(57)【要約】      （修正有）【課題】乗算合同法の高次スペクトル検定方法の提供。【解決手段】コンピュータ上の乗算合同法による一様独立乱数生成方法において、用いられるべき整数の法ｄと整数でｄとは素な乗数ｚとを選ぶスペクトル検定の３次以上のものについて、現在まで採用されていた基準値の誤りを発見証明し、各次数の正しい検定基準を算出発明して、正しい検定基準による無駄のない正確な独立性の検定計算設計を可能にし、優れた一様独立乱数生成機構をより高速に判定構築する。【選択図】図１
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
任意の正の整数の法ｄ、そしてｄとは素な任意の整数乗数ｚ、に基づく一様独立乱数生成方式（ｄ、ｚ）、即ち法ｄとは素な任意の整数ｎを与えてｎ１≡ｎ  ｍｏｄ（ｄ）、０＜ｎ１＜ｄと初期値ｎ１を定め、番号ｋ＝１、２、３、・・・に対しｎｋから次のｎｋ＋１を線形漸化合同式ｎｋ＋１≡ｚｎｋ  ｍｏｄ（ｄ）、０＜ｎｋ＋１＜ｄ、を満たす様に選んで得られる整数列ｎ１、ｎ２、・・・から一様独立乱数数列ｖ１、ｖ２、・・・を除法の等式ｖｋ＝ｎｋ／ｄ、ｋ＝１、２、３、・・・を実現して与える乗算合同法（ｄ、ｚ）、において、相続くＬ個の出力乱数の連の一様独立性の評価のため、新しく発見された基準値
ＭＬ（ｄ）＝Ｌ−１／２（Ｌ＋１）（Ｌ−１）／（２Ｌ）ｄ（Ｌ−１）／Ｌ、Ｌ≧２、
即ち、Ｌ≧３では現在まで使用のものとは異なる
Ｌ＝３：  Ｍ３（ｄ）＝２２／３３−１／２ｄ２／３≒０．９１６４９ｄ２／３、
Ｌ＝４：  Ｍ４（ｄ）＝２−１５３／８ｄ３／４≒０．９１４２９３／４、
Ｌ＝５：  Ｍ５（ｄ）＝５−１／２６２／５ｄ４／５≒０．９１５７５ｄ４／５、
Ｌ＝６：  Ｍ６（ｄ）＝６−１／２７５／１２ｄ５／６≒０．９１８４４ｄ５／６、
・・・・・・・・・・・・・・・
を用いて行うスペクトル検定方法、即ち相続くＬ個の（ｄ、ｚ）乱数出力が載るＬ次元（ｄ、ｚ）格子の中で、一次独立なＬ個の格子点を含むＬ−１次元超格子平面の平行な隣合うものの最大間隔λＬ（ｄ，ｚ）を用いる評価値ρＬ（ｄ、ｚ）：＝λＬ（ｄ，ｚ）／ＭＬ（ｄ）＞１が、任意に定めた許容値ＲＬ＞１に基づく合格条件
ρＬ（ｄ、ｚ）＜ＲＬ、
を３≦Ｌ≦６では満たす様に選ぶ、スペクトル検定方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】  本発明は一様独立乱数生成の乗算合同法で優れた性能の生成機構を発見選択する方法としてのスペクトル検定に関する。詳しくは３次以上の検定の新規で精密高精度の方式の発明を提示する。乗算合同法は自然数の法ｄ、前記ｄとは素な、即ちｄとは共通素因数を持たない自然数の乗数ｚ≧２、そして前記法ｄとは素な自然数の初期値１≦ｎ１＜ｄに基づいて、自然数の列｛ｎ１、ｎ２、・・・｝をｎｋのｚ倍をｄで割った余りとして次の整数ｎｋ＋１を定義し、ｋ＝１、２、・・・に対して実数列｛ｖｋ＝ｎｋ／ｄ｝を順次一様独立乱数列の出力とする。乗算合同法は（ｄ、ｚ、ｎ１）で定まるが、初期値ｎ１は乱数列の出発点を選択だけを担い、生成される乱数列の良否には関係しない。故に以下乗算合同法生成機構を（ｄ、ｚ）とも略記する。相続いて生成される乱数の独立性が得難い中で、乗算合同法のＬ次スペクトル検定は生成された乱数の相続くＬ連、Ｌ＝２、３、４、・・・の、特に独立性の評価を可能とする方法としてそれ自身、そして乗算合同法に大切な役割を齎す。遺憾ながら、現在まで用いられて来たスペクトル検定方式に３次以上で欠陥が見出された。ここでは誤りを正し、正確な３次以上のスペクトル検定を、乱数生成方法での重要な技術として提出する。
【背景技術】
【０００２】乗算合同法のスペクトル検定はＦｉｓｈｍａｎ  ａｎｄ  Ｍｏｏｒｅ（１９８６）において初めて体系的に使用され、現在までも有用性を失わない知見が多く得られたと考えられている。この検定は法ｄと乗数ｚのみに基づくもので、出力乱数列全体に渡る統計的検定を行う事なくｄとｚに関してｇｅｎｅｒｉｃな性能評価を与えるものであり、抜きん出た利点を誇っている。検定の骨子は、乱数出力のＬ連をＬ次元ユークリッド空間Ｅｎの点とすると、それらがｄとｚで定まる格子、それを以下ＧＬ（ｄ、ｚ）＝ＧＬと記す、の上にあるという事実に基づく。ＧＬ（ｄ、ｚ）のＬ個の格子点は、一般にそれらを含む（Ｌ−１）次元の（超）格子平面を定める。（ｄ、ｚ）が定めるＧＬ格子のこれら（Ｌ−１）次元超格子平面の中で平行で隣り合うものの間隔の最大値は法ｄ、乗数ｚ、そして次元Ｌで定まるのでλＬ（ｄ、ｚ）と記す。ユークリッド空間ＥＬの図形や格子には幾何学的な制限が生じる事に起因して、λＬ（ｄ、ｚ）にはＬとｄとで定まる最小値ΛＬが存在する。隣接平行超格子平面がこのΛＬ（ｄ）に近い間隔λＬ（ｄ、ｚ）を実現する事は、（ｄ、ｚ）乱数のＬ連が好ましい一様独立性を持つ性質と強く関連する。この事実から、スペクトル検定は比ρＬ（ｄ、ｚ）＝λＬ（ｄ、ｚ）／ΛＬ（ｄ）＞１の値ができるだけ１に近いものを選ぶ事によって優れた性能の（ｄ、ｚ）の発見と選出を目指す方法である。Ｆｉｓｈｍａｎ  ａｎｄ  Ｍｏｏｒｅ（１９８６）はこの理想的な値ΛＬ（ｄ）として、次のような値を採用した：
【数１】
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これらは現在までスペクトル検定が採るべき基準値として用いられている。
Ｆｉｓｈｍａｎ  ａｎｄ  Ｍｏｏｒｅ（１９８６）／Ｇ．Ｓ．Ｆｉｓｈｍａｎ  ａｎｄ  Ｌ．Ｒ．Ｍｏｏｒｅ：Ａｎ  ｅｘｈａｕｓｔｉｖｅ  ａｎａｌｙｓｉｓ  ｏｆ  ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅ  ｃｏｎｇｒｕｅｎｔｉａｌ  ｒａｎｄｏｍ  ｎｕｍｂｅｒ  ｇｅｎｅｒａｔｏｒ  ｗｉｔｈ  ｍｏｄｕｌｕｓ  ２３１−１，ＳＩＡＭ  Ｊｏｕｒｎａｌ  ｏｎ  Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ  ａｎｄ  Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ  Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ  Ｖｏｌ．７（１９８６），ｐｐ．２４−４５．
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００４】
【特許文献１】特開２０１０−４００２１号公報
【特許文献２】特開２０１２−２０３８９８号公報
【特許文献３】特願２０１３−１４２２２５号明細書
【特許文献４】特願２０１３−２０６９４７号明細書
【非特許文献】
【非特許文献１】
2015118680.tif 000004
【非特許文献２】Ｎ．Ｎａｋａｚａｗａ  ａｎｄ  Ｈ．Ｎａｋａｚａｗａ，Ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅ  ｃｏｎｇｒｕｅｎｔｉａｌ  ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ  ｗｉｔｈ  ｍｏｄｕｌｕｓｅｓ  ｆｏｒｍｅｄ  ｂｙ  ｔｗｏ  ｏｄｄ−ｐｒｉｍｅ  ｆａｃｔｏｒｓ  ｆｏｒ  ｕｎｉｆｏｒｍ  ａｎｄ  ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ  ｒａｎｄｏｍ  ｎｕｍｂｅｒｓ  ＩＩ．Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ  ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ  ｗｉｔｈ  ｓｐｅｃｔｒａｌ  ｔｅｓｔｓ，ｕｐｌｏａｄｅｄ  ｉｎ  Ｏｃｔｏｂｅｒ  １３，２０１２，ｉｎ  ｔｈｅ  ＵＲＬ  ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ１０．ｐｌａｌａ．ｏｒ．ｊｐ／ｈ−ｎｋｚｗ／．
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００３】  現発明者達は次の事を発見した。次元Ｌ≧３の場合についてはこれらΛ３（ｄ）、Λ４（ｄ）、・・・、Λ６（ｄ）は正しい理想値ではなく、幾何学的には次が正しい基準値Ｍ３（ｄ）、Ｍ４（ｄ）、・・・、Ｍ６（ｄ）である：
【数２】
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幸いにしてこの誤りの影響は、ある意味軽微である。現在合格とされている（ｄ、ｚ）乱数が新しく不合格になる事はない。これは大きな安堵である。但し現在合格とされている生成機構（ｄ、ｚ）はそれぞれの性能の再計算を要する。より重要なのは、本来合格でありながら不合格とされたものの中にも、合格適格者が存在し得る可能性であって、我々は再スペクトル検定実行の必要を迫られている。スペクトル検定はその方法としての誕生以来、シミュレーションで望まれる長周期の乱数の検定による発見に計算可能性の困難を抱えていた。ここに与えるより大きく正しい検定基準ＭＬ（ｄ）の発見は、検定計算負荷の軽減を与え、またより多くの乗算合同法乱数生成機構が合格の可能性を持つ事を知らせる。この可能性の展望は応用にとっての重要な動因を与えるものである。
【課題を解決するための手段】
【０００４】発明者達は幾何学的な考察から、平行で隣接する格子超平面間の距離の最小値を具体的な数値Ｍ３（ｄ）からＭ６（ｄ）の算出、確認、証明として得た。以下にこの手続きの説明と、それに基づくスペクトル検定の構成を記し、計算機上の一様独立乱数生成機構の検定の正しい形を与える。この結果と既発見の技術、特願２０１３−１４２２２５および特願２０１３−２０６９４７、との連携によって、十分な長周期と共に格段に高精度な統計分布を実現する乱数生成機構の検定方式が、一般により多くの合格乱数発生装置と、それらを得るためのより容易な検定計算を伴って与えるだろう。【０００５】スペクトル検定は乗算合同法に限らず応用可能である。特に一様独立性を望む任意の乱数列が十分に大きな周期Ｔを持てば、適当な乗算合同法乱数列が存在してこの乱数列の各項を１／Ｔ程度の一様な精度で近似する。この発見は特許文献１−４で詳述されている。以下では、従って、乗算合同法乱数列｛ｖｋ＝ｎｋ／ｄ｜０≦ｎｋ≦ｄ、ｋ＝１、２、・・・｝と、それを生成する生成機構（ｄ、ｚ、ｎ）、通常（ｄ、ｚ）と略記する、のみに集中して述べる。ｄは法、ｚはｄとは素な乗数、ｎもｄとは素な任意の整数である。ｋ＝１、２、・・・に対してｎｋを整数ｎｚｋ−１をｄで割った余り、即ちｎｋ≡ｎｚｋ−１ｍｏｄ（ｄ）、法ｄでのｎｚｋ−１の剰余、として乗算合同法数列は定まる。以下視覚的な認識理解が容易な２次検定の考察から始める。暫くは法ｄでの剰余を取る事も無視した整数列｛１、ｚ、ｚ２、・・・｝を考える。列の相続く２連Ｐｋ：＝（ｚｋ、ｚｋ＋１）＝ｚｋ（１、ｚ）、ｋ＝０、１、・・・を２次元ユークリッド平面Ｅ２上の点と考え、乱数の全周期Ｔにわたって点｛Ｐ１、Ｐ２、・・・、ＰＴ｝をプロットした配列の幾何学的分布を問題とする。乱数としてはこれらの点の座標を法ｄでの合同で取り、原点Ｏを一つの頂点とし各軸方向の辺の長さｄの正方形をＣｄと記してＰｋをＣｄの中に引き戻して考えなければならない。そのような引き戻しは、第２座標についてはベクトルｅ２：＝（０、ｄ）の適当な整数倍を加えて実現される。第１座標についてはベクトル（ｄ、０）＝ｄ（１、ｚ）−ｄｅ２の整数倍を加えて実現されるから、結局ベクトル｛ｅ１：＝（１、ｚ）、ｅ２：＝（０、ｄ）｝の整数係数の１次結合でＣｄ内の乱数列の２連に対応するすべての点は表される。これは乗算合同法乱数列の２連が基ベクトル｛ｅ１、ｅ２｝の整数係数一次結合の全体、即ち｛ｅ１，ｅ２｝が張る格子Ｇ２の上の点或いはベクトルである、と言い表される。Ｇ２（ｄ、ｚ）の表記は格子が法ｄとｚによって定まる基ベクトルを持つ事を表している。【０００６】乗算合同法機構（ｄ、ｚ）の２次スペクトル検定は、格子Ｇ２（ｄ、ｚ）の格子点のＣｄ内での幾何学的分布を問題にする。視覚による直感的な理解を望んで、第１図に２連をＥ２平面に与えられる典型的なＧ２（ｄ，ｚ）格子点の姿をを描く。問題は（ｄ、ｚ）の選択で様々な姿を見せる格子の幾何学的配置の特徴付けである。第１に、基ベクトルが行列式が示すように、ｚに関係しない一定の面積ｄの平行４辺形を張る事に注意する。正方形Ｃｄの面積はｄ２だから、これはＣｄ内にｚに関係せず常にｄ個の格子点がある事を示唆する；より理解の容易な証明は後に一般次元Ｌで座標の考察から与えられる。第２に、基ベクトルは他の組｛ｅ１’、ｅ２’｝に取替える事ができる。但しｅ１’、ｅ２’共に同じ格子Ｇ２（ｄ、ｚ）のベクトルでなければならないからｅ１とｅ２との整数係数１次結合で
【数３】
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と表される。逆に｛ｅ１’、ｅ２’｝も同じ格子の基ベクトルだから、格子Ｇ２（ｄ、ｚ）のベクトルである｛ｅ１、ｅ２｝も｛ｅ１’、ｅ２’｝の整数係数１次結合で表される。即ち整数成分の変換行列Ａ＝（ａｊｋ）は整数成分の変換逆行列Ａ−１を必ず持つ。この可能性は格子の幾何学的構造に起因する。既に述べたように我々が出発した基ベクトル｛ｅ１、ｅ２｝は面積ｄの平行４辺形を張り、面積ｄ２の正方形Ｃｄ内をそのようなｄ個の平行四辺形の平行移動で埋め尽くす。新しい基ベクトル｛ｅ１’、ｅ２’｝もその平行４辺形１つに１つの格子点を持ち、その平行移動でＣｄを埋め尽くさなければならない。それは｛ｅ１’、ｅ２’｝の張る平行４辺形も面積ｄを持たなければならない、｛ｅ１、ｅ２｝と｛ｅ１’、ｅ２’｝とは同じ行列式を持たなければならない、という事である。故にこれらの間の変換行列Ａの行列式は±１以外の値を持つ事ができない。この関係は逆行列Ａ−１も整数成分である事を納得させる。、全体状況は基ベクトルはユニモジュラー行列Ａによって変換され、それ以外の可能性はない、と言い表される。１組の基ベクトル｛ｅ１、ｅ２｝から他の｛ｅ１’、ｅ２’｝への最も簡単な変換が、例えばｅ２’＝ｅ２＋ｃｅ１、ｃは任意の整数、として得られる事は注意に値する。【０００７】第３に、異なる格子点の任意の２つを結ぶ直線、格子線と呼ぼう、はその上に無数の格子点を載せている。遠く離れた２格子点を取れば、それらと平行で隣り合う格子線の最小間隔はいくらでも小さいものとなり得る事は第１図から納得されるだろう。隣接する平行格子線の最大間隔の存在は、図１の格子配置から視覚的に直感理解される。論理的把握には基ベクトルの作る３角形を考えればよい。基ベクトルの組｛ｅ１、ｅ２｝は、その取り方によらず一定の面積ｄ／２で３角形を作る。その各辺は格子点を結ぶ格子線である。任意の頂点から対面する辺に平行に引いた直線も格子線である。そして頂点と底辺の間に底辺に平行に引いた直線には格子点は決して載らない。故に頂点から対辺への垂線の長さは、平行で隣接する格子線の間隔である。この平行で隣合う格子線の間隔、即ち基ベクトルの作る３角形の３頂点から対面する底辺への垂線の長さ、は（ｄ、ｚ）を変え、３角形の形を変えれば様々に変化する。第１図の始めに描かれた諸図はきれいな正３角形に近い構造の格子であり、どの方向にも大体同じような格子点の密度と感じられる。一方第１図末尾の諸図は、何本かの直線に点が集中し、格子線の間の最小間隔と最大間隔との格差が歴然としている。これらの格子点が乱数の相続く２連を表す事を考えると、第１図始めの諸図は点の出方がどの方向にも同じである、ある乱数ｖｋが出たとき、次の乱数ｖｋ＋１がそれとは独立に出ると考えるのに困難が少ない。第１図末尾の分布では状況は異なり、相続く出方に相関がある、と示唆される。直感的に、一様独立乱数の２連図として望ましいのは格子の基ベクトルが作る３角形が正３角形に近いもの、と言えるだろう。この事は隣接平行格子線の最大間隔を考えて定量化される；明解な認識のため、｛ｅ１、ｅ２｝が張るこの３角形の座標がｄとｚから得られ整数に限る、という限定を外して、任意の３角形でその面積が一定値ｄ／���のものを考え、実数の連続性と幾何学とを利用するのである。次が成り立つ：
（補題１）  面積が一定のｄ／２の３角形の中で、垂線の最大長さが最小になるのは正３角形であり、その最小値はΛ２（ｄ）＝２−１／２３１／４ｄ１／２である。
（証明）基謬法を用いる。仮に３角形の垂線の最大値が、面積一定の条件を満たすすべての３角形の中で最小となる３角形が正３角形ではなく、辺の長さに大小があり、その最小の辺が１つである場合を仮定する。３角形を少し変形してこの辺の長さを少し大きくし、かつ辺の中での最小性は保つ様にする事はできる。しかしこの場合面積一定の条件から、垂線の長さは減少し、もとの垂線の長さがあらゆる形での最小値である事に反する。従って仮定は誤りであり、最大垂線に最小値を与える３角形は正三角形でなければならない。残る可能性を否定するために、帰謬法の仮定を２つの等しい長さの辺が最小で残る辺がより大きい場合に選ぶ。最小辺の１つを底辺に取って、対応する頂点を底辺に平行に動かすと、底辺は一定に保たれるが、共に最小であった残る辺は底辺に平行ではないから、長さ一定に止まれず、より長くなる方向がある。その方向を選んで頂点の微小に移動させれば、全体は依然として正３角形ではなく、底辺が唯一の最小の辺で、そしてこの辺に対する頂点までの距離Λ２（ｄ）は不変であらゆる形の３角形の中での最小値である、という状況を実現できる。しかしこれが矛盾である事は既に示されている。故にこの場合の可能性も否定され、最小の最大垂線を与える３角形は正３角形である。面積ｄ／２の正３角形が長さΛ２（ｄ）＝２−１／２３１／４ｄ１／２の垂線を持つ事は直ちに算出される。■【０００８】２次元の結果の意味を今少し述べる。まず次の注意をする。正３角形の座標は無理数を要する；故に整数座標の格子Ｇ２（ｄ、ｚ）の基ベクトルでは張る事ができず、Ｇ２（ｄ、ｚ）からの２連が作る格子の最大隣接平行格子線間隔は必ずλ２（ｄ、ｚ）＞Λ２（ｄ）＝２−１／２３１／４ｄ１／２を満たす。次にスペクトル検定の大原理を振り返る。幾何学的に理想として得られた最大格子線間隔Λ２（ｄ）を持つ正三角形を形成する基ベクトルが張る格子は、３角格子と呼ばれる。３角格子に近い平面格子点の上に乱数の２連の点（ｖｋ、ｖｋ＋１）が載るという事は、ｖｋが出た後にｖｋ＋１がｖｋから見た平面内の方向によらず（等方的に）独立に出現している、と考えるのに最も障害が少ない、統計的に独立の仮説を否定する事がもっとも少ない、と考えられるであろう。この意味で比ρ２（ｄ、ｚ）＝λ２（ｄ、ｚ）／Λ２（ｄ）が１よりは大きいが１に近い、という事は（ｄ、ｚ）乱数列の相続く２連の出方の独立性の仮説を否定する強度が最弱である、と言う事ができる。この推論が、生成される乱数列全体を考える事なくｄとｚのみについてｇｅｎｅｒｉｃに得られる事は、２次スペクトル検定の最大の利点である。再び第１図に戻り、典型的なρ２（ｄ、ｚ）の値に対する格子がどのような姿になるかを見る。各図の下に記されたのはρ＝ρ２（ｄ、ｚ）と（ｄ、ｚ）の値である。Ｆｉｓｈｍａｎ  ａｎｄ  Ｍｏｏｒｅ（１９８６）が与えた（ｄ、ｚ）合格の判定条件、ρ２（ｄ、ｚ）＜１．２５、の変わる事のない妥当性は視覚的に理解が容易であろう。【０００９】一般の次元Ｌ≧２を考える。Ｌ次元ユークリッド空間ＥＬの原点から発し各軸方向に長さｄの体積ｄＬの超立方体を再びＣｄと記して混乱はなかろう。（ｄ、ｚ）乗算合同法乱数のｄによる正規化を除いた相��くＬ連を、空間ＥＬの点として座標をすべて法ｄでの合同で考えるとき、次の基ベクトルで張られる格子ＧＬ（ｄ，ｚ）の上にある事は見易い。
【数４】
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これらが１次独立である事、体積を与える行列式がｄＬ−１である事は直ちにわかる。この格子が超立方体Ｃｄ内にｄ個の格子点を持つ事、はこの事実からすぐ納得される。それは次の様に座標を考えても示される。任意の格子点、即ち基ベクトルの任意の整数係数による１次結合ｃ１ｅ１＋ｃ２ｅ２＋・・・＋ｃＬｅＬの第１座標はｃ１であり、Ｃｄ内にこの格子点があるならｃ１には０、１、・・・、ｄ−１のｄ個の可能な値だけがある。これらの１つにｃ１を定めると、第２座標はＣｄ内で０≦ｃ１ｚ＋ｃ２ｄ＜ｄに限られるから整数係数ｃ２はただ１通りに定まる。同様に整数ｃ３、・・・、ｃＬも順次一意に定まる。故にＣｄ内の格子点の総数はｄである。【００１０】これらの基ベクトルがＥＬで張る超多面体、幾何学の言葉で言えばＬ（次元）単体を考える。この単体は原点も入れてＬ＋１個の頂点を持ち、それらの原点からの位置ベクトルとして上のＬ個の基ベクトルは１次独立である。各頂点は、それ以外のＬ個の頂点を含んで定まる超平面に対面している。格子ＧＬの中で隣り合う平行隣接超格子平面の最大間隔をλＬ（ｄ、ｚ）と記す。２次元での考え方はそのまま通用し、λＬ（ｄ、ｚ）はＬ＋１個の頂点から対面するＬ＋１個の超平面に下ろしたＬ＋１本の垂線の長さの最大値、である。ある頂点からの垂線の長さと対面する超底平面の超面積の積は
【数５】
2015118680.tif 000008
であり、これは超底平面或いは対面する頂点の選択によらず一定、Ｌ単体としての体積もｄＬ−１／Ｌ一定である。故にλＬ（ｄ、ｚ）は上のＬ個のベクトルが張るＬ次元単体において、最小の超面積を持つ超平面への頂点からの垂線の長さである。以下Ｌ単体が基ベクトル｛ｅ１、ｅ２、・・・、ｅＬ｝が張るものである、という条件を外して、任意の実数成分を持つ体積一定のＬ単体を考える。次が成り立つ：
（補題２）体積ｄＬ−１／Ｌ一定の実数座標の幾何学的に可能なすべてのＬ単体の中で、各頂点から対面するＬ−１次元超平面への垂線の長さの最大値λＬ（ｄ、ｚ）が最小値ΛＬ（ｄ）を取るのは、辺の長さがすべて等しい正Ｌ単体の場合である。
（証明）再び帰謬法で考える。Ｌ単体でその最小超面積のＬ−１次元超平面に対する最大高さがあらゆる幾何学的配置の中で最小のΛＬ（ｄ）を与えているものを考え、それが正Ｌ単体ではないと仮定して矛盾を導く。このＬ単体で最小超面積を持つＬ−１次元超平面がただ１つなら、Ｌ単体の微小な変形でこの最小超平面の面積の最小性（即ち対面する頂点からの垂線の最大性）を保ったままその面積を微小に大きくする事ができるが、それは体積一定の条件からΛＬ（ｄ）が小さくなる事であり、あらゆる形の中での最小性に矛盾するので、仮定された状況はあり得ない。もし最小の超面積を持つＬ−１次元超平面がｋ≧２個あれば、その１つを底超平面に取り、それに対面する頂点をこの超底面に平行に微小に動かすことによって、同面積であった（この超底面とは平行ではない他のすべての）超平面の面積を僅かに大小させて最小超面積を持つ超平面の数をｋより少なくする事ができる；このｋ−１以下の個数の最小超平面達は、ΛＬ（ｄ）が最小の可能な値であるから、変形前とその超面性を変える事ができない事になるがそれはどうでもよい。こうして超面積最小のＬ−１次元超平面の個数は１つ以上ずつ減ずる事ができる。これを繰り返せば、問題は１個の超面積最小の超平面の場合に帰着する事になる。しかしこれはあり得ないと示されている。故に仮定は誤りであり、Ｌ単体は正Ｌ単体以外はあり得ない。■【００１１】Ｌ次元空間の正Ｌ単体の体積などは十分に既知である。しかし頂点に対面する超平面の超面積やそれへの垂線の長さなどを文献から検索する事は楽ではない。ΛＬ（ｄ）の直接算出はむしろ初等的に容易なので、ここでは文献的なすべての疑念を払拭するようにΛＬ（ｄ）を実際に算出する。整数（ｄ、ｚ）からの相続くＬ個を点とする格子を忘れて、一般の幾何学的格子が次の基ベクトルの組で張られる、と仮定して出発する；
【数６】
2015118680.tif 000009
ここでａとｂとはこれらベクトルが
（１）行列式として体積ｄＬ−１の超平行Ｌ面体（Ｌ単体の体積ｄＬ−１／Ｌ）を張り、
（２）正Ｌ単体を張る、
という２条件で定められる定数である。不要な複雑化を除くためにａ、ｂ＞０、即ちこれらのベクトルは原点ＯからＥＬの第１象限（ｏｒｔｈａｎｔ）に向かうベクトルであると限定する。仮定されたベクトルの形から、‖ｅｊ’‖２＝｛（Ｌ−１）ａ２＋ｂ２｝は番号ｊにはよらず等しい。またそれらの内積が（ｅｊ’、ｅｋ’）＝（Ｌ−２）ａ２＋２ａｂと一定だから、これらのベクトルの任意の対ｊ≠ｋは一定の角をなす。さらに、定単位ベクトルｅｏ’：＝（１、１、１、・・・、１）／Ｌ１／２との内積を取れば、（ｅｏ’、ｅｊ’）＝｛（Ｌ−１）ａ＋ｂ｝／Ｌ１／２で一定だからこれらの基ベクトルはすべてｅｏ’方向に同じ射影を持つ。この射影はｅ１’、ｅ２’、・・・、ｅＬ’が張る超平面への原点Ｏからの垂線の長さ、求めるべきΛＬ（ｄ）であって、条件（１）、（２）からｄとＬで定められるべき量である。まず条件（１）から、ｓ：＝（Ｌ−１）ａ＋ｂと置いて、行列式を計算する：
【数７】
2015118680.tif 000010
第１列を以後の列から引けば直ちにｄＬ−１＝ｓ（ｂ−ａ）Ｌ−１を得る。次に条件（２）を考える。番号１≦ｉ、ｊ、ｋ≦Ｌでｊ≠ｋの場合に‖ｅｉ’‖２＝‖ｅｊ’−ｅｋ’‖２が成り立つ、という条件でも、あるいはこれと同等な‖ｅｉ’‖２＝２（ｅｊ’、ｅｋ’）からでも、同じ結果、（Ｌ−１）ａ２＋ｂ２＝２（ｂ−ａ）２を得る。故に例えばｂ＝ξａと置けばξは方程式ξ２＋（Ｌ−１）＝２（ξ−１）２を満たす。解はξ＝２＋（Ｌ＋１）１／２である；解ξ＝２−（Ｌ＋１）１／２はＬ≧３では仮定ａ、ｂ＞０から意味がない。Ｌ＝２では意味があるが、ξ＝２−（Ｌ＋１）１／２の解は２次元ベクトルｅ１’：＝（ｂ、ａ）とｅ２’：＝（ａ、ｂ）の入れ替えに相当し、ξ＝２＋（Ｌ＋１）１／２のものと同じ状況であり考えなくてよい。
これによって
【数８】
2015118680.tif 000011
が判明する。Ｍ２（ｄ）＝Λ２（ｄ）は既知の通りである。このＭＬ（ｄ）をＬ＝２、３、・・・、６について以下にまとめる。
（補題３）次元Ｌ＝２、・・・、６では、格子ＧＬ（ｄ、ｚ）の隣接平行格子間隔の最大値に次の幾何学的下限が存在する：
【数９】
2015118680.tif 000012
2015118680.tif 000013
なお、Ｌ＝３次元でのＭ３（ｄ）が、体積ｄ２の正４面体の頂点から対面する底正３角形への垂線の長さである事は容易に得られ、それはＦｉｓｈｍａｎ  ａｎｄ  Ｍｏｏｒｅ（１９８６）の用いたΛ３（ｄ）＝２−１／６ｄ２／３≒０．８０９０９０ｄ２／３とは乖離する。現在の発見はこれに動機付けられた解析に基づく。【００１２】なお、疑念を残さないように、次の事柄に触れておく。上では位置ベクトル｛ｅ１’、ｅ２’、・・・、ｅＬ’｝が張るＬ−１次元超平面への原点Ｏからの垂線の長さとしてΛＬ（ｄ）を算出した。
番号１≦ｉ、ｊ、ｋ≦Ｌでｊ≠ｋの場合に条件‖ｅｉ’‖２＝‖ｅｊ’−ｅｋ’‖２が成り立つ、あるいはこれと同等な‖ｅｉ’‖２＝２（ｅｊ’、ｅｋ’）が成り立つ、という場合にｅＬ’から原点Ｏと位置ベクトル｛ｅ１’、ｅ２’、・・・、ｅＬ−１’｝とが張る超平面への垂線の長さが同じΛＬ（ｄ）である事を証明する。基ベクトルの変換が繁雑な計算を避けてわかりやすい。頂点として新しく選ぶｅＬ’に特別の意味はない。任意番号ｋに対するｅｋ’を頂点に選んでも同様である事は以下自明に見られる。次のベクトルを取る：
【数１０】
2015118680.tif 000014
‖ｅｉ’‖２＝‖ｅｊ’−ｅｋ’‖２又は‖ｅｉ’‖２＝２（ｅｊ’、ｅｋ’）を用いると、１≦ｉ≦Ｌ−１で‖ｅｉ”‖２＝（ｅｉ’−ｅＬ’、ｅｉ’−ｅＬ’）＝‖ｅｉ’‖２を得る。またｊ≠ｋ、共にＬではないならば
【数１１】
2015118680.tif 000015
を得るし、ｊ＜Ｌなら
【数１２】
2015118680.tif 000016
も得る。故に｛ｅ１、ｅ２・・・、ｅＬ｝から｛ｅ１’、ｅ２’、・・・、ｅＬ’｝への変換は正Ｌ単体の形を保つ対称変換であり、新しい原点（旧頂点ｅＬ’）から対面するＬ−１超底平面への高さは元のΛＬ（ｄ）と同じである。この新超底平面への高さは、新超底平面（元のＯと｛ｅ１’、ｅ２’・・・、ｅＬ−１’｝が張る超平面）の重心ｅＧ”：＝（ｅ１”＋ｅ２”＋・・・＋ｅＬ”）／Ｌと新原点（旧頂点ｅＬ’）を結ぶ線分の長さと等しい。
【発明を実施するための形態】
【００１３】幾何学的な理想値はこのように得られたから、残るのは（ｄ、ｚ）が与えられた場合の平行隣接超格子平面の最大間隔λＬ（ｄ，ｚ）の具体的な算出である。これは格子の基ベクトル｛ｅ１、ｅ２、・・・、ｅＬ｝からその双対格子、即ち双対基ベクトルの組｛ｆ１、ｆ２、・・・、ｆＬ｝、が張る格子の最小格子ベクトルの算出の問題に移して最も容易に行われる。双対基ベクトルは次で定義される：
【数１１】
2015118680.tif 000017
これら双対基ベクトルは明らかに１次独立である。双対基ベクトルの特徴付けは、容易に見られる内積関係（ｅｊ、ｆｋ）＝ｄδｊｋで定まる。この関係は｛ｅ１、ｅ２、・・・、ｅＬ｝を行ベクトルとするＬ×Ｌ行列Ｅ、｛ｆ１、ｆ２、・・・、ｆＬ｝を行ベクトルとするＬ×Ｌ行列Ｆを用いて行列積ＥｔＦ＝ｄＩ、Ｉは単位Ｌ×Ｌ行列、ｔＦはＦの転置行列、であってｔＦ＝ｄＥ−１と逆行列で表される事、解として一意である事がわかる。１次独立な組｛ｆ１、ｆ２、・・・、ｆＬ｝はそれらを基ベクトルとする整数係数１次結合で双対格子と呼ばれる格子を作る。（ｄ、ｚ）で定まるこの双対格子の正で最短の長さを持つベクトルをｆｍｉｎとし、その長さを‖ｆｍｉｎ‖＞０と記そう。我々が求める元の格子の最大平行隣接Ｌ−１次元格子超平面間隔λＬ（ｄ，ｚ）は次式で得られる：
【数１３】
2015118680.tif 000018
この理論関係の導出は紙数を要するので、Ｎａｋａｚａｗａ  ａｎｄ  Ｎａｋａｚａｗａ（２０１２）の定理７と証明を参照して頂きたい。実際のλＬ（ｄ，ｚ）の算出には双対格子のあらゆるベクトルを掃過探索して最短ベクトルを見出す以外に方法がない。しかし幸いλＬ（ｄ，ｚ）の下限の存在λＬ（ｄ，ｚ）＞ＭＬ（ｄ）が上の通り既知だから、‖ｆｍｉｎ‖＜ｄ／ＭＬ（ｄ）の理論制限があり、双対格子ベクトルｆの探索は‖ｆ‖＜ｄ／ＭＬ（ｄ）を満たすものに限って行えばよい。
Ｎａｋａｚａｗａ  ａｎｄ  Ｎａｋａｚａｗａ（２０１２）／Ｎ．Ｎａｋａｚａｗａ  ａｎｄ  Ｈ．Ｎａｋａｚａｗａ，Ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅ  ｃｏｎｇｒｕｅｎｔｉａｌ  ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ  ｗｉｔｈ  ｍｏｄｕｌｕｓｅｓ  ｆｏｒｍｅｄ  ｂｙ  ｔｗｏ  ｏｄｄ−ｐｒｉｍｅ  ｆａｃｔｏｒｓ  ｆｏｒ  ｕｎｉｆｏｒｍ  ａｎｄ  ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ  ｒａｎｄｏｍ  ｎｕｍｂｅｒｓ  ＩＩ．Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ  ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ  ｗｉｔｈ  ｓｐｅｃｔｒａｌ  ｔｅｓｔｓ，ｕｐｌｏａｄｅｄ  ｉｎ  Ｏｃｔｏｂｅｒ  １３，２０１２，ｉｎ  ｔｈｅ  ＵＲＬ  ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ１０．ｐｌａｌａ．ｏｒ．ｊｐ／ｈ−ｎｋｚｗ／．
【００１４】現在までの実際の３次以上のスペクトル検定計算は、ＭＬ（ｄ）ではなく、より小さいΛＬ（ｄ）を用いていた。故に現在までのＬ≧３次のスペクトル検定は計算として不経済、不要に大きい探索範囲で行われていたし、また判定においてλＬ（ｄ、ｚ）が正しいＭＬ（ｄ）よりも小さいΛＬ（ｄ）に比べて大きすぎる、と誤判定されて、合格基準内にあるものが捨てられていた可能性もある。乗算合同法（ｄ、ｚ）は再度３次以上のスペクトル検定を経るべきである。但し２次検定結果は十全で再検定の必要はない。また既に合格している（ｄ、ｚ）の合格が取り消される事はないし、検定の評価値の換算も容易である。誤ったΛＬ（ｄ）の引用はＮａｋａｚａｗａ  ａｎｄ  Ｎａｋａｚａｗａ（２０１２）にも存在する事を遺憾と共に周知する。ただし、その推論構造と、上のλＬ（ｄ，ｚ）＝ｄ／‖ｆｍｉｎ‖の関係の導出に変更すべき点はない。安心して参照、使用して頂きたい。合格基準をρＬ（ｄ、ｚ）＝λＬ（ｄ、ｚ）／ＭＬ（ｄ）＜ＲＬとしてＦｉｓｈｍａｎ  ａｎｄ  Ｍｏｏｒｅ（１９８６）と同じくＲＬ＝１．２５に取っても、合格率は確実に増大するが問題はないと思われる。ただ、適当なＲＬの値の精密な検討は、将来の研究に俟つべきと思われる。
【発明の効果】
【００１５】新しく発見された検定基準ＭＬ（ｄ）に基づく検定方式は、（ｄ、ｚ）乗算合同法乱数列の統計性の正確な判定を与えるものとして現在までの検定結果の再検討を促し、結果の信頼度を方法本来の能力にまで高め、また検定計算の高速化にも資して、得られる乱数周期の拡張も可能にするであろう。
【図面の簡単な説明】
【００１６】
【図１】代表的な（ｄ、ｚ）の乱数の２連が示す典型的格子構造の２次元図。
【図１】
2015118680.tif 000019
【手続補正書】
【提出日】平成25年12月18日(2013.12.18)
【手続補正１】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】全文
【補正方法】変更
【補正の内容】
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】  本発明は一様独立乱数生成の乗算合同法で優れた性能の生成機構を発見選択する方法としてのスペクトル検定に関する。詳しくは３次以上の検定の新規で精密高精度の方式の発明を提示する。乗算合同法は自然数の法ｄ、前記ｄとは素な、即ちｄとは共通素因数を持たない自然数の乗数ｚ≧２、そして前記法ｄとは素な自然数の初期値１≦ｎ１＜ｄに基づいて、自然数の列｛ｎ１、ｎ２、・・・｝をｎｋのｚ倍をｄで割った余りとして次の整数ｎｋ＋１を定義し、ｋ＝１、２、・・・に対して実数列｛ｖｋ＝ｎｋ／ｄ｝を順次一様独立乱数列の出力とする。乗算合同法は（ｄ、ｚ、ｎ１）で定まるが、初期値ｎ１は乱数列の出発点を選択だけを担い、生成される乱数列の良否には関係しない。故に以下乗算合同法生成機構を（ｄ、ｚ）とも略記する。相続いて生成される乱数の独立性が得難い中で、乗算合同法のＬ次スペクトル検定は生成された乱数の相続くＬ連、Ｌ＝２、３、４、・・・の、特に独立性の評価を可能とする方法としてそれ自身、そして乗算合同法に大切な役割を齎す。発明者達はＬ≧３のスペクトル検定で現在まで用いられたものとは異なる、明確な幾何学的定義に基づく検定基準を見出した。以下新基準の導出を与え、スペクトル検定基準としての利点を示し、これに基づく３次以上のスペクトル検定を、優れた乗算合同法乱数機構を発見製造する新しい技術として提出する。
【背景技術】
【０００２】乗算合同法のスペクトル検定はＦｉｓｈｍａｎ  ａｎｄ  Ｍｏｏｒｅ（１９８６）において初めて体系的に使用され、現在までも有用性を失わない知見が多く得られた。この検定は法ｄと乗数ｚのみに基づくもので、出力乱数列全体に渡る統計的検定を行う事なくｄとｚに関してｇｅｎｅｒｉｃな性能評価を与えるものであり、抜きん出た利点を誇っている。検定の骨子は、乱数出力のＬ連をＬ次元ユークリッド空間Ｅｎの点とすると、それらがｄとｚで定まる格子、それを以下ＧＬ（ｄ、ｚ）＝ＧＬと記す、の上にあるという事実に基づく。ＧＬ（ｄ、ｚ）のＬ個の格子点は、一般にそれらを含む（Ｌ−１）次元の（超）格子平面を定める。（ｄ、ｚ）が定めるＧＬ格子のこれら（Ｌ−１）次元超格子平面の中で平行で隣り合うものの間隔の最大値は法ｄ、乗数ｚ、そして次元Ｌで定まるのでλＬ（ｄ、ｚ）と記す。ユークリッド空間ＥＬの図形や格子には幾何学的な制限が生じる事に起因して、λＬ（ｄ、ｚ）にはＬとｄとで定まる最小値ΛＬが存在する。隣接平行超格子平面がこのΛＬ（ｄ）に近い間隔λＬ（ｄ、ｚ）を実現する事は、（ｄ、ｚ）乱数のＬ連が好ましい一様独立性を持つ性質と強く関連する。この事実から、スペクトル検定は比ρＬ（ｄ、ｚ）＝λＬ（ｄ、ｚ）／ΛＬ（ｄ）＞１の値ができるだけ１に近いものを選ぶ事によって優れた性能の（ｄ、ｚ）の発見と選出を目指す方法である。Ｆｉｓｈｍａｎ  ａｎｄ  Ｍｏｏｒｅ（１９８６）はその（１５）式でこの理想値ΛＬ（ｄ）として、次のような値を採用した：
【数１】
2015118680.tif 000020
これらは現在までスペクトル検定が採るべき基準値として用いられている。
Ｆｉｓｈｍａｎ  ａｎｄ  Ｍｏｏｒｅ（１９８６）／Ｇ．Ｓ．Ｆｉｓｈｍａｎ  ａｎｄ  Ｌ．Ｒ．Ｍｏｏｒｅ：Ａｎ  ｅｘｈａｕｓｔｉｖｅ  ａｎａｌｙｓｉｓ  ｏｆ  ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅ  ｃｏｎｇｒｕｅｎｔｉａｌ  ｒａｎｄｏｍ  ｎｕｍｂｅｒ  ｇｅｎｅｒａｔｏｒ  ｗｉｔｈ  ｍｏｄｕｌｕｓ  ２３１−１，ＳＩＡＭ  Ｊｏｕｒｎａｌ  ｏｎ  Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ  ａｎｄ  Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ  Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ  Ｖｏｌ．７（１９８６），ｐｐ．２４−４５．
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００３】
【特許文献１】特開２０１０−４００２１号公報
【特許文献２】特開２０１２−２０３８９８号公報
【特許文献３】特願２０１３−１４２２２５号明細書
【特許文献４】特願２０１３−２０６９４７号明細書
【非特許文献】
【非特許文献１】
2015118680.tif 000021
【非特許文献２】Ｎ．Ｎａｋａｚａｗａ  ａｎｄ  Ｈ．Ｎａｋａｚａｗａ，Ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅ  ｃｏｎｇｒｕｅｎｔｉａｌ  ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ  ｗｉｔｈ  ｍｏｄｕｌｕｓｅｓ  ｆｏｒｍｅｄ  ｂｙ  ｔｗｏ  ｏｄｄ−ｐｒｉｍｅ  ｆａｃｔｏｒｓ  ｆｏｒ  ｕｎｉｆｏｒｍ  ａｎｄ  ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ  ｒａｎｄｏｍ  ｎｕｍｂｅｒｓ  ＩＩ．Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ  ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ  ｗｉｔｈ  ｓｐｅｃｔｒａｌ  ｔｅｓｔｓ，ｕｐｌｏａｄｅｄ  ｉｎ  Ｏｃｔｏｂｅｒ  １３，２０１２，ｉｎ  ｔｈｅ  ＵＲＬ  ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ１０．ｐｌａｌａ．ｏｒ．ｊｐ／ｈ−ｎｋｚｗ／．
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００４】  現発明者達は次の事を発見した。次元Ｌ≧３の場合については幾何学的定義に正確に従って得られる基準値は次のＭ３（ｄ）、Ｍ４（ｄ）、・・・、Ｍ６（ｄ）である：
【数２】
2015118680.tif 000022
この発見が示唆する基準値への変更の影響は、ある意味軽微である。Ｆｉｓｈｍａｎ  ａｎｄ  Ｍｏｏｒｅ（１９８６）の方法で現在合格とされている（ｄ、ｚ）乱数が新しく不合格になる事はない。しかし重要なのは、新基準では合格でありながら不合格とされていたものが存在する可能性であって、我々は再スペクトル検定実行の必要を迫られている。スペクトル検定はその方法としての誕生以来、シミュレーションで望まれる長周期の乱数の検定による発見に計算可能性の困難を抱えていた。ここに与えるより大きく正しい検定基準ＭＬ（ｄ）の発見は、検定計算負荷の軽減を与え、またより多くの乗算合同法乱数生成機構が合格の可能性を持つ事を知らせる。この可能性の展望は応用にとっての重要な動因を与えるものである。
【課題を解決するための手段】
【０００５】発明者達は幾何学的な考察から、平行で隣接する格子超平面間の距離の最小値を具体的な数値Ｍ３（ｄ）からＭ６（ｄ）の算出、確認、証明として得た。以下にこの手続きの説明と、それに基づくスペクトル検定の構成を記す。この結果と既発見の技術、特願２０１３−１４２２２５および特願２０１３−２０６９４７、との連携によって、十分な長周期と共に格段に高精度な統計分布を実現する乱数生成機構の検定方式が、一般により多くの合格乱数発生装置と、それらを得るためのより容易な検定計算を伴って与えるだろう。【０００６】スペクトル検定は乗算合同法に限らず応用可能である。特に一様独立性を望む任意の乱数列が十分に大きな周期Ｔを持てば、適当な乗算合同法乱数列が存在してこの乱数列の各項を１／Ｔ程度の一様な精度で近似する。この発見は特許文献１−４で詳述されている。以下では、従って、乗算合同法乱数列｛ｖｋ＝ｎｋ／ｄ｜０≦ｎｋ≦ｄ、ｋ＝１、２、・・・｝と、それを生成する生成機構（ｄ、ｚ、ｎ）、通常（ｄ、ｚ）と略記する、のみに集中して述べる。ｄは法、ｚはｄとは素な乗数、ｎもｄとは素な任意の整数である。ｋ＝１、２、・・・に対してｎｋを整数ｎｚｋ−１をｄで割った余り、即ちｎｋ≡ｎｚｋ−１ｍｏｄ（ｄ）、法ｄでのｎｚｋ−１の剰余、として乗算合同法数列は定まる。以下視覚的な認識理解が容易な２次検定の考察から始める。暫くは法ｄでの剰余を取る事も無視した整数列｛１、ｚ、ｚ２、・・・｝を考える。列の相続く２連Ｐｋ：＝（ｚｋ、ｚｋ＋１）＝ｚｋ（１、ｚ）、ｋ＝０、１、・・・を２次元ユークリッド平面Ｅ２上の点と考え、乱数の全周期Ｔにわたって点｛Ｐ１、Ｐ２、・・・、ＰＴ｝をプロットした配列の幾何学的分布を問題とする。乱数としてはこれらの点の座標を法ｄでの合同で取り、原点Ｏを一つの頂点とし各軸方向の辺の長さｄの正方形をＣｄと記してＰｋをＣｄの中に引き戻して考えなければならない。そのような引き戻しは、第２座標についてはベクトルｅ２：＝（０、ｄ）の適当な整数倍を加えて実現される。第１座標についてはベクトル（ｄ、０）＝ｄ（１、ｚ）−ｄｅ２の整数倍を加えて実現されるから、結局ベクトル｛ｅ１：＝（１、ｚ）、ｅ２：＝（０、ｄ）｝の整数係数の１次結合でＣｄ内の乱数列の２連に対応するすべての点は表される。これは乗算合同法乱数列の２連が基ベクトル｛ｅ１、ｅ２｝の整数係数一次結合の全体、即ち｛ｅ１，ｅ２｝が張る格子Ｇ２の上の点或いはベクトルである、と言い表される。Ｇ２（ｄ、ｚ）の表記は格子が法ｄとｚによって定まる基ベクトルを持つ事を表している。【０００７】乗算合同法機構（ｄ、ｚ）の２次スペクトル検定は、格子Ｇ２（ｄ、ｚ）の格子点のＣｄ内での幾何学的分布を問題にする。視覚による直感的な理解を望んで、第１図に２連をＥ２平面に与えられる典型的なＧ２（ｄ，ｚ）格子点の姿をを描く。問題は（ｄ、ｚ）の選択で様々な姿を見せる格子の幾何学的配置の特徴付けである。第１に、基ベクトルが行列式が示すように、ｚに関係しない一定の面積ｄの平行４辺形を張る事に注意する。正方形Ｃｄの面積はｄ２だから、これはＣｄ内にｚに関係せず常にｄ個の格子点がある事を示唆する；より理解の容易な証明は後に一般次元Ｌで座標の考察から与えられる。第２に、基ベクトルは他の組｛ｅ１’、ｅ２’｝に取替える事ができる。但しｅ１’、ｅ２’共に同じ格子Ｇ２（ｄ、ｚ）のベクトルでなければならないからｅ１とｅ２との整数係数１次結合で
【数３】
2015118680.tif 000023
と表される。逆に｛ｅ１’、ｅ２’｝も同じ格子の基ベクトルだから、格子Ｇ２（ｄ、ｚ）のベクトルである｛ｅ１、ｅ２｝も｛ｅ１’、ｅ２’｝の整数係数１次結合で表される。即ち整数成分の変換行列Ａ＝（ａｊｋ）は整数成分の変換逆行列Ａ−１を必ず持つ。この可能性は格子の幾何学的構造に起因する。既に述べたように我々が出発した基ベクトル｛ｅ１、ｅ２｝は面積ｄの平行４辺形を張り、面積ｄ２の正方形Ｃｄ内をそのようなｄ個の平行四辺形の平行移動で埋め尽くす。新しい基ベクトル｛ｅ１’、ｅ２’｝もその平行４辺形１つに１つの格子点を持ち、その平行移動でＣｄを埋め尽くさなければならない。それは｛ｅ１’、ｅ２’｝の張る平行４辺形も面積ｄを持たなければならない、｛ｅ１、ｅ２｝と｛ｅ１’、ｅ２’｝とは同じ行列式を持たなければならない、という事である。故にこれらの間の変換行列Ａの行列式は±１以外の値を持つ事ができない。この関係は逆行列Ａ−１も整数成分である事を納得させる。、全体状況は基ベクトルはユニモジュラー行列Ａによって変換され、それ以外の可能性はない、と言い表される。１組の基ベクトル｛ｅ１、ｅ２｝から他の｛ｅ１’、ｅ２’｝への最も簡単な変換が、例えばｅ２’＝ｅ２＋ｃｅ１、ｃは任意の整数、として得られる事は注意に値する。【０００８】第３に、異なる格子点の任意の２つを結ぶ直線、格子線と呼ぼう、はその上に無数の格子点を載せている。遠く離れた２格子点を取れば、それらと平行で隣り合う格子線の最小間隔はいくらでも小さいものとなり得る事は第１図から納得されるだろう。隣接する平行格子線の最大間隔の存在は、図１の格子配置から視覚的に直感理解される。論理的把握には基ベクトルの作る３角形を考えればよい。基ベクトルの組｛ｅ１、ｅ２｝は、その取り方によらず一定の面積ｄ／２で３角形を作る。その各辺は格子点を結ぶ格子線である。任意の頂点から対面する辺に平行に引いた直線も格子線である。そして頂点と底辺の間に底辺に平行に引いた直線には格子点は決して載らない。故に頂点から対辺への垂線の長さは、平行で隣接する格子線の間隔である。この平行で隣合う格子線の間隔、即ち基ベクトルの作る３角形の３頂点から対面する底辺への垂線の長さ、は（ｄ、ｚ）を変え、３角形の形を変えれば様々に変化する。第１図の始めに描かれた諸図はきれいな正３角形に近い構造の格子であり、どの方向にも大体同じような格子点の密度と感じられる。一方第１図末尾の諸図は、何本かの直線に点が集中し、格子線の間の最小間隔と最大間隔との格差が歴然としている。これらの格子点が乱数の相続く２連を表す事を考えると、第１図始めの諸図は点の出方がどの方向にも同じである、ある乱数ｖｋが出たとき、次の乱数ｖｋ＋１がそれとは独立に出ると考えるのに困難が少ない。第１図末尾の分布では状況は異なり、相続く出方に相関がある、と示唆される。直感的に、一様独立乱数の２連図として望ましいのは格子の基ベクトルが作る３角形が正３角形に近いもの、と言えるだろう。この事は隣接平行格子線の最大間隔を考えて定量化される；明解な認識のため、｛ｅ１、ｅ２｝が張るこの３角形の座標がｄとｚから得られ整数に限る、という限定を外して、任意の３角形でその面積が一定値ｄ／���のものを考え、実数の連続性と幾何学とを利用するのである。次が成り立つ：
（補題１）  面積が一定のｄ／２の３角形の中で、垂線の最大長さが最小になるのは正３角形であり、その最小値はΛ２（ｄ）＝２−１／２３１／４ｄ１／２である。
（証明）基謬法を用いる。仮に３角形の垂線の最大値が、面積一定の条件を満たすすべての３角形の中で最小となる３角形が正３角形ではなく、辺の長さに大小があり、その最小の辺が１つである場合を仮定する。３角形を少し変形してこの辺の長さを少し大きくし、かつ辺の中での最小性は保つ様にする事はできる。しかしこの場合面積一定の条件から、垂線の長さは減少し、もとの垂線の長さがあらゆる形での最小値である事に反する。従って仮定は誤りであり、最大垂線に最小値を与える３角形は正三角形でなければならない。残る可能性を否定するために、帰謬法の仮定を２つの等しい長さの辺が最小で残る辺がより大きい場合に選ぶ。最小辺の１つを底辺に取って、対応する頂点を底辺に平行に動かすと、底辺は一定に保たれるが、共に最小であった残る辺は底辺に平行ではないから、長さ一定に止まれず、より長くなる方向がある。その方向を選んで頂点の微小に移動させれば、全体は依然として正３角形ではなく、底辺が唯一の最小の辺で、そしてこの辺に対する頂点までの距離Λ２（ｄ）は不変であらゆる形の３角形の中での最小値である、という状況を実現できる。しかしこれが矛盾である事は既に示されている。故にこの場合の可能性も否定され、最小の最大垂線を与える３角形は正３角形である。面積ｄ／２の正３角形が長さΛ２（ｄ）＝２−１／２３１／４ｄ１／２の垂線を持つ事は直ちに算出される。■【０００９】２次元の結果の意味を今少し述べる。まず次の注意をする。正３角形の座標は無理数を要する；故に整数座標の格子Ｇ２（ｄ、ｚ）の基ベクトルでは張る事ができず、Ｇ２（ｄ、ｚ）からの２連が作る格子の最大隣接平行格子線間隔は必ずλ２（ｄ、ｚ）＞Λ２（ｄ）＝２−１／２３１／４ｄ１／２を満たす。次にスペクトル検定の大原理を振り返る。幾何学的に理想として得られた最大格子線間隔Λ２（ｄ）を持つ正三角形を形成する基ベクトルが張る格子は、３角格子と呼ばれる。３角格子に近い平面格子点の上に乱数の２連の点（ｖｋ、ｖｋ＋１）が載るという事は、ｖｋが出た後にｖｋ＋１がｖｋから見た平面内の方向によらず（等方的に）独立に出現している、と考えるのに最も障害が少ない、統計的に独立の仮説を否定する事がもっとも少ない、と考えられるであろう。この意味で比ρ２（ｄ、ｚ）＝λ２（ｄ、ｚ）／Λ２（ｄ）が１よりは大きいが１に近い、という事は（ｄ、ｚ）乱数列の相続く２連の出方の独立性の仮説を否定する強度が最弱である、と言う事ができる。この推論が、生成される乱数列全体を考える事なくｄとｚのみについてｇｅｎｅｒｉｃに得られる事は、２次スペクトル検定の最大の利点である。再び第１図に戻り、典型的なρ２（ｄ、ｚ）の値に対する格子がどのような姿になるかを見る。各図の下に記されたのはρ＝ρ２（ｄ、ｚ）と（ｄ、ｚ）の値である。Ｆｉｓｈｍａｎ  ａｎｄ  Ｍｏｏｒｅ（１９８６）が与えた（ｄ、ｚ）合格の判定条件、ρ２（ｄ、ｚ）＜１．２５、の変わる事のない妥当性は視覚的に理解が容易であろう。【００１０】一般の次元Ｌ≧２を考える。Ｌ次元ユークリッド空間ＥＬの原点から発し各軸方向に長さｄの体積ｄＬの超立方体を再びＣｄと記して混乱はなかろう。（ｄ、ｚ）乗算合同法乱数のｄによる正規化を除いた相��くＬ連を、空間ＥＬの点として座標をすべて法ｄでの合同で考えるとき、次の基ベクトルで張られる格子ＧＬ（ｄ，ｚ）の上にある事は見易い。
【数４】
2015118680.tif 000024
これらが１次独立である事、体積を与える行列式がｄＬ−１である事は直ちにわかる。この格子が超立方体Ｃｄ内にｄ個の格子点を持つ事、はこの事実からすぐ納得される。それは次の様に座標を考えても示される。任意の格子点、即ち基ベクトルの任意の整数係数による１次結合ｃ１ｅ１＋ｃ２ｅ２＋・・・＋ｃＬｅＬの第１座標はｃ１であり、Ｃｄ内にこの格子点があるならｃ１には０、１、・・・、ｄ−１のｄ個の可能な値だけがある。これらの１つにｃ１を定めると、第２座標はＣｄ内で０≦ｃ１ｚ＋ｃ２ｄ＜ｄに限られるから整数係数ｃ２はただ１通りに定まる。同様に整数ｃ３、・・・、ｃＬも順次一意に定まる。故にＣｄ内の格子点の総数はｄである。【００１１】これらの基ベクトルがＥＬで張る超多面体、幾何学の言葉で言えばＬ（次元）単体を考える。この単体は原点も入れてＬ＋１個の頂点を持ち、それらの原点からの位置ベクトルとして上のＬ個の基ベクトルは１次独立である。各頂点は、それ以外のＬ個の頂点を含んで定まる超平面に対面している。格子ＧＬの中で隣り合う平行隣接超格子平面の最大間隔をλＬ（ｄ、ｚ）と記す。２次元での考え方はそのまま通用し、λＬ（ｄ、ｚ）はＬ＋１個の頂点から対面するＬ＋１個の超平面に下ろしたＬ＋１本の垂線の長さの最大値、である。ある頂点からの垂線の長さと対面する超底平面の超面積の積は
【数５】
2015118680.tif 000025
であり、これは超底平面或いは対面する頂点の選択によらず一定、Ｌ単体としての体積もｄＬ−１／Ｌ一定である。故にλＬ（ｄ、ｚ）は上のＬ個のベクトルが張るＬ次元単体において、最小の超面積を持つ超平面への頂点からの垂線の長さである。以下Ｌ単体が基ベクトル｛ｅ１、ｅ２、・・・、ｅＬ｝が張るものである、という条件を外して、任意の実数成分を持つ体積一定のＬ単体を考える。次が成り立つ：
（補題２）体積ｄＬ−１／Ｌ一定の実数座標の幾何学的に可能なすべてのＬ単体の中で、各頂点から対面するＬ−１次元超平面への垂線の長さの最大値λＬ（ｄ、ｚ）が最小値ΛＬ（ｄ）を取るのは、辺の長さがすべて等しい正Ｌ単体の場合である。
（証明）再び帰謬法で考える。Ｌ単体でその最小超面積のＬ−１次元超平面に対する最大高さがあらゆる幾何学的配置の中で最小のΛＬ（ｄ）を与えているものを考え、それが正Ｌ単体ではないと仮定して矛盾を導く。このＬ単体で最小超面積を持つＬ−１次元超平面がただ１つなら、Ｌ単体の微小な変形でこの最小超平面の面積の最小性（即ち対面する頂点からの垂線の最大性）を保ったままその面積を微小に大きくする事ができるが、それは体積一定の条件からΛＬ（ｄ）が小さくなる事であり、あらゆる形の中での最小性に矛盾するので、仮定された状況はあり得ない。もし最小の超面積を持つＬ−１次元超平面がｋ≧２個あれば、その１つを底超平面に取り、それに対面する頂点をこの超底面に平行に微小に動かすことによって、同面積であった（この超底面とは平行ではない他のすべての）超平面の面積を僅かに大小させて最小超面積を持つ超平面の数をｋより少なくする事ができる；このｋ−１以下の個数の最小超平面達は、ΛＬ（ｄ）が最小の可能な値であるから、変形前とその超面性を変える事ができない事になるがそれはどうでもよい。こうして超面積最小のＬ−１次元超平面の個数は１つ以上ずつ減ずる事ができる。これを繰り返せば、問題は１個の超面積最小の超平面の場合に帰着する事になる。しかしこれはあり得ないと示されている。故に仮定は誤りであり、Ｌ単体は正Ｌ単体以外はあり得ない。■【００１２】Ｌ次元空間の正Ｌ単体の体積などは十分に既知である。しかし頂点に対面する超平面の超面積やそれへの垂線の長さなどを文献から検索する事は楽ではない。ΛＬ（ｄ）の直接算出はむしろ初等的に容易なので、ここでは文献的なすべての疑念を払拭するようにΛＬ（ｄ）を実際に算出する。整数（ｄ、ｚ）からの相続くＬ個を点とする格子を忘れて、一般の幾何学的格子が次の基ベクトルの組で張られる、と仮定して出発する；
【数６】
2015118680.tif 000026
ここでａとｂとはこれらベクトルが
（１）行列式として体積ｄＬ−１の超平行Ｌ面体（Ｌ単体の体積ｄＬ−１／Ｌ）を張り、
（２）正Ｌ単体を張る、
という２条件で定められる定数である。不要な複雑化を除くためにａ、ｂ＞０、即ちこれらのベクトルは原点ＯからＥＬの第１象限（ｏｒｔｈａｎｔ）に向かうベクトルであると限定する。仮定されたベクトルの形から、‖ｅｊ’‖２＝｛（Ｌ−１）ａ２＋ｂ２｝は番号ｊにはよらず等しい。またそれらの内積が（ｅｊ’、ｅｋ’）＝（Ｌ−２）ａ２＋２ａｂと一定だから、これらのベクトルの任意の対ｊ≠ｋは一定の角をなす。さらに、定単位ベクトルｅ０’：＝（１、１、１、・・・、１）／Ｌ１／２との内積を取れば、（ｅｏ’、ｅｊ’）＝｛（Ｌ−１）ａ＋ｂ｝／Ｌ１／２で一定だからこれらの基ベクトルはすべてｅ０’方向に同じ射影を持つ。この射影はｅ１’、ｅ２’、・・・、ｅＬ’が張る超平面への原点Ｏからの垂線の長さ、求めるべきΛＬ（ｄ）であって、条件（１）、（２）からｄとＬで定められるべき量である。まず条件（１）から、ｓ：＝（Ｌ−１）ａ＋ｂと置いて、行列式を計算する：
【数７】
2015118680.tif 000027
第１列を以後の列から引けば直ちにｄＬ−１＝ｓ（ｂ−ａ）Ｌ−１を得る。次に条件（２）を考える。番号１≦ｉ、ｊ、ｋ≦Ｌでｊ≠ｋの場合に‖ｅｉ’‖２＝‖ｅｊ’−ｅｋ’‖２が成り立つ、という条件でも、あるいはこれと同等な‖ｅｉ’‖２＝２（ｅｊ’、ｅｋ’）からでも、同じ結果、（Ｌ−１）ａ２＋ｂ２＝２（ｂ−ａ）２を得る。故に例えばｂ＝ξａと置けばξは方程式ξ２＋（Ｌ−１）＝２（ξ−１）２を満たす。解はξ＝２＋（Ｌ＋１）１／２である；解ξ＝２−（Ｌ＋１）１／２はＬ≧３では仮定ａ、ｂ＞０から意味がない。Ｌ＝２では意味があるが、ξ＝２−（Ｌ＋１）１／２の解は２次元ベクトルｅ１’：＝（ｂ、ａ）とｅ２’：＝（ａ、ｂ）の入れ替えに相当し、ξ＝２＋（Ｌ＋１）１／２のものと同じ状況であり考えなくてよい。これによって
【数８】
2015118680.tif 000028
が判明する。Ｍ２（ｄ）＝Λ２（ｄ）は既知の通りである。このＭＬ（ｄ）をＬ＝２、３、・・・、６について以下にまとめる。
（補題３）次元Ｌ＝２、・・・、６では、格子ＧＬ（ｄ、ｚ）の隣接平行格子間隔の最大値に次の幾何学的下限が存在する：
【数９】
2015118680.tif 000029
なお、Ｌ＝３次元で正４面体の１つの正３角形を底面の１／２とする体積ｄ２の平行６面体を図に描けば、Ｍ３（ｄ）がその正４面体の頂点から対面する底正３角形への垂線の長さとして容易に得られ、それはＦｉｓｈｍａｎ  ａｎｄ  Ｍｏｏｒｅ（１９８６）の用いたΛ３（ｄ）＝２−１／６ｄ２／３≒０．８０９０９０ｄ２／３とは乖離する。現在の発見はこれに動機付けられた解析に基づく。【００１３】なお、疑念を残さないように、次の事柄に触れておく。上では位置ベクトル｛ｅ１’、ｅ２’、・・・、ｅＬ’｝が張るＬ−１次元超平面への原点Ｏからの垂線の長さとしてΛＬ（ｄ）を算出した。番号１≦ｉ、ｊ、ｋ≦Ｌでｊ≠ｋの場合に条件‖ｅｉ’‖２＝‖ｅｊ’−ｅｋ’‖２が成り立つ、あるいはこれと同等な‖ｅｉ’‖２＝２（ｅｊ’、ｅｋ’）が成り立つ、という場合にｅＬ’から原点Ｏと位置ベクトル｛ｅ１’、ｅ２’、・・・、ｅＬ−１’｝とが張る超平面への垂線の長さが同じΛＬ（ｄ）である事を証明する。基ベクトルの変換が繁雑な計算を避けてわかりやすい。頂点として新しく選ぶｅＬ’に特別の意味はない。任意番号ｋに対するｅｋ’を頂点に選んでも同様である事は以下自明に見られる。次のベクトルを取る：
【数１０】
2015118680.tif 000030
‖ｅｉ’‖２＝‖ｅｊ’−ｅｋ’‖２又は‖ｅｉ’‖２＝２（ｅｊ’、ｅｋ’）を用いると、１≦ｉ≦Ｌ−１で‖ｅｉ”‖２＝（ｅｉ’−ｅＬ’、ｅｉ’−ｅＬ’）＝‖ｅｉ’‖２を得る。またｊ≠ｋ、共にＬではないならば
【数１１】
2015118680.tif 000031
を得るし、ｊ＜Ｌなら
【数１２】
2015118680.tif 000032
も得る。故に｛ｅ１、ｅ２・・・、ｅＬ｝から｛ｅ１’、ｅ２’、・・・、ｅＬ’｝への変換は正Ｌ単体の形を保つ対称変換であり、新しい原点（旧頂点ｅＬ’）から対面するＬ−１超底平面への高さは元のΛＬ（ｄ）と同じである。この新超底平面への高さは、新超底平面（元のＯと｛ｅ１’、ｅ２’・・・、ｅＬ−１’｝が張る超平面）の重心ｅＧ”：＝（ｅ１”＋ｅ２”＋・・・＋ｅＬ”）／Ｌと新原点（旧頂点ｅＬ’）を結ぶ線分の長さと等しい。
【発明を実施するための形態】
【００１４】幾何学的な理想値はこのように得られたから、残るのは（ｄ、ｚ）が与えられた場合の平行隣接超格子平面の最大間隔λＬ（ｄ，ｚ）の具体的な算出である。これは格子の基ベクトル｛ｅ１、ｅ２、・・・、ｅＬ｝からその双対格子、即ち双対基ベクトルの組｛ｆ１、ｆ２、・・・、ｆＬ｝、が張る格子の最小格子ベクトルの算出の問題に移して最も容易に行われる。双対基ベクトルは次で定義される：
【数１１】
2015118680.tif 000033
これら双対基ベクトルは明らかに１次独立である。双対基ベクトルの特徴付けは、容易に見られる内積関係（ｅｊ、ｆｋ）＝ｄδｊｋで定まる。この関係は｛ｅ１、ｅ２、・・・、ｅＬ｝を行ベクトルとするＬ×Ｌ行列Ｅ、｛ｆ１、ｆ２、・・・、ｆＬ｝を行ベクトルとするＬ×Ｌ行列Ｆを用いて行列積ＥｔＦ＝ｄＩ、Ｉは単位Ｌ×Ｌ行列、ｔＦはＦの転置行列、であってｔＦ＝ｄＥ−１と逆行列で表される事、解として一意である事がわかる。１次独立な組｛ｆ１、ｆ２、・・・、ｆＬ｝はそれらを基ベクトルとする整数係数１次結合で双対格子と呼ばれる格子を作る。（ｄ、ｚ）で定まるこの双対格子の正で最短の長さを持つベクトルをｆｍｉｎとし、その長さを‖ｆｍｉｎ‖＞０と記そう。我々が求める元の格子の最大平行隣接Ｌ−１次元格子超平面間隔λＬ（ｄ，ｚ）は次式で得られる：
【数１３】
2015118680.tif 000034
この理論関係の導出は紙数を要するので、Ｎａｋａｚａｗａ  ａｎｄ  Ｎａｋａｚａｗａ（２０１２）の定理７と証明を参照して頂きたい。実際のλＬ（ｄ，ｚ）の算出には双対格子のあらゆるベクトルを掃過探索して最短ベクトルを見出す以外に方法がない。しかし幸いλＬ（ｄ，ｚ）の下限の存在λＬ（ｄ、ｚ）＞ＭＬ（ｄ）が上の通り既知だから、‖ｆｍｉｎ‖＜ｄ／ＭＬ（ｄ）の理論制限があり、双対格子ベクトルｆの探索は‖ｆ‖＜ｄ／ＭＬ（ｄ）を満たすものに限って行えばよい。
Ｎａｋａｚａｗａ  ａｎｄ  Ｎａｋａｚａｗａ（２０１２）／Ｎ．Ｎａｋａｚａｗａ  ａｎｄ  Ｈ．Ｎａｋａｚａｗａ，Ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅ  ｃｏｎｇｒｕｅｎｔｉａｌ  ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ  ｗｉｔｈ  ｍｏｄｕｌｕｓｅｓ  ｆｏｒｍｅｄ  ｂｙ  ｔｗｏ  ｏｄｄ−ｐｒｉｍｅ  ｆａｃｔｏｒｓ  ｆｏｒ  ｕｎｉｆｏｒｍ  ａｎｄ  ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ  ｒａｎｄｏｍ  ｎｕｍｂｅｒｓ  ＩＩ．Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ  ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ  ｗｉｔｈ  ｓｐｅｃｔｒａｌ  ｔｅｓｔｓ，ｕｐｌｏａｄｅｄ  ｉｎ  Ｏｃｔｏｂｅｒ  １３，２０１２，ｉｎ  ｔｈｅ  ＵＲＬ  ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ１０．ｐｌａｌａ．ｏｒ．ｊｐ／ｈ−ｎｋｚｗ／．
【００１５】現在までの実際の３次以上のスペクトル検定計算は、ＭＬ（ｄ）ではなく、より小さいΛＬ（ｄ）を用いていた。故に現在までのＬ≧３次のスペクトル検定は計算として不要に大きい探索範囲で行われていたし、また判定においてλＬ（ｄ、ｚ）がＭＬ（ｄ）よりも小さいΛＬ（ｄ）に比べて大きすぎる、と判定されて、合格基準内にあるものが捨てられていた可能性もある。乗算合同法（ｄ、ｚ）は再度３次以上のスペクトル検定を経るべきである。但し２次検定結果は十全で再検定の必要はない。また既に合格している（ｄ、ｚ）の合格が取り消される事はないし、検定の評価値の換算も容易である。ΛＬ（ｄ）の引用はＮａｋａｚａｗａ  ａｎｄ  Ｎａｋａｚａｗａ（２０１２）にも存在する事を遺憾と共に周知する。ただし、その推論構造と、上のλＬ（ｄ，ｚ）＝ｄ／‖ｆｍｉｎ‖の関係の導出に変更すべき点はない。安心して参照、使用して頂きたい。合格基準をρＬ（ｄ、ｚ）＝λＬ（ｄ、ｚ）／ＭＬ（ｄ）＜ＲＬとしてＦｉｓｈｍａｎ  ａｎｄ  Ｍｏｏｒｅ（１９８６）と同じくＲＬ＝１．２５に取っても、合格率は確実に増大するが問題はないと思われる。ただ、適当なＲＬの値の精密な検討は、将来の研究に俟つべきと思われる。
【発明の効果】
【００１６】新しく発見された検定基準ＭＬ（ｄ）に基づく検定方式は、（ｄ、ｚ）乗算合同法乱数列の統計性の正確な判定を与えるものとして現在までの検定結果の再検討を促し、結果の信頼度を方法本来の能力にまで高め、また検定計算の高速化にも資して、得られる乱数周期の拡張も可能にするであろう。
【図面の簡単な説明】
【００１７】
【図１】代表的な（ｄ、ｚ）の乱数の２連が示す典型的格子構造の２次元図。
【手続補正書】
【提出日】平成26年1月31日(2014.1.31)
【手続補正１】
【補正対象書類名】特許請求の範囲
【補正対象項目名】請求項１
【補正方法】変更
【補正の内容】
【請求項１】
任意の正の整数の法ｄ、そしてｄとは素な任意の整数乗数ｚ、に基づく一様独立乱数生成方式（ｄ、ｚ）、即ち法ｄとは素な任意の整数ｎを与えてｎ１≡ｎ  ｍｏｄ（ｄ）、０＜ｎ１＜ｄと初期値ｎ１を定め、番号ｋ＝１、２、３、・・・に対しｎｋから次のｎｋ＋１を線形漸化合同式ｎｋ＋１≡ｚｎｋ  ｍｏｄ（ｄ）、０＜ｎｋ＋１＜ｄ、を満たす様に選んで得られる整数列ｎ１、ｎ２、・・・から一様独立乱数数列ｖ１、ｖ２、・・・を除法の等式ｖｋ＝ｎｋ／ｄ、ｋ＝１、２、３、・・・を実現して与える乗算合同法（ｄ、ｚ）、において、相続くＬ個の出力乱数の連の一様独立性の評価のため、新しく発見された基準値ＭＬ（ｄ）＝Ｌ−１／２（Ｌ＋１）（Ｌ−１）／（２Ｌ）ｄ（Ｌ−１）／Ｌ、  Ｌ≧２、即ち、Ｌ≧３では現在まで使用のものとは異なる
Ｌ＝３：  Ｍ３（ｄ）＝３−１／２４２／６ｄ２／３
≒０．９１６４９ｄ２／３、
Ｌ＝４：  Ｍ４（ｄ）＝４−１／２５３／８ｄ３／４
≒０．９１４２９ｄ３／４、
Ｌ＝５：  Ｍ５（ｄ）＝５−１／２６４／１０ｄ４／５
≒０．９１５７５ｄ４／５、
Ｌ＝６：  Ｍ６（ｄ）＝６−１／２７５／１２ｄ５／６
≒０．９１８４４ｄ５／６、
・・・・・・・・・・・・・・・
を用いて行うスペクトル検定方法、即ち相続くＬ個の（ｄ、ｚ）乱数出力が載るＬ次元（ｄ、ｚ）格子の中で、一次独立なＬ個の位置ベクトルで定められるＬ個の格子点を含むＬ−１次元格子超平面の平行な隣合うものの最大の間隔λＬ（ｄ，ｚ）を用いる評価値ρＬ’（ｄ、ｚ）：＝λＬ（ｄ，ｚ）／ＭＬ（ｄ）が、任意に定めた許容値ＲＬ＞１に基づく合格条件
１＜ρＬ’（ｄ、ｚ）＜ＲＬ、
を３≦Ｌ≦６では満たす様に選ぶ、スペクトル検定方法。
【手続補正２】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】全文
【補正方法】変更
【補正の内容】
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】本発明は、コンピュータ上の一様独立乱数生成のための乗算合同法乱数生成機構で性能の優れたものを選別、製造するためのスペクトル検定方法を改良する新しい方法に関する。詳しく述べると、本発明は次数Ｌ≧３の高次の新しいスペクトル検定方法を、高性能にもかかわらず現在まで不合格と見過ごされていた生成機構は合格とし、性能は好ましくないが現在まで合格と誤認されていた生成機構は不合格と除外する、より適切で鋭い評価方法を与える。以下（ｄ、ｚ、ｎ）或いはより短く（ｄ、ｚ）によって、自然数ｄ＞０を法とし、ｄとは素なｚを乗数とし、乱数の初期値を与える整数ｎ１をｎ１≡ｎ  ｍｏｄ（ｄ）、０＜ｎ１＜ｄと定めるｓｅｅｄ種ｎを持つ生成機構を表し、整数列｛ｎｋ≡ｎｚｋ−１  ｍｏｄ（ｄ）｜０＜ｎｋ＜ｄ、ｋ＝１、２、・・・｝を漸化合同式
【数１】
2015118680.tif 000035
により順次生成するものと定義する。コンピュータ上での（ｄ、ｚ、ｎ）生成機構は実数列｛ｖｋ：＝ｎｋ／ｄ｜ｋ＝１、２、・・・｝を一様独立乱数として出力する。【０００２】必要な第一の事柄は、現在のスペクトル検定の構造の省察である。（ｄ、ｚ）生成機構に対するＬ次のスペクトル検定は、特に、出力された相続くＬ個の乱数の独立性の程度の評価である。このためにスペクトル検定は（ｄ、ｚ、ｎ）からのＬ個の相続く出力達（Ｌ連と呼ぶ）｛Ｑｋ：＝（ｎｋ、ｎｋ＋１、・・・、ｎｋ＋Ｌ−１）｜ｋ＝１、２、・・・｝をＬ次元空間の点列と見て、その幾何学的分布を利用する。鍵となる事実はこれらの点｛Ｑ１、Ｑ２、・・・｝がｄとｚとで定まるある格子ＧＬ（ｄ、ｚ）内にある、という事実である。より明確に言えば、これら点列はＧＬ（ｄ、Ｚ）の格子点の上に位置を占める。この席占めが一様独立と見えるランダムさを持つ事は期待として置き、技術としては空間ＥＬにおける座席の分布状況の評価に専心する。必要な事は、座席の配置、即ち格子ＧＬ（ｄ、ｚ）（の点）が妥当な形、幾何学的配置、を取る事である。この言明の意味は、２次元ユークリッド平面Ｅ２の中に（ｄ、ｚ）乱数の相続く２連が与える点の例が視覚的に明確な理解を与える。典型的な奇素数の法ｄとその原始根乗数ｚの組による２連の点のプロット｛Ｑｋ：＝（ｎｋ、ｎｋ＋１）｜ｋ＝１、２、・・・｝を図１、図２に示す。ｄやｚの値はプロットが視認できる様に小さく選ばれている。原点Ｏから発し、座標軸方向の辺の長さｄの正方形Ｃｄの中に諸点は描かれ、図の外枠は見易さのためＣｄを中に含むよう少し大き目に取られている。図１の中の図列は、格子点がいわゆる３角格子と呼ばれる正３角形に近いものから組み立てられた分布を示す場合から始まる。もし相続く乱数の２連が、これらのきれいに分布した席の上に何らかのランダムに見えるやり方で席を占めていくとすれば、我々は統計的にそれらが相続く独立な出現ではない、という仮説を否定するより多くの理由を持つ。反対に図２の図の列末尾では、大きな距離で並ぶ少ない個数の格子線の上に狭い間隔で位置を占める格子点の分布が見られる。もし相続く２連がこのような配置の席の上に現れるとすれば、我々は席の強い方向依存性あるいは異方性（ａｎｉｓｏｔｒｏｐｙ）を感じ、それは相続く乱数が独立とは見えない、と主張するより多くの理由を与える。スペクトル検定はこのような印象を定量的な評価値ρ２（ｄ、ｚ）＞１で与える。図１の先頭に近い格子Ｇ２（ｄ、ｚ）は１に近いρ＝ρ２（ｄ、ｚ）を持ち、乱数の一様独立性には好ましい。図２ではρは１よりも明確に大きく離れ、視覚的には乱数の出現が独立とは考えにくい。【０００３】これらの感覚的な理解を超え発明の新アイデアを定量化する記述を、（ｄ、ｚ）生成機構から出力されるＬ連が示す格子の少し立ち戻って得る。再び最も簡単な２連、Ｌ＝２の場合から始める。相続くＬ＝２連が作る点Ｑｋは（行）ベクトル、Ｑｋ：＝（ｎｚｋ−１，ｎｚｋ）＝ｎｚｋ−１ｅ１、ｅ１：＝（１、ｚ）、と取る事ができる。ここでＱｋの座標には法ｄでの合同を考えない。ベクトルＱｋと法ｄで合同な第２座標を持つ他のすべての点或いはベクトルは、ｅ２：＝（０、ｄ）で定義され���ベクトルの整数倍をＱｋに加えて得られる。同様に第１座標がＱｋと法ｄで合同な他のすべての点は
【数２】
2015118680.tif 000036
の整数倍を加えて得られる。だから（ｄ、ｚ）生成機構からの２連が与える点と法ｄで合同な座標を持つすべての点は、ベクトル｛ｅ１、ｅ２｝の整数係数の集合Ｓ：＝｛ｃ１ｅ１＋ｃ２ｅ２｜ｃ１、ｃ２は整数｝に含まれる。この点或いはベクトルの集合Ｓは、平面Ｅ２の中で基ベクトル｛ｅ１、ｅ２｝が張る格子の定義である。この格子Ｓはｄとｚで定められるからＳ＝Ｇ２（ｄ、ｚ）と記す。この定義ではＧ２（ｄ、ｚ）はその点の座標の１つまたは２つが法ｄと素ではない点もすべて含むが、（ｄ、ｚ）生成機構からの乱数の２連の座標は決してｄと合同にはなれず、Ｇ２（ｄ、ｚ）のすべての格子点には座れない。奇素数の法ｄとその原始根ｚが作る（ｄ、ｚ）からの２連の点だけをＣｄに記した図１と図２では、これは原点Ｏの除外として現れている。構成された基ベクトルの組｛ｅ１，ｅ２｝の行列式はｄだから、それらは面積ｄの平行四辺形を作り、この面積はｚには依存しない。｛ｅ１，ｅ２｝が張る３角形の面積はｄ／２である。【０００４】得られる点の全体が格子上にあると把握されたから、（ｄ、ｚ）生成機構からの２連が作る、あるいは基ベクトルの組｛ｅ１，ｅ２｝が張る、という事を暫く置いて、格子という幾何学的対象として一般理解を得る。異なる格子点を結ぶ直線を格子線と呼び、平行で隣り合う２格子線、平行隣接格子線の組に着目する。方向の異なる任意の２組の平行隣接格子線の交わりで、各格子線上の交点は隣り合う２つずつの格子点であり、全体として平行４辺形を与える。物理に倣いこれを単位胞と呼ぶ。単位胞の平行４辺形を張る２ベクトル｛ｅ１’、ｅ２’｝は格子の基ベクトルの組である；単位胞をこれら２ベクトルのそれぞれの方向に移動させれば、全平面を隙間なく埋め尽くし、かつ組｛ｅ１’、ｅ２’｝でもそれが作る単位胞とこれらベクトルの起点である格子点とは１対１に対応して全格子点を掃過するから、である。正方形Ｃｄは面積ｄ２であり、ｄ個の格子点を含む。故に任意の基ベクトルの組｛ｅ１’、ｅ２’｝も面積ｄの単位胞或いは平行４辺形を作る。故にこの任意に選んだ新しい基ベクトルの組が張る３角形の面積もｄ／２で一定である。【０００５】上では簡明に一般の基ベクトルの構造を得た。要約すれば、任意の格子線上の任意の格子点を起点に取り、この格子線上の次の格子点までの位置ベクトルをこの格子線方向の１つの基ベクトルｅ１’とする。次に隣接する平行な格子線上に任意の１格子点を取って、この点への起点からのベクトルをｅ１’とは平行でない或いは１次独立な今１つの基ベクトルｅ２’としてよい。作られる単位胞の平行移動はＥ２全平面を隙間なく埋め尽くし、起点は全格子点を巡る。こうして隣接格子線間の距離は格子の任意の基ベクトルの組が作る３角形、幾何学の言葉では２単体、のある頂点から対面する底辺への垂線の長さ、頂点の高さの１つとなり、２単体の面積は一定のｄ／２である。逆に任意の基ベクトルの組の造る２単体から出発して任意の辺を底辺に取ればわかる通り、２単体のどの頂点の高さもそれぞれ平行隣接格子線間の距離である。幾何学はこうして、平行隣接格子線の間の距離の全体は、格子の基ベクトルのすべての組｛ｅ１’、ｅ２’｝が作る面積ｄ／２一定の任意の３角形の、任意の頂点の高さを考える事と同じである、という透明な認識を与える。【０００６】図１、図２が例示するように、格子Ｇ２（ｄ、ｚ）の問題の３角形の形には（ｄ、ｚ）の選択によって大きな違いがある。図１の始めの諸図は正３角形を単位に組み立てられたいわゆる３角格子に近い構造を示す。点は離散的だから、ある程度の幅を持つ小面積或いは帯状の線での平均を考えなければならないが、これらの格子は乱数の２連に等距離に近い配置の座席を与え、ある乱数に続く乱数が独立に等方的に出現する、という統計的仮説に最も少ない異論を与えるだろう。対比して図２特に末尾では、点の並びは特定の方向には密に、他の方向には疎に、と見え、ある乱数と別の乱数、ある２連と別の２連、が関係なく出現する、とは見えにくい。やはり３角格子に近いＧ２（ｄ、ｚ）格子の実現が乱数の独立性には好ましい。２次元スペクトル検定の原理はこの３角格子に近い、という感覚を、格子の隣り合う平行なＬ−１＝１次元格子線の最大間隔λ２（ｄ、ｚ）から把握する：λ２（ｄ、ｚ）の理想的な３角格子の場合への近さを、格子の幾何学的配置が３角格子に近く乱数の２連の席の配置が独立性の統計的仮説をより弱く否定する、として評価を与える。【０００７】上の簡単なＬ＝２の場合、即ち基ベクトル｛ｅ１’、ｅ２’｝が２次元平面Ｅ２内の３角形を張る場合には、述べられた認識は実数の連続性を用いて定量的に議論する事ができる。
（補題１）面積一定の３角形の中で、正３角形が対面する底辺への頂点からの高さの最大値に最小の値を実現する。一定の面積がｄ／２ならば、この最大高さの最小値はΛ２（ｄ）＝２−１／２３１／４ｄ１／２≒０．９３０６０ｄ１／２である。
（証明）帰謬法を用いる。最小値が正３角形ではない３角形で実現する、と仮定する。そのときこの３角形の最小の辺に対する頂点の高さがこの３角形での最大の高さであり、かつそれはすべての３角形の中での最小値で、これ未満の最大高さはあり得ない事になる。このとき２つの可能性が残る。それはこの３角形の最小の辺が１つか２つかである。もし２つの最小の辺があれば、その１つを底辺とし、実数の連続性を利用して対する頂点を底辺に平行に僅かに動かすと、面積もこの頂点の高さも保たれ、今１つの（採られた底辺とは平行ではない最小であった）辺の長さを（僅かに）長くする事ができる。この結果は、３角形の頂点の最大高さがあらゆる３角形のなかで最小であり、かつ最小の辺が１つである場合が必ず存在する事を示すから、この場合に矛盾を示せば証明は終る。さて、唯一の最小の辺に対する頂点をこの辺とは異なる辺に平行に僅かに動かせば、再び実数の連続性によって最短であった辺の長さを僅かに長くし、それが最短である状況は変えないようにできる。しかしこのとき変形された最短辺への高さは減少する。これは該当の高さが全ての形での最短、の仮定に矛盾するから証明は終る。なお面積ｄ／２の正３角形を描いて、その任意の頂点の高さがΛ２（ｄ）である事の算出は容易であるから省く。（証明終）【０００８】ユークリッド平面Ｅ２内の基ベクトル｛ｅ１’、ｅ２’｝が正３角形、あるいは幾何学の用語で言う正２単体を張る場合、格子は３角格子と呼ばれる事は述べた。正２単体は２単体を作る３（頂）点のすべての対が等距離である事で特徴付けられる。これは乱数の相続く２連が席を取る格子の理想形である。再び隣接する平行なＬ−１＝１次元格子線の最大間隔をλ２（ｄ、ｚ）としよう。補題１は不等式λ２（ｄ、ｚ）＞Λ２（ｄ）を証明する；等号はあり得ない、なぜなら格子Ｇ２（ｄ、ｚ）の任意の格子点、任意の基ベクトル｛ｅ１’、ｅ２’｝は整数座標を持ち、面積ｄ／２の正３角形の無理数座標を表す事ができず、大域的な最小値Λ２（ｄ）を実現できないから、である。比
【数４】
2015118680.tif 000037
の１への近さは格子Ｇ２（ｄ、ｚ）がどれほど理想の３角格子の場合の１に近いか、（ｄ、ｚ）生成機構からの乱数の相続く２連が独立性の仮説を否定する理由をどれほど少なく持つか、を表すよい物差しであろう。２次スペクトル検定はこの事実の利用を基本発想とする。技術としてのスペクトル検定は、例えば与えられた法ｄに対して一定以上の長さの周期を保障する、という意味の条件を満たすすべての乗数ｚに対して、λ２（ｄ、ｚ）を算出し、前もって与えられた基準値Ｒ２＞１に対して１＜ρ２（ｄ、ｚ）＜Ｒ２が成り立つ乗数ｚを選出する。スペクトル検定を開拓したＦｉｓｈｍａｎとＭｏｏｒｅ（１９８６）はＲ２＝１．２５を選んだ。図１、図２では描かれた各（ｄ、ｚ）生成機構に対しρ＝ρ２（ｄ、ｚ）を示している。一瞥すればこの判定条件ρ＜１．２５の妥当性は明らかである。残念ながら、Ｌ≧３で相続くＬ個の乱数についての状況はそれほど簡明ではない。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００９】
【特許文献１】  特願２０１３−１４２２２５号明細書
【特許文献２】  特願２０１３−２０６９４７号明細書
【非特許文献】
【００１０】
【非特許文献１】
2015118680.tif 000038
【非特許文献２】Ｎａｋａｚａｗａ  ａｎｄ  Ｎａｋａｚａｗａ（２０１２）／Ｎ．Ｎａｋａｚａｗａ  ａｎｄ  Ｈ．Ｎａｋａｚａｗａ：Ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅ  ｃｏｎｇｒｕｅｎｔｉａｌ  ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ  ｗｉｔｈ  ｍｏｄｕｌｕｓｅｓ  ｆｏｒｍ−ｅｄ  ｂｙ  ｔｗｏ  ｏｄｄ−ｐｒｉｍｅ  ｆａｃｔｏｒｓ  ｆｏｒ  ｕｎｉｆｏｒｍ  ａｎｄ  ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ  ｒａｎｄｏｍ  ｎｕｍｂｅｒｓ  ＩＩ．  Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ  ｏｆ  ｓｐｅｃｔｒａｌ  ｔｅｓｔｓ，ｕｐｌｏａｄｅｄ（Ｏｃｔｏｂｅｒ  １３，２０１２）ｉｎ  ｔｈｅ  ＵＲＬ  ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ１０．ｐｌａｌａ．ｏｒ．ｊｐ／ｈ−ｎｋｚｗ／．
【発明の概要】
【００１１】Ｌ≧２を取り、（ｄ、ｚ、ｎ）生成機構からの乱数の相続くＬ連を一般に考える。Ｌ次元ユークリッド空間ＥＬの中で、再びＣｄによって原点Ｏに頂点を持ち各軸方向に長さｄの辺を持つ超立方体を表す。ＥＬの点或いは位置ベクトル
【数５】
2015118680.tif 000039
は（ｄ、ｚ、ｎ）生成機構からの相続くＬ連出力を表し、それと法ｄで合同な座標を持つすべての点或いは位置ベクトルは、Ｌ＝２次元での議論と全く同様に、次のベクトルの組の整数係数１次結合で表される：
【数６】
2015118680.tif 000040
2015118680.tif 000041
これらのベクトルは１次独立であり、行列式体積ｄＬ−１の超平行面体、即ち再び単位胞と呼び１つの単位胞とその起点の格子点とを１対１に対応させるもの、を作る。これらのＬ個の基ベクトルの張るＥＬ内の格子をＧＬ（ｄ、ｚ）と記す。超立方体Ｃｄの体積はｄＬだから、格子ＧＬ（ｄ、ｚ）はＣｄ内にｄ個の単位胞即ちｄ個の格子点を持つ。次の議論も可能である。整数係数の１次結合ベクトルｃ１ｅ１＋ｃ２ｅ２＋・・・＋ｃＬｅＬの第１座標はｃ１で、Ｃｄ内ではｄ個の可能な値｛０、１、２、・・・、ｄ−１｝を取り得る。ｃ１を定めると、第２座標ｃ１ｚ＋ｃ２ｄがＣｄ内にあるという条件でｃ２は一意に定まる。事柄はｃ３、・・・、ｃＬでも同様で、Ｃｄ内にはｄ個のＧＬ（ｄ、ｚ）の格子点が存在する。
【００１２】Ｌ＝２次元平面で２つの１次独立基ベクトルが作る３角形あるいは２単体、平行４辺形或いはそれを単位胞とする格子を作るのと同様に、（ｄ、ｚ）格子を離れて言えば、ＥＬ内の任意のＬ個の１次独立基ベクトル｛ｅ１’、ｅ２’、・・・、ｅＬ’｝はＬ単体を張り、単位胞を張って、空間を隙間なく埋め尽くし、ある格子を作る。このＬ単体は超体積Ｖ＝（行列式体積）／Ｌ！を持つ、なぜなら（ａ）Ｖは各ベクトルの線形関数である、即ちある頂点が位置ベクトルｅｊ＋ｅｊ’を持てば、頂点に対面する超平面からの各ベクトルの符号付き高さの和がこの頂点の高さ、全体の体積は各ベクトルを頂点とする超体積の線形和になる、また（ｂ）各軸方向の単位ベクトルが作るＬ単体の体積は容易にＬ次元錐体として超体積１／Ｌ！と算出され、それは行列式体積１のＬ次元単位超立方体の１／Ｌ！となる、からである。作られる単体を詳しく考える。１次独立なＬ個の位置ベクトルは基点を含むＬ＋１個の頂点を持つＬ単体を与え、各頂点は他のＬ個の点で張られるＬ−１次元の格子超平面に対面する。特定の頂点に対面する格子超平面、短く超底面と呼ぼう、の超面積がＳ，超底面からの頂点の高さがｈなら、Ｌ単体の体積は錐体としてｈＳ／Ｌ＝（行列式体積）／Ｌ！を満たす；当然ながらＥＬの任意のＬ単体の頂点の高さｈと頂点が対面する超面積Ｓの超底面は頂点の選択によらずｈＳ＝一定である。逆にＥＬに格子が与えられたとして、その一般の基ベクトルの組を定めよう。まず平行隣接格子超平面の任意の１つを取り、その上の任意の格子点を起点と定める。次にこの格子超平面内で起点に隣接する格子点をＬ−１個選んで、起点からのＬ−１個の１次独立な位置ベクトルｅ１’、ｅ２’、・・・、ｅＬ−１’を作る。最後にｅＬ’を、平行隣接格子超平面の他方上の任意格子点への起点からの位置ベクトルとして定める。組｛ｅ１’、ｅ２’、・・・、ｅＬ’｝が１次独立である事、行列式体積を与えてそれらが張る平行面体即ち単位胞が、始めの格子超平面内での各ベクトル｛ｅ１’、ｅ２’、・・・、ｅＬ−１’｝方向への平行移動とｅＬ’方向への平行移動で全空間ＥＬを隙間なく埋め尽くす事は明らかであり、｛ｅ１’、ｅ２’、・・・、ｅＬ’｝は同じ格子の基ベクトルである。また、単位胞の起点が体積ｄＬのＣｄ内でｄ個の格子点を掃過するから、単位胞の（行列式）体積がｄＬ−１であって基ベクトルのとり方によらない事もわかる。この様にＥＬの任意の格子で平行隣接格子超平面間の距離は、格子のある基ベクトルの組が張るＬ単体のある頂点から対面する超底面までの高さｈである。逆に基ベクトルの任意の組が張るＬ単体の任意頂点の超底面への高さが、ある平行隣接格子超平面間の距離になっている事も容易にわかる。従って幾何学的には、どんな格子においても平行隣接格子超平面間の距離の全体は格子の基ベクトルが張る体積一定のすべてのＬ単体の各頂点の高さの全体と対応する。
【００１３】今や我々はＥＬ内で（ｄ、ｚ）乱数のＬ連が作る格子としてではなく、格子の基ベクトルの行列式体積がｄＬ−１で一定、基ベクトルの張るＬ単体の体積がｄＬ−１／Ｌ！で一定、の任意の幾何学的格子として議論を進めることができる。ＥＬ内の正Ｌ単体は、Ｌ＋１個の頂点が作る対、総数（Ｌ＋１）Ｌ／２個、の長さがすべて等しいものとして一意に定義される。次が成り立つ：
（補題２）Ｌ≧２を与えられた次元とし、空間ＥＬで１次独立な位置ベクトルを持つ点Ｌ個の点と原点Ｏとから作られるＬ単体が形として正Ｌ単体の近傍にある、即ちＬ＋１個の頂点の全ての対、総数（Ｌ＋１）Ｌ／２個、の辺が皆等しい場合の長さから近いならば、このＬ単体の頂点から対面する超底面への高さの最大値は正Ｌ単体の場合に局所的な最小値を取る。
（証明）再び帰謬法を用いる。正Ｌ単体に近く、辺の長さがの差が余り大きくない場合に限って、あるＬ単体に命題の様に最小の最大高さを持つ頂点と対面する最小超面積の超平面の対がｋ≧１個存在するが、その形は正単体ではない、と仮定して矛盾を導く。ｋ＝１の場合をまず考える。この頂点以外の任意の頂点と対面する超平面Ｓ’を取って、その頂点をＳ’と平行に微小に移動させれば、超体積一定の条件は保たれ、Ｓの超面積最小性はそのままにＳの面積を微小に増大させる事ができる。このときＳ上の高さは微小に減少して、あらゆる形での最小の仮定に矛盾する。故にｋ＝１の場合はあり得ない。残る２≦ｋ≦Ｌ−１の場合には、超面積最小の超平面の１つをＳ”とし、それに平行に（即ち超平面の法線とは垂直な適当な方向に）対面する頂点を微小に動かせば、再び超体積一定の条件は満たされ、Ｓ”以外で超面積最小であった他の１つの超平面（それはＳ”と平行ではあり得ない）の超面積を微小に増大させてｋを減少させる事ができる；このとき他に最小超面積が減少する超平面があるとあらゆる形での最小の高さ、という仮定に矛盾するからそれは考えなくてよい。この手続きは続ける事ができて、あり得ないｋ＝１が実現するはずである。これは矛盾である。（証明終）
【００１４】一般の次元Ｌ≧２で体積がｄＬ−１／Ｌ！一定の正Ｌ単体のＬ＋１個の頂点を｛Ｏ、Ｐ１、Ｐ２、・・・、ＰＬ｝とし、その各頂点の対面する超底面への高さをＭＬ（ｄ）と記そう。正Ｌ単体の定義から、これらの点の任意対はすべて等距離にあり、そのような幾何学的配置として形は一意である。スペクトル検定の考え方から言えば、正Ｌ単体のこの点の配置は、それを基礎ブロックとして作られる格子が乱数のＬ連の座席であれば理想的である事を意味する。もっとも（ｄ、ｚ）生成機構からの乱数Ｌ連が席を占める格子ＧＬ（ｄ、ｚ）は整数座標の基ベクトル｛ｅ１、ｅ２、・・・、ｅＬ｝で張られるから、厳密には正Ｌ単体を実現する事はできない。しかし格子の平行で隣接する格子超平面の最大間隔はその形の変化で連続的に変化するから、格子ＧＬ（ｄ、ｚ）の平行隣接格子超平面の間隔λＬ（ｄ、ｚ）がＭＬ（ｄ）に近い事は、スペクトル検定で（ｄ、ｚ）乱数のＬ連の独立性の統計的仮説を最も弱く否定するものとして好ましいであろう。幾何学的理想値ＭＬ（ｄ）を算出する。ここでは正Ｌ単体を次のＬ次元ベクトルで張られるものとして構成する：
【数７】
2015118680.tif 000042
定数ａ、ｂは次の２条件で定められるべきものである：
（１）これらのベクトルの行列式は体積ｄＬ−１を与える、
（２）これらのベクトルは正Ｌ単体を張る。
仮定された形からこれらベクトルは単一の長さ‖ｅｊ’‖２＝（Ｌ−１）ａ２＋ｂ２をすべてのｊに対して持つ。また、任意のｉ≠ｊに対して内積は（ｅｉ’、ｅｊ’）＝（Ｌ−２）ａ２＋２ａｂと一定でｉやｊによらない、即ちこれらのベクトルは全て同じ角で交わる。単位ベクトル
【数８】
2015118680.tif 000043
は単一の内積ｈ：＝（ｅ０’、ｅｊ’）＝ｓ／Ｌ１／２、ｓ：＝（Ｌ−１）ａ＋ｂをすべての１≦ｊ≦Ｌに対して与える。ｅ０’は位置ベクトル｛ｅ１’、ｅ２’、・・・、ｅＬ’｝の点を含む超平面と垂直であり、ｈは原点Ｏからこの超平面の重心への垂線の長さ、求める高さＭＬ（ｄ）であって、ａとｂを条件（１）、（２）で定めれば得られる。最初に行列式体積を計算する：
｜ｂａａ・・・ａａ｜  ｜ｓｓｓ・・・ｓｓ｜
｜ａｂａ・・・ａａ｜  ｜ａｂａ・・・ａａ｜
｜ａａｂ・・・ａａ｜＝｜ａａｂ・・・ａａ｜＝ｄＬ−１
｜  ・・・・・・  ｜  ｜  ・・・・・・  ｜
｜ａａａ・・・ａｂ｜  ｜ａａａ・・・ａｂ｜
第１列を他の全ての列から引いて容易にｄＬ−１＝ｓ（ｂ−ａ）Ｌ−１を得る。次に条件（２）を‖ｅｉ’‖２＝‖ｅｊ’−ｅｋ’‖２が１≦ｉ、ｊ、ｋ≦Ｌでｊ≠ｋについて成り立つ、の形で用いて次を得る：
【数９】
2015118680.tif 000044
ｂ＝ξａとしてξ２＋（Ｌ−１）＝２（ξ−１）２、即ちξ＝２±（Ｌ＋１）１／２が得られ、この解のいずれでも少しの計算の後に次に至る：
【数１０】
2015118680.tif 000045
これが求める解である。ＭＬ（ｄ）の具体形を以下にまとめる：
【数１１】
2015118680.tif 000046
ＦｉｓｈｍａｎとＭｏｏｒｅ（１９８６）は、数の幾何学に基づく空間ＥＬでのＬ次元格子で基ベクトルが行列式体積ｄＬ−１を持つものの平行最隣接Ｌ−１次元格子超平面が取り得る最大間隔の大域的な最小値を引用して、奇素数の法ｄ＝ｐ＝２３１−１のすべての原始根のｅｘｈａｕｓｔｉｖｅなスペクトル検定の画期的な研究で次の基準値｛ΛＬ，（ｄ）｜２≦Ｌ≦６｝を次の形で用いた：
【数１２】
2015118680.tif 000047
これらはＬ≧３ではＭＬ（ｄ）よりは小さい。要約すれば、彼らは大域的な最小値を用いて検定を行った。幾何学的に正Ｌ単体より小さい最隣接平行超格子平面最大間隔を持つ格子の形は興味深いが、発明者達はスペクトル検定の目的からはＬ≧３では局所的最小である正Ｌ単体の配置を選ぶ事が理想に近い、と考える。この立場からはρＬ’（ｄ、ｚ）：＝λＬ（ｄ、ｚ）／ＭＬ（ｄ）をスペクトル検定の評価値として取る事になる。ＭＬ（ｄ）はＬ≧３では大域的最小ではないから、ρＬ’（ｄ、ｚ）は格子ＧＬ（ｄ、ｚ）の形によっては１以下の値を取り得る。しかしもしρＬ’（ｄ、ｚ）≦１であれば、それは格子ＧＬ（ｄ、ｚ）が局所的最小ＭＬ（ｄ）を与える正Ｌ単体の配置の近傍、いわゆる極小のｂａｓｉｎを逸脱する程離れている事を示す。故に基準としてはρＬ’（ｄ、ｚ）＞１に限って合格とする事が妥当だろう。これについては下に再び実例と共に述べる。
【発明を実施するための形態】
【００１５】スペクトル検定の評価の基準ＭＬ（ｄ）は得られたから、残るのはこの基準を用いる検定の技術的実現である。問題の所在は再び実例から最も明解に理解される。ＦｉｓｈｍａｎとＭｏｏｒｅ（１９８６）は法ｄ＝２３１−１の原始根乗数ｚについて基準｛ΛＬ（ｄ）｜２≦Ｌ≦６｝を用いて彼らのｐ．３７のＴａｂｌｅ２に結果の最良の乗数ｚを５つ掲げた。これを引用し、２つ目毎、３つ目毎、・・・の乱数の独立性を判定する（ｄ、ｚ２）、（ｄ、ｚ３）、・・・の２次検定を記した発明者達の先立つ特願２０１３−１４２２２５及び特願２０１３−２０６９４７所載の表に、新しい基準での３−６次検定を付加したものを図３に示す。図３の表で、ａ）はＦｉｓｈｍａｎとＭｏｏｒｅのＴａｂｌｅ２でＳ１と名付けられた行の数値を示す。１／ａ）の行はａ）の行の数値の逆数、現在の我々の記号ではρＬ（ｄ、ｚ）であり、ｂ）の行は発明者達によるその再計算である。ＭＬ（ｄ）の行は新基準に基づく評価ρＬ’（ｄ、ｚ）で、現在の場合ｂ）行から換算でも得られる。特願２０１３−１４２２２５及び２０１３−２０６９４７に記されたように、これらの乗数のｃ）行の（ｄ、ｚ２）、・・・の２次検定の評価は悪い。これらの乗数２は一様独立乱数生成には向かない。特にｚ＝１２２６８７４１５９の６次の新しい評価ρ６’（ｄ、ｚ）≒０．９９９１７９９３＜１は、次の項の双対最短格子ベクトルｕｍｉｎの長さによる計算でも容易に確認されるが、新基準での６次検定の１未満の評価値は正６単体の形の局所近傍からは遠い事を明示してこの認識を強める。前特願が必要と示したｚｋ（ｋ≧２）の２次スペクトル検定にさらに、本出願の新しい検定基準による３次以上のスペクトル検定も加えなければ、信頼できる（ｄ、ｚ）生成機構の発見はできない。この認識は重大であろう。ただ、現在得られた高精細な基準で検定を進めるためには、新しい技術での対処が求められる。その把握のため、さらにスペクトル検定の構造解析に進む。
【００１６】既述の通り、スペクトル検定の基本着想は（ｄ、ｚ）乱数生成機構が出力するＬ連がＬ次元格子ＧＬ（ｄ、ｚ）内にある事を利用し、格子の幾何学的な形の評価がＬ−１次元格子（超）平面の平行で隣接するものの最大格子間隔λＬ（ｄ、ｚ）が格子としてＬ連乱数の一様独立性を統計的に考える上で理想的と考える格子の与える値に近い事で評価する。従って技術的基本はλＬ（ｄ、ｚ）のｄとｚからの算出にある。これは格子ＧＬ（ｄ、ｚ）に伴われる双対格子の存在を利用して行う；この双対格子は次の基ベクトル｛ｆ１、ｆ２、・・・、ｆＬ｝の整数係数１次結合の全体である：
【数１３】
2015118680.tif 000048
これらのベクトルは自明に１次独立で、内積（ｅｊ、ｆｋ）＝δｊｋで完全に特徴付けられる。実際この内積は｛ｅ１、ｅ２、・・・、ｅＬ｝、｛ｆ１、ｆ２、・・・、ｆＬ｝をそれぞれの行とするＬ×Ｌ行列Ｅ、Ｆで言えば行列積の関係ＥｔＦ＝ｄＩ、ｔＦはＦの転置行列、ＩはＬ×Ｌ単位行列、でありｔＦは一意にｔＦ＝ｄＥ−１と定まるからである。この双対格子のベクトルｆは整数成分だから、その正で最短の長さは１１／２＝以上である。正の最短長さを与える双対ベクトルをｕｍｉｎと記そう。このとき次が成り立つ。
（補題３）Ｌ次元格子ＧＬ（ｄ、ｚ）のＬ個の点で１次独立な位置ベクトルを持つものを含むとして定まる超平面をＬ−１次元格子超平面と呼ぶ。平行で隣接する２つのＬ−１次元格子超平面の間の距離の最大間隔、格子を造る任意のＬ単体の頂点の対面する辺からの最大高さ、をλＬ（ｄ、ｚ）と記すと、それはＧＬ（ｄ、ｚ）の双対格子の正で最短のユークリッド長さを持つベクトルｕｍｉｎから次式で与えらる：
【数１４】
2015118680.tif 000049
‖ｕｍｉｎ‖はベクトルｕｍｉｎのユークリッド長さである。（補題３終）
この証明は平易だが長く、周知の事柄であるので、ＮａｋａｚａｗａとＮａｋａｚａｗａ（２０１２）を引用する。この補題３によりλＬ（ｄ、ｚ）を求めるスペクトル検定の作業は双対格子の最短ベクトルの探索問題に変換される。但し探索を双対格子基ベクトルの整数係数１次結合に限って行う事は得策ではない。直交座標成分で表されたベクトルｕ、そのデカルト座標（ｕ１、ｕ２、・・・、ｕＬ）、を用いて行う方がよい。ベクトルｕが双対格子ベクトルである、即ち双対基ベクトルの整数係数１次結合であるための必要十分条件は簡明である：
（補題４）ベクトルｕ＝（ｕ１、ｕ２、・・・、ｕＬ）が双対格子ベクトルである必要十分条件は次の成立である：
【数１５】
2015118680.tif 000050
（証明）ｕが逆格子ベクトルなら整数の組ｃ１、ｃ２、・・・、ｃＬによって
【数１６】
2015118680.tif 000051
と表わされるデカルト座標成分を持つ。これから条件式左辺がｄｃ１である事、従って条件式は成り立ち、必要条件である事がわかる。逆に条件式が成り立てばｕ１＋ｚｕ２＋ｚ２ｕ３＋・・・＋ｚＬ−１ｕＬ＝ｃｄがある整数ｃで成り立つ。これは
【数１７】
2015118680.tif 000052
を証明し、ｕは双対格子ベクトルであって、条件式は十分条件でもあると分かる。（証明終）
補題３に基づく最短ベクトル探索には、依然としてＦｉｓｈｍａｎとＭｏｏｒｅによって用いられたλＬ（ｄ、ｚ）の大域的最小値の存在、
【数１８】
2015118680.tif 000053
が重要な役割を担う：
（補題５）Ｌ次元双対格子の最短ベクトルｕｍｉｎは、ユークリッド座標を持つベクトルｕ＝（ｕ１、ｕ２、・・・、ｕＬ）を用いて、次の２条件を満たすものの最短を探索して得られる：
【数１９】
2015118680.tif 000054
2015118680.tif 000055
（証明）λＬ（ｄ、ｚ）の大域的最小値ΛＬ（ｄ）の存在から‖ｕｍｉｎ‖＜ｄ／ΛＬ（ｄ）が保障されるから、補題４を満たすものをこの範囲で探せばよい。（証明終）■
【発明の効果】
【００１７】｛ＭＬ（ｄ）＝Ｌ−１／２（Ｌ＋１）（Ｌ−１）／（２Ｌ）ｄ（Ｌ−１）／Ｌ｜Ｌ≧３｝の新しい検定基準は、その正Ｌ単体の頂点の対面する格子のＬ−１次超平面への高さとしての意味から、Ｌ次スペクトル検定の基準値としては他のどれよりも優先して用いられるべきものであろう。発明者達は実際は上限ＲＬ＞１を例えば旧来通りＲＬ＝１．２５と定めて、（ｄ、ｚ）乱数機構の評価値ρＬ’（ｄ、ｚ）：＝λＬ（ｄ、ｚ）／ＭＬ（ｄ）がＬ≧３で合格条件１＜ρＬ’（ｄ、ｚ）＜ＲＬを満たす乗数ｚを採用するべきと考える。勿論これだけでは十分ではない。特願２０１３−１４２２２５及び２０１３−２０６９４７に提示された様に、スペクトル検定は（ｄ、ｚｋ）のｋ＝２、３、４、・・・について、最も強力な２次検定でまず合格者を選別し、さらにそれらにここに記述された３次以上の検定を課して選別するのが順当、計算的に最も経済的であろう。３次以上の検定にこの発明で提案された基準値｛ＭＬ（ｄ）｜Ｌ≧３｝は旧来の基準値｛ΛＬ（ｄ）｜Ｌ≧３｝よりは大きい。故にＦｉｓｈｍａｎとＭｏｏｒｅ型の検定で合格とされていたものは、上述の（ｄ、ｚｋ）のｋ＝２、３、４、・・・の２次検定不合格及びρＬ’（ｄ、ｚ）≦１の場合を除いて不合格とされる事はないが、重要なのは今まで不合格とされていたものに新しい基準では合格するものがあり得る点である。図２の３次以上での検定結果が示唆するように、３次以上の新検定ではこれまでの２次検定と同様に多くの乗数が合格である可能性が存在する。周期の性質から選択される法ｄとその乗数ｚの新しい形の上に、特願２０１３−１４２２２５及び２０１３−２０６９４７に述べられた（ｄ、ｚｋ）のｋ＝２、３、４、・・・の２次検定、そしてここで提示された発明に基づく新しいＬ≧３での新基準での検定を併せて、優れた一様独立性を示す乱数生成機構を選択すべきである。但し、その正確な検定作業では双対格子の最短ベクトルの捜索範囲を今まで通り大域的な最小値｛ΛＬ（ｄ）｜Ｌ≧３｝を用いて定めて行わなければならない；不合格な乗数を捨てるなら｛ＭＬ（ｄ）｜Ｌ≧３｝を用いる事もできるが、ρＬ’（ｄ、ｚ）≦１の場合の重要な情報を得るためには、これは新技術としての本質的な留意点である。
【図面の簡単な説明】
【００１８】
【図１】（ｄ、ｚ）生成の乱数２連の点が示す幾何学的分布、評価値ρ＝ρ２（ｄ、ｚ）が約１．３０以下の場合。
【図２】（ｄ、ｚ）生成の乱数２連の点が示す幾何学的分布、評価値ρ＝ρ２（ｄ、ｚ）が約１．３５以上の場合。
【図３】奇素数の法ｄ＝２３１−１に対する原始根乗数ｚについてＦｉｓｈｍａｎとＭｏｏｒｅ（１９８６）がｅｘｈａｕｓｔｉｖｅなスペクトル検定で得た最良の５つの乗数ｚの性能表；ａ）行は彼らの表２のＳ１行の評価値、１／ａ）行はその逆数で現在のρＬ（ｄ、ｚ）に相当、ｂ）行は発明者達によるρＬ（ｄ、ｚ）の再計算、ＭＬ（ｄ）の行は正Ｌ単体に基づく新基準での評価値ρＬ’（ｄ、ｚ）、ｃ）行は（ｄ、ｚ２）、（ｄ、ｚ３）、・・・、（ｄ、ｚ６）の２次検定評価値である。
【手続補正４】
【補正対象書類名】図面
【補正対象項目名】全図
【補正方法】変更
【補正の内容】
【図１】
2015118680.tif 000056
【図２】
2015118680.tif 000057
【図３】
2015118680.tif 000058
【手続補正書】
【提出日】平成27年1月11日(2015.1.11)
【手続補正１】
【補正対象書類名】特許請求の範囲
【補正対象項目名】請求項１
【補正方法】変更
【補正の内容】
【請求項１】
コンピュータ上の一様独立乱数生成装置の設計方法として、任意の正の整数の法ｄ、そしてｄとは素な任意の整数乗数ｚ、に基づく一様独立乱数生成方式（ｄ、ｚ）、即ち法ｄとは素な任意の整数ｎを与えてｎ１≡ｎ  ｍｏｄ（ｄ）、０＜ｎ１＜ｄと初期値ｎ１を定め、番号ｋ＝１、２、３、・・・に対しｎｋから次のｎｋ＋１を漸化合同式ｎｋ＋１≡ｚｎｋ  ｍｏｄ（ｄ）、０＜ｎｋ＋１＜ｄ、を満たす様に選んで得られる整数列ｎ１、ｎ２、・・・から一様独立乱数数列ｖ１、ｖ２、・・・を除法の等式ｖｋ＝ｎｋ／ｄ、ｋ＝１、２、３、・・・を実現して与える乗算合同法（ｄ、ｚ）、において、相続くＬ個の出力乱数の連の一様独立性の評価のため、新しく発見された基準値
ＭＬ（ｄ）＝Ｌ−１／２（Ｌ＋１）（Ｌ−１）／（２Ｌ）ｄ（Ｌ−１）／Ｌ、  Ｌ≧２、
即ち、Ｌ≧３では現在まで使用のものとは異なる
Ｌ＝３：  Ｍ３（ｄ）＝２２／３３−１／２ｄ２／３≒０．９１６４９ｄ２／３、
Ｌ＝４：  Ｍ４（ｄ）＝２−１５３／８ｄ３／４≒０．９１４２９ｄ３／４、
Ｌ＝５：  Ｍ５（ｄ）＝５−１／２６２／５ｄ４／５≒０．９１５７５ｄ４／５、
Ｌ＝６：  Ｍ６（ｄ）＝６−１／２７５／１２ｄ５／６≒０．９１８４４ｄ５／６、
・・・・・・・・・・・・・・・
を用いて行うスペクトル検定方法、即ち相続くＬ個の（ｄ、ｚ）乱数出力が載るＬ次元（ｄ、ｚ）格子の中で、一次独立なＬ個の格子点を含むＬ−１次元超格子平面の平行な隣合うものの最大間隔λＬ（ｄ，ｚ）を用いる評価値ρＬ（ｄ、ｚ）：＝λＬ（ｄ，ｚ）／ＭＬ（ｄ）＞１が、任意に定めた許容値ＲＬ＞１に基づく合格条件ρＬ（ｄ、ｚ）＜ＲＬを３≦Ｌ≦６では満たす様に選ぶスペクトル検定方法。
【手続補正２】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】全文
【補正方法】変更
【補正の内容】
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】スペクトル検定は出力乱数列の独立性を生成機構の原理的性質に基づいて全周期に渉って検定する唯一の方法であり、それは乗算合同法や線形合同法以外では実現が実際技術として不可能である。この発明は乗算合同法スペクトル検定の次数Ｌ≧３のものに関して、先行技術が不正確なものであった事を指摘し、正しい形を発明として提出する。コンピュータ上に実装される一様独立乱数生成機構はすべて、乗算合同法で任意の精度で工学技術的に実現されるという事実が特許文献１−３に指摘されて存在する。故にコンピュータ上の一様独立乱数生成機構を設計し、実装し、シミュレーション等に実用するための工学技術として、この発明の重要性は疑いのないものである。
特許文献１：特開２０１０−４００２１号公報
特許文献２：特開２０１２−２０３８９８号公報
特許文献３：特願２０１３−１４２２２５号明細書【０００２】乗算合同法は自然数の法ｄ、前記ｄとは素な、即ちｄとは共通素因数を持たない、自然数の乗数ｚ≧２、そして前記法ｄとは素な自然数の初期値１≦ｎ１＜ｄに基づいて、自然数の列｛ｎ１、ｎ２、・・・｝をｎｋのｚ倍をｄで割った余りとし、次の整数ｎｋ＋１を定義し、実数列｛ｖｋ＝ｎｋ／ｄ｜ｋ＝１、２、・・・｝を順次一様独立乱数列の出力とする。乗算合同法はｄ、ｚ及びｎ１で定まる。初期値ｎ１は乱数列の出発点の選択だけを担い、生成される乱数列の良否には関係しないので以下適宜言及を省略する。相続いて生成される乱数の独立性の確保は大きな問題である。その中で乗算合同法のＬ次スペクトル検定は生成された乱数の相続くＬ連、Ｌ＝２、３、４、・・・の、特に独立性の評価を与える方法として大切な役割を持つ。発明者達はＬ≧３のスペクトル検定で、現在まで用いられたものとは異なる幾何学的定義に基づく検定基準を見出し、これを選ぶべきであると結論した。以下新基準を導出し、これに基づく３次以上のスペクトル検定を、優れた乗算合同法乱数機構を発見製造する新しい技術発明として提出する。【０００３】以下（ｄ、ｚ、ｎ）或いはより短く（ｄ、ｚ）によって、自然数ｄ＞０を法とし、ｄとは素なｚを乗数とし、乱数の初期値を与える整数ｎ１をｎ１≡ｎ  ｍｏｄ（ｄ）、０＜ｎ１＜ｄと定めるｓｅｅｄ或いは種ｎを持つ生成機構を表し、整数列｛ｎｋ≡ｎｚｋ−１  ｍｏｄ（ｄ）｜０＜ｎｋ＜ｄ、ｋ＝１、２、・・・｝を漸化合同式
【数１】
2015118680.tif 000059
により順次生成するものと定義する。コンピュータ上での（ｄ、ｚ、ｎ）生成機構は実数列｛ｖｋ：＝ｎｋ／ｄ｜ｋ＝１、２、・・・｝を一様独立乱数として出力する。（ｄ、ｚ）生成機構に対するＬ次のスペクトル検定は、出力された相続くＬ個の乱数の、特に独立性の程度の評価である。このために（ｄ、ｚ、ｎ）からのＬ個の相続く出力（Ｌ連と呼ぶ）｛Ｑｋ：＝（ｎｋ、ｎｋ＋１、・・・、ｎｋ＋Ｌ−１）｜ｋ＝１、２、・・・｝をＬ次元空間の点Ｑｋの列と見て、その幾何学的分布を利用する。これらの点｛Ｑ１、Ｑ２、・・・｝はｄ、ｚ及びＬで定まる格子ＧＬ（ｄ、ｚ）内にある。より明確に言えば、これら点列はある格子ＧＬ（ｄ、ｚ）の格子点の上に位置を占める。この席取りが一様独立と見えるランダムさを持つ事は期待として、技術としては空間ＥＬにおける座席の分布状況の評価、即ち座席である格子ＧＬ（ｄ、ｚ）（の格子点）が妥当な形、幾何学的配置、を取るものを選び出す事を目指す。この言葉の意味については２次元ユークリッド平面Ｅ２の中に（ｄ、ｚ）乱数の相続く２連が与える点の例が視覚的による明確な理解を与える。典型的な奇素数の法ｄとその原始根乗数ｚの組による２連の点のプロット｛Ｑｋ：＝（ｎｋ、ｎｋ＋１）｜ｋ＝１、２、・・・｝を第１図に示す。ｄやｚの値はプロットが視認できる様に小さく選ばれている。原点Ｏから発し、座標軸方向の辺の長さｄの正方形Ｃｄの中に諸点は描かれ、図の外枠は見易さのためＣｄを中に含むよう少し大き目に取られている。第１図の諸例の始まりは、格子点がいわゆる３角格子と呼ばれる正３角形から組み立てられた分布に近い姿を示す場合である。もし相続く乱数の２連が、これらの席の上に何らかのランダムに見える仕方で席を占めて行くとすれば、我々は統計的にそれらが独立な出現の相続くものではない、という仮説を否定するより多くの理由を持つ。反対に第１図の末尾の諸図では、大きな距離で並ぶ少ない個数の格子線の上に狭い間隔で位置を占める格子点の分布、パターンが見られる。もし相続く２連がこのような配置の席の上に現れるとすれば、我々は席の強い方向依存性あるいは異方性（ａｎｉｓｏｔｒｏｐｙ）を感じ、それは相続く乱数の２連が独立とは見えない、とする主張により多くの根拠を与える。２次スペクトル検定はこのような印象を後に定義される定量的な評価値ρ２（ｄ、ｚ）＞１によって与える。第１図先頭に近い格子はρ＝ρ２（ｄ、ｚ）を１に近く持ち、乱数の一様独立性には好ましい。第１図末尾ではρは１よりも明確に大きく離れ、図からもは乱数の出現が独立とは考えにくい。【０００４】感覚を超え、発明の新しいアイデアを定量的に提示する。（ｄ、ｚ）生成機構から出力されるＬ連が示す格子に立ち戻る。再び最も簡単な２連、Ｌ＝２の場合から始める。（ｄ、ｚ）乱数の相続く２連が作る点Ｑｋは行ベクトル、Ｑｋ：＝（ｎｚｋ−１，ｎｚｋ）＝ｎｚｋ−１ｅ１、ｅ１：＝（１、ｚ）、と取る事ができる。ここでは暫時Ｑｋの座標に法ｄでの合同を考えない。ベクトルＱｋと法ｄで合同な第２座標を持つ他のすべての点或いはベクトルは、ｅ２：＝（０、ｄ）で定義されるベクトルの整数倍をＱｋに加えて得られる。同様に第１座標がＱｋと法ｄで合同な他のすべての点は
【数２】
2015118680.tif 000060
の整数倍を加えて得られる。だから（ｄ、ｚ）生成機構からの２連が与える点と法ｄで合同な座標を持つすべての点は、２ベクトル｛ｅ１、ｅ２｝の整数係数の集合Ｓ：＝｛ｃ１ｅ１＋ｃ２ｅ２｜ｃ１、ｃ２＝整数｝に含まれる。この点或いはベクトルの集合Ｓは、平面Ｅ２の中で基ベクトル｛ｅ１、ｅ２｝が張る２次元格子を定義する。集合或いは格子Ｓはｄとｚで定められるからＳ＝Ｇ２（ｄ、ｚ）と記す。格子Ｇ２（ｄ、ｚ）はその点の座標の１つまたは２つが法ｄと素ではない点もすべて含むが、（ｄ、ｚ）生成機構からの乱数の２連の座標は決してｄと合同にはならず、Ｇ２（ｄ、ｚ）のすべての格子点に座席を占める事はできない。奇素数の法ｄとその原始根ｚが作る（ｄ、ｚ）からの２連の点だけをＣｄに記した第１図では、これは原点Ｏの除外として現れる。構成された基ベクトルの組｛ｅ１，ｅ２｝の行列式はｄだから、それらは面積ｄの平行四辺形を作り、この面積は乗数ｚには依存しない。｛ｅ１，ｅ２｝が張る３角形の面積はｄ／２である。【０００５】（ｄ、ｚ）乱数の２連が与える点の全体が格子上にあると把握されたから、（ｄ、ｚ）生成機構からの２連が作る、あるいは基ベクトルの組｛ｅ１，ｅ２｝が張る、という事を暫く置いて、平面内に与えられた平行で等間隔に並ぶ直線の２組、ここで考える２次元格子、という対象から基ベクトルの組を抜き出す手続きの操作的な理解と言葉の準備に進む。任意の異なる格子点を結ぶ直線を（１次元）格子線と呼ぶ。平行で隣り合う２格子線、平行隣接格子線の任意の組と、それとは方向の異なる他の任意の平行隣接格子線の組を考える。２組の平行隣接格子線の４交点は各格子線上で隣り合う２点の組で、その中から１つの起点を選び、それから発する２ベクトル｛ｅ１’、ｅ２’｝がこの平行４辺形を張る、と見る立場を取る。物理に倣いこの平行４辺形を単位胞ｕｎｉｔ  ｃｅｌｌと呼ぶ。単位胞をこれら２ベクトルのそれぞれの方向に平行移動させれば、全平面は隙間も重複もなく埋め尽くされ、起点は全格子点を１度ずつ巡る。故に任意の平面格子の任意に選んだ単位胞の平行４辺形は、格子点の各１個に伴われ平面を埋め尽くす面積としてすべて同じ面積を持つ。逆に格子を張る任意の基ベクトルの組がこのように選ばれたものの中にある事は明らかである。この様な任意の基ベクトルの組相互の線形変換はユニモジュラー行列による、と数学的には把握されるが、以下ではそれと同等で幾何学的操作により把握する上の直観的描像で進む。特に、（ｄ、ｚ）乱数２連が載る格子からこの様に任意に選んだ基ベクトルの組｛ｅ１’、ｅ２’｝が持つ次の性質に触れておく：（１）任意に選ばれた基ベクトルの組はすべて一定の面積ｄ／２の３角形を張り、（２）面積ｄ２の正方形Ｃｄはｄ個の格子点を含む。【０００６】今や２次元平面に格子が与えられたとして、隣接格子線間の距離を定める操作を見通す事ができる。任意の格子線上に任意の格子点を取って起点とし、この格子線上の次の格子点までの位置ベクトルを（この格子線方向の）１つの基ベクトルｅ１”とする。次に隣接する平行な格子線（それらは２つあるがその任意の１つ）の上に任意の格子点を取って、この点への起点からのベクトルを今１つの基ベクトルｅ２”とする���｛ｅ１”、ｅ２”｝は基ベクトルの組である。ここで任意に選ばれた隣接平行格子線の間隔は、これら基ベクトルの組が作る３角形のある頂点からそれに対面する底辺への垂直距離である。逆に任意に選ばれた基ベクトルの組が与える３角形の任意の頂点の対面する底辺への垂直距離は、確かにある平行隣接格子線の間隔である。故に乗算合同法（ｄ、ｚ）からの２連が座席を取る平面格子Ｇ２（ｄ、ｚ）の平行隣接格子線の最大間隔は、格子基ベクトルの組が作る３角形の頂点が対面する底辺へ持つ最大の垂直距離、その全格子基ベクトルの取り方の中での最大値である。【０００７】上で考えた格子は、２次元平面で２つの基ベクトルだけで張られる、という意味で単純格子と呼ばれる。以後もＬ次元空間の格子としてはＬ個の基ベクトルで張られる単純格子に考察を限定した上で、議論は直ちに一般の次元Ｌ＝２、３、…に拡張される。（ｄ、ｚ）乗算合同法からの乱数の相続くＬ連から考える。Ｌ次元ユークリッド空間ＥＬの中で、再びＣｄによって原点Ｏに頂点を持ち各軸方向に長さｄの辺を持つ超立方体を表す。ＥＬの点或いは位置ベクトル
【数３】
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は（ｄ、ｚ、ｎ）、省略して（ｄ、ｚ）生成機構、からの相続くＬ連出力（法ｄでの値の縮約は暫く考えない）を表す。Ｑｋと法ｄで合同な座標を持つすべての点或いは位置ベクトルは、Ｌ＝２次元と同様の議論で、次のベクトルの組の整数係数１次結合で表される：
【数４】
2015118680.tif 000062
これらのベクトルは１次独立であり、行列式体積ｄＬ−１の超平行面体、再び単位胞と呼ぶ、を張る。これらのＬ個の基ベクトルの整数係数１次結合の全体がＥＬ内の格子であり、それをＧＬ（ｄ、ｚ）と記す。超立方体Ｃｄの体積はｄＬだから、格子ＧＬ（ｄ、ｚ）はＣｄ内にｄ個の単位胞、即ちｄ個の格子点を持つ。【０００８】一般にＥＬ内にＬ次元格子が与えられたとする。ある格子点を起点とし（Ｌ−１）個のベクトルが隣接する格子点を結び（即ちベクトルの始点と終点の間には他の格子点は存在せず）、組として１次独立のとき、これらを基ベクトルとして張られる部分格子、すなわちこれらのベクトルの整数係数１次結合の全体、を元の格子の中の部分（Ｌ−１）次元格子超平面と呼ぶ。Ｌ次元格子の一般の基ベクトルを取る手続きも部分（Ｌ−１）次元格子超平面を用いると帰納的に考える事ができる。任意の格子点（起点）と、それを含む部分（Ｌ−１）次元格子超平面とを任意に取る。起点から部分格子超平面内で隣接する（Ｌ−１）個の格子点までの（Ｌ−１）個の１次独立ベクトルを取ってベクトルの組｛ｅ１’、ｅ２’、…、ｅＬ−１、’｝を作る。さらに格子超平面に平行で隣接する格子超平面、即ちもとの格子超平面をこの超平面内にはない格子ベクトルで平行移動したもので２つの格子超平面の間には別の平行格子超平面が存在しないもの、の上に任意に格子点を取って、起点からこの格子点までのベクトルをｅＬ’とする。組｛ｅ１’、ｅ２’、…、ｅＬ’｝は格子の基ベクトルである。この事は２次元同様に、これらベクトルの作る超平行面体（単位胞）が、その起点の格子点全体の巡回に伴われる平行移動で、空間を隙間も重複もなく覆う事、を考えれば明らかである。逆に任意の格子基ベクトルの組はこの様に得られる。Ｌ個の基ベクトル｛ｅ１’、ｅ２’、…、ｅＬ’｝が張る超平行面体（単位胞）の代りに、これらベクトルが起点から発する位置ベクトルとして閉胞で張る錐体（Ｌ単体）を取って格子の基本構成単位と考える事もできる。平行面体即ち単位胞の体積Ｖは（Ｌ−１）次元底超平面Πの超面積Σ（それは（Ｌ−１）次元超平行面体の（Ｌ−１）次元体積である）と第Ｌ番目の基ベクトルのΠへの高さＨの積Ｖ＝ΣＨである。単位胞を構成するＬ単体の体積は、Ｌに関する帰納法で考えて、（Ｌ−１）個の基ベクトルが張る（Ｌ−１）単体の体積あるいは超面積Σ／（Ｌ−１）！の上にそれから高さＨにある第Ｌ基ベクトルの頂点が作る錐体であり、体積Ｖ／Ｌ！である。即ちＬ次元（単純）格子のすべての単位胞は基ベクトルの取り方に関係なく同じＬ次元体積Ｖを持ち、すべてのＬ単体も基ベクトルの取り方に関係なく単一のＬ次元体積Ｖ／Ｌ！を持つ。すべての平行隣接格子超平面間の距離は必ず、このようなＬ単体のある１つのもののある頂点が対面する底超平面Πへの高さであるから、次が成り立つ：
（補題１）与えられた（単純）Ｌ次元格子の（Ｌ−１）次元平行隣接格子超平面Πの間の距離のすべてのΠに関する最大値は、この格子で全ての基ベクトルの組が与える全てのＬ単体のすべての頂点の高さＨの最大値に等しい。（補題１終り）【０００９】第１図が示唆する２次元格子の幾何学的な理想の場合としての３角格子は重要で、それは任意格子が与えられたとして出発する上の諸議論とは別に、どのように構成するか、についての見通しのよい議論が可能である。３角格子では正３角形を作る２つの基ベクトルを取る事もできるが、基ベクトルの取り方次第では勿論それ以外の形の２単体も無数に生じる。ただ２次元単純格子として、どのような基ベクトルの取り方でも２単体はすべて同じ面積である。そして次の状況が成り立つ。
（補題２）（Ａ）基ベクトルを正３角形（正２単体）を作る様に選び得る３角格子では、この正２単体の頂点の対面する底辺への高さＨが任意の基ベクトルの組が作る２単体の頂点の対面する底辺への高さの最大値である。
（Ｂ）故に（ｄ、ｚ）乗算合同法の２連出力の理想的座席としての３角格子、面積ｄ／２の正２単体を持つもの、の隣接平行格子線の最大間隔はΛ２（ｄ）：＝２−１／２３１／４ｄ１／２で与えられる。
（証明）（Ａ）次元Ｌ≧３への応用を目指して、仮にある平行隣接格子線の間隔λが格子の正３角形（正２単体）での高さＨ、即ち正２単体の底辺を含む格子線と、それと平行で頂点を通る格子線の間隔、より大きい、と仮定して矛盾を導く。仮定からその１つの格子線上に１つの基ベクトル、間に他の格子点のない隣接２格子点を結ぶベクトルＡ→Ｂ、を取り、もう１つの基ベクトルを隣接平行格子線上の任意格子点Ｃに向かうベクトルＡ→Ｃとする事ができる。３角形ＡＢＣの頂点Ｃの高さλが正３角形のＨより大きいから、面積一定の条件から底辺ＡＢは正３角形の１辺よりも小さくなければならない。しかし３角格子では任意格子線上での最隣接のどの２格子点も正３角形の辺以上に大きいから、これは矛盾で（Ａ）は成り立つ。
（Ｂ）上の（Ａ）によって面積ｄ／２の正三角形の頂点の高さがΛ２（ｄ）であり、その算出は容易なので省く。（証明終）【００１０】次元Ｌ≧３、でも同様の状況がある。描像の理解、応用の見通しに重要なので急がずＬ＝１、２、・・・と帰納的に考え、言葉を説明する。次元Ｌ＝１では任意１次元格子、即ち１直線上に等間隔に並ぶ（格子）点の全体、を考え、この格子の基ベクトル、即ち任意の格子点を起点として隣接格子点までの（基）ベクトルの幾何学的実体としての線分を（正）１単体と呼ぶ。格子はこの基ベクトルの整数倍の全体である。次元Ｌ＝２では平面Ｅ２のある起点から発する基ベクトルｅ１、それが定める１次元格子線上の正１単体、から考える。Ｅ２内にはこの正１単体の２端点からｅ１の長さと等しい距離を持つ２つの点が存在する。その任意の１つに起点から向かう第２のベクトルをｅ２とすればｅ１とｅ２は正３角形を張る。元の１次元格子線をベクトルｅ２で平面Ｅ２内に次々に平行移動すれば正３角形（即ち正２単体）｛ｅ１、ｅ２｝から２次元の３角格子が定まる；これは基ベクトル｛ｅ１、ｅ２｝の整数係数１次結合の全体、という定義と同じである。基ベクトルで正２単体を与えるものを持つ３角格子はこの様に存在し、形は一意である。これは一般の次元Ｌで成り立つ。
（定理３）（Ａ）任意の次元Ｌ＝２、３、・・・に対し、１次独立な同一起点の基ベクトルの組｛ｅ１、ｅ２、・・・、ｅＬ｝で張られる閉包をＬ単体と呼ぶ。その（Ｌ＋１）個のすべての頂点の対、総数Ｌ（Ｌ＋１）／２、が等距離にあるものを正Ｌ単体と定義する。正Ｌ単体は形として一意に存在し、正Ｌ単体を与える様な基ベクトルの組を持つ格子は存在する。
（Ｂ）Ｌ≧２で正Ｌ単体の体積が（ｄ、ｚ）格子のｄＬ−１／Ｌ！なら、正Ｌ単体の各頂点から対面する（Ｌ−１）次元底超平面への高さＭＬ（ｄ）は
【数５】
2015118680.tif 000063
で与えられる。
（証明）（Ａ）請求項１の具体形を得るため、まず実際構成によって正Ｌ単体の存在と形の一意性を示す。次のＬ次元ベクトルを考える：
【数６】
2015118680.tif 000064
定数ａ、ｂは共に０ではなく、ａ≠ｂと仮定してこれらが１次独立ベクトルである事を確保する。実定数ａ、ｂがこれらのベクトルが正Ｌ単体を張る条件で定められる事を示そう。原点Ｏを起点として、これらのベクトルを位置ベクトルとする終点を｛Ｐ１、Ｐ２、・・・、ＰＬ｝と記す。仮定されたベクトルの形から、すべてのｊでこれらは単一の長さ‖ｅｊ’‖２＝（Ｌ−１）ａ２＋ｂ２を持つ。また任意の組ｉ≠ｊに対して内積は（ｅｉ’、ｅｊ’）＝（Ｌ−２）ａ２＋２ａｂと一定でｉやｊによらないから、ベクトルは全て同じ角で交わる。単位ベクトルｅ０’：＝（１、１、・・・、１）／Ｌ１／２を導入する。ｅ０’はすべての１≦ｊ≦Ｌに対して単一の内積ｈ：＝（ｅ０’、ｅｊ’）＝ｓ／Ｌ１／２、ｓ：＝（Ｌ−１）ａ＋ｂを与える。単位ベクトルｅ０’は点｛Ｐ１、Ｐ２、・・・、ＰＬ｝を含む超平面Πと垂直であり、内積ｈは原点Ｏからこの超平面Πの重心への垂線の長さ、この正Ｌ単体の頂点Ｏの対面する底超平面Πへの高さである。ベクトル｛ｅ１’、ｅ２’、・・・、ｅＬ’｝が張るＬ次元超平行面体の行列式体積Ｖは
2015118680.tif 000065
である。第１列を他の全ての列から引いて、容易にＶ＝ｓ（ｂ−ａ）Ｌ−１を得る。
正Ｌ単体であるための残る条件は
【数７】
2015118680.tif 000066
がｊ≠ｋについて成り立つ事である。これは次を与える：
【数８】
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ｂ＝ξａと置きξ２＋（Ｌ−１）＝２（ξ−１）２、即ちξ＝２±（Ｌ＋１）１／２が実数で得られ、問題は実数のＶ、ｄ、Ｌで解ける；これは幾何学的に正Ｌ単体（とそれを張るベクトルの組）が存在する事を示す。これらを基ベクトルとして代数的に整数係数一次結合で定義して正Ｌ単体を与えるＬ次元格子の存在はわかる。帰納的な次の様な構成も視覚的には理解が易しい。平面内に１次元格子（直線）を取る；その基ベクトルと正３角形を作る第２の基ベクトルを用いて、直線を次々に平面内で平行移動すれば正２単体を与える基ベクトルを持つ３角格子が作られる。次に３次元空間内の平面３角格子とそれが与える正２単体を張る基ベクトルの組を取り、第３の基ベクトルを正３単体（正４面体）を張るように取って、それで平面３角格子を空間内で次々に平行移動すれば、正４面体を構成要素とする３次元格子の存在がわかる；それは上のベクトル構成でＬ＝３とすればわかるようにｂ＝０の面心立方格子である。以下同様に、任意の正Ｌ単体で構成されるＬ次元格子の存在に達する。
（Ｂ）単位胞（Ｌ次元超平行面体）の体積Ｖを（ｄ、ｚ）乱数のＬ連が載る格子ＧＬ（ｄ、ｚ）のＶ＝ｄＬ−１に限定すれば、（Ａ）で導いたξの解のどちらを取っても容易な計算でＭＬ（ｄ）＝Ｌ−１／２（Ｌ＋１）（Ｌ−１）／（２Ｌ）ｄ（Ｌ−１）／Ｌに至る。（証明終）【００１１】補題２では正２単体を作る基ベクトルを持つ３角格子で、この正２単体の各頂点の底辺への高さが３角格子のすべての平行隣接格子線の最大間隔である事を示した。一般の次元Ｌ＝３、４、・・・についても、対応する事柄の証明を試みる。実際工学技術発明としては、上のＭＬ（ｄ）を基準とするＬ次スペクトル検定が成功すれば十分で、補題２に対応するものの数学的証明が欠かせないわけではない。しかし以下の直観的な論拠の存在は応用も力付けるだろう。
（補題４）Ｌ≧３について、正Ｌ単体を作る基ベクトルを持つＬ次元格子ではその正Ｌ単体の頂点の高さｈはこの格子のすべての平行隣接（Ｌ−１）次元格子超平面の最大間隔である。
（証明）任意の（単純）Ｌ次元格子ＧＬ内で基ベクトルＬ個の組が作るすべてのＬ単体は同じ単位胞体積Ｖを持つ。その平行隣接（Ｌ−１）次元超格子平面Π、Π’は共に（Ｌ−１）次元部分格子であり、その一方をある基ベクトル、それをｅＬとする、で平行移動した対である。Πの上の格子ＧＬの（Ｌ−１）個の基ベクトル｛ｅ１、ｅ２、・・・、ｅＬ−１｝を取ると、これらはある（正（Ｌ−１）単体とは限らない）（Ｌ−１）単体Σを張る。Σの超面積は一定ではない。例えば２次元３角元格子の中の１次元部分格子としての格子線ではΣは基ベクトルの長さで、その最短は正２単体の場合、他は一般にそれよりは長い；この事は補題２で用いられた。また、２次元３角格子（の正２単体）を正４面体（正３単体）を作るもう一つの基ベクトルで平行移動して作られたＬ＝３次元の面心立方格子の中で、正２単体とは平行ではない傾いた２単体（基ベクトルの３角形）の面積Σは常に正２単体の面積以上である。｛ｅ１、ｅ２、・・・、ｅＬ−１、ｅＬ｝はＧＬの基ベクトルの組で正Ｌ単体を張るものと同じ体積をｅＬの終点からΠへの垂線の高さλとΣの積λΣ／Ｌ！で持つ。故にもしλがＭＬ（ｄ）より大きければ、Σは正（Ｌ−１）単体の場合よりは小さくなければならない。
これはあり得ず、ＭＬ（ｄ）は平行隣接（Ｌ−１）次元超格子平面間の最大間隔である。この議論はＬ＝４、５、・・・でも成り立つ。（証明終）【００１２】３≦Ｌ≦６の次元ＬでのＭＬ（ｄ）の具体数値形は次で与えられる：
【数９】
2015118680.tif 000068
これらが単位胞体積がＶ＝ｄＬ−１の場合の正Ｌ単体の頂点の高さであり、上の議論によって正Ｌ単体を作る基ベクトルを持つ理想的なＬ次元格子での隣接平行（Ｌ−１）次元超格子面の最大間隔である。ＦｉｓｈｍａｎとＭｏｏｒｅ（１９８６）は、この最大間隔として数の幾何学が与えるあらゆる可能な格子（正Ｌ単体を持つ格子とは限定しない）が取り得る最小値（各格子での最大間隔の、すべての格子形に関する大域的な最小値と呼ぼう）の結論を引用し、奇素数の法ｄ＝ｐ＝２３１−１のすべての原始根乗数ｚのｅｘｈａｕｓｔｉｖｅなスペクトル検定の画期的な研究で次の基準値｛ΛＬ（ｄ）｜２≦Ｌ≦６｝を用いた：
【数１０】
2015118680.tif 000069
上で導かれた正Ｌ単体を持つ格子の（Ｌ−１）次元隣接超格子平面間の距離の最大値｛ＭＬ（ｄ）｜２≦Ｌ≦６｝に比べて、Ｌ≧３でのこれらはより小さい。乱数の相続くＬ連が点として占める座席としては、一様独立性の仮定に対して正Ｌ単体で構成される格子が最も否定が弱い。数の幾何学が与える（特に次元Ｌ≧４での大域的）最小値を隣接超格子平面間隔の最大値とする格子がどのような形のものか、は大変興味深いが、上の乖離はそれらが正Ｌ単体を構成する基ベクトルに近いものをＬ≧３では持たない事を証明する。スペクトル検定としては｛ＭＬ（ｄ）｜３≦Ｌ≦６｝が３次以上のスペクトル検定で採用すべきものである。
【非特許文献１】
2015118680.tif 000070
【００１３】正Ｌ単体を持つ格子を離れて、（ｄ、ｚ）乱数のＬ連の載る格子ＧＬ（ｄ、ｚ）に戻り、この格子の隣接（Ｌ−１）次元格子超平面の最大間隔をλＬ（ｄ、ｚ）と記す。λＬ（ｄ、ｚ）はスペクトル検定での実際計算によって導出される。この計算の詳細は後に触れる。本発明ではスペクトル検定指数を
【数１５】
2015118680.tif 000071
と置き、次の合格基準を工学技術的に最適の判別を与えるものとして新しく提案する：
【数１６】
2015118680.tif 000072
ＦｉｓｈｍａｎとＭｏｏｒｅはΛＬ（ｄ）＜λＬ（ｄ、ｚ）＜１．２５ΛＬ（ｄ）をスペクトル検定基準とし、それらを２≦Ｌ≦６で用いた。本発明では、Ｌ≧３で範囲ΛＬ（ｄ）＜λＬ（ｄ、ｚ）＜ＭＬ（ｄ）にある（ｄ、ｚ）乱数は合格基準、特許請求の範囲には入れない。これは、十分多くの次元Ｌに対して乱数のＧＬ（ｄ、ｚ）格子が正Ｌ単体を持つ理想の格子に近い形を取るなら、そのλＬ（ｄ、ｚ）がＭＬ（ｄ）を局所最小値とする近傍にあるだろう、或いはどれかの次元ＬでΛＬ（ｄ）＜λＬ（ｄ、ｚ）＜ＭＬ（ｄ）の範囲にλＬ（ｄ、ｚ）が入る事は正Ｌ単体の与える形からは大きく離れて乱数の一様独立性の仮説を強く否定するだろう、という工学技術としての直感に基づく。等式Ｍ２（ｄ）＝Λ２（ｄ）の成立から、Ｍ２（ｄ）は大域的最小値であり、２次元は乖離はなく、直感等に頼る必要はない。Ｌ≧３では正Ｌ単体のＭＬ（ｄ）が局所的最小値で、（ｄ、ｚ）乱数Ｌ連の座席がそこから一様独立乱数として望ましい微小な変形内に留まるなら、λＬ（ｄ、ｚ）がＭＬ（ｄ）から増大するだろう、と以下に示唆する。問題は幾何学的で、（ｄ、ｚ）乱数Ｌ連に伴われる格子のＬ単体に限った事ではないから、次の補題５の形で示す：
（補題５）Ｌ≧２でＬ次元格子が基ベクトルで張る正Ｌ単体を持つ時、体積一定の条件下で正Ｌ単体頂点を微小変形すると、Ｌ単体の頂点の最大高さλＬ’は必ず増大する。
（証明）Ｌ＝２次元では、面積一定のあらゆる３角形の中で、頂点の最大高さが正３角形のとき最小値Ｍ２（ｄ）＝Λ２（ｄ）を取る、即ち任意の（微小とは限らない）３角形の正３角形からの変形は必ず頂点の高さの最大を増加させる、という事実は数の幾何学の教える所であり、また条件付最大最小の問題として微積分の演習問題でもあって、議論の必要はない。ただ幾何学的描像を容易にするようにその場合も含めてＬ≧２として議論する。正Ｌ単体を考える；その頂点はすべて、対面する（Ｌ−１）次元底超平面Πの一定の面積Σから一定の高さＨにある。任意の１つの頂点Ｐを取り、それを微小に動かす。Ｐが高さＨを増大させる方向に動けば、頂点の最大高さは増大（変形されたＬ単体の（Ｌ−１）次元超平面Πは面積Σは減少）して補題５は成り立つ。Ｐが底超平面Πと平行に微小に動くとき、Ｐの高さＨは変わらず、底超平面Πの大きさΣも（体積一定の条件から）変化できない。しかし（２次元正３角形で考えれば容易に納得されるように）Π以外の側超平面にはその超面積をΣ’＜Σに減少させるものが必ず生じ、再び体積一定の条件から、その上に立つ頂点の高さはＨ’＞Ｈに増大する。最後に頂点Ｐがその高さをＨ’＜Ｈとする方向に動けば、体積一定の条件から底超面積はＳ’＞Ｓとなる。しかしこのとき他のすべての側超平面の超面積が増大する事はあり得ず、必ず減少するものが生じ、それに対面する頂点の高さは増大する。（証明終）
疑いもなく、望ましいのは有限の大きさの変形での議論であり、特に局所的最小値ＭＬ（ｄ）から大域的最小値ΛＬ（ｄ）まで変化する間の形の変化であって、Ｌ≧３でスペクトル検定結果が実際的な次数Ｌ≧３に対し範囲ΛＬ（ｄ）＜λＬ（ｄ、ｚ）＜ＭＬ（ｄ）にある格子ＧＬ（ｄ、ｚ）について、それが生成乱数のＬ連の一様独立性に支持を与える状況からは強く離れている、という数学的証明が得られたわけではなく、その状況の実体は現在発明者達には理解できていない。しかし例えば特許文献１−３のような２つの奇素数因子で構成された法ｄを持つ乗算合同法（ｄ、ｚ）に対してスペクトル検定を行って、請求項１の範囲に望ましい合格乗算合同法（ｄ、ｚ）が見出されるなら、現在までの所基準ΛＬ（ｄ）を用いては成功が得られていないのだから、基準ＭＬ（ｄ）を用いる新しい工学技術としては十分な成果であり、上の補題５は有用性の十分な根拠を持つ。発明者達は技術的直観に基づいて、範囲３≦Ｌ≦６でΛＬ（ｄ）＜λＬ（ｄ、ｚ）＜ＭＬ（ｄ）で合格する生成機構（ｄ、ｚ）は、特に特願２０１３−２０６９４７での（ｄ、ｚｊ）の２次検定で十分な大きさの次数ｊまで合格するようなものには、なかろうと予測し、それを除外した請求項１を生産的なスペクトル検定範囲として特許申請する。ΛＬ（ｄ）＜λＬ（ｄ、ｚ）＜ＭＬ（ｄ）で将来仮に合格するものが発見発明されるなら、それは現在の発明者達の請求範囲ではない、新しい発見者のものであると明記する。【００１４】（ｄ、ｚ）乱数生成機構のスペクトル検定評価基準を
【数１７】
2015118680.tif 000073
と定めた上で残るのは、λＬ（ｄ、ｚ）をｄとｚから算出して検定を技術的に実現する事である。これは格子ＧＬ（ｄ、ｚ）に伴われる双対格子の存在を利用して行う；良く知られる技術だが理解が難しく、依然として応用の振興を図る上での大きな障害であるので、最近得られたより理解しやすい数学的説明を述べる。ＧＬ（ｄ、ｚ）の双対格子は次の基ベクトル｛ｆ１、ｆ２、・・・、ｆＬ｝の整数係数１次結合の全体で定義される：
【数１８】
2015118680.tif 000074
これらのベクトルは自明に１次独立であり、内積（ｅｊ、ｆｋ）＝ｄδｊｋで完全に特徴付けられる；実際この内積は｛ｅ１、ｅ２、・・・、ｅＬ）、｛ｆ１、ｆ２、・・・、ｆＬ｝をそれぞれの行とするＬ×Ｌ行列Ｅ、Ｆでの行列積の関係ＥｔＦ＝ｄＩ、ｔＦはＦの転置行列、ＩはＬ×Ｌ単位行列、でありｔＦは一意にｔＦ＝ｄＥ−１と定まるからである。Ｅの行列式がｄなのでｔＦ＝ｄＥ−１は整数行列になり、Ｆの行ベクトルの整数係数１次結合の全体である双対格子のベクトルｆは整数成分だから、その正で最短の長さは１１／２＝１以上である。上では特定の基ベクトルの組｛ｅ１、ｅ２、・・・、ｅＬ｝（或いはそれらを行とするＬ×Ｌ行列Ｅ）から双対格子の基ベクトルの組｛ｆ１、ｆ２、・・・、ｆＬ｝（或いはＬ×Ｌ行列Ｆ）を定義した。もし｛ｅ１、ｅ２、・・・、ｅＬ｝の代りに同じ格子の別の基ベクトルの組｛ｅ１’、ｅ２’、・・・、ｅＬ’｝でＬ×Ｌ行列Ｅ’を作るとすれば、これは行列Ｅからの整数係数行列Ｍによる１次変換Ｅ’＝ＭＥである；この１次変換で直線は直線に、・・・、超平面は超平面に移り、新しい基ベクトルの上に始点と終点以外の格子点が現れる事はなく、Ｌ単体はＬ単体に移って決して変換された側超平面や辺の上には格子点が現れなず、単位胞の体積も変われない、従って変換整数行列Ｍがユニモジデュラー行列と呼ばれる性質ｄｅｔＭ＝±１を持つ事、変換された双対格子の基ベクトルのＬ×Ｌ行列Ｆ’はＦの整数係数変換行列よる変換で、Ｆ’に基づく双対格子はＦに基づくものと同一である事までもわかるが、ここではこれら一般的関係には立ち入らない。双対格子ベクトルの正の最短長さを持つものをｕｍｉｎと記す。次が成り立つ。
（補題６）Ｌ次元格子ＧＬ（ｄ、ｚ）の平行で隣接する２つの（Ｌ−１）次元格子超平面の間の距離の最大間隔、格子を造る基ベクトルの組を任意に取って与えられるすべてのＬ単体の頂点の対面する底超平面からの高さの最大値、をλＬ（ｄ、ｚ）と記すと、それはＧＬ（ｄ、ｚ）の双対格子の正で最短のユークリッド長さを持つベクトルｕｍｉｎから次式で与えらる：
【数１９】
2015118680.tif 000075
ここで‖ｕｍｉｎ‖はベクトルｕｍｉｎのユークリッド長さである。
（証明）この証明は既知で、例えばＮａｋａｚａｗａとＮａｋａｚａｗａ（２０１２）にも説明がある。より簡潔明解な数学的理解は何も発明の本質を変えないが、応用者、工業生産者には重要だから以下、最近発明者達が得た説明を記す。任意の１格子点Ｑ０を起点に取り、基ベクトルの組のＬ単体がベクトル
【数２０】
2015118680.tif 000076
で張られるとしよう。点Ｑ０に対面する底超平面Π０はＬ個のベクトル
【数２１】
2015118680.tif 000077
で張られる。ベクトルｅ１’＝−ｅ１＝Ｑ１→Ｑ０も定義すると、｛ｅ１’、ｅ２’、・・・、ｅＬ’｝はすべて基ベクトルの組｛ｅ１、ｅ２、・・・、ｅＬ｝の整数係数１次結合だから格子ＧＬ（ｄ、ｚ）のベクトルである。この変換関係を逆転する事も直ちにできて、
【数２２】
2015118680.tif 000078
となる。即ち格子ＧＬ（ｄ、ｚ）のすべてのベクトルは｛ｅ１’、ｅ２’、・・・、ｅＬ’｝の整数係数の１次結合である。だから｛ｅ１’、ｅ２’、・・・、ｅＬ’｝も格子の基ベクトルの組である（これは元の基ベクトルからのユニモデュラー変換の例である）。基ベクトル組｛ｅ１’、ｅ２’、・・・、ｅＬ’｝が与える双対格子ベクトルを｛ｆ１’、ｆ２’、・・・、ｆＬ’｝とすると、これらは内積関係
【数２３】
2015118680.tif 000079
を満たし、双対（基）ベクトルｆ１’はｅ１’以外のすべての（基）ベクトルｅ２’、・・・、ｅＬ’と正規直交する。それはｆ１’が頂点Ｑ０に対面する超底面Π０と直交する事、従って頂点Ｑ０の超底面Π０への高さλ’は
【数２４】
2015118680.tif 000080
で与えられる事を示す；ここで‖ｆ１’‖は逆格子の基ベクトルｆ１’のユークリッド長さである。任意の逆格子ベクトルで零ベクトルではないものは、双対格子の基ベクトルになり得るもの、双対格子の格子線上で隣接する２格子点を結ぶもの、の整数倍だから、起点Ｑ０の取り方、格子基ベクトルの取り方すべてに関するλ’の最大値λは次の関係
【数２５】
2015118680.tif 000081
で定めてよい。（証明終）
【非特許文献２】Ｎａｋａｚａｗａ  ａｎｄ  Ｎａｋａｚａｗａ（２０１２）：Ｎ．Ｎａｋａｚａｗａ  ａｎｄ  Ｈ．Ｎａｋａｚａｗａ，Ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅ  ｃｏｎｇｒｕｅｎｔｉａｌ  ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ  ｗｉｔｈ  ｍｏｄｕｌｕｓｅｓ  ｆｏｒｍｅｄ  ｂｙ  ｔｗｏ  ｏｄｄ−ｐｒｉｍｅ  ｆａｃｔｏｒｓ  ｆｏｒ  ｕｎｉｆｏｒｍ  ａｎｄ  ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ  ｒａｎｄｏｍ  ｎｕｍｂｅｒｓ  ＩＩ．Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ  ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ  ｗｉｔｈ  ｓｐｅｃｔｒａｌ  ｔｅｓｔｓ，ｕｐｌｏａｄｅｄ  ｉｎ  Ｏｃｔｏｂｅｒ  １３，２０１２，ｉｎ  ｔｈｅ  ＵＲＬ  ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ１０．ｐｌａｌａ．ｏｒ．ｊｐ／ｈ−ｎｋｚｗ／．
【００１５】補題６によって、λＬ（ｄ、ｚ）を求めるスペクトル検定の作業は双対格子の最短ベクトルｆの探索問題に変換される。但し探索を双対格子ベクトル、双対格子の基ベクトルの整数係数１次結合の全体、で行う事は例えば‖ｆ‖２を求める操作を要するので得策ではない。直交座標成分で表されたベクトルｕ、そのデカルト座標（ｕ１、ｕ２、・・・、ｕＬ）、を用いて行う方がよい。ベクトルｕが双対格子ベクトルである、双対基ベクトルの整数係数１次結合である、ための必要十分条件は簡明である：
（補題７）ベクトルｕ＝（ｕ１、ｕ２、・・・、ｕＬ）が双対格子ベクトルである必要十分条件は次の成立である：
【数２１】
2015118680.tif 000082
（証明）ｕが逆格子ベクトルなら整数の組ｃ１、ｃ２、・・・、ｃＬによって
【数２２】
2015118680.tif 000083
と表わされるデカルト座標成分を持つ。これから条件式左辺がｄｃ１である事、従って条件式は成り立ち、必要条件である事がわかる。逆に条件式が成り立てばｕ１＋ｚｕ２＋ｚ２ｕ３＋・・・＋ｚＬ−１ｕＬ＝ｃｄがある整数ｃで成り立つ。これは
【数２３】
2015118680.tif 000084
を証明し、ｕは双対格子ベクトルであって、条件式は十分条件でもある。（証明終）【００１６】次の注意は重要である。補題６に基づく最短ベクトル探索には、依然としてＦｉｓｈｍａｎとＭｏｏｒｅによって用いられた数の幾何学の結論、λＬ（ｄ、ｚ）の大域的最小値の存在、
【数２４】
2015118680.tif 000085
が重要な役割を担う。実際それは次を与える：
（補題８）Ｌ次元双対格子の最短ベクトルｕｍｉｎは、ユークリッド座標を持つベクトルｕ＝（ｕ１、ｕ２、・・・、ｕＬ）を用いて、次の２条件を満たすものの最短を探索して得られる：
【数２４】
2015118680.tif 000086
2015118680.tif 000087
（証明）λＬ（ｄ、ｚ）の大域的最小値ΛＬ（ｄ）の存在から‖ｕｍｉｎ‖＜ｄ／ΛＬ（ｄ）が保障されるから、補題６を満たすものをこの範囲で探せばよい。■
【発明の効果】
【００１７】新しい検定基準｛ＭＬ（ｄ）＝Ｌ−１／２（Ｌ＋１）（Ｌ−１）／（２Ｌ）ｄ（Ｌ−１）／Ｌ｜Ｌ≧３｝は、その正Ｌ単体の頂点の対面する格子のＬ−１次超平面への高さとしての意味から、Ｌ次スペクトル検定の基準値としては他のどれよりも優先して用いられるべきものであろう。発明者達は実際は上限ＲＬ＞１を例えば旧来通りＲＬ＝１．２５と定めて、（ｄ、ｚ）乱数機構の評価値ρＬ（ｄ、ｚ）：＝λＬ（ｄ、ｚ）／ＭＬ（ｄ）がＬ≧３で合格条件１＜ρＬ（ｄ、ｚ）＜ＲＬを満たす乗数ｚを採用するべきと考える。勿論これだけでは十分ではない。特願２０１３−１４２２２５及び２０１３−２０６９４７に提示された様に、スペクトル検定は（ｄ、ｚｋ）のｋ＝２、３、４、・・・について、最も強力な２次検定でまず合格者を選別し、さらにそれらにここに記述された３次以上の検定を課して選別するのが順当、計算的に最も経済的である。３次以上の検定に発見提案された基準値｛ＭＬ（ｄ）｜Ｌ≧３｝は旧来の基準値｛ΛＬ（ｄ）｜Ｌ≧３｝よりは大きい。故にＦｉｓｈｍａｎとＭｏｏｒｅ型の検定で合格とされていたものは、上述の（ｄ、ｚｋ）のｋ＝２、３、４、・・・の２次検定不合格及びρＬ（ｄ、ｚ）≦１の場合（がもしあるとすればその場合）を除いて不合格とされる事はない。今まで不合格とされていたものに新しい基準では合格するものはあり得る。周期の性質から選択される法ｄとその乗数ｚの新しい形の上に、特願２０１３−１４２２２５及び特願２０１３−２０６９４７に述べられた（ｄ、ｚｋ）のｋ＝２、３、４、・・・の２次検定、そしてここで提示された発明に基づく新しいＬ≧３での新基準での検定を併せて、優れた一様独立性を示す乱数生成機構を選択すべきである。但し、その検定作業では双対格子の最短ベクトルの捜索範囲を今まで通り大域的な最小値｛ΛＬ（ｄ）｜Ｌ≧３｝を用いて定めて行わなければならない。ρＬ（ｄ、ｚ）≦１の場合の重要な情報を見逃さないために、これは新技術としての本質的な留意点である。
【図面の簡単な説明】
【００１８】
【図１】（ｄ、ｚ）生成の乱数２連の点が示す幾何学的分布、評価値ρ＝ρ２（ｄ、ｚ）が約１．０５から２．８以下の場合。
【手続補正３】
【補正対象書類名】図面
【補正対象項目名】全図
【補正方法】変更
【補正の内容】
【図１】
2015118680.tif 000088
【手続補正書】
【提出日】平成27年1月16日(2015.1.16)
【手続補正１】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０００２
【補正方法】変更
【補正の内容】
【０００２】乗算合同法は自然数の法ｄ、前記ｄとは素な、即ちｄとは共通素因数を持たない、自然数の乗数ｚ≧２、そして前記法ｄとは素な自然数の初期値１≦ｎ１＜ｄに基づいて、自然数の列｛ｎ１、ｎ２、・・・｝をｎｋのｚ倍をｄで割った余りとして次の整数ｎｋ＋１を定義し、実数列｛ｖｋ＝ｎｋ／ｄ｜ｋ＝１、２、・・・｝を順次一様独立乱数列の出力とする。乗算合同法はｄ、ｚ及びｎ１で定まる。初期値ｎ１は乱数列の出発点の選択だけを担い、生成される乱数列の良否には関係しないので以下適宜言及を省略する。相続いて生成される乱数の独立性の確保は大きな問題である。その中で乗算合同法のＬ次スペクトル検定は生成された乱数の相続くＬ連、Ｌ＝２、３、４、・・・の、特に独立性の評価を与える方法として大切な役割を持つ。発明者達はＬ≧３のスペクトル検定で、現在まで用いられたものとは異なる幾何学的定義に基づく検定基準を見出し、これを選ぶべきであると結論した。以下新基準を導出し、これに基づく３次以上のスペクトル検定を、優れた乗算合同法乱数機構を発見製造する新しい技術発明として提出する。
【手続補正２】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００１４
【補正方法】変更
【補正の内容】
【００１４】（ｄ、ｚ）乱数生成機構のスペクトル検定評価基準を
【数１７】
2015118680.tif 000089
と定めた上で残るのは、λＬ（ｄ、ｚ）をｄとｚから算出して検定を技術的に実現する事である。これは格子ＧＬ（ｄ、ｚ）に伴われる双対格子の存在を利用して行う；良く知られる技術だが理解が難しく、依然として応用の振興を図る上での大きな障害であるので、最近得られたより理解しやすい数学的説明を述べる。ＧＬ（ｄ、ｚ）の双対格子は次の基ベクトル｛ｆ１、ｆ２、・・・、ｆＬ｝の整数係数１次結合の全体で定義される：
【数１８】
2015118680.tif 000090
これらのベクトルは自明に１次独立であり、内積（ｅｊ、ｆｋ）＝ｄδｊｋで完全に特徴付けられる；実際この内積は｛ｅ１、ｅ２、・・・、ｅＬ｝、｛ｆ１、ｆ２、・・・、ｆＬ｝をそれぞれの行とするＬ×Ｌ行列Ｅ、Ｆでの行列積の関係ＥｔＦ＝ｄＩ、ｔＦはＦの転置行列、ＩはＬ×Ｌ単位行列、でありｔＦは一意にｔＦ＝ｄＥ−１と定まるからである。
Ｅの行列式がｄなのでｔＦ＝ｄＥ−１は整数行列になり、Ｆの行ベクトルの整数係数１次結合の全体である双対格子のベクトルｆは整数成分だから、その正で最短の長さは１１／２＝１以上である。上では特定の基ベクトルの組｛ｅ１、ｅ２、・・・、ｅＬ｝（或いはそれらを行とするＬ×Ｌ行列Ｅ）から双対格子の基ベクトルの組｛ｆ１、ｆ２、・・・、ｆＬ｝（或いはＬ×Ｌ行列Ｆ）を定義した。もし｛ｅ１、ｅ２、・・・、ｅＬ｝の代りに同じ格子の別の基ベクトルの組｛ｅ１’、ｅ２’、・・・、ｅＬ’｝でＬ×Ｌ行列Ｅ’を作るとすれば、これは行列Ｅからの整数係数行列Ｍによる１次変換Ｅ’＝ＭＥである；この１次変換で直線は直線に、・・・、超平面は超平面に移り、新しい基ベクトルの上に始点と終点以外の格子点が現れる事はなく、Ｌ単体はＬ単体に移って決して変換された側超平面や辺の上には格子点が現れず、単位胞の体積も変われない、従って変換整数行列Ｍがユニモジュラー行列と呼ばれる性質ｄｅｔＭ＝±１を持つ事、変換された双対格子の基ベクトルのＬ×Ｌ行列Ｆ’はＦの整数係数変換行列よる変換で、Ｆ’に基づく双対格子はＦに基づくものと同一である事までもわかるが、ここではこれら一般的関係には立ち入らない。双対格子ベクトルの正の最短長さを持つものをｕｍｉｎと記す。次が成り立つ。
（補題６）Ｌ次元格子ＧＬ（ｄ、ｚ）の平行で隣接する２つの（Ｌ−１）次元格子超平面の間の距離の最大間隔、格子を造る基ベクトルの組を任意に取って与えられるすべてのＬ単体の頂点の対面する底超平面からの高さの最大値、をλＬ（ｄ、ｚ）と記すと、それはＧＬ（ｄ、ｚ）の双対格子の正で最短のユークリッド長さを持つベクトルｕｍｉｎから次式で与えらる：
【数１９】
2015118680.tif 000091
ここで‖ｕｍｉｎ‖はベクトルｕｍｉｎのユークリッド長さである。
（証明）この証明は既知で、例えばＮａｋａｚａｗａとＮａｋａｚａｗａ（２０１２）にも説明がある。より簡潔明解な数学的理解は何も発明の本質を変えないが、応用者、工業生産者には重要だから以下、最近発明者達が得た説明を記す。任意の１格子点Ｑ０を起点に取り、基ベクトルの組のＬ単体がベクトル
【数２０】
2015118680.tif 000092
で張られるとしよう。点Ｑ０に対面する底超平面Π０はＬ個のベクトル
【数２１】
2015118680.tif 000093
で張られる。ベクトルｅ１’＝−ｅ１＝Ｑ１→Ｑ０も定義すると、｛ｅ１’、ｅ２’、・・・、ｅＬ’｝はすべて基ベクトルの組｛ｅ１、ｅ２、・・・、ｅＬ｝の整数係数１次結合だから格子ＧＬ（ｄ、ｚ）のベクトルである。
この変換関係を逆転する事も直ちにできて、
【数２２】
2015118680.tif 000094
となる。即ち格子ＧＬ（ｄ、ｚ）のすべてのベクトルは｛ｅ１’、ｅ２’、・・・、ｅＬ’｝の整数係数の１次結合である。だから｛ｅ１’、ｅ２’、・・・、ｅＬ’｝も格子の基ベクトルの組である（これは元の基ベクトルからのユニモジュラー変換の例である）。基ベクトル組｛ｅ１’、ｅ２’、・・・、ｅＬ’｝が与える双対格子ベクトルを｛ｆ１’、ｆ２’、・・・、ｆＬ’｝とすると、これらは内積関係
【数２３】
2015118680.tif 000095
を満たし、双対（基）ベクトルｆ１’はｅ１’以外のすべての（基）ベクトルｅ２’、・・・、ｅＬ’と直交する。それはｆ１’が頂点Ｑ０に対面する超底面Π０と直交する事、従って頂点Ｑ０の超底面Π０への高さλ’は
【数２４】
2015118680.tif 000096
で与えられる事を示す；ここで‖ｆ１’‖は逆格子の基ベクトルｆ１’のユークリッド長さである。任意の逆格子ベクトルで零ベクトルではないものは、双対格子の基ベクトルになり得るもの、双対格子の格子線上で隣接する２格子点を結ぶもの、の整数倍だから、起点Ｑ０の取り方、格子基ベクトルの取り方すべてに関するλ’の最大値λは次の関係
【数２５】
2015118680.tif 000097
で定めてよい。（証明終）
【非特許文献２】Ｎａｋａｚａｗａ  ａｎｄ  Ｎａｋａｚａｗａ（２０１２）：Ｎ．Ｎａｋａｚａｗａ  ａｎｄ  Ｈ．Ｎａｋａｚａｗａ，Ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅ  ｃｏｎｇｒｕｅｎｔｉａｌ  ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ  ｗｉｔｈ  ｍｏｄｕｌｕｓｅｓ  ｆｏｒｍｅｄ  ｂｙ  ｔｗｏ  ｏｄｄ−ｐｒｉｍｅ  ｆａｃｔｏｒｓ  ｆｏｒ  ｕｎｉｆｏｒｍ  ａｎｄ  ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ  ｒａｎｄｏｍ  ｎｕｍｂｅｒｓ  ＩＩ．Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ  ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ  ｗｉｔｈ  ｓｐｅｃｔｒａｌ  ｔｅｓｔｓ，ｕｐｌｏａｄｅｄ  ｉｎ  Ｏｃｔｏｂｅｒ  １３，２０１２，ｉｎ  ｔｈｅ  ＵＲＬ  ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ１０．ｐｌａｌａ．ｏｒ．ｊｐ／ｈ−ｎｋｚｗ／．
【手続補正書】
【提出日】平成27年1月25日(2015.1.25)
【手続補正１】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００１２
【補正方法】変更
【補正の内容】
【００１２】３≦Ｌ≦６の次元ＬでのＭＬ（ｄ）の具体数値形は次で与えられる：
【数９】
2015118680.tif 000098
これらが単位胞体積がＶ＝ｄＬ−１の場合の正Ｌ単体の頂点の高さであり、上の議論によって正Ｌ単体を作る基ベクトルを持つ理想的なＬ次元格子での隣接平行（Ｌ−１）次元超格子面の最大間隔である。ＦｉｓｈｍａｎとＭｏｏｒｅ（１９８６）は、この最大間隔として数の幾何学が与えるあらゆる可能な格子（正Ｌ単体を持つ格子とは限定しない）が取り得る最小値（各格子での最大間隔の、すべての格子形に関する大域的な最小値と呼ぼう）の結論を引用し、奇素数の法ｄ＝ｐ＝２３１−１のすべての原始根乗数ｚのｅｘｈａｕｓｔｉｖｅなスペクトル検定の画期的な研究で次の基準値｛ΛＬ（ｄ）｜２≦Ｌ≦６｝を用いた：
【数１０】
2015118680.tif 000099
上で導かれた正Ｌ単体を持つ格子の（Ｌ−１）次元隣接超格子平面間の距離の最大値｛ＭＬ（ｄ）｜２≦Ｌ≦６｝に比べて、Ｌ≧３でのこれらはより小さい。乱数の相続くＬ連が点として占める座席としては、一様独立性の仮定に対して正Ｌ単体で構成される格子が最も否定が弱い。数の幾何学が与える（特に次元Ｌ≧４での大域的）最小値を隣接超格子平面間隔の最大値とする格子がどのような形のものか、は大変興味深いが、上の乖離はそれらが正Ｌ単体を構成する基ベクトルに近いものをＬ≧３では持たない事を証明する。スペクトル検定としては｛ＭＬ（ｄ）｜３≦Ｌ≦６｝が３次以上のスペクトル検定で採用すべきものである。
【非特許文献１】Ｇ．Ｓ．Ｆｉｓｈｍａｎ  ａｎｄ  Ｌ．Ｒ．Ｍｏｏｒｅ（１９８６）：Ａｎ  ｅｘｈａｕｓｔｉｖｅ  ａｎａｌｙｓｉｓ  ｏｆ  ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅ  ｃｏｎｇｒｕｅｎｔｉａｌ  ｒａｎｄｏｍ  ｎｕｍｂｅｒ  ｇｅｎｅｒａｔｏｒ  ｗｉｔｈ  ｍｏｄｕｌｕｓ  ２▲３１▼−１，ＳＩＡＭ  Ｊｏｕｒｎａｌ  ｏｎ  Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ  ａｎｄ  Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ  Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ  Ｖｏｌ．７（１９８６），ＰＰ．２４−４５．なお、Ｌ＝３次元で乱数の３連として持つべき理想的な座席配置が（０、１、１）、（１、０、１）、（１、１、０）に比例する基ベクトルを持つ面心立方格子である、という言明が中澤（２００２）で与えられたが、理想値はｄ＝１の場合で言ってΛ▲３▼（１）＝２▲−１／６▼である、とされた。この言明はＦｉｓｈｍａｎとＭｏｏｒｅ（１９８６）のΛ▲３▼（ｄ）に基づく３次検定に関して述べられた誤解であった。発明者の１人（中澤  宏）は深い遺憾と共に、中澤（２００２）の誤りを表明周知する。Ｍ▲３▼（ｄ）より小さいΛ▲３▼（ｄ）＝２▲−１／６▼ｄ▲２／３▼を持つ３次元格子は面心立方格子ではなく、それを用いる３次スペクトル検定は正しくない；正しいのはここで導出されたＭ▲３▼（ｄ）＝３▲−１／２▼２▲２／３▼ｄ▲２／３▼を理想値としその正４面体を基ベクトルとする面心立方格子に基づくものである。正Ｌ単体に基づく基準値Ｍ▲Ｌ▼（ｄ）をＬ≧３で採用する現発明の技術、方法は新規の正しい理解であって、中澤（２００２）に先行技術を持つものではない。
【非特許文献２】中澤（２００２）／中澤  宏：一様乱数の数理（２００２年１２月）。ＵＲＬ  ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ１０．ｐｌａｌａ．ｏｒ．ｊｐ／ｈ−ｎｋｚｗ／ｐａｓｔｒｅｐｏｒｔｓ．ｈｔｍｌ  参照。〔添付資料〕
文献、中澤（２００２）、の６２及び６３ページ。