(57)【要約】      （修正有）【課題】プレノプティックイメージングシステムのＰＩＦを推定するためのより良好な方法、より一般には、ある線形システムのクラスのシステム伝達関数を推定するための方法を提供する。【解決手段】プレノプティックイメージングシステムの瞳孔イメージ関数（ＰＩＦ）は、ＰＩＦ行列の低ランクを利用して修正される。１つのアプローチでは、低ランクは、ＰＩＦ行列の部分空間を特定し、部分空間内でＰＩＦ行列を推定することによって効果的に利用される。これは、ＰＩＦ行列を推定するのに利用されるオブジェクト（キャリブレーションパターン）の個数の有意な低下を導くことができる。【選択図】図４
2015148609.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
線形システムについてシステム伝達行列Ａの推定値
【数１】
2015148609.tif 000142
を生成する方法であって、前記線形システムはｙ＝Ａｘ＋ｅにより特徴付けされ、ｘは入力であり、ｅはノイズであり、ｙは入力ｘから得られる出力であり、
当該方法は、
キャリブレーション入力Ｘの集合を選択するステップと、
前記キャリブレーション入力Ｘを前記線形システムに適用するステップと、
Ｙ＝ＡＸ＋Ｅに従って前記キャリブレーション入力Ｘから得られる出力Ｙを観察するステップと、
ｃｏｌｓｐａｎ（Ａ）＝ｒｏｗｓｐａｎ（Ａ）であると仮定して、Ａの部分空間を特定するステップと、
前記出力Ｙ及びキャリブレーション入力Ｘから前記部分空間内の推定値
【数２】
2015148609.tif 000143
を計算するステップと、
を有する方法。
【請求項２】
前記線形システムは、プレノプティックイメージングシステムであり、
前記システム伝達行列Ａは、前記プレノプティックイメージングシステムの瞳孔イメージ関数（ＰＩＦ）行列であり、
前記入力ｘは、前記プレノプティックイメージングシステムによりイメージングされるオブジェクトであり、
前記出力ｙは、オブジェクトｘから得られるプレノプティックイメージであり、
前記キャリブレーション入力Ｘは、キャリブレーションパターンであり、
前記出力Ｙは、前記キャリブレーションパターンＸから得られるプレノプティックイメージである、請求項１記載の方法。
【請求項３】
前記Ａの部分空間を特定するステップは、Ｙの特異値分解（ＳＶＤ）を実行することを含む、請求項１記載の方法。
【請求項４】
【数３】
2015148609.tif 000144
であり、前記部分空間内の
【数４】
2015148609.tif 000145
の推定は、
【数５】
2015148609.tif 000146
により与えられ、ここで、
【数６】
2015148609.tif 000147
であり、
【数７】
2015148609.tif 000148
は、Ａのランク以上である、請求項３記載の方法。
【請求項５】
前記キャリブレーション入力Ｘは、ランダムなキャリブレーション入力を含む、請求項１記載の方法。
【請求項６】
前記キャリブレーション入力Ｘが、
【数８】
2015148609.tif 000149
に従うｉ．ｉ．ｄ．ガウスエントリより入力され、ただし、
【数９】
2015148609.tif 000150
は正規分布であり、ｍはキャリブレーション入力の個数である、請求項５記載の方法。
【請求項７】
前記キャリブレーション入力Ｘが、確率１／２により±ｓｑｒｔ（１／ｍ）をとるｉ．ｉ．ｄ．対称性ベルヌーイエントリにより入力される、請求項５記載の方法。
【請求項８】
前記キャリブレーション入力Ｘが、確率１／６により±ｓｑｒｔ（３／ｍ）をとり、確率２／３によりゼロをとるｉ．ｉ．ｄ．ランダム変数により入力される、請求項５記載の方法。
【請求項９】
前記キャリブレーション入力Ｘが、行列及び／又はベクトルの制限付等長性（ＲＩＰ）を充足するエントリにより入力される、請求項５記載の方法。
【請求項１０】
【数１０】
2015148609.tif 000151
はＮ×Ｎの行列であり、Ｘのキャリブレーション入力の個数はＮ／４未満である、請求項１記載の方法。
【請求項１１】
【数１１】
2015148609.tif 000152
はＮ×Ｎの行列であり、Ｘのキャリブレーション入力の個数はＮとサブリニアに増加する、請求項１記載の方法。
【請求項１２】
前記推定値
【数１２】
2015148609.tif 000153
を計算するステップは、Ａが４象限対称性を有することを仮定する、請求項１記載の方法。
【請求項１３】
前記推定値
【数１３】
2015148609.tif 000154
を計算するステップは、Ａが低ランクを有することを仮定する、請求項１記載の方法。
【請求項１４】
前記推定値
【数１４】
2015148609.tif 000155
は、
【数１５】
2015148609.tif 000156
を有する、請求項１記載の方法。
【請求項１５】
前記キャリブレーション入力Ｘは、行列の制限付等長性（ＲＩＰ）を充足するエントリにより入力され、
前記推定値
【数１６】
2015148609.tif 000157
を計算するステップは、
Ｙの特異値分解（ＳＶＤ）を実行するステップであって、
【数１７】
2015148609.tif 000158
である、実行するステップと、
【数１８】
2015148609.tif 000159
を計算するステップであって、
【数１９】
2015148609.tif 000160
であり、
【数２０】
2015148609.tif 000161
はＡのランク以上である、計算するステップと、
を有する、請求項１記載の方法。
【請求項１６】
線形システムについてシステム伝達行列Ａの推定値
【数２１】
2015148609.tif 000162
を生成するコンピュータプログラムであって、前記線形システムはｙ＝Ａｘ＋ｅにより特徴付けされ、ｘは入力であり、ｅはノイズであり、ｙは入力ｘから得られる出力であり、
当該コンピュータプログラムは、非一時的な有形のコンピュータ可読媒体に格納され、メモリにロードされると、
キャリブレーション入力Ｘの集合を選択するステップと、
前記キャリブレーション入力Ｘを前記線形システムに適用するステップと、
Ｙ＝ＡＸ＋Ｅに従って前記キャリブレーション入力Ｘから得られる出力Ｙを観察するステップと、
ｃｏｌｓｐａｎ（Ａ）＝ｒｏｗｓｐａｎ（Ａ）であると仮定して、Ａの部分空間を特定するステップと、
前記出力Ｙ及びキャリブレーション入力Ｘから前記部分空間内の推定値
【数２２】
2015148609.tif 000163
を計算するステップと、
をプロセッサに実行させる命令を含むコンピュータプログラム。
【請求項１７】
前記Ａの部分空間を特定するステップは、
【数２３】
2015148609.tif 000164
に従ってＹの特異値分解（ＳＶＤ）を実行することを含み、
前記部分空間内における
【数２４】
2015148609.tif 000165
の推定は、
【数２５】
2015148609.tif 000166
により与えられ、
【数２６】
2015148609.tif 000167
であり、
【数２７】
2015148609.tif 000168
はＡのランク以上である、請求項１６記載のコンピュータプログラム。
【請求項１８】
前記キャリブレーション入力Ｘは、行列の制限付等長性（ＲＩＰ）を充足するランダムなエントリにより入力される、請求項１６記載のコンピュータプログラム。
【請求項１９】
線形システムについてシステム伝達行列Ａの推定値
【数２８】
2015148609.tif 000169
を生成するシステムであって、前記線形システムはｙ＝Ａｘ＋ｅにより特徴付けされ、ｘは入力であり、ｅはノイズであり、ｙは入力ｘから得られる出力であり、
当該システムは、
キャリブレーション入力Ｘの集合を選択する選択モジュールと、
前記キャリブレーション入力Ｘの前記線形システムに対する適用から得られる出力Ｙをキャプチャする観察モジュールと、
ｃｏｌｓｐａｎ（Ａ）＝ｒｏｗｓｐａｎ（Ａ）であると仮定して、Ａの部分空間を特定し、前記出力Ｙ及びキャリブレーション入力Ｘから前記部分空間内の推定値
【数２９】
2015148609.tif 000170
を計算するプロセッサと、
を有するシステム。
【請求項２０】
前記推定値
【数３０】
2015148609.tif 000171
の計算は、
【数３１】
2015148609.tif 000172
に従ってＹの特異値分解（ＳＶＤ）を実行することを含む前記Ａの部分空間を特定し、
前記部分空間内における
【数３２】
2015148609.tif 000173
の推定は、
【数３３】
2015148609.tif 000174
により与えられ、
【数３４】
2015148609.tif 000175
であり、
【数３５】
2015148609.tif 000176
はＡのランク以上である、請求項１９記載のシステム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、例えば、プレノプティックイメージングシステムのための瞳孔イメージ関数行列の推定など、一般に、ある線形システムのためのシステム伝達関数の推定に関する。
【背景技術】
【０００２】
１つのシステムのクラスの一例として、プレノプティックイメージングシステムが近年増大する注目を受けている。それは、キャプチャされたプレノプティックイメージのデジタル処理に基づき、オブジェクトの異なるフォーカスポイント又は視点を再計算するのに利用可能である。プレノプティックイメージングシステムはまた、瞳孔の開口部の平面におけるマルチモーダルフィルタアレイを利用したマルチモーダルイメージングにおける用途を見出す。各フィルタはセンサにおいてイメージングされ、効果的にはフィルタ面における各イメージングモダリティのオブジェクトの多重化イメージを生成する。プレノプティックイメージングシステムの他の用途は、変化する被写界深度イメージング及び高ダイナミックレンジイメージングを含む。
【０００３】
これらの用途の多くは、プレノプティックイメージングシステムの正確な特徴付けに強く依存する。これは、デコンボルーション（ｄｅｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎ）やスーパーレゾリューション（ｓｕｐｅｒ−ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ）などのより先進的な画像処理を利用した用途について特に当てはまる。例えば、プレノプティックイメージングシステムのポイントレスポンスが正確に推定できる場合、キャプチャされたプレノプティック画像からより高い解像度のイメージを取得するための逆の問題を解くことができる。
【０００４】
プレノプティックイメージングシステムの動作は、システムの設計データに基づき計算できる。しかしながら、物理的システムは設計データから乖離し、小さな乖離さえシステムの全体的なパフォーマンスに影響を与えうる。例えば、マイクロレンズアレイなどのマイクロエレメントの利用は、乖離に対する感度を増大させ、プレノプティックイメージングシステムの特徴付けに対するより厳格な要求を課す。従って、設計データに基づくモデリングよりも物理的システムの修正が、ある状況においては望ましい。
【０００５】
プレノプティックイメージングシステムのポイントレスポンスは、以下でより詳細に説明されるように、プレノプティックイメージングシステムの“瞳孔イメージ関数”（ＰＩＦ）として参照される。従来の光イメージングシステムと異なって、プレノプティックイメージングシステムのＰＩＦは、強く空間的に可変的である。従って、ＰＩＦが他の全てのフィールドポイントについて同じか又は類似していると仮定すると、ＰＩＦは１つのフィールドポイントのみについて推定できない。むしろ、ＰＩＦは、好ましくはプレノプティックイメージングシステムの全視野に対して推定される。１つのアプローチでは、ポイントソースオブジェクトは視野全体にわたって物理的に変換され、システムのレスポンスが各フィールドポイントにおいて個別に観察される。その後、ＰＩＦは、観察された各イメージから構成される。しかしながら、このアプローチは大変時間のかかるものである。
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
従って、プレノプティックイメージングシステムのＰＩＦを推定するためのより良好な方法、より一般には、ある線形システムのクラスのシステム伝達関数を推定するための方法が必要とされる。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
本発明は、ＰＩＦ行列の低ランク特性を利用することによって、従来技術の制約を解決する。１つのアプローチでは、低いランクが、ＰＩＦ行列の部分空間を特定し、その後、当該部分空間内でＰＩＦ行列を推定することによって、効果的に利用される。これは、ＰＩＦ行列を推定するのに利用されるオブジェクト（キャリブレーションパターンなど）の個数の有意な減少を導くことができる。
【０００８】
一態様は、プレノプティックイメージングシステムについてＰＩＦ行列Ａの推定値
【数１】
2015148609.tif 000003
を生成することに関する。プレノプティックイメージングシステムは、ｙ＝Ａｘ＋ｅにより特徴付けることが可能であり、ただし、ｘはオブジェクトであり、ｅはノイズであり、ｙはオブジェクトｘから得られるプレノプティックイメージである。キャリブレーションオブジェクトＸの集合が選択され、プレノプティックイメージングシステムに適用される。取得されたプレノプティック画像Ｙが観察される。ＰＩＦ推定値
【数２】
2015148609.tif 000004
は、Ａが低ランクを有するという事実を利用して、プレノプティック画像ＹとキャリブレーションオブジェクトＸとから計算される。１つのアプローチでは、Ａの部分空間が特定され、その後、
【数３】
2015148609.tif 000005
が当該部分空間内で推定される。例えば、部分空間は、ｃｏｌｓｐａｎ（Ａ）＝ｒｏｗｓｐａｎ（Ａ）の仮定に基づき特定されてもよい。
【０００９】
特定の実現形態は、Ｙの特異値分解（ＳＶＤ）に基づく。
【数４】
2015148609.tif 000006
とする。このとき、１つのアプローチでは、
【数５】
2015148609.tif 000007
であり、ただし、
【数６】
2015148609.tif 000008
であり、
【数７】
2015148609.tif 000009
はＡのランク以上である。好ましくは、
【数８】
2015148609.tif 000010
はＡのランクの推定値である。さらに、キャリブレーションオブジェクトＸは、ガウス又はベルヌーイ独立同一分布（ｉ．ｉ．ｄ．）のキャリブレーションパターンなどのランダムなキャリブレーションパターンとして選択される。このアプローチは、計算的に効率的であり、Ｘのキャリブレーションオブジェクトの個数を減少させることができる。
【００１０】
同様のアプローチは、例えば、ｃｏｌｓｐａｎ（Ａ）＝ｒｏｗｓｐａｎ（Ａ）である場合など、類似した特性を有するシステム伝達行列を有する他の線形システムに適用可能である。
【発明の効果】
【００１１】
本発明によると、プレノプティックイメージングシステムのＰＩＦを推定するためのより良好な方法、より一般には、ある線形システムのクラスのシステム伝達関数を推定するための方法を提供することができる。
【００１２】
本発明の他の態様は、上記に関連する方法、装置、システム、ソフトウェア、改良、コンポーネント、アプリケーション及び他の態様を含む。
【図面の簡単な説明】
【００１３】
【図１】図１は、プレノプティックイメージングシステムの簡単化された図である。
【図２】図２ａは、４９×４９のＰＩＦ行列の一表現であり、図２ｂは、図２ａのＰＩＦ行列のＵＴＶ行列の一表現であり、ただし、Ｕ及びＶはそれぞれＰＩＦ行列Ａの左右の特異ベクトルの行列である。
【図３】図３ａは、７２９×７２９のＰＩＦ行列の一表現であり、図３ｂは、図３ａのＰＩＦ行列のＵＴＶ行列の一表現であり、ただし、Ｕ及びＶはそれぞれＰＩＦ行列Ａの左右の特異ベクトルの行列である。
【図４】図４は、ＰＩＦ行列を推定する方法のフロー図である。
【図５】図５ａ〜ｄは、ガウスキャリブレーションパターンを利用した７２９×７２９のＰＩＦ行列を推定するためのシミュレーション結果を示す。
【図６】図６ａ〜ｄは、状態数１０００のキャリブレーション行列に対するガウスキャリブレーション行列を利用して７２９×７２９のＰＩＦ行列を推定するためのシミュレーション結果を示す。
【図７】図７は、キャリブレーションパターンの個数の関数としてのＰＩＦ行列の推定値の平均二乗誤差をプロットする。
【発明を実施するための形態】
【００１４】
図面及び以下の説明は、例示のみによる好適な実施例に関する。以下の説明から、ここに開示される構成及び方法の他の実施例は、請求されるものの原理から逸脱することなく利用されてもよい実行可能な代替として容易に認識されることに留意すべきである。一例としてプレノプティックイメージングシステムをまず検討する。
【００１５】
［サンプルコンフィギュレーション］
図１は、プレノプティックイメージングシステムの簡単化された図である。システムは、プライマリイメージングサブシステム１１０（図１の単一のレンズにより表される）、セカンダリイメージングアレイ１２０（小型レンズアレイにより表される）及びセンサアレイ１３０を有する。これらは、図１においてサブシステム１及びサブシステム２として参照される２つのオーバラップするイメージングサブシステムを形成する。プレノプティックイメージングシステムは、任意的には、センサアレイ１３０と対になる位置に配置されるフィルタモジュール１２５を有してもよい。フィルタモジュールは、複数の空間多重されたフィルタセルを有する。例えば、フィルタセルは、オブジェクト内の異なるモダリティに対応させることができる。
【００１６】
空間座標（ξ，η）は、オブジェクト面において利用され、（ｔ，ｗ）はセンサ面において利用される。異なるコンポーネントは、図１に示されるように正確に設計される必要はないことに留意されたい。例えば、“プライマリレンズ”は、レンズ、ミラー及びこれら２つの組み合わせを含む要素の各種組み合わせとすることが可能である。同様に、セカンダリイメージングアレイは、ピンホールアレイ又は反射アレイとすることが可能である。
【００１７】
しばらくの間はフィルタモジュール１２５を無視して、イメージングサブシステム１において、オブジェクト１５０は、“プライマリイメージ”として参照されるイメージを生成するため、プライマリレンズ１１０によりイメージングされる。このプライマリレンズ１１０は、カメライメージングレンズ、顕微鏡対物レンズ又は他の何れかのイメージングシステムであってもよい。小型レンズアレイ１２０は、プライマリイメージの位置の近くに配置される。このとき、各小型レンズは、センサ面に対するプライマリレンズの瞳孔をイメージングする。これは、イメージングサブシステム１と部分的にオーバラップするイメージングサブシステム２である。センサアレイ１３０において生成される“イメージ”は、“プライマリイメージ”との混同を回避するため、“プレノプティックイメージ”として参照される。
【００１８】
プレノプティックイメージは、各小型レンズに対応するサブイメージのアレイに分割できる。しかしながら、サブイメージはイメージングサブシステム１の瞳孔のイメージであり、オブジェクト１５０のイメージでないことに留意されたい。図１において、プレノプティックイメージ及びサブイメージは、Ａ１〜Ｃ３としてラベル付けされる。Ａ１は、一般にフィルタモジュール１２５のフィルタセル１によりフィルタリングされるオブジェクト１５０の部分Ａに対応し、Ａ２は、フィルタセル２によりフィルタリングされるオブジェクト１５０の部分Ｂに対応するなどである。プレノプティックイメージ（サブイメージから構成される）は、オブジェクトの各種イメージを再構成するため処理モジュール１９０により処理可能である。当該処理は、デインタリーブ処理及び逆多重化でありうる。それはまた、より洗練した画像処理を含むことが可能である。
【００１９】
プレノプティックイメージングシステムは、
【数９】
2015148609.tif 000011
によりモデル化可能であり、ここで、ＩｆＴ，ＷはセンサエレメントＴ，Ｗにおける強度であり、Ｉｏ，Ｍ，ＮはオブジェクトエレメントＭ，Ｎからの強度であり、ＰＩＦＭ，ＮＴ，Ｗは瞳孔イメージ関数又はＰＩＦ（Ｐｕｐｉｌ  Ｉｍａｇｅ  Ｆｕｎｃｔｉｏｎ）として参照するプレノプティックイメージングシステムのレスポンスである。Ｔ，Ｗはセンサ座標（ｔ，ｗ）の離散化されたものであり、Ｍ，Ｎはオブジェクト座標（ξ，η）の離散化されたものである。式（１Ａ）は、
ｙ＝Ａｘ＋ｅ      （１Ｂ）
としてよりコンパクトに記述でき、ここで、ｘはベクトル化されたオブジェクトＩｏであり、ｙはベクトル化されたプレノプティックイメージＩｆであり、ｅはノイズであり、Ａは２次元ＰＩＦ行列である。
【００２０】
以下において、キャリブレーション問題、すなわち、ＰＩＦ行列Ａの推定を扱う。グラウンドトゥルースＰＩＦ行列をＮ×Ｎの行列Ａとして示す。Ａを推定するため、オブジェクトとしてキャリブレーションパターンのセットを選択することにより始める。各キャリブレーションパターンは、それ自体はベクトル化されたオブジェクトであり、
【数１０】
2015148609.tif 000012
として示される。キャリブレーションパターンの個数をｍとし、ｘｉを行列にスタックすることによって形成されるＮ×ｍの行列をＸ＝［ｘ１，．．．，ｘｍ］として示す。これらのキャリブレーションパターンＸが与えられると、対応する観察結果Ｙは、
Ｙ＝ＡＸ＋Ｅ      （２）
により取得され、ここで、Ｅはノイズを表すＮ×ｍの行列である。キャリブレーション処理の目的は、キャリブレーションパターンＸ及び対応するプレノプティックイメージＹからＡを推定することである。ブルートフォースアプローチでは、Ｎ個のキャリブレーションパターンが、ＰＩＦ行列Ａを推定するのに利用可能である。
【００２１】
以下のセクションにおいて説明されるように、基礎となるＰＩＦ行列Ａは低ランク構造を示す。さらに、Ａの列スパンはＡの行スパンに一致する。これらの特性を利用して、減少された個数ｍのキャリブレーションパターンを用いてＡを正確に推定することができる。一般に、キャリブレーション時間を短縮することを可能にするため、ｍを減少させることが望ましい。
【００２２】
［ＰＩＦ行列Ａの性質］
まず、Ａの関連する性質のいくつかを検討する。このため、図２ａに示されるような一例となるＰＩＦ行列を利用する。この行列は、４９×４９のサイズを有し、参照することによりここに援用される、米国特許出願第１３／３９８，８１３号“Ｄｅｓｉｇｎ  ａｎｄ  Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ  ｏｆ  Ｐｌｅｎｏｐｔｉｃ  Ｉｍａｇｉｎｇ  Ｓｙｓｔｅｍｓ”に記載されるプレノプティックイメージングシステムの数学モデルを用いてシミュレートされた。特に、以降のＡｐｐｅｎｄｉｘ  Ａを参照されたい。このＰＩＦ行列は、６ｍｍの開口直径、９に等しいＦナンバー、対物距離３００ｍｍ、８５．５ｍｍに等しい開口とマイクロレンズアレイ面との間の距離、及び５８８ｎｍの設計波長のＢＫ７ガラスから構成されるメインレンズを備えたプレノプティックイメージングシステムのシステム伝達行列である。マイクロレンズアレイは、それぞれが５５マイクロン、Ｆナンバー９、リファレンス波長５８８ｎｍの融合されたシリカから構成される等しいマイクロレンズのアレイである。
【００２３】
４象限対称性
図２ａは、ＰＩＦ行列に対称性があることを示す。左上隅が座標（１，１）を表し、右下隅が（４９，４９）を表すとする。当該行列は、ｙ＝２５及びｘ＝２５に関して対称的であり、ここで、ｘは列を示し、ｙは行を示す。これらシンメトリのそれぞれはＡの性質に関していくつかの含意を有する。まず、ｙ＝２５に関する対称性は、Ａの上位の２４個の行がＡの下位の２４個の行のフリップ化／ミラー化されたバージョンに等しい、すなわち、形式的には、ｉ＝１，．．．，２４について、Ａ［ｉ，：］＝Ａ［４９−ｉ＋１，：］であることを意味する。この結果、Ａの上位２４個の行に対応する測定結果、すなわち、Ｙ［１：２４，：］は、Ａの下位２４個の行に対応するもの、すなわち、Ｙ［２６：４９，：］と等しくなるが、フリップ化／ミラー化された順序では、Ｙ［２６；４９，：］＝Ｙ［２４：１，：］となる。これはまた、Ａのランクがたかだか２５にすぎないことを意味する。実際、当該ＰＩＦ行列について、ランクは２５にちょうど等しく、これは、上位２５個の行が互いに線形独立であることを意味する。２５個の線形独立な行の選択は一意的でないことに留意されたい。例えば、それはまた、下位２５個の行とすることも可能である。
【００２４】
ｘ＝２５に関する対称性がＡに対してどのように影響を及ぼすか確認するため、Ａの上半分に着目し、当該行列をＡｔｏｐとして示し、すなわち、Ａｔｏｐ＝Ａ［１：２５，：］として示す。図２ａの破線により示されるように、ＡｔｏｐをＡｔｏｐ＝［ＡＬａＣＡＲ］の３つの部分に更に分割する。形式的には、ＡＬ＝Ａ［１：２５，１：２４］はＡｔｏｐの左半分を含む２５×２４の行列であり、ａＣ＝Ａ［１：２５，２５］はＡｔｏｐの中央の垂直軸を表す２５×１の列ベクトルであり、ＡＲ＝Ａ［１：２５，２６：４９］はＡｔｏｐの右半分を含む２５×２４の行列である。ｘ＝２５に関する対称性のため、ｉ＝１，．．．，２４について、ＡＬ［：，ｉ］＝ＡＲ［：，４９−ｉ−１］となることに再び留意されたい。対称性の形式的な証明についてはＡｐｐｅｎｄｉｘ  Ａを参照されたい。
【００２５】
ｒｏｗｓｐａｎ（Ａ）＝ｃｏｌｓｐａｎ（Ａ）
Ａの他の性質は、Ａの列スパン（ｃｏｌｓｐａｎ（Ａ）として示される）がＡの行スパン（ｒｏｗｓｐａｎ（Ａ）として示される）に一致することである。形式的には、この性質は、Ａの特異値分解（ＳＶＤ）をＡ＝ＵΣＶＴとして記述し、σ１≧・・・≧σ４９となるように特異値が順序づけされると仮定すると、行列
【数１１】
2015148609.tif 000013
がブロック対角になることがわかる。
【００２６】
図２ｂは、図２ａのシミュレートされた４９×４９のＰＩＦ行列のａｂｓ（ＵＴＶ）を示す。ラインは、ｘ＝２５及びｙ＝２５に対応する。ＵＴ［：，１：２５］Ｖ［：，１：２５］及びＵＴ［：，２６：４９］Ｖ［：，２６：４９］は共に行列の非ゼロブロックであり、双方の非対角ブロックのエントリはゼロに等しい。Ｕの最初の２５個のベクトルはＡの列空間を張る基底ベクトルであり、Ｖの最初の２５個のベクトルはＡの行空間を張る基底ベクトルである。Ｕ［：，１：２５］により張られる空間がＶ［：，２６：４９］により張られる空間に対して直交するという事実は、ｃｏｌｓｐａｎ（Ｕ［：，１：２５］）⊆ｃｏｌｓｐａｎ（Ｖ［：，１：２５］）であることを意味する。同様に、Ｖ［：，１：２５］により張られる空間がＵ［：，２６：４９］により張られる空間に直交するという事実は、ｃｏｌｓｐａｎ（Ｖ［：，１：２５］）⊆ｃｏｌｓｐａｎ（Ｕ［：，１：２５］）であることを意味する。これら２つを組み合わせて、
【数１２】
2015148609.tif 000014
であることを推論できる。これは、効果的に利用可能な重要な性質である。
【００２７】
一般化
上述したＡの性質は、マイクロレンズシステムがメインレンズの瞳孔をイメージングするよう配置されるとき、メインレンズとマイクロレンズイメージングシステムとの放射状の対称性を備えたシステムのＰＩＦ行列の間で共通する。形式的な証明についてはＡｐｐｅｎｄｉｘ  Ａを参照されたい。例えば、図３ａは、７２９×７２９のサイズのＰＩＦ行列の一表現である。このより大きなＰＩＦ行列はまた、図２のより小さいＰＩＦ行列をシミュレートするのに用いられる同じ数学モデルによりシミュレートされているが、より小さなピクセルサイズを備えたセンサに関連する異なるサンプリングレートを使用している。図３ａから、対称性の性質が保持されていることが確認できる。行列は、ｘ＝３６５及びｙ＝３６５に関して対称的である。この対称性のため、当該行列のランクが３６５より大きくならないことが予想される。実際、当該行列のランク値は２４５であり、３６５未満である。
【００２８】
Ａの列スパンがＡの行スパンに等しいか確認するため、図３ｂは対応するＵＴＶ行列を示す。２つのライン３１０ｘ及び３１０ｙは、ｘ＝２４５及びｙ＝２４５に対応する。図２ｂと同様の厳密なブロック対角構造はないが、それに対する強力な類似性を依然として確認することができる。例えば、Ｕ［：，１：２４５］とＶとの間の相関の大部分はＶ［１：２４５］との相関内に含まれ、その反対も成り立つことが理解できる。また、非対角ブロックは、Ｕ［：，１：２４５］がＶ［：，２４６：７２９］にほぼ直交しており、またその反対も成り立つことを示すほぼゼロ又はゼロに近い値であることを理解する。従って、４９×４９の行列について説明される性質がまた、より大きな７２９×７２９のＰＩＦ行列について少なくとも近似的に成り立つべきである。実際、これらの性質は、より大きなサンプリングされたセンサ面に対応するより大きな行列について一般に成り立つことがわかっている。
【００２９】
さらに、ＰＩＦ行列のランクはほぼ一定を保つ。例えば、２２０９×２２０９のサイズのＰＩＦ行列について、当該行列のランクは単に２５６であり、７２９×７２９行列の２４５のランクよりやや大きいだけであることがわかる。４４８９×４４８９のＰＩＦ行列について、ランクはたった２６５であることがわかっている。従って、ＰＩＦ行列のランクに依存するｍ個のキャリブレーションパターンを要求するアルゴリズムを設計することが可能である場合、Ｎよりはるかに少ないキャリブレーションパターンを用いて基礎となるＰＩＦ行列を復元することが可能である。
【００３０】
［ＰＩＦ行列の推定」
このセクションでは、ＰＩＦ行列Ａを推定するためのアプローチが提供される。図４は、ＰＩＦ行列Ａの推定値
【数１３】
2015148609.tif 000015
を生成する方法のフロー図である。キャリブレーションオブジェクトＸの集合が選択される（４１０）。キャリブレーションパターンＸが、プレノプティックイメージングシステムに適用される（４２０）。結果として得られるプレノプティックイメージが観察される（４３０）。その後、推定値
【数１４】
2015148609.tif 000016
が、プレノプティックイメージＹ及びキャリブレーションオブジェクトＸから計算される（４４０）。当該計算（４４０）は、Ａが低いランクを有し、ｒｏｗｓｐａｎ（Ａ）＝ｃｏｌｓｐａｎ（Ａ）であるという事実を利用する。特定の実現形態では、当該計算（４４０）は、Ａの部分空間を特定し（４４２）、その後に当該部分空間内で
【数１５】
2015148609.tif 000017
を推定する（４４４）。
【００３１】
ノイズのないケース
まず、Ｙ＝ＡＸとなるようなノイズのないケースを検討する。この例について、図２の４９×４９のＰＩＦ行列を利用する。関心のある部分空間は、Ａの行スパンである。ノイズのないケースでは、
【数１６】
2015148609.tif 000018
を有する。ここで、Ｖ［：，１：２５］を知っており、Ｘがフルランクであると仮定する。このとき、
【数１７】
2015148609.tif 000019
としてＡを復元することが可能である。ここで、ハットは、それが推定値であることを示す。ｍ＞２５であるとき、当該復元は正確である。
【００３２】
しかしながら、上述したアプローチは、ＶＴの行がＡの行空間を張るｋ×Ｎの行列であるＶを知っていることを要求する。Ｖの選択は一意的でないことに留意されたい。実際、
【数１８】
2015148609.tif 000020
を充足する任意の
【数１９】
2015148609.tif 000021
を選択してもよい。このため、ｒｏｗｓｐａｎ（Ａ）＝ｃｏｌｓｐａｎ（Ａ）であるという事実を利用する。これは、Ａの行スパンを直接取得しようとする代わりに、Ａの列スパンを介して
【数２０】
2015148609.tif 000022
を等しく取得できることを意味する。列スパンの特定は、ｒｏｗｓｐａｎ（Ａ）＝ｃｏｌｓｐａｎ（Ａ）であるとき、よりシンプルな問題となる。全体的には、
ｃｏｌｓｐａｎ（Ｙ）＝ｃｏｌｓｐａｎ（Ａ）＝ｒｏｗｓｐａｎ（Ａ）      （７）
である。すなわち、Ｙの列スパンを介しＡの行スパンを推論できる。Ｙの列空間を張る基底ベクトルを計算する作業は、
【数２１】
2015148609.tif 000023
のＳＶＤを計算し、
【数２２】
2015148609.tif 000024
をＹの最大のｋ個の左特異ベクトルに設定することによって実現でき、このことは、
【数２３】
2015148609.tif 000025
をＷの最初のｋ個の列ベクトルに設定すること、すなわち、
【数２４】
2015148609.tif 000026
を意味する。これらのベクトルを利用して、上記の説明に従い、測定結果を
【数２５】
2015148609.tif 000027
に投射することができる。これは、以下に示されるテーブル１に要約される。
【表１】
2015148609.tif 000028
行の推定値を１つずつ計算する必要がないことに留意されたい。代わりに、観測行列Ｙ全体に対する擬似逆行列を乗算することによって、行列Ａ全体の推定値をすぐに計算することが可能である。また、１つの入力はランクパラメータ
【数２６】
2015148609.tif 000029
であることに留意されたい。当該パラメータは、プレノプティックイメージングシステムのレンズファイルがシステム行列のシミュレーションを介し利用可能であるとき推定可能である。
【００３３】
ノイズのあるケース
測定結果にノイズがあるとき、すなわち、Ｙ＝ＡＸ＋Ｅであるときを検討する。まず、ノイズの存在が部分空間を特定するステップ４４２にどのように影響を及ぼすか確認する。測定結果にノイズが追加されるため、もはやｃｏｌｓｐａｎ（Ｙ）＝ｃｏｌｓｐａｎ（Ａ）を有しない。しかしながら、摂動理論の文献によると、
【数２７】
2015148609.tif 000030
であると考えることが妥当である。従って、ノイズが存在しても、部分空間を特定するステップ４４２をノイズのないケースと同様に維持する。
【００３４】
次に、行列を推定するステップ４４４を検討する。このステップの主たる目的は、ノイズを増幅させないことを保証しながら、測定結果を
【数２８】
2015148609.tif 000031
の行空間に投影することである。このため、
【数２９】
2015148609.tif 000032
の行列が“良好な”条件数、すなわち、１に近い条件数を有することが重要である。これを保証するための１つの方法は、Ｘが行列及び／又はベクトルに対する制限付等長性（Ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ  Ｉｓｏｍｅｔｒｙ  Ｐｒｏｐｅｒｔｙ：ＲＩＰ）を充足するように、ランダムなエントリをＸに入力することである。この性質は、圧縮検知フレームワークにおける基本条件であり、参照することにより援用される、Ｂ．Ｒｅｃｈｔ，Ｍ．Ｆａｚｅｌ，ａｎｄ  Ｐ．Ａ．Ｐａｒｒｉｌｏ，“Ｇｕａｒａｎｔｅｅｄ  Ｍｉｎｉｍｕｍ−Ｒａｎｋ  Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ  ｏｆ  Ｌｉｎｅａｒ  Ｍａｔｒｉｘ  Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ  ｖｉａ  Ｎｕｃｌｅａｒ  Ｎｏｒｍ  Ｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ”，ＳＩＡＭ  Ｒｅｖ．，５２（３），４７１−５０１（３１頁）において行列について定義される。行列Ｘが（ｉ）ｉ．ｉ．ｄ．ガウスエントリ、すなわち、
【数３０】
2015148609.tif 000033
であり、ただし、
【数３１】
2015148609.tif 000034
は正規分布である、（ｉｉ）確率１／２により±ｓｑｒｔ（１／ｍ）をとるｉ．ｉ．ｄ．対称ベルヌーイエントリ、又は（ｉｉｉ）確率１／６により±ｓｑｒｔ（３／ｍ）をとり、確率２／３によりゼロをとるｉ．ｉ．ｄ．ランダム変数により入力されるとき、Ｘは高い確率でＲＩＰを充足することが証明されている。従って、これら３つの分布（ｉ）〜（ｉｉｉ）の何れかから選ばれたランダムなエントリにより入力されたＸを選択することができる。ベクトルに対するＲＩＰは、行列に対するＲＩＰと類似する。また、十分な個数の測定結果が与えられると、上記の３つの分布（ｉ）〜（ｉｉｉ）がベクトルに対するＲＩＰを充足することが証明されている。１つのアプローチでは、行列を推定するステップ４４４を同じに維持するが、ガウスランダム変数により生成されるキャリブレーションパターンを利用する。
【００３５】
テーブル２は、ノイズのあるケースに対する推定アプローチを示す。テーブル２は、キャリブレーションオブジェクトの選択のみについてテーブル１と異なる。ランダムガウス行列は確率１によるフルランクであるため、Ｘに関するフルランク条件はテーブル２では言及されないことに留意されたい。条件ｍ≧ｋは、擬似逆行列が可逆であるように要求される最小数の測定結果であり、それはＸのＲＩＰを保証しないことに留意されたい。
【表２】
2015148609.tif 000035
【００３６】
さらに、キャリブレーションパターンの個数はＮにリニアでなく、Ａのランクにリニアにスケーリングされるべきであることを観察した。次のセクションにおけるシミュレーション結果は、Ａのランクよりやや大きく、Ｎよりはるかに小さい個数ｍのキャリブレーションオブジェクトを用いてＡの正確な推定値を取得することが可能であるため、この観察をサポートする。ＡのランクがＮが増加してもほぼ一定に留まるという事実を覚えておくと、これは、Ｎが極めて大きくなったときでさえ、キャリブレーションパターンの個数を有意に節約することが可能であることを意味する。
【００３７】
［シミュレーション結果］
このセクションでは、ランダムなキャリブレーションパターンＸを用いて、７２９×７２９のＰＩＦ行列Ａ（すなわち、Ｎ＝７２９）を復元するためのシミュレーション結果を提供する。以下のシミュレーションにおいて、Ｘの各エントリが
【数３２】
2015148609.tif 000036
に従うガウス測定結果をＸに入力する。その後、Ｙ＝ＡＸ＋Ｅを計算する。テーブル２に示されるアプローチからの結果と、Ｍ．Ｙｕａｎ，Ａ．Ｅｋｉｃｉ，Ｚ．Ｌｕ  ａｎｄ  Ｒ．Ｍｏｎｔｅｉｒｏ，“Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ  ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ  ａｎｄ  ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ  ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ  ｉｎ  ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ  ｌｉｎｅａｒ  ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ”，Ｊｏｕｒｎａｌ  ｏｆ  ｔｈｅ  Ｒｏｙａｌ  Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ  Ｓｏｃｉｅｔｙ：Ｓｅｒｉｅｓ  Ｂ（Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ  Ｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙ），ｖｏｌ．６９，ｎｏ．３，ｐｐ．３２９−３４６，２００７に提供される低ランク復元アルゴリズムとを比較する。所与のノイズレベル又はＳＮＲに対して、キャリブレーションパターンの個数ｍを２から７３９に増加させ、各ｍについて、Ｙ及びＸが与えられると、Ａを復元するため２つの推定アプローチを実行する。その後、
【数３３】
2015148609.tif 000037
とＡとの間の二乗された正規化距離、すなわち、
【数３４】
2015148609.tif 000038
を計算する。
【００３８】
図５において、当該結果が示される。図５ａは、ノイズがないときの結果のプロットである。図５ｂ〜ｄはそれぞれ、ＳＮＲ＝４０ｄＢ，ＳＮＲ＝２０ｄＢ及びＳＮＲ＝１０ｄＢであるときの結果をプロットする。プロット５１０ａ〜ｄは、テーブル２のアプローチを示す。他のアプローチは、プロット５２０ａ〜ｄをゆっくりと着実に向上させることによって示される。ある値ｍを通過すると、上述したアプローチは他のアプローチを有意に上回ることを確認できる。各図５ａ〜ｄについて、十分なキャリブレーションパターンを有するとき、本アプローチはＡを正確に推定可能であり、低ランク最小化アプローチを有意に上回ることを明らかに確認できる。
【００３９】
図５ａにおいて、ほぼ１５０個のキャリブレーションパターンを有すると、本推定値はほぼ完全にＡを復元することができる。Ｙが与えられると、Ａの適切な行空間を確実に特定するため、ｍ＝１５０より多くを必要とする。ｍ＜１５０の範囲では、適切な部分空間を確実には特定できず、プロットにおいて高いピークを確認することになる。このトレンドは、図５ａ〜ｄの４つ全てについて共通し、全ての結果について、ある個数ｍを通過すると、適切な部分空間を確実に特定し、正確にＡを復元することが開始される。ワーストケースでさえ、ｍの当該値は、２４５であるＡのランクよりやや大きくなるだけである。従って、正確な復元のためにはＡのランクに対してやや超過するサンプリングファクタしか必要としなかった。
【００４０】
しかしながら、低ランク最小化アプローチは、本アプローチと同程度に正確にＡを復元することはできず、当該アプローチの誤差はｍとほぼ線形に減少することを確認できる。全体として、Ａの正確な推定値を同時に生成しながら、キャリブレーションパターンの個数をＮ以下に有意に減少させることができた。
【００４１】
図６ａ〜ｄは、条件数１０００によるキャリブレーション行列とガウスキャリブレーション行列とを用いて、７２９×７２９のＰＩＦ行列を推定するためのシミュレーション結果を示す。図６の各パネルは２つのプロットを有する。プロット６１０ａ〜ｄはキャリブレーション行列としてガウスランダム行列を利用した結果である。典型的には、１０００よりはるかに小さい条件数を有するように独立同一分布（ｉ．ｉ．ｄ．）となるエントリを備えたガウスランダム行列を予想する。プロット６２０ａ〜ｄは、ｍの全ての値に対して１０００の条件数を有するキャリブレーション行列を利用した結果である。これらのキャリブレーション行列は、まずガウスランダム行列を生成し、その後に最大特異値と最小特異値との間のレシオが１０００に等しくなるように、それの特異値を変化させることによって生成された。これら２つの異なるキャリブレーション行列を利用して、Ａの推定結果と変化するノイズ量とを比較する。
【００４２】
図６ａは、Ｙにノイズがないときの結果を示す。当該結果には大きな相違はない。これは、Ｘが十分大きなｍによるフルランクであることしか要求しないノイズのないケースと同様に予想される。双方の行列がフルランクであり、従って結果が有意には異ならない。しかしながら、以下の３つの図６ｂ〜ｄにおいて、結果に実質的な相違があることが確認できる。これら全てにおいて、プロット６２０はプロット６１０に匹敵する推定値を何とか取得することがわかる。これは、少なくとも数値的には、良好な条件数を有するキャリブレーションパターンを所望し、ガウス行列が妥当な選択であることを示す。
【００４３】
図７は、キャリブレーション中に取得されるデータから、キャリブレーションに必要なキャリブレーションオブジェクトの個数ｍを動的に推定できることを示す。例えば、各繰り返しにおいて１つの測定パターンを加えることによって、ＰＩＦ行列の推定値の収束を確認できる。図７は、１０個の連続する繰り返しのブロックにおいて平均化される２つの連続するＰＩＦ推定値の間の平均二乗誤差（ＭＳＥ）をプロットする。ＭＳＥ７１０は約２８８回の測定において急速に低下し、これは、ＰＩＦ推定が収束したことを示し、２８８個のパターンで十分であることを確認できる。１つのアプローチでは、キャリブレーションパターンの個数ｍは、ＭＳＥが閾値（図７において０．０１など）を下回ったときによって決定される。
【００４４】
詳細な説明は多数の詳細を含むが、これらは、本発明の範囲を限定するものとして解釈されるべきでなく、本発明の異なる具体例及び態様を示すものとして単に解釈されるべきである。本発明の範囲は上記で詳述されなかった他の実施例を含むことが理解されるべきである。例えば、上記式（７）に示される性質（すなわち、ｃｏｌｓｐａｎ（Ａ）＝ｒｏｗｓｐａｎ（Ａ））により伝達システム行列Ａを有する他のシステムはまた、上述したアプローチを用いて推定可能である。当業者に明らかな他の各種改良、変更及び変形が、ここに開示された本発明の方法及び装置の構成、動作及び詳細において、添付した請求項に規定される本発明の趣旨及び範囲から逸脱することなく可能である。従って、本発明の範囲は、添付した請求項とそれらの法的な均等とによって決定されるべきである。
【００４５】
他の実施例では、本発明は、コンピュータハードウェア、ファームウェア、ソフトウェア及び／又はこれらの組み合わせにより実現される。本発明の装置は、プログラマブルプロセッサによる実行のための機械可読記憶装置に有形に具体化されるコンピュータプログラムにより実現可能であり、また、本発明の方法のステップは、入力データに対して処理し、出力を生成することによって本発明の機能を実行するため命令のプログラムを実行するプログラマブルプロセッサにより実行可能である。本発明は、データストレージシステム、少なくとも１つの入力装置及び少なくとも１つの出力装置との間でデータ及び命令を送受信するため接続された少なくとも１つのプログラマブルプロセッサを含むプログラマブルシステム上で実行可能な１以上のコンピュータプログラムにより効果的に実現可能である。各コンピュータプログラムは、所望される場合、ハイレベル手続き型又はオブジェクト指向型プログラミング言語又はアセンブリ若しくは機械語により実現可能であり、何れの場合も、言語はコンパイル又はインタープリット言語とすることができる。適切なプロセッサは、例えば、汎用と特定用途用のマイクロプロセッサを含む。一般に、プロセッサは、ＲＯＭ及び／又はＲＡＭから命令及びデータを受け取る。一般に、コンピュータは、データファイルを格納するための１以上のマス記憶装置を含み、このような装置は、内部ハードディスク及び着脱可能ディスクなどの磁気ディスク、光磁気ディスク及び光ディスクを含む。コンピュータプログラム命令及びデータを有形に具体化するのに適した記憶装置は、例えば、ＥＰＲＯＭ、ＥＥＰＲＯＭ及びフラッシュメモリデバイスなどの半導体メモリデバイス、内部ハードディスクや着脱可能ディスクなどの磁気ディスク、光磁気ディスク及びＣＤ−ＲＯＭディスクを含む全ての形態の不揮発性メモリを含む。上記の何れもＡＳＩＣ（Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ−Ｓｐｅｃｉｆｉｃ  Ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ  Ｃｉｒｃｕｉｔ）及び他の形態のハードウェアにより補完又は搭載可能である。
・Ａｐｐｅｎｄｉｘ  Ａ
【００４６】
［対称性］
ＰＩＦ関数は、オブジェクトポイント（ξ，η）からプレノプティックシステムを介しセンサ面の位置（ｔ，ｗ）に発せられた光の伝搬を特徴付ける。１つの波動光学の定式化では、ＰＩＦ関数は、
【数３５】
2015148609.tif 000039
により与えられ、ここで、
【数３６】
2015148609.tif 000040
は関数ｆのフーリエ変換である。
【００４７】
上記の式において、Ｐ１は焦点長ｆ１のメインレンズの瞳孔関数を記述し、Ｐ２は直径Ｄ２及び焦点長ｆ２のマイクロレンズの瞳孔関数である。対物距離はｚ１であり、メインレンズとマイクロレンズ面との間の距離はｚ２であり、マイクロレンズ面とセンサ面との間の距離はｚ３である。パラメータｋは波数を示す。
【００４８】
近傍の小型レンズを透過する光からクロストークを推定するため、小型レンズ上の円形の開口を仮定すると、オンアクシス（ｏｎ−ａｘｉｓ）小型レンズ（すなわち、μ＝０，ν＝０）のＰＩＦ関数は、
【数３７】
2015148609.tif 000041
に帰着する。
【００４９】
ｈ１（ｕ，ｖ）＝ｈ１（−ｕ，−ｖ）のメインレンズシステムとＰ２（ｕ，ｖ）＝Ｐ２（−ｕ，−ｖ）のマイクロレンズシステムとについてオブジェクトとセンサポイントとの間には以下の対称性が得られる。
【数３８】
2015148609.tif 000042
マイクロレンズシステムが瞳孔のイメージをセンサ面
【数３９】
2015148609.tif 000043
にフォーカスする構成について、ＰＩＦ関数は、
【数４０】
2015148609.tif 000044
に帰着する。メインレンズが放射状に対称的である場合、関数ｈ１は放射状に対称的であり、実数値である（それが放射状に対称な関数
【数４１】
2015148609.tif 000045
のフーリエ変換であり、ここで、Ｊ０はゼロ次ベッセル関数であるため）。
【００５０】
従って、ＰＩＦ関数自体は、実関数のフーリエ変換であり、すなわち、
【数４２】
2015148609.tif 000046
である。
【００５１】
この結果、放射状に対称なレンズシステムとフォーカスされたマイクロレンズシステムとについて以下の対称性を得る。
【数４３】
2015148609.tif 000047
［イメージ形成のための線形システムモデル］
伝達行列による線形モデルを介した離散的なイメージ形成
センサにおける所与のサンプリング間隔Δｐ，Δｑについて、ＰＩＦ関数
【数４４】
2015148609.tif 000048
の離散化されたバージョンを、センサ位置（ｐΔｐ、ｑΔｑ）における（ｒΔｒ，ｌΔｌ）にあるポイントソースのレスポンスの強度を記述する
【数４５】
2015148609.tif 000049
による関数
【数４６】
2015148609.tif 000050
として定義することができる。
【００５２】
有限数の小型レンズの仮定の下、固定されたオブジェクト位置（ｒ０，ｌ０）の関数
【数４７】
2015148609.tif 000051
は、
【数４８】
2015148609.tif 000052
の値であるエントリを有するレスポンス行列
【数４９】
2015148609.tif 000053
によって表すことが可能な線形関数である。各オブジェクト位置について、異なるレスポンス行列を取得する。各行列
【数５０】
2015148609.tif 000054
を新たな行列
【数５１】
2015148609.tif 000055
の列ベクトルに変換することによって、イメージ形成の離散モデルを
【数５２】
2015148609.tif 000056
により定義することができ、ここで、ｘは
【数５３】
2015148609.tif 000057
のベクトルにベクトル化されたオブジェクト領域
【数５４】
2015148609.tif 000058
のサンプルの強度であり、ｙは
【数５５】
2015148609.tif 000059
のベクトルにベクトル化された
【数５６】
2015148609.tif 000060
におけるセンサ面の位置の強度であり、
【数５７】
2015148609.tif 000061
は、各行において特定のオブジェクト位置についてセンサ位置におけるベクトル化された光レスポンスの値を含む（Ｍ＋１）（Ｎ＋１）×（Ｔ＋１）（Ｗ＋１）の行列である。
【００５３】
ＰＩＦ行列の対称性特性
式（１４）からの対称性特性
【数５８】
2015148609.tif 000062
を利用して、
【数５９】
2015148609.tif 000063
の以下の対称性を導出する。
【数６０】
2015148609.tif 000064
ただし、
【数６１】
2015148609.tif 000065
は反対角行列（ｃｏｕｎｔｅｒｄｉａｇｏｎａｌ  ｍａｔｒｉｘ）である（μ＝（Ｍ＋１）（Ｎ＋１），ν＝（Ｘ＋１）（Ｙ＋１）（Ｍ×Ｎはセンサピクセルサイズであり、Ｘ×Ｙはオブジェクト位置サイズである）。反対角行列は、反対角成分が１であり、その他はゼロである行列である。従って、
【数６２】
2015148609.tif 000066
は、中心対称行列の特別なケースである。以下において、式（１７）の対称性特性の短い証明が与えられる。
【００５４】
証明：
一般性を失うことなく、オンアクシス小型レンズ、すなわち、μ＝ν＝０を検討する。ベクトル形式による所与のオブジェクト位置（ｒ，ｌ）についてオブジェクト座標とセンサ座標との間のマッピングは、
【数６３】
2015148609.tif 000067
に対して、
【数６４】
2015148609.tif 000068
により示され、
【数６５】
2015148609.tif 000069
はサイズ（Ｗ＋１）（Ｔ＋１）を有する。ベクトル
【数６６】
2015148609.tif 000070
のエントリｂｋのインデックスｋは、ベクトル化されたシステムレスポンスの行毎の配置のため、ｋ＝（Ｗ＋１）ｐ＋ｑとして表される。ｐを（Ｔ−ｐ）により置換し、ｑを（Ｗ−ｑ）により置換することによって、式（１４）からのセンサ対称特性により
【数６７】
2015148609.tif 000071
によりベクトル
【数６８】
2015148609.tif 000072
のエントリ
【数６９】
2015148609.tif 000073
に対して、
【数７０】
2015148609.tif 000074
を得る。この結果、
【数７１】
2015148609.tif 000075
として表されるベクトル
【数７２】
2015148609.tif 000076
のフリップ対称性を得ることになり、ここで、
【数７３】
2015148609.tif 000077
はサイズ（Ｗ＋１）（Ｔ＋１）の反対角行列である。従って、
【数７４】
2015148609.tif 000078
の垂直軸及び水平軸に沿った以下のフリップ／ミラー対称性を得る。
【数７５】
2015148609.tif 000079
同様の議論によって、式（１４）からの性質を用いて、
【数７６】
2015148609.tif 000080
の対称性を得る。
【００５５】
ここで、ＰＩＦ行列の擬似逆行列を介した再構成が実行されるセンサデータからのオブジェクトの再構成を解析する。
【数７７】
2015148609.tif 000081
の特異値分解が与えられると、
【数７８】
2015148609.tif 000082
の中心対称特性は、
【数７９】
2015148609.tif 000083
を生じさせる。
【数８０】
2015148609.tif 000084
の擬似逆行列は、中心対称行列の擬似逆行列が中心対称的である、すなわち、
【数８１】
2015148609.tif 000085
であるという性質によって、
【数８２】
2015148609.tif 000086
により与えられる。擬似逆行列を用いてセンサデータ
【数８３】
2015148609.tif 000087
からのオブジェクトベクトル
【数８４】
2015148609.tif 000088
の再構成は、
【数８５】
2015148609.tif 000089
により与えられる。再構成ベクトル
【数８６】
2015148609.tif 000090
は、式（１７）からの
【数８７】
2015148609.tif 000091
の対称特性が与えられると、以下の対称特性を有する。
【数８８】
2015148609.tif 000092
これは、所与の必ずしも対称的でないオブジェクト
【数８９】
2015148609.tif 000093
について、対称再構成
【数９０】
2015148609.tif 000094
を得ることを意味する。
【００５６】
Ｐは特別な中心対称行列
本セクションでは、行列
【数９１】
2015148609.tif 000095
がｍ×ｍの正方行列であると仮定する。式（２１）〜（２２）から、以下の式を得る。
【数９２】
2015148609.tif 000096
ただし、
【数９３】
2015148609.tif 000097
は、中心対称行列の特別なケースであるｍ×ｍの反対角行列である。任意の中心対称行列
【数９４】
2015148609.tif 000098
は、
【数９５】
2015148609.tif 000099
として記述できる。
【数９６】
2015148609.tif 000100
を設定することによって、行列
【数９７】
2015148609.tif 000101
はこの条件を充足する。
【００５７】
ここで、
【数９８】
2015148609.tif 000102
のランクが
【数９９】
2015148609.tif 000103
のランクに等しいことを証明する。中心対称行列
【数１００】
2015148609.tif 000104
は、変換行列
【数１０１】
2015148609.tif 000105
（すなわち、
【数１０２】
2015148609.tif 000106
）によって、ブロック対角行列
【数１０３】
2015148609.tif 000107
と同様に直交することを知っている。これは、
【数１０４】
2015148609.tif 000108
が
【数１０５】
2015148609.tif 000109
と同様に直交することを意味する。この結果、
【数１０６】
2015148609.tif 000110
のランクは
【数１０７】
2015148609.tif 000111
のランクに等しい。
【００５８】
ここで、行列
【数１０８】
2015148609.tif 000112
のブロック対角構造を証明する。
【数１０９】
2015148609.tif 000113
が直交行列
【数１１０】
2015148609.tif 000114
と対角行列
【数１１１】
2015148609.tif 000115
とに対して特異値分解
【数１１２】
2015148609.tif 000116
により表されるとする。
【数１１３】
2015148609.tif 000117
は
【数１１４】
2015148609.tif 000118
と同様に直交するため、
【数１１５】
2015148609.tif 000119
のランクは
【数１１６】
2015148609.tif 000120
のランクに等しい。これは、
【数１１７】
2015148609.tif 000121
がｍ／２以下のランクの対角行列である場合、
【数１１８】
2015148609.tif 000122
を意味する。
【数１１９】
2015148609.tif 000123
の特異値分解を
【数１２０】
2015148609.tif 000124
として定義する。ここで、
【数１２１】
2015148609.tif 000125
に適したＳＶＤを提供するような行列
【数１２２】
2015148609.tif 000126
を構成できる。
【数１２３】
2015148609.tif 000127
とする。このとき、行列
【数１２４】
2015148609.tif 000128
は性質
【数１２５】
2015148609.tif 000129
を有する。
【数１２６】
2015148609.tif 000130
を設定した場合、
【数１２７】
2015148609.tif 000131
を得る。
【００５９】
行列Ｕ及びＶは、
【数１２８】
2015148609.tif 000132
である場合、直交する。
【数１２９】
2015148609.tif 000133
によって、
【数１３０】
2015148609.tif 000134
が直交行列である場合、行列
【数１３１】
2015148609.tif 000135
の直交性を得る。
【数１３２】
2015148609.tif 000136
であるため、
【数１３３】
2015148609.tif 000137
の直交性を有する。行列
【数１３４】
2015148609.tif 000138
は、任意の直交行列として選択できる。
【００６０】
このとき、行列
【数１３５】
2015148609.tif 000139
は、それのブロック対角構造を示す
【数１３６】
2015148609.tif 000140
を生じさせる（性質
【数１３７】
2015148609.tif 000141
を利用して）。
【符号の説明】
【００６１】
１１０  プライマリイメージングシステム
１２０  セカンダリイメージングアレイ
１２５  フィルタモジュール
１３０  センサアレイ
１５０  オブジェクト
【図１】
2015148609.tif 000177
【図４】
2015148609.tif 000178
【図７】
2015148609.tif 000179
【図２】
2015148609.tif 000180
【図３】
2015148609.tif 000181
【図５】
2015148609.tif 000182
【図６】
2015148609.tif 000183