(57)【要約】【課題】平滑化粒子ガラーキン式を用いて固体力学において構造的挙動を数値的にシミュレートするための方法およびシステムを提供する。【解決手段】複数の粒子によって定義される物理的領域を表すメッシュフリーモデルが、コンピュータシステムにおいて受け取られる。各粒子は、各粒子が表す物理的領域の一部の材料特性に応じて構成される。定義された境界条件における物理的領域の平滑化変位フィールドが、平滑化粒子ガラーキン式に基づいて、メッシュフリーモデルを用いた時間進行シミュレーションを行うことによって取得される。平滑化変位フィールドは、線形多項式再生条件を満たす１セットの平滑化メッシュフリー形状関数から導出される。１セットの平滑化メッシュフリー形状関数は、凸状のメッシュフリー近似法によって構成され、二次導関数の計算を回避するよう構成されている。１セットの平滑化メッシュフリー形状関数は、粒子に対する規則的メッシュフリー形状関数および変位平滑化関数の組み合わせである。【選択図】図１
2015092336.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
固体力学において平滑化粒子ガラーキン式に基づいて物理的領域の平滑化変位フィールドを取得する方法であって、
アプリケーションモジュールがインストールされたコンピュータシステムにおいて、物理的領域を表すメッシュフリーモデルを受け取るステップであって、前記メッシュフリーモデルは複数の粒子を含んでおり、それぞれの粒子は前記物理的領域の一部の材料特性に応じて構成されており、１セットの境界条件が前記物理的領域の境界について定義されており、前記アプリケーションモジュールは平滑化粒子ガラーキン式に基づいて時間進行シミュレーションを実行するように構成されるステップと、
前記アプリケーションモジュールによって、前記メッシュフリーモデルを用いて前記時間進行シミュレーションを行うことにより、前記１セットの境界条件における前記物理的領域の数値的にシミュレートされた平滑化変位フィールドを取得するステップであって、前記平滑化変位フィールドは、線形多項式再生条件を満たす１セットの平滑化メッシュフリー形状関数から導出され、前記１セットの平滑化メッシュフリー形状関数は、凸状のメッシュフリー近似法によって構成されるとともに二次導関数の計算を回避するよう構成されており、前記複数の粒子に関する１セットの規則的メッシュフリー形状関数と１セットの変位平滑化関数との組み合わせを用いて生成されるステップと、
を含む方法。
【請求項２】
前記複数の粒子のそれぞれに対する影響領域を設定するステップを更に含み、
前記影響領域は、前記時間進行シミュレーションをより効率的に行うために用いられる、
請求項１に記載の方法。
【請求項３】
前記１セットの境界条件は、所定の変位に関するディリクレ境界条件と、所定の牽引力に関するノイマン境界条件と、を含む、
請求項２に記載の方法。
【請求項４】
前記凸状のメッシュフリー近似法により、前記１セットの平滑化メッシュフリー形状関数がクロネッカー・デルタ特性を含むことが確保される、
請求項２に記載の方法。
【請求項５】
前記二次導関数は、未知の一般化変位フィールドから直接に前記平滑化変位フィールドを解いた結果である、
請求項２に記載の方法。
【請求項６】
前記規則的メッシュフリー形状関数と前記変位平滑化関数とは同一である、
請求項２に記載の方法。
【請求項７】
固体力学において平滑化粒子ガラーキン式に基づいて物理的領域の平滑化変位フィールドを取得するシステムであって、
平滑化粒子ガラーキン式に基づいて時間進行シミュレーションを実行するよう構成されるアプリケーションモジュールに関するコンピュータ可読コードを記憶するメインメモリと、
前記メインメモリに接続される少なくとも１のプロセッサと、
を備え、
前記少なくとも１のプロセッサは、前記メインメモリ内の前記コンピュータ可読コードを実行して、前記アプリケーションモジュールに、方法に基づいてオペレーションを実行させ、
前記オペレーションは、
物理的領域を表すメッシュフリーモデルを受け取るオペレーションであって、前記メッシュフリーモデルは複数の粒子を含んでおり、それぞれの粒子は前記物理的領域の一部の材料特性に応じて構成されており、１セットの境界条件が前記物理的領域の境界について定義されているオペレーションと、
前記アプリケーションモジュールによって、前記メッシュフリーモデルを用いて時間進行シミュレーションを行うことにより、前記１セットの境界条件における前記物理的領域の数値的にシミュレートされた平滑化変位フィールドを取得するオペレーションであって、前記平滑化変位フィールドは、線形多項式再生条件を満たす１セットの平滑化メッシュフリー形状関数から導出され、前記１セットの平滑化メッシュフリー形状関数は、凸状のメッシュフリー近似法によって構成されるとともに二次導関数の計算を回避するよう構成されており、前記複数の粒子に関する１セットの規則的メッシュフリー形状関数と１セットの変位平滑化関数との組み合わせを用いて生成されるオペレーションと、を含む、
システム。
【請求項８】
前記複数の粒子のそれぞれに対する影響領域を設定するオペレーションを更に含み、
前記影響領域は、前記時間進行シミュレーションをより効率的に行うために用いられる、
請求項７に記載のシステム。
【請求項９】
前記１セットの境界条件は、所定の変位に関するディリクレ境界条件と、所定の牽引力に関するノイマン境界条件と、を含む、
請求項８に記載のシステム。
【請求項１０】
前記凸状のメッシュフリー近似法により、前記１セットの平滑化メッシュフリー形状関数がクロネッカー・デルタ特性を含むことが確保される、
請求項８に記載のシステム。
【請求項１１】
前記二次導関数は、未知の一般化変位フィールドから直接に前記平滑化変位フィールドを解いた結果である、
請求項８に記載のシステム。
【請求項１２】
前記規則的メッシュフリー形状関数と前記変位平滑化関数とは同一である、
請求項８に記載のシステム。
【請求項１３】
方法に基づいて、固体力学において平滑化粒子ガラーキン式に基づいて物理的領域の平滑化変位フィールドを取得する命令を含んでいる非一時的なコンピュータ可読記憶媒体であって、
前記方法が、
アプリケーションモジュールがインストールされたコンピュータシステムにおいて、物理的領域を表すメッシュフリーモデルを受け取るステップであって、前記メッシュフリーモデルは複数の粒子を含んでおり、それぞれの粒子は前記物理的領域の一部の材料特性に応じて構成されており、１セットの境界条件が前記物理的領域の境界について定義されており、前記アプリケーションモジュールは平滑化粒子ガラーキン式に基づいて時間進行シミュレーションを実行するように構成されるステップと、
前記アプリケーションモジュールによって、前記メッシュフリーモデルを用いて前記時間進行シミュレーションを行うことにより、前記１セットの境界条件における前記物理的領域の数値的にシミュレートされた平滑化変位フィールドを取得するステップであって、前記平滑化変位フィールドは、線形多項式再生条件を満たす１セットの平滑化メッシュフリー形状関数から導出され、前記１セットの平滑化メッシュフリー形状関数は、凸状のメッシュフリー近似法によって構成されるとともに二次導関数の計算を回避するよう構成されており、前記複数の粒子に関する１セットの規則的メッシュフリー形状関数と１セットの変位平滑化関数との組み合わせを用いて生成されるステップと、を含む、
非一時的なコンピュータ可読記憶媒体。
【請求項１４】
前記複数の粒子のそれぞれに対する影響領域を設定するステップを更に含み、
前記影響領域は、前記時間進行シミュレーションをより効率的に行うために用いられる、
請求項１３に記載の非一時的なコンピュータ可読記憶媒体。
【請求項１５】
前記１セットの境界条件は、所定の変位に関するディリクレ境界条件と、所定の牽引力に関するノイマン境界条件と、を含む、
請求項１４に記載の非一時的なコンピュータ可読記憶媒体。
【請求項１６】
前記凸状のメッシュフリー近似法により、前記１セットの平滑化メッシュフリー形状関数がクロネッカー・デルタ特性を含むことが確保される、
請求項１４に記載の非一時的なコンピュータ可読記憶媒体。
【請求項１７】
前記二次導関数は、未知の一般化変位フィールドから直接に前記平滑化変位フィールドを解いた結果である、
請求項１４に記載の非一時的なコンピュータ可読記憶媒体。
【請求項１８】
前記規則的メッシュフリー形状関数と前記変位平滑化関数とは同一である、
請求項１４に記載の非一時的なコンピュータ可読記憶媒体。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、概してコンピュータ支援工学解析に関し、より詳細には固体力学において物理的挙動を数値的にシミュレートする平滑化粒子ガラーキン式（Smoothed Particle Galerkin Formulation）のシステムおよび方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
メッシュフリー法、すなわち粒子法には、従来の有限要素法や有限差分法に対し、固体応用や構造応用において大変形問題や移動不連続問題(moving discontinuity problem)をモデル化する上で多くの数値的利点がある。これらの方法は、固体解析や構造解析における体積ロッキングやせん断ロッキングの低減にも非常に有効であることが分かっている。メッシュフリー法における初期の進展はSmoothed Particle Hydrodynamics (SPH)法にあった。この方法では、偏微分方程式が積分方程式に変換され、そして核推定(kernel estimate)により、離散粒子におけるフィールド変数を推定するための近似が与えられる。関数が粒子においてのみ推定されるので、メッシュを用いる必要がない。流体状運動においてメッシュを用いずに激しい変形を処理することができるため、オイラーアプローチに歴史的に残されていた問題にＳＰＨ法を適用できる。しかしながら、固体解析および構造解析にＳＰＨ法を直接適用すると、数値的不足、つまり近似一貫性の不足、張力の不安定さ、材料履歴情報の拡散、スプリアスモード又はゼロエネルギーモード(spurious or zero-energy modes)の存在、および基本境界条件の実現の困難性という課題を生じる。
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００３】
SPH法や他のガラーキンに基づくメッシュフリー法におけるスプリアスモード又はゼロエネルギーモードの存在は、主に、ノード積分アプローチからの中心差分式に固有の弱形式(weak forms)の下位積分(under-integration)によるランク不安定性に起因する。ランク不安定性によるスプリアスゼロモード又は近特異モード(spurious zero or near-singular modes)を排除するために、メッシュフリーノード積分法がいくつか開発されている。しかしながら、従来技術のアプローチの多くは、特定の問題にだけ限られており、また背景メッシュの影響を受ける。
【０００４】
したがって、メッシュフリーアプローチ又は粒子アプローチを用いた固体力学における物理的挙動を数値的にシミュレートするシステムおよび方法の、上述の欠点を回避する改良が望まれよう。
【課題を解決するための手段】
【０００５】
平滑化粒子ガラーキン式を用いて固体力学において物理的挙動を数値的にシミュレートするための方法およびシステムを提供する。発明の一態様では、複数の粒子によって定義される物理的領域を表すメッシュフリーモデルが、コンピュータシステムに受け取られる。それぞれの粒子は、物理的領域の一部を占めており、その物理的領域の材料特性に応じて構成されている。所定の変位および圧力に対する、物理的領域の境界に沿った境界条件もまた定義される。定義された境界条件における物理的領域の平滑化変位フィールドが、平滑化粒子ガラーキン式に基づいたメッシュフリーモデルを用いて時間進行シミュレーションを行うことによって、取得される。平滑化変位フィールドは、線形多項式再生(linear polynomial reproduction)条件を満たす1セットの平滑化メッシュフリー形状関数から導出される。平滑化メッシュフリー形状関数は、凸状のメッシュフリー近似法(convex meshfree approximation scheme)によって構成され、二次導関数(second order derivatives)の計算を回避するよう構成されている。平滑化メッシュフリー形状関数は、複数の粒子に関する規則的メッシュフリー形状関数(regular meshfree shape function)と変位平滑化関数(displacement smoothing function)との組み合わせである。時間進行シミュレーションを効率的に行うために、それぞれの粒子に影響領域が割り当てられる。前記それぞれの粒子の影響領域の内側に位置する粒子のみが計算に考慮されるとともに、その外側に位置する粒子は無視される。
【０００６】
本発明の目的、特徴および利点は、添付した図面と併せて、以下の実施形態の詳細な説明を考察することによって明らかとなろう。
【０００７】
本発明のこれらおよび他の特徴、態様および利点は、以下の説明、添付の特許請求の範囲および添付した図面を考慮してより理解されよう。図面は次の通りである。
【図面の簡単な説明】
【０００８】
【図１】図１は、本発明の実施形態に係る、固体力学において平滑化粒子ガラーキン式を用いて、物理的領域の平滑化変位フィールドの数値的シミュレーションを行う例示的なプロセスを示すフローチャートである。
【図２】図２は、本発明の一実施形態に係る、粒子によって表される例示的な二次元領域を示す図である。
【図３】図３は、本発明の一実施形態よって計算される例示的な二次元領域の構造的挙動を例示する図である。
【図４】図４は、本発明の一実施形態に係る、平滑化粒子ガラーキン式において用いることができる例示的なメッシュフリー形状関数を示す図形表示である。
【図５】図５は、本発明の一実施形態に係る、異なるノード位置系(nodal position systems)間の関係を示す図である。
【図６】図６は、本発明の一実施形態に係る、異なる領域間の関係を示す図である。
【図７】図７は、本発明のある実施形態を実現可能である例示的なコンピュータシステムの主要な部品を示す機能図である。
【発明を実施するための形態】
【０００９】
まず図１を参照して、平滑化粒子ガラーキン式に基づいて物理的領域の数値的シミュレーション変位フィールドを取得する例示的なプロセス１００を示すフローチャートを説明する。プロセス１００は、好ましくはソフトウェアで実行され、他の図面により理解されよう。
【００１０】
プロセス１００は、ステップ１０２において、アプリケーションがインストールされたコンピュータシステム（例えば図７のコンピュータ７００）において、物理的領域を表すメッシュフリーモデルを受け取ることによってスタートする。アプリケーションモジュールは、平滑化粒子ガラーキン式に基づいて時間進行シミュレーションを実行するよう構成される。メッシュフリーモデルは多数の粒子を有し、それぞれの粒子は、物理的領域の材料特性の一部を表すよう構成されている。例示的なメッシュフリーモデル２００を図２に示す。
【００１１】
例示的な物理的領域Ω２０２と、対応する境界すなわち境界Γ２０３と、を示す。物理的領域２０２を表すために、複数の粒子２０４が用いられる。物理的領域２０２を表す粒子２０４には特定のパターンがない。粒子は、規則的に間隔をあけて配置されてもよく、また任意に配置されてもよい。これらの粒子は、物理的領域２０２の内部に配置されても、又は、物理的領域２０２の境界２０３上に配置されてもよい。それぞれの粒子２０４は、影響領域または支持（support）２０６，２０８を有する。以下では影響領域および支持を互いに置き換え可能に使用する。それぞれの粒子に関する支持のサイズおよび形状は任意である。一実施形態においては、支持の形状は四辺形２０６である。他の実施態様においては、支持の形状は円形２０８である。三次元の支持の場合には、その実施形態においては、支持の形状を球面とできる。さらに他の実施形態においては、粒子毎にサイズおよび形状は異なっていてもよい。同じモデルにおいて、ある粒子は１平方フィートの支持を有し、他の粒子は半径１６インチの円形の支持を有してもよい。さらに他の実施形態においては、支持は、規則的な幾何学的形状(regular geometric shape)をもたなくてもよい。支持を任意の形状とできる。本発明は、あらゆる種々の組み合わせをサポートすることができる。
【００１２】
さらに、メッシュフリーモデルにおいて物理的領域２０２の境界２０３に境界条件が定義される。
【００１３】
平面歪条件における弾性体の静的な構造的挙動は、以下のように導出される。物理的領域
2015092336.tif 000003
は、結合された多角形(bounded polygon)として平滑境界(smooth boundary)Γ＝∂Ωを用いて定義される。また、
2015092336.tif 000004
を変位とし、ディリクレ境界条件(Dirichlet boundary conditions)がΓDで適用され、ノイマン境界条件(Neumann boundary conditions)がΓNで規定されると更に仮定する。規定された体積力(body force)ｆ（Ｘ）∈Ｌ2（Ω）に対しては、支配平衡方程式(governing equilibrium equation)および境界条件を以下のように記述できる。
【００１４】
【数１】
2015092336.tif 000005
ここで、
2015092336.tif 000006
はΓDで規定される変位(prescribed displacement)であり、
2015092336.tif 000007
は規定された牽引力(prescribed traction)であり、
2015092336.tif 000008
は境界ΓNに垂直な外向き単位ベクトルであり、
2015092336.tif 000009
は発散演算子(divergence operator)を表している。
【００１５】
微小歪テンソル
2015092336.tif 000010
は以下の式によって定義される。
【００１６】
【数２】
2015092336.tif 000011
ここで、
2015092336.tif 000012
は勾配演算子（gradient operator）である。線形等方性弾性の場合には、コーシー(Cauchy)応力テンソル
2015092336.tif 000013
と歪テンソル
2015092336.tif 000014
とが以下の関係を有する。
【００１７】
【数３】
2015092336.tif 000015
ここで、
2015092336.tif 000016
は４次の弾性テンソル(fourth-order elasticity tensor)であり、
2015092336.tif 000017
は恒等テンソル(identity tensor)である。正の定数μ，λはラメの定数（Ｌａｍｅ  ｃｏｎｓｔａｎｔｓ）であり、ここで、μ∈［μ1，μ2］ 0<μ1＜μ2であり、かつλ∈（０，∞）である。ラメの定数は、以下の式によりヤング率Eおよびポアソン比νと関連付けられる。
【００１８】
【数４】
2015092336.tif 000018
【００１９】
再び図１を参照して、そして、ステップ１０６においては、定義された１セットの境界条件における物理的領域の数値的にシミュレートされた変位フィールドが、平滑化粒子ガラーキン式に基づいてメッシュフリーモデルを用いた時間進行シミュレーションを行うことによって取得される。平滑化変位フィールド（つまり式（１３）の
2015092336.tif 000019
）は、線形多項式再生条件を満たす1セットの平滑化メッシュフリー形状関数(つまり方程式（２６）の
2015092336.tif 000020
)から導出される。１セットの平滑化メッシュフリー形状関数は、凸状のメッシュフリー近似法によって構成され、二次導関数の計算を回避するよう構成されている。さらに、1セットの平滑化メッシュフリー形状関数は、メッシュフリーモデルで規定された複数の粒子に関する1セットの規則的メッシュフリー形状関数(つまり式（２６）の
2015092336.tif 000021
)と1セットの変位平滑化関数(つまり式（２６）の
2015092336.tif 000022
)との組み合わせを用いて生成される。
【００２０】
二次導関数（例えば式（２０）における第二項）の計算は、未知の一般化変位フィールド(unknown generalized displacement field)から直接に平滑化変位フィールドを解いた結果として回避される。
【００２１】
例示的な規則的メッシュフリー形状関数３００を図３にグラフィックで示す。一実施形態において、１セットの規則的メッシュフリー形状関数と１セットの変位平滑化関数は同一である。
【００２２】
物理的領域４０２の平滑化変位フィールドを更に例示するために、一例を図４に示す。物理的領域４０２は１セットの粒子４１２によって表される。当初の物理的領域４０２は伸長されて、変形した（伸長された）物理的領域４０４となる。しかしながら、下位積分(under integration)のために、したがってゼロエネルギーモードのために、粒子は均等ではない状態４１４で変形される。この均等ではない状態４１４は、(現実的でない数値誤差を含んでいる)未処理の変位フィールド(raw displacement field)である。一実施形態においては、代わりに平滑化変位フィールド４１６が取得される（現実的な）。
【００２３】
この問題の変化式は、変位
2015092336.tif 000023
を見つけるものであり、すべての
2015092336.tif 000024
に対して以下のように表される。
【００２４】
【数５】
2015092336.tif 000025
ここで空間
2015092336.tif 000026
はソーボレフ(Sobolev)空間
2015092336.tif 000027
における関数から構成され、トレース(traces)の意味で境界において消失し、以下の式で定義される。
【００２５】
【数６】
2015092336.tif 000028
【００２６】
ラックス-ミルグラムの定理(Lax-Milgram theorem)から、その問題には固有の解(unique solution)
2015092336.tif 000029
が存在する。さらに、
2015092336.tif 000030
(
2015092336.tif 000031
ここで
2015092336.tif 000032
ここで
2015092336.tif 000033
）として、多角形の境界(polygonal boundary)を有する凸状の領域における二次元の線形弾性に対して、以下の楕円規則性推定(elliptic regularity estimate)を提示する。
【００２７】
【数７】
2015092336.tif 000034
ここで
2015092336.tif 000035
は、標準的に定義されているm次のソーボレフ・ノルム(Sobolev norm of order m)である。式（７）における定数C1はλ，μには依存しない。
【００２８】
簡単化のために、以下の微分において斉次ディリクレ境界条件(homogenous Dirichlet boundary conditions)を仮定する。そして、
2015092336.tif 000036
を見つけるために式（５）の変化式(variational formulation)を用いる有限次元の部分空間
2015092336.tif 000037
において、標準的な(standard)メッシュフリー・ガラーキン法は以下のように表現される。
【００２９】
【数８】
2015092336.tif 000038
＜線形弾性に対する平滑化粒子ガラーキン式＞
【００３０】
直接的ノード積分法(direct nodal integration scheme)を用いる線形弾性問題の解析に対する平滑化粒子ガラーキン式の導出を以下に示す。インデックスセット
2015092336.tif 000039
によって示される粒子分布に対して、従来のメッシュフリー近似手法または凸近似(convex approximation)法のいずれかによって構成されるメッシュフリー近似を用いて変位フィールドを近似することによって、以下の式を得る。
【００３１】
【数９】
2015092336.tif 000040
ここで、NPは粒子の総数であり、
2015092336.tif 000041
は、変位フィールド
2015092336.tif 000042
に対するメッシュフリー近似の形状関数と見なすことができる。メッシュフリー形状関数を用いて、対応する有限次元の近似空間は、
2015092336.tif 000043
と定義することができる。一般に、
2015092336.tif 000044
は粒子変位でなく、多くの場合、メッシュフリー・ガラーキン法における粒子Iの「一般化」変位（“ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ”  ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ）と呼ばれている。式（９）を用いて、粒子Iの粒子変位を、以下の式によって表現することができる。
【００３２】
【数１０】
2015092336.tif 000045
ここで、
2015092336.tif 000046
は粒子Iのノード座標である。凸近似を用いてメッシュフリー形状関数
2015092336.tif 000047
が構成される場合、メッシュフリー形状関数は境界でクロネッカー・デルタ特性を有する。つまり、
2015092336.tif 000048
となる。
【００３３】
一実施形態では、一次凸近似は、逆タンジェント基底関数(inverse tangent basis function)およびキュービック・スプライン・ウインドゥ関数(cubic spline window function)を用いるGMF法によって構成される。ノード・セット
2015092336.tif 000049
の凸閉包(convex hull)Convex(ZI)は以下の式で与えられる。
【００３４】
【数１１】
2015092336.tif 000050
【００３５】
ＧＭＦ法は、式（９）の形における与えられた(平滑(smooth))関数
2015092336.tif 000051
の凸近似を構成するよう用いられ、これにより、形状関数
2015092336.tif 000052
が以下の線形多項式再生特性を満たす。
【００３６】
【数１２】
2015092336.tif 000053
【００３７】
また、メッシュフリー凸近似を用いて、変位フィールドの近似に対する
2015092336.tif 000054
適合部分空間
2015092336.tif 000055
を
2015092336.tif 000056
と定義できる。メッシュフリー近似および直接ノード積分法を用いる式（８）における弱形式の評価により、スプリアスモードすなわちゼロエネルギーモードとなる。これは、変動するフィールド変数(alternating field variable)が粒子においてはゼロ勾配となるように、フィールド変数およびそれらの導関数が同じ点において計算されるという事実の結果である。ノードにおいて一次導関数をほとんど消失させることにより、歪エネルギーを適切に反映しない離散的弱形式をもたらし、剛性行列へのその寄与は著しく、小さく推定(underestimated)される。直接ノード積分法によってもたらされるスプリアスモード又はゼロエネルギーモードの存在を排除するために、平滑化粒子ガラーキン法は、以下の式で定義される変位フィールドの平滑化を導入する。
【００３８】
【数１３】
2015092336.tif 000057
ここで、
2015092336.tif 000058
は微小体積ｄΩの位置を示す。式（１３）の離散的形式は以下のようになる。
【００３９】
【数１４】
2015092336.tif 000059
ここで
2015092336.tif 000060
は、粒子Iに対する変位平滑化関数である。変位平滑化関数
2015092336.tif 000061
もまた線形多項式再生条件を満たすと仮定される。言いかえれば、平滑化変位フィールド
2015092336.tif 000062
は斉次変位状態(homogeneous displacement states)では
2015092336.tif 000063
と等しい。
【００４０】
十分に平滑化された変位フィールド
2015092336.tif 000064
については、式（１３）における積分形式は、
2015092336.tif 000065
をテイラー級数へと展開することによって
2015092336.tif 000066
の勾配の項で表現され、以下の式が得られる。
【００４１】
【数１５】
2015092336.tif 000067
ここで、
2015092336.tif 000068
はｎ次の勾配演算子(nth order gradient operator)である。
【００４２】
式（１５）を式（１３）へと代入することにより、勾配の項において以下の平滑化変位フィールドが得られる。
【００４３】
【数１６】
2015092336.tif 000069
【００４４】
式（１６）におけるテイラー級数の２次の項の以降を切り捨て、変位平滑化関数
2015092336.tif 000070
の線形多項式再生条件を用いることにより、以下の式が導かれる。
【００４５】
【数１７】
2015092336.tif 000071
ここで、
2015092336.tif 000072
は位置依存係数を定義している。ノード積分において、
2015092336.tif 000073
、すなわち長さの自乗し、hは離散化の代表長さを示す。なお、凸近似を用いると、
2015092336.tif 000074
である。
【００４６】
対応する平滑化歪フィールドも、式（１７）を用いて近似することにより、以下の式のように得られる。
【００４７】
【数１８】
2015092336.tif 000075
【００４８】
式（１３）における平滑化変位フィールドから導出された平滑化歪を用いて、
2015092336.tif 000076
を見つけるために、変形弱形式(modified weak form)は、歪における、より高次の勾配項を無視することにより取得され、以下のように表される。
【００４９】
【数１９】
2015092336.tif 000077
ここで、
【００５０】
【数２０】
2015092336.tif 000078
【００５１】
【数２１】
2015092336.tif 000079
である。ここで、
2015092336.tif 000080
は、式（８）において定義された標準双線型形式(standard bilinear form)である。そして、以下の式
【００５２】
【数２２】
2015092336.tif 000081
は、安定化位置エネルギーの変化(variation of stabilized potential energy)に対応する安定化双線型形式(stabilized bilinear form)を定義する。変位の一次導関数を含んでいる安定化項もまた、粒子におけるゼロ勾配を考慮することにより、式（２０）において省略される。
【００５３】
標準的な等方性線形弾性(standard isotropic linear elastic)の場合には、コーンの不等式（Ｋｏｒｎ’ｓ  ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ）のうちの一つから直ちに、
2015092336.tif 000082
における双曲型形式
2015092336.tif 000083
のコアシビティ(coercivity)が導かれ、以下の式が得られる。
【００５４】
【数２３】
2015092336.tif 000084
ここで、
2015092336.tif 000085
はCの最小固有値である。
【００５５】
変位平滑化関数
2015092336.tif 000086
に対してコーシー-シュワルツ(Cauchy-Schwarz)の不等式および一次メッシュフリー補間特性を用いることによって、また
2015092336.tif 000087
を以下の式によって拘束することができる。
【００５６】
【数２４】
2015092336.tif 000088
ここで、
2015092336.tif 000089
はCの最大固有値である。第三不等式は、L2空間において定義されるノルム
2015092336.tif 000090
の歪成分に対して簡単な三角不等式を用いることによって、取得される。
【００５７】
式（２２）が変位の非ゼロ（ゼロでない）二次導関数を含んでいるので、安定化項として機能し、エレメント・フリー・ガラーキン法(Element-Free Galerkin method)におけるノード積分に対して最小自乗安定化法(least-square stabilization method)のように見える。直接ノード積分を用いる式（１９）の数値的評価により、対称的な剛性行列が得られる。最小自乗安定化法と比較して、式（２２）における安定化パラメータは、その値に追加的規定(additional prescription)を必要とせず、整合性をもって導出される。しかしながら、式（２２）の積分は二次導関数を含んでおり、多次元の問題における線形系の集約(assembly of linear systems)に対してはコストが大きい。
【００５８】
一実施形態では、形状関数に二次導関数を含めることなく、式（８）における平滑化変位フィールドを実現する他の方法を導入する。ここでは、式（１７）における勾配形式の代わりに、式（１３）における積分形式を用いる。式（１０）を式（１４）に代入することにより、粒子における離散的平滑化変位フィールドが以下の式から得られる。
【００５９】
【数２５】
2015092336.tif 000091
ここで、平滑化メッシュフリー形状関数
2015092336.tif 000092
は以下の式によって定義される。
【００６０】
【数２６】
2015092336.tif 000093
【００６１】
次に、各種のノード位置系の関係は、式（１０），（１４），（２５）によって定義することができ、図５に示される。
【００６２】
平滑化メッシュフリー形状関数が、以下の、1の分割(partition of unity)および線形の多項式再生特性が正しいことを証明するのは困難ではない。
【００６３】
【数２７】
2015092336.tif 000094
【００６４】
【数２８】
2015092336.tif 000095
【００６５】
【数２９】
2015092336.tif 000096
【００６６】
特に、メッシュフリー凸近似によって構成された平滑化メッシュフリー形状関数は、境界上でクロネッカー・デルタ特性を常に満たす。
【００６７】
【数３０】
2015092336.tif 000097
【００６８】
式（９）を用いて、変化式(variation equation)に対する許容試験関数(admissible test functions)が以下の式によって取得される。
【００６９】
【数３１】
2015092336.tif 000098
【００７０】
歪もまた以下の式によって近似することができる。
【００７１】
【数３２】
2015092336.tif 000099
ここで、
2015092336.tif 000100
は以下の式によって与えられる標準的勾配行列である。
【００７２】
【数３３】
2015092336.tif 000101
【００７３】
変位および歪の近似を式（８）に導入することによって、直接ノード積分を用いて、以下の離散的支配方程式(discrete governing equation)が積分される。
【００７４】
【数３４】
2015092336.tif 000102
【００７５】
【数３５】
2015092336.tif 000103
【００７６】
【数３６】
2015092336.tif 000104
ここで、
2015092336.tif 000105
は粒子Kの初期体積を示す。初期の粒子体積は、ボロノイ図（Voronoi diagram）の方法を用いて、又は、単に有限要素メッシュを用いて面積積分を行うことによって、取得することができる。凸近似において負でなくかつ正確な再生アフィン関数(non-negative and exactly reproducing affine functions)を用いることにより、全質量の保存および粒子体積が正であることが保証されることになる。式（３６）において、NBは境界ノードの数を示し、Lkは大域的(global)境界に沿った境界粒子に関連する長さである。
【００７７】
方法の概念を調査すると同時に計算効率を改善するために、簡単に
2015092336.tif 000106
と考える。式（１４）から、
【００７８】
【数３７】
2015092336.tif 000107
が得られる。あるいは行列形式においては、
【００７９】
【数３８】
2015092336.tif 000108
または
2015092336.tif 000109
となる。ここで、ベクトル
2015092336.tif 000110
は一般化ノード変位に対して問題未知数(problem unknowns)を含んでいる。
2015092336.tif 000111
は以下の式によって定義される変換行列(transformation matrix)である。
【００８０】
【数３９】
2015092336.tif 000112
【００８１】
式（３８）の変化式(variation form)を式（３４）に代入することにより、線形弾性解析のために解かれる以下の離散的な式が得られる。
【００８２】
【数４０】
2015092336.tif 000113
書き換えると、
【００８３】
【数４１】
2015092336.tif 000114
となる。
【００８４】
式（４０）および式（４１）は同一であるが、実行（Inprementation）の目的に応じて異なる形式で表現されている。式（４０）では、必要とされる記憶装置が少なく、疎な直接対称ソルバ(sparse direct symmetric solver)を利用できる対称な剛性行列となる。しかしながら、式（４１）によれば、式（２１）を用いる離散的ディリクレ境界条件を実施するのに便利な方法が得られ、したがって、実行の点からは式（４１）の方が式（４０）より好ましい。
＜非弾性材料に対する大変形準静的解析＞
【００８５】
先の節において示した平滑化メッシュフリー・ガラーキン式を塑性の非線形解析に拡張する。速度構成式(rate constitutive equations)および空間的座標に関する導関数から見て、以下の導出において、更新されたラグランジアン式の点から運動方程式の変分式を用いることが有用である。
【００８６】
準静的問題(quasi-static problem)において、現在の構成
2015092336.tif 000115
に関して更新されたラグランジアン式の変化式は、インデックス形式（index form）で以下の式で表される。
【００８７】
【数４２】
2015092336.tif 000116
ここで、σijは現在の構成において定義されたコーシー応力である。
2015092336.tif 000117
により、空間的座標
2015092336.tif 000118
を基準座標
2015092336.tif 000119
に関連づける。
【００８８】
式（４２）を線形化することにより、以下の反復式（iterative equation）が得られる。
【００８９】
【数４３】
2015092336.tif 000120
ここで、
【００９０】
【数４４】
2015092336.tif 000121
【００９１】
【数４５】
2015092336.tif 000122
【００９２】
【数４６】
2015092336.tif 000123
である。
【００９３】
2015092336.tif 000124
は微小塑性に対する材料接線応答テンソル(material tangent response tensor)である。
2015092336.tif 000125
は微小塑性に対するアルゴリズム的接線応答テンソル(algorithmic tangent response tensor)である。式（３１）における離散的メッシュフリー近似およびその変化式(variation)を式（４３）に代入することにより、以下の式で表される離散的反復式が得られる。
【００９４】
【数４７】
2015092336.tif 000126
【００９５】
表示
2015092336.tif 000127
は、(n+1)番目の時間増分ステップ（時間インクリメンタルステップ）の際に
2015092336.tif 000128
番目の反復において計算される関数を表す。式（３８）を用いることにより、離散的反復式を、線形解析(linear analysis)の場合のように平滑化ノード位置系において記述でき、以下の式が得られる。
【００９６】
【数４８】
2015092336.tif 000129
書き換えると、
【００９７】
【数４９】
2015092336.tif 000130
となる。
【００９８】
離散的ディリクレ境界条件の実施は線形解析と同じに処理される。更新されたラグランジアン式のコンテキストにおいて、空間的座標で構成されたメッシュフリー形状関数およびその導関数、つまり
2015092336.tif 000131
および
2015092336.tif 000132
は、更新されたラグランジアン式に対する自然な選択である。一方、この選択の一つの主な欠点に、オイラー核(Eulerian kernel)の採用に関連するＳＰＨ法における引張不安定と類似した安定性の不足がある。この数値的問題を解決するために、メッシュフリー形状関数が材料座標に参照される。空間的座標
2015092336.tif 000133
および材料座標
2015092336.tif 000134
がラグランジアン記述において互いに一対一写像(one-to-one mapping)であるので、空間的座標に関する材料メッシュフリー形状関数の微分(derivatives)を連鎖法則(chain rule)によって実行することができ、これにより、以下の式が得られる。
【００９９】
【数５０】
2015092336.tif 000135
【０１００】
したがって、式（４３）における体積積分を参照構成ΩXにおいて以下の式によって実行することができる。
【０１０１】
【数５１】
2015092336.tif 000136
ここで、
2015092336.tif 000137
であり、
2015092336.tif 000138
は変形勾配(deformation gradient)である。
【０１０２】
式（４３）における直接ノード積分を用いることにより、剛性行列
2015092336.tif 000139
および剰余(the residual)
2015092336.tif 000140
を以下の式によって表現できる。
【０１０３】
【数５２】
2015092336.tif 000141
【０１０４】
【数５３】
2015092336.tif 000142
ここで、
【０１０５】
【数５４】
2015092336.tif 000143
【０１０６】
【数５５】
2015092336.tif 000144
【０１０７】
【数５６】
2015092336.tif 000145
【０１０８】
【数５７】
2015092336.tif 000146
＜激しい非弾塑性変形の解析のための、動的陽解式および適応型ラグランジアン核アプローチ（adaptive Lagrangian kernel approach）＞
【０１０９】
有限要素法における固定メッシュに基づく厳密なすなわち純粋なラグランジアン・アプローチでは、激しくかつ拘束されていない材料の流れにおいてメッシュの歪問題に対処する場合に困難が生じることが知られている。ラグランジアン核を用いる、本願の平滑化粒子ガラーキン法は、有限要素法において見られるメッシュのもつれ(entanglement)を低減するのに役立つが、メッシュフリー法の範囲を、ラグランジアン記述を越える激しい変形問題へと拡張するのを阻害している、つまり、離散化変形写像(discretized deformation mapping)は単射(injective)とならなくなる。
【０１１０】
【数５８】
2015092336.tif 000147
【０１１１】
ラグランジアン計算においてヤコビアンが負となると、準静的解析において大域的な(global)剛性行列の調整が悪化し、粒子ロックアップや解の発散(solution divergence)が生じる。この数値的困難を避ける一つの方法は、衝突シミュレーション、貫通シミュレーションおよび土木シミュレーションに対する再生核粒子法(Reproducing Kernel Particle method)において用いられているセミ・ラグランジアン核を検討することである。ヤコビ行列式が正でない問題を回避する他の方法は、有限要素法における結合rh-適応再メッシュ化または大域的再メッシュ化技術(combined rh-adaptive remeshing or global remeshing techniques)と同様な適応手順(adaptive procedure)を採用することである。適応再メッシュ化方法は、ノード密度を精密化するとともに正確な自由面(free surfaces)を生成して、固体応用においてシミュレーションをより良好とすることができるが、激しく変形する構成において高品質メッシュを生成することは難題である。さらに、メッシュに基づく適応解法(mesh-based adaptive solution)では、新旧の空間的離散化間(between the old and new spatial discretization)で解変数(solution variables)を転送する写像手続(mapping procedure)が必要となる。この写像手続により、誤差が生じ、過大な計算時間を費やすことになる。
【０１１２】
準静的式(quasi-static formulation)から動的陽解式（explicit dynamic formulation）に切り換える分析法は、陰解析(implicit analysis)に含まれる収束問題を回避すると考えられる。同様の考えは、固体力学の応用(solid mechanic applications)における大変形解析に対する有限要素業務用コード(finite element commercial code)において広く用いられている。さらに、適応型ラグランジアン核アプローチが、純粋なラグランジアン・アプローチにおいて正でないヤコビ行列式と関連する数値的困難を克服するために用いられる。動的陽解法に対して適応型ラグランジアン核アプローチを用いる他の利点は、クーラン・フリードリックス・レヴィ(Courant-Friedrichs-Lewy(CFL)）安定条件に応じた、激しい変形における劣化のない限界時間ステップ(non-deteriorated critical time step)である。
【０１１３】
平滑化粒子ガラーキン式の動的陽解法バージョンは、慣性の効果を考慮し、先の準静的導出を用いることにより、容易に取得することができ、以下の式が得られる。
【０１１４】
【数５９】
2015092336.tif 000148
書き換えると、
【０１１５】
【数６０】
2015092336.tif 000149
となる。ここで、
2015092336.tif 000150
および
2015092336.tif 000151
は、平滑化ノード位置系および一般化ノード位置系において推定される粒子加速度のベクトルをそれぞれ含んでいる。
【０１１６】
Mは以下の式で与えられる整合質量行列(consistent mass matrix)である。
【０１１７】
【数６１】
2015092336.tif 000152
ここで
2015092336.tif 000153
は初期の密度である。
【０１１８】
動的陽解析（explicit dynamic analysis）において基本的な境界条件の実施に対して、式（５９）が式（６０）よりも都合がよいので、本発明の実施形態において実行される。式（５９）はまた以下のように書き直すことができる。
【０１１９】
【数６２】
2015092336.tif 000154
ここで、
2015092336.tif 000155
は平滑化整合質量行列(smoothed consist mass matrix)を定義している。
【０１２０】
動的陽解析においては、通常、それぞれの時間ステップにおいて逆行列(matrix inversion)を含めることなく一度だけ計算されるロウ・サム質量行列（row-sum mass matrix）が考えられる。次に、平滑化整合質量行列は、ロウ・サム質量行列
2015092336.tif 000156
で置換され、以下の式が得られる。
【０１２１】
【数６３】
2015092336.tif 000157
【０１２２】
ラグランジアン・シミュレーションが開始されると、ラグランジアン計算においてヤコビ行列式が負となるのを回避するために、適応型ラグランジアン核法が頻繁に実行される。それぞれの適応型ステップにおいて、背景セルを用いることなく、粒子において材料の量が計算される。適応型ラグランジアン核アプローチが再メッシュ化を含んでおらず、粒子演算がノードに関して評価されるので、すべての粒子における材料の量はラグランジアン設定において維持され、したがって、再写像手順(remap procedures)を必要としない。適応型時間ステップの前および後の変数に、「−」および「＋」の上付き記号をそれぞれ付して示すと、（ｋ＋１）番目の適応型時間ステップの直前の空間的座標に関する材料メッシュフリー形状関数の導関数は、以下の式で表される。
【０１２３】
【数６４】
2015092336.tif 000158
ここで、
2015092336.tif 000159
は、ｋ番目の適応型時間ステップからインクリメントした変形勾配の逆関数(the inverse of incremental deformation gradient)を定義している。（ｋ＋１）番目の適応型時間ステップにおいて、材料メッシュフリー形状関数の新しい導関数は以下のようになる。
【０１２４】
【数６５】
2015092336.tif 000160
【０１２５】
再写像手順が適応型ラグランジアン核法においては考慮されていないので、粒子の質量は動的陽解析の際と同じと考えられる。内力の計算に必要な現在の粒子体積は、以下の式
【０１２６】
【数６６】
2015092336.tif 000161
【０１２７】
【数６７】
2015092336.tif 000162
で与えられる連続の方程式に基づいて更新される。
【０１２８】
本発明の一実施形態では、核の初期の支持サイズは、一定の時間間隔で周期的に得られる各適応型ステップにおいて、同じままである。図6は、１の適応型ステップにおけるラグランジアン核の展開（evolution)を示す。
【０１２９】
式（５９）または（６０）における適応型核法(adaptive kernel scheme)および動的陽解式の実行では、メッシュフリー近似の再構成を頻繁に取得する。メッシュフリー凸近似の構成が、拘束された最小化問題(constrained minimization problem)の反復的解法(iterative solution)を解くことを含んでいるので、動的陽解析において適応性(adaptivity)の頻繁な実行は、計算コストが高くなることから実用的ではない。このため、メッシュフリー非凸近似のみが、動的陽解析における適応型ラグランジアン核法の使用のために検討される。
【０１３０】
一の態様において、本発明は、ここに説明した機能を実行可能な１つ以上のコンピュータシステムに対してなされたものである。コンピュータシステム７００の一例を、図７に示す。コンピュータシステム７００は、プロセッサ７０４のような１つ以上のプロセッサを有する。プロセッサ７０４は、コンピュータシステム内部通信用のバス７０２に接続されている。種々のソフトウェアの実施形態を、この例示的なコンピュータシステムに関して説明する。この説明を見れば、関連する技術分野に習熟している者には、いかにして他のコンピュータシステムおよび／またはコンピューターアーキテクチャーを用いて、本発明を実行するかが、明らかになるであろう。
【０１３１】
コンピュータシステム７００は、また、メインメモリ７０８好ましくはランダムアクセスメモリ（ＲＡＭ））を有しており、そして二次メモリ７１０を有することもできる。二次メモリ７１０は、例えば、１つ以上のハードディスクドライブ７１２、および／または、フロッピーディスクドライブ、磁気テープドライブ、光ディスクドライブなどを表わす１つ以上のリムーバブルストレージドライブ７１４を有することができる。リムーバブルストレージドライブ７１４は、よく知られている方法で、リムーバブルストレージユニット７１８を読み取り、および／または、リムーバブルストレージユニット７１８に書き込む。リムーバブルストレージユニット７１８は、リムーバブルストレージドライブ７１４によって読み取り・書き込みされるフロッピーディスク、磁気テープ、光ディスクなどを表わす。以下でわかるように、リムーバブルストレージユニット７１８は、コンピューターソフトウェアおよび／またはデータを内部に記憶されたコンピュータ可読媒体を含む。
【０１３２】
代替的な実施形態において、二次メモリ７１０は、コンピュータプログラムあるいは他の命令をコンピュータシステム７００にロードすることを可能にする他の同様な手段を有することもできる。そのような手段は、例えば、リムーバブルストレージユニット７２２とインタフェース７２０とを有することができる。そのようなものの例には、プログラムカートリッジおよびカートリッジのインタフェース（ビデオゲーム機に見られるようなものなど）と、リムーバブルメモリチップ（ＥＰＲＯＭ(Erasable Programmable Read-Only Memory）、ＵＳＢ（Universal Serial Bus）、フラッシュメモリ、あるいはＰＲＯＭなど）および関連するソケットや、リムーバブルストレージユニット７２２からコンピュータシステム７００にソフトウェアおよびデータを転送することを可能にする他のリムーバブルストレージユニット７２２およびインタフェース７２０が含まれうる。一般に、コンピュータシステム７００は、プロセススケジューリング、メモリ管理、ネットワーキングおよびＩ／Ｏサービスなどのタスクを行なうオペレーティングシステム（ＯＳ）ソフトウェアによって、制御され連係される。
【０１３３】
通信インタフェース７２４も、バス７０２に接続できる。通信インタフェース７２４は、コンピュータシステム７００と外部装置との間で、ソフトウェアおよびデータを転送することを可能にする。通信インタフェース７２４の例には、モデム、ネットワークインタフェイス（イーサネット（登録商標）・カードなど）、コミュニケーションポート、ＰＣＭＣＩＡ(Personal Computer Memory Card International Association)スロットおよびカードなど、が含まれうる。
【０１３４】
コンピュータ７００は、専用のセットの規則（つまりプロトコル）に基づいて、データネットワーク上の他の演算装置と通信する。一般的なプロトコルのうちの１つは、インターネットにおいて一般に用いられているＴＣＰ／ＩＰ（伝送コントロール・プロトコル／インターネット・プロトコル）である。一般に、通信インタフェース７２４は、データファイルをデータネットワーク上で伝達される小さいパケットへのアセンブリングを管理し、あるいは受信したパケットを元のデータファイルへとリアセンブルする。さらに、通信インタフェース７２４は、正しい宛先に届くようそれぞれのパケットのアドレス部を処理し、あるいはコンピュータ７００が宛先となっているパケットをインターセプトする。
【０１３５】
本明細書において、「コンピュータが記録可能な記憶媒体」、「コンピュータが記録可能な媒体」および「コンピュータ可読媒体」という語は、概ね、リムーバブルストレージドライブ７１４および／またはハードディスクドライブ７１２に組み込まれたハードディスクなどの媒体の意味で用いられている。これらのコンピュータプログラム製品は、コンピュータシステム７００にソフトウェアを提供する手段である。本発明は、このようなコンピュータプログラム製品に対してなされたものである。
【０１３６】
コンピュータシステム７００は、また、コンピュータシステム７００をモニタ、キーボード、マウス、プリンタ、スキャナ、プロッタなどにアクセスさせる入出力（Ｉ／Ｏ）インタフェース７３０を有してもよい。
【０１３７】
コンピュータプログラム（コンピュータ制御ロジックともいう）は、メインメモリ７０８および／または二次メモリ７１０にアプリケーションモジュール７０６として記憶される。コンピュータプログラムは、通信インタフェース７２４を介して受け取られてもよい。このようなコンピュータプログラムが実行された時、コンピュータプログラムによって、コンピュータシステム７００がここに説明した本発明の特徴を実行することが可能になる。詳細には、コンピュータプログラムが実行された時、コンピュータプログラムによって、プロセッサ７０４が本発明の特徴を実行することが可能になる。したがって、このようなコンピュータプログラムは、コンピュータシステム７００のコントローラを表わしている。
【０１３８】
ソフトウェアを用いて発明が実行される実施形態において、ソフトウェアをコンピュータプログラム製品に記憶でき、リムーバブルストレージドライブ７１４、ハードディスクドライブ７１２あるいは通信インタフェース７２４を用いてコンピュータシステム７００へとロードすることができる。アプリケーションモジュール７０６は、プロセッサ７０４によって実行された時、プロセッサ７０４に、ここに説明される本発明の機能を実行させる。
【０１３９】
所望のタスクを達成するために、Ｉ／Ｏインタフェース７３０を介したユーザ入力によって、あるいは、ユーザ入力によることなしに、１つ以上のプロセッサ７０４によって実行することができる１つ以上のアプリケーションモジュール７０６を、メインメモリ７０８にロードすることもできる。動作中、少なくとも１つのプロセッサ７０４がアプリケーションモジュール７０６のうちの１つを実行すると、結果が演算されて二次メモリ７１０（つまりハードディスクドライブ７１２）に記憶される。時間進行シミュレーションの状況（例えばシミュレートされた変位フィールドなど）が、テキスト表現あるいはグラフィック表現で、Ｉ／Ｏインタフェース７３０を介してユーザに報告される。
【０１４０】
本発明を、具体的な実施形態を参照しながら説明したが、これらの実施形態は単なる例示であって、本発明を限定するものではない。具体的に開示された例示的な実施形態に対する種々の変更あるいは変形を、当業者は思いつくであろう。例えば、説明の簡単化のため、二次元領域を例示し説明したが、本発明を三次元領域に適用しても、同じことが達成できる。つまり、本発明の範囲は、ここで開示した具体的で例示的な実施形態に限定されず、当業者が容易に想到するあらゆる変更が、本願の精神および範囲そして添付の特許請求の範囲の権利範囲に含まれる。
【符号の説明】
【０１４１】
２００  メッシュフリーモデル
２０２  物理的領域
２０３  境界
２０４  粒子
２０６，２０８  影響領域（支持）
３００  規則的メッシュフリー形状関数
４０２  物理的領域
４０４  変形した（伸長された）物理的領域
４１２  １セットの粒子
４１４  均等ではない状態
４１６  平滑化変位フィールド
７００  コンピュータシステム
７０２  バス
７０４  プロセッサ
７０６  モジュール
７０８  メインメモリ（ＲＡＭ）
７１０  二次メモリ
７１２  ハードディスクドライブ
７１４  リムーバブルストレージドライブ
７１８  リムーバブルストレージユニット
７２０  インタフェース
７２２  リムーバブルストレージユニット
７２４  通信インタフェース
７３０  Ｉ／Ｏインタフェース
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図７】
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【図６】
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【外国語明細書】
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