(57)【要約】【課題】不確かさの影響を受け難く、ロバスト性の高いスライディングモード制御方法及びスライディングモード制御装置を提供する。【解決手段】制御対象物の状態を示す状態量を相平面上で表される切換面に拘束された状態で、制御対象物の目標値に対応する相平面上の平衡点に、状態量を収束させることで、制御対象物を制御するスライディングモード制御による制御方法において、切換面を生成し、状態量及び目標値からスライディングモード制御の等価制御入力を演算するステップと、状態量及び目標値からスライディングモード制御の切換制御入力を演算するステップと、等価制御入力と切換制御入力とを加算した値を制御対象物への制御入力として演算するステップとを含み、相平面は、状態量及び状態量の１階微分値をそれぞれ軸とした平面であり、切換面は、状態量の初期状態を示す点Ｐ及び平衡点を示す原点を通り、かつ、点Ｐで接線をもった２次曲線の軌跡で表される。【選択図】  図１
2015195009.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
制御対象物の状態を示す状態量を相平面上で表される切換面に拘束された状態で、前記制御対象物の目標値に対応する前記相平面上の平衡点に、前記状態量を収束させることで、前記制御対象物を制御するスライディングモード制御による制御方法において、
前記切換面を生成するステップと、
前記状態量及び前記目標値から前記スライディングモード制御の等価制御入力を演算するステップと、
前記状態量及び前記目標値から前記スライディングモード制御の切換制御入力を演算するステップと、
前記等価制御入力と前記切換制御入力とを加算した値を前記制御対象物への制御入力として演算するステップとを含み、
前記相平面は、前記状態量及び前記状態量の１階微分値をそれぞれ軸とした平面であり、
前記切換面は、前記状態量の初期状態を示す点Ｐ及び前記平衡点を示す原点を通り、かつ、前記点Ｐで接線をもった２次曲線の軌跡で表される
ことを特徴とするスライディングモード制御方法。
ただし、前記点Ｐは前記状態量と前記状態量の１階微分値で表され、前記接線の傾きは前記状態量の２階微分値を前記状態量の１階微分値で除算した値とする。
【請求項２】
請求項１記載のスライディングモード制御方法において、
前記２次曲線は、躍度最小化軌道を近似させた楕円関数で表される
ことを特徴とするスライディングモード制御方法。
【請求項３】
請求項１又は２記載のスライディングモード制御方法において、
前記状態量が前記平衡点を含む所定の領域内にあるか否かを判定し、その判定結果に基づいて、第１切換面と第２切換面のいずれか一方に切り換えるステップを含み、
前記切換面は前記第１切換面及び前記第２切換面を含み、
前記第１切換面は、前記２次曲線で表され、
前記第２切換面は、前記平衡点を通り前記第１切換面とは異なる関数で表され、かつ、前記所定の領域内で前記状態量を前記平衡点に収束させる切換面である
ことを特徴とするスライディングモード制御方法。
【請求項４】
請求項３に記載のスライディングモード制御方法において、
前記第２切換面は前記平衡点を通る１次関数で表され、
前記１次関数の傾きは、前記状態量と前記平衡点との距離、又は、前記状態量が前記平衡点に収束する収束時間に応じて調整される
ことを特徴とするスライディングモード制御方法。
【請求項５】
請求項１〜４のいずれか一項に記載のスライディング制御方法において、
前記１階微分値及び前記２階微分値は、前記状態量から推定された高次微分項の推定値である
ことを特徴とするスライディングモード制御手法。
【請求項６】
請求項１〜５のいずれか一項に記載のスライディングモード制御方法において、
前記２次曲線は、レムニスケート及び楕円のうちいずれか一方の曲線である
ことを特徴とするスライディングモード制御方法。
【請求項７】
請求項１〜５のいずれか一項に記載のスライディングモード制御方法において、
前記切換面に含まれる第３切換面、第４切換面及び第５切換面の中から、前記スライディングモード制御に用いる切換面を選択するステップを含み、
前記第３切換面は、前記２次曲線を楕円の曲線とした軌跡で表され、
前記第４切換面は、前記２次曲線をレムニスケートとした軌跡で表され、
前記第５切換面は、前記平衡点を通る１次関数で表される
ことを特徴とするスライディングモード制御方法。
【請求項８】
請求項７記載のスライディングモード制御方法において、
前記切換面を選択するステップは、
前記スライディングモード制御により制御対象物を制御する際に消費されるエネルギーが最も小さくなるように、ノミナルプラントの動特性に応じて、前記第３切換面、前記第４切換面及び前記第５切換面の中から選択し、
前記ノミナルプラントは、前記制御対象物の物理モデルの代表モデルである
ことを特徴とするスライディングモード制御方法。
【請求項９】
請求項７記載のスライディングモード制御方法において、
前記切換面を選択するステップは、
前記スライディングモード制御における切換制御ゲインが最も小さくなるように、ノミナルプラントの動特性に応じて、前記第３切換面、前記第４切換面及び前記第５切換面の中から選択し、
前記ノミナルプラントは、前記制御対象物の物理モデルの代表モデルである
ことを特徴とするスライディングモード制御方法。
【請求項１０】
請求項７記載のスライディングモード制御方法において、
前記切換面を選択するステップは、
前記状態量が前記平衡点に収束するまでの時間が最も短くなるように、ノミナルプラントの動特性に応じて、前記第３切換面、前記第４切換面及び前記第５切換面の中から選択し、
前記ノミナルプラントは、前記制御対象物の物理モデルの代表モデルである
ことを特徴とするスライディングモード制御方法。
【請求項１１】
請求項７記載のスライディングモード制御方法において、
前記切換面を選択するステップは、
エネルギー消費量、前記スライディングモード制御における切換制御ゲイン、及び前記収束時間が最適化するように、ノミナルプラントの動特性に応じて、前記第３切換面、前記第４切換面及び前記第５切換面の中から選択し、
前記エネルギー消費量は、前記スライディングモード制御により制御対象物を制御する際に消費されるエネルギー量であり、
前記切換制御ゲインは
前記収束時間は前記状態量が前記平衡点に収束するまでの時間であり、
前記ノミナルプラントは、前記制御対象物の物理モデルの代表モデルである
ことを特徴とするスライディングモード制御方法。
【請求項１２】
制御対象物の状態を示す状態量を相平面上で表される切換面に拘束された状態で、前記制御対象物の目標値に対応する前記相平面上の平衡点に、前記状態量を収束させることで、前記制御対象物を制御するスライディングモード制御の制御装置において、
前記切換面を生成する生成器と、
前記状態量及び前記目標値から前記スライディングモード制御の等価制御入力を演算する演算器と、
前記状態量及び前記目標値から前記スライディングモード制御の切換制御入力を演算する演算器と、
前記等価制御入力と前記切換制御入力とを加算した値を前記制御対象物への制御入力として演算する演算器とを有し、
前記相平面は、前記状態量及び前記状態量の１階微分値それぞれ軸とした平面で表され、
前記切換面は、前記状態量の初期状態示す点Ｐ及び前記平衡点を示す原点を通り、かつ、前記点Ｐで接線をもった２次曲線の軌跡で表される
ことを特徴とするスライディングモード制御装置。
ただし、前記点Ｐは前記状態量と前記状態量の１階微分値で表され、前記接線の傾きは前記状態量の２階微分値を前記状態量の１階微分値で除算した値とする。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、スライディングモード制御方法及びスライディングモード制御装置に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
制御対象物の制御すべき複数の状態量を変数とする線形関数によりスライディングモード制御用の超平面を設定し、状態量を超平面上に収束させ、さらに、状態量を超平面上に拘束しつつ超平面上の平衡点に状態量を収束せしめることにより目標状態量に制御するスライディングモード制御方法において、制御対象の状態量をｘ１、ｘ２とした場合に、これらの状態量を変数とする線形関数（σ＝ｓ１ｘ１＋ｓ２ｘ２）を、超平面上への収束状況を表す関数として用いて、σ＝０により表される超平面Ｈを予め設計する。そして、状態量ｘ１、ｘ２がσ≠０となっている場合に、所謂到達則に従って、状態量をハイゲイン制御によって超平面Ｈ（σ＝０）上に高速で収束させ（モード１）、さらに所謂等価制御入力によって、状態量ｘ１、ｘ２を超平面上に拘束しつつ超平面上の平衡点（収束点、ｘ１＝ｘ２＝０の点）に収束させる（モード２）ものが開示されている（特許文献１）。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００３】
【特許文献１】特開平９−２７４５０４号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００４】
しかしながら、状態量ｘ１、ｘ２がσ≠０となっている状態から超平面Ｈ（σ＝０）に収束するモード１は外乱やモデル化誤差等の影響を受けやすいため、モード１を含んだ上記のスライディングモード制御方法では、不確かさの影響によりロバスト性が低くなるという問題があった。
【０００５】
本発明が解決しようとする課題は、不確かさの影響を受け難く、ロバスト性の高いスライディングモード制御方法及びスライディングモード制御装置を提供することである。
【課題を解決するための手段】
【０００６】
本発明は、制御対象物の状態を示す状態量を相平面上で表される切換面に拘束された状態で、制御対象物の目標値に対応する相平面上の平衡点に、状態量を収束させることで、制御対象物を制御するスライディングモード制御において、状態量及び状態量の１階微分値をそれぞれ軸とする平面を相平面とし、状態量の初期状態を示す点Ｐ及び平衡点を示す原点を通り、かつ、点Ｐで接線をもった２次曲線の軌跡により切換面を表すことによって上記課題を解決する。
【発明の効果】
【０００７】
本発明は、状態量の初期状態から平衡点で示される平衡状態に至るまでの過程で、切換面の軌跡上で状態量を拘束しつつ平衡点まで収束できるスライディングモードを確立しているため、外乱やモデル化誤差等の影響を受けにくくなり、その結果として、不確かさの影響を受け難く、ロバスト性の高いスライディングモード制御方法及びスライディングモード制御装置を提供することができる。
【図面の簡単な説明】
【０００８】
【図１】本発明の実施形態に係るスライディングモード制御装置のブロック図である。
【図２ａ】切換面の楕円軌道を示した相平面の座標である。
【図２ｂ】（ａ）状態量（位置）の時間的推移を示すグラフ、（ｂ）状態量の１階微分の時間的推移を示すグラフ、（ｃ）状態量の２階微分の時間的推移を示すグラフ、（ｄ）状態量の３階微分の時間的な推移を示すグラフである。
【図３】楕円軌道を説明するための座標である。
【図４】第１切換面におけるスライディングモード制御と、第２切換面におけるスライディングモード制御を相平面上で示した概念図である。
【図５】図１のスライディングモード制御装置の制御フローを示すフローチャートである。
【図６】従来の制御手法において、状態量が平衡点に収束する際の状態を示した概念図である。
【図７】プラントの状態量に関するシミュレーション結果を示すグラフであって、（ａ）は状態量（ｘ）の時間的推移を示し、（ｂ）は状態量の１階微分（ｘ＿ｉ）の時間的推移を示し、（ｃ）は制御入力（ｕ）の時間的推移を示している。
【図８】プラントの誤差状態量に関するシミュレーション結果を示すグラフであって、（ａ）は誤差状態量（ｅ）の時間的推移を示し、（ｂ）は誤差状態量の１階微分（ｅ＿ｉ）の時間的推移を示し、（ｃ）は制御入力（ｕ）の時間的推移を示している。
【図９】誤差状態量が平衡点に収束するまでの誤差状態量の実際の軌跡を、相平面で表した座標である。
【図１０】本発明に係る舵角制御システムのブロック図である。
【図１１】舵角の目標指令値の時間的推移、本発明の舵角の時間的推移、比較例１の舵角の時間的推移、及び比較例２の舵角の時間的推移をそれぞれ示したグラフである。
【図１２】本発明の他の実施形態に係るスライディングモード制御装置のブロック図である。
【図１３】切換面のレムニスケート曲線を示した相平面の座標である。
【図１４】トーラス体を示したグラフである。
【図１５】レムニスケート、楕円、及び線形切換え面を用いたスライディングモード制御における、切替えゲインの特性を示すグラフである。
【図１６】レムニスケート、楕円、及び線形切換え面を用いたスライディングモード制御における、エネルギー消費量の特性を示すグラフである。
【図１７】レムニスケート曲線、楕円、線形と、減衰係数毎の状態量の軌跡を示した相平面の座標である。
【図１８】減衰係数、特徴（切換えゲイン、エネルギー消費量、及び即応性）、及び切換面の対応関係を示すグラフである。
【図１９】本発明の他の実施形態に係るスライディングモード制御装置の制御フローを示すフローチャートである。
【図２０】本発明の他の実施形態において、第１切換面におけるスライディングモード制御と、第２切換面におけるスライディングモード制御を相平面上で示した概念図である。
【発明を実施するための形態】
【０００９】
以下、本発明の実施形態を図面に基づいて説明する。
【００１０】
図１は、本発明の実施形態に係るスライディングモード制御装置のブロック図である。本例のスライディングモード制御装置及び制御方法は、例えば車両の自動駐車における舵角制御等を行う際に適用される。
【００１１】
図１に示すように、スライディングモード制御装置は、プラントモデル１１とプラントノミナルモデル１２と、スライディングモードコントローラ（ＳＭＣ）２０とを備えている。
【００１２】
プラント１１は、実際の制御対象物である。プラントモデル１１は、ＳＭＣ２０の制御入力（ｕ）に対して出力値（ｙ）を出力する。プラントノミナルモデル１２は、制御対象である物理モデルの理想型モデルである。プラントノミナルモデル１２は、入力される目標値（ｒ）に対して、制御対象物の理想出力値を出力する。
【００１３】
ＳＭＣ２０は、プラントモデル１１で表されている制御対象物をスライディングモード制御により制御するためのコントローラである。スライディングモード制御は、制御対象物の状態を示す状態量が超平面上の切換面で拘束された状態（スライディングモード）において、状態量を制御対象物の目標値に収束させる制御モードであって、外乱、パラメータ変動、モデル化誤差などの不確かさの影響を受けにくく、ロバスト性が高い非線形制御手法である。スライディング制御モードは、等価制御入力と呼ばれる線形状態フィードバック項（ｕＬ）を演算し、切換制御入力と呼ばれる非線形フィードバック項（ＵＮＬ）を演算し、これらのフィードバック項（ｕＬ、ＵＮＬ）の加算値を制御対象物への制御入力として演算している。
【００１４】
ＳＭＣ２０は、ＣＰＵ、ＲＡＭ等を備えつつ、スライディングモード制御を実行するための機能ブロックとして、図１に示すように、減算器２１と、誤差観測推定部２２と、制御領域判定部２３と、切換面生成部２４と、等価制御入力演算部２５と、切換制御入力演算部２６と、加算器２７とを有している。
【００１５】
減算器２１は、プラントノミナルモデル１２の理想出力値（目標値に相当する）からプラントモデル１１の状態量（実出力値）を減算することで、誤差（ｅ）を演算する。誤差（ｅ）は、目標値と実際の出力値との誤差であり、誤差状態量とも称される。減算器２１には、プラントモデル１１の実際の出力値がフィードバックして入力される。
【００１６】
誤差観測推定部２２は、カルマンフィルタなどを用いた演算処理により、誤差（ｅ）から誤差の速度（１次微分値）及び誤差の加速度（２次微分値）を推定する。制御対象物の速度や加速度など、状態量の高次微分項が観測できない場合には、誤差観測推定部２２が演算処理により高次微分項を推定することで、ロバスト性の高い制御を実現できる。また、誤差観測推定部２２は、誤差（ｅ）の初期値から誤差（ｅ）の速度及び加速度を推定することで誤差（ｅ）の初期状態を推定し、同様に、スライディングモード制御中の誤差（ｅ）から制御中の制御対象物の状態を推定する。なお、誤差観測推定部２２は、制御対象物の速度や加速度を観測できるときには、観測値から誤差（ｅ）の状態（初期状態及び制御中の状態）を演算する。
【００１７】
制御領域判定部２３は、誤差観測推定部２２により推定された誤差（ｅ）の状態から、誤差（ｅ）が切換面を遷移させる領域内にあるか否かを判定する。後述するように、ＳＭＣ２０は、状態量（誤差ｅ）が超平面上の切換面で拘束された状態で、超平面上における状態量の位置に応じて、切換面を遷移させている。切換面は、少なくとも２種類の切換面を含んでおり、２次曲線の軌跡で表される切換面（以下、第１切換面とも称す）と、１次関数で表される切換面（以下、第２切換面とも称す）を含んでいる。
【００１８】
第１切換面から第２切換面に切り替えるための領域は、誤差ｅと誤差の１階微分で表される。また領域は、制御対象物の制御の際に要求される要求精度に応じて設定さる。例えば、要求精度に対して３倍程度を許容する誤差として設定した場合には、許容誤差分の状態量と状態量の速度で規定される範囲が、切換面を切り替えるための領域である。そして、制御領域判定部２３は、現在の誤差ｅおよび速度が領域外である場合には第１切換面でスライディングモード制御を行うと判定し、現在の誤差ｅおよび速度が領域内である場合には第２切換面でスライディングモード制御を行うと判定する。制御領域判定部２３は判定結果と誤差観測推定部２２の推定値を切換面生成部２４に出力する。
【００１９】
切換面生成部２４は、誤差ｅに基づき切換面を生成するための演算器であり、第１切換面生成部２４ａと第２切換面生成部２４ｂを有している。第１切換面生成部２４ａは、超平面上で、誤差ｅの初期状態を示す点から遷移点まで、誤差を到達させる第１切換面を演算する。また、第２切換面生成部２４ｂは、超平面上で、遷移点から平衡点まで誤差を収束させる第２切換面を演算する。遷移点は、第１切換面から第２切換面に遷移させる点である。
【００２０】
切換面生成部２４は、制御領域判定部２３による判定結果に応じて、第１切換面生成部２４ａ又は第２切換面生成部２４ｂのいずれか一方を選択しつつ、切換面を演算し、等価制御入力演算部２５および切換制御入力演算部２６に出力する。
【００２１】
等価制御入力演算部２５は、入力される誤差ｅから、切換面生成部２４により生成された切換面に基づき等価制御項（ｕＬ）を演算し加算器２７に出力する。等価制御入力演算部２５は、入力される誤差ｅから、切換面生成部２４により生成された切換面に基づき切換制御項（ｕＮＬ）を演算し加算器２７に出力する。
【００２２】
加算器２７は、等価制御項（ｕＬ）および切換制御項（ｕＮＬ）を加算することで、プラントモデル１１に入力される制御入力を演算する。
【００２３】
上記の機能ブロックの演算によって、プラントモデル１１の出力がプラントノミナルモデル１２の出力に追従するように制御される。
【００２４】
次に、第１切換面を用いたスライディングモード制御について説明する。まず、２次曲線の軌道である楕円軌道と、状態量の２階微分（加速度）が最小になる軌道について、説明する。
【００２５】
あるプラントの状態を初期状態Ｏから目標状態Ｌまで，決められた時間ｔｆで制御することを考える。このとき、制御量が最小化された滑らかな目標軌道を躍度最小化軌道と呼ぶ（非特許文献：lash, T., Hogan, N.: The coordination of arm movements: An experimentally F confirmed mathematical model, Journal of Neuroscience, 5, 1688-1703, 1985を参照）。
【００２６】
プラントの状態量を目標値に追従させる制御（以下、目標追従制御とも称す）において、状態量をｘ（ｔ）とし、初期位置０、経過時間ｔ、到達時間tf、目標値Ｌとすると、躍度最小化軌道は、以下の式（１）で表される。
【数１】
2015195009.tif 000003
【００２７】
式（１）で表す軌道の相平面上における軌跡を、図２ａに示し、状態量（位置）、状態量の１階微分、２階微分および３階微分の時間的な推移を、図２ｂの（ａ）、（ｂ）、（ｃ）および（ｄ）に示す。
【００２８】
図２ａに示す相平面は、横軸を誤差（追従誤差）とし、縦軸を誤差の１階微分としており、状態量が右半平面に存在する場合を示している。以下の説明でも、状態量は相平面の右半平面に存在したとする。なお、状態量が相平面の左半平面に存在する場合も以下と同様に説明できる。
【００２９】
一方、楕円軌道は以下の式（２）で表される。
【数２】
2015195009.tif 000004
2015195009.tif 000005
【００３０】
そして、式（１）を式（２）で近似した場合に、係数ａ、ｂは以下の式（３）で表せる。
【数３】
2015195009.tif 000006
【００３１】
（式２）で表される楕円が、誤差の任意の初期状態（点Ｐ（ｅ０、ｅ０＿ｉ）と原点Ｏ（０、０）を通る条件は以下の式（４）で表される。なお、点Ｐ及び原点Ｏは、相平面上の座標である。
【数４】
2015195009.tif 000007
ただし、ｅ０は初期状態の状態量（位置）であり、ｅ０＿ｉは初期状態の状態量（ｅ０）の１階微分であり、ｅ０＿ｉｉは初期状態の状態量（ｅ０）の２階微分である。
【００３２】
ここで、式（２）及び式（４）で示される楕円の導出過程について、図３を参照しつつ説明する。図３は、相平面上における楕円を示した座標である。相平面は、状態量（ｘ）を横軸とし、状態量（ｘ）の１階微分を縦軸としている。
【００３３】
楕円は、長軸又は短軸も何れか一方の軸をｘ軸と共有し、原点０と任意の点Ｐ（ｘ０、ｘ０＿ｉ）を通り、さらに，点Ｐにおいて接線ｌをもった楕円Ｅとする。接線ｌの傾き（ｘ＿ｉｉ／ｘ＿ｉ）は、状態量の２階微分の値を、状態量の１階微分で除算した値である。楕円Ｅは式（５）で表される。そして、楕円Ｅが図３に示す楕円となる。
【数５】
2015195009.tif 000008
【００３４】
楕円曲線上の任意の点における接線ベクトルは式（６）で表せる。
【数６】
2015195009.tif 000009
【００３５】
また，点Ｐで楕円Ｅに接する接線ｌは式（７）で与えられる．
【数７】
2015195009.tif 000010
【００３６】
式（６）及び式（７）から式（８）が得られる。
【数８】
2015195009.tif 000011
【００３７】
ここで、楕円を表す式（５）に点Ｐの座標を代入して式を変形すると式（８）の関係から（９）が得られる。
【数９】
2015195009.tif 000012
【００３８】
式（９）の左辺と右辺でｂ＝ａｓとおいて（ｓは媒介変数を示す）、ｂを消去すると（式１０）が得られる
【数１０】
2015195009.tif 000013
【００３９】
また式（９）の中辺と右辺に式（１０）を代入すると式（１１）が得られる。
【数１１】
2015195009.tif 000014
【００４０】
なお、相平面における楕円軌跡の因果性を満たすためには、時計回りに発展する必要がある。そして、楕円上に初期状態（点Ｐ）を持つとき、ｘ０＞ａの場合には、最大値の速度から最小値の速度に向かうため、加速度（ｘ０＿ｉｉ）は常に負となり、ｘ０＜ａの場合には、最小値の速度から最大値の速度に向かうため、加速度（ｘ０＿ｉｉ）は常に正となる。
【００４１】
上記の式（５）から式（１１）で示されるように、相平面の座標において、原点Ｏを通り、長軸又は短軸のいずれか一方をｘ軸と共有する楕円（式２又は式５に相当）に対して、任意の初期状態（点Ｐ）が与えられれば、第１切換面を表す楕円Ｅが一意的に与えられることになる（言い換えると、式（２）又は式（５）の変数（ａ、ｂ）が、点Ｐの座標（（ｅ０、ｅ０＿ｉ、ｅ０＿ｉｉ）又は（ｘ０、ｘ０＿ｉ、ｘ０＿ｉｉ））から導出できるため、楕円Ｅを表す式が一意的に規定される）。
【００４２】
上記のように導出された楕円について、躍度最小化軌道と同様に、楕円軌道を相平面状に示すと図２ａのようになり、状態量（位置）、状態量の１階微分、２階微分および３階微分の時間的な推移は、図２ｂのようになる。
【００４３】
すなわち、上記の式で示した楕円軌道は、躍度最小化軌道に近い軌道をとるため、制御量をできるだけ小さく滑らかな目標軌道をとることができる。躍度最小化軌道は、制御量を最小化した滑らかな目標軌道であるが、式（１）に示すように高次の演算処理を要してしまう。そのため、本実施形態のスライディングモード制御では、躍度最小化軌道を近似させた楕円関数で、切換面（第１切換面）を表している。これにより、少ない制御量で素早く状態量を収束させることができる。
【００４４】
さらに、式（２）を、三角関数で表すと式（１２）が得られる。
【数１２】
2015195009.tif 000015
【００４５】
式（１２）第１式を時間ｔで微分すると，式（１２）第２式との関係から式（１３）が得られる。
【数１３】
2015195009.tif 000016
【００４６】
楕円の長軸と短軸の交点を中心とし，横軸正方向をθ０＝０とおくと，初期状態（点Ｐ）の角度は式（１４）で表せる．
【数１４】
2015195009.tif 000017
【００４７】
相平面上の任意の初期状態（点Ｐ）から楕円軌道に沿って時計回りで平衡点О（原点０）へ至るまでの収束時間は式（１５）で表せる。
【数１５】
2015195009.tif 000018
【００４８】
これにより、ＳＭＣ２０は、スライディングモード制御において、状態量の初期状態（点Ｐ）を平衡値（平衡点Ｏ）まで収束させるまでの収束時間を演算できる。
【００４９】
次に、スライディングモード制御における制御入力（図１において、プラントモデル１１への制御入力）を導出する。ここで実プラントが式（１６）に示す２次系で表されるとする。
【数１６】
2015195009.tif 000019
ただし、α、βは、実モデルを表す係数である。ｕは制御入力である。
【００５０】
また，ノミナルモデルを式（１７）とする。
【数１７】
2015195009.tif 000020
ただし、αｒ、βｒは、ノミナルモデルを表す係数である。
【００５１】
式（１６）のシステムに与える目標値ｘｄとおくと，誤差eは式（１８）で表せる。
【数１８】
2015195009.tif 000021
【００５２】
楕円軌道で表される切換面σを式（１９）のように定義する。
【数１９】
2015195009.tif 000022
【００５３】
また、Lyapunov関数Vを式（２０）のように定義する。
【数２０】
2015195009.tif 000023
【００５４】
そして、式（２１）を満たせば状態量が切換面（スライディング面）に拘束される事が保証される。
【数２１】
2015195009.tif 000024
【００５５】
は式（２２）により表すことができる。
【数２２】
2015195009.tif 000025
【００５６】
式（２１）に、式（１７）、式（１９）、式（２２）を代入すると、式（２３）が得られる。
【数２３】
2015195009.tif 000026
【００５７】
式（２３）の左辺左側の括弧内の式は楕円の方程式であり，誤差の状態量（ｅ、ｅ＿ｉ）が楕円内側に存在するときには、左辺左側の括弧内の式は負の値をとる。一方、誤差の状態量（ｅ、ｅ＿ｉ）が楕円外側に存在するときには、左辺左側の括弧内の式は正の値をとる。そのため、式（２３）が成立するためには、左辺右側の括弧内の式が左辺左側の括弧内の式の符号と逆の符号をとる必要がある。ゆえに、式（２４）を満たしつつ、式（２４）ｕを導出することで、制御入力が得られる。
【数２４】
2015195009.tif 000027
ただし、Ｋはゲインであり、ｓｇｎは符号関数である。
【００５８】
ここで、式（２４）の第１項の波括弧内の項が等価制御項（ｕＬ）であり、第２項の波括弧内の項が切換制御項（ｕＮＬ）である。そして、図１を参照し、等価制御入力演算部２５は、線型のフィードバック項として式（２４）で表される等価制御項（ｕＬ）を演算し、切換制御入力演算部１６は、所定のゲイン（Ｋ）をもった非線形フィードバック項として式（２４）で表される切換制御項（ｕＮＬ）を演算する。また、等価制御項（ｕＬ）及び切換制御項（ｕＮＬ）に対して、目標値（ｒ）が加算されることで、プラントモデル１１への制御入力が演算される。これにより、スライディングモード制御における制御入力が導出される。
【００５９】
状態量（点Ｐ）が第１切換面で拘束された状態で、状態量が遷移点に到達するまでは、ＳＭＣ２０は、上記の制御手法により、スライディングモード制御を行っている。そして、状態量が遷移点に到達した後には、ＳＭＣ２０は切換面を第１切換面から第２切換面に遷移しつつ、第２切換面を用いてスライディングモード制御を行っている。
【００６０】
図４を用いて、切換面の遷移と、第２切換面に切り替わった後のスライディングモード制御について説明する。図４は、第１切換面におけるスライディングモード制御と、第２切換面におけるスライディングモード制御を、相平面上で示した概念図である。Ｅは楕円軌跡を示し、点Ｐは状態量の誤差の初期状態を示し、点Ｑは遷移点を示し、Ｌ１及びＬ２は１次関数の線型軌跡を示す。またＬは、平衡点に収束する際の誤差状態量の軌跡を表している。領域Ｓは、第１切換面を用いてスライディングモード制御を行う領域を表している。なお平衡点は原点である。
【００６１】
誤差状態量の初期状態（点Ｐ）から平衡点Ｑに到達するまでは、誤差状態量は楕円軌跡の切換面上で拘束されつつ、楕円Ｅ上を移動する。そして、誤差状態量が平衡点Ｑに到達し、誤差状態量が領域Ｓ内に入った場合には、ＳＭＣ２０は切換面を第１切換面から第２切換面に遷移する。
【００６２】
第２切換面は、誤差状態量を示す点と原点とを通る１次関数（線形関数）で表される。ＳＭＣ２０の第２切換面生成部２４ｂは、領域Ｓ内で、誤差状態量が平衡点に近づくにつれて、１次関数の傾きが小さくなるように、第２切換面を生成している。１次関数の傾きには、有限時間で誤差状態量を収束させるために、切換面の傾きには上限値および下限値が設定されている。そして、誤差状態量が平衡点に近づき、１次関数の傾きが下限値に達した場合には、第２切換面生成部２４ｂは、傾きを下限値で固定する。
【００６３】
切換面を遷移させず、スライディングモード制御が楕円軌道の切換面で実行した場合には、誤差状態量は図４の楕円Ｅ上を移動する。楕円Ｅの軌跡では、誤差状態量が平衡点（原点）に近づくと傾きが大きくなるため、また状態量の躍度も多くなるため、制御の安定性が下がる。
【００６４】
一方、切換面の切り替えた場合には、誤差状態量は図４の軌跡Ｌ上を移動する。そのため、誤差状態量が平衡点（原点）に近づくと、傾きが徐々に小さくなり制御の安定性が高まる。
【００６５】
上記のような、第２切換面生成部２４ｂにより演算される第２切換面の演算制御について説明する。切換面生成部２４は、第１切換面生成部２４ａにより、第１切換面の２次曲線（楕円）を演算すると、予め設定されている領域Ｓと、楕円の軌跡から、遷移点Ｑを演算する。遷移点Ｑは、領域Ｓの境界線上で、楕円軌跡Ｅの到達点となる。遷移点Ｑを点（ｅ１、ｅ１＿ｉ）とする。
【００６６】
第１切換面に沿って誤差状態量が平衡点に収束する場合、誤差状態量は、第１切換面を示す１次関数の傾きを時定数とする１次遅れの動特性（ｅ（ｔ））となり、以下の式（２５）で表される。
【数２５】
2015195009.tif 000028
【００６７】
切換面の傾きを時間に応じて変化させた場合に、誤差状態量の動特性（ｅ（ｔ））は式（２６）で表せる。
【数２６】
2015195009.tif 000029
βは第２切換面の傾きの変化速度である。
【００６８】
上記のように、ＳＭＣ２０は、スライディングモード制御を行う際の切換面を複数もっており、状態量が遷移点Ｑに到達した場合に切換面を遷移させる。楕円軌道は閉曲線である。そして、楕円軌道の切換面のみでスライディングモード制御を行い、状態量が平衡点にとどまらなかった場合には、状態量は周回軌道を描く。また、楕円軌道は閉曲線なので平衡点への収束時に、躍度が大きくなり、振動が融蓮される可能性がある。本実施形態では、複数の異なる切換面を条件に応じて楕円軌道をもつ切換面から他の軌道をもつ切換面に遷移させることができるため、状態量が平衡点にとどまり、システム安定化を実現できる
【００６９】
また、ＳＭＣ２０は、状態量が平衡点に近づくにつれて、第２切換面を表す１次関数の傾きを調整している。これにより、平衡点近傍の領域において、状態量が平衡点に滑らかに収束するため、平衡点近傍における躍度が抑えられ、振動を抑制できる。
【００７０】
次に、図５を用いて、ＳＭＣ２０によるスライディングモード制御の制御フローを説明する。
【００７１】
ステップＳ１にて、ＳＭＣ２０の誤差観測推定部２２は、誤差状態量の初期状態の観測又は推定を行う。ステップＳ２にて、切換面生成部２４は、第１切換面生成部２４ａにより第１切換面を生成し、スライディングモード制御における切換面を第１切換面に設定する。ステップＳ３にて、ＳＭＣ２０は、第１切換面に沿ったスライディングモード制御を行うために、等価制御入力演算部２５及び切換制御入力演算部２６により等価制御項（ｕＬ）及び切換制御項（ｕＮＬ）を演算し、加算することで、プラントへの制御入力を演算しプラントに出力する。
【００７２】
ステップＳ４にて、誤差観測推定部２２は現在の誤差状態量を観測及び推定を行い、制御領域判定部２３は、現在の誤差状態量が領域Ｓ（切換面を遷移させるための領域）内にあるか否かを判定する。現在の誤差状態量が領域Ｓ外である場合には、ステップＳ３に戻る。
【００７３】
現在の誤差状態量が領域Ｓ内である場合には、ステップＳ５にて、切換面生成部２４は、第２切換面生成部２４ｂにより、現在の誤差状態量から第２切換面を生成し、スライディングモード制御における切換面を第２切換面に設定する。
【００７４】
ステップＳ６にて、誤差観測推定部２２は現在の誤差状態量を観測及び推定を行い、制御領域判定部２３は、現在の誤差状態量が領域Ｓ内にあるか否かを判定する。現在の誤差状態量が領域Ｓ外である場合には、ステップＳ３に戻る。すなわち、大きな外乱等が加わり、誤差状態量が領域Ｓ外となった場合には、再度、第１切換面の生成を行い、２次曲線を切換面としたスライディングモード制御が実行される。
【００７５】
一方、現在の誤差状態量が領域Ｓ内にある場合には、ＳＭＣ２０は、第２切換面を表す１次関数の傾きを調整しつつ、第２切換面に沿ったスライディングモード制御を行う（ステップＳ７）。ステップＳ８にて、ＳＭＣ２０は、現在の誤差状態量が平衡点に収束したか否かを判定する。現在の誤差状態量が平衡点に収束していない場合にはステップＳ６に戻り、現在の誤差状態量が平衡点に収束した場合には、ＳＭＣ２０によるスライディングモード制御の制御フローが終了する。
【００７６】
上記のように、本実施形態に係る制御装置は、相平面において、状態量の初期状態を示す点Ｐ及び平衡値を示す原点を通り、かつ、点Ｐで接線をもった２次曲線の軌跡で、相平面上に表される切換面を演算し、当該切換面に沿ったスライディングモード制御を実行する。これにより、外乱やモデル化誤差等の不確かさの影響を受けにくくなり、ロバスト性の高い制御方法及び制御装置を実現できる。
【００７７】
ところで、特許文献１に示したような従来の制御手法では、以下に掲げる問題があった。以下、図６を用いて、従来の制御手法による問題を説明する。図６は、従来の制御手法において、状態量が平衡点に収束する際の状態を示した概念図であって、相平面の座標で表している。
【００７８】
従来の制御手法は、到達モードとスライディングモードとの二つのモードで制御を行っている。到達モードは、切換面から離れた位置にある初期値ｅ（０）を切換面に拘束させる制御モードである。初期値ｅ（０）は誤差状態量の初期状態を示す値である。スライディングモードは、誤差状態量が平衡点を通る一次関数（ｅ＿ｉ＝−ａｅ）の切換面で拘束された状態で、誤差状態量を平衡点に収束させる制御モードである。ただし、ａは傾きであって、ａ＞０とする。
【００７９】
まず到達モードは、外乱等の不確かさの影響を受けやすい制御モードであるため、ロバスト性が低くなる。また、相平面において、初期値は制御対象物の状態により様々な位置にあるため、初期値と切換面との間の距離は制御対象物の状態に応じて変化し、不確かさの影響も受けるため、初期状態が切換面に拘束されるまでの時間をコントローラ側で把握することができない。そのため、コントローラは制御対象物の制御タイミングを把握できない。
【００８０】
さらに到達モードは、システムのダイナミクスに関係なく状態量を強制的に線形関数の切換面上に拘束するように，過大な制御量を必要とする。そして、このような制御系における切換制御入力は、非常にハイゲインな非線形特性を持つフィードバック項になる。そして、スライディングモードは、非線型特性のハイゲインと、システムが持つ遅れ要素の影響を受けるため、チャタリングと呼ばれる高周波振動現象が生じてしまう。
【００８１】
本実施形態では、上記のように、状態量の初期状態から平衡点までの全過程で、スライディングモード制御を確立させているため、到達モードが発生しない。そのため、外乱やモデル化誤差の影響を受けにくい制御則が実現でき、ロバスト性が高まる。また、マッチング条件と呼ばれる、不確かさが制御入力チャネルで表せる条件を満たす場合には，不確かさの影響を無効化できる。
【００８２】
また本実施形態では、相平面において、状態量は初期状態から平衡点に収束するまで、切換面上に沿って移動するため、平衡点に収束するまでの収束時間も演算できる（式１５を参照）。幾何的解析により初期状態から平衡状態に至るまでの収束時間の解析解が得られるので、容易に制御性能を見積もることもできる。
【００８３】
さらに、本実施形態では、スライディングモード制御中に、到達モードのようなハイゲインの影響や、システムの遅れ要素の影響も抑制されるため、チャタリングも抑制できる。
【００８４】
上記従来の制御手法を比較例とし、本発明及び比較例のシミュレーション結果を説明する。シミュレーションでは、正弦波上の目標指令値（目標値）に対して、本発明のスライディングモード制御を行ったときのプラントの状態量及び誤差状態量の状態と、比較例の制御を行ったときのプラントの状態量及び誤差状態量の状態量を測定した。
【００８５】
それぞれのシミュレーション結果を図７〜９に示す。図７は、プラントの状態量に関するシミュレーション結果であって、（ａ）は状態量（ｘ）の時間的推移を示し、（ｂ）は状態量の１階微分（ｘ＿ｉ）の時間的推移を示し、（ｃ）は制御入力（ｕ）の時間的推移を示している。また、図８は、プラントの誤差状態量に関するシミュレーション結果であって、（ａ）は誤差状態量（ｅ）の時間的推移を示し、（ｂ）は誤差状態量の１階微分（ｅ＿ｉ）の時間的推移を示し、（ｃ）は制御入力（ｕ）の時間的推移を示している。なお、図８の理想値は、プラントの理想モデルで動作したときの特性である。図９は、誤差状態量が平衡点に収束するまでの誤差状態量の実際の軌跡を、相平面で表した座標である。
【００８６】
図７（ａ）、（ｂ）及び図８（ａ）、（ｂ）に示すように、比較例は、時間（０．２５秒）になるまで、状態量及び誤差状態量が、目標指令値と一致せずに推移した。一方、本発明では、時間（約０．０７秒）の時点で、状態量及び誤差状態量が目標指令値と一致した。すなわち、本発明の収束時間は、比較例と比べて１／３以下に減少した。
【００８７】
また、図７（ｃ）、図８（ｃ）及び図９に示すように、比較例では大きな振動であるチャタリングが発生した。一方、本発明では、比較例のようなチャタリングが発生していない。
【００８８】
これにより、本発明は、切換面を、滑らかな最適軌道である躍度最小化軌道に準じた軌道としているため、比較例の制御手法と比べて、少ない制御量で素早く状態量を収束させることができる。さらに、本発明はチャタリングも抑制できる。
【００８９】
次に、本実施形態に係る制御システム又は制御方法を、自動運転の舵角制御に適用した場合を例にとって説明する。自動運転の舵角制御は、例えば、電気自動車の非接触充電において、所定の駐車スペースに車両を駐車させる際に行われる。非接触充電では、地上側給電コイルと車両側受電コイルとの間の位置ずれは、地上から車両へのエネルギー伝達効率に大きく影響する。そのため、非接触充電では、車両の正確な位置決めが求められる。
【００９０】
図１０に、舵角制御システムのブロック図を示す。舵角制御システムは、目標軌道算出部１０１と、ＳＭＣ（スライドモード制御）制御部１０２と、アクチュエータ駆動部１０３と、アクチュエータ１０４と、車両１０５と、状態観測部１０６と、車両位置推定部１０７とを備えている。なお、図１０では、車両１０５と、他のシステムブロックとを分けて図示しているが、目標軌道算出部１０１等は車両に設けられている。
【００９１】
目標軌道算出部１０１は、車両１０５の現地値から目標となる駐車位置までの目標軌道を算出する。ＳＭＣ制御部１０２は、目標軌道算出部１０１で算出された目標軌道と、車両位置推定部１０７で推定される車両１０５の位置（実際の車両位置）から、車両位置を目標軌道に追随するように、スライディングモード制御を行い、制御信号を生成する。
【００９２】
アクチュエータ駆動部１０３は、ＳＭＣ制御部１０２で生成された制御信号を受けて、アクチュエータ１０４を駆動させる。アクチュエータ１０４はステアリング機構に対して動力を与える装置である。アクチュエータ１０４が駆動すると、車両１０５の舵角が制御される。
【００９３】
状態観測部１０６は、舵角センサ及び車輪速パルスを用いて、車両の状態を観測する。車両位置推定部１０７は、状態観測部１０６の観測値を用いて、車両の現在の位置を推定する。そして、車両位置推定部１０７で推定された車両位置はＳＭＣ制御部１０２にフィードバックされて、ＳＭＣ制御部１０２は、目標軌道に対応する目標値と現在の車両位置との差を誤差状態量として演算し、当該誤差状態量に基づいてスライディングモード制御を行う。
【００９４】
図１１を用いて、本実施形態に係る上記の舵角制御システムに適用した場合の舵角の時間的推移を、従来の制御手法と比較しつつ説明する。図１１は、舵角の目標指令値の時間的推移、本発明の舵角の時間的推移、比較例１の舵角の時間的推移、及び比較例２の舵角の時間的推移をそれぞれ示したグラフである。図１１の横軸は時間（ｔ）であり、縦軸は舵角（θ）である。比較例１は切換面を線形関数としたスライディングモード制御（特許文献１を参照）を、舵角制御システムに適用している。比較例２では、例えばＰＩＤ制御などの線形状態のフィードバック制御を、舵角制御システムに適用している。
【００９５】
そして、図１１に示すように、舵角の目標指令値に対して、ある時刻（ｔｘ）に路面段差のような外乱が与えられたとする。比較例２では、外乱の影響が長い時間続いている。比較例１では、外乱によって生じた誤差の収束の特性が、到達モード後の切換面（線形関数）の傾きに応じた１次遅れとなり、誤差の収束に時間がかっている。一方、本発明は、誤差の収束時間が比較例１、２よりも大幅に短縮されている。さらに、本発明は、誤差収束応答波形および誤差収束時間を算出できるので、誤差応答に応じた補正を行うこともできる。
【００９６】
なお本発明において、切換面を遷移させる領域は、図４の領域Ｓに示したように楕円を用いてもよく、円を用いてもよい。また第２切換面は必ずしも１次関数である必要はなく、例えば、原点を通る縦軸に対して線対称な楕円を用いてもよく，線形切換面を用いてもよい。また、第１切換面を表す１次関数の傾きは、誤差状態量と平衡点との間の距離に応じて調整してもよい。
【００９７】
なお本実施形態では、相平面上における状態量の位置に応じて、第１切換面と第２切換面との間で、切換面を切り替えたが、第１切換面を用いたスライディング制御を、状態量が平衡点に収束するまで行ってもよい。
【００９８】
上記の切換面生成部２４が本発明の「生成器」に相当し、等価制御入力演算部２５、切換制御入力演算部２６、及び加算器２７が本発明の「演算器」に相当する。
【００９９】
《第２実施形態》
本発明の他の実施形態に係るスライディングモード制御装置及び制御方法を説明する。本実施形態では、上述した第１実施形態に対して、レムニスケートの軌跡で表される切換面、楕円の軌跡で表される切換面、及び１次関数の軌跡で表される切換面が選択可能であって、選択された切換面に基づきスライディング制御を行う点が異なる。これ以外の構成は上述した第１実施形態と同じであり、その記載を援用する。
【０１００】
図１２は、他の実施形態に係るスライディング制御装置のブロック図である。切換面生成部２４は、第３切換面生成部２４ｃ、第４切換面生成部２４ｄ、第５切換面生成部２４ｅを有している。なお、ＳＭＣ２０に含まれる他の構成は、第１実施形態と同様であり、プラント１１及びプラントノミナルモデル１２も、第１実施形態と同様である。
【０１０１】
第３切換面生成部２４ｃは、相平面上で、誤差ｅの初期状態を示す点から遷移点まで、誤差を到達させる第３切換面を演算する。第３切換面は、レムニスケート曲線の軌跡で表される切換面である。第３切換面の軌跡であるレムニスケート曲線は、躍度最小化軌道を近似させた４次関数であり、以下の導出式によって導出できる。
【０１０２】
第３切換面の軌跡を表すレムニスケート曲線は、相平面上で、状態量の初期状態を示す点Ｐ及び平衡点を示す原点を通り、点Ｐで傾き（ｘ＿ｉｉ／ｘ＿ｉ）の接線をもつ４次曲線である。なお、レムニスケート曲線は、以下で表される４次曲線の平方根をとることで、状態量の初期状態を示す点Ｐ及び平衡点を示す原点を通り、かつ、点Ｐで接線をもった２次曲線ともいえる。
【０１０３】
図１３は、レムニスケート曲線を示す相平面の座標系である。相平面は、横軸（ｘ軸）を状態量とし、縦軸（ｙ軸）を状態量の１階微分としており、状態量が右半平面に存在する場合を示している。以下の説明でも、状態量は相平面の右半平面に存在したとする。レムニスケート曲線の直線ｌは、レムニスケート曲線の点Ｐにおける接線である。なお、状態量が相平面の左半平面に存在する場合も以下と同様に説明できる。
【０１０４】
レムニスケート曲線は、極座標形式の方程式である下記式（２７）で表され、図１３に示すドーナツ状のトーラス体を輪切りにすることで得られる曲線である。図１３は、トーラス体を示した座標系である。なお、図１３に示すトーラス体は、下記（２７）において、ａ＝１とした場合のグラフである。
【数２７】
2015195009.tif 000030
【０１０５】
式（２７）で示す曲線を、直交座標系で表すと下記式（２８）で表される。
【数２８】
2015195009.tif 000031
【０１０６】
直交座標系で表されるレムニスケート曲線を、ｘ軸にａ倍し、ｙ軸にｂ倍することで拡大させると、下記式（２９）が得られる。なお、式（２８）と式（２９）との関係は、円の方程式と、円の方程式を縦軸と横軸にそれぞれ倍することで得られる楕円の方程式の関係と同様である。
【数２９】
2015195009.tif 000032
【０１０７】
ここで式（２９）の両辺をｘで微分すると、下記式（３０）が得られる。
【数３０】
2015195009.tif 000033
【０１０８】
図１３に示す相平面は、位置（ｘ）を横軸とし、速度（ｘ＿ｉ）を縦軸とすると、質点系の運動を表す平面となる。以下、当該平面上において、レムニスケート曲線の軌跡（トラジェクトリー）を考える。
【０１０９】
曲線上の任意の点における接線の傾きは式（３１）で表される。
【数３１】
2015195009.tif 000034
【０１１０】
ｘ＞０、ｘ＿ｉ＞０、ｘ＿ｉｉ＜０の場合を仮定して第１象限について考える。なお、レムニスケート曲線は、ｘ軸及びｙ軸に対して線対称な図形であるため、第２象限、第３象限及び第４象限についても、同様に証明できる。
【０１１１】
図１３に示すように、第１象限内の点Ｐ（ｘ、ｘ＿ｉ）を通るレムニスケート曲線は下記式（３２）で表される。
【数３２】
2015195009.tif 000035
【０１１２】
点Ｐにおける曲線の接線ｌの傾きは、式（３０）及び式（３１）より、式（３３）で表される。なお、下記式以降、点Ｐは初期状態として（ｘ０、ｘ０＿ｉ）としている。
【数３３】
2015195009.tif 000036
【０１１３】
式（３２）を変形することで式（３４）が得られる。
【数３４】
2015195009.tif 000037
【０１１４】
式（３４）を式（３３）に代入することで、式（３５）が得られる。
【数３５】
2015195009.tif 000038
【０１１５】
ここで、ｂ＝ａｓと置き、式（３５）を変形すると、式（３６）が得られる。
【数３６】
2015195009.tif 000039
【０１１６】
また、ｓ２＝Ｔと置き、２次方程式の解の公式を適用することで、式（３７）が得られる。
【数３７】
2015195009.tif 000040
【０１１７】
さらに、レムニスケート曲線は、原点における接線の傾きが±１となる。そのため、ｘ軸及びｙ軸にそれぞれａ倍及びｂ倍したレムニスケート曲線において、原点を通る接線の傾き（ｓ）は、ｓ＝ｂ／ａで表される。なお、原点近傍の傾きは、プラントモデル１１の減衰係数（ζ）と角周波数（ω）を用いて、ｓ＝−（２ζ／ω）と表すこともできる。そして、式（３７）と接線の傾きの関係から下記式（３８）及び式（３９）が得られる。
【数３８】
2015195009.tif 000041
【数３９】
2015195009.tif 000042
【０１１８】
上記のような関係式によって、状態量の初期状態を示す点Ｐ及び平衡点を示す原点を通り、点Ｐで傾き（ｘ＿ｉｉ／ｘ＿ｉ）の接線をもつ４次曲線の軌跡として、レムニスケート曲線の軌跡が導出できる。
【０１１９】
第４切換面生成部２４ｄは、相平面上で、誤差ｅの初期状態を示す点から遷移点まで、誤差を到達させる第４切換面を演算する。第４切換面は、楕円曲線の軌跡で表される切換面である。第４切換面生成部２４ｄにおける切換面の生成方法は、第１実施形態と同様である。
【０１２０】
第５切換面生成部２４ｅは、線形の軌跡で表される第５切換面を生成する。第５切換面は、相平面上で、平衡点を通る１次関数で表される切換面である。
【０１２１】
切換面生成部２４は、ノミナルプラントの動特性に応じて、第３切換面、第４切換面及び第５切換面の中から、スライディングモード制御に用いる切換面を選択する。切換面の選択方法は、後述する。
【０１２２】
等価制御入力演算部２５及び切換制御入力演算部２６は、選択された切換面に応じて、等価制御入力（ｕＬ）及び切換制御入力（ｕＮＬ）を演算する。第４切換面が選択された場合の、等価制御入力演算部２５及び切換制御入力演算部２６の演算方法は、第１実施形態と同様である。
【０１２３】
第３切換面が選択された場合には、等価制御入力演算部２５及び切換制御入力演算部２６は、以下に説明する導出式に基づいて、等価制御入力（ｕＬ）及び切換制御入力（ｕＮＬ）を演算している。
【０１２４】
実プラント、ノミナルモデル及び誤差ｅが、第１実施形態で示した式（１６）〜式（１８）でそれぞれ表すことができ、レムニスケート曲線の軌跡で表される第３切換面σを、下記式（４０）で定義する。
【数４０】
2015195009.tif 000043
【０１２５】
そして、切換面σの１階微分値（σ＿ｉ）は下記式（４１）で表される。
【数４１】
2015195009.tif 000044
【０１２６】
そして、第１実施形態で示した式（２１）の条件を満たす場合に、状態量が切換面（スライディング面）に拘束される事が保証される。式（２１）に、式（４０）及び式（４１）を代入すると、式（４２）が得られる。
【数４２】
2015195009.tif 000045
【０１２７】
式（４２）の左辺左側の括弧内の式はレムニスケート曲線の方程式であり，誤差の状態量（ｅ、ｅ＿ｉ）がレムニスケートの閉曲線の内側に存在するときには、左辺左側の括弧内の式は負の値をとる。一方、誤差の状態量（ｅ、ｅ＿ｉ）がレムニスケートの閉曲線の外側に存在するときには、左辺左側の括弧内の式は正の値をとる。そのため、式（４２）が成立するためには、左辺右側の括弧内の式が左辺左側の括弧内の式の符号と逆の符号をとる必要がある。ゆえに、Lyapunov関数で示される条件を満たしつつ、式（４２）からｕを導出することで、制御入力が得られる。
【数４３】
2015195009.tif 000046
ただし、Ｋはゲインであり、ｓｇｎは符号関数である。
【０１２８】
ここで、式（４３）の符号関数を含む項の波括弧内の項が切換制御項（ｕＮＬ）であり、その他の項が等価制御項（ｕＬ）である。そして、等価制御入力演算部２５は、線型のフィードバック項として式（４３）で表される等価制御項（ｕＬ）を演算し、切換制御入力演算部２６は、所定のゲイン（Ｋ）をもった非線形フィードバック項として式（４３）で表される切換制御項（ｕＮＬ）を演算する。
【０１２９】
次に、切換面生成部２４における切換面の選択方法について、説明する。切換面生成部２４は、切換面を選択する際に指標となるノミナルプラントの動特性として、制御対象モデルの減衰係数を用いている。また、切換ゲイン（Ｋ）、エネルギー消費量は、プラントモデル１１の減衰係数に対する依存性をもっている。そのため、切換面生成部２４は、減衰係数に対する切換ゲイン、又は、減衰係数に対するエネルギー消費量を抑制できるように、減衰係数に応じて切換面を選択している。
【０１３０】
図１５及び図１６に、プラント１１の減衰係数に対する切換ゲイン（Ｋ）の特性、及び、エネルギー消費量の特性を示す。図１５は切換ゲイン（Ｋ）の特性を示すグラフであり、図１６はエネルギー消費量の特性を示すグラフである。図１５及び図１６において、「レムニスケート」は、切換面の軌跡をレムニスケート曲線とし、当該切換面に基づき制御を行った場合の特性を示す。「楕円」は、切換面の軌跡を楕円曲線とし、当該切換面に基づき制御を行った場合の特性を示す。「線形」は、切換面の軌跡を一次関数とし、当該切換面に基づき制御を行った場合の特性を示す。
【０１３１】
図１５に示すように、減衰係数が２以下である場合には、「線形」のときのゲイン（Ｋ）が最も高く、「レムニスケート」及び「楕円」のゲインは低い。そのため、減衰係数が２以下である場合であって、ゲイン（Ｋ）を抑えたい場合には、切換面生成部２４は第３切換面又は第４切換面のいずれか一方を、スライディング制御の切換面として選択する。また、モデルの伝達系がアンダーダンピング特性（例えば減衰係数が１以下の場合）をもつ場合には、「線形」のときのゲイン（Ｋ）が、「レムニスケート」及び「楕円」比べて、顕著に高くなっている。そのため、プラントモデル１１がアンダーダンピング特性をもつ場合には、切換面生成部２４は、第５切換面を選択しないようにする。
【０１３２】
減衰係数が２より大きく４未満である場合には、「レムニスケート」のゲインが最も高い。また、「線形」のゲインは、減衰係数の２から４までの範囲内のうち、大半の範囲（減衰係数が約２．５以上の範囲）で、「レムニスケート」及び「楕円」より低くなっている。そのため、減衰係数が２より大きく４未満である場合であって、ゲイン（Ｋ）を抑えることを最優先する場合には、切換面生成部２４は、第５切換面を選択する。なお、「レムニスケート」及び「楕円」のゲインも、極端には高くなっていないため、切換面生成部２４は、第３切換面又は第４切換面を選択してもよい。
【０１３３】
減衰係数が４以上である場合には、「レムニスケート」及び「楕円」のゲインが、「線形」のゲインよりも高い。そのため、減衰係数が２より大きく４未満である場合であって、ゲイン（Ｋ）を抑えることを最優先する場合には、切換面生成部２４は、第５切換面を選択する。
【０１３４】
図１６に示すように、減衰係数が２以下である場合には、「線形」のエネルギー消費量が最も高く、「レムニスケート」及び「楕円」のエネルギー消費量は低い。そのため、減衰係数が２以下である場合であって、エネルギー消費量を抑えたい場合には、切換面生成部２４は第３切換面又は第４切換面のいずれか一方を、スライディング制御の切換面として選択する。また、モデルの伝達系がアンダーダンピング特性をもつ場合には、「線形」のときのゲイン（Ｋ）が、「レムニスケート」及び「楕円」比べて、顕著に高くなっている。そのため、プラントモデル１１がアンダーダンピング特性をもつ場合には、切換面生成部２４は、第５切換面を選択しないようにする。
【０１３５】
減衰係数が２より大きく４未満である場合には、「レムニスケート」のエネルギー消費量が、減衰係数の２から４までの範囲内のうち、大半の範囲（減衰係数が約３．３未満の範囲）で、「楕円」及び「線形」より低くなっている。そのため、減衰係数が２より大きく４未満である場合であって、エネルギー消費量を抑えることを最優先する場合には、切換面生成部２４は、第３切換面を選択する。
【０１３６】
減衰係数が４以上である場合には、「線形」のエネルギー消費量が最も低く、「レムニスケート」及び「楕円」のエネルギー消費量は高い。そのため、減衰係数が４以上である場合であって、エネルギー消費量を抑えたい場合には、切換面生成部２４は第５切換面を、スライディング制御の切換面として選択する。また、「レムニスケート」及び「楕円」のエネルギー消費量は、減衰係数が４を超えると、さらに大きくなるため、切換面生成部２４は、第３切換面及び第４切換面を選択しないようにする。
【０１３７】
また、切換面生成部２４は、以下に説明するように、即応性を高めるように、減衰係数に応じて切換面を選択してもよい。即応性は、状態量が平衡点に収束するまでの時間に相当し、収束するまでの時間が短いほど、即応性が高いことになる。
【０１３８】
図１７を参照しつつ、状態量が平衡点に収束する際の、状態量の速度（ｅ＿ｉ又はｘ＿ｉ）について説明する。図１７は、レムニスケート曲線、楕円及び線形をそれぞれ示した相平面の座標系である。相平面は、横軸（ｘ軸）を誤差状態量とし、縦軸（ｙ軸）を誤差状態量の１階微分とする。点Ｐは初期状態の誤差状態量を示す。グラフ「レムニスケート曲線」は、切換面をレムニスケート曲線とした場合に、初期状態から平衡点まで収束するまでの軌跡を表している。また、グラフ「楕円」は、切換面を楕円とした場合の軌跡を示し、「線形」は、切換面を直線とした場合の軌跡を示す。また、減衰係数（ζ）を０．４、０．６、１．０、及び２．０としつつ、レムニスケート曲線の切換面に基づきスライディング制御を行った場合であって、初期状態から平衡点に収束するまでの軌跡を示す。
【０１３９】
図１７に示すように、減衰係数が小さい場合（例えばζが１．０未満の場合）、すなわち、モデルがアンダーダンピング特性をもつ２次遅れ系である場合には、状態量は、楕円又はレムニスケート曲線の軌跡に近い軌道で、平衡点に収束する。一方、減衰係数が大きい場合（例えばζが１．０以上の場合）、すなわち、モデルがオーバーダンピング特性をもつ２次遅れ系である場合には、相平面上の原点近傍において、状態量は１次遅れ系の挙動に近づく。
【０１４０】
図１７において、状態量の速度は、平衡点の収束する際の速度と対応している。「レムニスケート」、「楕円」、及び「線形」のうち、状態量の速度が最も大きい切換面は、「楕円」である。そのため、切換面生成部２４は、即応性を最優先する場合には、第４切換面を選択する。なお、即応性については、切換面の軌跡が「レムニスケート」又は「線形」であっても、十分な即応性を期待できるため、切換面生成部２４は、第４切換面に限らず、第３切換面又は第５切換面を選択してもよい。
【０１４１】
上記のように、切換面生成部２４は、切換ゲインが低くなるように、エネルギー消費量が低くなるように、又は、即応性が高くなるように、第３切換面、第４切換面及び第５切換面の中から、スライディング制御の切換面を選択している。
【０１４２】
図１８に、減衰係数、特徴、及び切換面の関係を示す。特徴は、エネルギー消費量、切換えゲイン、及び、即応性である。図１８において、「◎」、「○」及び「△」は選択可能な切換面であり、「◎」が最も選択に適しており、「○」、「△」の順で選択に適していることを示す。「×」は選択不可である。なお、本実施形態の説明では、「×」を選択不可としているが、実際のモデルに応じて、「×」に対応する選択面が選択されてもよい。
【０１４３】
切換面生成部２４は、切換ゲインが最も小さくなるように切換面を選択する際には、次のように選択する。減衰係数が２以下である場合には、切換面生成部２４は、第３切換面又は第４切換面のいずれか一方を選択する。減衰係数が２より大きく４未満である場合には、切換面生成部２４は、第５切換面を選択する。減衰係数が４以上である場合には、切換面生成部２４は、第５切換面を選択する。
【０１４４】
切換面生成部２４は、エネルギー消費量が最も小さくなるように切換面を選択する際には、次のように選択する。減衰係数が２以下である場合には、切換面生成部２４は、第３切換面又は第４切換面のいずれか一方を選択する。減衰係数が２より大きく４未満である場合には、切換面生成部２４は、第３切換面を選択する。減衰係数が４以上である場合には、切換面生成部２４は、第５切換面を選択する。
【０１４５】
切換面生成部２４は、即応性が最も大きくなるように切換面を選択する際には、切換面生成部２４は、第４切換面を選択する。
【０１４６】
次に、図１９を用いて、ＳＭＣ２０によるスライディングモード制御の制御フローを説明する。
【０１４７】
ステップＳ２１にて、ＳＭＣ２０の誤差観測推定部２２は、誤差状態量の初期状態の観測又は推定を行う。ステップＳ２２にて、切換面生成部２４は、第３切換面生成部２４ｃ、第４切換面生成部２４ｄ、第５切換面生成部２４ｅにより第３切換面、第４切換面及び第５切換面を生成する。
【０１４８】
ステップＳ２３にて、切換面生成部２４は、プラントモデル１１の減衰係数に応じて、第３切換面、第４切換面及び第５切換面の中から、スライディングモード制御に用いる切換面を選択する。例えば、切換面生成部２４は、エネルギー消費量が最も小さくなるように、切換面を選択する。
【０１４９】
ステップＳ２４にて、ＳＭＣ２０は、選択された切換面に沿ったスライディングモード制御を行う。ステップＳ２５にて、ＳＭＣ２０は、現在の誤差状態量が平衡点に収束したか否かを判定する。現在の誤差状態量が平衡点に収束していない場合にはステップＳ２４に戻り、現在の誤差状態量が平衡点に収束した場合には、ＳＭＣ２０によるスライディングモード制御の制御フローが終了する。
【０１５０】
上記のように、本実施形態では、第３切換面、第４切換面、及び第５切換面の中から、スライディング制御に用いる切換面を選択する。これにより、スライディング制御を行う際に、モデルの特性に応じた最適な切換面を選択することができる。
【０１５１】
また本実施形態では、スライディングモード制御により制御対象物を制御する際に消費されるエネルギーが最も小さくなるように、ノミナルプラントの動特性に応じて、第３切換面、第４切換面及び第５切換面の中から選択し、スライディング制御に用いる切換面を選択する。これにより、エネルギー消費量を低減できる。
【０１５２】
また本実施形態では、切換制御ゲインが最も小さくなるように、ノミナルプラントの動特性に応じて、第３切換面、第４切換面及び第５切換面の中から選択し、スライディング制御に用いる切換面を選択する。これにより、ゲインを抑制できる。
【０１５３】
また本実施形態では、状態量が平衡点に収束するまでの時間が最も短くなるように。ノミナルプラントの動特性に応じて、第３切換面、第４切換面及び第５切換面の中から選択し、スライディング制御に用いる切換面を選択する。これにより、即応性を高めることができる。
【０１５４】
なお、本実施形態の変形例として、切換面生成部２４は、エネルギー消費量、スライディングモード制御における切換制御ゲイン、及び即応性が最適化するように、ノミナルプラントの動特性に応じて、第３切換面、第４切換面及び第５切換面の中から選択し、スライディング制御に用いる切換面を選択してもよい。
【０１５５】
図１６又は図１７に示すように、例えば、減衰係数が２より大きく４未満である場合に、「楕円」又は「線形」を選択すると、エネルギー消費量が高くなってしまう。一方、「レムニスケート曲線」を選択すると、切換ゲインは「線形」よりも高くなっているが、「線形」と比較した場合に、切換ゲインの増加幅は小さい。また「レムニスケート曲線」を選択すると、即応性は「楕円」より少し悪くなる程度である。そして、「レムニスケート曲線」を選択すると、エネルギー消費量が、「楕円」及び「線形」と比較して、大きく減少できる。そのため、変形例では、減衰係数が２より大きく４未満である場合には、「レムニスケート」を選択する。
【０１５６】
また、減衰係数が２以下である場合には、楕円を選択すると、切換ゲイン、エネルギー消費量、及び即応性で最適な結果を得ることができる。そのため、減衰係数が２以下である場合には、「楕円」を選択する。
【０１５７】
また、減衰係数が４以上である場合には、「レムニスケート」又は「楕円」を選択すると、エネルギー消費量が「線形」と比較して顕著に高くなり、また切換ゲインも高くなる。そのため、減衰係数が４以上である場合には、「線形」を選択する。これにより、エネルギー消費量を抑え、低い切換ゲインでスライディング制御を行うことができ、即応性も確保できる。
【０１５８】
《第３実施形態》
本発明の他の実施形態に係るスライディングモード制御装置及び制御方法を説明する。本実施形態では、上述した第１実施形態に対して、第２切換面を表す軌跡を、レムニスケート曲線とした点が異なる。これ以外の構成は上述した第１実施形態と同じであり、第１実施形態の記載又は第２実施形態の記載を適宜、援用する。
【０１５９】
ＳＭＣ２０は、状態量（点Ｐ）が所定の領域外である場合には、第１切換面に基づいて、スライディング制御を行い、状態量（点Ｐ）が所定の領域内である場合には、第２切換面に基づいて、スライディング制御を行う。第１切換面は、２次曲線であるレムニスケート曲線の軌跡によって表される切換面である。第１切換面を用いたスライディング制御は、第２実施形態において、第３切換面を用いたスライディング制御と同様である。レムニスケート曲線の軌跡の導出方法、及び、スライディング制御を行う際の制御入力の演算方法等については、第２実施形態と同様である。
【０１６０】
図２０を用いて、切換面の遷移と、第２切換面に切り替わった後のスライディングモード制御について説明する。図２０は、第１切換面におけるスライディングモード制御と、第２切換面におけるスライディングモード制御を、相平面上で示した概念図である。縦軸を状態量の誤差（ｅ）とし、縦軸を誤差の１階微分値（ｅ＿ｉ）とする。Ｅはレムニスケート曲線の軌跡を示し、点Ｐは状態量の誤差の初期状態を示し、点Ｑは遷移点を示し、Ｌは１次関数の線型軌跡を示す。領域Ｓは、第２切換面を用いてスライディングモード制御を行う領域を表しており、上記の所定の領域に相当する。なお平衡点は原点である。
【０１６１】
領域Ｓは、平衡点を中心点とした楕円で表される。また領域Ｓは、下記式（４４）で表される。
【数４４】
2015195009.tif 000047
ｑは所定の係数である。遷移点Ｑは、レムニスケート曲線Ｅと領域Ｓを示す楕円との交点である。
【０１６２】
誤差状態量の初期状態（点Ｐ）から遷移点Ｑに到達するまでは、誤差状態量はレムニスケート曲線の軌跡で表される切換面上で拘束されつつ、レムニスケート曲線Ｅ上を移動する。そして、誤差状態量が平衡点に到達し、誤差状態量が領域Ｓ内に入った場合には、ＳＭＣ２０は切換面を第１切換面から第２切換面に遷移する。
【０１６３】
第２切換面は、誤差状態量を示す点と原点を通る１次関数（線形関数）で表される。また第２切換面を示す１次関数の傾きは、ｓ＝ｂ／ａで表される。すなわち、第２切換面の傾きは、レムニスケート曲線の原点を通る接線の傾きとなる。そして、領域Ｓ内で、直線Ｌで表される切換面上で拘束されつつ、直線Ｌ上を移動する。
【０１６４】
上記のように、ＳＭＣ２０は、レムニスケート曲線の軌跡で表される切換面を用いて、スライディング制御を行う。これにより、制御対象のモデルがオーバーダンピング特性をもつ場合には、レムニスケート曲線の軌跡で表される切換面によりスライディング制御を行うことで、エネルギー消費量を抑制しつつ、ロバスト性の高い制御を実現できる。
【符号の説明】
【０１６５】
１１…プラント
１２…プラントノミナルモデル
２０…スライディングモードコントローラ（ＳＭＣ）
２１…減算器
２２…誤差観測推定部
２３…制御領域判定部
２４…切換面生成部
２５…等価制御入力演算部
２６…切換制御入力演算部
２７…加算器
【図１】
2015195009.tif 000048
【図２ａ】
2015195009.tif 000049
【図２ｂ】
2015195009.tif 000050
【図３】
2015195009.tif 000051
【図４】
2015195009.tif 000052
【図５】
2015195009.tif 000053
【図６】
2015195009.tif 000054
【図７】
2015195009.tif 000055
【図８】
2015195009.tif 000056
【図９】
2015195009.tif 000057
【図１０】
2015195009.tif 000058
【図１１】
2015195009.tif 000059
【図１２】
2015195009.tif 000060
【図１３】
2015195009.tif 000061
【図１４】
2015195009.tif 000062
【図１５】
2015195009.tif 000063
【図１６】
2015195009.tif 000064
【図１７】
2015195009.tif 000065
【図１８】
2015195009.tif 000066
【図１９】
2015195009.tif 000067
【図２０】
2015195009.tif 000068