圧不変量である。
【００３２】
（１８）ゲージ差分電圧群
時系列的に連続した３つの差分電圧ベクトルにより構成される対称群である。
【００３３】
（１９）ゲージ差分電圧
ゲージ差分電圧群により計算される差分電圧不変量である。
【００３４】
（２０）回転電圧群
連続した２つの電圧ベクトルにより構成される対称群である。実測の電圧瞬時値は電圧ベクトルの実数部に相当する。
【００３５】
（２１）回転差分電圧群
連続した２つの差分電圧ベクトルにより構成される対称群である。
【００３６】
（２２）対称性の破れ
入力波形が純粋な正弦波から崩れること。振幅急変、位相急変、または周波数急変により、入力波形の対称性が破れる。この対称性の破れを判定（検出）するための指標が対称性指標である。
［Ｂ．要旨］
本実施の形態は、スマートグリッドなどの基本技術となる電気量測定装置および電気量測定方法に関するものであり、その要旨の一つは、回転位相角を通じて周波数領域と瞬時値領域とを同時に扱うことにある。より具体的には、交流電圧および交流電流、ならびにこれらの交流電圧および交流電流に含まれる直流成分（直流電圧および直流電流）の構造を対称性の群でモデル化する点にある。従来理論では、周波数領域と時間領域との間で別々に解析を行っていたが、本実施の形態では、上記で定義した複素平面上の各種対称群（ベクトル対称群）を用いて、周波数依存量（回転位相角、周波数係数、リアルタイム周波数、振幅など）と時間依存量（電圧電流瞬時値）との解析を同時に行う。
【００３７】
本発明に係る本質的な概念は、回転位相角とリアルタイム周波数との対称性である（図１参照）。この質的な概念によれば、負の値をとる回転位相角（以下「負数回転位相角」とも称する）を導入することにより、ゲージサンプリング周波数に対応する全領域の周波数を測定できる（従来手法では、サンプリング周波数（本実施の形態ではゲージサンプリング周波数）の１／２以下の周波数のみを確定できる）。つまり、後述する対称群理論によれば、従来理論よりも測定範囲を２倍に拡大できたことを意味する。
【００３８】
本発明に含まれる別の要旨としては、対称群のベクトル加算群表／ベクトル減算群表を生成し、ベクトル加算／減算空間で対称群の構造を調べ、それから同じ対称群の実数加算群表を生成し、具体的な不変量の計算式を導出することにある。ベクトル加算群表／ベクトル減算群表は対称群の不変量を調べるロードマップである。本願発明者は、これまでの出願において、ゲージ電圧群、ゲージ差分電圧群、回転電圧群、回転差分電圧群の乗積群表を中心に展開することで、既知の不変量の上位概念に相当する新たな不変量（新たに定義される不変量）を導出することを提案した。
【００３９】
一方、本発明では、ゲージ電圧群およびゲージ差分電圧群の加算群表／減算群表、ならびに回転電圧群および回転差分電圧群の加算群表を中心に展開することで、新たな不変量を導出する。本発明を具体的なアプリケーションに適用する場合には、リストされた不変量の中で実用的な不変量を選択すればよい。
【００４０】
本明細書においては、主として交流電圧に着目して説明するが、対称群の実数加算群表は交流電流にも同様に適用可能である。
【００４１】
本発明に含まれるさらに別の要旨は、ゲージサンプリング周波数とデータ収集サンプリング周波数とを分離させる手法を提案することにある。この手法を用いれば、高速かつ高精度な測定が可能となる。
【００４２】
以下、本実施の形態に係る電気量測定装置および電気量測定方法についてより詳細に説明する。これらの説明にあたり、まず、本発明の要旨をなす電気量測定手法の概念（アルゴリズム）について説明し、その後、この手法の適用装置である本実施の形態に係る電気量測定装置の構成および動作、ならびに、この手法を適用した本実施の形態に係る電気量測定方法について説明する。
【００４３】
以下の説明において、アルファベットの小文字表記のうち、括弧付のもの（例えば“ｖ（ｔ）”）は、ベクトル（フェーザ）を表し、括弧無しのもの（例えば“ｖ2”）は、瞬時値を表すものとする。また、アルファベットの大文字表記（例えば“Ｖg”）は、実効値もしくは振幅値を表すものとする。
［Ｃ．回転位相角とリアルタイム周波数との間の対称性］
まず、回転位相角とリアルタイム周波数との間の対称性について説明する。図１は、回転位相角とリアルタイム周波数との間の対称性を説明するための図である。
【００４４】
例えば、上記特許文献３などにおいては、次の関係式に基づいた計算手法を展開している。
【００４５】
【数１】
2015045570.tif 000003
【００４６】
上式において、ｆはリアルタイム周波数、ｆＳはゲージサンプリング周波数、αは回転位相角である。また、回転位相角αは零からπまでの正数であり、測定範囲もサンプリング定理の限界と同じであるゲージサンプリング周波数の１／２以下である。その後、本願発明者は、マイナスπから零までの負数回転位相角を導入すれば、次の関係式が真であることを知見した。
【００４７】
【数２】
2015045570.tif 000004
【００４８】
上記２式より、図１に示すように、ゲージサンプリング周波数をミラーとし、回転位相角とリアルタイム周波数との間に１対１の対称関係を樹立させることができ、その結果として、サンプリング定理の計測範囲を倍増することが可能となる。このように、本願の手法は、回転位相角を介し、周波数領域だけでなく瞬時値領域にも計算範囲を拡大している。これに対し、サンプリング定理は、フーリエ変換をベースにした周波数領域のみアルゴリズムであるということができる。
【００４９】
上記よりまとめると、リアルタイム周波数を用いた回転位相角の表現式は以下の通りになる。
【００５０】
【数３】
2015045570.tif 000005
【００５１】
上式により、正数の回転位相角（第１式）と負数の回転位相角（第２式）とが零に対して対称性を有していることが分かる。この式からも分かるように、本願の至るところの数式に対称性が存在している。また、同様に、回転位相角を用いたリアルタイム周波数の表現式は以下の通りになる。
【００５２】
【数４】
2015045570.tif 000006
【００５３】
上記２式から明らかなように、回転位相角が分かれば、リアルタイム周波数も分かる。さらに、リアルタイム周波数が分かれば、対称群の計算により周波数補正機能を有する高精度の他の電気量測定も可能となる。
【００５４】
上述したように、本発明の本質的な概念に従えば、交流電圧の周波数がサンプリング周波数（第２のサンプリング周波数）の１／２よりも小さい場合には、回転位相角は正の値をとり、交流電圧の周波数がサンプリング周波数（第２のサンプリング周波数）の１／２よりも大きく、かつサンプリング周波数（第２のサンプリング周波数）よりも小さい場合には、回転位相角は負の値をとる。さらに、回転位相角が零の値をとるとき、交流電圧の周波数をサンプリング周波数（第２のサンプリング周波数）の１／２として算出する。
【００５５】
以下に、いくつかの対称群を生成し、回転位相角と対称群の他の不変量を求め、各種電気量を測定する手法を示す。
［Ｄ．ゲージ電圧群のベクトル加算空間での展開］
（ｄ１：複素平面上のゲージ電圧群の構造体）
図２は、回転位相角を用いた複素平面上のゲージ電圧群を示す図である。図２に示されるように、回転ベクトル同士間の回転位相角が１８０度より大きい場合、次式で定義される回転位相角を使用することで、複素平面上の３個の回転ベクトルを次式で表すことができる。
【００５６】
【数５】
2015045570.tif 000007
【００５７】
上式において、Ｖは交流電圧振幅、ωは回転角速度、Ｔはゲージサンプリング周波数の時間刻み幅、αはＴにおける回転位相角である。図２において、両側２個の回転ベクトルｖ１（ｔ）およびｖ１（ｔ−２Ｔ）は、中間の回転ベクトルｖ１（ｔ−Ｔ）に対し、対称性を有している。別の時間において、これら３個の回転ベクトル（構造体）が回転し、別の場所にあっても、各二者間の位相角差である回転位相角αは変化しない。そのため、３個の回転ベクトル（構造体）の形は変化しない。この性質を回転不変性と称し、このような回転不変性の性質を有する３個の回転ベクトルをゲージ電圧群と定義する。
（ｄ２：ゲージ電圧群のベクトル加算群表）
ゲージ電圧群の不変量を調べるために、下記表１に示すようなゲージ電圧群のベクトル加算群表を構築する。
【００５８】
【表１】
2015045570.tif 000008
【００５９】
上記のベクトル加算群表に示される回転ベクトルは、複素数の状態変数で定義される。上表の“＋”記号は表側の要素と表頭の要素との加算を行うことを意味する。このとき、ゲージ電圧群のベクトル加算群表の各要素は次式のように表すことができる。
【００６０】
【数６】
2015045570.tif 000009
【００６１】
図３には、上式に基づく各要素を複素平面上に表したベクトル図を示す。ここで、２つのベクトルの加算により生成した空間を「ベクトル加算空間」と呼ぶ。すなわち、図３は、ゲージ電圧群のベクトル加算空間図を示す。図３に示すベクトル加算空間図を利用して、交流正弦波に内在する対称性が見えるようになった。より具体的には、ベクトル加算空間において、各ベクトル加算要素は、ωの角速度で反時計周りに回転する。このように、ゲージ電圧群のベクトル加算群表の結果より作成したベクトル加算空間も対称性を有していることが分かる。以下にゲージ電圧群の実数加算群表を利用して、不変量の具体的な計算式を導出する。
（ｄ３：ゲージ電圧群の実数加算群表）
ゲージ電圧群の不変量の計算式を導出するために、下記表２に示すようなゲージ電圧群の実数加算群表を構築する。なお、上記実数加算群表中の各電圧瞬時値としては、回転ベクトルの実数部の値を用いている。
【００６２】
【表２】
2015045570.tif 000010
【００６３】
次に、ゲージ電圧群の実数加算群表について説明する。まず、表２の組の構成要素である各瞬時値要素は次式で表すことができる。
【００６４】
【数７】
2015045570.tif 000011
【００６５】
上式において、“Ｒｅ”は複素数の実数部を示す。また、上式により、表２に示すゲージ電圧群の実数加算群表の各要素は次式のように表すことができる。
【００６６】
【数８】
2015045570.tif 000012
【００６７】
次に、このゲージ電圧群の実数加算群表の各要素を利用し、ゲージ電圧群に関係する不変量の計算式を導出する手順について説明する。
（ｄ４：ゲージ電圧群による周波数係数）
本願発明者は、図３に示したゲージ電圧群のベクトル加算空間図によりゲージ電圧群の周波数係数を次式のように想定し、実数加算群表の関連要素に代入して式変形を行った。
【００６８】
【数９】
2015045570.tif 000013
【００６９】
このような式変形によって、ゲージ電圧群の周波数係数ｆＣを得ることができた。
（ｄ５：ゲージ電圧群の対称性指標）
ゲージ電圧群の対称性指標として次式を提案する。
【００７０】
【数１０】
2015045570.tif 000014
【００７１】
ここで、上式を満足する場合、ｖ１（ｔ），ｖ１（ｔ−Ｔ），ｖ１（ｔ−２Ｔ）により交流対称群を構築できないことを意味し、ゲージ電圧群の対称性が破れたと判断できる。このため、ゲージ電圧群の対称性が破れた時点において、対称性が破れる前の計算値をラッチする。一方、上式を満足しない場合、交流が維持されていることを意味し、対称性は破れてないと判断できる。そのため、この場合には次周期の交流対称群を計算する。
（ｄ６：ゲージ電圧群についての回転位相角）
上記の計算式から、回転位相角は次式を用いて計算できる。
【００７２】
【数１１】
2015045570.tif 000015
【００７３】
（ｄ７：ゲージ電圧群についてのリアルタイム周波数）
上記の計算式から、リアルタイム周波数は次式を用いて計算できる。
【００７４】
【数１２】
2015045570.tif 000016
【００７５】
上式において、ｆはリアルタイム周波数、ｆＳはゲージサンプリング周波数（詳細は後述）である。
（ｄ８：ゲージ電圧群のベクトル加算群表による交流電圧振幅（計算式その１））
本願発明者は、図３に示したゲージ電圧群のベクトル加算空間図によりゲージ電圧群の加算値を表す計算式として次式を知見した。すなわち、｛ｖ１（ｔ）＋ｖ１（ｔ−Ｔ）｝と｛ｖ１（ｔ−Ｔ）＋ｖ１（ｔ−２Ｔ）｝との組を利用して、交流電圧振幅を求める。この式変形によれば、｛ｖ１（ｔ）＋ｖ１（ｔ−Ｔ）｝と｛ｖ１（ｔ−Ｔ）＋ｖ１（ｔ−２Ｔ）｝との組についての実数加算値は次式のように表すことができる。
【００７６】
【数１３】
2015045570.tif 000017
【００７７】
上式を変形することで、次式が導出される。
【００７８】
【数１４】
2015045570.tif 000018
【００７９】
さらに、上式において時間要素をなくすように変形することで、次の交流電圧振幅が得られる。
【００８０】
【数１５】
2015045570.tif 000019
【００８１】
（ｄ９：ゲージ電圧群のベクトル加算群表による交流電圧振幅（計算式その２））
本願発明者は、図３に示したゲージ電圧群のベクトル加算空間図によりゲージ電圧群の加算値を表す別の計算式として次式を知見した。すなわち、２ｖ１（ｔ）とｖ１（ｔ−Ｔ）との組を利用して、交流電圧振幅を求める。この式変形によれば、２ｖ１（ｔ）とｖ１（ｔ−Ｔ）との組についての実数加算値は次式のように表すことができる。
【００８２】
【数１６】
2015045570.tif 000020
【００８３】
上式を変形することで、次式が導出される。
【００８４】
【数１７】
2015045570.tif 000021
【００８５】
さらに、上式において時間要素をなくすように変形することで、次の交流電圧振幅が得られる。
【００８６】
【数１８】
2015045570.tif 000022
【００８７】
［Ｅ．ゲージ電圧群のベクトル減算空間での展開］
（ｅ１：ゲージ電圧群のベクトル減算群表）
ゲージ電圧群の別の不変量を調べるために、下記表３に示すようなゲージ電圧群のベクトル減算群表を構築する。
【００８８】
【表３】
2015045570.tif 000023
【００８９】
上記のベクトル減算群表に示される回転ベクトルは、複素数の状態変数で定義される。上表の“−”記号は表側の要素と表頭の要素との減算を行うことを意味する。このとき、ゲージ電圧群のベクトル減算群表の各要素は次式のように表すことができる。
【００９０】
【数１９】
2015045570.tif 000024
【００９１】
図４には、上式に基づく各要素を複素平面上に表したベクトル図を示す。ここで、２つのベクトルの減算により生成した空間を「ベクトル減算空間」と呼ぶ。すなわち、図４は、ゲージ電圧群のベクトル減算空間図を示す。図４に示すベクトル減算空間図を利用して、交流正弦波に内在する対称性が見えるようになった。より具体的には、ベクトル減算空間において、各ベクトル減算要素は、ωの角速度で反時計周りに回転する。このように、ゲージ電圧群のベクトル減算群表の結果より作成したベクトル減算空間も対称性を有していることが分かる。以下にゲージ電圧群の実数減算群表を利用して、不変量の具体的な計算式を導出する。
（ｅ２：ゲージ電圧群の実数減算群表）
ゲージ電圧群の不変量の計算式を導出するために、下記表４に示すようなゲージ電圧群の実数減算群表を構築する。なお、上記実数減算群表中の各電圧瞬時値としては、回転ベクトルの実数部の値を用いている。
【００９２】
【表４】
2015045570.tif 000025
【００９３】
次に、ゲージ電圧群の実数減算群表について説明する。まず、表４の組の構成要素である各瞬時値要素は次式で表すことができる。
【００９４】
【数２０】
2015045570.tif 000026
【００９５】
次に、このゲージ電圧群の実数減算群表の各要素を利用し、ゲージ電圧群に関係する不変量を利用した交流電圧振幅を導出する手順について説明する。
（ｅ３：ゲージ電圧群のベクトル減算群表による交流電圧振幅の算出）
本願発明者は、図４に示したゲージ電圧群のベクトル減算空間図によりゲージ電圧群の減算値を表す計算式として次式を知見した。すなわち、｛ｖ１（ｔ−Ｔ）−ｖ１（ｔ−２Ｔ）｝と｛ｖ１（ｔ−Ｔ）−ｖ１（ｔ）｝との組を利用して、交流電圧振幅を求める。この式変形によれば、｛ｖ１（ｔ−Ｔ）−ｖ１（ｔ−２Ｔ）｝と｛ｖ１（ｔ−Ｔ）−ｖ１（ｔ）｝との組についての実数減算値は次式のように表すことができる。
【００９６】
【数２１】
2015045570.tif 000027
【００９７】
上式を変形することで、次式が導出される。
【００９８】
【数２２】
2015045570.tif 000028
【００９９】
さらに、上式において時間要素をなくすように変形することで、次の交流電圧振幅が得られる。
【０１００】
【数２３】
2015045570.tif 000029
【０１０１】
［Ｆ．回転電圧群のベクトル加算空間での展開］
次に、ゲージ電圧群の構成メンバーである回転ベクトルを一つ減らして、より高速に出力できる回転電圧群を提案する。
（ｆ１：複素平面上の回転電圧群の構造体）
図５は、複素平面上の回転電圧群を示す図である。図５に示されるように、複素平面上の２個の回転ベクトルを次式で表すこととする。
【０１０２】
【数２４】
2015045570.tif 000030
【０１０３】
上式において、Ｖは交流電圧振幅、ωは回転角速度、Ｔはゲージサンプリング周波数の時間刻み幅、αはＴにおける回転位相角である。図５において、２個の回転ベクトルは、互いに対称性を有している。別の時間において、これら２個の回転ベクトル（構造体）が回転し、別の場所にあっても、２個の回転ベクトル間の位相差である回転位相角αは変化しない。そのため、２個の回転ベクトル（構造体）の形は変化しない。この性質を回転不変性と称し、このような回転不変性の性質を有する２個の回転ベクトルを回転電圧群と定義する。
（ｆ２：回転電圧群のベクトル加算群表）
回転電圧群の不変量を調べるために、下記表５に示すような回転電圧群のベクトル加算群表を構築する。
【０１０４】
【表５】
2015045570.tif 000031
【０１０５】
上記のベクトル加算群表に示される回転ベクトルは、複素数の状態変数で定義される。上表の“＋”記号は表側の要素と表頭の要素との加算を行うことを意味する。このとき、回転電圧群のベクトル加算群表の各要素は次式のように表すことができる。
【０１０６】
【数２５】
2015045570.tif 000032
【０１０７】
図６には、上式に基づく各要素を複素平面上に表したベクトル図を示す。ここで、２つのベクトルの加算により生成した空間を「ベクトル加算空間」と呼ぶ。すなわち、図６は、回転電圧群のベクトル加算空間図を示す。図６に示すベクトル加算空間図を利用して、交流正弦波に内在する対称性が見えるようになった。より具体的には、ベクトル加算空間において、各ベクトル加算要素は、ωの角速度で反時計周りに回転する。このように、回転電圧群のベクトル加算群表の結果より作成したベクトル加算空間も対称性を有していることが分かる。
【０１０８】
図６に示すベクトル加算空間において、２ｖ１（ｔ）と２ｖ１（ｔ−Ｔ）との組は中間軸（図６の例では実軸（Ｒｅ軸））に対して位相差αを有している。詳細は後述するが、この組で電圧振幅を計算できる。以下に回転電圧群の実数加算群表を利用して、不変量の具体的な計算式を導出する。
（ｆ３：回転電圧群の実数加算群表）
回転電圧群の不変量の計算式を導出するために、下記表６に示すような回転電圧群の実数加算群表を構築する。なお、上記実数加算群表中の各電圧瞬時値としては、回転ベクトルの実数部の値を用いているが、回転ベクトルの虚数部の値を用いてもよい。
【０１０９】
【表６】
2015045570.tif 000033
【０１１０】
次に、回転電圧群の実数加算群表について説明する。まず、表６の組の構成要素である各瞬時値要素は次式で表すことができる。
【０１１１】
【数２６】
2015045570.tif 000034
【０１１２】
上式において、“Ｒｅ”は複素数の実数部を示す。また、上式により、表６に示す回転電圧群の実数加算群表の各要素は次式のように表すことができる。
【０１１３】
【数２７】
2015045570.tif 000035
【０１１４】
次に、この回転電圧群の実数加算群表の各要素を利用し、回転電圧群に関係する不変量を利用した交流電圧振幅を導出する手順について説明する。
（ｆ４：回転電圧群の実数加算群表による交流電圧振幅の算出）
上式を変形することで、次式が導出される。
【０１１５】
【数２８】
2015045570.tif 000036
【０１１６】
さらに、上式において時間要素をなくすように変形することで、次の交流電圧振幅が得られる。
【０１１７】
【数２９】
2015045570.tif 000037
【０１１８】
上式において、ｆＣは周波数係数である。
［Ｇ．ゲージ差分電圧群のベクトル加算空間での展開］
（ｇ１：複素平面上のゲージ差分電圧群の構造体）
図７は、複素平面上のゲージ差分電圧群を示す図である。図７に示されるように、複素平面上の３個の差分回転ベクトルを次式で表すこととする。
【０１１９】
【数３０】
2015045570.tif 000038
【０１２０】
上式において、Ｖは交流電圧振幅、ωは回転角速度、Ｔはゲージサンプリング周波数の時間刻み幅、αはＴにおける回転位相角である。図７において、３個の差分回転ベクトルは、中間の差分回転ベクトルに対し、対称性を有している。別の時間において、これら３個の差分回転ベクトル（構造体）が回転し、別の場所にあっても、構造体に生じる位相差である回転位相角αは変化しない。そのため、３個の差分回転ベクトル（構造体）の形は変化しない。この性質を回転不変性と称し、このような回転不変性の性質を有する３個の差分回転ベクトルをゲージ差分電圧群と定義する。
（ｇ２：ゲージ差分電圧群のベクトル加算群表）
ゲージ差分電圧群の不変量を調べるために、下記表７に示すようなゲージ差分電圧群のベクトル加算群表を構築する。
【０１２１】
【表７】
2015045570.tif 000039
【０１２２】
上記のベクトル加算群表に示される差分回転ベクトルは、複素数の状態変数で定義される。上表の“＋”記号は表側の要素と表頭の要素との加算を行うことを意味する。このとき、ゲージ差分電圧群のベクトル加算群表の各要素は次式のように表すことができる。
【０１２３】
【数３１】
2015045570.tif 000040
【０１２４】
上式の各要素についてベクトル演算を行うことで、次式のように変形できる。
【０１２５】
【数３２】
2015045570.tif 000041
【０１２６】
図８には、上式に基づく各要素を複素平面上に表したベクトル図を示す。ここで、２つのベクトルの加算により生成した空間を「ベクトル加算空間」と呼ぶ。すなわち、図８は、ゲージ差分電圧群のベクトル加算空間図を示す。図８に示すベクトル加算空間の各要素も対称性を有している。つまり、ゲージ差分電圧群のベクトル加算群表の結果より作成したベクトル加算空間も対称性を有していることが分かる。以下にゲージ差分電圧群の実数加算群表を利用して、不変量の具体的な計算式を導出する。
（ｇ３：ゲージ差分電圧群の実数加算群表）
ゲージ差分電圧群の不変量の計算式を導出するために、下記表８に示すようなゲージ差分電圧群の実数加算群表を構築する。なお、上記実数加算群表中の各電圧瞬時値としては、差分回転ベクトルの実数部の値を用いている。
【０１２７】
【表８】
2015045570.tif 000042
【０１２８】
次に、ゲージ差分電圧群の実数加算群表について説明する。まず、表８の組の構成要素である各瞬時値要素は次式で表すことができる。
【０１２９】
【数３３】
2015045570.tif 000043
【０１３０】
上式において、“Ｒｅ”は複素数の実数部を示す。また、上式により、表８に示すゲージ差分電圧群の実数加算群表の各要素は次式のように表すことができる。
【０１３１】
【数３４】
2015045570.tif 000044
【０１３２】
次に、このゲージ差分電圧群の実数加算群表の各要素を利用し、ゲージ差分電圧群に関係する不変量の計算式を導出する手順について説明する。
（ｇ４：ゲージ差分電圧群による周波数係数）
本願発明者は、図８に示したゲージ差分電圧群のベクトル加算空間図によりゲージ差分電圧群の周波数係数を次式のように想定し、実数加算群表の関連要素に代入して式変形を行った。
【０１３３】
【数３５】
2015045570.tif 000045
【０１３４】
このような式変形によって、ゲージ差分電圧群の周波数係数ｆＣを得ることができた。
（ｇ５：ゲージ差分電圧群の対称性指標）
ゲージ差分電圧群の対称性指標として次式を提案する。
【０１３５】
【数３６】
2015045570.tif 000046
【０１３６】
ここで、上式を満足する場合、ｖ２（ｔ），ｖ２（ｔ−Ｔ），ｖ２（ｔ−２Ｔ）により交流対称群を構築できないことを意味し、ゲージ差分電圧群の対称性が破れたと判断できる。このため、ゲージ差分電圧群の対称性が破れた時点において、対称性が破れる前の計算値をラッチする。一方、上式を満足しない場合、交流が維持されていることを意味し、対称性は破れてないと判断できる。そのため、この場合には次周期の交流対称群を計算する。
（ｇ６：ゲージ差分電圧群についての回転位相角）
上記の計算式から、ゲージ差分電圧群についての回転位相角は、上述の（１１）式と同様に計算できる。
（ｇ７：ゲージ差分電圧群についてのリアルタイム周波数）
上記の計算式から、ゲージ差分電圧群についてのリアルタイム周波数は、上述の（１２）式と同様に計算できる。
（ｇ８：ゲージ差分電圧群のベクトル加算群表による交流電圧振幅（計算式その１））
本願発明者は、図８に示したゲージ差分電圧群のベクトル加算空間図によりゲージ差分電圧群の加算値を表す計算式として次式を知見した。すなわち、｛ｖ２（ｔ）＋ｖ２（ｔ−Ｔ）｝と｛ｖ２（ｔ−Ｔ）＋ｖ２（ｔ−２Ｔ）｝との組を利用して、交流電圧振幅を求める。この式変形によれば、｛ｖ２（ｔ）＋ｖ２（ｔ−Ｔ）｝と｛ｖ２（ｔ−Ｔ）＋ｖ２（ｔ−２Ｔ）｝との組についての実数加算値は次式のように表すことができる。
【０１３７】
【数３７】
2015045570.tif 000047
【０１３８】
上式を変形することで、次式が導出される。
【０１３９】
【数３８】
2015045570.tif 000048
【０１４０】
さらに、上式において時間要素をなくすように変形することで、次の交流電圧振幅が得られる。
【０１４１】
【数３９】
2015045570.tif 000049
【０１４２】
（ｇ９：ゲージ差分電圧群のベクトル加算群表による交流電圧振幅（計算式その２））
本願発明者は、図８に示したゲージ差分電圧群のベクトル加算空間図によりゲージ差分電圧群の加算値を表す別の計算式として次式を知見した。すなわち、２ｖ２（ｔ）とｖ２（ｔ−Ｔ）との組を利用して、交流電圧振幅を求める。この式変形によれば、２ｖ２（ｔ）とｖ２（ｔ−Ｔ）との組についての実数加算値は次式のように表すことができる。
【０１４３】
【数４０】
2015045570.tif 000050
【０１４４】
上式を変形することで、次式が導出される。
【０１４５】
【数４１】
2015045570.tif 000051
【０１４６】
さらに、上式において時間要素をなくすように変形することで、次の交流電圧振幅が得られる。
【０１４７】
【数４２】
2015045570.tif 000052
【０１４８】
［Ｈ．ゲージ差分電圧群のベクトル減算空間での展開］
（ｈ１：ゲージ差分電圧群のベクトル減算群表）
ゲージ差分電圧群の別の不変量を調べるために、下記表９に示すようなゲージ差分電圧群のベクトル減算群表を構築する。
【０１４９】
【表９】
2015045570.tif 000053
【０１５０】
上記のベクトル減算群表に示される回転ベクトルは、複素数の状態変数で定義される。上表の“−”記号は表側の要素と表頭の要素との減算を行うことを意味する。このとき、ゲージ差分電圧群のベクトル減算群表の各要素は次式のように表すことができる。
【０１５１】
【数４３】
2015045570.tif 000054
【０１５２】
上式の各要素についてベクトル演算を行うことで、次式のように変形できる。
【０１５３】
【数４４】
2015045570.tif 000055
【０１５４】
図９には、上式に基づく各要素を複素平面上に表したベクトル図を示す。ここで、２つのベクトルの減算により生成した空間を「ベクトル減算空間」と呼ぶ。すなわち、図９は、ゲージ差分電圧群のベクトル減算空間図を示す。図９に示すベクトル減算空間図を利用して、交流正弦波に内在する対称性が見えるようになった。より具体的には、ベクトル減算空間において、各ベクトル減算要素は、ωの角速度で反時計周りに回転する。このように、ゲージ差分電圧群のベクトル減算群表の結果より作成したベクトル減算空間も対称性を有していることが分かる。以下にゲージ差分電圧群の実数減算群表を利用して、不変量の具体的な計算式を導出する。
（ｈ２：ゲージ差分電圧群の実数減算群表）
ゲージ差分電圧群の不変量の計算式を導出するために、下記表１０に示すようなゲージ差分電圧群の実数減算群表を構築する。なお、上記実数減算群表中の各電圧瞬時値としては、回転ベクトルの実数部の値を用いている。
【０１５５】
【表１０】
2015045570.tif 000056
【０１５６】
次に、ゲージ差分電圧群の実数減算群表について説明する。まず、表１０の組の構成要素である各瞬時値要素は次式で表すことができる。
【０１５７】
【数４５】
2015045570.tif 000057
【０１５８】
次に、このゲージ差分電圧群の実数減算群表の各要素を利用し、ゲージ差分電圧群に関係する不変量を利用した交流電圧振幅を導出する手順について説明する。
（ｈ３：ゲージ差分電圧群のベクトル減算群表による交流電圧振幅の算出）
本願発明者は、図９に示したゲージ差分電圧群のベクトル減算空間図によりゲージ差分電圧群の減算値を表す計算式として次式を知見した。すなわち、｛ｖ２（ｔ−Ｔ）−ｖ２（ｔ）｝と｛ｖ２（ｔ−２Ｔ）−ｖ２（ｔ−Ｔ）｝との組を利用して、交流電圧振幅を求める。この式変形によれば、｛ｖ２（ｔ−Ｔ）−ｖ２（ｔ）｝と｛ｖ２（ｔ−２Ｔ）−ｖ２（ｔ−Ｔ）｝との組についての実数減算値は次式のように表すことができる。
【０１５９】
【数４６】
2015045570.tif 000058
【０１６０】
上式を変形することで、次式が導出される。
【０１６１】
【数４７】
2015045570.tif 000059
【０１６２】
さらに、上式において時間要素をなくすように変形することで、次の交流電圧振幅が得られる。
【０１６３】
【数４８】
2015045570.tif 000060
【０１６４】
［Ｉ．回転差分電圧群のベクトル加算空間での展開］
次に、ゲージ差分電圧群の構成メンバーである差分回転ベクトルを一つ減らして、より高速に出力できる回転差分電圧群を提案する。
（ｉ１：複素平面上の回転差分電圧群の構造体）
図１０は、複素平面上の回転差分電圧群を示す図である。図１０に示されるように、複素平面上の２個の差分回転ベクトルを次式で表すこととする。
【０１６５】
【数４９】
2015045570.tif 000061
【０１６６】
上式において、Ｖは交流電圧振幅、ωは回転角速度、Ｔはゲージサンプリング周波数の時間刻み幅、αはＴにおける回転位相角である。図１０において、２個の差分回転ベクトルは、互いに対称性を有している。別の時間において、これら２個の差分回転ベクトル（構造体）が回転し、別の場所にあっても、２個の差分回転ベクトル間の位相差である回転位相角αは変化しない。そのため、２個の差分回転ベクトル（構造体）の形は変化しない。この性質を回転不変性と称し、このような回転不変性の性質を有する２個の差分回転ベクトルを回転差分電圧群と定義する。
（ｉ２：回転差分電圧群のベクトル加算群表）
回転差分電圧群の不変量を調べるために、下記表１１に示すような回転差分電圧群のベクトル加算群表を構築する。
【０１６７】
【表１１】
2015045570.tif 000062
【０１６８】
上記のベクトル加算群表に示される差分回転ベクトルは、複素数の状態変数で定義される。上表の“＋”記号は表側の要素と表頭の要素との加算を行うことを意味する。このとき、回転電圧群のベクトル加算群表の各要素は次式のように表すことができる。
【０１６９】
【数５０】
2015045570.tif 000063
【０１７０】
上式の各要素についてベクトル演算を行うことで、次式のように変形できる。
【０１７１】
【数５１】
2015045570.tif 000064
【０１７２】
図１１には、上式に基づく各要素を複素平面上に表したベクトル図を示す。ここで、２つのベクトルの加算により生成した空間を「ベクトル加算空間」と呼ぶ。すなわち、図１１は、回転差分電圧群のベクトル加算空間図を示す。図１１に示すベクトル加算空間の各要素も対称性を有している。より具体的には、ベクトル加算空間において、各ベクトル加算要素は、ωの角速度で反時計周りに回転する。また、２ｖ１（ｔ）と２ｖ１（ｔ−Ｔ）との組は中間軸（図１１の例では実軸（Ｒｅ軸））に対して位相差αを有している。詳細は後述するが、この組で電圧振幅を計算できる。以下に回転差分電圧群の実数加算群表を利用して、不変量の具体的な計算式を導出する。
（ｉ３：回転差分電圧群の実数加算群表）
回転差分電圧群の不変量の計算式を導出するために、下記表１２に示すような回転差分電圧群の実数加算群表を構築する。なお、上記実数加算群表中の各電圧瞬時値としては、差分回転ベクトルの実数部の値を用いている。
【０１７３】
【表１２】
2015045570.tif 000065
【０１７４】
次に、回転差分電圧群の実数加算群表について説明する。まず、表１２の組の構成要素である各瞬時値要素は次式で表すことができる。
【０１７５】
【数５２】
2015045570.tif 000066
【０１７６】
上式において、“Ｒｅ”は複素数の実数部を示す。また、上式により、表１２に示す回転差分電圧群の実数加算群表の各要素は次式のように表すことができる。
【０１７７】
【数５３】
2015045570.tif 000067
【０１７８】
次に、この回転差分電圧群の実数加算群表の各要素を利用し、回転差分電圧群に関係する不変量を利用した交流電圧振幅を導出する手順について説明する。
（ｉ４：回転差分電圧群の実数加算群表による交流電圧振幅の算出）
上式を変形することで、次式が導出される。
【０１７９】
【数５４】
2015045570.tif 000068
【０１８０】
さらに、上式において時間要素をなくすように変形することで、次の交流電圧振幅が得られる。
【０１８１】
【数５５】
2015045570.tif 000069
【０１８２】
上式において、ｆＣは周波数係数である。
［Ｊ．測定上の工夫］
（ｊ１：データ収集サンプリング周波数とゲージサンプリング周波数との分離）
上記特許文献３などにも教示されているように、測定精度を高める場合には、サンプリング周期をより小さく（サンプリング周波数をより高く）して単位時間に収集されるデータ数を増加させ、増加させた連続するデータを用いて、周波数係数をはじめとする各種の交流電気量を算出するというのが基本的な考えであった。
【０１８３】
しかしながら、単位時間に収集されるデータ数を単純に増加させる手法では、データ数の増加に伴って算出される回転位相角も小さくなってしまい、高調波ノイズが大きい場合には、計算結果が高調波ノイズの影響を受けてばらつき、測定精度が高められないことも予想される。
【０１８４】
計算に必要な単位時間あたりのデータ数を増加させた場合でも、回転位相角の値が小さくなり過ぎないように、回転位相角を好ましい値を維持しつつ、高調波ノイズの影響を低減する必要がある。本実施の形態では、ゲージサンプリング周期Ｔ（ゲージサンプリング周波数ｆＳ）とデータ収集サンプリング周期Ｔ１（データ収集サンプリング周波数ｆ１）という概念を導入している。
【０１８５】
図１２は、ゲージサンプリング周期Ｔとデータ収集サンプリング周期Ｔ１との関係を説明するための図である。図１２において、ゲージサンプリング周波数ｆＳ（ゲージサンプリング周期Ｔ）と、データ収集サンプリング周波数ｆ１（データ収集サンプリング周期Ｔ１）との間には、次式に示す関係がある。
【０１８６】
【数５６】
2015045570.tif 000070
【０１８７】
上式において、ｎは正の整数であり、図１２の例ではｎ＝４の場合を例示している。
図５において、現時点（時刻ｔ）におけるゲージ電圧群（ゲージ電圧群１）のメンバーは以下の通りである。
【０１８８】
【数５７】
2015045570.tif 000071
【０１８９】
また、現時刻よりもＴ１時刻前（時刻ｔ−Ｔ１）のゲージ電圧群（ゲージ電圧群２）のメンバーは以下の通りである。
【０１９０】
【数５８】
2015045570.tif 000072
【０１９１】
図１２から理解できるように、ゲージ電圧群同士の間隔（ゲージ電圧群１とゲージ電圧群２との間隔）は、データ収集サンプリング周期Ｔ１であるのに対し、各ゲージ電圧群を構成するメンバー同士の間隔は、ゲージサンプリング周期Ｔになっている。すなわち、ゲージサンプリング周期Ｔ（ゲージサンプリング周波数ｆＳ）とデータ収集サンプリング周期Ｔ１（データ収集サンプリング周波数ｆ１）という概念を導入することにより、好適な回転位相角αを維持しつつ、計算に必要な単位時間あたりデータ数を増加させて高調波ノイズの影響を抑制することが可能となる。
【０１９２】
また、この概念に加え、上述の負数回転位相角の概念を併用すれば、データ収集サンプリング周波数ｆ１をさらに２倍に増やした場合と同等の効果が得られる。なお、現実には、システムの要請により適宜かつ適切なデータ収集サンプリング周波数とゲージサンプリング周波数とが選定されることは言うまでもない。
【０１９３】
なお、コストパフォーマンスを考慮してハードウェアの選定により、データ収集サンプリング周波数を可能な限り高く設定できれば（例えば、国際的かつ標準的な保護リレー装置では、４ｋＨｚが推奨されている）、計算結果の出力を高速に行うことができると共に、出力結果に対する移動平均処理を併用することで、高調波ノイズの影響を大幅に低減できる。
【０１９４】
このように、データ収集サンプリング周波数とゲージサンプリング周波数とを分離した処理の概念を導入することにより、電力系統に常時に存する擾乱（小さな擾乱）を抑制することが可能となる。
（ｊ２：ゲージ電圧の移動平均処理）
回転位相角やリアルタイム周波数の場合と同様に、ゲージ電圧を計算する際には、ノイズの影響を低減するために、例えば、次式に示すような移動平均処理を行うことが有効である。
【０１９５】
【数５９】
2015045570.tif 000073
【０１９６】
上式において、Ｔ１はデータ収集サンプリング周期であり、Ｍは現時点を含むデータ収集サンプリング点数である。
［Ｋ．シミュレーション結果］
本願発明者は、シミュレーションを用いて、本実施の形態に従う電気量測定装置および電気量測定方法による測定精度を検証した。このシミュレーション結果について、以下説明する。
【０１９７】
図１３は、シミュレーションに用いたモデル系統を説明するための模式図である。図１３に示すモデル系統は、「電気学会ＥＡＳＴ１０機モデル」である。電気学会ＥＡＳＴ１０機モデルは、１０台の発電機、ならびに、複数の変圧器および送電線により構成されるシミュレーションテストモデル系統である。本シミュレーションにおいては、本系統の母線ノード（２０）に、本実施の形態に従う電気量測定装置を配置した。
【０１９８】
シミュレーションの内容としては、本系統の送電線＜３８＞の中間点にて、３相地絡故障が発生した場合を想定した。本シミュレーションの実施条件は、以下の通りである。
【０１９９】
・電力系統定格周波数：５０Ｈｚ
・データ収集サンプリング周波数ｆ１：４０００Ｈｚ
・ゲージサンプリング周波数ｆＳ：２００Ｈｚ
・故障発生時間：０．３１秒
・故障継続時間：０．０７秒
・移動平均長さＴａｖｇ：０．０２秒
・シミュレーション終了時間Ｔｅｎｄ：１秒
このシミュレーション条件下において、電力系統高調波の影響を低減するためのゲージサンプリング周期Ｔは、次式のように算出できる。
【０２００】
【数６０】
2015045570.tif 000074
【０２０１】
また、本シミュレーションにおいては、電力系統高調波の影響を低減するために移動平均処理を実行し、この移動平均処理に係る時間は、電圧系統定格周波数の１周期分とし、この場合に、移動平均処理の各サイクルで処理対象となる計算点数は、次式のように算出できる。
【０２０２】
【数６１】
2015045570.tif 000075
【０２０３】
図１４は、シミュレーションによって得られた時間波形を示す図である。図１４には、上述のシミュレーション条件において算出された交流電圧の瞬時値と、本実施の形態に従う電気量測定方法によって算出された交流電圧振幅の測定結果とを示す。なお、交流電圧の瞬時値は、モデル系統のＡ相の値である。
【０２０４】
本シミュレーションにおいては、データ収集サンプリング周波数ｆ１を４０００Ｈｚに設定しているため、１サイクル内で比較的多数のデータ（１サイクルあたり８０点）を収集していることが分かる。
【０２０５】
図１４に示す時間波形においては、移動平均長さＴａｖｇを０．０２秒に設定しているため、シミュレーション開始から移動平均長さＴａｖｇが経過するまでは、交流電圧振幅の測定値が蓄積される。
【０２０６】
３相地絡故障の発生タイミング（シミュレーション開始から０．３１秒経過時点）までに、交流電圧の瞬時値は正弦波を示し、交流電圧振幅の測定値は一定値を示しているので、いずれも正しく算出されていることが分かる。
【０２０７】
図１４に示す時間波形において、シミュレーション開始から０．３１秒経過時点で、送電線＜３８＞の中間点において３相地絡故障が発生し、０．３１〜０．３８秒の間、３相地絡故障が継続したとする。この３相地絡故障の継続中、母線ノード（２０）の電圧は約半分ぐらいに低減する（瞬停現象）と共に、交流電圧振幅の測定値はこの実交流波形に追随して、低下していることが分かる。
【０２０８】
０．３８秒経過時点で、故障が除去され、その後系統は動揺しつつ新たな安定状態へ復帰する。この場合においても、交流電圧振幅の測定値はこの実交流波形に追随していることが分かる。
【０２０９】
なお、故障発生後および故障除去後の交流電圧振幅の追従遅れは、移動平均処理のためである。
【０２１０】
図１４に示すように、移動平均処理によるいくらかの遅れはあるものの、交流電圧振幅の測定値は実交流波形に高速に追随し、高精度な測定値として算出されていることが分かる。すなわち、図１４のシミュレーション結果は、本実施の形態に従う電気量測定装置および電気量測定方法がより高い精度での電気量を測定できることを示す。
［Ｌ．実装例］
次に、本実施の形態に従う電気量測定装置の実装例について説明する。図１５は、本発明の実施の形態に従う電気量測定装置１０１の構成例を示す模式図である。図１５を参照して、電気量測定装置１０１は、その機能構成として、電圧瞬時値データ入力部１０２と、周波数係数算出部１０３と、対称性破れ判定部１０４と、周波数係数ラッチ部１０５と、周波数係数の移動平均部１０６と、交流電圧振幅算出部１０７と、交流電圧振幅の移動平均部１０８と、インターフェース１０９と、記憶部１１０とを含む。
【０２１１】
これらの機能は、公知のハードウェアやソフトウェアによって実現される。具体的には、図１５に示す機能の全部または一部をＬＳＩ（Large Scale Integration）などを用いて実現してもよいし、それに加えて、またはそれに代えて、ＣＰＵ（Central Processing Unit）などのプロセッサでプログラムを実行させることで実現してもよい。また、単一の装置として実装することもできるし、ネットワークなどを介して複数の装置が連係することで全体として図１５に示す機能を実現するような構成を採用することもできる。さらに、図１５に示す電気量測定装置をより大型な装置（例えば、電力監視装置など）の一部の機能として実装することもできる。図１５に示す電気量測定装置をどのように実装するのかについては、適用先などに応じて適宜設計される。
【０２１２】
電圧瞬時値データ入力部１０２は、時系列電圧瞬時値データを収集する。周波数係数算出部１０３は、ゲージサンプリング周波数により、電圧群の瞬時値データを蓄積し、周波数係数を算出する。対称性破れ判定部１０４は、周波数係数の絶対値を１と比較することで、対称性破れを判定する。周波数係数ラッチ部１０５は、前ステップの周波数係数の測定結果をラッチする。周波数係数の移動平均部１０６は、直前に測定した指定数量の周波数係数を平均化する。交流電圧振幅算出部１０７は、上述したいずれかの計算式を用いて、交流電圧振幅を算出する。交流電圧振幅の移動平均部１０８は、直前測定した指定数量の交流電圧振幅を平均化する。インターフェース１０９は、デジタル表示などのインターフェース機能を有している。つまり、インターフェース１０９は、演算結果等を表示装置や外部装置に出力する処理を行う。記憶部１１０は、計測データや演算結果などを記憶する処理を行う。
［Ｍ．処理手順］
次に、図１５に示す電気量測定装置１０１により実施される電気量測定の処理手順について説明する。図１６は、本発明の実施の形態に従う電気量測定方法の処理手順を示すフローチャートである。図１６に示す各ステップは、典型的には、図１５に示す構成において実行される。
【０２１３】
図１６を参照して、電圧瞬時値データ入力部１０２は、電力系統に設けられた計器用変圧器（ＰＴ）からの電圧瞬時値を読み出す処理を行う。なお、読み出された電圧瞬時値のデータは、記憶部１１０に格納される（ステップＳ１０１）。
【０２１４】
続いて、周波数係数算出部１０３は、周波数係数を算出する（ステップＳ１０２）。この周波数係数の算出処理は、用いる対称群の情報に応じて、いくつかの計算式を用いる。
【０２１５】
例えば、ゲージ電圧群または回転電圧群を用いる場合には、周波数係数算出部１０３は、上述の（９）式を用いて、周波数係数ｆＣを算出する。なお、上述の（９）式において、ｖ１１，ｖ１２，ｖ１３はそれぞれ電圧瞬時値に相当する。
【０２１６】
このゲージ電圧群または回転電圧群を用いる場合の周波数係数の算出処理については、上述した計算処理の概念に従って総括的に説明すると、次のように説明できる。すなわち、周波数係数算出部１０３は、測定対象となる交流電圧をデータ収集サンプリング周波数（第１のサンプリング周波数）でサンプリングした電圧瞬時値データの中から、データ収集サンプリング周波数よりも小さく、かつ当該交流電圧の周波数以上である、ゲージサンプリング周波数（第２のサンプリング周波数）で抽出した、連続する３点の電圧瞬時値データ（ｖ１１，ｖ１２，ｖ１３）について、中間時刻以外の電圧瞬時値データの和の平均値（（ｖ１１＋ｖ１３）／２）を中間時刻における電圧瞬時値データ（ｖ１２）で正規化した値（（ｖ１１＋ｖ１３）／（２ｖ１２））を周波数係数（ｆＣ）として算出する処理を行う。
【０２１７】
また、ゲージ差分電圧群または回転差分電圧群を用いる場合には、周波数係数算出部１０３は、上述の（３５）式を用いて、周波数係数ｆＣを算出する。なお、上述の（３５）式において、ｖ２１，ｖ２２，ｖ２３はそれぞれ差分電圧瞬時値に相当する。
【０２１８】
このゲージ差分電圧群または回転差分電圧群を用いる場合の周波数係数の算出処理については、上述した計算処理の概念に従って総括的に説明すると、次のように説明できる。すなわち、周波数係数算出部１０３は、測定対象となる交流電圧をデータ収集サンプリング周波数（第１のサンプリング周波数）でサンプリングした電圧瞬時値データの中から、データ収集サンプリング周波数よりも小さく、かつ当該交流電圧の周波数以上である、ゲージサンプリング周波数（第２のサンプリング周波数）で抽出した、連続する少なくとも４点の電圧瞬時値データにおける隣接する２点の電圧瞬時値データ間の先端間距離を表す３点の差分電圧瞬時値データ（ｖ２１，ｖ２２，ｖ２３）について、中間時刻以外の差分電圧瞬時値の和の平均値（（ｖ２１＋ｖ２３）／２）を中間時刻における差分電圧瞬時値（ｖ１２）で正規化した値（（ｖ２１＋ｖ２３）／（２ｖ２２））を周波数係数（ｆＣ）として算出する処理を行う。
【０２１９】
続いて、対称性破れ判定部１０４は、上述した対称性指標の判定式を用いて対称性の破れを判定する。つまり、対称性破れ判定部１０４は、測定された電気量が交流であるか否かを判定する（ステップＳ１０３）。この対称性破れを判定する一つの目的として、電力系統に含まれる高調波ノイズの影響を低減することが挙げられる。
【０２２０】
この対称性破れの判定処理については、上述した計算処理の概念に従って総括的に説明すると、次のように説明できる。すなわち、対称性破れ判定部１０４は、周波数係数算出部１０３による周波数係数の算出結果に基づいて、交流電圧の対称性の破れを判定する処理を行う。より具体的には、ゲージ電圧群または回転電圧群を用いる場合には、対称性破れ判定部１０４は、判定式として、上述の（１０）式を利用する。また、ゲージ差分電圧群または回転差分電圧群を用いる場合には、対称性破れ判定部１０４は、判定式として、上述の（３６）式を利用する。
【０２２１】
上式が成立した場合、対称性破れ判定部１０４は、対称性が破れたと判定し（ステップＳ１０３においてＮＯの場合）、周波数係数ラッチ部１０５は、例えば次式を用いて、前ステップの周波数係数をラッチする（ステップＳ１０４）。
【０２２２】
【数６２】
2015045570.tif 000076
【０２２３】
つまり、対称性破れ判定部１０４において対称性が破れたと判定されると、周波数係数ラッチ部１０５は、周波数係数として、前ステップの確定値をラッチして利用する。
【０２２４】
一方、上式が成立しない場合、対称性は破れていないと判定し（ステップＳ１０３においてＹＥＳの場合）、周波数係数をラッチせずにステップＳ１０５へ移行する。
【０２２５】
続いて、周波数係数の移動平均部１０６は、電力系統高調波ノイズの影響を低減するために、周波数係数について移動平均処理を行う（ステップＳ１０５）。周波数係数の移動平均部１０６は、例えば次式を用いて、周波数係数の移動平均処理を行う。
【０２２６】
【数６３】
2015045570.tif 000077
【０２２７】
上式において、Ｍは現時点で収集されたサンプリングデータを含めたデータ収集サンプリング点数である。
【０２２８】
続いて、交流電圧振幅算出部１０７は、交流電圧振幅を算出する（ステップＳ１０６）。この対称性破れの判定処理については、上述した計算処理の概念に従って総括的に説明すると、次のように説明できる。すなわち、交流電圧振幅算出部１０７は、周波数係数を算出する際に用いた３点の電圧瞬時値データ（ｖ１１，ｖ１２，ｖ１３）、または、差分電圧瞬時値データ（ｖ２１，ｖ２２，ｖ２３）と、周波数係数（ｆＣ）とを用いて交流電圧振幅（Ｖ）を算出する処理を行う。
【０２２９】
より具体的には、上述したゲージ電圧群のベクトル加算群表から得られた知見に従って、交流電圧振幅算出部１０７は、（１５）式、または、（１８）式を用いて、交流電圧振幅を算出する。あるいは、上述したゲージ電圧群のベクトル減算群表から得られた知見に従って、交流電圧振幅算出部１０７は、（２３）式を用いて、交流電圧振幅を算出する。さらにあるいは、上述した回転電圧群の実数加算群から得られた知見に従って、交流電圧振幅算出部１０７は、（２９）式を用いて、交流電圧振幅を算出する。
【０２３０】
上述の（１５）式、（１８）式、（２３）式、および（２９）式などにおいて、交流電圧振幅算出部１０７は、周波数係数を算出する際に用いた３点の電圧瞬時値データ（ｖ１１，ｖ１２，ｖ１３）のうち、中間時刻以外の電圧瞬時値データの差（ｖ１１−ｖ１３）を、要素として含む計算式に従って、交流電圧振幅を算出する。
【０２３１】
また、上述の（１８）式および（２９）式などにおいて、交流電圧振幅算出部１０７は、周波数係数を算出する際に用いた３点の電圧瞬時値データ（ｖ１１，ｖ１２，ｖ１３）のうち、中間時刻以外の電圧瞬時値データの和（ｖ１１＋ｖ１３）を、要素として含む計算式に従って、交流電圧振幅を算出する。
【０２３２】
あるいは、上述したゲージ差分電圧群のベクトル加算群表から得られた知見に従って、交流電圧振幅算出部１０７は、（３９）式、または、（４２）式を用いて、交流電圧振幅を算出する。あるいは、上述したゲージ差分電圧群のベクトル減算群表から得られた知見に従って、交流電圧振幅算出部１０７は、（４８）式を用いて、交流電圧振幅を算出する。さらにあるいは、上述した回転差分電圧群の実数加算群表から得られた知見に従って、交流電圧振幅算出部１０７は、（５５）式を用いて、交流電圧振幅を算出する。
【０２３３】
上述の（３９）式、（４２）式、（４８）式、および（５５）式などにおいて、交流電圧振幅算出部１０７は、周波数係数を算出する際に用いた３点の差分電圧瞬時値データ（ｖ２１，ｖ２２，ｖ２３）のうち、中間時刻以外の差分電圧瞬時値データの差（ｖ２１−ｖ２３）を、要素として含む計算式に従って、交流電圧振幅を算出する。
【０２３４】
また、上述の（４２）式および（５５）式などにおいて、交流電圧振幅算出部１０７は、周波数係数を算出する際に用いた３点の差分電圧瞬時値データ（ｖ２１，ｖ２２，ｖ２３）のうち、中間時刻以外の差分電圧瞬時値データの和（ｖ２１＋ｖ２３）を、要素として含む計算式に従って、交流電圧振幅を算出する。
【０２３５】
続いて、交流電圧振幅の移動平均部１０８は、電力系統高調波ノイズの影響を低減するために、交流電圧振幅について移動平均処理を行う（ステップＳ１０７）。交流電圧振幅の移動平均部１０８は、例えば次式を用いて、交流電圧振幅の移動平均処理を行う。
【０２３６】
【数６４】
2015045570.tif 000078
【０２３７】
上式において、Ｍは現時点で収集されたサンプリングデータを含めたデータ収集サンプリング点数である。
【０２３８】
続いて、電気量測定装置１０１は、計測結果を出力する（ステップＳ１０８）。この計測結果は、典型的には、電圧リレーや電力系統電圧状態監視点のリアルタイム交流電圧振幅実測値として利用される。
【０２３９】
電気量測定装置１０１は、処理の終了が指示されたか否かを判定し（ステップＳ１０９）、処理の終了が指示されていない場合（ステップＳ１０９においてＮＯの場合）には、ステップＳ１０１以下の処理を再度実行する。一方、処理の終了が指示された場合（ステップＳ１０９においてＹＥＳの場合）には、処理は終了する。
［Ｎ．変形例・別実施形態］
上述の実施の形態では、本願の測定手法を用いて、主として交流電圧振幅を算出する場合の実装例について説明したが、これに限定されるものではない。例えば、本願の測定手法を用いて交流電流振幅を測定することもできるし、これらの測定値を利用した二次的な情報を測定することもできる。
【０２４０】
上述の実施の形態として例示した構成は、本発明の構成の一例であり、別の公知の技術と組み合わせることも可能であるし、本発明の要旨を逸脱しない範囲で、一部を省略する等、変更して構成することも可能である。
【０２４１】
今回開示された実施の形態はすべての点で例示であって制限的なものではないと考えられるべきである。本発明の範囲は、上記した説明ではなく、特許請求の範囲によって示され、特許請求の範囲と均等の意味および範囲内でのすべての変更が含まれることが意図される。
【符号の説明】
【０２４２】
１０１  電気量測定装置、１０２  電圧瞬時値データ入力部、１０３  周波数係数算出部、１０４  対称性破れ判定部、１０５  周波数係数ラッチ部、１０６  周波数係数の移動平均部、１０７  交流電圧振幅算出部、１０８  交流電圧振幅の移動平均部、１０９  インターフェース、１１０  記憶部。
【図１】
2015045570.tif 000079
【図２】
2015045570.tif 000080
【図３】
2015045570.tif 000081
【図４】
2015045570.tif 000082
【図５】
2015045570.tif 000083
【図６】
2015045570.tif 000084
【図７】
2015045570.tif 000085
【図８】
2015045570.tif 000086
【図９】
2015045570.tif 000087
【図１０】
2015045570.tif 000088
【図１１】
2015045570.tif 000089
【図１２】
2015045570.tif 000090
【図１３】
2015045570.tif 000091
【図１４】
2015045570.tif 000092
【図１５】
2015045570.tif 000093
【図１６】
2015045570.tif 000094