(57)【要約】      （修正有）【課題】弦（一次元）の十二平均律音階では、風による木の葉のざわめき、川のせせらぎ、虫の声など、地鳴りなど、面状（二次元）や塊状（三次元）の物体が振動して発する様々な自然界の音を表現することは無理があるため、二次元や三次元の物体の振動が発する音に基づいた音階の作成方法を提供する。【解決手段】物体を振動させて生ずる複数の振動モードのうち、その任意の固有振動数からなる音列を作成し、その音列の不協和度曲線の極小値を昇順に配列し、その配列に任意の基音を乗じて音階を作成する。【選択図】図２
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
物体を振動させて生ずる複数の振動モードのうち、その任意の固有振動数からなる音列を作成し、その音列の不協和度曲線の極小値を昇順に配列し、その配列に任意の基音を乗じて音階を作成する音階作成方法。
【請求項２】
物体を振動させて生ずる複数の振動モードのうち、その複数の振動モードの固有振動数群からなる音列を作成する第一ステップと、
前記音列の不協和度曲線を計算する第二ステップと、
前記不協和度曲線その極小値の全てを抽出する第三ステップと、
前記抽出された極小値を昇順に配置して極小値列を作成し、その極小値列に予め定められた根音を乗じて音階を作成する第四ステップと、
からなる音階作成方法。
【請求項３】
前記第一ステップにおける前記音列は、実際の物体を振動させて得られる複数の共振周波数の組み合わせからなる、
請求項１に記載の音階作成方法。
【請求項４】
前記第一ステップにおける前記音列は、前記物体を振動させて得られる振動モードが理論計算によって求められたものであり、その複数の振動モードの固有振動数の組み合わせからなる、
請求項１に記載の音階作成方法。
【請求項５】
前記第三ステップにおける極小値は、単調減少から単調増加に変る極値とする、
請求項１に記載の音階作成方法。
【請求項６】
前記第四ステップにおいて、前記極小値を昇順に配置した後、極小値間の周波数比率が１．５％未満であれば、どちらか一方を排除して極小値列を作成する、
請求項１に記載の音階作成方法。
【請求項７】
請求項１ないし６のいずれかに記載の音階作成方法をコンピュータに実行させるための音階作成プログラム。
【請求項８】
請求項７に記載の音階作成プログラムを記録したコンピュータ読取可能な記録媒体。
【請求項９】
請求項１ないし６のいずれかに記載の音階作成方法に基づいて作られた音階を演奏できる楽器。
【請求項１０】
請求項１ないし６のいずれかに記載の音階作成方法に基づいて作られた音階を演奏できる楽器において、
前記音階のうち、演奏範囲にある複数の音程の周波数を基音として発することのできる円盤群を組み合わせた楽器。
【請求項１１】
請求項１０に記載の楽器において、
円盤を叩く打撃手段を備えており、前記打撃手段と人が操作する鍵盤手段とが接続されており、
人が鍵盤を操作することにより、前記打撃手段が前記円盤を叩いて所望の音を発する楽器。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、音階作成方法であり、さらに詳しくは平面や立体の振動に基づく音階作成方法に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
今日、最もよく使われている音階は、１７世紀に西欧で完成した十二平均律音階である。この音階は、弦の共鳴によって生じる自然数倍音を基礎として作られた音階が発展したものである。この十二平均律音階は移調や転調が容易にできるので、当時の作曲家に喜ばれた。その後、十二平均律音階を手軽に演奏できる楽器としてピアノが発明された。ピアノを使えば、十二平均律音階を使った作曲が容易にできるので、ピアノのための楽曲が多く作られ、ピアノは急速に普及していった。同時に、ピアノにより作曲された西欧クラシック音楽は世界中に広まった。現在の楽曲の作成では、十二平均律音階が、事実上の基準規格となっている。
【０００３】
さて、楽器が発する音は自然数倍音だけではなく非整数倍音も含んでいる。そのため、非整数倍音による微妙な効果が、楽曲に深みを与えることが経験上知られている。そのため、自然な楽器の響きを電子的に再現する技術が知られている（例えば、特許文献１を参照）。また、新しい試みとして、屋外において太陽光のスペクトル強度やスペクトル波長の変化に連動した音を演出するために、光のスペクトル変化を十二平均律音階に変換して、自然のゆらぎを楽音として再現する試みもなされている（例えば、特許文献２を参照）。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００４】
【特許文献１】特開平７−９２９７８号公報
【特許文献２】特開２００６−１３３７５８号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
自然界には、風による木の葉のざわめき、川のせせらぎ、虫の声、地鳴り、潮騒など、面状や塊状の物体が振動して発する様々な音がある。ところが、このような自然界の音やゆらぎは、弦の振動ではなく、平面状（二次元）や塊状（三次元）の物体が振動して発するものである。そのため、弦（一次元）の振動で作られた十二平均律音階では、このような自然界の音を表現することは無理がある。そこで、二次元や三次元の物体の振動が発する音に基づいた音階が必要になるが、そのような音階を作成する方法は知られていない。
【０００６】
本発明の解決しようとする問題点は、面状（二次元）あるいは塊状（三次元）の振動が発する音を用いた音階の作成方法である。また、その音階を用いた楽器の作製である。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
本発明は、平面や立体の物体を振動させて生ずる振動モードに着目し、その固有振動数による音列に基づいた音階を作成することを特徴とする。
【発明の効果】
【０００８】
自然界の音は、様々な形状を持つ平面や立体の物体の振動から成り立っている。本発明による音階は、平面や立体の物体の固有振動数からなる音列に基づいた音階なので、これにより作られた曲は、自然界の音を表現できるという効果がある。
【図面の簡単な説明】
【０００９】
【図１】円盤の振動モードを示すイメージ図。
【図２】本発明の非整数倍音音階を作成するフローチャート。
【図３】実施例１の非整数倍音音階の不協和度曲線を示す図。
【図４】図３における不協和度曲線の部分拡大図。
【図５】十二平均律音階の協和立体図。
【図６】実施例１の非整数倍音音階の協和立体図。
【図７】実施例２における真鍮円盤の振動スペクトルを示す図。
【図８】真鍮円盤の振動モードのイメージ図。
【図９】実施例２の非整数倍音音階の不協和度曲線を示す図。
【図１０】図９における不協和度曲線の部分拡大図。
【図１１】実施例２の非整数倍音音階の協和立体図。
【図１２】実施例３におけるリンゴの強制振動のスペクトル図。
【図１３】球の振動モードのイメージ図。
【図１４】実施例３の非整数倍音音階の不協和度曲線を示す図。
【図１５】図１４における不協和度曲線の部分拡大図。
【図１６】実施例３の非整数倍音音階の協和立体図。
【図１７】実施例４の非整数倍音楽器に用いる円盤の図。
【図１８】円盤ユニットの組み立て図およびその要部を示す図。
【図１９】円盤ユニットを組み合わせた非整数倍音楽器を示す図。
【図２０】複数の円盤を持つ非整数倍音楽器を示す図。
【図２１】打鍵機構を有する非整数倍音楽器の動作原理を示す図。
【図２２】本発明の非整数倍音楽器が奏でる音のスペクトルを示す図。
【図２３】従来の楽器が奏でる音のスペクトルを示す図。
【図２４】自然界の音のスペクトルを示す図。
【発明を実施するための形態】
【００１０】
交響曲からロックミュージックに至るまで、世界中で作られる楽曲のほとんど全ては、西洋で発展した十二平均律音階が用いられている。この音階の成立過程は、多くの書物に記載されているので、本明細書では簡単に説明する。
【００１１】
表１に、国際基準として決められている十二平均律音階の各音名における周波数を示す。縦軸は音名であり、イタリア式とドイツ式を併記している。本明細書では、イタリア式音名を用いる。横軸はオクターブである。オクターブ表記は国際基準に従いＣ０からＣ８とした。
【表１】
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【００１２】
十二平均律音階は、弦の振動から作られた。両端を固定した弦を振動させたときに発する周波数を基音とすると、弦の中央をさらに固定して弦を振動させたときに発する周波数は基音の二倍音である。さらに振動する弦の中央を固定すると、四倍音が得られる。このようにして、次々に振動する弦の中央部を固定すると、基音の二乗音が得られる。弦の振動から得られる倍音は、お互いに整数比の関係にあるため（整数倍音）、オクターブの概念が生まれた。
【００１３】
表１で説明すると、オクターブＣ０のドの周波数は１６．３５Ｈｚであり、一オクターブ上のオクターブＣ１のドの周波数は３２．７０Ｈｚである。つまり、オクターブＣ０のドの周波数の２倍である。同様に、オクターブＣ２のドの周波数は、オクターブＣ０のドの周波数の４倍となる。この関係（２ｎ）が、オクターブＣ８のドまで続く。すなわち、十二平均律音階は、オクターブを区切りとして順次積み重ねることで構成されている。音名同士の比例関係をオクターブに拘わらず常に一定にするために、一オクターブを均等に十二分割している。
【００１４】
表２に、オクターブＣ４のドからオクターブＣ５のシまでの音の音程と隣接周波数比とを計算したものを示す。ここで、本明細書では音程を、任意の音名（音階）を基音で除したものを百分率であらわした値とする。表２の例で説明する。基音（１．００）はオクターブＣ４のド（音名）としており、表１の周波数表からオクターブＣ４のド＃（音名）の音程は１．０６と求まる。同様に、オクターブＣ５のド（音名）の音程は、２．００である。また、隣接周波数比とは、隣接する音程において、その音程の差分を下位の音程で除したものを百分率であらわした値である。
【表２】
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【００１５】
表２で見ると、音名のオクターブＣ４のド（音名）は、１つ上の音程であるド＃（音名）と隣接周波数比が５．９５％である。同様に、隣り合わせた全ての音名（音階）の隣接周波数比は５．９５％で均等に配置されている。これは、先に説明した通り、「音名同士の比例関係をオクターブに拘わらず常に一定にするため」に、とても都合が良い。そのため、十二平均律音階は移調や転調が容易にできるようになった。
【００１６】
さて、弦の振動は一次元振動なので、簡単な操作で基音、２倍音、３倍音、４倍音、・・・と整数倍音の周波数の音を作ることができる。この現象は、古来より、よく知られていた。ピタゴラス音階に始まり十二平均律音階に至る西洋音階は、この弦の振動からなる倍音を基礎として作られている。すなわち、十二平均律音階は、整数倍音に限定された音階である。
【００１７】
しかし、自然界の音は、弦の振動のような一次元の振動だけではない。草の葉や木の葉同士がこすれ合って振動する音（二次元の振動）、潮騒や川のせせらぎのように水が砂あるいは石や岩に当たることによりこれらの物体が振動して発する音（三次元の振動）が、自然界には多く存在している。すなわち、自然界の音は、一次元から三次元までの物体の振動から生じる音が交じり合っている。
【００１８】
一般に、物体が振動する際には、その物体の形に応じた振動の形を取る。この振動の形は固有振動モードと呼ばれ、物体を自由振動させると、多くの固有振動モードが生じる。その結果、その物体に特有の音（固有振動数）が固有振動モードの数だけ現れる。振動には、かならず腹と節が現れる。腹には山と谷があり、この山の高さと谷の深さは時間とともに変化し、お互いに反対の方向に動く。この山の高さや谷の深さは振動振幅と呼ばれ、振動振幅が大きいほど、発する音は大きくなる。また、山と谷との間に振動しない部分が生じ、これを節という。この節の数によって、多くの振動モードから、特定の振動モードを区別することができる。
【００１９】
さて、先述したように、物体が振動すると、多くの固有振動モードが生じるので、多くの固有振動数が現れる（これを本明細書では、固有振動数群と呼ぶ。）。弦の振動（一次元の振動）では、固有振動数群は、基音、２倍音（１オクターブ上のド）、３倍音（１オクターブ上のドの更に上のソ）、４倍音（２オクターブ上のド）、・・・と整数倍音になる。これは、弦の振動の自由度が１なので、その振動モードは整数比の関係を取るからである。しかし、二次元以上の振動では、自由度が２以上になるので、その振動モードは弦の振動に比べて複雑になる。
【００２０】
図１に、二次元の振動として円盤の振動モードのイメージ図を示す。自由度が２になるので、円盤の振動は２つの種類の複数の振動モードからなる。振動モードは、振動で生じる節の種類をもとにしてλｎｍモードと記述される。添え字ｎは円盤の中心を通る直線で分けられる節を示し、添え字ｍは中心を同一とする同心円で分けられる節を示す。理論上、円盤の振動モードでは、ｎおよびｍの数は無限に存在するが、便宜上、図１はその一部を示している。
【００２１】
図１において、横方向は同心円状の節が出る振動モードを示し、縦方向は円盤の中心を通る直線の節を示す。図１で示すとおり、ｎおよびmの数は節の数を示し、その値が増加するほど節の数が増える。これらの全ての振動モードの固有振動数が、円盤を振動させた時に生じる音を構成する。
【００２２】
現実の円盤の振動は、円盤の拘束条件に応じて、異なる振動モード群が生じる。また、全ての振動モードが一様に出現するのではなく、円盤の拘束条件により、出現しやすい振動モードと出現し難い振動モードとに分かれる。その詳細は実施例２で説明する。
【００２３】
さて、円盤の拘束条件として、その周辺を固定したときのλ０１モードからλ３５モードまでの固有振動数の周波数比の理論計算結果を表３に示す。
【表３】
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【００２４】
表３では、基準をλ０１モードとし、λ０１モードの固有振動数を１とした時の、各振動モードの周波数比を示している。表３より、λ０１モード、λ０２モード、λ０３モード、・・の固有振動数の周波数比は、１．００、  ３．８９、  ８．７２、・・・と非整数で増加している。また、λ０１モード、λ１１モード、λ２１モード、・・の固有振動数の周波数比も、１．００、  ２．０８、  ３．４１・・・と非整数で増加している。表３を見ると明らかなように、どの振動モードを組み合わせても、それぞれの振動モードにおける固有振動の周波数比は、弦の振動とは異なり非整数となる。
【００２５】
すなわち、円盤を振動させると、非整数倍音が生じる。そこで円盤の発生する音を基にした音階をつくるためには、円盤の発生する倍音列は、弦の振動（一次元の振動）のような整数倍音ではないので、オクターブ毎に音程を等分（１２等分）し、これを積み重ねて音階とするという従来の音階作成方法を適用できない。そのため、非整数倍音から構成される音階を作成するには、新しい音程の区分方法を考案しなければならない。
【００２６】
そこで、本発明者らは、音の不協和度に着目した。不協和度とは、異なる２音の協和性に関する心理学実験から生まれたもので、２音の協和度のグラフ（不協和度曲線）を描くことで、音の協和性を定量的に判断出来る（R. Plomp and W. J. M. Levelt, Tonal Consonance and Critical Bandwidth, J. Acoustic. Soc. Am. 38. 1965. p548-560 ）。この不協和度曲線を利用することにより、十二平均律音階での和音の協和性の研究等が広く行われている。本発明者らは、この不協和度の考え方を整数倍音から非整数倍音に拡張することで、非整数倍音から構成された音階を作成できることを見出した。
【００２７】
この考え方は、二次元の振動に留まらず、三次元の物体の振動で発する音についても拡張できる。このようにして作成された新しい音階を、便宜上、本明細書では非整数倍音音階と称する。また、その音階を奏でる楽器を考案した。以下、各実施例において、その詳細を図面とともに説明する。
【実施例】
【００２８】
（実施例１）
本実施例では、平面振動の例として円盤の振動を取り上げ、理論的に計算した振動モードの固有振動数から音階を作る方法を説明する。説明の便宜上、実施例１では、円盤の振動から音階を作る方法を述べるが、これに限るものではない。すなわち、本発明では音階を作成する物体の固有振動数が分かればよいので、様々な形の平板や立体などの全ての物体に適用することが出来る。
【００２９】
本発明の非整数倍音音階を作る方法の詳細を説明する。図２に非整数倍音音階作成のフローチャートを示す。
【００３０】
（第１ステップ）
第１ステップでは、音階を作るための非整数倍音列｛ａｎ｝を準備する工程である。本実施例では、説明の便宜上、表３で示した周辺固定された円盤における振動モード群を非整数倍音列｛ａｎ｝に用いた。表３から、基準モードをλ０１モードとし、ｍが１から１０まで、すなわち、λ０１モードからλ０１０モードまでの固有振動数群の周波数比を非整数倍音列｛ａｎ｝とした。λ０１モードからλ０１０モードまでの固有振動の周波数比を計算した結果を表４に示す。
【表４】
2015161696.tif 000006
【００３１】
表４より、次の非整数倍音列｛ａ１０｝が得られる。
｛ａ１０｝＝｛１．００、  ３．８９、  ８．７２、・・・・・、  ７８．２８、  ９６．６４｝
基準モードがλ０１モードなので、これを基音（１倍音）１．００とすると、２倍音はｍ＝２の周波数比（３．８９）、３倍音はｍ＝３の周波数比（８．７２）・・・、１０倍音がｍ＝１０（９６．６４）の周波数比に相当する倍音になる。
【００３２】
ここでは、倍音数を１０倍音までとしたが、特にこれに拘るものではない。倍音の数は不協和度曲線の後述する極小値の数に影響する。すなわち。倍音の数が少ないと極小値は減少し、倍音の数を多くすると極小値が増加する。そのため、非整数倍音音階に必要な音階数に応じて、適宜、選べば良い。また、振動モードは、λ０ｎモード群に拘るものではなく、幾つかの振動モードを組み合わせても良い。
【００３３】
（第２ステップ）
第２ステップは、第１ステップで準備された非整数倍音列｛ａ10｝に根音の周波数を乗じて不協和度曲線を作成する。本明細書では、特に断らない限り、根音をオクターブＣ４のドの周波数である２６１．６３Ｈｚ を用いる。
【００３４】
さて、ここで不協和について詳しく説明する。各々周波数ｆ１、ｆ２を持つ２つの純音（正弦波）の不協和度ｄは、（数１）のように定義される。これは、数多くの心理学実験の結果から、人が協和していると感じる音の響きを定量化した式である。
【数１】
2015161696.tif 000007
【００３５】
ここで、最大の不協和度が生じるポイントをｘ*とすると、（数１）は（数２）として表現される。
【数２】
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【００３６】
（数２）におけるｓは、（数３）で定義される。
【数３】
2015161696.tif 000009
【００３７】
ここで、音量が相等しい２つの単音（倍音を含む音）を考えると、これらの単音は（数４）のように表される。
【数４】
2015161696.tif 000010
【００３８】
この２つの単音の不協和度Dは、（数２）に基づいて、ｆ１を固定してｆ２を変数とすると、（数５）のように計算できる。ここで、ｎは音程（インターバル）である。（数５）を用いると、多くの極小値を持つ不協和度曲線が得られる。この不協和度曲線を用いて平均律音階の和音や協和の研究がなされた結果、極小値が協和に大きく関係することが明らかにされてきた。以上が、不協和度の算出方法と、その技術的意味である。
【数５】
2015161696.tif 000011
【００３９】
さて、本発明の第２ステップでは、上記の（数５）を用いて、第１ステップで準備された非整数倍音列｛ａ10｝から不協和度曲線を得る。そのために、｛ａ10｝に根音の周波数を乗じた数列を作成し、（数５）に代入する。本実施例では、ｎを６２まで計算した。以上の操作により、非整数倍音列を構成する音から不協和度曲線を作成でき、その結果を図３に示す。
【００４０】
図３の縦軸は不協和度であり、その値が高いほど不協和の感覚が強い。横軸は、音程（インターバル）である。図３より、多くの谷が生じていることが見て取れ、この谷の数や谷同士の間隔は音程が低くなるにつれて密となり、音程が高くなるにつれて疎となる傾向にある。本明細書では、不協和度曲線の谷を極小値とし、より詳細には低い音程から高い音程にかけて単調減少する曲線が単調増加に転じた極値を極小値と定義する。
【００４１】
（第３ステップ）
このステップでは、第２ステップで求めた不協和度曲線から極小値を抽出する。図４に、音程１から２までの不協和度曲線を拡大した図を示す。第２ステップで、不協和度曲線の谷を極小値と定義した。さらに詳細を図４で説明する。不協和度曲線の谷には急峻なものと緩やかなものとがあるが、先述した定義に従い、形にとらわれず不協和度曲線が低下から増加に向う極値を極小値とする。図４中の矢印と数字で示したものは、谷にあたる点とその音程の数字を書いたものである。音程１から２までの不協和度曲線では、１０の谷が存在している。このようにして、音程１から順に最後の音程まで不協和度の減少や増加を調べて極値を調べることで、極小値を抽出できる。
【００４２】
（第４ステップ）
本ステップは、第３ステップで求めた極小値を昇順に配列し、根音を乗じることで非整数倍音音階を作成する。表５に結果を示す。この表において、不協和度曲線の極小値を昇順に配列したものを音程と示している。音階番号は、音程ごとに割り振ったものである。
【表５】
2015161696.tif 000012
【００４３】
表５に示すように、作成した非整数倍音音階は、２６１．６Ｈｚから１６１８４．４Ｈｚまでの周波数の範囲で、５０音の音を作る事ができる。すなわち５０音階となる。もし、周波数の範囲を広げたければ、音程（インターバル）ｎを増やして（数５）による不協和度曲線の計算を行えば良い。また、非整数倍音の数を増やせば、図３で作成した不協和度曲線における極小値が増える。そのため、さらに細かい音階を作成する必要があれば、非整数倍音の数を増やせばよい。本実施例では、音階の作成に用いる根音に２６１．６３Ｈｚ（オクターブＣ４のド）を用いたが、これに拘る必要はない。音階の作成には、任意の周波数の根音を選ぶことで、自由な音域を表現できる音階を作成できる。
【００４４】
以上の第１ステップから第４ステップまでの操作を行い、非整数倍音列から不協和度を計算し、その極小値を昇順に配列して根音を乗ずれば、非整数倍音を使った音階が出来る。
【００４５】
次に、この方法で作成した音階が、正しく音階としての機能を有するかどうかの判断方法について説明する。そのためには、音階を構成する音（音程）同士のハーモニーの有無が重要になる。以下に、その理由を説明する。
【００４６】
音楽の三要素は、リズム、メロディー、ハーモニーである。このハーモニーを引き起こす要因は音の協和にある。複数の単音（正弦波）を同時に奏でた時に、これらの音が持つ周波数に相当な開きがあれば、人の耳では異なる二音と判断できる。しかし、この２つの音の周波数を次第に近づけていくと、次第にうなりとして人の耳は認識し、さらに近づけていくと音の分離が出来ず、同じ音として認識する。これまでの研究によると、二音の周波数のズレが１．５％未満あれば、人の耳で１つの音と認識されることが報告されている。これが協和である。本明細書でも、この１．５％を閾値として用いることとし、そのとき二つの純音が協和したと定義する。
【００４７】
リズムやメロディーを奏でるだけなら、音階を構成する音程の音は単音（倍音を含む音）である必要は無く、純音（正弦波）で良い。しかし純音では、倍音を含む単音で生じるハーモニーは生じない。音程の音が単音であれば、多くの倍音を含むので、異なる音程同士の倍音が協和することがあり、それがハーモニーである。したがって、ハーモニーを生じる音階を構成する音程の音は、純音ではなく単音となる。
【００４８】
最も重要なことは、異なる単音（音程）の配列である。楽器を奏でて生じる単音を無作為に選び、適当に配置しても音階となるが、このような音階ではハーモニーは生じ難い。ハーモニーの少ない音階は、人にとって意味のない、あるいは不快な音列となる。
【００４９】
西洋音楽の基礎である弦楽器で、ある音程の音を奏でると、基音を含む多くの倍音が生じる（単音）。例えば、ピアノでは、１つの音階を構成する音（例えば、オクターブＣ４のド）を叩くと、基音の２６１．６３Ｈｚ以外に、５２３．２６Ｈｚ（２倍音）、７８４．５９Ｈｚ（３倍音）、・・・、２６１６．３Ｈｚ（１０倍音）、・・・と十数個の整数倍音が生じている。
【００５０】
西洋音階は、弦楽器を基礎として作られた。その成立過程は、多くの書物があるので、本明細書では、要点だけを述べる。現在、広く用いられている十二平均律音階は、整数倍音からなる単音の特質を見抜き、音階を構成する音の配列（音程）を工夫したことにより、見事なハーモニーを実現している。
【００５１】
先に述べたように、音階を構成する音程の音は単音であるが、適当に並べただけでは音階とは言えない。すなわち、ハーモニーが生じるように配列したものが音階である。したがって、本明細書では、このハーモニーが生じる単音の配列を音階と定義する。
【００５２】
さて、異なる音階を構成する音同士の協和を調べるには、基準音を定めて各音の周波数比をとると都合が良い。本明細書では、周波数比Ｒｆｉを（数６）に示すように定義した。
【数６】
2015161696.tif 000013
【００５３】
このとき、周波数比の異なるａ音とｂ音との協和度をＨ（ａ, ｂ）とする。協和度Ｈ（ａ, ｂ）は、（数７）に示すように計算できる。完全に協和した場合は、Ｈ（ａ, ｂ）は０となる。
【数７】
2015161696.tif 000014
【００５４】
本明細書では、（数７）で求めたＨ（ａ, ｂ）の百分率をとり協和の判断に用いた。この値が、先に説明した閾値１．５％未満であれば、ａ音とｂ音とは協和すると判断する。
【００５５】
この協和を用いて、本発明の非整数倍音音階のハーモニーの有無を調べる。また、一般に使われている十二平均律音階と比較することで、非整数倍音音階の特性を説明する。
【００５６】
ところで、非整数倍音音階と十二平均律音階とでは、音階の間隔が異なるので、そのままでは公平な比較ができない。そのために、１つの音の倍音は基音（１倍音）から１０倍音までとし、比較する音程の範囲を第１倍音（基音）から２倍音までとした。これを、十二平均律音階にあてはめると、オクターブＣ４のド（２６１．６３Ｈｚ）の２倍音は２．００なので、オクターブＣ４のドからオクターブＣ５のド（５２３．２５Ｈｚ）までの範囲となる。また非整数倍音音階では、音階番号１（２６１．６Ｈｚ）が基音なので、その２倍音の３．８９なので音階番号２１（５２３．２５Ｈｚ）までが、音の協和を比べる範囲となる。
【００５７】
まず、従来の音階である十二平均律音階について、定義された協和を比べる範囲の周波数比を（数６）に基づいて計算した結果を表６に示す。
【表６】
2015161696.tif 000015
【００５８】
表６において、周波数比を計算する基準音はオクターブＣ４のドとし、協和を調べる範囲にある全ての音階の音（音名）の倍音について周波数比を計算した。例えば、音名ド＃の基音の周波数比は１．０５９であり、その１０倍音の周波数比は１０．５９５である。同様に、音名シの基音の周波数比は１．８８８であり、その１０倍音の周波数比は１８．８７８である。オクターブＣ４のドの２倍音（２．０００）を音程として持つオクターブＣ５のドの基音（２．０００）の行の１０倍音（２０．０００）までが協和を調べる上限になる。
【００５９】
同様に、非整数倍音音階での協和を比べる範囲について、（数６）で定義した周波数比を計算した結果を表７に示す。
【表７】
2015161696.tif 000016
【００６０】
表７での周波数比を計算する基準音は音階番号１であり、これを基準音として協和を調べる範囲にある全ての音階の音の倍音について周波数比を計算した。例えば、音階２の基音の周波数比は１．１５０であり、その１０倍音の周波数比は１１１．１３６である。同様に、音階２１の基音の周波数比は３．８９であり、その１０倍音の周波数比は３７５．９３０である。音階２１の１０倍音が、協和を調べる範囲の上限となる。
【００６１】
次に、音階の協和を調べる方法を、十二平均律音階を例にとり、説明する。表８は、オクターブＣ４の音名ドについて、その基音から１０倍音までの音の協和を調べた結果を示す。協和の判断は、先述したとおり、協和度Ｈ（ａ, ｂ）を計算して、閾値１．５％未満であれば協和と判断した。
【表８】
2015161696.tif 000017
【００６２】
さて、表８において、ドの２倍音は一オクターブ上のドの基音と協和する（等しい）ことを示している。同様に、ドの３倍音はソの２倍音と協和し、ドの４倍音は一オクターブ上のドの２倍音とファの３倍音と協和することを示す。このようして、ドの基音から１０倍音まで、表６に示した範囲にある音名について、その倍音を含めて順に協和する音名を調べると、表８が完成する。
【００６３】
この表を見ると、シを除いた音名が全てドと協和していることが分かる。また、ソやファと言った特定の音名がよく協和している。これは一般にドと協和する和音として認識されている音で、ドミソ、ドファラなどの和音の響きが良いのは、このためである。すなわち、ハーモニーが生じている。表８に音名シが現れていないことは、音名ドを含む、協和する和音に音名シが使われていないことと一致する。これは、ドとシの組み合わせにおいて、互いに協和する倍音がないので、音が響かない、すなわちハーモニーが生じないことが理由と思われる。
【００６４】
表８の最下段に示された協和合計は、音名ドに協和する他の音名の数を倍音別に合計したものである。すなわち、音名ドには、他の音名の５倍音が一番良く協和することを示している。
【００６５】
非整数倍音音階の協和についても、表８で説明した十二平均律音階の協和と同様に行うことができる。表９は、音階１について、その基音から１０倍音までの音の協和を調べた結果を示す。協和の判断は、先述したとおり、協和度Ｈ（ａ, ｂ）を計算してその百分率が、閾値１．５％未満であれば協和と判断した。
【表９】
2015161696.tif 000018
【００６６】
表９において、最も左の列は、音階１の基音から１０倍音の音を示す。その右列は音階１の倍音の周波数比である。表の升目の中の＃の次の番号は音階を示す。すなわち、＃21は音階２１を表す。さて、表８と同様に、音階１の２倍音（３．８９０）は音階２１の基音と協和する（等しい）ことを示している。同様に、音階１の５倍音（２４．１８０）は、音階１６の３倍音（２４．１９８）と音階８の４倍音（２４．１４９）と協和していることを示す。音階１と協和する他の音階は、音階３、４、５、６、８、９、１０、１２、１３、１６、１８、２１であり、多くの音階と協和することを示している。また、特定の音階との協和がみられる。例えば、音階１３は３回登場しており、十二平均律音階における音名ソと同じ回数である。
【００６７】
このように、非整数倍音音階では、各音階を構成する倍音は非整数で増加していくが、十二平均律音階と同様に、基音である音階１の全ての倍音に協和が見られる。また、表８と同様に最下段の協和合計は、音階１に協和する他の音階の数を倍音別に合計したものである。従って、実施例１の非整数倍音音階の基音である音階１では、ハーモニーが生じていることが分かる。
【００６８】
表８と表９では、十二平均律音階と非整数倍音音階との基音（音名ドあるいは音階１）での協和があることを証明した。次に、表６及び表７に示した協和を調べる範囲の音階の全てについて、協和の有無を調べたものが、次に説明する協和表である。これは、表８あるいは表９の最下段の協和合計を、協和を調べる範囲の音階ごとに配列したものである。十二平均律音階の協和表を表１０に、非整数倍音音階の協和表を表１１に示す。
【表１０】
2015161696.tif 000019
【表１１】
2015161696.tif 000020
【００６９】
表１０および表１１から、すべての音階に協和が生じていることがわかる。協和表を作ると、音名（音階）ごとの協和の有無が分かるので、音階でのハーモニーの有無やその特徴が分かる。しかし、表では視覚的に分かりづらいので、表を立体化したグラフを作成した。このグラフを協和立体図と呼ぶことにする。表１０から作成した十二平均律音階の協和立体図を図５に示し、表１１から作成した非整数倍音音階の協和立体図を図６に示す。
【００７０】
図５に示した十二平均律音階の協和立体図を見ると、全ての音名（音階）を通して７倍音のみが協和せず、深い谷となっていることが分かる。７倍音を除けば、それぞれの音階は、よく協和しており、ハーモニーを生じている音階であることを示している。十二平均律音階の成立以前に用いられた純正律に比べると、十二平均律音階の７倍音の響きの悪さは経験的に知られている。これは、オクターブ構成をとって人工的に音階を配分したため、各音階の倍音の協和に不自然な偏りが現れたためと思われる。
【００７１】
一方、図６における本発明の非整数倍音音階の協和立体図を見ると、基音の音階１だけでなく、全ての音階に協和が見られるので、ハーモニーが生じている。すなわち、実施例１の音階は、音階としての機能を備えている。特に、十二平均律音階にみられる７倍音の響きの悪さは見られない。また、音階ごとに最もよく協和する倍音が分散しているので、協和を調べる範囲において、協和の強弱が不規則な波として現れている。
【００７２】
実施例４で詳しく後述するが、自然界の音は、お互いが非整数の関係にあるものが大半である（例えば、図２４を参照。）。発明者らが実際に調査した範囲では、整数倍の関係にある自然界の音は見つからなかった。そのため、自然界の音は、非整数倍音に満ちたものであるといえる。この非整数倍音からなる自然界の音を、整数倍音（弦の倍音）から作られた十二平均律音階で表現することは出来ない。一方、本発明の非整数倍音音階は非整数倍音から作られた音階なので、これを用いて曲をつくると、非整数の関係にある音を奏でることができる。つまり、自然界に満ち溢れている非整数倍音の音を再現するのに適した音階である。これが本発明の非整数倍音音階の効果である。
【００７３】
本発明の音階を実際に奏でるには、電子的な方法が最も容易に実現できる方法である。すなわち、先に説明した１０倍音による音階を構成する音を電子的に合成するのは、電子楽器を作製する公知技術を使えば良い。個々の音に、さらに非整数倍音を持つようにすることも、公知技術で実現できる。これらの音は、音程に割り当てられた入力に合成音を出力するようにキーボードを備えた電子回路を構成してもよく、あるいはコンピュータ上で動作するソフトウェアプログラムを作成して実現させても良い。
【００７４】
（実施例２）
実施例２では、現実の円盤を振動させた時の共振スペクトルから非整数倍音音階を作成する方法を説明する。実施例１と大きく異なる点は、非整数倍音列｛ａn｝を現実の振動から取得する点にある。実施例２の方法は、現実の円盤の振動周波数を用いるので、非整数倍音音階を演奏する楽器の作製に役立つという利点がある。
【００７５】
表１２に、厚さ２ｍｍで直径１０ｃｍの真鍮円盤を自由振動させたときの固有振動の理論計算結果を示す。
【表１２】
2015161696.tif 000021
【００７６】
円盤の拘束条件は、実施例１の表３とは異なり、円盤の周囲を固定しないモードで計算した。そのため、最低固有周波数がλ２１モードになるので、これを基準値（１．００）として各モードの固有振動数の比を表したものである。
【００７７】
図７に、厚さ２ｍｍ直径１０ｃｍの真鍮円盤をその中心が回動自在に支持し、真鍮円盤を叩いた時に発する音のスペクトルを示す。縦軸が音の強度、横軸が周波数であり、０から１０ＫＨｚまでの範囲の音のスペクトルを示している。図で示すように、多くのピークが生じている。これは、回動自在に支持された円盤を叩くと、図１で説明した振動モードが混在して発生するからである。図中のピークに付けられた数字は周波数である（単位はＨｚ）。図では、鋭いピークで音の強度が大きいものを主要ピークとし、０Ｈｚから順に１０個選び、そのピーク周波数を示している。
【００７８】
図７の主要なピークのうち、一番周波数の低いピークの周波数は５４８Ｈｚである。この周波数で円盤を振動させ、表面に砂をまくと、図１のλ２１の模様が確認できるので、この振動がλ２１であることがわかる。この値と表１０に示した固有周波数表とを用いると、図７で示したそれぞれのピークの振動モードを決定することができる。この方法を説明する。
【００７９】
表１２で示した自由振動する真鍮円盤の固有振動比の理論値に、図７で得た一番低い主要ピークの周波数５４８Ｈｚを乗じると、各モードにおける固有振動数が得られる。これを表１３に示す。
【表１３】
2015161696.tif 000022
【００８０】
図７のピーク周波数と表１３の各モードにおける周波数とを照合するとことで、図７で得られた円盤の共振ピークの振動モードを次のように推定することができる。つまり、表１３におけるλ２１モードの周波数を５４８Ｈｚした。図７での次の鋭いピークは９５２Ｈｚなので、それに相当する固有振動数を表１３から探すとλ３１モードになる。したがって、図７の９５２Ｈｚの共振ピークの振動モードは。λ３１モードと推定できる。同様にして、図７の１４３６Ｈｚの共振ピークに相当振動モードは、表１３の固有振動数からλ４１モードと推定できる。このように表１３を用いることで、図７で示したスペクトルが持つピーク周波数の振動モードの推定を行うことができる。図７に示した１０個の主要なピークについて、表１３より推定した振動モードの一覧表を表１４に示す。
【表１４】
2015161696.tif 000023
【００８１】
表１４は、図７で見られる鋭い主要ピークの周波数を昇順に並べたものである。その振動モードは、実施例１のように、節が固定された単一の振動モード群ではなく、様々な振動モード群からなる。その倍音の周波数比は、表に示すように、１．００、  １．６８、・・・・、  ８．４６と非整数の関係である。
【００８２】
この表１４に示した振動モードのイメージ図を、図８に示す。図８において、点線で示された振動モードは、図７にスペクトルに現れないものであり、実線示された振動モードは、現実に現れた共振ピークである。図８で明らかなように、その中心が回動自在に支持された真鍮円盤を叩いて得られる共振ピークは、様々な振動モードを持つ。
【００８３】
実施例２では、この数列を非整数倍音列｛ａ１０｝とし、様々な振動モードの固有振動数で構成された非整数倍音を用いても、本発明の非整数倍音音階が実現できることを説明する。非整数倍音音階の作成方法は、実施例１と同様の操作である。
【００８４】
（第１ステップ）  
第１ステップでは、音階を作るための非整数倍音列｛ａｎ｝を求める。ここで、nは倍音数である。また、計算に使用する倍音数は、実施例１と同様に１０倍音とした。本実施例での非整数倍音列には、表１４で示した倍音列を用いる。すなわち、次の非整数倍音列が得られる。
｛ａ１０｝=｛１．００、  １．６８、  ２．４９、・・・・・、  ７．５６、  ８．４６｝
【００８５】
（第２ステップ）  
次に、実施例１と同様の操作で非整数倍音列｛ａ１０｝に基づく不協和度曲線を作成する。すなわち、非整数倍音列｛ａ１０｝に根音を乗じた数列を実施例１で説明した（数５）に代入して不協和度曲線を作成する。音程（インターバル）ｎの上限は１２とした。
【００８６】
（数５）による計算結果を図９に示す。図の縦軸は不協和度であり、その値が高いほど不協和の感覚が強い。横軸は、音程（インターバル）である。実施例１の不協和度曲線（図３）と同様に、多くの谷が生じており、音程と谷の数との関係は、実施例１と同様の傾向を示している。
【００８７】
図１０は、図９の拡大図であり、音程１から２の間の極小値を矢印で示している。図中の矢印に示した数字は、矢印が示す極小値の音程である。実施例１とは異なり、第１倍音（１．００）から第２倍音（１．６８）までの間に、多くの極小値があり、極小値間が接近している。
【００８８】
（第３ステップ）  
この工程では、第２ステップで求めた不協和度曲線から全ての極小値を求める。表１５に、第１０倍音に相当する音程８．４６までの極小値を昇順に配列した結果を示す。隣接差は、隣り合う音程の差を百分率で表したものである。
【表１５】
2015161696.tif 000024
【００８９】
（第４ステップ）  
実施例２の第４ステップでは、第１の実施例では、見られなかった隣接差の排除処理を行う。これは、極小値間の間隔である隣接差が、１．５%未満になるものを排除する処理である。極小値の数が多い時に行う。なお、この排除処理をおこなうことは、本発明の音階の根幹に係るものではないので、必ずしも必要ではない。音階を作成する側の感性で決めるべきものである。
【００９０】
この隣接差の排除処理を詳しく説明する。第３ステップで抽出した極小値を昇順に配置した表１５を見ると、隣接差が１．５％未満のものがある。例えば、表１５において、番号２と番号３との音の隣接差は１．４８％である。また、番号１１と番号１２との音の隣接差は０．９３７％である。このような関係になる音同士は、人の耳では分離できないので、どちらか一方を排除して音階を作成する。このときに倍音になる音程、すなわち本実施例では表１２を構成する音は排除してはいけない。それ以外は、どちらの音を排除するかは、音階を作成する側の自由である。このようにして音階を作成したものが、表１６である。
【表１６】
2015161696.tif 000025
【００９１】
先に説明した隣接差の排除処理により、表１６に示すように、音階番号１から３８までの音程を持つ非整数倍音音階が作成できた。この音程に、実施例１で行ったように、特定の音、例えば２６１．６Ｈｚ（オクターブＣ４のド）を乗じると音階が完成する。特定の音は、これに拘る必要はなく、任意の周波数の基音を用いれば良い。また、音域を広げる必要があれば、音程（インターバル）ｎを増やして（数５）による不協和度曲線の計算を行えば良い。また、さらに細かい音階を作成する必要があれば、非整数倍音の数を増やせばよい。さらに、基音を調整することで、任意の周波数を基にした音階を作成できる。以上の操作は、先に説明した実施例１での操作と全く同一である。
【００９２】
以上が、現実の円盤を振動させた時の共振スペクトルから非整数倍音音階を作成する方法である。
【００９３】
次に実施例１と同様の評価方法により、この実施例２で得た非整数倍音音階の協和を確かめる。すなわち、１つの単音を構成する倍音は基音を含めて１０倍音までとし、比較する音程の範囲は第１倍音（基音）から２倍音までの音程までとする。この範囲にある、実施例２における非整数倍音音階の周波数比を表１７に示す。
【表１７】
2015161696.tif 000026
【００９４】
表１７では、音階番号１の基音（１倍音）を基準値（１．００）としたとき、音階番号１から音階番号１２までの１０倍音までの倍音を含む音について周波数比を示している。実施例１で説明した（数６）に従って、表１７で示した任意の区画の周波数比と他の区画の周波数比との協和を計算する。その計算結果が、閾値１．５％未満であれば協和と判断する。
【００９５】
音階番号１について、その基音（１倍音）から１０倍音までの各音の協和を計算した結果を表１８に示す。
【表１８】
2015161696.tif 000027
【００９６】
表１８において、縦軸は音階１を構成する倍音を順に１０倍音まで配列したものである。表１８の結果より、音階１を構成する音（基音＋複数の倍音）のうち、基音を除く２倍音から１０倍音までの音は、協和条件の範囲の音階のいずれかの倍音と協和することを示している。また、横軸は、音階１と協和する音階の倍音を順に１０倍音まで配列したものである。例えば、音階１の２倍音である音程１．６８０と協和する音は、音階１２の基音であることを示している。また、例えば、音階１の８倍音である音程６．８９０と協和する音は、音階１２の５倍音、音階６の６倍音、音階４の７倍音であることを示している。実施例２の非整数倍音音階でも、十二平均律音階や実施例１の非整数倍音音階と同様に、音階１の倍音に、他の音階の基音や倍音と協和があるので、ハーモニーを生じていることを示している。
【００９７】
次に、実施例２の非整数倍音音階全体でのハーモニーを調べるために、協和表と協和立体図とを作成する。そのためには、実施例１で説明した協和合計を用いる。先に説明したとおり、協和を調べる範囲の全ての音階について、その協和合計を積算したものが協和表であるすなわち、実施例２の音階１から音階１２までの協和合計を昇順に配列すると、実施例１で示したような協和表が得られる。これが表１９である。
【表１９】
2015161696.tif 000028
【００９８】
この表１９を立体化したものが図１１である。図１１を見ると、それぞれの音階に協和の強弱が平均して配置されており、実施例１の非整数倍音音階と同様に音階としてのハーモニーを備えていることが分かる。十二平均律音階にみられる７倍音の響きの悪さ（深い谷）はない。実施例２の音階も実施例１と同様に、非整数倍音から作られているので、この音階をもとに曲を作ると自然界の音を再現するのに適している。
【００９９】
実施例４で詳述するが、実施例２の非整数倍音音階を演奏するには、厚さ２ｍｍで直径の異なる真鍮円盤を複数個用いることで実現できる。これらの真鍮円盤の中心を支持部材にて回動自在に置き、真鍮円盤を叩くことで、実施例２の非整数倍音音階を演奏することが出来る。もちろん、実施例１のように電子楽器を作製して演奏してもよい。
【０１００】
（実施例３）  
実施例１と２では、平板の例として円盤の振動から非整数倍音音階を作成する方法を説明した。本実施例では、立体の例として球状（塊状）の物体を叩いた時に発生する共鳴振動を用いて、非整数倍音音階を作成する方法を説明する。
【０１０１】
図１２は、果実であるリンゴ（品種  津軽）を台上に置き、強制振動させたときのリンゴが発する振動スペクトルを示す。これは、リンゴを加振機の上に置き、１Ｇの加速度で強制振動させ、リンゴの上部の振動をレーザードップラー振動計で観測すると得られる。多くの共振ピークが得られる。矢印で示した共振ピークの周波数は、低いほうから順に７５２Ｈｚ、  １１５２Ｈｚ、  １４４０Ｈｚ、  １７４４Ｈｚ、・・・と続く。一番低い共振を除いたのは振動モードが縦振動であり、矢印に示したピークとモード（振動様式）が異なるからである。矢印で示した共振振動は、全てスフェロイダルモードであり、０Ｓ２モード、０Ｓ３モード、・・・と続くことが知られている（Terasaki et. al., Trans. of the A.S.A.E. 44. (6). 1697-1705., 2001）。
【０１０２】
図１３に、スフェロイダルモードの一部である０Ｓ２モード、０Ｓ３モード、０Ｓ４モードの振動の様子の模式図を示す。これは、立体的な球の断面図をとり、振動している様子を表す。図に示すように、Ｓの添え字が増えるにつれて振動の節が増える。
【０１０３】
図１２に矢印で示すスフェロイダルモードの振動を周波数の値が昇順になるように配置したものが表２０である。
【表２０】
2015161696.tif 000029
【０１０４】
表２０に示すように、この表はリンゴのスペクトルから、スフェロイダルモードの共振周波数を７５２Ｈｚから３３６５Ｈｚまで１０個、取り出したものである。本実施例では、これを非整数倍音列｛ａ10｝に用いる。そのため、０Ｓ２モードを基準として、各モードの周波数比を計算したものが、表２０に示す周波数比の列である。すなわち、以下の非整数倍音列｛ａ10｝が得られる。
｛ａ10｝=（１．００、  １．５３、  １．９１、  ２．３２、・・・・、  ４．４７）
【０１０５】
この非整数倍音列｛ａ10｝を用いて、実施例１および２と同様な方法を用いて、非整数倍音音階が作成できる。その詳細は、実施例１および２と重複するので割愛し、計算結果を中心に、以下説明する。
【０１０６】
この非整数倍音列｛ａ10｝を用いて得られた不協和度曲線を、図１４に示す。実施例１や２と同様に、多くの谷（極小値）が現れている。図１４の拡大図を図１５に示す。矢印で示したものが極小値であり、矢印の数字は音程の値を示す。音程１．１２１は最初に現れる極小値で、音程１．５３０は、この音階の基音の第２倍音に相当する音程である。不協和度曲線の極小値を昇順に配列した結果を表２１に示す。
【表２１】
2015161696.tif 000030
【０１０７】
表２１では、２６個の極小値があるが、お互いの隣接差が１．５％未満のものがあるので、実施例２と同様の排除処理をしたものが表２２である。
【表２２】
2015161696.tif 000031
【０１０８】
表２２により、音程１．００から４．４７までの２３音を持つ音列が得られた。これに根音を乗じることで、実施例１および２と同様に音階が得られる。
【０１０９】
次に、この音階の協和を調べる。その方法も実施例１および２と同様なので、計算結果のみを示す。表２３は、協和を調べる範囲の音列の周波数比を計算したものである。
【表２３】
2015161696.tif 000032
【０１１０】
基音を音階番号１の１倍音とし、その２倍音の音程を示す音階番号８の１０倍音までが協和を調べる範囲となる。この範囲で音階１の協和を計算したものが表２４である。
【表２４】
2015161696.tif 000033
【０１１１】
基音を除く全ての倍音が、他の音階番号と多く協和している。すなわち、実施例３の非整数倍音音階の音階番号１は、ハーモニーを生じている。全体の協和を調べるために協和表を計算した。結果を表２５に示す。
【表２５】
2015161696.tif 000034
【０１１２】
表２５を見ると、実施例１および２の非整数倍音音階や十二平均律音階と比べて、基音から２倍音の音程までの音階数が少ないにも拘わらず、協和の数が多い。これは、球形の振動から作る非整数倍音音階はよく響くことを示している。すなわち、ハーモニーが生じていることが分かる。これを視覚化したものが、表２５から作成された協和立体図であり、図１６に示す。
【０１１３】
図１６に示す実施例３の非整数倍音音階においても、十二平均律音階に見られる７倍音の響きの悪さは見られない。また、各音階の協和の強弱は十二平均律音階よりも大きく、大きな波のうねりのようになっている。これが、非整数倍音音階に特徴付けられるハーモニーであり、本実施例だけではなく、全ての実施例に共通して見られる特徴である。実施例３の音階も、非整数倍音から作られているので、実施例１および実施例２の非整数倍音音階と同様に、自然界の音を再現できる曲をつくることが出来る。
【０１１４】
実施例３の非整数倍音音階を現実に演奏するには、電子的な方法が最も容易である。実施例２で示したように、現実の楽器を作る場合には、材料と大きさを選ばないと、その音域が可聴周波数に入らない。
【０１１５】
（実施例４）
本実施例では、実施例２で説明した現実の円盤の振動周波数を用いた非整数倍音音階を演奏できる楽器の作製方法を説明する。
【０１１６】
実施例２の表１７において、基音から２倍音までの音階番号とそれに対応する周波数比を説明した。本実施例では、この基音から２倍音までの音階番号に対応して、非整数倍音音階を奏でる楽器の作製方法を詳しく説明する。まず、表１７のうち、基音から２倍音までの音階番号（＃１から＃１２）に対応する音階あるいは音高を抜き出し、あらためて表２６として示す。
【表２６】
2015161696.tif 000035
【０１１７】
本明細書では、音程１．００の基音の周波数を決める純音を根音と定義したので、まず、音階番号＃１（音程１．００）の周波数を決める。実施例４では、音階番号＃１（音程１．００）の周波数を４４０Ｈｚとしたので、根音は周波数４４０Ｈｚの純音となる。根音が決まると、表２６を元にして、全ての音階の基音の周波数が決まる。音階番号（＃１から＃１２）における基音の周波数を表２７に示す。
【表２７】
2015161696.tif 000036
【０１１８】
表２７により、音階番号（＃１から＃１２）の周波数をもつ単音を演奏できる円盤楽器が作製出来る。このときの円盤の振動は、その両端を拘束しない自由振動なので、円盤の材質と、円盤の厚さ、およびその固有振動がわかれば、（数８）により、必要な円盤の直径を求めることができる。
【数８】
2015161696.tif 000037
【０１１９】
ここで、
λ、（１，１）のモードの根（４．４９３５）
ｆ、求める周波数
ρ、真鍮の密度（８５６０ｋｇ／m３）
ｈ、厚さ(２mm)
σ、ポアソン比(真鍮の場合０．３５)
Ｅ、  ヤング率(真鍮の値１００ＧＰａ)
【０１２０】
本実施例では、円盤の材質は真鍮、円盤の厚みを２．００ｍｍと決めたので、（数８）より計算された音階番号（＃１から＃１２）に対応する真鍮円盤の直径は、表２８のように計算できる。
【表２８】
2015161696.tif 000038
【０１２１】
さて、図１７に楽器に用いる円盤の斜視図を示す。円盤の外周は１７１であり、その直径は表２８で求めた各音階に割り当てられた直径を持つ。１７２は円盤中心の孔であり、直径は２ｍｍである。この孔を中心にとする第１から第３同心円（１７３から１７５）は、円盤の中心から外周は１７１までの距離を四等分した位置にある。これは、奏者が枹で円盤を叩くとき、円盤上の位置を示す役割を持つ。線画でもよいし、適当な色を配してもよい。
【０１２２】
図１８（ａ）に、円盤ユニットの組み立て図を示す。１８２は、図１７で示した円盤であり、部材１８３、１８４、１８５、１８６、１８７から構成された支柱に取り付ける。１８１は、円盤１８１を支柱に取り付けたのち、演奏時に円盤１８１が落下しないように規制する留め具である。１８４は支柱１であり、１８６は支柱２である。支柱１は支柱２内部を上下にスライドできるような構造になっている。締め具１８５は、上下にスライドできる支柱１を支柱２に固定して、任意の高さに保持するための部材である。円盤保持支柱１８３は、支柱１の中心に配置され、円盤１８１が回動自在となる直径を持つ。また、円盤保持支柱１８３は、図示しないが、留め具１８１の取り付け保持部を有する。台座１８７は、部材１８３、１８４、１８５、１８６を取り付けるものであり、演奏時の円盤１８１の振動に耐えうるものである。それを満たせる機能であれば、図１８（ａ）の如く、円形である必要性はない。
【０１２３】
図１８（ｂ）は、円盤１８１を、円盤保持支柱１８３に取り付けた際の要部断面図である。図の如く、円盤１８１は回動自在になるように取り付けられている。１８８は、弾性部材であり、円盤を演奏する際に、不要な振動や共振を抑制する役割を持つ。本発明を実施の際には、円盤が奏でる基音や倍音の調整を行う。調整で、弾性部材の配置が不要であれば、除いてもよい。
【０１２４】
図１９は、図１８で説明した円盤ユニット１９１を、音階別に組み合わせたものである。図において、円盤の上部に引き出し線で示された＃は、音階番号である。１９２の小円は、奏者の位置であり、これと同心円になるように二つの円１９３、１９４が示されている。円盤ユニット１９１は、その音階に応じて、二つの円１９３、１９４に沿って配置されている。奏者は、マレットのような枹で、各音階の円盤を叩くことにより曲を演奏できる。音階ごとの円盤ユニット１９１を作ることにより、奏者の好みに応じて、円盤ユニット１９１を自由に配置することができ、また、円盤ユニット１９１の高さも自由に調整することができる。
【０１２５】
図２０は、図１９とは異なり、音階を構成する円盤をまとめて、一つの楽器としたものである。図に示すように、二つの支柱２０２は、側板２０１に高低差を持って取り付けられている。図では手前の支柱２０１が奥側の支柱２０１よりも低く配置されている。この支柱上に円盤が取り付けられている。円盤の上部に引き出し線で示された＃は、音階番号である。なお、二つの支柱の距離は、向かい合う円盤同士が接触しない程度に取り付けるのが好ましい。奏者は、マレットのような枹で、各音階の円盤を叩くことにより曲を演奏できる。このように、音階を構成する円盤をひとつの部材上に配置することで、木琴やヴィブラフォンなどのような楽器と同じような楽器ができる。
【０１２６】
図２１は、図１９や図２０と異なり、奏者がマレットのような枹で円盤を叩く代わりに、打鍵器を使って円盤を叩く機構の原理を示す断面図である。軸２１０２を中心として回転するレバー２１０１からなる打鍵部と、軸２１０７を中心として回転するカム２１０６とリンク機構とを組み合わせて枹２１１６を上下させて円盤１８２を叩く打撃部と、円盤１８２の支持部が同一部材に配置されている。
【０１２７】
図２１（ａ）は、打鍵部のレバー２１０１に力が加わらない状態を示す。打鍵部のレバー２１０１のＢ部にはピアノ線のような金属線２１０３が接続されており、金属線２１０３は二つの低摩擦ローラー２１０５を経由して打撃部のカム２１０６のＡ部に接続されている。二つの低摩擦ローラー２１０５は、打鍵部と打撃部との高低差を調整する役割を持つ。打鍵部のレバー２１０１は、軸２１０２を中心に回転できるように保持部２１０４に接続されている。また、レバー２１０１は、力を加えられていないときは、図の位置になるように、図示しないバネで付勢されている。
【０１２８】
打撃部は、軸２１０７を中心として回転するカム２１０６と、２１０８および２１０９で構成されたリンク機構につながれたロッド２１１５とからなる。ロッド２１１６のカム面はカム２１０６と摺動する曲面が形成され、反対面には枹２１１６が取り付けられている。２１０８および２１０９で構成されたリンク機構の一端はスライダ２１１１および２１１２に接続されている。そのため、カム２１０６の回転に応じて、ロッド２１１６は上下する。平板台座２１１３は、スライダ２１１１および２１１２を載置する役目をし、保持部２１１４は打撃部の位置決めと保持を行う。打鍵部からの力がカム２１０６に加わらないとき、カム２１０６は図に示す位置にある。また、２１０８および２１０９で構成されたリンク機構は互いに狭まるように、図示しないバネで付勢されている。そのため、ロッド２１１６は上方に押し上げられるので、打撃部の枹２１１６は、円盤１８２から離れた位置にある。
【０１２９】
図２１（ｂ）は、図示しない奏者の指により打鍵部のレバー２１０１が押された状態を示す。点線で示した２１０１’は、打鍵部のレバーに力が加わらない状態を示す。レバー２１０１が矢印の方向に押されると、金属線２１０３は図中の矢印の方向に動き、打撃部のカム２１０６を矢印方向に回転させる。すると２１０８および２１０９で構成されたリンク機構が開き、ロッド２１１５を下方に押し出す。その結果、ロッド２１１５に設けられた枹２１１６は、円盤１８２を打撃する。この打撃による円盤１８２の音が鳴ったとき、奏者は打鍵部のレバー２１０１から指を離すと、打鍵部および打撃部はバネで付勢されているので、急速にロッド２１１６は上方に移動する。この移動速度を変える必要があれば、打鍵部および打撃部にて付勢しているバネの強さを調整すればよい。ところで、枹２１１６の材質は、広く使われているマレットの材料が使える。打撃の際の円盤１８２が奏でる音色に応じて、適切なものを選択すればよい。
【０１３０】
この機構を用いれば、円盤を叩く位置を、常に一定にできる利点がある。図２０で示したような非整数倍音楽器の各円盤に、この機構を取り付ければ、鍵盤楽器と同じような感覚で奏でることのできる非整数倍音鍵盤打楽器ができる。また、鳴っている円盤の音を消すための振動抑制機構も、図２１と同じ原理で実現できる。すると、鍵盤で音を出す、あるいは別の鍵盤や足ふみ板で音を消す、ことが容易にできるので、演奏の幅が広がる利点がある。
【０１３１】
さて、図１９や図２０に示した本発明の円盤楽器をマレットのような枹で叩くことにより、それぞれの音階番号に割り当てられた単音が奏でられる。
【０１３２】
図２２に、本発明の非整数倍音音階を使った円盤楽器の音階番号＃１に割り当てられた円盤を枹で叩いた時に発する周波数スペクトルを示す。スペクトルが示すとおり、音階番号＃１の単音は、基音である４４３Ｈｚの他に、第２倍音（７６８Ｈｚ）、第３倍音（１１７４Ｈｚ）、・・・と、予め表１４で規定された周波数比の高次の非整数倍音を含んでいる。このように非整数倍音による単音を奏でることができるのが、本発明の円盤楽器の特徴である。その他の音階番号として割り当てられた円盤の単音も、音階番号＃１の単音と同様に、非整数の関係を持つ倍音のスペクトルを示す。
【０１３３】
以上のように、本発明の非整数倍音音階を演奏できる円盤楽器の特徴は、その音階の単音に非整数倍音を含むことである。これは、従来の平均律音階を奏でる楽器と比べると、大きく異なる。図２３に、本発明の円盤楽器と同様な打楽器であるヴィブラフォンのスペクトルを示す。その単音は、整数倍音を多く含むように設計されている。図中の数字は整数倍音のピークを示す。
【０１３４】
図２４には、自然界の音である「滝の音」や、動物の鳴き声のスペクトルを示す。図２４（ａ）は、著名な滝の音のスペクトルである。滝のそばまで行き、その音を録音した。その後、録音した音にＦＦＴ処理を行いスペクトルを出したものである。図を見ると、数多くのピークがあるが、その周波数が整数倍の関係にあるピークは一つもない。すべて、非整数倍音の関係にあることを、図２４（ａ）は明瞭に示している。
【０１３５】
図２４（ｂ）は、アマガエルの群れの声のスペクトルである。これは、１ＫＨｚから３．８ＫＨｚにかけて二つの山を持つ。これも図２４（ａ）の滝の音と同様に無数のピークを持ち、その周波数を分析した。その結果、滝の音と同様に、そのピーク同士の周波数が整数倍の関係にあるものは一つもなかった。また、図２４（ｃ）は、「ひばりの鳴き声」、これらのスペクトルである。これも、無数のピークがあるが、滝の音と同様に、そのピーク同士の周波数が整数倍の関係にあるものは一つもなかった。
【０１３６】
図２４で示したスペクトルは、自然界で発せられている音のほんの一部である。しかし、これだけを見ても、自然界で発せられる様々な音は、お互いに非整数の関係が普通であることを示している。むしろ、整数の関係である音を見つけることのほうが難しい。そのため、従来の弦の振動（整数倍音）から作られている平均律音階から作られた曲では、自然界の音を表現することは出来ない。ところが、本発明の非整数倍音音階から作られた曲や、それを演奏できる非整数倍音楽器は、非整数倍音からなる単音を発することが出来るので、従来難しかった自然界の音を表現できるという特徴を有する。
【０１３７】
以上、説明したとおり、本発明の特徴は、物体の振動モードの固有振動数から得られる数列から不協和度曲線を生成し、その極小値を配列して音階を作成する点にある。弦の振動モードは一次元なので、その固有振動数は、自然数倍で表れる。そのため、本発明の不協和度曲線に用いる数列は、非整数倍音列に限ることではない。すなわち、整数倍音列（自然数倍音列）に拡張できる。
【０１３８】
実施例１では、ｎを固定してｍを変えた場合の固有振動から非整数倍音列を作成し、非整数倍音音階が作成できることを説明した。また、実施例２においては、様々な振動モードを持つ現実の円盤の振動スペクトルから非整数倍音音階が作成できることを示した。すなわち、円盤の振動モードが分かれば、それを自由に組み合わせて非整数倍音音階ができることを示している。これらは、主として円盤の振動による新しい音階の作成方法を説明したが、円盤に限るものではなく、方形のものにも適用できる。
【０１３９】
実施例３では、リンゴの振動を例にとり、立体の振動についても本発明が成立することを示した。すなわち立体の振動モードが持つ固有振動数から数列を作成し、その数列を本発明のステップ１から４に従って処理すれば、新しい音階が作成できる。
【０１４０】
実施例４では、真鍮円盤を使った楽器の作製方法を説明したが、円盤という形状にこだわる必要はない。実施例では、発音子に真鍮円盤を用いたが、様々な形状の発音子の振動モードを調べ、その固有振動数から数列を作成して本発明のステップ１から４に従って処理すれば、非整数倍音楽器用の音階が作成できる。作成された非整数倍音音階に従って、発音子の寸法や材質を選べば、多くの非整数倍音楽器が作製できる。
【産業上の利用可能性】
【０１４１】
自然界で発せられる様々な音は、非整数倍音で溢れており、整数倍音は存在しないか、極めて少ない。本発明の音階は、整数倍音ではなく非整数倍音からできているので、本発明の音階で作られた曲は、従来の十二平均律音階では表現出来なかった自然界の音が表現出来る。また、整数倍音から非整数倍音へと音階の領域を広げることができるので、従来と異なる音楽を創造することができる。それによって、新しい曲が生まれるので、音楽産業の発展に大きく寄与することができる。
【符号の説明】
【０１４２】
１  第１ステップ
２  第２ステップ
３  第３ステップ
４  第４ステップ
１７１  円盤の外周
１７２  中心孔
１７３  第１同心円
１７４  第２同心円
１７５  第３同心円
１８１  留め具
１８２  円盤
１８３  円盤保持支柱
１８４  支柱１
１８５  締め具
１８６  支柱２
１８７  台座
１８８  弾性部材
１９１  円盤ユニット
１９２  奏者の位置を示す円
１９３  円盤ユニットを配置する第１円
１９４  円盤ユニットを配置する第２円
２０１  側板
２０２  支柱
２１０１  レバー
２１０２  軸
２１０３  金属線
２１０４  保持部
２１０５  低摩擦ローラー
２１０６  カム
２１０７  軸
２１０８  リンク機構
２１０９  リンク機構
２１１１  スライダ
２１１２  スライダ
２１１３  平板台座
２１１４  保持部
２１１５  ロッド
２１１６  枹
【図７】
2015161696.tif 000039
【図２２】
2015161696.tif 000040
【図２３】
2015161696.tif 000041
【図１】
2015161696.tif 000042
【図２】
2015161696.tif 000043
【図３】
2015161696.tif 000044
【図４】
2015161696.tif 000045
【図５】
2015161696.tif 000046
【図６】
2015161696.tif 000047
【図８】
2015161696.tif 000048
【図９】
2015161696.tif 000049
【図１０】
2015161696.tif 000050
【図１１】
2015161696.tif 000051
【図１２】
2015161696.tif 000052
【図１３】
2015161696.tif 000053
【図１４】
2015161696.tif 000054
【図１５】
2015161696.tif 000055
【図１６】
2015161696.tif 000056
【図１７】
2015161696.tif 000057
【図１８】
2015161696.tif 000058
【図１９】
2015161696.tif 000059
【図２０】
2015161696.tif 000060
【図２１】
2015161696.tif 000061
【図２４】
2015161696.tif 000062