(57)【要約】【課題】鋳型内の湯面の状態をより精度良く推定する。【解決手段】連続鋳造機における鋳型の幅方向の複数の測定点での湯面高さの測定値を用いて鋳型内の湯面の状態を推定する状態推定方法であって、湯面高さの測定値と当該測定値を得た測定点における湯面高さの推定値との差分に関する項と、湯面高さの推定値を表す湯面高さ推定関数の時間方向の二階微分に関する項と、湯面高さ推定関数の空間方向の二階微分に関する項と、を含む、時間と空間に関する二次元矩形領域上で定義される評価関数についての変分問題を構成し、二次元矩形領域上で定義される基底関数を用いて湯面高さ推定関数を展開し、当該基底関数を有限次元で打ち切ることにより、変分問題を、基底関数の展開係数を推定する線形回帰モデルの係数推定問題に変換して、当該係数推定問題を求解することにより展開係数を推定し、推定された展開係数を用いて湯面の状態を推定する、状態推定方法。【選択図】図２
2019141895.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
連続鋳造機における鋳型の幅方向の複数の測定点での湯面高さの測定値を用いて、当該鋳型内の湯面の状態を推定する状態推定方法であって、
前記湯面高さの測定値と当該測定値を得た前記測定点における湯面高さの推定値との差分に関する項と、前記湯面高さの推定値を表す湯面高さ推定関数の時間方向の二階微分に関する項と、前記湯面高さ推定関数の空間方向の二階微分に関する項と、を含む、時間と空間に関する二次元矩形領域上で定義される評価関数についての変分問題を構成し、
前記二次元矩形領域上で定義される基底関数を用いて前記湯面高さ推定関数を展開し、当該基底関数を有限次元で打ち切ることにより、前記変分問題を、前記基底関数の展開係数を推定する線形回帰モデルの係数推定問題に変換して、当該係数推定問題を求解することにより前記展開係数を推定し、
推定された前記展開係数を用いて前記湯面の状態を推定する、
状態推定方法。
【請求項２】
前記湯面高さの測定値と前記湯面高さの推定値との差分に関する項は、当該差分の二乗和である、
請求項１に記載の状態推定方法。
【請求項３】
前記湯面高さの測定値と前記湯面高さの推定値との差分に関する項は、当該差分の絶対値和である、
請求項１に記載の状態推定方法。
【請求項４】
前記基底関数は、三角関数によって構成される、
請求項１〜３のいずれか１項に記載の状態推定方法。
【請求項５】
請求項１〜４のいずれか１項に記載の状態推定方法において、前記湯面の状態として、湯面の全体上下動を推定し、
推定された前記湯面の全体上下動を用いて、前記鋳型内の湯面レベルを制御する、
湯面レベル制御方法。
【請求項６】
コンピュータに、連続鋳造機における鋳型の幅方向の複数の測定点での湯面高さの測定値を用いて当該鋳型内の湯面の状態を推定する状態推定方法を実行させるプログラムであって、
前記状態推定方法では、
前記湯面高さの測定値と当該測定値を得た前記測定点における湯面高さの推定値との差分に関する項と、前記湯面高さの推定値を表す湯面高さ推定関数の時間方向の二階微分に関する項と、前記湯面高さ推定関数の空間方向の二階微分に関する項と、を含む、時間と空間に関する二次元矩形領域上で定義される評価関数についての変分問題を構成し、
前記二次元矩形領域上で定義される基底関数を用いて前記湯面高さ推定関数を展開し、当該基底関数を有限次元で打ち切ることにより、前記変分問題を、前記基底関数の展開係数を推定する線形回帰モデルの係数推定問題に変換して、当該係数推定問題を求解することにより前記展開係数を推定し、
推定された前記展開係数を用いて前記湯面の状態を推定する、
プログラム。
【請求項７】
連続鋳造機における鋳型の幅方向の複数の測定点での湯面高さの測定値を用いて、当該鋳型内の湯面の状態を推定する状態推定装置であって、
前記湯面高さの測定値と当該測定値を得た前記測定点における湯面高さの推定値との差分に関する項と、前記湯面高さの推定値を表す湯面高さ推定関数の時間方向の二階微分に関する項と、当該湯面高さ推定関数の空間方向の二階微分に関する項と、を含む、時間と空間に関する二次元矩形領域上で定義される評価関数についての変分問題を構成し、
前記二次元矩形領域上で定義される基底関数を用いて前記湯面高さ推定関数を展開し、当該基底関数を有限次元で打ち切ることにより、前記変分問題を、前記基底関数の展開係数を推定する線形回帰モデルの係数推定問題に変換して、当該係数推定問題を求解することにより前記展開係数を推定し、
推定された前記展開係数を用いて前記湯面の状態を推定する、演算部を備える、
状態推定装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、連続鋳造機の鋳型内の湯面の状態を推定する状態推定方法、当該状態推定方法の推定結果に基づく湯面レベル制御方法、当該状態推定方法をコンピュータに実行させるためのプログラム、及び連続鋳造機の鋳型内の湯面の状態を推定する状態推定装置に関する。
【背景技術】
【０００２】
鋼の連続鋳造においては、操業安定化、品質向上のため、鋳型内湯面高さをレベル計で測定し、測定値を目標値に保つようノズル開閉操作等による湯面高さ制御（湯面レベル制御）が行われている。つまり、湯面の全体上下動（すなわち、鋳型内溶鋼の体積変動）を抑制する制御が行われている。
【０００３】
なお、本明細書では、鋳型内における幅方向特定の点における湯面位置（例えば、鋳型の上端を基準とする相対位置として表す）を、湯面高さとし、湯面高さの鋳型内における幅方向の分布を、湯面高さ分布と定義する。また、鋳型内幅方向位置における、湯面が水平である場合を基準とした当該湯面高さ分布を湯面形状と呼び、湯面形状の時間的変動を湯面形状変動と呼ぶ。また、湯面形状変動に、鋳型内溶鋼収支差により鋳型内幅方向全体で均一に発生する湯面の全体上下動（湯面レベルの変動）を含めた時間的変動（すなわち、鋳型内幅方向全体における湯面高さの時間的変動）を、湯面変動と呼ぶ。また、本明細書において、湯面の状態とは、これら湯面高さ、湯面高さ分布、湯面形状、湯面形状変動、湯面変動、及び湯面の全体上下動の少なくともいずれかのことを意味する。
【０００４】
ここで、湯面レベル計の測定値には、抑制対象である湯面の全体上下動だけではなく、湯面の波立ちによる定在波や、溶鋼流動の影響による湯面の盛り上がり、測定誤差等による外乱成分が重畳されている。従って、湯面レベル計の測定値は必ずしも湯面の全体上下動を正確に表現していない。よって、湯面レベル計の測定値に基づいてノズルの開閉操作等を実施しても、適切に湯面の全体上下動を抑制することは困難であった。
【０００５】
そこで、湯面レベル計の測定値に基づいて湯面の状態を推定する方法が提案されている。例えば、特許文献１には、湯面レベル計の測定値に基づいて湯面の状態を推定する方法において、鋳型幅方向の湯面形状を正弦波及び余弦波の基底関数で展開した上で、表面波方程式から導出される振動モデルを仮定し、カルマンフィルタにより上記基底関数の展開係数を推定する方法が開示されている。特許文献１に記載の方法によって湯面の状態（湯面形状及び湯面の全体上下動等）を推定し、その推定結果に基づいて湯面レベル制御を行うことにより、当該湯面レベル制御をより高精度に行うことが可能になる。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００６】
【特許文献１】特開２０１６−１８２６０７号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００７】
しかしながら、特許文献１で用いられている上記振動モデルの固有振動数は、高次のものほど実現象と一致しない。従って、特許文献１に記載の方法では、湯面形状変動や湯面変動に高次の振動成分が含まれる場合には、その推定精度が悪化してしまう。
【０００８】
そこで、本発明は、上記問題に鑑みてなされたものであり、本発明の目的とするところは、連続鋳造機において、鋳型内の湯面の状態をより精度良く推定することが可能な、新規かつ改良された状態推定方法、湯面レベル制御方法、プログラム、及び状態推定装置を提供することにある。
【課題を解決するための手段】
【０００９】
上記課題を解決するために、本発明のある観点によれば、連続鋳造機における鋳型の幅方向の複数の測定点での湯面高さの測定値を用いて、当該鋳型内の湯面の状態を推定する状態推定方法であって、前記湯面高さの測定値と当該測定値を得た前記測定点における湯面高さの推定値との差分に関する項と、前記湯面高さの推定値を表す湯面高さ推定関数の時間方向の二階微分に関する項と、前記湯面高さ推定関数の空間方向の二階微分に関する項と、を含む、時間と空間に関する二次元矩形領域上で定義される評価関数についての変分問題を構成し、前記二次元矩形領域上で定義される基底関数を用いて前記湯面高さ推定関数を展開し、当該基底関数を有限次元で打ち切ることにより、前記変分問題を、前記基底関数の展開係数を推定する線形回帰モデルの係数推定問題に変換して、当該係数推定問題を求解することにより前記展開係数を推定し、推定された前記展開係数を用いて前記湯面の状態を推定する、状態推定方法が提供される。
【００１０】
また、当該状態推定方法においては、前記湯面高さの測定値と前記湯面高さの推定値との差分に関する項は、当該差分の二乗和であってもよい。
【００１１】
また、当該状態推定方法においては、前記湯面高さの測定値と前記湯面高さの推定値との差分に関する項は、当該差分の絶対値和であってもよい。
【００１２】
また、当該状態推定方法においては、前記基底関数は、三角関数によって構成されてもよい。
【００１３】
また、上記課題を解決するために、本発明の別の観点によれば、上記状態推定方法において、前記湯面の状態として、湯面の全体上下動を推定し、推定された前記湯面の全体上下動を用いて、前記鋳型内の湯面レベルを制御する、湯面レベル制御方法が提供される。
【００１４】
また、上記課題を解決するために、本発明の別の観点によれば、コンピュータに、連続鋳造機における鋳型の幅方向の複数の測定点での湯面高さの測定値を用いて当該鋳型内の湯面の状態を推定する状態推定方法を実行させるプログラムであって、前記状態推定方法では、前記湯面高さの測定値と当該測定値を得た前記測定点における湯面高さの推定値との差分に関する項と、前記湯面高さの推定値を表す湯面高さ推定関数の時間方向の二階微分に関する項と、前記湯面高さ推定関数の空間方向の二階微分に関する項と、を含む、時間と空間に関する二次元矩形領域上で定義される評価関数についての変分問題を構成し、前記二次元矩形領域上で定義される基底関数を用いて前記湯面高さ推定関数を展開し、当該基底関数を有限次元で打ち切ることにより、前記変分問題を、前記基底関数の展開係数を推定する線形回帰モデルの係数推定問題に変換して、当該係数推定問題を求解することにより前記展開係数を推定し、推定された前記展開係数を用いて前記湯面の状態を推定する、プログラムが提供される。
【００１５】
また、上記課題を解決するために、本発明の別の観点によれば、連続鋳造機における鋳型の幅方向の複数の測定点での湯面高さの測定値を用いて、当該鋳型内の湯面の状態を推定する状態推定装置であって、前記湯面高さの測定値と当該測定値を得た前記測定点における湯面高さの推定値との差分に関する項と、前記湯面高さの推定値を表す湯面高さ推定関数の時間方向の二階微分に関する項と、当該湯面高さ推定関数の空間方向の二階微分に関する項と、を含む、時間と空間に関する二次元矩形領域上で定義される評価関数についての変分問題を構成し、前記二次元矩形領域上で定義される基底関数を用いて前記湯面高さ推定関数を展開し、当該基底関数を有限次元で打ち切ることにより、前記変分問題を、前記基底関数の展開係数を推定する線形回帰モデルの係数推定問題に変換して、当該係数推定問題を求解することにより前記展開係数を推定し、推定された前記展開係数を用いて前記湯面の状態を推定する、演算部を備える、状態推定装置が提供される。
【発明の効果】
【００１６】
以上説明したように本発明によれば、連続鋳造機において、鋳型内の湯面の状態をより精度良く推定することが可能になる。
【図面の簡単な説明】
【００１７】
【図１】本実施形態に係るシステムの構成例を示す図である。
【図２】状態推定装置によって実行される、本実施形態に係る湯面の状態の推定方法の処理手順を示すフロー図である。
【図３】本実施形態に係る状態推定装置の機能構成を示すブロック図である。
【図４】本実施形態に係る状態推定装置のハードウェア構成の一例を示すブロック図である。
【図５】本実施形態に係る状態推定方法を実行した実施例における、湯面形状変動の推定結果の例（１ｓｅｃ）を示すグラフ図である。
【図６】本実施形態に係る状態推定方法を実行した実施例における、湯面形状変動の推定結果の例（２ｓｅｃ）を示すグラフ図である。
【図７】本実施形態に係る状態推定方法を実行した実施例における、湯面形状変動の推定結果の例（３ｓｅｃ）を示すグラフ図である。
【図８】本実施形態に係る状態推定方法を実行した実施例における、湯面形状変動の推定結果の例（４ｓｅｃ）を示すグラフ図である。
【図９】本実施形態に係る状態推定方法を実行した実施例における、湯面形状変動の推定結果の例（５ｓｅｃ）を示すグラフ図である。
【図１０】本実施形態に係る状態推定方法を実行した実施例における、湯面形状変動の推定結果の例（６ｓｅｃ）を示すグラフ図である。
【図１１】本実施形態に係る状態推定方法を実行した実施例における、湯面形状変動の推定結果の例（７ｓｅｃ）を示すグラフ図である。
【図１２】本実施形態に係る状態推定方法を実行した実施例における、湯面形状変動の推定結果の例（８ｓｅｃ）を示すグラフ図である。
【図１３】本実施形態に係る状態推定方法を実行した実施例における、湯面形状変動の推定結果の例（９ｓｅｃ）を示すグラフ図である。
【図１４】本実施形態に係る状態推定方法を実行した実施例における、湯面形状変動の推定結果の例（１０ｓｅｃ）を示すグラフ図である。
【図１５】本実施形態に係る状態推定方法を実行した実施例における、湯面形状変動の推定結果の例（１１ｓｅｃ）を示すグラフ図である。
【図１６】本実施形態に係る状態推定方法を実行した実施例における、湯面形状変動の推定結果の例（１２ｓｅｃ）を示すグラフ図である。
【図１７】本実施形態に係る状態推定方法を実行した実施例における、湯面形状変動の推定結果の例（１３ｓｅｃ）を示すグラフ図である。
【図１８】本実施形態に係る状態推定方法を実行した実施例における、湯面形状変動の推定結果の例（１４ｓｅｃ）を示すグラフ図である。
【図１９】本実施形態に係る状態推定方法を実行した実施例における、湯面形状変動の推定結果の例（１５ｓｅｃ）を示すグラフ図である。
【図２０】本実施形態に係る状態推定方法を実行した実施例における、湯面形状変動の推定結果の例（１６ｓｅｃ）を示すグラフ図である。
【図２１】本実施形態に係る状態推定方法を実行した実施例における、湯面形状変動の推定結果の例（１７ｓｅｃ）を示すグラフ図である。
【図２２】本実施形態に係る状態推定方法を実行した実施例における、湯面形状変動の推定結果の例（１８ｓｅｃ）を示すグラフ図である。
【図２３】本実施形態に係る状態推定方法を実行した実施例における、湯面形状変動の推定結果の例（１９ｓｅｃ）を示すグラフ図である。
【図２４】本実施形態に係る状態推定方法を実行した実施例における、湯面形状変動の推定結果の例（２０ｓｅｃ）を示すグラフ図である。
【図２５】本実施形態に係る状態推定方法を実行した実施例における、湯面形状の推定結果と測定結果とのＲＭＳＥを計算した結果を示すグラフ図である。
【発明を実施するための形態】
【００１８】
以下に添付図面を参照しながら、本発明の好適な実施形態について詳細に説明する。なお、本明細書及び図面において、実質的に同一の機能構成を有する構成要素については、同一の符号を付することにより重複説明を省略する。
【００１９】
（１．システムの構成）
図１を参照して、本発明の一実施形態に係るシステムの構成について説明する。図１は、本実施形態に係るシステムの構成例を示す図である。図１を参照すると、本実施形態に係るシステム１は、連続鋳造機の鋳型２に設置される湯面レベル計３と、状態推定装置４と、表示装置５と、連続鋳造制御装置６と、を備える。
【００２０】
湯面レベル計３は、鋳型２の所定の位置における湯面高さを測定する。湯面レベル計３の種類は限定されず、湯面レベル計３としては、例えば渦流式のレベル計や、熱電対によるレベル計等、各種の公知のものが用いられてよい。本実施形態では、複数の湯面レベル計３が、鋳型幅方向に並べられて設置される。つまり、鋳型２の幅方向に複数の湯面高さの測定点が設けられる。
【００２１】
状態推定装置４は、複数の湯面レベル計３による湯面高さの測定値に基づいて、鋳型２内の湯面の状態を推定する。状態推定装置４は、湯面の状態を、連続鋳造中にリアルタイムで推定することができる。湯面の状態の推定結果は、表示装置５及び連続鋳造制御装置６の少なくともいずれかに送信される。
【００２２】
表示装置５は、状態推定装置４による推定結果を表示する。例えば、表示装置５は、推定されたある時刻での湯面形状を、グラフとして表示する。この場合、表示装置５は、推定結果である湯面形状に、湯面レベル計３による測定値を重ね合わせて表示してもよい。なお、表示装置５に代えて、又は表示装置５とともに、推定結果を紙媒体に印刷する印刷装置が用いられてもよい。
【００２３】
ここで、従来知見により、連続鋳造においては、湯面高さの時間変動が特に大きい位置では鋳片欠陥が多く発生することが知られている。従って、上記のように推定された湯面形状が表示装置５によってリアルタイムで出力されることにより、湯面形状変動を把握することができ、当該湯面形状変動に基づいて、鋳造の完了前に鋳片欠陥の鋳片幅方向での分布を把握することが可能になる。これによって、鋳片品質管理の迅速化を図ることができる。
【００２４】
連続鋳造制御装置６は、状態推定装置４による推定結果に基づいて、連続鋳造中に、鋳型内湯面高さを目標値に保つような、湯面レベル制御を行う。具体的には、湯面の全体上下動は鋳型内溶鋼収支差により発生するので、連続鋳造制御装置６は、状態推定装置４による湯面の全体上下動の推定結果に基づいて、当該湯面の全体上下動を抑制するように、鋳型２に溶鋼を注入する浸漬ノズル８の開閉制御や、鋳型２の下方から鋳片を引き抜くピンチロールの回転速度制御を実行する。
【００２５】
なお、状態推定装置４が、湯面の状態として推定する具体的な内容は、その目的に応じて、ユーザによって適宜設定されてよい。また、状態推定装置４が推定結果を送信する先も、推定する具体的な内容に応じて、ユーザによって適宜設定され得る。例えば、上述した鋳片の品質管理を主な目的とする場合であれば、湯面形状変動が推定の対象となり得る。そして、この湯面形状変動の推定結果は、表示装置５に送信され、ユーザによって品質管理のために用いられることとなる。あるいは、例えば、上述した湯面レベル制御を主な目的とする場合であれば、湯面の全体上下動が推定の対象となり得る。そして、この湯面の全体上下動の推定結果は、連続鋳造制御装置６に送信され、湯面レベル制御に用いられることとなる。その他、様々な目的で、推定する湯面の状態の具体的な内容が、適宜設定されてよい。
【００２６】
また、上記の構成例では、状態推定装置４は、連続鋳造中にリアルタイムに湯面の状態を推定し、その推定結果を表示装置５及び連続鋳造制御装置６の少なくともいずれかに送信していたが、本実施形態はかかる例に限定されない。例えば、当該推定結果は、これらの各装置に送信されるとともに、状態推定装置４が備える記憶部（後述する図３に示す記憶部４４）に格納されてもよい。当該記憶部に記憶された推定結果は、例えば、表示装置５による出力のバックアップとして機能し、表示装置５によるリアルタイムの出力で鋳片欠陥の発生が看過されたような場合に、事後的に鋳片欠陥の発生及びその原因を特定するために利用される。また、表示装置５によるリアルタイムでの出力を実施しない場合でも、鋳片欠陥の発生後に、その原因を特定するために当該記憶部に記憶された推定結果が参照されてもよい。更に、状態推定装置４は、必ずしも連続鋳造中にリアルタイムに湯面の状態を推定しなくてもよい。例えば、上記のように鋳片欠陥の発生後にその原因を特定する目的で、操業中における湯面の状態を確認したい場合等には、状態推定装置４は、操業中に取得された湯面高さの測定値に基づいて、事後的に湯面の状態を推定してもよい。
【００２７】
（２．湯面の状態の推定方法）
上述したシステム１の状態推定装置４によって実行される湯面の状態の推定方法について、詳細に説明する。なお、鋳型２の幅は厚みに比べて十分に大きいため、本実施形態では、湯面高さの厚み方向での変動については考慮せず、幅方向での変動のみを考慮して、湯面の状態を推定する。
【００２８】
（２−１．推定方法の原理）
状態推定装置４は、鋳型２の幅方向に複数配置される測定点における湯面高さの測定値を用いて、測定点が存在しない位置も含む幅方向全体の湯面高さ分布の時間変動（すなわち、湯面変動）を推定することができる。この際、本実施形態では、「湯面高さ分布は時間的及び空間的に滑らかに変動する」という性質を用いて、当該湯面変動の推定を行う。
【００２９】
具体的には、本実施形態では、下記数式（１）に示すように、「湯面高さ分布の時間的及び空間的な滑らかさ」を表す正則化項として、湯面高さの推定値を表す湯面高さ推定関数ｄ（ｘ，ｔ）の時間及び空間に関する２階微分を正則化項とする、評価関数Ｊ［ｄ（ｘ，ｔ）］を定義する。そして、当該Ｊ［ｄ（ｘ，ｔ）］についての変分問題を解くことにより、当該湯面高さ推定関数ｄ（ｘ，ｔ）を求める（ｄ（ｘ，ｔ）は、湯面高さの推定値を表す時間的及び空間的に連続的な関数であるから、ｄ（ｘ，ｔ）を求めることは、すなわち、湯面変動を推定することである）。なお、以下では、湯面高さの推定値を表す湯面高さ推定関数ｄ（ｘ，ｔ）を、単に、湯面高さの推定値ｄ（ｘ，ｔ）とも呼称する。
【００３０】
【数１】
2019141895.tif 000003
【００３１】
ここで、ｙ（ｘｊ，ｔｉ）は、位置ｘｊ、時刻ｔｉにおける湯面高さの測定値である。ｄ（ｘｊ，ｔｉ）は、位置ｘｊ、時刻ｔｉにおける湯面高さの推定値である。Ｉは時間サンプリング点数である。Ｊは鋳型２の幅方向における空間サンプリング点数である。λは調整パラメータである。Ｗは鋳型幅である。Ｔは、推定の対象としている時間幅、すなわち時刻ｔ１から時刻ｔＩまでの時間である。以下では、この推定の対象としている時間幅Ｔのことを、時間窓とも記載する。本実施形態では、表記の統一性のため、時間区間［ｔ１，ｔＩ］を、時間区間［−Ｔ／２，Ｔ／２］に置き換えるものとする。
【００３２】
上記数式（１）における右辺第１項は、湯面高さの測定値ｙ（ｘｊ，ｔｉ）と湯面高さの推定値ｄ（ｘｊ，ｔｉ）との差分に関する項である（以下、復元誤差項ともいう）。上記数式（１）に示すように、本実施形態では、復元誤差項を、湯面高さの測定値ｙ（ｘｊ，ｔｉ）と湯面高さの推定値ｄ（ｘｊ，ｔｉ）との差分についての二乗和としている。また、上記数式（１）における右辺第２項は、正則化項であり、上述したように、「湯面高さ分布の時間的及び空間的な滑らかさ」を表すために、湯面高さの推定値ｄ（ｘｊ，ｔｉ）の時間２階微分に関する項及び空間２階微分に関する項を含む。
【００３３】
上記数式（１）は、δ関数を用いて、下記数式（２）のように書き替えることができる。
【００３４】
【数２】
2019141895.tif 000004
【００３５】
なお、以下では、簡単のため、数式中における積分範囲については、その記載を省略する。
【００３６】
ここで、２次元矩形領域上で定義される変分問題の解は、正規直交基底関数系で展開可能である（例えば、「クーラント、ヒルベルト、「数理物理学の方法  上」、丸善出版、ｐ．１９０−ｐ．１９１」を参照）。上記数式（２）に示す変分問題は、２次元矩形領域［−Ｗ／２，Ｗ／２］×［−Ｔ／２，Ｔ／２］上で定義されるものであるから、本実施形態では、かかる方法を用いて、当該変分問題の解ｄ（ｘ，ｔ）を、下記数式（３）に示すように、三角関数を用いた正規直交基底関数系で展開する。
【００３７】
【数３】
2019141895.tif 000005
【００３８】
ここで、上記の例では、三角関数からなる基底関数を用いているが、本実施形態はかかる例に限定されない。時間方向及び空間方向に正規直交な関数であれば、他の関数が基底関数として用いられてよい。ただし、本発明者らによる検討の結果、鋳型２内の湯面変動においては、幅方向における両端が腹になることが判明している。従って、基底関数としては、空間方向については、鋳型２の幅方向両端において腹となるという境界条件を満たすものが選定される。上記の例であれば、下記数式（４）に示す境界条件を満たすように、基底関数が選定されている。なお、他の基底関数の例については、下記（５．変形例）で詳述する。
【００３９】
【数４】
2019141895.tif 000006
【００４０】
以降では、表記を簡略化するため、上記数式（３）を、基底関数ｄ（１）ｍｎ（ｘ，ｔ）、ｄ（２）ｍｎ（ｘ，ｔ）を用いて、下記数式（５）のように表すこととする。
【００４１】
【数５】
2019141895.tif 000007
【００４２】
なお、基底関数ｄ（１）ｍｎ（ｘ，ｔ）、ｄ（２）ｍｎ（ｘ，ｔ）は、下記数式（６）〜（１３）のように定義した。
【００４３】
【数６】
2019141895.tif 000008
【００４４】
以下では、上記数式（５）を用いて、上記数式（１）を式変形する。これにより、上記数式（１）が、基底関数ｄ（１）ｍｎ（ｘ，ｔ）、ｄ（２）ｍｎ（ｘ，ｔ）を用いた線形回帰モデルで表されることとなり、上記数式（１）に対する変分問題が、当該基底関数ｄ（１）ｍｎ（ｘ，ｔ）、ｄ（２）ｍｎ（ｘ，ｔ）の展開係数を推定する、線形回帰モデルの係数推定問題に変換され得る。
【００４５】
まず、上記数式（１）の右辺第２項（正則化項）を計算する。上記数式（５）を代入して下記数式（１４）〜（１７）に示すように当該正則化項に含まれる項を順次計算すると、最終的に、当該正則化項は、下記数式（１８）と表すことができる。
【００４６】
【数７】
2019141895.tif 000009
【００４７】
【数８】
2019141895.tif 000010
【００４８】
ここで、基底関数ｄ（１）ｍｎ（ｘ，ｔ）、ｄ（２）ｍｎ（ｘ，ｔ）は直交性を有するため、下記数式（１９）〜（２２）が成立する。
【００４９】
【数９】
2019141895.tif 000011
【００５０】
上記数式（１９）〜（２２）に示す基底関数ｄ（１）ｍｎ（ｘ，ｔ）、ｄ（２）ｍｎ（ｘ，ｔ）の正規直交性を用いれば、上記数式（１８）は、下記数式（２３）のように表される。
【００５１】
【数１０】
2019141895.tif 000012
【００５２】
続いて、上記数式（２）の右辺第１項（復元誤差項）について計算する。上記（５）式を代入すると、当該復元誤差項は、下記数式（２４）のように表すことができる。
【００５３】
【数１１】
2019141895.tif 000013
【００５４】
従って、上記数式（２３）、（２４）から、上記数式（１）は、下記数式（２５）のように表すことができる。下記数式（２５）に示すように、上記数式（５）を用いて式変形することにより、上記数式（１）におけるＪ［ｄ（ｘ，ｔ）］を、ａｍｎ、ｂｍｎを変数とする関数Ｊ［ａｍｎ，ｂｍｎ］に変形することができる。
【００５５】
【数１２】
2019141895.tif 000014
【００５６】
本実施形態では、無限級数を適当な次元で打ち切ることで（ｎ＝０，１，・・・Ｎ、ｍ＝０，１，・・・Ｍ）、下記数式（２６）を得る。これにより、無限次元の変分問題（上記数式（１）、（２））が、有限次元の係数推定問題（下記数式（２６））に置き換えられたことになる。つまり、上記数式（１）、（２）に示すＪ［ｄ（ｘ，ｔ）］についての変分問題が、ａｍｎ、ｂｍｎを変数とする、正則化項を有する２次関数Ｊ［ａｍｎ，ｂｍｎ］の最小化問題に置き換えられた。
【００５７】
【数１３】
2019141895.tif 000015
【００５８】
行列を用いて表現すると、上記数式（２６）は、下記数式（２７）のように表される。
【００５９】
【数１４】
2019141895.tif 000016
【００６０】
ここで、ｕ＝（ａ００，ａ０１，ｂ０１，・・・，ａ１１，ｂ１１，・・・，ａｍｎ，ｂｍｎ，・・・，ａＭＮ，ｂＭＮ）である。ｙ＝（ｙ（ｘ１，ｔ１），ｙ（ｘ１，ｔ２），・・・，ｙ（ｘ１，ｔＪ），ｙ（ｘ２，ｔ１），・・・，ｙ（ｘＩ，ｔＪ））である。Ａ、Ｌは、ｕの並びに応じて適切に定まる行列である。
【００６１】
上記数式（２７）に示すＪ［ｕ］の停留条件は、下記数式（２８）で表される。
【００６２】
【数１５】
2019141895.tif 000017
【００６３】
この停留条件を満たすｕを、ｕ＊＝（ａ００＊，ａ０１＊，ｂ０１＊，・・・ａ１１＊，ｂ１１＊，・・・ａｍｎ＊，ｂｍｎ＊，・・・ａＭＮ＊，ｂＭＮ＊）とする。このｕ＊は、下記数式（２９）のように解析的に求めることができる。
【００６４】
【数１６】
2019141895.tif 000018
【００６５】
本実施形態では、状態推定装置４は、湯面レベル計３による測定値ｙ（ｘｊ，ｔｉ）を上記数式（２９）に代入することにより、上記数式（２７）に示すＪ［ｕ］を最小にするようなｕ＝ｕ＊を計算する（すなわち、Ｊ［ｕ］を最小にするような、基底関数ｄ（１）ｍｎ（ｘ，ｔ）、ｄ（２）ｍｎ（ｘ，ｔ）の展開係数を推定する）。
【００６６】
状態推定装置４は、この求めたｕ＊＝（ａ００＊，ａ０１＊，ｂ０１＊，・・・ａ１１＊，ｂ１１＊，・・・ａｍｎ＊，ｂｍｎ＊，・・・ａＭＮ＊，ｂＭＮ＊）を用いて、湯面の状態を推定することができる。例えば、湯面変動の推定値を求めたい場合であれば、状態推定装置４は、求めたｕ＊を上記数式（５）に代入することにより、湯面高さの推定値ｄ＊（ｘ，ｔ）（すなわち、湯面変動の推定値）を計算する。なお、本明細書では、以上説明に用いてきた湯面高さの推定値ｄ（ｘ，ｔ）と区別するために、状態推定装置４によってｕ＊を用いて求められる湯面高さの推定値のことを、ｄ＊（ｘ，ｔ）と記載することとする。つまり、湯面高さの推定値ｄ＊（ｘ，ｔ）は、下記数式（３０）によって計算され得る。
【００６７】
【数１７】
2019141895.tif 000019
【００６８】
また、状態推定装置４は、湯面の全体上下動を推定することもできる。具体的には、湯面の全体上下動の推定値をｄ０（ｔ）とすると、当該ｄ０（ｔ）は、上記数式（５）において、ｍ＝０の基底関数（すなわち、空間方向に一様な基底関数）についての項のみを考慮することにより、下記数式（３１）のように表現することができる。
【００６９】
【数１８】
2019141895.tif 000020
【００７０】
状態推定装置４は、上記数式（３１）に、求めたｕ＊を代入することにより、湯面の全体上下動の推定値ｄ０＊（ｔ）（ｄ＊（ｘ，ｔ）と同様に、一般的な湯面の全体上下動の推定値ｄ０（ｔ）と区別するために、状態推定装置４によってｕ＊を用いて求められる湯面の全体上下動の推定値のことを、ｄ０＊（ｔ）と記載することとする）を求めることができる。つまり、湯面の全体上下動の推定値ｄ０＊（ｔ）は、下記数式（３２）によって計算され得る。
【００７１】
【数１９】
2019141895.tif 000021
【００７２】
更に、状態推定装置４は、求めた湯面高さの推定値ｄ＊（ｘ，ｔ）（すなわち、湯面変動の推定値）から、湯面の全体上下動の推定値ｄ０＊（ｔ）を差し引くことにより、湯面形状変動の推定値を求めることも可能である。また、状態推定装置４は、湯面変動の推定値から、ある時刻での湯面高さ分布の推定値を求めてもよいし、湯面高さ分布の推定値から、ある位置での湯面高さの推定値を求めてもよい。また、状態推定装置４は、湯面形状変動の推定値から、ある時刻での湯面形状の推定値を求めてもよい。状態推定装置４が、湯面の状態として具体的に何を推定するかは、上述したように、ユーザによって適宜設定されていてよい。
【００７３】
ここで、推定に用いられる各種のパラメータ（時間サンプリング点数Ｉ、空間サンプリング点数Ｊ、時間窓Ｔ、調整パラメータλ、及び基底関数の数Ｎ、Ｍ等）については、充分な推定精度が得られるように、また、計算負荷等を考慮して、ユーザによって適宜設定されていてよい。
【００７４】
例えば、時間サンプリング点数Ｉ、空間サンプリング点数Ｊ、及び調整パラメータλについては、水モデル実験等を用いることにより、上記の条件を満たすように、適切な値が適宜選択されてよい。例えば、調整パラメータλは、水モデル実験のデータ等を用いて、クロスバリデーション等により設定されてもよい。なお、空間サンプリング点数Ｊは、湯面高さの測定点、すなわち湯面レベル計３の設置台数に対応するため、設置費用及び保守費用等を考慮して、その値が過大にならないように設定されることが好ましい。
【００７５】
また、例えば、時間窓Ｔは、湯面変動として想定される主要な変動周期を含むように選べばよい。
【００７６】
また、例えば、時間方向の基底関数の数Ｎについては、Ｎ＝［（Ｊ−１）／２］（［・］はガウスの記号）とすればよい。また、空間方向の基底関数の数Ｍについては、Ｍ＝Ｉ−１とすればよい。ただし、一般には、基底関数の数の多少の増減によって推定精度は大きくは変化しないので、事前に何らかの知見が得られている場合には、Ｎ、Ｍの値は、上記の値より適宜増減させてもよい。なお、基底関数の数の著しい増大がなければ、計算時間については、実用上大きな変化は生じないため、計算時間を考慮して基底関数の数を制限する必要性は低い。
【００７７】
以上説明したように、本実施形態では、湯面高さの測定値と湯面高さの計算値との差分に関する項を含む評価関数についての変分問題を解くことにより、当該湯面高さの推定値を求める。この際、「湯面高さ分布の時間的及び空間的な滑らかさ」を仮定し、湯面高さの推定値の時間及び空間に関する２階微分に関する項を、当該評価関数の正則化項として導入する。かかる正則化項を導入することにより、湯面高さの測定値に基づいて、滑らかに変動する湯面高さ分布（すなわち、滑らかな湯面変動）を推定することが可能になる。
【００７８】
ここで、実際の湯面変動には、例えば外乱等、定在波の固有振動数とは異なる変動成分が含まれる。上記特許文献１に記載の方法では、表面波方程式モデルを仮定して湯面の状態を推定しているため、例えば当該変動成分が高次の成分であった場合等には、高精度な推定を行うことが困難であった。これに対して、本実施形態では、表面波方程式モデルを仮定しないため、上記特許文献１に記載の方法においてモデル誤差により推定精度が悪化する場合であっても、高精度に湯面の状態を推定することが可能になる。
【００７９】
（２−２．推定方法の具体的な手順）
図２を参照して、状態推定装置４によって実行される湯面の状態の推定方法の具体的な処理手順について説明する。図２は、状態推定装置４によって実行される、本実施形態に係る湯面の状態の推定方法の処理手順を示すフロー図である。状態推定装置４のプロセッサが、所定のプログラムに従って演算処理を実行することにより、図２に示す各処理が実行され得る。
【００８０】
図２に示すように、本実施形態に係る湯面の状態の推定方法では、まず、基底関数が設定される（ステップＳ１０１）。ステップＳ１０１では、推定処理に使用する基底関数として、例えば、上記数式（６）〜（１３）に示す基底関数ｄ（１）ｍｎ（ｘ，ｔ）、ｄ（２）ｍｎ（ｘ，ｔ）が設定される。基底関数は、ユーザによって予め作成され、状態推定装置４に入力されていてよい。
【００８１】
次に、湯面高さの測定値ｙ（ｘｊ，ｔｉ）が取得される（ステップＳ１０３）。ステップＳ１０３では、図１に示す鋳型２の幅方向に複数設置された湯面レベル計３によって測定された湯面高さの測定値ｙ（ｘｊ，ｔｉ）が、状態推定装置４によって取得される。
【００８２】
次に、取得された湯面高さの測定値ｙ（ｘｊ，ｔｉ）を用いて、線形回帰モデルの係数が推定される（ステップＳ１０５）。ステップＳ１０５では、上記数式（２６）、（２７）に示す線形回帰モデルについて、Ｊ［ａｍｎ，ｂｍｎ］（＝Ｊ［ｕ］）を最小にするような、基底関数ｄ（１）ｍｎ（ｘ，ｔ）、ｄ（２）ｍｎ（ｘ，ｔ）の展開係数ａｍｎ、ｂｍｎ（すなわち、ｕ＊）が、上記数式（２９）に従って計算される。
【００８３】
次に、ステップＳ１０５で求めたｕ＊を用いて、湯面の状態が推定される（ステップＳ１０７）。推定される湯面の状態の具体的な内容は、ユーザによって適宜設定され得る。例えば、ステップＳ１０７では、ステップＳ１０５で求めたｕ＊を上記数式（３０）に代入することにより、湯面高さの推定値ｄ＊（ｘ，ｔ）、すなわち湯面変動の推定値が計算される。また、例えば、ステップＳ１０７では、ステップＳ１０５で求めたｕ＊を上記数式（３２）に代入することにより、湯面の全体上下動の推定値ｄ０＊（ｔ）が計算される。更に、ステップＳ１０７では、これらの推定値に基づいて、湯面高さ、湯面高さ分布、湯面形状、及び湯面形状変動の少なくともいずれかの推定値が計算されてもよい。
【００８４】
そして、推定結果が出力される（ステップＳ１０９）。ステップＳ１０９では、ステップＳ１０７で推定された湯面の状態が、図１に示す表示装置５及び連続鋳造制御装置６の少なくともいずれかに、送信される。
【００８５】
ここで、ステップＳ１０１における処理は、一連の処理を実行する際に、最初に１度だけ実行される。そして、連続鋳造を行いながら、ステップＳ１０３〜ステップＳ１０９における処理が、所定の時間間隔で逐次実行される。本実施形態では、ステップＳ１０３〜ステップＳ１０９における処理を実行する時間間隔（以下、推定処理の時間間隔ともいう）を、方式（１）湯面高さの測定値ｙ（ｘｊ，ｔｉ）のサンプリング間隔ごと、又は方式（２）時間窓Ｔごとのいずれかに設定する。どちらの方式を用いるかは、ユーザによって適宜設定されてよい。
【００８６】
例えば、時間サンプリング点数Ｉ＝１０、Ｔ＝１（ｓｅｃ）とすると、０．１秒ごとにサンプリングされた１０個の湯面高さの測定値ｙ（ｘｊ，ｔｉ）を用いて、推定処理が行われることになる。この場合であれば、方式（１）を採用する場合には、０．１秒ごとに、直前の１秒間の１０個の湯面高さの測定値ｙ（ｘｊ，ｔｉ）を用いて、推定処理が行われる。一方、方式（２）を採用する場合には、Ｔ＝１（ｓｅｃ）ごとに、直前の１秒間の１０個の湯面高さの測定値ｙ（ｘｊ，ｔｉ）を用いて、推定処理が行われる。
【００８７】
方式（１）によれば、より短周期で、推定結果が逐次出力されることとなるため、当該推定結果を、最新の結果で上書きしながら表示装置５に逐次表示することができる。つまり、現在時刻の推定結果が、随時更新されながら表示装置５に表示されることとなる。よって、ユーザは、推定結果をリアルタイムに確認したい場合には、好適に方式（１）を採用することができる。
【００８８】
一方、方式（２）では、より長周期で、推定結果が逐次出力されることとなるため、状態推定装置４の計算負荷を、方式（１）よりも小さくすることができる。従って、状態推定装置４の計算能力等を考慮して、方式（１）での計算負荷が過大である場合には、ユーザは、好適に方式（２）を採用することができる。
【００８９】
ただし、推定処理の時間間隔は、上記方式（１）、（２）に限定されない。本実施形態では、推定処理の時間間隔は、湯面高さの測定値ｙ（ｘｊ，ｔｉ）のサンプリング間隔を最小単位として、当該サンプリング間隔の整数倍の間隔として、任意に設定されてよい。
【００９０】
（３．状態推定装置の機能構成）
図３を参照して、以上説明した処理を実行する、状態推定装置４の機能構成について説明する。図３は、本実施形態に係る状態推定装置４の機能構成を示すブロック図である。図３を参照すると、状態推定装置４は、その機能として、測定値取得部４１と、演算部４２と、出力部４３と、記憶部４４とを有する。以下、各部の機能について説明する。
【００９１】
測定値取得部４１は、例えばＣＰＵ（Central  Processing  Unit）やＤＳＰ（Digital  Signal  Processor）等のプロセッサ、及び湯面レベル計３から湯面高さの測定値を受信する通信装置によって実現される。測定値取得部４１は、図１に示すように鋳型幅方向に並べられて設置された複数の湯面レベル計３から、それぞれ測定値を取得する。測定値取得部４１による処理は、上記図２に示すステップＳ１０３における処理に対応する。測定値取得部４１を構成するプロセッサが所定のプログラムに従って演算処理を実行することにより、通信装置を介して上記の処理が実行され得る。測定値取得部４１は、取得した測定値を、演算部４２に提供する。
【００９２】
演算部４２は、ＣＰＵ等のプロセッサによって実現される。演算部４２は、測定値取得部４１によって取得された湯面高さの測定値を用いて、湯面の状態を推定する。演算部４２によって推定される湯面の状態の具体的な内容は、ユーザによって適宜設定されていてよく、演算部４２は、その設定に従って、例えば湯面形状等、ユーザの所望の湯面の状態についての推定処理を行う。演算部４２による処理は、上記図２に示すステップＳ１０１、及びステップＳ１０５〜ステップＳ１０７における処理に対応する。この際、演算部４２は、記憶部４４に格納されている各種のパラメータ（時間サンプリング点数Ｉ、空間サンプリング点数Ｊ、時間窓Ｔ、調整パラメータλ、及び基底関数の数Ｎ、Ｍ等）を用いて、推定処理を実行する。演算部４２を構成するプロセッサが所定のプログラムに従って演算処理を実行することにより、これらの処理が実行され得る。なお、これらの処理の詳細については、既に説明しているため、ここではその説明を省略する。
【００９３】
演算部４２は、湯面の状態についての推定結果を、出力部４３に提供する。あるいは、演算部４２は、湯面の状態についての推定結果を、記憶部４４に格納してもよい。
【００９４】
出力部４３は、ＣＰＵ等のプロセッサ、及び外部装置に信号を送信する通信装置によって実現される。出力部４３は、演算部４２による湯面の状態の推定結果を、外部の装置に対して出力する。例えば、出力部４３は、演算部４２による湯面の状態の推定結果（例えば湯面形状等）を、図１に示す表示装置５に出力する。表示装置５は、推定された湯面形状等をディスプレイ等に表示する。また、例えば、出力部４３は、演算部４２による湯面の状態の推定結果（例えば湯面の全体上下動）を、図１に示す連続鋳造制御装置６に出力する。連続鋳造制御装置６は、推定された湯面の全体上下動に基づいて、例えば鋳型２への溶鋼注入量及び鋳型２からの鋳片引き抜き速度の少なくともいずれかを、当該湯面の全体上下動を抑制するように制御する。出力部４３による処理は、上記図２に示すステップＳ１０９における処理に対応する。出力部４３を構成するプロセッサが所定のプログラムに従って演算処理を実行することにより、通信装置を介して上記の処理が実行され得る。
【００９５】
記憶部４４は、例えば、ＲＯＭ（Read  Only  Memory）若しくはＲＡＭ（Random  Access  Memory）等のメモリ、並びに、ＨＤＤ（Hard  Disk  Drive）等の各種の記憶デバイスによって実現される。記憶部４４には、例えば、上述した演算部４２による湯面の状態の推定処理に使用される各種のパラメータや、基底関数についての情報、推定処理の途中経過等、演算部４２による推定処理に係る各種のデータが格納される。なお、当該パラメータは、推定処理実行前に、ユーザによって予め記憶部４４に入力される。また、記憶部４４には、演算部４２による湯面の状態の推定結果が、一時的に又は永続的に格納されてもよい。この推定結果は、出力部４３によって、任意のタイミングで、図１に示す表示装置５及び連続鋳造制御装置６の少なくともいずれかに出力されてもよい。
【００９６】
以上、本実施形態に係る状態推定装置４の機能構成の一例について説明した。なお、以上説明した状態推定装置４の機能構成は、あくまで一例であり、状態推定装置４は、以上説明した機能と同様の機能を有するように構成されればよく、その具体的な装置構成は任意に変更されてよい。例えば、状態推定装置４は、必ずしも１つの装置でなくてもよく、複数の装置の協働によって実現されてもよい。この場合には、状態推定装置４の各機能が複数の装置に分散して搭載され、これら複数の装置が互いに各種の情報をやり取りしながら動作することにより、全体として、状態推定装置４としての機能が実現され得る。
【００９７】
また、上述したような状態推定装置４の機能、特に演算部４２の機能を実現するためのコンピュータプログラムを作製し、パーソナルコンピュータ等に実装することが可能である。また、このようなコンピュータプログラムが格納された、コンピュータで読み取り可能な記録媒体も提供することが可能である。記録媒体は、例えば、磁気ディスク、光ディスク、光磁気ディスク、フラッシュメモリ等であり得る。また、上記のコンピュータプログラムは、記録媒体を用いずに、例えばネットワークを介して配信されてもよい。
【００９８】
（４．ハードウェア構成）
図４は、本実施形態に係る状態推定装置４のハードウェア構成の一例を示すブロック図である。図４を参照すると、状態推定装置４は、ＣＰＵ９０１と、ＲＯＭ９０３と、ＲＡＭ９０５と、を備える。状態推定装置４は、更に、バス９０７と、入力装置９０９と、出力装置９１１と、ストレージ装置９１３と、ドライブ９１５と、接続ポート９１７と、通信装置９１９とを備える。
【００９９】
ＣＰＵ９０１は、演算処理装置及び制御装置として機能し、ＲＯＭ９０３、ＲＡＭ９０５、ストレージ装置９１３、又はリムーバブル記録媒体９２１に記録された各種プログラムに従って、状態推定装置４内の動作全般又はその一部を制御する。ＲＯＭ９０３は、ＣＰＵ９０１が使用するプログラムや演算パラメータ等を記憶する。ＲＡＭ９０５は、ＣＰＵ９０１が使用するプログラムや、プログラムの実行において適宜変化するパラメータ等を一次記憶する。これらはＣＰＵバス等の内部バスによって構成されるバス９０７によって相互に接続されている。ＣＰＵ９０１は、図３に示す測定値取得部４１、演算部４２、及び出力部４３を構成し得る。また、ＲＯＭ９０３及びＲＡＭ９０５は、図３に示す記憶部４４を構成し得る。
【０１００】
バス９０７は、ブリッジを介して、ＰＣＩ（Peripheral  Component  Interconnect／Interface）バス等の外部バスに接続されている。
【０１０１】
入力装置９０９は、例えば、マウス、キーボード、タッチパネル、ボタン、スイッチ及びレバー等ユーザが操作する操作手段である。また、入力装置９０９は、例えば、赤外線や電波等を利用したリモートコントローラであってもよい。更に、入力装置９０９は、例えば、上記の操作手段を用いてユーザによって入力された情報に基づいて入力信号を生成し、ＣＰＵ９０１に出力する入力制御回路等から構成されている。状態推定装置４のユーザは、この入力装置９０９を操作することによって、状態推定装置４に対して各種のデータを入力したり処理動作を指示したりすることができる。なお、入力装置９０９は、状態推定装置４の操作機能を有するタブレット端末等の外部接続機器９２３によって代替されてもよい。
【０１０２】
出力装置９１１は、取得した情報をユーザに対して視覚的又は聴覚的に通知することが可能な装置で構成される。このような装置として、液晶やＣＲＴ等を用いたディスプレイ、ランプ等のインジケータ、スピーカ若しくはヘッドホン等の音声出力装置、又はプリンタ装置等がある。出力装置９１１は、例えば、状態推定装置４が行った各種処理によって得られた結果を出力する。例えば、ディスプレイは、状態推定装置４が行った各種処理によって得られた結果を、テキスト又はイメージとして画面表示する。また、例えば、音声出力装置は、状態推定装置４が行った各種処理によって得られた結果を、アラーム又はダイアログとして音声出力する。なお、図１を参照して説明したように、本実施形態に係るシステム１は、ユーザに対して情報を提示する手段として、表示装置５を備える。表示装置５は、出力装置９１１と同様の機能を有するものであるため、表示装置５が出力装置９１１の機能を代替し得る場合には、状態推定装置４には、出力装置９１１は必ずしも設けられなくてもよい。
【０１０３】
ストレージ装置９１３は、状態推定装置４の記憶部の一例として構成されたデータ格納用の装置である。ストレージ装置９１３は、例えば、ＨＤＤ等の磁気記憶デバイス、半導体記憶デバイス、光記憶デバイス、又は光磁気記憶デバイス等によって構成される。このストレージ装置９１３は、ＣＰＵ９０１が実行するプログラムや各種データ、及び外部から取得した各種のデータ等を格納する。ストレージ装置９１３は、図３に示す記憶部４４を構成し得る。
【０１０４】
ドライブ９１５は、記録媒体用リーダライタであり、状態推定装置４に内蔵、あるいは外付けされる。ドライブ９１５は、装着されている磁気ディスク、光ディスク、光磁気ディスク、又は半導体メモリ等のリムーバブル記録媒体９２１に記録されている情報を読み出して、ＲＡＭ９０５に出力する。また、ドライブ９１５は、装着されている磁気ディスク、光ディスク、光磁気ディスク、又は半導体メモリ等のリムーバブル記録媒体９２１に記録を書き込むことも可能である。
【０１０５】
接続ポート９１７は、機器を状態推定装置４に直接接続するためのポートである。接続ポート９１７の一例として、ＵＳＢ（Universal  Serial  Bus）ポート、ＩＥＥＥ１３９４ポート、ＳＣＳＩ（Small  Computer  System  Interface）ポート、ＲＳ−２３２Ｃポート等がある。この接続ポート９１７に外部接続機器９２３を接続することで、状態推定装置４は、外部接続機器９２３から直接各種のデータを取得したり、外部接続機器９２３に各種のデータを提供したりする。
【０１０６】
通信装置９１９は、例えば、通信網９２５に接続するための通信デバイス等で構成された通信インターフェースである。通信装置９１９は、例えば、ＬＡＮ（Local  Area  Network）用の通信カードを含み得る。また、通信装置９１９は、各種有線通信用のルータ又はモデム等を含んでもよい。この通信装置９１９は、例えば、インターネットや他の通信機器との間で、例えばＴＣＰ／ＩＰ等の所定のプロトコルに則して信号等を送受信することができる。また、通信装置９１９に接続される通信網９２５は、有線又は無線によって接続されたネットワーク等によって構成され、例えば、インターネットやＬＡＮ等を含み得る。通信装置９１９は、図３に示す測定値取得部４１及び出力部４３を構成し得る。
【０１０７】
以上、本実施形態に係る状態推定装置４の機能を実現可能なハードウェア構成の一例を示した。上記の各構成要素は、汎用的な部材を用いて構成されていてもよいし、各構成要素の機能に特化したハードウェアによって構成されていてもよい。従って、本実施形態を実施する時々の技術レベルに応じて、適宜、利用するハードウェア構成を変更することが可能である。
【０１０８】
（５．変形例）
以上説明した実施形態における、いくつかの変形例について説明する。
【０１０９】
（５−１．評価関数について）
上述した実施形態では、評価関数Ｊ［ｄ（ｘ，ｔ）］を上記数式（１）のように定義し、最終的に当該評価関数Ｊ［ｄ（ｘ，ｔ）］を式変形して得られた上記数式（２７）に示す評価関数Ｊ［ｕ］の最適化問題を解いていた。ただし、本実施形態はかかる例に限定されず、評価関数は、目的に応じて適宜定義されてよい。評価関数Ｊ［ｕ］の他の例としては、以下のものが挙げられる。
【０１１０】
例えば、湯面高さの測定値に非正規性雑音（突発的に生じる異常値等）が含まれる場合には、復元誤差項をＬ１損失関数とした（すなわち、復元誤差項を、湯面高さの測定値ｙ（ｘｊ，ｔｉ）と湯面高さの推定値ｄ（ｘｊ，ｔｉ）との差分についての絶対値和とした）、下記数式（３３）に示す評価関数Ｊ［ｕ］を用いてもよい。
【０１１１】
【数２０】
2019141895.tif 000022
【０１１２】
例えば、上記特許文献１に記載の方法では、カルマンフィルタを用いて湯面の状態を推定しているため、測定値に非正規性雑音が含まれる場合には、推定結果の誤差が大きくなる恐れがある。これに対して、本実施形態では、上記数式（３３）に示すように、Ｌ１損失関数を用いて評価関数Ｊ［ｕ］を構成することにより、非正規性雑雑音が含まれる場合であっても、高精度に推定を行うことが可能である。
【０１１３】
また、例えば、評価関数Ｊ［ｕ］の最適化問題の解ｕ＝ｕ＊がある特定の値ｕ０と近いことが予め想定できる場合には、下記数式（３４）のように正則化項を置き換えた評価関数Ｊ［ｕ］を用いてもよい。
【０１１４】
【数２１】
2019141895.tif 000023
【０１１５】
なお、この場合、例えば、「現在の演算周期における解ｕ＊は、１演算周期前の解ｕ＊と近い値になる」とみなし、ｕ０として、１演算周期前の解ｕ＊の値を用いることができる。
【０１１６】
（５−２．基底関数について）
上述した実施形態では、基底関数として、上記数式（６）〜（１３）に示す正弦波からなる関数を用いていたが、本実施形態はかかる例に限定されない。本実施形態では、時間方向及び空間方向に正規直交な基底関数であれば、他の基底関数が用いられてもよい。ただし、空間方向においては、上記数式（４）に示す境界条件を満たす基底関数である必要がある
【０１１７】
例えば、他の基底関数としては、ルジャンドル多項式等の直交多項式からなる関数を用いることができる。ここでは、一例として、ルジャンドル多項式からなる基底関数について説明する。
【０１１８】
表１に、ルジャンドル多項式Ｐｎ（ｘ）の例として、０次〜５次までのルジャンドル多項式Ｐｎ（ｘ）の具体的な形を示す。
【０１１９】
【表１】
2019141895.tif 000024
【０１２０】
以下では、簡単のため、Ｐｎ（ｘ）は、区間［−１，１］上で定義されるものとして説明する。なお、このように取り扱っても、一般性を失わない。
【０１２１】
上記表１に示すようなルジャンドル多項式Ｐｎ（ｘ）を組み合わせて、正規直交基底関数を構築する方法について説明する。ルジャンドル多項式Ｐｎ（ｘ）を組み合わせて構成される、空間方向の基底関数をｆｍ（ｘ）とする。当該基底関数ｆｍ（ｘ）は、上述したように、上記数式（４）に示す境界条件（すなわち、鋳型２の幅方向の両端においてｆｍ（ｘ）が腹となるという境界条件）を満たす必要がある。上記のようにＰｎ（ｘ）が区間［−１，１］上で定義されるものとした場合には、当該境界条件は、下記数式（３５）のように表すことができる。
【０１２２】
【数２２】
2019141895.tif 000025
【０１２３】
例えば、ルジャンドル多項式Ｐｎ（ｘ）の「奇数次成分同士」あるいは「偶数次成分同士」を特定の重ね合わせ係数で合成することにより、上記数式（３５）に示す境界条件を満たす基底関数ｆｍ（ｘ）を新たに構成することができる。ここでは、一例として、ｆ１（ｘ）を、ルジャンドル多項式Ｐｎ（ｘ）の１次成分と３次成分を組み合わせて構成される基底関数とし、ｆ２（ｘ）を、ルジャンドル多項式Ｐｎ（ｘ）の２次成分と４次成分を組み合わせて構成される基底関数とし、これらｆ１（ｘ）、ｆ２（ｘ）を作成する具体的な方法について説明する。
【０１２４】
（ｆ１（ｘ）の作成方法）
ｆ１（ｘ）は、ルジャンドル多項式Ｐｎ（ｘ）の１次成分と３次成分を組み合わせることにより、下記数式（３６）のように定義される。ここで、ａ１、ｂ１は重ね合わせ係数である。
【０１２５】
【数２３】
2019141895.tif 000026
【０１２６】
ｆ１（ｘ）の空間方向における１階微分を計算すると、下記数式（３７）を得る。
【０１２７】
【数２４】
2019141895.tif 000027
【０１２８】
上記数式（３７）から、ｆ１（ｘ）が上記数式（３５）に示す境界条件を満たすためには、重ね合わせ係数ａ１、ｂ１が、下記数式（３８）を満たす必要がある。
【０１２９】
【数２５】
2019141895.tif 000028
【０１３０】
また、正規性を満たすために、重ね合わせ係数ａ１、ｂ１は、下記数式（３９）を満たす必要がある。
【０１３１】
【数２６】
2019141895.tif 000029
【０１３２】
上記数式（３８）、（３９）をともに満たすａ１、ｂ１として、下記数式（４０）、（４１）に示す重ね合わせ係数ａ１、ｂ１が得られる。これらａ１、ｂ１を上記数式（３６）に代入することにより、ｆ１（ｘ）が得られる。
【０１３３】
【数２７】
2019141895.tif 000030
【０１３４】
（ｆ２（ｘ）の作成方法）
ｆ２（ｘ）は、ルジャンドル多項式Ｐｎ（ｘ）の２次成分と４次成分を組み合わせることにより、下記数式（４２）のように定義される。ここで、ａ２、ｂ２は重ね合わせ係数である。
【０１３５】
【数２８】
2019141895.tif 000031
【０１３６】
ｆ２（ｘ）の空間方向における１階微分を計算すると、下記数式（４３）を得る。
【０１３７】
【数２９】
2019141895.tif 000032
【０１３８】
上記数式（４３）から、ｆ２（ｘ）が上記数式（３５）に示す境界条件を満たすためには、重ね合わせ係数ａ２、ｂ２が、下記数式（４４）を満たす必要がある。
【０１３９】
【数３０】
2019141895.tif 000033
【０１４０】
また、正規性を満たすために、重ね合わせ係数ａ２、ｂ２は、下記数式（４５）を満たす必要がある。
【０１４１】
【数３１】
2019141895.tif 000034
【０１４２】
上記数式（４４）、（４５）をともに満たすａ２、ｂ２として、下記数式（４６）、（４７）に示す重ね合わせ係数ａ２、ｂ２が得られる。これらａ２、ｂ２を上記数式（４２）に代入することにより、ｆ２（ｘ）が得られる。
【０１４３】
【数３２】
2019141895.tif 000035
【０１４４】
ここでは、一例として２つの基底関数（ｆ１（ｘ）、ｆ２（ｘ））の作成方法について説明したが、同様にして、Ｍ個の基底関数ｆ１（ｘ）、・・・、ｆＭ（ｘ）を作成すればよい。
【０１４５】
以上説明したように空間方向の基底関数ｆｍ（ｘ）を作成すると、時間方向及び空間方向に正規直交である基底関数ｄｍｎ（ｘ，ｔ）は、下記数式（４８）のように定義することができる。
【０１４６】
【数３３】
2019141895.tif 000036
【０１４７】
つまり、ルジャンドル多項式を用いて時間方向及び空間方向に正規直交である基底関数ｄｍｎ（ｘ，ｔ）を作成しようとする場合には、当該基底関数ｄｍｎ（ｘ，ｔ）は、ｎ次のルジャンドル多項式Ｐｎ（ｔ）と、ルジャンドル多項式の「奇数次成分同士」あるいは「偶数次成分同士」を上記数式（３５）に示す境界条件を満たすように合成して新たに得られた基底関数ｆｍ（ｘ）と、を掛け合わせることによって作成することができる。
【０１４８】
また、このとき、湯面高さの推定値ｄ（ｘ，ｔ）は、当該基底関数ｄｍｎ（ｘ，ｔ）の重ね合わせとして、下記数式（４９）のように表すことができる。
【０１４９】
【数３４】
2019141895.tif 000037
【０１５０】
上記数式（５）の代わりに上記数式（４９）を用いて、上述した実施形態と同様の計算を行うことにより、線形回帰モデルにおける係数推定問題の解として展開係数ｃｍｎを求め、当該展開係数ｃｍｎを上記数式（４９）に代入することにより、湯面高さの推定値ｄ（ｘ，ｔ）（すなわち、湯面変動の推定値）を求めることができる。
【０１５１】
ここで、本実施形態において使用可能な、時間方向及び空間方向の基底関数ｄｍｎ（ｘ，ｔ）が満たすべき条件を、下記表２に改めて整理する。本実施形態では、下記表２に示す条件を満たす関数であれば、任意の形式の関数が、基底関数ｄｍｎ（ｘ，ｔ）として用いられてよい。
【０１５２】
【表２】
2019141895.tif 000038
【０１５３】
上記では、基底関数ｄｍｎ（ｘ，ｔ）の例として、正弦波によって構成される基底関数ｄｍｎ（ｘ，ｔ）、及びルジャンドル多項式Ｐｎ（ｘ）によって構成される基底関数ｄｍｎ（ｘ，ｔ）について説明した。これらについてまとめると、下記表３のようになる。
【０１５４】
【表３】
2019141895.tif 000039
【実施例】
【０１５５】
本発明の実施例について説明する。本実施例では、鋳型内溶鋼流動を模擬した水モデル実験（実験条件：鋳造速度１．６ｍ／ｍｉｎ、鋳型幅１６３０ｍｍ）を行い、本発明の有効性を確認した。
【０１５６】
水モデル実験では、ビデオカメラによる水面の撮像画像を解析することにより、幅方向の任意の位置での水面高さの変動を時系列で算出可能である。本実施例では、撮像画像を解析して得られた幅方向の複数位置における水面高さを、仮想的に、鋳型幅方向の複数の測定点における湯面高さの測定値とみなした。測定点の数（すなわち、空間サンプリング点数Ｊ）は、以下の９パターンとした。また、各測定点において０．１秒ごとに測定された１５０秒間の水面高さの測定値を用いることとした。
【０１５７】
・幅方向両端の２点と、その間に等間隔に設定した２点の計４点
・幅方向両端の２点と、その間に等間隔に設定した４点の計６点
・幅方向両端の２点と、その間に等間隔に設定した６点の計８点
・幅方向両端の２点と、その間に等間隔に設定した８点の計１０点
・幅方向両端の２点と、その間に等間隔に設定した１０点の計１２点
・幅方向両端の２点と、その間に等間隔に設定した１２点の計１４点
・幅方向両端の２点と、その間に等間隔に設定した１４点の計１６点
・幅方向両端の２点と、その間に等間隔に設定した１６点の計１８点
・幅方向両端の２点と、その間に等間隔に設定した１８点の計２０点
【０１５８】
各測定点における水面高さの測定値を湯面高さの測定値ｙ（ｘｉ，ｔｊ）とみなして、上述した本実施形態に係る湯面の状態の推定方法を実行した。推定方法の具体的な条件は、以下の通りである。
【０１５９】
調整パラメータλについては、λ＝１とした。
【０１６０】
時間窓Ｔについては、Ｔ＝１（ｓｅｃ）とした。つまり、０．１秒ごとの１０個の水面高さの測定値を用いて、推定処理を行った（すなわち、時間サンプリング点数Ｉは、Ｉ＝１０である）。今回実施した水モデル実験では、水面の変動は定在波主体の変動であるため、その周期を考慮すると、Ｔ＝１（ｓｅｃ）程度で十分な精度が得られると考えられる。
【０１６１】
基底関数ｄ（１）ｍｎ（ｘ，ｔ）、ｄ（２）ｍｎ（ｘ，ｔ）としては、上記数式（６）〜（１３）に示すものを用いた。そして、上記数式（２６）に示す評価関数Ｊ［ａｍｎ，ｂｍｎ］の最適化問題を解くことにより、展開係数ａｍｎ＊，ｂｍｎ＊を推定した（すなわち、上記数式（２９）を用いてｕ＊を求めた）。そして、これら展開係数ａｍｎ＊，ｂｍｎ＊から、上記数式（３０）を用いて、湯面高さの推定値ｄ＊（ｘ，ｔ）（すなわち、湯面変動の推定値）を求めた。
【０１６２】
このような湯面形状変動の推定処理を、上述した方式（１）で、０．１秒ごとに、１５０秒間連続的に実行した。
【０１６３】
このようにして求めた湯面形状変動の推定値の一例を、図５〜図２４に示す。図５〜図２４は、本実施形態に係る状態推定方法を実行した実施例における、湯面形状変動の推定結果を示すグラフ図である。図５〜図２４では、横軸に幅方向位置を取り、縦軸に湯面高さを取り、所定の時刻での湯面形状の推定結果を破線で示している。また、比較のため、画像解析によって得られた湯面形状の測定結果を実線で重ね合わせて示している。図５〜図２４では、一例として、測定点数が４点である場合についての、推定処理を行った１５０秒間のうちの２０秒間の結果を、１秒単位で２０コマ分表示している。
【０１６４】
図５〜図２４を参照すると、本実施形態に係る状態推定方法により得られた湯面形状が、測定結果を精度良く表していることが確認できる。
【０１６５】
更に、推定精度を定量的に評価するために、１５０秒間分の湯面形状の推定結果と測定結果とについて、平均二乗誤差（ＲＭＳＥ：Root  Mean  Square  Error）を算出した。本実施例では、ＲＭＳＥを、下記数式（５０）で定義した。
【０１６６】
【数３５】
2019141895.tif 000040
【０１６７】
ここで、
・Ｔ’は、時間方向のサンプリング点数、
・Δｔは、サンプリング間隔、
・Ｐは、幅方向のサンプリング点数、
・ｙ（ｐ，ｋΔｔ）は、画像解析の結果得られた、サンプリング時刻ｔ＝ｋΔｔにおける幅方向位置ｐでの水面高さ、
・ｄ（ｐ，ｋΔｔ）は、本実施形態に係る状態推定方法によって推定された、サンプリング時刻ｔ＝ｋΔｔにおける幅方向位置ｐでの湯面高さ（水面高さ）、
である。
【０１６８】
結果を、図２５及び下記表４に示す。図２５は、本実施形態に係る状態推定方法を実行した実施例における、湯面形状の推定結果と測定結果とのＲＭＳＥを計算した結果を示すグラフ図である。図２５では、測定点数による推定精度の違いについても確認するために、横軸に測定点数を取り、縦軸にＲＭＳＥの値を取り、各測定点数での推定結果に対応するＲＭＳＥの値をプロットしている。なお、図２５は、下記表４の内容をグラフ化したものである。
【０１６９】
【表４】
2019141895.tif 000041
【０１７０】
図２５及び表４を参照すると、測定点数が増加するにつれて、ＲＭＳＥの値が小さくなり、測定精度が向上することが確認できる。ただし、ＲＭＳＥの低減度合いは、測定点数が１０を超えた辺りでほぼ飽和している。
【０１７１】
また、ＲＭＳＥ＝１（ｍｍ）程度の精度があれば、実用上問題ないと考えられるが、図２５及び表４を参照すると、測定点数が４点の場合であっても、ＲＭＳＥは１ｍｍを下回っている。つまり、本実施形態に係る状態推定方法によれば、測定点数が４点の場合であっても、実用上問題ないレベルの高い推定精度を得ることができる。このように、湯面レベル計３の設置台数が少なくても十分に高い推定精度を得ることができるため、本実施形態に係る状態推定方法は、コストを大幅に増大させることなく、高精度に湯面の状態を推定することができるという利点も有する。
【０１７２】
（６．補足）
以上、添付図面を参照しながら本発明の好適な実施形態について詳細に説明したが、本発明はかかる例に限定されない。本発明の属する技術の分野における通常の知識を有する者であれば、特許請求の範囲に記載された技術的思想の範疇内において、各種の変更例または修正例に想到し得ることは明らかであり、これらについても、当然に本発明の技術的範囲に属するものと了解される。
【符号の説明】
【０１７３】
１    システム
２    鋳型
３    湯面レベル計
４    状態推定装置
５    表示装置
６    連続鋳造制御装置
８    浸漬ノズル
４１    測定値取得部
４２    演算部
４３    出力部
４４    記憶部
【図１】
2019141895.tif 000042
【図２】
2019141895.tif 000043
【図３】
2019141895.tif 000044
【図４】
2019141895.tif 000045
【図５】
2019141895.tif 000046
【図６】
2019141895.tif 000047
【図７】
2019141895.tif 000048
【図８】
2019141895.tif 000049
【図９】
2019141895.tif 000050
【図１０】
2019141895.tif 000051
【図１１】
2019141895.tif 000052
【図１２】
2019141895.tif 000053
【図１３】
2019141895.tif 000054
【図１４】
2019141895.tif 000055
【図１５】
2019141895.tif 000056
【図１６】
2019141895.tif 000057
【図１７】
2019141895.tif 000058
【図１８】
2019141895.tif 000059
【図１９】
2019141895.tif 000060
【図２０】
2019141895.tif 000061
【図２１】
2019141895.tif 000062
【図２２】
2019141895.tif 000063
【図２３】
2019141895.tif 000064
【図２４】
2019141895.tif 000065
【図２５】
2019141895.tif 000066