(57)【要約】【課題】低計算コストであって、タイヤの横曲げモードを含む振動を表現可能なモデルを構築し、当該モデルを用いたタイヤの物理量算出装置を提供する。【解決手段】横曲げモードの固有振動数を算出するために必要な演算式データ１４である横曲げモード用データ１４ａに対し、予め設定された物理パラメータを入力値として横曲げモードの固有振動数を算出する。演算式データ１４である横曲げモード用データ１４ａは、トレッド部を円筒状のトレッドリングとし、サイドウォール部をトレッドリングの両端とホイールを接続する一対のサイドウォールバネと定義したタイヤ力学モデルにおいて、トレッドリングに生じる歪みが０であるという条件を満たすトレッドリングの振動を表す変位関数と、モデルから得られる運動エネルギー及びポテンシャルエネルギーと、を用いてレイリー法を適用することで導出された固有振動数の演算式を演算させるデータである。【選択図】図２
2015094659.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
タイヤ力学モデルの物理パラメータを演算式の入力値とし横曲げモードの固有振動数を算出するために必要な演算式データを記憶する記憶部と、
予め設定された前記物理パラメータを入力値として、前記演算式データに基づき前記横曲げモードの固有振動数を算出する演算部と、を備え、
前記演算式データは、トレッド部を円筒状のトレッドリングとし、サイドウォール部を前記トレッドリングの両端とホイールを接続する一対のサイドウォールバネと定義したタイヤ力学モデルにおいて、前記トレッドリングに生じる歪みが０であるという条件を満たす前記トレッドリングの振動を表す変位関数と、前記モデルから得られる運動エネルギー及びポテンシャルエネルギーと、を用いてレイリー法を適用することで導出された固有振動数の演算式を前記演算部に演算させるデータであることを特徴とするタイヤの物理量算出装置。
【請求項２】
前記演算式データは、前記モデルの物理パラメータ（Ｒ，ｂ，ｌ，ρ，ν，Ｓ０，ＥＩ，Ｋｙ，Ｋθ，Ｋｒ）を入力値とし、次の式（１９）を前記演算部に演算させるためのデータである、請求項１に記載のタイヤの物理量算出装置。
2015094659.tif 000020
ただし、Ｒはトレッドリングの平均半径，ｂはトレッドリングの肉厚，ｌはトレッドリングの半幅，ρはトレッドリングの密度，νはトレッドリングのポアソン比，Ｓ０はトレッドリングにかかる周方向の張力，Ｅはトレッドリングの周方向の縦弾性係数，Ｉはトレッドリングの径方向に関する断面二次モーメント，Ｋｙはサイドウォールバネの横方向の単位周長あたりのばね定数，Ｋθはサイドウォールバネの周方向の単位周長あたりのばね定数，Ｋｒはサイドウォールバネの径方向の単位周長あたりのばね定数、をそれぞれ示す。ｎは振動モードの変位をタイヤ周方向に見たときの波の数、即ち波数である。
【請求項３】
前記横曲げモードに加え、少なくとも横並進モード、面内捩りモード及び径方向モードのいずれかのモードの固有振動数を算出するための演算式データを含む、請求項１又は２に記載のタイヤの物理量算出装置。
【請求項４】
前記演算式データと物理パラメータとに基づき算出される固有振動数の演算値と、予め計測された固有振動数の実測値との誤差をパラメータの一つとして含む目的関数の値が最小値となるように、最適化手法を用いて前記物理パラメータを算出する最適化実行部を備える、請求項１〜３のいずれかに記載のタイヤの物理量算出装置。
【請求項５】
前記目的関数は、横並進モード、面内捩りモード及び径方向モードの少なくともいずれか１つのモードにおける固有振動数の演算値と実測値の誤差をパラメータの一つとして更に含む、請求項４に記載のタイヤの物理量算出装置。
【請求項６】
コンピュータが実行する方法であって、
タイヤ力学モデルの物理パラメータを設定するステップと、
設定された前記物理パラメータと、当該物理パラメータを演算式の入力値として横曲げモードの固有振動数を算出するために必要な演算式データと、を用いて横曲げモードの固有振動数を算出するステップと、を含み、
前記演算式データは、トレッド部を円筒状のトレッドリングとし、サイドウォール部を前記トレッドリングの両端とホイールを接続する一対のサイドウォールバネと定義したタイヤ力学モデルにおいて、前記トレッドリングに生じる歪みが０であるという条件を満たす前記トレッドリングの振動を表す変位関数と、前記モデルから得られる運動エネルギー及びポテンシャルエネルギーと、を用いてレイリー法を適用することで導出された固有振動数の演算式を演算させるデータであることを特徴とするタイヤの物理量算出方法。
【請求項７】
前記モデルの物理パラメータ（Ｒ，ｂ，ｌ，ρ，ν，Ｓ０，ＥＩ，Ｋｙ，Ｋθ，Ｋｒ）を入力値とし、次の式（１９）を演算する、請求項６に記載のタイヤの物理量算出方法。
2015094659.tif 000021
ただし、Ｒはトレッドリングの平均半径，ｂはトレッドリングの肉厚，ｌはトレッドリングの半幅，ρはトレッドリングの密度，νはトレッドリングのポアソン比，Ｓ０はトレッドリングにかかる周方向の張力，Ｅはトレッドリングの周方向の縦弾性係数，Ｉはトレッドリングの径方向に関する断面二次モーメント，Ｋｙはサイドウォールバネの横方向の単位周長あたりのばね定数，Ｋθはサイドウォールバネの周方向の単位周長あたりのばね定数，Ｋｒはサイドウォールバネの径方向の単位周長あたりのばね定数、をそれぞれ示す。ｎは振動モードの変位をタイヤ周方向に見たときの波の数、即ち波数である。
【請求項８】
前記横曲げモードの固有振動数の算出に加え、少なくとも横並進モード、面内捩りモード及び径方向モードのいずれか１つのモードの固有振動数を算出する、請求項６又は７に記載のタイヤの物理量算出方法。
【請求項９】
前記物理パラメータを設定するステップ及び前記固有振動数を算出するステップを繰り返し行うことにより、前記演算式データと物理パラメータとに基づき算出される固有振動数の演算値と、予め計測された固有振動数の実測値との誤差をパラメータの一つとして含む目的関数の値が最小値となるように、最適化手法を用いて前記物理パラメータを算出する、請求項６〜８のいずれかに記載のタイヤの物理量算出方法。
【請求項１０】
前記目的関数は、前記横曲げモードに加え、少なくとも横並進モード、面内捩りモード及び径方向モードのいずれか１つのモードにおける固有振動数の演算値と実測値の誤差をパラメータの一つとして更に含む、請求項９に記載のタイヤの物理量算出方法。
【請求項１１】
請求項６〜１０のいずれかに記載のタイヤの物理量算出方法をコンピュータに実行させるコンピュータプログラム。
【請求項１２】
タイヤ力学モデルの物理パラメータ（Ｒ，ｂ，ｌ，ρ，ν，Ｓ０，ＥＩ，Ｋｙ，Ｋθ，Ｋｒ）のうち未知パラメータの数をＭ個とした場合に、横曲げモードにおけるＭ個の固有振動数を演算式の入力値とし各々の未知パラメータを算出するために必要な連立方程式データを記憶する記憶部と、
予め設定された前記Ｍ個の固有振動数を入力値とし、前記連立方程式データに基づき各々の未知パラメータを算出する演算部と、を備え、
前記連立方程式データは、トレッド部を円筒状のトレッドリングとし、サイドウォール部を前記トレッドリングの両端とホイールを接続する一対のサイドウォールバネと定義したタイヤ力学モデルにおいて、前記トレッドリングに生じる歪みが０であるという条件を満たす前記トレッドリングの振動を表す変位関数と、前記モデルから得られる運動エネルギー及びポテンシャルエネルギーと、を用いてレイリー法を適用することで導出された物理パラメータの連立方程式を前記演算部に演算させるデータであることを特徴とするタイヤの物理量算出装置。
ただし、Ｒはトレッドリングの平均半径，ｂはトレッドリングの肉厚，ｌはトレッドリングの半幅，ρはトレッドリングの密度，νはトレッドリングのポアソン比，Ｓ０はトレッドリングにかかる周方向の張力，Ｅはトレッドリングの周方向の縦弾性係数，Ｉはトレッドリングの径方向に関する断面二次モーメント，Ｋｙはサイドウォールバネの横方向の単位周長あたりのばね定数，Ｋθはサイドウォールバネの周方向の単位周長あたりのばね定数，Ｋｒはサイドウォールバネの径方向の単位周長あたりのばね定数、をそれぞれ示す。
【請求項１３】
前記連立方程式データは、前記モデルの既知の物理パラメータ（Ｒ，ｂ，ｌ，ρ）及び横曲げモードにおける５つの固有振動数を入力値とし、次の式（２３）を前記演算部に演算させるためのデータである、請求項１２に記載のタイヤの物理量算出装置。
2015094659.tif 000022
【請求項１４】
コンピュータが実行する方法であって、
タイヤ力学モデルの物理パラメータ（Ｒ，ｂ，ｌ，ρ，ν，Ｓ０，ＥＩ，Ｋｙ，Ｋθ，Ｋｒ）のうち未知パラメータの数をＭ個とした場合に、横曲げモードにおけるＭ個の固有振動数を設定するステップと、
設定された前記Ｍ個の固有振動数と、当該固有振動数を演算式の入力値として各々の未知パラメータを算出するために必要な連立方程式データと、を用いて各々の未知パラメータを算出するステップと、を含み、
前記連立方程式データは、トレッド部を円筒状のトレッドリングとし、サイドウォール部を前記トレッドリングの両端とホイールを接続する一対のサイドウォールバネと定義したタイヤ力学モデルにおいて、前記トレッドリングに生じる歪みが０であるという条件を満たす前記トレッドリングの振動を表す変位関数と、前記モデルから得られる運動エネルギー及びポテンシャルエネルギーと、を用いてレイリー法を適用することで導出された物理パラメータの連立方程式を演算させるデータであることを特徴とする、タイヤの物理量算出方法。
【請求項１５】
前記モデルの既知の物理パラメータ（Ｒ，ｂ，ｌ，ρ）及び横曲げモードにおける５つの固有振動数を入力値とし、式（２３）を演算する、請求項１４に記載のタイヤの物理量算出方法。
2015094659.tif 000023
【請求項１６】
請求項１４又は１５に記載のタイヤの物理量算出方法をコンピュータに実行させるコンピュータプログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、タイヤの横曲げモードの振動特性を表現するタイヤ力学モデルを用いたタイヤの物理量算出装置、方法及びコンピュータプログラムに関する。
【背景技術】
【０００２】
乗用車の騒音低減の要求が強くなっており、タイヤ振動特性と乗用車の車室内騒音は強い関係にあるため、タイヤ振動特性の把握が必要となる。これまでは、例えば非特許文献１，２に例示するように、タイヤ振動に関して径方向モードの振動に着目した研究が盛んに行われてきた。
【０００３】
近年の研究により、ロードノイズに影響を及ぼすタイヤ振動モードは、主として車軸への上下方向入力に寄与し、タイヤ径方向の振動である径方向モードに着目されてきたが、車両サスペンションは横方向への入力に対する感度も高いことから、タイヤ横方向の振動である横曲げモードの振動も重要であることが指摘されている。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００４】
【非特許文献１】"S.C Huang"，"The vibration of rolling tyres in ground contact"，Int. J of Vehicle Design, vol. 13, no.1, pp.78-95, 1992. Printed in UK.
【非特許文献２】"Y.T. Wei, L. Nasdala, H.Rothert"，"Analysis of forced transient response for rotating tires using REF models"，Journal of sound and vibration (2008), doi:10.1016/j.jsv.2008.07.007, Elsevire Ltd.
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
しかしながら、上記非特許文献１，２に例示するようなタイヤ力学モデルを用いてタイヤ振動問題を取り扱う研究では、タイヤの径方向モードの振動が主に取り上げられており、タイヤ横方向（幅方向）については述べられていない。すなわち、タイヤ力学モデルを用いて、横曲げモードを表現するモデルについては論じられていない。
【０００６】
一方、タイヤ力学モデル以外のタイヤ物理モデルとしては、タイヤを複数の要素に分割して表現する有限要素モデルが知られている。近年は、計算機の発達に伴いＣＡＥ（Computer Aided Engineering）の利用が普及しており、タイヤの振動解析には有限要素モデルがよく利用される。しかしながら、有限要素モデルを用いた振動解析では振動を可視化できるが、計算コストが膨大であるという問題があることに加えて、振動形状や固有振動数の決定要因が明確にならないという問題がある。
【０００７】
そのため、タイヤ各部の物理パラメータと振動現象の発生メカニズムとの因果関係を明らかにするためには、タイヤ力学モデルによって横曲げモードを含むあらゆる振動モードを表現できることが好ましい。しかし、そのような力学モデルは提案されていない。
【０００８】
本発明は、このような課題に着目してなされたものであって、その目的は、低計算コストであって、タイヤの横曲げモードを含む振動を表現可能なモデルを構築し、当該モデルを用いたタイヤの物理量算出装置、方法及びコンピュータプログラムを提案することである。
【課題を解決するための手段】
【０００９】
本発明は、上記目的を達成するために、次のような手段を講じている。
【００１０】
すなわち、本発明のタイヤの物理量算出装置は、タイヤ力学モデルの物理パラメータを演算式の入力値とし横曲げモードの固有振動数を算出するために必要な演算式データを記憶する記憶部と、予め設定された前記物理パラメータを入力値として、前記演算式データに基づき前記横曲げモードの固有振動数を算出する演算部と、を備え、前記演算式データは、トレッド部を円筒状のトレッドリングとし、サイドウォール部を前記トレッドリングの両端とホイールを接続する一対のサイドウォールバネと定義したタイヤ力学モデルにおいて、前記トレッドリングに生じる歪みが０であるという条件を満たす前記トレッドリングの振動を表す変位関数と、前記モデルから得られる運動エネルギー及びポテンシャルエネルギーと、を用いてレイリー法を適用することで導出された固有振動数の演算式を前記演算部に演算させるデータであることを特徴とする。
【００１１】
本発明のタイヤの物理量算出方法は、コンピュータが実行する方法であって、タイヤ力学モデルの物理パラメータを設定するステップと、設定された前記物理パラメータと、当該物理パラメータを入力値として横曲げモードの固有振動数を算出するために必要な演算式データと、を用いて横曲げモードの固有振動数を算出するステップと、を含み、前記演算式データは、トレッド部を円筒状のトレッドリングとし、サイドウォール部を前記トレッドリングの両端とホイールを接続する一対のサイドウォールバネと定義したタイヤ力学モデルにおいて、前記トレッドリングに生じる歪みが０であるという条件を満たす前記トレッドリングの振動を表す変位関数と、前記モデルから得られる運動エネルギー及びポテンシャルエネルギーと、を用いてレイリー法を適用することで導出された固有振動数の演算式を演算させるデータであることを特徴とする。
【００１２】
このように、タイヤ力学モデルをトレッドリングと一対のバネで定義することで、従来のタイヤ力学モデルでは表現できなかったタイヤの横曲げモードの振動を表現することが可能となる。それでいて、トレッドリングに生じる歪みが０である条件を満たす変位関数に基づいて、横曲げモードの固有振動数を算出するための演算式データが導出されているので、簡素な演算式で横曲げモードの固有振動数を算出することが可能となる。しかも、物理パラメータを入力値として固有振動数を算出可能になるので、物理パラメータと固有振動数の因果関係を解析することも可能となる。
【００１３】
具体的には、モデルの物理パラメータ（Ｒ，ｂ，ｌ，ρ，ν，Ｓ０，ＥＩ，Ｋｙ，Ｋθ，Ｋｒ）を入力値とし、式（１９）を演算する。
【００１４】
横曲げモードだけでなく他の振動モードの固有振動数を算出可能にして解析の作業効率を向上させるためには、横曲げモードに加え、少なくとも横並進モード、面内捩りモード及び径方向モードのいずれかのモードの固有振動数を算出するための演算式データを含むことが好ましい。
【００１５】
実測値に応じた物理パラメータを適切に同定するためには、前記演算式データと前記物理パラメータとに基づき算出される固有振動数の演算値と、予め計測された固有振動数の実測値との誤差をパラメータの一つとして含む目的関数の値が最小値となるように、最適化手法を用いて物理パラメータを算出することが好ましい。
【００１６】
物理パラメータの同定精度を向上させるためには、目的関数は、横曲げモードに加え、少なくとも横並進モード、面内捩りモード及び径方向モードのいずれか１つのモードにおける固有振動数の演算値と実測値の誤差をパラメータの一つとして更に含んでいることが好ましい。
【００１７】
物理パラメータを同定する他の形態の装置としては、タイヤ力学モデルの物理パラメータ（Ｒ，ｂ，ｌ，ρ，ν，Ｓ０，ＥＩ，Ｋｙ，Ｋθ，Ｋｒ）のうち未知パラメータの数をＭ個とした場合に、横曲げモードにおけるＭ個の固有振動数を演算式の入力値とし各々の未知パラメータを算出するために必要な連立方程式データを記憶する記憶部と、予め設定された前記Ｍ個の固有振動数を入力値とし、前記連立方程式データに基づき各々の未知パラメータを算出する演算部と、を備える。前記連立方程式データは、トレッド部を円筒状のトレッドリングとし、サイドウォール部を前記トレッドリングの両端とホイールを接続する一対のサイドウォールバネと定義したタイヤ力学モデルにおいて、前記トレッドリングに生じる歪みが０であるという条件を満たす前記トレッドリングの振動を表す変位関数と、前記モデルから得られる運動エネルギー及びポテンシャルエネルギーと、を用いてレイリー法を適用することで導出された物理パラメータの連立方程式を演算部に演算させるデータである。
【００１８】
物理パラメータを同定する他の形態の方法としては、コンピュータが実行する方法であって、タイヤ力学モデルの物理パラメータ（Ｒ，ｂ，ｌ，ρ，ν，Ｓ０，ＥＩ，Ｋｙ，Ｋθ，Ｋｒ）のうち未知パラメータの数をＭ個とした場合に、横曲げモードにおけるＭ個の固有振動数を設定するステップと、設定された前記Ｍ個の固有振動数と、当該固有振動数を演算式の入力値として各々の未知パラメータを算出するために必要な連立方程式データと、を用いて各々の未知パラメータを算出するステップと、を含む。
【００１９】
具体的には、モデルの既知の物理パラメータ（Ｒ，ｂ，ｌ，ρ）及び横曲げモードにおける５つの固有振動数を入力値とし、式（２３）を演算する。
【図面の簡単な説明】
【００２０】
【図１】本発明のタイヤの物理量算出装置を示すブロック図。
【図２】タイヤ力学モデルを示す図。
【図３Ａ】横並進モードの振動を示す図。
【図３Ｂ】面内捩りモードの振動を示す図。
【図３Ｃ】径方向モードの振動を示す図。
【図３Ｄ】横曲げモードの振動を示す図。
【図４】装置が実行する処理のフローチャート。
【図５】固有振動数の実測値と演算値の比較を示す図。（ａ）面内捩りモードと径方向モードの固有振動数の演算値と実測値に比較を示す。（ｂ）横並進モードと横曲げモードの固有振動数の演算値と実測値の比較を示す。
【図６】本発明の他の実施形態におけるタイヤの物理量算出装置を示すブロック図。
【発明を実施するための形態】
【００２１】
以下、本発明の一実施形態について、図面を参照して説明する。
【００２２】
［タイヤの物理量算出装置］
本実施形態のタイヤの物理量算出装置は、図２に示すタイヤ力学モデルを用いてタイヤの物理量を算出する装置である。具体的には、タイヤの物理パラメータを入力値として固有振動数を算出するために用いられると共に、所望の固有振動数となる物理パラメータを算出するために用いられる。
【００２３】
図１に示すように、装置１は、設定部１０と、記憶部１１と、演算部１２と、最適化実行部１３と、を有する。これら各部１０〜１３は、ＣＰＵ、メモリ、各種インターフェイスを備えたパソコン等の情報処理装置においてＣＰＵが予め記憶されている図示しない処理ルーチンを実行することによりソフトウェア及びハードウェアが協働して実現される。
【００２４】
設定部１０は、キーボードやマウス、タッチパネル等の既知の操作部１５を介してユーザからの操作を受け付け、装置の動作モードの切り替え、解析対象とする振動モードの指定、タイヤモデルの物理パラメータの入力、固有振動数の入力など、解析に必要となる各種設定を行う。動作モードとして、物理パラメータを入力値として指定された振動モードの固有振動数を算出する固有振動数算出モードと、固有振動数を入力値として指定された振動モードにおける物理パラメータを算出するパラメータ同定モードと、が挙げられる。
【００２５】
記憶部１１は、タイヤ力学モデルの物理パラメータを演算式の入力値として固有振動数を算出するために必要な演算式データ１４を記憶する。演算式データ１４は、予め設定された物理パラメータが入力値として入力された場合に、所定の数式（例えば式（１９）に従って演算を実行し、その結果を返す関数の役割を担っている。演算式データ１４には、横曲げモード、横並進モード、面内捩りモード及び径方向モードの固有振動数を算出するための演算式データ（横曲げモード用データ１４ａ，横並進モード用データ１４ｂ，面内捩りモード用データ１４ｃ，径方向モード用データ１４ｄ）がそれぞれ含まれる。振動の各モードについては後述する。
【００２６】
演算部１２は、設定部１０により指定された動作モードに従って、予め設定された物理パラメータｐｍ及び演算式データ１４を用いて固有振動数ｆを算出する。算出された固有振動数ｆは、動作モードが固有振動数算出モードである場合には、ディスプレイ等の出力部１６を介して出力される。
【００２７】
本発明の基幹となるタイヤ力学モデルは、図２に示すように、非接地及び非転動時において、タイヤのトレッド部を円筒状のトレッドリングとし、サイドウォール部をトレッドリングの両端とホイールを接続する一対のサイドウォールバネと定義したものである。モデルの座標系としては、横方向（タイヤ幅方向）をｙ、周方向をθ、径方向をｚとする。ｚ＝０をトレッドリング断面の中央面とし、（ｙ，θ，ｚ）方向に対応するトレッドリング断面の任意点の中央面上の微小変位を（ｕ，ｖ、ｗ）とする。なお、車軸−ホイールは、タイヤに対して高剛性であることから剛体として取り扱う。タイヤのビード部はホイールに一体であると取り扱う。このモデルによれば、トレッドリングの両端にサイドウォールバネが接続されているので、トレッド部の横方向の移動だけでなく、回転が可能となり、その結果、トレッド部の横曲げモードを表現可能となる。
【００２８】
このタイヤ力学モデルにおける物理パラメータは、下記の通りである。
Ｒ：トレッドリングの平均半径
ｂ：トレッドリングの肉厚
ｌ：トレッドリングの半幅
ρ：トレッドリングの密度
ν：トレッドリングのポアソン比
Ｓ０：トレッドリングにかかる周方向の張力
Ｅ：トレッドリングの周方向の縦弾性係数
Ｉ：トレッドリングの径方向に関する断面二次モーメント
Ｋｙ：サイドウォールバネの横方向の単位周長あたりのばね定数
Ｋθ：サイドウォールバネの周方向の単位周長あたりのばね定数
Ｋｒ：サイドウォールバネの径方向の単位周長あたりのばね定数
【００２９】
このモデルでは、円筒肉厚がトレッドリング半径に比べ十分に小さいことを考慮して、横方向の歪εｙ，周方向の歪εθ，中央面のせん断歪γｙθが０であると仮定する。すなわち、タイヤ振動に対して不伸張変形仮定が成り立つとしている。このときの中央面内の３つの歪成分は、次の式を満たす。
εｙ＝∂ｕ／∂ｙ＝０    …（１）
εθ＝（∂ｖ／Ｒ∂θ）−（ｗ／Ｒ）＝０    …（２）
γｙθ＝（∂ｕ／Ｒ∂θ）＋（∂ｖ／∂ｙ）＝０    …（３）
【００３０】
次に、力学的エネルギーについて述べる。
横方向、周方向、径方向に対応する速度成分より、運動エネルギーＴは次の式のようになる。
2015094659.tif 000003
トレッドリングの曲げによるポテンシャルエネルギーＵ１は、次の式のようになる。
2015094659.tif 000004
トレッドリングの捩りによるポテンシャルエネルギーＵ２は、次の式のようになる。
2015094659.tif 000005
トレッドリングの周方向に作用する張力によるポテンシャルエネルギーＵ３は、次の式のようになる。
2015094659.tif 000006
サイドウォール部のバネ定数Ｋｙ，Ｋθ，ＫｒによるポテンシャルエネルギーＵ４，Ｕ５，Ｕ６は、次の式のようになる。
2015094659.tif 000007
【００３１】
次に、トレッドリングの振動を表す変位関数（中央面上の微小変位）は、次の式のようになる。ここで、Ａは振動振幅、ωは角振動数である。
【００３２】
横並進モードの変位関数：  
2015094659.tif 000008
横並進モードの振動形状を図３Ａに示す。横並進モードは、トレッド部がタイヤ軸（横方向）に沿ってスライドするように振動するモードである。同図では、・が振動前の座標であり、○が最大振幅時の変位位置を表す。
【００３３】
面内捩りモードの変位関数：
2015094659.tif 000009
面内捩りモードの振動形状を図３Ｂに示す。面内捩りモードは、トレッド部が周方向に沿って回転するように振動するモードである。同図では、・が振動前の座標であり、○が最大振幅時の変位位置を表す。
【００３４】
径方向モードの変位関数：
2015094659.tif 000010
径方向モードの振動形状を図３Ｃに示す。径方向モードは、トレッド部が径方向に振動するモードである。同図では、・が振動前の座標であり、○が最大振幅時の変位位置を表す。同図は、２次モードの振動を例示している。
【００３５】
横曲げモードの変位関数：  
2015094659.tif 000011
横曲げモードの振動形状を図３Ｄに示す。横曲げモードは、トレッド部が捩れる振動モードである。同図では、・が振動前の座標であり、○が最大振幅時の変位位置を表す。同図は、２次モードの振動を例示している。
【００３６】
これら変位関数の式（１１）〜（１４）は、式（１）〜（３）を満たすことから、トレッドリングに生じる歪みが０であるという条件（不伸張変形）を満たしている。
【００３７】
上記のように、各振動モードにおいて振動形状を関数で表現できたことから、レイリー法（Rayleigh's Method）を用いて固有振動数を導出できる。レイリー法は、振動形状を境界条件を満たす変位関数で近似し、運動エネルギーの最大値とポテンシャルエネルギーの最大値が等しくなることをもとに固有振動数を求める方法である。すなわち、次の式が成立する。
Ｕmax／Ｔmax＝１    …（１５）
【００３８】
固有振動数を算出するための演算式は、上記変位関数と、運動エネルギー及びポテンシャルエネルギーと、を用いてレイリー法を適用することで導出される。
【００３９】
横並進モードについて、変位関数の式（１１）を式（４）に代入して運動エネルギーを導出する。同様に、式（１１）を式（５）〜（１０）に代入してポテンシャルエネルギーを導出する。これらエネルギーの式を式（１５）に代入すれば、横並進モードの固有振動数ｆtraはω＝２πｆにより次のようになる。
2015094659.tif 000012
図１に示す横並進モード用データ１４ｂは、予め記憶部１１に設定された物理パラメータを入力値として上記式（１６）を演算するための演算式データである。
【００４０】
面内捩りモードについて、変位関数の式（１２）を式（４）に代入して運動エネルギーを導出する。同様に、式（１２）を式（５）〜（１０）に代入してポテンシャルエネルギーを導出する。これらエネルギーの式を式（１５）に代入すれば、面内捩りモードの固有振動数ｆtorはω＝２πｆにより次のようになる。
2015094659.tif 000013
図１に示す面内捩りモード用データ１４ｃは、予め記憶部１１に設定された物理パラメータを入力値として上記式（１７）を演算するための演算式データである。
【００４１】
径方向モードについて、変位関数の式（１３）を式（４）に代入して運動エネルギーを導出する。同様に、式（１３）を式（５）〜（１０）に代入してポテンシャルエネルギーを導出する。これらエネルギーの式を式（１５）に代入すれば、径方向モードの固有振動数ｆcir, nはω＝２πｆにより次のようになる。ｎは、振動モードの変位をタイヤ周方向に見たときの波の数、即ち波数を表しており、非接地の場合は自然数となる。
2015094659.tif 000014
図１に示す径方向モード用データ１４ｄは、予め記憶部１１に設定された物理パラメータを入力値として上記式（１８）を演算するための演算式データである。
【００４２】
横曲げモードについて、変位関数の式（１４）を式（４）に代入して運動エネルギーを導出する。同様に、式（１４）を式（５）〜（１０）に代入してポテンシャルエネルギーを導出する。これらエネルギーの式を式（１５）に代入すれば、横曲げモードの固有振動数ｆben, nはω＝２πｆにより次のようになる。ｎは、振動モードの変位をタイヤ周方向に見たときの波の数、即ち波数を表しており、非接地の場合は自然数となる。
2015094659.tif 000015
図１に示す横曲げモード用データ１４ａは、予め記憶部１１に設定された物理パラメータを入力値として上記式（１９）を演算するための演算式データである。
【００４３】
図１に示す最適化実行部１３は、動作モードが「パラメータ同定モード」である場合に、最適化手法を用いて入力値としての固有振動数が得られるための物理パラメータを算出する。具体的には、演算式データと物理パラメータとに基づき算出される固有振動数の演算値と、予め計測された固有振動数の実測値との誤差をパラメータの一つとして含む目的関数の値が最小となるように、最適化手法を用いて物理パラメータを算出する。最適化手法では、予め設定された計算限度数の範囲内において、物理パラメータの設定、そのパラメータによる固有振動数の算出、及び目的関数の評価を繰り返し実行する。最適化手法は既知であるので、詳細な説明を省略する。最適化手法として用いることができるのは、例えば、遺伝的アルゴリズム（ＧＡ；genetic algorithm）が挙げられる。
【００４４】
目的関数Ｏｐｔは、次のように表される。
2015094659.tif 000016
Σは、評価対象となる全ての次数について合計を取ることを意味する。ｎ＝１，２，３…というように必ずしも次数が連続する必要はなく、適宜設定可能である。例えば、（ｎ＝１）、（ｎ＝１，３，５…）というように設定することも可能である。
ｆexpは、予め測定された横曲げモードの固有振動数の実測値であり、ユーザにより予め設定される。
ｆanaは、上記演算式データと物理パラメータとに基づき算出される横曲げモードの固有振動数の演算値である。
anは、重み付け関数を次数毎に設定したもので、適宜設定可能である。
Pは、ペナルティ関数であり、物理パラメータの取り得る範囲外に最適値が収束しないようにするために、適宜任意の値を設定可能である。例えば、P＝１００００とすれば、上記物理パラメータ（Ｒ，ｂ，ｌ，ρ，ν，Ｓ０，ＥＩ，Ｋｙ，Ｋθ，Ｋｒ）＜０となる場合があり、P＝０とすれば、物理パラメータ（Ｒ，ｂ，ｌ，ρ，ν，Ｓ０，ＥＩ，Ｋｙ，Ｋθ，Ｋｒ）＞０となる場合がある。なお、本実施形態では、固有振動数の実測値と演算値の誤差（ｆexp−ｆana）が負の値を含むため、これを二乗して正の値にしているが、（ｆexp−ｆana）の絶対値を取る式にしてもよい。
なお、ここでは、全ての物理パラメータが未知であるとして説明しているが、物理パラメータの一部が既知である場合には、予め設定された既知の物理パラメータを用いてもよい。
【００４５】
上記目的関数は、横曲げモードの誤差をパラメータの一つとして有するが、横並進モード、面内捩りモード及び径方向モードの少なくともいずれか１つのモードにおける固有振動数の演算値と実測値の誤差をパラメータの一つとして更に含めることが可能である。全ての振動モードを含めた目的関数は、次のように表される。  
2015094659.tif 000017
上記式（２１）の右辺は、左から右へ順に、横曲げモードの誤差値、径方向モードの誤差値、面内捩りモードの誤差値、横並進モードの誤差値を表す。abenは、横曲げモードの重み付け関数を次数毎に定義したものであり、acirは、径方向モードの重み付け関数を次数毎に定義したものであり、atorは、面内捩りモードの重み付け関数であり、atraは、横並進モードの重み付け関数である。
【００４６】
［タイヤの物理量算出方法］
上記装置１を用いたタイヤの物理量を算出する方法について、図４を参照しつつ説明する。
初めに、装置の動作モードが”固有振動数算出モード”で、横曲げモードが指定された場合について説明する。まず、ステップＳＴ１において、図１に示す設定部１０は、ユーザの操作に基づいて、タイヤ力学モデルの物理パラメータｐｍをメモリに設定する。
【００４７】
次のステップＳＴ２において、図１に示す演算部１２は、演算式データ１４と、演算式データ１４が表す演算式の入力値として予め設定された物理パラメータｐｍとに基づき横曲げモードの固有振動数を算出する。具体的には、演算式データとして横曲げモード用データ１４ａを用い、タイヤ力学モデルの物理パラメータ（Ｒ，ｂ，ｌ，ρ，ν，Ｓ０，ＥＩ，Ｋｙ，Ｋθ，Ｋｒ）を入力値とし、式（１９）を演算する。
【００４８】
また、ステップＳＴ２において、演算部１２は、横曲げモードの固有振動数の算出に加え、少なくとも横並進モード、面内捩りモード及び径方向モードのいずれかのモードの固有振動数を算出してもよい。
【００４９】
次のステップＳＴ３において、演算部１２による演算結果を、出力部１６（ディスプレイ等）を介して出力する。
【００５０】
次に、装置の動作モードが”パラメータ同定モード”である場合について説明する。まず、ステップＳＴ４において、演算式データ１４と当該演算式の入力値である物理パラメータｐｍとに基づき算出される固有振動数の演算値と、予め計測された固有振動数の実測値との誤差をパラメータの一つとして含む目的関数の値が最小値となるように、最適化手法を用いて物理パラメータｐｍを算出する。具体的に、ステップＳＴ４では、物理パラメータ（初期値）を設定し、物理パラメータを演算式の入力値として固有振動数を算出し、目的関数の値を算出する。目的関数の値を評価して最小値であると評価されるまで、最適化実行部１３による物理パラメータの再設定、演算部１２による固有振動数の算出、最適化実行部１３による目的関数の値の算出及びその評価を繰り返す。
【００５１】
次のステップＳＴ５では、目的関数の値が最小となる物理パラメータｐｍを、出力部１６（ディスプレイ等）を介して出力する。
【００５２】
上記装置及び方法の有効性を確認するために、タイヤサイズ１９５／６５Ｒ１５のタイヤを用いて試験を行い、各種振動モードの固有振動数を実測した。各固有振動数の解析値を算出するためには、物理パラメータが必要となる。トレッドリングの平均半径Ｒ、幅２ｌはタイヤ形状により概算寸法を与えた。ρ，ｂは設計諸元から概算値を与えた。未知の物理パラメータは、ＥＩ，Ｓ０，Ｋｙ，Ｋθ，Ｋｒである。まず、式（１８）に関して４つの方程式、式（１６）について１つの方程式が成り立ち、それら５つの方程式を連立して、各未知パラメータの初期値を算出した。その初期値を用い、各固有振動数の実測値と演算値との二乗誤差を目的関数として、その値が最小になるように最適化処理を行った。
【００５３】
図５（ａ）は、面内捩りモードと径方向モードの固有振動数の演算値と実測値に比較を示す。次数が０のところが面内捩りモードであり、次数１，２…が径方向モードの次数である。また、図５（ｂ）は、横並進モードと横曲げモードの固有振動数の演算値と実測値の比較を示す。次数が０のところが横並進モードであり、次数１，２…が横曲げモードの次数である。図中において、＋が実測値を示し、○が解析値（演算値）を示す。同図により算出した演算値と実測値は良好に一致しており、構築したモデルは振動特性を十分に表現できていると言える。
【００５４】
以上のように、本実施形態の物理量算出装置は、タイヤ力学モデルの物理パラメータｐｍを演算式の入力値とし横曲げモードの固有振動数を算出するために必要な演算式データ１４（横曲げモード用データ１４ａ）を記憶する記憶部１１と、予め設定された物理パラメータｐｍを入力値として、演算式データ１４に基づき横曲げモードの固有振動数を算出する演算部１２と、を備える。演算式データ１４は、トレッド部を円筒状のトレッドリングとし、サイドウォール部をトレッドリングの両端とホイールを接続する一対のサイドウォールバネと定義したタイヤ力学モデルにおいて、トレッドリングに生じる歪みが０であるという条件を満たすトレッドリングの振動を表す変位関数「式（１４）」と、モデルから得られる運動エネルギー「式（４）」及びポテンシャルエネルギー「式（５）〜（１０）」と、を用いてレイリー法を適用することで導出された固有振動数の演算式「式（１９）」を演算部１２に演算させるデータである。
【００５５】
本実施形態の物理量算出方法は、コンピュータが実行する方法であって、タイヤ力学モデルの物理パラメータｐｍを設定するステップ（ＳＴ１）と、設定された物理パラメータｐｍと、物理パラメータｐｍを演算式の入力値として横曲げモードの固有振動数を算出するために必要な演算式データ１４（横曲げモード用データ１４ａ）と、を用いて横曲げモードの固有振動数を算出するステップ（ＳＴ２）と、を含む。演算式データ１４は、トレッド部を円筒状のトレッドリングとし、サイドウォール部をトレッドリングの両端とホイールを接続する一対のサイドウォールバネと定義したタイヤ力学モデルにおいて、トレッドリングに生じる歪みが０であるという条件を満たすトレッドリングの振動を表す変位関数「式（１４）」と、モデルから得られる運動エネルギー「式（４）」及びポテンシャルエネルギー「式（５）〜（１０）」と、を用いてレイリー法を適用することで導出された固有振動数の演算式「式（１９）」を演算させるデータである。
【００５６】
このように、タイヤ力学モデルをトレッドリングと一対のバネで定義することで、従来のタイヤ力学モデルでは表現できなかったタイヤの横曲げモードの振動を表現することが可能となる。それでいて、トレッドリングに生じる歪みが０である条件を満たす変位関数に基づいて、横曲げモードの固有振動数を算出するための演算式データ１４が導出されているので、簡素な演算式で横曲げモードの固有振動数を算出することが可能となる。しかも、物理パラメータを入力値として固有振動数を算出可能になるので、物理パラメータと固有振動数の因果関係を解析することも可能となる。
【００５７】
本実施形態の装置においては、演算式データ１４（横曲げモード用データ１４ａ）は、前記モデルの物理パラメータ（Ｒ，ｂ，ｌ，ρ，ν，Ｓ０，ＥＩ，Ｋｙ，Ｋθ，Ｋｒ）を入力値とし、式（１９）を演算部１２に演算させるためのデータである。
本実施形態の方法においては、モデルの物理パラメータ（Ｒ，ｂ，ｌ，ρ，ν，Ｓ０，ＥＩ，Ｋｙ，Ｋθ，Ｋｒ）を入力値とし、式（１９）を演算する。
ただし、Ｒはトレッドリングの平均半径，ｂはトレッドリングの肉厚，ｌはトレッドリングの半幅，ρはトレッドリングの密度，νはトレッドリングのポアソン比，Ｓ０はトレッドリングにかかる周方向の張力，Ｅはトレッドリングの周方向の縦弾性係数，Ｉはトレッドリングの径方向に関する断面二次モーメント，Ｋｙはサイドウォールバネの横方向の単位周長あたりのばね定数，Ｋθはサイドウォールバネの周方向の単位周長あたりのばね定数，Ｋｒはサイドウォールバネの径方向の単位周長あたりのばね定数、をそれぞれ示す。ｎは振動モードの変位をタイヤ周方向に見たときの波の数、即ち波数である。
【００５８】
本実施形態の装置において、横曲げモードに加え、少なくとも横並進モード、面内捩りモード及び径方向モードのいずれかのモードの固有振動数を算出するための演算式データ１４を含む。
本実施形態の方法において、横曲げモードの固有振動数の算出に加え、横並進モード、面内捩りモード及び径方向モードの少なくともいずれか１つのモードの固有振動数を算出する。
このようにすれば、１つの力学モデルによって、横曲げモードを含む複数の振動モードの固有振動数を算出可能であるので、複数の力学モデルを別々に用いなくても横曲げモードだけでなく他の振動モードの固有振動数を算出でき、解析の作業効率を向上させることが可能となる。
【００５９】
本実施形態の装置において、演算式データ１４と物理パラメータｐｍとに基づき算出される固有振動数の演算値と、予め計測された固有振動数の実測値との誤差をパラメータの一つとして含む目的関数の値が最小値となるように、最適化手法を用いて物理パラメータｐｍを算出する最適化実行部１３を備える。
本実施形態の方法において、物理パラメータｐｍを設定するステップ及び固有振動数を算出するステップを繰り返し行うことにより、演算式データと物理パラメータとに基づき算出される固有振動数の演算値と、予め計測された固有振動数の実測値との誤差をパラメータの一つとして含む目的関数の値が最小値となるように、最適化手法を用いて物理パラメータを算出する（ＳＴ５）。
このようにすれば、固有振動数の実測値に基づいてタイヤの物理パラメータを同定することができるので、実測値に応じた物理パラメータを適切に同定することが可能となる。
【００６０】
本実施形態の装置及び方法において、目的関数は、横曲げモードに加え、少なくとも横並進モード、面内捩りモード及び径方向モードのいずれか１つのモードにおける固有振動数の演算値と実測値の誤差をパラメータの一つとして更に含んでいる。
このようにすれば、横曲げモードだけでなく、他の振動モードも考慮するので、物理パラメータの同定精度を向上させることが可能となる。
【００６１】
本実施形態に係るコンピュータプログラムは、上記タイヤの物理量算出方法を構成する各ステップをコンピュータに演算させるプログラムである。
これらプログラムを実行することによっても、上記方法の奏する作用効果を得ることが可能となる。言い換えると、装置は、上記方法を使用しているとも言える。
【００６２】
以上、本発明の実施形態について図面に基づいて説明したが、具体的な構成は、これらの実施形態に限定されるものでないと考えられるべきである。本発明の範囲は、上記した実施形態の説明だけではなく特許請求の範囲によって示され、さらに特許請求の範囲と均等の意味および範囲内でのすべての変更が含まれる。
【００６３】
例えば、本実施形態では、演算式データ１４として、横曲げモード用データ１４ａ、横並進モード用データ１４ｂ、面内捩りモード用データ１４ｃ及び径方向モード用データ１４ｄの全てを記憶部１１に記憶しているが、少なくとも横曲げモード用データ１４ａを記憶していればよい。横並進モード、面内捩りモード、径方向モードは適宜組み合わせて記憶可能である。
【００６４】
また、目的関数としては、横曲げモードの誤差値を含んでいれば、他のモードについては適宜組み合わせ可能である。
【００６５】
本実施形態では、出力部１６がディスプレイである例を挙げているが、出力部１６は、ファイルとして装置内部の記憶装置に記憶することや、ネットワークを介して外部のコンピュータにデータを送信するようにしてもよい。
【００６６】
本実施形態では、未知の物理パラメータを最適化処理を用いて算出しているが、連立方程式として解くようにしてもよい。すなわち、図６に示すように、装置１の記憶部１１は、タイヤ力学モデルの物理パラメータ（Ｒ，ｂ，ｌ，ρ，ν，Ｓ０，ＥＩ，Ｋｙ，Ｋθ，Ｋｒ）のうち未知パラメータの数をＭとした場合に、横曲げモードにおけるＭ個の固有振動数を演算式の入力値とし各々の未知パラメータを算出するために必要な連立方程式データ１７を記憶する。Ｍ個の固有振動数は、互いに次数が異なる固有振動数である。連立方程式の数は未知パラメータの数に合わせてある。
【００６７】
具体的には、式（１９）は次の式（２２）のように変形できる。
2015094659.tif 000018
自然数ｎ１，ｎ２，ｎ３，ｎ４，ｎ５を用いて式（２２）について５つの連立方程式を行列形式で表し、その逆行列をとると、次の式（２３）になる。ｎ１，ｎ２，ｎ３，ｎ４，ｎ５は、それぞれ異なり、横曲げモードにおける波数を表す。
2015094659.tif 000019
この連立方程式データ１７は、予め記憶部１１に設定された既知の物理パラメータ（Ｒ，ｂ，ｌ，ρ）及び横曲げモードにおける５つの固有振動数を入力値とし、式（２３）を演算部１２に演算させるためのデータである。この連立方程式データ１７を用いれば、未知の物理パラメータ（Ｓ０，ＥＩ，Ｋｙ，Ｋθ，Ｋｒ）を算出することが可能となる。
【００６８】
なお、上記では、未知の物理パラメータが５つであるが、未知の物理パラメータの数をＭ個とし、Ｍ個の連立方程式を成立させれば、既知パラメータの数は、種々変更可能である。また、上記は装置として説明しているが、方法及びコンピュータプログラムとしても特定可能である。
【００６９】
上記の各実施形態で採用している構造を他の任意の実施形態に採用することは可能である。各部の具体的な構成は、上述した実施形態のみに限定されるものではなく、本発明の趣旨を逸脱しない範囲で種々変形が可能である。
【符号の説明】
【００７０】
１１…記憶部
１２…演算部
１３…最適化実行部
１４…演算式データ
１４ａ…横曲げモード用データ（演算式データ）
１７…連立方程式データ
【図１】
2015094659.tif 000024
【図２】
2015094659.tif 000025
【図４】
2015094659.tif 000026
【図６】
2015094659.tif 000027
【図３Ａ】
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【図３Ｂ】
2015094659.tif 000029
【図３Ｃ】
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【図３Ｄ】
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【図５】
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