(57)【要約】      （修正有）【課題】静止推力を最大化できるダクテッドファンを提供する。【解決手段】このダクテッドファンは、ダクト１０と、プロペラ２０と、モーター３０と、ハウジング４０と、ステーター５０とを有する。プロペラ２０は、ダクト１０と同心円状に配置されたハブ２１と、ハブ２１の外周に等間隔で設けられた４枚のブレード２２とを有する。ブレード２２の翼弦長は、付根から翼端に近づくに従って漸減しているが、ブレード２２の翼弦長は、翼端近傍部からは翼端まで拡大している。【選択図】図１
2019064541.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
排出口にＲ形状のリップを有するダクトと、
翼端が前記ダクトの内壁に近接し、翼弦長が前記翼端に近づくに従って漸減し且つ前記翼端近傍部からは前記翼端まで拡大し又は一定長となるブレードを有するプロペラと
を具備するダクテッドファン。
【請求項２】
請求項１に記載のダクテッドファンであって、
前記ブレードの前記翼端の翼弦長をＣＬＡ、前記ブレードの前記翼端近傍部の翼弦長をＣＬＢとしたとき、
１．０×ＣＬＢ≦ＣＬＡ≦１．３×ＣＬＢ
である
ダクテッドファン。
【請求項３】
請求項１又は２に記載のダクテッドファンであって、
前記翼弦長が拡大又は一定長となる前記翼端近傍部の位置は、前記翼端より前記ブレードの半径の１５％以内にある
ダクテッドファン。
【請求項４】
請求項１乃至３のうちいずれか１項に記載のダクテッドファンであって、
前記ブレードの前記翼弦長の漸減の程度は、前記翼端に近づくに従って小さくなる
ダクテッドファン。
【請求項５】
請求項１乃至４のうちいずれか１項に記載のダクテッドファンであって、
前記ブレードの最大翼弦長と最小翼弦長との比は、１．５以上で３．０以下である
ダクテッドファン。
【請求項６】
請求項１乃至５のうちいずれか１項に記載のダクテッドファンであって、
前記リップは、前記ダクトの内径をＲとしたとき、
３／１００×Ｒ≦ｒ≦３０／１００×Ｒ
の曲率半径ｒのＲ形状を有する
ダクテッドファン。
【請求項７】
請求項１乃至６のうちいずれか１項に記載のダクテッドファンであって、
前記ダクトの長さは、前記ダクトの内径の２５％より長い
ダクテッドファン。
【請求項８】
請求項１乃至７のうちいずれか１項に記載のダクテッドファンであって、
前記プロペラは、前記ブレードを保持するハブを有し、
前記ハブの直径は、前記ダクトの内径の１０％以上で５０％以下である
ダクテッドファン。
【請求項９】
請求項８に記載のダクテッドファンであって、
前記ハブは、２枚から８枚の前記ブレードを保持する
ダクテッドファン。
【請求項１０】
請求項１乃至９のいずれか１項に記載のダクテッドファンを有するマルチコプタ。
【請求項１１】
請求項１乃至９のいずれか１項に記載のダクテッドファンを有する垂直離着陸機。
【請求項１２】
請求項１乃至９のいずれか１項に記載のダクテッドファンからなるＣＰＵ冷却用ファン。
【請求項１３】
請求項１乃至９のいずれか１項に記載のダクテッドファンからなるラジエータ冷却用ファン。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、推進力や冷却風を得るために用いられるダクテッドファン、当該ダクテッドファンを搭載するマルチコプタや垂直離着陸機並びに当該ダクテッドファンからなるＣＰＵ冷却用ファン及びラジエータ冷却用ファンに関する。
【背景技術】
【０００２】
マルチコプタ形式のドローンは観測、撮影ばかりでなく、物資の輸送にまで活躍の場を広げている。より大きく重い物資を運ぶためにマルチコプタは大型化しており、大きなパワーで回転するブレードによる人身事故が懸念されている。対人安全性を向上させるためにプロペラの外側にガードをつける例が見られる。さらに進んでイスラエルのETOP（特許文献１）ではダクテッドファンを用いている。有人機では米国のPiasecki社のVZ-8が（特許文献２）、またイスラエルのCormorant（特許文献３）がダクテッドファンを２基使用している。
【０００３】
ダクテッドファンを使用する利点は対人安全性が高いことばかりでなく、ダクト内面に吸音材を貼ることで騒音を軽減できること、ダクトのリップが推力を発生するため同じパワー、同じ直径であれば従来のプロペラと比べて理論的には１．２７倍（非特許文献１）、実験では１．４倍の推力を出せることなどがある。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００４】
【特許文献１】米国特許公開第２０１３−０２３３９６４号
【特許文献２】米国特許第３１８４１８３号
【特許文献３】米国特許公開第２０１１−００４９３０７号
【非特許文献】
【０００５】
【非特許文献１】「飛行機設計論」山名正夫、中口博  著養賢堂1980、pp. 388-393.
【非特許文献２】Betz, A., Prandtl, L.: Schraubenpropeller mit geringstem Energieverlust (Screw Propellers with Minimum Induced Loss), Goettingen Reports 1919, pp. 193-213.
【非特許文献３】原田正志：静止スラストを最大とするロータ設計法、日本航空宇宙学会論文集、８月号、2017．
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
非特許文献２では、低い円盤荷重のプロペラブレードの最適形状を決定する手法を導き出した。静止したロータの推力を最大にする問題は本発明者によって報告されている（非特許文献３）。しかし、この報告は巡航時のように円盤荷重が小さい時にのみ適用可能であり、静止推力を最大にするダクテッドファンには適用できない。
本発明の目的は、静止推力を最大とすることができるダクテッドファンを提供することにある。
本発明の目的は、そのようなダクテッドファンを搭載するマルチコプタや垂直離着陸機を提供することにある。
本発明の目的は、そのようなダクテッドファンからなるＣＰＵ冷却用ファン及びラジエータ冷却用ファンを提供することにある。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
上記目的を達成するため、本発明の一形態に係るダクテッドファンは、排出口にＲ形状のリップを有するダクトと、翼端が前記ダクトの内壁に近接し、翼弦長が前記翼端に近づくに従って漸減し且つ前記翼端近傍部からは前記翼端まで拡大し又は一定長となるブレードを有するプロペラとを有する。
【０００８】
本発明者の知見によれば、ブレードの翼端とダクトの内壁とが近接しているので、これらの間の隙間をとおる渦流は実質的になくなり、渦流によるエネルギの損失が低下する。また、ブレードの翼弦長を翼端に近づくに従って漸減したことによって、強度を確保しつつダクト内を一様流に近づけることができる。さらにブレードの翼弦長が翼端近傍部から翼端まで拡大していることにより、ダクト内外側の流速が高まり、ダクトが有するＲ形状のリップを回る流速によって生じる上向きの吸引力による推力が増加する。適度なブレードの翼弦長の翼端に近づくに連れての漸減によるダクト内の流れの一様化によるエネルギ損失の低下による利得と、翼端の拡大によるダクト内外側の速度増加による推力増加の利得が双方を損じることなく最適な値となり、静止推力を最大とすることができる。
【発明の効果】
【０００９】
本発明によれば、ダクテッドファンの静止推力を最大とすることができる。
【図面の簡単な説明】
【００１０】
【図１】本発明の一実施形態に係るダクテッドファンを示す上面図である。
【図２】図１のＡ−Ａ断面図である。
【図３】図２の符号Ｂで示す領域の拡大図である。
【図４】本発明の一実施形態に係るダクテッドファンにおけるブレードの翼弦長の分布の一例を示すグラフである。
【図５】本発明に係る実施例でのダクトの排出口での気流の出口速度を示すグラフである。
【図６】本発明に係る実施例でのブレードのブレード角を示すグラフである。
【図７】本発明に係る実施例でのレイノルズ数を示すグラフである。
【図８】平板翼とダクトに働く前縁推力を示す図である。
【図９】フランジのあるダクトモデルを示す図である。
【図１０】壁面と一様流の境界に存在する渦の移動速度を示す図である。
【図１１】渦格子の階層構造を示す図である。
【図１２】ダクテッドファンの座標系を示す図である。
【図１３】ブレードと放出渦，翼端渦を示す図である。
【図１４】ブレードおよび放出渦の離散化を示す図である。
【図１５】ブレードに流入する流れを示す図である。
【図１６】ブレードに働く力を示す図である。
【図１７】ダクト後縁の詳細図を示す図である。
【図１８】ハブを持つダクテッドファンを示す図である。
【図１９】ブレード形状の比較を示すグラフである。
【図２０】ブレード形状の比較（ハブあり）を示すグラフである。
【図２１】渦面移動速度の比較（ハブあり）を示すグラフである。
【図２２】推力とリップファクターを示すグラフである。
【発明を実施するための形態】
【００１１】
以下、図面を参照しながら、本発明の実施形態を説明する。
図１は、本発明の一実施形態に係るダクテッドファンを示す上面図、図２は図１のＡ−Ａ断面図である。  
ダクテッドファン１は、ダクト１０と、プロペラ２０と、モーター３０と、ハウジング４０と、ステーター５０とを有する。
【００１２】
ダクト１０は、円筒状のダクト本体１１と、ダクト本体１１の排出口１２側に設けられたフランジ１３とを有する。ダクト本体１１の排出口１２は、Ｒ形状のリップ１４を有する。
【００１３】
プロペラ２０は、ダクト１０と同心円状に配置されたハブ２１と、ハブ２１の外周に等間隔で設けられた４枚のブレード２２とを有する。なお、ブレード２２の枚数は、典型的には４枚であるが、２枚〜８枚が好ましい範囲である。また、ブレード２２の枚数は、例えばステーター５０が７本のとき、４枚とするように、ステーター５０の枚数とステータ５０の本数の最小公倍数が大きな値となるように取ることで複数のブレード２２とステーター５０の位置が同時に重なることを避け、干渉に依る騒音を下げることができる。
ハブ２１は、ハウジング４０に収容されたモーター３０により回転駆動される。これにより、ブレード２２が回転する。
【００１４】
複数のステーター５０は、ハウジング４０の外周とダクト１０の内壁１５との間を掛け渡すように固定して配置される。これにより、ハウジング４０は、ダクト１０内の中心に固定して配置される。
図３は図２の符号Ｂで示す領域の拡大図である。  
【００１５】
ブレード２２は、その翼端２２Ａがダクト１０の内壁１５に近接している。翼端２２Ａとダクト１０の内壁１５との間の隙間Ｇは、翼端２２Ａがダクト１０の内壁１５に接触しない範囲で最小であることが好ましい。
図４はブレード２２の翼弦長ＣＬの分布の一例を示すグラフである。  
【００１６】
ブレード２２の翼弦長ＣＬは、付根から翼端２２Ａに近づくに従って漸減している。つまり、ブレード２２の翼弦長ＣＬは、付根で最も大きく、先端に行くに従って次第に減少する。しかし、ブレード２２の翼弦長ＣＬは、翼端近傍部２２Ｂからは翼端２１Ａまで拡大している。なお、この翼弦長ＣＬが翼端近傍部２２Ｂからは翼端２２Ａまで一定長であってもよい。
【００１７】
ブレード２２の翼弦長ＣＬが付根から翼端２２Ａに近づくに従って漸減していることで、ダクト内を一様流に近づけることができ、またブレード２２の強度を確保しやすく、空力的に優れた薄い翼型を付根から先端にかけて使用することができる。
ここで、ブレード２２の翼端２２Ａの翼弦長をＣＬＡ、ブレード２２の翼端近傍部２２Ｂの翼弦長をＣＬＢとしたとき、
１．０×ＣＬＢ≦ＣＬＡ≦１．３×ＣＬＢ
であることが好ましい。ＣＬＡが１．３×ＣＬＢを超えるとダクト１０内の気体の流れが却って一様でなくなる。
【００１８】
このようにブレード２２の翼弦長ＣＬが拡大することとなる翼端近傍部２２Ｂの位置は、翼端２１Ａよりブレード２２の半径（図４のｒ）の１５％以内（図４のｒ１５）にあることが好ましい。翼端近傍部２２Ｂの位置がブレード２２の半径の１５％の超えると、つまり翼弦長ＣＬが翼端２２Ａに近づくに従って漸減する領域を減らしすぎると、ブレード２２の翼弦長ＣＬの漸減によるダクト１０内の流れの一様化が不十分になる。
上記のブレード２２の翼弦長ＣＬの漸減の程度は、翼端２２Ａに近づくに従って小さくなることが好ましい。この漸減が低下する翼弦長分布によってダクト内の流れは一様に近づき、誘導エネルギ損失が最小になる。
【００１９】
ブレード２２の最大翼弦長（ブレード２２の付根の翼弦長ＣＬＣ）と最小翼弦長と（翼端近傍部２２Ｂの翼弦長ＣＬＢ）の比は、１．５以上で３．０以下であることが好ましい。ブレード先端速度を制限して大きな推力を発生させる設計を行うとこのテーパー比は小さくなり１．５に近づき、小さな推力を発生させると３．０に近づく。従って、最適なテーパー比はこの１．５から３の間にある。
ハブ２１の直径Ｄｈは、ダクト１０の内径Ｒｄの１０％以上で５０％以下であることが好ましい。１０％より小さいとブレード付根の翼弦長が小さく設計され、強度を保つのが困難になる。５０％より大きいと、ブレード回転面の面積に占めるハブの面積が大きくなり過ぎ、発生できる推力が減少する。
ダクト本体１１の排出口１２のリップ１４は、ダクト１０の内径をＲｄとしたとき、
３／１００×Ｒｄ≦ｒｒ≦３０／１００×Ｒｄ
の曲率半径ｒｒのＲ形状を有することが好ましい。３/１００より小さいと、リップを回る流れが剥離する。３０/１００より大きいと必要以上にリップが大きくなり、ダクテッドファンの無意味な大型化につながる。
ダクト１０の長さＬｄ（図２参照）は、ダクト１０の内径Ｒｄの２５％より長いことが好ましい。２５％より小さいと、ダクト後方で流れの収縮が起こり、フィギュアオブメリットが低下する。
（実施例）
このように構成されたダクテッドファン１の実施例を示す。
表１に設計条件を、表２に設計されたダクテッドファン１の性能を示す
【００２０】
【表１】
2019064541.tif 000003
【００２１】
【表２】
2019064541.tif 000004
表２に示すように、推力は６３．２Ｎ、フィギュアオブメリットは９１．８に達した。
【００２２】
この実施例のダクテッドファン１の翼弦長の分布は図４に示したとおりである。ブレード２２の付根の点Ａで翼弦長が最も大きくなっており４．７７ｃｍである。点Ａから点Ｂまで翼弦長が減少し、減少の割合は点Ａで最も大きく、先端に向けて減少の割合が減り、点Ｂで極小点となる。点Ｂの半径位置は１１．７ｃｍであり、ブレード半径の８５．２％である。また、点Ｂでの翼弦長は１．７１ｃｍであり、点Ａでの値の３５．９％である。点Ｂから翼端２２Ａにかけて翼弦長が増加し、翼端の点Ｃに至る。翼端の点Ｃでの翼弦長は２．０６ｃｍであり、点Ｂにおける値の１．２倍である。
【００２３】
図５にこの実施例でのダクト１０の排出口１２での気流の出口速度ｖを示す。  
図５に示すように、出口速度ｖはブレード２２の付根の点Ｄから翼端２２Ａの点Ｅにかけて単調増加し、一次関数で近似できる。この一次関数をブレード２２の半径をrとして
ｖ＝ａｒ＋ｂ
で近似すると、ブレード角θは
θ＝ｔａｎ−１（（ａｒ＋ｂ）／ｒΩ）＋θ0
【００２４】
で与えられる。ここで、Ωはブレード回転角速度であり、θ0は例えば揚力係数0.6を与える翼（ブレード２２）の迎角である。図６にこのようなブレード２２のブレード角を示す。
図７にこの実施例でのレイノルズ数を示す。  
【００２５】
図７に示すように、ブレード２２の広い半径に渡ってレイノルズ数がほぼ一定の値に保たれており、低いレイノルズ数の領域が存在しない。このため低いレイノルズ数による抵抗の増加の影響を受けにくい。従って、小型のダクテッドファンであっても高いフィギュアオブメリットが得られる。
【００２６】
（証明）
本発明は、以上のとおりダクテッドファンの静止推力を最大とすることができるものである。以下、このことを証明する。
１．静止推力を最大にする設計における問題
１−１．リップに生じる前縁推力の問題
平板翼では図８（ａ）に示すように、翼の前縁を回り込む流れにより前縁に大きな負圧が生じ、この負圧により推力方向の力が前縁に働く。Vortex Lattice Method（以下、VLM）では翼が平板により近似されるため、前縁面積が０、回り込む流れの速さが無限となる。そのためこの前縁推力の算出には特別な計算方法を用いる必要がある（Weissinger, J. : The Lift Distribution of Swept-Back Wings, NACA TM-1120, 1947.参照）。しかしこの方法は対象表面のポテンシャルが連続である場合にのみ適用可能である。
【００２７】
同様に図８（ｂ）に示すように円盤荷重が大きいとき（前進速度Vが軸方向誘導速度vより十分大きくないとき）、リップを回り込む流れが存在し、リップに前縁推力が働く。ダクト内側のファン面より後方に翼端放出渦が螺旋状に貼り付いているためポテンシャルが流れ方向に不連続になり、VLMではこの前縁推力の計算を行うことができない。
本発明者は非特許文献３においてはこの前縁推力の計算を避けるためにリップを回り込む流れを無視出来る条件、つまりV＞vという制約の下に計算を行った。
【００２８】
ここで対象とする静止したダクテッドファンの前縁推力は大きく、単純運動量理論によれば全推力Tのうち、リップに働く前縁推力TDは全推力Tの50%に達する（非特許文献１参照）。そのためVLMを用いてダクテッドファンの正確な全推力Tを求めることは出来なかった。
１−２．螺旋渦ピッチの問題
【００２９】
通常のプロペラ理論では、前進速度Vに対して誘導速度vは無視できる程小さいとして、ブレードから放出される螺旋渦のピッチをブレード回転角速度ΩとVから決定する。しかし、静止時の推力を最大にする問題において、この前進速度Vは0である。よって従来の螺旋渦のピッチ決定方法は用いることが出来ない。
１−３．Trefftz面での運動量の不整合の問題
【００３０】
ダクテッドファンの全推力TはTrefftz面での速度分布から計算される推力TT（以下 Trefftz面推力）と一致しなければならない。当初この全推力TとTrefftz面推力TTが一致しなかった。
１−４．VLMの精度の問題
【００３１】
この問題は正確には静止推力を最大とするダクテドファン設計の問題に限らず、円盤荷重が小さい場合のダクテッドプロペラの設計でも生じる。翼端放出渦がダクト表面に沿って流れるため、翼端放出渦近辺の渦格子の循環の変化が大きい。そこでこの変化を捕らえるために格子を細かく切ると計算時間が膨大になる。
２．問題の解決方法
【００３２】
１−１の前縁推力の問題は図９に示すように、ダクトにフランジをつけ、ダクトとの接続部に曲率を設けることで回避できる。以後この曲率を持つ部分をリップと呼ぶ。フランジの先端を回り込む流れによりここに前縁推力が発生するが、フランジの半径が十分大きければフランジ先端での流速は十分小さくなり、前縁推力は無視できる程小さくなる。さらにフランジの反対側でも同じ大きさで向きが反対の前縁推力が発生するため、前縁推力は打ち消し合う。フランジがないストレートなダクトで発生するリップでの前縁推力は、図９のフランジのあるダクトのリップとフランジを回り込む流れが作る負圧の軸方向成分をリップとフランジの表面上で積分することで得られる。この前縁推力はリップの曲率半径RRに依存することが後述する計算で示される。
【００３３】
１−２の問題は次のようにして解決した。まず単純運動量理論から求められる誘導速度を初期渦面移動速度v0'とし、最適化計算を行う。次に得られたブレードにおける軸方向の誘導速度w（後述する座標系では負の値をとる）と回転方向の誘導速度vから次式で与えられる渦面移動速度 v'を計算する。
【００３４】
【数１】
2019064541.tif 000005
ここでφは次式で与えられる
【００３５】
【数２】
2019064541.tif 000006
【００３６】
渦面移動速度v'は半径方向に一定ではないため、単純な関数でカーブフィッティングし、その関数を用いてピッチを決定する。この新しい螺旋渦を用いて最適設計を行い、新たな螺旋渦を生成する。この螺旋渦の更新を繰り返し、打ち切り誤差を下回った段階で解が収束したと判定する。
【００３７】
１−３の問題はダクト表面及び後述するダクト放出渦が静止したダクト壁面あるいは大気との境界にあることを考慮することで解決した。超関数理論（今井功：応用超関数論 I，サイエンス社，1981.）によれば、図１０のように静止した壁面にそって速度Vの流れがあるとき、壁面には渦が分布しており、この渦はV/2の速度で移動している。同様にダクト表面の翼端放出渦、静止大気とダクト内流れの境界にあるダクト後縁馬蹄渦（後述）の移動速度も、すぐ内側の渦面移動速度v'の半分とすることで全推力TとTrefftz面推力TTが一致する。
【００３８】
１−４の問題は図１１のようにダクト表面を一定の大きさの格子で分割せず、図１１のように階層構造を持った格子を用いる。翼端渦近くの格子の大きさは基準となる格子の(1/2)n倍にする。図１１はn=2の場合である。格子には三角形を用い、斜辺が翼端 渦の螺旋角に一致するようにとることで、循環分布の変化が大きい翼端渦の周囲に細かな格子を配置することを可能にする。
３．最適化手法
３−１．ダクテッドファンのモデル
【００３９】
ダクテッドファンの座標系を図１２のようにとる。ダクト表面の格子（以下ダクト格子）に任意の順番を付け、図１１に示すようにi番目のダクト格子の循環をΓDiとする。また格子の重心位置にコントロールポイントを設ける。ダクトの後縁から螺旋状の馬蹄渦（以下ダクト馬蹄渦）を放出し、i番目のダクト馬蹄渦の循環をΓEiとする。ダクト馬蹄渦の軸方向の長さは直径の５倍程度で良い。
【００４０】
またブレードの座標系を図１３に示す。ブレード枚数Bは任意であるが、１枚目のブレードはx軸に一致するようにとる。ブレードを揚力線で表し、この揚力線をN個に等分し、分割幅をdrとする。分割点より放出渦を初期渦面移動速度v0'、ブレード角速度Ωに従い螺旋状に放出する。放出渦の軸方向長さは直径の５倍程度で良い。放出渦は図１４に示すように離散化して折線で近似する。翼端渦はダクトの最も微細な格子の斜辺に一致させる。
【００４１】
図１４に示すように分割した揚力線（以下翼素）の中点にコントロールポイントをとる。j番目の放出渦、j番目の束縛渦、j+1番目の束縛渦からなる螺旋状の馬蹄渦をj番目の馬蹄渦とし、この馬蹄渦の循環をΓBjとする。
３−２.ファンの推力及び吸収パワー
【００４２】
ブレードのコントロールポイントに流入する流れの速度ベクトル図を図１５に示す。ブレードのi番目のコントロールポイントに誘導される誘導速度のy方向成分、z方向成分をそれぞれvBi、wBi とする。
wBiは一般に負の値をとる。水平方向の相対速度UTi
は次式で与えられる。
【００４３】
【数３】
2019064541.tif 000007
同様に垂直方向の速度成分UPi（上向きが正）は
【００４４】
【数４】
2019064541.tif 000008
で与えられる。流入角度φiは次式で与えられる。
【００４５】
【数５】
2019064541.tif 000009
(5)式で定義されるφiは一般に負の値をとる。i番目の翼素でのブレード取付角をθiとすると、有効迎角αiは次式で与えられる。
【００４６】
【数６】
2019064541.tif 000010
また流入する流れの速さViは
【００４７】
【数７】
2019064541.tif 000011
で与えられる。
i番目の翼素の循環はΓBiであるから、Kutta-Joukowski の定理より局所揚力dLiは次式で与えられる。
【００４８】
【数８】
2019064541.tif 000012
ここでdrは翼素の分割幅である。ここで設計揚力係をCL、未知数である翼弦長をciとすると、局所揚力dLiは次式でも表される。
【００４９】
【数９】
2019064541.tif 000013
(8)式と(9)を等置して次式を得る。
【００５０】
【数１０】
2019064541.tif 000014
【００５１】
よって翼弦長ciと流速Viからレイノルズ数Reが分かり、選定した翼型とレイノルズ数Re及び設計揚力係数CLからCD が定まる。このCDを用いて局所抵抗dDiは次式で与えられる。
【００５２】
【数１１】
2019064541.tif 000015
これらdLi、dDiを図１６に示す。図１６より局所推力dTiと局所水平分力dHiはそれぞれ次式で与えられる。
【００５３】
【数１２】
2019064541.tif 000016
【００５４】
【数１３】
2019064541.tif 000017
(13)式より局所パワーdPiは次式で表される。
【００５５】
【数１４】
2019064541.tif 000018
抵抗を考慮しない場合、局所推力dTiはKutta-Joukowskiの定理より直ちに
【００５６】
【数１５】
2019064541.tif 000019
で与えられる。同様に局所水平分力dHiは
【００５７】
【数１６】
2019064541.tif 000020
で与えられる。負の符号がついているのはUPiが通常負であるためである。ファンが発生する推力TFおよび吸収パワーPはそれぞれ次式で与えられる。
【００５８】
【数１７】
2019064541.tif 000021
【００５９】
【数１８】
2019064541.tif 000022
ここでBはブレード枚数である。
３−３.ダクト推力の計算方法
【００６０】
ファン直径とダクト出口直径が同じ場合、単純運動量理論からファンが発生する推力TFが全推力に占める割合は50%であり、ダクトのリップが発生する推力（以下ダクト推力）TDが全推力Tに占める割合は50%であることが導かれる。
【００６１】
ダクト推力TDは全ダクト格子に働く負圧に格子面積をかけ、そのz方向成分の和をとることで得られる。実際には法線が水平な格子はz方向成分の力を生じないから、ダクトのフランジとリップを構成するダクト格子のみ計算すれば良い。フランジおよびリップの i番目のダクト格子のコントロールポイントロールポイントは流れのある内側と止水域である外側の間にあるため、３章の第３図で行った議論によりダクト内側表面の速度(u，v，w)Tは(uDci,vDci,wDci)Tの２倍となる。また、i番目のダクト格子のコントロールポイントにおけるダクト推力dT'Diは非定常のBernoulliの定理より
【００６２】
【数１９】
2019064541.tif 000023
となる。ここで右辺第一項はポテンシャルの時間微分の項であり、第２項は次式で与えられる。
【００６３】
【数２０】
2019064541.tif 000024
【００６４】
ここでnziはi番目の格子の法線ベクトルのz成分である。ダクトにわたって局所推力dT'Diの和をとると、ブレードの周期性によってポテンシャルの時間微分の項は0になる。よってダクト推力TDは次式で与えられる。
【００６５】
【数２１】
2019064541.tif 000025
３−４.ブレード上の誘導速度の計算
ファンの発生する推力TF及び吸収するパワーPの計算には誘導速度を用いた。本節ではこれら誘導速度の計算式を導く。
【００６６】
誘導速度を引き起こす渦には３種類あり、ブレードの馬蹄渦（循環の大きさΓBi）がNB×B個、ダクト表面の渦輪（循環の大きさΓDi）がND個、ダクト馬蹄渦（循環の大きさΓEi）がNE個ある。
【００６７】
まずブレードの全ての馬蹄渦がi番目のブレードのコントロールポイントに引き起こす誘導速度(uBBi、vBBi、wBBi)TはBiot-Savartの法則より
【００６８】
【数２２】
2019064541.tif 000026
【００６９】
と影響係数を用いた形で表すことが出来る(原田正志，小竹祥太，白鳥敏正：ダクテッドプロペラの最適設計法，日本航空宇宙学会論文集，第59 巻，2011，pp.298-305.参照)。ここで添字i、jはアインシュタインの規約に従う。(22)の表記は次式の表記と同義である
【００７０】
【数２３】
2019064541.tif 000027
ダクト格子からの誘導速度、ダクト馬蹄渦からの誘導速度もそれぞれ
【００７１】
【数２４】
2019064541.tif 000028
および
【００７２】
【数２５】
2019064541.tif 000029
と表記できる。以上がブレード上に引き起こされる誘導速度である。
３−５.ダクト表面上の境界条件
ブレードの馬蹄渦がダクト格子のコントロールポイントに引き起こす誘導速度の格子に対する法線成分uDBを次式で表す。
【００７３】
【数２６】
2019064541.tif 000030
【００７４】
ダクト格子がダクト格子のコントロールポイントに引き起こす誘導速度の格子に対する法線成分uDD、ダクト馬蹄渦がダクト格子のコントロールポイントに引き起こす誘導速度の格子に対する法線成分uDEをそれぞれ
【００７５】
【数２７】
2019064541.tif 000031
【００７６】
【数２８】
2019064541.tif 000032
で表す。
【００７７】
ダクトは固体であり、表面を貫通する流れがない。したがってダクト格子のコントロールポイントに誘導される速度の格子に対する法線成分は0でなければならない。つまり
【００７８】
【数２９】
2019064541.tif 000033
となる。この条件はダクト格子の数、つまりND個存在する。
３−６．ダクト後縁の境界条件
【００７９】
図１１のダクト後縁付近を拡大した図を図１７に示す。i番目のダクト馬蹄渦はk番目のダクト格子に隣接している。ダクト格子の数はNDであり、そのうち後縁に位置するのはNE個だけである。NEはNDより遥かに小さな数であり、適当な縦NE列，横ND行の要素が1か0の行列KKによって、KKijΓDj をi番目のダクト後縁馬蹄渦に隣接するΓDの要素とすることが出来る。
クッタの条件より後縁の循環は0でなければならない。これを図１７の循環の向きに注意して式で表すと
【００８０】
【数３０】
2019064541.tif 000034
となる。
３−７．変数の削減
【００８１】
(29)式で表される条件はΓDの要素数であるND個存在する。一般にNDは数万になる。その一方でΓBの要素数NBは数十から数百と少ない。本節ではΓDを消去して変数量を大きく削減する。
(29)式に(26)、(27)、(28)式を代入して次式を得る。
【００８２】
【数３１】
2019064541.tif 000035
(30)式より(31)式は
【００８３】
【数３２】
2019064541.tif 000036
となる。この式をさらに変形して
【００８４】
【数３３】
2019064541.tif 000037
を得る。ここで、
【００８５】
【数３４】
2019064541.tif 000038
とすると、次式を得る。
【００８６】
【数３５】
2019064541.tif 000039
また(35)式を(30)式に代入して
【００８７】
【数３６】
2019064541.tif 000040
を得る。
ブレードに引き起こされる誘導速度のx成分uBは(22)、(24)、(25)式より次式で表される。
【００８８】
【数３７】
2019064541.tif 000041
この式に(35)式、(36)式を代入して
【００８９】
【数３８】
2019064541.tif 000042
を得る。ΓBについてまとめると
【００９０】
【数３９】
2019064541.tif 000043
となる。ここで
【００９１】
【数４０】
2019064541.tif 000044
と定義すると、(39)式は
【００９２】
【数４１】
2019064541.tif 000045
となる。vB、wBにも同様の操作を行いYB、ZBを定義し、
【００９３】
【数４２】
2019064541.tif 000046
【００９４】
【数４３】
2019064541.tif 000047
と表記する。
３−８．ダクト推力の二次形式での表現
本節では３−３で求めたダクト推力TDをΓBの二次形式で表す。
【００９５】
ダクト内側の表面に誘導される速度はダクト格子に誘導される速度の２倍であること、および(41)、(42)、(43)式の導出と同様の手順により次の式で表すことが出来る。
【００９６】
【数４４】
2019064541.tif 000048
【００９７】
【数４５】
2019064541.tif 000049
【００９８】
【数４６】
2019064541.tif 000050
ここでi番目のダクト格子の面積をSi、法線ベクトルのz成分をnZiとし、
【００９９】
【数４７】
2019064541.tif 000051
なる対角行列を用いれば、ダクト推力TDは次式で与えられる。
【０１００】
【数４８】
2019064541.tif 000052
ここで
【０１０１】
【数４９】
2019064541.tif 000053
と定義することで(48)式は
【０１０２】
【数５０】
2019064541.tif 000054
と表記することが出来る。
３−９．抵抗を考慮しない場合の推力とパワー
抵抗を考慮しない場合、ファンの推力TFは(17)式に(15)式を代入し、さらに(3)式、(42)式を代入して次式で表される。
【０１０３】
【数５１】
2019064541.tif 000055
または、ベクトルを用いて次式で表される。
【０１０４】
【数５２】
2019064541.tif 000056
ここで A'は次式
【０１０５】
【数５３】
2019064541.tif 000057
で与えられるNB×NBの行列であり、b は
【０１０６】
【数５４】
2019064541.tif 000058
で与えられる要素数 NBの縦ベクトルである。
ファンの吸収パワーPは(18)式に(16)式を代入し、さらに(4)式，(43)式を代入して次式で表される。
【０１０７】
【数５５】
2019064541.tif 000059
または、ベクトルを用いて次式で表される。
【０１０８】
【数５６】
2019064541.tif 000060
ここでCは
【０１０９】
【数５７】
2019064541.tif 000061
で与えられるNB×NBの行列である。
ダクテッドファン全体の推力Tはファン推力TFとダクト推力TDの和であるから次式で表される。
【０１１０】
【数５８】
2019064541.tif 000062
ここでAは
【０１１１】
【数５９】
2019064541.tif 000063
で与えられるNB×NBの行列である。
３−１０．最適化問題
静止推力を最大とするダクテッドファンの形状を決定する問題は、ここまでの計算より次の最適化問題を満たすΓBを求める問題に帰着する。
minimize   -T
subject to    P -P0 = 0
ここでP0は設計者が設定する吸収パワーである。
ΓBが得られればブレード角θiは(6)式から、翼弦長ciは(10)式より求められる。
【０１１２】
抵抗を考慮しない場合、目的関数のTは(58)式で与えられ、拘束条件のPは(56)式で与えられる。だが、この問題の最適化を行うとダクト推力TDが非常に大きな値に収束する。そこでTDの値を制限する拘束条件として、単純運動量理論から導かれるダクト推力TDは全推力Tの半分に等しいとする条件を加える。
改善された問題は次の形をとる。
minimize   -T
subject to    P -P0 = 0，TD = 0.5T
【０１１３】
抵抗を考慮する場合、推力Tは(58)式のような二次形式で表記できず、(42)式，(43)式から誘導速度vBおよびwBを求め、(3)式から(12)式までの式、及び(17)式からファン推力 TFを求め、(50)式から求められるダクト推力TDから
【０１１４】
【数６０】
2019064541.tif 000064
として得られる。
【０１１５】
吸収パワーPも同様に(42)式、(43)式から誘導速度vBおよびwBを求め、(3)式から(14)式までの式、及び(18)式から求める。抵抗係数の値は揚力係数に比べはるかに小さいため、抵抗を考慮した解が抵抗を考慮しない場合から大きく異なることはない。
３−１１．最適化問題の繰り返し計算
【０１１６】
本問題を解く際に前章で述べたように螺旋渦の渦面移動速度が収束するまで繰り返し計算を行わなければならない。ここでは繰り返し計算を安定させるために渦面移動速度を２次関数で表す。繰り返し計算ごとにこの２次関数の係数をカーブフィッティングにより更新する。
【０１１７】
また、３−１０で拘束条件に単純運動量理論が要求するTD=0.5Tを用いたが、より現実に近い数学モデルでもダクト推力TDが全推力Tの50%になるとは限らない。パラメータk（以降リップファクター）を導入してTD=kTとし、このパラメータの導入で得られる自由度でTrefftz面推力TTと全推力Tを一致させる。具体的にはTrefftz 面推力TTが全推力Tより大きいときはkを減少させ、逆の時は増加させてkを収束させる。
３−１２．ハブを考慮したモデルへの拡張
【０１１８】
図１８に示すように現実的にはダクトの中心にはモーター等を格納するハブが必要である。ハブはダクトの中心に固定され、モーターを格納し、モーター軸にブレードとスピナーが取付けられる。ここでは以下のようにモデル化する。スピナーとハブは同じ直径、ハブは短い円柱であり、ハブ後端で流れは剥離し、まっすぐ流れるものとする。従ってハブ後端の下流は死水領域である。ダクトがブレード翼端の翼端板の役割を果たすのと同様にスピナーとハブが翼根の翼端板の役割を果たす。そのためスピナー及びハブ表面には翼根渦が螺旋状に存在する。ダクト表面と同様にスピナー表面、ハブ表面に階層構造を持った格子を切り、ハブ後端からはダクト馬蹄渦と同様にハブ馬蹄渦を放出する。またダクト長さとはブレード回転面から後方のダクトの長さとする。 ダクト前部とはダクトの直線部分のブレード面より前方の部分とする。
【０１１９】
次に用語を再定義する。ダクト格子はフランジ、 リップ、ダクト前部、ダクト、スピナー、ハブ表面の格子からなる。ダクト馬蹄渦はダクト後縁から放出される馬蹄渦とハブ後縁から放出される馬蹄渦からなる。ダクト推力はリップとフランジとスピナーが発生する推力とする。このように、ダクト格子、 ダクト馬蹄渦、ダクト推力を再定義すればスピナー、ハブを含んだモデルを扱うことが出来る。
４．計算結果
【０１２０】
ここでは抵抗を考慮した最適化問題を解いた。解く際にはペナルティ関数法で拘束条件を目的関数に組み込み、この目的関数をシミュレーテッド・アニーリングで最小化した。様々な初期値を用いても同一の解に収束した。計算条件は以下の通りである。
〈計算条件〉
ダクト直径： 0.25m
スピナー直径： 0.06m
吸収パワーP0： 1200W
ブレード枚数B： 4
ダクト長さ： 0.12m
ダクト前部長さ： 0.015m
ブレード分割数NB： 80
格子階層数n： 2
ダクト格子数ND： 15,000 程度（ハブ無し）
： 30,000 程度（ハブあり）
設計揚力係数CL： 0.6
形状抵抗係数 CD： 0.014（Re 非依存とした）
〈パラメータ〉
リップ半径 RR： 0.01?0.06m
フランジ半径 RF： 0.25、0.75m
【０１２１】
Trefftz面はダクトから十分後方にあるため、ダクトの影響を受けず、ブレード放出渦およびダクト馬蹄渦の影響のみ受ける。そこでTrefftz面推力TTを計算する際は、全長がダクト直径の10倍のブレード放出渦およびダクト馬蹄渦を作り、この中央にTrefftz面をとった。
【０１２２】
最適化で得られたフランジ半径RFが0.75mの際のブレードの形状を図１９の上に、0.25mの際のブレード形状を図１９の下に示す。リップ半径RRが0.01mの場合を実線で、0.05mの場合を一点鎖線で示した。同様にハブがある時の最適化で得られたフランジ半径 RFが0.75mの際の形状を図２０の上に、0.25mの際の形状を図２０の下に示す。ここでもリップ半径RRが0.01mの場合を実線で、0.05m の場合を一点鎖線で示した。この図２０の上の条件での渦面移動速度を図２１に示す。図に示した渦面移動速度はカーブフィッティングにより２次関数で近似した値であり、最適化の際に渦面の形状決定に使用した流速である。
【０１２３】
リップ半径に対する推力およびリップファクターkを図２２に示す。ハブがなくフランジ半径RFが0.25mの時の値を○で、0.75の時の値を□で示す。また、ハブがありフランジ半径RFが0.25mの時の値を△で、0.75の時の値を▽で示す。
５．考察
【０１２４】
図１９及び図２０に示すように先端が拡大したブレード形状が得られた。これはダクト壁面によって翼端渦の形成が阻害されるため、またリップ推力を利用するためであると思われる。またリップ半径に最適化されたブレード形状が依存する結果となった。これはダクト推力TDを与える(50)式の行列TDがダクトの形状に依存するためであり、得られる結果はリップ半径RR に依存すると予想していた。
【０１２５】
リップ半径RRが小さい程翼端の拡大の程度は大きくなる。これはリップ半径が小さい程、壁面近く軸流速度を増加させることで、リップを回り込む流速によるダクト推力を大きくできるためと考えられる。これを裏付けるように図２１に示した渦面移動速度v'の分布は、RR =0.05において一様に近く、RR=0.01において壁面近くでの速度が増加している。また、図１９に示すようにリップ半径RRが小さい程、推力Tは大きくなった。これは上述のようにリップ半径RRが小さい程、ダクト推力が大きくなるためである。リップファクターkのグラフ（図２２）を見るとリップ半径RRが小さい程ダクト推力が大きくなっていることが分かる。
【０１２６】
単純運動量理論ではリップファクターkは厳密に0.5となるが、本計算では0.5より小さい値が得られた。しかし図２２に見られるように、フランジ半径RFが0.25mのときより0.75mのときの方がkの値が0.5に近づいており、より大きなフランジを用いるとリップファクターkは0.5に近づくと思われる。
【０１２７】
ハブを考慮した場合、ブレード形状はハブのない時のブレード形状のハブの部分を単に取り除いた形状になった。しかし、図２２の推力のグラフを見るとほとんど推力の低下はない。逆にリップファクターが増加し、よりダクト推力を利用しようとする傾向がある。これを裏付ける様に、図２２に示した様に先端の拡大の程度が最も大きかった条件は、ハブがあり、フランジ半径RFが0.75mであり、リップ半径RRが0.01mの場合であった。
【０１２８】
フランジ半径が大きくなる程ダクト推力が大きくなるため、同一のファン直径ではフランジ半径が大きい程推力は大きくなる。しかし、フランジ半径RFがファン半径の2倍と6倍の時を計算したが、推力の増加は2N程度であり、全推力60Nの3%程度にしか過ぎない。かさばる上に重量が増加する大きなフランジを使用する応用例は特殊な場合に限られると思われる。
【０１２９】
本方法では抵抗を考慮した場合の最適化を行ったが、計算例で用いたレイノルズ数領域では最適な形状は抵抗を考慮した場合としない場合でほとんど差がなかった。しかし著しくレイノルズ数が小さく、 抵抗係数が無視できない程大きい場合は大きく異なる解が得られる可能性がある。
６．結言
静止推力を最大とするダクテッドファンの設計を最適化問題としてあらわし、最小化した。
【０１３０】
本計算の最大の特徴は、設計者の能力によらず解が一意に求められる、抵抗の効果を考慮した推力そのものを目的関数としているため、低レイノルズ数での最適化も行うことが出来る、点であり、細かな特徴は、ダクト推力を考慮している、ブレードを製作する際必要になるハブを考慮している、繰り返し計算により放出渦の形状を決定している翼端放出渦のピッチを内部の渦の半分にしている階層的な構造の格子を用いている、変数の数が数十と少なく、短時間で最適化を行うことが出来る、点である
最適化問題を最小化して得られたブレードは先端が拡大している特徴的な形状をしており、かつ拡大の程度はダクトのリップ半径に依存する結果が得られた。
（その他）
【０１３１】
本発明に係るダクテッドファンは、マルチコプタや垂直離着陸機（ＶＴＯＬ機）、ＣＰＵ冷却用ファン、ラジエータ冷却用ファンなどに用いることができる。また、ヘリコプターのテールファンに用いることができる。
本発明は上記の実施形態には限定されず様々に変形して実施が可能であり、その実施の範囲も本発明の技術的範囲に属することは勿論である。
【符号の説明】
【０１３２】
１          ：ダクテッドファン
１０        ：ダクト
１２        ：排出口
１４        ：リップ
１５        ：内壁
２０        ：プロペラ
２１        ：ハブ
２１Ａ      ：翼端
２２        ：ブレッド
２２        ：ブレード
２２Ａ      ：翼端
２２Ｂ      ：翼端近傍部
【図１】
2019064541.tif 000065
【図２】
2019064541.tif 000066
【図３】
2019064541.tif 000067
【図４】
2019064541.tif 000068
【図５】
2019064541.tif 000069
【図６】
2019064541.tif 000070
【図７】
2019064541.tif 000071
【図８】
2019064541.tif 000072
【図９】
2019064541.tif 000073
【図１０】
2019064541.tif 000074
【図１１】
2019064541.tif 000075
【図１２】
2019064541.tif 000076
【図１３】
2019064541.tif 000077
【図１４】
2019064541.tif 000078
【図１５】
2019064541.tif 000079
【図１６】
2019064541.tif 000080
【図１７】
2019064541.tif 000081
【図１８】
2019064541.tif 000082
【図１９】
2019064541.tif 000083
【図２０】
2019064541.tif 000084
【図２１】
2019064541.tif 000085
【図２２】
2019064541.tif 000086
【手続補正書】
【提出日】平成30年8月29日(2018.8.29)
【手続補正１】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００１３
【補正方法】変更
【補正の内容】
【００１３】
プロペラ２０は、ダクト１０と同心円状に配置されたハブ２１と、ハブ２１の外周に等間隔で設けられた４枚のブレード２２とを有する。なお、ブレード２２の枚数は、典型的には４枚であるが、２枚〜８枚が好ましい範囲である。また、ブレード２２の枚数は、例えばステーター５０が７本のとき、４枚とするように、ステーター５０の枚数とステーター５０の本数の最小公倍数が大きな値となるように取ることで複数のブレード２２とステーター５０の位置が同時に重なることを避け、干渉に依る騒音を下げることができる。
ハブ２１は、ハウジング４０に収容されたモーター３０により回転駆動される。これにより、ブレード２２が回転する。
【手続補正２】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０１２０
【補正方法】変更
【補正の内容】
【０１２０】
ここでは抵抗を考慮した最適化問題を解いた。解く際にはペナルティ関数法で拘束条件を目的関数に組み込み、この目的関数をシミュレーテッド・アニーリングで最小化した。様々な初期値を用いても同一の解に収束した。計算条件は以下の通りである。
〈計算条件〉
ダクト直径： 0.25m
スピナー直径： 0.06m
吸収パワーP0： 1200W
ブレード枚数B： 4
ダクト長さ： 0.12m
ダクト前部長さ： 0.015m
ブレード分割数NB： 80
格子階層数n： 2
ダクト格子数ND： 15,000 程度（ハブ無し）
： 30,000 程度（ハブあり）
設計揚力係数CL： 0.6
形状抵抗係数 CD： 0.014（Re 非依存とした）
〈パラメータ〉
リップ半径 RR： 0.01〜0.06m
フランジ半径 RF： 0.25、0.75m