(57)【要約】【課題】  量子現象に着想を得た（quantum−inspired）コンピューティングの方法を提供する。【解決手段】  コンピューティングの方法は、プログラミング言語システムの中で第１原子確率変数（ARV）を定めるステップを含む。前記第１ARVは、第２確率に従い０又は第１確率に従い１の非決定性値を有する。前記第１確率及び前記第２確率の和は１である。前記第１ARV及び第２ARVの共分散は０である。前記第１RVは第１確定確率で第１不定値を有し、前記第１ARVを含む１又は複数の原子確率変数（ARVS）の多項式を含む。当該方法は、前記第１RVを基本データ型として含み、第２確定確率で第２不定値を有する第２RVを生成し、結果分布を表し、及び前記１又は複数のARVSに対する応答を追跡する、算術演算を含むコンピュータ命令を実行するステップを含む。【選択図】  図３
2019087227.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
量子現象に着想を得たコンピューティングの方法であって、前記方法は、
プログラミング言語システムの中で第１原子確率変数（ARV）を定めるステップであって、前記第１ARVは０又は１の非決定性値、１の値を有する第１確率、及び０の値を有する第２確率を有し、前記第１確率及び前記第２確率の和は１であり、前記第１ARV及び第２ARVの共分散は０である、ステップと、
前記プログラミング言語システムの中で第１確率変数（RV）を定めるステップであって、前記第１RVは第１確定確率で第１不定値を有し、前記第１ARVを含む１又は複数の原子確率変数（ARVS）の多項式を含む、ステップと、
前記第１RVを基本データ型として含む算術演算を含むコンピュータ命令を実行し、該実行は、第２確定確率で第２不定値を有し、結果分布を表し、及び前記１又は複数のARVSに対する応答を追跡する第２RVを生成する、ステップと、
を有する方法。
【請求項２】
前記第１ARVの平均は、前記第１確率に等しく、
前記第１ARVの平均平方は、前記第１確率に等しく、
前記第１ARVの第ｎモーメントは、ｎの全部の値について前記第１確率に等しく、
前記第１ARVの分散は、前記第１確率及び前記第２確率の積に等しく、
前記第１ARVのｍ乗は、ｍの全部の値について前記第１ARVに等しい、
請求項１に記載の方法。
【請求項３】
前記第１ARVは、ARV式：
Xi∈｛０，１｝；
０≦pi≦１；
Pr［Xi＝１］＝pi；
Pr［Xi＝０］＝１−pi；
Cov（Xi，Xk）＝０  for  i≠k；
に従い定められ、ここで、
i及びkはインデックス変数を表し、
piは前記インデックス変数iに従いインデックス付けされた第１確率を表し、
Xiは前記インデックス変数iに従いインデックス付けされたARVを表し、
Xkは前記インデックス変数kに従いインデックス付けされたARVを表し、
Pr［］は確率関数を表し、
Cov（）は共分散関数を表す、請求項１に記載の方法。
【請求項４】
前記ARVのエントロピは、近似エントロピ式：
S［Xi］〜＝log２−２qi２；
に従い近似され、ここで、
S［Xi］は前記エントロピを表し、
qiはpi―１／２を表し、
log２はネイピア数（e）を底とする２の自然対数を表す、
請求項３に記載の方法。
【請求項５】
前記第１確率変数は、２次確率変数（QRV）であり、
前記QRVはQRV式：
【数１】
2019087227.tif 000024
に従い定められ、ここで、
lはインデックス変数を表し、
YAは前記QRVを表し、
Xkは前記インデックス変数kに従いインデックス付けされたARVを表し、
ak,lは、前記インデックス変数k及びlに従いインデックス付けされた前記ARVSに対する応答を表す決定性実数又は虚数を表し、
Rは実数集合を表し、
Cは虚数集合を表し、
Nは自然数集合を表し、
X０a０,０X０は、X０が１に等しくなるように、p０＝１を有する定数項のために予約される、
請求項３に記載の方法。
【請求項６】
前記第１確率変数は、高次確率変数（HRV）であり、
前記HRVはHRV式：
【数２】
2019087227.tif 000025
に従い定められ、ここで、
YAは前記HRVを表し、
k及びdはインデックス変数を表し、
Xkiは前記インデックス変数kiに従いインデックス付けされたARVを表し、
ak１,k２,...,kdは、前記インデックス変数k１,k２,...,kdに従いインデックス付けされた前記ARVSに対する応答を表す決定性実数又は虚数を表し、
Rは実数集合を表し、
Cは虚数集合を表し、
Nは自然数集合を表し、
a０,０,...,０X０X０・・・X０は、X０が１に等しくなるように、p０＝１を有する定数項のために予約される、
請求項３に記載の方法。
【請求項７】
前記算術演算は、前記第１RVの第３RVとのRV加算演算を含み、
前記RV加算演算は、RV加算演算式：
＋：YA＋YB→YCに従い定められ、以下を満たし：
【数３】
2019087227.tif 000026
【数４】
2019087227.tif 000027
ここで、
YA、YB、YCは、それぞれ前記第１RV、前記第３RV、及び前記第２RVを表し、
前記YA、YB、YCは、高次確率変数（HRV）であり、
kiはインデックス変数を表し、
Xkiは前記インデックス変数kiに従いインデックス付けされたARVを表し、
ak１,k２,...,kl、bk１,k２,...,kl、及びck１,k２,...,kl、は、前記インデックス変数k１,k２,...,klに従いインデックス付けされた前記ARVに対する応答を表す決定性実数又は虚数を表し、
Rは実数集合を表し、
Cは虚数集合を表し、
Nは自然数集合を表す、
請求項１に記載の方法。
【請求項８】
前記算術演算は、前記第１RVの第３RVとのRV乗算演算を含み、
前記RV乗算演算は、RV乗算演算式：
×：YA＋YB→YCに従い定められ、以下を満たし：
【数５】
2019087227.tif 000028
【数６】
2019087227.tif 000029
ここで、
YA、YB、YCは、それぞれ前記第１RV、前記第３RV、及び前記第２RVを表し、
前記YA、YB、YCは、高次確率変数（HRV）であり、
YAはα次HRVであり、
YBはβ次HRVであり、
YCは（α−β）次HRVであり、
k１．．．kα及びl１．．．lβはインデックス変数を表し、
Xkiは前記インデックス変数kiに従いインデックス付けされたARVを表し、
Xliは前記インデックス変数liに従いインデックス付けされたARVを表し、
ak１,...,kα、bl１,...,lβ、及びck１,...,kα,１,...,lβは、前記インデックス変数k１．．．kα及びl１．．．lβに従いインデックス付けされた前記ARVに対する応答を表す決定性実数又は虚数を表し、
Rは実数集合を表し、
Cは虚数集合を表し、
Nは自然数集合を表す、
請求項１に記載の方法。
【請求項９】
前記算術演算は、前記第１RVのRV微分演算を含み、
前記RV微分演算は、RV微分演算式：
【数７】
2019087227.tif 000030
に従い定められ、以下を満たし：
YB≡（YA｜Xi＝１  for  ∀i∈SX）−（YA｜Xi＝０  for  ∀i∈SX）
ここで、YA及びYBは、それぞれ前記第１RV及び前記第２RVを表し、
∀は「for  all（全ての）」演算子を表し、
｜は「such  that（以下を満たす）」演算子を表す、
請求項１に記載の方法。
【請求項１０】
前記コンピュータ命令は、
薬物設計アプリケーションのための量子シミュレーション、
材料設計アプリケーションのための量子シミュレーション、
コンピュータ支援設計（ＣＡＤ）における場所及び経路の組合せ最適化、
高速信号伝送のための信号完全性解析の統計的アイシミュレーション、又は、
解空間を探索するＣＡＤのための統計的静的タイミング解析、
として実装されたアプリケーションに含まれる、請求項１に記載の方法。
【請求項１１】
非一時的コンピュータ可読媒体であって、演算を実行するために１又は複数のプロセッサにより実行可能な符号化されたプログラミングコードを有し、前記演算は、
プログラミング言語システムの中で第１原子確率変数（ARV）を定めるステップであって、前記第１ARVは０又は１の非決定性値、１の値を有する第１確率、及び０の値を有する第２確率を有し、前記第１確率及び前記第２確率の和は１であり、前記第１ARV及び第２ARVの共分散は０である、ステップと、
前記プログラミング言語システムの中で第１確率変数（RV）を定めるステップであって、前記第１RVは第１確定確率で第１不定値を有し、前記第１ARVを含む１又は複数の原子確率変数（ARVS）の多項式を含む、ステップと、
前記第１RVを基本データ型として含む算術演算を含むコンピュータ命令を実行し、該実行は、第２確定確率で第２不定値を有し、結果分布を表し、及び前記１又は複数のARVSに対する応答を追跡する第２RVを生成する、ステップと、
を有する、非一時的コンピュータ可読媒体。
【請求項１２】
前記第１ARVの平均は、前記第１確率に等しく、
前記第１ARVの平均平方は、前記第１確率に等しく、
前記第１ARVの第ｎモーメントは、ｎの全部の値について前記第１確率に等しく、
前記第１ARVの分散は、前記第１確率及び前記第２確率の積に等しく、
前記第１ARVのｍ乗は、ｍの全部の値について前記第１ARVに等しい、
請求項１１に記載のコンピュータ可読媒体。
【請求項１３】
前記第１ARVは、ARV式：
Xi∈｛０，１｝；
０≦pi≦１；
Pr［Xi＝１］＝pi；
Pr［Xi＝０］＝１−pi；
Cov（Xi，Xk）＝０  for  i≠k；
に従い定められ、ここで、
i及びkはインデックス変数を表し、
piは前記インデックス変数iに従いインデックス付けされた第１確率を表し、
Xiは前記インデックス変数iに従いインデックス付けされたARVを表し、
Xkは前記インデックス変数kに従いインデックス付けされたARVを表し、
Pr［］は確率関数を表し、
Cov（）は共分散関数を表す、
請求項１１に記載の非一時的コンピュータ可読媒体。
【請求項１４】
前記ARVのエントロピは、近似エントロピ式：
S［Xi］〜＝log２−２qi２；に従い近似され、
ここで、S［Xi］は前記エントロピを表し、
qiはpi―１／２を表し、
log２はネイピア数（e）を底とする２の自然対数を表す、
請求項１３に記載のコンピュータ可読媒体。
【請求項１５】
前記第１確率変数は、２次確率変数（QRV）であり、
前記QRVはQRV式：
【数８】
2019087227.tif 000031
【数９】
2019087227.tif 000032
に従い定められ、ここで、
lはインデックス変数を表し、
YAは前記QRVを表し、
Xkは前記インデックス変数kに従いインデックス付けされたARVを表し、
ak,lは、前記インデックス変数kに従いインデックス付けされた前記ARVSに対する応答を表す決定性実数又は虚数を表し、
Rは実数集合を表し、
Cは虚数集合を表し、
Nは自然数集合を表し、
X０a０,０X０は、X０が１に等しくなるように、p０＝１を有する定数項のために予約される、
請求項１３に記載の非一時的コンピュータ可読媒体。
【請求項１６】
前記第１確率変数は、高次確率変数（HRV）であり、
前記HRVはHRV式：
【数１０】
2019087227.tif 000033
に従い定められ、ここで、
YAは前記HRVを表し、
k及びdはインデックス変数を表し、
Xkiは前記インデックス変数kiに従いインデックス付けされたARVを表し、
ak１,k２,...,kdは、前記インデックス変数k１,k２,...,kdに従いインデックス付けされた前記ARVSに対する応答を表す決定性実数又は虚数を表し、
Rは実数集合を表し、
Cは虚数集合を表し、
Nは自然数集合を表し、
a０,０,...,０X０X０・・・X０は、X０が１に等しくなるように、p０＝１を有する定数項のために予約される、
請求項１３に記載の非一時的コンピュータ可読媒体。
【請求項１７】
前記算術演算は、前記第１RVの第３RVとのRV加算演算を含み、
前記RV加算演算は、RV加算演算式：
＋：YA＋YB→YCに従い定められ、以下を満たし：
【数１１】
2019087227.tif 000034
【数１２】
2019087227.tif 000035
ここで、YA、YB、YCは、それぞれ前記第１RV、前記第３RV、及び前記第２RVを表し、
前記YA、YB、YCは、高次確率変数（HRV）であり、
kiはインデックス変数を表し、
Xkiは前記インデックス変数kiに従いインデックス付けされたARVを表し、
ak１,k２,...,kl、bk１,k２,...,kl、及びck１,k２,...,kl、は、前記インデックス変数k１,...,klに従いインデックス付けされた前記ARVに対する応答を表す決定性実数又は虚数を表し、
Rは実数集合を表し、
Cは虚数集合を表し、
Nは自然数集合を表す、
請求項１１に記載の非一時的コンピュータ可読媒体。
【請求項１８】
前記算術演算は、前記第１RVの第３RVとのRV乗算演算を含み、
前記RV乗算演算は、RV乗算演算式：
×：YA＋YB→YCに従い定められ、以下を満たし：
【数１３】
2019087227.tif 000036
ここで、
YA、YB、YCは、それぞれ前記第１RV、前記第３RV、及び前記第２RVを表し、
前記YA、YB、YCは、高次確率変数（HRV）であり、
YAはα次HRVであり、
YBはβ次HRVであり、
YCは（α−β）次HRVであり、
k１．．．kα及びl１．．．lβはインデックス変数を表し、
Xkiは前記インデックス変数kiに従いインデックス付けされたARVを表し、
Xliは前記インデックス変数liに従いインデックス付けされたARVを表し、
ak１,...,kα及びbl１,...,lβは、前記インデックス変数k１．．．kα及びl１．．．lβに従いインデックス付けされた前記ARVに対する応答を表す決定性実数又は虚数を表し、
Rは実数集合を表し、
Cは虚数集合を表し、
Nは自然数集合を表す、
請求項１１に記載の非一時的コンピュータ可読媒体。
【請求項１９】
前記算術演算は、前記第１RVのRV微分演算を含み、
前記RV微分演算は、RV微分演算式：
【数１４】
2019087227.tif 000037
に従い定められ、以下を満たし：
YB≡（YA｜Xi＝１  for  ∀i∈SX）−（YA｜Xi＝０  for  ∀i∈SX）
ここで、YA及びYBは、それぞれ前記第１RV及び前記第２RVを表し、
∀は「for  all（全ての）」演算子を表し、
｜は「such  that（以下を満たす）」演算子を表す、
請求項１１に記載の非一時的コンピュータ可読媒体。
【請求項２０】
前記コンピュータ命令は、
薬物設計アプリケーションのための量子シミュレーション、
材料設計アプリケーションのための量子シミュレーション、
コンピュータ支援設計（ＣＡＤ）における場所及び経路の組合せ最適化、
高速信号伝送のための信号完全性解析の統計的アイシミュレーション、又は、
解空間を探索するＣＡＤのための統計的静的タイミング解析、
として実装されたアプリケーションに含まれる、請求項１１に記載の非一時的コンピュータ可読媒体。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本願明細書で議論される実施形態は、未知値を用いるコンピューティングに関する。
【背景技術】
【０００２】
コンピュータプログラマは、現実世界の問題をコンピュータプログラムのステップ又はコンピュータ命令に変換する。コンピュータプログラムは、通常、計算機であるコンピュータ装置により処理される。コンピュータプログラムは、コンピュータプログラミング言語で書かれる。
【０００３】
コンピュータプログラミング言語は、異なるデータ型を認識する。コンピュータ言語により認識されるデータ型は、基本データ型として参照され得る。例えばＪＡＶＡ(登録商標)では、基本（又はプリミティブ）データ型は、byte、short、int、long、flaot、double、Boolean、及びcharを含む。Ｃでは、基本データ型は、int、flaot、double、charを含む。これら及び他のデータ型は、一度に１つの状態を表す。
【０００４】
コンピュータプログラムの中の値及び変数は、基本データ型にフォーマットされる。したがって、コンピュータプログラムの中の値及び変数は、既知の単一の状態を表す。コンピュータプログラムは、したがって、既知の値を用いてコンピュータ演算を実行するだけでよい。例えば、コンピュータプログラムの中で、加算演算及び乗算演算のような演算は、既知の値に対して実行されて良い。同様に、従来のプログラミング言語の中の変数は、コンピュータ演算の実行中に、既知の値を有して良い。一度に１つの状態であり且つ既知である基本データ型は、コンピュータプログラム及びコンピュータ言語の制限を導入する。
【０００５】
本願明細書で請求される主題は、上述のような欠点を解決する実施形態や上述のような環境でのみ機能する実施形態に限定されない。むしろ、この背景技術は、単に、本願明細書に記載される複数の実施形態が実施される技術分野の一例を説明するために提供される。
【発明の概要】
【０００６】
一実施形態の態様によると、量子現象に着想を得た（quantum−inspired）コンピューティングの方法は、プログラミング言語システムの中で第１原子確率変数（ARV）を定めるステップを有して良い。前記第１ARVは０又は１の非決定性値を有して良い。前記第１ARVは１の値を有する第１確率を有して良い。前記第１ARVは０の値を有する第２確率を有して良い。前記第１確率及び前記第２確率の和は１であって良い。前記第１ARV及び第２ARVの共分散は０であって良い。前記方法は、前記プログラミング言語システムの中で第１確率変数（RV）を定めるステップを有して良い。前記第１RVは第１確定確率で第１不定値を有して良く、前記第１ARVを含む１又は複数の原子確率変数（ARVS）の多項式を含んで良い。前記方法は、算術演算を含むコンピュータ命令を実行するステップを含んで良い。前記算術演算は、前記第１RVを基本データ型として含んで良い。前記コンピュータ命令の実行は、第２確定確率で第２不定値を有する第２RVを生成して良く、前記第２RVは、結果分布を表して良く、及び前記１又は複数のARVSに対する応答を追跡する。
【０００７】
実施形態の目的及び利点が理解され、少なくとも特に特許請求の範囲で指摘された要素、特徴及び組合せを用いて達成されるだろう。
【０００８】
上述の全体的説明及び以下の詳細な説明の両方は、例示及び説明のためであり、本発明の範囲を限定しないことが理解される。
【図面の簡単な説明】
【０００９】
例示的な実施形態は、添付の図面を用いて、更なる特異性及び詳細事項と共に記載され説明される。
【００１０】
【図１】本開示に記載される幾つかの実施形態が実装され得る例示的なプログラミング言語システムを示す。
【００１１】
【図２】図１のプログラミング言語システム内で量子現象に着想を得たコンピューティングのために構成された例示的なコンピューティングシステムを示す。
【００１２】
【図３】量子現象に着想を得たコンピューティングの例示的な方法のフロー図である。
【００１３】
【図４】図１のプログラミング言語システム内で定められ及びサポートされる原子確率変数（ARV）のグランドを定める例示的な方程式を提示する。
【００１４】
【図５】図４のARVの平均を定める例示的な方程式を提示する。
【００１５】
【図６】図４のARVの平均平方を定める例示的な方程式を提示する。
【００１６】
【図７】図４のARVの分散を定める例示的な方程式を提示する。
【００１７】
【図８】図４のARVの共分散を定める例示的な方程式を提示する。
【００１８】
【図９】図４のARVの第ｎモーメントを定める例示的な方程式を提示する。
【００１９】
【図１０】図４のARVの確率密度関数を定める例示的な方程式を提示する。
【００２０】
【図１１】図４のARVの累積密度関数を定める例示的な方程式を提示する。
【００２１】
【図１２】図４のARVのモーメント発生関数を定める例示的な方程式を提示する。
【００２２】
【図１３】図４のARVの特性関数を定める例示的な方程式を提示する。
【００２３】
【図１４】図４のARVの累積率発生関数を定める例示的な方程式を提示する。
【００２４】
【図１５】図４のARVの冪乗の定理を提示する。
【００２５】
【図１６】図１のプログラミング言語システム内で定められ及びサポートされる線形確率変数（LRV）のグランドを定める例示的な方程式を提示する。
【００２６】
【図１７】図１６のLRVの平均を定める例示的な方程式を提示する。
【００２７】
【図１８】図１６のLRVの平均平方を定める例示的な方程式を提示する。
【００２８】
【図１９】図１６のLRVの分散を定める例示的な方程式を提示する。
【００２９】
【図２０】図１６のLRVの第ｎモーメントを定める例示的な方程式を提示する。
【００３０】
【図２１】図１６のLRVの共分散を定める例示的な方程式を提示する。
【００３１】
【図２２】図１６のLRVの相関係数を定める例示的な方程式を提示する。
【００３２】
【図２３】図１のプログラミング言語システム内で定められ及びサポートされる２次確率変数（QRV）を変換する例示的なQRV変換式を提示する。
【００３３】
【図２４】図２３のQRVのグランドを定める例示的な方程式を提示する。
【００３４】
【図２５】図２３のQRVの平均を定める例示的な方程式を提示する。
【００３５】
【図２６】図２３のQRVの平均平方を定める例示的な方程式を提示する。
【００３６】
【図２７】図２３のQRVの分散を定める例示的な方程式を提示する。
【００３７】
【図２８Ａ】図２３のQRVの共共分散を定める例示的な方程式を提示する。
【図２８Ｂ】図２３のQRVの共共分散を定める例示的な方程式を提示する。
【図２９】図２３のQRVの共共分散を定める例示的な方程式を提示する。
【００３８】
【図３０】図２３のQRVの相関係数を定める例示的な方程式を提示する。
【００３９】
【図３１】図２３のQRVと図１６のLRVとの間の例示的な変換のための方程式を提示する。
【図３２】図２３のQRVと図１６のLRVとの間の例示的な変換のための方程式を提示する。
【００４０】
【図３３】図３１〜３２の変換後のグランドに対する幾つかの例示的な変化を提示する。
【００４１】
【図３４】図３１〜３２の変換後の平均に対する幾つかの例示的な変化を提示する。
【００４２】
【図３５Ａ】図３１〜３２の変換後の平均平方に対する幾つかの例示的な変化を提示する。
【図３５Ｂ】図３１〜３２の変換後の平均平方に対する幾つかの例示的な変化を提示する。
【００４３】
【図３６Ａ】図１のプログラミング言語システム内で定められ及びサポートされるHRVを等価な正規形式に変換する例示的な高次確率変数（HRV）変換式を提示する。
【００４４】
【図３６Ｂ】図３６ＡのHRV変換式の証明を提示する。
【図３６Ｃ】図３６ＡのHRV変換式の証明を提示する。
【００４５】
【図３７】図１のプログラミング言語システム内で定められ及びサポートされるHRVのグランドを定める例示的な方程式を提示する。
【００４６】
【図３８】図３７のHRVの平均を定める例示的な方程式を提示する。
【００４７】
【図３９】図３７のHRVの平均平方を定める例示的な方程式を提示する。
【００４８】
【図４０】図３７のHRVの分散を定める例示的な方程式を提示する。
【００４９】
【図４１Ａ】図３７のHRVの共分散を定める例示的な方程式を提示する。
【図４１Ｂ】図３７のHRVの共分散を定める例示的な方程式を提示する。
【図４１Ｃ】図３７のHRVの共分散を定める例示的な方程式を提示する。
【００５０】
【図４２】図３７のHRVの相関係数を定める例示的な方程式を提示する。
【００５１】
【図４３Ａ】ローカル値の割り当てによる図３７のHRVの例示的な換算を提示する。
【図４３Ｂ】ローカル値の割り当てによる図３７のHRVの例示的な換算を提示する。
【００５２】
【図４４Ａ】図４３Ａ〜４３Ｂの換算後のグランドの方程式に対する幾つかの例示的な変化を提示する。
【図４４Ｂ】図４３Ａ〜４３Ｂの換算後のグランドの方程式に対する幾つかの例示的な変化を提示する。
【図４４Ｃ】図４３Ａ〜４３Ｂの換算後のグランドの方程式に対する幾つかの例示的な変化を提示する。
【００５３】
【図４５Ａ】図４３Ａ〜４３Ｂの換算後の平均の方程式に対する幾つかの例示的な変化を提示する。
【図４５Ｂ】図４３Ａ〜４３Ｂの換算後の平均の方程式に対する幾つかの例示的な変化を提示する。
【００５４】
【図４５Ｃ】図４５Ａ及び４５Ｂの方程式の部分を明確化する方程式を提示する。
【図４５Ｄ】図４５Ａ及び４５Ｂの方程式の部分を明確化する方程式を提示する。
【００５５】
【図４６Ａ】図４３Ａ〜４３Ｂの換算後の平均平方（例えば、第２モーメント）の方程式に対する幾つかの例示的な変化を提示する。
【図４６Ｂ】図４３Ａ〜４３Ｂの換算後の平均平方（例えば、第２モーメント）の方程式に対する幾つかの例示的な変化を提示する。
【図４６Ｃ】図４３Ａ〜４３Ｂの換算後の平均平方（例えば、第２モーメント）の方程式に対する幾つかの例示的な変化を提示する。
【図４６Ｄ】図４３Ａ〜４３Ｂの換算後の平均平方（例えば、第２モーメント）の方程式に対する幾つかの例示的な変化を提示する。
【図４６Ｅ】図４３Ａ〜４３Ｂの換算後の平均平方（例えば、第２モーメント）の方程式に対する幾つかの例示的な変化を提示する。
【００５６】
【図４７】図４３Ａ〜４３Ｂの換算に起因する平均平方に対する幾つかの例示的な差分を提示する。
【００５７】
【図４８】図１のプログラミング言語システム内で定められ及びサポートされる例示的な確率変数（RV）減算演算を提示する。
【００５８】
【図４９】図１のプログラミング言語システム内で定められ及びサポートされる例示的なRVスケーリング演算を提示する。
【００５９】
【図５０】図１のプログラミング言語システム内で定められ及びサポートされるLRVSを含む例示的なRV乗算演算を提示する。
【００６０】
【図５１】図１のプログラミング言語システム内で定められ及びサポートされるQRVSを含む例示的なRV乗算演算を提示する。
【００６１】
【図５２】図１のプログラミング言語システム内で定められ及びサポートされるLRVSの条件付き確率変数（CRVS）の例示的な定義を提示する。
【００６２】
【図５３】図１のプログラミング言語システム内で定められ及びサポートされるQRVSのCRVSの例示的な定義を提示する。
【００６３】
【図５４】図１のプログラミング言語システム内で定められ及びサポートされるHRVSのCRVSの例示的な定義を提示する。
【００６４】
【図５５Ａ】図１のプログラミング言語システム内で定められ及びサポートされるLRVSのRV微分演算の例示的な定義を提示する。
【図５５Ｂ】図１のプログラミング言語システム内で定められ及びサポートされるLRVSのRV微分演算の例示的な定義を提示する。
【００６５】
【図５６Ａ】QRVSのRV微分演算の例示的な定義を提示する。
【図５６Ｂ】QRVSのRV微分演算の例示的な定義を提示する。
【００６６】
【図５７Ａ】HRVSのRV微分演算の例示的な定義を提示する。
【図５７Ｂ】HRVSのRV微分演算の例示的な定義を提示する。
【００６７】
【図５８Ａ】RV微分のグランドを示す例示的な式を提示する。
【図５８Ｂ】RV微分のグランドを示す例示的な式を提示する。
【図５８Ｃ】RV微分のグランドを示す例示的な式を提示する。
【００６８】
【図５９】RV微分のLRV平均を定める例示的な式を提示する。
【００６９】
【図６０】RV微分のQRV平均を定める例示的な式を提示する。
【００７０】
【図６１】RV微分のHRV平均を定める例示的な式を提示する。
【００７１】
【図６２】RV微分のLRV分散を定める例示的な式を提示する。
【００７２】
【図６３Ａ】RV微分のQRV分散を定める例示的な式を提示する。
【図６３Ｂ】RV微分のQRV分散を定める例示的な式を提示する。
【００７３】
【図６４Ａ】RV微分のHRV分散を定める例示的な式を提示する。
【図６４Ｂ】RV微分のHRV分散を定める例示的な式を提示する。
【図６４Ｃ】RV微分のHRV分散を定める例示的な式を提示する。
【図６４Ｄ】RV微分のHRV分散を定める例示的な式を提示する。
【００７４】
【図６５】RV微分のLRV共分散を定める例示的な式を提示する。
【００７５】
【図６６Ａ】RV微分のQRV分散を定める例示的な式を提示する。
【図６６Ｂ】RV微分のQRV分散を定める例示的な式を提示する。
【図６６Ｃ】RV微分のQRV分散を定める例示的な式を提示する。
【００７６】
【図６７】ARVのエントロピの例示的な式を提示する。
【００７７】
【図６８Ａ】LRVのエントロピの例示的な式を提示する。
【図６８Ｂ】LRVのエントロピの例示的な式を提示する。
【図６８Ｃ】LRVのエントロピの例示的な式を提示する。
【００７８】
【図６９Ａ】QRVのエントロピの例示的な式を提示する。
【図６９Ｂ】QRVのエントロピの例示的な式を提示する。
【図６９Ｃ】QRVのエントロピの例示的な式を提示する。
【００７９】
【図７０Ａ】HRVのエントロピの例示的な式を提示する。
【図７０Ｂ】HRVのエントロピの例示的な式を提示する。
【図７０Ｃ】HRVのエントロピの例示的な式を提示する。
【００８０】
以上は、本願明細書に記載の少なくとも１つの実施形態に従って構成される。
【発明を実施するための形態】
【００８１】
コンピュータプログラミング言語の現在の基本データ型は、一度に単一の状態を表すことができる。したがって、現在の基本データ型を実装するコンピュータプログラムの中の値及び変数は、一度に単一の状態を表す。上述及び他のコンピュータプログラミング言語では、単一の状態は、コンピュータプログラムに含まれる算術演算の実行中に知られている。
【００８２】
一度に単一の状態であり且つ既知である基本データ型は、コンピュータプログラムの及びコンピュータ言語の制限である。実際に、多くの現実世界問題は未知の値を含む。例えば、薬物設計のための量子シミュレーション、材料設計のための量子シミュレーション、及びコンピュータ支援設計（ＣＡＤ）における場所及び経路の組合せ最適化は、多くの未知値を用いる式を含み得る。未知値を含む現実世界問題を解決するコンピュータプログラムを実装するために、プログラマは、事前に式を解くために未知変数と共に代数の計算を用いる、又は未知値を有する現実世界問題を記述する式を、既知値のみを含む単純な算術演算に変換するために数値アルゴリズムを用いることがある。
【００８３】
数値アルゴリズムは不十分なことが多い。特に、現実世界問題の次元が高いとき、数値アルゴリズムは可能な値の多数（例えば数百京（１０の１８乗））の組合せをチェックすることを含み得るので、数値アルゴリズムは不十分なことがある。さらに、組合せの数は、未知値の数が増大するにつれ指数関数的に増大し得る。
【００８４】
さらに、幾つかの統計的分析は確率変数を含む。例えば、高速信号伝送についての信号完全性解析の統計的アイシミュレーション又はＣＡＤのための統計的静的タイミング解析における統計的分析は、確率変数を含む。確率変数は未知値を有することがあるので、従来のプログラミング言語（例えば、既知値及び／又は一度に単一の状態を有する基本データ型のみをサポートするもの）は、確率変数をサポートしない。したがって、従来のプログラミング言語で統計的分析のためのコンピュータプログラムを書くことは、困難であり間違いを起こしやすい。実際に、統計的分析に含まれる幾つかの式は解くことが不可能である場合がある。さらに、このようなコンピュータプログラムにおける「バグ」は、結果のばらつきと区別できないことが多い。例えば、信号完全性解析におけるジッタ及びシンボル間干渉は、ジッタ及びシンボル間干渉の両者がデータに依存するので、互いに相関する場合がある。しかしながら、ジッタとシンボル間干渉との相関は、説明が困難であり、気付き難く、式中で見過ごされてしまう。
【００８５】
幾つかの他のコンピューティングシステムは、一度に複数の状態を表すことが可能である。例えば、量子コンピュータは、幾つかの実装では、一度に複数の状態を表すことができる。量子コンピュータは、量子素子の量子効果を利用し得る。しかしながら、量子コンピュータは、それ自体を実現することが困難である。さらに、プログラミングモデルが従来のノイマン型コンピュータ装置及びコンピュータプログラミング言語と異なるので、量子コンピュータのためのアルゴリズム及びコンピュータプログラムを書くことが困難な場合がある。
【００８６】
別の例は、一度に、複数の状態からランダムに選択された単一の状態を表すことが可能な非決定性アルゴリズムである。例えば、モンテカルロ（Monte  Carlo：ＭＣ）法及びマルコフ−チェイン・モンテカルロ（Markov−Chain  Monte  Carlo：ＭＣＭＣ）法は、一度に、複数の状態からランダムに選択された単一の状態を表すことが可能である。ＭＣ法は、次元性の増大に関連する計算的非効率を緩和するために、解空間全体を探索する代わりに、疑似乱数を用いる非決定性方法で解空間を探索する。しかしながら、非決定性アルゴリズムでは、結果は偶然にしか得られない。さらに、非決定性アルゴリズムは、特に高次元の環境で、低確率をカバーするのに不十分である。
【００８７】
シンボル計算システムは、未知値又は確率変数をサポートし得る。シンボル計算システムは、REDUCE（商標）、MATHEMATICA（登録商標）、又はMAPLE（商標）のようなソフトウェアパッケージに組み込まれる。シンボル計算における計算は、人間により使用される従来の代数と同じ方法で、未知値にシンボルを用いて実行される。しかしながら、シンボル計算は、常に可能ではない。例えば、シンボル計算で５次式を解くことは不可能であることが数学的に証明されている。シンボル計算が可能でない環境では、計算は数値計算に切り替わり得る。上述のように、数値計算は算術的である。シンボル計算が数値計算に遷移した後に、未知値の計算は中断する。例えば、数値計算への遷移の後に、確率変数間の相関は失われる。シンボル計算と数値計算との間に中間的計算形式は存在しない。
【００８８】
統計的分析ソフトウェアは、確率変数をサポートする場合がある。例えば、「Ｓ」又は「Ｒ」のような統計的分析ソフトウェアでは、統計的データセットを表すために確率変数が使用される。しかしながら、統計的分析ソフトウェアは、通常、所与のデータセットに対する統計的分析のために実装される。したがって、統計的分析ソフトウェアは、汎用プログラミングをサポートしない。
【００８９】
Satisfiability（ＳＡＴ）ソルバは、接続、分離、及び反転演算子を有する論理変数と共に現れる論理的表現が充足可能か否かを調べるために実装されて良い。ＳＡＴソルバは、各論理変数の割り当てを、該割り当てが充足可能であるとき、発見し得る。論理変数は、未知論理値を有すると考えられる。したがって、ＳＡＴソルバは、未知論理値に対して論理計算を実行すると考えられる。ソフトウェアが組合せ最適化問題から変換された論理表現を解くことを可能にするＳＡＴソルバのための発見的方法がある。しかしながら、ＳＡＴソルバは、論理表現を解けるだけである。したがって、ＳＡＴソルバの適用の前に、問題は論理表現に変換される。したがって、ＳＡＴソルバは、汎用コンピュータプログラミング言語と比べて限定的である。
【００９０】
したがって、本開示で記載される実施形態は、未知値を用いる汎用コンピューティングに関連する。例えば、幾つかの実施形態は、未知値を基本データ型として使用するが、汎用コンピューティングシステムの中で実装され、且つ汎用コンピュータプログラムの生成及びプログラミングを可能にするコンピューティングシステムに関する。
【００９１】
未知値を用いる汎用コンピューティングの例は、量子現象に着想を得たコンピューティング（quantum−inspired  computing）を含み得る。量子現象に着想を得たコンピューティングは、量子コンピュータに関連して定められて良い。量子コンピュータは、０又は１のいずれかを表す量子ビット（ｑｕｂｉｔ）を用いる。量子コンピュータでは、ｑｕｂｉｔが０か１かは分からない。複数のｑｕｂｉｔが、重ね合わせられた（super−positioned）値のうちの１つを表す１つの量子状態を構成する。しかし、重ね合わせられた値のどれかは分からない。複数のｑｕｂｉｔは、また、量子状態でもつれている（entangled）。量子状態における複数のｑｕｂｉｔ間のもつれは、量子効果を有する量子装置を用いてｑｕｂｉｔが実装される場合にのみ実現可能であり、量子効果を有しない従来装置を用いては実現できない。
【００９２】
本開示で記載される幾つかの実施形態は、量子状態におけるもつれを実現することなく、複数の可能な値の重ね合わせを実現するので、量子現象に着想を得たコンピューティングに関連する。したがって、量子効果を有しない従来の装置を用いて、又は従来の汎用コンピュータシステム上のソフトウェアとして、実装することが可能である。
【００９３】
幾つかの実施形態は、プログラミング言語システムを記載する。プログラミング言語システムは、基本データ型として確率変数をサポートして良い。確率変数は、確定確率を含み得る不定値を有して良い。確率変数は、確定確率分布を有し得る不定原子値を有し得る原子確率変数により表すことができる。不定原子値は、０又は１のいずれかでり得る離散原子値を有して良く、又は０,１,２,３,４,５,６,７,８,９からの１つの値を有して良く、又は連続的原子値を有して良い。連続的原子値は、ガウス確率分布又は一様確率分布を有して良い。
【００９４】
確率変数は、原子確率変数の多項式により表せる。プログラミング言語システムは、解空間のナビゲーションを可能にする複数の算術演算及び統計的特性をサポートして良い。一例では、０又は１に等しくて良い原子確率変数を割り当てるために、確率変数に対する確率変数の導関数の期待値が正か負かに基づき、値が選択されて良い。別の例では、原子確率変数のリストが、確率変数の導関数の分散の降順で格納されて良い。したがって、これらの原子確率変数からのリストは、確率変数に対してより小さな影響を有する原子確率変数より、確率変数に対してより大きな影響を伴い処理されて良い。
【００９５】
幾つかの例示的な算術演算及び統計的特性は、算術演算と同様の、確率変数に対する積演算、確率変数に対する条件付き変更子、確率変数に対する微分変更子、等を含んで良い。追加で、統計的特性は、平均、平均平方（第２モーメント）、分散、第ｎモーメント、共分散、相関係数、グランド、他の統計的特性、又はそれらの何らかの組み合わせを含んで良い。プログラミング言語システムは、アプリケーションプログラムと共にロードされて良く、実行されて良い。
【００９６】
プログラミング言語システムは、種々のアプリケーションのためのプログラムを記述し及び実行するために実装されて良い。例えば、アプリケーションは、薬物設計のための量子シミュレーション、材料設計のための量子シミュレーション、ＣＡＤにおける場所及び経路の組合せ最適化、高速信号伝送のための信号完全性解析の統計的アイシミュレーション、及びＣＡＤのための統計的静的タイミング解析を含んで良い。
【００９７】
統計的解析ソフトウェアと比べて、プログラミング言語システムは、汎用プログラミングに適し得る。ＳＡＴソルバと比べて、プログラミング言語システムは多項式に基づくので、より汎用的であり、より柔軟であり、汎用プログラミングに一層適する。例えば、多項式は、１により真を、０により偽を、減算演算子（１−Ｘ）により反転演算子を、積演算し（Ｘ＊Ｙ）により結合演算子を、及び幾つかの演算子（Ｘ＋Ｙ−Ｘ＊Ｙ）により分離演算子を表すことにより、任意の論理式を表すことができる。
【００９８】
上述及び他の実施形態は、添付の図面を参照して説明される。添付の図では、同じ参照符号を有する特徴及びコンポーネントは、特に断りの無い限り、同様の構造及び機能を有する。
【００９９】
図１は、本開示に記載される幾つかの実施形態が実装され得る例示的なプログラミング言語システム１００を示す。プログラミング言語システム１００において、クライアント装置１０２及び／又はサーバ装置１０６は、コンピュータプログラムモジュール１０８の実装のために構成されて良い。コンピュータプログラムモジュール１０８は、ユーザ１１２が、コンピュータプログラムの形式を取り得るコンピュータ命令１０５をプログラミングし又はその他の場合に生成することを可能にし得る。コンピュータプログラムモジュール１０８は、コンピュータ命令１０５を生成するために実装され得る汎用プログラミング言語を有して良い。
【０１００】
コンピュータ命令１０５は、通常、任意の種類のコンピューティング機能を提供するために実装され得る適用可能プログラミング命令を含み得る。例えば、コンピュータ命令１０５は、ノイマン型コンピュータ命令を有して良い。コンピュータ命令１０５は、結果１１３を生成するために、アプリケーションモジュール１０７の中で実行されて良い。結果１１３は、コンピューティング出力、データ出力、データ出力を含む信号、等を有して良い。
【０１０１】
図１のプログラミング言語システム１００では、コンピュータプログラムモジュール１０８及び／又はアプリケーションモジュール１０７は、クライアント装置１０２に実装されて良い。例えば、コンピュータプログラムモジュール１０８は、クライアント装置１０２に少なくとも部分的にロードされて良い。さらに、アプリケーションモジュール１０７は、クライアント装置１０２に少なくとも部分的にロードされて良い。ユーザ１１２は、コンピュータ命令１０５をローカルに（例えばクライアント装置１０２上で）生成し、及び／又はコンピュータ命令１０５をローカルに実行して良い。
【０１０２】
追加で、コンピュータプログラムモジュール１０８及びアプリケーションモジュール１０７の一方又は両方は、サーバ装置１０６上に実装されて良い。例えば、コンピュータプログラムモジュール１０８及び／又はアプリケーションモジュール１０７は、クライアント装置１０２を使用するユーザ１１２により、ネットワーク１０４を介してアクセスされて良い。幾つかの実施形態では、コンピュータ命令１０５は、クライアント装置１０２、サーバ装置１０６、又はネットワーク通信の可能な他の装置の間でネットワーク１０４を介して通信されて良い。クライアント装置１０２、サーバ装置１０６、及びネットワーク１０４の各々は、以下に記載される。
【０１０３】
ネットワーク１０４は、有線又は無線であって良く、スター構成、トークンリング構成若しくは他の構成を含む多数の異なる構成を有して良いが、これらに限定されない。さらに、ネットワーク１０４は、ＬＡＮ（local  area  network）、ＷＡＮ（wide  area  network）（例えば、インターネット）、及び／又は複数の装置が通信できる他の相互接続されたデータ経路を有して良い。幾つかの実施形態では、ネットワーク１０４は、ピアツーピアネットワークであって良い。ネットワーク１０４は、種々の異なる通信プロトコルでデータの通信を可能にする通信ネットワークの一部に結合され又はそれを含んで良い。幾つかの実施形態では、ネットワーク１０４は、Ｂｌｕｅｔｏｏｔｈ（登録商標）通信ネットワーク又はＳＭＳ（short  messaging  service）、ＭＭＳ（multimedia  messaging  service）、ＨＴＴＰ（hypertext  transfer  protocol）、直接データ接続、ＷＡＰ（wireless  application  protocol）、電子メール等を介することを含むデータを送信及び受信するセルラ通信ネットワークを有して良い。
【０１０４】
クライアント装置１０２は、プロセッサ、メモリ、及びネットワーク通信能力を有するコンピューティング装置又はシステムであって良い。例えば、クライアント装置１０２は、ラップトップコンピュータ、デスクトップコンピュータ、スマートフォン、タブレットコンピュータ、携帯電話機、パーソナルデジタルアシスタント（ＰＤＡ）、モバイル電子メール装置、又はネットワーク１０４にアクセス可能な他の電子装置を含んで良い。
【０１０５】
サーバ装置１０６は、プロセッサ、メモリ、及びネットワーク通信能力を有するハードウェアサーバを有して良い。図示の実施形態では、サーバ装置１０６は、ネットワーク１０４を介してデータ及び情報をクライアント装置１０２へ送信し及びそれから受信するために、ネットワーク１０４に結合されて良い。
【０１０６】
コンピュータプログラムモジュール１０８及び／又はアプリケーションモジュール１０７は、（例えば、１又は複数の工程を実行する又はその性能を制御する）プロセッサ、マイクロプロセッサ、ＦＰＧＡ（field−programmable  gate  array）又はＡＳＩＣ（application−specific  integrated  circuit）を含むハードウェアを用いて実装できる。幾つかの他の例では、コンピュータプログラムモジュール１０８及び／又はアプリケーションモジュール１０７は、ハードウェア及びソフトウェアの組み合わせを用いて実装されて良い。ソフトウェアでの実装は、コンピューティングシステム（例えば、クライアント装置１０２及び／又はサーバ装置１０６）のハードウェアに含まれ得るような１又は複数のトランジスタ又はトランジスタ要素の迅速な起動及び停止を含み得る。追加で、ソフトウェア定義命令は、トランジスタ要素の中の情報に対して作用して良い。ソフトウェア命令の実装は、電子経路を少なくとも一時的に再構成し、コンピューティングハードウェアを変換して良い。
【０１０７】
プログラミング言語システム１００では、ユーザ１１２はクライアント装置１０２に関連付けられて良い。ユーザ１１２は、クライアント装置１０２又はそのサブシステム、又はクライアント装置１０２、ネットワーク１０４、及びサーバ装置１０６の組合せを用いて、コンピュータプログラムモジュール１０８及び／又はアプリケーションモジュール１０７とインタフェースして良い。ユーザ１１２は個人を含んで良い。幾つかの実施形態では、ユーザ１１２は、別のエンティティ、ユーザグループ、ロボット、又はコンピューティングシステムを含んで良い。
【０１０８】
コンピュータプログラムモジュール１０８により生成されるコンピュータ命令１０５は、１又は複数の算術演算を含んで良い。コンピュータ命令１０５の中の算術演算は、確率変数（random  variable）（単数では「RV」、複数では「RVS」）を基本データ型として含んで良い。したがって、コンピュータ命令１０５は、RVを、アプリケーションモジュール１０７により実行可能なデータ型として認識できる。RVは、コンピュータプログラムモジュール１０８の中で定義されて良い。RVは、１又は複数の原子確率変数（atomic  random  variable）（単数では「ARV」、複数では「ARVS」）の多項式を含んで良い。
【０１０９】
ARVSは、コンピュータプログラムモジュール１０８の中で定義されて良い。RVは、確定確率で、不定値又は非決定性値を有して良い。例えば、幾つかの実施形態では、ARVは０又は１のいずれかの非決定性値を有して良い。上述及び他の実施形態では、ARVは、１の値を有する第１確率、及び０の値を有する第２確率を有して良い。第１確率及び第２確率の和は１であって良い。幾つかの実施形態では、ARVは、連続的原子値を有し得る非決定性値を有して良い。連続的原子値は、例えばガウス確率分布又は一様確率分布を有して良い。ARVS間の共分散は０である。
【０１１０】
コンピュータプログラムモジュール１０８は、複数種類のRVSをサポートし定義して良い。例えば、コンピュータプログラムモジュール１０８は、線形確率変数（linear  random  variable）（単数では「LRV」、複数では「LRVS」）、二次確率変数（quadratic  random  variable）（単数では「QRV」、複数では「QRVS」）、及び高次確率変数（high−order  random  variable）（単数では「HRV」、複数では「HRVS」）をサポートし定義して良い。追加で、条件付き確率変数（conditional  random  variable）（単数では「CRV」、複数では「CRVS」）が、コンピュータプログラムモジュール１０８により定義されサポートされて良い。LRVS、QRVS、HRVS、及びCRVSの幾つかの追加の詳細事項は、本開示の別の場所で提供される。
【０１１１】
RVSを含む算術演算の実行は、結果分布を最も良好に表す新たなRVSを生成し、元のARVSに対する応答を追跡し続ける。コンピュータ命令１０５に含まれ得る且つコンピュータプログラムモジュール１０８によりサポートされ定義される算術演算は、RV加算演算、RV減算演算、RVスケーリング演算、RV乗算演算、及びRV微分演算を含んで良い。RV加算演算、RV減算演算、RVスケーリング演算、RV乗算演算、及びRV微分演算の幾つかの追加的詳細事項は、本開示の別の場所で提供される。
【０１１２】
追加で、コンピュータプログラムモジュール１０８は、算術演算、ARVS、及びRVSの統計的特性を定義して良い。統計的特性は、例えば算術演算の実行により生じる又は生じ得る解空間のナビゲーションを可能にし得る。
【０１１３】
したがって、コンピュータプログラムモジュール１０８は、プログラムモジュール１０８の中で、基本データ型としてRVS、ARVS、算術演算、及び統計的特性を定めるよう構成されて良い。コンピュータプログラムモジュール１０８は、コンピュータ命令１０５がRVS、ARVS、算術演算、及び統計的特性を用いて記述されることを可能にするよう構成されて良い。コンピュータ命令１０５は、アプリケーションモジュール１０７により実行されて良い。
【０１１４】
以下の段落は、ARVS、LRVS、QRVS、HRVS、線形演算子、CRVS、及び微分演算子の各々の幾つかの追加的詳細事項を提供する。
【０１１５】
＜ARVS＞
コンピュータプログラムモジュール１０８は、ARVSを定義して良い。ARVSはRVSの基礎を提供して良い。例えば、コンピュータ命令１０５の中のRVSは、１又は複数のARVSの多項式を含んで良い。多項式の幾つかの例は、本開示の別の場所で提供される。
【０１１６】
幾つかの実施形態では、ARVSは０又は１のいずれかの非決定性値を取り得る。コンピュータ科学では、「非決定性」は、同じ入力による潜在的に異なる出力又は値を表す。したがって、ARVSとの関係で、ARVSの値は少なくともある時間期間の間、正確に分からない。ARVSは、１又は複数の確率に従い非決定性値を取り得る。例えば、ARVSが最終的に１の値を有する確率は、第１確率として定められて良い。ARVSが最終的に０の値を有する確率は、第２確率として定められて良い。第１確率及び第２確率の和は１に等しくて良い。したがって、ARVSが０の値を有する確率は、１と第１確率との間の差に等しくて良い。コンピュータプログラムモジュール１０８では、第１確率及び第２確率は、ARVが生成される特定時間において固定されて良い。
【０１１７】
ARVSは互いに独立であって良い。したがって、特定値（例えば、１又は０）を有する第１ARVのインスタンスは、第２ARVの値に影響しない。幾つかの実施形態では、ARVSの確率は相関して良い。例えば、第２ARVの第２確率は、第１ARVの第１確率に基づき操作されて良い。
【０１１８】
幾つかの実施形態では、コンピュータプログラムモジュール１０８は、特別ARVSを定義して良い。特別ARVSは、１に等しい第１確率に関連付けられた第１特定ARVを有して良い。第１特定ARVは、定数１と等価であって良く、全てのインスタンスに対して１として定義されて良い。特別ARVSは、０に等しい第１確率に関連付けられた第２特定ARVを有して良い。第２特定ARVは、定数０と等価であって良く、全てのインスタンスに対して０として定義されて良い。
【０１１９】
幾つかの実施形態では、ARVは、以下の例示的なARV式に従って定められて良い：
Xi∈｛０，１｝；
０≦pi≦１；
Pr［Xi＝１］＝pi；
Pr［Xi＝０］＝１−pi；
Cov（Xi，Xk）＝０  for  i≠k
ARV式の中で、i及びkはインデックス変数を表す。パラメータpiはインデックス変数iに従いインデックス付けされた第１確率を表す。パラメータXiはインデックス変数iに従いインデックス付けされたARVを表す。Xkはインデックス変数kに従いインデックス付けされたARVを表す。関数Pr［］は確率関数を表す。関数Cov（）は共分散関数を表す。
【０１２０】
ARV式によると、ARVSは０又は１のいずれかの非決定性値を取る。値（１又は０のいずれか）の決定は、必要になるまで、可能な限り引き延ばされて良い。例えば、それは、項の中のARVSの数が確率変数の多項式の最大次数を超えると、必要になって良い。この時点で、項の中のARVSの数がRVの多項式の最大次数を超えないように、１又は複数のARVSの値が決定されて良い。追加で、ARVSの値は、プログラム実行の出力を生成するために、一度に決定される必要があって良い。
【０１２１】
決定は、相関の追跡を可能にするために延期されて良い。相関は、同じARVを共有するRV間であって良く、ARVがその値を決定することなく１つのARVとして保持される限り、追跡され得る。同じARVを共有するRV間の相関は、ARVの値が決定された後に、失われて良い。
【０１２２】
幾つかの実施形態では、ARVSは連続的原子値を有して良い。連続的原子値は、ガウス確率分布又は一様確率分布を有して良い。
【０１２３】
コンピュータプログラムモジュール１０８は、複数の統計的特性を定義して良い。ARVSの統計的特性は、グランド、平均、平均平方、分散、共分散、第ｎモーメント、確率密度関数、累積密度関数、モーメント発生関数、特性関数、及びキュムラント発生関数を含んで良い。追加で、コンピュータプログラムモジュール１０８は、ARVの冪乗の定理を定義して良い。統計的特性は、解空間のナビゲーションを可能にし得る。
【０１２４】
幾つかの実施形態では、ARVSの平均、平均平方、及び第ｎモーメントは、第１確率に等しくて良い。追加で、ARVSの平均平方、及び第ｎモーメントは、第ｎモーメントの「ｎ」に関係なく、第１確率に等しくて良い。追加で、ARVSの分散は、第１確率及び第２確率の積（pi（１−pi））に等しくて良い。更に追加で、ARVSのｍ乗は、ARVS自体と等価であって良い。ARVSのｍ乗とARVSとの間の関係は、ARVSの第ｎモーメントが第１確率に等しくて良い理由である。
【０１２５】
図４〜１４は、幾つかの実施形態においてARVSの統計的特性を定め得る式を提供する。図４〜１４においてパラメータ、関数、等は、ARV式において上述された通りである。図４〜１４の式は、本開示の利益と共に当業者により理解され得る標準的な数学的命名法及び機能を実施する。
【０１２６】
図４は式１（ｅｑ．１）を示す。式１は、ARVSのグランド（本開示を通じて「G［パラメータ］」）を定めて良い。ARVSのグランドは、第１確率の値に基づいて良い。例えば、式１で、第１確率が０．５未満である場合、グランドは０に等しくて良い。追加で、第１確率が０．５より大きい場合、グランドは０に等しくて良い。更に追加で、第１確率が０．５に等しい場合、グランドは０．５に等しくて良い。
【０１２７】
図５は式２（ｅｑ．２）を示す。式２は、ARVSの平均（本開示を通じて「E［パラメータ］」）を定めて良い。図６は式３（ｅｑ．３）を示す。式３は、ARVSの平均平方（本開示を通じて「E［パラメータ２］」）を定めて良い。図７は式４（ｅｑ．４）を示す。式４は、ARVSの分散（本開示を通じて「V［パラメータ］」）を定めて良い。
【０１２８】
図８は式５〜７（ｅｑ．５、ｅｑ．６、及びｅｑ．７）を示す。式５〜７は、ARVSの共分散（本開示を通じて「Cov［パラメータ］」）を定めて良い。図８（及び以下の他の図）では、変数p１は、１に等しいX１の第１確率を表して良く、p２は、１に等しいX２の第１確率を表して良い。図９は式８（ｅｑ．８）を示す。式８は、ARVSの第ｎモーメント（本開示を通じて「E［パラメータ］」）を定めて良い。
【０１２９】
図１０は式９（ｅｑ．９）を示す。式９は、ARVSの確率密度関数を定めて良い。図１０において、δ（x）はディラックの（Dirac’s）デルタ関数である。ディラックの（Dirac’s）デルタ関数の幾つかの追加的詳細事項は、参照によりここに組み込まれるhttps://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_functionにおいて入手可能である。図１０（及び以下の他の図）では、変数xは確率密度関数fxi（x）又は他の関数のパラメータを表す。
【０１３０】
図１１は式１０（ｅｑ．１０）を示す。式１０は、ARVSの累積密度関数を定めて良い。図１１において、U（x）は、単位階段関数を表す。図１２は式１１（ｅｑ．１１）を示す。式１１は、ARVSのモーメント発生関数Mxi（t）を定めて良い。図１２（及び以下の他の図）では、変数tはモーメント発生関数Mxi（t）又は他の関数のパラメータを表す。図１３は式１２（ｅｑ．１２）を示す。式１２は、ARVSの特性関数φxi（t）を定めて良い。図１４は式１３（ｅｑ．１３）を示す。式１３は、ARVSのキュムラント発生関数Kxi（t）を定めて良い。図１５はARVSの冪乗の定理を示す。この定理は、ARVの冪乗がARV自体と統計的に等価であることを説明する。図１５は式１４及び１５（ｅｑ．１４及びｅｑ．１５）を示す。式１４は定理の提示を定め、式１５は式１４の証明を提供する。
【０１３１】
＜LRVS＞
上述のように、プログラミング言語システム１００において定められサポートされるRVSは、LRVSを含んで良い。LRVSは、１又は複数のARVSの線形和を含んで良い。LRVSは、特定数のARVSの線形和を含んで良い。LRVSは、ARVSの各々の０又は１に対応する特定数の可能な値により冪乗された最大２の分布を更に含んで良い。
【０１３２】
幾つかの実施形態では、LRVSが定められて良い。LRVは以下の例示的なLRV式に従い定められて良い。
【数１】
2019087227.tif 000003
LRV式において、パラメータYaはLRVを表す。パラメータXkはインデックス変数kに従いインデックス付けされたARVを表す。パラメータakはインデックス変数kに従いインデックス付けされたARVに対する応答を表す決定性実数又は虚数を表す。ARVに対する応答の一例は、akがXkを有するYaの間の差が１に等しく、且つXkを有するYaが０に等しいので、YaのakがXkに対するYaの応答であることである。
【０１３３】
Rは実数集合を表す。Cは虚数集合を表す。Nは自然数集合を表す。値a０X０は、X０が１に等しくなるように、p０＝１を有する定数項について予約される。パラメータp０は、kが０に等しいとき、第１確率を表す。他のRVSとの相関は、共通ARVSを通じて維持される。
【０１３４】
コンピュータプログラムモジュール１０８は、LRVSの複数の統計的特性を定義して良い。統計的特性は、解空間のナビゲーションを可能にし得る。LRVSの統計的特性は、グランド、平均、平均平方、分散、第ｎモーメント、共分散、及び相関係数を含んで良い。図１６〜２２は、幾つかの実施形態においてLRVSの統計的特性を定め得る式を提供する。図１６〜２２においてパラメータ、関数、等は、LRVS式において上述された通りである。図１６〜２２の式は、本開示の利益と共に当業者により理解され得る標準的な数学的命名法及び機能を実施する。
【０１３５】
図１６は式１６（ｅｑ．１６）を示す。式１６は、LRVSのグランド（例えば、「G［Ya］」）を定める。グランドは、RVSのユニークな又は実質的にユニークな統計的属性である。グランドは、平均値（後述する）に近くて良い。例えば、ARVSの確率が０．５より上に及び０．５より下に均等に分布する状況では、グランドは平均値に近くて良い。グランドは、ARVSの値に対するユニークな仮定の下で平均されて良い。ARVSが０又は１のいずれかであるとき、これはその確率が０．５より小さいか又は大きい化に依存して良く、グランドは、RVの値であって良い。平均値は、全てのARVSが個々の平均値を有するとき、RVの値である。グランドは、もつれた状態から情報を引き出して良い。しかしながら、もつれた状態からの情報の引き出しは、一貫性（coherence）を失い得る。グランドは、量子現象に着想を得たコンピューティングにおいて平均値及び分散に加えて有用であり得る。
【０１３６】
図１７は式１７（ｅｑ．１７）を示す。式１７は、LRVSの平均を定めて良い。図１８は式１８（ｅｑ．１８）を示す。式１８は、LRVSの平均平方を定めて良い。図１９は式１９（ｅｑ．１９）を示す。式１９は、LRVSの分散を定めて良い。図２０は式２０（ｅｑ．２０）を示す。式２０は、LRVSの第ｎモーメントを定めて良い。図２１は式２１〜２３（ｅｑ．２１、ｅｑ．２２、及びｅｑ．２３）を示す。式２１〜２３は、LRVSの共分散を定める。図２２は式２４（ｅｑ．２４）を示す。式２４は、LRVSの相関係数を定めて良い。
【０１３７】
＜QRVS＞
上述のように、プログラミング言語システム１００において定められサポートされるRVSは、QRVSを含んで良い。QRVは以下の例示的なQRV式に従い定められて良い。
【数２】
2019087227.tif 000004
QRV式において、lはインデックス変数を表す。パラメータYAは、QRVを表す。パラメータXkはインデックス変数kに従いインデックス付けされたARVを表す。パラメータak,lはインデックス変数k及びｌに従いインデックス付けされたARVに対する応答を表す決定性実数又は虚数を表す。Rは実数集合を表す。Cは虚数集合を表す。Nは自然数集合を表す。パラメータa０X０は、X０が１に等しくなるように、p０＝１を有する定数項について予約される。
【０１３８】
QRVは等価な正規化形式に変換されて良い。幾つかの実施形態では、QRVは、図２３で提供されるQRV変換式を用いて変換されて良い。
【０１３９】
コンピュータプログラムモジュール１０８は、QRVSの複数の統計的特性を定義して良い。統計的特性は、解空間のナビゲーションを可能にし得る。QRVSの統計的特性は、グランド、平均、平均平方、分散、共分散、及び相関係数を含んで良い。図２４〜３０は、統計的特性の１又は複数について、幾つかの実施形態においてQRVSに適用され得る式を提供する。図２４〜３０において、パラメータ、関数、等は、QRVS式において上述された通りである。図２４〜３０の式は、本開示の利益と共に当業者により理解され得る標準的な数学的命名法及び機能を実施する。
【０１４０】
図２４は式２５（ｅｑ．２５）を示す。式２５は、QRVSのグランドを定めて良い。QRVSのグランドは、LRVSを参照して記載されたグランドと同様である。図２５は式２６（ｅｑ．２６）を示す。式２６は、QRVSの平均を定めて良い。図２６は式２７（ｅｑ．２７）を示す。式２７は、QRVSの平均平方を定めて良い。図２７は式２８（ｅｑ．２８）を示す。式２８は、QRVSの分散を定めて良い。図２８Ａ、２８Ｂ、及び２９は、式２９〜３１（ｅｑ．２９、ｅｑ．３０、及びｅｑ．３１）を示す。式２９〜３１は、QRVSの共分散を定める。図３０は式３２（ｅｑ．３２）を示す。式３２は、QRVSの相関係数を定める。
【０１４１】
LRVは、対角係数行列により等価QRVに変換されて良い。例えば、図３１は、LRVからQRVへの例示的な変換の式を示す。
【０１４２】
QRVは、ARVSへのローカル値の部分的割り当てにより、近似LRVに変換されて良い。例えば、図３２は、QRVからLRVへの例示的な変換の式を示す。さらに、図３３〜３５Ｂは、変換後の上述の式に対する変化を示す。例えば、図３３は、変換後のグランドの式に対する変化を示す。図３４は、変換後の平均の式に対する変化を示す。図３５Ａ及び３５Ｂは、変換後の平均平方の式に対する変化を示す。
【０１４３】
＜HRVS＞
上述のように、プログラミング言語システム１００において定められサポートされるRVSは、HRVSを含んで良い。HRVは以下の例示的なHRV式に従い定められて良い。
【数３】
2019087227.tif 000005
HRV式において、パラメータYAはHRVを表す。パラメータkiは、インデックス変数を表す。パラメータXkiはインデックス変数kiに従いインデックス付けされたARVを表す。パラメータak１,k２,...,kdはインデックス変数k１,k２,...,kdに従いインデックス付けされたARVSに対する応答を表す決定性実数又は虚数を表す。Rは実数集合を表す。Cは虚数集合を表す。Nは自然数集合を表す。パラメータa０,０,...,０X０X０・・・X０は、X０が１に等しくなるように、p０＝１を有する定数項について予約される。パラメータdはHRVの次数を示し、単一項の中のARVSの最大数も示す。HRV式の中で、dが１に等しい場合、HRVはLRVであり、dが２に等しい場合、HRVはQRVである。パラメータmは、p０＝１の確率で１に等しいX０を除く、プログラム内のARVSの合計数である。したがって、X１乃至Xmのm個のARVSがある。
【０１４４】
HRVは等価な正規化形式に変換されて良い。例えば、HRVは例示的なHRV変換式に従い変換されて良い。図３６Ａは、HRV変換式を示す。図３６Ｂ及び３６Ｃは、HRV変換式の証明を提示する。図３６Ｂ〜３６Ｃにおいて、パラメータ、関数、等は、HRV式において上述された通りである。正規化形式では、HRVの次数はm以下である。
【０１４５】
コンピュータプログラムモジュール１０８は、HRVSの複数の統計的特性を定義して良い。HRVSの統計的特性は、グランド、平均、平均平方、分散、共分散、及び相関係数を含んで良い。図３７〜４２は、統計的特性の１又は複数について、幾つかの実施形態においてHRVSに適用され得る式を提供する。図３７〜４２において、パラメータ、関数、等は、HRVS式において上述された通りである。図３７〜４２の式は、本開示の利益と共に当業者により理解され得る標準的な数学的命名法及び機能を実施する。
【０１４６】
図３７は式３３（ｅｑ．３３）を示す。式３３は、HRVSのグランドを定めて良い。HRVSのグランドは、LRVSを参照して記載されたグランドと同様である。図３８は式３４（ｅｑ．３４）を示す。式３４は、HRVSの平均を定めて良い。図３９は式３５（ｅｑ．３５）を示す。式３５は、HRVSの平均平方を定めて良い。図４０は式３６（ｅｑ．３６）を示す。式３６は、HRVSの分散を定めて良い。図４１Ａ〜４１Ｃは式３７〜３９（ｅｑ．３７、ｅｑ．３８、及びｅｑ．３９）を示す。式３７〜３９は、HRVSの共分散を定める。図４２は式４０（ｅｑ．４０）を示す。式４０は、HRVSの相関係数を定める。
【０１４７】
HRVSの次数は減少されて良い。例えば、HRVSの次数は、ローカル値の割り当てにより減少されて良い。HRVSの例示的な換算（reduction）は図４３Ａ〜４３Ｂに提供される。図４３Ａ〜４３Ｂにおいて、パラメータ、関数、等は、HRVS式において上述された通りである。図４３Ａ〜４３Ｂの式は、本開示の利益と共に当業者により理解され得る標準的な数学的命名法及び機能を実施する。
【０１４８】
さらに、図４４Ａ〜４８は、換算後の上述の式に対する変化を示す。例えば、図４４Ａ〜４４Ｃは、換算後のグランドの式に対する変化を示す。図４５Ａ〜４５Ｄは、換算後の平均の式に対する変化を示す。図４５Ａ〜４５Ｂは、式に対する変化を示す。図４５Ｃ〜４５Ｄは、図４５Ａ〜４５Ｂの式の部分を明確化する式を提示する。
【０１４９】
図４６Ａ〜４６Ｅは、換算後の平均平方（例えば、第２モーメント）の式に対する変化を示す。図４６Ａ〜４６Ｂは、m＝３、d＝３、及びr＝２の場合のチェックを示す。図４６Ｃは、換算後の平均平方の式に対する変化を示す。図４６Ｄ及び４６Ｅは、図４６Ｃの式の部分を明確化する式を提示する。図４７は、換算に起因する平均平方に対する差を示す。
【０１５０】
＜線形演算子＞
コンピュータ命令１０５に含まれて良く且つコンピュータプログラムモジュール１０８によりサポートされ定められる算術演算は、RV加算演算を含んで良い。算術演算は、第２RVによる第１RVのRV加算演算を含む。コンピュータ命令の実行は、特定確定確率で特定不定値を有する第３RVを生成し、特定RVは、結果分布を表し、１又は複数のARVSに対する応答を追跡する。
【０１５１】
幾つかの実施形態では、RV加算演算は、以下のRV加算演算式に従い定められる。
＋：YA＋YB→YC；以下を満たす：
【数４】
2019087227.tif 000006
【数５】
2019087227.tif 000007
RV加算演算では、YA、YB及びYCはRVSを表す。YA、YB及びYCは高次確率変数（high−order  random  variable：HRV）である。パラメータdA、dB、及びdCは、それぞれYA、YB及びYCの次数を示す。パラメータk１．．．kdAは、インデックス変数を表す。パラメータXkiはインデックス変数kiに従いインデックス付けされたARVを表す。パラメータak１,k２,...,kd、bk１,k２,...,kd、及びck１,k２,...,kdはインデックス変数k１,k２,...,kdに従いインデックス付けされたARVに対する応答を表す決定性実数又は虚数を表す。Rは実数集合を表す。Cは虚数集合を表す。Nは自然数集合を表す。RV加算演算において、「＋：」は式を導入することを意味する。
【０１５２】
上記のRV加算演算は、YA及びYBがHRVSであるとき、記述される。YA及びYBがLRVSである実施形態では、dA及び／又はdBは１に等しくて良い。YA及びYBがQRVSである実施形態では、dA及び／又はdBは２に等しくて良い。YCの次数は、YA又はYBのうち高い方の次数と同じであって良い。追加で、RV加算演算では、不存在係数は０に等しいとして扱われて良い。
【０１５３】
コンピュータ命令１０５に含まれて良く且つコンピュータプログラムモジュール１０８によりサポートされ定められる算術演算は、RV減算演算を含んで良い。算術演算は、第１RV及び第２RVのRV減算演算を含む。コンピュータ命令の実行は、特定確定確率で特定不定値を有する第３RVを生成し、特定RVは、結果分布を表し、１又は複数のARVSに対する応答を追跡する。
【０１５４】
図４８は、例示的なRV減算演算を示す。図４８で、パラメータ、関数、等は、RV加算演算において上述した通りである。図４８の式は、本開示の利益と共に当業者により理解され得る標準的な数学的命名法及び機能を実施する。図４８に示すRV減算演算は、YA及びYBがHRVSであるとき、記述される。YA及びYBがLRVSである実施形態では、dA及び／又はdBは１に等しくて良い。YA及びYBがQRVSである実施形態では、dA及び／又はdBは２に等しくて良い。YCの次数は、YA又はYBのうち高い方の次数と同じであって良い。追加で、RV減算演算では、不存在係数は０に等しいとして扱われて良い。
【０１５５】
コンピュータ命令１０５に含まれて良く且つコンピュータプログラムモジュール１０８によりサポートされ定められる算術演算は、RVスケーリング演算を含んで良い。算術演算は、RV及び定数のRVスケーリング演算を含む。コンピュータ命令の実行は、特定確定確率で特定不定値を有する別のRVを生成し、RVは、結果分布を表し、１又は複数のARVSに対する応答を追跡する。
【０１５６】
図４９は、例示的なRVスケーリング演算を示す。図４９で、パラメータ、関数、等は、RV加算演算において上述した通りである。パラメータb０は定数である。図４９の式は、本開示の利益と共に当業者により理解され得る標準的な数学的命名法及び機能を実施する。図４９に示すRVスケーリング演算は、YAがHRVであるとき、記述される。YAがLRVSである実施形態では、dAは１に等しくて良い。YAがQRVSである実施形態では、dAは２に等しくて良い。YCの次数はYAと同じであって良い。定数による分割は、定数の逆数による乗算として計算されて良い。
【０１５７】
コンピュータ命令１０５に含まれて良く且つコンピュータプログラムモジュール１０８によりサポートされ定められる算術演算は、RV乗算演算を含んで良い。例えば、算術演算は、RVSのうちの２つを含むRV乗算演算を含む。RV加算演算は、以下の例示的なRV乗算演算式に従い定められて良い。
×：YA＋YB→YC；以下を満たす：
【数６】
2019087227.tif 000008
RV乗算演算式では、YA、YB及びYCはRVSを表す。YA、YB及びYCはHRVSである。YAにより表されるHRVはα次HRVである。YBにより表されるHRVはβ次HRVである。YCにより表されるHRVは（α＋β）次HRVである。パラメータk１．．．kα及びl１．．．lβは、インデックス変数を表す。パラメータXki及びXlijはインデックス変数ki及びljに従いインデックス付けされたARVSを表す。パラメータak１,...,kα、bl１,...,lβはインデックス変数k１,...,kα、l１,...,lβに従いインデックス付けされたARVSに対する応答を表す決定性実数又は虚数を表す。Rは実数集合を表す。Cは虚数集合を表す。Nは自然数集合を表す。
【０１５８】
RV乗算演算式の中のHRVのうちの１又は複数は、図３６Ａ〜３６Ｃに示す式に従い、正規化形式に換算されて良い。正規化形式への換算後、YCにより表されるHRVの次数は、mより小さくなり得る。追加で、RV乗算演算式の中のHRVのうちの１又は複数は、図４３Ａ〜４３Ｂに示すローカル値割り当てに関連する式を用いて、より低い次数のRVSに換算されて良い。
【０１５９】
HRVSを含むRV乗算演算に加えて、コンピュータ命令１０５に含まれて良く且つコンピュータプログラムモジュール１０８によりサポートされ定められる算術演算は、LRVS及びQRVSを含むRV乗算演算を含んで良い。図５０は、LRVSを含むRV乗算演算を示す。図５１は、QRVSを含むRV乗算演算を示す。
【０１６０】
図５０〜５１で、パラメータ、関数、等は、HRVSのRV乗算演算で上述した通りである。図５０〜５１の式は、本開示の利益と共に当業者により理解され得る標準的な数学的命名法及び機能を実施する。図５０のLRVSのRV乗算演算では、２つのLRVSの積はQRVになる。図５１のQRVSのRV乗算演算では、２つのQRVSの積はHRVになる。
【０１６１】
＜ARVに関する条件付き確率変数＞
CRVSは、コンピュータプログラムモジュール１０８により定義されサポートされて良い。CRVSは、ARVSに関して定められて良い。コンピュータプログラムモジュール１０８は、LRVSについてCRVSを、QRVSについてCRVSを、及びHRVSについてCRVSを定めて良い。図５２は、LRVSについてのCRVSの定義を示す。図５３は、QRVSについてのCRVSの定義を示す。図５４は、HRVSについてのCRVSの定義を示す。図５２のパラメータ、関数、等は、LRV式で上述した通りである。図５３のパラメータ、関数、等は、QRV式で上述した通りである。図５３のパラメータ、関数、等は、HRV式で上述した通りである。図５２〜５３の式は、本開示の利益と共に当業者により理解され得る標準的な数学的命名法及び機能を実施する。
【０１６２】
＜微分演算子＞
コンピュータ命令１０５に含まれて良く且つコンピュータプログラムモジュール１０８によりサポートされ定められる算術演算は、RV微分演算を含んで良い。RV微分演算は、以下のRV微分演算式に従い定められる。
【数７】
2019087227.tif 000009
ここで以下を満たす：
YB≡（YA｜Xi＝１  for  ∀i∈SX）−（YA｜Xi＝０  for  ∀i∈SX）
RV微分演算式では、YA及びYBはRVSを表す。演算子∀は、「全ての（for  all）」演算子を表す。演算子｜は、「〜の条件を満たす」（such  that）演算子を表す。
【０１６３】
コンピュータプログラムモジュール１０８は、LRVS、QRVS、及びHRVSについて、RV微分演算を定めて良い。図５５Ａ及び５５Ｂは、LRVSのRV微分演算の定義を示す。図５６Ａ及び５６Ｂは、QRVSのRV微分演算の定義を示す。図５７Ａ及び５７Ｂは、HRVSのRV微分演算の定義を示す。図５５Ａ及び５５Ｂのパラメータ、関数、等は、LRV式及びRV微分演算式で上述した通りである。図５６Ａ及び５６Ｂのパラメータ、関数、等は、QRV式及びRV微分演算式で上述した通りである。図５７Ａ及び５７Ｂのパラメータ、関数、等は、HRV式及びRV微分演算式で上述した通りである。図５５Ａ〜５７Ｂの式は、本開示の利益と共に当業者により理解され得る標準的な数学的命名法及び機能を実施する。
【０１６４】
コンピュータプログラムモジュール１０８は、RV微分の複数の統計的特性を定義して良い。RV微分の統計的特性は、グランド、LRV、平均、QRV平均、HRV平均、LRV分散、QRV分散、HRV分散、LRV共分散、QRV共分散を含んで良い。図５８Ａ〜６６Ｃは、統計的特性の１又は複数について、RV微分に適用され得る式を提供する。図５８Ａ〜６６Ｃで、パラメータ、関数、等は、LRV式、HRV式、QRV式、及びRV微分演算式で上述した通りである。図５８Ａ〜６６Ｃの式は、本開示の利益と共に当業者により理解され得る標準的な数学的命名法及び機能を実施する。
【０１６５】
図５８Ａは、RV微分のLRVグランドを定める得る例示的な式を提示する。図５８Ｂは、RV微分のQRVグランドを定める得る例示的な式を提示する。図５８Ｃは、RV微分のHRVグランドを定める得る例示的な式を提示する。図５９は、RV微分のLRV平均を定め得る例示的な式を提示する。図６０は、RV微分のQRV平均を定める例示的な式を提示する。図６１は、RV微分のHRV平均を定める例示的な式を提示する。図６２は、RV微分のLRV分散を定め得る例示的な式を提示する。図６３Ａ及び６３Ｂは、RV微分のQRV分散を定める例示的な式を提示する。図６４Ａ〜６４Ｄは、RV微分のHRV分散を定める例示的な式を提示する。図６５は、RV微分のLRV共分散を定め得る例示的な式を提示する。図６６Ｃは、RV微分のQRV共分散を定める例示的な式を提示する。
【０１６６】
エントロピは、ARV、LRV、QRV、及びHRVの各々について近似されて良い。例えば、図６７は、ARVの近似エントロピを使用し得る例示的な式を示す。図６８Ａ〜６８Ｃは、LRVのエントロピの例示的な式を提示する。図６９Ａ〜６９Ｃは、QRVのエントロピの例示的な式を提示する。図７０Ａ〜７０Ｃは、HRVのエントロピの例示的な式を提示する。図６８Ａ〜７０Ｃで、S^［YA］は、それぞれLRV、QRV、及びHRVのエントロピの代替式を提示する。
【０１６７】
図６８Ａ〜７０Ｃは、ARV、LRV、QRV、及びHRVの単なる例示的なエントロピ式を提示する。幾つかの実施形態では、幾つかの他の式がエントロピを定めるために使用されて良い。例えば、幾つかの実施形態では、エントロピの１又は複数の重み係数（例えば、ak２及びξk２）は反転されて良い。追加で又は代替で、幾つかの式では、重み係数のうちの幾つか又は全部は１に等しくて良い。エントロピの使用は、凸関数であるので、大域的最適化のために有利であり得る。
【０１６８】
本開示の範囲から逸脱することなくプログラミング言語システム１００に対し変更、追加又は省略が行われて良い。例えば、本開示は、１又は複数のクライアント装置１０２、１又は複数のサーバ装置１０６、１又は複数のネットワーク１０４、クライアント装置１０２及び／又はサーバ装置１０６のみ（例えば、ネットワーク１０４及びサーバ装置１０６を有しない）、又はそれらの任意の組合せを含み得るプログラミング言語システム１００に適用する。
【０１６９】
さらに、本願明細書に記載の実施形態の中の種々のコンポーネントの分割は、分割が全ての実施形態において生じることを意味しない。本開示の利益により、記載のコンポーネントが単一のコンポーネントに統合され又は複数のコンポーネントに分割されても良いことが理解される。例えば、コンピュータプログラムモジュール１０８及びアプリケーションモジュール１０７は、単一のモジュールに統合されて良い。
【０１７０】
図２は、プログラミング言語システム内で量子現象に着想を得たコンピューティングのために構成された例示的なコンピューティングシステム２００を示す。コンピューティングシステム２００は、例えば図１のプログラミング言語システム１００の中に実装されて良い。コンピューティングシステム２００の例は、サーバ装置１０６又はクライアント装置１０２を有して良い。コンピューティングシステム２００は、１又は複数のプロセッサ２０４、メモリ２０６、通信ユニット２０８、ユーザインタフェース装置２１０、データ記憶装置２０２を有して良い。データ記憶装置２０２は、コンピュータプログラムモジュール１０８及び／又はアプリケーションモジュール１０７（集合的に、モジュール１０８／１０７）を有する。
【０１７１】
プロセッサ２０４は、任意の適切な特定用途向け又は汎用コンピュータ、コンピューティングエンティティ、又は種々のコンピュータハードウェア若しくはソフトウェアモジュールを有して良く、任意の適切なコンピュータ可読媒体に格納された命令を実行するよう構成され得る処理装置を用いて実施されて良い。例えば、プロセッサ２０４は、マイクロプロセッサ、マイクロコントローラ、デジタシグナルプロセッサ（ＤＳＰ）、ＡＳＩＣ、ＦＰＧＡ又はプログラム命令を解釈し及び／若しくは実行し並びに／又はデータを処理するよう構成された任意の他のデジタル若しくはアナログ回路を有して良い。
【０１７２】
図２には単一のプロセッサを示したが、プロセッサ２０４は、より一般的には、本開示で説明される任意の数の工程を個々に又は共同で実行するよう構成される任意の数のプロセッサを有して良い。さらに、プロセッサ２０４のうちの１又は複数は、１又は複数の異なる電子装置又はコンピューティングシステムに存在して良い。幾つかの実施形態では、プロセッサ２０４は、プログラム命令を解釈し及び／又は実行し、及び／又はメモリ２０６、データ記憶装置２０２又はメモリ２０６及びデータ記憶装置２０２に格納されたデータを処理して良い。幾つかの実施形態では、プロセッサ２０４は、データ記憶２０２からプログラム命令をフェッチし、該プログラム命令をメモリ２０６にロードして良い。プログラム命令がメモリ２０６にロードされた後、プロセッサ２０４は該プログラム命令を実行して良い。
【０１７３】
メモリ２０６及びデータ記憶装置２０２は、コンピュータ実行可能命令又はデータ構造を伝える又は格納しているコンピュータ可読記憶媒体を含み得る。このようなコンピュータ可読媒体は、プロセッサ２０４のような汎用又は特定目的コンピュータによりアクセスできる任意の利用可能な媒体を含み得る。例として且つ限定ではなく、このようなコンピュータ可読記憶媒体は、ＲＡＭ、ＲＯＭ、ＥＥＰＲＯＭ、ＣＤ−ＲＯＭ又は他の光ディスク記憶装置、磁気ディスク記憶装置又は他の磁気記憶装置、フラッシュメモリ装置（例えば、固体メモリ素子）を含む有形又は非一時的コンピュータ可読記憶媒体、又はコンピュータにより実行可能な命令若しくはデータ構造の形式で所望のプログラムコード手段を伝える若しくは格納するために用いられ汎用若しくは特定目的コンピュータによりアクセス可能な他の記憶媒体を有し得る。上述の組合せも、コンピュータ可読記憶媒体の範囲に包含され得る。コンピュータ実行可能命令は、例えば、プロセッサ２０４に特定の工程又は工程のグループを実行させるよう構成される命令及びデータを含み得る。
【０１７４】
通信ユニット２０８は、通信を受信し及び送信するよう構成されるハードウェアの１又は複数のピースを有して良い。幾つかの実施形態では、通信ユニット２０８は、通信ハードウェア装置の中でも特に、アンテナ、有線ポート、変調／復調ハードウェア、のうちの１又は複数を有して良い。特に、通信ユニット２０８は、コンピューティングシステム２００の外部から通信を受信するよう、及び該通信をプロセッサ２０４に提示し又はプロセッサ２０４からの通信を別の装置若しくはネットワーク（例えば、図１の１０４）に送信するよう、構成されて良い。
【０１７５】
ユーザインタフェース装置２１０は、ユーザからの入力を受信し及び／又はユーザに出力を提供するよう構成されるハードウェアの１又は複数のピースを有して良い。幾つかの実施形態では、ユーザインタフェース装置２１０は、ハードウェア装置の中でも特に、スピーカ、マイクロフォン、ディスプレイ、キーボード、タッチスクリーン、ホログラフィックプロジェクション、のうちの１又は複数を有して良い。
【０１７６】
モジュール１０８／１０７は、データ記憶装置２０２に格納されたプログラム命令を有して良い。プロセッサ２０４は、モジュール１０８／１０７をメモリ２０６にロードし、モジュール１０８／１０７を実行するよう構成されて良い。代替で、プロセッサ２０４は、メモリ２０６にロードしないで、データ記憶装置２０２からモジュール１０８／１０７を１行毎に実行して良い。モジュール１０８／１０７を実行するとき、プロセッサ２０４は、本開示の他の場所に記載したように、参加認証処理を実行するよう構成されて良い。
【０１７７】
本開示の範囲から逸脱することなくコンピューティングシステム２００に対し変更、追加又は省略が行われて良い。例えば、幾つかの実施形態では、コンピューティングシステム２００は、ユーザインタフェース装置２１０を有しなくて良い。幾つかの実施形態では、コンピューティングシステム２００の異なるコンポーネントは、物理的に別個であって良く、任意の適切なメカニズムにより通信可能に結合されて良い。例えば、データ記憶装置２０２は、記憶装置に通信可能に結合されるプロセッサ２０４とメモリ２０６と通信ユニット２０８とを含むサーバから分離した、該記憶装置の部分であって良い。
【０１７８】
図３は、本願明細書に記載の少なくとも１つの実施形態に従って構成される、量子現象に着想を得たコンピューティングの例示的な方法３００のフロー図である。方法３００は、図１のプログラミング言語システム１００のようなプログラミング言語システムで実行されて良い。方法３００は、幾つかの実施形態では、クライアント装置１０２、サーバ装置１０６、コンピュータプログラムモジュール１０８、アプリケーションモジュール１０７、又は図１及び２を参照して記載された別のコンピュータシステム２００により実行されて良い。
【０１７９】
幾つかの実施形態では、クライアント装置１０２及び／又はサーバ装置１０６又は別のコンピューティングシステムは、コンピューティングシステム及び／又はクライアント装置１０２及び／又はサーバ装置１０６に方法３００を実行させる又は実行を制御させる（図２のプロセッサ２０４のような）１又は複数のプロセッサにより実行可能なプログラムコード又は命令を格納している非一時的コンピュータ可読媒体（例えば、図２のメモリ２０６）を有して良く又はそれに通信可能に結合されて良い。追加又は代替で、クライアント装置１０２及び／又はサーバ装置１０６は、クライアント装置１０２及び／又はサーバ装置１０６又は別のコンピューティングシステムに方法３００を実行させる又は実行を制御させるコンピュータ命令を実行するよう構成される、本開示の他の場所に記載されるプロセッサ２０４を有して良い。別個のブロックとして示したが、所望の実装に依存して、図３の種々のブロックは、更なるブロックに分割され、少ないブロックに結合され、又は除去されて良い。
【０１８０】
方法３００は、第１ARVがプログラミング言語システム内で定められ得るブロック３０２で開始して良い。第１ARVは０又は１のいずれかの非決定性値を有して良い。第１ARVは１の値を有する第１確率を有して良い。第１ARVは０の値を有する第２確率を有して良い。第１確率及び第２確率の和は１であって良い。第１ARV及び第２ARVの共分散は０であって良い。
【０１８１】
幾つかの実施形態では、第１ARVの平均は、第１確率に等しくて良い。第１ARVの平均平方は、第１確率に等しくて良い。第１ARVの第ｎモーメントは、全てのｎの値について第１確率に等しくて良い。第１ARVの分散は、第１確率と第２確率の積に等しい。第１ARVのｍ乗は、ｍの全ての値について第１ARVに等しい。上述及び他の実施形態では、第１ARVは、本開示の別の場所で提供されるARV式に従い定められて良い。
【０１８２】
ブロック３０４で、第１RVは、プログラミング言語システムの中で定められて良い。第１RVは第１確定確率で第１不定値を有して良く、第１ARVを含む１又は複数の原子確率変数（ARVS）の多項式を含んで良い。
【０１８３】
幾つかの実施形態では、第１確率変数はLRVである。LRVは、１又は複数のARVSのうちの特定数の線形和、及びARVSの各々の０又は１に対応する特定数の可能な値の最大２の冪乗の分布を含んで良い。上述及び他の実施形態では、LRVは、本開示の別の場所で提供されるLRV式に従い定められて良い。幾つかの実施形態では、第１確率変数は、QRVであって良い。上述及び他の実施形態では、QRVは、本開示の別の場所で提供されるQRV式に従い定められて良い。幾つかの実施形態では、第１確率変数は、HRVであって良い。上述及び他の実施形態では、HRVは、本開示の別の場所で提供されるHRV式に従い定められて良い。
【０１８４】
ブロック３０６で、RVを基本データ型として含む算術演算を含むコンピュータ命令が実行されて良い。コンピュータ命令の実行は、第２確定確率で第２不定値を有する第２RVを生成して良く、第２RVは、結果分布を表し、及び１又は複数のARVSに対する応答を追跡する。
【０１８５】
幾つかの実施形態では、算術演算は、第３RVによる第１RVのRV加算演算を含んで良い。上述及び他の実施形態では、RV加算演算は、本開示の別の場所で提供されるRV加算演算式に従い定められて良い。幾つかの実施形態では、算術演算は、第３RVによる第１RVのRV乗算演算を含んで良い。上述及び他の実施形態では、RV乗算演算は、本開示の別の場所で提供されるRV乗算演算式に従い定められて良い。幾つかの実施形態では、算術演算は、第１RVのRV微分演算を含む。上述及び他の実施形態では、RV微分演算は、本開示の別の場所で提供されるRV微分演算式に従い定められて良い。
【０１８６】
幾つかの実施形態では、コンピュータ命令は、薬物設計アプリケーションのための量子シミュレーション、材料設計アプリケーションのための量子シミュレーション、コンピュータ支援設計（ＣＡＤ）における場所及び経路の組合せ最適化、高速信号伝送のための信号完全性解析の統計的アイシミュレーション、又は、解空間を探索するＣＡＤのための統計的静的タイミング解析として実装されたアプリケーションに含まれて良い。
【０１８７】
当業者は、上述の及び本願明細書に開示した他の手順及び方法において、その処理及び方法で実行される機能が異なる順序で実施されても良いことを理解するだろう。さらに、概略のステップ及び動作は、単に例として提供され、幾つかのステップ及び動作は、開示の実施形態から逸脱することなく、任意であり、より少ないステップ及び動作に組み合わされ、又は追加ステップ及び動作に拡張されて良い。
【０１８８】
本願明細書に記載した実施形態は、以下に更に詳細に議論するように、種々のコンピュータハードウェア又はソフトウェアモジュールを備えた特定用途又は汎用コンピュータの使用を含み得る。
【０１８９】
本願明細書に記載した実施形態は、コンピュータにより実行可能な命令又はデータ構造を伝える又は格納しているコンピュータ可読媒体を用いて実施され得る。このようなコンピュータ可読媒体は、汎用又は特定目的コンピュータによりアクセスできる利用可能な媒体であり得る。例として且つ限定ではなく、このようなコンピュータ可読媒体は、ＲＡＭ、ＲＯＭ、ＥＥＰＲＯＭ、ＣＤ−ＲＯＭ又は他の光ディスク記憶装置、磁気ディスク記憶装置又は他の磁気記憶装置を含む有形又は非一時的コンピュータ可読記憶媒体、又はコンピュータにより実行可能な命令若しくはデータ構造の形式で所望のプログラムコード手段を伝える若しくは格納するために用いられ汎用若しくは特定目的コンピュータによりアクセス可能な他の非一時的記憶媒体を有し得る。上述の組合せも、コンピュータ可読媒体の範囲に包含され得る。
【０１９０】
コンピュータにより実行可能な命令は、例えば、汎用コンピュータ、特定目的コンピュータ又は特定目的処理装置に特定の機能又は機能グループを実行させる命令及びデータを有する。本発明の主題は構造的特徴及び／又は方法論的動作に特有の言葉で記載されたが、本発明の主題は、特許請求の範囲に定められる上述の特定の特徴又は動作に限定されないことが理解されるべきである。むしろ、上述の特定の特徴及び動作は、特許請求の範囲の実施の例示的形態として開示されたものである。
【０１９１】
本願明細書で用いられるように、用語「モジュール」又は「コンポーネント」は、コンピューティングシステムで実行されるソフトウェアオブジェクト又はルーチンを表し得る。本願明細書に記載されたのと異なるコンポーネント、モジュール、エンジン及びサービスは、（例えば、別個のスレッドとして）コンピューティングシステムで実行されるオブジェクト又は処理として実施されて良い。本願明細書に記載されたシステム及び方法はソフトウェアで実施されることが望ましいが、ハードウェアによる実装又はソフトウェアとハードウェアの組合せも、可能であり想定される。この説明では、「コンピュータエンティティ」は、本願明細書で先に定められたようにコンピューティングシステム、又はコンピューティングシステムで実行されるモジュール若しくはモジュールの組合せであって良い。
【０１９２】
本願明細書に記載された全ての例及び条件文は、教育上の目的で、読者が本発明の原理及び発明者により考案された概念を理解するのを助け、技術を促進させるためであり、これらの特に記載された例及び条件に限定されないものと考えられるべきである。本発明の実施形態が詳細に記載されたが、種々の変更、置換及び修正が本発明の精神及び範囲から逸脱することなく行われうることが理解されるべきである。
【０１９３】
以上の実施形態に加えて、更に以下の付記を開示する。
（付記１）  量子現象に着想を得たコンピューティングの方法であって、前記方法は、
プログラミング言語システムの中で第１原子確率変数（ARV）を定めるステップであって、前記第１ARVは０又は１の非決定性値、１の値を有する第１確率、及び０の値を有する第２確率を有し、前記第１確率及び前記第２確率の和は１であり、前記第１ARV及び第２ARVの共分散は０である、ステップと、
前記プログラミング言語システムの中で第１確率変数（RV）を定めるステップであって、前記第１RVは第１確定確率で第１不定値を有し、前記第１ARVを含む１又は複数の原子確率変数（ARVS）の多項式を含む、ステップと、
前記第１RVを基本データ型として含む算術演算を含むコンピュータ命令を実行し、該実行は、第２確定確率で第２不定値を有し、結果分布を表し、及び前記１又は複数のARVSに対する応答を追跡する第２RVを生成する、ステップと、
を有する方法。
（付記２）  前記第１ARVの平均は、前記第１確率に等しく、
前記第１ARVの平均平方は、前記第１確率に等しく、
前記第１ARVの第ｎモーメントは、ｎの全部の値について前記第１確率に等しく、
前記第１ARVの分散は、前記第１確率及び前記第２確率の積に等しく、
前記第１ARVのｍ乗は、ｍの全部の値について前記第１ARVに等しい、
付記１に記載の方法。
（付記３）  前記第１ARVは、ARV式：
Xi∈｛０，１｝；
０≦pi≦１；
Pr［Xi＝１］＝pi；
Pr［Xi＝０］＝１−pi；
Cov（Xi，Xk）＝０  for  i≠k；
に従い定められ、ここで、
i及びkはインデックス変数を表し、
piは前記インデックス変数iに従いインデックス付けされた第１確率を表し、
Xiは前記インデックス変数iに従いインデックス付けされたARVを表し、
Xkは前記インデックス変数kに従いインデックス付けされたARVを表し、
Pr［］は確率関数を表し、
Cov（）は共分散関数を表す、付記１に記載の方法。
（付記４）  前記ARVのエントロピは、近似エントロピ式：
S［Xi］〜＝log２−２qi２；
に従い近似され、ここで、
S［Xi］は前記エントロピを表し、
qiはpi―１／２を表し、
log２はネイピア数（e）を底とする２の自然対数を表す、
付記３に記載の方法。
（付記５）  前記第１確率変数は、２次確率変数（QRV）であり、
前記QRVはQRV式：
【数１】
2019087227.tif 000010
に従い定められ、ここで、
lはインデックス変数を表し、
YAは前記QRVを表し、
Xkは前記インデックス変数kに従いインデックス付けされたARVを表し、
ak,lは、前記インデックス変数k及びlに従いインデックス付けされた前記ARVSに対する応答を表す決定性実数又は虚数を表し、
Rは実数集合を表し、
Cは虚数集合を表し、
Nは自然数集合を表し、
X０a０,０X０は、X０が１に等しくなるように、p０＝１を有する定数項のために予約される、
付記３に記載の方法。
（付記６）  前記第１確率変数は、高次確率変数（HRV）であり、
前記HRVはHRV式：
【数２】
2019087227.tif 000011
に従い定められ、ここで、
YAは前記HRVを表し、
k及びdはインデックス変数を表し、
Xkiは前記インデックス変数kiに従いインデックス付けされたARVを表し、
ak１,k２,...,kdは、前記インデックス変数k１,k２,...,kdに従いインデックス付けされた前記ARVSに対する応答を表す決定性実数又は虚数を表し、
Rは実数集合を表し、
Cは虚数集合を表し、
Nは自然数集合を表し、
a０,０,...,０X０X０・・・X０は、X０が１に等しくなるように、p０＝１を有する定数項のために予約される、
付記３に記載の方法。
（付記７）  前記算術演算は、前記第１RVの第３RVとのRV加算演算を含み、
前記RV加算演算は、RV加算演算式：
＋：YA＋YB→YCに従い定められ、以下を満たし：
【数３】
2019087227.tif 000012
【数４】
2019087227.tif 000013
ここで、
YA、YB、YCは、それぞれ前記第１RV、前記第３RV、及び前記第２RVを表し、
前記YA、YB、YCは、高次確率変数（HRV）であり、
kiはインデックス変数を表し、
Xkiは前記インデックス変数kiに従いインデックス付けされたARVを表し、
ak１,k２,...,kl、bk１,k２,...,kl、及びck１,k２,...,kl、は、前記インデックス変数k１,k２,...,klに従いインデックス付けされた前記ARVに対する応答を表す決定性実数又は虚数を表し、
Rは実数集合を表し、
Cは虚数集合を表し、
Nは自然数集合を表す、
付記１に記載の方法。
（付記８）  前記算術演算は、前記第１RVの第３RVとのRV乗算演算を含み、
前記RV乗算演算は、RV乗算演算式：
×：YA＋YB→YCに従い定められ、以下を満たし：
【数５】
2019087227.tif 000014
【数６】
2019087227.tif 000015
ここで、
YA、YB、YCは、それぞれ前記第１RV、前記第３RV、及び前記第２RVを表し、
前記YA、YB、YCは、高次確率変数（HRV）であり、
YAはα次HRVであり、
YBはβ次HRVであり、
YCは（α−β）次HRVであり、
k１．．．kα及びl１．．．lβはインデックス変数を表し、
Xkiは前記インデックス変数kiに従いインデックス付けされたARVを表し、
Xliは前記インデックス変数liに従いインデックス付けされたARVを表し、
ak１,...,kα、bl１,...,lβ、及びck１,...,kα,１,...,lβは、前記インデックス変数k１．．．kα及びl１．．．lβに従いインデックス付けされた前記ARVに対する応答を表す決定性実数又は虚数を表し、
Rは実数集合を表し、
Cは虚数集合を表し、
Nは自然数集合を表す、
付記１に記載の方法。
（付記９）  前記算術演算は、前記第１RVのRV微分演算を含み、
前記RV微分演算は、RV微分演算式：
【数７】
2019087227.tif 000016
に従い定められ、以下を満たし：
YB≡（YA｜Xi＝１  for  ∀i∈SX）−（YA｜Xi＝０  for  ∀i∈SX）
ここで、YA及びYBは、それぞれ前記第１RV及び前記第２RVを表し、
∀は「for  all（全ての）」演算子を表し、
｜は「such  that（以下を満たす）」演算子を表す、
付記１に記載の方法。
（付記１０）  前記コンピュータ命令は、
薬物設計アプリケーションのための量子シミュレーション、
材料設計アプリケーションのための量子シミュレーション、
コンピュータ支援設計（ＣＡＤ）における場所及び経路の組合せ最適化、
高速信号伝送のための信号完全性解析の統計的アイシミュレーション、又は、
解空間を探索するＣＡＤのための統計的静的タイミング解析、
として実装されたアプリケーションに含まれる、付記１に記載の方法。
（付記１１）  非一時的コンピュータ可読媒体であって、演算を実行するために１又は複数のプロセッサにより実行可能な符号化されたプログラミングコードを有し、前記演算は、
プログラミング言語システムの中で第１原子確率変数（ARV）を定めるステップであって、前記第１ARVは０又は１の非決定性値、１の値を有する第１確率、及び０の値を有する第２確率を有し、前記第１確率及び前記第２確率の和は１であり、前記第１ARV及び第２ARVの共分散は０である、ステップと、
前記プログラミング言語システムの中で第１確率変数（RV）を定めるステップであって、前記第１RVは第１確定確率で第１不定値を有し、前記第１ARVを含む１又は複数の原子確率変数（ARVS）の多項式を含む、ステップと、
前記第１RVを基本データ型として含む算術演算を含むコンピュータ命令を実行し、該実行は、第２確定確率で第２不定値を有し、結果分布を表し、及び前記１又は複数のARVSに対する応答を追跡する第２RVを生成する、ステップと、
を有する、非一時的コンピュータ可読媒体。
（付記１２）  前記第１ARVの平均は、前記第１確率に等しく、
前記第１ARVの平均平方は、前記第１確率に等しく、
前記第１ARVの第ｎモーメントは、ｎの全部の値について前記第１確率に等しく、
前記第１ARVの分散は、前記第１確率及び前記第２確率の積に等しく、
前記第１ARVのｍ乗は、ｍの全部の値について前記第１ARVに等しい、
付記１１に記載のコンピュータ可読媒体。
（付記１３）  前記第１ARVは、ARV式：
Xi∈｛０，１｝；
０≦pi≦１；
Pr［Xi＝１］＝pi；
Pr［Xi＝０］＝１−pi；
Cov（Xi，Xk）＝０  for  i≠k；
に従い定められ、ここで、
i及びkはインデックス変数を表し、
piは前記インデックス変数iに従いインデックス付けされた第１確率を表し、
Xiは前記インデックス変数iに従いインデックス付けされたARVを表し、
Xkは前記インデックス変数kに従いインデックス付けされたARVを表し、
Pr［］は確率関数を表し、
Cov（）は共分散関数を表す、
付記１１に記載の非一時的コンピュータ可読媒体。
（付記１４）  前記ARVのエントロピは、近似エントロピ式：
S［Xi］〜＝log２−２qi２；に従い近似され、
ここで、S［Xi］は前記エントロピを表し、
qiはpi―１／２を表し、
log２はネイピア数（e）を底とする２の自然対数を表す、
付記１３に記載のコンピュータ可読媒体。
（付記１５）  前記第１確率変数は、２次確率変数（QRV）であり、
前記QRVはQRV式：
【数８】
2019087227.tif 000017
【数９】
2019087227.tif 000018
に従い定められ、ここで、
lはインデックス変数を表し、
YAは前記QRVを表し、
Xkは前記インデックス変数kに従いインデックス付けされたARVを表し、
ak,lは、前記インデックス変数kに従いインデックス付けされた前記ARVSに対する応答を表す決定性実数又は虚数を表し、
Rは実数集合を表し、
Cは虚数集合を表し、
Nは自然数集合を表し、
X０a０,０X０は、X０が１に等しくなるように、p０＝１を有する定数項のために予約される、
付記１３に記載の非一時的コンピュータ可読媒体。
（付記１６）  前記第１確率変数は、高次確率変数（HRV）であり、
前記HRVはHRV式：
【数１０】
2019087227.tif 000019
に従い定められ、ここで、
YAは前記HRVを表し、
k及びdはインデックス変数を表し、
Xkiは前記インデックス変数kiに従いインデックス付けされたARVを表し、
ak１,k２,...,kdは、前記インデックス変数k１,k２,...,kdに従いインデックス付けされた前記ARVSに対する応答を表す決定性実数又は虚数を表し、
Rは実数集合を表し、
Cは虚数集合を表し、
Nは自然数集合を表し、
a０,０,...,０X０X０・・・X０は、X０が１に等しくなるように、p０＝１を有する定数項のために予約される、
付記１３に記載の非一時的コンピュータ可読媒体。
（付記１７）  前記算術演算は、前記第１RVの第３RVとのRV加算演算を含み、
前記RV加算演算は、RV加算演算式：
＋：YA＋YB→YCに従い定められ、以下を満たし：
【数１１】
2019087227.tif 000020
【数１２】
2019087227.tif 000021
ここで、YA、YB、YCは、それぞれ前記第１RV、前記第３RV、及び前記第２RVを表し、
前記YA、YB、YCは、高次確率変数（HRV）であり、
kiはインデックス変数を表し、
Xkiは前記インデックス変数kiに従いインデックス付けされたARVを表し、
ak１,k２,...,kl、bk１,k２,...,kl、及びck１,k２,...,kl、は、前記インデックス変数k１,...,klに従いインデックス付けされた前記ARVに対する応答を表す決定性実数又は虚数を表し、
Rは実数集合を表し、
Cは虚数集合を表し、
Nは自然数集合を表す、
付記１１に記載の非一時的コンピュータ可読媒体。
（付記１８）  前記算術演算は、前記第１RVの第３RVとのRV乗算演算を含み、
前記RV乗算演算は、RV乗算演算式：
×：YA＋YB→YCに従い定められ、以下を満たし：
【数１３】
2019087227.tif 000022
ここで、
YA、YB、YCは、それぞれ前記第１RV、前記第３RV、及び前記第２RVを表し、
前記YA、YB、YCは、高次確率変数（HRV）であり、
YAはα次HRVであり、
YBはβ次HRVであり、
YCは（α−β）次HRVであり、
k１．．．kα及びl１．．．lβはインデックス変数を表し、
Xkiは前記インデックス変数kiに従いインデックス付けされたARVを表し、
Xliは前記インデックス変数liに従いインデックス付けされたARVを表し、
ak１,...,kα及びbl１,...,lβは、前記インデックス変数k１．．．kα及びl１．．．lβに従いインデックス付けされた前記ARVに対する応答を表す決定性実数又は虚数を表し、
Rは実数集合を表し、
Cは虚数集合を表し、
Nは自然数集合を表す、
付記１１に記載の非一時的コンピュータ可読媒体。
（付記１９）  前記算術演算は、前記第１RVのRV微分演算を含み、
前記RV微分演算は、RV微分演算式：
【数１４】
2019087227.tif 000023
に従い定められ、以下を満たし：
YB≡（YA｜Xi＝１  for  ∀i∈SX）−（YA｜Xi＝０  for  ∀i∈SX）
ここで、YA及びYBは、それぞれ前記第１RV及び前記第２RVを表し、
∀は「for  all（全ての）」演算子を表し、
｜は「such  that（以下を満たす）」演算子を表す、
付記１１に記載の非一時的コンピュータ可読媒体。
（付記２０）  前記コンピュータ命令は、
薬物設計アプリケーションのための量子シミュレーション、
材料設計アプリケーションのための量子シミュレーション、
コンピュータ支援設計（ＣＡＤ）における場所及び経路の組合せ最適化、
高速信号伝送のための信号完全性解析の統計的アイシミュレーション、又は、
解空間を探索するＣＡＤのための統計的静的タイミング解析、
として実装されたアプリケーションに含まれる、付記１１に記載の非一時的コンピュータ可読媒体。
【符号の説明】
【０１９４】
１００  プログラミング言語システム
１０２  クライアント装置
１０４  ネットワーク
１０５  コンピュータ命令
１０６  サーバ装置
１０７  アプリケーションモジュール
１０８  コンピュータプログラムモジュール
１１２  ユーザ
１１３  結果
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
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【図１７】
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【図１８】
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【図１９】
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【図２０】
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【図２１】
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【図２２】
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【図２３】
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【図２４】
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【図２５】
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【図２６】
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【図２７】
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【図２８Ａ】
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【図２８Ｂ】
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【図２９】
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【図３０】
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【図３１】
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【図３２】
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【図３３】
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【図３４】
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【図３５Ａ】
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【図３５Ｂ】
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【図３６Ａ】
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【図３６Ｂ】
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【図３６Ｃ】
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【図３７】
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【図３８】
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【図３９】
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【図４０】
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【図４１Ａ】
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【図４１Ｂ】
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【図４１Ｃ】
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【図４２】
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【図４３Ａ】
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【図４３Ｂ】
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【図４４Ａ】
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【図４４Ｂ】
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【図４４Ｃ】
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【図４５Ａ】
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【図４５Ｂ】
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【図４５Ｃ】
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【図４５Ｄ】
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【図４６Ａ】
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【図４６Ｂ】
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【図４６Ｃ】
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【図４６Ｄ】
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【図４６Ｅ】
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【図４７】
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【図４８】
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【図４９】
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【図５０】
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【図５１】
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【図５２】
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【図５３】
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【図５４】
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【図５５Ａ】
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【図５５Ｂ】
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【図５６Ａ】
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【図５６Ｂ】
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【図５７Ａ】
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【図５７Ｂ】
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【図５８Ａ】
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【図５８Ｂ】
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【図５８Ｃ】
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【図５９】
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【図６０】
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【図６１】
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【図６２】
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【図６３Ａ】
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【図６３Ｂ】
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【図６４Ａ】
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【図６４Ｂ】
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【図６４Ｃ】
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【図６４Ｄ】
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【図６５】
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【図６６Ａ】
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【図６６Ｂ】
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【図６６Ｃ】
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【図６７】
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【図６８Ａ】
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【図６８Ｂ】
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【図６８Ｃ】
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【図６９Ａ】
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【図６９Ｂ】
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【図６９Ｃ】
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【図７０Ａ】
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【図７０Ｂ】
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【図７０Ｃ】
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