(57)【要約】【課題】下級財を扱いやすく表現できるような数値計算が可能な効用関数または生産関数，および，そこから導かれる需要関数群を用いて，下級財を含んだ各種のパラメータを推計するなどの方法で，下級財の供給量や投入量などの様々な変数の値を決定制御する方法の開発。 【解決手段】上級財しか表現できない公知の加法的効用関数または加法的生産関数に対して，下級財としたい財の変数の係数として効用または生産量の減少関数を付加することで，値が都合よく調整される。この結果，下級財の性質を示す需要関数や生産要素需要関数が得られる。【特許請求の範囲】
【請求項１】
（数９）で示される効用関数または生産関数。
【数９】
2019003592.tif 000013
ｕは効用水準または生産量，ｘｉ，（ｉ＝１，…，ｎ）は第ｉ財の消費量または投入量，ｙはｙ財の消費量または投入量である。ｉは財の番号を表すインデックス。ｎは下級財の数。
【請求項２】
（数９）を制約条件，（数１０）を目的関数として，ｍを最小化するようなｘ１，…，ｘｎとｙを求めた結果として生成される第ｉ財の補償需要関数または生産要素需要関数（数１１）
【数１０】
2019003592.tif 000014
【数１１】
2019003592.tif 000015
ｘｉ，（ｉ＝１，…，ｎ）は第ｉ財の消費量または投入量，ｙはｙ財の消費量または投入量である。ｉは財の番号を表すインデックス。ｎは下級財の数。ｐｉは第ｉ財の価格や単位コストなどを表す。ｍは総費用，総支出や総時間などを表す。
【請求項３】
（数９）を目的関数とし（数１０）を制約条件として，（数９）で決定されるｕの値を最大にするｘ１，…，ｘｎとｙを求めた結果として生成される第ｉ財の需要関数（数１２）
【数１２】
2019003592.tif 000016
ｘｉは第ｉ財への需要量。ｉとｊは財の番号をあらわすインデックス。ｎは下級財の数。ｐｉやｐｊは第ｉ財や第ｊ財の価格や単位コストなどを表す。ｍは所得や所有時間などを表す。
【請求項４】
（数９），（数１０），（数１１），（数１２）の１つ以上の式を用いて，これら数式中の変数について実施者が用意したデータと整合的なａｉ，ｂｉ，ｃｉ，ｂ，（ｉ＝１，…，ｎ）の値を算出し，算出された値を（数９），（数１０），（数１１），（数１２）の１つ以上の式に代入して推計式をつくり，作った推計式もとに，ｘｉ，ｙ，ｍ，ｕの数を生成するプログラム又は，そのようなｘｉ，ｙ，ｍ，ｕの推計方法。
【請求項５】
（数９）中のｂｉ／ｕｃの項の分子「ｂｉ」を「２ｂｉ」などの他の値に変えたうえで，（数１０），（数１１），（数１２）など他の数式に必要な修正を施すといった改良式も本発明に含まれる。
【請求項６】
（数９）のｙについて，ｙを２ｙに置き換えた式，あるいは，ｙを既知の１次同次関数あるいは未来に開発される１次同次関数，たとえば既知の１次同次関数であるコブ＝ダグラス型関数ｙ１ｚｙ２１−ｚ（０≦ｚ≦１）や，ＣＥＳ関数に置き換えた数式。なお，ｙを１次同次関数に置き換えたときには，（数１０），（数１１），（数１２）に変更を加える必要が数学上生じるが，これらは些細で自明な改良であり本発明に含まれるものとする。
【請求項７】
（数９）のうちbyの項を除去した効用関数または生産関数である（数１３）
【数１３】
2019003592.tif 000017
ｕは効用水準または生産量。ｎは財の種類数。ｘｋ，（ｋ＝１，…，ｎ）は第ｋ財の消費量または投入量。ｋは財の番号を表すインデックス。ｃｋ≧０という範囲の条件については，ｃｋの値がｋ＝１からｋ＝ｎまでの全てのｋについてｃｋ＝０の場合は下級財が存在しないので請求項には含まれない。なお，請求項６までに示した（数１）から（数１２）はｉとｊの区別がつきにくい。よって，表記を分かりやすくするために，請求項７からはｋはΣｋ＝１ｎのようにΣの中で足し算の繰り返しを表すインデックスとしてｋを使い，ｉはΣ内の足し算用のインデックスとしては使わないように表記した。
【請求項８】
（数１３）を制約条件，（数１４）を目的関数として，ｍを最小化するようなｘ１，…，ｘｎを求めた結果として生成される第ｉ財の補償需要関数または生産要素需要関数（数１５）
【数１４】
2019003592.tif 000018
【数１５】
2019003592.tif 000019
ｕは目標となる効用水準または生産量。ｘｉ，（ｉ＝１，…，ｎ）は第ｉ財の消費量または投入量，ｘｋは第ｋ財の消費量または投入量。ｎは財の数。ｐｋ，ｐｉは第ｋ財，第ｉ財の価格や単位コストなどを表す。ｋはΣ内における財のインデックス。（数１４）のｍは総費用，総支出や総時間などを表す。ｃｋ≧０という範囲の条件については，ｃｋの値がｋ＝１からｋ＝ｎまでの全てのｋについてｃｋ＝０の場合は下級財が存在しないので請求項には含まれない。
【請求項９】
（数１３），（数１４），（数１５）の１つ以上の式を用いて，これら数式中の変数について実施者が用意したデータと整合的なａｉ，ｂｉ，ｃｉ（ｉ＝１，…，ｎ）の値を算出し，算出された値を（数１３），（数１４），（数１５）の１つ以上の式に代入して推計式をつくり，作った推計式もとに，ｘｉ，ｍ，ｕの数を生成するプログラム又は，そのようなｘｉ，ｍ，ｕの推計方法。
【請求項１０】
（数９），（数１１），（数１２）においては，「ｃｉ＞０」としているが，これを改めて，「ｃｉ≧０，ただし，すべてのｉ＝１，…，ｎについてｃｉ＝０である場合は除く）」と改めた式。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
経済学，ＯＲ，数理計画法
【背景技術】
【０００２】
家庭において所得が増大すると需要量が減少する財は下級財という。具体例としては扇風機である。また，生産において生産量が増大すると需要量が減少する生産要素も下級財（または下級生産要素）という。例としては，労働である。生産量が増大すると機械化により労働への需要が減少することがあるからである。
【０００３】
サービス業においては消費と生産が同時に生じることから効用関数と生産関数は１体のものとなる。このとき，主サービスと付帯的なサービスを組み合わせて全体としてサービスが販売されるとき，主サービスの需要量が少ない顧客には多く提供するが，主サービスの需要量が多い優良な顧客には提供を避けるべきサービスは下級財であるといえる。
【０００４】
上に挙げた例は下級財の意味的な定義であるが，本発明における数理的な下級財の定義は，経済学に基づいた（０００５）と（０００６）の２つの定義とする。なお，記号の凡例として，Ｘ財とＹ財の消費量をｘとｙで表す。ｘとｙの値に応じて生じる効用を表すのが効用関数，ｘとｙの値に応じて生じる生産量を表すのが生産関数である。この効用関数または生産関数は，一般形としては，ｕ＝ｆ（ｘ，ｙ）として表す。
【０００５】
下級財の定義の１つ目を説明する。Ｘ財とＹ財の価格をＰｘとＰｙで表し共に値は定数とする。支出額をＭとして，消費者または企業が目標とするｕの値を決めた上で，ｆ（ｘ，ｙ）＝ｕを制約条件とし，Ｍ＝Ｐｘｘ＋Ｐｙｙを目的関数とし，Ｅを最小化するｘとｙを求める最適化を費用最小化という。費用最小化の結果として導出される最適なｘとｙは，数学的な帰結として，ｘ＝ｘ（Ｐｘ，Ｐｙ，ｕ），および，ｙ＝ｙ（Ｐｘ，Ｐｙ，ｕ）といった関数になる。このときｄｘ（Ｐｘ，Ｐｙ，ｕ）／ｄｕ＜０となるときに，ｘは下級財であるという。
【０００６】
下級財の定義の２つ目を説明する。Ｘ財とＹ財の価格をＰｘとＰｙで表し，所得をＭで表す。Ｐｘ，Ｐｙ，Ｍを定数として値を決めた上で，Ｍ＝Ｐｘｘ＋Ｐｙｙを制約条件とし，ｕ＝ｆ（ｘ，ｙ）を目的関数としてｕを最大化するようなｘとｙをもとめる最適化を効用最大化という。効用最大化の結果として導出される最適なｘとｙはｘ＝ｘ（Ｐｘ，Ｐｙ，Ｍ），および，ｙ＝ｙ（Ｐｘ，Ｐｙ，Ｍ）といったＰｘ，Ｐｙ，Ｍの関数であらわされる。このときｄｘ（Ｐｘ，Ｐｙ，Ｍ）／ｄＭ＜０となるときに，ｘは下級財であるという。
【０００７】
実際の統計解析や数値シミュレーションにおいてはｆ（ｘ，ｙ）のような関数の定義では，ｕの値は計算できない。特定化された関数を用いて，実際に数値を計算できるようにする必要がある。しかしながら，例としては，ｕ＝ｘ０．５＋ｙ０．５やｕ＝ｘ０．５ｙ０．５のような広く用いられている効用関数または生産関数からは，ｘもｙも下級財となる需要関数や要素需要関数は得ることができない。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００８】
わたしには分かりません。審査よろしくお願いします。
【非特許文献】
【０００９】
【非特許文献１】Epstein, G. S. and Spiegel, U. (2000). ‘A production function with an inferior input’, The Manchester School, Vol. 68, pp. 503-515
【非特許文献２】J. Doi, K.Iwasa, and K. Shinomura (2006), 'A utility function can generate Giffen behavior', discussion paper cirulated in internet.（注：giffen財は下級財の１種である）
【発明の概要】
【００１０】
経済学的な解釈が容易で，数学的にも扱いやすい効用関数または生産関数でありながら，下級財となる需要関数が得られるような効用関数，または生産関数の発明。
【発明が解決しようとする課題】
【００１１】
下級財の効用関数または生産関数は
【非特許文献１】，
【非特許文献２】に示したとおり，既に知られているが，数式の構造が複雑である上に，経済上の意味が不明瞭であった。また，これ以外の下級財の効用関数や生産関数は，ｘとｙの値が大きくなると最適化のための１階条件や２階条件を満たさない関数となり数学的に使用が不適切となる問題点があった。
【００１２】
既存の下級財の効用関数または生産関数は，ｘとｙという２変数のものが多く，また，３変数関数に拡張することが難しかった。このことから下級財を分析をしないという問題があった。また，関数の数式が複雑であるために，人間の手作業によっても変数の付加や変更が困難であり，コンピュータによる関数の自動生成などは全く不可能に思えた。
【課題を解決するための手段】
【００１３】
公知の準加法的な効用関数ｕ＝ｘａ＋ｙを元にして，ｕの減少関数１／ｕｃを下級財にしたい財であるｘの係数として挿入し，ｕ＝ｕ−ｃｘａ＋ｙとするという発想を拡張して，（００１４）のようにする。
【００１４】
下級財にしたい財がｎ個あるときには，ｘ１，ｘ２，…，ｘｎというｎ個の財の消費量を表す変数を置いたうえで，単純に，ｕ＝ｕ−ｃ１ｘ１ａ１＋ｕ−ｃ２ｘ２ａ２＋…＋ｕ−ｃｎｘｎａｎ＋ｙ，（ただし，ｃ１，ｃ２，…，ｃｎ，はいずれも非負の定数，ａ１，ａ２，…，ａｎはいずれも（０，１］の範囲の定数）とする。このような単純な項の追加により，本発明は，１つの上級財ｙと任意のｎ個の下級財ｘ１からｘｎからなる効用関数または生産関数に拡張できる。こうして，（００１１），（００１２）の課題が解決される。
【発明の効果】
【００１５】
下級財の供給量を数理的に決定することができるようになる。（数２）をみればわかる通り，ｘの値は，ｕやｐの変化に対して連続的に変化する。決して，ｘが複素数になったり，＋∞になったのちに，−∞にジャンプするなどの値のジャンプも生じない。このため，関数の使用者は，異常値の検査や補正のための作業やプログラムを省くことができる。
【００１６】
さらに，（００１４）に示したｕ＝ｕ−ｃ１ｘ１ａ１＋ｕ−ｃ２ｘ２ａ２＋…＋ｕ−ｃｎｘｎａｎ＋ｙという関数は，左辺と左辺の両方にｕを含む式であり，しかも，代数的にｕについて必ずしも解けるとは限らず，解けたとしても数メートルにも達する遠大で複雑な式となる。しかし，文字配列をみると，ｕ−ｃ１ｘ１ａ１，ｕ−ｃ２ｘ２ａ２，…，ｕ−ｃｎｘｎａｎという財ごとに独立なｎ個の項が足し算で結ばれる単純な足し算構造となっている。
【００１７】
このように右辺が単純な足し算構造であるため，例えば，新規の商品やサービスが追加されたときには，ｎ＋１番目の商品やサービスを示す項としてｕｃｎ＋１ｘｎ＋１ａｎ＋１（ただし，ｃｎ＋１は非負の定数，ａｎ＋１は（０，１］の範囲の定数）を，元の式に追加して，ｕ＝ｕ−ｃ１ｘ１ａ１＋ｕ−ｃ２ｘ２ａ２＋…＋ｕ−ｃｎｘｎａｎ＋ｕｃｎ＋１ｘｎ＋１ａｎ＋１＋ｙとするだけでよい。よって，プログラムにより商品の追加削除に対応した関数を簡単に生成することができる。
【００１８】
このとき，（００１４）に示したｕ＝ｕ−ｃ１ｘ１ａ１＋ｕ−ｃ２ｘ２ａ２＋…＋ｕ−ｃｎｘｎａｎ＋ｙという式は，代数的にｕについて解けないという欠点，あるいは，解けたとしても遠大で複雑な数式となるという欠点があるが，この式のａ１，…，ａｎ，ｃ１，…，ｃｎ，ｙというｕ以外のすべての変数が数値で与えたときには，ｕの値は逐次計算することで必ず正の数値として算出されることが保証される。代数的にはｕについて解けないという理論的な短所は実用上は数値計算によって克服でき，単純な足し算構造を生かして関数を自動生成できるなどの長所のみを享受できる。
【００１９】
すなわち，本発明は，下級財の効用関数または生産関数として，代数的にはｕについて解くことができない，あるいは解けたとしても複雑で遠大な式となる陰関数でありながら，文字の配列としては規則的で単純な構造をした式を採用することで，多変数化を実現しつつ，代数的に解けないところも数値計算ができるので，扱いやすく自動生成にも適した下級財の効用関数または生産関数となっている。
【００２０】
以下，本特許の数式としては，厳密には関数ではなく陰関数となるが，本出願においては関数と陰関数の区別はせずに，すべて関数あるいは数式と表現する。
【発明を実施するための形態】
【００２１】
本発明の実施は，単純な数値例であれば手計算や家庭用電卓でも可能であるが，指数の計算など計算量が膨大であることや，作業が複雑であることから全く現実的でない。よって，コンピュータでの実施のみを実施とみなす。部分的に手作業も入るが，もっぱらコンピュータ上に数式をプログラムし，人間，あるいは通信により得たデータをもとに，ｘやｙなどの値を関数に代入して使用する。
【００２２】
また，営業データなどをもとに，プログラムにより下級財を１つでなく２つ，３つへと任意に加えるように，効用関数または生産関数自体を自動生成し，自動生成した関数に値を代入して数列を生成することで実施する。
【実施例１】
【００２３】
（請求項１）と（請求項２）と（請求項４）の実施例として，ｘ１とｘ２という２つの下級財とｙという上級財についての実施例を示す。
【００２４】
観察されたデータとして，ある人のｘ１の購入量，ｘ２の購入量，所得ｍが２時点で（表１）のように観察された。ｐ１，ｐ２は各財の価格を表す。（表１）によると，時点１から時点２において，所得ｍが２だけ増加したが，ｘ１とｘ２の両方にたいして購入量を減少させていることが見て取れる。なお，ｐ１，ｐ２を価格でなく，ｘ１とｘ２を１単位消費するのに要する時間と読み換えても数理上は何ら問題は生じない。そのような読み換えをした場合，ｍは総利用可能時間と読み換えればよい。適宜，用途に応じて，変数の解釈は読み換えることができる。
【表１】
2019003592.tif 000002
【００２５】
（請求項１）の（数９）を用いて，下級財の数が２であることから，ｎ＝２とすることで，ｂ１ｕ−ｃ１ｘ１ａ１＋ｂ２ｕ−ｃ２ｘ２ａ２＋ｂｙ−ｕ＝０をつくる。
【００２６】
また，（請求項２）の（数１１）から，多少の変形をすることで，ｂ１ｕ−ｃ１ｘ１ａ１＝（ｂ／ａ１）ｐ１ｘ１とｂ２ｕ−ｃ２ｘ２ａ２＝（ｂ／ａ２）ｐ２ｘ２をつくる。
【００２７】
（００２５）のｕ−ｃ１ｘ１ａ１とｂ２ｕ−ｃ２ｘ２ａ２の各項に（００２６）の式を代入してｕ−ｃ１ｘ１ａ１とｂ２ｕ−ｃ２ｘ２ａ２の項を消去する。すると，（００２５）の式は，０＝ｂ（１／ａ１−１）ｐ１ｘ１＋ｂ（１／ａ２−１）ｐ２ｘ２＋ｂｍ−ｕと求まる。この式では，まだｕの項が残っている。（００２８），（００２９）で，このｕを適切に消去してのちに，ｂ１やｃ１の値を観察データから推計する。ｂ２，ｃ２についても（００３２），（００３３）で同様にしてｕを適切に消去して推計する。
【００２８】
さて，（請求項２）の（数１１）は，多少の変形をすることで，第１財について，ｕ＝（（ａ１ｂ１）／（ｂｐ１ｘ１１−ａ１））１／ｃ１と求まる。
【００２９】
（００２７）で求めた式のｕに，（００２８）で求めた式を代入してｕを消去することで，ｂ（１／ａ１−１）ｐ１ｘ１＋ｂ（１／ａ２−１）ｐ２ｘ２＋ｂｍ−（（ａ１ｂ１）／（ｂｐ１ｘ１１−ａ１））１／ｃ１＝０をつくる。これによりｕが完全に消去された。この式を以下，「ｘ１財の推計式」と呼ぶ。このように（数９）から（数１１）目的にあわせて組み合わせることで，ｕのデータが入手できないときはｕを変数から消去することで，データの不足などを適宜補う。
【００３０】
本実施例では，ａ１＝０．８，ａ２＝０．９，ｂ＝１が経験により分かっているとする。ｘ１財の推定式に，（表１）に示した観察データを代入し，時点１について，０．２５×４＋（１／９）×５＋１０＝（０．８×ｂ１／４０．２）１／ｃ１，時点２について，０．２５×３．５＋（１／９）×４．５＋１２＝（０．８×ｂ１／３．５０．２）１／ｃ１という２つの式をつくる。
【００３１】
（００３０）の時点１の式と時点２の式は，未知数をｂ１とｃ１とする連立方程式である。ｃ１とｂ１について解くと，ｃ１≒０．１８２，ｂ１＝２．５７４が推計値として得られる。
【００３２】
つぎに，第２財について（００２８）から（００２９）と同様の計算をして，ｂ２，ｃ２を導出する。（請求項２）の（数１１）を変形してｕ＝（（ａ２ｂ２）／（ｂｐ２ｘ２１−ａ２））１／ｃ２をつくる。
【００３３】
（００２７）に示した式のｕの項に（００３２）に示した式を代入してｕを消去することで，ｂ（１／ａ１−１）ｐ１ｘ１＋ｂ（１／ａ２−１）ｐ２ｘ２＋ｂｍ−（（ａ２ｂ２）／（ｂｐ２ｘ２１−ａ２））１／ｃ２＝０をつくる。この式を以下，「ｘ２財の推計式」と呼ぶ。
【００３４】
先にすでに分かっているとしたａ１＝０．８，ａ２＝０．９，ｂ＝１，および，（表１）に示した観察データをｘ２財の推定式に代入する。この代入により，時点１について０．２５×４＋（１／９）×５＋１０＝（０．９×ｂ２／５０．１）１／ｃ２，時点２について０．２５×３．５＋（１／９）×４．５＋１２＝（０．９×ｂ２／４．５０．１）１／ｃ２という２つの式をつくる。
【００３５】
（００３４）に示した時点１の式と時点２の式は，未知数をｂ２とｃ２とする２本の連立方程式である。ｃ２とｂ２について解いて，ｃ２≒０．０７２，ｂ２＝１．５５６が推計値をつくる。
【００３６】
（００３１）と（００３５）でもとめた，ｃ１，ｂ１，ｃ２，ｂ２の値を（請求項１）の（数１０）に代入して，ｕ＝２．５７４ｕ−０．１８２ｘ１０．８＋１．５５６ｕ−０．０７２ｘ２０．９＋ｙをつくる。これがデータから推計した効用関数である。
【００３７】
（００３６）でつくった効用関数は，両辺にｕを含み，特に右辺のｕの項の指数が−０．１８２など解の公式が存在しない多項式となり，代数的にｕについて解くことは不可能となる。しかし，ｘ１，ｘ２，ｙを数値で与えると，数値計算においてはｕは正の数値として必ず定まり無限大や複素数になることがなく，値はコンピュータで算出できる。この推計式をもとに，たとえば，実施者がｘ１，ｘ２，ｙをセットで販売する売手であるならば，売手が提供する付帯的な下級サービスｘ１，ｘ２とメインのサービスｙについての，２つのベクトル（ｘ１Ａ，ｘ２Ａ，ｙＡ）と（ｘ１Ｂ，ｘ２Ｂ，ｙＢ）について，（００３５）の効用関数を使って，ｕを数値計算することで，どちらのベクトルの方が顧客に高い効用を与えるか試算した上で，高い効用を与えたほうのベクトルを広告の上位に乗せるなどの制御を行う。
【実施例２】
【００３８】
つぎに，（請求項３），（請求項４）の実施例を示す。実施例３と同じくｘ１とｘ２という２つの下級財とｙという上級財のケースを考える。実施例３で使った（表１）の観察データから（表２）のような数値をえたとする。表２の数値はすべて実施例３で得られたものである。
【表２】
2019003592.tif 000003
【００３９】
（請求項３）の（数１２）をｎ＝２として，（数１）をつくる。
【数１】
2019003592.tif 000004
そして，この（数１）に（表１）の７つの定数を代入して需要関数（数２）をつくる。
【数２】
2019003592.tif 000005
【００４０】
（数２）を検討すれば，ｍが大きくなると，ｘ１が小さくなるような下級財の性質を示すことが分かるだろう。また，ｐ１が上昇するとｘ１は減少し，ｐ２が上昇するとｘ１は増加する。これらの性質は，経済学における需要法則と呼ばれ，需要関数に必須の性質とされている。本関数は需要法則を満たしている。
【００４１】
（数２）に２財の価格と所得のベクトル（ｐ１，ｐ２，ｍ）を与えると，未知変数はｘ１のみとなる。（数２）はｘ１について代数的に解くことはできないが，コンピュータによる数値計算を行うことで，ｘ１についても異常値のない数値が得られる。例えば，ベクトルを（１，１，１０）とすると，ｘ１≒３．９８という計算結果をえる。所得を増加させて，（１，１，１２）とすると，ｘ１≒３．４５という計算結果をえる。こうして様々なベクトルを与えてコンピュータで計算をして下級財ｘ１の数列を生成することで，様々な商品の需要を比較したり，予測につかう。
【００４２】
請求項の（数９），（数１０），（数１１），（数１２）は相互に矛盾がなく数学的に整合的である。ａｉ，ｂｉなどの各文字変数に共通の値を代入したとき，（数９），（数１０），（数１１），（数１２）の等式はすべて同時に満たされる。このような整合性があることから，（００４１）のように，実施例１で得た（数９）についてのａ１，ａ２，ｂ１，ｂ２，ｃ１，ｃ２の値を（数１０），（数１１），（数１２）に代入して様々な用途に転用できるのである。
【実施例３】
【００４３】
つぎに請求項７，請求項８，請求項９についての実施例を示す。
【００４４】
あるゲームの中で，ｕはゲーム内の順位やプレイ時間などをもとに効用を表す指標とし，ｕは１，２，３の３段階である。ｘ１，ｘ２，ｘ３という３つ財がゲーム内で販売されている。各財の価格ｐ１，ｐ２，ｐ３はすべて１で販売されていた。
【００４５】
観察データにより（表３）が得られた。（表３）によると，ｘ１はｕが１のグループが平均で１．０個購入し，ｕが２では５．１個に増大し，ｕが３になると１０．０個へと増大している。これは，より高いｕを達成するには，より多くのアイテムが必要であるから当然のことである。しかし，ｘ２はｕが２になるときに１．０から１．２個に一旦は増加したがｕが３になるときに１．０個へと減少に転じている。また，ｘ３については，１．０，０．８，０．３と一貫して減少している。ｍの定義はｍ＝ｐ１ｘ１＋ｐ２ｘ２＋ｐ３ｘ３であり，文脈上は支出額を表す。定義に従って計算した結果として，３から７．１，そして，１１．３となっている。
【表３】
2019003592.tif 000006
【００４６】
本実施例においては（表３）のようなデータはゲーム内の消費者が一定水準のｕを得るために費用ｍを最小化した結果として解釈する。
【００４７】
いま，便宜的に，ｂ１＝ｂ２＝ｂ３＝１／３であるとする。また，ａ１＝ａ２＝ａ３＝０．９であるとする。実施者がより多くのデータを保有していれば，ｂ１，ｂ２，ｂ３，ａ１，ａ２，ａ３は観察データから推計可能であるが，本実施例の説明では，説明の便宜のため，これらの値は既知とする。
【００４８】
上記のａ１＝ａ２＝ａ３＝０．９，ｂ１＝ｂ２＝ｂ３＝１／３，および，ｐ１＝ｐ２＝ｐ３＝１を請求項７の（数１５）に代入することで，第１財の補償需要関数として（数３）を生成する。そして，（数３）の各項を計算して整理し（数４）を生成する。
【数３】
2019003592.tif 000007
【数４】
2019003592.tif 000008
【００４９】
（表３）では，ｕ＝２のときｘ１＝５．１であるから，（数４）に代入して，３×２＝（２―ｃ１＋２９ｃ１−１０ｃ２＋２９ｃ１−１０ｃ３）×（５．１）０．９を生成する。
【００５０】
（表３）では，ｕ＝３のときｘ１＝１０．０であるから，（数４）に代入して，３×３＝（３―ｃ１＋３９ｃ１−１０ｃ２＋３９ｃ１−１０ｃ３）×１００．９を生成する。
【００５１】
（００４９）の式と（００５０）の式では式が２本しかないので，ｃ１，ｃ２，ｃ３の３つの未知数の値は特定できない。そこで，（表３）を見るとｘ１は単調に増加していることからｘ１は下級財ではないと断定し，便宜的にｃ１＝０とする。
【００５２】
（００４９）の式にｃ１＝０を代入し，また，（５．１）０．９＝４．２５６も代入して，６／４．２５６＝２０＋２−１０ｃ２＋２−１０ｃ３を生成する。
【００５３】
（００５０）にｃ１＝０を代入し，また，１００．９＝７．７４も代入して，９／７．９４＝３０＋３−１０ｃ２＋３−１０ｃ３を生成する。
【００５４】
（００５２）の式と（００５３）の式を連立してｃ２，ｃ３について解く。すると，ｃ２≒０．２，ｃ３≒０．３をえる。ただし，手計算では解けないので，表計算ソフトのソルバーや，専用の数学ソフトを使う。
【００５５】
（００４７）から（００５４）でえたａｉ，ｂｉ，ｃｉの値を使って，請求項７の（数１３）から，効用関数として，（数５）が生成する。
【数５】
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【００５６】
更に，（００４７）から（００５４）でえたａｉ，ｂｉ，ｃｉの値を使って，請求項８の（数１５）から，ｘ１の補償需要関数として（数６），ｘ２の補償需要関数として（数７），ｘ３の補償需要関数として（数８）を生成する。
【数６】
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【数７】
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【数８】
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【００５７】
以下では，（数５）から（数８）を活用してみる。
【００５８】
例えば，効用関数（数５）を活用し，ｘ１からｘ３について実施者が希望する数値群を代入しｕの数列を生成する。その数列は，どのようなｘ１，ｘ２，ｘ３がどれくらいのｕを感じているかを表す。
【００５９】
あるいは，ｘ１の補償需要関数（数６）を活用し，ｐ１＝ｐ２＝ｐ３＝１という均一な価格体系を改めて，ｐ１＝１．１，ｐ２＝１，ｐ３＝０．９のように変更したときのｘ１やｍの変化量を試算できる。そこで様々なｐ１，ｐ２，ｐ３についてプログラムでｍを算出すれば，ｍを最小化するようにプログラムでｐ１，ｐ２，ｐ３を制御できるようになる。
【００６０】
（００５９）の計算において，再度，強調すべきことがある。それを（００６１），（００６２）で述べる。
【００６１】
本発明においては，（表３）のｘ２のように，ｕを高めたときに，ｘ２が１．０から１．２に増加したのちに，１．０へ減少している。ｘ２は，当初は上級財であるが，ｕの増加につれて下級財へと転じているのである。このような観察データから推計された本発明の推計式（数７）も，やはり，上級財から下級財へと変化するようなｘ２の数列を生成できる。
【００６２】
たとえば，ｘ２の補償需要関数である（数７）について，ｐ１＝ｐ２＝ｐ３＝１を代入する。このときにはｘ２について解ける。ｘ２について解いて，ｘ２＝（３ｕ）／（ｕ１．８＋ｕ−０．２＋ｕ−１．２）を生成する。この式にｕとして１，２，３を入力すると，ｘ２として，１，１．２８，１．０４が得られる。ｘ２は１から１．２８へ増加したのちに１．０４へと減少しており，上級財から下級財に変化するような数列が生成されていることが確認できる。しかも，足し算構造なので，財の数は１００個でも１０００個でも，いくらでも追加できる。
【００６３】
なお，請求項の（数１３），（数１４），（数１５）は相互に矛盾がなく数学的に整合的である。ａｉ，ｂｉなどの各文字変数に共通の値を代入したとき，（数１３），（数１４），（数１５）の等式はすべて同時に満たされる。このような整合性があることから，（００５３）で得たｃ２，ｃ３の値を（数１３），（数１４），（数１５）に代入して様々な用途に転用できる。
【産業上の利用可能性】
【００６４】
サービス業では，広告を含めて，さまざまな下級サービスが使われることから，下級サービスについての経費や時間コストの削減ができる。また，顧客の感じる満足度を指標化したり，どのような財のベクトルが顧客を高く満足させるか推定することできる。また，下級サービスの供給量をコンピュータで推計により学習しリアルタイムに自動制御する手法としても使えるだろう。
【００６５】
下級財は，低所得者が好んで需要する財であることから，貧しい人の経済生活に関して，生活上の必要量や効用水準の数値化など，低所得者の生活を向上させる研究に役立つ。労働への需要は，生産量の増大と共に減少する下級財である産業もある。これらの労働への影響を計算することで，雇用についての数値的，理論的調査ができるようになる。
【００６６】
また，労働意欲など経営における労働者のモチベーションの数値化などにも活用できるだろう。