(57)【要約】【課題】二酸化炭素の多方向拡散によるコンクリートの中性化進行過程の数学的定式化と可視化を行う。【解決手段】ラプラス変換法やフーリエ級数による展開法を利用して、擬１次炭酸化反応を伴う二酸化炭素のフィックの拡散の二階偏微分方程式の数学的解析解を求める。２方向拡散、３方向拡散、４方向拡散の場合も含めて、中性化進行状況を、数学的に理解できるようにする。数学演算ソフトMathematicaのプログラムであるNDSolveによる数値解法とそのグラフ表示のプログラムである3DPlot、DensityPlot,  ContourPlot、Showなどに基づいてコンクリートの中性化の可視化を行う。【選択図】 なし【特許請求の範囲】
【請求項１】
四角柱形状のコンクリート構造物の相対する２つの面から二酸化炭素がコンクリート構造物の内部に拡散する２方向拡散によるコンクリートの中性化を解析する方法であって、
前記二酸化炭素のコンクリートの中性化の進行を二酸化炭素の擬１次炭酸化反応とし、二酸化炭素がコンクリート内に拡散する二階偏微分方程式（ａ）を設定し、前記二階偏微分方程式（ａ）を変換条件（ｂ）、（ｃ）によって変数変換して基礎方程式（ｄ）とした後、前記基礎方程式（ｄ）をフーリエ級数又はラプラス変換によって解析することを特徴とする。
【数１】
2015145794.tif 000098
【数２】
2015145794.tif 000099
【数３】
2015145794.tif 000100
【請求項２】
請求項１記載の解析における有効拡散係数及び擬１次炭酸化反応速度定数の数値を設定して中性化進行状況を３次元プロットにより表示することを特徴とする二酸化炭素によるコンクリートの中性化の解析方法。
【請求項３】
請求項１記載の解析における有効拡散係数及び擬１次炭酸化反応速度定数の数値を設定して中性化進行状況を２次元プロットにより表示することを特徴とする二酸化炭素によるコンクリートの中性化の解析方法。
【請求項４】
四角柱形状のコンクリート構造物の１つの面が遮断され、他の３つの面から二酸化炭素がコンクリート構造物の内部に拡散する３方向拡散によるコンクリートの中性化を解析する方法であって、
前記二酸化炭素のコンクリートの中性化の進行を二酸化炭素の擬１次炭酸化反応とし、二酸化炭素がコンクリート内に拡散する二階偏微分方程式（ｅ）を設定し、前記二階偏微分方程式（ｅ）を変換条件（ｆ）、（ｇ）によって変数変換して基礎方程式（ｈ）とした後、前記基礎方程式（ｈ）をフーリエ級数又はラプラス変換によって解析することを特徴とする。
【数４】
2015145794.tif 000101
【数５】
2015145794.tif 000102
【数６】
2015145794.tif 000103
【請求項５】
請求項４記載の解析における有効拡散係数及び擬１次炭酸化反応速度定数の数値を設定して中性化進行状況を３次元プロットにより表示することを特徴とする二酸化炭素によるコンクリート中性化の解析方法。
【請求項６】
請求項４記載の解析における有効拡散係数及び擬１次炭酸化反応速度定数の数値を設定して中性化進行状況を２次元プロットにより表示することを特徴とする二酸化炭素によるコンクリート中性化の解析方法。
【請求項７】
四角柱形状のコンクリート構造物の全ての４つの面から二酸化炭素がコンクリート構造物の内部に拡散する４方向拡散によるコンクリートの中性化を解析する方法であって、
前記二酸化炭素のコンクリートの中性化の進行を二酸化炭素の擬１次炭酸化反応とし、二酸化炭素がコンクリート内を拡散する二階偏微分方程式（ｉ）を設定し、前記二階偏微分方程式（ｉ）を変換条件（ｊ）、（ｋ）によって変数変換して基礎方程式（ｍ）とした後、前記基礎方程式（ｍ）をフーリエ級数又はラプラス変換によって解析することを特徴とする二酸化炭素によるコンクリート中性化の解析方法。
【数７】
2015145794.tif 000104
【数８】
2015145794.tif 000105
【数９】
2015145794.tif 000106
【請求項８】
請求項７記載の解析における有効拡散係数及び擬１次炭酸化反応速度定数の数値を設定して中性化進行状況を３次元プロットにより表示することを特徴とする二酸化炭素によるコンクリートの中性化の解析方法。
【請求項９】
請求項７記載の解析における有効拡散係数及び擬１次炭酸化反応速度定数の数値を設定して中性化進行状況を２次元プロットにより表示することを特徴とする二酸化炭素によるコンクリートの中性化の解析方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、コンクリートを中性化させる二酸化炭素のコンクリート内への拡散を解析する解析方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
コンクリート構造物中の鉄筋は、アルカリ性雰囲気下では不動態被膜に覆われているため腐食しにくい状態となっているが、大気中の二酸化炭素のコンクリート内への浸透によってコンクリートが中性化し、この中性化によって不動態被膜が破壊されて腐食し易くなる。コンクリートの中性化は、コンクリート中のＣａ（ＯＨ）２等のセメント水和生成物がセメント内に拡散した大気中の二酸化炭素と反応して炭酸カルシウムＣａＣＯ３を生成することによりなされる。このようなコンクリートの中性化とそれに伴う鉄筋腐食の進行は、鉄筋コンクリート（ＲＣ）部材や建築・土木構造物等のコンクリート構造物の寿命設定の基礎となっている。
【０００３】
従来、コンクリートの中性化は非特許文献１に記載されるように、二酸化炭素のコンクリートへの１次元１方向の拡散による経過時間に関する放物線則（√ｔ則）によって解析されている。
【０００４】
すなわちコンクリートの中性化深さをｘとし、そのときの中性深さの時間変化ｄｘ／ｄｔ がそのときまでの中性深さに反比例すると考えると、次の常微分方程式が成り立つ( kは、比例定数)。
【数１０】
2015145794.tif 000002
これを変数分離して積分すると、
【数１１】
2015145794.tif 000003
すなわち
【数１２】
2015145794.tif 000004
となり、これから、次のコンクリートの中性化進行に関する経過時間の放物線則（√ｔ則）が得られる（Ａは、中性化進行速度係数（［距離／時間１／２］の次元を持つ）と呼ばれ、セメントの種類、水−セメント比、温・湿度、二酸化炭素濃度等の色々な外的・内的因子が影響する）。
Ｘ＝Ａ√ｔ 
【０００５】
非特許文献２には、以上の放物線則に基づき、水−セメント６０％の普通ポルトランドセメントコンクリートの日本の屋外の雨の降りかかる状態でのコンクリートの中性化進行に関する以下の浜田則が記載されている。
Ｘ＝０．３７√ｔ
【０００６】
特許文献１には、コンクリート中の二酸化炭素の短期における拡散状態に基づいて長期にわたる拡散状態を予測する方法が記載されている。この方法は、コンクリートを二酸化炭素に短期間さらして二酸化炭素が浸透した浸透距離を呈色反応によって測定し、浸透距離及び浸透期間を変数に用いたフィックの第２法則に基づく拡散方程式の解を用いることにより任意の距離及び時間における二酸化炭素の濃度を予測するものである。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００７】
【特許文献１】特開２０１２−２０２７３１号公報
【非特許文献】
【０００８】
【非特許文献１】R. Kondo,  K. Daimon, and T. Akiba: Mechanisms and Kinetics on Carbonation of Hardened Cement, Proceedings of the 5th International Symposium on Chemistry of Cement, Tokyo, Japan, 3 , pp.402-409(1968)
【非特許文献２】M. Hamada: Neutralization (Carbonation) of Concrete and Corrosion of Reinforcing Steel, ibid, pp. 343-369(1968)
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００９】
非特許文献１、２及び特許文献１に記載されている従来の二酸化炭素のコンクリート内への拡散の解析は、コンクリート内への１次元１方向の拡散に関するものである。このような１次元１方向の拡散だけでは、コンクリート構造物が地上に施工されるという現実を考慮したものではない。すなわち地上に独立して施工されたコンクリート構造物に対しては、大気中の二酸化炭素は１方向だけなく全周囲から浸透するものである。又、貯水池（例えば、ダム）の場合や他の構造物と接触して施工されているコンクリート構造物においては、大気との非接触面からは二酸化炭素が浸透しないのに対し、大気との非接触面を除く他の複数の露出面から二酸化炭素が浸透する。従って、二酸化炭素のコンクリートへの拡散を１次元１方向で解析する従来の方法は、中性化の進行に対してある程度の示唆が可能であるとしても現実的とはかけ離れた解析となっている。
【００１０】
本発明は１次元１方向の拡散に対して視点を変えてなされたものであり、コンクリート構造物の実際の施工状況を考慮し、二酸化炭素の浸透によるコンクリート中性化の進行をコンクリートへの多方向拡散に基づいて解析する新たな解析方法を提供することを目的としている。
【課題を解決するための手段】
【００１１】
本発明は、四角柱形状のコンクリート構造物の相対する２つの面から二酸化炭素がコンクリート構造物の内部に拡散する２方向拡散によるコンクリートの中性化を解析する方法であって、
前記二酸化炭素のコンクリートの中性化の進行を二酸化炭素の擬１次炭酸化反応とし、二酸化炭素がコンクリート内に拡散する二階偏微分方程式（ａ）を設定し、前記二階偏微分方程式（ａ）を変換条件（ｂ）、（ｃ）によって変数変換して基礎方程式（ｄ）とした後、前記基礎方程式（ｄ）をフーリエ級数又はラプラス変換によって解析することを特徴とする。
【数１３】
2015145794.tif 000005
【数１４】
2015145794.tif 000006
【数１５】
2015145794.tif 000007
【００１２】
また、本発明は、四角柱形状のコンクリート構造物の１つの面が遮断され、他の３つの面から二酸化炭素がコンクリート構造物の内部に拡散する３方向拡散によるコンクリートの中性化を解析する方法であって、
前記二酸化炭素のコンクリートの中性化の進行を二酸化炭素の擬１次炭酸化反応とし、二酸化炭素がコンクリート内に拡散する二階偏微分方程式（ｅ）を設定し、前記二階偏微分方程式（ｅ）を変換条件（ｆ）、（ｇ）によって変数変換して基礎方程式（ｈ）とした後、前記基礎方程式（ｈ）をフーリエ級数又はラプラス変換によって解析することを特徴とする。
【数１６】
2015145794.tif 000008
【数１７】
2015145794.tif 000009
【数１８】
2015145794.tif 000010
【００１３】
また、本発明は、四角柱形状のコンクリート構造物の全ての４つの面から二酸化炭素がコンクリート構造物の内部に拡散する４方向拡散によるコンクリートの中性化を解析する方法であって、
前記二酸化炭素のコンクリートの中性化の進行を二酸化炭素の擬１次炭酸化反応とし、二酸化炭素がコンクリート内を拡散する二階偏微分方程式（ｉ）を設定し、前記二階偏微分方程式（ｉ）を変換条件（ｊ）、（ｋ）によって変数変換して基礎方程式（ｍ）とした後、前記基礎方程式（ｍ）をフーリエ級数又はラプラス変換によって解析することを特徴とする。
【数１９】
2015145794.tif 000011
【数２０】
2015145794.tif 000012
【数２１】
2015145794.tif 000013
【００１４】
本発明は、以上の解析における有効拡散係数及び擬１次炭酸化反応速度定数の数値を設定して中性化進行状況を３次元プロットにより表示することを特徴とする。
【００１５】
また、本発明は、以上の解析における有効拡散係数及び擬１次炭酸化反応速度定数の数値を設定して中性化進行状況を２次元プロットにより表示することを特徴とする。
【発明の効果】
【００１６】
本発明によれば、二酸化炭素の拡散浸透によるコンクリート中性化の進行をコンクリートへの多方向拡散に基づいて解析するため、コンクリート構造物の実際の施工状況に良好に対応することができる。
【図面の簡単な説明】
【００１７】
【図１】本発明の解析の対象となるコンクリート構造物の形状を示す斜視図である。
【図２】２方向拡散を３次元プロットによって表示したグラフである。
【図３−ａ】２方向拡散を２次元の濃度分布プロットによって表示したグラフである。
【図３−ｂ】２方向拡散を２次元の等高線プロットによって表示したグラフである。
【図４】３方向拡散を３次元プロットによって表示したグラフである。
【図５−ａ】３方向拡散を２次元の濃度分布プロットによって表示したグラフである。
【図５−ｂ】３方向拡散を２次元の等高線プロットによって表示したグラフである。
【図６】４方向拡散を３次元プロットによって表示したグラフである。
【図７−ａ】４方向拡散を２次元の濃度分布プロットによって表示したグラフである。
【図７−ｂ】４方向拡散を２次元の等高線プロットによって表示したグラフである。
【発明を実施するための形態】
【００１８】
コンクリートの中性化の進行が起こる状況は、建築物の外壁の屋外・屋内側、建築物／土木構造物の屋外の角柱、促進中性化試験における角柱試験体など、様々なものがある。本発明においては、図１に示す１辺が２ａの正方形の四角柱形状のコンクリート構造物に基づいて解析するものである。
２方向拡散におけるコンクリート中性化の解析においては、四角柱形状の２端部が遮断されて二酸化炭素との接触がなく、相対する２つの面から双方向で二酸化炭素が拡散する状況である。３方向拡散におけるコンクリート中性化の解析においては、四角柱形状の１端部が遮断されて二酸化炭素との接触がなく、他の３つの面から二酸化炭素が拡散する状況である。４方向拡散におけるコンクリート中性化の解析においては、四角柱形状の全ての４つの面から二酸化炭素が拡散する状況である。
【００１９】
まず、本発明の基礎となる炭酸化反応を伴う二酸化炭素の１次元一方向における拡散方程式を示す。
コンクリートの中性化では、数学的定式化は、水酸化カルシウム（Ca(OH)2）との炭酸化反応を伴う二酸化炭素（CO２）の内層部への非定常拡散過程に帰着する。コンクリートの中性化に関連した二酸化炭素（CO２）と水酸化カルシウム（Ca(OH)２）の炭酸化反応は、次の様に表せる。
CaCO3は、炭酸化反応の生成物である炭酸化カルシウム、H2Oは、副生成物の水である。
Ca(OH)2＋CO２＝CaCO３＋H２O  
【００２０】
炭酸化反応はCa(OH)2とCO２の２次反応になるが，コンクリートの炭酸化フロント近傍では、CO２濃度に比して、Ca(OH)2の濃度が圧倒的に大きく、事実上、CO２濃度に関する擬１次反応と見なしてよい。また、炭酸化反応はCO２濃度の減少になるので、この反応は、負となる。すなわち、炭酸化反応速度をRＡ、コンクリート中のＣＯ２濃度をCＡ(x,t)、Ca(OH)2濃度をCB、コンクリート中のCa(OH)2の初濃度をCB0、２次反応速度定数をｋ２、擬１次反応速度定数をｋ１’ＣＡとすると、
ＲＡ＝−ｋ２ＣＡＣＢ＝−ｋ２ＣＡＣＢＯ＝−ｋ１’ＣＡＣＢＯ
従って、擬1次炭酸化反応を伴う二酸化炭素の１次元一方向拡散の場合の２階偏微分方程式は、次のようになる。
【００２１】
【数２２】
2015145794.tif 000014
【００２２】
式（１）に対し、半無限固体近似で、次のような初期条件と境界条件を設定する。
【数２２−１】
2015145794.tif 000015
【数２２−２】
2015145794.tif 000016
【数２２−３】
2015145794.tif 000017
また、このとき、境界条件(3)から、
【数２２−４】
2015145794.tif 000018
【００２３】
式(10)にラプラス逆変換を行うと、次の数学的解析解が得られる。
【数２２−５】
2015145794.tif 000019
この式で、コンクリート表面からの距離をパラメータとして、その時間変化を表したものと、浜田則との比較により、
【数２２−６】
2015145794.tif 000020
のときのxが中性化深さXに対応することが、明らかとなった。
また、〔表１〕に示されるように、各種のコンクリートにおいて、CO２の拡散係数は、水―セメントと指数関数の関係がある。
【００２４】
【表１】
2015145794.tif 000021
【００２５】
他方、大気中の二酸化炭素濃度の増大傾向に見られるように、コンクリート表面の二酸化炭素濃度が一定値でなく、次のように、時間的に変化する関数φ（ｔ）で与えられる場合には、
【数２２−７】
2015145794.tif 000022
【数２２−８】
2015145794.tif 000023
【００２６】
［第１実施形態］
本発明の第１実施形態では、図１に示す四角柱形状のコンクリート構造物に対して相対する２つの面から二酸化炭素が内部に拡散する２方向拡散のコンクリートの中性化を解析する。上述したように二酸化炭素によるコンクリートの中性化の進行を二酸化炭素の擬１次炭酸化反応とするものである。フィックの拡散方程式からコンクリート内に拡散する二酸化炭素の二階偏微分方程式を下記のように設定し、コンクリートの中性化の進行を解析する。
【００２７】
【数２３】
2015145794.tif 000024
【００２８】
次に、式（１５）を以下の変数変換によって簡略化する。
【００２９】
【数２４】
2015145794.tif 000025
と変数変換すると、
【００３０】
【数２５】
2015145794.tif 000026
【００３１】
従って、変数変換により次のように簡略化した基礎方程式を得ることができる。
【００３２】
【数２６】
2015145794.tif 000027
【００３３】
次に、基礎方程式をフーリエ級数によって数学的解析解を導出する。
式（２１）の基礎方程式において、
【００３４】
【数２７】
2015145794.tif 000028
【００３５】
【数２８】
2015145794.tif 000029
【００３６】
従って、
【００３７】
【数２９】
2015145794.tif 000030
【００３８】
式（３２）が恒等的に成り立つためには、式（３２）の左辺及び右辺の１番目の式が定数でなければならない。
【００３９】
−α２を分離定数とすると、
【００４０】
【数３０】
2015145794.tif 000031
すなわち、
【００４１】
【数３１】
2015145794.tif 000032
【００４２】
このときの境界条件は、
【数３２】
2015145794.tif 000033
【００４３】
式(35)、(37)の一般解は、A、B、C、を積分定数として、次のように与えられる。
【数３３】
2015145794.tif 000034
また、
【００４４】
【数３４】
2015145794.tif 000035
境界条件（３９）、（４０）から
【００４５】
【数３５】
2015145794.tif 000036
【００４６】
また、境界条件（４２）から、
【数３６】
2015145794.tif 000037
式（４８）から、
【００４７】
【数３７】
2015145794.tif 000038
よって、解は、
【００４８】
【数３８】
2015145794.tif 000039
【００４９】
重ね合わせの原理により、
【数３９】
2015145794.tif 000040
【００５０】
初期条件で、
【数４０】
2015145794.tif 000041
とフーリエ級数に展開すると、
【００５１】
【数４１】
2015145794.tif 000042
【００５２】
【数４２】
2015145794.tif 000043
よってｕ（ρ、ｔ）のフーリエ級数による数学的解析解は、次のように得られる。
【００５３】
【数４３】
2015145794.tif 000044
【００５４】
従って、ＣＡ（x,t）のフーリエ級数による数学的解析解は、次のようになる。
【数４４】
2015145794.tif 000045
【００５５】
一方、ラプラス変換法による数学的解析解は以下のように導出される。
【００５６】
式（２１）の基礎方程式にラプラス変換を行い、
【数４５】
2015145794.tif 000046
とおくと、
【数４６】
2015145794.tif 000047
であるが、
初期条件（２２−ａ）から、ｕ（ρ、０）だから
【００５７】
【数４７】
2015145794.tif 000048
よって、
【数４８】
2015145794.tif 000049
すなわち、
【００５８】
【数４９】
2015145794.tif 000050
【００５９】
この２階常微分方程式の一般解は、Ｄ、Ｅを係数として、次のように与えられる。
【００６０】
【数５０】
2015145794.tif 000051
また、
【数５１】
2015145794.tif 000052
【００６１】
境界条件（２３）、（２４）、（２５）から、
【数５２】
2015145794.tif 000053
【００６２】
式（７４）より、Ｄ＝Ｅ…(75)  であり、
これを、式（７２）、（７３）に代入すると、
【数５３】
2015145794.tif 000054
よって、
【数５４】
2015145794.tif 000055
【００６３】
式（７７）について、ラプラス逆変換に関するヘビサイドの展開定理に基づいて、留数を求め、ラプラス逆変換により、数学的解析解を求める。
【００６４】
【数５５】
2015145794.tif 000056
とおくと、
【数５６】
2015145794.tif 000057
とすると、双曲三角関数と三角関数について、次の関係がある。
【００６５】
【数５７】
2015145794.tif 000058
よって、ｑ（ρ、ｓ）＝０となるのは、
【００６６】
【数５８】
2015145794.tif 000059
で、いずれも単極である。
【００６７】
ヘビサイド(Heaviside)の展開定理により、
【００６８】
【数５９】
2015145794.tif 000060
【００６９】
（１）ｓ=0(単極)での留数は、次のように得られる。
【００７０】
【数６０】
2015145794.tif 000061
【００７１】
（２）一方、下記式 (単極)での留数は、次のように得られる。
【００７２】
【数６１】
2015145794.tif 000062
だから、
【数６２】
2015145794.tif 000063
【００７３】
【数６３】
2015145794.tif 000064
【００７４】
【数６４】
2015145794.tif 000065
【００７５】
よって、Ｓ＝Ｓｎにおける留数は、
【数６５】
2015145794.tif 000066
従って、u（ρ、ｔ）のラプラス変換法による数学的解析解は、次の形で得られる。
【数６６】
2015145794.tif 000067
【００７６】
また、ＣＡ（ｘ、ｔ）のラプラス変換法による数学的解析解は、次の形で得られる。
【００７７】
【数６７】
2015145794.tif 000068
【００７８】
式（６４−ｂ）のフーリエ級数による数学的解析解と式（９１−ｂ）のラプラス変換法による数学的解析解は、一見すると、違う形であるが、本質的には、同じものである。
【００７９】
次に、可視化について、説明する。可視化は数学演算ソフトMathematicaのプログラムであるNDSolveによる数値解法とそのグラフ表示のプログラムである3DPlot、DensityPlot,  ContourPlot、Showなどに基づいて行うものである。
【００８０】
数学演算ソフトMathematicaのNDSolveによる２階偏微分方程式の数値解法
（有効係数拡散DAと擬１次炭酸化反応速度定数k1’の数値の設定）
拡散係数ＤＡは、普通ポルトランドセメントコンクリートの水セメント比60％に対応する数値として3.1536mm2/yearを用いた（ただ、可視化の便宜上拡散係数を100倍に設定した）。擬１次炭酸化反応速度定数k1’ は、0.01year-1を用いた。
【００８１】
（数値解法）
次の式は、Mathemaicaによる２方向拡散の二階偏微分方程式の表現である。
【００８２】
【数６８】
2015145794.tif 000069
【００８３】
次の式がNDSolveによる数値解法である。２つめの式は、二酸化炭素と接触する２端部での初期条件を与えている。数学的解析解を求める場合と異なり、井戸型の不連続の設定でなく、滑らかだが急激に減衰する指数関数を用いるのがポイントである。また、３つめの式が、両辺80cmの正４角形の境界条件の設定であり、その次が、関数ｕ［t,x,y］の定義領域を定めている。
【００８４】
【数６９】
2015145794.tif 000070
【００８５】
式（９２）、（９３）を解くと、関数ｕ［t,x,y］は、具体的な数式では、明示されないが、その特性の詳細は、コンピュータに内蔵された形になる。
【００８６】
【数７０】
2015145794.tif 000071
【００８７】
次のプログラムにより、二酸化炭素の２方向拡散によるコンクリートの中性化進行状況を３次元プロットによって可視化することができる。図２はこの可視化のグラフを示す。
【００８８】
【数７１】
2015145794.tif 000072
【００８９】
図２において、ｔは拡散時間を年数で示しており、ｔ＝１０は１０年後の状況、ｔ＝２０は２０年後の状況、ｔ＝３０は３０年後の状況であり、図２では１０〜９０年後の状況を示している。なお、以下の図３〜図７におけるｔも同様の年数である。図２の３次元プロットによりコンクリート中に拡散する二酸化炭素の濃度分布の経時変化を可視化することができる。なお、図２はモノクロのグラフとなっているが、二酸化炭素の濃度をカラー表示することにより、より鮮明に濃度分布の経時変化を可視化することが可能となる。
【００９０】
同様に、次のプログラムによる２次元プロットによって、上から眺めた濃度分布の経時変化の可視化ができる。（９６−ａ）は、濃度分布の２次元プロット、（９６−ｂ）は、等高線分布の２次元プロットの手法であり、図３−ａは濃度分布による可視化のグラフ、図３−ｂは等高線分布による可視化のグラフである。
【００９１】
【数７２】
2015145794.tif 000073
【００９２】
図３−ａおよび図３−ｂに示す２次元プロットを行うことにより、コンクリート中に拡散する二酸化炭素の濃度分布の経時変化を上から眺めた状態で可視化することができる。これらの図３においても、モノクロのグラフとなっているが、二酸化炭素の濃度をカラー表示することにより、より鮮明に濃度分布の経時変化を可視化することが可能となる。通常の１次元１方向拡散の場合と比較すると、中性化が、両端部から、内層部に向かって徐々に進行してゆく状況をよく理解できる。特に、図３−ｂのｔ＝＝３０のグラフ（右上隅のグラフ）では、等高線表示により、両端からの濃度が区切り線で明確に示されているＣＡ（ｘ、ｔ）／ＣＡ０＝０．１のときの両端からの距離ａ-ｘ、ｘ＋ａが、中性化深さｘに対応することが明らかとなっている。
【００９３】
［第２実施形態］
第２実施形態では、図１に示す四角柱形状のコンクリート構造物に対し、１つの面が遮断され、他の３つの面から二酸化炭素が内部に拡散する２方向拡散のコンクリートの中性化を解析する。この実施形態においても、二酸化炭素によるコンクリートの中性化の進行を二酸化炭素の擬１次炭酸化反応とするものである。フィックの拡散方程式からコンクリート内に拡散する二酸化炭素の二階偏微分方程式を下記のように設定し、コンクリートの中性化の進行を解析する。
【００９４】
【数７３】
2015145794.tif 000074
【００９５】
式（９７−１）を変数変換によって３方向拡散の数学的モデルに簡略化する。
【００９６】
【数７４】
2015145794.tif 000075
と変数変換すると、
【数７５】
2015145794.tif 000076
【００９７】
この変数変換により、３方向拡散の基礎方程式は次のようになる。
【数７６】
2015145794.tif 000077
【００９８】
（フーリエ級数による３方向拡散の二階偏微分方程式の数学的解析解の導出）
式（１０４）〜（１１２）に対して、２方向拡散の場合と同様に、フーリエ級数を用いて解くと、次の解析解が得られる（式の導出過程は、２方向拡散の場合と重複する場合もあるので省略する）。
【００９９】
【数７７】
2015145794.tif 000078
【０１００】
（ラプラス変換法による３方向拡散の二階偏微分方程式の数学的解析解の導出）
式(１０４）〜（１１２）に対して、２方向拡散の場合と同様に、ラプラス変換法を用いて解くと、次の解析解が得られる（式の導出過程は、２方向拡散の場合と重複する場合もあるので省略する）。
【数７８】
2015145794.tif 000079
【数７８−１】
2015145794.tif 000080
【０１０１】
式（１１３−ｂ）のフーリエ級数による数学的解析解と式（１１４−ｂ）のラプラス変換法による数学的解析解は、一見すると、違う形であるが、本質的には、同じものである。
【０１０２】
数学演算ソフトMathematicaのNDSolveによる二階偏微分方程式の数値解法
（有効係数拡散DAと擬１次炭酸化反応速度定数k1’の数値の設定）
拡散係数DAは、普通ポルトランドセメントコンクリートの水セメント比60％に対応する数値として3.1536mm2/yearを用いた（ただ、可視化の便宜上拡散係数を100倍に設定した）。擬1字炭酸化反応速度定数k1’ は、0.01year-1を用いた。
【０１０３】
（数値解法）
次の式は、Mathemaicaによる３方向拡散の二階偏微分方程式の表現である。
【数７９】
2015145794.tif 000081
【０１０４】
次の式がNDSolveによる数値解法である。２つめの式は、二酸化炭素と接触する３端部での初期条件を与えている。数学的解析解を求める場合と異なり、井戸型の不連続の設定でなく、滑らかだが急激に減衰する指数関数を用いるのがポイントである。また、３つめの式が、両辺80cmの正４角形の境界条件の設定であり、その次が、関数ｕ［t,x,y］の定義領域を定めている。
【数８０】
2015145794.tif 000082
【０１０５】
式（１１５）、（１１６）を解くと、関数u［ｔ、ｘ、ｙ］は、具体的な数式では、明示されないが、その特性の詳細は、コンピュータに内蔵された形になる。
【数８１】
2015145794.tif 000083
【０１０６】
図４は３方向拡散を３次元プロットによって可視化したグラフ、図５−ａおよび図５−ｂは、２次元プロットによって可視化したグラフを示す。可視化は２方向拡散と同様にして行うことができるため説明を省略する。図４及び図５においてもモノクロのグラフとなっているが、二酸化炭素の濃度をカラー表示することにより、より鮮明に濃度分布の経時変化を可視化することが可能となる。特に、図５−ｂで示すように、偶角部に曲線的な濃度分布および等高線分布が表れ、３方向拡散における特徴を可視化により容易に理解することができる。
【０１０７】
［第３実施形態］
第３実施形態では、図１に示す四角柱形状のコンクリート構造物の全ての面から二酸化炭素が内部に拡散する２方向拡散のコンクリートの中性化を解析する。この実施形態においても、二酸化炭素によるコンクリートの中性化の進行を二酸化炭素の擬１次炭酸化反応とするものである。フィックの拡散方程式からコンクリート内に拡散する二酸化炭素の二階偏微分方程式を下記のように設定し、コンクリートの中性化の進行を解析する。
【０１０８】
【数８２】
2015145794.tif 000084
【０１０９】
４方向拡散に対し、３方向拡散は縦方向の一端が絶縁されており、その部分の拡散流速がないという場合に対応する。このため、４方向拡散は３方向拡散とほとんど同じ式、同じ変数で取り扱うことができる。ただ、以下のように初期条件、境界条件の一部が異なる。
【０１１０】
初期条件においては、３方向拡散が、
【数８３】
2015145794.tif 000085
であるのに対し、４方向拡散では、
【数８４】
2015145794.tif 000086
となり、
境界条件においては、３方向拡散が
【数８５】
2015145794.tif 000087
であるのに対し、４方向拡散では、
【数８６】
2015145794.tif 000088
となる。
【０１１１】
式（１１８−１）を変数変換によって４方向拡散の数学的モデルに簡略化する。
【数８７】
2015145794.tif 000089
と変数変換すると、
【０１１２】
【数８８】
2015145794.tif 000090
【０１１３】
この変数変換により、４方向拡散の基礎方程式は次のようになる。
【０１１４】
【数８９】
2015145794.tif 000091
【０１１５】
（フーリエ級数による４方向拡散の二階偏微分方程式の数学的解析解の導出）
式（１３０）〜（１３７）に対して、２方向拡散の場合と同様に、フーリエ級数を用いて解くと、次の解析解が得られる（式の導出過程は、２方向拡散の場合と重複する場合もあるので省略する）。
【０１１６】
【数９０】
2015145794.tif 000092
【０１１７】
（ラプラス変換による４方向拡散の二階偏微分方程式の数学的解析解の導出）
式（１３０）〜（１３７）に対して、２方向拡散の場合と同様に、ラプラス変換を用いて解くと、次の解析解が得られる（式の導出過程は、２方向拡散の場合と重複する場合もあるので省略する。
【０１１８】
【数９１】
2015145794.tif 000093
【数９１−１】
2015145794.tif 000094
【０１１９】
数学演算ソフトMathematicaのNDSolveによる二階偏微分方程式の数値解法
【０１２０】
（有効係数拡散DAと擬１次炭酸化反応速度定数k1’の数値の設定）
拡散係数DAは、普通ポルトランドセメントコンクリートの水セメント比60％に対応する数値として3.1536mm2/yearを用いた（ただ、可視化の便宜上拡散係数を100倍に設定した）。擬１次炭酸化反応速度定数k1’ は、0.01year-1を用いた。
【０１２１】
（数値解法）
次の式は、Mathemaicaによる４方向拡散の二偏微分方程式の表現である。
【数９２】
2015145794.tif 000095
【０１２２】
次の式がNDSolveによる数値解法である。２つめの式は、二酸化炭素と接触する４端部での初期条件を与えている。数学的解析解を求める場合と異なり、井戸型の不連続の設定でなく、滑らかだが急激に減衰する指数関数を用いるのがポイントである。また、３つめの式が、両辺80cmの正4角形の境界条件の設定であり、その次が、関数ｕ［t,x,y］の定義領域を定めている。
【数９３】
2015145794.tif 000096
【０１２３】
式（１４０）、（１４１）を解くと、関数u［ｔ、ｘ、ｙ］は、具体的な数式では、明示されないが、その特性の詳細は、コンピュータに内蔵された形になる。
【数９４】
2015145794.tif 000097
【０１２４】
図６は４方向拡散を３次元プロットによって可視化したグラフ、図７−ａおよび図７−ｂは、２次元プロットによって可視化したグラフを示す。可視化は２方向拡散と同様にして行うことができるため説明を省略する。図６及び図７においても、モノクロのグラフとなっているが、二酸化炭素の濃度をカラー表示することにより、より鮮明に濃度分布の経時変化を可視化することが可能となる。特に、図７−ｂで示すように、偶角部に曲線的な濃度分布および等高線分布が表れ、４方向拡散における特徴を可視化により容易に理解することができる。
【図１】
2015145794.tif 000107
【図２】
2015145794.tif 000108
【図３−ａ】
2015145794.tif 000109
【図３−ｂ】
2015145794.tif 000110
【図４】
2015145794.tif 000111
【図５−ａ】
2015145794.tif 000112
【図５−ｂ】
2015145794.tif 000113
【図６】
2015145794.tif 000114
【図７−ａ】
2015145794.tif 000115
【図７−ｂ】
2015145794.tif 000116
【手続補正書】
【提出日】平成26年8月27日(2014.8.27)
【手続補正１】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０１００
【補正方法】変更
【補正の内容】
【０１００】
（ラプラス変換法による３方向拡散の二階偏微分方程式の数学的解析解の導出）
式(１０４）〜（１１２）に対して、２方向拡散の場合と同様に、ラプラス変換法を用いて解くと、次の解析解が得られる（式の導出過程は、２方向拡散の場合と重複する場合もあるので省略する）。
【数７８】
2015145794.tif 000117
【数７８−１】
2015145794.tif 000118
【手続補正２】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０１１８
【補正方法】変更
【補正の内容】
【０１１８】
【数９１】
2015145794.tif 000119
【数９１−１】
2015145794.tif 000120