(57)【要約】      （修正有）【課題】多くの座屈の種類を判定することができるようにする座屈種類判定装置、方法及びプログラムを提供する。【解決手段】座屈種類判定装置１０の演算部３０において、方程式計算部３６が、複数の同次モード、非同次モード、特異剛性行列、及び荷重変数の摂動値を用いた連立方程式を、荷重変数の摂動値が正の場合と負の場合とのそれぞれについて解く。座屈判別部４２が、荷重変数の摂動値が正の場合と負の場合とのそれぞれについて得られた実数解の数を用いて、座屈の種類を判定する。【選択図】図３
2019160198.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
構造物を変形させたときに生じる座屈の種類を判定する座屈種類判定装置であって、
変位あるいは荷重を段階的に与えたときの前記構造物の変形を有限要素法によって計算し、各変位あるいは各荷重レベル毎に、前記構造物の剛性行列を計算する変形計算部と、
前記各変位あるいは各荷重レベル毎の前記構造物の剛性行列から、固有値が０となる特異剛性行列を探索し、前記探索された特異剛性行列の複数の同次モード及び非同次モードを計算するモード計算部と、
前記複数の同次モード、前記非同次モード、前記特異剛性行列、及び荷重変数の摂動値を用いた連立方程式を、前記荷重変数の摂動値が正の場合と負の場合とのそれぞれについて解く解計算部と、
前記解計算部によって前記荷重変数の摂動値が正の場合と負の場合とのそれぞれについて得られた実数解の数を用いて、前記座屈の種類を判定する座屈種類判定部と、
を含む座屈種類判定装置。
【請求項２】
前記座屈種類判定部は、荷重極限点、非対称分岐点、安定対称分岐点、不安定対称分岐点、非対称頂上分岐点、安定対称頂上分岐点、不安定対称頂上分岐点、及び多重分岐点のいずれかを、前記座屈の種類として判定する請求項１記載の座屈種類判定装置。
【請求項３】
構造物を変形させたときに生じる座屈の種類を判定する座屈種類判定装置における座屈種類判定方法であって、
変形計算部が、変位あるいは荷重を段階的に与えたときの前記構造物の変形を有限要素法によって計算し、各変位あるいは各荷重レベル毎に、前記構造物の剛性行列を計算し、
モード計算部が、前記各変位あるいは各荷重レベル毎の前記構造物の剛性行列から、固有値が０となる特異剛性行列を探索し、前記探索された特異剛性行列の複数の同次モード及び非同次モードを計算し、
解計算部が、前記複数の同次モード、前記非同次モード、前記特異剛性行列、及び荷重変数の摂動値を用いた連立方程式を、前記荷重変数の摂動値が正の場合と負の場合とのそれぞれについて解き、
座屈種類判定部が、前記解計算部によって前記荷重変数の摂動値が正の場合と負の場合とのそれぞれについて得られた実数解の数を用いて、前記座屈の種類を判定する
座屈種類判定方法。
【請求項４】
構造物を変形させたときに生じる座屈の種類を判定するためのプログラムであって、
コンピュータを、
変位あるいは荷重を段階的に与えたときの前記構造物の変形を有限要素法によって計算し、各変位あるいは各荷重レベル毎に、前記構造物の剛性行列を計算する変形計算部、
前記各変位あるいは各荷重レベル毎の前記構造物の剛性行列から、固有値が０となる特異剛性行列を探索し、前記探索された特異剛性行列の複数の同次モード及び非同次モードを計算するモード計算部、
前記複数の同次モード、前記非同次モード、前記特異剛性行列、及び荷重変数の摂動値を用いた連立方程式を、前記荷重変数の摂動値が正の場合と負の場合とのそれぞれについて解く解計算部、及び
前記解計算部によって前記荷重変数の摂動値が正の場合と負の場合とのそれぞれについて得られた実数解の数を用いて、前記座屈の種類を判定する座屈種類判定部
として機能させるためのプログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、座屈種類判定装置、方法、及びプログラムに係り、特に、構造物を変形させたときに生じる座屈の種類を判定する座屈種類判定装置、方法、及びプログラムに関する。
【背景技術】
【０００２】
従来より、特異点において剛性行列のすべての固有モード(固有ベクトル)を算出し、その固有モードを用いて特異点の近傍で平衡方程式を漸近展開し、さらに「Liapunov-Schmidt-Koiter簡約」と呼ばれる自由度の消去を行った後、1つの高次方程式(分岐方程式)を求める。この方程式を調べることで、構造物に生じる座屈の種類や安定性などを調べる手法が知られている（非特許文献１）。
【０００３】
また、Koiterの漸近分岐理論を工学的に応用可能な手法に改良し、超双対数の使用を前提とした「2-mode漸近展開法」が知られている（非特許文献２、３）。本手法は、Koiterの手法で問題となっていた剛性行列の高階微分計算を超双対数による高精度微分法を利用することによって解決し、また「Liapunov-Schmidt-Koiter簡約」を必要としない。本手法は、特異点における剛性行列の同次モード(固有値0に対応する固有ベクトル)1つと非同次モード(固有値0以外の固有ベクトルを重ね合せたベクトル)1つの計2つのモードを用いて、自由度の多寡に拘わらず、常に2元連立3次方程式を導くことができる。この2元連立3次方程式の解の分布と座屈の種類(「極限点」、「非対称分岐点」、「安定対称分岐点」、「不安定対称分岐点」)が一対一に対応しているため、有限要素法による後座屈解析を実施せずとも、どのような座屈が構造物に生じるか精確に特定することができる。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００４】
【非特許文献１】Koiter, W., On the stability of elastic equilibrium, Delft University, Thesis, 1945. (English translation: NASA TTF10833, 1967.)
【非特許文献２】藤井文夫、池田清宏、田中真人、藤川正毅、計算分岐理論における2-mode漸近展開の検証(微分演算ツールHDNの導入の前に)、日本機械学会論文集、Vol.81, No.830, pp.15-00419, 2015.
【非特許文献３】F. Fujii, M. Tanaka, T. Sasagawa and R. Omote, Computational two-mode asymptotic bifurcation theory combined with hyper dual numbers and applied to plate/shell buckling, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 325, pp.666-688, 2017.
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
しかしながら、上記非特許文献１に記載の方法では、剛性行列の変位ベクトルによる高階の微分計算が必要とされ、その微分計算の複雑さから、単純な解析モデルしか扱うことができなかった。また、「Liapunov-Schmidt-Koiter簡約」も自由度数が多いと実施不可能である。
【０００６】
また、上記非特許文献２、３に記載の方法では、同次モード(固有値0に対応する固有ベクトル) が1つしかない場合しか扱うことができない。すなわち、上記非特許文献２、３に記載の方法で予測できる座屈の種類は「極限点」、「非対称分岐点」、「安定対称分岐点」、「不安定対称分岐点」の4種類に限定される。
【０００７】
本発明は、上記の事情を鑑みてなされたもので、多くの座屈の種類を判定することができる座屈種類判定装置、方法、及びプログラムを提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
上記の目的を達成するために本発明に係る座屈種類判定装置は、構造物を変形させたときに生じる座屈の種類を判定する座屈種類判定装置であって、変位あるいは荷重を段階的に与えたときの前記構造物の変形を有限要素法によって計算し、各変位あるいは各荷重レベル毎に、前記構造物の剛性行列を計算する変形計算部と、前記各変位あるいは各荷重レベル毎の前記構造物の剛性行列から、固有値が０となる特異剛性行列を探索し、前記探索された特異剛性行列の複数の同次モード及び非同次モードを計算するモード計算部と、前記複数の同次モード、前記非同次モード、前記特異剛性行列、及び荷重変数の摂動値を用いた連立方程式を、前記荷重変数の摂動値が正の場合と負の場合とのそれぞれについて解く解計算部と、前記解計算部によって前記荷重変数の摂動値が正の場合と負の場合とのそれぞれについて得られた実数解の数を用いて、前記座屈の種類を判定する座屈種類判定部とを含んで構成されている。
【０００９】
本発明に係る座屈種類判定方法は、構造物を変形させたときに生じる座屈の種類を判定する座屈種類判定装置における座屈種類判定方法であって、変形計算部が、変位あるいは荷重を段階的に与えたときの前記構造物の変形を有限要素法によって計算し、各変位あるいは各荷重レベル毎に、前記構造物の剛性行列を計算し、モード計算部が、前記各変位あるいは各荷重レベル毎の前記構造物の剛性行列から、固有値が０となる特異剛性行列を探索し、前記探索された特異剛性行列の複数の同次モード及び非同次モードを計算し、解計算部が、前記複数の同次モード、前記非同次モード、前記特異剛性行列、及び荷重変数の摂動値を用いた連立方程式を、前記荷重変数の摂動値が正の場合と負の場合とのそれぞれについて解き、座屈種類判定部が、前記解計算部によって前記荷重変数の摂動値が正の場合と負の場合とのそれぞれについて得られた実数解の数を用いて、前記座屈の種類を判定する。
【００１０】
本発明に係るプログラムは、構造物を変形させたときに生じる座屈の種類を判定するためのプログラムであって、コンピュータを、変位あるいは荷重を段階的に与えたときの前記構造物の変形を有限要素法によって計算し、各変位あるいは各荷重レベル毎に、前記構造物の剛性行列を計算する変形計算部、前記各変位あるいは各荷重レベル毎の前記構造物の剛性行列から、固有値が０となる特異剛性行列を探索し、前記探索された特異剛性行列の複数の同次モード及び非同次モードを計算するモード計算部、前記複数の同次モード、前記非同次モード、前記特異剛性行列、及び荷重変数の摂動値を用いた連立方程式を、前記荷重変数の摂動値が正の場合と負の場合とのそれぞれについて解く解計算部、及び前記解計算部によって前記荷重変数の摂動値が正の場合と負の場合とのそれぞれについて得られた実数解の数を用いて、前記座屈の種類を判定する座屈種類判定部として機能させるためのプログラムである。
【００１１】
本発明によれば、変形計算部が、変位あるいは荷重を段階的に与えたときの前記構造物の変形を有限要素法によって計算し、各変位あるいは各荷重レベル毎に、前記構造物の剛性行列を計算する。そして、モード計算部が、前記各変位あるいは各荷重レベル毎の前記構造物の剛性行列から、固有値が０となる特異剛性行列を探索し、前記探索された特異剛性行列の複数の同次モード及び非同次モードを計算する。
【００１２】
そして、解計算部が、前記複数の同次モード、前記非同次モード、前記特異剛性行列、及び荷重変数の摂動値を用いた連立方程式を、前記荷重変数の摂動値が正の場合と負の場合とのそれぞれについて解く。座屈種類判定部が、前記解計算部によって前記荷重変数の摂動値が正の場合と負の場合とのそれぞれについて得られた実数解の数を用いて、前記座屈の種類を判定する。
【００１３】
このように、前記複数の同次モード、前記非同次モード、前記特異剛性行列、及び荷重変数の摂動値を用いた連立方程式を、前記荷重変数の摂動値が正の場合と負の場合とのそれぞれについて解き、前記荷重変数の摂動値が正の場合と負の場合とのそれぞれについて得られた実数解の数を用いて、前記座屈の種類を判定することにより、多くの座屈の種類を判定することができる。
【発明の効果】
【００１４】
以上説明したように、本発明の座屈種類判定装置及びプログラムによれば、多くの座屈の種類を判定することができる、という効果が得られる。
【図面の簡単な説明】
【００１５】
【図１】本発明の実施の形態の概要を説明するための図である。
【図２】本発明の実施の形態に係る座屈種類判定装置を示すブロック図である。
【図３】本発明の実施の形態に係る座屈種類判定装置を示す機能ブロック図である。
【図４】座屈の種類と連立分岐方程式の解の分布の関係を示す図である。
【図５】グラフ描画ソフトによる各分岐方程式の解曲面の表示例を示す図である。
【図６】グラフ描画ソフトによる連立分岐方程式の解の表示例を示す図である。
【図７】本発明の実施の形態に係る座屈種類判定装置の座屈種類判定処理ルーチンの内容を示すフローチャートである。
【発明を実施するための形態】
【００１６】
以下、図面を参照して本発明の実施の形態を詳細に説明する。
【００１７】
＜本発明の実施の形態の概要＞
従来の座屈解析技術では、構造物の解析モデルに想定されるあらゆる初期不整を試行錯誤で与えて、有限要素法を用いて座屈後の挙動を逐一計算して調べていた。本発明の実施の形態では、特異な剛性行列とのその高階微分の情報のみを使用して、どのような座屈が生じるかを厳密に判定することが可能になる。これにより、従来技術で必要とされた有限要素法による後座屈解析を省略し、低コストで構造物の安全性評価を実施することができる（図１参照）。
【００１８】
＜本発明の実施の形態の座屈種類判定装置の構成＞
図２に示すように、本発明の実施の形態に係る座屈種類判定装置１０は、ＣＰＵ１２、ＲＯＭ１４、ＲＡＭ１６、ＨＤＤ１８、通信インタフェース２１、及びこれらを相互に接続するためのバス２２を備えている。
【００１９】
ＣＰＵ１２は、各種プログラムを実行する。ＲＯＭ１４には、各種プログラムやパラメータ等が記憶されている。ＲＡＭ１６は、ＣＰＵ１２による各種プログラムの実行時におけるワークエリア等として用いられる。記録媒体としてのＨＤＤ１８には、後述する座屈種類判定処理ルーチンを実行するためのプログラムを含む各種プログラムや各種データが記憶されている。
【００２０】
本実施の形態における座屈種類判定装置１０を、座屈種類判定処理ルーチンを実行するためのプログラムに沿って、機能ブロックで表すと、図３に示すようになる。座屈種類判定装置１０は、入力部２０、演算部３０、及び出力部５０を備えている。
【００２１】
入力部２０は、解析対象となる構造物モデルに関する情報を入力として受け付ける。
【００２２】
演算部３０は、変形計算部３２、モード計算部３４、方程式計算部３６、及び座屈判別部４２を備えている。
【００２３】
変形計算部３２は、入力された解析対象となる構造物モデルに関する情報に基づいて、変位あるいは荷重を段階的に与えたときの構造物の変形を有限要素法によって計算し、各変位あるいは各荷重レベル毎に、構造物の剛性行列を計算する。
【００２４】
有限要素法(FEM)は、構造解析などにおいて、変形に対して無限の自由度を持つ物体を有限の自由度を持つ有限要素の集合体、すなわち、微小な部分の集合体として近似し、集合体に対して成立する連立一次方程式を解く方法である。この微小な部分を有限要素と呼ぶ。有限要素は節点と呼ばれる点を結合したものとして規定される。ある要素は他の要素と節点により結合される。力も節点を通じて結合されている。いかに複雑な形状の構造物であっても、これらを有限要素に区分けし、有限要素の集合体として表すことができる。各有限要素は、材料の挙動を表す剛性行列（非線形解析であれば接線剛性行列）を有する。
【００２５】
変形計算部３２によるFEM計算の具体的な流れについて説明する。なお、以下では、荷重制御の増分反復（インクリメント−イタレーション）型の非線形FEMの流れについて説明する。
【００２６】
(1)解析対象を有限要素に区分けする。
(2)境界条件を定める。
(3)各有限要素の要素接線剛性行列を計算する。
(4)要素接線剛性行列を重ねて併せて全体接線剛性行列を計算する。
(5)拘束した変位自由度に対応する全体接線剛性行列の成分を消去し、全体接線剛性行列を縮退する。
(6)荷重増分を与える。
(7)連立一次方程式を解いて、変位増分を計算する。
(8)上記（７）で計算した変位増分を全変位量に加算し、全変位量を更新する。
(9)全変位量から各有限要素のひずみ、応力を計算する。
(10)各有限要素の応力から、各有限要素の等価節点力を計算する。
(11)各有限要素の等価節点力を重ね合わせて、構造全体の等価節点力を計算する。
(12)上記(11)で計算された構造全体の等価節点力と上記(6)で与えた荷重増分を比べて力が釣り合っているか確認する。
(13)力が釣り合っていなければ、上記(3)に戻り、上記(7)で計算した変位増分を加味した要素接線剛性行列を計算する。
(14)力が釣り合うまで、上記(3)〜(13)の計算ステップを繰り返す（この反復計算をNewton-Raphson反復（イタレーション）法と呼ぶ）。
(15)力が釣り合ったら、次の荷重増分を加え、上記(3) 〜(15) の計算を繰り返す（この増分計算をインクリメントと呼ぶ）。
(16)荷重を増分し続け、所望の荷重値になったら計算を終了する。
(17)ポスト処理により、全体の変位分布、荷重分布、ひずみ分布、応力分布を表示する。
【００２７】
モード計算部３４は、各変位あるいは各荷重レベル毎の全体接線剛性行列から、固有値が０となる特異剛性行列を探索し、特異剛性行列となるときの変位ベクトルと荷重値を計算し、特異剛性行列の同次モード(固有値0に対応する固有ベクトル)と非同次モード(固有値0以外の固有ベクトルを重ね合せたベクトル)を計算する。
【００２８】
具体的には、自由度Nの全体接線剛性行列
2019160198.tif 000003
が特異なとき、
【００２９】
【数１】
2019160198.tif 000004
（１）
【００３０】
となる。増分反復（インクリメント−イタレーション）型の非線形FEMの計算では、
2019160198.tif 000005
が負の固有値をもつときの変位ベクトルと荷重値を、インクリメントの大きさを調整しながら探索していく。m個のゼロ固有値があるとき、行列Kのランクは
【００３１】
【数２】
2019160198.tif 000006
（２）
【００３２】
まで低下している。なお、本発明の実施の形態ではｍ＝１あるいは２を前提としている。このとき、同次モード(ゼロ固有値に対応する固有ベクトル) は次式の固有値解析から求まる。
【００３３】
【数３】
2019160198.tif 000007
（３）
【００３４】
なお、θi（ｉ＝１，・・・，ｍ）は正規化する。一方、非同次モードδは次式から求まる。
【００３５】
【数４】
2019160198.tif 000008
（４）
【００３６】
ここで、ｅは荷重ベクトルである。なお、非同次モードと同次モードは互いに直交する。
【００３７】
方程式計算部３６は、同次モード、非同次モード、特異剛性行列、及び荷重変数の摂動値を用いた連立方程式を、荷重変数の摂動値が正の場合と負の場合とのそれぞれについて解く。
【００３８】
具体的には、以下のように、剛性行列を変位ベクトルによって、同次モードと非同次モードの方向に1階方向微分及び２階方向微分した値から連立方程式(分岐方程式)を導く。
【００３９】
まず、変位ベクトルｕと荷重変数ｐからなる系のポテンシャルエネルギーπは
【００４０】
【数５】
2019160198.tif 000009
（５）
【００４１】
となる。エネルギーの停留条件から、πをｕで偏微分すると、次の平衡式が得られる。
【００４２】
【数６】
2019160198.tif 000010
（６）
【００４３】
ここで、Ｅは非平衡力ベクトルである。特異点における変位ベクトルと荷重変数を（ｕ0，ｐ0）とおく。次に、非同次モードδと同次モードθi（ｉ＝１，・・・，ｍ）を使って次のように変位ベクトルを特異点周りで摂動する。なお、同次モードの数は2個とする（ｍ＝２）。
【００４４】
【数７】
2019160198.tif 000011
（７）
【００４５】
ここで、α、β、τは摂動パラメータである。荷重変数pも摂動値ｄｐを用いて次のように摂動する。
【００４６】
【数８】
2019160198.tif 000012
（８）
【００４７】
ポテンシャルエネルギーπのα、β、τに関する停留条件から
【００４８】
【数９】
2019160198.tif 000013
（９）
【００４９】
となり、最終的に次の3元連立3次方程式を得る。
【００５０】
【数１０】
2019160198.tif 000014
（１０）
【００５１】
ここで、多項式関数Ａ，Ｂ，Ｔは次のようである。
【００５２】
【数１１】
2019160198.tif 000015
（１１）
2019160198.tif 000016
（１２）
2019160198.tif 000017
（１３）
【００５３】
上式の各係数Ａijk、Ｂijk、Ｔijkの具体式は表1の通りである。
【００５４】
【表１】
2019160198.tif 000018
【００５５】
表1中の微分計算は超双対数を用いて実行する（特許文献１参照）。たとえば、係数Ａ111を求めるとき、
【００５６】
【数１２】
2019160198.tif 000019
（１４）
【００５７】
と計算する。ここで、ε1、ε2は超双対数、
2019160198.tif 000020
はε1ε2の係数を取り出す演算子である。
【００５８】
[特許文献１]特許第5782604号
【００５９】
座屈判別部４２は、方程式計算部３６によって荷重変数の摂動値ｄｐが正の場合と負の場合とのそれぞれについて得られた実数解の数を用いて、荷重極限点（荷重極大点）、荷重極限点（荷重極小点）、非対称分岐点、安定対称分岐点、不安定対称分岐点、非対称頂上分岐点、安定対称頂上分岐点、不安定対称頂上分岐点、及び多重分岐点のいずれかを、座屈の種類として判定する。
【００６０】
方程式計算部３６から得られた式(10)の解は座屈後に生じる挙動を精確に予測する。また、連立分岐方程式の各係数(すなわち連立分岐方程式の解)は、荷重変数の摂動値dpによって変化する。
【００６１】
そこで、本実施の形態では、dpを正の値に摂動させたときと，dpを負の値に摂動させたときの連立分岐方程式の解の変化を調べる。この連立分岐方程式の解の分布状況によって、構造物に生じる座屈のタイプを精確に予測することができる。図４に、dpを変化させたときの連立分岐方程式の解の分布と座屈のタイプの対応関係を表す。座屈のタイプ(荷重極大点、荷重極小点、非対称分岐点、安定対称分岐点、不安定対称分岐点、非対称頂上分岐点、安定対称頂上分岐点、不安定対称頂上分岐点、多重分岐点)を特定するアルゴリズムを以下に示す。
【００６２】
まず、モード計算部３４の出力から、全体接線剛性行列のゼロ固有値の数ｍを特定して同次モードを計算する。
【００６３】
（1. ゼロ固有値の数が1つであったとき（ｍ＝１））
a. ゼロ固有値に対応する固有ベクトル(同次モード)と荷重ベクトルが非直交であるとき、式(11),(12),(13)の係数のうち、係数がA000, A100, A200, A300の項以外は消滅する。
i. dpを負の方向に摂動するとαの実数解が2個であり、dpを正の方向に摂動すると解がないとき，その特異点は荷重極大点に確定する(図４の(1))。
ii. dpを負の方向に摂動すると解がなく、dpを正の方向に摂動するとαの実数解が2個あるとき、その特異点は荷重極小点に確定する(図４の(2)) 。
b. 同次モードと荷重ベクトルが直交するとき、式(11),(12),(13)のうち、βが関わる項（係数が A010, A110, A020, A011, A210, A120, A030, A111, A021, A012, B010, B110, B020, B011, B210, B120, B030, B111, B021, B012, T010, T110, T020, T011, T210, T120, T030, T111, T021, T012の項）は消滅する．
i. dpを負の方向に摂動すると(α,τ)の実数解が2組あり（そのうち１組はα＝０）、dpを正の方向に摂動すると(α,τ)の解が2組あるとき（そのうち１組はα＝０）、その特異点は非対称分岐点に確定する(図４の(3))。
ii. dpを負の方向に摂動すると(α,τ)の実数解が1組あり（α＝０）、dpを正の方向に摂動すると(α,τ)の実数解が3組あるとき（そのうち１組はα＝０）、その特異点は安定対称分岐点に確定する(図４の(4)) 。
iii. dpを負の方向に摂動すると(α,τ)の解が3組あってそのうち1組はα = 0であり、dpを正の方向に摂動すると(α,τ)の実数解が1組（α＝０）あるとき、その特異点は不安定対称分岐点に確定する(図４の(5))。
iv. dpを負の方向に摂動すると(α,τ)の実数解が3組あってそのうち1組はα = 0かつ残りの2組はτ= 0であり、dpを正の方向に摂動すると(α,τ)の実数解が1組あってα = 0であるとき、その特異点は非対称頂上分岐点に確定する(図４の(6))。
【００６４】
（2. ゼロ固有値の数が2つであったとき（ｍ＝２））
a. dpを負の方向に摂動すると(α,β,τ)の実数解が2組あり、dpを正の方向に摂動すると(α,β,τ)の解が2組あるとき、その特異点は安定対称頂上分岐点に確定する(図４の(7))。
b. dpを負の方向に摂動すると(α,β,τ)の実数解が4組あり、dpを正の方向に摂動すると解なしのとき、その特異点は不安定対称頂上分岐点に確定する(図４の(8))。
c. 上記のいずれでもない場合、多重分岐点に確定する(図４の(9))。
【００６５】
連立分岐方程式の解の可視化はMatlabなどのグラフ描画ソフトを利用するとすぐに調べることができる。たとえば、連立分岐方程式が3元連立3次方程式A(α,β,τ)=0, B(α,β,τ)=0, T(α,β,τ)=0であるとき、図５のように3つの方程式A(α,β,τ)=0, B(α,β,τ)=0, T (α,β,τ)=0の解曲面をそれぞれグラフ描画し、次に図６のように互いの解曲面が交差する点の存在を、グラフ表示で確認すれば3元連立3次方程式の解の個数と値をすぐに調べることができる。
【００６６】
出力部５０は、座屈の種類の判定結果を出力する。
【００６７】
＜座屈種類判定装置の動作＞
次に、本発明の実施の形態に係る座屈種類判定装置１０の動作について説明する。
【００６８】
入力部２０によって解析対象となる構造物モデルに関する情報を受け付けると、座屈種類判定装置１０によって、図７に示す座屈種類判定処理ルーチンが実行される。
【００６９】
まず、ステップＳ１００において、変形計算部３２は、入力された解析対象となる構造物モデルに関する情報に基づいて、変位あるいは荷重を段階的に与えたときの構造物の変形を有限要素法によって計算し、各変位あるいは各荷重レベル毎に、構造物の全体接線剛性行列を計算する。
【００７０】
ステップＳ１０２において、モード計算部３４は、各変位あるいは各荷重レベル毎の全体接線剛性行列から、固有値が０となる特異剛性行列を探索し、特異剛性行列となるときの変位ベクトルと荷重値を計算し、特異剛性行列の同次モード(固有値0に対応する固有ベクトル)と非同次モード(固有値0以外の固有ベクトルを重ね合せたベクトル)を計算する。
【００７１】
ステップＳ１０４において、方程式計算部３６は、同次モード、非同次モード、特異剛性行列、及び荷重変数の摂動値を用いた連立方程式を、荷重変数の摂動値が正の場合と負の場合とのそれぞれについて解く。
【００７２】
ステップＳ１０６において、座屈判別部４２は、方程式計算部３６によって荷重変数の摂動値ｄｐが正の場合と負の場合とのそれぞれについて得られた実数解の数を用いて、荷重極限点（荷重極大点）、荷重極限点（荷重極小点）、非対称分岐点、安定対称分岐点、不安定対称分岐点、非対称頂上分岐点、安定対称頂上分岐点、不安定対称頂上分岐点、及び多重分岐点のいずれかを、座屈の種類として判定し、出力部５０により出力し、座屈種類判定処理ルーチンを終了する。
【００７３】
以上説明したように、本発明の実施の形態に係る座屈種類判定装置によれば、複数の同次モード、非同次モード、特異剛性行列、及び荷重変数の摂動値を用いた連立方程式を、荷重変数の摂動値が正の場合と負の場合とのそれぞれについて解き、荷重変数の摂動値が正の場合と負の場合とのそれぞれについて得られた実数解の数を用いて、多くの座屈の種類を判定することができる。
【００７４】
また、座屈種類判定装置によって導かれる連立方程式の解の分布と、座屈の種類（「荷重極限点(荷重極大点，荷重極小点)」、「非対称分岐点」、「安定対称分岐点」、「不安定対称分岐点」、「非対称頂上分岐点」、「安定対称頂上分岐点」、「不安定対称頂上分岐点」、「多重分岐点」）が一対一に対応しているため、有限要素法による後座屈解析を実施しなくとも、構造物にどのような座屈が生じるかを剛性行列の微分情報のみによって精確に特定することができる。
【００７５】
従来の座屈解析技術では、「荷重極限点(荷重極大点，荷重極小点)」、「非対称分岐点」、「安定対称分岐点」、「不安定対称分岐点」、「非対称頂上分岐点」 、「安定対称頂上分岐点」、「不安定対称頂上分岐点」、「多重分岐点」などの座屈の種類を特定するのに、解析モデルへ初期不整を試行錯誤で与えて有限要素法解析を実施して座屈後の挙動を逐一みることによって行っていた。本発明の実施の形態に係る座屈種類判定装置を用いれば、剛性行列とのその高階微分の情報のみを使用して座屈の種類を厳密に特定することが可能になる。これにより、従来技術で必要とされた有限要素法による後座屈解析を省略し、低コストで構造物の安全性評価を実施することができる。
【００７６】
また、本発明の実施の形態では、従来技術を拡張し、同次モードを2つ扱うことができる。これにより3元3次連立方程式が得られ、この3元3次連立方程式の解の分布と座屈の種類の対応関係を導く。これにより、上記の「極限点」、「非対称分岐点」、「安定対称分岐点」、「不安定対称分岐点」に加え、「非対称頂上分岐点」、「安定対称頂上分岐点」、「不安定対称頂上分岐点」、「多重分岐点」も予測可能になり、適用範囲が格段に広くなる。
【００７７】
なお、本発明は、上述した実施形態に限定されるものではなく、この発明の要旨を逸脱しない範囲内で様々な変形や応用が可能である。
【００７８】
例えば、本発明のプログラムは、記憶媒体に格納して提供するようにしてもよい。
【符号の説明】
【００７９】
１０   座屈種類判定装置
３０   演算部
３２   変形計算部
３４   モード計算部
３６   方程式計算部
４２   座屈判別部
５０   出力部
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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