(57)【要約】この誘電率又は導電率推定方法は、測定対象物の３次元、２次元、又は、１次元の関心領域内における複数の位置の電位又は電界を測定するステップ（ａ）と、ステップ（ａ）において測定された電位データ又は電界をその測定箇所の位置データと対応付けて記録するステップ（ｂ）と、記録されている電位データ又は電界データ及び位置データと関心領域内に設定された３次元、２次元、又は、１次元の参照領域において得られる参照誘電率又は参照導電率の値及び位置データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される誘電率分布若しくは導電率分布、電界ベクトル分布、又は、電位分布に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の関心領域内における誘電率分布又は導電率分布を求めるステップ（ｃ）とを含む。
2003046587.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
測定対象物の３次元、２次元、又は、１次元の関心領域内における複数の位置の電位又は電界を測定するステップ（ａ）と、
ステップ（ａ）において測定された電位データ又は電界をその測定箇所の位置データと対応付けて記録するステップ（ｂ）と、
記録されている電位データ又は電界データ及び位置データと前記関心領域内に設定された３次元、２次元、又は、１次元の参照領域において得られる参照誘電率又は参照導電率の値及び位置データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される誘電率分布若しくは導電率分布、電界ベクトル分布、又は、電位分布に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における誘電率分布又は導電率分布を求めるステップ（ｃ）と、
を具備する誘電率又は導電率推定方法。
【請求項２】
測定対象物の１次元の関心領域内における複数の位置の電位又は電界を測定するステップ（ａ）と、
ステップ（ａ）において測定された電位データ又は電界データをその測定箇所の位置データと対応付けて記録するステップ（ｂ）と、
記録されている電位データ又は電界データ及び位置データと前記関心領域内に設定された１次元の参照領域において得られる参照誘電率又は参照導電率の値及び位置データとを用いて、所定の１階の空間微分方程式中に表される誘電率若しくは導電率の１階微分の１次元分布に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における誘電率分布又は導電率分布を求めるステップ（ｃ）と、
を具備する誘電率又は導電率推定方法。
【請求項３】
測定対象物の３次元、２次元、又は、１次元の関心領域内における複数の位置の電位又は電界を測定するステップ（ａ）と、
ステップ（ａ）において測定された電位データ又は電界データをその測定箇所の位置データと対応付けて記録するステップ（ｂ）と、
記録されている電位データ又は電界データ及び位置データと前記関心領域内に設定された３次元、２次元、又は、１次元の参照領域において得られる参照誘電率又は参照導電率の値及び位置データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される誘電率分布若しくは導電率分布、誘電率若しくは導電率の１階偏微分の分布、電界ベクトル分布、電界ベクトルの発散分布、又は、電位分布に関して有限差分近似、あるいは、ガラーキン法に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における誘電率分布又は導電率分布を求めるステップ（ｃ）と、
を具備する誘電率又は導電率推定方法。
【請求項４】
測定対象物の３次元、２次元、又は、１次元の関心領域内における複数の位置の電位又は電界の時系列を測定するステップ（ａ）と、
ステップ（ａ）において測定された電位データ又は電界データをその測定した位置データと測定した時間データと対応付けて記録するステップ（ｂ）と、
記録されている電位データ又は電界データ及び位置データ及び時間データと前記関心領域内の３次元、２次元、１次元参照領域において得られる経時的に変化しうる参照導電率、参照誘電率、誘電率と導電率の参照比の値及び位置データ及び時間データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される導電率分布、誘電率分布、誘電率と導電率の比の分布に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における導電率分布、誘電率分布、誘電率と導電率の比の分布、これらの経時的変化や周波数分散を求めるステップ（ｃ）と、
を具備する誘電率又は導電率推定方法。
【請求項５】
測定対象物の１次元の関心領域内における複数の位置の電位又は電界の時系列を測定するステップ（ａ）と、
ステップ（ａ）において測定された電位データ又は電界データをその測定した位置データと測定した時間データと対応付けて記録するステップ（ｂ）と、
記録されている電位データ又は電界及び位置データ及び時間データと前記関心領域内の１次元参照領域において得られる経時的に変化しうる参照導電率、参照誘電率、誘電率と導電率の参照比の値及び位置データと時間データを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される導電率の１階微分の１次元分布、誘電率の１階微分の１次元分布、誘電率と導電率の比の１階微分の１次元分布に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における導電率分布、誘電率分布、誘電率と導電率の比の分布、これらの経時的変化や周波数分散の分布を求めるステップ（ｃ）と、
を具備する誘電率又は導電率推定方法。
【請求項６】
測定対象物の３次元、２次元、又は、１次元の関心領域内における複数の位置の電位又は電界の時系列を測定するステップ（ａ）と、
ステップ（ａ）において測定された電位データ又は電界データをその測定した位置データと測定した時間データと対応付けて記録するステップ（ｂ）と、
記録されている電位データ又は電界データ及び位置データ及び時間データと前記関心領域内の３次元、２次元、１次元参照領域において得られる経時的に変化しうる参照導電率、参照誘電率、誘電率と導電率の参照比の値及び位置データ及び時間データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される導電率分布、導電率の１階偏微分の分布、誘電率分布、誘電率の１階偏微分の分布、誘電率と導電率の比の分布、誘電率と導電率の比の１階偏微分の分布、電位の時間方向の１階偏微分の分布、電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分の分布、電界ベクトル分布、電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分の分布、電界ベクトルの発散分布、又は、電位分布に関して有限差分近似、あるいは、ガラーキン法に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における導電率分布、誘電率分布、誘電率と導電率の比の分布、これらの経時的変化や周波数分散を求めるステップ（ｃ）と、
を具備する誘電率又は導電率推定方法。
【請求項７】
前記参照領域における参照誘電率又は参照導電率の値を得るために、所定の物質を前記参照領域として測定対象物の前記関心領域に含めるステップ（ｄ）をさらに具備し、
ステップ（ｃ）が、前記関心領域内の電位データ又は電界データ及び位置データと前記所定の物質の参照誘電率又は参照導電率の値及び位置データとに基づいて測定対象物の誘電率分布又は導電率分布を推定することを含む、請求項１〜３のいずれか１項記載の誘電率又は導電率推定方法。
【請求項８】
経時間的に変化しうる前記参照領域における参照誘電率や参照導電率の値を得るために、所定の物質を前記参照領域として測定対象物の前記関心領域に含めるステップ（ｄ）をさらに具備し、
ステップ（ｃ）が、前記関心領域内の電位データ又は電界データ及び位置データ及び時間データと前記所定の物質の参照誘電率や参照導電率の値及び位置データ及び時間データとに基づいて測定対象物の誘電率分布、導電率分布、誘電率と導電率の比の分布、これらの経時的変化や周波数分散を推定することを含む、請求項４〜６のいずれか１項記載の誘電率又は導電率推定方法。
【請求項９】
ステップ（ｃ）が、測定対象物の前記関心領域内に電位データや電界データが欠落した領域が存在する場合に、その領域を前記関心領域から除外して誘電率分布又は導電率分布を推定し、その領域の誘電率分布又は導電率分布を、推定された誘電率分布又は導電率分布に内挿又は外挿補間処理を施すことにより求めることを含む、請求項１〜３及び７のいずれか１項記載の誘電率又は導電率推定方法。
【請求項１０】
ステップ（ｃ）が、測定対象物の前記関心時間内の関心領城内に電位データ又は電界データが欠落した領域が存在する場合に、その時間と領域の各々を前記関心時間と関心領域から除外して誘電率分布、導電率分布、誘電率と導電率の比の分布、これらの経時的変化や周波数分散を推定し、その時間と領域の誘電率分布、導電率分布、誘電率と導電率の比の分布、これらの経時的変化や周波数分散を、推定された誘電率分布、導電率分布、誘電率と導電率の比の分布、これらの経時的変化や周波数分散に関心時空間内において内挿又は外挿補間処理を施すことにより求めることを含む、請求項４〜６及び８のいずれか１項記載の誘電率又は導電率推定方法。
【請求項１１】
測定対象物の３次元、２次元、又は、１次元の関心領域内における複数の位置の電位又は電界を測定する電位検出手段と、
測定対象物と前記電位検出手段との間の距離を調整する距離調整手段と、
測定対象物と前記電位検出手段との相対位置を変化させる走査手段と、
測定対象物を載置する試料設置台と、
前記電位検出手段によって測定された電位データ又は電界データをその測定箇所の位置データと対応付けて記録するデータ記録手段と、
前記データ記録手段に記録されている電位データ又は電界データ及び位置データと前記関心領域内に設定された３次元、２次元、又は、１次元の参照領域において得られる参照誘電率又は参照導電率の値及び位置データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される誘電率分布若しくは導電率分布、電界ベクトル分布、又は、電位分布に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における誘電率分布又は導電率分布を求めるデータ処理手段と、
前記各手段の動作を制御する制御手段と、
を具備する誘電率又は導電率推定装置。
【請求項１２】
測定対象物の１次元の関心領域内における複数の位置の電位又は電界を測定する電位検出手段と、
測定対象物と前記電位検出手段との間の距離を調整する距離調整手段と、
測定対象物と前記電位検出手段との相対位置を変化させる走査手段と、
測定対象物を載置する試料設置台と、
前記電位検出手段によって測定された電位データ又は電界データをその測定箇所の位置データと対応付けて記録するデータ記録手段と、
前記データ記録手段に記録されている電位データ又は電界データ及び位置データと前記関心領域内に設定された１次元の参照領域において得られる参照誘電率又は参照導電率の値及び位置データとを用いて、所定の１階の空間微分方程式中に表される誘電率若しくは導電率の１階微分の１次元分布に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における誘電率分布又は導電率分布を求めるデータ処理手段と、
前記各手段の動作を制御する制御手段と、
を具備する誘電率又は導電率推定装置。
【請求項１３】
測定対象物の３次元、２次元、又は、１次元の関心領域内における複数の位置の電位又は電界を測定する電位検出手段と、
測定対象物と前記電位検出手段との間の距離を調整する距離調整手段と、
測定対象物と前記電位検出手段との相対位置を変化させる走査手段と、
測定対象物を載置する試料設置台と、
前記電位検出手段によって測定された電位データ又は電界データをその測定箇所の位置データと対応付けて記録するデータ記録手段と、
前記データ記録手段に記録されている電位データ又は電界データ及び位置データと前記関心領域内に設定された３次元、２次元、又は、１次元の参照領域において得られる参照誘電率又は参照導電率の値及び位置データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される誘電率分布若しくは導電率分布、誘電率若しくは導電率の１階偏微分の分布、電界ベクトル分布、電界ベクトルの発散分布、又は、電位分布に関して有限差分近似、あるいは、ガラーキン法に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における誘電率分布又は導電率分布を求めるデータ処理手段と、
前記各手段の動作を制御する制御手段と、
を具備する誘電率又は導電率推定装置。
【請求項１４】
測定対象物の３次元、２次元、又は、１次元の関心領域内における複数の位置の電位又は電界の時系列を測定する電位検出手段と、
測定対象物と前記電位検出手段との間の距離を調整する距離調整手段と、
測定対象物と前記電位検出手段との相対位置を変化させる走査手段と、
測定対象物を載置する試料設置台と、
前記電位検出手段によって測定された電位データ又は電界データをその測定した位置データと測定した時間と対応付けて記録するデータ記録手段と、
前記データ記録手段に記録されている電位データ又は電界データ及び位置データ及び時間データと前記関心領域内に設定された３次元、２次元、又は、１次元の参照領域において得られる経時的に変化しうる参照導電率、参照誘電率、誘電率と導電率の参照比の値及び位置データ及び時間データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される導電率分布、誘電率分布、誘電率と導電率の比の分布、電位の時間方向の１階偏微分の分布、電界ベクトル分布、又は、電位分布に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における導電率分布、誘電率分布、誘電率と導電率の比の分布、これらの経時的変化や周波数分散を求めるデータ処理手段と、
前記各手段の動作を制御する制御手段と、
を具備する誘電率又は導電率推定装置。
【請求項１５】
測定対象物の１次元の関心領域内における複数の位置の電位又は電界の時系列を測定する電位検出手段と、
測定対象物と前記電位検出手段との間の距離を調整する距離調整手段と、
測定対象物と前記電位検出手段との相対位置を変化させる走査手段と、
測定対象物を載置する試料設置台と、
前記電位検出手段によって測定された電位データ又は電界データをその測定した位置データと測定した時間データと対応付けて記録するデータ記録手段と、
前記データ記録手段に記録されている電位データ又は電界データ及び位置データ及び時間データと前記関心領域内の１次元参照領域において得られる経時的に変化しうる参照導電率、参照誘電率、誘電率と導電率の参照比の値及び位置データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される導電率の１階微分の１次元分布、誘電率の１階微分の１次元分布、誘電率と導電率の比の１階微分の１次元分布に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における導電率分布、誘電率分布、誘電率と導電率の比の分布、これらの経時的変化や周波数分散を求めるデータ処理手段と、
前記各手段の動作を制御する制御手段と、
を具備する誘電率又は導電率推定装置。
【請求項１６】
測定対象物の３次元、２次元、又は、１次元の関心領域内における複数の位置の電位又は電界の時系列を測定する電位検出手段と、
測定対象物と前記電位検出手段との間の距離を調整する距離調整手段と、
測定対象物と前記電位検出手段との相対位置を変化させる走査手段と、
測定対象物を載置する試料設置台と、
前記電位検出手段によって測定された電位データ又は電界データをその測定した位置データと測定した時間と対応付けて記録するデータ記録手段と、
前記データ記録手段に記録されている電位データ又は電界データ及び位置データ及び時間データと前記関心領域内に設定された３次元、２次元、又は、１次元の参照領域において得られる経時的に変化しうる参照導電率、参照誘電率、誘電率と導電率の参照比の値及び位置データ及び時間データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される導電率分布、導電率の１階偏微分の分布、誘電率分布、誘電率の１階偏微分の分布、誘電率と導電率の比の分布、誘電率と導電率の比の１階偏微分の分布、電位の時間方向の１階偏微分の分布、電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分の分布、電界ベクトル分布、電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分の分布、電界ベクトルの発散分布、又は、電位分布に関して有限差分近似、あるいは、ガラーキン法に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の前記関心領域内における導電率分布、誘電率分布、誘電率と導電率の比の分布、これらの経時的変化や周波数分散を求めるデータ処理手段と、
前記各手段の動作を制御する制御手段と、
を具備する誘電率又は導電率推定装置。
【請求項１７】
測定対象物の前記関心領域に少なくとも１つの電位場又は電流場を発生させる電位場又は電流場発生手段をさらに具備する請求項１１〜１６のいずれか１項記載の誘電率又は導電率推定装置。
【請求項１８】
測定対象物が前記誘電率又は導電率推定装置の試料設置台に載らず前記誘電率又は導電率推定装置の外部にある場合に、電圧センサを測定対象物に向け、且つ、相対位置変化を行わせることのできる保持機構をさらに具備する請求項１１〜１７のいずれか１項記載の誘電率又は導電率推定装置。
【請求項１９】
前記電位検出手段が、電圧電極を使用した電圧計と、検出電極に電圧がかかることによる誘導電荷又は充電電荷によって生じる静電気力を駆動力とする機械的電圧センサと、検出電極に電圧がかかることによる誘導電荷又は充電電荷によって生じる電気信号を増幅して電圧測定を行う電気的電圧センサと、電圧がかかることにより弾性表面波の伝播時間や弾性表面波の発振周波数が変化する圧電体を利用した電圧センサと、電圧がかかることにより屈折率又は損失が変化して光の位相又は振幅が変調される電気光効果材料及び光ファイバや偏光素子を使用した電圧センサとの内の１つを含む、請求項１１〜１８のいずれか１項記載の誘電率又は導電率推定装置。
【請求項２０】
前記電位検出手段が、電圧電極を使用した電圧計と、検出電極に電圧がかかることによる誘導電荷又は充電電荷によって生じる静電気力を駆動力とする機械的電圧センサと、検出電極に電圧がかかることによる誘導電荷又は充電電荷によって生じる電気信号を増幅して電圧測定を行う電気的電圧センサと、電圧がかかることにより弾性表面波の伝播時間や弾性表面波の発振周波数が変化する圧電体を利用した電圧センサと、電圧がかかることにより屈折率又は損失が変化して光の位相又は振幅が変調される電気光効果材料及び光ファイバや偏光素子を使用した電圧センサとの内の１つをアレイ状に配置したものを含む、請求項１１〜１８のいずれか１項記載の誘電率又は導電率推定装置。
【請求項２１】
前記電圧計が、可動鉄片形の指示計器、電流力計形の指示計器、熱電形の指示計器、整流器形の指示計器、回転磁界形の指示計器、移動磁界形の指示計器、ピーク・トゥー・ピーク形の電子計、ディジタルマルチメータ、及び、電位差計の内の１つを含み、
前記機械的電圧センサが、箔検電器及び象現電位計の内の１つを含み、
前記電気的電圧センサが、振動容量型電位計及び固定容量型電位計の内の１つを含み、
前記圧電体が、水晶及びＬｉＮｂＯ３の内の１つを含み、
前記電気光効果が、ポッケルス効果又はカー効果を含む電気光学効果の大きいＬｉＮｂＯ３又はＬｉＴａＯ３の結晶の複屈折の変化、電気的ジャイレーション効果の大きい水晶の結晶の偏波面の回転、フランツケルディッシュ効果の大きい半導体のエネルギギャップの変化（吸収端の移動）による透過率の変化、ＰＺＴ振動子又は高分子フィルムを含む圧電素子の振動に伴う光ファイバの伸縮やストレスによる屈折率の変化、及び、発光ダイオードの発光の内の１つを含む、
請求項１９又は２０記載の誘電率又は導電率推定装置。
【請求項２２】
推定結果としての誘電率分布又は導電率分布、及び、電位分布を画面に表示する表示部をさらに具備する請求項１１〜２１のいずれか１項記載の誘電率又は導電率推定装置。
【請求項２３】
推定結果としての誘電率分布や導電率分布、及び、電位分布に加えて、電界ベクトル分布と、誘電率や導電率の勾配分布と、電位のラプラシアン分布と、誘電率や導電率のラプラシアン分布と、誘電率と導電率の比の分布と、誘電率と導電率の比の勾配分布と、誘電率と導電率の比のラプラシアン分布と、これらの周波数分散や経時的変化そのものと、これらの絶対変化（差分値）や相対変化（比の値）の内の少なくとも１つを画面に表示する表示部をさらに具備する請求項１１〜２２のいずれか１項記載の誘電率又は導電率推定装置。
【請求項２４】
計測対象物の３次元関心空間内又は２次元関心領域内の電流密度ベクトル分布又は１次元関心領域内の電流密度分布又はそれらの時系列を推定する電流密度ベクトル推定装置において、
前記計測対象物を設置する試料設置台と、
磁場ベクトルを検出する磁場ベクトル検出手段と、
前記磁場ベクトル検出手段が前記計測対象物を計測するように設置されるハウジングと、
前記計測対象物の磁場ベクトルの分布を測定するために前記試料設置台と前記ハウジングの、少なくともどちらか一方に接続する上下左右・方向を変えることのできる走査手段と、
前記磁場ベクトル検出手段を駆動し、前記計測対象を計測する前記磁場ベクトル検出手段の出力を調整する調整手段と、
前記調整手段から出力される計測結果を記録するデータ記録手段と、
電流密度ベクトル分布又はその時系列への離散近似あるいは有限要素近似の適用を通じて測定した磁場ベクトルデータからその電流密度ベクトル分布又はその時系列を推定するデータ処理手段と、
前記計測対象物と前記磁場ベクトル検出手段との距離を調整する距離調整手段と、
を具備する電流密度ベクトル推定装置。
【請求項２５】
前記計測対象物の前記３次元関心空間内又は２次元関心領域内の電流密度ベクトル分布又は１次元関心領域内の電流密度分布又はそれらの時系列を得るために計測した前記磁場ベクトル検出手段の出力、あるいは前記調整手段の出力を、その測定の位置・時間を示す位置・時間データと関連付け、前記データ記録手段に記録する請求項２４記載の電流密度ベクトル推定装置。
【請求項２６】
必要に応じて、前記計測対象物の前記３次元関心空間の外部からその空間内又はその中の２次元関心領域内又は１次元関心領域内に、少なくとも一つ以上の電流場を生じせしめることができるように、電流を直接的に流せる、あるいは、磁界を印加することにより渦電流を誘起できる電流場発生手段をさらに具備する請求項２４記載の電流密度ベクトル推定装置。
【請求項２７】
前記磁場ベクトル検出手段が、超伝導量子干渉素子（ＳＱＵＩＤ）、ホール素子、ジョセフソン接合素子、磁気インピーダンス素子、ＧＭＲ、ＣＭＲ、ＳＥＴの内の１つを含む、請求項２４記載の電流密度ベクトル推定装置。
【請求項２８】
前記磁場ベクトル検出手段が、磁気、静磁界又は電磁波検出素子を複数個含み、検出方向を直交する２方向又は３方向として、時に開口面合成を行い、磁場ベクトルデータを収集する、請求項２４記載の電流密度ベクトル推定装置。
【請求項２９】
前記磁場ベクトル検出手段が、磁気、静磁界又は電磁波検出素子を複数個含み、検出方向を１方向、直交する２方向、あるいは３方向とし、かつ、１次元、２次元、又は３次元アレイを構成して、時に開口面合成を行い、磁場データの収集を行う、請求項２４記載の電流密度ベクトル推定装置。
【請求項３０】
前記磁場ベクトル検出手段が、２次元磁場ベクトルの２次元空間分布又はその時系列を測定し、測定されたこの磁場ベクトルデータから、電流密度ベクトル又はその時系列に離散近似あるいは有限要素近似を適用することに基づいた所定の数値解析を施すことによって、３次元関心空間内又は２次元関心領城内の２次元電流密度ベクトル分布又はその時系列を推定する請求項２４記載の電流密度ベクトル推定装置。
【請求項３１】
前記磁場ベクトル検出手段が、３次元、又は２次元磁場ベクトルの３次元空間分布又はその時系列を測定し、測定されたこの磁場ベクトルデータから、電流密度ベクトル又はその時系列に離散近似あるいは有限要素近似を適用することに基づいた所定の数値解析を施すことによって、３次元関心空間内の３次元又は２次元電流密度ベクトルの空間分布又はその時系列を推定する請求項２４記載の電流密度ベクトル推定装置。
【請求項３２】
前記磁場ベクトル検出手段が、３次元、又は２次元磁場ベクトルの３次元空間分布又はその時系列を測定し、測定されたこの磁場ベクトルデータから、電流密度ベクトル又はその時系列に離散近似あるいは有限要素近似を適用することに基づいた所定の数値解析を施すことによって、３次元関心空間内あるいは２次元関心領域内の３次元又は２次元電流密度ベクトルの空間分布又はその時系列を推定する請求項２４記載の電流密度ベクトル推定装置。
【請求項３３】
電流密度又はその時系列に離散近似あるいは有限要素近似を適用することに基づいた所定の数値解析を施すことによって、前記磁場ベクトル検出手段を用いて測定された磁場ベクトルの１方向成分の空間分布又はその時系列データから、これと直交する方向の電流密度ベクトル成分の空間分布又はその時系列を推定し、その磁場ベクトル成分の３次元空間分布データからその電流密度ベクトル成分の３次元空間分布又は２次元空間分布又は１次元空間分布を、又、その磁場ベクトル成分の２次元空間分布データからその電流密度ベクトル成分の２次元空間分布又は１次元空間分布を、又、その磁場ベクトル成分の１次元空間分布データからその電流密度ベクトル成分の１次元空間分布を推定する請求項２４記載の電流密度ベクトル推定装置。
【請求項３４】
計測対象物の３次元関心空間内又は２次元関心領域内又は１次元関心領域内の電気導電率分布や誘電率分布又はそれらの時系列を推定するための導電率推定装置であって、
前記計測対象物を設置する試料設置台と、
磁場ベクトルを検出する磁場ベクトル検出手段と、
前記磁場ベクトル検出手段が前記計測対象物を計測するように設置されるハウジングとを含む電流密度ベクトル推定装置と、
前記計測対象物の磁場ベクトルの分布又はその時系列を測定するために前記試料設置台と前記ハウジングの、少なくともどちらか一方に接続する上下左右・方向を変えることのできる走査手段と、
前記磁場ベクトル検出手段を駆動し、前記計測対象を計測する前記磁場ベクトル検出手段の出力を調整する調整手段と、
前記調整手段から出力される計測結果を記録するデータ記録手段と、
電流密度ベクトル分布又はその時系列（又はスペクトラム）への離散近似あるいは有限要素近似の適用を通じて測定した磁場ベクトルデータ又はその時系列データからその電流密度ベクトル分布又はその時系列（又はスペクトラム）を推定し、複数の電流密度ベクトル分布又はその時系列を推定した場合には、各電流密度ベクトル分布や対応する磁場ベクトル分布をその電流密度ベクトル分布のノルム（大きさ）を用いて、又、各電流密度ベクトルのスペクトラム分布や対応する磁場ベクトルのスペクトラム分布をその電流密度ベクトルのスペクトラム分布のノルム（大きさ）を用いて正規化した上で、各々の有限差分近似あるいは有限要素近似を行って、電気導電率分布や誘電率分布、又、電気導電率分布や誘電率分布の時系列やそれらの周波数分散を推定するデータ処理手段と、
前記計測対象物と前記磁場ベクトル検出手段との距離を調整する距離調整手段と、
を具備する導電率推定装置。
【請求項３５】
前記計測対象物の前記３次元関心空間内又は２次元関心領域内の電流密度ベクトル分布又は１次元関心領域内の電流密度分布又はそれらの時系列を得るために計測した前記磁場ベクトル検出手段の出力、あるいは前記調整手段の出力を、その測定の位置・時間を示す位置・時間データと関連付け、前記データ記録手段に記録する請求項３４記載の導電率推定装置。
【請求項３６】
必要に応じて、前記計測対象物の前記３次元関心空間の外部からその空間内又はその中の２次元関心領域内又は１次元関心領域内に、少なくとも一つ以上の電流場を生じせしめることができるように、電流を直接的に流せる、あるいは、磁界を印加することにより渦電流を誘起できる電流場発生手段をさらに具備する請求項３４記載の導電率推定装置。
【請求項３７】
前記磁場ベクトル検出手段が、超伝導量子干渉素子（ＳＱＵＩＤ）、ホール素子、ジョセフソン接合素子、磁気インピーダンス素子、ＧＭＲ、ＣＭＲ、ＳＥＴの内の１つを含む、請求項３４記載の導電率推定装置。
【請求項３８】
前記磁場ベクトル検出手段が、磁気、静磁界又は電磁波検出素子を複数個含み、検出方向を直交する２方向又は３方向として、時に開口面合成を行い、磁場ベクトルデータを収集する請求項３４記載の導電率推定装置。
【請求項３９】
前記磁場ベクトル検出手段が、磁気、静磁界又は電磁波検出素子を複数個含み、検出方向を１方向、直交する２方向、あるいは３方向とし、かつ、１次元、２次元、又は３次元アレイを構成して、時に開口面合成を行い、磁場データの収集を行う請求項３４記載の導電率推定装置。
【請求項４０】
電流密度ベクトル又はその時系列から、３次元関心空間内又は２次元関心領域内又は１次元関心領域内の電気導電率分布又はその時系列やその周波数分散を推定する場合に、所定の一階の空間偏微分方程式中に表される電気導電率分布あるいは電流密度ベクトル分布や磁場ベクトル分布に関して有限差分近似あるいは有限要素近似（変分法又はガラーキン法を使用）を適用することに基づいた所定の数値解法を使用する請求項３４記載の導電率推定装置。
【請求項４１】
電流密度ベクトルの時系列から、３次元関心空間内又は２次元関心領城内又は１次元関心領域内の電気導電率分布や誘電率分布、又、電気導電率分布や誘電率分布の時系列やそれらの周波数分散を推定する場合に、所定の一階の空間偏微分方程式中に表される導電率分布あるいは電流密度ベクトルのスペクトラムの分布や磁場ベクトルのスペクトラムの分布に関して有限差分近似あるいは有限要素近似（変分法又はガラーキン法を使用）を適用することに基づいた所定の数値解法を使用する請求項３４記載の導電率推定装置。
【請求項４２】
計測結果として、測定される磁気ベクトル分布、計測される電流密度分布、電流密度発散・勾配分布、導電率や誘電率の分布、導電率や誘電率の勾配分布、導電率や誘電率のラプラシアン分布、誘電率と導電率の比の分布、誘電率と導電率の比の勾配分布、誘電率と導電率の比のラプラシアン分布、それらの周波数分散や経時的変化そのもの、それらの経時的絶対変化、及び経時的相対変化などを画像表示する表示手段をさらに具備する請求項３４記載の導電率推定装置。
【発明の詳細な説明】
技術分野
本発明は、一般的に、導電率又は誘電率推定方法、電流密度ベクトル推定方法、及び、それらを用いた装置に関し、特に、非破壊的な電位又は電界又は磁場の測定により、物体又は生き物の誘電率、導電率又は電流密度ベクトルを推定する方法及び装置に関する。さらに、本発明は、物体、物質・材料の非破壊的物性・特性評価・検査技法、生物の非侵襲的診断・検査技法及び装置に関する。
背景技術
図１に、従来の誘電率又は導電率推定装置の構成を示す。この誘電率又は導電率推定装置においては、電圧源又は電流源１０３によって測定対象物１０４に積極的に電位分布又は電流分布を生じさせ、電位検出器１０２によって、その際の電位分布を測定対象物の全体に渡る多数の点について測定する。さらに、データ処理手段１０１によって、有限差分法や有限要素法を用いて電位分布をモデル化し、感度理論に基づいて関心領域内部の誘電率又は導電率を推定するというものである（従来技術１）。ここで、関心領域とは、測定対象物において、誘電率又は導電率が未知であるため、その誘電率又は導電率を推定しようとする領域のことである。
しかしながら、この誘電率又は導電率推定装置によれば、測定対象物の外部に電圧源又は電流源を設けて測定対象物に対して積極的に電位分布を生じさせる必要があるので、測定対象物内に既に電位分布が存在している場合に、その電位場を大きく乱してしまうという問題があった。
また、この誘電率又は導電率推定装置は、感度理論に基づくものであるため、誘電率又は導電率分布を仮定して電位分布を計算することにより、測定データと合致する誘電率又は導電率分布を決定する。そのため、反復的に誘電率又は導電率の推定値を更新する必要があるので、計算量が膨大となるという問題があった。さらに、その計算においては電位、及び、電束密度又は電流密度に関する境界条件を必要とするので、測定対象物の関心領域内のみの測定に基づいてその関心領域の誘電率又は導電率を推定することは困難であった。
さらに、磁場ベクトル成分の内、計測対象物表面上において測定される垂直成分からそれ相応の数値解析（たとえば、最小ノルムミニマム法）を行うことにより電流密度ベクトル空間分布を推定するものが多く（従来技術２：図２Ａに示す磁場検出器のコイル部参照）、その他、二例ではあるが計測対象物表面上において接線成分から推定するものがあり、フーリエ解析法及び最小ノルムミニマム法に基づくものがある（従来技術３：図２Ｂに示す磁場検出器のセンサー部参照）。
なお、従来技術２に含まれるものとして、磁場の測定精度を向上させるべく、１次元あるいは２次元アレイ型ＳＱＵＩＤ計を実現した上で開口面合成を行う技術がある。
従来技術２及び３では、３次元関心空間内の３次元電流密度ベクトル分布を一意に決定することは数理的に不可能であり、数値解析的に安定化を施したとしても、偽電流密度ベクトルデータが得られるに過ぎず、導電率空間分布を推定できるだけの精度は得られなかった。
但し、計測対象物が平板や薄膜などの２次元物体として近似的に扱えるものであれば、従来の技術３によりその面内の２次元電流密度ベクトル空間分布を決定することは可能であるが、フーリエ解析法による場合は有限な２次元関心領域内の電流分布の空間的な周期性を仮定する必要があり、その関心領域の境界付近での推定に問題が生じる。
特に、その２次元物体が絶縁物に囲まれており（たとえば、空気中）、２次元物体の全体を関心領域とした場合に、その境界付近における推定は不可能となる。
発明の開示
そこで、上記従来技術の問題点に鑑み、本発明の第１の目的は、電圧源及び電流源が関心領域の外に存在するという条件あるいは仮定の下で、測定対象物の関心領域に既に電位場が形成されている場合においては外部電圧源や外部電流源により人工的に電位分布を生じさせることなく、また、関心領域内の電位（又は電界）の測定データのみから誘電率又は導電率を直接的に推定できる誘電率又は導電率推定方法及び装置を提供することである。
また、本発明の第２の目的は、試料が空間中に任意の状態で存在した場合、時に１次元、２次元あるいは３次元開口面合成を行った上で、３次元磁場ベクトル又は２次元磁場ベクトルの３次元分布又は２次元分布を測定し、任意に設定した有限の大きさの３次元関心空間内又は２次元関心領域（３次元物体を明に扱うため、３次元関心空間内と２次元平面が交差した領域、及び、２次元物体内に設定する関心領域を総称するものとして使用する）内の３次元電流密度ベクトル又は２次元電流密度ベクトル又は３次元電流密度ベクトルの２成分を一意に決定でき、３次元空間内又は２次元関心領域内の導電率空間分布の推定を実現する電流密度ベクトル推定装置及び導電率推定装置を提供することである。
上記の第１の目的を達成するために、本発明の第１の観点による誘電率又は導電率推定方法は、測定対象物の３次元、２次元、又は、１次元の関心領域内における複数の位置の電位又は電界を測定するステップ（ａ）と、ステップ（ａ）において測定された電位データ又は電界データをその測定箇所の位置データと対応付けて記録するステップ（ｂ）と、記録されている電位データ又は電界データ及び位置データと関心領域内に設定された３次元、２次元、又は、１次元の参照領域において得られる参照誘電率又は参照導電率の値及び位置データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される誘電率分布若しくは導電率分布、電界ベクトル分布、又は、電位分布に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の関心領域内における誘電率分布又は導電率分布を求めるステップ（ｃ）とを具備する。
ここで、参照領域とは、誘電率（分布）又は導電率（分布）が既知である領域、又は、先見的に誘電率及び導電率が一定であるとして単位大きさの値を持つと想定されるか、ある分布（単位大きさの値に対する相対的な値の分布）を持つと想定される領域である。また、参照点とは、誘電率又は導電率が既知である点、又は、単位大きさの値を持つと想定した点である。結局、関心領域とは、参照領域又は参照点をその内部及び境界に含む誘電率分布又は導電率分布が未知の領域のことになる。
また、本発明の第１の観点による誘電率又は導電率推定装置は、測定対象物の３次元、２次元、又は、１次元の関心領域内における複数の位置の電位又は電界を測定する電位検出手段と、測定対象物と電位検出手段との間の距離を調整する距離調整手段と、測定対象物と電位検出手段との相対位置を変化させる走査手段と、測定対象物を載置する試料設置台と、電位検出手段によって測定された電位データ又は電界データをその測定箇所の位置データと対応付けて記録するデータ記録手段と、データ記録手段に記録されている電位データ又は電界データ及び位置データと関心領域内に設定された３次元、２次元、又は、１次元の参照領域において得られる参照誘電率又は参照導電率の値及び位置データとを用いて、所定の１階の空間偏微分方程式中に表される誘電率分布若しくは導電率分布、電界ベクトル分布、又は、電位分布に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用した所定の数値解法を実行することにより、測定対象物の関心領域内における誘電率分布又は導電率分布を求めるデータ処理手段と、各手段の動作を制御する制御手段とを具備する。
本発明の第１の観点によれば、誘電率又は導電率が未知である測定対象物の関心領域における誘電率又は導電率を、関心領域内で測定された電位（又は電界）分布から求めることができる。特に、測定対象物内部に既に電位分布が存在する場合においても、その電位場を乱すことなくそのままの電位（又は電界）分布を測定することにより、容易に関心領域の誘電率又は導電率を推定することができる。
上記の第２の目的を達成するために、本発明の第２の観点による電流密度ベクトル推定装置は、計測対象物の３次元関心空間内又は２次元関心領城内の電流密度ベクトル分布又は１次元関心領域内の電流密度分布又はそれらの時系列を推定する電流密度ベクトル推定装置において、前記計測対象物を設置する試料設置台と、磁場ベクトルを検出する磁場ベクトル検出手段と、前記磁場ベクトル検出手段が前記計測対象物を計測するように設置されるハウジングと、前記計測対象物の磁場ベクトルの分布を測定するために前記試料設置台と前記ハウジングの、少なくともどちらか一方に接続する上下左右・方向を変えることのできる走査手段と、前記磁場ベクトル検出手段を駆動し、前記計測対象を計測する前記磁場ベクトル検出手段の出力を調整する調整手段と、前記調整手段から出力される計測結果を記録するデータ記録手段と、電流密度ベクトル分布又はその時系列への離散近似あるいは有限要素近似の適用を通じて測定した磁場ベクトルデータからその電流密度ベクトル分布又はその時系列を推定するデータ処理手段と、前記計測対象物と前記磁場ベクトル検出手段との距離を調整する距離調整手段とを具備する。
また、本発明の第２の観点による導電率推定装置は、計測対象物の３次元関心空間内又は２次元関心領域内又は１次元関心領域内の電気導電率分布や誘電率分布又はそれらの時系列を推定するための導電率推定装置において、電流密度ベクトル推定装置において、前記計測対象物を設置する試料設置台と、磁場ベクトルを検出する磁場ベクトル検出手段と、前記磁場ベクトル検出手段が前記計測対象物を計測するように設置されるハウジングと、前記計測対象物の磁場ベクトルの分布又はその時系列を測定するために前記試料設置台と前記ハウジングの、少なくともどちらか一方に接続する上下左右・方向を変えることのできる走査手段と、前記磁場ベクトル検出手段を駆動し、前記計測対象を計測する前記磁場ベクトル検出手段の出力を調整する調整手段と、前記調整手段から出力される計測結果を記録するデータ記録手段と、電流密度ベクトル分布又はその時系列（又はスペクトラム）への離散近似あるいは有限要素近似の適用を通じて測定した磁場ベクトルデータ又はその時系列データからその電流密度ベクトル分布又はその時系列（又はスペクトラム）を推定し、各電流密度ベクトル分布や対応する磁場ベクトル分布をその電流密度ベクトル分布のノルム（大きさ）を用いて、又、各電流密度ベクトルのスペクトラム分布や対応する磁場ベクトルのスペクトラム分布をその電流密度ベクトルのスペクトラム分布のノルム（大きさ）を用いて正規化した上で、各々の有限差分近似あるいは有限要素近似を行って、電気導電率分布や誘電率分布、又、電気導電率分布や誘電率分布の時系列やそれらの周波数分散を推定するデータ処理手段と、前記計測対象物と前記磁場ベクトル検出手段との距離を調整する距離調整手段とを具備する。
発明を実施するための最良の形態
以下、本発明の実施の形態について、図面を参照しながら詳しく説明する。尚、同一の構成要素には同一の参照番号を付して、説明を省略する。
まず、本発明の第１の実施形態に係る誘電率又は導電率推定装置について説明する。図３は、本発明の第１の実施形態に係る誘電率又は導電率推定装置の構成を示すブロック図である。本実施形態においては、測定対象物４を試料設置台１５の上に載置して測定を行う。試料設置台１５の上に載置された測定対象物４の電位又は電界を測定するために、電圧センサ１が、測定対象物４と対向するように配置される。電圧センサ１は、電位や電界の測定機能を有しており、ハウジング９に保持されて駆動装置２によって駆動される。従って、電圧センサ１と駆動装置２とが、電位検出手段を構成することになる。
本実施形態においては、測定対象物４における電位（又は電界）分布を非破壊的に測定するために、電圧センサ１として、電圧電極を使用した各種電圧計（可動鉄片形、電流力計形、熱電形、整流器形、回転磁界形、移動磁界形の指示計器、ピーク・トゥー・ピーク形電子計、ディジタルマルチメータ、電位差計）、検出電極に電圧がかかることによる誘導電荷又は充電電荷によって生じる静電気力を駆動力とする機械的電圧センサ（箔検電器や象現電位計）、検出電極に電圧がかかることによる誘導電荷又は充電電荷によって生じる電気信号をＦＥＴ等を用いた増幅器によって増幅して電圧測定を行う電気的電圧センサ（振動容量型電位計、固定容量型電位計）、電圧がかかることによる弾性表面波の伝播時間（遅延時間）が変化（弾性表面波の発振周波数が変化）する圧電体（水晶やＬｉＮｂＯ３など）を利用した電圧センサ、電圧がかかることにより屈折率や損失が変化して光の位相や振幅が変調される電気光効果材料及び光ファイバや偏光素子などを使用した電圧センサ、又は、これら電圧センサをアレイ状に配置したものなどを用いている。ここで、電気光効果とは、ＬｉＮｂＯ３やＬｉＴａＯ３などの電気光学効果（ポッケルス効果・カー効果など）の大きい結晶の複屈折の変化、水晶などの電気的ジャイレーション効果の大きい結晶の偏波面の回転、フランツケルディッシュ効果の大きい半導体のエネルギギャップの変化（吸収端の移動）による透過率の変化、ＰＺＴ振動子や高分子フィルムなど圧電素子の振動に伴う光ファイバの伸縮やストレスによる屈折率の変化、又は、発光ダイオードの発光などを意味している。
また、測定対象物４と電圧センサ１との距離を電位（又は電界）測定のために適切な距離に調整できるように距離調整手段１４が設けられるとともに、電位（又は電界）分布を測定するため、距離方向と直交する面内において測定対象物４の２次元移動が可能なように走査機構３が設けられている。この距離調整手段及び走査機構は、試料設置台側に設けても良いし、電圧センサ側に設けても良い。また、距離調整手段と走査機構については、試料設置台側と電圧センサ側との両方に設けても良い。この距離調整手段と走査機構の位置は上下逆にすることも可能である。
本実施形態においては、必要に応じて測定対象物４の関心領域内に電位場又は電流場を発生させるために、電位場又は電流場発生手段５が設けられている。電位場又は電流場発生手段５は、測定対象物に直接的に、あるいは試料載置台及び／又は参照物を介して間接的に、電圧をかける、又は、電流を流すことができる。
測定対象物４を試料設置台１５に載置し、電圧センサで測定するに当り、距離調整手段１４により測定対象物との距離を設定し、走査機構３により測定点を変えて行く。こうして測定された電位データ又は電界データは、その測定位置を表す位置データと対応付けて、データ記録手段７に記録される。データ記録手段７としては、メモリ、ハードディスク、フレキシブルディスク、ＣＤ−ＲＯＭ等を用いることができる。その後、データ記録手段７から読み出されたデータと、測定対象物４の関心領城内に設けられた参照領域における参照値とが、データ処理手段８へ送られる。ここで、関心領域及び参照領域は、３次元、２次元、又は、１次元のいずれの形状を有していても良い。
データ処理手段８は、ディジタル回路で構成しても良いし、ＣＰＵとプログラムで構成しても良い。データ処理手段８においては、後で詳しく説明する（１８）式、（１９）式、（２０）式、（２８）式、（３９）式、（４０）式、（９８）式〜（１０６）式、又は、（１１３）式〜（１１５）式に基づいて、測定対象物４の関心領域内における誘電率又は導電率の自然対数をとったものの分布を表すベクトルＬ’１ｎ又は測定対象物４の関心領域内における誘電率又は導電率そのものの分布Ｌ’が算出される。尚、絶対的な参照（分布）値が与えられた場合、それが一定である場合には参照値は１．０として処理され、一定でない場合には単位大きさ１．０に対する相対的な値の分布として処理され、相対的な誘電率又は導電率分布が評価された後に、絶対的な参照値を用いて絶対的な分布が評価されることがある。尚、測定対象物の導電率分布、誘電率分布、誘電率と導電率の比の分布等の経時的変化や周波数分散を評価する場合は、経時的に変化しうる導電率、誘電率、誘電率と導電率の比に関する参照領城を関心領域に含めることとなる。さらに、データ処理手段８において、測定された電位分布、誘電率分布、導電率分布から、電界分布、誘電率の勾配分布、導電率の勾配分布、電位のラプラシアン分布、誘電率のラプラシアン分布、及び、導電率のラプラシアン分布等が評価され、同様に、誘電率と導電率の比の分布から、誘電率と導電率の比の勾配分布、誘電率と導電率の比のラプラシアン分布等が評価され、これらの周波数分散や経時的変化そのもの及びその絶対変化（差分値）やその相対変化（比の値）を評価することもできる。
この場合、電圧センサにおける不良素子の存在により電位データや電界データが欠落した場合には、その時間の点又は領域を関心領域から除外して演算を行う。その演算後において、関心領域から除外された時間の点又は領域の誘電率（分布）、導電率（分布）、誘電率と導電率の比（の分布）、これらの経時的変化や周波数分散を、評価された誘電率（分布）、導電率（分布）、誘電率と導電率の比（の分布）、これらの経時的変化や周波数分散から関心時空間内において内挿又は外挿補間処理により評価するようにしても良い。
以上の測定の結果得られた分布データは、必要に応じて、データ記録手段７に送られて記録される。また、以上の測定の結果得られた分布データの少なくとも１つが、ＣＲＴ、液晶、又は、ＬＥＤを用いたもの等を含む表示部１６の画面上に表示されるようにしてもよい。
計測制御手段６は、以上の各部が、測定対象物の誘電率分布又は導電率分布を求めるために円滑に機能するように、即ち、各部分が「課題を解決するための手段」において記載された機能を発揮するように、各部を制御する。
本実施形態においては、電圧センサで測定対象物の電位分布を測定して電界ベクトルを評価し（直接的に電界ベクトルが測定されることもある）、これと関心領域内に設けた参照領域において与えられる参照誘電率（分布）又は参照導電率（分布）の値のみを用いて、３種類の誘電率又は導電率推定方法の基本原理の内の一つを使用して、参照誘電率に対する相対的な誘電率分布、又は、参照導電率の値に対する相対的な導電率分布を推定する。
既に測定対象物に電位分布又は電流分布が生じている場合には、関心領域内に適切に参照領域を設けることにより、その電位場又は電流場を乱すことなく誘電率分布又は導電率分布を推定することが可能である。ここで、適切な参照領域とは、参照領域が電圧源又は電流源に対して適切な相対的配置となることを意味し、関心領域内において参照領域が電界の方向と広く交わる様にするものである。また、電位場又は電流場発生手段５を用意した上で複数の独立した電位（又は電界ベクトル）分布を測定することができる場合には、即ち、３次元測定を行う場合に少なくとも３つ、２次元測定を行う場合に少なくとも２つ、１次元測定を行う場合に少なくとも１つ測定可能であれば、関心領域内の少なくとも１つの参照点において与えられる参照誘電率値に対する相対的な誘電率分布、あるいは、参照導電率値に対する相対的な導電率分布を推定することが可能である。但し、電位場の測定数は少ないことが望ましく、仮に電位場（電位分布又は電界ベクトル分布）の測定数が測定を行う次元数未満となった場合には、上記のごとく、適切に参照領域を設ける必要がある。
更に、電位（又は電界）測定データに低域通過型フィルタをかけて、独立した複数の電位分布が測定された場合には各電位分布（又は、これより求まる電界ベクトル分布）をそのノルム（大きさ）を用いて正規化した上で、これより求まる電界ベクトル分布によって記述される誘電率分布又は導電率分布に関する１階の空間偏微分方程式中に表される誘電率分布又は導電率分布あるいは電界ベクトルの分布（又は電位分布、又は電界ベクトルの発散分布）に関して、有限差分近似、あるいは、変分原理又はガラーキン法に基づいて有限要素近似あるいは離散近似を施すことにより導出される誘電率分布又は導電率分布に関する全ての方程式を連立し、これを最小二乗化して解く際に正則化を施すことにより、電位測定データにエラー（ノイズ）データが含まれる場合や、参照領域が狭くて位置が悪い場合においても、安定的に誘電率分布又は導電率分布を決定できる。特に、変分原理を適用した場合は、汎関数そのものを最小化する際に正則化を施すこともある。
次に、図４のフローチャートを参照しながら、本発明の第１の実施形態に係る誘電率又は導電率推定方法について説明する。
まず、ステップＳ１において、測定対象物４において測定された独立した電位場（又は電位場の時系列）の数が、計測する空間の次元数以上であるか否かを判断する。計測空間の次元数以上である場合には、ステップＳ２において、少なくとも１つの参照点の設定を行う。一方、測定空間の次元数未満である場合には、ステップＳ３において、電界の方向と広く交わる少なくとも１つの参照領域の設定を行う。
次に、ステップＳ４において、関心領域を測定領域として設定し、電位場（又は電位場の時系列）の測定つまり電位分布（又は電位分布の時系列、又は電界ベクトル分布、又は電界ベクトル分布の時系列）の測定を行う。
複数の独立電位分布（又は独立した電位分布の時系列、又は独立した電界ベクトル分布、又は独立した電界ベクトル分布の時系列）を測定する場合には、次のように行う。図３に示す電位場又は電流場発生手段５を用いて、関心領域に第１の電位場又は電流場を生じさせ、その測定を実施する。続いて、電位場又は電流場発生手段５により、電圧をかける位置、又は、電流を流す位置を変えて、異なる第２の電位場又は電流場を生じさせ、その測定を行う。以下、同様である。
既に電位場又は電流場が存在する場合には、電位場又は電流場発生手段５を使用せず、その１つのみを測定し、参照領域を設定しても良い。
測定においては、距離調整手段１４と走査機構３を調整して測定対象物を走査しながら、位置データと電位データ（又は電界データ）とをデータ記録手段７に入力する。
次に、ステップＳ５において、図３に示すデータ処理手段８により、データ記録手段７から読み出した電圧データ（又は電界データ）に対してノイズ除去のためのフィルタリングを行うことにより空間的に平滑化する。また、ステップＳ６において、（１８）式、（１９）式、（２０）式、（２８）式、（３９）式、（４０）式、（９８）式〜（１０６）式、（１１３）式〜（１１５）式の正規方程式の係数を求める。さらに、ステップＳ７において、この正規方程式を解いて、関心領域内の誘電率又は導電率の自然対数をとったものの分布Ｌ’１ｎ又は関心領域内の誘電率又は導電率そのものの分布Ｌ’を求める。
以下に、ステップＳ６及びＳ７のデータ処理における３種類の誘電率又は導電率推定方法の基本原理について、詳しく説明する。
第１の誘電率又は導電率推定方法の基本原理によれば、測定された電界ベクトル分布によって記述される誘電率分布又は導電率分布に関する１階の空間偏微分方程式を立てて、これに対して、３次元、２次元、１次元関心領域を対象とする場合は誘電率分布又は導電率分布あるいは電界ベクトル（又は電位）の分布に関して、また、１次元関心領域を対象とする場合は誘電率又は導電率の１階微分の１次元分布に関しても変分原理に基づく有限要素近似や離散近似を施してモデル化できる。
デカルト座標系（ｘ，ｙ，ｚ）において、電位場を３次元関心領域において測定できる場合には、３つの独立した電位場（分布）Ｖ１、Ｖ２、Ｖ３を対象とすることにより次の連立偏微分方程式が成立する。
2003046587.tif 000003
但し、電界ベクトル分布Ｅ１＝−∇Ｖ１、Ｅ２＝−∇Ｖ２、Ｅ３＝−∇Ｖ３である。
電位場を２次元関心領域において測定できる場合には、２つの独立した電位場（分布）Ｖ１、Ｖ２を対象とすることにより、次の連立偏微分方程式が成立する。
2003046587.tif 000004
尚、電位場を１次元関心領域にて測定できる場合には、１つの電位場（分布）Ｖ１を対象とすることにより、次の偏微分方程式が成立する。
2003046587.tif 000005
１つの電位場のみを測定できる場合には、（１）式〜（３）式の各々において１つの偏微分方程式のみが成立する。また、複数の電位場が測定された場合には、電位場の数だけ連立した方程式を得ることができる。
尚、（１）式〜（３）式中の右辺の符号を変え、誘電率又は導電率の自然対数１ｎｋの１階の偏微分を誘電率又は導電率の各々の逆数の自然対数１ｎ（１／ｋ）の１階の偏微分に置き換えたものが、誘電率又は導電率の各々の逆数の自然対数そのもの１ｎ（１／ｋ）を変数とする偏微分方程式として扱われることがある。以下において、（１）式〜（３）式に関しては、誘電率や導電率の自然対数１ｎｋそのものを変数とする場合に関して説明するが、誘電率や導電率の逆数の自然対数そのもの１ｎ（１／ｋ）を変数とする場合は、同様に、誘電率や導電率の逆数の自然対数１ｎ（１／ｋ）または誘電率や導電率の逆数（１／ｋ）を求め、その上で、誘電率や導電率の自然対数１ｎｋまたは誘電率や導電率ｋを評価することがある。誘電率又は導電率の自然対数そのもの１ｎｋを変数とする場合は、関心領域内に誘電率又は導電率の各々の極めて低い物体・領域を含む場合に有効である場合があり、又、誘電率又は導電率の逆数の自然対数そのもの１ｎ（１／ｋ）を変数とする場合は、関心領域内に誘電率又は導電率の各々の極めて高い物体・領域を含む場合に有効である場合がある。
また、（１）式〜（３）式は、各々、両辺に誘電率又は導電率ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）、ｋ（ｘ，ｙ）、ｋ（ｘ）をかけた上で、誘電率又は導電率そのものｋを変数とする偏微分方程式として扱われることがある。また、この場合、誘電率又は導電率ｋの１階の偏微分を含まない項の符号を変え、全ての誘電率又は導電率ｋを各々の逆数（１／ｋ）に置き換えたものが、誘電率又は導電率の各々の逆数そのもの（１／ｋ）を変数とする偏微分方程式として扱われることがある。以下においては、誘電率や導電率ｋを変数とする場合に関して説明するが、誘電率や導電率の逆数（１／ｋ）を変数とする場合は、同様に、誘電率や導電率の逆数（１／ｋ）または誘電率や導電率の逆数の自然対数１ｎ（１／ｋ）を求め、その上で、誘電率や導電率ｋまたは誘電率や導電率の自然対数１ｎｋを評価することがある。誘電率又は導電率そのものｋを変数とする場合は、関心領域内に誘電率又は導電率の各々の極めて低い物体・領域を含む場合に有効である場合があり、又、誘電率又は導電率の逆数そのもの１／ｋを変数とする場合は、関心領域内に誘電率又は導電率の各々の極めて高い物体・領域を含む場合に有効である場合がある。
一般的に、初期条件は、
2003046587.tif 000006
という形で、関心領域内の複数の参照領域ｗｍ（ｍ＝１〜Ｎ）において与えられるが、測定を行う関心領域の次元数と同数の独立な電位場が測定された場合には、参照値は関心領域内の１点で与えられれば良い。
この様な１階の空間偏微分方程式中に現れる誘電率分布又は導電率分布あるいは電界ベクトル分布（又は電位分布）に対し、有限要素近似（変分原理）を適用する。
以下に、Ｌ１ｎ及びＬを、各々、関心領域内の誘電率又は導電率の自然対数をとたものの分布１ｎｋ及び関心領域内の誘電率又は導電率そのものの分布ｋをそれぞれ表すベクトルとし、ｓを関心領域内の電界ベクトル分布Ｅｉ（又は、電位分布Ｖｉ）を表すベクトルとして、３次元、２次元、及び、１次元関心領域において成立する汎関数を示す。但し、ｉ（＝１〜Ｍ）は測定された電位場を指し、Ｍは測定された独立した電位場の数（１以上）である。
３次元関心領域を対象とした際に、誘電率分布又は導電率分布に変分原理を施した場合の汎関数は、次式のようになる。
2003046587.tif 000007
また、３次元関心領域を対象とした際に、電界ベクトル分布（又は、電位分布）に変分原理を施した場合の汎関数は、次式のようになる。
2003046587.tif 000008
次に、２次元関心領域を対象とした際に、誘電率分布又は導電率分布に変分原理を施した場合の汎関数は、次式のようになる。
2003046587.tif 000009
また、２次元関心領域を対象とした際に、電界ベクトル分布（又は、電位分布）に変分原理を施した場合の汎関数は、次式のようになる。
2003046587.tif 000010
次に、１次元関心領域を対象とした際に、誘電率分布又は導電率分布、又は、誘電率又は導電率の１階微分の分布に変分原理を施した場合の汎関数は、次式のようになる。
2003046587.tif 000011
また、１次元関心領域を対象とした際に、電界ベクトル分布（又は、電位分布）に変分原理を施した場合の汎関数は、次式のようになる。
2003046587.tif 000012
（５）式〜（１０）式の汎関数は、各汎関数中に表される誘電率又は導電率の自然対数をとったものの分布Ｌ１ｎ、誘電率又は導電率そのものの分布Ｌ、及び、電界ベクトル分布（電位分布）ｓに関して有限要素近似されるが、３次元空間においては３次元基底関数が使用され、２次元空間においては２次元基底関数が使用され、１次元空間においては１次元基底関数が使用される。以下においては、要素の節点数は省略する。
３次元関心領域を対象とする場合において、（５）式中の３次元誘電率分布又は導電率分布１ｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）は、３次元節点誘電率又は節点導電率１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）及び３次元基底関数φ３１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて、１ｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と内挿される。（６）式中の３次元誘電率分布又は導電率分布ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）は、３次元節点誘電率又は節点導電率ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）及び３次元基底関数φ３ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて、ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と内挿される。一方、（５）式及び（６）式中の３次元電界ベクトル分布Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ）は、３次元節点電界ベクトル［Ｅｉｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｅｉｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｅｉｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］Ｔ及び基底関数φ３Ｅ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて、Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ）〜［ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３Ｅ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｅｉｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３Ｅ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｅｉｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３Ｅ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｅｉｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］Ｔと内挿される。また、（６）式中の電位分布Ｖｉ（ｘ，ｙ，ｚ）は、３次元節点電位Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）及び基底関数φ３Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて、Ｖｉ（ｘ，ｙ，ｚ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と内挿される。
２次元関心領域を対象とする場合において、（７）式中の２次元誘電率分布又は導電率分布１ｎｋ（ｘ，ｙ）は、２次元節点誘電率又は節点導電率１ｎｋ（Ｉ，Ｊ）及び２次元基底関数φ２１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，ｘ，ｙ）を用いて、１ｎｋ（ｘ，ｙ）〜ΣＩ，Ｊφ２１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，ｘ，ｙ）１ｎｋ（Ｉ，Ｊ）と内挿される。（８）式中の２次元誘電率分布又は導電率分布ｋ（ｘ，ｙ）は、２次元節点誘電率又は節点導電率ｋ（Ｉ，Ｊ）及び２次元基底関数φ２ｋ（Ｉ，Ｊ，ｘ，ｙ）を用いて、ｋ（ｘ，ｙ）〜ΣＩ，Ｊφ２ｋ（Ｉ，Ｊ，ｘ，ｙ）ｋ（Ｉ，Ｊ）と内挿される。一方、（７）式及び（８）式中の２次元電界ベクトル分布Ｅｉ（ｘ，ｙ）は、２次元節点電界ベクトル［Ｅｉｘ（Ｉ，Ｊ），Ｅｉｙ（Ｉ，Ｊ）］Ｔ及び基底関数φ２Ｅ（Ｉ，Ｊ，ｘ，ｙ）を用いて、Ｅｉ（ｘ，ｙ）〜［ΣＩ，Ｊφ２Ｅ（Ｉ，Ｊ，ｘ，ｙ）Ｅｉｘ（Ｉ，Ｊ），ΣＩ，Ｊφ２Ｅ（Ｉ，Ｊ，ｘ，ｙ）Ｅｉｙ（Ｉ，Ｊ）］Ｔと内挿される。また、（８）式中の電位分布Ｖｉ（ｘ，ｙ）は、２次元節点電位Ｖｉ（Ｉ，Ｊ）及び基底関数φ２Ｖ（Ｉ，Ｊ，ｘ，ｙ）を用いて、Ｖｉ（ｘ，ｙ）〜ΣＩ，Ｊφ２Ｖ（Ｉ，Ｊ，ｘ，ｙ）Ｖｉ（Ｉ，Ｊ）と内挿される。
１次元関心領域を対象とする場合において、（９）式中の１次元誘電率分布又は導電率分布１ｎｋ（ｘ）は、１次元節点誘電率又は節点導電率１ｎｋ（Ｉ）及び１次元基底関数φ１１ｎｋ（Ｉ，ｘ）を用いて、１ｎｋ（ｘ）〜ΣＩφ１１ｎｋ（Ｉ，ｘ）１ｎｋ（Ｉ）と内挿される。（１０）式中の１次元誘電率分布又は導電率分布ｋ（ｘ）は、１次元節点誘電率又は節点導電率ｋ（Ｉ）及び１次元基底関数φ１ｋ（Ｉ，ｘ）を用いて、ｋ（ｘ）〜ΣＩφ１ｋ（Ｉ，ｘ）ｋ（Ｉ）と内挿される。一方、（９）式及び（１０）式中の１次元電界ベクトル分布Ｅｉ（ｘ）は、１次元節点電界ベクトルＥｉｘ（Ｉ）及び基底関数φ１Ｅ（Ｉ，ｘ）を用いて、Ｅｉ（ｘ）〜ΣＩφ１Ｅ（Ｉ，ｘ）Ｅｉｘ（Ｉ）と内挿される。また、（１０）式中の電位分布Ｖｉ（ｘ）は、１次元節点電位Ｖｉ（Ｉ）及び基底関数φ１Ｖ（Ｉ，ｘ）を用いて、Ｖｉ（ｘ）〜ΣＩφ１Ｖ（Ｉ，ｘ）Ｖｉ（Ｉ）と内挿される。
但し、前述の基底関数の各々の微分可能性に関して、誘電率分布又は導電率分布の近似に使用する基底関数φ１ｎｋ及びφｋは、１回以上偏微分可能である必要があり、一方、電位分布及び電界ベクトル分布の近似に使用する基底関数φＶ及びφＥは、各々、２回以上及び１回以上偏微分可能である必要がある。ここで、電界ベクトル分布の基底関数は、前述のφＥとは別に、電位分布の基底関数φＶを偏微分することでも得られ、一方、電界ベクトルの発散の分布の基底関数は、電界ベクトル分布の基底関数を偏微分することでも得られる。但し、使用される基底関数は、いずれも、（５）式〜（１０）式の各式に現れる微分処理を少なくとも可能とするものであれば十分である。ここで、誘電率分布又は導電率分布の基底関数φ１ｎｋ及びφｋに関しては、各々、参照誘電率（分布）又は参照導電率（分布）値１ｎｋ’（ｘ，ｙ，ｚ）及びｋ’（ｘ，ｙ，ｚ）を表現できるものである必要があることを断っておく。また、（５）〜（１０）式中において必要となる電位分布測定データには低域通過型フィルタがかけられ、電界ベクトル分布データは、その低域通過型フィルタのかけられた電位分布測定データに微分フィルタをかけるか、又は、電位分布測定データに帯域制限付微分フィルタをかけるか、又は、基底関数φＶを用いて表された電位分布を偏微分するかのいずれかにより評価される。一方、電界ベクトルの発散の分布データは、同様に、電界ベクトル分布データに微分フィルタをかけるか、又は、基底関数φＥを用いて表された電界ベクトル分布を偏微分するかのいずれかにより評価される。従って、使用される基底関数は、いずれも、必要となる微分処理を少なくとも可能とするものであれば十分である。
具体的に、（５）式、（７）式、（９）式の汎関数が使用される際は、次式に示す汎関数（ｉ＝１〜Ｍ）のいずれかが求められる。
2003046587.tif 000013
但し、Ｐｉは、関心領域内の電界ベクトル分布Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値である。
これらをＬ１ｎに関する汎関数とする［但し、（１１）式は、一つのみの電位場が測定された場合においてのみ使用できる。］。（１２）式の（）内の汎関数は、正規化を施していないものである。例えば、３次元関心領域を対象とした場合において、これらの汎関数は、前述の基底関数を用いて有限要素化された上で、低域通過型フィルタのかけられた電界ベクトル分布データＥｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、電界ベクトルの発散の分布データ、及び、参照誘電率（分布）又は参照導電率（分布）の値１ｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）が代入された後、未知誘電率分布又は未知導電率分布１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’１ｎに関して最小化されるか、又は、関心領域内の誘電率分布又は導電率分布１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ”１ｎに関して最小化された後、電界ベクトル分布データＥｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、電界ベクトルの発散の分布データ、及び、参照誘電率（分布）又は参照導電率（分布）の値１ｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）が代入される。
その結果、（１１）式より、一つの電位場Ｖｉが測定された際の未知誘電率分布又は未知導電率分布分布１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’１ｎに関する次の連立方程式が得られる。
2003046587.tif 000014
さらに、（１２）式より、一つ以上の電位場Ｖｉ（ｉ＝１〜Ｍ）が測定された際の最小二乗法に基づく未知誘電率分布又は未知導電率分布分布１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’１ｎに関する次の正規方程式が得られる。
2003046587.tif 000015
但し、Ａ’およびａ’は、各々、測定された電位分布がＶｉ一つのみである場合に汎関数（１２）式ＩＩ（Ｌ１ｎ）中のＩｉ（Ｌ１ｎ）に参照誘電率（分布）値又は参照導電率（分布）値を代入した上でＩＩ（Ｌ’１ｎ）をＬ’１ｎに関して最小化することにより得られる正規方程式Ａ’ｉＬ’１ｎ＝ａ’ｉの行列Ａ’ｉ（＝ＡｉＴＡｉ）およびベクトルａ’ｉ（＝ＡｉＴａｉ）を用いて、ΣｉＡ’ｉおよびΣｉａ’ｉと表される。
これらを解くことにより、推定結果として１ｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）を得る（基底関数φ３１ｎｋを使用する）。但し、（１３）式中のＡｉ及びａｉ、及び、（１４）式中のＡ’ｉ及びａ’ｉは、一連の計算により導出された、使用された基底関数と、測定された電界ベクトル分布データＥｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と、電界ベクトルの発散の分布データと、参照誘電率（分布）又は参照導電率（分布）の値１ｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）とからなる行列及びベクトルである。２次元関心領域、及び、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。
（１１）式及び（１２）式の汎関数を最小化する際に、Ａｉ、ａｉ、Ａ’、及び、ａ’は低域通過型フィルタのかけられた電界ベクトル分布データ及び電界ベクトルの発散の分布データで決まるが、Ａｉ及びＡ’の逆作用素は、各々、ａｉ及びａ’に含まれる高周波数帯域のノイズを増幅させてしまう。また、特に、１つの電位場が測定された場合（Ｍ＝１）は、電圧源又は電流源と参照領域との相対的配置が不適切なものとなることがある。その結果、Ｌ’１ｎが不安定な結果となってしまう。そこで、いわゆる正則化を応用して再構成の安定化を図るようにしても良い。
具体的には、各電位場Ｖｉに対して設定されうる正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉ（正の値）を使用して、連続座標系において、次のような処罰項を考える。
３次元関心領域を対象にした場合には、以下のようになる。
2003046587.tif 000016
２次元関心領域を対象にした場合には、以下のようになる。
2003046587.tif 000017
１次元関心領域を対象にした場合には、以下のようになる。
2003046587.tif 000018
即ち、一つの電位場Ｖｉが測定されて（１１）式の汎関数が扱われる場合に、（１５）式〜（１７）式によって与えられる処罰項の各々を、（５）式、（７）式、（９）式の有限要素近似において導入した基底関数を使用して有限要素化し、例えば、３次元関心領域を対象とした場合には、有限要素化された誘電率又は導電率１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）に参照誘電率（分布）又は参照導電率（分布）の値１ｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を代入した上で、（１１）式の汎関数ＩＩｉ（Ｌ’１ｎ）に加え、これをＬ’１ｎに関して最小化する。この場合、基底関数φ３１ｎｋは２回偏微分可能である必要がある。あるいは、（１５）式〜（１７）式の処罰項を有限差分近似して、参照誘電率又は参照導電率（分布）の値１ｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を代入した上で、同様に、（１１）式の汎関数ＩＩ（Ｌ’１ｎ）に加え、これをＬ’１ｎに関して最小化する。その結果、例えば、３次元関心領域を対象とした場合には、未知誘電率分布又は未知導電率分布分布１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’１ｎに関する正則化された次の連立方程式が得られる。
2003046587.tif 000019
これを解くことにより、推定結果として１ｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）を得る（基底関数φ３１ｎｋを使用する）。特に、ＧＴＧ、ＧＴＧＧＴＧの各々は、有限要素近似あるいは有限差分（離散）近似された誘電率分布又は導電率分布１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）のラプラシアン作用素及びラプラシアン２乗作用素を表す。２次元、及び、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉは、（１８）式においては、同時に負の値をとり得、誘電率分布又は導電率分布を表すベクトルＬ’１ｎにかかる行列が数値解析的に安定化する様に、これらの絶対値は大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉの絶対値は、各電界ベクトル分布の大きさに依存する各測定電界ベクトル分布データの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各電界ベクトル分布のＳＮパワー比の平方根に反比例した値とする。尚、電界ベクトル分布のＳＮ比は、測定された電位分布データの間隔や電位分布そのもの（すなわち、電界ベクトル方向、電界ベクトル成分の大きさ）に依存するため、各電界ベクトル分布の成分分布のＳＮ比はその成分分布ごとに異なるものとなり、α２ｉおよびα３ｉは、これらに依存して、（１５）式および（１６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。すなわち、α２ｉおよびα３ｉの絶対値は、各電界ベクトル分布の成分分布のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各電界ベクトル分布の成分分布のＳＮパワー比の平方根に反比例した値とする。その際には、α２ｉおよびα３ｉの絶対値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔に反比例した値）、これらの絶対値は、各電界ベクトル分布のＳＮ比および各電界ベクトル分布の成分分布のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその絶対値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
尚、電位測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、標準物体（例えば、電位が任意の一定値となる均質物体）を対象に、複数回、測定電位のレンジ内の値を持つ電位分布の測定を行い、その測定電位分布データの平均値の２乗及びその測定電位分布データの分散値の比からＳＮパワー比を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、ＳＮ比を評価するようにしても良い。各要素の節点（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の電界ベクトルデータから、関心領域全体の電界ベクトル分布Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ）のＳＮ比が見積もられる。
また、正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉは、（１５）式〜（１７）式において空間的に変化するものとして実現されることもあり、結果的に、（１８）式においては、同時に負の値をとり得、誘電率分布又は導電率分布を表すベクトルＬ’１ｎの成分である各関心点の誘電率又は導電率にかかる局所行列が数値解析的に安定化する様に、これらの絶対値は大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉの絶対値は、各電界ベクトル分布の各関心点の電界ベクトルの大きさに依存する各測定電界ベクトルデータの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い位置においては小さく、ＳＮ比が低い位置においては大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各電界ベクトル分布の各位置において評価されたＳＮパワー比の平方根に反比例した値とする。尚、電界ベクトルのＳＮ比は、測定された電位分布データの間隔や電界ベクトル方向（すなわち、電界ベクトル成分の大きさ）に依存するため、各電界ベクトル分布の各関心点において、電界ベクトルの成分のＳＮ比はその成分ごとに異なるものとなり、α２ｉおよびα３ｉは、位置だけでなく、これらに依存して（１５）式および（１６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。すなわち、α２ｉおよびα３ｉの絶対値は、各電界ベクトル分布の各電界ベクトルの成分のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各電界ベクトル分布の各位置において評価された成分のＳＮパワー比の平方根に反比例した値とする。その際には、α２ｉおよびα３ｉの絶対値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔に反比例した値）、これらの絶対値は、各電界ベクトルのＳＮ比およびその各成分のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその絶対値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
尚、電位測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、標準物体（例えば、電位が任意の一定値となる均質物体）を対象に、複数回、測定電位のレンジ内の値を持つ電位分布の測定を行い、各位置において、測定電位データの平均値の２乗及び測定電位データの分散値の比を評価し、ＳＮパワー比の分布を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、ＳＮ比の分布を評価することがある。各節点（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の電界ベクトルデータのＳＮ比、又は、各要素の節点の電界ベクトルのＳＮ比より評価される各要素における電界ベクトルのＳＮ比が見積もられる。
次に、一つ以上の電位分布Ｖｉ（ｉ＝１〜Ｍ）が測定されて（１２）式の汎関数が扱われる場合においても、同様に、（１５）式〜（１７）式によって与えられる処罰項の各々を、（５）式、（７）式、（９）式の有限要素近似において導入した基底関数を使用して有限要素化し、例えば、３次元関心領域を対象とした場合には、有限要素化された誘電率又は導電率１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）に参照誘電率（分布）又は参照導電率（分布）の値１ｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を代入した上で、（１２）式の汎関数ＩＩ（Ｌ’１ｎ）に加え、これをＬ’１ｎに関して最小化する。この場合、基底関数φ３１ｎｋは２回偏微分可能である必要がある。あるいは、（１５）式〜（１７）式の処罰項を有限差分近似して、参照誘電率（分布）又は参照導電率（分布）の値１ｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を代入した上で、同様に、（１２）式の汎関数ＩＩ（Ｌ’１ｎ）に加え、これをＬ’１ｎに関して最小化する。その結果、例えば、３次元関心領域を対象とした場合には、未知誘電率分布又は未知導電率分布分布１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’１ｎに関する正則化された次の正規方程式が得られる。
2003046587.tif 000020
これを解くことにより、推定結果として１ｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）を得る（基底関数φ３１ｎｋを使用する）。特に、ＧＴＧ、ＧＴＧＧＴＧの各々は、有限要素近似あるいは有限差分（離散）近似された誘電率分布又は導電率分布１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）のラプラシアン作用素及びラプラシアン２乗作用素を表す。２次元、及び、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
正則化パラメータα１、α２、α３は、（１９）式において、誘電率分布又は導電率分布を表すベクトルＬ’１ｎにかかる行列が数値解析的に正定値となる様に、大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉの値は、各電界ベクトル分布の大きさに依存する各測定電界ベクトル分布データの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各電界ベクトル分布のＳＮパワー比に反比例した値とする。尚、電界ベクトル分布のＳＮ比は、測定された電位分布データの間隔や電位分布そのもの（すなわち、電界ベクトル方向、電界ベクトル成分の大きさ）に依存するため、各電界ベクトル分布の成分分布のＳＮ比はその成分分布ごとに異なるものとなり、α２ｉおよびα３ｉは、これらに依存して、（１５）式および（１６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。すなわち、α２ｉおよびα３ｉの値は、各電界ベクトル分布の成分分布のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各電界ベクトル分布の成分分布のＳＮパワー比に反比例した値とする。その際には、α２ｉおよびα３ｉの値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔の二乗に反比例した値）、これらの値は、各電界ベクトル分布のＳＮ比および各電界ベクトル分布の成分分布のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
尚、電位測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、標準物体（例えば、電位が任意の一定値となる均質物体）を対象に、複数回、測定電位のレンジ内の値を持つ電位分布の測定を行い、その測定電位分布データの平均値の２乗及びその測定電位分布データの分散値の比からＳＮパワー比を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、ＳＮ比を評価するようにしても良い。各要素の節点（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の電界ベクトルデータから、関心領域全体の電界ベクトル分布Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ）のＳＮ比が見積もられる。
また、正則化パラメータα１、α２、α３は、（１５）式〜（１７）式において空間的に変化するものとして実現されることもあり、結果的に、（１９）式において、誘電率分布又は導電率分布を表すベクトルＬ’１ｎの成分である各関心点の誘電率又は導電率にかかる局所行列が数値解析的に正定値となる様に、大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉの値は、各電界ベクトル分布の各関心点の電界ベクトルの大きさに依存する各測定電界ベクトルデータの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い位置においては小さく、ＳＮ比が低い位置においては大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各電界ベクトル分布の各位置において評価されたＳＮパワー比に反比例した値とする。尚、電界ベクトルのＳＮ比は、測定された電位分布データの間隔や電界ベクトル方向（すなわち、電界ベクトル成分の大きさ）に依存するため、各電界ベクトル分布の各関心点において、電界ベクトルの成分のＳＮ比はその成分ごとに異なるものとなり、α２ｉおよびα３ｉは、位置だけでなく、これらに依存して（１５）式および（１６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。すなわち、α２ｉおよびα３ｉの値は、各電界ベクトル分布の各電界ベクトルの成分のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各電界ベクトル分布の各位置において評価された成分のＳＮパワー比に反比例した値とする。その際には、α２ｉおよびα３ｉの値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔の二乗に反比例した値）、これらの値は、各電界ベクトルのＳＮ比およびその各成分のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
尚、電位測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、標準物体（例えば、電位が任意の一定値となる均質物体）を対象に、複数回、測定電位のレンジ内の値を持つ電位分布の測定を行い、各位置において、測定電位データの平均値の２乗及び測定電位データの分散値の比を評価し、ＳＮパワー比の分布を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、ＳＮ比の分布を評価することがある。各節点（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の電界ベクトルデータのＳＮ比、又は、各要素の節点の電界ベクトルのＳＮ比より評価される各要素における電界ベクトルのＳＮ比が見積もられる。
また、電位分布Ｖｉ（ｉ＝１〜Ｍ）が測定されて（１２）式の汎関数が扱われる際においては、（１５）式〜（１７）式によって与えられる処罰項の各々を、（５）式、（７）式、（９）式の有限要素近似において導入した基底関数を使用して有限要素化し、例えば、３次元関心領域を対象とした場合には、有限要素化された誘電率又は導電率１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）に参照誘電率（分布）又は参照導電率（分布）の値１ｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を代入した上で、（１２）式の２乗ノルム内において、汎関数Ｉｉ（Ｌ’１ｎ）に加えて、これをＬ’１ｎに関して最小化した上、その２乗ノルムをＬ’１ｎに関して最小化することがある。この場合、基底関数φ３１ｎｋは２回偏微分可能である必要がある。あるいは、（１５）式〜（１７）式の処罰項を有限差分近似して、参照誘電率（分布）又は参照導電率（分布）の値１ｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を代入した上で、同様に、（１２）式の２乗ノルム内において、汎関数Ｉｉ（Ｌ’１ｎ）に加えて、これをＬ’１ｎに関して最小化した上、その２乗ノルムをＬ’１ｎに関して最小化する。その結果、例えば、３次元関心領域を対象とした場合には、未知誘電率分布又は未知導電率分布１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’１ｎに関する正則化された次の正規方程式が得られる。
2003046587.tif 000021
これを解くことにより、推定結果として１ｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）を得る（基底関数φ３１ｎｋを使用する）。特に、ＧＴＧ、ＧＴＧＧＴＧの各々は、有限要素近似あるいは有限差分（離散）近似された誘電率分布又は導電率分布１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）のラプラシアン作用素及びラプラシアン２乗作用素を表す。２次元、及び、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉは、（２０）式においては、同時に負の値をとり得、誘電率分布又は導電率分布を表すベクトルＬ’１ｎにかかる行列が数値解析的に正定値となる様に、これらの絶対値は大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉの絶対値は、各電界ベクトル分布の大きさに依存する各測定電界ベクトル分布データの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各電界ベクトル分布のＳＮパワー比の平方根に反比例した値とする。尚、電界ベクトル分布のＳＮ比は、測定された電位分布データの間隔や電位分布そのもの（すなわち、電界ベクトル方向、電界ベクトル成分の大きさ）に依存するため、各電界ベクトル分布の成分分布のＳＮ比はその成分分布ごとに異なるものとなり、α２ｉおよびα３ｉは、これらに依存して、（１５）式および（１６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。すなわち、α２ｉおよびα３ｉの絶対値は、各電界ベクトル分布の成分分布のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各電界ベクトル分布の成分分布のＳＮパワー比の平方根に反比例した値とする。その際には、α２ｉおよびα３ｉの絶対値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔に反比例した値）、これらの絶対値は、各電界ベクトル分布のＳＮ比および各電界ベクトル分布の成分分布のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその絶対値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
尚、電位測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、標準物体（例えば、電位が任意の一定値となる均質物体）を対象に、複数回、測定電位のレンジ内の値を持つ電位分布の測定を行い、その測定電位分布データの平均値の２乗及びその測定電位分布データの分散値の比からＳＮパワー比を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、ＳＮ比を評価するようにしても良い。各要素の節点（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の電界ベクトルデータから、関心領域全体の電界ベクトル分布Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ）のＳＮ比が見積もられる。
また、正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉは、（１５）式〜（１７）式において空間的に変化するものとして実現されることもあり、結果的に、（２０）式においては、同時に負の値をとり得、誘電率分布又は導電率分布を表すベクトルＬ’１ｎの成分である各関心点の誘電率又は導電率にかかる局所行列が数値解析的に正定値となる様に、これらの絶対値は大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉの絶対値は、各電界ベクトル分布の各関心点の電界ベクトルの大きさに依存する各測定電界ベクトルデータの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い位置においては小さく、ＳＮ比が低い位置においては大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各電界ベクトル分布の各位置において評価されたＳＮパワー比の平方根に反比例した値とする。尚、電界ベクトルのＳＮ比は、測定された電位分布データの間隔や電界ベクトル方向（すなわち、電界ベクトル成分の大きさ）に依存するため、各電界ベクトル分布の各関心点において、電界ベクトルの成分のＳＮ比はその成分ごとに異なるものとなり、α２ｉおよびα３ｉは、位置だけでなく、これらに依存して（１５）式および（１６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。すなわち、α２ｉおよびα３ｉの絶対値は、各電界ベクトル分布の各電界ベクトルの成分のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各電界ベクトル分布の各位置において評価された成分のＳＮパワー比の平方根に反比例した値とする。その際には、α２ｉおよびα３ｉの絶対値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔に反比例した値）、これらの絶対値は、各電界ベクトルのＳＮ比およびその各成分のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその絶対値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
尚、電位測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、標準物体（例えば、電位が任意の一定値となる均質物体）を対象に、複数回、測定電位のレンジ内の値を持つ電位分布の測定を行い、各位置において、測定電位データの平均値の２乗及び測定電位データの分散値の比を評価し、ＳＮパワー比の分布を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、ＳＮ比の分布を評価することがある。各節点（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の電界ベクトルデータのＳＮ比、又は、各要素の節点の電界ベクトルのＳＮ比より評価される各要素における電界ベクトルのＳＮ比が見積もられる。
尚、（１）式、（２）式、（３）式の各々の両辺が、誘電率又は導電率ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）、ｋ（ｘ，ｙ）、ｋ（ｘ）がかけられた上で、関心領域内の誘電率分布又は導電率分布に変分原理を施した場合（１次元関心領域を対象とした場合は、誘電率又は導電率の１階微分の１次元分布に変分原理を施した場合もあり）の汎関数は、次のようになる。
３次元関心領域を対象とした場合は、（５’）式となる。
2003046587.tif 000022
２次元関心領域を対象とした場合は、（７’）式となる。
2003046587.tif 000023
１次元関心領域を対象とした場合は、（９’）式となる。
2003046587.tif 000024
但し、（１１）式及び（１２）式の汎関数中のＰｉは、関心領域内の電界ベクトルＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ）と誘電率又は導電率ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）の勾配作用素との内積の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値と電界ベクトルＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の発散の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値の和である。これらには、後記（２５）式〜（２７）式が正則化を行うための処罰項として使用されて、同様にして、未知誘電率分布又は未知導電率分布Ｌ’に関する（１８）式、（１９）式、（２０）式が導出される。
（１８）式において、正則化パラメータは、例えば、電界ベクトルＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の各成分とその成分と同一方向の誘電率又は導電率のｋ（ｘ，ｙ，ｚ）にかかる１階偏微分作用素との積の精度（ＳＮ比）と電界ベクトルＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の同一成分の同一方向の１階偏微分の精度（ＳＮ比）で決まるＳＮパワー比の平方根に反比例した値とされるか、若しくは、電界ベクトルＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ）と誘電率又は導電率のｋ（ｘ，ｙ，ｚ）にかかる１階偏微分作用素との内積の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量データの精度（ＳＮ比）と電界ベクトルＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の発散の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量データの精度（ＳＮ比）で決まるＳＮパワー比の平方根に反比例した値とされることがある。また、（１９）式において、正則化パラメータは、例えば、電界ベクトルＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の各成分とその成分と同一方向の誘電率又は導電率のｋ（ｘ，ｙ，ｚ）にかかる１階偏微分作用素との積の精度（ＳＮ比）と電界ベクトルＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の同一成分の同一方向の１階偏微分の精度（ＳＮ比）で決まるＳＮパワー比に反比例した値とされるか、若しくは、電界ベクトルＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ）と誘電率又は導電率のｋ（ｘ，ｙ，ｚ）にかかる１階偏微分作用素との内積の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量データの精度（ＳＮ比）と電界ベクトルＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の発散の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量データの精度（ＳＮ比）で決まるＳＮパワー比に反比例した値とされることがある。さらに、（２０）式において、正則化パラメータは、例えば、電界ベクトルＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の各成分とその成分と同一方向の誘電率又は導電率のｋ（ｘ，ｙ，ｚ）にかかる１階偏微分作用素との積の精度（ＳＮ比）と電界ベクトルＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の同一成分の同一方向の１階偏微分の精度（ＳＮ比）で決まるＳＮパワー比の平方根に反比例した値とされるか、若しくは、電界ベクトルＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ）と誘電率又は導電率のｋ（ｘ，ｙ，ｚ）にかかる１階偏微分作用素との内積の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量データの精度（ＳＮ比）と電界ベクトルＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の発散の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量データの精度（ＳＮ比）で決まるＳＮパワー比の平方根に反比例した値とされることがある。この場合、誘電率分布又は導電率分布、電界ベクトル分布（又は電位分布）の基底関数として、φｋ、φＥ（又は、φｖ）が使用される。
次に、（６）式、（８）式、（１０）式の汎関数が使用される際は、次式の汎関数（ｉ＝１〜Ｍ）が求められる。
2003046587.tif 000025
但し、Ｐｉは、関心領域内の電界ベクトル分布Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値である。これらを電界ベクトル分布（又は、電位分布）ｓに関する汎関数とする（（２１）式の代わりにＩｉ（ｓ）が使用されることがある。）。例えば、３次元関心領域を対象とした場合には、この汎関数は基底関数を用いて有限要素化された上で電界ベクトル分布Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）（又は、電位分布Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））に関して最小化される。
その結果、各電界ベクトル分布Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）（又は、各電位分布Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））からなるベクトルｓに関する連立方程式が得られ、低域通過型フィルタのかけられた電界ベクトル分布データＥｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）（又は、電位分布データＶｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））及び参照誘電率（分布）又は参照導電率（分布）の値ｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）が代入された上で、ｉ＝１〜Ｍの連立方程式が全て連立されることにより、最終的に、未知誘電率分布又は未知導電率分布分布ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’に関する次の代数方程式が得られる。
2003046587.tif 000026
但し、Ｂ及びｂは、使用された基底関数と、測定された電界ベクトル分布データＥｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）（ｉ＝１〜Ｍ）、又は、電位分布データＶｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）（ｉ＝１〜Ｍ）と、参照誘電率（分布）又は参照導電率（分布）の値ｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）とからなる行列及びベクトルである。
次に、この代数方程式に対して、未知の誘電率又は導電率分布ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’に関して最小二乗化するための次の汎関数が得られる。
2003046587.tif 000027
この汎関数を、未知の誘電率又は導電率分布ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’に関して最小化することにより次の正規方程式が得られる。
2003046587.tif 000028
これを解くことにより、推定結果としてｋ（ｘ，ｙ，ｚ）を得る（基底関数φ３ｋを使用する）。尚、この正規方程式は、（２１）式の電界ベクトル分布Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）（又は、電位分布Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））に関する最小化により得られる、関心領域内の誘電率分布又は導電率分布ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ”に関する連立方程式を、Ｌ”に関して最小二乗化した後に、測定された電界ベクトル分布データＥｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、電界ベクトルの発散の分布データ、及び、参照誘電率（分布）又は参照導電率（分布）の値ｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を代入しても得られる。２次元、及び、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。
（２４）式の正規方程式を得る際に、Ｂ、ｂは低域通過フィルタのかけられた電界ベクトル分布データ又は電位分布データで決まるが、Ｂの逆作用素はｂに含まれる高周波数帯域のノイズを増幅させてしまう。また、特に、１つの電位場が測定された場合（Ｍ＝１）においては、電圧源又は電流源と参照領域との相対的配置が不適切なものとなることがある。その結果、Ｌ’は不安定な結果となってしまう。そこで、いわゆる正則化を応用して再構成の安定化を図るようにしても良い。
具体的には、各電位場Ｖｉに対して設定されうる正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉ（正の値）を使用して、連続座標系において、次のような処罰項を考える。
３次元関心領域を対象にした場合には、以下のようになる。
2003046587.tif 000029
２次元関心領域を対象にした場合には、以下のようになる。
2003046587.tif 000030
１次元関心領域を対象にした場合には、以下のようになる。
2003046587.tif 000031
即ち、（６）式、（８）式、（１０）式の汎関数を扱う際に、（２５）式〜（２７）式において与えられる処罰項の各々を、（６）式、（８）式、（１０）式の有限要素近似において導入した基底関数を使用して有限要素化し、例えば、３次元関心領域を対象とする場合には、有限要素化された誘電率又は導電率ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）に参照誘電率（分布）又は参照導電率（分布）の値ｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を代入した上で、（２３）式の汎関数ＩＩ（Ｌ’）に加え、これをＬ’に関して最小化する。この場合、基底関数φ３ｋは２回偏微分可能である必要がある。あるいは、（２５）式〜（２７）式の処罰項を、有限差分近似し、参照誘電率（分布）又は参照導電率（分布）の値ｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を代入した上で、同様に、（２３）式の汎関数ＩＩ（Ｌ’）に加え、これをＬ’に関して最小化する。
その結果、例えば、３次元関心領域を対象とした場合には、未知誘電率分布又は未知導電率分布分布ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’に関する正則化された次の正規方程式が得られる。
2003046587.tif 000032
これを解くことにより、推定結果としてｋ（ｘ，ｙ，ｚ）を得る（基底関数φ３ｋを使用する）。特に、ＧＴＧ、ＧＴＧＧＴＧの各々は、有限要素近似あるいは有限差分（離散）近似された誘電率分布又は導電率分布ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）のラプラシアン作用素及びラプラシアン２乗作用素を表す。２次元、及び、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
正則化パラメータα１、α２、α３は、（２８）式において、誘電率分布又は導電率分布を表すベクトルＬ’にかかる行列が数値解析的に正定値となる様に、大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉの値は、各電界ベクトル分布の大きさに依存する各測定電界ベクトル分布データの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各電界ベクトル分布のＳＮパワー比に反比例した値とする。尚、電界ベクトル分布のＳＮ比は、測定された電位分布データの間隔や電位分布そのもの（すなわち、電界ベクトル方向、電界ベクトル成分の大きさ）に依存するため、各電界ベクトル分布の成分分布のＳＮ比はその成分分布ごとに異なるものとなり、α２ｉおよびα３ｉは、これらに依存して、（２５）式および（２６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。すなわち、α２ｉおよびα３ｉの値は、各電界ベクトル分布の成分分布のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各電界ベクトル分布の成分分布のＳＮパワー比に反比例した値とする。その際には、α２ｉおよびα３ｉの値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔の二乗に反比例した値）、これらの値は、各電界ベクトル分布のＳＮ比および各電界ベクトル分布の成分分布のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
尚、電位測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、標準物体（例えば、電位が任意の一定値となる均質物体）を対象に、複数回、測定電位のレンジ内の値を持つ電位分布の測定を行い、その測定電位分布データの平均値の２乗及びその測定電位分布データの分散値の比からＳＮパワー比を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、ＳＮ比を評価するようにしても良い。各要素の節点（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の電界ベクトルデータから、関心領域全体の電界ベクトル分布Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ）のＳＮ比が見積もられる。
また、正則化パラメータα１、α２、α３は、（２５）式〜（２７）式において空間的に変化するものとして実現されることもあり、結果的に、（２８）式において、誘電率分布又は導電率分布を表すベクトルＬ’の成分である各関心点の誘電率又は導電率にかかる局所行列が数値解析的に正定値となる様に、大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉの値は、各電界ベクトル分布の各関心点の電界ベクトルの大きさに依存する各測定電界ベクトルデータの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い位置においては小さく、ＳＮ比が低い位置においては大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各電界ベクトル分布の各位置において評価されたＳＮパワー比に反比例した値とする。尚、電界ベクトルのＳＮ比は、測定された電位分布データの間隔や電界ベクトル方向（すなわち、電界ベクトル成分の大きさ）に依存するため、各電界ベクトル分布の各関心点において、電界ベクトルの成分のＳＮ比はその成分ごとに異なるものとなり、α２ｉおよびα３ｉは、位置だけでなく、これらに依存して（２５）式および（２６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。すなわち、α２ｉおよびα３ｉの値は、各電界ベクトル分布の各電界ベクトルの成分のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各電界ベクトル分布の各位置において評価された成分のＳＮパワー比に反比例した値とする。その際には、α２ｉおよびα３ｉの値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔の二乗に反比例した値）、これらの値は、各電界ベクトルのＳＮ比およびその各成分のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
尚、電位測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、標準物体（例えば、電位が任意の一定値となる均質物体）を対象に、複数回、測定電位のレンジ内の値を持つ電位分布の測定を行い、各位置において、測定電位データの平均値の２乗及び測定電位データの分散値の比を評価し、ＳＮパワー比の分布を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、ＳＮ比の分布を評価するようにしても良い。各節点（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の電界ベクトルデータのＳＮ比、又は、各要素の節点の電界ベクトルのＳＮ比より評価される各要素における電界ベクトルのＳＮ比が見積もられる。
３次元関心領域は、複数の２次元又は１次元関心領域から、又、２次元関心領域は複数の１次元関心領域から成ることがあり、各々の場合、適宜、低次元関心領域にて前記の通り未知誘電率分布又は未知導電率分布に関する代数方程式を導出し、最小二乗法に基づいて誘電率分布又は導電率分布を決定する際には正則化を高次元関心領域又は各低次元関心領域において行うことがある。
次に、第２の誘電率又は導電率推定方法の基本原理について説明する。第２の誘電率又は導電率推定方法の基本原理によれば、測定された電界ベクトル分布によって記述される誘電率又は導電率に関する（１）式〜（３）式の１階の空間偏微分方程式に対して、誘電率分布又は導電率分布、誘電率又は導電率の１階偏微分の分布、あるいは電界ベクトル分布（又は電位分布、又は電界ベクトルの発散分布）に関して有限差分近似あるいは有限要素近似（ガラーキン法）を施してモデル化する。
デカルト座標系において、関心領域内にて成立する（１）式〜（３）式の１階の空間偏微分方程式中に表される誘電率分布又は導電率分布１ｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）、誘電率又は導電率の１階偏微分の分布、あるいは低域通過型フィルタのかけられた電界ベクトル分布Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、又は、低域通過型フィルタのかけられた電位分布Ｖｉ（ｘ，ｙ，ｚ）は、離散座標系：（Ｉ，Ｊ，Ｋ）〜（ｘ／Δｘ，ｙ／Δｙ，ｚ／Δｚ）において有限差分（離散）近似されるか、あるいは、ガラーキン法に基づいて有限要素近似されるが、有限要素としては、（５）式〜（１０）式の有限要素近似において導入した３次元基底関数、２次元基底関数、１次元基底関数が使用される。ここで、ｉ（ｉ＝１〜Ｍ）は、測定された電位場Ｖｉを指し、Ｍは、測定れた独立した電位場の数（１以上）である。以下、要素の節点数は省略する。
（１）式〜（３）式の１階の空間偏微分方程式に有限差分（離散）近似を適用する場合、例えば、３次元関心領域を対象とする場合においては、（１）式中の３次元誘電率分布又は導電率分布１ｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）に有限差分近似（前方差分近似、後方差分近似など）が施され、加えて、電界ベクトル分布Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の近似は、低域通過型フィルタのかけられた電位分布データに微分フィルタをかけるか、又は、電位分布データに帯域制限付微分フィルタをかけるか、又は、測定された電位分布データに低域通過型フィルタがかけられるかのいずれかにより得られ、一方、電界ベクトルの発散の分布の近似は、得られた電界ベクトル分布データに微分フィルタをかけることにより得られる。２次元関心領域、及び、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。
また、（１）式〜（３）式の１階の空間偏微分方程式にガラーキン法に基づく有限要素近似を施した場合、例えば、３次元関心領域を対象とする場合において、（１）式中の３次元誘電率分布又は導電率分布１ｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）は、３次元節点誘電率又は節点導電率１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）及び３次元基底関数φ３１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて、１ｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と内挿される。３次元電界ベクトル分布Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ）は、３次元節点電界ベクトル［Ｅｉｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｅｉｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｅｉｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］Ｔ及び基底関数φ３Ｅ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて、Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ）〜［ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３Ｅ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｅｉｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３Ｅ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｅｉｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３Ｅ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｅｉｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］Ｔと内挿される。また、電位分布Ｖｉ（ｘ，ｙ，ｚ）は、３次元節点電位Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）及び基底関数φ３Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて、Ｖｉ（ｘ，ｙ，ｚ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と内挿される。尚、これらの基底関数の微分可能性に関しては、前述の通り、誘電率分布又は導電率分布１ｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）の近似に使用する基底関数φ３１ｎｋは１回以上偏微分可能である必要があり、一方、電位分布及び電界ベクトル分布の近似に使用する基底関数φ３Ｖ及びφ３Ｅは、各々、２回以上及び１回以上偏微分可能である必要がある。ここで、電界ベクトル分布の基底関数は、前述のφＥとは別に、電位分布の基底関数φＶを偏微分することでも得られ、一方、電界ベクトルの発散の分布の基底関数は、電界ベクトル分布の基底関数を偏微分することでも得られる。２次元、及び、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。
但し、これらの基底関数φ３１ｎｋ，、φ３Ｅ、及び、φ３Ｖの各々は、（４）式において与えられる参照誘電率（分布）又は参照導電率（分布）値１ｎｋ’（ｘ，ｙ，ｚ）、低域通過型フィルタのかけられた電界ベクトル分布データ、及び、低域通過型フィルタのかけられた電位分布を表現できるものである必要がある。尚、電界ベクトル分布データは、低域通過型フィルタのかけられた電位分布データに微分フィルタをかけるか、又は、電位分布データに帯域制限付微分フィルタをかけるか、又は、基底関数φ３Ｖを用いて表された低域通過フィルタのかけられた電位分布データを偏微分するかのいずれかにより得られ、一方、電界ベクトルの発散の分布データは、同様に、電界ベクトル分布データに微分フィルタをかけるか、又は、基底関数φ３Ｅを用いて表された電界ベクトル分布を偏微分するかのいずれかにより得られる。
電位場Ｖｉ（ｉ＝１〜Ｍ）が測定された際に、（１）式〜（３）式の１階の空間偏微分方程式中の誘電率分布又は導電率分布Ｌ１ｎ及び電界ベクトル分布ｓに有限差分（離散）近似が施された場合において、例えば、３次元関心領域を対象としたときは、低域通過型フィルタのかけられた電界ベクトル分布データＥｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）（ｉ＝１〜Ｍ）、電界ベクトルの発散の分布データ、及び、参照誘電率（分布）又は参照導電率（分布）の値１ｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）が代入されて、未知誘電率分布又は未知導電率分布１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’１ｎに関する次式に示す連立方程式が得られる。
2003046587.tif 000033
但し、Ｃｉ及びｃｉは、各々、電位場Ｖｉが測定された場合に、一連の計算により導出された、使用された偏微分の有限差分近似定数と、測定された電界ベクトル分布データＥｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と、電界ベクトルの発散の分布データと、参照誘電率（分布）又は参照導電率（分布）の値１ｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）とからなる行列及びベクトルである。
次に、この連立方程式に対して、未知誘電率分布又は未知導電率分布分布１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’１ｎに関して最小二乗化するための次の汎関数が得られる。
2003046587.tif 000034
但し、Ｐｉは、関心領域内の電界ベクトル分布Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値である。（３０）式の（）内は正規化を施していないものである。
この汎関数を、未知誘電率分布又は未知導電率分布１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’１ｎに関して最小化することにより、次の正規方程式が得られる。
2003046587.tif 000035
これを解くことにより、推定結果として未知誘電率分布又は未知導電率分布の離散分布１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）が得られる。尚、この正規方程式は、関心領域内の誘電率分布又は導電率分布１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ”１ｎに関する連立方程式をＬ”１ｎに関して最小二乗化した後に、測定された電界ベクトル分布データＥｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、電界ベクトルの発散の分布データ、及び、参照誘電率（分布）又は参照導電率（分布）の値１ｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を代入しても得られる。２次元、及び、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。
次に、電位場Ｖｉ（ｉ＝１〜Ｍ）が測定された際に、ガラーキン法に基づき、（１）式〜（３）式の１階の空間偏微分方程式中に表される誘電率分布又は導電率分布１ｎｋを表すベクトルＬ１ｎ又は電界ベクトル分布Ｅｉを表すベクトルｓに関して、３次元、２次元、及び、１次元関心領域において扱う汎関数Ｉｉ（・）を示す。
３次元関心領域を対象とした場合の汎関数は、次式のようになる。
2003046587.tif 000036
但し、ｖ（ｘ，ｙ，ｚ）は、任意の重み関数（｜ｖ（ｘ，ｙ，ｚ）｜≠０）。
また、２次元関心領域を対象とした場合の汎関数は、次式のようになる。
2003046587.tif 000037
但し、ｖ（ｘ，ｙ）は、任意の重み関数（｜ｖ（ｘ，ｙ）｜≠０）。
また、１次元関心領域を対象とした場合の汎関数は、次式のようになる。
2003046587.tif 000038
但し、ｖ（ｘ）は、任意の重み関数（｜ｖ（ｘ）｜≠０）。
具体的に、（３２）式〜（３４）式の汎関数Ｉｉ（・）が使用される際には次式に示す汎関数が求められる（ｉ＝１〜Ｍ）。
2003046587.tif 000039
但し、Ｐｉは、関心領域内の電界ベクトル分布Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値である（（３５）式の代わりにＩｉ（ｓ）が使用されることがある。）。
（３５）式のＩＩｉ（・）中のＩｉ（・）内の重み関数ｖとして、誘電率分布又は導電率分布Ｌ１ｎ、誘電率又は導電率の１階偏微分の分布、又は、電界ベクトル分布ｓ（又は、電位分布、又は、電界ベクトルの発散分布）を有限要素近似する際に使用される基底関数、すなわち、
2003046587.tif 000040
が使用される。
さらに、（３５）式のＩＩｉ（・）には、低域通過型フィルタのかけられた電界ベクトル分布データＥｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と、電界ベクトルの発散の分布データと、参照誘電率（分布）又は参照導電率（分布）の値１ｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）が代入されて、その結果得られるＩＩｉ（・）が０に等しいものとすることにより、電位場Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）が測定された際の未知誘電率分布又は未知導電率分布Ｌ’１ｎに関する次式の連立方程式が得られる。
2003046587.tif 000041
ここで、重み関数として電界ベクトル分布ｓ（又は電位分布、又は電界ベクトルの発散分布）の近似に使用する基底関数φＥ（又はφＶ）を使用して、誘電率分布又は導電率分布１ｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）の勾配に部分積分を施した場合においては、基底関数φ１ｎｋは直流でも構わない。但し、Ｄｉ及びｄｉは、各々、電位場Ｖｉが測定された場合に、一連の計算により導出された、使用された基底関数と、測定された電界ベクトル分布データＥｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と、電界ベクトルの発散の分布データと、参照誘電率（分布）又は参照導電率（分布）の値１ｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）とからなる行列及びベクトルである。
次に、この連立方程式（一つの電位場が測定された場合）および代数方程式（Ｍ個の電位場が測定された場合）を未知誘電率分布又は未知導電率分布１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’１ｎに関して最小二乗化するための次の汎関数が得られる。
2003046587.tif 000042
この汎関数を、未知誘電率分布又は未知導電率分布１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’１ｎに関して、最小化することにより、次の正規方程式が得られる。
2003046587.tif 000043
これを解くことにより、推定結果として未知誘電率分布又は未知導電率分布１ｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）が得られる（基底関数φ３１ｎｋを使用）。尚、この正規方程式は、（３５）式の汎関数より得られる、関心領域内の誘電率分布又は導電率分布１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ”１ｎに関する連立方程式を、Ｌ”１ｎに関して最小二乗化した後に、測定された電界ベクトル分布データＥｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、電界ベクトルの発散の分布データ、及び、参照誘電率（分布）又は参照導電率（分布）の値１ｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を代入しても得られる。２次元関心領域、及び、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。
有限差分近似を適用した際に導出される（３１）式の行列Ｃ’及びｃ’、及び、有限要素近似を適用した際に導出される（３８）式中の行列Ｄ’及びｄ’は、低域通過型フィルタのかけられた電界ベクトル分布データから決まるが、Ｃ’の逆作用素はｃ’に含まれる高周波数帯域のノイズを増幅させ、Ｄ’の逆作用素はｄ’に含まれる高周波数帯域のノイズを増幅させてしまう。また、特に、１つの電位場が測定された場合（Ｍ＝１）には、電圧源又は電流源と参照領域との相対的配置が不適切なものとなることがある。その結果、Ｌ’１ｎは不安定な結果となってしまう。そこで、いわゆる正則化を応用して再構成の安定化を図るようにしても良い。
具体的には、各電位場Ｖｉに対して設定されうる正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉ（正の値）を使用して、連続座標系において、（１５）式〜（１７）式の処罰項を考える。
有限差分近似を適用した場合には、（１５）式〜（１７）式によって与えられる処罰項の各々を有限差分近似し（但し、α１＝０）、例えば、３次元関心領域を対象としたときは、処罰項中の離散化された誘電率又は導電率１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）に参照誘電率（分布）又は参照導電率（分布）の値１ｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を代入した上で、これを汎関数（３０）式に加えることにより新たに導出される汎関数をベクトルＬ’１ｎに関して最小化する。その結果、未知誘電率分布又は未知導電率分布分布１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’１ｎに関する正則化された次の正規方程式が得られる。
2003046587.tif 000044
2003046587.tif 000045
これを解くことにより、推定結果として１ｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）を得る（基底関数φ３１ｎｋを使用する）。ＧＴＧ、ＧＴＧＧＴＧの各々は、有限差分（離散）近似された誘電率分布又は導電率分布１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）のラプラシアン作用素及びラプラシアン２乗作用素を表す。２次元、及び、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
また、有限要素近似を適用した場合には、（１５）式〜（１７）式によって与えられる処罰項の各々を、（３５）式にて１ｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）の有限要素近似において導入した基底関数φ３１ｎｋを使用して有限要素化し、例えば、３次元関心領域を対象とした場合、処罰項中の有限要素化された誘電率又は導電率１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）に参照誘電率（分布）又は参照導電率（分布）の値１ｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を代入した上で、これを汎関数（３７）式に加えることにより新たに導出される汎関数をベクトルＬ’１ｎに関して最小化する。この場合、基底関数φ３１ｎｋは２回偏微分可能である必要がある。又は、（１５）式〜（１７）式を有限差分近似し、参照誘電率（分布）又は参照導電率（分布）の値１ｎｋ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を代入した上で、同様に、これを加えることにより新たに導出される汎関数をベクトルＬ’１ｎに関して最小化する。いずれの場合も、下記のごとく、未知誘電率分布又は導電率分布１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）からなるベクトルＬ’１ｎに関する正則化された次の正規方程式が得られる。
2003046587.tif 000046
これを解くことにより、推定結果として１ｎｋ（ｘ，ｙ，ｚ）を得る（基底関数φ３１ｎｋを使用する）。特に、ＧＴＧ、ＧＴＧＧＴＧの各々は、有限要素近似あるいは有限差分（離散）近似された誘電率分布又は導電率分布１ｎｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）のラプラシアン作用素及びラプラシアン２乗作用素を表す。２次元、及び、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
正則化パラメータα１、α２、α３は、（３９）式及び（４０）式において、誘電率分布又は導電率分布を表すベクトルＬ’１ｎにかかる行列が数値解析的に正定値となる様に、大きい値に調節される。但し、（３９）式においては、α１は常に零である。あるいは、正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉの値は、各電界ベクトル分布の大きさに依存する各測定電界ベクトル分布データの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各電界ベクトル分布のＳＮパワー比に反比例した値とする。尚、電界ベクトル分布のＳＮ比は、測定された電位分布データの間隔や電位分布そのもの（すなわち、電界ベクトル方向、電界ベクトル成分の大きさ）に依存するため、各電界ベクトル分布の成分分布のＳＮ比はその成分分布ごとに異なるものとなり、α２ｉおよびα３ｉは、これらに依存して、（１５）式および（１６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。すなわち、α２ｉおよびα３ｉの値は、各電界ベクトル分布の成分分布のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各電界ベクトル分布の成分分布のＳＮパワー比に反比例した値とする。その際には、α２ｉおよびα３ｉの値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔の二乗に反比例した値）、これらの値は、各電界ベクトル分布のＳＮ比および各電界ベクトル分布の成分分布のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
尚、電位測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、標準物体（例えば、電位が任意の一定値となる均質物体）を対象に、複数回、測定電位のレンジ内の値を持つ電位分布の測定を行い、その測定電位分布データの平均値の２乗及びその測定電位分布データの分散値の比からＳＮパワー比を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、ＳＮ比を評価するようにしても良い。
有限差分近似を行った場合には離散座標（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の電界ベクトルから、また、有限要素近似を行った場合には各要素の節点（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の電界ベクトルデータから、関心領域全体の電界ベクトル分布Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ）のＳＮ比が見積もられる。
また、正則化パラメータα１、α２、α３は、（１５）式〜（１７）式において空間的に変化するものとして実現されることもあり、結果的に、（３９）式及び（４０）式において、誘電率分布又は導電率分布を表すベクトルＬ’の成分である各関心点の誘電率又は導電率にかかる局所行列が数値解析的に正定値となる様に、大きい値に調節される。但し、（３９）式においてはα１ｉは常に零である。あるいは、正則化パラメータα１ｉ、α２ｉ、α３ｉの値は、各電界ベクトル分布の各関心点の電界ベクトルの大きさに依存する各測定電界ベクトルデータの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い位置においては小さく、ＳＮ比が低い位置においては大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各電界ベクトル分布の各位置において評価されたＳＮパワー比に反比例した値とする。尚、電界ベクトルのＳＮ比は、測定された電位分布データの間隔や電界ベクトル方向（すなわち、電界ベクトル成分の大きさ）に依存するため、各電界ベクトル分布の各関心点において、電界ベクトルの成分のＳＮ比はその成分ごとに異なるものとなり、α２ｉおよびα３ｉは、位置だけでなく、これらに依存して（１５）式および（１６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。すなわち、α２ｉおよびα３ｉの値は、各電界ベクトル分布の各電界ベクトルの成分のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各電界ベクトル分布の各位置において評価された成分のＳＮパワー比に反比例した値とする。その際には、α２ｉおよびα３ｉの値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔の二乗に反比例した値）、これらの値は、各電界ベクトルのＳＮ比およびその各成分のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
尚、電位測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、標準物体（例えば、電位が任意の一定値となる均質物体）を対象に、複数回、測定電位のレンジ内の値を持つ電位分布の測定を行い、各位置において、測定電位データの平均値の２乗及び測定電位データの分散値の比を評価し、ＳＮパワー比の分布を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、ＳＮ比の分布を評価するようにしても良い。
有限差分近似を行った場合には、各離散座標（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の電界ベクトルのＳＮ比が必要となり、また、有限要素近似を行った場合には、各要素の節点（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の電界ベクトルデータのＳＮ比又はこれより見積もられる要素の電界ベクトルのＳＮ比が必要となる。
尚、（１）式、（２）式、（３）式の各々の両辺が、誘電率又は導電率ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）、ｋ（ｘ，ｙ）、ｋ（ｘ）がかけられた上で扱われる場合は、ガラーキン法に基づいて、同様に、誘電率分布又は導電率分布、誘電率又は導電率の一階偏微分の分布、あるいは電界ベクトル分布（又は、電位分布、又は、電界ベクトルの発散分布）の基底関数、すなわち、
2003046587.tif 000047
を重み関数として有限要素化され、さらに、（２５）式〜（２７）式が正則化を行うための処罰項として使用されて、未知誘電率分布又は未知導電率分布Ｌ’に関する（４０）式が導出される。ここで、（３５）式の汎関数中のＰｉは、関心領域内の電界ベクトルＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ）と誘電率又は導電率ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）の勾配作用素との内積の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値と電界ベクトルＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の発散の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値の和である。また、正則化パラメータは、例えば、電界ベクトルＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の各成分とその成分と同一方向の誘電率又は導電率ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）にかかる１階偏微分作用素との積の精度（ＳＮ比）と電界ベクトルＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の同一成分の同一方向の１階偏微分の精度（ＳＮ比）で決まるＳＮパワー比に反比例した値とされるか、若しくは、電界ベクトルＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ）と誘電率又は導電率ｋ（ｘ，ｙ，ｚ）にかかる１階偏微分作用素との内積の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量データの精度（ＳＮ比）と電界ベクトルＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の発散の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量データの精度（ＳＮ比）で決まるＳＮパワー比に反比例した値とされることがある。
３次元関心領域は、複数の２次元又は１次元関心領域から、又、２次元関心領域は複数の１次元関心領域から成ることがあり、各々の場合、適宜、低次元関心領域にて前記の通り未知誘電率分布又は未知導電率分布に関する代数方程式を導出し、最小二乗法に基づいて誘電率分布又は導電率分布を決定する際には正則化を高次元関心領域又は各低次元関心領域において行うことがある。
次に、第３の誘電率又は導電率推定方法として、両者を同時に推定する方法の基本原理について説明する。
第１及び第２の誘電率又は導電率の推定法の基本原理によれば、関心領域内にて測定された電位場データＶ１（ｉ（＝１〜Ｍ）は測定された独立した電位場Ｖｉを指し、Ｍは測定された独立した電位場の数（１以上）である。）や電界ベクトル分布データＥｉ及び初期条件として参照領域内又は参照点ｗｍ（ｍ＝１〜Ｎ）にて与えられる参照誘電率（分布）値又は参照導電率（分布）値、即ち（４）式を用いて、３次元、２次元、１次元関心領域内の誘電率分布又は導電率分布ｋを表す１階の空間偏微分方程式である（１）〜（３）式（∇（ｋＥｉ）＝０  但し、Ｅｉ＝−∇Ｖｉ）に有限要素法（変分原理又はガラーキン法）又は有限差分法及び正則化法を用いた所定の数値解法を施すことにより、未知誘電率分布又は未知導電率分布ｋを得る。
これに対し、第３の誘電率又は導電率推定法の基本原理によれば、電圧源又は電流源と参照領域等の位置・大きさ・状態・個数等が時間的に変化することがあり、３次元、２次元、１次元関心領域内の電位場の時間変化がある場合の誘電率分布又は導電率分布の推定法として、時間変化を伴なうことのある誘電率分布、導電率分布、誘電率と導電率の比の分布を計測対象とする。
（Ｉ）第１及び第２の基本原理に基づいて関心領域内にて測定される電位（電界ベクトル）分布の時系列、例えば、３次元関心領域を対象とする場合には、電位分布の時系列データＶｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）と電位の時間方向の１階の偏微分の分布の時系列データｄＶｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔ（又は、電界ベクトル分布の時系列データＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分の分布の時系列データｄＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔ）を用いて、次の１階の空間偏微分方程式
2003046587.tif 000048
但し、Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）＝−∇Ｖｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）
また、時系列ｉ及び時間ｔに依存しうる誘電率εｉに関する次の初期条件
2003046587.tif 000049
且つ、
2003046587.tif 000050
及び時系列ｉ及び時間ｔに依存しうる導電率σｉに関する次の初期条件
2003046587.tif 000051
且つ、
2003046587.tif 000052
が扱われることがある。ここで、ｔは、電位（電界ベクトル）分布データの取得を開始してからの時間を表し、ｉ（＝１〜Ｍ）は、測定された独立した電位場（分布）の時系列Ｖｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）［電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］を表し、Ｍは、測定された独立した電位場の時系列の数（１以上）を表す。また、εｉは、誘電率分布の時系列εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、又は、誘電率分布εｉ（ｘ，ｙ，ｚ）若しくはε（ｘ，ｙ，ｚ）を表し、σｉは、導電率分布の時系列σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、又は、導電率分布σｉ（ｘ，ｙ，ｚ）若しくはσ（ｘ，ｙ，ｚ）を表す。
（４１）式中の、関心領域内の、誘電率分布の時系列のεｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、誘電率分布のεｉ（ｘ，ｙ，ｚ）又はε（ｘ，ｙ，ｚ）、導電率分布の時系列σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、導電率分布のσｉ（ｘ，ｙ，ｚ）又はσ（ｘ，ｙ，ｚ）は、測定値、又は、典型値として与えられるか、あるいは、計測対象とされる。尚、（４１）式の左辺の電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分ｄＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔは、近似的に零とされることがある。
また、関心領域内において誘電率分布の時系列εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、又は、誘電率分布εｉ（ｘ，ｙ，ｚ）若しくはε（ｘ，ｙ，ｚ）が、未知ではあるが、空間的に一定であると想定される場合には、（４１）式の代わりに、関心領域内の、導電率分布の時系列σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）又は導電率分布のσｉ（ｘ，ｙ，ｚ）又はσ（ｘ，ｙ，ｚ）とこれらの誘電率との比ｈ１、即ち、σ／ε（導電率と誘電率の比の分布の時系列ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、又は、導電率と誘電率の比の分布ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）若しくはｈ１（ｘ，ｙ，ｚ））を変数とする次の１階の空間偏微分方程式：
2003046587.tif 000053
及び（４２）式及び（４３）式の代わりに時系列ｉ及び時間ｔに依存しうる次の初期条件（時系列ｉ及び時間ｔに対して一定であると想定される場合もある）：
2003046587.tif 000054
且つ、
2003046587.tif 000055
が扱われることがある。尚、（４４）式の左辺の電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分ｄＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔは、近似的に零とされることがある。
また、関心領域内において導電率分布の時系列σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、又は、導電率分布σｉ（ｘ，ｙ，ｚ）若しくはσ（ｘ，ｙ，ｚ）が、未知ではあるが、空間的に一定であると想定される場合、（４１）式の代わりに、関心領域内の、誘電率分布の時系列εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）又は誘電率分布のεｉ（ｘ，ｙ，ｚ）又は誘電率分布のεｉ（ｘ，ｙ，ｚ）とこれらの導電率との比ｈ２、即ち、ε／σ（誘電率と導電率の比の分布の時系列ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、又は、誘電率と導電率の比の分布ｈ３ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）若しくはｈ２（ｘ，ｙ，ｚ））を変数とする次の１階の空間偏微分方程式：
2003046587.tif 000056
及び、（４２）及び（４３）式の代わりに時系列ｉ及び時間ｔに依存しうる次の初期条件（時系列ｉび時間ｔに対して一定であると想定される場合もある）：
2003046587.tif 000057
且つ、
2003046587.tif 000058
が扱われることがある。尚、（４６）式の左辺の電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分ｄＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔは、近似的に零とされることがある。
２次元、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
従って、以下の各物性パラメータを未知とする連続した有限領域が３次元、２次元、又は、１次元関心領域を構成することとなり（以下、この連続した有限領域を構成領域と称する）、少なくとも１つの３次元、２次元、又は、１次元の構成領域内の、導電率分布の、Ｌｉｊ（３次元構成領域の場合はσｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、２次元構成領域の場合はσｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、１次元構成領域の場合はσｉ（ｘ，ｔ））、及び、Ｌｉ（３次元構成領域の場合はσｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はσｉ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はσｉ（ｘ））、及び、Ｌ（３次元構成領域の場合はσ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はσ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はσ（ｘ））、及び、誘電率分布の、Ｒｉｊ（３次元構成領域の場合はεｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、２次元構成領域の場合はεｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、１次元構成領域の場合はεｉ（ｘ，ｔ））、及び、Ｒｉ（３次元構成領域の場合はεｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はεｉ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はεｉ（ｘ））、及び、Ｒ（３次元構成領域の場合はε（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はε（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合は得ε（ｘ））、及び、導電率と誘電率の比の分布の、Ｈ１ｉｊ（３次元構成領域の場合はｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、２次元構成領域の場合はｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、１次元構成領域の場合はｈ１ｉ（ｘ，ｔ））、及び、Ｈ１ｉ（３次元構成領域の場合はｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はｈ１ｉ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はｈ１ｉ（ｘ））、及び、Ｈ１（３次元構成領域の場合はｈ１（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はｈ１（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はｈ１（ｘ））、及び、誘電率と導電率の比の分布の、Ｈ２ｉｊ（３次元構成領域の場合はｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、２次元構成領域の場合はｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、１次元構成領域の場合はｈ２ｉ（ｘ，ｔ））、及び、Ｈ２ｉ（３次元構成領域の場合はｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はｈ２ｉ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はｈ２ｉ（ｘ））、及び、Ｈ２（３次元構成領域の場合はｈ２（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はｈ２（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はｈ２（ｘ））の内の少なくともいずれか１つが未知分布として計測対象となる。従って、設定される構成領域は、互いに同一位置の領域を含むことがあり、構成領域が１つの場合はその構成領域は関心領域そのものである。
以下、時系列データのサンプリング間隔をΔｔとして離散時間座標ｊをｊ〜ｔ／Δｔ（ｊ＝０〜ｎ）、離散空間座標系（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｉ，ｊ）を（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｉ，ｊ）〜（ｘ／Δｘ，ｙ／Δｙ，ｚ／Δｚ，ｉ，ｔ／Δｔ））と近似する。
従って、３次元関心領域（離散座標系（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｉ，ｊ）〜（ｘ／Δｘ，ｙ／Δｙ，ｚ／Δｚ，ｉ，ｔ／Δｔ））を対象として、（４１）式及び（４２）式及び（４３）式が扱われる場合には、３次元誘電率分布の時系列εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）及び３次元誘電率分布のεｉ（ｘ，ｙ，ｚ）又はε（ｘ，ｙ，ｚ）は、有限要素近似又は有限差分近似され、有限要素近似される場合は、３次元節点誘電率の時系列εｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、３次元節点誘電率εｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ε（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、及び、３次元基底関数φ３ε（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）、又は、空間座標及び時間を変数とする４次元基底関数φ４ε（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を用いて、各々、εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ε（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）εｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）又はεｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋ，ｊφ４ε（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）εｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、εｉ（ｘ，ｙ，ｚ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ε（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）εｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ε（ｘ，ｙ，ｚ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ε（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ε（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と内挿され、有限差分近似される場合は、３次元節点誘電率の時系列εｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、３次元節点誘電率εｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ε（Ｉ，Ｊ，Ｋ）により、各々、εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）〜εｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、εｉ（ｘ，ｙ，ｚ）〜εｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ε（ｘ，ｙ，ｚ）〜ε（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と近似される。ここで、３次元基底関数φ３ε（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）及び４次元基底関数φ４ε（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）の微分可能性については、各々、ｘ，ｙ，ｚに関しては前記の３次元基底関数φ３ｋ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，，ｙ，ｚ）と同様に１回以上偏微分可能である必要があるが、実際には、ｔと共に、必要となる微分処理が少なくとも可能であれば十分である。さらに、使用される３次元基底関数φ３ε（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）又は４次元基底関数φ４ε（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）は、参照誘電率（分布）εｉ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、εｉ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ε’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を表現できるものである必要がある。また、３次元導電率分布の時系列σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）及び３次元導電率分布のσｉ（ｘ，ｙ，ｚ）又はσ（ｘ，ｙ，ｚ）は、有限要素近似又は有限差分近似され、有限要素近似される場合は、３次元節点導電率の時系列σｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、３次元節点導電率σｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、及び、前記３次元基底関数φ３σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）、又は、空間座標及び時間を変数とする４次元基底関数φ４σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を用いて、各々、σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）σｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）又はσｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋ，ｊφ４σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）σｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、σｉ（ｘ，ｙ，ｚ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）σｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、σ（ｘ，ｙ，ｚ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と内挿され、有限差分近似される場合は、３次元節点導電率の時系列σｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、３次元節点導電率σｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）により、各々、��ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）〜σｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、σｉ（ｘ，ｙ，ｚ）〜σｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、σ（ｘ，ｙ，ｚ）〜σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と近似される。ここで、３次元基底関数φ３σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）及び４次元基底関数φ４σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）の微分可能性については、各々、ｘ，ｙ，ｚに関しては前記の３次元基底関数φ３σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，，ｙ，ｚ）と同様に１回以上偏微分可能である必要があるが、実際には、ｔと共に、必要となる微分処理が少なくとも可能であれば十分である。さらに、使用される３次元基底関数φ３σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）又は４次元基底関数φ４σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）は、参照導電率（分布）σｉ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、σｉ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、σ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を表現できるものである必要がある。
また、３次元関心領域を対象として、（４４）式及び（４５）式が扱われる場合には、導電率と誘電率の比の３次元分布の時系列ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）又は導電率と誘電率の比の３次元分布のｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）又はｈ１（ｘ，ｙ，ｚ）は、有限要素近似又は有限差分近似され、有限要素近似される場合は、導電率と誘電率の比の３次元節点分布の時系列ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、導電率と誘電率の比の３次元節点分布ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ１（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、及び、前記３次元基底関数φ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）又は空間座標及び時間を変数とする４次元基底関数φ４ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を用いて、各々、ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）又はｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋ，ｊφ４ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ）ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｈ１（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と内挿され、有限差分近似される場合は、導電率と誘電率の比の３次元節点分布の時系列ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、導電率と誘電率の比の３次元節点分布ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ１（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）により、各々、ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）〜ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）〜ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ）〜ｈ１（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と近似される。ここで、３次元基底関数φ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）及び４次元基底関数φ４ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）の微分可能性については、各々、ｘ，ｙ，ｚに関しては前記の３次元基底関数φ３ｋと同様に１回以上偏微分可能である必要があるが、実際には、ｔと共に、必要となる微分処理が少なくとも可能であれば十分である。また、使用される３次元基底関数φ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）又は４次元基底関数φ４ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）は、導電率と誘電率の比の参照値（分布）ｈ１ｉ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ１ｉ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ１’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を表現できるものである必要がある。
また、３次元関心領域を対象として、（４６）式及び（４７）式が扱われる場合には、誘電率と導電率の比の３次元分布の時系列ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）又は誘電率と導電率の比の３次元分布のｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）又はｈ２（ｘ，ｙ，ｚ）は、有限要素近似又は有限差分近似され、有限要素近似される場合は、誘電率と導電率の比の３次元節点分布の時系列ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、誘電率と導電率の比の３次元節点分布ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ２（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、及び、前記３次元基底関数φ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）又は空間座標及び時間を変数とする４次元基底関数φ４ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を用いて、各々、ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）又はｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋ，ｊφ４ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｈ２（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と内挿され、有限差分近似される場合は、誘電率と導電率の比の３次元節点分布の時系列ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、誘電率と導電率の比の３次元節点分布ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ２（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）により、各々、ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）〜ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）〜ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ）〜ｈ２（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と近似される。ここで、３次元基底関数φ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）及び４次元基底関数φ４ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）の微分可能性については、各々、ｘ，ｙ，ｚに関しては前記の３次元基底関数φ３ｋと同様に１回以上偏微分可能である必要があるが、実際には、ｔと共に、必要となる微分処理が少なくとも可能であれば十分である。また、使用される３次元基底関数φ３ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）又は４次元基底関数φ４ｈ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）は、誘電率と導電率の比の参照値（分布）ｈ２ｉ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ２ｉ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ２’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を表現できるものである必要がある。
次に、３次元電位分布の時系列Ｖｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）と３次元電界ベクトルの時系列Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）［＝［Ｅｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ），Ｅｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ），Ｅｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］Ｔ］（ｉ（＝１〜Ｍ）は測定された独立した３次元電位場を指し、Ｍはその電位場の時系列の数（１以上）である。）の時間方向の１階の偏微分ｄＶｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔとｄＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔ、及び、これらの空間偏微分が有限要素近似（変分原理又はガラーキン法）される場合（有限要素の節点数は省略。以下、同様。）には、３次元電位分布の時系列Ｖｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）と３次元電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）とは、次の（ａ）〜（ｃ）のいずれかのように評価される。
（ａ）測定された３次元節点電位分布の時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）及び空間座標を変数とする前記３次元基底関数φ３Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて、Ｖｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）と内挿されることにより評価される。また、測定された３次元節点電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）及び空間座標を変数とする前記３次元基底関数φ３Ｅ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて、Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）〜［ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３Ｅ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｅｉｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ），ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３Ｅ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｅｉｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ），ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３Ｅ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｅｉｚ，（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］Ｔと内挿されることにより評価される。
（ｂ）測定された３次元節点電位分布の時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）と空間座標及び時間を変数とする４次元基底関数φ４Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を用いて、Ｖｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋ，ｊφ４Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）と内挿されることにより評価される。ここで、４次元基底関数φ４Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）は、ｔに関しては１回以上偏微分可能である必要があり、ｘ，ｙ，ｚに関しては２回以上偏微分可能である必要があるが、実際には、必要となる微分処理を少なくとも可能とするものであれば十分である。また、測定された３次元節点電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）と空間座標及び時間を変数とする４次元基底関数φ４Ｅ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を用いて、Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋ，ｊφ４Ｅ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）と内挿されることにより評価される。ここで、４次元基底関数φ４Ｅ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）は、ｘ，ｙ，ｚ，ｔに関して１回以上偏微分可能である必要があるが、実際には、必要となる微分処理を少なくとも可能とするものであれば十分である。
（ｃ）測定された３次元電位分布の時系列Ｖｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）の時間方向の１階の偏微分ｄＶｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔ及び空間偏微分が有限差分近似される場合には、３次元電位分布の時系列Ｖｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）は、測定された３次元節点電位分布の時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）を用いて、Ｖｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）〜Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）と近似される。また、測定された３次元電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）の時間方向の１階の偏微分ｄＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔ及び空間偏微分が有限差分近似される場合には、３次元電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）は、測定された３次元節点電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）を用いて、Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）〜Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）と近似される。
これより、３次元電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）（＝［Ｅｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ），Ｅｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ），Ｅｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］Ｔ）は、次のように評価される。
（ａ）の場合には、測定された３次元節点電位分布の時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタをかけて得られる３次元節点電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）（＝［Ｅｉｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ），Ｅｉｙ，（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ），Ｅｉｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］Ｔ）か、又は、各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるＥｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかが、前記３次元基底関数φ３Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて、Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）〜［ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｅｉｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ），ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｅｉｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ），ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｅｉｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］Ｔと内挿されるか、又は、測定された３次元節点電位分布の時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけたものが、前記３次元基底関数φ３Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）に各ｘ，ｙ，ｚ方向の１階の偏微分を施したものを用いて内挿されるか、又は、測定された３次元節点電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけたものが、３次元基底関数φ３Ｅ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて内挿される。
（ｂ）の場合には、測定された３次元節点電位分布の時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタをかけて得られる３次元節点電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）（＝［Ｅｉｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ），Ｅｉｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ），Ｅｉｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］Ｔ）か、又は、各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるＥｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかが、前記４次元基底関数φ４Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を用いて、Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）〜［ΣＩ，Ｊ，Ｋ，ｊφ４Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）Ｅｉｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ），ΣＩ，Ｊ，Ｋ，ｊφ４Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）Ｅｉｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ），ΣＩ，Ｊ，Ｋ，ｊφ４Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）Ｅｉｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］Ｔと内挿されるか、又は、測定された３次元節点電位分布の時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけたものが、前記４次元基底関数φ４Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）に各ｘ，ｙ，ｚ方向の１階の偏微分を施したものを用いて内挿されるか、又は、測定された３次元節点電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけたものが、４次元基底関数φ４Ｅ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を用いて内挿される。
（ｃ）の場合には、測定された３次元節点電位分布の時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタをかけて得られる３次元節点電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるＥｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、測定された３次元節点電界分布の時系列Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタがかけられたもののいずれかにより近似される。
さらに、３次元電界ベクトルＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）（＝［Ｅｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ），Ｅｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ），Ｅｉｚ，（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］Ｔ）の発散分布の時系列∇・Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）（＝ｄＥｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｘ＋ｄＥｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｙ＋ｄＥｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｚ）は、次のように評価される。
（ａ）の場合には、測定された３次元節点電位分布の時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタを２回かけて得られる３次元電界ベクトルの発散の節点分布の時系列∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）（＝ｄＥｉｘ／ｄｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）＋ｄＥｉｙ／ｄｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）＋ｄＥｉｚ／ｄｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ））か、又は、各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタを２回かけて得られる∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかが、前記３次元基底関数φ３Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて、∇・Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）（ｄＥｉｘ／ｄｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）＋ｄＥｉｙ／ｄｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）＋ｄＥｉｚ／ｄｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ））と内挿されるか、又は、測定された３次元節点電位分布の時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけたものが、前記３次元基底関数φ３Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）に各ｘ，ｙ，ｚ方向の２階の偏微分を施したものを用いて内挿されるか、又は、測定された３次元節点電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタをかけて得られる∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られる∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかが、前記３次元基底関数φ３Ｅ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて内挿されるか、又は、測定された３次元節点電界ベクトルＥｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけたものが、前記３次元基底関数φ３Ｅ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）に各ｘ，ｙ，ｚ方向の１階の偏微分を施したものを用いて内挿される。
（ｂ）の場合には、測定された３次元節点電位分布の時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタを２回かけて得られる３次元電界ベクトルの発散の節点分布の時系列∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）（＝ｄＥｉｘ／ｄｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）＋ｄＥｉｙ／ｄｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）＋ｄＥｉｚ／ｄｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ））か、又は、各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタを２回かけて得られる∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかが、前記４次元基底関数φ４Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を用いて、∇・Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋ，ｊφ４Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）（ｄＥｉｘ／ｄｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）＋ｄＥｉｙ／ｄｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）＋ｄＥｉｚ／ｄｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ））と内挿されるか、又、測定された３次元節点電位分布時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけたものが、前記４次元基底関数φ４Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）に各ｘ，ｙ，ｚ方向の２階の偏微分を施したものを用いて内挿されるか、又は、測定された３次元節点電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタをかけて得られる∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られる∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかが、前記４次元基底関数φ４Ｅ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を用いて内挿されるか、又は、測定された３次元節点電界ベクトルＥｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけたものが、前記４次元基底関数φ４Ｅ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）に各ｘ，ｙ，ｚ方向の１階の偏微分を施したものを用いて内挿される。
（ｃ）の場合には、測定された３次元節点電位分布の時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタを２回かけて得られる３次元電界ベクトルの発散の節点分布の時系列∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタを２回かけて得られる∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、測定された３次元節点電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタをかけて得られる∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られる∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかにより近似される。
さらに、３次元電界ベクトルＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）の時間方向の１階の偏微分の３次元分布の時系列ｄＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔ（＝［ｄＥｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔ，ｄＥｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔ，ｄＥｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔ］Ｔ）は、次のように評価される。
（ａ）の場合には、測定された３次元節点電位分布の時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタをかけて得られる３次元節点電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）（＝［Ｅｉｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ），Ｅｉｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ），Ｅｉｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］Ｔ）か、又は、各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるＥｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかに、時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で時間ｊ方向に微分フィルタをかけて得られる３次元電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分の節点分布の時系列ｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、時間ｊ方向に時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかが、前記３次元基底関数φ３Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて内挿されるか、又は、測定された３次元節点電位分布の時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で時間ｊ方向に微分フィルタをかけて得られる電位の時間方向の１階の偏微分の節点分布の時系列ｄｖｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、時間ｊ方向に時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるｄＶｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかに、空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタをかけて得られるｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかが、前記３次元基底関数φ３Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて内挿されるか、又は、測定された３次元節点電位分布の時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で時間ｊ方向に微分フィルタをかけて得られるｄＶｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、時間ｊ方向に時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるｄＶｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかが、前記３次元基底関数φ３Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）に各ｘ，ｙ，ｚ方向の１階の偏微分を施したものを用いて内挿されるか、又は、測定された３次元節点電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で時間ｊ方向に微分フィルタをかけて得られるｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、時間ｊ方向に時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかが、前記３次元基底関数φ３Ｅ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて内挿される。
（ｂ）の場合には、測定された３次元節点電位分布の時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタをかけて得られる３次元節点電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）（＝［Ｅｉｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ），Ｅｉｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ），Ｅｉｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］Ｔ）か、又は、各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるＥｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかが、前記４次元基底関数φ４Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）に時間ｔ方向の１階の偏微分を施したものを用いて内挿されるか、又は、測定された３次元節点電位分布の時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけたものが、前記４次元基底関数φ４Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）に各ｘ，ｙ，ｚ方向の１階の偏微分及び時間ｔ方向の１階の偏微分を施したものを用いて内挿されるか、又は、測定された３次元節点電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけたものが、前記４次元基底関数φ４Ｅ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）に時間ｔ方向の１階の偏微分を施したものを用いて内挿される。
（ｃ）の場合には、測定された３次元節点電位分布の時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタをかけて得られる３次元節点電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）（＝［Ｅｉｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ），Ｅｉｙ，（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ），Ｅｉｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］Ｔ）か、又は、各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるＥｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかに、時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で時間ｊ方向に微分フィルタをかけて得られる３次元電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分の節点分布の時系列ｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、時間ｊ方向に時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、測定された３次元節点電位分布の時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で時間ｊ方向に微分フィルタをかけて得られる電位の時間方向の１階の偏微分の節点分布の時系列ｄＶｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、時間ｊ方向に時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるｄＶｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかに、空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタをかけて得られるｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、測定された３次元節点電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で時間ｊ方向に微分フィルタをかけて得られるｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、時間ｊ方向に時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかにより近似される。
さらに、３次元電界ベクトルの発散∇・Ｅｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）の時間方向の１階の偏微分の３次元分布の時系列∇・ｄＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔ（＝ｄ２Ｅｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔｄｘ＋ｄ２Ｅｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔｄｙ＋ｄ２Ｅｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔｄｚ）は、次のように評価される。
（ａ）の場合には、測定された３次元節点電位分布の時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタを２回かけて得られる３次元電界ベクトルの発散の節点分布の時系列∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）（＝［ｄＥｉｘ／ｄｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ），ｄＥｉｙ／ｄｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ），ｄＥｉｚ／ｄｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］Ｔ）か、又は、各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタを２回かけて得られる∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかに、時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で時間ｊ方向に微分フィルタをかけて得られる３次元電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分の節点分布の時系列ｄ（∇・Ｅｉ）／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、時間ｊ方向に時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるｄ（∇・Ｅｉ）／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかが、前記３次元基底関数φ３Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて内挿されるか、
又は、測定された３次元節点電位分布の時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で時間ｊ方向に微分フィルタをかけて得られる電位の時間方向の１階の偏微分の節点分布の時系列ｄＶｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、時間ｊ方向に時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるｄＶｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかに、空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタを２回かけて得られる３次元電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分の節点分布の時系列∇・（ｄＥｉ／ｄｔ）（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタを２回かけて得られる∇・（ｄＥｉ／ｄｔ）（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかが、前記３次元基底関数φ３Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて内挿されるか、又は、測定された３次元節点電位分布の時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で時間ｊ方向に微分フィルタをかけて得られるｄＶｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、時間ｊ方向に時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるｄＶｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかが、前記３次元基底関数φ３Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）に各ｘ，ｙ，ｚ方向の２階の偏微分を施したものを用いて内挿されるか、又は、測定された３次元節点電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタをかけて得られる∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られる∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかに、時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で時間ｊ方向に微分フィルタをかけて得られるｄ（∇・Ｅｉ）／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、時間ｊ方向に時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるｄ（∇・Ｅｉ）／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかが、前記３次元基底関数φ３Ｅ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて内挿されるか、又は、測定された３次元節点電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で時間ｊ方向に微分フィルタをかけて得られる３次元電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分の節点分布ｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、時間ｊ方向に時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかに、空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタをかけて得られる∇・（ｄＥｉ／ｄｔ）（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られる∇・（ｄＥｉ／ｄｔ）（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかが、前記３次元基底関数φ３Ｅ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて内挿されるか、
又は、測定された３次元節点電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で時間ｊ方向に微分フィルタをかけて得られるｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、時間ｊ方向に時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかが、前記３次元基底関数φ３Ｅ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）に各ｘ，ｙ，ｚ方向の１階の偏微分を施したものを用いて内挿される。
（ｂ）の場合には、測定された３次元節点電位分布の時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタを２回かけて得られる３次元電界ベクトルの発散の節点分布の時系列∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）（＝［ｄＥｉｘ／ｄｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ），ｄＥｉｙ／ｄｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ），ｄＥｉｚ／ｄｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］Ｔ）か、又は、各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタを２回かけて得られる∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかが、前記４次元基底関数φ４Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）に時間ｔ方向の１階の偏微分を施したものを用いて内挿されるか、又は、測定された３次元節点電位分布の時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけたものが、前記４次元基底関数φ４Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）に各ｘ，ｙ，ｚ方向の２階の偏微分及び時間ｔ方向の１階の偏微分を施したものを用いて内挿されるか、又は、測定された３次元節点電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタをかけて得られる∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られる∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかが、前記４次元基底関数φ４Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）に時間ｔ方向の１階の偏微分を施したものを用いて内挿されるか、又は、測定された３次元節点電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけたものが、前記４次元基底関数φ４Ｖ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）に各ｘ，ｙ，ｚ方向の１階の偏微分及び時間ｔ方向の１階の偏微分を施したものを用いて内挿される。
（ｃ）の場合には、測定された３次元節点電位分布の時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタを２回かけて得られる３次元節点電界ベクトルの発散の節点分布の時系列∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）（＝［ｄＥｉｘ／ｄｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ），ｄＥｉｙ／ｄｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ），ｄＥｉｚ／ｄｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］Ｔ）か、又は、各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタを２回かけて得られる∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかに、時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で時間ｊ方向に微分フィルタをかけて得られる３次元電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分の節点分布の時系列ｄ（∇・Ｅｉ）／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、時間ｊ方向に時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるｄ（∇・Ｅｉ）／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、測定された３次元節点電位分布の時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で時間ｊ方向に微分フィルタをかけて得られる電位の時間方向の１階の偏微分の節点分布の時系列ｄＶｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、時間ｊ方向に時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるｄＶｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかに、空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタを２回かけて得られる∇・（ｄＥｉ／ｄｔ）（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタを２回かけて得られる∇・（ｄＥｉ／ｄｔ）（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、測定された３次元節点電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタをかけて得られる∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られる∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかに、時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で時間ｊ方向に微分フィルタをかけて得られる３次元電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分の節点分布の時系列ｄ（∇・Ｅｉ）／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、時間ｊ方向に時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるｄ（∇・Ｅｉ）／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、測定された３次元節点電界ベクトル分布の時系列Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）に、時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で時間ｊ方向に微分フィルタをかけて得られるｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、時間ｊ方向に時間ｊ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかに、空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向に低域通過型フィルタをかけた上で各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に微分フィルタをかけて得られる∇・（ｄＥｉ／ｄｔ）（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）か、又は、各Ｉ，Ｊ，Ｋ方向に空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向又は時空間Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られる∇・（ｄＥｉ／ｄｔ）（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）のいずれかにより近似される。
尚、２次元構成領域及び１次元構成領域を対象とする各々の場合、上記の各基底関数の空間座標系を２次元及び１次元にしたものが使用される。
第１の基本原理に従い、適宜、関心領域内の各構成領域においてその領域内の未知分布を表す（４１）式、（４４）式、（４６）式の空間偏微分方程式のいずれかの少なくとも１つに変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用して（前記（ａ）又は（ｂ））、関心領域内において導出された代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルＵ’に関する連立方程式を導出する場合（関心領域を構成する構成領域は同一領域を含むことがあり、また、構成領域が１つの場合はその構成領域は関心領域そのものを表す。）、即ち、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４１）式中に表される分布Ｑ、即ち、導電率分布Ｌｉｊ（３次元構成領域の場合はσｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、２次元構成領域の場合はσｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、１次元構成領域の場合はσｉ（ｘ，ｔ））又はＬｉ（３次元構成領域の場合はσｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はσｉ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はσｉ（ｘ））又はＬ（３次元構成領域の場合はσ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はσ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はσ（ｘ））に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（ａ）又は（ｂ））は、時間ｔにおいて、
３次元構成領域を対象とした場合には、
2003046587.tif 000059
２次元構成領域を対象とした場合には、
2003046587.tif 000060
１次元構成領域を対象とした場合には、
2003046587.tif 000061
を汎関数Ｉｉｊ（Ｌｉｊ）又はＩｉｊ（Ｌｉ）又はＩｉｊ（Ｌ）とする。
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４１）式中に表される分布Ｑ、即ち、導電率σｉ（ｘ，ｔ）又はσｉ（ｘ）又はσ（ｘ）の１階微分の１次元分布ｄσｉ（ｘ，ｔ）／ｄｘ又はｄσｉ（ｘ）／ｄｘ又はｄσ（ｘ）／ｄｘに変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（ａ）又は（ｂ））は、時間ｔにおいて、
2003046587.tif 000062
を汎関数Ｉｉｊ（・）とする。
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４１）式中に表される分布Ｑ、即ち、誘電率の分布Ｒｉｊ（３次元構成領城の場合はεｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、２次元構成領域の場合はεｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、１次元構成領域の場合はεｉ（ｘ，ｔ））又はＲｉ（３次元構成領域の場合はεｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はεｉ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はεｉ（ｘ））又はＲ（３次元構成領域の場合はε（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はε（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はε（ｘ））に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（ａ）又は（ｂ））は、時間ｔにおいて、
３次元構成領域を対象とした場合には、
2003046587.tif 000063
２次元構成領域を対象とした場合には、
2003046587.tif 000064
１次元構成領域を対象とした場合には、
2003046587.tif 000065
を汎関数Ｉｉｊ（Ｒｉｊ）又はＩｉｊ（Ｒｉ）又はＩｉｊ（Ｒ）とする。
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４１）式中に表される分布Ｑ、即ち、誘電率εｉ（ｘ，ｔ）又はεｉ（ｘ）又はε（ｘ）の１階微分の１次元分布ｄεｉ（ｘ，ｔ）／ｄｘ又はｄεｉ（ｘ）／ｄｘ又はｄε（ｘ）／ｄｘに変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（ａ）又は（ｂ））は、時間ｔにおいて、
2003046587.tif 000066
を汎関数Ｉｉｊ（・）とする。
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４４）式中に表される分布Ｑ、即ち、導電率と誘電率の比の分布Ｈ１ｉｊ（３次元構成領域の場合はｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、２次元構成領域の場合はｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、１次元構成領域の場合はｈ１ｉ（ｘ，ｔ））又はＨ１ｉ（３次元構成領域の場合はｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はｈ１ｉ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はｈ１ｉ（ｘ））又はＨ１（３次元構成領域の場合はｈ１（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はｈ１（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はｈ１（ｘ））に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（ａ）又は（ｂ））は、時間ｔにおいて、
３次元構成領域を対象とした場合には、
2003046587.tif 000067
２次元構成領域を対象とした場合には、
2003046587.tif 000068
１次元構成領域を対象とした場合には、
2003046587.tif 000069
を汎関数Ｉｉｊ（Ｈ１ｉｊ）、Ｉｉｊ（Ｈ１ｉ）、Ｉｉｊ（Ｈ１）とする。
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４４）式中に表される分布Ｑ、即ち、導電率と誘電率の比ｈ１ｉ（ｘ，ｔ）又はｈ１ｉ（ｘ）又はｈ１（ｘ）の１階微分の１次元分布ｄｈ１ｉ（ｘ，ｔ）／ｄｘ又はｄｈ１ｉ（ｘ）／ｄｘ又はｄｈ１（ｘ）／ｄｘに関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（ａ）又は（ｂ））は、時間ｔにおいて、
2003046587.tif 000070
を汎関数Ｉｉｊ（・）とする。
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４６）式中に表される分布Ｑ、即ち、誘電率と導電率の比の分布Ｈ２ｉｊ（３次元構成領域の場合はｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、２次元構成領域の場合はｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、１次元構成領域の場合はｈ２ｉ（ｘ，ｔ））又はＨ２ｉ（３次元構成領域の場合はｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はｈ２ｉ（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はｈ２ｉ（ｘ））又はＨ２（３次元構成領域の場合はｈ２（ｘ，ｙ，ｚ）、２次元構成領域の場合はｈ２（ｘ，ｙ）、１次元構成領域の場合はｈ２（ｘ））に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（ａ）又は（ｂ））は、時間ｔにおいて、
３次元構成領域を対象とした場合には、
2003046587.tif 000071
２次元構成領域を対象とした場合には、
2003046587.tif 000072
１次元構成領域を対象とした場合には、
2003046587.tif 000073
を汎関数Ｉｉｊ（Ｈ２ｉｊ）、Ｉｉｊ（Ｈ２ｉ）、Ｉｉｊ（Ｈ２）とする。
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４６）式中に表される分布Ｑ、即ち、誘電率と導電率の比ｈ２ｉ（ｘ，ｔ）、又は、ｈ２ｉ（ｘ）、又は、ｈ２（ｘ）の１階微分の１次元分布ｄｈ２ｉ（ｘ，ｔ）／ｄｘ又はｄｈ２ｉ（ｘ）／ｄｘ又はｄｈ２（ｘ）／ｄｘに関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（ａ）又は（ｂ））は、時間ｔにおいて、
2003046587.tif 000074
を汎関数Ｉｉｊ（・）とする。
３次元関心領域を対象とする場合には、適宜、３次元関心領域内の３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の未知分布を表す（４１）式、（４４）式、（４６）式の空間偏微分方程式のいずれかを用いて導出された分布Ｑ（即ち、前記の、Ｌｉｊ、Ｌｉ、Ｌ、導電率の１階偏微分の分布、Ｒｉｊ、Ｒｉ、Ｒ、誘電率の１階偏微分、Ｈ１ｉｊ、Ｈ１ｉ、Ｈ１、導電率と誘電率の比の１階偏微分の分布、Ｈ２ｉｊ、Ｈ２ｉ、Ｈ２、誘電率と導電率の比の１階偏微分の分布）に関する（４８）式〜（６３）式の汎関数Ｉｉｊ（Ｑ）のいずれかの少なくとも１つが、前述の基底関数を使用して有限要素近似又は離散近似されることにより、節点分布Ｑ‘’に関する汎関数Ｉｉｊ（Ｑ‘’）として、次に示すいずれかとなる。ここで、使用される汎関数Ｉｉｊ（Ｑ）が１つの場合には、構成領域は関心領域そのものである。
（１）３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点導電率分布のσｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、σｉ（Ｉ，Ｊ，ｊ）、又は、σｉ（Ｉ，ｊ）から成るベクトルＬ‘’ｉｊに関する汎関数Ｉｉｊ（Ｌ‘’ｉｊ）又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点導電率分布σｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、σｉ（Ｉ，Ｊ）、又は、σｉ（Ｉ）から成るベクトルＬ‘’ｉに関する汎関数Ｉｉｊ（Ｌ‘’ｉ）又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点導電率分布σ（Ｉ，Ｊ，ｋ）、σ（Ｉ，Ｊ）、又は、σ（Ｉ）から成るベクトルＬ‘’に関する汎関数Ｉｉｊ（Ｌ‘’）。
（２）３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点誘電率分布εｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、εｉ（Ｉ，Ｊ，ｊ）、εｉ（Ｉ，ｊ）から成るベクトルＲ‘’ｉｊに関する汎関数Ｉｉｊ（Ｒ‘’ｉｊ）又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点誘電率分布εｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、εｉ（Ｉ，Ｊ）、εｉ（Ｉ）から成るベクトルＲ‘’ｉに関する汎関数Ｉｉｊ（Ｒ‘’ｉ）又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点誘電率分布ε（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ε（Ｉ，Ｊ）、又は、ε（Ｉ）から成るベクトルＲ‘’に関する汎関数Ｉｉｊ（Ｒ‘’）。
（３）３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の導電率と誘電率の比の節点分布ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，ｊ）、ｈ１ｉ（Ｉ，ｊ）から成るベクトルＨ１‘’ｉｊに関する汎関数Ｉｉｊ（Ｈ１‘’ｉｊ）又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の導電率と誘電率の比の節点分布ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ）、ｈ１ｉ（Ｉ）から成るベクトルＨ１‘’ｉに関する汎関数Ｉｉｊ（Ｈ１‘’ｉ）又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の導電率と誘電率の比の節点分布ｈ１（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ１（Ｉ，Ｊ）、ｈ１（Ｉ）から成るベクトルＨ１‘’に関する汎関数Ｉｉｊ（Ｈ１‘’）。
（４）３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の誘電率と導電率の比の節点分布ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，，ｊ）、ｈ２ｉ（Ｉ，ｊ）から成るベクトルＨ２‘’ｉｊに関する汎関数Ｉｉｊ（Ｈ２‘’ｉｊ）又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の誘電率と導電率の比の節点分布ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ）、ｈ２ｉ（Ｉ）から成るベクトルＨ２‘’ｉに関する汎関数Ｉｉｊ（Ｈ２‘’ｉ）又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の誘電率と導電率の比の節点分布ｈ２（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ２（Ｉ，Ｊ）、ｈ２（Ｉ）から成るベクトルＨ２‘’に関する汎関数Ｉｉｊ（Ｈ２‘’）。
これらの各々が、節点分布Ｑ‘’、即ち、Ｌ‘’ｉｊ、Ｌ‘’ｉ、Ｌ‘’、Ｒ‘’ｉｊ、Ｒ‘’ｉ、Ｒ‘’、Ｈ１‘’ｉｊ、Ｈ１‘’ｉ、Ｈ１‘’、Ｈ２‘’ｉｊ、Ｈ２‘’ｉ、又は、Ｈ２‘’に関して最小化されて得られる代数方程式に、関心領域内において与えられる全節点データ（低域通過型フィルタのかけられた電位分布データＶｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電位の時間方向の１階の偏微分分布データｄＶｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトル分布データＥｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分分布データｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトルの発散の分布データ∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分分布データ∇・ｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、適宜、参照導電率（分布）のσ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、σ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、σ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、参照誘電率（分布）のε’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ε’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ε’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、導電率と誘電率の比の参照値（分布）のｈ１’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ１’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ１’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、誘電率と導電率の比の参照値（分布）のｈ２’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ２’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ２’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）が代入される。
これより、３次元関心領域を対象とする場合、３次元関心領域内にて設定された、３次元、２次元、１次元の各構成領域内の未知節点分布に関して導出される代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした各構成領域内の未知節点分布からなる未知節点ベクトルＵ’に関する次の代数方程式：
2003046587.tif 000075
が得られる。尚、関心領域を構成する構成領域は、互いに同一領域を含むことがある。
但し、（４１）式（即ち、３次元、２次元、又は、１次元構成領域を対象とした（４８）式〜（５５）式）を用いた際に導出された代数方程式である（６４）式の未知節点ベクトルＵ’は、
関心領域が、導電率分布のσｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、σｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、σ（ｘ，ｙ，ｚ）が未知である３次元構成領域を含む各々の場合において、未知節点導電率分布のＬ’ｉｊ［σｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、Ｌ’ｉ［σｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、Ｌ’［σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］をベクトル成分に含み、
関心領域が、導電率分布のσｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、σｉ（ｘ，ｙ）、σ（ｘ，ｙ）が未知である２次元構成領域を含む各々の場合において、未知節点導電率分布のＬ’ｉｊ［σｉ（Ｉ，Ｊ，ｊ）］、Ｌ’ｉ［σｉ（Ｉ，Ｊ）］、Ｌ’［σ（Ｉ，Ｊ）］をベクトル成分に含み、
関心領域が、導電率分布のσｉ（ｘ，ｔ）、σｉ（ｘ）、σ（ｘ）が未知である１次元構成領域を含む各々の場合において、未知節点導電率分布のＬ’ｉｊ［σｉ（Ｉ，ｊ）］、Ｌ’ｉ［σｉ（Ｉ）］、Ｌ’［σ（Ｉ）］をベクトル成分に含み、
関心領域が、誘電率分布のεｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、εｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、ε（ｘ，ｙ，ｚ）が未知である３次元構成領域を含む各々の場合において、未知節点誘電率分布のＲ’ｉｊ［εｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、Ｒ’ｉ［εｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、Ｒ’［ε（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］をベクトル成分に含み、
関心領域が、誘電率分布のεｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、εｉ（ｘ，ｙ）、ε（ｘ，ｙ）が未知である２次元構成領域を含む各々の場合において、未知節点誘電率分布のＲ’ｉｊ［εｉ（Ｉ，Ｊ，ｊ）］、Ｒ’ｉ［εｉ（Ｉ，Ｊ）］、Ｒ’［ε（Ｉ，Ｊ）］をベクトル成分に含み、
関心領域が、誘電率分布のεｉ（ｘ，ｔ）、εｉ（ｘ）、ε（ｘ）が未知である１次元構成領域を含む各々の場合において、未知節点誘電率分布のＲ’ｉｊ［εｉ（Ｉ，ｊ）］、Ｒ’ｉ［εｉ（Ｉ）］、Ｒ’［ε（Ｉ）］をベクトル成分に含む。
あるいは、（４４）式（即ち、３次元、２次元、又は１次元構成領域を対象とした（５６）式〜（５９）式）を用いた際に導出された代数方程式である（６４）式の未知節点ベクトルＵ’は、
関心領域が３次元構成領域を含む場合は、導電率と誘電率の比の未知節点分布のＨ’１ｉｊ［ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、Ｈ’１ｉ［ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、Ｈ’１［ｈ１（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］をベクトル成分に含み、
関心領域が２次元構成領域を含む場合は、導電率と誘電率の比の未知節点分布のＨ’１ｉｊ［ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，ｊ）］、Ｈ’１ｉ［ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ）］、Ｈ’１［ｈ１（Ｉ，Ｊ）］をベクトル成分に含み、
関心領域が１次元構成領域を含む場合は、導電率と誘電率の比の未知節点分布のＨ’１ｉｊ［ｈ１ｉ（Ｉ，ｊ）］、Ｈ’１ｉ［ｈ１ｉ，（Ｉ）］、Ｈ’１［ｈ１（Ｉ）］をベクトル成分に含む。
あるいは、（４６）式（即ち、３次元、２次元、又は、１次元構成領域を対象とした（６０）式〜（６３）式）を用いた際に導出された代数方程式である（６４）式の未知節点ベクトルＵ’は、
関心領域が３次元構成領域を含む場合は、誘電率と導電率の比の未知節点分布のＨ２ｉｊ［ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、Ｈ２ｉｊ［ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、Ｈ２［ｈ２（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］をベクトル成分に含み、
関心領域が２次元構成領域を含む場合は、誘電率と導電率の比の未知節点分布のＨ１ｉｊ［ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，ｊ）］、Ｈ２ｉｊ［ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ）］、Ｈ１［ｈ２（Ｉ，Ｊ）］をベクトル成分に含み、
関心領域が１次元構成領域を含む場合は、誘電率と導電率の比の未知節点分布のＨ２ｉｊ［ｈ１ｉ（Ｉ，ｊ）］、Ｈ２ｉｊ［ｈ１ｉ（Ｉ）］、Ｈ２［ｈ２（Ｉ）］をベクトル成分に含む。
２次元関心領域を対象とした場合には、２次元又は１次元構成領域を対象とした（４９）式〜（５１）式、（５３）式〜（５５）式、（５７）式〜（５９）式、（６１）式〜（６３）式の汎関数Ｉｉｊ（Ｑ”）のいずれかの少なくとも１つを節点分布Ｑ”（即ち、Ｌ‘’ｉｊ、Ｌ‘’ｉ、Ｌ‘’、Ｒ‘’ｉｊ、Ｒ‘’ｉ、Ｒ‘’、Ｈ１‘’ｉｊ、Ｈ１‘’ｉ、Ｈ１‘’、Ｈ２‘’ｉｊ、Ｈ２‘’ｉ、又は、Ｈ２‘’）に関して最小化することにより導出される代数方程式を連立することにより、又、１次元関心領域を対象とする場合には、１次元構成領域を対象とした（５０）式、（５１）式、（５４）式、（５５）式、（５８）式、（５９）式、（６２）式、（６３）式のいずれかを用いた少なくとも１つの汎関数Ｉｉｊ（Ｑ”）より導出される代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルＵ’に関する代数方程式（６４）式が同様に得られる。
また、第２の基本原理に従い、適宜、関心領域内の各構成領域においてその領域内の未知分布を表す（４１）式、（４４）式、（４６）式の空間偏微分方程式のいずれかの少なくとも１つに有限差分近似を適用して（前記（ｃ））、関心領域内において導出された代数方程式を連立することにより、前記の関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルＵ’に関する代数方程式（６４）式を導出する場合について、以下に説明する。ここで、関心領域を構成する構成領域は同一領域を含むことがあり、又、構成領域が１つの場合はその構成領域は関心領域そのものを表す。
第２の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４１）式にて表される分布Ｑ、即ち、導電率分布のＬｉｊ又はＬｉ又はＬ、導電率の１階の偏微分の分布、誘電率分布のＲｉｊ又はＲｉ又はＲ、誘電率の１階の偏微分の分布、電位の時間方向の１階の偏微分分布のｓｉｊ（３次元構成領域の場合はｄＶｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔ、又は、２次元構成領域の場合はｄＶｉ（ｘ，ｙ，ｔ）／ｄｔ、又は、１次元構成領域の場合はｄＶｉ（ｘ，ｔ）／ｄｔ）、電位分布のｓｉｊ（３次元構成領域の場合はＶｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、２次元構成領域の場合はＶｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、１次元構成領域の場合はＶｉ（ｘ，ｔ））、電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分分布のｓｉｊ（３次元構成領域の場合はｄＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔ、又は、２次元構成領域の場合はｄＥｉ（ｘ，ｙ，ｔ）／ｄｔ、又は、１次元構成領域の場合はｄＥｉ（ｘ，ｔ）／ｄｔ）、電界ベクトル分布のｓｉｊ（３次元構成領域の場合はＥｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、又は、２次元構成領域の場合はＥｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、又は、１次元構成領域の場合はＥｉ（ｘ，ｔ））に関して有限差分近似（離散近似）を適用して得られるこれらの節点分布Ｑ‘’、即ち、節点導電率分布のＬ‘’ｉｊ又はＬ‘’ｉ又はＬ‘’、導電率の１階の偏微分の節点分布、節点誘電率分布のＲ‘’ｉｊ又はＲ‘’ｉ又はＲ‘’、誘電率の１階の偏微分の節点分布、電位の時間方向の１階の偏微分の節点分布のｓ‘’ｉｊ、節点電位分布のｓ‘’ｉｊ、電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分の節点分布のｓ‘’ｉｊ、節点電界ベクトル分布のｓ‘’ｉｊに関する代数方程式に、関心領域内において与えられる全節点データ（前記の低域通過型フィルタのかけられた電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分分布データｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトル分布データＥｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分分布データ∇・ｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトルの発散の分布データ∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、適宜、参照導電率（分布）のσ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、σ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、σ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、参照誘電率（分布）のε’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ε’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ε’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）が代入され、これより導出される代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルＵ’に関する代数方程式（６４）式が得られる。
あるいは、第２の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４４）式にて表される分布Ｑ、即ち、導電率と誘電率の比の分布のＨ１ｉｊ又はＨ１ｉ又はＨ１、導電率と誘電率の比の１階の偏微分の分布、電位の時間方向の１階の偏微分分布のｓｉｊ、電位分布のｓｉｊ、電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分分布のｓｉｊ、電界ベクトル分布のｓｉｊに関して有限差分近似（離散近似）を適用して得られるこれらの節点分布Ｑ‘’、即ち、導電率と誘電率の比の節点分布のＨ１‘’ｉｊ又はＨ‘’１ｉ又はＨ‘’１、導電率と誘電率の比の１階の偏微分の節点分布、電位の時間方向の１階の偏微分の節点分布のｓ‘’ｉｊ、節点電位分布のｓ‘’ｉｊ、電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分の節点分布のｓ‘’ｉｊ、節点電界ベクトル分布のｓ‘’ｉｊに関する代数方程式に、関心領域内において与えられる全節点データ（前記の低域通過型フィルタのかけられた電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分分布データｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトル分布データＥｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分分布データ∇・ｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトルの発散の分布データ∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、適宜、導電率と誘電率の比の参照値（分布）のｈ１’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ１’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ１’（Ｉ，Ｊ，Ｋ））が代入され、これより導出される代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルＵ’に関する代数方程式（６４）式が得られる。
あるいは、第２の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式〔（４６）式〕にて表される分布Ｑ、即ち、誘電率と導電率の比の分布のＨ２ｉｊ又はＨ２ｉ又はＨ２、誘電率と導電率の比の１階の偏微分の分布、電位の時間方向の１階の偏微分分布のｓｉｊ、電位分布のｓｉｊ、電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分分布のｓｉｊ、電界ベクトル分布のｓｉｊに関して有限差分近似（離散近似）を適用してこれらの節点分布Ｑ‘’、即ち、誘電率と導電率の比の節点分布のＨ２‘’ｉｊ又はＨ２‘’ｉ又はＨ２‘’、誘電率と導電率の比の１階の偏微分の節点分布、電位の時間方向の１階の偏微分の節点分布のｓ‘’ｉｊ、節点電位分布のｓ‘’ｉｊ、電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分の節点分布のｓ‘’ｉｊ、節点電界ベクトル分布のｓ‘’ｉｊに関する代数方程式に、関心領域内において与えられる全節点データ（前記の低域通過型フィルタのかけられた電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分分布データｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトル分布データＥｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分分布データ∇・ｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトルの発散の分布データ∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、適宜、誘電率と導電率の比の参照値（分布）のｈ１’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ１’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ１’（Ｉ，Ｊ，Ｋ））が代入され、これより導出される代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルＵ’に関する代数方程式（６４）式が得られる。
また、第２の基本原理に従い、適宜、関心領域内の各構成領域においてその領域内の未知分布を表す（４１）式、（４４）式、（４６）式の空間偏微分方程式のいずれかの少なくとも１つにガラーキン法に基づく有限要素近似又は離散近似を適用して（前記（ａ）又は（ｂ））、関心領域内において導出された代数方程式を連立することにより、前記の関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルＵ’に関する代数方程式（６４）式を導出する場合について、以下に説明する。ここで、関心領域を構成する構成領域は同一領域を含むことがあり、又、構成領域が１つの場合はその構成領域は関心領域そのものを表す。
第２の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４１）式中に表される分布Ｑ、即ち、導電率分布のＬｉｊ又はＬｉ又はＬ、導電率の１階の偏微分の分布、誘電率分布のＲｉｊ又はＲｉ又はＲ、誘電率の１階の偏微分の分布、電界ベクトル分布のｓｉｊ、電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分分布のｓｉｊ、電界ベクトルの発散分布のｓｉｊ、電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分分布のｓｉｊ、電位分布のｓｉｊ、又、電位の時間方向の１階の偏微分分布のｓｉｊに関してガラーキン法に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合は、時間ｔにおいて、次のものを汎関数Ｉｉｊ（・）とする。
３次元構成領域を対象とした場合には、
2003046587.tif 000076
２次元構成領域を対象とした場合には、
2003046587.tif 000077
１次元構成領域を対象とした場合には、
2003046587.tif 000078
但し、（６５）式〜（６７）式中のｖは、重み関数であり、｜ｖ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）｜≠０を満たす。
あるいは、第２の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４４）式中に表される分布Ｑ、即ち、導電率と誘電率の比の分布のＨ１ｉｊ又はＨ１ｉ又はＨ１、導電率と誘電率の比の１階の偏微分の分布、電界ベクトル分布のｓｉｊ、電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分分布のｓｉｊ、電界ベクトルの発散分布のｓｉｊ、電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分分布のｓｉｊ、電位分布のｓｉｊ、又、電位の時間方向の１階の偏微分分布のｓｉｊに関してガラーキン法に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合は、時間ｔにおいて、次のものを汎関数Ｉｉｊ（・）とする。
３次元構成領域を対象とした場合には、
2003046587.tif 000079
2003046587.tif 000080
２次元構成領域を対象とした場合には、
2003046587.tif 000081
１次元構成領域を対象とした場合には、
2003046587.tif 000082
但し、（６８）式〜（７０）式中のｖは、重み関数であり、｜ｖ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）｜≠０を満たす。
あるいは、第２の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４６）式中に表される分布Ｑ、即ち、誘電率と導電率の比の分布のＨ２ｉｊ又はＨ２ｉ又はＨ２、誘電率と導電率の比の１階の偏微分の分布、電界ベクトル分布のｓｉｊ、電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分分布のｓｉｊ、電界ベクトルの発散分布のｓｉｊ、電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分分布のｓｉｊ、電位分布のｓｉｊ、又、電位の時間方向の１階の偏微分分布のｓｉｊに関してガラーキン法に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合は、時間ｔにおいて、次のものを汎関数Ｉｉｊ（・）とする。
３次元構成領域を対象とした場合には、
2003046587.tif 000083
２次元構成領域を対象とした場合には、
2003046587.tif 000084
１次元構成領域を対象とした場合には、
2003046587.tif 000085
但し、（７１）式〜（７３）式中のｖは、重み関数であり、｜ｖ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）｜≠０を満たす。
各構成領域において、適宜、（６５）式〜（７３）式のいずれかの汎関数Ｉｉ（・）が使用されるが、各汎関数の重み関数ｖとしては各構成領域内の分布Ｑのいずれかを有限要素近似するための前記基底関数が使用され、時間ｔを変数としない前記の基底関数が使用されることがある。
従って、（４１）式の空間偏微分方程式が使用される場合には、前記基底関数を使用して有限要素化された（６５）式〜（６７）式の汎関数Ｉｉｊ（・）にて表される構成領域内の節点分布Ｑ‘’の、節点導電率分布のＬ‘’ｉｊ又はＬ‘’ｉ又はＬ‘’、導電率の１階の偏微分の節点分布、節点誘電率分布のＲ‘’ｉｊ又はＲ‘’ｉ又はＲ‘’、誘電率の１階の偏微分の節点分布、電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分の節点分布ｓ‘’ｉｊ、節点電界ベクトル分布ｓ‘’ｉｊ、電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分の節点分布ｓ‘’ｉｊ、又、電界ベクトルの発散の節点分布ｓ‘’ｉｊ、電位の時間方向の１階の偏微分分布のｓｉｊ、又、電位分布のｓｉｊに、関心領域内において与えられる全節点データ（低域通過型フィルタのかけられた電位の時間方向の１階の偏微分分布データｄＶｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電位分布データＶｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分分布データｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトル分布データＥｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分分布データ∇・ｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトルの発散の分布データ∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、適宜、参照導電率（分布）のσ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、σ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、σ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、参照誘電率（分布）のε’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ε’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ε’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）が代入されて、その結果として得られるＩｉｊ（・）が０に等しいものとすることにより各構成領域において導出される代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルＵ’に関する代数方程式（６４）式が得られる。ここで、重み関数として基底関数φσ以外を使用して、導電率分布のＬｉｊ、Ｌｉ、Ｌの勾配に部分積分を施した場合においては、基底関数φσは直流でも構わない。又、重み関数として基底関数φε以外を使用して、誘電率分布のＲｉｊ、Ｒｉ、Ｒの勾配に部分積分を施した場合においては、基底関数φεは直流でも構わない。
また、（４４）式の空間偏微分方程式が使用される場合には、前記基底関数を使用して有限要素化された（６８）式〜（７０）式の汎関数Ｉｉｊ（・）にて表される構成領域内の節点分布Ｑ‘’の、導電率と誘電率の比の節点分布のＨ１‘’ｉｊ又はＨ‘’１ｉ又はＨ‘’１、導電率と誘電率の比の１階の偏微分の節点分布、電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分の節点分布ｓ‘’ｉｊ、節点電界ベクトル分布ｓ‘’ｉｊ、電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分の節点分布ｓ‘’ｉｊ、又、電界ベクトルの発散の節点分布ｓ‘’ｉｊ、電位の時間方向の１階の偏微分分布のｓｉｊ、又、電位分布のｓｉｊに、関心領域内において与えられる全節点データ（低域通過型フィルタのかけられた電位の時間方向の１階の偏微分分布データｄＶｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電位分布データＶｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分分布データｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトル分布データＥｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分分布データ∇・ｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトルの発散の分布データ∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、適宜、導電率と誘電率の比の参照値（分布）のｈ１’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ１’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ１’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）が代入されて、その結果として得られるＩｉｊ（・）が０に等しいものとすることにより各構成領域において導出される代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルＵ’に関する代数方程式（６４）式が得られる。ここで、重み関数として基底関数φｈ以外を使用して、導電率と誘電率の比の分布Ｈ１ｉｊ、Ｈ１ｉ、Ｈ１の勾配に部分積分を施した場合においては、基底関数φｈは直流でも構わない。
また、（４６）式の空間偏微分方程式が使用される場合は、前記基底関数を使用して有限要素化された（７１）式〜（７３）式の汎関数Ｉｉｊ（・）にて表される構成領域内の節点分布Ｑ‘’の、誘電率と導電率の比の節点分布のＨ２‘’ｉｊ又はＨ２‘’ｉ又はＨ２‘’、誘電率と導電率の比の１階の偏微分の節点分布、電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分の節点分布ｓ‘’ｉｊ、節点電界ベクトル分布ｓ‘’ｉｊ、電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分の節点分布ｓ‘’ｉｊ、又、電界ベクトルの発散の節点分布ｓ‘’ｉｊ、電位の時間方向の１階の偏微分分布のｓｉｊ、又、電位分布のｓｉｊに、関心領域内において与えられる全節点データ（低域通過型フィルタのかけられた電位の時間方向の１階の偏微分分布データｄＶｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電位分布データＶｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分分布データｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトル分布データＥｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分分布データ∇・ｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトルの発散の分布データ∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、適宜、誘電率と導電率の比の分布データのｈ２’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ２’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ２’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）が代入されて、その結果として得られるＩｉｊ（・）が０に等しいものとすることにより各構成領域において導出される代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルＵ’に関する代数方程式（６４）式が得られる。ここで、重み関数として基底関数φｈ以外を使用して、誘電率と導電率の比の分布Ｈ２ｉｊ、Ｈ２ｉ、Ｈ２の勾配に部分積分を施した場合においては、基底関数φｈは直流でも構わない。
上記の通り、第１基本原理及び第２基本原理に基づいて、代数方程式（６４）式を関心領域全体を対象とする未知節点ベクトルＵ’に関する連立方程式として解く、あるいは、代数方程式（６４）式中にて表される、関心領域内の各構成領域内の、未知節点分布Ｑ’、即ち、未知節点導電率分布のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｌ’、未知節点誘電率分布のＲ’ｉｊ、Ｒ’ｉ、Ｒ’、未知である導電率と誘電率の比の節点分布のＨ１’ｉｊ、Ｈ’１ｉ、Ｈ１’、未知である誘電率と導電率の比の節点分布のＨ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉ、又は、Ｈ２’の１つ以上から成る未知節点ベクトルＹ’に関する連立方程式を各構成領域において解くことにより、電流源と電圧源及び参照領域の位置が適切であれば（電位分布データの、ｄＶｉ／ｄｔ、Ｖｉ、ｄＥｉ／ｄｔ、Ｅｉ、∇・ｄＥｉ／ｄｔ、∇・Ｅｉが１組のみ測定された場合においても）、関心領域内の、未知導電率分布のＬｉｊ［３次元関心領域を対象とした場合、σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｌｉ［σｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｌ［σ（ｘ，ｙ，ｚ）］、又は、未知誘電率分布のＲｉｊ［εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｒｉ［εｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｒ［ε（ｘ，ｙ，ｚ）］、又は、未知である導電率と誘電率の比の分布のＨ１ｉｊ［ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｈ１ｉ［ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ１［ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ）］、未知である誘電率と導電率の比の分布のＨ２ｉｊ［ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｈ２ｉ［ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ２［ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ）］を推定でき、又、時に、関心領域内の、未知導電率分布のＬｉｊ［σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｌｉ［σｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｌ［σ（ｘ，ｙ，ｚ）］と未知誘電率分布のＲｉｊ［εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｒｉ［εｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｒ［ε（ｘ，ｙ，ｚ）］を同時に推定できる。尚、有限要素近似を行った場合には、前記基底関数を用いる。２次元、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。
また、複数の独立した節点電位分布の時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）（ｉ＝１〜Ｍ、但し、ｊ＝０〜ｎ）が測定されて、関心領域全体を対象として未知節点ベクトルＵ’を求めるために使用される場合には、未知節点ベクトルＵ’のｉ，ｊへの依存性により、適宜、代数方程式（６４）式を用いた次に示す（７４）式〜（８２）式の汎関数ＩＩ（Ｕ’）のいずれかが使用される。即ち、代数方程式（６４）式中の未知節点ベクトルＵ’は、関心領域全体を対象とした場合の未知節点分布Ｕｉｊ（構成領域内のｉ，ｊに依存する未知節点分布Ｑ’のＬ’ｉｊ、Ｒ’ｉｊ、Ｈ１’ｉｊ、Ｈ２’ｉｊのいずれかを少なくとも１つを含み、構成領域内のｉのみに依存する未知節点分布Ｑ’や構成領域内のｉとｊの両者に対して不変である未知節点分布Ｑ’のＬ’ｉ、Ｌ’、Ｒ’ｉ、Ｒ’、Ｈ１’ｉ、Ｈ１’、Ｈ２’ｉ、Ｈ２’を含むことのある分布）、未知節点分布Ｕｉ（構成領域内のｉに依存する未知節点分布Ｑ’のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｒ’ｉｊ、Ｒ’ｉ、Ｈ１’ｉｊ、Ｈ１’ｉ、Ｈ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉのいずれかを少なくとも１つを含み、構成領域内のｉとｊの両者に対して不変である未知節点分布Ｑ’のＬ’、Ｒ’、Ｈ１’、Ｈ２’を含むことのある分布）、未知節点分布Ｕ（構成領域内のｉとｊの両者に対して不変である未知節点分布Ｑ’のＬ’、Ｒ’、Ｈ１’、Ｈ２’のいずれかを少なくとも１つ含む分布）、未知節点分布Ｕｊ（ｉに対して不変である未知節点分布Ｕｉｊ）のいずれかを表し、各々、Ｕｉｊ、Ｕｉ、Ｕ、Ｕｊのいずれかに関して最小化される。
但し、（６４）式を用いた（７４）式〜（８２）式の汎関数ＩＩｉｊ（Ｕ’）中のＰｉｊは、使用される各電位分布データＶｉｊに対して、汎関数ＩＩｉｊ（Ｕ’）中の（４８）式〜（５１）式又は（６５）式〜（６７）式の汎関数Ｉｉｊ（・）のいずれかから導出された未知節点分布のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｌ’、Ｌ’ｊのいずれかのみに関する式、及び、（５６）式〜（５９）式又は（６８）式〜（７０）式の汎関数Ｉｉｊ（・）のいずれかから導出された未知節点分布のＨ１’ｉｊ、Ｈ１’ｉ、Ｈ１’、Ｈ１’ｊのいずれかのみに関する式においては、各汎関数Ｉｉｊ（・）の構成領域（積分領域）内の電界ベクトルＥｉ（ｘ，ｙ，，ｚ，ｔ）と未知である導電率σ又は導電率と誘電率の比ｈ１にかかる勾配作用素との内積の分布の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値と構成領域内の電界ベクトルの発散の分布の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値の和の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値である。
また、汎関数ＩＩｉｊ（Ｕ’）中の（５２）式〜（５５）式又は（６５）式〜（６７）式の汎関数Ｉｉｊ（・）のいずれかから導出された未知節点分布のＲ’ｉｊ、Ｒ’ｉ、Ｒ’、Ｒ’ｊのいずれかのみに関する式、及び、（６０）式〜（６３）式又は（７１）式〜（７３）式の汎関数Ｉｉｊ（・）のいずれかから導出された未知節点分布のＨ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉ、Ｈ２’、Ｈ２’ｊのいずれかのみに関する式においては、各汎関数Ｉｉｊ（・）の構成領域（積分領域）内の電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分ｄＥｉ（ｘ，ｙ，，ｚ，ｔ）／ｄｔと未知である誘電率ε又は誘電率と導電率の比ｈ２にかかる勾配作用素との内積の分布の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値と構成領域内の電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分分布の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値の和の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値である。
また、汎関数ＩＩｉｊ（Ｕ’）中の（４８）式〜（５５）式の汎関数Ｉｉｊ（・）又は（６５）式〜（６７）式の汎関数Ｉｉｊ（・）いずれかから導出された、未知節点分布のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｌ’、Ｌ’ｊのいずれかと未知節点分布のＲ’ｉｊ、Ｒ’ｉ、Ｒ’、Ｒ’ｊのいずれかとに関する式においては、Ｐｉｊは、各汎関数Ｉｉｊ（・）の構成領域（積分領域）内の電界ベクトルＥｉ（ｘ，ｙ，，ｚ，ｔ）と未知である導電率σ又は導電率と誘電率の比ｈ１にかかる勾配作用素との内積の分布の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値と構成領域内の電界ベクトルの発散の分布の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値と電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分ｄＥｉ（ｘ，ｙ，，ｚ，ｔ）／ｄｔと未知である誘電率ε又は誘電率と導電率の比ｈ２にかかる勾配作用素との内積の分布の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値と構成領域内の電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分分布の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値の和である。
この様に、通常は、汎関数中の各々の式はＰｉｊにより正規化される。
未知節点分布Ｕｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ、ｊ＝０〜ｎ）に関して、次式が成立する。
2003046587.tif 000086
但し、未知節点分布Ｕｉｊは、ｉ又はｊ、又は、ｉとｊの両者に対して不変であることがあり、また、電位データの、ｄＶｉ／ｄｔ、Ｖｉ、ｄＥｉ／ｄｔ、Ｅｉ、∇・ｄＥｉ／ｄｔ、∇・Ｅｉの１組のみ、測定された場合にも使用できる。
また、未知節点分布Ｕｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ、ｊ＝０〜ｎ）に関して、次式が成立する。
2003046587.tif 000087
但し、未知節点分布Ｕｉｊは、ｊに対して不変であることがある。
また、未知節点分布Ｕｊ（ｊ＝０〜ｎ）（未知節点分布Ｕｉｊがｉに対して不変の場合）に関して、次式が成立する。
2003046587.tif 000088
但し、未知節点分布Ｕｊは、ｊに対して不変であることがある。
また、未知節点分布Ｕｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ、ｊ＝０〜ｎ）に関して、次式が成立する。
2003046587.tif 000089
但し、未知節点分布Ｕｉｊは、ｉに対して不変であることがある。
また、未知節点分布Ｕｉ（ｉ＝１〜Ｍ）（未知節点分布Ｕｉｊがｊに対して不変の場合）に関して、次式が成立する。
2003046587.tif 000090
但し、未知節点分布Ｕｉは、ｉに対して不変であることがある。
また、未知節点分布Ｕｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ、ｊ＝０〜ｎ）に関して、次式が成立する。
2003046587.tif 000091
また、未知節点分布Ｕｊ（ｊ＝０〜ｎ）（未知節点分布Ｕｉｊがｉに対して不変である場合）に関して、次式が成立する。
2003046587.tif 000092
また、未知節点分布Ｕｉ（ｉ＝１〜Ｍ）（未知節点分布Ｕｉｊがｊに対して不変である場合）に関して、次式が成立する。
2003046587.tif 000093
また、未知節点分布Ｕ（未知節点分布Ｕｉｊがｉとｊの両者に対して不変である場合）に関して、次式が成立する。
2003046587.tif 000094
上記の（７４）式〜（８２）式の汎関数ＩＩ（Ｕ’）が関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルＵ’（未知節点分布Ｕｉｊ、Ｕｉ、Ｕ、Ｕｊのいずれか）に関して最小化するより、以下の通り、未知節点ベクトルＵ’に関する正規方程式が得られる。
汎関数ＩＩｉｊ（Ｕｉｊ）（（７４）式）より、未知節点分布Ｕｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ，ｊ＝０〜ｎ）（ｉ又はｊ、又は、ｉとｊの両者に対して不変であることがあり、また、電位データの、ｄＶｉ／ｄｔ、ｖｉ、ｄＥｉ／ｄｔ、Ｅｉ、∇・ｄＥｉ／ｄｔ、∇・Ｅｉの１組のみ、測定された場合にも使用できる。
2003046587.tif 000095
汎関数ＩＩｊ（Ｕｉｊ）（（７５）式）より、未知節点分布Ｕｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ，ｊ＝０〜ｎ）（ｊに対して不変であることがある）に関する以下の正規方程式が得られる。
2003046587.tif 000096
但し、行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ，ｊ＝０〜ｎ）は、各々、正規方程式（８３）式の行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊである。
汎関数ＩＩｊ（Ｕｊ）（（７６）式）より、未知節点分布Ｕｊ（ｊ＝０〜ｎ）（ｊに対して不変であることがある）に関する以下の正規方程式が得られる。
2003046587.tif 000097
但し、行列Ｅｊ及びベクトルｅｊ（ｊ＝０〜ｎ）は、各々、正規方程式（８３）式の行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊを用いて、次のように表される。
2003046587.tif 000098
汎関数ＩＩｉ（Ｕｉｊ）（（７７）式）より、未知節点分布Ｕｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ，ｊ＝０〜ｎ）（ｉに対して不変であることがある）に関する以下の正規方程式が得られる。
2003046587.tif 000099
但し、行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ，ｊ＝０〜ｎ）は、各々、正規方程式（８３）式の行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊである。
汎関数ＩＩｉ（Ｕｉ）（（７８）式）より、未知節点分布Ｕｉ（ｉ＝１〜Ｍ）（ｉに対して不変であることがある）に関する以下の正規方程式が得られる。
2003046587.tif 000100
但し、行列Ｅｉ及びベクトルｅｉ（ｉ＝１〜Ｍ）は、各々、正規方程式（８３）式の行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊを用いて、次のように表される。
2003046587.tif 000101
汎関数ＩＩ（Ｕｉｊ）（（７９）式）より、未知節点分布Ｕｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ，ｊ＝０〜ｎ）に関する以下の正規方程式が得られる。
2003046587.tif 000102
但し、行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ，ｊ＝０〜ｎ）は、各々、正規方程式（８３）式の行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊである。
汎関数ＩＩ（Ｕｊ）（（８０）式）より、未知節点分布Ｕｊ（ｊ＝０〜ｎ）に関する次の正規方程式が得られる。
2003046587.tif 000103
但し、行列Ｅｊ及びベクトルｅｊ（ｊ＝０〜ｎ）は、各々、正規方程式（８３）式の行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊを用いて、次のように表される。
2003046587.tif 000104
汎関数ＩＩ（Ｕｉ）（（８１）式）より、未知節点分布Ｕｉ（ｉ＝１〜Ｍ）に関する以下の正規方程式が得られる。
2003046587.tif 000105
但し、行列Ｅｉ及びベクトルｅｉ（ｉ＝１〜Ｍ）は、各々、正規方程式（８３）式の行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊを用いて、次のように表される。
2003046587.tif 000106
汎関数ＩＩ（Ｕ）（（８２）式）より、未知節点分布Ｕに関する次の正規方程式が得られる。
2003046587.tif 000107
但し、行列Ｅ及びベクトルｅは、各々、正規方程式（８３）式の行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊを用いて、次のように表される。
2003046587.tif 000108
上記の正規方程式（８３）式〜（９１）式を未知節点ベクトルＵ’に関して解くことにより、適宜、関心領域全体を対象とした場合の未知節点分布Ｕｉｊ、未知節点分布Ｕｉ、未知節点分布Ｕ、未知節点分布Ｕｊのいずれかが得られる。ここで、未知節点分布Ｕｉｊは、構成領域内のｉ，ｊに依存する未知節点分布Ｑ’のＬ’ｉｊ、Ｒ’ｉｊ、Ｈ１’ｉｊ、Ｈ２’ｉｊのいずれかを少なくとも１つを含み、構成領域内のｉのみに依存する未知節点分布Ｑ’や構成領域内のｉとｊの両者に対して不変である未知節点分布Ｑ’のＬ’ｉ、Ｌ’、Ｒ’ｉ、Ｒ’、Ｈ１’ｉ、Ｈ１’、Ｈ２’ｉ、Ｈ２’を含むことがある。未知節点分布Ｕは、構成領域内のｉに依存する未知節点分布Ｑ’のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｒ’ｉｊ、Ｒ’ｉ、Ｈ１’ｉｊ、Ｈ１’ｉ、Ｈ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉのいずれかを少なくとも１つを含み、構成領域内のｉとｊの両者に対して不変である未知節点分布Ｑ’のＬ’、Ｒ’、Ｈ１’、Ｈ２’を含むことがある。未知節点分布Ｕは、構成領域内のｉとｊの両者に対して不変である未知節点分布Ｑ’のＬ’、Ｒ’、Ｈ１’、Ｈ２’のいずれかを少なくとも１つ含む。未知節点分布Ｕｊは、ｉに対して不変である未知節点分布Ｕｉｊに相当する。
尚、関心領域全体を対象とする未知節点ベクトルＵ’に関する（７４）式〜（８２）式の汎関数ＩＩ（Ｕ’）は、代数方程式（６４）式中にて表される、関心領域内の各構成領域を対象とした未知節点ベクトルＹ’即ちＹｉｊ、未知節点分布Ｙｉ、未知節点分布Ｙ、未知節点分布Ｙｊのいずれかに関する連立方程式より導出される汎関数ＩＩ（Ｙ’）として扱われることもある。これらの各々は、未知節点ベクトルＹ’のｉ，ｊへの依存性により、未知節点分布Ｙｉｊ、Ｙｉ、Ｙ、Ｙｊのいずれかに関して最小化され、これより導出される各構成領域内の未知節点ベクトルＹ’に関する（８３）式〜（９１）式の正規方程式を解くことにより、関心領域内の未知節点分布Ｙｉｊ、Ｙｉ、Ｙ、Ｙｊのいずれかが得られることがある。ここで、未知節点ベクトルＹｉｊは、構成領域内のｉ、ｊに依存する未知節点分布Ｑ’のＬ’ｉｊ、Ｒ’ｉｊ、Ｈ１’ｉｊ、Ｈ２’ｉｊのいずれかを少なくとも１つを含み、構成領域内のｉのみに依存する未知節点分布Ｑ’や構成領域内のｉとｊの両者に対して不変である未知節点分布Ｑ’のＬ’ｉ、Ｌ’、Ｒ’ｉ、Ｒ’、Ｈ１’ｉ、Ｈ１’、Ｈ２’ｉ、Ｈ２’を含むことがある。未知節点分布Ｙｉは、構成領域内のｉに依存する未知節点分布Ｑ’のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｒ’ｉｊ、Ｒ’ｉ、Ｈ１’ｉｊ、Ｈ１’ｉ、Ｈ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉのいずれかを少なくとも１つを含み、構成領域内のｉとｊの両者に対して不変である未知節点分布Ｑ’のＬ’、Ｒ’、Ｈ１’、Ｈ２’を含むことがある。未知節点分布Ｙは、構成領域内のｉとｊの両者に対して不変である未知節点分布Ｑ’のＬ’、Ｒ’、Ｈ１’、Ｈ２’のいずれかを少なくとも１つ含む。未知節点分布Ｙｊは、ｉに対して不変である未知節点分布Ｙｉｊに相当する。
これより、電流源と電圧源及び参照領域の位置が適切であれば（電位分布データの、ｄＶｉ／ｄｔ、Ｖｉ、ｄＥｉ／ｄｔ、Ｅｉ、∇・ｄＥｉ／ｄｔ、∇・Ｅｉが１組のみ測定された場合においても）、関心領域内の、未知導電率分布のＬｉｊ［３次元関心領域を対象とした場合、σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｌｉ［σｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｌ［σ（ｘ，ｙ，ｚ）］、未知誘電率分布のＲｉｊ［εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｒｉ［εｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｒ［ε（ｘ，ｙ，ｚ）］、又は、未知である導電率と誘電率の比の分布のＨ１ｉｊ［ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｈ１ｉ［ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ１［ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ）］、未知である誘電率と導電率の比の分布のＨ２ｉｊ［ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｈ２ｉ［ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ２［ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ）］を推定でき、又、時に、関心領域内の、未知導電率分布のＬｉｊ［σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｌｉ［σｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｌ［σ（ｘ，ｙ，ｚ）］と未知誘電率分布のＲｉｊ［εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｒｉ［εｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｒ［ε（ｘ，ｙ，ｚ）］を同時に推定できる。尚、有限要素近似を行った場合には、前記基底関数を用いる。２次元、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。
（７４）式〜（８２）式のＵ’及びＹ’に関する汎関数ＩＩ（Ｕ’）やＩＩ（Ｙ’）を最小化して得られる正規方程式（８３）式〜（９１）式中のＥ、Ｅｉｊ、Ｅｉ、Ｅｊ、ｅ、ｅｉｊ、ｅｉ、及び、ｅｊは低域通過型フィルタのかけられた電位の時間方向の１階の偏微分分布データｄＶｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電位分布データＶｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分分布データｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトル分布データＥｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分分布データ∇・ｄＥｉ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電界ベクトルの発散の分布データ∇・Ｅｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）で決まるが、行列Ｅ、Ｅｉｊ、Ｅｉ、Ｅｊの逆作用素は、各々、ｅ、ｅｉｊ、ｅｉ、及びｅｊに含まれる高周波数帯域のノイズを増幅させてしまう。また、（８３）式、（８４）式、（８６）式、（８８）式を用いる際には、電流源又は電圧源と参照領域との相対的配置が不適切なものとなることがある。その結果、未知節点分布のＵｉｊ、Ｕｉ、Ｕｊ、Ｕ、Ｙｉｊ、Ｙｉ、Ｙｊ、Ｙの推定が不安定となってしまう。
そこで、第１の基本原理及び第２の基本原理と同様に、（８３）式〜（９１）式の正規方程式に正則化を施して再構成の安定化を図るようにしても良い。具体的には、後記の通り、使用される各電位分布Ｖｉｊに対して設定されうる正則化パラメータα１ｉｊ、α２ｉｊ、α３ｉｊ、β１ｉｊ、β２ｉｊ、β３ｉｊ、γ１ｉｊ、γ２ｉｊ、γ３ｉｊ、η１ｉｊ、η２ｉｊ、η３ｉｊ（正の値）を使用して、連続座標系において次に表されるような処罰項を使用する。
即ち、未知節点ベクトルＵ’又はＹ’が未知導電率分布のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｌ’、Ｌ’ｊをベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合に、導電率分布のσｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）［σｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、σｉ（ｘ，ｙ，ｚ）［σｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、σ（ｘ，ｙ，ｚ）［σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、σ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）［σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、（２５）式の処罰項と同様に、その各構成領域内の積分が求められる。
2003046587.tif 000109
但し、σは、各点の導電率のσｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、σｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、σ（ｘ，ｙ，ｚ）、σ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）のいずれかである。
導電率分布のσｉ（ｘ，ｙ，ｔ）［σｉ（Ｉ，Ｊ，ｊ）］、σｉ（ｘ，ｙ）［σｉ（Ｉ，Ｊ）］、σ（ｘ，ｙ）［σ（Ｉ，Ｊ）］、σ（ｘ，ｙ，ｔ）［σ（Ｉ，Ｊ，ｊ）］が未知である１つ以上の不連続な２次元構成領域を含む場合には、（２６）式の処罰項と同様に、その各構成領域内の積分が求められる。
2003046587.tif 000110
但し、σは、各点の導電率のσｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、σｉ（ｘ，ｙ）、σ（ｘ，ｙ）、σ（ｘ，ｙ，ｔ）のいずれかである。
導電率分布のσｉ（ｘ，ｔ）［σｉ（Ｉ，ｊ）］、σｉ（ｘ）［σｉ（Ｉ）］、σ（ｘ）［σ（Ｉ）］、σ（ｘ，ｔ）［σ（Ｉ，ｊ）］が未知である１つ以上の不連続な１次元構成領域を含む場合には、（２７）式の処罰項と同様に、その各構成領域内の積分が求められる。
2003046587.tif 000111
但し、σは、各点の導電率率のσｉ（ｘ，ｔ）、σｉ（ｘ）、σ（ｘ）、σ（ｘ，ｔ）のいずれかである。２次元及び１次元関心領域を含む場合も同様である。
また、未知節点ベクトルＵ’又はＹ’が未知誘電率分布のＲ’ｉｊ、Ｒ’ｉ、Ｒ’、Ｒ’ｊをベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合に、誘電率分布のεｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）［εｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、εｉ（ｘ，ｙ，ｚ）［εｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、ε（ｘ，ｙ，ｚ）［ε（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、ε（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）［ε（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、導電率の場合と同様に、その各構成領域内の積分が求められる。
2003046587.tif 000112
但し、εは、各点の誘電率のεｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、εｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、ε（ｘ，ｙ，ｚ）、ε（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）のいずれかである。１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も誘電率の場合と同様である。２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
また、未知節点ベクトルＵ’又はＹ’が未知である導電率と誘電率の比の分布のＨ１’ｉｊ、Ｈ１’ｉ、Ｈ１’、Ｈ１’ｊをベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合、導電率と誘電率の比の分布のｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）［ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）［ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ）［ｈ１（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）［ｈ１（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、導電率の場合と同様に、その各構成領域内の積分が求められる。
2003046587.tif 000113
但し、ｈ１は、各点の導電率と誘電率の比のｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ）、ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）のいずれかである。１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も導電率の場合と同様である。２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
また、未知節点ベクトルＵ’又はＹ’が未知である誘電率と導電率の比の分布のＨ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉ、Ｈ２’、Ｈ２’ｊをベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合、誘電率と導電率の比の分布のｈ２ｉ（ｘ，ｙ，Ｚ，ｔ）［ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）［ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ）［ｈ２（Ｉ，Ｊ，Ｋ）］、ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）［ｈ２（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、導電率の場合と同様に、その各構成領域内の積分が求められる。
2003046587.tif 000114
但し、ｈ２は、各点の誘電率と導電率の比のｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）、ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ）、ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）のいずれかである。１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も導電率の場合と同様である。２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
（７４）式〜（８２）式の汎関数ＩＩ（Ｕ’）又はＩＩ（Ｙ’）が有限要素近似されている場合は、（９２）式〜（９７）式の処罰項は、有限要素近似において導入した基底関数を使用して有限要素近似されるか、又は、有限差分近似されるが、（７４）式〜（８２）式の汎関数ＩＩ（Ｕ’）又はＩＩ（Ｙ’）が有限差分近似されている場合は、（９２）式〜（９７）式の処罰項は、有限差分近似される。
（９２）式〜（９７）式の処罰項が、有限要素近似された場合には、３次元関心領域を対象とする場合、適宜、（９２）式〜（９４）式には参照導電率（分布）のσ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、σ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、σ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、σ’（Ｉ、Ｊ，Ｋ，ｊ）が、（９５）式には参照誘電率（分布）のεｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、εｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ε（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ε（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が、（９６）式には導電率と誘電率の比の分布データのｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ１（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ１（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が、（９７）式には誘電率と導電率の比の分布データのｈ’２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ’２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’２（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’２（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入された上で、適宜、（７４）式〜（８２）式のいずれかの汎関数ＩＩ（Ｕ’）又はＩＩ（Ｙ’）に加えられ、未知節点ベクトルＵ’又はＹ’に関して最小化される。その場合に、基底関数φ３σ、φ３ε、φ３ｈはｘ，ｙ，ｚに関して２回偏微分可能である必要がある。２次元、及び、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
また、（９２）式〜（９７）式の処罰項が有限差分近似された場合には、３次元関心領城を対象とする場合、適宜、（９２）式〜（９４）式（但し、α１ｉｊ＝０）には参照導電率（分布）のσ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、σ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、σ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、σ’（Ｉ、Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（９５）式（但し、β１ｉｊ＝０）には参照誘電率（分布）のεｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、εｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ε（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ε（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（９６）式（γ１ｉｊ＝０）には導電率と誘電率の比の分布データのｈ’１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ’１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’１（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’１（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（９７）式（η１ｉｊ＝０）には誘電率と導電率の比の分布データのｈ’２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ’２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’２（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’２（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入された上で、適宜、（７４）式〜（８２）式の汎関数ＩＩ（Ｕ’）又はＩＩ（Ｙ’）に加えられ、未知節点ベクトルＵ’又はＹ’に関して最小化される。２次元、及び、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
各汎関数ＩＩ（Ｕ’）又はＩＩ（Ｙ’）から導出される未知節点ベクトルＵ’又はＹ’に関する以下の（９８）式〜（１０６）式の正則化された正規方程式を解くことにより、未知節点分布Ｕｉｊ、Ｕｉ、Ｕｊ、Ｕ、Ｙｉｊ、Ｙｉ、Ｙｊ、又は、Ｙを安定的に得られる。但し、以下の正則化された正規方程式中に表される行列ＧＴＧ、ＧＴＧＧＴＧの各々は、適宜、関心領域内の未知節点分布のＵｉｊ、Ｕｉ、Ｕｊ、Ｕ、Ｙｉｊ、Ｙｉ、Ｙｊ、又は、Ｙ中の各構成領域内の未知節点分布Ｑ’にかかる有限要素近似あるいは有限差分（離散）近似されたラプラシアン作用素及びラプラシアン２乗作用素を表す。ここで、未知節点分布Ｑ’は、未知導電率分布のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｌ’、Ｌ’ｊ、未知誘電率Ｒ’ｉｊ、Ｒ’ｉ、Ｒ’、Ｒ’ｊ、未知である導電率と誘電率の比の分布のＨ１’ｉｊ、Ｈ１’ｉ、Ｈ１’、Ｈ１’ｊ、未知である誘電率と導電率の比の分布のＨ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉ、Ｈ２’、又は、Ｈ２’ｊを含む。
従って、式中の正則化パラメータλ１ｉｊ、λ２ｉｊ、λ３ｉｊの各々は、適宜、使用される前記の処罰項（９２）式〜（９７）式中の正則化パラメータα１ｉｊ、α２ｉｊ、α３ｉｊの各々、β１ｉｊ、β２ｉｊ、β３ｉｊの各々、γ１ｉｊ、γ２ｉｊ、γ３ｉｊの各々、η１ｉｊ、η２ｉｊ、η３ｉｊの各々（正の値）が、対応する処罰項成分にかかるものとして表現されたものである。
汎関数ＩＩｉｊ（Ｕｉｊ）（（７４）式）より、未知節点分布Ｕｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ，ｊ＝０〜ｎ）に関する以下の正則化された正規方程式が得られる。ここで、未知節点分布Ｕｉｊは、ｉ又はｊ、又は、ｉとｊの両者に対して不変であることがあり、また、電位データの、ｄＶｉ／ｄｔ、Ｖｉ、ｄＥｉ／ｄｔ、Ｅｉ、∇・ｄＥｉ／ｄｔ、∇・Ｅｉの１組のみ、測定された場合にも使用できる。
2003046587.tif 000115
但し、行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊは、各々、正規方程式（８３）式の行列Ｅ’ｉｊ＝ＥｉｊＴＥｉｊ、ベクトルｅ’ｉｊ＝ＥｉｊＴｅｉｊであり、行列Ｗｉｊ＝λ１ｉｊＩ＋λ２ｉｊＧＴＧ＋λ３ｉｊＧＴＧＧＴＧである。
汎関数ＩＩｊ（Ｕｉｊ）（（７５）式）より、未知節点分布Ｕｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ，ｊ＝０〜ｎ）（ｊに対して不変であることがある）に関する以下の正則化された正規方程式が得られる。
2003046587.tif 000116
但し、行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ，ｊ＝０〜ｎ）は、各々、正規方程式（８３）式の行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊであり、行列Ｗｉｊ＝λ１ｉｊＩ＋λ２ｉｊＧＴＧ＋λ３ｉｊＧＴＧＧＴＧである。
汎関数ＩＩｊ（Ｕｊ）（（７６）式）より、未知節点分布Ｕｊ（ｊ＝０〜ｎ）（ｊに対して不変であることがある）に関する以下の正規方程式が得られる。
2003046587.tif 000117
但し、行列Ｅｊ及びベクトルｅｊ（ｊ＝０〜ｎ）は、
各々、正規方程式（８３）式の行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊを用いて、
2003046587.tif 000118
を用いて、λ１ｊＩ＋λ２ｊＧＴＧ＋λ３ｊＧＴＧＧＴＧと表される。
汎関数ＩＩｉ（Ｕｉｊ）（（７７）式）より、未知節点分布Ｕｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ，ｊ＝０〜ｎ）（ｉに対して不変であることがある）に関する以下の正規方程式が得られる。
2003046587.tif 000119
但し、行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ，ｊ＝０〜ｎ）は、各々、正規方程式（８３）式の行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊであり、行列Ｗｉｊ＝λ１ｉｊＩ＋λ２ｉｊＧＴＧ＋λ３ｉｊＧＴＧＧＴＧである。
汎関数ＩＩｉ（Ｕｉ）（（７８）式）より、未知節点分布Ｕｉ（ｉ＝１〜Ｍ）（ｉに対して不変であることがある）に関する以下の正則化された正規方程式が得られる。
2003046587.tif 000120
但し、行列Ｅｉ及びベクトルｅｉ（ｉ＝１〜Ｍ）は、
各々、正規方程式（８３）式の行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊを用いて、
2003046587.tif 000121
を用いて、λ１ｉＩ＋λ２ｉＧＴＧ＋λ３ｉＧＴＧＧＴＧと表される。
汎関数ＩＩ（Ｕｉｊ）［（７９）式）より、未知節点分布Ｕｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ、ｊ＝０〜ｎ）に関する以下の正規方程式が得られる。
2003046587.tif 000122
但し、行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ，ｊ＝０〜ｎ）は、各々、正規方程式（８３）式の行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊであり、行列Ｗｉｊ＝λ１ｉｊＩ＋λ２ｉｊＧＴＧ＋λ３ｉｊＧＴＧＧＴＧである。
汎関数ＩＩ（Ｕｊ）（（８０）式）より、未知節点分布Ｕｊ（ｊ＝０〜ｎ）に関する以下の正規方程式が得られる。
2003046587.tif 000123
但し、行列Ｅｊ及びベクトルｅｊ（ｊ＝０〜ｎ）は、
各々、正規方程式（８３）式の行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊ
2003046587.tif 000124
を用いて、λ１ｊＩ＋λ２ｊＧＴＧ＋λ３ｊＧＴＧＧＴＧと表される。
汎関数ＩＩ（Ｕｉ）（（８１）式）より、未知節点分布Ｕｉ（ｉ＝１〜Ｍ）に関する以下の正規方程式が得られる。
2003046587.tif 000125
但し、行列Ｅｉ及びベクトルｅｉ（ｉ＝１〜Ｍ）は、
各々、正規方程式（８３）式の行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊ
2003046587.tif 000126
を用いて、λ１ｉＩ＋λ２ｉＧＴＧ＋λ３ｉＧＴＧＧＴＧと表される。
汎関数ＩＩ（Ｕ）（（８２）式）より、未知節点分布Ｕに関する以下の正規方程式が得られる。
2003046587.tif 000127
但し、行列Ｅ及びベクトルｅは、
各々、正規方程式（８３）式の行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊを用いて、
2003046587.tif 000128
を用いて、λ１Ｉ＋λ２ＧＴＧ＋λ３ＧＴＧＧＴＧと表される。
上記の各正規方程式（９８）式〜（１０６）式を未知節点ベクトルＵ’に関して解くことにより、適宜、関心領域全体を対象とした場合の未知節点分布Ｕｉｊ、未知節点分布Ｕｉ、未知節点分布Ｕ、未知節点分布Ｕｊ、関心領域内の各構成領域を対象とした未知節点ベクトルＹ’即ちＹｉｊ、未知節点分布Ｙｉ、未知節点分布Ｙ、未知節点分布Ｙｊのいずれかが得られる。
これより、関心領域内の、未知導電率分布のＬｉｊ（３次元関心領域を対象とした場合には、σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ））、Ｌｉ［σｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｌ［σ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｌｊ［σ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、未知誘電率分分布のＲｉｊ［εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｒｉ［εｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｒ［ε（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｒｊ［ε（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、未知である導電率と誘電率の比の分布のＨ１ｉｊ［ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｈ１ｉ［ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ１［ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ１ｊ［ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、未知である誘電率と導電率の比の分布のＨ２ｉｊ［ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｈ２ｉ［ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ２［ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ２ｊ［ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］を推定できる。尚、有限要素近似を行った場合には、前記基底関数を用いる）。２次元、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。また、電位分布データの、ｄＶｉ／ｄｔ、Ｖｉ、ｄＥｉ／ｄｔ、Ｅｉ、∇・ｄＥｉ／ｄｔ、∇・Ｅｉが１組のみ測定された場合においても、これらを推定できることがある。
また、ｊに依存する未知節点ベクトルＵ’（関心領域全体を対象とした際の未知節点分布のＵｉｊ又はＵｊ）、又は、未知節点ベクトルＹ’（関心領城内の各構成領域内の未知節点分布のＹｉｊ又はＹｊ）に関する（７７）式、（７９）式、（８０）式の汎関数ＩＩ（Ｕ’）やＩＩ（Ｙ’）を正則化するには、（９２）式〜（９７）式の処罰項の他に、（９２）式〜（９７）式の処罰項の各積分核に各構成領域内の未知分布の時間ｔ（ｊ）方向の１階の偏微分及び２階の偏微分を加えた、連続座標系において次に表されるような処罰項を使用して再構成の安定化を図るようにしても良い。その際に新たに使用される正則化パラメータα４ｉｊ、α５ｉｊ、β４ｉｊ、β５ｉｊ、γ４ｉｊ、γ５ｉｊ、η４ｉｊ、η５ｉｊ（正の値）は、後記の通り、使用される各電位分布Ｖｉｊに対して設定されうる。
即ち、未知節点ベクトルＵ’又はＹ’が未知導電率分布のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｊをベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合に、導電率分布のσｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）［σｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、σ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）［σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、（９２）式の処罰項の積分核に時間ｔ（ｊ）方向の１階の偏微分及び２階の偏微分を加え、その各構成領域内の積分を求める。
2003046587.tif 000129
但し、σは、各点の導電率のσｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、σ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）のいずれかである。
導電率分布のσｉ（ｘ，ｙ，ｔ）［σｉ（Ｉ，Ｊ，ｊ）］、σ（ｘ，ｙ，ｔ）［σ（Ｉ，Ｊ，ｊ）］が未知である１つ以上の不連続な２次元構成領域を含む場合には、（９３）式の処罰項に時間ｔ（ｊ）方向の１階の偏微分及び２階の偏微分を加え、その各構成領域内の積分を求める。
2003046587.tif 000130
但し、σは、各点の導電率のσｉ（ｘ，ｙ，ｔ）、σ（ｘ，ｙ，ｔ）のいずれかである。
導電率分布のσｉ（ｘ，ｔ）［σｉ（Ｉ，ｊ）］、σ（ｘ，ｔ）［σ（Ｉ，ｊ）］が未知である１つ以上の不連続な１次元構成領域を含む場合には、（９４）式の処罰項に時間ｔ（ｊ）方向の１階の偏微分及び２階の偏微分を加え、その各構成領域内の積分を求める。
2003046587.tif 000131
但し、σは、各点の導電率のσｉ（ｘ，ｔ）、σ（ｘ，ｔ）のいずれかである。２次元及び１次元関心領域を含む場合も同様である。
また、未知節点ベクトルＵ’又はＹ’が未知誘電率分布のＲ’ｉｊ、Ｒ’ｊをベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合に、誘電率分布のεｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）［εｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、ε（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）［ε（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、（９５）式の処罰項に時間ｔ（ｊ）方向の１階の偏微分及び２階の偏微分を加え、その各構成領域内の積分を求める。
2003046587.tif 000132
但し、εは、各点の誘電率のεｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、ε（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）のいずれかである。１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も同様である。また、２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
また、未知節点ベクトルＵ’又はＹ’が未知である導電率と誘電率の比の分布のＨ１’ｉｊ、Ｈ１’ｊをベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合に、導電率と誘電率の比の分布のｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）［ｈ１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）［ｈ１（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、（９６）式の処罰項に時間ｔ（ｊ）方向の１階の偏微分及び２階の偏微分を加え、その各構成領域内の積分を求める。
2003046587.tif 000133
但し、ｈ１は、各点の導電率と誘電率の比のｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）のいずれかである。１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も同様である。また、２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
また、未知節点ベクトルＵ’又はＹ’が未知である誘電率と導電率の比の分布のＨ２’ｉｊ、Ｈ２’ｊをベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合に、誘電率と導電率の比の分布のｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）［ｈ２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］、ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）［ｈ２（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）］が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、（９７）式の処罰項に時間ｔ（ｊ）方向の１階の偏微分及び２階の偏微分を加え、その各構成領域内の積分を求める。
2003046587.tif 000134
但し、ｈ２は、各点の誘電率と導電率の比のｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）のいずれかである。１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も同様である。また、２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
（７４）式〜（８２）式の汎関数ＩＩ（Ｕ’）又はＩＩ（Ｙ’）が有限要素近似されている場合は、（１０７）式〜（１１２）式の処罰項は、有限要素近似において導入した基底関数を使用して有限要素近似されるか、又は、有限差分近似されるが、（７４）式〜（８２）式の汎関数ＩＩ（Ｕ’）又はＩＩ（Ｙ’）が有限差分近似されている場合は、（１０７）式〜（１１２）式の処罰項は、有限差分近似される。
（１０７）式〜（１１２）式の処罰項が、有限要素近似された場合は、３次元関心領域を対象とする場合、適宜、（１０７）式〜（１０９）式には参照導電率（分布）のσ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、σ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、σ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、σ’（Ｉ、Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（１１０）式には参照誘電率分布データのεｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、εｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ε（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ε（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（１１１）式には導電率よ誘電率の比の分布データのｈ’１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ’１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’１（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’１（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（１１２）式には誘電率と導電率の比の分布データのｈ’２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ’２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’２（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’２（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入された上で、適宜、（７７）式、（７９）式、（８０）式のいずれかの汎関数ＩＩ（Ｕ’）又はＩＩ（Ｙ’）に加えられ、未知節点ベクトルＵ’又はＹ’に関して最小化される。但し、未知節点ベクトルＵ’は、関心領域全体を対象とした際の未知節点分布のＵｉｊ又はＵｊであり、未知節点ベクトルＹ’は、関心領域内の構成領域内の未知節点分布のＹｉｊ又はＹｊである。この場合、基底関数φ３σ、φ３ε、φ３ｈは、ｘ，ｙ，ｚに関して２回偏微分可能であると共にｔに関して２回偏微分可能である必要がある。
また、（１０７）式〜（１１２）式の処罰項が有限差分近似された場合に、３次元関心領域を対象とする場合、適宜、（１０７）式〜（１０９）式（低し、α１ｉｊ＝０）には参照導電率（分布）のσ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、σ’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、σ’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、σ’（Ｉ、Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（１１０）式（但し、β１ｉｊ＝０）には参照誘電率（分布）のε’ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ε’（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ε’（Ｉ、Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（１１１）式（但し、γ１ｉｊ＝０）には導電率と誘電率の比の分布データのｈ’１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ’１ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’１（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’１（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入され、（１１２）式（η１ｉｊ＝０）には誘電率と導電率の比の分布データのｈ’２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、ｈ’２ｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’２（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｈ’２（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）が代入された上で、適宜、（７７）式、（７９）式、（８０）式の汎関数ＩＩ（Ｕ’）又はＩＩ（Ｙ’）に加えられ、未知節点ベクトルＵ’又はＹ’に関して最小化される。２次元、及び、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
汎関数ＩＩ（Ｕ’）又はＩＩ（Ｙ’）（（７７）式、（７９）式、（８０）式）から導出される未知節点ベクトルＵ’又はＹ’に関する以下の（１１３）式〜（１１５）式の正則化された正規方程式を解くことにより、未知節点分布Ｕｉｊ、Ｕｊ、Ｙｉｊ、Ｙｊを安定的に得られる。尚、正規方程式の（１１３）式〜（１１５）式中の正則化パラメータλ１ｉｊ、λ２ｉｊ、λ３ｉｊ、λ４ｉｊ、λ５ｉｊの各々は、適宜、使用される前記の処罰項（１０７）式〜（１１２）式中の、各電位分布Ｖｉｊに対して設定されうる正則化パラメータα１ｉｊ、α２ｉｊ、α３ｉｊ、α４ｉｊ、α５ｉｊの各々、β１ｉｊ、β２ｉｊ、β３ｉｊ、β４ｉｊ、β５ｉｊの各々、γ１ｉｊ、γ２ｉｊ、γ３ｉｊ、γ４ｉｊ、γ５ｉｊの各々、η１ｉｊ、η２ｉｊ、η３ｉｊ、η４ｉｊ、η５ｉｊの各々（正の値）が、対応する処罰項成分にかかるものとして表現されたものである。
即ち、（７７）式の関心領域全体を対象とした未知節点分布の時系列からなる未知節点ベクトルＸｉｊ＝（Ｕｉ０Ｔ，Ｕｉ１Ｔ，…，ＵｉｎＴ）Ｔ（ｉ＝１〜Ｍ）又は関心領域内の構成領域を対象とした未知節点分布の時系列からなる未知節点ベクトルＸｉｊ＝（Ｙｉ０Ｔ，Ｙｉ１Ｔ，…，ＹｉｎＴ）Ｔ（ｉ＝１〜Ｍ）に関する汎関数ＩＩｉ（Ｘｉｊ）を用いて導出される未知節点ベクトルＸｉｊに関する以下の正則化された正規方程式を解くことにより、未知節点分布の時系列の（Ｕｉ０，Ｕｉ１，…，Ｕｉｎ）又は（Ｙｉ０，Ｙｉ１，…，Ｙｉｎ）が安定的に得られる。
2003046587.tif 000135
但し、行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ，ｊ＝０〜ｎ）は、各々、正規方程式（８３）式の行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊであり、行列Ｗｉｊ＝λ１ｉｊＩ＋λ２ｉｊＧＴＧ＋λ３ｉｊＧＴＧＧＴＧである。
行列ＧＴＧ、ＧＴＧＧＴＧ、ＧｔＴＧｔ、ＧｔＴＧｔＧｔＴＧｔの各々は、関心領域全体を対象とした未知節点分布（Ｕｉ０，Ｕｉ１，…，Ｕｉｎ）又は関心領域内の各構成領域を対象とした未知節点分布（Ｙｉ０，Ｙｉ１，…，Ｙｉｎ）が含む各未知節点分布Ｑ’にかかる有限要素近似あるいは有限差分（離散）近似された前記ラプラシアン作用素、前記ラプラシアン２乗作用素、時間ｔ（ｊ）方向にかかる１階の偏微分作用素、及び、２階の偏微分作用素である。ここで、未知節点分布Ｑ’は、未知節点導電率分布のＬ’ｉｊ、Ｌｊ’、未知節点誘電率分布のＲ’ｉｊ、Ｒ’ｊ、未知である導電率と誘電率の比の節点分布のＨ１’ｉｊ、Ｈ１’ｊ、未知である誘電率と導電率の比の節点分布のＨ２’ｉｊ、Ｈ２’ｊを含む。
また、（７９）式の関心領域全体を対象とした未知節点分布の時系列からなる未知節点ベクトルＸｉｊ＝（Ｕ１０Ｔ，Ｕ１１Ｔ，…，Ｕ１ｎＴ，Ｕ２０Ｔ，Ｕ２１Ｔ，…，Ｕ２ｎＴ，……，ＵＭ０Ｔ，ＵＭ１Ｔ，…，ＵＭｎＴ）Ｔ又は関心領域内の構成領域を対象とした未知節点分布の時系列からなる未知節点ベクトルＸｉｊ＝（Ｙ１０Ｔ，Ｙ１１Ｔ，…，Ｙ１ｎＴ，Ｙ２０Ｔ，Ｙ２１Ｔ，…，Ｙ２ｎＴ，……，ＹＭ０Ｔ，ＹＭ１Ｔ，…，ＹＭｎＴ）Ｔに関する汎関数ＩＩｉ（Ｘｉｊ）を用いて導出される未知節点ベクトルＸｉｊに関する以下の正則化された正規方程式を解くことにより、未知節点分布の時系列の（Ｕ１０，Ｕ１１，…，Ｕ１ｎ，Ｕ２０，Ｕ２１，…，Ｕ２ｎ，……，ＵＭ０，ＵＭ１，…，ＵＭｎ）又は（Ｙ１０，Ｙ１１，…，Ｙ１ｎ，Ｙ２０，Ｙ２１，…，Ｙ２ｎ，……，ＹＭ０，ＹＭ１，…，ＹＭｎ）が安定的に得られる。
2003046587.tif 000136
但し、行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊ（ｉ＝１〜Ｍ，ｊ＝０〜ｎ）は、各々、正規方程式（８３）式の行列Ｅ’ｉｊ及びベクトルｅ’ｉｊであり、行列Ｗｉｊ＝λ１ｉｊＩ＋λ２ｉｊＧＴＧ＋λ３ｉｊＧＴＧＧＴＧである。
行列ＧＴＧ、ＧＴＧＧＴＧ、ＧｔＴＧｔ、ＧｔＴＧｔＧｔＴＧｔの各々は、関心領域全体を対象とした未知節点分布（Ｕ１０，Ｕ１１，…，Ｕ１ｎ，Ｕ２０，Ｕ２１，…，Ｕ２ｎ，……，ＵＭ０，ＵＭ１，…，ＵＭｎ）又は関心領域内の各構成領域を対象とした未知節点分布（Ｙ１０，Ｙ１１，…，Ｙ１ｎ，Ｙ２０，Ｙ２１，…，Ｙ２ｎ，……，ＹＭ０，ＹＭ１，…，ＹＭｎ）が含む各未知節点分布Ｑ’にかかる有限要素近似あるいは有限差分（離散）近似された前記ラプラシアン作用素、前記ラプラシアン２乗作用素、時間ｔ（ｊ）方向にかかる１階の偏微分作用素、及び、２階の偏微分作用素である。ここで、未知節点分布Ｑ’は、未知節点導電率分布のＬ’ｉｊ、Ｌｊ’、未知節点誘電率分布のＲ’ｉｊ、Ｒ’ｊ、未知である導電率と誘電率の比の節点分布のＨ１’ｉｊ、Ｈ１’ｊ、未知である誘電率と導電率の比の節点分布のＨ２’ｉｊ、Ｈ２’ｊを含む。
また、（８０）式の関心領域全体を対象とした未知節点分布の時系列からなる未知節点ベクトルＸｊ＝（Ｕ０Ｔ，Ｕ１Ｔ，…，ＵｎＴ）Ｔ又は関心領域内の構成領域を対象とした未知節点分布の時系列からなる未知節点ベクトルＸｊ＝（Ｙ０Ｔ，Ｙ１Ｔ，…，ＹｎＴ）Ｔに関する汎関数ＩＩｉ（Ｘｊ）を用いて導出される未知節点ベクトルＸｊに関する以下の正則化された正規方程式を解くことにより、未知節点分布の時系列の（Ｕ０，Ｕ１，…，Ｕｎ）又は（Ｙ０，Ｙ１，…，Ｙｎ）が安定的に得られる。
2003046587.tif 000137
但し、行列Ｅｊ及びベクトルｅｊ（ｊ＝０〜ｎ）は、各々、正規方程式（８３）式の行列Ｅ’ｉｊ及び
2003046587.tif 000138
λｉｊＩ＋λ２ｊＧＴＧ＋λ３ｊＧＴＧＧＴＧと表される。
2003046587.tif 000139
行列ＧＴＧ、ＧＴＧＧＴＧ、ＧｔＴＧｔ、ＧｔＴＧｔＧｔＴＧｔの各々は、関心領域全体を対象とした未知節点分布（Ｕ０，Ｕ１，…，Ｕｎ）又は関心領域内の各構成領域を対象とした未知節点分布（Ｙ０，Ｙ１，…，Ｙｎ）が含む各未知節点分布Ｑ’にかかる有限要素近似あるいは有限差分（離散）近似された前記ラプラシアン作用素、前記ラプラシアン２乗作用素、時間ｔ（ｊ）方向にかかる１階の偏微分作用素、及び、２階の偏微分作用素である。
これより、関心領域内の、未知導電率分布のＬｉｊ（３次元関心領域を対象とした場合には、σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ））、Ｌｉ［σｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｌ［σ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｌｊ［σ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、未知誘電率分布のＲｉｊ［εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｒｉ［εｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｒ［ε（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｒｊ［ε（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、未知である導電率と誘電率の比の分布のＨ１ｉｊ［ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｈ１ｉ［ｈ１ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ１［ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ１ｊ［ｈ１（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、未知である誘電率と導電率の比の分布のＨ２ｉｊ［ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、Ｈ２ｉ［ｈ２ｉ（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ２［ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ）］、Ｈ２ｊ［ｈ２（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］を推定できる。尚、有限要素近似を行った場合には、前記基底関数を用いる。２次元、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。
正則化された正規方程式（９８）式〜（１０６）式及び（１１３）式〜（１１５）式中の正則化パラメータλ１ｉｊ、λ２ｉｊ、λ３ｉｊ、λ４ｉｊ、λ５ｉｊは、前記の第１基本原理にて示した正則化された正規方程式（１９）式と同様に、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルＵ’又は関心領域内の各構成領域を対象とした未知節点ベクトルＹ’にかかる行列が各電位データＶｉｊに対して数値解析的に正定値となる様に、大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータλ１ｉｊ、λ２ｉｊ、λ３ｉｊ、λ４ｉｊ、λ５ｉｊの各々を決定する正則化パラメータα１ｉｊ、α２ｉｊ、α３ｉｊ、α４ｉｊ、α５ｉｊの各々、β１ｉｊ、β２ｉｊ、β３ｉｊ、β４ｉｊ、β５ｉｊの各々、γ１ｉｊ、γ２ｉｊ、γ３ｉｊ、γ４ｉｊ、γ５ｉｊの各々、η１ｉｊ、η２ｉｊ、η３ｉｊ、η４ｉｊ、η５ｉｊの各々の値が、（９２）式〜（９７）式又は（１０７）式〜（１１２）式の各処罰項の各積分領域（各構成領域）内の、各電位データＶｉｊに対して評価される電位時空間偏微分分布データ（電位の時間方向の１階の偏微分分布データ、電位分布データ、電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分分布データ、電界ベクトル分布データ、電界ベクトルの発散分布データ、電界ベクトルの発散分布の時間方向の１階の偏微分データ）の精度（ＳＮ比）により調節される。
詳細には、未知節点ベクトルＵ’又はＹ’に含まれる、（７４）式〜（８２）式の汎関数ＩＩｉｊ（Ｕ’）中の（４８）式〜（５９）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（６５）式〜（７０）式の汎関数Ｉｉｊ（・）のいずれかから導出された、未知節点分布のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｌ’、Ｌ’ｊ、Ｈ１’ｉｊ、Ｈ１’ｉ、Ｈ１’、Ｈ１’ｊにかかる正則化パラメータは、各処罰項の各積分領域内の電界ベクトル分布データと未知である導電率σ又は導電率と誘電率の比ｈ１にかかる勾配作用素との内積の分布データと電界ベクトルの発散分布データの精度（ＳＮ比）により調節される。
また、未知節点ベクトルＵ’又はＹ’に含まれる、（７４）式〜（８２）式の汎関数ＩＩｉｊ（Ｕ’）中の（４８）式〜（５５）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（６０）式〜（６３）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（６５）式〜（６７）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（７１）式〜（７３）式の汎関数Ｉｉｊ（・）のいずれかから導出された、未知節点分布のＲ’ｉｊ、Ｒ’ｉ、Ｒ’、Ｒ’ｊ、、Ｈ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉ、Ｈ２’、Ｈ２’ｊにかかる正則化パラメータは、各処罰項の各積分領域内の電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分分布データと未知である誘電率ε又は誘電率と導電率の比ｈ２にかかる勾配作用素との内積の分布データと電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分分布データの精度（ＳＮ比）により調節される。
即ち、ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きくなるように調節される。
例えば、未知節点ベクトルＵ’又はＹ’に含まれる、（７４）式〜（８２）式の汎関数ＩＩｉｊ（Ｕ’）中の（４８）式〜（５９）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（６５）式〜（７０）式の汎関数Ｉｉｊ（・）のいずれかから導出された、未知節点分布のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｌ’、Ｌ’ｊ、Ｈ１’ｉｊ、Ｈ１’ｉ、Ｈ１’、Ｈ１’ｊにかかる正則化パラメータは、各処罰項の各積分領域内の電界ベクトル分布データと未知である導電率σ又は導電率と誘電率の比ｈ１にかかる勾配作用素との内積の分布データと電界ベクトルの発散分布データとのＳＮパワー比に反比例した値とすることがある。
また、未知節点ベクトルＵ’又はＹ’に含まれる、（７４）式〜（８２）式の汎関数ＩＩｉｊ（Ｕ’）中の（４８）式〜（５５）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（６０）式〜（６３）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（６５）式〜（６７）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（７１）式〜（７３）式の汎関数Ｉｉｊ（・）のいずれかから導出された、未知節点分布のＲ’ｉｊ、Ｒ’ｉ、Ｒ’、Ｒ’ｊ、、Ｈ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉ、Ｈ２’、Ｈ２’ｊにかかる正則化パラメータは、各処罰項の各積分領域内の電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分分布データと未知である誘電率ε又は誘電率と導電率の比ｈ２にかかる勾配作用素との内積の分布データと電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分分布データとのＳＮパワー比に反比例した値とすることがある。
尚、各電位時空間偏微分分布データや各電位時空間勾配ベクトル分布データ（各電位分布における時間方向の１階の偏微分成分と空間方向の勾配ベクトル成分から成るベクトルの分布）のＳＮ比は、測定された電位分布の時系列データの時空間方向の間隔や電位分布そのもの（即ち、電位時空間勾配方向、電位時空間勾配成分の大きさ）に依存する場合があるため、正則化パラメータα２ｉｊ、α３ｉｊ、α４ｉｊ、α５ｉｊの各々、β２ｉｊ、β３ｉｊ、β４ｉｊ、β５ｉｊの各々、γ２ｉｊ、γ３ｉｊ、γ４ｉｊ、γ５ｉｊの各々、η２ｉｊ、η３ｉｊ、η４ｉｊ、η５ｉｊの各々は、（９２）式〜（９７）式又は（１０７）式〜（１１２）式の処罰項成分の各々の偏微分の時空間方向によって変化するものとして実現されることがある。即ち、各処罰項の各積分領域（各構成領域）内の、各電位データＶｉｊに対して評価される電位時空間勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の時空間方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の時空間方向には大きくなるように調節されることがある。
詳細には、正則化パラメータα２ｉｊとα３ｉｊ、γ２ｉｊとγ３ｉｊは、汎関数Ｉｉｊ（・）として（４８）式〜（５９）式か（６５）式〜（７０）式が使用される場合には、電界ベクトルの各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向成分とその成分と同一方向の未知である導電率σ又は導電率と誘電率の比ｈ１にかかる１階偏微分作用素との積の空間分布データと電界ベクトルの同一成分の同一方向の１階偏微分の空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節されるか、あるいは、電界ベクトルと未知である導電率σ又は導電率と誘電率の比ｈ２にかかる１階偏微分作用素との内積の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量の空間分布データと電界ベクトルの発散の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量の空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節される。
また、正則化パラメータβ２ｉｊとβ３ｉｊ、η２ｉｊとη３ｉｊは、汎関数Ｉｉｊ（・）として（４８）式〜（５５）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（６０）式〜（６３）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（６５）式〜（６７）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（７１）式〜（７３）式のいずれかが使用される場合には、電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向成分とその成分と同一方向の未知である誘電率ε又は誘電率と導電率の比ｈ２にかかる１階偏微分作用素との積の空間分布データと電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分の同一成分の同一方向の１階偏微分の空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節されるか、あるいは、電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分と未知である誘電率ε又は誘電率と導電率の比ｈ２にかかる１階偏微分作用素との内積の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量の空間分布データと電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量の空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節される。
また、正則化パラメータα４ｉｊとα５ｉｊ、γ４ｉｊとγ５ｉｊは、汎関数Ｉｉｊ（・）として（４８）式〜（５９）式か（６５）式〜（７０）式が使用される場合は、電界ベクトルと未知である導電率σ又は導電率と誘電率の比ｈ１にかかる勾配作用素との内積の時間ｊ方向のΔｔ間の変化量の空間分布データと電界ベクトルの発散の時間ｊ方向のΔｔ間の変化量の空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節される。
また、正則化パラメータβ４ｉｊとβ５ｉｊ、η４ｉｊとη５ｉｊは、汎関数Ｉｉｊ（・）として（４８）式〜（５５）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（６０）式〜（６３）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（６５）式〜（６７）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（７１）式〜（７３）式のいずれかが使用される場合には、電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分と未知である誘電率ε又は誘電率と導電率の比ｈ２にかかる勾配作用素との内積の時間ｊ方向のΔｔ間の変化量の空間分布データと電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分の時間ｊ方向のΔｔ間の変化量の空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節される。
例えば、各処罰項の各積分領域（各構成領域）内にて評価されるＳＮパワー比に反比例した値とすることがある。
その際には、これらの正則化パラメータの各々の値は、例えば、各時空間方向のデータ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなる（例えば、データ間隔の二乗に反比例した値）。従って、これら正則化パラメータの各々の値は、各積分領域（各構成領域）内の、各電位データＶｉｊに対して評価される電位時空間偏微分分布のＳＮ比及び電位時空間勾配ベクトルの成分分布のＳＮ比を決定する各要因より評価される各値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定されることがある。
尚、電位時系列測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、標準物体（例えば、電位が任意の一定値となる均質物体）を対象に、複数回、測定電位のレンジ内の値を持つ電位分布の時系列の測定を行い、その測定電位分布データの平均値の２乗及びその測定電位分布データの分散値の比からＳＮパワー比を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、ＳＮ比を評価するようにしても良い。有限要素近似が行われた場合は、各要素の節点（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の電位時空間偏微分データから、積分領域内の電位時空間偏微分分布のＳＮ比が見積もられる。
また、正則化パラメータλ１ｉｊ、λ２ｉｊ、λ３ｉｊ、λ４ｉｊ、λ５ｉｊの各々を決定する正則化パラメータα１ｉｊ、α２ｉｊ、α３ｉｊ、α４ｉｊ、α５ｉｊの各々、β１ｉｊ、β２ｉｊ、β３ｉｊ、β４ｉｊ、β５ｉｊの各々、γ１ｉｊ、γ２ｉｊ、γ３ｉｊ、γ４ｉｊ、γ５ｉｊの各々、η１ｉｊ、η２ｉｊ、η３ｉｊ、η４ｉｊ、η５ｉｊの各々の値は、各々がかかる（９２）式〜（９７）式又は（１０７）式から（１１２）式の各処罰項の積分領域（構成領域）内において空間的に変化するものとして実現されることもある。結果的に、これらの正則化パラメータは、未知節点分布Ｕ’又はＹ’を構成する各関心点の未知物性値にかかる局所行列が各電位データＶｉｊに対して数値解析的に正定値となる様に、大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータλ１ｉｊ、λ２ｉｊ、λ３ｉｊ、λ４ｉｊ、λ５ｉｊの各々を決定する正則化パラメータα１ｉｊ、α２ｉｊ、α３ｉｊ、α４ｉｊ、α５ｉｊの各々、β１ｉｊ、β２ｉｊ、β３ｉｊ、β４ｉｊ、β５ｉｊの各々、γ１ｉｊ、γ２ｉｊ、γ３ｉｊ、γ４ｉｊ、γ５ｉｊの各々、η１ｉｊ、η２ｉｊ、η３ｉｊ、η４ｉｊ、η５ｉｊの各々の値は、（９２）式〜（９７）式又は（１０７）式から（１１２）式の各処罰項の各積分領域（各構成領域）内の、各関心点の各電位データＶｉｊに対して評価される電位時空間偏微分データ（電位の時間方向の１階の偏微分データ、電位データ、電界ベクトルデータ、電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分データ、電界ベクトルの発散のデータ、電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分データ）の電位時空間偏微分データの大きさに依存する電位時空間偏微分データの精度（ＳＮ比）により調節される。
詳細には、未知節点ベクトルＵ’又はＹ’に含まれる、（７４）式〜（８２）式の汎関数ＩＩｉｊ（Ｕ’）中の（４８）式〜（５９）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（６５）式〜（７０）式の汎関数Ｉｉｊ（・）のいずれかから導出された、未知節点分布のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｌ’、Ｌ’ｊ、Ｈ１’ｉｊ、Ｈ１’ｉ、Ｈ１’、Ｈ１’ｊにかかる正則化パラメータは、関心点の電界ベクトルデータと未知である導電率σ又は導電率と誘電率の比ｈ１にかかる勾配作用素との内積データと関心点の電界ベクトルの発散データの精度（ＳＮ比）により調節される。
また、未知節点ベクトルＵ’又はＹ’に含まれる、（７４）式〜（８２）式の汎関数ＩＩｉｊ（Ｕ’）中の（４８）式〜（５５）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（６０）式〜（６３）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（６５）式〜（６７）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（７１）式〜（７３）式の汎関数Ｉｉｊ（・）のいずれかから導出された、未知節点分布のＲ’ｉｊ、Ｒ’ｉ、Ｒ’、Ｒ’ｊ、、Ｈ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉ、Ｈ２’、Ｈ２’ｊにかかる正則化パラメータは、関心点の電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分データと未知である誘電率ε又は誘電率と導電率の比ｈ２にかかる勾配作用素との内積データと関心点の電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分データの精度（ＳＮ比）により調節される。
即ち、ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きくなるように調節される。
例えば、未知節点ベクトルＵ’又はＹ’に含まれる、（７４）式〜（８２）式の汎関数ＩＩｉｊ（Ｕ’）中の（４８）式〜（５９）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（６５）式〜（７０）式の汎関数Ｉｉｊ（・）のいずれかから導出された、未知節点分布のＬ’ｉｊ、Ｌ’ｉ、Ｌ’、Ｌ’ｊ、Ｈ１’ｉｊ、Ｈ１’ｉ、Ｈ１’、Ｈ１’ｊにかかる正則化パラメータは、関心点の電界ベクトルデータと未知である導電率σ又は導電率と誘電率の比ｈ１にかかる勾配作用素との内積データと関心点の電界ベクトルの発散データとのＳＮパワー比に反比例した値とすることがある。
また、未知節点ベクトルＵ’又はＹ’に含まれる、（７４）式〜（８２）式の汎関数ＩＩｉｊ（Ｕ’）中の（４８）式〜（５５）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（６０）式〜（６３）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（６５）式〜（６７）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（７１）式〜（７３）式の汎関数Ｉｉｊ（・）のいずれかから導出された、未知節点分布のＲ’ｉｊ、Ｒ’ｉ、Ｒ’、Ｒ’ｊ、、Ｈ２’ｉｊ、Ｈ２’ｉ、Ｈ２’、Ｈ２’ｊにかかる正則化パラメータは、関心点の電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分データと未知である誘電率ε又は誘電率と導電率の比ｈ２にかかる勾配作用素との内積データと関心点の電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分データとのＳＮパワー比に反比例した値とすることがある。
尚、各電位時空間偏微分データや各電位時空間勾配ベクトルデータ（各電位分布における時間方向の１階の偏微分成分と空間方向の勾配ベクトル成分から成るベクトル）のＳＮ比は、測定された電位分布の時系列データの時空間方向の間隔や電位分布そのもの（即ち、電位時空間勾配方向、電位時空間勾配成分の大きさ）に依存する場合があるため、各関心点において、電位時空間勾配ベクトルの成分のＳＮ比はその成分ごとに異なるものとなり、正則化パラメータα２ｉｊ、α３ｉｊ、α４ｉｊ、α５ｉｊの各々、β２ｉｊ、β３ｉｊ、β４ｉｊ、β５ｉｊの各々、γ２ｉｊ、γ３ｉｊ、γ４ｉｊ、γ５ｉｊの各々、η２ｉｊ、η３ｉｊ、η４ｉｊ、η５ｉｊの各々は、位置だけでなく、（９２）式〜（９７）式又は（１０７）式〜（１１２）式の処罰項成分の各々の偏微分の時空間方向によって変化するものとして実現されることがある。即ち、これらの正則化パラメータの各々の値は、各電位データＶｉｊに対して評価される電位時空間勾配ベクトル分布の関心点の電位時空間勾配ベクトルの成分のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の時空間方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の時空間方向には大きくなるように調節されることがある。
詳細には、正則化パラメータα２ｉｊとα３ｉｊ、γ２ｉｊとγ３ｉｊは、汎関数Ｉｉｊ（・）として（４８）式〜（５９）式か（６５）式〜（７０）式が使用される場合には、関心点の電界ベクトルの各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向成分とその成分と同一方向の未知である導電率σ又は導電率と誘電率の比ｈ１にかかる１階偏微分作用素との積のデータと関心点の電界ベクトルの同一成分の同一方向の１階偏微分データの精度（ＳＮ比）により調節されるか、あるいは、関心点の電界ベクトルと未知である導電率σ又は導電率と誘電率の比ｈ２にかかる１階偏微分作用素との内積の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量データと関心点の電界ベクトルの発散の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量データの精度（ＳＮ比）により調節される。
また、正則化パラメータβ２ｉｊとβ３ｉｊ、η２ｉｊとη３ｉｊは、汎関数Ｉｉｊ（・）として（４８）式〜（５５）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（６０）式〜（６３）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（６５）式〜（６７）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（７１）式〜（７３）式のいずれかが使用される場合には、関心点の電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向成分とその成分と同一方向の未知である誘電率ε又は誘電率と導電率の比ｈ２にかかる１階偏微分作用素との積のデータと関心点の電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分の同一成分の同一方向の１階偏微分のデータの精度（ＳＮ比）により調節されるか、あるいは、関心点の電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分と未知である誘電率ε又は誘電率と導電率の比ｈ２にかかる１階偏微分作用素との内積の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量の空間分布データと関心点の電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分の各空間Ｉ，Ｊ，Ｋ方向のΔｘ、Δｙ、Δｚ間の変化量データの精度（ＳＮ比）により調節される。
また、正則化パラメータα４ｉｊとα５ｉｊ、γ４ｉｊとγ５ｉｊは、汎関数Ｉｉｊ（・）として（４８）式〜（５９）式か（６５）式〜（７０）式が使用される場合は、関心点の電界ベクトルと未知である導電率σ又は導電率と誘電率の比ｈ１にかかる勾配作用素との内積の時間ｊ方向のΔｔ間の変化量の空間分布データと関心点の電界ベクトルの発散の時間ｊ方向のΔｔ間の変化量の空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節される。
また、正則化パラメータβ４ｉｊとβ５ｉｊ、η４ｉｊとη５ｉｊは、汎関数Ｉｉｊ（・）として（４８）式〜（５５）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（６０）式〜（６３）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（６５）式〜（６７）式の汎関数Ｉｉｊ（・）か（７１）式〜（７３）式のいずれかが使用される場合には、関心点の電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分と未知である誘電率ε又は誘電率と導電率の比ｈ２にかかる勾配作用素との内積の時間ｊ方向のΔｔ間の変化量の空間分布データと関心点の電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分の時間ｊ方向のΔｔ間の変化量の空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節される。
例えば、各処罰項の各積分領域（各構成領域）内の各位置において評価されるＳＮパワー比に反比例した値とすることがある。その際には、これらの正則化パラメータの各々の値は、例えば、各時空間方向のデータ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなる（例えば、データ間隔の二乗に反比例した値）。従って、これら正則化パラメータの各々の値は、各電位データＶｉｊに対して評価される電位時空間偏微分のＳＮ比及びその各成分のＳＮ比を決定する各要因より評価される各値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
尚、電位時系列測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、標準物体（例えば、電位が任意の一定値となる均質物体）を対象に、複数回、測定電位のレンジ内の値を持つ電位分布の時系列の測定を行い、各位置において、各測定電位データの平均値の２乗及びその測定電位データの分散値の比からＳＮパワー比を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、ＳＮ比を評価するようにしても良い。各節点（Ｉ，Ｊ，Ｋ）の電位時空間偏微分データのＳＮ比、又は、各要素の節点の電位時空間偏微分のＳＮ比より評価される各要素における電位時空間偏微分のＳＮ比が見積もられる。
（ＩＩ）あるいは、第１及び第２の基本原理に基づいて、１階の空間偏微分方程式の（４１）式、（４４）式、（４６）式中にて未知パラメータのスペクトラムを扱い、（Ｉ）の場合と異なって、時空間方向にだけでなく周波数方向にも正則化を施して安定的に各未知パラメータを評価することがある。
例えば、３次元構成領域内の導電率σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）及び誘電率εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）の周波数分散（スペクトラムの周波数分布及び位相の周波数分布）の空間分布を計測対象とする場合に、前記の空間座標（ｘ，ｙ，ｚ，Ｉ，Ｊ，Ｋ）のみを変数とする各基底関数が使用され、導電率空間分布の時系列σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）が、前記の導電率空間分布の時系列σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｊ）（〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）σｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ））を各位置において時間ｊ方向のＦａｓｔ  Ｆｏｕｒｉｅｒ’ｓ  Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ（ＦＦＴ）［やＭａｘｉｍｕｍ  Ｅｎｔｒｏｐｙ  Ｍｅｔｈｏｄ（ＭＥＭ）］等により得られるスペクトラム分布（や短時間スペクトラム分布）の各周波数１成分の大きさσｉ（ｘ，ｙ，ｚ，１）及び位相θσｉ（ｘ，ｙ，ｚ，１）を用いて、即ち、各位置の各周波数１のスペクトラムの実数成分（σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，１）ｃｏｓθσｉ（ｘ，ｙ，ｚ，１））及び虚数成分（σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，１）ｓｉｎθσｉ（ｘ，ｙ，ｚ，１））を用いて、次のように表される。
2003046587.tif 000140
ここで、太文字ｊは虚数単位を表し、ｉ（＝１〜Ｍ）は測定された独立した電位空間分布の時系列Ｖｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を表す。Ｍは測定された独立した電位空間分布の時系列の数（１以上）であり、ｌ（＝０〜ｎ）は離散周波数座標であり、周波数ｆとは周波数データの間隔Δｆを用いてｆ＝ｌΔｆの関係にある。
また、誘電率の空間分布の時系列εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）が、前記の誘電率の空間分布の時系列εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｊ）（〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφ３ε（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）εｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ））を各位置において時間ｊ方向のＦａｓｔ  Ｆｏｕｒｉｅｒ’ｓ  Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ（ＦＦＴ）（やＭａｘｉｍｕｍ  Ｅｎｔｒｏｐｙ  Ｍｅｔｈｏｄ（ＭＥＭ））等により得られるスペクトラム分布（短時間スペクトラム分布）の各周波数１成分の大きさεｉ（ｘ，ｙ，ｚ，１）及び位相θεｉ（ｘ，ｙ，ｚ，１）を用いて、即ち、各位置の各周波数１のスペクトラムの実数成分（εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，１）ｃｏｓθεｉ（ｘ，ｙ，ｚ，１））及び虚数成分（εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，１）ｓｉｎθεｉ（ｘ，ｙ，ｚ，１））を用いて、次のように表される。
2003046587.tif 000141
ここで、太文字ｊは虚数単位を表す。
１階の空間偏微分方程式（４１）式は、次のように表されるものとする。
2003046587.tif 000142
その場合には、各周波数１において、次の１階の連立空間偏微分方程式が成立する。
2003046587.tif 000143
従って、１階の連立空間偏微分方程式の（１１６’）式及び（１１６’’）式を、（Ｉ）の場合の１階の空間偏微分方程式の（４１）式を各時系列ｉ（＝１〜Ｍ）の各時間ｊ（＝０〜ｎ）において扱う場合と同様に、有限要素近似（変分原理やガラーキン法に基づく）を行うことができる。
その場合は、前記の各基底関数を使用して、電位空間分布の時系列Ｖｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を節点電位空間分布の時系列Ｖｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）を用いて、又、電位の時間方向の１階の偏微分の空間分布の時系列ｄＶ／ｄｔ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を電位の時間方向の１階の偏微分の節点空間分布の時系列ｄＶ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）を用いて、又、電界ベクトル成分の空間分布のＥｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）とＥｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）とＥｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）の各々を節点電界ベクトル成分の空間分布の時系列のＥｉｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）とＥｉｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）とＥｉｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）を用いて、又、電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分の３成分の空間分布のｄＥｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔとｄＥｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔとｄＥｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）／ｄｔの各々を電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分の３成分の節点空間分布の時系列のｄＥｉｘ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）とｄＥｉｙ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）とｄＥｉｚ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）を用いて、又、電界ベクトルの発散の空間分布の時系列をその節点空間分布の時系列を用いて、電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分空間分布の時系列をその節点空間分布の時系列を用いて、近似した上で前記のいずれかの汎関数から導出される代数方程式に、各時系列ｉ（＝１〜Ｍ）の各時間ｊ（＝０〜ｎ）の低域通過型フィルタのかけられた、節点電位空間分布データＶｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、電位の時間方向の１階の偏微分の節点空間分布データｄＶ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、節点電界ベクトル成分の空間分布データのＥｉｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）とＥｉｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）とＥｉｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、及び、節点電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分の３成分の空間分布のｄＥｉｘ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）とｄＥｉｙ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）とｄＥｉｚ／ｄｔ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｊ）、及び、電界ベクトルの発散の節点空間分布データ、及び、電界ベクトルの発散の時間方向の１階の偏微分の節点空間分布データを代入する。あるいは、有限差分近似を行う場合には、各々の空間分布の時系列を節点空間分布の時系列にて表した上で導出される有限差分方程式に、節点空間分布データを代入する。
さらに、既知の各物性パラメータの時系列の各周波数１（＝０〜ｎ）のスペクトラムの実数成分の節点空間分布データ及び虚数成分の節点空間分布データ（導電率の時系列の各周波数１（＝０〜ｎ）のスペクトラムの実数成分の節点空間分布データのσｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，１）ｃｏｓθσｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，１）と虚数成分の節点空間分布データのσｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，１）ｓｉｎθσｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，１）、及び、誘電率の時系列のスペクトラムの各周波数１（＝０〜ｎ）の実数成分の節点空間分布データのεｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，１）ｃｏｓθεｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，１）と虚数成分の節点空間分布データのεｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，１）ｓｉｎθεｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，１））を代入することにより、各時系列ｉ（＝１〜Ｍ）の各時間ｊ（＝０〜ｎ）において、各周波数１（＝０〜ｎ）の、導電率の時系列のスペクトラムの実数成分の節点空間分布σｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，１）ｃｏｓθσｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，１）と虚数成分の節点空間分布σｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，１）ｓｉｎθσｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，１）及び誘電率のスペクトラムの実数成分の節点空間分布εｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，１）ｃｏｓθεｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，１）とスペクトラムの虚数成分の節点空間分布εｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，１）ｓｉｎθεｉ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，１）に関する代数方程式の（６４）式を２個得る。
この様に、（４１）式、（４４）式、（４６）式のいずれの１階の空間偏微分方程式が使用される場合においても、同様に、計測対象である物性パラメータの空間分布のみが、周波数領域においてその節点空間分布のスペクトラム及び空間座標のみを変数とする基底関数を用いて近似されて代数方程式（６４）式が導出される。以下、これらの代数方程式が連立されて正則化される際には、前記の如く、Ｐｉｊにより正規化される。
（Ａ）各時系列ｉ（＝１〜Ｍ）の各時間ｊ（＝０〜ｎ）の各周波数１（＝０〜ｎ）において導出される２個の代数方程式は、各々、１つ以上の未知パラメータの周波数１の実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布の各々について解かれることがある（（６４）式又は正規方程式の（８３）式）。
（Ｂ）異なる時系列ｉ（＝１〜Ｍ）や異なる時間ｊ（＝０〜ｎ）の各々において導出される２個の代数方程式は、各々、１つ以上の未知パラメータの周波数１の実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布の各々に関して連立され、全ての未知パラメータの周波数１の実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布の各々について解かれることがある（正規方程式の（８４）式〜（９１）式）。
（Ｃ）異なる時系列ｉ（＝１〜Ｍ）や異なる時間ｊ（＝０〜ｎ）の各々において導出される２個の代数方程式は、各々、１つ以上の未知パラメータの周波数１の実数成分の空間分布と虚数分布の空間分布の各々に関して連立され、全ての未知パラメータの各周波数１の実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布の各々を空間的に安定化させるべく、これらの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布に関する連立方程式の各々に（９２）式〜（９７）式の処罰項を用いた正則化が施されることがある（正規方程式の（９８）式〜（１０６）式）。この場合、各未知パラメータの各周波数１の実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布にかかる正則化パラメータは、（４１）式、（４４）式、（４６）式の１階の空間偏微分方程式中にて各未知パラメータのかかる物理量（前記の通り、例えば、未知パラメータが導電率σである場合は、電界ベクトルと電界ベクトルの発散、未知パラメータが誘電率である場合は、電界ベクトルの時間方向の１階の偏微分と電界ベクトルの発散の時間方向の１階偏微分）の周波数１成分の構成領域内において使用された時間内のＳＮパワー比に反比例する様に決定されることがある。尚、正則化パラメータは、時間と位置に依存するものとして扱われることもある。
（Ｄ）同様に、異なる時系列ｉ（＝１〜Ｍ）や異なる時間ｊ（＝０〜ｎ）の各々において導出される２個の代数方程式は、各々、１つ以上の未知パラメータの周波数１の実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布に関して連立され、全ての未知パラメータの各周波数１の実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布の各々を時間方向に安定化させるべく、これらの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布に関する連立方程式の各々に（１０７）式〜（１１２）式の処罰項を用いた正則化が施されることがある（正規方程式の（１１３）式〜（１１５）式）。この場合、各未知パラメータの各周波数１の実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布にかかる正則化パラメータは、（４１）式、（４４）式、（４６）式の１階の空間偏微分方程式中にて各未知パラメータのかかる物理量の周波数１成分の構成領域内において使用された時間内のＳＮパワー比に反比例する様に決定されることがある。尚、正則化パラメータは、時間と位置に依存するものとして扱われることもある。
（Ｅ）任意の時系列ｉの任意の１つの時間ｊにおいて、導出される１つ以上の未知パラメータの各周波数１の実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布の各々に関する代数方程式を全ての周波数（１＝０〜ｎ）に関して連立した上で、各位置において全ての未知パラメータのスペクトラムの実数成分分布と虚数成分分布の各々を周波数方向に安定化させるべく、（９２）式〜（９７）式や（１０７）式〜（１１２）式の処罰項と同様に、各未知パラメータのスペクトラムの実数成分分布と虚数成分分布の各々の周波数方向の１階の偏微分と２階の偏微分（各々に正則化パラメータがかかる）の構成領域内の積分の和として定義される処罰項を用いた正則化が施されることがある。これらの各未知パラメータの各周波数１の実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布にかかる正則化パラメータは、（４１）式、（４４）式、（４６）式の１階の空間偏微分方程式中にて各未知パラメータのかかる物理量の各周波数１のＳＮパワー比に反比例する様に決定されることがある。尚、正則化パラメータは位置と時間に依存するものとして扱われることもある。
さらに、上記の（Ｃ）や（Ｄ）と同様に、１つ以上の未知パラメータの空間分布の各々を、空間的に、又、時間方向に安定化させるべく、異なる時系列（ｉ＝１〜Ｍ）や時間ｊ（＝０〜ｎ）において導出される全ての未知パラメータの各周波数１の実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布の各々に関する代数方程式を全ての周波数（１＝０〜ｎ）に関して連立した上で、上記の周波数方向に関する処罰項に（９２）式〜（９７）式や（１０７）式〜（１１２）式の処罰項を加えた処罰項を用いて正則化が施されることがある。これらの各未知パラメータの各周波数１の実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布にかかる正則化パラメータは、（４１）式、（４４）式、（４６）式の１階の空間偏微分方程式中にて各未知パラメータのかかる物理量の各周波数１成分の使用された時間内のＳＮパワー比に反比例する様に決定されることがある。尚、正則化パラメータは位置と時間に依存するものとして扱われることもある。
以上の通り、代数方程式の（６４）式を用いた上記の（Ａ）〜（Ｅ）いずれかにより、使用された電位の時間方向の１階の偏微分分布の時系列データの時間内の各未知パラメータの周波数分散が求められる。
また、節点導電率空間分布の時系列は、各位置において使用された節点電界ベクトルの時系列データの時間内において求められたスペクトラム分布に、各位置において、逆フーリ変換を施すことにより求められる。例えば、時間ｊ＝０〜ｎにおいて、節点導電率空間分布の時系列は、
2003046587.tif 000144
であり、これより、導電率空間分布の時系列σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）が求められる。
２次元、１次元構成領域を対象とした場合も同様である。
また、（Ｉ）の処理が行われた場合においては、逆に、直接的に求められる計測対象を各位置において関心時間内においてスペクトラム解析を行うことにより、その時間内の各物性パラメータの周波数分散の空間分布を評価することが可能である。各物性パラメータの周波数分散そのものを最終的な計測対象とする場合は、（Ｉ）及び（ＩＩ）のいずれの場合においても、各物性パラメータの周波数分散の関心のある周波数帯域を対象とできる様に、充分に広帯域の電位分布の時系列データを生成させるべく、積極的に、電流源や電圧源の周波数（単一）を変えながら、電位分布の測定を行う、あるいは、広帯域の電流源や電圧源を使用して電位分布の測定を行うことがある。
尚、（ＩＩ）において、電位データの瞬時スペクトラムを測定した場合（Ｈｉｌｂｅｒｔ変換により複素解析信号の実数信号Ｖ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）と虚数信号Ｖ’（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を得、これより求まる位相（アンラッピングされたもの）に時間微分を施すか、あるいは、各種窓関数を使用して移動平均されることのある（ｄＶ’／ｄｔ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）・Ｖ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）−ｄＶ／ｄｔ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）・Ｖ’（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ））／（Ｖ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）・Ｖ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）＋Ｖ’（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）・Ｖ’（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ））より瞬時周波数ｆｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を得る）は、瞬時周波数を周波数１として扱えばよい。また、測定される電位分布が正弦的に単一周波数にて変化する場合は、その（単一）周波数を周波数１として扱えばよい。
尚、（ＩＩ）において、未知パラメータに関するスペクトラム解析は時間方向にではなく、空間方向に適用されて、同様に、各未知パラメータ分布が求められることがある。
以上が本発明に係る誘電率又は導電率推定方法の基本原理であるが、参照領域を形成するために、測定対象物以外の各種参照物質を測定対象物の関心領域内に添えて参照値を得ることも考えられる。また、測定対象物の関心領域内に電位データが欠落した場合には、その時間の点又は領域を関心領域から除外して演算を行い、その演算後において、関心領域から除外された時間の点又は領域の、誘電率分布又は導電率分布、これらの経時的変化や周波数分散を、推定された誘電率分布又は導電率分布、これらの経時的変化や周波数分散から、関心時空間内において内挿又は外挿補間処理することにより評価することがある。
尚、同様に非等方性の計測対象が扱われることがある。
また、上記の誘電率又は導電率やこれらの高次データの計測は、計測対象の非線形特性を捉えるべく、非線形現象を微少時間内や微小空間内の線形近似を行った場合に適用されることがある。
次に、本発明の第２の実施形態に係る誘電率又は導電率推定装置について説明する。本発明の第１の実施形態に係る誘電率又は導電率推定装置は、基本構成となっており、試料設置台の上に測定対象物を載置して測定を行うものであった。これに対し、本発明の第２の実施形態に係る誘電率又は導電率推定装置は、測定対象物が試料設置台に載せられないもの、例えば寸法の大きなもの、あるいは現在存在する位置から移動のできない構築物等である場合に対応したものである。
図５は、本発明の第２の実施形態に係る誘電率又は導電率推定装置の構成を示すブロック図である。本実施形態に係る誘電率又は導電率推定装置は、電圧センサ１を測定対象物４に向け、且つ、電圧センサ１と測定対象物４との相対位置の変化（走査）を行わせることのできる電圧センサ保持機構１７を有している。尚、電圧センサ保持機構１７と距離調整手段１４の位置を上下逆にすることも可能である。
次に、本発明の第３の実施形態に係る誘電率又は導電率推定装置について説明する。
図６は、本発明の第３の実施形態に係る誘電率又は導電率推定装置の構成を示すブロック図である。本発明の第３の実施形態に係る誘電率又は導電率推定装置は、電圧センサ側に設けられた第１の走査機構１０と、試料設置台側に設けられた第２の走査機構１１とを有している。これにより、高速で自由度の高い走査が可能となる。本実施形態においては、距離調整手段１４を電圧センサ側に設けているが、距離調整手段１４を測定対象物側に設けてもかまわない。また、第１の走査機構１０の位置と距離調整手段１４の位置を上下逆にすることも可能である。
次に、本発明の一実施形態に係る電流密度ベクトル推定装置及び導電率推定装置について、図面に基づき詳細に説明する。
本実施形態では、磁気、静磁界、又は、電磁波検出素子、及び、その１次元、２次元、又は、３次元アレイ型素子群を使用した磁場ベクトル検出器などの非接触検出器を用いて、必要に応じて参照物を未知試料にあてがうことにより設定できる３次元関心空間又は２次元関心領域又は１次元関心領域内の参照領域内にて与えられる導電率参照値（たとえば、真値、単位値など）に対する相対的な導電率分布を安定的に再構成できるように、適宜、磁場ベクトル又は磁場ベクトル成分を適切に測定し、考案した数値解析法を用いて必要となる電流密度ベクトル分布の高精度な推定を可能として、絶対的な導電率分布、又は、相対的な導電率分布の再構成を可能とする。
以下、直交デカルト座標系（ｘ，ｙ，ｚ）を用いて説明する。
導電率分布を推定する際に使用する代表的な連立一階偏微分方程式は以下の通りである。
2003046587.tif 000145
但し、Ｊ１（ｘ，ｙ，ｚ）［＝（Ｊ１ｘ（ｘ，ｙ，ｚ），Ｊ１ｙ（ｘ，ｙ，ｚ），Ｊ１ｚ（ｘ，ｙ，ｚ））Ｔ］とＪ２（ｘ，ｙ，ｚ）［＝（Ｊ２ｘ（ｘ，ｙ，ｚ），Ｊ２ｙ（ｘ，ｙ，ｚ），Ｊ２ｘ（ｘ，ｙ，ｚ））Ｔ］は３次元関心空間外又は２次元関心領域外に存在する電流源により生成される任意の二つの独立した電流場の電流密度ベクトル分布である。
これらの方程式は、各々、
2003046587.tif 000146
と表せる。
電流場が一つである場合は、各（１１７ａ）式、（１１７ｂ）式、（１１７ｃ）式、（又は（１１８ａ）式、（１１８ｂ）式、（１１８ｃ）式）中の一つの偏微分方程式のみが成立する。避けるべきことではあるが、電流場が複数である場合は、この偏微分方程式がその個数だけ連立することとなる。
尚、（１１７ａ）式〜（１１７ｃ）式及び（１１８ａ）式〜（１１８ｃ）式は、各々、両辺に、１／σ（ｘ，ｙ，ｚ）及びσ（ｘ，ｙ，ｚ）をかけた上で扱われることもある。
以下、各（１１７ａ）式、（１１７ｂ）式、（１１７ｃ）式（又は（１１８ａ）式、（１１８ｂ）式、（１１８ｃ）式）中の電流データセットを、例えば、電流ベクトルＪ１（ｘ，ｙ，ｚ）に関して、（Ｊ１ｘ（ｘ，ｙ，ｚ），Ｊ１ｙ（ｘ，ｙ，ｚ））Ｔ、（Ｊ１ｙ（ｘ，ｙ，ｚ），Ｊ１ｚ（ｘ，ｙ，ｚ））Ｔ、（Ｊ１ｚ（ｘ，ｙ，ｚ），Ｊ１ｘ（ｘ，ｙ，ｚ））Ｔとベクトル表示し、これら３つのベクトルの各々を電流ベクトルＪ１（ｘ，ｙ，ｚ）の擬似２次元電流密度ベクトルと呼ぶ。
例えば、３次元関心空間内の任意ｚ座標ｚ＝Ｚの２次元平面（ｘ，ｙ，Ｚ）内の導電率を推定するためには、（１１７ａ）式（又は、（１１８ａ）式）よりわかる通り、その平面（ｘ，ｙ，Ｚ）内にて３次元電流密度ベクトルＪ１（ｘ，ｙ，ｚ）の擬似２次元電流密度ベクトル（Ｊ１ｘ（ｘ，ｙ，Ｚ），Ｊ１ｙ（ｘ，ｙ，Ｚ））Ｔが測定される必要がある。従って、測定される電流密度ベクトルの次元数及び成分の方向により、任意のｘ座標Ｘの平面（Ｘ，ｙ，ｚ）に関する（１１７ｂ）式（又は、（１１８ｂ）式）、任意のｙ座標Ｙの平面（ｘ，Ｙ，ｚ）に関する（１１７ｃ）式（又は、（１１８ｃ）式）も用いることが可能となる。また、計測対象物を２次元物体として扱う場合はｚ座標を特定してｚ＝Ｚとする２次元物体の位置を２次元座標（ｘ，ｙ，Ｚ）で表すが、この場合、（１１７ａ）式（又は、（１１８ａ）式）のみが成立する。
尚、３次元関心空間内又は２次元関心領域内にて超伝導体を含みうる場合は（１１７ａ）〜（１１７ｃ）式を、導電率σ（ｘ，ｙ，ｚ）がゼロとなる絶縁体を含みうる場合は（１１８ａ）〜（１１８ｃ）式を用いる。又、３次元関心空間内又は２次元関心領域内にて導電率が極めて高い物体・領域を含みうる場合は（１１７ａ）〜（１１７ｃ）式を、導電率が極めて低い物体・領域を含みうる場合は（１１８ａ）〜（１１８ｃ）式を用いる。
一方、導電率の推定に必要となる参照導電率は、初期条件として、一般的には、
2003046587.tif 000147
という様に、各ｚ＝Ｚの平面（ｘ，ｙ，Ｚ）内にて導電率分布を決定する場合は、二つ以上の電流場が測定された場合にはその平面内の少なくとも一点ｗ１にて参照値が与えられれば良い。Ｎは、参照点の数である。また、一つの場が測定された場合にはその平面内にて電流が支配的に流れる方向に長く広がる参照領域ｗ１を実現する必要がある。この場合、Ｎは、参照領域の数である。
従って、３次元電流密度ベクトル、又は、その擬似２次元電流密度ベクトルが３次元関心空間内又は２次元関心領域内にて測定されれば、この関心空間・領域にわたり、適宜、上記（１１７ａ）式、（１１７ｂ）式、（１１７ｃ）式（又は（１１８ａ）式、（１１８ｂ）式、（１１８ｃ）式）中の偏微分方程式が成立し、参照導電率が適切に与えられた範囲内にて、時に推定された導電率も参照値として用いることが可能なため冗長的になるが、導電率分布を一意に表現できる。しかし、実際には、測定データはエラー（ノイズ）を必ず含み、特に３つの内の一つの擬似２次元電流密度ベクトル分布のみが測定される場合には参照領域の広がる方向、大きさ、位置が不適切な状態になり、推定が不安定になる。そこで、考案した数値解析法（出願中）を応用して、直接的にその３次元空間内の導電率空間分布を推定する、又は、２次元関心領城ごとに推定することにより、３次元関心空間内又は２次元関心領域内の導電率空間分布を推定する。但し、複数の電流密度ベクトル分布が測定された場合は、各擬似２次元電流密度ベクトル分布データは、その擬似２次元電流密度ベクトルの関心空間内の各２次元分布のノルム（大きさ）を用いて正規化される。又、特に、（１１７ａ）式の両辺に１／σ（ｘ，ｙ，ｚ）がかけられて導電率分布１／σ（ｘ，ｙ，ｚ）又は電流密度ベクトル分布に関して有限差分近似される場合、又、（１１８ａ）式の両辺にσ（ｘ，ｙ，ｚ）がかけられて導電率分布σ（ｘ，ｙ，ｚ）又は電流密度ベクトル分布に関して有限差分近似される場合、又、（１１７ａ）式の両辺に１／σ（ｘ，ｙ，ｚ）がかけられて１／σ（ｘ，ｙ，ｚ）に関して有限要素近似（変分法又はガラーキン法）が適用される場合、又、（１１８ａ）式の両辺にσ（ｘ，ｙ，ｚ）がかけられてσ（ｘ，ｙ，ｚ）に関して有限要素近似（変分法又はガラーキン法）が適用される場合においては、各擬似２次元電流密度ベクトル分布データ及びその擬似２次元電流密度ベクトルの回転の分布データは、擬似２次元電流密度ベクトルと導電率にかかる勾配作用素との内積の関心領域内の各２次元分布のパワーと擬似２次元電流密度ベクトルの回転のその２次元分布のパワーの和の平方根を用いて正規化されることがある。
２次元電流密度ベクトル分布が測定された場合を想定し、正則化においてｘ，ｙ方向の２次元勾配作用素Ｄを用いることもあるが、３次元関心空間にて成立した方程式を連立して３次元導電率空間分布を求めることも可能であり、その場合の正則化においては３次元勾配作用素Ｄ’を用いることとなる。以下に、この場合のこの手順を示す。
一階空間偏微分方程式及び初期条件に対し、離散デカルト座標系（Ｉ，Ｊ，Ｋ）〜（ｘ／Δｘ，ｙ／Δｙ，ｚ／Δｚ）を用い（但し、Ｚ＝Ｋ’Δｚとする。）、３次元未知導電率空間分布ｌｎ（１／σ（ｘ，ｙ，ｚ））又はｌｎσ（ｘ，ｙ，ｚ）あるいは電流密度ベクトル分布Ｊ（ｘ，ｙ，ｚ）に関して有限差分近似あるいは有限要素近似（変分原理又はガラーキン法を使用。導電率分布ｌｎ（１／σ（ｘ，ｙ，ｚ））又はｌｎσ（ｘ，ｙ，ｚ）及び電流密度ベクトル分布Ｊ（ｘ，ｙ，ｚ）（＝（Ｊｘ（ｘ，ｙ，ｚ），Ｊｙ（ｘ，ｙ，ｚ），Ｊｚ（ｘ，ｙ，ｚ））Ｔ）を近似する際に使用する３次元基底関数（有限要素の節点数は略。以下、同様。）φσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）（ｌｎ（１／σ（ｘ，ｙ，ｚ））〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｌｎ（１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））、ｌｎσ（ｘ，ｙ，ｚ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｌｎσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と近似される）及びφＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）（Ｊ（ｘ，ｙ，ｚ）〜（ΣＩ，Ｊ，ＫφＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），ΣＩ，Ｊ，ＫφＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），ΣＩ，Ｊ，ＫφＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｊｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））Ｔと近似される）は、共に、１回以上偏微分可能であることが必要である。但し、電流密度ベクトル分布に変分原理（いわゆる、エネルギー最小化の原理）を使用した場合（汎関数であるエネルギ関数は１／σ（ｘ，ｙ，ｚ）を用いて表され、関心領域内に絶縁体を含む場合は使用できない）、および、電流密度ベクトル分布を近似するための基底関数を重み関数としてガラーキン法を使用して導電率分布の勾配に部分積分を施した場合においては、導電率分布の基底関数φσは直流でも構わない。）を適用し、初期条件を代入することにより、有限差分近似を適用した場合には以下の３次元未知導電率空間分布に関する連立方程式（１２０）を得る。
2003046587.tif 000148
但し、
ｓ：未知導電率空間分布ｌｎ（１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））又はｌｎσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）を表すベクトル
Ｄ：ｌｎ（１／σ（ｘ，ｙ，ｚ））又はｌｎσ（ｘ，ｙ，ｚ）に関するｘ，ｙ方向の２次元勾配作用素の有限差分（前方差分近似、後方差分近似、など）定数からなる行列
Ｊ：低域通過型フィルタをかけた擬似２次元電流密度ベクトル分布（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））Ｔ、（Ｊｙ（ｘ，ｙ，ｚ），Ｊｚ（ｘ，ｙ，ｚ））Ｔ、（Ｊｚ（ｘ，ｙ，ｚ），Ｊｘ（ｘ，ｙ，ｚ））Ｔから定まる行列（但し、複数の電流密度ベクトル分布が測定された場合は、各擬似２次元電流密度ベクトル分布データは、その擬似２次元電流密度ベクトルの関心空間内の各２次元分布のノルム（大きさ）を用いて正規化されたものである。）
ｊ：低域通過型フィルタをかけた擬似２次元電流密度ベクトル（正規化された）の一階偏微分値からなるベクトルである。
有限要素法（変分原理又はガラーキン法）が使用された場合においても、参照導電率を使用した上で３次元未知導電率空間分布ｌｎ（１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））又はｌｎσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）に関する連立方程式が導出される。従って、使用される３次元基底関数φσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）は、上記にて初期値として与えられる３次元関心空間内の参照領域ｗ１又は参照点ｗ１内の参照導電率を矛盾なく表すことのできるものである必要がある。
尚、この３次元関心空間を対象にして有限要素法が使用される際に、各ｚ座標ｚ＝Ｚ（Ｋ＝Ｋ’）の２次元平面（ｘ，ｙ，Ｚ）内の２次元関心領域内にて擬似２次元電流密度ベクトル分布Ｊ（ｘ，ｙ，Ｚ）（＝（Ｊｘ（ｘ，ｙ，Ｚ），Ｊｙ（ｘ，ｙ，Ｚ））Ｔ）が測定されてこの擬似２次元電流密度ベクトル分布データのみが使用される場合は、各２次元関心領域内の、２次元導電率分布ｌｎ（１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ））及びｌｎσ（ｘ，ｙ，Ｚ）は２次元基底関数φσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）を用いてｌｎ（１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ））〜ΣＩ，Ｊφσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）ｌｎ（１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））、ｌｎσ（ｘ，ｙ，Ｚ）〜ΣＩ，Ｊφσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）ｌｎσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）と近似されることもあり、また、擬似２次元電流密度ベクトル分布Ｊ（ｘ，ｙ，Ｚ）（＝（Ｊｘ（ｘ，ｙ，Ｚ），Ｊｙ（ｘ，ｙ，Ｚ））Ｔ）は２次元基底関数φＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）を用いてＪ（ｘ，ｙ，Ｚ）〜（ΣＩ，ＪφＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），ΣＩ，ＪφＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔと近似されることもある。使用されるこれらの２次元基底関数の微分可能性に関しては３次元基底関数と同様であり、加えて、２次元基底関数φσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）は各２次元関心領域内の参照領域ｗ１又は参照点ｗ１内の参照導電率を矛盾なく表すことのできるものである必要がある。これより、各２次元関心領域内の２次元未知導電率分布ｌｎ（１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））又はｌｎσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）に関する連立方程式が導出される。
また、ｚ座標ｚ＝Ｚ（Ｋ＝Ｋ’）の２次元物体内の２次元関心領域を対象とする場合においても、有限差分近似される、あるいは、有限要素法が使用される（２次元導電率分布ｌｎ（１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ））及びｌｎσ（ｘ，ｙ，Ｚ）は２次元基底関数φσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）を用いてｌｎ（１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ））〜ΣＩ，Ｊφσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）ｌｎ（１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））、ｌｎσ（ｘ，ｙ，Ｚ）〜ΣＩ，Ｊφσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）ｌｎσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）と近似され、２次元電流密度ベクトル分布Ｊ（ｘ，ｙ，Ｚ）（＝（Ｊｘ（ｘ，ｙ，Ｚ），Ｊｙ（ｘ，ｙ，Ｚ））Ｔ）は２次元基底関数φＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）を用いてＪ（ｘ，ｙ，Ｚ）〜（ΣＩ，ＪφＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），ΣＩ，ＪφＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔと近似される。使用されるこれらの２次元基底関数の微分可能性に関しては３次元基底関数と同様であり、加えて、２次元基底関数φσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）は２次元関心領域内の参照領域ｗ１又は参照点ｗ１内の参照導電率を矛盾なく表すことのできるものである必要がある。）ことにより、２次元関心領域内の２次元未知導電率分布ｌｎ（１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））又はｌｎσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）に関する連立方程式が導出される。
また、３次元関心空間において、（１１７ａ）式〜（１１７ｃ）式及び（１１８ａ）式〜（１１８ｃ）式が、各々、両辺に１／σ（ｘ，ｙ，ｚ）及びσ（ｘ，ｙ，ｚ）がかけられて扱われる場合においても、同様に、有限差分近似される、あるいは、有限要素法が使用される（導電率分布１／σ（ｘ，ｙ，ｚ）及びσ（ｘ，ｙ，ｚ）は３次元基底関数φσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて１／σ（ｘ，ｙ，ｚ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）（１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））、σ（ｘ，ｙ，ｚ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と近似され、電流密度ベクトル分布Ｊ（ｘ，ｙ，ｚ）（＝（Ｊｘ（ｘ，ｙ，ｚ），Ｊｙ（ｘ，ｙ，ｚ），Ｊｚ（ｘ，ｙ，ｚ））Ｔ）は３次元基底関数φＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いてＪ（ｘ，ｙ，ｚ）〜（ΣＩ，Ｊ，ＫφＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），ΣＩ，Ｊ，ＫφＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），ΣＩ，Ｊ，ＫφＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｊｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））Ｔと近似される。使用されるこれらの３次元基底関数の微分可能性に関しては上記の通りで、加えて、３次元基底関数φσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）は参照導電率を矛盾なく表すことのできるものである。）ことにより、各々から、３次元未知導電率分布１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）及びσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）に関する連立方程式が導出される。
尚、この３次元関心空間を対象にして有限要素法が使用される際に、各ｚ座標ｚ＝Ｚ（Ｋ＝Ｋ’）の２次元平面（ｘ，ｙ，Ｚ）内の２次元関心領域内にて擬似２次元電流密度ベクトル分布Ｊ（ｘ，ｙ，Ｚ）（＝（Ｊｘ（ｘ，ｙ，Ｚ），Ｊｙ（ｘ，ｙ，Ｚ））Ｔ）が測定されてこの擬似２次元電流密度ベクトル分布データのみが使用される場合は、同様に、各２次元関心領域内の、２次元導電率分布１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）及びσ（ｘ，ｙ，Ｚ）は２次元基底関数φσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）を用いて１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）〜ΣＩ，Ｊφσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）（１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））、σ（ｘ，ｙ，Ｚ）〜ΣＩ，Ｊφσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）と近似されることもあり、また、擬似２次元電流密度ベクトル分布Ｊ（ｘ，ｙ，Ｚ）（＝（Ｊｘ（ｘ，ｙ，Ｚ），Ｊｙ（ｘ，ｙ，Ｚ））Ｔ）は２次元基底関数φＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）を用いてＪ（ｘ，ｙ，Ｚ）〜（ΣＩ，ＪφＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），ΣＩ，ＪφＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔと近似されることもある。
使用されるこれらの２次元基底関数の微分可能性に関しては上記の通りで、加えて、２次元基底関数φσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）は参照導電率を矛盾なく表すことのできるものである。これより、各２次元関心領域内の２次元未知導電率分布１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）又はσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）に関する連立方程式が導出される。また、ｚ座標ｚ＝Ｚ（Ｋ＝Ｋ’）の２次元物体内の２次元関心領域を対象とする場合においても、同様に、有限差分近似される、あるいは、有限要素法が使用される（２次元導電率分布１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）及びσ（ｘ，ｙ，Ｚ）は２次元基底関数φσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）を用いて１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）〜ΣＩ，Ｊφσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）（１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））、σ（ｘ，ｙ，Ｚ）〜ΣＩ，Ｊφσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）と近似される。使用されるこれらの２次元基底関数の微分可能性は上記の通りで、加えて、２次元基底関数φσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）は参照導電率を矛盾なく表すことのできるものである。）ことにより、２次元関心領域内の２次元未知導電率分布１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）又はσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）に関する連立方程式が導出される。
次に、３次元関心空間において有限差分近似が行われたこの場合、この連立方程式を最小二乗法を用いて解くことになるが、その際に正則化を施すことによりＪＤの逆作用素がｊに含まれる高周波数帯のノイズを増幅させることを抑圧することがある。また、有限要素法を用いた場合においても、導出された連立方程式を最小二乗法を用いて解く際に、同様に、正則化を施すことがあるが、導電率空間分布ｌｎ（１／σ（ｘ，ｙ，ｚ））、１／σ（ｘ，ｙ，ｚ）、ｌｎσ（ｘ，ｙ，ｚ）、又、σ（ｘ，ｙ，ｚ）に関して変分原理を適用する場合
（１１７ａ）式に対応する汎関数：
2003046587.tif 000149
（１１７ａ）の両辺に１／σ（ｘ，ｙ，ｚ）がかけられた場合に対応する汎関数：
2003046587.tif 000150
（１１８ａ）式に対応する汎関数：
2003046587.tif 000151
（１１８ａ）式の両辺にσ（ｘ，ｙ，ｚ）がかけられた場合に対応する汎関数：
2003046587.tif 000152
には、後述の通り、最小化（変分）を行う際に正則化を施すこともある。具体的には、正則化パラメータα１及びα２（正値）を用いて
2003046587.tif 000153
但し、Ｄ’ｓ：未知導電率空間分布ｌｎ（１／σ（ｘ，ｙ，ｚ））又はｌｎσ（ｘ，ｙ，ｚ）の３次元勾配の近似
Ｄ’ＴＤ’ｓ：ｌｎ（１／σ（ｘ，ｙ，ｚ））又はｌｎσ（ｘ，ｙ，ｚ）の３次元ラプラシアンの近似
なる汎関数をｓに関して最小化する。
参照領域が不適切である場合においても、Ｄ’ｓ及びＤ’ＴＤ’ｓは正定値であるため、Ｒｓ（ｓ）は必ず一つの最小値を持つことになる。
Ｒｓ（ｓ）の最小化により、正則化された正規方程式
2003046587.tif 000154
が得られ、従って、解は
2003046587.tif 000155
である。
ここで、Ｄ’およびＤ’ＴＤ’の各々は、有限差分近似された場合は３次元勾配作用素および３次元ラプラシアン作用素の有限差分近似であり、有限要素法が使用された場合は３次元勾配作用素および３次元ラプラシアン作用素の有限差分近似か又は有限要素近似（但し、この場合、使用される３次元基底関数φσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）は２回以上偏微分可能である必要があり、上記にて初期値として与えられる３次元関心空間内の参照領域ｗ１又は参照点ｗ１内の参照導電率を矛盾なく表すことのできるものである必要がある。）であり、その２乗ノルムが使用される。また、有限要素法が使用された場合には、新たに正則化パラメータα０が導入され、導電率分布ｓの二乗ノルムに乗じられた上で汎関数Ｒｓ（ｓ）（（１２３）式に該当）に加えられ、最小化が行われることがある。その際に導出されるｓに関する正則化された正規方程式（（１２４）式に該当）においては、ｓには近似的に導出されるα０Ｉ（Ｉ：単位行列）か又は厳密に導出されるα０Ｉ’（Ｉ’：３次元基底関数φσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて表される行列）もかかることとなる。
また、（１１７ａ）式〜（１１７ｃ）式及び（１１８ａ）式〜（１１８ｃ）式が、各々、両辺に１／σ（ｘ，ｙ，ｚ）及びσ（ｘ，ｙ，ｚ）がかけられて、有限差分近似される、あるいは、有限要素法が使用される場合においても、同様に、正則化が施されることがある。
また、ｚ座標ｚ＝Ｚ（Ｋ＝Ｋ’）の２次元平面（ｘ，ｙ，Ｚ）内の２次元関心領域そのものを対象とする上記のいずれの場合においても、同様に、正則化されることがあるが、その際、有限差分近似された場合には２次元勾配作用素及び２次元ラプラシアン作用素の有限差分近似Ｄ（（１２０）式にて使用）及びＤＴＤが使用され、有限要素法が使用された場合には同様に２次元勾配作用素及び２次元ラプラシアン作用素の有限差分近似Ｄ（（１２０）式にて使用）及びＤＴＤが使用されるか又は２次元勾配作用素及び２次元ラプラシアン作用素の有限要素近似（但し、この場合、使用される２次元基底関数φσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）は２回以上偏微分可能である必要があり、上記にて初期値として与えられる２次元関心空間内の参照領域ｗ１又は参照点ｗ１内の参照導電率を矛盾なく表すことのできるものである必要がある。）が使用される。また、有限要素法が使用された場合には、同様に、正則化パラメータα０が導入され、導電率分布ｓの二乗ノルムに乗じられた上で汎関数Ｒｓ（ｓ）（（１２３）式に該当）に加えられ、最小化が行われることがある。その際に導出されるｓに関する正則化された正規方程式（（１２４）式に該当）においては、ｓには近似的に導出されるα０Ｉ（Ｉ：単位行列）か又は厳密に導出されるα０Ｉ’（Ｉ’：２次元基底関数φσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）を用いて表される行列）がかかることとなる。
尚、導電率空間分布ｌｎ（１／σ（ｘ，ｙ，ｚ））、１／σ（ｘ，ｙ，ｚ）、ｌｎσ（ｘ，ｙ，ｚ）、又は、σ（ｘ，ｙ，ｚ）に関して変分原理を施した場合（（１２１−１）式、（１２１−２）式、（１２２−１）式、（１２２−２）式）の汎関数は、計測された電流密度ベクトル分布が一つである場合（Ｊ１（ｘ，ｙ，ｚ）（＝（Ｊ１ｘ（ｘ，ｙ，ｚ），Ｊ１ｙ（ｘ，ｙ，ｚ），Ｊ１ｚ（ｘ，ｙ，ｚ））Ｔ））は、
2003046587.tif 000156
計測された電流密度ベクトル分布が二つである場合（Ｊ１（ｘ，ｙ，ｚ）及びＪ２（ｘ，ｙ，ｚ）（＝（Ｊ２ｘ（ｘ，ｙ，ｚ），Ｊ２ｙ（ｘ，ｙ，ｚ），Ｊ２ｚ（ｘ，ｙ，ｚ））Ｔ））は、
2003046587.tif 000157
となる。計測された電流密度ベクトル分布が複数個（Ｍ（＞１）個、ｉ＝１〜Ｍ）である場合は、
2003046587.tif 000158
である。各汎関数中に表される導電率分布ｓ及び電流密度ベクトルに関して有限要素近似（（１１７ａ）式に対応する有限要素の節点導電率ｌｎ（１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））又１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）及び基底関数φσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）（１回以上偏微分可能）を用いてｌｎ（１／σ（ｘ，ｙ，ｚ））〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｌｎ（１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））又１／σ（ｘ，ｙ，ｚ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）（１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））と内挿される、又、（１１８ａ）式に対応する有限要素の節点導電率ｌｎσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）又σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）及び基底関数φσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）（１回以上偏微分可能）を用いてｌｎσ（ｘ，ｙ，ｚ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｌｎσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）又σ（ｘ，ｙ，ｚ）〜ΣＩ，Ｊ，Ｋφσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）と内挿される、節点電流（Ｊ１ｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊ１ｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊ１ｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））Ｔ及び基底関数φＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）（１回以上偏微分可能）を用いてＪ１（ｘ，ｙ，ｚ）〜（ΣＩ，Ｊ，ＫφＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｊ１ｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），ΣＩ，Ｊ，ＫφＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｊ１ｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），ΣＩ，Ｊ，ＫφＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）Ｊ１ｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））Ｔと内挿される。）が適用される（節点数は略。）。但し、使用される基底関数φσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）は、上記にて初期値として与えられる３次元関心空間内の参照領域ｗ１又は参照点ｗ１内の参照導電率を矛盾なく表すことのできるものである必要があり、これを用いて導電率空間分布ｌｎ（１／σ（ｘ，ｙ，ｚ））、１／σ（ｘ，ｙ，ｚ）、ｌｎσ（ｘ，ｙ，ｚ）、又、σ（ｘ，ｙ，ｚ）が有限要素近似された後に、初期値は規定値として汎関数に代入される。
また、各ｚ座標ｚ＝Ｚ（Ｋ＝Ｋ’）の２次元平面（ｘ，ｙ，Ｚ）内の２次元関心領域内にて擬似２次元電流密度ベクトル分布Ｊ（ｘ，ｙ，Ｚ）（＝（Ｊｘ（ｘ，ｙ，Ｚ），Ｊｙ（ｘ，ｙ，Ｚ））Ｔ）が測定されてこの擬似２次元電流密度ベクトル分布データのみが使用される場合、及び、ｚ座標ｚ＝Ｚ（Ｋ＝Ｋ’）の２次元物体内の２次元関心領域を対象とする場合は、これらの汎関数中のＩｉ（ｓ）（（１２１−１）式、（１２１−２）式、（１２２−１）式、（１２２−２）式）中の積分は２次元関心領域内の２重積分で表され、各汎関数中に表される導電率分布ｓ及び電流密度ベクトルに関して有限要素近似（（１１７ａ）式に対応する有限要素の節点導電率ｌｎ（１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））又１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）及び２次元基底関数φσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）（１回以上偏微分可能）を用いてｌｎ（１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ））〜ΣＩ，Ｊφσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）ｌｎ（１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））又１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）〜ΣＩ，Ｊφσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）（１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））と内挿される、又、（１１８ａ）式に対応する有限要素の節点導電率ｌｎσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）又σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）及び２次元基底関数φσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）（１回以上偏微分可能）を用いてｌｎσ（ｘ，ｙ，Ｚ）〜ΣＩ，Ｊφσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）ｌｎσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）又σ（ｘ，ｙ，Ｚ）〜ΣＩ，Ｊφσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）と内挿される、節点電流（Ｊ１ｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊ１ｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ及び２次元基底関数φＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）（１回以上偏微分可能）を用いてＪ１（ｘ，ｙ，Ｚ）〜（ΣＩ，ＪφＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）Ｊ１ｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），ΣＩ，ＪφＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）Ｊ１ｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔと内挿される。）が適用される。但し、使用される２次元基底関数φσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）は、２次元関心領域内の参照領域ｗ１又は参照点ｗ１内の参照導電率を矛盾なく表すことのできるものである必要があり、これを用いて導電率空間分布ｌｎ（１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ））、１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）、ｌｎσ（ｘ，ｙ，Ｚ）、又、σ（ｘ，ｙ，Ｚ）が有限要素近似された後に、初期値は規定値として汎関数に代入される。
さらに、各Ｉｉ（ｓ）（（１２１−１）式、（１２１−２）式、（１２２−１）式、（１２２−２）式）を用いて表される３次元関心空間を対象としたこれらの汎関数は３次元未知導電率空間分布に関して最小化されるが、正則化される場合においては、前記の有限要素法を用いて３次元導電率空間分布を推定する他の全ての方法と同様に、３次元導電率空間分布ｌｎ（１／σ（ｘ，ｙ，ｚ））、１／σ（ｘ，ｙ，ｚ）、ｌｎσ（ｘ，ｙ，ｚ）、又、σ（ｘ，ｙ，ｚ）の、分布そのもの、３次元勾配分布、及び、３次元ラプラシアン分布の二乗ノルムを加えて使用するべく、単位行列Ｉ、３次元勾配作用素の差分近似Ｄ’、及び、３次元ラプラシアン作用素の差分近似Ｄ’ＴＤ’を使用するか、３次元空間において採用された導電率空間分布の３次元基底関数φσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）を用いて近似される、行列Ｉ’、３次元勾配作用素の有限要素近似、及び、３次元ラプラシアン作用素の有限要素近似が評価される。この場合、使用される３次元基底関数φσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）は２回以上偏微分可能である必要があり、上記にて与えられる初期値はこれらの、導電率分布そのもの、導電率分布の勾配近似、及び、ラプラシアン近似の二乗ノルムにも代入される。最終的に、正則化されたこの汎関数は３次元未知導電率分布ｌｎ（１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））、１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｌｎσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、又、σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）に関して最小化され、その推定結果として、ｌｎ（１／σ（ｘ，ｙ，ｚ））＝ΣＩ，Ｊ，Ｋφσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｌｎ（１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））、１／σ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ΣＩ，Ｊ，Ｋφσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）（１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））、ｌｎσ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ΣＩ，Ｊ，Ｋφσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）ｌｎσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、又、σ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ΣＩ，Ｊ，Ｋφσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ，ｘ，ｙ，ｚ）σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）が得られる。
また、２次元関心領域（ｚ＝Ｚ）を対象とした汎関数は２次元未知導電率分布に関して最小化されるが、正則化される場合においては、同様に、２次元導電率分布ｌｎ（１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ））、１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）、ｌｎσ（ｘ，ｙ，Ｚ）、又、σ（ｘ，ｙ，Ｚ）の、分布そのもの、２次元勾配分布、及び、２次元ラプラシアン分布の二乗ノルムを使用するべく、単位行列Ｉ、２次元勾配作用素Ｄ（（１２０）式にて使用）、及び、２次元ラプラシアンＤＴＤを使用するか、２次元領域において採用された導電率分布の２次元基底関数φσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）を用いて近似される、行列Ｉ’、２次元勾配作用素の有限要素近似、及び、２次元ラプラシアン作用素の有限要素近似が評価される。この場合、使用される２次元基底関数φσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）は２回以上偏微分可能である必要があり、上記にて与えられる初期値はこれらの、導電率分布そのもの、導電率分布の勾配近似、及び、ラプラシアン近似の二乗ノルムにも代入される。最終的に、正則化されたこの汎関数は２次元未知導電率分布ｌｎ（１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））、１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）、ｌｎσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）又、σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）に関して最小化され、ｌｎ（１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ））＝ΣＩ，Ｊφσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）ｌｎ（１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））、１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）＝ΣＩ，Ｊφσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）（１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））、ｌｎσ（ｘ，ｙ，Ｚ）＝ΣＩ，Ｊφσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）ｌｎσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）、又、σ（ｘ，ｙ，Ｚ）＝ΣＩ，Ｊφσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）が得られる。
また、特殊な場合として、Ｉｉ（ｓ）（ｉ＝１〜Ｍ）が、上記のごとく、ｉの各々において、正則化されて最小化された上で、未知導電率分布ｓ（ｌｎ（１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））、１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｌｎσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）、ｌｎ（１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））、１／σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）、ｌｎσ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）、又は、σ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））に関して最小二乗化されることがある。
この様に、本法によれば、既に３次元関心空間・２次元関心領域内に電流場が存在する場合は、外部より強制的に電流を流し込むことなく、従って、その場を乱すことなく、電流密度ベクトル分布の測定のみから導電率空間分布の評価を行うことが可能である。
正則化パラメータα０・α１・α２に関しては、正則化された正規方程式（有限差分近似を行った場合の（１２４）式に該当）においては、導電率の空間分布を表すベクトルｓにかかる行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される、又は、使用される擬似２次元電流密度ベクトル分布データの精度（ＳＮ比）により調節される（ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きく）ことがある。又、特に、（１１７ａ）式の両辺に１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）がかけられて導電率分布１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）又は電流密度ベクトル分布に関して有限差分近似される場合、又、（１１８ａ）式の両辺にσ（ｘ，ｙ，Ｚ）がかけられて導電率分布σ（ｘ，ｙ，Ｚ）又は電流密度ベクトル分布に関して有限差分近似される場合、又、（１１７ａ）式の両辺に１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）がかけられて１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）に関して有限要素近似（変分法又はガラーキン法）が適用される場合、又、（１１８ａ）式の両辺にσ（ｘ，ｙ，Ｚ）がかけられてσ（ｘ，ｙ，Ｚ）に関して有限要素近似（変分法又はガラーキン法）が適用される場合においては、使用される擬似２次元電流密度ベクトルデータと導電率にかかる勾配作用素との内積の２次元分布データのパワーとその擬似２次元電流密度ベクトルの回転の２次元分布データのパワーとの和の平方根の精度（ＳＮ比）により調節される（ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きく）ことがある。これに準じて、例えば、そのＳＮパワー比に反比例させることがある。
これらのパワーに依存する正則化パラメータα０・α１・α２は、複数の擬似２次元電流密度ベクトル分布データが使用される場合には、各擬似２次元電流密度ベクトル分布データのＳＮパワー比から評価される正則化パラメータ値の和に比例する値となる。これに準じて、例えば、各擬似２次元ベクトル分布データのＳＮパワー比に反比例した値の和とすることがある。
また、正則化パラメータα１・α２に関しては、勾配作用素およびラプラシアン作用素内にて現れる偏微分の方向ごとに異なるもの（方向に依存するもの）として実現することがあり、結果的に、導電率の空間分布を表すベクトルｓにかかる行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される、又は、使用される擬似２次元電流密度ベクトルの２方向成分分布データの精度（ＳＮ比）により調節される（ＳＮ比が高い方向を大きく、ＳＮ比が低い方向を小さく）ことがある。又、特に、（１１７ａ）式の両辺に１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）がかけられて導電率分布１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）又は電流密度ベクトル分布に関して有限差分近似される場合、又、（１１８ａ）式の両辺にσ（ｘ，ｙ，Ｚ）がかけられて導電率分布σ（ｘ，ｙ，Ｚ）又は電流密度ベクトル分布に関して有限差分近似される場合、又、（１１７ａ）式の両辺に１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）がかけられて１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）に関して有限要素近似（変分法又はガラーキン法）が適用される場合、又、（１１８ａ）式の両辺にσ（ｘ，ｙ，Ｚ）がかけられてσ（ｘ，ｙ，Ｚ）に関して有限要素近似（変分法又はガラーキン法）が適用される場合においては、使用される擬似２次元電流密度ベクトルの２方向成分データとその成分と同一方向の導電率にかかる１階偏微分作用素との積の各２次元分布データのパワーとその擬似２次元電流密度ベクトルの回転を表す同２方向の各１階偏微分成分の２次元分布データのパワーとの和の平方根の精度（ＳＮ比）により調節される（ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きく）か、あるいは、使用される擬似２次元電流密度ベクトルデータと導電率にかかる勾配作用素との内積の２方向のΔｘ、Δｙ間の変化量の各２次元分布データのパワーとその擬似２次元電流密度ベクトルの回転を表す同２方向の１階偏微分成分のΔｘ、Δｙ間の変化量の各２次元分布データのパワーとの和の平方根の精度（ＳＮ比）により調節される（ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きく）ことがある。これに準じて、例えば、その各方向分布データのＳＮパワー比に比例させることがある。
これらの方向に依存する正則化パラメータα１・α２は、複数の擬似２次元電流密度ベクトル分布データが使用される場合には、各擬似２次元電流密度ベクトル分布データの精度（ＳＮ比）が考慮される（ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きく）。また、特に異なる２方向成分を持つ擬似２次元電流密度ベクトル分布データを使用する場合においては、使用される各方向成分分布データの数が考慮されることがあり（数の多い方向を大きく、数の少ない方向を小さく）、これに準じて、例えば、使用する方向成分分布データの数に比例させることがある。これに準じて、同２方向成分を持つ擬似２次元電流密度ベクトル分布データのみが使用される場合は、上記のごとく各擬似２次元電流密度ベクトル分布データにおいて評価される方向依存性の正則化パラメータ値と各擬似２次元電流密度ベクトル分布データそのもののＳＮパワー比から評価される正則化パラメータ値とを重要度の重み付けを行った上で算出される積の和に比例する値とし、また、特に異なる２方向成分を持つ擬似２次元電流密度ベクトル分布データを使用する場合においては、同様に評価された両正則化パラメータ値の積の和に方向成分分布データの数から評価される正則化パラメータ値を乗じた値に比例する値とすることがある。
また、正則化パラメータα０・α１・α２は、空間的に変化するものとして実現することがあり、結果的に、各関心点の導電率にかかる局所行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される、又は、使用される各関心点の擬似２次元電流密度ベクトルデータの精度（ＳＮ比）により調節される（ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きく）ことがある。又、特に、（１１７ａ）式の両辺に１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）がかけられて導電率分布１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）又は電流密度ベクトル分布に関して有限差分近似される場合、又、（１１８ａ）式の両辺にσ（ｘ，ｙ，Ｚ）がかけられて導電率分布σ（ｘ，ｙ，Ｚ）又は電流密度ベクトル分布に関して有限差分近似される場合、又、（１１７ａ）式の両辺に１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）がかけられて１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）に関して有限要素近似（変分法又はガラーキン法）が適用される場合、又、（１１８ａ）式の両辺にσ（ｘ，ｙ，Ｚ）がかけられてσ（ｘ，ｙ，Ｚ）に関して有限要素近似（変分法又はガラーキン法）が適用される場合においては、各関心点において使用される擬似２次元電流密度ベクトルデータと導電率にかかる勾配作用素との内積データのパワーとその擬似２次元電流密度ベクトルの回転のパワーとの和の平方根の精度（ＳＮ比）により調節される（ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きく）ことがある。これに準じて、例えば、そのＳＮパワー比に反比例させることがある。
これらの位置に依存する正則化パラメータα０・α１・α２は、同一の関心点において複数の擬似２次元電流密度ベクトルデータが使用される場合には、各関心点において使用される擬似２次元電流密度ベクトルデータのＳＮパワー比から評価される正則化パラメータ値の和に比例する値となる。これに準じて、例えば、各関心点の擬似２次元電流密度ベクトルデータのＳＮパワー比に反比例する値の和となる。また、特に各関心点において使用する擬似２次元電流密度ベクトルデータの数が異なる場合は、このデータ数が考慮されることがあり（数の多い位置では大きく、数の少ない位置では小さく）、これに準じて、例えば、使用する擬似２次元電流密度ベクトルデータの数に比例させることがある。これに準じて、各関心点において使用される擬似２次元電流密度ベクトルデータのＳＮパワー比から評価される正則化パラメータ値と各関心点において使用される擬似２次元電流密度ベクトルデータの数から評価される正則化パラメータ値とを重要度の重み付けを行った上で算出される積の和に比例する値とすることがある。
また、正則化パラメータα１・α２に関しては、上記の如く空間的に変化するものとして、且つ、勾配作用素およびラプラシアン作用素内にて現れる偏微分の方向ごとに異なるもの（方向に依存するもの）として実現することもあり、結果的に、各関心点の導電率にかかる局所行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される、又は、使用される各関心点の擬似２次元電流密度ベクトルの２方向成分データの精度（ＳＮ比）により調節される（ＳＮ比が高い方向を大きく、ＳＮ比が低い方向を小さく）ことがある。又、特に、（１１７ａ）式の両辺に１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）がかけられて導電率分布１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）又は電流密度ベクトル分布に関して有限差分近似される場合、又、（１１８ａ）式の両辺にσ（ｘ，ｙ，Ｚ）がかけられて導電率分布σ（ｘ，ｙ，Ｚ）又は電流密度ベクトル分布に関して有限差分近似される場合、又、（１１７ａ）式の両辺に１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）がかけられて１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）に関して有限要素近似（変分法又はガラーキン法）が適用される場合、又、（１１８ａ）式の両辺にσ（ｘ，ｙ，Ｚ）がかけられてσ（ｘ，ｙ，Ｚ）に関して有限要素近似（変分法又はガラーキン法）が適用される場合においては、各関心点において使用される擬似２次元電流密度ベクトルの２方向成分データとその成分と同一方向の導電率にかかる１階偏微分作用素との積のデータの各パワーとその擬似２次元電流密度ベクトルの回転を表す同２方向の各１階偏微分成分のパワーとの和の平方根の精度（ＳＮ比）により調節される（ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きく）か、あるいは、各関心点において使用される擬似２次元電流密度ベクトルデータと導電率にかかる勾配作用素との内積の２方向のΔｘ、Δｙ間の変化量データの各パワーとその擬似２次元電流密度ベクトルの回転を表す同２方向の１階偏微分成分のΔｘ、Δｙ間の変化量データの各パワーとの和の平方根の精度（ＳＮ比）により調節される（ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きく）ことがある。これに準じて、例えば、各関心点のその各方向データのＳＮパワー比に比例させることがある。
これらの位置に依存して且つ方向に依存する正則化パラメータα１・α２は、同一の関心点において複数の擬似２次元電流密度ベクトルデータが使用される場合には、各擬似２次元電流密度ベクトルの精度（ＳＮ比）が考慮される（ＳＮ比が高い場合に大きく、ＳＮ比が低い場合に小さく）。また、特に異なる２方向成分を持つ擬似２次元電流密度ベクトルデータを使用する位置においては、使用される各方向成分データの数が考慮されることがあり（数の多い方向を大きく、数の少ない方向を小さく）、これに準じて、例えば、使用する方向成分データの数に比例させることがある。これに準じて、同２方向成分を持つ擬似２次元電流密度ベクトルのみが使用される場合は、上記のごとく各擬似２次元電流密度ベクトルデータにおいて評価される方向依存性の正則化パラメータ値と各擬似２次元電流密度ベクトルそのもののＳＮパワー比から評価される正則化パラメータ値とを重要度の重み付けを行った上で算出される積の和に比例する値とし、また、特に異なる２方向成分を持つ擬似２次元電流密度ベクトルデータを使用する場合においては、同様にして評価された両正則化パラメータ値の積の和に方向成分データの数から評価される正則化パラメータ値を乗じた値に比例する値とすることがある。
ここで、Ｉｉ（ｓ）（ｉ＝１〜Ｍ）そのものに正則化を施す場合においては、正則化パラメータは負の値も取りえ、これに準じて、正則化パラメータの絶対値が調節され、上記のＳＮパワー比を指標とする場合はその平方根に反比例する様に調節させることがあることを断っておく。
尚、擬似２次元電流密度ベクトル分布データのＳＮ比を利用する場合は、各要素の節点（Ｉ，Ｊ，Ｋ）にて計測された擬似２次元電流密度ベクトルデータのＳＮ比、又は、これより見積もられる要素内の連続座標にて与えられる擬似２次元電流密度ベクトルデータのＳＮ比が必要となることがあり、これより、擬似２次元電流密度ベクトル分布データのＳＮ比が評価されることがある。あるいは、擬似２次元電流密度ベクトル分布データのＳＮ比が得られ、各要素内の擬似２次元電流密度ベクトルデータのＳＮ比、各要素の節点の擬似２次元電流密度ベクトルデータのＳＮ比が評価されることもある。これより、空間的に一様な正則化パラメータα０・α１・α２、又は、空間的に変化する正則化パラメータα０・α１・α２が調節されることがある。
また、１次元関心領域内の１次元導電率分布を計測対象とする場合は、直交方向に支配的に流れる電流密度データのみが使用されて導電率分布が推定されることがあり、例えば、ｘ軸方向の導電率分布ｌｎ（１／σ（ｘ））、１／σ（ｘ）、ｌｎσ（ｘ）、又は、σ（ｘ）が推定される場合、電流がｙ軸方向に支配的に流れている場合は、１次元微分方程式の、
2003046587.tif 000159
又は、
2003046587.tif 000160
に、又、電流がｚ軸方向に支配的に流れている場合は、１次元微分方程式の、
2003046587.tif 000161
又は、
2003046587.tif 000162
に、上記のごとく有限差分近似が適用される、あるいは、有限要素法（変分原理又はガラーキン法）が使用されることにより、未知導電率分布に関する代数方程式が導出され、正則化が施されて安定的に導電率分布が推定される。
従って、３次元関心領域を対象としてその領域内に複数の２次元関心領域を設けた場合と同様に、３次元関心領域内に２次元関心領域だけでなく複数の１次元関心領域を設け、又、２次元関心領域を対象とする場合には複数の１次元関心領域を設け、各低次元関心領域にて未知導電率分布に関する代数方程式を導出し、適宜、正則化が高次元関心領域又は各低次元関心領域において行われることがある。
尚、３次元導電率分布及び２次元導電率分布への適用は不可能であるが、これらの１次元導電率分布に変分原理を適用する場合は、１次元導電率分布そのものではなく、１次元導電率の１階微分の１次元分布ｓに変分原理が適用されることも可能であり、例えば、（１１７ａ−１）式において、１次元導電率分布ｌｎ（１／σ（ｘ））に変分原理が適用された場合の１次元分布ｌｎ（１／σ（ｘ））のｓに関する汎関数は、（１２１−１）式と同様、
2003046587.tif 000163
であり、又、（１１７ａ−１）式の両辺に１／σ（ｘ）がかけられた上で１次元導電率分布１／σ（ｘ）に変分原理が適用された場合の１次元分布１／σ（ｘ）のｓに関する汎関数は、（１２１−２）式と同様、
2003046587.tif 000164
であるが、（１１７ａ−１）式において、１次元導電率ｌｎ（１／σ（ｘ））の１階微分の分布ｄ（ｌｎ（１／σ（ｘ）））／ｄｘに変分原理が適用された場合の１次元分布ｄ（ｌｎ（１／σ（ｘ）））／ｄｘのｓに関する汎関数は、
2003046587.tif 000165
又、（１１７ａ−１）式の両辺に１／σ（ｘ）がかけられた上で１次元導電率１／σ（ｘ）の１階微分の分布ｄ（１／σ（ｘ））／ｄｘに変分原理が適用された場合の１次元分布ｄ（１／σ（ｘ））／ｄｘのｓに関する汎関数は、
2003046587.tif 000166
である。１次元微分方程式の（１１８ａ−１）式、（１１７ｃ−１）式、（１１８ｃ−１）式に関しても同様である。１次元導電率分布そのものを推定する場合は、１次元勾配作用素や１次元ラプラシアン作用素が使用されることがある。
尚、電流密度ベクトル空間分布の時系列が計測された場合には、複数の電流密度ベクトル空間分布が計測されたものとして、上記の如く、勾配作用素やラプラシアン作用素を用いた正則化を施すことにより未知導電率空間分布を推定することができる。
また、未知導電率空間分布は時間的に変化することがあり、この場合においては、参照導電率（分布）値および位置・大きさ・状態・個数が時間的に変化しうる参照領域を使用して、電流密度ベクトル空間分布データの計測された各時間において、上記の如く、勾配作用素やラプラシアン作用素を用いた正則化を施して未知導電率空間分布を推定することにより、未知導電率空間分布の時系列を求めることができる。複数の独立した電流密度ベクトル空間分布の時系列が計測された場合は、計測対象物の異なる時系列の同一の状態（時間）の各々において成立する方程式を連立した上で、上記の如く、勾配作用素やラプラシアン作用素を用いた正則化を施して未知導電率空間分布を推定することにより、未知導電率空間分布の時系列を求めることができる。
また、未知導電率空間分布の時系列を推定する場合には、各時間において成立する方程式を連立し、未知導電率空間分布の時系列の時間方向の１階の偏微分や２階の偏微分の２乗ノルム（各々にかかる正則化パラメータをα３とα４とする）を用いた正則化を施すことがある。複数の独立した電流密度ベクトル空間分布の時系列が計測された場合は、計測対象物の異なる時系列の同一の状態（時間）の各々において成立する方程式を連立した上で、時系列の時間方向の１階の偏微分や２階の偏微分の２乗ノルム（各々にかかる正則化パラメータをα３とα４とする）を用いた正則化を施すことがある。これらの導電率空間分布の時系列の時間方向の１階偏微分や２階の偏微分は、上記の勾配作用素やラプラシアン作用素を使用した場合と同様に、３次元関心領域を対象とする場合にはその領域内に複数の２次元関心領域や１次元領域を設け、２次元関心領域を対象とする場合には複数の１次元関心領域を設け、各時間の各低次元関心領域にて未知導電率分布に関する代数方程式を導出し、適宜、正則化が高次元関心領域又は各低次元関心領域において行われることがある。また、この場合、各時間の未知導電率空間分布の勾配やラプラシアンの２乗ノルムを用いた正則化も同時に施されることがある。
尚、導電率空間分布の時系列が推定された場合は、導電率の時系列データの空間分布の各位置においてスペクトラム解析を行うことにより、導電率の周波数分散の空間分布を近似的に求めることができる。この導電率の時系列の周波数分散の空間分布を評価する場合は、積極的に、電流源や電圧源の周波数（単一）を変えながら、電流密度ベクトル空間分布の計測を行う、あるいは、広帯城の電流源や電圧源を使用して電流密度ベクトル空間分布の計測を行うことがある。
正則化パラメータα３・α４に関しては、各時間において、導電率の空間分布を表すベクトルｓにかかる行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される、又は、使用される擬似２次元電流密度ベクトル分布の時間方向の変化量データの精度（ＳＮ比）により調節される（ＳＮ比が高い時間に小さく、ＳＮ比が低い時間に大きく）ことがある。又、特に、（１１７ａ）式の両辺に１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）がかけられて導電率分布１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）又は電流密度ベクトル分布に関して有限差分近似される場合、又、（１１８ａ）式の両辺にσ（ｘ，ｙ，Ｚ）がかけられて導電率分布σ（ｘ，ｙ，Ｚ）又は電流密度ベクトル分布に関して有限差分近似される場合、又、（１１７ａ）式の両辺に１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）がかけられて１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）に関して有限要素近似（変分法又はガラーキン法）が適用される場合、又、（１１８ａ）式の両辺にσ（ｘ，ｙ，Ｚ）がかけられてσ（ｘ，ｙ，Ｚ）に関して有限要素近似（変分法又はガラーキン法）が適用される場合においては、使用される擬似２次元電流密度ベクトルデータと導電率にかかる勾配作用素との内積の２次元分布の時間方向の変化量データのパワーとその擬似２次元電流密度ベクトルの回転の２次元分布の時間方向の変化量データのパワーとの和の平方根の精度（ＳＮ比）により調節される（ＳＮ比が高い時間に小さく、ＳＮ比が低い時間に大きく）ことがある。これに準じて、例えば、そのＳＮパワー比に反比例させることがある。
これらのパワーに依存する正則化パラメータα３・α４は、各時間において、複数の擬似２次元電流密度ベクトル分布データが使用される場合には、各擬似２次元電流密度ベクトル分布の時間方向の変化量データのＳＮパワー比から評価される正則化パラメータ値の和に比例する値となる。これに準じて、例えば、各擬似２次元ベクトル分布の時間方向の変化量データのＳＮパワー比に反比例した値の和とすることがある。
また、正則化パラメータα３・α４は、各時間において、空間的に変化するものとして実現することがあり、結果的に、各関心点の導電率にかかる局所行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される、又は、使用される各関心点の擬似２次元電流密度ベクトルの時間方向の変化量データの精度（ＳＮ比）により調節される（ＳＮ比が高い時間に小さく、ＳＮ比が低い時間に大きく）ことがある。又、特に、（１１７ａ）式の両辺に１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）がかけられて導電率分布１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）又は電流密度ベクトル分布に関して有限差分近似される場合、又、（１１８ａ）式の両辺にσ（ｘ，ｙ，Ｚ）がかけられて導電率分布σ（ｘ，ｙ，Ｚ）又は電流密度ベクトル分布に関して有限差分近似される場合、又、（１１７ａ）式の両辺に１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）がかけられて１／σ（ｘ，ｙ，Ｚ）に関して有限要素近似（変分法又はガラーキン法）が適用される場合、又、（１１８ａ）式の両辺にσ（ｘ，ｙ，Ｚ）がかけられてσ（ｘ，ｙ，Ｚ）に関して有限要素近似（変分法又はガラーキン法）が適用される場合においては、各関心点において使用される擬似２次元電流密度ベクトルデータと導電率にかかる勾配作用素との内積の時間方向の変化量データのパワーとその擬似２次元電流密度ベクトルの回転の時間方向の変化量データのパワーとの和の平方根の精度（ＳＮ比）により調節される（ＳＮ比が高い時間に小さく、ＳＮ比が低い時間に大きく）ことがある。これに準じて、例えば、そのＳＮパワー比に反比例させることがある。
これらの位置に依存する正則化パラメータα３・α４、同一の関心点において複数の擬似２次元電流密度ベクトルデータが使用される場合には、各関心点において使用される擬似２次元電流密度ベクトルの時間方向の変化量データのＳＮパワー比から評価される正則化パラメータ値の和に比例する値となる。これに準じて、例えば、各関心点の擬似２次元電流密度ベクトルの時間方向の変化量データのＳＮパワー比に反比例する値の和となる。また、特に各関心点において使用する擬似２次元電流密度ベクトルデータの数が異なる場合は、このデータ数が考慮されることがあり（数の多い位置では大きく、数の少ない位置では小さく）、これに準じて、例えば、使用する擬似２次元電流密度ベクトルデータの数に比例させることがある。これに準じて、各関心点において使用される擬似２次元電流密度ベクトルの時間方向の変化量データのＳＮパワー比から評価される正則化パラメータ値と各関心点において使用される擬似２次元電流密度ベクトルデータの数から評価される正則化パラメータ値とを重要度の重み付けを行った上で算出される積の和に比例する値とすることがある。
ここで、Ｉｉ（ｓ）（ｉ＝１〜Ｍ）そのものに正則化を施す場合においては、正則化パラメータは負の値も取りえ、これに準じて、正則化パラメータの絶対値が調節され、上記のＳＮパワー比を指標とする場合はその平方根に反比例する様に調節させることがあることを断っておく。
次に、誘電率を同時に推定する導電率推定方法について説明する。
前記の導電率推定法によれば、関心領域内にて測定された電流密度ベクトル分布データＪＩ（ｉ（＝１〜Ｍ）は測定された独立した電流密度ベクトル分布Ｊｉを指し、Ｍは測定された独立した電流密度ベクトル分布の数（１以上）である。）及び初期条件として参照領域内又は参照点ｗ１（１＝１〜Ｎ）にて与えられる参照導電率（分布）値、即ち（１１９）式を用いて、３次元や２次元関心領域内の導電率分布σ（ｘ，ｙ，ｚ）やσ（ｘ，ｙ）とを表す１階の空間偏微分方程式である（１１７ａ）式、（１１７ｂ）式、（１１７ｃ）式（（１１８ａ）式、（１１８ｂ）式、（１１８ｃ）式）に有限要素法（変分原理又はガラーキン法）又は有限差分法及び正則化法を用いた所定の数値解法を施すことにより、未知導電率分布σ（ｘ，ｙ，ｚ）やσ（ｘ，ｙ）やσ（ｘ）を得る。
これに対し、本導電率推定法によれば、計測される電流密度ベクトル分布が時間変化する場合に、導電率参照値と共に誘電率参照値を使用して、導電率分布、誘電率、誘電率と導電率の比等の分布を計測対象とすることができる。但し、ｉ（＝１〜Ｍ）は、扱われる独立した電流密度ベクトル分布の時系列Ｊｉ（ｔ）を表し、Ｍは、その独立した電流密度ベクトル分布の時系列の数（１以上）を表し、ｔは、時間を表すものとする。
具体的には、例えば、３次元関心領域を対象とする場合、
計測される電流密度ベクトル分布が正弦的に単一周波数ｆｉにて変化する場合は、
計測された関心領域内の３次元電流密度ベクトルの各方向成分の空間分布の時系列データに対して、各関心点にて、Ｆａｓｔ  Ｆｏｕｒｉｅｒ’ｓ  Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ（ＦＦＴ）によるスペクトラム解析やＭａｘｉｍｕｍ  Ｅｎｔｒｏｐｙ  Ｍｅｔｈｏｄ（ＭＥＭ）による短時間スペクトラム解析やＨｉｌｂｅｒｔ変換による瞬時スペクトラム解析（複素解析信号の実数信号Ｒｅ［Ｊｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］又はＲｅ［Ｊｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］又はＲｅ［Ｊｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］と虚数信号Ｉｍ［Ｊｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］又はＩｍ［Ｊｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］又はＩｍ［Ｊｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］を得、これらより求まる位相（アンラッピングされたもの）に時間微分を施すか（３方向の平均がとられることや各種窓関数を使用して時空間方向に移動平均されることがある）、あるいは、各種窓関数を使用して時空間方向に移動平均されることのある、（ｄＩｍ［Ｊｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］／ｄｔ・Ｒｅ［Ｊｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］−ｄＲｅ［Ｊｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］／ｄｔ・Ｉｍ［Ｊｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］）／（Ｒｅ［Ｊｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］・Ｒｅ［Ｊｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］＋Ｉｍ［Ｊｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］・Ｉｍ［Ｊｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］）又は（ｄＩｍ［Ｊｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］／ｄｔ・Ｒｅ［Ｊｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］−ｄＲｅ［Ｊｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］／ｄｔ・Ｉｍ［Ｊｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］）／（Ｒｅ［Ｊｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］・Ｒｅ［Ｊｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］＋Ｉｍ［Ｊｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］・Ｉｍ［Ｊｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］）又は（ｄＩｍ［Ｊｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］／ｄｔ・Ｒｅ［Ｊｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］−ｄＲｅ［Ｊｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］／ｄｔ・Ｉｍ［Ｊｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］）／（Ｒｅ［Ｊｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］・Ｒｅ［Ｊｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］＋Ｉｍ［Ｊｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］・Ｉｍ［Ｊｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］）より（瞬時）周波数ｆｉを得る）を行い、３次元電流密度ベクトルの時系列データＪｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）（＝（Ｊｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ），Ｊｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ），Ｊｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ））Ｔ）のスペクトラムの空間分布、即ち、単一周波数ｆｉ（ｉに寄らずに一定であることがある。）のＪｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）（＝（Ｊｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ），Ｊｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ），Ｊｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ））Ｔ＝（Ｒｅ［Ｊｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）］＋ｊＩｍ［Ｊｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）］，Ｒｅ［Ｊｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）］＋ｊＩｍ［Ｊｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）］，Ｒｅ［Ｊｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）］＋ｊＩｍ［Ｊｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）］）Ｔ）（但し、Ｒｅ［・（ｆｉ）］とＩｍ［・（ｆｉ）］の各々は、周波数ｆｉのスペクトラム・（ｆｉ）の実数成分と虚数成分を表し、ｊは虚数単位である。）の分布データと、
計測された関心領域内の３次元電流密度ベクトル分布データからビオ・サバールの法則に基づいて計算された３次元磁場ベクトルの時系列データＢｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）（＝（Ｂｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ），Ｂｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ），Ｂｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ））Ｔ）の時間方向の１階の偏微分のスペクトラムの空間分布、即ち、単一周波数ｆｉのＢ’ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）（＝（Ｂｚ’ｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ），Ｂ’ｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ），Ｂ’ｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ））Ｔ＝（Ｒｅ［Ｂ’ｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）］＋ｊＩｍ［Ｂ’ｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）］，Ｒｅ［Ｂ’ｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）］＋ｊＩｍ［Ｂ’ｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）］，Ｒｅ［Ｂ’ｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）］＋ｊＩｍ［Ｂ’ｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）］）Ｔ）の分布データ（時間領域において時系列データに微分フィルタがかけられた上でスペクトラム解析（又は短時間スペクトラム解析）されて得られるか、あるいは、時系列データがスペクトラム解析（又は短時間スペクトラム解析）された上で周波数領域において時間微分の周波数応答がかけられて得られるか、あるいは、時系列データが瞬時スペクトラム解析（又は短時間スペクトラム解析）された上で時間領域において微分フィルタがかけられて得られる。）に従い、
あるいは、計測される電流密度ベクトル分布が非定常に変化する場合は、
計測された関心領域内の３次元電流密度ベクトルの各方向成分の空間分布の時系列データに対して、各関心点にて、Ｈｉｌｂｅｒｔ変換による瞬時スペクトラム解析（瞬時周波数ｆｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ））（複素解析信号の実数信号Ｒｅ［Ｊｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］又はＲｅ［Ｊｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］又はＲｅ［Ｊｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］と虚数信号Ｉｍ［Ｊｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］又はＩｍ［Ｊｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］又はＩｍ［Ｊｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］を得、これらより求まる位相（アンラッピングされたもの）に時間微分を施すか（３方向の平均がとられることや各種窓関数を使用して時空間方向に移動平均されることがある）、あるいは、各種窓関数を使用して時空間方向に移動平均されることのある、（ｄＩｍ［Ｊｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］／ｄｔ・Ｒｅ［Ｊｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］−ｄＲｅ［Ｊｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］／ｄｔ・Ｉｍ［Ｊｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］）／（Ｒｅ［Ｊｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ］・Ｒｅ［Ｊｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］＋Ｉｍ［Ｊｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］・Ｉｍ［Ｊｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］）又は（ｄＩｍ［Ｊｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］／ｄｔ・Ｒｅ［Ｊｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］−ｄＲｅ［Ｊｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］／ｄｔ・Ｉｍ［Ｊｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］）／（Ｒｅ［Ｊｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］・Ｒｅ［Ｊｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］＋Ｉｍ［Ｊｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］・Ｉｍ［Ｊｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］）又は（ｄＩｍ［Ｊｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］／ｄｔ・Ｒｅ［Ｊｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］−ｄＲｅ［Ｊｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］／ｄｔ・Ｉｍ［Ｊｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］）／（Ｒｅ［Ｊｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］・Ｒｅ［Ｊｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］＋Ｉｍ［Ｊｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］・Ｉｍ［Ｊｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］）より瞬時周波数を得る）やＭａｘｉｍｕｍ  Ｅｎｔｒｏｐｙ  Ｍｅｔｈｏｄ（ＭＥＭ）による短時間スペクトラム解析（短時間周波数ｆｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ））やＦａｓｔ  Ｆｏｕｒｉｅｒ’ｓ  Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ（ＦＦＴ）による短時間スペクトラム解析（周波数ｆｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ））を行い、３次元電流密度ベクトルの時系列データＪｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）（＝（Ｊｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ），Ｊｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ），Ｊｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ））Ｔ）の瞬時（短時間）スペクトラムの空間分布、即ち、瞬時（短時間）周波数ｆｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）（ｉに寄らずに一定であることがある。）のＪｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）（＝（Ｊｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ），Ｊｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ），Ｊｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ））Ｔ＝（Ｒｅ［Ｊｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］＋ｊＩｍ［Ｊｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］，Ｒｅ［Ｊｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］＋ｊＩｍ［Ｊｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］，Ｒｅ［Ｊｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］＋ｊＩｍ［Ｊｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）］）Ｔ）（但し、Ｒｅ［・（ｆｉ）］とＩｍ［・（ｆｉ）］の各々は、瞬時（短時間）周波数���ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）のスペクトラム・（ｆｉ）の実数成分と虚数成分を表し、ｊは虚数単位である。）の分布データと、
計測された関心領域内の３次元電流密度ベクトル分布データからビオ・サバールの法則に基づいて計算された３次元磁場ベクトルの時系列データＢｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）（＝（Ｂｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ），Ｂｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ），Ｂｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ））Ｔ）の瞬時（短時間）スペクトラムの時間方向の１階の偏微分の時系列データの空間分布、もしくは、計測された関心領域内の３次元電流密度ベクトル分布データからビオ・サバールの法則に基づいて計算された３次元磁場ベクトルの時系列データＢｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）（＝（Ｂｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ），Ｂｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ），Ｂｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ））Ｔ）の時間方向の１階の偏微分の時系列データの瞬時（短時間）スペクトラムの空間分布、即ち、瞬時（短時間）周波数ｆｂｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）のＢ’ｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｂｉ，ｔ）（＝（Ｂ’ｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｂｉ，ｔ），Ｂ’ｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｂｉ，ｔ），Ｂ’ｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｂｉ，ｔ））Ｔ＝（Ｒｅ［Ｂ’ｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｂｉ，ｔ）］＋ｊＩｍ［Ｂ’ｉｘ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｂｉ，ｔ）］，Ｒｅ［Ｂ’ｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｂｉ，ｔ）］＋ｊＩｍ［Ｂ’ｉｙ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｂｉ，ｔ）］，Ｒｅ［Ｂ’ｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｂｉ，ｔ）］＋ｊＩｍ［Ｂ’ｉｚ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｂｉ，ｔ）］）Ｔ）の分布データ（時系列データが瞬時（短時間）スペクトラム解析された上で時間領域において微分フィルタがかけられて得られるか、時間領域において時系列データに微分フィルタがかけられた上で瞬時（短時間）スペクトラム解析されて得られるか、あるいは、時系列データが瞬時（短時間）スペクトラム解析された上で周波数領域において時間微分の周波数応答がかけられて得られる。）に従い、
周波数ｆｉ（計測される場合と与えられる場合がある。）と導電率分布σｉ（ｘ，ｙ，ｚ）と誘電率εｉ（ｘ，ｙ，ｚ）を用いて表される空間分布Ａｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）及びＢｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）、即ち、
2003046587.tif 000167
に関する次の１階の連立空間偏微分方程式
2003046587.tif 000168
即ち、
2003046587.tif 000169
又は、
2003046587.tif 000170
と
2003046587.tif 000171
又は、
2003046587.tif 000172
と
2003046587.tif 000173
又は、
2003046587.tif 000174
のいずれかの空間偏微分方程式又はこれらの内の複数の空間偏微分方程式から成る連立空間偏微分方程式と、導電率空間分布σｉ（ｘ，ｙ，ｚ）と誘電率空間分布εｉ（ｘ，ｙ，ｚ）に関する次の初期条件
2003046587.tif 000175
且つ、
2003046587.tif 000176
と
2003046587.tif 000177
且つ、
2003046587.tif 000178
（但し、ｗｍσｉ（ｔ）とｗｍεｉ（ｔ）は、同一である、又、互いに交わることもある。）を用いて、（１２９ａ）式と（１２９ｂ）式の各々により表されるＡｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）及びＢｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）を求め、各関心点において、導電率分布σｉ（ｘ，ｙ，ｚ）と誘電率分布εｉ（ｘ，ｙ，ｚ）が共に未知である場合には両者を、又、誘電率εｉ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられる点である場合にはその値を使用して未知である導電率σｉ（ｘ，ｙ，ｚ）を、又、導電率σｉ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられる点においてはその値を使用して未知である誘電率εｉ（ｘ，ｙ，ｚ）を
2003046587.tif 000179
と求めることができる。
尚、他の独立した時系列ｉにおいても、計測された３次元電流密度ベクトルの分布データとビオ・サバールの法則に基づいて計算された３次元磁場ベクトルの分布データに従い、（１３０ａ）式、（１３０ｂ）式、（１３０ｃ）式（又は、（１３０ａ’）式、（１３０ｂ’）式、（１３０ｃ’）式）のいずれかの空間偏微分方程式又はこれらの内の複数の空間偏微分方程式から成る連立空間偏微分方程式と、導電率空間分布σｉ（ｘ，ｙ，ｚ）と誘電率空間分布εｉ（ｘ，ｙ，ｚ）に関する初期条件（１３１ａ）式且つ（１３１ａ’）式や（１３１ｂ）式且つ（１３１ｂ’）式が与えられ、従って、全ての時系列ｉから得られる方程式を連立することにより、空間分布Ａｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）及びＢｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）を求め、各関心点において、導電率分布σｉ（ｘ，ｙ，ｚ）と誘電率分布εｉ（ｘ，ｙ，ｚ）が共に未知である場合には両者を、又、誘電率εｉ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられる場合にはその値を使用して未知である導電率σｉ（ｘ，ｙ，ｚ）を、又、導電率σｉ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられる点においてはその値を使用して未知である誘電率εｉ（ｘ，ｙ，ｚ）を、（１３２ａ）式や（１３２ｂ）式から求めることができる。
又、導電率分布σｉ（ｘ，ｙ，ｚ）及び誘電率εｉ（ｘ，ｙ，ｚ）の両者か、又は、いずれかの一方が時系列ｉに対して不変である場合もあり、この場合も、計測された３次元電流密度ベクトルの分布データとビオ・サバールの法則に基づいて計算された３次元磁場ベクトルの分布データに従い、（１３０ａ）式、（１３０ｂ）式、（１３０ｃ）式（又は、（１３０ａ’）式、（１３０ｂ’）式、（１３０ｃ’）式）のいずれかの空間偏微分方程式又はこれらの内の複数の空間偏微分方程式から成る連立空間偏微分方程式と、導電率σｉ（ｘ，ｙ，ｚ）又はσ（ｘ，ｙ，ｚ）と誘電率εｉ（ｘ，ｙ，ｚ）又はε（ｘ，ｙ，ｚ）に関する初期条件（１３１ａ）式且つ（１３１ａ’）式や（１３１ｂ）式且つ（１３１ｂ’）式（時系列ｉに依存する場合と依存しない場合がある。）が与えられ、従って、これらの方程式を連立することにより、空間分布Ａｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）又はＡ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）及びＢｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）又はＢ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）を求め、各関心点において、導電率σｉ（ｘ，ｙ，ｚ）又はσ（ｘ，ｙ，ｚ）と誘電率εｉ（ｘ，ｙ，ｚ）又はε（ｘ，ｙ，ｚ）が共に未知である場合には両者を、又、誘電率εｉ（ｘ，ｙ，ｚ）又はε（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられる場合にはその値を使用して未知である導電率σｉ（ｘ，ｙ，ｚ）又はσ（ｘ，ｙ，ｚ）を、又、導電率σｉ（ｘ，ｙ，ｚ）又はσ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられる場合においてその値を使用して未知である誘電率εｉ（ｘ，ｙ，ｚ）又はε（ｘ，ｙ，ｚ）を、（１３２ａ）式や（１３２ｂ）式から求めることができる。
空間偏微分方程式の（１３０）式中の、関心領域内の、導電率分布のσｉ（ｘ，ｙ，ｚ）又はσ（ｘ，ｙ，ｚ）、又、誘電率分布のεｉ（ｘ，ｙ，ｚ）又はε（ｘ，ｙ，ｚ）は、電流データの周波数ｆｉに依存するものとして扱われることがあり、又、時として、関心領域の外にて、広帯域の電流源や電圧源を使用する、あるいは、可変の単一周波数の電流源や電圧源の周波数ｆｉを変えるなどして、これら導電率や誘電率の周波数分散の空間分布が近似的に求められることがある。
又、時間的に変化する導電率分布の時系列σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）と誘電率の時系列εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）が計測対象となることもあり、その場合は、参照値そのもの及び参照領域の大きさや位置や個数が時間ｔ及び時系ｉに依存して変化しうる次の初期条件
2003046587.tif 000180
且つ、
2003046587.tif 000181
と
2003046587.tif 000182
且つ、
2003046587.tif 000183
の各々が（１３１ａ）式且つ（１３１ａ’）式と（１３１ｂ）式且つ（１３１ｂ’）式の代わりに使用されて、さらに、計測された３次元電流密度ベクトルの分布データとビオ・サバールの法則に基づいて計算された３次元磁場ベクトルの分布データに従い、各瞬時（短）時間において、前記の如く、（１３０ａ）式、（１３０ｂ）式、（１３０ｃ）式（又は、（１３０ａ’）式、（１３０ｂ’）式、（１３０ｃ’）式）のいずれかの空間偏微分方程式又はこれらの内の複数の空間偏微分方程式から成る連立空間偏微分方程式が与えられ、従って、これらの方程式を連立することにより、空間分布Ａｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）及びＢｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）が求められ、各関心点において、その時間の導電率分布σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）と誘電率分布εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）が共に未知である場合には両者が、又、誘電率εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）が与えられる点である場合にはその値を使用して未知である導電率σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）が、又、導電率σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）が与えられる点においてはその値を使用して未知である誘電率εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）が（１３２ａ）式や（１３２ｂ）式から求められる。すなわち、導電率分布の時系列σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）や誘電率分布の時系列εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を得ることができる。
尚、他の独立した時系列ｉにおいても、各時間において、（１３０ａ）式、（１３０ｂ）式、（１３０ｃ）式（又は、（１３０ａ’）式、（１３０ｂ’）式、（１３０ｃ’）式）のいずれかの空間偏微分方程式又はこれらの内の複数の空間偏微分方程式から成る連立空間偏微分方程式と、導電率空間分布の時系列σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）と誘電率空間分布の時系列εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）に関する初期条件（１３３ａ）式且つ（１３３ａ’）式や（１３３ｂ）式且つ（１３３ｂ’）式が与えられ、従って、全ての時系列ｉから得られる方程式を連立することにより、空間分布時系列Ａｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）及びＢｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）を求め、各関心点において、導電率分布σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）と誘電率分布εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）が共に未知である場合には両者を、又、誘電率εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）が与えられる場合にはその値を使用して未知である導電率σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を、又、導電率σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）が与えられる点においてはその値を使用して未知である誘電率εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を（１３２ａ）式や（１３２ｂ）式から求めることができる。すなわち、導電率分布の時系列σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）や誘電率分布の時系列εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を得ることができる。
又、導電率分布の時系列σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）及び誘電率の時系列εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）の両者か、又は、いずれかの一方が時系列ｉに対して不変である場合もあり、各瞬時（短）時間において、この場合も、（１３０ａ）式、（１３０ｂ）式、（１３０ｃ）式（又は、（１３０ａ’）式、（１３０ｂ’）式、（１３０ｃ’）式）のいずれかの空間偏微分方程式又はこれらの内の複数の空間偏微分方程式から成る連立空間偏微分方程式と、導電率の時系列σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）又はσ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）と誘電率の時系列εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）又はε（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）に関する初期条件（１３３ａ）式又は（１３３ａ’）式や（１３３ｂ）式又は（１３３ｂ’）式（時系列ｉに依存する場合と依存しない場合がある。）が与えられ、従って、これらの方程式を連立することにより、空間分布時系列Ａｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）又はＡ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）及びＢｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）又はＢ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）を求め、各関心点において、導電率σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）又はσ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）と誘電率εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）又はε（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）が共に未知である場合には両者を、又、誘電率εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）又はε（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）が与えられる場合にはその値を使用して未知である導電率σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）又はσ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を、又、導電率σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）又はσ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）が与えられる場合においてその値を使用して未知である誘電率εｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）又はε（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を（１３２ａ）式や（１３２ｂ）式から求めることができる。
さらに、これらの得られる導電率の時系列データと誘電率の時系列データにフーリエ変換を施すことにより、各々の周波数分散を近似的に求めることができる。
この様に、空間偏微分方程式の（１３０）式中の、関心領域内の、導電率分布の時系列σｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）、又、誘電率分布の時系列のεｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）は、測定値、又は、典型値として与えられるか、あるいは、計測対象とされ、又、時として、関心領域の外にて、広帯域の電流源や電圧源を使用する、あるいは、可変の単一周波数の電流源や電圧源の周波数ｆｉを変えるなどして、これら導電率の時系列や誘電率の時系列の周波数分散の空間分布が近似的に求められることがある。
数値解法そのものは前記の導電率推定法に従う。即ち、極力、電流源と上記の導電率分布や誘電率分布の参照領域に関して適切な計測系（即ち、導電率分布（の時系列）と誘電率分布（の時系列）の各々に関して、各２次元平面内にて電流が支配的に流れる方向に参照領域が長く広がる系）を構成した上で、測定された電流密度ベクトル分布の時系列と磁場ベクトル分布の時系列に空間方向に低域通過型フィルタをかけ、又、必要に応じて時間方向にも低域通過型フィルタをかけ、上記のスペクトラム解析を行った上で、空間偏微分方程式中に表される、未知空間分布Ａｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）又はＡｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）又はＡ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）及びＢｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）又はＢｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）又はＢ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）、あるいは、３次元電流密度ベクトル分布と３次元磁場ベクトル分布に関して有限差分近似あるいは有限要素近似（変分法又はガラーキン法）を適用してこれらの未知空間分布Ａｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）（時系列）又はＡ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）（時系列）又はＡｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）又はＡ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）及びＢｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）（時系列）又はＢ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ，ｔ）（時系列）又はＢｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）又はＢ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）に関する代数方程式を導出し、これらの未知分布の各々に関して、空間分布そのものや勾配分布やラプラシアン分布の２乗ノルムを用いた正則化を、又、必要に応じて、これらのいずれかの２乗ノルムに加えて時系列そのものや時間方向の１階の偏微分又は２階の偏微分の２乗ノルムを用いた正則化を、又、必要に応じて、これらのいずれかの２乗ノルムに加えてスペクトラムそのものや周波数方向の１階の偏微分又は２階の偏微分の２乗ノルムに正則化を施すことがある。尚、上記の電流密度ベクトル分布の時系列と磁場ベクトル分布の時系列の時間方向の低域通過型のフィルタリングは、スペクトラム解析を行った上で、周波数領域において実現されることもある。最終的に、（１３２ａ）式と（１３２ｂ）式から、未知である導電率分布や未知誘電率分布が求められる。
尚、２次元関心領域や１次元関心領域を対象とする場合も同様に、前記の導電率推定法に従う。これより、上記の３次元関心領域を対象とした場合に、その領域内に複数の２次元関心領域や複数の１次元関心領域を設け、又、２次元関心領域を対象とする場合に複数の１次元関心領域を設け、各低次元関心領域にて未知分布Ａｉ及びＢｉに関する代数方程式を導出し、適宜、上記の２乗ノルムを用いた正則化が高次元関心領域又は各低次元関心領域において施されることがある。
また、未知である３次元分布のＡｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）とＢｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｆｉ）及び２次元分布のＡｉ（ｘ，ｙ，ｆｉ）とＢｉ（ｘ，ｙ，ｆｉ）への適用は不可能であるが、前記の導電率推定法と同様に、１次元導電率分布や１次元誘電率分布に変分原理を適用する場合は、それらの１次元分布そのものの代わりに、１次元導電率や１次元誘電率の１階微分の１次元分布に変分原理が適用されることも可能である。
尚、これらの導電率及び誘電率を推定する際に必要となる、正規化のためのパワー値及び正則化パラメータ値は、いずれも、前記の導電率分布推定法に従い、これらにかかる電流密度ベクトルの時系列のスペクトラムの空間分布より決定される。尚、有限要素近似（変分原理又はガラーキン法）を行う場合の基底関数φも、前記のものに従う。
尚、本法は、磁場ベクトルが直流である場合（ｆｉ＝ｆｂｉ＝０、即ち、電流密度ベクトルが直流である場合（ｆｉ＝０）であり、（１３０）式にてＡｉ＝１／σｉ（（１２９ａ）式より）且つＢｉ＝０（（１２９ｂ）式より）且つ右辺はゼロ）（前記の導電率推定法と同一）や誘電率εｉがゼロである場合（（１３０）式にてＡｉ＝１／σｉ（（１２９ａ）式より）且つＢｉ＝０（（１２９ｂ）式より））は導電率σｉのみを計測対象として使用でき、又、導電率σｉがゼロである場合（直流は不可であり、（１３０）式にてＡｉ＝０（（１２９ａ）式より）且つＢｉ＝１／（２πｆｉεｉ）（（１２９ｂ）式より））は誘電率εｉのみを計測対象として使用できる。
又、導電率σｉが極めて小さい場合には導電率σｉをゼロとして扱うことがあり、又、誘電率εｉが極めて小さい場合には誘電率εｉをゼロとして扱うことがある。
又、磁場ベクトルの周波数ｆｉ又はｆｂｉが極めて低い場合（即ち、電流密度ベクトルの周波数ｆｉが極めて低い場合）には、（１３０）式の右辺はゼロとして使用されることがあり、
又、同じく磁場ベクトルの周波数ｆｉ又はｆｂｉが極めて低い場合（即ち、電流密度ベクトルの周波数ｆｉが極めて低い場合）には、（１３０）式は周波数ｆｉをゼロ（Ａｉ＝１／σｉ（（１２９ａ）式より）且つＢｉ＝０（（１２９ｂ）式より））として導電率σｉのみを計測対象として使用されることがある。
又、磁場ベクトルの周波数ｆｉ又はｆｂｉが極めて高い場合（即ち、電流密度ベクトルの周波数ｆｉが極めて高い場合）には、（１３０）式は周波数ｆｉを無限大（Ａｉ＝０（（１２９ａ）式より）且つＢｉ＝１／（２πｆｉεｉ）（（１２９ｂ）式より））として誘電率εｉのみを計測対象として使用されることがある。
次に、導電率空間分布や誘電率空間分布を推定するために用いる電流密度ベクトル推定法として、２次元磁場ベクトルの２次元空間分布の測定が可能である場合に使用できる技法１及び、３次元、又は、２次元磁場ベクトルの３次元空間分布の測定が可能である場合に使用できる技法２を示す。
技法１（２次元磁場ベクトルの２次元空間分布の測定が可能である場合に使用する技法）
３次元空間（Ｉ，Ｊ，Ｋ）内にある、３次元関心空間とＫ座標Ｋ＝Ｋ’にて交差する、又は、２次元関心領域内をＫ座標Ｋ＝Ｋ’にて含む、平面内に存在しうる電流密度ベクトル分布として、３次元電流密度ベクトルの２次元分布Ｊ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ）、又は、２次元電流密度ベクトルの２次元分布Ｊ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ）により、平面ｚ＝ｚ０（≠Ｚ）（Ｋ＝Ｋ０（≠Ｋ’））に生成される３次元磁場ベクトルＢ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）（＝（Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’），Ｂｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’），Ｂｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’））Ｔ）の２成分Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）及びＢｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）の２次元分布を測定し、連続なデカルト座標系（ｘ，ｙ，ｚ）にて表されるビオ・サバールの法則
2003046587.tif 000184
但し、μ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）：与えられる透磁率
ｒ：（ｘ’，ｙ’，Ｚ）から（ｘ，ｙ，ｚ０）までの距離ベクトルＪ（ｘ’ｙ’，Ｚ）は、時間ｔの関数である場合、計測される、見積もられる、若しくは、与えられる、（ｘ’，ｙ’，Ｚ）から（ｘ，ｙ，ｚ０）までの距離｜ｒ｜を電磁波が伝播するのに要する時間ｔ’（すなわち、この２点を結ぶ線分上の伝播速度分布ｃ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）＝１／√［ε（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）μ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、すなわち、この２点を結ぶ線分上の誘電率分布ε（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ））を用いてＪ（ｘ’，ｙ’，Ｚ，ｔ−ｔ’）と表されることがある。
を考え、この平面内（Ｋ＝Ｋ’）の２次元関心領域内における３次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ）の擬似２次元電流密度ベクトル分布（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ、又は、２次元電流密度ベクトル分布Ｊ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔを推定する。但し、電流は平面（ｘ，ｙ，Ｚ）内を支配的に流れていることを仮定する。
この場合の磁場ベクトルの測定に関しては、前述の磁場ベクトル検出器を機械的に走査するなどして、Ｋ座標Ｋ＝Ｋ’の２次元関心領域内及びその面内の十分に広い周辺領城内の電流により生成されると考えられる３次元磁場ベクトル分布Ｂ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）の２成分Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）及びＢｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）を、極力、２次元関心領域面に対して近距離位置にて測定する必要がある（すなわち、極力、｜Ｋ０−Ｋ’｜を小さく。）。
この測定された磁場ベクトルデータに対して２次元関心領域外に存在する電流により生成される磁場成分の低減するべく、平面Ｋ＝Ｋ’内に任意の一方向の大きさ１の２次元電流密度ベクトルがこの２次元関心領域内のみに空間的に一様に分布していることを想定して、ビオ・サバールの法則（（１３４）式）を離散デカルト系（Ｉ，Ｊ，Ｋ）〜（ｘ／Δｘ，ｙ／Δｙ，ｚ／Δｚ）にて電流密度ベクトル分布を離散化あるいは有限要素近似（電流成分Ｊｘ（ｘ，ｙ，Ｚ）及びＪｙ（ｘ，ｙ，Ｚ）は、２次元基底関数φＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）（節点数は略）を用いて、各々、ΣＩ，ＪφＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）及びΣＩ，ＪφＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）と内挿される。）した式
2003046587.tif 000185
但し、
Ｂ：３次元磁場ベクトルＢ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）の２成分Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）及びＢｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）の２次元分布からなるベクトル
Ｊ：擬似２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ、又は、２次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）の、２成分Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）及びＪｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）の２次元分布からなるベクトル
Ｌ：Ｂ及びＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）（離散近似）又はＪ（ｘ，ｙ，Ｚ）（有限要素近似）を関係付けるリード場を表す行列
より、測定の行われた位置（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）にて計算される２次元磁場ベクトルＢ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）の絶対値で表される窓関数Ｗ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）を測定された磁場データＢｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）及びＢｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）に掛ける。
従って、窓関数の掛けられた磁場測定データＷ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）及びＷ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）Ｂｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）の空間分布からなるベクトルＢＷを用いて、
2003046587.tif 000186
よりベクトルＪを推定する。具体的には、最小二乗法に基づいて推定する際に正則化法を施すことにより、その推定の安定化を図る。すなわち、正則化パラメータαＪ１、αＪ２、αＪ３（正値）を用いて、
2003046587.tif 000187
但し、Ｄ：電流密度ベクトル（Ｊｘ（ｘ，ｙ，Ｚ），Ｊｙ（ｘ，ｙ，Ｚ））Ｔ成分の２次元分布に関するｘ，ｙ方向の２次元勾配作用素の有限差分近似定数又は有限要素近似定数（基底関数φＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）（１回以上偏微分可能）より求まる）から成る行列
ＤＪ：（Ｊｘ（ｘ，ｙ，Ｚ），Ｊｙ（ｘ，ｙ，Ｚ））Ｔの２次元勾配の近似
ＤＴＤ：電流密度ベクトル（Ｊｘ（ｘ，ｙ，Ｚ），Ｊｙ（ｘ，ｙ，Ｚ））Ｔ成分の２次元分布に関する２次元ラプラシアンの有限差分近似定数又は有限要素近似定数（基底関数φＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）（２回以上偏微分可能）より求まる）から成る行列
ＤＴＤＪ：（Ｊｘ（ｘ，ｙ，Ｚ），Ｊｙ（ｘ，ｙ，Ｚ））Ｔの２次元ラプラシアンの近似
をベクトルＪに関して最小化することにより、Ｋ座標Ｋ＝Ｋ’の２次元関心領域内の擬似２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ又は２次元電流密度ベクトル分布Ｊ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ）が求まる。
この様に、３次元関心空間（Ｉ，Ｊ，Ｋ）内の各Ｋ座標Ｋ＝Ｋ’の２次元関心領域内にて、擬似２次元電流密度ベクトル分布（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ又は２次元電流密度ベクトル分布Ｊ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ）を推定することにより、３次元関心空間内の擬似２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））Ｔ及び２次元電流密度ベクトル分布Ｊ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））Ｔ）が求まる。
又、３次元関心空間内の擬似２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））Ｔ及び２次元電流密度ベクトル分布Ｊ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））Ｔ）は、３次元導電率空間分布を求める場合と同様に、３次元関心領域内の各Ｋ座標の２次元関心領域内にて成立する方程式を全て連立し、２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））Ｔ成分の３次元空間分布に関する３次元勾配作用素Ｄ’を用いて正則化して推定することも可能である。この場合、（１３７）式中のＤ’Ｊ及びＤ’ＴＤ’Ｊは、各々、（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））Ｔの２成分の３次元空間分布の３次元勾配及び３次元ラプラシアンである。
又、各Ｋ座標Ｋ＝Ｋ’の２次元関心領域内にて、擬似２次元電流密度ベクトル分布（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔの時系列又は２次元電流密度ベクトル分布Ｊ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔの時系列を推定する場合は、上記の３次元磁場ベクトルＢ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）の２成分Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）及Ｂｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）の２次元分布の時系列が測定された各時間において成立する方程式を全て連立し、各２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ成分分布の時系列に関して、時系列そのものや時系列の時間方向の１階の偏微分や２階の偏微分の２乗ノルム（各々にかかる正則化パラメータをαＪ４とαＪ５とする）を用いた正則化を施すことがある。この場合、各時間の２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ成分分布の上記２次元勾配や２次元ラプラシアンの２乗ノルムが使用されて正則化されることがある。
又、３次元関心領域内の擬似２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔの時系列又は２次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔの時系列を推定する場合は、上記の３次元磁場ベクトルＢ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ）の２成分Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ）及びＢｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ）の２次元分布の時系列が測定された各時間において成立する方程式を全て連立し、各２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））Ｔ成分の３次元空間分布の時系列に関して、時系列そのものや時系列の時間方向の１階の偏微分や２階の偏微分の２乗ノルム（各々にかかる正則化パラメータをαＪ４とαＪ５とする）を用いた正則化を施すことがある。この場合、各時間の２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ成分の３次元空間分布の上記３次元勾配や３次元ラプラシアンの２乗ノルムが使用されて正則化されることがある。
正則化パラメータαＪ１・αＪ２・αＪ３は、各時間において、電流密度ベクトルの分布にかかる行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される、又は、測定された磁場ベクトル分布データの精度（ＳＮ比）により調節される（ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きく）ことがある。これに準じて、例えば、そのＳＮパワー比に反比例させることがある。）。
正則化パラメータαＪ４・αＪ５は、各時間において、電流密度ベクトルの分布にかかる行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される、又は、測定された磁場ベクトル分布データの時間方向の変化量の精度（ＳＮ比）により調節される（ＳＮ比が高い時間に小さく、ＳＮ比が低い時間に大きく）ことがある。これに準じて、例えば、そのＳＮパワー比に反比例させることがある。）。
又、正則化パラメータαＪ１・αＪ２・αＪ３は、各時間において、かかる電流密度ベクトル成分の分布ごとに異なるものとして実現されることがあり、結果的に、電流密度ベクトルの分布にかかる行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される、又は、測定された磁場ベクトルの２成分分布データの精度（ＳＮ比）により調節されることがある（ＳＮ比が高い磁場ベクトル成分分布の方向と直交する方向の電流密度ベクトル成分の分布に対して小さく、ＳＮ比が低い磁場ベクトル成分分布の方向と直交する方向の電流密度ベクトル成分の分布に対して大きく、これに準じて、例えば、磁場ベクトルの各２成分分布データのＳＮパワー比に反比例させることがある。）。これに準じて、測定された磁場ベクトルの２成分分布データのＳＮパワー比から評価される成分依存性の正則化パラメータ値と磁場ベクトル分布そのもののＳＮパワー比から評価される正則化パラメータ値とを重要度の重み付けを行った上で算出される積に比例する値とすることがある。
又、正則化パラメータαＪ４・αＪ５は、各時間において、かかる電流密度ベクトル成分の分布ごとに異なるものとして実現されることがあり、結果的に、電流密度ベクトルの分布にかかる行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される、又は、測定された磁場ベクトルの２成分分布データの時間方向の変化量の精度（ＳＮ比）により調節されることがある（直交する方向の電流密度ベクトル成分分布の時系列に対して、磁場ベクトル成分分布の時間方向の変化量のＳＮ比が高い時間において小さく、磁場ベクトル成分分布の時間方向の変化量のＳＮ比が低い時間において大きく、これに準じて、例えば、磁場ベクトルの各２成分分布データの時間方向の変化量のＳＮパワー比に反比例させることがある。）。これに準じて、測定された磁場ベクトルの２成分分布データの時間方向の変化量のＳＮパワー比から評価される時間及び方向に依存する正則化パラメータ値と磁場ベクトル分布の時間方向の変化量のＳＮパワー比から評価される正則化パラメータ値とを重要度の重み付けを行った上で算出される積に比例する値とすることがある。
又、正則化パラメータαＪ１・αＪ２・αＪ３は、各時間において、空間的に変化するものとして実現されることもあり、結果的に、各関心点の電流密度ベクトルにかかる局所行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される。又、測定された各磁場ベクトルデータの精度（ＳＮ比）により調節され（ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きく、これに準じて、例えば、磁場ベクトルデータのＳＮパワー比に反比例させることがある。）、且つ、電流密度ベクトルと各磁場ベクトルとの距離の４乗に比例させることがある。これに準じて、各関心点の電流密度ベクトルにかかる正則化パラメータαＪ１・αＪ２・αＪ３は、各磁場ベクトルデータのＳＮパワー比から評価される正則化パラメータ値と各磁場ベクトルとの距離で決まる正則化パラメータ値とを重要度の重み付けを行った上で算出される積に比例する値とすることがある。
又、正則化パラメータαＪ４・αＪ５は、各時間において、空間的に変化するものとして実現されることもあり、結果的に、各関心点の電流密度ベクトルにかかる局所行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される。又、測定された各磁場ベクトルデータの時間方向の変化量の精度（ＳＮ比）により調節され（ＳＮ比が高い時間に小さく、ＳＮ比が低い時間に大きく、これに準じて、例えば、そのＳＮパワー比に反比例させることがある。）、且つ、電流密度ベクトルと各磁場ベクトルとの距離の４乗に比例させることがある。これに準じて、各関心点の電流密度ベクトルにかかる正則化パラメータαＪ４・αＪ５は、各磁場ベクトルデータの時間方向の変化量のＳＮパワー比から評価される正則化パラメータ値と各磁場ベクトルとの距離で決まる正則化パラメータ値とを重要度の重み付けを行った上で算出される積に比例する値とすることがある。
又、正則化パラメータαＪ１・αＪ２・αＪ３は、各時間において、上記の如く空間的に変化するものとして、且つ、かかる電流密度ベクトル成分ごとに異なるものとして実現されることもあり、結果的に、各関心点の電流密度ベクトルにかかる局所行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される、又は、測定された各磁場ベクトルの２成分データの精度（ＳＮ比）により調節されることがある（ＳＮ比が高い磁場ベクトル成分方向と直交する方向の電流密度ベクトル成分に対して小さく、ＳＮ比が低い磁場ベクトル成分方向と直交する方向の電流密度ベクトル成分に対して大きく、これに準じて、例えば、磁場ベクトルの各２成分データのＳＮパワー比に反比例させることがある。）。これに準じて、各関心点の各電流密度ベクトル成分にかかる正則化パラメータαＪ１・αＪ２・αＪ３は、測定された各磁場ベクトルの２成分データのＳＮパワー比から評価される成分依存性の正則化パラメータ値と、各磁場ベクトルとの距離で決まる正則化パラメータ値と、各磁場ベクトルそのもののＳＮパワー比から評価される正則化パラメータ値とを、重要度の重み付けを行った上で算出される積に比例する値とすることがある。
また、正則化パラメータαＪ４・αＪ５は、各時間において、上記の如く空間的に変化するものとして、且つ、かかる電流密度ベクトル成分ごとに異なるものとして実現されることがあり、結果的に、各関心点の電流密度ベクトルにかかる局所行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される、又は、測定された各磁場ベクトルの２成分データの時間方向の変化量の精度（ＳＮ比）により調節されることがある（直交する方向の電流密度ベクトル成分の時系列に対して、磁場ベクトル成分の時間方向の変化量のＳＮ比が高い時間において小さく、磁場ベクトル成分の時間方向の変化量のＳＮ比が低い時間において大きく、これに準じて、例えば、磁場ベクトルの各２成分データの時間方向の変化量のＳＮパワー比に反比例させることがある。）。これに準じて、各関心点の各電流密度ベクトル成分にかかる正則化パラメータαＪ４・αＪ５は、測定された各磁場ベクトルの２成分データの時間方向の変化量のＳＮパワー比から評価される時間及び方向に依存する正則化パラメータ値と、各磁場ベクトルとの距離で決まる正則化パラメータ値と、各磁場ベクトルの時間方向の変化量のＳＮパワー比から評価される正則化パラメータ値とを、重要度の重み付けを行った上で算出される積に比例する値とすることがある。
技法２（３次元、又は、２次元磁場ベクトルの３次元空間分布の測定が可能である場合に使用する技法）
技法２−１：３次元関心空間を直接に対象とする場合
３次元空間（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）内にある、３次元関心空間（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）及びその空間を含み物体表面にまで及ぶ十分に広い空間内に存在しうる電流密度ベクトル分布として、３次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ）の３次元空間分布、又は、２次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ）の３次元空間分布により、任意ｚ座標ｚ＝ｚ０（≠Ｚ）（Ｋ＝Ｋ０（≠Ｋ’））に生成される３次元磁場ベクトルＢ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）（＝（Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０），Ｂｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０），Ｂｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０））Ｔ）の３次元空間分布又はその２成分Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）及びＢｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）の３次元分布を測定し、連続なデカルト座標系（ｘ，ｙ，ｚ）にて表されるビオ・サバールの法則
2003046587.tif 000188
但し、μ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）：与えられる透磁率
ｒ：（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から（ｘ，ｙ，ｚ０）までの距離ベクトルＪ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）は、時間ｔの関数である場合、計測される、見積もられる、若しくは、与えられる、（ｘ’，ｙ’，ｚ’）から（ｘ，ｙ，ｚ０）までの距離｜ｒ｜を電磁波が伝播するのに要する時間ｔ’（すなわち、この２点を結ぶ線分上の伝播速度分布ｃ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）＝１／√［ε（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）μ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］、すなわち、この２点を結ぶ線分上の誘電率分布ε（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ））を用いてＪ（ｘ’，ｙ’，ｚ’，ｔ−ｔ’）と表されることがある。
を考え、３次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ）、又は、その擬似２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ、又は、２次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ）の、３次元空間分布を推定する。基本的には、電流は平面（ｘ，ｙ，Ｚ）内を支配的に流れていることを仮定する。
この場合の磁場ベクトルの測定に関しては、前述の磁場ベクトル検出器を機械的に走査するなどして、３次元関心空間内及びその空間を含む十分に広い空間内の電流により生成されると考えられる、３次元磁場ベクトルＢ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）（＝（Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０），Ｂｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０），Ｂｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０））Ｔ）の３次元空間分布、又は、その２成分Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）及びＢｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）の３次元空間分布を、極力、その３次元関心空間に対して近距離位置にて測定する必要がある（すなわち、極力、｜Ｋ０−Ｋ’｜を小さく。）。
この測定された磁場ベクトルデータに対して、その３次元関心空間外に存在する電流により生成される磁場成分を低減するべく、任意の一方向の大きさ１の３次元電流密度ベクトルが、その３次元関心空間内のみに一様に分布していることを想定して、ビオ・サバールの法則（（１３８式）を離散デカルト座標系（Ｉ，Ｊ，Ｋ）〜（ｘ／Δｘ，ｙ／Δｙ，ｚ／Δｚ）にて電流密度ベクトルに関して離散化あるいは有限要素近似（電流成分Ｊｘ（ｘ，ｙ，Ｚ）、Ｊｙ（ｘ，ｙ，Ｚ）、及び、Ｊｚ（ｘ，ｙ，Ｚ）は、３次元基底関数φＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）（節点数は略）を用いて、各々、ΣＩ，Ｊ，Ｋ’φＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）、ΣＩ，Ｊ，Ｋ’φＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）、及び、ΣＩ，Ｊ，Ｋ’φＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）Ｊｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）と内挿される。）した式
2003046587.tif 000189
但し、
Ｂ：３次元磁場ベクトルＢ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）の３成分Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）、Ｂｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）及びＢｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）、又は、３次元磁場ベクトルＢ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）の２成分Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）及びＢｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）、の３次元空間分布からなるベクトル
Ｊ：３次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）の３成分Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）、Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）及びＪｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）の３次元空間分布からなるベクトル、又は、その擬似２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ、又は、２次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）の２成分Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）、及び、Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）の３次元空間分布からなるベクトル
Ｌ：Ｂ及びＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）（離散近似）又はＪ（ｘ，ｙ，Ｚ）（有限要素近似）を関係付けるリード場を表す行列
より、測定の行われた位置（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）にて計算される磁場ベクトルＢ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）の絶対値で表される窓関数Ｗ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）を測定された磁場データＢｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）、Ｂｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）、Ｂｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）に掛ける。
従って、窓関数の掛けられた３つの磁場測定データＷ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）、Ｗ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）Ｂｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）及びＷ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）Ｂｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）、又は、２つの磁場測定データＷ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）及びＷ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）Ｂｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）の空間分布からなるベクトルＢＷを用いて、
2003046587.tif 000190
よりベクトルＪを推定する。具体的には、最小二乗法に基づいて推定する際に正則化法を施すことにより、その推定の安定化を図る。すなわち、正則化パラメータαＪ１、αＪ２、αＪ３（正値）を用いて、
2003046587.tif 000191
但し、
Ｄ’：ベクトルＪが３次元電流密度ベクトルＪ（ｘ，ｙ，Ｚ）の３成分Ｊｘ（ｘ，ｙ，Ｚ）、Ｊｙ（ｘ，ｙ，Ｚ）及びＪｚ（ｘ，ｙ，Ｚ）の３次元空間分布（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）から成る場合、
これら３成分に関するｘ，ｙ，ｚ方向の３次元勾配作用素の有限差分近似定数、又は有限要素近似定数（基底関数φＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）（１回以上偏微分可能）より求まる）からなる行列、
又、
ベクトルＪが３次元電流密度ベクトルＪ（ｘ，ｙ，Ｚ）の擬似２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（ｘ，ｙ，Ｚ），Ｊｙ（ｘ，ｙ，Ｚ））Ｔ又は２次元電流密度ベクトルＪ（ｘ，ｙ，Ｚ）の２成分Ｊｘ（ｘ，ｙ，Ｚ）及びＪｙ（ｘ，ｙ，Ｚ）の３次元空間分布（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）から成る場合、
これら２成分に関するｘ，ｙ，ｚ方向の３次元勾配作用素の有限差分近似定数又は有限要素近似定数（基底関数φＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）（１回以上偏微分可能）より求まる）からなる行列
Ｄ’ＴＤ’：ベクトルＪが３次元電流密度ベクトルＪ（ｘ，ｙ，Ｚ）の３成分Ｊｘ（ｘ，ｙ，Ｚ）、Ｊｙ（ｘ，ｙ，Ｚ）及びＪｚ（ｘ，ｙ，Ｚ）の３次元空間分布（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）から成る場合、
これら３成分に関する３次元ラプラシアン作用素の有限差分近似定数又は有限要素近似定数（基底関数φＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）（２回以上偏微分可能）より求まる）からなる行列、
又、
ベクトルＪが３次元電流密度ベクトルＪ（ｘ，ｙ，Ｚ）の擬似２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（ｘ，ｙ，Ｚ），Ｊｙ（ｘ，ｙ，Ｚ））Ｔ又は２次元電流密度ベクトルＪ（ｘ，ｙ，Ｚ）の２成分Ｊｘ（ｘ，ｙ，Ｚ）及びＪｙ（ｘ，ｙ，Ｚ）の３次元空間分布（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）から成る場合、これら２成分に関する３次元ラプラシアン作用素の有限差分近似定数又は有限要素近似定数（基底関数φＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）（２回以上偏微分可能）より求まる）からなる行列をベクトルＪに関して最小化することにより、３次元関心空間内の、３次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ）、又は、その擬似２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ、又は、２次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ）の３次元空間分布が求まる。
又、３次元関心領域内の、３次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ）の時系列、又は、その擬似２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔの時系列、又は、２次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ）の時系列を推定する場合は、上記の３次元磁場ベクトルＢ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）の３成分Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）、Ｂｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）及びＢｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）、又は、その２成分Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）及びＢｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）の３次元空間分布の時系列が測定された各時間において成立する方程式を全て連立し、各３次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））Ｔ成分又は各２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））Ｔ成分の３次元空間分布の時系列に関して、時系列そのものや時系列の時間方向の１階の偏微分や２階の偏微分の２乗ノルム（各々にかかる正則化パラメータをαＪ４とαＪ５とする）を用いた正則化を施すことがある。この場合、各時間の３次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）Ｔ成分及び２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））Ｔ成分の３次元空間分布の上記３次元勾配や３次元ラプラシアンの２乗ノルムが使用されて正則化されることがある。
正則化パラメータαＪ１・αＪ２・αＪ３は、各時間において、電流密度ベクトルの空間分布にかかる行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される、又は、測定された磁場ベクトル空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節されることがある（ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きく、これに準じて、例えば、そのＳＮパワー比に反比例させることがある。）。
正則化パラメータαＪ４・αＪ５は、各時間において、電流密度ベクトルの空間分布にかかる行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される、又は、測定された磁場ベクトル空間分布の時間方向の変化量データの精度（ＳＮ比）により調節されることがある（ＳＮ比が高い時間に小さく、ＳＮ比が低い時間に大きく、これに準じて、例えば、そのＳＮパワー比に反比例させることがある。）。
又、正則化パラメータαＪ１・αＪ２・αＪ３は、各時間において、かかる電流密度ベクトル成分の空間分布ごとに異なるものとして実現されることがあり、結果的に、電流密度ベクトルの空間分布にかかる行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される、又は、測定された磁場ベクトルの各方向成分空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節されることがある（ＳＮ比が高い磁場ベクトル成分空間分布の方向と直交する方向の電流密度ベクトル成分空間分布に対して小さく、ＳＮ比が低い磁場ベクトル成分空間分布の方向と直交する方向の電流密度ベクトル成分空間分布に対して大きく、これに準じて、例えば、磁場ベクトルの上記各３成分又は各２成分空間分布データのＳＮパワー比に反比例させることがある。従って、３次元磁場ベクトルデータが測定された場合は３つの電流密度ベクトル成分空間分布に関しては２つの磁場ベクトル成分空間分布のＳＮ比から決定される値の積に、２次元磁場ベクトルデータが測定された場合は電流密度ベクトルのｘ、ｙ成分空間分布に関しては１つの磁場ベクトル成分空間分布のＳＮ比から決定される値に、ｚ成分空間分布に関しては２つの磁場ベクトル成分空間分布のＳＮ比から決定される値の積に、比例する値に設定されることとなる。）。これに準じて、測定された磁場ベクトルの上記３成分又は２成分空間分布データのＳＮパワー比から評価される成分依存性の正則化パラメータ値と磁場ベクトル空間分布そのもののＳＮパワー比から評価される正則化パラメータ値とを重要度の重み付けを行った上で算出される積に比例する値とすることがある。
また、正則化パラメータαＪ４・αＪ５は、各時間において、かかる電流密度ベクトル成分の空間分布ごとに異なるものとして実現されることがあり、結果的に、電流密度ベクトルの空間分布にかかる行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される、又は、測定された磁場ベクトルの各方向成分空間分布データの時間方向の変化量の精度（ＳＮ比）により調節されることがある（直交する方向の電流密度ベクトル成分分布の時系列に対して、磁場ベクトル成分分布の時間方向の変化量のＳＮ比が高い時間において小さく、磁場ベクトル成分分布の時間方向の変化量のＳＮ比が低い時間において大きく、これに準じて、例えば、磁場ベクトルの上記各３成分又は各２成分空間分布データの時間方向の変化量のＳＮパワー比に反比例させることがある。）。これに準じて、測定された磁場ベクトルの上記３成分又は２成分の空間分布データの時間方向の変化量のＳＮパワー比から評価される時間及び方向に依存する正則化パラメータ値と磁場ベクトル分布の時間方向の変化量のＳＮパワー比から評価される正則化パラメータ値とを重要度の重み付けを行った上で算出される積に比例する値とすることがある。
又、正則化パラメータαＪ１・αＪ２・αＪ３は、各時間において、空間的に変化するものとして実現されることもあり、結果的に、各関心点の電流密度ベクトルにかかる局所行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される。又、測定された各磁場ベクトルデータの精度（ＳＮ比）により調節され（ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きく、これに準じて、例えば、磁場ベクトルデータのＳＮパワー比に反比例させることがある。）、且つ、電流密度ベクトルと各磁場ベクトルとの距離の４乗に比例させることがある。これに準じて、各関心点の電流密度ベクトルにかかる正則化パラメータαＪ１・αＪ２・αＪ３は、各磁場ベクトルデータのＳＮパワー比から評価される正則化パラメータ値と各磁場ベクトルとの距離で決まる正則化パラメータ値とを重要度の重み付けを行った上で算出される積に比例する値とすることがある。
又、正則化パラメータαＪ４・αＪ５は、各時間において、空間的に変化するものとして実現されることもあり、結果的に、各関心点の電流密度ベクトルにかかる局所行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される。又、測定された各磁場ベクトルデータの時間方向の変化量の精度（ＳＮ比）により調節され（ＳＮ比が高い時間に小さく、ＳＮ比が低い時間に大きく、これに準じて、例えば、そのＳＮパワー比に反比例させることがある。）、且つ、電流密度ベクトルと各磁場ベクトルとの距離の４乗に比例させることがある。これに準じて、各関心点の電流密度ベクトルにかかる正則化パラメータαＪ４・αＪ５は、各磁場ベクトルの時間方向の変化量データのＳＮパワー比から評価される正則化パラメータ値と各磁場ベクトルとの距離で決まる正則化パラメータ値とを重要度の重み付けを行った上で算出される積に比例する値とすることがある。
又、正則化パラメータαＪ１・αＪ２・αＪ３は、各時間において、上記の如く空間的に変化するものとして、且つ、かかる電流密度ベクトル成分ごとに異なるものとして実現されることがあり、結果的に、各関心点の電流密度ベクトルにかかる局所行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される、又は、測定された各磁場ベクトルの各方向成分データの精度（ＳＮ比）により調節されることがある（ＳＮ比が高い磁場ベクトル成分方向と直交する方向の電流密度ベクトル成分に対して小さく、ＳＮ比が低い磁場ベクトル成分の方向と直交する方向の電流密度ベクトル成分に対して大きく、これに準じて、例えば、磁場ベクトルの上記各３成分又は各２成分データのＳＮパワー比に反比例させることがある。従って、３次元磁場ベクトルデータが測定された場合は３つの電流密度ベクトル成分に関しては２つの磁場ベクトル成分のＳＮ比から決定される値の積に、２次元磁場ベクトルデータが測定された場合は電流密度ベクトルのｘ、ｙ成分に関しては１つの磁場ベクトル成分のＳＮ比から決定される値に、ｚ成分に関しては２つの磁場ベクトル成分のＳＮ比から決定される値の積に、比例する値に設定されることとなる。）。これに準じて、各関心点の各電流密度ベクトル成分にかかる正則化パラメータαＪ１・αＪ２・αＪ３は、測定された各磁場ベクトルの３成分又は２成分データのＳＮパワー比から評価される成分依存性の正則化パラメータ値と、各磁場ベクトルとの距離で決まる正則化パラメータ値と、各磁場ベクトルそのもののＳＮパワー比から評価される正則化パラメータ値とを、重要度の重み付けを行った上で算出される積に比例する値とすることがある。
また、正則化パラメータαＪ４・αＪ５は、各時間において、上記の如く空間的に変化するものとして、且つ、かかる電流密度ベクトル成分ごとに異なるものとして実現されることがあり、結果的に、各関心点の電流密度ベクトルにかかる局所行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される、又は、測定された各磁場ベクトルの各方向成分データの時間方向の変化量の精度（ＳＮ比）により調節されることがある（直交する方向の電流密度ベクトル成分の時系列に対して、磁場ベクトル成分の時間方向の変化量のＳＮ比が高い時間において小さく、磁場ベクトル成分の時間方向の変化量のＳＮ比が低い時間において大きく、これに準じて、例えば、磁場ベクトルの上記各３成分又は各２成分データの時間方向の変化量のＳＮパワー比に反比例させることがある。）。これに準じて、各関心点の各電流密度ベクトル成分にかかる正則化パラメータαＪ４・αＪ５は、測定された各磁場ベクトルの３成分又は２成分データの時間方向の変化量のＳＮパワー比から評価される時間及び方向に依存する正則化パラメータ値と、各磁場ベクトルとの距離で決まる正則化パラメータ値と、各磁場ベクトルの時間方向の変化量のＳＮパワー比から評価される正則化パラメータ値とを、重要度の重み付けを行った上で算出される積に比例する値とすることがある。
技法２−２：２次元関心領域を直接に対象とする場合
３次元空間（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）内にある、３次元関心空間とＫ座標Ｋ＝Ｋ’にて交差する、又は、２次元関心領域内をＫ座標Ｋ＝Ｋ’にて含む、平面内に存在しうる電流密度ベクトル分布として、３次元電流密度ベクトルの２次元分布Ｊ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ）、又は、２次元電流密度ベクトルの２次元分布Ｊ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ）により、平面ｚ＝ｚ０（≠Ｚ）（Ｋ＝Ｋ０（≠Ｋ’））に生成される３次元磁場ベクトルＢ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）（＝（Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’），Ｂｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’），Ｂｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’））Ｔ）の３次元空間分布又はその２成分Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）及びＢｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）の３次元分布を測定し、連続なデカルト座標系（ｘ，ｙ，ｚ）にて表されるビオ・サバールの法則（（１３４）式）を考え、この平面内（Ｋ＝Ｋ’）の２次元関心領域内における３次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ）、又は、その擬似２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ、又は、２次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔの、２次元分布を推定する。但し、電流は平面（ｘ，ｙ，Ｚ）内を支配的に流れていることを仮定する。
この場合の磁場ベクトルの測定に関しては、前述の磁場ベクトル検出器を機械的に走査するなどして、Ｋ座標Ｋ＝Ｋ’の２次元関心領域内及びその面内の周辺領域内の電流により生成されると考えられる、３次元磁場ベクトル分布Ｂ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）（＝（Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’），Ｂｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’））Ｔ）の３次元空間分布、又は、その２成分Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）及びＢｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）の３次元空間分布を、極力、２次元関心領域面に対して近距離位置にて測定する必要がある（すなわち、極力、｜Ｋ０−Ｋ’｜を小さく。）。
この測定された磁場ベクトルデータに対して２次元関心領域外に存在する電流により生成される磁場成分の低減するべく、平面Ｋ＝Ｋ’内に任意の一方向の大きさ１の２次元電流密度ベクトルがこの２次元関心領域内のみに空間的に一様に分布していることを想定して、ビオ・サバールの法則（（１３４）式）を離散デカルト系（Ｉ，Ｊ，Ｋ）〜（ｘ／Δｘ，ｙ／Δｙ，ｚ／Δｚ）にて電流密度ベクトルを離散化あるいは有限要素近似（電流成分Ｊｘ（ｘ，ｙ，Ｚ）、Ｊｙ（ｘ，ｙ，Ｚ）、及び、Ｊｚ（ｘ，ｙ，Ｚ）は、２次元基底関数φＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）（節点数は略）を用いて、各々、ΣＩ，ＪφＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）、ΣＩ，ＪφＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）、及び、ΣＩ，ＪφＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）Ｊｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）と内挿される。）した式
2003046587.tif 000192
但し、
Ｂ：３次元磁場ベクトルＢ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）の３成分Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）、Ｂｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）及びＢｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）、
又は、３次元磁場ベクトルＢ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）の２成分Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）及びＢｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）、の３次元空間分布からなるベクトル
Ｊ：３次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）の３成分Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）、Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）、Ｊｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）の２次元分布からなるベクトル、
又は、その擬似２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ又は２次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）の２成分Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）及びＪｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）の、２次元分布からなるベクトル
Ｌ：Ｂ及びＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）（離散近似）又はＪ（ｘ，ｙ，Ｚ）（有限要素近似）を関係付けるリード場を表す行列
より、測定の行われた位置（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）にて計算される磁場ベクトルＢ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）の絶対値で表される窓関数Ｗ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）を測定された磁場データＢｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）、Ｂｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）、Ｂｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）に掛ける。
従って、窓関数の掛けられた３つの磁場測定データＷ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）、Ｗ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）Ｂｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）及びＷ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）Ｂｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）、又は、２つの磁場測定データＷ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）及びＷ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）Ｂｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）の、空間分布からなるベクトルＢＷを用いて、
2003046587.tif 000193
よりベクトルＪを推定する。具体的には、最小二乗法に基づいて推定する際に正則化法を施すことにより、その推定の安定化を図る。すなわち、正則化パラメータαＪ１、αＪ２、αＪ３（正値）を用いて、
2003046587.tif 000194
但し、Ｄ：  ベクトルＪが３次元電流密度ベクトルＪ（ｘ，ｙ，Ｚ）の３成分Ｊｘ（ｘ，ｙ，Ｚ）、Ｊｙ（ｘ，ｙ，Ｚ）及びＪｚ（ｘ，ｙ，Ｚ）の２次元分布（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）から成る場合、
これら３成分に関するｘ，ｙ方向の２次元勾配作用素の有限差分近似定数又は有限要素近似定数（基底関数φＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）（１回以上偏微分可能）より求まる）からなる行列、
又、ベクトルＪが３次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）の擬似２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（ｘ，ｙ，Ｚ），Ｊｙ（ｘ，ｙ，Ｚ））Ｔ又は２次元電流密度ベクトルＪ（ｘ，ｙ，Ｚ）の２成分Ｊｘ（ｘ，ｙ，Ｚ）及びＪｙ（ｘ，ｙ，Ｚ）の、２次元分布（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）から成る場合、
これら２成分に関するｘ，ｙ方向の２次元勾配作用素の有限差分近似定数又は有限要素近似定数（基底関数φＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）（１回以上偏微分可能）より求まる）からなる行列
ＤＴＤ：ベクトルＪが３次元電流密度ベクトルＪ（ｘ，ｙ，Ｚ）の３成分Ｊｘ（ｘ，ｙ，Ｚ）、Ｊｙ（ｘ，ｙ，Ｚ）及びＪｚ（ｘ，ｙ，Ｚ）の２次元分布（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）から成る場合、
これら３成分に関する２次元ラプラシアン作用素の有限差分近似定数又は有限要素近似定数（基底関数φＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）（２回以上偏微分可能）より求まる）からなる行列、
又、ベクトルＪが３次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）の擬似２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（ｘ，ｙ，Ｚ），Ｊｙ（ｘ，ｙ，Ｚ））Ｔ又は２次元電流密度ベクトルＪ（ｘ，ｙ，Ｚ）の２成分Ｊｘ（ｘ，ｙ，Ｚ）及びＪｙ（ｘ，ｙ，Ｚ）の、２次元分布（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）から成る場合、
これら２成分に関する２次元ラプラシアン作用素の有限差分近似定数又は有限要素近似定数（基底関数φＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’，ｘ，ｙ，Ｚ）（２回以上偏微分可能）より求まる）からなる行列をベクトルＪに関して最小化することにより、Ｋ座標Ｋ＝Ｋ’の２次元関心領域内の３次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ）、又は、その擬似２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ、又は、２次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ）の、２次元分布が求まる。
又、技法１の場合と同様、３次元関心空間（Ｉ，Ｊ，Ｋ）内の各Ｋ座標Ｋ＝Ｋ’の２次元関心領域内にて、３次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ）、又は、その擬似２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ、又は、２次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ）を推定することにより、３次元関心空間内の３次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））Ｔ）、又は、その擬似２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））Ｔ、又は、２次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））Ｔ）を推定することもできる。
又、３次元関心空間内の３次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））Ｔ）、又は、その擬似２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））Ｔ及び２次元電流密度ベクトル分布Ｊ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））Ｔ）は、３次元関心領域内の各Ｋ座標の２次元関心領域内にて成立する方程式を全て連立し、各々、３次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））Ｔ）の３成分、又は、その擬似２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））Ｔ及び２次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））Ｔ）の２成分の３次元空間分布に関する３次元勾配作用素Ｄ’を用いて正則化して推定することも可能である（（１４４）式）。
又、各Ｋ座標Ｋ＝Ｋ’の２次元関心領域内にて、３次元電流密度ベクトル分布Ｊ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ）の時系列、又は、その擬似２次元電流密度ベクトル分布（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔの時系列、又は、２次元電流密度ベクトル分布Ｊ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔの時系列を推定する場合は、上記の３次元磁場ベクトルＢ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）の３成分Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）、Ｂｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）及びＢｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）、又は、その２成分Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）及びＢｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０；Ｋ’）の３次元空間分布の時系列が測定された各時間において成立する方程式を全て連立し、各３次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ成分又は各２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ成分分布の時系列に関して、時系列そのものや時系列の時間方向の１階の偏微分や２階の偏微分の２乗ノルム（各々にかかる正則化パラメータをαＪ４とαＪ５とする）を用いた正則化を施すことがある。この場合、各時間の３次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ成分又は２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ成分分布の上記２次元勾配や２次元ラプラシアンの２乗ノルムが使用されて正則化されることがある。
又、３次元関心領域内の、３次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ）の時系列、又は、その擬似２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔの時系列、又は、２次元電流密度ベクトルＪ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’）（＝（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ’））Ｔ）の時系列を推定する場合は、上記の３次元磁場ベクトルＢ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）の３成分Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）、Ｂｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）及びＢｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）、又は、その２成分Ｂｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）及びＢｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ０）の３次元空間分布の時系列が測定された各時間において成立する方程式を全て連立し、各３次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））Ｔ成分又は各２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））Ｔ成分の３次元空間分布の時系列に関して、時系列そのものや時系列の時間方向の１階の偏微分や２階の偏微分の２乗ノルム（各々にかかる正則化パラメータをαＪ４とαＪ５とする）を用いた正則化を施すことがある。この場合、各時間の３次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｚ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））Ｔ成分及び２次元電流密度ベクトル（Ｊｘ（Ｉ，Ｊ，Ｋ），Ｊｙ（Ｉ，Ｊ，Ｋ））Ｔ成分の３次元空間分布の上記３次元勾配や３次元ラプラシアンの２乗ノルムが使用されて正則化されることがある。
正則化パラメータαＪ１・αＪ２・αＪ３は、各時間において、電流密度ベクトルの分布にかかる行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される、又は、測定された磁場ベクトル空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節されることがある（ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きく、これに準じて、例えば、そのＳＮパワー比に反比例させることがある。）。
正則化パラメータαＪ４・αＪ５は、各時間において、電流密度ベクトルの分布にかかる行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される、又は、測定された磁場ベクトル空間分布の時間方向の変化量データの精度（ＳＮ比）により調節されることがある（ＳＮ比が高い時間に小さく、ＳＮ比が低い時間に大きく、これに準じて、例えば、そのＳＮパワー比に反比例させることがある。）。
また、正則化パラメータαＪ１・αＪ２・αＪ３は、各時間において、かかる電流密度ベクトル成分分布ごとに異なるものとして実現されることがあり、結果的に、電流密度ベクトル分布にかかる行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される、又は、測定された磁場ベクトルの各方向成分空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節されることがある（ＳＮ比が高い磁場ベクトル成分空間分布の方向と直交する方向の電流密度ベクトル成分分布に対して小さく、ＳＮ比が低い磁場ベクトル成分空間分布の方向と直交する方向の電流密度ベクトル成分分布に対して大きく、これに準じて、例えば、磁場ベクトルの上記各３成分又は各２成分空間分布データのＳＮパワー比に反比例させることがある。従って、３次元磁場ベクトルデータが測定された場合は３つの電流密度ベクトル成分分布に関しては２つの磁場ベクトル成分空間分布のＳＮ比から決定される値の積に、２次元磁場ベクトルデータが測定された場合は電流密度ベクトルのｘ、ｙ成分分布に関しては１つの磁場ベクトル成分空間分布のＳＮ比から決定される値に、ｚ成分分布に関しては２つの磁場ベクトル成分空間分布のＳＮ比から決定される値の積に、比例する値に設定されることとなる。）。これに準じて、測定された磁場ベクトルの上記３成分又は２成分空間分布データのＳＮパワー比から評価される成分依存性の正則化パラメータ値と磁場ベクトル空間分布そのもののＳＮパワー比から評価される正則化パラメータ値とを重要度の重み付けを行った上で算出される積に比例する値とすることがある。
また、正則化パラメータαＪ４・αＪ５・αＪ６は、各時間において、かかる電流密度ベクトル成分分布ごとに異なるものとして実現されることがあり、結果的に、電流密度ベクトル分布にかかる行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される、又は、測定された磁場ベクトルの各方向成分空間分布データの時間方向の変化量の精度（ＳＮ比）により調節されることがある（直交する方向の電流密度ベクトル成分分布の時系列に対して、磁場ベクトル成分分布の時間方向の変化量のＳＮ比が高い時間において小さく、磁場ベクトル成分分布の時間方向の変化量のＳＮ比が低い時間において大きく、これに準じて、例えば、磁場ベクトルの上記各３成分又は各２成分空間分布データの時間方向の変化量のＳＮパワー比に反比例させることがある。）。これに準じて、測定された磁場ベクトルの上記３成分又は２成分の空間分布データの時間方向の変化量のＳＮパワー比から評価される時間及び方向に依存する正則化パラメータ値と磁場ベクトル分布の時間方向の変化量のＳＮパワー比から評価される正則化パラメータ値とを重要度の重み付けを行った上で算出される積に比例する値とすることがある。
また、正則化パラメータαＪ１・αＪ２・αＪ３は、各時間において、空間的に変化するものとして実現されることもあり、結果的に、各関心点の電流密度ベクトルにかかる局所行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される。又、測定された各磁場ベクトルデータの精度（ＳＮ比）により調節され（ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きく、これに準じて、例えば、磁場ベクトルデータのＳＮパワー比に反比例させることがある。）、且つ、電流密度ベクトルと各磁場ベクトルとの距離の４乗に比例させることがある。これに準じて、各関心点の電流密度ベクトルにかかる正則化パラメータαＪ１・αＪ２・αＪ３は、各磁場ベクトルデータのＳＮパワー比から評価される正則化パラメータ値と各磁場ベクトルとの距離で決まる正則化パラメータ値とを重要度の重み付けを行った上で算出される積に比例する値とすることがある。
また、正則化パラメータαＪ４・αＪ５は、各時間において、空間的に変化するものとして実現されることもあり、結果的に、各関心点の電流密度ベクトルにかかる局所行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される。又、測定された各磁場ベクトルデータの時間方向の変化量の精度（ＳＮ比）により調節され（ＳＮ比が高い時間に小さく、ＳＮ比が低い時間に大きく、これに準じて、例えば、そのＳＮパワー比に反比例させることがある。）、且つ、電流密度ベクトルと各磁場ベクトルとの距離の４乗に比例させることがある。これに準じて、各関心点の電流密度ベクトルにかかる正則化パラメータαＪ４・αＪ５は、各磁場ベクトルデータの時間方向の変化量のＳＮパワー比から評価される正則化パラメータ値と各磁場ベクトルとの距離で決まる正則化パラメータ値とを重要度の重み付けを行った上で算出される積に比例する値とすることがある。
また、正則化パラメータαＪ１・αＪ２・αＪ３は、各時間において、上記の如く空間的に変化するものとして、且つ、かかる電流密度ベクトル成分ごとに異なるものとして実現されることがあり、結果的に、各関心点の電流密度ベクトルにかかる局所行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される、又は、測定された各磁場ベクトルの各方向成分データの精度（ＳＮ比）により調節されることがある（ＳＮ比が高い磁場ベクトル成分方向と直交する方向の電流密度ベクトル成分に対して小さく、ＳＮ比が低い磁場ベクトル成分の方向と直交する方向の電流密度ベクトル成分に対して大きく、これに準じて、例えば、磁場ベクトルの上記各３成分又は各２成分データのＳＮパワー比に反比例させることがある。従って、３次元磁場ベクトルデータが測定された場合は３つの電流密度ベクトル成分に関しては２つの磁場ベクトル成分のＳＮ比から決定される値の積に、２次元磁場ベクトルデータが測定された場合は電流密度ベクトルのｘ、ｙ成分に関しては１つの磁場ベクトル成分のＳＮ比から決定される値に、ｚ成分に関しては２つの磁場ベクトル成分のＳＮ比から決定される値の積に、比例する値に設定されることとなる。）。これに準じて、各関心点の各電流密度ベクトル成分にかかる正則化パラメータαＪ１・αＪ２・αＪ３は、測定された各磁場ベクトルの３成分又は２成分データのＳＮパワー比から評価される成分依存性の正則化パラメータ値と、各磁場ベクトルとの距離で決まる正則化パラメータ値と、各磁場ベクトルそのもののＳＮパワー比から評価される正則化パラメータ値とを、重要度の重み付けを行った上で算出される積に比例する値とすることがある。
また、正則化パラメータαＪ４・αＪ５は、各時間において、上記の如く空間的に変化するものとして、且つ、かかる電流密度ベクトル成分ごとに異なるものとして実現されることがあり、結果的に、各関心点の電流密度ベクトルにかかる局所行列が数値解析的に充分に正定値となる様に大きい値に調節される、又は、測定された各磁場ベクトルの各方向成分データの時間方向の変化量の精度（ＳＮ比）により調節されることがある（直交する方向の電流密度ベクトル成分の時系列に対して、磁場ベクトル成分の時間方向の変化量のＳＮ比が高い時間において小さく、磁場ベクトル成分の時間方向の変化量のＳＮ比が低い時間において大きく、これに準じて、例えば、磁場ベクトルの上記各３成分又は各２成分データの時間方向の変化量のＳＮパワー比に反比例させることがある。）。これに準じて、各関心点の各電流密度ベクトル成分にかかる正則化パラメータαＪ４・αＪ５は、測定された各磁場ベクトルの３成分又は２成分データの時間方向の変化量のＳＮパワー比から評価される時間及び方向に依存する正則化パラメータ値と、各磁場ベクトルとの距離で決まる正則化パラメータ値と、各磁場ベクトルの時間方向の変化量のＳＮパワー比から評価される正則化パラメータ値とを、重要度の重み付けを行った上で算出される積に比例する値とすることがある。
また、磁場ベクトルの１方向成分の測定が可能である場合は、ビオ・サバールの法則（（１３４）式、（１３８）式）に基づいて、電流の支配的に流れている方向と直交する接線磁場成分を測定することとし、その接線磁場成分の３次元分布の測定が可能である場合は、技法２に基づいてその電流の３次元分布又は２次元分布又は１次元分布を推定することができ、又、その接線磁場成分の２次元分布の測定が可能である場合は、技法１に基づいてその電流の２次元分布又は１次元分布を推定することができ、又、その磁場成分の１次元分布の測定が可能である場合は、同様にして、その電流の１次元分布を推定することができる。
複数の磁場ベクトル分布又は時系列が測定された場合は、正則化パラメータαＪ１・αＪ２・αＪ３・αＪ４・αＪ５の各々は、上記の如く、各状態（時間）の磁場ベクトル分布データにおいて評価される正則化パラメータ値の和に比例する値とされる。
計測結果として、測定された磁気ベクトル分布に加えて、電流密度分布、電流密度発散・勾配分布、導電率や誘電率の分布、導電率や誘電率の勾配分布、導電率や誘電率のラプラシアン分布、誘電率と導電率の比の分布、誘電率と導電率の比の勾配分布、誘電率と導電率の比のラプラシアン分布、これらの周波数分散や経時的変化そのもの、これらの経時的絶対変化（差分値）、及び経時的相対変化（比の値）などがＣＲＴ、液晶、又は、ＬＥＤを用いたもの等を含む表示部画像表示され、且つ、選択される任意の位置におけるこれらの値が表示される。
図７は、本発明の一実施形態に係る電流密度ベクトル推定装置及び導電率推定装置の全体構成を示している。本装置は計測対象物４内の３次元関心空間又は２次元関心領域又は１次元関心領域内の電流密度ベクトル分布（又は電流密度ベクトル分布の時系列）を計測するための磁場ベクトル検出器１とその位置及び検出方向をかえるための走査機構３と、磁場ベクトル検出器１と計測対象物４の距離を調整する距離調整手段１４と、計測対象物４内に電流場を生じさせる電流場生成手段５と、磁場ベクトル検出器１を駆動する駆動装置２と、それらをコントロールする計測制御手段６と計測データを記憶するデータ記録手段７と、測定磁場データ（又は測定磁場時系列データ）から電流密度ベクトル（又は電流密度ベクトル分布の時系列）及び導電率分布（又は導電率分布の時系列）や誘電率分布（又は誘電率分布の時系列）を推定するデータ処理手段８で構成される。
ここで、図８Ａ−８Ｃに、磁場ベクトル検出部器のコイル部を模式図にて示す。
但し、図８Ａは１素子、図８Ｂは２素子、図８Ｃは３素子をそれぞれ示している。さらに、図９Ａ〜図１３Ｃは、本発明の一実施形態に係るアレイ構成を、それぞれ示している。
ここで、計測制御手段６とデータ記録手段７とデータ処理手段８は、一台の装置上で実現することも可能であり、或いは、複数の装置に分散させることも可能である。走査機構３と距離調整手段１４の位置は逆にすることも可能である。
図１４は、磁場ベクトル検出器１の側に走査機構３と距離調整手段１４を設けた実施例を示している。走査機構３と距離調整手段１４の位置は逆にすることも可能である。
図１５は、磁場ベクトル検出器１側に第１の走査機構１０を設け、計測対象物４側に第２の走査機構１１を設けた実施例を示している。この実施例では、距離調整手段１４を磁場ベクトル検出器側１に設けているが、計測対象物４側及び両側でもかまわない。走査機構１０、１１と距離調整手段の位置は逆にすることも可能である。
次に、図１６のフローチャートに従って、電流密度分布の推定を通じて導電率分布や誘電率分布を推定する技法について説明する。
まず、導電率や誘電率の値が未知である３次元関心空間内又は２次元関心領域内又は１次元関心領域内に参照領域を適切に設定する。参照領域とは導電率や誘電率が既知である領域である。
計測時に独立な電流場が２つ以上設定できる場合、すなわち、２つ以上の独立した電流密度ベクトル分布（磁場ベクトル分布）、又は、電流密度ベクトル分布の時系列（磁場ベクトル分布の時系列）の計測が可能である場合には、参照領域として少なくとも一つの参照点を設定する。参照点とは導電率や誘電率が既知である点である。
計測時に電流密度ベクトル分布を一つしか計測できない場合には、参照領域を電流が支配的に流れる方向に広く伸びるように設定する。
電流場生成装置を用いて生じせしめた２つの独立した磁場ベクトル分布（又は磁場ベクトル分布の時系列）を測定した場合を例に揚げる。関心空間又は関心領域内に第１の電流場（又は正弦的に時間変化する電流場）を生じせしめ、関心空間又は関心領域の周囲に磁場ベクトル分布（又は正弦的に時間変化する磁場ベクトル分布）を生じさせる。続いて、第１の電流場とは独立の第２の電流場（又は正弦的に時間変化する電流場）を生じせしめ、同様に、第２の磁場ベクトル分布（又は正弦的に時間変化する磁場ベクトル分布）を生じさせる。技法１又は技法２により、その都度、関心空間内又は関心領域内の電流密度ベクトル分布（又は正弦的に時間変化する電流密度ベクトル分布）を推定するが、これはデータ処理手段により行われる。磁場ベクトル空間分布（又は磁場ベクトル空間分布の時系列）を測定に関しては、計測制御手段によって磁場ベクトル検出器駆動装置と走査機構をコントロールして、データをサンプリングしながら、磁場ベクトル検出信号及び位置情報をデータ記録手段に入力する。場合によっては、走査機構を使用しないこともある。続いて、データ処理手段（（１２５）式、又は、（１３２ａ）式と（１３２ｂ）式）において導電率分布や誘電率分布や時定数分布（誘電率と導電率に比の分布）を、又、必要に応じて、これらの時系列や周波数分散を推定する。
既に電流場が存在する場合は、これにより生じた磁場ベクトルのみを測定し、その電流ベクトル分布の推定のみを通じて、導電率分布や誘電率分布を推定する。尚、磁場や電流の計測データが欠落した場合は、その時間の点又は領城を関心領域から除外して演算を行い、その演算後において、関心領域から除外された時間の点又は領域の誘電率分布、導電率分布、誘電率と導電率の比の分布、これらの経時的変化や周波数分散を、推定された誘電率分布、導電率分布、誘電率と導電率の比の分布、これらの経時的変化や周波数分散から、関心時空間内において内挿又は外挿補間処理することにより評価することがある。
尚、同様に非等方性の計測対象が扱われることがある。
また、上記の誘電率や導電率やこれらにより表される高次データの計測は、計測対象の非線形特性を捉えるべく、非線形現象を微小時間内や微小空間内の線形近似を行った場合に適用されることがある。
産業上の利用可能性
本発明は、物体又は生き物の誘電率及び導電率等を推定するために利用することが可能である。
【図面の簡単な説明】
本発明の利点及び特徴は、以下の詳細な説明と図面とを関連させて考察すれば明らかになる。これらの図面において、同じ参照番号は同じ構成要素を指している。
図１は、従来の誘電率又は導電率推定装置の構成を示すブロック図である。
図２Ａ及び２Ｂは、従来の技術による磁場検出器のセンサー部を示す模式図である。
図３は、本発明の第１の実施形態に係る誘電率又は導電率推定装置の構成を示すブロック図である。
図４は、本発明の第１の実施形態に係る誘電率又は導電率推定方法の手順を示すフローチャートである。
図５は、本発明の第２の実施形態に係る誘電率又は導電率推定装置の構成を示すブロック図である。
図６は、本発明の第３の実施形態に係る誘電率又は導電率推定装置の構成を示すブロック図である。
図７は、本発明の一実施形態に係る電流密度ベクトル推定装置及び導電率推定装置の構成を示すブロック図である。
図８Ａ−８Ｃは、本発明の一実施形態において用いられる磁場ベクトル検出器のコイル部を示す模式図である。
図９Ａ−９Ｃは、本発明の一実施形態に係るアレイの構成を示す説明図である。
図１０Ａ−１０Ｃは、本発明の一実施形態に係るアレイの構成を示す説明図である。
図１１Ａ−１１Ｃは、本発明の一実施形態に係るアレイの構成を示す説明図である。
図１２Ａ−１２Ｃは、本発明の一実施形態に係るアレイの構成を示す説明図である。
図１３Ａ−１３Ｃは、本発明の一実施形態に係るアレイの構成を示す説明図である。
図１４は、磁場ベクトル検出器側に走査機構と距離調整手段を設けた実施の形態を示すブロック図である。
図１５は、磁場ベクトル検出器側に第１の走査機構を設け、計測対象物側に第２の走査機構を設けた実施の形態を示すブロック図である。
図１６は、本発明の実施の形態を表すフローチャートである。
【図１】
2003046587.tif 000195
【図２Ａ】
2003046587.tif 000196
【図２Ｂ】
2003046587.tif 000197
【図３】
2003046587.tif 000198
【図４】
2003046587.tif 000199
【図５】
2003046587.tif 000200
【図６】
2003046587.tif 000201
【図７】
2003046587.tif 000202
【図８Ａ】
2003046587.tif 000203
【図８Ｂ】
2003046587.tif 000204
【図８Ｃ】
2003046587.tif 000205
【図９Ａ】
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【図９Ｂ】
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【図９Ｃ】
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【図１０Ａ】
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【図１０Ｂ】
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【図１０Ｃ】
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【図１１Ａ】
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【図１１Ｂ】
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【図１１Ｃ】
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【図１２Ａ】
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【図１２Ｂ】
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【図１２Ｃ】
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【図１３Ａ】
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【図１３Ｂ】
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【図１３Ｃ】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
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【国際調査報告】
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