(57)【要約】【課題】フィラーの分布形態を示すパラメータを用い、このパラメータの数値を変更することでフィラーの分布形態を変更することができる複合材料のシミュレーションモデルを作成する。【解決手段】コンピュータが、格子上の各単位胞を設定した占有確率ｐ（０＜ｐ＜０．５）で単位要素に占有させることで前記単位要素が連続するクラスターからなるクラスター群を発生させるステップ、前記発生させたクラスター群を、占有する単位胞数毎のクラスターに分類するステップ、前記分類されたクラスターを、占有する単位胞数が大きいクラスターから順に選択し、選択されたクラスターが占有する単位胞数を累積した累積単位胞数が、前記格子上の全単位胞数に対して設定した体積比率φ（０＜φ≦ｐ）を超えるまで選択するステップ、前記選択されたクラスターが占有する単位胞を母相に囲まれたフィラー相とするシミュレーションモデルを生成するステップ、を含む。【選択図】  図３
2015172815.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
母相中にフィラー相が分散された複合材料の単位要素を格子上の各単位胞に配置したと仮定することにより行うシミュレーション方法であって、
コンピュータが、
格子上の各単位胞を設定した占有確率ｐ（０＜ｐ＜０．５）で単位要素に占有させることで前記単位要素が連続するクラスターからなるクラスター群を発生させるステップ、
前記発生させたクラスター群を、占有する単位胞数毎のクラスターに分類するステップ、
前記分類されたクラスターを、占有する単位胞数が大きいクラスターから順に選択し、選択されたクラスターが占有する単位胞数を累積した累積単位胞数が、前記格子上の全単位胞数に対して設定した体積比率φ（０＜φ≦ｐ）を超えるまで選択するステップ、および、
前記選択されたクラスターが占有する単位胞を母相に囲まれたフィラー相とするシミュレーションモデルを生成するステップ、
を含む、複合材料のシミュレーション方法。
【請求項２】
コンピュータが、
格子上の各単位胞を任意の占有確率で占有する単位要素同士が連続するクラスター群の質量フラクタル次元と、前記任意の占有確率とをあらかじめ対応付けるステップをさらに含み、
前記クラスター群を発生させるステップは、前記対応付けるステップにおいて対応付けられた、設定した質量フラクタル次元Ｄｍに対応する占有確率ｐで、前記格子上の各単位胞を単位要素に占有させることで前記単位要素が連続するクラスターを発生させる、請求項１に記載の複合材料のシミュレーション方法。
【請求項３】
前記クラスター群を発生させるステップは、
コンピュータが、
前記格子上の各単位胞に０以上１以下の乱数を付与するステップ、および、
前記各単位胞に付与された乱数が前記占有確率よりも小さい単位胞を前記単位要素に占有させるステップ、を含む、請求項１又は２に記載の複合材料のシミュレーション方法。
【請求項４】
前記格子の単位胞を立方体形状とする、請求項１〜３のいずれか一項に記載の複合材料のシミュレーション方法。
【請求項５】
前記選択されたクラスターを表示するステップ、
をさらに含む、請求項１〜４のいずれか一項に記載のシミュレーション方法。
【請求項６】
前記シミュレーションモデルを用いて、母相にフィラー相が分散した複合材料の性能をシミュレーションするステップ、
を含む、請求項１〜５のいずれか一項に記載のシミュレーション方法。
【請求項７】
母相中にフィラー相が分散された複合材料の単位要素を格子上の各単位胞に配置したと仮定することにより行うシミュレーションをコンピュータに実行させるプログラムであって、
コンピュータを、
格子上の各単位胞を設定した占有確率ｐ（０＜ｐ＜０．５）で単位要素に占有させることで前記単位要素が連続するクラスターからなるクラスター群を発生させる発生手段、
前記発生させたクラスター群を、占有する単位胞数毎のクラスターに分類する分類手段、
前記分類されたクラスターを、占有する単位胞数が大きいクラスターから順に選択し、選択されたクラスターが占有する単位胞数を累積した累積単位胞数が、前記格子上の全単位胞数に対して設定した体積比率φ（０＜φ≦ｐ）を超えるまで選択する選択手段、および、
前記選択されたクラスターが占有する単位胞を母相に囲まれたフィラー相とするシミュレーションモデルを生成する生成手段、
として機能させるためのプログラム。
【請求項８】
コンピュータを、さらに、格子上の各単位胞を任意の占有確率で占有する単位要素同士が連続するクラスター群の質量フラクタル次元と、前記任意の占有確率とをあらかじめ対応付ける対応付け手段として機能させ、
前記発生手段は、前記対応付けられた、所定の質量フラクタル次元Ｄｍに対応する占有確率ｐで、格子上の各単位胞を単位要素に占有させることで前記単位要素が連続するクラスターを発生させる、請求項７に記載のプログラム。
【請求項９】
母相中にフィラー相が分散された複合材料の単位要素を格子上の各単位胞に配置したと仮定することにより行うシミュレーションを行うシミュレーション装置であって、
格子上の各単位胞を設定した占有確率ｐ（０＜ｐ＜０．５）で単位要素に占有させることで前記単位要素が連続するクラスターからなるクラスター群を発生させる発生手段、
前記発生させたクラスター群を、占有する単位胞数毎のクラスターに分類する分類手段、
前記分類されたクラスターを、占有する単位胞数が大きいクラスターから順に選択し、選択されたクラスターが占有する単位胞数を累積した累積単位胞数が、前記格子上の全単位胞数に対して設定した体積比率φ（０＜φ≦ｐ）を超えるまで選択する選択手段、
前記選択されたクラスターが占有する単位胞を母相に囲まれたフィラー相とするシミュレーションモデルを生成する生成手段、
を備える、シミュレーション装置。
【請求項１０】
格子上の各単位胞を任意の占有確率で占有する単位要素同士が連続するクラスター群の質量フラクタル次元と、前記任意の占有確率とをあらかじめ対応付ける対応付け手段をさらに備え、
前記発生手段は、前記対応付けられた、所定の質量フラクタル次元Ｄｍに対応する占有確率ｐで、格子上の各単位胞を単位要素に占有させることで前記単位要素が連続するクラスターを発生させる、請求項９に記載のシミュレーション装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、母相中にフィラー相が分散された複合材料の単位要素を格子上の各単位胞に配置したと仮定することにより行う複合材料のシミュレーション方法、このシミュレーションをコンピュータに実行させるプログラム、および、このシミュレーションを行うシミュレーション装置に関する。
【背景技術】
【０００２】
タイヤ等には、ゴムや樹脂等の母材中にカーボンブラック、シリカ等の充填剤（フィラー）が分散された複合材料が用いられている。このような複合材料における粘弾性特性等の力学的特性を算出するために、複合材料の変形を再現するシミュレーション方法が提案されている。
例えば、特許文献１には、上記シミュレーションに用いる第１の材料および第２の材料を含む不均質材料モデルの作成方法として、不均質材料全体の領域をメッシュ分割した第１のメッシュモデルの中に、第２の材料の領域をメッシュ分割した第２のメッシュモデルを配置する方法が記載されている。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００３】
【特許文献１】特開２０１２−７９１７９号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００４】
ところで、カーボンブラックやシリカ等のフィラーをゴム等の母材に分散させた複合材料では、フィラーの分布形態によって特性（例えば、粘弾性特性等の力学的特性、熱力学的特性、電磁気的特性等）が変化する。このため、複合材料の開発においては、複合材料におけるフィラーの分布形態と、複合材料の特性との関係を理解する必要がある。
複合材料におけるフィラーの分布形態と、特性との関係を把握するためには、フィラーの分布形態を種々に変化させることができるシミュレーションモデルを作成し、これを用いて特性のシミュレーションを行うことが有効である。
【０００５】
そこで、本発明は、フィラーの分布形態を示すパラメータを用い、このパラメータの数値を変更することでフィラーの分布形態を変更することができる複合材料のシミュレーションモデルを作成する複合材料のシミュレーション方法、このシミュレーションをコンピュータに実行させるプログラム、および、このシミュレーションを行うシミュレーション装置を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００６】
本発明の第１の態様は、母相中にフィラー相が分散された複合材料の単位要素を格子上の各単位胞に配置したと仮定することにより行うシミュレーション方法であって、
コンピュータが、格子上の各単位胞を設定した占有確率ｐで単位要素に占有させることで前記単位要素が連続するクラスターからなるクラスター群を発生させるステップ、
前記発生させたクラスター群を、占有する単位胞数毎のクラスターに分類するステップ、
前記分類されたクラスターを、占有する単位胞数が大きいクラスターから順に選択し、選択されたクラスターが占有する単位胞数を累積した累積単位胞数が、前記格子上の全単位胞数に対して設定した体積比率φを超えるまで選択するステップ、
前記選択されたクラスターが占有する単位胞を母相に囲まれたフィラー相とするシミュレーションモデルを生成するステップ、
を含む、複合材料のシミュレーション方法である。
ここで、０＜φ≦ｐ＜０．５であることが好ましい。
【０００７】
上記の複合材料のシミュレーション方法において、コンピュータが、格子上の各単位胞を任意の占有確率で占有する単位要素同士が連続するクラスター群の質量フラクタル次元と、前記占有確率とをあらかじめ対応付けるステップをさらに含み、
前記クラスター群を発生させるステップは、前記対応付けるステップにおいて対応付けられた、所定の質量フラクタル次元Ｄｍに対応する占有確率ｐで、格子上の各単位胞を単位要素に占有させることで前記単位要素が連続するクラスターを発生させる、ことが好ましい。
【０００８】
前記クラスター群を発生させるステップは、コンピュータが、
格子上の各単位胞に０以上１以下の乱数を付与するステップ、
前記各単位胞に付与された乱数が前記占有確率よりも小さい単位胞を前記単位要素に占有させるステップ、を含む、ことが好ましい。
【０００９】
前記格子の単位胞を立方体形状とする、ことが好ましい。
【００１０】
前記選択されたクラスターを表示するステップ、
をさらに含む、ことが好ましい。
【００１１】
前記シミュレーションモデルを用いて、母相にフィラー相が分散した複合材料の性能をシミュレーションするステップ、
を含む、ことが好ましい。
【００１２】
本発明の第２の態様は、母相中にフィラー相が分散された複合材料の単位要素を格子上の各単位胞に配置したと仮定することにより行うシミュレーションをコンピュータに実行させるプログラムであって、
コンピュータを、
格子上の各単位胞を設定した占有確率ｐで単位要素に占有させることで前記単位要素が連続するクラスターからなるクラスター群を発生させる発生手段、
前記発生させたクラスター群を、占有する単位胞数毎のクラスターに分類する分類手段、
前記分類されたクラスターを、占有する単位胞数が大きいクラスターから順に選択し、選択されたクラスターが占有する単位胞数を累積した累積単位胞数が、前記格子上の全単位胞数に対して設定した体積比率φを超えるまで選択する選択手段、
前記選択されたクラスターが占有する単位胞を母相に囲まれたフィラー相とするシミュレーションモデルを生成する生成手段、
として機能させるためのプログラムである。
【００１３】
前記プログラムは、コンピュータを、さらに、格子上の各単位胞を任意の占有確率で占有する単位要素同士が連続するクラスター群の質量フラクタル次元と、前記任意の占有確率とをあらかじめ対応付ける対応付け手段として機能させ、
前記発生手段は、前記対応付けられた、所定の質量フラクタル次元Ｄｍに対応する占有確率ｐで、格子上の各単位胞を単位要素に占有させることで前記単位要素が連続するクラスターを発生させる、ことが好ましい。
【００１４】
本発明の第３の態様は、母相中にフィラー相が分散された複合材料の単位要素を格子上の各単位胞に配置したと仮定することにより行うシミュレーションを行うシミュレーション装置であって、
格子上の各単位胞を設定した占有確率ｐで単位要素に占有させることで前記単位要素が連続するクラスターからなるクラスター群を発生させる発生手段、
前記発生させたクラスター群を、占有する単位胞数毎のクラスターに分類する分類手段、
前記分類されたクラスターを、占有する単位胞数が大きいクラスターから順に選択し、選択されたクラスターが占有する単位胞数を累積した累積単位胞数が、前記格子上の全単位胞数に対して設定した体積比率φを超えるまで選択する選択手段、
前記選択されたクラスターが占有する単位胞を母相に囲まれたフィラー相とするシミュレーションモデルを生成する生成手段、
を備えることを特徴とする。
【００１５】
前記シミュレーション装置は、格子上の各単位胞を任意の占有確率で占有する単位要素同士が連続するクラスター群の質量フラクタル次元と、前記任意の占有確率とをあらかじめ対応付ける対応付け手段をさらに備え、
前記発生手段は、前記対応付けられた、所定の質量フラクタル次元Ｄｍに対応する占有確率ｐで、格子上の各単位胞を単位要素に占有させることで前記単位要素が連続するクラスターを発生させる、ことが好ましい。
【発明の効果】
【００１６】
上述の態様によれば、フィラーの占有確率ｐを所定の値φ以上の値で変動させてフィラーの分布形態を変更しながら、フィラーの体積比率を所定の値φとする複合材料のシミュレーションモデルを作成することができる。
【図面の簡単な説明】
【００１７】
【図１】本発明の第１実施形態のシミュレーション装置１Ａを構成するコンピュータ１を示す図である。
【図２】本発明の第１実施形態のシミュレーション装置１Ａの機能ブロック図である。
【図３】本発明の第１実施形態のシミュレーション装置１Ａにより不均質材料のモデルを生成するプロセスを説明するフローチャートである。
【図４】（ａ）は、２次元格子の各単位胞に対応付けた０以上１以下の乱数を、０に黒色、１に白色、０と１との間に中間色を対応付けたグレースケールにより示した図である。（ｂ）は（ａ）に示す２次元格子において、占有確率ｐ以下の乱数が対応付けられた単位胞を黒色、占有確率ｐよりも大きい乱数が対応付けられた単位胞を白色で示した図である。（ｃ）は（ｂ）の単位要素のうち、クラスターサイズｓが大きいクラスターの単位要素を黒色で示し、クラスターサイズｓが小さいクラスターの単位要素を灰色で示した図である。
【図５】（ａ）は複合材料の原子間力顕微鏡（ＡＦＭ）による画像である。（ｂ）は１２８×１２８×１２８の格子に対して生成した不均質材料のモデルを（ａ）の画像と同サイズで表示した一断面図である。
【図６】本発明の第２実施形態のシミュレーション装置１Ｂの機能ブロック図である。
【図７】占有確率ｐ＝０．３のクラスター群のクラスターサイズｓと回転半径Ｒｇとをプロットした散布図である。
【図８】クラスターサイズｓ毎のクラスター数を示すヒストグラムである。
【図９】（ａ）モデルサイズ６４×６４×６４における占有確率ｐと質量フラクタル次元Ｄｍとの関係を示す図である。（ｂ）モデルサイズ１２８×１２８×１２８における占有確率ｐと質量フラクタル次元Ｄｍとの関係を示す図である。
【図１０】本発明の第２実施形態のシミュレーション装置１Ｂにより不均質材料のモデルを生成するプロセスを説明するフローチャートである。
【図１１】実施例１の不均質材料のモデルを示す図である。
【図１２】実施例２の不均質材料のモデルを示す図である。
【図１３】実施例３の不均質材料のモデルを示す図である。
【図１４】実施例４の不均質材料のモデルを示す図である。
【図１５】実施例５の不均質材料のモデルを示す図である。
【図１６】実施例６の不均質材料のモデルを示す図である。
【図１７】実施例７の不均質材料のモデルを示す図である。
【図１８】実施例８の不均質材料のモデルを示す図である。
【図１９】実施例９の不均質材料のモデルを示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００１８】
以下、本発明の実施形態に係る複合材料のシミュレーション方法、このシミュレーションをコンピュータに実行させるプログラム、および、このシミュレーションを行うシミュレーション装置について、図面を参照して詳細に説明する。
【００１９】
（第１実施形態）
図１は、本発明の第１実施形態に係る複合材料のシミュレーションを行うシミュレーション装置１Ａを構成するコンピュータ１を示す図である。シミュレーション装置１Ａは、ＣＰＵ（Central Processing Unit）１１、ＲＯＭ１２（Read Only Memory）、ＲＡＭ（Random Access Memory）１３、入力装置１４、出力装置１５等を備えるコンピュータである。
ＣＰＵ１１は、ＲＯＭ１２に記録されたプログラムをＲＡＭ１３に読み込み、実行する。ＲＯＭ１２には、コンピュータを、母相中にフィラー相が分散された複合材料の単位要素を格子上の各単位胞に配置したと仮定することにより行うシミュレーションを行うシミュレーション装置として機能させるためのプログラム等が格納されている。
なお、以下の説明では、本実施形態のシミュレーション装置１Ａにより３次元モデルを作成する例について説明するが、本発明はこれに限られず、２次元モデルを作成してもよい。
【００２０】
ＲＡＭ１３には、後述するように、オペレータによって入力装置１４により入力される占有確率ｐ（０＜ｐ＜０．５）、体積比率φ（０＜φ≦ｐ）、格子上の全単位胞数Ｔ、フィラー相および母相の材料定数が記憶される。
また、ＲＡＭ１３には、後述するように、格子上の各単位胞に付与される乱数が記憶される。
また、ＲＡＭ１３には、後述するように、発生するクラスターに付与されるクラスター識別番号と、クラスターを構成する単位要素が対応付けられる単位胞とが対応付けられて記憶される。
さらに、ＲＡＭ１３には、後述するように、クラスターサイズｓ毎にクラスターのクラスター識別番号を対応付ける対応表が記憶される。
また、ＲＡＭ１３には、後述するように、クラスターを選択する際の演算に用いる累積単位胞数Ｓが記憶される。
【００２１】
入力装置１４は、例えばマウス、キーボード等である。
出力装置１５は、例えば液晶ディスプレイ、有機ＥＬディスプレイ等の表示装置、プリンタ等である。
【００２２】
次に、本実施形態のシミュレーション装置１Ａで実現される機能について説明する。図２は本実施形態のシミュレーション装置１Ａにおいてシミュレーションを行う上で主要な役割を果たす機能を説明するための機能ブロック図である。シミュレーション装置１Ａは、ＲＯＭ１２に格納されたプログラムがＲＡＭ１３に読み込まれ、実行されることで、図２に示す各機能を実行する手段として動作する。この際、必要に応じて情報が入力装置１４より入力され、または、出力装置１５より出力される。
【００２３】
発生手段２１は、格子上の各単位胞を設定した占有確率ｐで単位要素に占有させることで前記単位要素が連続するクラスターからなるクラスター群を発生させる。
例えば、コンピュータがあらかじめ設定しておいた格子上の各単位胞に、０以上１以下の乱数を付与する。付与された乱数は、単位胞毎に対応付けてＲＡＭ１３に記憶される。
次に、占有確率ｐよりも小さい乱数が対応付けられた単位胞に、クラスターを構成する単位要素を付与する。これにより、格子上を占有確率ｐで占有する単位要素およびこの単位要素が連続するクラスターを発生させることができる。
【００２４】
ここで、「単位要素が連続する」とは、例えば、３次元モデルでは、単位要素に占有された隣接する単位胞同士が面で接触することをいい、２次元モデルでは、単位要素に占有された隣接する単位胞同士が線で接触することをいう。なお、３次元モデルにおいて、単位要素に占有された隣接する単位胞同士が線または点で接触する場合に「単位要素が連続する」としてもよい。同様に、２次元モデルにおいて、単位要素に占有された隣接する単位胞同士が点で接触する場合に「単位要素が連続する」としてもよい。
【００２５】
発生させた各クラスターには、クラスター識別番号が付されるとともに、クラスターを構成する単位要素が対応付けられる単位胞がクラスター識別番号毎に対応付けられてＲＡＭ１３に記録される。
なお、格子の各単位胞の形状は特に限定されないが、境界条件の設定のしやすさから、立方体形状であることが好ましい。すなわち、各単位胞は、上下方向、左右方向、前後方向にそれぞれ他の単位胞（合計６つの単位胞）と隣接する形状であることが好ましい。
【００２６】
分類手段２２は、発生手段２１が発生させたクラスター群を、クラスターサイズｓ（各クラスターを構成する単位要素の数）毎のクラスターに分類する。例えば、コンピュータが、各クラスターを構成する単位要素が対応付けられる単位胞の数（クラスターサイズｓ）毎にクラスター識別番号を対応付けてＲＡＭ１３に記憶させる。
【００２７】
選択手段２３は、分類されたクラスターを、クラスターサイズｓが大きいクラスターから順に選択し、選択されたクラスターのクラスターサイズｓを累積した累積単位胞数Ｓが、格子上の全単位胞数Ｔに設定した体積比率φを乗じた値φＴを超えるまで選択する。
具体的には、コンピュータが、ＲＡＭ１３に記憶されたクラスターサイズｓとクラスター識別番号との対応表を参照し、最も大きいクラスターサイズｓに対応付けられたクラスター識別番号が付されたクラスターの１つを選択するとともに、選択されたクラスターのクラスターサイズｓを加算して累積単位胞数Ｓとする。次に、二番目に大きいクラスターサイズｓに対応付けられたクラスター識別番号が付されたクラスターの１つを順に選択するとともに、選択されたクラスターのクラスターサイズｓを加算して新たな累積単位胞数Ｓに書き換える。なお、同一のクラスターサイズに対応付けられたクラスター識別番号が複数ある場合は、そのいずれかのクラスター識別番号をランダムに選択してもよい。
以上のステップを、累積単位胞数ＳがφＴを超えるまで繰り返す。後述するように、累積単位胞数ＳがφＴを超えた時点までに選択されたクラスターが占有する単位胞をフィラー相とし、他の単位胞を母相とすることで、フィラー相が体積比率φの不均質材料のモデルが生成される。
【００２８】
生成手段２４は、選択手段２３により選択されたクラスターが占有する単位胞を母相に囲まれたフィラー相とする不均質材料のモデルを生成する。
具体的には、コンピュータが、選択手段２３により選択されたクラスター識別番号に対応付けられたクラスターの単位要素に対応付けられた単位胞をフィラー相とし、それ以外の単位胞を母相として各単位胞に材料定数を付与する。さらに、モデルを変形させるための境界条件を設定する。なお、オペレータが入力装置１４より入力した条件に基づいて境界条件を設定してもよい。これにより、有限要素法による演算が可能な不均質材料のモデルが生成される。なお、メッシュフリー法による不均質材料のモデルを生成させてもよい。
【００２９】
算出手段２５は、生成手段２４により生成された不均質材料のモデルを用いて、母相にフィラー相が分散した複合材料の性能を示すパラメータを算出する。具体的には、生成手段２４により設定された境界条件に基づき、さらに荷重や強制変位を付与してモデルを変形させて力学的挙動を再現するシミュレーションを行う。例えば、シミュレーションモデルの対向する２辺に外力や強制変位を与える１軸引張試験や２軸引張試験が再現される。
【００３０】
本実施形態に係るシミュレーション装置１Ａは、さらに、表示手段２６の機能を備えていてもよい。表示手段２６は、選択手段２３により選択されたクラスターを表示させる。具体的には、コンピュータが、選択手段２３により選択されたクラスターのクラスター識別番号に対応付けられたクラスターの単位要素に対応付けられた単位胞を第１の色（例えば白色）、それ以外の単位胞を第２の色（例えば黒色）として、格子内の全単位胞を出力装置１５から出力させる。すなわち、表示装置により表示させ、あるいはプリンタ等により印刷する。
また、表示手段２６は、シミュレーションモデルにおける力学的挙動を再現するシミュレーション結果を出力する。
【００３１】
ここで、本実施形態のシミュレーション装置１Ａにより行われるシミュレーションモデルを生成するまでのＣＰＵ１１の動作の一例について、図３のフローチャートを参照して説明する。
まず、ＣＰＵ１１は、オペレータによって入力装置１４により入力された占有確率ｐおよび体積比率φをＲＡＭ１３に記憶させる（ステップＳ１）。
次に、ＣＰＵ１１は、あらかじめ設定しておいた格子上の各単位胞に、０以上１以下の乱数を付与する（ステップＳ２）。
【００３２】
次に、ＣＰＵ１１は、占有確率ｐよりも小さい乱数が対応付けられた単位胞に、単位要素を対応付け、単位要素により構成されるクラスターを発生させる（ステップＳ３）。
次に、ＣＰＵ１１は、生成された各クラスターにクラスター識別番号を付与するとともに、クラスター識別番号毎に単位要素が対応付けられる単位胞の座標をＲＡＭ１３に記録する（ステップＳ４）。
【００３３】
次に、ＣＰＵ１１は、各クラスターをクラスターサイズｓ（各クラスターを構成する単位要素の数）毎に分類する（ステップＳ５）。
次に、ＣＰＵ１１は、クラスターサイズｓ毎に分類された複数のクラスターのうち、まだ選択されていないクラスターの中から、クラスターサイズｓが最も大きいクラスターの１つを選択する（ステップＳ６）。なお、まだ選択されていないクラスターの中から、φＴ−Ｓに最も近いクラスターサイズｓを有するクラスターの１つを選択してもよい。
次に、ＣＰＵ１１は、ステップＳ６で選択されたクラスターのクラスターサイズｓを累積単位胞数Ｓに加算し、新たな累積単位胞数Ｓに書き換える（ステップＳ７）。なお、累積単位胞数Ｓの初期値は０である。
【００３４】
次に、ＣＰＵ１１は、累積単位胞数Ｓが格子上の全単位胞数Ｔに対してφＴを超えたか否かを判定する（ステップＳ８）。累積単位胞数ＳがφＴ以下である場合（ステップＳ８：ＮＯ）、ＣＰＵ１１はステップＳ６に戻る。
【００３５】
累積単位胞数ＳがφＴを越えた場合（ステップＳ８：ＹＥＳ）、ＣＰＵ１１はクラスターの選択を終了し、これまでに選択されたクラスターが占有する単位胞をフィラー相とし、他の単位胞を母相とし、各単位胞に材料定数を付与し、境界条件を設定する。以上により、母相中にクラスター状のフィラー相が分散する不均質材料を再現したモデルが生成される（ステップＳ９）。
【００３６】
図４（ａ）は、２次元モデルにおいて、格子の各単位胞に対応付けた０以上１以下の乱数を、０に黒色、１に白色、０と１との間に中間色を対応付けたグレースケールにより示した図である。図４（ａ）に示す格子の状態が図３のステップＳ２に対応する。
図４（ｂ）は図４（ａ）に示す２次元格子において、占有確率ｐ以下の乱数が対応付けられた単位胞を黒色、占有確率ｐよりも大きい乱数が対応付けられた単位胞を白色で示した図である。図４（ｂ）に黒色で示された単位胞が図３のステップＳ３におけるクラスターを構成する単位要素であり、各単位要素が縦または横に連続したものがクラスターである。
図４（ｃ）は図４（ｂ）の単位要素のうち、クラスターサイズｓが大きいクラスターの単位要素を黒色で示し、クラスターサイズｓが小さいクラスターの単位要素を灰色で示した図である。黒色で示された単位要素数の合計Ｓは、２次元格子の全単位胞数Ｔに対してφＴを超えている。図４（ｃ）に黒色で示された単位胞が図３のステップＳ９においてフィラー相とされる単位胞に相当する。
【００３７】
図５（ａ）はニトリルゴム（母材）１００重量部に対して、カーボンブラック（フィラー）５０重量部を混合してなる複合材料の原子間力顕微鏡（ＡＦＭ）による画像である。
図５（ｂ）は１２８×１２８×１２８の格子に対して上記実施形態に示す方法により生成したシミュレーションモデルを図５（ａ）の画像と同サイズで表示した一断面図である。なお、占有確率ｐ＝０．２０、φ＝０．２０とした。図５（ａ）と図５（ｂ）とを比較すると、本実施形態により生成される不均質材料のモデルは実際の複合材料の構成を再現していることがわかる。
【００３８】
以上のように、本実施形態によれば、フィラーの占有確率ｐを変動させることでフィラーの分布形態を変更しながら、フィラーの体積比率を所定の値φとする複合材料のシミュレーションモデルを作成することができる。
【００３９】
このように作成された不均質材料のモデルを用いて、母相にフィラー相が分散した複合材料の性能を示すパラメータを算出することができる。本実施形態では、複合材料の性能を示すパラメータとして、例えば粘弾性特性等の力学的特性を算出することができる。この他に、複合材料の性能を示すパラメータは、熱力学的特性、電磁気的特性等を示すパラメータであってもよい。具体的には、弾性定数、降伏点、粘度、比熱、電気伝導率等である。これにより、格子に形成された複合材料に入力を加えた時の出力をシミュレーションにより求めることができる。
【００４０】
（第２実施形態）
図６は本発明の第２の実施形態に係るシミュレーション装置１Ｂにおいてシミュレーションを行う上で主要な役割を果たす機能を説明するための機能ブロック図である。
本実施形態に係るシミュレーション装置１Ｂは、図２に示すシミュレーション装置１Ａに加えて、さらに、対応付け手段２７の機能を備えている。対応付け手段２７は、格子上の各単位胞を設定した占有確率ｐで占有する単位要素同士が連続するクラスター群の質量フラクタル次元Ｄｍと、占有確率ｐとをあらかじめ対応付ける。
具体的には、発生手段２１が発生させた、設定した占有確率ｐのクラスター群に対し、各クラスター毎に回転半径Ｒｇを求める。
【００４１】
例えば、格子が三次元であり、発生したクラスターが三次元である場合、クラスターの回転半径Ｒｇは以下のようにして求めることができる。
Ｎ個の単位胞を占有する単位要素が連続するクラスター（クラスターサイズｓ＝Ｎ）の各単位要素の座標を（ｘｉ、ｙｉ、ｚｉ）とする（ｉ＝１、２、…Ｎ）。このとき、クラスターの重心の座標（ｘｇ、ｙｇ、ｚｇ）は、以下の式で表される。
【００４２】
【数１】
2015172815.tif 000003
【００４３】
クラスターの回転半径Ｒｇは、クラスターを構成する各単位要素の重心からの平均距離であり、以下の式により求めることができる。
【００４４】
【数２】
2015172815.tif 000004
【００４５】
次に、設定した占有確率ｐのクラスター群を構成する全てのクラスターのｓとＲｇとの関係をプロットし、ｓ１／ＤｍがＲｇに比例するような（Ｒｇ〜ｓ１／Ｄｍとなる）Ｄｍを求める。このＤｍを、占有確率ｐのクラスター群の質量フラクタル次元とすることができる。
【００４６】
図７は占有確率ｐ＝０．３のクラスター群のクラスターサイズｓと回転半径Ｒｇとをプロットした散布図である。なお、クラスターサイズｓ、回転半径Ｒｇのいずれも対数軸で示されている。図７中の実線が近似直線であり、この傾きが質量フラクタル次元Ｄｍである。クラスターサイズｓが小さいほど回転半径Ｒｇにばらつきが大きい一方、クラスターサイズｓが大きいクラスターほど回転半径Ｒｇのばらつきは小さい。
図８はクラスターサイズｓ毎のクラスター数を示すヒストグラムである。図８に示すように、クラスターサイズｓの大きいクラスター数は少なく、クラスターサイズの小さいクラスター数が非常に多くなっている。
【００４７】
図９（ａ）、（ｂ）は図７のようにして求めた、占有確率ｐと質量フラクタル次元Ｄｍとの関係を示す図である。なお、モデルサイズは図９（ａ）では６４×６４×６４、図９（ｂ）では１２８×１２８×１２８とした。
図９（ａ）に示すように、モデルサイズ６４×６４×６４では、占有確率ｐが０．１５以上の範囲（特に０．１５≦ｐ≦０．３５の範囲）において、占有確率ｐが増加するにつれて質量フラクタル次元Ｄｍが１．８から２．３まで増加することがわかる。
図９（ｂ）に示すように、モデルサイズ１２８×１２８×１２８では、占有確率ｐが０．１５以上の範囲（特に０．１５≦ｐ≦０．３５の範囲）において、占有確率ｐが増加するにつれて質量フラクタル次元Ｄｍが１．８から２．２まで増加することがわかる。
このように、占有確率ｐと質量フラクタル次元Ｄｍとが１対１対応の関係にある範囲において、設定した占有確率ｐのクラスター群の質量フラクタル次元Ｄｍを求めることができる。
【００４８】
図９（ａ）、（ｂ）に示すように、占有確率ｐと質量フラクタル次元Ｄｍとが１対１対応の関係にある範囲において、質量フラクタル次元Ｄｍと占有確率ｐとの対応関係を、ルックアップテーブルとしてＲＯＭ１２に記憶させておくことで、あらかじめ占有確率ｐと質量フラクタル次元Ｄｍとを対応付けることができる。フィラーの分布形態を示すパラメータとして占有確率ｐの代わりに質量フラクタル次元Ｄｍを指定して不均質材料のモデルを生成させることができる。
【００４９】
ここで、本実施形態のシミュレーション装置１Ｂにより行われる不均質材料のモデルを生成するまでのＣＰＵ１１の動作の一例について、図１０のフローチャートを参照して説明する。
まず、ＣＰＵ１１は、あらかじめサイズ、次元、形状が設定された格子における、占有確率ｐと質量フラクタル次元Ｄｍとを関係付けたルックアップテーブルを作成し、ＲＯＭ１２に記憶させておく（ステップＳ１０）。
次に、ＣＰＵ１１は、オペレータによって入力装置１４により入力された質量フラクタル次元Ｄｍおよび体積比率φをＲＡＭ１３に記憶させる（ステップＳ１１）。このとき、質量フラクタル次元Ｄｍは、ステップＳ１０において上記ルックアップテーブルに記憶されたＤｍの範囲内とする。また、体積比率φは、質量フラクタル次元Ｄｍと対応する占有確率ｐよりも小さい値とする。
以後、第１実施形態のステップＳ２〜Ｓ９と同様にしてステップＳ１２〜Ｓ１９の処理が行われる。以上により、不均質材料を再現したモデルが生成される。
【００５０】
以上説明したように、本実施形態によれば、所定の質量フラクタル次元Ｄｍに対応する占有確率ｐで、格子上の各単位胞を単位要素に占有させてクラスターを発生させることができる。
質量フラクタル次元は、実際に作成した複合材料のサンプルを用いてフィラーの分散を評価する予備実験において、フィラーの分散状態の評価に用いることができる。本実施形態によれば、占有確率ｐと質量フラクタル次元Ｄｍとを対応付けておくことで、予備実験の結果に基づき、所定の質量フラクタル次元Ｄｍで分散したフィラーの不均質材料のモデルを作成することができる。質量フラクタル次元Ｄｍによってフィラーの分散状態を定義することで、簡便に、かつ、サイズによる制約を受けずに不均質材料のモデルを作成することができる。
【００５１】
なお、生成された不均質材料のモデルでは、クラスターサイズｓが小さいクラスターが選択されておらず、生成されたモデルでは占有確率がｐよりも低下している。このため、占有確率の低下により、質量フラクタル次元がＤｍよりも低下することが懸念される。しかし、図７においてクラスターサイズｓが小さいクラスターに対応する点を除去しても、近似直線の傾きにはほとんど変化がなく、質量フラクタル次元Ｄｍの変化はほとんどない。このため、生成された不均質材料のモデル（クラスターサイズｓが小さいクラスターが除外された不均質材料のモデル）における質量フラクタル次元は、ステップＳ１１で入力された質量フラクタル次元Ｄｍとほぼ等しく、生成された不均質モデルにおいても、フィラー分散状態を質量フラクタル次元Ｄｍにより評価することができる。
【００５２】
なお、占有確率ｐと質量フラクタル次元Ｄｍとを関係付けたルックアップテーブルを作成する際に、任意の占有確率ｐで生成されたクラスターのうち、回転半径Ｒｇにばらつきが大きい、クラスターサイズｓが小さいクラスターをあらかじめ除外してクラスターサイズｓと回転半径Ｒｇとの関係から質量フラクタル次元Ｄｍを求め、占有確率ｐと対応づけておいてもよい。
【００５３】
モデルサイズ６４×６４×８および体積比率φ＝０．０５を同一とし、質量フラクタル次元Ｄｍ（占有確率ｐ）を変化させて実施例１〜３の不均質材料のモデルを作成した。
【実施例１】
【００５４】
モデルサイズ６４×６４×８、質量フラクタル次元Ｄｍ＝１．８５（占有確率ｐ＝０．１５）、体積比率φ＝０．０５として不均質材料のモデルを作成した。フィラー相を白色、母相を黒色として出力した不均質材料のモデルを図１１に示す。
【実施例２】
【００５５】
モデルサイズ６４×６４×８、質量フラクタル次元Ｄｍ＝２．０１（占有確率ｐ＝０．２５）、体積比率φ＝０．０５として不均質材料のモデルを作成した。フィラー相を白色、母相を黒色として出力した不均質材料のモデルを図１２に示す。
【実施例３】
【００５６】
モデルサイズ６４×６４×８、質量フラクタル次元Ｄｍ＝２．２０（占有確率ｐ＝０．３２）、体積比率φ＝０．０５として不均質材料のモデルを作成した。フィラー相を白色、母相を黒色として出力した不均質材料のモデルを図１３に示す。
【００５７】
モデルサイズ１２８×１２８×１６および体積比率φ＝０．０５を同一とし、質量フラクタル次元Ｄｍ（占有確率ｐ）を変化させて実施例４〜６の不均質材料のモデルを作成した。
【実施例４】
【００５８】
モデルサイズ１２８×１２８×１６、質量フラクタル次元Ｄｍ＝１．８１（占有確率ｐ＝０．１５）、体積比率φ＝０．０５として不均質材料のモデルを作成した。フィラー相を白色、母相を黒色として出力した不均質材料のモデルを図１４に示す。
【実施例５】
【００５９】
モデルサイズ１２８×１２８×１６、質量フラクタル次元Ｄｍ＝１．９８（占有確率ｐ＝０．２５）、体積比率φ＝０．０５として不均質材料のモデルを作成した。フィラー相を白色、母相を黒色として出力した不均質材料のモデルを図１５に示す。
【実施例６】
【００６０】
モデルサイズ１２８×１２８×１６、質量フラクタル次元Ｄｍ＝２．１２（占有確率ｐ＝０．３２）、体積比率φ＝０．０５として不均質材料のモデルを作成した。フィラー相を白色、母相を黒色として出力した不均質材料のモデルを図１６に示す。
【００６１】
実施例１〜３、モデルサイズ１２８×１２８×１６および体積比率φ＝０．０５が同一の実施例４〜６を比較すると、同一の体積比率φであっても、質量フラクタル次元Ｄｍ（占有確率ｐ）を変更することで、フィラーの分散状態が異なる不均質材料のモデルを作成できることがわかる。
【００６２】
次に、占有確率ｐ＝０．３２を同一、質量フラクタル次元Ｄｍをほぼ同一（２．１〜２．２）、体積比率φ＝０．０５を同一とし、モデルサイズを変化させて実施例７〜９の不均質材料のモデルを作成した。
【実施例７】
【００６３】
モデルサイズ６４×６４×８の不均質材料のモデルを作成した。フィラー相を白色、母相を黒色として出力した不均質材料のモデルを図１７に示す。
【実施例８】
【００６４】
モデルサイズ１２８×１２８×１６の不均質材料のモデルを作成した。フィラー相を白色、母相を黒色として出力した不均質材料のモデルを図１８に示す。
【実施例９】
【００６５】
モデルサイズ２５６×２５６×３２の不均質材料のモデルを作成した。フィラー相を白色、母相を黒色として出力した不均質材料のモデルを図１９に示す。
【００６６】
実施例７〜９を比較すると、不均質材料のモデルのサイズを変更しても、フィラー粒子の分散性が維持されることがわかる。
図５（ａ）に示すようなフィラーの凝集体の観察像に基づいて不均質材料のモデルを作成する方法では、モデルにより再現される範囲を観察範囲よりも拡大する場合、観察範囲外に外挿（補外）することになるため、処理が困難である。
これに対し、本発明の実施形態によれば、質量フラクタル次元Ｄｍ（占有確率ｐ）で規定されるフィラー粒子の分散性を維持しながら不均質材料のモデルのサイズを容易に拡大することができる。
【００６７】
以上、本発明の複合材料のシミュレーション方法、プログラム、およびシミュレーション装置について詳細に説明したが、本発明は上記実施形態に限定されず、本発明の主旨を逸脱しない範囲において、種々の改良や変更をしてもよいのはもちろんである。
【符号の説明】
【００６８】
１  コンピュータ
１Ａ、１Ｂ  シミュレーション装置
１１  ＣＰＵ
１２  ＲＯＭ
１３  ＲＡＭ
１４  入力装置
１５  出力装置
２１  発生手段
２２  分類手段
２３  選択手段
２４  生成手段
２５  算出手段
２６  表示手段
【図１】
2015172815.tif 000005
【図２】
2015172815.tif 000006
【図３】
2015172815.tif 000007
【図４】
2015172815.tif 000008
【図５】
2015172815.tif 000009
【図６】
2015172815.tif 000010
【図７】
2015172815.tif 000011
【図８】
2015172815.tif 000012
【図９】
2015172815.tif 000013
【図１０】
2015172815.tif 000014
【図１１】
2015172815.tif 000015
【図１２】
2015172815.tif 000016
【図１３】
2015172815.tif 000017
【図１４】
2015172815.tif 000018
【図１５】
2015172815.tif 000019
【図１６】
2015172815.tif 000020
【図１７】
2015172815.tif 000021
【図１８】
2015172815.tif 000022
【図１９】
2015172815.tif 000023