(57)【要約】【課題】位置合わせの目的に合った位置合わせ量を特定すること。【解決手段】第１の対象物と第２の対象物とを位置合わせする位置合わせ方法であって、第１の対象物の複数の点の座標および第２の対象物の複数の点の座標の変換に用いる行列を変数として含み、値の大きさが位置合わせの程度を示すコスト関数を決定する決定ステップと、前記コスト関数により算出される値を最小化するための前記変数の調整を繰り返し行う最小化ステップと、最小化ステップにより調整された前記変数に基づき、位置合わせ量を特定する位置合わせ量特定ステップとを備える。【選択図】図１
2019008007.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
第１の対象物と第２の対象物とを位置合わせする位置合わせ方法であって、
前記第１の対象物の複数の点の座標および前記第２の対象物の複数の点の座標の変換に用いる行列を変数として含み、値の大きさが位置合わせの程度を示すコスト関数を決定するステップと、
前記コスト関数により算出される値を最小化するための前記変数の調整を繰り返し行う最小化ステップと、
前記最小化ステップにより調整された前記変数に基づき、位置合わせ量を特定する位置合わせ量特定ステップと、
を備える位置合わせ方法。
【請求項２】
前記コスト関数に対する、前記行列の初期値および暫定解を設定する関数設定ステップをさらに備え、
前記最小化ステップは、前記変数の初期値および暫定解を用いて、前記コスト関数を予め定められた終了条件まで凸最適化手法で最小化する請求項１に記載の位置合わせ方法。
【請求項３】
前記関数設定ステップは、最小二乗法、ｄ乗ノルムを最小にする変換、または、確率的手法により、前記初期値を設定する請求項２に記載の位置合わせ方法。
【請求項４】
前記最小化ステップは、予め定められた終了条件に基づいて、次の前記初期値を確率的に設定し、
前記終了条件は、当該最小化ステップを所定回数繰り返すことを含む請求項２または３に記載の位置合わせ方法。
【請求項５】
前記最小化ステップは、前記凸最適化手法として、Nelder-Mead法または黄金分割法を用いる請求項２から４のいずれか１項に記載の位置合わせ方法。
【請求項６】
前記最小化ステップを、複数の互いに異なる前記コスト関数について実行し、  
前記最小化ステップによって特定された複数の行列を用いて、更に他のコスト関数を計算し、前記複数の行列のうち前記他のコスト関数の計算値が最も小さくなる行列を特定する請求項１から５のいずれか１項に記載の位置合わせ方法。
【請求項７】
前記コスト関数は、前記第１の対象物の複数の点の座標と、これに対応する前記第２の対象物上の複数の点の座標との組の距離の最大値、前記距離のｄ乗和（ただしｄは任意の正の整数）、および、前記距離のうち予め定められた閾値を超える組の数、のいずれか一つを表す請求項１から６のいずれか１項に記載の位置合わせ方法。
【請求項８】
前記行列による座標変換はアフィン変換であり、
前記位置合わせ量特定ステップは、前記コスト関数が最小化されたときのアフィン変換から、前記位置合わせ量として、拡大縮小、せん断変形、回転、および、平行移動の量を特定する請求項１から７のいずれか１項に記載の位置合わせ方法。
【請求項９】
前記第１の対象物および前記第２の対象物は、互いに貼り合される第１の基板および第２の基板である請求項１から８のいずれか１項に記載の位置合わせ方法。
【請求項１０】
前記第１の対象物には、複数のマークが設けられており、前記第２の対象物には、それぞれが前記第１の対象物の前記複数のマークのそれぞれと組になる複数のマークが設けられており、
前記コスト関数の値は、前記マークの各組の位置ずれ量のうちの最大値である請求項１から９のいずれか一項に記載の位置合わせ方法。
【請求項１１】
前記第１の対象物には、複数のマークが設けられており、前記第２の対象物には、それぞれが前記第１の対象物の前記複数のマークのそれぞれと組になる複数のマークが設けられており、
前記コスト関数の値は、前記複数のマークの複数の組のうち、位置合わせ後の位置ずれ量が閾値を超える組の数である請求項１から９のいずれか一項に記載の位置合わせ方法。
【請求項１２】
第１の対象物と第２の対象物とを位置合わせする位置合わせ装置であって、
前記第１の対象物の複数の点の座標および前記第２の対象物の複数の点の座標の変換に用いる行列を変数として含み、値の大きさが位置合わせの程度を示すコスト関数を決定する関数設定部と、
前記コスト関数により算出される値を最小化するための前記変数の調整を繰り返し行う最小化部と、
前記最小化部により調整された前記変数に基づき、位置合わせ量を特定する位置合わせ量特定部と、
を備える位置合わせ装置。
【請求項１３】
第１の対象物と第２の対象物とを位置合わせする位置合わせ装置を制御するコンピュータのプログラムであって、
前記第１の対象物の複数の点の座標および前記第２の対象物の複数の点の座標の変換に用いる行列を変数として含み、値の大きさが位置合わせの程度を示すコスト関数を決定する決定手順と、
前記コスト関数により算出される値を最小化するための前記変数の調整を繰り返し行う最小化手順と、
前記最小化手順により調整された前記変換に基づき、位置合わせ量を特定する位置合わせ量特定手順と、
をコンピュータに実行させるプログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、位置合わせ方法、位置合わせ装置およびプログラムに関する。
【背景技術】
【０００２】
マスクのアライメントマークの座標とウエハのアライメントマークの座標について最小二乗法を用いることにより、マスクとウエハの位置合わせをするものがある（例えば、特許文献１参照）。
特許文献１  特開２００５−２０３３８６
【発明の概要】
【０００３】
本発明の第１の態様においては、第１の対象物と第２の対象物とを位置合わせする位置合わせ方法であって、第１の対象物の複数の点の座標および第２の対象物の複数の点の座標の変換に用いる行列を変数として含み、値の大きさが位置合わせの程度を示すコスト関数を決定するステップと、コスト関数により算出される値を最小化するための変数の調整を繰り返し行う最小化ステップと、最小化ステップにより調整された変数に基づき、位置合わせ量を特定する位置合わせ量特定ステップと、を備える。
【０００４】
本発明の第２の態様においては、  第１の対象物と第２の対象物とを位置合わせする位置合わせ装置であって、第１の対象物の複数の点の座標および第２の対象物の複数の点の座標の変換に用いる行列を変数として含み、値の大きさが位置合わせの程度を示すコスト関数を決定する関数設定部と、コスト関数により算出される値を最小化するための変数の調整を繰り返し行う最小化部と、最小化部により調整された変数に基づき、位置合わせ量を特定する位置合わせ量特定部と、を備える。
【０００５】
本発明の第３の態様においては、第１の対象物と第２の対象物とを位置合わせする位置合わせ装置を制御するコンピュータのプログラムであって、第１の対象物の複数の点の座標および第２の対象物の複数の点の座標の変換に用いる行列を変数として含み、値の大きさが位置合わせの程度を示すコスト関数を決定する決定手順と、コスト関数により算出される値を最小化するための変数の調整を繰り返し行う最小化手順と、最小化手順により調整された変換に基づき、位置合わせ量を特定する位置合わせ量特定手順と、をコンピュータに実行させる。
【０００６】
上記の発明の概要は、本発明の特徴の全てを列挙したものではない。これらの特徴群のサブコンビネーションも発明となりうる。
【図面の簡単な説明】
【０００７】
【図１】本実施形態にかかる位置合わせ装置１０の機能ブロックを示す。
【図２】図２は、第１の対象物の一例としての基板２１０を概略的に示す。
【図３】位置合わせ装置１０の動作（Ｓ２０）の一例を示すフローチャートである。
【図４】図３の最小化ステップ（Ｓ１０３）の詳細を示すフローチャートである。
【図５】別例の動作（Ｓ２０）を示すフローチャートである。
【図６】積層装置３００の概略図である。
【発明を実施するための形態】
【０００８】
以下、発明の実施の形態を通じて本発明を説明するが、以下の実施形態は特許請求の範囲にかかる発明を限定するものではない。また、実施形態の中で説明されている特徴の組み合わせの全てが発明の解決手段に必須であるとは限らない。
【０００９】
図１は、本実施形態にかかる位置合わせ装置１０の機能ブロックを示す。位置合わせ装置１０は、第１の対象物と第２の対象物とを位置合わせする位置合わせ量を特定する。
【００１０】
位置合わせ装置１０は、第１の対象物の複数の点の座標および第２の対象物の複数の点の座標を格納する座標格納部１００を有する。位置合わせ装置１０はさらに、位置合わせに関するコスト関数を格納する関数格納部１１０を有する。
【００１１】
さらに、位置合わせ装置１０は、目的に合ったコスト関数を関数格納部１１０から読み出して設定する関数設定部１２０と、コスト関数を最小化するための最小化部１３０と、終了条件が満たされるまで最小化部１３０によりコスト関数を最小化する工程を行ったときの変換行列から、位置合わせ量を特定する位置合わせ量特定部１５０と、位置合わせ量特定部１５０で特定された位置合わせ量を格納する位置合わせ量格納部１６０とをさらに備える。最小化部１３０は、コスト関数の最小化において、凸最適化法を用いてよい。ここで、凸最適化法は、コスト関数が凸集合における凸関数である場合に、当該コスト関数の局所的な最小値を求める手法であり、当該局所的な最小値が大域的にも最小値であることが保証される方法である。凸最適化法には、Ｎｅｌｄｅｒ−Ｍｅａｄ法、内点法、バンドル法等などが具体例として含まれる。
【００１２】
図２は、第１の対象物の一例としての基板２１０を概略的に示す。基板２１０は、ノッチ２１４と、複数の回路領域２１６および複数のアライメントマーク２１８とを有する。
【００１３】
回路領域２１６は、基板２１０の表面に、基板２１０の面方向に周期的に配される。回路領域２１６の各々には、フォトリソグラフィ技術等より形成された半導体装置、配線、保護膜等が設けられる。回路領域２１６には、基板２１０を他の基板２１０、リードフレーム等に電気的に接続する場合に接続端子となるパッド、バンプ等の接続部を含む構造物も配される。
【００１４】
アライメントマーク２１８は、基板２１０の表面に形成された構造物の一例であり、回路領域２１６相互の間に配されたスクライブライン２１２上に配される。また、例えばアライメントマーク２１８が十字であるときは、アライメントマーク２１８の座標は十字の交差点の座標とする。なお、第２の対象物の一例も基板２１０と同様の基板とする。
【００１５】
本実施形態において、位置合わせ装置１０は、基板２１０の複数のアライメントマーク２１８のそれぞれを、他の基板２１０において対応するアライメントマークに位置合わせするための位置合わせ量を算出する。ここで、基板２１０の複数のアライメントマーク２１８と他の基板２１０の複数のアライメントマーク２１８とがそれぞれ設計した位置にあれば、位置合わせ量が一意に決まり、その位置合わせ量によって互いのアライメントマーク２１８は完全に位置合わせされる。
【００１６】
しかしながら、アライメントマーク２１８を形成するときの露光時の位置ずれ、その後の基板２１０の変形等により、アライメントマーク２１８は設計した位置からずれることがある。この場合に、目的に合わせた位置合わせ量で、基板２１０の複数のアライメントマーク２１８のそれぞれを、他の基板２１０において対応するアライメントマーク２１８に位置合わせすることが好ましい。
【００１７】
位置合わせの目的に応じて、どのような位置合わせが適しているかが異なる。例えば、複数の点の座標同士を位置合わせする位置合わせ量を算出する方法として、最小二乗法が考えられる。最小二乗法は、一方の基板２１０のアライメントマークの座標をｘｎとし、他方の基板２１０のアライメントマーク２１８の座標をｙｎと表したときに下記数式１で表される二乗和を最小にする変換行列Ａを解析的に算出する方法である。ここで、ｘｎはｘ座標値およびｙ座標値を有し、同様にｙｎはｘ座標値およびｙ座標値を有し、ｎは互いに対応するアライメントマーク２１８の番号であり、Ｉは当該番号の集合である。
【数１】
2019008007.tif 000003
【００１８】
上記最小二乗法は解が解析的に求まる、すなわち反復的な数値計算が不要であるという点で有利である。しかしながら、最小二乗法による変換行列Ａが、位置合わせの目的に対していつも適切な解であるとは限られない。例えば、一対の基板２１０を貼り合せて積層半導体装置を製造する場合においては、一対の基板を貼り合せたときに、回路領域２１６同士のずれ幅が閾値を超えるものは不良品となる。よって、回路領域２１６同士のずれ幅が閾値を超えるものの個数を少なくすることが好ましい。回路領域２１６同士のずれ幅が閾値を超えるものの個数を少なくするという目的に対して最小二乗法の解による位置合わせが適切とは限らず、むしろ例えば下記のような位置合わせが適している。
１．アライメントマーク２１８の各組の位置ずれ量のうちの最大値を、最小にする。すなわち、ある位置合わせ状態における、アライメントマーク２１８の各組の位置ずれ量のうちの最も位置ずれが大きいものの位置ずれ量と、他の位置合わせ状態における、アライメントマーク２１８の各組の位置ずれ量のうちの最も位置ずれが大きいものの位置ずれ量とを比較し、小さい方の位置合わせを採用する。
２．貼り合せ後の位置ずれ量が閾値を超えるアライメントマーク２１８の組の数を最小にする。
【００１９】
なお、この場合の「閾値」とは、一対の基板の貼り合わせが完了したときに、基板間に電気的な導通が可能となるずれ量であってもよく、基板にそれぞれ設けられた構造物同士が少なくとも一部で接触するときのずれ量であってもよい。また、一対の基板の貼り合せ過程で生じる歪みを貼り合せ前に予め対処する場合、すなわち、貼り合せ完了時にその歪みによる位置ずれが補正されるように基板の少なくとも一方を貼り合せ前に変形させる場合は、一方の基板が変形した状態での位置を基準に閾値が設定されてもよい。
【００２０】
本実施形態では、位置合わせの目的に合せたコスト関数を設定し、当該コスト関数を最小化することで目的に合せた位置合わせ量の解を得る。コスト関数は、一対の基板２１０のそれぞれの複数の点の座標と、それらの変換行列とを、パラメータとして含む。コスト関数の値の大きさは、位置合わせの程度を示す。すなわち、コスト関数の値が小さいほど、目的に合った位置合わせがより正確に行われていることを示す。言い換えると、コスト関数の値の大きさは、目的に合った位置合わせの精度すなわち最大の位置ずれ量や、位置合わせ具合を示しているとも言える。位置合わせの目的と、当該目的に合せたコスト関数との組み合わせとして、下記の例が挙げられる。
【００２１】
＜組み合わせ例１＞
位置合わせの目的：アライメントマーク２１８の各組の位置ずれ量のうちの最大値を、最小にする。
コスト関数：下記数式２。数式２のコスト関数Ｅ（Ａ）は、アライメントマーク２１８の座標ｘｎＵ、ｘｎＬを変数とし、変換行列Ａをパラメータとして含む。ここで、ｘｎＵは一方の基板のｎ番目のアライメントマークの座標を示し、ｘｎＬは他方の基板の、対応するアライメントマークであるｎ番目のアライメントマークの座標を示す。また、ｍａｘは最大値であって、数式２はＩに属するｎにおける２乗ノルムの最大値を表している。
【数２】
2019008007.tif 000004
【００２２】
＜組み合わせ例２＞
位置合わせの目的：貼り合せ後の位置ずれ量が閾値を超えるアライメントマーク２１８の組の数を最小にする。
コスト関数：下記数式３。数式３のコスト関数Ｅ（Ａｅ）は、アライメントマーク２１８の座標ｘｎＵ、ｘｎＬを変数とし、変換行列Ａｅをパラメータとして含む。また、Ｃａｒｄは個数を示し、ｓ．ｔ．は条件を示す。よって、数式３は、Ｉに属するｎにおける２乗ノルムが条件を満たす座標の組の個数を表している。
【数３】
2019008007.tif 000005
【００２３】
いずれのコスト関数においても、変換行列Ａ、Ａｅは、位置合わせの自由度として許容されるものに応じた制限を有する。位置合わせの自由度とは、線形変換、平行移動、二次以上の変換など、実際に位置合わせをするときに位置合わせ装置で用い得る変換をいう。例えば、位置合わせの自由度として、拡大縮小、せん断変形、回転及び平行移動が考えられる。これら拡大縮小、せん断変形、回転及び平行移動を含む変換行列Ａ、Ａｅはアフィン変換で表すことでき、計算上はアフィン行列として取り扱うことができる。以降の説明において特に断らない限り、変換行列Ａ、Ａｅはアフィン変換であるとする。
【００２４】
コスト関数はユーザにより入力されてもよいし、予め関数格納部１１０に格納されてユーザの指示により、または、関数設定部１２０が自動で関数格納部１１０から呼び出してもよい。関数格納部１１０には複数のコスト関数が格納されていてもよい。
【００２５】
図３は位置合わせ装置１０の動作（Ｓ１０）の一例を示すフローチャートである。なお、動作（Ｓ１０）に先立って、一方の基板２１０の複数のアライメントマーク２１８の座標ｘｎＵ、および、他方の基板２１０の複数のアライメントマーク２１８の座標ｘｎＬ、は予め座標格納部１００に格納されているとする。
【００２６】
関数設定部１２０は、位置合わせの目的に合せたコスト関数を設定する（Ｓ１０１）。以下、ステップＳ１０１においてコスト関数として数式２が設定された例を説明する。次のステップＳ１０３において、最小化部１３０はコスト関数Ｅ（Ａ）を最小化する。ステップＳ１０３の詳細は図４を用いて説明する。
【００２７】
位置合わせ量特定部１５０は、ステップＳ１０３でコスト関数Ｅが最小化されたときの変換行列Ａｍｉｎから、位置合わせ量を特定して位置合わせ量格納部１６０に格納し（Ｓ１５０）、動作（Ｓ１０）を終了する。位置合わせ量の特定の詳細についても、図４でステップＳ１０３を説明した後に詳細に説明する。
【００２８】
図４は、図３の最小化ステップ（Ｓ１０３）の詳細を示すフローチャートである。まず最小化部１３０は、コスト関数Ｅ（Ａ）に対する変換行列Ａの初期値Ａｉｎｉｔおよび暫定解Ａｔｅｍｐを設定する（Ｓ１１１）。本実施形態では、下記数式４を用いた最小二乗法によりアフィン変換Ａ２を計算し、初期値Ａｉｎｉｔおよび暫定解ＡｔｅｍｐをＡ２とする。ここでＡｖはベクトル空間Ｖ上の線形変換全てを表す。
【数４】
2019008007.tif 000006
【００２９】
最小化部１３０は、初期値Ａｉｎｉｔを用いてコスト関数Ｅ（Ａ）を凸最適化手法で最小化する（Ｓ１１３）。本実施形態においては凸最適化手法としてＮｅｌｄｅｒ−Ｍｅａｄ法（滑降シンプレックス法とも呼ばれる）を用いる。数式２のコスト関数Ｅ（Ａ）は微分不可能なので、微分を用いないＮｅｌｄｅｒ−Ｍｅａｄ法が適している。ステップＳ１１３において、最小化部１３０は初期値Ａｉｎｉｔを用いて、変数である変換行列Ａを調整することにより、コスト関数Ｅ（Ａ）を最小化したときの解Ａｌｏｃａｌを特定しておく。
【００３０】
最小化部１３０は、ステップＳ１１３で特定された解Ａｌｏｃａｌを用いて暫定解Ａｔｅｍｐを更新する（Ｓ１１５）。この場合に、最小化部１３０は、暫定解Ａｔｅｍｐを用いたコスト関数Ｅ（Ａｔｅｍｐ）と、解Ａｌｏｃａｌを用いたコスト関数Ｅ（Ａｌｏｃａｌ）を計算する。さらに、最小化部１３０はＥ（Ａｔｅｍｐ）＞Ｅ（Ａｌｏｃａｌ）であれば暫定解ＡｔｅｍｐをＡｌｏｃａｌに更新し、それ以外の場合は暫定解Ａｔｅｍｐを更新しない。
【００３１】
最小化部１３０は、最小化の終了条件を満たしているか否かを判断する（Ｓ１１７）。本実施形態では終了条件は、ステップＳ１１３およびＳ１１５の繰り返し回数ｋが予め定められた値、例えば２０回に達したこととする。最小化部１３０は、終了条件を満たしていない場合（Ｓ１１７：Ｎｏ）、ステップＳ１１９に進む。
【００３２】
ステップＳ１１９で、最小化部１３０は次の計算のための初期値を選択する（Ｓ１１９）。本実施形態において、最小化部１３０は暫定解Ａｔｅｍｐを平均とするＡｖ上の正規分布に従う変数Ａｎｇｂｒを生成し、初期値ＡｉｎｉｔをＡｎｇｂｒに更新する。これにより新たな初期値Ａｉｎｉｔが確率的に設定される。次に、ステップＳ１１３に戻って、ステップＳ１１３およびＳ１１５を繰り返す。
【００３３】
最小化部１３０は、終了条件を満たしている場合（Ｓ１１７：Ｙｅｓ）、最後に更新された暫定解Ａｔｅｍｐを、コスト関数Ｅが最小化されたときの変換行列Ａｍｉｎとして位置合わせ量特定部１５０に受け渡して、図３のステップＳ１０７へ戻る。ステップＳ１０７において変換行列Ａｍｉｎに基づいて位置合わせ量が特定される。
【００３４】
変換行列Ａｍｉｎはアフィン変換であるので、ステップＳ１０７において、位置合わせ量特定部１５０は、当該変換行列Ａｍｉｎから、拡大縮小、せん断変形、回転及び平行移動の位置合わせ量を特定する。ここで、変換行列Ａが下記数式５のように特定されたとし（ただし行列の各要素は実数）、拡大縮小、せん断変形、回転、平行移動の順で位置合わせがされるものとする。位置合わせ量は上記各位置合わせの順序に依存するので、当該順序は予め指定されていることが好ましいが、位置合わせ量の特定に先立って適宜変更することができてもよい。
【数５】
2019008007.tif 000007
【００３５】
まず、最後の位置合わせである平行移動は下記数式６のように行列表示される。
【数６】
2019008007.tif 000008
【００３６】
次に、平行移動のひとつ前の位置合わせである回転は、ＱＲ分解を用いて特定することができる。ＱＲ分解は任意の行列Ｂに対してＢ＝ＱＲとなるような直交行列Ｑと上三角行列Ｒを算出することである。そこで、数式５の行列Ａの３行目と３列目を除いた行例Ａｓ（下記数式７）をＱＲ分解する。
【数７】
2019008007.tif 000009
【００３７】
上記ＡｓをＱＲ分解したときの、Ｑ（下記数式８）が回転を表す行列となっている。
【数８】
2019008007.tif 000010
【００３８】
上記ＱＲ分解における上三角行列Ｒは下記数式９のように分解できる。
【数９】
2019008007.tif 000011
ここで分解された左側の行列がせん断変形Ｋ，右側の行列が拡大縮小Ｓである。以上によりアフィン変換を表すアフィン行列から、拡大縮小Ｓ、せん断変形Ｋ、回転Ｑおよび平行移動Ｔの各位置合わせ量が特定される。
【００３９】
以上、本実施形態によれば、位置合わせの目的に適したコスト関数を用いるので、位置合わせの目的に適した位置合わせ量を算出することができる。特に、凸最適化手法を用いるので簡便に最小化の計算をすることができる。
【００４０】
ただし、数式２のコスト関数Ｅは凸関数ではないので、Ｎｅｌｄｅｒ−Ｍｅａｄ法を用いた場合に、求めたい最小値（すなわちグローバルミニマム）ではなく極小値（ローカルミニマム）に収束してしまうおそれがある。これに対し、繰り返し計算における次の初期値Ａｉｎｉｔを正規分布に従って確率的に選択するので、コスト関数のグローバルミニマムを適切に算出することができる。さらに、数式２のグローバルミニマムの近くに最小二乗法の解が存在することが数学的に示されているから、最小二乗法の解を最初の暫定解として計算を始めることで、より早くグローバルミニマムに到達することができる。本実施例では、上記数式４を用いた最小二乗法により求めたＡ２を最初の暫定解Ａｔｅｍｐとしたが、これに代えて、ステップＳ１１３で特定された解Ａｌｏｃａｌを最初の暫定解Ａｔｅｍｐとしてもよい。
【００４１】
図５は、位置合わせ装置１０の他の動作（Ｓ２０）を示すフローチャートである。図５の動作（Ｓ２０）において、位置合わせ装置１０は位置合わせの目的に対応したコスト関数を図３および図４のように最小化することに代えて、他の複数のコスト関数を最小化したときのそれぞれの変換行列を用いて目的のコスト関数に適した変換行列を特定する。
【００４２】
以下の説明において、上記の位置合わせの目的およびコスト関数の＜組み合わせ例２＞の場合、すなわち、目的のコスト関数が数式３で与えられる場合を例に説明する。また、動作（Ｓ２０）の動作に先立って、一方の基板２１０の複数のアライメントマーク２１８の座標ｘｎＵ、および、他方の基板２１０の複数のアライメントマーク２１８の座標ｘｎＬ、は予め座標格納部１００に格納されているとする。
【００４３】
関数設定部１２０は、目的のコスト関数Ｅと複数の暫定のコスト関数Ｅ１、Ｅ２、・・・（Ｅｉとも記す）を設定する（Ｓ２０１）。目的のコスト関数Ｅは、位置合わせの目的に合ったコスト関数であり、上記の通り本実施形態では数式３で与えられる。
【００４４】
一方、暫定のコスト関数Ｅｉは目的のコスト関数Ｅとは異なるが、位置合わせに関するコスト関数である。暫定のコスト関数Ｅｉは、図４の最小化ステップＳ１０３の計算が容易であるものが好ましい。計算が容易である例として、計算のステップ数が少ないこと、計算時間短いこと、などが挙げられる。暫定のコスト関数Ｅｉは数個から１０個程度設定されることが好ましい。本実施形態において暫定のコスト関数Ｅｉの例は、ｄ乗ノルム（ｄは正の整数で、例えば、２、４、６の三つ）、数式２等である。
【００４５】
次に、関数設定部１２０は、ステップＳ２０１で設定された複数の暫定のコスト関数Ｅ１、Ｅ２、・・・のうち、最小化する暫定のコスト関数Ｅｉを一つ選択する（Ｓ２０３）。最小化部１３０は、図４で説明した方法で暫定のコスト関数Ｅｉを最小化する（Ｓ１０３）。
【００４６】
最小化部１３０は、最小化ステップ（Ｓ１０３）を、ステップＳ２０１で設定した全ての暫定のコスト関数Ｅ１、Ｅ２、・・・について実行する（Ｓ２０７）。その結果、暫定のコスト関数Ｅｉを最小化する変換行列Ａｉが特定される。ここで、複数の暫定のコスト関数Ｅ１、Ｅ２、・・・について最小化したことに対応して、対応する複数の変換行列Ａ１、Ａ２、・・・が特定される。
【００４７】
全ての暫定のコスト関数Ｅ１、Ｅ２、・・・について最小化ステップ（Ｓ１０３）が実行された場合に（Ｓ２０７：Ｙｅｓ）、最小化部１３０はさらに、複数の変換行列Ａ１、Ａ２、・・・を用いて、目的のコスト関数Ｅを計算する（Ｓ２０９）。すなわち、最小化部１３０は、Ｅ（Ａ１）、Ｅ（Ａ２）、・・・を計算する。
【００４８】
最小化部１３０は、複数の変換行列Ａ１、Ａ２、・・・のうちで、コスト関数Ｅの計算値が最も小さくなった変換行列Ａｍｉｎを特定する（Ｓ２１１）。位置合わせ量特定部１５０は、図３のステップＳ１０７と同様に、変換行列Ａｍｉｎを用いて位置合わせ量を特定する（Ｓ２１３）。これにより図５の動作（Ｓ２０）が終了する。
【００４９】
以上、図５の実施形態によれば、複数の暫定のコスト関数の最小化を利用して目的のコスト関数に適した変換行列を特定するので、目的のコスト関数を直接的に最小化しなくても、位置合わせの目的に適した変換行列を特定することができる。それにより、位置合わせの目的に適した位置合わせ量を特定することができる。
【００５０】
図６は、位置合わせ装置１０を利用した積層装置３００の概略図である。積層装置３００において、第１および第２の対象物としての図２の基板２１０と同様の基板２１１、２１３が貼り合される。
【００５１】
積層装置３００は、枠体３１０、固定ステージ３２２、移動ステージ３３２および制御部３５０を備える。制御部３５０は、積層装置３００の各動作を制御する。枠体３１０は、床面３０１に対して平行な底板３１２および天板３１６と、床板に対して垂直な複数の支柱３１４とを有する。
【００５２】
天板３１６の図中下面に下向きに固定された固定ステージ３２２は、真空チャック、静電チャック等の保持機能を有する。固定ステージ３２２には基板ホルダ２２１と共に基板２１１が保持されている。
【００５３】
天板３１６の下面には、顕微鏡３２４が固定されている。顕微鏡３２４は、移動ステージ３３２上の基板２１３の上面を観察する。
【００５４】
移動ステージ３３２は、固定ステージ３２２に対向して配置されている。移動ステージ３３２は、図中に矢印Ｙで示す方向に移動するＹ方向駆動部３３３上に搭載される。Ｙ方向駆動部３３３は、底板３１２上に配されたＸ方向駆動部３３１に重ねられている。Ｘ方向駆動部３３１は、底板３１２と平行に、図中に矢印Ｘで示す方向に移動する。これにより、移動ステージ３３２は、Ｘ−Ｙ方向に二次元的に移動できる。図示の移動ステージ３３２には、基板ホルダ２２３に保持された基板２１３が保持されている。
【００５５】
移動ステージ３３２は、矢印Ｚで示す方向に昇降するＺ方向駆動部３３５によりＹ方向駆動部３３３に対して昇降する。さらに、移動ステージ３３２は、底板３１２に対して垂直な回転軸の回りθｚに回転可能である。
【００５６】
Ｙ方向駆動部３３３には、顕微鏡３３４が移動ステージ３３２の側方に更に搭載される。顕微鏡３３４は、固定ステージ３２２に保持された下向きの基板２１１の下面を観察する。
【００５７】
基板ホルダ２２３は保持面に複数のアクチュエータを有し、保持した基板２１３を拡大または縮小したり、せん断変形させることができるようになっている。
【００５８】
積層装置３００において、顕微鏡３２４を用いて基板２１３の複数のアライメントマークの座標ｘｎＬを特定し、位置合わせ装置１０の座標格納部１００に格納する。さらに、顕微鏡３３４を用いて基板２１１の複数のアライメントマークの座標ｘｎＵを特定し、位置合わせ装置１０の座標格納部１００に格納する。複数のアライメントマークの座標ｘｎＬ及びｘｎＵは、積層装置３００外の測定部で予め測定されてもよい。この場合、測定部から積層装置３００に複数のアライメントマークの座標ｘｎＬ及びｘｎＵを示す座標情報が送信される。
【００５９】
位置合わせ装置１０は、図３から図５で説明した方法によって位置合わせの目的に合せた位置合わせ量を特定して位置合わせ量格納部１６０に格納する。図３のステップ１０７で説明した通り、位置合わせ量として、平行移動の量（すなわちＸ方向の移動量およびＹ方向の移動量）、面内回転θｚの量、拡大または縮小の量、および、せん断変形の量が特定される。
【００６０】
制御部３５０は、位置合わせ量格納部１６０からＸ方向の移動量を読み出して、Ｘ方向駆動部３３１を駆動してＹ方向駆動部３３３をＸ方向に駆動する。制御部３５０は、位置合わせ量格納部１６０からＹ方向の移動量を読み出して、Ｙ方向駆動部３３を駆動して、移動ステージ３３２をＹ方向に駆動する。制御部３５０は、位置合わせ量格納部１６０から面内回転θｚの量を読み出し、移動ステージ３３２を回転する。
【００６１】
さらに、制御部３５０は、位置合わせ量格納部１６０から拡大または縮小の量、および、せん断変形の量を読み出して、基板ホルダ２２３または移動ステージ３３２に設けられた複数のアクチュエータを駆動することにより、または、球面もしくは局所的に凹凸形状をなした保持面を有する基板ホルダ２２３に基板２１３を保持することにより、基板２１３を拡大または縮小、および、せん断変形する。これらにより、基板２１１と基板２１３とが、位置合わせの目的に応じて位置合わせされる。
【００６２】
基板２１１と基板２１３とが位置合わせされた状態で、Ｚ方向駆動部３３５により移動ステージ３３２を上昇させ、基板２１１と基板２１３とを接合する。これにより、基板２１１、２１３による積層体２３０が形成される。
【００６３】
ここで、基板２１１と基板２１３とは、プラズマ等により接合面を活性化してから親水化することで、基板２１１と基板２１３との活性面同士の分子間力で、室温で接合されてもよい。これに代えてまたはこれに加えて、基板２１１と基板２１３とを加熱、加圧またはその両方の処理をしてもよい。基板２１１と基板２１３とを加熱、加圧またはその両方の処理をして接合する場合には、活性化および親水化を省略してもよい。
【００６４】
以上、本実施形態によれば、位置合わせの目的およびそのコスト関数として、基板の回路領域同士のずれ幅が閾値を超えるものの個数を少なくするようなものを設定することにより、基板を貼り合せたときに、回路領域同士のずれ幅が閾値を超えた不良品の数を減らして歩留りを向上することができる。
【００６５】
以下、図１から図６を用いて説明した実施形態の変形例について説明する。まず、関数設定部１２０により設定されるコスト関数は数式２および３に示したものに限られない。コスト関数の他の例として距離のｄ乗和（ｄは任意の正の整数）などが挙げられる。
【００６６】
また、最小化部１３０でのコスト関数の凸最適化手法はＮｅｌｄｅｒ−Ｍｅａｄ法に限られない。コスト関数の凸最適化手法の他の例として黄金分割法などが挙げられる。
【００６７】
凸最適化手法は例えばコスト関数に対応付けて関数格納部１１０に予め格納されて、ステップＳ１０１、Ｓ２０３でコスト関数が特定されたときに凸最適化手法が関数格納部１１０から自動的に読み出される。これに代えて、ステップＳ１０１、Ｓ２０３でコスト関数が特定されたときにユーザが凸最適化手法を自由に設定できるようになっていてもよい。この場合に、例えば位置合わせ装置１０の表示部に、関数格納部１１０に格納されている複数の凸最適化手法の名称等が表示されて、キーボード等の入力手段によりユーザの入力を受け付け、当該ユーザの入力に基づいて最小化部１３０が凸最適化法を設定する。
【００６８】
さらに、図５の複数の暫定のコスト関数を最小化する場合に、最小化部１３０は、いずれかのコスト関数で凸最適化手法を用い、他のコスト関数で凸最適化手法を用いなくてもよい。また、図５の最小化ステップ（Ｓ１０３）で暫定のコスト関数に凸最適化手法を用いる場合に、最小化部１３０は少なくともいずれかの暫定のコスト関数について複数の凸最適化手法を用いて、それぞれを最小化する変換行列を特定してもよい。この場合に最小化部１３０は、複数の凸最適化手法に対応して特定された複数の変換行列を用いて、ステップＳ２０９の目的のコスト関数を計算してもよい。さらに、特定の暫定のコスト関数について複数の凸最適化手法を用いる場合には、最小化部１３０は図５のステップＳ２０１からＳ２０７について、複数の暫定コスト関数を用いるのに代えて、当該特定の暫定のコスト関数ひとつを用いてもよい。
【００６９】
さらに、図５の動作（Ｓ２０）では設定した複数の暫定のコスト関数の全てについて変換行列を特定してから目的のコスト関数を計算している。しかしながら、これに代えて、最小化部１３０は、複数の暫定のコスト関数に順序付けをしておき、暫定のコスト関数を最小化して変換行列が特定される毎に当該変換行列を用いて目的のコスト関数を計算し、予め定められた条件を満たしたら、それ以降の暫定のコスト関数の最小化を省略してもよい。予め定められた条件の例は、目的のコスト関数の値が予め定められた閾値以下となったことなどである。
【００７０】
また、図４のステップＳ１１１で最小二乗法により初期値を設定しているが、初期値の設定は他の方法を用いてもよい。例えば最小化部１３０は、d乗ノルムを最小にする変換、すなわち本実施例では、距離のｄ乗和（ただしｄは１または３以上の任意の正の整数）を最小にする変換により、初期値を設定してもよい。
【００７１】
また、図４のステップＳ１１７の終了条件は繰り返しの回数であるが、終了条件はこれに限られない。終了条件の他の例は、収束の程度である。例えば最小化部１３０は、値が予め定められた範囲内に入る、または、繰り返しの前後における値の差が予め定められた範囲に入るか否かを終了条件にしてよい。また、繰り返し自体を省略してよい。
【００７２】
さらに、図４のステップ１１９の初期値の選択において、正規分布に従うように次の初期値を選択しているが、選択の方法はこれに限られない。例えば最小化部１３０は、そのときの暫定解を平均とする一様分布に従うように次の初期値を選択してもよい。また最小化部１３０は、すでに選択された初期値を含む予め定められた範囲の外となるよう選択してもよい。また最小化部１３０はMarkov Chain Monte Carlo法を用いてもよい。
【００７３】
また、本実施形態は、第１および第２の対象物を貼り合される一対の基板とし、それらのアライメントマーク同士の位置合わせを例に説明した。しかしながら、アライメントマーク同士の位置合わせに代えて、一対の基板の互いに接合される電極の位置合わせについて本実施形態が用いられてもよい。その場合に、電極の座標は実測位置でもよいし、または、アラインメントマークの実測位置から算出された座標であってもよい。
【００７４】
さらにまた、第１および第２の対象物は貼り合される一対の基板でなくてよい。例えば、第１および第２の対象物の例として、基板と当該基板を露光するマスクが挙げられる。また他の例として、第１および第２の対象物の少なくともが画像処理における画像であってもよい。また、第１および第２の対象物の座標はｘｙの二次元座標に限られず、三次元以上の座標であってもよい。また座標の値は実数のみならず複素数に拡張してもよい。また、本実施形態は座標変換としてアフィン変換を用いているが、位置合わせの自由度として二次以上の変換が可能である場合には座標変換をアフィン変換に限らなくてよい。
【００７５】
以上、本発明を実施の形態を用いて説明したが、本発明の技術的範囲は上記実施の形態に記載の範囲には限定されない。上記実施の形態に、多様な変更または改良を加えることが可能であることが当業者に明らかである。その様な変更または改良を加えた形態も本発明の技術的範囲に含まれ得ることが、特許請求の範囲の記載から明らかである。
【００７６】
特許請求の範囲、明細書、および図面中において示した装置、システム、プログラム、および方法における動作、手順、ステップ、および段階等の各処理の実行順序は、特段「より前に」、「先立って」等と明示しておらず、また、前の処理の出力を後の処理で用いるのでない限り、任意の順序で実現しうることに留意すべきである。特許請求の範囲、明細書、および図面中の動作フローに関して、便宜上「まず、」、「次に、」等を用いて説明したとしても、この順で実施することが必須であることを意味するものではない。
【符号の説明】
【００７７】
１０  位置合わせ装置、１００  座標格納部、１１０  関数格納部、１２０  関数設定部、１３０  最小化部、１５０  位置合わせ量特定部、１６０  位置合わせ量格納部、２１０  基板、２１２  スクライブライン、２１４  ノッチ、２１６  回路領域、２１８  アライメントマーク、２２１、２２３  基板ホルダ、３００  積層装置、３０１ 床面、３１０ 枠体、３１２ 底板、３１４ 支柱、３１６ 天板、３２２ 固定ステージ、３２４、３３４ 顕微鏡、３３１ Ｘ方向駆動部、３３２ 移動ステージ、３３３ Ｙ方向駆動部、３３５ Ｚ方向駆動部、３５０  制御部
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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