(57)【要約】      （修正有）【課題】ドリフトチューブライナックを簡便かつ適切に設計することができる設計装置、方法、及びプログラムを提供すること。【解決手段】本実施形態にかかる設計装置１００は、電極の内径、電極長、電極間のギャップ長、及び電極電位のデータを取得するデータ取得部１０１と、隣接する電極の電極電位を繋げて、電極間のギャップにおける電位を求めることで、電極に沿っての電位分布を求める電位分布算出部１０２と、電極に沿っての電位分布のフーリエ変換像を求めるフーリエ変換部１０３と、フーリエ変換像、及び変形ベッセル関数を用いて、周波数領域における軸上電位分布を求める軸上電位分布算出部１０４と、周波数領域における軸上電位分布を逆フーリエ変換することで、空間領域における軸上電位分布を求める逆フーリエ変換部１０５と、を備えている。【選択図】図６
2019212548.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
複数の電極を有するドリフトチューブライナックの電極配置を設計するための設計装置であって、
前記電極の内径、電極長、電極間のギャップ長、及び電極電位のデータを取得するデータ取得部と、
隣接する電極の前記電極電位を繋げて、前記電極間のギャップにおける電位を求めることで、電極に沿っての電位分布を求める電位分布算出部と、
前記電極に沿っての電位分布のフーリエ変換像を求めるフーリエ変換部と、
前記フーリエ変換像、及び変形ベッセル関数を用いて、周波数領域における軸上電位分布を求める軸上電位分布算出部と、
周波数領域における軸上電位分布を逆フーリエ変換することで、空間領域における軸上電位分布を求める逆フーリエ変換部と、を備えた設計装置。
【請求項２】
前記複数の電極には、第１の内径を有する第１電極と、前記第１の内径とは異なる第２の内径を有する第２電極が含まれており、
電極内径を第１の内径と仮定して求められた周波数領域における軸上電位分布を第１の軸上電位分布とし、
電極内径を第２の内径と仮定して求められた周波数領域における軸上電位分布を第２の軸上電位分布として、
前記第１の軸上電位分布と前記第２の軸上電位分布を補間する請求項１に記載の設計装置。
【請求項３】
前記ドリフトチューブライナックには前記電極が３以上設けられており、
最上流の電極が第１の内径を有しており、最下流の電極が第２の内径を有している、
前記最上流の電極から前記最下流の電極に向かうにつれて、前記第１の内径と前記第２の内径との間で、電極の内径が順番に大きく又は小さくなっており、
前記最上流の電極から前記最下流の電極までの内径を示す補間関数が設定されており、
電極内径を第１の内径と仮定して求められた周波数領域における軸上電位分布を第１の軸上電位分布とし、
電極内径を第２の内径と仮定して求められた周波数領域における軸上電位分布を第２の軸上電位分布として、
前記補間関数を用いて、前記第１の軸上電位分布と前記第２の軸上電位分布を補間する請求項１に記載の設計装置。
【請求項４】
前記複数の電極の端面において、面取りが施されており、
前記面取りの形状に応じて、第１の仮想的な形状の電極と第２の仮想的な形状の電極とを設定して、
前記第１の仮想的な形状の電極に対して求められた周波数領域における軸上電位分布を第３の軸上電位分布とし、
前記第２の仮想的な形状の電極に対して求められた周波数領域における軸上電位分布を第４の軸上電位分布とし、
前記第３の軸上電位分布と前記第４の軸上電位分布を補間する請求項１〜３のいずれか１項に記載の設計装置。
【請求項５】
複数の電極を有するドリフトチューブライナックの電極配置を設計するための設計方法であって、
前記電極の内径、電極長、電極間のギャップ長、及び電極電位のデータを取得するステップと、
隣接する電極の前記電極電位を繋げて、前記電極間のギャップにおける電位を求めることで、電極に沿っての電位分布を求めるステップと、
前記電極に沿っての電位分布のフーリエ変換像を求めるステップと、
前記フーリエ変換像、及び変形ベッセル関数を用いて、周波数領域における軸上電位分布を求めるステップと、
周波数領域における軸上電位分布を逆フーリエ変換することで、空間領域における軸上電位分布を求めるステップと、を備えた設計方法。
【請求項６】
複数の電極を有するドリフトチューブライナックの電極配置を設計するための設計方法をコンピュータに実行させるプログラムであって、
前記設計方法は、
前記電極の内径、電極長、電極間のギャップ長、及び電極電位のデータを取得するステップと、
隣接する電極の前記電極電位を繋げて、前記電極間のギャップにおける電位を求めることで、電極に沿っての電位分布を求めるステップと、
前記電極に沿っての電位分布のフーリエ変換像を求めるステップと、
前記フーリエ変換像、及び変形ベッセル関数を用いて、周波数領域における軸上電位分布を求めるステップと、
周波数領域における軸上電位分布を逆フーリエ変換することで、空間領域における軸上電位分布を求めるステップと、を備えたプログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、ドリフトチューブライナックの電極配置内側を設計するための設計装置、設計方法、及びプログラムに関する。
【背景技術】
【０００２】
原子核物理などの基礎研究に限らず、重粒子線ガン治療などの放射線療法や、微量試料の非破壊検査などに、高エネルギーのイオンを得るためのイオン加速器が用いられる。代表的なイオン加速器の一つに、ドリフトチューブ型線形加速器（ドリフトチューブライナック，以下DT-Linacとも称する）がある（非特許文献１〜５）。
【０００３】
DT-Linacには、πモードのＡＰＦ型（Alternating Phase Focusing 型）と呼ばれるタイプがある。ＡＰＦ型のDT-Linacでは、電極配置の工夫だけでイオンの加速と収束を得ることができる。つまり、電磁石などの他の機構を用いないでイオンを収束することができる。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００４】
【非特許文献１】Y.Iwata et al., “ Alternating―phase―focused IH― DTL for an injector of heavy ion medical accelerators” Nucl. Instrum. Meth. A569 (2006) 685-696
【非特許文献２】K.Yamamoto, “INJECTION ACCELERATOR FOR PROTON THERAPY SYSTEM” Proc. 8th Annual Meeting of Particle Accelerator Soc. of Japan (Aug. 2011) p147
【非特許文献３】L.Lu et al., “ High power test of an injector linac for heavy ion cancer therapy facilities” Phys. Rev. Accel. Beams, 18 (2015) 111002
【非特許文献４】R.A.Jameson, “Practical design of alternating-phase-focused linacs”   https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1404/1404.5176.pdf  ［インターネット検索］平成３０年５月２３日
【非特許文献５】M.Otani et al., “Interdigital H-mode drift-tube linac design with alternative phase focusing for muon linac “ Phys. Rev. Accel. Beams, 19 (2016) 040101
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
ＡＰＦ型のDT-Linacでは、電極配置の設計に様々な検討が必要である。つまり、イオンを所望のエネルギーまで加速した上で、目的に沿った特性を満たすことが要求される。例えば、ビームの空間的な広がり、ビームのエネルギーの広がり、又はイオン透過率などの特性が、所望の基準を満たす必要がある。
【０００６】
このように、ＡＰＦ型のDT-Linacでは、イオンのエネルギー、及びビームの特性が基準を満たすように電極配置を設計する必要がある。一方、電極配置には、電極数、各電極の長さ、電極の内径、隣接する電極間のギャップ長などの多数のパラメータがある。そのため、電極配置を適切かつ簡便に設計する技術が望まれている。
【０００７】
本発明は、上記の課題に鑑みてなされたものであり、適切な電極配置を簡便に設計する設計装置、設計方法、及びプログラムを提供することを目的としている。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
本実施形態の一態様に係る設計装置は、複数の電極を有するドリフトチューブライナックの電極配置を設計するための設計装置であって、前記電極の内径、電極長、電極間のギャップ長、及び電極電位のデータを取得するデータ取得部と、隣接する電極の前記電極電位を繋げて、前記電極間のギャップにおける電位を求めることで、電極に沿っての電位分布を求める電位分布算出部と、前記電極に沿っての電位分布のフーリエ変換像を求めるフーリエ変換部と、前記フーリエ変換像、及び変形ベッセル関数を用いて、周波数領域における軸上電位分布を求める軸上電位分布算出部と周波数領域における軸上電位分布を逆フーリエ変換することで、空間領域における軸上電位分布を求める逆フーリエ変換部と、を備えたものである。
【０００９】
上記の設計装置において、前記複数の電極には、第１の内径を有する第１電極と、前記第１の内径とは異なる第２の内径を有する第２電極が含まれており、電極内径を第１の内径と仮定して求められた周波数領域における軸上電位分布を第１の軸上電位分布とし、電極内径を第２の内径と仮定して求められた周波数領域における軸上電位分布を第２の軸上電位分布として、前記第１の軸上電位分布と前記第２の軸上電位分布を補間するようにしてもよい。
【００１０】
上記の設計装置において、前記ドリフトチューブライナックには前記電極が３以上設けられており、最上流の電極が第１の内径を有しており、最下流の電極が第２の内径を有している、前記最上流の電極から前記最下流の電極に向かうにつれて、前記第１の内径と前記第２の内径との間で、電極の内径が順番に大きく又は小さくなっており、前記最上流の電極から前記最下流の電極までの内径を示す補間関数が設定されており、電極内径を第１の内径と仮定して求められた周波数領域における軸上電位分布を第１の軸上電位分布とし、電極内径を第２の内径と仮定して求められた周波数領域における軸上電位分布を第２の軸上電位分布として、前記補間関数を用いて、前記第１の軸上電位分布と前記第２の軸上電位分布を補間するようにしてもよい。
【００１１】
上記の設計装置において、前記複数の電極の端面において、面取りが施されており、前記面取りの形状に応じて、第１の仮想的な形状の電極と第２の仮想的な形状の電極とを設定して、前記第１の仮想的な形状の電極に対して求められた周波数領域における軸上電位分布を第３の軸上電位分布とし、前記第２の仮想的な形状の電極に対して求められた周波数領域における軸上電位分布を第４の軸上電位分布とし、前記第３の軸上電位分布と前記第４の軸上電位分布を補間するようにしてもよい。
【００１２】
本実施形態の一態様に係る設計方法は、複数の電極を有するドリフトチューブライナックの電極配置を設計するための設計方法であって、前記電極の内径、電極長、電極間のギャップ長、及び電極電位のデータを取得するステップと、隣接する電極の前記電極電位を繋げて、前記電極間のギャップにおける電位を求めることで、電極に沿っての電位分布を求めるステップと、前記電極に沿っての電位分布のフーリエ変換像を求めるステップと、前記フーリエ変換像、及び変形ベッセル関数を用いて、周波数領域における軸上電位分布を求めるステップと、周波数領域における軸上電位分布を逆フーリエ変換することで、空間領域における軸上電位分布を求めるステップと、を備えたものである。
【００１３】
本実施形態の一態様に係るプログラムは、複数の電極を有するドリフトチューブライナックの電極配置を設計するための設計方法をコンピュータに実行させるプログラムであって、前記設計方法は、前記電極の内径、電極長、電極間のギャップ長、及び電極電位のデータを取得するステップと、隣接する電極の前記電極電位を繋げて、前記電極間のギャップにおける電位を求めることで、電極に沿っての電位分布を求めるステップと、前記電極に沿っての電位分布のフーリエ変換像を求めるステップと、前記フーリエ変換像、及び変形ベッセル関数を用いて、周波数領域における軸上電位分布を求めるステップと、周波数領域における軸上電位分布を逆フーリエ変換することで、空間領域における軸上電位分布を求めるステップと、を備えている。
【発明の効果】
【００１４】
本発明によれば、適切な電極配置を簡便に設計することができる設計装置、設計方法、及びプログラムを提供することができる。
【図面の簡単な説明】
【００１５】
【図１】ドリフトチューブライナックの全体構成を模式的に示す図である。
【図２】ギャップ近傍における電場を示す図である。
【図３】イオンの軌道計算の結果を示す図である。
【図４】ラプラス方程式を解くことで得られた電位分布を示す図である。
【図５】ラプラス方程式を解くことで得られた電位分布を示す図である。
【図６】本実施の形態にかかる設計装置の構成を示すブロック図である。
【図７】Drift-Tube-Tableの一例を示す表である。
【図８】電極に沿っての電位分布と軸上の電位分布を示す図である。
【図９】イオン軌道のシミュレーション結果を示す図である。
【図１０】イオンのエネルギー分布のシミュレーション結果を示す図である。
【図１１】実施の形態２における電極配置を模式的に示す図である。
【図１２】実施の形態２における軸上電位分布を模式的に示す図である。
【図１３】実施の形態３における電極を模式的に示す図である。
【図１４】実施の形態３において、第１の仮想的な電極形状を模式的に示す図である。
【図１５】実施の形態３において、第２の仮想的な電極形状を模式的に示す図である。
【図１６】実施の形態４の電極配置を模式的に示す図である。
【図１７】実施の形態４において、第１の仮想的な電極配置を模式的に示す図である。
【図１８】実施の形態４において、第２の仮想的な電極配置を模式的に示す図である
【図１９】実施の形態４において、軸上電位分布を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００１６】
以下、本発明の実施形態の一例について図面を参照して説明する。以下の説明は、本発明の好適な実施形態を示すものであって、本発明の技術的範囲が以下の実施形態に限定されるものではない。
【００１７】
ＡＰＦ型のドリフトチューブライナックの設計は、一般に以下の第１段階〜第３段階で進められる。
【００１８】
［第１段階：電極配置の設計］
入射したイオンを所定のエネルギーにまで加速するための、電極配置（ギャップを介した一対の電極の並び）を決める。これを、Drift-Tube-TableもしくはPhase-Arrayなどと呼ぶ。目的に沿った所望のビーム特性を得られる構造を探す。このために、様々な構造に対して、イオン軌道のシミュレーションを試行する。なお、電場分布の計算は多大の時間がかかるので、この段階では、理想的な電圧分布を仮定する。
【００１９】
［第２段階：共振器構造の設計］
第１段階で求められた電極配置（Drift-Tube-Table）に対して、仮定された共振周波数や電極電圧の分布を得ることができる空洞共振器の構造を求める。この為に、電極配置以外の構造（共振器の直径、リッジ形状、電極ステムの形状、など）を変えた場合について、電磁場の共振特性のシミュレーションにより試行する。
【００２０】
［第３段階：最終確認］
第２段階で求められた構造（電極配置、電場分布）について、高次収差や空間電荷効果なども考慮した高精度のイオンの軌道計算を行い、加速特性を精度よく求める。必要に応じて、第１段階又は第２段階に戻り、電極構造や空洞共振器構造の微修正を行う。
【００２１】
本実施の形態では、第１段階における処理を実施する。このため、第２段階、及び第３段階については、説明を省略する。以下の実施の形態では、様々な電極配置に対して電位分布を求めるための演算について説明する。
【００２２】
実施の形態１．
まず、ドリフトチューブライナックの全体構成について、図１を用いて説明する。図１は、ＡＰＦ型のドリフトチューブライナック１０（以下、単にライナック１０と記載する）の全体構成を模式的に示す図である。
【００２３】
ライナック１０は、複数の電極１１〜電極２０を備えている。ここでは、ライナック１０が、１０個の電極１１〜電極２０を備えている例が示されているが、電極数は、特に限定されるものではない。ここで、ビームの上流側から順に第１電極１１、第２電極１２、第３電極１３、・・・第１０電極２０とする。したがって、第１電極１１が先頭の電極となり、第１０電極２０が終端の電極となる。
【００２４】
第１電極１１〜第１０電極２０は、同軸上に配置された円筒電極である。第１電極１１〜第１０電極２０は、それぞれ円筒形状を有している。第１電極１１〜第１０電極２０のそれぞれにおける内部空間は円柱状になっている。第１電極１１〜第１０電極２０の内部空間をイオン等の荷電粒子が通過する。本実施の形態において、第１電極１１〜第１０電極２０の内径は同じ値である。
【００２５】
後述するように、第１電極１１と第１０電極２０にはグラウンド電位が与えられる。したがって、第１電極１１と第１０電極２０は、グラウンド電位が与えられる構成であれば、円筒電極に限られるものでない。例えば、ＲＦ空洞共振器を構成するチャンバのフランジ部分の穴を第１電極１１と第１０電極２０として用いることも可能である。
【００２６】
なお、以下の説明では、第１電極１１〜第１０電極２０の軸対称性を考慮して、ｒθＺの円柱座標系を用いる。Ｚ方向は、ビームの伝搬方向に沿った光軸であり、円筒電極である第１電極１１〜第１０電極２０の中心軸と一致する。したがって、ビームはＺ方向に沿って伝搬する。Ｚ方向と垂直な平面がｒθの極座標系で示される。ｒは径方向であり、θは周方向となる。第１電極１１〜第１０電極２０が軸対称な円筒電極であるため、θ方向については、計算を適宜省略することができる。つまり、ｒｚの２次元直交座標系での処理に簡素化することができる。
【００２７】
また、第１電極１１〜第１０電極２０の電極間の空間を上流から順にギャップｇ１〜ｇ９とする。例えば、ギャップｇ１は第１電極１１と第２電極１２との間のギャップ（空間）である。同様に、ギャップｇ２は第２電極１２と第３電極１３との間のギャップ（空間）である。このように、第１電極１１〜第１０電極２０の電極間の９個の空間をギャップｇ１〜ｇ９とする。
【００２８】
第１電極１１、及び第１０電極２０にグラウンド電位が与えられ、第２電極１２〜第９電極１９にＲＦ電位が与えられる。また、第２電極１２〜第９電極１９において、隣接する電極には、位相が１８０°ずつ異なるＲＦ（Radio Frequency）が印加される。イオンがギャップｇ１〜ｇ９を通過する際に、イオンが電極間の電位差で加速される。ただし、イオンがギャップを通過するタイミング（すなわち、ＲＦ位相）によって、イオンが受ける加速と収束発散は異なってくる。ＡＰＦ型のライナック１０では、イオンがギャップｇ１〜ｇ９を通過する際のＲＦ位相を意図的に変調することにより、ビームを適切に加速かつ収束させると言う特徴がある。ギャップを通過する際のタイミング（すなわちＲＦ位相）を調整するためには、機械的な構造として電極の長さなどを適切に設計する必要がある。
【００２９】
電極配置を様々に変更した場合について、イオンの軌道解析（シミュレーション）を行って、加速特性を調べる必要がある。正確にイオンの軌道解析をするためには、電極近傍での電位分布を求める必要がある。電位分布を数値的に求めるためには、ある程度の時間が必要である。したがって、電極配置を変更する毎に電位分布を数値的に求めて、イオンの軌道解析を実施するのは現実的ではない。このため、より簡便にイオンの振る舞いを知る手段として、「半解析的な方法」が用いられる場合が多い。
【００３０】
図２は、２つの電極にＲＦ電位を与えた場合の電場の分布を示す図である。図２は、Ｚ方向の電場Ｅｚ（ｒ，ｚ）とｒ方向の電場Ｅｒ（ｒ，ｚ）を示す図である。なお、図２では、電極の内径ａは１０ｍｍであり、ギャップｇ＝１０ｍｍとしている。図２では、ｒ＝５ｍｍとする径方向位置での電場Ｅｚ（ｒ，ｚ）と電場Ｅｒ（ｒ，ｚ）を示している。
【００３１】
図２に示されるように、ギャップ近傍の電場は、電極内部に浸込む。なお、電極内径に比べて十分に長い電極であれば、軸方向および径方向いずれの電場も、ギャップから離れるにしたがってゼロに近づく。
【００３２】
半解析的な手法では、以下の（Ａ）〜（Ｃ）の仮定を行う。
（Ａ）Ｚ方向における電極の長さ（以下、電極長とする）は、電極の内径に比べて十分に長い。
（Ｂ）ギャップを通過する際の径方向（ｒ方向）の変化は小さい。
（Ｃ）ギャップを通過する際の速度の変化は小さい。
【００３３】
（Ａ）〜（Ｃ）の仮定の下、ギャップを通過する時のイオンの振舞いがＴｒａｎｓｉｔ−Ｔｉｍｅ−Ｆａｃｔｏｒ（以下、ＴＴＦと略す）と呼ばれる係数を使って、近似される。なお、ＴＴＦは以下の式（１）で示される。
【数１】
2019212548.tif 000003
【００３４】
なお、この係数は多くの場合、１．０よりやや小さい値となる。ｇはＺ方向におけるギャップの長さ、ａは電極の内径、ｋは波数である。ＲＦの角周波数をω、イオンの速度をｖとすると、ｋ＝ω／ｖで与えられる。また、Ｉ０は０次の第１種変形ベッセル関数である。
【００３５】
イオン粒子がギャップを通過する際に受ける運動の変化は、エネルギーの利得と、光軸（ｚ軸）に対して成す角度の変化と、に分けられる。Ｗ（ｒ）をイオン粒子が持つ運動エネルギーとする。上記の仮定（Ａ）〜（Ｃ）のもとで、光軸からの距離がｒにおいて、ギャップを通過する際のエネルギー利得ΔＷ（ｒ）は、ＴＴＦを使って、式（２）で良く近似される。
【００３６】
【数２】
2019212548.tif 000004
ここで、ｑはイオンの電荷(＝イオンの価数×素電荷)、Ｖ０は電極電位の振幅、φはイオンがギャップ中心を通過するタイミングでのＲＦの位相である。
【００３７】
r’(r)を、イオン粒子の速度が光軸となす角度とする。同じく仮定（Ａ）〜（Ｃ）のもとで、光軸からの距離がｒにおいて、ギャップを通過する際の角度の変化Δr’（ｒ）は、ＴＴＦを使って、式(３)で近似される。ここで、ｍはイオンの質量、ｖはイオンの速度である。
【００３８】
【数３】
2019212548.tif 000005
式（１）〜（３）の説明は、例えば、T.P.Wangler “RF Linear Accelerators” (Wiley-VCH, 2008)の２章および７章に記載されている。
【００３９】
電極長が短い場合、上記の半解析的な方法では軌道計算の精度が得られない。なお、電極長が短い場合とは、電極長が電極の内径と同程度あるいはそれ以下となる場合を示す。つまり、電極長が電極の内径と同程度あるいはそれ以下となる場合、上記の仮定が成立しなくなる。このため、半解析的な手法では、正確な電場分布を求めることが困難になる。
【００４０】
図３は、電極長が短い場合のイオン軌道のシミュレーション結果を示す図である。図３では、半解析な手法で求められたイオンの軌道を破線で示し、正確な数値計算で求められた電位分布に基づくイオンの軌道を実線で示している。正確な数値計算と半解析な手法を比較すると、イオンの軌道に大きな違いが生じてしまう。なお、図３では、電極１１〜電極２０の内径を７．０ｍｍとしている。
【００４１】
このように、電極長が短い場合、半解析な手法では、軌道計算の精度が得られない。一方、精度よく軌道解析しようとすると、運動方程式とラプラス方程式の数値解析を行う必要がある。ラプラス方程式の数値解析では、有限要素法や差分法が用いられる。有限要素法や差分法を用いた場合、半解析的な方法に比べて計算時間が大幅に長くなる。
【００４２】
電極設計においては、様々な電極構造についてのイオンの振舞いを比較する必要がある。従って、高い精度でイオンの軌道を得るためには、計算時間が大幅に長くなると言う問題がある。そこで、本実施の形態では、正確な電場分布を短時間に求めることができる方法を提供する。
【００４３】
図１で示したようなライナック１０の電位分布について説明する。ＲＦ周波数が１．０ＧＨｚ程度以下であれば、波長が十分に長い。このため、電位分布は、ラプラス方程式を解いて得られる静電場にほぼ一致する。図４は、ラプラス方程式を解いて得られた電位分布φ（ｒ，ｚ）を示す図である。図４では、第１電極１１〜第１０電極２０の内径を７．０ｍｍとし、外径を１５．０ｍｍとしている。なお、実際に電極１１〜２０に与えられるＲＦ電位は、ｃｏｓ（ωｔ）を乗じた値になる。つまり、時間（ＲＦの位相）に応じて、電位分布は変化する。
【００４４】
ここで、ラプラス方程式を解いて得られた電位分布のｒ＝０、ｒ＝７．０でのプロファイルを図５に示す。なお、ｒ＝０における電位を軸上の電位（単に、軸上電位ともいう）とし、ｒ＝７．０における電位を電極に沿っての電位とする。電極に沿って電位は、電極の内周面と一致する径方向位置での電位を示す。図５は、軸上電位（ｒ＝０）と、電極に沿っての電位（ｒ＝７．０）を示すグラフである。図５において、横軸はＺ方向の位置（Ｚ位置）であり、縦軸が電位を示している。つまり、図５は、Ｚ方向に沿った電位分布を示すグラフである。
【００４５】
電極に対応するＺ位置、つまりギャップではないＺ位置では、電極に沿っての電位は、電極電位で一定となる。また、図２で示したように、ギャップ近傍の電場は、電極内部に浸込む。このため、電極長が短くなると、電極に沿っての電位と、軸上電位とにずれが生じる(例えば、図５のＰ)。
【００４６】
本実施の形態では、電極に沿っての電位分布から軸上電位分布を求めている。つまり、電極の内径と一致する径方向位置での電位分布に基づいて、軸上電位分布を算出する。そして、軸上電位分布からライナック全体の電位分布を求めている。
【００４７】
以下、本実施の形態にかかる設計装置、及び設計方法について説明する。図６は、本実施の形態にかかる設計装置１００の構成を示すブロック図である。設計装置１００は、データ取得部１０１と、電位分布算出部１０２と、フーリエ変換部１０３と、軸上電位分布算出部１０４と、逆フーリエ変換部１０５と、を備えている。
【００４８】
設計装置１００は、ＣＰＵなどのプロセッサと、メモリとを有するコンピュータである。さらに、設計装置１００は、モニタなどの出力デバイスや、キーボード、マウス、タッチパネルなどの入力デバイスを有していてもよい。
【００４９】
（ステップＳ１）
まず、データ取得部１０１が電極の内径、電極長、電極間のギャップ長、及び電極電位等のデータを取得する。これらのデータはユーザがキーボードなどを用いて入力することができる。あるいは、予めデータが入力されているファイルを読み込むことで、データが入力されていてもよい。
【００５０】
ここで、データ取得部１０１が取得するデータの一例を図７に示す。図７は、Drift-Tube-Tableの一例を示す表である。カラム(column)１は、電極の順番を示すセル番号であり、０〜１８までがある。カラム２は、電極電位の相対値であり、カラム３はRFの位相である。なお、最初の電極（セル番号０）、及び最後の電極（セル番号１８）の電位はグラウンドとなっている。カラム４は、次の電極までのギャップ長（ｍｍ）であり、カラム５は、電極長（ｍｍ）である。カラム６は、加速されたイオンのエネルギー(MeV)である。
【００５１】
なお、Drift-Tube-Tableにおいて、データ取得部１０１が取得するデータは、カラム２の電極電位の相対値、カラム４のギャップ長、カラム５の電極長、加速前のイオンエネルギー（カラム６のセル０、図７では０．５ＭｅＶ）のみでよい。つまり、ユーザが最初に、電極電位の相対値、ギャップ長、電極長、加速前のイオンエネルギーのデータのみを与えればよい。加速前のイオンエネルギーは、先頭の第１電極に入射するイオンのエネルギーであり、例えば、イオン源からイオンを引き出す引出電極の電圧に相当する。
【００５２】
上記の入力データを用いて、イオン軌道を計算することで、カラム３のＲＦ位相と、カラム６のエネルギーを得ることができる。具体的には、最初のギャップでのＲＦ位相（カラム３のセル１での位相、図７では７０°）と、最終エネルギー（カラム６のセル１８のエネルギー、図７では２．５ＭｅＶ）が所望の値になるように、入射タイミング（入射位相）と電極電圧の絶対値を調整する。このようにすることで、カラム３の各セルのＲＦ位相と、カラム６の各セルのイオンエネルギーが軌道計算によって得られる。
【００５３】
（ステップＳ２）
次に、電位分布算出部１０２は、電極に沿っての電位分布を求める。電極の内径に一致する径方向位置をｒELとする。図５の例では、ｒEL＝７．０ｍｍとなる。径方向位置ｒELでの電位分布が電極に沿っての電位分布Φ（ｒEL，ｚ）となる。電位分布Φ（ｒEL，ｚ）は空間領域における電位の分布である。
【００５４】
電極があるＺ位置では、電極に沿っての電位は、Ｓ１で入力された電極電位とすることでができる。つまり、電極があるＺ位置では、電極に沿っての電位は、例えば、図７のDrift-Tube-Tableのカラム２の値から求めることができる。電極間のギャップでは、電極に沿っての電位については、隣接する電極の電極電位を繋げることで、求められる。
【００５５】
具体的には、図８に示すように、隣接する電極の電極電位を直線で結ぶことで、電極間のギャップにおける電位が求められる。電極における電位とギャップにおける電位とを求めることで、電極に沿っての電位分布Φ（ｒEL，ｚ）を簡便に求めることができる。
【００５６】
このように、電位分布算出部１０２は入力された電極電位に基づいて、電極間のギャップにおける電位を求めている。そして、電位分布算出部１０２が、電極における電極電位とギャップでの電位とを繋ぎ合わせることで、電極に沿っての電位分布Φ（ｒEL，ｚ）を求める。電極に沿っての電位分布Φ（ｒEL，ｚ）は、電極の内周面と一致する径方向位置ｒELでの電位分布となる。具体的には、電極に沿っての電位分布Φ（ｒEL，ｚ）は、図７に示すように、台形状の波形となっている。具体的には、電極に沿っての電位分布Φ（ｒEL，ｚ）は、高さと角度の異なる台形波形の繰り返しで表される。
【００５７】
（ステップＳ３）
そして、フーリエ変換部１０３が、電極に沿っての電位分布Φ（ｒEL，ｚ）から、変数の空間座標ｚを波数ｋに変換したフーリエ変換像Ψ（ｒEL；ｋ）を求める。フーリエ変換部１０３は、電位分布Φ（ｒEL，ｚ）に対して、離散フーリエ変換（ＤＦＴ：Discrete  Fourier  Transform）を行っている。例えば、フーリエ変換部１０３が、高速フーリエ変換（ＦＦＴ：Fast  Fourier  Transform）により、電位分布Φ（ｒEL，ｚ）のｚに関するフーリエ変換像Ψ（ｒEL；ｋ）を求めている。フーリエ変換像Ψ（ｒEL；ｋ）は電極に沿っての電位分布を周波数領域で示したものである。
【００５８】
（ステップＳ４）
軸上電位分布部５４は、フーリエ変換像Ψ（ｒEL；ｋ）、及び変形ベッセル関数I０（ｋｒＥＬ）を用いて、周波数領域における軸上電位分布Ψ（０；ｋ）を求める。周波数領域における軸上電位分布Ψ（０；ｋ）は中心軸（Ｚ軸）上における軸上電位分布を周波数領域で示したものである。変形ベッセル関数I０（ｘ）は、０次の第１種変形ベッセル関数である。具体的には、フーリエ変換像Ψ（ｒEL；ｋ）を変形ベッセル関数I０（ｋｒＥＬ）で除算することで、周波数領域における軸上電位分布Ψ（０；ｋ）を求めることができる。
【００５９】
（ステップＳ５）
逆フーリエ変換部１０５は、周波数領域における軸上電位分布Ψ（０；ｋ）を逆フーリエ変換することで、軸上電位分布φaxi（ｚ）を求める。軸上電位分布φaxi（ｚ）は空間領域における軸上電位分布であり、具体的にはｒ＝０とする径方向位置での、ｚに関する軸上電位分布を示す。ここでは、逆フーリエ変換部１０５は、周波数領域における軸上電位分布Ψ（０；ｋ）に対して、逆離散フーリエ変換（ＩＤＦＴ：Inverse  Discrete  Fourier  Transform）を行っている。例えば、逆フーリエ変換部１０５が、逆高速フーリエ変換（ＩＦＦＴ：Inverse  Fast  Fourier  Transform）により、空間領域における軸上電位分布φaxi（ｚ）を求めている。周波数領域における軸上電位分布Ψ（０；ｋ）の逆フーリエ変換像が、軸上電位分布φaxi（ｚ）となる。
【００６０】
上記の処理を数式で表すと以下の通りとなる。ステップＳ２でのフーリエ変換像Ψ（ｒEL，ｚ）は関数ｆ（ｋ）と変形ベッセル関数Ｉ０（ｋｒ）を用いると、式（４）の通りとなる。
【数４】
2019212548.tif 000006
【００６１】
軸対称系でのラプラス方程式は、式（５）で示される。
【００６２】
【数５】
2019212548.tif 000007
【００６３】
フーリエ変換（ｚ→ｋ）により、式（５）から式（６）に示す２階常微分方程式が得られる。
【数６】
2019212548.tif 000008
【００６４】
なお、０次の変形ベッセル関数Ｉ０（ｒｋ）は、式（７）で示される。
【数７】
2019212548.tif 000009
【００６５】
また、式（６）の初期条件として、式（８）が与えられている。
【数８】
2019212548.tif 000010
【００６６】
ステップＳ４で求められる周波数領域における軸上電位分布Ψ（０；ｋ）は、式（９）で表される。
【数９】
2019212548.tif 000011
【００６７】
ステップＳ５の逆フーリエ変換により、式(１０)の通り、軸上電位分布φaxi（ｚ）＝φ（０，ｚ）が得られる。
【数１０】
2019212548.tif 000012
【００６８】
図８に示す軸上電位分布φaxi（ｚ）は、図５に示した軸上電位分布、つまりラプラス方程式を解くことで得られる軸上の電位とほぼ一致する。よって、上記の処理によって、正確な軸上電位分布φaxi（ｚ）を簡便に求めることができる。つまり、有限要素法や差分法を用いることなく、正確な軸上電位分布φaxi（ｚ）を求めることができるため、処理時間を短縮することができる。
【００６９】
さらに、軸上電位分布φaxi（ｚ）から系全体の電位分布φ（ｒ,Ｚ）を求める処理について説明する。軸対称系の電位分布φ（ｒ，ｚ）は、式（１１）に示すように、軸上電位分布φaxi（ｚ）から展開することができる。
【数１１】
2019212548.tif 000013
【００７０】
よって、ライナック１０におけるイオンの運動方程式は、軸上電位分布φaxi（ｚ）を用いて、式（１２）のように表される。
【数１２】
2019212548.tif 000014
【００７１】
図９，及び図１０は、上記の処理によって得られた軸上電位分布φaxi（ｚ）を用いたシミュレーション結果を示す。図９は、イオン軌道の計算結果を示す図である。図１０は、イオンのエネルギー分布の計算結果を示すヒストグラムである。なお、図９，図１０では、電極数や電極長を図７で示された値とした場合の計算結果が示されている。
【００７２】
本実施の形態では、電極に沿っての電位分布Φ（ｒEL，ｚ）を求めるために、電位分布算出部１０２が、隣接する電極電位を直線で繋ぐことで、ギャップにおける電位を求めている。つまり、ギャップでの電極に沿っての電位が、データとして入力された電極電位から求められている。このようにすることで、電極に沿っての電位分布Φ（ｒEL，ｚ）を容易に求めることができる。そして、設計装置１００は、電極に沿っての電位分布Φ（ｒEL，ｚ）から軸上電位分布φaxi（ｚ）を求めている。
【００７３】
具体的には、フーリエ変換部１０３は、フーリエ変換を行うことで、電極に沿っての電位分布Φ（ｒEL，ｚ）のフーリエ変換像Ψ（ｒEL；ｋ）を求めている。軸上電位分布算出部１０４は、フーリエ変換像Ψ（ｒEL；ｋ）と変形ベッセル関数Ｉ０（ｒｋ）とを用いて、周波数領域における軸上電位分布Ψ（０；ｋ）を求めている。そして、逆フーリエ変換部１０５が、周波数領域における軸上電位分布Ψ（０；ｋ）を逆フーリエ変換することで、軸上電位分布φaxi（ｚ）を求めている。
【００７４】
軸対称系では、軸上電位分布φaxi（ｚ）から、ｒｚ平面における電位分布φ（ｒ，ｚ）を求めることができる。本実施の形態によれば、ライナック１０における電位分布φ（ｒ，ｚ）を正確かつ簡便に算出することができる。有限要素法や差分法を用いたラプラス方程式の数値解析を行う必要が無いため、計算時間を短縮することができる。よって、イオン軌道のシミュレーション時間を大幅に短縮することができ、電極の設計時間を短縮することができる。さらに、本実施の形態によれば、有限要素法や差分法を用いたラプラス方程式の数値解析と同程度の精度で電位分布を求めることができる。よって、正確かつ簡便に電位分布を求めることができる。
【００７５】
実施の形態２．
実施の形態１では、全ての電極の内径が同じである例について説明している。これに対して、本実施の形態２では電極の内径が異なっている場合について説明を行う。なお、基本的な処理は、実施の形態１と同様であるため、適宜説明を省略する。
【００７６】
図１１は、内径が異なる電極２１と電極２２を模式的に示す図である。図１１では、電極２１の内径をＲ１とし、電極２２の内径をＲ２として示している。なお、Ｒ１はＲ２よりも小さい値である。以下、内径が異なる場合の処理について説明する。
【００７７】
まず、ステップＳ１〜ステップＳ３については、実施の形態１と同様に処理する。すなわち、電位分布算出部１０２が電極電位のデータに基づいて、電極に沿っての電位分布Φ（ｒEL，ｚ）を求める。なお、内径が異なる電極間のギャップについても、内径が同じ電極間と同様に、隣接する電極電位を直線で繋ぎ合わせている。したがって、Φ（ｒEL，ｚ）は、図１１に示すように台形波形の繰り返しとなる。そして、フーリエ変換部１０３が電位分布Φ（ｒEL，ｚ）をフーリエ変換することで、フーリエ変換像Ψ（ｒEL；ｋ）を求める。
【００７８】
ステップＳ４、Ｓ５においては、Ｒ１、Ｒ２のそれぞれに対して，処理を行う。すなわち、軸上電位分布算出部１０４は、Ｒ１、Ｒ２のそれぞれについて、周波数領域における軸上電位分布を求める。
【００７９】
軸上電位分布算出部１０４は内径がＲ１，Ｒ２とした場合のそれぞれについて、周波数領域における軸上電位分布を算出する。ここで、全体の内径をＲ１と仮定した場合の周波数領域における軸上電位分布を軸上電位分布Ψaxi-1（０；ｋ）とし、全体の内径をＲ２と仮定した場合の周波数領域における軸上電位分布を軸上電位分布Ψaxi-2（０；ｋ）とする。つまり、内径に応じて、変形ベッセル関数I０（ｋｒ）の値が異なるため、軸上電位分布Ψaxi-1（０；ｋ）と軸上電位分布Ψaxi-2（０；ｋ）とが異なる。換言すると、軸上電位分布Ψaxi-1（０；ｋ）と軸上電位分布Ψaxi-2（０；ｋ）を求めるために用いられるフーリエ変換像Ψ（ｒEL；ｋ）は共通となっている。したがって、本実施の形態では、電位分布算出部１０２が１つの電位分布Φ（ｒEL，ｚ）を求めればよい。
【００８０】
逆フーリエ変換部１０５は、周波数領域における軸上電位分布Ψaxi-1（０；ｋ）を逆フーリエ変換することで、空間領域における軸上電位分布φaxi-1（ｚ）を求める。逆フーリエ変換部１０５は、周波数領域における軸上電位分布Ψaxi２（０；ｋ）を逆フーリエ変換することで、空間領域における軸上電位分布φaxi-2（ｚ）を求める。
【００８１】
そして、設計装置１００は、軸上電位分布φaxi-1（ｚ）と軸上電位分布φaxi-2（ｚ）とを補間することで、軸上電位分布φaxi（ｚ）を求める。例えば、線形補間を行う場合、軸上電位分布φaxi（ｚ）は以下の式（１３）により求められる。
【数１３】
2019212548.tif 000015
【００８２】
式（１３）により求められた軸上電位分布φaxi（ｚ）を図１２に示す。なお、式（１３）におけるZtransは、Ｚ方向における電極２１の中心と電極２２の中心間の距離となる（図１２参照）。また、Ｚは、Ｚ方向における電極２１の中心を基準とするＺ方向の距離である。電極２１の中心と電極２２の中心との間で、線形補間を行なうことで、軸上電位分布φaxi（ｚ）を求めることができる。
【００８３】
このようにすることで、内径が異なる電極を有するライナックの軸上電位分布φaxi（ｚ）を求めることができる。そして、実施の形態１と同様に、軸上電位分布φaxi（ｚ）を展開することで、軸対称系の電位分布φ（ｒ，ｚ）を求める。これにより、正確かつ簡便に電位分布を求めることができる。よって、イオンの軌道計算を正確に行うことができる。
【００８４】
上記の説明では、線形補間により軸上電位分布φaxi（ｚ）を求めたが、線形補間以外の補間により、軸上電位分布φaxi（ｚ）を求めてもよい。なお、３以上の電極のうち、一部の電極のみ異なる内径を有する場合は、内径が異なる部分のみ、実施の形態２の手法を適用すればよい。すなわち、電極の内径が同じギャップでは、実施の形態１で示したように、単一の内径ｒＥＬを用いて、軸上電位分布ΨｒＥＬ（０；ｋ）を求めればよい。隣接する電極の内径が異なる箇所が２箇所以上ある場合は、それぞれの箇所について、上記の処理を行なえばよい。
【００８５】
実施の形態３．
本実施の形態では、電極が面取りされている例について説明する。図１３は、面取りされている電極３１、及び電極３２を用いた構成を模式的に示す図である。具体的には、電極３１，３２の両端面の内周側がＲ面取りされている。ここで、面取りの半径をＲｃとする。また、面取りされていない箇所における電極３１、３２の内径をＲｉｎとする。ここで、電極３１、及び電極３２の内径Ｒｉｎは同じであり、かつＲ面取りの半径Ｒｃも同じであるとする。さらに、説明の簡略化のため、電極３１，及び電極３２の電極長が同じとして説明する。
【００８６】
また、面取りされていない箇所における電極長及びギャップ長をそれぞれＬｅ、Ｌｇとする。電極長Ｌｅ、ギャップ長Ｌｇ、及び内径Ｒｉｎは、Drift-Tube-Tableで与えられる値である。また、データ取得部１０１が、面取りの半径Ｒｃの値も取得する。データ取得部１０１が取得したデータに基づいて、面取り形状を考慮した仮想的な２つの電極形状が設定される。例えば、電位分布算出部１０２が、面取り形状に応じて、第１の仮想的な形状の仮想電極と第２の仮想的な形状の仮想電極とを設定する。
【００８７】
図１４は、１つ目の仮想的な電極形状を示す。仮想電極３３、３４は電極長をＬｅとし、内径をＲｉｎ＊とする円筒電極である。なお、内径Ｒｉｎ＊は、内径Ｒｉｎを面取り分（Ｒｃ）だけ大きくした値である。具体的には、Ｒｉｎ＊＝Ｒｉｎ＋Ｒｃである。仮想電極３３、３４は面取りがない円筒電極である。
【００８８】
仮想電極３３，３４について、設計装置１００は、実施の形態１でのステップＳ１〜５を実施することで、空間領域における軸上電位分布を求めることができる。仮想電極３３，３４に対する軸上電位分布をφaxi-1（ｚ）とする。仮想電極３３，３４について、電位分布算出部１０２が算出した電極に沿っての電位分布を、電位分布ΦEL1（ｚ）とする。図１４は、軸上電位分布をφaxi-1（ｚ）、及び、電位分布ΦEL1（ｚ）の例を示している。
【００８９】
図１５は、２つ目の仮想的な電極形状を示す。仮想電極３５、３６は電極長をＬｅ＊とし、内径をＲｉｎとする円筒電極である。なお、電極長Ｌｅ＊は、電極長Ｌｅを面取り分（２×Ｒｃ）だけ短くした値である。具体的には、Ｌｅ＊＝Ｌｅ−２×Ｒｃである。仮想電極３５、３６は面取りがない円筒電極である。
【００９０】
同様に、設計装置１００は、仮想電極３５，３６について、実施の形態１でのステップＳ１〜Ｓ５を実施することで、空間領域における軸上電位分布を求めることができる。仮想電極３５，３６に対する軸上電位分布をφaxi-2（ｚ）とする。仮想電極３５，３６について、電位分布算出部１０２が算出した電極に沿っての電位分布を、電位分布ΦEL2（ｚ）とする。図１５は、軸上電位分布をφaxi-2（ｚ）、及び、電位分布ΦEL2（ｚ）の例を示している。
【００９１】
図１４、及び図１５に示すように、電位分布ΦEL1（ｚ）と電位分布ΦEL2（ｚ）は異なる波形を示す。つまり、電極形状が異なる仮想電極を仮定しているため、電位分布ΦEL1（ｚ）の台形波形と電位分布ΦEL2（ｚ）の台形波形が異なる形状となる。電位分布ΦEL1（ｚ）と電位分布ΦEL2（ｚ）とで、ギャップにおける電位の傾きが異なっている。
【００９２】
そして、設計装置１００は、軸上電位分布φaxi-1（ｚ）と軸上電位分布φaxi-2（ｚ）とを補間することで、軸上電位分布φaxi（ｚ）を求める。例えば、線形補間を行う場合、軸上電位分布φaxi（ｚ）は以下の式（１４）により求められる。
【数１４】
2019212548.tif 000016
【００９３】
なお、式（１４）におけるZtransとＺは、実施の形態２と異なっている。ZtransとＺについて、図１３を用いて説明する。Ztransは、Ｚ方向におけるギャップの中心と、電極３２の中心間の距離となる。また、Ｚは、Ｚ方向におけるギャップの中心を基準とするＺ方向の距離である。なお、図１３では、ギャップの中心から電極３２の中心までの補間するためのZtransとＺを示しているが、、ギャップの中心から電極３１の中心についても同様に補完することができる。
【００９４】
このようにすることで、端面に面取りが施された電極を有するライナックの軸上電位分布φaxi（ｚ）を求めることができる。そして、実施の形態１と同様に、軸上電位分布φaxi（ｚ）を展開することで、軸対称系の電位分布φ（ｒ，ｚ）を求める。これにより、正確かつ簡便に電位分布を求めることができる。よって、イオンの軌道計算を正確に行うことができる。
【００９５】
上記の説明では、線形補間により軸上電位分布φaxi（ｚ）を求めたが、線形補間以外の補間により、軸上電位分布φaxi（ｚ）を求めてもよい。なお、複数の電極のうち、一部の電極のみ面取りが施されている場合、面取りが施された電極についてのみ実施の形態３の手法を適用すればよい。すなわち、面取りが施されていない電極については、Ｒｃ＝０とすればよい。このようにすることで、仮想電極の形状が同じになる。面取り無しの電極と面取り有りの電極との間のギャップについては、ギャップ中心から面取り有りの電極までの間で補間を行えばよい。
【００９６】
実施の形態４．
本実施の形態では、図１６に示すように、複数の電極４１〜電極５０は内径が異なる円筒電極となっている。なお、電極４１〜電極５０のそれぞれの内径は一定である。例えば、電極４１は、内径がＲ１で一定の円筒電極である。電極５０は、内径がＲ２で一定の円筒電極である。Ｒ２はＲ１よりも大きい値となっている。ビームの上流側の電極４１から下流側の電極５０になるにしたがって、内径が徐々に大きくなっていく。したがって、各電極の内径は、上流側の電極の内径よりも大きくなる。
【００９７】
電極４１〜電極５０の内径が補間関数ｆ（ｚ）を用いて設定されている。補間関数ｆ（ｚ）は、最上流の電極４１から最下流の電極までの内径の変化を示す。ここで、１０個の電極４１〜５０の内径の変化を関数Ｒ（ｚ）とすると、Ｒ（ｚ）と補間関数ｆ（ｚ）を用いることで、式（１５）のように表すことできる。
【数１５】
2019212548.tif 000017
【００９８】
ただし、ｆ（ｚ）は０以上、１以下の値となる。１０個の電極４１〜５０の内径が、Ｒ（ｚ）に従って段階的に変化している。Ｒ（ｚ）は１０個の内径を示す関数である。もちろん、電極数は１０個に限られるものではなく、３以上の任意の整数とすることができる。なお、図１６では、ｆ（ｚ）が２次関数の場合を示している。本実施の形態では、２つの仮想的な電極形状での電極配置を仮定する。
【００９９】
１つ目の仮想的な電極形状での電極配置を図１７に示す。図１７では、仮想電極５１〜６０を有する電極配置を示している。仮想電極５１〜６０は、内径がＲ１で等しくなっている。仮想電極５１〜６０の電極長は、電極４１〜５０の電極長とそれぞれ同じになっている。
【０１００】
２つ目の仮想的な電極形状での電極配置を図１８に示す。図１８では、仮想電極６１〜７０を有する電極配置を示している。仮想電極６１〜７０は、内径がＲ２で等しくなっている。仮想電極６１〜７０の電極長は、電極４１〜５０の電極長とそれぞれ同じになっている。
【０１０１】
図１７，図１８に示された２つの仮想的な電極配置について、実施の形態１，２で示した処理と同様の処理を行う。ここで、図１７，図１８では、電極に沿っての電位分布φ（ｒＥＬ，ｚ）が共通となっている。この点については、実施の形態２の説明と同様である。
【０１０２】
まず、ステップＳ１〜ステップＳ３については、実施の形態１と同様に処理する。すなわち、電位分布算出部１０２が電極電位のデータに基づいて、電極に沿っての電位分布Φ（ｒEL，ｚ）を求める。なお、内径が異なる電極間のギャップについても、内径が同じ電極間と同様に、隣接する電極電位を直線で繋ぎ合わせている。したがって、Φ（ｒEL，ｚ）は、図１７に示すように台形波形の繰り返しとなる。そして、フーリエ変換部１０３が電位分布Φ（ｒEL，ｚ）をフーリエ変換することで、フーリエ変換像Ψ（ｒEL；ｋ）を求める。
【０１０３】
ステップＳ４、Ｓ５においては、Ｒ１、Ｒ２のそれぞれに対して，処理を行う。すなわち、軸上電位分布算出部１０４は、Ｒ１、Ｒ２のそれぞれについて、周波数領域における軸上電位分布を求める。
【０１０４】
軸上電位分布算出部１０４は内径がＲ１，Ｒ２と仮定した場合のそれぞれについて、周波数領域における軸上電位分布を算出する。ここで、全体の内径をＲ１と仮定した場合の周波数領域における軸上電位分布を軸上電位分布Ψaxi1（０；ｋ）とし、全体の内径をＲ２と仮定した場合の周波数領域における軸上電位分布を軸上電位分布Ψaxi2（０；ｋ）とする。つまり、内径の値に応じて、変形ベッセル関数I０（ｋｒ）の値が異なるため、周波数領域での軸上電位分布Ψaxi1（０；ｋ）と軸上電位分布Ψaxi２（０；ｋ）とが異なる分布となる。換言すると、軸上電位分布Ψaxi1（０；ｋ）と軸上電位分布Ψaxi２（０；ｋ）を求めるために用いられるフーリエ変換像Ψ（ｒEL；ｋ）は共通となっている。本実施の形態では、２つの仮想的な電極配置において、電極長は同じとなっているため、電位分布算出部１０２が１つの電位分布Φ（ｒEL，ｚ）を求めればよい。
【０１０５】
逆フーリエ変換部１０５は、周波数領域における軸上電位分布Ψaxi1（０；ｋ）を逆フーリエ変換することで、空間領域における軸上電位分布φaxi-1（ｚ）を求める。これにより、図１７に示す電極配置における軸上電位分布φaxi-1（ｚ）を求めることができる。逆フーリエ変換部１０５は、周波数領域における軸上電位分布Ψaxi２（０；ｋ）を逆フーリエ変換することで、空間領域における軸上電位分布φaxi-2（ｚ）を求める。これにより、図１８に示す電極配置における軸上電位分布φaxi-2（ｚ）を求めることができる。
【０１０６】
そして、設計装置１００は、軸上電位分布φaxi-1（ｚ）と軸上電位分布φaxi-2（ｚ）とを補間することで、軸上電位分布φaxi（ｚ）を求める。例えば、軸上電位分布φaxi（ｚ）は上記の式（１６）により求められる。
【数１６】
2019212548.tif 000018
【０１０７】
式（１６）では、Ｒ（ｚ）を示す補間関数ｆ（ｚ）を用いて、設計装置１００が補間を行っている。式（１６）により求められた軸上電位分布φaxi（ｚ）を図１９に示す。
【０１０８】
このようにすることで、電極間で内径が徐々に変化していく電極配置を有するライナックの軸上電位分布φaxi（ｚ）を求めることができる。そして、実施の形態１と同様に、軸上電位分布φaxi（ｚ）を展開することで、軸対称系の電位分布φ（ｒ，ｚ）を求める。これにより、正確かつ簡便に電位分布を求めることができる。よって、イオンの軌道計算を正確に行うことができる。
【０１０９】
また、本実施の形態では３以上の電極が、補間関数ｆ（ｚ）に従って異なる内径となっている場合、より簡素な処理で電位分布φ（ｒ，ｚ）を求めることができる。例えば、実施の形態２では、３つ以上の半径のそれぞれについて、フーリエ逆変換を行なう必要があるが、本位実施の形態ではフーリエ逆変換を２回行なえばよい。よって、より処理を簡素化することができ、短時間で電位分布φ（ｒ，ｚ）を求めることができる。
【０１１０】
また、実施の形態４では全ての電極の内径が異なる例を示したが、一部の電極の内径のみが異なっており、残りの電極の内径が等しくなっていてもよい。この場合、電極の内径が異なる箇所にのみ、上記の処理を行なえばよい。
【０１１１】
上記した実施の形態１〜４は適宜組み合わせることができる。例えば、実施の形態３を、実施の形態２又は実施の形態４に組み合わせることもできる。すなわち、電極の内径が異なる電極配置において、面取りした電極を用いることも可能である。この場合、該当する電極に対して、補間処理を繰り返し行なえばよい。つまり、実施の形態２で示した処理を行なった後、実施の形態３で示した処理を行なえばよい。あるいは、実施の形態３で示した処理を行なった後、実施の形態２で示した処理を行なえばよい。
【０１１２】
設計装置１００の各構成要素は、例えば、ＣＰＵがＲＯＭに記憶されたプログラムを実行することによって実現可能である。また、必要なプログラムを任意の不揮発性記録媒体に記録しておき、必要に応じてインストールするようにしてもよい。なお、各構成要素は、上記のようにソフトウェアによって実現されることに限定されず、何らかの回路素子等のハードウェアによって実現されてもよい。また、上記構成要素の１つ以上は、物理的に別個のハードウェアによってそれぞれ実現されてもよい。
【０１１３】
上述の例において、プログラムは、様々なタイプの非一時的なコンピュータ可読媒体（non-transitory computer readable medium）を用いて格納され、コンピュータに供給することができる。非一時的なコンピュータ可読媒体は、様々なタイプの実体のある記録媒体（tangible storage medium）を含む。非一時的なコンピュータ可読媒体の例は、磁気記録媒体（例えばフレキシブルディスク、磁気テープ、ハードディスクドライブ）、光磁気記録媒体（例えば光磁気ディスク）、ＣＤ−ＲＯＭ（Read Only Memory）、ＣＤ−Ｒ、ＣＤ−Ｒ／Ｗ、半導体メモリ（例えば、マスクＲＯＭ、ＰＲＯＭ（Programmable ROM）、ＥＰＲＯＭ（Erasable PROM）、フラッシュＲＯＭ、ＲＡＭ（Random Access Memory））を含む。また、プログラムは、様々なタイプの一時的なコンピュータ可読媒体（transitory computer readable medium）によってコンピュータに供給されてもよい。一時的なコンピュータ可読媒体の例は、電気信号、光信号、及び電磁波を含む。一時的なコンピュータ可読媒体は、電線及び光ファイバ等の有線通信路、又は無線通信路を介して、プログラムをコンピュータに供給できる。
【０１１４】
以上、本発明の実施形態の一例を説明したが、本発明はその目的と利点を損なうことのない適宜の変形を含み、更に、上記の実施形態による限定は受けない。
【符号の説明】
【０１１５】
１０  ライナック
１１〜２２  電極
１００  設計装置
１０１  データ取得部
１０２  電位分布算出部
１０３  フーリエ変換部
１０４  軸上電位分布算出部
１０５  逆フーリエ変換部
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
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【図１７】
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【図１８】
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【図１９】
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