(57)【要約】      （修正有）【課題】球面に近い多面体を簡単な計算により生成する球状多面体の生成方法を提供する。【解決手段】Thomson Problemの解決方法を利用して、球面に均等に配置されたＮ個の点の座標が得られる。この点を接点とする外接多面体を生成することにより、球面に近い多面体を生成できる。【選択図】図６
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
Thomson Problemから生成される外接７２面体の形状、および鏡像関係ある７２面体の形状。この７２面体は、１２個の合同な正５角形と、６０個の合同な６角形との２種類のみの面から形成される。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、球面上に均等に電子を配置する方法（Thomson Problem）をもとに、球状多面体を作成する方法と、生成される７２面体に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
球状多面体は、多くの種類が分類され、発表されている。３２面体（切頂二十面体）より面数の多い多面体では、多くの種類の３角形、４角形、５角形、６角形の組み合わせで作成される。
【０００３】
球面上に均等に電子を配置する方法は、Thomson Problemとして、研究がなされている。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００４】
【特許文献１】特公平７−５２３２１
【特許文献２】特公平７−８８６９１
【非特許文献】
【０００５】
【非特許文献１】J. J. Thomson, Philos. Mag. 7, 237 (1904)
【非特許文献２】Fletcher Dunn, Ian Parberry著  松田  晃一訳  「実例で学ぶゲーム３Ｄ数学」オライリー・ジャパン  ２００８年  “3D Math primer for Graphics and Game Development” O’REILLY 2008
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
Thomson Problemでは、球面上に均等に分布するＮ個の点を得ることができるが、この点から生成されるＮ面多面体の幾何学的性質が研究されていない。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
Thomson Problemの結果から、Ｎ面多面体を生成し、各辺の長さを計算し、多面体の面の特徴を調べる。
【発明の効果】
【０００８】
Ｎ＝７２で生成される７２面体は、１２個の合同な正５角形と、６０個の合同な６角形の２種類の多角形から形成されることが判明した。
【発明を実施するための形態】
【０００９】
７２面体を用いた構造物は、２種類の多角形部品から構築できる。７２面体の建造物。７２面体を用いた爆縮レンズ。７２面体を用いた真球に近いボール。
【図面の簡単な説明】
【００１０】
【図１】図１は電子シミュレーションの基本ループのフローチャートである。電子数Ｎは無限に増やせるので、終了処理を入れていない。
【図２】図２は各電子に働くクーロン力の計算方法を示すフローチャートである。
【図３】図３は電子を追加する球面上の場所を決定する方法を示すフローチャートである。
【図４】図４はシミュレーションで出力された電子の位置を頂点とした場合に生成される多面体をワイヤーフレームで表現した図である。N=4からN＝６３まで表示している。
【図５】図５は外接３２面体の片側を、平面に投影した図である。
【図６】図６は外接７２面体の片側を、平面に投影した図である。
【図７】図７は外接７２面体の、展開図を示した図である。
【図８】図８は外接７２面体を形成する２種類の多角形の長さを示した図である。
【００１１】
図１は、電子数Nでの電子の移動計算のフローチャートである。この方法は、Thomson ProblemのRelaxation法と同様の方法である。
【００１２】
S０１にて、電子２個を半径＝１．０の球面上に配置する。２電子の場合、どの場所に置いても、結果として、角ｒ１  Ｏ  ｒ２が１８０度の位置に移動する。地球上に当てはめると、北極と南極の位置関係になる。
【００１３】
S０２にて、それぞれの電子についてループしている。
【００１４】
Ｓ０３にて電子に働く力ベクトルＦを計算している。実際の計算は、図２のフローチャートを参照。
【００１５】
Ｓ０４にて、電子を移動させている。Kは電磁気学での、π、ε、電子半径などをまとめた、シミュレーション用定数であり、一回の移動量が大きくなりすぎないような値にしておく。今回はK=０．０１を利用する。Kの値は適当でよく、K=０．０１より小さな値では、同じシミュレーション結果が得られる。
【００１６】
Ｓ０５の移動で、電子の位置は球面の外側なので、S03で球面上の最も近い点に戻す。ｒを中心からの電子の距離とすると、新しい電子の場所Pは、P(x,y,z)＝（ｘ／ｒ、  ｙ／ｒ、  ｚ／ｒ）となる。ここで、移動量が減少するので、電子の位置エネルギーと運動エネルギーの和は減少し、シミュレーションを繰り返すことで、電子の動きは収束していく。
【００１７】
全電子の移動計算を終了後Ｓ０７で電子の総移動量をスカラー和を確認する。閾値以下の場合は、電子の移動が収束しているので、電子数Nでのシミュレーションを完了する。閾値は０．０００００００１程度を使い、少ない数であるほど、計算時間が多くなるが、精密は多面体の位置が得られる。
【００１８】
図２では、一つの電子iに働く力のベクトルFの計算方法を示している。電子i以外の電子jでループしている。ここでは、電磁気学でのクローン力の公式を、そのまま利用している。これは、量子力学シミュレーションで一般的な方法となる。
【００１９】
Ｓ１３で、クローンの法則と同様に、力Ｆの大きさが電子間の距離の２乗に反比例するとして計算している。実際には距離の１乗に反比例としても、同様のシミュレーション結果になる。その場合は、図１のＫの値を調整する。
【００２０】
図３では、電子を追加する方法を示している。原則的には、球面で一番空いている場所に新しい電子を追加する方法である。
【００２１】
Ｓ１４にて、球面を２次元地図にプロットする。地図は正積図法であるサンソン図法を利用する。サンソン図法は、計算が簡単になる利点がある。サンソン図法上の点はR＝半径、lam＝経度、ｐｈ＝緯度とした場合、ｘ＝Ｒ  lam  cos（ｐｈ）、ｙ＝R  ｐｈで表される。サンソン図法の縦横比は１：２であるので、縦ｘを５００分割、横ｙを１０００分割してメッシュを作成する。メッシュ上の各点でループして計算するが、サンソン図法の長方形内部でも球面上でない点が多く存在するので、球面上でない点の場合は計算しない。
【００２２】
電子の場所が確定した後に、球と外接する多角形の頂点の計算方法を示す。電子点Aにおいて、近接する電子点Bと電子点Cを選ぶ。ここでの近接とは、距離ABとACが、最近接電子距離の√２倍以内とする。点Ａで球に接する面Ａ´、点Ｂで球に接する面をＢ´、点Ｃで球に接する面をＣ´とし、３つの平面Ａ´  B´  C´の交点を、「実例で学ぶゲーム３Ｄ数学」12章１１の方法で求める。この点が外接多面体の頂点となる。
【００２３】
図４は、Ｎ＝２から開始し、Ｎ＝６３までのシミュレーション結果を、電子点を結ぶ方式で表示している。Ｎ＝３以下は省略している。
【００２４】
３０＜Ｎ＜８０  での結果を調べる。ｔｈ１を、最近接電子同士の中心から見た角度とする。最も他の電子から離れている電子を最孤独電子と定義する。再孤独電子と、それと一番近い電子との角度をｔｈ２とする。ｔｈ１＝ｔｈ２となるのは、Ｎ＝３２、Ｎ＝７２の場合であった。
【００２５】
図５は、Ｎ＝３２での計算結果である３２面体を平面に投影した図である。数字は内接球の半径を１．０とした時の、各辺の長さを示している。面には、Ｅ０から順番に数を振っている。面  Ｅ０、Ｅ６、Ｅ７、Ｅ８、Ｅ９、Ｅ１０は、正５角形である。正５角形の中心は正２０面体の頂点の位置になる。他の面は合同な６角形であり、正６角形ではない。正５角形と正６角形からなる切頂２０面体、いわゆるサッカーボール多面体とは異なり、正５角形がやや大きくなり、２種類の長さの辺を持つ６角形から構成されている。この正５角形と６角形の中心と、内接球の中心との距離は全て等しい。この特徴から、この３２面体は、爆縮レンズとして使用されている。
【００２６】
図６は、Ｎ＝７２での計算結果である７２面体を平面に投影した図である。数字は内接球の半径を１．０とした時の、各辺の長さを示している。面には、Ｅ０から順番に数を振っている。面  Ｅ０、Ｅ１６、Ｅ１７、Ｅ１８、Ｅ１９、Ｅ２０は、正５角形であり、中心は正２０面体の頂点の位置になる。他の面は合同な６角形である。
【００２７】
図７は、７２面体の展開図であり、（１８）は１２個の正五角形の一つ、（１９）は合同な６０個の６角形の一つである。
【００２８】
図８は、図７を拡大した７２面体の展開図の一部であり、（２０）（２２）は正五角形、（２１）（２４）は６角形である。数字は、内接球の半径を１．０とした時の、各辺の長さと、接点からの長さを示している。（２３）は五角形の内接球との接点(電子のある点)。（２５）は６角形の内接球との接点（電子のある点）である。この正五角形を１２個と６角形を６０個から７２面体が生成される。左右反転させた６角形６０個を使った場合は、鏡像関係にある７２面体が生成される。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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