(57)【要約】【課題】遠心分離機に内蔵された液体の非線形スロッシングを抑制する。【解決手段】遠心分離機は、液体２を内蔵し、弾性を有する回転軸３に取り付けられて回転する中空円筒形のロータ１を備え、このロータ１内に弾性を有する回転軸３の軸方向に等間隔に配置され、ロータとは異なる回転速度で回転するロータ１の半径より小さい半径の複数のリング板７を備え、ロータ１の質量とロータ１に内蔵される液体２の質量比を所定範囲に設定し、ロータ１の質量をロータ１に内蔵された液体２の質量で除した質量比が３０以上５０以下の範囲にあってもよい。【選択図】図１
2019136653.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
液体を内蔵し、弾性回転軸に取り付けられて回転する中空円筒形のロータを備え、このロータ内に前記弾性回転軸の軸方向に等間隔に配置され、前記ロータとは異なる回転速度で回転する前記ロータの半径より小さい半径の複数の円板を備える遠心分離機であって、
前記ロータの質量と前記ロータに内蔵される液体の質量比を所定範囲に設定することによって前記液体の非線形スロッシングを抑制し、前記ロータの質量を前記ロータに内蔵された液体の質量で除した質量比が、２０以上６０以下の範囲に有る遠心分離機。
【請求項２】
前記質量比が、３０以上５０以下の範囲にある請求項１に記載の遠心分離機。
【請求項３】
液体を内蔵し、弾性回転軸に取り付けられて回転する中空円筒形のロータを備え、このロータ内に前記弾性回転軸の軸方向に等間隔に配置され、前記ロータとは異なる回転速度で回転する前記ロータの半径より小さい半径の複数の円板を備える遠心分離機の非線形スロッシングによる安定振動への遷移の予測方法であって、この予測方法はコンピュータが実行し、
（Ａ）液体の半径方向流速、周方向流速及び圧力について仮想仕事から運動方程式を求め、
（Ｂ）液面における境界条件及び連続条件を設定し、
（Ｃ）直交関数展開法により、（Ａ）及び（Ｂ）から一般化座標に関する時間の常微分方程式を求め、
（Ｄ）ロータの運動方程式と弾性回転軸を軸受けで支持する部分での力のつりあい式を求め、
（Ｅ）（Ｃ）及び（Ｄ）を連立させて解くことによって、液体−弾性回転軸連成系の応答を計算することを含み、
前記運動方程式は非線形項を含み、前記境界条件において液面が振動液面によって与えられた、遠心分離機の非線形スロッシングによる安定振動への遷移の予測方法。
【請求項４】
（Ｃ）直交関数展開法は、基底モードについて展開することを含む請求項３に記載の予測方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、遠心分離機及びその非線形スロッシングによる安定振動への遷移の予測方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
従来、遠心分離機のような液体を内蔵するロータ（回転体）は、液体の振動（スロッシング）との連成によって不安定振動を引き起こし得ることが知られている。本願の発明者はこれまでに、線形解析によって、円筒状のロータに対して相対的に負（回転方向と逆向き）の流速をもつ周方向流速によって振動を低減する技術を提供している（特許文献１、非特許文献１を参照）。
【０００３】
また、振動成長後の応答予測のために、非線形性を考慮した技術が提供されている。非特許文献２、３には、スロッシングの非線形性を浅水近似理論に基づき考慮した解析的な研究が開示されている。非特許文献４には、ＣＦＤ（数値流体力学）により非線形性を考慮した研究が開示されている。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００４】
【特許文献１】特許第６０７５０３９号公報
【非特許文献】
【０００５】
【非特許文献１】Utsumi, M., Vibration Analysis of a Rotor Partially Filled With Liquid Considering Stationary Circumferential Flow (ASME J. of Pressure Vessel Technology)掲載予定
【非特許文献２】Berman, A. S., Lundgren, T. S., and Cheng, A., 1985, “Asynchronous Whirl in a Rotating Cylinder Partially Filled With Liquid,” Journal of Fluid Mechanics, Vol. 150, pp. 311-327.
【非特許文献３】J. Colding-Jorgensen, 1993, “Rotor Whirl Measurements on a Long Rotating Cylinder Partially Filled With Liquid,” ASME Journal of Vibration and Acoustics, Vol. 115, pp. 141-144
【非特許文献４】斉藤忍，染谷常雄；液体を内蔵した中空回転軸の振動に関する研究（第３報，安定限界速度の解析），日本機械学会論文集，Vol.45, No.400, 1979, pp.1325-1331.
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
しかしながら、浅水近似理論による技術は、液深が浅い場合以外は基本的に対象外であって、任意の液深への適用が困難であった。ＣＦＤのような数値的方法は、長い計算時間を要し、多くのケース・スタディを要する場合不便であった。遷移がいかなる物理的意味の非線形項に起因するかを調べること（物理的メカニズム解明）も困難であった。一方、非線形性を考慮してスロッシングの成長を抑制した遠心分離機も求められている。
【０００７】
本発明は、上述の実情に鑑みて提案されるものであって、液深が浅い場合に限られず任意の液深を対象とすることが可能であって、数値的方法ではなく解析的にスロッシングの非線形性を予測し、スロッシングの成長を抑制することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
上述の課題を解決するために、本願に係る遠心分離機は、液体を内蔵し、弾性回転軸に取り付けられて回転する中空円筒形のロータを備え、このロータ内に弾性回転軸の軸方向に等間隔に配置され、ロータとは異なる回転速度で回転するロータの半径より小さい半径の複数の円板を備える遠心分離機であって、ロータの質量とロータに内蔵される液体の質量比を所定範囲に設定することによって液体の非線形スロッシングを抑制するものであり、ロータの質量をロータに内蔵された液体の質量で除した質量比が、２０以上６０以下の範囲にある。前記質量比が、３０以上５０以下の範囲にある３０を含む範囲にあってもよい。
【０００９】
本願に係る遠心分離機の非線形スロッシングによる安定振動への遷移の予測方法は、液体を内蔵し、弾性回転軸に取り付けられて回転する中空円筒形のロータを備え、このロータ内に弾性回転軸の軸方向に等間隔に配置され、ロータとは異なる回転速度で回転するロータの半径より小さい半径の複数の円板を備える遠心分離機の非線形スロッシングによる安定振動への遷移の予測方法であって、この予測方法はコンピュータが実行し、（Ａ）液体の半径方向流速、周方向流速及び圧力について仮想仕事から運動方程式を求め、（Ｂ）液面における境界条件及び連続条件を設定し、（Ｃ）直交関数展開法により、（Ａ）及び（Ｂ）から一般化座標に関する時間の常微分方程式を求め、（Ｄ）ロータの運動方程式と弾性回転軸を軸受けで支持する部分での力のつりあい式を求め、（Ｅ）（Ｃ）及び（Ｄ）を連立させて解くことによって、液体−弾性回転軸連成系の応答を計算することを含み、運動方程式は非線形項を含み、境界条件において液面が振動液面によって与えられたものである。（Ｃ）直交関数展開法は、基底モードについて展開することを含んでもよい。
【発明の効果】
【００１０】
本発明によると、液深が浅い場合に限られず任意の液深を対象とすることが可能であって、数値的方法ではなく解析的にスロッシングの非線形性を予測し、スロッシングの成長を抑制することができる。
【図面の簡単な説明】
【００１１】
【図１】モデルの遠心分離機を示す図である。
【図２】ロータの変位の時刻歴応答を示す図である。
【図３】ロータの変位振幅の無次元回転速度への依存性を示す図である。
【図４】安定振動への遷移を引き起こす非線形性の種類を調べるための解析結果の例を示す図である。
【図５】安定振動への遷移を引き起こす非線形性の種類を調べるための解析結果の例を示す図である。
【図６】線形系で安定振動への遷移を生じさせた解析例を示す図である。
【図７】ロータの変位の時刻歴応答を示す図である。
【図８】ロータの変位振幅の無次元回転速度への依存性を示す図である。
【図９】安定振動への遷移を引き起こす非線形性の種類を調べるための解析結果の例を示す図である。
【図１０】線形系で安定振動への遷移を生じさせた解析例を示す図である。
【図１１】ロータの変位の振幅のロータの質量に対する依存性を示す図である。
【図１２】計算装置の構成を示すブロック図である。
【図１３】計算装置の動作を示すフローチャートである。
【図１４】振動の予測方法の一連の工程を示すフローチャートである。
【発明を実施するための形態】
【００１２】
以下、本発明に係る遠心分離機及び遠心分離機の振動の予測方法の実施の形態について、図面を参照して詳細に説明する。
【００１３】
〔１．まえがき〕
前記特許文献１、非特許文献１に開示された遠心分離機のスロッシングによる振動を予測する技術は、線形解析に留まっていて、不安定発振するか否かの判定は可能であるが、振動成長後に達する定常振動状態の予測をすることはできなかった。振動成長後の予測のためには、スロッシングの非線形性を考慮した応答予測が必要である。そこで本実施の形態は、このような応答予測が行えるように上記技術を進展させたものである。
【００１４】
本実施の形態は、任意の液深に対処し得る解析的手法に関するものであり、解析的方法により、安定振動遷移を引き起こす非線形項の特定、物理的メカニズムについて調べることができる。流体の支配方程式系に基底モード展開を用いることにより、任意の液深への適用や、コリオリ力、粘性、非線形性の考慮を可能とする。また、本予測法によって低振動構造を決定する。
【００１５】
〔２．予測方法〕
〔２．１  対象とする系〕
前記特許文献１、非特許文献１のように、本願の発明者は、円筒状のロータに対して相対的に負の流速をもつ周方向流速によって振動を低減する方法を与えている。本明細書が対象とする、非線形スロッシングによって不安定振動から安定振動に遷移することも、一種の振動低減であり、この物理的メカニズムの説明に、特許文献１、非特許文献１のモデルが有用である。そこで、本明細書でもこのモデルを考える。
【００１６】
図１は、モデルの遠心分離機を示す図である。遠心分離機において、液体２を内蔵する円筒状のロータ１が弾性を有する回転軸３に取り付けられ、角速度Ωで回転している。図１（ａ）はモデルの斜視図であり、図１（ｂ）は回転軸３の方向に直交する断面で切断した断面図であり、図１（ｃ）は回転軸３を含む断面で切断した断面図である。
【００１７】
振動低減のための、ロータ１に対して液体２の有する相対的に負の（ロータ１の回転方向と逆の）周方向定常流速
【数１】
2019136653.tif 000003
は、図１（ｃ）のように円板状のリング板７を円筒状のロータ１内に挿入し、リング板７を円筒状のロータ１よりも遅い速度で回転させることによって作る。リング板７は、回転軸３の周りに回転可能に設けられたシャフト８に、回転軸３の方向に所定間隔で取り付けられている。シャフト８は、駆動装置９によってリング板７を回転させるように駆動される。
【００１８】
ここで、記号は下記のように定義されている（図１を参照）。
【数２】
2019136653.tif 000004
【００１９】
円筒状のロータ１が剛体でパラレルモード（平行モード；ＸＹ平面内で並進運動するモード）で振動する場合を考える。従って、定常流れと振動応答は、リング板７の間の各領域
【数３】
2019136653.tif 000005
で同じであり、この領域を液体２の運動に関する解析領域とする（
【数４】
2019136653.tif 000006
はリング板７の数）。液体２は非圧縮とし、液体２の振動を２次元の振動流速成分
【数５】
2019136653.tif 000007
および液面変位ζを考慮することにより解析する。
【００２０】
〔２．２  液体運動に関する支配方程式〕
〔Ａ  運動方程式〕
半径方向流速、周方向流速、圧力を、定常成分と振動成分の和として表す：
【数６】
2019136653.tif 000008
ここで、
【数７】
2019136653.tif 000009
半径方向、周方向のコリオリ項
【数８】
2019136653.tif 000010
を考慮して、動的成分がｚに依存しない平行モードを考えることにより、運動方程式の仮想仕事表示は下記のようになる。
【００２１】
【数９】
2019136653.tif 000011
【００２２】
式（１）第１，２項の［・・・］内は、
【数１０】
2019136653.tif 000012
方向の運動方程式の残差（零となるべきもの）である。
【００２３】
【数１１】
2019136653.tif 000013
は、ｉ方向の運動方程式の時間微分項と対流項から導かれる、静的項、動的な線形項、動的な非線形項で、次式によって与えられる。
【数１２】
2019136653.tif 000014
【数１３】
2019136653.tif 000015
【００２４】
動的な線形項
【数１４】
2019136653.tif 000016
には、周方向静的流速
【数１５】
2019136653.tif 000017
によって、本来の慣性項、コリオリ項
【数１６】
2019136653.tif 000018
以外の項が下線、２重下線のように生じる。これらの項も慣性項、コリオリ項と称し、３．４節の考察で参照する。
【００２５】
式（１）第１，２項における、［・・・］内の第４，５項は、ロータの加速度
【数１７】
2019136653.tif 000019
による慣性力である。式（１）の最後の２項は、液面での粘性応力の仮想仕事を表し、本項を本予測法において考慮する理由は、多くの振動問題において安定性が粘性減衰に敏感に依存することにある。
【００２６】
非線形性解析を行うため、液面を静的液面でなく、振動液面
【数１８】
2019136653.tif 000020
によって表す。これにより、運動方程式の残差に変分を乗じて積分し変分重み付き残差を計算する際の積分領域が
【数１９】
2019136653.tif 000021
と、液面変位に依存して変動する。このような領域変動による非線形性も、ナビエ・ストークス方程式の対流項、液面境界条件の非線形性に加えて考慮する。
【００２７】
〔Ｂ  液面における境界条件、連続条件〕
液面Ｆにおける力学的境界条件を、圧力の液面仮想変位による仮想仕事が０となる条件として、次式によって与える。
【数２０】
2019136653.tif 000022
ここで
【数２１】
2019136653.tif 000023
【００２８】
流体領域内の連続条件、および液面における運動学的境界条件を、次のように表す。
【数２２】
2019136653.tif 000024
式（５）第２項の境界条件は、法線方向の液面振動速度と流体粒子速度が等しいことを意味する。
【００２９】
式（４），（５）は、法線ベクトルと面積要素を液面変位ζで表した結果（導出は非特許文献１参照）
【数２３】
2019136653.tif 000025
【数２４】
2019136653.tif 000026
を代入すると、下記のようになる。
【００３０】
【数２５】
2019136653.tif 000027
【数２６】
2019136653.tif 000028
【００３１】
〔３．３  周方向の静的流速の決定〕
前節で導いた支配方程式（１），（８），（９）の静的項から得られる条件、および周方向の静的流速、
【数２７】
2019136653.tif 000029
が円筒状のロータの壁面
【数２８】
2019136653.tif 000030
で零、リング板の位置
【数２９】
2019136653.tif 000031
におけるリング板のロータに対する周速
【数３０】
2019136653.tif 000032
に等しい条件：
【数３１】
2019136653.tif 000033
【数３２】
2019136653.tif 000034
を用いて静的流速
【数３３】
2019136653.tif 000035
、静圧
【数３４】
2019136653.tif 000036
を決定する。これらの導出は、特許文献１に記されているので省略し、後ほど物理的考察で用いる静圧を下記に記す。
【数３５】
2019136653.tif 000037
【００３２】
〔３．４  液体運動に関する常微分方程式系の導出〕
式（１），（８），（９）の動的項をガレルキン法によって計算するため、次のように流速成分、動圧、液面変位の解を表す。
【数３６】
2019136653.tif 000038
【数３７】
2019136653.tif 000039
ここで
【数３８】
2019136653.tif 000040
は未知の時間変数であり、座標の関数は次のように設定する。
【数３９】
2019136653.tif 000041
【数４０】
2019136653.tif 000042
【００３３】
式（１３），（１４）を式（１），（８），（９）の動的項に代入し，ガレルキン法を用いて計算する。すなわち、未知の時間変数の変分に関する係数を零とおくことにより、解くべき時間に関する常微分方程式を導く。計算上注意すべき点として、
【数４１】
2019136653.tif 000043
に関する停留条件を、時間微分、または、部分積分による
【数４２】
2019136653.tif 000044
に関する停留条件への変換、によって、運動学的条件の線形部分から質量行列が導かれるようにする。このようにして
【数４３】
2019136653.tif 000045
を集めた列ベクトル
【数４４】
2019136653.tif 000046
に関する時間の常微分方程式を，次の行列方程式の形に導出する（付録Ａに導出法を詳細に説明する）。
【数４５】
2019136653.tif 000047
【００３４】
ここで、
【数４６】
2019136653.tif 000048
以外の線形項の、支配方程式系との関係は、次のように説明される。
【数４７】
2019136653.tif 000049
【００３５】
式（１７）中の
【数４８】
2019136653.tif 000050
は、下記の積分や、支配方程式系のいろいろな部分から生じる非線形項を表し、どの種の非線形性によって安定振動への遷移が生じるかを調べるための分類である。
【００３６】
【数４９】
2019136653.tif 000051
【００３７】
〔３．５  ロータおよびロータの支持部に関する方程式〕
ロータの運動方程式を次のように導く。
【数５０】
2019136653.tif 000052
ここで，
【数５１】
2019136653.tif 000053
は，ロータの全区間でロータに作用する液体力で，動圧
【数５２】
2019136653.tif 000054
［式（１３）］による力と粘性境界層(Boundary Layer)による力の和として求める：
【数５３】
2019136653.tif 000055
【００３８】
弾性を有するロータの支持部での力のつりあい式を次のように導く。
【数５４】
2019136653.tif 000056
式（１８），（２０）を式（１７）と連立させて解くことにより，液体−ロータの連成系の応答を計算する。
【００３９】
〔３．実施例〕
〔３．１  基本検証〕
表１に示すパラメータに関して数値計算を行った。回転体の初期変位
【数５５】
2019136653.tif 000057
を与えて時刻歴応答を計算し、応答波形から振幅を求めた。その結果を図２，３に示す。
【００４０】
図２は、ロータの変位
【数５６】
2019136653.tif 000058
の時刻歴応答を示している。図２（ａ），（ｂ）は、
【数５７】
2019136653.tif 000059
の場合であり、図２（ａ）は線形解析、図２（ｂ）は非線形解析である。図２（ｃ），（ｄ）は
【数５８】
2019136653.tif 000060
の場合であり、図２（ｃ）は線形解析、図２（ｄ）は非線形解析である。
【００４１】
図３は、ロータの変位振幅の無次元回転速度
【数５９】
2019136653.tif 000061
への依存性を示している。図中の曲線ａにロータの減衰比
【数６０】
2019136653.tif 000062
の場合の本予測法の結果を、曲線ｂにロータの減衰比
【数６１】
2019136653.tif 000063
の場合の本予測法の結果を示している。測定値ｃには、ロータの減衰比
【数６２】
2019136653.tif 000064
の非特許文献２による実験結果を示した。ここで、非特許文献２では、液深
【数６３】
2019136653.tif 000065
で無次元化された変位振幅が示されている。
【００４２】
線形応答は図２（ａ），（ｃ）のように不安定発振するが、非線形解析では図２（ｂ），（ｄ）のように線形応答から離脱して、非特許文献２の実験結果と同オーダの遥かに小さい振幅となることが確かめられる（図３の曲線ａ)。このように、非線形性による安定振動への遷移が、本非線形解析によって予測でき、振幅の近似予測が可能となる。図３には、曲線ｂのように、外部減衰の増加により応答振幅が低減することを示す結果を付加している。
【００４３】
【表１】
2019136653.tif 000066
【００４４】
〔３．２  安定振動への遷移を引き起こす非線形性の種類〕
安定振動への遷移が、式（１７）の非線形項
【数６４】
2019136653.tif 000067
のうち、どの項に主に起因するか調べた。まず、
【数６５】
2019136653.tif 000068
（液面における粘性応力の仮想仕事）を省略しても結果は殆ど変化せず、この影響は小さいことを確かめた。次に、
【数６６】
2019136653.tif 000069
のうち、ひとつのみを考慮した解析を繰り返した。
【００４５】
図４には、安定振動への遷移を引き起こす非線形性の種類を調べるための解析結果の例を示している。ここで
【数６７】
2019136653.tif 000070
とした。図４（ａ）は、運動方程式の対流項と、その液体領域変動項である
【数６８】
2019136653.tif 000071
のみを考慮した場合である。図４（ｂ）は、液面での運動学的境界条件の非線形項である
【数６９】
2019136653.tif 000072
のみを考慮した場合である。図４（ｃ）は、液面での力学的境界条件の動圧項の非線形項である
【数７０】
2019136653.tif 000073
のみを考慮した場合である。
【００４６】
図４（ｂ）に示した
【数７１】
2019136653.tif 000074
のみを考慮した場合には、振幅増加率が時間と共に増加する（振幅変化の包絡関数が下に凸になる）線形解の傾向が現れず、線形解（図２（ｃ））に比べて応答が小さいことが見出された。その他の場合には、図４（ａ），（ｃ）に例示するように、線形解と同様、振幅増加が時間と共に顕著となる。従って、線形応答からの離脱、安定振動への遷移は、
【数７２】
2019136653.tif 000075
に起因する。
【００４７】
【数７３】
2019136653.tif 000076
は、付録Ａの式（Ａ９）によって与えられ、多くの項を持つので、遷移について更なる原因究明を行う。運動学的境界条件、すなわち式（９）第２項の被積分関数を展開表示する：
【数７４】
2019136653.tif 000077
【００４８】
式（２１）は、線形項
【数７５】
2019136653.tif 000078
すなわち、
【数７６】
2019136653.tif 000079
【数７７】
2019136653.tif 000080
以外に多くの非線形項（
【数７８】
2019136653.tif 000081
のまわりのテイラー展開、および、２行目の各項）を含む。これらの非線形項から式（Ａ９）すなわち
【数７９】
2019136653.tif 000082
が導かれるが、式（Ａ９）の右辺の第１，２項は、液面変位ζに関する一般化座標
【数８０】
2019136653.tif 000083
（式（１４）参照）のみに依存し、
【数８１】
2019136653.tif 000084
に関する非線形付加項である。
【００４９】
一方、式（Ａ９）の右辺の第３，４項は、液体粒子速度に関する一般化座標を含み、
【数８２】
2019136653.tif 000085
に関する非線形付加項である。図５に、
【数８３】
2019136653.tif 000086
の条件下で、下記の場合について計算を行った結果を示す。
Case 1: 式（Ａ９）の第１，２項のみを考慮した場合。
Case 2: 式（Ａ９）の第３，４項のみを考慮した場合。
図５は、安定振動への遷移を引き起こす非線形性の種類を調べるための解析結果の例である。ここで、
【数８４】
2019136653.tif 000087
である。
【００５０】
Case 1では図５（ａ）のように線形解と同様、振幅増加が時間と共に顕著（振幅包絡関数が下に凸）となっているが、この振幅増加は、Case 2では図５（ｂ）のように弱まっている。従って、遷移は、運動学的境界条件の
【数８５】
2019136653.tif 000088
に対する非線形付加項に起因する。
【００５１】
しかしながら、より簡便な方法で、
【数８６】
2019136653.tif 000089
に関する非線形付加項が、運動学的境界条件の流体粒子速度項の増加あるいは減少どちらを生じさせるかを調べるのが便利である。すなわち、長い非線形項の上記のような分類によって、遷移が粒子速度項に起因することが判明したので、線形系で
【数８７】
2019136653.tif 000090
に対応する項を増加あるいは低減することによって、非線形応答と同様な安定振動への遷移が起きるか調べる。
【００５２】
〔３．３  線形系を用いた議論〕
常微分方程式（１７）の
【数８８】
2019136653.tif 000091
を次のように表す。
【数８９】
2019136653.tif 000092
ここで
【数９０】
2019136653.tif 000093
【００５３】
【数９１】
2019136653.tif 000094
を下記の
【数９２】
2019136653.tif 000095
に変更する。
【００５４】
【数９３】
2019136653.tif 000096
【数９４】
2019136653.tif 000097
ここで
【数９５】
2019136653.tif 000098
【００５５】
数値計算を、元の質量マトリックス
【数９６】
2019136653.tif 000099
の逆行列を用いて行うため、変更後の質量マトリックス
【数９７】
2019136653.tif 000100
を
【数９８】
2019136653.tif 000101
で次のように表し
【数９９】
2019136653.tif 000102
下線の項に
【数１００】
2019136653.tif 000103
を乗じた列ベクトルを式（１７）左辺に加算する。
【００５６】
このようにして決定した線形系の応答を、上記のαを変えて試行計算した結果、図６に例示するように１より小さいαで、不安定発振から安定振動への遷移が線形系でも生じることが確かめられた。図６は、線形系で安定振動への遷移を生じさせた解析例であり、運動学的境界条件の流体粒子速度項を
【数１０１】
2019136653.tif 000104
以降
【数１０２】
2019136653.tif 000105
倍にした場合である。ここで、
【数１０３】
2019136653.tif 000106
である。
【００５７】
このことは、
【数１０４】
2019136653.tif 000107
に関する非線形付加項は、運動学的境界条件の流体粒子速度項を小さくすることを意味する。このように、安定振動への遷移は、液面での運動学的境界条件における流体粒子速度項の減少によって生じる。
【００５８】
〔３．４  閉ループメカニズム〕
運動学的境界条件の流体粒子速度項の非線形性による減少が、安定振動への遷移（振動低減）を引き起こす物理的理由を調べるには、負の周方向静的流速
【数１０５】
2019136653.tif 000108
によって得られる振動低減の閉ループメカニズム（非特許文献１参照）が有効である。そこで、この閉ループメカニズムを概説する。
【００５９】
式（８）を、線形理論を用いて
【数１０６】
2019136653.tif 000109
と表し、式（１２）の静圧
【数１０７】
2019136653.tif 000110
を代入して次式を得る。
【数１０８】
2019136653.tif 000111
【００６０】
分り易くするため、支配方程式のいろいろな部分に現れる
【数１０９】
2019136653.tif 000112
を
【数１１０】
2019136653.tif 000113
のように分類して異なった記号で表す。
【００６１】
これらの各々を個別で（他は０として）作用させた解析結果に基づき、閉ループメカニズムは下記のように概説される（さらなる詳細は非特許文献１を参照）。
【００６２】
［Ｉ］分り易くするため、まず、スロッシング復元力項の周方向流速のみが作用する
【数１１１】
2019136653.tif 000114
の場合を考える。この場合、下記（ａ）〜（ｅ）が順次生じる閉ループメカニズムによって振動が低減する。
（ａ）式（２９）でスロッシング復元力項のζの係数が減少するので、単位液面変位
【数１１２】
2019136653.tif 000115
に対して生じる動圧が低減する。
（ｂ）運動方程式を介し動圧勾配によって励起される、流速が低減する。
（ｃ）運動学的境界条件（式（２１）を０に置いた式）を介し流体粒子速度によって励起される、液面変位が減少する。
（ｄ）上記（ｃ）で減少した液面変位が上記（ａ）による動圧減少を促進する。
【００６３】
［ＩＩ］負の
【数１１３】
2019136653.tif 000116
は上記（ｃ）の効果を抑制する（付録Ｂで説明するように、液面変位に関する慣性が減少するため）。
【００６４】
［ＩＩＩ］しかし、［Ｉ］の
【数１１４】
2019136653.tif 000117
の効果が、［ＩＩ］の
【数１１５】
2019136653.tif 000118
の効果よりも大きく振動が低減する（この振動低減は式（２９）のスロッシング復元力項の２乗に起因し、１乗に変えると振動低減は達成できないことを確かめている）。
【００６５】
【数１１６】
2019136653.tif 000119
は、上の（ｂ）の流速減少をそれぞれ促進、抑制し、双方が同時に作用すると振動が増大する。しかし、
【数１１７】
2019136653.tif 000120
全ての作用下では、振動が低減する。
【００６６】
非線形性による振動低減（安定振動への遷移）は、
【数１１８】
2019136653.tif 000121
と対照的に、（ｃ）の効果を、液面変位を励起する流体粒子速度項の低減によって促進する。すなわち
【数１１９】
2019136653.tif 000122
と同様、振動を低減する。
【００６７】
負の周方向流速による振動低減は、過程（ａ）が作用し、安定振動への非線形性による遷移では、過程（ｄ）が作用して、続く過程が次々に生じる。非線形性による安定振動への遷移の理由として、運動学的境界条件のみ参照して流体粒子速度項が低減することだけを言っても、遷移のメカニズムは解し難い。このため、典型的な振動低減の例である、周方向流速を導入した場合の閉ループメカニズムを用いて説明した。
【００６８】
〔３．５  液深を増した場合〕
図７，８に、液体の無次元深さ
【数１２０】
2019136653.tif 000123
を０．５に増した場合にも、不安定発振から安定振動への遷移が非線形性によって生じる例を示す。図７は、ロータの変位
【数１２１】
2019136653.tif 000124
の時刻歴応答（無次元深さを０．５に増した場合）を示している。図７（ａ），（ｂ）は、
【数１２２】
2019136653.tif 000125
の場合であり、図７（ａ）は線形解析、図７（ｂ）は非線形解析である。図７（ｃ），（ｄ）は
【数１２３】
2019136653.tif 000126
の場合であり、図７（ｃ）は線形解析、図７（ｄ）は非線形解析である。図８は、ロータの変位振幅の無次元回転速度
【数１２４】
2019136653.tif 000127
への依存性（無次元深さを0.5に増した場合）を示している。
【００６９】
図９は、安定振動への遷移を引き起こす非線形性の種類を調べるための解析結果の例を示している。ここで、液体の無次元深さを０．５に増した場合であり、
【数１２５】
2019136653.tif 000128
とした。図９（ａ）は、運動方程式の線形項の液体領域変動項である
【数１２６】
2019136653.tif 000129
のみを考慮した場合である。図９（ｂ）は、運動方程式の対流項と、その液体領域変動項である
【数１２７】
2019136653.tif 000130
のみを考慮した場合である。図９（ｃ）は、液面での運動学的境界条件の非線形項である
【数１２８】
2019136653.tif 000131
のみを考慮した場合であり、図９（ｄ）は、液面での力学的境界条件の動圧項の非線形項である
【数１２９】
2019136653.tif 000132
のみを考慮した場合である。
【００７０】
前と同様、
【数１３０】
2019136653.tif 000133
のうち、ひとつのみを考慮した解析によって、各非線形項の影響を調べた。その結果を下記に要約する：
（Ａ）
【数１３１】
2019136653.tif 000134
(液面における粘性応力の仮想仕事)の影響は小さい。
【００７１】
（Ｂ）
【数１３２】
2019136653.tif 000135
のそれぞれを単独で考慮した場合、振幅増加の速さが時間と共に増加する線形解の傾向が現れず、線形解との差異が大きい（図９（ａ）〜（ｃ））。
（Ｃ）その他の場合には、図９（ｄ）に例示するように、線形解と同様、振幅増加率が時間と共に増加する。
（Ｄ）
【数１３３】
2019136653.tif 000136
のみの作用下の応答も、線形解よりかなり小さく、安定振動への遷移に寄与していることが確かめられる。
【００７２】
このように、本解析法は、液深が増した場合にも非線形性による安定振動への遷移の予測に適用できる。また、各種非線形項を考慮しているため、それらの影響が調べられるという特長がある。
【００７３】
安定振動への遷移を示す応答波形から分るように、遷移の確認には膨大な時間ステップ数までの解析を要する。このため、ＣＦＤに比べ低次元で高速の本解析法が便利であり、特に多くの条件下での計算を要するケース・スタディに便利である。また、本解析法により、遷移を引き起こす非線形項を特定し、これによって物理的メカニズムを解明することが可能となる。
【００７４】
次に、３．３節の方法で作成した線形系においても、安定振動への遷移挙動が現れることを調べた。その結果を図１０に示す。図１０は、線形系で安定振動への遷移を生じさせた解析例を示している。ここで、液体の無次元深さを０．５に増し、
【数１３４】
2019136653.tif 000137
とした。
【００７５】
図１０（ａ）は、運動学的境界条件の流体粒子速度項
【数１３５】
2019136653.tif 000138
（式（２３））に対応する質量行列
【数１３６】
2019136653.tif 000139
の区画（
【数１３７】
2019136653.tif 000140
区画）を、時刻１６ｓ以降
【数１３８】
2019136653.tif 000141
倍にした場合である。
【００７６】
図１０（ｂ）は、質量行列の
【数１３９】
2019136653.tif 000142
区画の行列要素
【数１４０】
2019136653.tif 000143
と、その対称要素
【数１４１】
2019136653.tif 000144
を、時刻１６ｓ以降
【数１４２】
2019136653.tif 000145
倍にした場合である。
【数１４３】
2019136653.tif 000146
は、ｒ方向の運動方程式の圧力勾配項に対応する。
【００７７】
図１０（ａ），（ｂ）のように、安定振動への遷移が、１より小さい
【数１４４】
2019136653.tif 000147
によって得られ、非線形性は運動学的境界条件の流体粒子速度項を小さくする作用を有することが分る。
【００７８】
〔３．６  大型モデルでの低振動構造〕
ある無次元深さ
【数１４５】
2019136653.tif 000148
、液体領域の全区間長さ２ｈに関し、液体領域の外半径ｂをα倍に、
【数１４６】
2019136653.tif 000149
と
【数１４７】
2019136653.tif 000150
（液体非保有時のロータの質量とばね定数）を
【数１４８】
2019136653.tif 000151
倍に増加させることによって、固有振動数
【数１４９】
2019136653.tif 000152
、構造体と流体の質量比
【数１５０】
2019136653.tif 000153
の等しい相似モデルが得られる。そこでまず、基準モデルとして、無次元深さ
【数１５１】
2019136653.tif 000154
が実機で生じ得る比較的大きい値０．５で、その他の諸元は表１と同じモデルを設定する。
【００７９】
次に、具体的な数値でどの程度のロータの質量が必要か把握するため、
【数１５２】
2019136653.tif 000155
の相似モデル（
【数１５３】
2019136653.tif 000156
）を考える。このモデルは、安定振動に遷移するという条件を満たす。
【００８０】
この条件を満たすのに必要な
【数１５４】
2019136653.tif 000157
の最低許容値について調べるため、この相似モデルとｂ、
【数１５５】
2019136653.tif 000158
を等しく保って、
【数１５６】
2019136653.tif 000159
を減少させた場合のロータの変位応答を調べた。
【００８１】
図１１は、ロータの変位
【数１５７】
2019136653.tif 000160
の振幅のロータの質量
【数１５８】
2019136653.tif 000161
に対する依存性を示している。ここで、
【数１５９】
2019136653.tif 000162
とした。図中の曲線ａは無次元深さ
【数１６０】
2019136653.tif 000163
図中の曲線ｂは無次元深さ
【数１６１】
2019136653.tif 000164
の場合を示している。
【００８２】
その結果、不安定振動は生じない範囲でも、図１１に曲線ａで示すように、振幅が
【数１６２】
2019136653.tif 000165
の減少と共に増加して、
【数１６３】
2019136653.tif 000166
程度では両振幅が円筒状のロータの半径の１／５０の相当大きな振動（１９Ｈｚの高周波数）に達する。このため、
【数１６４】
2019136653.tif 000167
の許容範囲を４０００ｋｇとする。
【００８３】
このような無次元深さ
【数１６５】
2019136653.tif 000168
に対する
【数１６６】
2019136653.tif 000169
の許容範囲で、実機で生じ得る小さめの無次元深さ０．２に対する振幅は、図１１に曲線ｂで示すように低レベルである。従って、
【数１６７】
2019136653.tif 000170
の許容最小値は、大きい無次元深さの場合から定まる
【数１６８】
2019136653.tif 000171
程度である。
【００８４】
このときの、式（３０）で与えられる構造体と流体の質量比の許容値は
【数１６９】
2019136653.tif 000172
である。式（３１）によって、一般的な寸法拡大率αに対する、両振幅が円筒状のロータの半径の１／５０以下という条件下での許容値が与えられる。
【００８５】
また、前記許容量は、上限が例えば５０であってもよい。この場合、構造体と流量の質量比は、３０から５０までの範囲にあればよい。また、この範囲を含む例えば２０から６０までの範囲にあってもよい。また、前記許容値は、上記の条件の下のものに限られず、他の適切な数値によって設定してもよい。
【００８６】
このように、無次元深さの大きい場合の応答に対処することによって、任意液体量（無次元深さ）対応型の低振動構造が決められる。無次元深さの大きい場合は、従来広く用いられている浅水波近似理論の適用限界であり、本予測法が重要となる。
【００８７】
〔４．計算装置〕
前述したような自励振動の予測は、図１２に示すような計算装置１０によって実現することができる。この計算装置１０は、ＣＰＵ、ＤＳＰの如き演算部１１、ＲＡＭ、ＲＯＭ、ハードディスクの如き記憶部１２、ＬＣＤ、プリンタの如き出力部１３、キーボード、マウスの如き入力部１４を含み、例えばパーソナルコンピュータを利用することができる。
【００８８】
図１３に示す計算装置１０の一連の動作は、記憶部１２に格納された振動予測プログラム１２ａを演算部１１が読み出して実行することにより実現される。この振動予測プログラム１２ａは、前述のような手順によって得られた液体−弾性を有する回転軸の連成系の表現を含んでいる。
【００８９】
最初のステップＳ１１においては、モデルを設定する。ここでは、前述したような遠心分離機（液体を含んで回転するロータ）のモデルを設定するものとする。入力部１４は、この遠心分離機について、静的液体領域の内半径、静的液体領域の外半径、回転軸の支持点の減衰定数、液体領域の軸方向長さの半分、リング板で仕切られた液体領域の軸方向長さ、回転軸のばね定数、回転軸の支持点のばね定数、タンクの質量、リング板で仕切られた液体領域の個数等の値を入力値として受け取る。演算部１１は、入力部１４が受け取った入力値を記憶部１２に格納する。
【００９０】
また、ステップＳ１１においては、図１４に示すような一連の手順により、コンピュータがモデルに基づいて振動を解析的に予測してもよい。この予測方法は、ステップＳ１においては液体の半径方向流速、周方向流速及び圧力について仮想仕事から運動方程式を求め、ステップＳ２においては液面における境界条件及び連続条件を設定し、ステップＳ３においては直交関数展開法により、ステップＳ１及びＳ２の式から一般化座標に関する時間の常微分方程式を求め、ステップＳ４においてはロータの運動方程式と回転軸を軸受けで支持する部分での力のつりあい式を求め、ステップＳ５ではステップＳ２〜Ｓ４の式を連立させて解くことによって、振動を解析的に予測することができる。
【００９１】
ステップＳ１２においては、演算部１１は、記憶部１２に格納された入力値を読み出し、その数値計算部１１ａにおいて、この入力値に基づいて液体−弾性を有する回転軸の連成系の表現を用いて数値計算によりこの振動を予測する。ここで、振動予測には、振動の振幅の最大値を用いることができるが、これらに限られない。演算部１１は、得られた振動の予測を記憶部１２に格納する。
【００９２】
ステップＳ１３においては、演算部１１は、記憶部１２に格納された振動を予測した値と、同じく記憶部１２に格納された所定の閾値１２ｂとを読み出す。演算部１１は、その判定部１１ｂにおいて、振動を予測した値が閾値１２ｂを超えない場合にはＯＫと判定して一連のステップを終了する。一方、予測した振動の値が閾値を越えた場合にはＮＧとして判定して前のステップＳ１のモデル設定に手順を戻す。なお、閾値１２ｂは、入力部１４を介して設定することができる。
【００９３】
このような一連の工程において、予測した振動が所定の閾値内に収まるまでモデル設定、数値計算、判定のループを繰り返すことにより、閾値内に収まるモデル設定を可能としている。また、前述の液体−弾性を有する回転軸の連成系の表現を利用することにより、精度の高いモデル設定を可能としている。
【００９４】
なお、このような振動の予測は、記憶部１２に格納し振動予測プログラム１２ａのような、前述の液体−弾性を有する回転軸の連成系の表現を含み、モデル設定、数値計算、判定のステップを有するプログラムによっても提供することができる。
【００９５】
〔付録Ａ  常微分方程式の導出法〕
特に、３．２節の考察で重要となり参照される、常微分方程式（１７）中の運動学的境界条件に関する部分について記す。例えば、式（９）の
【数１７０】
2019136653.tif 000173
に関する線形項は、式（１３）を代入することにより次のように表される。
【数１７１】
2019136653.tif 000174
【００９６】
［・・・］内の量、すなわち
【数１７２】
2019136653.tif 000175
の係数が、式（１７）において質量行列
【数１７３】
2019136653.tif 000176
の
【数１７４】
2019136653.tif 000177
に関する行、
【数１７５】
2019136653.tif 000178
に関する列に寄与する量となる。
【００９７】
ここで注意すべきことは、式（Ａ１）は
【数１７６】
2019136653.tif 000179
に比例するが、質量行列
【数１７７】
2019136653.tif 000180
を含む慣性項は
【数１７８】
2019136653.tif 000181
に比例するという点である。これは、部分積分
【数１７９】
2019136653.tif 000182
によって、加速度変分
【数１８０】
2019136653.tif 000183
に関する停留条件から、速度変分
【数１８１】
2019136653.tif 000184
に関する停留条件への変換を行った結果である。すなわち、加速度変分の係数の時間微分の逆符号から常微分方程式が導かれる。加速度変分を含む全項でこのような変換を適用する。従って逆符号化は省略できる。
【００９８】
次に、非線形項の導出法について述べる。例として、下記の、式（９）第２項の［・・・］内の第１，２項に関して説明する。
【数１８２】
2019136653.tif 000185
【数１８３】
2019136653.tif 000186
を含む項と動圧変分を、式（１３）のテイラー展開式を用いて、次のように表しておく
【数１８４】
2019136653.tif 000187
【数１８５】
2019136653.tif 000188
【００９９】
ここで
【数１８６】
2019136653.tif 000189
【数１８７】
2019136653.tif 000190
であり、どの項に由来する液面変位かの識別のため、下記のように区別して教示している。
【数１８８】
2019136653.tif 000191
流速成分、液面変位を第１近似
【数１８９】
2019136653.tif 000192
とし、
【数１９０】
2019136653.tif 000193
までを考慮する。式（Ａ４）内の添え字
【数１９１】
2019136653.tif 000194
をそれぞれ
【数１９２】
2019136653.tif 000195
に換え、式（Ａ４），（Ａ５）を式（Ａ３）に代入することによって次式を得る。
【数１９３】
2019136653.tif 000196
【０１００】
ここで
【数１９４】
2019136653.tif 000197
で、これらの表記は省略する。
【数１９５】
2019136653.tif 000198
に、式（１４）の添え字を変更して得られる次式：
【数１９６】
2019136653.tif 000199
を代入し、時間変数
【数１９７】
2019136653.tif 000200
等に関する３次項までを保存する。式（９）第２項の［・・・］内の他の項についても計算を行う。このようにして計算した非線形項の
【数１９８】
2019136653.tif 000201
の係数が、式（１７）の列ベクトル
【数１９９】
2019136653.tif 000202
の
【数２００】
2019136653.tif 000203
に関する行
【数２０１】
2019136653.tif 000204
を与え、この行は下記のようになる。
【数２０２】
2019136653.tif 000205
【０１０１】
ここで、係数の上添字は下記のように付けられている。
係数
【数２０３】
2019136653.tif 000206
の上添字４４３は、
【数２０４】
2019136653.tif 000207
の係数で変分
【数２０５】
2019136653.tif 000208
から生じることを表す。
係数
【数２０６】
2019136653.tif 000209
の上添字４４３は、
【数２０７】
2019136653.tif 000210
の係数で変分
【数２０８】
2019136653.tif 000211
から生じることを意味する。他の係数も同様である。
【０１０２】
これらの係数の内容の、一例を示す：
【数２０９】
2019136653.tif 000212
【０１０３】
〔付録Ｂ  周方向静的流速の液面変位に対する慣性低減効果〕
３．４節の［ＩＩ］に記した
【数２１０】
2019136653.tif 000213
の効果の理由を考察する。式（１）第１，２項の運動方程式中の、液体が受ける励振力は、ロータの変位
【数２１１】
2019136653.tif 000214
によって、次のように書ける。
【数２１２】
2019136653.tif 000215
【０１０４】
従って、
【数２１３】
2019136653.tif 000216
および、液面変位ζを次のようにおく。
【数２１４】
2019136653.tif 000217
【０１０５】
ここで、
【数２１５】
2019136653.tif 000218
である。式（Ｂ３）のζを式（２１）の運動学的境界条件の右辺第１，２項に代入すると
【数２１６】
2019136653.tif 000219
となる。
【０１０６】
応答計算の結果より、遠心力波の進行方向は
【数２１７】
2019136653.tif 000220
方向であること、すなわち式（Ｂ３）よりσは正であることを確認している。従って、液面変位に関する慣性を表す式（Ｂ４）の［・・・］内は、負の
【数２１８】
2019136653.tif 000221
によって大きさが減少する。この慣性低減効果により、閉ループメカニズムの［Ｉ］（ｃ）と異なり、液面変位が増加する。
【図１】
2019136653.tif 000222
【図２】
2019136653.tif 000223
【図３】
2019136653.tif 000224
【図４】
2019136653.tif 000225
【図５】
2019136653.tif 000226
【図６】
2019136653.tif 000227
【図７】
2019136653.tif 000228
【図８】
2019136653.tif 000229
【図９】
2019136653.tif 000230
【図１０】
2019136653.tif 000231
【図１１】
2019136653.tif 000232
【図１２】
2019136653.tif 000233
【図１３】
2019136653.tif 000234
【図１４】
2019136653.tif 000235